2) Reta tangente ao gráfico de uma função

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Derivada: Introdução

Equação da reta

Observe que para o ponto (x,y) pertencer à reta, o ângulo  deve satisfazer à condição:

tg  = 0

0

y y x x

 

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Usaremos a equação na forma: y – yo = a(x – xo) , que é o mesmo que:

y – f(xo) = a(x – xo) , onde a é o coeficiente angular da reta

(a = tg  = ) .

2) Reta tangente ao gráfico de uma função

Seja f(x) uma função definida em (a,b) e contínua em xo (a,b):

  00 y y x x

Reta tangente

Reta secante ao gráfico de uma função

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Podemos calcular o coeficiente angular da reta secante (as) ao gráfico de f, passando pelo ponto P(xo,yo) e pelo ponto Q(x,y):

as = tg  = 0 0 f(x) f(x )

x x

 

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at = , se esse limite existe e é finito; ou seja:

ou ainda: , onde x = x – xo

 Definição:

Seja f(x) uma função definida num intervalo (a,b) e contínua em xo (a,b). Chamamos reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto P(xo,f(xo)), a reta que passa por P e satisfaz a uma das condições dadas a seguir:

s

Qlim aP 0

0 t

x x

0 f(x) f(x ) a lim x x     0 0 t x 0

f(x x) f(x ) a lim x       

 (i) possui coeficiente angular,

se esse limite existe e é finito;

 (ii) possui equação x = xo (reta vertical) se

é infinito.        0 0

t x 0

f(x x) f(x )

a lim

x

0 0

x 0

f(x x) f(x )

lim

x  

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 Seja f(x) = x2 – 1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em cada item a seguir:

a) xo = 1

b) xo = 0

Exemplos

Considere agora a função horária do deslocamento de uma partícula em movimento uniformemente variado (M.U.V. – aceleração constante):

onde So é a posição inicial, Vo é a velocidade inicial e a, a aceleração.

2 0 0

at

S(t) S V t

2

  

Vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função horária para um instante qualquer, t = to.

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Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 11 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0

t t t t t

0 0

2 2

0 0 0

0 0 0

t t t t

0 0

0 0 0 0

t t

at

at

S

V t

S

V t

2

2

S(t) S(t )

a

lim

lim

t t

t t

a

a

(t t ) V

(t t )

V (t t )

(t

t )

2

2

lim

lim

t t

t t

a

lim V

(t t )

V

at

2

    

Que é a equação conhecida (V = Vo + at) da velocidade instantânea da partícula no instante to, ou seja, a inclinação da tangente ao gráfico de S(t) no ponto t = to é a velocidade instantânea desta partícula neste instante.

Este limite aparece em vários outros ramos da Matemática e da Física e, devido à sua grande importância, daremos o nome de DERIVADA da função f no ponto x = xo, quando esse limite existir e for finito.

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Denotaremos por:

f '(xo) ou entre outras notações.

Então: , se esse limite existe e é finito.

Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de uma função f, no ponto (xo,f(xo)) é da forma:

t: y – f(xo) = f '(xo)(x – xo).

Obs: a razão é chamada

razão incremental.

0

0

0 x x

0 f(x) f(x ) f '(x ) lim

x x

 

0 0

f(x) f(x ) f(x x) f(x) ou

x x x

     

 

   

0

dy

(x x ) dx 

 Quando a informação sobre o problema vem de dados discretos (que não são contínuos e não formam uma vizinhança) ainda é possível aproximar um valor para a derivada

 Existem diversas aproximações possíveis. A linear (utilizando a reta secante) é

uma das mais conhecidas e utilizadas em problemas reais ou simulações

Exemplo

 Um ciclista realizou uma viagem entre duas cidades que distam 40km uma

da outra. A tabela abaixo mostra os instantes que o ciclista passou pelas marcações da estrada.

 A partir dos dados, calcule um valor aproximado para a velocidade média

e para a velocidade instantânea em alguns pontos.

Derivada Discreta

(aprox. linear)

t (s) 0,72 1 1,34 2,02 2,36 3 3,14 3,34

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3) Reta Normal ao gráfico de uma função

A reta normal ao gráfico de uma função f(x), definida no intervalo (a,b) e contínua em xo  (a,b) é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de f neste ponto e que passa no mesmo ponto (xo,f(xo)). Então, lembrando a relação entre os coeficientes angulares de retas paralelas e perpendiculares, temos:

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s r

s r

a a , quando r // s 1

a ,quando r s

a

  

   

 

Assim, a equação da reta normal ao gráfico de f, no ponto (xo,f(xo)) é da forma:

n: 0 0

0

1

y

f(x )

(x

x )

f '(x )

 

Equação da reta normal

 Calcule a derivada no ponto x = xo das funções a seguir:

a) f(x) = 3x – 5 (xo = 2) b) f(x) = x2– 2x (x

o = 0)

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4) Função Derivada

Considere, por exemplo, a função f(x) = x2 – 2x. Podemos calcular sua derivada em xo = 1:

Se substituirmos na sentença acima, 1, por a obtemos:

2 2 2

x 1 x 1 x 1

x 2x (1 2.1) x 2x 1

f '(1) lim lim lim(x 1) 0

x 1 x 1

  

    

    

 

Função Derivada

2 2 2 2

x a x a

x a

x 2x (a 2.a) x a 2(x a)

f '(a) lim lim

x a x a

(x a) 2

lim(x a) 2a 2

x a

 

     

  

 

 

   

A função de a, f '(a) = 2a – 2 , ou f '(x) = 2x – 2 é chamada função derivada de f.

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Ex: Calcular a função derivada de f(x) = ex .

4.1) Derivadas laterais

Considere o limite da razão incremental:

Se este limite só existe quando x  xo+, dizemos que f é derivável à direita de xo e escreveremos:

0

0 x x

0

f(x) f(x ) lim x x    0 0 0 x x 0

f(x) f(x )

f '(x )

lim

x

x

 

Derivadas laterais

0 0 0 x x 0

f(x) f(x ) f '(x ) lim

x x      

A função f é derivável em xo quando as derivadas laterais existem e são iguais

(f+'(xo) = f'(xo) = f '(xo)).

Ex: Calcule as derivadas laterais de f(x) = |x|, no ponto xo = 0. (Conclua sobre a derivabilidade da função y = |x| ).

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Teorema

 Se uma função f: I IR é derivável em xo I, então f é contínua em xo

A condição de derivável é “mais forte” que a condição de

contínua, “exige” mais da função

D]

 Sendo f derivável em 𝑥0, existe 𝑓′ 𝑥0 = lim

𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0 . Assim:

𝑥→𝑥0lim( 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 ) = lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥0𝑥−𝑥0 𝑥 − 𝑥0 = = lim𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0 ∙ lim𝑥→𝑥0( 𝑥 − 𝑥0) = lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0

𝑥 − 𝑥0 ∙ 0 = 0

 Com lim

𝑥→𝑥0( 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 ) = 0 ⇒ lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 − lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥0 = 0 ⇒ lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0

Figure

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