Repositório UFAL: Fórmulas integrais para a curvatura r-média e aplicações

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Universidade Federal de Alagoas Programa de Pós-Graduação em Matemática

  As fun¸c˜oes sim´etricas elementares S 1 n r associadas a B s˜ao definidas por X S = λ ...λ r , 1 r i i r 1 ≤ r ≤ n i <...<i1 e a curvatura r-m´edia ´e definida por 1 H = S , r r n r n onde n = . Definimos o vetor posi¸c˜ao X : M→ Q cc com respeito a p, porX(x(p)) = S c (ρ(p))grad ρ(p),′′ Q ′onde S ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao y + cy = 0 com condi¸c˜oes iniciais y(0) = 0 e y (0) = 1, c isto ´e, ρ(p), se c = 0; √ sen (ρ(p) c) , se c > 0;√ S (ρ(p)) = c c√  senh (ρ(p) −c) , se c < 0.

2 Z

  q s−1 (b) (θ (ρ)) [(n θ (ρ) + (r + 1)S c r c r+1n hX, ηi − r)S hX, ηi]M s−2 T T (ρ)) P (X ), X c r −c(s − 1)(θ q−1 s−1 T T (ρ)) P (B(X )), X dM = 0; c r −q(θ hX, ηi Z hX, Xi s−1(c) [ r+1 θ c (ρ) 1 S r+1 r+2 )n hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi 2 M s−2 2 T T S , X P (B (X )), X r+1 r − hgrad M i] + (s − 1) hX, ηi! Uma aplica¸c˜ao ϕ : M → N ´e m diferenci´avel em p∈ M se dada uma parametriza¸c˜ao y : V ⊂ R → N em ϕ(p), existe n uma parametriza¸c˜ao x : U⊂ R → M em p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V ) e a aplica¸c˜ao − 1 n m y(1.1) − ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ R → R 1 ´e diferenci´avel em x (p).

2 Exemplo 1.1.. Seja f : R dada por f (t) = (cos t, sen t). A aplica¸c˜ao f ´e

  Dizemos que uma variedade diferenci´avel M ´e orient´avel se admite uma estrutura diferenci´avel α , x α ) α (U α ) β (U β ) ={(U } tal que, para todo par α, β com x ∩ x − 1 W tem determinante β 6= ∅, a matriz da diferencial da mudan¸ca de coordenadas x α ◦ x positivo. p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ T `As vezes ´e conveniente pensar em campos de vetores como uma aplica¸c˜ao X : D → F do conjuntoD das fun¸c˜oes diferenci´aveis em M no conjunto F das fun¸c˜oes em M, definida do seguinte modo X∂f (Xf )(p) = a (p) (p), i ∂x i i onde f indica a express˜ao de f na parametriza¸c˜ao x.

1.2 Conex˜ oes Afins e Conex˜ ao Riemanniana

  Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e uma aplica¸c˜ao∇ : X(M) × X(M) −→ X(M) (X, Y ) Y X −→ ∇ que satisfaz as seguintes propriedades:(a) Z = f Z + g Z; f X+gY X Y ∇ ∇ ∇(b) X (Y + Z) = X Y + X Z; ∇ ∇ ∇(c) (f Y ) = f Y + X(f )Y , X X ∇ ∇ onde X, Y, Z∈ X(M) e f, g ∈ D(M). Al´em da exp ser diferenci´avel, temos que p exp (0) = p.p Geometricamente, exp (v) ´e o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual p v a.|v|, a partir de p, sobre a geod´esica que passa por p com velocidade igual a |v|Figura 1.4: A aplica¸c˜ao exponencial ǫ p ∈ M, existe um ǫ > 0 tal que exp p ⊂ T → M ´e um difeomorfismo da bola B (0) de centro na origem de T M e raio ǫ sobre um aberto ǫ p de M.n Exemplo 1.2.2.

1.3 Operadores Diferenci´ aveis

  Nesta se¸c˜ao, definiremos operadores importantes num contexto de variedades. Ao longo desta se¸c˜ao, Mser´a uma variedade Riemanniana.

f, X hgrad M i = X(f)

  n he i (f )X, e i i = fdiv M X + X X i=1 e i (f )e i M X + hX, grad Mf i = fdiv i=1 n n i X i=1 hf∇ e i X + e i (f )X, e i= f i + n X i=1 h∇ e i X, e i M g)), Y i= Hessf (X, Y ) + Hess g(X, Y ).(c) Hess(f g)(X, Y ) = h∇ X grad M (f g), Y i = h∇ X (f grad M g + ggrad f ), Y i= h∇ (grad X (f grad M g), Y i + h∇ X (ggrad M f ), Y i= hf∇ X grad M g + X(f )grad M g, Y i X M X f + X(g)grad Y Demonstra¸c˜ ao. (a) Hessf (X + Y, Z) = h∇ (grad M f ), Z i= h∇ X (grad M f ), Z i + h∇ (grad f ), Y i + h∇ M f ), Z i= Hessf (X, Z) + Hessf (Y, Z).(b) Hess(f + g)(X, Y ) = h∇ X (grad M (f + g)), Y i= h∇ X (grad M grad M )grad ∇ X grad M f, Y i + hX(f q−1 )grad M f, Y i]= q[f q−1 Hessf (X, Y ) + hX(f q−1 f, Y i].(e) Temos que M f ), Y i= q[ hf X hgrad Mf, Y i = h∇ X (grad M f ), Y i + hgrad Mf, ∇ X Y i .

1.4 Curvaturas

  A curvatura R de uma variedade Riemmaniana M ´e uma corres- pondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ X(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X(M) → X(M) dada porR(X, Y )Z = Z Z + Z, Z Y X X Y [X,Y ] ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ ∈ X(M), onde∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M. Ent˜ao, o recobrimento universal f M de M , com a m´etrica do recobrimento,´e isom´etrico a: n (a) H , se K =−1; n (b) R , se K = 0; n (c) S , se K = 1.

1.5 Imers˜ oes Isom´ etricas

  [ hg∇ (e i ) i + he i (f )grad M g, P r (e i ) i] X i=1 e i grad M g, P f, P r (e i ) i + he i (g)grad M f, P r (e i ) i]= f n X i=1 h∇ e i grad M g, P r (e i ) i + M g), n X r M e i (f )e i X n X i=1 h∇ e i (f grad M g), P r (e i ) i + n i=1 grad h∇ e i (ggrad M f ), P r (e i ) i= n X i=1 [ hf∇ e i i=1 n i ◦ x : M f ), grad M g i). Se considerarmos a composi¸c˜ao f = F n (grad → R, temos que em p∈ M, hgrad Mf, Y i (p) = df p (Y ) = d(F◦ x) p Y = dF x(p) dx p Y = hgrad NF, Y i (x(p)) ∀ Y ∈ T p M, onde grad M e grad M r X (grad i=1 h∇ e i grad M f, P r (e i ) i + M f ), n X i=1 e i (g)e i r f + hP r M f + 2 hP g), grad M f i + gL r f + hP r (grad M f ), grad M g i= f L r f + gL r ) i= (e N denotam o gradiente em M e o gradiente em N , respectivamente.

2 T T L = θ (ρ)[(n θ (ρ) + (r + 1)S P (X ), X para qualquer c

  e i r i i r i ′ ′′ c ∇ Q c Q Q Lembrando que S (ρ) = θ c (ρ) e S (ρ) = c , temos c c −cS Hess(S c (ρ))(e i , P r (e i )) = θ c (ρ)Hessρ(e i , P r (e i )) c (ρ) grad ρ, e i grad ρ, P r (e i ) . ρ, P r (e i ) r+1 θ c (ρ) grad Logo grad 1 2 L r |X| 2 = (θ c (ρ)) 2 tr(P Q i )− (θ i − grad e, portanto,L r (S c (ρ)) = (θ c (ρ)) 2 S c (ρ) n X i=1 [ he i , P r (e i ) Q ρ, e ρ, e i grad Q ρ, P r (e i ) ]−cS c (ρ) n X i=1 grad Q r c ρ, e MasP r (e i ) Q ρ, η + (θ c (ρ)) 2 P r (grad Q ρ), grad Q ρ .

2 T T

  r Q Q 2 2 Como 2 1 (S c (ρ)) hX, Xi= S (ρ)grad ρ, S (ρ)grad ρ = , c c Q Q 2 2 2 temos que n 2 X (S c (ρ)) ′ hX, Xigrad = grad = S c (ρ)S (ρ) grad ρ, e i e i Q Q Q c 2 2 i=1 n X T = θ (ρ) = θ (ρ)X . (2.3) c Q − 1) 2 2 q " q−1 hX, Xi hX, XiL = q (ρ)[(n θ (ρ) + (r + 1)S r c r c r+1 {θ − r)S hX, ηi] 2 2 q−2 T T T hX, Xi T P (X ), X P (θ (ρ)X ), (q θ (ρ)X r r c c −c } + − 1) 2" q−1 hX, Xi= q (ρ)[(n θ (ρ) + (r + 1)S c r c r+1 {θ − r)S hX, ηi] 2# q−2 hX, Xi T T 2 T T P r (X ), X (θ c (ρ)) P r (X ), X .

2 T T +(q (ρ)) c P (X ), X )

  Ent˜ao∇ e i ∇ e j η = ∇ e i X ∇ X e j η, e k e k != ∇ e i − X k ∇ e j e k , η e k != ∇ e i − ∇ e i e e i η + (∇ e j X, η + X,∇ e j η )= ∇ e i ∇ e j X, η + ∇ e j X, ∇ ∇ ∇ e i X, ∇ e j η + X, ∇ e i ∇ e j η = hθ c (ρ)h ij η− c hX, e i e i ∇ e j hX, ηi = ∇ e i η. e i e k k k e i k ∇ ∇ hX, ηi)e hX, ηi)∇ k Usando o item (c) do Lema 2.3.1, obtemos" X X 2 e i grad c (ρ)h ik e k ( e h ik ) l k k ∇ M hX, ηi = −θ − ∇ l hX, e i e − h hX, ηi e ik k l k e i k hX, ηi) ∇Logo X X 2 grad (e ) = (ρ) h , P (e ) h , P (e ) e i r j c ik k r j k r j ∇ M hX, ηi , P −θ he i − hX, ηi ik he i k k X( h ) , P (e ) ∇ e l ik hX, e l i he k r j i .

2 Como tr(BP r ) = (r + 1)S r+1 e tr(B P r ) = S

  M hX, ηi −q hX, ηi hX, e i e jk Agora, observemos que X X X X T B(X ) = ) = h e = h .k k k jk j jk k j hX, e i B(e hX, e i hX, e i e k k j jk q q−1 T grad = B(X ). (2.6) M hX, ηi −q hX, ηi Usando o item (a) da Proposi¸c˜ao 2.2.1 e a Proposi¸c˜ao 2.3.4, temos que q q−1q−1 L = q[ L P (grad ] r r r hX, ηi hX, ηi hX, ηi + M hX, ηi), grad M hX, ηi q−1 = q[ ( θ (ρ) S ) r+1 c 1 r+1 r+2 hX, ηi −(r + 1)S − (S − (r + 2)S hX, ηi q−2 T T S , X (B(X )), B(X ) .

2.4 F´ ormulas Integrais para a Curvatura r-M´ edia

  M r r j j M r i r ijj M Mj j Portanto X XL f = (P (grad f )) ) (div P ) f = div (P (grad f )) P , grad f r r j j M r i i M r M r M − M − hdiv M i .j i Agora, basta mostrarmos que div M P r = 0. ∇ e i r−1 i r M i Logo X X div M P r = grad S r S r B e i (P r−1 (e i )) = B e i (P r−1 (e i )) M − grad M − ∇ − ∇ i i X X = B(( P )e + P e ) = ( P )e = P .

1 H r+ −(r + )c(r + )H − (r + )c(r)H r+ ≥ 0

  Ent˜ao p k = , e , e ), η e e , η = e , η = e , η e , η .i i i i e i i e i i e i i i i i e i hke i = hB(e i = ∇ − ∇ ∇ he i − ∇ X Escolhendo η = = ρ e usando que grad ρ ´e normal `a esfera geod´esica,− −grad Q Q S c obtemos k = grad ρ, e . (ii) Se c = 0, 2 L = [(n + (r + 1)S r r r+1 |X| − r)S hX, ηi]= [(n H + (r + 1)n H r r r+1 r+1 − r)n hX, ηi]= (n [H + H r r r+1 − r)n hX, ηi], ou seja, 2 n L = 0 em M , se c = 0.r |X|Usando o item (a) da Proposi¸c˜ao 2.2.1, temos que Z Z Z 1 2 L (θ ) = θ L θ (grad θ ), grad θ + r c r c r c cc hP M M i .

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