Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem
Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira
Ordem
1
2
3
4
Sistema de Primeira Ordem (ou retardo de primeira ordem ou estágio
exponencial simples ) é aquele cuja resposta y(t) é descrita por uma
equação diferencial de primeira ordem :
dy a y
- a = bu, y (0) = 0
1
dt Se a
6= 0, então a dy b
1
u, y
- y = (0) = 0 a dt a
Fazendo a b
1
e = τ = K
p p
a a tem-se dy u, y
τ + y = K (0) = 0
p p
dt que é a forma padrão de representar um sistema de primeira ordem, continuação
onde
- – constante de tempo do sistema : indica a rapidez com que a
τ
p
resposta do sistema reage a uma perturbação em uma certa entrada
- – K ganho estacionário ou ganho estático ou ganho do processo :
p
é a razão entre os valores finais da resposta e de uma determinada entrada considerada ∆y
K (degrau em u), ou =
p
∆u K lim
= [G (s)]
p p s→0
U ( s ) Y ( s ) D i a g r a m a d e B l o c o s
p
t p
s + 1
Kp
s
p
τ
p
K
(s) =
(s) U
(s) = Y
U (s) G
Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial de um sistema de primeira ordem, obtendo
p
s + 1)Y (s) = K
p
(τ
U (s)
p
sY (s) + Y (s) = K
p
τ
- 1
= 0 dy dt
= b a
1
u = K
′ p
u G
p (s) =
Y (s)
U (s)
= K
′ p
s diz-se que o sistema é puramente capacitivo ou integrador puro . a
As respostas transientes de sistemas de 1 ordem são apresentadas para três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudo experimental e teórico do controle de processos.
Resposta ao Degrau
A função degrau de amplitude A é expressa por
∗
u (t) = Au
(t), t ≥ 0
∗
onde u (t) é a função degrau unitário
u A A U ( s ) = s t
)
p
−t/τ p
A (1 − e
p
(t) = K
A s cuja transformada inversa de Y (s), y (t), será igual a y
s
τ
continuação
p
K
Y (s) =
ordem e a Transformada de Laplace da função degrau com amplitude A,
a
Combinando a função de transferência de um sistema de 1
- 1
A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y A contra o tempo adimensional t : (t)/K /τ
p p 0.8 0.9 1 Sistema de Primeira Ordem: resposta ao degrau y/K A p 0.5 0.6
0.7 0.4 0.1 0.2
0.3
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t/τ p continuação
Destacam-se nessa resposta: 1 o valor de y (t) alcança 63,2% do seu valor final após decorrido um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo, .
τ p
Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será a resposta do sistema. A resposta é essencialmente completa
após 3 a 5 constantes de tempo tempo decorrido
2
3
4
5 τ τ τ τ τ
p p p p p
95 98,2 99,3 [y (t)/y (∞)] × 100 63,2 86,5 continuação 2
a inclinação da curva resposta em t = 0 é igual a 1 d A
[y (t)/K ]
p p −t/τ
e = = 1 d
[t/τ ] t =0
p
t =0
se a velocidade inicial de variação de y (t) fosse mantida, a 3 resposta seria completa após uma constante de tempo o valor final da resposta é igual a K A
p
∆y A
= K
p p
⇒ y(t → ∞) → K ∆u Resposta ao Impulso
Matematicamente, a função impulso de intensidade A é definida por u (t) = Aδ(t), t = 0 onde δ(t) é a função impulso unitário u u
A A b ® U ( s ) = A b
b
t t continuação
A resposta impulsional de um sistema de primeira ordem, perturbado por um impulso de intensidade A, pode ser expressa por: Y
(s) = K
p
τ
p
s + 1 A
A transformada inversa de Y (s), y (t), será igual a y
(t) = K
p
A τ
p
e
−t/τ p continuação
A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y A contra o tempo adimensional t : (t)τ /K /τ 0.8 0.9 1 p p p Sistema de Primeira Ordem: resposta ao impulso
0.7 0.6 Note que a resposta A p
cresce imediata- 0.5 mente para 1 /K yτ p
, 0 e, 0.4 após decai exponen- 0.1 0.2 0.3 cialmente.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4 4.5 5 t/τ p Resposta Senoidal
Matematicamente, a função perturbação senoidal é representada pela equação u
(t) = A sen(wt), t ≥ 0 onde A é a amplitude e w é a frequência angular (igual a 2 πf , f =frequência em ciclos por tempo).
A Transformada de Laplace de u (t) é Aw
U (s) =
2
2
s
- w
- 1
- w
Aw τ
p
(−wτ
(wt + φ) φ = arctg
2
w
2 p
A q τ
p
−t/τ p
2
w
2 p
τ
p
p
K
(s), obtém-se y (t) =
2 Calculando a transformada inversa de Y
2
Aw s
s
p
τ
p
K
ordem, encontra-se Y (s) =
a
Combinando-a com a função de transferência de um sistema de 1
continuação
- K
- 1 e
- 1 sen
) continuação
Observe o comportamento da entrada senoidal e a resposta do sistema de 1
a
ordem a ela
1 2 3 4 5 6 −0.8 7 −1 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Sistema de Primeira Ordem: resposta senoidal t y u y continuação
Pode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal: 1 a resposta é também uma onda senoidal com frequência w igual 2 à onda senoidal do sinal de entrada quando t → ∞, resta apenas a solução periódica final, algumas vezes chamada de solução estacionária
K A
p
y sen = (wt + φ) q
(t)|
s
2
2
w τ + 1
p
arctg φ = )
p
(−wτ (o primeiro termo tende a zero, sendo responsável pelo comportamento transiente da resposta de y
(t)) continuação 3
a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) e da entrada é a chamada razão de amplitude , AR q K p A 2
2
τ w +1 p K p AR= = q A
2
2
w τ + 1
p Se AR atenuado .
< 1, diz-se que o sinal é O mesmo é válido para a razão de amplitude normalizada , AR ,
N
obtida quando divide-se AR pelo ganho do processo, K
p
AR
1 AR = = < 1, portanto atenuado
N q
K
2 p
2
w τ + 1
p
AR apresenta apenas o efeito da dinâmica do processo, , τ
N p
sobre a resposta senoidal continuação
4
a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo |φ|. O atraso sempre ocorrerá, pois o sinal de
φ é sempre negativo (
φ < 0, atraso de fase; φ > 0, avanço de fase) Exemplo
Dois tanques de armazenamento de líquido são mostrados a seguir
F o F o h h k h F
F = ( A ) ( A ) T a n q u e 1 T a n q u e 2
Figura: Dois tanques de nível Exemplo (continuação)
√ Para o Tanque 1, a vazão de saída é calculada como F = 8
h. Para o Tanque 2, a variação do nível h não afeta a vazão de saída, F . Ambos os tanques de armazenamento possuem seção reta uniforme com
2
área A e encontram-se em estado estacionário, com nível = 0, 3 m de líquido igual h
, é = 1 m. No tempo t = 0, a vazão de entrada, F
s o
3
aumentada para 10 m /min. Para cada tanque, determine:
(a) a função de transferência H
(s)/F (s)
o (b) a resposta transiente h
(t)
(c) os níveis no novo estado estacionário (d) se cada tanque tem altura nominal h
= 2 m, qual dos tanques
n
transbordará? E quando? Solução
Tanque 1 Modelo Linearizado
dh F k
o
h, h = (0) = 0
√ − dt A
2A h
s
Função de Transferência
A função de transferência entre a variável de saída, H (s) e a variável de entrada, F
(s) é:
o
H K (s)
p
G , onde
p (s) = =
F s (s) τ + 1
o p
√ 2 h (2)(1)
s
3 K /min)
= = = 0, 25 m/(m
p
k (8)
√
2A h (2)(0, 3)(1)
s
τ = = = 0, 075 min
p
k (8) continuação
Função de Transferência
Substituindo os valores numéricos de K e τ tem-se:
p p
H (s) , 25
G (s) = =
p
F (s) , 075s + 1
o
Resposta ao Degrau
A entrada F sofre um perturbação degrau de amplitude
o
3
/min. A transformada inversa de ∆F = 2 m
o
= 10 − (8)(1) | {z }
√ F =8 h s s
K ∆F
p o
H (s) = s s
τ + 1
p
será igual a −t /τ p −t /0,075
h (t) = K ∆F 1 = (0, 25)(2)
1 p o − e − e −t /0,075
= 0, 50
1 − e continuação
Resposta ao Degrau
Em variável absoluta
−t/0,075
h (t) = 1 + 0, 50
1 − e
Após a perturbação, a altura do tanque irá para h (t → ∞) = 1 + 0, 50 = 1, 50 m < 2 m não transbordará continuação
Resposta ao Degrau
2
= 1, 56 m < 2 m → não transbordará
2
8
10
=
s
h
A resposta estacionária final também pode ser obtida do modelo não- linear, calculando-se o seu valor após a variação (degrau) em F
o
os
= F
s
= 0 h
s
− k p h
os
: no EE: F
k
Tanque 2
Modelo Linear(izado)
dh F F
o
, h = (0) = 0
− dt A A
Função de Transferência
A função de transferência entre a variável de saída, H (s) e a variável de entrada, F
(s) é:
o
F F
o (s) (s)
sH (s) =
− A A H
1 (s) /A
G (s) = =
p
F (s) s
o
Substituindo o valor numérico de A tem-se H
3 (s) , 33
G
p (s) = =
F s (s)
o continuação
Resposta ao Degrau
A entrada F sofre um perturbação degrau de amplitude
o
3
/min. A transformada inversa de ∆F = 2 m
o
= 10 − (8)(1) | {z }
√ F s =8 h s
1 /A ∆F
o
H (s) = s s será igual a
∆F (2)
o
h t t (t) = = = 6, 67t
A (0, 3)
Em variável absoluta h (t) = 1 + 6, 67t
Após a perturbação, a altura do tanque irá variar linearmente com o tempo, sem atingir novo valor final. continuação
Resposta ao Degrau
O tanque irá transbordar quando h (t
b
) > h
n
2 = 1 + 6, 67t
b
⇒ t
b
=
2 − 1
6 , 67
= 0, 15 min transbordará continuação Resposta ao Degrau 2.2 2 Altura de Líquido no Tanque h (m) 1.8 1.4 1.6 hlinear hcapacitivo hnominal
1.2 1 0.05 0.1 0.15
t (min) 0.2 0.25 0.3 0.35 Figura: Resposta ao degrau de dois tanques de nível Exemplo
2 Um tanque de nível de seção reta uniforme de área A e vazão
= 0, 3 m √ de saída calculada como F h, encontra-se em estado estacioná-
= 8 rio, com nível de líquido igual h = 1 m. No tempo t = 0, a vazão
s
3
de entrada é aumentada bruscamente para 9 m /min, durante 0,1 min,
3
pela adição uniforme de 0,10 m de líquido no tanque. Mostre a res- posta do sistema no tempo e compare-a com a resposta impulsional.
Exemplo (continuação)
F o h ( A ) h k
F =
Figura: Tanque de nível Solução
Função de Transferência
A função de transferência entre a variável de saída, H (s) e a variável de entrada, F (s) é:
o
H K (s)
p
G , onde (s) = =
p
F s (s) τ + 1
o p
√ 2 h (2)(1)
s
3 K /min)
= = = 0, 25 m/(m
p
k (8)
√
2A h (2)(0, 3)(1)
s
τ = = = 0, 075 min
p
k (8)
Substituindo os valores numéricos de K e tem-se:
p τ p
H (s) , 25
G (s) = =
p
F (s) , 075s + 1
o continuação Perturbação Pulso 3 F , m / m i n o
9 A entrada F sofre um perturba- o
0 , 1
ção pulso de amplitude ∆F
o
= 9 −
t , m i n
8
3
/min e duração de (8)(1) = 1 m
0 , 2
| {z }
√
7 F =8 h s s 0,1 min.
Esta perturbação pode ser repre- 3 F , m / m i n o 3 sentada como dois degraus iguais 0 , 1 0 m
1 d e s v i o
e consecutivos, mas de sinais opostos
t , m i n 0 , 1 0 , 2 - 1 continuação
Perturbação Pulso
F
o
(t) = ∆F
o
[u(t) − u(t − t
o
)] com t
o
= 0, 1 min e cuja Transformada de Laplace é F
o
(s) = ∆F
o
1 s − e
−t o s
s
Solução no Tempo
−t o s
continuação
Resolvendo a equação no domínio da Transformada H
(s) = K
p
τ
s H
s
∆F
o
1 s − e
- 1
p
- 1)
- 1) cuja transformada inversa será igual a h
∆F
) o
o
i u (t − t
−(t−t o )/τ p
1 − e
u (t) − h
−t/τ p
1 − e
n
o
(t) = K
p
(s) = K
s
p
s (τ
−t o s
− e
p continuação
1 s (τ
o
∆F
p
s
Solução no Tempo
o
o
1 − e
−t/τ
p
t < t
o
K
p
∆F
e
p
t o /τ p
− 1 e
−t/τ p
t > t
o
Substituindo pelos valores numéricos
h (t) = (0, 25)(1) 1 − e −t /0,075 = 0, 25 1 − e −t /0,075 t < 0, 1 min (0, 25)(1) e
,1/0,075 − 1 e −t /0,075 = 0, 698e −t /0,075 t > 0, 1 min
∆F
Ou h (t) =
K
p
p
∆F
o
1 − e
−t/τ
p
t < t
o
K
∆F
h (t) =
o
1 − e
−t/τ
p−
1 − e
−(t−t o )/τ p
t > t
o
K continuação
Solução no Tempo
Comparando com a resposta impulsional de intensidade ∆F
o o
× t K t
∆F (0, 25)(1)(0, 1)
p o o p −t/τ −t/0,075 −t/0,075
h e e (t) = = = 0, 33e
τ (0, 075)
p
Em variável absoluta
−t/0,075
1 t < 0, 1 min
- 0, 25 1 − e h
(t) =
−t/0,075
1 t
- 0, 698e > 0, 1 min
−t/0,075
h (t) = 1 + 0, 33e continuação
Solução no Tempo
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 Pulso e Impulso em F t (min) h (m) resposta ao pulso resposta ao impulso
Figura: Resposta impulsional e ao pulso Exemplo
A composição de alimentação de um reator varia com uma amplitude maior que o aceitável. Deseja-se instalar um tanque pulmão para re- duzir a variação na composição de alimentação, como mostrado na figura:
F
F F C C*A0 A0 C
AC*
V A0 Tanque Pulmão Reator
Figura: Reator com tanque pulmão Exemplo (continuação)
Deseja-se, então, saber qual o volume mínimo requerido do tanque pulmão para que a variação da composição na corrente de entrada do
3 reator seja menor ou igual a ? Analise e discuta a solução.
±20 g/m
3 Considere uma vazão de alimentação F /min e uma concentra-
= 1 m ção de alimentação C variando segundo uma senóide com amplitude
A0
3
de 200 g/m e período de 5 min, na vizinhança de um valor médio de
3 200 g/m .
Modelo Linear
(0) = C
∗ A0
(s) é obtida a partir do modelo linear escrito na forma padrão de primeira ordem e em variável desvio: dC
A0
(s) e a variável de entrada, C
∗ A0
A função de transferência entre a variável de saída, C
∗ A0s
∗ A0
∗ A0
), C
A0 − C
∗ A0V (C
F
dt =
∗ A0
dC
Solução
Função de Transferência
- F
V C
p
dt
= V /F min
1 F /V
=
p
/V = 1 e τ
/V F
= F
p
, onde K
s
τ
= F
p
K
(s) =
A0
(s) C
∗ A0
C
p (s) =
G
V C
A0
- 1
Resposta à Senóide
A entrada C comporta-se como uma perturbação senoidal
A0
3 A sen e frequência angular
(wt) com amplitude A = 200 g/m
−1
w . A transformada inversa = 2πf = 2π/T = 2π/5 = 0, 4π min de
K Aw
p ∗
C (s) =
A0
2
2
s s τ + 1 + w
p
será igual a K Aw K A
p τ p p
p ∗ −t/τC e sen (t) = (wt + φ) + q
A0
2
2
w τ + 1
2
2 p
τ w + 1
p
arctg φ = )
p
(−wτ continuação
Solução Estacionária
Após um transiente inicial, considera-se apenas a chamada
solução estacionária :
K A
p ∗
C sen (t) = (wt + φ) q
A0
2
2
w τ + 1
p
arctg φ = )
p
(−wτ continuação
Solução Estacionária
Deseja-se que a amplitude da senóide na entrada do reator seja
3 ∗
3
reduzida de A para A ; isto é, projetar um
= ±200 g/m = ±20 g/mtanque pulmão com volume V suficiente para atenuar o sinal original
∗ ∗ C (t) para C (t). Desta forma, a amplitude do sinal C (t) será igualA0 A0 A0
a:
K A
p ∗
A = q
2
2
w τ + 1
p
K A
p ∗
A = p
2
2
w (V /F ) + 1 s s
F K A 1 (1)(200)
p
V =
− 1 = − 1
∗
w A
20 , 4π
3 V
= 2, 4 m
Leitura Complementar
Próxima aula:
a
apostila do Prof. Wu , capítulos 11 (volume I) e 12 (volume II).
b livro do Stephanopoulos , capítulos 11 e 12. c a livro do Seborg et al. , capítulos 5 e 6.
Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.
b Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.Stephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and
c Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984. stSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1
Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.
