4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Introdução - Apostila transformada de Laplace versao atual a

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Sumário 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................ 1 Propriedades da Transformada de Laplace ....................................................... 6 Transformada de uma função contínua definida por partes .............................. 7 Transformada inversa de Laplace. ........................................................................ 8 A transformada de uma derivada .......................................................................... 9 Resolvendo EDOs Lineares ............................................................................ 11 Translação sobre o eixo s .................................................................................... 17 Teorema: Teorema de translação sobre o eixo s ............................................. 17 A forma inversa do teorema da translação em s.............................................. 18 Translação sobre o eixo t..................................................................................... 25 Função degrau ou função de Heaviside........................................................... 25 A derivada de uma transformada ........................................................................ 38 Transformada de Laplace e função gama ............................................................ 39 Lista de Figuras Figura 1 - Representação esquemática da transformada de Laplace _____________________________ 2 Figura 2 - Função contínua por partes (Fonte Dennis Zill) ______________________________________ 8 Figura 3 - Solução de equações diferenciais usando Transformada de Laplace ____________________ 12 Figura 4 - Gráfico do deslocamento no eixo s _______________________________________________ 18 Figura 5 - Gráfico da função degrau unitário _______________________________________________ 26 Figura 6 - Gráfico da função 𝒇𝒕 = 𝟐𝒕 − 𝟑𝒖(𝒕 − 𝟏) __________________________________________ 26 Figura 7 - Deslocamento em t ___________________________________________________________ 27 Figura 8 - a) gráfico da função f  t   sen  t  , b) gráfico da função f  t   sen  t  u  t  2  __ 27 Figura 9 - Gráfico da função 𝒇𝒕 = 𝟐 − 𝟑𝒖𝒕 − 𝟐 + 𝒖(𝒕 − 𝟑). __________________________________ 28 Figura 7 - Força eletromotriz ____________________________________________________________ 38 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Introdução E você pode está se perguntando, e o que isto tem haver com equações diferenciais? Nós podemos dizer que tudo, a transformada de Laplace torna mais fácil a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes: an y  n  ...  a0 y  g  x  (1) Em que, por exemplo, a função independente g  x  não é contínua. Nesta aula estudaremos todo o fundamento teórico necessário de como aplicar a transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais ordinárias. 4.1. Definição e exemplos A transformada de Laplace foi encontrada muito antes de Laplace nos trabalhos de Euler. Nesta seção, vamos examinar um tipo especial de transformação integral chamada transformada de Laplace, a qual tem várias propriedades utilizadas na resolução de problemas lineares e valor inicial. Antes de darmos a definição de transformada de Laplace, relembraremos o conceito de funções contínuas por partes, uma vez que esse conceito será necessário para descrevermos o conjunto em que a transformada de Laplace existe. A transformada de Laplace transforma uma ED em uma equação algébrica. Será primeira feita uma analogia com as derivadas, podemos dizer que a transformada de Laplace é um operador, neste caso temos a derivada com operador: dy dx f  x   x3   f '  x   3x 2 (2) A entrada neste caso da Eq. (2) temos uma função de x e trabalhamos com o dy operador e com saída teremos uma derivada. Porém, no caso da transformada de dx Laplace teremos uma função de entrada, ao trabalhar com o operador de transformada de Laplace o resultado será outra função:  TLaplace f  t    F  s    e st f  t dt (3) 0 onde e st é denominado núcleo. É importante notar que o “s” é tratado como constante na integração dt. Portanto, quando integra-se resulta em uma função de s. Logo notamos que a transformada é uma integral é linear, teremos a propriedade de linearidade. Todas essas transformações envolvem integrais, muitas vezes são denominadas transformadas integrais de Laplace. Será usado a transformada de Laplace para resolver ED com coeficientes constantes e sistemas dessas equações. O intervalo de interação é [0, ) . Se f  t  for definida para t  0 : Ela resulta em uma simplificação dessas soluções de ED’s, ou seja: Figura 1 - Representação esquemática da transformada de Laplace L  f  t   F  s   L  f  t    f  t   e  st dt  F  s  0 (4) O expoente st deve ser adimensional. Será para todo s onde a integral converge. Assim, quando a variável independente t for tempo, a dimensão de s deve ser o inverso do tempo, isto é, frequência. Neste caso, por ser uma variável complexa, s é frequentemente denominada “frequência complexa”. Porque introduzir mais um método? Porém esse método trata muito bem ED’s de coeficientes constantes e o lado direito não precisa ser contínuo, modela muito bem modelos físicos cuja força externa tem alto impacto instantânea, e também não precisa ser contínua. Antes de qualquer cálculo precisamos recordar o que é uma integral imprópria, o que é a convergência de uma integral imprópria, ou seja:  b Definição  lim  g  t dt  g  t dt  b  0 (5) 0 A integral definida é preciso fazer o limite, a integral converge se existe o limite, caso contrário ela diverge.   e st b   e sb 1  1 1 lim L 1   e  st 1dt  lim      0   b  b   s 0   s  s s s   0   (6) Neste caso precisamos testar o limite para ver se ele existe. Para s  0 o limite não existe (é ilimitada). Então, precisa ser maior que zero s  0 , pois o expoente  sb é negativo e esb  0 quando b   . Dessa forma: 1 (7) , s0 s Podemos da mesma maneira verificar o valor da transformada de Laplace de f (t )  t :     (8) L t    e st tdt   udv  uv   vdu 0 0 0 0 L 1  u  t , dv  e  st dt du  dt , v   st e s  LHopital  e  s e  s0 0  s  s  s 0 '  e  st b   e  st  lim t dt   b    s 0 0 s ' LHopital     st     1 e  st  1 e b 1 dt   lim  sb 2 bt  0    2  b   se sb e  s e  0 s   s s 0 s    1 L t   2 , s  0 s Consideremos agora um caso mais geral, onde n é inteiro positivo: (9) (10)   L t n    e st t n dt   udv  uv 0 0    vdu 0 0 (11)  st u  t , dv  e dt n du  nt n 1   st   e st n1 e st n  st n 1 n e nt dt   e t dt t  ,v  s0 s  s 0 0  s n L t n   L t n1  s (12) (13) Dando alguns valores para n : 2 2 1 2 L t 2   L t   2  3 s ss S n  2, (14) 3 3 2 3! L t 3   L t 2   3  4 s ss S n ! L t n   n1 s n  3, (15) (16) Vamos agora calcular a transformada de uma função exponencial:    Le  3t  0  e e dt   e  st  3t 0  ( s  3) t  e  ( s  3) t dt  s3   0 1 , s3 s  3  0 ou s  3 E na forma geral essa transformada pode ser obtida como segue:   0 0 L eat    e st eat dt   e  st  s  a  dt t  s a   e lim  b    s  a    e  b s  a   b 1 1 1   0  lim  b   0  s  a s  a   s  a   s  a sa  0 , (17) sa Neste caso se s  a  0 , ou seja, negativo não irá existir o limite. No entanto, a expressão é valida para s  a  0 . Obs: neste caso se a     i também é válido, ocorre à mesma coisa, ou seja: Então, novamente quem esta determinando o comportamento do limite é e s  b , ou seja, quando s    0 , onde   Real  a  . Isso se torna importante porque algumas funções podem ser representadas por exponenciais, assim usaremos destes resultados para representar outras funções. Como a propriedade de Laplace é linear L af  t   bg  t   aL  f  t   bL g  t  , será usada para calcular o próximo exemplo:   0 0 Lsen 2t   e  st sen 2t.dt   e  ( s  3)t dt   e  st sen 2t 2   st   e cos 2tdt s s 0 2   st e cos 2tdt , s  0 s 0 lim e  st cos 2t  0, s  0  t   2  e st cos 2t  2   st     0 e sen 2tdt s s 0 s  2 4  Lsen 2t s2 s2 Nesse ponto, temos uma equação em Lsen2t que aparece nos dois lados da igualdade. Resolvendo essa equação obtemos: Lsen 2t  2 , s 4 2 s0 Podemos também resolver as transformadas de funções trigonométricas por soluções da fórmula de Euler:  L  cosh kt    e  st cosh ktdt  0 1 kt  kt e  e  2 1 , L e kt   sk     1 1 1 1 L  cosh kt    L e kt   L e  kt      s k 2 2  s  k s   k    s k  s  k   1 sk sk s   2 2 2 2 s k s  k2 cosh kt  (18) Obs: Cosh nunca se anula é a soma de duas exponenciais. Notamos que: 1 1 1 1   L e kt   L e  kt             2 2  s  k s  k  k 1 2k   2 2 2 s  k2 2 s k L sinh kt   (19) Veremos a transformada de seno pela fórmula de Euler: eikt  coskt  i sinkt (20) eikt  cos  kt   i sin  kt  função par  ikt função impar (21)  cos  kt   i sin  kt  Somadas as duas expressões resultam em: 1 cos    eikt  eikt  2 Se subtraídas tem-se: 1 sin    eikt  eikt  2i (22) (23) Essas relações serão utilizadas para calcular as transformadas de seno e cosseno. i  1 1  1  1  L sin kt   L   eikt  eikt    L eikt   L e ikt     2i  s  ik s  ik   2i  2i (24) k 1  s  ik   s  ik   1 2ik    2 2  2 2  s2  k 2 i s k s k 2i  2  Esse resultado também pode ser obtido usando a definição da transformada de Laplace, assim teremos que usar a integração por partes. 1  1 L cos kt   L   eikt  eikt    L eikt   L eikt   2  2 1 1 1  1 s i k  s i k s      2 2 2 2  s  ik s  ik  2 s k s  k2 (25) Propriedades da Transformada de Laplace A transformada de Laplace é uma transformação linear. Ou seja, dadas as funções f  t  e g  t  contínuas por partes para t  0 e de ordem exponencial e a uma constante, segue que: L  f  t   g  t   L  f  t   L g  t  L af  t   aL  f  t  De fato,  L  f  t   g  t    e  st  f  t   g  t  dt 0   0 0   e  st f  t dt   e  st g  t dt  L  f  t   L  g  t  , e  L af  t    e  st  af  t  dt 0   a  e  st  af  t  dt 0  aL  f  t . Essa propriedade é muito útil, pois usando a linearidade da transformada, não precisamos calcular a transformada de toda função: Exemplo: Calcule a transformada de Laplace da função f (t )  4t 3  5  cos 7t  e2t . Se calcularmos pela definição, temos que resolver a integral: L  f (t )    e  4t  st 3  5  cos 7t  e 2t  dt 0 Contudo, usando a propriedade de linearidade da transformada esse cálculo é significativamente reduzido quando se conhece a transformada das funções que aparecem na expressão de f . Dessa maneira, temos: L  f (t )  4 L  t 3  +5L 1 +L cos 7t +L e 2t  4 3! 1 s 1 ,s  2 5  2  4 s s s  49 s  2 Transformada de uma função contínua definida por partes 0, 0  t  3 L f (t ), para f (t )   t 3 2, Essa função contínua por partes de ordem exponencial para t  0 é apresentada na figura abaixo. Uma vez que f está definida em duas partes, L f (t ) pode ser expressa como a soma de duas integrais: Figura 2 - Função contínua por partes (Fonte Dennis Zill)  3  0 3 L f (t )   e st f (t )dt  e st 0dt   e st 2dt  0 0  st  2e s  3 3s 2e s , s  0. Transformada inversa de Laplace. Se F  s  for a transformada de Laplace da função f  t  , então definimos f  t  como a transformada inversa de Laplace de F  s  e denotamos por L1 F  s  . Assim, enunciamos o seguinte: Seja k um número real. Então, A transformada inversa de Laplace também possui as mesmas propriedades da transformada de Laplace. Teorema: Sejam F  s  e G  s  as transformadas das funções f  t  e g  t  , respectivamente, e a; b constantes, então: 1) L1 é uma transformação linear; L1 aF  s   bG  s   aL1 F  s   bL1 G  s  2) L1 F  s  a   e at f  t  .   3) L1 etF  s   f  t      t    ,   0. Teorema. Seja L  f  t   F  s  , então:  dn  n L1  n F  s     1 t n L1 F  s   ds  3 3 5  3   Exemplo: Calcule L1  2 . Assim,  . Observe que 2 2 s 5 5 s 5 s  5  3  3 1  5  3 L1  2 L  2  senh 5t  5 5 s  5  s  5  Exemplo: Usando frações parcias   1 Calcule L1   . Podemos calcular essa transformada começando por   s  3 s  1  1 como soma de duas funções racionais, cuja decompor a expressão racional  s  3 s  1 a transformada é conhecida. Para isso, a técnica de frações parciais, será muito útil. Vamos recordá-la um pouco. A idéia é achar constantes A e B tais que: 1  s  3 s  1  A B   s  3  s  1 Multiplicando ambos os lados da igualdade acima por  s  3 s  1 e igualando 1 1 os coeficientes de mesma potência em s, obtemos A  ; B   .Assim, 4 4   1  1 1 1  1 1  1  1 1  1  e3t et L1  L       L   L   4   s  3 s  1   4  s  3 4  s  1  4   s  3  4   s  1  4 A transformada de uma derivada Antes de resolvermos equações diferenciais precisaremos obter expressões para, por exemplo, a transformada das derivadas. Assim, nesta seção, estudaremos a transformada de derivadas. Observe que se f ' for uma função contínua para t  0 , obtemos, pela integração por partes, vamos fazer a demonstração:  L  f  t    e ' 0 u  e  st  du   se  st dt f  t dt  uv   vdu   ' dv  f  t  dt  v  f  t  dv  st u b '    lim e st f  t   s  e  st f  t dt  lim e  bt f  b   e 0 f  0   s  e  st f  t  dt b  0 b  0 (26) 0 e sb f  b   Mecb e sb L f  t   b s c e sb f  b   Me   b  se s  c é igual a 0   f  0   sL  f  t   sF  s   F  0  L f (t )  F (s)   L f ' (t )  sF ( s)  F (0) Onde F  s   L  f  t  (no cálculo acima assumimos que e st f  t   0 quando t   ). Usamos da Eq. (26) e procedendo de maneira análoga, obtemos: L  f ''  t   s 2 F  s   sf  0   f '  0  (27) L  f '''  t   s 3 F  s   s 2 f  s   sf  0   f '  0  Teorema: Se f , f ' ,..., f  n1 forem contínuas em [0, ) e de ordem exponencial, e se f  n   t  for contínua por partes em [0, ) , então: L  f n  t   s n F  s   s n 1 f  s   s n  2 f '  0   ...  f n 1  0  (28) Onde F  s   L  f  t  . O exemplo a seguir representa a transformada caso a f ' é contínua por partes, ou seja: b lim  e b  0  st n 1 ti1 f  t dt  lim   e  st f '  t  dt ' b  (29) i  0 ti Novamente preciso fazer a integral por partes, onde a ideia é particionar a integral       t i 1 n 1 ti 1    sti  st e f t     se f  ti  dt    ti i 0 ti    st   st0     st   st    st   st3   e 1 f  t1   e f  t3  f  t 0   e 2 f  t2   e 1 f  t1    e 2 f  t2   e         ... e stn f tn  e stn1 f tn1    Os limites pela esquerda e pela direita cancelados e assim teremos:  e f t1 (30)   são iguais por isso podem ser f t1       ti 1 n 1   t 1 i  e  st f  t     se  sti f  ti  dt    ti i 0  ti   0  s  e st f  t  dt    st     st tn b    sb 0  e 0 f t 0   e n f tn   f  0e f b      t00    (31) Teremos a mesma reposta, porém, é preciso dividir o intervalo. Assim, temos o seguinte teorema para f  t  contínua por partes f  0  e st1  f  t1   f  t1  esta medindo a descontinuidade no t1 é o salto que a função dá e assim posso escrever todas as somas, considerando que t  0 ou posso ter finitos pontos: f  0  e  st1    f t   f t    e st2  f t   f t    ...  1   2   2  1    j  ti  (32)  L  f '  t   sL  f  t   f  0    e  sti j  ti  i 1 Resolvendo EDOs Lineares Fica evidente com base no resultado geral dado no teorema anterior que d y  L  n  depende de Y (S )  Ly(t ) e das 𝑛 − 1 derivadas de y (t ) calculadas em 𝑡 =  dt  0. Essa propriedade torna a transformada de Laplace idealmente adequada para a resolução de problemas lineares de valor inicial nos quais a equação tem coeficientes constantes. n dny d n 1 y   ...  a0 y  g  t  a n 1 dt n dt n1 y  0   y0 , y '  0   y1 ,..., y  n 1  0   yn 1 , an (33) onde ai , i  0,1,..., n e y0 , y1 ,..., yn 1 são constantes. Pela linearidade, a transformada de Laplace dessa combinação linear é uma combinação linear de transformadas de Laplace: dn y   d n 1 y  an L  n   an 1L  n 1   ...  a0 L  y  L  g  t   dt   dt  Do teorema, torna-se: (34) an  s nY  s   s n 1 y  0   ...  y  n 1  0    an 1  s n 1Y  s   s n 2 y  0   ...  y  n  2  0   (35) ...  a0Y  s   G  s  Onde Ly(t )  Y (S ) e Lg (t )  G(S ) . Em outras palavras, a transformada de Laplace de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes torna-se uma equação algébrica Y (S ) . Se resolvermos a equação geral transformada para determinar o símbolo Y (S ) , obtemos primeiramente P( S )Y ( S )  Q(S )  G( S ) e então escrevemos: Y (S )  Q( S ) G ( S )  P( S ) P( S ) Onde P(S )  an S n  an 1S n 1  a0 é um polinômio em s de grau menor ou igual a n 1 , que consiste nos vários produtos dos coeficientes ai , i  0,1,..., n e das condições iniciais prescritas y0 , y1 ,..., yn 1 , e G (S ) é a transformada de Laplace de g (t ) . Figura 3 - Solução de equações diferenciais usando Transformada de Laplace Exemplo 1: Dada uma ED usar a transformada de Laplace, em uma equação simples, neste caso temos um método fácil de resolver pela equação característica:  x ''  t   x '  t   6 x  t   0   x  0  2  '  x  0   1 Aplicando Laplace teremos que: x ''  t   x '  t   6 x  t   0 L  x ''  t   L  x '  t   6 L  x  t   0 s 2 X  s   sx  0   x '  0   sX  s   x  0   6 X  s   0 s 2 X  s   sX  s   6 X  s   2s  1  2  0 X  s   s 2  s  6   2s  3 X s  2s  3  s  s  6 2 Preciso saber quem é o x  t  , devido a unicidade teremos a inversa, ela esta bem definida, ou seja, será feiro a inversa. Primeiramente precisamos tentar decompor o denominador para encontrar formas que já existam de forma direta as transformadas. X s  A B 2s  3 2s  3     s  s  6  s  2 s  3  s  3  s  2  2 A  s  2   B  s  3  2 s  3 A  B  2 7 3  5B  7  B  ; A   5 5 2 A  3B  3 O que resulta em: X s  2s  3 2s  3 3 1 7 1     s  s  6  s  2 s  3 5  s  3 5  s  2  2 Ou seja, 3  1  7 1  1  x  t   L1   L   5   s  3  5   s  2   3 7 x  t   e3t  e 2t 5 5 Neste caso não faz sentido resolver o PVI com transformada de Laplace, com poucas linhas seria resolvido pelo método de coeficientes constantes, porém foi utilizado por fins didáticos. Exemplo 2: Dada uma ED usar a transformada de Laplace para resolver:  y '''  t   6 y ''  t   11y '  t   6 y  t   1   y ''  0   0   y '0  0 y 0  0    Essa resolução por fins didáticos será realizada por etapas: Etapa 1: Aplicação da transformada de Laplace L  y '''  t    6 L  y ''  t   11L  y '  t   6 L  y  t   L 1  s 3Y  s   s 2 y  0   sy '  0   y ''  0   6  s 2Y  s   sy  0   y '  0   1 11  sY  s   y  0    6Y  s   s Y s  1 1  s  s  6s  11s  6  s  s  1 s  2  s  3 3 2 Etapa 2: Expansão por frações parciais A B C D Y s     s  s  1  s  2   s  3 1 1 1 1 A  ; B   ;C  ; D   6 2 2 6 Y s  1 1 1 1    6s 2  s  1 2  s  2  6  s  3 Etapa 3: Aplicar a transformada inversa de Laplace 1 1  1   1   1 1   1   1 1   1   y  t   L1    L1   L   L   6 s 2    s  1   2    s  2   6    s  3   1 1 1 1 y  t    et  e2t  e3t 6 2 2 6 Exemplo 3: Dada uma Edo resolva usando a TL, este caso para a transformada inversa teremos que usar a translação em s.  y ''  t   3 y '  t   2 y  t   4e 2t   y  0   3  '  y  0  5 Neste caso teremos que usar o teorema da inversa da translação em s, dado pela Eq.(36), ou seja:   L1  F  s  a   L1 F  s  s  s  a  e at f  t   1  1  L1  2 L1  2 s   s  2   Exercícios 1 - Resolva a Ed com condições iniciais:  y ''  t   y  t   sin 2 t  a)  y '  0   1   y  0  2  y IV  t   y  t   0   y '''  0   0  b)  y ''  0   0   y '  0  1  y  0  0   2t e t ss a   x ''  t   4 x  t   sin 3t  c)  x '  0   0   x  0  0 d) Ache a solução do P.V.I. y ''  4 y  3, y  0   0, y '  0   0 Solução: y  t   3 3  cos 2t 4 4 Translação sobre o eixo s     O cálculo de transformadas tais como L e5t t 3 e L e 2t cos 4t é direto desde que conheçamos L t 3  e Lcos 4t. Em geral quando conhecemos a transformada de Laplace de uma função 𝑓, L f (t )  F (s) , é possível computar a transformada de Laplace de um múltiplo exponencial de 𝑓, isto é, L e at f (t ) , sem nenhum esforço.   Teorema: Teorema de translação sobre o eixo s Se L  f t  F  s  e a for um número real qualquer, então: L e at f t  F  s  a  Demonstração: Pela definição de transformada, temos que:   0 0 L eat f t   e st eat f  t dt   e  s a t f  t dt  F  s  a  Se considerarmos 𝑠 uma variável real, o gráfico de 𝐹(𝑠 − 𝑎) será o gráfico de 𝐹(𝑠) deslocado sobre o eixo 𝑠 pelo valor de |𝑎|. Se 𝑎 > 0, o gráfico 𝐹(𝑠) será deslocado 𝑎 unidades para a direita, enquanto, se 𝑎 < 0, o gráfico será deslocado |𝑎| unidades para a esquerda. Figura 4 - Gráfico do deslocamento no eixo s Para enfatizar, é às vezes proveitoso usar o simbolismo: L e at f  t   L  f  t  ss a Exemplo 1: Calcule a transformada L e5t t 3  . L e5t t 3   L t 3  s  s 5  6  s  5 4 Exemplo 2: Calcule a transformada L e 2t cos 4t . L e2t cos 4t  L cos 4t s  s  2  s2  s  2 2  16 A forma inversa do teorema da translação em s As transformações geralmente precisam ser ajustadas pelas frações parcias e a transformada inversa resulta em:   L1 F  s  a   L1 F  s  ss a  eat f  t  (36)  2s  3  Exemplo 3: Calcule a transformada inversa L1  2  . Aqui tentaremos usar a  s  4s  20  propriedade da translação. Dessa maneira, observe que: 2  s  2  7 2s  3 2s  3    2 s 2  4s  20  s  4   16  s  4 2  16     2  2  s  2  7  4   1   s  4 2  16  4   s  4 2  16      Como, pela propriedade de translação, temos que:     s  2   2t L    e cos 4t 2   s  2   16  1 e   4   2t L1    e sen 4t 2 2 16   s     Fica fácil ver que: 7 4t  2s  3  2t L1  2   2e sen4t  e sen 4t 4  s  4s  20  Exercícios  2s  5  a) Calcule a transformada inversa de L1  : usando frações parciais 2   s  3  teremos:  2s  5  L1   2e3t  11e3t t 2   s  3   s 5     b) Calcule a transformada inversa de L1  2 2 3   s  4s  6    3t 3t  e cos  2t   e sen  2t     2s 2  10s 2s 2  10s  1   c) L  2 L   2   s  2s  5   s  1    s  1  4  s  1  1   Solução: Exemplo 4: Vamos resolver um problema de valor inicial:  y '' 2 y ' 5 y  8et d)  y  0   2; y '  0   12 Aplicando a transformada de Laplace tem-se: Chegamos ao mesmo resultado do exemplo c. Exemplo 5: Usar a transformada de Laplace para resolver o PVI y ''  t   6 y '  9 y  t   t 2e3t y  0   2, y '  0   17 Decompondo em frações parciais, Aplicando a transformada inversa, Exemplo 6: x ''  t   6 x'  34 x  t   0 x  0   3, x'  0   1 Exemplo 7: x ''  t   6 x'  34 x  t   30sin 2t x  0   0, x'  0   0 Exemplo 8: Ache a solução do PVI usando as transformadas de Laplace:  y ''  4 y '  13 y  2t  3e 2t cos t   y  0  0  '  y  0   1 Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados desta equação e aplicando as condições iniciais dadas, obtemos: s 2 F  s   1  4sF  s   13F  s   onde F  s   L  y  t  . Assim, F s  3 s  2 2 ,  2 s  s  2 2  9 3 s  2 1 2  2 2  s  4s  13 s  s  4s  13  s 2  4s  132 2 Agora, devemos achar a transformada inversa de cada termo da soma acima, comecemos pelo primeiro termo. 1 1 1 3   s  4s  13  s  2   9 3  s  2 2  9 2 Logo, 1 1 2t   L1  2    e sen3t 3  s  4s  13  Para o segundo membro da soma, usamos frações parciais: A B 2 Cs  D   2 2 s  4s  13 s  s  4s  13 s s 2 2 Resolvendo a igualdade acima, obtemos A   Portanto, 8 2 8 6 . ; B  ,C  ,D  169 13 169 169 2 8 1 2 1 1 8s  6    2 2 169 s 13 s 169 s  4 s  13 s  s  4s  13 2 2 8 1 2 1 1 10 3 s2     2 2 169 s 13 s 169  s  2   9 3 169  s  2 2  9 e, assim ,   2 8 2 8 2t 10 2t L1  2 2 e cos 3t  e sen3t  t  169 13 169 507 s s s 4 13       E, finalmente a terceira soma pode ser vista como: s 3 s  2 2  4s  13 2   3 d  1 1 d  3      2 ds  s 2  4 s  13  2 ds   s  2 2  9    Portanto, pelo Teorema 11.6 e pelo item 2 do Teorema 11.5, segue que :  3 s2      1 2t L   te sen3t 2 2   s  4s  13  2 1 Portanto, 1 8 2 8 2t 10 2t 1 y  t    e 2t sen3t   t e cos 3t  e sen3t  te 2t sen3t 3 169 13 169 507 2 179 2t 8 2t 1 2t 2 8 y t    e sen3t  e cos 3t  te sen3t  t  507 169 2 13 169 Exercícios 1 - Resolva as Edo’s com condições iniciais:  y ''  t   4 y '  t   6 y  t   1  e t  a)  y '  0   0   y  0  0 1 1 1 2 2t y(t )   et  e2t cos 2t  e sen 2t 6 3 2 3 2  y ''  t   4 y '  t   4 y  t   t 2  b)  y '  0   0   y  0  0  x ''  t   x  t   F0 sin t c)  '  x  0   0, x  0   0  y  4  t   2 y ''  t   y  t   4tet d) 3    y  0   y ''  0   y '  0   y  0   0 '   x ''  t   6 x  34 x  t   0 e)  '   x  0   3, x  0   1  x ''  t   6 x '  34 x  t   30sin 2t f ) '  x  0   0, x  0   0 5 2 Resposta: x  t    2cos 2t  5sen2t   e3t  5cos5t  2sen5t  29 29 g) Ache a solução do PVI usando as transformadas de Laplace:  y ''  4 y '  13 y  2t  3e 2t cos t   y  0  0  '  y  0   1 179 2t 8 2t 1 2 8 Solução: y  t    e sen3t  e cos3t  te2t sen3t  t  507 169 2 13 169 Translação sobre o eixo t Nas engenharias são frequentemente encontradas funções que pode ser “ligadas” e “desligadas”. Por exemplo, uma força externa agindo sobre um sistema mecânico ou uma voltagem sendo aplicada a um circuito elétrico que pode ser desligada a certo período. Essa função é muito importante porque ela descreve funções descontínuas, ou contínuas por partes mais simples. Para trabalhar com esse tipo de processos vamos introduzir a função de Heaviside. Função degrau ou função de Heaviside Definição: uma função é contínua por partes em I se existe uma partição de I p0 ; pi tal que f  t  é contínua em cada subintervalo  pi ; pi 1  intervalo aberto e os limites laterais lim f  t  e lim f  t  são finitos. t  pi t  pi É conveniente então definir uma função especial que seja número 0 (desligada) até um determinado tempo 𝑡 = 𝑎 e número 1 (ligada) após esse tempo. 0 se 0  t  a u  t  a   ua  t    1 se t  a (37) Como Laplace trabalha com t>0 o gráfico da função de Heaviside é: Figura 5 - Gráfico da função degrau unitário Quando uma função 𝑓 for multiplicada por 𝑢(𝑡 − 𝑎), a função degrau unitário “desliga” uma parte do gráfico dessa função. Por exemplo, considere a função 𝑓(𝑡) = 2𝑡 − 3. Para desligar a parte do gráfico de 𝑓 sobre o intervalo 0 ≤ 𝑡 < 1, simplesmente tomamos o produto (2𝑡 − 3)𝑢(𝑡 − 1). Em geral, o gráfico de 𝑓(𝑡)𝑢(𝑡 − 1) é “desligado” para 0 ≤ 𝑡 < 𝑎 e “ligado” para 𝑡 ≥ 𝑎. Figura 6 - Gráfico da função 𝒇(𝒕) = (𝟐𝒕 − 𝟑)𝒖(𝒕 − 𝟏) Em um outro ponto de vista podemos afirmar que quando multiplicamos uma 𝑓(𝑡) pela função de Heaviside, estamos aplicando uma translação da 𝑓(𝑡) em relação ao seu domínio, como podemos observar na figura 7. Figura 7 - Deslocamento em t Exemplo 1: 0 se 0  t  2 0 se 0  t  2 , uma vez que u  t  2    f  t   sen  t  u  t  2    sen  t  se t  2 sen  t  se t  2 Representação gráfica: Figura 8 - a) gráfico da função f  t   sen  t  , b) gráfico da função f  t   sen  t  u  t  2  A função degrau unitário Eq. (37) também pode ser usada para descrever funções definidas por partes em uma forma compacta. Por exemplo, se considerarmos os intervalos 0 ≤ 𝑡 < 2, 2 ≤ 𝑡 < 3 e 𝑡 ≥ 3 e os valores correspondentes de 𝑢(𝑡 − 2) e 𝑢(𝑡 − 3), deve ser claro que a função definida no gráfico abaixo pode ser escrita pela expressão 𝑓(𝑡) = 2 − 3𝑢(𝑡 − 2) + 𝑢(𝑡 − 3). Figura 9 - Gráfico da função 𝒇(𝒕) = 𝟐 − 𝟑𝒖(𝒕 − 𝟐) + 𝒖(𝒕 − 𝟑). Da mesma forma, uma função definida por partes do tipo:  g (t ), 0  t  a f (t )   ta  h(t ), É idêntica a 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎) + ℎ(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎) Analogamente, uma função do tipo:  0, 0  t  a  f (t )   g (t ), a  t  b  0, t b  Pode ser escrita como: 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡)[𝑢(𝑡 − 𝑎) − 𝑢(𝑡 − 𝑏)] Uma forma alternativa e descomplicada de escrever a função de Heaviside é multiplicar a parte da 𝑓(𝑡) pelas funções de Heavise que representam a região onde está é ligada ou desligada. Por exemplo a figura 9 representa um gráfico de uma função com  2, 0  t  2  três partes. f (t )   1, 2  t  3 .  0, t 3  A 𝑓(𝑡) é composta pela seguinte soma: 𝑓(𝑡) = 2[𝑢(𝑡 − 0) − 𝑢(𝑡 − 2)] − 1[𝑢(𝑡 − 2) − 𝑢(𝑡 − 3)] + 0[𝑢(𝑡 − 3)] Desta forma 𝑓(𝑡) = 2 − 3𝑢(𝑡 − 2) + 𝑢(𝑡 − 3) Com base nesse conceito, podemos ter outras aplicações práticas; observe abaixo: FUNÇÃO PULSO: Uma aplicação bastante prática está relacionada abaixo em que desliga a função para t < a e t > b deixando somente a função entre o intervalo "a" e "b Imagine que você tenha que restringir o intervalo da sua função; podemos usar a função pulso; basta multiplicar a função pela função pulso. Exemplo 2: A voltagem em um circuito é dada por uma função definida por partes: 20t , se 0  t  5 E t    0, se t  5 (38) Lembrando que é essa função que precisamos definir, então teremos que a 0, se 0  t  5 função degrau é u  t  5    podemos expressar a Eq. (38) como: 1, se t  5 Resp: E  t   20t  20t  u  t  5  Considere uma função genérica 𝑦 = 𝑓(𝑡) definida para 𝑡 ≥ 0. A função definida por partes 0t a  0, f (t  a)u (t  a)   ta  f (t  a), desempenha um papel significativo Veremos agora como calcular a transformada de Laplace desse tipo de função: Segundo teorema da Translação Se 𝐹(𝑠) = 𝐿{𝑓(𝑡)} 𝑒 𝑎 > 0, então L f t  a u (t  a)  e as F ( s) (39) Observe abaixo a demonstração do teorema em que colocamos a função f (t) = f (t - a) u (t - a) e achamos a transformada de Laplace (lembrando que u (t - a) é igual a 1 para t ≥ a, e criamos uma variável x = t - a para isolar "t" e integramos em função de x): Prova: Pela propriedade aditiva das integrais,  L f (t  a)u(t  a)   e st f (t  a)u(t  a)dt 0 Pode ser escrita como soma de duas integrais:   L f (t  a)u (t  a)   e  st f (t  a) u (t  a) dt   e  st f (t  a) u (t  a) dt   e  st f (t  a)dt 0 0 a 14442443 14442443 a zero _ para _ 0t  a Agora se fizermos na última integral 𝑣 = 𝑡 − 𝑎, 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡, então:   0 0 L f (t  a)u(t  a)   e s (va ) f (v)dv  e as  e sv f (v)dv e sv L f (t ) Exemplo 4: Calcule as transformadas de Laplace: a) 𝑓(𝑡) = (𝑡 − 2)3 𝑢(𝑡 − 2) b) 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑡 − 4)𝑢(𝑡 − 2) c) 𝑓(𝑡 − 𝑎) = 1 d) e) um _ para _ t  a RESOLUÇÃO: a) Observe que a forma de deslocamento da função e do degrau unitário são iguais, (t - 2). Basta aplicar diretamente a fórmula (usamos a tabela de transformada de Laplace, item 19). b) Temos que manipular matematicamente a função para colocar a função senh (2t - 4) na mesma forma de deslocamento u (t - 2). Usamos o item 6 da tabela de transformada de Laplace. c) Basta substituir na fórmula f(t - a) = 1. Usamos a tabela de transformada de Laplace item 1. d) Observe que o gráfico é uma função por partes para explicar como definimos a função por partes de forma compacta dividirei o gráfico em 3 funções (f1(t) = 2, f2(t) = -1 e f3(t) = 0): Para montar o intervalo com funções definidas por partes, basta somar as funções usando afunção pulso nos respectivos intervalos. Obtemos a função: f(t) = f1(t) [u (t - a) - u (t - b)] + f2(t) [u (t - a) - u (t - b)] Substituindo os valores das funções, obtemos (u(t), para t ≥ 0, é igual a 1): f(t) = 2 [u (t - 0) - u (t - 2) + -1 [u (t - 2) - u (t - 3)] ---> f(t) = 2 u(t) - 2 u (t - 2) + (-1) u (t - 2) - (-1) u (t - 3) ---> f(t) = 2 - 2 u (t - 2) - 1 u (t - 2) + 1 u (t - 3) ---> f(t) = 2 - 3 u (t - 2) + u (t - 3) Calculando a transformada de Laplace (Obtive a transformada inversa consultando a tabela de transformada de Laplace): e) Observe que o gráfico é uma reta, portanto temos uma equação do 1º grau; basta substituir dois pontos na equação e montar um sistema e observe que a função esta deslocada 1 unidades, u(t - 1). Achamos a função; Temos que colocar a função (2t - 3) na mesma forma de deslocamento u(t - 1). Observe que podemos escrever -3 como - 3 = -2 - 1. Observe abaixo a resolução; usamos atabela de transformada de Laplace itens 1 e 2. Exemplo 5: A figura é f  t   2  3u  t  2   u  t  3 , ou seja: representada pela 0t a 0,  f  t   g t  - g t  u t - a   h t  u t - a    g t  , a  t  b 0, t b  Fazendo a transformada da função teremos: seguinte equação Obs: precisa ser cuidado quem é o a da função degrau com o da função a ser transformada. Ela é muito importante porque outras funções descontínuas ou contínuas por partes podem ser descritas pela função degrau. De maneira geral podemos fazer a transformada dessas funções de forma alternativa, ou seja:   L  g  t  u  t  a    e g  t  dt   e  s (u  a ) g  u  a  du (40) L  g  t  u  t  a   e  as L  g  t  a  (41) 0  st 0 Isto é, Vamos resolver a transformada de uma função simples L cos t  u  t    : Solução: g  t   cos t e a   , então g  t     cos  t      cos t pela fórmula da adição para a função cosseno. Logo, pela Eq. (41), tem-se: L cos tu  t     e s L cos t   s  s e s 1 2 Exemplo 6: considerando um exemplo de valor inicial: 0t  0, y '  t   y  t   f  t  , onde f  t    3cos t , t   y  0  5 Solução: A função f pode ser escrita como f  t   3cos t  u  t    e, portanto, por linearidade teremos que: L  y '   L  y  3L cos t  u  t    sY  s   y  0   Y  s   3  s  1 Y  s   5  Ou seja, Y s  s  s e s 1 2 3s  s e s 1 2 5 3s  e  s 2 s  1  s  1  s  1 Expandindo em frações parciais: 3s A Bs  C e  s   2 2  s  1  s  1  s  1  s  1 3 3 B C  ;A 2 2 Assim, Y s   5 3  1  s 1 s e  2 e  s  2 e  s    s 1 2  s 1  s  1  s  1   Procedendo para a transformada de Laplace inversa:  1  s  t   L1  e e u t     s 1   1  s  L1  2 e   sen  t    u  t     s 1   s  L1  2 e  s   cos  t    u  t     s 1  Assim, a inversa é: 3 3 3 y  t   5et  et  u  t     sen  t    u  t     cos  t    u  t    2 2 2 3  5et  u  t    et  u  t       sent     cost    Identidades trigonométricas 2 t 5e , 0t     t 3  t   u  t     sent  cos t  , t   5e  u  t    e  2  t, y ''  t   3 y '  t   2 y  t   f  t  , onde f  t    Exemplo 4: t , y '  0  y  0  0 0  t 1 t 1 Aqui foi usado do teorema da Eq. (41). É preciso analisar onde u  t    é zero e formular a resposta no intervalo já que ela multiplica a solução. Exercícios: 1 - Resolver as Edo’s usando TL a) A equação diferencial para a carga 𝑞(𝑡) em um capacitor em um circuito em 1 𝑑 série R-C é 𝑅 𝑞(𝑡) + 𝐶 𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡), onde 𝑅 é a resistência, 𝐶 é a 𝑑𝑡 capacitãncia e 𝐸(𝑡) é a força eletromotriz (𝑓. 𝑒. 𝑚). Use as transformadas de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se 𝑞(0) = 0, 𝑅 = 2,5 𝑜ℎ𝑚𝑠, 𝐶 = 0,08 faradays e 𝐸(𝑡) é dada pelo gráfico da figura abaixo. Figura 10 - Força eletromotriz  t, b) y '  t   2 y  t   f  t  , onde f  t    0, y '  0  y  0  0 2018 0  t 1 t 1 Solução A derivada de uma transformada Exemplo: Calcular a transformada da L tsenkt utilizando o teorema da derivada duas vezes.     L tsenkt   f '  t   senkt  tk cos kt  f ''  t   k cos kt  k cos k  tk 2 senkt   f t    Agora sim apareceu novamente a função seno. Vamos usar o teorema da derivada: L  f ''  t   s 2 L  f  t   sf  0   f '  0  s  kL tsenkt  s 2 L tsenkt  s *0  0 s  k2 s   s 2  k 2  L tsenkt 2k 2 s  k2 s L tsenkt  2k 2  s2  k 2  2k 2 É uma forma de utilizar o teorema da derivada. Transformada de Laplace e função gama Antes de querer obter a transformada de um polinômio é preciso ser citado à função gama, neste caso o n não necessita ser inteiro isso se torna um problema maior. No caso para n inteiro teremos:  n!   e st t n dt n 1 s 0 n  0,1, 2,... L t n   (42) (43) Se fizer:  s  1, n !   e t t n dt (44) 0 Vamos fazer algo parecido ao tentar calcular a transformada de Laplace da:  L t x    e  st t x dt (45) 0 A função gama pode ser definida como (ela é definida sob o sinal de integração):    x    e t t x 1dt (46) 0 Necessitamos de uma propriedade dessa função, assim afirma-se que ela é recursiva, para isso iremos calcular   x  1 .    x  1   et t x dt (47) 0 Essa expressão aparece frequentemente na física-matemática sendo definida por   x  1 . Em que, x  1 é questão de conveniência.  e t dt    x  1, t x 0 Neste caso teremos que aplicar partes:    x  :  et t x 1dt 0 (48)    x  1   e t dt  t  e t x x u 0 t  0 lim  e b b x     e xt dt  x  e t t x 1dt  x  x  t x 1 0 0 b du  xt x 1dt (49) t v  e Um polinômio lim  e b x b b dividido por uma exponencial aplica L’Hopital e esse limite tende a zero, portanto prova-se que a função é recursiva. Ou seja, basta aplicar L’Hopital na primeira suposição depois da igualdade para perceber que ele vai a zero.    x  1  x  et t x 1dt  x  x  (50)   x  1  x  x  (51) 0  1 . Precisamos usar a recursividade para saber quem é a função, ou seja, quem seria   1   e  t t 0 dt  e  t 0  0 lim  e b  e 0  1 b    x  1  x  x     2   1 1  1 (52)   3    2  1  2 1  2 1   4     3  1  3  3  3  2 1 Vamos calcular a transformada de Laplace de t x da função Gama.  U L t    e t dt (53) U  st (54)  st x x 0  x 1   x 1 1 x U U dU    x 1  eUU x dU  x 1   x  1 L t    e x s s s 0 s 0 (55) Nota-se que, nos chegamos na expressão para o fatorial de x for um inteiro:    x  1  x  et t x 1dt  x  x  (56)   n  1  n  n   n ! (57) 0 Voltando a transformada de Laplace voltamos a nossa expressão: 1 (58) L t x   x1 x  x  , x  1 s Vamos provar que para que essa transformada exista x  1 . A função gama é um número se x foi inteiro eu terei um fatorial. Função escada Essa função tem as descontinuidades em todos os inteiros positivos, ou seja: Queremos a transformada de Laplace dessa função, como é uma constante teremos e cada salto é igual a 1, ou seja, j  ti   1 : f ' t   0 L  f  t   0  sL  f ' L  f '  t   0  sL  f 1   t   f  0    e st j  ti  i i 1 1     t   1   e  st j  ti   1  e  sn     e  s  n i i 1 n 1 n 0 Soma pg inf inita Em uma soma da Pg infinita temos que:  x n 0 n  1 1 x x 1   e  s n  n 0 1 1  e s Soma pg inf inita Então, 1 1  e s 1 L  f  t   s 1  e s  sL  f  t   Novamente estamos usando o teorema da derivada e suas aplicações. Agora passamos a ver o Teorema da Integral. Teorema da Integral: para integral teremos o efeito de dividir por s. Seja f  t  contínua por partes e com ordem exponencial quanto t   .    t  L  f  t  F  s  L   f   d    s s o    g t   Pelo TFC  g '  t   f  t   L  g '  t   sL  g  t   g  0   0   L  g '  t    L  g  t  s  Esse Teorema tem muitas aplicações úteis. Vamos entender a inversa:  F s  t L1     f  d s   0 Sempre se torna necessário voltar a propriedade, exemplo:  1   1  1   s  3  t 3 e3     L1  L e d     3  s  s  3   s  0   t  0 e 3t 1  3 3 Preciso sempre isolar o s, ou seja, s no denominador eu preciso olhar para o numerador e saber que é o f. Vamos ver outro problema.  1  t t   e3 1   e3 1  1 e 3t 1 1  1  s  s  3  1    d       t L  2 L       9 3 0 3 3 9  s  s  3    s  0  3 3     Neste caso teria que usar o Teorema duas vezes.
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