Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Full text

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Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

Caoticidade dos Atratores

Hiperb´

olicos-singulares

atia Silene Ferreira Lima Rocha

Salvador-Bahia

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atia Silene Ferreira Lima Rocha

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar R. Pinto Varandas.

Co-orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro.

Salvador-Bahia

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K´atia Silene F.Lima Rocha. – Salvador: UFBA, 2011. 76 f. : il

Orientador: Prof. Dr. Paulo Cesar R. Pinto Varandas. Co-orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2011.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Sistemas Dinˆamicos. 2. Atratores. 3. Expansividade. 4. Teoria Erg´odica. 5. Medidas S.R.B. I. Varandas, Paulo C´esar R. Pinto. II. Pinheiro, Vilton Jeovan Viana. III. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. IV. T´ıtulo.

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atia Silene Ferreira Lima Rocha

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 25 de Fevereiro de 2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Co-orientador) UFBA

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Embora possam dizer que disserta¸c˜ao tenha uma finalidade puramente acadˆemica, h´a contribui¸c˜oes diversas que n˜ao podem deixar de serem real¸cadas, como sentimentos e vibra¸c˜oes que a tornaram poss´ıvel. Por essa raz˜ao, reservo esse texto para n˜ao somente agradecer `a todos que me ajudaram neste novo projeto, quero trazer para dentro do meu texto aqueles que j´a o percorreram nas entrelinhas. Afirmo que n˜ao ser´a tarefa f´acil, por esta raz˜ao serei o mais seletiva poss´ıvel.

A Deus, por me amparar nos momentos dif´ıceis e me proporcionar paz e for¸ca interior para superar dificuldades.

A CAPES pela bolsa concedida durante os dois anos de curso.

Aos amigos acadˆemicos, pela ajuda prestada na elabora¸c˜ao deste ou de alguma forma no meu percurso nesses dois anos, os quais partilharam comigo id´eias, fomentaram discuss˜oes, dentre eles, ˆAngela Soldatelli, Felipe Antˆonio, Luiz Alberto, Marcus Morro, Roberto Sacramento, Rodrigo von Flach e Tiago Bomfim. E de uma forma especial `a aqueles que por muitas vezes deram sentido ao meu sorriso, Caio(Cainho), Ela´ıs(a frˆo), Fran(Framba soneca), Tina(a grossa), Reni(Rn) e Andressa(I love you Brasil).

Continuando minha lista seletiva n˜ao poderia deixar de citar `a aqueles que fizeram parte da minha vida escolar e acadˆemica, lembrarei do in´ıcio, Douril´e Nunes, Efigˆenia, Maria Jos´e, Nelson e Zilda Paiva. E parte da minha fam´ılia UEFS: Andiara, Andr´e Mandolesi, Arleide, Claudiano Goulart, Fab´ıola Lima, Hildete, Jean Fernandes, Jo˜ao Cardeal, Joilma Carneiro e Marcos Grilo.

A todos os funcion´arios do IM-UFBA, pela disposposi¸c˜ao e profissionalismo. Em especial a Dona Tˆania, Dona Zez´e, Jairo, Cleber, Douglas e Sr. Gilmar.

A todos os professores da PGMAT do IM-UFBA, pela dedica¸c˜ao, Enaldo Ver-gasta, por ter me acolhido de bra¸cos abertos, Ta´ıse Santiago, que por muitas vezes foi muito al´em de ser professora, pelo carinho e conselhos e a Armando Castro, seu pensar acadˆemico ´e um exemplo a ser seguido.

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com rigor e disciplina. Suas sugest˜oes e manuscritos levaram a sucessivas revis˜oes, cujas eventuais falhas que permanecem ´e de inteiramente responsabilidade da autora, teriam sido in´umeras n˜ao fosse por suas interven¸c˜oes incisivas. Sua dedica¸c˜ao me fez um profis-sional diferente.

Ao Prof. V´ıtor Ara´ujo por aceitar participar da comiss˜ao julgadora de minha disserta¸c˜ao, pela prestatividade e agrade¸co-o ainda pelas corre¸c˜oes e aconselhamentos.

`

Aqueles que nossa longa hist´oria de amizade ´e sempre fonte de inspira¸c˜ao, obri-gada por terem sido e por serem, simplesmente meus amigos, Van, Miss, Baixinha, Iran´ı, Dud´u, Lan, Andr´e Luiz, Jonathas Maicon, Thy, D´ı, Flavinho, Gily, Dan, Juth´a, tia Izis, G´avila, F´a, Nina(irm˜a preta e companheira de casa “blanca”). Bel, Wagner e C´ıntia pelo abrigo durante o primeiro ver˜ao e a Didi pelo apoio.

A minha fam´ılia porto seguro em todos os momentos.

Meus irm˜aos, caminhoneiros pelo Brasil, n˜ao sou a mesma sem tˆe-los por perto. Meu Pai(Painho) que cedo partiu deixando ´orf˜as p´aginas de minha vida, o que me resta neste momento ´e lembrar do qu˜ao pouco precisava fazer para ser motivo de orgulho, lembro-me bem quanto orgulho em dizer aos seus amigos que sua filha j´a sabia ler e escrever... continuarei sonhando no dia em que enfim me dir´as novamente : “Amo-te, desde quando nem sabias a cor dos meus olhos. Amo-te, desde quando eu sequer sabia, se eras um menino ou uma menina. Amo-te, desde quando sequer existias e apenas era um sonho do meu desejo de pai”.

Minha M˜ae(Mainha) de uma forma muito carinhosa, quanto por mim j´a fez e faz cuidando de mim sem se importar com o amanh˜a. ´Es minha companheira di´aria, teus ensinamentos carrego sempre comigo e o ser humano que sou devo a senhora; sem-pre empenhada em nossa educa¸c˜ao e que por muitas vezes abdicou de viver para nos proporcionar dias melhores. Te amo.

A Neva, minha sempre Cunhada/irm˜a pelo carinho e inestim´avel apoio familiar que por vezes preencheu minha ausˆencia. Aos meus sobrinhos pela ternura sempre pre-sente apesar do “d´ebito de aten¸c˜ao”e muitas vezes falta de paciˆencia, fruto do desgaste di´ario. Espero que o entusiasmo, seriedade e empenho que ponho no trabalho lhes possa servir de est´ımulo para fazerem sempre “mais e melhor”.

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terioso passar´a pela vida sem ver nada.”

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Provaremos que um atrator Hiperb´olico-singular de um fluxo 3-dimensional ´e ca´otico sob dois pontos de vista diferentes. Primeiro provaremos que o fluxo ´e expansivo, isto ´e, se dois pontos permanecem pr´oximos por todo tempo, ent˜ao suas ´orbitas coincidem. O segundo objetivo ´e a existˆencia de uma medida f´ısica suportada no atrator.

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We prove that a singular-hyperbolic attractor of a 3-dimensional flow is chaotic from two different perspectives. The first is that the flow is expansive, that is, if two points remain close for all time, then their orbits coincide. The second is the existence of a physical measure supported on the attractor.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Nota¸c˜oes, Defini¸c˜oes e Ferramentas 4

1.1 Nota¸c˜oes e Defini¸c˜oes . . . 4

1.2 Ferramentas . . . 7

1.3 Conjuntos Hiperb´olicos-singulares . . . 9

1.4 Modelo Geom´etrico para as equa¸c˜oes do Lorenz . . . 11

1.5 Expansividade segundo Komuro versus Expansividade segundo Bowen . . . 14

2 Expansividade 17 2.1 Se¸c˜ao transversal e Mapas de Poincar´e . . . 18

2.1.1 Folhea¸c˜oes Est´aveis em se¸c˜oes transversais . . . 18

2.1.2 Hiperbolicidade dos mapas de Poincar´e . . . 20

2.1.3 Se¸c˜ao transversal adaptada . . . 23

2.2 Vizinhan¸ca de Singularidade . . . 28

2.3 Prova de Expansividade . . . 30

2.3.1 Conclus˜ao da Demonstra¸c˜ao do Teorema (A) . . . 32

2.3.2 Prova do Lema T´ecnico - Controle de ˆangulos . . . 33

2.3.3 Prova do Teorema de Expansividade para o Futuro . . . 34

2.4 Expansividade robusta . . . 44

3 Medida S.R.B. 45 3.1 Medidas de probabilidade invariantes absolutamente cont´ınuas para a aplica¸c˜ao unidimensional . . . 46

3.1.1 Mapa de Poincar´e Global . . . 46

3.1.2 Redu¸c˜ao do Mapa de Poincar´e Global a um mapa unidimensional f, existˆencia e finitude de medidas de probabilidades f-invariantes absolutamente cont´ınuas . . . 49

3.2 Constru¸c˜ao de medidas invariantes para a transforma¸c˜ao R . . . 52

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3.4.2 Hiperbolicidade da medida f´ısica . . . 65

4 Trabalhos recentes e Perspectivas futuras 67 4.1 Expansividade e hiperbolicidade singular . . . 67

4.2 Transforma¸c˜oes expansoras por peda¸cos com singularidades . . . 68

4.2.1 Medida misturadora e decaimento de correla¸c˜oes . . . 68

4.2.2 Parti¸c˜ao de Markov . . . 69

4.3 Decaimento de correla¸c˜oes para fluxos hiperb´olicos-singulares . . . 70

4.4 Especifica¸c˜ao . . . 71

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1.1 Fluxo na vizinhan¸ca de um ponto fixo - C´uspides . . . 12

1.2 Modelo Geom´etrico do Lorenz . . . 13

1.3 Aplica¸c˜ao unidimensional para o Lorenz . . . 13

2.1 Se¸c˜ao transversal imagem de um quadrado por um difeomorfismo . . . 20

2.2 Se¸c˜ao transversal δ-adaptada . . . 24

2.3 Constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversalδ-adaptada de um ponto regular x . . . . 26

2.4 Existˆencia de Variedades est´aveis para o mapa de Poincar´e . . . 28

2.5 Se¸c˜oes transversais adaptadas na vizinhan¸ca de uma singularidade . . . 29

2.6 Conjunto A . . . 31

2.7 Prova de expansividade . . . 31

2.8 Posi¸c˜ao relativa das variedades est´aveis e ´orbitas no argumento da redu¸c˜ao do Teorema(A) para Teorema de Expansividade para o futuro . . . 33

2.9 Controle de ˆangulos . . . 34

2.10 Caixa de fluxo . . . 35

2.11 Constru¸c˜ao de mapas de Poincar´e entre variedades est´aveis . . . 37

2.12 Interse¸c˜ao em mesma componente conexa . . . 39

2.13 Entrada em uma caixa de fluxo de uma singularidade . . . 39

2.14 Mapa de Poincar´e definido com o fluxo induzido . . . 42

2.15 . . . 42

2.16 Expans˜ao . . . 43

3.1 Holonomia . . . 50

3.2 Proje¸c˜ao ao longo das folhas . . . 51

3.3 Rela¸c˜ao de equivalˆencia para o fluxo de suspens˜ao . . . 57

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Em termos gerais Sistemas Dinˆamicos est˜ao relacionados com a descri¸c˜ao do comportamento da maioria das ´orbitas da maioria dos sistemas, especialmente quando o tempo tende ao infinito. Al´em disso, estamos interessados em saber quando e em que sentido este comportamente ´e robusto quando submetido a perturba¸c˜oes.

A teoria de dinˆamica uniformemente hiperb´olica foi iniciada por volta de 1960 por Smale, em cerca de dez anos toda uma teoria erg´odica foi desenvolvida para esses sistemas. Um subconjunto fechado H de uma variedade compacta ´e hiperb´olico se ´e invariante e existe uma decomposi¸c˜ao do seu fibrado tangente em dois subfibrados invariantes, onde um deles contrai e o outro expande sob a a¸c˜ao da derivada do fluxo.

Os sistemas uniformemente hiperb´olicos apresentam comportamentos ca´oticos, contudo admitem uma descri¸c˜ao precisa do seu comportamento, pois podem ser decompos-tos em subconjundecompos-tos invariantes Λ1,Λ2, ...,Λn que s˜ao transitivos (possuem ´obita densa) e

quase todas as ´orbitas futuras desses sistemas se acumulam em um deles, ou seja, embora a dinˆamica pr´oxima a esses atratores possam ser bastante “ca´oticas”s˜ao surpreendente-mente “bem comportadas”do ponto de vista estat´ıstico.

Por volta de 1962 o meteorologista Edward Norton Lorenz buscava um modelo para previs˜ao do clima e acabou encontrando, atrav´es de um sistema de equa¸c˜oes diferen-ciais, o atrator de Lorenz. As equa¸c˜oes de Lorenz destacam o de fato que para sistemas de tempo cont´ınuo, dinˆamica robustamente transitiva pode ocorrer fora do contexto da hiperbolicidade uniforme. Neste caso, a origem ´e singularidade com decomposi¸c˜ao do espa¸co tangente em soma direta de um subespa¸co est´avel de dimens˜ao dois e um su-bespa¸co inst´avel de dimens˜ao um, em qualquer outro ponto a decomposi¸c˜ao ´e dada por um subespa¸co inst´avel, um subespa¸co est´avel e uma dire¸c˜ao central ambos com dimens˜ao um, logo n˜ao ´e uniformemente hiperb´olico. Apesar da hiperbolicidade nos fornecer mo-delos ca´oticos, robustos e est´aveis, ela exige propriedades muito r´ıgidas, excluindo muitas dinˆamicas importantes que n˜ao satisfazem seus presupostos.

Isso motivou a busca de uma generaliza¸c˜ao da no¸c˜ao de hiperbolicidade uniforme abrangendo todos os sistemas de tempo cont´ınuo com comportamento dinˆamico robusto. O passo fundamental para tal abrangˆencia foi realizado por Morales, Pac´ıfico e Pujals

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[MPPuj98], com o estudo da classe de sistemas dinˆamicos hiperb´olicos-singulares, que s˜ao sistemas com todas as singularidades hiperb´olicas e admitindo uma decomposi¸c˜ao invariante dominada. Informalmente, um conjunto Λ compacto e invariante ´e dito ser hiperb´olico singular se existe uma decomposi¸c˜ao do fibrado tangente em dois subfibrados invariantes, onde um deles tem um comportamento contrativo e o outro, sendo dominado pelo primeiro, expande volume.

O primeiro exemplo, dentre outros, de conjunto hiperb´olico singular ´e o atrator de Lorenz e seus modelos geom´etricos.

Um passo natural ´e tentar entender quais as consequˆencias da dinˆamica de hiper-bolicidade singular dos conjuntos invariantes do ponto de vista da dinˆamica, geometria, estat´ıstica; sendo que muitos problemas permanecem em aberto. Este trabalho ´e base-ado no artigo “Singular-Hyperbolic Attractors are Chaotic”[APPujV07], uma importante contribui¸c˜oes para tal teoria.

Inicialmente vamos provar que um atrator hiperb´olico-singular ´e expansivo, ou seja, qualquer duas ´orbitas que permanecem perto em todos os momentos devem coincidir. A defini¸c˜ao que usaremos foi introduzida por Komuro em [Kom84]. O primeiro resultado principal da disserta¸c˜ao ´e o seguinte:

Teorema (A) Seja Λ um atrator hiperb´olico-singular. Ent˜ao Λ ´e expansivo.

Uma caracter´ıstica comum em dinˆamica ca´otica ´e a dependˆencia sens´ıvel `as condi¸c˜oes iniciais, que de forma geral significa que pequenas diferen¸cas s˜ao rapidamente aumentadas com o passar do tempo. Como expansividade implica dependˆencia `as condi¸c˜oes iniciais com a prova do Teorema (A) conclu´ımos a prova de caoticidade dos atratores hi-perb´olicos-singulares.

Dizemos que uma propriedade ´e Cr-robusta, r 1, se ela vale num aberto de

classe Cr no espa¸co X(M) dos campos vetoriais que cont´em um dado campo X.

Teorema (B) Seja Λ um atrator hiperb´olico-singular ´eC1 robustamente

expan-sivo.

Isto significa que seX ∈X(M) tem um atrator hiperb´olico-singular Λ, ent˜ao al´em de Λ ser expansivo (Teorema A), os conjuntos maximais invariantes numa vizinhan¸ca de Λ para campos C1 pr´oximas a X s˜ao tamb´em expansivos.

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f´ısica. De forma mais precisa,

Teorema (C) Seja Λ um atrator hiperb´olico-singular. Ent˜ao Λ suporta uma ´

unica medida de probabilidade f´ısica µ que ´e erg´odica, hiperb´olica e sua bacia coincide com a bacia de atra¸c˜ao de Λ: B(µ) = Ws(Λ)Lebesgue, mod 0 .

Observando que nossos argumentos s˜ao preservados por pequenas pertuba¸c˜oes, provamos tamb´em a seguinte vers˜ao.

Teorema (D) Numa C2 vizinhan¸ca de X com atrator hiperb´olico-singular Λ,

o maximal invariante do campo de vetores Y ∈ U numa vizinhan¸ca de Λ admite um n´umero finito de medidas f´ısicas µ1, µ2, ..., µk cuja uni˜ao das bacias cobre a bacia de

atra¸c˜ao lebesgue-q.t.p.: B(µ1)∪...B(µk) = Ws(Λ), Lebesgue mod 0 .

A disserta¸c˜ao est´a organizada da seguinte forma. No primeiro cap´ıtulo, listamos alguns conceitos e resultados de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias, Teoria da Medida e Te-oria Erg´odica, necess´arios para uma boa compreens˜ao no decorrer do texto. Apresentamos as defini¸c˜oes e principais propriedades de conjuntos hiperb´olicos e hiperb´olicos-singulares. Estudando o Modelo Geom´etrico para as equa¸c˜oes do Lorenz definimos a aplica¸c˜ao do Lorenz unidimensional e por fim, estabelecemos os conceitos de expansividade segundo Bowen e Komuro.

O segundo cap´ıtulo ´e destinado a prova do Teoremas A e B. Tais provas s˜ao baseadas na an´alise de mapas de retorno de Poincar´e para uma se¸c˜ao transversal conve-niente, onde reduzimos a propriedade de expansividade para expansividade para o futuro de mapas de Poincar´e.

No terceiro cap´ıtulo, provamos os Teoremas C e D. A prova tem como principais instrumentos t´ecnicos a constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversal e sua folhea¸c˜ao invariante con-trativa para um mapa de Poincar´e global, que nos permite reduzir a dinˆamica do fluxo em certas transforma¸c˜oes unidimensionais expansoras por partes, e a extens˜ao do mapa de Poincar´e global a seu semi-fluxo com a fun¸c˜ao altura sendo determinada pelo tempo de retorno de Poincar´e.

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Nota¸c˜

oes, Defini¸c˜

oes e Ferramentas

Ao longo dessa disserta¸c˜ao M designa variedade compacta 3-dimensional sem bordo, fixada alguma estrutura Riemaniana suave e uma forma de volume, m, que cha-mamos de medida de Lebesgue. Al´em disso, escrevemosdistpara a distˆancia induzida em M. Na primeira se¸c˜ao desta disserta¸c˜ao recordaremos alguns conceitos e resultados b´asicos de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias, Teoria da Medida e Teria Erg´odica que facilitar˜ao a compreens˜ao da teoria que ser´a desenvolvida no decorrer deste. Na segunda se¸c˜ao esta-beleceremos as principais ferramentas utilizadas ao longo deste texto, as demonstra¸c˜oes dos fatos aqui anunciados podem ser encontrados em [C04], [M83] e [PM77] . Na terceira se¸c˜ao apresentaremos as defini¸c˜oes de conjuntos hiperb´olico e hiperb´olico-singular e suas principais propriedades. Enquanto na quarta se¸c˜ao construiremos um dos exemplos mais representativos de atrator hiperb´olico-singular, o atrator do Lorenz geom´etrico. Por fim, na quinta se¸c˜ao estabeleceremos as defini¸c˜oes de expansividade segundo Bowen e Komuro, que denominaremos Bowen-expansividade e Komuro-expansividade.

1.1

Nota¸c˜

oes e Defini¸c˜

oes

Um campo de vetores de classe C1 em M ´e uma aplica¸c˜ao com a topologia C1

X :M → R3 que, a cada ponto pM, associa um vetor X(p)TpM .Isso corresponde

a uma aplica¸c˜ao C1 X :M T M, onde TM ´e o fibrado tangente associado `a variedade

M. Denotemos por X1(M) o conjunto dos campos de vetores C1 em M.

Um fluxo de classe C1 ´e uma fam´ılia (X

t)t∈R de difeomorfismos de classe C1 que

satisfazemX0 =Id:M →M eXt+s =XtoXs para quaisquer t, s ∈R. Dado um campo

de classeC1, desde queX ´e definido emM, comM compacta, X ´e limitado, ent˜ao existe

um ´unico fluxo e Xt definido para todo t ∈ R associado ao campo, solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

diferencial d

dtx=X(x) sujeita a uma condi¸c˜ao inicial.

Defini¸c˜ao 1.1.1 (Conjuga¸c˜ao de campos). Sejam X : U → Rn e Y : V Rncampos

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vetoriais de Rn, e sejam ϕ :D U e ψ : ˆD V os fluxos gerados respectivamente por

X e Y. Diz-se queX ´e topologicamente conjugado a Y quando existe um homeomorfismo

h : U → V tal que h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)), ∀(t, x) ∈ D. h ´e dita conjuga¸c˜ao topol´ogica entre X e Y.

Dizemos que p∈M ´esingularidade para X se X(p) = 0, ou um ponto fixo para o fluxo Xt, isto ´e, Xt(p) =p para qualquer t ∈R. Caso contr´ario, p ´e dito ponto regular

para o campo X.

Defini¸c˜ao 1.1.2 (Singularidade hiperb´olica). Dado um campo de vetores Ck, X : U

Rm, uma singularidade pU de X ´e dita hiperb´olica se a equa¸c˜ao determinada pela sua

parte linear DX(p) ∈ L(Rm) ´e hiperb´olica(isto ´e, se os autovalores de DX(p) tˆem parte

real n˜ao nula).

Uma´orbita de um pontoq∈M ´e o conjuntoO(q) = {Xt(q);t∈R}. Uma´orbita

peri´odica de X ´e uma ´orbita O(p) tal que XT(p) =p para algum n´umero m´ınimo T >0.

Uma´orbita fechada deX ´e uma singularidade ou uma ´orbita peri´odica de X.

Sep∈M e [a, b]⊂Rent˜ao umsegmento de orbita {Xt(p);at b}´e denotado

porX[a,b](p).

O conjunto ω−limite de um ponto p ∈ M,ω(p), ´e o conjunto { q ∈ M: q = limtn→∞Xtn(p) para alguma sequˆencia tn}. O conjunto α−limite de um ponto p, α(p), ´e o ω−limite dep para o campo−X.

Um conjunto Λ⊂M ´e:

• Invariante , se Xt(Λ) = Λ, ∀t ∈R;

• Transitivo, se Λ =ω(p) para algump∈M;

• N˜ao trivial, se Λ n˜ao ´e uma ´orbita fechada de X;

• Isolado, se existe uma vizinhan¸ca compacta U de Λ tal que

Λ = ΛX(U) =

\

t∈R

Xt(U)

U ´e chamado bloco isolante;

• Sumidouro, se este ´e isolado e tem um bloco isolante positivamente invariante U, isto ´e,

Xt(U)⊂U ∀t >0

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Uma aplica¸c˜aoF :A→M,A⊂R2, de classeC2´e umase¸c˜ao transversal local ao

campoX seDF(a)R2 eX(F(a)) geramR3 para qualqueraA. Dizemos que Σ =F(A)

´e a se¸c˜ao transversal quando F :A →F(A) ´e uma bije¸c˜ao e sua inversa de classe C2, ou

seja, disco mergulhado C2 transversal aX em todo ponto.

Um Mapa de Poincar´e´e um mapa cont´ınuo R: Σ→Σ′ entre se¸c˜oes transversais Σ e Σ′ que associa cada x∈Σ o seu primeiro retorno Xt(x)(x) `a se¸c˜ao Σ

′ .

Seja X um conjunto e A ⊂ P(X),A 6=∅,A ´e uma σ−algebra se e s´o se:

i) ∅ ∈ A

ii) Se A1, A2 ∈ A ent˜ao A1∪A2, A1∩Ac2 ∈ A

iii) X ∈ A

Al´em disso, se tais uni˜oes e interse¸c˜oes acima podem ser enumer´aveis dizemos queA ´e uma σ−´algebra.

Seja X um conjunto e A σ−´algebra. Seja µ uma aplica¸c˜ao definida em A, µ :

A →[0,∞], satisfazendo as seguintes propriedades:

i) µ(∅) = 0

ii) µ(S∞i=1Ai) = P∞i=1µ(Ai), comAi ∈ A ∀i e disjuntos dois a dois.

Dizemos que a aplica¸c˜ao µ definida acima ´e uma medida em X e chamamos a terna (X;A;µ) de espa¸co de medida. Uma medida µ´e σ−finita se podemos escrever X como uma uni˜ao enumer´avel X = Sn=0An, com µ(An) < ∀n ∈ N. Quando µ(X) = 1,

dizemos que µ´e medida de probabilidade e (X;A;µ) ´e um espa¸co de probabilidade. Dizemos que T : X → X ´e uma transforma¸c˜ao mensur´avel se T−1(A) ∈ A

∀A ∈ A. Quando µ(T−1(A)) = µ(A) A ∈ A, dizemos que T preserva medida ou

simplesmente queµ´eT−invariante.

Seja (X;A;µ) um espa¸co de medida e seja T uma transforma¸c˜ao que preserva medida. Um conjunto A ∈ A ´e dito T−invariante se T−1(A) = A. Dizemos que T ´e

erg´odica(ou que a medida ´e erg´odica em rela¸c˜ao a T) se e s´o se todo conjuntoT−invariante possui medida 0 ou 1.

Uma propriedade se diz satisfeita em quase todos os pontos (q.t.p.), se o conjunto dos pontos onde a propriedade n˜ao ´e satisfeita tem medida nula.

Seja (X;A;µ) um espa¸co de medida, (X′;A′) um espa¸co mensur´avel e T :X →

X′ uma aplica¸c˜ao mensur´avel. A medida transportada deµporT ´e a medidaµ′ :=T∗µ:

A′ →[0; +] definida por:

µ′(A′) :=µ(T−1(A′)), A′ ∈ A′

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Sejam µ e ν duas medidas num espa¸co mensur´avel (X;A). Dizemos que ν ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ se µ(A) = 0 implica ν(A) = 0, qualquer que seja A o conjunto mensur´avel. Neste caso escrevemos ν ≪ µ. Caso tenhamos µ(A) = 0 se e somente seν(A) = 0, dizemos que µ´e equivalente a ν e escrevemosµ∼ν.

Chamamos suporte da medida µo conjunto dos pontos tais que toda vizinhan¸ca tem medida positiva para µe este ´e denotado por

supp(µ) ={x; para todo abertoV ∋x;µ(V)>0}.

Quandoµ´e invariante para Xt a bacia deµa qual denotamos por B(µ) ´e o conjunto dos

pontos tais que

lim

t→∞

1 t

Z t

0

h(Xs(x))ds =

Z

hdµ

para toda fun¸c˜ao cont´ınuah:X →R. Note que a bacia sempre ´e um conjunto invariante.

Uma probabilidade invariante µ ´e uma medida S.R.B.( Sinai-Ruelle-Bowen ), conhecida tamb´em como medida f´ısica do fluxo {Xt}t∈R se os pontos que satisfazem a

m´edia de Birkoff tem medida de Lebesgue positiva, isto ´e, Leb(B(µ))>0.

1.2

Ferramentas

Nesta se¸c˜ao apresentaremos as principais ferramentas utilizadas no decorrer do texto. Para maiores detalhes sobre os resultados aqui apresentados o leitor poder´a con-sultar [C04] e [M83].

O Teorema abaixo descreve o comportamento local das ´orbitas na vizinha¸ca de um ponto regular.

Teorema 1.2.1 (Fluxo Tubular). Seja p um ponto n˜ao singular de um campo X : U →

Rn de classe Ck.Ent˜ao, existe uma vizinhan¸ca V de p em U e um difeomorfismo Ck

F : (−ǫ, ǫ)×B →V, ondeǫ >0e B ´e uma bola emRn−1 tal que F ´e umaCk-conjuga¸c˜ao

entre o campo constante Y : (−ǫ, ǫ)×B →Rn dado por Y (1,0, ...,0)Rn e o campo

X |V .

O pr´oximo resultado responde todas a quest˜oes relativas `a dinˆamica assint´otica das solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferencias ordin´arias autˆonomas em variedades compactas de dimens˜ao dois.

Teorema 1.2.2 (Poincar´e-Bendixson). Seja Sejam M uma variedade compacta de di-mens˜ao dois, X ∈X(M2), um campo de vetor com um n´umero finito de singularidades e

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1. ω(p)´e uma ´unica singularidade;

2. ω(p)´e uma ´unica ´orbita peri´odica;

3. ω(p)consiste de um n´umero finito de singularidadesσ1, σ2, ..., σn e ´orbitas regulares

γ ∈ω(p) tais que α(γ) = σi e ω(γ) =σj para algum i, j = 1,2, ..., n.

O passo seguinte ´e apresentar o resultado mais geral de classifica¸c˜ao topol´ogica de campos em vizinhan¸ca de singularidades.

Teorema 1.2.3 (Grobman-Hartman para campos). Seja X :V ⊂Rm Rm um campo

Ck(k 1)e puma singularidade hiperb´olica deX. Seja L=DX

p. Ent˜aoX ´e localmente

topologicamente conjugado a L, em vizinhan¸ca de p e 0∈Rn, respectivamente.

Seja Cc(X) ={f :X →R;f cont´ınua com suporte compacto} e o suporte de f

´e o conjunto supp(f) = f echo(x∈X;f(x)6= 0).

Teorema 1.2.4 (Riesz-Markov,[C04]p´ag.136). Seja X um espa¸co m´etrico localmente compacto σ-compacto. Seja Φ : Cc(X) → R um operador linear positivo. Ent˜ao, existe

uma ´unica medida borelianaµ em X tal que Φ(f) =RXf dµ,∀f ∈Cc(X).

Teorema 1.2.5 (Oseledets). Seja µ uma medida (Xt)t∈R-invariante e erg´odica. Ent˜ao

existek ≥0 tal que TxM =Ex1⊕Ex2⊕...⊕Exk para x q.t.p. tal que

lim

t→∞

1

t logkDXt(x)vk=λi∀v ∈E

i\0.

Os valores λ1, ..., λn s˜ao ditos expoentes de Lyapunov para (Xt, µ) e os espa¸cos

Ei

x s˜ao invariantes pela DXt e variam mensuravelmente com x. A decomposi¸c˜ao acima

TxM =Ex1 ⊕Ex2 ⊕...⊕Exk ´e chamada de decomposi¸c˜ao de Oseledets. Uma medida µ ´e

dita ser hiperb´olica para o fluxoXt se todos os expoentes de Lyapunov s˜ao n˜ao nulos.

Um dos grandes objetivos dos sistemas dinˆamicos est˜ao relacionados com o estudo do comportamento das ´orbitas de algumas transforma¸c˜oes. Esse estudo pode ser feito com o aux´ılio de alguma fun¸c˜ao.

Dada uma transforma¸c˜ao T que preserva medida de um espa¸co (X,A, µ) e uma fun¸c˜ao integr´avelϕ :X →R, em quais condi¸c˜oes o limite

lim

n→+∞

ϕ(x) +ϕ(T(x)) +...+ϕ(T−1(x))

n (1.1)

existe e ´e o mesmo em q.t.p.?

(22)

Teorema 1.2.6 (Teorema Erg´odico de Birkhoff). Sejam (X;A;µ) um espa¸co de medida e T :X uma transforma¸c˜ao que preserva medida. Ent˜ao, o limite

ˆ

ϕ(x) = lim

n→∞ 1 n n−1 X j=1

ϕ(Tj(x))

existe em µ−q.t.p. x∈X dada qualquer fun¸c˜ao integr´avel ϕ:X →R.

Assim, sob tais condi¸c˜oes, podemos dizer que, para qualquer fun¸c˜ao integr´avel, a media temporal sobre toda ´orbita, ˆϕ(x), coincide com a m´edia espacial,RXϕdµ, da fun¸c˜ao. Al´em disso, a pr´oxima proposi¸c˜ao garante, entre outras coisas, que se µ ´e uma medida erg´odica, ent˜ao

ˆ ϕ = 1

µ(X)

Z

X

ϕdµ.

Proposi¸c˜ao 1.2.7 ([M83]p´ag. 130). As seguintes propriedades s˜ao equivalentes: 1. T ´e erg´odica;

2. Se ϕ ∈L1(X)´e T−invariante ent˜ao ϕ ´e constante em q.t.p.; 3. Se ϕ ∈Lp(X)´e Tinvariante ent˜ao ϕ ´e constante em q.t.p.;

4. Para todo A, B ∈ A vale lim1nPn−m=01 µ(T−m(A)B) = µ(A)µ(B);

5. Para toda ϕ∈ L1(X), ϕˆ= 1

µ(X)

R

Xϕdµ q.t.p.

Teorema 1.2.8(Teorema Erg´odico de Birkhoff para fluxos). SejamXt:R×M →M um

fluxo de uma campo de vetores completo X, e µ uma medida de probabilidade invariante e erg´odica para Xt. Ent˜ao para cada fun¸c˜ao h integr´avel

Z

hdµ= lim

t→∞

1 t

Z t

0

h(Xs(x))ds µ−q.t.p. x∈M.

1.3

Conjuntos Hiperb´

olicos-singulares

Defini¸c˜ao 1.3.1. Um conjunto compacto invarianteH ⊂M de X ´e hiperb´olico se existe uma decomposi¸c˜ao continua e DXt-invariante do fibrado tangente de M sobre H

THM =EHs ⊕E c H ⊕E

u H

e existem constantes K >0 e 0< λ <1 tais que

• kDXt|Esk≤Kλt,∀t >0;

• kDX−t|Euk≤Kλt,∀t >0;

• Ec

(23)

Nestas condi¸c˜oes dizemos que o subfibrado Es ´e (K, λ)- contrator enquanto o

subfibrado Eu ´e (K, λ)-expansor.

Defini¸c˜ao 1.3.2. O conjunto

Wss(p) = {q∈M :dist(Xt(q), Xt(p))→0; quando t →+∞}

´e chamado Variedade Est´avel forte do ponto p para o campo X.

Teorema 1.3.3(Teorema da Variedade Est´avel). SejaX ∈Xk(M). Seja H um conjunto

hiperb´olico invariante para X. Ent˜ao existe um ǫ > 0 tal que para cada p ∈ H existem discos mergulhados Wss

ǫ (p) e Wssǫ (p) os quais s˜ao tangente a Eps e Eps respectivamente.

O conjunto Wss

ǫ (p) ´e chamado variedade est´avel local de p para o campo X que

´e um conjunto Wss

ǫ (p) ={q ∈M :dist(Xt(q), Xt(p))→0; quando t →+∞e dist(Xt(q), Xt(p))≤ǫ}

Al´em disso, a variedade est´avel forte de um ponto ppara um campo X pode ser obtida como

Wss(p) = [

t≥0

X−t(Wssǫ (Xt(p)))

Agora, definimos avariedade est´avel do pontoppara o campo X como o conjunto Ws(p) = [

t∈R

Xt(Wssǫ (p))

que ´e tangente aEsEc e depende continuamente com respeito a p.

Analogamente, definimos variedades inst´aveis forte,inst´avel local e inst´avel. Uma ´orbita fechada de X ´e hiperb´olica se ´e um conjunto hiperb´olico visto como um conjunto compacto invariante deX. Um conjunto hiperb´olicoH´e tipo sela se Es

x6= 0

eEu

x 6= 0 para todo x∈H. Um exemplo simples de um conjunto hiperb´olico tipo sela de

um fluxo 3-dimensional ´e a suspens˜ao do difeomorfismo ferradura de Smale em S2, para maiores detalhes consultar [PT93].

Defini¸c˜ao 1.3.4. Seja Λ ⊂ M um conjunto compacto e invariante por X. Uma de-composi¸c˜ao cont´ınua e DXt-invariante do fibrado tangente de M sobre Λ, da forma

TΛM =EΛs⊕EΛcu´e uma decomposi¸c˜ao dominada, se existem constantesC >0e0< λ <1

tais que

kDXt|Es

xkkDX−t|EXtcu(x)k≤Cλ

t

,∀x∈Λ,∀t >0

Defini¸c˜ao 1.3.5. Um conjunto compacto invariante Λ de X ´e parcialmente hiperb´olico, se este exibe uma decomposi¸c˜ao dominada TΛM =EΛs ⊕EΛcu tal que

kDXt |Es

xk≤Cλ

t

(24)

Defini¸c˜ao 1.3.6. Dizemos que um conjunto Λ parcialmente hiperb´olico expande volume no subfibrado central, se |det(DXt)|Ecu

x |≥C

−1λ−t para xΛ e t >0.

Defini¸c˜ao 1.3.7. Um conjuntoΛcompacto invariante deXcom singularidades ´e singular-hiperb´olico paraX se Λ ´e parcialmente hiperb´olico, expande volume no subfibrado central e cada singularidade em Λ ´e hiperb´olica.

O exemplo mais representativo de conjunto singular-hiperb´olico ´e o atrator de Lorenz geom´etrico, gra¸cas a Tucker que provou em [T99] que as equa¸c˜oes do Lorenz exibem um atrator singular-hiperb´olico para certos valores representativos dos parˆametros.

1.4

Modelo Geom´

etrico para as equa¸c˜

oes do Lorenz

Nesta se¸c˜ao, descreveremos rapidamente a constru¸c˜ao do Modelo Geom´etrico do Lorenz. Consequentemente definiremos a aplica¸c˜ao unidimensional do Lorenz, enunciando suas principais propriedades. Para maiores detalhes ver [GH90] e [S82].

O atrator do modelo geom´etrico do Lorenz, ou simplesmente atrator geom´etrico do Lorenz, ´e um atrator emR3∪ {∞} (3-esfera) que tem como bloco isolante um bitoro

s´olidoU em R3. O modelo geom´etrico do Lorenz ´e motivado pelo campo de Lorenz

       ˙

x(t) = −σx+σy σ= 10 ˙

y(t) = ρx−y−xz ρ= 28 ˙

z(t) = xy−βz β = 83

numa vizinhan¸ca da origem. Pelo Teorema de Hartman-Grobman, as equa¸c˜oes s˜ao con-jugadas por um difeomorfismo `as equa¸c˜oes linearizadas numa vizinha¸ca da origem dadas por        ˙

x(t) =ax ˙

y(t) =−by ˙

z(t) =−cz

com a = λu ≈ 11,83, b = −λss ≈ 22,83 e c = −λs ≈ 2,66. Assim, as solu¸c˜oes das

equa¸c˜oes linearizadas com condi¸c˜oes iniciais (x(0), y(0), z(0)) = (x0, y0, z0) s˜ao dadas por

      

x(t) =x0eat

y(t) = y0e−bt

z(t) =z0e−ct

(25)

algum z1 fixado, at´e o momento em que x(t) seja igual a algum ±x1 fixado. Para isso,

considere as se¸c˜oes

Σ ={(x, y, z1) :|x| ≤A e|y| ≤A},

Σ′ = Σ\{(x, y, z1) :x= 0}

e

S± ={(±x, y, z) :|y| ≤B e|z| ≤B}

Sejam (x, y, z1) ∈ Σ

e T o primeiro tempo positivo para o qual a ´orbita de (x, y, z1) intercepta o planoS =S+∪S−, ent˜ao T ´e determinado por

|x|eaT =x1 ⇔eT = (

x1

|x|)

1

a

portanto

      

x(T) =x1

y(T) =y0(x|x|1)

−b a

z(T) =z0(x|x|1)

−c a

Com isso, a aplica¸c˜ao de Poincar´e, P1 : Σ

→S ´e dada por

P1(x, y) = (y(T), z(T)), onde y(T) e z(T) est˜ao descritos acima .

Note que se x > 0, ent˜ao P1(x, y) ∈ S+ e se x < 0, ent˜ao P1(x, y) ∈ S−. Como

os autovalores da aplica¸c˜ao P1, na origem, s˜ao os mesmos autovalores das equa¸c˜oes do

Lorenz e gra¸cas a forte contra¸c˜ao na dire¸c˜ao de y as regi˜oes quadradas {(x, y, z0) : 0 <

x≤A,|y| ≤A} e{(x, y, z0) : −A≤ x <0,|y| ≤ A} s˜ao levadas para regi˜oes no formato

de c´uspides em S+ e Srespectivamente. Ver figura 1.1.

Figura 1.1: Fluxo na vizinhan¸ca de um ponto fixo - C´uspides

Agora assuma uma aplica¸c˜ao de Poincar´e P2 definida em S que volta para Σ

levando linhas x= x1 em linhas z =z1 em tempo finito. Seja P =P2◦P1, P : Σ

→Σ.

(26)

Figura 1.2: Modelo Geom´etrico do Lorenz

(27)

Portanto a aplica¸c˜ao P1 leva um segmento de linha, com os mesmo valores de x

em Σ′, para um segmento de linha, com os mesmos valores de z em S e `a aplica¸c˜ao P2

leva um segmento de linha, com os mesmos valores de z em S de volta a um segmento com os mesmos valores dex em Σ. Assim, a aplica¸c˜ao P ´e da forma

P(x, y) = (L(x), G(x, y))

tal que para um ponto x2 fixado a aplica¸c˜ao G ´e uma contra¸c˜ao na dire¸c˜ao do eixo y e

|L′(x)|> 1, tendo assim uma decomposi¸c˜ao hiperb´olica, visto que P tem uma folhea¸c˜ao est´avel invariante Ws(q) para q Σ, formada por curvas com valores de x constantes

sobre Σ. Como P envia Ws(q) em Ws(P(q)) possivelmente em um valor de x diferente,

constru´ımos classes de equivalˆencia com os pontos de Σ que se situam sobre o mesmo segmento de linha Ws(q).

Escolhendo um representante de cada classe de equivalˆencia como a coordenada x do pontoq em [−A, A] obtemos a aplica¸c˜ao π : Σ→ [−A, A]. Consequentemente, P e π induzem uma aplica¸c˜aof : [−A, A]\{0} →R. Ver figura 1.3.

Assim a aplica¸c˜ao unidimensional f ´e tal que f(−x) = −f(x), tem uma ´unica descontinuidade em x = 0, f(0−) = lim

x→0−f(x) = A, f(0+) = limx→0+f(x) = −A,

f(0−) = lim x→0f

(x) = ∞ e 0 < f2(A) < f(A) < A, portanto 0> f2(A)> f(A) >

−A.

1.5

Expansividade segundo Komuro versus

Expansi-vidade segundo Bowen

Bowen e Walters, em [BW72] introduziram a defini¸c˜ao de expansividade para fluxos que, em variedades compactas e conexas sem bordo, n˜ao admitem singularidades.

Sejam C(R,R) o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas h : R R e B ={h

C(R,R) :h(R) = R, h(s)> h(t), para todo s > t, e h(0) = 0}.

Defini¸c˜ao 1.5.1. Dizemos que um fluxo Xt ´e Bowen-expansivo se para cada ǫ >0existe

δ >0 tal que para quaisquer x, y ∈M, se existe h∈B tal que

dist(Xt(x), Xh(t)(y))≤δ para todo t∈R,

ent˜ao

y ∈X[−ǫ,ǫ](x) := {Xt(x) :−ǫ≤t≤ǫ}.

(28)

Para provar que os fluxos Bowen-expansivos em variedades sem fronteiras n˜ao admitem singularidades precisaremos do seguinte resultado:

Lema 1.5.2. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes para um fluxo Xt:

i) Xt ´e Bowen-expansivo;

ii) Para todo ǫ >0, existe δ >0tal que se x, y ∈M s˜ao tais quedist(Xt(x), Xα(t)(y))< δ

para todo t∈R e algumaα B, ent˜ao y=Xt

0(x) para algum t0 ∈[−ǫ, ǫ];

iii) Para todoǫ >0, existeδ >0tal que se x, y ∈M s˜ao tais quedist(Xt(x), Xα(t)(y))< δ

para todo t∈R e alguma α:RR cont´ınua com α(0) = 0, ent˜ao y =Xt

0(x) para algum t0 ∈[−ǫ, ǫ];

Prova: Ver [O90].

Teorema 1.5.3. Seja X um campo vetorial Bowen-expansivo. Ent˜ao X n˜ao admite singularidades.

Demonstra¸c˜ao: A demostra¸c˜ao ´e por contradi¸c˜ao. Suponha queXadmite singularidade p∈M, ent˜ao p´e ponto fixo para o fluxo, isto ´e, Xt(p) =p para todo t∈ R. Fixe ǫ >0.

ComoM ´e variedade compacta, para todo δ >0 existe q∈M tal que 0< dist(p, q)< δ. Para aplicar o Lema anterior, devemos encontrar uma fun¸c˜ao α : R R cont´ınua com

α(0) = 0 tal quedist(Xt(p), Xα(t)(q))< δpara todot∈R. Definaα:R→Rporα(t) = 0

para todo t ∈ R, ent˜ao dist(Xt(p), Xα(t)(q)) = dist(p, q) < δ para todo t R, pelo item

iii) Lema anteriorq =Xt0(p) para algumt0 ∈[−ǫ, ǫ], masp´e uma singularidade, portanto

p=q, contradi¸c˜ao, visto que 0< dist(p, q).

A pergunta natural que segue ´e:

Quest˜ao 1.5.4. Podemos estender a no¸c˜ao de expansividade dada por Bowen para outra defini¸c˜ao que admita pontos fixos?

A resposta ´e positiva, em [Kom84] Komuro extendeu a defini¸c˜ao proposta por Bowen para outra que tem o atrator geom´etrico do Lorenz como exemplo e ent˜ao, admite singularidades.

SejaK={h∈C(R,R) :h(R) = Re h(s)> h(t)para todo s > t}.

Defini¸c˜ao 1.5.5. Dizemos que um fluxoXt´e Komuro-expansivo se para cadaǫ >0existe

δ >0 tal que para quaisquer x, y ∈M, se existe h∈ K tal que

dist(Xt(x), Xh(t)(y))≤δ para todo t∈R,

ent˜ao podemos encontrart0 ∈R tal que

(29)

Al´em disso, dizemos que um campo vetorial ´e Komuro-expansivo se o fluxo gerado por esse campo for Komuro-expansivo.

(30)

Expansividade

Como j´a foi dito acima Komuro [Kom84] provou que o atrator geom´etrico do Lorenz ´e expansivo. Um dos principais resultados apresentados aqui generaliza essa ex-pansividade para qualquer atrator hiperb´olico-singular.

Teorema 2.0.6 (A). Seja Λ um atrator singular-hiperb´olico. Ent˜ao Λ ´e expansivo.

O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e a prova deste teorema, tal prova ´e baseada na an´alise de mapas de Poincar´e, que s˜ao mapas cont´ınuos

R: Σ→Σ′ x7→Xt(x)(x)

para se¸c˜oes transversais convenientes.

A seguir, Λ ´e um atrator singular hiperb´olico de X ∈ X(M) com decomposi¸c˜ao invarianteTΛM =Es⊕Ecu com dimens˜ao de Ecu igual a dois.

Afirma¸c˜ao 2.0.7. Existe uma extens˜ao cont´ınua da decomposi¸c˜ao deTΛM,Ees⊕Eecu,para

pequena vizinhan¸ca invarianteU0 de Λ.

De fato, pelo Teorema de extens˜ao de Tietze-Urysohn aplicado `as fun¸c˜oes co-ordenadas existe tal extens˜ao cont´ınua para uma vizinhan¸ca U0, por conveniˆencia essa

vizinha¸ca pode ser tomada estritamente invariante, isto ´e, Xt(U0) ⊂ U0∀t > 0.

Con-sideremos em cada ponto q ∈ U0 a dire¸c˜ao formada pelos vetores que s˜ao fortemente

contra´ıdos pelaDXt parat positivo, tais vetores formam Ees que ´e invariante, ver [PT93]

. Mas, em geral, Eecu n˜ao ´e invariante, ent˜ao consideremos um campo de cones em torno

de U0, Cacu(x) = { v = vs +vcu; vs ∈ Eexs e vcu ∈ Eexcu com k vs k 6 a k vcu k }, que

´e invariante para a > 0 . Al´em disso podemos tomar a > 0 arbitrariamente pequeno reduzindo U0 se necess´ario.

(31)

Por um abuso de nota¸c˜ao no que se segue denotaremos Ees e Eecu por Es e Ecu

respectivamente.

2.1

Se¸c˜

ao transversal e Mapas de Poincar´

e

Nesta se¸c˜ao construiremos se¸c˜oes transversais Σ que tˆem folhea¸c˜ao de codimens˜ao um, definida dinamicamente pela intersec¸c˜ao da se¸c˜ao transversal com as variedades est´aveis para o fluxo. Posteriormente, verificaremos que tais folhas s˜ao uniformemente contratativas e a aplica¸c˜ao de Poincar´eR : Σ→Σ′ ´e uniformemente expansiva na dire¸c˜ao transversal. Em seguida, provaremos que tal folhea¸c˜ao ´e invariante (assumindo uma se¸c˜ao transversal adaptada) pela aplica¸c˜ao de Poincar´e P, mostramos tamb´em a robustez da existˆencia de se¸c˜oes adaptadas, isto ´e, existe

2.1.1

Folhea¸c˜

oes Est´

aveis em se¸c˜

oes transversais

Defini¸c˜ao 2.1.1. Dado qualquer x∈U0 defina o conjunto

Wss(x) ={y∈M :dist(Xt(x), Xt(y))→0quando t→+∞}.

Dado ǫ > 0 tome Iǫ = (−ǫ, ǫ) e denote por E1(I1, M) o conjunto de mapas

f :I1 →M dotado com a topologiaC1. Seja x∈U0 ponto regular, a pr´oxima proposi¸c˜ao

afirma que existe localmente variedades forte-est´avel invariantes e centro-inst´avel definidas em x, que s˜ao discos mergulhados tangentes aEs

x e Excu respectivamente.

Proposi¸c˜ao 2.1.2 (Variedades forte est´aveis e centro-inst´avel locais). Existem mapas cont´ınuos φss : U

o → E1(I1, M) e φcu : Uo → E1(I1 × I1, M) tal que dado qualquer

0< ǫ < 1 e x∈Uo, se chamarmos Wǫss(p) =φss(x)(Iǫ) e Wcuǫ (p) = φcu(x)(Iǫ×Iǫ),

1. TxWǫss(x) =Es(x);

2. TxWǫcu(x) = Ecu(x);

3. Wss

ǫ (x)´e uma vizinhan¸ca de x dentro de Wss(x);

4. y∈Wss(x)⇐⇒ exist T 0 tal que X

T(y)∈Wssǫ (XT(x));

5. d(Xt(x), Xt(y))< Kλtd(x, y)para todo t >0ey∈Wssǫ (x). Onde C >0e0< λ <1

s˜ao as constantes consideradas na defini¸c˜ao 1.3.4 e a distˆancia d(x, y) ´e a distˆancia entre dois pontos na variedadeWss

ǫ (x), dada pelo comprimento da menor curva suave

contida em Wss

(32)

Demonstra¸c˜ao: Ver [HPS77] O conjunto Wss

ǫ (x) ´e chamadovariedade forte est´avel local dex para o campoX

que ´e um conjunto Wss

ǫ (x) ={q∈M :dist(Xt(q), Xt(p))→0; quando t →+∞e dist(Xt(q), Xt(p))≤ǫ}

e o conjunto Wcu

ǫ (x) ´e chamado variedade forte centro-inst´avel local de x para o campo

X.

Assim avariedade est´avel forte de um pontoxpara um campoX pode ser obtida como

Wss(x) = [

t≥0

X−t(Wssǫ (Xt(x)))

Agora, definimos avariedade est´avel do pontoxpara o campo X como o conjunto Ws(x) = [

t∈R

Xt(Wssǫ (x))

que ´e tangente aEsEc e depende continuamente com respeito a x.

Seja Σ se¸c˜ao transversal ao fluxo. Para cada x ∈ Σ definimos Ws(x,Σ) como

componente conexa de WsΣ que cont´em x. Com isso definimos uma folhea¸c˜ao Fs

Σ de

Σ em subvariedades de classeC1.

Observa¸c˜ao 2.1.3.Dada uma se¸c˜ao transversalΣe um pontoxem seu interior, podemos sempre encontrar uma se¸c˜ao transversal menor, com x em seu interior, que ´e imagem de um quadrado[0,1]×[0,1]por um difeomorfismohdotada da topologia C2 que envia linhas

horizontais em folhas deFs

Σ, isto ´e, linhas horizontais[0,1]×ηs˜ao mapeadas pelo conjunto

Ws(y,Σ). Denotaremos por sΣ o espa¸co est´avel imagem de [0,1]× {0,1} e por cuΣ o

espa¸co centro inst´avel imagem de {0,1} ×[0,1]. No que segue as se¸c˜oes transversais Σ

satisfazem tal propriedade e est´a contida em U0, de modo que a cada x∈Σ, ω(x)⊂Λ.

Observa¸c˜ao 2.1.4.Em geral, n˜ao podemos escolher a se¸c˜ao transversal tal queWs(x,Σ)

Wss

ǫ (x) mas podemos considerar uma se¸c˜ao tansversal pequena em rela¸c˜ao ao ǫ, escolher

qualquer curva γ ⊂ Σ atravessando transversalmente todas as folhas de FsΣ e considerar um mapa de Poincar´e

PΣ : Σ→Σ(γ) =

[

z∈γ

Wssǫ (z)

com tempo de Poincar´e perto de zero. Ver Figura 2.1.

Este ´e um homeomorfismo sobre sua imagem, pr´oximo da identidade tal que

RΣ(Ws(x,Σ)) ⊂ Wssǫ (RΣ(x)). No que se segue se¸c˜oes transversais s˜ao as se¸c˜oes

(33)

Figura 2.1: Se¸c˜ao transversal imagem de um quadrado por um difeomorfismo

2.1.2

Hiperbolicidade dos mapas de Poincar´

e

Seja Σ uma pequena se¸c˜ao transversal ao campo X e seja R : Σ(Σ′) → Σ′ um mapa de Poincar´e definido porR(y) =Xt(y)(y) para outra se¸c˜ao (possivelmente Σ = Σ

′ ). R n˜ao precisa corresponder ao primeiro encontro na se¸c˜ao Σ′. Onde,Σ(Σ′) denota o dom´ınio do mapa de Poincar´eR de Σ para Σ′, isto ´e,

Σ(Σ′) ={x∈Σ :R(x)∈Σ′}.

Como assumimos a se¸c˜ao transversal Σ⊂U0 a decomposi¸c˜ao Es⊕Ecu sobre U0

induz uma decomposi¸c˜aoEs

Σ⊕EΣcu do subfibrado tangente TΣ para Σ definida por:

Es

Σ =Ecs∩TΣ e EΣcu =Ecu∩TΣ,

isto ´e,TyΣ =EΣs(y)⊕EΣcu(y). A pr´oxima proposi¸c˜ao afirma que para o tempo de Poincar´e

suficientemente grande a decomposi¸c˜ao do subfibrado tangente TΣ define uma decom-posi¸c˜ao hiperb´olica para o mapa de Poincar´eR em Σ|Λ.

Observa¸c˜ao 2.1.5. No que se segue, K ´e uma nota¸c˜ao gen´erica para uma constante grande que depende apenas do limite inferior dos ˆangulos entre as se¸c˜oes transversais e dire¸c˜ao do fluxo. Em todas as aplica¸c˜oes, todos esses ˆangulos e normas ser˜ao uniforme-mente limitados por zero e infinito, portanto no que segue K e t1 podem ser tomados de

maneira uniforme.

Proposi¸c˜ao 2.1.6. Seja R : Σ → Σ′ o mapa de Poincar´e. Ent˜ao DRx(EΣs(x)) =

Es

Σ′(R(x)) para todo x ∈ Σ e DRx(E

cu

(34)

disso para0< λ <1 dado existe t1 =t1(Σ,Σ

, λ)>0 tal que se t(.)> t1 em cada ponto,

ent˜ao kDR |Es

Σ(x)k< λ e kDR |EΣcu(x)k>

1

λ em todox∈Σ.

Prova: A diferencial do mapa de Poincar´e para qualquer ponto x∈Σ ´e dada por

DR(x) = PR(x)◦DXt(x)|TxΣ

onde PR(x) ´e a proje¸c˜ao ao longo do campo de vetor, que envia ERcu(x) para EΣcu′. Com

isso, provamos a invariˆancia do subespa¸co est´avel e do subespa¸co centro-inst´avel, por´em a invariˆancia do subfibrado centro-inst´avel ´e restrito ao atrator Λ, visto queEcu em geral

n˜ao ´e invariante como dito antes.

Agora provaremos a contra¸c˜ao e expans˜ao da aplica¸c˜ao R. Come¸cemos por notar quekPR(x)k ≤K.

Considere uma base {kXX((xx))k, eu

x} deExcu de vetores unit´arios, onde eux ´e um vetor

unit´ario na dire¸c˜ao deEcu

Σ(x). Como a dire¸c˜ao do fluxo ´e invariante, a matriz deDXt|(Ecu x ) em rela¸c˜ao a essa base ´e dada por:

DXt(x) |Ecu x =

kX(R(x))k kX(x)k ⋆

0 △

!

Al´em disso, 1

K det(DXt(x) |Excu)≤det(DXt(x) |Excu)≤Kdet(DXt(x)|Ecux )

m

1

K|det(DXt(x) |Excu)| ≤ |det(DXt(x) |Excu)| ≤K|det(DXt(x) |Excu)|

m

1

K|det(DXt(x) |Excu)| ≤ |

kX(R(x))k

kX(x)k △ |

| {z }

≤K|det(DXt(x) |Ecu x )|

| △ | ≥ 1

K3|det(DXt(x)|Excu)| Ent˜ao,

kDR(x)eu

xk=kPR(x)(DXt(x)(x)eux)k=kPR(x)(△eux)k=k △e u

xk=| △ |ke u

xk=| △ |

≥ 1

K3|det(DXt(x) |Excu)| como o subfibradoEcu

x expande volume temos

1

K3|det(DXt(x)|Ecux )| ≥ 1 K3λ

−t(x) 1

K3λ

(35)

para t′1 suficientemente grande temos que K13λ−t

1 > 1

λ. Portanto kDR(x)e u

xk > 1λ como

quer´ıamos mostrar.

Agora vamos provar quekDR |Es

Σ(x)k< λ. Considere os vetores unit´ariose

s x ∈Exs

e ˆes

x ∈EΣs(x) e escrevaesx =axeˆsx+bx X(x)

kX(x)k, ent˜ao

kDR(x)ˆes

xk=kPR(x)(DXt(x)(x)ˆesx)k=kPR(x)(DXt(x)(x)(

1 ax

(es x−bx

X(x)

kX(x)k))k=

= 1

|ax|

kPR(x)(DXt(x)(esx−bx

X(x)

kX(x)k))k=

1

|ax|

kPR(x)(DXt(x)esx−DXt(x)bx

X(x)

kX(x)k)k=

= 1

|ax|

kPR(x)(DXt(x)esx)k.

Uma vez que∢(Es

x, X(x))≥∢(Exs, Excu) (∢(Exs, Excu) ´e uniformemente limitado pelo zero)

temos que|ax| ≥k para algumk que depende apenas do fluxo. Ent˜ao como h´a contra¸c˜ao

do fibradoEs

x por DXt

1

|ax|

kPR(x)(DXt(x)esx)k ≤

K kλ

t(x) K

k λ

t′′1

kDR |Es

Σ(x)k ≤

K k λ

t′′1

.

Portanto , para t′′1 suficientemente grande temos que K kλ

t′′1 < λ. Para concluir tome

t1 = max{t

1, t

′′

1}.

Dada uma se¸c˜ao transversal Σ, um n´umero positivoρpequeno e um pontox∈Σ definimos o cone-inst´avel de largura ρ em x por

Cρu(x){v =v s

+vu :vs∈EΣs(x), vu ∈EΣcu(x) e kvsk ≤ρkvuk}.

Em consequˆencia da proposi¸c˜ao anterior assumiremos a vizinha¸ca U0 escolhida

suficientemente pequena, dependendo deρ e do limite sobre os ˆangulos entre o fluxo e as se¸c˜oes transversais. Por tanto segue o seguinte corol´ario.

Corol´ario 2.1.7. Para qualquerR: Σ→Σ′ como acima, comt(.)> t1, e qualquerx∈Σ,

temos DR(x)(Cu

ρ(x))⊂Cuρ

2(R(x)) e kDRx(v)k≥

5 6λ

−1 kv k para todo v Cu ρ(x).

Prova: Inicialmente note que a estimativa de expans˜ao conclus˜ao do corol´ario j´a ´e ga-rantida pela proposi¸c˜ao anterior, basta que ,como feito anteriormente, tomar t′1 tal que K−3λ−t1 > 5

(36)

Para pontos do atrator Λ a prova est´a conclu´ıda, visto que pela proposi¸c˜ao an-terior temos que DRx(Cρu(x)) est´a contido num cone de largura menor que ρ (supor que

seja ρ4) em torno de DR em rela¸c˜ao a decomposi¸c˜ao TR(x)Σ

=DR(x)(Es

Σ(x))⊕DR(x)(EΣcu(x))

onde Es

Σ ´e mapeado para EΣs′ e E

cu

Σ ´e mapeado para EΣcu′, para pontos do atrator como

visto anteriormente.

Para provar o caso geral, temos que mostrar que DR(x)(Ecu

Σ (x)) pertence a um

cone-inst´avel de largura menor que ρ4 em torno de Ecu

Σ′(R(x)).

Considere um campo de cones em torno de Ecu

x como na afirma¸c˜ao 2.0.6, assim

paraa >0 temos a invariˆancia dada porDXt(Cacu(x))⊂ Cacu(Xt(x)) para todot >0. Por

outro lado

DXt(x)(EΣcu(x))⊂DXt(x)(Excu)⊂DXt(x)(Cacu(x))⊂ C cu

a (R(x))

DR(x)(EΣcu(x)) =PR(x)◦DXt(x)(EΣcu(x))⊂PR(x)(Ccua(R(x))).

Como P mapeia Ecu

R(x) para EΣcu′(R(x)) e tem sua norma limitada por alguma constante

K, concluimos que DR(x)(Ecu

Σ (x)) est´a contido em um cone de largura b em torno de

Ecu

Σ′(R(x)), onde b depende de a e K e pode ser tomado t˜ao pequeno quanto queira,

reduzindo a, que por sua vez ser´a pequeno reduzindo U0. Portanto, reduzindo U0 se

necess´ario, podemos tomar a pequeno tal que b < ρ4.

2.1.3

Se¸c˜

ao transversal adaptada

Visto que, pelos resultados anteriores j´a garantimos a hiperbolicidade dos mapas de Poincar´e, o pr´oximo passo ´e expor variedades est´aveis para tais mapas. Os candidatos naturais s˜ao as interse¸c˜oes Ws(x,Σ) definidas anteriormente como componente conexa de

WsΣ que s˜ao tangentes aos subespa¸cos Es

Σ. A existˆencia destas variedades ´e garantida

pela escolha da extens˜ao Efs DX

t−invariante, para garantir a invariˆancia pela aplica¸c˜ao

Rprecisaremos restringir a classe de se¸c˜oes tranversais a uma classe cuja fronteira centro-inst´avel ´e disjunta de Λ, isto ´e, d(Λ ∩ Σ, ∂cuΣ) > δ, que denominamos como se¸c˜oes

transversaisδ-adaptadas. Ver Figura 2.2.

A fim de provar a existˆencia de tais se¸c˜oes transversais, precisaremos dos dois seguintes resultados, a demostra¸c˜ao de tais fatos podem ser encontrados em [MPPuj04].

(37)

Figura 2.2: Se¸c˜ao transversal δ-adaptada

acumulada por ´orbitas regulares deX em Λ. Al´em disso, se verifica o seguinte para X ou

−X: cada singularidade acumulada σ de Λ ´e do tipo Lorenz e satisfaz

Λ∩Wss(σ) ={σ}.

Al´em disso foi provado que os conjuntos compactos invariantes sem singularidades contidos num conjunto hiperb´olico-singular s˜ao hiperb´olicos. Mais precisamente.

Proposi¸c˜ao 2.1.9 ([MPPuj04] Proposi¸c˜ao 1.8). Seja Λ um conjunto hiperb´olico-singular deX e Λ′ ⊂Λ um conjunto invariante para X tal que Λ′ n˜ao tenha sigularidades. Ent˜ao

Λ′ ´e hiperb´olico. Em particular qualquer ´orbita peri´odica de X em Λ ´e hiperb´olica de tipo sela.

Lema 2.1.10. SeΛ´e um atrator hiperb´olico-singular, ent˜ao qualquer x∈Λ est´a no fecho de Wss(x)\Λ.

Prova: A prova ´e por contradi¸c˜ao, vamos supor que existe x ∈ Λ tal que x est´a no interior de Ws(x,Σ). Seja α(x)Λ seu conjunto α-limite. Uma vez que qualquer parte

compacta da variedade forte est´avel de z ´e acumulada por iterados passados de toda vizinha¸ca pequena de x dentro de Wss(x), temos

Wss(z)⊂Λ para todo z ∈α(x)

ent˜ao, pelo TeoremaB z, n˜ao ´e uma singularidade. Comoz´e arbitr´ario, α(x) n˜ao cont´em qualquer singularidade. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.8 o conjunto invariante α(x) ⊂ Λ ´e hiporb´olico. Por outro lado, como

(38)

temos

S = [

y∈α(x)

Wss(y)Λ que tamb´em n˜ao cont´em qualquer singularidade .

Considere agora uma ´orbita de y para tempo passado densa em Λ. Por um lado seu conjuntoα-limite ´e Λ e por outro α(y)⊂S, conclu´ımos assim que Λ⊂S, que ´e uma contradi¸c˜ao, pois Λ cont´em singularidades.

Corol´ario 2.1.11. Para qualquer x ∈Λ existem pontos x+ / Λ e x/ Λ em diferentes

componentes conexas de Wss(x)\{x}.

Prova: A prova ´e por contradi¸c˜ao. Por um lado suponha que existe x+ Λ na mesma

componente conexa de Wss\{x}, ent˜ao existiria um segmento inteiro da variedade forte

est´avel inteiramente contido em Λ. Considere um ponto no interior deste segmento, chegar´ıamos a uma contradi¸c˜ao pelo Lema 2.1.10. Repita o mesmo argumento parax−

Λ, finalizando assim a demonstra¸c˜ao.

O pr´oximo Lema exibe a constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversal δ-adaptada para x∈Λ regular.

Lema 2.1.12. Seja x∈Λum ponto regular, isto ´e, tal que X(x)6= 0. Ent˜ao existe δ >0

para o qual existe uma se¸c˜ao transversal δ- adaptada Σ em x.

Prova: Tome ǫ > 0 como na proposi¸c˜ao 2.1.2. Como visto na subse¸c˜ao 2.1.1 qualquer se¸c˜ao transversal Σ0, para x suficientemente pequena com respeito a ǫ > 0, ´e folheada

pela interse¸c˜ao Ws

ǫ(x,Σ0). Pelo corol´ario acima, podemos encontrar x+∈/ Λ ex− ∈/ Λ em

cada componente conexa de Ws

ǫ(x,Σ0). Como Λ ´e fechado, seu complementar ´e aberto,

ent˜ao existem vizinhan¸casV± de x± disjuntos de Λ de raio δ. Seja γ Σ

0 alguma curva

passando por x transversal a Ws

ǫ(x,Σ0). Podemos encontrar uma fam´ılia cont´ınua de

segmentos dentro de Ws

ǫ(y,Σ0) com y∈γ com parˆametros contidos em V±. Ent˜ao, tome

Σ como a se¸c˜ao transversal formada pela uni˜ao dos segmentos Ws

ǫ(y,Σ0) limitados por

∂cuΣ passando pelos pontos x± com yγ, ver figura 2.3.

Agora que j´a garantimos a existˆencia de se¸c˜oes δ-adaptadas, provaremos a pro-priedade de invariˆancia das folhea¸c˜oes Ws(x,Σ)pela aplica¸c˜ao R.

Lema 2.1.13. Dado δ > 0 e Σ,Σ′ se¸c˜oes transversais δ-adaptadas, ent˜ao existe t2 =

t2(Σ,Σ

)>0 tal que seR : Σ(Σ′)→Σdefinido por R(z) = Rt(z)(z)´e o mapa de Poincar´e

(39)

Figura 2.3: Constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversalδ-adaptada de um ponto regular x

1. R(Ws(x,Σ)) Ws(R(x),Σ)

2. d(R(y), R(x))≤ 1

2d(y, z) para y,z ∈W

s(x,Σ) e xΣ(Σ).

Prova: Seja ˆes

x ∈EΣs como na proposi¸c˜ao 2.1.6, ℓ denotando o comprimento de curvas e

K = sup{ℓ(Ws(x,Σ)), xΣ}ent˜ao

kDR(x)ˆesxk ≤

K k λ

t′′1

o que implica que a dire¸c˜ao da tangente de cada Ws(x,Σ) ´e contra´ıdo a uma taxa

expo-nencial. Por outro lado como Σ ´e uma se¸c˜ao δ-adaptada temos que sup{ℓ(Ws(x,Σ)), xΣ}> δ

escolhat′2 suficientemente grande tal que 1

t′2sup{ℓ(Ws(x,Σ)), xΣ}< δ

1 kλ

t′2K < δ

portanto

kDR(x)ˆes xk ≤

K k λ

t′′1 K

t′2 < δ.

Concluindo assim a prova do item (1), para a prova do item (2) basta considerar t′′2 suficientemente grande tal que K

kλ t′′2 < 1

2. Para conclus˜ao da prova tome t2 = max{t

2, t

′′

2}.

(40)

Observa¸c˜ao 2.1.14. Podemos tomar t2 > t1, e t2 pode ser tomado de maneira uniforme

como t1, ver observa¸c˜ao 2.1.5.

Por fim o pr´oximo resultado conclui a prova de que Ws(x,Σ) s˜ao variedades

est´aveis para a aplica¸c˜ao R.

Lema 2.1.15. Seja Σ uma se¸c˜ao δ-adaptada. Ent˜ao, dada R+ r > 0 existe ρ tal que

dist(y, z) < ρ implica que d(Xs(y), Xs(z)) < r para todo s > 0, cada y, z ∈ Ws(x,Σ) e

cada x∈Λ∩Σ.

Prova: Sejam y, z ∈Ws(x,Σ), como assumimos se¸c˜oes transversais tais que Ws(x,Σ)

Wss

ǫ (x), podemos encontrarz

=Xτ(z)∈Wss(y) satisfazendo

1

Kd(y, z)≤dist(y, Xτ(z))≤Kd(y, z) e |τ| ≤Kd(y, z) Ent˜ao, dado ǫ >0

dist(Xs(y), Xs(z)) ≤ dist(Xs(y), Xs(z

)) +dist(Xs(z

), Xs(z))

≤ Ceγsdist(y, z) +dist(X

s(Xτ(z)), Xs(z))

≤ CeγsKd(y, z) +dist(X

s+τ(z), Xs(z))

≤ CeγsKd(y, z) +|τ|

≤ CeγsKd(y, z) +K|τ|

≤ CKd(y, z) +K|τ| ≤ CKd(y, z) +KKd(y, z)

≤ (CK +K2)d(y, z) < (CK +K2)ρ < r

sempre que ρ < r

(KC+K2).

Para cada se¸c˜ao Σ δ-adaptada temos o seguinte:

Lema 2.1.16. Dada uma se¸c˜ao Σ δ-adaptada para o campo X existe vizinhan¸ca U0 em

X1(M) do campo X tal que para todo campo de vetores Y ∈ U0 a se¸c˜ao transversal Σ ´e

δ

2-adaptada ao campo Y em rela¸c˜ao ao sumidouro ΛY(U).

Prova: Precisamos mostrar que dada uma se¸c˜ao Σ δ-adaptada para o campo X, esta mesma se¸c˜ao ´e tamb´em adaptada para o campoY ∈X1(M) suficientementeC1 pr´oximo

de X. Pelo Lema 2.3 em [AP10] ΛX(U) e ΛY(U) est˜ao perto na distˆancia de Hausdorff

se X e Y est˜ao perto na distˆancia C0. Assim, se Σ ´e uma se¸c˜ao δ-adaptada podemos

encontrar uma vizinhan¸ca U0 em X1(M) de X tal que Σ ´e uma se¸c˜ao δ

2-adaptada para

todo fluxoYt gerado pelo campo emU0.

(41)

Figura 2.4: Existˆencia de Variedades est´aveis para o mapa de Poincar´e

2.2

Vizinhan¸ca de Singularidade

Nesta se¸c˜ao analisaremos o fluxo perto das singularidades por meio das se¸c˜oes transversais apresentando os principais resultados.

Defini¸c˜ao 2.2.1. Uma singularidade σ de um campo X ´e do tipo Lorenz se seus autova-lores associados λ1,λ2,λ3 s˜ao reais e em alguma ordem satisfazem a seguinte rela¸c˜ao:

λ2 < λ3 <0<−λ3 < λ1.

Uma singularidade do tipo Lorenz ´e hiperb´olica, e assim, Wss(σ), Wu(σ) e Ws(σ)

existem.

Como j´a citado anteriormente, por [MPPuj04] temos que num atrator singular-hiperb´olico todas as singularidadesσk s˜ao do tipo Lorenz e Wss(σk)∩Λ ={σk}.

Para algum δ >0 podemos escolher se¸c˜oes transversais δ-adaptadas contidas em U0 de pontos regulares

• Σ0,± nos pontos y± em difentes componentes conexas de Wu

loc(σk)\σk;

• Σi,± nos pontos x± em difentes componentes conexas de Ws

loc(σk)\Wssloc(σk).

e mapas de Poincar´eR±: Σi,±\±Σ0,+Σ0,−com tempoτ±

σk, ondeℓ

± = Σi,±Ws loc(σk)

satisfazendo

(42)

2. Os mapas R± ligam difeomorficamente cada componente de Σi,±\± dentro de

di-ferentes se¸c˜oes transversais Σ0,± preservando as folhea¸c˜oes est´aveis e cones inst´aveis

correspondentes.

As se¸c˜oes transversais Σ0,± e Σi,± podem ser tomadas como planares em rela¸c˜ao a algum

sistema de lineariza¸c˜ao de coordenadas perto deσk, por exemplo, para δ pequeno

Σ0,±={(x, y, z) :|x| ≤δ,|y| ≤δe|z| ≤δ}

e

Σi,±={(x, y, z) :|x| ≤δ,|y| ≤δe|z| ≤δ}

onde o eixo-x corresponde a variedade inst´avel de σk, o eixo-y a variedade forte-est´avel

e o eixo-z a variedade est´avel fraca da singularidade σk, que por sua vez est´a na origem.

Ver Figura 2.5.

Figura 2.5: Se¸c˜oes transversais adaptadas na vizinhan¸ca de uma singularidade Reduzindo a se¸c˜ao transversal, se necess´ario, garantimos que o tempo de Poincar´e ´e maior que t2. De modo que as mesmas conclus˜oes da se¸c˜ao anterior s˜ao consequˆencias

aqui. E assim como foi feita na se¸c˜ao 1.3 ´e f´acil determinar o tempo que uma ´orbita leva para sair da se¸c˜ao Σi,± at´e chegar em Σ0,±, determinando assim, a express˜ao do mapa de

Poincar´e,R±, e o seu tempo,τ± σk .

Afirma¸c˜ao 2.2.2. τ∓

σk ´e integr´avel com respeito a medida de lebesgue em Ξ.

Como vimos anteriomente, podemos facilmente determinar o tempo de poincar´e na vizinhan¸ca de uma singularidade, tal tempo ´e dado por τσ∓k =

−log|x1|

λ1 . Assim,

−1 λ1

Z a

0

logxdm= lim

x→0

1 λ1

[1 x+c]

a

(43)

Para ǫ >0 pequeno definimos a caixa de fluxo por

[

σk

= [

x∈Σi,±

\ℓ±

X(−ǫ,τ±(x)+ǫ)(x)

[

(−δ, δ)×(−δ, δ)×(−1,1) (2.1)

que ´e uma vizinha¸ca aberta deσk, ondeσk ´e o ´unico zero de X |∪σk.

2.3

Prova de Expansividade

Nesta se¸c˜ao provaremos o Teorema (A), tal prova ´e por contradi¸c˜ao: Suponha que existe ǫ > 0, dada uma sequˆencia δn → 0 existem sequˆencias de pontosxn, yn em Λ

ehn sequˆencia de fun¸c˜oes emK tais que:

dist(Xt(xn), Xhn(t)(yn))≤δn para todo t∈R mas

Xhn(t)(yn)∈/ X[t−ǫ,t+ǫ](xn) para todo t∈R Vamos usar a seguinte afirma¸c˜ao:

Afirma¸c˜ao 2.3.1. Existe um conjunto A de pontos regulares pertencentes a Λ que s˜ao acumulados por uma sequˆencia ω(xn).

De fato, como o espa¸co ambiente ´e compacto existem pontos de acumula¸c˜ao, e estes pertencem ao conjunto, e al´em disso, se o conjuntoω(xn) cont´em uma singularidade

σk, ent˜ao eles acumulam pelo menos em dos ramos inst´aveis, que consiste de pontos

regulares pertencentes a Λ. Portanto existe um conjuntoA contido no ramo inst´avel que s˜ao acumulados por uma sequˆenciaω(xn). Ver figura 2.6 △

Fixe um ponto z ∈ A, e para cada n considere a subsequˆencia zn ∈ ω(xn) tal

quezn→z e para δ pequeno considere Σ uma se¸c˜ao transversal δ-adaptada em z tal que

(reduzindo δ e mantendo a mesma se¸c˜ao transversal)z est´a no interior de Σδ ={y ∈ Σ :

d(y, ∂Σ)> δ}. Como zn ∈ω(xn), a ´orbita de xn retorna infinitas vezes na vizinhan¸ca de

zn que est´a perto dez. Assim, a ´orbita de xn intersecta Σ infinitas vezes, sejatno tempo

de primeira interse¸c˜ao.

Considere yn ∈ Λ tais que dist(Xt(xn), Xhn(t)(yn)) ≤ δn∀t ∈ R e substitua xn, yn, t e hn respectivamente por x(n) = Xtn(xn), y(n) = Xtn(yn), t

= t−tn e h

n(t

(44)

Figura 2.6: Conjunto A

Figure

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