A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

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CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

(Mestrado)

Topologia de Ramos Planos

MARCELO OSNAR RODRIGUES DE ABREU Orientador: Marcelo Escudeiro Hernandes

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MARCELO OSNAR RODRIGUES DE ABREU

Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os - Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departa-mento de Matem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Ma-ring´a, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

´

Area de concentra¸c˜ao: ´Algebra

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes

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A minha fam´ılia por toda estrutura que me possibilitou dedicar aos estudos.

A minha namorada, Aline, pelo apoio e ajuda na corre¸c˜ao do texto.

Ao Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes, por toda a ajuda e ensinamentos desde o

in´ıcio da gradua¸c˜ao.

Ao programa de pos-gradua¸c˜ao em matem´atica, a L´ucia e aos professores pela boa

forma¸c˜ao que me proporcionaram.

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Neste trabalho, estudamos a topologia de curvas planas em C2. Mais especificamente, a equivalˆencia topol´ogica de curvas planas ´e caracterizada por meio dos pares de Puiseux.

Estabelecemos que duas curvas s˜ao topologicamente equivalentes somente no caso em que

elas possuem os mesmos pares de Puiseux. Al´em disso, apresentamos um m´etodo para se

obter uma parametriza¸c˜ao da curva, que possibilita a computa¸c˜ao dos pares de Puiseux.

Palavras-chaves: germes, singularidade, expans˜ao de Puiseux, pares de Puiseux, n´o,

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In this work, we study the topology of plane curves in C2. More precisely, the topo-logical equivalence of plane curves is characterized by means the Puiseux pairs. We have

established that two curves are topologically equivalent only in the case that they have

the same Puiseux pairs. Moreover, we present a method to obtain a parametrization of

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Introdu¸c˜ao ix

1 Investiga¸c˜ao Local 1

1.1 Anel Local . . . 1

1.2 Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass . . . 8

2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos 19

2.1 Conjuntos Anal´ıticos . . . 19

2.2 Decomposi¸c˜ao de um Conjunto Anal´ıtico em Componentes Irredut´ıveis . . 25

2.3 Pontos Regulares e Singulares de um Conjunto Anal´ıtico . . . 27

2.4 Dimens˜ao de um Conjunto Anal´ıtico . . . 31

3 Expans˜ao de Newton-Puiseux 37

3.1 Parametriza¸c˜ao pelo M´etodo de Newton . . . 37

3.2 Convergˆencia da Expans˜ao de Puiseux . . . 48

4 Equivalˆencia Topol´ogica 53

4.1 Resolu¸c˜ao de Singularidades e Tran¸cas . . . 53

4.2 Pares de Puiseux . . . 63

4.3 Equivalˆencia Topol´ogica . . . 68

Bibliografia 91

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Na d´ecada de 20 do s´eculo passado, matem´aticos come¸caram a utilizar t´ecnicas

alg´e-bricas para estudar propriedades geom´etricas de certos objetos, desde ent˜ao expandiu-se

a Geometria Alg´ebrica.

Um dos problemas que ilustram esta associa¸c˜ao de ideias de sub´areas distintas da

Matem´atica foi o da classifica¸c˜ao topol´ogica de curvas irredut´ıveis planas anal´ıticas. Este

´e o principal objetivo deste trabalho.

Embora nossa meta seja o estudo de curvas planas definidas por fun¸c˜oes holomorfas em

duas vari´aveis, vamos sempre que poss´ıvel apresentar resultados para fun¸c˜oes em v´arias

vari´aveis, pois acreditamos que a inclus˜ao de tais resultados em um texto possa ser ´util

para estudos posteriores. Isto justifica a abordagem usada no cap´ıtulo 1.

No cap´ıtulo 2 trabalhamos com germes de conjuntos anal´ıticos, especialmente com

hipersuperf´ıcies, ou seja, o conjunto de zeros de uma fun¸c˜ao holomorfa. O ponto crucial

´e a existˆencia de um homomorfismo entre o anel das fun¸c˜oes holomorfas emx0, denotado

por OCn,x

0, e o anel das s´eries convergentes C{x1, . . . , xn}. Desta forma, fazemos uma

liga¸c˜ao entre os germes e as s´eries de potˆencias convergentes, podendo assim usar v´arios

resultados importantes tais como Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita e o Teorema de Prepara¸c˜ao

de Weierstrass.

Os objetivos centrais deste trabalho s˜ao as curvas anal´ıticas planas que podem ser

descritas como conjuntos de pontos de C2 que anulam uma fun¸c˜ao holomorfa em OC2,0.

Tal conjunto pode ser parametrizado. Deste modo, apresentamos o m´etodo de Newton

que permite obtermos uma parametriza¸c˜ao de uma curva plana dada pela sua equa¸c˜ao.

Na sequˆencia provamos a convergˆencia da parametriza¸c˜ao. Assim, dada uma curva plana,

podemos trabalhar com o germe de conjunto anal´ıtico (conjunto de zeros) associado a ela

e, partindo do conjunto anal´ıtico, podemos obter a parametriza¸c˜ao da curva associada ao

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vizinhan¸cas U e V dex ey, respectivamente, em C2 e um homeomorfismo φ :U V tal que φ(x) =y e φ(X∩U) =Y ∩V.

As vizinhan¸cas U e V podem ser polidiscos ou bolas, uma vez que s˜ao objetos ho-meomorfos. De posse de crit´erios bem definidos, estabelecemos o que significa uma bola

Sε ter raio ε suficientemente pequeno. Feito isto, ao fixar uma bola suficientemente

pe-quena, pelo Lema de Redu¸c˜ao ao Cone, conclu´ımos que as informa¸c˜oes topol´ogicas da

curva dependem apenas do n´o K =XSε, ondeSε ´e a 3-esfera em C2.

Sendo o n´o completamente determinado pela sua ordem e seu tipo, e sabendo que o

tipo do n´o ´e completamente determinado pelos pares de Puiseux da curva, conclu´ımos

o trabalho com a classifica¸c˜ao topol´ogica das curvas mediante os pares caracter´ısticos, os

quais podem ser determinados atrav´es da parametriza¸c˜ao da curva obtida pelo m´etodo

de Newton.

Deste modo, o tipo topol´ogico de uma curva plana irredut´ıvel ´e totalmente

caracteri-zado por um conjunto finito de dados num´ericos.

A grande importˆancia dos pares de Puiseux neste contexto consiste no fato de serem

um invariante topol´ogico completo. Posteriormente descobriu-se outros objetos

equiva-lentes que determinam e s˜ao determinados pela classe topol´ogica de uma curva plana, por

exemplo, o semigrupo de valores e a sequˆencia de multiplicidades obtida pelo processo de

resolu¸c˜ao canˆonica da curva. Tais objetos n˜ao ser˜ao abordados neste texto, mas podem

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Investiga¸

ao Local

H´a dois aspectos ao se estudar curvas planas, o local e o global. Nosso objetivo ´e o

estudo local.

Neste cap´ıtulo vamos descrever o que entendemos por “estudo local”, bem como al-gumas propriedades alg´ebricas decorrentes. Embora nossos objetos perten¸cam ao plano

complexoC2 cujo paralelo alg´ebrico ´e a C´algebraC{x, y}, sempre que poss´ıvel

apresen-tamos uma abordagem mais geral, ou seja, consideramos a C´algebraC{x1, . . . , xn}.

1.1

Anel Local

Na presente se¸c˜ao, faremos uma discuss˜ao heur´ıstica do que se entende por “local”neste

contexto.

Como exemplo ilustrativo, consideremos o plano complexo C2 e uma curva C dada pela equa¸c˜ao

y2 =x2(x+ 1),

ou seja, uma c´ubica plana. Vamos estudar esta curva atrav´es da parametriza¸c˜ao t

(x(t), y(t)), onde

x(t) = t21

y(t) = t3t,

a qual define uma aplica¸c˜ao φ que aplica a reta complexa Csobre a curva C. Os pontos

t = 1 e t = 1 s˜ao levados no ponto singular (0,0) de C. Al´em disso, a aplica¸c˜ao de

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aplica¸c˜ao bem definida. Assim, o ponto singular1 ´e representado por dois pontos em C

que ´e uma curva regular. Fora do ponto singular nada mudou.

Assim, a aplica¸c˜ao φ−1 : C C nos d´a um exemplo simples de uma passagem de

uma curva singular para uma curva regular, ilustrando o processo que iremos chamar de

resolu¸c˜ao de singularidades.

Agora, qual a vantagem de trocar um ponto singular por dois pontos?

Considere a interse¸c˜ao da curva Ccom uma vizinhan¸caU do ponto singular dada pelo polidisco

U ={(x, y); |x|< c, |y|<2c}

onde 0< c <1.

Claramente a condi¸c˜ao |y| < 2c´e satisfeita por pontos de C tais que |x| < c. Agora seja W =φ−1(UC) a pr´e-imagem de U C em C. Temos que

W ={t∈C; |t2 −1|< c}

que consiste de duas regi˜oes W− e W+, delimitadas por curvas denominadas ovais de

Cassini2

Figura 1.1:

A aplica¸c˜ao φ induz duas aplica¸c˜oes injetoras

φ : W+ ֒C2

φ : W− ֒C2

1

Iremos apresentar a defini¸c˜ao de ponto singular no Cap´ıtulo 2, aqui apenas a ideia intuitiva de que

em um ponto singular a reta tangente n˜ao ´e bem definida ´e o suficiente para o leitor.

2

Dados dois pontos A e B com distˆancia 2a e um n´umero positivo c, a curva de Cassini ´e a regi˜ao

formada por todos os pontos P tais queP A·P B=c2

. See= c

a <1, ent˜ao a curva de Cassini ´e dada

(19)

cujas imagens V±=φ(W±) s˜ao imagens biholomorfas de W±. Os conjuntos V+ eVse

interceptam, transversalmente, somente na origem e V+V=CU.

A interse¸c˜ao de C com a vizinhan¸ca U se divide em duas componentes V+ e Ve

uma vez que estas componentes s˜ao n˜ao singulares, o que chamamos de resolu¸c˜ao de

singularidade, neste caso, consiste simplesmente em separar as componentes.

Uma ideia intuitiva dessa situa¸c˜ao ´e dada pela figura abaixo que corresponde ao tra¸co

real das curvas.

Figura 1.2:

Note que o polinˆomio f(x, y) = y2 x2(x+ 1) C[x, y] ´e irredut´ıvel. Assim, a

decomposi¸c˜ao da curva em uma vizinhan¸ca particular do ponto singular n˜ao ´e reflexo da

decomposi¸c˜ao de f como polinˆomio. De fato, a curva C n˜ao pode se decompor em duas em todo o plano, somente em uma vizinhan¸ca suficientemente pequena da origem.

Isto levanta a quest˜ao; o que significa uma vizinhan¸ca ser suficientemente pequena? O

conceito mais elementar de vizinhan¸ca em Geometria Alg´ebrica ´e avizinhan¸ca (ou aberto) de Zariski. Uma vizinhan¸ca de ZariskiU de um pontox0 no plano ´e obtida, por exemplo,

removendo de C2 alguns pontos e algumas curvas que n˜ao passam por x0.

Mais especificamente, pontos e curvas no plano correspondem a conjuntos fechados.

Algebricamente uma opera¸c˜ao que leva em conta um ponto x0 ∈C2 ´e a localiza¸c˜ao do

(20)

saber tal opera¸c˜ao consiste em considerar o anel

C[x1, x2]M =

p

q; p, q ∈C[x1, x2], q6∈M

cujos elementos s˜ao fun¸c˜oes racionais sobre uma vizinhan¸ca U dex0, ou seja, quocientes

da forma pq, ondep e q s˜ao polinˆomios, cujo denominador n˜ao se anula em U.

Temos que C[x1, x2]M ´e um anel local, isto ´e, possui um ´unico ideal maximal, a saber,

o ideal formado pelos elementos pq tais quepM. O anel C[x1, x2]M tamb´em ´e chamado

de umalocaliza¸c˜ao deC[x1, x2] em x0 ou anel local alg´ebrico deC2 em x0.

Gostar´ıamos que ao interceptar a curva C com o aberto de Zariski U resultasse em uma decomposi¸c˜ao em duas componentes. Algebricamente, isto corresponderia a uma

fa-tora¸c˜aof =f1·f2 ∈C[x1, x2]M, ondef1 ef2pertenceriam ao ideal maximal deC[x1, x2]M.

Mas isso n˜ao acontece, uma vez que sefi = pqi

i compi ∈M eqi 6∈M, ent˜aoq1·q2·f =p1·p2 e consequentemente os fatores irredut´ıveis em M de p1 e p2 dividem f, contradizendo o

fato de que f ´e irredut´ıvel em C[x1, x2].

Podemos constatar geometricamente que a interse¸c˜ao deCcom o aberto de Zariski n˜ao pode se decompor em duas componentes. Isso ocorre porqueC∩U resulta deCremovendo alguns pontos e interse¸c˜oes com curvas, e consequentemente, apenas pela remo¸c˜ao de um

n´umero finito de pontos. Correspondentemente, a pr´e-imagem V = φ−1(C U) resulta

de C removendo-se um n´umero finito de pontos e, portanto, consiste de somente uma componente. Assim, temos que o aberto de Zariski ´e muito grande e que as curvas n˜ao se

decomp˜oem dentro dele.

Desta forma, vamos considerar uma vizinhan¸ca U de um ponto singular em C2 no mesmo sentido da topologia usual, por exemplo, um polidisco.

Tamb´em admitiremos outras fun¸c˜oes nessa vizinhan¸ca U como poss´ıveis fatores de f, a saber, todas as fun¸c˜oes que s˜ao holomorfas, isto ´e, localmente expans´ıveis em s´erie de

potˆencias convergente em U.

Deste modo, no polidisco U suficientemente pequeno, podemos considerar a fun¸c˜ao

x+ 1 (onde escolheremos um dos dois ramos da fun¸c˜ao raiz) que ´e uma fun¸c˜ao holomorfa bem definida uma vez que x+ 1 n˜ao se anula emU e U ´e simplesmente conexo.

Assim, podemos fatorar o polinˆomio f = y2 x2(x + 1) como f = f

1 · f2, onde

f1 =y+x

x+ 1 e f2 =y−x

x+ 1.

(21)

justamenteV−e o conjunto de zeros de f

2 ´eV+. Se denotarmos por O(U) o anel de todas

as fun¸c˜oes holomorfas em U, ent˜ao nesse anel temos a decomposi¸c˜aof =f1·f2.

Para muitos prop´ositos esta ´e uma descri¸c˜ao adequada da situa¸c˜ao, especialmente

quando estamos interessados nas propriedades topol´ogicas de uma curva na vizinhan¸ca

de um ponto singular.

Neste caso, interceptamos a curvaCcom uma vizinhan¸ca adequada dex0, por exemplo,

bolas ou polidiscos, e tratamos a interse¸c˜aoV =CU como o conjunto de zeros de uma fun¸c˜ao holomorfa f ∈O(U).

Para outras finalidades, a escolha de uma vizinhan¸ca particular de x0 pode ocasionar

restri¸c˜oes. Deste modo, ´e conveniente considerar o sistema de todas as vizinhan¸cas U de

x0 e o sistema de todas as fun¸c˜oes que s˜ao holomorfas sobre todas as vizinhan¸cas de x0.

Nesta situa¸c˜ao, ´e natural identificarmos todas as fun¸c˜oes holomorfas em uma

vizi-nhan¸ca conveniente/particular dex0, uma vez que estamos interessados somente no

com-portamento dessas fun¸c˜oes em uma pequena vizinhan¸ca arbitr´aria de x0. As classes de

equivalˆencia de fun¸c˜oes holomorfas s˜ao chamadas degermesde fun¸c˜oes holomorfas emx0.

Defini¸c˜ao 1.1.1 Um germe de fun¸c˜ao holomorfa em um ponto x0 ´e uma classe de

equi-valˆencia de fun¸c˜oes holomorfas definidas em uma vizinhan¸ca de x0. Duas fun¸c˜oes s˜ao

equivalentes segunda esta rela¸c˜ao, isto ´e, definem o mesmo germe, quando restritas a uma vizinhan¸ca adequada de x0 elas coincidem.

´

E f´acil constatar que o conjunto OC2,x

0 de todos os germes de fun¸c˜oes holomorfas em x0 constituem um anel.

Tamb´em podemos descrever este anel como segue. Cada fun¸c˜ao que ´e holomorfa em

uma vizinhan¸ca de x0 pode ser associada com a sua expans˜ao de Taylor em x0, a qual ´e

uma s´erie de potˆencias convergente, que converge para uma fun¸c˜ao em uma vizinhan¸ca de

x0. Fun¸c˜oes que definem um mesmo germe em x0 naturalmente tem a mesma expans˜ao

de Taylor em x0. Assim, obtemos uma aplica¸c˜ao de OC2,x

0 no anel C{x, y} das s´eries de

potˆencias convergentes.

Esta fun¸c˜ao ´e um homomorfismo de an´eis devido as regras de expans˜ao em s´eries

de potˆencias e as regras de somas e produtos de fun¸c˜oes. E ´e injetiva, pois a expans˜ao

em s´erie de potˆencias de uma fun¸c˜ao f em uma vizinhan¸ca de x0 converge para f e

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uma vez que cada s´erie de potˆencias convergente, converge para uma fun¸c˜ao holomorfa

em alguma vizinhan¸ca do ponto de expans˜ao.

Desta forma, associando cada germe emx0com sua expans˜ao de Taylor emx0, obtemos

um isomorfismo de an´eis

OC2,x

0 ∼=C{x, y}.

Naturalmente, podemos definir o anel OCn,x

0 de germes de fun¸c˜oes holomorfas em um

ponto x0 ∈Cn de forma an´aloga e, consequentemente, obtemos um isomorfismo

OCn,x

0 ∼=C{x1, . . . , xn},

onde C{x1, . . . , xn} ´e o anel das s´eries de potˆencias convergentes em n vari´aveis.

Sejam a= (a1, . . . , an)∈Cn eOCn,a o anel dos germes de fun¸c˜oes holomorfas com sua expans˜ao de Taylor ema, ent˜ao obtemos uma s´erie convergente nas vari´aveisx1−a1, x2−

a2, . . . , xn−an. Se denotarmos o anel dessas s´eries convergentes porC{x1−a1, . . . , xn−an},

ent˜ao obtemos um isomorfismo

OCn,a ∼=C{x1−a1, . . . , xn−an}. Em particular, para a= 0 temos

OCn,0 ∼=C{x1, . . . , xn}.

As considera¸c˜oes anteriores relativas a localiza¸c˜ao do anel C[x, y] podem ser feitas da mesma maneira para n vari´aveis.

Agora, vamos retornar ao problema de fatora¸c˜ao. A fatora¸c˜aof =f1·f2 emO(U) nos

fornece, passando para germes, uma fatora¸c˜ao f =f1·f2 em OC2,x

0 e consequentemente

em C{x, y}.

Por outro lado, quando temos uma decomposi¸c˜ao f = f1 ·f2 em OC2,x

0 podemos

representar os germes por fun¸c˜oes holomorfasf, f1, f2 em uma vizinhan¸ca adequada U de

forma que f =f1·f2 em O(U).

Assim, temos que a decomposi¸c˜ao da curva em v´arias componentes anal´ıticas em uma

vizinhan¸ca suficientemente pequena dex0se traduz no fato que para a equa¸c˜aof(x, y) = 0

da curva, f ´e redut´ıvel emOC2,x 0.

O anel localOC2,x

0 ∼=C{x, y}nos fornece um anel que ´e independente da escolha da

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curva f(x, y) = 0 em um ponto singularx0 pelas propriedades alg´ebricas correspondentes

def ∈OC2,x 0.

Reconhecidamente, geˆometras alg´ebricos n˜ao gostam muito de usar o anel C{x, y}. Entre outros motivos, ´e porque preferem considerar conjuntos de zeros de polinˆomios cujos

coeficientes n˜ao s˜ao reais ou complexos, mas em um corpo arbitr´ario K. Em um corpo arbitr´ario n˜ao faz sentido falar de s´eries de potˆencias convergentes. No entanto,

pode-se pode-sempre considerar o anel das s´eries de potˆencias formais K[[x1, . . . , xn]] nas vari´aveis

x1, . . . , xncom coeficientes emK. ParaK =Ctemos queC{x1, . . . , xn} ⊂C[[x1, . . . , xn]].

Desta forma, uma decomposi¸c˜aof =f1·f2 em C{x1, . . . , xn}nos fornece uma

decom-posi¸c˜ao em C[[x1, . . . , xn]]. Por outro lado, podemos mostrar que se f ∈ C{x1, . . . , xn}

decomp˜oe-se da forma f =f1·f2 em C[[x1, . . . , xn]], onde f1 e f2 s˜ao s´eries de potˆencias

sem termos constantes, ent˜ao f se decomp˜oe da mesma maneira em C{x1, . . . , xn}.

As-sim, a irredutibilidade de f C[[x1, . . . , xn]] ´e equivalente a irredutibilidade de f vista

como um elemento de C{x1, . . . , xn}.

Desta forma, o anel C[[x1, . . . , xn]] ´e t˜ao ´util quanto o anel C{x1, . . . , xn} quando

estamos interessados em investigar localmente a decomposi¸c˜ao em fatores irredut´ıveis.

Resumo:

Para investigar problemas de Geometria Alg´ebrica, devemos definir um conceito de

vizinhan¸ca adequada e um conceito adequado de fun¸c˜oes admiss´ıveis definidas nessas

vizinhan¸cas. O que nos leva a considerar os seguintes an´eis locais

C[x1, . . . , xn]M ⊂C{x1, . . . , xn} ⊂C[[x1, . . . , xn]],

em que:

C[x1, . . . , xn]M ´e a localiza¸c˜ao deC[x1, . . . , xn] pelo ideal maximal (x1, . . . , xn);

C{x1, . . . , xn} anel das s´eries de potˆencias convergentes;

C[[x1, . . . , xn]] anel das s´eries de potˆencias formais.

A solu¸c˜ao de problemas de Geometria Alg´ebrica, muitas vezes, ´e feita em algumas

etapas:

1) Uma primeira tentativa ´e resolver o problema formalmente, ou seja, o problema acaba

por conduzir a uma considera¸c˜ao de s´eries de potˆencias formais.

(24)

uma solu¸c˜ao convergente. Um exemplo disso ´e a prova do Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita

no caso anal´ıtico; primeiro mostra-se a existˆencia de uma solu¸c˜ao formal e, em seguida,

comprova-se a sua convergˆencia.

Neste trabalho, vamos considerar principalmente o caso das s´erie de potˆencias

conver-gentes.

1.2

Teorema de Prepara¸

ao de Weierstrass

Na se¸c˜ao anterior vimos que o estudo das singularidades de conjuntos alg´ebricos nos

leva a vˆe-los como conjuntos anal´ıticos, ou seja, conjuntos de zeros de fun¸c˜oes anal´ıticas.

Portanto, vamos agora desenvolver os conceitos b´asicos mais importantes da teoria de

conjuntos de fun¸c˜oes anal´ıticas, em particular, as propriedades do anel das s´eries de

potˆencias convergentes. Estes e outros detalhes tamb´em podem ser encontrados em [BK]

e em [H].

O teorema a seguir, demonstrado por Weierstrass em 1860 ´e fundamental:

Teorema 1.2.1 (Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass) Sejag(t, z) =g(t, z1, . . . , zn)∈

C{t, z1, . . . , zn} uma s´erie de potˆencias convergentet−regular de ordemk, isto ´e, a

multi-plicidade de g(t,0)´e k. Ent˜ao existem ´unicos elementos u(t, z)∈C{t, z} e ci(z)∈C{z},

i= 1, . . . , n, tais que

g(t, z) = [tk+c

1(z)tk−1 +· · ·+ck(z)]·u(t, z)

com ci(0) = 0 e u(0,0)6= 0.

Observa¸c˜ao 1.2.2

i) O teorema ´e chamado de Prepara¸c˜ao porque a s´erie de potˆencias g ´epreparada para o estudo dos seus zeros.

Uma vez que un˜ao se anula em uma vizinhan¸ca de 0Cn+1, os zeros deg coincidem

com os zeros do polinˆomio

tk+c1(z)tk−1+· · ·+ck(z).

Este polinˆomio, cujos coeficientes pertencem aC{z1, . . . , zn}, ´e chamado de Polinˆomio

(25)

A representa¸c˜ao de g como o produto de um polinˆomio de Weierstrass por uma unidade tamb´em vai nos permitir investigar quest˜oes de divisibilidade em C{t, z} com a ajuda dos resultados que j´a conhecemos sobre an´eis de polinˆomios.

ii) Cada s´erie g ∈ C{t, z} ´e regular de ordem k quando consideradas em coordenadas adequadas (t′, z). De fato, se g = P∞

j=kpj, (pk 6= 0) ´e a expans˜ao de g em polinˆomios

homogˆeneos

pk(t, z) =

X

v0+···+vn=k

av0···vnt

v0zv1

1 · · ·znvn,

ent˜ao considerando as coordenadas t′ = t, z

i = zi − εit (com εi ∈ C), temos que o

coeficiente de t′k

em pk(t′, z′) ´e dado por

c= X

v0+···+vn=k

(1)ka v0···vnε

v1

1 · · ·εvnn.

Deste modo, para quase todas as escolhas de εi esta express˜ao n˜ao se anula e como c

tamb´em ´e o coeficiente de t′k

em g(t′, z), temos que escolhendo valores para ε

i de forma

conveniente, g torna-se t′regular de ordem k. Portanto, a hip´otese do Teorema de

Prepara¸c˜ao de Weierstrass sobre a tregularidade n˜ao ´e restritiva.

iii) Seja g = P∞j=kpj ∈ C{x, y} com pk 6= 0 e cada pj ´e um polinˆomio homogˆeneo de

grau j. Chamamos o n´umero k de multiplicidade de g e denotamos por mult(g). A curva determinada por pk = 0 ´e chamada de cone tangente de g. Uma vez que qualquer

polinˆomio homogˆeneo em duas vari´aveis com coeficientes em um corpo algebricamente fechado pode ser decomposto em fatores lineares, podemos escrever

pk= s

Y

i=1

(aix+biy)ri,

onde Psi=1ri =k e ai, bj ∈C, para i, j = 1, . . . , s.

Assim o cone tangente de g consiste das formas linearesaix+biy= 0 comaibj−ajbi 6=

0 se i6=j, i = 1, . . . , s, cada qual com multiplicidade ri, chamadas de retas tangentes de

g, ou da curva definida por g = 0.

iv) O Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass implica no Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita. De fato, se f(t, z) C{t, z1, . . . , zn} com f(0,0) = 0 e ∂f∂t(0,0)6= 0, ent˜ao f ´e t−regular

de ordem 1. Pelo Teorema 1.2.1 existe t(z)∈C{z} e uma unidade u tais que

(26)

Uma vez queu(0,0)6= 0, ent˜aot=t(z)´e a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao impl´ıcitaf(t, z) = 0

em uma vizinhan¸ca da origem.

Reciprocamente, podemos ver que o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita ´e equivalente ao Teorema de Prepara¸c˜ao de Wierstrass para fun¸c˜oes t−regulares de ordem 1.

Podemos provar o Teorema 1.2.1 mostrando a existˆencia de uma solu¸c˜ao formal usando

indu¸c˜ao sobre o n´umero de vari´aveis e em seguida provar a convergˆencia das s´eries

envol-vidas. No entanto, a tentativa de encontrar vers˜oes do teorema de prepara¸c˜ao adequadas

para outras teorias, por exemplo, para fun¸c˜oes diferenci´aveis, levou a m´etodos mais

ele-gantes que vamos usar para a prova dada aqui.

O Teorema 1.2.1 decorre do Teorema 1.2.3 abaixo, um pouco mais geral, o qual fornece

um tipo de algoritmo de divis˜ao para s´eries de potˆencias convergentes.

Teorema 1.2.3 (Teorema de Divis˜ao) Sejam f, g ∈ C{t, z} com g t−regular de ordem

k . Ent˜ao existem um ´unico elemento q C{t, z} e um ´unico polinˆomio r C{z}[t] de grau menor ou igual a k−1 tais que

r(t, z) =

k

X

i=1

ai(z)tk−i (ai(z)∈C{z}) e f =q·g+r.

O Teorema 1.2.3 ´e tamb´em chamado def´ormula de Weierstrass. A nota¸c˜ao na f´ormula acima sugere que q ´e o quociente da divis˜ao de f porg e r ´e o resto da divis˜ao.

Obtendo o Teorema 1.2.1 a partir do Teorema 1.2.3:

Seja f(t, z) := tk. Pelo Teorema 1.2.3, temos

tk =q·g+r

onde r=Pki=1aitk−i, ou equivalentemente,

q(t, z)g(t, z) =tk−

k

X

i=1

aitk−i. (1.1)

Se substituirmos z = 0 nesta equa¸c˜ao e compararmos os coeficientes de tk, ent˜ao resulta

queq(0,0)6= 0 eai(0) = 0,para todoi, uma vez queg(t,0) =ctk+(termos de maior grau).

Assim, denotando u:=q−1 e c

i :=−ai obtemos que

g = (tk+ k

X

i=1

(27)

As provas dos Teorema 1.2.1 e Teorema 1.2.3 s˜ao obtidas com a ajuda do seguinte

teorema, que ´e um caso especial do Teorema 1.2.3.

Teorema 1.2.4 (Teorema Especial da Divis˜ao) Seja pk(t, y) ∈ C{y1, . . . , yk}[t] o

po-linˆomio mˆonico geral de grau k, isto ´e, pk(t, y) = tk+

Pk

i=1yi ·tk−i. Ent˜ao, para cada

f(t, z, y)∈ C{t, z, y} existe q ∈C{t, z, y} e um polinˆomio r(t, z, y) =Pki=1Ai(z, y)·tk−i

de grau menor ou igual a k1 sobre C{z, y} tais que

f =q·pk+r.

Este ´e um caso especial do Teorema 1.2.3 porque a divis˜ao ´e feita por um polinˆomio

geral e n˜ao por uma fun¸c˜ao arbitr´aria. Podemos reduzir o Teorema de Prepara¸c˜ao de

Weierstrass e o Teorema da Divis˜ao ao Teorema Especial de Divis˜ao, da seguinte forma:

Reduzindo o Teorema 1.2.1 ao Teorema 1.2.4:

Seja g C{t, z}tregular de ordemk, ou seja,

g(t,0) = c·tk+ (termos de maior ordem em t), com c

6

= 0.

Pelo Teorema 1.2.4,

g(t, z) =q(t, z, y)(tk+y

1tk−1+· · ·+yk) +r(t, z, y) (1.2)

com r(t, z, y) =A1(z, y)tk−1+· · ·+Ak(z, y) e q ∈C{t, z, y}.

O nosso objetivo ´e substituir os coeficientes gerais yi do polinˆomio pk por fun¸c˜oes

holomorfas adequadas yi(z) de modo que o termo restante r em (1.2) desapare¸ca.

Pri-meiramente vamos mostrar a seguinte:

Afirma¸c˜ao:

∂Ai

∂yj

(0,0) =

 

0 para i > j

−c para i=j.

Demonstra¸c˜ao: Substituindo y= z = 0 na equa¸c˜ao (1.2) e comparando os coeficientes det0, . . . , tk obtemos

(28)

Derivando ambos os lados de (1.2) com respeito a vari´avel yj, e substituindo y= z = 0,

resulta que

0 = ∂q

∂yj

(t,0,0)·tk+q(t,0,0)

·tk−j+∂A1

∂yj

(0,0)·tk−1+· · ·+∂Aj

∂yj

(0,0)·tk−j+

· · ·+∂Ak

∂yj

(0,0).

Comparando os coeficientes de t0, . . . , tk segue que

∂Aj+1

∂yj

(0,0) = 0, ∂Aj+2 ∂yj

(0,0) = 0, . . . , ∂Ak−1 ∂yj

(0,0) = 0, ∂Ak ∂yj

(0,0) = 0

e ∂Aj

∂yj(0,0) = −q(0,0,0) =−c donde segue a afirma¸c˜ao. A matriz aij = ∂A∂yi

j ´e, portanto, uma matriz triangular superior com determinante

(c)k 6= 0. As equa¸c˜oes A

i(z, y) = 0 satisfazem as hip´oteses do Teorema da Fun¸c˜ao

Impl´ıcita e consequentemente existem yj(z)∈C{z}, com yj(0) = 0 tais que

Ai(z, y1(z), . . . , yk(z)) = 0, i= 1, . . . , k.

Assim, substituindo y=y(z) em (1.2) e definindo u(t, z) :=q(t, z, y(z)) obtemos que

g(t, z) = [tk+y1(z)·tk−1+· · ·+yk(z)]·u(t, z)

e u(0,0) = c6= 0. Isto mostra que g ´e o produto de um Polinˆomio de Weierstrass e uma unidade u.

Unicidade: Suponha que

[tk+

ec1·tk−1+· · ·+eck]·eu=g(t, z) = [tk+c1·tk−1+· · ·+ck]·u

e sejaU =V ×W uma vizinhan¸ca de 0∈C×Cn na qual u e

e

u n˜ao se anulam.

Uma vez que as ra´ızes de um polinˆomio dependem continuamente de seus coeficientes,

todas as k ra´ızes (contando as multiplicidades) dos polinˆomios

tk+c

1(z)·tk−1 +· · ·+ck(z) e tk+ec1(z)·tk−1+· · ·+eck(z)

pertencem a V para z Cn suficientemente pr´oximo da origem. Comou6= 0 e ue6= 0, os zeros dos polinˆomios acima s˜ao justamente os zeros deg(t, z) emV. Assim, paraz sufici-entemente pr´oximo da origem, ci(z) =eci(z) donde segue que ci =eci e consequentemente

u=eu.

(29)

Sejam g C{t, z} tregular de ordem k e f C{t, z}. Pelo Teorema 1.2.4 podemos reescrever g e f na forma

g = qe(t, z, y)·pk+re(t, z, y)

f = eeq(t, z, y)·pk+eer(t, z, y),

onde er eeer s˜ao polinˆomios de grau menor ou igual a k1 com coeficientes em C{z, y}. Assim, como acima, substitu´ımosy =y(z) de modo que

e

r(t, z, y(z))0.

Logo, obtemos

g = eq(t, z, y(z))·pk (com eq(0,0,0)6= 0)

f = eeq(t, z, y(z))·pk+eer(t, z, y(z))

= eeq·qe−1·g+eer.

Definindo q(t, z) :=eeq(t, z, y(z))·qe−1(t, z, y(z)) e r(t, z) :=eer(t, z, y(z)) temos que

f =q·g+r.

A unicidade desta decomposi¸c˜ao ´e mostrada da mesma maneira como feita para o

Teorema 1.2.1. De fato, se q1·g+r1 =f =q2·g+r2, ent˜ao

r1−r2 = (q2 −q1)·g.

O Teorema 1.2.1 garante que g(t, z) possui k zeros, contando a multiplicidade, ent˜ao o polinˆomio r1(t, z)−r2(t, z) de grau menor ou igual ak−1 possui k ra´ızes e, portanto,

´e identicamente nulo. Portanto,r1 =r2 e consequentemente q1 =q2.

Agora passemos a demonstra¸c˜ao efetivamente do Teorema 1.2.4.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.2.4: A ideia ´e “dividir”a s´erie f sucessivamente pelos fatores lineares do polinˆomio geralpk. Vamos particionar o argumento em 3 partes.

Etapa 1: (Divis˜ao por um fator geral linear t−xi) Para cada F ∈ C{t, z, x1, . . . , xk}

existem QC{t, z, x} e RC{z, x} tais que

(30)

De fato, definindoR(z, x) := F(xi, z, x), ent˜ao (t−xi) divide a s´erieF −R=F(t, z, x)−

F(xi, z, x). Este fato ´e facilmente justificado atrav´es da expans˜ao de F −R. Etapa 2: (Divis˜ao por um produto de fatores lineares gerais)

Para cada F ∈ C{t, z, x1, . . . , xk} existem um ´unico elemento Q ∈ C{t, z, x} e um

´

unico polinˆomio R C{z, x}[t] de grau menor que k, tais que

F =Q(t−x1)(t−x2)· · ·(t−xk) +R.

Com efeito, pela Etapa 1, temos que

F = Q1(t−x1) +R1 (Q1 ∈C{t, z, x}, R1 ∈C{z, x})

Q1 = Q2(t−x2) +R2 (Q2 ∈C{t, z, x}, R2 ∈C{z, x})

...

Qk−1 = Qk(t−xk) +Rk (Qk ∈C{t, z, x}, Rk∈C{z, x}).

Sucessivas substitui¸c˜oes resultam em

F = Qk(t−x1)(t−x2)· · ·(t−xk)

+ R1+ (t−x1)R2+· · ·+ (t−x1)(t−x2)· · ·(t−xk−1)Rk.

DefinindoQ:=Qk eR :=R1+ (t−x1)R2+· · ·+ (t−x1)(t−x2)· · ·(t−xk−1)Rk obtemos

que

F =Q·(tx1)(t−x2)· · ·(t−xk) +R.

A prova da unicidade de Qe R pode ser feita exatamente como provamos a unicidade na afirma¸c˜ao do Teorema 1.2.3.

Etapa 3: (O truque de Lojaziewicz) Sejaσi(x) ai−´esima fun¸c˜ao sim´etrica elementar em

x1, . . . , xk. Vamos substituiryi :=σi(x). Assim, obtemos uma decomposi¸c˜ao do polinˆomio

geral pk em fatores lineares:

pk(t, y) =tk+y1tk−1+· · ·+yk= (t−x1)(t−x2)· · ·(t−xk).

Queremos “dividir”a s´erie f(t, z, y) pelo polinˆomio geral pk. Definindo

F(t, z, x) :=f(t, z, σ1(x), . . . , σk(x))

obtemos pela Etapa 2

(31)

Temos queQeRs˜ao sim´etricas, isto ´e, invariante em rela¸c˜ao `a permuta¸c˜oes dex1. . . , xk.

De fato, tais permuta¸c˜oes deixam F e o polinˆomio (t−x1)· · ·(t−xk) fixos. Assim, Q e

R n˜ao mudam pela unicidade da Etapa 2.

Pela simetria de Qe R e o Teorema Fundamental das Fun¸c˜oes Sim´etricas, existe uma fun¸c˜ao holomorfaq(t, z, y)C{t, z, y}e um polinˆomio r(t, z, y) de grau menor que k em

t com coeficientes em C{x, y} tais que

q(t, z, σ1(x), . . . , σk(x)) = Q(t, z, x) e

r(t, z, σ1(x), . . . , σk(x)) = R(t, z, x).

Portanto,

f(t, z, σ1(x), . . . , σk(x)) = q(t, z, σ1(x), . . . , σk(x))·(tk+σ1(x)tk−1+· · ·+σk(x))

+ r(t, z, σ1(x), . . . , σk(x))

f(t, z, y1, . . . , yk) = q(t, z, y1, . . . , yk)·(tk+y1(x)tk−1+· · ·+yk(x))

+ r(t, z, y1(x), . . . , yk(x)),

que conclui a prova do Teorema 1.2.4.

Assim, temos as seguintes implica¸c˜oes

Na prova do Teorema 1.2.4 usamos o Teorema Fundamental das Fun¸c˜oes Sim´etricas.

Este Teorema assegura que uma s´erie de potˆencias convergenteφ(x1, . . . , xk, z1, . . . , zm)∈

C{x1, . . . , xk, z1, . . . , zm} a qual ´e invariante por permuta¸c˜oes das vari´aveis xi pode ser

escrita como uma fun¸c˜ao holomorfa nas fun¸c˜oes sim´etricas elementares. Isto significa que

existe uma s´erie de potˆencias convergente

ψ(y1, . . . , yk, z1, . . . , zm)∈C{y1, . . . , yk, z1, . . . , zm}

(32)

O Teorema de Prepara¸c˜ao e o Teorema da Divis˜ao s˜ao facilmente provados para s´eries

de potˆencias formais. O Teorema da Divis˜ao para fun¸c˜oes anal´ıticas reais segue do caso

complexo passando para parte real, a partir deste pode-se provar o Teorema de Prepara¸c˜ao

de Weierstrass para fun¸c˜oes anal´ıticas reais. Por outro lado, um teorema an´alogo ao

Teo-rema de Prepara¸c˜ao para germes de fun¸c˜oes diferenci´aveis ´e um resultado mais profundo

devido a Malgrange. O Teorema de Prepara¸c˜ao de Malgrange tornou-se uma das

fer-ramentas mais importantes para a investiga¸c˜ao das fun¸c˜oes diferenci´aveis, sobretudo no

trabalho de Mather em germes finitamente determinados de fun¸c˜oes diferenci´aveis.

Como uma aplica¸c˜ao dos Teoremas 1.2.1 e 1.2.3, vamos provar algumas propriedades

alg´ebricas do anel C{z1, . . . , zn} das s´eries de potˆencias convergentes. O Teorema de

Prepara¸c˜ao e o Teorema da Divis˜ao s˜ao usados para reduzir esses resultados a teoremas

correspondentes para an´eis de polinˆomios.

Um cl´assico resultado de ´Algebra Comutativa ´e o Teorema da Base de Hilbert, que

assegura que se um anel A ´e um anel Noetheriano3, ent˜ao A[X] ´e Noetheriano.

O Teorema Base de Hilbert, juntamente com o Teorema da Divis˜ao, permite provarmos

o seguinte resultado.

Teorema 1.2.5 (Teorema base de R¨uckert) O anel C{z1, . . . , zn}´e Noetheriano. Demonstra¸c˜ao: A prova ser´a feita por indu¸c˜ao sobre o n´umero de vari´aveis n.

i) Paran = 0, isto ´e, para o anelC, o resultado ´e trivialmente satisfeito.

ii) Suponhamos agora que n 1 e que C{z1, . . . , zn−1}´e Noetheriano.

Seja I ⊂C{z1, . . . , zn} um ideal n˜ao nulo e seja G∈I\{0}um elemento qualquer.

Depois de mudar as coordenadas, se necess´ario, podemos supor que G ´e regular com rela¸c˜ao a zn. Como C{z1, . . . , zn−1} ´e Noetheriano, pelo Teorema base de Hilbert,

C{z1, . . . , zn−1}[zn] tamb´em ´e Noetheriano.

Portanto, existem G1, . . . , Gm ∈ C{z1, . . . , zn} tais que I ∩ C{z1, . . . , zn−1}[zn] =

hG1, . . . , Gmi. Seja F ∈ I, pelo Teorema da Divis˜ao, podemos escrever F = gG+R,

com g ∈ C{z1, . . . , zn}, R ∈ C{z1, . . . , zn−1}[zn]. Como F, G ∈ I, segue que R ∈

I C{z1, . . . , zn−1}[zn]. Logo, existem g1, . . . , gm ∈ C{z1, . . . , zn−1}[zn] ⊂ C{z1, . . . , zn}

tais que

R=g1G1+· · ·+gmGm,

3

(33)

e, portanto, F =gG+g1G1+· · ·+gmGm, o que mostra que I =hG, G1, . . . , Gmi.

Podemos tamb´em obter resultados relativos a irredutibilidade.

Proposi¸c˜ao 1.2.6 Um polinˆomio de Weierstrass hC{z1, . . . , zn−1}[zn]´e irredut´ıvel em

C{z1, . . . , zn−1}[zn]se, e somente se,h´e irredut´ıvel emC{z1, . . . , zn}. Mais ainda, quando

h ´e redut´ıvel, todos os seus fatores s˜ao polinˆomios de Weierstrass, a menos de multi-plica¸c˜ao por uma unidade.

Demonstra¸c˜ao: Suponha que h´e redut´ıvel em C{z1, . . . , zn}. Ent˜ao existemg1 e g2 em

C{z1, . . . , zn}, n˜ao unidades, tais queh=g1·g2. Como h ´e um polinˆomio de Weierstrass

e, portanto, regular de uma certa ordem com rela¸c˜ao azn, temos queg1 eg2 s˜ao regulares

de ordem maior ou igual a 1.

Pelo Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass, existem unidades u1, u2 ∈ C{z1, . . . , zn}

tais que g1 = h1·u1 e g2 = h2·g2, onde h1 e h2 s˜ao polinˆomios de Weierstrass de graus

maiores ou iguais a 1.

Assim, obtemos duas decomposi¸c˜oes de h como o produto de uma unidade por um polinˆomio de Weierstrass, a saber

1·h=h= (u1·u2)(h1·h2).

Pela unicidade do Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass temos que u1 ·u2 = 1 e

conse-quentemente

h=h1·h2,

ou seja, h ´e redut´ıvel em C{z1, . . . , zn−1}[zn] e todos os seus fatores s˜ao polinˆomios de

Weierstrass, a menos de multiplica¸c˜ao por uma unidade.

Reciprocamente, suponha que hC{z1, . . . , zn−1}[zn] ´e um polinˆomio de Weierstrass

redut´ıvel de grau d. Ent˜ao existem g1 e g2, n˜ao unidades, de graus respectivamente m e

n em C{z1, . . . , zn−1}[zn] tais que h=g1·g2, comm, n≥1 e m+n =d.

Escrevendo

g1 = a·znm+ (termos de menor grau emzn)

(34)

temos que

a·b= 1.

Sem perda de generalidade, podemos assumir que a = b = 1. Queremos mostrar que h

´e redut´ıvel emC{z1, . . . , zn}, em particular, basta mostrar que g1 e g2 n˜ao s˜ao unidades

em C{z1, . . . , zn}.

Suponha, por absurdo, que g1 ´e uma unidade em C{z1, . . . , zn}, ent˜ao

g2 =g1−1h

´e uma decomposi¸c˜ao deg2 como o produto de uma unidade por um polinˆomio de

Weiers-trass. Como g2 ´e um polinˆomio de Weierstrass e pode ser escrito como g2 = 1·g2, ent˜ao

a unicidade do Teorema de Weierstrass implica que

g−11 = 1 e h=g2,

ou seja, g1 = 1.

Mas isto contradiz o fato de que g1 n˜ao ´e uma unidade emC{z1, . . . , zn−1}[zn].

Proposi¸c˜ao 1.2.7 Temos que C{z1, . . . , zn} ´e um DFU4. Demonstra¸c˜ao: Novamente usaremos indu¸c˜ao sobre n.

Seja f ∈ C{z1, . . . , zn}. Sem perda de generalidade, podemos assumir que f ´e

zn−regular.

Pelo Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass, f =u·fe, ondefe∈C{z1, . . . , zn−1}[zn] ´e

um polinˆomio de Weierstrass e u ´e uma unidade. O anel C{z1, . . . , zn−1}[zn] ´e um DFU

por hip´otese de indu¸c˜ao e pelo Lema de Gauss, consequentemente em C{z1, . . . , zn−1}[zn]

existe uma ´unica decomposi¸c˜ao fe= f1 ·f2 ·. . .·fk de feem fatores irredut´ıveis. Pela

Proposi¸c˜ao 1.2.6,

f =u·f1·f2 ·. . .·fk

´e a decomposi¸c˜ao def emC{z1, . . . , zn}, ´unica a menos de multiplica¸c˜ao por uma unidade

e pela ordem dos fatores.

Temos assim, que C{z1, . . . , zn}´e um anel local, Noetheriano e um DFU.

4

(35)

Singularidades de Germes de

Conjuntos Anal´ıticos

No que segue, frequentemente iremos alternar entre a no¸c˜ao de germes de fun¸c˜oes

holomorfas e s´eries de potˆencias convergentes, sem mencionar esta identifica¸c˜ao

explicita-mente.

2.1

Conjuntos Anal´ıticos

Ap´os investigarmos germes de fun¸c˜oes holomorfas, agora vamos voltar ao nosso tema

pr´oprio, a investiga¸c˜ao das propriedades locais de conjuntos anal´ıticos.

Defini¸c˜ao 2.1.1 Seja U um conjunto aberto em Cn e X U.

i) Dado xU, dizemos que X ´e anal´ıtico em x se existir uma vizinhan¸ca V de x em U

e um n´umero finito de fun¸c˜oes holomorfas f1, . . . , fr sobre V tais que

XV ={z V | f1(z) =· · ·=fr(z) = 0}.

ii)X´e chamado de subconjunto anal´ıtico deU quandoX´e anal´ıtico em todo pontox∈U.

Observa¸c˜ao 2.1.2 Se X ´e anal´ıtico em U, ent˜ao X ´e fechado em U. De fato, seja

x∈U\X eV como acima. Ent˜ao X∩V ´e fechado em V e consequentemente existe uma vizinhan¸ca W V de x que n˜ao intercepta X. Em particular W ´e aberto em U. Ent˜ao,

U \X ´e aberto.

Conjuntos que s˜ao anal´ıticos apenas em seus pr´oprios pontos s˜ao chamados localmente

(36)

Figura 2.1:

Assim como introduzimos germes de fun¸c˜oes para investigar propriedades locais, agora

vamos introduzir o conceito de germes de conjuntos anal´ıticos:

Defini¸c˜ao 2.1.3 SejamU eU′ abertos emCn, X U eXUsubconjuntos anal´ıticos.

X e X′ definem o mesmo germe de conjunto anal´ıtico em x X Xse existe uma

vizinhan¸ca V XX′ de x tal que

X∩V =X′∩V.

Escrevemos (X, x) para o germe de conjunto de X em x. Neste caso, X ´e chamado de representante do germe (X, x).

Mais precisamente, podemos definir o germe (X, x) como sendo a classe dos pares (X′, U) equivalentes ao par (X, U) segundo a rela¸c˜ao de equivalˆencia introduzida na

defini¸c˜ao acima em que U′ ´e uma vizinhan¸ca de x e Xanal´ıtico emU.

O conceito de germes de conjuntos permite a formula¸c˜ao simples de afirma¸c˜oes sobre

X que dependam apenas das propriedades do conjunto X em uma pequena vizinhan¸ca arbitr´aria de um pontox∈X, por exemplo, afirma¸c˜oes sobre a singularidade deX emx. Queremos agora investigar as rela¸c˜oes entre os ideais em OCn,a e germes de conjuntos anal´ıticos.

SeI ⊂OCn,a ´e um ideal, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao 1.2.5,I´e gerado por um n´umero finito de germes de fun¸c˜oes f1, . . . , fr. Sejam fe1, . . . ,fer fun¸c˜oes sobre uma vizinhan¸ca U de a

(37)

fun¸c˜oes

X(fe1, . . . ,fer) :={z ∈U | fe1(z) =· · ·=fer(z) = 0}.

Mostraremos que o germe deste conjunto em a n˜ao depende da escolha do conjunto de geradores e de seus representantes.

Sejam {g1, . . . , gs} outro conjunto de geradores de I e eg1, . . . ,egs representantes de

g1, . . . , gsem uma vizinhan¸caU′ dea. Ent˜ao existem germesaij ∈OCn,a comfi =Paijgj e consequentemente, existem representanteseaij deaij tais que

e

fi =

X eaijegj

em uma vizinhan¸ca W de a. Assim,

X(eg1, . . . ,egs)∩W ⊂X(fe1, . . . ,fer)∩W.

Analogamente, existe uma vizinhan¸ca W′ dea tal que

X(fe1, . . . ,fer)∩W′ ⊂X(eg1, . . . ,egs)∩W′.

Logo, emW∩W′, X(fe) eX(eg) coincidem, ou seja, os conjuntos definem o mesmo germe

em a.

Defini¸c˜ao 2.1.4 X(I) = (X(fe1, . . . ,fer), a) ´e chamado germe de conjunto definido pelo

ideal I.

Pode-se definir o germe de conjunto X(I) determinado por um ideal como o conjunto zeros do idealI. Reciprocamente, se (X, a) ´e um germe de conjunto anal´ıtico, ent˜ao existe um ideal gerado pelos germes de fun¸c˜oes que se anulam em X.

Defini¸c˜ao 2.1.5 O ideal de um germe de conjunto anal´ıtico ´e o ideal J(X) de todos os germes f OCn,a os quais possuem um representante fe, sobre uma vizinhan¸ca U de a,

que se anulam sobre um representante Xe ⊂U de X.

Dentre as propriedades que relacionam germes de conjuntos e ideais de germes de

conjunto temos:

(i) I1 ⊂I2 ⇒X(I1)⊃X(I2);

(38)

(iii)X(J(X)) = X; (iv) J(X(I))⊃I.

N˜ao ´e, em geral, verdadeiro que J(X(I)) = I. Por exemplo: se I ´e o ideal em

OC,0 = C{z} gerado por z2, ent˜ao X(I) = {0} e J(X(I)) = (z) 6= (z2). Assim, deve-se

adicionar ao idealI todas as fun¸c˜oes cujas potˆencias pertencem aI. Deste modo, no caso geral obtemos o radical de I, ou seja,

rad(I) :={f OCn,0 | fk∈I para algum k}.

O pr´oximo teorema ´e an´alogo ao Teorema dos Zeros de Hilbert, que expressa

exa-tamente a mesma rela¸c˜ao entre os conjuntos alg´ebricos e ideais no anel de polinˆomios

C[z1, . . . , zn]. Aqui, vamos provar o Teorema dos Zeros de R¨uckert apenas para ideais

principais, a prova completa ´e mais complexa e pode ser encontrada em [GR], p. 90-97.

Teorema 2.1.6 (Teorema dos Zeros de R¨uckert) O ideal de um germe de conjunto

ana-l´ıtico X(I) satisfaz J(X(I)) =rad(I).

Demonstra¸c˜ao: Como mencionamos vamos considerar o caso em queI = (f) ´e um ideal principal em OCn, a. A inclus˜aorad(I)⊂J(X(f)) ´e clara, resta mostrar que J(X(f))⊂

rad(f), em outras palavras, que

g|X(f)= 0 ⇒f divide gk para algum k.

Note que basta provarmos para germes irredut´ıveisf, pois sef1·. . .·fr ´e a decomposi¸c˜ao

de f em fatores irredut´ıveis, ent˜ao g se anula sobre cada um dos conjuntos X(fi). Se o

teorema for provado para elementos irredut´ıveis, ent˜ao fi divide uma potˆencia gki de g.

Logo, f divide gk1+···+kr.

Assim, vamos assumir, sem perda de generalidade, que f ´e irredut´ıvel. Suponha que a afirma¸c˜ao ´e falsa. Ent˜ao f e g n˜ao possuem divisor em comum. Vamos escolher coordenadas z1, . . . , zn em Cn de forma que f e g sejam zn−regulares. Pelo Teorema

de Prepara¸c˜ao de Weierstrass, f e g s˜ao dadas por um produto de um polinˆomio de Weierstrass e uma unidade. Como estamos interessados apenas no conjunto de zeros

(39)

Temos que f e g s˜ao primos entre si emOCn,0 e consequentemente, pelo Lema 1.2.6, em OCn−1,0[zn]. SeK ´e o corpo de fra¸c˜oes deOCn−1,0, ent˜ao, pelo Lema de Gauss, temos

que f e g s˜ao primos entre si em K[zn]. Pelo Teorema de B´ezout, existem α, β ∈ K tais

que

αf +βg = 1.

Escrevendo α= a c, β =

b

c com a, b, c∈OCn−1,0 e c6= 0, temos

a·f +b·g =c∈OCn−1, 0,

isto ´e, esta combina¸c˜ao (n˜ao nula) de f e g n˜ao depende da vari´avel zn.

A fun¸c˜ao f ´e um polinˆomio de Weierstrass, digamos

f =znk+c1(z1, . . . , zn−1)znn−1+· · ·+ck(z1, . . . , zn−1)

com ci(0, . . . ,0) = 0. Como as ra´ızes de um polinˆomio dependem continuamente de seus

coeficientes, para algum ε >0 existe uma vizinhan¸ca

U ={(z1, . . . , zn−1); k(z1, . . . , zn−1)k< δ}

de 0∈Cn−1 tal que para (z

1, . . . , zn−1)∈U o polinˆomio f(z1, . . . , zn−1, t) possui k ra´ızes

(contando a multiplicidade) com valor absoluto menor do que ε.

O conjunto de zeros X(f) pode ser visualizado como na figura abaixo.

(40)

Em particular, pelo menos um zero de f se encontra sobre cada (z1, . . . , zn−1) ∈ U.

Uma vez queg se anula sobre X(f) segue que para cada (z1, . . . , zn−1)∈U existe um zn

tal que

c(z1, . . . , zn−1) = a(z1, . . . , zn−1)·f(z1, . . . , zn) +b(z1, . . . , zn−1)·g(z1, . . . , zn) = 0.

Como cn˜ao depende da vari´avel zn, temos que c≡0.

Isto ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto, f divide gk para algum k.

Observa¸c˜ao 2.1.7 A descri¸c˜ao da hipersuperf´ıcieX(f)como uma cobertura finita rami-ficada do conjunto regular Cn−1, usada na prova acima, ´e o conte´udo geom´etrico real do

Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass. Essa descri¸c˜ao pode ser generalizada para todos os germes de conjunto anal´ıticos ([GR], p. 98). Seu an´alogo em Geometria Alg´ebrica ´e o lema de normaliza¸c˜ao de Noether ([S], I, §5.4).

Como consequˆencia do teorema anterior temos que a aplica¸c˜ao X 7→ J(X) fornece uma bije¸c˜ao entre germes conjuntos anal´ıticos em a e ideais radicais de OCn,a, isto ´e, ideais I com I =rad(I).

Em an´alise complexa associamos cada germe de conjunto anal´ıtico (X, a) com o anel de germes de fun¸c˜oes emaholomorfas sobreX. Se (X, a)⊂(Cn, a) ´e um germe de conjunto,

ent˜ao dois germes de fun¸c˜oes holomorfasf, gem (Cn, a) definem o mesmo germe de fun¸c˜ao

sobre X quando f −g se anula sobre X, isto ´e, quando f −g ∈ J(X). Assim, o anel de todos os germes de fun¸c˜oes holomorfas sobre (X, a) ´e o anel OCn,a/J(X). Isto motiva a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.1.8

(i) Uma ´algebra anal´ıtica ´e uma C´algebra da forma C{z1, . . . , zn}/I, onde I ´e um ideal

em C{z1, . . . , zn}.

(ii)Uma ´algebra anal´ıtica A´e chamada reduzida quando ela n˜ao cont´em elementos nilpo-tentes diferentes de zero. Um elemento f A ´e chamado nilpotente quando fk = 0 para

algum k∈N\ {0}.

Obviamente C{z1, . . . , zn}/I ´e reduzida no caso em que I ´e um ideal radical. Por

exemplo, se I = hf2i, ent˜ao A = C{z1, . . . , zn}

(41)

nilpotente, uma vez que f2 = 0 em A, ou equivalentemente, I n˜ao ´e radical, pois hfi =

rad(I)6=I.

Para admitir curvas com m´ultiplas componentes, algumas vezes ´e necess´ario em an´alise

complexa considerar ´algebras anal´ıticas n˜ao reduzidas. No entanto, n˜ao queremos

apro-fundar nisso, pois este n˜ao ser´a nosso enfoque.

Se X ´e um germe de conjunto anal´ıtico em a∈ Cn, ent˜ao a ´algebra anal´ıtica OX,a :=

OCn,a/J(X) dos germes em a de fun¸c˜oes holomorfas sobre X ´e reduzida. Decorre do Teorema dos Zeros de R¨uckert que X 7→OX,0 =OCn,0/J(X) define uma bije¸c˜ao entre os germes de conjunto em 0 e as ´algebras anal´ıticas reduzidas C{z1, . . . , zn}/I.

Estamos interessados principalmente nos zeros de conjuntos de uma ´unica equa¸c˜ao, a

saber curvas em C2 que s˜ao um caso particular de hipersuperf´ıcies.

Defini¸c˜ao 2.1.9 Um germe de conjunto X(I) em a Cn ´e chamado de hipersuperf´ıcie

quando I = (f), ou seja, I ´e um ideal principal em OCn,a. Note que se f =fk1

1 ·. . .·frkr ´e a decomposi¸c˜ao def em fatores irredut´ıveis distintos,

ent˜ao I = rad((f)) = (f1 · . . . ·fr). Neste caso, a hipersuperf´ıcie X(I) ´e dada por

f1·. . .·fr= 0 que ´e chamada de equa¸c˜ao deX(I), a qual ´e ´unica a menos de multiplica¸c˜ao

por unidades.

Antes de nos concentrarmos exclusivamente ao caso de curvas vamos apresentar

bre-vemente os conceitos mais importantes para a investiga¸c˜ao local de conjuntos anal´ıticos:

(1) Decomposi¸c˜ao local em componentes irredut´ıveis.

(2) Pontos regulares e singulares.

(3) Dimens˜ao de um conjunto anal´ıtico.

2.2

Decomposi¸

ao de um Conjunto Anal´ıtico em

Com-ponentes Irredut´ıveis

Se X = X(f1, . . . , fr) e Y = X(g1, . . . , gs) s˜ao germes de conjuntos anal´ıticos em

a∈Cn, ent˜ao facilmente se constata que

X∩Y = X(f1, . . . , fr, g1, . . . , gs) e

(42)

Tais propriedades sugerem que podemos representar um germe de conjunto anal´ıtico

como uma uni˜ao de germes que n˜ao se decomp˜oem (indecompon´ıveis ou irredut´ıveis).

Defini¸c˜ao 2.2.1 Seja X um germe de conjunto anal´ıtico em a ∈ Cn. X ´e chamado

redut´ıvel quando existem germes X1 X e X2 X tais que X = X1 ∪ X2. Caso

contr´ario, X ´e dito irredut´ıvel.

Proposi¸c˜ao 2.2.2 Um germe de conjunto anal´ıtico X ´e irredut´ıvel se, e somente se, seu ideal J(X) ´e primo.

Demonstra¸c˜ao: Se X = X1 ∪X2 com X1 X e X2 X, ent˜ao J(X1) ! J(X) e

J(X2) ! J(X). Sejam f ∈ J(X1)\J(X) e g ∈ J(X2)\J(X). Ent˜ao f ·g pertence a

J(X1)∩J(X2) = J(X) e consequentemente J(X) n˜ao ´e um ideal primo.

Reciprocamente, suponha que J(X) n˜ao ´e um ideal primo. Ent˜ao existem germes

f, g OCn,a \J(X) tais que f ·g ∈J(X). Uma vez que f e g n˜ao se anulam sobre todo

X temos queX1 :=X∩X(f) X e X2 :=X∩X(g) X s˜ao tais que

X1∪X2 = (X∩X(f))∪(X∩X(g)) = X∩(X(f)∪X(g)) = X∩X(f ·g) =X.

Portanto, X ´e redut´ıvel.

Teorema 2.2.3 Cada germe de conjunto anal´ıtico em a ∈Cn possui uma ´unica

decom-posi¸c˜ao X =X1∪ · · · ∪Xr em germes irredut´ıveis (Xi, a) com Xi 6⊂Xj se i6=j.

Demonstra¸c˜ao: A existˆencia de uma decomposi¸c˜ao segue do fato de que OCn,a ´e No-etheriano. De fato, se X ´e redut´ıvel, podemos decompor X = X1 ∪X2. Se X1 e X2

s˜ao irredut´ıveis, ent˜ao o resultado est´a provado. Caso contr´ario, decompomos X1 e X2.

Este processo finaliza ap´os finitos passos. Se isso n˜ao ocorrer, obtemos uma sequˆencia

decrescente e infinita de germes

Y1 !Y2 !· · ·

e consequentemente uma sequˆencia estritamente crescente de ideais

J(Y1) J(Y2) · · ·

(43)

Se X = X′

1 ∪ · · · ∪Xs′ ´e outra decomposi¸c˜ao de X em conjuntos irredut´ıveis, ent˜ao

temos que mostrar que cada componente de uma decomposi¸c˜ao est´a contida em uma

componente da outra decomposi¸c˜ao. Se, digamos X′

i, n˜ao est´a contido em nenhum dos

conjuntos X1, . . . , Xr, ent˜ao

X1′ = (X1X1)∪ · · · ∪(X1′ ∩Xr)

´e uma decomposi¸c˜ao n˜ao trivial deX′

1, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.2.4 Seja X = X1 ∪ · · · ∪Xr a decomposi¸c˜ao de X em germes irredut´ıveis.

Cada Xi ´e chamado de componente irredut´ıvel de X. No caso de curvas, cada Xi ´e

tamb´em chamado de ramo de X.

A afirma¸c˜ao geom´etrica do Teorema 2.2.3 corresponde ao teorema alg´ebrico de

fa-tora¸c˜ao prima no anel Noetheriano OCn,a.

Proposi¸c˜ao 2.2.5 Se X = X(f) ´e uma hipersuperf´ıcie e f = fk1

1 ·. . .·frkr ´e a

decom-posi¸c˜ao de f em fatores irredut´ıveis distintos, ent˜ao

X(f) =X(f1)∪ · · · ∪X(fr)

´e a decomposi¸c˜ao deX em componentes irredut´ıveis.

Demonstra¸c˜ao: Uma vez queOCn,a ´e um DFU temos que cada fi ´e um elemento primo e consequentemente cada (fi) ´e um ideal primo. Como

J(X(fi)) =rad((fi)) = (fi)

segue da Proposi¸c˜ao 2.2.2 que cada X(fi) ´e irredut´ıvel.

2.3

Pontos Regulares e Singulares de um Conjunto

Anal´ıtico

No in´ıcio do cap´ıtulo 1 mencionamos v´arias vezes o conceito “singularidade”. Vamos

(44)

Defini¸c˜ao 2.3.1 Sejam X um subconjunto anal´ıtico em um dom´ınio de Cn e x X.

Dizemos que x´e um ponto regular de X quando existe uma vizinhan¸ca U de xem Cn tal que XU ´e um sub-variedade anal´ıtica complexa de U. Caso contr´ario, x ´e chamado de ponto singular de X. Denotamos o conjunto dos pontos singulares de X por S(X).

No que segue iremos derivar crit´erios de regularidade. O crit´erio mais importante

caracteriza pontos singulares como aqueles em que a matriz Jacobiana das derivadas

parciais degenera. Vamos agora formalizar:

Sejam X um conjunto anal´ıtico emCn, xX,J

x o ideal do germe (X, x) e f1, . . . , fr

os geradores de Jx. Definimos

ρX,x :=posto

∂fi

∂xj

(x)

.

Pode-se mostrar que ρX,x n˜ao depende da escolha dos geradores.

SeX´e regular emxeXU ´e uma ρcodimensional sub-variedade complexa em uma vizinhan¸ca U dex, ent˜ao temos que ρX,y =ρ, para todoy ∈X∩U.

Em geral pode-se dizer apenas que se x∈X e f1, . . . , fr s˜ao os geradores do ideal Jx,

ent˜ao posto ∂fi

∂xj(y)

≥posto ∂fi

∂xj(x)

para todoyem uma vizinhan¸ca U(x) dex. Uma vez que f1, . . . , fr s˜ao parte de um sistema de geradores de Jy (y∈U(x)) temos que

ρX,y ≥ρX,x para y∈U(x).

O pr´oximo teorema apresenta v´arias caracteriza¸c˜oes para conjuntos anal´ıticos

regula-res, ou seja, aqueles que n˜ao possuem pontos singulares.

Teorema 2.3.2 Sejam X um subconjunto anal´ıtico em um dom´ınio de Cn e xX. As

seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(i) (X, x)´e regular;

(ii) (X, x)´e isomorfo a (Cn−ρ,0)(Cn,0);

(iii) OX,x ´e isomorfo a C{z1, . . . , zn−ρ};

(iv) ρX,x =ρ para todo y em uma vizinhan¸ca de x.

(45)

Sejam Jx o ideal deX emx ef1, . . . , fr representantes de um sistema de geradores de

Jx tais que

posto

∂fi

∂zj

i=1,...,r j=1,...,n

=ρ.

Sem perda de generalidade podemos supor x = 0. Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita podemos assumir que

fi(z) =zi i= 1, . . . , ρ

em uma vizinhan¸ca U de x = 0 em Cn. Seja Xe = {z U; z1 = · · · = zρ = 0}.

Trivialmente temos queU ∩X ⊂Xe. Para provar o teorema ´e suficiente mostrarmos que

U X coincide com o conjunto regularXe, isto ´e, mostrarmos que

fi|Xe = 0 para i=ρ+ 1, . . . , r.

Do fato de queρX,y =ρpara todoy∈V∩X, ondeV ⊂U ´e uma vizinhan¸ca particular

dex, segue que

∂fi

∂zj |

X∩V= 0 para i, j =ρ+ 1, . . . , r.

Portanto, os elementos ∂fi

∂zj

s˜ao combina¸c˜oes de f′

ks, com k = 1, . . . , r, isto ´e:

∂fi ∂zj = r X k=1

aijkfk para i, j =ρ+ 1, . . . , r.

Derivando e aplicando indu¸c˜ao segue que todas as derivadas parciais de fi (i≥ρ+ 1)

com respeito as vari´aveis zj (j ≥ρ+ 1) se anulam sobre X∩V. Em particular, a s´erie de

Taylor de fi no ponto 0 pertence ao ideal

(z1, . . . , zρ)·C{z1, . . . , zn}.

Assim, fi |Xe∩V= 0 como quer´ıamos demonstrar.

Do mesmo modo, podemos caracterizar o conjunto dos pontos singulares como segue.

Proposi¸c˜ao 2.3.3 Sejam f 6= 0 uma fun¸c˜ao holomorfa em um dom´ınio U de Cn e X a

hipersuperf´ıcie {z U; f(z) = 0}. Suponha que o germe f n˜ao possui fatores m´ultiplos, ou seja, X ´e reduzido, ent˜ao o conjunto dos pontos singulares de X ´e dado por

S(X) ={z ∈X; ∂f

∂z1

(z) =· · ·= ∂f

∂zn

(46)

Demonstra¸c˜ao: Se alguma derivada parcial ∂f

∂zj

(z) 6= 0, ent˜ao z ´e um ponto regular de X pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita. Reciprocamente, se para todas as derivadas parciais temos ∂f

∂zj

(x) = 0 em um ponto x X, ent˜ao pelo Teorema 2.3.2 (iv) devemos

mostrar que n˜ao existe uma vizinhan¸ca U de x tal que ∂f

∂zj

(y) = 0 para todo yU X

e i = 1, . . . , n. Suponha que exista tal vizinhan¸ca U. Ent˜ao, os germes das derivadas parciais satisfazem:

∂f ∂zj ∈

J(X, x) para j = 1, . . . , n.

Assim, existiriam germesai tais que

∂f ∂zj

=ajf para j = 1, . . . , n.

Derivando obtemos:

∂2f

∂zi∂zj

= ∂ai

∂zi

(z)·f +ai·

∂f ∂zi ∈

J(X, x).

Segue-se por indu¸c˜ao e diferencia¸c˜ao que todas as derivadas parciais de f pertencem a

J(X, x) e, portanto, todos os termos da s´erie de Taylor de f se anulam em x. Mas, isso implica que f 0 o que ´e um absurdo.

Observa¸c˜ao 2.3.4 A proposi¸c˜ao 2.3.3 garante que para uma hipersuperf´ıcieXo conjunto de singularidades S(X)´e um subconjunto anal´ıtico pr´oprio.

Observa¸c˜ao 2.3.5

Pode-se mostrar que X \S(X) ´e aberto e denso em X. Se X ´e irredut´ıvel, ent˜ao

X\S(X) ´e conexo. Assim, o conjunto das singularidades S(X) ´e um conjunto magro de

X, enquanto quase todos os pontos de X pertencem a variedade dos pontos regulares, ou seja, regularidade ´e o caso comum e singularidade as exce¸c˜oes.

Considerando

X1 := X\S(X)

X2 := S(X)\S(S(X))

X3 := S(S(X))\S(S(S(X)))

(47)

ent˜ao obtemos uma decomposi¸c˜ao X = Xi em variedades n˜ao singulares Xi de forma

que

Xi+1

⊂Xi e Xi

∩Xj =

para i6=j.

Decomposi¸c˜oes deste tipo s˜ao chamadas estratifica¸c˜oes; cadaXi ´e chamado de estrato.

Es-tratifica¸c˜ao ´e um m´etodo de reduzir a investiga¸c˜ao das singularidades para a investiga¸c˜ao de objetos n˜ao singulares.

2.4

Dimens˜

ao de um Conjunto Anal´ıtico

Nesta se¸c˜ao, vamos apresentar sucintamente as v´arias no¸c˜oes de dimens˜ao de conjuntos

anal´ıticos.

Defini¸c˜ao 2.4.1 Seja X um subconjunto anal´ıtico de um conjunto aberto em Cn.

(i) Se x ∈ X ´e um ponto regular, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U de x tal que U ∩X ´e uma sub-variedade complexa. Ent˜ao, x´e chamado de ponto regular de dimens˜ao dquando

U ∩X possui dimens˜ao (complexa) d.

(ii) Seja x X arbitr´ario, ent˜ao cada vizinhan¸ca de x possui pontos regulares de X. A dimens˜ao do germe de conjunto (X, x) ´e o maior n´umero d tal que cada vizinhan¸ca de x

cont´em pontos regulares de X de dimens˜ao d. Neste caso, escrevemos d=dimx X.

(iii) A dimens˜ao de X ´e

dim X :=maxx∈X dimx X.

Dizemos que X tem dimens˜ao pura se dim X =dimx X para todo x∈X.

(iv)O germe(X, x)´e dito de dimens˜ao pura quando possui um representante de dimens˜ao pura.

Observa¸c˜ao 2.4.2 Se X ´e irredut´ıvel, ent˜ao o conjunto dos pontos regulares ´e conexo, portanto X ´e de dimens˜ao pura. Assim, um conjunto anal´ıtico Y ´e de dimens˜ao pura somente no caso em que todas as componentes irredut´ıveis possuem a mesma dimens˜ao. O mesmo ´e v´alido para germes de conjuntos anal´ıticos.

Vejamos um exemplo. Se X1 = {z ∈ C3; z3 = 0}, X2 = {z ∈ C3; z1 = z2 = 0} e

X = X1 ∪X2, ent˜ao dimz X = 1 se z ∈ X2 e z 6= 0 e dimz X = 2 se z ∈ X1. Em

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