A Propriedade do Normalizador em alguns Produtos Orlados

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matemática - IM

Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT

Dissertação de Mestrado

  

A Propriedade do Normalizador em alguns

Produtos Orlados

Jacqueline Costa Cintra

  A Propriedade do Normalizador em alguns Produtos Orlados Jacqueline Costa Cintra

  Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.

  Orientador: Prof. Dr. Thierry Corrêa Petit Lobão. Cintra, Jacqueline Costa, 1988 A Propriedade do Normalizador em alguns Produtos Orlados / Jac- queline Costa Cintra. – Salvador: UFBA, 2014.

  52 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Thierry Corrêa Petit Lobão. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Matemática, 2014.

  Referências bibliográficas.

  

Petit Lobão, Thierry. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matemática. III. Título.

  CDU : 512.552.7 A Propriedade do Normalizador em alguns Produtos Orlados Jacqueline Costa Cintra

  Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, aprovada em 14 de março de 2014.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Thierry Corrêa Petit Lobão (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Raul Antonio Ferraz

  IME-USP

  a a

  Prof . Dr . Carmela Sica UFBA

  Aos meus pais Mariana e José, meu companheiro Edward e meus irmãos

Agradecimentos

  Primeiramente agradeço a Deus pela vida, por todas as minhas conquistas e por todas as pessoas que fazem parte da minha história. Um agradecimento especial para minha família, pelo carinho e compreensão de meus irmãos Jucelia Costa e Jailton de Cintra, pelo apoio do meu pai José Vitorino e pela companhia e dedicação da minha mãe Mariana Costa, que considero minha guerreira.

  Agradeço a meu companheiro Edward, que sempre esteve ao meu lado me apoi- ando em minhas decisões e me ajudando nos momentos difíceis. Por ser uma pessoa admirável e especial em minha vida, fazendo-a mais feliz a cada dia em que estamos juntos. Pela linda história que começou com uma bela amizade e desde o início com cumplicidade, companheirismo e confiança.

  Agradeço ao professor Thierry Petit Lobão não só pela sua disposição para me orientar, mas pela dedicação e parceria durante o mestrado, além do incentivo e motivação em todo o período da pesquisa orientada.

  Agradeço aos professores Raul Antonio Ferraz e Carmela Sica por aceitarem fazer parte da banca examinadora da minha dissertação e pela honra de suas presenças. Quero agradecer aos professores do DCE-UESB e do IM-UFBA que contribuíram para a minha formação acadêmica. Sou muito grata especialmente aos professores que além de excelentes profissionais, foram exemplares também como seres humanos. Dentre estes, um agradecimento especial ao professor Samuel Gomes que sempre me deu seu apoio e pela oportunidade de ter sido sua aluna mesmo num curto período antes mesmo de ingressar no mestrado, mas proporcionando a felicidade de conhecê-lo.

  Aos professores Berg, Guto, Acioly, Augusto, Claudinei, Clênia, Débora, Eridan, Flaulles, Júlio, Márcio, Reginaldo e Tânia gostaria de agradecê-los especialmente por todo o incentivo e carinho durante a minha jornada.

  Também agradeço a todos os meus amigos da graduação e do Instituto de Mate- mática da UFBA pelos ótimos momentos de convivência. Especialmente Felipe, Gledson, Heides, Julio, Mariana e Sara por formarem uma turma incrível a qual fiquei muito feliz

  Meu muito obrigada a Ângela e João Paulo que sempre foram muito prestativos me ajudando sempre que precisei, além de serem pessoas queridas e muito competentes. Finalmente, agradeço à CAPES pelo apoio financeiro concedido a mim durante todo o meu mestrado.

  “(...) Ir à luta com determinação, abraçar a vida com paixão, perder com classe e ven- cer com ousadia, porque o mundo pertence a quem se atreve. E a vida é muito para ser insignificante”.

  • –Augusto Branco

Resumo

  O principal objetivo deste trabalho é discutir a Propriedade do Normalizador, conhecida como (Nor); uma das questões mais importantes na teoria de anéis de grupo integrais. Utilizaremos o anel de grupo integral e investigaremos (Nor) para grupos finitos que são determinados por produtos orlados.

  Primeiramente, demonstraremos a validade da propriedade para um grupo dado por um produto orlado de um nilpotente na base e um grupo simétrico de m letras no topo. Posteriormente, demonstraremos também a validade da propriedade para produtos orlados de um grupo nilpotente por um quatérnio generalizado ou um diedral de ordem n 2 .

  Estes resultados, que serão apresentados juntamente com as técnicas utilizadas, servem como motivação, ora em curso, da possível validade de (Nor) para produtos orlados de grupos nilpotentes em geral; ou seja, extensões orladas de grupos nilpotentes preservam a Propriedade do Normalizador.

  Palavras-chave: Grupos; Anéis de Grupo; Anéis de Grupo Integrais; Normalizador; Propriedade do Normalizador; Produto Orlado.

Abstract

  The main objective of this work is to discuss the normalizer property, known as (Nor), which is one of the most important issues in the theory of integral group rings. We will use the integral group ring and we will investigate (Nor) for finite groups which are determined by wreath products.

  Firstly, we will demonstrate the validity of the property for a group given by a wreath product of a nilpotent on the basis and a symmetric group of m letters on top. After that, also demonstrate the validity for wreath products of a nilpotent group by a n generalized quaternion or dihedral of order 2 .

  These results, which will be presented along with the used techniques, serve as motivation for our research, now in progress, about wreath products of general nilpotent groups being solutions for (Nor), that is, wreath extensions of nilpotent groups preserve the Normalizer Property.

  Keywords: Groups; Group Rings; Integral Group Rings; Normalizer; Normalizer Pro- perty; Wreath Product.

  Sumário

  3 A Propriedade do Normalizador para Grupos monomiais completos

  48 Referências

  46 Conclusão

  5 Investigações em curso e perspectivas futuras

  4.2 Grupo da base nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  4.1 Grupo da base abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  40

  4 Extensões de grupos nilpotentes finitos por alguns 2-grupos

  3.2 Grupo da base nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  3.1 Grupo da base abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  22

  2.2 Outros resultados fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  Introdução

  2.1 Os Resultados de Jackowski e Marciniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  17

  2 A Propriedade do Normalizador

  1.2.1 Produto Orlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  1.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  9

  6 1.1.2 Involuções e Somas de Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.1.1 Ideais de Aumento e o Argumento de Whitcomb . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 4 1.1 Anéis de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  49

Introdução

  Dados um grupo G e R um anel comutativo com unidade, determinamos um novo anel chamado anel de grupo, denotado por RG, o qual consiste de um módulo livre tendo os elementos do grupo como base e os elementos do anel R como coeficientes, além de ter a operação multiplicação entre seus elementos, que é definida a partir da propriedade de distributividade. Neste trabalho, utilizaremos G como grupo finito e os chamados anéis de grupo integrais, isto é, em que o anel de coeficientes considerado é o dos inteiros; esse anel de grupo é denotado por ZG.

  Na teoria de anéis de grupo, encontramos várias questões importantes e interes- santes; uma delas é o Problema do Isomorfismo, conhecido como (Iso), que consiste em verificar quando um grupo é determinado pelo seu anel de grupo; ou seja, se dois grupos serão isomorfos sempre que seus anéis de grupo sobre o mesmo anel assim o forem. Desde 1940, esta questão vem sendo discutida a partir dos trabalhos de G. Higman com diversos anéis de coeficientes; entretanto, vários resultados relevantes foram obtidos utilizando-se o anel dos inteiros e, assim, a questão do isomorfismo tornou-se uma conjectura para anéis de grupo integrais.

  A Propriedade do Normalizador, ou (Nor) como é conhecida, é uma outra questão de destaque na teoria dos anéis de grupo integrais sobre grupos finitos. Dizemos que um grupo G satisfaz essa propriedade quando o normalizador de G no grupo das unidades de Z

  G, U (ZG), é o menor possível, ou seja, é o produto do grupo G pelo centro do grupo de (G) = G · Z(U (ZG)). (Nor) inicialmente foi apresentada como conjectura, unidades, N U e o primeiro resultado neste sentido foi alcançado por Coleman (1964), que conseguiu provar a validade de (Nor) para p-grupos, e consequentemente para grupos nilpotentes.

  Em 1987, Jackowski e Marciniak estenderam o resultado para grupos que possuem um 2-subgrupo de Sylow normal; validando, portanto, (Nor) para grupos de ordem ímpar. Posteriormente, em 1995, uma relação existente entre (Nor) e (Iso) é revelada por M. Mazur; o que aumentou a relevância de (Nor). Mazur, no contexto dos grupos infinitos, percebeu que encontrando-se um contraexemplo para (Nor) é possível, a partir deste, conjectura, porém não a relevância, pois, a partir daí, o objetivo desta linha de pesquisa tornou-se a busca das classes de grupos que são soluções para (Nor) e/ou são determinados pelos seus anéis de grupo integrais, satisfazendo (Iso).

  Em [MR01], Marciniak e Roggenkamp provaram que (Nor) vale para grupos me- tabelianos finitos com um 2-subgrupo de Sylow abeliano. Yuanlin Li em [L02], discutiu dois casos onde um tipo particular de automorfismos, os chamados C-automorfismos, são internos e, por consequência, para ambos vale (Nor).

  Na investigação das questões mencionadas, as ações existentes em determinados produtos de grupos têm extrema relevância; pois, por exemplo, é sabido que se ambos H e K são grupos para os quais vale (Nor), então H × K também o é (ver [LPS99]). Porém, no caso de um produto semi-direto qualquer, isto nem sempre é verdade, dependendo da ação, como demonstrou Hertweck; assim, uma questão que torna-se natural é:

  • Quais são as ações ϕ para as quais, se H e K são soluções de (Nor), o produto semi-direto K ⋊ ϕ H é também solução?

  Recentemente, em 2003, T. Petit Lobão e S. K. Sehgal conjecturaram que ações do tipo orlado (ou wreath) são boas candidatas para esta solução. Desenvolveram então algumas técnicas para tratar das ações deste tipo, e obtiveram uma solução da Propriedade do Normalizador para a classe dos grupos monomiais completos; isto é, uma extensão orlada de um grupo nilpotente na base por um grupo simétrico de m letras no topo, ou m

  ⋊ seja, G = N wr Sym m = N Sym m . Este trabalho é um dos resultados principais da dissertação, assim como os argumentos e técnicas lá presentes são fundamentais no desenvolvimento desta investigação.

  Um outro trabalho que é central no nosso estudo foi elaborado por Zhengxing Li e Jinke Hai em [HL11c], no qual os autores exploraram as técnicas de Petit Lobão e Sehgal, produzindo além do mencionado, uma série de artigos nos quais obtiveram extensões dos resultados originais. Entre estes, o que apresentamos neste trabalho é o resultado positivo para (Nor) em que o grupo é dado por um produto orlado cuja base é um nilpotente e no n topo tem-se um quatérnio generalizado ou um diedral de ordem 2 .

  Nessa dissertação, temos como objetivo investigar esses resultados principais, explorando as técnicas utilizadas para alcançar como soluções positivas grupos que são dados por produtos orlados.

  No primeiro capítulo, introduziremos as definições e resultados preliminares da teoria utilizada, necessários para o desenvolvimento do nosso estudo. No segundo capítulo, apresentaremos a Propriedade do Normalizador, discutindo Capítulo 1 Preliminares

  Neste capítulo, apresentaremos conceitos da teoria de anéis de grupo que são re- levantes para o desenvolvimento deste trabalho, com enfoque no conceito do normalizador de um grupo G; em que G é a base do anel de grupo denotado por RG sendo, por con- sequência, subgrupo do grupo das unidades de RG. O anel R presente no trabalho será considerado com unidade, apesar de não ser necessária tal consideração para a definição de anel de grupo.

  Nesta seção, que está baseada em [PoS02], apresentaremos conceitos e discutire- mos sobre alguns resultados presentes e importantes na teoria de anéis de grupo. Definição 1.1. Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Denotamos por RG o conjunto de todas as combinações lineares formais da forma

  X α = a g g ∈G

  g, em que a g ∈ R e {a g } é uma sequência quase nula. O conjunto (RG, +, ·), dotado g ∈G das operações de adição, multiplicação e multiplicação por escalar definidas da forma a seguir, é um anel chamado anel de grupo de G sobre R:

  (i) soma de dois elementos: ! !

  X X

  X g g g ∈G ∈G ∈G + a g g b g g = (a g + b g )g;

  (ii) produto de dois elementos: ! !

  X X

  X · g g g,h ∈G ∈G ∈G a g g b g g = (a g b h )(gh).

  (iii) produto de um elemento por um escalar do anel R: !

  X X λ · a g g = (λa g )g, ∀λ ∈ R. g g ∈G ∈G Note que temos 1 RG = 1 R

  1 G , ou seja, RG é um anel com identidade que, denotare- mos por 1. Facilmente verificamos que RG é um R-módulo, e se R é comutativo segue-se que RG é uma álgebra sobre R. −2 −1 1 2 Exemplo 1.2. Sejam G = C ≃ {. . . , x , x , x , x , x , . . .} e R = R, o corpo dos números reais. Temos que RG = RC é isomorfo ao anel dos polinômios de Laurent.

  Exemplo 1.3. Sejam R = Z = {0, 1} e G = C = hxi = {1, x}, o grupo cíclico de ordem 2 2 |C | 2 2. Temos que RG = Z C é um anel de grupo finito, cuja ordem é igual a |Z | = 4. 2 2 2 Note que como o grupo (Z C , +) tem ordem 4, então ele é isomorfo ou a C ou a C ×C , 2 2 4 2 2 o grupo de Klein. Assim, para um a ∈ Z C , temos que 2 · a = (1 + 1) · a = 0 · a = 0, em 2 2 que 1 = 1 Z 2 · 1 C 2 é a unidade de Z C e 2 2 1 + 1 = 1 Z C Z C 2 · 1 2 + 1 2 · 1 2 = (1 Z Z 2 + 1 2 )1 C 2

  = (0 Z 2 )1 C 2 = 0.

  Logo, cada elemento do anel de grupo tem ordem menor ou igual a 2; o que nos permite concluir que Z ≃ C × C , já que C tem um elemento de ordem 4. 2 C 2 2 2 4 Lema 1.4. Seja R um anel de ordem m e G um grupo de ordem n, então RG é um anel |G| n de grupo finito cuja ordem é |R| .

  = m ( )

  X Demonstração. Temos que RG = a g g; a g ∈ R . Assim, para cada g ∈ G existem g ∈G m escolhas para os coeficientes a g ∈ R; portanto temos m · m · · · m elementos no anel de | {z } entretanto, algumas definições e resultados são apresentados com um anel de grupo RG para evidenciar a não dependência da escolha do anel R.

  X Definição 1.5. Dado α = a g g ∈ RG, definimos o suporte de α como supp(α) = g ∈G {g ∈ G : a 6= 0}, isto é, o conjuto dos elementos g ∈ G que aparecem na composição de g 6= 0. α de forma não trivial, ou seja, a g Definição 1.6. Dado um anel R, definimos o grupo multiplicativo das unidades de R como U(R) = {x ∈ R; ∃y ∈ R e xy = yx = 1} .

  Assim, em particular para um grupo G e um anel R, U(RG) denota o grupo das unidades do anel de grupo RG. As chamadas unidades triviais são elementos da forma ug em RG com u ∈ U(R) −1 −1 g e g ∈ G; cujos inversos, obviamente, são da forma r . Assim, por exemplo, os elementos da forma ±g com g ∈ G são unidades trivias do anel de grupo integral.

  A seguir definiremos uma função de RG em G de maneira bem natural, que consiste em um homomorfismo de anéis. Definição 1.7. Seja a função ε : RG → R dada por

  !

  X X ε a g g = a g . g g ∈G ∈G Esta função é um homomorfismo de anéis, chamado homomorfismo de aumento de RG.

  De fato, trata-se de um homomorfismo de anéis, pois:

  X X a g g, b g g elementos quaisquer de RG. Então

  Considere g ∈G g ∈G (i)

  ! !

  X X

  X ε a g g + b g g = ε (a g + b g )g g g g ∈G ∈G ∈G

  X = (a g + b g ) g ∈G

  X X

  • = a g b g

  (ii) ! !

  X X

  X ε a g g · b g g = ε (a g b h )gh g g g,h ∈G ∈G ∈G

  X = (a g b h ) g,h ∈G

  X X = a g . b g g ∈G g ∈G

  ! !

  X X = ε a g g .ε b g g . g ∈G g ∈G Definimos

  U (RG) = {α ∈ U(RG); ε(α) = 1} , 1 o subgrupo das unidades de aumento 1 em U(RG), ou então, o subgrupo das unidades normalizadas de RG.

  Seja u ∈ U(ZG), então ε(u) = ±1. Portanto, escrevemos Observação 1.8.

  U(ZG) = ±U 1 (ZG). Definição 1.9. O núcleo do homomorfismo de aumento ǫ é denotado por ∆(G) e o chamaremos de ideal de aumento de RG.

  !

  X X Observe que para um elemento a g g ∈ ∆(G), temos que ε a g g = g g ∈G ∈G

  X g ∈G a g = 0. Logo, escrevemos α na forma:

  X X α = a g g = a g (g − 1). g g ∈G ∈G Como claramente os elementos da forma g − 1, com g ∈ G, pertencem a ∆(G) e conside- rando a observação acima, temos o seguinte resultado: Proposição 1.10

  (Proposição 3.2.10, [PoS02]). O conjunto {g − 1; g ∈ G, g 6= 1} é uma R-base de ∆(G) sobre R. Devido a esta proposição podemos escrever

  ( )

  X forma: ( )

  X ∆(G, H) = α h (h − 1); α h ∈ RG . h ∈H Observe que, pela definição acima, o ideal ∆(G, G) coincide com ∆(G).

  No caso de um subgrupo N ser normal em G podemos interpretar ∆(G, N) da seguinte forma ( )

  X ∆(G, N ) = (n − 1)α n ; α n ∈ RG . n ∈N Este ideal ainda pode ser visto de uma forma distinta, que em determinados casos, pode ser mais útil. Considerando N ⊳ G, e, portanto, o quociente G/N, o homomorfismo canônico ψ : G → G/N pode ser estendido a um homomorfismo de anéis ψ N : RG → N R(G/N ) dado da seguinte forma

  !

  X X ψ N a g g = α g ψ (g). g g ∈G ∈G N Por isso, segue o resultado abaixo que apresenta uma caracterização alternativa para ∆(G, N), neste caso. Proposição 1.12 (Proposição 3.3.4, [PoS02]). Sejam N ⊳ G e ψ N definido da forma acima, então ker(ψ N ) = ∆(G, N ). Corolário 1.13. Seja N um subgrupo normal de um grupo G. Então,

  RG G ≃ R

  ∆(G, N ) N .

  Demonstração. De fato, como ψ N é sobrejetiva, temos que Im(ψ N ) = R(G/N ). Como ker(ψ N ) = ∆(G, N ), pelo Teorema do Isomorfismo, segue o resultado.

  O próximo resultado, conhecido como Argumento de Whitcomb, é muito importante e foi fundamental na demonstração de um dos principais teoremas dessa dis- sertação; assim como os resultados enunciados posteriormente. Lema 1.14

  (Lema 30.5, [Se93]). Suponha que um elemento γ de ZG é tal que γ ≡ g mod∆(G, A), em que g ∈ G e A ⊳ G, então γ ≡ ga mod∆(G)∆(A), para um adequado ∈ A. a Proposição 1.16 (Proposição 8.3, [Se93]). Seja N ⊳G e g ∈ G. Se g−1 ∈ ∆(G)∆(G, N), então g ∈ [N, N].

  A aplicação definida a seguir é uma involução e representa uma ferramenta im- portante nos estudos de anéis de grupo integral. Definição 1.17. Definimos a aplicação : ZG → ZG, dada por

  ! ∗

  X X −1 g g ∈G ∈G a g g = a g g , que satisfaz as seguintes propriedades: ∗ ∗ ∗ (i) (α + β) = α + β ; ∗ ∗ ∗

  (ii) (αβ) = β α ; ∗∗ (iii) α = α.

  Esta aplicação recebe o nome de involução canônica, ou clássica, de ZG. Sobre esta aplicação, um resultado bastante útil, e que é mencionado em [JM87], é a Proposição 1.18. Para α ∈ ZG, α α = 1 se, e somente se, α = ±g, com g ∈ G. −1 Para cada g ∈ G, denotamos por C g = {x gx; x ∈ G} a classe de conjugação

  } de g em G. Podemos ainda, considerar o conjunto {C i das classes de conjugação de i ∈I

  G, que possuem um número finito de elementos, e, assim, para cada i ∈ I, temos os C elementos chamados de somas de classes de G sobre R, denotados por ˆ g descritos da seguinte forma

  X X ˆ −1 C = x = x. g x ∈C i ∼g x

  ˆ C g y = ˆ C g C g

  Observe que y , para todo y ∈ G, ou seja, ˆ é central em ZG, para qualquer g ∈ G.

  A seguir, um resultado que fornece uma relação entre as somas de classes e o centro do anel de grupo. Teorema 1.19 (Teorema 3.6.2, [PoS02]). Sejam G um grupo e R um anel comutativo. Então o conjunto {γ } de todas as somas de classes de G sobre R é uma R-base de i Definição 1.20. Considerando um anel de grupo RG, definimos [RG, RG] = h[x, y]i = hxy − yxi.

  X Observação 1.21. Seja α ∈ RG, logo α = g ∈G a g

  g. Definimos

  X α(g) := ˜ a h , h ∼g em que ∼ corresponde à relação de conjugação em G.

  Dada esta definição, vejamos dois exemplos para entendermos claramente o seu comportamento. 4 2 2 −1 y Exemplo 1.22. Seja Q = hx, y : x = 1, x = y , x = x i, grupo dos quatérnios de 8 8 2 3 elementos, e considere α = [2x+3y +5xy, 7x +9x y +11y] ∈ [ZQ , ZQ ]. Vamos calcular 3 8 8

  α(x), com x ∈ Q ˜ , cuja classe de conjugação é C x = {x, x }. Computando o comutador 8 α e exibindo somente as suas parcelas em que aparecem elementos de C x , temos: 3 3 3 3 3 14x + 27x + 55x − (14x + 27x + 55x) = 82x − 82x.

  Observe que a soma dos coeficientes associados aos elementos de C se anulam, isto é, x α(x) = 0. ˜

  No exemplo acima, podemos observar que dado um elemento do suporte de α que pertença a C x , existe um outro elemento, nas mesmas condições, cujo coeficiente associado corresponde ao simétrico aditivo do primeiro elemento. No entanto, isso não acontece em geral, o que podemos perceber no próximo exemplo.

  Exemplo 1.23. Seja o grupo G não-abeliano de ordem 21 cuja presentação é hx, y : 7 3 y 2 4 2 4 x = 1 = y , x = x i Considere α = [2 + 3x + 5xy + 7x y, 11x + 13x y + 17 + 19xy] ∈ [ZG, ZG]. Vamos calcular ˜ α(y), com y ∈ G, cuja classe de conjugação é 2 3 4 5 6 C y = {y, xy, x y, x y, x y, x y, x y}. Computando o comutador α e exibindo somente as suas parcelas em que aparecem elementos de C y , temos: 4 5 2 5 4

  26x y + 38xy + 39x y + 57x y + 55x y + 85xy + 77xy + 119x y 3 6 4 6 4 3 (1.1) −(55x y + 77x y + 26x y + 39x y + 85xy + 119x y + 38xy + 57x y). 2 3 4 5 6 Os elementos de C que aparecem são xy, x y y, x y, x y, x y, x y cujos coeficientes são, res- O interessante é que, considerando as parcelas em que aparecem o elemento xy em (1.1), percebemos que fixando cada uma delas existe um elemento de C y que possui alguma outra parcela em (1.1), a qual seu coeficiente é o simétrico aditivo da parcela fixada.

  α a Portanto, com esses exemplos podemos começar a deduzir que a aplicação de ˜ um elemento arbitrário do grupo sempre se anulará. E é isto que verificamos na próxima proposição.

  Proposição 1.24 (Lema 7.2, [Se93]). Se α ∈ [RG, RG], então ˜ α(x) = 0 para todo x ∈ G.

  X X Demonstração. Sejam a g g e b h h elementos arbitrários de RG, tal que g ∈G h ∈G

  " #

  X X α = a g g h ∈G ∈G

  g, b h h −1 e c g,h := a g b h . Considerando que [g, h] = gh − hg = gh − h(gh)h , ou seja, gh e hg são conjugados, temos

  X α = c g,h [g, h] g,h ∈G

  X = c g,h (gh − hg) g,h ∈G

  (1.2)

  X X −1 = c g,h (gh) − c g,h h(gh)h . g,h g,h ∈G ∈G | {z } | {z } α α ′ ′′

  Assim, para cada somando do coeficiente de gh em α teremos um somando do −1 ′′ coeficiente de h(gh)h em α , o qual será o seu simétrico aditivo, com g e h percorrendo todo o grupo. Portanto, ˜ α(x) = 0, ∀x ∈ G.

  Nesta seção iremos, de forma resumida, destacar uma lista de alguns resultados da Teoria de Grupos que são relevantes no desenvolvimento deste trabalho. Para uma leitura requintada sobre esta teoria veja [Hu96], [Rob96], [Rot95] e [Sc64]. Definição 1.25. Um grupo é chamado de metabeliano se contém um subgrupo normal

  G A que seja abeliano e o quociente também seja abeliano. A

  é chamado o comutador de x e y.

  G Lema 1.27. Seja N um subgrupo normal do grupo G. Assim, o grupo quociente é

  N abeliano se, e somente se, G ⊂ N . Demonstração. Dados elementos x, y ∈ G, denotaremos por x, y suas respectivas classes −1 laterais em G/N. Assim, temos que xy = yx se, e somente se, (yx) (xy) ∈ N ; isto é, se, e somente se, [x, y] ∈ N para todo x, y ∈ G, ou equivalentemente, se, e somente se, G ⊂ N .

  Definição 1.28. Um subgrupo H de um grupo G é dito subgrupo característico se φ(H) = H para todo automorfismo φ : G → G. Sua notação é H car G. Definição 1.29. Seja H um subgrupo de um grupo G, definimos o normalizador de H em G por −1 N H (G) = g ∈ G; g Hg = H . n

  Seja G um grupo finito cuja ordem é |G| = p m, em que p denota um inteiro primo e m um inteiro positivo não divisível por p. Devido ao Teorema de Lagrange, n sabemos que a ordem de um p-subgrupo de G deve ser menor ou igual a p . Dessa forma, n existindo um subgrupo de ordem p , este deve ser maximal no conjunto dos p-subgrupos de G. Daí, temos a seguinte n Definição 1.30. Seja G um grupo finito tal que |G| = p m em que p6 | m. Um subrupo n de G que tenha ordem p chama-se um p-subgrupo de Sylow de G.

  O teorema a seguir reúne resultados importantes sobre os subgrupos de Sylow de um grupo finito. n Teorema 1.31. Seja G um grupo finito de ordem |G| = p m, em que p é um inteiro primo que não divide m. Então:

  (i) G sempre contém p-subgrupos de Sylow e todo p-subgrupo de G está contido num p-subgrupo de Sylow de G. (ii) Todos os p-subgrupos de Sylow de G são conjugados entre si em G. (iii) Se n denota o número de p-subgrupos de Sylow de G, então p Demonstração. Obviamente H ⊂ N G (H). Seja x ∈ N G (H). Como P ⊂ H ⊳ N G (H), −1 −1 temos que xP x ⊂ H. Já que P e xP x são p-subgrupos de Sylow de H, existe um −1 −1 −1 h ∈ H tal que xP x = hP h , donde h x ∈ N G (P ) ⊂ H. Assim, segue que x ∈ H e, portanto, N G (H) ⊂ H. Logo, temos H = N G (H) como queríamos.

  Como uma consequência imediata temos o seguinte. Corolário 1.33. Seja P um p-subgrupo de Sylow de um grupo G. Então, N G (N G (P )) = N G (P ). Definição 1.34. Um grupo G é chamado nilpotente se contém uma série de subgrupos:

  {1} = G ⊂ G ⊂ . . . ⊂ G n = G 1 G i G E tal que G i G e cada quociente está contido no centro de , com 1 ≤ i ≤ n. −1

  G G i −1 i −1 Chamamos de série central de G toda série de subgrupos de G que satisfaz a propriedade acima.

  Os grupos nilpotentes finitos podem ser caracterizados pelo seguinte resultado: Teorema 1.35. Seja G um grupo finito. As seguintes condições são equivalentes:

  (i) G é nilpotente; (ii) Todo subgrupo de Sylow de G é normal em G; (iii) G é o produto direto de seus subgrupos de Sylow.

  Alguns resultados importantes sobre grupos nilpotentes são destacados: Lema 1.36. Subgrupos e grupos quocientes de grupos nilpotentes são nilpotentes.

  Proposição 1.37. Um p-grupo finito é nilpotente. Proposição 1.38. Produtos diretos finitos de grupos nilpotentes são nilpotentes.

  Discutiremos um pouco sobre os chamados grupos simétricos, destacando alguns fatos sobre os mesmos; que podem ser encontrados em [GL10]. Definição 1.39. Considerando C um conjunto com n elementos, temos que o con- junto B(C) = {f : C → C; f é uma bijeção} munido da operação composição de funções,

  Um fato conhecido sobre o grupo simétrico é que para n ≥ 3, temos que o centro de Sym n é trivial; no caso n = 2, o grupo Sym é abeliano. 2 A maneira com a qual escrevemos uma permutação σ ∈ Sym n como produto de ciclos disjuntos é dita estrutura cíclica de σ.

  Teorema 1.40. Toda permutação não trivial σ ∈ Sym , pode ser escrita (de maneira n única, a menos de ordenação) como um produto de ciclos disjuntos.

  Os ciclos distintos que têm comprimento 2 são chamados de transposições, assim, o próximo resultado segue como corolário do teorema mencionado. Corolário 1.41. Cada elemento de Sym n pode escrito como um produto de tranposições (não necessariamente disjunto). Definição 1.42. Seja n ≥ 2 e σ ∈ Sym n , em que σ = (a . . . a 11 1r 1 ) . . . (a t . . . a tr ) é a 1 t sua decomposição em ciclos disjuntos com r ≤ r ≤ . . . ≤ r t . Dizemos que {r , . . . , r t } é 1 2 1 o tipo de decomposição de σ. ′ ′

  Exemplo 1.43. Considere σ = (123)(45)(67) e σ têm o = (15)(36)(247). Assim, σ e σ mesmo tipo de decomposição, a saber {2, 2, 3}.

  Considerando Aut(Sym n ), o grupo dos automorfismos de Sym n , temos um resul- tado na teoria de grupos garantindo que todo automorfismo de Sym n é um automorfismo interno, com a restrição quando n = 6. Neste caso, temos uma particularidade do grupo Sym 6 , o qual possui automorfismos que não são internos. Dessa forma, temos apenas Inn(Sym ) ⊂ Aut(Sym ), além de que (Aut(Sym ) : Inn(Sym )) = 2; podemos verifi- 6 6 6 6

  ) = Sym ⋊ C car que isso implica Aut(Sym 6 6 2 , em que C 2 é o grupo cíclico de ordem 2.

  Para maiores detalhes ver [Sc64].

  Como já foi mencionado anteriormente, iremos investigar a validade de (Nor) para alguns grupos obtidos a partir de extensões de dois outros grupos e uma ação específica a qual é chamada de produto orlado, ou produto wreath, cuja definição é a seguinte: Definição 1.44. Para grupos X e Y , com |Y | = n, definimos o produto orlado entre n

  ⋊ X e Y , denotado X wr Y , como o produto semi-direto X = (X × . . . × X) ϕ Y , em que

  | {z } n cópias ϕ é a ação de Y em (X × . . . × X) dada da seguinte forma: Seja Y = {y , y , . . . , y n } e n 1 2

  

n

  Observação 1.45. O subgrupo normal X é chamado de grupo da base (ou somente base) do produto orlado, enquanto que o subgrupo Y é chamado de grupo do topo (ou somente topo). Observação 1.46. Pode-se verificar que grupos quocientes de produtos orlados são pro- dutos orlados.

  Em um dos resultados principais que será abordado na dissertação, o produto orlado tratado como uma variante do produto anterior, o qual chamamos de produto orlado permutacional

  , em que o grupo Y é dado pelo grupo das permutações ou grupo m ⋊ simétrico de m letras. Neste caso, temos X Sym m , em que, −1

  σ (x , x , . . . , x m )σ = x σ , x σ , . . . , x σ , 1 2 (1) (2) (m) com σ ∈ Sym m .

  Vejamos alguns resultados cruciais no desenvolvimento dos teoremas principais que iremos abordar. Proposição 1.47 (Schur-Zassenhaus). Sejam G um grupo finito e H um subgrupo normal

  G de G tal que ≃ N , em que H e N são grupos com ordens relativamente primas, então H G ≃ H ⋊ N . m

  Definição 1.48. Seja H um subgrupo do produto direto N de m cópias de N um grupo m finito. Então, H é chamado um subgrupo extensivo de N se a interseção de H com (1, . . . , 1, N , . . . , 1) é não trivial para cada i ∈ {1, 2, . . . , m}.

  |{z} i Algumas propriedades interessantes de um subgrupo extensivo são apresentadas na próxima proposição. m

  Proposição 1.49. Suponha que N é o produto direto de m cópias de N um grupo nilpotente finito. Então, para qualquer p ∈ π(N), são válidas: m (1) N é extensivo em si mesmo; m m (2) o p-subgrupo de Sylow de N é extensivo em N ; m m (3) o centro do p-subgrupo de Sylow de N é extensivo em N .

  Demonstração. m (1) Já que N = (N, . . . , N, . . . , N ) , temos

  | {z } m logo a interseção, para todo 1 ≤ i ≤ m, é não trivial. (2) Como N é nilpotente, podemos escrevê-lo como produto de seus subgrupos de Sylow, m m

  N = Q p 1 × . . . × Q p r e assim N = P p 1 × . . . × P p r , em que P p = (Q p ) , com 1 ≤ i ≤ r. m i i m Então, para um subgrupo de Sylow P p = (Q p ) qualquer de N , ou seja, com 1 ≤ i ≤ r, i i temos m

  (Q p ) ∩ (1, . . . , 1, N, 1, . . . , 1) = (Q p , . . . , Q p , . . . , Q p ) ∩ (1, . . . , 1, N, 1, . . . , 1) i i i i | {z } m

  = (1, . . . , 1, Q p , 1, . . . , 1), i m |{z} i isto é, qualquer subgrupo de Sylow de N intersecta todas as cópias de N, (1, . . . , N, . . . , 1), de forma não trivial.

  × . . . × Q (3) Utilizaremos novamente as notações do item anterior, isto é, N = Q p m m 1 × . . . × P 1 p r e m

  N = P p p r , em que P p i = Q , ∀1 ≤ i ≤ r. Considerando Z(P p i ) = Z(Q ) = m p i p i (Z(Q )) ) é o centro de P p i , em que Z(P p i p i , temos

  Z(P p ) ∩ (1, . . . , N, . . . , 1) = (Z(Q p ), . . . , Z(Q p )) ∩(1, . . . , N, . . . , 1) i i i | {z } m

  = (1, . . . , 1, Z(Q p ) , 1, . . . , 1); i | {z } i ou seja, para qualquer 1 ≤ i ≤ r, o centro de P p intersecta todas as cópias de N de forma i não trivial. n

  Tomando um grupo G que seja dado pelo produto direto de n cópias de um grupo G, podemos considerar D o subconjunto em que cada elemento possua todas as n coordenadas iguais. Facilmente verifica-se que D é um subgrupo de G , o qual nos induz à seguinte definição. n Definição 1.50. Dizemos que D ≤ G é subgrupo diagonal se seus elementos forem da forma (d, d, . . . , d) em que d ∈ G, isto é, n D = {(h , . . . , h n ) ∈ H : h i = h j ∀i, j ≤ n, H ≤ G} . 1 |B|

  Lema 1.51 (Lema 3.2, [Ne64]). Seja G = AwrB = A ⋊ B um produto orlado de grupos A e B finitos. Então o centralizador de B em G é D × Z(B), isto é, C G (B) = D × Z(B), |B|

Capítulo 2 A Propriedade do Normalizador

  Uma das questões importantes na teoria dos anéis de grupo integrais e que é a central neste trabalho é a Propriedade do Normalizador, conhecida como (Nor), e que será abordada neste capítulo.

  Dado um grupo G e H ≤ G, é natural buscarmos conhecer quem é o normalizador (H). Considerando U := U (ZG), o grupo das unidades do anel de de H em G, ou seja, N G grupo integral, é de fácil verificação que G é subgrupo de U. Logo, podemos questionar sobre o normalizador de G em U. É claro que G e Z := Z(U), o centro de U, estão presentes em N (G), logo G · Z ⊆ N (G). Dizemos que o grupo G satisfaz a propriedade U U do normalizador se N (G) for o menor possível, isto é, U N (G) = G · Z. U

  O artigo de 1987 de S. Jackowski e Z. Marciniak, a saber [JM87], tem grande destaque principalmente pelas técnicas relevantes elaboradas pelos autores para a inves- tigação da propriedade do normalizador.

  Dentre vários resultados interessantes e de grandes contribuições, sendo que al- guns são mencionados posteriormente, encontramos uma forma distinta mas equivalente de (Nor), proposta nesse artigo e descrita a seguir. −1

  (G), denotamos por ϕ : G → G o automorfismo ϕ (g) = u gu, e Dado u ∈ N U u u

  (G) o grupo dos automorfismos definidos acima; a ação por conjugação também por Aut U −1 u gu = g pode ser denotada por u , a qual será utilizada no texto para facilitar a notação quando for conveniente. É imediato que Inn(G) ⊂ Aut (G), em que Inn(G) consiste U z ∈ Z. Logo −1 −1 −1 −1 u gu = ϕ u (g) = z g gg z = g gg , que equivale a afirmar que ϕ u é um automorfismo interno de G, ou seja, Aut (G) ⊂ U Inn(G). Portanto, a propriedade do normalizador pode ser reformulada como a seguinte questão, para um grupo G finito:

  Aut U (G) = Inn(G) ? No trabalho mencionado acima, é provado o teorema a seguir que garante (Nor) para os grupos que possuem ordem ímpar:

  Teorema 2.1 (Teorema 3.4, [JM87]). Se G é um grupo de ordem ímpar, então Aut (G) = U Inn(G).

  Devido a este resultado, a investigação de (Nor) passou a ser necessária apenas para grupos que possuem ordem par, no caso dos grupos finitos. Jackowski e Marciniak também apresentam uma forma alternativa para verificar a validade de (Nor), reduzindo-a à análise de um determinado conjunto de automorfismos

  ϕ u em Aut (G), definido a partir de um 2-subgrupo de Sylow S fixado, porém arbitrário, U em G, como segue 2 I S := ϕ u ∈ Aut (G) : ϕ = id, ϕ = id , U u

  u| S

  ou seja, I S é subconjunto dos automorfismos de G que são determinados por unidades normalizadoras, que são involuções e que, quando restritos a um 2-subgrupo de Sylow do grupo em tela correspondem à identidade.

  Com este conjunto, os citados autores verificaram a validade de (Nor) desde que ⊆ Inn(G). Este resultado é fundamental nos artigos principais dessa dissertação, e

  I S está, logo abaixo, explicitado, porém omitiremos sua demonstração devido à utilização de teorias não abordadas no presente trabalho. Teorema 2.2 (Teorema 3.5, [JM87]). Se I S ⊆ Inn(G) para um 2-subgrupo de Sylow S ⊆ G, então Aut (G) = Inn(G). U

  Este resultado é uma ferramenta importante, pois muitos autores seguiram essa forma de abordagem para verificar a validade da propriedade do normalizador. Jackowski e Marciniak obtiveram ainda com este resultado e utilizando teoria de cohomologia de grupos um teorema abrangente, com uma restrição para um 2-subgrupo de Sylow do

  Temos ainda outra abordagem para (Nor), que consiste em trabalhar com os chamados automorfismos de Coleman que são definidos a seguir; este tipo de automorfismo está presente, por exemplo, em [L02]. Definição 2.4. Um automorfismo ρ de um G grupo finito é chamado automorfismo 2 de Coleman , ou um C-automorfismo, se ρ = ρ ◦ ρ é interno, ρ preserva as classes de conjugação em G e, para cada P p-subgrupo de Sylow de G, a restrição a P é igual a restrição de algum automorfismo interno de G.

  Esta definição foi inicialmente introduzida por Z. Marciniak e K. Roggenkamp em [MR01]. No entanto, um conceito distinto do mencionado acima ocorreu em [HeK02]; neste trabalho, os automorfismos de Coleman são os automorfismos para os quais a restri- ção a qualquer subgrupo de Sylow é igual a restrição de algum automorfismo interno de G; ou seja, são os automorfismos que satisfazem a última condição da definição anterior.

  Esses automorfismos são nomeados desta forma devido a D. Coleman, que em [C64] revela que tais automorfismos ocorrem naturalmente no estudo do normalizador de G no grupo das unidades do anel de grupo integral.

  Pode-se verificar que os automorfismos de Coleman formam um grupo, denotado (G). Também é de imediata demonstração que Inn(G) ⊳ Aut (G); assim por Aut Col Col

  Aut Col (G) (G) o quociente

  (G) como denotamos Out Col . Analogamente, definimos Out U Inn(G)

  Aut U (G) o quociente . Como Aut (G) ⊂ Aut Col (G), se mostrarmos que Out Col (G) = 1, U Inn(G) então Out (G) = 1 e, assim, Aut (G) = Inn(G) e (Nor) é válida para G. U U

  Os próximos dois lemas, que estão presentes nos principais artigos estudados, representam ferramentas fundamentais no estudo dos teoremas centrais, destes artigos, e são bastante interessantes já que podem ser vistos como versões restritas da propriedade do normalizador.

  Lema 2.5 (G). Então ϕ u (g) é conjugado a g em G, (Lema 1, [PeS03]). Suponha u ∈ N U para todo g ∈ G. −1 −1

  Demonstração. Temos ϕ u (g) − g = u gu − g = [u , gu] ∈ [ZG, ZG], uma soma linear de produtos de Lie de elementos de G. Segue de Sehgal (1993, Lema 7.2) que ϕ u (g) e g são conjugados. De fato, seja ϕ u (g) =: h ∈ G e considere α := h − g. Pelo Lema 7.2, α(x) = 0, ∀x ∈ G, em particular ˜ ˜ α(g) = 0. Dado que g ∼ g, seu coeficiente −1 aparece como uma parcela de ˜ α(g). Como este se anula, a soma das demais parcelas em ˜ α(g) é de g. Já o próximo resultado corresponde a uma versão local, já que temos Aut (G) ⊂ U Inn(G) para p-subgrupos do grupo G. As técnicas e resultados aqui acima expostos foram motivados pelo teorema fundamental de Coleman em [C64], que apresentamos abaixo numa versão proposta em [Se93].

  Teorema 2.6 (Coleman, 1964). Seja u ∈ N U (G) e seja P um p-subgrupo de G, então −1 −1 existe um y ∈ G tal que ϕ u (x) = u xu = y xy para todo x ∈ P . −1 −1

  Demonstração. Para g ∈ G, ϕ(g) = u gu ∈ G e assim, u = g uϕ(g). Escrevendo P P P −1 u = u(x)x temos u(x)x = u(x)g xϕ(g). Assim, g age sobre o conjunto G por −1 g · x = σ g (x) = g xϕ(g) e a função u : G → Z dada por x 7→ u(x) é constante nas órbitas g (x)) = u(g xϕ(g)) = u(x), ∀x ∈ G. −1 dessa ação, isto é, u(σ

  Restringindo a ação a P , as órbitas dessa ação têm como comprimento uma potência de p, pois, pelo Teorema da Órbita e do Estabilizador e como P é um p-grupo finito, |O(x)| | |P |.

  Analisando a função de aumento de u, concluímos que

  X v i ±1 = ε(u) = v i c i p , onde p é o comprimento da órbita de g i e u(g i ) = c i .

  Segue que existe uma órbita de comprimento 1, pois, caso contrário, não podería- P v i c i p g (x) = x, ∀g ∈ P . Isto implica mos ter ±1 = ; ou seja, existe um x ∈ G tal que σ que −1 −1 g xϕ(g) = x ⇒ ϕ(g) = x gx, ∀g ∈ P, como queríamos.

  Como grupos nilpotentes podem ser descritos como o produto direto de seus subgrupos de Sylow, segue o resultado abaixo: Seja G um grupo nilpotente finito, então vale (Nor) para G, isto é, Corolário 2.7. N (G) = G · Z. U Demonstração. Como G é nilpotente, escrevemos G = P × . . . × P 1 −1 n , em que P i são os p-subgrupos de Sylow de G, com 1 ≤ i ≤ n. Seja ϕ u (g) = u gu, com g ∈ G, o qual

  ∈ P escrevemos g = p 1 . . . p n , com p i i , para 1 ≤ i ≤ n. Aplicando o lema anterior a −1 −1 ∈ G tal que u ∈ P cada P i , temos que existe y i x i u = y x i y i , para todo x i i . Considere i y = y , y , . . . , y ∈ P i i 1 i 2 in , em que y ij j ; observe que na ação de y i em P i só é relevante a ii x i y i = y x i y ii −1 −1 coordenada y , isto é, y , pois as outras coordenadas comutam já que encontram-se em subgrupos de Sylow distintos. Dessa forma temos que −1 −1 u gu = u (p . . . p n )u −1 −1 1 = (u p −1 −1 1 u) . . . (u p n u) = (y p −1 −1 1 1 y 1 ) . . . (y p n y n ) n

  = (y p −1 11 nn 1 y 11 ) . . . (y p n y nn ) −1 = (y . . . y )(p . . . p )(y . . . y ), nn 11 1 n 11 nn sendo que a última igualdade é devido ao fato de y ii comutar com y jj e p j , sempre que i 6= j. Logo, para y = y . . . y nn ∈ G temos 11 −1 −1 u gu = y gy, ∀g ∈ G.

  A seguir, são apresentados resultados que exibem circunstâncias sobre o grupo considerado, para obter-se a validade de (Nor), os quais constituem-se em ferramentas importantes nos teoremas principais desse trabalho. Teorema 2.8 (Teorema 2, [LPS99]). Seja G = hH, gi, em que H é um subgrupo abeliano de G de índice 2. Então vale (Nor) para G.

  Teorema 2.9 ([He02]). Se os 2-subgrupos de Sylow de G são diedrais ou quatérnios generalizados, então a propriedade do normalizador vale para G.

  Capítulo 3 A Propriedade do Normalizador para

Grupos monomiais completos

  Em 2003, Petit Lobão e Sehgal, visando a investigar o papel de algumas exten- sões de grupo em relação ao Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador, desenvolveram algumas técnicas para tratar das ações do tipo produto orlado. Obtiveram com isto alguns resultados promissores, entre estes, uma solução da Propriedade do Nor- malizador para a extensão orlada de um grupo finito nilpotente por um grupo simétrico m

  = N ⋊ Sym sobre m letras, isto é, G = NwrSym m m , ver [PeS03]. Como já mencionado anteriormente, este resultado é o primeiro dos principais nessa dissertação, o qual serve de inspiração para outras investigações de (Nor), assim como as técnicas presentes em sua demonstração e que são muito interessantes e também foram utilizadas por outros autores. O teorema exposto como principal em [PeS03] é apresentado: Teorema 3.1. Seja G = N wr Sym m , em que N é um grupo nilpotente finito e Sym m o grupo de todas as permutações de m letras. Então vale a propriedade do normalizador para G.

  Os autores provam o teorema principal primeiramente para o caso especial em que G = A wr Sym m , com A um grupo abeliano e, posteriormente, consideram um grupo nilpotente na base. Utilizam o Teorema 2.2 para alcançarem a validade de (Nor), sendo suficiente provar que todos os elementos de I S são automorfismos internos de G; sendo que, S é o 2-subgrupo de Sylow fixado de G. S A seguir, um resultado bem interessante sobre a ação de automorfismos do con- junto I em determinados grupos da base de um produto orlado.

  −1

  grupo abeliano, isto é, G = A wr Sym m , então existe τ ∈ Sym m tal que ϕ u (z) = τ zτ , m 2 para todo z ∈ A , com τ = 1. m Demonstração. Consideremos inicialmente que |K| = m e o grupo da base seja N m ; como

  × . . . × P este é nilpotente, podemos escrevê-lo como um produto, N = P p 1 p r , de seus subgrupos de Sylow. Seja x ∈ P p i , para algum 1 ≤ i ≤ r, então, pelo Teorema 2.6, m ∈ K e a ∈ N sabemos que existem elementos τ i i tais que −1 −1 −1 −1 u xu = u xu = a τ xτ i a i , ∀x ∈ P p . i i i

  Mostraremos que τ i = τ j para qualquer j ∈ {1, 2, . . . , r} com j 6= i. Sejam x no −1 centro do grupo nilpotente P p e y no centro de P p . Considerando τ i a i τ a i ∈ P p , i j i i = e temos −1 −1 −1 u xu = a τ xτ i a i −1 i i −1

  = τ a a τ i e x e −1 i i i a a i ii = τ xτ i , i

  e e pois x = x ii a i pertencente a P p , e x é central. i

  , em que ea é a componente de e Analogamente, temos −1 −1 −1 u yu = τ yτ j . j

  Por outro lado, pelo Lema 2.5 u xyu ∼ G xy, logo existe τ ∈ K tal que −1 −1 −1 −1 −1 −1 u xyu = τ xyτ = (τ xτ )(τ yτ ) = (τ xτ )(τ yτ ). m m i j i j E E −1 Já que P p é subgrupo característico de N e N −1 i −1

  G, segue que P p G e, −1 i assim, τ xτ i e τ xτ ∈ P p . Similarmente, temos τ yτ j e τ yτ ∈ P p . Assim, da i −1 −1 i −1 −1 −1 −1 j j equação acima obtemos (τ xτ i ) (τ xτ ) = (τ yτ j )(τ yτ ) ∈ P p ∩ P p = (1), o que −1 −1 −1 −1 i j j j implica τ xτ = τ xτ i e τ yτ = τ yτ j . Porém, sabemos que os centros de P p e P p i j m i j são extensivos em N , pela Proposição 1.49, bem como, que somente a identidade pode fixar um subgrupo extensivo elemento-a-elemento; por isso, concluímos que τ i = τ = τ j . m Observamos que podemos assumir que a i ∈ P p . De fato, o caso em que o o grupo i N possua somente um subgrupo de Sylow é trivial; assim, vamos supor o caso em que m m m

  N = A × B, com A e B subgrupos de Sylow de N , e n = ab um elemento de N . Pelo

  

m

  que vimos anteriormente, existem x, y ∈ N em que x = x a x b e y = y a y b tais que −1 −1 −1 u nu = (u au)(u bu) −1 −1 −1 −1 = (x τ aτ x)(y τ bτ y) −1 −1 −1 −1 −1 −1 = (x x τ aτ x a x b )(y y τ bτ y a y b ) −1 −1 −1 −1 b a b a = (x τ aτ x a )(y τ bτ y b ) −1 a b −1 −1 −1 = y x τ aτ τ bτ x y b a −1 −1 −1 a b = y x τ abτ x a y b b a −1 −1 −1 = y x τ nτ x a y b . −1 −1 −1 b a

  Logo, neste caso, temos que u nu = m τ abτ m, em que m = x a y b , com x a ∈ A e y b ∈ B. Claramente, pode-se perceber que o raciocínio apresentado é válido para uma m quantidade qualquer de parcelas na decomposição de N . Desta forma, obtemos −1 −1 −1 m u nu = a τ nτ a, ∀n ∈ N , com a = a 1 . . . a r .

  Agora, considerando o produto orlado permutacional com o grupo da base abeli- m = A ⋊ Sym m m ano, ou seja, G = A wr Sym , por argumentações análogas à demonstração acima temos −1 −1 −1 m 2 ϕ u (z) = a τ zτ a = τ zτ, ∀z ∈ A . 2 −2 2 m E ainda, teremos τ = 1, pois ϕ = id implica que τ zτ = z para todo z ∈ A . u

  Antes de analisarmos o teorema em que o grupo da base é um abeliano, iremos exibir alguns resultados cruciais para a demonstração desse primeiro caso considerado. O primeiro deles garante que o grupo simétrico Sym m satisfaz a propriedade do normaliza- dor, que é concluída a partir do resultado de Jackowski e Marciniak.

  Lema 3.3. Se ϕ , com S(1 2) o 2-subgrupo de Sylow fixado de Sym que contém u ∈ I S (1 2) m a transposição (1 2), então ϕ −1 u ∈ Inn(Sym m ). Além disto, para todo ϕ u ∈ I S 2 (1 2) existe tal que ϕ σ ∈ Sym m u (δ) = σ δσ, com σ = 1.

  Demonstração. É sabido da teoria de grupos que se m 6= 6, todos os automorfismos de Sym m são internos. Então, existe σ ∈ Sym m tal que −1 −1 −1 u δu = u δu = σ δσ, ∀δ ∈ Sym m . devido ao fato de ϕ u fixar S(1 2). Concluímos, então, que ϕ u deve ser interno. Em ambos os casos temos: −1 ϕ u (δ) = σ δσ, ∀δ ∈ Sym m , 2 2 −2 2 com um fixado σ ∈ Sym m e σ = 1, pois ϕ = id implica que σ δσ = δ e, então, 2 2 2 u

  δσ = σ δ, ou seja, σ pertence ao centro de Sym m , o qual é trivial como nos ensina a teoria de grupos para m ≥ 3.

  Nos próximos Lemas encontramos expressões para a ação do automorfismo ϕ u ∈ m

  I S nos elementos do grupo da base A e do grupo do topo Sym m , que para o teorema posterior serão fundamentais para a investigação sobre a ação dos automorfismos de I S nos elementos do grupo G. Lema 3.4. Seja G o produto orlado G = A wr Sym m , em que A é abeliano e m ≥ 3. −1 Suponha que para todo δ ∈ Sym m e para todo ϕ u ∈ I S , ϕ u (δ) = a σδσa δ , em que m σ 2 δ m a δ ∈ A e σ ∈ Sym m tal que (1 2) = (1 2), com σ = 1. Então existe b ∈ A , com −1 −1 b(1) = 1 = b(2), tal que ϕ u (δ) = b σ δσb, para todo δ ∈ Sym m .

  Demonstração. Pela hipótese, σ(1 2)σ = (1 2), isto é, (σ(1) σ(2)) = (1 2). Dessa forma, ou σ(1) = 1 e σ(2) = 2 ou σ(1) = 2 e σ(2) = 1. Como m ≥ 3, consideramos as tranposições (1 k), com k > 2 e, assim −1 −1 −1 m u (1 k)u = a σ(1 k)σa k = a (σ(1) σ(k))a k , k k em que a k ∈ A dependendo de (1 k). Note que k > 2 implica σ(k) > 2, já que (1 2) é fixado por σ.

  Analisaremos os casos possíveis: Caso 1:

  σ(1) = 1 e σ(2) = 2 Temos −1 −1 m u (1 k)u = a (1 σ(k))a k . k

  Definimos b ∈ A da seguinte forma: −1 b(1) = 1 = b(2), b(k) = (a σ (1)) · a σ (k), para 2 < k ≤ m, (k) (k) m em que a σ (k) corresponde à k-ésima entrada de a σ ∈ A . Assim, (k) (k)

  −1

  Logo, b (1 2)b = (1 2). Agora, queremos mostrar que −1 −1 a (1 σ(k))a k = b (1 σ(k))b, para 2 < k ≤ m, k que equivale a mostrar −1 (1 σ(k)) −1 −1 (ba ) = (1 σ(k))ba (1 σ(k)) = ba . k k k (3.1) −1 −1 −1 −1 −1 Escrevendo b = (b(1), . . . , b(m)) e a k = (a k (1), . . . , a k (m)), temos ba = (b(1)(a k (1)) , b(2)(a k (2)) , . . . , b(σ(k))(a k (σ(k))) , . . . , b(m)(a k (m)) ), k

  e, por outro lado, temos −1 (1 σ(k)) −1 −1 −1 (1 σ(k)) (ba ) = (b(1)(a k (1)) , . . . , b(σ(k))(a k (σ(k))) , . . . , b(m)(a k (m)) ) k −1 −1 −1 = (b(σ(k))(a k (σ(k))) , . . . , b(1)(a k (1)) , . . . , b(m)(a k (m)) ).

  Então, para provarmos (3.1), basta mostrarmos que −1 −1 −1 b(1)(a k (1)) = (a k (1)) = b(σ(k))(a k (σ(k))) , pois b(1) = 1. m

  Pela definição de b ∈ A dada anteriormente, temos −1 · a b(σ(k)) = (a σσ (k) (1)) σσ (k) (σ(k)) −1

  · a 2 = (a k (1)) k (σ(k)), já que σ = 1. Assim, −1 −1 (a k (1)) = b(σ(k))(a k (σ(k))) .

  Portanto, 3.1 está provado, e assim, segue −1 −1 a (1 σ(k))a k = b (1 σ(k))b, para 2 < k ≤ m. k Caso 2:

  σ(1) = 2 e σ(2) = 1 Temos −1 −1 m u (1 k)u = a (2 σ(k))a k . k m em que a σ (k) corresponde à k-ésima entrada de a σ ∈ A . (k) (k) −1 −1 −1 Assim, analogamente ao caso anterior, temos b (1 2)b = (1 2) e a (2 σ(k))a k = k b (1 σ(k))b, para 2 < k ≤ m.

  Portanto, para as tranposições (1 k), em ambos os casos provamos −1 −1 −1 m u (1 k)u = b σ (1 k)σb, m em que b é fixado em A . Já que as transposições geram Sym , podemos escrever −1 −1 ϕ u (δ) = b σ δσb, ∀δ ∈ Sym m .

  A seguir, o teorema principal dessa seção. m Teorema 3.5. Seja G o produto orlado A wr Sym ⋊ em que o grupo m = A Sym m base é abeliano. Seja S o 2-subgrupo de Sylow fixado S ⋊ 2 2 S(1 2). Então o conjunto I S = consiste de automorfismos internos de G. Ademais,

  ϕ u : u ∈ N U (G), ϕ = id, ϕ = id S u

  u| m −1 −1

  para todo ϕ u ∈ I S , existem σ ∈ Sym m , b ∈ A tais que ϕ u (g) = b σ gσb, para todo g ∈ G, com b(1) = b(2) = 1. Demonstração. Se m = 1, então G = A é abeliano e neste caso (Nor) é válida para −1 −1 −1 −1

  G. Considerando ϕ u ∈ I S , temos u gu = b σ gσb = b gb. Como G é abeliano −1 se, e só se, U(ZG) é abeliano, temos que u gu = g, o que implica b = 1. Se m = 2, 2 2 G = A ⋊ Sym , então G tem um subgrupo, H = A , abeliano de índice 2, já que 2 2 |G| = |A | · 2. Assim, o resultado segue do Teorema 2.8. Logo, todos os elementos de I S −1 −1 2 são internos e escrevemos ϕ u (g) = b σ gσb para algum b ∈ A , σ ∈ Sym e para todo 2 g ∈ G. Tomando g = (1 2) ∈ Sym , temos −1 −1 −1 −1 2 (1 2) = u (1 2)u = b σ (1 2)σb = b (1 2)b.

  Segue que b(1) = b(2). De fato, −1 (1 2) = b (1 2)b −1 −1

  = b (1 2)b(1 2) (1 2) −1 −1 = b (1 2)b(1 2)(1 2). Assim, 1 = b (1 2)b(1 2) o que implica: Portanto b(1) = b = b = b(2). 1 2 m Como b é centralizado por todo elemento de A , pois este é abeliano, e mostramos que também é centralizado pelo elemento (1 2), logo assim o será por todos os elementos do grupo, concluímos que b é central, e assim, podemos substituí-lo por 1.

  Vamos analisar o caso m ≥ 3 e verificar, primeiramente, a ação de ϕ u em Sym m . Vamos utilizar a barra superior como uma convenção para os elementos e sub-

  G grupos do grupo quociente =: G. Daí, consideremos a seguinte aplicação: m A G

  ω : ZG → Z m A

  X X m g ∈G a g g 7→ a g g ∈G

  g, m , com g ∈ G. Temos que o núcleo desta aplicação é ker(ω) = ∆(G, A ). em que g = gA m m

  ) ≃ Z(G/A ) = ZG. Como u ∈ ZG, temos u ∈ ZG e −1 −1 Assim ZG/∆(G, A u gu ∈ G implica u gu ∈ G. Então u normaliza G. Como G ≃ Sym m , utilizando o

  Lema 3.3 temos que para todo δ ∈ Sym m , −1 −1 2 ϕ u (δ) = u δu = σ δσ, (3.2) com σ = 1. −1 m ∈ A

  Além disto, pelo Lema 2.5, u gu ∼ G

  g, dado δ em Sym m ; ou seja, existe a δ dependendo de δ, tal que: −1 −1 −1 −1 −1 u δu = a τ δτ δ a δ . δ δ −1 −1 Daí, u δu = τ δτ δ δ m

  e, por (3.2), tomamos τ δ = σ, implicando u δu = a σδσa δ , ∀δ ∈ δ Sym ∈ A m , com a δ dependendo de δ. u m

  Vamos agora verificar a ação de ϕ em A . Pelo Lema 3.2, sabemos que −1 m 2 u au = λaλ, ∀a ∈ A , em que λ = 1. Como vimos que (Nor) é válida para o Sym m , podemos escrever u = σ · z, em que z é uma unidade central de ZSym m . Desde que m > 2, segue do Teorema 1.15 m m que z = ±1. Então, u = ±σ e u = ±σ + ξ, com ξ ∈ ∆(G, A ), pois u = ±σ + ∆(G, A ). m m

  ∈ A Pelo Lema 1.14, obtemos u ≡ σ · a mod ∆(G)∆(G, A ), com um a fixado. Assim, −1 −1 m

  ≡ (σa também temos u ) mod ∆(G)∆(G, A ), logo −1 −1 m u au ≡ u aσa mod ∆(G)∆(G, A ) m pois A é abeliano.

  Portanto, −1 m λaλ = ϕ u (a) = u au ≡ σaσ mod ∆(G)∆(G, A ).

  Assim, m λaλ ≡ σaσ mod ∆(G)∆(G, A ) −1 m

  (λaλ) · (σaσ) ≡ 1 mod ∆(G)∆(G, A ), −1 m ou seja, (λaλ) · (σaσ) − 1 ∈ ∆(G)∆(G, A ). Segue da Proposição 1.16 que (λaλ) · −1 m m m m (σaσ) ∈ [A , A ] = 1, já que A é abeliano. Concluímos que λaλ = σaσ, ∀a ∈ A .

  Logo, −1 −1 λaλ = σaσ λ (a , . . . , a m ) λ = σ (a , . . . , a m ) σ 1 1 a λ , . . . , a λ = a σ , . . . , a σ , (1) (m) (1) (m)

  = a ou seja, a λ (i) σ (i) , com 1 ≤ i ≤ m, implicando λ = σ. u m Lembre-se de que antes de verificarmos a ação de ϕ no grupo A , vimos que a u (δ) = a σδσa δ m −1 ação no grupo simétrico é dada por ϕ , para todo δ em Sym . Ademais, −1 −1 δ m o fato λ = σ implica que ϕ u (a) = λ aλ = σ aσ, para todo a ∈ A . Por isso, resta-nos m mostrar a não dependência de a δ na equação acima; isto é, existe b ∈ A tal que ϕ u (δ) = −1 −1 m b σ δσb, para todo δ em Sym m . No entanto, a existência de b ∈ A satisfazendo essas condições é garantida pelo Lema 3.4 e, assim, teremos também que −1 −1 −1 m m ϕ u (a) = σ aσ = b σ aσb, ∀a ∈ A , já que A é abeliano. Logo, para todo g ∈ G escrevemos −1 −1 ϕ u (g) = b σ gσb.

  Além de que b(1) = 1 = b(2) como queríamos, concluindo a prova do teorema.

  Nesta seção veremos a prova do teorema principal de [PeS03] em que o grupo da base é nilpotente. Para isto, consideraremos m ≥ 2, pois, para o caso em que m = 1, temos que G é um grupo nilpotente e, assim, segue o desejado pelo Corolário 2.7 proveniente do resultado de Coleman. n ∈ N , denominamos por fatores ímpares de n às suas coordenadas que pertencem aos p i -subgrupos de Sylow de N em que p i 6= 2. m Lema 3.7. Seja N o produto direto de m cópias de N um grupo nilpotente finito, com m 2 m m

  é tal que c ∈ ζ , em que ζ é o centro de 2-subgrupo de Sylow não trivial. Se c ∈ N m m , então os fatores ímpares de c são centrais em N .

  N m Demonstração. Seja c = (c p , c p , . . . , c p r ), com c p i p i , p i -subgrupo de Sylow de N ; 1 2 ∈ P como o 2-subgrupo de Sylow é não trivial, vamos supor, sem perda de generalidade, 2 m m 2 2 2 p = 2. Como c , c , . . . , c ) ∈ ζ 1 é central em N , temos (c x p p p r 1 2 . Portanto, considerando p + 1 i x y i = , com 2 ≤ i ≤ r e p = |c p |, com x dependendo de i, temos que, i i

  2 2 i 2y i 2y i y 2y i m (c ) = (c , c , . . . , c ) ∈ ζ , 2 p 2 p r mas, 2y i i i p p x x +1 c = c p = c p · c p = c p , com i 6= 1, p i i i i i portanto, 2 y i 2y i 2y i 2y i m

  (c ) = (c , c , . . . , c p , . . . , c ) ∈ ζ , 2 2 r p 2 i p m já que qualquer potência de c pertence a ζ . Com isso, c p é central em P p , portanto m i i é central em N

  e, como esse argumento é válido para todo i 6= 1, concluímos que os m fatores ímpares de c são centrais em N . Para finalizarmos esse capítulo, demonstraremos o teorema principal dessa seção, garantindo, portanto, a validade de (Nor) para o grupo G que é dado pelo produto orlado

  N wr Sym m . m Teorema 3.8. Seja G o produto orlado N wr Sym ⋊ , em que N é nilpotente m = N Sym m e m ≥ 2. Seja S = S ⋊ 2 S(1 2) o 2-subgrupo de Sylow fixado . Então o conjunto I S = 2 consiste de automorfismos internos de G. Ademais,

  ϕ u : u ∈ N U (G), ϕ = id, ϕ = id S u

  u| m −1 −1

  para todo ϕ ∈ I , existem σ ∈ Sym e b ∈ N tais que ϕ (g) = b σ gσb, ∀g ∈ G, u S m u com b(1) = b(2) = 1. Demonstração. Iremos usar indução em |G|. Para o caso de N ser abeliano, o resultado segue pelo Teorema 3.5. Assim, consideremos N não abeliano; primeiramente vamos analisar como ϕ u age nos elementos de Sym m . Sejam ϕ u ∈ I S e δ ∈ Sym m . Já que m ϕ u (δ) ∼ G δ, novamente pelo Lema 2.5, temos que existem a δ ∈ N e τ δ ∈ Sym m , ambos dependendo de δ, tais que:

  G =: G. uma convenção aos elementos e subgrupos do grupo quociente que, neste caso, é m −1 −1 −1 N Então, como a δ ∈ G ≃ Sym m , segue que a δ = 1 e ϕ u (δ) = a δ τ δτ δ a δ = τ δτ δ . δ δ

  Por outro lado, pelo Lema 3.3, concluímos que existe λ ∈ Sym m tal que −1 −1 m −1 −1 u δu ≡ λ δλ mod∆(G, N ), ∀δ ∈ Sym m .

  Assim, τ δτ δ = λ δλ e deduzimos que δ −1 −1 −1 u δu = a λ δλa δ , ∀δ ∈ Sym m , m δ (3.3) com a δ ∈ N , dependendo de δ. m

  Vamos agora verificar a ação de ϕ u em N . Pelo Lema 3.2, sabemos que −1 −1 −1 m m u nu = a τ nτ a, ∀n ∈ N , (3.4) ∈ N com a = a 1 . . . a r e τ ∈ Sym m .

  N Considerando ζ o centro de N, temos que é não trivial e de ordem menor que

  ζ a de N; ademais m G N N

  ≃ ≃ ⋊ m m wrSym m Sym m . ζ ζ ζ m

  N Assim, por indução na ordem do grupo, obtemos a existência de b ∈ e σ ∈ Sym m m −1

  ζ 2 −1 G tais que σ = 1 e u gu = b σgσb, ∀g ∈ , com b(1) = 1 = b(2) (ver o Teorema 3.5). m m ζ Tomando g = δ ∈ Sym , temos, pela equação (3.3), que −1 −1 −1 −1 u δu = b σδσb = a λ δλa δ . δ

  G −1 Como b e a δ pertencem a um subgrupo normal do grupo , temos que (σδσ)b(σδσ) = m −1 −1 −1 ζ b e (λ δλ)a δ (λ δλ) = a δ e, assim, −1 −1 −1 −1 b σδσb = a λ δλa δ −1 δ −1 −1 b b σδσ = a a δ λ δλ −1 δ −1 −1 a a δ b b = λ δλσδ σ, δ −1 −1 −1 isto é, pelo produto semi-direto, λ δλσδ σ = 1. Assim σδσ = λ δλ e temos, por (3.3), −1 −1 u δu = a σδσa δ , ∀δ ∈ Sym m . δ G m Então, em , para todo δ ∈ Sym , temos m

  ζ −1 −1 a σδσa = b σδσb e, assim, −1 −1 −1 ba = (σδσ)ba (σδσ) . m −1

  N −1 −1 = d

  Segue que ba pertence ao subgrupo diagonal do quociente . Logo, ba , ou m ζ seja, −1 −1 −1 ba = d c . (3.5) m m Concluímos que a = dbc , com d no subgrupo diagonal de N e c no centro de N . −1

  Assim, para todo δ ∈ Sym m , e considerando que d σδσd = σδσ, temos −1 −1 −1 u δu = c b σδσbc . m (3.6)

  Agora, seja g = n, n ∈ N , então, por (3.4), −1 −1 −1 −1 u n u = b σnσb = a τ nτ a, que implica −1 −1 −1 ab σnσba = τ nτ e, então, −1 −1 −1 m σab σnσba σ = στ nτ σ. 2

  = 1. Note que σ = τ , pois, caso contrário, Lembre-se de que N é não abeliano e que σ se σ 6= τ, então τσ “move” alguma coordenada de n, por propriedades do produto orlado.

  Por exemplo, considere n = (x, 1, . . . , 1) com x 6= 1, e suponha que τσ move a primeira coordenada de n, então −1 −1 −1 στ (x, 1, . . . , 1)τ σ = (1, . . . , x, . . .) = σab σ(x, 1, . . . , 1)σba σ, m −1 −1 σ N

  Considere σba σ = (ba ) := k ∈ , logo k = (k , k , . . . , k m ), e então: m 1 2 −1 −1 −1 −1 ζ k (x, 1, . . . , 1)k = (k , k , . . . , k m )(x, 1, . . . , 1)(k , k , . . . , k m ) k 1 1 2 1 2 = (x , 1, . . . , 1),

  −1 −1 m u nu = a σnσa, ∀n ∈ N .

  Ainda, −1 −1 −1 u nu = a σnσa = b σnσb e assim −1 −1 −1 N ba σnσab = σnσ, m −1 m significando que ab pertence ao centro de e ab pertence ao segundo centro de N , m

  ζ G ζ i (G) G G +1 pois lembremos que vale Z ≃ , em que Z é o centro de

  ζ i (G) ζ i (G) ζ i (G) ζ i (G) m m N ζ 2 m −1 e ζ i é o i-ésimo centro de G. Temos neste caso, Z ≃ . Assim, ab = c ∈ ζ , m m 1 2 −1 m ζ ζ e usando a normalidade do elemento c , ou seja, b c b = c ∈ ζ , temos a = c b = bc. 1 1 2 1 Então, −1 −1 −1 m m u nu = c b σnσbc, ∀n ∈ N , (3.7) com c ∈ ζ . Lembremos que, por indução, temos b(1) = b(2) = 1, e, como na prova do 2 Teorema 3.5, a permutação σ é uma involução tal que σ(1) = 1 e σ(2) = 2 ou σ(1) = 2 e σ(2) = 1. −1 −1

  Além do mais, σb fixa S(1 2), já que u su = b σsσb = s, ∀s ∈ S, em particular para todo elemento de S(1 2). 2 Então, σbσ(1) = 1, logo σbσb(1) = 1. Já que u é central, então σbσb também o é, pois 2 −1

  ϕ (g) = ϕ u (u g u) u −1 −1 = u (u g u)u −1 −1 = u (b σgσb)u −1 −1 = (b σb σ)g(σbσb) 2 = g, = id. já que ϕ u

  Portanto, −1 −1 (b σb σ)δ(σbσb) = δ, ∀δ ∈ Sym m , isto é, −1 δ σbσbδ = σbσb, ∀δ ∈ Sym m . m

  N m 2 m

  Já que N é subgrupo característico e u é central, segue que, por (3.7), ∀n ∈ N , −2 2 −1 −1 −1 −1 −1 u nu = (u c b u)(u σnσu)(u bcu) −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 n = (c b σc b σbc)(c b σσnσσbc)(c b σbcσbc) −1 −1 −1 −1 n = c b σc b σnσbcσbc. m Isto significa que σbcσbc ∈ ζ . E ainda, em (3.7), trocando n por σnσ, temos −1 −1 −1 u σnσu = c b nbc. m Por outro lado, usando (3.6) e a centralidade de c em N , −1 −1 −1 −1 u σnσu = (u σu)(u nu)(u σu), −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 u σnσu = (c b σbc c b σ)(n)(σbcc b σbc ), −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 u σnσu = (b σbc b σ)(n)(σbcb σb). m −1 −1 −1 −1

  Assim, σbcb σbc b pertence a ζ . Multiplicando pelo elemento central c b σc b σ, obtemos o elemento −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 (c b σc b σ)(σbcb σbc b ) = c b σb σbc b m m G no centro ζ de N . No quociente , temos m −1 −1 ζ −1 −1 −1 c b σb σbc b = 1. m −1

  σ que Já que c pertence ao segundo centro, ζ , c é central e, considerando x = σc −1 2

  σ = σx, temos implica c −1 −1 −1 −1 −1 b c σb σbc b = 1 −1 −1 −1 −1 b σxb σbc b = 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 b σb xσbc b = 1 −1 −1 b σb σc bc b = 1 −1 −1 −2 −2 b σb σc = 1.

  = σbσb. Portanto, c 2 2 m m

  Como σbσb = 1, segue que c = 1, isto é, c ∈ ζ . Uma vez que N é nilpotente, podemos decompor c em fatores pertencentes aos subgrupos de Sylow; dessa forma, temos m pelo Lema 3.7 que os fatores ímpares de c são centrais em N . m

  para todo n ∈ N −1 −1 −1 −1 u nu = c b σnσbc = b σnσb. m Já que c , determinado pela equação (3.5), é central em N , podemos escrever −1 −1

  ϕ u (g) = c b σgσbc , ∀g ∈ G, de modo que ϕ u é um automorfismo interno de G. Vamos agora verificar a trivialidade das duas primeiras componentes. m Definimos h := bc e escrevemos h = (h(1), h(2), . . . , h(m)) ∈ N , em que h(i) = bc (i) = b(i)c (i) ∈ N . Como b(1) = b(2) = 1, temos que b(1), b(2) ∈ ζ. Ademais, c

  é central, o que implica, em particular, c (1) e c (2) serem centrais em N . Logo, h(1) e h(2) são centrais em N .

  Já que ϕ u fixa os elementos do 2-subgrupo de Sylow S = S ⋊ S(1 2) de G, temos −1 −1 −1 2 u (1 2)u = h σ(1 2)σh = h (1 2)h = (1 2).

  Desta forma, h(1) = h(2) estão no centro de N. m Definiremos um elemento f de N da seguinte forma: −1 −1 −1 f (1) = 1, f (i) = h (1)h(i) para 2 ≤ i ≤ m, logo, f(2) = h (1)h(2) = h (1)h(1) = 1. −1 Então f = h

  h, em que h = (h(1), h(1), . . . , h(1)), ou seja, é um elemento da diagonal que é central em G. Desta forma, como h = h f , temos, ∀g ∈ G, −1 ϕ u (g) = h σgσh −1 −1

  = f h σgσh f −1 = f σgσf, com f(1) = f(2) = 1, provando o teorema nesse caso.

  b) Resta-nos considerar o caso em que S 2 é não abeliano, em particular S 2 Seja N o subgrupo comutador de N. O grupo quociente m G N N

  6= 1.

  ⋊ ′ ′ ′ m m ≃ wrSym m ≃ Sym m (N ) N (N ) m

  N m é um produto orlado. Como é abeliano, pelo Lema 1.27, para todo n ∈ N , temos m

  (N ) −1 −1 −1 u nu = c b σnσbc −1 −1 −1 u n u = c b σnσbc −1 −1 ′ m u n u = σnσ, ou seja, u nu ≡ σnσ mod ∆(G, (N ) ).

  Se n ∈ S 2 , como ϕ u fixa elementos deste grupo, obtemos ′ m σnσ ≡ n mod ∆(G, (N ) ).

  G Isto significa que, de maneira análoga à prova do Teorema 3.5, no grupo quociente , m m (N )

  N σnσ = n. Já que o 2-subgrupo de Sylow de é extensivo, concluímos que σ = 1. m (N )

  Então, neste caso, temos: −1 −1 −1 u δu = c b δbc , ∀δ ∈ Sym m e −1 −1 −1 m u nu = c b nbc, ∀n ∈ N , m m G com c ∈ ζ e c ∈ ζ . No grupo quociente , temos σbσb ≡ 1. Já que σ = 1, temos que 2 m 2 2 ζ m m 2 b ≡ 1; o que significa que b pertence a ζ . Adicionalmente, c pertence a ζ . Então m os fatores ímpares de b e c são centrais em N . E ainda, como ϕ u fixa o 2-subgrupo de

  Sylow S , isto significa que 2 −1 m u nu = n, ∀n ∈ N .

  Escrevendo h = bc , temos, para todo δ ∈ Sym m , −1 −1 u δu = h δh.

  ⋊ Vamos analisar a ação de u na transposição (1 i). Já que S 2 S(1 i) é um 2-subgrupo de Sylow de G, sabemos pelo resultado de Coleman, Lema 2.6, que existem elementos m e i ∈ N i ∈ Sym m ⋊ S(1 i), temos e τ tais que, para todo x ∈ S −1 −1 −1 2 u xu = e τ xτ i e i . i i

  G −1 −1 x, y ∈ N m

  (N ) m , que é abeliano, temos u −1 x u = e i −1 τ i −1 x τ i e i

  N m (N ) m

  . Também vimos que os fatores ímpares de b são centrais, logo os fatores ímpares de h são centrais. Fazendo e i = e 2 · e 1 , em que e 2 corresponde ao fator par de e i e e 1 ao fator ímpar, e, analogamente, h = h 2

  No grupo do topo de S, S(1 2), temos u −1 xu = e −1 i xe i = h −1 xh, com h = bc , c ∈ ζ m

  , logo s = (s 1 , 1, . . . , 1) ∈ S 2 × (1) × . . . × (1). Então, s e i = (s e i1 1 , 1 e i2 , . . . , 1 e ir ).

  ∈ P p j , com 1 ≤ j ≤ r, e, sem perda de generalidade, supomos p 1 = 2. Seja s ∈ S 2 < N m

  ⋊ S(1 2). De fato, consideremos e i = (e i 1 , . . . , e i r ) ∈ N m , em que e i j

  , em que S 2 é a projeção de S 2 . Já que S 2 é extensivo no quoci- ente, concluímos que τ i = 1. Além disso, uma vez que ϕ u fixa elemento a elemento do subgrupo S 2 , temos que e i centraliza S 2 . Assim, para todo x ∈ S 2 ⋊ S(1 i), u −1 xu = e −1 i xe i , com e i no centralizador C N m (S 2 ). Note que os fatores ímpares de e i não são relevantes para a ação de e i no grupo da base S 2 de S = S 2

  (N ) m

  = τ i −1 y x τ i e i = τ i −1 x y τ i e i = τ i −1 x τ i e i −1 e i = τ i −1 x τ i .

  . Assim, S 2 := S 2 (N ) m

  E N m , logo S 2 (N ) m ≤ N m

  Temos que S 2 ≤ N m e (N ) m

  (N ) m ; ou seja, x τ i = xn , com n ∈ (N ) m .

  ≡ x mod G

  Portanto, τ −1 i xτ i

  · h 1 , temos e −1 i xe i = h −1 xh e −1 1 e −1 2 xe 2 e 1 = h −1 1 h −1 2 xh 2 h 1 e −1 e −1 xe 2 e 1 x −1 = h −1 h −1 xh 2 h 1 x −1 logo, −1 −1 −1 −1 e xe x = h xh x , 1 1 1 1 ou seja, −1 −1 e xe = h xh , 1 1 1 1 implicando que a ação de e i é a mesma de h nos fatores ímpares. m Como e i centraliza S , podemos então escolher e i central em N . Já que ϕ u fixa 2 S(1 2) elemento a elemento, temos −1 −1 u su = e se i = s, ∀s ∈ S(1 2). 2 Dessa forma, podemos tomar e = 1. Além disso, −1 −1 2 u (1 2)u = h (1 2)h = (1 2) e, então, h(1) = h(2). Logo, para 2 ≤ i ≤ m, temos −1 −1 h (1 i)h = e (1 i)e i i e escrevendo h = (h(1), h(2), . . . , h(r)) e e i = (e i (1), e i (2), . . . , e i (r)), m em que h(j), e i (j) ∈ P p , subgrupo de Sylow de N , obtemos j −1 −1 −1 −1 h (1 i)h(1 i) = e (1 i)e i (1 i) i h (h(i), h(2), . . . , h(1) , . . . , h(r)) = e (e i (i), e i (2), . . . , e i (1) , . . . , e i (r)); i i −ésimo −ésimo |{z} |{z} i isto significa que −1 −1 h (1) · h(i) = e (1) · e i (i). m −1 i

  Definimos um elemento f ∈ N por f = h m h, em que h = (h(1), . . . , h(1)). Então, f(1) = f(2) = 1 e f é central em N . Além disso, para todo δ ∈ Sym m : −1 −1 −1 −1 −1 u δu = h δh = f h δh f = f δf,

  Portanto, ϕ u (g) = f −1 gf, ∀g ∈ G, com f um elemento fixo de N m . Como f(1) = 1 = f(2) concluímos a demonstração. Capítulo 4

Extensões de grupos nilpotentes finitos

por alguns 2-grupos

  Explorando as técnicas desenvolvidas por Petit Lobão e Sehgal em [PeS03], como já foi mencionado, Zhengxing Li e Jinke Hai, em suas investigações a respeito da validade da propriedade do normalizador, obtiveram muitos resultados positivos para essa questão, produzindo uma série de artigos sobre as extensões alcançadas dos resultados originais. Em vários dos seus artigos, os autores trabalharam com ações do tipo produto orlado, considerando em muitos destes o grupo na base como um nilpotente e variando o do n topo, como por exemplo cíclico de ordem n e determinados grupos de ordem 2 como um 2-grupo abeliano e um quatérnio generalizado ou um diedral. E é este último que corresponde ao outro resultado principal dessa dissertação, cuja motivação dos autores veio do resultado de Hertweck, o Teorema 2.9. O teorema principal desse artigo, ver [HL11c], é descrito abaixo. 2 n

  Teorema 4.1. Seja G = N wr H = N ⋊ H o produto orlado de N por H, em que N é n um grupo nilpotente finito, e H é um quatérnio generalizado ou um diedral de ordem 2 . Então vale a propriedade do normalizador para G.

  Assim como em [PeS03], Hai e Li provam (Nor) primeiramente para o caso espe- 2 n ⋊ cial, em que G = A wr H = A H com A um grupo abeliano finito. Para a demonstra-

  ção, utilizam também o Teorema 2.2, o resultado de Jackowski e Marciniak. O teorema no caso especial é:

  2 n

  Sylow de A . Então I S ⊆ Inn(G). Ademais, seja Z(H) = {1, z} o centro de H. Então valem: (1) se A é de ordem ímpar, então I S = {id, conj(z)}; (2) se A é de ordem par, então I S = {id}. Observação 4.3. Para cada escolha de H temos que o centro deste é de ordem 2, ou seja, |Z(H)| = 2. Demonstração. Seja ϕ u ∈ I S u

  . Primeiro vamos verificar como é a ação de ϕ em H. Como = id, temos então que por hipótese, ϕ

  u| S −1

  u hu = h, ∀h ∈ H. (4.1) Ou seja, ϕ u age como a identidade nos elementos de H. Lembrando que queremos mostrar que ϕ u é um automorfismo interno de G. 2 n

  Agora, iremos analisar como ϕ u age em A . Pelo Lema 3.2, sabemos que existe λ ∈ H tal que −1 −1 2 n u au = λ aλ, ∀a ∈ A . (4.2)

  Iremos considerar os casos que referem-se à ordem de A: Caso 1: Suponha que A tem ordem ímpar. Neste caso S = 1, e, portanto, o 2-subgrupo de Sylow de G é um diedral ou um 1 quatérnio generalizado. Desta forma, utilizamos o Teorema 2.9, alcançando a validade da propriedade do normalizador para G. Em particular, temos que I S ⊆ Inn(G), o que significa ϕ u ser um automorfismo interno de G. Por isso, podemos considerar a existência de um x ∈ G tal que ϕ u = conj(x). Logo, para todo g ∈ G, temos −1 −1 u gu = x gx. (4.3) x = h para todo h ∈ H, isto é, x ∈ C (H). Combinando (4.1) com (4.3), obtemos h G

  Pelo Lema 1.51, podemos escrever x = dσ com d ∈ D e σ ∈ Z(H), em que D denota o 2 n subgrupo diagonal de A . Assim, por (4.3), −1 −1 u au = x ax

  −1 −1 2 n −1 −1 Por outro lado, por (4.2), u au = λ aλ, para a ∈ A . Consequentemente, 2 n n 2

  σ aσ = λ aλ para todo a ∈ A . Mas, A é extensivo em si mesmo, então λ = σ ∈ 2 n Z(H). Logo, para qualquer g ∈ G, o qual pode ser escrito como g = ah, com a ∈ A e h ∈ H, por (4.1) e (4.2) temos −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 u gu = u ahu = (u au)(u hu) = λ aλh = (λ aλ)(λ hλ) = λ gλ. u = conj(λ) e já que λ ∈ Z(H) = {1, z}, segue que ϕ u ∈ {id, conj(z)}.

  Isto é, ϕ Como ϕ u é considerado de maneira arbitrária, concluímos que I S ⊆ {id, conj(z)}. Por outro lado, como S é trivial, temos, por (4.1), que ϕ = ϕ = id, e ainda 1 2 u| S u| H conj(z) (g) = conj(z)(conj(z)(g)) −1

  = conj(z)(z gz) −2 2 = z gz S ⊇ {id, conj(z)}. Por isso, I S = {id, conj(z)}. = g, ou seja, I

  Caso 2: Suponha que A tem ordem par. 2 n Neste caso, o 2-subgrupo de Sylow S de A é não trivial. Como por hipótese 1

  ϕ = id, temos em particular que ϕ = id. Assim, ∀s ∈ S 1

  u| S u| S1 −1

  u su = s. (4.4) Por outro lado, por (4.2), para todo s ∈ S −1 −1 1 , temos −1 u su = λ sλ. (4.5) 2 n

  Dessa forma, λ sλ = s, ∀s ∈ S . O fato de S ser extensivo em A implica 1 1 que λ = 1. Então, por (4.1) e (4.2), temos ϕ u = id. Tendo em vista que ϕ u é arbitrário, obtemos I S = {id} completando a prova.

  2 n

  ⋊ Considerando o grupo base, N, nilpotente, temos G = N wr H = N H; a propriedade do normalizador, para este caso, é provada a seguir.

  2 n de Sylow de N . Então I S ⊆ Inn(G). Ademais, seja Z(H) = {1, z} o centro de H.

  Então valem: (1) se N é de ordem ímpar, então I S = {id, conj(z)}; (2) se N é de ordem par, então I S = {id}.

  Demonstração. Podemos assumir que N é não abeliano, devido ao Teorema 4.2. Consi- ∈ I deremos ϕ u S u u | S = id, implicando, em particular, que ϕ = id. Assim,

  e, como no caso especial anteriormente, vamos verficar primeiro a ação de ϕ em H. Por hipótese, ϕ

  u| H

  para todo h ∈ H −1 u hu = h. (4.6) Novamente, temos que a ação de ϕ u nos elementos de H é a mesma da identidade. 2 n 2 n

  Resta-nos analisar como ϕ u age em N . Pelo Lema 3.2, existem τ ∈ H e a ∈ N tais que −1 −1 −1 2 n u xu = a τ xτ a, (4.7) para todo x ∈ N .

  Vamos considerar os casos referentes à ordem de N: Caso 1: Suponha que N é de ordem ímpar. Como no Caso 1 do Teorema 4.2, existe y ∈ G tal que, para todo g ∈ G −1 −1 u gu = y gy. y

  (4.8) Por (4.6) e (4.8), temos h = h, ∀h ∈ H, isto é, y ∈ C G (H). Pelo Lema 1.51, podemos escrever y = dσ = σd, com d ∈ D e σ ∈ Z(H), em que D denota o subgrupo 2 n diagonal de N . Logo, por (4.8), 2 −1

  ϕ (x) = ϕ u (y xy) u 2 −1 2 = (y ) x(y ) 2 2 −1 2 2

  = (d σ ) x(d σ ) 2 −1 2 2 n = (d ) x(d ), 2 2 para todo x ∈ N . Por outro lado, pela hipótese, temos que ϕ = id, logo ϕ (x) = 2 n n n n 2 2 2 u u 2 x, ∀x ∈ N . Assim, temos d ∈ Z(N ). Segue que d ∈ Z(N ), pois N é de ordem já que σ é central em H. Assim, d ∈ C G (H) e obtemos d ∈ Z(G). Então, por (4.8), temos −1 −1 −1 ϕ u (g) = y gy = (dσ) g(dσ) = σ gσ, ∀g ∈ G.

  ⊆ Dessa forma, ϕ u = conj(σ) ∈ {id, conj(z)}. Como ϕ u é arbitrário, obtemos I S 2 n

  {id, conj(z)}. Por outro lado, como N S = {id, conj(z)}. é de ordem ímpar, segue que {id, conj(z)} ⊆ I S e , assim, concluímos que I Caso 2: Suponha que N é de ordem par. Seja N o subgrupo derivado de N. Como N é um grupo nilpotente não abeliano, temos 1 6= N 6= N . É fácil ver que 2 n

  G N N n ≃ wrH ≃ n ⋊ 2 ′ ′ 2 H. (N ) N (N )

  Vamos usar a barra para convencionar os elementos e subgrupos do grupo quoci- n 2 n G 2 U (N )

  ) ente n , isto é, g := g(N , para g ∈ G e U := n para U ≤ G; em particular, 2 2 (N )

  (N ) G N

  G = n . Observe que é um grupo abeliano de ordem par, por isso, devido ao item 2 ′ (N ) N

  (2) do Teorema 4.2, obtemos n o 2 ∈ N I = ϕ (G), ϕ = id, ϕ = id = {id} . S U (ZG) v 2 n n n v | v v | S 2 2 E

  Já que N

  G, pelo Lema 2.5, temos ϕ u (N ) = N . Desta forma, ϕ u induz um ∈ I ∈ I automorfismo de G, denotado por ϕ . Como ϕ u S , segue que ϕ u u S

  e, assim, ϕ = id. Isto é, para todo g ∈ G, u ϕ (g) = g. u 2 n −1 −1 (4.9)

  Seja g = x com x ∈ N . Então, por (4.7) e (4.9), temos que a τ xτ a = x, isto é, −1 −1 2 n τ xτ = axa = x. (4.10) N

  Como n é extensivo em si mesmo, ver Proposição 1.49, segue por (4.10) que τ = 1 2 (N )

  e, assim, τ = 1. Agora, por (4.7), temos −1 −1 n u xu = a xa (4.11)

  2 2 Por outro lado, ϕ = id por hipótese, por isso também temos ϕ (x) = x. Assim, −2 2 u 2 n n 2 2 u a xa = x, para todo x ∈ N , isto é, a ∈ Z(N ). Como anteriormente, escrevemos 2 n 2 n

  N = P p 1 × . . . × P p r , em que P p é o p i -subgrupo de Sylow de N para i ∈ {1, 2, . . . , r}. i 2 n Sem perda de generalidade, assumimos que P p 2 n 1 = S , o 2-subgrupo de Sylow de N , e 1 P p são os subgrupos de Sylow de N de ordem ímpar para i ∈ {2, 3, . . . , r}. Além disso, i

  ∈ P escrevemos a = a 1 a 2 . . . a r , com a i p i para i ∈ {1, 2, . . . , r}. 2 Afirmação 1: ∈ Z(P a p i ), para cada i ∈ {1, 2, . . . , r}. i i ∈ P p ), segue que 2 2 n De fato, para qualquer y i , como a pertence a Z(N 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a . . . y i a . . . a = y i a = a y i = a a . . . a y i . . . a , 1 2 2 i r i r 2 1 2 o que implica y i a = a y i . Como y i é arbitrário, a ∈ Z(P p ) para cada i ∈ {1, 2, . . . , r}. i i i i

  Afirmação 2: ∈ Z(P a i p ) para cada i ∈ {2, 3, . . . , r}. i 2 n De fato, como por hipótese P p i é um subgrupo de Sylow de N de ordem ímpar, para cada i ∈ {2, 3, . . . , r}, resulta que a i é de ordem ímpar para cada i ∈ {2, 3, . . . , r}. 2 ∈ Z(P ) implica a ∈ Z(P ) para cada i ∈ {2, 3, . . . , r}.

  Logo, a p i i p i i = id, isto é, ϕ = id. Por isso, por (4.11),

  Além disto, por hipótese, ϕ 2 n u| u| S1 Pp1 x . . . x r ∈ N i ∈ P p para qualquer x = x 1 2 com x i , temos a

  ϕ u (x) = ϕ u (x )ϕ u (x . . . x r ) = x (x . . . x r ) = x x . . . x r = x. (4.12) 1 2 1 2 1 2 Por (4.6) e (4.12), temos ϕ u = id. Já que ϕ u é arbitrário, segue que I S = {id}. Isto completa a prova do teorema. Capítulo 5 Investigações em curso e perspectivas futuras

  Sabemos que são vastas as classes de grupos que atendem à propriedade do nor- malizador, assim como extensões desses grupos, como por exemplo o caso em que temos um produto direto. No entanto, em 2001 Hertweck apresentou um contraexemplo para (Nor) em que temos um produto semidireto entre dois grupos abelianos, os quais sabemos que são soluções para (Nor). Portanto, coloca-se naturalmente a questão apresentada no início da dissertação:

  • Quais as extensões de grupos que apresentam (Nor) preservam esta propriedade?

  Petit Lobão e Sehgal fizeram tal questionamento e a busca por quais extensões, determinadas sobre grupos que apresentam (Nor), preservam esta propriedade levaram estes a conjeturar que as extensões do tipo orlado podem representar boas candidatas para soluções de (Nor), ou seja,

  • Conjectura: O produto orlado preserva a propriedde do normalizador, isto é, se A e B são soluções de (Nor), G = A wr B é também solução.

  Tendo em vista que a questão enunciada trata-se de um caso bem amplo, eles, em suas investigações, perceberam a necessidade da restrição dos grupos da base e do topo para a análise de (Nor). Dessa forma, depararam-se com o caso em que o produto wr N é dado por grupos nilpotentes, isto é, G = N 1 2 . Lembrando que para verificar a

  (G) é constituído de validade dessa propriedade, uma das alternativas é mostrar que Aut U (G) ⊂ Aut(G), podemos analisar o grupo automorfismos internos; ademais, como Aut U Consideremos um grupo G dado pelo produto orlado entre A e B, isto é, G = A wr B = A n

  B, em que |B| = n. No trabalho de B. H. Neumann e Hanna Neumann, a saber [BH59], foi mostrado que Aut(G) contém subgrupos isomorfos aos grupos de automorfismos de A e de B; além disto, um resultado de Peter M. Neumann, o qual encontra-se em [Ne64], afirma que o grupo da base é um subgrupo característico do produto orlado, exceto quando B = C 2 , isto é, grupo cíclico de ordem 2 e A é um grupo diedral de ordem 4m + 2 ou A = C 2 . Através desses resultados, pode-se descrever o modo como Aut(G) é construído a partir de certos subgrupos distintos que estão relacionados com os grupos componentes do produto orlado. Além disso, o grupo dos automorfismos de G naturalmente depende da natureza dos grupos A e B.

  Dado g um elemento arbitrário do grupo G, temos que existem b ∈ B e a = (a b 1 , . . . , a b n ) ∈ A n tais que g = ba. Assim, definiremos a seguir alguns automorfismos do grupo G, construídos a partir de extensões de automorfismos de A e B.

  (i) Para α ∈ Aut(A), definimos α ∈ Aut(G) por α (g) = α (ba) = b(α(a b 1 ), . . . , α(a b n )), para todo g ∈ G. O grupo de todos esses automorfismos é denotado por A . (ii) Para β ∈ Aut(B), definimos β

  ∈ Aut(G) por β (g) = β (ba) = β(b)(a β −1 (b 1 ) , . . . , a β −1 (b n ) ), para todo g ∈ G. O grupo de todos esses automorfismos é denotado por B . Temos que A e B são isomorfos a Aut(A) e a Aut(B) respectivamente. Note que A e B , pela definição, permutam elemento a elemento em Aut(G). (iii) Denotaremos por H o subgrupo de Aut(G) que consiste nos automorfismos que deixam fixados, elemento a elemento, o grupo B e o subgrupo diagonal de A; ou seja, as permutações em Sym n . (iv) Por fim, denotaremos por I o subgrupo de Aut(G) que consiste naqueles automor- fismos internos correspondentes a conjugação por elementos do grupo A n ; isto é, se

  ψ ∈ I e considerando a ∈ A n então ψ(g) = ψ(ba)

  = (a ) −1 b(a)(a ) O próximo teorema descreve a estrutura do grupo dos automorfismos de um grupo dado por um produto orlado, através dos automorfismos descritos anteriormente. Esse teorema pode ser encontrado em [CH62], assim como sua demonstração, a qual, devido o propósito dessa seção, será omitida. Lembrando que estamos excluindo o caso em que B = C e A seja um grupo diedral de ordem 4m + 2 ou A = C . 2 2 Teorema 5.1. (a) O grupo dos automorfismos do produto orlado G de dois grupos A e

  B pode ser expressado como o produto Aut(G) = KIB , em que K é o subgrupo de Aut(G) que consiste nos automorfismos que fixam B elemento a elemento, I é o subgrupo de Aut(G) que consiste nos automorfismos n internos correspondentes à transformação de elementos do grupo A ; B é definido em (ii) . ∗ ∗

  (b) O grupo K pode ser escrito como A é definido em (i), H é o subgrupo

  H, em que A de Aut(G) que consiste nos automorfismos que fixam ambos B e o subgrupo diagonal elemento a elemento. ∗ ∗

  (c) Os subgrupos A HI, HIB , HI e I são normais em Aut(G) e ∗ ∗ ∗ ∗ Aut(G) = A HI ⋊ B .

  Ademais, A intersecta HB trivialmente.

  Destacamos que nossas investigações concentram-se em comprovarmos que o grupo dado pelo produto orlado de dois grupos nilpotentes satisfaça a propriedade do normalizador. Para isso, podemos utilizar a caracterização do grupo dos automorfismos de G, discutida anteriormente, no intuito de concluirmos que os automorfismos determi- nados por unidades no anel de grupo integral, ou seja, os automorfismos de Aut U (G), sejam internos de G.

Conclusão

  Neste trabalho foi discutido um pouco sobre a Propriedade do Normalizador, que é uma importante questão na teoria de anéis de grupo integrais; esta importância fica patente pela relação, já mencionada, com o Problema do Isomorfismo.

  Após sua apresentação, fizemos uma investigação dessa propriedade, analisando alguns dos resultados interessantes desenvolvidos na teoria e já presentes na literatura. Expusemos a investigação daqueles grupos que são dados por produtos orlados permuta- cionais e provamos (Nor) para o caso do produto orlado de um grupo abeliano na base por um simétrico de m letras no topo, a partir deste, o resultado foi generalizado para o caso em que o grupo da base é um nilpotente. Posteriormente, foram demonstrados também como soluções de (Nor) os casos em que o produto orlado tem no topo um qua- n térnio generalizado ou um diedral de ordem 2 e variando o grupo na base em abeliano e nilpotente.

  Estes resultados foram apresentados no terceiro e quarto capítulos; o primeiro deles de autoria de Petit Lobão e Sehgal é um dos principais trabalhos da dissertação, no qual foram desenvolvidas técnicas interessantes para tratar das ações do tipo produto orlado. Essas técnicas foram adotadas por Zhengxing Li e Jinke Hai, o segundo trabalho que expusemos, permitindo-lhes o desenvolvimento de vários artigos sobre as extensões alcançadas dos resultados originais.

  Acreditamos que não só os resultados enunciados, mas também muitos outros obtidos na investigação da propriedade e as técnicas mencionadas anteriormente, apontam para a possibilidade do grupo dado pelo produto orlado entre nilpotentes ser solução de (Nor). Indo mais além, nossa perspectiva futura, e possivelmente um objetivo de doutoramento, consiste na investigação sobre quais as extensões de grupo preservam a propriedade do normalizador; em particular, visamos a comprovar que as extensões do tipo orlado são um exemplo de solução neste sentido.

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