Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Caoticidade dos Atratores

Hiperb´ olicos-singulares

K´ atia Silene Ferreira Lima Rocha

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2011 Caoticidade dos Atratores Hiperb´ olicos-singulares K´ atia Silene Ferreira Lima Rocha

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar R. Pinto Varandas. Co-orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro.

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2011 Rocha, K´ atia Silene Ferreira Lima.

  Caoticidade dos Atratores Hiperb´ olicos-singulares / K´ atia Silene F.Lima Rocha. – Salvador: UFBA, 2011. 76 f. : il Orientador: Prof. Dr. Paulo Cesar R. Pinto Varandas. Co-orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia,

Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em

  Matem´ atica, 2011.

  Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Sistemas Dinˆamicos. 2. Atratores. 3. Expansividade. 4.

  

Teoria Erg´ odica. 5. Medidas S.R.B. I. Varandas, Paulo C´esar

R. Pinto. II. Pinheiro, Vilton Jeovan Viana. III. Universidade

Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. IV. T´ıtulo.

  CDU : 517.930 Caoticidade dos Atratores Hiperb´ olicos-singulares K´ atia Silene Ferreira Lima Rocha

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 25 de Fevereiro de 2011.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Co-orientador) UFBA

  Prof. Dr. V´ıtor Domingos Martins de Ara´ ujo UFRJ

  A mem´oria de meu pai, Jos´e Pedro Filho! Agradecimentos

  Embora possam dizer que disserta¸c˜ao tenha uma finalidade puramente acadˆemica, h´a contribui¸c˜oes diversas que n˜ao podem deixar de serem real¸cadas, como sentimentos e vibra¸c˜oes que a tornaram poss´ıvel. Por essa raz˜ao, reservo esse texto para n˜ao somente agradecer `a todos que me ajudaram neste novo projeto, quero trazer para dentro do meu texto aqueles que j´a o percorreram nas entrelinhas. Afirmo que n˜ao ser´a tarefa f´acil, por esta raz˜ao serei o mais seletiva poss´ıvel.

  A Deus, por me amparar nos momentos dif´ıceis e me proporcionar paz e for¸ca interior para superar dificuldades. A CAPES pela bolsa concedida durante os dois anos de curso. Aos amigos acadˆemicos, pela ajuda prestada na elabora¸c˜ao deste ou de alguma forma no meu percurso nesses dois anos, os quais partilharam comigo id´eias, fomentaram discuss˜oes, dentre eles, ˆ Angela Soldatelli, Felipe Antˆonio, Luiz Alberto, Marcus Morro, Roberto Sacramento, Rodrigo von Flach e Tiago Bomfim. E de uma forma especial `a aqueles que por muitas vezes deram sentido ao meu sorriso, Caio(Cainho), Ela´ıs(a frˆo), n Fran(Framba soneca), Tina(a grossa), Reni(R ) e Andressa(I love you Brasil). Continuando minha lista seletiva n˜ao poderia deixar de citar `a aqueles que fizeram parte da minha vida escolar e acadˆemica, lembrarei do in´ıcio, Douril´e Nunes, Efigˆenia,

  Maria Jos´e, Nelson e Zilda Paiva. E parte da minha fam´ılia UEFS: Andiara, Andr´e Mandolesi, Arleide, Claudiano Goulart, Fab´ıola Lima, Hildete, Jean Fernandes, Jo˜ao Cardeal, Joilma Carneiro e Marcos Grilo.

  A todos os funcion´arios do IM-UFBA, pela disposposi¸c˜ao e profissionalismo. Em especial a Dona Tˆania, Dona Zez´e, Jairo, Cleber, Douglas e Sr. Gilmar. A todos os professores da PGMAT do IM-UFBA, pela dedica¸c˜ao, Enaldo Ver- gasta, por ter me acolhido de bra¸cos abertos, Ta´ıse Santiago, que por muitas vezes foi muito al´em de ser professora, pelo carinho e conselhos e a Armando Castro, seu pensar acadˆemico ´e um exemplo a ser seguido.

  A Vilton Pinheiro, por ter aceitado o desafio da orienta¸c˜ao e que rapidamente me encaminhou para o tema tratado nesta disserta¸c˜ao, obrigada pela disponibilidade revelada desde o in´ıcio, entusiasmo, encorajamento e experiˆencias acadˆemicas que pude vivenciar durante estes dois anos.

  A Paulo Varandas, por ter me ensinado a arte de pensar o trabalho acadˆemico com rigor e disciplina. Suas sugest˜oes e manuscritos levaram a sucessivas revis˜oes, cujas eventuais falhas que permanecem ´e de inteiramente responsabilidade da autora, teriam sido in´ umeras n˜ao fosse por suas interven¸c˜oes incisivas. Sua dedica¸c˜ao me fez um profis- sional diferente.

  Ao Prof. V´ıtor Ara´ ujo por aceitar participar da comiss˜ao julgadora de minha disserta¸c˜ao, pela prestatividade e agrade¸co-o ainda pelas corre¸c˜oes e aconselhamentos.

  ` Aqueles que nossa longa hist´oria de amizade ´e sempre fonte de inspira¸c˜ao, obri- gada por terem sido e por serem, simplesmente meus amigos, Van, Miss, Baixinha, Iran´ı,

  Dud´ u, Lan, Andr´e Luiz, Jonathas Maicon, Thy, D´ı, Flavinho, Gily, Dan, Juth´a, tia Izis, G´avila, F´a, Nina(irm˜a preta e companheira de casa “blanca”). Bel, Wagner e C´ıntia pelo abrigo durante o primeiro ver˜ao e a Didi pelo apoio.

  A minha fam´ılia porto seguro em todos os momentos. Meus irm˜aos, caminhoneiros pelo Brasil, n˜ao sou a mesma sem tˆe-los por perto. Meu Pai(Painho) que cedo partiu deixando ´orf˜as p´aginas de minha vida, o que me resta neste momento ´e lembrar do qu˜ao pouco precisava fazer para ser motivo de orgulho, lembro-me bem quanto orgulho em dizer aos seus amigos que sua filha j´a sabia ler e escrever... continuarei sonhando no dia em que enfim me dir´as novamente : “Amo-te, desde quando nem sabias a cor dos meus olhos. Amo-te, desde quando eu sequer sabia, se eras um menino ou uma menina. Amo-te, desde quando sequer existias e apenas era um sonho do meu desejo de pai”.

  Minha M˜ae(Mainha) de uma forma muito carinhosa, quanto por mim j´a fez e faz cuidando de mim sem se importar com o amanh˜a. ´ Es minha companheira di´aria, teus ensinamentos carrego sempre comigo e o ser humano que sou devo a senhora; sem- pre empenhada em nossa educa¸c˜ao e que por muitas vezes abdicou de viver para nos proporcionar dias melhores. Te amo.

  A Neva, minha sempre Cunhada/irm˜a pelo carinho e inestim´avel apoio familiar que por vezes preencheu minha ausˆencia. Aos meus sobrinhos pela ternura sempre pre- sente apesar do “d´ebito de aten¸c˜ao”e muitas vezes falta de paciˆencia, fruto do desgaste di´ario. Espero que o entusiasmo, seriedade e empenho que ponho no trabalho lhes possa servir de est´ımulo para fazerem sempre “mais e melhor”.

  E a vocˆe “Cheiro”, pois sua paciˆencia infinita e cren¸ca absoluta na minha capaci- dade de realiza¸c˜ao deste foram elementos propulsores. Nesta trajet´oria soube compreen- der como ningu´em, as fases pelas quais eu estava passando e as falhas que fui tendo por for¸ca da circunstˆancia, sempre tentando entender minhas dificuldades, ausˆencia, e sempre encontrando um jeitinho ´ unico de se aproximar em meio as pilhas de livros, te amo.

  “A percep¸c˜ao do desconhecido ´e a mais fascinante das ex- periˆencias. O homem que n˜ao tem os olhos abertos para o mis- terioso passar´a pela vida sem ver nada.”

  Albert Einstein Resumo

  Provaremos que um atrator Hiperb´olico-singular de um fluxo 3-dimensional ´e ca´otico sob dois pontos de vista diferentes. Primeiro provaremos que o fluxo ´e expansivo, isto ´e, se dois pontos permanecem pr´oximos por todo tempo, ent˜ao suas ´orbitas coincidem. O segundo objetivo ´e a existˆencia de uma medida f´ısica suportada no atrator. Palavras-chave: Atrator; Hiperb´olico-singular; Expansividade; Medida f´ısica. Abstract

  We prove that a singular-hyperbolic attractor of a 3-dimensional flow is chaotic from two different perspectives. The first is that the flow is expansive, that is, if two points remain close for all time, then their orbits coincide. The second is the existence of a physical measure supported on the attractor. Keywords: Attractor; Singular-hyperbolic ; Expansivity; physical measure. Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  2.2 Vizinhan¸ca de Singularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  3.2 Constru¸c˜ao de medidas invariantes para a transforma¸c˜ao R . . . . . . . . . 52

  3.1.2 Redu¸c˜ao do Mapa de Poincar´e Global a um mapa unidimensional f , existˆencia e finitude de medidas de probabilidades f -invariantes absolutamente cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  3.1.1 Mapa de Poincar´e Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

  3.1 Medidas de probabilidade invariantes absolutamente cont´ınuas para a aplica¸c˜ao unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

  45

  2.4 Expansividade robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Medida S.R.B.

  2.3.3 Prova do Teorema de Expansividade para o Futuro . . . . . . . . . 34

  2.3.2 Prova do Lema T´ecnico - Controle de ˆangulos . . . . . . . . . . . . 33

  2.3.1 Conclus˜ao da Demonstra¸c˜ao do Teorema (A) . . . . . . . . . . . . . 32

  2.3 Prova de Expansividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

  2.1.3 Se¸c˜ao transversal adaptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

  1

  2.1.2 Hiperbolicidade dos mapas de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  2.1.1 Folhea¸c˜oes Est´aveis em se¸c˜oes transversais . . . . . . . . . . . . . . 18

  2.1 Se¸c˜ao transversal e Mapas de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  17

  2 Expansividade

  1.5 Expansividade segundo Komuro versus Expansividade segundo Bowen . . . 14

  1.4 Modelo Geom´etrico para as equa¸c˜oes do Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . 11

  9

  7 1.3 Conjuntos Hiperb´olicos-singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.2 Ferramentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Nota¸c˜ oes, Defini¸c˜ oes e Ferramentas 4 1.1 Nota¸c˜oes e Defini¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3.3 Fluxo de suspens˜ao sobre o mapa de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . 56

  3.4 Fluxo original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  3.4.1 Unicidade da medida f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  3.4.2 Hiperbolicidade da medida f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  4 Trabalhos recentes e Perspectivas futuras

  67

  4.1 Expansividade e hiperbolicidade singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

  4.2 Transforma¸c˜oes expansoras por peda¸cos com singularidades . . . . . . . . . 68

  4.2.1 Medida misturadora e decaimento de correla¸c˜oes . . . . . . . . . . . 68

  4.2.2 Parti¸c˜ao de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

  4.3 Decaimento de correla¸c˜oes para fluxos hiperb´olicos-singulares . . . . . . . . 70

  4.4 Especifica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Referˆ encias

  74 Lista de Figuras

  1.1 Fluxo na vizinhan¸ca de um ponto fixo - C´ uspides . . . . . . . . . . . . . . 12

  1.2 Modelo Geom´etrico do Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  1.3 Aplica¸c˜ao unidimensional para o Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  2.1 Se¸c˜ao transversal imagem de um quadrado por um difeomorfismo . . . . . 20

  2.2 Se¸c˜ao transversal δ-adaptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  2.3 Constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversal δ-adaptada de um ponto regular x . . . . 26

  2.4 Existˆencia de Variedades est´aveis para o mapa de Poincar´e . . . . . . . . . 28

  2.5 Se¸c˜oes transversais adaptadas na vizinhan¸ca de uma singularidade . . . . . 29

  2.6 Conjunto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  2.7 Prova de expansividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  2.8 Posi¸c˜ao relativa das variedades est´aveis e ´orbitas no argumento da redu¸c˜ao do Teorema(A) para Teorema de Expansividade para o futuro . . . . . . . 33

  2.9 Controle de ˆangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

  2.10 Caixa de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

  2.11 Constru¸c˜ao de mapas de Poincar´e entre variedades est´aveis . . . . . . . . . 37

  2.12 Interse¸c˜ao em mesma componente conexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

  2.13 Entrada em uma caixa de fluxo de uma singularidade . . . . . . . . . . . . 39

  2.14 Mapa de Poincar´e definido com o fluxo induzido . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  2.16 Expans˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

  3.1 Holonomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  3.2 Proje¸c˜ao ao longo das folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  3.3 Rela¸c˜ao de equivalˆencia para o fluxo de suspens˜ao . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Introdu¸c˜ ao

  Em termos gerais Sistemas Dinˆamicos est˜ao relacionados com a descri¸c˜ao do comportamento da maioria das ´orbitas da maioria dos sistemas, especialmente quando o tempo tende ao infinito. Al´em disso, estamos interessados em saber quando e em que sentido este comportamente ´e robusto quando submetido a perturba¸c˜oes.

  A teoria de dinˆamica uniformemente hiperb´olica foi iniciada por volta de 1960 por Smale, em cerca de dez anos toda uma teoria erg´odica foi desenvolvida para esses sistemas. Um subconjunto fechado H de uma variedade compacta ´e hiperb´olico se ´e invariante e existe uma decomposi¸c˜ao do seu fibrado tangente em dois subfibrados invariantes, onde um deles contrai e o outro expande sob a a¸c˜ao da derivada do fluxo.

  Os sistemas uniformemente hiperb´olicos apresentam comportamentos ca´oticos, contudo admitem uma descri¸c˜ao precisa do seu comportamento, pois podem ser decompos- tos em subconjuntos invariantes Λ , Λ , ..., Λ n que s˜ao transitivos (possuem ´obita densa) e

  1

  2

  quase todas as ´orbitas futuras desses sistemas se acumulam em um deles, ou seja, embora a dinˆamica pr´oxima a esses atratores possam ser bastante “ca´oticas”s˜ao surpreendente- mente “bem comportadas”do ponto de vista estat´ıstico.

  Por volta de 1962 o meteorologista Edward Norton Lorenz buscava um modelo para previs˜ao do clima e acabou encontrando, atrav´es de um sistema de equa¸c˜oes diferen- ciais, o atrator de Lorenz. As equa¸c˜oes de Lorenz destacam o de fato que para sistemas de tempo cont´ınuo, dinˆamica robustamente transitiva pode ocorrer fora do contexto da hiperbolicidade uniforme. Neste caso, a origem ´e singularidade com decomposi¸c˜ao do espa¸co tangente em soma direta de um subespa¸co est´avel de dimens˜ao dois e um su- bespa¸co inst´avel de dimens˜ao um, em qualquer outro ponto a decomposi¸c˜ao ´e dada por um subespa¸co inst´avel, um subespa¸co est´avel e uma dire¸c˜ao central ambos com dimens˜ao um, logo n˜ao ´e uniformemente hiperb´olico. Apesar da hiperbolicidade nos fornecer mo- delos ca´oticos, robustos e est´aveis, ela exige propriedades muito r´ıgidas, excluindo muitas dinˆamicas importantes que n˜ao satisfazem seus presupostos.

  Isso motivou a busca de uma generaliza¸c˜ao da no¸c˜ao de hiperbolicidade uniforme abrangendo todos os sistemas de tempo cont´ınuo com comportamento dinˆamico robusto. O passo fundamental para tal abrangˆencia foi realizado por Morales, Pac´ıfico e Pujals

  [MPPuj98], com o estudo da classe de sistemas dinˆamicos hiperb´olicos-singulares, que s˜ao sistemas com todas as singularidades hiperb´olicas e admitindo uma decomposi¸c˜ao invariante dominada. Informalmente, um conjunto Λ compacto e invariante ´e dito ser hiperb´olico singular se existe uma decomposi¸c˜ao do fibrado tangente em dois subfibrados invariantes, onde um deles tem um comportamento contrativo e o outro, sendo dominado pelo primeiro, expande volume.

  O primeiro exemplo, dentre outros, de conjunto hiperb´olico singular ´e o atrator de Lorenz e seus modelos geom´etricos. Um passo natural ´e tentar entender quais as consequˆencias da dinˆamica de hiper- bolicidade singular dos conjuntos invariantes do ponto de vista da dinˆamica, geometria, estat´ıstica; sendo que muitos problemas permanecem em aberto. Este trabalho ´e base- ado no artigo “Singular-Hyperbolic Attractors are Chaotic”[APPujV07], uma importante contribui¸c˜oes para tal teoria.

  Inicialmente vamos provar que um atrator hiperb´olico-singular ´e expansivo, ou seja, qualquer duas ´orbitas que permanecem perto em todos os momentos devem coincidir. A defini¸c˜ao que usaremos foi introduzida por Komuro em [Kom84]. O primeiro resultado principal da disserta¸c˜ao ´e o seguinte:

  Teorema (A) Seja Λ um atrator hiperb´olico-singular. Ent˜ao Λ ´e expansivo. Uma caracter´ıstica comum em dinˆamica ca´otica ´e a dependˆencia sens´ıvel `as condi¸c˜oes iniciais, que de forma geral significa que pequenas diferen¸cas s˜ao rapidamente aumentadas com o passar do tempo. Como expansividade implica dependˆencia `as condi¸c˜oes iniciais com a prova do Teorema (A) conclu´ımos a prova de caoticidade dos atratores hi- perb´olicos-singulares. r r Dizemos que uma propriedade ´e C -robusta, r ≥ 1, se ela vale num aberto de classe C no espa¸co X(M ) dos campos vetoriais que cont´em um dado campo X.

  1 Teorema (B) Seja Λ um atrator hiperb´olico-singular ´e C robustamente expan- sivo.

  ∈ X(M ) tem um atrator hiperb´olico-singular Λ, ent˜ao al´em Isto significa que se X de Λ ser expansivo (Teorema A), os conjuntos maximais invariantes numa vizinhan¸ca de

  1 Λ para campos C pr´oximas a X s˜ao tamb´em expansivos.

  Outro importante resultado que demonstraremos aqui, ´e que ´orbitas t´ıpicas da bacia de atra¸c˜ao tˆem seu comportamento estat´ıstico bem definido, para Lebesgue quase todo ponto as m´edias de Birkhoff convergem, e ´e dada por uma medida de probabilidade f´ısica. De forma mais precisa, Teorema (C) Seja Λ um atrator hiperb´olico-singular. Ent˜ao Λ suporta uma

  ´ unica medida de probabilidade f´ısica µ que ´e erg´odica, hiperb´olica e sua bacia coincide s com a bacia de atra¸c˜ao de Λ: B(µ) = W (Λ)Lebesgue, mod 0 .

  Observando que nossos argumentos s˜ao preservados por pequenas pertuba¸c˜oes, provamos tamb´em a seguinte vers˜ao.

2 Teorema (D) Numa C vizinhan¸ca de X com atrator hiperb´olico-singular Λ,

  o maximal invariante do campo de vetores Y ∈ U numa vizinhan¸ca de Λ admite um n´ umero finito de medidas f´ısicas µ , µ , ..., µ k cuja uni˜ao das bacias cobre a bacia de

  1

  2 s

  B(µ ∪ ...B(µ atra¸c˜ao lebesgue-q.t.p.:

  1 ) k ) = W (Λ), Lebesgue mod 0 .

  A disserta¸c˜ao est´a organizada da seguinte forma. No primeiro cap´ıtulo, listamos alguns conceitos e resultados de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias, Teoria da Medida e Te- oria Erg´odica, necess´arios para uma boa compreens˜ao no decorrer do texto. Apresentamos as defini¸c˜oes e principais propriedades de conjuntos hiperb´olicos e hiperb´olicos-singulares. Estudando o Modelo Geom´etrico para as equa¸c˜oes do Lorenz definimos a aplica¸c˜ao do Lorenz unidimensional e por fim, estabelecemos os conceitos de expansividade segundo Bowen e Komuro.

  O segundo cap´ıtulo ´e destinado a prova do Teoremas A e B. Tais provas s˜ao baseadas na an´alise de mapas de retorno de Poincar´e para uma se¸c˜ao transversal conve- niente, onde reduzimos a propriedade de expansividade para expansividade para o futuro de mapas de Poincar´e.

  No terceiro cap´ıtulo, provamos os Teoremas C e D. A prova tem como principais instrumentos t´ecnicos a constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversal e sua folhea¸c˜ao invariante con- trativa para um mapa de Poincar´e global, que nos permite reduzir a dinˆamica do fluxo em certas transforma¸c˜oes unidimensionais expansoras por partes, e a extens˜ao do mapa de Poincar´e global a seu semi-fluxo com a fun¸c˜ao altura sendo determinada pelo tempo de retorno de Poincar´e.

  Finalmente no quarto e ´ ultimo cap´ıtulo apresentaremos algumas discurs˜oes de trabalhos recentes e perspectivas futuras apresentando quest˜oes em aberto. Cap´ıtulo 1 Nota¸c˜ oes, Defini¸c˜ oes e Ferramentas

  Ao longo dessa disserta¸c˜ao M designa variedade compacta 3-dimensional sem bordo, fixada alguma estrutura Riemaniana suave e uma forma de volume, m, que cha- mamos de medida de Lebesgue. Al´em disso, escrevemos dist para a distˆancia induzida em M . Na primeira se¸c˜ao desta disserta¸c˜ao recordaremos alguns conceitos e resultados b´asicos de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias, Teoria da Medida e Teria Erg´odica que facilitar˜ao a compreens˜ao da teoria que ser´a desenvolvida no decorrer deste. Na segunda se¸c˜ao esta- beleceremos as principais ferramentas utilizadas ao longo deste texto, as demonstra¸c˜oes dos fatos aqui anunciados podem ser encontrados em [C04], [M83] e [PM77] . Na terceira se¸c˜ao apresentaremos as defini¸c˜oes de conjuntos hiperb´olico e hiperb´olico-singular e suas principais propriedades. Enquanto na quarta se¸c˜ao construiremos um dos exemplos mais representativos de atrator hiperb´olico-singular, o atrator do Lorenz geom´etrico. Por fim, na quinta se¸c˜ao estabeleceremos as defini¸c˜oes de expansividade segundo Bowen e Komuro, que denominaremos Bowen-expansividade e Komuro-expansividade.

1.1 Nota¸c˜ oes e Defini¸c˜ oes

  1

  1 Um campo de vetores de classe C em M ´e uma aplica¸c˜ao com a topologia C

3 X : M → R que, a cada ponto p ∈ M , associa um vetor X(p) ∈ T p M .Isso corresponde

  1

  a uma aplica¸c˜ao C X : M → T M , onde TM ´e o fibrado tangente associado `a variedade

  1

  1 M. Denotemos por X (M ) o conjunto dos campos de vetores C em M .

  1

  1 Um fluxo de classe C ´e uma fam´ılia (X t ) t de difeomorfismos de classe C que ∈R

  satisfazem X = Id : M → M e X = X oX para quaisquer t, s ∈ R. Dado um campo t +s t s

  1

  de classe C , desde que X ´e definido em M , com M compacta, X ´e limitado, ent˜ao existe um ´ unico fluxo e X t definido para todo t ∈ R associado ao campo, solu¸c˜ao da equa¸c˜ao d diferencial x = X(x) sujeita a uma condi¸c˜ao inicial. dt n n n

  vetoriais de R , e sejam ϕ : D → U e ψ : ˆ D → V os fluxos gerados respectivamente por X e Y . Diz-se que X ´e topologicamente conjugado a Y quando existe um homeomorfismo

  → V tal que h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)), ∀(t, x) ∈ D. h ´e dita conjuga¸c˜ao topol´ogica h : U entre X e Y .

  Dizemos que p ∈ M ´e singularidade para X se X(p) = 0, ou um ponto fixo para o fluxo X t , isto ´e, X t (p) = p para qualquer t ∈ R. Caso contr´ario, p ´e dito ponto regular para o campo X. k

  Defini¸c˜ ao 1.1.2 (Singularidade hiperb´olica). Dado um campo de vetores C , X : U → m R

  , uma singularidade p ∈ U de X ´e dita hiperb´olica se a equa¸c˜ao determinada pela sua m parte linear DX(p) ∈ L(R ) ´e hiperb´olica(isto ´e, se os autovalores de DX(p) tˆem parte real n˜ao nula).

  Uma ´orbita de um ponto q ∈ M ´e o conjunto O(q) = {X (q); t ∈ R}. Uma ´orbita t peri´odica de X ´e uma ´orbita O(p) tal que X T (p) = p para algum n´ umero m´ınimo T > 0. Uma ´orbita fechada de X ´e uma singularidade ou uma ´orbita peri´odica de X.

  Se p ∈ M e [a, b] ⊂ R ent˜ao um segmento de orbita {X t (p); a ≤ t ≤ b} ´e denotado por X [a,b] (p). O conjunto ω − limite de um ponto p ∈ M ,ω(p), ´e o conjunto { q ∈ M : q = lim t n →∞ n X t (p) para alguma sequˆencia t n }. O conjunto α − limite de um ponto p, α(p), ´e o ω − limite de p para o campo −X.

  ⊂ M ´e: Um conjunto Λ

  • Invariante , se X (Λ) = Λ, ∀t ∈ R; t
  • Transitivo, se Λ = ω(p) para algum p ∈ M ;
  • N˜ao trivial, se Λ n˜ao ´e uma ´orbita fechada de X;
  • Isolado, se existe uma vizinhan¸ca compacta U de Λ tal que

  \ Λ = Λ X (U ) = t X t (U )

  ∈R

  U ´e chamado bloco isolante;

  • Sumidouro, se este ´e isolado e tem um bloco isolante positivamente invariante U, isto ´e,

  ⊂ U ∀t > 0 X t (U ) • Atrator, se este ´e um sumidouro transitivo.

  2

  2 Uma aplica¸c˜ao F : A → M , A ⊂ R , de classe C ´e uma se¸c˜ao transversal local ao

  2

  3

  campo X se DF (a)R e X(F (a)) geram R para qualquer a ∈ A. Dizemos que Σ = F (A)

  2

  → F (A) ´e uma bije¸c˜ao e sua inversa de classe C ´e a se¸c˜ao transversal quando F : A

  , ou

  2 seja, disco mergulhado C transversal a X em todo ponto. Um Mapa de Poincar´e ´e um mapa cont´ınuo R : Σ → Σ entre se¸c˜oes transversais Σ e Σ que associa cada x ∈ Σ o seu primeiro retorno X t (x) `a se¸c˜ao Σ .

  (x)

  A ⊂ P(X), A 6= ∅, A ´e uma σ−algebra se e s´o se: Seja X um conjunto e i) ∅ ∈ A c ii) Se A , A ∈ A ent˜ao A ∪ A , A ∩ A ∈ A

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  ∈ A iii) X Al´em disso, se tais uni˜oes e interse¸c˜oes acima podem ser enumer´aveis dizemos A ´e uma σ−´algebra. que

  Seja X um conjunto e A σ−´algebra. Seja µ uma aplica¸c˜ao definida em A, µ : A → [0, ∞], satisfazendo as seguintes propriedades:

  ∅) = 0 i) µ( S ∞ P ∞ ii) µ( A i ) = µ(A i ), com A i ∈ A ∀i e disjuntos dois a dois. i =1 i =1

  Dizemos que a aplica¸c˜ao µ definida acima ´e uma medida em X e chamamos a terna (X; A; µ) de espa¸co de medida. Uma medida µ ´e σ−finita se podemos escrever X S como uma uni˜ao enumer´avel X = A n , com µ(A n ) < ∀n ∈ N. Quando µ(X) = 1, n =0 A; µ) ´e um espa¸co de probabilidade. dizemos que µ ´e medida de probabilidade e (X;

  −1

  Dizemos que T : X → X ´e uma transforma¸c˜ao mensur´avel se T (A) ∈ A

  −1

  ∀A ∈ A. Quando µ(T (A)) = µ(A) ∀A ∈ A, dizemos que T preserva medida ou simplesmente que µ ´e T −invariante.

  A; µ) um espa¸co de medida e seja T uma transforma¸c˜ao que preserva Seja (X;

  −1

  medida. Um conjunto A ∈ A ´e dito T −invariante se T (A) = A. Dizemos que T ´e erg´odica (ou que a medida ´e erg´odica em rela¸c˜ao a T) se e s´o se todo conjunto T −invariante possui medida 0 ou 1.

  Uma propriedade se diz satisfeita em quase todos os pontos (q.t.p.), se o conjunto dos pontos onde a propriedade n˜ao ´e satisfeita tem medida nula. ′ ′ Seja (X; A; µ) um espa¸co de medida, (X ; A ) um espa¸co mensur´avel e T : X → X uma aplica¸c˜ao mensur´avel. A medida transportada de µ por T ´e a medida µ := T µ :

  ∗

  A → [0; +] definida por: ′ ′ ′ ′ ′

  

−1

  ∈ A µ (A ) := µ(T (A )), A Sejam µ e ν duas medidas num espa¸co mensur´avel (X;

  A). Dizemos que ν ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ se µ(A) = 0 implica ν(A) = 0, qualquer que ≪ µ. Caso tenhamos µ(A) = 0 seja A o conjunto mensur´avel. Neste caso escrevemos ν se e somente se ν(A) = 0, dizemos que µ ´e equivalente a ν e escrevemos µ ∼ ν.

  Chamamos suporte da medida µ o conjunto dos pontos tais que toda vizinhan¸ca tem medida positiva para µ e este ´e denotado por supp(µ) = {x; para todo aberto V ∋ x; µ(V ) > 0}. Quando µ ´e invariante para X t a bacia de µ a qual denotamos por B(µ) ´e o conjunto dos pontos tais que t

  Z Z

  1 t lim h(X s (x))ds = hdµ

  →∞

  t para toda fun¸c˜ao cont´ınua h : X → R. Note que a bacia sempre ´e um conjunto invariante. Uma probabilidade invariante µ ´e uma medida S.R.B.( Sinai-Ruelle-Bowen ), conhecida tamb´em como medida f´ısica do fluxo {X t } t se os pontos que satisfazem a

  ∈R m´edia de Birkoff tem medida de Lebesgue positiva, isto ´e, Leb( B(µ)) > 0.

1.2 Ferramentas

  Nesta se¸c˜ao apresentaremos as principais ferramentas utilizadas no decorrer do texto. Para maiores detalhes sobre os resultados aqui apresentados o leitor poder´a con- sultar [C04] e [M83].

  O Teorema abaixo descreve o comportamento local das ´orbitas na vizinha¸ca de um ponto regular. Teorema 1.2.1 (Fluxo Tubular). Seja p um ponto n˜ao singular de um campo X : U → n k k

  R de classe C .Ent˜ao, existe uma vizinhan¸ca V de p em U e um difeomorfismo C n −1 k F : ( −ǫ, ǫ) × B → V , onde ǫ > 0 e B ´e uma bola em R tal que F ´e uma C -conjuga¸c˜ao n n

  −ǫ, ǫ) × B → R ≡ (1, 0, ..., 0) ∈ R entre o campo constante Y : ( dado por Y e o campo X | V .

  O pr´oximo resultado responde todas a quest˜oes relativas `a dinˆamica assint´otica das solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferencias ordin´arias autˆonomas em variedades compactas de dimens˜ao dois.

  Teorema 1.2.2 (Poincar´e-Bendixson). Seja Sejam M uma variedade compacta de di-

  2

  mens˜ao dois, X ∈ X(M ), um campo de vetor com um n´ umero finito de singularidades e

  1. ω(p) ´e uma ´ unica singularidade; 2. ω(p) ´e uma ´ unica ´orbita peri´odica; 3. ω(p) consiste de um n´ umero finito de singularidades σ , σ , ..., σ n e ´orbitas regulares

  1

  2 γ ∈ ω(p) tais que α(γ) = σ i e ω(γ) = σ j para algum i, j = 1, 2, ..., n.

  O passo seguinte ´e apresentar o resultado mais geral de classifica¸c˜ao topol´ogica de campos em vizinhan¸ca de singularidades. m m Teorema 1.2.3 (Grobman-Hartman para campos). Seja X : V ⊂ R → R um campo k C (k ≥ 1) e p uma singularidade hiperb´olica de X. Seja L = DX p . Ent˜ao X ´e localmente n

  ∈ R topologicamente conjugado a L, em vizinhan¸ca de p e 0 , respectivamente. {f : X → R; f cont´ınua com suporte compacto } e o suporte de f

  Seja C c (X) = ´e o conjunto supp(f ) = f echo(x ∈ X; f (x) 6= 0). Teorema 1.2.4 (Riesz-Markov,[C04]p´ag.136). Seja X um espa¸co m´etrico localmente compacto σ-compacto. Seja Φ : C c (X) → R um operador linear positivo. Ent˜ao, existe

  R uma ´ unica medida boreliana µ em X tal que Φ(f ) = f dµ, ∀f ∈ C c (X). X Teorema 1.2.5 (Oseledets). Seja µ uma medida (X t ) t -invariante e erg´odica. Ent˜ao

  ∈R

  1 2 k

  ≥ 0 tal que T ⊕ E ⊕ ... ⊕ E existe k x M = E para x q.t.p. tal que x x x

  1 i kDX k = λ ∀v ∈ E \0. t lim log t (x)v i

  →∞

  t Os valores λ , ..., λ n s˜ao ditos expoentes de Lyapunov para (X t , µ) e os espa¸cos i

  1 E s˜ao invariantes pela DX t e variam mensuravelmente com x. A decomposi¸c˜ao acima x k

  1

  2 T x M = E ⊕ E ⊕ ... ⊕ E ´e chamada de decomposi¸c˜ao de Oseledets. Uma medida µ ´e x x x dita ser hiperb´olica para o fluxo X t se todos os expoentes de Lyapunov s˜ao n˜ao nulos.

  Um dos grandes objetivos dos sistemas dinˆamicos est˜ao relacionados com o estudo do comportamento das ´orbitas de algumas transforma¸c˜oes. Esse estudo pode ser feito com o aux´ılio de alguma fun¸c˜ao.

  A, µ) e uma Dada uma transforma¸c˜ao T que preserva medida de um espa¸co (X, fun¸c˜ao integr´avel ϕ : X → R, em quais condi¸c˜oes o limite

  −1

  ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ... + ϕ(T (x)) n lim (1.1)

  →+∞

  n existe e ´e o mesmo em q.t.p.? Essa pergunta ´e uma quest˜ao b´asica da Teoria Erg´odica, o pr´oximo teorema

  Teorema 1.2.6 (Teorema Erg´odico de Birkhoff). Sejam (X; A; µ) um espa¸co de medida e T : X uma transforma¸c˜ao que preserva medida. Ent˜ao, o limite n −1

  X

  1 j ϕ(x) = lim ˆ ϕ(T (x)) n

  →∞

  n j

  =1 existe em µ −q.t.p. x ∈ X dada qualquer fun¸c˜ao integr´avel ϕ : X → R.

  Assim, sob tais condi¸c˜oes, podemos dizer que, para qualquer fun¸c˜ao integr´avel, a R media temporal sobre toda ´orbita, ˆ ϕ(x), coincide com a m´edia espacial, ϕdµ, da fun¸c˜ao. X Al´em disso, a pr´oxima proposi¸c˜ao garante, entre outras coisas, que se µ ´e uma medida erg´odica, ent˜ao

  Z

  1 ϕ = ˆ ϕdµ. µ(X) X Proposi¸c˜ ao 1.2.7 ([M83]p´ag. 130). As seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

  1. T ´e erg´odica;

  1

  ∈ L −invariante ent˜ao ϕ ´e constante em q.t.p.;

  2. Se ϕ (X) ´e T p

  3. Se ϕ ∈ L (X) ´e T −invariante ent˜ao ϕ ´e constante em q.t.p.; P n −1

  1 −m

  4. Para todo A, B ∈ A vale lim µ(T (A) ∩ B) = µ(A)µ(B); n =0 m R

  1

  1 5. Para toda ϕ ∈ L (X), ˆ ϕ = ϕdµ q.t.p. µ X (X)

  ×M → M um Teorema 1.2.8 (Teorema Erg´odico de Birkhoff para fluxos). Sejam X t : R fluxo de uma campo de vetores completo X, e µ uma medida de probabilidade invariante e erg´odica para X t . Ent˜ao para cada fun¸c˜ao h integr´avel

  Z Z t

  1 − q.t.p. ∈ M. hdµ = lim h(X s (x))ds µ x t

  →∞

  t

1.3 Conjuntos Hiperb´ olicos-singulares

  ⊂ M de X ´e hiperb´olico se existe Defini¸c˜ ao 1.3.1. Um conjunto compacto invariante H uma decomposi¸c˜ao continua e DX -invariante do fibrado tangente de M sobre H t s c u

  T H M = E ⊕ E ⊕ E H H H e existem constantes K > 0 e 0 < λ < 1 tais que s t

  • k DX | k≤ Kλ ∀t > 0; t E , u t
  • k DX | k≤ Kλ , ∀t > 0;
  • c −t E • E dire¸c˜ao do fluxo. H s

      Nestas condi¸c˜oes dizemos que o subfibrado E ´e (K, λ)- contrator enquanto o u subfibrado E ´e (K, λ)-expansor. Defini¸c˜ ao 1.3.2. O conjunto ss

      W (p) = {q ∈ M : dist(X t (q), X t (p)) → 0; quando t → +∞} ´e chamado Variedade Est´avel forte do ponto p para o campo X. k ∈ X

      Teorema 1.3.3 (Teorema da Variedade Est´avel). Seja X (M ). Seja H um conjunto hiperb´olico invariante para X. Ent˜ao existe um ǫ > 0 tal que para cada p ∈ H existem ss ss s s discos mergulhados W (p) e W (p) os quais s˜ao tangente a E e E respectivamente. ǫ ǫ p p ss O conjunto W (p) ´e chamado variedade est´avel local de p para o campo X que ǫ

      ´e um conjunto ss W (p) = {q ∈ M : dist(X t (q), X t (p)) → 0; quando t → +∞ e dist(X t (q), X t (p)) ≤ ǫ} ǫ

      Al´em disso, a variedade est´avel forte de um ponto p para um campo X pode ser obtida como ss ss [ W (p) = X (W (X t (p))) t −t ǫ ≥0

      Agora, definimos a variedade est´avel do ponto p para o campo X como o conjunto s ss [ W (p) = t X t (W (p)) ǫ s c ∈R que ´e tangente a E ⊕ E e depende continuamente com respeito a p.

      Analogamente, definimos variedades inst´aveis forte, inst´avel local e inst´avel. Uma ´orbita fechada de X ´e hiperb´olica se ´e um conjunto hiperb´olico visto como s um conjunto compacto invariante de X. Um conjunto hiperb´olico H ´e tipo sela se E 6= 0 u x e E 6= 0 para todo x ∈ H. Um exemplo simples de um conjunto hiperb´olico tipo sela de x

      2

      um fluxo 3-dimensional ´e a suspens˜ao do difeomorfismo ferradura de Smale em S , para maiores detalhes consultar [PT93]. Defini¸c˜ ao 1.3.4. Seja Λ ⊂ M um conjunto compacto e invariante por X. Uma de- composi¸c˜ao cont´ınua e DX t -invariante do fibrado tangente de M sobre Λ, da forma s cu

      ⊕E T M = E ´e uma decomposi¸c˜ao dominada, se existem constantes C > 0 e 0 < λ < 1

      Λ Λ Λ

      tais que s cu t k DX t | E kk DX | E k≤ Cλ , ∀x ∈ Λ, ∀t > 0 x −t Xt(x) Defini¸c˜ ao 1.3.5. Um conjunto compacto invariante Λ de X ´e parcialmente hiperb´olico, s cu se este exibe uma decomposi¸c˜ao dominada T M = E ⊕ E tal que

      

    Λ s

    t Λ Λ Defini¸c˜ ao 1.3.6. Dizemos que um conjunto Λ parcialmente hiperb´olico expande volume cu −1 −t no subfibrado central, se | det(DX t ) | E |≥ C λ para x ∈ Λ e t > 0. x Defini¸c˜ ao 1.3.7. Um conjunto Λ compacto invariante de X com singularidades ´e singular- hiperb´olico para X se Λ ´e parcialmente hiperb´olico, expande volume no subfibrado central e cada singularidade em Λ ´e hiperb´olica.

      O exemplo mais representativo de conjunto singular-hiperb´olico ´e o atrator de Lorenz geom´etrico, gra¸cas a Tucker que provou em [T99] que as equa¸c˜oes do Lorenz exibem um atrator singular-hiperb´olico para certos valores representativos dos parˆametros.

    1.4 Modelo Geom´ etrico para as equa¸c˜ oes do Lorenz

      Nesta se¸c˜ao, descreveremos rapidamente a constru¸c˜ao do Modelo Geom´etrico do Lorenz. Consequentemente definiremos a aplica¸c˜ao unidimensional do Lorenz, enunciando suas principais propriedades. Para maiores detalhes ver [GH90] e [S82].

      O atrator do modelo geom´etrico do Lorenz, ou simplesmente atrator geom´etrico

      3

      ∪ {∞} (3-esfera) que tem como bloco isolante um bitoro do Lorenz, ´e um atrator em R

      3

      s´olido U em R . O modelo geom´etrico do Lorenz ´e motivado pelo campo de Lorenz  

      ˙x(t) = −σx + σy σ = 10  

      ˙y(t) = ρx − y − xz ρ = 28  

      8

       ˙z(t) = xy − βz β =

      3

      numa vizinhan¸ca da origem. Pelo Teorema de Hartman-Grobman, as equa¸c˜oes s˜ao con- jugadas por um difeomorfismo `as equa¸c˜oes linearizadas numa vizinha¸ca da origem dadas por

       

      ˙x(t) = ax  

      −by ˙y(t) =

        

      ˙z(t) = −cz com a = λ u ≈ 11, 83, b = −λ ss ≈ 22, 83 e c = −λ s ≈ 2, 66. Assim, as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes linearizadas com condi¸c˜oes iniciais (x(0), y(0), z(0)) = (x , y , z ) s˜ao dadas por

       at  x(t) = x e  

      −bt

      y(t) = y e   −ct  z(t) = z e

      Nosso objetivo inicial ´e estudar as solu¸c˜oes `a medida que as ´orbitas do fluxo passam perto do ponto singular, ou seja, a partir do momento em que z(t) ´e igual a algum z fixado, at´e o momento em que x(t) seja igual a algum ±x fixado. Para isso,

      1

      1

      considere as se¸c˜oes {(x, y, z |x| ≤ A e |y| ≤ A},

      Σ = 1 ) : \{(x, y, z }

      Σ = Σ

      1 ) : x = 0

      e

      ±

      S = {(±x, y, z) : |y| ≤ B e |z| ≤ B} Sejam (x, y, z ) ∈ Σ e T o primeiro tempo positivo para o qual a ´orbita de

      1

      (x, y, z ) intercepta o plano S = S ∪ S , ent˜ao T ´e determinado por

      1 1

      x aT T

      1 a

      |x|e = x ⇔ e = ( )

      1

      |x| portanto   x(T ) = x

      1

        x 1 −b a y(T ) = y ( )

      |x|

       −c  x 1 a

       z(T ) = z ( )

      |x|

      → S ´e dada por Com isso, a aplica¸c˜ao de Poincar´e, P

      1 : Σ P (x, y) = (y(T ), z(T )), onde y(T) e z(T) est˜ao descritos acima .

      1 − +

      Note que se x > 0, ent˜ao P (x, y) ∈ S e se x < 0, ent˜ao P (x, y) ∈ S . Como

      1

      1

      os autovalores da aplica¸c˜ao P , na origem, s˜ao os mesmos autovalores das equa¸c˜oes do

      1

      {(x, y, z Lorenz e gra¸cas a forte contra¸c˜ao na dire¸c˜ao de y as regi˜oes quadradas ) : 0 < x ≤ A, |y| ≤ A} e {(x, y, z ) : −A ≤ x < 0, |y| ≤ A} s˜ao levadas para regi˜oes no formato

      − + de c´ uspides em S e S respectivamente. Ver figura 1.1.

      Figura 1.1: Fluxo na vizinhan¸ca de um ponto fixo - C´ uspides Agora assuma uma aplica¸c˜ao de Poincar´e P

      2 definida em S que volta para Σ levando linhas x = x em linhas z = z em tempo finito. Seja P = P ◦ P , P : Σ → Σ.

      1

      1

      2

      1 Figura 1.2: Modelo Geom´etrico do Lorenz Figura 1.3: Aplica¸c˜ao unidimensional para o Lorenz

    Portanto a aplica¸c˜ao P leva um segmento de linha, com os mesmo valores de x

      1

      em Σ , para um segmento de linha, com os mesmos valores de z em S e `a aplica¸c˜ao P

      2

      leva um segmento de linha, com os mesmos valores de z em S de volta a um segmento com os mesmos valores de x em Σ. Assim, a aplica¸c˜ao P ´e da forma P (x, y) = (L(x), G(x, y)) tal que para um ponto x fixado a aplica¸c˜ao G ´e uma contra¸c˜ao na dire¸c˜ao do eixo y e

      2

      |L | > 1, tendo assim uma decomposi¸c˜ao hiperb´olica, visto que P tem uma folhea¸c˜ao (x) s est´avel invariante W (q) para q ∈ Σ , formada por curvas com valores de x constantes s s sobre Σ. Como P envia W (q) em W (P (q)) possivelmente em um valor de x diferente, constru´ımos classes de equivalˆencia com os pontos de Σ que se situam sobre o mesmo s segmento de linha W (q).

      Escolhendo um representante de cada classe de equivalˆencia como a coordenada x do ponto q em [ −A, A] obtemos a aplica¸c˜ao π : Σ → [−A, A]. Consequentemente, P e π induzem uma aplica¸c˜ao f : [ −A, A]\{0} → R. Ver figura 1.3.

      Assim a aplica¸c˜ao unidimensional f ´e tal que f ( −x) = −f (x), tem uma ´unica + − −A, + descontinuidade em x = 0, f (0 ) = lim f (x) = A, f (0 ) = lim f (x) = x x →0 →0 −

      2

      2

      f (0 ) = lim x f (x) = ∞ e 0 < f (A) < f (A) < A, portanto 0 > f ( −A) > f (−A) >

      →0 −A.

      

    1.5 Expansividade segundo Komuro versus Expansi-

    vidade segundo Bowen

      Bowen e Walters, em [BW72] introduziram a defini¸c˜ao de expansividade para fluxos que, em variedades compactas e conexas sem bordo, n˜ao admitem singularidades. Sejam C(R, R) o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas h : R → R e B = {h ∈ C(R, R) : h(R) = R, h(s) > h(t), para todo s > t, e h(0) = 0 }.

      Defini¸c˜ ao 1.5.1. Dizemos que um fluxo X t ´e Bowen-expansivo se para cada ǫ > 0 existe ∈ M , se existe h ∈ B tal que

      δ > 0 tal que para quaisquer x, y dist(X t (x), X (y)) ≤ δ para todo t ∈ R, h (t) ent˜ao y ∈ X (x) := {X t (x) : −ǫ ≤ t ≤ ǫ}.

      [−ǫ,ǫ]

      Al´em disso, dizemos que um campo vetorial ´e Bowen-expansivo se o fluxo gerado por esse campo for Bowen-expansivo.

      Para provar que os fluxos Bowen-expansivos em variedades sem fronteiras n˜ao admitem singularidades precisaremos do seguinte resultado: Lema 1.5.2. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes para um fluxo X t : i) X t ´e Bowen-expansivo;

      ∈ M s˜ao tais que dist(X ii) Para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se x, y t (x), X α (y)) < δ

      (t)

      para todo t ∈ R e alguma α ∈ B, ent˜ao y = X (x) para algum t ∈ [−ǫ, ǫ]; t iii) Para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se x, y ∈ M s˜ao tais que dist(X t (x), X α (y)) < δ

      (t)

      para todo t ∈ R e alguma α : R → R cont´ınua com α(0) = 0, ent˜ao y = X t (x) para algum t ∈ [−ǫ, ǫ]; Prova: Ver [O90]. Teorema 1.5.3. Seja X um campo vetorial Bowen-expansivo. Ent˜ao X n˜ao admite singularidades. Demonstra¸c˜ ao: A demostra¸c˜ao ´e por contradi¸c˜ao. Suponha que X admite singularidade ∈ M , ent˜ao p ´e ponto fixo para o fluxo, isto ´e, X ∈ R. Fixe ǫ > 0. p t (p) = p para todo t ∈ M tal que 0 < dist(p, q) < δ. Como M ´e variedade compacta, para todo δ > 0 existe q Para aplicar o Lema anterior, devemos encontrar uma fun¸c˜ao α : R → R cont´ınua com α(0) = 0 tal que dist(X t (p), X α (q)) < δ para todo t ∈ R. Defina α : R → R por α(t) = 0

      (t)

      para todo t ∈ R, ent˜ao dist(X t (p), X α (q)) = dist(p, q) < δ para todo t ∈ R, pelo item

      (t)

      ∈ [−ǫ, ǫ], mas p ´e uma singularidade, portanto iii) Lema anterior q = X t (p) para algum t p = q, contradi¸c˜ao, visto que 0 < dist(p, q).

      A pergunta natural que segue ´e: Quest˜ ao 1.5.4. Podemos estender a no¸c˜ao de expansividade dada por Bowen para outra defini¸c˜ao que admita pontos fixos?

      A resposta ´e positiva, em [Kom84] Komuro extendeu a defini¸c˜ao proposta por Bowen para outra que tem o atrator geom´etrico do Lorenz como exemplo e ent˜ao, admite singularidades.

      K = {h ∈ C(R, R) : h(R) = R e h(s) > h(t) para todo s > t}. Seja Defini¸c˜ ao 1.5.5. Dizemos que um fluxo X t ´e Komuro-expansivo se para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que para quaisquer x, y ∈ M , se existe h ∈ K tal que

      ≤ δ para todo t ∈ R, dist(X t (x), X h (t) (y)) ent˜ao podemos encontrar t ∈ R tal que Al´em disso, dizemos que um campo vetorial ´e Komuro-expansivo se o fluxo gerado por esse campo for Komuro-expansivo.

      No que se segue expansividade significa Komuro-expansividade. Cap´ıtulo 2 Expansividade

      Como j´a foi dito acima Komuro [Kom84] provou que o atrator geom´etrico do Lorenz ´e expansivo. Um dos principais resultados apresentados aqui generaliza essa ex- pansividade para qualquer atrator hiperb´olico-singular.

      Teorema 2.0.6 (A). Seja Λ um atrator singular-hiperb´olico. Ent˜ao Λ ´e expansivo.

      O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e a prova deste teorema, tal prova ´e baseada na an´alise de mapas de Poincar´e, que s˜ao mapas cont´ınuos R : Σ → Σ x 7→ X t (x)

      (x) para se¸c˜oes transversais convenientes.

      A seguir, Λ ´e um atrator singular hiperb´olico de X ∈ X(M ) com decomposi¸c˜ao s cu cu invariante T M = E ⊕ E com dimens˜ao de E igual a dois.

      Λ s cu

      Afirma¸c˜ ao 2.0.7. Existe uma extens˜ao cont´ınua da decomposi¸c˜ao de T M , e E ⊕ e E ,para

      Λ pequena vizinhan¸ca invariante U de Λ.

      De fato, pelo Teorema de extens˜ao de Tietze-Urysohn aplicado `as fun¸c˜oes co- ordenadas existe tal extens˜ao cont´ınua para uma vizinhan¸ca U , por conveniˆencia essa vizinha¸ca pode ser tomada estritamente invariante, isto ´e, X t (U ) ⊂ U ∀t > 0. Con-

      ∈ U sideremos em cada ponto q a dire¸c˜ao formada pelos vetores que s˜ao fortemente s contra´ıdos pela DX t para t positivo, tais vetores formam e E que ´e invariante, ver [PT93] cu . Mas, em geral, e E n˜ao ´e invariante, ent˜ao consideremos um campo de cones em torno cu s cu s s cu cu s cu de U , C (x) = { v = v + v ; v ∈ e E e v ∈ e E com k v k 6 a k v k }, que a x x

      ´e invariante para a > 0 . Al´em disso podemos tomar a > 0 arbitrariamente pequeno reduzindo U se necess´ario. s cu s cu

      Por um abuso de nota¸c˜ao no que se segue denotaremos e E e e E por E e E respectivamente.

    2.1 Se¸c˜ ao transversal e Mapas de Poincar´ e

      Nesta se¸c˜ao construiremos se¸c˜oes transversais Σ que tˆem folhea¸c˜ao de codimens˜ao um, definida dinamicamente pela intersec¸c˜ao da se¸c˜ao transversal com as variedades est´aveis para o fluxo. Posteriormente, verificaremos que tais folhas s˜ao uniformemente contratativas e a aplica¸c˜ao de Poincar´e R : Σ → Σ ´e uniformemente expansiva na dire¸c˜ao transversal. Em seguida, provaremos que tal folhea¸c˜ao ´e invariante (assumindo uma se¸c˜ao transversal adaptada) pela aplica¸c˜ao de Poincar´e P , mostramos tamb´em a robustez da existˆencia de se¸c˜oes adaptadas, isto ´e, existe

    2.1.1 Folhea¸c˜ oes Est´ aveis em se¸c˜ oes transversais

      Defini¸c˜ ao 2.1.1. Dado qualquer x ∈ U defina o conjunto ss W (x) = {y ∈ M : dist(X t (x), X t (y)) → 0 quando t → +∞}.

      1 Dado ǫ > 0 tome I ǫ = ( −ǫ, ǫ) e denote por E (I , M ) o conjunto de mapas

      1

      1

      f : I → M dotado com a topologia C . Seja x ∈ U ponto regular, a pr´oxima proposi¸c˜ao

      1

      afirma que existe localmente variedades forte-est´avel invariantes e centro-inst´avel definidas s cu em x, que s˜ao discos mergulhados tangentes a E e E respectivamente. x x Proposi¸c˜ ao 2.1.2 (Variedades forte est´aveis e centro-inst´avel locais). Existem mapas ss

      1 cu

      1

      cont´ınuos φ : U o → E (I , M ) e φ : U o → E (I × I , M ) tal que dado qualquer

      1 ss ss cu cu

      1

      1

      ∈ U × I 0 < ǫ < 1 e x o , se chamarmos W (p) = φ (x)(I ǫ ) e W (p) = φ (x)(I ǫ ǫ ), ss s ǫ ǫ

      1. T x W (x) = E (x); cu cu ǫ

      2. T x W (x) = E (x); ss ǫ ss

      3. W (x) ´e uma vizinhan¸ca de x dentro de W (x); ǫ ss ss ∈ W ⇐⇒ exist T ≥ 0 tal que X ∈ W

      4. y (x) T (y) (X T (x)); t ss ǫ 5. d(X t (x), X t (y)) < Kλ d(x, y) para todo t > 0 e y ∈ W (x). Onde C > 0 e 0 < λ < 1 ǫ s˜ao as constantes consideradas na defini¸c˜ao 1.3.4 e a distˆancia d(x, y) ´e a distˆancia ss entre dois pontos na variedade W (x), dada pelo comprimento da menor curva suave ss ǫ contida em W (x) ligando x para y. ǫ Demonstra¸c˜ ao: Ver [HPS77] ss O conjunto W (x) ´e chamado variedade forte est´avel local de x para o campo X ǫ que ´e um conjunto ss

      {q ∈ M : dist(X → 0; quando t → +∞ e dist(X ≤ ǫ} W (x) = t (q), X t (p)) t (q), X t (p)) ǫ cu e o conjunto W (x) ´e chamado variedade forte centro-inst´avel local de x para o campo ǫ X.

      Assim a variedade est´avel forte de um ponto x para um campo X pode ser obtida como ss ss [ W (x) = X (W (X t (x))) t −t ǫ ≥0

      Agora, definimos a variedade est´avel do ponto x para o campo X como o conjunto s ss [ W (x) = t X t (W (x)) ǫ s c ∈R que ´e tangente a E ⊕ E e depende continuamente com respeito a x. s

      Seja Σ se¸c˜ao transversal ao fluxo. Para cada x ∈ Σ definimos W (x, Σ) como s s componente conexa de W ∩ Σ que cont´em x. Com isso definimos uma folhea¸c˜ao F de

      Σ

      1 Σ em subvariedades de classe C .

      Observa¸c˜ ao 2.1.3. Dada uma se¸c˜ao transversal Σ e um ponto x em seu interior, podemos sempre encontrar uma se¸c˜ao transversal menor, com x em seu interior, que ´e imagem de

      2

      um quadrado [0, 1] ×[0, 1] por um difeomorfismo h dotada da topologia C que envia linhas s horizontais em folhas de F , isto ´e, linhas horizontais [0, 1] ×η s˜ao mapeadas pelo conjunto s s Σ cu × {0, 1} e por ∂

      W (y, Σ). Denotaremos por ∂ Σ o espa¸co est´avel imagem de [0, 1] Σ o espa¸co centro inst´avel imagem de {0, 1} × [0, 1]. No que segue as se¸c˜oes transversais Σ satisfazem tal propriedade e est´a contida em U , de modo que a cada x ∈ Σ, ω(x) ⊂ Λ. s Observa¸c˜ ao 2.1.4. Em geral, n˜ao podemos escolher a se¸c˜ao transversal tal que W (x, Σ) ⊂ ss W (x) mas podemos considerar uma se¸c˜ao tansversal pequena em rela¸c˜ao ao ǫ, escolher ǫ s

      ⊂ Σ atravessando transversalmente todas as folhas de F qualquer curva γ e considerar

      Σ

      um mapa de Poincar´e [ ss

      P : Σ → Σ(γ) = W (z)

      Σ z ǫ ∈γ

      com tempo de Poincar´e perto de zero. Ver Figura 2.1. s ss Este ´e um homeomorfismo sobre sua imagem, pr´oximo da identidade tal que R (W (x, Σ)) ⊂ W (R (x)). No que se segue se¸c˜oes transversais s˜ao as se¸c˜oes for-

      Σ Σ ǫ madas pela imagem do mapa P ,se necess´ario.

      Σ Figura 2.1: Se¸c˜ao transversal imagem de um quadrado por um difeomorfismo

      2.1.2 Hiperbolicidade dos mapas de Poincar´ e ′ ′

      Seja Σ uma pequena se¸c˜ao transversal ao campo X e seja R : Σ(Σ ) → Σ um mapa de Poincar´e definido por R(y) = X t (y) para outra se¸c˜ao (possivelmente Σ = Σ ).

      (y) ′ ′

      R n˜ao precisa corresponder ao primeiro encontro na se¸c˜ao Σ . Onde,Σ(Σ ) denota o dom´ınio do mapa de Poincar´e R de Σ para Σ , isto ´e, ′ ′ {x ∈ Σ : R(x) ∈ Σ }.

      Σ(Σ ) = s cu Como assumimos a se¸c˜ao transversal Σ ⊂ U a decomposi¸c˜ao E ⊕ E sobre U s cu

      ⊕ E induz uma decomposi¸c˜ao E do subfibrado tangente T Σ para Σ definida por:

      Σ Σ s cs cu cu

      E = E ∩ T Σ e E = E ∩ T Σ, s cu Σ Σ isto ´e, T y Σ = E (y) ⊕E (y). A pr´oxima proposi¸c˜ao afirma que para o tempo de Poincar´e

      Σ Σ

      suficientemente grande a decomposi¸c˜ao do subfibrado tangente T Σ define uma decom- | posi¸c˜ao hiperb´olica para o mapa de Poincar´e R em Σ Λ .

      Observa¸c˜ ao 2.1.5. No que se segue, K ´e uma nota¸c˜ao gen´erica para uma constante grande que depende apenas do limite inferior dos ˆangulos entre as se¸c˜oes transversais e dire¸c˜ao do fluxo. Em todas as aplica¸c˜oes, todos esses ˆangulos e normas ser˜ao uniforme- mente limitados por zero e infinito, portanto no que segue K e t podem ser tomados de

      1 maneira uniforme. s

      Proposi¸c˜ ao 2.1.6. Seja R : Σ → Σ o mapa de Poincar´e. Ent˜ao DR (E (x)) = x s cu cu Σ

      ′

      disso para 0 < λ < 1 dado existe t = t (Σ, Σ , λ) > 0 tal que se t(.) > t em cada ponto,

      1

      1

      1 s cu

      1 ent˜ao k DR | E k< λ e k DR | E k> em todo x ∈ Σ. Σ Σ (x) (x) λ

      ∈ Σ ´e dada por Prova: A diferencial do mapa de Poincar´e para qualquer ponto x

      DR(x) = P R ◦ DX t | T

      (x) (x) x Σ cu cu

      onde P R ´e a proje¸c˜ao ao longo do campo de vetor, que envia E para E . Com

      (x) R (x) Σ

      isso, provamos a invariˆancia do subespa¸co est´avel e do subespa¸co centro-inst´avel, por´em cu a invariˆancia do subfibrado centro-inst´avel ´e restrito ao atrator Λ, visto que E em geral n˜ao ´e invariante como dito antes.

      Agora provaremos a contra¸c˜ao e expans˜ao da aplica¸c˜ao R. Come¸cemos por notar que kP R k ≤ K.

      (x) X (x) u cu u

      { } de E Considere uma base , e de vetores unit´arios, onde e ´e um vetor x x x cu kX(x)k cu unit´ario na dire¸c˜ao de E (x). Como a dire¸c˜ao do fluxo ´e invariante, a matriz de DX | t (E )

      Σ x

      em rela¸c˜ao a essa base ´e dada por: !

      kX(R(x))k

      ⋆ cu kX(x)k DX t | E =

      (x) x

      △ Al´em disso,

      1 cu cu cu | ≤ det(DX | ≤ K det(DX | det(DX t (x) E ) t (x) E ) t (x) E ) x x x

      K m 1 cu cu cu

      | det(DX | | ≤ | det(DX | | ≤ K| det(DX | | t (x) E ) t (x) E ) t (x) E ) x x x K m

      1 k X(R(x)) k cu cu | det(DX t | E ) | ≤ | △ | ≤ K| det(DX t | E ) |

      (x) x (x) x

      k X(x) k K

      | {z } ⇓

      1 cu | △ | ≥ | det(DX t | E ) |

      (x) x

    3 K

      Ent˜ao, u u u u u kDR(x)e k = kP R (DX t (x)e ) k = kP R ( △e ) k = k △ e k = | △ |ke k = | △ | x (x) (x) x (x) x x x

      1 cu ≥ | det(DX | | t (x) E ) x

      3 cu K como o subfibrado E expande volume temos x

      1

      1

      1 cu −t(x) −t 1 | det(DX | | ≥ ≥ t (x) E ) λ λ x

      3

      3

      3

      

      

    1

    1 u

      1 −t 1

      para t suficientemente grande temos que 3 λ > . Portanto kDR(x)e k > como x

    1 K λ λ quer´ıamos mostrar.

      s s s kDR | k < λ. Considere os vetores unit´arios e ∈ E s s s s (x) Agora vamos provar que E (x) X Σ x x e ˆ e ∈ E (x) e escreva e = a x e ˆ + b x , ent˜ao x Σ x x

      kX(x)k s s s

      1 X(x) kDR(x)ˆ k = kP k = kP − b k = e R (x) (DX t (x) (x)ˆ e ) R (x) (DX t (x) (x)( (e x )) x x x k X(x) k a x

      1 X(x) s s

      1 X(x) = kP R (x)(DX t (e − b x )) k = kP R (x)(DX t e − DX t b x ) k =

      (x) x (x) x (x)

      |a x | kX(x)k |a x | kX(x)k

      1 s = kP R (x)(DX t e ) k.

      (x) x s s cu s cu |a x |

      ≥ ∢(E Uma vez que ∢(E , X(x)) , E ) (∢(E , E ) ´e uniformemente limitado pelo zero) x x x x x temos que |a x | ≥ k para algum k que depende apenas do fluxo. Ent˜ao como h´a contra¸c˜ao s do fibrado E por DX t x ′′

      1 K K s t (x) t 1 kP R (x)(DX t e ) k ≤ λ ≤ λ

      (x) x

      |a | k k x′′ s K t 1 kDR | E k ≤ λ . Σ (x) ′′ k K t 1 ′′

      Portanto , para t suficientemente grande temos que λ < λ. Para concluir tome ′ ′′ 1 k t = max {t , t }.

      1

      1

    1 Dada uma se¸c˜ao transversal Σ, um n´ umero positivo ρ pequeno e um ponto x ∈ Σ

      definimos o cone-inst´avel de largura ρ em x por u s u s s u cu s u C {v = v ∈ E ∈ E kv k ≤ ρkv k}. ρ (x) + v : v (x), v (x) e

      Σ Σ

      Em consequˆencia da proposi¸c˜ao anterior assumiremos a vizinha¸ca U escolhida suficientemente pequena, dependendo de ρ e do limite sobre os ˆangulos entre o fluxo e as se¸c˜oes transversais. Por tanto segue o seguinte corol´ario.

      → Σ ∈ Σ,

      Corol´ ario 2.1.7. Para qualquer R : Σ como acima, com t(.) > t u u

      1 , e qualquer x u ρ 5 −1 temos DR(x)(C (x)) ⊂ C (R(x)) e k DR x (v) k≥ λ k v k para todo v ∈ C (x). ρ ρ 2

      6 Prova: Inicialmente note que a estimativa de expans˜ao conclus˜ao do corol´ario j´a ´e ga- rantida pela proposi¸c˜ao anterior, basta que ,como feito anteriormente, tomar t tal que 1 −3 −t 1

      5 Para pontos do atrator Λ a prova est´a conclu´ıda, visto que pela proposi¸c˜ao an- u terior temos que DR x ( C (x)) est´a contido num cone de largura menor que ρ (supor que ρ ρ seja ) em torno de DR em rela¸c˜ao a decomposi¸c˜ao

      4 s cu

      T R Σ = DR(x)(E (x)) ⊕ DR(x)(E (x))

      (x) s s cu cu

    ′ ′

    Σ Σ

      onde E ´e mapeado para E e E ´e mapeado para E , para pontos do atrator como

      Σ Σ Σ Σ

      visto anteriormente. cu Para provar o caso geral, temos que mostrar que DR(x)(E (x)) pertence a um ρ cu Σ cone-inst´avel de largura menor que em torno de E (R(x)).

      

    4 Σ

    cu

      Considere um campo de cones em torno de E como na afirma¸c˜ao 2.0.6, assim cu cu x para a > 0 temos a invariˆancia dada por DX t ( C (x)) ⊂ C (X t (x)) para todo t > 0. Por a a outro lado cu cu cu cu DX t (E (x)) ⊂ DX t (E ) ⊂ DX t ( C (x)) ⊂ C (R(x))

      (x) (x) (x)

    Σ x a a

    cu cu cua (R(x)) DR(x)(E (x)) = P R ◦ DX t (E (x)) ⊂ P R ( C ).

      (x) (x) (x) cu cu Σ Σ

      Como P mapeia E para E (R(x)) e tem sua norma limitada por alguma constante R

      (x) cu Σ

      K, concluimos que DR(x)(E (x)) est´a contido em um cone de largura b em torno de cu Σ E (R(x)), onde b depende de a e K e pode ser tomado t˜ao pequeno quanto queira,

      Σ

      reduzindo a, que por sua vez ser´a pequeno reduzindo U . Portanto, reduzindo U se ρ necess´ario, podemos tomar a pequeno tal que b < .

      4

    2.1.3 Se¸c˜ ao transversal adaptada

      Visto que, pelos resultados anteriores j´a garantimos a hiperbolicidade dos mapas de Poincar´e, o pr´oximo passo ´e expor variedades est´aveis para tais mapas. Os candidatos s naturais s˜ao as interse¸c˜oes W (x, Σ) definidas anteriormente como componente conexa de s s W ∩ Σ que s˜ao tangentes aos subespa¸cos E . A existˆencia destas variedades ´e garantida s

    Σ

      −invariante, para garantir a invariˆancia pela aplica¸c˜ao pela escolha da extens˜ao f E DX t R precisaremos restringir a classe de se¸c˜oes tranversais a uma classe cuja fronteira centro- cu inst´avel ´e disjunta de Λ, isto ´e, d(Λ ∩ Σ, ∂ Σ) > δ, que denominamos como se¸c˜oes transversais δ-adaptadas. Ver Figura 2.2.

      A fim de provar a existˆencia de tais se¸c˜oes transversais, precisaremos dos dois seguintes resultados, a demostra¸c˜ao de tais fatos podem ser encontrados em [MPPuj04]. Teorema 2.1.8 ([MPPuj04], Teorema B). Seja Λ um conjunto singular-hiperb´olico para o

      Figura 2.2: Se¸c˜ao transversal δ-adaptada acumulada por ´orbitas regulares de X em Λ. Al´em disso, se verifica o seguinte para X ou −X: cada singularidade acumulada σ de Λ ´e do tipo Lorenz e satisfaz ss ∩ W {σ}.

      Λ (σ) = Al´em disso foi provado que os conjuntos compactos invariantes sem singularidades contidos num conjunto hiperb´olico-singular s˜ao hiperb´olicos. Mais precisamente.

      Proposi¸c˜ ao 2.1.9 ([MPPuj04] Proposi¸c˜ao 1.8). Seja Λ um conjunto hiperb´olico-singular de X e Λ ⊂ Λ um conjunto invariante para X tal que Λ n˜ao tenha sigularidades. Ent˜ao Λ ´e hiperb´olico. Em particular qualquer ´orbita peri´odica de X em Λ ´e hiperb´olica de tipo sela.

      Lema 2.1.10. Se Λ ´e um atrator hiperb´olico-singular, ent˜ao qualquer x ∈ Λ est´a no fecho ss de W (x) \Λ. Prova: A prova ´e por contradi¸c˜ao, vamos supor que existe x ∈ Λ tal que x est´a no s interior de W (x, Σ). Seja α(x) ⊂ Λ seu conjunto α-limite. Uma vez que qualquer parte compacta da variedade forte est´avel de z ´e acumulada por iterados passados de toda ss vizinha¸ca pequena de x dentro de W (x), temos ss

      ⊂ Λ para todo z ∈ α(x) W (z) ent˜ao, pelo Teorema B z, n˜ao ´e uma singularidade. Como z ´e arbitr´ario, α(x) n˜ao cont´em qualquer singularidade. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.8 o conjunto invariante α(x) ⊂ Λ ´e hiporb´olico. Por outro lado, como ss temos [ ss S = W (y) ⊂ Λ que tamb´em n˜ao cont´em qualquer singularidade . y ∈α(x)

      Considere agora uma ´orbita de y para tempo passado densa em Λ. Por um lado ⊂ S, conclu´ımos assim que Λ ⊂ S, que ´e uma seu conjunto α-limite ´e Λ e por outro α(y) contradi¸c˜ao, pois Λ cont´em singularidades.

      − +

      Corol´ ario 2.1.11. Para qualquer x ∈ Λ existem pontos x ∈ Λ e x / ∈ Λ em diferentes / ss \{x}. componentes conexas de W (x)

    • Prova: A prova ´e por contradi¸c˜ao. Por um lado suponha que existe x ∈ Λ na mesma ss componente conexa de W \{x}, ent˜ao existiria um segmento inteiro da variedade forte est´avel inteiramente contido em Λ. Considere um ponto no interior deste segmento,

      −

      ∈ chegar´ıamos a uma contradi¸c˜ao pelo Lema 2.1.10. Repita o mesmo argumento para x Λ, finalizando assim a demonstra¸c˜ao.

      O pr´oximo Lema exibe a constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversal δ-adaptada para x ∈ Λ regular.

      ∈ Λ um ponto regular, isto ´e, tal que X(x) 6= 0. Ent˜ao existe δ > 0 Lema 2.1.12. Seja x para o qual existe uma se¸c˜ao transversal δ- adaptada Σ em x.

      Prova: Tome ǫ > 0 como na proposi¸c˜ao 2.1.2. Como visto na subse¸c˜ao 2.1.1 qualquer se¸c˜ao transversal Σ , para x suficientemente pequena com respeito a ǫ > 0, ´e folheada

    • + s

      −

      ∈ Λ e x ∈ Λ em pela interse¸c˜ao W (x, Σ ). Pelo corol´ario acima, podemos encontrar x / / ǫ s cada componente conexa de W (x, Σ ). Como Λ ´e fechado, seu complementar ´e aberto, ǫ

      ± ±

      ent˜ao existem vizinhan¸cas V de x disjuntos de Λ de raio δ. Seja γ ⊂ Σ alguma curva s passando por x transversal a W (x, Σ ). Podemos encontrar uma fam´ılia cont´ınua de s ǫ

      ±

      ∈ γ com parˆametros contidos em V segmentos dentro de W (y, Σ ) com y . Ent˜ao, tome ǫ s Σ como a se¸c˜ao transversal formada pela uni˜ao dos segmentos W (y, Σ ) limitados por cu ǫ

      ± ∂ Σ passando pelos pontos x com y ∈ γ, ver figura 2.3.

      Agora que j´a garantimos a existˆencia de se¸c˜oes δ-adaptadas, provaremos a pro- s priedade de invariˆancia das folhea¸c˜oes W (x, Σ)pela aplica¸c˜ao R. Lema 2.1.13. Dado δ > 0 e Σ,Σ se¸c˜oes transversais δ-adaptadas, ent˜ao existe t = ′ ′

      2

      t (Σ, Σ ) > 0 tal que se R : Σ(Σ ) → Σ definido por R(z) = R t (z) ´e o mapa de Poincar´e

      2 (z)

      com tempo t(.) > t , ent˜ao

      Figura 2.3: Constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversal δ-adaptada de um ponto regular x s

      s

      1. R(W (x, Σ)) ⊂ W (R(x), Σ)

      1 s 2. d(R(y), R(x)) ≤ d(y, z) para y,z ∈ W (x, Σ) e x ∈ Σ(Σ ). s s

      2

      ∈ E Prova: Seja ˆ e como na proposi¸c˜ao 2.1.6, ℓ denotando o comprimento de curvas e x s Σ

      K = sup {ℓ(W (x, Σ)), x ∈ Σ}ent˜ao ′′ s t K 1 kDR(x)ˆ e k ≤ λ x k s o que implica que a dire¸c˜ao da tangente de cada W (x, Σ) ´e contra´ıdo a uma taxa expo- nencial. Por outro lado como Σ ´e uma se¸c˜ao δ-adaptada temos que s

      {ℓ(W ∈ Σ} > δ sup (x, Σ)), x ⇓ escolha t suficientemente grande tal que

      2

      1 t s 2 λ sup {ℓ(W (x, Σ)), x ∈ Σ} < δ k

      1 t 2 λ K < δ k portanto ′′ ′ s t t K K 1 2 kDR(x)ˆ e k ≤ λ ≤ λ < δ. x k k ′′

      Concluindo assim a prova do item (1), para a prova do item (2) basta considerar t K t ′′ ′ ′′

      2 2

      1 suficientemente grande tal que λ < . Para conclus˜ao da prova tome t = max {t , t }.

      2 k

      2

      2

      2 Observa¸c˜ ao 2.1.14. Podemos tomar t > t , e t pode ser tomado de maneira uniforme

      2

      

    1

      2 como t , ver observa¸c˜ao 2.1.5.

      1 s

      Por fim o pr´oximo resultado conclui a prova de que W (x, Σ) s˜ao variedades est´aveis para a aplica¸c˜ao R. Lema 2.1.15. Seja Σ uma se¸c˜ao δ-adaptada. Ent˜ao, dada R ∋ r > 0 existe ρ tal que s

    • dist(y, z) < ρ implica que d(X s (y), X s (z)) < r para todo s > 0, cada y, z ∈ W (x, Σ) e cada x ∈ Λ ∩ Σ. s
    • s ∈ W

        ⊂ Prova: Sejam y, z (x, Σ), como assumimos se¸c˜oes transversais tais que W (x, Σ) ss ss W (x), podemos encontrar z = X (z) ∈ W (y) satisfazendo ǫ τ

        1 d(y, z) ≤ dist(y, X τ (z)) ≤ Kd(y, z) e |τ | ≤ Kd(y, z) K

        Ent˜ao, dado ǫ > 0 ′ ′ dist(X s (y), X s (z)) ≤ dist(X s (y), X s (z )) + dist(X s (z ), X s (z)) γ s ≤ Ce γ s dist(y, z ) + dist(X s (X τ (z)), X s (z)) ≤ Ce Kd(y, z) + dist(X s (z), X s (z)) γ s

        ≤ Ce Kd(y, z) + |τ | γ s ≤ Ce Kd(y, z) + K |τ | ≤ CKd(y, z) + K|τ | ≤ CKd(y, z) + KKd(y, z)

        2

        ≤ (CK + K )d(y, z)

        2

        < (CK + K )ρ r < r sempre que ρ < 2 .

        (KC+K )

        Para cada se¸c˜ao Σ δ-adaptada temos o seguinte: Lema 2.1.16. Dada uma se¸c˜ao Σ δ-adaptada para o campo X existe vizinhan¸ca U em

      1 X

        δ (M ) do campo X tal que para todo campo de vetores Y ∈ U a se¸c˜ao transversal Σ ´e -adaptada ao campo Y em rela¸c˜ao ao sumidouro Λ Y (U ).

      2 Prova: Precisamos mostrar que dada uma se¸c˜ao Σ δ-adaptada para o campo X, esta

        1

        1

        mesma se¸c˜ao ´e tamb´em adaptada para o campo Y ∈ X (M ) suficientemente C pr´oximo de X. Pelo Lema 2.3 em [AP10] Λ X (U ) e Λ Y (U ) est˜ao perto na distˆancia de Hausdorff se X e Y est˜ao perto na distˆancia C . Assim, se Σ ´e uma se¸c˜ao δ-adaptada podemos δ

        1

        encontrar uma vizinhan¸ca U em X (M ) de X tal que Σ ´e uma se¸c˜ao -adaptada para

        2 todo fluxo Y gerado pelo campo em U . t Figura 2.4: Existˆencia de Variedades est´aveis para o mapa de Poincar´e

      2.2 Vizinhan¸ca de Singularidade

        Nesta se¸c˜ao analisaremos o fluxo perto das singularidades por meio das se¸c˜oes transversais apresentando os principais resultados. Defini¸c˜ ao 2.2.1. Uma singularidade σ de um campo X ´e do tipo Lorenz se seus autova- lores associados λ ,λ ,λ s˜ao reais e em alguma ordem satisfazem a seguinte rela¸c˜ao:

        1

        2

        3

        −λ λ

        2 < λ 3 < 0 < 3 < λ 1 . ss u s

        Uma singularidade do tipo Lorenz ´e hiperb´olica, e assim, W (σ), W (σ) e W (σ) existem. Como j´a citado anteriormente, por [MPPuj04] temos que num atrator singular- ss ∩ Λ = {σ }. hiperb´olico todas as singularidades σ k s˜ao do tipo Lorenz e W (σ k ) k

        Para algum δ > 0 podemos escolher se¸c˜oes transversais δ-adaptadas contidas em U de pontos regulares u

        0,± ±

      • Σ nos pontos y em difentes componentes conexas de W (σ ) \σ ; i, ± ±
      • s ss loc k k<
      • Σ

        \W nos pontos x em difentes componentes conexas de W (σ k ) (σ k ). i, loc loc i, s

        ± ± ± 0,+ 0,− ± ± ±

        e mapas de Poincar´e R : Σ \ℓ → Σ ∪Σ com tempo τ , onde ℓ = Σ ∩W (σ ) σ loc k k satisfazendo

        1. Cada ´orbita do atrator passando por uma pequena vizinhan¸ca de cada singularidade i,

        ±

        σ k intersecta alguma se¸c˜ao transversal Σ ; i, ± ± ±

        2. Os mapas R ligam difeomorficamente cada componente de Σ \ℓ dentro de di-

        0,±

        ferentes se¸c˜oes transversais Σ preservando as folhea¸c˜oes est´aveis e cones inst´aveis correspondentes.

        0,± i, ±

        As se¸c˜oes transversais Σ e Σ podem ser tomadas como planares em rela¸c˜ao a algum sistema de lineariza¸c˜ao de coordenadas perto de σ k , por exemplo, para δ pequeno

        0,±

        Σ = {(x, y, z) : |x| ≤ δ, |y| ≤ δe|z| ≤ δ} e i,

        ±

        {(x, y, z) : |x| ≤ δ, |y| ≤ δe|z| ≤ δ} Σ = onde o eixo-x corresponde a variedade inst´avel de σ k , o eixo-y a variedade forte-est´avel e o eixo-z a variedade est´avel fraca da singularidade σ k , que por sua vez est´a na origem.

        Ver Figura 2.5.

        Figura 2.5: Se¸c˜oes transversais adaptadas na vizinhan¸ca de uma singularidade Reduzindo a se¸c˜ao transversal, se necess´ario, garantimos que o tempo de Poincar´e

        ´e maior que t

        2 . De modo que as mesmas conclus˜oes da se¸c˜ao anterior s˜ao consequˆencias

        aqui. E assim como foi feita na se¸c˜ao 1.3 ´e f´acil determinar o tempo que uma ´orbita leva i,

        ± 0,±

        para sair da se¸c˜ao Σ at´e chegar em Σ , determinando assim, a express˜ao do mapa de

        ± ± Poincar´e, R , e o seu tempo,τ . σ k ∓ Afirma¸c˜ ao 2.2.2. τ ´e integr´avel com respeito a medida de lebesgue em Ξ. σ k

        Como vimos anteriomente, podemos facilmente determinar o tempo de poincar´e

        − log |x | ∓ 1

        na vizinhan¸ca de uma singularidade, tal tempo ´e dado por τ = . Assim, σ k λ 1 Z a −1

        1

        1 a log xdm = lim [ + c] &lt; + ∞ Para ǫ &gt; 0 pequeno definimos a caixa de fluxo por [ [ [ ±

        = X (x) ( −δ, δ) × (−δ, δ) × (−1, 1) (2.1) σ k x i,± ± (−ǫ,τ (x)+ǫ) ∈Σ \ℓ que ´e uma vizinha¸ca aberta de σ k , onde σ k ´e o ´ unico zero de X | .

        ∪ σk

      2.3 Prova de Expansividade

        Nesta se¸c˜ao provaremos o Teorema (A), tal prova ´e por contradi¸c˜ao: Suponha que existe ǫ &gt; 0, dada uma sequˆencia δ n → 0 existem sequˆencias de pontos x n , y n em Λ e h n sequˆencia de fun¸c˜oes em K tais que:

        ≤ δ ∈ R dist(X t (x n ), X h n (t) (y n )) n para todo t mas

        X h (y n ) / ∈ X (x n ) para todo t ∈ R n (t) [t−ǫ,t+ǫ] Vamos usar a seguinte afirma¸c˜ao:

        Afirma¸c˜ ao 2.3.1. Existe um conjunto A de pontos regulares pertencentes a Λ que s˜ao acumulados por uma sequˆencia ω(x n ).

        De fato, como o espa¸co ambiente ´e compacto existem pontos de acumula¸c˜ao, e estes pertencem ao conjunto, e al´em disso, se o conjunto ω(x n ) cont´em uma singularidade σ k , ent˜ao eles acumulam pelo menos em dos ramos inst´aveis, que consiste de pontos regulares pertencentes a Λ. Portanto existe um conjunto A contido no ramo inst´avel que

        △ s˜ao acumulados por uma sequˆencia ω(x n ). Ver figura 2.6 Fixe um ponto z ∈ A, e para cada n considere a subsequˆencia z ∈ ω(x ) tal n n que z n → z e para δ pequeno considere Σ uma se¸c˜ao transversal δ-adaptada em z tal que

        (reduzindo δ e mantendo a mesma se¸c˜ao transversal)z est´a no interior de Σ δ = {y ∈ Σ : d(y, ∂Σ) &gt; δ }. Como z n ∈ ω(x n ), a ´orbita de x n retorna infinitas vezes na vizinhan¸ca de z n que est´a perto de z. Assim, a ´orbita de x n intersecta Σ infinitas vezes, seja t n o tempo de primeira interse¸c˜ao.

        Considere y n ∈ Λ tais que dist(X t (x n ), X h (y n )) ≤ δ n ∀t ∈ R e substitua x n , n (t) ′ ′ ′

        (n) (n)

        y n , t e h n respectivamente por x = X t n (x n ), y = X t n (y n ), t = t − t n e h (t ) = n − h h n (t) n (t n ).

        Figura 2.6: Conjunto A Figura 2.7: Prova de expansividade

        (n)

        Suponha que x ∈ Σ δ para qualquer n ∈ Z , se n˜ao diminua δ, al´em disso existe

      • τ n,j , j ≥ 0 tal que

        (n) (n)

        ∈ Σ − τ {t }∀j ≥ 1 X τ n,j (x ) = x (j) δ e τ n,j n,j −1 &gt; max

        1 , t 2 (2.2)

        Para conclus˜ao da demonstra¸c˜ao do Teorema (A), precisaremos dos seguintes resultados, os quais adiaremos a prova. Teorema 2.3.2 (Expansividade para o futuro). Dado ǫ o existe δ o tal que se x ∈ Σ δ e

        ∈ Σ satisfazem y a) Existe τ j tal que x j = X τ (x) ∈ Σ δ e τ j − τ j &gt; max {t , t } para todo j ≥ 1; j −1

        1

        2

        b) dist(X t (x), X h (y)) &lt; δ o para todo t &gt; 0 e algum h ∈ K

        (t) ss ent˜ao ∃ s ∈ R tal que X ∈ W (X (x)). h (s) [s−ǫ ,s +ǫ ] ǫ

        Prova: Ver se¸c˜ao 2.3.3 Lema 2.3.3 (Controle de ˆangulos). Existem ρ &gt; 0 pequeno e C &gt; 0 dependendo apenas ss do fluxo tais que para z , z , z ∈ Λ tais que z ∈ X (z ), z ∈ W (z ) ent˜ao

        1

        2

        3 3 [−ρ,ρ]

        2 2 ρ

        1 ≥ C max{dist(z }.

        dist(z

        1 , z 3 ) 1 , z 2 ), dist(z 2 , z 3 )

        Prova: Ver se¸c˜ao 2.3.2

      2.3.1 Conclus˜ ao da Demonstra¸c˜ ao do Teorema (A)

        Demonstra¸c˜ ao: Suponha por contradi¸c˜ao que Λ ´e um atrator singular-hiperb´olico n˜ao → 0 existem sequˆencias de pontos expansivo, isto ´e, existe ǫ &gt; 0, dada uma sequˆencia δ n x n , y n em Λ e h n sequˆencia de fun¸c˜oes em K tais que: dist(X t (x n ), X h n (y n )) ≤ δ n para todo t ∈ R

        (t)

        mas X h (y n ) / ∈ X (x n ) para todo t ∈ R n (t) [t−ǫ,t+ǫ]

        Fixe ǫ = ǫ, fixe tamb´em n tal que δ n &lt; δ e δ n &lt; Cρ, como fixamos n denote

        (n) (n)

        x = x , y = y e h = h n ent˜ao dist(X t (x n ), X h (y n )) ≤ δ n &lt; δ para todo t &gt; 0 n (t) assim pelo Teorema 2.3.2 ss ∃s ∈ R tal que X h (y) ∈ W (X (x))

        (s) ǫ [s−ǫ,s+ǫ]

        ou ss X h (y) ∈ W (X s (x)) para |τ | ≤ ǫ ss (s) +τ ǫ

        Note que, como W expandem por iterados passados existe θ &gt; 0 m´aximo tal que ss

      • X h (y) ∈ W (X s (x))

        (s)−t ρ +τ −t

      • X h (y) ∈ X (X h (y))

        (s+τ −t) [−ρ,ρ] (s)−t

        Uma vez que θ ´e m´aximo temos: dist(X h (y), X s (x)) = ρ

        

      (s)−t +τ −t

        ou dist(X h (y), X h (y)) = ρ, ver figura (2.8)

        (s+τ −t) (s)−t

        Pelo Lema 2.3.3 temos que dist(X s (x), X h (x)) ≥ C max{ρ, ρ} ≥ Cρ &gt; δ n .

      • τ −t (s+τ −t) O que ´e uma contradi¸c˜ao.

        Figura 2.8: Posi¸c˜ao relativa das variedades est´aveis e ´orbitas no argumento da redu¸c˜ao do Teorema(A) para Teorema de Expansividade para o futuro Agora, falta provar o Lema T´ecnico e o Teorema de Expansividade para o futuro.

      2.3.2 Prova do Lema T´ ecnico - Controle de ˆ angulos

        Figura 2.9: Controle de ˆangulos ss Prova: : Como o ˆangulo entre E e a dire¸c˜ao do fluxo ´e afastada de zero, visto que a cu ss dire¸c˜ao do fluxo est´a contida em E , considere ρ pequeno tal que X [−ρ,ρ] (W (z ρ 1 )) seja um

        1

        disco de classe C . Assim, a m´etrica Riemanianna ´e uniformemente perto da Euclidiana, ss podendo assim escolher [ −ρ, ρ] tal que z corresponda a origem, W (z ) corresponda ao

        1 ρ

        1

        segmento {0} × [−ρ, ρ] e X (z ) corresponda a [ −ρ, ρ] × {0}. Assim, o ˆangulo entre

        [−ρ,ρ]

        1 X (z ) e a vertical ´e limitado por baixo e longe de zero. Ver figura (2.9) [−ρ,ρ]

        2

      2.3.3 Prova do Teorema de Expansividade para o Futuro

        A prova do Teorema ´e dividida em trˆes etapas, a saber:

      • A primeira, ´e mostrar que a cada retorno x j da ´orbita de x para Σ corresponde um retorno pr´oximo y j da ´orbita de y para Σ. Isso ´e feito no Lema 2.3.3.
      • A segunda, ´e mostrar que existe um mapa de Poincar´e suave, com tempo grande, definido em toda faixa de Σ entre as variedades est´aveis de x j e y j .
      • E por ´ultimo, mostrar que esses mapas de Poincar´e s˜ao uniformemente hiperb´olicos, em particular, eles expandem cu-curvas uniformemente.

        Por uma cu-curva em Σ entende-se uma curva γ contida na se¸c˜ao transversal Σ u e cuja dire¸c˜ao tangente T γ ⊂ C (z) para todo z ∈ γ. z ρ Lema 2.3.4. Dado ǫ &gt; 0 existe δ &gt; 0 tal que se x ∈ Σ δ e y ∈ Λ satisfazem:

        a) ∃ τ tal que x = X (x) ∈ Σ e τ − τ &gt; max {t , t } para todo j ≥ 1; j j τ j δ j j −1

        1

        2

        ∈ K

        b) d(X t (x), X h ) &lt; δ o para todo t &gt; 0 e algum h

        (t)

        ent˜ao ∃ K &gt; 0 tal que existe uma sequˆencia (ν j ) j tal que

        ≥0

      • y j = X ν (y) est´a em Σ para ∀ j ≥ 0; j
      • | ν j − h(τ j ) |&lt; Kδ ; • d(x j , y j ) &lt; Kδ .

        ∀t &gt; 0 e algum h ∈ K. Suponha que Prova: : J´a temos que dist(X t (x), X h (y)) &lt; δ

        (t)

        dist(X (x), X (y)) &lt; Kδ , por (2.2) temos que x = X (x) ∈ Σ , assim X (y) = y τ j h (τ j ) j τ j δ h (τ j ) j est´a perto de Σ.

        Por uma caixa de fluxo, considere ǫ j ∈ (−Kδ , Kδ ), portanto X ǫ (y) ∈ Σ para j algum ǫ j ∈ (−Kδ , Kδ ). Fazendo ν j = h(τ j ) + ǫ j temos: 1. y j = X ν (y) ∈ Σ∀j ≥ 0; j 2. | ν j − h(τ j ) |=| h(τ j ) + ǫ j − h(τ j ) |=| ǫ j |&lt; Kδ e 3. d(x j , y j ) = d(X τ (x), X ν (y)) = d(X τ (x), X h (y)) = d(X τ (x), X h (X ǫ (y))) &lt; j j j (τ j )+ǫ j j (τ j ) j + Kδ |ǫ j | &lt; Kδ + Kδ &lt; Kδ .

        Figura 2.10: Caixa de fluxo Agora, vamos provar que existe mapa de Poincar´e suave com tempo grande defi- nido em toda faixa de Σ entre as variedades est´aveis de x j e y j ; denotada por Σ j Para cada j escolha γ ⊂ Σ uma cu-curva transversal a folhea¸c˜ao est´avel Σ j y j respectivamente. Como dist(X t (x), X h (y)) &lt; δ ∀t ∈ R ent˜ao dist(X t (x), X h (y)) &lt;

        (t) (t) δ ∀t ∈ [t j , t j ].

      • 1

        Lembrando que para Σ se¸c˜ao δ-adaptada existem mapas de Poincar´e R j tais que s s R j (W (x j , Σ)) ⊂ W (R j (x j ), Σ) ǫ ǫ e s s

        R j (W (y j , Σ)) ⊂ W (R j (y j ), Σ), ǫ ǫ assim, para mostrar a existˆencia de um mapa de Poincar´e, basta provar que existe um mapa de Poincar´e definido em γ j ⊂ Σ.

        Tomar δ menor que o raio de injetividade do mapa exponencial da variedade ambiente, isto ´e, a parametriza¸c˜ao da geod´esica exp : T M → M ´e invers´ıvel na δ vizi- x nha¸ca de x em M para qualquer ponto x ∈ M , ent˜ao existe uma ´unica geod´esica ligando cada X t (x) para X h (y) e varia continuamente com t. Usando essas geod´esicas podemos

        (t)

        deformar a curva γ j ∪ [y j , y j ] ∪ γ j na curva [x j , x j ]. Al´em disso tal deforma¸c˜ao tem

      • 1 +1 +1

        derivada injetiva. Segue-se que h´a uma imers˜ao suave φ : [0, 1] × [0, 1] → M tal que

        φ( {0} × [0, 1]) = γ j φ([0, 1] × {1}) = [y j , y j ]

      • 1 φ( {1} × [0, 1]) = γ j φ([0, 1] × {0}) = [x j , x j ].
      • 1 +1

        Al´em disso S j = φ([0, 1] × [0, 1]), que ´e uma superf´ıcie imersa cuja fronteira ´e formada por γ j ,γ j e os segmentos de ´orbita [x j , x j ] e [y j , y j ], pode ser escolhido tal que

      • 1 +1 +1
        • Todos os pontos de S j est˜ao a uma distˆancia inferior a δ do segmento de ´orbita

        1

        [x j , x j ], para alguma constante uniforme δ com δ &gt; δ , que podem ser tomadas

      • 1

        1 arbitrariamente pr´oximas de zero, reduzindo se necess´ario, ver figura 2.11.

      • A interse¸c˜ao de S j com uma se¸c˜ao transversal de qualquer singularidade, denotadas i,

        0,± ± por Σ e Σ , ´e transversal a folhe¸c˜ao est´avel correspondente, ver figura 2.11.

        Em seguida, defina T j como a uni˜ao das variedades est´aveis locais atrav´es de S ss pontos de S j , isto ´e, T j = W (x).Ver figura 2.11. x ∈S j ǫ

        T Proposi¸c˜ ao 2.3.5. O dominio j n˜ao cont´em singularidades do fluxo.

        T Prova: : Por constru¸c˜ao, todo ponto de j est´a h´a uma distˆancia menor ou igual a ǫ de S j

        e, consequentemente, `a distˆancia menor ou igual a ǫ + δ de [x j , x j ]. Assim, tendo ǫ

        1 +1

        e δ muito menor que os tamanhos das se¸c˜oes transversais associadas `as singularidades, temos imediatamente a conclus˜ao da proposi¸c˜ao, visto que [x j , x j ] ser´a disjunta de

      • 1
      Figura 2.11: Constru¸c˜ao de mapas de Poincar´e entre variedades est´aveis qualquer singularidade. Assim, quando o segmento de ´orbita [x j , x j ] n˜ao intersecta

      • 1 se¸c˜ao transversal na vizinhan¸ca de alguma singularidade a prova est´a conclu´ıda.

        No caso geral devemos analisar as interse¸c˜oes do tubo com as caixas de fluxo associadas `as singularidades. Uma observa¸c˜ao importante ´e o lema seguinte. i,

        ±

        Lema 2.3.6. Suponha [x j , x j ] intersecta uma se¸c˜ao transversal Σ de alguma singu-

      • +1 k

        i, ±

        laridade σ k em ˆ x com d(ˆ x, ∂Σ ) &gt; δ. Ent˜ao i, k

        ±

        (1) [y j , y j +1 ] intersecta Σ em algum ˆ y com d(ˆ x, ˆ y) &lt; Kδ e al´em disso k i,

        ± s (2) ˆ x e ˆ y est˜ao em alguma componente conexa de Σ \W (σ ). k loc k

        Prova: : A prova do item (1) ´e an´aloga a prova do Lema 2.3.4, j´a temos que dist(X t (x), X h (t) (y)) &lt; δ ∀t &gt; 0 e algum h ∈ K suponha agora que d(X r (x), X h (y)) &lt; Kδ , como X r (x) = i, ± i, ± (r ) x ˆ ∈ Σ temos que X h (y) est´a perto de Σ utilizando uma caixa de fluxo em uma k i, i, (r ) k ± ± vizinhan¸ca de Σ obtemos X ǫ (X h (y)) ∈ Σ para algum ǫ ∈ (−Kδ , Kδ ). Fazendo k (r ) k s = h(r ) + ǫ temos: i,

        ±

        x = X ˆ r (x), ˆ y = X s (y) ∈ Σ com |s − h(r ) | &lt; Kδ k i,

        ± [y , y ] intersecta Σ em ˆ y com d(ˆ x, ˆ y) &lt; Kδ . j j +1 k

        A prova do item (2) ´e por contradi¸c˜ao. Sejam ˜ x = X r (x) e ˜ y = X s (y) pontos associados 1 1 a ˆ x e ˆ y respectivamente tais que as duas ´orbitas deixam a caixa de fluxo associado `a singularidade σ , ent˜ao ˜ x e ˜ y pertencem a diferentes sa´ıdas da se¸c˜ao transversal de σ , k k

        1. Suponha que h(r ) &gt; s , note que s ≫ s e s ≈ h(r ) pois tomamos s = h(r ) + ǫ,

        1

        1

        1

        portanto ≫ s ≈ h(r s

        1 )

        ⇓ h(r ) &gt; s &gt; h(r )

        1

        1

        segue-se que existe t ∈ (r , r ) tal que h(t) = s , como h ´e cont´ınua n˜ao decrescente

        1

        1 X t (x) est´a de um lado da caixa de fluxo de σ k , enquanto que X h (y) pertence `a (t)

        sa´ıda da se¸c˜ao transversal, no outro lado da caixa de fluxo, ver figura 2.12. Assim, dist(X t (x), X h (y)) tem a ordem de grandeza do diˆametro da caixa de fluxo, que

        (t) podemos supor muito maior que δ . O que ´e uma Contradi¸c˜ao.

        ≤ s

        2. Suponha agora que h(r ) , lembremos que X h (y) est´a pr´oximo de ˆ y, pois

        1 1 (r )

        s = h(r ) + ǫ, perto da se¸c˜ao transversal, de modo que o segmento de ´orbita inteiro de X h (y) para X s (y) est´a contido na caixa de fluxo. Como

        (r ) 1

        s ≈ h(r ) &lt; h(r ) ≤ s

        1

        1

        como h ´e cont´ınua n˜ao decrescente, o segmento de ´orbita cont´em X h (y), entretanto,

        (r 1 )

        X r (x) pertence a sa´ıda da se¸c˜ao tansversal no lado oposto da caixa de fluxo, ver figura 1

        2.12. Assim, como anteriormente dist(X r (x), X h (y)) tem a ordem de grandeza do 1 (r ) 1 diˆametro da caixa de fluxo, que mais uma vez pode ser tomado muito maior que δ .

        Isto ´e uma Contradi¸c˜ao, o que completa a prova do Lema 2.3.6.

        Valtando a prova da proposi¸c˜ao. Recordemos que por constru¸c˜ao a interse¸c˜ao i, ± de S j com a se¸c˜ao Σ ´e transversal `a folhea¸c˜ao est´avel correspondente, ver figura 2.13. Pelo Lema anterior esta interse¸c˜ao est´a inteiramente contida em uma componente conexa i, s

        ±

        de Σ \W (σ k ). Desde que T j consiste de variedades est´aveis locais de pontos de S j loc i, s i,

        ± ±

        sua interse¸c˜ao com Σ est´a contida na regi˜ao delimitada pelas variedades W (ˆ x, Σ ) e s i, ± i, ± s W (ˆ y, Σ ). Por isso inteiramente contida em uma componente conexa de Σ \W (σ k ). loc T

        Repetindo esse argumento para cada interse¸c˜ao do tubo j com uma vizinha¸ca de alguma singularidade, conclu´ımos a prova da Proposi¸c˜ao 2.3.5 .

        O pr´oximo passo ´e mostrar que a ´orbita futura de cada ponto z ∈ T j deixa o tubo em tempo finito. Precisamos fazer a seguinte hip´otese: Hip´ otese 2.3.7 (H). S = φ([0, 1] ×[0, 1]) ´e um disco mergulhado e as variedades est´aveis s j W (ξ) atrav´es de pontos ξ ∈ S j s˜ao dois a dois disjuntos. ǫ

        Figura 2.12: Interse¸c˜ao em mesma componente conexa Figura 2.13: Entrada em uma caixa de fluxo de uma singularidade Com isso, est´a bem definida a proje¸c˜ao cont´ınua π : T j → S j atribuindo a cada z ∈ T j um ´ unico ξ ∈ S j cuja variedade forte est´avel local que cont´em z. Seja Y t (ξ) = π(X t (ξ)) fluxo induzido por X t em S j n˜ao necessariamente completo, definido para maior intervalo de tempo t, tal que [x j , x j ] e [y j , y j ] s˜ao ´orbitas de Y t .

      • 1 +1

        Por continuidade, para qualquer subconjunto E de S j a uma distˆancia positiva de ∂S j existe ǫ &gt; 0 tal que Y t (ξ) est´a definido para qualquer ξ ∈ E e t ∈ [0, ǫ]. Ent˜ao como consequˆencia temos a seguinte propriedade (P) Dado qualquer subconjunto E de S j a uma distˆancia poistiva de γ j , existe ǫ &gt; 0

      • 1 ∈ E e t ∈ [0, ǫ].

        tal que Y t (ξ) est´a definido para todo ξ × [0, 1] →

        A Hip´otese acima pode ser removida desde que lembremos que φ : [0, 1] × [0, 1] ao inv´es

        M ´e uma imers˜ao, ent˜ao neste caso podemos definir o fluxo Y t em [0, 1] de S j da seguinte maneira: Dado qualquer w ∈ [0, 1] × [0, 1] existe U vizinhan¸ca de w e V vizinhan¸ca de φ(w) tal que φ : U → V ´e um difeomorfismo. Escolhendo V ss suficientemente pequeno, W (ξ) intersecta V apenas em ξ. Temos ent˜ao, bem definido ǫ

        S S ss ss → V que a cada z ∈ a proje¸c˜ao π : W (ξ) W (ξ) associa um ´ unico elemento ξ ǫ ξ ǫ

        ∈V ∈V

        de V cuja variedade est´avel cont´em z. Podemos ent˜ao definir Y t (w) para t pequeno por

        −1

        Y t (w) = φ (π(X t (φ(w)))); como antes podemos estender Y t a um dom´ınio m´aximo. Isso define um fluxo em [0, 1] × [0, 1] tal que [0, 1] × {i} e {i} × [0, 1] s˜ao trajet´orias. Afirma¸c˜ ao 2.3.8. Uma singularidade σ para Y t corresponde a uma singularidade de X na variedade forte est´avel de σ em M .

        De fato, pois Y t (σ) = σ ⇒ π(X t (σ)) = σ ⇒ X t (σ) = σ visto que π ´e definido

        −1 −1

        como . O mesmo para Y t (w) = φ (π(X t (φ(w)))), pois Y t (σ) = σ ⇒ φ (π(X t (φ(σ)))) = σ ⇒ π(X t (φ(σ))) = φ(σ) ⇒ X t (φ(σ)) = φ(σ) ⇒ φ(σ) ´e singularidade para X.

        △ Note que as trajet´orias dos pontos de {0}×[0, 1] entram no quadrado. Portanto, a

        ´ unica maneira das trajet´orias sa´ırem ´e atrav´es de {1}×[0, 1], assim teremos a reformula¸c˜ao da propriedade (P).

        ×[0, 1] a uma distˆancia poistiva de {1}×[0, 1], (P) Dado qualquer subconjunto E de [0, 1] existe ǫ &gt; 0 tal que Y (w) est´a definido para todo w ∈ E e t ∈ [0, ǫ]. t

        ∈ T ∈ T Proposi¸c˜ ao 2.3.9. Dado qualquer ponto z j existe t &gt; 0 tal que X t (z) / j . Prova: : A prova ´e por contradi¸c˜ao. Primeiro assuma a hip´otese (H) e suponha que para todo t ≥ 0 assim faz sentido ω(z ). Y t (z ) n˜ao pode acumular em γ j , caso contr´ario

      • 1

        Y t (z ) n˜ao estaria definido para todo t ≥ 0. Como M ´e compacto, temos que ω(z ) ´e um subconjunto compacto de S j , e est´a a uma distˆancia positiva de γ j +1 . Pela propriedade (P) temos que exite ǫ &gt; 0 tal que Y t (w) est´a definido para todo t ∈ [0, ǫ] e todo w ∈ ω(z ), j´a que ω(z ) ´e invariante, podemos estender Y t para todo R. Pelo Teorema de Poincar´e Bendixson temos que ω(z ) s´o poder´a ser formado por um ´ unica ´orbita fechada, visto

        ⊂ S que o tubo n˜ao tem singularidades. Considere o disco D j delimitado pela ´orbita de w ∈ ω(z ), aplicando o Teorema de Poincar´e sucessivamente conclu´ımos que Y tem t alguma singularidade σ no interior de D, o que implica que X t tem uma singularidade na variedade est´avel local, contrariando a Proposi¸c˜ao 2.3.5. Esta contradi¸c˜ao completa a prova da proposi¸c˜ao 2.3.9, sob hip´otese (H). O caso geral e feito da mesma maneira,

        × [0, 1] em vez de S lidando apenas com o fluxo induzido em [0, 1] j . At´e aqui, mostramos que toda ´orbita do fluxo induzido Y t em S j deve eventual- mente cruzar γ j ent˜ao existe mapa de Poincar´e cont´ınuo

      • 1

        → γ r : γ j j +1 ξ 7→ Y (ξ). θ (ξ)

        T Agora vamos deduzir que toda X t -´orbita deixa j atrav´es de Σ j +1 , o que prova que R est´a definido em Σ . j j Seja γ uma curva centro inst´avel em Σ δ (Σ δ = ) conectando W(x j , Σ) e W(y j , Σ).

        Para cada z ∈ γ seja t(z) o menor tempo tal que X t est´a na fronteira de T j . s (z) ∈ W Observa¸c˜ ao 2.3.10. Cada X t (ξ) (Y t (π(z))).

        (ξ) (z) s

        Observa¸c˜ ao 2.3.11. Para {ξ} = γ ∩ W (x , Σ) temos Y (ξ) = X (ξ) e assim t(ξ) = θ(ξ), j t t assim X t (ξ) s´o sai de T j por γ j

        (z) +1

        Precisamos provar agora que qualquer ponto de γ, por X t , tamb´em deixa o tubo, T j , por γ j .

      • 1

        ∈ γ perto de ξ, por continuidade X Tome z t -trajet´oria de z e ξ mant´em-se pr´oximas e por contra¸c˜ao, X t -trajet´orias de ξ mantˆem-se pr´oximas de [x j , x j ]. Note que

      • 1

        a ´orbita de z n˜ao deixa o tubo atrav´es da uni˜ao de variedades forte est´aveis passando por [x j , x j ], pois se assim fosse, contrariaria a defini¸c˜ao de Y t . Portanto, X t deixa o tubo

      • 1

        (z) atrav´es de Σ j +1 .

        Considere agora, ˆ γ ⊂ γ o maior subconjunto conexo contendo ξ tal que X (z) ∈ t (z) Σ j para todo z ∈ ˆ γ. Para concluir que toda X t -´orbita dexa T j atrav´es de Σ j , preci-

      • 1
      • 1 samos mostrar que ˆ γ = γ.

        Figura 2.14: Mapa de Poincar´e definido com o fluxo induzido Afirma¸c˜ ao 2.3.12. ˆ γ = γ

        A prova ´e por contradi¸c˜ao. Suponha que ˆ γ n˜ao ´e igual a toda γ, tome ent˜ao ˆ x ∈ ˆ γ diferente de ξ tal que ˜ x = X t x (ˆ x) pertence a fronteira centro inst´avel de Σ j +1 , ver figura

        (ˆ )

        2.13. Como a aplica¸c˜ao DR manda cone inst´avel em cone inst´ave e ˜ γ = {X (z), z ∈ ˆ γ } t (z) ´e uma cu-curva, temos uma contradi¸c˜ao.

        △ Figura 2.15: .

        ∈ Σ ∈ γ. Concluindo ent˜ao que X t (z) j +1 para z

        (z)

        Para finalizar a demonstra¸c˜ao do Teorema de Expansividade para o Futuro pre- pontos pr´oximos deve ser curta. Lema 2.3.13. Suponhamos ρ suficientemente pequeno. Ent˜ao existe uma constante k tal que, para qualquer par de pontos x, y ∈ Σ e qualquer cu-curva γ ligando x a algum ponto s de W (y, Σ) temos

        ≤ k.d(x, y). l(γ)

        Onde l representa o comprimento da curva e d ´e a distˆancia intrinsica da superf´ıcie Σ.

        

      2

      Prova: : Como a se¸c˜ao Σ ´e de classe C , podemos considerar as coordenadas em Σ cu para que o ponto regular x corresponda `a origem e o espa¸co E (x) corresponda ao eixo Σ

        vertical, identificando assim a se¸c˜ao Σ com um subconjunto do seu espa¸co tangente em x, dotado da m´etrica euclidiana. Por hip´otese, γ ´e uma cu-curva, ent˜ao est´a contida em um cone de largura c

        1 ρ centrado em x. Portanto, ver figura, que o comprimento de γ ´e delimitado por c d(x, y). Tome k = c .

        2

        2

        1 Em particular, como fixamos t na proposi¸c˜ao 2.1.6 tal que λ &lt; , temos que o

        1 cu 3 espa¸co E expande por fator trˆes, maior que um.

        Σ

        J´a provamos que o mapa de Poincar´e R j est´a bem definido na faixa entre va- riedades est´aveis de x j e y j dentro de Σ, al´em disso R j ´e hiperb´olico e o comprimento da cu-curva ´e expandido por fator trˆes, maior que um. Isso contradiz a condi¸c˜ao b) do teorema pois dist(X t (x), X h (y)) acabar´a por se tornar maior que kδ ; assim, y j = X ν

        (t) s j deve estar na variedade est´avel W (x j = X τ (x), Σ). j

        Figura 2.16: Expans˜ao Como X h (y) est´a na ´orbita de y j e a variedade forte-est´avel ´e localmente

        (τ j )

        invariante temos que s X (y) ∈ W x j . (2.3) h (τ j ) s ss

        Desde a observa¸c˜ao 2.1.4 tomamos se¸c˜oes transversais tais que (W , Σ) ⊂ W (x), ss ǫ

        De acordo com o Lema 2.3.4. |ν j − h(τ j ) | &lt; kδ , ent˜ao o segmento de ´orbita O y = ss X ,ν (y) cont´em X h (y), que por sua vez, est´a na vizinha¸ca de y j ∈ W (x),

        [ν j −kδ j +kδ ] (τ j ) ǫ

        assim a interse¸c˜ao da variedade forte-est´avel local de x com o segmento de ´orbita O y ´e difente do vazio.

        Agora, seja ǫ &gt; 0 dado, considere o segmento de ´orbita O x = X ,τ (x) e

        [τ j −ǫ j +ǫ ]

        o segmento de ´orbita de x cuja variedade forte-est´avel intersecta O y , ss {X ∃t ∈ [ν − kδ − t, ν ∈ W }. O xy = s (x) : j j + kδ + t] tal que X t (y) (X s (x)) s ǫ

        Portanto, como y ∈ W (x ) temos que O ´e vizinha¸ca de x , que pode ser j j xy j tomada t˜ao pequena quanto queira desde que δ seja fixado desde o in´ıcio suficientemente pequeno. Em particular podemos garantir que O xy ⊂ O x , conclu´ımos ent˜ao que ss X h (y) ∈ W (X τ ,τ (x)).

        (τ j ) ǫ j −ǫ j +ǫ Conclu´ımos aqui a demonstra¸c˜ao do Teorema de Expansividade para o Futuro.

      2.4 Expansividade robusta

        Nesta se¸c˜ao iremos provar que a propriedade de expansividade vale para num

        1 aberto de classe C no espa¸co dos campos vetoriais que cont´em o campo X.

        1 Teorema 2.4.1 (B). Seja Λ um atrator singular-hiperb´olico. Ent˜ao Λ ´e C robustamente expansivo.

        1 Demonstra¸c˜ ao: Seja Y campo de vetores numa vizinhan¸ca U de X (M ) contendo X δ pelo Lema 2.1.16 temos a existˆencia de se¸c˜oes adaptadas para o campo Y , repetindo os

        2

        argumentos feitos anteriormente para o conjunto maximal invariante Λ Y (U ), concluimos que Λ Y (U ) ´e expansivo, ou seja, o atrator hiperb´olico-singular ´e robustamente expansivo.

        Cap´ıtulo 3 Medida S.R.B.

        1. Inicialmente, ap´os definir a aplica¸c˜ao de Poincar´e, R, iremos restringir tal aplica¸c˜ao ao quociente sobre as folhas est´aveis, f , tal aplica¸c˜ao tˆem uma fam´ılia finita ν

        3. A partir de η i SRB R −invariantes, construir υ i para o semi-fluxo suspens˜ao de R com fun¸c˜ao altura τ , com as mesmas propriedades j´a conseguidas.

        2. Posteriormente, verifica-se que cada ν i define uma medida de probabilidade erg´odica η i R −invariante, cujas bacias s˜ao dadas pela uni˜ao de faixas de Ξ, portanto medidas de probabilidades erg´odicas SRB.

        , ..., ν l de medidas de probabilidades invariantes erg´odicas absolutamente cont´ınuas a lebes- gue, cujas bacias cobrem lebesgue q.t.p de I(uni˜ao finita de intervalos difeomorfa ao espa¸co das folhas) e o suporte de cada ν k est´a contido em um intervalo n˜ao vazio.

        2

        , ν

        1

        B(µ) = W s (Λ)mmod0. Para a prova deste teorema seguiremos o seguinte esquema:

        Ao longo deste cap´ıtulo vamos supor que o fluxo (X t ) t

        Teorema 3.0.2 (C). Seja Λ um atrator singular-hiperb´olico. Ent˜ao Λ suporta uma ´ unica medida de probabilidade f´ısica (SRB), µ, que ´e erg´odica, hiperb´olica e sua bacia coincide com a bacia de atra¸c˜ao Λ, i.e.,

        \Γ −→ Ξ a aplica¸c˜ao de Poincar´e que definiremos mais adiante. O objetivo principal aqui ´e provar que todo atrator hiperb´olico-singular suporta uma ´ unica medida f´ısica, que se apresenta como teorema B abaixo.

        , Ξ denotar´a uma se¸c˜ao de Poincar´e global(com v´arias componentes conexas) dotada da parti¸c˜ao F, m medida de Lebesgue e R : Ξ

        2

        ´e de classe C

        ∈R

        4. Converter cada υ i SRB em µ i para o fluxo original, e concluir unicidade da medida µ SRB por existˆencia de ´orbitas regulares densas em Λ e bacia de µ conter conjunto aberto lebesgue modulo zero. Por fim, concluir que µ ´e hiperb´olica

        Observamos o seguinte, que vai provar o Teorema D. No item 4, observemos que se o conjunto Λ Y for um sumidouro n˜ao transitivo obtido como o maximal invariante de

      2 Y C pr´oximo de X numa vizinhan¸ca de Λ, ent˜ao o argumento que prova unicidade da

        medida f´ısica n˜ao pode ser aplicado. Por´em, os argumentos usados at´e o item 3 continuam valendo, e abtemos assim um n´ umero finito de medidas f´ısicas S.R.B. η i invariantes para o fluxo de suspens˜ao cujas bacias cobrem lebesgue quase todo ponto. Ent˜ao podemos associar cada uma delas a uma medida f´ısica para o fluxo original e suas bacias cobrem lebesgue quase todo ponto de uma vizinhan¸ca de Λ

        

      3.1 Medidas de probabilidade invariantes absoluta-

      mente cont´ınuas para a aplica¸c˜ ao unidimensional

      3.1.1 Mapa de Poincar´ e Global

        ∈ Λ temos a existˆencia de Como visto no Lema2.1.12 em cada ponto regular x se¸c˜oes transversais δ −adaptadas e perto de cada singularidade σ k existe uma caixa de fluxo U σ como em (2.1), dada por k

        [ [ [ ± −δ, δ) × (−δ, δ) × (−1, 1)

        = X (x) ( σ k x i,± ± (−ǫ,τ (x)+ǫ) ∈Σ \ℓ Usando a vizinhan¸ca tubular perto de cada se¸c˜ao δ −adaptada, linearizamos o fluxo em U = X (intΣ) para ǫ pequeno. Isto fornece uma cobertura aberta finita

        Σ (−δ,δ) {U }.

        para Λ, U = Σ i , U σ k : i = 1, 2, ..., l e k = 1, 2, ..., s i,

        ± 0,± Seja Ξ = {Σ j , Σ , Σ : j = 1, 2, ..., l e k = 1, 2, ..., s } a se¸c˜ao transversal global. σ k σ k

        Enfim, definamos a aplica¸c˜ao R : Ξ → Ξ. Seja z em Ξ, considere ˆ z = X t (z) e 2 esperamos o tempo, t(z), tal que a ´obita do ponto z toca novamente alguma se¸c˜ao, (nos pontos onde est˜ao definidos), ent˜ao R(z) = X t (z). 2 +t(z) Observa¸c˜ ao 3.1.1. Considere o mapa dado pelo primeiro retorno

        R : Ξ → Ξ 7→ X z τ (z) (z) onde τ (z) = inf {t &gt; 0 : X t (z) ∈ Ξ}. Observe que com esse tempo τ (z); R pode n˜ao satisfazer ao Lema 2.1.13, que nos garante a invariˆancia das variedade est´aveis para as transforma¸c˜oes de Poincar´e,P , no entanto essas variedades est˜ao definidas. Pela defini¸c˜ao

        ∈ Ξ ent˜ao de R e R dizemos que R ´e induzido por R , isto ´e, se R est´a definido para z r (z) existe r(x) tal que R(z) = R (z). Como o n´ umero de Ξ ´e finito e t ´e constante, existe

        2 O pr´oximo resultado afirma que fixado uma se¸c˜ao transversal a fam´ılia de todas as faixas poss´ıveis em Σ(Σ ) cobre Σ exceto em um n´ umero finito de folhas est´aveis s (W (x i , Σ)). E que cada faixa dada em (Σ(Σ )) temos um n´ umero finito de componentes conexas. s

        \∂ Lema 3.1.2. O conjunto de descontinuidades de R em Ξ Ξ est´a contido no conjunto s de pontos x ∈ Ξ\∂ Ξ tal que: s

        1. ou R(x) est´a definido e pertence a ∂ Ξ s 2. ou h´a algum tempo 0 &lt; t ≤ t tal que X (x) ∈ W (σ) para alguma singularidade σ

        2 t ǫ de Λ.

        Al´em disso, este conjunto est´a contido em um n´ umero finito de folhas est´aveis da se¸c˜ao transversal Σ ∈ Ξ. s \∂

        Prova: Mostraremos inicialmente que todas as poss´ıveis descontinuidades de R em Ξ Ξ s ∈ Σ\∂ ∈ Ξ, que n˜ao correspondem os casos (1) e (2). De fato, seja x Σ para algumΣ satisfa¸ca qualquer item, (1) e (2). Ent˜ao R(x) est´a definido e pertence ao interior de alguma Σ . Pela suavidade do fluxo e Teorema do Fluxo Tubular temos que R ´e suave na vizinha¸ca de x em Σ, combinando com o Teorema do Fluxo Tubular longo, R ´e suave. Conclu´ımos ent˜ao que qualquer ponto de descontinuidade para R dever satisfazer (1) ou (2).

        O pr´oximo passo da prova ´e mostrar que pontos que satisfazem o item (2) est˜ao contidos em um n´ umero finito de folhas est´aveis em cada Σ ∈ Ξ. De fato, seja W = S s

        X , ( W (σ)) o conjunto de pontos satisfazendo item (2), onde a uni˜ao ´e tomada

        [−t 2 0] ǫ σ

        sobre todas as singularidades de Λ(n´ umero finito), visto que [ s

        X t (W ) = X t (X , ( W (σ)))

        [−t 0] ǫ 2 σ s ⇓ X t (x) ∈ W (σ), 0 &lt; t ≤ t e ∀x ∈ W. ǫ 2 s X Temos ent˜ao que W ´e uma subvariedade compacta de M com bordo, tangente a E ⊕ E ,

        portanto transversal a qualquer se¸c˜ao transversal de Ξ. Al´em disso, a interse¸c˜ao de W com cada Σ ∈ Ξ ´e uma subvariedade com dimens˜ao um em Σ, portanto o n´umero de componentes conexas da interse¸c˜ao ´e finito em cada Σ, isto ´e, h´a um n´ umero finito de s s pontos, x , ..., x n ∈ Σ, tais que W ∩ Σ ⊂ W (x , Σ) ∪ ... ∪ W (x k , Σ).

        1

        1

        ⊂ Σ, O terceiro e ´ ultimo passo da prova ´e mostrar que o conjunto de pontos, D em cada Σ ∈ Ξ enviados por R em pontos de fronteira est´avel de alguma se¸c˜ao transversal s

        assumir que D pode ser visto como L = W (x, Σ), x ∈ D, suponha por contradi¸c˜ao que s L tem um n´ umero infinito de linhas, ent˜ao existe uma linha de acumula¸c˜ao,W (x , Σ). s s Como Ξ ´e finito podemos assumir que W (x o , Σ) ´e acumulado por distintas W (x i , Σ), s s s ′ ′ ′ i ≥ 1, com x i ∈ D satisfazendo R(x i ) ∈ W (z, ∂ Σ ) para Σ ∈ Ξ fixado, e como W (z, Σ ) s ´e fechada temos que R(x ) tamb´em pertence a W (z, Σ ).

        Afirma¸c˜ ao 3.1.3. R(x i ) = X s (x i ), onde s i ´e uma sequˆencia limitada na reta real. i −→ ∞, ent˜ao temos

        De fato, suponha s i n˜ao ´e uma sequˆencia limitada, ent˜ao s i que a ´orbita de X t (x i ) est´a perto de uma variedade est´avel local de alguma singularidade 2

        0,±

        σ e por defini¸c˜ao de R e conjunto D temos que R(x i ) ∈ Σ . Portanto, X s (x i ) tende σ i para a variedade est´avel de σ quando i −→ ∞ e R(x i ) tende para a frontreira est´avel de

        0,± Σ , uma vez que nenhum ponto satisfaz essas condi¸c˜oes, temos uma contradi¸c˜ao. δ

        △ Ent˜ao j´a temos que

        R(x ) = lim R(x i ) = lim i →∞ i →∞ i →∞ s s s X s (x i ) = X s (x ), onde lim s i = s . i Al´em disso, R(W (x , Σ)) ⊂ W (R(x ), Σ) ⊂ W (z, Σ ) e R(x ) est´a no interior

        s s

        ∈ R(W de R(W (x , Σ)), ent˜ao para i suficientemente grande, temos que R(x i ) (x , Σ)), s isto ´e, existe uma sequˆencia y ∈ W (x , Σ) e uma sequˆencia de n´ umeros reais,τ , tal que i i X τ (y i ) = R(y i ) = R(x i ) para i ∈ Z suficientemente grande. i Com essa constru¸c˜ao, temos que x i 6= y i est˜ao na mesma ´orbita e pertencem a alguma se¸c˜ao transversal, ent˜ao existe uma sequˆencia α i tal que x i = X α (y i ) com i

        |α | ≥ t i

        3 &gt; 0 para i suficientemente grande. No entanto,

        X τ (y i ) = R(y i ) = R(x i ) = X s (x i ) −→ i i i →∞ X s (x ) ⇒ |s i − τ i | = |s i − τ i + s − s | ≤ ≤ |s i − s | + |s − τ i | −→ i 0,

        →∞

        mas X τ (y i ) = R(y i ) = R(x i ) = X s (x i ) ⇒ X τ (y i ) = x i = X α (y i ), assim |s i −τ i | = |α i | ≥ t &gt; 0, i i i −s i i

        3 contradi¸c˜ao.

        Combinando as trˆes etapas, conclu´ımos a prova do Lema. Afirma¸c˜ ao 3.1.4. O tempo de Poincar´e τ ´e integr´avel com respeito a medida de Lebesgue em Ξ.

        De fato, sejam z ∈ Ξ e t o limite superior que cada z ∈ U leva para sair da

        3 Σ i

        vizinha¸ca tubular (assumir sem perda que t &gt; t ), o ponto ˆ z = X t (z) pode estar no

        

      2

        3 2

        interior de alguma caixa de fluxo, U σ , para alguma singularidade, σ k , ou no interior de k alguma vizinhan¸ca dada pelo teorema do fluxo tubular, U , para alguma se¸c˜ao transversal

        Σ Σ.

        No primeiro caso, o tempo que ˆ z leva para sair da caixa de fluxo, U σ , atrav´es da k

        0,± ∓

        se¸c˜ao transversal, Σ , ´e limitada pela existˆencia da fun¸c˜ao tempo τ , que ´e integr´avel σ k σ k com respeito a medida de lebesgue em Ξ.

        J´a no segundo caso, ˆ z leva um tempo que est´a delimitado por t + 2t , que ´e soma

        2

        3 de um n´ umero finito de fun¸c˜oes integr´aveis. k k △ −1

        Observa¸c˜ ao 3.1.5. Dado z ∈ Σ ∈ Ξ escrevemos τ (z) = τ (R (z)) + ... + (τ (z)) para k ≥ 1. Temos que k s s k k ⊂ X ⊂ X

        R (W (z, Σ)) τ (W (z, Σ)) τ (U ) k s (z) (z) k o comprimento ℓ(R (W (z, Σ))) ´e uniformemente contra´ıdo e τ (z) → +∞ quando k →

      • ∞, obtemos ent˜ao que ′ ′ ′ k s k s cu

        δ R (W (z, Σ)) ⊂ Σ para algum Σ ∈ Ξ e d(R (W (z, Σ)), ∂ Σ ) &gt; ,

        2 ≥ k ∈ N , j´a que estamos assumindo se¸c˜oes δ- para todo k suficientemente grande, k

        s

        adaptadas. Obtendo assim, uma propriedade v´alida para todas as folhas est´aveis W (z, Σ), para todo z ∈ Σ e cada Σ ∈ Ξ.

        

      3.1.2 Redu¸c˜ ao do Mapa de Poincar´ e Global a um mapa unidi-

      mensional f , existˆ encia e finitude de medidas de probabi- lidades f -invariantes absolutamente cont´ınuas

        ∈ Λ e S uma se¸c˜ao transversal ao fluxo em x e ζ s Seja x componente conexa de uu

        W (x) ∩ S contendo x. Assuma que x tem uma variedade inst´avel, W , e sejam D ,D uu uu

        1

        discos mergulhados em M transversal a W (x) em x ,x tal que T x D i ⊕ T x W (x) =

        1 i i

        T x M , i = 0, 1. As folhas inst´aveis de pontos de D que atravessam D define um mapa i

        1

        h entre um subconjunto de D para D :

        1 uu

        ∩ D h(y ) = y

        1 = W (y ) 1 , Figura 3.1: Holonomia Dizemos que h ´e absolutamente cont´ınua se h´a um mapa mensur´avel J h : D →

        R [0, + ∞), chamado Jacobiano de h, tal que m (h(A)) = J h dm para todo conjunto i

        2 A

        1

        ⊂ D A 1 ; onde m ´e a medida de lebesgue induzida em D i pela m´etrica Riemanniana. uu

        Dizemos tamb´em que a folhea¸c˜ao {W (x) } ´e absolutamente cont´ınua (ou Holder) se todo mapa holonˆomico ´e absolutamente cont´ınua (ou J h Holder).

        Desde os trabalhos de Anosov e Sinai [A67],[AS67] se sabe que para trans-

        2

        forma¸c˜oes ou fluxos C a folhea¸c˜ao forte inst´avel ´e absolutamente cont´ınua e Holder cont´ınua. Quando as folhas s˜ao de codimens˜ao um, ent˜ao o jacobiano J da holonomia h h coincide com a derivada h , j´a que h ´e um mapa entre curvas. Neste caso, o mapa

        1+α

        holonˆomico pode ser visto como uma transforma¸c˜ao C entre subconjuntos da reta real.

        2 Quanto a folhea¸c˜ao est´avel, tamb´em sob a condi¸c˜ao do fluxo ser C , j´a ´e conhecido s

        [M87][PT93] que as folhas est´aveis W (x, Σ) para cada x ∈ Σ ∈ Ξ s˜ao discos mergulhados s

        2

      1+α

        C e essas folhas definem uma folhea¸c˜ao C , F , α ∈ (0, 1) e cada Σ ∈ Ξ, para maiores detalhes consultar [PS89]. De forma an´aloga ao feito anteriormente, temos que para s ∩ S em pontos distintos qualquer par de discos γ , γ dentro de S transversal a W (x)

        1

        2 s

        ∩ S cruzando S tamb´em ´e y

        1 , y 2 a holonomia H entre γ 1 , γ 2 ao longo das folhas W (z)

        Holder cont´ınua. De fato, note que a holonomia H a ser tomada agora pode ser obtida entre dois discos D e D transversais as folhas forte est´aveis que atravessam S, e a

        1

        2

        ”proje¸c˜ao ao longo do fluxo”, envia w ∈ X (S) a um ponto X t (w) ∈ S unicamente

        (−δ,δ)

        ∈ (−δ, δ). Os discos s˜ao definidos unicamente por D definido, com t i = X (−δ,delta) (γ i ) e D i ∩ S = γ i , i = 1, 2. Como a holonomia h ´e Holder cont´ınua e a proje¸c˜ao tem a mesma classe de diferenciabilidade do fluxo, conclu´ımos que H ´e Holder cont´ınua.

        2 Agora iremos definir a aplica¸c˜ao quociente. Escolha uma cu-curva C ,γ , trans- s Σ s

        versal a F em cada Σ ∈ Ξ. Seja agora ˆ P : Σ → γ a proje¸c˜ao ao longo das folhas F

        Σ Σ Σ Σ 1+α

        em γ , pela discurs˜ao anterior temos que ˆ P ´e um mapa C .

        Σ Σ

        Figura 3.2: Proje¸c˜ao ao longo das folhas Seja

        [

        ′

        I = int(Σ(Σ )) ∩ γ Σ Σ,Σ ∈Ξ como j´a vimos Σ(Σ ) tem interior n˜ao vazio, ent˜ao o conjunto I ´e difeomorfo a uma uni˜ao

        2 1

        de intervalos n˜ao degenerados I , ..., I por um difeomorfismo C e ˆ P | torna-se uma

        1 m Σ ˆ P Σ (I) 1+α

        submers˜ao C . Note que desde que Ξ ´e finito podemos escolher γ de modo que ˆ P

        Σ Σ

        tem derivada limitada

        1 existe β &gt; 1 tal que ≤ |D ˆ P | γ | ≤ β para cada cu-curvaγ dentro de qualquer Σ ∈ Ξ.

        Σ

        β

        2

        ∗ m ≪ m Em particular, usando o Teorema de Fubini podemos dizer que ( ˆ P Σ )

        2 onde m ´e a medida de ´area de lebesgue sobre Ξ e m ´e a medida de comprimento em I.

        Pela Proposi¸c˜ao 2.1.6, Corol´ario 2.1.7 e Lema 2.1.13 o mapa de Poincar´e R : Ξ → s Ξ leva folhas est´aveis de F dentro de folhas est´aveis da folhea¸c˜ao, ´e hiperb´olico e leva

        Σ

        ∈ Σ, em uma cu-curva, R(γ) na se¸c˜ao transversal imagem. Portanto o mapa cu-curva, γ s ′ ′ f : I → I dado por I ∋ z 7→ P (R(W (z, Σ) ∩ Σ(Σ ))) para Σ, Σ ∈ Ξ

        Σ 1+α Como P tem derivada limitada, para pontos no interior de I i , i = 1, ..., m

        Σ

        1 |Df | = |D(P (R(γ ))) | ≥ .σ

        Σ Σ

        β tomando t e t suficientemente grandes temos que

        1

        2

        1

        3 |Df | = |D(P (R(γ ))) | ≥ .σ &gt; &gt; 1.

        

      Σ

      Σ β

        2

        −1

        |f | | Portanto f ´e expansor por peda¸cos. Al´em disso, Ij ´e uma fun¸c˜ao α-Holder cont´ınua.

        1 Afirma¸c˜ ao 3.1.6. ´e α-Holder. f

        De fato, ′ ′ ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ ′ =

        1 1 f (y) − f (x) |f (y) − f (x) | = = f (x) f (y) f (x)f (y) |f (x)f (y) | ′ ′ α

        |f (y) − f (x) | c |x − y| = ′ ′ ≤

        3

        2

        |f (x) ||f (y) | ( )

        2

        1 para algum 0 &lt; α &lt; 1, portanto ´e α-Holder. |f (·)|

        △

        1

        Por [HK82], [V97] e [W78] mapas expansores por partes, f , tais que ´e de

        |f |

        varia¸c˜ao limitada, tem um n´ umero finito de medidas de probabilidades invariantes abso- lutamente cont´ınuas a lebesgue quase todo ponto de I. Usando uma extens˜ao da varia¸c˜ao limitada foi mostrado em [K85] que os resultados da existˆencia e finitude de medidas in- variantes erg´odicas absolutamente pode ser extendido para mapas expansores por partes

        1 tais que ´e α-Holder para algum α ∈ (0, 1). |f |

        

      3.2 Constru¸c˜ ao de medidas invariantes para a trans-

      forma¸c˜ ao R

        Nesta se¸c˜ao iremos apresentar como construir medidas invariantes erg´odicas para a transforma¸c˜ao R a partir de medidas invariantes erg´odicas para o mapa quociente f .

        \Γ → Ξ a aplica¸c˜ao de poincar´e global, por resultados mostrados Seja R : Ξ anteriormente, temos que para qualquer ξ ∈ F(distinto de Γ) sua imagem por R est´a n contida em algum elemento ξ de F e o diˆametro de R (ξ)(onde est´a definido) vai a zero uniformemente quando n → ∞.

        Denote por ξ x um elemento da folhe¸c˜ao que cont´em o ponto x. Seja µ qualquer medida de probabilidade em F invariante por f . Para qualquer f fun¸c˜ao limitada ψ : Ξ −→ R, sejam tamb´em ψ : F −→ R e ψ : F −→ R definidos por

        ψ − (ξ) = inf ψ(x) e ψ (ξ) = sup ψ(x). + Lema 3.2.1. Dada qualquer fun¸c˜ao cont´ınua limitada ψ : Ξ → R ambos os limites Z Z n n

        ◦ R ◦ R lim (ψ ) dµ f e lim (ψ ) dµ f n n − + existem e coincidem

        R R n n Prova: Para provar esse lema iremos mostrar que { (ψ(R )) dµ } e { (ψ(R )) dµ }

      • − f n ≥1 f n ≥1 s˜ao sequˆencias de Cauchy.

        Como ψ ´e limitada, dado ǫ &gt; 0 seja δ &gt; 0 tal que |ψ(x) − ψ(y)| ≤ ǫ para todo x,y com dist(x, y) ≤ δ. Note que, como F ´e uma contra¸c˜ao, existe n ≥ 0 tal que n ≤ δ para todo ξ ∈ F e todo n ≥ n ≥ n ≥ n diam(R (ξ)) . Seja n + k , ent˜ao temos n n

      • k k n n +k

        (ψ(R )) (ξ) − (ψ(R )) (ξ ) = inf(ψ | ) − inf(ψ| )

        − − f R R (ξ ) n n (ξ) f k

      • k k

        note que R (ξ) ⊂ R (ξ ). Assim, n n n n +k f inf(ψ | ) − inf(ψ| R ) ≤ sup(ψ| R ) − inf(ψ| R ) ≤ ǫ R (ξ) (ξ ) (ξ ) (ξ ) f k f k f k ent˜ao, Z Z n n

      • k k

        | − | ≤ ǫ (ψ(R )) − dµ f (ψ(R )) − (ξ f )dµ f =

        | {z } Z Z n n

      • k

        | − | ≤ ǫ visto que µ = (ψ(R )) dµ f (ψ(R )) dµ f f ´e f -invariante.

        − −

        R n { } Portanto, (ψ(R )) dµ f n ´e uma sequˆencia de Cauchy em R, em particular converge.

        − ≥1

        R n Com mesmos argumentos podemos provar que a sequˆencia { (ψ(R )) dµ } ´e

      • f n ≥1

        R R n n convergente. Temos ent˜ao que os limites lim n (ψ(R )) dµ f e lim n (ψ(R )) dµ f exis- n n + − n tem, para a prova de igualdade note que 0 ≤ (ψ(R )) (ξ) − (ψ(R )) (ξ) = sup(ψ | R ξ ) − n

        − + inf(ψ | R ξ ) ≤ ǫ para cada n ≥ n , ent˜ao as duas sequˆencias deve ter o mesmo limite.

        R Corol´ ario 3.2.2. Existe uma ´ unica medida de probabilidade µ R em Ξ tal que ψdµ R =

        R R n n lim (ψ(R )) dµ f = lim (ψ(R )) dµ f para cada fun¸c˜ao cont´ınua ψ : Ξ → R. Al´em

        7→ µ disso, µ R ´e R-invariante e a correspondˆencia µ f R ´e injetiva. Prova: A prova deste corol´ario ser´a a prova de que esses dois limites definem um operador linear positivo, e por consequˆencia do Teorema de Riesz-Markov teremos existˆencia e R n µ(ψ) = lim n (ψ(R )) dµ f µ(ψ + ψ ) µ(ψ µ(ψ ),

        −

        1

        2

        1

        2 Seja b ent˜ao temos que b ≥ b ) + b

        R n µ(ψ) = lim n (ψ(R )) dµ f µ(ψ + ψ ) µ(ψ µ(ψ ), ent˜ao

        1

        2

        1

        2

        analogamente, seja b ent˜ao b ≤ b ) + b

      • ·) ´e um

        µ( µ(ψ) para c µ( ·) ´e aditiva. Al´em disso, b ∈ R e ψ cont´ınua. Portanto, b b µ(cψ) = cb operador linear real no espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas.

        µ(ψ) ≥ 0 se ψ ≥ 0. Pelo teorema de Riesz-Markov, Temos tamb´em que b µ(1) = 1 e b

        R existe uma ´ unica medida µ F µ(ψ) = ψdµ R para qualquer ψ cont´ınua. ∈ Ξ tal que b

        Para a conclus˜ao que µ R µ(ψ(R)) =

        ´e invariante por R ´e suficiente notar que b R n

      • 1 lim (ψ(R )) dµ µ(ψ) para cada ψ.
      • n − f

          = b A prova de que a correspondˆencia µ f 7→ µ R ´e injetiva. Seja µ R = µ , note ′ ′ R que µ R ,µ s˜ao obtidas atrav´es de µ f e µ , respectivamente, para cada fun¸c˜ao cont´ınua R f

          ϕ : F → R temos que ψ = ϕ ◦ P : Ξ → R ´e cont´ınua e n n n n µ f ((ψ ◦ R ) ) = µ f ((ϕ ◦ P ◦ R ) ) = µ f ((ϕ ◦ f ◦ P ) ) = µ f (ϕ ◦ f ) = µ f (ϕ) (3.1)

          ± ± ± ′ ′ ′ ′ ′ de forma an´aloga, n n n n

          ◦ R ◦ P ◦ R ◦ f ◦ P ) ◦ f µ ((ψ ) ± ) = µ ((ϕ ) ± ) = µ ((ϕ ± ) = µ (ϕ ) = µ (ϕ) (3.2) f f f f f n n ′ ′ ′ Assim, µ f (ϕ) = µ f ((ψ ◦ R ) ) = µ R (ψ) = µ (ψ) = µ ((ψ ◦ R ) ) = µ (ϕ). ± ± R f f Portanto, µ f = µ , concluindo assim a prova. f

          P n −1

          1 k j

          Lema 3.2.3. Seja ψ : Ξ → R uma fun¸c˜ao cont´ınua e ζ ∈ F tal que lim (ψ(R )) (ζ ) = n =0 j − f R n R k P −1

          

        1 j

        (ψ(R )) dµ f para k ≥ 1. Ent˜ao lim n ψ(R (x)) = ψdµ R para todo x ∈ ζ. − n j =0 k

          ◦ R Prova: Fixe ψ e ξ. Pela defini¸c˜ao de (ψ ) ± e pelas propriedades da folhe¸c˜ao F temos k k j k j j

          (ψ ◦ R ) (ξ ) ≤ (ψ ◦ R )(R (x)) ≤ (ψ ◦ R ) (ξ ) para todo x ∈ ξejek ≥ 1

          − + f (x) f (x)

          R J´a mostramos no Corol´ario 3.2.2 que existe uma ´ unica medida µ R tal que ψdµ R =

          R R n n lim n (ψ ◦ R ) dµ f = lim n (ψ ◦ R ) dµ f , assim, dado ǫ &gt; 0 existem k ,k ∈ N tais que

          1

          2

          {k } para todo k &gt; k = max

          1 , k

        2 Z Z Z Z

          n n ǫ ǫ ψdµ R − (ψ ◦ R ) dµ f e ψdµ R − (ψ ◦ R ) dµ f

          −

        • 2

          &lt; &lt;

          2 ⇓

          ǫ k k ǫ µ R (ψ) − ≤ µ f ((ψ ◦ R ) ) ≤ µ f ((ψ ◦ R ) ) ≤ µ R (ψ) + . (3.3)

          2

          2 Por hip´otese h´a n ∈ N tal que para n ≥ n = n (k) temos n

          −1

          X

          1 k k j ǫ ◦ R − µ ◦ R ≤

          (ψ ) − (ξ f ) f (ψ ) −

          

        (x)

          n j =0

          2 n −1

          X ǫ

          1 k k j ǫ − ≤ (ψ ◦ R ) (ξ ) − µ f (ψ ◦ R ) ≤

          − f − (x)

          2 n j =0

          2 n

          −1

          X k k k ǫ

          1 j ǫ µ f (ψ ◦ R ) − ≤ (ψ ◦ R ) (ξ f ) ≤ µ + f (ψ ◦ R ) (3.4)

          − − (x) −

          2 n j

          2

          =0

          assim, ǫ ǫ ǫ ǫ

          − ǫ = µ − ( − − ≤

        • µ R (ψ) R (ψ) ) = µ R (ψ)

          2

          2

          2

          2 | {z } por 3.3 k ǫ

          ≤ µ f ((ψ ◦ R ) ) −

          −

          2 | {z } n por 3.4

          −1

          X

          1 k j ≤ ◦ R ≤

          (ψ ) − (ξ f )

          (x) n −1 n +k−1 k −1 n j =0

          X X

          X 1 n + k k j j j

          1

          1 ≤ (ψ ◦ R )(R (x)) = (ψ ◦ R )(x) − (ψ ◦ R )(x) ≤ µ R (ψ) + ǫ. n n n + k n j =0 j =0 j =0 temos ent˜ao a conclus˜ao que quer´ıamos, j´a que n pode ser tomado t˜ao grande quanto queira e ǫ &gt; 0 pode ser tomando t˜ao pequeno quanto queira.

          Corol´ ario 3.2.4. Se µ f ´e f −erg´odica ent˜ao µ R ´e erg´odica.

          P n R

          −1 j

          

        1

        Prova: Como µ f ´e f −erg´odica ent˜ao lim n ϕ(f (x)) = ϕdµ f para todo x ∈ ε n =0 j

          1

          tal que µ f (ε) = 1 e toda ϕ ∈ L (µ f ). Portanto, a conclus˜ao do Lema anterior ´e valida S para um subconjunto de E = ξ ε = ξ x . Para provar o corol´ario ´e suficiente mostrar x ∈ξ que µ R (E) = 1.

          Seja ϕ = χ = χ ◦ p e tome ψ : F → R uma sequˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas tais E ε n

          1

          1

          uma sequˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas em Ξ tal que ϕ n → ϕ quando n → ∞ na norma L com respeito a µ R .

          Assim, k k µ R (ψ n ) = lim µ f ((ψ n ◦ R ) ) = lim µ f (ϕ n ◦ f ) = µ f (ϕ n ) k k

          ↓ ↓

          µ R (E) µ f (ε) = 1 quando n → ∞. Conclu´ımos ent˜ao que µ R (E) = 1, como quer´ıamos.

          S ˆ

          → γ {γ ∈ Ξ} e cada ˆ Seja agora, P = P Σ : Ξ Ξ , onde γ Ξ = Σ : Σ P Σ foi

          Σ∈Ξ s definido anteriorment como a proje¸c˜ao ao longo das folhas F em γ .

          Σ Σ

          Afirma¸c˜ ao 3.2.5. As bacias de cada η , η , ..., η l tˆem ´area de lebesgue positiva em Ξ e

          1

          

        2

        −1

          cobrem quase todo ponto de P (I). s De fato, devido a contra¸c˜ao uniforme das folhas F \Γ provada no Lema 2.1.13,

          Σ

          ∈ F\P (Γ) em fun¸c˜oes implica que o tempo m´edio de qualquer par x,y de pontos de ξ → R s˜ao iguais cont´ınuas ϕ : Ξ n n

          −1 −1

          X X

          1 j j

          1 − lim[ ϕ(R (x)) ϕ(R (y))] = 0. n n j =0 j =0

          1 Pelo Lema 3.2.3 juntamente com com a densidade das fun¸c˜oes C (Σ, R) em L (Σ, R) −1

          temos que B(η i ) ⊃ P ( B(ν l )),i = 1, ..., l. Isso mostra que B(η i ) cont´em uma tira de folhas est´aveis inteira, exceto para um subconjunto de medida de ´area de lebesgue nula B(ν

          (pois, i ) pode conter algum algum subconjunto de medida de lebesgue zero) △

        2 J´a que P ∗ (m ) ≪ m obtemos em particular

          l l

          2 2 −1

          2 m ( B(η )) &gt; 0 e m (P (I) \ ∪ B(η )) = P ∗ (m )(I \ ∪ B(η )) = 0. i i i i =1 i =1 −1

          Portanto, η , ..., η l s˜ao medidas f´ısicas cujas bacias cobrem P (I) lebesgue quase todo

          1 ponto.

        3.3 Fluxo de suspens˜ ao sobre o mapa de Poincar´ e

          Nesta se¸c˜ao iremos extender a transforma¸c˜ao R para seu semi-fluxo de suspens˜ao, com fun¸c˜ao altura τ , e mostrar que cada medida invariante erg´odica S.R.B. para a trans- forma¸c˜ao, corresponde a uma ´ unica medida para o semi-fluxo de suspens˜ao, com as mes-

          Seja a aplica¸c˜ao global de Poincar´e, R : (Ξ \Γ) → Ξ com tempo de poincar´e, τ : Ξ → [0, +∞) tal que τ ≡ +∞ em Γ. Seja tamb´em, ∼ a rela¸c˜ao de equivalˆencia

          × [0, +∞) gerada por (x, τ (x)) ∼ (R(x), 0), onde (y, t) ∼ (x, s)se, e somente se, em Ξ k P k

          −1 j

        −k

          existe k ≥ 1 tal que y = R (x)( ou x = R (y)) com t = s + τ (f (x))( ou s = j

          =0

          P k −1 j t − τ (f (x))). j

          =0

          Denote por V = Ξ × [0, +∞)/ ∼ e π : Ξ × [0, +∞) → V proje¸c˜ao canˆonica que −´agebra de Borel de subconjuntos mensur´aveis. induz em V uma topologia e uma σ

          Figura 3.3: Rela¸c˜ao de equivalˆencia para o fluxo de suspens˜ao Defini¸c˜ ao 3.3.1 (Suspens˜ao de R com fun¸c˜ao altura τ ). A suspens˜ao de R com tempo t t de retorno τ ´e o semi-fluxo (X ) t definido em V por X (π(x, s)) = π(x, s + t) para todo

          ≥0 (x, s) ∈ Ξ × [0, +∞) e t &gt; 0.

          −t −n

          Observa¸c˜ ao 3.3.2. Como R ´e injetivo ent˜ao podemos definir X (π(x, s)) = π(R (x), s+

          −n −1 n −n

          − t) para todo x ∈ R ≤ s + τ (R τ (R (x)) + ... + τ (R (x)) (Ξ) e 0 &lt; t (x)) + ... +

          −1

          τ (R (x)) ∀n ≥ 1.Assim, o semi-fluxo de suspens˜ao restrito ao conjunto maximal invari- t ante Λ pode ser extendido para um fluxo (X ) t em Λ.

          ∈R

          Seja µ R qualquer medida de probabilidade em Ξ que ´e invariante por R ent˜ao µ R × dt ´e uma medida infinita invariante sob o fluxo (x, s) 7→ (x, s + t) em Ξ × [0, +∞). Definimos a medida de probabilidade em V , µ τ X por

          Z Z Z (x)

          1 ψdµ X = ψ(π(x, t))dm(t)dµ R (x) (3.5)

          µ R (τ ) para cada fun¸c˜ao mensur´avel limitada ψ : V → R Afirma¸c˜ ao 3.3.3. A correspondˆencia µ R 7→ µ X definida acima ´e injetiva. ′ ′ An´aloga a prova feita no Corol´ario3.2.2. Seja µ X = µ , que definem µ R e µ X R

          → R limitada, difinimos ψ em x × [0, τ (x)) por respectivamente. Para cada fun¸c˜ao ϕ : Ξ ψ = ϕ ◦ π , identificando os pontos que est˜ao na mesma classe de equivalˆencia, obtendo

          1

          ent˜ao ψ : V → R tal que µ X (ψ) = µ R (ψ), de forma mais precisa, Z Z Z Z

          ψ ◦ π(x, t)dm(t)dµ R (x) = ϕ ◦ π ◦ π(x, t)dm(t)dµ R (x)

          1

          reescrevendo µ R (m(ψ ◦ π)) = µ R (m(ϕ ◦ π ◦ π)) = µ R (ϕ)

          1

          e de forma an´aloga, ′ ′ µ (m(ψ ◦ π)) = µ (ϕ) R R ′ ′ ′

          Assim, µ R (ϕ) = µ R (m(ψ ◦ π)) = def. µ X (ψ) = µ (ψ) = def. µ (m(ψ ◦ π)) = µ (ϕ). X R R Portanto, µ R = µ , conclu´ındo assim a prova da afirma¸c˜ao. R t △ Lema 3.3.4. A medida µ X ´e invariante sobre o semi-fluxo (X ) t t −1 ≥0

          Prova: Temos que mostrar que µ X ((X ) (B)) = µ X (B) para cada conjunto mensur´avel B ⊂ V e qualquer 0 &lt; t &lt; inf τ . Suponha que B = π(A × J) para algum A ⊂ Ξ e J um intervalo limitado em [0, inf(τ | A ), visto que tais conjuntos formam uma base para a σ −´algebra de subconjuntos mensur´aveis de V .

          Figura 3.4: . t

          Seja (x, s) ∈ Ξ × [0, +∞) com 0 ≤ s &lt; τ (x) ent˜ao X (x, s) ∈ B ⇔ π(x, s + t) = t −1 n ) (B) ⇔ ˜ x = R (x)

          π(e x, es) para algum (˜x, ˜s) ∈ A × J, em outras palavras (x, s) ∈ (X n −1 − τ (x) − ... − τ (R ≥ 0 ´e imposs´ıvel ter e ˜ s = s + t (x)). Como s &lt; τ (x),t &lt; inf τ e ˜ s n ≥ 2. Assim,

          1. ˜ x = x e ˜ s = s + t (n = 0); ou 2. ˜ x = R(x) e ˜ s = s + t − τ (x) (n = 1).

          Os dois casos s˜ao mutualmente exclusivos; para o caso (1) temos s + t &lt; τ (x), enquanto no caso (2) temos s + t ≥ τ (x); isso mostra que podemos escrever o conjunto t −1 t −1 ∪ B

          (X ) (B) como uma uni˜ao disjunta, (X ) (B) = B , com

          1

          2 B = π {(x, s) : x ∈ A e s = (J ∋ ˜ s ∋ −t)∩[0, τ (x))} = π{(x, s) : x ∈ A e s ∈ (J−t)∩[0, τ (x))}

          1

          e B = π {(x, s) : R(x) ∈ A e s ∈ (J − t + τ (x)) ∩ [0, τ (x))},

          2

          desde que t &gt; 0 e sup J &lt; τ (x) podemos reescrever B

          1 B = π {(x, s) : x ∈ A e s ∈ (J − t) ∩ [0, +∞)},

          1

          ≥ 0 e t &lt; τ (x), podemos reescrever B similarmente como inf J

          2 B = π {(x, s) : R(x) ∈ A e s ∈ (J − t + τ (x)) ∩ [0, −∞)},

        2 Assim, usando (3.5) temos:

          Z − t) ∩ [0, +∞))dµ − t) ∩ [0, +∞))

          µ X (B

          1 ) = ℓ((J R (x) = µ R (A).ℓ((J A

          e Z

          −1

          µ X (B ) = ℓ((J − t) ∩ [−∞, 0))dµ R (x) = µ R (R (A)).ℓ((J − t) ∩ [−∞, 0)) =

          2 R 1 (A)

          = µ R ((A)).ℓ((J − t) ∩ [−∞, 0)) a ´ ultima igualdade ´e devido a invariˆancia de R por µ R . t Usando essa constru¸c˜ao temos:

          −1

          −t)∩[0, +∞))+µ −t)∩[−∞, 0)) = µ X ((X ) (B)) = µ X (B

          1 )+µ X (B 2 ) = µ R (A).ℓ((J R ((A)).ℓ((J

          = µ R (A).(ℓ((J −t)∩[0, +∞))+ℓ((J−t)∩[−∞, 0))) = µ R (A).ℓ((J −t) = µ R (A).ℓ((J) = µ X (B), portanto, µ X ´e invariante sobre o semi-fluxo.

          Dada uma fun¸c˜ao limitada mensur´avel ψ : V → R, seja ˆ ψ : Ξ → R definida por Z τ

          (x)

          ˆ ψ(x) = ψ(π(x, t))dt, (3.6) observer que ˆ ψ ´e integr´avel com respeito a µ R , assim τ τ

          Z Z Z (x) Z Z (x) Z µ R (τ )

          ˆ (3.6) ⇒ ψdµ R = ψ(τ (x, t))dtdµ R = ψ(τ (x, t))dtdµ R = µ R (τ ). ψdµ X

          µ (τ ) R

          Z Z ˆ

          ψdµ R = µ R (τ ). ψdµ X (3.7) O pr´oximo Lema ´e uma ferramenta que usaremos para provar que ergodicidade da medida µ R implica ergodicidade da medida µ X .

          → R uma fun¸c˜ao limitada e ˆ ∈ Ξ Lema 3.3.5. Seja ψ : V ψ como acima. Assuma que x j j ´e tal que τ (R (x)) e ˆ ψ(R (x)) s˜ao finitos para cada j ≥ 0 e n R

          P −1 j

          1

          a) lim n τ (R (x)) = τ dµ R , e n =0 j n R P −1

          1 j

          ˆ b) lim n ψ(R (x)) = ϕdµ ˆ R . n j =0 R T R

        1 Ent˜ao lim T ψ(π(x, s + t))dt = ψdµ

          T X para cada π(x, s) ∈ V . Prova: Seja x ∈ Ξ fixado satisfazendo a) e b). Dado qualquer T &gt; 0 defina n = n(T ) j

          ≤ T &lt; T ≥ 0. por T n −1 n onde T j = τ (x) + ... + τ (R (x)) para j T Z s T

          Z Z

          1

          1 ψ(π(x, s + t))dt = ψ(π(x, t))dt + ψ(π(x, t))dt (3.8)

          T T Z s T T

          Z n −1 Z −T n− 1

          1 = ψ(π(x, t))dt + ψ(π(x, t))dt + ψ(π(x, t))dt

          T usando que (y, τ (y)) ∼ (R(y), 0) e a defini¸c˜ao de T n temos T n− 1 −1 Z n− 1 Z (τ (x)+...+τ (R (x))) j

          ψ(π(x, t))dt = ψ(π(R (x), t))dt n j

          −1 τ

          Z (R (x))

          X j = ψ(π(R (x), t))dt j n =0 −1 X j

          ˆ = ψ(R (x)) j

          =0

          τ

          R (x) A ´ ultima igualdade ´e devido a ˆ ψ(x) = ψ(π(x, t))dt. Pelo item a) temos n −1

          Z

          X

          1 j τ dµ R − τ (R (x)) &lt; ǫ n j

          

        =0

          ⇓ n

          −1

          Z

          X

          1 j −ǫ &lt; −

          τ dµ R τ (R (x)) &lt; ǫ n j

          =0

          Por um lado n

          −1

          Z

          X

          1 j τ dµ R − ǫ &lt; τ (R (x)) n j

          =0 n −1

          Z

          X j n( τ dµ R − ǫ) &lt; τ (R (x)) = T n ≤ T &lt; T n j =0 −1 Por outro lado n

          −1

          Z

          X

          1 j τ (R (x)) &lt; τ dµ R + ǫ n j

          =0 n ⇓ −1

          Z

          X j j τ (R (x)) &lt; n( τ dµ R + ǫ)

          =0 n

          Z

          X j j τ (R (x)) &lt; (n + 1)( τ dµ R + ǫ)

          =0

          ⇓ Z

          T n &lt; (n + 1)( τ dµ R + ǫ) Portanto,

          Z Z n( τ dµ R − ǫ) &lt; T n ≤ T &lt; T n &lt; (n + 1)( τ dµ R + ǫ)

          −1

          ⇓ Z Z Z Z

          T n + 1

          1 τ dµ R − ǫ &lt; &lt; ( τ dµ R + ǫ) = τ dµ R + ǫ + ( τ dµ R + ǫ) n n n para n suficientemente grande temos que

          Z Z T j Observe que n −→ ∞ quando T −→ ∞, desde que τ (R (x)) &lt; ∞ para todo j.

          Assim, para T grande, Z T T

          

        →∞

          −→ τ dµ R n

          ⇓ n T →∞

          1 −→

          (3.10) R T

          τ dµ R Assim, por (3.7),(3.10) e item b) temos n

          −1

          Z Z

          X n 1 j

          1 ˆ ˆ

          . ψ(R (x)) −→ . ψdµ R = ψdµ X (3.11) T n µ R (τ ) j

          =0

          Passando o limite em (3.9) e usando (3.11) conclu´ımos que n −1 n −1 Z T n− 1 Z

          X X

          1 1 n j j

          1 ˆ ˆ T T T lim ψ(π(x, t))dt = lim ψ(R (x)) = lim . ψ(R (x)) −→ ψdµ X

          →∞ →∞ →∞

          T T T n j =0 j =0 Ent˜ao para finalizar a prova basta mostrar que os demais termos em (3.8) converge para zero quando T vai para o infinito.

          R s

          1

          ´ E claro que ψ(π(x, t))dt −→ 0 quando T −→ +∞. T Como ψ ´e limitada temos que

          Z T −T n− Z T −T n− 1 1

          1 n n

          1 |ψ(π(R |dt

          ψ(π(R (x), t))dt (x), t)) ≤

          T T Z T −T n− 1

          1 ≤ sup |ψ|dt

          T T Z −T n− 1

          1 = sup |ψ| dt

          T

          1 = sup |ψ|(T − T n ) (3.12)

          −1

          T Pela defini¸c˜ao de n(T ) temos

          Z Z T − T n ≤ T n − T n ≤ (n + 1)( τ dµ R + ǫ) − n( τ dµ R − ǫ)

          −1 −1

          ⇓ Z Z

          T − T n ≤ (n + 1)( τ dµ R + ǫ) − n( τ dµ R − ǫ)

          −1

          Z Z Z = n( τ dµ R + ǫ) + τ dµ R + ǫ − n τ dµ R + nǫ

          Z Z Z = n τ dµ R + nǫ + τ dµ R + ǫ − n τ dµ R + nǫ

          Z para T , consequentemente n, suficientemente grande temos R

          − T τ dµ R + ǫ + 2nǫ T n −1

          ≤ R

          T n( τ dµ R − ǫ) R

          τ dµ R ǫ 2nǫ = R R R + + n( τ dµ R − ǫ) n( τ dµ R − ǫ) n( τ dµ R − ǫ)

          | {z } ↓ n → ∞

          2ǫ R T −T n− 1 τ dµ R − ǫ

          Isto prova que converge para zero, voltando para (3.13) conclu´ımos que T R T −T n− 1

          1 n T ψ(π(R (x), t))dt converge para zero quando T −→ ∞.

          Completando assim a prova do Lema. Corol´ ario 3.3.6. Se µ F ´e ergodica ent˜ao µ X ´e erg´odica. Prova: Seja ψ : V → R uma fun¸c˜ao mensur´avel limitada, e ˆ ψ como em (3.6). Como j

          ˆ ψ ´e µ R -integr´avel, segue que ˆ ψ(R (x)) ´e finito para j ≥ 0 µ R quase todo ponto x ∈ Ξ, portanto pelo Teorema erg´odico de Birkoff [Teorema 1.2.6] e [Proposi¸c˜ao 1.2.7]temos: n

          −1

          Z

          X

          1 j ˆ lim ψ(R (x)) = ϕdµ ˆ R µ R q.t.p. x n n j

        j j

        =0

          Por outro lado, τ (R (x)) ´e µ R -integr´avel, ent˜ao τ (R (x)) ´e finito para j ≥ 0 µ R quase todo ponto x ∈ Ξ, pelo Teorema erg´odico de Birkoff [Teorema 1.2.6] e [Proposi¸c˜ao 1.2.7] temos: n

          −1

          Z

          X

          1 j lim τ (R (x)) = τ dµ R µ R q.t.p. x n n j

          =0 .

          Ent˜ao a conclus˜ao do Lema anterior vale para um subconjunto A ⊂ Ξ com µ R (A) = 1, portanto

          Z T Z

          1 lim ψ(π(x, s + t))dt = ψdµ T X T ∈ V e todo z ∈ B = π(A × [0, +∞)) com µ para cada π(x, s) X (B) = 1.

          Em seguida, o mesmo ´e verdadeiro para quelquer fun¸c˜ao integr´avel, visto que

          1

          fun¸c˜oes limitadas s˜ao densas em L (µ X ). Finalizando assim a prova do Corol´ario.

          At´e aqui provamos que υ t 1 , ..., υ l s˜ao medidas de probabilidades ergodicas invari- antes para a suspens˜ao (X ) de R com fun¸c˜ao altura τ . Agora vamos mostrar que υ t t ≥0 i

          Seja x ∈ Σ ∩ B(υ i ) para Σ ∈ Ξ fixado e i ∈ {1, ..., l}, mostramos no Lema 2.1.13 s que o tempo de Poincar´e, τ , ´e constante em folhas est´aveis W (x, Σ) para todo x ∈ Σ ∈ Ξ.

          ◦ P . A Observa¸c˜ ao 3.3.7. Seja τ I em I uma fun¸c˜ao tempo de retorno, tal que τ = τ I integrabilidade de τ com respeito a medida de lebesgue em Ξ i naturalmente implica na

          2

          integrabilidade de τ I com respeito a medida de lebesgue em I, j´a que ( ˆ P ) m ≪ m e

          Σ ∗

          τ I ◦ P = τ . ∈ 1, .., l tamb´em ´e integr´avel, visto que

          Assim, ν i , i dm ´e limitada. Portanto, cada T R

          1

          ν i define uma η i , tal que τ ´e η −integr´avel. Pelo Lema 3.3.5 lim T ψ(π(x, s + t))dt = T R

          ψdµ X ∀π(x, s) ∈ V , e al´em disso η i ´e S.R.B; ent˜ao B(υ i ) cont´em a ´orbita positiva

          2 m −q.t.p. (x, 0), x ∈ B(υ i ).

          3

          2

          3

          × dt) a medida de volume usual em V , ent˜ao m Denote m = π (m (B(υ i )).

          ∗

          3 Al´em disso, B(υ 1 ), ..., B(υ l ) cobre m -q.t.p.

          Completando assim a prova que υ i i ∈ {1, ..., l} s˜ao medidas S.R.B. para o semi- fluxo de suspens˜ao.

        3.4 Fluxo original

          Nesta se¸c˜ao concluiremos a prova do Teorema C e D extendendo as conclus˜oes acerca do fluxo de suspen¸c˜ao para o fluxo original. O fluxo original se relaciona com o fluxo de suspens˜ao com tempo de retorno τ em U da seguinte forma: Defina

          φ : Ξ × [0, +∞) → U (x, t) 7→ X t (x) e desde que φ(x, τ (x)) = (R(x), 0) ∈ Ξ×0, este mapa define um mapa quociente φ : V → U t tal que φ ◦ X = X t ◦ φ para todo t ≥ 0 atrav´es da identifica¸c˜ao da rela¸c˜ao de equivalˆencia

          ∼ definida anteriormente.

          {(x, t) ∈ (Ξ\Γ) × [0, +∞) : 0 &lt; t &lt; τ (x)}, devido a condi¸c˜ao aberta Seja Ξ τ = 0 &lt; t &lt; τ (x), Ξ ´e um conjunto aberto, e como t &lt; τ (x) temos que o mapa π | : Ξ τ → Ξ τ

          Ξ τ

          ´e a identidade, portanto um homeomorfismo. A defini¸c˜ao de φ e o Teorema do Fluxo Tubular, garantem que φ | ´e um difeomorfismo local sobre sua imagem. E como Ξ τ ´e

          Ξ τ um subconjunto de V de medida de lebesgue total, φ ´e uma semiconjuga¸c˜ao modulo zero.

          ∈ {1, ..., l} s˜ao medidas f´ısicas para o semi-fluxo original t Portanto, µ i = φ ∗ (υ) i X , cujas bacias cobre um subconjunto de medida de lebesgue total.

        3.4.1 Unicidade da medida f´ısica

          A prova de unicidade da medida f´ısica ser´a feita por contradi¸c˜ao, assuma que existe um n´ umero l maior que um de medidas f´ısicas distintas. Ent˜ao podemos tomar medidas f´ısicas distintas η ,η invariantes por R em Ξ associadas a medidas f´ısicas distintas

          1

          2

          µ , µ invariantes pelo fluxo restrito ao atrator. Sejam U ,U conjuntos abertos tais que

          1

          2

          1

          2

          2

          ∩ U \U U

          1 2 = ∅ e m (B(η i i )) = 0,i = 1, 2.

          Para ǫ pequeno, considere o conjunto aberto V i = X , i = 1, 2, de U tal que

          (−ǫ,ǫ) V ∩ V = ∅.

          1

        2 Como Λ ´e um atrator, temos que existe z ∈ Λ tal que ω(z ) = Λ, ent˜ao existem

          ∈ V t

          1 , t 2 com 0 &lt; t 1 &lt; t 2 tais que X t i (z ) i , i = 1, 2, (se necess´ario substituir V 1 por V 2 ).

          Seja o difeormorfismo X t , e como V i s˜ao abertos existem W i ⊂ V i tais que 2 −t 1

          1 X t : V → W = X t (V ) ´e um difeomorfismo C sobre sua imagem. Portanto um 2 −t 1

          1 2 −t 2 1

          1

          conjunto de W de medida total ´e enviado para um subconjunto de W tamb´em de medida

          1

          2

          ∩W ∩W total, assim exite um ponto em B(µ ) cuja ´orbita positiva passa por B(µ ) , como

          1

          1

          2

          2

          µ i s˜ao medidas f´ısicas erg´odicas suas m´edias espaciais s˜ao iguais as temporais, portanto µ = µ .

          1

        2 Concluindo assim, que atratores singular-hiperb´olico tem uma ´ unica medida de probabilidade f´ısica.

        3.4.2 Hiperbolicidade da medida f´ısica

          Para a prova da hiperbolicidade da medida f´ısica µ note que s s

        • O subfibrado E tem dimens˜ao um e contrai uniformemente, portanto na dire¸c˜ao E o exponte de Lyapunov ´e negativo para todo ponto em U ; cu s
        • O subfibrado E tem dimens˜ao dois, dominado por E , cont´em a dire¸c˜ao do fluxo e expande volume, assim pelo teorema de Oseledets a soma dos expoentes de Lyapunov cu na dire¸c˜ao de E ´e dada por µ i cu
        • X Afirma¸c˜ ao 3.4.1. A expans˜ao na dire¸c˜ao E n˜ao coincide com a dire¸c˜ao do fluxo E = z {X s (z) : s ∈ R}, z ∈ Λ. X De fato, a dire¸c˜ao invariante dada por E n˜ao pode ter expoente de Lyapunov z positivo, uma vez que para todo t &gt; 0 e z ∈ U

            1

            1

            1 kDX k = kX(X k ≤ kXk log t (z).X(z) log t (z)) log t t t onde kXk = sup {kX(z)k, z ∈ U } ´e uma constante. De forma an´aloga, para todo t &lt; 0 e z ∈ U

            1

            1

            1

            X

            onde kXk = inf {kX(z)k, z ∈ U } ´e uma constante. Portanto, o subespa¸co E n˜ao tem

            1

            expoente de Lyapunov positivo, em particular, para pontos regulares temos que expoente de Lyapunov na dire¸c˜ao do fluxo ´e zero.

            △ Isso mostra que em µ q.t.p z a decomposi¸c˜ao de Oseledets do espa¸co tangente tem a forma s x

            ⊕ E ⊕ F T z M = E z z z onde F z ´e um subespa¸co mensur´avel de dimens˜ao um com expoente de Lyapunov positivo.

            Portanto, a prova do Teorema C est´a conclu´ıda e como explicado no in´ıcio deste cap´ıtulo, tamb´em a prova do Teorema D est´a completa. Cap´ıtulo 4 Trabalhos recentes e Perspectivas futuras

          4.1 Expansividade e hiperbolicidade singular

            Quest˜ ao 4.1.1. Expansividade robusta do atrator Λ com singularidades gen´ericas implica Λ ser hiperb´olico-singular?

            Uma caracter´ıstica comum da dinˆamica ca´otica ´e a dependˆencia sens´ıvel `as condi¸c˜oes iniciais, isto ´e duas trajet´orias de pontos praticamente indestingu´ıvel se comportam de maneira completamente diferente depois de um determinado tempo. Formalmente, a de- fini¸c˜ao de sensibilidade para um fluxo X : Um subconjunto Λ X -invariante ´e dito ser t t sens´ıvel `as condi¸c˜oes iniciais ou ter dependˆencia sens´ıvel das condi¸c˜oes iniciais ou simples- mente ca´otico se para todo ǫ &gt; 0 suficientemente peque e x ∈ Λ, para qualquer vizinhan¸ca U de x, existe y ∈ U e t 6= 0 tal que dist(X t (y).X t (x)) ≥ ǫ.

            No cap´ıtulo 3 provamos expansividade para o futuro num atrator hiperb´olico-

            1

            singular e notamos que podemos realizar a prova para todo sumidouro C pr´oximo

            1

            tamb´em. Em particular, mostramos que todo atrator hiperb´olico-singular ´e C robus- tamente sens´ıvel `as condi¸c˜oes iniciais para o futuro, ou seja, existe ǫ &gt; 0 tal que para ∈ Λ existe vizinhan¸ca W de x ∈ Λ e existem y ∈ W ∩ Λ e algum t &gt; 0 tal cada x que dist(X (x), X (y)) &gt; ǫ. Usando a variedade est´avel para cada ponto de Λ obtemos t t

            1

            tamb´em sensibilidade C robusta `as condi¸c˜oes iniciais para o passado. A primeira propri-

            1

            edade impede a existˆencia de po¸cos nos sumidouros C pr´oximos a Λ; a segunda impede

            1

            a existˆencia de fontes nos sumidouros C pr´oximos a Λ. A ausˆencia de po¸cos e fontes

          1 C pr´oximas de Λ ´e o principal ingrediente da prova de que um atrator robustamente transitivo ´e hiperb´olico-singular.

            1

            ´ E poss´ıvel provar o seguinte resultado para campos C . passado e para o futuro e suas singularidades s˜ao do tipo Lorenz. Ent˜ao Λ ´e um atrator hiperb´olico-singular.

            No entanto, n˜ao sabemos se expansividade implica sensibilidade para o passado e para o futuro.

          1 Conjectura 4.1.3. Todo atrator C robustamente sens´ıvel `as condi¸c˜oes iniciais(para o fu-

            turo) com fluxo 3-dimensional com singularidades do tipo Lorenz ´e um atrator hiperb´olico- singular.

            

          4.2 Transforma¸c˜ oes expansoras por peda¸cos com sin-

          gularidades

          4.2.1 Medida misturadora e decaimento de correla¸c˜ oes

            Seja f : I → I mensur´avel no intervalo I. Denotamos a composi¸c˜ao de f por n n −1 ∈ N. Em geral f pode n˜ao ser invert´ıvel e consideramos f (x) = x e f (x) = f (f (x)), n n

            −n o conjunto pr´e-imagem, f (x) = {y ∈ I; f (y) = x }.

            A propriedade de mistura surge em analogia com um sistema aleat´orio e ´e poss´ıvel atrav´es da seguinte defini¸c˜ao. Defini¸c˜ ao 4.2.1. Seja µ uma medida de probabilidade f -invariante. Dizemos que µ ´e uma medida misturadora(mixing) se

            −n n lim µ(A ∩ f (B)) = µ(A).µ(B) (4.1) →∞ para todos conjuntos A, B mensur´aveis.

            Ou seja, conjuntos de pontos em A, cuja imagem em tempo n pertence a B tendem a ter a mesma propor¸c˜ao em A como B, propor¸c˜oes entendidas em termos da medida µ. Assim, qualquer conjunto mensur´avel tende a distribuir-se ao longo do espa¸co de acordo com µ.

            Observa¸c˜ ao 4.2.2. Note que se µ ´e uma medida misturadora ent˜ao µ ´e erg´odica De fato, como µ ´e uma medida misturadora temos que para quaisquer conjuntos

            A, B mensur´aveis temos

            −n

            µ(A ∩ f (B)) −→ µ(A)µ(B)

            

          −n

            2

            para B = A temos µ(A) = µ(A ∩A)µ(A∩f (A)) −→ µ(A)µ(A) = µ (A) ent˜ao µ(A) = 0 ou µ(A) = 1.

            Z Z Z n lim

            X A (

            X B ◦ f )dµ − X dµ.

            X B dmu (4.2) n

          A

          →∞ = 0 onde

            X A ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica de A, isto ´e,

            X A (x) = 1 se x ∈ A e X A (x) = 0 caso contr´ario.

            X n Note que podemos ver (4.2) como a covariˆancia entre vari´aveis aleat´orias A e

            X B ◦ f . Definimos o Coeficiente de correla¸c˜ao(taxa de mistura ) como a volocidade com que (4.1) acontece, isto ´e, Z Z Z n

            R C n (ψ, ϕ) = ψ(ϕ ◦ f )dµ − ψdµ. ϕdmu

            −→ 0, para quaisquer dois observ´aveis ψ, ϕ : I → A imposi¸c˜ao de uma certa regularidade nos observ´aveis nos dir´a algo sobre o comportamento dos coeficientes de correla¸c˜ao para determinados sistemas.

            Defini¸c˜ ao 4.2.3. Dizemos que o sistema (f, µ) tem decaimento exponencial de correla¸c˜oes → R existe constante C(ψ, ϕ) tais que: se existe β &gt; 0, tal que para todo ψ, ϕ : I

            −βn C n (ψ, ϕ) ≤ C(ψ, ϕ)e para todo n ≥ 1.

            Exemplificamos atrav´es do seguinte Teorema folclore: Teorema 4.2.4. Seja f uniformemente expansora, µ medida f -invariante absolutamente cont´ınua a Lebesgue, ent˜ao existe λ ∈ (0, 1) tal que

            Z Z Z n n

            1 α ψ(ϕ ◦ f )dµ − ψdµ. ϕdmu L kϕk α λ para todo ψ ∈ L (µ) e ϕ ∈ C . 1

            ≤ ckψk

          4.2.2 Parti¸c˜ ao de Markov Nesta se¸c˜ao definimos Parti¸c˜ao de Morkov.

            1

            → J de classe C Defini¸c˜ ao 4.2.5. Um mapa F : J definido em um intervalo J ´e chamado mapa de Markov se existe uma cole¸c˜ao finita ou enumer´avel de intervalos abertos disjuntos J i , i ∈ N, tais que

            1. m(J \ ∪ i J i ) = 0; 2. se F (J i ) ∩ J j 6= ∅ ent˜ao J j ⊂ F (J i ); j

            ⊂ J, F 3. existem c &gt; 0 e β &gt; 0 tais que se, para um intervalo U (U ) est´a contido em algum intervalo J para cada j = 1, ..., n ent˜ao i n

            DF (x) β n n n − 1 (x) − F (y) | para todo x, y ∈ U ; ≤ c |F

            4. existe δ &gt; 0 tal que diam (F (J i )) ≥ δ para todo i Defini¸c˜ ao 4.2.6. Dizemos que F : J → J ´e um mapa de Markov induzido por f : I → I,

            ⊂ I, se for um mapa de Markov como na defini¸c˜ao acima e se existe T : ∪I → N onde J T i i tal que se T i = T (J i ) ent˜ao F | J = f . i J´a ´e conhecido que sistemas n˜ao-uniformemente expansoresf admitem parti¸c˜ao de Markov e sistemas induzidos F .Mais ainda, h´a existˆencia e unicidade de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas com respeito a lebesgue para F , que induzem uma unica medida invariante µ absolutamente cont´ınua com respeito a lebesgue para f . Ver [P10]

            Uma pergunta que surge ´e qual a velocidade de mistura do sistema (f, µ), isto ´e, qual a velocidade com que

            −n

            µ(A ∩ f (B)) − µ(A).µ(B) −→ n 0?

            →∞

            No caso do Lorenz mostrou-se que existe estrutura de Markov e que o sistema gerado pela aplica¸c˜ao unidimensional tem decaimento exponencial de correla¸c˜oes.Ver [DOr06]. Quest˜ ao 4.2.7. As transforma¸c˜oes expansoras unidimensionais obtidas como quociente sob folhea¸c˜ao est´avel de aplica¸c˜oes de Poincar´e para conjuntos hiperb´olicos-singulares tˆem decaimento exponencial de correla¸c˜oes?

            Uma resposta afirmativa passaria por responder `a seguinte quest˜ao: Quest˜ ao 4.2.8. ´ E poss´ıvel construir sistema induzido Markoviano com cauda exponen- cial?

            

          4.3 Decaimento de correla¸c˜ oes para fluxos hiperb´ olicos-

          singulares

            Seja (X t ) t um fluxo hiperb´olico-singular 3-dimensional. Vimos anteriormente que tal fluxo ´e semi-conjugado a um fluxo de suspens˜ao ( ˆ X t ) t sobre uma aplica¸c˜ao de Poincar´e

            → Σ. Em particular, se (X R : Σ(Σ ) t ) ´e transitivo ent˜ao existe uma ´ unica medida µ absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de Lebesgue.

            Dizemos que um conjunto isolado Λ ´e topologicamente misturador (mixing) se para quaisquer A, B ∈ Λ abertos existe t ≥ 0 tais que

            Uma observa¸c˜ao ´e que fluxos de suspens˜ao sobre tempo constante nunca s˜ao topologicamente misturadores. Definimos o Coeficiente de correla¸c˜ao para fluxos, como a velocidade com que

            Z Z Z C t (ψ, ϕ) = ψ(ϕ ◦ X t )dµ − ψdµ. ϕdmu

            −→ 0, acontece, para quaisquer dois observ´aveis ψ, ϕ : M → R em espa¸cos de fun¸c˜oes adequadas.

            Quest˜ ao 4.3.1. Qual a velocidade de mistura do fluxo hiperb´olico singular (X t , µ)? E para o fluxo de suspens˜ao sobre tempo n˜ao constante? No caso do atrator de Lorenz foi provado em [AV11] que existe aberto do campo

          2 C tal que o sistema ´e exponencialmente misturador para a ´ unica µ medida S.R.B.

            1+α Conjectura 4.3.2. Vale o resultado acima para campos C .

            Uma outra quest˜ao ´e quanto outras medidas que possivelmente n˜ao s˜ao medidas S.R.B. Quest˜ ao 4.3.3. E para fluxos seccionais hiperb´olicos?

            Isto ´e, Defini¸c˜ ao 4.3.4. Dado um campo de vetores X dizemos que um conjunto compacto in- variante Λ ´e seccional hiperb´olico se toda singularidade em Λ ´e hiperb´olica, existe uma decomposi¸c˜ao cont´ınua e invariante T M = E ⊕ F sobre Λ e existem constantes C &gt; 0 e

            Λ

            λ &gt; 0 tais que para todo x ∈ Λ e t ≥ 0 : i) A decomposi¸c˜ao ´e n˜ao-trivial: E x 6= 0 e F x 6= 0

            −λt

            k DX | kk DX | k&lt; Ce ii) A decomposi¸c˜ao ´e dominada: t E x −t F Xt(x)

            −λt

            iii) O subespa¸co E ´e contrativo: k DX t (x)v k≤ Ce k v k ∀v ∈ E x − {0} iv) O subespa¸co F ´e seccionalmente expansor: Para todo 2-plano L ⊂ F | det(DX t (x) | L λt x ) |&gt; Ce onde L x ⊂ F x ´e um 2-plano no subespa¸co F x .

          4.4 Especifica¸c˜ ao

            Seja M uma variedade Riemanniana compacta e X campo de vetores em M. Seja Λ um conjunto compacto e invariante de M . Uma especifica¸c˜ao uniforme (topol´ogica)

            {I } de intervalos limitados S = (τ, P ) consiste de uma cole¸c˜ao finita τ =

            1 , I 2 , ..., I m

            I = [a , b ] e um mapa i i i [

            P : I i → Λ tal que para quaisquer t , t ∈ I i temos X t (P (t )) = X t (P (t )). S ´e dita ser k-espa¸cada

            1

            2 2

            1 1

            2

            se a i &gt; b i + k para todo i ∈ {1, ..., m} e o m´ınimo k como ´e chamado espa¸camento de

          • 1

            {I }, ent˜ao S ´e chamada especifica¸c˜ao uniforme fraca. Dizemos que S ´e S. Se τ =

            1 , I

            2

            ǫ-sombreada por x ∈ Λ se [ d(X t (x), P (t)) &lt; ǫ para todo t ∈ I i ∈τ I i .

            Defini¸c˜ ao 4.4.1. Um subconjunto compacto invariante Λ de M tem a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme se para todo ǫ &gt; 0 existe k = k(ǫ) ∈ R tal que toda especifica¸c˜ao uniforme S k-espa¸cada ´e ǫ-sombreada por pontos de Λ. Neste caso o campo de vetores X | ´e dito ter a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme. Dizemos que um campo de vetores

            Λ X tem a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme se M a tem.

            Defini¸c˜ ao 4.4.2. Dizemos que um conjunto isolado Λ = Λ X (U ), para qualquer vizi- nhan¸ca atratora U , tem a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme robusta se existe uma

            1 C -vizinhan¸ca U de X tal que para todo campo de vetores Y ∈ U, Y | tem a pro- Λ Y (U )

            priedade de especifica¸c˜ao uniforme . Neste caso o campo de vetores X | ´e dito ter a

            Λ

            propriedade de especifica¸c˜ao uniforme robusta. O campo de vetores X tem a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme robusta se M a tem.

            An´aloga para a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme fraca. Em [ASSo11] podemos encontrar uma caracteriza¸c˜ao para fluxos satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme e especifica¸c˜ao uniforme fraca. Mais precisamente se Λ ´e isolado e se X | tem a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme fraca robusta, onde

            Λ

            Λ ´e isolado, ent˜ao Λ ´e um conjunto hiperb´olico secccional topologicamente misturador | e se X Λ tem a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme robusta ent˜ao Λ ´e um conjunto hiperb´olico topologicamente misturador.

            Observa¸c˜ ao 4.4.3. Todo campo de vetores com Λ conjunto compacto invariante tal que X | tem a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme fraca, X t | ´e topologicamente mistura-

            Λ Λ

            dor. Ver [ASSo11] Por outro lado, fluxos de suspens˜ao de conjuntos hiperb´olicos com tempo cons- tante, n˜ao s˜ao topologicamente misturadores portanto n˜ao satisfazem a propriedade de especifica¸c˜ao. Observa¸c˜ ao 4.4.4. Bowen caracterizou os fluxos uniformente hiperb´olico satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao.

            Uma quest˜ao natural ´e tentar caracterizar fluxos n˜ao-uniformemente hiperb´olicos satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme fraca e especifica¸c˜ao uniforme para

            Quest˜ ao 4.4.5. O atrator geom´etrico do Lorenz topologicamente misturador satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme (fraca)? E sob reparametriza¸c˜oes? Dizemos que um subconjunto compacto invariante Λ de M tem a propriedade de especifica¸c˜ao uniforme(fraca) sob reparametriza¸c˜oes se dado ǫ &gt; 0 existe k = k(ǫ) ∈ R tal que para toda especifica¸c˜ao uniforme S k-espa¸cada existe x ∈ M e h : R → R crescente com h(a i ) = a i tal que

            [ d(X (x), P (t)) &lt; ǫ ∀t ∈ J i . h (t) i Agora iremos definir a propriedade de especifica¸c˜ao n˜ao-uniforme(m´etrica). In- troduziremos primeiro o caso para tempo discreto, para fluxo ´e an´alogo. Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao e Λ subconjunto compacto invariante de M , o sistema (f, µ) satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao n˜ao-uniforme(E.N.U.) se µ(Λ) = 1 p

            (x,n,ǫ)

            ∈ N existem p(x, n, ǫ) ≥ 1 satisfazendo lim e para todo ǫ &gt; 0 e n n →∞ = 0 e ainda: n dados x , ..., x n ∈ Λ e l i ≥ p(x i , n i , ǫ) i = 1, ..., k existe x ∈ M tal que

            1 j j

            d(f (x), f (x )) &lt; ǫ, ∀j = 1, ..., n n j

            1

            1 1 +l +j 1

            d(f (x), f (x )) &lt; ǫ, ∀j = 1, ..., n

            

          2

            2 ...

            Em [Ol10] prova-se que para µ medida erg´odica expansora ent˜ao satisfaz a pro- priedade de especifica¸c˜ao n˜ao-uniforme. Quest˜ ao 4.4.6. O atrator geom´etrico do Lorenz satisfaz propriedade de especifica¸c˜ao n˜ao-uniforme (m´etrica)? Conjectura 4.4.7. Seja (X ) um fluxo de suspens˜ao sobre uma base n˜ao-uniformemente t t µ

            ×Leb R

            hiperb´olica (f, µ) com fun¸c˜ao altura τ e com medida X t µ = . Ent˜ao

          • invariante b τ dµ ((X t ) t µ) satisfaz E.N.U.

            , b Para maiores detalhes ver [Va11].

            Referˆ encias

            [A67] ANOSOV, D.V. Geodesic flows on closed Riemannian manifolds of negative curva- ture, Proc.Steklov Math.Inst.,(90): (1)-(235), (1967). [AS67] ANOSOV, D.V.; SINAI, Ja.G. Certain smooth ergodic systems, Uspehi Mat.

            Nauk,22(5(137)):(107)-(172), (1967).

            ◦

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            26 Col´oquio Brasileiro de Matem´atica.(1). ed. (Rio de Janeiro): Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada, 2007. (Publica¸c˜aoes Matem´aticas)

            [AP10] ARA ´ UJO, V´ıtor; PAC´IFICO, Maria Jos´e. Three-Dimensional Flows. Springer :2010

            [AV11] ARA ´ UJO, V´ıtor; VARANDAS, Paulo. Robust exponential decay of correlations for singular-flows,:acecepted for publications in math.DS,(2011) [APPujV07] ARA ´ UJO, V.; PAC´IFICO, M.J.; PUJALS, E.R.; VIANA, M. Singular-

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            Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

            Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

            &lt;http://www.pgmat.ufba.br&gt;

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