Existência e Taxas de Decaimento para uma Equação Semilinear de Segunda Ordem com Derivadas Fracionárias

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  Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática

  Pura e Aplicada

  

Existência e Taxas de Decaimento para uma

Equação Semilinear de Segunda Ordem com

Derivadas Fracionárias

  Claunei Kayser Orientador: Prof. Dr. Ruy Coimbra Charão

  Florianópolis Abril de 2018

  Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática

  Pura e Aplicada

  

Existência e Taxas de Decaimento para uma

Equação Semilinear de Segunda Ordem com Derivadas Fracionárias

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática Pura e Aplicada da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obtenção do grau de Mestre em Mate- mática, com área de concentração em Análise.

  Claunei Kayser Florianópolis

  Abril de 2018

  

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

  Kayser, Claunei Existência e Taxas de Decaimento para uma Equação Semilinear de Segunda Ordem com Derivadas

Fracionárias / Claunei Kayser ; orientador, Ruy

Coimbra Charão, 2018. 200 p.

  

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de

Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2018.

  Inclui referências.

1. Matemática Pura e Aplicada. 2. Equação tipo placas/Boussinesq. 3. Laplaciano fracionário. 4.

  Existência e unicidade de solução. 5. Taxas de decaimento. I. Charão, Ruy Coimbra. II.

Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de

Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada. III. Título. Existência e Taxas de Decaimento para uma Equação Semilinear de Segunda Ordem com Derivadas Fracionárias por

  Claunei Kayser Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do Título de “Mestre em

  Matemática”, área de concentração Análise, e aprovada em sua forma final pelo Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada.

  Prof. Dr. Ruy Coimbra Charão Coordenador do Curso de Pós-Graduação

  Comissão Examinadora: Prof. Dr. Ruy Coimbra Charão (Orientador)

  Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Prof. Dr. Marcio Antonio Jorge da Silva

  Universidade Estadual de Londrina - UEL Prof. Dr. Cleverson Roberto da Luz

  Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Prof. Dr. Paulo Mendes de Carvalho Neto

  Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Florianópolis, abril de 2018.

  De que me irei ocupar no céu, durante toda a Eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de Matemática para resolver? (Augustin Louis Cauchy)

  Agradecimentos

  Agradeço a Deus, mestre supremo do universo, pelo conhecimento, por iluminar minha mente e me guiar em Seu caminho. Ao professor Ruy, pela orientação e por sua dedicação em toda a minha trajetória acadêmica e o mesmo tempo, pelo carinho e amizade demonstrados em todos os momentos, fundamentais para conclusão com êxito, de mais essa etapa.

  Agradeço aos mestres do departamento de Matemática com quem tive a honra de conviver e ser discipulado. Sobretudo aos professores Cleverson, Danilo e Ruy, que me motivaram e encaminharam ao estudo da Análise e das Equações Diferenciais.

  Aos meus pais Teodoro (em memória) e Maria e aos meus irmãos Ronei e Valmei, pelo estímulo e inabalável esteio e mansidão que me encorajaram a seguir adiante em meus propósitos.

  Um agradecimento especial à minha namorada Elizandra, pela pa- ciência, compreensão, carinho e incondicional apoio emocional e espiri- tual, sobretudo quando as tribulações turvaram o horizonte.

  Agradeço à Fundação de Amparo à Pesquisa e Inovação do Estado de Santa Catarina – FAPESC, pelo apoio financeiro, o que possibilitou a realização deste trabalho.

  Resumo

  Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções para um problema de Cauchy associado a uma equação semilinear do tipo placas/Boussinesq generalizada, com efeitos dissipativos e potências fracionárias do operador Laplaciano. Além disso, estudamos taxas de

  

2

decaimento da solução na norma L e da energia associada ao sistema.

  Mostramos que as taxas de decaimento dependem das potências fraci- onárias do operador Laplaciano que definem a equação de evolução de segunda ordem no tempo.

  Palavras-chave: Equação tipo placas/Boussinesq. Laplaciano fra- cionário. Existência e unicidade de solução. Taxas de decaimento.

  Abstract

  In this work we study the existence and uniqueness of solutions for a Cauchy problem associated with a generalized plate/Boussinesq se- milinear type equation with dissipative effects and fractional Laplacian

  2

  operators. In addition, we study decay rates of the solution in L norm and of the energy associated with the system. We show that the decay rates depend on the fractional powers of the operators that define the fractional second order evolution equation.

  Keywords: Plate/Boussinesq type equation. Fractional Laplacian. Existence and uniqueness of solution. Decay rates.

  Sumário

  17

  31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  30

  28 . . . . . . . . . .

  27 . . . . . . . . . . . . . .

  26 . . . . . . .

  25 . . . . . . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19

  . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

  

  

  . . . . . . . . . . .

  7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

  

  

  15

  12 . . . . . . . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . . .

  

  

  

  

  11

  9 . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 . . . . . . . . . . . . . .

  8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  33

   . . . . . . . . . . . . 108

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  89

  

  

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . 102

  . . . . . . . . . . . . . 106

  

   . . . . . . . . . . . . . . 106

  

  

  . . . . . . . . . . . . . 88

  

  

   . . . . . . . . . 114

  . . . . . . . . . . . . . 117

   125

  . . . . . . . . . . . . . . . 126

  . . . . . . . . . . . . . . . . 127

  

   . . . . . . . . . . . . . . 138

  . . . . . . . . . . . . . . . 149

  

  79

  . . . . . . . . . . . . . . . . 155

  . . . . . . . . . . . .

  

  43

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  47

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

  

  

   . . . . . . . . . . . . . .

  59

  65

  79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  67

  

  

   . . . . . . . . . . . . . .

  70

  

  . . . . . . . . . . . .

  77

  

  

   . . . . . . . . . . . 164

  

  

5 Taxas de Decaimento: Problema Semilinear 171

   . . . . . . . . . . . . . . . . 178

  

  

   . . . . . . . . . . . . . 186

  

  

  

  • (

  −∆)

  α + δ

  2 ≤ γ ≤

  2 e α

  α + δ

  , β 6= 0, p > 1 inteiro e as potências do operador Laplaciano α, δ, θ e γ satisfazem ≤ δ ≤ α ≤ 2, 0 ≤ θ ≤

  n

  (1) onde u = u(t, x), com (t, x) ∈ (0, ∞) × R

  t (0, x) = u 1 (x),

  ) , u (0, x) = u (x), u

  p

  (u

  γ

  t = β(

  Introdução

  u

  θ

  −∆)

  u

  α

  −∆)

  tt + (

  u

  δ

  −∆)

  tt + (

           u

  Neste trabalho estudamos o problema de Cauchy em a seguir, associado a uma equação diferencial parcial semilinear dissipativa gene- ralizada de segunda ordem no tempo, envolvendo potências fracionárias do operador Laplaciano.

  2 . Esse problema de Cauchy generaliza diversos tipos de fenômenos fí- sicos como por exemplo, vibrações de placas, propagação de ondas, além de problemas de hidrodinâmica como por exemplo, ondas em águas rasas. Também em Maugin propôs um tipo de modelo de Bous- sinesq para tratar dinâmica de redes não lineares em cristais elásticos. Sander-Hutter relatam resumidamente a história da evolução desses problemas em hidrodinâmica, em especial na teoria de ondas solitárias.

  A primeira tentativa de modelagem matemática de ondas em águas rasas, foi feita por Joseph Valentin Boussinesq (1842-1929) em 1871, que levou em consideração as acelerações verticais das partículas fluidas e admitiu uma onda solitária como solução, mas negligenciou um certo número de termos de produtos de derivadas considerando apenas os efeitos de primeira ordem não lineares. Essas equações são chamadas equações clássicas de Boussinesq.

  Para melhor modelar alguns desses fenômenos hidrodinâmicos, fo- ram desenvolvidas outras equações, com origem nas equações clássicas, considerando termos de ordem superior que Boussinesq ignorou, cha- madas equações da classe Boussinesq. Entre elas estão as equações de Korteweg-de Vries, Green-Naghdi Outras equa- ções relacionadas às de Boussinesq, são as chamadas IBq (Boussinesq melhorada) e IMBq (Boussinesq melhorada modificada).

  Para o modelo que consideramos neste trabalho, quando δ = α = 2, γ

  = 1 e p = 2, temos uma equação de Boussinesq de sexta ordem e quando, além disso, θ = 1, temos uma equação de Boussinesq sob efeitos de uma dissipação hidrodinâmica. Mais detalhes sobre equações de Boussinesq e suas características, podem ser encontradas nos artigos de Esfahani-Farah-Wang citados nas referências bibliográficas deste trabalho.

  1 Por outro lado, quando δ = 1, α = 2, θ = 0, γ = 0 ou γ = e

  2 n = 2, temos uma equação (linear se β = 0) para vibrações não lineares de placas sob efeitos de inércia rotacional (ver Geredeli-Lasiecka e de uma dissipação friccional. Resultados particulares sobre problemas associados a equações com essas propriedades, podem ser encontra- dos nos artigos de Charão-Luz-Ikehata e Sugitani- Kawashima citados nas referências deste trabalho.

  Além disso, quando α = 1, δ = θ = 0, β 6= 0 e γ = 0, temos uma equação de ondas semilinear com dissipação friccional. Quando α = 1, δ

  = θ = 0, β 6= 0, γ = 1 e p = 2, temos uma equação clássica de Boussinesq dissipativa.

  Os resultados apresentados neste trabalho generalizam e/ou recu- peram resultados obtidos anteriormente na literatura. Em particular citamos os trabalhos de Charão-Luz-Ikehata Horbach- Charão citados nas referências deste trabalho.

  O presente trabalho está dividido em cinco capítulos, sendo que no Capítulo apresentamos algumas definições e alguns resultados impor- tantes de análise funcional, teoria de distribuições, espaços de Sobolev, além de resultados relativos à teoria de semigrupos.

  Esses resultados são usados para mostrarmos a existência e a unici- dade de soluções, bem como, para encontrar taxas de decaimento para

  2

  a energia e para a norma L da solução do problema tanto para o problema associado à equação linear (β = 0), quanto para o problema associado à equação semilinear.

  Usando resultados de análise funcional e da teoria de semigrupos, mostramos no Capítulo a existência e a unicidade de soluções para o problema definido em quando consideramos β = 0. Concluímos o capítulo, enunciando o teorema de existência e unicidade de solução global para o problema associado à equação linear (Teorema

  Provada a existência e unicidade de solução global para o problema

  2

  linear, estudamos no Capítulo o decaimento da energia e da norma L da solução do problema linear, usando o método da energia no espaço de Fourier e o método proposto por Luz-Ikehata-Charão no artigo citado nas referências deste trabalho. Esses métodos tem apoio basilar no estudo de taxas de decaimento para o problema, na região de baixa

  n

  ) e na região de alta frequência no espaço de Fourier (|ξ| ≤ 1, ξ ∈ R

  n ).

  frequência nesse espaço (|ξ| ≥ 1, ξ ∈ R Para o estudo do problema proposto, na região de alta frequência, trabalhamos separadamente o caso em que δ ≤ θ e o caso em que θ < δ, dado que neste último caso, a equação diferencial em apresenta uma estrutura de perda de regularidade, o que não ocorre para a equação na região de baixa frequência.

  Devido a essa estrutura da equação, a obtenção de taxas de decai- mento na região de alta frequência iguais às taxas válidas na região de baixa frequência, exige assumir maior regularidade sobre os dados iniciais do problema. As taxas obtidas através desse estudo, estão sis- tematicamente reunidas ao final do Capítulo 3.

  Análogo à forma como provamos o teorema de existência e unici- dade para o problema linear, mostramos no Capítulo deste trabalho, a existência e a unicidade de soluções para o problema associado à equa- ção semilinear que aparece no problema a existência de solução local para o problema semilinear. Na seção seguinte, supondo inicialmente que a solução está definida para intervalos limitados da forma [0, T ), com T finito, concluímos que, na verdade, a solução está definida globalmente para todo t > 0. Formalizamos esses resultados através dos Teoremas

  Por fim, no Capítulo usando novamente o método da energia no espaço de Fourier, obtemos taxas de decaimento da energia e da norma

2 L da solução do problema associado à equação semilinear em (1).

  α , a taxa obtida para

  Observamos que, para o caso em que 0 ≤ θ ≤

  2

  2

  a norma L da solução do problema semilinear, é diferente das taxas

  2

  obtidas para a norma L da solução do problema linear. Neste caso, as taxas dependem também do intervalo a que pertence a constante da dimensão espacial n, em relação aos expoentes do Laplaciano.

  Com relação às taxas de decaimento da energia, no caso em que α

  , embora tenha sido necessário impôr mais regularidade nos ≤ θ ≤

  2 dados iniciais, as taxas obtidas para a energia associada ao sistema semilinear foram piores. Isso se deve ao fato de usarmos outro método para a obtenção das taxas no caso linear que é mais eficiente quando

  α (ver o artigo de Luz-Ikehata-Charão ≤ θ ≤

  2 Naturalmente que poderíamos obter taxas para o problema semi- linear, usando as taxas obtidas para o problema linear e a fórmula de variação dos parâmetros. Entretanto, preferimos trabalhar direta- mente com a equação semilinear como pode ser observado nas Seções Observamos que a obtenção de taxas ótimas, para o caso

  α α , em comparação com o caso θ > , apresenta em que 0 ≤ θ ≤

  2

  2 maior dificuldade, mesmo no caso mais simples da equação da onda com dissipação estrutural.

  O presente trabalho foi realizado com o apoio da Fundação de Am- paro à Pesquisa e Inovação do Estado de Santa Catarina – FAPESC.

  Capítulo 1 Resultados Importantes

  Neste capítulo apresentamos alguns resultados importantes sobre Teoria de Distribuições, Espaços de Sobolev e Teoria de Semigrupos. Ao final deste capítulo, apresentamos ainda, alguns lemas técnicos que serão usados no decorrer do trabalho, para obtermos taxas de decai-

  2

  mento para a norma L da solução do problema de Cauchy que estu- damos e para a energia associada esse sistema.

  Omitimos as demonstrações de alguns lemas, por se tratarem de resultados conhecidos e que podem ser facilmente encontrados em li- teraturas relacionadas ao assunto. No entanto, sempre que julgamos necessário, citamos as referências.

  n

  , representa um subconjunto aberto, po- Neste trabalho, Ω ⊆ R

  

n

  dendo inclusive ser todo o espaço R . Além disso, em desenvolvimentos de estimativas, representamos as constantes positivas por C, de modo que, diferentes constantes são representadas por esta mesma letra.

1.1 Notações Neste trabalho usamos as notações padrão, relacionadas a seguir.

  • K indica o corpo R ou o corpo C e N = {n ∈ Z; n ≥ 0};

  √

  • i = −1 é a unidade imaginária dos números complexos;

  n

  • . . . + α , onde α = (α , . . . , α )

  1 n 1 n

  • |α| = α ∈ N , com n ∈ N;

  n

  ;

  • x · ξ representa o produto interno usual entre x e ξ em R

  n

  ;

  • |x| ou kxk, representa a norma usual de x no espaço R u representa a derivada da função u, em relação à i-ésima va-

  i

  • D ∂u u , . . . , x riável, ou seja, D = , onde u = u (x );

  i 1 n

  ∂x

  i |α|

  ∂ u

  α n n

  u =

  ;

  • D α

  1 α n , onde u = u(x), com x ∈ R e α ∈ N

  ∂x , ..., ∂x

  n

  1

  (x), . . . , f (x)) é uma função vetorial de classe

  1 n

  • Se F (x) = (f

1 C

  (Ω), denotamos o divergente de F por div(F ) e definimos

  n

  X ∂f

  i

  div , (F ) =

  ∇ · F = ∂x

  i i=1

  ∂ ∂ , . . . ,

  ; onde ∇ é o operador gradiente definido por ∇ = ∂x ∂x

  1 n

  2

  (Ω), definimos o Lapla-

  • Se f(x) é uma função escalar de classe C ciano de f por

  n

  ∂ f . ∆f = div(

  2 X

  ∇f) = ∇ · ∇f =

  2

  ∂x

  i i=1

  É conhecido que o operador −∆ é positivo definido e auto-adjunto

  2 n

2 n

em L (R ), com domínio H (R ).

1.2 Espaços Importantes

  Nesta seção definimos os espaços de funções que usamos para o desenvolvimento deste trabalho e apresentamos alguns dos principais resultados válidos nesses espaços.

  Os resultados que apresentamos nesta seção, bem como suas de- monstrações, podem ser encontrados em Adams Kesa- van citados nas referências bibliográficas deste trabalho.

1.2.1 Espaço das Distribuições

  n

  , e Seja u uma função numérica mensurável, definida sobre Ω ⊆ R a família de todos os subconjuntos abertos A de Ω tais que

  i i

  {A }

  i∈I

  u = 0 quase sempre sobre A . Então

  i

  [ u = 0 quase sempre sobre A = A .

  i i∈I

  Considerando isso, definimos o suporte de u, denotado por supp(u), como sendo o subconjunto fechado de Ω, dado por supp

  (u) = Ω \ A.

  ∞

  Definição 1.1 Representamos por C (Ω) o conjunto das funções ϕ

  : Ω −→ K, cujas derivadas parciais de todas as ordens são contínuas e cujo suporte

  ∞

  é um conjunto compacto de Ω. Os elementos de C (Ω) são chamados de funções testes.

  ∞

  O conjunto C (Ω) é um espaço vetorial sobre K com as operações usuais de soma de funções e multiplicação de funções por escalar.

  ∞ A seguir, definimos uma noção de convergência em C (Ω).

  ∞

  Definição 1.2 Sejam uma sequência de funções em C (Ω)

  k

  {ϕ } k∈N

  ∞

  e ϕ (Ω). Dizemos que ϕ

  k

  ∈ C → ϕ, quando k → ∞, se i) )

  k

  ∃ K ⊂ Ω, compacto, tal que supp (ϕ ⊂ K, para todo k ∈ N;

  n α α

  ii) , D ϕ ϕ

  k (x) (x), uniformemente para x ∀ α ∈ N → D ∈ Ω.

  ∞

  Definição 1.3 O espaço vetorial C (Ω) com a noção de convergência estabelecida no Definição é denotado por D(Ω) e chamado espaço das funções testes.

  A partir da definição de D(Ω), definimos o espaço das distribuições.

  n

  Definição 1.4 Uma distribuição sobre Ω , é um funcional linear ⊂ R

  T : D(Ω) −→ K, contínuo em relação à noção de convergência estabe- lecida na Definição O conjunto de todas as distribuições sobre Ω

  ′ é denotado por (Ω).

  D

  ′

  (Ω) é um espaço vetorial sobre K e pode ser repre- Sendo assim, D sentado na forma

  ′

  (Ω) = D {T : D(Ω) −→ K; T é linear e contínuo} .

  ′

  (Ω) Por convenção, denotamos a aplicação de um funcional T ∈ D em um elemento ϕ ∈ D(Ω), por hT, ϕi. Com isso, definimos a noção de convergência no espaço das distribuições.

  ′ ′ Definição 1.5 Sejam uma sequência em (Ω) e T (Ω). k

  {T } D ∈ D

  k∈N ′

  Dizemos que converge para T em (Ω), quando k

  k

  {T } D → ∞, se

  k∈N

  , ϕ

  k hT i → hT, ϕi, ∀ ϕ ∈ D(Ω).

1.2.2 Espaço de Schwartz

  ∞ n

  Definição 1.6 Uma função ϕ (R ) é dita ser rapidamente de- ∈ C

  n

  crescente no infinito, se para todo polinômio P : R −→ K e para todo

  n

  α , verifica-se que

  ∈ N

  α

  P ϕ lim (x) (D ) (x) = 0.

  kxk→∞

  O espaço das funções que satisfaz essa propriedade, é denotado por

  n ) e é chamado espaço de Schwartz.

S(R

  A seguir, enunciamos um lema que fornece uma caracterização útil para identificar funções contidas no espaço de Schwartz.

  ∞ n

  Lema 1.1 Seja ϕ (R ). Então são equivalentes as afirmações: ∈ C

  n

  i) ϕ ); ∈ S(R ii) para todo k tal que

  k

  ∈ N, existe uma constante C = C

  

k

2 α

  ϕ , 1 + (x)

  k

  kxk |D | ≤ C

  n n

  para todo x e α + , com

  1 n ∈ R ∈ N |α| = α · · · + α ≤ k.

  Considerando o Lema para cada m ∈ N, definimos a seminorma

  m 2 α

  ρ ϕ ,

  

m (ϕ) = sup sup 1 + (x)

  kxk |D |

  n x∈R |α|≤m n ).

  para todo ϕ ∈ S(R A partir das seminormas ρ definidas acima, temos uma noção de

  m

  convergência de funções no espaço de Schwartz, conforme mostramos no lema a seguir. n n Lema 1.2 Sejam sequência de funções em ) e ϕ ). k

  {ϕ } k∈N S(R ∈ S(R

  n

  A sequência converge para ϕ em ), quando k

  k

  {ϕ } k∈N S(R → ∞, se para todo m ∈ N,

  ρ (ϕ

  m k − ϕ) → 0. n

  Definição 1.7 Uma distribuição temperada sobre R , é um funcional

  n

  linear T : ) S(R −→ K, contínuo em relação à noção de convergência definida acima, no Lema

  n

  O conjunto de todas as distribuições temperadas sobre o espaço R ,

  ′ n (R ).

  é denotado por S

  ′

  (Ω), denotamos a aplicação de Assim como para distribuições em D

  

′ n n

  (R ) em um elemento ϕ ), por um funcional T ∈ S ∈ S(R hT, ϕi.

  ′ n

  (R ) é análoga à noção de A noção de convergência no espaço S

  ′ (Ω), como mostramos a seguir.

  convergência em D

  ′ n ′ n Definição 1.8 Sejam uma sequência em (R ) e T (R ). k

  {T } k∈N S ∈ S

  ′ n

  Dizemos que converge para T em (R ), quando k

  k

  {T } k∈N S → ∞, se , ϕ

  k

  hT i → hT, ϕi,

  n para todo ϕ ).

  ∈ S(R

  p p

1.2.3 Espaços L (Ω), L (Ω)

  loc

  Consideramos a mensurabilidade de funções e o cálculo de integrais

  

n

, no sentido de Lebesgue.

  sobre conjuntos mensuráveis Ω ⊆ R Observação 1.1 Seja e u : Ω −→ R uma função.

  a) Dizemos que u é limitada quase sempre em Ω, se u é limitada a menos de um conjunto de medida nula, ou seja, u é limitada se, e somente se existe M > 0 e existe Ω ) = 0, tal ⊂ Ω com med(Ω que ), onde med(Ω) representa

  |u(x)| ≤ M, para todo x ∈ (Ω\Ω a medida de Lebesgue do conjunto mensurável Ω;

b) Definimos o supremo essencial da uma função u, por

  n

  sup ess ; |u(x)| = inf {M > 0; med (x ∈ R |u(x)| > M) = 0}

  = inf {M > 0; |u(x)| ≤ M quase sempre em Ω}.

  n

  Definição 1.9 Sejam Ω um subconjunto aberto e 1 ⊆ R ≤ p ≤ ∞. Definimos o conjunto das funções p-integráveis por

  Z

  p p

  L u dx < , (Ω) = : Ω

  −→ K; u mensurável e |u(x)| ∞

  Ω ∞

  L (Ω) = {u : Ω −→ K; u mensurável e sup ess |u(x)| < ∞}.

  p

  Os conjuntos L (Ω) assim definidos, munidos com as normas

  1 Z p p

  dx ,

  p =

  1 kuk L |u(x)| ≤ p < ∞,

  Ω p = sup ess

  kuk L {|u(x)| ; x ∈ Ω}, p = ∞, respectivamente, definem espaços vetoriais normados. De acordo com o Teorema de Riesz-Ficher, para 1 ≤ p ≤ ∞, os

  p

  espaços L (Ω) munidos com as normas definidas acima, são espaços de

2 Banach. Em particular, L (Ω) munido com o produto interno usual

  Z u (u, v) = (x)v(x) dx,

  Ω 2 n

  (R ), é um espaço de Hilbert. para u, v ∈ L

  p n (R ) são reflexivos.

  Além disso, para 1 < p < ∞, os espaços L p

  Teorema 1.1 (Interpolação de Espaços L ) Sejam p, q, r ∈ R tais

  p n q n r n

  que 1 (R ) (R ). Então u (R ) e ≤ p ≤ r ≤ q ≤ ∞ e u ∈ L ∩ L ∈ L

  λ 1−λ

  ,

  

r p q

  kuk L ≤ kuk L kuk L λ 1 (1

  − λ) onde λ = . ∈ (0, 1) e

  • r p q

  Teorema 1.2 (Desigualdade de Hölder) Sejam p, q ∈ R tais que p

  1 < p < ou p = 1 e q = ∞ e q = ∞ ou p = ∞ e q = 1. p

  − 1

  p n q n 1 n

  Se u (R ) e v (R ), então uv (R ) e ∈ L ∈ L ∈ L

  Z p q .

  |u(x)v(x)| dx ≤ kuk kvk

  L L n

  R n

  Definição 1.10 Sejam Ω um subconjunto aberto e 1 ⊆ R ≤ p < ∞. Definimos o conjunto das funções localmente p-integráveis por

  p p

  L (Ω) = (Ω),

  K

loc {u : Ω −→ K; u mensurável e uχ ∈ L ∀ K ⊂⊂ Ω} ,

  onde χ é a função característica sobre K

  K ⊂ Ω, compacto. p p

  Da definição de espaços L (Ω), temos que uma função u (Ω), ∈ L loc

  p

  se e somente se uχ K (Ω) ou, equivalentemente, ∈ L

  Z Z

  p p

  dx < dx <

  K (x)

  |uχ | ∞ ou |u(x)| ∞,

  Ω K para todo K subconjunto compacto contido em Ω.

  1

  (Ω), definimos o funcional T :

  u

  Dado u ∈ L loc D(Ω) −→ K, por Z

  , ϕ u (x)ϕ(x)dx,

  u

  hT i =

  

que define uma distribuição sobre Ω.

  1 Lema 1.3 (Du Bois Reymond) Seja u (Ω). Então T = 0, u

  ∈ L loc se e somente se u = 0 quase sempre em Ω. Observação 1.2 Como consequência do Lema de Du Bois Reymond, temos que a aplicação

  1 ′

  T L : (Ω) (Ω)

  loc −→ D

  u T ,

  u

  7−→ é linear, injetiva e contínua, de modo que podemos identificar a distri-

  ′

  1 buição T (Ω) com a respectiva função u (Ω). u

  ∈ D ∈ L loc

  1 ′ p

  1 Assim, L (Ω) (Ω) e, como L (Ω) (Ω), segue que toda p

  função em L (Ω), define uma distribuição sobre Ω.

  A maioria dos problemas envolvendo equações diferenciais parci- ais, requerem um conceito mais amplo de derivada do que o conceito clássico. A definição a seguir, generaliza o conceito de derivada.

  ′ n

  . A derivada distribucional Definição 1.11 Sejam T (Ω) e α

  ∈ D ∈ N

  

α

  de ordem α de T , denotada por D T , é definida por

  α |α| α

  T, ϕ ϕ para todo ϕ hD i = (−1) hT, D i, ∈ D(Ω), onde + . . . + α

  e, para cada k = 1, . . . , n, α indica a ordem

  1 n k

  |α| = α da derivada da função ϕ em relação à k-ésima variável. Esse conceito é global, no sentido que funções não deriváveis em grande parte do seu domínio, são deriváveis sob esse novo conceito.

1.2.4 Transformada de Fourier

  Para estudar a existência e unicidade de soluções e encontrar taxas

  2

  de decaimento da energia e da norma L da solução do problema de Cauchy em usamos como ferramenta a transformada de Fourier. Definição 1.12 Definimos a transformada de Fourier de uma função

  1 n

  u (R ), por

  ∈ L Z

  n − −iξ·x

  2

  u e u (ξ) = ( (x) dx, b Fu) (ξ) = (2π)

  R n

  1 1 n n .

  • ξ

  ξ onde x

  · ξ = x · · · + x

  1 n ∞ n

  (R ), temos (R ) e o Notamos que, para todo u ∈ L Fu ∈ L

  1 n ∞ n (R ) (R ) é linear e contínuo.

  operador F : L −→ L

  n p n

  ) (R ), para 1 Como S(R ⊂ L ≤ p ≤ ∞, podemos restringir o

  n

  ), temos domínio de F, ao espaço de Schwartz. Então, dado u ∈ S(R

  n

  ) e que Fu ∈ S(R F é um operador linear, contínuo e bijetivo. Dessa forma, a transformada de Fourier é inversível e definimos a

  −1 n n

  : ) ) por transformada de Fourier inversa F S(R −→ S(R Z

  n −1 − ix·ξ

  2

  u u e u (x) = (x) = (2π) (ξ) dξ.

  F b b

  n R n

  2 n

  ) é denso em L (R ), de modo que podemos es- Além disso, S(R

  2 n

  tender a transformada de Fourier ao espaço L (R ). Para funções nesse espaço, vale o teorema enunciado a seguir. Teorema 1.3 (Identidade de Plancherel/Parseval) Sejam u e v

  2 n

  funções em L (R ). Então valem as identidades (u, v)

  2 = ( u,

2 e

2 = u 2 .

  b bv) kuk kb k

  L L L L

  O teorema acima, estabelece uma relação entre a função e sua trans-

  2 n formada de Fourier, através da norma no espaço L (R ).

  Essa relação permite obtermos informações sobre o comportamento

  2 n

  (R ), a partir do estudo de suas proprieda- de uma dada função u ∈ L des no espaço de Fourier.

  Neste ponto, usando a transformada de Fourier e o fato que

  2

  u (ξ),

  F ((−∆)u( · )) (ξ) = |ξ| b introduzimos a noção de derivada fracionária para funções definidas em

  n todo o espaço R .

  α n

  Definição 1.13 Seja u (R ). Definimos a derivada fracionária ∈ H

  α

  de ( u da seguinte forma −∆)

  α −1 2α

  ( u (x) = u ( (x), −∆) F | · | b · )

  

2α n 2α 2α

onde : R (ξ) = .

  | · | −→ R é a função definida por | · | |ξ| A definição acima, permite caracterizar a transformada de Fourier

  α

  u , na forma de funções (−∆)

  α 2α

  u u ( (ξ),

  F ((−∆) · )) (ξ) = |ξ| b

  α n (R ).

  para funções u ∈ H Outros resultados com aplicações da transformada de Fourier a problemas associados a equações diferenciais parciais, podem ser en- contrados em Figueiredo citados nas referências bibliográficas deste trabalho.

  m,p m,p

  1.2.5 Espaços W W

(Ω) e ˙ (Ω)

  Lembramos que, conforme mencionamos no início deste capítulo,

  

n

, um subconjunto aberto.

  neste trabalho consideramos Ω ⊆ R Definição 1.14 Sejam m ∈ N e 1 ≤ p ≤ ∞. Definimos o espaço de

  p

  Sobolev de ordem m relativo ao espaço L (Ω) por

  m,p p α p n

  W u , (Ω) = (Ω); D (Ω), com

  {u ∈ L ∈ L ∀ α ∈ N |α| ≤ m} ,

  α

  u onde D é o operador de derivação dado pela Definição

  m,p

  Os conjuntos W (Ω) assim definidos, munidos com as normas

    1/p

  X

  p

α

m,p =  u p  ,

  1 kuk W kD k L ≤ p < ∞,

  |α|≤m α m,∞ = u , p =

  L

  kuk W kD k ∞,

  |α|≤m respectivamente, definem espaços vetoriais normados.

m,p

  Observação 1.3 Os espaços W (Ω) possuem as seguintes proprie- dades:

  m,p p i) Quando m = 0, temos que W (Ω) = L (Ω). m,p m

  ii) Quando p = 2, representamos W (Ω) = H (Ω), que é um espaço de Hilbert com o produto interno

  X

  α α m m

  u, D v

  ∀ u, v ∈ H

  L |α|≤m n

  2 , (u, v) H = (D ) (Ω).

iii) Para cada 0

  ) e ≤ m ≤ ∞ e cada 1 ≤ p ≤ ∞, os espaço D(R

  n m,p n ) são densos em W (R ).

S(R

  

m,p

  iv) Para cada 1 (Ω) é um espaço de Banach em ≤ p ≤ ∞, W relação à norma m,p . k · k W n

  Teorema 1.4 Seja Ω , um subconjunto aberto. Se 1 ⊆ R ≤ p < ∞,

  m,p

  então o espaço W (Ω) é separável e se 1 < p < ∞, então o espaço

  m,p

  W (Ω) é reflexivo e uniformemente convexo.

  Outro espaço que usamos com certa frequência neste trabalho, é o espaço que definimos por

  m m,p n ′ n p n −

  ˙

  v , (R ) = (R ); (R ), tal que u = (

  ∈ S ∃ v ∈ L −∆)

  2 W u

  m p n

  2

  u (R ), de para todo m ∈ Z e p ∈ R, o que implica que (−∆) ∈ L

  m,p n

  modo que definimos a norma no espaço ˙ W (R ), por

  1 Z p m p

  ˙ m,p = (x)

  kuk (−∆)

  2 u dx .

  W R n s n

1.2.6 Espaços H (R )

  Conforme mencionamos anteriormente na introdução deste traba- lho, para mostrarmos a existência e unicidade de soluções e estudar o decaimento da solução do problema associado à equação semilinear, usamos o método da energia no espaço de Fourier. Por essa razão, nos capítulos relativos ao estudo dessas propriedades, usamos frequente-

  s n mente a definição de espaços H (R ), que definimos a seguir.

  Definição 1.15 Seja s ∈ R. Definimos o espaço n s o

  s n ′ n

  2

  2 2 n H u u .

  (R ) = (R ); 1 + (R ) ∈ S | · | b ∈ L

  s n

  Devido à forma como definimos o espaço H (R ), podemos definir

  s n 2 n

  uma norma em H (R ) a partir da norma em L (R ), pela identidade s

  2

  2 s u , de modo que

  H 1 + | · |

  = kuk b

2 L

  2 s

  1 Z

  2

  2 s = 1 + u dξ .

  kuk | · | |b |

  H n

  R

  Para o desenvolvimento deste trabalho usamos uma norma no es-

  s n

  paço H (R ), diferente norma usual definida acima. O lema a seguir, permite estabelecer uma equivalência entre essas duas normas.

  n

  Lema 1.4 Sejam ξ e s ∈ R ≥ 0. Então valem as seguintes relações: 1 s

  2s 2 s 2s

i) 1 + 1 + ;

  |ξ| ≤ 1 + |ξ| ≤ 2 |ξ|

  2

  −1 −s −1 ii) 2 1 + .

  |ξ| ≤ 1 + |ξ| ≤ 2 1 + |ξ| Demonstração . Mostramos cada item do lema, dividindo-o em dois casos, quando |ξ| ≤ 1 e quando |ξ| ≥ 1. i) Para |ξ| ≤ 1, temos que 1 s

  2s 2 s s 2s .

  1 + 1 + |ξ| ≤ 1 ≤ 1 + |ξ| ≤ 2 ≤ 2 |ξ|

2 Por outro lado, para |ξ| ≥ 1, temos

  1

  2s 2s s 2s s 2s .

  1 + 1 + |ξ| ≤ |ξ| ≤ 2 |ξ| ≤ 2 |ξ|

  2

  

s

2 s 2s

  ≤ 2 ≤ 2. Isso implica ii) Para |ξ| ≤ 1, temos 1 + |ξ| e 1 + |ξ|

  −1 −s −1 −s 2s −s 2 2s .

  2 1 + |ξ| ≤ 2 ≤ 1 + |ξ| ≤ 1 ≤ 2 1 + |ξ|

  s 2 s 2s s 2s

  1 + e Agora, para |ξ| ≥ 1, temos 1 + |ξ| ≤ 2 |ξ| ≤ 2 |ξ|

  s 2s 2s

  2

  1 + , de onde segue que |ξ| ≤ 2|ξ| ≤ 2 1 + |ξ|

  −1 −s −1 −s 2s 2 2s 2 1 + .

  |ξ| ≤ 1 + |ξ| ≤ 2 1 + |ξ| s n

  A partir desse lema, concluímos que a norma usual em H (R ), dada acima, é equivalente à norma

  2 2s

  1 Z

  2 u dξ . s = 1 +

  kuk |ξ| |b |

  H R n

  O produto interno associado e essa norma é Z

  2s s

  (u, v) = 1 + u

  H |ξ| b bv dξ. n

  R −s n

  Para espaços H (R ), com s ≥ 0 usamos a norma

  Z

  −1

  2

  2 − u dξ 2s s = 1 +

  kuk H |ξ| |b |

  n R

  e produto interno associado Z

  −1 2s s u

  (u, v) = 1 +

  H |ξ| b bv dξ. n

  R

  Usando a norma e o produto interno definidos a partir das relações

  s n do Lema mostramos algumas propriedades em espaços H (R ).

  Essas propriedades são fundamentais para mostrarmos a existência e unicidade de soluções para o problema proposto neste trabalho, bem como para obtermos taxas de decaimento , tanto para o problema linear quanto para o problema semilinear definido em n

  s n

  Lema 1.5 Seja u (R ). Se s > , então existe C > 0, tal que ∈ H

  2

  n s , para todo x .

  |u(x)| ≤ C kuk H ∈ R

  s n

  Demonstração . Seja u (R ). Da definição da transformada de ∈ H ix·ξ

  e Fourier inversa e do fato que

  ≤ 1, temos Z Z

  n − ix·ξ ix·ξ

  2

  e u e u (ξ) dξ (ξ) dξ

  |u(x)| = b b (2π) ≤ C

  n n R R

  Z Z

  s s −

  2

  2

  2

  2

  u u (ξ) 1 + 1 + (ξ) ≤ C |b | dξ = C |ξ| |ξ| |b | dξ.

  n n R R

  Além disso, usando a Desigualdade de Hölder (Teorema e o Lema obtemos

  1

  2

  2 s −s

  1 Z Z

  

2

  2

  2

  1 + u (ξ) dξ 1 + dξ |u(x)| ≤ C |ξ| |b | |ξ|

  n n R R

  1

  2

  2 −s

  1 Z Z

  

2

2s 2 u dξ dξ .

  1 + (ξ) 1 + ≤ C |ξ| |b | |ξ|

  n n R R

  n No entanto, para s > , temos que

2 Z

  

−s

  2

  dξ 1 + = C < |ξ| ∞.

  R n s n

  Segue da estimativa acima e da definição de norma em H (R ), que

  2

  1 Z

  2

2s

  u dξ . 1 + (ξ) = C s

  |u(x)| ≤ C |ξ| |b | kuk H

  R n

  Outro resultado importante para o estudo que propusemos neste n

  s n trabalho é o fato que, para s > , o espaço H (R ) é uma álgebra.

2 Formalizamos esse resultado através do lema a seguir.

  n Lema 1.6 Seja s > . Então existe uma constante C > 0, tal que

  2

  s s s ,

  kuwk ≤ C kuk kwk

  H H H s n

  para todo u, w (R ).

  ∈ H A demonstração desse lema pode ser encontrada nos artigos de Kato-Ponce citados nas referências biblio- gráficas ao final deste trabalho.

  m,p n

  De modo geral, para mp > n, o espaço W (R ) também define uma álgebra. Esse resultado, bem como sua demonstração, pode ser encontrado em Adams também nas referências deste trabalho. n

  Lema 1.7 Sejam s > e p ≥ 1 um número inteiro. Então existe uma

  2 constante C > 0, tal que

  p

p s n

s s , para todo u (R ).

  ku k ≤ C kuk ∈ H

  H H

  n

  s n Demonstração . Sejam s > (R ).

  e u ∈ H

2 Demonstramos este lema usando indução finita sobre p.

  Para p = 1, o resultado é imediato. Suponhamos agora, que o resultado valha para p, ou seja, que

  p p

  .

  s s

  ku k H ≤ C kuk H Então, para k = p + 1, segue do Lema e da hipótese de indução

  p p+1 p+1 p

  u u .

  = s s s = C s

  s ku k ≤ C kuk kuk kuk H H H H H

  n Portanto, se s > , o lema é válido para todo p ≥ 1 inteiro.

  2 n Lema 1.8 Sejam s > e p > 1 um número inteiro. Então, dado

  2

  s n

  u (R ), existe uma constante C > 0, tal que ∈ H

  p p 1 s .

  ku k L ≤ C kuk H s n Demonstração . Sejam u (R ) e p > 1 um número inteiro.

  ∈ H

  

1 n

  Pela definição de norma em L (R ), temos que Z Z

  p p p−1

  u

  ku k L |u | dx =

  n n R R

  1 = (x) (x) |u(x)| dx.

  Então, usando a Desigualdade de Hölder (Teorema obtemos

  1

  2

  2

  1 Z Z

  2

  2 p p−1

  u dx dx

  1 (x)

  ku k L ≤ |u(x)|

  n n R R

  1

  2

  2

  2

  1 Z Z

  2

  [

  p−1

  = u (ξ) dξ u (ξ) dξ |b |

  n n

  1

  2

  2

  

2

  1 Z Z

  2 2s [ 2s p−1

  u dξ u dξ 1 + (ξ) 1 + (ξ) ≤ |ξ| |ξ| |b |

  R n R n p−1

  u s . = s kuk

  H H

  Assim, como p > 1 é um número inteiro, temos que p − 1 ≥ 1 e então, n para s > , segue do Lema que

  2

  p−1 p p 1 . s s = C s

  ku k ≤ C kuk kuk kuk

  

L H H H

  n Lema 1.9 Sejam s > e p > 1 um número inteiro. Então existe uma

  2 constante C > 0, tal que

  p−1 p−1 p p

  s s s s

  • ,

  ku − w k ≤ C kuk

  H H kwk H ku − wk H s n

  para todo u, w (R ).

  ∈ H n

  s n Demonstração . Sejam u, w (R ), s > e p > 1 um inteiro.

  ∈ H

  2

  p ′ p−1 Definido a função h(v) = v , temos que h (v) = p v . Assim, segue do teorema do valor médio, que

  p p p−1

  (u ) = p v (u − w − w) ,

  s n

  (R ), para algum ǫ onde v = ((1 − ǫ)u + ǫ w) ∈ H ∈ (0, 1). n

  Então, como s > e p − 1 ≥ 1, segue dos Lemas que 2 existe uma constante C > 0, tal que

  p p p−1 p−1

s v v s

  H H H H p−1 p−1 s s s s .

  = p (u s s ku − w k − w) ≤ C ku − wk

  ≤ C kvk ku − wk ≤ C k(1 − ǫ)u + ǫ wk ku − wk

  H H H H

  Logo, usando a desigualdade triangular e o fato que ǫ ∈ (0, 1), temos

  p−1 p−1 p p

  • s s s s , ku − w k H ≤ C kuk H kwk H ku − wk H onde C > 0 é a constante decorrente dos lemas usados.

  1.3 Teorema de Existência e Unicidade: Problema Linear

  Nesta seção apresentamos alguns resultados importantes relativos à teoria de semigrupos, que usamos neste trabalho para mostrar a exis- tência e unicidade de soluções do problema proposto em associado à equação linear (quando β = 0).

  Os resultados de análise funcional e relativos à teoria de semigru- pos de operadores lineares, que apresentamos nesta seção, podem ser encontrados em Brezis citados nas referências bibliográficas deste trabalho.

1.3.1 Teorema de Lax-Milgram

  Para os resultados que apresentamos nesta subseção, consideramos o espaço de Hilbert (H, h·, ·i), sobre os números reais, munido com a definida pelo produto interno no espaço H. norma k · k H Definição 1.16 Uma aplicação B : H

  ×H −→ R é dita ser uma forma bilinear se, para cada x ∈ H, B(x, · ) é linear e além disso, para cada y

  ∈ H, B( · y) é linear. Definição 1.17 Uma forma bilinear B : H

  × H −→ R é dita ser limitada, se existe uma constante C > 0, tal que , para todo x, y |B(x, y)| ≤ C kxk kyk ∈ H.

  H H Segue da Definição que toda forma bilinear limitada é contínua.

  Definição 1.18 Uma forma bilinear B : H × H −→ R é dita ser coerciva, se existe uma constante C > 0, tal que

  2

  , para todo x |B(x, x)| ≥ C kxk H ∈ H.

  Teorema 1.5 (Lax-Milgram) Seja B : H × H −→ R uma forma bi- linear, limitada e coerciva. Então para cada funcional linear e contínuo

  F : H

  −→ R, existe um único u ∈ H, tal que B

  (u, x) = F (x), para todo x ∈ H. As definições e a demonstração do Teorema de Lax-Milgram podem ser encontradas em Brezis citado nas referências deste trabalho.

1.3.2 Semigrupos de Operadores Lineares

  ) um espaço de Banach, so- Nesta subseção consideramos (X, k · k

  X

  bre o corpo dos números reais, e o conjunto B(X) o espaço dos opera- dores lineares limitados sobre X. Definição 1.19 Uma aplicação S : R

  −→ B(X) é dita ser um semi-

  • grupo de operadores lineares limitados em X se: i) S(0) = I, onde I é o operador identidade de

  B(X); ii) S(t + s) = S(t) S(s), para todo t, s ≥ 0. Definição 1.20 Um semigrupo de operadores lineares limitados S é dito ser fortemente contínuo, se lim = 0, para todo x k(S(t) − I)xk

  X ∈ X.

  • t→0

  Definição 1.21 Um semigrupo de operadores lineares limitados S é dito ser uniformemente contínuo, se lim = 0. kS(t) − Ik B(X)

  • t→0

  Um semigrupo de operadores lineares limitados fortemente contí- nuo, é chamado semigrupo de classe C ou simplesmente, C semigrupo. Teorema 1.6 Se S é um semigrupo de classe C , então existem cons- tantes ω

  ≥ 0 e M ≥ 0, tais que

  

ωt

  , para todo t kS(t)k ≤ Me ≥ 0.

B(X)

  Definição 1.22 Um semigrupo S de classe C , satisfazendo

  ωt

B(X)

  , para todo t kS(t)k ≤ Me ≥ 0, com ω = 0, é dito ser um semigrupo uniformemente limitado. Se, além disso, M = 1, é dito ser um semigrupo de contrações de classe C . Definição 1.23 O operador B : D(B)

  ⊂ X −→ X, definido por S

  (t)x − Ix

  Bx , = lim

  • t→0 t

  com domínio dado por S

  (t)x − Ix

  D (B) = x existe , ∈ X; lim

  • +

    t→0 t é chamado gerador infinitesimal do semigrupo .

  {S(t)}

  t≥0

  Teorema 1.7 Um operador B : D(B) ⊂ X −→ X é gerador infinite- simal de um semigrupo uniformemente contínuo se, e somente se, B é um operador linear limitado em X.

  Teorema 1.8 Se B : D(B) ⊂ X −→ X é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C , então B é um operador linear fechado e

  D (B) é um subespaço linear denso em X.

1.3.3 Teorema Lumer-Phillips

  ) um espaço de Banach so- Nesta subseção consideramos (X, k · k

  X

  bre o corpo dos números complexos, e L(X) o espaço dos operadores lineares sobre X. Definição 1.24 Seja B : D(B)

  ⊂ X −→ X um operador linear. O

  −1

  conjunto dos elementos λ existe, ∈ C, tais que o operador (λI − B)

  é limitado e está definido sobre um subconjunto denso em X, é cha- mado conjunto resolvente de B e é denotado por ρ(B). O operador

  −1 (λI , é chamado resolvente de B e é denotado por R(λ, B).

  − B)

  ∗

  Definição 1.25 Seja X um espaço de Banach e X o espaço dual as-

  ∗ ∗

  sociado. Denotamos o valor de um operador x em um elemento ∈ X

  ∗

  x , x ∈ X, por hx i. Para cada x ∈ X, definimos o conjunto dual n o

  2

  2 ∗ ∗ ∗ ∗ J x , x .

  (x) = ; = ∈ X hx i = kxk

  X kx k

  X Observação 1.4 Como consequência do Teorema de Hahn-Banach,

  para cada x ∈ X, temos que J(x) 6= ∅. Definição 1.26 Um operador linear B : D(B)

  ⊂ X −→ X é dissipa-

  ∗

  tivo se, para cada x ∈ D(B), existe x ∈ J(x), tal que

  ∗

  Re hBx, x i ≤ 0. Para operadores definidos sobre espaços de Hilbert (H, h·, ·i), a de- finição de operador dissipativo é a seguinte:

  Definição 1.27 Um operador linear B : D(B) ⊂ H −→ H é dissipa- tivo se, para todo x

  ∈ D(B) temos que Re hBx, xi ≤ 0. Na sequência apresentamos um resultado para a caracterização de operadores lineares dissipativos definidos em espaços de Banach.

  Teorema 1.9 Um operador linear B : D(B) ⊂ X −→ X é dissipativo se, e somente, se existe λ > 0, tal que para todo x k(λI − B) xk ≥ λ kxk , ∈ D(B). Teorema 1.10 (Lumer-Phillips) Seja B : D(B) −→ X um opera- dor linear, com D(B) denso em X.

a) Se B é dissipativo e existe λ > 0, tal que Im (λ

  I − B) = X, então B é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe C ;

  b) Se B é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe C , então B é dissipativo e Im (λI − B) = X, para λ > 0.

  Teorema 1.11 (Perturbação de Geradores) Sejam B o gerador in- finitesimal de um semigrupo de classe C , definido em um espaço de Banach X e J é um operador linear limitado em X. Então B + J é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C em X.

1.3.4 Problema de Cauchy Abstrato

  Nesta subseção definimos o problema de Cauchy abstrato e apre- sentamos um teorema para provar a existência e unicidade de soluções para o problema linear, bem como caracterizar a solução desse pro- blema, usando a teoria de semigrupos.

  ) um espaço de Banach e B : D(B) Sejam (X, k · k

  X ⊂ X −→ X um

  operador linear. Considere o problema de Cauchy abstrato  dU 

  (t) = BU (t), dt (1.1)

   U ,

  (0) = U para todo t > 0, com U ∈ X. Definição 1.28 Seja B o operador linear definido no problema Uma função U : R

  −→ X contínua, continuamente diferenciável e

  • U (t)

  ∈ D(B), para todo t > 0, satisfazendo o sistema em

  Teorema 1.12 Seja B o operador definido no problema gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C em X. Então, para cada dado inicial U

  ∈ D(B), existe uma única solução forte U(t) = S(t)U para o problema de Cauchy em definida para t ≥ 0, com

  1 U

  (t) ([0, ∈ C([0, ∞), D(B)) ∩ C ∞), X), onde S(t) é o semigrupo gerado pelo operador B.

  Considerando somente U ∈ X, dizemos que a solução dada no Teorema

  1.4 Teorema de Existência e Unicidade: Problema Semilinear

  ) um espaço de Banach e B um operador linear Sejam (X, k · k

  X

  definido sobre X. Considere o problema de Cauchy abstrato  dU 

  = BU (t) + F (U (t)), dt (1.2)

   U ,

  (0) = U para todo t > 0, com U ∈ X e F um operador não linear sobre D(B). Definição 1.29 Um operador F : Y

  ⊂ X −→ X é Lipschitz contínuo sobre conjuntos limitados, se para todo conjunto limitado A ⊂ Y , existe uma constante (de Lipschitz) L > 0, tal que

  

X

X

  , kF (U) − F (V )k ≤ L kU − V k

  para todo U, V ∈ A. Para estudar existência e unicidade de soluções do problema semi- linear no Capítulo a seguir, que é equivalente à Definição para operadores Lipschitz contínuos sobre conjuntos limitados do domínio.

  Definição 1.30 Seja B um operador definido sobre um espaço de Ba- nach X. Um operador F : D(B) ⊆ X −→ X é dito ser Lipschitz contínuo em conjuntos limitados A

  ⊂ D(B) se dado M > 0, existe uma constante (de Lipschitz) L = L(M ) > 0, tal que

  M

  • X kB (F (U) − F (W ))k

  kF (U) − F (W )k

  X

  ( ) , +

  M

  ≤ L kU − W k

  X kB(U − W )k

  X

  para todo U, W ∈ D(B), tais que

  X X

  • kUk kBUk ≤ M e kW k kBW k ≤ M.

  X X

  Enunciamos a seguir, o teorema que usamos no Capítulo para mostrarmos a existência e unicidade de solução (local) do problema semilinear dado em Teorema 1.13 Sejam B o operador definido no problema gera- dor infinitesimal de um semigrupo de classe C em X e F : D(B)

  ⊆

  X −→ X um operador Lipschitz contínuo em conjuntos limitados A ⊂

  D (B). Então, para cada dado inicial U

  ∈ D(B), existe uma única solução forte U = U (t) para problema de Cauchy em definida em um intervalo maximal [0, T ), com

  1 U ([0, T ), X) ,

  ∈ C ([0, T ), D(B)) ∩ C de modo que vale uma e somente uma das seguintes condições:

  • kBU(t)k

  X

  ) = ∞. O Teorema nas referências bibliográficas ao final deste trabalho.

  a) T = ∞,

  b) T < ∞ e lim

  t→T

  ( kU(t)k

  X

1.5 Lemas Técnicos

  • A
  • A

  1

  1

  2

  (ξ) e P

  3 (ξ).

  Para obter taxas de decaimento da energia e da norma L

  2

  da solução de problemas de Cauchy associados a equações de evolução de segunda ordem, estudamos o problema no espaço de Fourier

          

  P

  b u

  1

  tt

  

2

  b u

  

t

  3

  b u = 0, b u (0, x) = b u (x), b u

  t

  (0, x) = b u

  

1

  (x), (1.4)

  (ξ), P

  operadores autoadjuntos pseudo-diferenciais, com símbolos P

  Nesta seção apresentamos alguns resultados que usamos para de- monstrar teoremas de existência e unicidade de soluções do problema que estudamos neste trabalho, bem como para obter taxas de decai- mento da norma L

  u

  2 da solução e da energia associada ao sistema.

  Seja Ω um subconjunto aberto, conexo e regular, no espaço R

  n .

  Considere o problema de Cauchy         

  A

  1

  u

  tt

  

2

  t

  3

  3

  u = 0, u (0, x) = u (x), u

  t

  (0, x) = u

  

1

  (x), (1.3) onde u = u(t, x), com (t, x) ∈ (0, ∞) × Ω e A

  , A

  2

  e A

  • P
  • P
onde bu = bu(t, ξ), com (t, ξ) ∈ (0, ∞) × Ω.

  A energia global associada à equação diferencial em depende do parâmetro ξ ∈ Ω, sendo definida por Z

  1

  2

  2 E P u u dξ,

  (t) =

  

3 (ξ) + P

1 (ξ) t (1.5)

  |b | |b |

  n

2 R para todo t ≥ 0.

  A partir da definição da energia no espaço de Fourier em o ob- jetivo é encontrar taxas de decaimento para esse funcional, assumindo que E(t) esteja bem definido e seja contínuo para t ≥ 0.

  Posto isso, encontramos no artigo de Luz-Ikehata-Charão das referências bibliográficas deste trabalho, resultados válidos mediante satisfação da Hipótese 1 que apresentamos adiante.

  Para isso, definimos a seguir a função ρ = ρ(x) a partir das funções

  n

  P , P , P : Ω

  1

  2

  3 ⊂ R −→ [0, ∞) mencionadas no início desta seção.

  Definição 1.31 Considerando a equação diferencial linear em definimos a função ρ = ρ(ξ) por

  −1 −1

  ρ εP , (ξ) = min (ξ)P (ξ), εP (ξ)P (ξ)

  3

  2

  

2

  1 ξ∈Ω

  onde ε > 0 é uma constante que depende da equação. Hipótese 1 Existe um número β > 0 tal que, para as funções men- suráveis e positivas (exceto em um subconjunto de medida nula) P

  i (ξ), n

  i = 1, 2, 3, definidas sobre Ω , pelo menos uma das duas condições ∈ R a seguir é satisfeita:

  Z Z

  1

  1 3 − 4 −

  β β

i) C = ρ (ξ) P (ξ)dξ < = ρ (ξ) P (ξ)dξ <

  1

  3 β ∞ e C β ∞; Ω Ω

  Z Z

  1 1+β

  1 1 − 4 −

  β β β

  P P dξ &lt; ρ P ii) C = (ξ) (ξ) = (ξ) (ξ)dξ &lt;

  2

  2

  3 β ∞; C β ∞; Ω Ω Z

  1 − 5 −2

  2 β

  C ρ P P dξ &lt; = (ξ)

  3 (ξ)P 2 (ξ) 1 (ξ) β ∞; Ω

  Z

  1 − 6 −2

  2 β

  C ρ P P dξ &lt; = (ξ)

  2 (ξ) 1 (ξ)P 3 (ξ) β ∞. Ω

  Considerando a hipótese acima, enunciamos o teorema a seguir, proposto por Luz-Ikehata-Charão citado nas referências deste tra- balho.

  ∞ n ∞ n

  Teorema 1.14 Sejam ( u , u ) (R ) (R ) e sejam P (ξ),

  1 i

  b b ∈ L × L i = 1, 2, 3 e β &gt; 0 satisfazendo a Hipótese Então a energia total associada ao problema em sobre Ω, satisfaz

  Z T

  β

  2

  2 1+β ∞ ∞ +

  E (t) dt u u E (S),

  β

  1

  ≤ C kb k kb k

  L L S para 0 &gt; 0 é uma constante que depende de β. β

  ≤ S &lt; T &lt; ∞, onde C A partir do Teorema e usando o Lema de Haraux-Komornik

  (Teorema mos- traram o corolário a seguir, que usamos neste trabalho para obtermos taxas de decaimento na região de baixa frequência. Corolário 1.1 Mediante as hipóteses do Teorema possui o seguinte decaimento assintó- tico

  1 −

  β

  E , (t)

  ≤ Ct para t → ∞, onde β &gt; 0 é a constante dada na Hipótese e C &gt; 0 depende dos dados inicias do problema.

  As demonstrações do Teorema das referências bibliográficas deste trabalho. Usamos o lema a seguir, para obtermos taxas de decaimento para o problema associado à equação linear, na região de alta frequência. Lema 1.10 Sejam c, r números positivos e a ∈ R. Então existe uma constante C = C(c, r) &gt; 0, tal que

  a

r −c|ξ| t −ar

  t e , ≤ C|ξ|

  n

  para todo t &gt; 0 e ξ , com ξ ∈ R 6= 0. Demonstração

  . Sejam c, r números positivos, a ∈ R e considere a

  a n

  t função s = c|ξ| , para t &gt; 0 e ξ ∈ R , com ξ 6= 0. Então

  

r −r r −ar

  t = c s , |ξ|

  n para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R , com ξ 6= 0. r −s

  Notamos que, para cada r &gt; 0 fixo, a função f(s) = s e , com s ≥ 0, é limitada. Logo, existe C &gt; 0, tal que

  a

r −c|ξ| t −r r −ar −s −ar

  t e s e , = c

  |ξ| ≤ C|ξ| sendo que a constante C depende de c e r.

  O próximo lema é usado para encontrar taxas de decaimento para o problema associado à equação linear, tanto na região de baixa frequên- cia quanto na região de alta frequência. Lema 1.11 Sejam n &gt; 0 um número inteiro, k &gt; −n, ϑ &gt; 0 e C &gt; 0. Então existe uma constante K = K(n, k, ϑ) &gt; 0, tal que

  Z

  ϑ n +k

−C|ξ| t k −

  ϑ

  e dξ , |ξ| ≤ Kt

  n R para todo t &gt; 0. Demonstração . Sejam k &gt; −n, ϑ &gt; 0 e C &gt; 0. Então

  Z

  t

  −Cs ϑ

  Z ∞ e

  −

k +n

ϑ

  ds = ω n t

  1 ϑ

  −

  − n +k−1 ϑ

  k+n−1 ds.

  t

  k+n−1

  s

  −Cs ϑ

  Z ∞ e

  n

  dξ = ω

  s

  Observamos que, para k + n &gt; 0, temos Z ∞ e

  |ξ|

  

k

  2 , esse lema não é suficiente para obtermos a taxa ótima. Conforme comentamos anteriormente, para o desenvolvimento deste trabalho, usamos resultados propostos por Luz-Ikehata-Charão no ar- tigo citado nas referências deste trabalho.

  ≤ θ ≤ α

  Quando buscamos taxas de decaimento para o problema associado à equação linear na região de baixa frequência, para o caso em que

  , onde K &gt; 0 é uma constante dependendo de n, k e ϑ.

  − k +n ϑ

  dξ ≤ Kt

  |ξ|

  −Cs ϑ

  −C|ξ| ϑ t

  e

  R n

  Z

  ds &lt; ∞. Portanto,

  k+n−1

  s

  k

  −C|ξ| ϑ t

  R n

  −Cr ϑ t

  Z ∞ e

  dr =

  ξ

  dS

  k

  r

  e

  r

  

|ξ|=r

  Z ∞ Z

  dξ =

  k

  |ξ|

  −C|ξ| ϑ t

  e

  −Cr ϑ t

  k

  e

  k+n−1

  R n

  , temos que Z

  1 ϑ

  : |ξ| = 1} . Usando a mudança de variável s = rt

  n

  dr, com a constante ω n definida por ω n = med {ξ ∈ R

  r

  ω

  −Cr ϑ t

  Z ∞ e

  n

  dr = ω

  n−1

  r

  n

  Referimo-nos aqui, ao Teorema cuja demons- tração usa o Lema de Haraux-Komornik, que enunciamos a seguir. Lema 1.12 (Haraux-Komornik) Seja E : [0, ∞) −→ [0, ∞) uma

  &gt; função não-crescente. Assuma que existam constantes r &gt; 0 e T 0, tais que

  Z ∞

  1+r r

  dt E (E(t)) (E(0)) (S),

  ≤ T

  S

  para todo S , vale a estimativa ≥ 0. Então, para todo t ≥ T

  1 r

  

1

  1

  1

  r − r

  E (t) 1 + t .

  ≤ E(0)T r Lema 1.13 Seja k &gt;

  −n, ϑ &gt; 0 e C &gt; 0. Então existe K &gt; 0, tal que Z

  n +k ϑ −C|ξ| t k

  ϑ

  e dξ , |ξ| ≤ K (1 + t)

  n R para todo t &gt; 0, com K uma constante dependendo de n.

  Demonstração . Sejam k &gt; −n, ϑ &gt; 0, C &gt; 0 e considere

  Z

  ϑ −C|ξ| t k

  I e dξ, (t) =

  |ξ|

  n R para todo t ≥ 0.

  Inicialmente, mostramos que o lema é válido para t ∈ (0, 1]. Nesse sentido, como I(t) é uma função contínua sobre (0, 1], existe uma constante C &gt;

  0, tal que I (t) , ≤ C para t ∈ (0, 1].

  &gt; 0, tal que

  1 Como 0 &lt; t ≤ 1, existe uma constante C n +k n +k ϑ ϑ

  C (1 + t) 2 ,

  1

  ≤ C ≤ C de onde segue que

  • k n

  − ϑ

  I , (t) (1 + t)

  

1

  ≤ C ≤ C para t no intervalo (0, 1].

  Mostramos agora, que o lema também é válido para t ∈ [1, ∞). No entanto, já sabemos do Lema que

  Z

  ϑ k +n −C|ξ| t k −

  ϑ

  I e dξ , (t) =

  |ξ| ≤ Ct

  R n para todo t &gt; 0 e em particular, para t ≥ 1.

  Considerando isso e o fato que t ∈ [1, ∞), temos que

  k +n k +n k +n k +n k +n − − −

  ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ I (t) (2t) (1 + t) .

  ≤ Ct ≤ C2 ≤ C2

  

k +n

ϑ

  , C Portanto, definindo C := C2

  2

  1

  2

  e tomando K = max {C }, concluímos a demonstração do lema.

  Usamos a estimativa do lema a seguir, para obter taxas de decai- mento para o problema associado à equação semilinear. Lema 1.14 Sejam a &gt; 1 e p &gt; 1 um número inteiro. Então

  Z t

  

a −pa −a

  dτ (1 + t) (1 + τ ) (1 + t

  − τ) ≤ C, para todo t &gt; 0, onde C = C(a, p) é uma constante positiva.

  Demonstração . Dividimos a demonstração do lema, em duas partes. t

  Na primeira parte consideramos a integral sobre o intervalo 0,

  2 t e na segunda parte a integral sobre , t .

  2

i) Notamos que, para τ ∈

  (1 + τ )

  t

  2

  (1 + τ )

  −pa

  dτ = 2

  a

  1−ap

  a

  1 − ap

  t

  2

  = 2

  a

  a

  t

  Z

  dτ ≤ 2

  2

  −a .

  0, t

  2 , temos 1 + t = 1 + 2t

  − t ≤ 2 + 2t − 2τ = 2(1 + t − τ), e como a &gt; 1, segue que (1 + t − τ)

  −a

  ≤ 2

  a

  (1 + t)

  Então, como ap &gt; 1, obtemos (1 + t)

  −a

  a

  Z

  t

  2

  (1 + τ )

  

−pa

  (1 + t − τ)

  2 1−ap

  • 1 ap

  − 1 !

  1 a − 1

  (1 + t)

  a−ap

  (1 + t − τ)

  1−a

  1 − a

  t t

  2

  = −2

  ap

  (1 + t)

  a−ap

  −

  t

  −2

  2 1−a

  a − 1

  ! ≤ 2

  ap

  (1 + t)

  a−ap

  1 a − 1

  ≤

  2

  ap

  a − 1

  ,

  ap

  dτ =

  ≤

  −a

  ap − 1

  − 1 +

  ap − 1 . ii) Agora, para τ ∈ t

  2 , t

  , temos 1 + t ≤ 2(1 + τ), que implica em (1 + τ )

  −pa

  ≤ 2

  ap

  −ap .

  Então, como ap &gt; a, obtemos (1 + t)

  a

  Z t

  t

  2

  (1 + τ )

  

−ap

  (1 + t − τ)

  −a

  dτ ≤ 2

  ap

  (1 + t)

  a−ap

  Z t

  

t

  

2

  (1 + t − τ)

  (1 + t)

  • 1 +
ap

  2 sendo que &gt; 0 pois, por hipótese, a &gt; 1. a

  − 1 Considerando agora, as estimativas obtidas nos itens (i) e (ii) acima e definindo

  a ap

  2

  2 C , , = C(a, p) := max ap a

  − 1 − 1 concluímos que, para qualquer t ≥ 0 fixado, vale Z t

  

a −pa −a

  dτ (1 + t) (1 + τ ) (1 + t − τ) ≤ C.

  Por último, enunciamos um lema auxiliar que usamos para mostrar a existência e unicidade de solução global para o problema semilinear e também, para obter taxas de decaimento para esse problema. Lema 1.15 Seja F : [0,

  ∞) −→ R uma função contínua e positiva definida por

  p

  F (M ) = aI + bT M − M, onde a, b, I , T são constantes positivas e p &gt; 1 um número real. Então

  F possui um único ponto de mínimo global M ∈ (0, ∞) e além disso, existe ε &gt; 0 tal que, se 0 &lt; I ) &lt; 0.

  ≤ ε, então F (M Demonstração . Pelo teste da derivada primeira, temos que os pontos críticos de F são da forma

  1 p−

  1

  1 M . = bT p

  Observamos que M é positivo, pois b, T &gt; 0 e p &gt; 1 e como F está é o único ponto crítico da função. definida sobre [0, ∞), M Além disso, o teste da derivada segunda, implica que F assim defi- &gt; nida, é uma função convexa, de onde concluímos que M 0 é ponto de mínimo global, conforme sugere o gráfico da Figura

  F G F (M ) (F ) (M )

  G (F ) aI aI

  − ˜ε M M M M

  ε Figura 1.1: No segundo gráfico, 0 &lt; ˜ ≤ εa.

  &gt; &gt; Além disso, F (0) = aI 0, pois a, I

  0. Portanto, para I suficientemente próximo de zero, ou seja, se 0 &lt; I ≤ ε, para algum

  ε &gt; 0, então temos que F (M ) &lt; 0.

  Capítulo 2 Existência e Unicidade de

Soluções: Problema Linear

  Neste capítulo mostramos a existência e a unicidade de soluções para o problema de Cauchy associado à equação linear 

  δ α θ

   u u u u

  • ( + ( + ( = 0,  tt tt t

  −∆) −∆) −∆)   u

  (2.1) (0, x) = u (x),

      u

  (0, x) = u (x),

  t

  1 n

  e as potências fracionárias onde u = u(t, x), com (t, x) ∈ (0, ∞) × R α

  • δ .

  do operador Laplaciano satisfazem 0 ≤ δ ≤ α ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤

  2

  2 n

  Calculando formalmente o produto interno usual em L (R ), da equação diferencial em com a função u , temos

  t

  Z

  

δ α θ

  u + ( u + ( u + ( u u dx = 0. (2.2)

  tt tt t t

  −∆) −∆) −∆)

  n R Desenvolvendo o primeiro termo a integral acima, temos Z Z Z

  ∂ d

  1

  1

  2

  

2

u u dx u dx dx.

  = = (2.3)

  tt t t t |u | n n ∂t dt n

  R R

  2

  2 R Agora, usando a Identidade de Plancherel (Teorema segue que

  Z

  δ δ 2δ

  u u dx u , u u , u ( tt t = ( tt t

  2 = tt t

  2

  −∆) −∆) |ξ| c b

  L L R n

  Z Z

  2δ δ δ δ δ

  = u u dξ = u u dξ = u , u

  tt t tt t tt t

  2

  |ξ| c b |ξ| c |ξ| b |ξ| c |ξ| b

  L n n

  R R

  Z

  

δ δ δ δ

  2

  2

  2

  2

  u , u u u dx = ( ( = ( (

  tt t tt t

  −∆) −∆) −∆) −∆)

2 L n

  R

  Z Z

  2

  ∂ d δ

  1

  1

  δ

  2

  = ( u dx = u dx. (2.4)

  t

  −∆) t (−∆)

  n n R ∂t

  2 2 dt R Analogamente, temos também que

  Z Z Z

  α 2α α α

  u u dx u u dξ u u dξ ( = =

  t t t

  −∆) |ξ| b b |ξ| b |ξ| b

  n n n R R R

  Z Z

  α α d α

  1

  2

  2

  2

  2

  u u dx u dx, = ( ( = (2.5)

  t (−∆)

  −∆) −∆)

  n dt n R

  2 R assim como Z Z Z

  θ 2θ θ θ

  u u dx u u dξ u u dξ ( t t = t t = t t

  −∆) |ξ| b b |ξ| b |ξ| b

  R n R n R n

  Z Z

  2 θ θ θ

  2

  2

  2

  = ( u ( u dx = u dx. (2.6)

  

t t t

  −∆) −∆) (−∆)

  n n R R

  Substituindo as identidades obtidas em obtemos

  2

  2 δ α θ

  1 d

  2

  2

  2

  2

  2

  u u u

  2

  • = 0,

  t t (−∆) 2 t

  ku k L (−∆) (−∆)

  L

  2

  2

  dt L L

  2 (2.7) para todo t &gt; 0.

  Definimos a energia total do sistema por

  2 δ α

  1

  2

  2

  

2

  (t) =

  2 (2.8) + +

t t (−∆)

  2 E u u

  2

  ku k L (−∆)

  L

  2 L

  2 e então reescrevemos a equação em na forma

  

2

  d θ

  (t) + t = 0, para t &gt; 0. (2.9) (−∆)

2 E u

  2

  dt L Observamos na equação que a função energia E(t) é não cres-

  

θ

  u na equação diferencial em

  t

  cente no tempo e que o termo (−∆) representa uma dissipação de energia do sistema.

  Considerando a função em definimos o espaço da energia por

  α n δ n

  X = H (R ) (R ). (2.10) × H

  Observamos que, para os casos em que δ &gt; α ≥ 0, temos que

  δ n α n

  u (R ) (R ), de modo que a regularidade exigida da função

  t

  ∈ H ⊂ H u , é maior do que a regularidade da função u e além disso, o espaço para

  t os dados iniciais do problema também exige maior regularidade.

  Neste trabalho estudamos somente os casos em que 0 ≤ δ ≤ α,

  α n δ n

  situação em que (u, u t ) (R ) (R ), e o espaço X está defi- ∈ H × H nido de forma adequada e é o mais importante, pois é o espaço onde ocorrem grande parte das aplicações físicas. Considerando α ∈ [0, 2] e δ, θ

  ∈ [0, α], a maior potência para o operador Laplaciano na equação diferencial do problema é dois. Considerando a relação entre as potências δ e θ do operador La- placiano, dividimos o estudo da existência e unicidade de soluções do problema associado à equação linear, nos casos

1) Caso 0 ≤ θ < δ ≤ α;

  α

  • δ .

2) Caso 0 ≤ δ ≤ θ ≤

  2 Com o objetivo de usar resultados da teoria de semigrupos, enun- ciados no Capítulo deste trabalho, consideramos o espaço da energia definido em reescrevendo-o na forma

   d 

  U = BU + J(U ), dt

  (2.11) 

  U , (0) = U

  1 ), com B e J operadores definidos ade-

  , u onde U = (u, u t ), U = (u

  quadamente para cada um dos dois casos citados acima, conforme mos- tramos nas próximas seções deste capítulo.

  Em seguida, usando o Teorema de Lumer-Phillips (Teorema mostramos que B é gerador infinitesimal de um semigrupo de contra- ções de classe C em X e mostramos também, que J é um operador linear limitado sobre o espaço X.

  A partir disso, usando resultados da teoria de semigrupos, decorre do Teorema de Perturbação de Geradores (Teorema que B + J é gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C em X e portanto, pelo Teorema e equivalentemente, para o problema

  Apresentamos formalmente esse resultado através do Teorema que enunciamos ao final deste capítulo. Para a demostração desse teo- rema, definimos e analisamos inicialmente, as propriedades de um ope- rador que chamamos A σ , que usamos para definir o operador B dado no problema de Cauchy em de modo que B seja gerador infini- tesimal de um semigrupo de contrações de classe C em X.

2.1 Operador A

  σ

  σ de

  Nesta seção consideramos 0 ≤ δ ≤ σ e definimos o operador A

  σ n

  modo que seu domínio seja um subespaço de H (R ), ou seja, n

  σ n δ n

  D (A ) = u (R ); (R ),

  σ u

  ∈ H ∃ y = y ∈ H

  σ σ δ δ

  2

  

2

  2

  2

  u, ϕ y, ϕ , (u, ϕ) + ( ( = (y, ϕ) + ( (

  −∆) −∆) −∆) −∆) o

  σ n .

  (R ) ∀ ϕ ∈ H

  A partir da condição imposta sobre D(A ), é natural definirmos o

  σ

  operador A na forma

  σ δ n

  A D

  

σ : (A σ ) (R )

  −→ H (2.12) u y,

  7−→

  −1 δ σ

  com y = A u σ = I + ( (I + ( ) u.

  −∆) −∆) Mostramos a seguir, que D(A ) ),

  σ σ

  6= ∅ e que, para cada u ∈ D(A

  

δ n

  (R ), tal que A u = y, concluindo

  σ

  existe um único elemento y ∈ H que o operador A está bem definido.

  σ σ n

  (R ) De forma mais geral, mostramos no Lema que cada u ∈ H

  δ n

  (R ), através das está associado a, no máximo, um elemento y ∈ H igualdades propostas, satisfazendo as propriedades em D (A ).

  σ σ n

  Lema 2.1 Para todo u (R ), existe no máximo um elemento ∈ H

  δ n

  y u = y (R ), tal que A = y, ou seja,

  u σ

  ∈ H

  σ σ δ δ

  2

  2

  2

  2

  u, ϕ y, ϕ , (u, ϕ) + ( ( = (y, ϕ) + ( (

  −∆) −∆) −∆) −∆)

  σ n para todo ϕ (R ).

  ∈ H Demonstração . Claro que a equação variacional do lema é satisfeita ) e então D(A )

  σ σ para u = v = 0. Assim, 0 ∈ D(A 6= ∅. σ n δ n

  , y (R ). Suponhamos que existam y (R ),

  1

  2 Seja u ∈ H ∈ H

  satisfazendo a equação do lema. Então temos

  δ δ δ δ

  2

  2

  2

  2

  , ϕ y , ϕ , ϕ y , ϕ , (y

  1 ) + ( 1 ( = (y 2 ) + ( 2 (

  −∆) −∆) −∆) −∆)

  σ n

  (R ), ou seja, para todo ϕ ∈ H

  δ δ

  2

  2

  (y , ϕ ) + ( (y ), ( ϕ = 0,

  1

  2

  1

  2

  − y −∆) − y −∆)

  σ n (R ).

  para todo ϕ ∈ H

  ∞ n σ n

  Como C (R ) está densamente imerso em H (R ), em particular

  δ δ

  2

  2

  , ϕ ϕ (y ) + ( (y ), ( = 0, (2.13)

  1

  2

  1

  2

  − y −∆) − y −∆)

  σ n (R ).

  para qualquer ϕ ∈ H

  ∞ n

  Definindo y = y , segue da densidade de C (R ) no es-

  1

  2

  − y

  

δ n ∞ n

  paço H (R ), que existe uma sequência em C (R ), tal que

  ν

  {ϕ } ν∈N

  δ n

  ϕ (R ), quando ν

  ν

  −→ y em H → ∞, ou seja,

  ν δ

  kϕ − yk −→ 0, quando ν → ∞,

  H

  assim como,

  2

  2

  2

  • δ = δ , y ) δ δ (2.14)

  ν ν ν

  kϕ − yk kϕ k − 2 (ϕ kyk −→ 0,

  H H H H δ δ δ ,

  ν ν

  quando ν → ∞. Além disso, como |kϕ k − kyk | ≤ kϕ − yk

  H H H temos que kϕ

  ν

  ) e considerando o resultado em temos também que (y, ϕ

  = 0, (2.17) para todo ν ∈ N.

  ν

  ϕ

  2

  δ

  y, ( −∆)

  2

  δ

  ) + ( −∆)

  ν

  H δ = (y, ϕ

  )

  ν

  n

  k H

  (R

  δ

  (2.16) Por outro lado, pela definição do produto interno no espaço H

  , quando ν → ∞.

  2 H

δ

  −→ kyk

  H δ

  (y, ϕ ν )

  (2.15) Assim, dos resultados em segue que

  , quando ν → ∞.

  

δ

  −→ kyk H

  δ

  Portanto, de resulta que kyk

2 H

  (y, ψ

  n ).

  

σ

  (R

  n

  ) ⊆ H

  δ

  (R

  Posto isso, determinamos na sequência uma caracterização para o domínio do operador A

  n

  σ

  , mostrando nos Lemas que D (A

  σ

  ) = H

  2σ−δ

  (R

  n ).

  ) ⊆ H

  (R

  ν

  ), ou seja, y

  δ = lim ν→∞

  H δ

  = 0, de onde concluímos que y = 0 ∈ H

  

σ

  (R

  n

  1

  2σ−δ

  = y

  2

  ∈ H

  σ

  (R

  n ).

  Como consideramos δ ≤ σ, temos σ ≤ 2σ − δ e então, H

  )

  2σ−δ n

  Lema 2.2 Se 0 ) (R ) e existe uma

  σ

  ≤ δ ≤ σ, então D(A ⊂ H constante C &gt; 0, tal que

  2σ−δ u , δ H σ

  kuk ≤ C kA k H para todo u σ ). ∈ D(A

  Demonstração . Seja u σ ). Pela definição de D(A σ ), dada no

  ∈ D(A

  δ n

  início desta seção, existe um y = y

  u (R ), tal que

  ∈ H

  σ σ δ δ

  2

  2

  2

  2

  (u, ϕ) + ( u, ( ϕ = (y, ϕ) + ( y, ( ϕ , (2.18) −∆) −∆) −∆) −∆)

  σ n (R ).

  para todo ϕ ∈ H

  δ n

  Definimos o funcional F : H (R ) −→ R, na forma

  δ δ

  2

  2 y, ϕ .

  ( ( hF, ϕi = (y, ϕ) + −∆) −∆) Dessa forma, o funcional F está bem definido e é linear.

  δ n

  (R ), temos que Além disso, F é contínuo pois, dado ϕ ∈ H

  δ δ

  

2

  2

  y, ϕ ( (

  |hF, ϕi| ≤ |(y, ϕ)| + −∆) −∆)

  δ δ

  2 δ δ y ϕ .

  • 2

  H H

  ≤ kyk kϕk (−∆) (−∆)

  δ δ H H δ n

  Então, considerando a definição de norma em H (R ) e usando a Identidade de Plancherel (Teorema temos que

  δ δ

  y ϕ y ϕ |hF, ϕi| ≤ kb k k b k + |ξ| b |ξ| b

  1/2 1/2 2δ 2δ

  y ϕ ≤ 2 b b 1 + |ξ| 1 + |ξ|

  δ δ

  , ≤ 2 kyk H kϕk H

  δ n δ

  (R ), ou seja, . Logo, F é um funcional

  H

  para todo ϕ ∈ H kF k ≤ 2 kyk

  δ n limitado e portanto, contínuo em H (R ).

  δ n ′ −δ n

  ), existe F (R )) = H (R ) tal que

  σ

  Assim, dado u ∈ D(A ∈ (H

  σ σ

  2

  2

  u, ϕ (u, ϕ) + ( ( = (2.19)

  −∆) −∆) hF, ϕi,

  δ n (R ).

  para todo ϕ ∈ H

  n n σ n

  ) ) (R ), em particular, Como D(R ⊂ S(R ⊂ H

  n n p n

  ) ֒ ) ֒ (R ), D(R → S(R → L ∀p ≥ 1,

  δ n

  o resultado é válido em H (R ) e também

  σ σ

  2

  2

  (u, ϕ) + ( u, ( ϕ = −∆) −∆) hF, ϕi,

  n

  ), de onde concluímos que a equação para todo ϕ ∈ D(R

  σ

  u u

  • ( = F, (2.20)

  −∆)

  ′ n ′ n (R ) (R ).

  é válida no espaço dual S ⊂ D Aplicando a Transformada de Fourier na equação e conside- rando a definição do funcional F , temos que

  2σ 2δ

  u y, 1 + = 1 + |ξ| b |ξ| b

  σ n δ n

  ) (R ) e y (R ), ou ainda,

  σ

  para u ∈ D(A ⊂ H ∈ H

  1

  1 − 2δ

  2 2σ 2δ

  2

  1 + 1 + u = 1 + y. (2.21) |ξ| |ξ| b |ξ| b u No entanto, da definição de A , temos que y = A e então

  σ σ 2σ

  1 + |ξ| y A u u.

  = d = (2.22)

  σ

  b b

  2δ

  1 + |ξ|

  2 Por outro lado, tomando o quadrado da norma L de cada um dos

  membros da equação em obtemos Z Z

  −1

  2 2δ 2σ 2 2δ

  2 u dξ y dξ.

  1 + 1 + = 1 + |ξ| |ξ| |b | |ξ| |b |

  R n R n

  Como consideramos 0 ≤ δ ≤ σ e então também 2σ − δ ≥ 0, segue do Lema a equivalência

  −1 2 −δ 2σ 2δ 2σ

  2

  2

  1 + 1 + 1 + |ξ| |ξ| ≤ C 1 + |ξ| |ξ|

  2σ−δ 2 2(2σ−δ)

  = C 1 + 1 + , |ξ| ≤ C |ξ| onde C é uma constante que depende de σ e δ.

  Assim, a equação integral acima, pode ser reescrita como Z Z

  δ 2(2σ−δ)

  2

  2

  2 u dξ y dξ.

  1 + 1 + (2.23) |ξ| |b | ≤ C |ξ| |b |

  n n R R

  A Portanto, considerando a definição de c em concluímos da

  σ

  inequação em que

  2σ−δ δ A u ,

  = C σ kuk H ≤ Ckyk H δ

  H 2σ−δ n

σ ), ou seja, D(A σ ) (R ).

  para todo u ∈ D(A ⊂ H

  σ n Observação 2.1 Lembramos que, por definição, D(A ) (R ). σ

  ⊂ H Isso justifica a condição 0

  ≤ δ ≤ σ, imposta no início desta seção, pois

  2σ−δ n σ n ela garante que D(A ) (R ) (R ). σ

  ⊂ H ⊂ H

  2σ−δ n

  Lema 2.3 Se 0 (R ) ), ou seja, dado

  σ

  ≤ δ ≤ σ, então H ⊆ D(A

  2σ−δ n δ n

  u (R ) existe y (R ) tal que

  ∈ H ∈ H

  σ σ δ δ

  2

  2

  2

  2

  u, ϕ y, ϕ , (u, ϕ) + ( ( = (y, ϕ) + ( ( (2.24)

  −∆) −∆) −∆) −∆)

  σ n para todo ϕ (R ).

  ∈ H

  2σ−δ n δ n

  Demonstração . Sejam u (R ) e G : H (R )

  ∈ H −→ R o funcio- nal dado por

  δ δ σ−

  2

  2 u, ( ϕ .

  hG, ϕi = (u, ϕ) + (−∆) −∆) Dessa forma, o funcional G está bem definido e é linear, pois

  2σ−δ n δ n

  u (R ) (R ).

  ∈ H ⊂ H

  δ n

  (R ), Além disso, G é contínuo, pois dado ϕ ∈ H

  δ δ σ−

  2

  2

  u, ϕ ( (

  |hG, ϕi| ≤ |(u, ϕ)| + −∆) −∆)

  δ δ σ−

  2

  2

  • 2

  L L

  ≤ kuk kϕk (−∆) (−∆)

  2 u ϕ .

  2

  2 L L δ n

  Então, considerando a definição de norma em H (R ) e usando a Identidade de Plancherel (Teorema temos que

  2σ−δ δ

  2 ϕ 2 u ϕ

  • u

  2

  2

  |hG, ϕi| ≤ kb k k b k |ξ| b |ξ| b

  L L L L 2σ−δ

  u ≤ kb k |ξ| b kϕk

  • 2 u δ

  2 L H L 2σ−δ δ

  , ≤ 2 kuk H kϕk H

  δ n 2σ−δ (R ), ou seja, .

  para todo ϕ ∈ H kGk ≤ 2 kuk H Logo, G é um funcional linear contínuo e então

  

δ n −δ n

  G (R ) = H (R ).

  ∈ H Com objetivo de usar o Teorema de Lax-Milgram (Teorema definimos a aplicação

  δ n δ n

  b : H (R ) (R )

  × H −→ R, (2.25)

  δ δ

  2

  (ϕ, φ) = (ϕ, φ) + ( ( −∆) −∆)

  2 b ϕ, φ .

  Assim, a aplicação b(·, ·) está bem definida, é uma forma bilinear e (R ) (R ), temos

  é contínua pois, dado (ϕ, φ) ∈ H × H

  δ δ

  2

  2

  ϕ, φ ( (

  |b(ϕ, φ)| ≤ |(ϕ, φ)| + −∆) −∆)

  δ δ

  2

  2

  2

  ϕ φ

  • 2

  L L

  ≤ kϕk kφk (−∆) (−∆)

  2

  2 L L δ δ

  b

  2 φ ϕ φ

  • ϕ

  2

  ≤ k b k |ξ| b

  

L b |ξ|

2 L

  2 L L δ δ .

  H H

  ≤ 2 kϕk kφk

  δ n

  (R ), Além disso, b(·, ·) é coerciva pois, para todo ϕ ∈ H

  Z

  2

  2

  2 2δ 2δ

  2

  b ϕ 2 ϕ ϕ dξ δ .

  (ϕ, ϕ) =

  • L H L R n

  2 = 1 + =

  k b k |ξ| b |ξ| | b | kϕk

  Portanto, segue do Teorema de Lax-Milgram (Teorema que,

  δ n

  (R ), que para o funcional linear e contínuo G, existe um único y ∈ H é solução para o problema variacional

  δ n

  b (y, ϕ) = (R ). (2.26) hG, ϕi, para todo ϕ ∈ H Assim, para a forma bilinear contínua e coerciva b(·, ·) e o funcional linear e contínuo G, conforme definidos nesta demonstração, existe um

  δ n

  (R ), de modo que único y ∈ H

  δ δ δ δ σ−

  2

  2

  2

  2

  y, ϕ u, ϕ , (y, ϕ)+ ( ( = (u, ϕ)+ ( ( (2.27)

  −∆) −∆) −∆) −∆)

  δ n (R ).

  para todo ϕ ∈ H

  σ n δ n

  No entanto, como H (R ) (R ), em particular a equação ⊂ H

  σ n (R ).

  variacional em vale para todo ϕ ∈ H Além disso, usando a Identidade de Plancherel (Teorema temos

  Z

  δ δ

σ− 2σ−δ δ 2σ−δ δ

  2

  2

  ( u, ( ϕ = u, ϕ = u ϕ dξ −∆) −∆) |ξ| b |ξ| b |ξ| b |ξ| b

  R

  Z Z

  σ σ 2σ σ σ

  2

  = = = ( ( |ξ| b |ξ| b |ξ| b |ξ| b −∆) −∆)

  2 u ϕ dξ u ϕ dξ u, ϕ .

  n n R R δ n

  (R ), tal que Como isso, segue de que existe y ∈ H

  δ δ σ σ

  2

  2

  2

  2

  y, ϕ u, ϕ , (y, ϕ) + ( ( = (u, ϕ) + ( (

  −∆) −∆) −∆) −∆)

  σ n (R ).

  para todo ϕ ∈ H

  2σ−δ n

  Assim, a identidade que define D(A

  σ ) é satisfeita para u (R )

  ∈ H

  2σ−δ n ), o que implica que H (R ) ). σ σ

  e portanto, u ∈ D(A ⊂ D(A Observação 2.2 Lembramos que, conforme justificamos anteriormente, o espaço definido para a energia do sistema apresentado em é

  α n δ n

  X = H (R ) (R )

  × H munido com os produtos internos Z

  2α α

  u (u, v) = 1 + (2.28)

  H

  |ξ| b bv dξ,

  n R

  Z

  2δ δ

  u (2.29) (u, v) = 1 +

  H |ξ| b bv dξ, R n

  e respectivas normas, que são equivalentes às normas usuais nesses espaços, devido às desigualdades provadas no Lema

  2.2 Caso ≤ θ &lt; δ ≤ α

  Nesta seção, reescrevemos o problema de Cauchy na forma  d 

  U U = B + J (U ),

  

1

  1

  dt (2.30)

   U ,

  (0) = U onde U = (u, u ) , U = (u , u ) e J adequados, de modo

  t

  1

  1

  1

  ∈ X, com B que B é gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe

  1 C em X, J é um operador linear e limitado sobre X.

  1 Em seguida, usando resultados da teoria de semigrupos, mostramos

  que B + J é gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C em

  1

1 X e portanto, o problema admite uma única solução.

  Com o objetivo de determinarmos os operadores B e J , de modo

  1

  1

  que atendam às hipóteses desejadas, somamos e subtraímos o termo u à equação diferencial em obtendo assim,

  δ α θ I u u .

  • ( tt = ) u + u t

  −∆) − (I + (−∆) − (−∆) A definição do operador A estudado na Seção implica que

  σ

  δ

  I

  • ( é inversível. Então, definindo v = u , segue que

  t

  −∆)

  −1 −1 δ α δ θ

  v u v .

  = (I + ( ) u + I + (

  t

  − I + (−∆) −∆) −∆) − (−∆) Relacionando o expoente α com σ que ocorre na definição do ope- rador A σ na seção anterior, reescrevemos a equação na forma

  −1 δ θ

  v u u v ,

  t = α + I + (

  −A −∆) − (−∆)

  −1 δ α

  com A = I + ( (I + ( ) e conforme mostramos nos Le-

  α

  −∆) −∆) mas daquela seção,

  2α−δ n D (A ) = H (R ). α

  Assim, a equação diferencial em pode ser reescrita na forma     u v d

    =  

  −1

  dt δ θ v u u v

  • I + (

  α

  −A −∆) − (−∆)     u u

  B   + J   , =

  1

  1

  v v

  

α n α n δ n

  onde B

  

1 : D(A α ) (R ) (R ) (R ) definido por

  × H −→ H × H     u v

  B   =  

  1

  v u

  α

  −A

  α n δ n α n δ n

  e J : H (R ) (R ) (R ) (R ) operador definido por

  1

  × H −→ H × H     u

  J   =   .

  1 −1 δ θ

  v I + ( u v −∆) − (−∆) Observação 2.3 Conforme mostramos anteriormente na Seção

  

2α−δ n α n

  D (A ) = H (R ). Assim, como D(B ) = D(A ) (R ), temos

  α 1 α

  × H

  α n δ n

  U que B (R ) (R ), ou seja, B (D(B ))

  1

  1

  1 ∈ H × H ⊂ X.

  Mostramos nesta seção, que o operador B + J é gerador infinite-

  1

  1

  simal de um semigrupo de classe C 1 (t) .

  } em X, digamos {S t≥0 Então, usando a teoria de semigrupos, concluímos que

  U , t (t) = S

  1 (t)U

  ≥ 0, é a solução para o problema de Cauchy em

  α n δ n

  Assim, para dados iniciais U = (u , u ) (R ) (R ), temos

  1

  ∈ H ×H

  α n δ n U (R ) (R ) .

  ∈ C [0, ∞), H × H Dessa forma, a primeira componente de U(t) = S (t)U , é a (única)

  1

  solução do problema linear e satisfaz

  α n 1 δ n u .

  [0, (R ) [0, (R ) ∈ C ∞), H ∩ C ∞), H

  Além disso, para dados iniciais

  2α−δ n α n

  U , u = (u

  1 ) 1 ) = H (R ) (R ),

  ∈ D(B × H temos que

  2α−δ n 1 α n 2 δ n u [0, (R ) [0, (R ) [0, (R ) .

  ∈ C ∞), H ∩ C ∞), H ∩ C ∞), H

  1

  

2.2.1 B é Gerador Infinitesimal de um Semigrupo

de Contrações de Classe C

  Mostramos nesta subseção, que B é um operador bem definido e

  1

  que é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe

  α n δ n

  C no espaço X = H (R ) (R ).

  × H De acordo com os Lemas na seção anterior deste capítulo,

  2α−δ n

  D (A α ) = H (R ).

  δ n

  u α ), temos que A α (R ). Além disso, tomando u ∈ D (A ∈ H Posto isso, segue que o operador

  α n α n δ n

  B D : (A ) (R ) (R ) (R ),

  1 α

  × H −→ H × H (2.31) u

  (u, v) (v, )

  α

  7−→ −A está bem definido.

  Lema 2.4 O operador B definido em é o gerador infinitesimal

  1 α n δ n

  de um semigrupo de contrações de classe C em H (R ) (R ).

  × H Demonstração

  . Vamos mostrar que o operador B

  1 satisfaz as hipóte-

  ses do Teorema de Lumer-Phillips (Teorema e portanto, é gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe C em X.

  Naturalmente que o conjunto D(B

  1 ) é denso em X, pois 0

  ≤ δ ≤ α,

  2α−δ n α n α n δ n D (B ) = H (R ) (R ) e X = H (R ) (R ).

  1

  × H × H Para mostrar que B é dissipativo, consideramos o produto interno

  1 α n δ n

  no espaço H (R ) (R ), definido a partir da soma dos produtos × H

  α n δ n internos em H (R ) e em H (R ). Nesse sentido, dados (u, v) ∈ D(B

  1

  ) 1 + |ξ|

  2α

  (1 + |ξ|

  R n

  = Z

  b u bv dξ

  2δ

  1 + |ξ|

  2α

  2δ

  − b u bv dξ

  (1 + |ξ|

  

R

n

  − Z

  ) bv b u dξ

  2α

  (1 + |ξ|

  R n

  = Z

  ×H δ

  ) bv b u

  = 2i Z

  (u, v), (u, v))

  ×H δ = 0

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  1 ) = H

α

  (I − B

  Além disso, conforme mostramos a seguir, Im

  e portanto, segue da definição, que B 1 é dissipativo.

  H α

  R n

  (u, v), (u, v))

  1

  (B

  ), temos que Re

  

1

  Assim, para todo (u, v) ∈ D(B

  )Im bv b u dξ, onde o termo Im bv bu representa a parte imaginária de bv bu.

  2α

  (1 + |ξ|

  H α

  1

  ), B

  H α

  n

  (R

  α

  Considerando os produtos internos definidos em para os espaços H

  H δ .

  u, v )

  α

  − (A

  = (v, u)

  δ

  ×H δ

  H α

  u ), (u, v))

  α

  = ((v, −A

  ×H δ

  H α

  (u, v), (u, v)

  1

  ) e H

  (R

  b u , obtemos (B

  1 + |ξ|

  2δ

  1 + |ξ|

  2α

  u = 1 + |ξ|

  α

  u bv dξ e usando o resultado em ou seja, d A

  α

  d A

  2δ

  R n

  n

  Z

  bv b u dξ −

  2α

  1 + |ξ|

  R n

  = Z

  ×H δ

  1 (u, v), (u, v)) H α

  ), respectivamente, temos que (B

  n ).

  ), devemos mostrar que existe

  α

  )(u, v) = (f, g), ou seja, u − v, v + A

  1

  ), tal que (I − B

  1

  ∈ D(B

  ), existe um par (u, v)

  n

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  Por outro lado, dado (f, g) ∈ H

  u = (f, g). No entanto, provar a identidade acima, é equivalente a mostrar que existe (u, v) ∈ D(B

  n ).

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  α

  )(u, v) ∈ H

  1

  − B

  ), de onde segue que (f, g) = (I

  

n

  

α

  1 ) = H 2α−δ

  δ

  (R

  n

  (R

  δ

  ) ×H

  n

  (R

  α

  u

  α

  A

  (2.32) Da primeira equação do sistema, temos que v = u − f e então, substituindo na segunda equação, obtemos

  n ).

  δ

  (R

  = g ∈ H

  ), v

  n

  (R

  α

  − v = f ∈ H

  ), satisfazendo    u

  n

  (R

  α

  ) × H

  n

  (R

  ) × H

  De fato, Im(I −B

  1

  (u, v) = (I − B

  1

  − B

  ), tal que (u, v)

  n

  (R

  α

  ) × H

  n

  (R

  2α−δ

  ) = H

  ), existe (u, v) ∈ D(B

  Entretanto, como 0 ≤ δ ≤ α, temos (u, v) ∈ H

  1

  B

  ), pois dado (f, g) ∈ Im(I −

  n

  (R

  δ

  ) ×H

  n

  (R

  α

  ) ⊂ H

  1

  1 )(u, v) = (f, g).

  α

  n

  ) −→ H

  (R

  α

  (u, v) ∈ H

  1

  ), ou seja B

  n

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  α

  

n

  (R

  (R

  α

  ) × H

  n

  (R

  1 : H 2α−δ

  ) e além disso, por definição, B

  n

  (R

  δ

  ) × H

  n

  • A α u
  • u = f + g. (2.33) Assim, dado (f, g) ∈ H
  • (

  • (u, ϕ)

  H

α

  δ

  H α

  kϕk

  H α

  ≤ kuk

  H δ

  (u, ϕ)

  δ

  ), temos b(u, ϕ) ≤

  n

  (R

  δ

  ) ⊂ H

  n

  (R

  kϕk H

  ≤ 2 kuk

  ), como H

  H δ

  2 H α .

  ≥ kuk

  2 H δ

  kuk

  α +

  = kuk

  H

α

  H α

  ) temos que b (u, u) = (u, u)

  n

  (R

  α

  Logo, b(·, ·) é limitada e portanto, contínua. Além disso, b(·, ·) é coerciva, pois para todo u ∈ H

  H α .

  kϕk

  α

  

n

  

δ

  −∆)

  α

  (I + ( −∆)

  a ambos os lados da equação variacional em temos que

  δ

  e aplicando o operador I + (−∆)

  α

  I

  (R

  δ −1

  = I + ( −∆)

  α

  Usando a definição de A

  n ) satisfazendo a equação

  (R

  )u + (I + ( −∆)

  )u = (I + ( −∆)

  u ∈ H

  (R

  α

  Notamos que b(·, ·) está bem definida, pois 0 ≤ δ ≤ α, e é bilinear, pois é definida como soma de produtos internos. Além disso, dados u, ϕ ∈ H

  H δ .

  

H

α

  ) −→ R, a forma definida por b (u, ϕ) = (u, ϕ)

  n

  α

  δ )(f + g).

  ) × H

  n

  (R

  α

  Seja b(·, ·) : H

  Com o objetivo de usar o Teorema de Lax-Milgram (Teorema defini- mos uma forma bilinear b e um funcional linear F e mostramos que b é contínua e coerciva e que F é contínuo.

  2α−δ

  • (u, ϕ)
  • kuk H
  • (u, u)

2 H

  • (g, ϕ)
  • (g, ϕ)
  • kgk H

  = H

  α

  Portanto, segue do Teorema de Lax-Milgram (Teorema que existe um único elemento u ∈ H

  n ).

  (R

  −α

  ) ⊂ H

  n

  (R

  

−δ

  ′

  n

  )

  n

  (R

  δ

  ∈ H

  ), F

  n

  (R

  δ

  (R

  ), tal que b (u, ϕ) = hF, ϕi, para todo ϕ ∈ H

  n ).

  H δ

  n

  (R

  δ

  ) e em H

  n

  (R

  α

  e considerando a definição de produto interno em H

  H δ

  = (f, ϕ)

  δ

  H δ

  H α

  ), satisfazendo a equação (u, ϕ)

  n

  (R

  α

  Assim, pela definição de b(·, ·) e de F , existe um único elemento u ∈ H

  n ).

  (R

  Também, como F é um funcional linear e limitado sobre H

  (R

  ), temos que

  n

  ) e g ∈ H

  n

  (R

  α

  Além disso, para f ∈ H

  n ).

  (R

  δ

  ) ⊂ H

  (R

  (R

  α

  Naturalmente que F está bem definido e é linear, pois é definido como soma de produtos internos e f ∈ H

  H δ .

  

H

δ

  ) −→ R, o funcional definido por hF, ϕi = (f, ϕ)

  n

  (R

  δ

  Agora, seja F : H

  δ

  n

  δ

  H α

  ). Logo F é limitado e portanto, contínuo em H

  n

  (R

  δ

  para ϕ ∈ H

  δ

  kϕk H

  δ

  kgk H

  ≤ kfk

  ) dados, temos hF, ϕi ≤ (f, ϕ)

  δ

  kϕk H

  δ

  δ

  kϕk H

  δ

  ≤ kfk H

  H δ

  H

δ

  • (u, ϕ)
  • (g, ϕ)

  α α δ δ

  2

  2

  2

  u, ϕ u, ϕ δ δ , ( ( ( ( +2(u, ϕ) = (f, ϕ) +(g, ϕ)

  • 2

  H H

  −∆) −∆) −∆) −∆)

  δ n (R ).

  para todo ϕ ∈ H

  n δ n

  ) denso em H (R ), a equação variacional acima é vá- Como D(R

  n

  ) e portanto, lida para todo ϕ ∈ D(R A u (2.34)

  

α + u = f + g

′ n

  (R ). Então, aplicando a no sentido das distribuições, ou seja, em D transformada de Fourier em obtemos d

  • A u u = b f

  α

  b bg ou ainda,

  1

  1 2δ

  2 A d u f b

  • 2 2δ

  u 1 + = 1 +

  α

  |ξ| |ξ| bg − b

  n

  Agora, tomando a integral sobre R em cada lado da identidade acima, temos que Z Z

  2

  2 2δ 2δ

  A u dξ f u dξ. 1 + α (ξ) = 1 + (ξ) + (ξ)

  |ξ| |ξ| bg(ξ) − b d b

  R n R n δ n

  Então segue da definição de norma em H (R ) que

  2

  2

  2

  2

  • u δ δ δ δ . (2.35)

  α

  kA k ≤ kfk kgk kuk

  

H H H H

α n δ n δ n

  (R ) (R ) e g (R ), a soma das normas Como u, f ∈ H ⊂ H ∈ H em resulta

  2

  2

  u &lt;

  

2α−δ δ

α

  kuk H ≤ kA k H ∞,

  

2α−δ n

(R ).

  de onde concluímos que u ∈ H Além disso, do sistema definido em temos que u = f + v e

  α n δ n v u.

  = g α (R ) (R ) existe − A × H

  Logo, para todo (f, g) ∈ H

  2α−δ n α n

  (u, v) (R ) (R ), tal que (I

  1 )(u, v) = (f, g), ou seja,

  ∈ H × H − B (f, g) ).

  1

  ∈ Im(I − B

  α n δ n

  Concluímos assim, que D(B ) é denso em X = H (R ) (R ),

  1

  × H que B ) = X.

  1

  1

  é um operador dissipativo e Im(I − B Portanto, segue do Teorema de Lumer-Phillips (Teorema que

  B é gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe C

  1 no espaço da energia X.

  2.2.2 é um Operador Limitado

1 J

  Mostramos a seguir, através do Lema que o operador

  α n δ n

  J :

  X H (R ) (R ),

  1

  −→ × H (2.36)

  −1 δ θ

  (u, v) 0, I + ( u v 7−→ −∆) − (−∆)

  α n δ n é linear e limitado no espaço da energia X = H (R ) (R ).

  × H Observamos que J

  1 está bem definido, pois 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α.

  Lema 2.5 O operador J 1 definido em é linear e limitado. Demonstração . A linearidade de J , segue da linearidade do operador

  

1

Laplaciano e suas potências fracionárias.

2 H

  • Z

  ≤ |ξ|

  ; Para |ξ| = 0, a relação é verificada de maneira imediata. Considerando as estimativas mostradas nos itens (i) e (ii), temos

  2δ

  ≤ 1 + |ξ|

  2δ

  |ξ|

  4δ

  ≤ |ξ|

  

  |ξ|

  

  1 + |ξ|

  2δ

  1 (u, v)

  4θ

  |ξ|

  ; Para |ξ| ≥ 1:

  2δ

  ≤ C 1 + |ξ|

  2 δ

  ≤ C 1 + |ξ|

  2δ

  1 + |ξ|

  4θ

  J

  δ ≤

  α ×H

  dξ = kuk

  é gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C em X e portanto, concluímos do Teorema

  1

  1

  Reunindo os resultados obtidos nos Lemas que B

  1 é um operador linear limitado em X.

  Concluímos assim, que J

  δ .

  α ×H

  ≤ CkUk H

  δ

  H α

  2

  2 2θ−δ

  |bv|

  2δ

  1 + |ξ|

  R

  dξ

  2

  |b u |

  

  1 + |ξ|

  R n

  Z

  e então como θ &lt; δ, |ξ|

  ≤ C 1 + |ξ|

  2

  2δ b

  

  1 1 + |ξ|

  R n

  Z

  dξ ≤

  2

  2δ

  bv 1 + |ξ|

  2θ

  u − |ξ|

  1 + |ξ|

  2δ

  R n

  = Z

  2 H δ

  v

  θ

  u − (−∆)

  

δ

−1

  = I + (−∆)

  δ

  α ×H

  (u, v)

  |b u |

  dξ

  Além disso, para todo (u, v) ∈ X, temos que J

  2α

  1 + |ξ|

  4θ

  ≤ 1 + |ξ|

  2δ

  1 + |ξ|

  4θ

  ; ii) Para 0 &lt; |ξ| ≤ 1: |ξ|

  2α

  ≤ 1 + |ξ|

  2δ

  1 + |ξ|

  ≤ 1 + |ξ|

  R n

  2δ

  1 1 + |ξ|

  :

  n

  Usando o Lema valem as seguintes estimativas: i) Para ξ ∈ R

  2 dξ.

  |bv|

  2δ

  1 + |ξ|

  4θ

  |ξ|

  1

2 H

  • C Z
  • C kvk H
  • J

  α

  • δ

  2.3 Caso ≤ δ ≤ θ ≤

  2 Assim como na seção anterior, também aqui reescrevemos o pro-

  blema de Cauchy descrito em na forma  d 

  U U = B

  2 + J 2 (U ),

  dt (2.37)

   U ,

  (0) = U , u onde U = (u, u t ) , U = (u

  1 ) 2 e J 2 adequados, de modo

  ∈ X, com B que B

  2 é gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe C em X, J é um operador linear e limitado sobre X.

  2 Nesse sentido, definimos v = u e então, somando e subtraindo os

t

  termos u e v à equação diferencial em obtemos

  δ α θ I + ( v = ) u v + (u + v). t

  −∆) − (I + (−∆) − I + (−∆) A definição do operador A estudado na Seção implica que

  σ δ

  I

  • ( é inversível. Então, temos que

  −∆)

  −1 δ

  v u v = + I + ( (u + v),

  t α θ

  −A − A −∆) com

  −1 δ α

  A = I + ( (I + ( ) ,

  α

  −∆) −∆)

  −1 δ θ

  A = I + ( I + ( ,

  θ

  −∆) −∆) podem ser relacionados com o operador A definido na seção anterior

  σ

  e conforme mostramos nos Lemas daquela seção,

  2α−δ n 2θ−δ n D (A ) = H (R ) e D(A ) = H (R ). α θ

  • I + (

  2

  (R

  2α−δ

  ) = H

  θ

  ) × D(A

  α

  ) = D(A

  2

  (B

  exige somente D

  Observação 2.4 Conforme mostramos na Seção a definição do operador B

  ) × H

  (u + v)   .

  δ −1

  −∆)

  I

   

    =

    u v

  2

  ) operador definido por J

  n

  (R

  n

  2θ−δ

  ) × H

  ) ⊂ H

  n

  (R

  δ

  ) ⊂ H

  n

  (R

  2θ−δ

  ) ⊂ H

  n

  (R

  α

  n

  (R

  (R

  2α−δ

  H

  2 , temos que

  α

  Assim, como 0 ≤ δ ≤ θ ≤

  n ).

  (R

  α

  No entanto, na próxima subseção calculamos o produto interno da se- gunda coordenada de U = (u, v), no espaço H

  n ).

  δ

  

n

  )

  = B

  −→ H

  θ )

  × D(A

  2 : D(A α )

    , onde B

    u v

  2

    + J

    u v

  2

  (u + v)  

  (R

  δ −1

  −∆)

  v

  

θ

  u − A

  α

  −A

    v

    =

    u v

  Assim, a equação diferencial em pode ser reescrita na forma d dt

  α

  n

  (R

  v   e J

  α

  ) −→ H

  n

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  α

  : H

  2

  θ

  ) × H

  u − A

  α

  −A

    v

    =

    u v

  2

  ) definido por B

  n

  (R

  δ

  • (
  • δ
  • J

  e então definimos D

  n

  (R

  

2 ) = H

2α−δ

  ∈ D(B

  1 )

  , u

  U = (u

  ) . Além disso, para dados iniciais

  (R

  ) × H

  δ

  [0, ∞), H

  1

  )) ∩ C

  n

  (R

  α

  ∈ C ([0, ∞), H

  n

  α

  2

  α

  (R

  δ

  [0, ∞), H

  2

  )) ∩ C

  n

  (R

  ([0, ∞), H

  (R

  1

  ) ∩ C

  n

  (R

  2α−δ

  ∈ C [0, ∞), H

  ), temos que u

  n

  (t)U , é a (única) solução do problema linear e satisfaz u

  Dessa forma, a primeira componente de U(t) = S

  (B

  Assim como na seção anterior, mostramos que o operador B

  Então, usando a teoria de semigrupos, concluímos que U

  t≥0 .

  }

  2 (t)

  é gerador de um semigrupo de classe C em X, digamos {S

  2

  2

  n ).

  2 (t)U

  (R

  α

  ) × H

  n

  (R

  2α−δ

  ) = H

  2

  (t) = S

  , t ≥ 0, é a solução para o problema de Cauchy em

  n ) .

  ), temos U

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  

α

  ∈ C [0, ∞), H

  n

  Assim, para dados iniciais U = (u , u

  (R

  δ

  ) ×H

  n

  (R

  α

  ) ∈ H

  1

  n ) .

  2

  

2.3.1 B é Gerador Infinitesimal de um Semigrupo

de Contrações de Classe C

  Mostramos nesta subseção, que B é um operador bem definido e

  2

  que é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe

  α n δ n

  C no espaço X = H (R ) (R ).

  × H De acordo com os Lemas na primeira seção deste capítulo,

  2α−δ n 2θ−δ n

  D (A α ) = H (R ) e D (A θ ) = H (R ).

  δ n

  u

  α ) , temos que A α (R ) e

  Além disso, tomando u ∈ D (A ∈ H

  δ n ), temos A v (R ). θ θ

  tomando v ∈ D (A ∈ H Posto isso e considerando a Observação segue que o operador

  α n α n δ n

  B D : (A ) (R ) (R ) (R )

  2 α

  × H −→ H × H (2.38) u v

  (u, v) α θ ) , 7−→ (v, −A − A está bem definido.

  Lema 2.6 O operador B definido em é o gerador infinitesimal

  2 α n δ n

  de um semigrupo de contrações de classe C em H (R ) (R ).

  × H Demonstração

  . Também aqui, mostramos que o operador B

  2 satisfaz

  as hipóteses do Teorema de Lumer-Phillips (Teorema e portanto, é gerador de um semigrupo de contrações de classe C em X.

  Naturalmente que o conjunto D(B ) é denso em X, pois 0

  2

  ≤ δ ≤ α,

  2α−δ n α n α n δ n D (B ) = H (R ) (R ) e X = H (R ) (R ).

  2

  × H × H Para mostrar que B é dissipativo, consideramos o produto interno

  2 α n δ n

  no espaço H (R ) (R ), definido a partir da soma dos produtos × H

  α n δ n internos em H (R ) e em H (R ).

  ),

  1 Nesse sentido, dados (u, v) ∈ D(B

  u v (B (u, v), (u, v)) α δ = ((v, ), (u, v)) α δ

  2 α θ H ×H −A − A H ×H α u, v v, v .

  = (v, u) H α ) δ θ ) δ − (A H − (A H

  Considerando os produtos internos definidos em para

  α n δ n

  os espaços H (R ) e H (R ), respectivamente, temos que

  Z

  2α α δ u dξ

  (B

  2 (u, v), (u, v)) = (1 + )

  |ξ| bv b

  H ×H R n

  Z Z

  2δ 2δ

  (1 + ) d A u (1 + ) d A v

  α θ

  − |ξ| bv dξ − |ξ| bv dξ

  n n R R 2α

  1 + |ξ| e usando o resultado em ou seja, d A u = u , obtemos

  α

  b

  2δ

  1 + |ξ|

  Z

  2α

  (B (u, v), (u, v)) α δ = (1 + ) u dξ

2 H ×H |ξ| bv b

  n R

  Z 2α Z 2θ (1 + ) 1 +

  |ξ| |ξ|

  

2δ 2δ

  (1 + ) u (1 + ) − |ξ| b bv dξ − |ξ| bv bv dξ

  2δ 2δ n n

  R 1 + R 1 +

  |ξ| |ξ| Z Z

  2α 2θ

  2

  = (1 + ) u u dξ (1 + ) dξ |ξ| bv b − b bv − |ξ| |bv|

  n n R R

  Z

  2α

  2

  u dξ , = 2i (1 + )Im θ

  |ξ| bv b − kvk H

  n R onde o termo Im bv bu representa a parte imaginária de bv bu.

  ), temos que

  

2

Assim, para todo (u, v) ∈ D(B

  2 Re B

  (u, v), (u, v) = θ

  2 α δ

  −kvk H ≤ 0

  H ×H e portanto, segue da definição, que B é dissipativo.

  2

  (2.39) Da primeira equação do sistema, temos que v = u − f e então,

  α

  δ

  ) × H

  n

  (R

  α

  Por outro lado, dado (f, g) ∈ H

  n ).

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  )(u, v) ∈ H

  n

  2

  − B

  ), de onde segue que (f, g) = (I

  

n

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  α

  (u, v) ∈ H

  2

  (R

  ), existe um par (u, v)

  n

  ), satisfazendo    u

  n ).

  (R

  δ

  v = g ∈ H

  θ

  u + A

  α

  ), v + A

  n

  (R

  

α

  − v = f ∈ H

  n

  ∈ D(B

  (R

  α

  ) × H

  n

  (R

  2 ) = H 2α−δ

  No entanto, provar a identidade acima, é equivalente a mostrar que existe (u, v) ∈ D(B

  u

  α

  )(u, v) = (f, g), ou seja, u − v, v + A

  1

  ), tal que (I − B

  2

  ), ou seja, B

  (R

  Além disso, conforme mostramos a seguir, Im

  α

  (R

  2 ) = H 2α−δ

  ∈ D(B

  2 ), existe (u, v)

  B

  ), pois dado (f, g) ∈ Im(I −

  n

  (R

  δ

  ) ×H

  n

  (R

  ) ⊂ H

  ) × H

  2

  De fato, Im(I −B

  n ).

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  

α

  ) = H

  2

  (I − B

  n

  α

  δ

  : H

  ) × H

  n

  (R

  α

  ) −→ H

  

n

  (R

  α

  ) × H

  n

  (R

  2α−δ

  2

  (R

  ), e além disso, por definição, B

  n

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  α

  − B 2 )(u, v) = (f, g). Entretanto, como 0 ≤ δ ≤ α, temos (u, v) ∈ H

  2 (u, v) = (I

  − B

  ), tal que (u, v)

  n

  • A θ v = (f, g).
substituindo na segunda equação, obtemos A u u f.

  • A + u = f + g + A (2.40)

  

α θ θ

α n δ n

  (R ) (R ), devemos mostrar que Assim, dados (f, g) ∈ H × H

  2α−δ n (R ) satisfazendo a equação

  existe u ∈ H Usando a definição de

  −1 δ α

  A = I + ( (I + ( ),

  α

  −∆) −∆)

  −1 δ θ

  A

  I

  θ = I + ( + (

  −∆) −∆)

  

δ

  a ambos os lados da equação vari- e aplicando o operador I + (−∆) acional em temos que

  α θ δ

  (I + ( ) u + I + ( u + I + ( u −∆) −∆) −∆)

  δ δ θ

  = I + ( f + I + ( g + I + ( f.

  −∆) −∆) −∆) Com o objetivo de usar o Teorema de Lax-Milgram (Teorema defini- mos uma forma bilinear b e um funcional linear F e mostramos que b é contínua e coerciva e que F é contínuo.

  α n α n

  (R ) (R ) Seja b(·, ·) : H × H −→ R, a forma definida por

  (u, ϕ) = (u, ϕ) + (u, ϕ) + (u, ϕ)

  H H H

  α b θ δ .

  Notamos que b(·, ·) está bem definida, pois 0 ≤ δ ≤ θ ≤ α, e é bilinear, pois é definida como soma de produtos internos.

  α n θ n δ n

  (R ) (R ) (R ), temos Além disso, dados u, ϕ ∈ H ⊂ H ⊂ H

  α θ δ H H H

  |b(u, ϕ)| ≤ |(u, ϕ) | + |(u, ϕ) | + |(u, ϕ) |

  α α α α θ θ δ δ .

  H H H H H H H H

  ≤ kuk kϕk kuk kϕk kuk kϕk ≤ 3 kuk kϕk Logo, b(·, ·) é limitada e portanto, contínua.

  α n

  (R ) temos que Além disso, b(·, ·) é coerciva pois, para todo u ∈ H

  α θ δ

  b (u, u) = (u, u) + (u, u) + (u, u)

  H H H

  2

  

2

  2

  2 + + = α θ δ α .

  kuk H kuk kuk ≥ kuk H

  H H α n

  Agora, seja F : H (R ) −→ R, o funcional definido por

  H H H

  hF, ϕi = (f, ϕ) Naturalmente que F está bem definido e é linear, pois é definido

  θ δ δ + (f, ϕ) + (g, ϕ) .

  α n θ n δ n (R ) (R ) (R ).

  como soma de produtos internos e f ∈ H ⊂ H ⊂ H

  α n δ n

  (R ) e g (R ) dados, temos Além disso, para f ∈ H ∈ H

  θ δ δ H H H

  |hF, ϕi| ≤ |(f, ϕ) | + |(f, ϕ) | + |(g, ϕ) |

  θ θ δ δ δ δ

  • ≤ kfk H kϕk H kfk H kϕk H kgk H kϕk H

  α θ δ δ ,

  • ) H ≤ (kfk H kfk H kgk H kϕk

  α n (R ). Logo F é limitado e portanto, contínuo.

  para ϕ ∈ H

  α n

  Também, como F é um funcional linear e limitado sobre H (R ),

  

α n −α n

  F (R ) = H (R ).

  ∈ H Portanto, segue do Teorema de Lax-Milgram (Teorema que

  

α n

  (R ), tal que existe um único elemento u ∈ H b

  (u, ϕ) = hF, ϕi,

  α n (R ).

  para todo ϕ ∈ H Assim, pela definição de b(·, ·) e de F , existe um único elemento

  α n

  u (R ), satisfazendo a equação

  ∈ H

  α θ δ δ θ δ

  (u, ϕ) H + (u, ϕ) + (u, ϕ) = (f, ϕ) + (f, ϕ) + (g, ϕ)

  H H H H H s n

  e considerando a definição de produto interno em H (R ), temos que

  α α θ θ δ δ

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  ( u, ϕ ( u, ( ϕ ( u, ( ϕ ( + + −∆) −∆) −∆) −∆) −∆) −∆)

  δ θ δ

  • 3(u, ϕ) = (f, ϕ) + (f, ϕ) + (g, ϕ) ,

  H H H α n

  (R ). para todo ϕ ∈ H

  n α n

  ) denso em H (R ), a equação variacional acima é vá- Como D(R

  n

  ) e portanto, lida para todo ϕ ∈ D(R A u u f

  • A + u = f + g + A (2.41)

  

α θ θ

′ n

  (R ). Então, aplicando a no sentido das distribuições, ou seja, em D transformada de Fourier em obtemos

  A d u A u u f A f

  

α θ = b θ

  • d + + b bg + d ou ainda

  1

  

1

2δ 2 2δ

  

2

  b 1 + A d u = 1 + + f A f A u u .

  α θ θ

  |ξ| |ξ| bg + d − d − b Agora, tomando a integral sobre R

  n

  u k

  (R

  α

  v . Logo, para todo (f, g) ∈ H

  θ

  u − A

  α

  Além disso, do sistema definido em temos que u = f + v e v = g − A

  n ).

  (R

  2α−δ

  ∞ de onde concluímos que u ∈ H

  2 H δ &lt;

  α

  ) × H

  ≤ kA

  H 2α−δ

  ). Então a soma das normas em resulta kuk

  n

  (R

  2θ−δ

  ) ⊂ H

  n

  (R

  α

  ) e estamos considerando o caso em que 0 ≤ δ ≤ θ ≤ α, temos que u, f ∈ H

  n

  (R

  n

  δ

  ), g ∈ H

  2 ) .

  é um operador dissipativo e Im(I − B

  2

  ), que B

  n

  (R

  δ

  ) × H

  n

  (R

  α

  ) é denso em X = H

  2

  Concluímos assim, que D(B

  ∈ Im (I − B

  (R

  )(u, v) = (f, g), ou seja, (f, g)

  2

  ), tal que (I − B

  n

  (R

  α

  ) × H

  n

  (R

  2α−δ

  ∈ H

  ) existe (u, v)

  n

  δ

  n

  em cada lado da identidade acima, temos que Z

  A

  α

  ) que kA

  n

  (R

  δ

  Então segue da definição de norma em H

  2 dξ.

  u (ξ) − b u (ξ)

  θ

  A

  f (ξ) − d

  θ

  b f (ξ) + bg(ξ) + d

  2 H δ

  2δ

  1 + |ξ|

  R n

  Z

  dξ =

  2

  |

  u (ξ)

  α

  | d A

  2δ

  1 + |ξ|

  R n

  u k

  ≤ kfk

  (R

  u k

  α

  (2.42) Como u, f ∈ H

  2 H δ .

  kuk

  2 H 2θ−δ +

  kuk

  2 H 2θ−δ +

  kfk

  2 H δ +

  kgk

  2 H δ +

  ≤ C kfk

  2 H δ

  α

  2 H δ +

  kA

  2 H δ . θ

  kuk

  2 H δ +

  u k

  θ

  kA

  2 H δ +

  f k

  θ

  kA

  2 H δ +

  kgk

  2 ) = X. Portanto, segue do Teorema de Lumer-Phillips (Teorema que B

  é gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe C

  2 no espaço da energia X.

  2

2.3.2 J é um Operador Limitado

  Mostramos a seguir, através do Lema que o operador

  α n δ n

  J :

  X H (R ) (R )

  2

  −→ × H (2.43)

  −1 δ

  (u, v) 0, I + ( (u + v) , 7−→ −∆)

  α n δ n é linear e limitado no espaço da energia X = H (R ) (R ).

  × H α + δ Observamos que J .

  2

  está bem definido, pois 0 ≤ δ ≤ θ ≤

  2 Lema 2.7 O operador J definido em é linear e limitado.

2 Demonstração . A linearidade de J , segue da linearidade do operador

  

2

Laplaciano e suas potências fracionárias.

  Além disso, para todo (u, v) ∈ X, temos que

  2 −1 2 δ

  2 (U ) α δ = (u + v)

  kJ k H ×H I + (−∆)

  δ H

  

2

Z Z Z

  • u

  2δ b bv

  2

  2

  = (1 + ) + dξ u dξ dξ |ξ| ≤ |b | |bv|

  2δ

n n n

  R 1 + R R

  |ξ|

  2

  2

  2 + α δ α δ .

  ≤ kuk H kvk H ≤ kUk H ×H Concluímos assim, que J é um operador linear limitado em X.

2 Reunindo os resultados obtidos nos Lemas 2.6 e 2.7, segue do Te-

  orema de Perturbação de Geradores (Teorema que B + J é

  2

  2

  gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C em X e portanto, concluímos do Teorema

  A partir dos resultados obtidos nas Seções ou equi- valentemente, para o problema em resultado que formalizamos através do teorema a seguir.

  Teorema 2.1 (Existência e Unicidade) Seja n a dimensão do es- α

  • δ paço, com n . Então, para

  ≥ 1 e sejam 0 ≤ δ ≤ α e 0 ≤ θ ≤

  2 dados iniciais

  2α−δ n α n

  (u , u ) (R ) (R ),

  1

  ∈ H × H existe uma única solução global u para o problema de Cauchy associado à equação linear em com

  2α−δ n 1 α n 2 δ n

  u .

  (R ) ([0, (R )) [0, (R ) ∈ C [0, ∞), H ∩C ∞), H ∩C ∞), H Capítulo 3 Taxas de Decaimento: Problema Linear

  Aplicando a transformada de Fourier no problema definido em obtemos o problema de Cauchy 

  

2δ 2α 2θ

   u u u 1 + = 0,

  

  tt t

  |ξ| b |ξ| b |ξ| b   u u (3.1)

  (0, ξ) = (ξ), b b     u u

  (0, ξ) = (ξ),

  t

  1

  b b

  n

  e no espaço de Fourier, onde bu = bu(t, ξ), com (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R potências fracionárias 0 ≤ δ ≤ α e 0 ≤ θ ≤ α, com 0 ≤ α ≤ 2.

3.1 Estimativas Gerais

  , obtemos a equação

  t

  Multiplicando por bu

  

2δ 2α 2θ

  u u u u u u 1 + = 0,

  tt t t t t

  |ξ| b b |ξ| b b |ξ| b b que é equivalente a d

  1

  2

  2

  2 2δ 2α 2θ

  • u u u

  = 0, + 1 +

  t t

  |ξ| |b | |ξ| |b | |ξ| |b | dt

  2

  n .

  para (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R Definimos a densidade da energia do sistema em por

  

2

  2 2α 2δ

  E u u (3.2)

  

1 (t, ξ) = + 1 + t

  |ξ| |b | |ξ| |b | e reescrevemos a equação diferencial acima na forma d

  2θ

  2 E (t, ξ) + u = 0, (3.3)

1 t

  |ξ| |b | 2 dt

  n .

  para (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R Multiplicando por bu e tomando a parte real, obtemos

  

2δ 2α 2θ

  Re u u u u u u 1 + = 0,

  tt t

  |ξ| b b |ξ| b b |ξ| b b que é equivalente a d

  1

  2

  2

  2

2θ 2δ 2α 2δ

  u

  • Re u u u u ,
  • 2 1 + = 1 +

  t t

  |ξ| |b | |ξ| b b |ξ| |b | |ξ| |b | dt

  2

  n

  . Então, definindo para (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R

  2

2θ 2δ

  E u Re u u ,

  

2 (t, ξ) = + 2 1 + t

  |ξ| |b | |ξ| b b reescrevemos a equação diferencial acima na forma d

  1

  2α 2 2δ

  2 E (t, ξ) + u = 1 + u , (3.4) 2 t

  |ξ| |b | |ξ| |b | dt

  2

  n .

  para (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R

  Considerando as equações diferenciais em definimos

  1 E ρ (t, ξ) = E (t, ξ) + (ξ)E (t, ξ), (3.5)

  1

  2

  3

  n n

  , onde ρ : R para (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R −→ [0, ∞), é definido por 

  α

  2α−2θ

   ε , ,  |ξ| |ξ| ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 

  2   2θ  α α

  • δ |ξ|

  ε , &lt; θ , ρ

  (ξ) = |ξ| ≤ 1, ≤ (3.6)

  2δ

  (1 + )

  2

  2 |ξ|

    2θ 

  α

  • δ  |ξ| 

  ε , , 

  |ξ| ≥ 1, 0 ≤ θ ≤

  2δ

  (1 + )

  2 |ξ| com ε &gt; 0, a ser escolhido adequadamente mais adiante.

  Observação 3.1 Para o método que usamos neste estudo, o sucesso na obtenção de taxas ótimas de decaimento da energia, depende direta- mente da escolha da função ρ que definimos em

  Derivando a expressão obtemos d d d

  1

  1

  1

  1 E (t, ξ) = E (t, ξ) + ρ (ξ) E (t, ξ)

  1

  2

  2 dt 2 dt

  3 2 dt

  1

  2

  2

  2 2θ 2α 2δ

  ρ u u = (ξ) + 1 +

  • u ,

  t t

  −|ξ| |b | −|ξ| |b | |ξ| |b |

  3 de onde segue que d

  1

  1

  1

  2

  2

  2 2θ 2α 2δ

  E u ρ

  (t, ξ) + t (ξ) = (ξ) 1 + t |ξ| |b | |ξ| |b | |ξ| |b | dt

  • u ρ u ,

  2

  3

  3 que reescrevemos na forma d

  1 E (t, ξ) + F (t, ξ) = R(t, ξ), (3.7) 2 dt n

  onde F, R : (0, ∞) × R −→ [0, ∞) são os funcionais definidos por

  1

  

2

  2 2θ 2α

  (t, ξ) = (ξ)

  • F u ρ u ,

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  3

  1

  2 2δ

  R ρ u .

  (t, ξ) = (ξ) 1 + (3.8)

  t

  |ξ| |b |

3 Na sequência enunciamos e mostramos os Lemas 3.1 à 3.6, que usa- mos para determinar uma estimativa para a norma de bu.

  α

  • δ

  1 Lema 3.1 Sejam 0 e 0 &lt; ε . Então, ≤ θ ≤ ≤

  2

  2

  2θ

  |ξ| ρ ,

  (ξ) ≤

  2δ

  (1 + ) |ξ|

  n para todo ξ , com ρ como definido em

  ∈ R α

  1 Demonstração . Para , temos que |ξ| ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ , como ε ≤

  2

  2

  2α 2δ 2α 2α 4θ

  ε 1 + |ξ| |ξ| ≤ 2ε|ξ| ≤ |ξ| ≤ |ξ| e então, da definição de ρ, temos

  2θ 2α−2θ |ξ|

  ρ .

  (ξ) = ε |ξ| ≤

  2δ

  (1 + ) |ξ|

  α α α

  • δ + δ &lt; θ

  , como Para |ξ| ≤ 1 e ≤ e para |ξ| ≥ 1 e 0 ≤ θ ≤

  2

  2

  2 ε &lt;

  1, temos imediatamente

  2θ 2θ

  |ξ| |ξ| ρ &lt; . (ξ) = ε

  2δ 2δ

  (1 + ) (1 + ) |ξ| |ξ|

  n .

  Portanto, o resultado é válido para todo ξ ∈ R

  α

  • δ

  1 Lema 3.2 Sejam 0 e 0 &lt; ε . Então, ≤ θ ≤ ≤

  2

  2

  1 R F (t, ξ) (t, ξ),

  ≤

  3

  n para todo t &gt; 0 e ξ .

  ∈ R Demonstração . Segue das definições de R e F e do Lema que

  2θ

  1

  1

  2δ 2 |ξ| 2δ

  2 R (t, ξ) = ρ (ξ) 1 + u 1 + u t t

  |ξ| |b | ≤ |ξ| |b |

  2δ

  3 3 (1 + ) |ξ|

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2 2θ 2θ 2α

  u u ρ u F = (ξ) = + (t, ξ),

  t t

  |ξ| |b | ≤ |ξ| |b | |ξ| |b |

  3

  3

  3

  3

  n .

  para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R α

  • δ

  1 Lema 3.3 Sejam 0 e 0 &lt; ε . Então, ≤ θ ≤ ≤

  2

  2

  1 ρ

  (ξ)E

  1 (t, ξ)

  ≤ F (t, ξ),

  3

  n para todo t &gt; 0 e ξ , com ρ como definido em

  ∈ R Demonstração . Para ξ = 0, o resultado é imediato, pois ρ(0) = 0. e do Lema que

  1 Para ξ 6= 0, segue das definições de F e E

  1

  2θ 2 2α

  2

  (t, ξ) = + F u ρ (ξ) u

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  3

  1

  3

  2

  2 2θ 2α

  ρ u u = (ξ) t

  • 3 ρ (ξ)

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  1

  2

  2 2δ 2α

  u (ξ) 1 +

  • ρ u

  t

  ≥ |ξ| |b | |ξ| |b |

  3

  1 ρ

  = (ξ)E (t, ξ),

  1

  3

  n .

  para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R

  α

  • δ

  1 Lema 3.4 Sejam 0 e 0 &lt; ε . Então, ≤ θ ≤ ≤

  2

  2

  2α−2θ

  ρ , (ξ)

  ≤ |ξ|

  n para todo t &gt; 0 e ξ , com ρ como definido em

  ∈ R α

  Demonstração . Para 0 ≤ θ ≤ , |ξ| ≤ 1 e 0 &lt; ε ≤ 1, temos que

  2

  2α−2θ 2α−2θ ρ (ξ) = ε .

  |ξ| ≤ |ξ| α α + δ

  &lt; θ Para

  ≤ , |ξ| ≤ 1 e 0 &lt; ε ≤ 1, como 2α &lt; 4θ, temos

  2

  2

  

4θ 2α 2α 2δ

  ε &lt; 1 + |ξ| |ξ| ≤ |ξ| |ξ| e então, da definição de ρ, temos que

  

  |ξ| 2α−2θ ρ &lt; . (ξ) = ε

  |ξ|

  2δ

  (1 + ) |ξ|

  α

  • δ Para 0 ≤ θ ≤ , |ξ| ≥ 1 e 0 &lt; ε ≤ 1, como 4θ ≤ 2α + 2δ, temos

  2

  

4θ 2α+2δ 2α 2δ

  ε 1 + |ξ| ≤ |ξ| ≤ |ξ| |ξ| e então, da definição de ρ, temos que

  

  |ξ| 2α−2θ ρ (ξ) = ε .

  ≤ |ξ|

  2δ

  (1 + ) |ξ|

  n .

  Portanto, o resultado é válido para todo ξ ∈ R

  α

  • δ

  1 Lema 3.5 Sejam 0 e 0 &lt; ε . Então, ≤ θ ≤ ≤

  2

  2

  1

  2 ρ E

  (ξ)E (t, ξ) (t, ξ),

  2

  1

  ≤

  3

  3

  n para todo t , com ρ como definido em

  ≥ 0 e ξ ∈ R Demonstração

  . Considerando θ e ε como nas hipóteses do lema, vale

  1

  1

  2 2θ 2δ

  ρ ρ u u u (ξ)E

  2 (t, ξ) (ξ) + 2 1 + t

  |ξ| |b | |ξ| |b | |b | ≤

  3

  3

  1

  2

  2

  2

  2 2θ 2θ 2δ −2θ

  • ρ (ξ) u u + 1 + u

  t

  ≤ |ξ| |b | |ξ| |b | |ξ| |ξ| |b |

  3

  2

  2

  2

  2 2θ 2δ −2θ

  ρ (ξ) u + ρ(ξ) 1 + u .

  t

  ≤ |ξ| |b | |ξ| |ξ| |b |

3 Agora, usando os resultados dos Lemas 3.1 e 3.4, obtemos

  1 ρ

  (ξ)E (t, ξ)

  2

  3

  2θ

  2

  2

  2

  2 2α−2θ 2θ |ξ| 2δ −2θ

  u u 1 + t ≤ |ξ| |ξ| |b | |ξ| |ξ| |b |

  3 (1 + ) |ξ|

  2

  2

  2

  2 2α 2δ

  u + 1 + u = E (t, ξ),

  

t

  1

  ≤ |ξ| |b | |ξ| |b |

  3

  3

  n .

  para todo t ≥ 0 e ξ ∈ R α

  • δ

  1 Lema 3.6 Sejam 0 e 0 &lt; ε . Então, ≤ θ ≤ ≤

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  2 2α 2δ − ρ(ξ)t 2α 2δ

  5

  u u u u ,

  • 1 + + 1 +

  t

  1

  |ξ| |b | |ξ| |b | ≤ 5e |ξ| |b | |ξ| |b |

  n para todo t &gt; 0 e ξ , com ρ como definido em

  ∈ R Demonstração

  . Usando os resultados dos Lemas na identi- dade obtida em temos que d

  1

  1 E F (t, ξ) + F (t, ξ) = R(t, ξ) (t, ξ),

  ≤ dt

  2

  3 de onde obtemos d

  1 E ρ (t, ξ) (ξ)E

  1 (t, ξ)

  ≤ −F (t, ξ) ≤ − dt

  3

  n

  , e assim, para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R d

  1 E (t, ξ) ρ (ξ)E (t, ξ). (3.9)

  1

  ≤ − dt

  3 Como resultado do Lema temos que

  2

  1

  2 E ρ E (t, ξ) (ξ)E (t, ξ) (t, ξ),

  1

  2

  1

  − ≤ ≤

  3

  3

  3 de onde segue que

  1

  1

  5 E ρ E (t, ξ) (t, ξ) + (ξ)E (t, ξ) (t, ξ)

  1

  1

  2

  1

  ≤ E ≤

  3

  3

  3 e então, considerando a definição do funcional E em obtemos

  1

  5 E E

  1 (t, ξ) 1 (t, ξ), (3.10)

  ≤ E(t, ξ) ≤

  3

  3

  n .

  para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R Além disso, segue das desigualdades obtidas em que d

  1

  1 E (t, ξ) ρ (ξ)E (t, ξ) ρ (ξ)E(t, ξ),

  

1

  ≤ − ≤ − dt

  3

  5 de onde obtemos a inequação diferencial d

  1 E ρ (t, ξ) + (ξ)E(t, ξ)

  ≤ 0, dt 5 que tem como soluções

  

1

− ρ(ξ)t

  (t, ξ) (0, ξ), ≤ e

  

5

E E

  n .

  para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R Assim, usando a equivalência obtida em segue que

  1

  1 − ρ(ξ)t − ρ(ξ)t

  5

  1

  5 E (t, ξ) E (0, ξ) E (0, ξ),

  1

  ≤ 3E(t, ξ) ≤ 3e ≤ 5e ou seja, a densidade de energia do problema definido em no espaço de Fourier, decai exponencialmente na forma

  

1

− ρ(ξ)t

  (t, ξ) (0, ξ),

  1

  

5

E E

  1

  ≤ 5e

  n .

  para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R Portanto, da definição do funcional da energia E , temos que

  1

  2

  

2

2α 2δ

  u u

  • 1 + t |ξ| |b | |ξ| |b |

  1

  

2

  2 − ρ(ξ)t 2α 2δ

  5

  u u (0, ξ) + 1 + t (0, ξ)

  ≤ 5e |ξ| |b | |ξ| |b |

  1

  2

  2 − ρ(ξ)t 2α 2δ

  5

  u u , = 5e + 1 +

  1

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  n .

  para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R Na seção seguinte, o objetivo é determinar taxas de decaimento da solução do problema dado em na norma relativa ao espaço

  2 n

  L (R ) e encontrar taxas de decaimento da energia total desse sistema,

  

α n δ n

na norma do espaço X = H (R ) (R ).

  × H Para a obtenção de taxas para a energia, integramos ambos os mem- bros da desigualdade obtida no Lema enquanto que, para a norma

2 L

  da solução, usamos a estimativa a seguir, decorrente do Lema !

  2δ

  1

  1 +

  2

  

2

  2 − ρ(ξ)t |ξ|

  u u u , (3.11)

  • 5

  1

  |b | ≤ 5e |b | |b |

  2α

  |ξ|

  n válida para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R , com ξ 6= 0.

  Além disso, para a obtenção de taxas de decaimento na região de α α

  • δ baixa frequência, para o caso em que , usamos tam-

  ≤ θ ≤

  2

  2 α

  , usamos o método bém o Lema enquanto que, para 0 ≤ θ ≤ 2 proposto por Luz-Ikehata-Charão no artigo citado nas referências bibliográficas deste trabalho, visto que o método que usamos para o

  α α + δ caso , não produz taxas ótimas.

  ≤ θ ≤

  2

  2 Por outro lado, para a obtenção de taxas na região de alta frequên- cia, necessitamos também do Lema devido à estrutura de perda de regularidade da equação em para o caso em que θ &lt; δ.

  3.2 Taxas de Decaimento para |ξ| ≤ 1

  Nesta seção, estimamos a desigualdade do Lema na região de baixa frequência. Devido à forma como definimos a função ρ = ρ(ξ) (ver em dividimos esta seção nos casos

  α ; i) Caso 0 ≤ θ ≤

  2 α α

  • δ &lt; θ ii) Caso .

  ≤

  2

  2

  α

  3.2.1 Caso ≤ θ ≤

2 Pelas razões mencionadas anteriormente, estudamos taxas de de-

  caimento para este caso, usando o método proposto por Luz-Ikehata- Charão no artigo são relativos a esse método e serão usados nesta seção.

  Usamos esse método tanto na primeira parte desta subseção, onde estudamos o decaimento da energia do sistema, quanto na segunda

  2

  parte, onde determinamos taxas para o decaimento da norma L da solução do problema de Cauchy dado em

  Conforme mostramos em a equação associada ao problema de Cauchy, no espaço de Fourier, é dada por

  

2δ 2α 2θ

  • 1 + u u u = 0, (3.12) +

  tt t

  |ξ| b |ξ| b |ξ| b

  n

  e potências fracionárias onde bu = bu(t, ξ), com (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R ≤ δ ≤ α e 0 ≤ θ ≤ α, com 0 ≤ α ≤ 2.

  O objetivo é determinar β &gt; 0 de modo a satisfazer a Hipótese na Seção dessa mesma seção, para concluir que a taxa de decaimento da energia

  1 −

  β associada ao sistema na baixa frequência é t .

  Usando na equação temos

  2δ 2θ 2α

  P , P e P , (3.13)

  1 (ξ) = 1 + 2 (ξ) = 3 (ξ) =

  |ξ| |ξ| |ξ|

  α , de modo que, para |ξ| ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤

  2

  

−1 −1

2α−2θ

  ρ (ξ) = min P (ξ)P (ξ), P (ξ)P (ξ) = (3.14)

  3

  

2

  2 1 |ξ|

  e o espaço de integração mencionado no Corolário que consideramos aqui é

  

n

  Ω = ; (3.15) {ξ ∈ R |ξ| ≤ 1} . Observação 3.2 Na Hipótese a seguir, usamos o seguinte resultado:

  ! Z Z Z Z

  p p p

  dξ = r dS dr = r dS dr

  ξ ξ

  |ξ|

  |ξ|≤1 |ξ|=r |ξ|=r

  1

  1 Z Z p (n−1) (p+n−1)

  = r ω r dr = C r dr &lt;

  n

  ∞, se (p + n − 1) &gt; −1, ou seja, p &gt; −n, com n ≥ 1. Devemos calcular β &gt; 0, que satisfaça as condições (i) e (ii) da

  Hipótese como a seguir.

  , P , P Hipótese 2 Sejam P e ρ funções obtidas em ,

  1

  2

  3 respectivamente e Ω espaço definido em

  3

  4

i) Determinar β > 0, de modo que as integrais C e C que calcu-

  β β

  lamos a seguir, sejam finitas. Nesse sentido, temos que Z

  1 −

  3 β

  C = ρ (ξ) P (ξ)dξ

  1 β Ω

  Z Z

  (2α−2θ) (2θ−2α) − 2δ

  β β

  dξ dξ &lt; = 1 +

  |ξ| |ξ| ≤ 2 |ξ| ∞,

  Ω Ω

  (2θ (2α − 2α) − 2θ) se &gt; , para n

  −n, ou seja, β &gt; ≥ 1; β n

  Z

  1 −

  4 β

  C ρ P = (ξ)

  3 (ξ)dξ β Ω

  Z Z

  (2α−2θ) (2θ−2α) − 2α +2α

  β β

  dξ dξ &lt; = =

  |ξ| |ξ| |ξ| ∞,

  Ω Ω

  (2θ (2α − 2α) − 2θ) se + 2α &gt; , para n

  −n, ou seja, β &gt; ≥ 1. β (n + 2α)

  3 Então, considerando que α

  ≥ 0, concluímos que as integrais C β

  4

  e C são simultaneamente finitas para

  β

  − 2θ) − 2θ) − 2θ) β &gt; , , max = =: β

  1

  n n (n + 2α) h i

  α para θ 0, , com n ∈ ≥ 1.

  2

  1

  4

  5

  6

ii) Determinar β > 0, de modo que as integrais C , C , C e C

  β β β β

  que calculamos a seguir, sejam finitas. Nesse sentido temos que Z

  1+β

  1 −

  1 β β

  C = P (ξ) P (ξ) dξ

  2

  1 β Ω

  Z Z

  

1+β

1+β 2θ 2θ

  − 2δ β − β β β

  dξ dξ &lt; = 1 +

  |ξ| |ξ| ≤ 2 |ξ| ∞,

  Ω Ω

  2θ 2θ &gt; se , para n

  − −n, ou seja, β &gt; ≥ 1; β n

  Z Z

  (2α−2θ)

  1 4 − − 2α

  

β β

  C ρ P dξ &lt; = (ξ) (ξ)dξ =

  3 β |ξ| |ξ| ∞, Ω Ω

  (2α − 2θ) se β &gt; , para n

  ≥ 1; (n + 2α)

  Z

  1 5 − −2

  2 β

  C ρ P P dξ = (ξ) (ξ)P (ξ) (ξ)

  3

  2

  1 β Ω

  Z

  (2α−2θ)

  2 − 2α −4θ 2δ β

  dξ = 1 +

  |ξ| |ξ| |ξ| |ξ|

  Ω

  Z

  (2θ−2α)

  • 2α−4θ

  β

  ≤ 4 |ξ|( )dξ &lt; ∞,

  Ω

  (2θ (2α − 2α) − 2θ) se + 2α com n

  − 4θ &gt; −n ou β &gt; ≥ 1; β (n + 2α

  − 4θ) Z

  1 − 6 −2

  2 β

  C = ρ (ξ) P (ξ) P (ξ)P (ξ) dξ

  2

  1

  3 Ω

  Z

  (2α−2θ) − −4θ 2δ 4α

  β

  dξ = 1 +

  |ξ| |ξ| |ξ| |ξ|

  Ω

  Z

  (2θ−2α) −4θ+4α

  β

  ≤ 2 |ξ|( )dξ &lt; ∞,

  Ω

  (2θ (2α − 2α) − 2θ) se

  , sendo − 4θ + 4α &gt; −n, ou seja, β &gt;

  β (n + 4α

  − 4θ)

  5

6 C

  e C válidos para n β β ≥ 1, pois 2θ ≤ α.

  1

  4

  5

  6 Assim, concluímos que as integrais C , C , C e C são simul- β β β β

  taneamente finitas para 2θ (2α (2α (2α

  − 2θ) − 2θ) − 2θ) β &gt; , , , , max

  =: β

  2

  n (n + 2α) (n + 2α (n + 4α − 4θ) − 4θ)

  (3.16) h i α para θ 0, , com n

  ∈ ≥ 1.

  2 α

  Como estamos considerando 0 , notamos facilmente que ≤ θ ≤

  2 (2α (2α (2α (2α

  − 2θ) − 2θ) − 2θ) − 2θ) e .

  ≥ ≥ n n (n + 2α + 2α (n + 2α + 4α

  − 4θ) − 4θ) − 4θ Para verificarmos sob quais condições (2α 2θ

  − 2θ) ,

  ≥ n (n + 2α

  − 4θ)

  2

  ou seja, 8θ − 4 (n + α) θ + 2αn ≥ 0, definimos a função

  2 F

  (θ) = 8θ (3.17) − 4 (n + α) θ + 2αn, h i

  α onde θ 0, , cujas raízes são ∈

  2 α n θ = e θ = .

  1

  2

  2

  2 A depender da relação entre α e n, temos θ ou θ &lt; θ .

  1

  2

  2

  1

  ≤ θ F (θ) F (θ)

  G G (F ) (F ) n &lt; α

  α ≤ n

  θ θ θ θ θ θ

  1

  2

  2

  1 Figura 3.1: Casos θ e θ &lt; θ

  

1

  2

  2

  1

  ≤ θ Assim, analisando o gráfico de F (Figura concluímos que h i

  α

  a) se α 0, , ou seja, ≤ n, então F (θ) ≥ 0, para todo θ ∈

  2 (2α 2θ

  − 2θ) ,

  ≥ n (n + 2α

  − 4θ) (2α

  − 2θ) de modo que o máximo em é ˜ β = ;

  2

  (n + 2α − 4θ) b) se n &lt; α, então F (θ) ≥ 0, para θ ∈ h

  0, n 2 i

  (2α − 2θ)

  , onde

  1 β

  −

  Posto isso, segue do Corolário na baixa frequên- cia, é dada por t

  2θ n .

  2 =

  β

  , de modo que o máximo em é ˜ ˜

  ≤ 2θ n

  (n + 2α − 4θ)

  2 i , ou seja,

  α

  α

  2 ,

  c) se n &lt; α, então F (θ) ≤ 0, para θ ∈ h n

  − 4θ) ;

  − 2θ) (n + 2α

  = (2α

  2

  β

  2θ n , de modo que o máximo em é ˜

  − 4θ) ≥

  − 2θ) (n + 2α

  , ou seja, (2α

a) Para n

  2 i , temos que

  ;

  .

  = 2θ n

  , 2θ n

  (2α − 2θ) n

  o = min

  2

  β

  , ˜ ˜

  1

  β &gt; min n β

  2 i , temos que

  α

  2 ,

  c) Para n &lt; α e θ ∈ h n

  (n + 2α − 4θ)

  β &gt; min (2α

  b) Para n &lt; α e θ ∈ h

  − 2θ) n ,

  ≥ α e θ ∈ h 0,

  (n + 2α − 4θ)

  = (2α

  − 2θ) (n + 2α

  − 4θ) ;

  0, n 2 i

  (2α − 2θ)

  , assim como no item anterior, β &gt; min n

  β

  1

  , ˜ β

  

2

  o =

  (2α − 2θ) Portanto e considerando a densidade da energia dada em que a taxa de decaimento da energia total do sistema em na baixa frequência, pode ser estimada na forma

  Z

  1

  1

  2

  2 2α 2δ − β

  E u u dξ , (t) = + 1 + t (3.18)

  |ξ| |b | |ξ| |b | ≤ Ct

  2

  |ξ|≤1 para t &gt; 0, com α, β, θ e n como nos casos (a), (b) e (c) acima.

  Agora, para obtermos taxas de decaimento para a solução do pro-

  2

  blema em reescrevendo-a na forma

  

2δ 2θ

  1 + |ξ|

  |ξ| u u u (3.19)

  • tt t = 0,
  • 2α 2α

  b b b

  |ξ| |ξ|

  n

  onde bu = bu(t, ξ), com (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R \ {0} e potências fracionárias ≤ δ ≤ α e 0 ≤ θ ≤ α, com 0 ≤ α ≤ 2.

  Considerando a equação em obtemos estimativas para o funcional !

  Z 2δ 1 +

  1 |ξ|

  2

  2 L u (3.20)

  u dξ (t) = +

  t

  |b | |b |

  2α

  2

  |ξ|≤1 |ξ|

  2

  e em particular, para a norma L da solução do problema em na baixa frequência, pois Z

  

2

  u dξ (t, ξ) |b | ≤ 2 L(t).

  |ξ|≤1

  Usando novamente a notação definida na equação diferencial em temos que

  2δ 2θ

  1 + |ξ|

  |ξ| P , P

  (ξ) = (ξ) = e P (ξ) = 1, (3.21)

  1

  2

  3 2α 2α

  |ξ| |ξ| para |ξ| ≤ 1, com |ξ| 6= 0. Assim como no caso anterior,

  −1 −1 2α−2θ

  ρ P (ξ) = min

  3 (ξ)P (ξ), P 2 (ξ)P (ξ) = (3.22)

  |ξ|

  2

  1

  e o espaço de integração que consideramos é

  n

  Ω = ; 0 &lt; (3.23) {ξ ∈ R |ξ| ≤ 1} . Assim como fizemos anteriormente, devemos mais uma vez calcu- lar β &gt; 0 que satisfaça as condições da Hipótese

  Fazemos a verificação das condições dessa hipótese, no que chamamos agora, Hipótese como a seguir.

  , P , P Hipótese 3 Sejam P e ρ funções obtidas em ,

  1

  2

  3 respectivamente e Ω espaço definido em

  3

  4

i) Determinar β > 0, de modo que as integrais C e C que calcu-

  β β

  lamos a seguir, sejam finitas. Nesse sentido, temos que Z

  1 −

  3 β

  C ρ P = (ξ)

  1 (ξ)dξ β Ω

  Z 2δ Z

  (2α−2θ) (2θ−2α)

  1 +

  − |ξ| −2α β β

  dξ dξ &lt; =

  |ξ| ≤ 2 |ξ| ∞,

  2α Ω |ξ| Ω

  (2θ (2α − 2α) − 2θ) se

  , para n &gt; 2α; − 2α &gt; −n, ou seja, β &gt;

  β (n

  − 2α) Z Z

  1 (2α−2θ) 4 − −

  β β

  C ρ P dξ &lt; = (ξ) (ξ)dξ =

  3 β |ξ| ∞, Ω Ω

  (2θ (2α − 2α) − 2θ) se &gt; , para n

  −n, ou seja, β &gt; ≥ 1. β n

  3 Então, considerando que α

  ≥ 2θ, concluímos que as integrais C β

  4

  e C são simultaneamente finitas para

  β

  (2α (2α (2α − 2θ) − 2θ) − 2θ)

  β &gt; , , max = =: β

  1

  n (n (n

  − 2α) − 2α) h i α para θ 0, , com n &gt; 2α. ∈

  2

  1

  4

  5

  6

ii) Determinar β > 0, de modo que as integrais C , C , C e C

  β β β β

  que calculamos a seguir, sejam finitas. Nesse sentido temos que Z

  1+β

  1 1 −

  β β

  C = P (ξ) P (ξ) dξ

  2

  

1

β Ω

  1+β

  !

  β

  Z 2δ

  (2θ−2α)

  1 + |ξ|

  − β

  dξ =

  |ξ|

  2α Ω

  |ξ| Z

  1+β (2θ+2αβ)

  β β

  dξ &lt; ≤ 2 |ξ| ∞,

  Ω

  (2θ + 2αβ) 2θ se &gt; , para n &gt; 2α; − −n, ou seja, β &gt;

  β (n

  − 2α) Z Z

  (2θ−2α)

  1 4 −

  β β

  C ρ P dξ &lt; = (ξ) (ξ)dξ =

  3 β |ξ| ∞, Ω Ω

  (2α − 2θ) se β &gt; , para n

  ≥ 1; n Z

  1 − 5 −2

  2 β

  C ρ P P dξ = (ξ)

  3 (ξ)P 2 (ξ) 1 (ξ) β Ω

  2

  ! Z 2δ

  (2α−2θ)

  1 +

  − −2(2θ−2α) |ξ| β

  dξ =

  |ξ| |ξ|

  2α Ω

  |ξ| Z

  (2θ−2α)

−4θ

  β

  )dξ &lt; ∞, ≤ 4 |ξ|(

  Ω

  (2θ (2α − 2α) − 2θ) se

  , para n &gt; 4θ; − 4θ &gt; −n, ou seja, β &gt;

  β (n

  − 4θ) Z

  1 6 − −2

  2 β

  C ρ P P dξ = (ξ) (ξ) (ξ)P (ξ)

  2

  1

  3 β Ω −2

  Z 2θ 2δ

  (2α−2θ)

  1 +

  − |ξ| |ξ| β

  = dξ |ξ|

  2α 2α

Ω |ξ| |ξ|

  Z

  (2θ−2α)

  • +2α−4θ

  β

  ≤ 2 |ξ|( )dξ &lt; ∞,

  Ω

  (2θ (2α − 2α) − 2θ) se + 2α , sendo

  − 4θ &gt; −n, ou seja, β &gt; β (n + 2α

  − 4θ)

6 C

  β

  válido para n ≥ 1, pois 2θ ≤ α.

  1

  4

  5

  6 Assim, concluímos que as integrais C , C , C e C são simul- β β β β

  taneamente finitas para 2θ (2α (2α (2α

  − 2θ) − 2θ) − 2θ) β &gt; max , , , =: β ,

  2

  n (n (n (n + 2α

  − 2α) − 4θ) − 4θ) (3.24) h i

  α para θ 0, , com n &gt; 2α. ∈

  2 α

  Como estamos considerando 0 , notamos facilmente que ≤ θ ≤

  2 (2α (2α (2α (2α

  − 2θ) − 2θ) − 2θ) − 2θ) . e

  ≥ ≥ n (n (n (n + 2α

  − 4θ) − 4θ) − 4θ) Para verificarmos sob quais condições

  (2α 2θ − 2θ)

  , ≥

  (n (n − 4θ) − 2α)

  2

  ou seja, 8θ + 4 (α − n) θ + 2α (n − 2α) ≥ 0, definimos a função

2 F (θ) = 8θ + 4(α (3.25)

  − n)θ + 2α(n − 2α), h i α onde θ , com n &gt; 2α, cujas raízes são

  0, ∈

  2 α n

  − 2α θ = e θ = .

  1

  2

  2

  2 Comparando as raízes, observamos facilmente que, para n ≥ 3α, temos θ e para 2α &lt; n &lt; 3α, temos θ &lt; θ .

  1

  2

  2

  1

  ≤ θ F (θ) F (θ)

  G G (F ) (F ) n &lt;

  3α 3α θ θ θ θ θ θ

  1

  2

  2

  1 Figura 3.2: Casos θ e θ &lt; θ

  

1

  2

  2

  1

  ≤ θ Assim, analisando o gráfico de F (Figura concluímos que h i

  α

  a) se n 0, , ou seja, ≥ 3α, então F (θ) ≥ 0, para todo θ ∈

  2 (2α 2θ

  − 2θ) ,

  ≥ (n (n

  − 4θ) − 2α) (2α

  − 2θ) de modo que o máximo em é ˜ β = ;

  2

  (n − 4θ) n

  − 2α

  b) se 2α &lt; n &lt; 3α, então F (θ) 0, , ou ≥ 0, para θ ∈

  2 (2α 2θ

  − 2θ) ,

  ≥ (n (n

  − 4θ) − 2α) (2α

  − 2θ) de modo que o máximo em é ˜ β = ;

  2

  (n − 4θ)

a) Para n

  (2α − 2θ)

  (n − 4θ)

  2 , temos que

  α

  2 ,

  − 2α

  c) Para 2α &lt; n &lt; 3α e θ ∈ n

  ;

  − 4θ) =

  (2α − 2θ)

  β

  − 2θ) (n

  , (2α

  (n − 2α)

  c) se 2α &lt; n &lt; 3α, então F (θ) ≤ 0, para θ ∈ n

  o = min

  2

  β &gt; min n

  , ˜ ˜

  1

  (n − 2α) .

  −

  2δ

  |ξ|

  2

  1 β

  1

  Portanto, ainda de acordo com o Corolário pode ser estimado na forma L (t) =

  = 2θ

  1

  (n − 2θ)

  , 2θ

  (n − 2α)

  (2α − 2θ)

  o = min

  2

  β

  , ˜ β

  β

  2

  , de modo que o máximo em é ˜ ˜

  , onde

  1 β

  −

  − 2θ) . Posto isso, segue do Corolário na baixa frequên- cia, é dada por t

  (2θ) (n

  2 =

  β

  (n − 2α)

  α

  ≤ 2θ

  (n − 4θ)

  (2α − 2θ)

  2 , ou

  α

  2 ,

  − 2α

  ≥ 3α e θ ∈ h 0,

  2 i , temos que

  β &gt; min n

  − 4θ) =

  2 , também

  − 2α)

  0, (n

  b) Para 2α &lt; n &lt; 3α e θ ∈

  ;

  (n − 4θ)

  (2α − 2θ)

  − 2θ) (n

  β &gt; min n

  , (2α

  (n − 2α)

  (2α − 2θ)

  o = min

  2

  , ˜ β

  1

  β

  ! dξ ≤ Ct

  • 1 +

  t

  |

  |b u

  

  |ξ|

  |b u |

  , (3.26) para t &gt; 0, com α, β, θ e n como nos casos (a), (b) e (c) acima.

2 Z

  |ξ|≤1

  • ǫ
  • ku
  • ǫ

  dξ ≤ Ct

  2 , se u

  α

  iv) Para n ≥ α e 0 ≤ θ ≤

  2 L 1 ;

  k

  1

  ku

  2 L 1 +

  ku k

  −

(n−2α)

  2

  1

  |b u |

  |ξ|≤1

  ), Z

  n

  (R

  1

  ∈ L

  1

  , u

  2 , se u

  , u

  ∈ L

  2 ≤ θ ≤

  t

  2 L 1 ;

  k

  1

  ku

  2 L 1 +

  ku k

  − (n+2α−4θ) (2α−2θ)

  dξ ≤ Ct

  2

  |

  |b u

  1

  2δ

  |ξ|

  

2

  |b u |

  2α

  |ξ|

  |ξ|≤1

  ), então Z

  n

  (R

  α

  (n − 2α)

  1

  (R

  2 L

  ku k

  −

(n−4θ)

(2α−2θ)

  dξ ≤ Ct

  2

  |b u |

  |ξ|≤1

  ), então Z

  n

  1

  2 L 1 ;

  ∈ L

  1

  2 , se u , u

  ≥ 3α e 0 ≤ θ ≤ α

  2 . Valem as seguintes estimativas: i) Para n

  ≤ θ ≤ α

  , bem como de decaimento da energia desse sistema, para |ξ| ≤ 1, resultados que obtivemos em Lema 3.7 Seja 0

  2

  L

  da solução do problema de Cauchy em na região de baixa frequência. Através do lema a seguir, reunimos e apresentamos formalmente, estimativas de decaimento da solução do problema em na norma

  1

  k

  A partir da estimativa para o funcional L, apresentada em obtemos estimativas para o decaimento da norma L

  |ξ|≤1

  k

  1

  ku

  2 L 1 +

  ku k

  −

(n−4θ)

(2α−2θ)

  dξ ≤ Ct

  2

  |b u |

  ), Z

  2 L

  n

  (R

  1

  ∈ L

  1

  , u

  2 , se u

  (n − 2α)

  ; ii) Para 2α &lt; n &lt; 3α e 0 ≤ θ ≤

  1

  2

iii) Para 2α < n < 3α e

  • ǫ
  • 1 +
n

  1 n

  , u v) Para 1 , se u (R ), então

  1

  ≤ n &lt; α e 0 ≤ θ ≤ ∈ L

2 Z

  

2

  2 2α 2δ

  u + 1 + u dξ

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≤1 (n+2α−4θ)

  − +ǫ

  2

  2

  1 1 ;

  • (2α−2θ)

  1

  ≤ Ct ku k L ku k L n α

  1 n

  , u vi) Para 1 , se u

  1 (R ), então

  ≤ n &lt; α e ≤ θ ≤ ∈ L

  2

2 Z

  

2

  2 2α 2δ

  u u dξ

  • 1 +

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≤1 n

  − +ǫ

  2

  2

  1 1 ,

  1

  ≤ Ct ku k ku k

  L L para todo t &gt; 0 e ǫ &gt; 0 fixado arbitrariamente.

  1 As estimativas do Lema

  1 α α + δ

  3.2.2 Caso ≤ θ ≤

  2

2 Para este caso, como |ξ| ≤ 1, a definição de ρ em (3.6), implica que

  2θ 2θ

  |ξ| |ξ| ρ . (ξ) = ε (3.27)

  ≥ ε

  2δ

  (1 + )

  2 |ξ|

  Além disso, para 0 &lt; |ξ| ≤ 1, temos que

  2δ

  1 + |ξ| −2α

  . (3.28) ≤ 2|ξ|

  2α

  |ξ| A partir das relações em mostramos o lema a seguir, válido na região de baixa frequência.

  α α + δ Lema 3.8 Seja . Valem as seguintes estimativas:

  ≤ θ ≤

  2

  2

i) Para n

ii) Para n > 2α, se u

  • Ct
  • 1 +

  • ku

  |b u |

  2

  |ξ|≤1

  e

  − ε

  10

|ξ|

  2θ t

  |b u |

  |ξ|

  ! dξ ≤ C

  −2α

  |b u

  1

  |

  2

  dξ ≤ C

  Z

  Z

  2

  2

  5

ρ(ξ)t

  dξ ≤

  Z

  |ξ|≤1

  5e

  −

  1

  |b u |

  |

  2

  |ξ|

  2δ

  |ξ|

  2α

  |b u

  |ξ|≤1

  1

  − ε

  e

  dξ ≤ Ct

  Z

  |ξ|≤1

  e

  − ε

  10 |ξ|

  2θ t

  − n 2θ

  1

  kb u k

  

2

L

  −α

  b u

  1

  2 L

  ,

  2 L

  b u

  10

|ξ|

  Então, tomando a norma em L

  2θ t

  |b u |

  2

  −α

  b u

  1

  2 dξ.

  ∞

  −α

  dos dados iniciais e usando o Lema com ϑ = 2θ e k = 0, obtemos

  Z

  |ξ|≤1

  |b u |

  2

  dξ ≤ C kb u k

  2 L

  |ξ|≤1

  Demonstração .

  temos que Z

  ) e u

  k

  2 ˙ W

  α, 1 ;

  ∈ L

  1

  (R

  n

  1

  ku

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ), então Z

  |ξ|≤1

  |b u |

  1

  2 L 1 +

  2 L para todo t &gt; 0.

  −α,1

  ≥ 1, se u ∈ L

  1

  (R

  n

  ) e u

  

1

  ∈ ˙ W

  (R

  ku k

  n

  ), então Z

  |ξ|≤1

  |b u |

  2

  dξ ≤ Ct

  − n 2θ

  2

  dξ ≤ Ct

  − n 2θ

  

t

  |ξ|

  2α

  |b |

  2

  |ξ|

  2δ

  |b

  |

  ku k

  2

  ≤ Ct

  − n 2θ

  ku k

  2 L

  1

  k

  |ξ|≤1

  ), então Z

  n

  (R

  2 L

  1

  − (n−2α) 2θ

  ku

  1

  k

  2 L

  1

  ; iii) Para n ≥ 1, se u ∈ H

  α

  (R

  n

  ) e u

  1

  ∈ H

  δ

i) Usando as relações em (3.27) e (3.28) e a estimativa obtida em

  • 1 +
  • 2
  • |ξ|
  • |ξ|
  • |ξ|
para todo t &gt; 0, com n ≥ 1. Usando a transformada de Fourier inversa e as definições de norma

  1 n ∞ n

  em L (R ) e em L (R ), segue que Z

  n α

  2

  2

  2 − −

  2

  u dξ

  1 u

  1

  1

  (−∆) |b | ≤ Ct ku k L

  L |ξ|≤1

  para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

  −α,1 n

  Logo, da definição de norma em ˙ W (R ), concluímos que

  Z

  n

  2

  2

  2 −

  u dξ

  1 α, 1 , 1 ˙

  |b | ≤ Ct ku k ku k

  L W |ξ|≤1

  para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

ii) De forma análoga ao item anterior, temos que

  Z Z

  ε 2θ

  2

  2

  2 − |ξ| t −2α

  10

  u dξ e u u dξ

  • 2

  1

  |b | ≤ C |b | |ξ| |b |

  |ξ|≤1 |ξ|≤1

  Z

  2θ 2θ ε ε

  2

  2 − |ξ| t − |ξ| t −2α

  10

  10

  e u + e u dξ,

  1

  ≤ C |b | |ξ| |b |

  |ξ|≤1 para todo t &gt; 0.

  Então, usando o Lema com k = 0 para o dado inicial u , k = e com ϑ = 2θ para ambos, obtemos

  1

  −2α para u Z Z

  ε 2θ

  2

  2 − |ξ| t

  10

  u dξ u ∞ e dξ |b | ≤ C kb k L

  |ξ|≤1 |ξ|≤1

  Z

  2θ ε

2

− |ξ| t −2α

  10

  • C u e dξ

  1

  kb k |ξ|

  

L

|ξ|≤1 (n−2α) n

  2

  2 − − 2θ 2θ ∞ ∞

  u u ,

  • Ct

  1

  ≤ Ct kb k L kb k L para todo t &gt; 0, com n &gt; 2α. Usando novamente a transformada de Fourier inversa e as defini-

  1 n ∞ n

  ções de norma em L (R ) e em L (R ), concluímos que Z

  (n−2α) n

  2

  2

  2 − − 2θ 2θ

  u dξ ,

  1 + Ct

  1

  1

  |b | ≤ Ct ku k L ku k L

  |ξ|≤1 para todo t &gt; 0, com n inteiro tal que n &gt; 2α.

  iii) Agora, usando a relação em estimamos a norma da energia do sistema na baixa frequência, como segue Z

  2

  2 2α 2δ

  u u dξ

  • 1 + t |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≤1

  Z

  1

  2

  2

− ρ(ξ)t 2α 2δ

  5

  u u dξ 5e + 1 +

  1

  ≤ |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≤1

  Z

  2θ ε

  2

  2

− |ξ| t 2α 2δ

10 e u + 1 + u dξ.

  1

  ≤ C |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≤1

  Então, usando o Lema com k = 0 e com ϑ = 2θ, obtemos Z

  2α 2 2δ

  2

  u + 1 + u dξ

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≤1

  Z

  2θ ε

  2

  2 − |ξ| t ∞ ∞

  • 2C

  

1

  10 C u u e dξ

  ≤ kb k L kb k L

  |ξ|≤1 n

  2

  2 −

  u ∞ u ∞ ,

  

1

  ≤ Ct kb k L kb k L para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

  Logo, usando mais uma vez a transformada de Fourier inversa e

  

1 ∞

  as definições de norma L e norma L , concluímos que Z

  n

  2

  2

  2

  2 2α 2δ −

  u u dξ ,

  • 1 +

  1

  1

t

  1

  |ξ| |b | |ξ| |b | ≤ Ct ku k L ku k L

  |ξ|≤1 para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

  3.3 Taxas de Decaimento para |ξ| ≥ 1

  Nesta seção estudamos o decaimento de energia do sistema linear no espaço de Fourier, dado em na região de alta frequência. Nessa região, conforme definimos em a função ρ é dada por

  2θ

  |ξ| ρ (ξ) = ε ,

  2δ

  (1 + ) |ξ|

  α

  • δ .

  para todo 0 ≤ θ ≤

2 Além disso, para o caso |ξ| ≥ 1, o comportamento do funcional da energia do sistema, depende da relação entre os expoentes δ e θ.

  Por isso, dividimos o estudo desta seção, nos seguintes casos: α + δ

  ; i) 0 ≤ δ ≤ θ ≤

  2 α

  ; ii) 0 ≤ θ &lt; δ e 0 ≤ θ ≤

  2 α α

  • δ .

iii) 0 ≤ θ < δ e ≤ θ ≤

  2

  2

  α

  • δ

  3.3.1 Caso ≤ δ ≤ θ ≤

  

2

2δ 2δ 2θ .

  Neste caso, como |ξ| ≥ 1 e δ ≤ θ, temos 1 + |ξ| ≤ 2|ξ| ≤ 2|ξ| Então, a definição de ρ em implica que

  2θ

  ε |ξ| ρ .

  (ξ) = ε (3.29) ≥

  2δ

  (1 + )

  2 |ξ|

  Além disso, para |ξ| ≥ 1, temos que

  2δ

  1 + |ξ|

  2δ .

  (3.30) ≤ 1 + |ξ|

  2α

  |ξ|

  α

  • δ

  α n

  Lema 3.9 Sejam 0 . Para n (R ) e ≤ δ ≤ θ ≤ ≥ 1, se u ∈ H

  2

  δ n

  u

  1 (R ), então valem as seguintes estimativas:

  ∈ H Z

  ε

  2

  2

  2 − t

  u dξ i)

  2 δ ;

  • 10

  1

  |b | ≤ Ce ku k L ku k H

  |ξ|≥1

  Z

  ε

  2

  2

  2

  2 2α 2δ − t

  ii) u + 1 + u dξ α δ ,

  • 10

  

t

  1

  |ξ| |b | |ξ| |b | ≤ Ce ku k ku k

  H H |ξ|≥1

  para todo t &gt; 0.

  α n δ n

  Demonstração . Sejam u (R ), u

  1 (R ) e n ∈ H ∈ H ≥ 1.

i) Usando as relações em (3.29) e (3.30) e a estimativa obtida em

  temos que !

  Z Z 2δ

  1 1 +

  2 2 |ξ|

  2 − ρ(ξ)t

  5

  u dξ u u dξ 5e

  • 2α |ξ|≥1 |ξ|≥1 |ξ|

  1

  |b | ≤ |b | |b |

  Z

  ε

  2

  2 − t 2δ

  10

  e u u dξ

  • 1 +

  1

  ≤ C |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  ε

  2

  2 − t 2δ 10 u u dξ.

  • 1 +

  1

  ≤ Ce |b | |ξ| |b |

  n R 2 n δ n

  Então, da definição de norma em L (R ) e de norma em H (R ), concluímos que

  Z

  ε 2 − t

  2

  2

  u dξ

  2 δ dξ,

  • 10

  1

  |b | ≤ Ce ku k ku k

  L H |ξ|≥1

  para todo t &gt; 0, com n ≥ 1. ii) Agora, usando o Lema estimamos a norma da energia do sistema na alta frequência, da seguinte forma:

  Z

  2

  2 2α 2δ

  u u dξ

  • 1 +

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  1

  2

  2

− ρ θ (ξ)t 2α 2δ

5 5e u + 1 + u dξ.

  1

  ≤ |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  α

  Então, usando a relação em e a definição de norma H e

  δ

  de norma H , concluímos que Z

  2

  2 2α 2δ

  u u dξ

  • 1 +

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  ε

  2

  2

− t 2α 2δ

  10

  1 + u + 1 + u dξ

  1

  ≤ Ce |ξ| |b | |ξ| |b |

  n R

  ε

  2

  2 − t

  , = Ce α δ

  • 10

  

1

  ku k H ku k H para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

  Observação 3.3 Para os casos (ii) e (iii) citados no início desta se- ção, usamos o Lema na seguinte forma:

  Dados c, r &gt; 0 e a ∈ R, existe uma constante C &gt; 0 tal que

  a

−c|ξ| t −r −ar

  e , ≤ Ct |ξ| para todo t &gt; 0 e ξ

  ∈ R, com ξ 6= 0, onde C depende de r e c.

  α

  3.3.2 Caso ≤ θ &lt; δ e 0 ≤ θ ≤

  2 Nesta caso, a estrutura da equação é caracterizada pela função 2θ

  |ξ| ρ (ξ) = ε ,

  2δ

  (1 + ) |ξ| que degenera para zero quando |ξ| → ∞, pois δ &gt; θ.

  Essa estrutura implica em perda de regularidade nos dados iniciais, ou seja, para a obtenção de taxas de decaimento na região de alta frequência, iguais às obtidas na região de baixa frequência, é necessário maior regularidade nos dados iniciais do problema.

  • δ−α

  k

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  ∈ H

  2 , se u

  (n − 2α)

  ; ii) Para 2α &lt; n &lt; 3α e 0 ≤ θ ≤

  2 H (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  1

  n

  2 H (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  ku k

  − (n−4θ) (2α−2θ)

  dξ ≤ Ct

  2

  |b u |

  (R

  ) e u

  ), então Z

  dξ ≤ Ct

  2 H (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  k

  1

  2 H (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  ku k

  − (n−4θ) (2α−2θ)

  2

  

1

  |b u |

  |ξ|≥1

  ), então Z

  n

  (R

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  ∈ H

  |ξ|≥1

  n

  ;

  

  |ξ|

  (3.31) Além disso, para |ξ| ≥ 1, temos que 1 +

  2(θ−δ) .

  2 |ξ|

  ε

  ) ≥

  (1 + |ξ|

  |ξ|

  2θ

  (ξ) = ε |ξ|

  , o que implica ρ

  2δ

  ≤ 2|ξ|

  2δ

  Neste caso, como |ξ| ≥ 1, temos 1 + |ξ|

  2δ

  2α

  (R

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  ∈ H

  

1

  ) e u

  n

  (R

  ∈ H

  ≤ 2|ξ|

  2 , se u

  ≥ 3α e 0 ≤ θ ≤ α

  Lema 3.10 Seja 0 ≤ θ &lt; δ. Valem as seguintes estimativas: i) Para n

  da solução e para a energia do sistema em iguais às encontradas para a região de baixa frequência. Por isso, dividimos o estudo deste caso na alta frequência, de acordo com os casos considerados na região de baixa frequência.

  2

  (3.32) O objetivo é obter estimativas na região de alta frequência, para a norma L

  2(δ−α) .

  • ǫ
  • ku
  • δ−α
  • δ−α
  • ǫ
  • ku
  • δ−α

iii) Para 2α < n < 3α e

  • δ−α

2 H

  • ǫ
  • ku
  • δ−α
  • α
  • δ
  • 1 +
  • ǫ

  • α
  • ku
  • δ
  • α
  • δ
  • 1 +
  • ǫ
  • α
  • ku
  • δ
  • α
  • δ
  • 1 +
  • ǫ

  1

  Ct

  − (n+2α−4θ) (2α−2θ)

  ku k

  2 H

(δ−θ)(n+2α−4θ)

(2α−2θ)

  ; vi) Para 1 ≤ n &lt; α, se u ∈ H

  k

  2 H (δ−θ)(n+2α−4θ) (2α−2θ)

  2

  

(δ−θ)n

  (R

  dξ ≤

  |b u

  |

  t

  ) e u

  2δ

  |ξ|

  2

  |b u |

  2α

  |ξ|

  |ξ|≥1

  ), então Z

  n

  (R

  (δ−θ)(n+2α−4θ) (2α−2θ)

  n

  (δ−θ)n 2θ

  1

  2δ

  , para todo t &gt; 0 e ǫ &gt; 0 fixado arbitrariamente.

  2 H (δ−θ)n 2θ

  k

  1

  (δ−θ)n 2θ

  ku k

  − n 2θ

  dξ ≤ Ct

  2

  |

  t

  |b u

  |ξ|

  ∈ H

  2

  |b u |

  2α

  |ξ|

  |ξ|≥1

  Z

  2 ,

  α

  2 ≤ θ ≤

  ), então para n

  n

  (R

  ∈ H

  ) e u

  1

  ), então Z

  α

  ; iv) Para n ≥ α e 0 ≤ θ ≤

  2 H (δ−θ)(n−2α) 2θ

  k

  1

  

(δ−θ)(n−2α)

  ku k

  − (n−2α) 2θ

  dξ ≤ Ct

  2

  |b u |

  |ξ|≥1

  n

  n

  (R

  (δ−θ)(n−2α) 2θ

  ∈ H

  

1

  ) e u

  n

  (R

  (δ−θ)(n−2α) 2θ

  ∈ H

  2 , se u

  ≤ α

  2 &lt; θ

  (n − 2α)

  2 , se u

  ∈ H

  (δ−θ)(n+2α−4θ) (2α−2θ)

  2

  (R

  (δ−θ)(n+2α−4θ) (2α−2θ)

  ∈ H

  2 , se u

  ; v) Para 1 ≤ n &lt; α e 0 ≤ θ ≤ n

  2 H (δ−θ)(n+2α−4θ) (2α−2θ)

  k

  1

  2 H

(δ−θ)(n+2α−4θ)

(2α−2θ)

  ku k

  − (n+2α−4θ) (2α−2θ)

  dξ Ct

  t

  (R

  u

  2δ

  2

  u

  |ξ|≥1 2α

  ), então Z

  n

  (R

  (δ−θ)(n+2α−4θ) (2α−2θ)

  ∈ H

  1

  ) e u

  n

2 H

  • α
  • ku
  • δ
Demonstração .

i) Usando as relações em (3.31) e (3.32) e a estimativa obtida em

  temos que Z Z

  2(θ−δ) ε

  2

  2

  2 − |ξ| t 2(δ−α) 10 u dξ e u u dξ.

  • 2

  1

  |b | ≤ C |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 |ξ|≥1

  (n − 4θ)

  Então, usando o Lema com r = e a = 2(θ − δ), (2α

  − 2θ) obtemos Z

  2

  u dξ |b |

  |ξ|≥1

  Z

  (n−4θ) 2(δ−θ)(n−4θ) −

  2

  2 2(δ−α)

  u u dξ

  • (2α−2θ) (2α−2θ)

  1

  ≤ Ct |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  (n−4θ) (δ−θ)(n−4θ)

  2 −

  2

  (

  (2α−2θ) (2α−2θ)

  dξ ≤ Ct |ξ| ) |bu |

  n R

  Z

  (n−4θ) (δ−θ)(n−4θ) − 2 +δ−α

  2 (2α−2θ) ( (2α−2θ)

  dξ,

  • Ct

  1

  |ξ| ) |bu |

  n R para todo t &gt; 0, com n &gt; 4θ. s n

  Assim, segue da definição de norma em espaços H (R ), que Z

  (n−4θ) 2 −

  2 (2α−2θ)

  u dξ (δ−θ)(n−4θ) |b | ≤ Ct ku k

  (2α−2θ) H |ξ|≥1

  

(n−4θ)

  2

(2α−2θ)

(δ−θ)(n−4θ) ,

  • Ct

  1

  ku k +δ−α

  (2α−2θ) H para todo t &gt; 0, com n &gt; 4θ e em particular, para n ≥ 3α.

  (n − 2α)

  , ii) A demonstração para o caso 2α &lt; n &lt; 3α e 0 ≤ θ ≤

  2 é análoga à demonstração do item anterior, visto que o resultado

  α . em no item (i), é válido também para n &gt; 2α, pois θ ≤

  2

iii) Da mesma maneira como nos itens anteriores, temos que

  Z Z

  

ε 2(θ−δ)

  2

  2

  2 − |ξ| t 2(δ−α) 10 u dξ e u u dξ.

  • 2

  1

  |b | ≤ C |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 |ξ|≥1

  (n − 2α)

  Então, usando o Lema com r = e a = 2(θ − δ), 2θ obtemos

  Z Z

  

(n−2α) 2(δ−θ)(n−2α)

  2

  2 −

2θ 2θ

  u dξ u dξ |b | ≤ Ct |ξ| |b |

  |ξ|≥1 |ξ|≥1

  Z

  (n−2α) 2(δ−θ)(n−2α)

  2 − 2(δ−α) 2θ 2θ

  u dξ

  • Ct

  1

  |ξ| |ξ| |b |

  

|ξ|≥1

  Z

  (n−2α)

  2

  2 −

2θ ( 2θ

  dξ ≤ Ct |ξ| ) |bu |

  n R

  Z

  (n−2α) (δ−θ)(n−2α)

  2 − 2 +δ−α

  (

  2θ 2θ

  dξ,

  1

  |ξ| |

  • Ct ) |bu

  

n

R

  α (n

  − 2α) , , com n &gt; 2α. para todo t &gt; 0 e θ ∈

  2

  2

  s n

  Portanto, pela definição de norma em H (R ), concluímos que Z

  2

  u dξ |b |

  |ξ|≥1 (n−2α)

  2

  2 − 2θ (δ−θ)(n−2α) (δ−θ)(n−2α) ,

  • 1

  ≤ Ct k k

  ku ku

  • δ−α 2θ 2θ

  H H

  α (n

  − 2α) , , com 2α &lt; n &lt; 3α. para todo t &gt; 0 e θ ∈

  2

  2 iv) Agora, usando a relação em estimamos a norma da energia do sistema na alta frequência, na forma

  Z

  2α 2 2δ

  2

  u + 1 + u dξ

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  2(δ−θ) ε

  2

  2 − |ξ| t 2α 2δ 10 e u u dξ.

  • 2

  1

  ≤ C |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 n

  − 4θ Então, usando o Lema com r = e a = 2(θ − δ),

  2α − 2θ obtemos

  Z

  2

  2 2α 2δ

  u u dξ

  • 1 + t |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  (n+2α−4θ) 2(θ−δ)(n+2α−4θ) − −

  2

  2 2α 2δ

  u u dξ

  • (2α−2θ) (2α−2θ)

  1

  ≤ Ct |ξ| |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  (n+2α−4θ) (δ−θ)(n+2α−4θ)

  2 − 2 +α

  (

  (2α−2θ) (2α−2θ)

  dξ ≤ Ct |ξ| ) |bu |

  |ξ|≥1

  Z

  (n+2α−4θ) (δ−θ)(n+2α−4θ) − 2 +δ

  2 (2α−2θ) ( (2α−2θ)

  dξ,

  • Ct

  1

  |ξ| | ) |bu

  |ξ|≥1 para todo t &gt; 0, com n ≥ α. s n

  Novamente pela definição de norma em H (R ), concluímos que Z

  2α 2 2δ

  2

  u + 1 + u dξ

  

t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 (n+2α−4θ)

  −

  2

  2

  • (2α−2θ) (δ−θ)(n+2α−4θ) (δ−θ)(n+2α−4θ) ,

  1 (2α−2θ) (2α−2θ)

  ≤ Ct ku k +α ku k +δ

  H H para todo t &gt; 0, com n ≥ α.

  v) A demonstração deste item, é análoga à do item (iv) e também usa a relação em n + 2α

  − 4θ com r = e a = 2(θ − δ). 2α

  − 2θ O resultado neste item vale para todo t &gt; 0, com 1 ≤ n &lt; α. vi) Usando mais uma vez a relação em estimamos a norma da energia na alta frequência, na forma

  Z

  2

  2 2α 2δ

  u u dξ

  • 1 +

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  ε 2(δ−θ)

  2

  2 − |ξ| t 2α 2δ 10 e u + 2 u dξ.

  1

  ≤ C |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 n Então, usando o Lema com r = e a = 2(θ − δ), obtemos

  2θ Z

  2

  2 2α 2δ

  u + 1 + u dξ

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  2(θ−δ)n n

  2

  2 − − 2α 2δ

  u u dξ

  • 2θ 2θ

  1

  ≤ Ct |b | |ξ| |b | |ξ| |ξ|

  |ξ|≥1

  Z

  (δ−θ)n (δ−θ)n n

  2

  2 − 2 +α 2 +δ

  2θ

  dξ,

  • 2θ ( 2θ (

  1

  ≤ Ct |ξ| ) |bu | |ξ| ) |bu |

  |ξ|≥1 para todo t &gt; 0, com n ≥ 1. s n

  Novamente pela definição de norma em H (R ), concluímos que Z

  

2α 2δ

  u u dξ

  • 1 +

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 n

  2

  2 −

  • 2θ (δ−θ)n (δ−θ)n

  ,

  1

  ≤ Ct ku k +α ku k +δ

  2θ 2θ H H para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

  α α + δ

  3.3.3 Caso ≤ θ &lt; δ e ≤ θ ≤

  2

  2 2δ 2δ

  e então Também neste caso, |ξ| ≥ 1 implica em 1 + |ξ| ≤ 2|ξ|

  2θ

  ε |ξ| 2(θ−δ) ρ .

  (ξ) = ε (3.33) ≥ |ξ|

  

  (1 + )

  2 |ξ|

  Além disso, como |ξ| ≥ 1, temos que

  2δ

  1 + |ξ|

  2(δ−α) .

  (3.34) ≤ 2|ξ|

  2α

  |ξ| α α

  • δ Lema 3.11 Sejam 0 . Valem as estimativas:

  ≤ θ &lt; δ e ≤ θ ≤

  2

  2

  (δ−θ)n (δ−θ)n n +δ−α n

  2θ 2θ

i) Para n (R ) e u (R ), então

  1

  ≥ 1, se u ∈ H ∈ H Z

  n

  2

  2

  2 −

  u dξ (δ−θ)n (δ−θ)n ;

  1

  |b | ≤ Ct ku k ku k +δ−α

  2θ 2θ H H |ξ|≥1

  (δ−θ)(n−2α) (δ−θ)(n−2α) n +δ−α n

  2θ 2θ

ii) Para n > 2α, u (R ) e u (R ),

  1

  ∈ H ∈ H Z

  2

  u dξ |b |

  |ξ|≥1 (n−2α)

  2

  2 −

  • 2θ (δ−θ)(n−2α) (δ−θ)(n−2α)

  1 ;

  ≤ Ct ku k ku k

  • δ−α 2θ 2θ

  H H (δ−θ)n (δ−θ)n

  • α n +δ n

  2θ 2θ

iii) Para n (R ) e u (R ), então

  1

  ≥ 1, se u ∈ H ∈ H Z

  2α 2 2δ

  2

  u + 1 + u dξ

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 n

  2

  2 − 2θ (δ−θ)n (δ−θ)n ,

  • α +δ 2θ 2θ

  1

  ≤ Ct ku k ku k

  H H para todo t &gt; 0.

  Demonstração .

i) Usando as relações em (3.33) e (3.34) e a estimativa obtida em

  temos que Z Z

  

ε 2(θ−δ)

  2

  2

  2 − |ξ| t 2(δ−α) 10 u dξ e u + 2 u dξ.

  1

  |b | ≤ C |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 |ξ|≥1

  n Então, usando o Lema com r = e a = 2(θ − δ), obtemos

  2θ Z Z

  2(δ−θ)n n 2 − 2 2(δ−α)

  2

  u dξ u u dξ

  • 2θ 2θ

  1

  |b | ≤ Ct |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 |ξ|≥1

  Z

  (δ−θ)n (δ−θ)n n

  2

  2 − 2 2 +δ−α

  ( 2θ ( 2θ

  2θ

  dξ,

  • R n

  1

  ≤ Ct |ξ| ) |bu | |ξ| ) |bu | para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

  s n

  Logo, da definição de norma em espaços H (R ), segue que Z

  n

  2

  

2

  2 −

  u dξ (δ−θ)n (δ−θ)n ,

  1

  |b | ≤ Ct ku k ku k +δ−α

  2θ 2θ H H |ξ|≥1

  para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

ii) De forma análoga ao item anterior, temos

  Z Z

  

2(θ−δ)

ε

  2

  2

  2 − |ξ| t 2(δ−α) 10 u dξ e u + 2 u dξ.

  1

  |b | ≤ C |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 |ξ|≥1

  n − 2α

  Então, usando o Lema com r = e a = 2(θ − δ), 2θ obtemos

  Z Z

  

(n−2α) 2(δ−θ)(n−2α)

  2

  2 −

2θ 2θ

  u dξ u dξ |b | ≤ Ct |ξ| |b |

  |ξ|≥1 |ξ|≥1

  Z

  (n−2α) 2(δ−θ)(n−2α)

  2 − 2(δ−α)

2θ 2θ

  u dξ

  • Ct

  1

  |ξ| |ξ| |b |

  

|ξ|≥1

  Z

  

(n−2α) (δ−θ)(n−2α)

  2 −

  

2

  (

  2θ 2θ

  dξ ) |bu

  ≤ Ct |ξ| |

  n R

  Z

  (δ−θ)(n−2α) (n−2α) 2 +δ−α

  2 −

  ( 2θ

  2θ

  dξ,

  • Ct

  1

  |ξ| ) |bu |

  R n para todo t &gt; 0, com n &gt; 2α. s n

  Portanto, pela definição de norma em H (R ), concluímos que Z

  (n−2α)

  2

  

2

  2 −

  u dξ ,

  • 2θ (δ−θ)(n−2α) (δ−θ)(n−2α)

  1

  |b | ≤ Ct ku k ku k

  • δ−α 2θ 2θ

  H H |ξ|≥1

  para todo t &gt; 0, com n inteiro tal que n &gt; 2α.

iii) Agora, usando a relação em (3.33) e o Lema 3.6, estimamos a

  norma da energia do sistema na alta frequência, na forma Z

  2

  2 2α 2δ

  u u dξ

  • 1 +

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  ε 2(δ−θ)

  2

  2 − |ξ| t 2α 2δ 10 e u + 2 u dξ.

  1

  ≤ C |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  n Então, usando o Lema com r = e a = 2(θ − δ), obtemos

  2θ Z

  2α 2 2δ

  2

  u + 1 + u dξ

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1

  Z

  2(δ−θ)n n

  2

  2 − 2α 2δ

  u u dξ

  • 2θ 2θ

  1

  ≤ Ct |ξ| |ξ| |b | |ξ| |b | Z

  (δ−θ)n (δ−θ)n n

  2

  2 − 2 +α 2 +δ

  2θ ( 2θ

  dξ

  • 2θ (

  1

  ≤ Ct |ξ| ) |bu | |ξ| ) |bu |

  n R para todo t &gt; 0, com n ≥ 1. s n

  Novamente pela definição de norma em H (R ), concluímos que Z

  2

  2

2α 2δ

  u u dξ

  • 1 +

  t

  |ξ| |b | |ξ| |b |

  |ξ|≥1 n

  2

  2 −

  • 2θ (δ−θ)n (δ−θ)n ,

  1

  ≤ Ct ku k +α ku k +δ

  2θ 2θ H H para todo t &gt; 0, com n ≥ 1.

3.4 Resultados Gerais de Decaimento

  2 Nesta seção reunimos as estimativas obtidas para a norma L da

  solução do problema de Cauchy definido em bem como estimati- vas para a energia total desse sistema, em relação à norma no espaço

  α n δ n da energia, que observamos ser o espaço X = H (R ) (R ).

  × H

  • ǫ
  • Ce
  • ku

ii) Para 2α < n < 3α e 0

  2 ≤ θ ≤

  ku

  1

  k

  2 H δ ;

  (n − 2α)

  2 , se u

  α

  ku k

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) ∩ L

  2 L 2 +

  10 t

  (R

  

ε

  1

  2 L

  k

  1

  1

  2 L

  ku k

  

(n−4θ) (2α−2θ)

  dx ≤ Ct

  2

  |u(t, x)|

  R n

  ), então Z

  2

  n

  (R

  ku k

  2 H δ ;

  k

  1

  ku

  2 L 2 +

  ku k

  10 t

  − ε

  1

  2 L

  k

  1

  ku

  2 L 1 +

  

(n−2α) 2θ

  ) e u

  dx ≤ Ct

  2

  |u(t, x)|

  R n

  ), então Z

  n

  (R

  δ

  ) ∩ H

  n

  (R

  1

  ∈ L

  

1

  n

  δ

  

(n−4θ) (2α−2θ)

  

1

  dx ≤ Ct

  2

  |u(t, x)|

  R n

  ), então Z

  n

  (R

  δ

  ) ∩ H

  n

  (R

  1

  ∈ L

  ) e u

  ku k

  n

  (R

  2

  ) ∩ L

  n

  (R

  1

  ∈ L

  2 , se u

  α

  da solução u(t, x) do problema de Cauchy em i) Para n ≥ 3α e 0 ≤ θ ≤

  2

  ≤ δ ≤ θ. Valem as seguintes estimativas para a norma L

  , que decorrem dos Lemas apresentados neste capítulo. No Teorema e apresentamos as estimativas para a energia do sistema, resultantes dos mesmos lemas citados no parágrafo anterior. Teorema 3.1 Seja 0

  ) ∩ H

  2 L 1 +

  Nos Teoremas a seguir, usamos a Identidade de Plancherel (Teorema e apresentamos de maneira sistemática as estimativas para solução do problema na norma L

  ∈ L

  n

  (R

  1

  ∈ L

  

1

  ) e u

  n

  (R

  2

  ) ∩ L

  n

  (R

  1

  2 , se u

  ku

  − 2α)

  ≤ θ ≤ (n

  2 H δ ;

  k

  1

  2

  2 L

  ku k

  10 t

  

ε

  1

  2 L

  k

  1

  2

  • ǫ
  • ku
  • Ce

iii) Para 2α < n < 3α e

  • ǫ
  • Ce
  • Ce

  • ku

  (R

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) e além disso, u ∈ H

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  n

  2 , se u , u

  ) e u

  1

  ∈ H

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  (R

  n

  ), então Z

  1

  α

  |u(t, x)|

  10 t

  ku

  1

  k

  2 L

  1

  

ε

  ku k

  da solução u(t, x) do problema de Cauchy em i) Para n ≥ 3α e 0 ≤ θ ≤

  2 L

  2

  1

  k

  2 H δ ; para todo t &gt; 0 e ǫ &gt; 0 fixado arbitrariamente.

  Teorema 3.2 Seja 0 ≤ θ &lt; δ. Valem as seguintes estimativas para a norma L

  2

  R n

  2

  2 L 1 + Ct

  (R

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) e ainda, u ∈ H

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  n

  , u

  ) e u

  1

  ∈ H

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  (R

  n

  ),

  1

  2 , se u

  dx ≤ Ct

  2 L

  −

(n−4θ)

(2α−2θ)

  ku k

  2 L 1 +

  ku

  1

  k

  1

  (n − 2α)

  − (n−4θ) (2α−2θ)

  ku k

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  1

  k

  2 H (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  ; ii) Para 2α &lt; n &lt; 3α e 0 ≤ θ ≤

  − (n−2α) 2θ

  ku k

  α,

  dx ≤ Ct

  (R

  n

  ), então Z

  R n

  |u(t, x)|

  2

  

n 2θ

  ) ∩ H

  ku k

  2 L 1 +

  ku

  1

  k

  2 ˙ W

  δ

  n

  1

  n

  2 ≤ θ ≤

  (α + δ)

  2 , se u

  ∈ L

  1

  (R

  ) ∩ L

  (R

  2

  (R

  n

  ) e u

  

1

  ∈ ˙ W

  −α,1

  −

n

  − ε

  iv) Para n ≥ 1 e

  δ

  

1

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) ∩ H

  (R

  n

  n

  ), então Z

  R n

  |u(t, x)|

  2

  dx ≤ Ct

  ) e u

  (R

  10 t

  v) Para n &gt; 2α e α

  ku k

  2 L

  2

  1

  k

  2 H δ ;

  2 ≤ θ ≤

  2

  (α + δ)

  2 , se u

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) ∩ L

  α

  • Ce
  • ku
  • δ−α
  • ǫ
  • ǫ

2 H

  • Ct
  • δ−α
  • ku
  • δ−α
  • ǫ

  • ǫ

2 H

  • Ct
  • ku
  • δ−α
  • δ−α
  • ǫ

2 H

  • Ct
  • ku
  • δ−α

  ku

  1

  k

  2 ˙ W

  α,

  1

  − n 2θ

  ku k

  (δ−θ)n 2θ

  1

  k

  2 H (δ−θ)n 2θ

  ; v) Para n &gt; 2α e α

  2 ≤ θ ≤

  (α + δ)

  2 L 1 +

  ku k

  

n 2θ

  ) ∩ H

  ) e u

  1

  ∈ ˙ W

  −α,1

  (R

  n

  (δ−θ)n 2θ

  2 , se u , u

  (R

  n

  ), então Z

  R n

  |u(t, x)|

  2

  dx ≤ Ct

  1

  1

  1

  2 L 1 + Ct

  − (n−2α) 2θ

  ku

  1

  k

  2 L

  − n 2θ

  −

n

  ku k

  (δ−θ)(n−2α) 2θ

  1

  k

  2 H (δ−θ)(n−2α) 2θ

  , para todo t &gt; 0 e ǫ &gt; 0 fixado arbitrariamente.

  ku k

  dx ≤ Ct

  ∈ L

  ) e u

  (R

  n

  ) e ainda u ∈ H

  (δ−θ)(n−2α) 2θ

  (R

  n

  1

  2

  ∈ H

  (δ−θ)(n−2α) 2θ

  (R

  n

  ), então Z

  R n

  |u(t, x)|

  n

  (R

  (δ−θ)n 2θ

  , u

  2 H (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  ; iii) Para 2α &lt; n &lt; 3α e (n

  − 2α)

  2 ≤ θ ≤

  α

  2 , se u

  1

  1

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) e ainda, u ∈ H

  (δ−θ)(n−2α) 2θ

  k

  (δ−θ)(n−4θ) (2α−2θ)

  n

  ku k

  Z

  R n

  |u(t, x)|

  2

  dx ≤ Ct

  − (n−4θ) (2α−2θ)

  2 L 1 +

  ku k

  ku

  1

  k

  2 L

  1

  − (n−4θ) (2α−2θ)

  ) ∩ H

  (R

  ) e u

  α

  ku k

  (δ−θ)(n−2α) 2θ

  1

  k

  2 H (δ−θ)(n−2α) 2θ

  ; iv) Para n ≥ 1 e

  2 ≤ θ ≤

  1

  (α + δ)

  2 , se u

  ∈ L

  1

  (R

  n

  1

  (n−2α) 2θ

  2 L

  |u(t, x)|

  ∈ H

  (δ−θ)(n−2α) 2θ

  (R

  n

  ), Z

  k

  R n

  2

  dx ≤ Ct

  − (n−2α) 2θ

  ku k

  2 L 1 +

  ku

  1

  • δ−α

2 H

  • Ct
  • δ−α
  • ku
  • δ−α

2 H

  • Ct
  • ku
  • δ−α

i) Para n

  • | (−∆)
  • | (−∆)

2 L

  • ǫ

ii) Para 1

  • | (−∆)
  • | (−∆)
  • ǫ

2 L

  • Ce

  • ku
  • ku
  • | (−∆)
  • | (−∆)

  1

  2

  α

  u |

  2

  dx ≤ Ct

  − n 2θ

  ku k

  1 +

  ku

  k

  t

  2 L 1 + Ce

  − ε

  10 t

  ku k

  2 H α +

  ku

  1

  k

  2 H δ ;

  iv) Para n ≥ 1, 0 ≤ δ ≤ θ e

  |

  u

  1

  (R

  (R

  n

  ) ∩ H

  α

  (R

  n

  ) e u

  

1

  ∈ L

  1

  n

  δ

  ) ∩ H

  δ

  (R

  n

  ), então Z

  R n

  |u

  t

  |

  α

  2

  2 , se u

  2 ≤ θ ≤

  ku

  t

  |

  2

  α

  u |

  2

  dx ≤ Ct

  − n 2θ

  ku k

  1 +

  1

  δ

  k

  2 L 1 + Ce

  − ε

  10 t

  ku k

  2 H α +

  ku

  1

  k

  2 H δ ;

  u

  2

  (α + δ)

  ∈ L

  ∈ L

  ∈ L

  (R

  n

  ) ∩ H

  α

  (R

  n

  ) e u

  

1

  1

  |

  (R

  n

  ) ∩ H

  δ

  (R

  n

  ), então Z

  R n

  |u

  t

  1

  2 ≤ θ ≤

  2 , se u

  − (n+2α−4θ) (2α−2θ)

  δ

  u

  t

  |

  2

  α

  u |

  2

  dx ≤

  Ct

  ku k

  |

  1 +

  ku

  

1

  k

  

2

L 1 + Ce

  − ε

  10 t

  ku k

  2 H α +

  ku

  2

  t

  α

  n

  Teorema 3.3 Para todo t &gt; 0, valem as seguintes estimativas para a energia E(t, x) do sistema dado em

  ≥ α, 0 ≤ δ ≤ θ e 0 ≤ θ ≤ α

  2 , se u

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) ∩ H

  α

  (R

  ) e u

  |u

  

1

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) ∩ H

  δ

  (R

  n

  ), então Z

  R n

  1

  k

  2 H δ ;

  1

  t

  |

  2

  α

  u |

  2

  dx ≤

  Ct

  − (n+2α−4θ) (2α−2θ)

  ku k

  

1

  ≤ n &lt; α, 0 ≤ δ ≤ θ e 0 ≤ θ ≤ n

  k

  

2

L

  1

  − ε

  10 t

  ku k

  2 H α

  1

  k

  2 H δ

  ; iii) Para 1 ≤ n &lt; α, 0 ≤ δ ≤ θ e n

  u

  δ

  2

  |

  2 , se u

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) ∩ H

  α

  (R

  n

  ) e u

  

1

  ∈ L

  1

  (R

  n

  ) ∩ H

  δ

  (R

  n

  ), então Z

  R n

  |u

  t

2 L

  • ǫ
  • | (−∆)
  • | (−∆)

2 L

  α

  1 n

  , u v) Para n , se u (R ) e ainda,

  1

  ≥ α, 0 ≤ θ &lt; δ e 0 ≤ θ ≤ ∈ L

  2

  

(δ−θ)(n+2α−2θ) (δ−θ)(n+2α−2θ)

  • α +δ

  (2α−2θ) n (2α−2θ) n

  u (R ) e u (R ),

  1

  ∈ H ∈ H Z

  δ α

  2

  2

  2

  u u dx

  t t

  |u | | (−∆) | | (−∆) |

  n R

  (n+2α−4θ) − +ǫ

  2

  2

  1

  • (2α−2θ)

  1

  1

  ≤ Ct ku k ku k

  L L (n+2α−4θ)

  − +ǫ

  2 (2α−2θ)

  • Ct (δ−θ)(n+2α−4θ) ku k +α

  (2α−2θ) H

  (n+2α−4θ) − +ǫ

  2 (2α−2θ) (δ−θ)(n+2α−4θ)

  • Ct ;

  1

  ku k +δ

  (2α−2θ) H

  n

  1 n

  , u vi) Para 1 , se u (R ) e

  1

  ≤ n &lt; α, 0 ≤ θ &lt; δ e 0 ≤ θ ≤ ∈ L

  2

  • α +δ

  (2α−2θ) n (2α−2θ) n

  ainda, u (R ) e u (R ),

  1

  ∈ H ∈ H Z

  δ α

  2

  2

  2

  u u dx

  t t

  |u | | (−∆) | | (−∆) |

  n R

  (n+2α−4θ) − +ǫ

  2

  2

  1

  • (2α−2θ)

  1

  1

  ≤ Ct ku k ku k

  L L (n+2α−4θ)

  − +ǫ

  2 (2α−2θ) (δ−θ)(n+2α−4θ)

  • Ct ku k +α

  (2α−2θ) H

  (n+2α−4θ) − +ǫ

  2 (2α−2θ) (δ−θ)(n+2α−4θ)

  • Ct ;

  1

  ku k +δ

  (2α−2θ) H

  n α

  1 n

  , u vii) Para 1 , se u (R ) e

  1

  ≤ n &lt; α, 0 ≤ θ &lt; δ e ≤ θ ≤ ∈ L

  2

  2

  (δ−θ)n (δ−θ)n

  • α n +δ n

  2θ 2θ

  além disso, u (R ) e u (R ), então

  1

  ∈ H ∈ H Z

  δ α

  2

  2

  2

  u u dx

  • t t |u | | (−∆) | | (−∆) |

  n R n

  − +ǫ

  2

  2

  1

  1

  1

  ≤ Ct ku k ku k

  L L n

  2

  2 − +ǫ 2θ (δ−θ)n (δ−θ)n

  • Ct + ;

  1

  ku k +α ku k +δ

  2θ 2θ H H

  α (α + δ)

  1 n

  , u viii) Para n , se u (R ) e

  1

  ≥ 1, 0 ≤ θ &lt; δ e ≤ θ ≤ ∈ L

  2

  2

  (δ−θ)n (δ−θ)n

  • α n +δ n

  2θ 2θ

  além disso, u (R ) e u (R ), então

  1

  ∈ H ∈ H Z

  δ α

  2

  2

  2

  u u

  • dx
  • t t

  |u | | (−∆) | | (−∆) |

  n R n

  2

  2 −

  1

  1

  1

  ≤ Ct ku k ku k

  

L L

n

  2

  2 −

  • Ct ,
  • >2θ (δ−θ)n (δ−θ)n

      1

      ku k +α ku k +δ

      2θ 2θ H H para todo t &gt; 0 e ǫ &gt; 0 fixado arbitrariamente.

      Observação 3.4 Tanto no Teorema a taxa obtida no item (iv) é melhor do que a taxa em (v). Isso se deve à maior regularidade exigida sobre o dado inicial u .

      1 A razão pela qual ocorre ǫ &gt; 0 arbitrário, em algumas taxas de de-

      caimento apresentadas nos Lemas assim como nos Teoremas

      As taxas obtidas nesses lemas e teoremas, são arbitrariamente me-

      1 nores do que a taxa (ótima) , enunciada no Corolário β

    • (

      −∆)

      α + δ

      2 ≤ γ ≤

      2 e α

      α + δ

      , β 6= 0, p &gt; 1 inteiro e as potências do operador Laplaciano α, δ, θ e γ satisfazem ≤ δ ≤ α ≤ 2, 0 ≤ θ ≤

      n

      (4.1) onde u = u(t, x), com (t, x) ∈ (0, ∞) × R

      t (0, x) = u 1 (x),

      ) , u (0, x) = u (x), u

      p

      (u

      γ

      t = β(

      Capítulo 4 Existência e Unicidade de Soluções: Problema Semilinear

      u

      θ

      −∆)

      u

      α

      −∆)

      tt + (

      u

      δ

      −∆)

      tt + (

               u

      Neste capítulo estudamos o problema de Cauchy dado em associado a uma equação dissipativa semilinear do tipo Boussinesq, envolvendo potências fracionárias do operador Laplaciano

      2 . Assim como no caso do problema associado à equação linear, es- tudamos a existência e unicidade de soluções do problema associado à equação semilinear, dividindo-o em dois casos

      1) Caso 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α; α

    • δ .

      2) Caso 0 ≤ δ ≤ θ ≤

      2 Para ambos os casos, consideramos o espaço da energia definido por

      α n δ n

      X = H (R ) (R ).

      × H Posto isso, reduzimos a ordem do problema de Cauchy em reescrevendo-o na forma

       dU 

      = BU + F (U ), dt (4.2)

       U ,

      (0) = U , u onde U = (u, u t ), U = (u

      

    1 ), B : D(B)

      ⊂ X −→ X o operador na forma como definimos e estudamos no Capítulo de acordo com os casos (1) e (2) citados acima, e F : D(B) −→ X o operador contendo o termo não linear da equação associada ao Problema conforme definimos mais adiante.

    4.1 Existência e Unicidade Local

      O objetivo nesta seção, é mostrar que os operadores B e F na equação diferencial em apresentado no Capítulo deste trabalho, verificar sob quais condições isso ocorre e então, usar esse teorema para mostrar que existe uma única solução para o problema semilinear em

      Entretanto, conforme mostramos no Capítulo para os casos (1) e (2) citados no início deste capítulo, o operador B definido a partir da equação linear, é gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe C no espaço X.

      Assim, no sentido de verificarmos as hipóteses do Teorema basta mostrarmos que o operador F na forma como definimos mais adiante, está bem definido sobre o domínio de B e é Lipschitz contínuo em conjuntos limitados A ⊂ D(B).

      Observação 4.1 Lembramos que, para mostrarmos a existência local de solução do problema semilinear, condicionamos a potência fracioná- ria γ ao intervalo mencionado no início deste capítulo, ou seja,

      α α + δ .

      ≤ γ ≤

      2

      2 Além disso, assim como no caso do problema associado à equação linear estudado no Capítulo consideramos o espaço usual definido para a energia do sistema em dado por

      α n δ n

      X = H (R ) (R ),

      × H munido com os produtos internos em e respectivas nor- mas, que são equivalentes às normas usuais nesses espaços, devido às desigualdades provadas no Lema

      4.1.1 Caso ≤ θ &lt; δ ≤ α

      Com o objetivo de determinarmos operadores B e F adequados, de modo que atendam às hipóteses do Teorema somamos e subtraí- mos o termo u à equação diferencial em obtendo assim,

      δ α θ γ p I u u u .

    • ( = ) u + u + β(

      tt t

      −∆) − (I + (−∆) − (−∆) −∆) Lembramos que a definição do operador A estudado no Capítulo

      σ δ

      é inversível. Então, definindo v = u t e implica que I + (−∆) relacionando o expoente α com σ que ocorre na definição de A σ , segue da equação acima, que

      −1 δ θ γ p

      v = u + I + ( u v + β( u ,

      t α

      −A −∆) − (−∆) −∆)

      −1 δ α

      com A = I + ( (I + ( ) e conforme mostramos nos Le-

      α

      −∆) −∆) mas daquele capítulo,

      2α−δ n

      D (A ) = H (R ).

      α

      Assim, a equação diferencial em pode ser reescrita na forma   

       u v d

        =  

      −1

      dt δ θ γ p v u + I + ( u v + β( u

      α

      −A −∆) − (−∆) −∆)     u u

      B =   + F   ,

      1

      1

      v v

      α n α n δ n

      onde B : D(A ) (R ) (R ) (R ) definido por

      1 α

      × H −→ H × H     u v

      B   =  

      1

      v u

      α

      −A

      α n α n δ n

      e F : D(A ) (R ) (R ) (R ) operador definido por

      α

      × H −→ H × H     u

      1 −1 δ θ γ p

      F   =   .

      v I u v u

    • ( + β(

      −∆) − (−∆) −∆) Mostramos a seguir, que o operador F está bem definido sobre

      1

      o domínio de B e que é Lipschitz contínuo em conjuntos limitados

      1

      n A ), quando 2α .

      1

      ⊂ D(B − δ &gt;

      2 ) e considerando a definição de

      1 De fato, dado U = (u, v) ∈ D(B α n

      norma em H (R ), temos que

      1 (u, v) α

      kF k D(A )×H

      α

      2 −1 δ θ γ p

      u v u = + β(

      − (−∆) −∆) I + (−∆)

      α H

      Z 2α 1 +

      2

      |ξ|

      2θ 2γ p

      = u dξ c bu − |ξ| bv + β|ξ|

      2 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Z 2α 1 + |ξ|

      

    2 4θ

      2 2 4γ

      2 p

    • 2 2δ
    • u u dξ. ≤ C |b | |ξ|

      |bv| |β| |ξ| |c |

      n R

      (1 + ) |ξ|

      Observação 4.2 Usando o Lema observamos que

      2α

      1 + −2 α −2δ |ξ| 2α 2δ

      2

      2

      = 1 + 1 + 1 + |ξ| |ξ| ≤ C 1 + |ξ| |ξ|

      2 2δ

      (1 + ) |ξ|

      (α−2δ) 2 2(α−2δ)

      , = C 1 + 1 +

      |ξ| ≤ C |ξ| quando α − 2δ &gt; 0 e, por outro lado, quando α − 2δ ≤ 0, também temos

      2α

      1 + −2

      α −2δ

      |ξ|

      2α 2δ

      2

      2

      = 1 + 1 + 1 + |ξ| |ξ| ≤ C 1 + |ξ| |ξ|

      2 2δ

      (1 + ) |ξ|

      (α−2δ) C 2 2(α−2δ)

      = C 1 + = 1 + .

      |ξ| ≤ C |ξ|

      (2δ−α)

      2

      (1 + ) |ξ|

    2 D(A

      1 + |ξ|

      4θ

      p

      2

      2

      |b u |

      2(α−2δ)

      2

      2

      ≤ C Z

      α

      α )×H

      (u, v) k

      1

      Considerando a Observação temos que kF

      dξ ≤ C

      4γ

    • |β|
    • |ξ|

      |bv|

    • C Z
    • C kvk
    • C ku
    • δ

      Usando o Lema com s = 2α − δ &gt; n

      kvk

      2 H 2α−δ + C

      ≤ Ckuk

      ×H α

      2 H 2α−δ

      (u, v) k

      1

      2 , temos que kF

      2 H 2α−δ .

      kuk

      k

      p

      2 H α

      kvk

      2 H 2α−δ + C

      ≤ Ckuk

      ×H α

      2 H 2α−δ

      2 H α + C

      2p H 2α−δ

      1

      ) −→ H

      2 e n &lt; 4α −2δ.

      ) está bem definido, mediante as condições 0 ≤ γ ≤ α

      n

      (R

      α

      ) × H

      n

      (R

      2α−δ

      n

      &lt; ∞, de onde concluímos que o operador

      (R

      α

      ) × H

      n

      (R

      2α−δ

      : H

      1

      F

      (u, v) k

      ) para s ≥ r, segue de a estimativa kF

      |c u

      dξ + C Z

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |bv|

      2(α−2δ+2θ)

      1 + |ξ|

      R n

      2

      |c u

      |b u |

      2(α−2δ)

      1 + |ξ|

      R n

      Z

      R n

      |

      |ξ|

      2(α−2δ+2γ)

      

    p

      n

      s

      (R

      r

      ) em H

      n

      (R

      s

      ) e a imersão natural de H

      n

      2 . Assim, usando a definição de norma em H

      |

      α

      (4.3) Como estamos considerando o caso em que 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α, i) α − 2δ &lt; 2α − δ, pois −δ &lt; 0 &lt; δ ≤ α; ii) α − 2δ + 2θ &lt; α, pois 0 ≤ θ &lt; δ; iii) α − 2δ + 2γ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ γ ≤

      2 H α− 2δ+2γ .

      k

      p

      2 H α− 2δ+2θ

      2 H α− 2δ

      dξ = C kuk

      2

      (R

    • C ku
    • δ
    Na sequência, mostramos que o operador F é Lipschitz contínuo

      1 sobre conjuntos limitados em seu domínio.

      Para isso, inicialmente calculamos uma estimativa para a norma de

      α n δ n

      F , no espaço da energia X = H (R ) (R ) e em seguida, obtemos

      1

      ×H uma estimativa para a norma de F

      1 , em seu espaço de definição.

      α

    • δ Lema 4.1 Sejam 0 , p &gt; 1 inteiro e

      ≤ θ &lt; δ ≤ α, 0 ≤ γ ≤

      2

      1 ≤ n &lt; 2(2α − δ). Se U = (u, v) e W = (w, z) são tais que

      2α−δ n α n

      U, W ) = H (R ) (R ),

      1

      ∈ D(B × H então existe C &gt; 0, tal que (U ) (W )

      1

      1

      kF − F k

      X

    p−1 p−1

      . 1 + (U ) + (W ) (U

      1

      

    1

      1

      ≤ C kB k

      X kB k X kB − W )k

      X Demonstração . Dados U = (u, v) e W = (w, z) em D(F ) = D(B ),

      1

      1 δ n

      segue da definição de F e de norma em H (R ), que

      1

      2

      (U ) (W ) α δ

      1

      1

      kF − F k H ×H

      2 −1 δ θ γ p p

      = (u (v (u ) − w) − (−∆) − z) + β(−∆) − w

      I + (−∆)

      δ H

      Z 2δ 1 +

      2

      |ξ|

      2θ 2γ p p

      = w ) ( z ) + β (c u w ) dξ (bu − b − |ξ| bv − b |ξ| − c

      2 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Z Z

      1

      1

      2

      2 4θ

      u w dξ z dξ ) + C )

      ≤ C |(b − b | |ξ| |(bv − b |

      2δ 2δ n n

      R (1 + ) R (1 + )

      |ξ| |ξ| Z

      1

      2 2 4γ

    p p

    u w dξ.

    • C (c )

      |β| |ξ| − c

      2δ n

      R (1 + )

      |ξ| Observação 4.3 Usando o Lema observamos que

      4θ

      1 + −1 2θ −δ |ξ|

      4θ 2δ

      2

      2

      = 1 + 1 + 1 + |ξ| |ξ| ≤ C 1 + |ξ| |ξ|

      2δ

      (1 + ) |ξ|

      (2θ−δ) 2 2(2θ−δ)

      , = C 1 + 1 +

      |ξ| ≤ C |ξ| quando 2θ − δ &gt; 0 e, por outro lado, quando 2θ − δ ≤ 0, temos

      4θ

      1 + −1

      2θ −δ

      |ξ|

      4θ 2δ

      2

      2

      = 1 + 1 + 1 + |ξ| |ξ| ≤ C 1 + |ξ| |ξ|

      2δ

      (1 + ) |ξ|

      (2θ−δ) C 2 2(2θ−δ)

      = C 1 + 1 + .

      |ξ| ≤ ≤ C |ξ|

      (δ−2θ)

      2

      (1 + ) |ξ|

      As estimativas apresentadas nesta observação, envolvendo o expoente θ , são igualmente válidas quando consideramos o expoente γ.

      Considerando a Observação obtemos

      2

      (U ) (W ) α δ

      1

      1

      kF − F k

      H ×H

      Z Z

      

    2 2(2θ−δ)

      2

      u w dξ + C 1 + z dξ ≤ C |b − b | |ξ| |bv − b |

      n n R R

      Z

      2 2(2γ−δ) p p

      u w dξ

    • C 1 + c

      |ξ| − c

      n R

      2 2 p p

      2 2 2θ−δ 2γ−δ . (4.4)

      = C + C + C ku − wk kv − zk ku − w k

      L H H

      Como estamos considerado o caso em que 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α, i) 2θ − δ &lt; α, pois 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α; α

    • δ ii) 2γ − δ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ γ ≤ e 0 ≤ δ ≤ α.

      2

      s n

      Assim, usando novamente a definição de norma em H (R ) e a s n r n

      imersão de H (R ) em H (R ) para s ≥ r, segue de que

      2

      (U ) (W )

      1

      1

      kF − F k

      X

      2 2 p p

      2 2α−δ α 2α−δ .

    • C + C ≤ Cku − wk H kv − zk H ku − w k H n e p &gt; 1, temos que

      Usando o Lema com s = 2α − δ &gt;

      2

      2

      

    2

      2 α

      (U ) (W ) 2α−δ + C

      1

      1

      kF − F k

      X ≤ Cku − wk H kv − zk H

      2 p−1 p−1

      2

    • .
    • C 2α−δ 2α−δ 2α−δ kuk kwk ku − wk H

      H H

      Por outro lado conforme mostramos na Seção através do Lema como 0 ≤ δ ≤ α, existe uma constante C &gt; 0, de modo que

      2α−δ

      u δ ,

      α

      kuk H ≤ C kA k

      H ). α

      para todo u ∈ D (A Usando esse resultado e a definição do operador B , concluímos que

      1

      2

      2

      2

      (U ) (W ) (u δ + C α

      1 1 α

      kF − F k

      X ≤ CkA − w)k H kv − zk H

      

    2

    p−1 p−1

      2

      u w

    • C + (u δ

      α δ α δ α

      kA k kA k kA − w)k H

      H H

      2 p−1 p−1

      2

      2

    • U W (U + C (U

      1

      1

      1

      1

      ≤ CkB − W )k

      X kB k X kB k X kB − W )k

      X

      2 p−1 p−1

      2 U W ,

      1 + + (U

      1

      1

      1

      ≤ C kB k

      X kB k X kB − W )k

      X para p &gt; 1 um número inteiro e n &lt; 2(2α − δ).

      α

    • δ Lema 4.2 Sejam 0 , p &gt; 1 inteiro e

      ≤ θ &lt; δ ≤ α, 0 ≤ γ ≤

      2

      1 ≤ n &lt; 4α − 2δ. Se U = (u, v) e W = (w, z) são tais que

      2α−δ n α n

      U, W ) = H (R ) (R ),

      1

      ∈ D(B × H então existe C &gt; 0, tal que

      1 (F 1 (U ) 1 (W ))

      X

      kB − F k

      p−1 p−1 .

      1 +

      1 (U )

    1 (W )

    1 (U

    • X

      X

      ≤ C kB k kB k kB − W )k

      X Demonstração . Sejam U = (u, v) e W = (w, z) em D(F ) = D(B ).

      1

      1 Lembrando que B (u, v) = (v, u ) e usando a definição de norma 1 α

      −A

      α n

      no espaço H (R ),

      2

      (F (U ) (W )) α δ

      1

      1

      1

      kB − F k H ×H

      2 −1 δ θ γ p p

      = (u (v (u ) I + (−∆) − w) − (−∆) − z) + β(−∆) − w

      α H

      Z 2α 1 +

      2

      |ξ|

      2θ 2γ p p

      w z u w dξ = ) ( ) + β (c )

      (bu − b

      

    2 − |ξ| bv − b |ξ| − c

    2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Z 2α 1 +

      2

      |ξ|

      2

      2 4θ 2 4γ p p

      u w z u w dξ.

      ) ) (c ) ≤ |(b

      2 − b | |ξ| |(bv − b |

      |β| |ξ| − c

      2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Considerando a Observação

      2 1 (F 1 (U ) 1 (W ))

      kB − F k

      X Z

      2 2(α−2δ)

      u w dξ 1 + ) ≤ C |ξ| |(b − b |

      R n

      Z

      2 2(α−2δ) 4θ

    • C 1 + 1 + z ) dξ

      |ξ| |ξ| |(bv − b |

      n R

      Z

      2 2(α−2δ) 4γ p p

      u w dξ

    • C 1 + 1 + (c )

      |ξ| |ξ| − c

      n R

    2 X

      2

      dξ

      R n

      1 + |ξ|

      2(α−2δ+2θ)

      |bv − b z |

      2

      1 + |ξ|

      R n

      

    2

      2(α−2δ+2γ)

      c u

      

    p

      − c w

      p

      dξ

      |

      dξ = C ku − wk

      |b u − b w

      2(α−2δ)

      1 + |ξ|

      R n

      Z

      (4.5) ≤ C

      (W )) k

      1

      (U ) − F

      1

      (F

      1

      e então, kB

    • C Z

    • C Z

    2 H

      α− 2δ

    • C kv − zk
    • C ku
    • δ

      1

      2 H α

      p

      − w

      p

      k

      2 H 2α−δ .

      Usando o Lema com s = 2α − δ &gt; n 2 e p &gt; 1, temos que

      B

      1 F

      1

      (U ) − F

      2 X

      (W )

      2 H 2α−δ + C

      ≤ Cku − wk

      2 H 2α−δ + C

      kv − zk

      2 H α

      p−1

    H

    2α−δ +

      kwk

      p−1 H 2α−δ

      2

      ku − wk

      2 H 2α−δ .

      Aplicando novamente o Lema e usando a definição

      kv − zk

      ≤ Cku − wk

      2 H

    α−

    2δ+2θ

      s

      p

      − w

      p

      k

      2 H α− 2δ+2γ .

      (4.6) Como estamos considerando o caso em que 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α, i) α − 2δ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ δ ≤ α; ii) α − 2δ + 2θ &lt; α, pois 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α; iii) α − 2δ + 2γ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ γ ≤

      α

      2 . Assim, usando mais uma vez a definição de norma em H

      s

      (R

      ) e a imersão de H

      (R

      2 X

      n

      ) em H

      r

      (R

      n

      ) para s ≥ r, segue de que

      B

      1 F

      1

      (U ) − F

      1

      (W )

      n

    • C ku
    • C kuk
    de B , concluímos que

      1

      2

      2

      (U ) (W ) (u δ + C

      2 B F α

      1

      1 1 α

      − F ≤ C kA − w)k H kv − zk H

      X

      2 p−1 p−1

      2

      u w

    • α δ α δ α (u δ H k H kA − w)k H
    • C kA k kA

      2 p−1 p−1

      2

      2

      1 (U + C

      1

    • U W

      1 1 (U

      ≤ CkB − W )k

      X kB k kB k kB − W )k

      X X

      X

      2 p−1 p−1

      2 U W ,

      1 +

      1

    • X

      1 1 (U

      ≤ C kB k kB k kB − W )k

      X X para p &gt; 1 um número inteiro e n &lt; 2(2α − δ).

      Reunindo os resultados dos Lemas concluímos que, dados

      2α−δ n α n

      U, W ) = H (R ) (R ),

      1

      ∈ D(B × H existe uma constante C &gt; 0, de modo que

      1 (W ) 1 (F 1 (U ) 1 (W ))

    • 1 (U )

      kF − F k kB − F k

      X X

    p−1 p−1

      . 1 +

      1 (U ) 1 (W ) 1 (U

    • X

      X

      ≤ C kB k kB k kB − W )k

      X Portanto, dada uma constante M &gt; 0 e dados elementos 2α−δ n α n

      U, W (R ) (R )

      ∈ H × H tais que

      p−1 p−1 p−1 p−1

      (U ) + (W ) +

      1

      1

      kUk kB k ≤ M e kW k kB k ≤ M,

      X X

      X X

      vale a seguinte estimativa: (U ) + (W ) (F (U ) (W )) (U ,

      1

      1

      1

      1

    1 M

      1

      kF − F k

      X kB − F k X ≤ CL kB − W )k

      X

      (4.7) p−1 onde L é a constante definida por L = 1 + 2M . M M

      Concluímos assim, que o operador F é Lipschitz contínuo sobre

      1 conjuntos limitados em seu domínio de definição D (B ).

      1 Portanto, como B é o gerador infinitesimal de um semigrupo de

      1

      contrações de classe C em X e F

      1 é um operador Lipschitz contínuo

      em conjuntos limitados de D (B

      1 ), segue do Teorema

      Posto isso, obtemos como resultado o teorema de existência e uni- cidade de soluções para o problema de Cauchy associado à equação semilinear em para o caso estudado nesta seção. Teorema 4.1 (Existência e Unicidade Local) Seja n a dimensão do espaço, tal que 1

      ≤ n &lt; 2(2α − δ) e sejam 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α, α + δ e p &gt; 1 um número inteiro. Então, para dados iniciais

      ≤ γ ≤

      2

      2α−δ n α n

      , u (u ) (R ) (R ),

      1

      ∈ H × H existe uma única solução u para o problema de Cauchy associado à equação semilinear dado em com

      2 δ n 1 α n 2α−δ n

      u [0, T ), H (R ) ([0, T ), H (R )) (R )

      ∈ C ∩ C ∩ C [0, T ), H definida em um intervalo maximal [0, T ), de modo que vale uma, e somente uma, das seguintes condições:

      a) T = ∞;

      b) T &lt; + ( U (t) ) =

      X

      

    1

    X ∞ e lim kU(t)k kB k ∞. t→T

      α

    • δ

      4.1.2 Caso ≤ δ ≤ θ ≤

    2 Assim como na seção anterior, o objetivo nesta seção é determinar

      operadores B e F adequados, de modo que atendam às hipóteses do Teorema para o caso que estamos considerando.

      Para isso, somamos e subtraímos os termos u e u à equação dife-

      t

      rencial em obtendo assim,

      δ

      I + ( u

      tt

      −∆)

      α θ γ p = ) u u + (u + u + β( u ) . t t

      Lembramos que a definição do operador A estudado no Capítulo

      σ δ

      é inversível. Então definindo v = u e

      t

      implica que I + (−∆) relacionando os expoentes α e θ com σ que ocorre na definição de A ,

      σ

      segue da equação acima, que

      −1 δ γ p

      v u v u = + I + ( (u + v + β( ) ,

      t α θ

      −A − A −∆) −∆) com

      −1 δ α

      A = I + ( (I + ( ) ,

      α

      −∆) −∆)

      −1 δ θ

      A = I + ( I + ( ,

      θ

      −∆) −∆) podem ser relacionados com o operador A estudado no Capítulo e

      σ

      conforme mostramos nos Lemas daquele capítulo,

      2α−δ n 2θ−δ n D (A ) = H (R ) e D(A ) = H (R ). α θ

      Assim, a equação diferencial em pode ser reescrita na forma

          u v d

        =  

      −1 δ γ p

      dt v u v + I + ( (u + v + β( u )

      α θ

      −A − A −∆) −∆)     u u

      = B   + F   ,

      2

      2

      v v

      α n δ n

      onde B : D(A ) ) (R ) (R ) definido por

      2 α θ

      × D(A −→ H × H     u v

      B   =   ,

      2

      v u v

      α θ

      −A − A

      α n δ n

      e F : D(A α ) θ ) (R ) (R ) operador definido por × D(A −→ H × H

          u F   =   .

      2

    −1

    δ γ p

      v I u

    • ( (u + v + β( )

      −∆) −∆) Observação 4.4 Conforme comentamos na Obervação a definição do operador B

      2 , exige somente 2α−δ n 2θ−δ n

      D (B

    2 ) = D(A α ) θ ) = H (R ) (R ).

      × D(A × H No entanto, pelas razões citadas naquela observação, definimos

      2α−δ n α n D (B ) = H (R ) (R ).

      2

      × H Mostramos a seguir, que o operador F está bem definido sobre

      2

      o domínio de B e que é Lipschitz contínuo em conjuntos limitados

      2

      n A ), quando 2α .

      2

      ⊂ D(B − δ &gt;

      2

      ) e considerando a definição de

      2 De fato, dado U = (u, v) ∈ D(B α n

      norma em H (R ), temos que

      2

      (u, v) α

      2

      kF k D(A )×H

      α

      2 −1 δ γ p

      u = (u + v + β( )

      −∆) I + (−∆)

      α H

      Z 2α 1 +

      2

      |ξ|

      2γ p

      = u dξ c bu + bv + β|ξ|

      2 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Z 2α 1 + |ξ|

      2

      2 2 4γ

      2 p

    • u u dξ.

      ≤ |b | |bv| |β| |ξ| |c |

      2 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Considerando a Observação segue que

      2

      (u, v) α

      2

      kF k D(A )×H

      α

      Z

      2(α−2δ)

      2 2 4γ

      2 p

      u u dξ 1 + ≤ C |ξ| |b |

    • n
    • |bv| |ξ| |c |

      R

      Z Z

      2(α−2δ) 2 2(α−2δ)

      2

      u dξ dξ 1 + + C 1 + ≤ C |ξ| |b | |ξ| |bv|

      n n R R

      Z

      2(α−2δ+2γ)

      2 p

    • C 1 + u dξ

      |ξ| |c |

      n R

      2 2 p

      2 .

      = C α− 2δ + C α− 2δ + C α− 2δ+2γ (4.8) kuk H kvk H ku k H α + δ

      , Como estamos considerando o caso em que 0 ≤ δ ≤ θ ≤

      2 i) α − 2δ ≤ 2α − δ, pois −δ ≤ 0 ≤ δ ≤ α; ii) α − 2δ + 2θ ≤ α, pois 0 ≤ θ ≤ δ;

      α

    • δ .

      iii) α − 2δ + 2γ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ γ ≤

      2

      s n

      Assim, usando a definição de norma em H (R ) e a imersão natural s n r n

      de H (R ) em H (R ) para s ≥ r, segue de a estimativa

      2

      2 2 p

      2 α .

      (u, v) 2α−δ α 2α−δ + C + C 2α−δ

      2

      kF k H ×H ≤ Ckuk H kvk H ku k H n , temos que

      Usando o Lema com s = 2α − δ &gt;

      2

      2

      2 2 2p α &lt;

      (u, v) 2α−δ α 2α−δ + C + C 2α−δ

      2

      kF k H ×H ≤ Ckuk H kvk H kuk ∞,

      H

      de onde concluímos que o operador

      2α−δ n α n 2α−δ n α n

      F : H (R ) (R ) (R ) (R )

      2

      × H −→ H × H α

    • δ está bem definido, mediante as condições 0 ≤ γ ≤ e n &lt; 4α −2δ.

      2 Na sequência, mostramos que o operador F

      2 é Lipschitz contínuo sobre conjuntos limitados em seu domínio.

      Para isso, assim como no caso estudado na seção anterior, primei- ramente calculamos uma estimativa para a norma de F , no espaço da

      2 α n δ n

      energia X = H (R ) (R ) e em seguida, obtemos uma estimativa × H para a norma de F , em seu espaço de definição.

      2

      α + δ α + δ Lema 4.3 Sejam 0 , p &gt; 1

      ≤ δ ≤ θ ≤ ≤ α, 0 ≤ γ ≤

      2

      2 inteiro e 1 ≤ n &lt; 4α − 2δ. Se U = (u, v) e W = (w, z) são tais que

      2α−δ n α n

      U, W ) = H (R ) (R ),

      2

      ∈ D(B × H então existe C &gt; 0, tal que (U ) (W )

      2

      2

      kF − F k

      X

    p−1 p−1

      .

      2 (U ) 2 (W ) 2 (U

    • 1 +

      ≤ C kB k kB k kB − W )k

      X X

      X

    2 H

      (c u

      )

      |ξ|

      1 (1 +

      R n

      Z

      dξ ≤

      2

      p

      ) |(b u

      − c w

      p

      (c u

      2γ

      |ξ|

      (bu − b w ) + ( bv − b z ) + β

      2δ

      − b w ) |

      )

      2

      

    p

      p

      )

      1 (1 +

      2 dξ.

      dξ

      |

      2

      ) |(bv − b z )

      2δ

      |ξ|

      1 (1 +

      R n

      dξ + Z

      2

      2δ

      4γ

      e de norma em H

      (U ) − F

      2

      ), kF

      n

      (R

      δ

      2

      (W ) k

      ), segue da definição de F

      2

      ) = D(B

      2

      Demonstração . Dados U = (u, v) e W = (w, z) em D(F

      (4.9) Considerando a Observação segue que kF

      2

      α ×H

      (1 + |ξ|

      p

      2δ

      1 + |ξ|

      R n

      = Z

      2 H δ

      ))

      − w

      δ

      p

      (u

      γ

      ((u − w) + (v − z) + β(−∆)

      δ −1

      = I + (−∆)

      2

    • Z

      |ξ|

      R n

      ) |β|

      − c w

      2δ

      |ξ|

    2 H

    • C Z
    • C Z

      − w

      n

      2 , então 2γ − δ ≤ 2α − δ. Além disso, para todo s &gt; 0, temos que kuk L

      2

      ≤ kuk H s . Assim, usando novamente a definição de norma em H

      s

      (R

      n

      ) e a imersão de H

      s

      (R

      n

      ) em H

      r

      (R

      ) para s ≥ r, segue de que kF

      (4.10) Como estamos considerando 0 ≤ γ ≤

      2 H α + C

      2 H 2α−δ .

      k

      p

      − w

      p

      ku

      kv − zk

      2 (U )

      2 H 2α−δ + C

      ≤ Cku − wk

      2 X

      k

      2 (W )

      − F

      α

      2 H 2γ−δ .

      2 (U )

      k

      − F

      2 (W )

      k

      α ×H

      δ

      ≤ C Z

      R n

      |b u − b w

      |

      2

      dξ

      R n

      |bv − b z |

      2

      dξ

      R n

      2 L 2 + C

      p

      p

      

    2

      

    2

    L

      kv − zk

      dξ = C ku − wk

      1 + |ξ|

      2

      p

      − c w

      p

      c u

      2(2γ−δ)

    • C ku

    • δ
    n e p &gt; 1, temos que

      Usando o Lema com s = 2α − δ &gt;

      2

      2

      

    2

      2

      (U ) (W ) 2α−δ + C α

      2

      2

      kF − F k

      X ≤ Cku − wk kv − zk H

    H

    2 p−1 p−1

      2 + C + 2α−δ .

      2α−δ 2α−δ

      kuk kwk ku − wk H

      H H

      Aplicando mais uma vez o Lema e usando a defi- nição de B , concluímos que

      2

      2

      2

      2 α

      (U ) (W ) (u δ + C

      2 2 α

      kF − F k

      X ≤ CkA − w)k H kv − zk H

      

    2

    p−1 p−1

      2

      u w

    • C (u + δ δ δ

      α α α

      kA k kA k kA − w)k H

      H H

      2 p−1 p−1

      2

      2

      W

      2 (U + C

      2

    • U

      2 1 (U

      X X

      ≤ CkB − W )k kB k

      X kB k X kB − W )k

      2 p−1 p−1

      2 U W .

      1 + ≤ C kB k kB k kB − W )k

    • 2

      2 2 (U

      X X

      X para p &gt; 1 um número inteiro e n &lt; 2(2α − δ).

      α α

    • δ + δ Lema 4.4 Sejam 0 , p &gt; 1

      ≤ δ ≤ θ ≤ ≤ α, 0 ≤ γ ≤

      2

      2 inteiro e 1 ≤ n &lt; 4α − 2δ. Se U = (u, v) e W = (w, z) são tais que

      2α−δ n α n

      U, W ) = H (R ) (R ),

      2

      ∈ D(B × H então existe C &gt; 0, tal que (F (U ) (W ))

      2

      2

      2

      kB − F k

      X

    p−1 p−1

      1 + (U ) + .

      (W ) (U

      2

      

    2

      2 X

      ≤ C kB k

      

    X kB k

    X kB − W )k

      Demonstração . Sejam U = (u, v) e W = (w, z) em D(B ). Lem-

      2

      2 (u, v) = (v, α θ ) e usando as definições de

      −A − A

      u v brando que B

      α n δ n

      norma em H (R ) e em H (R ),

      2

      (F (U ) (W )) α δ (4.11)

      2

      2

      2

      kB − F k H ×H

      2 −1 δ γ p p

      = ((u (u )) I + (−∆) − w) + (v − z) + β(−∆) − w

      α H

      2 −1 δ γ p p

    • I + ( ((u (u ))

      θ

      −A −∆) − w) + (v − z) + β(−∆) − w

      δ H

      Z 2α 1 +

      2

      |ξ|

      2γ p p

      w z u w dξ = ) + ( ) + β (c )

      (bu − b bv − b |ξ| − c

      2 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

    2 Z 2δ 2θ

      1 + 1 +

      2

      |ξ| |ξ|

      2γ p p

      w z u w dξ ) + ( ) + β (c )

      (bu − b

    • bv − b |ξ| − c

      4 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Z 2α 1 +

      2

      |ξ|

      2

      2 2 4γ p p

      u w dξ ) ) (c )

    • u w z

      ≤ |(b − b | |(bv − b | |β| |ξ| − c

      2 n

      R

      (1 + ) |ξ|

    2 Z 2θ

      1 +

      2

      |ξ|

      2

      2 2 4γ p p

    • u w z u w dξ.
    • ) (c + ) )

      |(b − b | |(bv − b | |β| |ξ| − c

      3 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Observação 4.5 Usando o Lema observamos que

      2 2θ

      1 +

      2 −3 2θ −3δ

      |ξ|

      2θ 2δ

      2

      2

      = 1 + 1 + 1 + |ξ| |ξ| ≤ C 1 + |ξ| |ξ|

      3 2δ

      (1 + ) |ξ|

      (2θ−3δ) 2 2(2θ−3δ)

      = C 1 + 1 + , |ξ| ≤ C |ξ| quando 2θ

      − 3δ &gt; 0 e, por outro lado, quando 2θ − 3δ ≤ 0, temos

      2 2θ

      1 +

      2 −3 2θ −3δ

      |ξ|

      2θ 2δ

      2

      2

      = 1 + 1 + 1 + |ξ| |ξ| ≤ C 1 + |ξ| |ξ|

      3 2δ

      (1 + ) |ξ|

      C

      (2θ−3δ) 2 2(2θ−3δ)

      . = C 1 + 1 +

      |ξ| ≤ ≤ C |ξ|

      (3δ−2θ)

      2

      (1 + ) |ξ|

      Assim, considerando a Observação para o primeiro termo e a Observação e usando

    2 X

    • C Z

      1 + |ξ|

      p

      )

      2

      dξ

      R n

      1 + |ξ|

      2(2θ−3δ)

      |(b u − b w

      ) |

      2

      dξ

      R n

      |(bv − b z ) |

      2(2θ−3δ)

      p

      2

      dξ

      R n

      1 + |ξ|

      2(2θ−3δ)

      1 + |ξ|

      4γ

      (c u

      p

      − c w

      p

      )

      − c w

      4γ

      (c u

      dξ e então, usando mais uma vez o Lema obtemos kB

      mais uma vez o Lema segue o seguinte desenvolvimento: kB

      2

      (F

      2

      (U ) − F

      2

      (W )) k

      ≤ C Z

      R n

      1 + |ξ|

      2(α−2δ)

      |(b u − b w

      ) |

      2

      1 + |ξ|

      2(α−2δ)

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |(bv − b z ) |

      2(α−2δ)

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

    • C Z

    • C Z
    • C Z

      2

    • C Z

    2 X

      2 (F 2 (U )

    • C Z
    • C Z
    • C Z
    • C Z

      − c w

      kv − zk

      2 H α− 2δ + C

      dξ = C ku − wk

      2

      )

      p

      p

      ku

      (c u

      2(2θ−3δ+2γ)

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      2 H α− 2δ + C

      p

      |(bv − b z )

      p

      2 ≤ α,

      Como estamos considerando o caso 0 ≤ δ ≤ θ ≤ α + δ

      2 H 2θ−3δ+2γ .

      k

      p

      − w

      ku

      − w

      

    2

    H 2θ−3δ + C

      kv − zk

      2 H 2θ−3δ + C

      2 H α− 2δ+2γ (4.12)

      k

      p

      |

      2(2θ−3δ)

      − F

      

    2

      2

      |bv − b z |

      2(α−2δ)

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      |

      1 + |ξ|

      |b u − b w

      2(α−2δ)

      1 + |ξ|

      R n

      k

      2 (W ))

      dξ

      R n

      1 + |ξ|

      2(α−2δ+2γ)

      R n

      dξ

      2

      |

      |(b u − b w )

      2(2θ−3δ)

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      p

      − c w

      

    p

      c u

      ≤ C Z

    • C Z
    • C ku − wk
    • δ

    • δ
    • C ku
    • C kuk

      2

      p

      − w

      p

      k

      2 H 2α−δ .

      Usando o Lema com s = 2α − δ &gt; n 2 e p &gt; 1, temos que kB

      2

      (F

      2

      (U ) − F

      (W )) k

      kv − zk

      2 X ≤ Cku − wk

      2 H 2α−δ + C

      kv − zk

      2 H α

      p−1 H 2α−δ +

      kwk

      p−1 H 2α−δ

      2

      ku − wk

      2 H 2α−δ .

      Aplicando novamente o Lema e usando a definição de B

      2 H α

      2 H 2α−δ + C

      , concluímos que kB

      n

      i) α − 2δ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ δ ≤ α; ii) α − 2δ ≤ α, pois 0 ≤ δ ≤ α; iii) α − 2δ + 2γ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ γ ≤

      α

      2 ; iv) 2θ − 3δ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ θ ≤ α + δ; v) 2θ − 3δ ≤ α, pois 0 ≤ θ ≤ α + δ; vi) 2θ − 3δ + 2γ ≤ 2α − δ, pois 0 ≤ δ ≤ θ ≤ α e 0 ≤ γ ≤

      α

      2 . Assim, usando mais uma vez a definição de norma em H

      s

      (R

      n

      ) e a imersão de H

      s

      (R

      ) em H

      ≤ Cku − wk

      r

      (R

      n

      ) para s ≥ r, segue de que

      B

      2 F

      2

      (U ) − F

      2

      (W )

      2 X

      2

    2 X

    • C kA
    • C kB
    • kB
    • kB
    Reunindo os resultados dos Lemas concluímos que, dados

      k

      2 W

      k

      p−1

      X

      2

      kB

      2

      (U − W )k

      2 X

      ≤ C 1 + kB

      2 U

      p−1

      

    p−1

      X

      2 W

      k

      p−1

      X

      

    2

      kB

      2

      (U − W )k

      2 X

      , para p &gt; 1 um número inteiro e n &lt; 2(2α − δ).

      

    X

      k

      − F

      kA

      2 (W ))

      k

      ≤ C kA

      

    α (u

      − w)k

      2 H δ + C

      kv − zk

      2 H α

      α

      u k

      p−1 H δ +

      α

      2 U

      w k

      p−1 H δ

      2

      kA

      α (u

      − w)k

      2 H δ

      ≤ CkB

      2

      (U − W )k

      2 X

      2 (F 2 (U )

      2α−δ n α n

      U, W ) = H (R ) (R ),

      2

      ∈ D(B × H existe uma constante C &gt; 0, de modo que (U ) (W ) (F (U ) (W )) +

      2

      2

      2

      

    2

      2

      kF − F k

      X kB − F k

      X

    p−1 p−1

      .

    • 1 + (U ) (W ) (U

      2

      

    2

      2 X

      ≤ C kB k

      X kB k X kB − W )k

      Portanto, dada uma constante M &gt; 0 e dados elementos

      2α−δ n α n

      ∈ H × H tais que

      p−1 p−1 p−1 p−1

    • (U ) (W ) +

      2

      2

      kUk

      X kB k ≤ M e kW k

      X X kB k X ≤ M,

      vale a seguinte estimativa: ,

      (U ) (W ) (F (U ) (W )) + (U

      2

      2

      2

      2

      2 M

      2

      kF − F k

      X kB − F k X ≤ CL kB − W )k

      X

      (4.13)

      p−1 onde L M é a constante definida por L M = 1 + 2M .

      Concluímos assim, que o operador F é Lipschitz contínuo sobre

      2

      conjuntos limitados em seu domínio de definição D (B 2 ).

      Portanto, como B é o gerador infinitesimal de um semigrupo de

      2

      contrações de classe C em X e F é um operador Lipschitz contínuo

      

    2

      em conjuntos limitados de D (B ), segue do Teorema que existe

      2 uma única solução para o problema de Cauchy dado em

      Posto isso, obtemos como resultado o teorema de existência e uni- cidade de soluções para o problema de Cauchy associado à equação semilinear em também para o caso estudado nesta seção. Teorema 4.2 (Existência e Unicidade Local) Seja n a dimensão

      α

    • δ do espaço, com 1

      , ≤ n &lt; 2(2α − δ) e sejam 0 ≤ δ ≤ θ ≤

      2 α

    • δ e p &gt; 1 um número inteiro. Então, para dados iniciais

      ≤ γ ≤

      2

      2α−δ n α n

      (u , u ) (R ) (R ),

      1

      ∈ H × H existe uma única solução u para o problema de Cauchy associado à equação semilinear dado em com

      2α−δ n 1 α n 2 δ n

      u (R ) ([0, T ), H (R )) [0, T ), H (R )

      ∈ C [0, T ), H ∩ C ∩ C definida em um intervalo maximal [0, T ), de modo que vale uma, e somente uma, das seguintes condições:

    a) T =

      ∞;

    b) T < U

      (

    • t→T

      X 2 (t) X ) = ∞ e lim kU(t)k kB k ∞.

      Observação 4.6 Conforme mostramos no Capítulo para dados iniciais U ∈ D(B), a solução

      U do problema em pertence à classe

    1 C

      ([0, T ), X) ∩ C ([0, T ), D(B)) . Lembrando que neste trabalho U = (u, u ) e os espaços de funções

      t

      que consideramos são

      α n δ n 2α−δ n α n

      X D = H (R ) (R ) e (B) = H (R ) (R ),

      × H × H temos que

      1

      δ

      2

      [0, T ), H

      δ

      (R

      n )] .

      Logo, a solução local u do problema de Cauchy associado à equação semilinear em pertence à classe de funções C

      2

      [0, T ), H

      (R

      n

      n

      ) ∩ C

      ) , em conformidade com os resultados obtidos nos Teoremas

      ([0, T ), H

      α

      (R

      n

      )) ∩ C [0, T ), H

      2α−δ

      ) , sendo que o item (i) implica que u ∈ C

      (R

      n

      ) × H

      i) (u, u

      t

      ) ∈ C

      1

      [0, T ), H

      α

      (R

      n

      δ

      α

      (R

      n

      ) ; ii) (u, u

      t

      ) ∈ C [0, T ), H

      2α−δ

      (R

      

    n

      ) × H

      (R

    4.2 Existência e Unicidade Global

    • kBUk

      b u

      , β 6= 0,

      n

      (ξ), (4.14) no espaço de Fourier, onde bu = bu(t, ξ), com (t, ξ) ∈ (0, ∞) × R

      1

      (0, ξ) = b u

      t

      , b u (0, ξ) = b u (ξ), b u

      p

      c u

      2γ

      |ξ|

      t = β

      2θ

      Nesta seção mostramos que o intervalo maximal de existência de solução para o problema definido em e consequentemente, para o problema é na verdade, [0, T ) = [0, ∞), ou seja, a solução é global.

      b u

      2α

      |ξ|

      tt +

      b u

      2δ

      |ξ|

      Aplicando a transformada de Fourier em relação à variável x, no problema de Cauchy em obtemos o problema          1 +

      &lt; ∞, concluindo assim, que T = ∞. No sentido de estabelecer teoremas que formalizem esse resultado, usaremos o Lema

      X

      X

      Para isso, supomos inicialmente, que T &lt; ∞ e a partir disso, mos- tramos que kUk

    • |ξ|
    • δ

    • δ
    • |ξ|

      t

      b w

      tt

      2α

      b w

      2θ

      b w

      t

      = 0, b w

      (0, τ, ξ) = 0, b w

      (0, τ, ξ) = β |ξ|

      |ξ|

      2γ

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) c u

      p (τ, ξ).

      (4.16) O problema homogêneo definido em está associado a uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Então a solução geral desse problema, é da forma b u

      h (t, ξ) = ae λ + t

      λ t

      , onde λ

      −

      2δ

      (t, τ, ξ) é solução do problema            1 +

      são as raízes do polinômio característico da equação e a = a(ξ) e b = b(ξ) dependem dos dados iniciais do problema.

      (ξ) (4.15) e b w

      p &gt; 1 inteiro e as potências fracionárias α, δ, θ e γ satisfazem ≤ δ ≤ α ≤ 2, 0 ≤ θ ≤

      α

      2 e α

      2 ≤ γ ≤

      α

      2 . De acordo com o Princípio de Duhamel (ver Guenther-Lee é dada por b u

      (t, ξ) = b u

      h (t, ξ) +

      Z t b w

      (t − τ, τ, ξ)dτ, onde bu

      h

      (t, ξ) é solução do problema homogêneo          1 +

      |ξ| b u

      tt

      b u + |ξ| b u

      t

      = 0, b u (0, ξ) = b u (ξ), b u

      t

      (0, ξ) = b u

      1

    • |ξ|
    • |ξ|
    • be

    • e λ

    • b u
    • − λ
    • − λ
    • t
    • t
    • e

      ) c u

      , de onde resulta que d =

      −

      (0, τ, ξ) = cλ

      t

      (τ, ξ) = ( b w )

      p

      2δ

      2γ

      (1 + |ξ|

      2γ

      β |ξ|

      e impondo as condições iniciais do problema, temos      0 = b w (0, τ, ξ) = c + d,

      λ − t

      λ

      (t, τ, ξ) = ce

      −c = −β |ξ|

      (1 + |ξ|

      b u .

      2δ

      λ

      λ − t

      − e

      λ

      (τ, ξ) e

      p

      ) c u

      (1 + |ξ|

      2δ

      2γ

      |ξ|

      ) , e portanto, a solução do problema é dada por b w (t, τ, ξ) = β

      −

      (τ, ξ) (λ

      p

      ) c u

      Analogamente, a solução geral do problema em é dada por b w

      −

      − .

      (0, ξ) = aλ

      b u λ

      −

      − λ

      1

      , de onde resulta que a = b u

      −

      t

      λ

      )

      h

      (ξ) = ( b u

      1

      (0, ξ) = a + b, b u

      h

      Impondo as condições iniciais do problema, temos    b u (ξ) = b u

      −

      e b = λ

      − b u

      λ

      λ − t

      − e

      λ

      b u + e

      

      λ

      e

      1

      

      − λ

      λ − t

      (t, ξ) = λ

      , e portanto, a solução do problema é dada por b u

      −

      λ

    • − λ
    • − λ
    • >tde
    • − λ
    • t

    • − λ
    Definindo as funções

      λ t λ t

    • −1

      λ e e

      −

      − λ

      G b G G (t, ξ) = e (t, x) = ( b (t, ξ))(x),

      F λ

    • λ t λ − t

      −

      − λ

    • −1

      e − e

      b H (t, ξ) = e H (t, x) = ( b H (t, ξ))(x),

      F λ

      − λ reescrevemos as soluções na forma u (t, ξ) = b G (t, ξ) u + b H (t, ξ) u ,

      h

      1

      b b b

      

      |ξ|

      p

      w u H (t, τ, ξ) = β c (τ, ξ) b (t, ξ). b

      

      (1 + ) |ξ|

      Então, segue do Princípio de Duhamel, que a solução do problema de Cauchy associado à equação semilinear não homogênea em é Z t 2γ

      |ξ|

      p

      u G u H u H b u (t, ξ) = b (t, ξ) + b (t, ξ) 1 + β (t c (τ, ξ)dτ. b b b − τ, ξ)

      2δ

      (1 + ) |ξ|

      (4.17) Além disso, derivando a equação acima em relação à variável t e observando que H(0, ξ) = 0, temos que

      Z t 2γ |ξ|

      p u (t, ξ) = b G (t, ξ) u + b H (t, ξ) u + β H b (t u (τ, ξ)dτ. t t t 1 t c

      b b b − τ, ξ)

      2δ

      (1 + ) |ξ|

      (4.18) Conforme mostramos no Lema no espaço de Fourier, apre- senta um decaimento exponencial, satisfazendo

      1

      2

      2 2α 2 2δ 2 − ρ(ξ)t 2α 2δ

      5

      u + (1 + ) u u + (1 + ) u ,

      t

      1

      |ξ| |b | |ξ| |b | ≤ 5e |ξ| |b | |ξ| |b | (4.19)

      n , com ρ = ρ(ξ) como definido em

      para todo t &gt; 0 e ξ ∈ R

      Usando essa estimativa, demonstramos o lema enunciado a seguir.

      G H Lema 4.5 Sejam b (t, ξ) e b (t, ξ) soluções fundamentais de problema definidas acima. Então temos as seguintes estimativas:

      2

      1 − ρ(ξ)t

    5 G

      i) (t, ξ) ; b ≤ 5e

      

      2

      1 − ρ(ξ)t |ξ|

      ii) t (t, ξ) ; ≤ 5e b

    5 G

      

      (1 + ) |ξ|

      

      2 1 1 +

      |ξ|

      − ρ(ξ)t

      5

    iii) H (t, ξ) ;

      ≤ 5e b 2α |ξ|

      2

      1 − ρ(ξ)t

      iv) t (t, ξ) , ≤ 5e b

    5 H

      n para todo t , com ρ = ρ(ξ) definido em

      ≥ 0 e ξ ∈ R Demonstração . Considerando a solução u (t, ξ) do problema homo-

      h

      b

      1

      gêneo dado em com o dado inicial bu ≡ 0, temos que u (t, ξ) = b G (t, ξ) u e ( u ) (t, ξ) = b G (t, ξ) u .

      h h t

      b b b t b Substituindo essas identidades na inequação em obtemos

      2

      2

      1

      2

      2

      2 2α 2δ − ρ(ξ)t 2α

    • 1 +

      

    t

      5 G u G u u

      |ξ| b |b | |ξ| b |b | ≤ 5e |ξ| |b |

      n

      (t, ξ) , temos e considerando bu 6= 0 para todo (t, ξ) ∈ [0, ∞) × R

      2

      2

      1

    2α 2δ − ρ(ξ)t 2α

      5 G G ,

    • 1 + t |ξ| |ξ| ≤ 5e |ξ| b b de onde seguem os resultados dos itens (i) e (ii).

      (t, ξ) do problema homogêneo, com

      

    h

      Considerando agora solução bu o dado inicial bu ≡ 0, temos que u (t, ξ) = b H (t, ξ) u e ( u ) (t, ξ) = b H (t, ξ) u .

      1 t t

      1

      b b b b

      t Substituindo essas identidades na inequação em obtemos

      2

      

    2

      1

      2

      2

      2 2α 2δ − ρ(ξ)t 2δ

    • 1 + (1 + )

      1 t

      1

      5 H u H u u

      1

      |ξ| b |b | |ξ| b |b | ≤ 5e |ξ| |b |

      n

      (t, ξ) , temos

      1

      e considerando bu 6= 0 para todo (t, ξ) ∈ [0, ∞) × R

      2

      2

      1

    2α 2δ − ρ(ξ)t 2δ

      5 H H

    • 1 + t (1 + ), |ξ| |ξ| ≤ 5e |ξ| b b de onde seguem também os resultados dos itens (iii) e (iv).

      1 − ρ(ξ)t n

    5 Observação 4.7 Como e ,

      seguem imediatamente do Lema as seguintes estimativas:

      2α

      2

      2

      |ξ| G G ,

      (t, ξ) t (t, ξ) ≤ 5, ≤ 5 b b

      2δ

      (1 + ) |ξ|

      2δ

      2

      2

      1 + |ξ|

      H , H (t, ξ) (t, ξ)

      t b ≤ 5 b ≤ 5. 2α

      |ξ| O objetivo nesta seção é mostrar que, dado qualquer T &gt; 0 finito,

    • X

      X

      &lt; kU(t)k kBU(t)k ∞,

      )

      t

      para t ∈ [0, T ), com U = (u, u ∈ X, onde u é a solução do problema semilinear em

      Para isso, assim como na demonstração da existência local de solu- ção do problema semilinear, dividimos o estudo da existência global de solução, nos dois casos abaixo,

      1) Caso 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α; α

    • δ

      , 2) Caso 0 ≤ δ ≤ θ ≤

      2 α α

    • δ sendo que em ambos os casos consideramos .

      ≤ γ ≤

      2

      2

    • kB
    • Z

      2δ

      2α

      ) | b u

      t

      |

      2

      dξ + Z

      

    R

    n

      1 + |ξ|

      1 + |ξ|

      R n

      2α

      2

      (1 + |ξ|

      2δ

      )

      2

      |b u |

      2

      (1 + |ξ|

      dξ

      Z

      1 + |ξ|

      b u (1 +

      |ξ|

      2δ

      )

      2

      dξ =

      Z

      R n

      2α

      2

      |b u |

      2

      dξ + Z

      R n

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) | b u

      t

      |

      dξ =

      R n

      1 + |ξ|

      2α

      2

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) |b u

      |

      2 dξ.

      (4.20) Como estamos considerando 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α, segue do Lema que 1 +

      |ξ|

      2

      1 + |ξ|

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) ≤ C 1 + |ξ|

      2 2α

      1 + |ξ|

      2 −δ

      ≤ C 1 + |ξ|

      2 2α−δ

      2α

      

    R

    n

      1 + |ξ|

      t

      2α

      |b u |

      2

      dξ

      R n

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) | b u

      |

      dξ

      2

      dξ

      R n

      (1 + |ξ|

      2α

      ) | b u

      t

      |

      2

      2α

      2δ

      . Com isso e usando o Lema também nos demais termos da soma em como a seguir

      α

      α

      u ) , definido na Seção onde A

      α

      = I + ( −∆)

      δ −1

      (I + ( −∆)

      α

      ), com D (A

      ) = H

      t

      2α−δ

      (R

      n ), conforme mostramos na Seção

      Posto isso e lembrando que neste trabalho o espaço da energia é dado por X = H

      α

      (R

      n

      ) × H

      , −A

      (u

      (R

      n

      4.2.1 Caso ≤ θ &lt; δ ≤ α

      Para o caso que estudamos nesta subseção, consideramos o operador B

      1

      : D (A

      α

      ) × H

      α

      (R

      ) −→ H

      ) 7−→

      α

      (R

      n

      ) × H

      δ

      (R

      n

      ) (u, u

      t

      δ

      n

      1 + |ξ|

      2

      2

      dξ

      R n

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) | b u

      t

      |

      dξ

      2α

      R n

      (1 + |ξ|

      2α

      ) | b u

      t

      |

      2

      dξ + Z

      

    R

    n

      |b u |

      1 + |ξ|

      ), temos que kUk

      k

      2 X

      1 U

      k

      2 X

      = kuk

      2 H α +

      ku

      t

      2 H δ +

      R n

      ku

      t

      k

      2 H α +

      kA

      α

      u k

      2 H δ

      = Z

    • Z
    • Z
    • Z
    • Z
    • Z

      2

    2 U

    • 1

      kUk

      X kB k

      X Z Z α

      2

      2

      2 2 δ

      u dξ u dξ 1 + + C (1 + )

      t

      ≤ C |ξ| |b | |ξ| | b |

      n n R R

      Z Z

      2α−δ

      2

      2 2 α

      2

    • C (1 + ) u dξ + C 1 + u dξ. (4.21)

      t

      |ξ| | b | |ξ| |b |

      n n R R

      Agrupando adequadamente as integrais em temos que

      2

      2

    • U

      1

      kUk

      X kB k

      X Z α 2α−δ

      2

      2

      2

      u dξ 1 + + 1 + ≤ C |ξ| |ξ| |b |

      n R

      Z

      α δ

      2

      2

      2 u dξ.

    • C 1 + + 1 + t (4.22)

      |ξ| |ξ| | b |

      n R

      em pelas expressões obtidas

      t

      Substituindo os termos bu e bu em respectivamente, obtemos

      2

      2

    • U

      (4.23)

      1

      kUk kB

      X k

      X Z

      2

      2 α 2α−δ

      2

      2

      2

      2

      1 + + 1 + + G u H u dξ

      1

      ≤ C |ξ| |ξ| |b | |b | b b

      n R

      2 Z t Z 4γ p

      2

      u

      

    α 2α−δ c

      |ξ|

      2

      2 H dξdτ

    • C 1 + + 1 + (t

      |ξ| |ξ| b − τ, ξ)

      2 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Z

      2

      2 α δ

      2

      2

      2

      2

      H u dξ

    • C 1 + + 1 + t t
    • G u

      1

      |ξ| |ξ| b |b | b |b |

      n R

      2 Z t Z 4γ p

      2

      u

      

    α δ |ξ| c

      2

      2 H dξdτ,

    • C 1 + + 1 + t (t

      |ξ| |ξ| − τ, ξ)

      2 b 2δ R n

      (1 + ) |ξ| onde b G = b G (t, ξ), b G = b G (t, ξ), b H = b H (t, ξ) e b H = b H (t, ξ).

      t t t t

      Agora, reorganizando as integrais em

    • kB
    • 1 +
    • 1 +
    • C Z
    • 1 +
    • C Z
    • 1 +
    • C Z
    • 1 +
    • C Z t Z

      )

      t

      , b H

      2

      , b H

      2

      t

      , b G

      2

      Observação 4.8 Usando as estimativas para b G

      2 dξdτ.

      (t − τ, ξ)

      t

      b H

      2δ

      2

      , apresentadas anteriormente na Observação e usando novamente as equivalências do Lema

      (1 + |ξ|

      2

      p

      c u

      4γ

      |ξ|

      2

    δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      dξdτ

      2

      − τ, ξ)

      2

      ∈ R

      2 2δ

      2 δ

      δ

      )

      2

      (1 + |ξ|

      2α

      |ξ|

      2 δ

      |ξ|

      2 α

      ≤ 5 1 + |ξ|

      2

      (t, ξ)

      t

      b G

      |ξ|

      n

      2 α

      , temos que 1 + |ξ|

      n

      ; ii) Para todo ξ ∈ R

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      ≤ 5 1 + |ξ|

      2

      b G (t, ξ)

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      , temos que 1 + |ξ|

      b H (t

      |ξ|

      2 α

      R n

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |b u |

      2

      (t, ξ)

      t

      b G

      2 δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      dξ

      |ξ|

      2

      |b u |

      2

      (t, ξ)

      b G

      2

    2α−δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      ≤ C Z

      2 X

      k

      1 U

      2

      2

    2α−δ

      no último termo dessa soma, resulta kUk

      |b u

      p

      c u

      4γ

      |ξ|

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |

      1

      2

      b H

      t (t, ξ)

      b H

      2 δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      dξ (4.24)

      2

      |

      1

      |b u

      2

      (t, ξ)

      2 X

    • 1 +
    • C Z t Z

    i) Para todo ξ

    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    e então, usando as relações do Lema segue que

      2 α δ

      2

    2 G

      1 + + 1 + (t, ξ)

      t

      |ξ| |ξ| b

      α δ α−δ

      2

      2

      2

      1 + + 1 + 1 + ≤ 5C |ξ| |ξ| |ξ|

      2α−δ α

      2

      2

      1 + + 1 + ; ≤ 5C |ξ| |ξ| iii) A terceira parcela da soma no segundo membro em envolve

      1 um termo da forma , que pode gerar dificuldades no desen-

      2α

      |ξ|

      1 volvimento na baixa frequência, pois → ∞, quando |ξ| → 0.

      2α

      |ξ|

      2 Por isso, analisamos o coeficiente de , separando-o em dois

      1

      |b | casos: |ξ| ≤ 1 (baixa frequência) e |ξ| ≥ 1 (alta frequência).

      Para |ξ| ≤ 1, temos que

      2

    α 2α−δ

      2

    2 H

      1 + + 1 + (t, ξ) |ξ| |ξ| b

      δ

      2 α 2α−δ 1 + |ξ|

      2

      2

      1 + + 1 + ≤ 5 |ξ| |ξ|

      2α

      |ξ|

      α+δ 2α

      2 + 2

      −2α

      ; ≤ 5 ≤ C|ξ|

      2α

      |ξ| Para

      |ξ| ≥ 1, temos que

      2 α 2α−δ

      2

    2 H

      1 + + 1 + (t, ξ) |ξ| |ξ| b

      δ

      2 α 2α−δ

      1 + |ξ|

      2

      2

      1 + + 1 + ≤ 5 |ξ| |ξ|

      2α

      |ξ|

      α+δ 2α

      2

      2

      2 + 2 |ξ| |ξ|

      2δ 2α

    • ≤ 5 ≤ C |ξ| |ξ|

      2α

      |ξ|

      α δ

      2

      2

      1 + + 1 + ; ≤ C |ξ| |ξ|

    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +

      2 α

      2

      (t − τ, ξ)

      t

      b H

      2δ

      )

      2

      (1 + |ξ|

      4γ

      |ξ|

      

    2

    δ

      |ξ|

      , temos que 1 + |ξ|

      2 α

      n

      ; vi) Desde que 0 ≤ 2γ ≤ α + δ, para todo ξ ∈ R

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      ≤ C 1 + |ξ|

      δ

      )

      2

      (1 + |ξ|

      2 2α−δ 1 + |ξ| 2 δ

      |ξ|

      2 α

      ≤ 5 1 + |ξ|

      |ξ|

      δ

      )

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      ≤ C 1 + |ξ|

      2δ

      )

      2

      (1 + |ξ|

      2 δ 1 + |ξ| 2 α+δ

      |ξ|

      2 α

      ≤ C 1 + |ξ|

      2δ

      2

      2 δ

      (1 + |ξ|

      2 2γ

      1 + |ξ|

      2 δ

      |ξ|

      2 α

      ≤ 5C 1 + |ξ|

      2δ

      )

      2

      (1 + |ξ|

      4γ

      |ξ|

      ≤ C 1 + |ξ|

      )

      . Assim, usando as relações obtidas nos itens (i) a (vi) da Observação que

      ; v) Desde que 0 ≤ 2γ − α ≤ δ, para todo ξ ∈ R

      (t − τ, ξ)

      b H

      2δ

      )

      2

      (1 + |ξ|

      4γ

      |ξ|

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      , temos que 1 + |ξ|

      n

      2 δ

      ≤ 5 1 + |ξ|

      |ξ|

      

    2

    α

      ≤ 5 1 + |ξ|

      2

      (t, ξ)

      t

      b H

      2 δ

      |ξ|

      2 α

      , temos que 1 + |ξ|

      n

      iv) Para todo ξ ∈ R

      2

      2 α

      2

      2 2α−δ

      (1 + |ξ|

      2 2γ−α

      1 + |ξ|

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      ≤ C 1 + |ξ|

      δ

      )

      2

      (1 + |ξ|

      2(2γ−α)

      |ξ|

      |ξ|

      |ξ|

      2 α

      ≤ C 1 + |ξ|

      2α

      |ξ|

      2 δ

      1 + |ξ|

      2δ

      )

      2

      (1 + |ξ|

      4γ

      |ξ|

      2 2α−δ

    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +

      2

    2 U

    • 1

      kUk

      X kB k

      X Z

    α 2α−δ

      2

      2

      2

      u dξ 1 + + 1 + ≤ C |ξ| |ξ| |b |

      n R

      Z

      α δ −2α

      2

      2

      2

    • C + 1 + + 1 + u dξ

      1

      |ξ| |ξ| |ξ| |b |

      |ξ|≤1

      Z

      α δ

      2

      2

      2

      u dξ

    • C 1 + + 1 +

      1

      |ξ| |ξ| |b |

      |ξ|≥1

      Z t Z

      α 2α−δ

      2

      2

      2 p

      u dξdτ

    • C 1 + + 1 + c

      |ξ| |ξ|

      n R

      e então, como δ ≤ α e α ≤ 2α − δ, segue que Z

      2α−δ

      2

      2

      2

    2 U u dξ

    • 1 1 +

      kUk

      X kB k X ≤ C |ξ| |b | R n

      Z Z

      α −2α

      2

      2

      2

    • C u dξ + C 1 + u dξ

      1

      1

      |ξ| |b | |ξ| |b |

      |ξ|≤1 |ξ|≤1

      Z Z t Z

      2 α 2α−δ

      2

      2

      2 p

    • C 1 + u dξ + C 1 + u dξdτ

      1 c

      |ξ| |b | |ξ|

      n R |ξ|≥1

      Z Z

      2α−δ

      2

      2 2 −2α

      u dξ u dξ 1 + + C

      1

      ≤ C |ξ| |b | |ξ| |b |

      n n R R t

      Z Z Z

      α 2α−δ

      2

      2

      2

      2 p

    • C 1 + u dξ + C 1 + u dξdτ.

      1 c

      |ξ| |b | |ξ|

      n n R R s n

      Portanto, usando a definição de norma em H (R ) e de norma em

      −α,1 n

      ˙ W

      (R ), concluímos que

      

    2

      2

      2

    2 U

      

    • 2α−δ + C α,

      1 (4.25)

      1 1 ˙

      kUk

      X kB k X ≤ C ku k H ku k W

      Z t

      2

      2 p 2α−δ dτ.

    • C

      1 α + C

      ku k H ku k H n

      s n

      Além disso, usando o fato que H (R ) é uma álgebra se s &gt; ,

      2 n usando o Lema com s = 2α − δ &gt; e p ≥ 1 inteiro, obtemos de

      2 a seguinte estimativa:

      

    2

      2

      2

    2 U

      

    • 2α−δ + C ˙ α,

      1 (4.26)

      1

      1

      kUk

      X kB k X ≤ C ku k H ku k W

      Z t

      2 2p dτ.

    • C

      1 α + C 2α−δ

      ku k kuk

      H H

      Conforme mencionamos no início desta seção, supomos inicialmente que o intervalo maximal onde a solução do problema em está definida é limitado, ou seja, está definida para t ∈ [0, T ), com T finito.

      Então, supondo que T &gt; 0 seja finito, tomando o supremo no último termo da soma em temos que

      2

      2

      2

    2 U −

      (t) 2α−δ + C

      1 (4.27) + α,

      1 1 ˙

      kU(t)k

      X kB k X ≤ C ku k H ku k W 2 2p

      .

    • C α + CT sup 2α−δ

      

    1

      ku k H ku(τ)k

      H 0≤τ ≤t

      Ainda, de acordo com o Lema como 0 ≤ δ ≤ α, ), vale

      α

      existe uma constante C &gt; 0 de modo que, para todo u ∈ D(A 2α−δ u .

      α δ

      kuk H ≤ C kA k H Usando esse resultado e a definição do operador B , segue de

      1

      2

      2

    • U (t)

      1

      kU(t)k

      X kB k

      X

      2

      2 2 2p

      u δ + C α + C α,

      1 + CT sup u (τ ) α

      1 1 ˙ α δ

      ≤ C kA k ku k ku k kA k

      H H W H 0≤τ ≤t 2 2 2p

      U

    1 U , (4.28)

      1 + C 1 ˙ α, + CT sup 1 (τ )

      ≤ C kB k ku k kB k

      X W

      X 0≤τ ≤t

      para t ∈ [0, T ), com T &gt; 0 finito. Definimos agora, a função M : [0, T ]

      1

      −→ [0, ∞), na forma n o

      2

      2 M U .

    • (t) = sup (τ ) (4.29)

      1

      1

      kU(τ)k

      X kB k

      X 0≤τ ≤t

      Com M assim definida, da desigualdade em temos que

      1

      2 2 p

      (t) ˙ α,

    • M U −

      1 + CT M (t), (4.30)

      1

      1

      

    1

      ≤ C kB k

      X ku k W

      1 para t ∈ [0, T ), com T &gt; 0 finito.

      Nosso objetivo é mostrar que a solução do problema em está definida para todo t &gt; 0, ou seja, que seu intervalo de definição é [0, T ) com T = ∞.

      Para isso, definimos a função F : [0, ∞) −→ [0, ∞) por

      1 p

      F (M ) = CI + CT M (4.31) − M,

      2

      

    2

      1

      onde p &gt; 1 e I = U α,

    + 1 .

      1

    1 ˙

      kB k

      X ku k W

      Da definição em M é contínua e M (t)

      1

      1 ≥ 0, para t ∈ [0, T ).

      Além disso, F é contínua (polinômio de grau p) e pela desigualdade obtida em temos que F (M (t))

      

    1

    ≥ 0, para t ∈ [0, T ).

      Segue do Lema possui um

      

    1

      &gt; único ponto de mínimo global M 0 e existe ε &gt; 0 tal que, se

      1

      1

      &lt; 0 &lt; I

    0. Logo, M = M (t) não pertence ao

      1

      ≤ ε, então F M intervalo onde F (M) &lt; 0, para todo t ∈ [0, T ). Por outro lado, M

      1 (0) = CI e assumindo a hipótese adicional que

      1

      1 CI &lt; M , segue que M . Então pela continuidade de M 1 (0) &lt; M 1 (t),

      1

      concluímos que M

      1 (t) ≤ M , para todo t ∈ [0, T ). Assim, para qualquer T &gt; 0 finito, temos que

      2

      2

      1 U ,

      (t) +

      

    1

      kU(t)k

      X kB k X ≤ M

      

    1

      1

      &lt; M , o que contradiz para todo t ∈ [0, T ), desde que 0 &lt; I ≤ ε e CI a condição (b) do Teorema de onde segue que a solução u = u(t, x) desse teorema, está definida no intervalo [0, T ), com T = ∞.

      Portanto, concluímos a existência global de solução para o problema de Cauchy associado à equação semilinear em para o caso em que α α n

    • δ e p &gt; 1 inteiro.

      ≤ θ &lt; δ ≤ α, ≤ γ ≤ , 2α − δ &gt;

      2

      2

      2 Formalizamos esse resultado através do teorema a seguir. Teorema 4.3 (Existência e Unicidade Global) Seja n a dimen- são do espaço, com 1

      ≤ n &lt; 2(2α − δ) e sejam 0 ≤ θ &lt; δ ≤ α, α α + δ

      , p &gt; 1 um número inteiro e dados iniciais ≤ γ ≤

      2

      2

      2α−δ n α n −α,1 n (u , u ) (R ) H (R ) W (R ) .

      1

      ∈ H × ∩ ˙ Sejam ainda,

      2

      2

    1 I

      U − , = α, +

      1

      1 1 ˙

      kB k

      X ku k W

      2

      2 M U

      (0) = +

      1

      1

      kU k

      X kB k X ≥ 0 1 p

      1

      &gt; e M 0 o mínimo global da função F (M ) = CI + CT M − M, para

      M ≥ 0, com C &gt; 0 a constante da estimativa em

      1

      1 Então existe ε &gt; 0 tal que, se 0 &lt; I (0) &lt; M , existe uma

      1

      ≤ ε e M única solução global u = u(t, x) para o problema de Cauchy associado à equação semilinear dado em com

      2 δ n 1 α n 2α−δ n

      u .

      [0, (R ) ([0, (R )) (R ) ∈ C ∞), H ∩C ∞), H ∩C [0, ∞), H

    • + δ

    • (
    • kB

      Z

      1 + |ξ|

      2θ

      b u

      t

      (1 + |ξ|

      2δ

      )

      2

      dξ =

      R n

      1 + |ξ|

      1 + |ξ|

      2α

      |b u |

      2

      dξ

      R n

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) | b u

      2δ

      R n

      |

      2

      |

      2

      dξ

      R n

      (1 + |ξ|

      2α

      ) | b u

      t

      |

      dξ

      dξ

      R n

      1 + |ξ|

      2δ

      1 + |ξ|

      2α

      b u (1 +

      |ξ|

      2δ

      )

      2

      t

      2

      ) | b u

      (1 + |ξ|

      t

      |

      2

      dξ. (4.32) Estamos considerando agora, 0 ≤ δ ≤ θ ≤

      α

      2 ≤ α. Então seguem do Lema as relações i) 1 +

      |ξ|

      2α

      2

      2δ

      2δ

      ) ≤ C 1 +

      |ξ|

      2 2α

      (1 + |ξ|

      2

      )

      δ

      ≤ C 1 + |ξ|

      2 2α−δ

      ) |b u

      (1 + |ξ|

      dξ

      1 + |ξ|

      R n

      (1 + |ξ|

      2α

      ) | b u

      t

      |

      2

      dξ

      R n

      2α

      2

      2

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) |b u

      |

      2

      dξ

      R n

      1 + |ξ|

      2θ

      t

      2δ

      ;

      α

      u − A

      θ

      u

      t

      ) , definido na Seção onde A

      α

      = I + ( −∆)

      δ

    −1

      (I + ( −∆)

      ) , A

      , −A

      θ = I + (

      −∆)

      δ

    −1

      I

      −∆)

      θ

      , com D (A

      α

      ) = H

      α

      t

      (R

      n

      4.2.2 Caso ≤ δ ≤ θ ≤ α

      

    2

    ≤ α

      Para o caso que estudamos nesta subseção, consideramos o operador B

      2

      : D (A

      α

      ) × H

      α

      (R

      ) −→

      ) 7−→ (u

      H

      α

      (R

      n

      ) × H

      δ

      (R

      n

      ) (u, u

      t

      2α−δ

      n

      (1 + |ξ|

      t

      k

      2 H α +

      kA

      α

      u k

      2 H δ +

      kA

      θ

      u

      k

      ku

      2 H δ

      = Z

      R n

      1 + |ξ|

      2α

      |b u |

      2

      dξ

      R n

      t

      2 H δ +

      ) e D (A

      ) × H

      

    θ

      ) = H

      2θ−δ

      (R

      n

      ), conforme mostra- mos anteriormente, na Seção Posto isso e lembrando que neste trabalho o espaço da energia é dado por X = H

      α

      (R

      n

      δ

      k

      (R

      n

      ), temos que kUk

      2 X

      2 U

      k

      2 X ≤ kuk

      2 H α +

      ku

      t

    • Z
    • Z
    • Z
    • Z
    • Z
    • Z
    • Z
    • Z
    • δ

    • kB
    • C Z
    • C Z
    • C Z
    • kB
    • 1 +
    • 1 +

    • C Z
    • kB
    • 1 +
    • b
    • 1 +
    • C Z t Z
    • 1 +
    • C Z
    • b
    • 1 +
    • C Z t Z

      |ξ|

      2 2α−δ |ξ| 4γ

      c u

      p

      2

      (1 + |ξ|

      2δ

      )

      H (t

      2 b

      − τ, ξ)

      2

      dξdτ

      R n

      1 + |ξ|

      2 α

      |ξ|

      2 δ

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      b G

      (4.35) ≤ C

      Z

      R n

      1 + |ξ|

      2 α

      |ξ|

      2

    2α−δ

      2

      dξ

      |b u |

      2

      H

      2

      |b u

      1

      |

      2

      b G

      t

      2

      = b G

      )

      2

      b H

      t

      (t − τ, ξ)

      2

      dξdτ, onde b G

      (t, ξ), b G

      (1 + |ξ|

      t

      = b G

      t

      (t, ξ), b H

      = b H

      (t, ξ) e b H

      t

      = b H

      2δ

      2

      |b u |

      2

      2

      H

      t

      2

      |b u

      1

      |

      dξ

      p

      R n

      1 + |ξ|

      2 α

      |ξ|

      2

    δ

      |ξ|

      4γ

      c u

      2 X

      k

      2 U

      |

      R n

      (1 + |ξ|

      2

      )

      δ

      | b u

      t

      2

      2

      dξ + C Z

      R n

      (1 + |ξ|

      2

      )

      α

      | b u

      t

      dξ

      |b u |

      2

      ≤ C 1 + |ξ|

      ii) 1 + |ξ|

      2θ

      2

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) ≤ C 1 + |ξ|

      2 2θ−δ

      2 α

      

    2

    α

      . Com isso e usando o Lema como a seguir kUk

      2 X

      2 U

      k

      2 X ≤ C

      Z

      R n

      1 + |ξ|

      |

      dξ

      2 X

      2 α

      |ξ|

      2 2α−δ

      |b u |

      2

      dξ

      R n

      1 + |ξ|

      |ξ|

      1 + |ξ|

      2 δ

      | b u

      t

      |

      2

      dξ. (4.34) Substituindo os termos bu e bu

      t

      em respectivamente, obtemos kUk

      2 α

      R n

      R n

      2 α

      1 + |ξ|

      2 2α−δ

      |b u |

      2

      dξ

      R n

      1 + |ξ|

      |b u

      ≤ C Z

      t

      |

      2 dξ.

      (4.33) Agrupando adequadamente as integrais em temos que kUk

      2 X

      2 U

      k

      2 X

      t (t, ξ).

    • kB
    • 1 +
    • 1 +
    • C Z
    • 1 +
    • C Z
    • 1 +
    • C Z

    • 1 +
    • C Z t Z
    • 1 +
    • C Z t Z
    • kB
    • 1 +
    • 1 +
    • 1 +
    • C Z
    • 1 +
    • C Z
    • 1 +

      2δ

      b H

      t

      (t − τ, ξ)

      2 dξdτ.

      Usando novamente as relações obtidas anteriormente nos itens (i) a (vi) da Observação que kUk

      2 U

      2 X

      k

      2 X

      ≤ C Z

      R n

      1 + |ξ|

      2 α

      )

      2

      (1 + |ξ|

      2

      p

      c u

      4γ

      |ξ|

      2

    δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      dξdτ

      2

      (t − τ, ξ)

      b H

      |ξ|

      |b u |

      2 2α−δ

      |ξ|

      2

      p

      c u

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |

      1

      |b u

      2 δ

      2 α

      2

      |ξ|

      dξ

      |ξ|≤1

      |ξ|

      −2α

      |ξ|

      2 α

      2 δ

      1 + |ξ|

      |b u

      1

      |

      2

      dξ

      |ξ|≥1

      2δ

      2

      )

      2

      R n

      dξ

      2

      |b u |

      2

      (t, ξ)

      t

      b G

      2 δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      |b u |

      2 α

      2

      (t, ξ)

      b G

      2

    2α−δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      ≤ C Z

      2 X

      k

      2 U

      2 X

      Agora, reorganizando as integrais em no último termo dessa soma, resulta kUk

      1 + |ξ|

      |ξ|

      (1 + |ξ|

      |b u

      2

      p

      c u

      4γ

      |ξ|

      2 2α−δ

      |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |

      1

      2

      2

    2α−δ

      t (t, ξ)

      b H

      (t, ξ)

      2

      |b u

      1

      |

      2

      dξ (4.36)

      R n

      1 + |ξ|

      2 α

      |ξ|

      2 δ

      b H

      dξdτ

    • C Z t Z
    • kB

    • C Z
    • C Z
    • C Z
    • C Z t Z

    • C Z
    • C Z
    • C Z t Z
    • kB
    • C ku
    • kB
    • C ku
    • C ku
    • C Z t kuk

      k

      1

      ku

      

    2

    H 2α−δ + C

      2 X ≤ C ku k

      k

      2 U

      2 X

      ), concluímos que kUk

      n

      (R

      −α,1

      W

      n

      ) e de norma em ˙

      (R

      s

      Portanto, usando a definição de norma em H

      2 dξdτ.

      p

      c u

      2 2α−δ

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |

      1

      2 ˙ W

      α, 1 (4.37)

      

    1

      k

      Assim como no caso anterior, supomos inicialmente que o intervalo maximal onde a solução do problema em está definida é limitado, ou seja, está definida para t ∈ [0, T ), com T finito.

      2p H 2α−δ dτ.

      2 H α

      k

      

    1

      α, 1 (4.38)

      2 ˙ W

      k

      1

      

    2

    H 2α−δ

      ≤ C ku k

      2 X

      2 U

      k

      2 X

      2 e p ≥ 1 inteiro, obtemos de a seguinte estimativa: kUk

      2 , usando o Lema com s = 2α − δ &gt; n

      ) é uma álgebra se s &gt; n

      n

      (R

      s

      Além disso, usando o fato que H

      2 H 2α−δ dτ.

      k

      p

      Z t ku

      2 H α + C

      |b u

      2 α

      1 + |ξ|

      −2α

      2

      |

      1

      |b u

      2 α

      1 + |ξ|

      

    |ξ|≤1

      dξ

      2

      |

      1

      |b u

      |ξ|

      |ξ|≥1

      |ξ|≤1

      dξ

      2

      |b u |

      

    2

    2α−δ

      1 + |ξ|

      R n

      Z

      2 X ≤ C

      k

      2 U

      2 X

      e então, como δ ≤ α e α ≤ 2α − δ, segue que kUk

      dξ

      1 + |ξ|

      R n

      1 + |ξ|

      dξ

      2

      |

      1

      |b u

      −2α

      |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |b u |

      2 2α−δ

      R n

      2 α

      Z

      dξdτ ≤ C

      2

      p

      c u

      2 2α−δ

      1 + |ξ|

      R n

      dξ

      2

      |

      1

      |b u

      Então supondo que T &gt; 0 seja finito, tomando o supremo no último

    • kB
    • C ku
    • kB

      kB

      : [0, T ] −→ [0, ∞), na forma

      2

      A exemplo da função que definimos em para o caso anterior, definimos aqui, a função M

      , (4.40) para t ∈ [0, T ), com T &gt; 0 finito.

      X

      2p

      k

      1 U (τ )

      α,

    1 + CT sup

    0≤τ ≤t

      2

      2 ˙ W

      k

      1

      2 X

      k

      1 U

      ≤ C kB

      2p H δ

      u (τ ) k

      M

      (t) = sup

      kA

      2 U

      Assim como para o caso anterior, nosso objetivo é mostrar que a solução do problema em

      (t), (4.42) para t ∈ [0, T ), com T &gt; 0 finito.

      2

      α, 1 + CT M p

      2 ˙ W

      k

      

    1

      2 X

      k

      (t) ≤ C kB

      0≤τ ≤t

      2

      assim definida, da desigualdade em temos que M

      2

      Com M

      o . (4.41)

      2 X

      k

      2 U (τ )

      n kU(τ)k

      α

      α, 1 + CT sup 0≤τ ≤t

      ≤ C kA

      

    1

      kuk

      α ), vale:

      Ainda, de acordo com o Lema como 0 ≤ δ ≤ α, existe uma constante C &gt; 0 de modo que, para todo u ∈ D(A

      2p H 2α−δ .

      ku(τ)k

      0≤τ ≤t

      2 H α + CT sup

      k

      α, 1 (4.39)

      2 ˙ W

      2 ˙ W

      k

      1

      ku

      2 H 2α−δ + C

      2 X ≤ C ku k

      (t) k

      2 U

      H 2α−δ

      α

      termo da soma em temos que kU(t)k

      u k

      k

      1

      ku

      2 H α + C

      k

      1

      ku

      2 H δ + C

      α

      u k

      ≤ C kA

      2 X

      k

      2 U (t)

      2 X

      , segue de kU(t)k

      2

      Usando esse resultado e a definição do operador B

      H δ .

      2 X

    • C ku

    2 X

    • kB
    • ku
    está definida no intervalo [0, T ) com T = ∞.

      Para isso, definimos a função F : [0, ∞) −→ [0, ∞) por

      2 p

      F (M ) = CI + CT M (4.43)

      − M,

      2

      

    2

    2 U

      2 1 ˙ α, .

    • 1

      onde p &gt; 1 e I = kB k ku k

      X W

      Da definição em M

      2 é contínua e M 2 (t) ≥ 0, para t ∈ [0, T ).

      Além disso, F é contínua (polinômio de grau p) e pela desigualdade obtida em temos que F (M (t))

      

    2

    ≥ 0, para t ∈ [0, T ).

      Segue do Lema possui um

      

    2

      único ponto de mínimo global M &gt; 0 e existe ε &gt; 0 tal que, se

      2

      2

      0 &lt; I &lt;

    0. Logo, M = M (t) não pertence ao

      2

      ≤ ε, então F M intervalo onde F (M) &lt; 0, para todo t ∈ [0, T ). Por outro lado, M (0) = CI e assumindo a hipótese adicional que

      2

      2

      

    2

    CI &lt; M

      , segue que M (0) &lt; M . Então pela continuidade de M (t),

      2

      2

      2

      concluímos que M (t)

      2 ≤ M , para todo t ∈ [0, T ).

      Assim, a exemplo do caso anterior, para T finito, temos que

      2

      2

      2

    • U ,

      (t)

      

    2

      kU(t)k

      

    X kB k

    X ≤ M

      2

      2

      &lt; M , o que contradiz

      ≤ ε e CI para todo t ∈ [0, T ), desde que 0 &lt; I a condição (b) do Teorema de onde segue que a solução u = u(t, x) desse teorema, está definida no intervalo [0, T ), com T = ∞.

      Portanto, concluímos a existência global de solução para o problema de Cauchy associado à equação semilinear em também para o caso α α α n

    • δ + δ e p &gt; 1 inteiro.

      ≤ δ ≤ θ ≤ ≤ α, ≤ γ ≤ , 2α − δ &gt;

      2

      2

      2

      2 Formalizamos também esse resultado através do teorema a seguir. Teorema 4.4 (Existência e Unicidade Global) Seja n a dimen- α + δ são do espaço, com 1

      ≤ n &lt; 2(2α − δ) e sejam 0 ≤ δ ≤ θ ≤ ≤ α,

      2 α α

    • δ

      , p &gt; 1 um número inteiro e dados iniciais ≤ γ ≤

      2

      2

      2α−δ n α n −α,1 n , u H W .

      (u

      1 ) (R ) (R ) (R )

      ∈ H × ∩ ˙ Sejam ainda,

      2

      2

      2

    • I = U α,

      1 ,

      2 1 ˙

      kB k ku k

      X W

      

    2

      2

    • M (0) = U

      2

      2

      kU k kB k

      

    X

    X 2 p

      2

      e M &gt; 0 o mínimo global da função F (M ) = CI + CT M − M, para

      M ≥ 0, com C &gt; 0 a constante da estimativa em

      2

      2 Então existe ε &gt; 0 tal que, se 0 &lt; I (0) &lt; M , existe uma

      2

      ≤ ε e M única solução global u = u(t, x) para o problema de Cauchy associado à equação semilinear dado em com

      2 δ n 1 α n 2α−δ n

      u .

      [0, (R ) ([0, (R )) (R ) ∈ C ∞), H ∩C ∞), H ∩C [0, ∞), H Capítulo 5 Taxas de Decaimento: Problema Semilinear

      De acordo com os Teoremas α α α

    • δ + δ

      , , com p &gt; 1 dados 0 ≤ δ ≤ α, 0 ≤ θ ≤ ≤ γ ≤

      2

      2

      2 um número inteiro e a dimensão do espaço 1 ≤ n &lt; 2(2α − δ) um número inteiro, existe uma única solução global u = u(t, x) do problema associado à equação semilinear definido em com

      2 δ n 1 α n 2α−δ n

      u [0, (R ) ([0, (R )) (R ) , ∈ C ∞), H ∩C ∞), H ∩C [0, ∞), H desde que os dados iniciais

      2α−δ n α n −α,1 n

      , u H W , (u ) (R ) (R ) (R )

      1

      ∈ H × ∩ ˙ sejam suficientemente pequenos, como nos teoremas citados.

      O objetivo neste capítulo é encontrar taxas de decaimento para o problema Cauchy em tanto para a solução do problema na norma

    2 L quanto para a energia total associada do sistema.

      2 Nesse sentido, consideramos a soma da norma L da solução com a

      norma da energia do problema em que é dada por Z

      2

      2

      2 2α 2δ

      u u dξ u

    • 1 + +

      t

      |b | |ξ| |b | |ξ| |b |

      n R

      Z

      2

      

    2

      2 2α 2δ

    • = u u + 1 + u dξ

      t

      |b | |ξ| |b | |ξ| |b |

      |ξ|≤1

      Z

      2

      2

      2 2α 2δ

    • u u u dξ.
    • 1 + t (5.1) + |b | |ξ| |b | |ξ| |b |

      |ξ|≥1

      Considerando que 0 ≤ δ ≤ α, observamos que i) para |ξ| ≤ 1, temos

      2α 2(2α−δ) 2δ 2α

      e 1 + ; |ξ| ≤ 1 ≤ 1 + |ξ| |ξ| ≤ 2 ≤ 2 1 + |ξ| ii) para |ξ| ≥ 1, segue de α ≤ 2α − δ, que

      2α 2(2α−δ) 2(2α−δ) 2δ 2α e 1 + .

      |ξ| ≤ |ξ| ≤ 1 + |ξ| |ξ| ≤ 1 + |ξ| Assim, estimamos a soma das integrais em na forma

      Z

      2

      2

      2 2α 2δ

    • u u u dξ
    • 1 +

      t

      |b | |ξ| |b | |ξ| |b |

      n R

      Z

      2

      2

      2 2(2α−δ) 2α

      u u u dξ 1 + + 2 1 + t ≤ |b | |ξ| |b | |ξ| |b |

    • |ξ|≤1

      Z

      2

      2

      2 2(2α−δ) 2α

      u u u dξ

    • 1 + + 1 +

      t

      |b | |ξ| |b | |ξ| |b |

      |ξ|≥1

      Z

      2

      2

    2(2α−δ) 2α

      1 + u + 1 + u dξ

      t

      ≤ C |ξ| |b | |ξ| |b |

      n R

      2

      2

      2 .

      = + 2α−δ α ) 2α−δ α (5.2)

      t t

      kuk H ku k H ≤ k(u, u k H ×H

      2

      de modo que, para obtermos taxas de decaimento para a norma L da solução do problema de Cauchy em e para a norma da energia

      2 2α−δ t ) α .

      desse sistema, basta estimar k(u, u k H ×H

    • 1 +
    • b
    • C Z t Z
    • C Z
    • b
    • C Z t Z

      1 + |ξ|

      (τ, ξ)

      2

      |b u |

      2

      dξ

      R n

      2(2α−δ) |ξ| 4γ

      b G

      (1 + |ξ|

      2δ

      )

      2

      b H

      (t − τ, ξ)

      t

      2α

      c u

      2 H 2α−δ

      c u

      p

      2

      dξdτ. (5.3) Reorganizando adequadamente os termos do segundo membro da estimativa em temos k(u, u

      t

      ) k

      ×H α

      |ξ|

      ≤ C Z

      R n

      1 + |ξ|

      2(2α−δ)

      b G

      (τ, ξ)

      

    2

      2

      p

      − τ, ξ)

      2 b

      2α

      |ξ|

      4γ

      (1 + |ξ|

      

      )

      H

      R n

      t

      (t − τ, ξ)

      2

      c u

      p

      2

      1 + |ξ|

      dξ

      2

      2

      dξdτ

      R n

      1 + |ξ|

      2(2α−δ)

      b H

      (τ, ξ)

      |ξ|

      2

      2α

      b H

      t (τ, ξ)

      2

      |b u

      1

      |

      2

      t (t

      dξdτ. (5.4)

      2

      R n

      1 + |ξ|

      2(2α−δ)

      b G (τ, ξ)

      

    2

      |b u |

      H (τ, ξ)

      dξ ≤ C

      2

      |b u

      1

      |

      2

      dξ

      Z

      2

      H

      R n

      Para isso, usamos mais uma vez as estimativas obtidas em e que implicam em k(u, u

      t

      ) k

      2 H 2α−δ

      ×H α =

      Z

      1 + |ξ|

      |

      2(2α−δ)

      |b u |

      2

      |ξ|

      2α

      |b u

      t

      R n

      1 + |ξ|

      2(2α−δ) |ξ| 4γ

      dξ

      t (τ, ξ)

      2

      |b u

      1

      |

      2

      R n

      2

      1 + |ξ|

      2α |ξ| 4γ

      (1 +

      

      )

      2 b

      H

      |b u |

      (1 + |ξ|

      c u

      2δ

      )

      2

      b H (t

      − τ, ξ)

      2

      p

      2

      2

      dξdτ

      R n

      1 + |ξ|

      2α

      b G

      t (τ, ξ)

    • 1 +
    • C Z t Z
    • 1 +
    • C Z

    • C Z t Z

    2 H

    • 1 +
    • C Z t Z

      1 + |ξ|

      2α

      |ξ|

      2α

      |ξ|

      2δ

      1 + |ξ|

      2(2α−δ)

      5 ρ(ξ)t

      1

      1

      −

      e

      R n

      dξdτ

      2

      p

      ! |b u

      2

      |

      2δ

      α

      dξdτ. (5.5) Observação 5.1 Limitamos as integrais em e o fato que estamos considerando

      2

      p

      c u

      2

      )

      (1 + |ξ|

      2α

      2α |ξ| 4γ

      1 + |ξ|

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1

      −

      e

      R n

      dξ

      c u

      2δ

      |ξ|

      e

      2α |ξ| 2α

      |ξ|

      2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      5 ρ(ξ)t

      1

      −

      R n

      α

      ≤ C Z

      α

      2α−δ ×H

      ) k

      t

      Usando as estimativas obtidas anteriormente no Lema obtemos k(u, u

      2 .

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) |b u

      |

      1 + |ξ|

      2

      )

      2δ

      (1 + |ξ|

      4γ

      |ξ|

      

    2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1

      −

      e

      R n

      dξ

      2

    • 1 +
    • C Z
    • C Z t Z

    • δ

      2 ≤ γ ≤

    i) Para a primeira integral em (5.5), temos que

      2

    • 1 +

    • C 1 +
    • C 1 +

      ) |ξ|

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1

      −

      e

      |ξ|≤1

      Z t Z

      dξdτ ≤

      2

      p

      c u

      2α

      2δ

      2(2α−δ)

      (1 + |ξ|

      4γ

      |ξ|

      2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1

      −

      e

      R n

      ≤ 4γ ≤ 2α+2δ, para a segunda integral em temos Z t Z

      dξ ; ii) Como 2α

      1 + |ξ|

      2α

      |ξ|

      1 + |ξ|

      dξdτ

      2

      p

      c u

      4γ−2δ

      ) |ξ|

      2δ

      (1 + |ξ|

      4γ

      |ξ|

      2(2α−δ)

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      |b u |

      1

      −

      e

      |ξ|≥1

      dξdτ

      2

      p

      c u

      2α

      ) |ξ|

      2δ

      (1 + |ξ|

      2

      2(2α−δ)

      Z

      ) |b u

      |ξ|

      2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      5 ρ(ξ)t

      1

      −

      e

      R n

      Z

      dξ ≤

      |

      2δ

      (1 + |ξ|

      (1 + |ξ|

      2α

      |ξ|

      2α

      |ξ|

      2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      5 ρ(ξ)t

      1

      −

      e

      R n

      2 α

      2

      1 + |ξ|

      1 + |ξ|

      5 ρ(ξ)t

      1

      −

      e

      R n

      Z

      dξ ≤ C

      2

      |b u |

      2(2α−δ)

      |ξ|

      2(2α−δ)

      5 ρ(ξ)t

      )

      1

      −

      e

      R n

      Z

      dξ ≤

      2

      |

      ! |b u

      2 α

      1 + |ξ|

      δ

    • Z t Z
    • 1 +

    • 2
    • 2
    • Z

      1 + |ξ|

      1

      |

      

    2

      dξ

      R n

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)t

      2α

      −2α

      |b u

      1

      |

      2

      dξ ; iv) Finalmente, como α − 2δ + 2γ ≤ 2α − δ, da quarta integral temos

      Z t Z

      R n

      e

      −

      1

      |b u

      |ξ|

      1 + |ξ|

      |ξ|

      |b u

      1

      |

      

    2

      dξ + C Z

      |ξ|≥1

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)t

      2α

      5 ρ(ξ)t

      |b u

      1

      |

      2

      dξ ≤ C

      Z

      |ξ|≤1

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      2α |ξ| 4γ

      |ξ|

      dξdτ ≤ C

      R n

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1 + |ξ|

      2 α−2δ+2γ

      c u

      p

      2

      Z t Z

      dξdτ ≤ C

      R n

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1 + |ξ|

      2 2α−δ

      c u

      p

      2

      Z t Z

      2

      (1 + |ξ|

      −

      2δ

      )

      2

      c u

      p

      2

      dξdτ ≤ C

      Z t Z

      R n

      e

      1

      p

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1 + |ξ|

      2 α

      1 + |ξ|

      2 2γ

      (1 + |ξ|

      2

      )

      2δ

      c u

      −2α

      5 ρ(ξ)t

      dξdτ e então obtemos Z t Z

      e

      1 + |ξ|

      2δ

      (1 + |ξ|

      2δ

      ) c u

      p

      2

      dξdτ ≤

      Z t Z

      R n

      −

      1 + |ξ|

      1

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1 + |ξ|

      2(2α−δ)

      c u

      p

      2

      dξdτ ; iii) Agora, para a terceira integral em temos que

      Z

      R n

      2(2α−δ)

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      −

      (1 + |ξ|

      e então obtemos Z t Z

      R n

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1 + |ξ|

      2(2α−δ)

      |ξ|

      4γ

      2δ

      1

      ) |ξ|

      2α

      c u

      p

      2

      dξdτ ≤

      Z t Z

      R n

      e

      −

      e

      1

      1

      

      |ξ|≥1

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)t

      4 |ξ|

      2(2α−δ)

      |ξ|

      2δ

      |ξ|

      |ξ|

      2

      2α

      |b u

      1

      |

      2

      dξ ≤ C

      Z

      |ξ|≤1

      e

      −

      dξ

      |

      5 ρ(ξ)t

      |

      1 + |ξ|

      2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      2δ

      |ξ|

      2α

      |ξ|

      2α

      ! |b u

      1

      2

      1

      dξ ≤

      Z

      |ξ|≤1

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)t

      4 |ξ|

      2α

      |b u

    • C Z

      4γ

      1

      2 − ρ(ξ)(t−τ ) 2α |ξ| p

      5

      e u dξdτ 1 + c |ξ|

      2 2δ n

      R

      (1 + ) |ξ|

      Z t Z

      1

      2

    − ρ(ξ)(t−τ ) 2(2α−δ)

    5 p e 1 + u dξdτ.

      c ≤ C |ξ|

      n R

      Considerando agora, as relações obtidas acima, nos itens (i) a (iv) da Observação na forma Z

      1

      2 2 − ρ(ξ)t 2(2α−δ)

      5

      e u dξ ) 2α−δ α 1 +

      t

      k(u, u k H ×H ≤ C |ξ| |b |

      n R

      Z t Z

      1

      2 − ρ(ξ)(t−τ ) 2(2α−δ) p

      5

      e u dξdτ |ξ|

      R n

      Z Z

      1

      1

      2

      2 − ρ(ξ)t −2α − ρ(ξ)t 2α

      5

      5

    • C e u dξ + C e 1 + u dξ

      1

      1

      |ξ| |b | |ξ| |b |

      n R |ξ|≤1

      Z t Z

      1

      2 − ρ(ξ)(t−τ ) 2(2α−δ) 5 p

      |ξ|

    • C e 1 + u dξdτ c

      n R

      ou equivalentemente, Z

      1

      2 2 − ρ(ξ)t 2(2α−δ)

      5

      e u dξ ) 2α−δ α 1 +

      t

      k(u, u k H ×H ≤ C |ξ| |b |

      n R

      Z Z

      1

      1

      2

      2 − ρ(ξ)t −2α − ρ(ξ)t 2α

      5

      5

      e u dξ e u dξ

    • C

      1 + C 1 +

      1

      |ξ| |b | |ξ| |b |

      n R |ξ|≤1

      Z t Z

      1

      2 − ρ(ξ)(t−τ ) 2(2α−δ) p

      5

      e u dξdτ,

    • C 1 + c (5.6)

      |ξ|

      n R

      ) 2α−δ×Hα ,

      t

      para todo t ≥ 0, de modo que, para estimarmos k(u, u k H basta obtermos uma estimativa para cada uma das integrais em

      Simplificamos a notação, representando as integrais em por Z

      1

      2 − ρ(ξ)t 2(2α−δ)

      

    1 (t) := C 1 + ;

    5 I e u dξ

      |ξ| |b |

      R n

      Z

      1

      2

    − ρ(ξ)t −2α

      2

    5 I (t) := C e u dξ ;

      1

      |ξ| |b |

      |ξ|≤1

      Z

      1

      2 − ρ(ξ)t 2α

      3 (t) := C 1 + 1 ;

    5 I e u dξ

      |ξ| |b |

      R n

      Z t Z

      1

      2 − ρ(ξ)(t−τ ) 2(2α−δ) p

      (t) := C 1 + c

      4

    5 I e u dξdτ

      |ξ|

      n R

      e reescrevemos a estimativa em na forma

      2

      ) 2α−δ α (t) + I (t) + I (t) + I (t), (5.7)

      t

      1

      2

      3

      4

      k(u, u k H ×H ≤ I para todo t ≥ 0. Observamos que cada um dos integrandos em contém a fun-

      ção ρ = ρ(ξ) definida em Devido à forma como definimos essa função e à estrutura de perda de regularidade sobre os dados iniciais quando θ &lt; δ, dividimos esse estudo nos quatro casos que mencionamos abaixo:

      α ; i) Caso 0 ≤ δ ≤ θ e 0 ≤ θ ≤

      2 α α

    • δ

      ; ≤ θ ≤ ii) Caso 0 ≤ δ ≤ θ e

      2

      2 α

      ; iii) Caso 0 ≤ θ &lt; δ e 0 ≤ θ ≤

      2 α α + δ . iv) Caso 0 ≤ θ &lt; δ e ≤ θ ≤

      2

      2 Em razão da estrutura de perda de regularidade apresentada pela equação diferencial em quando θ &lt; δ, restringimos o estudo para obtenção de taxas de decaimento para o problema de Cauchy semili- near, aos casos (i) e (ii), em que δ ≤ θ.

      Para esses casos, não há necessidade de exigência de regularidade sobre os dados iniciais u e u

      1 , além da regularidade exigida no Capítulo

      onde obtivemos taxas de decaimento para o problema de Cauchy associado à equação linear. Para os casos (iii) e (iv), estudados no Capítulo para o problema associado à equação linear, não serão estudados neste capítulo.

      α

      5.1 Caso ≤ δ ≤ θ e 0 ≤ θ ≤

      2 De acordo com a definição de ρ(ξ) dada em

      α temos que para 0 ≤ θ ≤

      2 

      α

      2α−2θ

       ε , , |ξ| |ξ| ≤ 1, 0 ≤ θ ≤

      

      2

      2θ

      ρ (ξ) = α

      |ξ|  ε , .  |ξ| ≥ 1, 0 ≤ θ ≤

      2δ

      (1 + )

      2 |ξ|

      Assim como no Capítulo estimamos ρ(ξ) na baixa frequência e na alta frequência, como abaixo.

      2α−2θ

      ;

    a) Para 0 < |ξ| ≤ 1, segue da definição, que ρ(ξ) ≥ ε|ξ|

      ε

      2δ 2δ 2θ .

    b) Para |ξ| ≥ 1, segue de 1 + |ξ| ≤ 2|ξ| ≤ 2|ξ| , que ρ(ξ) ≥

      2 Lema 5.1 Seja n a dimensão do espaço, com 2α − 2θ &lt; n &lt; 2(2α − δ)

      α α α + δ e sejam 0 , e p &gt; 1 um número ≤ δ ≤ θ, 0 ≤ θ ≤ ≤ γ ≤

      2

      2

      2 inteiro. Então, para dados iniciais

      1 n 2α−δ n 1 n α n −α,1 n

      , u L W , (u ) (R ) (R ) (R ) (R ) (R )

      1

      ∈ L ∩ H × ∩ H ∩ ˙ temos que

      2 2α−δ t ) α

      k(u, u k

      H ×H n

      −

      2

      2

      2 (2α−2θ)

      , u

      1

      

    1

    1 , u 2α−δ α 1 )

      1 ˙ α, 1 )

      ≤ C (1 + t) k(u k ku k k(u k

      L ×L W H ×H

      Z t

      n − 2p

      (2α−2θ)

    • C (1 + t (τ )) dτ,

      t 2α−δ α

      − τ) k(u(τ), u k

      H ×H para todo t &gt; 0. Demonstração . Para a demonstração deste lema, estimamos as inte- grais I , I , I e I em separando-as na região de baixa frequência

      1

      2

      3

      4

      e na região de alta frequência e usamos as estimativas para ρ(ξ) obtidas nos itens (a) e (b) acima.

      Nesse sentido, desenvolvendo a primeira integral em temos Z

      1

      2

    − ρ(ξ)t 2(2α−δ)

      1 (t) = C 1 +

    5 I e u dξ

      |ξ| |b |

      R n

      Z

      ε 2α−2θ

      2 − |ξ| t 2(2α−δ)

      5

      e 1 + u dξ ≤ C |ξ| |b |

      |ξ|≤1

      Z

      ε

      2 − t 2(2α−δ)

      10

      e u dξ

    • C 1 +

      |ξ| |b |

      |ξ|≥1 ∞

      e então, tomando a norma L na região de baixa frequência, temos Z

      

    ε 2α−2θ

    − |ξ| t

      2

      5

      I (t) e 2 u dξ

      1

      ≤ C kb k

      L |ξ|≤1

      Z

      ε

      2 − t 2(2α−δ) 10 u dξ.

    • Ce 1 +

      |ξ| |b |

      n R

      Usando o Lema para a integral sobre a região de baixa frequên-

      

    s n

      cia e a definição de norma em H (R ), segue que

      Z

      2α−2θ ε ε

      2

      2 − |ξ| t − t

      5

      1

      10 I (t) u e dξ + Ce 2α−δ

      ≤ C kb k ku k

      L H |ξ|≤1

    n

    ε

      2 −

      2 − t

    (2α−2θ)

      10 1 (1 + t) + Ce 2α−δ

      ≤ C ku k L ku k H

      n −

      2

      2 (2α−2θ) 1 2α−δ .

    • L H

      ≤ C (1 + t) ku k ku k

      Desenvolvendo a segunda integral em temos que Z

      1

      2 − ρ(ξ)t −2α

      2

      5 I (t) = C e u dξ

      1

      |ξ| |b |

      |ξ|≤1

      Z

      2α−2θ ε 2 − |ξ| t −α

      5

      e u dξ, |ξ|

      1

      ≤ C b

      |ξ|≤1

    1 Z

      − ε

      1 + |ξ|

      10

    t

      − ε

      e

      |ξ|≥1

      dξ

      2

      |

      1

      |b u

      2α

      1 + |ξ|

      

    2α−2θ

    t

      5 |ξ|

      e

      |b u

      1 + |ξ|

      Z

      R n

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)t

      2α

      |ξ|≤1

      |b u

      1

      |

      2

      dξ ≤ C

      Z

      2α

      1

      I

      1

      10 t

      Z

      

    R

    n

      1 + |ξ|

      2α

      |b u

      |

      dξ

      2 dξ.

      Usando novamente o Lema para a integral sobre a região de baixa frequência e a definição de norma em H

      s

      (R

      n

      ), obtemos

      − ε

      2 L

      |

      ≤ C Z

      2

      dξ e então, tomando a norma L

      ∞

      para |ξ| ≤ 1, segue que

      I

      3 (t)

      |ξ|≤1

      k

      e

      −

    ε

      

    5

    |ξ|

      2α−2θ t

      2 kb u

      1

      3 (t) = C

      Desenvolvendo agora, a terceira integral em temos que

      então, tomando a norma L

      − ε

      1

      2 L

      dξ = C

      Z

      |ξ|≤1

      e

      5 |ξ|

      −α

      

    2α−2θ

    t

      (−∆)

      − α

      2

      u

      1

      b u

      |ξ|

      1

      I

      ∞

      e usando a definição de ˙ W

      −α,1

      (R

      n

      ), temos

      2

      

    2α−2θ

    t

      (t) ≤ C

      Z

      |ξ|≤1

      e

      − ε

      5 |ξ|

      2 L

      dξ = C

      1 .

      2α−2θ t

      2 ˙ W

      α,

      |ξ|≤1

      e

      − ε

      5 |ξ|

      dξ ≤ C (1 + t)

      1

      −

    n

    (2α−2θ)

      ku

      1

      k

      2 ˙ W

      α,

      k

      (t) ≤ C ku

      (−∆)

      e

      − α

      2

      u

      1

      

    2

    L

      1 Z |ξ|≤1

      − ε

      2

      5 |ξ|

      2α−2θ t dξ.

      Usando a definição de norma em ˙ W

      −α,1

      e o Lema obtemos

      I

    • C Z
    • Ce
    • Ce

    • Ce

      R n

      p

      (τ )

      2 L ∞ dξdτ

      − ε

      10 (t−τ )

      Z

      1 + |ξ|

      2α−2θ (t−τ )

      2(2α−δ)

      c u

      p

      (τ, ξ)

      2 dξdτ.

      Usando mais uma vez o Lema para a integral sobre a região de baixa frequência e a definição de norma em H

      2 c u

      5 |ξ|

      (R

      , essa estimativa implica que

      c u

      p

      (τ, ξ)

      2

      dξdτ e tomando a norma L

      ∞

      I

      − ε

      4

      (t) ≤ C

      Z

      t

      Z

      |ξ|≤1

      e

      s

      n

      1 + |ξ|

      dτ

      ≤ C Z t ku

      p

      (τ ) k

      2 L

    1 (1 + t

      − τ)

      − n (2α−2θ)

      t

      (τ ) k

      e

      − ε

      10 (t−τ )

      ku

      p

      (τ ) k

      2 H 2α−δ dτ

      p

      ), obtemos

      2 L

      I

      4

      (t) ≤ C

      Z t ku

      p

      (τ ) k

      1 Z |ξ|≤1

      ku

      e

      − ε

      5 |ξ|

      2α−2θ (t−τ )

      dξdτ

      − ε

      10 (t−τ )

      2(2α−δ)

      10 (t−τ )

      2 H 2α−δ dτ.

      ku

      1

      k

      2 L 1 (1 + t)

      −

    n

    2α−2θ

      − ε

      10 t

      1

      2 H α

      k

      2 H α

      ≤ C (1 + t)

      − n 2α−2θ

      ku

      

    1

      ≤ C ku

      k

      2 L 1 +

      1 Z |ξ|≤1

      I

      3

      (t) ≤ C ku

      1

      k

      2 L

      e

      1

      −

    ε

      

    5

    |ξ|

      2α−2θ t

      dξ

      − ε

      10 t

      ku

      k

      ku

      − ε

      2(2α−δ)

      |ξ|≤1

      e

      − ε

      5 |ξ|

      2α−2θ

    (t−τ )

      1 + |ξ|

      u

      dξdτ ≤ C

      p

      (τ, ξ)

      2

      dξdτ

      |ξ|≥1

      e

      Z t Z

      2

      1

      R n

      k

      2 H α .

      Desenvolvendo a quarta e última integral em temos que

      I

      4

      (t) = C Z t Z

      e

      (τ, ξ)

      −

      1

      5 ρ(ξ)(t−τ )

      1 + |ξ|

      2(2α−δ)

      c u

      p

    • C Z t Z
    • C Z t e
    • C Z t e
    • C Z
    • e

    • e

      2 H 2α−δ

      (τ )) k

      t

      k(u(τ), u

      

    n (2α−2θ)

      (1 + t − τ)

      n (2α−2θ)

      (1 + t)

      ×H α

      ) k

      ×H α dτ, para todo t &gt; 0.

      1

      k(u , u

      α,

    1 +

      2 ˙ W

      k

      1

      ku

      1 +

      2p H 2α−δ

      Posto isso, definimos a função M

      2 L

      2 H 2α−δ

      ×H α

      2 H 2α−δ

      k

      t (τ ))

      N (τ ) := k(u(τ), u

      (5.9) Observação 5.2 Definindo a função

      o .

      ×H α

      (τ )) k

      1

      t

      k(u(τ), u

      n (2α−2θ)

      n (1 + τ )

      0≤τ ≤t

      (t) = sup

      1

      M

      : [0, ∞) −→ [0, ∞), por

      1 ×L

      ) k

      , podemos reescrever a integral em na forma Z t

      ku

      − ε

      − n (2α−2θ)

      − τ)

      Z t (1 + t

      dτ ≤ C

      2 H 2α−δ

      (τ ) k

      p

      10 (t−τ )

      ku(τ)k

      − ε

      − n (2α−2θ)

      − τ)

      Z t (1 + t

      (t) ≤ C

      4

      I

      2 , resulta

      Por fim, aplicando o Lema para s = 2α − δ &gt; n

      10 (t−τ )

      2p H 2α−δ

      1

      n (2α−2θ)

      ≤ C k(u , u

      

    ×H

    α (5.8)

      2 H 2α−δ

      (t)) k

      t

      k(u(t), u

      n (2α−2θ)

      a desigualdade demonstrada no Lema obtemos (1 + t)

      Agora, multiplicando por (1 + t)

      dτ ≤ C

      1 , I 2 , I 3 e I 4 , concluímos de a demonstração do Lema.

      I

      Portanto, somando as estimativas obtidas acima para as integrais

      dτ para todo t &gt; 0 e p &gt; 1.

      2p H 2α−δ

      ku(τ)k

      − n (2α−2θ)

      − τ)

      Z t (1 + t

    • C Z t

      n n − p

      (2α−2θ) (2α−2θ)

      N dτ (1 + t) (1 + t (τ )

      − τ)

      n p

      Z t

      p (2α−2θ) n n

      N (1 + τ ) (τ )

      − (2α−2θ) (2α−2θ) n dτ

      = (1 + t) (1 + t − τ)

      p (2α−2θ)

      (1 + τ )

      p n (2α−2θ)

      Z t N

      (1 + τ ) (τ )

      n n −

      = (1 + t) (1 + t np − τ)

      (2α−2θ) (2α−2θ) dτ.

      (2α−2θ)

      (1 + τ ) Da definição de M em temos que

      1 p

      n n o

      p (2α−2θ)

      N sup (1 + τ ) (τ ) (t) ≤ M

      1

      de onde segue que Z t

      n n − p

      (2α−2θ) (2α−2θ)

      N dτ (1 + t) (1 + t (τ )

      − τ)

      t

      Z

      np n n p −

      (2α−2θ) (2α−2θ) (2α−2θ)

      = M (t) (1 + t) (1 + τ ) (1 + t dτ

      1 − τ)

      n e então, usando o Lema com a = &gt; 1, obtemos (2α

      − 2θ) Z t

      n n

    p p

      (2α−2θ) (2α−2θ)

      N dτ (1 + t) (1 + t (τ ) (t)C,

      − τ) ≤ M

      1

      para alguma constante positiva C(n, p, θ), desde que n &gt; 2α − 2θ.

      Considerando a Observação que

      n

      2 (2α−2θ) 2α−δ

      (1 + t) t ) α (5.10) k(u, u k

      H ×H

      2

      2 2 p

      , u

      1

      1 1 , u 2α−δ 1 )

      1 ˙ α, 1 ) α + CM (t),

      ≤ C k(u k ku k k(u k

      

    L ×L W H ×H

      1 para todo t &gt; 0.

    2 L

    • CM

    2 L

    • ku
    • k(u

      1

      1

      Então, pela continuidade de M

      

    1

    .

      (0) &lt; M

      1

      , segue que M

      1

      &lt; M

      1

      e, assumindo a hipótese adicional que CI

      (0) = CI

      (t)) ≥ 0, para todo t &gt; 0. Segue do Lema possui um

      1

      

    1

      1 (t) não pertence ao intervalo onde F (M ) &lt; 0.

      &lt; 0. Logo, M = M

      1

      ≤ ε, então F M

      1

      &gt; 0 e existe ε &gt; 0 tal que, se 0 &lt; I

      

    1

      único ponto de mínimo global M

      Por outro lado, M

      1

      (t), concluímos que M

      1

      , ∀ t ≥ 0.

      − n (2α−2θ)

      (1 + t)

      1

      ≤ M

      α

      2α−δ ×H

      ) k

      t

      para todo t ≥ 0 e consequentemente, k(u, u

      o ≤ M

      (t) ≤ M

      ×H α

      2 H 2α−δ

      k

      t )

      k(u, u

      n (2α−2θ)

      n (1 + τ )

      0≤τ ≤t

      , para todo t ≥ 0, ou seja, sup

      1

      Além disso, F é contínua e pela desigualdade obtida em temos que F (M

      é contínua e M

      1 (t) ≥ 0, para t ≥ 0.

      ≤ C k(u , u

      k(u , u

      α,

    1 +

      2 ˙ W

      k

      1

      ku

      1 +

      1 ×L

      ) k

      1

      o (5.11)

      ) k

      ×H α

      2 H 2α−δ

      (τ )) k

      t

      k(u(τ), u

      n (2α−2θ)

      n (1 + τ )

      0≤τ ≤t

      (t) = sup

      1

      Tomando agora o supremo em ambos os lados de resulta M

      1

      2 H 2α−δ

      1

      1

      Da definição em M

      ×H α .

      2 H 2α−δ

      k

      1 )

      , u

      1

      α,

      2 ˙ W

      k

      1

      1 ×L

      ×H α + CM p

      k

      1 )

      = k(u , u

      1

      − M, (5.12) onde p &gt; 1 e I

      p

      1

      (M ) = CI

      Com o objetivo de concluir a obtenção de taxas de decaimento para o problema semilinear, definimos a função F : [0, ∞) −→ [0, ∞) por F

      (t), para todo t &gt; 0.

      1

    2 H

      Portanto, segue da estimativa obtida anteriormente em que Z

      n

      2

      2 2 − 2α 2δ

      1

      u u u dξ

    • (2α−2θ)
    • 1 + (1 + t)

      t

      |b | |ξ| |b | |ξ| |b | ≤ M

      n R

      e então, usando a Identidade de Plancherel (Teorema obtemos Z

      n

      2

      2

      

    2

    2 − δ α

      1

      (2α−2θ) t t )u (1 + t) R n

      u dx ,

    • |u | (−∆) |(−∆ | |u| ≤ M +

      para todo t &gt; 0, o que conclui a demonstração do teorema a seguir. Teorema 5.1 (Decaimento Polinomial) Seja n a dimensão do es-

      α paço, com 2α ,

      − 2θ &lt; n &lt; 2(2α − δ) e sejam 0 ≤ δ ≤ θ, 0 ≤ θ ≤

      2 α α

    • δ

      , p &gt; 1 um número inteiro e dados iniciais ≤ γ ≤

      2

      2

      1 n 2α−δ n 1 n α n −α,1 n (u , u ) (R ) (R ) L (R ) (R ) W (R ) .

      1

      ∈ L ∩ H × ∩ H ∩ ˙ Sejam ainda,

      2

      2

      2

      1 I

      , u − , u , = )

      1 1 ˙ α,

      1 ) 2α−δ α

      1

      1

      1

      k(u k L ×L ku k W k(u k H ×H

      2 M , u

      (0) = ) 2α−δ α

      1

      1

      k(u k H ×H

      1 2 p

      &gt; e M 0 o mínimo global da função F (M ) = CI + CM − M, para

      M ≥ 0, com C &gt; 0 a constante da estimativa em

      1

      1 Então existe ε &gt; 0 tal que, se 0 &lt; I 1 (0) &lt; M , vale a

      ≤ ε e M

      2

      seguinte estimativa para a energia total e para a norma L da solução do problema de Cauchy associado à equação semilinear em Z

      n

      2 2 δ α

      

    2

      2 1 − (2α−2θ)

      t t

      u )u dx (1 + t) , + + +

      |u | (−∆) |(−∆ | |u| ≤ M

      n R para todo t &gt; 0.

      α α

    • δ

      5.2 Caso &lt; θ ≤ δ ≤ θ e ≤

      

    2

      2 De acordo com a definição de ρ(ξ) dada em

      α α

    • δ para , temos que

      ≤ θ ≤

      2

      2

      2θ

      |ξ|

      n ρ (ξ) = ε , .

      ∀ ξ ∈ R

      

      (1 + ) |ξ|

      Assim como na seção anterior, também aqui estimamos ρ(ξ) na baixa frequência e na alta frequência, como abaixo.

      2θ

      |ξ| ;

    a) Para 0 < |ξ| ≤ 1, temos que ρ(ξ) ≥ ε

      2

      2θ 2θ

      ε |ξ| |ξ| = .

    b) Para |ξ| ≥ 1, temos que ρ(ξ) ≥ ε ≥

      2δ 2θ

      2

      2

      2 |ξ| |ξ|

      Lema 5.2 Seja n a dimensão do espaço, com 2θ &lt; n &lt; 2(2α − δ) e

      α α + δ α α + δ &lt; θ sejam 0 , e p &gt; 1 um número

      ≤ δ ≤ θ, ≤ ≤ γ ≤

      2

      2

      2

      2 inteiro. Então, para dados iniciais

      1 n 2α−δ n 1 n α n −α,1 n

      , u L W , (u ) (R ) (R ) (R ) (R ) (R )

      1

      ∈ L ∩ H × ∩ H ∩ ˙ temos que

      2 2α−δ α t (t))

      k(u(t), u k

      H ×H n

      −

      2

      2

      2 2θ

      , u )

      1 1 α,

      1 , u ) 2α−δ α

      1 1 ˙

      1

      ≤ C (1 + t) k(u k ku k k(u k

      L ×L W H ×H t

      Z

      n − 2p

      2θ

    • C (1 + t ) 2α−δ dτ,

      

    t α

      − τ) k(u, u k

      H ×H para todo t &gt; 0.

      Demonstração . Assim como na demonstração do Lema separando-as na região de baixa

      1

      2

      3

      4

    • C Z
    • Ce

      − ε

      ku k

      − n 2θ

      ≤ C (1 + t)

      2 H 2α−δ

      ku k

      10 t

      − ε

      1 (1 + t) − n 2θ

      ≤ C ku k

      2 H 2α−δ

      ku k

      10 t

      dξ

      ku k

      2θ t

      

    10

    |ξ|

      −

    ε

      e

      |ξ|≤1

      Z

      2 L

      ≤ C kb u k

      1 (t)

      I

      ), segue que

      n

      

    2

    L 1 +

      2 H 2α−δ .

      s

      dξ ≤ C

      dξ

      2

      1

      b u

      −α

      |ξ|

      2θ t

      

    10

    |ξ|

      

    ε

      e

      |ξ|≤1

      Z

      2

      Desenvolvendo a segunda integral em temos que

      |

      1

      |b u

      −2α

      |ξ|

      

    5

    ρ(ξ)t

      

    1

      

      e

      |ξ|≤1

      Z

      2 (t) = C

      I

      (R

      Usando o Lema para a integral sobre a região de baixa frequên- cia e a definição de norma em H

      e

      Z

      |ξ|≥1

      dξ

      2

      |b u |

      2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      2θ t

      10 |ξ|

      − ε

      e

      |ξ|≤1

      dξ ≤ C

      − ε

      2

      |b u |

      2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      5 ρ(ξ)t

      1

      −

      e

      R n

      Z

      1 (t) = C

      I

      2 dξ.

      10 t

      frequência e na região de alta frequência e usamos as estimativas para ρ (ξ), obtidas nos itens (a) e (b) acima.

      10

    |ξ|

      |b u |

      2(2α−δ)

      1 + |ξ|

      R n

      Z

      10 t

      − ε

      dξ

      2 L

      2 kb u k

      

    t

      − ε

      1 + |ξ|

      e

      |ξ|≤1

      Z

      (t) ≤ C

      1

      I

      na região de baixa frequência, temos

      ∞

      dξ e então, tomando a norma L

      2

      |b u |

      2(2α−δ)

      Nesse sentido, desenvolvendo a primeira integral em temos

    • Ce

    2 L

    • Ce

    1 Z

      − ε

      1 + |ξ|

      

    10

    t

      −

    ε

      e

      |ξ|≥1

      dξ

      2

      |

      1

      |b u

      2α

      1 + |ξ|

      2θ t

      10

    |ξ|

      e

      |b u

      1 + |ξ|

      Z

      R n

      e

      −

      1

      5 ρ(ξ)t

      2α

      |ξ|≤1

      |b u

      1

      |

      2

      dξ ≤ C

      Z

      2α

      1

      I

      1

      10 t

      Z

      

    R

    n

      1 + |ξ|

      2α

      |b u

      |

      dξ

      2 dξ.

      Usando novamente o Lema para a integral sobre a região de baixa frequência e a definição de norma em H

      s

      (R

      n

      ), obtemos

      − ε

      2 L

      |

      ≤ C Z

      2

      dξ e então, tomando a norma L

      ∞

      para |ξ| ≤ 1, segue que

      I

      3 (t)

      |ξ|≤1

      k

      e

      −

    ε

      

    10

    |ξ|

      2θ t

      2 kb u

      1

      3 (t) = C

      Desenvolvendo agora, a terceira integral em temos que

      então, tomando a norma L

      − ε

      1

      2 L

      dξ = C

      Z

      |ξ|≤1

      e

      10

    |ξ|

      −α

      

    t

      (−∆)

      − α

      2

      u

      1

      b u

      |ξ|

      1

      I

      ∞

      e usando a definição de ˙ W

      −α,1

      (R

      n

      ), temos

      2

      

    t

      (t) ≤ C

      Z

      |ξ|≤1

      e

      − ε

      10

    |ξ|

      2 L

      dξ ≤ C

      1 .

      2θ t

      2 ˙ W

      

    α,

      |ξ|≤1

      e

      − ε

      10 |ξ|

      dξ ≤ C (1 + t)

      1

      −

    n

      ku

      1

      k

      2 ˙ W

      α,

      k

      (t) ≤ C ku

      (−∆)

      e

      − α

      2

      u

      

    1

      2 L

      1 Z |ξ|≤1

      − ε

      2

      10 |ξ|

      2θ t dξ.

      Usando a definição de norma em ˙ W

      −α,1

      e o Lema obtemos

      I

    • C Z
    • Ce

      Z

      ε 2θ ε

      2

      2 − |ξ| t − t

      

    10

      (t)

      1 + Ce α

      3

      1

      10 I e dξ

      1

      ≤ C ku k L ku k H

      |ξ|≤1

    n

    ε

      2 −

      2 − t

      10 1 (1 + t) + Ce α

      1

      1

      ≤ C ku k L ku k H

      n −

      

    2

      2

    • 2θ 1 α .

      1

      1

      ≤ C (1 + t) ku k L ku k H Desenvolvendo a quarta e última integral em temos que

      Z t Z

      1

      2

    − ρ(ξ)(t−τ ) 2(2α−δ)

    p

      (t) = C 1 + c (τ, ξ)

      4

    5 I e u dξdτ

      |ξ|

      n R

      Z t Z

      ε 2θ

      2 − |ξ| (t−τ ) 2(2α−δ) 10 p

      e 1 + u (τ, ξ) dξdτ ≤ C |ξ|

      |ξ|≤1

      Z t Z

      ε

      2 − (t−τ ) 2(2α−δ) p

      10

      e u dξdτ

    • C 1 + c (τ, ξ)

      |ξ|

      |ξ|≥1 ∞

      e tomando a norma L , essa estimativa implica que

      t

      Z Z

      ε 2θ

      2 − |ξ| (t−τ )

    10 p

      I (t) e 2 u (τ ) ∞ dξdτ

      4 c

      ≤ C

      L |ξ|≤1

      Z t Z

      ε

      2

    − (t−τ ) 2(2α−δ)

    p

    • C 1 + c (τ, ξ)

      10 e u dξdτ.

      |ξ|

      R n

      Usando mais uma vez o Lema para a integral sobre a região de

      s n

      baixa frequência e a definição de norma em H (R ), obtemos Z t Z

      ε 2θ

      2 p − |ξ| (t−τ )

      4

      10 I (t) (τ ) 1 e dξdτ

      ≤ C ku k L

      |ξ|≤1

      Z t

      ε

      2 − (t−τ ) p

      10

    • C e (τ ) 2α−δ dτ ku k

      H

      Z t

      n 2 − p

      2θ

      dτ (τ )

      1 (1 + t

      ≤ C ku k L − τ)

      t

      Z

      ε − (t−τ ) p

      2

      10 + C e (τ ) 2α−δ dτ.

      ku k

      H Por fim, usando o Lema na última estimativa e em seguida, o n , resulta

      Lema para s = 2α − δ &gt;

    2 Z t

      n ε −

      2 − (t−τ ) p 2θ

      dτ (t) (1 + t + e (τ ) 2α−δ

      4

      10 I

      ≤ C − τ) ku k H Z t

      n ε − 2p − (t−τ )

      2θ

      10

      dτ (1 + t + e 2α−δ

      ≤ C − τ) ku(τ)k

      H

      Z t

      n

    − 2p

      2θ

      dτ, (1 + t 2α−δ

      ≤ C − τ) ku(τ)k

      H para todo t &gt; 0 e p &gt; 1.

      Portanto, somando as estimativas obtidas acima para as integrais

      I

      1 , I 2 , I 3 e I

    4 , concluímos de a demonstração do lema.

    n 2θ

      Agora, multiplicando por (1 + t) a desigualdade demonstrada no Lema obtemos

      n

      2 2θ

      (1 + t) (t)) 2α−δ α (5.13)

      t

      k(u(t), u k

      H ×H

      2

      

    2

      2

      , u )

      1 1 α,

      1 , u ) 2α−δ α

      1 1 ˙

      1

      ≤ C k(u k ku k k(u k

      L ×L W H ×H

      Z t

      n n − 2p

      2θ 2θ

    • C (1 + t) (1 + t (τ )) 2α−δ α dτ,

      t

      − τ) k(u(τ), u k

      H ×H para todo t &gt; 0.

      Posto isso, definimos a função M : [0,

      2

      ∞) −→ [0, ∞), na forma n n o

      2 2θ

      M .

      (t) = sup (1 + τ ) (τ )) 2α−δ α (5.14)

      2 t

      k(u(τ), u k H ×H

      0≤τ ≤t

      Observação 5.3 Assim como na Observação definindo a função

      2 N 2α−δ ,

      (τ ) := t (τ )) α k(u(τ), u k

      H ×H podemos reescrever a integral em na forma Z t

      n n − p

      2θ 2θ

      N dτ (1 + t) (1 + t (τ )

      − τ)

      n p

      Z t p

      2θ n n

      N (1 + τ ) (τ )

      

    2θ 2θ n dτ

      = (1 + t) (1 + t − τ)

      p 2θ

      (1 + τ )

      p n 2θ

      Z t N

      (1 + τ ) (τ )

      n n

      = (1 + t) (1 + t np − τ)

      2θ 2θ dτ.

      2θ

      (1 + τ ) Da definição de M em temos que

      2 p

      n n o

      p 2θ

      N sup (1 + τ ) (τ ) (t) ≤ M

      2

      de onde segue que Z t

      n n

    p

      2θ 2θ

      N dτ (1 + t) (1 + t (τ )

      − τ)

      t

      Z

      np n n

    p −

      2θ 2θ 2θ

      (t) (1 + t) (1 + τ ) (1 + t dτ ≤ M

      

    2 − τ)

      n e então, usando o Lema com a = &gt; 1, obtemos 2θ

      Z t

      n n − p p

      2θ 2θ

      N dτ (1 + t) (1 + t (τ ) (t)C,

      − τ) ≤ M

      2 para alguma constante positiva C(n, p, θ), desde que n &gt; 2θ.

      Considerando a Observação que

      n

      2 2θ

      (1 + t) ) 2α−δ α (5.15)

      t

      k(u, u k H ×H

      2

      2

      2 p

      , u − , u ) + +

      1 1 α, 1 ) 2α−δ α + CM (t),

      1 1 ˙

      1

      ≤ C k(u k L ×L ku k W k(u k H ×H

      2 para todo t &gt; 0.

    2 L

    • CM

    2 L

    • ku
    • k(u

      2

      2

      Então, pela continuidade de M

      

    2

    .

      (0) &lt; M

      2

      , segue que M

      2

      &lt; M

      2

      e, assumindo a hipótese adicional que CI

      (0) = CI

      (t)) ≥ 0, para todo t &gt; 0. Segue do Lema possui um

      2

      

    2

      2 (t) não pertence ao intervalo onde F (M ) &lt; 0.

      &lt; 0. Logo, M = M

      2

      ≤ ε, então F M

      2

      &gt; 0 e existe ε &gt; 0 tal que, se 0 &lt; I

      

    2

      único ponto de mínimo global M

      Por outro lado, M

      2

      (t), concluímos que M

      2

      , ∀ t ≥ 0.

      − n 2θ

      (1 + t)

      

    2

      ≤ M

      α

      2α−δ ×H

      ) k

      t

      , para todo t ≥ 0 e consequentemente, k(u, u

      o ≤ M

      (t) ≤ M

      ×H α

      2 H 2α−δ

      k

      t )

      k(u, u

      n 2θ

      n (1 + τ )

      0≤τ ≤t

      , para todo t ≥ 0, ou seja, sup

      2

      Além disso, F é contínua e pela desigualdade obtida em temos que F (M

      é contínua e M

      2 (t) ≥ 0, para t ≥ 0.

      ≤ C k(u , u

      k(u , u

      α,

    1 +

      2 ˙ W

      k

      1

      ku

      1 +

      1 ×L

      ) k

      1

      o (5.16)

      ) k

      ×H α

      2 H 2α−δ

      (τ )) k

      

    t

      k(u(τ), u

      n 2θ

      n (1 + τ )

      0≤τ ≤t

      (t) = sup

      2

      Tomando agora o supremo em ambos os lados de resulta M

      1

      2 H 2α−δ

      2

      1

      Da definição em M

      ×H α .

      2 H 2α−δ

      k

      1 )

      , u

      1

      α,

      2 ˙ W

      k

      1

      1 ×L

      ×H α + CM p

      k

      1 )

      = k(u , u

      2

      − M, (5.17) onde p &gt; 1 e I

      p

      2

      (M ) = CI

      Com o objetivo de concluir a obtenção de taxas de decaimento para o problema semilinear, definimos a função F : [0, ∞) −→ [0, ∞) por F

      (t), para todo t &gt; 0.

      2

    2 H

      Portanto, segue da estimativa obtida anteriormente em que Z

      n

      2

      2 2 − 2α 2δ

      2

      u u u dξ ,

    • 1 + (1 + t)

      t

      |b | |ξ| |b | |ξ| |b | ≤ M

      n R

      e então, usando o Teorema de Plancherel (Teorema obtemos Z

      n

      2

      2

      2 2 − δ α

      2 2θ

      u dx ,

      

    t t (1 + t)

    • )u

      |u | (−∆) |(−∆ | |u| ≤ M

      R n para todo t &gt; 0, o que conclui a demonstração do teorema a seguir.

      Teorema 5.2 (Decaimento Polinomial) Seja n a dimensão do es- α α

    • δ paço, com 2θ &lt; n &lt; 2(2α &lt; θ ,

      − δ) e sejam 0 ≤ δ ≤ θ, ≤

      2

      2 α α

    • δ

      , p &gt; 1 um número inteiro e dados iniciais ≤ γ ≤

      2

      2

      1 n 2α−δ n 1 n α n −α,1 n (u , u ) (R ) (R ) L (R ) (R ) W (R ) .

      1

      ∈ L ∩ H × ∩ H ∩ ˙ Sejam ainda,

      2

      2

      2

      2 I , u − , u ,

      = ) + +

      1 1 ˙ α, 1 ) 2α−δ α

      1

      1

      1

      k(u k L ×L ku k W k(u k H ×H

      2 M , u

      (0) = ) 2α−δ α

      2

      1

      k(u k H ×H

      2 2 p

      &gt; e M 0 o mínimo global da função F (M ) = CI + CM − M, para

      M ≥ 0, com C &gt; 0 a constante da estimativa em

      2

      2 Então existe ε &gt; 0 tal que, se 0 &lt; I 2 (0) &lt; M , vale a

      ≤ ε e M

      2

      seguinte estimativa para a energia total e para a norma L da solução do problema de Cauchy associado à equação semilinear em Z

      n

      2 2 δ α

      2

      2 2 − 2θ

      t t

      u )u dx (1 + t) , + + +

      |u | (−∆) |(−∆ | |u| ≤ M

      n R para todo t &gt; 0. Observação 5.4 As taxas de decaimento obtidas no Teorema para

      2

      a norma L da solução do problema associado à equação semilinear, são diferentes das taxas obtidas no Capítulo para o problema associado à equação linear.

      2 Lembramos que, para o problema linear, as taxas para a norma L

      α da solução, obtidas no caso em que 0 , são ≤ θ ≤

      2

      (n−4θ)

      α

      − +ǫ (2α−2θ)

      t , para n ; ≥ 3α e 0 ≤ θ ≤

      2

      (n−4θ)

      (n

      − +ǫ

      − 2α)

      (2α−2θ)

      t , para 2α &lt; n &lt; 3α e 0 ; ≤ θ ≤

      2

      (n−2α)

      (n α

      − +ǫ − 2α) 2θ

      t , &lt; θ , para 2α &lt; n &lt; 3α e ≤

      2

      2

      n −

      (2α−2θ)

      enquanto que, para o problema semilinear, a taxa é t , que é melhor do que as citadas acima, mas mediante a exigência de maior regularidade e pequenez sobre os dados inicias do problema, bem como hipóteses sobre a dimensão do espaço.

      Para a energia total associada ao sistema, as taxas obtidas no caso α em que 0 , são

      ≤ θ ≤

      2

      (n+2α−4θ)

      α

      − +ǫ (2α−2θ)

      t , para n ; ≥ α e 0 ≤ θ ≤

      2

      (n+2α−4θ)

      n

      − +ǫ (2α−2θ)

      t , para 1 ; ≤ n &lt; α e 0 ≤ θ ≤

      2

      n n α − +ǫ

      2θ

      t , &lt; θ , para 1 ≤ n &lt; α e ≤

      2

      2

      n −

      (2α−2δ) enquanto que, para o problema semilinear obtemos t .

      A diferença entre as taxas obtidas para este caso, se deve ao fato de termos usado outro método para a obtenção das taxas (ver

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