Controle de Distorção em Aplicações Multimodais

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

Controle de distorc ¸˜ ao em aplicac ¸˜ oes multimodais

  Maur´ıcio Sobral Brand˜ ao

  Salvador-Bahia Janeiro 2003 Controle de distorc ¸˜ ao em aplicac ¸˜ oes multimodais Maur´ıcio Sobral Brand˜ ao

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao colegiado do curso de P´ os- Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) Prof. Dr. Jos´ e Ferreira Alves Prof. Dr. Isaac Costa L´ azaro Brand˜ ao, M. S.

”Controle de Distorc ¸˜ ao em Aplicac ¸˜ oes Multi-

modais”. /Maur´ıcio Sobral Brand˜ao. Salvador-Ba, 2003.

  

Orientador: Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (UFBA). Disserta¸c˜ao

de Mestrado apresentada ao curso de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFBA, 25 p´aginas. Palavras-Chave: Aplica¸c˜oes multimodais, Distor¸c˜ao, Componentes Erg´odicas. Agradecimentos

  Quero primeiramente agradecer a Deus. Sei que pouco eu tenho retribu´ıdo diante do muito que me foi dado. Agrade¸co a meus pais pela dedica¸c˜ao, por todo carinho e confian¸ca. A minha esposa e minhas duas filhas, por vocˆes existirem e me acompanharem nesta jornada n˜ao economizando carinho, compreens˜ao, paciˆencia. Aos meus professores, que direta ou indiretamente me auxiliaram nesta conquista e em particular ao meu orientador, Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro, pela sua paciˆencia, dedica¸c˜ao e cuidado tornando poss´ıvel a realiza¸c˜ao deste trabalho.

  Finalmente, agrade¸co a todos meus colegas que me ajudaram neste curso seja nos momentos de estudo, de debates saud´aveis, aux´ılio em inform´atica ou at´e mesmo nas horas de descontra¸c˜ao. Um forte abra¸co para todos. Resumo

  Consideramos neste trabalho uma aplica¸c˜ao multimodal f com pontos cr´ıticos n˜ao- flat podendo estes serem pontos de inflex˜ao. Mostramos uma vers˜ao melhorada do lema de Koebe e um resultado sobre Schwarziana negativa. Com estes resultados mostramos que a primeira aplica¸c˜ao de entrada a uma vizinhan¸ca do conjunto cr´ıtico ´e uma com- posi¸c˜ao de fun¸c˜oes da forma L ◦ f , sendo L um difeomorfismo com distor¸c˜ao limitada. Finalmente, mostramos uma proposi¸c˜ao que permite concluir que a quantidade de com- ponentes erg´odicas est´a associada ao n´ umero de classes de equivalˆencias formadas pelos pontos cr´ıticos, sendo, em particular, menor ou igual ao n´ umero de classes. Abstract

  In this dissertation we work with a multimodals maps f which have non-flat critical points. These points could be inflection points. We prove a improved version of Koebe´s lemma and a negative Schwarziana derivate result. With these results we demonstrate that the first entry map to neighbourhood of the set of critical points is a composition of maps of the type L ◦ f , where L is a diffeomorphism with bounded distortion. Finally, we show a proposition that allow us conclude that the quantity of ergodic components are associated to the number of equivalence classes of critical points, in particular, the number ergodic components is not bigger than the number of equivalence classes. Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares

  2

  2 Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸ c˜ ao

  8

  3 Ergodicidade

  22 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  25 Lista de Figuras

  2.1 Intervalos L, J

  ′

  e R quando f n | T ´e um difeomorfismo . . . . . . . . . . . .

  13

  2.2 f n (f n i+1 +1 (J)) ⊂ (f n i +1 (J)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 2.3 φ n +1 ´e a primeira aplica¸c˜ao de retorno a I n restrita a I n +1 . . . . . . . . .

  17 Introdu¸ c˜ ao

  Uma fun¸c˜ao que possui distor¸c˜ao limitada goza de propriedades erg´odicas importantes no estudo da dinˆamica de um sistema. Desta forma, ´e importante sabermos quais classes de fun¸c˜ao apresentam controle de distor¸c˜ao.

  V´arias publica¸c˜oes nos trazem resultados em aplica¸c˜oes unimodais a exemplo de M. Martens [Ma] que mostrou no seu trabalho que aplica¸c˜oes unimodais com derivada Schawrziana negativa tem de distor¸c˜ao limitada. Em 2000, O. Koslovski [K] em seu artigo

  3

  mostra que fun¸c˜oes unimodais C com ponto cr´ıtico n˜ao flat possui derivada Schawrziana negativa na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico. Sendo assim, todos os resultados obtidos supondo Schawrziana negativa s˜ao v´alidos exigindo-se menos das fun¸c˜oes.

  Nosso trabalho ´e baseado no artigo de S. van Strien e E. Vargas [vS-V] onde os au- tores obt´em resultados similares aos obtidos nos dois trabalhos anteriormente citados, considerando agora aplica¸c˜oes multimodais. Come¸camos por um cap´ıtulo de no¸c˜oes pre- liminares, abordando os conhecimentos b´asicos usados nos cap´ıtulos seguintes.

  No segundo cap´ıtulo, assumimos que as fun¸c˜oes em quest˜ao possuem ”Real Bounds”para pontos recorrentes do dom´ınio e mostramos que altos iterados destas fun¸c˜oes possuem Schawrziana negativa . Em seguida mostramos que a primeira aplica¸c˜ao de entrada a uma vizinhan¸ca do conjunto cr´ıtico de tais fun¸c˜oes ´e uma composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes sendo que uma delas possui distor¸c˜ao limitada. Finalmente, concluindo nosso trabalho, obtemos um resultado quanto a ergodicidade com respeito a medida de Lebesgue.

  Todas as demonstra¸c˜oes s˜ao essencialmente as mesmas feitas no artigo acrescidas de detalhes menos ´obvios para quem se inicia em Dinˆamica Unidimensional. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Faremos neste cap´ıtulo as defini¸c˜oes e enunciaremos propriedades utilizadas no de- senvolvimento deste trabalho. Consideremos, caso n˜ao seja feita qualquer ressalva, uma fun¸c˜ao f : M → M de classe

3 C sendo M = [−1; 1] com uma quantidade finita de pontos cr´ıticos, com f (∂M ) ⊂ ∂M .

  Esta aplica¸c˜ao ´e denominada de multimodal pois M admite uma parti¸c˜ao com uma quantidade finita de sub-intervalos onde a f ´e estritamente mon´otona.

  Um intervalo aberto I ⊂ M ´e chamado de intervalo nice se a ´orbita futura de sua T

µ ¶

[

i

fronteira n˜ao intersecta I isto ´e , I f (∂I) = ∅. i

  =0 k Seja o intervalo I ⊂ M e o conjunto J = {x ∈ I|∃k ∈ Z, k ≥ 1 tal que f (x) ∈ I}. k

  Definimos a primeira aplica¸c˜ao de retorno φ : J → I por φ(x) = f (x), ∀x ∈ J, onde n k = min{n, n > 0|f (x) ∈ I}. Cada componente conexa do dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno ´e denominado dom´ınio de retorno.

  Consideremos ent˜ao I um intervalo nice e seja φ a primeira aplica¸c˜ao de retorno a I. Um fato importante ´e que φ aplica a fronteira de qualquer dom´ınio de retorno na fronteira de I e isto ´e garantido pela continuidade de f . Por conseq¨ uˆencia desta propriedade, segue que qualquer dom´ınio de retorno ´e nice tamb´em. n

  Seja um intervalo I ⊂ M aberto e um ponto x ∈ M tal que f (x) ∈ I. Podemos definir uma seq¨ uˆencia finita de intervalos fazendo I n = I e I i −1 ´e a componente conexa de i

  −1 −1

  f (I ) contendo f (x). Considerando esta seq¨ uˆencia , dizemos que I , i < n ´e o pullback i i n n i de I por {f (x), ..., f (x)}. Usamos a nota¸c˜ao {I i } para representar a seq¨ uˆencia de i

  =0 Preliminares

  3

  intervalos e esta recebe o nome de cadeia. Se I ´e um intervalo nice ent˜ao qualquer elemento n de {I i } ´e nice tamb´em e dois elementos quaisquer desta seq¨ uˆencia s˜ao disjuntos ou i =0 encaixantes, isto ´e, um deles est´a contido no outro. n Considerando I nice, x ∈ I e n o menor inteiro positivo tal que f (x) ∈ I, o pullback n de I por {x, ..., f (x)} ´e o dom´ınio de retorno da primeira aplica¸c˜ao de retorno contendo n −1 x. Neste caso, dois elementos da cadeia {I i } s˜ao sempre disjuntos. n i =0

  } Dada uma cadeia {G i , definimos tamb´em a multiplicidade de interse¸c˜ao o n´ umero i

  =0 m´aximo de intervalos da mesma cuja interse¸c˜ao ´e diferente do vazio.

  Uma ferramenta importante em nosso estudo ´e investigar como a aplica¸c˜ao em quest˜ao age sobre intervalos encaixantes com determinado espa¸co entre eles. A defini¸c˜ao a seguir diz se um intervalo est´a contido em outro com espa¸co e nos d´a uma id´eia do tamanho deste espa¸co.

  Sejam U , V intervalos limitados tais que o fecho de U est´a contido no interior de V.

  • − − +

  Diremos que V ´e uma α-vizinhan¸ca de U se |U | ≥ α|U | e |U | ≥ α|U |, onde U e U s˜ao as componentes conexas de V \U . Muitas vezes diremos que U ´e α-contido em V. Quando for bem claro qual a constante diremos simplesmente que U ´e bem posto em V . Denotamos o comprimento do intervalo U por |U | .

1 Seja f uma aplica¸c˜ao C . Se T ⊂ M ´e um intervalo tal que Df (x) 6= 0 ∀x ∈ T ,

  definimos a distor¸c˜ao de f em T como: |Df (x)|

  Dist(f, T ) = sup log x,y ∈T |Df (y)|

  ′

  Seja c um ponto cr´ıtico de uma aplica¸c˜ao f : M −→ M , (f (c) = 0), dizemos que c ´e

  3

  um ponto n˜ao-flat se existe um difeomorfismo ψ de classe C , β ≥ 2 e uma vizinhan¸ca V c β de c tais que f (x) = ±|ψ(x)| + f (c), ∀x ∈ V c .

  Em nosso trabalho, todos os pontos cr´ıticos de f s˜ao n˜ao-flat e uma propriedade importante quando temos pontos cr´ıticos n˜ao-flat ´e enunciado a seguir.

  Lema 1.1.

  Seja J tal que d(J, Cr) > 0. Se todos os pontos cr´ıticos de f s˜ao n˜ao-flat ent˜ao ∃K > 0 tal que µ ¶

  |Df (x)| |J| ≥ exp − K

  , ∀x, y ∈ J |Df (y)| d(J, Cr)

  

Onde d(J, Cr) ´e a distˆancia entre J e o conjunto dos pontos cr´ıticos. Considerando que

f possui d pontos cr´ıticos, Cr = {c , · · · , c d }.

  1 Preliminares

  4

  Prova . Seja c o ponto cr´ıtico de f mais pr´oximo de J. Como c ´e n˜ao-flat podemos α considerar que f (x) − f (c) = S(x − c) na vizinhan¸ca de c. Tomemos x, y ∈ J tais que x − c < y − c. α −1

  |Df (x)| = |S|α|x − c| µ ¶ Logo, log |Df (y)| − log |Df (x)| = (α − 1) log |y − c| − log |x − c|

  Seja a um ponto do fecho de J tal que |D(log |a − c|)| ´e o maior valor em m´odulo que a derivada do Log assume assume no intervalo [x − c, y − c].

  Sendo assim log |Df (y)| − log |Df (x)| = (α − 1)(log |y − c| − log |x − c|) |y − x|

  ≤ (α − 1)D(log |a − c|)|y − x| = (α − 1) |a − c|

  Como |a − c| ≥ d(J, Cr) e |y − x| ≤ |J| temos que |J|

  ′

  log |Df (y)| − log |Df (x)| ≤ K d(J, Cr) Aplicando a exponencial e tomando K dado pela maior criticalidade entre os pontos cr´ıticos de f temos µ ¶

  |Df (x)| |J| ≥ exp − K

  |Df (y)| dist(J, Cr) Para o caso em que x − c > y − c o lema segue de forma imediata pois |Df (x)| > |Df (y)|

  ¤ A seguir vamos enunciar uma vers˜ao do lema de Koebe. A demonstra¸c˜ao deste lema pode ser encontrado em [dM-vS]. l l

  Lema 1.2. } } (Lema de Koebe)Sejam {G i e {H i cadeias tais que G l ´e uma σ- i i

  =0 =0 l

vizinhan¸ca de H , para algum σ > 0. Se a multiplicidade de interse¸c˜ao de {G } ´e

l i i =0

  2

limitada por k e f ´e uma aplica¸c˜ao C com todos pontos cr´ıticos n˜ao-flat ent˜ao valem as

seguintes afirma¸c˜oes:

1. G ´e uma α-vizinhan¸ca de H , α > 0 dependente somente de σ, k e f .

  2.Se G i , ..., G i s˜ao intervalos que cont´em pontos cr´ıticos ent˜ao a aplica¸c˜ao i j+1 −i j −1 1 ν

  | −→ Gi f G : G i j , para qualquer j = 1, ..., ν − 1 satisfaz ij +1 j +1 +1 i j+1 −i j −1 |Df (x)| i j+1 −i j −1 < K

  |Df (y)| para qualquer x, y ∈ H i . A constante K < ∞ depende somente de σ, k e f . j +1 Preliminares

  5

  Sejam J, T intervalos abertos tais que J ⊂ T . Definimos os cross-ratios A(T, J) e B(T, J) por

  |T ||J| |T ||J| A(T, J) = e B(T, J) = ,

  |L S J||R S J| |L||R| onde L, R s˜ao as componentes conexas de T \J.

  Sejam J, T intervalos abertos tais que J ⊂ T e f uma fun¸c˜ao mon´otona em T. Defin- imos os cross-ratios A(f, T, J) e B(f, T, J) por A(f (T ), f (J)) B(f (T ), f (J))

  A(f, T, J) = e B(T, J) = A(T, J) B(T, J) Proposi¸ c˜ ao 1.1. n k k .S˜ao v´alidas as seguintes propriedades envolvendo os cross-ratios: Y n −1

  1. A(f , T, J) = A(f, f (T ), f (J)) k =0

  2. Fazendo o intervalo J convergir para um ponto qualquer x ∈ J temos que |Df (x)| =

  |T | |f (L)| |f (R)| J →x lim A(f, T, J)· · , Onde L e R s˜ao as componentes conexas de T \{x} |f (T )| |L| |R|

  3. Fazendo J → T temos que

  2

  |f (T )|

  1

  1 lim B(f, T, J) = · · , onde (a, b) = T J

  2 →T

  |T | |Df (a)| |Df (b)| Prova. Vamos provar a propriedade 1 por indu¸c˜ao. Observe que a mesma ´e v´alida para n = 2. Assumindo verdadeira para n − 1 isto ´e, n n −1 Y −2 k k

  A(f , T, J) = A(f, f (T ), f (J)) temos que k

  =0 n n n n n −1 n −1 n A(f (T ), f (J)) A(f (T ), f (J)) A(f (T ), f (J))

  A(f , T, J) = = · n −1 n −1 A(T, J) A(f (T ), f (J)) A(T, J) n n n

  −1 −1 −1

  = A(f, f (T ), f (J)) · A(f , T, J) n n n −1 n −1 Y Y −2 −1 k k k k = A(f, f (T ), f (J)) A(f, f (T ), f (J)) = A(f, f (T ), f (J)) k =0 k =0

  |f (J)| Para provar a propriedade 2 usaremos a seguinte igualdade |Df (x)| = lim J

  →x

  |J| A(f (T ), f (J)) |f (T )||f (J)| |L S J||R S J|

  · Segue que A(f, T, J) = =

  |f (L) S f (J)||f (R) S f (J)| |T ||J| A(T, J)

  |f (T )| |L| |R| · |Df (x)| e desta

  Fazendo J convergir para x temos lim A(f, T, J) = J →x |T | |f (L)| |f (R)| igualdade segue o resultado.

  • Sg(x)
  • f
  • 3f

  ′

  (x))

  2

  − 3f

  ′′

  (g(x))g

  ′′

  (x) f

  (g(x)) −

  (g

  3

  2 µ g

  ′′

  (x) g

  ′

  (x)

  2 Logo S(f og)(x) =

  ′

  2

  ′′′

  (x) f og

  ′′′

  (x) g

  ′

  (x) −

  3

  2 µ (f og)

  ′′

  ′

  (g(x))

  (x)

  2

  =

  3

  2 µ f

  ′′

  (g(x)) f

  ′

  (f og)

  (x) (f og)

  ′

  3

  ′

  (x))

  2

  ′′′

  (x) g

  ′

  (x) −

  2 µ g

  2 ¶

  ′′

  (x) g

  ′

  (x)

  2

  = Sf (g(x)).(g

  ′

  (x))

  (g

  (g(x))

  ′

  2

  (x) −

  3

  2 µ (f og)

  ′′

  (x) (f og)

  ′

  (x)

  = µ f

  

  ′′′

  (g(x)) f

  ′

  (g(x)) −

  3

  2 µ f

  

′′

  (g(x)) f

  (g(x))

  (x) f

  2

  2

  1. S(f og)(x) = Sf (g(x)).(g ′

  (x))

  2

  2. Sf n

  (x) = P n −1 i

  =0

  Sf (f i (x))(Df i (x))

  3. Seja f : M −→ M uma aplica¸c˜ao C

  (x)

  3 com todos pontos cr´ıticos n˜ao-flat, existe C > 0 tal que Sf (x) < C para todo x ∈ M .

  Prova . Aplicando a regra da cadeia temos que (f og)

  ′

  (x) = f

  ′

  (g(x))g

  ′

  2 Proposi¸ c˜ ao 1.2. S˜ao v´alidas as seguintes propriedades

  ′

  ′′

  3

  Preliminares

  6

  A demonstra¸c˜ao da propriedade 3 ´e an´aloga ao anterior. Observemos que |Df (a)| = lim J →T

  |f (L)| |L| e |Df (b)| = lim J →T

  |f (R)| |R|

  Dado x ∈ M o conjunto ω-limite de x ´e o conjunto definido por ω(x) = {y ∈ M ; ∃n i → ∞ com f n i (x) → y} ´

  E verdadeiro afirmar se f ´e continua e y ∈ ω(x) ent˜ao ω(y) ⊂ ω(x) em conseq¨ uˆencia desta afirma¸c˜ao se a ∈ ω(b) e b ∈ ω(c) ent˜ao a ∈ ω(c). Definiremos a seguir a derivada schwarziana. Dada uma aplica¸c˜ao num intervalo muitos resultados s˜ao obtidos quando este operador s´o assume valores negativos . Seja f : M −→ M uma aplica¸c˜ao C

  e Df (x) 6= 0 a derivada schwarziana de f em x ´e definida por

  (x) f

  Sf (x) = f

  ′′′

  (x) f

  ′

  (x) −

  3

  2 µ f

  ′′

  (x) (f og)

  ′′

  (x) = f

  (x) = f

  ′

  (g(x))g

  ′′′

  (x) usando essas igualdades (f og)

  ′′′

  (x) (f og)

  ′

  ′′′

  ′′

  (g(x))g

  ′

  (x) f

  ′

  (g(x))

  

′′

  (g(x))g

  (x) + f

  (x)g

  ′′

  (x) (f og)

  (g(x))(g

  ′

  (x))

  2

  

  (g(x))g

  ′′

  ′′′

  ′

  (x) = f

  ′′′

  (g(x))(g

  ′

  (x))

  3

  ′′

  (g(x))g

  • 3f
  • g
  • g

  • Sg(x)
Preliminares

  7

  Uma conseq¨ uˆencia imediata desta propriedade ´e que a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes com derivadas schwarzianas negativas tamb´em tem derivada schwarziana negativa. A pro- priedade 2 segue da propriedade 1.

  Vamos provar a propriedade 3. Tomemos para cada ponto cr´ıtico c i de f uma vizin- han¸ca U de forma que i α [ d f (x) = S(x − c i ) + f (c i ), ∀x ∈ U i pois c i ´e n˜ao flat ∀i ≤ d Seja U = U i . Temos que Sf ´e cont´ınua em M \U e por este ser um compacto, Sf i =1 assume valor m´aximo para algum ponto. Logo, ∃K > 0 tal que Sf (x) < K, ∀x ∈ M \U .

  Seja x ∈ U \Cr, onde Cr = {c , ..., c d }.

1 Temos que

  α

  ′ i −1

  f (x) = Sα i (x − c i )

  ′′ α −2 i

  f (x) = Sα i (α i − 1)(x − c i )

  ′′′ α i −3

  − 1)(α − 2)(x − c f (x) = Sα i (α i i i )

  2

  −α + 1 i e Sf (x) =

  

2

  2(x − c i )

  2

  como α i ≥ 2, −α + 1 < 0 logo Sf (x) < 0 i ¤

  Precisamos tamb´em do conceito de renormaliza¸c˜ao. Dizemos que f ´e renormaliz´avel se existe um intervalo I ( M tal que o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de retorno a I ´e o pr´oprio I. Neste caso, dizemos que I ´e um intervalo de renormaliza¸c˜ao de f . A aplica¸c˜ao f ser´a chamada de infinitamente renormaliz´avel e denotaremos por ∞ -renormaliz´avel, se existir uma cole¸c˜ao infinita de intervalos de renormaliza¸c˜ao distintos.

  Encerrando este cap´ıtulo, vamos falar sobre a existˆencia de intervalos errantes.

  2 Teorema 1.1. Seja f : M → M uma aplica¸c˜ao C com todos os ponto cr´ıticos n˜ao-flat.

  Ent˜ao f n˜ao tem intervalos errantes.

  Este teorema est´a demonstrado em [dM-vS]. O mesmo garante que as aplica¸c˜oes que fazem parte de nosso estudo n˜ao possuem intervalos errantes e isto implica o princ´ıpio da contra¸c˜ao isto ´e, para cada η > 0 existe η ∈ (0, η ) tal que se U ´e um intervalo que n˜ao

  1

  2

  1 i

  se acumula sobre uma ´orbita peri´odica atratora e |U | > η ent˜ao |f (U )| > η para todo

  1

  2 i ≥ 0. Cap´ıtulo 2 Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸ c˜ ao

  Neste Cap´ıtulo estudaremos o comportamento da derivada schwarziana de f . Veremos que mesmo que Sf (x) n˜ao seja negativa para todo x, esta condi¸c˜ao se verifica para altos iterados de f . Kozlovski mostrou este fato para aplica¸c˜oes unimodais, vide [K]. Com o resultado a respeito de derivada schwarziana da f mostraremos uma proposi¸c˜ao que garante distor¸c˜ao limitada da primeira aplica¸c˜ao de entrada em uma vizinhan¸ca dos pontos cr´ıticos.

  Come¸caremos mostrando uma vers˜ao para o princ´ıpio de Koebe com vantagens em n n rela¸c˜ao ao atual, n˜ao exigindo que T , . . . , f (T ) sejam disjuntos dois a dois ou que f | T seja um difeomorfismo. n

2 Proposi¸ c˜ ao 2.1. Sejam f uma fun¸c˜ao C , n um inteiro e J um intervalo tal que f | J

  X n −1 i n

  |f

  

´e um difeomorfismo e (J)| < S, S > 0. Seja T uma δ-vizinhan¸ca de f (J) para

i =0 n

algum δ > 0 e T , . . . , T n := T o pullback de T por J, . . . , f (J). Ent˜ao existe uma

constante K > 0 e uma fun¸c˜ao O(ǫ) com O(ǫ) → 0 quando ǫ ↓ 0 sendo v´alidas as

seguintes afirma¸c˜oes:

  1. Seja N ⊂ {0, . . . , n − 1} o conjunto dos inteiros i para os quais T i cont´em um ponto cr´ıtico e seja ǫ = max{|T i |}. Ent˜ao, para cada x, y ∈ J µ ¶ n −1 n X 2 µ ¶ X m

  |Df (x)| ¶µ δ + 1 |f (J)| i n ≤ exp

  3O(ǫ) |f (J)| exp

  2K m |Df

  (y)| δ d(f (J), Cr) i =0 m ∈N

  • i
  • . Seja J i = f i
  • ) e J
  • i
  • i
  • )|
  • |
  • )|
  • |
  • )| Sendo assim
  • |
  • )|
  • )| +
  • )| + |f n
  • )|

  • |f n
  • | + |J
  • | + |J
  • | o que mostra a afirma¸c˜ao.
  • )|
  • |
  • n i +1

  ′ S R.

  = L S J

  ′

  = f n i +1 (x) e T

  ′

  , J

  − n i +1

  , L = T

  Fixemos i ∈ {1, ..., s} e tomemos R = J

  1 < n := n inteiros tais que T − n i cont´em um ponto cr´ıtico.

  Sejam n s < · · · < n

  | ≤

  |f n (J)| |J| .

  −

  )| |J

  −

  |J| e |f n (J

  ≥ |f n (J)|

  |J

  Podemos supor para a prova da proposi¸c˜ao que |f n (J

  |J

  |f n (J

  | =

  −

  Usando a defini¸c˜ao de cross-ratio temos A(f n i−1

  , T

  −n i −1

  , J

  −n i −2 X k

  exp ¡ − |f k (R)|O(|f k (L)|) ¢ = exp µ n i−1

  −n i −2 k =0

  ) ≥ Q n i−1

  ′

  , J

  ′

  , T

  −n i −1

  ) ≥ exp ¡ − |R|O(|L|)¢ ( vide [dM-vS] ) temos A(f n i−1

  ′

  ′

  ′

  | T ´e um difeomorfismo estando o cross-ratio bem definido. Da desigualdade A(f, T

  −n i −1

  ´ E importante observar que f n i−1

  ′ )).

  ), f k (J

  ′

  A(f, f k (T

  

−n

i −2

Y

k

=0

  ) = n i−1

  ′

  , J

  |J

  J

  (J

  − i

  )| |J

  −

  . Afirmamos que |f n (J

  ⊃ J

  e T

  − i

  ⊃ J

  − i

  ). f i (x) divide o intervalo T i tamb´em em dois, T

  −

  = f i (J

  = f i (J

  | ≥

  (J) , J

  e J

  −

  . Tomemos um ponto x no interior de J. O ponto x divide o mesmo em dois intervalos J

  |f i (J)|. Prova

  dendo de ǫ e n −1 X i =0

  | T ´e um difeomorfismo, ent˜ao T ´e um δ’-vizinhan¸ca de J. δ’ depen-

  2. Se f n

  = 0

  |f m (J)| d(f m (J), Cr)

  Se N = ∅ tome X m ∈N

  −

  |f n (J)| |J| ou

  −

  −

  J

  |f n (J

  | ≤

  −

  )| |J

  −

  (J

  = |f n (J

  |f n (J)| |J|

  |f n (J

  | |J

  )| ≤ |J

  |f n (J

  −

  | , ou seja|f n (J

  −

  )| |J

  −

  ≥ |f n (J

  |J

  |f n (J

  |J| Sem perda de generalidade, podemos supor que

  ≥ |f n (J)|

  |J

  −|f k (R)|O(|f k (L)|) k k k

  | ≤ ǫ, O(|f Como |f (L)| < |T k +n i +1 (L)|) ≤ O(ǫ). Temos tamb´em que |f (R)| < k |f (J n )| e observando que o expoente ´e um n´ umero negativo segue que i +1 n −n i −1 ′ ′ i−1 µ i−1 ¶ n −n −2 X i k k

  −|f A(f , T , J ) ≥ exp (R)|O(|f (L)|) k

  =0 n µ ¶ i−1 X −n i −2 k

  ≥ exp −O(ǫ) |f (J n )| µ i−1 ¶ n −n −1 X k =0 i k i +1 ≥ exp −O(ǫ) |f k (J n i +1 )| µ i−1 ¶ X n =0 k

  = exp −O(ǫ) |f (J)| k µ ¶ X b k =n i +1 n −n i −1 ′ ′ i−1 −O(ǫ) |f Definindo C o (a, b) = exp (J)| temos A(f , T , J ) ≥ C o (n i , n i −1 ). k

  =a+1

  Usando a propriedade de cross-ratio temos tamb´em que

  ′ n −n i −1 n −n i −1 i−1 i−1

  |T ||f n n n (R)||f (L)| i−1 i−1 −n i −1 i +1 −n i −1 ′ ′ |Df (f (x))| = A(f , T , J ) n −n −1 ′ i−1 i

  |L||R||f (T )|

  ′

  como |T | ≥ |L| n −n −1 n −n −1 i−1 i−1 i i n n |f (R)||f (L)| i−1 −n i −1 i +1 |Df (f (x))| ≥ C o (n i , n i )

  −1 n i−1 −n i −1 ′

  |R||f (T )|

  − +

  |J ||T | n n i−1 i−1 = C o (n i , n i )

  −1

  |J ||T S J | n i +1 n n i−1 i−1 i−1 + n − |f |

  (J )||T n i−1 = C (n , n ) o i i −1

  • n
  • i +1 −

  |f S J | (J )||T n n i−1 i−1

  Como todos os pontos cr´ıticos de f s˜ao n˜ao-flat, existe uma constante universal K > 0

  2

  tal que n i +1 µ ¶

  • +

    n i

  |f (J )| |J | n i |Df (f (x))| ≥ exp −K

  2

  • n i

  |f (J )| d(J n i , Cr)

  Tamb´em ´e v´alida a seguinte desigualdade

  − µ ¶

  |T | n d(J n , Cr) |J n | i−1 i−1 i−1 ≥ ≥ exp −

  −

  S J

  • |T | d(J n , Cr) − |J n | d(J n , Cr) n n i−1 i−1 i−1 i−1 i−1

  • 1
  • )||T
  • )|
  • n
  • )||T
  • )| exp µ
  • )||T
  • )|
  • n
  • 1<
  • )||T
  • )| exp µ
  • )||T
  • )|
  • n s
  • )| exp µ
  • ||T
  • )|
  • | exp µ

  • n
  • n
  • 1<
  • n s

  • )|
  • 1)
  • n

  • |
  • n
  • n
  • )|
  • |
  • 1 |Df n
Q n Q n

n − k − k k − k −

−1 −1 B(f , J , V ) = B(f, f (J ), f (V )) ≥ exp(−|f (J )|O(|f (J )|)) k k Q n −1 Q n −1 =0 =0 k k k

  − n

  \J

  − n

  | + |J n | ≥

  |T

  − n

  \J

  | |T

  \J

  − n

  \J

  − n

  | + |J n | Como T n ´e uma δ-vizinhan¸ca de J n temos que

  |J n | ≤ |T

  − n

  − n

  − n

  | |T

  | |T

  =1

  exp µ −(K

  2

  |J n i | d(J n i , Cr) Observe que

  |T

  − n

  − n

  | + |J

  S J

  | =

  |T

  − n

  \J

  − n

  − n

  |T

  | δ e da´ı

  · s Y i =1 exp µ −(K) |J n i | d(J n i , Cr)

  (J

  |J

  ≥ |f n

  (J)| |J| conclu´ımos que

  |Df n (x)| ≥ C (0, n) |f n (J)|

  |J| δ 1 + δ

  , ondeK = K

  = δ 1 + δ

  2

  (x)| ≥ C (0, n) |f n

  (J)| |J|

  δ 1 + δ exp µ

  −K X m ∈N |J n i | d(J n i , Cr)

  Para chegarmos ao resultado, precisamos de uma desigualdade contr´aria para |Df n (x)|. Tomando uma intervalo V ⊂ J

  Como |f n

  | δ

  − n

  \J

  | |T

  − n

  S J

  | ≥

  |T

  

n

  − n

  − n

  | |T

  − n

  \J

  

n

  | + |T

  − n

  \J

  | · s Y i

  − n

  S J

  | |f n 2 +1 (J

  , n

  1

  ) |f n 1 (J

  − n

1

  | |f n 2 +1 (J

  − n 1 S J

  |f n 2 (J

  |J n 1 | d(J n 1 , Cr) C o (n

  −K

  2

  |J n 2 | d(J n 2 , Cr) · · ·

  |f n s +1 (J

  |f n s (J

  −K

  2

  2

  |J n s | d(J n s , Cr) C o (0, n s )

  1

  Usando as desigualdades e a regra da cadeia temos |Df n (x)| = |Df n −n 1

  −1

  (f n 1 +1 (x))||Df (f n 1 (x))||Df n 1

  −n 2 −1

  (f n 2 +1 (x))||Df (f n 2 (x))| · · · |Df (f n s

  (x))||Df n s (x)| ≥ C o (n

  , n) |f n (J

  −K

  − n

  | |f n 1 +1 (J

  − n

  S J

  | |f n 1

  (J

  |f n 1 (J

  2

  |f n s (J

  | |T

  | |T

  − n 1

  | |T

  − n 1 S J

  | · · ·

  |T

  − n s

  − n s

  S J

  S J

  | Sendo

  |Df n (x)| ≥ C (0, n) |f n (J

  |J

  |T

  − n

  | |T

  

n

  − n s

  |J

  | |J

  − n s

  S J

  | ≥ C

  (0, n) |f n

  (J

  −K

  | |T

  

2

  |J n 1 | d(J n 1 , Cr) exp µ −K

  2

  |J n 2 | d(J n 2 , Cr) · · · exp µ −K

  2

  |J n s | d(J n s , Cr) |T

  − n

  − temos.

  ≥ exp(−|f (J)|O(|f (J)|)) ≥ exp(−O(ǫ)|f (J)|) k k

  

=0 =0

µ ¶ X n −1 k n − = exp −O(ǫ) |f (J)| = C (0, n) k =0

  B(f , J , V ) ≥ C (0, n)

  −

  Fazendo V convergir para J temos µ ¶ n −

  2 n 1 |f (J )|

  1 |Df (x)| = n − n

  

  |J | |Df (a)| V →J lim B(f , J , V ) µ ¶ n −

  2

  1 |f (J )|

  1

  −

  ≤ , onde a ´e o ponto da fronteira de J n

  −

  C (0, n) |J | |Df (a)| que n˜ao pertence a J. Logo, µ ¶ n

  2 n 1 |f (J)|

  1 |Df (x)| ≤ n

  C (0, n) |J| |Df (a)| Usando a desigualdade da primeira parte temos n µ ¶ X n |f (J)| δ |J n | i

  |Df (a)| ≥ C (0, n) exp −(K) |J| 1 + δ d(J n i , Cr) m ∈N

  Sendo assim n m µ ¶ X n 1 |f (J)| δ + 1 |f (J)| |Df (x)| ≤ exp K m

  2

  (C (0, n)) |J| δ d(f (J), Cr) m

  ∈N

  Usando as desigualdades obtidas temos que para quaisquer x, y ∈ J n m µ ¶ X |f |f 1 (J)| δ + 1 (J)| exp K n 2 m

  (C (0, n)) |J| δ d(f (J), Cr) |Df (x)| m ∈N nn µ ¶ X

  |Df (y)| |f (J)| δ |J n | i C (0, n) exp −K

  |J| 1 + δ d(J n , Cr) m i ∈N 2 µ ¶ X m 1 µ δ + 1 |f (J)|

  = exp

  2K m

  3

  (C (0, n)) δ d(f (J), Cr) m n ∈N µ ¶ −1 X 2 µ ¶ X m i ¶µ δ + 1 |f (J)| = exp

  3O(ǫ) |f (J)| exp

  2K m i m δ d(f (J), Cr)

  =0 ∈N ′ ′

  S J Para a prova da segunda parte da proposi¸c˜ao tomemos L, J , R ⊂ T tais que L = n n n n

  ′

  J, |f (L)| = |f (J )| e f (R) ´e uma das componentes de f (T \J). A figura d´a uma id´eia desta configura¸c˜ao.

  δ + 1 2δ + 1

  )| 2(|f n (R)| + |f n (J

  ′

  )| 2(|f n (R)| + |f n (J

  ′

  (J

  2

  1

  )|) =

  ′

  ′

  |f n (R)| ≥ δ|f n (J)| = 2δ|f n (J

  |f n (R)| + 2|f n (J

  )|) =

  ′

  )|(|f n (R)| + |f n (J

  ′

  )| 2|f n (J

  ′

  )||f n (J

  ′

  )|) Como f n | T ´e um difeomorfismo, T = f n (T )e este ´e uma δ-vizinhan¸ca de f n (J). Sendo assim

  ′

  )| =

  )|) ≤

  )|) =

  ′

  )| + |f n (J

  ′

  )| 2(2δ|f n (J

  ′

  (J

  2

  1

  ′

  )| e A(f n (T

  )| 2(|f n (R)| + |f n (J

  

  (J

  2

  1

  )) =

  ′

  ), f n (J

  ′

  |f n (T

  ′

Figura 2.1 : Intervalos L, J

  | |R S J

  ) =

  ′

  , J

  ′

  1 A(T

  | =

  ′

  | |T

  ′

  ′

  ′

  | |J

  

  |L S J

  | ≥

  ′

  | |J

  ′

  |R S J

  

e R quando f

n | T ´ e um difeomorfismo

  A(f n , T

  , J

  )||f n (R) S f n (J

  A(f n (T

  ′

  )| |f n (L) S f n (J

  ′

  )||f n (J

  ′

  )) = |f n (T

  ′

  ), f n (J

  ′

  )) Por outro lado

  ′

  ′

  ), f n (J

  ′

  1 A(f n (T

  )) ≥ C (0, n).

  ′

  ), f n (J

  

  ) A(f n (T

  • |f n
  • |f n
  • |f n
Com esta desigualdade conclu´ımos que

  ′

  |R S J | 1 2δ + 1 ≥ C ≥ C (0, n). (0, n).

  ′ n ′ n ′

  |J | A(f (T ), f (J )) δ + 1 |R| 2δ + 1

  ≥ C (0, n). − 1

  ′

  |J | δ + 1 n ′ n ′ S J S J | e ∃a ∈ ¯ n Por outro lado, ∃b ∈ J tal que |f (L )| = |Df (b)||L J tal que n n n

  ′ ′ |Df (a)| ´e o maior valor que a derivada de f assume, logo |f (J )| ≤ |Df (a)||J |.

  Desta forma n ′ S J

  |f (L )|

  2 ′ n ′ n n

  |L S J | |f S J |Df µ δ + 1 |Df (b)| (L )| (b)|

  2 ≤ = ≤ n

  ′ µ ¶ ′ n ′ n

  3

  |f (J )| |J | |f (J )| |Df (a)| δ n C (0, n)

  |Df (a)| logo,

  2δ + 1 C (0, n). − 1

  |R| δ + 1 ′

  ≥ := δ

  ′

  2 S J

  |L | µ δ + 1

  2 ¢

  3

  δ ¡C

  (0, n) n X −1 i ′ ′ Da´ı, conclu´ımos que T ´e uma δ -vizinhan¸ca de J, onde δ depende de δ e de O(ǫ) |f (J)|. i

  =0

  ¤

3 Proposi¸ c˜ ao 2.2. Seja f uma aplica¸c˜ao C . Para cada inteiro N , cada ξ > 0, δ > 0, S > 0

  

existe τ &gt; 0 com a seguinte propriedade. Seja n um inteiro e J um intervalo tal que

X i n

  |f (J)| ≤ S. Seja T n uma δ-vizinhan¸ca de f (J) e seja T , ..., T n o pullback com

  0≤i&lt;n i

  T i ⊃ f (J). Seja N ⊂ {0, ..., n − 1} o conjunto formado pelos inteiros para os quais T i

  cont´em um ponto cr´ıtico. Assuma que 1. ♯N ≤ N ; n n 2. |f (J)| ≥ ξd(f (J), Cr); n 3. |f (J)| ≤ τ . n +1 n +1

  

Ent˜ao, Sf (x) &lt; 0, ∀ x ∈ J, Df (x) 6= 0

3 Prova.

  Como f ´e C e todos seus pontos cr´ıticos s˜ao n˜ao-flat, existe C &gt; 0 tal que

  ′

  Sf (x) &lt; C para todo x. Existe tamb´em uma vizinhan¸ca U de Cr e uma constante C &gt; 0 tal que

  ′

  C Sf (y) &lt; − , para todo y ∈ U.

  

2

  [d(y, Cr)] De fato, na vizinhan¸ca de um ponto cr´ıtico c i a derivada schwarziana ´e dada por

  2

  −β i + 1 Sf (y) =

  2

  2(y − c i )

  2

  2 Fazendo β = min{β i |1 ≤ i ≤ d} e observando que (y − c i ) = [d(y, Cr)] temos

  2

  2

  2

  −β −β − 1 i + 1 + 1 β ≤

  Sf (y) = = −

  2

  2

  2

  2(y − c i ) 2[d(y, Cr)] 2[d(y, Cr)]

  2

  β − 1

  ′ ′

  Tomando C = temos que C &gt; 0 pois β ≥ 2 e

  2

  ′

  C Sf (y) &lt; −

  2

  [d(y, Cr)] n n i i Sejam n s &lt; ... &lt; n = n inteiros tais que |f (J)| &gt; ξd(f , Cr), ∀i ∈ {0, .., s}. n i Definidos desta forma, os intervalos f (J) est˜ao pr´oximos de um ponto cr´ıtico e nada impede que alguns destes intervalos contenham um ponto cr´ıtico. n n i+1 +1 ′ Afirma¸c˜ao. Fixando i, Sf (x) &lt; 0 para ∀x ∈ f (J) onde n = n i − n i . n n n i+1 +1 i +1 +1

  Notemos que, conforme ilustrado na figura a seguir, a f (f (J)) ⊂ (f (J)) Figura 2.2 n n +1 n i +1i+1

  : f (f (J)) ⊂ (f (J))

2 Sf (f

  ′

  2 Por outro lado, da proposi¸c˜ao anterior segue que

  |f n i (J)|

  2

  (ξ + 1)

  2

  ξ

  ′

  ≤ −C

  2

  (x), Cr) ¤

  −1

  £d(f n

  Usando esta desigualdade −C

  −1−j

  ξ |f n i (J)|

  (x), Cr) ≤ d(f n i (J), Cr) + |f n i (J)| ≤ ξ + 1

  −1

  Temos tamb´em que d(f n

  2 !

  (f j (x)) ¢

  −1−j

  C ¡Df n

  −2 X j =0

  2

  (x), Cr) ¢

  −1

  ¡d(f n

  |Df n

  (f j (x))| ≥ C (0, n

  −C

  C (K

  2

  |f j (J)|

  2 n i −1 X n i+1 +1

  |f n i (J)|

  ′′

  = C

  2

  (J)|

  |f n i+1 +1+j (J)| |f n i

  2 µ

  )

  ′

  −2 X j =0

  ′

  ≤ n

  2

  (f j (x)) ¢

  −1−j

  C ¡Df n

  −2 X j =0

  Logo n

  |f n i (J)| |f n i+1 +1+j (J)|

  ′

  |J m | d(J m , Cr) = K

  ∈N

  |f n i+1 +1+j (J)| δ 1 + δ exp µ −(K) X m

  − 1 − j) |f n i (J)|

  ′

  2 Ã

  A derivada schwarziana de uma fun¸c˜ao composta ´e dada por Sf n (x) = n

  (x)|

  −1

  Notemos que Df n

  2

  Sf (f j (x))(Df j (x))

  2 n −2 X j =0

  (x)|

  −1

  1 |Df n

  (x)) +

  −1

  Sf (f n

  2 µ

  −1

  −1−j+j

  = |Df n

  2

  Sf (f j (x))(Df j (x))

  −2 X j =0

  (x)) + n

  −1

  n

  (x)|

  −1

  = |Df n

  2

  Sf (f j (x))(Df j (x))

  −1 X j =0

  (x) = Df n

  (x) = Df n

  (x)|

  −1

  −1

  ≤ |Df n

  2 !

  (f j (x)) ¢

  −1−j

  Sf (f j (x)) ¡Df n

  −2 X

j

=0

  (x)) + n

  −1

  Sf (f n

  2 Ã

  (x)|

  = |Df n

  −1−j

  2 ¶

  (f j (x))Df j (x)

  −1−j

  Df n

  Sf (f j (x)) µ Df j (x)

  −2 X j =0

  (x)) + n

  −1

  Sf (f n

  2 µ

  (x)|

  −1

  (f j (x))Df j (x), Logo Sf n (x) = |Df n

  • n
Segue que n µ −2 n n −1 ′ ′ −C CX

  2 n ¢ + Sf (x) ≤ |Df (x)| 2 −1

  2 ′ n −1−j j

  (d(f (x), Cr)) j ¡Df (f (x)) µ =0 n i −1 ′ ′′ n −1 ′ −C ξ C

  2 X j

  2 n n + ≤ |Df (x)|

  |f (J)|

  

2 i

2 i

  2

  (ξ + 1) |f (J)| |f (J)| j n −1 ′ n −1 µ i ¶ =n i+1 +1 2 ′

2 X

  |Df (x)| −C ξ

  ′′ j

  2

  |f = + C (J)| n i

  2

  2

  |f (J)| (ξ + 1) j =n i+1 +1 n

  ′′

  Onde a constante C depende da cardinalidade de N , C, δ e S. Como |f (J)| i ´e controlado por τ , pelo princ´ıpio da contra¸c˜ao, |f (J)| ´e suficientemente pequeno, e X i

  |f (J)| ´e limitado. Logo a parcela positiva da express˜ao acima pode ser controlada

  0≤i&lt;n n n +1 i+1

  e Sf (x) &lt; 0, ∀x ∈ f (J) Para chegarmos em nosso resultado, notemos que n +1 n −n 1 n 1 −n 2 n s +1 f (x) = f ◦ f ◦ ... ◦ f (x), ∀x ∈ J.

  Como a derivada schwarziana da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes com schwarziana negativa tamb´em ´e negativa temos n +1 Sf (x) &lt; 0, ∀x ∈ J

  ¤ Para o enunciado do teorema 2.1 precisamos das defini¸c˜oes a seguir.

Figura 2.3 : φ n+1 e a primeira aplica¸c˜ ´ ao de retorno a I n restrita a I n+1

  Dizemos que x ´e um ponto recorrente se para qualquer vizinhan¸ca V de x existe i x i &gt; 0 talque f (x) ∈ V x . Seja I um intervalo nice e x ∈ I. Sejam I = I e φ a primeira

  1

  aplica¸c˜ao de retorno a I restrita a I dom´ınio de retorno contendo x. Desta forma,

  1

  definimos uma seq¨ uˆencia de intervalos contendo x. Dizemos que φ n ´e n˜ao-central se

  • 1
somente se φ n +1 (x) 6∈ I n +1 . Se x n˜ao ´e recorrente ent˜ao existe n tal que I n = ∅ para todo n &gt; n .

  1+zygmund Teorema 2.1.

  Seja f : M −→ M uma aplica¸c˜ao C com todos pontos cr´ıticos

n˜ao-flat. Assumindo que x ´e um ponto recorrente de f e {I n } ´e uma seq¨uˆencia de inter-

valos conforme a defini¸c˜ao anterior, valem as seguintes afirma¸c˜oes:

  1.Para cada k &gt; 0 existe ξ(k) &gt; 0 tal que se φ n : I n −→ I n −1 ´e n˜ao-central, ent˜ao o intervalo I n ´e ξ(k)-bem posto em I n .

  • k+1 +k ′

  2.Para cada ξ &gt; 0, existe ξ &gt; 0 tal que se I n ´e ξ-bem posto em I n todos os

  • 1 ′ ′

  

dom´ınios da primeira aplica¸c˜ao de retorno a I n s˜ao ξ -bem postos em I n . ξ → ∞

  • 1 +1

  quando ξ → ∞ Este teorema est´a provado em [vS-V] ( vide teorema A ).

  Dizemos que uma aplica¸c˜ao tem ”Real Bounds”quando esta goza da propriedade dois do teorema 2.1.

  • Defini¸ c˜ ao 2.1.

  T I

  Sejam I k ⊂ M e N = {x ∈ M |ϑ (f (x)) k 6= ∅} definimos a primeira i n

aplica¸c˜ao de entrada em I k , ϕ : N −→ I k , ϕ(x) = f (x) onde i = min{n ∈ N |f (f (x)) ∈

  I k } n Proposi¸ c˜ ao 2.3.

  Existe vizinhan¸ca U i de Cr tal que sempre que f (x) ∈ U i para algum n +1 x ∈ M e algum n ≥ 0 ent˜ao Sf (x) &lt; 0.

  Prova . De acordo com o teorema 2.1, existe um intervalo nice I k contendo c com a seguinte propriedade, se D(I k ) ´e o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada ϕ k a I k ,

  • 1

  ent˜ao cada componente conexa de D(I k ) T I k ´e tamb´em componente conexa do dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de retorno e ´e bem-posta em I k . Fa¸camos ϕ = ϕ k e para qualquer

  • 1

  y ∈ D(I k ) chamemos de J(y) a componente de D(I k ) contendo y. Seja V = J(c) ou, no caso de c n˜ao recorrente, V uma vizinhan¸ca de c bem posta em I . n k Tomemos x ∈ D(I k ), n o menor inteiro positivo tal que f (x) ∈ V e seja i ≥ 0 menor inteiro tal que uma das situa¸c˜oes acorra: i s i i) Um dos intervalos do pullback de J(ϕ (x)) ao longo de {x, f (x)..., f (x)} cont´em i s i um ponto cr´ıtico onde s i ´e tal que ϕ = f na vizinhan¸ca de x ou

  i ii)ϕ (x) ∈ V . n

  Notemos que uma das duas situa¸c˜oes ter´a que ocorrer pois f (x) ∈ V , logo ∃k &gt; 0 k n tal que ϕ (x) = f (x). i Se i) vale fa¸camos U = J(ϕ (x)) caso contr´ario ii) vale e seja U = V . Em ambos i n i n

  ˜ −1 ˆ

  os casos, U ´e bem posto em I k . Tomando ˜ n e ˆ n tais que ϕ = f e ϕ = f em uma vizinhan¸ca de x, notemos que ˆ n &lt; ˜ n ≤ n. Sejam tamb´em U , ..., U n e T , ..., T n o pullback ˜ n ′ ˜ ˜ respectivamente de U e I k ao longo de {x, ..., f (x)} e n o menor inteiro tal que U n cont´em

  ′

  ≤ ˜ um ponto cr´ıtico de f , ˆ n &lt; n n. Pelo fato de i ser m´ınimo, nenhum dos intervalos ′ ′ ′ T , ..., T n cont´em um ponto cr´ıtico e T n , ..., T n e U , ..., U n s˜ao disjuntos dois a dois.

  −1 ˆ −1 −1 ′ ′

  Em particular, como U ´e bem posto em T n = I k , tamb´em U n ´e bem posto em T n . Pela

  ˜ n

  • 1 defini¸c˜ao, U n cont´em um ponto cr´ıtico e da proposi¸c˜ao 1.2 segue que Sf (x) &lt; 0.
  • ′ ′ ′ n +1

      Se n = n ent˜ao o resultado segue. Se n &lt; n, ent˜ao definimos x = f (x) e repeti- mos o mesmo argumento. Como a composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes com derivada schwarziana negativa tamb´em tem schwarziana negativa e a proposi¸c˜ao est´a provada.

      ¤ Teorema 2.2.

      } = R

      Seja R uma classe de equivalˆencia em (Cr, ≺) e seja {c 1 , ..., c k

    indexados de forma que se c i ≺ c j ent˜ao i &lt; j. Existe ξ &gt; 0 tal que para qualquer ǫ &gt; 0

    valem as seguintes afirma¸c˜oes:

      1. Existem intervalos nice, disjuntos dois a dois, W , ..., W k tais que c i ∈ W i , i =

      1

      1, ..., k, |W | &lt; ǫ, onde cada W i , para i &gt; 0 ´e um dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de

      1

    • entrada ψ a W e orb (c) T W = ∅ qualquer ponto cr´ıtico c / ∈ R

      1

      1

    • 2. Se c i ´e n˜ao recorrente ent˜ao orb (c i ) T W i = ∅. Se f ´e infinitamente renor-

      maliz´avel em c ent˜ao podemos tomar W sendo um intervalo peri´odico. Se f ´e finita-

      1

      1

    mente renormaliz´avel em c ent˜ao podemos tomar W tal que cada dom´ınio de retorno a

      1

      1 W i , i ≥ 1 ´e ξ-bem posto em W i .

      3. Seja V i ⊂ W i intervalo maximal tal que c i ∈ V i e ψ(V i ) ⊂ W i est´a contido em um

    dom´ınio de retorno a W contendo ψ(c i ). Ent˜ao a primeira aplica¸c˜ao de entrada a S V i ´e

      1

    uma composi¸c˜ao de no m´aximo d − 1 aplica¸c˜oes do tipo L ◦ f , onde L ´e um difeomorfismo

    de distor¸c˜ao limitada.

      Prova . Se f ´e finitamente renormaliz´avel em c

      1 , vamos considerar um intervalo nice

    • W suficientemente pequeno tal que n˜ao contenha intervalos peri´odicos, orb (c) T W = ∅

      1

      1

      para qualquer ponto cr´ıtico c / ∈ R e os dom´ınios de retorno a W s˜ao todos ξ-bem postos

      1 em W .

    1 Seja W , 1 < i ≤ k, o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada ψ a W que cont´em

      i s i

      1

      o ponto cr´ıtico c i ∈ R. Seja s i o menor inteiro positivo tal que f (W i ) ⊂ W e V i ⊂ W i s i

      1

      o intervalo maximal tal que c i ∈ V i e f (V i ) est´a contido em um dom´ınio de retorno J i a s i W ou seja f (∂V i ) ⊂ (∂J i ).

      1 Da forma como foi definido cada W i , temos que W , ..., W k s˜ao dois a dois disjuntos.

      1 Pelo lema de Koebe V i ´e bem posto em W i . Por outro lado V i e W i s˜ao pullback de W . t

      1 Tomando x ∈ M tal que existe um inteiro positivo t m´ınimo de forma que f (x) ∈ t t t

      S V . Tomemos V ⊂ W com f (x) ∈ V ⊂ W e definamos a cadeia {V } e {W } i j j j j i i i =0 i =0 tal que V t = V j e W t = W j . t Afirma¸c˜ao. Cada ponto cr´ıtico pertence a no m´aximo um dos intervalos da {W i } . i

      =0

      ≤ i ≤ t Vamos provar este fato por contradi¸c˜ao. Seja c l um ponto cr´ıtico de R e 0 ≤ i

      1

      2

      tais que c ∈ W e c ∈ W . Como W T W 6= ∅ e estes s˜ao pullback de um intervalo l i 1 l i 2 i 1 i 2 nice temos que W i ⊂ W i . Contendo c l temos tamb´em o intervalo V l que, por defini¸c˜ao, s l 1 2 f (V l ) ⊂ J l dom´ınio de retorno a W . Desta forma, temos duas possibilidades:

      1

      ⊂ V

      1. W i 1 l

      2. V l ( W i 1 i 1

      Assumindo a possibilidade 1 chegamos numa contradi¸c˜ao pois i

      1 &lt; t e f (x) ∈ W i 1 S V . j

      A possibilidade 2 tamb´em ´e uma contradi¸c˜ao pois fazendo r = s j + t − i , temos r r r

      2

      que f (∂W i ) ⊂ ∂W , logo f (∂V l ) ⊂ f (W i ) ⊂ W . Seja agora s = i − i temos que 2 r +s r +s

      1

    1

      1 r

      2

      1

      f (∂W i ) e f (∂V l ) ⊂ W 1 1 e isto ´e uma contradi¸c˜ao pois f (V l ) est´a contida em um s r dom´ınio de retorno de forma maximal, decorre da´ı que f (∂(f (V ))) ⊂ ∂W . l

      1 t

      De posse deste resultado, consideremos os intervalos W n , ..., W n da cadeia {W i } 1 ν i

      =0

      que cont´em pontos cr´ıticos. Usando o resultado da proposi¸c˜ao 2.3 conclu´ımos que a n j+1 −n j | −→ W aplica¸c˜ao f W : W n j +1 n j+1 +1 , sendo 0 ≤ j ≤ ν −1 e n = 0, tem derivada nj +1 schawrzian negativa . ´ E importante observar que ´e poss´ıvel controlar o comprimento de W n j+1 −n j −1

      1

      de forma que S W n ⊂ S U i dado pela ´ ultima proposi¸c˜ao. Isto implica que f | i

      V nj +1

      ´e um difeomorfismo com distor¸c˜ao limitada o que garante que a primeira aplica¸c˜ao de entrada a S V i ´e uma composi¸c˜ao de no m´aximo d − 1 aplica¸c˜oes do tipo L ◦ f onde L ´e um difeomorfismo com distor¸c˜ao limitada.

      ¤ Cap´ıtulo 3 Ergodicidade

      Man˜e [M] come¸ca o estudo de ergodicidade relacionando-o com o teorema de Birkhoff que mostra a existˆencia do limite (q.t.p): n −1 ϕ(x) + ϕ(T (x)) + ... + ϕ(T (x)) n →∞ lim n sendo T uma transforma¸c˜ao que preserva medida em um espa¸co (X, A, µ) e uma fun¸c˜ao ϕ : X → R integr´avel. O teorema ainda garante que o valor do limite ´e constante q.t.p. desde que n˜ao exista um conjunto invariante A ∈ A tal que 0 &lt; µ(A) &lt; µ(X). Isto motiva a seguinte defini¸c˜ao: dizemos que uma fun¸c˜ao ´e erg´odica com respeito a uma medida µ qualquer (n˜ao necessariamente invariante) se todo conjunto U invariante possui medida nula ou µ(U ) = µ(X).

      Dizemos que um conjunto A ´e atrator [Mi] se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: 1. A ´e compacto.

      2. Positivamente invariante ( f (A) ⊂ A ).

      3. Leb(β(A)) &gt; 0, onde β(A) = {x ∈ M |ω(x) ⊂ A} ´e denominado bacia de A.

      4. Se U ⊂ A satisfaz as condi¸c˜oes 1, 2, 3 ent˜ao U = A. Os conjuntos atratores em aplica¸c˜oes multimodais como as nossas, podem assumir trˆes formatos distintos: ´orbitas peri´odicas atratoras, intervalos peri´odicos atratores ou um conjuntos minimais atratores. Concluindo nosso trabalho mostraremos uma proposi¸c˜ao que estuda as componentes erg´odicas com respeito a bacia de atra¸c˜ao de um atrator minimal. De fato a proposi¸c˜ao estabelece, no caso de conjunto X minimal isto ´e, X ´e invariante e ω(x) = X para qualquer x ∈ X, que mesmo que tenhamos mais de um conjunto invariante com medida positiva, estes est˜ao relacionados com cada classe de equivalˆencia formada a partir de seus pontos cr´ıticos.

      Um subconjunto U ⊂ X ´e dito erg´odico com respeito a medida de Lebesgue, tamb´em chamado de uma componente erg´odica, se Leb(U ) &gt; 0 e f | ´e erg´odica com respeito U a medida de Lebesgue. Quando o atrator for uma ´orbita peri´odica a dinˆamica na sua bacia ´e bastante simples e pode ser estudada geometricamente. Por outro lado o caso de intervalos peri´odicos apresenta uma dinˆamica bastante complexa ( de fato, ´e o que se chama de dinˆamica ca´otica). Podemos encontrar este caso em [vS-V].

      

    Proposi¸ c˜ ao 3.1. Seja X minimal tal que f (X) ⊂ X. X tem medida de Lebesgue zero e

    para cada x ∈ X existe uma seq¨ uˆencia de intervalos nice N n ⊂ U n tais que ∩U n = {x},

      (U n \N n ) ∩ X = ∅ e N n ´e bem posto em U n . Al´em disso, se Y ⊂ B(X) tem medida de

      

    Lebesgue positiva ent˜ao X ´e igual a w(c) para pelo menos um ponto cr´ıtico c recorrente, e

      |U ∩ Y | n n lim = 1

      →∞

      |U n | Prova .Tomemos um ponto x ∈ X qualquer. Seja W um intervalo nice tal que todos x os dom´ınios de retorno s˜ao bem postos e isto ´e garantido pelo teorema 2.1.

      Sejam V i ⊂ W i os intervalos dados pelo teorema 2.2 tais que W i ´e uma componente conexa da primeira aplica¸c˜ao de entrada a W x e V i o intervalo maximal contendo c i e s i s i o menor inteiro tal que f (V ) est´a contido em um dom´ınio de retorno a W . i x Seja D(ψ) o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada a ∪V i . Para cada componente conexa J de D(ψ), ψ(J) ⊂ V j e T (J) ⊃ J ´e o pullback pela extens˜ao de ψ| J de W j .

      Da forma como foram definidos temos que J i , J k , T (J i ), T (J k ) s˜ao pullbacks de W x . Decorre deste fato que se T (J i ) ∩ T (J k ) 6= ∅ ent˜ao T (J i ) ⊂ T (J k ) ou T (J k ) ⊂ T (J i ) e se J i ∩ T (J k ) 6= ∅ ent˜ao J i ⊂ T (J k ). Tomemos J de tal forma que X ∩ J 6= ∅ e T (J) ⊂ T ( ˜ J) para qualquer outro ˜ J ⊂ D(ψ) tal que X ∩ ˜ J 6= ∅. Notemos que T (J) cont´em no m´aximo b 2 − 1 intervalos ˜ J onde b ´e o n´ umero de pontos de dobra, ˜ J ∩ X 6= ∅ e cada um deles ´e bem posto em T (J) por conseq¨ uˆencia do lema de Koebe.

      Segue que existem intervalos nice N , U tais que N ⊂ U ⊂ T (J), N ´e bem posto em U e X ∩ (U \N ) = ∅. s Como X ´e minimal, para cada z ∈ X existe o menor inteiro s ≥ 0, tal que f (z) ∈

      ⊂ U N ⊂ U . Pelo fato de s ser m´ınimo, o pullback z ∈ N s s de N ⊂ U pelo caminho s z, ..., f (z) ∈ N ´e disjunto. Assim N s ´e bem posto em U s e X ∩ (U s \N s ) = ∅. Tomando uma seq¨ uˆencia de intervalos W x convergindo a um ponto de X n´os temos uma seq¨ uˆenciade intervalos N n ⊂ U n conforme a afirma¸c˜ao.

      Segue que se Y ⊂ B(X) tem medida de Lebesgue positiva e X ´e minimal, ent˜ao X = w(˜

      c) para pelo menos um ponto cr´ıtico recorrente ˜ c ( ˜ c ∈ X ), esta afirma¸c˜ao est´a mostrada em [vS-V]. Tomando x = ˜ c, seja U n ⊃ N n ∋ ˜c e seja C o conjunto formado pelos pontos cr´ıticos c tais que w(c) ∋ ˜ t i i i

      c. Seja y um ponto de densidade de Y , existe t tal ⊃ N ∋ f ⊃ N que f (y) ∈ N n . Seja U (y), i = 0, ..., t seja o pullback de U n n ao longo i t n n do caminho f (y), ..., f (y). Da propriedade de U n ⊃ N n estabelecido anteriormente, para i j i j i i ≤ j ≤ t com U ∩ U 6= ∅ s´o uma das afirma¸c˜oes ´e verdadeira: U ⊂ U ou U est´a n n j j n n n contido em uma das componentes de U \N . Da minimalidade de t conclu´ımos que a n n

      ∩ X ⊂ N primeira afirma¸c˜ao ´e falsa. Sendo U n n , para cada ponto cr´ıtico c ∈ X existe no i i i i m´aximo um valor de i ≤ t com c ∈ N ⊂ U . Mais ainda U ∩ X ⊂ N . Pelo princ´ıpio da n n n n contra¸c˜ao, tomando n suficientemente grande, qualquer ponto cr´ıtico c que n˜ao est´a em i X = w(y) n˜ao est´a em qualquer dos intervalos U . Da proposi¸c˜ao2.1 e sendo y um ponto n i n (n) de densidade de Lebesgue de Y , existe um ponto cr´ıtico c ∈ X tal que c ∈ N tal que i (n) i (n) | U n ∩ Y | / | U n | vai para um.

      ¤ |U ∩ Y | n

      Decorre de lim = 1 que associado a cada minimal X s´o temos essencial- n

      →∞

      |U n | mente um conjunto invariante Y ⊂ B(X) com medida positiva. Qualquer outro invariante

      ′ ′

      ⊂ B(X) temos que | Y △Y |= 0. Conclu´ımos desta forma que a com medida positiva Y quantidade de componentes erg´odicas associadas a atratores minimais ´e igual ao n´ umero de classes de equivalˆencia de associados a atratores minimais.

      Observamos finalmente que fenˆomeno an´alogo ocorre tamb´em quando o atrator ´e um intervalo peri´odico [vS-V], e que n˜ao existe componentes erg´odicas associadas a ´orbitas peri´odicas atratoras. Desta forma, o n´ umero de componentes erg´odicas de f ´e no m´aximo igual ao n´ umero de classes de equivalˆencia dos pontos cr´ıticos de f . Bibliografia [M] R. Ma˜ n´e, Introdu¸c˜ao `a Teoria Erg´odica, (1983), IMPA, CNPq.

      

    [dM-vS] W. de Melo and S. van Strien, One-Dimensional Dynamics, Springer-Verlag

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    [Ma] M. Martens, Distortions results and invariant Cantor sets of unimodal maps, Ergod.

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    [Mi] J. Milnor, On the concept of attractor, Comm. Math. Phys. 102, 1994, no. 3, 517-

    519. [R]

      C. Robinson, Dynamical Systems Stability, Symbolic Dynamics and Chaos, CRC Press (1995)

      

    [K] O. Kozlovskii,Getting rid of the negative Schwarzian derivative condition, Annals of

    Mathematics 152, 2000, 743-762.

    [vS-V] S. van Strien and E. Vargas, Real bounds, ergodicity and negative Schwarzian for

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      Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/Depto. de Matem´atica

      Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP:40170-110 www.im.ufba.br/hpinst/mestrado

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