Controle de Distorção em Aplicações Multimodais

34 

Full text

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica

Dissertac¸˜ao de Mestrado

Controle de distorc

¸˜

ao em aplicac

¸˜

oes multimodais

Maur´ıcio Sobral Brand˜

ao

Salvador-Bahia

(2)

Controle de distorc

¸˜

ao em aplicac

¸˜

oes multimodais

Maur´ıcio Sobral Brand˜

ao

Disserta¸c˜ao apresentada ao

colegiado do curso de P´

os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da

Universidade Federal da Bahia,

como requisito parcial para

obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre

em Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves

(3)

Brand˜

ao, M. S.

”Controle de Distorc

¸˜

ao em Aplicac

¸˜

oes

Multi-modais”./Maur´ıcio Sobral Brand˜ao. Salvador-Ba, 2003.

Orientador: Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFBA, 25 p´aginas.

(4)

Agradecimentos

Quero primeiramente agradecer a Deus. Sei que pouco eu tenho retribu´ıdo diante do muito que me foi dado.

Agrade¸co a meus pais pela dedica¸c˜ao, por todo carinho e confian¸ca.

A minha esposa e minhas duas filhas, por vocˆes existirem e me acompanharem nesta jornada n˜ao economizando carinho, compreens˜ao, paciˆencia.

Aos meus professores, que direta ou indiretamente me auxiliaram nesta conquista e em particular ao meu orientador, Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro, pela sua paciˆencia, dedica¸c˜ao e cuidado tornando poss´ıvel a realiza¸c˜ao deste trabalho.

(5)

Resumo

Consideramos neste trabalho uma aplica¸c˜ao multimodal f com pontos cr´ıticos n˜ao-flat podendo estes serem pontos de inflex˜ao. Mostramos uma vers˜ao melhorada do lema de Koebe e um resultado sobre Schwarziana negativa. Com estes resultados mostramos que a primeira aplica¸c˜ao de entrada a uma vizinhan¸ca do conjunto cr´ıtico ´e uma com-posi¸c˜ao de fun¸c˜oes da forma L◦f, sendo L um difeomorfismo com distor¸c˜ao limitada. Finalmente, mostramos uma proposi¸c˜ao que permite concluir que a quantidade de com-ponentes erg´odicas est´a associada ao n´umero de classes de equivalˆencias formadas pelos pontos cr´ıticos, sendo, em particular, menor ou igual ao n´umero de classes.

(6)

Abstract

In this dissertation we work with a multimodals maps fwhich have non-flat critical points. These points could be inflection points. We prove a improved version of Koebe´s lemma and a negative Schwarziana derivate result. With these results we demonstrate that the first entry map to neighbourhood of the set of critical points is a composition of maps of the type L◦f, where L is a diffeomorphism with bounded distortion. Finally, we show a proposition that allow us conclude that the quantity of ergodic components are associated to the number of equivalence classes of critical points, in particular, the number ergodic components is not bigger than the number of equivalence classes.

(7)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 2

2 Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 8

3 Ergodicidade 22

Referˆencias Bibliogr´aficas 25

(8)

Lista de Figuras

2.1 IntervalosL, J′ eR quandofn|

T0 ´e um difeomorfismo . . . 13

2.2 fn′

(fni+1+1(J))⊂(fni+1(J)) . . . 15

2.3 φn+1 ´e a primeira aplica¸c˜ao de retorno a In restrita a In+1 . . . 17

(9)

Introdu¸

ao

Uma fun¸c˜ao que possui distor¸c˜ao limitada goza de propriedades erg´odicas importantes no estudo da dinˆamica de um sistema. Desta forma, ´e importante sabermos quais classes de fun¸c˜ao apresentam controle de distor¸c˜ao.

V´arias publica¸c˜oes nos trazem resultados em aplica¸c˜oes unimodais a exemplo de M. Martens [Ma] que mostrou no seu trabalho que aplica¸c˜oes unimodais com derivada Schawrziana negativa tem de distor¸c˜ao limitada. Em 2000, O. Koslovski [K] em seu artigo mostra que fun¸c˜oes unimodaisC3 com ponto cr´ıtico n˜ao flat possui derivada Schawrziana

negativa na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico. Sendo assim, todos os resultados obtidos supondo Schawrziana negativa s˜ao v´alidos exigindo-se menos das fun¸c˜oes.

Nosso trabalho ´e baseado no artigo de S. van Strien e E. Vargas [vS-V] onde os au-tores obt´em resultados similares aos obtidos nos dois trabalhos anteriormente citados, considerando agora aplica¸c˜oes multimodais. Come¸camos por um cap´ıtulo de no¸c˜oes pre-liminares, abordando os conhecimentos b´asicos usados nos cap´ıtulos seguintes.

No segundo cap´ıtulo, assumimos que as fun¸c˜oes em quest˜ao possuem ”Real Bounds”para pontos recorrentes do dom´ınio e mostramos que altos iterados destas fun¸c˜oes possuem Schawrziana negativa . Em seguida mostramos que a primeira aplica¸c˜ao de entrada a uma vizinhan¸ca do conjunto cr´ıtico de tais fun¸c˜oes ´e uma composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes sendo que uma delas possui distor¸c˜ao limitada. Finalmente, concluindo nosso trabalho, obtemos um resultado quanto a ergodicidade com respeito a medida de Lebesgue.

Todas as demonstra¸c˜oes s˜ao essencialmente as mesmas feitas no artigo acrescidas de detalhes menos ´obvios para quem se inicia em Dinˆamica Unidimensional.

(10)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Faremos neste cap´ıtulo as defini¸c˜oes e enunciaremos propriedades utilizadas no de-senvolvimento deste trabalho.

Consideremos, caso n˜ao seja feita qualquer ressalva, uma fun¸c˜ao f :M →M de classe C3 sendo M = [−1; 1] com uma quantidade finita de pontos cr´ıticos, com f(∂M)∂M.

Esta aplica¸c˜ao ´e denominada de multimodal pois M admite uma parti¸c˜ao com uma quantidade finita de sub-intervalos onde a f ´e estritamente mon´otona.

Um intervalo aberto I ⊂ M ´e chamado de intervalo nice se a ´orbita futura de sua

fronteira n˜ao intersecta I isto ´e , IT µ∞

[

i=0

fi(∂I)

¶ =∅.

Seja o intervalo I ⊂ M e o conjunto J ={x ∈ I|∃k ∈ Z, k ≥1 tal que fk(x) I}.

Definimos a primeira aplica¸c˜ao de retorno φ : J → I por φ(x) = fk(x), ∀x J, onde

k = min{n, n > 0|fn(x) I}. Cada componente conexa do dom´ınio da aplica¸c˜ao de

retorno ´e denominado dom´ınio de retorno.

Consideremos ent˜ao I um intervalo nice e sejaφ a primeira aplica¸c˜ao de retorno aI. Um fato importante ´e queφaplica a fronteira de qualquer dom´ınio de retorno na fronteira deI e isto ´e garantido pela continuidade def. Por conseq¨uˆencia desta propriedade, segue que qualquer dom´ınio de retorno ´e nice tamb´em.

Seja um intervalo I ⊂ M aberto e um ponto x ∈ M tal que fn(x) I. Podemos

definir uma seq¨uˆencia finita de intervalos fazendoIn =I eIi−1´e a componente conexa de

f−1(I

i) contendofi−1(x). Considerando esta seq¨uˆencia , dizemos queIi,i < n´e opullback

de I por {fi(x), ..., fn(x)}. Usamos a nota¸c˜ao {I

i}ni=0 para representar a seq¨uˆencia de

(11)

Preliminares 3

intervalos e esta recebe o nome decadeia. SeI´e um intervalo nice ent˜ao qualquer elemento de {Ii}ni=0 ´e nice tamb´em e dois elementos quaisquer desta seq¨uˆencia s˜ao disjuntos ou

encaixantes, isto ´e, um deles est´a contido no outro.

Considerando I nice,x∈I en o menor inteiro positivo tal quefn(x)I, o pullback

deI por {x, ..., fn(x)}´e o dom´ınio de retorno da primeira aplica¸c˜ao de retorno contendo

x. Neste caso, dois elementos da cadeia {Ii}ni=0−1 s˜ao sempre disjuntos.

Dada uma cadeia{Gi}ni=0, definimos tamb´em amultiplicidade de interse¸c˜ao o n´umero

m´aximo de intervalos da mesma cuja interse¸c˜ao ´e diferente do vazio.

Uma ferramenta importante em nosso estudo ´e investigar como a aplica¸c˜ao em quest˜ao age sobre intervalos encaixantes com determinado espa¸co entre eles. A defini¸c˜ao a seguir diz se um intervalo est´a contido em outro com espa¸co e nos d´a uma id´eia do tamanho deste espa¸co.

Sejam U,V intervalos limitados tais que o fecho de U est´a contido no interior de V. Diremos que V ´e uma α-vizinhan¸ca de U se |U+| ≥ α|U| e |U| ≥ α|U|, onde U+ e U

s˜ao as componentes conexas de V\U. Muitas vezes diremos que U ´e α-contido em V. Quando for bem claro qual a constante diremos simplesmente que U ´ebem posto em V. Denotamos o comprimento do intervalo U por |U| .

Seja f uma aplica¸c˜ao C1. Se T M ´e um intervalo tal que Df(x) 6= 0 ∀x T,

definimos a distor¸c˜aode f em T como:

Dist(f, T) = sup

x,y∈T

log|Df(x)| |Df(y)|

Seja cum ponto cr´ıtico de uma aplica¸c˜ao f :M −→M, (f′(c) = 0), dizemos quec´e um ponto n˜ao-flat se existe um difeomorfismoψ de classeC3, β 2 e uma vizinhan¸caV

c

dec tais que f(x) = ±|ψ(x)|β +f(c),∀xV c.

Em nosso trabalho, todos os pontos cr´ıticos de f s˜ao n˜ao-flat e uma propriedade importante quando temos pontos cr´ıticos n˜ao-flat ´e enunciado a seguir.

Lema 1.1. Seja J tal que d(J, Cr) > 0. Se todos os pontos cr´ıticos de f s˜ao n˜ao-flat ent˜ao ∃K >0 tal que

|Df(x)|

|Df(y)| ≥exp µ

−K |J| d(J, Cr)

, ∀x, y ∈J

Onde d(J, Cr) ´e a distˆancia entre J e o conjunto dos pontos cr´ıticos. Considerando que

(12)

Preliminares 4

Prova. Seja c o ponto cr´ıtico de f mais pr´oximo de J. Como c ´e n˜ao-flat podemos

considerar que f(x)−f(c) = S(x−c)α na vizinhan¸ca de c. Tomemos x, y J tais que

x−c < y−c.

|Df(x)| = |S|α|x−c|α−1

Logo, log|Df(y)| −log|Df(x)| = (α−1) µ

log|y−c| −log|x−c| ¶

Seja a um ponto do fecho de J tal que |D(log|a−c|)| ´e o maior valor em m´odulo que a derivada do Log assume assume no intervalo [x−c, y−c].

Sendo assim log|Df(y)| −log|Df(x)| = (α−1)(log|y−c| −log|x−c|)

≤ (α−1)D(log|a−c|)|y−x|= (α−1)|y−x| |a−c| Como |a−c| ≥d(J, Cr) e |y−x| ≤ |J| temos que

log|Df(y)| −log|Df(x)| ≤ K′ |J|

d(J, Cr)

Aplicando a exponencial e tomando K dado pela maior criticalidade entre os pontos cr´ıticos de f temos

|Df(x)|

|Df(y)| ≥exp µ

−K |J| dist(J, Cr)

Para o caso em quex−c > y−co lema segue de forma imediata pois |Df(x)|>|Df(y)|

¤

A seguir vamos enunciar uma vers˜ao do lema de Koebe. A demonstra¸c˜ao deste lema pode ser encontrado em [dM-vS].

Lema 1.2. (Lema de Koebe)Sejam {Gi}li=0 e {Hi}li=0 cadeias tais que Gl ´e uma σ -vizinhan¸ca de Hl, para algum σ > 0. Se a multiplicidade de interse¸c˜ao de {Gi}li=0 ´e

limitada por k e f ´e uma aplica¸c˜aoC2 com todos pontos cr´ıticos n˜ao-flat ent˜ao valem as

seguintes afirma¸c˜oes:

1. G0 ´e umaα-vizinhan¸ca de H0, α >0 dependente somente de σ, k e f.

2.Se Gi1, ..., Giν s˜ao intervalos que cont´em pontos cr´ıticos ent˜ao a aplica¸c˜ao

fij+1−ij−1|

Gij+1 :Gij+1 −→Gij+1, para qualquer j = 1, ..., ν−1 satisfaz

|Dfij+1−ij−1(x)|

|Dfij+1−ij−1(y)| < K

(13)

Preliminares 5

Sejam J, T intervalos abertos tais que J ⊂ T. Definimos os cross-ratios A(T, J) e B(T, J) por

A(T, J) = |T||J| |LS

J||RS

J| eB(T, J) =

|T||J| |L||R|,

onde L, R s˜ao as componentes conexas de T\J.

Sejam J, T intervalos abertos tais que J ⊂T e f uma fun¸c˜ao mon´otona em T. Defin-imos os cross-ratios A(f, T, J) e B(f, T, J) por

A(f, T, J) = A(f(T), f(J))

A(T, J) e B(T, J) =

B(f(T), f(J)) B(T, J)

Proposi¸c˜ao 1.1. .S˜ao v´alidas as seguintes propriedades envolvendo os cross-ratios:

1. A(fn, T, J) = n−1

Y

k=0

A(f, fk(T), fk(J))

2. Fazendo o intervaloJ convergir para um ponto qualquerx∈J temos que|Df(x)|=

lim

J→xA(f, T, J)·

|T| |f(T)|·

|f(L)| |L|

|f(R)|

|R| , Onde L e R s˜ao as componentes conexas de T\{x}

3. Fazendo J →T temos que

lim

J→TB(f, T, J) =

|f(T)|2

|T|2 ·

1 |Df(a)| ·

1

|Df(b)|, onde (a, b) =T

Prova. Vamos provar a propriedade 1 por indu¸c˜ao. Observe que a mesma ´e v´alida

para n= 2. Assumindo verdadeira para n−1 isto ´e,

A(fn−1, T, J) =

n−2

Y

k=0

A(f, fk(T), fk(J)) temos que

A(fn, T, J) = A(f

n(T), fn(J))

A(T, J) =

A(fn(T), fn(J))

A(fn−1(T), fn−1(J))·

A(fn−1(T), fn−1(J))

A(T, J) = A(f, fn−1(T), fn−1(J))·A(fn−1, T, J)

= A(f, fn−1(T), fn−1(J))

n−2

Y

k=0

A(f, fk(T), fk(J)) =

n−1

Y

k=0

A(f, fk(T), fk(J))

Para provar a propriedade 2 usaremos a seguinte igualdade |Df(x)|= lim

J→x

|f(J)| |J|

Segue queA(f, T, J) = A(f(T), f(J)) A(T, J) =

|f(T)||f(J)| |f(L)S

f(J)||f(R)S

f(J)| · |LS

J||RS J| |T||J|

FazendoJ convergir parax temos lim

J→xA(f, T, J) =

|f(T)| |T|

|L| |f(L)|

|R|

(14)

Preliminares 6

A demonstra¸c˜ao da propriedade 3 ´e an´aloga ao anterior. Observemos que

|Df(a)|= lim

J→T

|f(L)|

|L| e |Df(b)|= limJ→T

|f(R)| |R|

Dadox∈M o conjuntoω-limitedex´e o conjunto definido porω(x) ={y∈M;∃ni → ∞

com fni(x)→y}

´

E verdadeiro afirmar se f ´e continua e y ∈ω(x) ent˜ao ω(y)⊂ω(x) em conseq¨uˆencia desta afirma¸c˜ao sea ∈ω(b) e b∈ω(c) ent˜ao a∈ω(c).

Definiremos a seguir a derivada schwarziana. Dada uma aplica¸c˜ao num intervalo muitos resultados s˜ao obtidos quando este operador s´o assume valores negativos .

Seja f :M −→M uma aplica¸c˜ao C3 e Df(x)6= 0 a derivada schwarziana de f em x

´e definida por

Sf(x) = f

′′′(x)

f′(x)

3 2

µ f′′(x)

f′(x)

¶2

Proposi¸c˜ao 1.2. S˜ao v´alidas as seguintes propriedades

1. S(f og)(x) = Sf(g(x)).(g′(x))2+Sg(x)

2. Sfn(x) = Pn−1

i=0 Sf(fi(x))(Dfi(x))2

3. Seja f : M −→ M uma aplica¸c˜ao C3 com todos pontos cr´ıticos n˜ao-flat, existe

C >0 tal que Sf(x)< C para todo x∈M.

Prova. Aplicando a regra da cadeia temos que

(f og)′(x) = f′(g(x))g′(x)

(f og)′′(x) = f′′(g(x))(g(x))2+f(g(x))g′′(x)

(f og)′′′(x) = f′′′(g(x))(g(x))3+ 3f′′(g(x))g(x)g′′(x) +f(g(x))g′′′(x)

usando essas igualdades

(f og)′′′(x)

(f og)′(x) =

f′′′(g(x))g(x)

f′(g(x)) +

3f′′(g(x))g′′(x)

f′(g(x)) +

g′′′(x)

g′(x)

3 2

µ

(f og)′′(x)

f og′(x)

¶2

= 3

2 µ

f′′(g(x))

f′(g(x))

¶2

(g′(x))2−3f

′′(g(x))g′′(x)

f′(g(x))

3 2

µ g′′(x)

g′(x)

¶2

Logo S(f og)(x) = (f og)

′′′(x)

(f og)′(x)

3 2

µ

(f og)′′(x)

(f og)′(x)

¶2

= µ

f′′′(g(x))

f′(g(x))

3 2

µ

f′′(g(x))

f′(g(x))

¶2¶

(g′(x))2 +g

′′′(x)

g′(x)

3 2

µ g′′(x)

g′(x)

¶2

(15)

Preliminares 7

Uma conseq¨uˆencia imediata desta propriedade ´e que a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes com derivadas schwarzianas negativas tamb´em tem derivada schwarziana negativa. A pro-priedade 2 segue da propro-priedade 1.

Vamos provar a propriedade 3. Tomemos para cada ponto cr´ıtico ci def uma

vizin-han¸ca Ui de forma que

f(x) =S(x−ci)α+f(ci),∀x∈Ui pois ci ´e n˜ao flat∀i≤d

Seja U =

d

[

i=1

Ui. Temos que Sf ´e cont´ınua em M\U e por este ser um compacto, Sf

assume valor m´aximo para algum ponto. Logo, ∃K >0 tal que Sf(x)< K,∀x∈M\U.

Seja x∈U\Cr, onde Cr={c1, ..., cd}.

Temos que

f′(x) =

i(x−ci)αi−1

f′′(x) =

i(αi−1)(x−ci)αi−2

f′′′(x) = Sαi(αi−1)(αi−2)(x−ci)αi−3

e Sf(x) = −α

2

i + 1

2(x−ci)2

como αi ≥2, −α2i + 1 <0 logo Sf(x)<0

¤

Precisamos tamb´em do conceito de renormaliza¸c˜ao. Dizemos que f ´e renormaliz´avel se existe um intervalo I (M tal que o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de retorno a I ´e o pr´oprioI. Neste caso, dizemos que I ´e um intervalo de renormaliza¸c˜ao def. A aplica¸c˜ao f ser´a chamada de infinitamente renormaliz´avel e denotaremos por∞-renormaliz´avel, se existir uma cole¸c˜ao infinita de intervalos de renormaliza¸c˜ao distintos.

Encerrando este cap´ıtulo, vamos falar sobre a existˆencia de intervalos errantes.

Teorema 1.1. Seja f :M →M uma aplica¸c˜ao C2 com todos os ponto cr´ıticos n˜ao-flat.

Ent˜ao f n˜ao tem intervalos errantes.

Este teorema est´a demonstrado em [dM-vS]. O mesmo garante que as aplica¸c˜oes que fazem parte de nosso estudo n˜ao possuem intervalos errantes e isto implica o princ´ıpio da contra¸c˜ao isto ´e, para cada η1 >0 existe η2 ∈(0, η1) tal que se U ´e um intervalo que n˜ao

se acumula sobre uma ´orbita peri´odica atratora e |U| > η1 ent˜ao |fi(U)|> η2 para todo

(16)

Cap´ıtulo 2

Derivada Schwarziana e Controle de

Distor¸

ao

Neste Cap´ıtulo estudaremos o comportamento da derivada schwarziana def. Veremos que mesmo que Sf(x) n˜ao seja negativa para todo x, esta condi¸c˜ao se verifica para altos iterados de f. Kozlovski mostrou este fato para aplica¸c˜oes unimodais, vide [K]. Com o resultado a respeito de derivada schwarziana da f mostraremos uma proposi¸c˜ao que garante distor¸c˜ao limitada da primeira aplica¸c˜ao de entrada em uma vizinhan¸ca dos pontos cr´ıticos.

Come¸caremos mostrando uma vers˜ao para o princ´ıpio de Koebe com vantagens em rela¸c˜ao ao atual, n˜ao exigindo queT0, . . . , fn(T0) sejam disjuntos dois a dois ou que fn|T0

seja um difeomorfismo.

Proposi¸c˜ao 2.1. Sejam f uma fun¸c˜ao C2, n um inteiro e J um intervalo tal que fn| J

´e um difeomorfismo e n−1

X

i=0

|fi(J)| < S, S > 0. Seja T uma δ-vizinhan¸ca de fn(J) para

algum δ > 0 e T0, . . . , Tn := T o pullback de T por J, . . . , fn(J). Ent˜ao existe uma

constante K > 0 e uma fun¸c˜ao O(ǫ) com O(ǫ) → 0 quando ǫ ↓ 0 sendo v´alidas as

seguintes afirma¸c˜oes:

1. Seja N ⊂ {0, . . . , n−1} o conjunto dos inteiros i para os quais Ti cont´em

um ponto cr´ıtico e seja ǫ= max{|Ti|}. Ent˜ao, para cada x, y ∈J

|Dfn(x)|

|Dfn(y)| ≤exp

µ 3O(ǫ)

n−1

X

i=0

|fi(J)|

¶µ δ+ 1

δ ¶2

exp µ

2K X

m∈N

|fm(J)|

d(fm(J), Cr)

(17)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 9

Se N =∅ tome

X

m∈N

|fm(J)|

d(fm(J), Cr) = 0

2. Se fn|

T0 ´e um difeomorfismo, ent˜ao T0 ´e um δ’-vizinhan¸ca de J. δ

depen-dendo de ǫ e n−1

X

i=0

|fi(J)|.

Prova. Tomemos um ponto x no interior de J. O ponto x divide o mesmo em dois

intervalosJ− eJ+. SejaJ

i =fi(J) , Ji+ =fi(J+) eJ

i =fi(J−). fi(x) divide o intervalo

Ti tamb´em em dois, Ti− ⊃J

i e T

+

i ⊃J

+

i . Afirmamos que

|fn(J)|

|J−|

|fn(J)|

|J| ou

|fn(J+)|

|J+|

|fn(J)|

|J|

Sem perda de generalidade, podemos supor que |f

n(J+)|

|J+|

|fn(J)|

|J−| ,ou seja|f

n(J)| ≤

|J−|

|J+||f

n(J+)| Sendo assim

|fn(J)|

|J| =

|fn(J+)|+|fn(J)|

|J+|+|J|

|fn(J+)|+ J−

J+|f

n(J+)|

|J+|+|J| =

|fn(J+)|

|J+|

o que mostra a afirma¸c˜ao.

Podemos supor para a prova da proposi¸c˜ao que |f

n(J+)|

|J+|

|fn(J)|

|J| e

|fn(J)|

|J−|

|fn(J)|

|J| .

Sejam ns < · · · < n1 < n0 := n inteiros tais que Tn−i cont´em um ponto cr´ıtico.

Fixemos i∈ {1, ..., s} e tomemos R=Jn+i+1, L=Tni+1, J′ =fni+1(x) e T′ =LSJ′SR.

Usando a defini¸c˜ao de cross-ratio temos

A(fni−1−ni−1, T, J) =

ni−1−ni−2

Y

k=0

A(f, fk(T), fk(J)).

´

E importante observar que fni−1−ni−1|

T′ ´e um difeomorfismo estando o cross-ratio

bem definido.

Da desigualdade A(f, T′, J)exp¡

− |R|O(|L|)¢

( vide [dM-vS] ) temos

A(fni−1−ni−1, T′, J′) ≥ Qni−1−ni−2

k=0 exp

¡

− |fk(R)|O(|fk(L)|)¢

= exp

µni−1−ni−2

X

k=0

−|fk(R)|O(|fk(L)|)

(18)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 10

Como |fk(L)| < |T

k+ni+1| ≤ ǫ, O(|f

k(L)|) O(ǫ). Temos tamb´em que |fk(R)| <

|fk(J

ni+1)| e observando que o expoente ´e um n´umero negativo segue que

A(fni−1−ni−1, T′, J′) ≥ exp

µni−1−ni−2

X

k=0

−|fk(R)|O(|fk(L)|)

≥ exp µ

−O(ǫ)

ni−1−ni−2

X

k=0

|fk

(Jni+1)|

≥ exp µ

−O(ǫ)

ni−1−ni−1

X

k=0

|fk(J ni+1)|

= exp µ

−O(ǫ)

ni−1

X

k=ni+1

|fk(J)|

DefinindoCo(a, b) = exp

µ −O(ǫ)

b

X

k=a+1

|fk(J)|

temosA(fni−1−ni−1, T′, J′)≥C

o(ni, ni−1).

Usando a propriedade de cross-ratio temos tamb´em que

|Dfni−1−ni−1(fni+1(x))|=A(fni−1−ni−1, T, J)|T

||fni−1−ni−1(R)||fni−1−ni−1(L)|

|L||R||fni−1−ni−1(T′)|

como |T′| ≥ |L|

|Dfni−1−ni−1(fni+1(x))| ≥ C

o(ni, ni−1)

|fni−1−ni−1(R)||fni−1−ni−1(L)|

|R||fni−1−ni−1(T′)|

= Co(ni, ni−1)

|J+

ni−1||T

ni−1|

|Jn+i+1||T−

ni−1

S J+

ni−1|

= Co(ni, ni−1)

|fni−1(J+)||T− ni−1|

|fni+1(J+)||T−

ni−1

S J+

ni−1|

Como todos os pontos cr´ıticos de f s˜ao n˜ao-flat, existe uma constante universal K2 > 0

tal que

|Df(fni(x))| ≥ |f

ni+1(J+)|

|fni(J+)| exp

µ −K2

|Jni|

d(Jni, Cr)

Tamb´em ´e v´alida a seguinte desigualdade

|T−

ni−1|

|T−

ni−1

S J+

ni−1|

≥ d(Jni−1, Cr)

d(Jni−1, Cr)− |Jni−1|

≥exp µ

− |Jni−1|

d(Jni−1, Cr)

(19)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 11

Usando as desigualdades e a regra da cadeia temos

|Dfn(x)| = |Dfn−n1−1(fn1+1(x))||Df(fn1(x))||Dfn1−n2−1(fn2+1(x))||Df(fn2(x))|

· · · |Df(fns(x))||Dfns(x)|

≥ Co(n1, n)

|fn(J+)||T

n|

|fn1+1(J+)||T

n

S J+

n|

|fn1+1(J+)|

|fn1(J+)| exp

µ −K2

|Jn1|

d(Jn1, Cr)

Co(n2, n1)

|fn1(J+)||T

n1|

|fn2+1(J+)||T

n1

S J+

n1|

|fn2+1(J+)|

|fn2(J+)| exp

µ −K2

|Jn2|

d(Jn2, Cr)

· · ·|f

ns+1(J+)|

|fns(J+)| exp

µ −K2

|Jns|

d(Jns, Cr)

Co(0, ns)

|fns(J+)||T−

ns|

|J+||T

ns

S J+

ns|

≥ C0(0, n)

|fn(J+)|

|J+| exp

µ −K2

|Jn1|

d(Jn1, Cr)

¶ exp

µ −K2

|Jn2|

d(Jn2, Cr)

· · ·exp µ

−K2

|Jns|

d(Jns, Cr)

¶ |T− n| |T− n S J+ n| |T− n1| |T− n1 S J+ n1|

· · · |T

ns|

|T−

ns

S J+

ns|

Sendo

|Dfn(x)| ≥C

0(0, n)

|fn(J+)|

|J+|

|T− n| |T− n S J+ n| · s Y i=1 exp µ

−(K2+ 1)

|Jni|

d(Jni, Cr)

¶ Observe que |T− n| |T− n S J+ n| = |T −

n\Jn−|+|Jn−|

|T−

n\Jn−|+|Jn|

≥ |T

n\Jn−|

|T−

n\Jn−|+|Jn|

Como Tn ´e uma δ-vizinhan¸ca de Jn temos que

|Jn| ≤

|T−

n\Jn−|

δ e da´ı |T− n| |T− n S J+ n| ≥ |T −

n\Jn−|

|T−

n\Jn−|+

|T−

n\Jn−|

δ

= δ

1 +δ

Como |f

n(J+)|

|J+|

|fn(J)|

|J| conclu´ımos que

|Dfn(x)| ≥C

0(0, n)

|fn(J)|

|J| δ 1 +δ ·

s

Y

i=1

exp µ

−(K) |Jni|

d(Jni, Cr)

, ondeK =K2+ 1

|Dfn(x)| ≥C

0(0, n)

|fn(J)|

|J| δ 1 +δexp

µ

−K X

m∈N

|Jni|

d(Jni, Cr)

Para chegarmos ao resultado, precisamos de uma desigualdade contr´aria para|Dfn(x)|.

(20)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 12

B(fn, J, V) = Qn−1

k=0B(f, f

k(J), fk(V))Qn−1

k=0exp(−|f

k(J)|O(|fk(J)|))

≥ Qn−1

k=0exp(−|fk(J)|O(|fk(J)|))≥

Qn−1

k=0exp(−O(ǫ)|fk(J)|)

= exp µ

−O(ǫ)

n−1

X

k=0

|fk(J)|

=C0(0, n)

B(fn, J, V) C

0(0, n)

Fazendo V convergir paraJ− temos |Dfn(x)| = 1

lim

V→J−B(f

n, J, V)

µ

|fn(J)|

|J−|

¶2 1 |Dfn(a)|

≤ 1

C0(0, n)

µ

|fn(J)|

|J−|

¶2 1

|Dfn(a)|, ondea ´e o ponto da fronteira de J

que n˜ao pertence a J. Logo,

|Dfn(x)| ≤ 1

C0(0, n)

µ

|fn(J)|

|J| ¶2

1 |Dfn(a)|

Usando a desigualdade da primeira parte temos

|Dfn(a)| ≥

C0(0, n)

|fn(J)|

|J| δ 1 +δexp

µ

−(K) X

m∈N

|Jni|

d(Jni, Cr)

Sendo assim

|Dfn(x)| ≤ 1

(C0(0, n))2

|fn(J)|

|J|

δ+ 1 δ exp

µ

K X

m∈N

|fm(J)|

d(fm(J), Cr)

Usando as desigualdades obtidas temos que para quaisquer x, y ∈J

|Dfn(x)|

|Dfn(y)|

1 (C0(0, n))2

|fn(J)|

|J|

δ+ 1 δ exp

µ

K X

m∈N

|fm(J)|

d(fm(J), Cr)

C0(0, n)

|fn(J)|

|J| δ 1 +δexp

µ

−K X

m∈N

|Jni|

d(Jni, Cr)

= 1

(C0(0, n))3

µ δ+ 1

δ ¶2 exp µ 2K X m∈N

|fm(J)|

d(fm(J), Cr)

= exp µ

3O(ǫ)

n−1

X

i=0

|fi(J)|

¶µ δ+ 1

δ ¶2 exp µ 2K X m∈N

|fm(J)|

d(fm(J), Cr)

Para a prova da segunda parte da proposi¸c˜ao tomemosL, J′, R⊂T0tais queLSJ′ =

J,|fn(L)|=|fn(J)|efn(R) ´e uma das componentes defn(T

0\J). A figura d´a uma id´eia

(21)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 13

Figura 2.1: IntervalosL, J′eRquandofn|

T0 ´e um difeomorfismo

|RS J′|

|J′|

|LS J′|

|J′|

|RS J′|

|T′| =

1 A(T′, J)

= A(f

n, T, J)

A(fn(T), fn(J))

≥ C0(0, n).

1

A(fn(T), fn(J))

Por outro lado

A(fn(T), fn(J)) = |fn(T′)||fn(J′)|

|fn(L)S

fn(J)||fn(R)S

fn(J)|

= |f

n(T)||fn(J)|

2|fn(J)|(|fn(R)|+|fn(J)|)

= |f

n(R)|+ 2|fn(J)|

2(|fn(R)|+|fn(J)|)

= 1

2+

|fn(J)|

2(|fn(R)|+|fn(J)|)

Como fn|

T0 ´e um difeomorfismo, T = fn(T0)e este ´e uma δ-vizinhan¸ca de fn(J). Sendo

assim

|fn(R)| ≥δ|fn(J)|= 2δ|fn

(J′)| eA(fn(T), fn(J)) = 1

2 +

|fn(J)|

2(|fn(R)|+|fn(J)|)

1 2 +

|fn(J)|

2(2δ|fn(J)|+|fn(J)|)

(22)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 14

Com esta desigualdade conclu´ımos que

|RS J′|

|J′| ≥ C0(0, n).

1

A(fn(T), fn(J)) ≥C0(0, n).

2δ+ 1 δ+ 1 |R|

|J′| ≥ C0(0, n).

2δ+ 1 δ+ 1 −1

Por outro lado, ∃b ∈ J tal que |fn(LS

J′)| = |Dfn(b)||LS

J′| e ∃a J¯ tal que

|Dfn(a)| ´e o maior valor que a derivada de fn assume, logo |fn(J)| ≤ |Dfn(a)||J|.

Desta forma

|LS J′| |J′|

|fn(LS J′)| |Dfn(b)|

|fn(J)|

|Dfn(a)|

= |f

n(LS

J′)| |fn(J)|

|Dfn(b)|

|Dfn(a)|

2 µ

C0(0, n)

¶3 µ

δ+ 1 δ

¶2

logo,

|R| |LS

J′|

C0(0, n).

2δ+ 1 δ+ 1 −1 2

¡

C0(0, n)

¢3 µ

δ+ 1 δ

¶2 :=δ

Da´ı, conclu´ımos queT0´e umaδ′-vizinhan¸ca deJ, ondeδ′depende deδe deO(ǫ)

n−1

X

i=0

|fi(J)|.

¤

Proposi¸c˜ao 2.2. Sejaf uma aplica¸c˜aoC3. Para cada inteiroN, cadaξ >0, δ >0, S > 0

existe τ > 0 com a seguinte propriedade. Seja n um inteiro e J um intervalo tal que

X

0≤i<n

|fi(J)| ≤ S. Seja T

n uma δ-vizinhan¸ca de fn(J) e seja T0, ..., Tn o pullback com

Ti ⊃ fi(J). Seja N ⊂ {0, ..., n−1} o conjunto formado pelos inteiros para os quais Ti

cont´em um ponto cr´ıtico. Assuma que

1. ♯N ≤N;

2. |fn(J)| ≥ξd(fn(J), Cr);

3. |fn(J)| ≤τ.

(23)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 15

Prova. Como f ´eC3 e todos seus pontos cr´ıticos s˜ao n˜ao-flat, existe C > 0 tal que

Sf(x)< C para todox. Existe tamb´em uma vizinhan¸caU deCr e uma constanteC′ >0

tal que

Sf(y)<− C

[d(y, Cr)]2, para todoy∈U.

De fato, na vizinhan¸ca de um ponto cr´ıtico ci a derivada schwarziana ´e dada por

Sf(y) = −β

2

i + 1

2(y−ci)2

Fazendo β =min{βi|1≤i≤d} e observando que (y−ci)2 = [d(y, Cr)]2 temos

Sf(y) = −β

2

i + 1

2(y−ci)2

≤ −β

2+ 1

2[d(y, Cr)]2 =−

β21

2[d(y, Cr)]2

Tomando C′ = β2−1

2 temos queC

>0 pois β 2 e

Sf(y)<− C

[d(y, Cr)]2

Sejam ns < ... < n0 = n inteiros tais que |fni(J)| > ξd(fni, Cr),∀i ∈ {0, .., s}.

Definidos desta forma, os intervalos fni(J) est˜ao pr´oximos de um ponto cr´ıtico e nada

impede que alguns destes intervalos contenham um ponto cr´ıtico.

Afirma¸c˜ao. Fixando i, Sfn′

(x)<0 para ∀x∈fni+1+1(J) onden′ =n

i−ni+1.

Notemos que, conforme ilustrado na figura a seguir, a fn′

(fni+1+1(J))⊂(fni+1(J))

Figura 2.2:fn′

(24)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 16

A derivada schwarziana de uma fun¸c˜ao composta ´e dada por

Sfn′

(x) =

n′1

X

j=0

Sf(fj(x))(Dfj(x))2

= |Dfn′1

(x)|2Sf(fn′1

(x)) +

n′2

X

j=0

Sf(fj(x))(Dfj(x))2

= |Dfn′1

(x)|2

µ

Sf(fn′1

(x)) + 1

|Dfn′1

(x)|2

n′2

X

j=0

Sf(fj(x))(Dfj(x))2 ¶

Notemos que

Dfn′1

(x) = Dfn′1j+j

(x) = Dfn′1j

(fj(x))Dfj(x),Logo

Sfn′

(x) = |Dfn′1

(x)|2

µ

Sf(fn′1

(x)) +

n′2

X

j=0

Sf(fj(x)) µ

Dfj(x)

Dfn′1j

(fj(x))Dfj(x)

¶2¶

= |Dfn′1

(x)|2

Ã

Sf(fn′1

(x)) +

n′2

X

j=0

Sf(fj(x))

¡

Dfn′1j

(fj(x))¢2 !

≤ |Dfn′1

(x)|2

Ã

−C′

¡

d(fn′1

(x), Cr)¢2 +

n′2

X

j=0

C ¡

Dfn′1j

(fj(x))¢2 !

Temos tamb´em que

d(fn′1

(x), Cr)≤d(fni(J), Cr) +|fni(J)| ≤ ξ+ 1

ξ |f

ni(J)|

Usando esta desigualdade

−C′

£

d(fn′1

(x), Cr)¤2 ≤

−C′ξ2

(ξ+ 1)2|fni(J)|2

Por outro lado, da proposi¸c˜ao anterior segue que

|Dfn′1j

(fj(x))| ≥ C

0(0, n′ −1−j)

|fni(J)|

|fni+1+1+j(J)|

δ 1 +δexp

µ

−(K) X

m∈N

|Jm|

d(Jm, Cr)

= K′ |f

ni(J)|

|fni+1+1+j(J)|

Logo

n′2

X

j=0

C ¡

Dfn′1j

(fj(x))¢2 ≤

n′2

X

j=0

C (K′)2

µ

|fni+1+1+j(J)|

|fni(J)|

¶2

= C

′′

|fni(J)|2

ni−1

X

ni+1+1

|fj

(25)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 17

Segue que

Sfn′

(x) ≤ |Dfn′1

(x)|2

µ

−C′

(d(fn′1

(x), Cr))2 +

n′2

X

j=0

C ¡

Dfn′1j

(fj(x))¢2 ¶

≤ |Dfn′1

(x)|2

µ

−C′ξ2

(ξ+ 1)2|fni(J)|2 +

C′′

|fni(J)|2

ni−1

X

j=ni+1+1

|fj(J)|

= |Df

n′1

(x)|2

|fni(J)|2

µ

−C′ξ2

(ξ+ 1)2 +C

′′

ni−1

X

j=ni+1+1

|fj(J)|2

Onde a constante C′′ depende da cardinalidade de N, C, δ e S. Como |fn(J)|

´e controlado por τ, pelo princ´ıpio da contra¸c˜ao, |fi(J)| ´e suficientemente pequeno, e

X

0≤i<n

|fi(J)|´e limitado. Logo a parcela positiva da express˜ao acima pode ser controlada

e Sfn′

(x)<0,∀x∈fni+1+1(J)

Para chegarmos em nosso resultado, notemos que

fn+1(x) =fn−n1 fn1−n2 ...fns+1(x),∀xJ.

Como a derivada schwarziana da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes com schwarziana negativa tamb´em ´e negativa temos

Sfn+1(x)<0,∀x∈J

¤

Para o enunciado do teorema 2.1 precisamos das defini¸c˜oes a seguir.

Figura 2.3:φn+1´e a primeira aplica¸c˜ao de retorno aInrestrita aIn+1

Dizemos que x ´e um ponto recorrente se para qualquer vizinhan¸ca Vx de x existe

i > 0 talque fi(x) V

x. Seja I um intervalo nice e x ∈I. Sejam I0 =I e φ1 a primeira

aplica¸c˜ao de retorno a I0 restrita a I1 dom´ınio de retorno contendo x. Desta forma,

(26)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 18

somente seφn+1(x)6∈In+1. Se x n˜ao ´e recorrente ent˜ao existen0 tal que In =∅para todo

n > n0.

Teorema 2.1. Seja f : M −→ M uma aplica¸c˜ao C1+zygmund com todos pontos cr´ıticos

n˜ao-flat. Assumindo que x ´e um ponto recorrente de f e {In} ´e uma seq¨uˆencia de

inter-valos conforme a defini¸c˜ao anterior, valem as seguintes afirma¸c˜oes:

1.Para cada k > 0 existe ξ(k)>0 tal que se φn :In −→In−1 ´e n˜ao-central, ent˜ao o

intervalo In+k+1 ´e ξ(k)-bem posto em In+k.

2.Para cada ξ > 0, existe ξ′ > 0 tal que se I

n+1 ´e ξ-bem posto em In todos os

dom´ınios da primeira aplica¸c˜ao de retorno a In+1 s˜ao ξ′-bem postos em In+1. ξ′ → ∞

quando ξ→ ∞

Este teorema est´a provado em [vS-V] ( vide teorema A ).

Dizemos que uma aplica¸c˜ao tem ”Real Bounds”quando esta goza da propriedade dois do teorema 2.1.

Defini¸c˜ao 2.1. Sejam Ik ⊂ M e N ={x ∈M|ϑ+(f(x))TIk 6=∅} definimos a primeira

aplica¸c˜ao de entrada em Ik, ϕ :N −→Ik, ϕ(x) =fi(x) onde i=min{n N|fn(f(x))

Ik}

Proposi¸c˜ao 2.3. Existe vizinhan¸ca Ui de Cr tal que sempre que fn(x)∈ Ui para algum

x∈M e algum n≥0 ent˜ao Sfn+1(x)<0.

Prova. De acordo com o teorema 2.1, existe um intervalo nice Ik contendoc com a

seguinte propriedade, se D(Ik) ´e o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada ϕk+1 a Ik,

ent˜ao cada componente conexa de D(Ik)TIk ´e tamb´em componente conexa do dom´ınio

da primeira aplica¸c˜ao de retorno e ´e bem-posta emIk. Fa¸camosϕ=ϕk+1 e para qualquer

y ∈D(Ik) chamemos de J(y) a componente de D(Ik) contendo y. Seja V =J(c) ou, no

caso de cn˜ao recorrente,V uma vizinhan¸ca de c bem posta em Ik.

Tomemosx∈D(Ik),n o menor inteiro positivo tal quefn(x)∈V e seja i≥0 menor

inteiro tal que uma das situa¸c˜oes acorra:

i) Um dos intervalos do pullback de J(ϕi(x)) ao longo de {x, f(x)..., fsi(x)} cont´em

(27)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 19

ii)ϕi(x)V.

Notemos que uma das duas situa¸c˜oes ter´a que ocorrer pois fn(x) V, logo ∃k > 0

tal que ϕk(x) =fn(x).

Se i) vale fa¸camos U = J(ϕi(x)) caso contr´ario ii) vale e seja U = V. Em ambos

os casos, U ´e bem posto em Ik. Tomando ˜n e ˆn tais que ϕi = f˜n e ϕi−1 = fnˆ em uma

vizinhan¸ca de x, notemos que ˆn <n˜ ≤n. Sejam tamb´em U0, ..., Un˜ eT0, ..., Tn˜ o pullback

respectivamente deU eIkao longo de{x, ..., f˜n(x)}en′ o menor inteiro tal queUn′ cont´em

um ponto cr´ıtico de f, ˆn < n′ n. Pelo fato de˜ i ser m´ınimo, nenhum dos intervalos

T0, ..., Tn′1cont´em um ponto cr´ıtico eTnˆ, ..., Tn1 eU0, ..., Un1 s˜ao disjuntos dois a dois.

Em particular, como U ´e bem posto em Tn˜ =Ik, tamb´em Un′ ´e bem posto em Tn′. Pela

defini¸c˜ao, Un′ cont´em um ponto cr´ıtico e da proposi¸c˜ao 1.2 segue que Sfn ′+1

(x)<0.

Se n′ =n ent˜ao o resultado segue. Se n< n, ent˜ao definimos x=fn′+1

(x) e repeti-mos o mesmo argumento. Como a composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes com derivada schwarziana negativa tamb´em tem schwarziana negativa e a proposi¸c˜ao est´a provada.

¤

Teorema 2.2. Seja R uma classe de equivalˆencia em (Cr,≺) e seja {c1, ..., ck} = R

indexados de forma que se ci ≺ cj ent˜ao i < j. Existe ξ > 0 tal que para qualquer ǫ > 0

valem as seguintes afirma¸c˜oes:

1. Existem intervalos nice, disjuntos dois a dois, W1, ..., Wk tais que ci ∈ Wi, i =

1, ..., k, |W1| < ǫ, onde cada Wi, para i > 0 ´e um dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de

entrada ψ a W1 e orb+(c)TW1 =∅ qualquer ponto cr´ıtico c /∈ R

2. Se ci ´e n˜ao recorrente ent˜ao orb+(ci)

T

Wi = ∅. Se f ´e infinitamente

renor-maliz´avel em c1 ent˜ao podemos tomar W1 sendo um intervalo peri´odico. Se f ´e

finita-mente renormaliz´avel em c1 ent˜ao podemos tomar W1 tal que cada dom´ınio de retorno a

Wi, i≥1 ´e ξ-bem posto em Wi.

3. Seja Vi ⊂Wi intervalo maximal tal que ci ∈ Vi e ψ(Vi)⊂ Wi est´a contido em um

dom´ınio de retorno aW1 contendoψ(ci). Ent˜ao a primeira aplica¸c˜ao de entrada a SVi ´e

uma composi¸c˜ao de no m´aximo d−1aplica¸c˜oes do tipoL◦f, onde L´e um difeomorfismo

(28)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 20

Prova. Se f ´e finitamente renormaliz´avel em c1, vamos considerar um intervalo nice

W1 suficientemente pequeno tal que n˜ao contenha intervalos peri´odicos,orb+(c)TW1 =∅

para qualquer ponto cr´ıtico c /∈ R e os dom´ınios de retorno a W1 s˜ao todosξ-bem postos

em W1.

Seja Wi, 1< i ≤k, o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada ψ a W1 que cont´em

o ponto cr´ıtico ci ∈ R. Seja si o menor inteiro positivo tal que fsi(Wi) ⊂W1 e Vi ⊂ Wi

o intervalo maximal tal que ci ∈Vi efsi(Vi) est´a contido em um dom´ınio de retorno Ji a

W1 ou seja fsi(∂Vi)⊂(∂Ji).

Da forma como foi definido cada Wi, temos queW1, ..., Wk s˜ao dois a dois disjuntos.

Pelo lema de Koebe Vi ´e bem posto em Wi. Por outro lado Vi e Wi s˜ao pullback de W1.

Tomando x ∈ M tal que existe um inteiro positivo t m´ınimo de forma que ft(x)

S

Vi. Tomemos Vj0 ⊂Wj0 com ft(x)∈Vj0 ⊂Wj0 e definamos a cadeia{Vi}ti=0 e{Wi}ti=0

tal que Vt=Vj0 e Wt=Wj0.

Afirma¸c˜ao. Cada ponto cr´ıtico pertence a no m´aximo um dos intervalos da {Wi}ti=0.

Vamos provar este fato por contradi¸c˜ao. Seja cl um ponto cr´ıtico de R e 0≤ i1 ≤i2 ≤t

tais que cl ∈ Wi1 e cl ∈ Wi2. Como Wi1

T

Wi2 6=∅ e estes s˜ao pullback de um intervalo

nice temos que Wi1 ⊂ Wi2. Contendo cl temos tamb´em o intervalo Vl que, por defini¸c˜ao,

fsl(V

l)⊂Jl dom´ınio de retorno a W1. Desta forma, temos duas possibilidades:

1. Wi1 ⊂Vl

2. Vl (Wi1

Assumindo a possibilidade 1 chegamos numa contradi¸c˜ao poisi1 < tefi1(x)∈ Wi1 ⊂

S Vj.

A possibilidade 2 tamb´em ´e uma contradi¸c˜ao pois fazendo r = sj0 +t−i2, temos

que fr(∂W

i2) ⊂ ∂W1, logo fr(∂Vl) ⊂ fr(Wi1) ⊂ W1. Seja agora s = i2 −i1 temos que

fr+s(∂W

i1) e fr+s(∂Vl) ⊂ W1 e isto ´e uma contradi¸c˜ao pois fr(Vl) est´a contida em um

dom´ınio de retorno de forma maximal, decorre da´ı que fs(∂(fr(V

l))) ⊂∂W1.

De posse deste resultado, consideremos os intervalos Wn1, ...,Wnν da cadeia {Wi}

t i=0

que cont´em pontos cr´ıticos. Usando o resultado da proposi¸c˜ao 2.3 conclu´ımos que a aplica¸c˜aofnj+1−nj|

Wnj+1 :Wnj+1 −→ Wnj+1+1, sendo 0≤j ≤ν−1 en0 = 0, tem derivada

schawrzian negativa . ´E importante observar que ´e poss´ıvel controlar o comprimento deW1

de forma queS

Wni ⊂

S

(29)

Derivada Schwarziana e Controle de Distor¸c˜ao 21

´e um difeomorfismo com distor¸c˜ao limitada o que garante que a primeira aplica¸c˜ao de entrada a S

Vi ´e uma composi¸c˜ao de no m´aximo d−1 aplica¸c˜oes do tipoL◦f onde L´e

um difeomorfismo com distor¸c˜ao limitada.

(30)

Cap´ıtulo 3

Ergodicidade

Man˜e [M] come¸ca o estudo de ergodicidade relacionando-o com o teorema de Birkhoff que mostra a existˆencia do limite (q.t.p):

lim

n→∞

ϕ(x) +ϕ(T(x)) +...+ϕ(Tn−1(x))

n

sendo T uma transforma¸c˜ao que preserva medida em um espa¸co (X,A, µ) e uma fun¸c˜ao ϕ : X → R integr´avel. O teorema ainda garante que o valor do limite ´e constante q.t.p. desde que n˜ao exista um conjunto invarianteA∈ Atal que 0< µ(A)< µ(X). Isto motiva a seguinte defini¸c˜ao: dizemos que uma fun¸c˜ao ´e erg´odica com respeito a uma medida µ qualquer (n˜ao necessariamente invariante) se todo conjunto U invariante possui medida nula ou µ(U) = µ(X).

Dizemos que um conjunto A´e atrator [Mi] se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

1. A´e compacto.

2. Positivamente invariante ( f(A)⊂A ).

3. Leb(β(A))>0, onde β(A) ={x∈M|ω(x)⊂A} ´e denominado bacia deA.

4. Se U ⊂A satisfaz as condi¸c˜oes 1, 2, 3 ent˜ao U =A.

Os conjuntos atratores em aplica¸c˜oes multimodais como as nossas, podem assumir trˆes formatos distintos: ´orbitas peri´odicas atratoras, intervalos peri´odicos atratores ou um conjuntos minimais atratores. Concluindo nosso trabalho mostraremos uma proposi¸c˜ao que estuda as componentes erg´odicas com respeito a bacia de atra¸c˜ao de um atrator minimal. De fato a proposi¸c˜ao estabelece, no caso de conjunto X minimal isto ´e, X ´e

(31)

Ergodicidade 23

invariante e ω(x) = X para qualquer x ∈ X, que mesmo que tenhamos mais de um conjunto invariante com medida positiva, estes est˜ao relacionados com cada classe de equivalˆencia formada a partir de seus pontos cr´ıticos.

Um subconjunto U ⊂X ´e dito erg´odico com respeito a medida de Lebesgue, tamb´em chamado de uma componente erg´odica, se Leb(U) > 0 e f|U ´e erg´odica com respeito

a medida de Lebesgue. Quando o atrator for uma ´orbita peri´odica a dinˆamica na sua bacia ´e bastante simples e pode ser estudada geometricamente. Por outro lado o caso de intervalos peri´odicos apresenta uma dinˆamica bastante complexa ( de fato, ´e o que se chama de dinˆamica ca´otica). Podemos encontrar este caso em [vS-V].

Proposi¸c˜ao 3.1. Seja X minimal tal que f(X)⊂X. X tem medida de Lebesgue zero e

para cada x ∈ X existe uma seq¨uˆencia de intervalos nice Nn ⊂ Un tais que ∩Un = {x},

(Un\Nn)∩X = ∅ e Nn ´e bem posto em Un. Al´em disso, se Y ⊂ B(X) tem medida de

Lebesgue positiva ent˜ao X ´e igual a w(c)para pelo menos um ponto cr´ıtico c recorrente, e

lim

n→∞

|Un∩Y|

|Un|

= 1

Prova.Tomemos um pontox∈X qualquer. SejaWx um intervalo nice tal que todos

os dom´ınios de retorno s˜ao bem postos e isto ´e garantido pelo teorema 2.1.

Sejam Vi ⊂ Wi os intervalos dados pelo teorema 2.2 tais que Wi ´e uma componente

conexa da primeira aplica¸c˜ao de entrada a Wx e Vi o intervalo maximal contendo ci e si

o menor inteiro tal quefsi(V

i) est´a contido em um dom´ınio de retorno a Wx.

Seja D(ψ) o dom´ınio da primeira aplica¸c˜ao de entrada a ∪Vi. Para cada componente

conexa J de D(ψ),ψ(J)⊂Vj0 e T(J)⊃J ´e o pullback pela extens˜ao de ψ|J deWj0.

Da forma como foram definidos temos que Ji, Jk, T(Ji),T(Jk) s˜ao pullbacks deWx .

Decorre deste fato que se T(Ji)∩T(Jk) 6=∅ ent˜ao T(Ji) ⊂T(Jk) ou T(Jk) ⊂T(Ji) e se

Ji∩T(Jk)6=∅ent˜ao Ji ⊂T(Jk). TomemosJ de tal forma que X∩J 6=∅ eT(J)⊂T( ˜J)

para qualquer outro ˜J ⊂D(ψ) tal queX∩J˜6=∅. Notemos queT(J) cont´em no m´aximo 2b1 intervalos ˜J onde b ´e o n´umero de pontos de dobra, ˜J X 6= e cada um deles ´e

bem posto em T(J) por conseq¨uˆencia do lema de Koebe.

Segue que existem intervalos nice N, U tais que N ⊂ U ⊂T(J), N ´e bem posto em U eX∩(U\N) =∅.

(32)

Ergodicidade 24

N ⊂ U. Pelo fato de s ser m´ınimo, o pullback z ∈ Ns ⊂ Us de N ⊂ U pelo caminho

z, ..., fs(z) N ´e disjunto. Assim N

s ´e bem posto em Us e X ∩(Us\Ns) = ∅. Tomando

uma seq¨uˆencia de intervalosWx convergindo a um ponto deX n´os temos uma seq¨uˆenciade

intervalos Nn⊂ Un conforme a afirma¸c˜ao.

Segue que se Y ⊂ B(X) tem medida de Lebesgue positiva e X ´e minimal, ent˜ao X = w(˜c) para pelo menos um ponto cr´ıtico recorrente ˜c ( ˜c∈ X ), esta afirma¸c˜ao est´a mostrada em [vS-V]. Tomando x = ˜c, seja Un ⊃ Nn ∋ ˜c e seja C o conjunto formado

pelos pontos cr´ıticos ctais quew(c)∋˜c. Seja y um ponto de densidade deY, existe t tal que ft(y) ∈ N

n. Seja Uni ⊃ Nni ∋ fi(y), i = 0, ..., t seja o pullback de Un ⊃ Nn ao longo

do caminho fi(y), ..., ft(y). Da propriedade de U

n ⊃ Nn estabelecido anteriormente, para

i ≤ j ≤ t com Ui

n ∩ Unj 6= ∅ s´o uma das afirma¸c˜oes ´e verdadeira: Uni ⊂ Unj ou Uni est´a

contido em uma das componentes de Uj

n\Nnj. Da minimalidade de t conclu´ımos que a

primeira afirma¸c˜ao ´e falsa. Sendo Un∩X ⊂ Nn, para cada ponto cr´ıtico c∈X existe no

m´aximo um valor de i≤tcom c∈ Ni

n ⊂ Uni. Mais ainda Uni ∩X ⊂ Nni. Pelo princ´ıpio da

contra¸c˜ao, tomando n suficientemente grande, qualquer ponto cr´ıtico c que n˜ao est´a em X =w(y) n˜ao est´a em qualquer dos intervalosUi

n. Da proposi¸c˜ao2.1 e sendo y um ponto

de densidade de Lebesgue de Y, existe um ponto cr´ıtico c∈ X tal que c∈ Nni(n) tal que

| Uni(n)∩Y |/| Uni(n) | vai para um.

¤

Decorre de lim

n→∞

|Un∩Y|

|Un|

= 1 que associado a cada minimal X s´o temos

essencial-mente um conjunto invarianteY ⊂B(X) com medida positiva. Qualquer outro invariante com medida positiva Y′ B(X) temos que |Y△Y|= 0. Conclu´ımos desta forma que a

quantidade de componentes erg´odicas associadas a atratores minimais ´e igual ao n´umero de classes de equivalˆencia de associados a atratores minimais.

(33)

Bibliografia

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Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/Depto. de Matem´atica

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