Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem

  

Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira

Ordem

  1

  

  2

  

  3

  

  4

  

Sistema de Primeira Ordem (ou retardo de primeira ordem ou estágio

exponencial simples ) é aquele cuja resposta y

  (t) é descrita por uma

  equação diferencial de primeira ordem :

  dy a y

• a = bu, y (0) = 0

  1

  dt Se a

  6= 0, então a dy b

  1

  u, y

• y = (0) = 0 a dt a

  Fazendo a b

  1

  e = τ = K

  p p

  a a tem-se dy u, y

  τ + y = K (0) = 0

  p p

  dt que é a forma padrão de representar um sistema de primeira ordem, continuação

  onde

• – constante de tempo do sistema : indica a rapidez com que a

  τ

  p

  resposta do sistema reage a uma perturbação em uma certa entrada

• – K ganho estacionário ou ganho estático ou ganho do processo :

  p

  é a razão entre os valores finais da resposta e de uma determinada entrada considerada ∆y

  K (degrau em u), ou =

  p

  ∆u K lim

  = [G (s)]

  p p s→0

  U ( s ) Y ( s ) D i a g r a m a d e B l o c o s

  p

  t p

s + 1

K

p

  s

  p

  τ

  p

  K

  (s) =

  (s) U

  (s) = Y

  U (s) G

  Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial de um sistema de primeira ordem, obtendo

  p

  s + 1)Y (s) = K

  p

  (τ

  U (s)

  p

  sY (s) + Y (s) = K

  p

  τ

• 1

Caso Particular: Se a

  = 0 dy dt

  = b a

  

1

  u = K

  ′ p

  u G

  p (s) =

  Y (s)

  U (s)

  = K

  ′ p

  s diz-se que o sistema é puramente capacitivo ou integrador puro . a

  As respostas transientes de sistemas de 1 ordem são apresentadas para três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudo experimental e teórico do controle de processos.

  Resposta ao Degrau

  A função degrau de amplitude A é expressa por

  

∗

  u (t) = Au

  (t), t ≥ 0

  ∗

  onde u (t) é a função degrau unitário

  u A A U ( s ) = s t

  )

  

p

  −t/τ ^p

  A (1 − e

  p

  (t) = K

  A s cuja transformada inversa de Y (s), y (t), será igual a y

  s

  τ

  continuação

  p

  K

  Y (s) =

  ordem e a Transformada de Laplace da função degrau com amplitude A,

  a

  Combinando a função de transferência de um sistema de 1

• 1

continuação

  A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y A contra o tempo adimensional t : (t)/K /τ

  p p _{0.8 0.9 1 Sistema de Primeira Ordem: resposta ao degrau y/K A p 0.5 0.6}

  0.7 _{0.4 0.1 0.2}

  0.3

  0.5 ^{1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5} t/τ _p continuação

  Destacam-se nessa resposta: ₁ o valor de y (t) alcança 63,2% do seu valor final após decorrido um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo, .

  τ p

Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será a resposta do sistema. A resposta é essencialmente completa

  após 3 a 5 constantes de tempo tempo decorrido

  2

  3

  4

  5 τ τ τ τ τ

  p p p p p

  95 98,2 99,3 [y (t)/y (∞)] × 100 63,2 86,5 continuação ₂

  a inclinação da curva resposta em t = 0 é igual a 1 d A

  [y (t)/K ]

  p _p −t/τ

  e = = 1 d

  [t/τ ] t =0

  p

t =0

  se a velocidade inicial de variação de y (t) fosse mantida, a ₃ resposta seria completa após uma constante de tempo o valor final da resposta é igual a K A

  p

  ∆y A

  = K

  p p

  ⇒ y(t → ∞) → K ∆u Resposta ao Impulso

  Matematicamente, a função impulso de intensidade A é definida por u (t) = Aδ(t), t = 0 onde δ(t) é a função impulso unitário u u

  A A b _® U ( s ) = A b

  b

  t t continuação

  A resposta impulsional de um sistema de primeira ordem, perturbado por um impulso de intensidade A, pode ser expressa por: Y

  (s) = K

  p

  τ

  

p

  s + 1 A

  A transformada inversa de Y (s), y (t), será igual a y

  (t) = K

  

p

  A τ

  

p

  e

  −t/τ ^p continuação

  A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensional y A contra o tempo adimensional t : (t)τ /K /τ _{0.8 0.9 1} p p p _{Sistema de Primeira Ordem: resposta ao impulso}

  0.7 _0.6 Note que a resposta _{A p}

  cresce imediata- _0.5 mente para 1 _{/K yτ p}

  , 0 e, _0.4 após decai exponen- _{0.1 0.2 0.3} cialmente.

  0.5 ^{1 1.5 2 2.5 3}

^{3.5 4 4.5 5} t/τ _p Resposta Senoidal

  Matematicamente, a função perturbação senoidal é representada pela equação u

  (t) = A sen(wt), t ≥ 0 onde A é a amplitude e w é a frequência angular (igual a 2 πf , f =frequência em ciclos por tempo).

  A Transformada de Laplace de u (t) é Aw

  U (s) =

  2

  2

  s

• w
• 1

• w

  Aw τ

  p

  (−wτ

  (wt + φ) φ = arctg

  2

  w

  2 p

  A q τ

  p

  −t/τ ^p

  2

  w

  2 p

  τ

  p

  p

  K

  (s), obtém-se y (t) =

  2 Calculando a transformada inversa de Y

  2

  Aw s

  s

  p

  τ

  

p

  K

  ordem, encontra-se Y (s) =

  a

  Combinando-a com a função de transferência de um sistema de 1

  continuação

• K
• 1 e
• 1 sen

  ) continuação

  Observe o comportamento da entrada senoidal e a resposta do sistema de 1

  a

  ordem a ela

  1 ^{2 3 4 5 6 −0.8 7 −1 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Sistema de Primeira Ordem: resposta senoidal} _t ^{y u y} continuação

  Pode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal: ₁ a resposta é também uma onda senoidal com frequência w igual ₂ à onda senoidal do sinal de entrada quando t → ∞, resta apenas a solução periódica final, algumas vezes chamada de solução estacionária

  K A

  p

  y sen = (wt + φ) q

  (t)|

  s

  

2

  2

  w τ + 1

  

p

  arctg φ = )

  p

  (−wτ (o primeiro termo tende a zero, sendo responsável pelo comportamento transiente da resposta de y

  (t)) continuação ₃

  a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) e da entrada é a chamada razão de amplitude , AR _q K p A ₂

₂

τ w +1 _{p K} p AR

  = = q A

  2

  2

  w τ + 1

  p Se AR atenuado .

  < 1, diz-se que o sinal é O mesmo é válido para a razão de amplitude normalizada , AR ,

  N

  obtida quando divide-se AR pelo ganho do processo, K

  p

  AR

  1 AR = = < 1, portanto atenuado

  N q

  K

  2 p

  2

  w τ + 1

  p

  AR apresenta apenas o efeito da dinâmica do processo, , τ

  N p

  sobre a resposta senoidal continuação

  4

  a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo |φ|. O atraso sempre ocorrerá, pois o sinal de

  φ é sempre negativo (

  φ < 0, atraso de fase; φ > 0, avanço de fase) Exemplo

  Dois tanques de armazenamento de líquido são mostrados a seguir

  F _o F _o h h k h F

  F = ( A ) ( A ) T a n q u e 1 T a n q u e 2

  

Figura: Dois tanques de nível Exemplo (continuação)

  √ Para o Tanque 1, a vazão de saída é calculada como F = 8

  h. Para o Tanque 2, a variação do nível h não afeta a vazão de saída, F . Ambos os tanques de armazenamento possuem seção reta uniforme com

  2

  área A e encontram-se em estado estacionário, com nível = 0, 3 m de líquido igual h

  , é = 1 m. No tempo t = 0, a vazão de entrada, F

  s o

  3

  aumentada para 10 m /min. Para cada tanque, determine:

  (a) a função de transferência H

  (s)/F (s)

  o (b) a resposta transiente h

  (t)

  (c) os níveis no novo estado estacionário (d) se cada tanque tem altura nominal h

  = 2 m, qual dos tanques

  n

  transbordará? E quando? Solução

Tanque 1 Modelo Linearizado

  dh F k

  o

  h, h = (0) = 0

  √ − dt A

  2A h

  s

Função de Transferência

  A função de transferência entre a variável de saída, H (s) e a variável de entrada, F

  (s) é:

  o

  H K (s)

  p

  G , onde

  p (s) = =

  F s (s) τ + 1

  o p

  √ 2 h (2)(1)

  s

  3 K /min)

  = = = 0, 25 m/(m

  p

  k (8)

  √

  2A h (2)(0, 3)(1)

  s

  τ = = = 0, 075 min

  p

  k (8) continuação

Função de Transferência

  Substituindo os valores numéricos de K e τ tem-se:

  p p

  H (s) , 25

  G (s) = =

  p

  F (s) , 075s + 1

  

o

Resposta ao Degrau

  A entrada F sofre um perturbação degrau de amplitude

  o

  3

  /min. A transformada inversa de ∆F = 2 m

  o

  = 10 − (8)(1) | {z }

  √ F =8 h _{s s}

  K ∆F

  p o

  H (s) = s s

  τ + 1

  p

  será igual a _{−t /τ p −t /0,075}

  h (t) = K ∆F 1 = (0, 25)(2)

  1 p o − e − e _{−t /0,075}

  = 0, 50

  1 − e continuação

Resposta ao Degrau

  Em variável absoluta

  −t/0,075

  h (t) = 1 + 0, 50

  1 − e

  Após a perturbação, a altura do tanque irá para h (t → ∞) = 1 + 0, 50 = 1, 50 m < 2 m não transbordará continuação

Resposta ao Degrau

  2

  = 1, 56 m < 2 m → não transbordará

  2

  8

  10

  =

  s

  h

  A resposta estacionária final também pode ser obtida do modelo não- linear, calculando-se o seu valor após a variação (degrau) em F

  o

  os

  = F

  s

  = 0 h

  s

  − k p h

  os

  : no EE: F

  k

Tanque 2

Modelo Linear(izado)

  dh F F

  o

  , h = (0) = 0

  − dt A A

Função de Transferência

  A função de transferência entre a variável de saída, H (s) e a variável de entrada, F

  (s) é:

  o

  F F

  o (s) (s)

  sH (s) =

  − A A H

  1 (s) /A

  G (s) = =

  p

  F (s) s

  o

  Substituindo o valor numérico de A tem-se H

  3 (s) , 33

  G

  

p (s) = =

  F s (s)

  o continuação

Resposta ao Degrau

  A entrada F sofre um perturbação degrau de amplitude

  o

  3

  /min. A transformada inversa de ∆F = 2 m

  o

  = 10 − (8)(1) | {z }

  √ F s =8 h s

  1 /A ∆F

  o

  H (s) = s s será igual a

  ∆F (2)

  o

  h t t (t) = = = 6, 67t

  A (0, 3)

  Em variável absoluta h (t) = 1 + 6, 67t

  Após a perturbação, a altura do tanque irá variar linearmente com o tempo, sem atingir novo valor final. continuação

Resposta ao Degrau

  O tanque irá transbordar quando h (t

  b

  ) > h

  n

  2 = 1 + 6, 67t

  b

  ⇒ t

  b

  =

  2 − 1

  6 , 67

  = 0, 15 min transbordará continuação Resposta ao Degrau _{2.2 2 Altura de Líquido no Tanque h (m) 1.8 1.4 1.6} hlinear _{hcapacitivo hnominal}

  1.2 _{1 0.05 0.1 0.15}

_{t (min) 0.2 0.25 0.3 0.35} Figura: Resposta ao degrau de dois tanques de nível Exemplo

  2 Um tanque de nível de seção reta uniforme de área A e vazão

  = 0, 3 m √ de saída calculada como F h, encontra-se em estado estacioná-

  = 8 rio, com nível de líquido igual h = 1 m. No tempo t = 0, a vazão

  s

  3

  de entrada é aumentada bruscamente para 9 m /min, durante 0,1 min,

  3

  pela adição uniforme de 0,10 m de líquido no tanque. Mostre a res- posta do sistema no tempo e compare-a com a resposta impulsional.

  Exemplo (continuação)

F o h ( A ) h k

  F =

Figura: Tanque de nível Solução

Função de Transferência

  A função de transferência entre a variável de saída, H (s) e a variável de entrada, F (s) é:

  o

  H K (s)

  p

  G , onde (s) = =

  p

  F s (s) τ + 1

  o p

  √ 2 h (2)(1)

  s

  3 K /min)

  = = = 0, 25 m/(m

  p

  k (8)

  √

  2A h (2)(0, 3)(1)

  s

  τ = = = 0, 075 min

  p

  k (8)

  Substituindo os valores numéricos de K e tem-se:

  p τ p

  H (s) , 25

  G (s) = =

  p

  F (s) , 075s + 1

  

o continuação Perturbação Pulso ₃ F , m / m i n _o

  9 A entrada F sofre um perturba- o

  0 , 1

  ção pulso de amplitude ∆F

  o

  = 9 −

  t , m i n

  8

  3

  /min e duração de (8)(1) = 1 m

  0 , 2

  | {z }

  √

  7 F =8 h _{s s} 0,1 min.

  Esta perturbação pode ser repre- ³ F , m / m i n _{o 3} sentada como dois degraus iguais 0 , 1 0 m

  1 d e s v i o

  e consecutivos, mas de sinais opostos

  t , m i n 0 , 1 0 , 2 - 1 continuação

Perturbação Pulso

  F

  o

  (t) = ∆F

  

o

  [u(t) − u(t − t

  o

  )] com t

  o

  = 0, 1 min e cuja Transformada de Laplace é F

  o

  (s) = ∆F

  

o

  1 s − e

  −t ^o s

  s

Solução no Tempo

  −t ^{o s}

  continuação

  Resolvendo a equação no domínio da Transformada H

  (s) = K

  p

  τ

  s H

  s

  ∆F

  o

  1 s − e

• 1

  p

• 1)
• 1) cuja transformada inversa será igual a h

  ∆F

  ) o

  o

  i u (t − t

  −(t−t ^{o )/τ p}

  1 − e

  u (t) − h

  −t/τ ^p

  1 − e

  n

  o

  (t) = K

  p

  (s) = K

  s

  p

  s (τ

  −t ^o s

  − e

  p continuação

  1 s (τ

  o

  ∆F

  p

  s

Solução no Tempo

  o

  o

  1 − e

  −t/τ

^p

  t < t

  o

  K

  p

  ∆F

  e

  p

  t _o /τ _p

  − 1 e

  −t/τ ^p

  t > t

  o

  Substituindo pelos valores numéricos

  h (t) = (0, 25)(1) 1 − e ^{−t /0,075} = 0, 25 1 − e ^{−t /0,075} t < 0, 1 min (0, 25)(1) e

  ,1/0,075 − 1 e ^{−t /0,075} = 0, 698e ^{−t /0,075} t > 0, 1 min

  ∆F

  Ou h (t) =

  K

  p

  p

  ∆F

  o

  1 − e

  −t/τ

^p

  t < t

  o

  K

  ∆F

  h (t) =

  o

  1 − e

  

−t/τ

^p

  −

  1 − e

  −(t−t ^o )/τ _p

  t > t

  o

  K continuação

Solução no Tempo

  Comparando com a resposta impulsional de intensidade ∆F

  o o

  × t K t

  ∆F (0, 25)(1)(0, 1)

  p o o _p −t/τ −t/0,075 −t/0,075

  h e e (t) = = = 0, 33e

  τ (0, 075)

  p

  Em variável absoluta

  −t/0,075

  1 t < 0, 1 min

• 0, 25 1 − e h

  (t) =

  −t/0,075

  1 t

• 0, 698e > 0, 1 min

  

−t/0,075

  h (t) = 1 + 0, 33e continuação

Solução no Tempo

  0.1

^{0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 Pulso e Impulso em F} _{t (min)} ^{h (m) resposta ao pulso resposta ao impulso}

Figura: Resposta impulsional e ao pulso Exemplo

  A composição de alimentação de um reator varia com uma amplitude maior que o aceitável. Deseja-se instalar um tanque pulmão para re- duzir a variação na composição de alimentação, como mostrado na figura:

  

F

F F C C*

_{A0 A0 C}

_A

  C*

  V A0 Tanque Pulmão Reator

Figura: Reator com tanque pulmão Exemplo (continuação)

  Deseja-se, então, saber qual o volume mínimo requerido do tanque pulmão para que a variação da composição na corrente de entrada do

  3 reator seja menor ou igual a ? Analise e discuta a solução.

  ±20 g/m

  3 Considere uma vazão de alimentação F /min e uma concentra-

  = 1 m ção de alimentação C variando segundo uma senóide com amplitude

  A0

  3

  de 200 g/m e período de 5 min, na vizinhança de um valor médio de

  3 200 g/m .

Modelo Linear

  (0) = C

  ∗ A0

  (s) é obtida a partir do modelo linear escrito na forma padrão de primeira ordem e em variável desvio: dC

  A0

  (s) e a variável de entrada, C

  ∗ A0

  A função de transferência entre a variável de saída, C

  ∗ A0s

  ∗ A0

  ∗ A0

  ), C

  

A0 − C

∗ A0

  V (C

  F

  dt =

  ∗ A0

  dC

  Solução

Função de Transferência

• F

  V C

  p

  dt

  = V /F min

  1 F /V

  =

  p

  /V = 1 e τ

  /V F

  = F

  p

  , onde K

  s

  τ

  = F

  p

  K

  (s) =

  A0

  (s) C

  ∗ A0

  C

  p (s) =

  G

  V C

  A0

• 1

continuação

Resposta à Senóide

  A entrada C comporta-se como uma perturbação senoidal

  A0

  3 A sen e frequência angular

  (wt) com amplitude A = 200 g/m

  −1

  w . A transformada inversa = 2πf = 2π/T = 2π/5 = 0, 4π min de

  K Aw

  p ∗

  C (s) =

  A0

  2

  2

  s s τ + 1 + w

  

p

  será igual a K Aw K A

  

p τ p p

_p ∗ −t/τ

  C e sen (t) = (wt + φ) + q

  A0

  2

  2

  w τ + 1

  2

  2 p

  τ w + 1

  p

  arctg φ = )

  p

  (−wτ continuação

Solução Estacionária

  Após um transiente inicial, considera-se apenas a chamada

  solução estacionária :

  K A

  p ∗

  C sen (t) = (wt + φ) q

  A0

  

2

  2

  w τ + 1

  

p

  arctg φ = )

  p

  (−wτ continuação

Solução Estacionária

  Deseja-se que a amplitude da senóide na entrada do reator seja

  3 _∗

  3

reduzida de A para A ; isto é, projetar um

= ±200 g/m = ±20 g/m

tanque pulmão com volume V suficiente para atenuar o sinal original

_{∗ ∗} C (t) para C (t). Desta forma, a amplitude do sinal C (t) será igual

  A0 A0 A0

  a:

  K A

  p ∗

  A = q

  2

  2

  w τ + 1

  p

  K A

  p ∗

  A = p

  2

  2

  w (V /F ) + 1 s s

  F K A 1 (1)(200)

  p

  V =

  − 1 = − 1

  ∗

  w A

  20 , 4π

  3 V

  = 2, 4 m

  

Leitura Complementar

  Próxima aula:

  a

apostila do Prof. Wu , capítulos 11 (volume I) e 12 (volume II).

b livro do Stephanopoulos , capítulos 11 e 12. c _a livro do Seborg et al. , capítulos 5 e 6.

  

Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.

_b Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.

Stephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and

_c Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984. _st

Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1

  Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.