Limite Hidrodinâmico do Processo de Exclusão via Método da Entropia Relativa de Yau.

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´atica Programa de P ´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Disserta¸c˜ao de Mestrado

  

Limite Hidrodinâmico do Processo de Exclusão via Método

da Entropia Relativa de Yau.

  

Diego Daltro Conceição

Salvador-BA

  Setembro/2014

Limite Hidrodinâmico do Processo de Exclusão via Método da Entropia Relativa de Yau. Diego Daltro Conceição

  Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten- ção do Título de Mestre em Matemática.

  Orientador: Prof. Dr. Tertuliano F. S.

  Franco Salvador-BA

  Setembro/2014 Sistema de Bibliotecas da UFBA Conceição, Diego Daltro. Limite hidrodinâmico do processo de exclusão via método da entropia relativa de Yau / Diego Daltro Conceição.- 2014. 75 f.: il. Inclui apêndice. Orientador: Prof. Dr. Tertuliano F. S. Franco. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Salvador, 2014.

  1. Entropia. 2. Distribuição (Teoria da probabilidade). I. Franco, Tertuliano F. S. II. Universidade Federal da Bahia. Insti-

  Dedico este trabalho aos meus pais, meus irmãos, minha noiva, minha sogra e a todas as pessoas que, direta ou indiretamente, me ajudaram a chegar onde estou. Deus continue abençoando a todos.

Agradecimentos

  A Deus pelo dom gratuito de viver constantemente em Seu amor e Sua graça. Aos meus amigos do mestrado pela companhia mais que agradável a qual permitiu que minha estadia neste ambiente se tornasse mais que uma rotina. Obrigado amigos da sala 18. Todos vocês são especiais.

  Agradeço ao meu orientador Tertuliano Franco por me conduzir na construção deste trabalho, pelas disciplinas que cursamos, pelos eventos que fomos, pela experiência que tentou me passar, por todas as sugestões que me deu, visando a melhora do meu trabalho, e por acreditar no mesmo. Obrigado chefe! Seu trabalho não tem sido em vão.

  Gostaria em especial de agradecer a Deus pela vida de Caroline Morais e Junilson Cerqueira. Mais que amigos, vocês são presentes pra minha vida. São pessoas mais que especiais, passam virtude e brando com seus gestos e sua forma simples e amável de viver. Talvez seja este o segredo de vocês serem tão graciosos. Vocês só querem ser felizes e fazem a prova de que "felicidade é só questão de ser".

  Sou mais que grato a minha noiva Samara Passos e minha sogra dona Iracema Passos. Vidas pelas quais infinitamente louvo a Deus, por con- viver e aprender com estas pessoas. Obrigado amor, pelas palavras de consolo, pela compreensão, pelos inúmeros sermões, pelas saudades, pelo apoio que você me deu e dar até hoje. Obrigado por acreditar em mim.

  Obrigado amor por me escolher, pela paciência, pois você estuda letras e os matemáticos são mais que egoístas com os estudos. Obrigado por en- tender que algumas (muitas) vezes eu tive que ficar sem te ver pra poder fazer as listas de Tertu. Eu te amo Bê!

  Por fim agradeço a Fabesb pelo apoio financeiro.

  "Agora se vê que nossas esperanças de voltar às origens são como as mariposas tentando atingir a luz, somos puros como o homem que está sempre esperando com leve curiosidade, pela primavera e pelo verão seguinte, sempre à espera de novos meses e anos, e quando o tempo porque ansiamos chega, sempre parece que é tarde demais, não notamos que a nossa ânsia carrega em si o germe da nossa própria morte, mas deve-se saber que este anel é a essência da vida, e que o homem é o modelo do mundo".

  Leonardo da Vinci.

  

Resumo

  Apresentamos uma prova detalhada do limite hidrodinâmico do Pro- cesso de Exclusão Simples e Simétrico utilizando o método da Entropia Relativa. Nós provamos este resultado para tal processo evoluindo no

  2

  toro discreto unidimensional T com escala difusiva θ(n) = n . O método n da Entropia é de grande dificuldade técnica, por isso o estudamos no caso com interação mais simples possível (o Processo de Exclusão Simples e Simétrico).

  Limite hidrodinâmico, processo de exclusão e entropia rela- Palavras-chave: tiva.

  

Abstract

  We present a detailed proof of the hydrodynamic limit of Symmetric Simple Exclusion Process through relative entropy method. We proof this result to the process evolving in the unidimensional discrete torus T with n

  2

  diffusive scale θ(n) = n . The relative entropy method is a very difficult technic, them we study in the case with interacting more simple possible (Symmetric Simples Exclusion Process). Keywords: Hydrodynamic limit, exclusion process and relative entropy.

Sumário

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

  62

  60

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  . . . . . . . . . . . . . 57

  57

  

  55

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

   ix

   xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

  37

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  . . . . . . 18

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  11

  

  5

  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

Lista de Figuras

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  

Capítulo 1 Introdução

  O estudo dos Sistemas de Partículas Interagentes foi introduzido por Spit- zer em O objetivo era entender a evolução temporal macroscó- pica de sistemas físicos através da dinâmica microscópica subjacente, isto é, a dinâmica entre as moléculas que compoem um sistema físico. O cenário é o seguinte, primeiro se supõe ter duas escalas para tempo e espaço as- sociadas, por exemplo, um fluido ou gás expandindo em um determinado volume. A ideia é dividir este volume em um certo número de células, de modo que em cada uma destas células se possa ter um número aleatório de moléculas que se movam de acordo com uma regra fixada, uma taxa de transição de probabilidade.

  O comportamento microscópico de um sistema físico é muito difícil de se obter de maneira razoável, devido ao fato do número de moléculas ser muito grande, tipicamente o número de Avogadro, para se ter uma des- crição significativa algumas simplicações devem ser feitas. Nesta teoria se supõe ter um movimento estocástico das moléculas em vez de deter- minístico, e com esta hipótese pode-se fazer uma análise probabilística do sistema. O movimento subjacente depende de termos cada molécula es- perando um tempo exponencial e cada uma delas realizando um passeio aleatório submetido por restrições locais. Neste contexto, um Sistema de Partículas Interagentes consiste em um movimento aleatório de uma coleção de partículas, cada uma esperando um tempo exponencial para se mover de uma célula para outra de acordo com uma transição de probabilidade. Probabilisticamente falando, como estes tempos são variáveis aleatórias com lei exponencial, este processo pertence à classe dos processos de Mar- kov.

  Em um Limite Hidrodinâmico, estamos interessados em deduzir a equa- ção hidrodinâmica macroscópica que governa a evolução temporal de al- guma quantidade física de interesse. Para processos em que a dinâmica mi- croscópica conserva uma quantidade termodinâmica macroscópica, como por exemplo, a densidade ou energia, se deduz a equação diferencial par- cial que governa a evolução temporal desta quantidade de interesse, atra- vés do movimento aleatório entre as partículas. Esta equação diferencial parcial é conhecida como a equação hidrodinâmica do sistema de partículas.

  Neste trabalho nos concentraremos no sistema de partículas do tipo ex- . Neste tipo de sistemas de partículas, cada célula terá no máximo clusão uma partícula por sítio. Precisamente, estudaremos o sistema de partícu- las conhecido como processo de exclusão simples e simétrico. Com o objetivo de capturar a ideia fundamental por trás da teoria do limite hidrodinâ- mico, nos restringiremos a exposição deste sistema de partículas no caso

  = Z unidimensional evoluindo no toro discreto T n /nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

  O processo de exclusão simples e simétrico é descrito da seguinte maneira, n onde cada partícula, de primeiro fixamos uma probabilidade p(·) em T forma independente, aguarda em média um tempo exponencial, sendo que ao atingir esta marca exponencial tal partícula salta do sítio x para o sítio

  1

  2

  x + respectivamente. Neste processo, 1 ou x − 1, com taxas p(1) = p(−1) =

  teremos no máximo uma partícula por sítio, uma marca exponencial, uma partícula tentar saltar para um sítio já ocupado, em respeito à regra de exclusão, este salto será suprimido. T n em que 1

  O espaço de estados para este processo de Markov é {0, 1} significa que o sítio está ocupado e 0 denota que este está vazio. Podemos definir precisamente este processo através do seu gerador como faremos adiante.

  O processo de exclusão simples e simétrico é definido como o processo de T n Markov η t com gerador L dado em funções locais (funções que

  ∈ {0, 1} só dependem de uma quantidade finita de sítios), f : {0, 1} T n → R por

  L f (η) := X

  |x−y|=1

  1

  2 η(x)(1 − η(y))[ f (η x ,y ) − f (η)], onde

  η x ,y (z) = η(z), se z , x, y η(x), se z = y η(y), se z = x .

  Neste processo, configurações são denotadas por η, deste modo η(x) = 0 significa que o sítio está vazio e η(x) = 1 denota o sítio ocupado como mencionado acima.

  Seguindo as ideias de Boltzmann da Mecânica Estatística, o primeiro passo a se realizar na direção de analisar a evolução temporal de uma quantidade macroscópica de um sistema físico, é obter informações de seus estados invariantes. Para sistemas de partículas, os estados invariantes são interpretados como medidas invariantes do sistema. Neste contexto, µ é uma medida invariante do sistema, se, começando o processo por µ, isto é, se a distribuição de η é µ, então para qualquer tempo t, a distribui- ção do sistema ainda será dada por µ – significando que a trajetória das distribuições das medidas é constante no tempo e igual a µ.

  Para o processo de exclusão, definiremos um conjunto de medidas invariantes. Para cada 0 ≤ ρ ≤ 1 fixado denote por ν ρ a medida produto

Bernoulli em {0, 1} T n com densidade ρ, isto é, sua marginal no sítio x é dada

  por: ν ρ (η : η(x) = 1) = ρ.

  No decorrer desta dissertação, veremos mais detalhes sobre a família de medidas invariantes definida acima para o processo de exclusão.

  Com o intuito de provar o limite hidrodinâmico para este processo, introduziremos a medida empírica associada ao processo η t . Para cada con- n

  figuração η, denote por π (η, du) a medida dada por X n

  1 π (η, du) = η(x)δ

  1 (du)

  n Tn n

  

x∈{0,1}

  onde δ é a medida de Dirac. Por fim, defina o processo para a medida u n n empirica por π (η, du) = π (η , du). Esta medida representa a evolução t t temporal da densidade espacial de partículas, e como veremos mais adi- ante, tal medida desempenha um papel fundamental na teoria do limite hidrodinâmico.

  É sabido que a equação hidrodinâmica para o Processo de Exclusão Sim- ples e Simétrico é dada pela equação do calor:  ∆

  1 ∂ ρ(t, u) = ρ(t, u) t

  2 .

  ρ(0, ·) = ρ (·) De forma mais precisa, vamos introduzir a noção de limite hidrodinâ- mico. Seja T = R/Z, considere ρ n : T → [0, 1] um perfil inicial e denote por T n

  (µ ) .

  

n≥1 uma sequência de medidas de probabilidade definidas em {0, 1}

n

  Assuma que no tempo 0, o sistema comece de uma medida inicial µ que está associada ao perfil inicial ρ no seguinte sentido: Para toda função contínua H : T → R e para todo δ > 0, vale n x h X Z i

  = lim µ η : H ( H (u)ρ (u)du > δ 0. n )η(x) −

  n→+∞ T x∈T n

  Note que o termo do lado esquerdo da expressão acima corresponde a n integral de H com respeito a π . Deste modo, a condição acima significa pedir que a medida empirica no tempo 0 satisfaça uma lei dos grandes n números , a saber, que a sequência π (η, du) convirja em probabilidade para ρ (u)du.

  O objetivo do limite hidrodinâmico consiste em mostrar que, se no tempo t = 0 as medidas empíricas são associadas a algum perfil inicial ρ , então no tempo macroscópico t estas medidas serão associadas a um perfil

  ρ que é solução da correspondente equação hidrodinâmica. Em outras t n palavras, o objetivo é provar que medidas aleatórias π convergem, em . probabilidade, para a medida determinística ρ(t, u)du, que é absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue e cuja densidade evolui de acordo com a equação hidrodinâmica.

  A proposta deste trabalho é apresentar uma prova detalhada do limite hidrodinâmico para o Processo de Exclusão Simples e Simétrico utilizando o poderoso método da entropia relativa de Varadhan-Yau.

  O presente trabalho está organizado em três partes fundamentais. Neste capítulo apresentaremos o principal resultado a ser provado (a res- peito de estimativa de entropia), bem como exibiremos duas possíveis maneiras de obter o limite hidrodinâmico a partir dele. No Capítulo 2 apresentaremos as principais ferramentas utilizadas na aplicação do mé- todo da entropia, sendo assim, a definição de entropia, como também algumas de suas principais propriedades serão provadas nesse capítulo.

  Finalmente, no Capítulo 3 será aplicado de fato o método da entropia relativa de maneira a obtermos o limite hidrodinâmico para o Processo de Exclusão Simples Simétrico.

  Nesta dissertação, provaremos o limite hidrodinâmico para o processo de exclusão simples simétrico através do método da Entropia Relativa que primeiro foi introduzido por Yau em Tal método exige a existência de solução suave da respectiva equação hidrodinâmica. Para o processo de exclusão simples e simétrico o gerador L é definido para uma função T n

  → R por local f : {0, 1} X

  1 x ,y L f (η) :=

  η(x)(1 − η(y))[ f (η ) − f (η)],

  2

  |x−y|=1

  2 evoluindo em T = Z /nZ no tempo de escala tn . n 2+ǫ

  Fixe ǫ > 0 e seja ρ (T) onde T = R

  /Z. A equação hidrodinâmica para este processo é dada pela equação do calor : 1 ∂ ρ(t, u) = ∆ ρ(t, u). t

  2 É sábido que esta equação possui solução, a qual denotaremos por ρ(t, ·)

  1+ǫ,2+ǫ

  que é de classe C (T). Vamos supor que existe uma constante δ ∈ (0, 1) que limita o perfil inicial da seguinte maneira:

  . (1.1) n ∀u ∈ T, δ ≤ ρ (u) ≤ 1 − δ T n Seja ν tal que: a medida produto no espaço de estados {0, 1}

  ρ(·) n

  ν (η, η(x) = 1) = ρ (x/n). (1.2) n ρ(·) Isto significa que sob ν , as variáveis aleatórias (η(x)) são independen- n

  x∈T ρ(·)

  tes e η(x) tem distribuição Bernoulli com parâmetro ρ (x/n). É importante observar que esta medida não é homogênea pois a distribuição de η(x) depende do sítio x.

  Sejam µ e ν duas medida de probabilidade em um mesmo espaço Ω. Denotamos por H(µ|ν) a entropia relativa de µ com respeito a ν através da fórmula variacional: ( Z ) Z f

  H f d e d ν , (µ|ν) = sup µ − log f onde o supremo acima é tomado sobre todas as funções mensuráveis li- T n . mitadas f : Ω → R. Em nosso caso de interesse, o espaço Ω é {0, 1} Propriedades e caracterizações da entropia serão apresentados no Capí- tulo desta dissertação.

  Antes de enunciar o teorema central deste trabalho, introduziremos a medida empírica t associada ao Processo de Exclusão Simples e Simétrico {η , t ≥

  T n

  η é definida por t ∈ {0, 1} X n

  1 x π η (x)δ t t (η, ·) = (·), n n

  

x∈T n

n

  onde δ é uma medida finita no toro u (·) é o delta de Dirac. Note que π contínuo T.

  Dizemos que uma função não negativa f é de ordem o(n) quando n → f

(n)

∞, onde denotamos f (n) = o(n), se → 0 quando n → ∞. Dizemos ainda n que f não negativa é O(n), se existe uma constante C > 0 tal que f (n) ≤ nC quando n → ∞. n

  Vamos agora ao principal teorema desta dissertação. Denote por S (t)

  2 n

  o semigrupo associado ao gerador L acelerado por n e µ a distribuição n n n t = do processo no tempo t, ou seja, µ µ S (t). t

  2+ǫ Teorema 1.1. Seja ρ

  (T) que satisfaz : T → [0, 1] um perfil inicial de classe C n a condição . Seja (µ ) uma sequência de medidas de probabilidade no

  n≥1

  espaço de estados do processo de Markov tal que: n n H (µ ) = o(n).

  |ν ρ

  

(·)

  Então, para todo t ≥ 0, n n n H (µ S ) = o(n),

  (t)|ν

  ρ(t,·)

  onde ρ(t, u) é a solução da equação do calor:

  

1

  ∆ ∂ ρ(t, u) = ρ(t, u), t

  

2

  (1.3) ρ(t, u) = ρ (u).

  Em posse do resultado acima, obtemos o limite hidrodinâmico a partir do seguinte resultado.

  Teorema 1.2 (Limite Hidrodinâmico). Seja ρ

  : T → [0, 1] um perfil inicial n

  2+ǫ

  de classe C (T) que satisfaz a condição . Seja (µ ) uma sequência de

  n≥1

  medidas de probabilidade no espaço de estados do processo de Markov tal que, n n

  H (µ ) = o(n), |ν

  

ρ(t,·)

  onde ρ(t, u) é a solução suave da equação do calor. Então, para todo t ≥ 0 n n π t (du) −→ ρ(t, u)du (1.4) em µ t -probabilidade quando n → ∞, onde ρ(t, u) é a solução da equação do calor .

  Para a prova do teorema acima temos dois possíveis caminhos a seguir. Seguindo façamos um esboço da demonstração de um pri-

  2+ǫ

  meiro caminho. Seja ρ (T) que satisfaz : T → [0, 1] um perfil de classe C n a condição e seja (µ ) uma sequência de probabilidades no espaço

  n≥0

  de estados do sistema de partículas que satisfaz n n H (µ ) = o(n).

  |ν ρ (·) Fixe um t ≥ 0. Para provar o teorema, basta verificar que para δ > 0, t > 0 e H ∈ C(T), n lim µ (A ,δ ) = 0, t t

  n→+∞

  onde n X Z o 1 x A t ,δ H H (u)ρ(t, u)du = η : > δ

  η(x) − n n T n

  x∈T e ρ(t, u) é solução suave da equação do calor. n

  Denote por ν a medida produto com parâmetro de variação suave

  ρ(t,·) n

  as variá- associada ao perfil ρ(t, ·). Isto significa que sob a medida ν

  ρ(t,·)

  veis aleatórias (η(x)) são independentes e cada η(x) tem distribuição

  x∈T n Bernoulli de parâmetro ρ(t, x/n), como definido em

  Da desigualdade obtemos: n n log 2 + H(µ ) tn ρ(t,·) µ (A t ) ≤ t ,δ n . (1.5) log 1 + 1/ν (A ) t ,δ n ρ(t,·)

  Como ν é uma medida produto, podemos usar uma estimativa de

  Grandes Desvios para mostrar que

  1 n lim log ν (A (1.6) t ,δ ) = −C(δ),

  ρ(t,·) n→+∞

  n implicando que o denominador do lado direito de é de ordem O(n). n n Poderemos então finalizar a prova desde que H(µ ) seja de ordem t

  ρ(t,·) o (n), que é a tese do Teorema

  Entretanto, para seguir este caminho, é necessário provar que não é propriamente difícil, mas é consequência de resultados avançados. Por este motivo seguiremos outro caminho, na linha de Este caminho é apresentado em detalhes na próxima seção.

  

1.2 Limite hidrodinâmico como consequência de

estimativas de entropia T n

  → R que só dependa nas configurações A uma função Ψ : {0, 1} de um número finito de coordenadas damos o nome de função cilindro. T n

  Denote por τ x , i.e. o operador shift ou translação por x em η ∈ {0, 1}

  τ . Por fim, para uma função cilindro Ψ x n η(y) = η(y + x) para y ∈ T

  Ψ definimos τ (η) = Ψ(τ η). x x

  

Proposição 1.1. Admitindo o Teorema para toda função contínua H : T → R

  e para toda função cilindro limitada Ψ, vale h X Z i

  −1

  E n n lim (x/n)τ Ψ (u)E [Ψ]du = µ S n H x H ν 0. (1.7) t (η) − ρ(t,u)

  n→+∞ T x∈T n

  Observemos que o limite acima é mais forte do que a convergência numa primeira leitura pode-se assumir a Proposição o que não causará nenhuma di- ficuldade na leitura dos capítulos subsequentes. A seguir apresentamos uma demonstração da Proposição que requer apenas ferramentas bá- sicas de Probabilidade e Teoria da Medida. E como já comentado, esta proposição implica o Teorema

  Demonstração da Proposição Por simplicidade, vamos supor que a fun- ção cilindro Ψ só dependa da configuração η através de η(0), isto é, suponha que Ψ(η) = Ψ(η(0)). Para nossos fins basta tomar Ψ(η) = η(0). Da defi- nição da medida Bernoulli produto ν , ver equação obtemos que x α E ν ρ(t,x/n) ). Como ambas as funções H(·) e ρ(t, ·) são contínuas e [η(0)] = ρ(t, n Ψ

  (·) é limitada temos que X Z

  −1

  Ψ n H (x/n)τ x H (u)E ν [Ψ]du ρ(t,u) n (η) − T

  x∈T X Z −1

  = Ψ n H (x/n)τ H (u)ρ(t, u)du x (η) − T

  x∈T n X Z −1

  τ Ψ ρ(t, u)du , n x ≤ C n (η) − T

  x∈T

  onde C é a constante que limita a função contínua H definida no compacto R T

  . Notemos agora que é possível aproximar ρ(t, u)du por somas de T Riemann indexadas por T . Assim, para uma inteiro l > 0 fixado temos, Z X n x X X y

  −1 −1 −1

  ρ(t, ρ(t, ) = n (2l + 1) ). T ρ(t, u)du ≈ n n n

  x∈T n x∈T n y ; |x−y|≤l X −1

  Ψ Note também que podemos escrever n (η(x)) como n X X x∈T −1 −1

  Ψ n (2l + 1) (η(y)). (1.8) y

  x∈T n ; |x−y|≤l

  Logo, para provar a Proposição é suficiente mostrar que h X X i

  −1 −1

  E n n lim sup lim sup µ S n (2l + 1) ν [η(0)] t η(y) − E ρ(t,x/n) ≤ 0.

  n→+∞ l→+∞

n y ; |x−y|≤l x∈T Capítulo a esperança na fórmula anterior é limitada por

  1 n γ H

  exp γ

  1 n γ log E ν n ρ(t,·) " Y

  |z|≤l

  exp X x=z+k (2l+1) k∈Z γ

  2l + 1 X y

  ; |x−y|≤l

  η(y) − ρ(t, x n ) ! !#

  =

  1 n γ log E ν n ρ(t,·) " Y

  |z|≤l

  2l + 1 X x=z+k (2l+1) k∈Z X y

  γ 2l + 1 X y ; |x−y|≤l

  ; |x−y|≤l

  η(y) − ρ(t, x n ) ! !# .

  Utilizando a desigualdade de Hölder generalizada (ver Apêndice po- demos majorar a expressão acima por 1 n γ log Y

  |z|≤l

  E ν n ρ(t,·) "( exp γ

  2l + 1 X x=z+k (2l+1) k∈Z X y

  ; |x−y|≤l

  η(y) − ρ(t, x n ) ! ! )

  2l+1 # 1 2l+1

  η(y) − ρ(t, x n ) ! !# , que por sua vez é igual a

  |z|≤l X x=z+k (2l+1) k∈Z

  (µ n S n t

  ρ(t,·)

  |ν n

  ρ(t,·)

  ) +

  1 n γ log E ν n ρ(t,·) h exp γ X

  x∈T n

  (2l + 1)

  −1 X y ; |x−y|≤l

  η(y) − ρ(t, x n ) i .

  Assumindo o Teorema concluímos que a primeira parcela da soma acima converge a zero quando n → ∞. Por outro lado, como a medida ν

  é produto obtemos independência das variáveis aleatórias

  1 n γ log E ν n ρ(t,·) " exp X

  X i =

  (2l + 1)

  

−1

X y ; |y−x i |≤l

  η(y), (1.9) desde que os seus centros x i estejam devidamente afastados, a saber, desde que |x i − x j | > 2l. Usaremos este fato mais adiante. Temos que

  1 n γ log E ν n ρ(t,·) " exp X

  x∈T n

  γ 2l + 1 X y

  ; |x−y|≤l

  η(y) − ρ(t, x n ) ! !#

  =

  , a qual é igual a Y " ! !# 2l+1 X X 1

  1 x E n log exp γ ) . ν ρ(t,·) η(y) − ρ(t, n

  γ n x=z+k (2l+1) y ; |x−y|≤l

  |z|≤l k∈Z

  Pela independência das variáveis aleatórias X i definidas em a expres- são acima é igual a Y Y " ! !# X 2l+1 1

  1 x E n log exp γ ) ν ρ(t,·) η(y) − ρ(t, n n γ x=z+k (2l+1) y X |z|≤l ; |x−y|≤l k∈Z " ! !# X

  1

  1 n x = log E exp γ ) . ν ρ(t,·) η(y) − ρ(t, n

  γ 2l + 1 n y

  x∈T n ; |x−y|≤l

  Segue da continuidade de ρ(t, ·) que esta soma converge, quando n → ∞, para Z " ! !# X

  1 log E exp γ . (1.10) T γ(2l + 1) du ν ρ(t,u) η(y) − ρ(t, u)

  |y|≤l

  Para simplificar a notação vamos escrever X A (u) := γ .

  η(y) − ρ(t, u) x x e |y|≤l

2

|x| Usando a desigualdade e podemos ver que

  ≤ 1 + x +

  

2

" #

  2 |A(u)| n A (u) A (u) e log E [e 1 + A(u) + ν ν ρ(t,u) ] ≤ log E ρ(t,u) " " ##

  2

  2 |A(u)|

  A (u) e = log 1 + E (u) + . ν A ρ(t,u)

  2 Da desigualdade log(1 + x) ≤ x obtemos que a última expressão acima é limitada por " #

  2 |A(u)|

  A (u) e E ν A ρ(t,u) (u) + .

  2 Através dos cálculos feitos até aqui concluímos que a integral em é limitada por Z " X

  1 E T γ(2l + 1) du γ ν ρ(t,u) η(y) − ρ(t, u)

  |y|≤l #

  2 X

  2 X

  γ exp . (1.11) γ

  • η(y) − ρ(t, u) η(y) − ρ(t, u)

  2

  |y|≤l |y|≤l

  Usando a desigualdade triangular e usando que |ρ(t, u)| ≤ 1 e |η(y)| ≤ 1, em X , obtemos

  η(y) − ρ(t, u)

  |y|≤l X η(y) − ρ(t, u) ≤ 2(2l + 1).

  |y|≤l

  Logo, X

  2

  2 .

  ≤ 4(2l + 1) η(y) − ρ(t, u)

  |y|≤l

  Então, a integral em é limitada por Z h X i

  1

  2

  2 2γ(2l+1)

  E γ T γ(2l+1) du ν 2γ (2l + 1) e ρ(t,u) η(y) − ρ(t, u)

  • |y|≤l

  a qual é a soma de Z h i X

  1 E T (2l + 1) du ν (1.12) ρ(t,u) η(y) − ρ(t, u)

  

|y|≤l e Z h i

  1

  2

  2 2γ(2l+1) 2γ(2l+1)

  E = γ(2l + 1)e . T γ(2l + 1) du ν 2γ (2l + 1) e ǫ ρ(t,u) Vamos tomar γ := , que limita a expressão acima por uma constante

  2l+1 vezes ǫ. Para a expressão aplicaremos a Lei dos Grandes Números.

  Sob a medida ν (a qual é Bernoulli de parâmetro constante), ρ(t,u) X

  1 η(y) −→ ρ(t, u),

  2l + 1

  |y|≤l

  quase certamente quando l converge para infinito. Por fim, aplicando o Teorema da Convergência Dominada concluímos que h i X

  1 E = lim 0, ν ρ(t,u) η(y) − ρ(t, u)

  l→+∞

  2l + 1

  

|y|≤l

  e novamente pelo Teorema da Convergência Dominada vem que Z h i X

  1 E lim ν du = ρ(t,u) η(y) − ρ(t, u) 0.

  l→∞ T 2l + 1

|y|≤l

  Logo, tomando l → ∞ e em seguida ǫ → 0, concluímos a prova da propo- sição.

Capítulo 2 Ferramentas

  Neste capítulo serão apresentadas as ferramentas necessárias para pro- var o limite hidrodinâmico do processo de exclusão simples e simétrico através do método da entropia relativa.

  Seja π uma medida de probabilidade referência em E. Para uma medida de probabilidade µ denotamos por H(µ|π) a entropia relativa de µ com respeito a π dada pela fórmula variacional: ( Z ) Z f

  π , H f d e d (2.1)

  µ − log (µ|π) = sup f onde o supremo acima é tomado sobre todas as funções limitadas f : E →

  R . Com o objetivo de facilitar a leitura do texto, denotaremos a entropia

  H que se c > 0 é uma constante real positiva, e f uma função limitada, então Z Z Z Z Z

  ( f +c) f c

  e d π = f d µ + cd e e d π ( f + c)dµ − log µ − log Z Z c f

  = c + f d e d π Z Z µ − log e f = π. f d e d

  µ − log Portanto, é equivalente tomarmos o supremo acima sobre todas as funções limitadas positivas. Segue ainda da definição da entropia que Z Z c f c f d e d

  µ − log π ≤ H(µ). Logo Z Z c f c f d e d π.

  µ ≤ H(µ) + log Portanto, Z Z c f

  −1 π].

  f d [H(µ) + log e d (2.2) µ ≤ c

  O próximo resultado, consequência direta da desigualdade acima, é conhe- cido como a desigualdade da entropia. Apesar da simplicidade em prová-lo, veremos que este desempenha um papel fundamental no método aqui apresentado para provar o limite hidrodinâmico.

  

Proposição 2.1 (Desigualdade da entropia). Se A é um subconjunto de E então

  log 2 + H(µ) (2.3)

  µ(A) ≤ .

  1

  log 1 + π(A) Demonstração. A em então

  Seja f = 1 Z Z h i

  −1 c1 A µ(A) = d H (µ) + log e d π .

  1 A µ ≤ c c c1 A c

  = Observando que e e , temos que Z Z

  1 A + 1 A c

  c1 A c

  log e d π = log [e ]dπ c c

  1 A + 1 A = π(A) + π(A log[e )] c

  = log[π(A)(e − 1) + 1]. c

  1 Por fim, tomando c tal que π(A)(e 1] e a

  • − 1) = 1, teremos c = log[ π(A) desigualdade está provada.

  

Proposição 2.2. A entropia é positiva, convexa e semi-contínua inferiormente.

  Demonstração. É fácil ver que a entropia é positiva, pois para qualquer função constante f = c, obtemos Z Z f H f d e d π = 0.

  (µ) ≥ µ − log

  1 , µ 2 , π medidas em E. Daí,

  Quanto a convexidade, seja 0 ≤ α ≤ 1, e sejam µ ( Z ) Z f

  1 2 f d (αµ

  • H (αµ

  1 2 e d π

  |π) = sup (1 − α)µ (1 − α)µ ) − log f ( Z Z Z f ) = α µ µ π . sup f d f d e d

  • 1

  2

  − log f (1 − α) Como podemos escrever Z Z Z f f f log e d π = α log e d e d π,

  π + (1 − α) log temos que H(αµ

  • 1

  2

  |π) é igual a: n h i h io Z Z Z Z (1 − α)µ f f f n o n o Z Z Z Z f f sup α f d µ e d π f d µ e d π

  • f f f d µ

  1 − log 2 − log

  (1 − α)

  1 e d π f d µ 2 e d π .

  ≤ α sup − log − log (1 − α) sup

Portanto, H (αµ

  • 1

  2

  1 2 ).

  (1 − α)µ ) ≤ αH(µ ) + (1 − α)H(µ Finalmente, para provar que a entropia é semi-contínua inferiormente R R f fixe uma função f contínua e limitada tal que f d e d ω µ−log π+ǫ ≥ H(µ|π). Neste contexto, queremos provar que para µ n

  → µ, obtemos H H (µ n (µ|π) ≤ lim inf |π).

  

n→∞

  Pela definição de convergência fraca, para toda função contínua f Z Z

  

n→∞

µ µ.

  f d n f d −→

  Logo, existe um n , tal que, para todo n ≥ n Z Z

  • n f d f d µ 2ǫ.

  µ + ǫ ≤ Então, Z Z Z Z f f f d e d f d µ e d π + 2ǫ. n − log

  µ − log π + ǫ ≤ Daí, Z Z f H f d µ e d π + 2ǫ. n − log

  (µ|π) ≤ Tomando o supremo sobre f na desigualdade acima, temos que ( Z Z ) f µ π + 2ǫ .

  H f d n e d (µ|π) ≤ sup − log f

  Finalmente, tomando o lim inf na última desigualdade concluímos que H H (µ n |π) + 2ǫ,

  (µ|π) ≤ lim inf

  n→∞ e como o ǫ > 0 é arbitrário, a prova está concluída.

  Apesar da validade do próximo teorema para um espaço enumerável E o provaremos para o caso em que E é finito, pois este é o contexto que nos interessa. Para ver a prova em que E é enumerável o leitor pode consultar página 339. d µ

  Teorema 2.1. Se µ << π e f = , então d π Z H f log f dπ.

  (µ|π) = Caso µ não seja absolutamente contínua com relação a π, então H(µ|π) = +∞. Demonstração. Se µ não é absolutamente contínua com respeito a π, então n n := n1 A ) com f existe A ⊂ E tal que π(A) = 0 e µ(A) > 0. Considere ( f n∈N A n

  n1 c

  e , temos que = 1 A + 1 A para n ∈ N. Como e Z Z Z f n n h i c f d e d e )dπ n (1 A + 1 A

  µ − log π = nµ(A) − log = n

  µ(A) − log 1 = n µ(A) , ∀n ∈ N.

  Donde concluímos que H(µ|π) = +∞. Seja agora µ << π e suponha que E seja um conjunto finito. Então a função E f Z Z Φ : R f d e d π (2.4)

  → R Φ( f ) = µ − log E segue da desigualdade é côncava. De fato, dado α ∈ (0, 1) e dadas f, g ∈ R de Hölder que Z Z α f

  α f +(1−α)g (1−α)g

  e d π = e e d π Z Z α α f 1/α (1−α)g 1/(1−α) (1−α) (e ) d π (e ) d π .

  ≤ Aplicando a função logaritmo e multiplicando ambos os lados da desi- gualdade acima por menos um, concluímos que Z Z Z f g

  α f +(1−α)g e d e d e d π.

  − log π ≥ −α log π − (1 − α) log Então Φ(α f + (1 − α)g) é igual a: Z Z Z

  α f +(1−α)g

  α f d gd e d π Z Z Z Z µ + (1 − α) µ − log α f g f d e d π gd e d π ≥ α

  µ − log (1 − α) µ − log

  • = αΦ( f ) + (1 − α)Φ(g).

  Portanto, Φ (α f + (1 − α)g) ≥ αΦ( f ) + (1 − α)Φ(g).

  Da concavidade de Φ, provada acima, concluímos que esta função admite E f f i P P =

  , então f = f e e e onde i

  1

  i∈E i∈E

  1 máximo onde ∇Φ = 0. Se f ∈ R {i} {i}

  f (i) = f , logo i Z Z

  X f X f µ = e π = f d f i e d e

  µ({i}) π({i}) . i

  

i∈E i∈E

E

  como segue: Daí, podemos explicitar o valor de Φ aplicada a f ∈ R X X f i

  Φ ( f ) = f e i µ({i}) − log π({i}).

  

i∈E i∈E

  Calculando as derivadas parciais de Φ temos que f i ∂Φ( f ) e

  π({i}) = . µ{i} − P f i

  ∂ f e i π({i}) ∂Φ( f ) e i∈E fi π({i})

  Então, = X . Assim, para cada ∂ f i 0 se, e somente se, µ({i}) = f i e π({i}) X E i∈E h = h obtemos i 1 ∈ R

  {i} i∈E

X

f i

  h e i X π({i})

  

i∈E

h . i

  µ{i} = X f i e

  

i∈E π({i})

  E R he d π R R f

  é um ponto de máximo de Φ se, e somente se, hd µ = , f Assim, f ∈ R E e d π

  . Por fim, segue de Φ( f + c) = Φ( f ) para toda para toda função h ∈ R E f R tal que e d π = 1 (basta constante c ∈ R, que podemos tomar f ∈ R R f d µ e d π) e em particular f = log . Neste caso obtemos tomar c = − log d π !!

  Φ H (µ) = sup ( f ) = Φ log Z f ! d π dµ

  = log d µ − log 1 Z ! d π dµ

  = log d µ.

  π d Vamos terminar esta seção observando que para o Processo de Exclusão n evoluindo no toro microscópico T , começando de µ ,

  Simples e Simétrico n n com medida invariante produto Bernoulli ν de parâmetro constante igual n α a α associada, obtemos que H(µ ) = O(n). α

  n n n

Proposição 2.3. Seja H(µ ) a entropia de uma medida de probabilidade µ com

  |ν α n respeito ao estado estacionário ν . Então existe uma constante finita C := C(α) α tal que n H (µ α (2.5)

  |ν n ) ≤ nC, µ para toda medida de probabilidade . Demonstração. Segue do Teorema que X n µ n n n (η)

  H (µ ) = µ (η) log |ν α n Tn ν (η) α

  η∈{0,1} X n

  1 µ (η) log

  ≤ n ν Tn α (η)

  η∈{0,1} X n

  1 µ (η) log

  ≤ n Tn [α(1 − α)] η∈{0,1} h X n

  1 = =

  µ (η) i log n n [− log α ∧ (1 − α)], Tn [α ∧ (1 − α)]

  η∈{0,1} onde α ∧ (1 − α) = min{α, 1 − α}.

  Consideremos uma sequência de variáveis aleatórias X n , n ≥ 1 tomando valores em algum espaço métrico M. Dizemos que a sequência X n

  , n ≥ 1 satisfaz um princípio de grandes desvios com função taxa I e decaimento a n se para todo conjunto fechado F ⊂ M 1 lim sup log P[X n ∈ F] ≤ − inf I (u) (2.6) a u∈F n

  n→∞

  e para todo conjunto aberto G ⊂ M,

  1 lim inf log P[X n ∈ G] ≥ − inf I (u), (2.7)

  n→∞

  a u∈G n e alguma

  • + para alguma função semicontínua inferiormente I : M → R sequência crescente a n → ∞.

  Apesar de pedirmos que a função taxa I seja semicontínua inferior- mente, para nossos fins essa hipótese pode ser retirada.

  Teorema 2.2 (Laplace-Varadhan). Seja X n

  , n ≥ 1 uma sequência de variáveis aleatórias satisfazendo um princípio de grandes desvios com função taxa I e taxa de decaimento a n . Seja F : M → R uma função contínua limitada. Então,

  1 a F (X ) n n lim log E[e ] = sup (2.8) {F(u) − I(u)}.

  n→∞

  a n

  u∈M

  Demonstração. Seja ǫ > 0 fixado. Por definição de supremo, existe u ∈ M tal que sup ) + ǫ. Como F é contínua, podemos

  {F(u) − I(u)} ≤ F(u ) − I(u

  u∈M

  tomar uma vizinhança V de u em M tal que F(u) ≥ F(u ) − ǫ para todo u ∈ V. Neste caso, obtemos as seguintes desigualdades

  1

  1

a n F n a n F n

(X ) (X )

log E[e log E[e 1 [X ] n ∈V]

  ] ≥ a a n n

  1 a (F(u n )−ǫ log E[e ]. ≥ )1 [X n ∈V] a n a F (X ) a [F(u a [F(u n n n )−ǫ] n )−ǫ]

  1

  pois e . Como log E[e 1 ] = F(u 1 [X ≥ e n ∈V] n ∈V] n ∈V] )− 1 [X [X a n

  1

  ǫ + log P[X a n n ∈ V], concluímos que

  1 a F (X ) n n

  1 log E[e log P[X (2.9) n ∈ V]. ] ≥ F(u ) − ǫ + a a n n n

  Aplicando o princípio dos grandes desvios em {X , n ≥ 1}, obtemos

  1 a F (X ) n n

  1 lim inf log E[e log P[X n ∈ V] ] ≥ F(u ) − ǫ + lim inf

  n→∞ n→∞

  a a n n ≥ F(u ) − ǫ − inf [I(u)] ≥ F(u ) − I(u ) − ǫ.

  u∈V

  Como sup ) + ǫ, com ǫ arbitrário, obtemos a {F(u) − I(u)} ≤ F(u

  ) − I(u

  u∈M

  primeira desigualdade da prova, a saber

  1 a F (X ) n n sup log E[e ]. (2.10) {F(u) − I(u)} ≤ lim inf

  

n→∞

  a n

  u∈M

  Para obtermos a próxima desigualdade sejam L = ||F|| ∞ e k ∈ N um inteiro

  2L .

  positivo fixado. Vamos dividir [−L, L] em k intervalos de comprimento k Desta forma, denote estes intervalos por

  = , r I j [r j j+

  1 (2.11) e seja ainda F j j }. Como F é contínua e os I j ‘s := {u ∈ M : F(u) ∈ I a F (X ) n n são fechados, concluímos que F é fechado. Da desigualdade e j P k a F (X ) n n

  ≤ e 1 [X ] obtemos j= 1 n ∈F j a F (X ) a F (X ) n n n n h i X k

  E [e e [X ] 1 n

  ] ≤ E ∈F j j= X k a n r

  1 j+ 1 P e [X n j ].

  ≤ ∈ F j=

  

1

Para concluir a prova vamos usar a seguinte observação: o

  1

  1

  1 n n n lim sup n n lim sup log (b c ) = max log b , lim sup log c . (2.12)

  • n n n

  n→∞ n→∞ n→∞

  Segue da observação acima e do princípio de grandes desvios que h i X k

  1

  1

a n F n a n F n

(X ) (X ) lim sup log E[e log e 1 [X ] n j

  ] ≤ lim sup ∈F a a n n

  n→∞ n→∞ n o j=

  1

  1 P = max r j+

  • 1 lim sup [X n j ]

  ∈ F

  1≤j≤k

  a n n o n→∞ r

  • 1≤j≤k n o

  1 sup

  ≤ max j+ [−I(u) + F(u) − F(u)]

  u∈F j

  • r sup .

  ≤ max j+

  1 {F(u) − I(u)} + sup

  [−F(u)]

  1≤j≤k u∈F j u∈F j

  Finalmente, segue da definição de F que sup , donde j j [−F(u)] = −r

  u∈F j

  concluímos que a última expressão acima é limitada por

  2L sup . (2.13) {F(u) − I(u)} + k

  u∈M

  Logo,

  1

  2L a F n n (X ) lim sup log E[e , (2.14)

  {F(u) − I(u)} + ] ≤ sup a k n

  n→∞ u∈M

  e sendo k arbitrário o resultado está concluído.

  T n n

  e ν medida invariante em Ω definida em Nesta α Sejam Ω = {0, 1} seção estamos interessados em estudar o comportamento de n X

  ν η(x) = βn) α ( · |

  x∈T n

  para β ∈ (0, 1) fixado quando n → +∞. Precisamente, estamos interessados no seguinte resultado: n T n

Proposição 2.4. Seja ν a medida produto Bernoulli de parâmetro .

α α em {0, 1}

  Então, para cada inteiro positivo r vale, n         X lim ν η(x α  r r    1 ) = k 1 , ..., η(x ) = k η(x) = nβ n→∞   n n x∈T =

  ν (η(x β 1 ) = k 1 , ..., η(x ) = k ). r r Demonstração. Por simplicidade, provaremos esta proposição para o caso em que r = 2. O caso geral pode ser verificado de maneira análoga. Segue da definição de probabilidade condicional que n         X

  ν  η(x α     1 ) = k 1 , η(x 2 ) = k 2 η(x) = nβ  n n P x∈T ν (η(x α n 1 ) = k 1 , η(x 2 ) = k 2 , η(x) = nβ) x∈T

  = n X ! .

  ν η(x) = nβ α

  x∈T n

  Note que a expressão acima é equivalente a n P ν η(x ) = k , η(x ) = k

  • , x∈Tn k )
  • α η(x) = nβ − (k

      1

      1

      2

      2 x,x1,x2

      1

      2 n         X .

      ν η(x) = nβ α       n

      x∈T n

      Como as variáveis aleatórias η(x) são independentes sob ν , a expressão α anterior é equivalente a n n n P ν (η(x ) = k (η(x ) = k )ν x∈Tn ) + α ) · ν α α η(x) = nβ − (k

      1

      1

      2

      2 x,x1,x2 1 k

      2 n P .

      ν η(x) = nβ α n

      x∈T

      Esta razão é igual a k 1 1−k 1 k 2 1−k 2 n−2 βn−(k 1 k 2 + ) ) + 1 k 2

    • + n−2−βn+(k

      α α α

      (1 − α) (1 − α) (1 − α) k ) n

    βn−(k

    βn

    1 2 n−βn α βn (1 − α)

      n−2 k 2 + ) βn−(k 1

      = βn n . Pela definição de binomial, o termo anterior é igual a:

      (n − 2)!(βn)!(n − βn)! . (2.15)

      1

      k k ))!n!

      2

      1

      2

      (βn − (k ))!(n − 2 − βn + (k Vamos agora utilizar a fórmula de Stirling para aproximar o quociente acima, a qual é dada por n+ 1 √

    2

    −n

      2π, n e ! ≈ n f (n)

      =

      1. Por Stirling, onde f ≈ g significa que lim

      n→+∞ ! g (n) n n !

      = k k !(n − k)! n+ 1 √ 2 −n

      2π n e ≈ √ √ k+ 1 1

      n−k+ 2 −k −(n−k) 2

      k e e 2π 2π(n − k) n+ 2 1 n

      . ≈ k+ 1 1 √ 2

    n−k+

    2 k 2π

      (n − k) Logo, o quociente em é assintoticamente igual a 1 βn+ 1 1

      

    n−2+ n−βn+

    2

    2

    2

      (βn) (n − 2) (n − βn) k )+ k )+ 1 + + 1 n+ 1 , (2.16)

      βn−(k 1

      )) )) 2 n−2−βn+(k 2 1 2 2 2 (βn − (k (n − 2 − βn + (k

      1 k

      2 1 k 2 n

      pondo n em evidência nas bases das potências da fração acima obtemos que esta é igual a 3 ! 1 1 1

      2 ) (βn+ n−2+ n−βn+ 2n−2+ 2 2 2 2

      ) β n (1 − (1 − β) n 3 k )+ k )+ 1 + + 1 ,

      2n−2+ 2 βn−(k 1 2 n−2−βn+(k 2 1 2 2 (k ) ) + + 1 k 2 1 k 2

      n −2+(k 1 − β + β − n n pondo agora β e (1 − β) em evidência no denominador da fração anterior obtemos que esta é equivalente a 1

    • +

      2 k k k )

    • 2 +

        n−2+ 1 2 2−(k 1 2

        ) β (1 − (1 − β) n k )+ k )+ 1 1 .

      • + + βn−(k
      • 1 2 n−2−βn+(k 2 1 2 2 +

          (k ) k ) 1 k 2 1 2 + −2+(k

          1 + 1 − βn n (1−β) Finalmente, fazendo n → +∞ obtemos que a expressão anterior se apro- xima de k k k ) + + 1 2 2−(k 1 2

          −2 −2

          e β e (1 − β) k k 1 1−k 1 2 1−k 2

          = β β k1+k2 −2+(k1+k2) (1−β) −2 β (1 − β) (1 − β) e

          − β 1−β

          e e k 1−k k 1−k 1 1 2 2 =

          β β n (1 − β) (1 − β) = ν , η(x

        β

          (η(x

          1 ) = k

          1 2 ) = k 2 ).

          Enunciaremos agora uma versão mais geral da Proposição provada acima. Este resultado enquadra-se também no nosso contexto pois é válido para o processo de exclusão generalizado. Para ver a prova deste resultado, o leitor pode consultar página 355.

          Lema 2.1. Seja ψ uma função local tal que

          

        2 E ν [ψ α Então, existe uma constante C (ψ) tal que k C (ψ) E ν α ν [ψ] < .

          [ψ|H n ] − E k /n n

          O resultado a ser provado nesta seção, conhecido como estimativa de 1-bloco, nos permite substituir a média empírica de uma função local ψ por l

          ˜ ψ(η

          (·)), sobre caixas de comprimento l. Para provar tal resultado vamos começar definindo a chamada forma de Dirichlet.

          t

        Definição 2.1. Seja {X , t ≥ 0} um processo de Markov num espaço enumerável

          E com medida invariante π, semigrupo associado (P ) e gerador L. Para toda t

          t≥0

          2

          (π), a forma de Dirichlet D( f, π) de f é definida por f ∈ L D π

          ( f, π) := −h f, L f i X = f (x) L f (x)π(x).

          −

          

        x∈E

          Note que a forma de Dirichlet está bem definida pois L é um operador

          2

          limitado em L (π). Vamos agora explicitar a forma de Dirichlet para o Pro- n cesso de Exclusão Simples e Simétrico . Sejam ν a medida produto Bernoulli T n α e L o operador do Processo de Exclusão no espaço de estados Ω = {0, 1}

          2 n

          Simples e Simétrico em L (ν ). Então n α n

          2D( f, ν α ) = −2h f, L f i α ν ν f ν , n n ∗ = −h f, L f i − hL α , f i α

          2 n ∗

          onde L é o operador adjunto de L em L (ν ). Vejamos agora como simpli- α ficar a expressão acima. Note que n Z n = f (η)L f (η)dν h f, L f i ν α α Z X x ,x+1 n

          = f (η) [ f (η n ) − f (η)]dν α Z X

        x∈T

        x ,x+1 2 n =

          [ f (η) f (η (η)]dν , ) − f α

          x∈T n

          e também Z X x ,x+1 n

          ∗ n

          = f [ f (η . hL ν

          , f i α ) − f (η)] f (η)dν α

          x∈T n x ,x+1 ν n

          Fazendo a mudança de variável η → η podemos expressar h f, L f i α como Z X x ,x+1

          2 x ,x+1 n [ f (η (η )]dν .

          ) f (η) − f α

          x∈T n

          Logo, n ν f ν n n ∗ −2D( f, ν + hL α ) = h f, L f i α , f i α Z X x ,x+1 n

          2

          = [ f (η) f (η (η)]dν α n ) − f Z x∈T X x ,x+1 2 x ,x+1 n α [ f (η (η )]dν . ) f (η) − f

        • x∈T n

          Como ,x+1 x x x x 2 ,x+1 ,x+1 2 ,x+1

          2

          , [ f (η (η ) + f (η

          ) f (η) − f ) f (η) − f (η)] = −[ f (η ) − f (η)] obtemos Z X n x ,x+1

          1

          2 n

          D ( f, ν ) = [ f (η d ν . α ) − f (η)] α

          2

          x∈T n Teorema 2.3 (1-Bloco). Z X

          1 n lim sup lim sup sup τ D n −1 n x l ,ψ V (η) f (η)ν α (dη) ≤ 0,

          l→∞ n→∞ ( f,ν α )≤Cn onde X

          1 l V ,ψ (η) := τ ψ(η (0)) , l y

          ψ(η) − ˜ 2l + 1

          

        |y|≤l

          ˜ n ψ(α) := E ν [ψ(η)] (2.17) α e X l

          1 η (0) := η(y). (2.18)

          2l + 1 n |y|≤l Demonstração. Desde que ν é uma medida invariante por translação, po- α demos escrever a integral acima como Z n

          V (η) ¯f(η)ν (dη), (2.19) l ,ψ α onde X ¯f(η) := 1 τ f (η) (2.20) x n

          x∈T n

          é a média nas translações espaciais de f . Com efeito, como Z Z X n n

          1 (η) ¯f(η)ν (dη) = (η) τ (η)ν (dη)

          V l ,ψ α α V l ,ψ x f n X Z x∈T n 1 n

          = τ x l ,ψ V (η) f (η)ν (dη), α n

          x∈T n

          η na última integral acima obtemos fazendo a mudança de variável η → τ −x X Z Z X

          1 n n

          1 τ x l ,ψ l ,ψ V (η) f (η)ν (dη) = α −x α −x V (η) f (τ η)ν (dτ η) n n

          x∈T n x∈T n X Z

          1 n = (η) f (τ η)ν (dη)

          V l ,ψ

          −x α

          n Z x∈T n X 1 n

          = V (η) τ f (η)ν (dη), l ,ψ

          −x α

          n

          x∈T n

          f

          −x n x∈T n

          No que segue, vamos estabelecer algumas notações necessárias para dar continuidade a demonstração do resultado. Denote por J l = {−l, ..., l} o J l l intervalo discreto de comprimento 2l + 1, η , ν l J l as configurações em {0, 1} α , e por fim, para uma densidade f denote por a medida ν α restrita a {0, 1}

          = E = f l l ] a esperança condicional de f com respeito a filtração F l l

          σ{η }. [ f |F

          Como a esperança da esperança condicional de uma variável aleatória é a própria esperança, podemos observar que Z Z n l V ,ψ (η) ¯f(η)ν (dη) = l l l l α α V ,ψ (η) ¯f (η)ν (dη ).

          De fato, Z Z l l X V (η) ¯f (η)ν (dη) = l ,ψ l l ,ψ x l α α V (η) τ f (η)ν (dη) Z x∈T n X l E = (η) τ ](η)ν (dη). V l ,ψ x l

          [ f |F α

          x∈T n

          Note que V (η) é mensurável a F l ,ψ l l .

          , pois só depende de η(x) para x ∈ J Logo, podemos expressar a última integral acima como Z Z X l l

          E E τ

          [V l ,ψ (η) x l ](η)ν (dη) = [V l ,ψ l ](η)ν (dη) α α f |F (η) ¯f|F

          x∈T n Z n

          = V (η) ¯fν (dη). l ,ψ α Neste momento vamos tentar obter alguma informação da forma de Diri- chlet de ¯f através da forma de Dirichlet de ¯f. Para tanto, será necessário l n defina estabelecer mais algumas notações. Para x, y ∈ T x ,y x ,y

          L := ( f (η

          ) − f (η)) e x ,y n x ,y n Z p p D

          ( f, ν ) : = f (η)L f (η)ν (dν) α α Zp p x ,y 2 n = [ f (η f (η)] ν (dν).

          ) − α Com as notações acima podemos escrever n x n X ,y D D ( f, ν ) = ( f, ν ). α α

          

        |x−y|=1

          Como a forma de Dirichlet é convexa e invariante por translação, obtemos X X n n n n

          1

          1 D D ( ¯f, ν ) = D( τ f , ν (τ f , ν ) = D( f, ν ). α α ) ≤ α α x x n n

          x∈T n x∈T n

          Vamos agora tentar estimar a forma de Dirichlet da esperança condicional l de uma densidade f com respeito a ν . Para tanto, defina l l x l X α ,y,l D D

          , ν , ν ( f l ) = ( f l ) α α |x−y|=1 x ,y∈Jl onde x ,y,l l l Z q x ,y p !

          2 D ( f , ν ) = f (η f (η ) ν (dη ). l l l l l α ) − α l

          Notemos agora que x ,y,l l x ,y n D

          ( ¯f , ν ( ¯f , ν ). (2.21) l l α ) ≤ D α Com efeito, defina

        x ,y

        !

          2 F ( f ) := q ¯f (η (η ) . l l q ¯f l l l ) −

          Como F é convexa, segue da desigualdade de Jensen que E

          F ] ], l ≤ E[F( f )|F l [ f |F donde a desigualdade desejada é obtida integrando a expressão acima e usando as propriedades da esperança condicional. Através da desigual- dade podemos concluir que l l x ,y n X D D ( ¯f , ν ( ¯f, ν ). l α ) ≤ α

          

        |x−y|=1 n

          Obtemos da invariância por translação de ν que α l l n n 2l

          

        0,1

          D D ( ¯f , ν ( ¯f, ν ( f, ν ) l α ) ≤ 2lD s α ) ≤ α n

          Cl . ≤

          2

          n Portanto, o nosso trabalho na prova da estimativa de 1-Bloco se reduz em mostrar que Z l lim sup lim sup sup l l Cl V (η ) f (η )ν (dη l ,ψ l l l α ) ≤ 0.

          l→∞ n→∞ D s α ( f,ν )≤ n2

          Vamos mostrar agora que, para provar o resultado acima, basta considerar o supremo sobre as densidades f que anulam a forma de Dirichlet, isto é, vale a seguinte afirmação: Afirmação 2.1. Z Z l l lim sup (η ) f (η )ν (dη (η ) f (η )ν (dη ).

          V l ,ψ l l l V l ,ψ l l l

          

        n→∞ α ) ≤ sup α

        D )=0 l l Cl l l D ( f,ν )≤ ( f,ν α α n2 R l

          Demonstração. Denote A( f ) := l l Cl V (η ) f (η )ν (dη ). Para cada n, seja F := l ,ψ l l l n α

          1

          ( f, ν ) = 2 tal que A( f A . Observe { f : D } e tome f n ∈ F n n α ) ≥ sup ( f ) − n n n

          f ∈F

          que lim A ( f n ) = lim sup A ( f ).

          n→∞ n→∞ f ∈F n

          Logo, basta provar que lim A ( f n A ( f ).

          n→∞

          ) ≤ sup D l l

          )=0 ( f,ν α

          Seja n k A ( f n ) = lim sup A ( f ). Do mesmo modo, → ∞ tal que lim k→∞ k n→∞

          f ∈F n

          basta provar que lim A ( f A ( f ). n

          k→∞ k ) ≤ sup D l l )=0 R R l ( f,ν α

          ν µ . Note que Defina µ(B) := f n (dη l ), e obteremos, A( f n ) = k α k V l ,ψ d n ,k J J l l

          → R pode ser identificada com como {0, 1} é finito, uma função f : {0, 1}

          2l+1

          um vetor de R . Deste ponto de vista, por Bolzano-Weierstrass, existe f n kj → g pontualmente. Basta então provar que lim A ( f A ( f ). n

          j→∞ ) ≤ sup kj D )=0 l l ( f,ν α

          Como l l l l D

          (g, ν ) = D (lim f , ν ) α α l l n kj ( f , ν )

          ≤ lim D n kj α Cl

          = 0,

          ≤ lim n k j isto conclui a prova da afirmação.

          Continuando a prova do Teorema vamos caracterizar as densida- des em pedaços do sistema através da informação conhecida da forma de J l Dirichlet e este de densidades f . Lembremos que f está definida em {0, 1} conjunto pode ser discretizado em seus pedaços invariantes, a saber os k hiperplanos H , definidos por l k n o T n X H := : η(x) = k , l η ∈ {0, 1} n

          x∈T

          pois a dinâmica preserva a quantidade total de partículas. Notemos que k se f tem forma de Dirichlet nula então f é constante em cada hiperplano H . l Realmente, como Z X l l x ,x+1

          1

          2 l

          D ( f, ν ) = ( f (η )) ν (dη ), α ) − f (η α l l l

          2 l l x ,x+1 x ,x+1 x∈J l se D ( f, ν ) = 0, então f (η ) = f (η ), e como η , η pertecem ao mesmo α l l k l é constante para todo hiperplano para todo x ∈ J concluímos que f | H k = l J l S 2l+1 k k H .

          0 ≤ k ≤ 2l + 1. Para cada k defina f := f | H e observe que {0, 1} k=

          Então f =

          ν l α (·). Agora observe que

          a k = sup k Z V l ,ψ (η l )ν l ,k α (dη l ). Portanto, para terminar a prova da estimativa em 1-Bloco, basta provar que lim sup sup Z

          2l+1 X k=

          V l ,ψ (η ll ,k α (dη l )

          V l ,ψll ,k α (dη l ) = sup k Z

          a k sup Z

          2l+1 X

        k=

          V l ,ψll ,k α (dη l ) ≤

          a k Z

          2l+1 X k=

          a k = Z f ν α l (dη) = 1, pois f é densidade. Notemos que

          2l+1 X k=

          α 1 ν l (H l k )

          

        2l+1

        X

        k=

          (·) :=

          V l ,ψll ,k α (dη l ), onde a k = f k ν l α (H k l ) e ν l ,k α

          a k Z

          2l+1 X k=

          =

          f k Z V l ,ψ (η ll α (dη l )

          2l+1 X k=

          V l ,ψ (η l ) f k (η l )ν l α (dη l ) =

          2l+1 X k= Z

          V l ,ψ (η l ) f (η ll α (dη l ) =

          V l ,ψ (η l ) f (η ll α (dη l ) = Z S 2l+1 k= H k l

          f k . Logo, Z

          V l ,ψ (η ll ,k α (dη l ) = 0. (2.22) Vamos agora manipular a integral na expressão acima com o intuito de utilizar a Equivalência de Ensembles.

          Segue da definição de V ,ψ (η ) que a integral em pode ser escrita l l como: Z X

          1 l l ,i τ ψ(η ν y (0)) (dη l ),

          ψ(η) − ˜ α l 2l + 1

          |y|≤l

          ψ(η onde ˜ l (0)) e η l (0) foram definidas em no início desta seção. i Como no hiperplano H há exatamente i partículas, então l X l

          1 η (0) = η (y) l l

          2l + 1

          |y|≤l

          i = i 2l + 1 em H . Logo, l l

          ˜ ψ(η (0)) = E [ψ(η )]. l ν l 2l+1 i Portanto, a integral em é igual a Z X

          1 l ,i τ y ψ(η l ν [ψ(η l )] ν (dη l ). (2.23) i α

          ) − E 2l+1 2l + 1

          |y|≤l

          Para k fixado, decomponha o conjunto J l = {−l, ..., l} em intervalos de comprimento 2k + 1. Considere o conjunto A = {(2k + 1)x; x ∈ Z} ∩ J l−k e enumere seus elementos x

          1 , x 2 , ..., x q i | ≤ |x j | para i ≤ j.

          de modo que |x

        • J Defina B i := x i k i j

          ∩ B = ∅ para i , j, além q q para 1 ≤ i ≤ q e note que B S . Seja ainda B disso S B i l := J l B i

          ⊂ J − | = 2k.

          k l . . . -3(2k+1) -2(2k+1) -(2k+1) 2k+1 . . .

          2(2k+1) 3(2k+1)

          Figura 2.1: Conjunto A

          3

          1

          2

          4

          6 . . . 5 B B B B B 3 1 2 4 6 . . . x x x x x x

          Figura 2.2: B i Voltando a temos que Z X

          1 l ,i τ ψ(η [ψ(η )] ν (dη ) y l ν l l

          ) − E i α 2l+1 2l + 1 Z X |y|≤l

          1 l ,i =

          τ ψ(η [ψ(η )] ν (dη ), y l ν l l ) − E i α 2l+1

          2l + 1

          |y|≤l

          que por sua vez é igual a Z X

          1 l ,i τ ψ(η [ψ(η )] ν (dη ). y l ν l l ) − E i α 2l+1

          2l + 1 q |y|≤l = J

          Como S B , podemos escrever a integral acima como i= i l Z X q X

          1 l ,i τ ψ(η [ψ(η )] ν (dη ). y l ν l l ) − E i α 2l+1

          2l + 1 i= Temos agora que integral acima é limitada por X q Z X i

          1 |B | l ,i

          τ ψ(η [ψ(η )] ν (dη ) y l ν l l ) − E i α 2l+1

          2l + 1 i i= |B | X q Z y∈B i X B i

          1 l ,i kC = τ ψ(η [ψ(η )] ν (dη ) + . y l ν l l

          ) − E i α 2l+1 2l + 1

          |B i | l i=

          1 y∈|B i |

          Por simetria, η restrita a B tem é a mesma distribuição que η restrita a B l i l j (embora não sejam independentes). Logo, obtemos que a integral acima é igual a i Z X

          |

          1 kC q|B l ,i

          τ y ψ(η l ν [ψ(η l )] ν (dη l ) + i α ) − E 2l+1

          2l + 1 l

          |B i | Z X y∈|B i | 1 l ,i kC

          = τ ψ(η [ψ(η )] ν (dη ) + . y l ν l l ) − E i α 2l+1

          2k + 1 l

          y∈|B i |

        Aplicando a Equivalência de Ensembles quando l → ∞ e i/(2l + 1) → α, a integral acima converge para

          Z X

          1 n τ ν [ψ(η)] ν (dη). y α ψ(η) − E α

          2k + 1

          |y|≤k

          Finalmente, podemos concluir a prova da estimativa de 1-Bloco aplicando

          1

          a Lei dos Grandes Números em L (ν α ) para variáveis aleatórias limitadas independentes e identicamente distribuídas (ver 263]), obtendo assim que a integral acima converge a zero quando k → ∞. Isso conclui a prova do Teorema

          Para terminar esta seção, vamos enunciar um resultado que permite substituir nas expressões as funções cilindros j(η) e h(η) por l l suas médias ˜j(η (x)) e ˜h(η (x)) em caixas de comprimento 2l + 1. n Para cada função local f denote por ˜f(α) = E ν [ f (η)] a média de f n α n com respeito a medida invariante ν . Denote por E µ a esperança com α n respeito a medida de probabilidade P µ , definida no espaço das trajetórias D ([0, T], {0, 1} T n

          ), induzido pelo processo de Markov com gerador L ace- lerado por n

          lim

          F (u, x n )[g(η u (x)) − ˜g(η l u

          x∈T n

          1 n X

          E µ n Z t

          n→+∞

          lim

          l→+∞

          Teorema 2.4. Para todo t > 0,

          2

          ∆ ρ ( ˜ρ(t, ·)) de classe C ǫ (T).

          

        1

        ˜ρ(t,·)

          Por fim, denote por F(t, ·) a função

          |y−x|≤l η(y).

          1 2l + 1 X

          (x) a densidade empírica de partículas em um cubo de comprimento l centrado em x: η l (x) =

          começando de µ n , e para cada inteiro positivo l, denote por η l

          (x))]du = 0.

        Capítulo 3 O Método da Entropia Relativa

          Provaremos algumas afirmações que serão introduzidas ao longo da demonstração do Teorema Suas demonstrações são simples e não serão requeridas adiante. Caso o leitor deseje, pode aceitá-las para se concentrar na visão geral do Método da Entropia Relativa.

          

        Observação 3.1. Considere um sistema de patículas com gerador Ω (adjunto Ω

          e semigrupo S n (t)) evoluindo na escala θ(n) iniciando na medida de probabilidade µ n com medida invariante π σ . Se f n (t) = d µ n t d π σ , onde µ n t

          = µ n S n (t), então f n (t) é solução da seguinte equação de Kolmogorov

          ∂ t f n (t) = θ(n)Ω

          ∗

          f n (t) f n (0) = d µ n d π σ .

          Demonstração.

          Seja g uma função local, isto é, uma função g : E → R que só depende de uma quantidade finita de sítios. Como f n (t) = d µ n t d π σ , temos que Z g (η) f n (t)dπ σ = Z g (η) d µ n t d π σ d π σ

          = Z g (η)dµ n t . n n n

          = Segue então de µ µ S (t) que t Z Z n n n

          (η)dµ = (t)g(η)dµ g S t Z n n d µ = S (t)g(η) d π . σ n d µ n d π σ

          Como f (0) = obtemos Z n Z d π σ n n n d µ =

          S (t)g(η) d π S (t)g(η) f (0)dπ σ σ d π σ Z n n

          ∗

          = R R g (η)(S (t)) f (0)dπ σ . n n n

          ∗

          Das equações acima concluímos que g (η) f (t)dπ g (η)(S (t)) f (0)dπ σ − σ é igual a Z n n n

          ∗

          = g (η)[ f (t)) f (0)]dπ σ 0, n n n (t) − (S

          

          para toda g local. Logo, f (t) = (S (t)) f (0). Portanto, n n n

          ∗

          ∂ t f (t) = ∂ t (S (t)) f (0) n n

          ∗ ∗

          = θ(n)Ω (S (t)) (0) n f

          ∗ = θ(n)Ω f (t).

          T n

        Observação 3.2. Seja f : {0, 1} → R uma função local, e seja L o gerador do

          Processo de Exclusão Simples e Simétrico, então f (η)L log( f (η)) ≤ L f (η).

          Demonstração.

          De fato, como consequência de log x ≤ x − 1 temos que a b log ≤ b − a. Logo, f (η) L log( f (η)) = f (η) X

          

        x∈T

        n

          ρ(t,·)

          α η(x) (1 − α)

          x∈T n

          e também que ν n α (η) = Y

          1−η(x)

          ρ(t, x/n) η(x) (1 − ρ(t, x/n)

          x∈T n

          (η) = Y

          ρ(t,·)

          ν n

          (η) ν n α (η) . Calculando cada termo do quociente acima temos que

          ρ(t,·)

          ν n

          d ν n α (η) =

          ν n

          [log( f (η x ,y )) − log( f (η))]

          Demonstração. De fato, ψ n t (η) = d

          e C n t é uma constante de normalização.

          ρ(t,y)(1−α) α(1−ρ(t,y))

          η(x)λ(t, x/n) , onde λ(t, y) = log

          x∈T

        n

          1 C n t exp X

          , então ψ n t (η) =

          e ν n α medidas produto em E. Se ψ n t = d ν n ρ(t,·) d ν n α

          Observação 3.3. Sejam ν n ρ(t,·)

          [ f (η x ,y ) − f (η)] = L f (η).

          x∈T n

          log f (η x ,y ) f (η) !# f (η)X

          x∈T n "

          = X

          1−η(x) . Logo, Q η(x)

          1−η(x)

          ρ(t, x/n) (1 − ρ(t, x/n)) n x∈T n

          ψ (η) = t Q η(x)

          1−η(x)

          α Y η(x) x∈T n (1 − α) h ρ(t, x/n) i h i 1−η(x) 1 − ρ(t, x/n)

          = .

          α 1 − α

          x∈T n

          De modo equivalente, obtemos Y 1−η(x) h i h i η(x) ρ(t, x/n) n 1 − ρ(t, x/n)

          ψ (η) = exp log t α n 1 − α X x∈T

          ρ(t, x/n) 1 − ρ(t, x/n)

        • = exp η(x) log

          (1 − η(x)) log α 1 − α X x∈T n X

          ρ(t, x/n)(1 − α) 1 − ρ(t, x/n) = exp η(x) log exp log .

          α(1 − ρ(t, x/n)) 1 − α

          

        x∈T n x∈T n

          Portanto, X n

          1 ψ (η) = exp η(x)λ(t, x/n) , t n

          C t

          

        x∈T n

        n Q 1−ρ(t,x/n) −1

          = onde C . t x∈T n

          1−α

          O próximo lema é válido em um sistema de partículas em geral, é válido para uma escala qualquer, e é em certo sentido a alma do Método da Entropia Relativa. Para que a leitura não se torne enfadonha, denote n n n n por H (t) = H(µ ) a entropia relativa de µ com respeito a ν para n |ν t t

          ρ(t,·) ρ(t,·) n ∈ N e t > 0.

          

        Lema 3.1. Seja Ω o gerador de um sistema de partículas interagindo no tempo

          de escala t θ(n). Suponha que a medida produto Bernoulli ν seja invariante para n α este processo e seja S (t) o semigrupo associado a Ω. Então, para todo t ≥ 0 Z h i

          1

          2 n n n

          ∂ Ω ψ ψ t H n n t t f (t)ν (dη), (3.1) − ∂ α

          (t) ≤ t n

          2 n ∗

          onde Ω é o operador adjunto de Ω em L (ν ). α Demonstração. Segue do Teorema que Z n n n f (t) H (t) = f (t) log ν (dη). n n α

          ψ t Usando derivação sob o sinal da integral, obtemos h f (t) i Z n n n

          ∂ H (t) = ∂ f (t) log ν (dη) t n t n α Z n h i ψ t n n f (t) = ∂ f (t) log ν (dη). t n α

          ψ t Aplicando a regra do produto para derivadas encontramos " !# " !# " !# n n n n n n f (t) f (t) f (t)

          = ∂ f (t) log ∂ f (t) log f (t) ∂ log .

        • t t t n n n

          ψ ψ ψ t t t Usando então a regra da cadeia e a regra do quociente para derivadas, segue que n n

          (t) (t) f 1 f

          ∂ log = ∂ t t n n n f (t) ψ ψ t t ψ t n n n n n n

          ψ h ∂ ( f (t))ψ (t)∂ (ψ ) i t t t t − f t = n n

          2

          f (t) (ψ ) n n n n t ∂ ( f (t))ψ (t)∂ (ψ ) t t t t − f

          = n n .

          ψ f (t) t Das expressões acima, vemos que Z n n n n n i ∂ ( f (t))ψ (t)∂ (ψ ) n n n f (t) t − f t t t

          ∂ H (t) = ∂ f (t) h log f (t) t n t n n n ν (dη). α

        • ψ ψ f (t) t t

          Equivalentemente, Z n n n h ∂ (ψ ) f (t) i n n n f (t) t t ∂ ∂ ∂ ν t H n (t) = t f (t) log t ( f (dη). n n α

          (t)) −

        Vamos calcular os termos da integral acima separadamente. Começaremos pelo segundo termo. Segue da Observação que n n

          ∗ ∂ (t) = θ(n)Ω (t). t f f

          Assim, Z Z n n n n

          ∗ n ∂ f (t)ν (dη) = θ(n)Ω f (t)ν (dη). t α α

          Da invariância de ν , concluímos que α Z n n

          ∗ θ(n)Ω f (t)ν (dη) = 0. α

          Fazendo os cálculos para o primeiro termo, obtemos Z Z n n ! ! n n n n f (t) f (t)

          ∗

          ∂ f (t) log ν (dη) = θ(n)Ω f (t) log ν (dη) t n n α α ψ ψ t t Z n ! n n f (t)

          = θ(n) f ν (t)Ω log (dη) n α Z ! n n ψ t f (t) (t) n n f

          = Ω θ(n)ψ log ν (dη). t α n n ψ ψ t t

          Segue da Observação que Z Z n n n ! ! n n n n f (t) f (t) f (t) Ω Ω

          θ(n)ψ log ν θ(n)ψ ν (dη), t α (dη) ≤ t α n n n ψ ψ ψ t t t que por sua vez é igual a Z h i

          1 n n n

          

        n θ(n)Ω ψ f (t)ν (dη). t α

          ψ t Finalmente, juntando as expressões calculadas concluímos que Z n " ! # nn n n f (t) t (ψ ) t

        • Z h i

          ∂ H (t) = ∂ f (t) log t n t t ∂ ( f ν (dη) n n (t)) − α n

          ψ ψ f (t) t t

          1 n n n n

          ∗ θ(n)Ω ψ t (ψ ) f (t)ν (dη).

          ≤ − ∂ α n t t ψ t

          Os próximos cálculos (apresentados nas seções a seguir) são escritos especificamente para o processo de exclusão simples simétrico na escala θ(n) =

          2 n , que é a chamada escala difusiva. n ∗

          ψ

          t

          2 L

          n

          ψ

          t

          α

          2

          2

          n n n n

          ∗

          L L = n n ψ ψ t t

          ψ ψ t t

          2 X h i

          n

          1 n x ,y n =

          ψ (η (η) n η(x)(1 − η(y)) t ) − ψ t ψ t

          2

          x∈T n ,y

        2 n x

        X h ψ (η ) i

          n t =

          1 η(x)(1 − η(y)) n

          ψ 2 (η) − t

          x∈T n

          Segue da Observação que n x ,y ψ (η ) t X x ,y

          = exp [η . n (z) − η(z)]λ(t, z/n) ψ (η) t x ,y

          Simplificando P [η n (z) − η(z)]λ(t, z/n), obtemos que esta expressão é

          z∈T

          igual a x x ,y ,y

          (x) − η(x)]λ(t, x/n) + [η (y) − η(y)]λ(t, y/n) =

          [η(y) − η(x)]λ(t, x/n) + [η(x) − η(y)]λ(t, y/n) =

          [η(x) − η(y)][λ(t, y/n) − λ(t, x/n)], e desde que |η(x) − η(y)| = 1, concluímos que n x ,y ψ (η ) t

          = n exp(λ(t, y/n) − λ(t, x/n)). ψ (η) t

          Assim, n

          ∗

          X ψ s n

          2 t

          = n n η(x)(1 − η(y)) h exp(λ(t, y/n) − λ(t, x/n)) − 1i.

          2

          ψ t

          x∈T n

          Expandindo a exponencial até segunda ordem, podemos escrever a ex- pressão acima como

          2 X

          n (3.2)

          η(x)(1 − η(y))[λ(t, y/n) − λ(t, x/n)]

          2 x

          ,y∈T n |x−y|=1 X

          1

          1

          2

          (3.3)

        • η(x)(1 − η(y))[n(λ(t, y/n) − λ(t, x/n))]

          2 x

          2

          ,y∈T n |x−y|=1

          2 X

          n C

          3 .

          (3.4) [λ(t, y/n) − λ(t, x/n)]

        • 2 3! x n

          ,y∈T |x−y|=1 ∞

          Como λ(t, ·) ∈ C , segue que λ(t, ·) é Lipschitz, e então X C

          2

          3

          n [λ(t, y/n) − λ(t, x/n)] x 3!

          ,y∈T n |x−y|=1 X C

          2

          3

          ≤ n λ(t, y/n) − λ(t, x/n)| x 3!|

          ,y∈T n X |x−y|=1

          C

          2 = constante.

          ≤ n

          

        3

        x ,y∈T n 3!n |x−y|=1

        • n
        • n

          x∈T n

          2

          2 X

          x∈T n

          (η(x) − η(x + 1))[λ(t, x + 1/n) − λ(t, x/n)] = n

          2

          2 X

          η(x)[λ(t, x + 1/n) − λ(t, x/n)] − n

          x∈T n (η(x) − η(x + 1))[λ(t, x + 1/n) − λ(t, x/n)].

          2

          2 X

          x∈T n

          η(x + 1)[λ(t, x + 1/n) − λ(t, x/n)], fazendo x + 1 = y, distribuindo o somatório e rearrumando os termos restantes na expressão do lado direito da igualdade acima, segue que esta é igual a n

          2

          2 X

          x∈T n η(x)[λ(t, x + 1/n) + λ(t, x − 1/n) − 2λ(t, x/n)].

          Como n

          2 X

          Daí, concluímos que a última parcela da expansão acima é de ordem o(n). Vejamos agora como simplificar os termos da expressão O termo de ordem um é igual a n

          η(x)(1 − η(x − 1))[λ(t, x − 1/n) − λ(t, x/n)] = n

          2

          2 X

          x∈T n

          η(x)(1 − η(x + 1))[λ(t, x + 1/n) − λ(t, x/n)]

          2

          2 X

          x∈T n

          2

          2

          2 X

          x∈T n

          η(x)(1 − η(x + 1))[λ(t, x + 1/n) − λ(t, x/n)]

          2

          2 X

          x∈T n η(x + 1)(1 − η(x))[λ(t, x/n) − λ(t, x + 1/n)].

          Distribuindo o somatório e rearrumando a expressão acima, obtemos que esta é igual a n

          (3.5)

          ∞

          , Usando expansão em Taylor, temos como fato geral que para f ∈ C f

          (x + h) + f (x − h) − 2 f (x)

          2 ′′

          = f (x) + C(x, h)h ,

          2

          h onde C(x, h) é limitada e C(x, h) = o(|h|). Aplicando o resultado acima na soma concluímos que

          n η(x)[λ(t, x + 1/n) + λ(t, x − 1/n) − 2λ(t, x/n)]

          2

          x∈T n X

          2

          1 n

          2

          = η(x)∂ λ(t, x/n) + C (x, 1/n). u

          2

          2 n n X x∈T

          2

          1 Portanto, n

          η(x)(1 − η(y))[λ(t, y/n) − λ(t, x/n)] é igual a |x−y|=1 x ,y∈Tn

          2 X

          2

          τ h (η)∂ λ(t, x/n) + φ(n) x u

          x∈T n

          

        1

          = onde φ(n) = o(n), τ shift, e h(η) = η(0). Fazendo um cálculo similar ao x

          

        2

          que foi feito acima, vemos que X

          1

          2

          [η(x)(1 − η(y))][n(λ(t, y/n) − λ(t, x/n))] X |x−y|=1 x ,y∈Tn

          2

          1

          2

          2

          = .

          (η(x) − η(x + 1)) [n (λ(t, x + 1/n) − λ(t, x/n))] n

          2

          x∈T

          Por uma expansão em Taylor, a expressão anterior é igual a: X

          2

          τ j (η)(∂ λ(t, x/n)) , x u

          x∈T n

          2 (η(0)−η(1))

          mais um erro de ordem o(n), onde j(η) = . Portanto, n

          2 ∗

          L X X ψ

          2 t

          2

          2

          = n τ h (η)∂ λ(t, x/n) + τ j (η)(∂ λ(t, x/n)) o (n). (3.6) n x x u u

        • ψ t n n

          x∈T x∈T n t

          

        (η)

          E por definição, tembém temos que E

          η(x)λ(t, x/n) i = E h exp X

          x∈T n

          η(x)λ(t, x/n) i = E ∂ t exp h X

          x∈T n

          ∂ t E exp h X

          ∂ t C n t =

          η(x)λ(t, x/n) i . Derivando C n t , vemos que

          

        x∈T n

          = E exp h X

          Assim, C n t

          η(x)λ(t, x/n) i C n t .

          

        x∈T n

          E exp h P

          ψ n t =

          d ν α d ν α = 1.

          Sabemos da Observação que ψ n t =

          η(x)λ(t, x/n) − log C n t . Derivando a expressão acima em relação ao tempo,

          1 C n t

          exp h P

          x∈T n

          η(x)λ(t, x/n) i. Apli- cando a função logaritmo a ambos os membros desta igualdade, obtemos log ψ n t

          = X

          x∈T n

          ∂ t log ψ n t = X

          

        ρ(t,·)

          x∈T n

          η(x)∂ t λ(t, x/n) −

          1 C n tt C n t .

          Por outro lado, como ψ n t = d ν n ρ(t,·) d ν α

          , temos que E

          ψ n t = Z d ν n

          η(x)λ(t, x/n) X η(x)∂ t λ(t, x/n) i

          Logo, n E P i η(x)λ(t, x/n) η(x)∂ λ(t, x/n) h exp P t

          ∂ x∈T n x∈T n t C t n n = C C t t n h X i

          = E ψ η(x)∂ λ(t, x/n) t t

          x∈T n

          Portanto, n n X h X i ∂ η(x)∂ η(x)∂ λ(t, x/n) t log ψ (η) = t t t t λ(t, x/n) − Eψ

          

        x∈T n x∈T n

          Vejamos como reescrever a expressão acima. Como ! ρ(t, x/n)(1 − α)

          λ(t, x/n) = log α(1 − ρ(t, x/n)) temos que ! !

          ρ(t, x/n) ρ(t, x/n) 1 − ρ(t, x/n) =

          ∂ λ(t, x/n) = ∂ log ∂ t t t ρ(t, x/n) 1 − ρ(t, x/n) 1 − ρ(t, x/n)

          Usando a regra do quociente para derivadas, concluímos que ! ρ(t, x/n) ∂ t t

          ρ(t, x/n)(1 − ρ(t, x/n)) − ρ(t, x/n)∂ (1 − ρ(t, x/n)) ∂ = t

          2

          1 − ρ(t, x/n) (1 − ρ(t, x/n)) ∂ ρ(t, x/n) t

          = .

          

        2

          (1 − ρ(t, x/n)) Daí,

          ∂ ρ(t, x/n) t ∂ λ(t, x/n) = , (3.7) t

          (1 − ρ(t, x/n))ρ(t, x/n) donde concluímos que X X ∂ ρ(t, x/n) t η(x)∂ λ(t, x/n) = η(x) . t

          (1 − ρ(t, x/n))ρ(t, x/n)

          x∈T n x∈T n

          n Q 1−ρ(t,x/n) −1

          = Por outro lado, como C , segue que t x∈T n

          1−α Y ! −1 n 1 − ρ(t, x/n)

          = ∂ log C ∂ log t t t n 1 − α

        X

        x∈T

          1 − ρ(t, x/n) log = −∂ t 1 − α X

        x∈T n

          1 − ρ(t, x/n) ∂ log . = − t 1 − α

          x∈T n

          Como ∂ρ(t, x/n) 1 − ρ(t, x/n)

          = ∂ log ∂ , t t log(1 − ρ(t, x/n)) = −

          1 − α (1 − ρ(t, x/n)) temos que X n ∂ρ(t, x/n) = ∂ log C . t t

          (1 − ρ(t, x/n))

          x∈T n

          Finalmente, com base nos cálculos acima temos que X " # n ∂ ρ(t, x/n) ∂ρ(t, x/n) t =

          ∂ log ψ η(x) t t − (1 − ρ(t, x/n))ρ(t, x/n) (1 − ρ(t, x/n)) X x∈T n

          ∂ ρ(t, x/n) t = (η(x) − ρ(t, x/n)).

          (1 − ρ(t, x/n))ρ(t, x/n)

          x∈T n

          Usando o fato de que ρ(t, ·) é solução da equação de calor segue que X

          2

          1 u ∂ log ψ = t t (η(x) − ρ(t, x/n)).

          ∂ ρ(t, x/n) n

          2 (1 − ρ(t, x/n))ρ(t, x/n)

          x∈T n n

          Com o objetivo de expressar ∂ t log ψ em termos de h e j, consideremos para t n n , isto é, ˜ cada função local f sua média com respeito à ν f (α) = E ν [ f (η)]. α α η(0) h i

          2 η(0)−η(1)

          Como h(η) = e j(η) = temos que

          2

          2 #

          ρ(t, x/n) " η(0)

          = ˜h(ρ(t, x/n)) = E ν ρ

          2

          2 e #

          2

          " η(0) − η(1) . ˜j(ρ(t, x/n)) = E ν ρ

          2

          1 Derivando as expressões acima em ρ, encontramos ∂ ρ ˜h(ρ(t, x/n)) = e

          2 1−2ρ(t,x/n)

          ∂ ρ ˜j(ρ(t, x/n)) = . Olhando agora para a expressão de λ(t, u) definida

          2

          na Observação obtemos ∂ ρ(t, x/n) u ∂ λ(t, x/n) = . u

          ρ(t, x/n)(1 − ρ(t, x/n))

          2

          λ(t, u) é igual a: Então ∂ u

          2

          2 u ρ(t, x/n))

          ρ(t, x/n)(1 − ρ(t, x/n))∂ ρ(t, x/n) − (1 − 2∂(t, x/n))(∂ u .

          2

          (ρ(t, x/n)(1 − ρ(t, x/n))) Segue então que

          2

          2

          ∂ ˜h(ρ(t, x/n))∂ λ(t, x/n) + ∂ ˜j(ρ(t, x/n))(∂ λ(t, x/n)) ρ ρ u u

          2

          1 ∂ λ(t, x/n) u = .

          2 n ρ(t, x/n)(1 − ρ(t, x/n)) Portanto, ∂ log ψ é igual: t X t

          2 n ∂ ρ ˜h(ρ(t, x/n))∂ (3.8) u λ(t, x/n)(η(x) − ρ(t, x/n)) x∈T X

          2

        • x∈T n

          ∂ ˜j(ρ(t, x/n))(∂ (3.9) ρ u λ(t, x/n)) (η(x) − ρ(t, x/n)).

          Pelas igualdades concluímos que a expressão

          2 n

          L n ψ t t log ψ n n − ∂ t

          é igual a: X h

          2

          ∂ λ(t, x/n) τ u ˜h(ρ(t, x/n))(η(x) − ρ(t, x/n))i x h ρ (η) − ∂

          x∈T n X h

          2 u x ρ ˜j(ρ(t, x/n))(η(x) − ρ(t, x/n))i

        • x∈T n

          (∂ λ(t, x/n)) τ j (η) − ∂

          2

          mais um termo de ordem o(n). Note que como ˜h (ρ(t, x/n))∂ λ(t, x/n) é igual s u a

          2

          2

          2

          ρ(t, u) u ρ(t, u)) (1 − ρ(t, u))∂ u ρ(t, u) − ρ(t, u)(1 − 2ρ(t, u))(∂

          2

          2[ρ(t, u)(1 − ρ(t, u))]

          2

          e j(ρ(t, u))(∂ λ(t, u)) é igual a u u (λ(t, u))

          2

          ρ(t, u)(1 − ρ(t, u))(∂ ,

          2

          2[ρ(t, u)(1 − ρ(t, u))]

          2

          2

          temos que ˜h(ρ(t, x/n))∂ λ(t, x/n) + j(ρ(t, u))(∂ λ(t, u)) é igual a u u " #

          2

          2

          ρ(t, u) + (∂ ρ(t, u)) ∂ ρ(t, u) u u (1 − ρ(t, u))∂ u

          = ∂ . u

          2

          [2(1 − ρ(t, u))] 2(1 − ρ(t, u)) Então, Z h i

          2

          2 T

          ˜h(ρ(t, x/n))∂ λ(t, x/n) + j(ρ(t, u))(∂ λ(t, u)) du = n ψ u 2 n L t n u 0. Logo, podemos escrever n log ψ como X h ψ t t − ∂ t

          2

          ∂ λ(t, x/n) τ h u (η) − ˜h(ρ(t, x/n)) − ∂ ˜h(ρ(t, x/n))(η(x) − ρ(t, x/n))i (3.10) x ρ

          x∈T n X h

        • 2

          λ(t, x/n)) τ (∂ u x j ρ

          ˜j(ρ(t, x/n))(η(x) −ρ(t, x/n))i (3.11) n (η) − ˜j(ρ(t, x/n)) − ∂

          x∈T mais um termo de ordem o(n).

          Usando a estimativa em 1-Bloco, podemos substituir os valores espe- rados de τ h (η) e τ j (η) sob a medida invariante ν α com densidade igual x x l a densidade empírica de partículas η (x) em uma caixa microscópica de comprimento l centrada em x. Explicitamente, vamos fazer as seguintes substituições: l

          τ h ˜h (η(x)) x x (η) ←→ τ e l τ j ˜j (η(x)). x x

          (η) ←→ τ Invocando o Teorema podemos substituir (assintoticamente, sob a l t n L ψ 2 n n medida ν α ) as configurações η(x) por η (x) nas somas acima. Daí, n ψ t

          ∂ log ψ pode ser escrito como: t X t h i

          2 l l

          ∂ λ(t, x/n) ˜h(η ˜h(ρ(t, x/n))(η u (x)) − ˜h(ρ(t, x/n)) − ∂ (x) − ρ(t, x/n)) ρ

          x∈T n

          mais o termo X h i

          2 l l

          (∂ u λ(t, x/n)) ˜j(η ρ ˜j(ρ(t, x/n))(η n (x)) − ˜j(ρ(t, x/n)) − ∂ (x) − ρ(t, x/n))

          x∈T mais um termo de ordem o(n).

          Para terminar a prova do Método da Entropia, voltaremos a expressão da qual podemos concluir, após substituir os termos aqui n 2 n L ψ n t n calculados para log ψ (t) é ψ t − ∂ t t , que para todo t ≥ 0 a entropia H n limitada por H n (0) mais o termo Z t n " X l l X # dsE F µ ˜j 1 (s, x/n)M (η (x)ρ(s, x/n)) + F 2 (s, x/n)M (η (x), ρ(s, x/n)) ˜h

          x∈T n x∈T n

          2

          mais um termo de ordem o(n), onde F

          1 (t, x/n) = ∂ λ(t, x/n), F u 2 (t, x/n) =

          2

          (∂ λ(t, x/n)) , u l l l M (η (x), ρ(s, x/n)) = ˜j(η ρ ˜j(ρ(t, x/n))(η

          ˜j e l l l ˜h(ρ(t, x/n))(η

          M (η (x), ρ(s, x/n)) = ˜h(η ρ

        ˜h (x)) − ˜h(ρ(t, x/n)) − ∂ (x) − ρ(t, x/n)).

        Admitindo as hipóteses do Teorema exceto a integral acima, todos os termos desta expressão são de ordem o(n), pois estamos assumido que a entropia inicial é desta ordem. Portanto, para concluir a prova do Teorema basta mostrar que esta esperança é limitada pela soma de um termo de ordem o(n) mais a integral no tempo da entropia multiplicada por uma constante e depois aplicar uma desigualdade de Gronwall. Para obter esta estimativa, utilizaremos a desigualdade da entropia.

          Por simplicidade, reescreveremos a última integral acima como Z t " # X l E n µ F (s, x/n)M(η (x), ρ(s, x/n)) ds .

          x∈T n

          Pela desigualdade da entropia para γ > 0, esta integral é limitada por Z t

          1 γ Z t H (s)ds n " !# X 1 n l γ ρ(s,·) γ . n log E ν exp F (s, x/n)M(η (x), ρ(s, x/n))

        • ds

          x∈T O próximo resultado permite concluir a prova do Teorema

          Proposição 3.1. Existe uma constante γ X > 0 tal que para todo s ∈ [0, t] i

          1 n l lim sup lim sup log E F (s, x/n)M(η (x), ρ(s, x/n)) ν h exp γ ρ(s,·) ≤ 0. n

          n→∞ l→∞ x∈T n

          (3.12) A demonstração deste resultado é longa, delicada e requer ferramentas de grandes desvios. Então vamos nos limitar a heurística desta prova.

          O leitor pode encontrar uma prova completa desta proposição em páginas 123-130.

          A ideia é análoga a prova do Proposição Primeiro usamos o fato das

          n

        T

        n

          medidas ν , o que torna as variáveis aleatórias serem produto em {0, 1} l l ρ(s,·) η (x

          1 ), η (x

          2

          

        1

          2

          −x | > 2l. O próximo passo é aplicar ) independentes quando |x o teorema de Laplace-Varadhan e um princípio de grandes desvios para variáveis aleatórias i.i.d. que nos permitirá concluir que o lado esquerdo de é limitado por Z sup γ F ρ(s,u) (λ) du , T λ (s, u)M(λ, ρ(s, u)) − J onde J β

          (·) é uma função taxa estritamente convexa que se anula em β. Por fim, será necessário usar os fatos de que M(·, β) também se anula em β, é quadrática próxima deste ponto, linear no infinito e utilizar a forma expli- cítica da função taxa J suficientemente β

          (·) para calcular uma constante γ pequena que torne o supremo acima igual a zero.

        Capítulo 4 Perspectivas Futuras

          Como trabalhos furturos temos, a princípio, dois pontos a considerar:

        • Extensão do limite hidrodinâmico nos (possivelmente) regimes sub- crítico e super-críticos de
        • Extensão deste mesmo artigo para definições gerais de taxas de tran- sição.

        Capítulo 5 Apêndice

          

        Definição 5.1. Sejam (E, F, µ) um espaço de probabilidade e 1 ≤ p < +∞, o

        p p

          = L (µ) consiste de todas as classes de F-mensuráveis funções de espaço L p µ sobre E. Duas tem integral finita com respeito a valores reais f tais que | f | funções são µ-equivalentes se são iguais µ-quase todo ponto. Para este espaço definimos a norma Z p 1/p

          = d µ . || f || p | f |

          , ..., p

          1 n

          ∈ (0, ∞] tais que Sejam r ∈ (0, ∞) e p X n

          1

          1 =

          . (5.1) k= p r k

          1 Então, para quisquer funções mensuráveis reais (ou complexas) f , ..., f p k 1 n

          com f (µ) i ∈ L Y Y n n k= f . (5.2) k ≤ || f k || p r k

          1 k=

          1 Em particular, p r k Y n

          (µ). (5.3) f k (µ) → ∈ L f ∈ L k=

          1 r não é uma norma.

          Demonstração. Façamos indução sobre n. Se n = 1 não há o que fazer. Sunponhamos então que o resultado seja válido para k = n − 1 e vamos mostrar que o resultado também vale para k = n. Podemos supor, sem perda de generalidade, que p e vamos analisar os seguintes

          

        1 k

          ≤ ... ≤ p casos: Se p n = ∞, então n X X n−1

          1

          1

          1 = = .

          (5.4) r p p k k

        k= k=

          1

          1 Como Z r r 1/r

          = . . . f . . . f d µ

          || f

          1 n || r | f 1 | | f n | Z n−1 r r 1/r 1/r 1 . . . f d )

          ≤ | f | n ||

          n−1 (|| f ∞

          . . . f , = || f

          

        1 n r n

          || || f || ∞ segue da hipótese de indução que

          1 . . . f 1 .

          || f n || r ≤ || f || p 1 || p r || f n || . . . || f n−1 ∞

          Por outro lado, se p n n p p n n < ∞, temos da hipótese que p −r > 0, donde podemos

          1

          

        1

        p n r p q = tomar p := e q := tais que

        • −r r r

          1. Aplicando a desigualdade de

          . . . f obtemos

          1 n

          Hölder a f := | f n−1 | e g := | f | r r . . . f .

          || f g||

          1 ≤ ||| f 1 | || p ||| f n | || q n−1

          Logo r r

          1

          =

          1 . . . f

        1 . . . f

        1 ) /r

          || f n || r | | f n | || (|| | f n−1 r r 1/r

          1 . . . f p n q )

          ≤ (|| | f n−1 | || || | f | || . . . f .

          1 pr n qr

          = || f n−1 || || f ||

          = Como p qr e n X n−1

          1

          1

          1 =

          − k= p r p k n

          1

          p n − r

          1 = =

          , rp pr n segue da hipótese de indução que . . . f ,

          1 n r 1 p p n p

          || f || ≤ || f || 1 . . . || f n−1 || || f || n n−1 donde concluímos o resultado.

          Sejam f, g funções contínuas não negativas em [a, b] tais que, para α ≥ 0 Z t f f (s)g(s)ds (5.5) (t) ≤ α + a para todo t ∈ [a, b]. Então Z ! t f g (s)ds . (5.6)

          (t) ≤ α exp a Em particular, se α = 0, então f ≡ 0. R t Demonstração. Seja α > 0 e defina φ(t) = α + f (s)g(s)ds. Como φ(a) = α, a

          ′

          φ(t) ≥ α > 0 segue de φ (t) = f (t)g(t) ≤ g(t)φ(t) que

          ′

          φ (t) d log φ(t) = ≤ g(t). dt φ(t)

          Integrando a expressão acima em [a, t] obtemos # Z t " φ(t) g (s)ds,

          ≤ log φ(t) − log φ(a) = log α logo R t φ(t) a g (s)ds .

          ≤ e α

          Como f (t) ≤ φ(t) concluímos a primeira parte da prova. Por outro lado, se α = 0 então pelo item anterior, para ǫ > 0 R t a g (s)ds . f

          (t) ≤ ǫe Donde concluímos que f ≡ 0 uma vez que ǫ foi tomado arbitrariamente.

        Bibliografia

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          [KL] Kipnis, C., Landim, C., Scaling Limits of Interacting Particle Systeems, Springer-Verlag, New York (1999). [Liggett] Liggett, Thomas M., Interacting Particle Systems, Springer-Verlag, New York (1985).

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          Journal of Applied Prob- ability, 49.2, p.333-351, (2011) [Varadhan] Varadhan, S.R.S. Probability Theory, Courant lecture notes, New York (2001).

          [Yau] Yau, Horng-Tzer (1991): Relative Entropy and Hydrodyamics of Ginzburg-Landau Models , Letters in Mathematical Physics, 22, 63-80.

          Índice

          Desigualdade , de Sistemas de Partículas Interagentes, distribuição ,

          Teoria da Medida, toro discreto, equação hidrodinâmica, Estimativa de 1-bloco, Forma de Dirichlet, função cilindro, Grandes Desvios, limite hidrodinâmico, Medida , produto medidas invariantes, Probabilidade, processo de exclusão simples e simé- trico,

          Processo de Exclusão,

          Universidade Federal da Bahia-UFBA Instituto de Matemática / Colegiado da Pós-Graduação em Matemática

          Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus de Ondina, Salvador-BA CEP: 40170 -110 www.pgmat.ufba.br

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