Repositório UFAL: Fórmulas integrais para a curvatura r-média e aplicações

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  Universidade Federal de Alagoas Programa de Pós-Graduação em Matemática DISSERTAđấO DE MESTRADO

  Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média e Aplicações RioSãoFrancisco

  Viviane de Oliveira Santos Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matem´atica Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Disserta¸c˜ao de Mestrado

  

F´ ormulas Integrais para a Curvatura r-M´edia e

Aplica¸c˜ oes

Viviane de Oliveira Santos

  

Macei´o, Brasil

29 de Janeiro de 2010 VIVIANE DE OLIVEIRA SANTOS F´ ormulas Integrais para a Curvatura r-M´edia e Aplica¸c˜ oes

  Disserta¸c˜ao de Mestrado na ´area de concentra¸c˜ao de Geometria Diferencial sub- metida em 29 de janeiro de 2010 `a banca exa- minadora, designada pelo Colegiado do Pro- grama de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do grau de mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Hil´ario Alencar da Silva.

  Macei´o 2010

  Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora Gonçalves da Cunha S237f Santos, Viviane de Oliveira.

  

Fórmulas integrais para a Curvatura r-Média e Aplicações. /Viviane de Oliveira

Santos, 2010. 66 f. : il. Orientador: Hilário Alencar da Silva. Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática, 2010.

  Bibliografia: f. 63-64. Índice: f. 65-66.

  1. Geometria diferencial. 2. Hipersuperfícies. 3. Curvatura r-média.

  4. Estabilidade. I. Título. CDU: 514.7

  Aos meus pais Jo˜ao de Deus e Rosangela Pereira. Agradecimentos

  Ao Professor Hil´ario Alencar por toda sua dedica¸c˜ao e contribui¸c˜ao ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal de Alagoas, um exemplo que sempre seguirei em minha vida profissional; por todo apoio e orienta¸c˜ao durante meus cursos de gradua¸c˜ao e mestrado, pela amizade e por ter contribu´ıdo de modo especial em minha forma¸c˜ao acadˆemica, profissional e pessoal.

  Ao Professor Ad´an Jos´e Corcho Fern´andez por acreditar em minha capacidade acadˆe- mica, pela sua alegria e prazer ao ensinar, ver sua motiva¸c˜ao foi um grande privil´egio para mim.

  Aos Professores Abdˆenago Barros e Walcy Santos pelas sugest˜oes apresentadas sobre esta disserta¸c˜ao. Ao Rodrigo Fernandes de Moura Melo pela ajuda em momentos acadˆemicos, pela amizade e companheirismo, uma pessoa especial nesses dois anos de mestrado. A Nat´alia Rocha Pinheiro pela amizade e pelas infinitas caronas, as quais sempre foram repletas de ´otimas conversas. Ao Greg´orio Manoel da Silva Neto pelas sugest˜oes para a melhoria deste trabalho. Ao M´arcio Henrique Batista pela ajuda na demonstra¸c˜ao que o operador linearizado em formas espaciais ´e dado pelo divergente de um determinado campo. Ao Glaudston da Silva por estar presente em minha vida, por ter me ajudado a superar alguns obst´aculos que surgiram neste per´ıodo e por sempre acreditar em meus sonhos.

  A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pela bolsa concedida durante o mestrado. Resumo

  Nesta disserta¸c˜ao, descrevemos resultados obtidos por Hil´ario Alencar e A. Gervasio Colares, publicado no Annals of Global Analysis and Geometry em 1998. Inicialmente, obtemos f´ormulas integrais para a curvatura r-m´edia, as quais generalizam f´ormulas de Minkowski. Al´em disso, usando estas f´ormulas, caracterizamos as hipersuperf´ıcies com- pactas imersas no espa¸co Euclidiano, esf´erico ou hiperb´olico cujo conjunto de pontos nestes espa¸cos que n˜ao pertencem as hipersuperf´ıcies totalmente geod´esicas tangentes `as hipersuperf´ıcies compactas ´e aberto e n˜ao vazio. Outrossim, obtemos ainda resultados relacionados com a estabilidade.

  As demonstra¸c˜oes destes resultados s˜ao obtidas atrav´es da f´ormula integral de Dirich- let para o operador linearizado da curvatura r-m´edia de uma hipersuperf´ıcie imersa no espa¸co Euclidiano, esf´erico ou hiperb´olico, bem como do uso de um resultado recente provado por Hil´ario Alencar, Walcy Santos e Detang Zhou no preprint Curvature Inte- gral Estimates for Complete Hypersurfaces.

  Ressaltamos que esta disserta¸c˜ao foi baseada na vers˜ao corrigida por Hil´ario Alencar do artigo publicado no Annals of Global Analysis and Geometry.

  Palavras-chave: Geometria diferencial; Hipersuperf´ıcie; F´ormula integral; Operador linearizado; Curvatura r-m´edia; Estabilidade. Abstract

  In this dissertation, we describe results obtained by Hil´ario Alencar and A. Gervasio Colares, published on the Annals of Global Analysis and Geometry in 1998. Initially, we obtain integral formulas for the r-mean curvature, which generalize Minkowski formulas.

  Moreover, using these formulas, we characterize compact hypersurfaces immersed in the Euclidean, spherical or hyperbolic space whose the set of points in these spaces that doesn’t belong to the totally geodesic hypersurfaces tangent to compact hypersurfaces is open and nonempty. Also, we still obtained results related with the stability.

  The proofs of these results are obtained by using the Dirichlet integral formula for the r-mean curvature linearized operator of a hypersurface immersed in the Euclidean, spherical or hyperbolic space, as well as the use of a recent result proved by Hil´ario Alencar, Walcy Santos and Detang Zhou in the preprint Curvature Integral Estimates for Complete Hypersurfaces.

  We point that this work was based on the version corrected by Hil´ario Alencar of the article published on the Annals of Global Analysis and Geometry.

  Keywords: Differential geometry; Hypersurface; Integral formula; Linearized ope- rator; r-mean curvature; Stability.

  ´Indice

  2.2 Operador Linearizado L

  55 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  3 Aplica¸c˜ oes

  47

  37 2.4 F´ormulas Integrais para a Curvatura r-M´edia . . . . . . . . . . . . . . .

  r em Formas Espaciais . . . . . . . . . . . . . . .

  2.3 Operador Linearizado L

  33

  r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  30

  Introdu¸c˜ ao

  30 2.1 A r-´esima Transforma¸c˜ao de Newton P r . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 F´ ormulas Integrais para a Curvatura r-M´ edia

  26

  25 1.5 Imers˜oes Isom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21 1.4 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  17 1.3 Operadores Diferenci´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  13 1.2 Conex˜oes Afins e Conex˜ao Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 13 1.1 Variedades Diferenci´aveis e M´etricas Riemannianas . . . . . . . . . . . .

  9

  63

  Introdu¸c˜ ao n n+1 n

  Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana M → N

  n+1

  na variedade Riemanniana N com segunda forma fundamental B. Sejam λ , ..., λ os

  1 n

  autovalores de B associados aos vetores e , ...e . As fun¸c˜oes sim´etricas elementares S

  1 n r

  associadas a B s˜ao definidas por

  X S = λ ...λ r , 1

  r i i r 1 ≤ r ≤ n i <...<i 1

  e a curvatura r-m´edia ´e definida por

  1 H = S ,

  

r r

  n

  r

  n onde n = .

  r

  r Consideremos S = H = 1 e S = H = 0 se r / , S e S

  r r

  1 2 n

  ∈ {0, 1, ..., n}. As fun¸c˜oes S s˜ao conhecidas como curvatura m´edia, escalar e de Gauss-Kronecker, respectivamente. A r-´esima transforma¸c˜ao de Newton P : T M M ´e definida, indutivamente, por

  r p p

  → T P = I e P = S I , r

  r r r−1 − BP ≥ 1.

  Associado a cada transforma¸c˜ao de Newton P , temos um operador diferencial de r n segunda ordem L r : C (M ; R)

  → R, definido por L f = tr(P (Hessf )),

  r r onde Hessf ´e a matriz Hessiana da fun¸c˜ao f .

  Denominamos este operador de operador linearizado L r . Em particular, quando r = 0, L f = ∆f . Por este motivo, dizemos que este operador generaliza, em certo sentido, o Laplaciano. Tal operador foi introduzido por Voss na conex˜ao com argumentos varia- cionais, ver [19].

  n n+1 n+1

  Ao considerarmos uma imers˜ao isom´etrica x : M , onde Q ´e uma vari- → Q c c edade Riemanniana com curvatura seccional constante c, Rosenberg em [17], p. 225, provou que L ´e um operador dado pelo divergente de um determinado campo, isto ´e,

  r

  L (f ) = div (P (grad f ))

  r M r M

  para toda fun¸c˜ao suave f : M → R.

  n n+1

  Se x : M ´e uma imers˜ao isom´etrica em uma forma espacial simplesmente → Q c

  n+1

  conexa Q , X uma varia¸c˜ao normal de x e η ´e um campo vetorial normal unit´ario em

  t c n

  M , Reilly, ver [16], provou que d S (t) = L f + (S S )f + c(n

  f,

  r+1 r 1 r+1 r+2 r

  − (r + 2)S − r)S dt

  t=0

  ∂X

  t

  onde f = , η e L ´e o operador linearizado de S obtido das varia¸c˜oes

  r r+1

  ∂t

  t=0 normais de x. n+1 n+1

  Fixado um ponto p , sejam ρ : Q ∈ Q → R a fun¸c˜ao distˆancia geod´esica ao

  c c n n+1

  ponto p e x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana → Q c

  n n+1 n n+1

  orientada M em uma forma espacial Q . Definimos o vetor posi¸c˜ao X : M → Q

  c c

  com respeito a p, por X(x(p)) = S c (ρ(p))grad ρ(p), ′′ Q onde S ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao y + cy = 0 com condi¸c˜oes iniciais y(0) = 0 e y (0) = 1,

  c

  isto ´e, 

  ρ(p), se c = 0;   √   sen (ρ(p)

  c) 

  , se c > 0; √

  S (ρ(p)) =

  c

  c √

    senh (ρ(p)

  −c)   , se c < 0.

  √  −c

  T n

  Denotando θ (s) = S (s) e X a componente de X tangente a M , apresentaremos

  c c

  resultados obtidos por Alencar e Colares publicado no Annals of Global Analysis and Geometry em 1998.

  n n+1

  Teorema 0.1. Sejam x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Rie- → Q c

  n

  manniana compacta orientada M e 0 ≤ q ≤ n, 1 ≤ s ≤ n inteiros. Ent˜ao, para qualquer

  c, ( s−1

  Z

  q

  hX, Xi (a) [θ (ρ)((n θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1 n hX, ηi − r)S hX, ηi)

  2 M )

  s−2 T T hX, Xi

  2 T T

  P (X ), X + (s (θ (ρ)) P (X ), X

  r c r

  −c − 1)

  2 !

  s−1 q−1

  hX, Xi T T θ (ρ) P (B(X )), X dM = 0;

  c r

  −q hX, ηi

2 Z

  q s−1

  (b) (θ (ρ)) [(n θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1 n hX, ηi − r)S hX, ηi] M s−2 T T

  (ρ)) P (X ), X

  c r

  −c(s − 1)(θ

  q−1 s−1 T T

  (ρ)) P (B(X )), X dM = 0;

  c r

  −q(θ hX, ηi q

  Z hX, Xi s−1 (c) [ r+1 θ c (ρ)

  1 S r+1 r+2 ) n hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi

  2 M

  s−2

  2 T T

  S , X P (B (X )), X

  r+1 r

  − hgrad M i] + (s − 1) hX, ηi !

  q−1

  hX, Xi s−1

  T T θ (ρ) P (B(X )), X dM = 0.

  −q hX, ηi c r

  2 O teorema anterior ´e uma vers˜ao corrigida por Alencar do artigo publicado em [1], cujos resultados originais n˜ao implicaram quaisquer mudan¸cas nas aplica¸c˜oes.

  As f´ormulas em (a) e (b) generalizam as f´ormulas de Minkowski obtidas por Hsiung em [12] e Bivens em [8], respectivamente.

  n n+1

  Corol´ ario 0.1. Sejam x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Rie- → Q c

  n n+1

  manniana compacta orientada M em uma forma espacial Q . Ent˜ao

  c

  Z (a) [H + H

  r r+1 n hX, ηi]dM = 0; M

  Z (b) [H θ + H

  r c r+1 n hX, ηi]dM = 0.

  M n

  Teorema 0.2. Sejam M uma variedade Riemanniana compacta orientada e uma imers˜ao

  n n+1

  isom´etrica x : M com curvatura H constante n˜ao-nula, onde 0

  r+1

  → Q c ≤ r ≤ n − 1.

  n n+1

  Se c > 0, assuma que x(M ) est´a contida em um hemisf´erio aberto de Q . Ent˜ao, o

  c

  conjunto de pontos [

  n+1 n

  W = Q (Q ) , − p

  c c p∈M n+1 n

  que s˜ao omitidos em Q pelas hipersuperf´ıcies totalmente geod´esicas (Q ) tangentes a

  p c c n n n+1

  x(M ) ´e n˜ao-vazio, se e somente se, x(M ) ´e uma esfera geod´esica em Q .

  c No caso em que r = 0, o Teorema 0.2 foi provado por Alencar e Frensel em [4]. n

  Corol´ ario 0.2. Sejam M uma variedade Riemanniana compacta orientada e uma

  n n+1

  imers˜ao isom´etrica x : M com curvatura H constante n˜ao-nula. Se c > 0,

  r+1

  → Q c

  n

  suponha tamb´em que x(M ) est´a contida em um hemisf´erio aberto. Ent˜ao W ´e n˜ao-vazio, se e somente se, x ´e r-est´avel.

  n n+1

  Teorema 0.3. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Rieman- → Q c

  n n+1

  niana M conexa, compacta e orientada. Seja p relativo ao qual ∈ Q c

  H θ + H

  r c r+1

  hX, ηi

  n

  n˜ao muda de sinal para algum 0 ) est´a contida

  ≤ r ≤ n − 1. Se c > 0, assuma que x(M

  n+1 n em um hemisf´erio aberto de Q centrado em p . Ent˜ao, x(M ) ´e uma esfera geod´esica. c Esta disserta¸c˜ao est´a organizada da seguinte forma: Inicialmente, estenderemos os m´etodos do C´alculo Diferencial a espa¸cos mais gerais

  n

  que o R . Definiremos variedades diferenci´aveis e m´etricas Riemannianas. A partir da´ı, discutiremos sobre conex˜oes, operadores diferenci´aveis, curvaturas e imers˜oes isom´etricas.

  Na segunda parte, estudaremos a r-´esima transforma¸c˜ao de Newton, o operador line- arizado e demonstraremos algumas propriedades destes operadores. Em seguida, demons- traremos o Teorema 0.1 e o Corol´ario 0.1, obtendo assim f´ormulas integrais para a cur- vatura r-m´edia.

  Finalmente, apresentaremos algumas aplica¸c˜oes das f´ormulas obtidas envolvendo es- feras geod´esicas e estabilidade, as quais foram enunciadas no Teorema 0.2, no Corol´ario 0.2 e no Teorema 0.3. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo, iremos estender os m´etodos do C´alculo Diferencial a espa¸cos mais

  n

  gerais que o R . As demonstra¸c˜oes dos resultados deste cap´ıtulo que foram omitidas podem ser encontradas no livro Geometria Riemanniana escrito por Manfredo do Carmo, ver [9]. Ao longo deste trabalho, variedades compactas ser˜ao compactas sem bordo.

  

1.1 Variedades Diferenci´ aveis e M´ etricas Riemanni-

anas

  Nesta se¸c˜ao, apresentaremos a defini¸c˜ao de variedade diferenci´avel. O conceito ser´a dado para uma dimens˜ao n qualquer. A palavra diferenci´avel significar´a de classe C . Introduziremos em cada ponto de uma variedade diferenci´avel uma maneira de medirmos comprimentos de vetores tangentes que varia diferenciavelmente com o ponto.

  Defini¸c˜ ao 1.1.1. Uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n ´e um conjunto M munido

  n n

  de uma fam´ılia de aplica¸c˜oes biun´ıvocas x : U de R em M

  α α α

  ⊂ R → M de abertos U que satisfazem as seguintes propriedades: S

  (a) x (U ) = M ;

  α α α

  1

  (b) Para todo par α, β tal que x α (U α ) β (U β ) = W (W ) e ∩ x 6= ∅, os conjuntos x α

  1 1 n

  x (W ) s˜ao abertos em R e as aplica¸c˜oes x (W ) (W ) s˜ao diferenci´aveis;

  α β β ◦ x

  (c) A fam´ılia , x )

  α α {(U } ´e m´axima relativa `as condi¸c˜oes (a) e (b).

  O par (U , x ) (ou a aplica¸c˜ao x ), com p (U ), ´e denominado uma parametriza¸c˜ao

  α α α α α

  ∈ x ou sistema de coordenadas de M em p e x (U ) ´e chamada vizinhan¸ca coordenada em p.

  

α α

  Uma fam´ılia , x ) {(U α α } que satisfaz (a) e (b) ´e denominada uma estrutura diferenci´avel em M .

  Figura 1.1: Representa¸c˜ao geom´etrica da defini¸c˜ao de variedade

  1 n

  Observa¸c˜ ao 1.1.1. O conjunto ζ = (A (U )) ´e aberto do R para todo α

  α α

  {A ⊂ M; x α ∩x } define uma topologia em M . Diremos que M ´e compacta quando M ´e um espa¸co topol´ogico compacto. Defini¸c˜ ao 1.1.2. Sejam M e N variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao ϕ : M

  → N ´e

  m

  diferenci´avel em p ∈ M se dada uma parametriza¸c˜ao y : V ⊂ R → N em ϕ(p), existe

  n

  uma parametriza¸c˜ao x : U ⊂ R → M em p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V ) e a aplica¸c˜ao

  

1 n m

  y (1.1) ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ R → R

  1

  ´e diferenci´avel em x (p). A aplica¸c˜ao ϕ ´e diferenci´avel em um aberto de M se ´e dife- renci´avel em todos os pontos deste aberto. A aplica¸c˜ao (1.1) ´e chamada express˜ao de ϕ nas parametriza¸c˜oes x e y.

  Figura 1.2: Representa¸c˜ao geom´etrica da defini¸c˜ao de aplica¸c˜ao diferenci´avel

  − n 1 n

  Exemplo 1.1.1. Se x : U : x(U ) ´e

  ⊂ R → M ´e uma parametriza¸c˜ao, ent˜ao x → R

  n

  diferenci´avel. De fato, para qualquer parametriza¸c˜ao y : V − − − ⊂ R → M em p, temos que

  1

  1

  1

  x (W ) (W ), onde W = x(U ) ◦ y : y → x ∩ y(V ), ´e diferenci´avel. Isso mostra que

  n U e x(U ) s˜ao difeomorfos (isto ´e, toda variedade ´e localmente difeomorfa a R ).

  Defini¸c˜ ao 1.1.3. Seja M uma variedade diferenci´avel. Uma aplica¸c˜ao α : ( −ǫ, ǫ) → M

  ´e denominada uma curva (diferenci´avel) em M . Sejam α(0) = p ∈ M e D o conjunto das fun¸c˜oes diferenci´aveis definidas em M. O vetor tangente `a curva α em t = 0 ´e a fun¸c˜ao

  α (0) : D → R dada por d(f

  ◦ α) α (0)f = , f ∈ D. dt

  t=0

  Um vetor tangente em p ´e o vetor em t = 0 de alguma curva α : ( −ǫ, ǫ) → M com

  α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p ser´a indicado por T M . O

  p

  conjunto T M = M

  p

  {(p, v); p ∈ M e v ∈ T } ´e uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao 2n, denominado fibrado tangente.

  n m

  Proposi¸c˜ ao 1.1.1. Sejam M , N variedades diferenci´aveis e ϕ : M → N uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Dados p M , escolha uma curva diferenci´avel α : ( ∈ M e v ∈ T p

  −ǫ, ǫ) → M com α(0) = p e α (0) = v e seja β = ϕ : T M N dada por

  p p ϕ(p) ◦ α. A aplica¸c˜ao dϕ → T dϕ p (v) = β (0) ´e uma aplica¸c˜ao linear que n˜ao depende da escolha de α.

  A aplica¸c˜ao linear dϕ dada na proposi¸c˜ao anterior ´e denominada diferencial de ϕ em

  p p. m n

  Defini¸c˜ ao 1.1.4. Sejam M e N variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ϕ : M : T M N ´e injetiva para todo p

  p p ϕ(p)

  → N ´e uma imers˜ao se dϕ → T ∈ M. Se, al´em disso, ϕ ´e um homeomorfismo sobre ϕ(M ) ⊂ N, onde ϕ(M) tem a topologia induzida por N , dizemos que ϕ ´e um mergulho. Se M ⊂ N e a inclus˜ao i : M → N ´e um mergulho, dizemos que M ´e uma subvariedade de N .

  m n

  Se ϕ : M ´e uma imers˜ao, ent˜ao m → N ≤ n. A diferen¸ca (n − m) ´e chamada codimens˜ao da imers˜ao ϕ.

2 Exemplo 1.1.2. Seja f : R dada por f (t) = (cos t, sen t). A aplica¸c˜ao f ´e

  → R

  1

  1

  uma imers˜ao diferenci´avel tal que f : R . Assim, S ´e uma subvariedade → f(R) = S

  2 diferenci´avel do R .

  Defini¸c˜ ao 1.1.5. Dizemos que uma variedade diferenci´avel M ´e orient´avel se admite uma estrutura diferenci´avel α , x α ) α (U α ) β (U β ) = {(U } tal que, para todo par α, β com x ∩ x

  1 W

  tem determinante

  β

  6= ∅, a matriz da diferencial da mudan¸ca de coordenadas x α ◦ x positivo. Caso contr´ario, dizemos que M ´e n˜ao-orient´avel. Se M ´e orient´avel, a escolha da parametriza¸c˜ao que satisfa¸ca essa defini¸c˜ao ´e denominada orienta¸c˜ao de M e, neste caso, dizemos que M ´e orientada.

  Defini¸c˜ ao 1.1.6. Um campo de vetores X em uma variedade diferenci´avel M ´e uma correspondˆencia que a cada ponto p M .

  p

  ∈ M associa um vetor X(p) ∈ T

  ` As vezes ´e conveniente pensar em campos de vetores como uma aplica¸c˜ao X :

  D → F do conjunto D das fun¸c˜oes diferenci´aveis em M no conjunto F das fun¸c˜oes em M, definida do seguinte modo

  X ∂f

  (Xf )(p) = a (p) (p),

  i

  ∂x i

  

i

  onde f indica a express˜ao de f na parametriza¸c˜ao x. Neste contexto, dizemos que X ´e diferenci´avel se, e somente se, Xf ∈ D para todo f ∈ D.

  A interpreta¸c˜ao de X como um operador em D permite considerarmos os iterados de

  X. O problema ´e que, na maioria das vezes, XY e Y X de campos de vetores X e Y em M n˜ao s˜ao campos de vetores. Entretanto, podemos afirmar o seguinte resultado: Lema 1.1.1. Sejam X e Y campos diferenci´aveis de vetores em uma variedade dife- renci´avel M . Ent˜ao, existe um ´ unico campo de vetores Z tal que

  Zf = (XY − Y X)f, ∀f ∈ D. O campo de vetores Z = XY

  − Y X ´e denominado colchete de X e Y , o qual ser´a denotado por [X, Y ]. Defini¸c˜ ao 1.1.7. Uma m´etrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma va- riedade diferenci´avel M ´e uma correspondˆencia que associa a cada ponto p de M um produto interno (isto ´e, uma forma bilinear sim´etrica e positiva definida) no espa¸co h , i

  p n

  tangente T p M , que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: se x : U ⊂ R → M

  ´e um sistema de coordenadas locais em torno de p, com x(x , x , ..., x ) = q

  1 2 n

  ∈ x(U) ∂ ∂ ∂ e (q) = dx(0, ..., 1, ..., 0), ent˜ao (q), (q) = g (x , ..., x ) ´e uma fun¸c˜ao

  ij 1 n

  ∂x ∂x ∂x

  i i j q

  diferenci´avel em U . As fun¸c˜oes g ij (= g ji ) s˜ao chamadas express˜ao da m´etrica Riemanniana (ou os g ij da

  n

  m´etrica) no sitema de coordenadas x : U ⊂ R → M.

  A defini¸c˜ao de m´etrica Riemanniana n˜ao depende da escolha do sistema de coorde- nadas. Defini¸c˜ ao 1.1.8. Uma variedade diferenci´avel munida de uma m´etrica Riemanniana ´e denominada uma variedade Riemanniana. Defini¸c˜ ao 1.1.9. Consideremos M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M

  → N (isto ´e, f ´e uma bije¸c˜ao diferenci´avel com inversa diferenci´avel) ´e chamado uma isometria se = (u), df (v) , M. (1.2)

  p p p

  hu, vi p hdf i ∀p ∈ M, ∀u, v ∈ T

  

f (p)

  Defini¸c˜ ao 1.1.10. Sejam M e N variedades Riemannianas. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel f : M → N ´e uma isometria local em p ∈ M, se existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que f : U

  → f(U) ´e um difeomorfismo satisfazendo (1.2). Dizemos que a variedade Riemanniana M ´e localmente isom´etrica `a variedade N se para todo p em M existem uma vizinhan¸ca U de p em M e uma isometria local f : U

  → f(U) ⊂ N. n n+k

  Exemplo 1.1.3. (Variedades Imersas) Seja f : M uma imers˜ao. Se N pos- → N sui uma estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M dada por

  p f (p)

  = (u), df (v) , u, v M . A m´etrica de M ´e chamada a m´etrica induzida hu, vi hdf p p i ∈ T p

  por f e dizemos que f ´e uma imers˜ao isom´etrica.

1.2 Conex˜ oes Afins e Conex˜ ao Riemanniana

  Nosso interesse em conex˜oes afins reside no fato que a escolha de uma m´etrica Rie- manniana em uma variedade M determina univocamente uma certa conex˜ao afim de M . Podemos, deste modo, derivar de uma certa forma campos de vetores em M . Indicaremos por X(M ) o conjunto dos campos de vetores diferenci´aveis em M e por

  D(M) o anel das fun¸c˜oes reais diferenci´aveis definidas em M . Defini¸c˜ ao 1.2.1. Uma conex˜ao afim

  ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e uma aplica¸c˜ao ∇ : X(M) × X(M) −→ X(M)

  (X, Y ) Y

  X

  −→ ∇ que satisfaz as seguintes propriedades: (a) Z = f Z + g Z;

  f X+gY

  X Y

  ∇ ∇ ∇ (b)

  X (Y + Z) =

  X Y +

  X Z;

  ∇ ∇ ∇ (c) (f Y ) = f Y + X(f )Y ,

  X X

  ∇ ∇ onde X, Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ D(M). Proposi¸c˜ ao 1.2.1. Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇. Ent˜ao existe uma ´ unica correspondˆencia que associa a um campo vetorial V ao longo

  DV da curva diferenci´avel c : I ao longo de c, denomi- → M um outro campo vetorial dt nado derivada covariante de V ao longo de c, tal que

  D DV DW

  • (a) (V + W ) = ; dt dt dt

  D df DV (b) (f V ) = V + f ; dt dt dt (c) Se V ´e um campo vetorial induzido de Y

  ∈ X(M), isto ´e, V (t) = Y (c(t)), ent˜ao DV dc

  = Y, ∇ dt dt onde V, W s˜ao campos vetoriais ao longo de c e f : I

  → R ´e uma fun¸c˜ao dife- renci´avel. Defini¸c˜ ao 1.2.2. Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim

  ∇. Um DV campo vetorial V ao longo de uma curva c : I = 0 para

  → M ´e paralelo quando dt todo t ∈ I. Defini¸c˜ ao 1.2.3. Sejam M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim e h , i uma m´etrica Riemanniana. A conex˜ao

  ∇ ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h , i quando para toda curva diferenci´avel c e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P ao longo de c, tivermos hP, P i = k, onde k ´e uma constante.

  Proposi¸c˜ ao 1.2.2. Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conex˜ao ∇ em M ´e compat´ıvel com a m´etrica se, e somente se, para todo par V, W de campos de vetores ao longo da curva diferenci´avel c : I

  → M, tem-se d DV DW V, + , W , t (1.3) hV, W i = ∈ I. dt dt dt

  Corol´ ario 1.2.1. Uma conex˜ao ∇ em uma variedade Riemanniana M ´e compat´ıvel com a m´etrica se, e somente se,

  X Y, Z Z

  X X hY, Zi = h∇ i + hY, ∇ i , X, Y, Z ∈ X(M).

  Defini¸c˜ ao 1.2.4. Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e dita sim´etrica quando

  X Y Y X = [X, Y ] para todo X, Y ∇ − ∇ ∈ X(M).

  Teorema 1.2.1 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma ´ unica conex˜ao afim ∇ em M sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana.

  Tal conex˜ao ´e denominada conex˜ao de Levi-Civita (ou Riemanniana) de M . Defini¸c˜ ao 1.2.5. Uma curva parametrizada γ : I

  → M ´e uma geod´esica em t ∈ I se D dγ

  = 0 no ponto t ; se γ ´e geod´esica em t, para todo t ∈ I, dizemos que γ ´e uma dt dt geod´esica.

  Exemplo 1.2.1. Podemos mostrar que qualquer geod´esica do parabol´oide de revolu¸c˜ao que n˜ao ´e meridiano se auto-intersecta uma infinidade de vezes.

  Figura 1.3: Geod´esicas de um parabol´oide O pr´oximo resultado permite introduzirmos o conceito de aplica¸c˜ao exponencial. Proposi¸c˜ ao 1.2.3. Dado p

  ∈ M, existem uma vizinhan¸ca V de p em M, um n´umero ǫ > 0 e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel,

  γ : ( −2, 2) × U → M, onde p M,

  U = {(p, w) ∈ T M; p ∈ V, w ∈ T |w| < ǫ}, tal que t → γ(t, p, w), t ∈ (−2, 2), ´e a ´ unica geod´esica de M que no instante t = 0 passa por p com velocidade w, para cada p M ,

  p ∈ V e cada w ∈ T |w| < ǫ.

  Sejam p ∈ M e U ⊂ T M um aberto dado pela Proposi¸c˜ao 1.2.3. Ent˜ao a aplica¸c˜ao exp :

  U → M, dada por v exp(p, v) = γ(1, p, v) = γ , (p, v)

  |v|, p, ∈ U, |v|

  ´e chamada a aplica¸c˜ao exponencial em U.

  A aplica¸c˜ao exponencial ´e diferenci´avel e usaremos a restri¸c˜ao da exp a um aberto do espa¸co tangente T M , isto ´e, definiremos

  p

  exp : B (0) M

  

ǫ p

p ⊂ T → M

  por exp (v) = exp(p, v). De agora em diante, indicaremos por B (0) uma bola aberta

  ǫ p

  de centro na origem 0 de T p M e de raio ǫ. Al´em da exp ser diferenci´avel, temos que

  p exp (0) = p. p

  Geometricamente, exp (v) ´e o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual

  p

  v a . |v|, a partir de p, sobre a geod´esica que passa por p com velocidade igual a

  |v| Figura 1.4: A aplica¸c˜ao exponencial Proposi¸c˜ ao 1.2.4. Dado p : B (0) M

  ǫ p

  ∈ M, existe um ǫ > 0 tal que exp p ⊂ T → M ´e um difeomorfismo da bola B (0) de centro na origem de T M e raio ǫ sobre um aberto

  

ǫ p

de M. n

  Exemplo 1.2.2. Se M = R , a deriva¸c˜ao covariante coincide com a usual. Assim, as geod´esicas s˜ao retas parametrizadas proporcionalmente ao comprimento de arco e a exponencial ´e a identidade. Lema 1.2.1 (de Gauss). Sejam p M tal que exp v esteja definida. Seja

  p

  ∈ M e v ∈ T p w M (T M ). Ent˜ao

  p v p

  ∈ T ≈ T (dexp ) (v), (dexp ) (w) =

  v v p p hv, wi .

  Seja V M uma vizinhan¸ca da origem tal que exp ´e um difeomorfismo. O

  p p

  V

  ⊆ T | conjunto U = exp (V ) ´e denominado vizinhan¸ca normal (ou geod´esica) de p. Se B (0) ´e

  ǫ p

  a bola de centro na origem de T M e raio ǫ, ent˜ao B (p) = exp (B (0)) ´e denominado

  p ǫ ǫ p

  bola normal (ou geod´esica) de centro p e raio ǫ.

  Figura 1.5: Bolas geod´esicas Observa¸c˜ ao 1.2.1. Decorre, usando o Lema de Gauss, que a fronteira de uma bola normal S (p) = exp (∂B (0)) ´e uma hipersuperf´ıcie (subvariedade de codimens˜ao 1) em

  ǫ ǫ p

  M ortogonal as geod´esicas que partem de p, a qual denominamos esfera normal (ou geod´esica) de centro p e raio ǫ. Defini¸c˜ ao 1.2.6. Uma variedade Riemanniana M ´e (geodesicamente) completa se para todo p est´a definida para todo v M , isto ´e, se as

  ∈ M, a aplica¸c˜ao exponencial exp ∈ T p

  p

  geod´esicas γ(t) que partem de p est˜ao definidas para todo t ∈ R. Defini¸c˜ ao 1.2.7. Dizemos que um conjunto , ..., X

  1 n

  {X } de campos de vetores ´e um

  X referencial quando todo X a X . O referencial

  i i

  ∈ X(M) pode ser escrito como X =

  i

  ´e dito ortonormal quando (p), X (p) , para todo i, j = 1, ..., n e p

  i j ij

  hX i = δ ∈ M. Um referencial geod´esico em p , ..., e

  1 n

  ∈ M ´e o campo de vetores ortonormais {e } ∈ X(M) definidos numa vizinhan¸ca V e (p) = 0,

  e i j ⊂ M de p, tal que ∇ ∀i, j = 1, ..., n.

1.3 Operadores Diferenci´ aveis

  Nesta se¸c˜ao, definiremos operadores importantes num contexto de variedades. Apre- sentaremos tamb´em algumas propriedades desses operadores. Ao longo desta se¸c˜ao, M ser´a uma variedade Riemanniana. Defini¸c˜ ao 1.3.1. Seja f

  ∈ D(M). Definimos o gradiente de f como o campo de vetores grad f tal que

  M f (p), v (v), p M. p p

  hgrad M i = df ∈ M, v ∈ T Resulta da defini¸c˜ao, que para todo X f

  ∈ X(M), grad M ∈ X(M) ´e o ´unico campo de vetores tangentes e diferenci´aveis sobre M caracterizado por

f, X hgrad M i = X(f).

  Proposi¸c˜ ao 1.3.1. O gradiente satisfaz `as seguintes propriedades: (a) grad (f + g) = grad f + grad g;

  M M M

  (b) grad (f g) = f grad g + ggrad f ;

  M M M q q−1

  (c) grad (f ) = qf grad f ;

  M M

  (d) Se , ..., e

  1 n

  {e } ´e um referencial ortonormal em M, ent˜ao

  n

  X grad f = e (f )e

  i i M i=1 q

  para quaisquer f, g = f f...f ,

  ∈ D(M) e todo inteiro positivo q. Aqui denotamos f q-vezes. Demonstra¸c˜ ao. Consideremos f, g ∈ D(M) e X ∈ X(M).

  (a) (f + g), X f, X

  g, X hgrad M i = X(f + g) = X(f) + X(g) = hgrad M i + hgrad M i = f + grad

  g, X hgrad M M i . (b) (f g), X g, X

  f, X hgrad M i = X(fg) = fX(g) + gX(f) = f hgrad M i + g hgrad M i = g + ggrad

  f, X hfgrad M M i . (c) Demonstraremos a afirma¸c˜ao usando o processo de indu¸c˜ao finita. Se q = 1, n˜ao h´a nada a fazer. Se q = 2, usando o item (b), a equa¸c˜ao deste item ´e satisfeita. Agora, suponhamos que nossa igualdade vale para q

  − 1, isto ´e,

  

q−1 q−2

  grad (f ) = (q grad f.

  − 1)f

  M M

  Usando o item (b) e a igualdade anterior, temos

  

q q−1 q−1 q−1

  grad (f ) = grad (f f ) = f grad f + f grad f

  M M M M q−2 q−1

  = f (q grad f + f grad f − 1)f M M

  q−1

  = qf grad f.

  M

  n

  X (d) Seja , ..., e M . Ent˜ao grad f = a e , onde

  1 n p i i

  {e } uma base ortonormal de T M

  i=1

  a =

  f, e

  i i

  hgrad M i. Por outro lado, usando a Defini¸c˜ao 1.3.1,

  f, e i i ) = e i (f ), hgrad M i = df(e o que conclui nossa demonstra¸c˜ao.

  Defini¸c˜ ao 1.3.2. Definimos o tra¸co de um operador T : V → V , onde V ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita com produto interno, como sendo o tra¸co de qualquer matriz associada a T .

  Note que se , ..., e

  1 n

  {e } ´e uma base ortonormal de V , ent˜ao

  n

  X T (v) = .

  i i

  hT (v), e i e

  i=1

  Como as colunas da matriz de T na base , ..., e ), podemos escrever

  1 n i

  {e } s˜ao vetores T (e a matriz do operador T na base , ..., e

  1 n

  {e } como ( ), e

  i j n×n

  hT (e i)

  e, portanto,

  n

  X tr T = ), e

  i i hT (e i . i=1

  Defini¸c˜ ao 1.3.3. Seja X X :

  M

  ∈ X(M). Definimos a divergˆencia como a fun¸c˜ao div M

  → R dada por div X(p) = tr (Y (p) X(p)), p

  M Y → ∇ ∈ M.

  Se , ..., e M , ent˜ao

  1 n p

  {e } ´e uma base ortonormal de T

  

n

  X div X = X, e

  

M e i i

h∇ i .

i=1

  Proposi¸c˜ ao 1.3.2. A divergˆencia satisfaz `as seguintes igualdades: (a) div (X + Y ) = div X + div Y ;

  M M M

  (b) div (f X) = X(f ) + f div X =

  f, X

  X M M M hgrad M i + fdiv para quaisquer X, Y

  ∈ X(M) e f ∈ D(M); (c) Se , ..., e

  1 n

  {e } ´e um referencial geod´esico, ent˜ao

  n

  X div M X = e i (f i ),

  i=1

  X onde X = f e .

  i i i

  • X,
    • = f div

  f

  n

  X

  i=1

  e i n

  X

  j=1

  j

  j

  e

  j

  ! , e

  i

  n

  X

  i=1

  ! =

  e

  j=1

  , ..., e

  j=1

  f

  j

  e

  j

  , onde {e

  1

  n

  j

  } ´e um referencial geod´esico. Ent˜ao div

  M

  X = div

  M n

  X

  j=1

  f

  X

  f j ∇

  n

  (d) Hess(f

  −→ h∇

  X

  (grad

  M

  f ), Y i . Proposi¸c˜ ao 1.3.3. A Hessiana satisfaz `as seguintes propriedades:

  (a) Hessf (X + Y, Z) = Hessf (X, Z) + Hessf (Y, Z); (b) Hess(f + g)(X, Y ) = Hessf (X, Y ) + Hess g(X, Y ); (c) Hess(f g)(X, Y ) = f Hess g + gHessf + hX(f)grad M g, Y i + hX(g)grad M f, Y i;

  q

  Hessf : X(M ) × X(M) −→ C

  )(X, Y ) = q[f

  q−1

  Hessf (X, Y ) + hX(f

  q−1

  )grad

  M

  f, Y i]; (e) Hessf (X, Y ) = Hessf (Y, X) para quaisquer X, Y, Z

  (M ) (X, Y )

  Defini¸c˜ ao 1.3.4. Seja f ∈ D(M). Definimos a Hessiana de f por

  

e i e j , e i

  Como o referencial ´e geod´esico, obtemos div

  n

  X

  i=1

  n

  X

  j=1

  f j ! e j , e i

  M

  i ).

  X =

  n

  X

  i=1

  e

  i

  (f

  X

  (c) Seja X =

  ∈ X(M), f, g ∈ D(M) e todo inteiro q.

  M Y.

  e i

  Y, e

  i

  i = div

  M

  X + div

  (b) div

  i

  M

  (f X) =

  n

  X

  i=1

  h∇

  e i

  i + h∇

  X, e

  i

  h∇

  Demonstra¸c˜ ao. Consideremos X, Y ∈ X(M) e f ∈ D(M).

  (a) div

  M

  (X + Y ) =

  n

  X

  i=1

  e i

  e i

  (X + Y ), e

  

i

  i =

  n

  X

  i=1

  h∇

  (f X), e

  i =

  M X + X(f ).

  n

  he

  i

  (f )X, e

  i

  i = fdiv

  M

  X +

  X

  X

  i=1

  e

  i

  (f )e

  i

  M

  X + hX, grad M f i = fdiv

  i=1

  n

  

n

  i

  X

  

i=1

  hf∇

  e i

  X + e

  i

  (f )X, e

  i = f

  i +

  n

  X

  i=1

  h∇

  e i

  X, e

  i

    • =

  • n

  • e i
    • .

X+Y

  M

  g)), Y i = Hessf (X, Y ) + Hess g(X, Y ). (c) Hess(f g)(X, Y ) = h∇

  X

  grad

  M

  (f g), Y i = h∇

  X

  (f grad

  M

  g + ggrad

  f ), Y i = h∇

  (grad

  X (f grad M

  g), Y i + h∇

  X (ggrad M

  f ), Y i = hf∇

  X grad M

  g + X(f )grad

  M

  g, Y i

  X

  M

  X

  f + X(g)grad

  Y

  Demonstra¸c˜ ao. Sejam X, Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ D(M).

  (a) Hessf (X + Y, Z) = h∇

  (grad

  M

  f ), Z i = h∇

  X

  (grad

  M

  f ), Z i + h∇

  (grad

  f ), Y i + h∇

  M

  f ), Z i = Hessf (X, Z) + Hessf (Y, Z). (b) Hess(f + g)(X, Y ) = h∇

  X

  (grad

  M

  (f + g)), Y i = h∇

  X

  (grad

  M

  grad

  • hg∇

  M

  • hg∇

  )grad

  ∇

  X

  grad

  

M

  f, Y i + hX(f

  q−1

  )grad

  M

  f, Y i] = q[f

  q−1

  Hessf (X, Y ) + hX(f

  q−1

  f, Y i]. (e) Temos que

  M

  f ), Y i = q[ hf

  X hgrad M f, Y i = h∇

  X

  (grad

  M

  f ), Y i + hgrad M f,

  ∇

  X Y i .

  Usando as defini¸c˜oes de gradiente e Hessiana, obtemos

  XY f = Hessf (X, Y ) + ( ∇

  X Y )f,

  ou seja, Hessf (X, Y ) = XY f

  − (∇ X Y )f.

  q−1

  

M

  M

  X

  f, Y i = hf∇

  X

  grad

  M

  g, Y i + hX(f)grad M g, Y i

  grad

  M

  f, Y i + hX(g)grad M f, Y i

  = f Hessg + gHessf + hX(f)grad M g, Y i + hX(g)grad M f, Y i .

  (d) Hess(f

  q

  )(X, Y ) = h∇

  grad

  grad

  M

  (f

  q

  ), Y i = h∇

  X

  (qf

  q−1

  grad

  M

  f ), Y i = q h∇

  X

  (f

  q−1

  X Logo Hessf (X, Y ) Y )f X)f )

  X Y

  − Hessf(Y, X) = XY f − (∇ − (Y Xf − (∇ = (XY f ) Y X)f

  X Y

  − (Y Xf) − (∇ − ∇ = [X, Y ]f − [X, Y ]f = 0.

  Defini¸c˜ ao 1.3.5. Seja f ∈ D(M). Definimos o Laplaciano de f em M por ∆f = div (grad f ).

  

M

M

  Observe que se

  1 , ..., e n

  {e } ´e um referencial ortonormal, ent˜ao

  n

  X ∆f = div (grad f ) = tr (X (grad f )) = (grad f ), e

  M X e i i M 7→ ∇ M h∇ M i = tr(Hessf). i=1 O pr´oximo resultado ser´a ´ util para c´alculos posteriores.

  Teorema 1.3.1 (Teorema da Divergˆencia). Sejam M uma variedade Riemanniana com- pacta e X um campo de vetores definido em M . Ent˜ao Z div XdM = 0.

  M M

1.4 Curvaturas

  Apresentaremos uma defini¸c˜ao de curvatura que, intuitivamente, mede o quanto uma variedade Riemmaniana deixa de ser Euclidiana. Defini¸c˜ ao 1.4.1. A curvatura R de uma variedade Riemmaniana M ´e uma corres- pondˆencia que associa a cada par X, Y

  ∈ X(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X(M) → X(M) dada por R(X, Y )Z = Z Z + Z, Z

  Y

  X X Y [X,Y ]

  ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ ∈ X(M), onde ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M.

  O aparecimento do termo Z na defini¸c˜ao de curvatura est´a ligado ao fato de

  [X,Y ]

  ∇ desejarmos que a aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X(M ) → X(M) seja linear. De agora em diante, usaremos a nota¸c˜ao hR(X, Y )Z, T i = (X, Y, Z, T ).

  Relacionado com o operador curvatura est´a a curvatura seccional (ou Riemanniana). Proposi¸c˜ ao 1.4.1. Sejam σ M um subespa¸co bidimensional do espa¸co tangente

  p

  ⊂ T T M e x, y

  p

  ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Ent˜ao (x, y, x, y)

  K(x, y) =

  2

  |x ∧ y| q

  2

  2

  2

  n˜ao depende da escolha dos vetores x, y representa

  ∈ σ. Aqui |x∧y| = |x| |y| − hx, yi a ´area do paralelogramo bidimensional determinado pelo par de vetores x, y ∈ V , onde V ´e um espa¸co vetorial.

  O n´ umero real K(x, y) = K(σ) ´e chamado curvatura seccional de σ em p. Defini¸c˜ ao 1.4.2. As variedades completas com curvatura seccional constante s˜ao chamadas formas espaciais.

  Entres as variedades Riemannianas, aquelas de curvatura seccional constante s˜ao as

  n n n

  mais simples. Al´em disso, o teorema a seguir mostra que as variedades R , S e H s˜ao as ´ unicas variedades Riemannianas completas, simplesmente conexas com curvatura seccional constante.

  n

  Teorema 1.4.1. Seja M uma variedade Riemanniana completa e de curvatura seccional constante K. Ent˜ao, o recobrimento universal f M de M , com a m´etrica do recobrimento, ´e isom´etrico a:

  n

  (a) H , se K = −1;

  n

  (b) R , se K = 0;

  n (c) S , se K = 1.

1.5 Imers˜ oes Isom´ etricas

  Nesta se¸c˜ao, consideraremos a seguinte situa¸c˜ao. Seja f : M → M uma imers˜ao de uma variedade diferenci´avel M de dimens˜ao n em uma variedade Riemanniana M de dimens˜ao igual a k = n + m. Estudaremos as rela¸c˜oes entre as geometrias de M e de M .

  n+m=k n

  Seja f : M uma imers˜ao. Pela forma local das imers˜oes, para cada → M p

  ∈ M, existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que f(U) ⊂ M ´e uma subvariedade de M . Em outras palavras, existem uma vizinhan¸ca U

  ⊂ M de f(p) e um difeomorfismo

  k ϕ : U .

  → V ⊂ R Identificaremos U com f (U ) e cada vetor v M, q (v) M . Para

  q q f (q)

  ∈ T ∈ U, com df ∈ T cada p M decomp˜oe T M na soma direta

  

p p

  ∈ M, o produto interno em T T M = T M M ) ,

  p p p ⊥ ⊥ ⊕ (T onde T p M = df p (T p M ) e (T p M ) = (df p (T p M )) ´e o complemento ortogonal de T p M em

  T M . Portanto, cada vetor v M pode ser decomposto de modo ´ unico como

  p p

  ∈ T

  T N v = v + v , T N onde v p M e v p M ) .

  ∈ T ∈ (T

  T N

  Denominamos v a componente tangencial de v e v a componente normal de v. Tal decomposi¸c˜ao ´e diferenci´avel no sentido que as aplica¸c˜oes de T M em T M dadas por

  T N

  (p, v) ) e (p, v) ) → (p, v → (p, v s˜ao diferenci´aveis.

  Sejam ∇ a conex˜ao Riemanniana de M, X, Y campos locais de vetores em M e X, Y extens˜oes locais a M . Definimos

  T Y = ( Y ) .

  X

  ∇ ∇

  X Seja X(U ) o conjunto dos campos de vetores em U normais a f (U )

  ≈ U. A aplica¸c˜ao B : X(U ) dada por

  × X(U) B(X, Y ) = Y

  X Y

  ∇ − ∇

  X ´e um campo local em M normal a M .

  A aplica¸c˜ao B n˜ao depende das extens˜oes X, Y . Proposi¸c˜ ao 1.5.1. A aplica¸c˜ao B ´e bilinear e sim´etrica. Demonstra¸c˜ ao. Dados g

  ∈ D(U) e X, Y, Z ∈ X(U), sejam g, X, Y , Z suas respectivas extens˜oes locais a M . Temos que B(X, Y ) = Y

  X Y

  ∇ − ∇

  X

  = Y X +

  X Y

  X X Y Y X) ∇ − ∇ ∇ − ∇ − (∇ − ∇

  X Y Y

  = [X, Y ] + B(Y, X) − [X, Y ]. Como [X, Y ] = [X, Y ] em M ,

  B(X, Y ) = B(Y, X), ou seja, B ´e sim´etrica. Al´em disso, B(gX, Y ) = Y Y = g Y Y = gB(X, Y ).

  gX

  X

  ∇ gX − ∇ ∇

  X − g∇

  Usando a simetria de B, B(X, gY ) = B(gY, X) = gB(Y, X) = gB(X, Y ). Temos tamb´em que

  B(X + Y, Z) = Z Z

X+Y

  ∇ X+Y − ∇ = Z + Z + Z Z

  X Y

  ∇

  X ∇ ∇ Y − ∇

  = B(X, Z) + B(Y, Z) e como B ´e sim´etrica, obtemos B(X, Y + Z) = B(X, Y ) + B(X, Z). Portanto, B ´e bilinear.

  ⊥ Agora, podemos definir a segunda forma fundamental. Sejam p M ) . p

  ∈ M e η ∈ (T Usando a Proposi¸c˜ao 1.5.1, a aplica¸c˜ao H : T M M

  η p p

  × T → R dada por H η (x, y) = p M hB(x, y), ηi , x, y ∈ T

  ´e uma forma bilinear sim´etrica. Defini¸c˜ ao 1.5.1. A forma quadr´atica II η definida em T p M por

  II (x) = H (x, x)

  η η ´e denominada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor normal η.

  Como a aplica¸c˜ao H η ´e bilinear sim´etrica, existe uma ´ unica aplica¸c˜ao auto-adjunta S : T M M associada a H tal que

  η p p η

  → T

  η (x), y η (x, y) = hS i = H hB(x, y), ηi .

  A aplica¸c˜ao S ´e denominada operador de Weingarten de f .

  η

  Proposi¸c˜ ao 1.5.2. Sejam p M e η M ) . Seja N uma extens˜ao local

  p p

  ∈ M, x ∈ T ∈ (T de η normal a M . Ent˜ao

  T S (x) = N ) . η x

  −(∇ Exemplo 1.5.1. No caso particular em que a codimens˜ao da imers˜ao ´e 1, ou seja,

  n+1 n

  f : M , f (M ) → M ⊂ M ´e denominada uma hipersuperf´ıcie. Neste caso, sejam p M ) com : T M M

  p η p p

  ∈ M e η ∈ (T |η| = 1. Como S → T ´e sim´etrica, existe uma base ortonormal de autovetores , ..., e M associada a

  1 n p

  {e } de T autovalores reais λ , ..., λ , isto ´e, S (e ) = λ e , 1

  1 n η i i i

  ≤ i ≤ n. Se M e M est˜ao previamente orientadas, ent˜ao η est´a determinado de modo ´ unico se exigirmos que , ..., e

  1 n

  {e } esteja na orienta¸c˜ao de M . Deste modo, denominamos os e dire¸c˜oes principais e os λ = k

  i i i curvaturas principais de f . As fun¸c˜oes sim´etricas de λ , ..., λ s˜ao invariantes da imers˜ao. 1 n

  Por exemplo, det(S η ) = λ

  1 ...λ n ´e denominada a curvatura de Gauss-Kronecker de f e

  1 (λ + ... + λ ) ´e denominada curvatura m´edia de f .

  1 n n

  Defini¸c˜ ao 1.5.2. Uma imers˜ao f : M → M ´e geod´esica em p ∈ M se, para todo η M ) , a segunda forma fundamental II ´e identicamente nula em p. A imers˜ao f

  p η

  ∈ (T ´e totalmente geod´esica se ela ´e geod´esica para todo p ∈ M.

  Proposi¸c˜ ao 1.5.3. Uma imers˜ao f : M → M ´e geod´esica em p ∈ M se, e somente se, toda geod´esica γ de M partindo de p ´e geod´esica de M em p.

  T

  Vimos que a componente tangente de η ´e dada por ( η) = (X). Estudare-

  

X

X η

  ∇ ∇ −S mos agora a componente normal de η, a qual denominamos a conex˜ao normal η

  X

  ∇ ∇

  X

  da imers˜ao, isto ´e,

  N T η = ( η) = η η) = η + S (X).

  X X

  X X η

  ∇

  X ∇ ∇ − (∇ ∇

  ⊥

  Denotando por X(M ) o espa¸co dos campos diferenci´aveis de vetores normais a M , podemos considerar a segunda forma fundamental com um tensor B : X(M ) × X(M) ×

  X (M )

  → D(M), definido por B(X, Y, η) = hB(X, Y ), ηi . Podemos estender a defini¸c˜ao de derivada covariante a este tipo de tensor de maneira natural ( B)(Y, Z, η) = X(B(Y, Z, η)) Y, Z, η) Z, η) η).

  X X

  X

  ∇ − B(∇ − B(Y, ∇ − B(Y, Z, ∇

  X Proposi¸c˜ ao 1.5.4 (Equa¸c˜ao de Codazzi). Com a nota¸c˜ao anterior, temos R(X, Y )Z, η = ( B)(X, Z, η) B)(Y, Z, η).

  Y

  X

  ∇ − (∇ Corol´ ario 1.5.1. Se o espa¸co ambiente M tem curvatura seccional constante, a equa¸c˜ao de Codazzi se reduz a

  ( B)(Y, Z, η) = ( B)(X, Z, η).

  X Y

  ∇ ∇

  Cap´ıtulo 2

F´ ormulas Integrais para a Curvatura

r-M´ edia

  Neste cap´ıtulo, definiremos a r-´esima transforma¸c˜ao de Newton, o operador lineariza- do L e demonstraremos algumas propriedades desses operadores. Al´em disso, ser˜ao

  r obtidas f´ormulas integrais envolvendo a curvatura r-m´edia.

  2.1 A r-´ esima Transforma¸c˜ ao de Newton P

  r

  n n+1 n

  Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana M → N

  n+1

  na variedade Riemanniana N com segunda forma fundamental B. Sejam λ , ..., λ os

  1 n

  autovalores de B associados aos vetores e

  1 , ...e n . As fun¸c˜oes sim´etricas elementares S r

  associadas a B s˜ao definidas por

  X S = λ ...λ r

  

r i i

r 1 i <...<i 1

  e a curvatura r-m´edia ´e definida por

  1 H = S ,

  

r r

  n

  r

  n onde n r = . r

  Consideremos S = H = 1 e S r = H r = 0 se r /

  1 , S 2 e S n

  ∈ {0, 1, ..., n}. As fun¸c˜oes S s˜ao conhecidas como curvatura m´edia, escalar e de Gauss-Kronecker, respectivamente. Defini¸c˜ ao 2.1.1. A r-´esima transforma¸c˜ao de Newton P : T M M ´e definida,

  r p p

  → T indutivamente, por P = I e P = S I , r

  r r r−1 − BP ≥ 1.

  Se λ , ..., λ s˜ao autovalores de B, ent˜ao denotamos

  1 n

  S r (B j ) = S r (λ

  1 , ..., λ j−1 , λ j+1 , ..., λ n )

  a r-fun¸c˜ao elementar sim´etrica associada a restri¸c˜ao B de B ao subespa¸co ortogonal ao

  j autovetor correspondente e . j

  Finalizaremos esta se¸c˜ao demonstrando algumas propriedades envolvendo o operador P .

  r

  Proposi¸c˜ ao 2.1.1. A r-´esima transforma¸c˜ao de Newton P e a segunda forma funda-

  r mental B comutam.

  Demonstra¸c˜ ao. Faremos a demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao. O resultado ´e v´alido para P . Suponhamos que BP = P

  B. Assim

  r−1 r−1

  BP = B(S I ) = B(S

  I B) = S B B

  

r r r−1 r r−1 r r−1

  − BP − P − BP = (S r I r−1 )B = P r B.

  − BP Proposi¸c˜ ao 2.1.2. A r-´esima transforma¸c˜ao de Newton P ´e auto-adjunta.

  r

  Demonstra¸c˜ ao. A demonstra¸c˜ao ser´a feita por indu¸c˜ao. O resultado ´e v´alido para P = I. Suponhamos que P ´e auto-adjunta e sejam X, Y

  r−1 ∈ X(M). Ent˜ao r (X), Y r

  I r−1 )X, Y r X, Y r−1 (X), Y hP i = h(S − BP i = hS i − hBP i . Como B ´e uma forma bilinear, temos

  (X), Y Y (X), B(Y ) Y (B(Y ))

  r r r−1 r r−1

  hP i = hX, S i − hP i = hX, S i − hX, P i =

  I B)Y (Y )

  r r−1 r hX, (S − P i = hX, P i .

  Proposi¸c˜ ao 2.1.3. Sejam λ , i = 1, ..., n, os autovalores da segunda forma fundamental

  i

  B. Fixemos λ i , logo S (B ) = S S (B ).

  

r i r i r−1 i

  − λ Demonstra¸c˜ ao. Podemos dividir a soma S em duas parcelas, uma onde λ aparece

  r i

  e outra onde λ i n˜ao aparece. Assim, S r = A + λ i

  C. A primeira parcela ´e exatamente S (B ) e C ´e a soma cujas parcelas s˜ao somas de todos produtos de (r

  r i

  − 1) curvaturas principais, exceto λ , ou seja, ´e S (B ). Logo

  i r−1 i S = S (B ) + λ S (B ).

r r i i r−1 i

  Nosso pr´oximo resultado apresenta alguns resultados cl´assicos sobre os autovalores de P . A demonstra¸c˜ao destes resultados podem ser encontrados, por exemplo, em [5], p.

  r 279. Proposi¸c˜ ao 2.1.4. Para cada 1 ≤ r ≤ n − 1, temos

  (a) P (e ) = S (B )e para cada 1

  r i r i i

  ≤ i ≤ n;

  n

  X (b) tr(P ) = S (B ) = (n ;

  r r i r

  − r)S

  i=1 n

  X (c) tr(BP ) = λ S (B ) = (r + 1)S ;

  r i r i r+1 i=1 n

  X

  2

  2 (d) tr(B P ) = λ S (B ) = S S . r i r i

1 r+1 r+2

  − (r + 2)S

  i=1 Demonstra¸c˜ ao.

  (a) Demonstraremos por indu¸c˜ao, usando a identidade S r+1 (B i ) = S r+1 i S r (B i ).

  − λ Suponhamos que nossa igualdade vale para r, isto ´e, P (e ) = S (B )e . Mostraremos que

  r i r i i

  tamb´em vale para r + 1. De fato, P (e ) = S e (e ) = S e (B )e ) = S e (B )B(e )

  

r+1 i r+1 i r i r+1 i r i i r+1 i r i i

  − BP − B(S − S = S e (B )λ e = (S S (B ))e = S (B )e .

  r+1 i r i i i r+1 i r i i r i i

  − S − λ (b) Observemos que

  

n n n

  X X

  X tr(P r ) = r (e i ), e i r (B i )e i , e i S r (B i ). hP i = hS i =

  

i=1 i=1 i=1

  A fim de demonstrarmos a segunda igualdade, consideremos S e S (B ) polinˆomios ho-

  r r i

  mogˆeneos nas vari´aveis λ i ’s. Cada monˆomio λ j λ j ...λ j r de S r tamb´em ´e um monˆomio de 1 2 S (B ) para i / , j , ..., j

  r i

  1 2 r

  ∈ {j }. Como temos exatamente (n − r) termos, conclu´ımos este item. (c) Temos que

  

n n n n

  X X

  X X tr(BP ) = (e ), e (e ), B(e ) (B )e , λ e λ S (B ).

  r r i i r i i r i i i i i r i

  hBP i = hP i = hS i =

  

i=1 i=1 i=1 i=1

  Por outro lado, tr(P r+1 ) = tr(S r+1 I r ) = tr(S r+1 I) r ),

  − BP − tr(BP isto ´e, tr(BP ) = nS ).

  r r+1 r+1

  − tr(P Logo, usando o item (b), obtemos tr(BP r ) = nS r+1 r+1 = (r + 1)S r+1 .

  − (n − (r + 1))S

  (d) Temos que

  

n n n n

  X X

  X X

  2

  2

  2

  2

  2 tr(B P ) = B P (e ), e = P (e ), B (e ) = S (B )e , λ e = λ S (B ). r r i i r i i r i i i r i i i

i=1 i=1 i=1 i=1

  Al´em disso,

  2

  2

  tr(BP ) = tr(B(S

  I P )) = tr(S BI) P ),

  r+1 r+1 r r+1 r

  − B − tr(B ou seja,

  2 tr(B P ) = S S ). r 1 r+1 r+1

  − tr(BP Portanto, usando o item (c), obtemos

  2 tr(B P ) = S S . r 1 r+1 r+2

  − (r + 2)S

2.2 Operador Linearizado L

  r Nesta se¸c˜ao, apresentaremos o operador L , essencial no nosso trabalho. Em seguida,

  

r

veremos alguns resultados gerais sobre este operador.

  Associado a cada transforma¸c˜ao de Newton P , temos um operador diferencial de r n segunda ordem L r : C (M ; R)

  → R, definido por L f = tr(P (Hessf )),

  r r onde Hessf ´e a matriz Hessiana da fun¸c˜ao f . n

  Se , ..., e , ent˜ao L pode ser escrito como

  1 n r

  {e } ´e uma base ortonormal de M

  n

  X L f = (grad f ), P (e )

  r e i r i h∇ M i . i=1

  Denominamos este operador de operador linearizado L r . Em particular, quando r = 0, L f = ∆f . Por este motivo, dizemos que este operador generaliza, em certo sentido, o Laplaciano. Tal operador foi introduzido por Voss na conex˜ao com argumentos varia- cionais, ver [19].

  n

  Proposi¸c˜ ao 2.2.1. Sejam f, g : M → R fun¸c˜oes suaves. Ent˜ao

  q q−1 q−1

  (a) L (f ) = q(f L f + (grad f ), grad f

  r r r

  hP M M i) para algum inteiro positivo q; (b) L (f g) = f L g + gL f + 2 (grad f ), grad g

  r r r r hP M M i.

  • P
    • # = q(f

  [ hg∇

  (e

  i

  ) i + he

  i

  (f )grad

  M

  g, P

  r

  (e

  i

  ) i]

  X

  i=1

  e i grad M

  g, P

  f, P r (e i ) i + he

  i (g)grad M

  f, P r (e i ) i] = f

  n

  X

  i=1

  h∇

  e i grad M

  g, P r (e i ) i +

  M

  g),

  n

  X

  r

  M

  e i (f )e i

  X

  n

  X

  i=1

  h∇

  e i

  (f grad

  M

  g), P

  r

  (e

  i

  ) i +

  n

  i=1

  grad

  h∇

  e i

  (ggrad

  M

  f ), P

  r

  (e

  i

  ) i =

  n

  X

  i=1

  [ hf∇

  e i

  i=1

  n

  i

  ◦ x : M

  f ), grad

  M

  g i). Sejam M

  n

  e N

  n+1

  variedades Riemannianas orientadas e x : M

  n

  → N

  n+1

  uma imers˜ao isom´etrica. Consideremos a identifica¸c˜ao usual de Y ∈ T

  p M com dx p (Y ) e seja F : N

  → R uma fun¸c˜ao suave. Se considerarmos a composi¸c˜ao f = F

  n

  (grad

  → R, temos que em p ∈ M, hgrad M f, Y i (p) = df

  p

  (Y ) = d(F ◦ x)

  p

  Y = dF

  x(p)

  dx

  p

  Y = hgrad N F, Y i (x(p)) ∀ Y ∈ T

  p

  M, onde grad

  M

  e grad

  

M

  r

  X

  (grad

  i=1

  h∇

  e i grad M

  f, P r (e i ) i +

  M

  f ),

  n

  X

  i=1

  e i (g)e i

  r

  f + hP

  r

  M

  f + 2 hP

  g), grad

  

M

  f i + gL

  r

  f + hP

  r

  (grad

  M

  f ), grad

  M

  g i = f L

  r

  f + gL

  r

  ) i =

  (e

  N denotam o gradiente em M e o gradiente em N , respectivamente. Assim grad F = grad f + (grad F ) , (2.1)

N M N

onde (grad F ) significa a parte normal do grad F .

  q−1

  q−1

  grad

  M

  f ), P

  r

  (e

  i

  ) = q

  "

  n

  X

  i=1

  f

  ∇

  e i

  e i

  grad

  M

  f, P

  

r

  (e

  i

  ) +

  n

  X

  i=1

  e

  i

  (f

  ∇

  q−1

  n

  Demonstra¸c˜ ao. Seja {e

  1

  , ..., e

  n

  } uma base ortonormal de M

  n .

  (a) Usando a defini¸c˜ao de L

  r

  , temos que L

  r

  (f

  q

  ) =

  X

  i=1

  i=1

  h∇

  e i

  (grad

  M

  f

  q

  ), P

  r

  (e

  i

  ) i = q

  n

  X

  (f

  )grad

  r

  (f g), P

  q−1 ).

  (b) Usando a defini¸c˜ao de L

  r

  , obtemos que L

  r

  (f g) =

  n

  X

  i=1

  h∇

  e i

  grad

  M

  r

  M

  (e

  i

  ) i =

  n

  X

  i=1

  h∇

  e i

  (f grad

  M

  g + ggrad

  M

  f ), P

  f

  f ), grad

  M

  f ),

  f, P

  r

  (e

  i

  ) #

  = q " f

  q−1

  L

  r

  f +

  r

  (grad

  M

  n

  M

  X

  i=1

  e

  i

  (f

  q−1

  )e

  i

  q−1

  L

  r

  f + P

  r

  (grad

  • n
    • P r (grad

  • g
    • P r (grad

  • = f L

  N N

  Sejam ∇ a derivada covariante em N e B a segunda forma fundamental de x. A matriz de B com respeito `a base ortonormal , ..., e

  1 n

  {e } ´e dada por h = e , η , i, j = 1, ..., n,

  ij e i j

  ∇ onde η ´e o campo vetorial normal unit´ario.

  O pr´oximo resultado pode ser encontrada em [3], Lema 2.1.

  n n+1

  Proposi¸c˜ ao 2.2.2. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica. Seja F : N → N

  → R uma fun¸c˜ao suave e consideremos f = F ◦ x : M → R. Para um referencial ortonormal

  , ..., e

  i n

  {e } numa vizinhan¸ca U ⊂ M, temos

  n

  X L f = Hess(F )(e , P (e )) + (r + 1)S

  F, η

  r i r i r+1

  hgrad N i ,

  i=1

  onde η denota o campo vetorial normal unit´ario da imers˜ao e grad ´e o gradiente em

  N N .

  Demonstra¸c˜ ao. Usando a defini¸c˜ao de L r , temos que

  n

  X L f = (grad f ), P (e )

  r e i r i

  h∇ M i

  i=1 n

  X = (grad f ) (grad f ) (grad f )], P (e ) .

  e i e i e i r i

  ∇ M − [∇ M − ∇ M

  i=1

  Como B(e , grad f ) = (grad f ) (grad f ), onde B a segunda forma funda-

  i e i e i M ∇ M − ∇ M

  mental da imers˜ao, obtemos que

  n

  X L f = (grad f ) , grad f ), P (e )

  

r e i i r i

  ∇ M − B(e M

  i=1 n

  X = (grad f ), P (e ) .

  ∇ e i r i

  M i=1

  Usando (2.1), obtemos

  n

  X L f = (grad F F ) ), P (e )

  r e i r i

  ∇ N − (grad N

  i=1 n n

  X X = e i grad

  F, P r (e i ) e i (grad F ) ), P r (e i ) ∇ N − ∇ N

  i=1 i=1 n n

  X X = Hess(F )(e , P (e )) (

  F, η (e )

  i r i e i r i

  − ∇ hgrad N i η), P

  i=1 i=1 n n

  X X = Hess(F )(e , P (e )) F, η (η), P (e ) .

  i r i e i r i

  − hgrad N i ∇

  i=1 i=1 Usando a Proposi¸c˜ao 1.5.2,

  n n

  X X L r f = Hess(F )(e i , P r (e i ))

  N i=1 i=1

  F, η i ), P r (e i ) − hgrad i h−B(e i .

  Lembrando que B ´e uma forma bilinear, temos que

  n n

  X X L f = Hess(F )(e , P (e )) +

  F, η , BP (e )

  

r i r i i r i

  hgrad N i he i

  i=1 i=1 n

  X = Hess(F )(e , P (e )) + F, η ).

  i r i r

  hgrad N i tr(BP

  i=1

  Como tr(BP ) = (r + 1)S , ver item (c) da Proposi¸c˜ao 2.1.4, conclu´ımos que

  r r+1 n

  X L f = Hess(F )(e , P (e )) + (r + 1)S

  F, η

  r i r i r+1 hgrad N i . i=1 n n+1

  Proposi¸c˜ ao 2.2.3. Sejam x : M uma imers˜ao isom´etrica e F : N → N → R uma fun¸c˜ao suave. Se f = F

  ◦ x : M → R, ent˜ao

  

q q−1 q−1

  L (f ) = q(F L f + P (grad f ), grad f ),

  r r r N N

  onde grad ´e o gradiente em N e q ´e inteiro positivo.

  N q q

  Demonstra¸c˜ ao. Seja , ..., e = (F ,

  1 n

  {e } um referencial ortonormal em M. Como f ◦x) usando a Proposi¸c˜ao 2.2.2, temos que

  n

  X

  q q q

  L (f ) = Hess(F )(e , P (e )) + (r + 1)S F , η

  r i r i r+1

  hgrad N i

  i=1 n

  X

  

q−1 q−1

  = q F Hess(F )(e , P (e )) + e (F )grad

  F, P (e )

  i r i i r i N i=1 q−1

  • (r + 1)S grad

  F, η

  r+1

  hqF N i

  n n

  X X

  

q−1 q−1

  = q F Hess(F )(e , P (e )) + q e (F )

  F, P (e )

  i r i i r i

  hgrad N i

  i=1 i=1 q−1

  • qF (r + 1)S

  F, η

  r+1

  hgrad N i

  n n

  X X

  

q−1 q−1

  = q F Hess(F )(e , P (e )) + q e (F )

  f, P (e )

  i r i i r i

  hgrad M i

  i=1 i=1 p−1

  • qF (r + 1)S

  F, η

  r+1

  hgrad N i

  • P
    • qF
    • qF

  uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana orientada M

  . Fixado um ponto p ∈ Q

  n+1 c

  , sejam ρ : Q

  n+1 c → R a fun¸c˜ao distˆancia geod´esica ao ponto p e x : M n

  → Q

  n+1 c

  n

  uma forma espacial Q

  . Definimos o vetor posi¸c˜ao X : M

  n

  → Q

  n+1 c

  com respeito a p por X(x(p)) = S

  c

  (ρ(p))grad

  n+1 c

  n+1

  ρ(p), onde S

  r

  hgrad N

  F, η i = q(F

  q−1

  L

  r

  f + P

  (grad

  Nesta se¸c˜ao, vamos considerar N

  N

  f ), grad

  N

  f

  q−1 ).

  r

  em Formas Espaciais

  Q

  c

  (r + 1)S

  n+1 c

  n

  → Q

  n+1 c

  uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanniana orientada M

  n

  em uma forma espacial Q

  . Ent˜ao

  Q ρ(p).

  1 c L r (θ c ) =

  −[(n − r)S

  r θ c (ρ) + (r + 1)S r+1 hX, ηi], se c 6= 0.

  Identificamos θ

  c

  com θ

  c ◦ ρ ◦ x.

  Proposi¸c˜ ao 2.3.1. Seja x : M

  (ρ(p))grad

  ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao y ′′ + cy = 0 com condi¸c˜oes iniciais y(0) = 0 e y (0) = 1, isto ´e, S

  −c , se c < 0. Denotaremos S

  c

  (ρ(p)) =           

  ρ(p), se c = 0; sen (ρ(p) √

  c) √ c

  , se c > 0; senh (ρ(p) √

  −c) √

  c

  c

  (ρ(p)) = θ

  c (ρ(p)).

  Os dois pr´oximos resultados s˜ao consequˆencias da Proposi¸c˜ao 2.2.2 e da Proposi¸c˜ao 2.2.3, com a condi¸c˜ao de N

  n+1

  ser uma forma espacial Q

  n+1 c

  . A partir desta se¸c˜ao X sempre ser´a o vetor posi¸c˜ao X(x(p)) = S

  r+1

  p−1

  Hess(F )(e

  (r + 1)S

  i

  (F

  q−1

  )e

  i

  p−1

  r+1

  i=1

  hgrad N

  F, η i = q

  n

  X

  i=1

  F

  e

  X

  q−1

  , P

  X

  i=1

  F

  q−1

  Hess(F )(e

  i

  

r

  n

  (e

  i

  )) + q

  r

  (grad

  M

  f ),

  q−1

  i

  = q

  (e

  F

  q−1

  Hess(F )(e

  i

  , P

  

r

  i

  X

  )) + q P

  r

  (grad

  M

  f ), grad

  M

  f

  i=1

  n

  , P

  M

  

r

  (e

  i

  )) + q P

  r

  (grad

  f ), grad

  F, η i = q

  N

  F

  q−1

  p−1

  (r + 1)S

  r+1

  hgrad N

  n

  • qF

2.3 Operador Linearizado L

  Demonstra¸c˜ ao. Considere F = θ , ..., e

  c 1 n

  ◦ ρ na Proposi¸c˜ao 2.2.2 e seja {e } um refe- rencial ortonormal numa vizinhan¸ca U ⊂ M. Ent˜ao

  n

  X L (θ ) = Hess(θ (ρ))(e , P (e )) + (r + 1)S grad θ (ρ), η .

  r c c i r i r+1 c Q i=1

  Inicialmente, observemos que Hess(θ (ρ))(e , P (e )) = (grad (θ (ρ))), P (e ) = (θ (ρ)grad ρ), P (e )

  

c i r i e i c r i e i r i

′ ′′ ∇ Q ∇ c Q

  = θ (ρ) e i grad ρ, P r (e i ) + θ (ρ) grad ρ, e i grad ρ, P r (e i )

   c ∇ Q c Q Q ′′ = θ (ρ)Hessρ(e i , P r (e i )) + θ (ρ) grad ρ, e i grad ρ, P r (e i ) . ′′ ′′ ′ c c Q Q

  Como S ´e solu¸c˜ao de y +cy = 0, temos que S (ρ)+cS (ρ) = 0. Lembrando que S = θ ,

  c c c c c

  obtemos ′ ′′ θ (ρ) = (ρ) e θ (ρ) = (ρ).

  c c c −cS c −cθ

  Logo Hess(θ c (ρ))(e i , P r (e i )) = c (ρ)Hessρ(e i , P r (e i ))

  −cS (ρ) grad ρ, e grad ρ, P (e ) .

  c i r i

  −cθ Q Q Usando o resultado

  θ (ρ)

  c

  Hessρ(X, Y ) = grad ρ, Y = [ grad ρ, X grad ρ, Y ], (2.2)

  X

  ∇ Q hX, Y i − Q Q S (ρ)

  c

  o qual pode ser encontrado em [14], p. 36, Proposi¸c˜ao 2.4.1, obtemos θ (ρ)

  c Hessρ(e , P (e )) = [ , P (e ) grad ρ, e grad ρ, P (e ) ]. i r i i r i i r i

  he i − Q Q S (ρ)

  c

  Portanto Hess(θ c (ρ))(e i , P r (e i )) = c (ρ)[ i , P r (e i ) grad ρ, e i grad ρ, P r (e i ) ]

  −cθ he i −

  Q Q

  (ρ) grad ρ, e grad ρ, P (e )

  c i r i

  −cθ Q Q = (ρ) , P (e ) −cθ c he i r i i .

  Assim

  n

  X L (θ ) = (ρ) , P (e ) grad θ (ρ), η

  r c −cθ c he i r i i + (r + 1)S r+1 c Q i=1

  = (ρ)tr(P ) + (r + 1)S θ (ρ)grad ρ, η

  c r r+1

  −cθ c Q = (ρ)tr(P ) + (r + 1)S (ρ)grad ρ, η

  c r r+1 c

  −cθ −cS Q = (ρ)tr(P )

  c r r+1 −cθ − c(r + 1)S hX, ηi .

  Como tr(P ) = (n , ver item (b) da Proposi¸c˜ao 2.1.4, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao.

  r − r)S r n n+1

  Proposi¸c˜ ao 2.3.2. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade → Q c

  n n+1

  Riemanniana orientada M em uma forma espacial Q . Ent˜ao

  c

  1

2 T T L = θ (ρ)[(n θ (ρ) + (r + 1)S P (X ), X para qualquer c.

  r c r c r+1 r

  |X| − r)S hX, ηi] − c

  2 T Aqui, designamos X como a componente tangente de X e identificamos X com X ◦ x.

  Demonstra¸c˜ ao. Observemos que ρ

  |grad Q | = 1,

  e, portanto,

  2 2 = S (ρ)grad ρ, S (ρ)grad ρ = (S (ρ)) .

  |X| c c c

  

Q Q

  Assim

  1

  1

  2

  2 L r = L r ((S c (ρ)) ).

  |X|

  2

  2 Usando a Proposi¸c˜ao 2.2.3, temos que

  1

  2 L ((S (ρ)) ) = S (ρ)L (S (ρ)) + P (grad S (ρ)), grad S (ρ) r c c r c r c c Q Q

  2 ′ ′ = S (ρ)L (S (ρ)) + P (S (ρ)grad ρ), S (ρ)grad ρ

  c r c r c Q c Q

  2 = S (ρ)L (S (ρ)) + (S (ρ)) P (grad ρ), grad ρ . c r c r c Q Q

  Como S (ρ) = θ (ρ), obtemos

  c c

  1

  2

  2 L ((S (ρ)) ) = S (ρ)L (S (ρ)) + (θ (ρ)) P (grad ρ), grad ρ . r c c r c c r Q Q

  2 A Proposi¸c˜ao 2.2.2 nos diz que

  n

  X L r (S c (ρ)) = Hess(S c (ρ))(e i , P r (e i )) + (r + 1)S r+1 grad S c (ρ), η

  Q i=1 n

  X = Hess(S (ρ))(e , P (e )) + (r + 1)S θ (ρ) grad ρ, η .

  c i r i r+1 c Q i=1

  Por outro lado, Hess(S (ρ))(e , P (e )) = (grad S (ρ)), P (e ) = (S (ρ)grad ρ), P (e )

  c i r i e i c r i e i r i

  ∇ Q ∇ c Q ′ ′′ = S (ρ) grad ρ, P (e ) + S (ρ) grad ρ, e grad ρ, P (e ) .

  e i r i i r i ′ ′′ c ∇ Q c Q Q

  Lembrando que S (ρ) = θ c (ρ) e S (ρ) = c , temos

  c c −cS Hess(S c (ρ))(e i , P r (e i )) = θ c (ρ)Hessρ(e i , P r (e i )) c (ρ) grad ρ, e i grad ρ, P r (e i ) .

  − cS

  Q Q

  Agora, usando (2.2), obtemos

  2

  (θ (ρ))

  c

  Hess(S (ρ))(e , P (e )) = [ , P (e ) grad ρ, e grad ρ, P (e ) ]

  

c i r i i r i i r i

  he i − Q Q S (ρ)

  c c (ρ) grad ρ, e i grad ρ, P r (e i )

  −cS Q Q

  • (r + 1)S
  • (r + 1)S c (ρ)S r+1 θ c (ρ) grad

  i

  i

  i hX, P

  r

  (e

  i

  ) i . Como

  X

  i

  hX, e

  i hX, P

  i=1

  r

  (e

  i

  ) i =

  X

  i

  hX, e

  i

  i

  r

  hX, e

  X

  i

  2

  ρ, P

  r

  (e

  i ) .

  Assim

  1

  2 L

  r

  |X|

  = (θ

  n

  c

  (ρ))

  2

  tr(P

  r

  ) + (r + 1)S

  

r+1

  θ

  c

  (ρ) hX, ηi − c

  (e

  ),

  grad

  i

  i

  =

  r

  (X

  T

  ),

  X

  

i

  hX, e

  i e

  T

  i

  r

  (X

  T

  ), X

  T

  e tr(P

  r

  ) = (n − r)S

  r , conclu´ımos a demonstra¸c˜ao.

  ), e

  (X

  X

  i P

  j

  hX, e

  j

  i e

  j

  X

  i

  hX, e

  i

  r

  r

  (e

  i

  ), X

  T

  =

  X

  i

  hX, e

  i

  i P

  Q

  i

  Agora, usando as proposi¸c˜oes anteriores, demonstraremos o pr´oximo resultado que ser´a essencial na Se¸c˜ao 2.4. n n+1

  Q ρ, η .

  ρ, P

  r

  (e

  i

  )

  r+1

  θ

  c

  (ρ) grad

  Logo

  grad

  1

  2 L

  r

  |X|

  2

  = (θ

  c

  (ρ))

  2

  tr(P

  Q

  i

  ) − (θ

  i − grad

  e, portanto, L r (S c (ρ)) =

  (θ c (ρ))

  2 S c

  (ρ)

  n

  X

  i=1

  [ he

  i , P r (e i )

  Q

  ρ, e

  ρ, e i grad

  Q

  ρ, P r (e i ) ] −cS

  c

  (ρ)

  n

  X

  i=1

  grad

  Q

  r

  c

  ρ, e

  Mas P

  r

  (e

  i

  )

  Q

  ρ, η + (θ c (ρ))

  2 P r (grad Q

  ρ), grad

  Q ρ .

  r

  Q

  (grad

  Q

  ρ), grad

  Q

  ρ =

  n

  X

  i=1

  grad

  Q

  ρ, P

  grad

  (ρ))

  r

  2 n

  X

  i=1

  grad

  Q

  ρ, e

  i

  grad

  Q

  ρ, P

  (e

  i

  i

  ) −c(S

  c

  (ρ))

  2 n

  X

  i=1

  grad

  Q

  ρ, e

  • P
    • =

  • P
    • = P

  Proposi¸c˜ ao 2.3.3. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Rie- → Q c

  n n+1

  manniana orientada M em uma forma espacial Q . Ent˜ao, para todo inteiro positivo

  c

  q,

  q " q−1

  hX, Xi hX, Xi (a) L = q (ρ)[(n θ (ρ) + (r + 1)S

  r c r c r+1

  {θ − r)S hX, ηi]

  2

  2 T T P (X ), X

  r

  −c #

  q−2

  hX, Xi

  2 T T

  • (q (θ c (ρ)) P r (X ), X ;

  − 1)

  2

  q q−1

  (b) L θ = q((θ (ρ)) [ θ (ρ) + (r + 1) )]

  r c r c r+1 c −c((n − r)S hX, ηi S q−2

2 T T

  • (q (ρ)) c P (X ), X ,

  c r

  − 1)(θ

  q q onde identificamos X com X com (θ c .

  ◦ x e θ c ◦ ρ ◦ x)

  q q Demonstra¸c˜ ao. Sejam X = X = (θ . c

  ◦ x e θ c ◦ ρ ◦ x) (a) Usando a Proposi¸c˜ao 2.2.3, temos que

  q " q−1

  hX, Xi hX, Xi hX, Xi L = q L

  r r

  2

  2

  2

  • # *

  q−1

  hX, Xi hX, Xi P grad + , grad .

  r Q Q

  2

  2 Como

  2

  1 (S c (ρ)) hX, Xi = S (ρ)grad ρ, S (ρ)grad ρ = ,

  c c Q Q

  2

  2

  2 temos que

  n

  2 X

  (S c (ρ)) ′ hX, Xi grad = grad = S c (ρ)S (ρ) grad ρ, e i e i

  Q Q Q c

  2

  2

  i=1 n

  X T = θ (ρ) = θ (ρ)X .

  c i i c

  hX, e i e

  i=1

  Por outro lado,

  

q−1 q−2

  hX, Xi hX, Xi hX, Xi grad = (q grad .

  Q − 1) Q

  2

  2

  2 Logo

  q−1 q−2

  hX, Xi hX, Xi T grad = (q θ X . (2.3)

  c Q − 1)

  2

  2 Usando a Proposi¸c˜ao 2.3.2, obtemos

  q " q−1

  hX, Xi hX, Xi L = q (ρ)[(n θ (ρ) + (r + 1)S

  r c r c r+1

  {θ − r)S hX, ηi]

  2

  2

  • # *

  q−2 T T T hX, Xi T

  P (X ), X P (θ (ρ)X ), (q θ (ρ)X

  r r c c

  −c } + − 1)

  2 "

  q−1

  hX, Xi = q (ρ)[(n θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1

  {θ − r)S hX, ηi]

  2 #

  q−2

  hX, Xi

  T T

  2 T T P r (X ), X (θ c (ρ)) P r (X ), X .

  −c } + (q − 1)

  2 (b) Temos que

  n n n

  X X

  X grad θ (ρ) = θ (ρ) grad ρ, e e = S (ρ)grad ρ, e e = .

  c i i c i i i i

Q c Q −c Q −c hX, e i e

i=1 i=1 i=1

  Assim

  T

  grad θ c = . (2.4)

  

Q −cX

  Logo, usando a Proposi¸c˜ao 2.2.3 e a Proposi¸c˜ao 2.3.1, conclu´ımos que

  

q q−1 q−1

  L (θ ) = q((θ (ρ)) L θ P (grad + θ (ρ)), grad (θ (ρ)) )

  r c c r c r c c Q Q q−1

  = q((θ (ρ)) [ θ (ρ) + (r + 1) )]

  c r c r+1

  −c((n − r)S hX, ηi S

  T q−2 T

  P ( + ), (q (ρ)) ( ) )

  r c

  −cX − 1)(θ −cX

  q−1

  = q((θ (ρ)) [ θ (ρ) + (r + 1) )]

  c r c r+1

  −c((n − r)S hX, ηi S

  q−2

2 T T +(q (ρ)) c P (X ), X ).

  c r

  − 1)(θ A fim de demonstrarmos as f´ormulas integrais, vamos obter mais dois resultados antes de demonstrarmos a ´ ultima proposi¸c˜ao desta se¸c˜ao.

  n n+1

  Lema 2.3.1. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemanni- → Q c

  n n+1

  ana orientada M em uma forma espacial Q . Ent˜ao, temos as seguintes identidades:

  

c

  (a) X = θ (ρ)e ;

  e j c j

  ∇ (b) X = θ (ρ)h η ;

  e i e j c ij i j

  ∇ ∇ − c hX, e i e

  X

  2

  (c) e i e j c (ρ)h ij e h ij k ∇ ∇ hX, ηi = −θ − ∇ k hX, e i − h hX, ηi,

  ij k

  onde η ´e o campo vetorial normal unit´ario e , ..., e

  1 n

  {e } ´e um referencial geod´esico em

  n M . Demonstra¸c˜ ao. Inicialmente, observamos que θ (ρ)

  c

  grad ρ = (e grad ρ, e grad ρ). (2.5)

  e i i i

  ∇ Q − Q Q S (ρ)

  c

  De fato, temos que

  n

  X

e i grad ρ = e i grad ρ, e j e j .

∇ Q ∇ Q

  j=1

  Usando (2.2) com X = e i e Y = e j , θ (ρ)

  c

  grad ρ, e = ( , e grad ρ, e grad ρ, e ),

  

e i j i j i j

  ∇ Q he i − Q Q S (ρ)

  c

  obtemos !

  X θ (ρ)

  c

  X grad ρ = , e grad ρ, e grad ρ, e e

  

e i i j j i j j

  ∇ Q he i e − Q Q S (ρ)

  c j j

  θ (ρ)

  c = (e grad ρ, e grad ρ). i i

  − Q Q S (ρ)

  c Agora, demonstraremos as identidades.

  (a) Usando (2.5), obtemos X = (S (ρ)grad ρ) = S (ρ) grad ρ + S (ρ) grad ρ, e grad ρ

  e j e j c c e j j

  ∇ ∇ Q ∇ Q c Q Q θ (ρ)

  c

  = S (ρ) (e grad ρ, e grad ρ) + θ (ρ) grad ρ, e grad ρ

  c j j c j

  − Q Q Q Q S (ρ)

  c

  = θ c (ρ)[e j grad ρ, e j grad ρ + grad ρ, e j grad ρ], − Q Q Q Q ou seja,

  X = θ (ρ)e .

  

e j c j

  ∇ (b) X = (θ (ρ)e ) = θ (ρ) e + θ (ρ) grad ρ, e e

  e i e j e i c j c e i j i j

  ∇ ∇ ∇ ∇ c Q = θ c (ρ) e e j , η η + e e j c (ρ) grad ρ, e i e j .

  ∇ i ∇ i − cS

  Q

  Como o referencial ´e geod´esico, obtemos X = θ (ρ)h η ,

  

e i e j c ij i j

  ∇ ∇ − c hX, e i e onde (h ) ´e a matriz da segunda forma fundamental B com respeito a e .

  ij i j i.

  ), e

  = θ

  −

  X

  k

  ( ∇

  e i h jk )

  hX, e

  k

  i −

  X

  k

  h

  2 ij hX, ηi

  c

  ∇

  (ρ)h

  ij

  − 2θ

  c

  (ρ)h

  ij

  −

  X

  

k

  ( ∇

  e i

  h

  jk

  e j e i , η

  c (ρ)

  k

  X

  (ρ)e

  j

  , ∇

  e i

  η + θ

  c

  (ρ)e

  i

  , ∇

  e j

  η

  X, −

  k

  − θ

  ( ∇ e i h

  jk

  )e

  

k −

  X

  k

  h

  2 ij

  η

  − θ

  c (ρ)

  ∇

  e i e j , η

  ) hX, e

  i −

  , η i + θ

  ij

  o (k, l)-elemento da r-´esima entrada da matriz (h

  ij

  ). Ent˜ao, para algum vetor x no dom´ınio de (h

  ij

  ), r ∇

  x

  S

  r+1

  =

  X

  ij

  h

  ( ∇

  ) e h

  x

  (P

  r

  )

  ij

  ), onde (P

  r

  )

  ij

  = hP

  r

  (e

  i

  r kl

  ij

  X

  k

  k

  h

  2 ij hX, ηi .

  Logo, usando o Corol´ario 1.5.1, ∇

  e i

  ∇

  e j

  hX, ηi = −θ

  c

  (ρ)h

  ij

  −

  X

  ∇

  a j-´esima fun¸c˜ao elementar sim´etrica dos autovalores de (h

  e k

  h

  ij

  hX, e

  k

  i − h

  2 ij hX, ηi .

  A demonstra¸c˜ao do pr´oximo resultado pode ser encontrada em [15], p. 489, Lema A. Lema 2.3.2. Suponhamos que (h

  ij

  ) ´e uma matriz sim´etrica n × n de fun¸c˜oes dife- renci´aveis reais em um conjunto aberto no R

  m

  . Seja S

  j

  c

  j

  (c) Consideremos o campo vetorial normal unit´ario η e o referencial geod´esico {e

  e i e k

  e

  k

  ! =

  −

  X

  k

  ( ∇

  e i h jk )e k

  −

  X

  

k

  h jk ∇

  = −

  h

  X

  k

  ( ∇

  e i

  h

  jk

  )e

  k

  −

  X

  

k

  h

  jk

  jk

  k

  e i

  k

  1

  , ..., e

  n

  } em M

  n

  . Ent˜ao ∇

  e i

  ∇

  e j η =

  ∇

  e i

  X

  ∇

  X

  e j η, e k e k

  ! =

  ∇

  e i

  −

  X

  k

  ∇

  e j e k , η e k

  ! =

  ∇

  e i

  −

  ∇

  e

  i e

  e i η +

  ( ∇

  e j

  X, η + X, ∇

  

e

j

  η ) =

  ∇

  e i

  ∇

  e j X, η +

  ∇

  e j X,

  ∇

  ∇

  ∇

  e i X,

  ∇

  e j η + X,

  ∇

  e i

  ∇

  e j η

  = hθ

  c

  (ρ)h

  ij

  η − c hX, e

  i

  e i ∇ e j hX, ηi = ∇ e i

  η. Portanto, usando os itens (a) e (b), obtemos

  k

  h

  , η η =

  −

  X

  k

  ( ∇

  e i

  h

  jk

  )e

  k

  −

  X

  

k

  jk

  

2

ij

  h

  ik

  η =

  −

  X

  k

  ( ∇

  e i

  h

  jk

  )e

  k

  − h

  • = θ c (ρ)h ij
n n+1

  Proposi¸c˜ ao 2.3.4. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade → Q c

  n n+1

  Riemanniana orientada M em uma forma espacial Q . Ent˜ao

  c

  L θ (ρ) S ) S , X

  r r+1 c 1 r+1 r+2 r+1 hX, ηi = −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi − hgrad M i . n

  Demonstra¸c˜ ao. Consideremos , ..., e . Inicial-

  1 n

  {e } um referencial geod´esico em M mente, temos que " #

  X grad e (

  e i e i k k

  ∇ M hX, ηi = ∇ hX, ηi)e

  k

  X = ( + e e .

  e i e k k k e i k

  ∇ ∇ hX, ηi)e hX, ηi)∇

  k

  Usando o item (c) do Lema 2.3.1, obtemos "

  X X

  2

e i grad c (ρ)h ik e k ( e h ik ) l k k

  ∇ M hX, ηi = −θ − ∇ l hX, e i e − h hX, ηi e

  ik k l

  • (e e , η η .

  k e i k

  hX, ηi) ∇ Logo

  X X

  2

  grad (e ) = (ρ) h , P (e ) h , P (e )

  

e i r j c ik k r j k r j

  ∇ M hX, ηi , P −θ he i − hX, ηi ik he i

  k k

  X ( h ) , P (e ) ∇ e l ik hX, e l i he k r j i .

  kl

  Portanto !

  X

  2 L (ρ)tr(BP ) P ) ( h P ) . r c r r e l ik r l

  hX, ηi = −θ − hX, ηi tr(B − tr ∇ hX, e i

  l

2 Como tr(BP r ) = (r + 1)S r+1 e tr(B P r ) = S

  1 S r+1 r+2 , obtemos

  − (r + 2)S !

  X L (ρ)(r+1)S S ) ( h P ) .

  r c r+1 1 r+1 r+2 e l ik r l

  hX, ηi = −θ −(S −(r+2)S hX, ηi−tr ∇ hX, e i

  l

  Afirmamos que !

  X tr ( h P ) = S , X

  e l ik r l r+1 ∇ hX, e i hgrad M i . l

  De fato, o Lema 2.3.2 implica

  X X r S = h ( (P ) ) = λ ( S (B ))

  

e l r+1 ik e l r ik k e l r k

  ∇ ∇ ∇

  ik k

  X X = e (λ k S r (B k )) ( e λ k )(S r (B k )),

  ∇ l − ∇ l

  k k onde λ e S (B ) s˜ao os autovalores de B e P , respectivamente. k r k r Como tr(BP ) = (r + 1)S , temos que

  r r+1 tr(BP ) = (r + 1) S .

e l r e l r+1

  ∇ ∇ Portanto

  X X r S = (λ S (B )) λ (S (B ))

  

e l r+1 e l k r k e l k r k

  ∇ ∇ − ∇

  

k k

  X = e tr(BP r ) e λ k (S r (B k ))

  ∇ l − ∇ l

  k = (r + 1) S h ((P ) )). e l r+1 e l ik r ik

  ∇ − tr(∇ Logo S = tr( h ((P ) )).

  

e l r+1 e l ik r ik

  ∇ ∇ Assim

  !

  X tr ( e h ik P r ) l = S r+1 , X ∇ l hX, e i hgrad M i ,

  l

  demonstrando a afirma¸c˜ao. Substituindo esta ´ ultima igualdade na express˜ao de L

  r

  hX, ηi, finalizamos o lema.

  n n+1

  Proposi¸c˜ ao 2.3.5. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade → Q c

  n n+1

  Riemanniana orientada M em uma forma espacial Q . Ent˜ao

  c q q−1

  L = q[ ( θ (ρ) S )

  r r+1 c 1 r+1 r+2

  hX, ηi hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi

  q−2

  2 T T

  S , X P (B (X )), X

  r+1 r

  − hgrad M i) + (q − 1) hX, ηi para todo inteiro positivo q.

  Demonstra¸c˜ ao. Usando o item (c) da Proposi¸c˜ao 1.3.1, temos " #

  n

  X

  q q−1 q−1

  grad = q grad e j j

  M hX, ηi hX, ηi M hX, ηi = q hX, ηi hX, ηi e j=1

  " #

  n

  X

  q−1

  = q ( + X, η X, η )e .

  e j e j j

  hX, ηi ∇ ∇

  j=1

  X Como η = h e , obtemos

  e j jk k

  ∇ −

  k

  X

  q q−1 grad = h jk k j . M hX, ηi −q hX, ηi hX, e i e jk

  Agora, observemos que

  X X

  X X

  T B(X ) = ) = h e = h . k k k jk j jk k j

  hX, e i B(e hX, e i hX, e i e

  k k j jk Logo

  q q−1 T

  grad = B(X ). (2.6)

  M hX, ηi −q hX, ηi

  Usando o item (a) da Proposi¸c˜ao 2.2.1 e a Proposi¸c˜ao 2.3.4, temos que

  q q−1 q−1

  L = q[ L P (grad ]

  r r r

  hX, ηi hX, ηi hX, ηi + M hX, ηi), grad M hX, ηi

  q−1

  = q[ ( θ (ρ) S )

  

r+1 c

1 r+1 r+2

  hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi

  q−2 T T

  S , X (B(X )), B(X ) .

  r+1 r

  − hgrad M i) + −P −(q − 1) hX, ηi Portanto

  q q−1

  L = q[ ( θ (ρ) S )

  r r+1 c 1 r+1 r+2

  hX, ηi hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi (2.7)

  q−2

  2 T T S , X P (B (X )), X .

  − hgrad r+1 i) + (q − 1) hX, ηi r

  M

2.4 F´ ormulas Integrais para a Curvatura r-M´ edia

  n n+1 n+1

  Nesta se¸c˜ao, consideraremos uma imers˜ao isom´etrica x : M , onde Q ´e → Q c c uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante c. Neste caso, como foi provado por Rosenberg em [17], p. 225, L ´e um operador linear dado pelo divergente de

  r

  um determinado campo, isto ´e, L (f ) = div (P (grad f ))

  r M r M

  para toda fun¸c˜ao suave f : M → R.

  Faremos uma demonstra¸c˜ao deste resultado na pr´oxima proposi¸c˜ao.

  n n+1

  Proposi¸c˜ ao 2.4.1. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica. O operador L ´e dado → Q

  r c

  pelo divergente de um determinado campo, isto ´e, L r (f ) = tr(P r (Hessf )) = div M (P r (grad f ))

  M

  para toda fun¸c˜ao suave f : M → R. Demonstra¸c˜ ao. Consideremos um referencial geod´esico , ..., e

  1 n

  {e } em M. Podemos escrever L como

  r

  X L f = (P ) f ,

  

r r ij ij

ij

  onde (P ) = (e ), e = Hessf (e , e ). Aqui, usaremos a nota¸c˜ao f = e (f ).

  

r ij r i j ij i j i i

  hP i e f Como (P ) f = ((P ) f ) ) f ,

  

r ij ij r ij i j r ijj i

  − (P temos que ! !

  X X

  X X

  X X L f = ((P ) f ) (P ) f = (P ) f (P ) f .

  

r r ij i j r ijj i r ij i r ijj i

  − −

  ij ij j i i j j

  Visto que

  X P (grad f ) = (P (grad f )) e ,

  

r r j j

M M

j

  vemos que

  X (grad f ), e (P (grad f )) δ = (P (grad f )) .

  

r i r j ij r i

  hP M i = M M

  j

  Por outro lado,

  X P r (grad f ) = f k P r (e k ).

  M k

  Logo

  X f (e ), e (grad f )) ,

  k r k i r i

  hP i = (P M

  k

  ou seja,

  X f (P ) = (P (grad f )) .

  k r ki r i M k

  Al´em disso, usando a defini¸c˜ao de divergente e lembrando que o referencial ´e geod´esico, obtemos que

  X X div (P (grad f )) = (P (grad f )) ) e (div P ) = (P ) .

  M r r j j M r i r ijj M M j j

  Portanto

  X X L f = (P (grad f )) ) (div P ) f = div (P (grad f )) P , grad f

  r r j j M r i i M r M r M − M − hdiv M i . j i

  Agora, basta mostrarmos que div M P r = 0. Vejamos:

  X X

  X div P = ( P )e = ( (S I ))e = ( (S I) (BP ))e .

  M r e i r i e i r r−1 i e i r e i r−1 i

  ∇ ∇ − BP ∇ − ∇

  i i i

  Temos que

e i (S r I)e i = e i (S r e i ) r I( e i e i ).

  ∇ ∇ − S ∇ Como o referencial ´e geod´esico,

  (S I)e = (S ) e e = (S ) e ,

  

e i r i r i i r e i i r i i

  ∇ − S ∇ ou seja, X (S I)e = grad S .

  e i r i r

  ∇ M

  i Por outro lado,

e i (BP r−1 )e i = e i (BP r−1 (e i )) r−1 e i e i = ( e i B)P r−1 (e i ) + B e i (P r−1 (e i )).

  ∇ ∇ − BP ∇ ∇ ∇

  X Inicialmente, vamos calcular ( e i B)P r−1 (e i ). Como B ´e auto-ajunta, e i B tamb´em ∇ ∇

  i

  ´e auto-ajunta, logo

  X X ( e i B)P r−1 (e i ), e j = r−1 (e i ), ( e i B)e j ∇ hP ∇ i .

  i i

  Usando a Equa¸c˜ao de Codazzi em formas espaciais, obtemos

  X X

  X ( B)P (e ), e = P (e ), ( B)e = ( B)(P (e )), e

  e i r−1 i j r−1 i e j i e j r−1 i i

  ∇ ∇ ∇

  i i i = tr(( B)(P )).

e j r−1

  ∇ Como tr(( e j B)(P r−1 )) = S r , e j

  ∇ hgrad M i, ver [17], p. 226, conclu´ımos que

  X ( B)P (e ) = grad S .

  ∇ e i r−1 i r

  M i

  Logo

  X X div M P r = grad S r S r B e i (P r−1 (e i )) = B e i (P r−1 (e i ))

  

M − grad M − ∇ − ∇

i i

  X X = B(( P )e + P e ) = ( P )e = P .

  e i r−1 i r−1 e i i e i r−1 i M r−1

  − ∇ ∇ −B ∇ −Bdiv

  i i

  Afirmamos que div P = 0. De fato, se r = 0, obtemos

  M r

  X X div P = div (I) = ( I)e = (Ie ) e .

  M M e i i e i i e i i

  ∇ ∇ − I∇

  i i Como o referencial ´e geod´esico, temos que div P = 0.

  M Usando indu¸c˜ao, vemos que div P = 0. M r

  Agora, obteremos duas f´ormulas integrais que s˜ao cruciais para a demonstra¸c˜ao do resultado principal desta se¸c˜ao.

  n n+1 n Proposi¸c˜ ao 2.4.2. Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica, onde M ´e compacta.

  → Q c

  

n

  Ent˜ao, para quaisquer fun¸c˜oes f e g em M , o operador L satisfaz

  r

  Z Z (a) (f L r g)dM = (gL r f )dM ; n n

  M M

  Z (b) (f L g + (grad f ), grad g

  r r n hP M M i)dM = 0.

  M n Demonstra¸c˜ ao. Consideremos as fun¸c˜oes f, g .

  ∈ M (a) Usando o item (b) da Proposi¸c˜ao 2.2.1 e o Teorema da Divergˆencia, temos que

  Z Z Z f L r gdM = gL r f dM r (grad f ), grad g n n n − − 2 hP M M i dM.

  M M M n

  Como M ´e compacta, Z Z 0 = div (gP (grad f ))dM = [ g, P (grad f ) (P (grad f ))]dM.

  M r r M r n n M hgrad M M i+gdiv M M M

  Logo Z Z (grad f ), grad g gL f dM.

  

r r

n n hP M M i dM = − M M

  Portanto Z Z Z Z f L gdM = gL f dM + 2 gL f dM = gL f dM.

  

r r r r

n n n n − M M M M

  (b) A demonstra¸c˜ao deste item segue diretamente do item (a). De fato, Z Z f L gdM = (grad f ), grad g

  r r n n − hP M M i dM.

  M M

  Assim Z

  (f L r g + r (grad f ), grad g hP i)dM = 0. n M M M Resulta do item (a) que L ´e um operador linear auto-adjunto. Basta definir um produto

  r

  interno em D(M), da seguinte forma: Dados f, g ∈ D(M),

  Z f gdM. hf, gi =

  

M

A f´ormula em (b) ´e conhecida como f´ormula integral de Dirichlet para o operador L . r n n+1

  Teorema 2.4.1. Sejam x : M uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade → Q c

  n

  Riemanniana compacta orientada M e 0 ≤ q ≤ n, 1 ≤ s ≤ n inteiros. Ent˜ao, para qualquer c,

  ( s−1 Z

  q

  hX, Xi (a) [θ (ρ)((n θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1 n hX, ηi − r)S hX, ηi)

  2 M )

  s−2 T T hX, Xi

  2 T T

  P (X ), X + (s (θ (ρ)) P (X ), X

  r c r

  −c − 1)

  2 !

  s−1 q−1

  hX, Xi T T θ (ρ) P (B(X )), X dM = 0;

  c r

  −q hX, ηi

  2 Z

  q s−1

  (b) (θ (ρ)) [(n θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1 n hX, ηi − r)S hX, ηi] M s−2 T T

  (ρ)) P (X ), X

  c r

  −c(s − 1)(θ

  q−1 s−1 T T

  (ρ)) P (B(X )), X dM = 0;

  c r

  −q(θ hX, ηi

  q

  Z hX, Xi s−1 (c) [ θ (ρ) S )

  r+1 c 1 r+1 r+2 n hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi

  2 M

  s−2

  2 T T

  S , X P (B (X )), X

  r+1 r

  − hgrad M i] + (s − 1) hX, ηi !

  q−1

  hX, Xi s−1

  T T θ c (ρ) P r (B(X )), X dM = 0.

  −q hX, ηi

  2 Demonstra¸c˜ ao.

  

s

q hX, Xi

  (a) Escolhendo f = e g = no item (b) da Proposi¸c˜ao 2.4.2, obtemos hX, ηi

  2

  s

  Z

  q

  hX, Xi L

  r n hX, ηi

  2 M

  s

  (2.8)

  q

  hX, Xi + P (grad ), grad dM = 0.

  r M hX, ηi M

  2 Tomando q − 1 = s em (2.3) e usando (2.6), temos

  s q hX, Xi

  P r (grad ), grad hX, ηi

  M M

  2

  s−1 q−1 hX, Xi T T = P ( B(X )), s θ (ρ)X .

r −q hX, ηi c

  2 Logo

  s q hX, Xi

  P (grad ), grad

  r M hX, ηi M

  2

  s−1 (2.9) q−1 hX, Xi T T = θ (ρ) P (B(X )), X . c r

  −qs hX, ηi

  2 Usando o item (a) da Proposi¸c˜ao 2.3.3 e (2.9) em (2.8), conclu´ımos que ( s−1

  Z

  q hX, Xi

  s [θ (ρ)((n θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1 n hX, ηi − r)S hX, ηi)

  2 M )

  s−2 T T hX, Xi

  2 T T

  P (X ), X + (s (θ (ρ)) P (X ), X

  r c r

  −c − 1)

  2 !

  s−1 q−1

  hX, Xi T T θ (ρ) P (B(X )), X dM = 0,

  c r

  −qs hX, ηi

  2 isto ´e, ( s−1

  Z

  q

  hX, Xi [θ (ρ)((n θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1 n hX, ηi − r)S hX, ηi)

  2 M )

  s−2 T T hX, Xi

  2 T T

  P (X ), X + (s (θ (ρ)) P (X ), X

  r c r

  −c − 1)

  2 !

  s−1 q−1

  hX, Xi T T θ (ρ) P (B(X )), X dM = 0.

  c r

  −q hX, ηi

  2

  q s

  (b) No caso em que c e g = θ em (b) da Proposi¸c˜ao 2.4.2.

  6= 0 , escolhemos f = hX, ηi c Ent˜ao

  Z

  q q s s

  ( + L θ (grad ), grad (θ (ρ)) (2.10)

  

r r c

n hX, ηi c hP M hX, ηi M i) dM = 0.

  M

  Usando (2.4) e (2.6), temos que

  q q−1 T s−1 s

  (grad ), grad (θ (ρ)) P ( B(X )), s(θ (ρ)) grad θ (ρ)

  

r c r c c

  hP M hX, ηi M i = −q hX, ηi Q

  q−1 T s−1 T = P (B(X )), s(θ (ρ)) ( ) . r c

  −q hX, ηi −cX Logo

  q q−1 s s−1 T T

  (grad ), grad (θ (ρ)) (ρ)) P (B(X )), X . (2.11)

  r c c r

  hP M hX, ηi M i = cqs(θ hX, ηi Substituindo (2.11) e usando o item (b) da Proposi¸c˜ao 2.3.3 em (2.10), conclu´ımos que

  Z

  q s−1

  s (θ (ρ)) [ θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1 n hX, ηi −c((n − r)S hX, ηi)] M q−1 2 s−2 T T s−1 T T

  • c (s c (ρ)) P r (X ), X +cqs(θ c (ρ)) P r (B(X )), X dM = 0,

  − 1)(θ hX, ηi ou seja, Z

  q s−1

  (θ (ρ)) [(n θ (ρ) + (r + 1)S

  c r c r+1 n hX, ηi − r)S hX, ηi] M q−1 s−2 T T s−1 T T

  (ρ)) P (X ), X (ρ)) P (B(X )), X dM = 0.

  c r c r

  −c(s − 1)(θ − q(θ hX, ηi No caso em que c = 0, tomemos s = 1 em (a). Portanto

  Z

  q

  ( + (r + 1)S

  r r+1 n hX, ηi {(n − r)S hX, ηi} M q−1

  T T P r (B(X )), X dM = 0.

  −q hX, ηi q

  hX, Xi s (c) Agora, escolhemos f = e g = no item (b) da Proposi¸c˜ao 2.4.2. hX, ηi

  2 Assim

  q

  Z hX, Xi s L r n hX, ηi

  2 M

  

q

  (2.12) hX, Xi s P + r grad , grad dM = 0.

  M M hX, ηi

  2 Por outro lado, temos que

  q

  hX, Xi s P r grad , grad

  M M hX, ηi

  2 ! + *

  q−1

  hX, Xi s−1

  T T = P q θ (ρ)X , B(X ) . r c

  −s hX, ηi

  2 Logo

  q

  hX, Xi s P grad , grad

  r

M M hX, ηi

  2

  q−1

  (2.13)

  s−1

  hX, Xi T T = θ (ρ) P (B(X )), X .

  c r

  −qs hX, ηi

  2 Substituindo (2.7) e (2.13) em (2.12), conclu´ımos que

  q

  Z hX, Xi s−1 s [ θ (ρ) S )

  r+1 c 1 r+1 r+2 n hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi

  2 M

  s−2

  2 T T

  S r+1 , X P r (B (X )), X − hgrad M i] + s(s − 1) hX, ηi

  !

  q−1 s−1

  hX, Xi T T θ (ρ) P (B(X )), X dM = 0,

  c r

  −qs hX, ηi

  2 isto ´e,

  q

  Z hX, Xi s−1 [ θ (ρ) S )

  r+1 c 1 r+1 r+2 n hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi

  2 M

  s−2

  2 T T

  S , X P (B (X )), X

  r+1 r

  − hgrad M i] + (s − 1) hX, ηi !

  q−1

  hX, Xi s−1

  T T θ c (ρ) P r (B(X )), X dM = 0.

  −q hX, ηi

  2 Como consequˆencia as f´ormulas em (a) e (b) do Teorema 2.4.1 generalizam as f´ormulas de Minkowski. Corol´ ario 2.4.1. Com as hip´oteses do Teorema 2.4.1, obtemos as seguintes identidades: Z

  (a) [H + H

  r r+1 n hX, ηi]dM = 0; M

  Z (b) [H θ (ρ) + H

  r c r+1 n hX, ηi]dM = 0.

  M Demonstra¸c˜ ao.

  (a) Tomando c = 0, q = 0 e s = 1 no item (a) do Teorema 2.4.1, temos Z

  θ (ρ)((n θ (ρ) + (r + 1)S

  r r+1 n − r)S hX, ηi)dM = 0, M

  ou seja, Z ((n + (r + 1)S (ρ) = 1.

  r r+1 n − r)S hX, ηi)dM = 0, pois θ M

  Logo Z

  (r + 1) n

  r+1 n (n r H r H r+1 dM = 0.

  • (n n r

  − r)n hX, ηi

  M − r)

  n (n

  r+1

  − r) Como = , conclu´ımos que n r (r + 1)

  Z (n [H + H

  r r r+1 n − r)n hX, ηi]dM = 0.

  M

  Assim Z

  [H + H

  r r+1 n hX, ηi]dM = 0.

  M

  (b) Fazendo q = 0 e s = 1 no item (b) do Teorema 2.4.1, temos que Z

  ((n θ (ρ) + (r + 1)S

  r c r+1 n − r)S hX, ηi)dM = 0, M

  isto ´e, Z

  (n [H θ (ρ) + H

  r r c r+1 n − r)n hX, ηi]dM = 0.

  M

  Portanto Z

  [H θ (ρ) + H

  r c r+1 n hX, ηi]dM = 0.

  M As f´ormulas em (a) e (b) foram provadas por Hsiung [12] e Bivens [8], respectivamente. Cap´ıtulo 3 Aplica¸c˜ oes

  Neste cap´ıtulo, aplicaremos as f´ormulas integrais obtidas na Se¸c˜ao 2.4 para obtermos resultados interessantes.

  n

  Teorema 3.1 (Alencar e Colares). Sejam M uma variedade Riemanniana compacta

  n n+1

  orientada e x : M uma imers˜ao isom´etrica com curvatura H constante n˜ao-

  r+1

  → Q c

  n

  nula, onde 0 ) est´a contida em um hemisf´erio

  ≤ r ≤ n − 1. Se c > 0, assuma que x(M

  n+1

  aberto de Q . Ent˜ao, o conjunto de pontos

  c

  [

  n+1 n

  W = Q (Q ) ,

  p c − c p∈M n+1 n

  que s˜ao omitidos em Q pelas hipersuperf´ıcies totalmente geod´esicas (Q ) p tangentes a

  c c n n n+1

  x(M ) ´e n˜ao-vazio, se e somente se, x(M ) ´e uma esfera geod´esica em Q .

  c

  Demonstra¸c˜ ao. Inicialmente, observemos que se W ´e n˜ao-vazio, existe um ponto p ∈

  W tal que nenhum plano tangente `a hipersuperf´ıcie passa por este ponto p , ou seja,

  n

  existe um ponto p tal

  ∈ W tal que hX, ηi nunca se anula. Por hip´otese, existe p ∈ M que todas as curvaturas principais de x tˆem o mesmo sinal. Assim, para uma escolha apropriada do vetor normal η, podemos assumir que H > 0 em p. Como H ´e

  r+1 r+1 n

  constante, H r+1 > 0 em M . n

  Usando que S r = n r H r , onde n r = , a Proposi¸c˜ao 2.3.4 nos diz que r Z

  Z H + nn H H H θ dM.

  r+2 r+2 r+1 1 r+1 r+1 r+1 c n {−(r + 2)n } hX, ηi dM = −(r + 1)n n M

  M n

  Como M ´e compacta e H r+1 > 0, temos

  r/r+1

  H , 1 (3.1)

  r

  ≥ H r+1 ≤ r ≤ n − 1, e a igualdade ocorre somente nos pontos umb´ılicos, ver [13], p. 282, Lema 1. Assim, se H > 0 ent˜ao H > 0.

  r+1 r

  Fazendo q = 0, s = 1 e r = 0 no Teorema 2.4.1 (b), obtemos nS θ + S

  c

  

1

  hX, ηi = 0, ou seja, θ + H

  c

  1 hX, ηi = 0.

  Como H

  1 > 0 e θ c > 0 para qualquer c, conclu´ımos que

  0 = θ + H

  c

  1

  1

  hX, ηi > H hX, ηi , isto ´e, hX, ηi < 0. Usando (3.1) e o item (b) do Corol´ario 2.4.1, obtemos

  Z Z Z

  r/r+1

  H θ c dM H r θ c dM = r+1

r+1 ≤ −H hX, ηi dM.

n n n

M M M Logo

  Z H + nn H H

  

r+2 r+2 r+1

1 r+1 n {−(r + 2)n } hX, ηi dM M

  Z (3.2)

  (r+2)/(r+1)

  H

  r+1 ≥ (r + 1)n r+1 hX, ηi dM. n M

  Agora, observamos que se denotarmos n! n! c(r) = (n = (n = ,

  r

  − r)n − r) r!(n r!(n − r)! − (r + 1))! obtemos n! n!

  (r + 2)n = (r + 2) = = c(r + 1),

  r+2

  (r + 2)!(n (r + 1)!(n − (r + 2))! − (r + 2))! n! n n! n nn r+1 = n = = c(r)

  (r + 1)!(n r + 1 r!(n r + 1 − (r + 1))! − (r + 1))! e n! n! (r + 1)n = (r + 1) = = c(r).

  r+1

  (r + 1)!(n r!(n − (r + 1))! − (r + 1))!

  Portanto, usando estas igualdades em (3.2), obtemos Z

  Z n

  (r+2)/(r+1)

  • n c(r)H H

  r+2 1 r+1 n −c(r + 1)H hX, ηi dM ≥ c(r)H r+1 hX, ηi dM. n r + 1 M

  M

  Multiplicando esta desigualdade por (r + 1), temos Z n o

  (r+2)/(r+1)

  • nc(r)H H

  r+2 1 r+1 n −(r + 1)c(r + 1)H − (r + 1)c(r)H r+1 hX, ηi dM ≥ 0.

  M

  Por outro lado, Alencar, do Carmo e Rosenberg, ver [2], p. 392, mostraram que

  (r+2)/(r+1) r+2 + nc(r)H

1 H r+1 −(r + 1)c(r + 1)H − (r + 1)c(r)H r+1 ≥ 0.

  Como hX, ηi < 0, devemos ter a igualdade. Mas a igualdade ocorre nos pontos umb´ılicos,

  n logo x(M ) ´e uma esfera geod´esica. Observa¸c˜ ao 3.1. Se retirarmos a hip´otese da variedade ser compacta, o teorema an- terior n˜ao ´e v´alido. Por exemplo, o cilindro circular reto ´e uma superf´ıcie completa

  3 n˜ao-compacta em R com curvatura m´edia constante n˜ao-nula e W n˜ao-vazio.

  Antes de passarmos `a pr´oxima aplica¸c˜ao, introduziremos a no¸c˜ao de estabilidade.

  n n+1 n

  Seja x : M uma imers˜ao de uma variedade Riemanniana compacta M em → Q c

  n+1

  Q . Consideremos

  c

  Z A r = F r (S

  1 , S 2 , ..., S r )dM, 0

  ≤ r ≤ n,

  M

  onde as fun¸c˜oes F r s˜ao definidas indutivamente por F = 1 F

  1 = S

  1

  c(n − r + 1)

  • F = S F , 2

  r r r−2 ≤ r ≤ n − 1.

  r − 1

  n n+1

  Uma varia¸c˜ao de x ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel Y : I tal que a × M → Q

  c n n+1

  aplica¸c˜ao Y : M dada por Y (p) = Y (t, p) ´e uma imers˜ao para cada t

  t t

  → Q c ∈ I e Y = x.

  A fun¸c˜ao volume V : I → R ´e definida por

  Z V (t) = Y dQ,

  

[0,t]×M

n+1

  onde dQ ´e o elemento de volume de Q .

  c

  Dizemos que uma varia¸c˜ao preserva volume quando a fun¸c˜ao volume V : I → R ´e constante.

  Inicialmente, assumimos que um dos pontos cr´ıticos de A ´e uma dada imers˜ao x.

  r

  Portanto, com respeito a varia¸c˜oes que preservam volume, deve ser um ponto cr´ıtico da fun¸c˜ao Z

  A (t) = F (S , ..., S )dM ,

  r r 1 r t M

  onde dM ´e o elemento de volume da m´etrica induzida em M por Y .

  t t

  Alguns resultados de estabilidade podem ser vistos em [6] no caso em que r = 0, em [2] quando r = 1 e em [5] para o caso r ≥ 2.

  n n+1

  Defini¸c˜ ao 3.1. Seja x : M uma imers˜ao de uma variedade Riemanniana → Q c ′′ compacta com curvatura H r constante. A imers˜ao x ´e r-est´avel se A (0)

  ≥ 0 para todas varia¸c˜oes que preservam volume. O pr´oximo resultado nos d´a um crit´erio para establilidade, ver [4]. n n+1

  Proposi¸c˜ ao 3.1. Seja x : M uma imers˜ao de uma variedade Riemanniana → Q c compacta. Ent˜ao x ´e r-est´avel se, e somente se,

  Z I (f ) = f (f ) + (S S )f + c(n f

  r r 1 r+1 r+2 r

  − {L − (r + 2)S − r)S }dM ≥ 0

  M n

  para toda fun¸c˜ao f : M → R tal que

  Z f dM = 0.

  M n+1

  Proposi¸c˜ ao 3.2. As esferas geod´esicas de Q s˜ao r-est´aveis.

  c

  P P

  n+1

  Demonstra¸c˜ ao. Seja uma esfera geod´esica de Q . Como ´e umb´ılica, ent˜ao

  c

  suas curvaturas principais s˜ao todas iguais a uma certa constante k. Escolhendo um vetor normal, podemos assumir que k > 0. Isto significa que n

  j S j = k .

  j Os autovalores das transforma¸c˜oes de Newton P tamb´em s˜ao constantes e L ´e um

  r r

  m´ ultiplo do Laplaciano, isto ´e, n − 1 r L r (f ) = k ∆f. r Faremos uma demonstra¸c˜ao dessa afirma¸c˜ao usando indu¸c˜ao.

  Para r = 1, temos que

  P P P P

  L (f ) = div (P (grad f )) = div ((S I f ))

  1

  1

  1

  − B)(grad = nk∆f

  − k∆f = (n

  − 1)k∆f, ou seja, nossa afirma¸c˜ao ´e verdadeira para r = 1. Suponhamos que nossa igualdade vale para r

  − 1, isto ´e, n

  r−1

  − 1 L (f ) = k ∆f.

  r−1

  r − 1

  Temos que

  P P P P

  L (f ) = div (P (grad f )) = div ((S I )(grad f ))

  r r r r−1

  − BP n

  r

  = k ∆f (f )

  

r−1

  − kL r n n

  

r − 1 r−1

  = k ∆f k ∆f − k r r

  − 1 n n − 1 r = k ∆f. − r r

  − 1 n n n − 1 − 1 Como = , conclu´ımos nossa afirma¸c˜ao.

  − r r r − 1

  Z P Agora, consideremos f : f dM = 0. → R tal que

  

P

  Denotaremos por λ o primeiro autovalor n˜ao-nulo do problema

  1 ∆g + λg = 0.

  ´ E conhecido que )

  Z

  1

  ( Z

  

2

  2 P

  λ = inf g dM g dM (3.3)

  1

  |grad |

  

P P

  Z P

  P

  para toda fun¸c˜ao suave por partes g : gdM = 0, onde grad g → R que satisfaz

  P

  P

  n+1 denota o gradiente de g na m´etrica induzida pela inclus˜ao .

  ⊂ Q

  c

  Decorre da igualdade (3.3) que Z Z

  1

  2

  2 P

  λ g dM g dM . (3.4)

  1

  ≤ |grad |

  P P

  Integrando a igualdade

  2

  2 P

  ∆f = 2f ∆f + 2 f , |grad | obtemos

  Z Z Z

  1

  2

  2 P ∆f dM = f ∆f dM + f dM.

  |grad |

  P P P

  2 Aplicando o Teorema de Stokes, encontramos Z Z

  2 P f ∆f dM = f dM.

  − |grad |

  P P

  Portanto Z n n

  r r+2

  2

  − 1 − 1 I (f ) = k f ∆f + n k f

  r

  −

  P

  r r n

  

r

  2

  • c(n k f dM

  − r) r Z n

  − 1 r

  2

  2

  = k + c)f − {f∆f + n(k }dM

  

P

  r Z n

  − 1 r

  2

  2

  2 P

  = k f + c)f {|grad | − n(k }dM.

  P

  r Usando (3.4), obtemos

  Z n

  r

  2

  2

  − 1 I (f ) k + c) dM.

  r

  1

  ≥ {λ − n(k }f

  

P

  r P Al´em disso, como ´e isom´etrica a uma esfera Euclidiana de dimens˜ao n com curvatura

  2

  2 seccional constante igual a k + c, temos que λ = n(k + c), ver [7].

  1 Logo I (f ) = 0. r

  P Portanto, usando a Proposi¸c˜ao 3.1, ´e r-est´avel.

  Usando este resultado, obtemos uma consequˆencia do Teorema 3.1.

  n n

  Corol´ ario 3.1. Sejam M uma variedade Riemanniana compacta orientada e x : M →

  n+1

  Q uma imers˜ao isom´etrica com curvatura H constante. Se c > 0, suponha tamb´em

  r+1 c n

  que x(M ) est´a contida em um hemisf´erio aberto. Ent˜ao W ´e n˜ao-vazio, se e somente se, x ´e r-est´avel.

  n

  Demonstra¸c˜ ao. Como W ´e n˜ao-vazio, usando o Teorema 3.1, x(M ) ´e uma esfera geod´esica. Logo, segue da Proposi¸c˜ao 3.2, que x ´e r-est´avel.

  n+1

  Exemplo 3.1. Uma esfera geod´esica de centro p em Q satisfaz

  c

  H θ + H

  

r c r+1 hX, ηi ≡ 0, 0 ≤ r ≤ n − 1,

  onde X ´e o vetor posi¸c˜ao relativo a p . De fato, como a esfera geod´esica possui todas as

  r curvaturas pricipais iguais a uma certa constante k, temos que H r = k .

  A fim de calcular as curvaturas principais, consideremos , ..., e

  1 n

  {e } uma base de auto- valores de T M . Ent˜ao

  p k = , e , e ), η e e , η = e , η = e , η e , η . i i i i e i i e i i e i i i i i e i

  hke i = hB(e i = ∇ − ∇ ∇ he i − ∇

  X Escolhendo η = = ρ e usando que grad ρ ´e normal `a esfera geod´esica, − −grad Q Q

  S

  c

  obtemos k = grad ρ, e .

  e i i

  ∇ Q Usando (2.2), conclu´ımos que

  θ

  c k = .

  S

  c

  Logo

  r r+1

  θ θ

  c c H + r θ c + H r+1 θ c ( c ) = 0.

  hX, ηi = −S S S

  c c

  O pr´oximo resultado estabelece a rec´ıproca. A prova da vers˜ao Euclidiana, ou seja, c = 0, foi dada em [10], p. 2, Teorema 1. n n+1

  Teorema 3.2 (Alencar e Colares). Seja x : M uma imers˜ao isom´etrica de → Q c

  n n+1

  uma variedade Riemanniana M conexa, compacta e orientada. Seja p relativo ∈ Q c ao qual

  H θ + H

  r c r+1

  hX, ηi

  n

  n˜ao muda de sinal para algum 0 ) est´a contida

  ≤ r ≤ n − 1. Se c > 0, assuma que x(M

  n+1 n em um hemisf´erio aberto de Q centrado em p . Ent˜ao, x(M ) ´e uma esfera geod´esica. c

  Demonstra¸c˜ ao. Como H θ + H

  r c r+1

  hX, ηi n˜ao muda de sinal para algum 0 ≤ r ≤ n−1, usando o item (b) do Corol´ario 2.4.1, obtemos H θ + H

  (3.5)

  

r c r+1 hX, ηi ≡ 0

para qualquer c.

  Inicialmente, provaremos que H > 0.

  r+1

  Temos que, para qualquer c ≤ 0,

  θ > 0. (3.6)

  c n

  Usando a convexidade do espa¸co ambiente e a compacidade de M , podemos escolher η tal que exista um conjunto aberto U onde todas as curvaturas principais de x s˜ao posi- tivas. Portanto, H > 0 em U .

  r+1 n Al´em disso, assumimos que U ´e o maior subconjunto de M com tal propriedade. n Mostraremos que U = M .

  Como H > 0 em U , usando (3.5) e (3.6), temos que

  r H θ < 0 em U. r+1 r c

  hX, ηi = −H Logo hX, ηi < 0 em U.

  Assim, aplicando (3.1) em (3.5), obtemos em U,

  r/r+1 r/r+1 1/r+1

  0 = H θ + H θ + H (θ + H

  r c r+1 c r+1 c hX, ηi ≥ H r+1 hX, ηi = H r+1 r+1 hX, ηi).

  Portanto

  1/r+1

  θ + H

  c r+1 hX, ηi ≤ 0 em U. 1/r+1 n

  Por continuidade, θ + H . Por (3.6), temos que

  c

r+1 hX, ηi ≤ 0 no fecho U de U em M

n

  θ > 0 em M , logo em U . Assim, se H (p) = 0 para algum p (p)

  

c r+1 ∈ U, ter´ıamos θ c ≤ 0,

o que ´e um absurdo. Portanto, H tamb´em ´e positivo em U . Isto prova que U = U . r+1 n n n

  Como M ´e conexo, temos que U = M . Logo, H r+1 > 0 em M . Agora, lembrando que S = n H e usando (3.5) na Proposi¸c˜ao 2.3.1, obtemos

  r r r

  (i) Se c 6= 0,

  L θ = θ + (r + 1) ]

  

r c r c r+1

  −c[(n − r)S hX, ηi S = H θ + (r + 1) H ].

  r r c r+1 r+1

  −c[(n − r)n hX, ηi n Como n (r + 1) = n (n

  r+1 r

  − r), temos L θ = (n θ + H

  r c r r c r+1

  −cn − r)[H hX, ηi] = 0, isto ´e,

  n

  L r θ c = 0 em M , se c 6= 0.

  (ii) Se c = 0,

  2 L = [(n + (r + 1)S r r r+1

  |X| − r)S hX, ηi] = [(n H + (r + 1)n H

  r r r+1 r+1

  − r)n hX, ηi] = (n [H + H

  r r r+1

  − r)n hX, ηi], ou seja,

  

2 n

L = 0 em M , se c = 0. r

  |X| Usando o item (a) da Proposi¸c˜ao 2.2.1, temos que

  Z Z Z

  1

  2 L (θ ) = θ L θ (grad θ ), grad θ + r c r c r c c c hP M M i .

  2 M M M Logo, pelo Teorema da Divergˆencia,

  Z (grad θ ), grad θ hP r c c i = 0.

  M M M n

  Visto que H > 0 em M , L ´e el´ıptico, ver [5], p. 280, Proposi¸c˜ao 3.2. Logo P ´e

  r+1 r r

  positivo definido e, portanto, grad θ = 0,

  c M

  isto ´e,

  n

  θ c = cte. em M , se c 6= 0. Analogamente, conclu´ımos que

  2 n = cte. em M , se c = 0.

  |X|

  n n+1 Assim, em qualquer caso, x(M ) ´e uma esfera geod´esica em Q . c Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  [1] Alencar, H. e Colares, A.G. Integral formulas for the r-mean curvature linearized operator of a hypersurface, Ann. Global Anal. Geom., Vol. 16, 1998, p. 203-220. [2] Alencar, H., do Carmo, M. e Rosenberg, H. On the first eigenvalue of the linearized operator of the r-th mean curvature of a hypersurface, Ann. Global Anal. Geom.,

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  [4] Alencar, H. e Frensel, K. Hypersurfaces whose tangente geodesic omit a nonempty set, in Lawson, B. e Tenenblat, K. (eds), Differential Geometry, Pitman Monographs, Vol. 52, Longman, Essex, 1991, p. 1-13. [5] Barbosa, L. e Colares, A. G. Stability of hypersurfaces with constant r-mean curva- ture, Ann. Global Anal. Geom., Vol. 15, 1997, p. 277-297.

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  n+1

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  Differential Geom., Vol. 4, 1970, p. 487-497. [16] Reilly, R. Variational properties of functions of the mean curvature for hypersurfaces in space forms, J. Differential Geom., Vol. 4, 1973, p. 465-477.

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  19, 1968, p. 609-613. [19] Voss, K. Einige differentialgeometrische Kongruenzstze f¨ ur geschlossene Fl¨achen und Hyperfl¨achen, Math. Ann., Vol. 131, 1956, p. 120-218.

  ´Indice Remissivo

  Aplica¸c˜ao diferenci´avel, 14 exponencial, 19

  Bola normal (geod´esica), 20 Campo de vetores, 15 paralelo, 17

  Codimens˜ao, 15 Colchete, 16 Componente normal, 27 tangencial, 27

  Conex˜ao afim, 17 compat´ıvel, 18 Levi - Civita (Riemanniana), 18 normal, 28 sim´etrica, 18

  Curva, 15 Curvatura, 25 de Gauss-Kronecker, 9, 28, 30 escalar, 9, 30 m´edia, 9, 28, 30 seccional (Riemanniana), 26

  Curvaturas principais, 28 Derivada covariante, 17 Diferencial, 15 Dire¸c˜oes principais, 28 Divergˆencia, 22 Equa¸c˜ao de Codazzi, 29 Esfera normal (geod´esica), 11, 20, 55, 58,

  60, 61 Estabilidade, 57 Estrutura diferenci´avel, 13

  Riemanniana, 16 Fibrado tangente, 15 Formas espaciais, 26, 37 Fun¸c˜ao distˆancia geod´esica, 10, 37 volume, 57

  Geod´esica, 18 Gradiente, 21 Hessiana, 23 Hipersuperf´ıcie, 20, 28 Imers˜ao, 15 est´avel, 11, 57, 58, 60 geod´esica, 28 isom´etrica, 17

  Isometria, 16 local, 16 Laplaciano, 25 M´etrica Riemanniana, 16 Mergulho, 15 Operador de Weingarten, 28 linearizado, 9, 10, 33, 37

  Parametriza¸c˜ao, 13 Referencial, 20 geod´esico, 20 ortonormal, 20

  Segunda Forma Fundamental, 28 Sistema de coordenadas, 13 Subvariedade, 15 Teorema da Divergˆencia, 25 Tra¸co, 22 Transforma¸c˜ao de Newton, 9, 30 Varia¸c˜ao, 57 Variedade compacta, 14 completa, 20 diferenci´avel, 13 orient´avel, 15 Riemanniana, 16

  Vetor tangente, 15 Vizinhan¸ca coordenada, 13 normal (geod´esica), 20

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