A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

Livre

0
0
109
1 year ago
Preview
Full text

  

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A

CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  

(Mestrado)

Topologia de Ramos Planos

  

MARCELO OSNAR RODRIGUES DE ABREU

Orientador: Marcelo Escudeiro Hernandes

Maring´a - PR

2014

  Topologia de Ramos Planos

MARCELO OSNAR RODRIGUES DE ABREU

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao Programa de P´ os

  • Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica do Departa- mento de Matem´ atica, Centro de Ciˆ encias Exatas da Universidade Estadual de Ma- ring´

  a, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´ atica. ´ Area de concentra¸c˜ ao: ´ Algebra

  Orientador: Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes Maring´ a - PR 2014

  

Agradecimentos

A minha fam´ılia por toda estrutura que me possibilitou dedicar aos estudos.

  A minha namorada, Aline, pelo apoio e ajuda na corre¸c˜ao do texto. Ao Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes, por toda a ajuda e ensinamentos desde o in´ıcio da gradua¸c˜ao.

  Ao programa de pos-gradua¸c˜ao em matem´atica, a L´ ucia e aos professores pela boa forma¸c˜ao que me proporcionaram.

  Ao CNPq, pelo apoio financeiro.

  

Resumo

  2 Neste trabalho, estudamos a topologia de curvas planas em C . Mais especificamente, a equivalˆencia topol´ogica de curvas planas ´e caracterizada por meio dos pares de Puiseux.

  Estabelecemos que duas curvas s˜ao topologicamente equivalentes somente no caso em que elas possuem os mesmos pares de Puiseux. Al´em disso, apresentamos um m´etodo para se obter uma parametriza¸c˜ao da curva, que possibilita a computa¸c˜ao dos pares de Puiseux. Palavras-chaves: germes, singularidade, expans˜ao de Puiseux, pares de Puiseux, n´o, tran¸cas.

  

Abstract

  2 In this work, we study the topology of plane curves in C . More precisely, the topo-

  logical equivalence of plane curves is characterized by means the Puiseux pairs. We have established that two curves are topologically equivalent only in the case that they have the same Puiseux pairs. Moreover, we present a method to obtain a parametrization of the curve, which allows us the computation of Puiseux pairs.

  

Sum´ ario

   ix

   1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8

  

  19

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  . . 25

  . . . . . . . . . . 27

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  

  37

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

  

  53

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

  91

  

  93

  

Introduc ¸˜ ao

  Na d´ecada de 20 do s´eculo passado, matem´aticos come¸caram a utilizar t´ecnicas alg´e- bricas para estudar propriedades geom´etricas de certos objetos, desde ent˜ao expandiu-se a Geometria Alg´ebrica.

  Um dos problemas que ilustram esta associa¸c˜ao de ideias de sub´areas distintas da Matem´atica foi o da classifica¸c˜ao topol´ogica de curvas irredut´ıveis planas anal´ıticas. Este ´e o principal objetivo deste trabalho.

  Embora nossa meta seja o estudo de curvas planas definidas por fun¸c˜oes holomorfas em duas vari´aveis, vamos sempre que poss´ıvel apresentar resultados para fun¸c˜oes em v´arias vari´aveis, pois acreditamos que a inclus˜ao de tais resultados em um texto possa ser ´ util para estudos posteriores. Isto justifica a abordagem usada no cap´ıtulo 1.

  No cap´ıtulo 2 trabalhamos com germes de conjuntos anal´ıticos, especialmente com hipersuperf´ıcies, ou seja, o conjunto de zeros de uma fun¸c˜ao holomorfa. O ponto crucial ´e a existˆencia de um homomorfismo entre o anel das fun¸c˜oes holomorfas em x , denotado C n por O ,x , e o anel das s´eries convergentes C

  1 , . . . , x n

  {x }. Desta forma, fazemos uma liga¸c˜ao entre os germes e as s´eries de potˆencias convergentes, podendo assim usar v´arios resultados importantes tais como Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita e o Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass.

  Os objetivos centrais deste trabalho s˜ao as curvas anal´ıticas planas que podem ser

2 C

  2 descritas como conjuntos de pontos de C que anulam uma fun¸c˜ao holomorfa em O , .

  Tal conjunto pode ser parametrizado. Deste modo, apresentamos o m´etodo de Newton que permite obtermos uma parametriza¸c˜ao de uma curva plana dada pela sua equa¸c˜ao. Na sequˆencia provamos a convergˆencia da parametriza¸c˜ao. Assim, dada uma curva plana, podemos trabalhar com o germe de conjunto anal´ıtico (conjunto de zeros) associado a ela e, partindo do conjunto anal´ıtico, podemos obter a parametriza¸c˜ao da curva associada ao conjunto.

  De posse destas ferramentas, passamos para o estudo da equivalˆencia topol´ogica. Dois germes de conjunto (X; x) e (Y ; y) s˜ao topologicamente equivalentes quando existem

  2

  vizinhan¸cas U e V de x e y, respectivamente, em C e um homeomorfismo φ : U → V tal que φ(x) = y e φ(X

  ∩ U) = Y ∩ V . As vizinhan¸cas U e V podem ser polidiscos ou bolas, uma vez que s˜ao objetos ho- meomorfos. De posse de crit´erios bem definidos, estabelecemos o que significa uma bola

  S ε ter raio ε suficientemente pequeno. Feito isto, ao fixar uma bola suficientemente pe- quena, pelo Lema de Redu¸c˜ao ao Cone, conclu´ımos que as informa¸c˜oes topol´ogicas da

  2 curva dependem apenas do n´o K = X ε , onde S ε ´e a 3-esfera em C .

  ∩ S Sendo o n´o completamente determinado pela sua ordem e seu tipo, e sabendo que o tipo do n´o ´e completamente determinado pelos pares de Puiseux da curva, conclu´ımos o trabalho com a classifica¸c˜ao topol´ogica das curvas mediante os pares caracter´ısticos, os quais podem ser determinados atrav´es da parametriza¸c˜ao da curva obtida pelo m´etodo de Newton.

  Deste modo, o tipo topol´ogico de uma curva plana irredut´ıvel ´e totalmente caracteri- zado por um conjunto finito de dados num´ericos. A grande importˆancia dos pares de Puiseux neste contexto consiste no fato de serem um invariante topol´ogico completo. Posteriormente descobriu-se outros objetos equiva- lentes que determinam e s˜ao determinados pela classe topol´ogica de uma curva plana, por exemplo, o semigrupo de valores e a sequˆencia de multiplicidades obtida pelo processo de resolu¸c˜ao canˆonica da curva. Tais objetos n˜ao ser˜ao abordados neste texto, mas podem ser encontrados bem descritos nas referˆencias bibliogr´aficas listadas.

  Cap´ıtulo 1

  

Investiga¸ c˜ ao Local

  H´a dois aspectos ao se estudar curvas planas, o local e o global. Nosso objetivo ´e o estudo local. Neste cap´ıtulo vamos descrever o que entendemos por “estudo local”, bem como al- gumas propriedades alg´ebricas decorrentes. Embora nossos objetos perten¸cam ao plano

  2

  complexo C cujo paralelo alg´ebrico ´e a C −´algebra C{x, y}, sempre que poss´ıvel apresen- tamos uma abordagem mais geral, ou seja, consideramos a C , . . . , x n

  −´algebra C{x 1 }.

1.1 Anel Local

  Na presente se¸c˜ao, faremos uma discuss˜ao heur´ıstica do que se entende por “local”neste contexto.

  2 Como exemplo ilustrativo, consideremos o plano complexo C e uma curva C dada

  pela equa¸c˜ao

  2

  

2

  y = x (x + 1), ou seja, uma c´ ubica plana. Vamos estudar esta curva atrav´es da parametriza¸c˜ao t →

  (x(t), y(t)), onde

  2

  x(t) = t − 1

  3

  y(t) = t − t, a qual define uma aplica¸c˜ao φ que aplica a reta complexa C sobre a curva C. Os pontos t = 1 e t =

  −1 s˜ao levados no ponto singular (0, 0) de C. Al´em disso, a aplica¸c˜ao de C

  2

  1 Investiga¸c˜ao Local

  

  aplica¸c˜ao bem definida. Assim, o ponto singula ´e representado por dois pontos em C que ´e uma curva regular. Fora do ponto singular nada mudou.

  −1

  Assim, a aplica¸c˜ao φ : C → C nos d´a um exemplo simples de uma passagem de uma curva singular para uma curva regular, ilustrando o processo que iremos chamar de

  resolu¸c˜ao de singularidades.

  Agora, qual a vantagem de trocar um ponto singular por dois pontos? Considere a interse¸c˜ao da curva C com uma vizinhan¸ca U do ponto singular dada pelo polidisco

  U = {(x, y); |x| < c, |y| < 2c} onde 0 < c < 1.

  Claramente a condi¸c˜ao |y| < 2c ´e satisfeita por pontos de C tais que |x| < c. Agora

  −1

  seja W = φ (U ∩ C) a pr´e-imagem de U ∩ C em C. Temos que

  2 W =

  {t ∈ C; |t − 1| < c}

  que consiste de duas regi˜oes W e W , delimitadas por curvas denominadas ovais de

  Figura 1.1: A aplica¸c˜ao φ induz duas aplica¸c˜oes injetoras

  2 +

  φ : W ֒ → C

  

  2

  φ : W ֒ 1 → C

  Iremos apresentar a defini¸c˜ ao de ponto singular no Cap´ıtulo 2, aqui apenas a ideia intuitiva de que em um ponto singular a reta tangente n˜ ao ´e bem definida ´e o suficiente para o leitor. 2 Dados dois pontos A e B com distˆancia 2a e um n´ umero positivo c, a curva de Cassini ´e a regi˜ ao 2 c

formada por todos os pontos P tais que P A . Se e = < 1, ent˜ao a curva de Cassini ´e dada

· P B = c a por duas duas curvas que englobam os focos. Mais detalhes em pg. 18.

  1.1 Anel Local

  3

  • ± ± ± −

  cujas imagens V = φ(W ) s˜ao imagens biholomorfas de W . Os conjuntos V e V se

  interceptam, transversalmente, somente na origem e V = C ∪ V ∩ U.

  − +

  A interse¸c˜ao de C com a vizinhan¸ca U se divide em duas componentes V e V e uma vez que estas componentes s˜ao n˜ao singulares, o que chamamos de resolu¸c˜ao de singularidade, neste caso, consiste simplesmente em separar as componentes.

  Uma ideia intuitiva dessa situa¸c˜ao ´e dada pela figura abaixo que corresponde ao tra¸co real das curvas.

  Figura 1.2:

  2

  

2

Note que o polinˆomio f (x, y) = y (x + 1)

  − x ∈ C[x, y] ´e irredut´ıvel. Assim, a decomposi¸c˜ao da curva em uma vizinhan¸ca particular do ponto singular n˜ao ´e reflexo da decomposi¸c˜ao de f como polinˆomio. De fato, a curva C n˜ao pode se decompor em duas em todo o plano, somente em uma vizinhan¸ca suficientemente pequena da origem.

  Isto levanta a quest˜ao; o que significa uma vizinhan¸ca ser suficientemente pequena? O conceito mais elementar de vizinhan¸ca em Geometria Alg´ebrica ´e a vizinhan¸ca (ou aberto)

  

de Zariski. Uma vizinhan¸ca de Zariski U de um ponto x no plano ´e obtida, por exemplo,

  2 removendo de C alguns pontos e algumas curvas que n˜ao passam por x .

  Mais especificamente, pontos e curvas no plano correspondem a conjuntos fechados.

  2 Algebricamente uma opera¸c˜ao que leva em conta um ponto x ´e a localiza¸c˜ao do

  ∈ C

  4

  1 Investiga¸c˜ao Local saber tal opera¸c˜ao consiste em considerar o anel p

  C [x , x ] M = ; p, q , x ], q

  1

  2

  1

  2

  ∈ C[x 6∈ M q cujos elementos s˜ao fun¸c˜oes racionais sobre uma vizinhan¸ca U de x , ou seja, quocientes p da forma , onde p e q s˜ao polinˆomios, cujo denominador n˜ao se anula em U . q

  Temos que C[x

  1 , x 2 ] M ´e um anel local, isto ´e, possui um ´ unico ideal maximal, a saber, p

  o ideal formado pelos elementos tais que p , x ] M tamb´em ´e chamado

  1

  2 q ∈ M. O anel C[x 2 de uma localiza¸c˜ao de C[x , x ] em x ou anel local alg´ebrico de C em x .

  1

2 Gostar´ıamos que ao interceptar a curva C com o aberto de Zariski U resultasse em

  uma decomposi¸c˜ao em duas componentes. Algebricamente, isto corresponderia a uma fa- tora¸c˜ao f = f , x ] M , onde f e f pertenceriam ao ideal maximal de C[x , x ] M .

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  ·f ∈ C[x p i Mas isso n˜ao acontece, uma vez que se f i = com p i i

  1

  2

  1

  2 q i ∈ M e q 6∈ M, ent˜ao q ·q ·f = p ·p e consequentemente os fatores irredut´ıveis em M de p e p dividem f , contradizendo o

  1

  2 fato de que f ´e irredut´ıvel em C[x , x ].

  1

2 Podemos constatar geometricamente que a interse¸c˜ao de C com o aberto de Zariski n˜ao

  pode se decompor em duas componentes. Isso ocorre porque C alguns pontos e interse¸c˜oes com curvas, e consequentemente, apenas pela remo¸c˜ao de um

  −1

  n´ umero finito de pontos. Correspondentemente, a pr´e-imagem V = φ (C ∩ U) resulta de C removendo-se um n´ umero finito de pontos e, portanto, consiste de somente uma componente. Assim, temos que o aberto de Zariski ´e muito grande e que as curvas n˜ao se decomp˜oem dentro dele.

  2 Desta forma, vamos considerar uma vizinhan¸ca U de um ponto singular em C no mesmo sentido da topologia usual, por exemplo, um polidisco.

  Tamb´em admitiremos outras fun¸c˜oes nessa vizinhan¸ca U como poss´ıveis fatores de f , a saber, todas as fun¸c˜oes que s˜ao holomorfas, isto ´e, localmente expans´ıveis em s´erie de potˆencias convergente em U .

  Deste modo, no polidisco U suficientemente pequeno, podemos considerar a fun¸c˜ao √ x + 1 (onde escolheremos um dos dois ramos da fun¸c˜ao raiz) que ´e uma fun¸c˜ao holomorfa bem definida uma vez que x + 1 n˜ao se anula em U e U ´e simplesmente conexo.

  2

  2 Assim, podemos fatorar o polinˆomio f = y (x + 1) como f = f

  1 2 , onde

  − x · f √ √ f = y + x x + 1 e f = y x + 1.

  1

  2

  − x

  1.1 Anel Local

  5

  justamente V e o conjunto de zeros de f

  2 ´e V . Se denotarmos por O(U ) o anel de todas as fun¸c˜oes holomorfas em U , ent˜ao nesse anel temos a decomposi¸c˜ao f = f .

  1

  2

  · f Para muitos prop´ositos esta ´e uma descri¸c˜ao adequada da situa¸c˜ao, especialmente quando estamos interessados nas propriedades topol´ogicas de uma curva na vizinhan¸ca de um ponto singular.

  Neste caso, interceptamos a curva C com uma vizinhan¸ca adequada de x , por exemplo, bolas ou polidiscos, e tratamos a interse¸c˜ao V = C ∩ U como o conjunto de zeros de uma fun¸c˜ao holomorfa f

  ∈ O(U). Para outras finalidades, a escolha de uma vizinhan¸ca particular de x pode ocasionar restri¸c˜oes. Deste modo, ´e conveniente considerar o sistema de todas as vizinhan¸cas U de x e o sistema de todas as fun¸c˜oes que s˜ao holomorfas sobre todas as vizinhan¸cas de x .

  Nesta situa¸c˜ao, ´e natural identificarmos todas as fun¸c˜oes holomorfas em uma vizi- nhan¸ca conveniente/particular de x , uma vez que estamos interessados somente no com- portamento dessas fun¸c˜oes em uma pequena vizinhan¸ca arbitr´aria de x . As classes de equivalˆencia de fun¸c˜oes holomorfas s˜ao chamadas de germes de fun¸c˜oes holomorfas em x .

  Defini¸ c˜ ao 1.1.1 Um germe de fun¸c˜ao holomorfa em um ponto x ´e uma classe de equi-

  

valˆencia de fun¸c˜oes holomorfas definidas em uma vizinhan¸ca de x . Duas fun¸c˜oes s˜ao

equivalentes segunda esta rela¸c˜ao, isto ´e, definem o mesmo germe, quando restritas a

uma vizinhan¸ca adequada de x elas coincidem.

  ´ C 2 E f´acil constatar que o conjunto O ,x de todos os germes de fun¸c˜oes holomorfas em x constituem um anel.

  Tamb´em podemos descrever este anel como segue. Cada fun¸c˜ao que ´e holomorfa em uma vizinhan¸ca de x pode ser associada com a sua expans˜ao de Taylor em x , a qual ´e uma s´erie de potˆencias convergente, que converge para uma fun¸c˜ao em uma vizinhan¸ca de x . Fun¸c˜oes que definem um mesmo germe em x naturalmente tem a mesma expans˜ao C 2 de Taylor em x . Assim, obtemos uma aplica¸c˜ao de O ,x no anel C

  {x, y} das s´eries de potˆencias convergentes. Esta fun¸c˜ao ´e um homomorfismo de an´eis devido as regras de expans˜ao em s´eries de potˆencias e as regras de somas e produtos de fun¸c˜oes. E ´e injetiva, pois a expans˜ao em s´erie de potˆencias de uma fun¸c˜ao f em uma vizinhan¸ca de x converge para f e

  6

  1 Investiga¸c˜ao Local uma vez que cada s´erie de potˆencias convergente, converge para uma fun¸c˜ao holomorfa em alguma vizinhan¸ca do ponto de expans˜ao.

  Desta forma, associando cada germe em x com sua expans˜ao de Taylor em x , obtemos um isomorfismo de an´eis 2

  O C ,x = C C n {x, y}.

  Naturalmente, podemos definir o anel O ,x de germes de fun¸c˜oes holomorfas em um n ponto x de forma an´aloga e, consequentemente, obtemos um isomorfismo ∈ C n C

  O ,x = C , . . . , x n

  1

  {x }, onde C , . . . , x n

  1 {x } ´e o anel das s´eries de potˆencias convergentes em n vari´aveis. n C n

  Sejam a = (a

  1 , . . . , a n ) e O ,a o anel dos germes de fun¸c˜oes holomorfas com sua

  ∈ C expans˜ao de Taylor em a, ent˜ao obtemos uma s´erie convergente nas vari´aveis x , x

  1

  1

  2

  − a − a , . . . , x n n . Se denotarmos o anel dessas s´eries convergentes por C , . . . , x n n

  2

  1

  1

  −a {x −a −a }, ent˜ao obtemos um isomorfismo n C

  O ,a = C , . . . , x n n {x

  1 − a 1 − a }.

  Em particular, para a = 0 temos n C ∼ O , = C , . . . , x n

  1 {x }.

  As considera¸c˜oes anteriores relativas a localiza¸c˜ao do anel C[x, y] podem ser feitas da mesma maneira para n vari´aveis. Agora, vamos retornar ao problema de fatora¸c˜ao. A fatora¸c˜ao f = f em O(U ) nos

  1

  2 C 2 · f fornece, passando para germes, uma fatora¸c˜ao f = f em O ,x e consequentemente

  1

  2

  · f em C {x, y}. 2 Por outro lado, quando temos uma decomposi¸c˜ao f = f em O C podemos

  1 2 ,x

  · f representar os germes por fun¸c˜oes holomorfas f, f , f em uma vizinhan¸ca adequada U de

  1

  2

  forma que f = f

  1 2 em O(U ).

  · f Assim, temos que a decomposi¸c˜ao da curva em v´arias componentes anal´ıticas em uma vizinhan¸ca suficientemente pequena de x se traduz no fato que para a equa¸c˜ao f (x, y) = 0 C 2 da curva, f ´e redut´ıvel em O ,x . 2

  ∼ O anel local O C ,x = C

  {x, y} nos fornece um anel que ´e independente da escolha da vi-

  1.1 Anel Local 7 curva f (x, y) = 0 em um ponto singular x pelas propriedades alg´ebricas correspondentes 2 de f C ,x .

  ∈ O Reconhecidamente, geˆometras alg´ebricos n˜ao gostam muito de usar o anel C {x, y}. Entre outros motivos, ´e porque preferem considerar conjuntos de zeros de polinˆomios cujos coeficientes n˜ao s˜ao reais ou complexos, mas em um corpo arbitr´ario K. Em um corpo arbitr´ario n˜ao faz sentido falar de s´eries de potˆencias convergentes. No entanto, pode- se sempre considerar o anel das s´eries de potˆencias formais K[[x

  1 , . . . , x n ]] nas vari´aveis x , . . . , x n com coeficientes em K. Para K = C temos que C , . . . , x n , . . . , x n ]].

  1

  1

  1

  {x } ⊂ C[[x Desta forma, uma decomposi¸c˜ao f = f em C , . . . , x n

  1

  2

  1

  · f {x } nos fornece uma decom- posi¸c˜ao em C[[x

  

1 , . . . , x n ]]. Por outro lado, podemos mostrar que se f

1 , . . . , x n

  ∈ C{x } decomp˜oe-se da forma f = f em C[[x , . . . , x n ]], onde f e f s˜ao s´eries de potˆencias

  1

  2

  1

  1

  2

  · f sem termos constantes, ent˜ao f se decomp˜oe da mesma maneira em C , . . . , x n

  1

  {x }. As- sim, a irredutibilidade de f

  1 , . . . , x n ]] ´e equivalente a irredutibilidade de f vista

  ∈ C[[x como um elemento de C , . . . , x n

  1 {x }.

  Desta forma, o anel C[[x , . . . , x n ]] ´e t˜ao ´ util quanto o anel C , . . . , x n

  1

  1

  {x } quando estamos interessados em investigar localmente a decomposi¸c˜ao em fatores irredut´ıveis. Resumo:

  Para investigar problemas de Geometria Alg´ebrica, devemos definir um conceito de vizinhan¸ca adequada e um conceito adequado de fun¸c˜oes admiss´ıveis definidas nessas vizinhan¸cas. O que nos leva a considerar os seguintes an´eis locais

  C [x , . . . , x n ] M , . . . , x n , . . . , x n ]],

  1

  1

  1

  ⊂ C{x } ⊂ C[[x em que: C

  [x , . . . , x n ] M ´e a localiza¸c˜ao de C[x , . . . , x n ] pelo ideal maximal (x , . . . , x n );

  1

  1

  1 C , . . . , x n

  1

  {x } anel das s´eries de potˆencias convergentes; C [[x , . . . , x n ]] anel das s´eries de potˆencias formais.

1 A solu¸c˜ao de problemas de Geometria Alg´ebrica, muitas vezes, ´e feita em algumas

  etapas: 1) Uma primeira tentativa ´e resolver o problema formalmente, ou seja, o problema acaba por conduzir a uma considera¸c˜ao de s´eries de potˆencias formais.

  8

  1 Investiga¸c˜ao Local uma solu¸c˜ao convergente. Um exemplo disso ´e a prova do Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita no caso anal´ıtico; primeiro mostra-se a existˆencia de uma solu¸c˜ao formal e, em seguida, comprova-se a sua convergˆencia.

  Neste trabalho, vamos considerar principalmente o caso das s´erie de potˆencias conver- gentes.

1.2 Teorema de Prepara¸ c˜ ao de Weierstrass

  Na se¸c˜ao anterior vimos que o estudo das singularidades de conjuntos alg´ebricos nos leva a vˆe-los como conjuntos anal´ıticos, ou seja, conjuntos de zeros de fun¸c˜oes anal´ıticas. Portanto, vamos agora desenvolver os conceitos b´asicos mais importantes da teoria de conjuntos de fun¸c˜oes anal´ıticas, em particular, as propriedades do anel das s´eries de potˆencias convergentes. Estes e outros detalhes tamb´em podem ser encontrados em .

  O teorema a seguir, demonstrado por Weierstrass em 1860 ´e fundamental: Teorema 1.2.1

  (Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass) Seja g(t, z) = g(t, z , . . . , z n )

  1

  ∈ C

  1 , . . . , z n

  {t, z } uma s´erie de potˆencias convergente t−regular de ordem k, isto ´e, a multi-

  plicidade de g(t, 0) ´e k. Ent˜ao existem ´ unicos elementos u(t, z) i (z)

  ∈ C{t, z} e c ∈ C{z}, i = 1, . . . , n, tais que k k

  

−1

  g(t, z) = [t + c (z)t + k (z)]

  1

  · · · + c · u(t, z)

  com c i (0) = 0 e u(0, 0) 6= 0.

  Observa¸ c˜ ao 1.2.2 i) O teorema ´e chamado de Prepara¸c˜ao porque a s´erie de potˆencias g ´e preparada para o

  estudo dos seus zeros. n

  • 1

  Uma vez que u n˜ao se anula em uma vizinhan¸ca de 0 , os zeros de g coincidem

  ∈ C

  com os zeros do polinˆomio k k −1 + t + c (z)t k (z).

  1

  · · · + c

  Este polinˆomio, cujos coeficientes pertencem a C , . . . , z n

  1

  {z }, ´e chamado de Polinˆomio

  1.2 Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass

  9 A representa¸c˜ao de g como o produto de um polinˆomio de Weierstrass por uma unidade

  tamb´em vai nos permitir investigar quest˜oes de divisibilidade em C

  {t, z} com a ajuda dos resultados que j´a conhecemos sobre an´eis de polinˆomios. ii) Cada s´erie g

  ∈ C{t, z} ´e regular de ordem k quando consideradas em coordenadas P

  ∞ ′ ′ adequadas (t , z ). De fato, se g = p j , (p k j 6= 0) ´e a expans˜ao de g em polinˆomios

  =k homogˆeneos

  X v v v 1 n p k (t, z) = a v t z ,

  ···v n n v 1 · · · z

  • ···+v n =k ′ ′

  ent˜ao considerando as coordenadas t = t, z = z i i t (com ε i i − ε ∈ C), temos que o ′k ′ ′ coeficiente de t em p k (t , z ) ´e dado por

  X k v v 1 n c = ( a v n ε .

  ···v n v

  −1)

  1 · · · ε

  • ···+v n =k

  

Deste modo, para quase todas as escolhas de ε i esta express˜ao n˜ao se anula e como c

′k ′ ′

tamb´em ´e o coeficiente de t em g(t , z ), temos que escolhendo valores para ε i de forma

  ′ conveniente, g torna-se t

  −regular de ordem k. Portanto, a hip´otese do Teorema de

  Prepara¸c˜ao de Weierstrass sobre a t −regularidade n˜ao ´e restritiva.

  P ∞ iii) Seja g = p j k j ´e um polinˆomio homogˆeneo de j ∈ C{x, y} com p 6= 0 e cada p

  =k

grau j. Chamamos o n´ umero k de multiplicidade de g e denotamos por mult(g). A

curva determinada por p k = 0 ´e chamada de cone tangente de g. Uma vez que qualquer

polinˆomio homogˆeneo em duas vari´aveis com coeficientes em um corpo algebricamente

fechado pode ser decomposto em fatores lineares, podemos escrever s

  Y r i p k = (a i x + b i y) , i

  =1

  P s

  onde r i = k e a i , b j i ∈ C, para i, j = 1, . . . , s.

  =1

Assim o cone tangente de g consiste das formas lineares a i x+b i y = 0 com a i b j j b i

  −a 6= 0 se i i , chamadas de retas tangentes de 6= j, i = 1, . . . , s, cada qual com multiplicidade r g, ou da curva definida por g = 0. iv) O Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass implica no Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita. ∂f

  De fato, se f (t, z)

1 , . . . , z n (0, 0)

  ∈ C{t, z } com f(0, 0) = 0 e 6= 0, ent˜ao f ´e t−regular ∂t

  de ordem 1. Pelo Teorema existe t(z)

  ∈ C{z} e uma unidade u tais que

  10

  1 Investiga¸c˜ao Local

  Uma vez que u(0, 0)

  6= 0, ent˜ao t = t(z) ´e a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao impl´ıcita f(t, z) = 0 em uma vizinhan¸ca da origem.

  Reciprocamente, podemos ver que o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita ´e equivalente ao Teorema de Prepara¸c˜ao de Wierstrass para fun¸c˜oes t

  −regulares de ordem 1. Podemos provar o Teorema mostrando a existˆencia de uma solu¸c˜ao formal usando indu¸c˜ao sobre o n´ umero de vari´aveis e em seguida provar a convergˆencia das s´eries envol- vidas. No entanto, a tentativa de encontrar vers˜oes do teorema de prepara¸c˜ao adequadas para outras teorias, por exemplo, para fun¸c˜oes diferenci´aveis, levou a m´etodos mais ele- gantes que vamos usar para a prova dada aqui.

  O Teorema abaixo, um pouco mais geral, o qual fornece um tipo de algoritmo de divis˜ao para s´eries de potˆencias convergentes.

  Teorema 1.2.3

  (Teorema de Divis˜ao) Sejam f, g

  ∈ C{t, z} com g t−regular de ordem k . Ent˜ao existem um ´ unico elemento q ∈ C{t, z} e um ´unico polinˆomio r ∈ C{z}[t] de

  grau menor ou igual a k

  − 1 tais que k

  X k −i r(t, z) = a i (z)t (a i (z) i ∈ C{z}) e f = q · g + r.

  =1

  O Teorema ´e tamb´em chamado de f´ormula de Weierstrass. A nota¸c˜ao na f´ormula acima sugere que q ´e o quociente da divis˜ao de f por g e r ´e o resto da divis˜ao.

  Obtendo o Teorema k Seja f (t, z) := t . Pelo Teorema temos k t = q

  · g + r P k k

  −i

  onde r = a i t , ou equivalentemente, i

  =1 k k k

  X

  −i

  q(t, z)g(t, z) = t a t . (1.1) ii =1 k

  Se substituirmos z = 0 nesta equa¸c˜ao e compararmos os coeficientes de t , ent˜ao resulta k que q(0, 0) i (0) = 0, para todo i, uma vez que g(t, 0) = ct +(termos de maior grau).

  6= 0 e a

  −1

  Assim, denotando u := q e c i := i obtemos que −a k k k

  X

  −i

  g = (t c i t ) · u.

  1.2 Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass

  11 As provas dos Teorema

  Teorema 1.2.4

  (Teorema Especial da Divis˜ao) Seja p k (t, y) 1 , . . . , y k

  ∈ C{y }[t] o po- k k P k

  −i

linˆomio mˆonico geral de grau k, isto ´e, p (t, y) = t y + k i . Ent˜ao, para cada

i · t

  =1

  P k k

  −i

  f (t, z, y) A i (z, y)

  ∈ C{t, z, y} existe q ∈ C{t, z, y} e um polinˆomio r(t, z, y) = i =1 · t

  de grau menor ou igual a k

  − 1 sobre C{z, y} tais que f = q k + r.

  · p Este ´e um caso especial do Teorema porque a divis˜ao ´e feita por um polinˆomio geral e n˜ao por uma fun¸c˜ao arbitr´aria. Podemos reduzir o Teorema de Prepara¸c˜ao de

  Weierstrass e o Teorema da Divis˜ao ao Teorema Especial de Divis˜ao, da seguinte forma: Reduzindo o Teorema

  Seja g ∈ C{t, z} t−regular de ordem k, ou seja, k g(t, 0) = c + (termos de maior ordem em t), com c

  · t 6= 0. Pelo Teorema k k

  −1

  g(t, z) = q(t, z, y)(t + y t + k ) + r(t, z, y) (1.2)

  1 k · · · + y −1

  • com r(t, z, y) = A (z, y)t k (z, y) e q

  1 · · · + A ∈ C{t, z, y}.

  O nosso objetivo ´e substituir os coeficientes gerais y i do polinˆomio p k por fun¸c˜oes holomorfas adequadas y i (z) de modo que o termo restante r em desapare¸ca. Pri- meiramente vamos mostrar a seguinte: Afirma¸ c˜ ao:

    para i > j

  ∂A i (0, 0) =

  ∂y j  −c para i = j. Demonstra¸ c˜ ao: Substituindo y = z = 0 na equa¸c˜ao e comparando os coeficientes k de t , . . . , t obtemos

  12

  1 Investiga¸c˜ao Local Derivando ambos os lados de com respeito a vari´avel y j , e substituindo y = z = 0, resulta que

  ∂q ∂A ∂A j ∂A k

k k −j k −1 k −j

  1 + + 0 = (t, 0, 0) +q(t, 0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0).

  • ∂y j ∂y j ∂y j ∂y j k

  ·t ·t ·t · · ·+ ·t · · ·+

  Comparando os coeficientes de t , . . . , t segue que ∂A ∂A ∂A ∂A j +1 j +2 k −1 k

  (0, 0) = 0, (0, 0) = 0, . . . , (0, 0) = 0, (0, 0) = 0 ∂A j ∂y j ∂y j ∂y j ∂y j e (0, 0) = ∂y j −q(0, 0, 0) = −c donde segue a afirma¸c˜ao. ∂A i A matriz a ij = ´e, portanto, uma matriz triangular superior com determinante k ∂y j

  ( (z, y) = 0 satisfazem as hip´oteses do Teorema da Fun¸c˜ao i −c) 6= 0. As equa¸c˜oes A

  Impl´ıcita e consequentemente existem y j (z) j (0) = 0 tais que ∈ C{z}, com y A i (z, y (z), . . . , y k (z)) = 0, i = 1, . . . , k.

1 Assim, substituindo y = y(z) em (1.2) e definindo u(t, z) := q(t, z, y(z)) obtemos que

  k k

  

−1

  • g(t, z) = [t + y (z) (z)]

  1 k

  · t · · · + y · u(t, z) e u(0, 0) = c 6= 0. Isto mostra que g ´e o produto de um Polinˆomio de Weierstrass e uma unidade u.

  Unicidade: k k k k Suponha que

  −1 −1

  • [t
  • k ] + c k ]

  1

  1

  • ec · t · · · + ec · eu = g(t, z) = [t · t · · · + c · u n e seja U = V u n˜ao se anulam.

  × W uma vizinhan¸ca de 0 ∈ C × C na qual u e e Uma vez que as ra´ızes de um polinˆomio dependem continuamente de seus coeficientes, todas as k ra´ızes (contando as multiplicidades) dos polinˆomios k k k k

  

−1 −1

  t + c +

  1 (z) k (z) e t 1 (z)

  · · · + c · t · · · + ec n + ec pertencem a V para z suficientemente pr´oximo da origem. Como u ∈ C

  • k (z) · t

  6= 0 e eu 6= 0, os zeros dos polinˆomios acima s˜ao justamente os zeros de g(t, z) em V . Assim, para z sufici- entemente pr´oximo da origem, c i i (z) donde segue que c i i e consequentemente

  (z) = ec = ec u. u = e Reduzindo o Teorema

  1.2 Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass

  13 Sejam g ∈ C{t, z} t−regular de ordem k e f ∈ C{t, z}. Pelo Teorema podemos reescrever g e f na forma q(t, z, y) k g = e · p + er(t, z, y) q(t, z, y) k + e r(t, z, y), e f = ee · p onde er e eer s˜ao polinˆomios de grau menor ou igual a k − 1 com coeficientes em C{z, y}.

  Assim, como acima, substitu´ımos y = y(z) de modo que r(t, z, y(z)) e ≡ 0. Logo, obtemos q(t, z, y(z)) k q(0, 0, 0) g = e · p (com e 6= 0) q(t, z, y(z)) + e r(t, z, y(z)) k f = ee · p e

  −1

  q q = ee · e · g + eer.

  −1

  q(t, z, y(z)) q (t, z, y(z)) e r(t, z) := e r(t, z, y(z)) temos que e Definindo q(t, z) := ee · e f = q

  · g + r. A unicidade desta decomposi¸c˜ao ´e mostrada da mesma maneira como feita para o

  Teorema De fato, se q = f = q , ent˜ao

  1

  1

  2

  2

  · g + r · g + r r = (q )

  1

  2

  2

  1 − r − q · g.

  O Teorema garante que g(t, z) possui k zeros, contando a multiplicidade, ent˜ao o polinˆomio r

  1 (t, z) 2 (t, z) de grau menor ou igual a k

  − r − 1 possui k ra´ızes e, portanto, ´e identicamente nulo. Portanto, r = r e consequentemente q = q .

  1

  2

  1

  2 Agora passemos a demonstra¸c˜ao efetivamente do Teorema

  Demonstra¸ c˜ ao do Teorema A ideia ´e “dividir”a s´erie f sucessivamente pelos fatores lineares do polinˆomio geral p k . Vamos particionar o argumento em 3 partes.

  Etapa 1: (Divis˜ao por um fator geral linear t i ) Para cada F , . . . , x k

  1

  − x ∈ C{t, z, x } existem Q ∈ C{t, z, x} e R ∈ C{z, x} tais que

  14

  1 Investiga¸c˜ao Local De fato, definindo R(z, x) := F (x i , z, x), ent˜ao (t i ) divide a s´erie F

  − x − R = F (t, z, x) − F (x i , z, x). Este fato ´e facilmente justificado atrav´es da expans˜ao de F − R. Etapa 2:

  (Divis˜ao por um produto de fatores lineares gerais)

  Para cada F

  1 , . . . , x k

  ∈ C{t, z, x } existem um ´unico elemento Q ∈ C{t, z, x} e um ´ unico polinˆomio R

  ∈ C{z, x}[t] de grau menor que k, tais que F = Q(t )(t ) k ) + R.

  1

  2

  − x − x · · · (t − x Com efeito, pela Etapa 1, temos que

  F = Q (t ) + R (Q

  1

  1

  1

  1

  1

  − x ∈ C{t, z, x}, R ∈ C{z, x}) Q = Q (t ) + R (Q

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  − x ∈ C{t, z, x}, R ∈ C{z, x}) ... Q k = Q k (t k ) + R k (Q k k

  −1 − x ∈ C{t, z, x}, R ∈ C{z, x}).

  Sucessivas substitui¸c˜oes resultam em F = Q k (t

  1 )(t 2 ) k )

  − x − x · · · (t − x + R + (t )R )(t + ) k )R k .

  1

  1

  2

  1 2 −1

  − x · · · + (t − x − x · · · (t − x Definindo Q := Q + k e R := R + (t )R )(t ) k )R k obtemos

  1

  1

  2

  1 2 −1

  − x · · · + (t − x − x · · · (t − x que F = Q )(t ) k ) + R.

  1

  2

  · (t − x − x · · · (t − x A prova da unicidade de Q e R pode ser feita exatamente como provamos a unicidade na afirma¸c˜ao do Teorema

  Etapa 3: (O truque de Lojaziewicz) Seja σ i (x) a i −´esima fun¸c˜ao sim´etrica elementar em x , . . . , x k . Vamos substituir y i := σ i (x). Assim, obtemos uma decomposi¸c˜ao do polinˆomio

  1

  geral p em fatores lineares: k k k

  −1 + p k (t, y) = t + y t k = (t )(t ) k ).

  1

  1

  2

  · · · + y − x − x · · · (t − x Queremos “dividir”a s´erie f (t, z, y) pelo polinˆomio geral p k . Definindo

  F (t, z, x) := f (t, z, σ

  1 (x), . . . , σ k (x))

  obtemos pela Etapa 2

  1.2 Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass

  15 Temos que Q e R s˜ao sim´etricas, isto ´e, invariante em rela¸c˜ao `a permuta¸c˜oes de x 1 . . . , x k .

  De fato, tais permuta¸c˜oes deixam F e o polinˆomio (t ) k ) fixos. Assim, Q e

  1

  − x · · · (t − x R n˜ao mudam pela unicidade da Etapa 2. Pela simetria de Q e R e o Teorema Fundamental das Fun¸c˜oes Sim´etricas, existe uma fun¸c˜ao holomorfa q(t, z, y)

  ∈ C{t, z, y} e um polinˆomio r(t, z, y) de grau menor que k em t com coeficientes em C {x, y} tais que q(t, z, σ (x), . . . , σ k (x)) = Q(t, z, x) e

  1 r(t, z, σ (x), . . . , σ k (x)) = R(t, z, x).

1 Portanto,

  k k

  −1

  f (t, z, σ

  1 (x), . . . , σ k (x)) = q(t, z, σ 1 (x), . . . , σ k (x)) + + σ 1 (x)t k (x))

  · (t · · · + σ

  • r(t, z, σ (x), . . . , σ k (x))

  1 k k −1

  f (t, z, y , . . . , y k ) = q(t, z, y , . . . , y k ) + y (x)t (x)) + k

  1

  1

  1

  · (t · · · + y

  • r(t, z, y

  1 (x), . . . , y k (x)), que conclui a prova do Teorema

  Assim, temos as seguintes implica¸c˜oes Na prova do Teorema usamos o Teorema Fundamental das Fun¸c˜oes Sim´etricas.

  Este Teorema assegura que uma s´erie de potˆencias convergente φ(x , . . . , x k , z , . . . , z m )

  1

  1

  ∈ C

  , . . . , x k , z , . . . , z m i pode ser

  1

  1

  {x } a qual ´e invariante por permuta¸c˜oes das vari´aveis x escrita como uma fun¸c˜ao holomorfa nas fun¸c˜oes sim´etricas elementares. Isto significa que existe uma s´erie de potˆencias convergente

  ψ(y

  1 , . . . , y k , z 1 , . . . , z m ) 1 , . . . , y k , z 1 , . . . , z m

  ∈ C{y }

  16

  1 Investiga¸c˜ao Local O Teorema de Prepara¸c˜ao e o Teorema da Divis˜ao s˜ao facilmente provados para s´eries de potˆencias formais. O Teorema da Divis˜ao para fun¸c˜oes anal´ıticas reais segue do caso complexo passando para parte real, a partir deste pode-se provar o Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass para fun¸c˜oes anal´ıticas reais. Por outro lado, um teorema an´alogo ao Teo- rema de Prepara¸c˜ao para germes de fun¸c˜oes diferenci´aveis ´e um resultado mais profundo devido a Malgrange. O Teorema de Prepara¸c˜ao de Malgrange tornou-se uma das fer- ramentas mais importantes para a investiga¸c˜ao das fun¸c˜oes diferenci´aveis, sobretudo no trabalho de Mather em germes finitamente determinados de fun¸c˜oes diferenci´aveis.

  Como uma aplica¸c˜ao dos Teoremas vamos provar algumas propriedades alg´ebricas do anel C

  1 , . . . , z n

  {z } das s´eries de potˆencias convergentes. O Teorema de Prepara¸c˜ao e o Teorema da Divis˜ao s˜ao usados para reduzir esses resultados a teoremas correspondentes para an´eis de polinˆomios.

  Um cl´assico resultado de ´ Algebra Comutativa ´e o Teorema da Base de Hilbert, que

  ent˜ao A[X] ´e Noetheriano.

  O Teorema Base de Hilbert, juntamente com o Teorema da Divis˜ao, permite provarmos o seguinte resultado.

  Teorema 1.2.5

  (Teorema base de R¨ uckert) O anel C 1 , . . . , z n {z } ´e Noetheriano.

  Demonstra¸ c˜ ao: A prova ser´a feita por indu¸c˜ao sobre o n´ umero de vari´aveis n. i) Para n = 0, isto ´e, para o anel C, o resultado ´e trivialmente satisfeito. ii) Suponhamos agora que n , . . . , z n

  1 −1 ≥ 1 e que C{z } ´e Noetheriano.

  Seja I , . . . , z n

  1 ⊂ C{z } um ideal n˜ao nulo e seja G ∈ I\{0} um elemento qualquer.

  Depois de mudar as coordenadas, se necess´ario, podemos supor que G ´e regular com rela¸c˜ao a z n . Como C , . . . , z n

  1 −1

  {z } ´e Noetheriano, pelo Teorema base de Hilbert, C , . . . , z n n ] tamb´em ´e Noetheriano.

  1 −1

  {z }[z Portanto, existem G

  1 , . . . , G m 1 , . . . , z n 1 , . . . , z n −1 n ] =

  ∈ C{z } tais que I ∩ C{z }[z , . . . , G m

  1

  hG i. Seja F ∈ I, pelo Teorema da Divis˜ao, podemos escrever F = gG + R, com g , . . . , z n , . . . , z n n ]. Como F, G

  1 1 −1

  ∈ C{z }, R ∈ C{z }[z ∈ I, segue que R ∈

  I

  1 , . . . , z n −1 n ]. Logo, existem g

1 , . . . , g m

1 , . . . , z n −1 n ] 1 , . . . , z n

  ∩ C{z }[z ∈ C{z }[z ⊂ C{z } tais que

  • R = g G m G m ,

  1

  1 3

  · · · + g Um anel A ´e chamado Noetheriano se todo ideal em A ´e finitamente gerado.

  1.2 Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass

  17

  • e, portanto, F = gG + g

1 G 1 m G m , o que mostra que I = 1 , . . . , G m · · · + g hG, G i.

  Podemos tamb´em obter resultados relativos a irredutibilidade. Proposi¸ c˜ ao 1.2.6 Um polinˆomio de Weierstrass h , . . . , z n n ] ´e irredut´ıvel em

  1 −1

  ∈ C{z }[z C , . . . , z n n ] se, e somente se, h ´e irredut´ıvel em C , . . . , z n

  1 −1

  1

  {z }[z {z }. Mais ainda, quando h ´e redut´ıvel, todos os seus fatores s˜ao polinˆomios de Weierstrass, a menos de multi-

  plica¸c˜ao por uma unidade.

  Demonstra¸ c˜ ao: Suponha que h ´e redut´ıvel em C , . . . , z n e g em

  1

  1

  2

  {z }. Ent˜ao existem g C

  , . . . , z n . Como h ´e um polinˆomio de Weierstrass

  1

  

1

  2

  {z }, n˜ao unidades, tais que h = g · g

  e, portanto, regular de uma certa ordem com rela¸c˜ao a z n , temos que g

  1 e g 2 s˜ao regulares de ordem maior ou igual a 1.

  Pelo Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass, existem unidades u , u , . . . , z n

  1

  2

  1

  ∈ C{z } tais que g = h e g = h , onde h e h s˜ao polinˆomios de Weierstrass de graus

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  · u · g maiores ou iguais a 1. Assim, obtemos duas decomposi¸c˜oes de h como o produto de uma unidade por um polinˆomio de Weierstrass, a saber

  1 )(h ).

  

1

  2

  1

  2

  · h = h = (u · u · h Pela unicidade do Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass temos que u = 1 e conse-

  1

  2

  · u quentemente h = h

  

1

2 ,

  · h ou seja, h ´e redut´ıvel em C , . . . , z n n ] e todos os seus fatores s˜ao polinˆomios de

  1 −1

  {z }[z Weierstrass, a menos de multiplica¸c˜ao por uma unidade. Reciprocamente, suponha que h , . . . , z n n ] ´e um polinˆomio de Weierstrass

  1 −1

  ∈ C{z }[z redut´ıvel de grau d. Ent˜ao existem g e g , n˜ao unidades, de graus respectivamente m e

  1

  2

  n em C , . . . , z n n ] tais que h = g , com m, n {z

  1 −1 }[z 1 · g 2 ≥ 1 e m + n = d.

  Escrevendo m g = a + (termos de menor grau em z n )

  1 n

  · z n

  18

  1 Investiga¸c˜ao Local temos que a · b = 1. Sem perda de generalidade, podemos assumir que a = b = 1. Queremos mostrar que h ´e redut´ıvel em C , . . . , z e g n˜ao s˜ao unidades

  1 n

  1

  2

  {z }, em particular, basta mostrar que g em C , . . . , z n

  1 {z }.

  Suponha, por absurdo, que g ´e uma unidade em C , . . . , z n

  1

  1

  {z }, ent˜ao

  −1

  g = g h

  2

  1

  ´e uma decomposi¸c˜ao de g como o produto de uma unidade por um polinˆomio de Weiers-

  2

  trass. Como g ´e um polinˆomio de Weierstrass e pode ser escrito como g = 1 , ent˜ao

  2

  2

  2

  · g a unicidade do Teorema de Weierstrass implica que

  −1

  g = 1 e h = g ,

  2

  1 ou seja, g = 1.

1 Mas isto contradiz o fato de que g 1 n˜ao ´e uma unidade em C 1 , . . . , z n −1 n ].

  {z }[z

  

  1

  {z } ´e um DF Demonstra¸ c˜ ao: Novamente usaremos indu¸c˜ao sobre n.

  Seja f

  1 , . . . , z n

  ∈ C{z }. Sem perda de generalidade, podemos assumir que f ´e z n −regular.

  Pelo Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass, f = u f , onde e f , . . . , z n n ] ´e

  1 −1

  · e ∈ C{z }[z um polinˆomio de Weierstrass e u ´e uma unidade. O anel C

  1 , . . . , z n −1 n ] ´e um DFU

  {z }[z por hip´otese de indu¸c˜ao e pelo Lema de Gauss, consequentemente em C , . . . , z n n ]

  1 −1

  {z }[z existe uma ´ unica decomposi¸c˜ao e f = f k de e f em fatores irredut´ıveis. Pela

  1

  

2

  · f · . . . · f Proposi¸c˜ao f = u k

  1

  2

  · f · f · . . . · f ´e a decomposi¸c˜ao de f em C , . . . , z n

  1

  {z }, ´unica a menos de multiplica¸c˜ao por uma unidade e pela ordem dos fatores.

  Temos assim, que C , . . . , z n

  1 4 {z } ´e um anel local, Noetheriano e um DFU.

  Dom´ınio de Fatora¸c˜ ao ´ Unica.

  Cap´ıtulo 2

  

Singularidades de Germes de

Conjuntos Anal´ıticos

  No que segue, frequentemente iremos alternar entre a no¸c˜ao de germes de fun¸c˜oes holomorfas e s´eries de potˆencias convergentes, sem mencionar esta identifica¸c˜ao explicita- mente.

2.1 Conjuntos Anal´ıticos

  Ap´os investigarmos germes de fun¸c˜oes holomorfas, agora vamos voltar ao nosso tema pr´oprio, a investiga¸c˜ao das propriedades locais de conjuntos anal´ıticos. n Defini¸ c˜ ao 2.1.1 Seja U um conjunto aberto em C e X ⊂ U. i) Dado x

  ∈ U, dizemos que X ´e anal´ıtico em x se existir uma vizinhan¸ca V de x em U

  e um n´ umero finito de fun¸c˜oes holomorfas f , . . . , f r sobre V tais que

  

1

X (z) = r (z) = 0

  1 ∩ V = {z ∈ V | f · · · = f }.

ii) X ´e chamado de subconjunto anal´ıtico de U quando X ´e anal´ıtico em todo ponto x ∈ U.

  Observa¸ c˜ ao 2.1.2 Se X ´e anal´ıtico em U , ent˜ao X ´e fechado em U . De fato, seja x ∈ U \ X e V como acima. Ent˜ao X ∩ V ´e fechado em V e consequentemente existe uma

  vizinhan¸ca W

  ⊂ V de x que n˜ao intercepta X. Em particular W ´e aberto em U. Ent˜ao, U \ X ´e aberto.

  Conjuntos que s˜ao anal´ıticos apenas em seus pr´oprios pontos s˜ao chamados localmente

  2

  2

  anal´ıticos. Por exemplo, o conjunto C ´e localmente anal´ıtico em C , anal´ıtico \ {0} ⊂ C

  2

  2

  20

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos Figura 2.1:

  Assim como introduzimos germes de fun¸c˜oes para investigar propriedades locais, agora vamos introduzir o conceito de germes de conjuntos anal´ıticos: n

  ′ ′ ′

  Defini¸ c˜ ao 2.1.3 Sejam U e U abertos em C , X subconjuntos anal´ıticos.

  ⊂ U e X ⊂ U

  ′ ′

  X e X definem o mesmo germe de conjunto anal´ıtico em x se existe uma ∈ X ∩ X

  ′ vizinhan¸ca V de x tal que

  ⊂ X ∩ X

  ′

  X ∩ V = X ∩ V.

  

Escrevemos (X, x) para o germe de conjunto de X em x. Neste caso, X ´e chamado de

representante do germe (X, x).

  Mais precisamente, podemos definir o germe (X, x) como sendo a classe dos pares

  ′ ′

  (X , U ) equivalentes ao par (X, U ) segundo a rela¸c˜ao de equivalˆencia introduzida na

  ′ ′ ′ defini¸c˜ao acima em que U ´e uma vizinhan¸ca de x e X anal´ıtico em U .

  O conceito de germes de conjuntos permite a formula¸c˜ao simples de afirma¸c˜oes sobre X que dependam apenas das propriedades do conjunto X em uma pequena vizinhan¸ca arbitr´aria de um ponto x

  ∈ X, por exemplo, afirma¸c˜oes sobre a singularidade de X em x. C n Queremos agora investigar as rela¸c˜oes entre os ideais em O ,a e germes de conjuntos anal´ıticos. C n Se I ,a ´e um ideal, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao I ´e gerado por um n´ umero finito

  ⊂ O de germes de fun¸c˜oes f , . . . , f r . Sejam e f , . . . , e f r fun¸c˜oes sobre uma vizinhan¸ca U de a

  1

  1

  2.1 Conjuntos Anal´ıticos 21 fun¸c˜oes

  X( e f , . . . , e f r ) := f (z) = f r (z) = 0

  1

  1 {z ∈ U | e · · · = e }.

  Mostraremos que o germe deste conjunto em a n˜ao depende da escolha do conjunto de geradores e de seus representantes.

  Sejam , . . . , g s s representantes de

  1

  1

  {g } outro conjunto de geradores de I e eg , . . . , eg P

  ′ C n

  g , . . . , g s em uma vizinhan¸ca U de a. Ent˜ao existem germes a ij ,a com f i = a ij g j

  1

  ∈ O ij ij de a tais que e consequentemente, existem representantes ea X e f i = ij j ea eg em uma vizinhan¸ca W de a. Assim, s ) f , . . . , e f r )

  1

  1 X(eg , . . . , eg ∩ W ⊂ X( e ∩ W. ′

  Analogamente, existe uma vizinhan¸ca W de a tal que

  ′ ′ X( e f , . . . , e f r ) s ) .

  1

  1

  ∩ W ⊂ X(eg , . . . , eg ∩ W

  ′

  Logo, em W , X( e ∩ W f ) e X(eg) coincidem, ou seja, os conjuntos definem o mesmo germe em a.

  Defini¸ c˜ ao 2.1.4 X(I) = (X( e f , . . . , e f r ), a) ´e chamado germe de conjunto definido pelo

  1 ideal I.

  Pode-se definir o germe de conjunto X(I) determinado por um ideal como o conjunto zeros do ideal I. Reciprocamente, se (X, a) ´e um germe de conjunto anal´ıtico, ent˜ao existe um ideal gerado pelos germes de fun¸c˜oes que se anulam em X. Defini¸ c˜ ao 2.1.5 O ideal de um germe de conjunto anal´ıtico ´e o ideal J(X) de todos os C n

  

germes f ,a os quais possuem um representante e f , sobre uma vizinhan¸ca U de a,

  ∈ O

  que se anulam sobre um representante e

  X ⊂ U de X. Dentre as propriedades que relacionam germes de conjuntos e ideais de germes de conjunto temos:

  (i) I ) );

  1

  2

  1

  2

  ⊂ I ⇒ X(I ⊃ X(I

  22

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos (iii) X(J(X)) = X; (iv) J(X(I)) ⊃ I.

  N˜ao ´e, em geral, verdadeiro que J(X(I)) = I. Por exemplo: se I ´e o ideal em C

  2

  2 O , = C , ent˜ao X(I) = ). Assim, deve-se

  {z} gerado por z {0} e J(X(I)) = (z) 6= (z adicionar ao ideal I todas as fun¸c˜oes cujas potˆencias pertencem a I. Deste modo, no caso geral obtemos o radical de I, ou seja, C n k rad(I) := ,

  {f ∈ O | f ∈ I para algum k}. O pr´oximo teorema ´e an´alogo ao Teorema dos Zeros de Hilbert, que expressa exa- tamente a mesma rela¸c˜ao entre os conjuntos alg´ebricos e ideais no anel de polinˆomios

  C [z , . . . , z ]. Aqui, vamos provar o Teorema dos Zeros de R¨ uckert apenas para ideais

  1 n principais, a prova completa ´e mais complexa e pode ser encontrada em , p. 90-97.

  Teorema 2.1.6 (Teorema dos Zeros de R¨ uckert) O ideal de um germe de conjunto ana- l´ıtico X(I) satisfaz J(X(I)) = rad(I).

  Demonstra¸ c˜ ao: Como mencionamos vamos considerar o caso em que I = (f ) ´e um ideal C n principal em O , a . A inclus˜ao rad(I) ⊂ J(X(f)) ´e clara, resta mostrar que J(X(f)) ⊂ rad(f ), em outras palavras, que k g X = 0 para algum k.

  (f )

  | ⇒ f divide g Note que basta provarmos para germes irredut´ıveis f , pois se f

  1 r ´e a decomposi¸c˜ao

  · . . . · f de f em fatores irredut´ıveis, ent˜ao g se anula sobre cada um dos conjuntos X(f i ). Se o k i teorema for provado para elementos irredut´ıveis, ent˜ao f i divide uma potˆencia g de g. k 1 +···+k r Logo, f divide g .

  Assim, vamos assumir, sem perda de generalidade, que f ´e irredut´ıvel. Suponha que a afirma¸c˜ao ´e falsa. Ent˜ao f e g n˜ao possuem divisor em comum. Vamos escolher n coordenadas z , . . . , z n em C de forma que f e g sejam z n

  1

  −regulares. Pelo Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass, f e g s˜ao dadas por um produto de um polinˆomio de Weierstrass e uma unidade. Como estamos interessados apenas no conjunto de zeros de f e g, bem como propriedades da divis˜ao, podemos assumir tamb´em que f e g s˜ao C n−1

  2.1 Conjuntos Anal´ıticos C n

  23 Temos que f e g s˜ao primos entre si em O , e consequentemente, pelo Lema n−1 n−1 em O C , [z n ]. Se K ´e o corpo de fra¸c˜oes de O C , , ent˜ao, pelo Lema de Gauss, temos que f e g s˜ao primos entre si em K[z n ]. Pelo Teorema de B´ezout, existem α, β

  ∈ K tais que a b αf + βg = 1. n−1 Escrevendo α = , β = com a, b, c C e c , c c ∈ O 6= 0, temos n−1 a C , ,

  · f + b · g = c ∈ O isto ´e, esta combina¸c˜ao (n˜ao nula) de f e g n˜ao depende da vari´avel z n .

  A fun¸c˜ao f ´e um polinˆomio de Weierstrass, digamos k n

  −1 n n · · · + c 1 (z

1 , . . . , z n −1 )z k (z

  • f = z + c

  1 , . . . , z n −1 )

  com c i (0, . . . , 0) = 0. Como as ra´ızes de um polinˆomio dependem continuamente de seus coeficientes, para algum ε > 0 existe uma vizinhan¸ca U = , . . . , z n ); , . . . , z n )

  1 −1 1 −1 n {(z k (z k< δ} −1

  de 0 tal que para (z , . . . , z n ) , . . . , z n , t) possui k ra´ızes

  1 −1 1 −1

  ∈ C ∈ U o polinˆomio f(z (contando a multiplicidade) com valor absoluto menor do que ε. O conjunto de zeros X(f ) pode ser visualizado como na figura abaixo.

  Figura 2.2:

  24

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos Em particular, pelo menos um zero de f se encontra sobre cada (z

  1 , . . . , z n −1 ) ∈ U.

  Uma vez que g se anula sobre X(f ) segue que para cada (z , . . . , z n ) n

  1 −1

  ∈ U existe um z tal que c(z , . . . , z ) = a(z , . . . , z ) , . . . , z ) + b(z , . . . , z ) , . . . , z ) = 0.

  1 n −1 1 n −1

1 n

1 n −1 1 n

  · f(z · g(z Como c n˜ao depende da vari´avel z n , temos que c k ≡ 0.

  Isto ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto, f divide g para algum k.

  Observa¸ c˜ ao 2.1.7

  A descri¸c˜ao da hipersuperf´ıcie X(f ) como uma cobertura finita rami- n −1

ficada do conjunto regular C , usada na prova acima, ´e o conte´ udo geom´etrico real do

Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass. Essa descri¸c˜ao pode ser generalizada para todos

os germes de conjunto anal´ıticos I, §5.4).

  Como consequˆencia do teorema anterior temos que a aplica¸c˜ao X 7→ J(X) fornece C n uma bije¸c˜ao entre germes conjuntos anal´ıticos em a e ideais radicais de O ,a , isto ´e, ideais I com I = rad(I).

  Em an´alise complexa associamos cada germe de conjunto anal´ıtico (X, a) com o anel de n germes de fun¸c˜oes em a holomorfas sobre X. Se (X, a) , a) ´e um germe de conjunto, n ⊂ (C ent˜ao dois germes de fun¸c˜oes holomorfas f, g em (C , a) definem o mesmo germe de fun¸c˜ao sobre X quando f

  − g se anula sobre X, isto ´e, quando f − g ∈ J(X). Assim, o anel de C n todos os germes de fun¸c˜oes holomorfas sobre (X, a) ´e o anel O ,a /J(X). Isto motiva a seguinte defini¸c˜ao. Defini¸ c˜ ao 2.1.8 (i) Uma ´algebra anal´ıtica ´e uma C

  1 , . . . , z n

  −´algebra da forma C{z }/I, onde I ´e um ideal

  em C , . . . , z n

  1 {z }.

  (ii) Uma ´algebra anal´ıtica A ´e chamada reduzida quando ela n˜ao cont´em elementos nilpo- k

  

tentes diferentes de zero. Um elemento f = 0 para

  ∈ A ´e chamado nilpotente quando f

  algum k ∈ N \ {0}.

  Obviamente C , . . . , z n

  1

  {z }/I ´e reduzida no caso em que I ´e um ideal radical. Por C

  

1 , . . . , z n

  {z }

  2

  exemplo, se I = n˜ao ´e reduzida, pois 0 hf i, ent˜ao A = 6= f ∈ A ´e

  2.2 Decomposi¸c˜ao de um Conjunto Anal´ıtico em Componentes Irredut´ıveis

  25

  2

  nilpotente, uma vez que f = 0 em A, ou equivalentemente, I n˜ao ´e radical, pois hfi = rad(I) 6= I.

  Para admitir curvas com m´ ultiplas componentes, algumas vezes ´e necess´ario em an´alise complexa considerar ´algebras anal´ıticas n˜ao reduzidas. No entanto, n˜ao queremos apro- fundar nisso, pois este n˜ao ser´a nosso enfoque. n

  Se X ´e um germe de conjunto anal´ıtico em a , ent˜ao a ´algebra anal´ıtica O X,a := C n ∈ C

  O ,a /J(X) dos germes em a de fun¸c˜oes holomorfas sobre X ´e reduzida. Decorre do C n Teorema dos Zeros de R¨ uckert que X X, = O , /J(X) define uma bije¸c˜ao entre os

  7→ O germes de conjunto em 0 e as ´algebras anal´ıticas reduzidas C , . . . , z n

  1 {z }/I.

  Estamos interessados principalmente nos zeros de conjuntos de uma ´ unica equa¸c˜ao, a

  2 saber curvas em C que s˜ao um caso particular de hipersuperf´ıcies. n

  Defini¸ c˜ ao 2.1.9

  Um germe de conjunto X(I) em a ´e chamado de hipersuperf´ıcie

  ∈ C C n quando I = (f ), ou seja, I ´e um ideal principal em O ,a . k 1 k r Note que se f = f ´e a decomposi¸c˜ao de f em fatores irredut´ıveis distintos, r

  1 · . . . · f

  ent˜ao I = rad((f )) = (f ). Neste caso, a hipersuperf´ıcie X(I) ´e dada por

  1 r

  f r = 0 que ´e chamada de equa¸c˜ao de X(I), a qual ´e ´ unica a menos de multiplica¸c˜ao

  1

  ·. . .·f por unidades.

  Antes de nos concentrarmos exclusivamente ao caso de curvas vamos apresentar bre- vemente os conceitos mais importantes para a investiga¸c˜ao local de conjuntos anal´ıticos: (1) Decomposi¸c˜ao local em componentes irredut´ıveis. (2) Pontos regulares e singulares. (3) Dimens˜ao de um conjunto anal´ıtico.

  

2.2 Decomposi¸ c˜ ao de um Conjunto Anal´ıtico em Com-

ponentes Irredut´ıveis

  Se X = X(f , . . . , f r ) e Y = X(g , . . . , g s ) s˜ao germes de conjuntos anal´ıticos em n

  1

  1

  a , ent˜ao facilmente se constata que ∈ C

  X , . . . , f r , g , . . . , g s ) e

  1

  1

  ∩ Y = X(f

  26

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos Tais propriedades sugerem que podemos representar um germe de conjunto anal´ıtico como uma uni˜ao de germes que n˜ao se decomp˜oem (indecompon´ıveis ou irredut´ıveis). n

  Defini¸ c˜ ao 2.2.1 Seja X um germe de conjunto anal´ıtico em a . X ´e chamado ∈ C

  

redut´ıvel quando existem germes X X e X X tais que X = X . Caso

  1

  2

  1

  2

  ∪ X contr´ario, X ´e dito irredut´ıvel.

  Proposi¸ c˜ ao 2.2.2

  Um germe de conjunto anal´ıtico X ´e irredut´ıvel se, e somente se, seu ideal J(X) ´e primo.

  Demonstra¸ c˜ ao: Se X = X com X X e X X, ent˜ao J(X ) ! J(X) e

  1

  2

  

1

  2

  1

  ∪ X J(X ) ! J(X). Sejam f ) )

  2 ∈ J(X

1 \ J(X) e g ∈ J(X

2 \ J(X). Ent˜ao f · g pertence a J(X ) ) = J(X) e consequentemente J(X) n˜ao ´e um ideal primo.

  1

  2

  ∩ J(X Reciprocamente, suponha que J(X) n˜ao ´e um ideal primo. Ent˜ao existem germes C n

  f, g ,a ∈ O \ J(X) tais que f · g ∈ J(X). Uma vez que f e g n˜ao se anulam sobre todo

  X temos que X := X := X

  1

  2

  ∩ X(f) X e X ∩ X(g) X s˜ao tais que X = (X

  1

  2 ∪ X ∩ X(f)) ∪ (X ∩ X(g)) = X ∩ (X(f) ∪ X(g)) = X ∩ X(f · g) = X.

  Portanto, X ´e redut´ıvel. n Teorema 2.2.3

  Cada germe de conjunto anal´ıtico em a possui uma ´ unica decom-

  ∈ C

  posi¸c˜ao X = X 1 r em germes irredut´ıveis (X i , a) com X i j se i

  ∪ · · · ∪ X 6⊂ X 6= j. n Demonstra¸ c˜ ao: A existˆencia de uma decomposi¸c˜ao segue do fato de que O C ´e No- ,a etheriano. De fato, se X ´e redut´ıvel, podemos decompor X = X . Se X e X

  1

  2

  1

  2

  ∪ X s˜ao irredut´ıveis, ent˜ao o resultado est´a provado. Caso contr´ario, decompomos X e X .

  1

  2 Este processo finaliza ap´os finitos passos. Se isso n˜ao ocorrer, obtemos uma sequˆencia

  decrescente e infinita de germes Y ! Y !

  1

  

2

  · · · e consequentemente uma sequˆencia estritamente crescente de ideais J(Y ) J(Y )

  1

  2 C C n n · · ·

  2.3 Pontos Regulares e Singulares de um Conjunto Anal´ıtico

  27

  ′ ′

  Se X = X ´e outra decomposi¸c˜ao de X em conjuntos irredut´ıveis, ent˜ao

  1 ∪ · · · ∪ X s

  temos que mostrar que cada componente de uma decomposi¸c˜ao est´a contida em uma

  ′

  componente da outra decomposi¸c˜ao. Se, digamos X , n˜ao est´a contido em nenhum dos i conjuntos X

  1 , . . . , X r , ent˜ao ′ ′ ′

  X = (X ) r )

  1

  1

1 ∩ X ∪ · · · ∪ (X

1 ∩ X ′

  ´e uma decomposi¸c˜ao n˜ao trivial de X , o que ´e uma contradi¸c˜ao.

1 Defini¸ c˜ ao 2.2.4 Seja X = X r a decomposi¸c˜ao de X em germes irredut´ıveis.

  1

  ∪ · · · ∪ X

  

Cada X i ´e chamado de componente irredut´ıvel de X. No caso de curvas, cada X i ´e

tamb´em chamado de ramo de X.

  A afirma¸c˜ao geom´etrica do Teorema corresponde ao teorema alg´ebrico de fa- C n tora¸c˜ao prima no anel Noetheriano O ,a . k 1 k r Proposi¸ c˜ ao 2.2.5 Se X = X(f ) ´e uma hipersuperf´ıcie e f = f ´e a decom- r

  1 · . . . · f posi¸c˜ao de f em fatores irredut´ıveis distintos, ent˜ao

  X(f ) = X(f

  1 ) r )

  ∪ · · · ∪ X(f ´e a decomposi¸c˜ao de X em componentes irredut´ıveis. n Demonstra¸ c˜ ao: C

  Uma vez que O ,a ´e um DFU temos que cada f i ´e um elemento primo e consequentemente cada (f i ) ´e um ideal primo. Como J(X(f )) = rad ((f )) = (f ) i i i segue da Proposi¸c˜ao que cada X(f i ) ´e irredut´ıvel.

  

2.3 Pontos Regulares e Singulares de um Conjunto

Anal´ıtico

  No in´ıcio do cap´ıtulo 1 mencionamos v´arias vezes o conceito “singularidade”. Vamos

  28

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos n Defini¸ c˜ ao 2.3.1

  Sejam X um subconjunto anal´ıtico em um dom´ınio de C e x ∈ X. n

Dizemos que x ´e um ponto regular de X quando existe uma vizinhan¸ca U de x em C tal

que X

  ∩ U ´e um sub-variedade anal´ıtica complexa de U. Caso contr´ario, x ´e chamado de ponto singular de X. Denotamos o conjunto dos pontos singulares de X por S(X).

  No que segue iremos derivar crit´erios de regularidade. O crit´erio mais importante caracteriza pontos singulares como aqueles em que a matriz Jacobiana das derivadas parciais degenera. Vamos agora formalizar: n

  Sejam X um conjunto anal´ıtico em C , x x o ideal do germe (X, x) e f , . . . , f r

  1

  ∈ X, J os geradores de J x . Definimos ∂f i ρ X,x := posto (x) . ∂x j Pode-se mostrar que ρ X,x n˜ao depende da escolha dos geradores.

  Se X ´e regular em x e X ∩U ´e uma ρ−codimensional sub-variedade complexa em uma vizinhan¸ca U de x, ent˜ao temos que ρ X,y = ρ, para todo y

  ∈ X ∩ U. Em geral pode-se dizer apenas que se x , . . . , f r s˜ao os geradores do ideal J x ,

  1 ∂f ∂f i i ∈ X e f ent˜ao posto (y) (x) para todo y em uma vizinhan¸ca U (x) de x. Uma ∂x ∂x j j ≥ posto vez que f , . . . , f r s˜ao parte de um sistema de geradores de J y (y

  1

  ∈ U(x)) temos que ρ X,y X,x para y ≥ ρ ∈ U(x). O pr´oximo teorema apresenta v´arias caracteriza¸c˜oes para conjuntos anal´ıticos regula- res, ou seja, aqueles que n˜ao possuem pontos singulares. n

  Teorema 2.3.2 Sejam X um subconjunto anal´ıtico em um dom´ınio de C e x ∈ X. As

  seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

  (i) (X, x) ´e regular; n n

  −ρ

  (ii) (X, x) ´e isomorfo a (C , 0) , 0); ⊂ (C

  (iii) O X,x ´e isomorfo a C , . . . , z n

  1 −ρ

  {z }; (iv) ρ X,x = ρ para todo y em uma vizinhan¸ca de x.

  Demonstra¸ c˜ ao: As implica¸c˜oes (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) s˜ao ´obvias. Vamos mostrar

  2.3 Pontos Regulares e Singulares de um Conjunto Anal´ıtico

  29 Sejam J x o ideal de X em x e f

  1 , . . . , f r representantes de um sistema de geradores de

  J x tais que ∂f i posto = ρ. i=1,...,r ∂z j j=1,...,n

  Sem perda de generalidade podemos supor x = 0. Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita podemos assumir que f i (z) = z i i = 1, . . . , ρ n em uma vizinhan¸ca U de x = 0 em C . Seja e X = = ρ = 0

  1 {z ∈ U; z · · · = z }.

  Trivialmente temos que U

  X. Para provar o teorema ´e suficiente mostrarmos que ∩ X ⊂ e

  U X, isto ´e, mostrarmos que ∩ X coincide com o conjunto regular e f i = 0 para i = ρ + 1, . . . , r.

  | X e Do fato de que ρ X,y = ρ para todo y

  ∈ V ∩X, onde V ⊂ U ´e uma vizinhan¸ca particular de x, segue que ∂f i X = 0 para i, j = ρ + 1, . . . , r.

  ∩V

  | ∂z j

  ∂f i

  ′

  Portanto, os elementos s˜ao combina¸c˜oes de f s, com k = 1, . . . , r, isto ´e: k ∂z j r

  X ∂f i = a ijk f k para i, j = ρ + 1, . . . , r.

  ∂z j k

  =1

  Derivando e aplicando indu¸c˜ao segue que todas as derivadas parciais de f i (i ≥ ρ + 1) com respeito as vari´aveis z j (j

  ≥ ρ + 1) se anulam sobre X ∩ V . Em particular, a s´erie de Taylor de f i no ponto 0 pertence ao ideal

  (z , . . . , z ρ ) , . . . , z n

  1

  1 · C{z }.

  Assim, f i = 0 como quer´ıamos demonstrar.

  | X e

  ∩V Do mesmo modo, podemos caracterizar o conjunto dos pontos singulares como segue. n

  Proposi¸ c˜ ao 2.3.3

  Sejam f e X a

  6= 0 uma fun¸c˜ao holomorfa em um dom´ınio U de C

  hipersuperf´ıcie

  {z ∈ U; f(z) = 0}. Suponha que o germe f n˜ao possui fatores m´ultiplos,

  ou seja, X ´e reduzido, ent˜ao o conjunto dos pontos singulares de X ´e dado por

  ∂f ∂f S(X) = (z) = (z) = 0 {z ∈ X; · · · = }.

  ∂z ∂z n

  1

  30

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos ∂f

  Demonstra¸ c˜ ao: Se alguma derivada parcial (z) 6= 0, ent˜ao z ´e um ponto regular

  ∂z j de X pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita. Reciprocamente, se para todas as derivadas ∂f parciais temos (x) = 0 em um ponto x

  ∈ X, ent˜ao pelo Teorema (iv) devemos ∂z j

  ∂f mostrar que n˜ao existe uma vizinhan¸ca U de x tal que (y) = 0 para todo y ∈ U ∩ X

  ∂z j e i = 1, . . . , n. Suponha que exista tal vizinhan¸ca U . Ent˜ao, os germes das derivadas parciais satisfazem:

  ∂f ∈ J(X, x) para j = 1, . . . , n. ∂z j

  Assim, existiriam germes a i tais que ∂f = a j f para j = 1, . . . , n. ∂z j

  Derivando obtemos:

  2

  ∂ f ∂a i ∂f = (z) i · f + a · ∈ J(X, x). ∂z i ∂z j ∂z i ∂z i

  Segue-se por indu¸c˜ao e diferencia¸c˜ao que todas as derivadas parciais de f pertencem a J(X, x) e, portanto, todos os termos da s´erie de Taylor de f se anulam em x. Mas, isso implica que f

  ≡ 0 o que ´e um absurdo.

  Observa¸ c˜ ao 2.3.4 A proposi¸c˜ao garante que para uma hipersuperf´ıcie X o conjunto de singularidades S(X) ´e um subconjunto anal´ıtico pr´oprio.

  Observa¸ c˜ ao 2.3.5

  Pode-se mostrar que X

  \ S(X) ´e aberto e denso em X. Se X ´e irredut´ıvel, ent˜ao

  X \ S(X) ´e conexo. Assim, o conjunto das singularidades S(X) ´e um conjunto magro de

  X, enquanto quase todos os pontos de X pertencem a variedade dos pontos regulares, ou seja, regularidade ´e o caso comum e singularidade as exce¸c˜oes.

  Considerando

  1 X := X

  \ S(X)

  2 X := S(X)

  \ S(S(X))

  3 X := S(S(X))

  \ S(S(S(X)))

  2.4 Dimens˜ao de um Conjunto Anal´ıtico i i

  31

  

ent˜ao obtemos uma decomposi¸c˜ao X = em variedades n˜ao singulares X de forma

  ∪X

  que i i j

  • 1 i

  X e X = ⊂ X ∩ X ∅ para i 6= j. i

  

Decomposi¸c˜oes deste tipo s˜ao chamadas estratifica¸c˜oes; cada X ´e chamado de estrato. Es-

tratifica¸c˜ao ´e um m´etodo de reduzir a investiga¸c˜ao das singularidades para a investiga¸c˜ao

de objetos n˜ao singulares.

2.4 Dimens˜ ao de um Conjunto Anal´ıtico

  Nesta se¸c˜ao, vamos apresentar sucintamente as v´arias no¸c˜oes de dimens˜ao de conjuntos anal´ıticos. n Defini¸ c˜ ao 2.4.1 Seja X um subconjunto anal´ıtico de um conjunto aberto em C . (i) Se x

  ∈ X ´e um ponto regular, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U de x tal que U ∩ X ´e

  

uma sub-variedade complexa. Ent˜ao, x ´e chamado de ponto regular de dimens˜ao d quando

  U ∩ X possui dimens˜ao (complexa) d. (ii) Seja x

  ∈ X arbitr´ario, ent˜ao cada vizinhan¸ca de x possui pontos regulares de X. A

  

dimens˜ao do germe de conjunto (X, x) ´e o maior n´ umero d tal que cada vizinhan¸ca de x

cont´em pontos regulares de X de dimens˜ao d. Neste caso, escrevemos d = dim x

  X. (iii) A dimens˜ao de X ´e dim X := max x dim x

  X.

  ∈X Dizemos que X tem dimens˜ao pura se dim X = dim x X para todo x ∈ X.

  (iv) O germe (X, x) ´e dito de dimens˜ao pura quando possui um representante de dimens˜ao pura.

  Observa¸ c˜ ao 2.4.2 Se X ´e irredut´ıvel, ent˜ao o conjunto dos pontos regulares ´e conexo,

  

portanto X ´e de dimens˜ao pura. Assim, um conjunto anal´ıtico Y ´e de dimens˜ao pura

somente no caso em que todas as componentes irredut´ıveis possuem a mesma dimens˜ao.

O mesmo ´e v´alido para germes de conjuntos anal´ıticos.

  

3

  3 Vejamos um exemplo. Se X 1 = ; z 3 = 0 2 = ; z 1 = z 2 = 0

  {z ∈ C }, X {z ∈ C } e X = X , ent˜ao dim z X = 1 se z e z z X = 2 se z . Em

  1

  2

  2

  1

  ∪ X ∈ X 6= 0 e dim ∈ X

  32

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos n Figura 2.3: Se X(f ) ´e uma hipersuperf´ıcie, ent˜ao dim X = n

  ⊂ C − 1. De fato, se x ∈ X ´e ∂f um ponto regular de X, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao existe z i tal que (z) ∂z i 6= 0. Sem perda de generalidade podemos supor i = n e, pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, existe O Cn ,x uma vizinhan¸ca U de x tal que z n = g(z

  1 , . . . , z n −1 ). Mas deste modo, O X,x = ≈ C (f ) {z ,...,z n } 1

  ≈ C , . . . , z n

  1 −1

  {z }. Mas pela equivalˆencia ii) ⇔ iii) do Teorema temos

  (f ) n −1 n

  que (X , x) , x), ou seja, X ∩ U, x) ´e isomorfo a (C ⊂ (C ∩ U ´e uma sub-variedade complexa de dimens˜ao n

  − 1. Em v´arios textos, a dimens˜ao de germes de conjuntos anal´ıticos ´e frequentemente introduzida algebricamente. Tais defini¸c˜oes de dimens˜ao, talvez, n˜ao sejam intuitivas, mas elas possuem a vantagem de que se pode calcul´a-las mais facilmente. Vejamos algumas dessas defini¸c˜oes: A dimens˜ ao de Chevalley: Se A ´e uma ´algebra anal´ıtica, ent˜ao a dimens˜ao de Cheval- ley de A ´e o menor n´ umero d para o qual existem fun¸c˜oes f k 1 , . . . , f d tais que

  M , . . . , f d ),

  

1

  ⊂ (f para algum k, em que M ´e o ideal maximal de A. k Se A = O X, ´e a ´algebra anal´ıtica do germe de conjunto (X, 0), ent˜ao M , . . . , f d )

  1

  ⊂ (f significa, pelo Teorema dos Zeros de R¨ uckert, que a interse¸c˜ao de X com os d hiperpla- nos

  1 = 0 d = 0

  {f }, . . . , {f } ´e um ´unico ponto. A ideia geom´etrica ´e a seguinte: no espa¸co d −dimensional X o conjunto de zeros de uma equa¸c˜ao ´e em geral um subespa¸co

  (d − 1)−dimensional; ´e necess´ario, portanto, d equa¸c˜oes para descrever um subespa¸co n de dimens˜ao zero. Em particular, se X(f ) ´e uma hipersuperf´ıcie a dimens˜ao de

  ⊂ C Chevalley ´e n

  − 1, pois necessitamos de n − 1 hiperplanos para descrever um subespa¸co

  2.4 Dimens˜ao de um Conjunto Anal´ıtico

  33 A dimens˜ ao de Weierstrass: Na Observa¸c˜ao mencionamos que cada germe de conjunto anal´ıtico X pode ser descrito como uma cobertura finita ramificada de um con- junto regular. A dimens˜ao deste conjunto regular ´e bem definida e ´e chamada de dimens˜ao de Weierstrass de X. d

  Temos que π : X ´e uma cobertura ramificada apenas no caso em que O X, ´e → C um C , . . . , z d

  1

  {z }−m´odulo finito. Isto permite que seja poss´ıvel visualizar o conceito de dimens˜ao de Weierstrass algebricamente. n No caso de uma hipersuperf´ıcie X(f ) em C como tratada na Observa¸c˜ao temos n

  −1

  que π : X ´e uma cobertura ramificada, ou seja, a dimens˜ao de Weierstrass de → C O C Cn ,0 ,...,z

  {z 1 n }

  uma hipersuperf´ıcie ´e n X, = ≈ . Como − 1. Algebricamente, temos que O m m (f ) (f ) −1 n + f pode ser considerado como um polinˆomio de Weierstrass f = z + a z n

  1 n

  · · · + a ∈ C

  , . . . , z n n ] e deste modo, pelo Teorema da Divis˜ao de Weierstrass temos que

  1 −1

  {z }[z C , . . . , z n

  1

  {z } m

  

−1

X,

  • O ≈ ≈ C , . . . , z , . . . , z + C , . . . , z

  1 n −1 1 n −1 n 1 n −1

  {z }z n · · · + C{z }z {z }, (f ) ou seja, O X, ´e um C , . . . , z n

  1 −1 {z }−m´odulo finito.

  A dimens˜ ao de Krull: Seja A uma ´algebra anal´ıtica. Uma cadeia de ideais primos de comprimento d em A ´e uma sequˆencia ascendente

  ℘ ℘ d A

  1

  · · · ℘ de ideais primos. A dimens˜ao de Krull de A ´e o comprimento m´aximo de uma cadeia de ideais primos em A.

  Uma cadeia de ideais primos em O X, corresponde a uma sequˆencia ascendente de subespa¸cos irredut´ıveis de X X d X d

  −1 · · · X ⊂ X.

  O conceito de dimens˜ao de Krull baseia-se na ideia de que, por meio do ponto X d = d −1 , atrav´es desta pode-se passar uma {0} pode-se passar uma curva (unidimensional) X superf´ıcie (bidimensional) X d , etc. Desta forma, obt´em-se uma cadeia ascendente de

  −2 subespa¸cos irredut´ıveis de dimens˜oes 0, 1, 2, , . . . , d.

  Em ´ Algebra Comutativa se define a dimens˜ao de Krull de um anel R arbitr´ario de forma geral como sendo o comprimento m´aximo de uma cadeia ideais primos. O conceito

  34

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos Uma ferramenta importante para a investiga¸c˜ao do conceito de dimens˜ao de Krull ´e o seguinte resultado.

  Teorema 2.4.3

  (Teorema do Ideal Principal de Krull) Sejam A uma ´algebra anal´ıtica de

A

dimens˜ao de Krull d e f

  ∈ A. Ent˜ao dim ≥ d − 1 e se f n˜ao ´e um divisor de zero em A

(f )

A, ent˜ao dim = d − 1.

  (f )

  Corol´ ario 2.4.4 Se A ´e uma ´algebra anal´ıtica de dimens˜ao d e se f , . . . , f k

  1

  ∈ A, ent˜ao dim A/(f

  1 , . . . , f k ) ≥ d − k. C C n n

  Note que a dimens˜ao de Krull de O , ´e n. De fato, como O , ≈ C , . . . , z n

  1 n {z } e

  ℘ = (z , . . . , z ) ´e um ideal primo de O C para todo i = 1, . . . , n, temos que i

  1 i ,

  ℘ n O X,

  1

  {0} = ℘ · · · ℘ ´e uma cadeia de ideais primos de comprimento m´aximo do anel. C n n Deste modo, se f , ´e n˜ao nulo, ent˜ao a dimens˜ao de Krull de (X(f ), 0) ´e C n ∈ O

  ⊂ C n , um dom´ınio, f n˜ao ´e um divisor de zero e a dimens˜ao de Krull de − 1, pois sendo O O

  O X, = = n − 1.

  (f )

  O Teorema do Ideal Principal de Krull diz que a interse¸c˜ao de uma hipersuperf´ıcie H com um germe X em geral possui codimens˜ao de Krull 1 em X. Quando H cont´em

  2

  uma componente de X, isso n˜ao precisa ser assim. Por exemplo, se X ´e a uni˜ao ⊂ C

  2

  dos dois eixos coordenados X = ; z = 0 , ent˜ao A = O X, =

  

1

  2

  2

  {z ∈ C · z } e f(z) = z C

  , z ), isto ´e, dim A = 1, mas dim A/(f ) = dim C {z

  1 2 }/(z 1 · z

  2

  {z 1 } = 1. A cada no¸c˜ao de dimens˜ao aqui apresentada aplicamos o conceito ao caso de hipersu- n perf´ıcies em C e verificamos que o resultado obtido ´e sempre o mesmo, isto ´e, n

  − 1. Na verdade, embora a verifica¸c˜ao n˜ao seja simples, temos que o mesmo vale para qualquer germe de conjunto anal´ıtico. Teorema 2.4.5 Se (X, x) ´e um germe de conjunto anal´ıtico e A = O X,x ´e a ´algebra das fun¸c˜oes holomorfas sobre X, ent˜ao todos esses conceitos de dimens˜ao coincidem.

  Demonstra¸ c˜ ao: Veja para a justificativa de que o conceito de dimens˜ao de Weierstrass e o apresentado na Defini¸c˜ao coincidem.

  2.4 Dimens˜ao de um Conjunto Anal´ıtico

  35 Note que pelo que foi exposto, para descrever um germe de conjunto anal´ıtico (X, 0) n

  (C , 0) de codimens˜ao k precisamos de pelo menos k fun¸c˜oes. Germes de conjuntos para os quais k fun¸c˜oes s˜ao suficientes s˜ao chamados de interse¸c˜oes completas. Muitos m´etodos de investiga¸c˜ao de singularidades de hipersuperf´ıcies podem ser generalizados para interse¸c˜oes completas. Interse¸c˜oes completas s˜ao, em certo sentido, singularidades particularmente simples. No entanto, muitas singularidades interessantes n˜ao s˜ao interse¸c˜oes completas, e ´e f´acil dar exemplos. Germes de conjuntos de codimens˜ao pura 1 s˜ao sempre interse¸c˜ao completa.

  Finalizamos este cap´ıtulo apresentando uma caracteriza¸c˜ao de hipersuperf´ıcies em ter- mos de sua codimens˜ao. n Proposi¸ c˜ ao 2.4.6 Um germe de conjunto anal´ıtico (X, x) , x) ´e de codimens˜ao

  ⊂ (C pura 1 se, e somente se, (X, x) ´e uma hipersuperf´ıcie.

  Demonstra¸ c˜ ao: Sem perda de generalidade, podemos assumir que X ´e irredut´ıvel. Se

  X ´e uma hipersuperf´ıcie, ent˜ao como j´a observamos anteriormente X − S(X) ´e uma − 1 e consequentemente X possui codimens˜ao 1.

  Reciprocamente, se X ´e um germe irredut´ıvel de codimens˜ao 1, ent˜ao escolhemos um k 1 k r elemento f r a decomposi¸c˜ao de f em 6= 0 que pertence ao ideal J(X). Seja f = f

  1 ·. . .·f

  fatores irredut´ıveis. Uma vez que J(X) ´e um ideal primo, um dos fatores de f pertence a J(X), digamos f i .

  Vamos mostrar que f i gera o ideal J(X). Suponha que isso n˜ao aconte¸ca, ent˜ao existe um elemento g i ). O elemento g n˜ao ´e um divisor de zero na ´algebra C n ∈ J(X) \ (f anal´ıtica A = O ,x /(f i ) uma vez que A ´e um dom´ınio. Usando o Teorema do Ideal Principal de Krull obtemos que dim A/(g) = n i , g

  − 2. Como f ∈ J(X) devemos ter que dim O X,x X,x = n ≤ n − 2 contrariando a hip´otese de que dim O − 1. Consequentemente, J(X) = (f i ).

  36

  2 Singularidades de Germes de Conjuntos Anal´ıticos

  Cap´ıtulo 3

  

Expans˜ ao de Newton-Puiseux

  No cap´ıtulo anterior, desenvolvemos alguns conceitos gerais com os quais podemos investigar o conjunto de zero de fun¸c˜oes anal´ıticas de v´arias vari´aveis. Neste cap´ıtulo vamos fazer uma investiga¸c˜ao local de curvas planas, isto ´e, os conjuntos anal´ıticos em um dom´ınio de C que s˜ao localmente o conjunto de zeros de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis f (x, y). Desta forma, vamos estudar o germe da curva em um ponto que consideraremos

  2

  a origem (0, 0) . Assim, no que segue, vamos considerar uma s´erie de potˆencias ∈ C convergente f

  ∈ C{x, y} com f(0, 0) = 0, ou seja, f ∈ M = (x, y).

3.1 Parametriza¸ c˜ ao pelo M´ etodo de Newton

  Queremos agora descrever mais detalhadamente o conjunto de zeros de f , ou seja, o conjunto de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao f (x, y) = 0, em uma vizinhan¸ca adequada da origem. Veremos que, em certo sentido, pode-se resolver esta equa¸c˜ao explicitamente. Para isso usaremos um m´etodo que remota a Newton e foi descrito por ele em correspondˆencia com Leibniz e Oldenburg (cartas de Newton a Oldenburg, 13 de junho de 1676 e 24 de outubro de 1676). A segunda carta faz um relato muito detalhado de m´etodos para se manipular s´eries infinitas, em especial, s´eries de potˆencias.

  Em termos gerais, Newton come¸ca exibindo f (x, y) = 0 como uma equa¸c˜ao impl´ıcita para y em fun¸c˜ao de x e calcula a solu¸c˜ao y por um processo de aproxima¸c˜ao que produz uma expans˜ao da solu¸c˜ao y em potˆencias de x. Quando as condi¸c˜oes do Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita s˜ao satisfeitas, sabe-se que a solu¸c˜ao y pode de fato ser representada por uma s´erie de potˆencias convergente em x. Mas, em geral, n˜ao se pode esperar isso.

  38 q p

  3 Expans˜ao de Newton-Puiseux Consideremos f (x, y) = y . Temos que

  − x q p y = 0 p q − x possui a solu¸c˜ao y = x .

  Vˆe-se da´ı que potˆencias fracion´arias de x tˆem que ser admitidas, a fim de representar a solu¸c˜ao y. Um pouco mais geral, podemos encontrar uma solu¸c˜ao da forma µ p y = cx , onde c ´e um n´ umero complexo e µ = ´e um n´ umero racional positivo, sempre que f (x, y) q

  ´e um polinˆomio da forma

  X α β f (x, y) = c αβ x y . α

  • +µβ=ν

   µ µ O polinˆomio f ´e quase homogˆeneNeste caso, pode-se encontrar uma solu¸c˜ao y = cx . De fato, substituindo y = cx em f (x, y) obtemos µ α β ν β ν

  X X f (x, cx ) = c αβ x c = x c αβ c = x g(c). α α

  • µβ=ν +µβ=ν µ

  Se c ´e um zero do polinˆomio g(c), ent˜ao y = c x ´e a solu¸c˜ao de f (x, y) = 0. Podemos

  1 1 m

  escolher c , ou seja, quando f (x, y) cont´em pelo

  1

  6= 0 somente no caso em que g(c) 6= a · c menos dois monˆomios distintos. α β A condi¸c˜ao em que f (x, y) cont´em somente monˆomios x y para os quais α + µβ = ν pode ser descrita geometricamente e isso ´e uma parte essencial da ideia de Newton. α β Cada monˆomio x y corresponde a um par (α, β) de n´ umeros naturais e, portanto,

  P α β

  2

  a um ponto com coordenadas inteiras no plano R . Dada f (x, y) = c αβ x y uma s´erie de potˆencias arbitr´aria, consideramos o conjunto dos pontos (α, β) cujos monˆomios α β x y realmente aparecem na s´erie de potˆencias, isto ´e, aqueles para os quais c αβ 6= 0. Denotamos este conjunto por

  △(f) e nos referimos a ele por suporte de f. Assim,

  2

  ; c αβ △(f) = {(α, β) ∈ N 6= 0}. Vejamos dois exemplos: 1 i j P 2 Um polinˆ omio g(x, y) = a x y ij

  ∈ C[x, y] ´e quase homogˆeneo se existem (a, b) ∈ N ∈ N tais e d a b d que g(t x, t y ) = t g (x, y).

  3.1 Parametriza¸c˜ao pelo M´etodo de Newton

  39

  4

  3

  2

6 Exemplo 3.1.1 f (x, y) = y y + x .

  − 2x β

  ✻ 4 r ◗ ◗ ◗

  ◗

2r ◗ ◗ ◗

  ◗ ◗ ◗ r 3 ◗ ✲ 6 6 α

  4

  3

  2

  

5

  6

  7 Exemplo 3.1.2 f (x, y) = y y y + x .

  − 2x − 4x − x

  β s

  4 ◗ ◗ ◗

  ◗ ◗ ◗ s

  ◗

s ◗ 1 ◗

  ◗ s s ◗ ✲

  3

  5

  6 7 α

  A condi¸c˜ao de que existem n´ umeros racionais µ e ν tais que α + µβ = ν para todos (α, β)

  ∈ △(f) significa que todos os pontos de △(f) pertencem a uma reta. Essa reta

  1 tem inclina¸c˜ao e se encontra com o eixo α em α = ν.

  − µ

  3 No Exemplo a condi¸c˜ao α + µβ = ν ´e satisfeita com µ = e ν = 6. Assim, 3 2

  2

  podemos encontrar uma solu¸c˜ao da forma y = cx . Substituindo em f obtemos 3 2

  

6

  4

  2 f x, cx = x (c + 1).

  − 2c

  4

  2

  2

2 Os zeros de g(c) = c + 1 = (c s˜ao c =

  2 3 − 2c − 1) ±1. Assim, obtemos duas solu¸c˜oes da 2 3 nossa equa¸c˜ao, y = x e y = .

  −x No Exemplo os pontos de

  △(f) n˜ao est˜ao todos sobre uma ´unica reta e portanto n˜ao podemos encontrar uma solu¸c˜ao de forma simples como fizemos no Exemplo No entanto, podemos considerar a fun¸c˜ao f do Exemplo como uma soma

  40

  3 Expans˜ao de Newton-Puiseux

  4

  3

  2

  

6

  5

  7

  onde e f ´e a fun¸c˜ao f (x, y) = y y + x do Exemplo e h(x, y) = y − 2x

  −4x − x ´e um termo de pertuba¸c˜ao de maior ordem. Aqui, n˜ao contamos a ordem do monˆomio α β x y como sendo α + β, como de costume, mas sim α + µβ, que ´e chamada gradua¸c˜ao de Newton com respeito ao par (1, µ).

  Com respeito a essa ordem, todos os monˆomios de e f possuem ordem 6 e os termos de

  1

  5

  7 h possuem ordem maior, a saber, x y possui ordem 6 e x possui ordem 7. 2 3

  2 Agora, quando substitu´ımos a solu¸c˜ao y = x de e f (x, y) = 0 em f (x, y), ent˜ao f n˜ao se

  anula. No entanto, os termos de menor ordem sim. Isto significa que podemos considerar 2 3 a solu¸c˜ao y = x de e f (x, y) = 0 em f (x, y) como uma aproxima¸c˜ao para f (x, y) = 0 e esperamos que a verdadeira solu¸c˜ao seja diferente da solu¸c˜ao aproximada apenas por termos de ordem superior. Expressamos a verdadeira solu¸c˜ao como 2 3 y = x + (termos de maior ordem) 2 3 = x (1 + y ).

1 A fim de evitar o c´alculo com potˆencias fracion´arias de x a partir de agora, tamb´em

  2 1 fazemos a substitui¸c˜ao x = x .

1 Substitu´ımos em f (x, y)

  

3

  y = x (1 + y )

  1

  

1

  

2

  x = x ,

  

1

  obtendo

  2

  3

  12

  f (x , x (1 + y )) = x (x , y ),

  1

  1

  1

  1

  1

  1 1 · f

  onde

  4

  3

  2

  2 f (x , y ) = y + 4y + 4y y .

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 1 − 4x − 4x − x

  1 Agora, consideramos ) :

  1

  △(f

  β s

  4 ❆ s

  3 ❆ ❆ ❆ s

  2 ❆ ❆ ❆

  ❆ ❆ ❆ s

  1 ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ s s

  3.1 Parametriza¸c˜ao pelo M´etodo de Newton

  41 Vemos que △(f) n˜ao se encontra em uma reta, no entanto, encontra-se em um sistema de retas paralelas de inclina¸c˜ao -2. Por esta raz˜ao, buscamos uma solu¸c˜ao de f (x , y ) = 0

  1

  1

  da forma 2 1 y = c x .

  1

  2

  1 Substituindo os termos de menor ordem, obtemos

  2

  2

  4y = x (4c

  1

  

1

1 − 4x 2 − 4) = 0, 2 1

  da´ı c = = 1 e substituindo y = x em f (x , y ) obtemos

  2

  2

  1

  1

  1

  ±1. Escolhendo c 1 2 3 2 2 3

  1

  2

  2

  f

  1 x 1 , x = x + 4x + 4x

  1 1 = 0.

  1 1 − 4x 1 − 4x − x 2 1

  1

  1 Assim, y = x ´e uma solu¸c˜ao de f (x , y ) = 0. Logo,

  1

  1

  1

  1

  1 2 3 2 3

2

1

2 3 1 4 2 3 4 7

  y = x (1 + y ) = x 1 + x = x 1 + x = x + x

  1

  

1

´e uma solu¸c˜ao de f (x, y) = 0.

  Tendo estes exemplos em mente, vamos agora descrever o M´etodo de Newton. Para tanto, vamos formalizar alguns conceitos.

  P α β Defini¸ c˜ ao 3.1.3 Seja f (x, y) = c αβ x y α,β ∈ C{x, y}. Chamamos de Pol´ıgono de

  2 Newton de f a poligonal convexa determinada pelos lados L , L , . . . , L r satisfazendo

  1

  2

  ⊂ R +

  as seguintes propriedades:

1. Para todo L , existe (α , β ) com c , β ) se localiza acima de L .

i i i i α i β i i i i

  ∈ L 6= 0 ou

  2. Existe ao menos um par (α i , β i ) e (α j , β j ) em cada L k , com c α β α β i i j j · c 6= 0.

  3. Nenhum par (α, β) com c αβ i .

  6= 0 se localiza abaixo de algum L

  Em outras palavras, o Pol´ıgono de Newton de f ´e a poligonal convexa que delimita o

  2

  2 fecho convexo em R do conjunto ; c αβ △(f) = {(α, β) ∈ N 6= 0}.

  • Teorema 3.1.4 (M´etodo de Newton) Existe um algoritmo que permite obter uma solu¸c˜ao

  42

  3 Expans˜ao de Newton-Puiseux Demonstra¸ c˜ ao:

  A demonstra¸c˜ao consiste em exibir etapas que permitem obter uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao f (x, y) = 0, onde f , pela Observa¸c˜ao pode ser considerada como um polinˆomio de Weierstrass n˜ao nulo n n

  

−1

  f (x, y) = y + a n −1 (x)y + ... + a (x) ∈ C{x}[y]. Uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao f (x, y) = 0, como veremos a seguir, ´e um elemento

  ∞

  [ n 1 y C [[x ]].

  ∈ n

  =1

  Assim, escrevamos µ µ µ y = c x + c x + c x 1 1 +µ 2 1 +µ 2 +µ 3 +

  1

  2

  3 µ µ µ · · · , com c i i . Se denotarmos y = x (c + y ) com y = c x + c x 1 2 2 +µ 3 +

  1

  1

  1

  2

  3

  6= 0, e µ ∈ Q · · · ,

  • ent˜ao temos µ µ n µ n
  • 0 = f (x, y) = f (x, x (c + y )) = (x (c + y )) + a n (x)(x (c + y )) (x).
  • 1 1 1 −1

      1

      1

      1 1 −1

      1

      1

      · · · + a Como l

      X l i l −i l l (c + y ) = y c = c + h (y ),

      1 1 l

      1

      1

      1

      1 i =0 i com h l (0) = 0, ent˜ao 0 = f (x, y) se expressa como nµ n n n 1 (n−1)µ 1 −1 (n−2)µ 1 −2 0 = x c + a n (x)x c + a (x)x + n c (x) + g (x, y ), −1 −2

      1

      1

      1

      1 1 · · · + a

      onde cada termo de g 1 j 1 (x, y 1 ) tem ordem maior que a ordem de um termo da forma a j (x)x c , para j = 0, ..., n. De fato, denotando

      1 nµ n n n (n−1)µ

      h (x) = x c + a n (x)x c + a n (x)x c (x), 1 1 −1 (n−2)µ 1 −2 +

      1 −1 −2

      1

      1 1 · · · + a

      temos µ j jµ jµ jµ 1 1 j j 1 1 a j (x)(x (c

      1 + y 1 )) = a j (x)x (c + h j (y 1 )) = a j (x)x c + a j (x)x h j (y 1 ).

      1

      1 1 Assim, um termo qualquer de g (x, y ) ´e um termo em a j (x)x h j (y ) e 1

      1

      1

      1 jµ jµ 1 1

      mult x (a j (x)x h j (y )) = α j + jµ + mult x (h j (y )) > α j + jµ = mult x (a j (x)x c ),

      1

      1

      1

      1

      3.1 Parametriza¸c˜ao pelo M´etodo de Newton 1

      43 j Para que y seja raiz de f (x, y) devem haver ao menos dois termos da forma a j (x)x c

      1

      que se cancelam. Em particular, que atingem a menor ordem em h (x), ou seja, existem

      1

      i e k tais que α i + iµ

      1 = α k + kµ 1 j + jµ 1 ,

      ≤ α α para todo j = 0, . . . , n. Al´em disso, se a j (x) = b j x j j 1 j · · · , com b 6= 0, ent˜ao a soma dos

    • coeficientes de todos os termos da forma a j (x)x c que atingem a menor ordem deve ser

      1

      zero. Logo,

      X j p(c ) = b j c = 0. (3.1)

      1 α j +jµ 1 =α i +iµ 1

      1 Note que os monˆomios que formam p(c ) s˜ao na verdade os coeficientes dos termos que

      1

      atingem a menor ordem em h

      1 (x). Para determinar µ 1 usaremos o pol´ıgono de Newton

      de h (x), onde

      1 n n n −1 −2

      h (x) = c + a n (x)c + a + n (x)c (x).

      1 −1 −2

      1

      1 1 · · · + a

      Note que cada lado do pol´ıgono de Newton considerado, cont´em ao menos dois pon- tos (α , i) e (α , k). Al´em disso, o coeficiente angular da reta suporte deste segmento ´e i k k −i m = . Assim, α −α i k

      1

      1 α k k = α i i. − − m m

      Isto sugere um modo de obter os poss´ıveis valores para µ , a saber, estar˜ao entre os

      1

      1

      valores , onde m ´e o coeficiente angular da reta suporte de um segmento que comp˜oe − m o pol´ıgono de Newton de h

      1 (x). Como queremos obter µ 1 e este ´e tal que

      α i + iµ j + jµ ,

      1

      1

      ≤ α para todo j = 0, . . . , n, temos que α j i i

      1 1 i

      1 − α − j − j

      µ = m .

      1

      1

      ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇒ µ ≤ − i α j i µ µ α i j m

      1

      1

      − j − α − α

      1 Deste modo escolhemos µ 1 = , onde m ´e o menor coeficiente angular dos segmentos

      − m que comp˜oem o pol´ıgono de Newton de h (x), considerando as vari´aveis c e x. Este

      

    1

      1

      pol´ıgono de Newton coincide com o pol´ıgono de Newton de f (x, y). Deste modo, obtemos µ

      1 e consequentemente podemos obter o polinˆomio p(c 1 ) exibido em .

      Como o polinˆomio p(c ) cont´em ao menos dois termos (os associados aos extremos

      1

      44

      3 Expans˜ao de Newton-Puiseux o polinˆomio p(c

      1 ) possui ao menos uma raiz n˜ao nula, que tomamos como valor de c 1 .

      Tendo obtido c e µ , podemos obter c j e µ j do mesmo modo, observando que devemos

      1

      1

      ter µ j > 0. De fato, para determinar c e µ , lembremos que µ µ µ

      2

      

    2

    • y = c x + c x (c + y ),
    • 1 1 +µ 2 1

        1

        2

        1

        1 µ µ 2 2 · · · = x

      • µ
      • 3

          onde y = c x + c + x

          1

          2

          3

          · · · . Assim, µ 1 0 = f (x, y) = f (x, x (c + y )) = h (x) + g (x, y ),

          1

          1

          1

          1

          1

          onde h

          1 (x) ´e formado por termos em x e c 1 . Como observamos anteriormente temos que em

          g (x, y ) todos os termos tem ordem em x maior do que um termo de h (x). Considere ν =

          1

          1 ν 1

          1

          1

          min j + jµ f (x, y ). Assim, basta repetir

          1

          1

          1

          {α }. Assim, podemos escrever 0 = f(x, y) = x µ µ µ o argumento para f

          1 ) tomando y 1 = x (c 2 2 + y 2 ), onde y 2 = c 3 x + c 3

          4 x 3 +µ 4 · · · .

        • 1 (x, y

          Agora devemos garantir que as condi¸c˜oes mencionadas sobre y se concretizam. Inicial- mente vamos mostrar que o menor coeficiente angular do pol´ıgono de Newton de f (x, y ) 1 s

          1

          1

          2

          ∈ C[[x

          ∗

          algum s , ou seja, deve haver µ j tal que para todo µ i com i > j os denominadores ∈ N de µ j e µ i sejam iguais.

          Considere o pol´ıgono de Newton de f (x, y ), mais especificamente o lado com o menor

          1

          1 coeficiente angular e sejam (α j , j) e (α k , k) os pontos extremos deste lado, tal que j > k.

          Assim, µ = α j + jµ = α k + kµ .

          2

          2

          2 ✻ r

          j

          ❅ ❅ ❅ r

          k

          ✲ α −α j k p α j α k

          Temos γ

          1 = = , com mdc(p, q) = 1. Sem perda de generalidade podemos considerar j q −k

          q > 0. Note que se (α l , l) pertence ao lado de extremos (α j , j) e (α k , k), ent˜ao α k l p

          − α = µ = .

          1

          3.1 Parametriza¸c˜ao pelo M´etodo de Newton

          45 E como q ∤ p, temos que q l e como l |(l − k). Logo, l = k + qr ≥ k e q > 0, temos que r l

          ) como

          1

          ≥ 0. Desta forma, podemos escrever p(c

          X i p(c ) = b i c ,

          1 α

        i +iµ

        1 =ν 1

          1

          onde i = k + qr i . Assim,

          X k q q

          X

        • qr i k r i k

          p(c ) = b i c = c b i (c ) = c φ(c ). (3.2)

          1 i i

          1

          

        1

          1

          1

          1 Observe que o grau de p(c ) em c ´e i, pois j

          1

          1

          ≥ i ≥ k para todo ´ındice i tal que ν = α j + jµ = α i + iµ . Como j ´e o extremo do lado de menor coeficiente angular do

          1

          1

          1 q

          pol´ıgono de Newton, podemos escrevˆe-lo como j = k + qr . Deste modo, φ(c ) tem grau j q j q q

          1

        −k

          em c igual a r j . Como j > k, q > 0 e r j = , temos que o grau de φ(c ) em c ´e positivo

          1

        q

          1

          1 e φ(0) k o que implica que r k = 0.

          6= 0, pois k = k + qr q Agora, se c ´e uma raiz de multiplicidade e ), ent˜ao podemos escrever

          1 q e ≥ 1 de φ(z

          φ(z ) = (z ) ψ(z), (3.3)

          1

          − c com ψ(c

          1 )

          6= 0. Al´em disto, note que

          −µ 1 µ 1

          f (x, y ) = x f (x, x (c + y ))

          1

          1

          1

          1 µ nµ n −ν 1 1 1

          = x (a (x) + a (x)x (c + y ) + (c + y ) )

          1

          1

          1

          1

          1

          · · · + x

          X iµ i iµ i

          X

          −ν 1 1 −ν 1 1

          = x a i (x)x (c α i +iµ 1 =ν 1 α i +iµ

        1 + y

        1 ) +x a i (x)x (c 1 >ν 1 1 + y 1 ) .

          | {z } Iremos agora analisar a parte selecionada, que denotamos por ⋆, lembrando que α a i (x) = b i x + b i x i α i +1 +

        • 1 · · · . Assim,

          X X

          −ν 1 α i +iµ 1 i −ν 1 α i iµ 1 i

          ⋆ = x b i x (c + y ) +x (a i (x) i x )x (c + y ) .

          1

          1

          1

          1 α α i +iµ 1 =ν 1 i +iµ 1 =ν 1 − b

          | {z } Veja que a nova parte selecionada, usando se resume a

          X α i i

          X

          −µ 1 i +iµ 1

          x b i x (c + y ) = b i (c + y ) α α i +iµ 1 =ν 1 i +iµ

          1

          1 1 =ν 1

          1

          1 k q

          = p(c + y ) = (c + y ) φ((c + y ) )

          

        1

          1 k e

          1

          1

          1

          1

          = (c + y ) (c + y ) ψ(c + y )

          

        1

          1

          1

          1

          1

          1

          1 k − c

          X k k s e

          −s

          = c y y ψ(c

          1 + y 1 )

          1

          1

          1 s =0 k e k e k s −1 +1 +e

          46

          3 Expans˜ao de Newton-Puiseux Observe que w w

          X z z

          X ψ(c + y ) = β z (c + y ) = β z (c + y θ(c + y ))

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1 z z

          1 w w =0 =0

          X z

          X = β z c + y β z θ(c + y ) = ψ(c ) + y ϕ(c + y ),

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1 z z

          1 =0 =0

          onde β z + y ), ϕ(c + y ) , y ]. Assim, recuperando a express˜ao de f (x, y )

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          1

          ∈ C, θ(c ∈ C[c temos k e k e k

          −1 +1 +e

          f +

          1 (x, y 1 ) = (c y + kc y )(ψ(c 1 ) + y 1 ϕ(c 1 + y 1 )) + g 2 (x, y 1 )

          · · · + y

          1 e e +1 n

          1

          1

          1

          1

        • = d e y + d e y n y + g (x,
        • 1

          2

          1 k

          1 1 · · · + d

          1 µ 1

          onde d e = c ψ(c ) f (x, y ), segue que f

          1

          1

          1

          1 1 6= 0. Como f tem grau n em y e f(x, y) = x

          tem grau n em y e assim

          1 e e n 2 +1

        • f (x, y ) = d (x) + d (x)y + d (x)y e (x)y + d e (x)y n (x)y .

          1

          1

          1

          1 2 +1

        1 · · · + d

        µ 1

          1 1 · · · + d

          1 Se d = 0, ent˜ao y = 0 ´e raiz de f e y = x c ´e raiz de f . Caso contr´ario, isto ´e, se

          1

          1

          1 a

          1

          d (x) = b x + · · · , com b 6= 0, ent˜ao

             mult x d e (x) = 0   mult x d i (x)

          ≥ 0; i = 0, . . . , n     mult x d i (x) > 0; i = 0, . . . , e

          − 1. Agora analisemos o pol´ıgono de Newton de f (x, y ).

          1

          1 r1 (0, e ) ❆ l 1r ❆ e 1 = e

          ❝ ❝ r ❝ ❍

          , r (a 0) ❍ ❤ ❤

          ❤ ❤ r ✲

          Se o pol´ıgono de Newton de f (x, y ) tiver ao menos um lado, que ocorre se d

          1

          1

          6= 0, ent˜ao e = e , onde l ´e a proje¸c˜ao vertical do lado de menor inclina¸c˜ao do pol´ıgono

          1

          1

          1

          ≥ l de Newton. Neste caso, existe um lado do pol´ıgono de Newton de f

          1 (x, y 1 ) com inclina¸c˜ao

          1

          m negativa. Assim, teremos µ > 0, pois µ = . O mesmo argumento garante que

          2

          

        2

          − m

          3.1 Parametriza¸c˜ao pelo M´etodo de Newton

          47 Para completarmos a demonstra¸c˜ao, devemos mostrar que o resultado desse procedi- s 1 mento realmente fornece um elemento y ]] para algum s k q p j ∈ C[[x ≥ 1. Para tanto recorde- q

          −k

          mos que p(c ) = c φ(c ), onde µ = com q > 0. Al´em disso, φ tem grau > 0 em c

          1

          1

          1 1 q q

          1

          e φ(0)

          1 ´e menor ou igual a j 6= 0, ent˜ao o grau de φ em c − k. q

          Sendo c uma raiz de φ(z ) de multiplicidade e = j

          1

          1

          ≥ 1 e l − k a proje¸c˜ao vertical do lado de menor inclina¸c˜ao do pol´ıgono de Newton de f , temos l .

          1

          ≥ e Para os argumentos finais, em cada passo denote: • L j o lado de menor inclina¸c˜ao no pol´ıgono de Newton de f j . j o extremo superior do lado L j .

        • e • l j o comprimento da proje¸c˜ao do lado l j . Assim, l

          1

          1

          2

          2

          3

          3 ≥ e ≥ l ≥ e ≥ l ≥ e ≥ l ≥ · · · .

          No entanto, n˜ao podemos ter uma infinidade de desigualdades estritas pois e > 0 j para todo j. Assim, existe um ´ındice i, onde e i = l i para todo i ≥ j. Logo, o pol´ıgono de Newton de f i (x, y i ) ter´a apenas um lado. ✻ r e i

          ❅ l i ❅ ❅ r

        ❅ ✲

          Desta forma para todo i ≥ j, temos e i

          X q e s e e i e i i i −s i e i

        • φ(z ) = (z i ) ψ i (z) = d z ( i ) = dc ( i − c −c −1) · · · . s

          s e e i i e =0 i Como d i (c i ) e (x) = dc ( i i i

          6= 0, pois ψ 6= 0 e c 6= 0, temos que d −1) 6= 0. Temos que o q i j −k grau de φ(z ) em z ´e e e i i , segue que q i ≤ j − k. Uma vez que j − k = l j l i − k e i = i i q i i . ≤ ⇒ e ≤ e ≤ l q i q i

          Mas e i = l i , assim q i = 1 para todo i ≥ j. Lembrando que p p p j p i p i p i

          1

          2

        • 1

          µ = , µ = , j = , i = = , µ i = ,

          1

          2

        • 1

          · · · , µ · · · , µ · · · ,

          48

          3 Expans˜ao de Newton-Puiseux temos que µ

          1 , µ 2 , . . . , µ j , . . . , µ i , . . . admitem um denominador comum, a saber

          s = mmc(q , q , . . . , q i ) 1 1

          1 2 −1 ≥ 1.

          S s n ∞ C Portanto y ]] [[x ]]. ∈ C[[x ⊂ n =1

          No Exemplo o que fizemos corresponde justamente a aplica¸c˜ao do m´etodo de Newton. Nesse exemplo, encontramos c

          1 = c 2 =

          ±1, isto indica que, variando as escolhas para c e c podemos obter 4 parametriza¸c˜oes (ra´ızes) de f (x, y), ou seja, todas as poss´ıveis

          1

          2 uma vez que f ´e um polinˆomio de grau 4 em y. 2 3 4 7 3 2 4 7 A saber, tais ra´ızes s˜ao y = x e y = .

          ± x −x ± ix Note que o m´etodo descrito anteriormente n˜ao leva em considera¸c˜ao o fato de f ser anal´ıtica, bastando apenas o car´ater formal.

          Mostraremos na pr´oxima se¸c˜ao que se considerarmos f (x, y) anal´ıtica ent˜ao as para- metriza¸c˜oes tamb´em o ser˜ao. i P m

          Defini¸ c˜ ao 3.1.5 A s´erie y = a i x ´e uma expans˜ao de Puiseux da curva com equa¸c˜ao f (x, y) = 0.

          Observe que uma expans˜ao de Puiseux, obviamente, depende da escolha dos zeros c i . No entanto, veremos que para curvas irredut´ıveis ´e leg´ıtimo falar “a”expans˜ao Puiseux. A denomina¸c˜ao “expans˜ao de Puiseux”em vez de Newton ´e baseada no fato de que Puiseux investigou esta expans˜ao em s´eries mais profundamente em seu trabalho, como veremos mais a frente. m 1 Para n˜ao trabalharmos com expoentes fracion´arios, podemos definir z = x em que m ´e o m´ınimo m´ ultiplo comum dos denominadores dos expoentes fracion´arios envolvidos.

          P i Esta substitui¸c˜ao converte a expans˜ao de Puiseux em uma s´erie de potˆencias y(z) = a i z m que resolve a equa¸c˜ao impl´ıcita f (z , y(z)) = 0. Desta forma, pode-se seguir o trabalho como de costume com s´eries de potˆencias formais e convergentes.

        3.2 Convergˆ encia da Expans˜ ao de Puiseux

          Newton n˜ao disse nada sobre a convergˆencia da solu¸c˜ao nas cartas que citamos. A prova da convergˆencia por estimativa direta dos coeficientes obtidos no processo prova-

          3.2 Convergˆencia da Expans˜ao de Puiseux 49 a existˆencia de uma solu¸c˜ao convergente. Pode-se deduzir imediatamente a existˆencia de uma solu¸c˜ao convergente a partir da existˆencia de uma solu¸c˜ao formal a partir do Teorema de Aproxima¸c˜ao de Artin. No entanto, n˜ao ´e necess´ario utilizar este teorema, para este problema, os fatos apresentados sobre conjuntos anal´ıticos s˜ao suficientes.

          No que segue, dados ε, δ > 0 denotamos por U ε,δ o polidisco

        2 U ε,δ := ; {(x, y) ∈ C |y| < ε, |x| < δ}.

          Teorema 3.2.1 Seja f (x, y) ∈ C{x, y} y−regular de ordem m &gt; 0 e irredut´ıvel. Ent˜ao

          existe ε &gt; 0 tal que para cada 0 &lt; ε &lt; ε existe um δ &gt; 0 com a seguinte propriedade: Se

          X := ε,δ ; f (x, y) = 0 {(x, y) ∈ U }

          ´e o conjunto de zeros de f , ent˜ao existe uma s´erie de potˆencias convergente y(z) 1 ∈ C{z} 2 m

          2

        tal que a aplica¸c˜ao π : B do disco B := , com

        m → C {z ∈ C; |z| &lt; δ } sobre C

          π(z) = (z , y(z)), ´e holomorfa e sua imagem ´e X, isto ´e, π : B → X.

          −1 A restri¸c˜ao π : B (0) = 0.

          \ {0} → X \ {0} ´e biholomorfa e π Demonstra¸ c˜ ao: Sem perda de generalidade, seja f um polinˆomio de Weierstrass m m −1 + f (x, y) = y + c (x)y m (x).

          1

          · · · + c Vimos anteriormente (por exemplo, na prova do Teorema que, para ε suficiente- mente pequeno, existe um δ &gt; 0 tal que para x δ =

          ∈ D {x ∈ C; |x| &lt; δ} o polinˆomio f (x , y) tem exatamente m zeros (contando a multiplicidade) no polidisco U ε,δ . ∂f Uma vez que f ´e irredut´ıvel, f e s˜ao primos entre si como polinˆomios de Weierstrass ∂y ∂f e pelo Lema s˜ao primos entre si em C n˜ao ´e um divisor de zero

          {x, y}. Assim, ∂y ∂f em O X, e pelo Teorema o conjunto dos pontos que anulam f e possui dimens˜ao ∂y zero e consequentemente possui apenas pontos isolados. ∂f Desta forma, se δ ´e suficientemente pequeno e x δ n˜ao se anula

          ∈ D \ {0}, ent˜ao ∂y sobre o conjunto de zeros de f (x , y); isto ´e, a equa¸c˜ao f (x , y) = 0 possui m zeros

          50

          3 Expans˜ao de Newton-Puiseux y(x) e uma vizinhan¸ca onde localmente se parametriza X. Deste modo, X ´e, holomorfa e portanto, localmente um variedade em torno de (x , y ) e a proje¸c˜ao

          X δ → D

          (x, y) 7→ x ´e localmente biholomorfa em torno de (x , y ).

          Figura 3.1: Assim, a proje¸c˜ao X δ

          \ {0} → D \ {0} ´e uma cobertura no sentido topol´ogico. O ´unico ponto singular poss´ıvel de X ´e 0. Pela Observa¸c˜ao X \ {0} ´e conexo. Mas, sabemos que tal cobertura de D δ

          \ {0} se comporta do ponto de vista topol´ogico como a cobertura do disco perfurado B δ m \ {0} → D \ {0} dada por z . Mais precisamente; se escolhermos z m 7→ z

          ∈ B \ {0} e y ∈ C com f (z , y ) = 0, ent˜ao existe um ´ unico homeomorfismo π : B m \ {0} → X \ {0} que aplica z em (z , y ) e faz o seguinte diagrama comutar.

          3.2 Convergˆencia da Expans˜ao de Puiseux 51 m Figura 3.2:

          Temos que π ´e da forma π(z) = (z , y(z)) e y(z) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua bem definida sobre B \ {0}. Assim, y(z) ´e holomorfa, pois coincide localmente com a composi¸c˜ao da m aplica¸c˜ao z e a solu¸c˜ao y constru´ıda acima pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita. A

          7→ z aplica¸c˜ao π ´e um biholomorfismo entre B \ {0} e X \ {0}, pois a aplica¸c˜ao inversa ´e dada m

          −1

          localmente por π (x, y) = x com um ramo adequado da m −´esima raiz.

          Uma vez que os zeros de um polinˆomio dependem continuamente dos seus coeficientes, y(z) tende para zero com z tendendo a zero (uma vez que y(z) ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao m f (z , y) = 0). A fun¸c˜ao y(z) com y(0) = 0 ´e, portanto, holomorfa em B \ {0} e cont´ınua m em 0 e consequentemente uma fun¸c˜ao holomorfa sobre B. Desta forma, π(z) = (z , y(z))

          ´e a parametriza¸c˜ao desejada de X.

          Agora podemos mostrar a convergˆencia das s´eries obtidas pelo processo Newton (da expans˜ao de Puiseux). Seja f (x, y)

          ∈ C{x, y} que podemos assumir, sem perda de generalidade, um polinˆomio de Weierstrass de grau m. Se f ´e irredut´ıvel, ent˜ao o Teorema n´os d´a uma s´erie m 1 convergente y(x ) que satisfaz a equa¸c˜ao f (x, y) = 0. Mas, ent˜ao, as fun¸c˜oes 1 1 m 1 2 πi

        m m m m

        −1 y(x ), y(εx ), . . . , y(ε x ) (ε = e ) tamb´em satisfazem a equa¸c˜ao.

          Assim, obtemos m ra´ızes distintas do polinˆomio de Weierstrass f (x, y) de grau m, m 1 e todos eles s˜ao s´eries convergentes em C {x }. Mas as s´eries obtidas pelo processo de

          52

          3 Expans˜ao de Newton-Puiseux no m´aximo m ra´ızes, a solu¸c˜ao obtida pelo M´etodo de Newton coincide com uma das s´eries acima. Em particular, ´e convergente. r 1 r n

          Em geral, se f tem uma decomposi¸c˜ao em fatores irredut´ıveis, f , . . . , f , ent˜ao a n

          1

          s´erie de Puiseux, deve satisfazer uma das equa¸c˜oes f i (x, y) = 0 e consequentemente ´e uma s´erie convergente. Vimos que cada curva irredut´ıvel com uma equa¸c˜ao f (x, y) = 0 m 1 admite uma solu¸c˜ao y = y(x) descrita por uma expans˜ao em s´erie de potˆencias de x , onde m ´e o grau do polinˆomio de Weierstrass f . Equivalente a essa descri¸c˜ao da solu¸c˜ao ´e m a parametriza¸c˜ao z , y(z)) de um disco da reta z no plano (x, y). Reciprocamente,

          7→ (z m cada parametriza¸c˜ao z , y(z)) nos fornece uma curva.

          7→ (z Teorema 3.2.2

          Sejam m um n´ umero natural n˜ao nulo e y(z) m ∈ C{z} uma s´erie de

        potˆencias convergente. A imagem X da aplica¸c˜ao z , y(z)) ´e o conjunto de zeros

          7→ (z

          da fun¸c˜ao anal´ıtica 1 Y m f (x, y) = y ) ε =1 m − y(εx 2 em uma vizinhan¸ca de 0 .

          ∈ C

          2 Demonstra¸ c˜ ao: Sobre o conjunto ; x

          {(x, y) ∈ C 6= 0} temos que f ´e, obviamente, na vizinhan¸ca da origem, uma fun¸c˜ao holomorfa, limitada e bem definida, que pode ser

          2

          continuamente estendida sobre o eixo y. Assim, f ´e holomorfa sobre C e X ´e obviamente o conjunto de zeros de f .

          Observa¸ c˜ ao 3.2.3 No item ii) da Observa¸c˜ao vimos que toda s´erie de potˆencias

          

        pode ser considerada regular em uma vari´avel com ordem igual a sua multiplicidade. Deste

        modo, se f

          ∈ C{x}[y] ´e um polinˆomio de Weierstrass de grau m, ent˜ao a multiplicidade 1 r

          de f ´e m. Mais ainda, se f ´e irredut´ıvel e y(x ) = ax m m 1 · · · ´e uma de suas ra´ızes, ent˜ao

        • Q m m

          

        pelo Teorema f (x, y) = y ) . Em particular, o termo desprovido

        m r ε =1 − y(εx

        • de y ´e da forma a x

          · · · e como mult(f) = m segue que r ≥ m. Al´em disso, se o cone tangente de f ´e y = 0, ent˜ao devemos ter r &gt; m.

          Cap´ıtulo 4

          

        Equivalˆ encia Topol´ ogica

        4.1 Resolu¸ c˜ ao de Singularidades e Tran¸ cas

          No Teorema a curva X foi parametrizada pela aplica¸c˜ao π : C → X do conjunto anal´ıtico regular C sobre o conjunto X que pode ser singular.

          Defini¸ c˜ ao 4.1.1

          Sejam X um conjunto anal´ıtico e S(X) o seu conjunto de pontos sin-

        gulares. Uma Resolu¸c˜ao de Singularidades de X ´e uma aplica¸c˜ao holomorfa sobrejetiva

          π : e

          X X sobre X tal que → X de uma variedade complexa regular e

          −1

          π : e X (S(X)) \ π → X \ S(X)

          −1 ´e biholomorfa e π (S(X)) n˜ao ´e denso em nenhum subconjunto de e X.

          ´ E importante entender a defini¸c˜ao anterior de forma precisa. Neste sentido, devemos primeiro salientar que uma resolu¸c˜ao de singularidades de X n˜ao ´e dada simplesmente por uma variedade n˜ao singular e X, mas sim pela aplica¸c˜ao π : e

          X → X com as propriedades listadas na defini¸c˜ao acima. Por exemplo, quando se resolve as singularidades irredut´ıveis locais de curvas, ent˜ao, para representantes adequados de X, a variedade e X ´e a mesma para todas as curvas, ou seja, um disco. A diferen¸ca entre as singularidades das curvas aparecem na aplica¸c˜ao π e, consequentemente, na expans˜ao de Puiseux.

          Para germes de curvas irredut´ıveis planas, o Teorema d´a uma resolu¸c˜ao de sin- gularidades, por meio da expans˜ao de Puiseux. E pode-se resolver os germes de curvas redut´ıveis resolvendo as componentes irredut´ıveis individualmente e, em seguida, tomar a uni˜ao disjunta de todas essas resolu¸c˜oes.

          No Teorema resolvemos a singularidade X = {(x, y); f(x, y) = 0} atrav´es da m

          54

          4 Equivalˆencia Topol´ogica depende somente da cobertura topol´ogica X \ {0} → D \ {0}, mas tamb´em de como esta

          2 cobertura ´e mergulhada em C .

          Figura 4.1: Vamos agora analisar mais detalhadamente como a expans˜ao Puiseux y(z) est´a rela- cionada com a cobertura X

          → D. m 1 Sobre cada ponto x ∈ D \ {0} est˜ao m solu¸c˜oes distintas y i (x ) = y(εx ) da equa¸c˜ao 2 πi m f (x , y) (onde ε = e ). A cobertura X \ {0} → D \ {0} ´e n˜ao ramificada, desta forma, cada caminho x(t) em D

          \ {0} (0 ≤ t ≤ 1) pode ser levantado para m caminhos distintos (x(t), y (t)), . . . , (x(t), y m (t))

          1

          em X. As fun¸c˜oes y i s˜ao cont´ınuas bem definidas de valor complexo, no intervalo [0,1], tais que y i (t) j (t) para i 6= y 6= j.

          4.1 Resolu¸c˜ao de Singularidades e Tran¸cas

          3 . Seja x(t) descrevendo uma volta no c´ırculo unit´ario, ou seja, para t

          [0, 1] × S

          O gr´afico dessas duas aplica¸c˜oes est˜ao sobre o cilindro

          2πi( 3 2 )t .

          (t) = −e

          2

          y

          1 (t) = e 2πi( 3 2 )t

          y

          As solu¸c˜oes de f (x(t), y) s˜ao

          2πit .

          ∈ [0, 1] temos x(t) = e

          ), assim m = 2 e y(z) = z

          55 Figura 4.2: Exemplo 4.1.2

          3

          , z

          2

          A resolu¸c˜ao da singularidade ´e π(z) = (z

          3 }.

          = x

          2

          ; y

          2

          X = {(x, y) ∈ C

          Consideremos a curva

          1 ⊂ [0, 1] × C.

          56

          4 Equivalˆencia Topol´ogica Figura 4.3:

          Mais a frente, vamos representar esses gr´aficos por proje¸c˜oes planas adequadas: Figura 4.4:

          No caso geral, para uma curva fechada x(t) em D \ {0} temos m fun¸c˜oes cont´ınuas y i : [0, 1] i (t) j (t) para i (0), . . . , y m (0) (1), . . . , y m (1)

          1

          1

          → C com y 6= y 6= j e {y } = {y }. O gr´afico ent˜ao se parece com a figura a seguir, ou seja, uma tran¸ca! Figura 4.5:

          Intuitivamente, ´e claro o que se entende por uma tran¸ca. A tran¸ca resulta quando se associa a cada ponto em [0, 1] com m n´ umeros complexos distintos, de forma cont´ınua, e o mesmo conjunto de n´ umeros complexos est´a associado com 0 e 1. “Puxando os fios”com

          4.1 Resolu¸c˜ao de Singularidades e Tran¸cas

          57 Podemos fazer isso precisamente da seguinte forma: considere o grupo sim´etrico S m m agindo sobre C trocando coordenadas. Ent˜ao m Y m :=

          1 , . . . , z m ) ; z i j para i m

          {(z ∈ C 6= z 6= j}/S ´e o conjunto de todas as m

          −uplas n˜ao ordenadas de n´umeros complexos distintos. O conjunto Y pode ser identificado com o espa¸co de todos os polinˆomios de grau m com m m m

          −1

          ra´ızes distintas associando cada z = (z , . . . , z ) com o polinˆomio x + σ + m m (z)x

          1

          ∈ Y

          1 m (z) que possui como ra´ızes z , . . . , z m .

          1

          · · · + σ Defini¸ c˜ ao 4.1.3

          Uma tran¸ca em m cordas ´e uma classe de homotopia de um caminho fe-

        chado em Y com ponto inicial e final e Y , ou seja, uma tran¸ca ´e um elemento de π (Y , e Y ).

        m 1 m

          ´ E f´acil constatar que π (Y m , e Y ) ´e um grupo, e a opera¸c˜ao de tran¸cas ´e simplesmente

          1 “junt´a-las”.

          Figura 4.6: Chamamos este grupo tamb´em de Grupo das tran¸cas de Artin B(m).

          O processo para resolver a equa¸c˜ao f (x, y) = 0 por uma s´erie de potˆencias y = y(x) remota a Newton, como j´a dissemos, foi desenvolvido por Cramer (1750) e aperfei¸coado por Puiseux em 1850. No trabalho de Puiseux tamb´em se encontra a ideia de investigar as singularidades com a ajuda de tran¸cas. Reconhecidamente, a topologia n˜ao estava suficientemente desenvolvida no tempo de Puiseux para que o conceito de grupo de tran¸cas pudesse ser feito exatamente como acima, ou de qualquer modo semelhante. O grupo fundamental foi desenvolvido por Poincar´e, quase cinquenta anos mais tarde. O conceito de “tran¸ca”foi introduzido pela primeira vez explicitamente por E. Artin em 1925, .

          Cada caminho fechado x(t) em D \ {0} produz uma tran¸ca na forma descrita acima. Como esta tran¸ca resulta da cobertura X

          \ {0} → D \ {0}, caminhos homot´opicos pro-

          58

          4 Equivalˆencia Topol´ogica

          ′

          Agora, temos que prestar aten¸c˜ao aos pontos iniciais e finais das tran¸cas. Se x(t) e x (t) s˜ao caminhos fechados em D \{0} com pontos iniciais diferentes, ent˜ao em geral as tran¸cas

          ′ ′

          associadas γ e γ possuem ponto inicial diferente. Agora se x e x s˜ao homot´opicos livres,

          

          isto ´e, existe uma homotopia h t entre x e x tal que os caminhos h t (0) e h t (1) coincidem,

          ′ ent˜ao as tran¸cas associadas γ e γ tamb´em s˜ao homot´opicas livres como caminhos em Y m .

          ′

          Intuitivamente, isto significa que os fios de γ podem ser deformados nos fios de γ , com os pontos inicial e final de cada fio sendo movidos da mesma forma.

          Figura 4.7: Dizemos que duas tran¸cas s˜ao (topologicamente) equivalentes quando s˜ao homot´opicas livres como caminhos em Y m .

          Assim temos que caminhos homot´opicos livres em D \ {0} resultam em tran¸cas equi- valentes.

          Devido a este fato, e porque o grupo fundamental de D \ {0} ´e gerado por um circuito em torno de 0, basta nos limitar ao caminho padr˜ao

          2πit

          x(t) = δe (δ suficientemente pequeno) quando estamos investigando tran¸cas. Chamamos esta tran¸ca de “a tran¸ca da singulari- dade”.

          Vamos agora estudar como a tran¸ca de uma singularidade est´a relacionada com a expans˜ao Puiseux y(x). Inicialmente vejamos alguns exemplos.

          Exemplo 4.1.4 3 2 Consideremos a expans˜ao de Puiseux de f como dada no Exemplo 4 7 4 7

        ou seja, y = x + x . Escolhendo δ suficientemente pequeno, o termo x se torna pequeno

        2 3

          4.1 Resolu¸c˜ao de Singularidades e Tran¸cas 2 3

          59

          de x = δ temos dois pontos y = . E, como x gira em torno do circulo

          ±δ |x| = δ, y faz uma volta e meia em torno da origem em C.

          Figura 4.8:

          A tran¸ca ´e a mesma que vimos anteriormente:

          Figura 4.9: 4 7 Agora vamos considerar o termo de perturba¸c˜ao x . Sobre o ponto x = δ existem 2 3 2 3 agora quatro pontos y , . . . , y , agrupados em pares ao redor dos pontos y = δ e y =

          1

          4

          −δ

          considerados anteriormente:

          60

          4 Equivalˆencia Topol´ogica Figura 4.10: 2 3 2 3 Durante um circuito de x ao redor do c´ırculo e , como antes,

          |x| = δ, os pontos δ −δ

          

        fazem uma volta e meia em torno do grande c´ırculo; e os pontos de interesse, y , y , y

          1

          2

          3 e y 4 , giram uma vez e mais trˆes quartos de uma volta em torno das cordas da primeira tran¸ca. Se denotarmos

          2πit

          x = δe 2 3 4 7 y = η + iξ = x + x ,

          ent˜ao a tran¸ca resultante tem como proje¸c˜ao sobre o plano (t, η):

          Figura 4.11: 2 3 37 2 Exemplo 4.1.5 Suponha que a expans˜ao de Puiseux de f ´e y = x + x . Para uma 2 3

          primeira aproxima¸c˜ao, temos novamente y = x :

        • x
        • 37 2<
        • x
        • 37 2 s˜ao equivalentes.

            Para tanto, basta considerar a mudan¸ca de coordenadas

            −1) i yx

            X (

            ∞

            → y +

            e y

            x → x

            Figura 4.14:

            4.1 Resolu¸c˜ao de Singularidades e Tran¸cas

            Esta tran¸ca pode ser suavizada de modo a obtermos a tran¸ca original, assim, as tran¸cas para x 3 2 e x 3 2

            Figura 4.13:

            apenas oscila em torno da primeira aproxima¸c˜ao:

            A tran¸ca de x 3 2

            Mas desta vez o termo de perturba¸c˜ao x

          37

          2

          n˜ao altera o n´ umero de cordas da tran¸ca.

            61 Figura 4.12:

            17i .

            62

            4 Equivalˆencia Topol´ogica

            De fato, teremos 3 37 3

          37

            X i 2 2 2

          2

          17i y = x + x + (x + x ) ( x i −1)

            =1 3 37 3 ∞ ∞ 3 X i i

            X 2 2 2 17i 2 17 17i = x + x + x ( x + x x ( x 3 2 37 2 37 2 i =1 i =1 −1) −1) 2 3 = x + x = x .

            − x Este exemplo sugere a conjectura de que para uma fun¸c˜ao f com a expans˜ao Puiseux

            P k k y(x) = a k x (a k k x para os quais 6= 0), a tran¸ca de f depende somente dos termos a os denominadores dos expoentes aumentam. Vamos formular isto mais precisamente em breve. A fim de podermos associar uma singularidade com uma tran¸ca que ´e unicamente determinada, a menos de equivalˆencia, devemos escolher coordenadas no plano adequadas, uma vez que as coordenadas est˜ao relacionadas com a defini¸c˜ao da aplica¸c˜ao proje¸c˜ao (x, y)

            7→ x e consequentemente com a defini¸c˜ao da tran¸ca. Por exemplo, associamos a 3

            2

            3 2

            singularidade de y = 0 com a s´erie de Puiseux y = x e a tran¸ca: − x

            Figura 4.15: Mas se invertermos os pap´eis das coordenadas x e y na constru¸c˜ao, obt´em-se a singu- 2

            3

            2 3

            laridade y = 0 com a s´erie de Puiseux y = x e a tran¸ca de trˆes cordas: − x

            Figura 4.16:

            4.2 Pares de Puiseux

            63 Isto ocorre porque n´os obtivemos a tran¸ca por estudo da cobertura X \{0} → D \{0},

            (x, y) 7→ x e essa cobertura ´e diferente nos dois casos acima, como pode ser interpretado na imagem real:

            Figura 4.17: A cobertura ´e determinada pela proje¸c˜ao ao longo do eixo y; e, no primeiro caso, o eixo y corta a singularidade com multiplicidade 2, no segundo caso, com multiplicidade 3.

            Portanto, faremos uma conven¸c˜ao para a escolha das coordenadas x, y; e vamos torn´a-la a base de todo o nossa investiga¸c˜ao de expans˜oes Puiseux e as tran¸cas associadas, a menos que o contexto exija o contr´ario.

            Seja f (x, y) irredut´ıvel. Se m ´e a multiplicidade de f na origem, ent˜ao vamos considerar que f ´e y −regular de ordem m. Isto ´e, vamos supor que o eixo y n˜ao ´e uma tangente no ponto singular da curva. Tal suposi¸c˜ao n˜ao ´e uma restri¸c˜ao uma vez que se pode obter esta propriedade por meio de uma mudan¸ca de coordenadas.

            Isto ´e equivalente a assumir que a expans˜ao Puiseux de f tem a forma α y = cx + (termos de maior ordem) (c 6= 0) com α

            ≥ 1. Mais ainda, se considerarmos que y = 0 ´e o cone tangente ent˜ao, como vimos na Observa¸c˜ao teremos α &gt; 1.

          4.2 Pares de Puiseux

            Vamos agora definir os pares de Puiseux de f , uma sequˆencia de pares de inteiros

            64

            4 Equivalˆencia Topol´ogica expoentes aumentam, e qual ´e o expoente nessa posi¸c˜ao.

            Escrevamos a expans˜ao de Puiseux de f na forma

            X k y = a k x com a k 6= 0, k ∈ Q e k &gt; 1.

            Claramente temos que f ´e regular no caso em que todos os expoentes k s˜ao inteiros. Neste caso, n˜ao se define os expoentes de Puiseux.

            Caso contr´ario, seja k

            1 o menor expoente que n˜ao ´e inteiro, digamos

            n

            1

            k

            1 = (n 1 &gt; m 1 )

            m

            1

            onde n e m s˜ao primos entre si. O par (m , n ) ´e o primeiro par de Puiseux de f . Alguns

            1

            1

            1

            1 q

            dos expoentes que seguem podem ser da forma (q &gt; m ) mas, se nem todos o forem, m 1

            1

            vamos chegar a um expoente k que n˜ao ´e escrito desta forma. Podemos escrever k da

            2

            2

            forma n

            2

            k

            2 = , mdc(n 2 , m 2 ) = 1, m 2 &gt; 1.

            m

            1

            2

            · m Se necess´ario, devemos multiplicar o numerador e o denominador de k por um divisor de

            2

            m . Os n´ umeros n e m s˜ao unicamente determinados e o par (m , n ) ´e o segundo par

            1

            2

            2

            2

            2 de Puiseux de f .

            Em geral, suponha que os pares de Puiseux (m , n ), . . . , (m j , n j ) j´a est˜ao definidos e

            1

            1

            seja k j o menor expoente tal que todos os expoentes anteriores s˜ao da forma

          • 1

            q k = , m j

            1

            · . . . · m e o pr´oprio k j n˜ao ´e. Assim, seja

          • 1

            n j

          • 1 k j = com mdc(n j , m j ) = 1.
          • 1 +1 +1

            m

            1 j +1

            · . . . · m Ent˜ao, (m j , n j ) ´e o pr´oximo par de Puiseux. Este processo termina, ou seja, h´a

          • 1 +1

            um n´ umero g tal que m g = m ´e um denominador comum de todos os expo-

            1

            · . . . · m entes da s´erie de Puiseux. Assim, obtemos uma sequˆencia finita de pares de inteiros (m , n ), . . . , (m , n ).

            1 1 g g Para facilitar a localiza¸c˜ao deste novo conceito, vamos destac´a-lo em uma defini¸c˜ao.

            Defini¸ c˜ ao 4.2.1 Os pares (m , n ), . . . , (m g , n g ) definidos acima s˜ao chamados de pares

            1

            1

            de Puiseux

            4.2 Pares de Puiseux 2 3 4 7

            65 Exemplo 4.2.2

            Seja y = x + x , ent˜ao os pares de Puiseux s˜ao (m , n ) = (2, 3) e (m , n ) = (2, 7). 2 3 3 5 37 2

            1 2 3

            1 2·3 2·3 10 111

            2

            2 Se y = x + x + x = x + x + x , ent˜ao (m , n ) = (2, 3) e (m , n ) = (3, 10).

            1

            1

            2

            2 Uma vez que os expoentes k j s˜ao mon´otonos crescentes e maiores que 1, os pares de

            Puiseux satisfazem as seguintes condi¸c˜oes: m &lt; n

            1

            1

            n m &lt; n para j (4.1) j −1 j j ≥ 2 mdc(n j , m j ) = 1 para j = 1, . . . , g.

            Por outro lado, qualquer sequˆencia de pares de n´ umeros naturais (m , n ), . . . , (m , n )

            1 1 g g

            que satisfazem as condi¸c˜oes dadas em ´e a sequˆencia de pares de Puiseux de uma certa expans˜ao de Puiseux. Por exemplo, a expans˜ao abaixo a qual chamamos de expans˜ao padr˜ao n1 n2 ng y(x) = x + x m1 m1·m2 m1···mg k k k · · · + x

          • = x + x .
          • 1 2 g + · · · + x

              Como ´e a tran¸ca de uma expans˜ao padr˜ao? No caso geral, podemos descrever a tran¸ca de uma forma bastante semelhante a j´a usada no Exemplo A tran¸ca ´e obtida quando x executa uma volta em torno do pequeno c´ırculo

              2πit

              x(t) = δe centrado na origem. Chegamos a tran¸ca via um n´ umero finito de aproxima¸c˜oes. Para a k 1 primeira aproxima¸c˜ao, consideramos apenas o termo x . Sobre o ponto inicial x = δ do nosso caminho temos os pontos k k 1 2πik 1 y k = δ e k = 1, . . . , m k 1

              1

              66 k 2

              4 Equivalˆencia Topol´ogica O segundo termo x melhora a aproxima¸c˜ao. Agora temos conjuntos de m k 2

              2 pontos

              agrupados em c´ırculos de raio δ em torno dos pontos y , . . . , y m encontrados anteri-

              1 1 k g

              ormente. Os pontos sobre os ´ ultimos e menores c´ırculos (de raio δ ) s˜ao aqueles cujos caminhos queremos investigar, porque quando x descreve seu c´ırculo uma vez, esses ca- minhos nos d˜ao a tran¸ca desejada.

              Se o δ escolhido ´e suficientemente pequeno, nenhum destes c´ırculos interferem uns com os outros. Se x(t) percorre o c´ırculo |x| = δ, todos estes c´ırculos come¸cam a girar em torno de si com diferentes velocidades. A velocidade do i

              −´esimo c´ırculo em rela¸c˜ao ao plano complexo ´e igual a k i . Os pontos sobre os c´ırculos mais pequenos descrevem uma tran¸ca de m

              1 g cordas, como um cabo, resultado da tor¸c˜ao de m 1 fios compostos

              · . . . · m de m g fios mais finos em que cada um dos ´ ultimos fios resulta da tor¸c˜ao de m

              2

              2

              · . . . · m fios compostos de m g fios, os quais novamente resultam pela tor¸c˜ao de m fios

              3

              3

              · . . . · m ainda mais finos. Todos esses fios s˜ao torcidos no mesmo sentido, ao passo que a maioria dos cabos utilizados na pr´atica envolvem dire¸c˜oes alternadas de tor¸c˜ao. 6 7 24 37 20 9 Exemplo 4.2.3

              Vamos analisar a tran¸ca da expans˜ao y = x + x + x . A tran¸ca ´e obtida quando x executa uma volta em torno do pequeno c´ırculo 2πit

              x(t) = δe 6 7

            centrado na origem. Para a primeira aproxima¸c˜ao, consideramos apenas o termo x .

              Sobre o ponto inicial x = δ do nosso caminho temos os pontos 7 7

            k

            6 2πi 6

              y k = δ e k = 1, . . . , 6 6 7 em um c´ırculo com centro 0 e raio δ . 24 37 O segundo termo x melhora a aproxima¸c˜ao. Agora temos conjuntos de 4 pontos 24 37

            agrupados em c´ırculos de raio δ em torno dos pontos y , . . . , y encontrados anterior-

              1

              6 mente. 20 9 Sobre os ´ ultimos e menores c´ırculos de raio δ temos 3 pontos cujos caminhos quere-

            mos investigar, porque quando x descreve seu c´ırculo uma vez, esses caminhos nos d˜ao a

            tran¸ca desejada.

              4.2 Pares de Puiseux

              67 Figura 4.18: Assim, para expans˜oes padr˜ao agora podemos construir a tran¸ca associada. O pr´oximo teorema retrata que a tran¸ca de uma singularidade irredut´ıvel arbitr´aria parece exata- mente como a da expans˜ao padr˜ao com os mesmos pares de Puiseux. Teorema 4.2.4

              Expans˜oes de Puiseux com os mesmos pares de Puiseux possuem tran¸cas equivalentes.

              Demonstra¸ c˜ ao: A prova completa seria longa e t´ecnica; queremos apenas dar a ideia geom´etrica aqui.

              P k P g k i

              Sejam y(x) = a k x a expans˜ao de Puiseux de f e y (x) = x a expans˜ao

              1 i =1 padr˜ao correspondente aos pares de Puiseux de f .

              Reescrevemos y da forma y = e y + eg P g k i y = a k x cont´em justamente os termos que correspondem aos pares de Puiseux i onde e i

              =1

              68

              4 Equivalˆencia Topol´ogica Os termos da expans˜ao de Puiseux correspondente aos pares de Puiseux tamb´em s˜ao chamados termos essenciais (ou caracter´ısticos) da s´erie de Puiseux.

              Os termos de eg s˜ao respons´aveis apenas pelas oscila¸c˜oes in´uteis dos fios, que podem ser suavizados novamente na constru¸c˜ao da tran¸ca pelo processo descrito acima. y possuem tran¸cas equivalentes. Assim, y e e y e y configura¸c˜oes semelhantes de c´ırculos aparecem.

            1 Na constru¸c˜ao das tran¸cas de e No entanto, os raios podem ser diferentes e os pontos sobre os c´ırculos deslocados.

              Se δ for escolhido suficientemente pequeno, estes raios n˜ao interferem uns com os outros, e as tran¸cas para g g

              X X k k j j a k j a k x e x j k j j j |a |

              =1 =1

              s˜ao equivalentes. Uma deforma¸c˜ao produz, por exemplo, a fam´ılia de tran¸cas correspon- a P kj k j dente a x que para t

              ∈ [0, 1] deforma a primeira na segunda.

              1−t+t|a | kj

              Assim, podemos supor, sem perda de generalidade, que todos os coeficientes a k s˜ao j iguais a 1. Agora, os raios dos c´ırculos s˜ao todos iguais, e apenas os pontos iniciais s˜ao um pouco rotacionados em rela¸c˜ao um ao outro. Por meio de uma fam´ılia adequada de rota¸c˜oes iteradas pode-se ent˜ao construir uma homotopia livre entre as tran¸cas em quest˜ao e, assim, obt´em-se a equivalˆencia completa entre as tran¸cas de y e sua expans˜ao padr˜ao associada y .

              1

            4.3 Equivalˆ encia Topol´ ogica

              O processo de parametrizar uma curva, permite concluir que todas as curvas irre- dut´ıveis s˜ao homeomorfas entre si.

              Proposi¸ c˜ ao 4.3.1

              Todo germe de conjunto anal´ıtico de dimens˜ao 1 ´e homeomorfo a

              (C, 0). Dois germes de conjunto de dimens˜ao 1 s˜ao homeomorfos somente no caso em que eles possuem o mesmo n´ umero de componentes irredut´ıveis.

              Demonstra¸ c˜ ao: Justificamos o resultado apenas para germes de conjuntos anal´ıticos ir-

              2

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica

              69 ( e x)

              → (X, x) que descrevemos em termos da expans˜ao de Puiseux, produz um home- X, e omorfismo entre ( e x) e (X, x). Mas ( e x) ´e simplesmente igual a (C, 0).

              X, e X, e Assim, se quisermos capturar as propriedades qualitativas locais de curvas planas, n˜ao podemos considerar simplesmente como curvas abstratas, mas como curvas mergulhadas

              2 em C . Isto nos leva a defini¸c˜ao abaixo. n

              Defini¸ c˜ ao 4.3.2 Sejam X e Y subconjuntos anal´ıticos em um dom´ınio de C e suponha x ∈ X e y ∈ Y . Dizemos que o germe (X, x) ´e topologicamente equivalente a (Y, y) n

              

            quando existem vizinhan¸cas U e V de x e y, respectivamente, em C e um homeomorfismo

              φ : U → V tal que φ(x) = y e φ(X ∩ U) = Y ∩ V .

              Naturalmente, (X, x) e (Y, y) s˜ao homeomorfos se eles s˜ao topologicamente equivalen- tes. Na defini¸c˜ao de equivalˆencia topol´ogica entre (X, x) e (Y, y) resta estudar completa- mente a natureza das vizinhan¸cas U de x e V de y tais que X

              ∩ U ´e homeomorfa a Y ∩ V . No entanto, quando se quer provar equivalˆencia topol´ogica de conjuntos anal´ıticos X e Y dados concretamente atrav´es de equa¸c˜oes, ou quando se quer descrever o tipo topol´ogico local, de X em x, ´e ´ util e necess´ario escolher vizinhan¸cas U e V de forma adequada e suficientemente simples. Tenta-se escolher uma classe de vizinhan¸cas de modo que, para

              ′ ′′

              quaisquer duas vizinhan¸cas suficientemente pequenas U e U de x ∈ X que est˜ao na

              ′ ′′

              mesma classe temos: X ´e homeomorfa a X . Desta forma, as vizinhan¸cas admi- ∩ U ∩ U tidas anteriormente n˜ao podem ser completamente arbitr´arias, com buracos ou fronteiras complicadas, ´e preciso escolher vizinhan¸cas adequadas e simples de trabalhar.

              Na maioria dos casos bolas e polidiscos s˜ao as vizinhan¸cas mais adequadas. A bola n aberta e a bola fechada, respectivamente, B ε e B ε de raio ε em torno da origem em C s˜ao dadas pelos conjuntos n

              B = ; ε {z ∈ C |z| &lt; ε} n

              B ε = ; n {z ∈ C |z| ≤ ε},

              70

              4 Equivalˆencia Topol´ogica O polidisco aberto e o polidisco fechado com multi raio δ = (δ

              1 , . . . , δ n ) s˜ao dados,

              respectivamente, por n D δ = ; i i

              {z ∈ C |z | &lt; δ } n D δ = ; i i {z ∈ C |z | ≤ δ }.

              A vantagem de se trabalhar com as bolas ´e que as bolas fechadas s˜ao variedades com fronteira suave; a fronteira ´e uma (2n − 1)−esfera S ε = ∂B ε .

              Os polidiscos s˜ao de fato variedades topol´ogicas, mas a fronteira n˜ao ´e suave, possuem

              2

              arestas. Por exemplo, um polidisco bi-dimensional D = C ⊂ C × C dado por

            2 D = ;

              {(x, y) ∈ C |x| ≤ δ, |y| ≤ η}, ´e o produto de dois discos circulares,

              D = {x ∈ C; |x| ≤ δ} × {y ∈ C; |y| ≤ η}, e sua fronteira ´e

              ∂D = {x; |x| = δ} × {y; |y| ≤ η} ∪ {x; |x| ≤ δ} × {y; |y| = η}. Assim, ∂D ´e a uni˜ao dos dois toros s´olidos

            • 1

              2 T =

              {x; |x| = δ} × {y; |y| ≤ η} ≈ S × D

              −

              2

              1 T = .

              {x; |x| ≤ δ} × {y; |y| = η} ≈ D × S A interse¸c˜ao desses dois toros s´olidos ´e um toro 2-dimensional

              2

              1

              1 T = ; ,

              ∩ T {(x, y) ∈ C |x| = δ, |y| = η} ≈ S × S e ao longo deste toro a fronteira ∂D tem uma aresta. Apesar desta aresta, ´e conveni- ente, em muitos casos, trabalhar com polidiscos. A estrutura do produto do polidisco ´e n particularmente adequado para tal decomposi¸c˜ao do produto de C .

              ´ E claro, que do ponto de vista topol´ogico que bolas e polidiscos n˜ao s˜ao essencialmente diferentes. Eles s˜ao homeomorfos e, assim, a fronteira de um polidisco ´e homeomorfo a

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica

              71

              2

              2

              2

            2 Para a 3-esfera S ε em C , ε = δ + η fornece uma decomposi¸c˜ao natural em dois

              toros s´olidos S ε = T

              

              ∪ T

            • T = ε ;

              {(x, y) ∈ S |y| ≤ η}

            • T − = ε ; {(x, y) ∈ S |x| ≤ δ}.

              Obt´em-se homeomorfismos

              − +

              T T T T

            • δx

              − ηy

              → → (x, y) , y (x, y) x,

              7→ 7→

              |x| |y|

              e estes definem um homeomorfismo

            • − φ : T − .

              ∪ T → T ∪ T

            • A fronteira do polidisco, ∂D ´e, portanto, uma esfera com bordas e por essa raz˜ao n´os tamb´em denotamos por Σ := ∂D no que se segue, e acabamos de definir um homeomor- f
            • − φ : S ε = T − = Σ.

              ∪ T → T ∪ T

            • A figura a seguir ilustra essa situa¸c˜ao:

              Figura 4.19: Do mesmo modo, pode-se construir homeomorfismos da bola B ε no polidisco D. No entanto, pode-se provar um resultado ainda melhor neste sentido. A grosso modo, po- demos garantir que a interse¸c˜ao de uma curva com uma pequena bola em torno de um ponto singular parece, topologicamente, com a interse¸c˜ao com um pequeno polidisco.

              72

              4 Equivalˆencia Topol´ogica Sejam f (x, y)

              ∈ C{x, y} uma s´erie de potˆencias convergente sem fatores m´ultiplos e X o conjunto de zeros de f (x, y) = 0 no dom´ınio de convergˆencia de f tal que f (0, 0) = 0. Escolha as coordenadas x, y de tal maneira que o eixo y n˜ao ´e uma tangente a X na origem, ou seja, y ´e regular de ordem m e, m ´e a multiplicidade de f na origem. Consideramos a interse¸c˜ao de X com um pequeno polidisco

            2 D = ;

              {(x, y) ∈ C |x| ≤ δ, |y| ≤ η} respectivamente uma pequena bola B.

              “Pequeno”aqui significa o seguinte: m k Seja t , y k (t)) a resolu¸c˜ao de singularidade de um ramo de X por meio da expans˜ao

              7→ (t de Puiseux. Ent˜ao D deve primeiro ser escolhido t˜ao pequeno que D mk 1 ∩ X esteja contido na uni˜ao das imagens dos discos de raio δ desta resolu¸c˜ao, e assim a origem ´e o ´ unico ponto singular de D

              ∩ X. Al´em disso, δ deve ser escolhido suficientemente pequeno de

            • ◦ ◦
            • modo que k (t) ( denota o interior de T ).

              |y | &lt; η e consequentemente X ∩ Σ ⊂ T T Finalmente, δ deve ser tomado suficientemente pequeno de forma que a interse¸c˜ao entre X e a esfera S ε = ∂B ε seja transversal.

              Quando todas essas condi¸c˜oes forem satisfeitas, dizemos que D ´e um pequeno polidisco e B ´e uma pequena bola em torno do ponto singular 0 de X. Provaremos agora que existe um ε suficientemente pequeno tal que a interse¸c˜ao entre X e a esfera S ε = ∂B ε seja transversal. Antes por´em, alguns resultados auxiliares.

            2 Lema 4.3.3 Seja U uma vizinhan¸ca da origem e seja X

              ⊂ C ⊂ U uma curva anal´ıtica

              que passa pela origem. Seja (p n ) uma sequˆencia de pontos em X

              \{0} que converge para a

              

            origem. Ent˜ao a sequˆencia (p n ) das retas complexas p n que passam pela origem e por p n ,

              1

            vistas como pontos de P converge para p, o qual representa uma reta que est´a no cone

            tangente de X na origem.

              Demonstra¸ c˜ ao: Suponha que X ´e definida por f (x, y) = 0 numa vizinhan¸ca da origem e

              X f (x, y) = f j (x, y), j

              

            ≥m

              seja o desenvolvimento de Taylor de f , onde f j ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau j

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica n n

              73

              1 Denotamos p n = (p , p ) e p = (p 1 , p 2 ). Como , existe n

              1 2 {p, p 6= 0} ´e aberto em P ∈ N

              tal que para n , p n ≥ n ∈ {p, p}. Ent˜ao n n !

              X X n n n m n i p p

              2

              2 0 = f (x, y) = f j (p , p + ) = (p ) f m 1, (p ) f m 1, .

            • i

              1

              2

              1 n n

              1

              p p j i

              1

              1 ≥m ≥1

              Assim, para n , ≥ n n n

              X p p n i

              2

              2

              f + m 1, (p ) f m +i 1, = 0, (4.2) n

              1 n

              p p

              1 i

              1 ≥1

              logo quando n → ∞, temos que n p p

              2

            2 n

              1, = 1, e p n

              1 → 0,

              p p

              1 p 2

              1 obtemos de , que f m 1, = 0 e portanto f m (p) = 0, o que conclui a prova. p 1 Lema 4.3.4 Seja X uma curva anal´ıtica irredut´ıvel plana, definida numa vizinhan¸ca da origem, lisa fora da origem. Para qualquer sequˆencia de pontos (p n ) em X

              \ {0} tal que p n n , denotada por T p X, tende para n → (0, 0), tem-se que a reta tangente a X no ponto p o cone tangente a X na origem.

              Demonstra¸ c˜ ao: Ap´os mudan¸cas de coordenadas, podemos supor que a equa¸c˜ao de X ´e um polinˆomio de Weierstrass em C {x}[y] e que y = 0 ´e a equa¸c˜ao do cone tangente a X em (0, 0). 1 i

              P m m ∞ Seja y(x ) = a x a expans˜ao de Puiseux de X. Se η ´e uma ra´ız m i i

              −´esima da

              =r

              unidade e k ∈ {1, . . . , m} denotamos 1 k kr k 1 r r+1

              (r+1)

              y k (x ) = y(η x ) = a r η x + a r η x m m m m n m 1

            • 1 · · · .

              Logo o vetor direcional da reta tangente no ponto p n = (x n , y k (x )) ´e dado por r ∂x ∂y k 1 −1 kr

            • ∂x ∂x m r

              , n r η x n (x ) = (1, a m · · · ).

              Da Observa¸c˜ao temos que n m − 1 &gt; 0, logo quando p → (0, 0), os vetores direcio- nais das tangentes tendem ao vetor (1, 0), que ´e precisamente o vetor direcional do cone tangente a X em (0, 0).

              74

              4 Equivalˆencia Topol´ogica Proposi¸ c˜ ao 4.3.5

              (Transversalidade) Seja X um germe de curva anal´ıtica irredut´ıvel na

              2 ′ ′ origem de C . Existe um n´ umero real ε &gt; 0 tal que para todo ε , com 0 &lt; ε

              ≤ ε, a esfera ′ S ε , de centro na origem e raio ε , intercepta X transversalmente.

              Demonstra¸ c˜ ao: Ap´os mudan¸ca de coordenadas podemos supor que a ´ unica tangente a

              X na origem ´e a reta y = 0. Suponha por absurdo que para todo n´ umero real ε &gt; 0

              ′ ′ ′ ′

              existem ε , com 0 &lt; ε ε ε e X n˜ao s˜ao transversais, ≤ ε, e um ponto p de S ∩ X onde S isto ´e: dim(T p S ε p X) &gt; 1. R ′ ′ ∩ T

              Como dim (T p X) = 2, ent˜ao dim(T p S ε p X) = 2, logo T p X p S ε .

              ∩ T ⊂ T Sabemos que

            2 T p S ε = ; < p, w >= 0

              {w ∈ C }, onde p e os w s˜ao representados pelas suas coordenadas reais e &lt; , &gt; ´e o produto interno

              4

              usual em R . Pela inclus˜ao de T p X em T p S ε , temos que &lt; p, v &gt;= 0 p X.

              ∀v ∈ T Como ε ´e um n´ umero real positivo arbitr´ario, para todo inteiro positivo n, existe p n em 1 B n n ∩ X, com p 6= 0, tal que

              &lt; p n , v &gt;= 0 p n X. (4.3) ∀v ∈ T

              As retas que passam por (0, 0) e por p n , pelo Lema convergem ao eixo x, logo dado u pertencente ao eixo x tal que n ) em C tal que λ n p n |u| = 1, existe uma sequˆencia (λ → u. Do Lema temos que T p X tende ao eixo x quando n n

              → ∞. Ent˜ao existe uma sequˆencia (u n ) de pontos de T p X com n n n |u | = 1 tal que u → u, logo temos que

              &lt; λ n p n , u n &gt; →&lt; u, u &gt;= 1, mas por temos que &lt; λ n p n , u n &gt;= 0, o que ´e um absurdo.

              ′

              A proposi¸c˜ao anterior, indica a arbitrariedade de ε &lt; ε. Isto ´e traduzido pelo teorema

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica

              75

              2 Teorema 4.3.6 Seja X uma curva passando por 0 . Ent˜ao,

              ∈ C

              

            ′ ′′

              i) Para quaisquer duas pequenas bolas B e B em torno do ponto 0 ∈ X, existe um

              

            ′ ′′ ′ ′′

            homeomorfismo φ : B com φ(0) = 0 e φ(X ) = X .

              → B ∩ B ∩ B

              ′ ′′ Analogamente, o resultado ´e v´alido para dois pequenos polidiscos D e D .

              ii) Se B ´e uma pequena bola e D ´e um pequeno polidisco em torno do ponto 0 ∈ X, ent˜ao

              existe um homeomorfismo φ : B → D com φ(0) = 0 e φ(X ∩ B) = X ∩ D.

              N˜ao vamos realizar a prova aqui, por necessitar de v´arios conceitos ligados a campos de vetores que fogem do nosso objetivo. Por´em vamos sugerir a ideia por meio da figura 4.19, para mais detalhes sugerimos a leitura de . Intuitivamente se obt´em o mapeamento desejado, permitindo que os pontos de B se movam ao longo das curvas integrais do campo de vetores convenientemente escolhido. Para mapear X

              ∩ B em X ∩ D

              ′ ′′

              respectivamente X em X , deve-se escolher o campo de vetores de modo que ∩ B ∩ B seja tangente a X nos pontos de X

              \ {0}.

              Figura 4.20: Para todas as pequenas bolas B ou polidiscos D com fronteira ∂B = S respectivamente

              ∂D = Σ, os pares (S, S

              ∩ X) e (Σ, Σ ∩ X) resultantes da interse¸c˜ao com a curva s˜ao homeomorfos um ao outro. Temos que S

              ∩ X ´e a uni˜ao disjunta de k c´ırculos na 3-esfera S, onde k ´e o n´umero de componentes irredut´ıveis de X na origem. Assim, temos que a interse¸c˜ao da curva

              76

              4 Equivalˆencia Topol´ogica

              3

              ´e composta por um n´ umero finito de c´ırculos em S , possivelmente ligados uns com os outros. Assim, K = X ∩ S ´e o que chamamos um link. Quando X ´e irredut´ıvel no ponto

              3 singular, K ´e um n´o em S . Sejamos mais expl´ıcitos.

              3

              1 Defini¸ c˜ ao 4.3.7 Um n´o ´e um subconjunto K que ´e homeomorfo a S e possui

              ⊂ S

              ′ ′′

              3

            uma orienta¸c˜ao. Dois n´os K e K em S s˜ao equivalentes quando existe um homeomor-

              3

              3 ′ ′′

            fismo φ : S , preservando a orienta¸c˜ao, que aplica K em K . Links bem como

              → S homeomorfismos (equivalˆencia) entre eles s˜ao definidos analogamente.

              Exemplo 4.3.8 Um n´o simples ´e o n´o trivial: Figura 4.21: O n´o n˜ao trivial mais simples ´e o n´o de trevo ou trif´olio dado na figura 4.22.

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica

              77 Figura 4.22: O que apresentamos anteriormente nos d´a que cada ponto singular de uma curva

              2 irredut´ıvel f (x, y) = 0 em C est´a associado a um n´o que ´e ´ unico a menos de equivalˆencia.

              Pode-se mostrar, que a classe de equivalˆencia deste n´o tamb´em n˜ao depende da escolha de

              2 coordenadas em C . No que se segue iremos determinar com precis˜ao a natureza deste n´o.

              Mas primeiro queremos estabelecer que este n´o determina a topologia da singularidade. Teorema 4.3.9

              (Redu¸c˜ao ao Cone) Sejam B ε uma pequena bola em torno de um ponto singular x da curva X com fronteira ∂B = S e K = S ε ε ε

              ∩ X. Considere tamb´em C(K) ε ) o cone com base S ε e v´ertice 0, isto ´e,

              ⊂ B o cone com base K e v´ertice x e C(S B ε . Ent˜ao: (B ε , B ε ε ), C(K)) s˜ao homeomorfos.

              ∩ X) e (C(S Demonstra¸ c˜ ao: Daremos apenas uma ideia geral da demonstra¸c˜ao aqui. Para mais detalhes recomendamos a leitura de .

              Considere ε suficientemente pequeno de modo que X tenha em B ε apenas a origem (no

              ∗

              m´aximo) como ponto singular. Constru´ımos um campo de vetores V em B = B ε ε \ {0} tal que:

              ∗

              i) ; hV (p), pi &gt; 0 para todo p ∈ B

              ∗

            ii) V (p) X para todo p p ε ∈ T ∈ B ∩ X.

              Ap´os construir o campo de vetores V integramos o campo −V . Uma vez que o produto p

              2

              2

              interno de V com o vetor radial ´e 1, se r = ||x || + ||y ||, ent˜ao V (r) = 1 de modo que

              78

              4 Equivalˆencia Topol´ogica est´a bem definida para todo t

              1 e em t = ε 1 tomar´a valores na esfera S ε 1 . Como

              ≤ ε − ε − ε t → ε converge uniformemente para a origem, assim G fornece uma aplica¸c˜ao cont´ınua

              S ε ε . Cada curva integral encontra a esfera S ε em apenas um ponto e existe 1 × [0, ε] → B apenas uma curva integral atrav´es de cada ponto da esfera, por isso a aplica¸c˜ao ´e bijetiva exceto que S ε

              × ε ´e aplicado na origem. Assim, esta aplica¸c˜ao induz um homeomorfismo do cone C(S ε ) sobre B ε . Finalmente, uma vez que V ´e tangente a X, cada curva integral que encontra X, ent˜ao o homeomorfismo aplica o cone C(K) sobre B ε ∩ X.

              Corol´ ario 4.3.10 O Teorema mostra que os germes de curvas com links equiva-

            lentes s˜ao topologicamente equivalentes. Pode-se provar que a rec´ıproca tamb´em ´e v´alida.

              

            Assim germes de curvas s˜ao topologicamente equivalentes se, e somente se, eles tˆem links

            equivalentes.

              Demonstra¸ c˜ ao: Segue da demonstra¸c˜ao do Teorema

              Desta forma, se quisermos classificar germes de curvas irredut´ıveis a menos de equi- valˆencia topol´ogica, ent˜ao precisamos apenas classificar seus n´os K ε a menos de ⊂ S equivalˆencia. Al´em disso, podemos considerar n´os K

              ⊂ Σ na esfera Σ com bordas, e o homeomorfismo ψ : S ε ε → Σ permite-nos visualizar tais n´os como n´os na esfera S novamente. Assim, consideramos n´os K

              ⊂ Σ. Em princ´ıpio, podemos facilmente obter uma compreens˜ao desses n´os com a ajuda das tran¸cas.

              ` A tran¸ca associamos o mapeamento do intervalo unit´ario em Y m que associa cada t i (t), i = 1, . . . , m obtidos como solu¸c˜oes da equa¸c˜ao

              ∈ [0, 1] a m n´umeros complexos y

              2πit f (x, y) = 0 para x = δe .

              Isto tamb´em pode ser expresso da seguinte forma:

              1

              1 A proje¸c˜ao (x, y) sobre o c´ırculo S =

              7→ x define uma aplica¸c˜ao K → S {x; |x| = δ}

              2πit 2πit

              e os pontos de K sobre o ponto x = δe s˜ao justamente os pontos (δe , y i (t)) com i = 1, . . . , m.

              Assim, o n´o K ´e unicamente determinado pelas fun¸c˜oes y i (t) que descrevem a tran¸ca. Tamb´em podemos descrever esta constru¸c˜ao do n´o a partir da tran¸ca intuitivamente como

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica

              79

              2 Devido `a escolha do nosso pequeno polidisco D = ;

              {(x, y) ∈ C |x| ≤ δ, |y| ≤ η}, os

              

            2

              valores da fun¸c˜ao y i (t) pertencem ao disco D = {y ∈ C; |y| ≤ η}. Isto significa que o n´o

              K est´a contido em um dos toros s´olidos T ou T em que a borda da esfera Σ est´a bem dividida, a saber

            • 1

              2 K = T .

              ⊂ S × D Podemos construir este toro s´olido identificando os discos inicial e final do cilindro s´olido

              2

              [0, 1] pela rela¸c˜ao de equivalˆencia (0, y) × D ∼ (1, y). Isso se traduz ao considerarmos o mapeamento

              2

              1

              2

              [0, 1] × D → S × D

              2πit (t, y) , y).

              7→ (e Sob esse mapeamento, os pontos (t, y i (t)) que constituem o gr´afico da fun¸c˜ao t

              7→ y (t), . . . , y (t) corresponde justamente aos pontos do n´o K.

              1 m

              Intuitivamente temos que o n´o K resulta da tran¸ca quando identificamos os pontos inicial e final. A liga¸c˜ao resultante da identifica¸c˜ao dos pontos inicial e final de uma tran¸ca tamb´em ´e chamado de tran¸ca fechada. A figura a seguir ilustra a descri¸c˜ao do n´o de trevo (trif´olio) como uma tran¸ca fechada:

              Figura 4.23: Este ´e de fato o trif´olio. Na figura 4.24 apresentamos intuitivamente a deforma¸c˜ao da tran¸ca fechada no trif´olio.

              80

              4 Equivalˆencia Topol´ogica Figura 4.24:

              Na figura 4.25 apresentamos um exemplo de uma tran¸ca que produz uma liga¸c˜ao em vez de um n´o, ou seja, o que obter´ıamos ao considerar uma curva com duas componentes irredut´ıveis.

              Figura 4.25: Geralmente pode-se obter um n´o de muitas maneiras diferentes, como uma tran¸ca fechada. Na figura 4.26 apresentamos a descri¸c˜ao do trif´olio desta vez de uma tran¸ca fechada com 3 cordas, como j´a hav´ıamos tratado na figura 4.16 ao permutarmos os pap´eis das coordenadas.

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica

              81 Figura 4.26: Pode-se provar que cada n´o e link s˜ao obtidos como uma tran¸ca fechada. Isto permite que a teoria dos grupos de tran¸ca possa ser aplicada ao (n˜ao resolvido) problema de classifica¸c˜ao de n´os. A demonstra¸c˜ao deste fato exigiria a introdu¸c˜ao de v´arios conceitos e resultados espec´ıficos que fugiriam de nossos objetivos.

              Teorema 4.3.11 Tran¸cas fechadas que correspondem a tran¸cas (abertas) topologicamente

              82

              4 Equivalˆencia Topol´ogica Por um teorema de Markov (1935), pode-se at´e dizer precisamente quando duas tran¸cas de diferentes grupos de tran¸ca b m e b n definem links equivalentes. A condi¸c˜ao ´e equivalente a estabelecer uma sequˆencia de certas opera¸c˜oes alg´ebricas que convertem uma tran¸ca na outra. No entanto, n˜ao se tem um algoritmo que estabelece, para duas tran¸cas dadas, se tal sequˆencia de opera¸c˜oes existe. Uma parte do problema ´e a conjuga¸c˜ao para grupos de tran¸cas, ou seja, o problema de decidir algoritimicamente se duas tran¸cas no grupo de tran¸cas b n s˜ao conjugadas. Este problema foi resolvido por Garside, em 1969, mas o problema geral de classifica¸c˜ao de n´os e links ainda est´a sem solu¸c˜ao.

              No que segue, veremos que os n´os que tˆem uma conex˜ao com as singularidades de curvas planas s˜ao de um tipo muito especial, que admitem uma descri¸c˜ao muito agrad´avel e para o qual o problema de classifica¸c˜ao est´a completamente resolvido.

              Primeiro vamos analisar o n´o que corresponde a uma curva irredut´ıvel com apenas um n m m n par Puiseux (m, n), consideremos x = 0. A expans˜ao de Puiseux ´e y = x e a − y tran¸ca associada ´e dada pelas fun¸c˜oes k+t n

              2πi n m m

              y k (t) = ηe , k = 1, . . . , m com η = δ , portanto, ´e uma tran¸ca com m cordas torcidas para 0 ≤ t ≤ 1. A figura a seguir mostra a tran¸ca para (m, n) = (3, 5).

              Figura 4.27:

              1 O n´o correspondente ´e a imagem homeomorfa do c´ırculo S =

              {t ∈ C; |t| = 1} da aplica¸c˜ao

              1 S T ±

              → m n t , ηt ). 7→ (δt

              Assim, ´e um c´ırculo que pertence ao toro

              1

              1

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica 83 e “enrola”m vezes em uma dire¸c˜ao e n vezes na outra. Na figura 4.28 visualizamos o caso

              (m, n) = (3, 5).

              Figura 4.28: Esses n´os s˜ao chamados de n´os t´oricos. O “enrolamento”pode ser descrito precisamente da seguinte forma. Consideramos as duas proje¸c˜oes

              1

              1

              1

              π i : S , i = 1, 2 × S → S

              1

              1

              1

              1

              dos fatores de S . Ent˜ao a restri¸c˜ao K × S ⊂ S × S

              1

              π i : K → S

              1 produz uma cobertura do c´ırculo S pelo c´ırculo K de grau m para i = 1 e n para i = 2.

              Deste modo, o n´ umero de enrolamento est˜ao caracterizados. Em geral, para qualquer

              1

              1

              1

              c´ırculo K pode-se definir dois mapeamentos π i : K pela restri¸c˜ao das ⊂ S × S

              → S proje¸c˜oes, e com estes dois n´ umeros, m e n, que s˜ao os graus destes mapeamentos. Pode-

              1

              1

              se provar que para um dado n´o K existe um homeomorfismo de S , homot´opico a m n × S identidade, que aplica K no n´o padr˜ao com parametriza¸c˜ao t , t ) descrita acima.

              7→ (t Isso nos leva a seguinte:

              1

              1 Defini¸ c˜ ao 4.3.12 Sejam F um toro e h : F um homeomorfismo. Suponha

              → S × S

              1

            que K e orientado. Ent˜ao K ´e chamado de n´ o t´ orico do tipo

              ⊂ F ´e homeomorfo a S

              1

              84

              4 Equivalˆencia Topol´ogica

              1

              i = 1, 2, s˜ao tais que π i tem grau de mapeamento m para i = 1 e n para ◦ h : F → S i = 2.

              ´ E importante compreender que o tipo (m, n) do n´o t´orico K

              ⊂ F ´e definido apenas

              1

              1

              quando a trivializa¸c˜ao h : F ´e dada. De fato, suponha que temos o n´o → S × S

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              padr˜ao K do tipo (m, n). Considere h : S dada por ⊂ S × S × S → S × S k

              (t

              1 , t 2 ) 1 , t 2 ), onde k ´e um inteiro qualquer. Assim, h produz uma nova trivializa¸c˜ao

              7→ (t ·t

              1

              1

              1

              de S e em rela¸c˜ao a esta nova trivializa¸c˜ao K tem o tipo (m, km + n). Em geral, × S a b c d

              1

              1

              1

              1

              se h : S ´e a aplica¸c˜ao (t , t ) t , t t ), onde a, b, c, d

              1

              

            2

              × S → S × S 7→ (t

              1

              2

              1 2 ∈ Z e

                a b  det

               = ±1, c d ent˜ao o n´o K do tipo (m, n) se torna um n´o do tipo (am + bn, cm + dn). Facilmente vˆe-se

              1

              1

              que, com a ajuda de tais automorfismos de S , o n´o K pode ser convertido para n´o × S t´orico de todos os outros tipos (r, s) com mdc(r, s) = 1. Assim, temos que os n´ umeros que descrevem o tipo de n´o realmente dependem da trivializa¸c˜ao de F , ou seja, na escolha do

              1

              1 c´ırculo latitude S sobre F .

              × {1} e longitude {1} × S Quando F ´e uma superf´ıcie abstrata, para a qual apenas se sabe que ´e homeomorfa a um toro, ent˜ao n˜ao h´a uma trivializa¸c˜ao ´obvia de F . No entanto, as superf´ıcies t´oricas que consideramos s˜ao sempre fronteiras de toros s´olidos na 3-esfera S ou Σ, al´em disso

              ±

              elas tamb´em s˜ao mergulhadas em uma forma particular nos toros s´olidos T ou T como

              ± iremos descrever a seguir brevemente.

              3 M´ etodo de Trivialisa¸ c˜ ao: Seja S = T a decomposi¸c˜ao da esfera em dois toros −

              ∪ T

            • s´olidos

              1

              2 T = S

            • 2

              × D

              1 T = D −

              × S anteriormente considerada. Chamamos um n´o diferenci´avel K de regularmente mer-

              ◦

              1

              2

              1

            gulhado quando K D e a proje¸c˜ao K ´e uma cobertura diferenci´avel

              ⊂ S × → S preservando orienta¸c˜ao. Ent˜ao, escolhemos uma vizinhan¸ca tubular T de K tal que para

              1

              2

              cada t a interse¸c˜ao T ) consiste de discos D i (t) disjuntos em torno dos ∈ S ∩ ({t} × D

              2

              pontos p i (t) de K ). Escolhemos a fronteira de um disco como c´ırculo longi- ∩ ({t} × D

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica

              85

              2

              q i (t) i (t) s˜ao tais que q i (t) i (t) possui dire¸c˜ao constante em D , em particular ∈ D − p podemos tomar a curva formada pelos pontos p i (t).

              Exemplo 4.3.13

              Na figura 4.29 apresentamos uma trivializa¸c˜ao para a superf´ıcie t´orica obtida como vizinhan¸ca tubular do trif´olio.

              Figura 4.29: Se o n´o K ´e um n´o t´orico ordin´ario, no sentido acima definido, ent˜ao o n´o t´orico K

              1 em uma vizinhan¸ca tubular de K ´e em certo sentido um n´o t´orico de “ordem superior”.

              Podemos usar essa ideia para a constru¸c˜ao de n´os t´oricos de ordem maiores da seguinte forma.

              1

              1

              2

              3 Defini¸ c˜ ao 4.3.14 O n´o trivial S ´e um n´o t´orico de ordem zero.

              × {0} ⊂ S × D ⊂ S

              

            Um n´o t´orico do tipo (m , n ) na fronteira de uma vizinhan¸ca tubular do n´o trivial (com

              1

              1

              e um n´ o t´ orico de ordem 1 e tipo

              trivializa¸c˜ao pelo m´etodo acima) ´ (m 1 , n 1 ).

              1

              2

            3 Seja K um n´o t´orico regularmente mergulhado de ordem i e tipo

              1

              ⊂ S × D ⊂ S (m

              1 , n 1 ), . . . , (m i , n i ). Se K i +1 ´e um n´o t´orico de tipo (m i +1 , n i +1 ) sobre uma vizinhan¸ca

            tubular de K i (com trivializa¸c˜ao pelo m´etodo acima), ent˜ao K i ´e chamado n´o t´orico de

            • 1

              86

              4 Equivalˆencia Topol´ogica os t´ oricos iterados N´os t´oricos de ordem superior s˜ao tamb´em chamados de n´ . Exemplo 4.3.15 Na figura abaixo ilustramos uma vizinhan¸ca tubular de um n´o t´orico

              

            iterado de ordem 2 que por sua vez est´a sobre uma vizinhan¸ca tubular de um n´o t´orico de

            ordem 1.

              Figura 4.30: Agora temos todos os conceitos que permitem formular nossos resultados sobre a topologia de singularidades de curvas planas.

              Proposi¸ c˜ ao 4.3.16 O n´o correspondente a expans˜ao de Puiseux m1 m1·m2 m1···mg n1 n2 ng y = x +

            • x

              · · · + x

              

            com pares de Puiseux (m , n ), . . . , (m g , n g ) ´e um n´o t´orico iterado de ordem g e tipo

              1

              1

              (m

              1 , n 1 ), . . . , (m g , n g ).

              Demonstra¸ c˜ ao: Isto segue-se imediatamente a partir da descri¸c˜ao anterior da tran¸ca

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica 87 diretamente, considerando os n´os que resultam no truncamento da expans˜ao Puiseux no i − ´esimo termo. 2 3 4 7 Exemplo 4.3.17 Vamos considerar a expans˜ao de Puiseux f ´e y = x + x do Exemplo 3 2

            4.1.4. Considerando y = x como primeira aproxima¸c˜ao, obtemos a tran¸ca

              Figura 4.31: que d´a origem a um n´o t´orico de ordem 1 e tipo (2,3), ou seja, o trif´olio.

            4

            7

            Considerando o termo de perturba¸c˜ao x obtemos a tran¸ca que d´a origem a um n´o t´orico de ordem 2 e tipo (2,3),(2,7).

              Figura 4.32:

              A figura 4.33 apresenta 4 cordas agrupadas aos pares em torno das cordas consideradas anteriormente, a figura abaixo apresenta uma sobreposi¸c˜ao de ambas.

              88

              4 Equivalˆencia Topol´ogica Figura 4.33: 7 6 +

              Exemplo 4.3.18 Vamos analisar o n´o t´orico iterado associado `a expans˜ao y = x 24 37 20 9 x + x a partir da tran¸ca correspondente. A tran¸ca ´e obtida quando x executa uma

              2πit

            volta em torno do pequeno c´ırculo x(t) = δe centrado na origem. Para a primeira

            6 7

            aproxima¸c˜ao, consideramos apenas o termo x . Sobre o ponto inicial x = δ do nosso

            caminho, temos assim os pontos 7 7 6 2πi k 6

              y k = δ e k = 1, . . . , 6 6 7

              

            em um c´ırculo com centro 0 e raio δ . Esta tran¸ca corresponde a um n´o de ordem 1 de

            tipo (6, 7) e pode ser interpretado na figura 4.33 da seguinte maneira: ao fecharmos a

            tran¸ca os 6 pontos, que correspondem aos 6 fios v˜ao ser ligados e assim descrever 6 voltas

              7

            em uma dire¸c˜ao. Como cada um dos 6 fios descrevem de volta na outra dire¸c˜ao, temos

              6 um total de 7 voltas no outro sentido. Assim, obtemos o par (6, 7).

              37 24 O segundo termo x melhora a aproxima¸c˜ao. Agora temos conjuntos de 4 pontos agru- 24 37

            pados em c´ırculos de raio δ em torno dos pontos y , . . . , y encontrados anteriormente.

              1

              6 A tran¸ca agora d´a origem a um n´o de ordem 2 e tipo (4, 37) que pode ser interpretado

            na figura 4.34 da seguinte maneira: ao fecharmos a tran¸ca teremos 6 grupos de 4 pontos.

            24 37

              4.3 Equivalˆencia Topol´ogica

              89

              

            torno dos fios da tran¸ca que origina o n´o. Esta vizinhan¸ca se torna uma superf´ıcie t´orica

            ao fecharmos a tran¸ca. Sobre esta superf´ıcie temos 4 pontos que correspondem a fios que

            ao fechar a tran¸ca descrevem 4 voltas em uma dire¸c˜ao e far˜ao 24 liga¸c˜oes e cada um dos

              37

            24 “peda¸cos”dos 4 fios descrevem de voltas na outra dire¸c˜ao, temos um total 37 voltas

              24 no outro sentido. Assim, obtemos o par (4, 37).

              20 9 Sobre os ´ ultimos e menores c´ırculos de raio δ temos 3 pontos cujos caminhos que-

            remos investigar, porque quando x descreve seu c´ırculo uma vez, esses caminhos nos d˜ao

            a tran¸ca desejada. Novamente, estes 3 pontos podem ser vistos como fios de um n´o so-

            bre uma vizinhan¸ca tubular do n´o anterior. Ao fechar a tran¸ca teremos 72 “peda¸cos”que

              20

            totalizam 160 voltas, sendo de volta para cada “peda¸co”, obtendo assim o par (3, 160).

              9

              90

              4 Equivalˆencia Topol´ogica Assim, vemos que os pares de Puiseux desempenham um papel decisivo, pois eles caracterizam a situa¸c˜ao completamente. Usando m´etodos de teoria dos n´os, o que n˜ao faremos aqui, os n´os t´oricos iterados podem ser completamente classificados: Proposi¸ c˜ ao 4.3.19

              Dois n´os t´oricos iterados correspondentes `as expans˜oes de Puiseux

            s˜ao equivalentes apenas no caso de que eles tˆem o mesmo tipo, ou seja, quando os pares

            de Puiseux das expans˜oes s˜ao iguais.

              Demonstra¸ c˜ ao: Sugerimos a leitura de .

              Agora vamos resumir o essencial dos resultados anteriores: Teorema 4.3.20 Seja (X, x) um germe de uma curva irredut´ıvel plana, parametrizada

              

            por uma expans˜ao de Puiseux com os pares de Puiseux (m , n ), . . . , (m g , n g ). Ent˜ao, a

              1

              1

            interse¸c˜ao K de X com a fronteira S (ou Σ) de uma pequena bola (ou polidisco) em

            torno de x ´e um n´o t´orico iterado do tipo (m , n ), . . . , (m g , n g ). Nas condi¸c˜oes acima,

              1

              1

            dois germes s˜ao topologicamente equivalentes somente no caso em que eles possuem os

            mesmos pares de Puiseux.

              Demonstra¸ c˜ ao: Sejam (X(f ), 0) e (X(h), 0) duas curvas planas irredut´ıveis com os mes- mos pares de Puiseux. Pelo Teorema a tran¸ca de (X(f ), 0) ´e equivalente a tran¸ca n1 ng da expans˜ao padr˜ao y = x , onde (m m1 m1···mg +

              1 , n 1 ), . . . , (m g , n g ) s˜ao os pares

              · · · + x de Puiseux de (X(f ), 0). Como o n´o associado a (X(f ), 0) pode ser obtido pela tran¸ca, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao o n´o associado a (X(f ), 0) ´e un n´o t´orico iterado de ordem g e tipo (m

              1 , n 1 ), . . . , (m g , n g ). Analogamente conclui-se que o n´o associado a (X(h), 0) ´e um n´o t´orico iterado de ordem g e tipo (m , n ), . . . , (m g , n g ).

              1

              1 Logo, (X(f ), 0) e (X(h), 0) possuem n´os equivalentes e consequentemente o mesmo

              cone. Assim, pelo Corol´ario do Teorema de Redu¸c˜ao ao Cone, (X(f ), 0) e (X(h), 0) s˜ao topologicamente equivalentes.

              Com isso, os germes de curvas irredut´ıveis s˜ao completamente classificados do ponto de vista topol´ogico.

              

            Referˆ encias Bibliogr´ aficas

            [A] Artin, E., Theorie der Z¨opfe. Hamburger Math. Abhandlungen 4, 47-72, 1925.

              [BK] Brieskorn, E. and Knorrer, H., Plane algebraic curves. Birkhauser, 1986. [G] Grauert, H. Remmert, R., Analytische Stellenalgebren. Die Grundlehren der math.

              Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Bd. 176, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York 1971.

              [GR] Gunning, R. Rossi, H., Analytic functions of several complex variables. Prentice Hall, 1965.

              [H] Hefez, A., Irreducible Plane Curves Singularities, in Real and Complex Singularities,

              D. Mond and M. J. Saia, Editors. Lecture Note in Pure and Appl. Math. V.233, Marcel Dekker, 1-120, 2003.

              [HP] Hefez, A., Percy, B. F., Topologia das Singularidades de Curvas Anal´ıticas Planas.

              Novembro 1998, UFF. [M] Milnor, J., Singular points of complex hypersurfaces. Ann. of Math. Studies 61, Prin- ceton University Press, Princeton, N.Y., 1968.

              [P] Pham, F., Singularit´es des courbes planes: Une introduction `a la g´eom´etrie analytique

              complexe. Cours de 3e cycle, Facult´e des sciences de Paris, ann´ee universitaire 1969- 1970.

              [S] Shafarevich, I. R., Basic algebraic geometry. Die Grundlehren der math. Wissenschaf- ten in Einzeldarstellungen, Bd. 213, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York

              92 REFERˆ ENCIAS BIBLIOGR ´ AFICAS [W] Wall, C. T. C., Singular Points of Plane Curves. London Mathematical Society Stu- dents Texts 63, Cambridge University Press, Cambridge 2004.

              [Z] Zariski, O., On the topology of algebraic singularities. Amer. J. Math 54, 453-465, 1932.

              ´ Indice Remissivo

              anel pares de Puiseux, das s´eries de potˆencias convergentes, Noetheriano, polinˆomios conjunto anal´ıtico, conjunto de pontos singulares, decomposi¸c˜ao, dimens˜ao, s´erie de potˆencias regular, teorema ponto regular, base de R¨ uckert, de Divis˜ao, de Prepara¸c˜ao de Weierstrass, dos zeros de R¨ uckert, Especial da Divis˜ao, m´etodo de Newton, germe redu¸c˜ao ao cone, tran¸ca, transversalidade, hipersuperf´ıcie, t´orico,

Novo documento

Tags

Documento similar

A CENTRO DE CIˆ ENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA CURSO DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA MESTRADO EM MATEM ´ ATICA
0
0
74
A CENTRO DE CIˆ ENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA CURSO DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA MESTRADO EM MATEM ´ ATICA
0
0
42
A CENTRO DE CIˆ ENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUA ¸ C ˜ AO EM MATEM ´ ATICA ESKO ANTERO HEINONEN
0
1
166
AO CARLOS CENTRO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
2
96
AO CARLOS CENTRO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
91
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
122
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
60
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
57
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS GRADUA ¸ C ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
1
122
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
1
223
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUA ¸ C ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
101
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
85
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
72
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
20
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
83
Show more