UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLANDIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECAn ICA 2016

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HELIO RIBEIRO NETO

  

MODELAGEM MATEMÁTICA PARA A

  

INTERAđấO FLUIDO ESTRUTURA ACOPLANDO

ESCOAMENTOS INCOMPRESSIVEIS E VIGA DE

TIMOSHENKO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLANDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECA n

  ICA

2016

  HELIO RIBEIRO NETO MODELAGEM MATEMÁTICA PARA A INTERAđấO FLUIDO ESTRUTURA ACOPLANDO ESCOAMENTOS

  INCOMPRESSIVEIS E VIGA DE TIMOSHENKO Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduaçao em Engenharia Mecanica da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para a obtencao do título de MES­ TRE EM ENGENHARIA MECÂNICA.

  Area de concentracao: Transferencia de Ca­ lor e Mecâanica dos Fluidos.

  Orientador: Prof. Dr. Aristeu da Silveira Neto Coorientador: Prof. Dr. Joao Marcelo Vedovoto

  Uberlândia - MG 2016 R484m 2016

  Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Sistema de Bibliotecas da UFU, MG, Brasil. Ribeiro Neto, Hélio, 1991-

  Modelagem matemática para a intração fluido-estrutura acoplando escoamentos incompressíveis e viga de Timoshenko / Hélio Ribeiro Neto. - 2016.

  176 f. : il. Orientador: Aristeu da Silveira Neto. Coorientador: João Marcelo Vedovoto. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Inclui bibliografia.

  1. Engenharia mecânica - Teses. 2. Vibração - Teses. 3. Dinâmica dos fluidos - Teses. 4. Fluidodinâmica computacional - Teses. I. Silveira Neto, Aristeu da, 1955- II. Vedovoto, João Marcelo, 1981- III. Universidade Federal de Uberlândia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.

  CDU: 621

  

HÉLIO RIBEIRO NETO

MODELAGEM MATEMÁTICA PARA A INTERAđấO FLUIDO

ESTRUTURA ACOPLANDO ESCOAMENTOS INCOMPRESSIVEIS E

VIGA DE TIMOSHENKO

  Dissertação APROVADA pelo Pro­ grama de Pós-graduação em Engenharia Me­ cânica da Universidade Federal de Uberiandia. Area de concentracao: Transferencia de Calor e Mecanica dos Fluidos.

  Banca examinadora: Prof. Dr. Aristeu da Silveira Neto - Orientador (UFU) Prof. Dr. João Marcelo Vedovoto - Coorientador (UFU) Prof. Dr. Domingos Alves Rade (ITA) Prof. Dr. Francisco Jose de Souza (UFU) Prof. Dr. Julio Romano Meneghini (USP)

  

Uberlândia, agosto de 2016

  

AGRADECIMENTOS

  V A Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Uberlândia e a co­

ordenação do Programa de Pos-graduacao pelo suporte e infraestrutura necessários para a

realizaçao dos trabalhos.

  Ao Prof. Dr. Aristeu da Silveira Neto por abrir as portas do Laboratário de Mecanica

dos Fluidos (MFLab), pela dedicacao constante na orientacao deste trabalho, pelos ricos

conselhos e pela ajuda no meu crescimento profissional.

  Ao Prof. Dr. Joao Marcelo Vedovoto pela co-orientacao demonstrada pelas recomen- dacões e sugestões.

  Ao Prof. Dr. Aldemir Cavalini Jánior pela disposiçõo e pelas sugestoes nas discussões do trabalho. Ao Mestre Pedro Ricardo Corrêa Souza pelo companheirismo no desenvolvimento deste trabalho. Aos demais professores do Programa de Pás-graduaçao em Engenharia Mecanica da UFU. Aos Professores Domingos Alves Rade, Francisco Jose de Souza e Julio Romano Me- neghini pela disponibilidade em participar desta banca. Aos técnicos do Laboratório Luismar Lopes, Rodrigo Queiroz Saramago, Bruno Lou-

zada, Felipe Adriano, Ana Luisa pelo apoio e pelos servicos prestados ao longo de todo o

período.

  Aos meus pais pelo apoio e incentivo. Aos meus irmõaos por torcerem pelo meu sucesso. V .A Geisa pelo companheirismo e presenca constante.

  Aos colegas do laboratorio pela troca de conhecimento e colaboracao durante o desen­

  Ao CNPQ pela bolsa de Mestrado e a PETROBRAS pelo apoio a esta pesquisa.

  

RIBEIRO NETO,H., Modelagem matemática para a interação fluido estrutura aco­

plando escoamentos incompressáveis e viga de Timoshenko. 2016. 176 f. Dissertação

de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia.

  

RESUMO

Corpos cilíndricos submetidos a escoamentos externos podem vibrar em função de flu­

tuações de forças induzidas por estruturas turbilhonares. Essas vibrações podem induzir, por

meio de um processo nao linear, um aumento das forças de arrasto e transversais, levando

assim a um aumento dos esforços sobre as estruturas. Alem disso, as vibracoes podem causar

nucleacão e propagaçao de trincas na estrutura, conduzindo-a a falha em virtude da fadiga.

Isso e especialmente importante quando esses cilindros sao tubos pelos quais petróleo ou gas

natural são transportados e estao submetidos a ondas e correntes marótimas. O principal

objetivo do presente trabalho e adquirir e ampliar a compreensao sobre a influencia da proxi­

midade do solo no processo de interacao fluido-estrutura em tubos horizontais ancorados por

dunas. Esse estudo foi feito atraves de solucão computacional das equacoes que modelam o

fenômeno, em ambiente de processamento paralelo. Essas simulaçães foram feitas em uma

tubulacão de comprimento L=42m e diametro 0=0,27m em um escoamento dinamicamente

caracterizado por Re^ = 1, 73 x 105. Cinco diferentes distancias da tubulação ao solo (gap)

foram testadas e analisadas. São elas: 0,1 0, 0,2 0, 0,3 0, 1 0 e 5 0. No presente trabalho

a modelagem estrutural e a modelagem fluidodinamica são acopladas matematicamente e

numericamente, o que permite a simulacao e a analise de escoamentos com os dois efeitos

acoplados, utilizando-se uma ónica ferramenta computacional. A Metodologia da Fronteira

Imersa, utilizada no presente trabalho, óe particularmente adequada para os problemas que

envolvem interação fluido-estrutura, pois os domínios do fluido e da estrutura sao trata­

dos de forma simultanea. As equacoes que modelam os escoamentos sao resolvidas em um

domónio euleriano (fixo, cartesiano, por exemplo), enquanto a superfócie do corpo imerso e

representada por um conjunto de pontos lagrangeanos. Atraves dessa metodologia, as forcas

  

para imposição da condição de contorno de não deslizamento na fronteira entre o fluido e

a estrutura, quanto na rotina estrutural para o calculo dos deslocamentos e velocidades da

estrutura. Foi utilizado um código computacional, Fluids3D, integralmente desenvolvido em

casa, que permite a simulacão de escoamentos incompressíveis tridimensionais com modela­

gem para fechamento da modelagem da turbulencia em conjunto com modelagem de viga de

Timoshenko. As simulacoes foram feitas em um cluster de alto desempenho que permitiu a

utilizacao de 80 ou 160 processadores dependendo do caso. Mesmo contando com compu­

tadores robustos e computaçao paralela, cada simulacao teve duracao de 13 a 28 dias. O

número de volumes computacionais utilizados para descrever o domínio do fluido variou de

5.040.000 a 8.064.000. Os resultados obtidos sao consistentes com o que se espera para esse

tipo de problema.

  

Palavras chave:Interação Fluido-Estrutura, Vibração Induzida por Vórtice, Vibração Indu­

zida por Estruturas Turbilhonares, Acoplamento Numérico de problemas de Fluido-Estrutura.

  RIBEIRO NETO,H., Mathematical modeling for fluid-structure interaction

coupling incompressible flows and Timoshenko beam. 2016. 176 f. Master Disserta­

tion, Federal University of Uberlandia, Uberlandia.

  

ABSTRACT

Cylindrical bodies subjected to external flow can vibrate due to fluctuations forces in­

duced by eddy structures. These vibrations may induce, by means of a non-linear process, an

increase in the drag and lift, thus leading to increased strain on the structures. In addition,

the vibrations may cause nucleation and propagation of cracks in the structure leading to

failure due to fatigue. This is especially important when these cylinders are tubes through

which oil or natural gas are transported and are subject to waves and currents. The main

aim of this work is to acquire and broaden the understanding of the influence of proximity to

the ground in the fluid-structure interaction process in horizontal pipes anchored by dunes.

This study was done by computational solution in parallel atmosphere of the equations that

model the phenomenon. These simulations were performed on a pipe length L = 42m and

a diameter of = 0,27m in a flow dynamically characterized by ^ = 1 73 x 105. Five

  Re ,

different distances between the soil and the pipe (gap) were tested, they are: 0,1 , 0,2 , 0,3 ,

1 e 5 , where is the structure diameter. In this study, the structural modeling and fluid

dynamics modeling are coupled mathematically and numerically, which allows the simulation

and analysis with both effects coupled, using a single software tool. The Immersed Boundary

Method used in this study, is particularly suitable for problems involving fluid-structure in­

teraction, because the fluid and structure domains are treated independently. The equations

that model the flows are solved in an Eulerian field (fixed Cartesian, for example), while

the surface of the immersed body is represented by a set of Lagrangian points. Using this

methodology, the liquid-solid interface forces are evaluated. These forces are used either in

the fluid routine for the imposition of non-slip boundary condition on the boundary between

the fluid and the structure, as in the structural routine for calculating the displacements and

  

incompressible flows with a turbulence model together with Timoshenko beam model was

used. The simulations were performed on a high-performance cluster that allowed the use of

80 or 160 processors depending on the case. Even with robust computers and parallel com­

puting, each simulation lasted from 13 to 28 days. The number of computational volumes

used to describe the fluid field varied from 5,040,000 to 8,064,000. The results are consistent

with what is expected for this type of problem.

  

Keywords:Fluid-structure interaction, Vortex induced vibration, Eddy structures induced vi­

bration, Numerical coupling on fluid-structure problems .

  Lista de Figuras

  

  

  

  

3

  

  

  

  

  6

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

4

  

  

  

  

  

  

  

  

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88

   88

  

  

  

  

  

  

  

  

  

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   . . 108

  

  

  

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   . . 125

  

  

  

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   . . 142

  

  

  

  

  

  

  Lista de Tabelas

  

  

  

  

  

2

  

  

Lista de Símbolos

F Siglas CDS CSS CUBISTA RMS TVD ALE CENPES LMEst MCNAB MFLab NGDL RANS

  Volume de transformação para a obtençao da força em newtons Central D if ference Scheme Conventional sequential staggered Convergent and Universally Bounded Interpolation Scheme for the Treatment of Advection Root Mean Square Variação Total Diminuída Arbitrary Lagrangian Eulerian Centro de Pesquisa da Petrobras Laboratório de Mecanica de Estruturas Prof. Jose Eduardo Tannus Reis Modified Crank — Nicolson/Adams — Bashforth Laboratório de Mecanica dos Fluidos Numero de Graus de liberdade por unidade de volume 03 Navier-Stokes com media de Reynolds VIV Vibração induzida por vórtice Operadores d Derivada parcial min Mínimo valor

  Subscritos

i e j Notaçao indiciai, i e j =1,2,3, referente às direções coordenadas X f,

Yf, Zf

  1 Referente ao no 1 da viga

  2 Referente ao no 2 da viga D Variavel avaliada “a jusante” (downstream) E Refente a ceiula leste k Propriedade avaliada em uma iteracão qualquer k K f

  

Propriedade avaliada em uma iteracão final

n Variavel avaliada no passo de tempo anterior P Variavel avaliada no ponto de interesse

  U Variavel avaliada “a montante” (upstream) W Refente a celula oeste f

  Referente ao fluido s Referente à estrutura Sobrescritos

  • Variavel temporária ou estimada

  Letras Gregas A w

  Xn Swirling strength A Comprimento característico do filtro G di e

  Viscosidade cinematica efetiva calculada como a soma da viscosidade cinematica molecular com a viscosidade cinematica turbulenta

  Z variavel espacial que percorre o comprimento de uma viga nuef

  Z A Comprimento característico do filtro G

  ^

  2 e

  Graus de liberdade de rotacão no no 1 Ô

  Vt Viscosidade cinemática turbulenta Í

  2T Z Flecha suplementar devido ao esforço cisalhante Tij

  Vs Coeficiente de Poisson

  Z s Deformaçcaão cisalhante na viga

  Constantes multiplicadas as matrizes de massa e rigidez, repectiva- mente, para a obtençao da matriz de amortecimento proporcional YY s

  Delta de Kronecker Y e p

  ( x - xk) Função de Dirac Sij

  Tensor de Reynolds submalha At Passo temporal Ax Passo espacial S Deslocamento da tubulaçao s

2 Graus de liberdade de rotacão no ná 2

  p Coeficiente de expansão térmica do fluido

  IX s Momento de inercia de área da seção transversal em relação ao eixo de referencia X s

  IX s Momento de inercia de área da secão transversal em relacão ao eixo de referencia Ys p

  Viscosidade dinamica do fluido

  V Viscosidade cinematica do fluido Vs Coeficiente de Poisson Diametro da estrutura

  Ps Massa específica da estrutura

  Pf Massa específica do fluido

  Letras Latinas O Ordem de grandeza G Filtro com comprimento característico A P

  Campo de pressaão P

  Pressao modificada pelo traco do tensor submalha S

  Tensor taxa e deformacão escrito em funcao das velocidades filtradas G Filtro com comprimento característico A A t

  Area do elemento triangular da malha lagrangena C Matriz de amortecimento proporcional C

  G Matriz de amortecimento global

  C YsZ s c

  Matriz de flexibilidade do elemento engastado em flexão pura (plano s s

  D d E F f F a f n

  F i

  G G g G p

  I I( Ys

  ) k — e k — u K c

  K g

  K l t

  Posição da estrutura Media das arestas do elemento triangular da malha lagrangena

Modulo de elasticidade ou modulo de Young

Vetor força externa Funcao referente ao termo difusivo discretizado Força axial aplicada ao elemento.

  Primeira frequencia natural da estrutura na água Termo fonte devido ao metodo de multi forçagem direta Matriz de rigidez elementar devido a forca axial Fa

Máodulo de cisalhamento do material da viga Funcao referente ao termo advectivo discretizado Distância entre dois cilindros em uma tubulação do tipo piggyback Matriz identidade de ordem 2 Momento de inercia de área da secao transversal da viga em relação a coordenada Ys Modelo de fechamento para turbulâencia Modelo de fechamento para turbulâencia Matriz de rigidez elementar de um corpo em uma condicçaão de engaste Matriz de rigidez global Matriz de rigidez elementar de um corpo livre de restriçães de mo­ vimento Matriz de rigidez do elemento engastado em flexao pura (plano YsZs) c Coeficiente de forma da seçao ao cisalhamento kys Lij Tensor de Leonard M Matrizes elementar de massa

2 Mi e M Matrizes clássicas de massa

  

M3 e M4 Matrizes de massa que dão a influencia do efeito secundário da iner-

cia de rotacao g

  Matriz de massa global M x Momento fletor atuante na viga

  M x Momento fletor aplicado ao ná 1

  M

  1 z

  M

1 Momento fletor aplicado ao ná 1

  z Momento fletor aplicado ao ná 2

  M

  2 x

  Momento fletor aplicado ao no 2 M

  2 Ni e N2 Vetores formados por coeficientes de equacães polinomiais de terceira ordem Ordens de convergencia do metodo numerico de integracao temporal P utilizado no sistema fluido Ordens de convergencia do metodo numerico de integracao temporal q utilizado no sistema estrutura Vetor de deslocamentos nodais de um elemento de viga q

  Forças generalizadas referentes aos graus de liberdade u1, ^1, u2 e 9i, 94, 95 e q8

  Forças generalizadas referentes aos graus de liberdade wi, di, w2 e 52, 93, 96 e 97 d2 respectivamente Vetor de graus de liberdade nas direcões Xs e Zs, respectivamente

  9« e qw S iArea da secao transversal da viga r iÁrea reduzida da seçõo transversal

  S t Variavel temporal z

  Força cortante atuante na viga T U * Velocidade reduzida ui e wi Graus de liberdade de translacao no no 1 U2 e W2 Graus de liberdade de translacao no no 2

  ^ Velocidade media de entrada do fluido no domínio U

  M X Energia de deformaçao da viga em funçõo do momento aplicado U

  

YsZ sFa Energia potencial elástica devido à forca axial para a viga elementar

U W Vetor forca peso

  Força aplicada ao ná 1 Xi

  Força aplicada ao ná 2

  X2 Zi Força aplicada ao ná 1 Força aplicada ao ná 2 Z2 s s

  X Y Referente ao plano XSYS

  S S Y Z Referente ao plano Ys Zs

  

e Distancia do cilindro maior em relação ao chao em uma tubulação

do tipo piggyback

E Modulo de elasticidade do material do tubo (ou modulo de Young)

G Modulo transversal do material do tubo

  Gravidade g L Comprimento da viga

  M Número de Mach Número de Reynolds cujo comprimento característico e o Diâmetro

  Re<p da estrutura

  Ri Número de Richardson s t Espessura da tubulação u Velocidade media do fluido na entrada do domínio Vo

  Velocidade media relativa da estrutura s

  V Velocidade media do som no meio material

  X Direçao do escoamento (largura do domínio) Y Direcao transversal ao escoamento (altura do domínio) Z Direçcãao axial (comprimento do domúnio)

  

SUMÁRIO

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

   161

  

CAPÍTU LO I

  

INTRODUđấO

A dinâmica dos fluidos e das estruturas imersas sao ramos da Engenharia Mecânica

com as quais se estuda o comportamento das interacoes fluido-estruturais, visando aperfei-

coar varios processos na industria, assim como entender fenômenos na natureza. O estudo

desse tipo de problema pode ser feito de duas maneiras: a experimentação material e a expe-

rimentacão virtual. Na primeira e necessária a modelagem física do problema em analise e a

montagem de bancadas experimentais que representem a física do problema a ser estudado.

Aláem disso, áe necessáaria a instrumentaçcãao da bancada para permitir a coleta de dados e

analise estatística do problema. A modelagem física consiste na avaliacao do problema de

interesse e determinacao de suposicoes físicas que visam simplificar o problema com o intuito

de viabilizar a analise. Na segunda maneira, e necessíria a modelagem física e matema-

tica do problema de interesse. A modelagem matemítica consiste na obtencao de equaçães

diferenciais, integrais e/ou integro-diferenciais que modelam a física do problema e depois

utilizar metodos numericos apropriados para a discretizaçao das equacoes.

  Os metodos de anílise computacional estao em franco crescimento. E importante

destacar que o míetodo computacional naão substitui o experimental material, mas o comple­

menta. Alem disso, e muito versítil, permite uma analise minuciosa do problema físico e

permite maior flexibilidade em relacao as condicoes físicas. Alguns experimentos podem ser

perigosos de se reproduzir em laboratório, ou ate mesmo impossíveis. Algumas desvantagens

  

sao que se necessita de modelos numéricos adequados e de computadores robustos, conforme

o problema que se está analisando.

  A interacao entre escoamentos e estruturas e um problema complexo e recorrente em

aplicacoes de engenharia. Esse fenomeno pode ser encontrado em aeronaves, motores a jato,

tubulacoes, reatores nucleares e químicos, pontes, torres, plataformas off-shore, valvulas de

compressores, coracao, aneurismas, entre outros. A dinamica dos fluidos computacional

aliada a solução numerica das equacoes que modelam a movimentacao de estruturas e uma

grande aliada na compreensao dos problemas de interaçao fluido-estrutura. Trata-se de um

problema multidisciplinar, visto que envolve a mecanica dos fluidos, mecanica das estruturas,

matemática pura e aplicada, engenharia de software, ciencia da computacão, entre outros.

  Os escoamentos sobre estruturas cilíndricas podem ser a fonte de vibrações induzidas

por estruturas turbilhonares. Essas vibracães podem induzir um aumento das forças fluido-

dinâmicas, ou seja, arrasto e sustentacao, levando assim a um aumento dos esforços sobre

as estruturas. apresentaram resultados de um escoamento bidimensi­

onal sobre um cilindro circular no qual o coeficiente de arrasto medio passa de 1,3 para

2,2. Alem disso, as vibraçoes podem causar nucleacao e propagaçao de trincas na estrutura

conduzindo-a a falha em virtude da fadiga.chegaram a conclusao que em

alguns casos o valor RMS do coeficiente de sustentaçao passou de 0,3 para 1,75, dependendo

do regime de operaçcãao. Esses sãao resultados que justificam a preocupaçcãao com o processo

de interacao fluido-estrutura em cilindros. Isso e especialmente importante quando esses

cilindros sãao tubos pelos quais petroleo ou gas natural sãao transportados, sobre os quais

se tem ondas e/ou correntes marítimas atuando. A manutencao desse tipo de tubo e cara,

visto que podem estar a centenas de metros da superfície. Qualquer falha nessas estruturas

pode causar desastres ambientais e grandes prejuízos. Por isso e extremamente importante

entender como o processo de interaçcãao fluido-estrutura atua sobre a dinâamica da tubulaçcaão

para prevenir falhas.

  A pesquisa apresentada nessa dissertacao e resultado de cooperacao entre o Labora­

tório de Mecanica dos Fluidos (MFLab ), o Laboratário de Mecanica de Estruturas Prof.

Jose Eduardo Tannus Reis (LMEst ) da Universidade Federal de Uberlandia (UFU) e com o

centro de pesquisa (CENPES) da Petroleo Brasileiro S.A. (Petrobras). A pesquisa foi feita

  

utilizando-se o programa Fluids3D, que está sendo desenvolvido no MFLab há mais de 9

anos. Nesse programa e possível a execuçao de simulações de escoamentos incompressíveis

levando em consideraçao a movimentação de estruturas, utilizando-se uma unica ferramenta

computacional. A Metodologia da Fronteira Imersa, utilizada no presente trabalho, e particu­

larmente adequada para os problemas que envolvem interacão fluido-estrutura, pois permite

tratar os domínios do fluido e da estrutura de forma independente. As equacães que mode­

lam os escoamentos sao resolvidas em um domínio euleriano fixo e cartesiano, enquanto a

superfície do corpo imerso e representada por um conjunto de pontos lagrangeanos. Atraves

dessa metodologia, as forcas na interface entre a estrutura e o fluido sao avaliadas e utiliza­

das tanto na rotina do fluido para imposiçao da condão de contorno de não deslizamento,

quanto na rotina estrutural para o caílculo dos deslocamentos e velocidades da estrutura.

  O principal objetivo do presente trabalho e adquirir e ampliar a compreensao sobre a

influencia da proximidade do solo no processo de interacao fluido-estrutura em tubos hori­

zontais ancorados por dunas. Esse estudo foi feito atraves de solucao numerica em ambiente

de processamento paralelo das equaçoes que modelam o fenomeno. Essas simulacoes foram

feitas em uma tubulacao de comprimento L=42m e diâmetro 0=0,27m em um escoamento

dinamicamente caracterizado por Re^ = 1, 73 x 105. Cinco diferentes distancias da tubulação

ao solo (gap) foram testadas, são elas: 0,1 0, 0,2 0, 0,3 0, 1 0, 5 0.

  

CAPÍTU LO II

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

  2.1 Introdução Nessa seção serão apresentados os trabalhos utilizados como base para o desenvol­

vimento desse projeto de pesquisa. Primeiramente serâo apresentados trabalhos sobre a

interaçao entre fluido e tubos com seção circular. Depois serão apresentados trabalhos de

desenvolvimento da ferramenta Fluids3D, que e o programa utilizado para as simulacoes

apresentadas nessa dissertacão. Para permitir a validacão do acoplamento fluido-estrutura

com dados experimentais, foi necessaria a implementacao do acoplamento forte bloco-Gauss-

Seidel nao linear. Por isso, serâo apresentados trabalhos que tratam do acoplamento entre os

subsistemas fluido-estrutura. Finalmente serãao apresentados trabalhos desenvolvidos na em­

presa multinacional petrolífera Royal Dutch Shell, sobre o tema de interacao fluido-estrutura

em tubulações com secao circular.

  2.2 Interação entre fluido e tubos com seção circular Essa secão tem como objetivo mostrar o grande interesse que a comunidade científica

tem em estudar a interaçao fluido-estrutura envolvendo estruturas com secão circular e ate mesmo a interacao entre escoamentos, cilindros rígidos e solo. dade do solo, do tam anho da cam ada limite e do gradiente da velocidade na cam ada limite na distribuicao de pressao, nas forças hidrodinam icas e no com portam ento da emissao de estruturas turbilhonares em um escoamento com um cilindro liso próximo ao solo. Foi cons­ tatado que a razão de gap e a cam ada limite influenciam nos coeficientes de sustentação e de arrasto. Alem disso, os resultados m ostraram que quando a razao de gap se encontra entre 0,2 e 0,3 ha a supressao da emissao de estruturas turbilhonares, dependendo da cam ada limite. Forcas de sustentacão negativas foram encontradas, para algumas razoes de gap, quando um a haste e utilizada para perturbar a cam ada limite.

  

   executaram um a serie de experimentos para investigar a vibracao induzida por estruturas turbilhonares em um cilindro com efeito solo erodível. Os resultados m ostraram que a emissaão de estruturas turbilhonares e a erosãao do solo sãao acoplados e que tendem a um equilíbrio. O utro resultado interessante e que a velocidade reduzida crítica para o comeco da emissao de estruturas turbilhonares aum enta com a diminuicão do gap inicial. A comparaçao dos resultados desse trabalho com trabalhos com parede rígida m ostra que a am plitude das vibracães do cilindro perto da parede erodida apresenta am plitudes maiores e a frequencia de excitacao e ligeiramente maior com a parede rígida. A intensidade da erosão no solo aum enta com o aum ento da velocidade reduzida.

  fizeram experimentos para determ inar as formas de emissao de estruturas turbilhonares em oleodutos do tipo piggyback levando em consideracao o efeito

  s w i r l i n g s t r e n g t h ( u n ),

  solo. O principal parâm etro levado em consideraçao foi o que e um parâm etro relacionado com o discrim inante dos autovalores complexos do tensor gradiente da velocidade local. Chegaram à conclusao que os modos de emissao de estruturas turbilhonares sao dependentes da configuracão do oleoduto. Alem disso, as menores am plitudes de VIV foram encontradas com gap na faixa de 0,05 e 0,20 . O utro resultado interessante e que

  u n quanto m enor o gap, quando os outros parâm etros são m antidos fixos, menor e o maximo. p i g g y b a c k

   fizeram experimentos com dutos do tipo levando em con­ sideracao o efeito solo. Os autores fizeram a comparacao da m áxim a am plitude de vibracao desse tipo de duto perto de um a parede com um duto simples sem efeito parede e chegaram a conclusãao de que a prim eira íe maior. Foram feitos experimentos com diferentes angulacçãoes entre os dois tubos. Levando em consideracao somente a configuracao usual na qual a angu- lação entre os dois tubos e de 90 graus, constatou-se que a m enor am plitude de vibração e m áxim a velocidade crítica ocorre quando a gap e aproxim adam ente igual a 0,250. Em outro experimento, m antendo o gap=0,250 e variando-se o angulo entre os tubos, constatou-se que a menor am plitude de vibracao e a m áxim a velocidade reduzida crítica ocorre quando o

  1 2 0 angulo e igual a graus.

  utilizaram a ferram enta comercial Fluent® para simular o escoamento sobre um cilindro fixo, um cilindro com dois graus de liberdade e um cilindro com dois graus de liberdade e controle de forma em um domínio bidimensional sem efeito solo. Os cilindros foram simulados separadam ente. O foco do estudo e utilizar o controle de forma pelo m etodo

  T W W ( T r a v e l i n g W a v e W a l l ) .

  de O autor m ostra que esse m etodo utilizado desde o início do escoamento, ou comecando em um determ inado tem po, pode dim inuir muito as flutuacães do coeficiente de sustentaçao e o coeficiente de arrasto medio, mas tam bem pode aum entar dram aticam ente as flutuacoes de coeficientes de arrasto.

  simularam num ericamente um cilindro com dois graus de liber­ dade com efeito solo. Para resolver o problem a foram resolvidas as equações de Navier-

  ( A r b i t r a r y L a g r a n g i a n

  Stokes com m edia de Reynolds (RANS) utilizando o esquema ALE

  E u l e r i a n ) k — u .

  com modelo de fechamento para turbulencia Os gaps utilizados variaram

  1

  entre 0,0020 e 0,30. As simulacoes foram feitas com velocidade reduzida variando de ate 15 e o num ero de Reynolds variando de 1.000 ate 15.000. O autor m ostrou que o coeficiente de restituiçcãao do par cilindro chãao íe im portante para as am plitudes de vibraçcaão.

   fizeram um estudo bidimensional, utilizando o m etodo de

  k —

  elementos finitos upwind e o modelo de fechamento para turbulencia

  e, de um oleoduto do tipo piggyback. Esse oleoduto consiste na utilizacao de dois tubos, um próximo ao solo, de diam etro maior, e outro logo acima do primeiro, com diam etro menor. Os autores verificaram quatro tipos de emissao de estruturas turbilhonares dos dois cilindros, que sao governadas pela razão entre a distancia do cilindro maior ao chao e seu diam etro (e/ ) e pela razão ( G p / 0 ) . entre a distancia entre os cilindros e o diam etro do cilindro maior Alem disso, eles verificaram que o coeficiente de arrasto do maior cilindro aum enta com o aum ento e / .

  G p / 0

  A variacão do arrasto medio depende de e a sustentacao m edia aum enta no cilindro grande com a d im in u to de e / ). utilizou o software OpenFOAM® para simular um cilindro com

efeito solo com numero de Reynolds 100. De acordo com o autor, o escoamento sobre um

cilindro sem efeito parede com esse numero de Reynolds nao apresenta turbulencia. Três gaps

foram testados em simulacoes bidimensionais: 0,20; 0,50 e 1,00. Foi encontrada supressão

de estruturas turbilhonares quando o escoamento foi simulado com gap de 0,20 e 0,50. O

autor tambem fez simulaçães bidimensionais com parede com um perfil para representar uma

parede erodida pelo escoamento.

   utilizaram fronteira imersa para prever as características da res­

posta dinamica de um cilindro com dois graus de liberdade em um domínio bidimensional

sem presença de efeito solo. Os resultados mostraram que o cilindro descreve trajetórias em

um formato de oito ou formato levemente oval na regiao de sincronizacão lock — in. Essa

região foi obtida variando-se o parâmetro adimensional velocidade reduzida (U*). Alem

disso, quando o escoamento esta fora da região de sincronizacao a frequencia de emissao de

estruturas turbilhonares se aproxima da frequencia percebida em um cilindro fixo.

2.3 Programa Fluids3D

  O programa Fluids3D e uma ferramenta em desenvolvimento no Laboratório de Meca-

nica dos Fluidos (MFLab) da Universidade Federal de Uberlandia (UFU). Essa ferramenta

foi escolhida para a aplicacao apresentada nessa dissertacao, pois permite a solucao de escoa­

mentos incompressíveis tridimensionais com interacão fluido-estrutura em ambiente paralelo.

Essa ferramenta começou a ser desenvolvida pelo professor João Marcelo Vedovoto sob ori­

entação do professor Aristeu da Silveira Neto. A dissertaçao do professor Vedovoto foi feita

utilizando o código Fluids3D para a simulacão numerica de escoamentos incompressíveis

sobre geometrias complexas tridimensionais utilizando o metodo da fronteira imersa

Essa tese foi desenvolvida no mesmo período

que a tese de que adicionou ao Fluids3D um modulo estrutural que permite

a simulacao numerica de vigas de Cosserat em conjunto com escoamento incompressíveis.

  

Em comum acordo com a empresa, escolheu-se adicionar ao código Fluids3D um modulo

estrutural que permite a simulacao numerica de vigas de Timoshenko para se fazer as simu­

lates. Isso se deve ao alto custo computacional da metodologia de Cosserat implementada

e tambem devido a falta de necessidade de se utilizar uma metodologia tao complexa quanto

essa para as simulates do presente trabalho. Portanto, foram adicionados modulos que

permitem a soluto numerica de vigas de Timoshenko, baseada na formulato apresentada

por

  A utilizacão de modulos estruturais, como foi discutido acima, pressupõe a utilizato da

abordagem particionada de acoplamento, ou seja, os subdomínios da estrutura e do fluido sao

resolvidos separadamente. A seguir será feita uma revisao sobre os metodos de acoplamento

entre subsistemas.

2.4 Acoplamento

   apresentaram as duas formas de acoplamento entre subdo­

mínios: monolítico e particionado. No primeiro, os dois subsistemas sao resolvidos juntos em

um unico sistema nao linear, ou seja, as equacoes discretizadas da estrutura e do fluido sao

resolvidas simultaneamente chegando a um resultado que satisfaça os dois subdomínios. A

grande vantagem dessa metodologia e a robustez numerica, de tal forma que nenhuma outra

restrito e adicionada a soluto numerica alem daquelas inerentes aos metodos numericos

utilizados para cada subsistema. Segun o erro desse

tipo de acoplamento e O (At)mm(p,q) , na qual p e q sao as ordens de convergencia dos metodos

numericos de integrato temporal utilizados nos sistemas fluido e estrutura respectivamente.

  No metodo particionado os subsistema sao resolvidos separadamente. Existem dois

subgrupos no metodo particionado: o fraco e o forte. O primeiro tambem pode ser chamado

de CSS (conventional sequential staggered) segundo ou seja, se-

quencia atrasada convencional. Nesse míetodo o deslocamento do passo de tempo anterior

  

íe fornecida para o modelo do fluido para calcular a forcça do passo de tempo atual, como

pode ser visto na Fig.. O contrário tambem pode ser feito, ou seja, a forca do passo de de tempo atual, dependendo de qual modelo se usa para começar a simulação.

  Subsistema Estrutura Subsistema Fluido

  

Figura 2.1: Figura ilustrativa do acoplamento particionado fraco. Figura adaptada de.

   fizeram a análise numérica

de alguns metodos de discretizacao dos modelos diferencias para o fluido e para a estrutura

e concluíram que dependendo na relacão entre as densidades da estrutura e do fluido, o

acoplamento fraco será instavel numericamente. Esse efeito foi nomeado de massa adicionada

artificial. Para contornar esse problema o acoplamento forte deve ser utilizado.

  O acoplamento forte e uma tentativa de se obter uma soluçao monolítica utilizando-se

um código particionado, visto que o acoplamento forte tende à solução do acoplamento mono­

lítico, quanto mais iteraçães forem feitas.apresentam

os metodos bloco-Jacobi nao linear, bloco-Gauss-Seidel nao linear, bloco-Newton inexato e

Quasi-Newton para a solucao de sistemas desacoplados utilizando-se o metodo particionado

forte. O metodo bloco-Gauss-Seidel não linear pode ser explicado na Fig. Utilizam-se

subiteraçoes em cada passo de tempo para que os algoritmos cheguem assintoticamente a

uma forca e um deslocamento, para depois avancar no tempo.

  afirmam que o metodo particionado e tido como mais

rapido que o metodo monolítico. No entanto, eles mostram que a performance dos algo­

ritmos depende muito do problema que se deseja resolver. Segundo o

  Subsistema Estrutura Subsistema Fluido

  

Figura 2.2: Figura ilustrativa do acoplamento particionado forte do tipo bloco-Gauss-Seidel

nao linear. Figura adaptada

todo particionado. Alem disso, os subsistemas no método particionado podem ser resolvidos

numericamente utilizando-se metodos mais adequados, enquanto no monolítico e preciso que

se utilize um metodo de solucão de sistemas nao lineares geral. Isso pode tornar o metodo

monolítico menos eficiente que o metodo particionado. A modularidade citada se refere a

facilidade na utilizacão de mais de um metodo para se resolver cada subsistema. No caso

discutido na seç modelo de Cosserat foi substituído pelo modelo de Timoshenko,

o que nao seria possível no acoplamento monolítico. Nesse caso o código deveria ser rees­

crito (inclusive a parte referente ao fluido) para contemplar a solucao numerica da viga de

Timoshenko.

2.5 Trabalhos da Shell

   com o intuito de prever a vibração induzida por estruturas

turbilhonares em uma tubulaçao horizontal, acoplaram um código computacional que resolve

as equacães de Navier-Stokes com um codigo de elementos finitos que utiliza o modelo de

Euler-Bernoulli para o domínio estrutural. Para descrever o movimento da tubulacao imersa,

foi utilizado o metodo Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE). Alem de resolver numerica­

  

  m aterial proposto por A razão de aspecto da tubulação avaliada foi de 58. Os resultados do experim ento virtual tiveram boa concordancia com as medições feitas no experim ento m aterial. O resultado numerico da orbita da secao no ponto medio da tubula- çao foi com parado com a medicao da orbita na mesma secão no experim ento m aterial. Na

Figura 2.3 serão m ostradas algumas figuras publicadas no artigo citado acima. O símbolo se refere a velocidade reduzida, que e um adimensional que relaciona a prim eira frequencia

  • U

  natural da estrutura na agua em [rad/s] com a velocidade do escoamento ^ em [m/s] e

  fn U com o diâm etro da tubulacao , em [m], como pode ser visto na Eq. .

  • = ^

  (2.1)

  U U fn0

  sim ularam da mesma forma como foi apresentado acima, ou­ tros dois casos. Nesse artigo os resultados do experim ento virtual naão foram comparados com experimentos m ateriais. Os dois casos apresentados levam em consideraçcaão a proximidade da tubulacao com o solo e a dinam ica entre o solo e a tubulacao, ou seja, o choque entre a tubulaçcãao e o solo foi modelado. O primeiro caso apresentado tem um a razãao de aspecto de 138,44, 40,6% da tubulação se encontra em contato com o solo e o restante se encontra suspenso. A Figura, retirada do artigo, ilustra esse caso.

  O autor chega a conclusao de que se as praticas e recomendacoes DNV-RP-F105 forem utilizadas, a vida útil estim ada da tubulacão devido a vibraçao induzida por estruturas turbilhonares seria de 50 dias. No entanto, após a analise dos resultados do experimento virtual, o autor conclui que a vida util da tubulação e fundam entalm ente infinita. O outro caso tem um a razao de aspecto de 687,83. A Figuralustra o caso. A altura da duna e de aproxim adam ente 7,9 . Aproxim adam ente 40% da tubulacao se encontra sobre o solo m arítim o, enquanto o restante se encontra suspenso devido a duna. Nesse caso o autor conclui que utilizando-se as praticas e recomendacoes DNV-RP-F105 a vida útil estim ada

  1 0

  da tubulacçãao úe de menos de dias, enquanto a vida uútil estim ada utilizando os dados da

  1 0 0 0 experim entacao num erica e de mais de anos.

  

(a) Resultado utilizando uma velocidade reduzida de 2,20.

  

(b) Resultado utilizando uma velocidade reduzida de 4,0.

  

(c) Resultado utilizando uma velocidade reduzida de 5,0.

Figura 2.3: A esquerda estao os resultados do experimento virtual, enquanto à direita estao

os resultados do experimento material. O escoamento ocorre na direçao horizontal e no

sentido da direita para a esquerda.

  

Figura 2.4: Ilustração da disposição da tubulação sobre o solo marítimo do primeiro caso do

artig

  

Figura 2.5: Ilustração da disposiçao da tubulaçao sobre o solo marítimo do segundo caso do

artig

  Como pode ser observado, o tema de interação fluido-estrutura e muito explorado

pela literatura. No entanto, trata-se de um problema altamente nao linear, portanto pe­

quenas diferenças nas condições de operaçao podem influenciar muito o comportamento do

sistema completo. Esse trabalho se encaixa nesse contexto: analisar casos de interaçõo

fluido-estrutura industriais.

  

CAPÍTU LO III

METODOLOGIA

  3.1 Introdução A topologia do leito marinho, em águas profundas, pode ser muito irregular. Tubos

utilizados no transporte de petróleo e gas natural lançados sobre esse terreno irregular,

podem apresentar trechos sem suporte, como pode ser visto na Fig.

  Essas tubulações podem estar submetidas a correntes marítimas, que ao interagir com

as tubulações, induzem flutuações de forças fluidodinamicas que excitam a estrutura. O

principal objetivo do presente trabalho e adquirir e ampliar a compreensao sobre a influen­

cia da proximidade do solo no processo de interacao fluido-estrutura em tubos horizontais

ancorados por dunas submetidos a correntes marítimas.

  Objetiva-se neste capítulo apresentar os modelos físico, matematico e numerico utili­ zados para simular o problema de interesse.

  3.2 Modelo Físico No modelo físico, avalia-se o problema de interesse e determinam-se suposicoes físicas

que visam simplificar o problema com o intuito de viabilizar a solucão. Como se trata de um

problema que envolve a interaçao entre dois subsistemas (fluido e estrutura), as suposições

  

Figura 3.1: Ilustração de uma tubulação lançada sobre o leito marinho com topologia irre­

gular. Figura retirada . se as seguintes suposições:

3.2.1 Subsistema Fluido

  A seguir serêo mostradas as suposições físicas para o subsistema fluido. Elas foram

separadas em três subgrupos: domínio e propriedades físicas

3.2.1.1 Domínio

  O domínio de interesse do problema físico e o oceano no qual a estrutura está imersa em

conjunto com a tubulacõo de interesse. E importante notar que o domínio e delimitado pelo

solo marinho que apesar de nao se mover, influencia no escoamento e, como consequencia, na

vibraçao da estrutura. Como a simulacao do oceano em toda a sua extensao e impraticível,

e preciso que se faca a escolha de um domínio reduzido para a anílise do problema. Foi

escolhido um domínio de 42 metros (154 0) de comprimento (comprimento igual ao da pois a distancia entre o solo e o ponto mais baixo da estrutura deform ada pelo peso próprio (gap) varia para cada caso estudado. A altura do domínio variou de 2,5m (9 ) para o caso

  g a p

  no qual o e de 0,1 ate 4m (14 ) para o caso no qual o gap e de 5 . A Tab.ostra a altura do domínio para cada gap.

  Tabela 3.1: A ltura do domínio para cada gap simulado.

  g a p

  A ltura do domínio

  1

  2,5 m

  ,

  2 ,

  2,55 m

  ,

  3 2,55 m

  2 ,6 ,

  5 m

  1 2 ,8

  m

  2

  3,15 m 5 4 m A ilustração do domínio do fluido com a estrutura deformada pelo peso próprio é apresentado na Fig.ara o caso no qual o gap e de 5 0.

  Figura 3.2: Ilustraçao do domínio do fluido com a estrutura deform ada pelo peso próprio e

  Z f

  leito m arinho modelado como parede plana. Eixos de referencia do fluido (X f, Yf, ) e da

  Y Z estrutura (Xs, s, s) visíveis.

  O leito m arinho seró modelado como um a parede plana (caso m ostrado na Fig.. As suposições adotadas podem não representar a física do problema. O solo m arítim o nem sempre e plano, como foi ilustrado na Fig. Alem disso, o leito do m ar pode ser composto mude.

3.2.1.2 Escoamento

  Uma análise prévia do escoamento e necessária para caracterizá-lo, tendo em vista fazer as suposições mais adequadas para o caso em estudo.

3.2.1.2.1 Caracterizacao dinamica

  R e

  O escoamento pode ser caracterizado dinam icam ente pelo nUmero adimensional *, que pode ser calculado com a Eq.

  R e *

  = ^ , (3.1)

  v u v

  na qual e a velocidade m edia do fluido na entrada do domínio e e a viscosidade cinem atica do fluido. Para efeito do calculo do num ero de Reynolds, adotaram -se os valores: u= 1m /s,

  6

  1 v m 2 s - 1 <f m ,

  = 1,58 x 10- e = 2, 7305 x 10- que resulta em um num ero de Reynolds de

  = 1,73 x 10 . Sabe-se que escoamentos sobre cilindros estacionários se tornam instáveis

5 R e *

  R e *

  a = 47, 5, em conformidade com a teoria da estabilidade linear, portanto a esse valor de Reynolds do presente caso o escoamento deve ser seguram ente instavel a jusante do cilindro.

  O num ero de Reynolds pode ser interpretado como a razao entre os efeitos não lineares de inercia e os efeitos lineares viscosos, como pode ser visto na Eq.

  E f e i t o s d e i n é r c i a n d o l i n e a r e s R e * (3.2)

  E f e i t o s v i s c o s o s l i n e a r e s

  Isso significa que os efeitos não lineares serão mais pronunciados quanto maior for o núm ero de Reynolds. O problem a em estudo apresenta um núm ero Reynolds grande, de tal forma que e seguro afirmar que os efeitos nao lineares são mais pronunciados que os efeitos lineares. Alem disso, o num ero de Reynols tam bem tem relacão com num ero de graus de

   9 NGDL = (Re*)99 , (3.3)

na qual NGDL e o número de graus de liberdade por unidade de volume 03. No caso em

estudo, NGDL « 3.44 x 1046 m-3. Isso indica que o escoamento provavelmente se torna

turbulento a jusante do cilindro.

  Em escoamentos turbulentos as condicoes iniciais e de contorno impostas sao de ex­

trema importancia, visto que erros nessas condicoes podem ser amplificados exponencial­

mente pelas interacoes nao lineares, gerando instabilidades que são dependentes destes ruí­

dos. Qualquer variaçao nas condicoes iniciais determinarão estados completamente diferentes

nas previsães. Por falta de dados e em comum acordo com a empresa, a condiçao de en­

trada do fluido foi imposta como um escoamento uniforme de 1 ms-1 e a condicao inicial foi

imposta como 1 ms-1 em todo o domínio de estudo. Mais detalhes sobre as condicoes de

contorno serâo fornecidos na secao

  No caso do escoamento interno (transporte petróleo), o escoamento sera desconside­

rado, ou seja, o fluido interno sera tratado como um fluido estacionário. A movimentaçao

da estrutura tambem nao influenciara na movimentaçao do fluido interno. Essa suposto

deve ser tratada com cautela, uma vez que a movimentacão do fluido interno influencia na

movimentacao da estrutura e vice versa. Se o escoamento interno for multifasico, a movi­

mentacão das fases pode tambem gerar forças fluidodinâmicas sobre a estrutura. No entanto,

em comum acordo com a empresa, o escoamento interno foi desconsiderado.

3.2.1.2.2 Caracterizaçao térmica

  O numero de Richardson caracteriza a razão entre as forcas de empuxo e as forcas de

inercia. Portanto, pode ser usado para determinar se as forcas de empuxo sao pequenas. O

námero de Richardson pode ser calculado com a Eq. g/3 A T0

  R i (3.4)

  R i

  na qual e o núm ero de Richardson, g e a aceleração da gravidade, e o coeficiente de expansão term ica, A T e a diferença entre a tem peratura do fluido externo e do fluido interno.

  Considerando o coeficiente de expansão term ica da agua a 20 QC ~ 1,56 x 10-4 , g ~ 9, 81, tem-se: Ri « 4,18 x 10-4 A T

  (3.5) Portanto, se A T < 100°C , garante-se que as forças inerciais são m uito maiores que as forcas de empuxo. Em comum acordo com a empresa o escoamento foi considerado isotermico.

  3 . 2 . 1 . 2 . 3 C a r a c t e r i z a ç ã o d a c o m p r e s s i b i l i d a d e

  A compressibilidade do escoamento pode ser caracterizada pelo núm ero adimensional de Mach (M ), que pode ser calculado com a Eq.

  V M

  = - (3.6)

  Vs v o

  na qual e a velocidade m edia relativa da estrutura e vs velocidade m edia do som no meio m aterial. A velocidade media do som na agua do m ar e de aproxim adam ente vs ~ 1500ms-1 , enquanto a velocidade relativa do objeto e de vo = 1m s-1, portanto o num ero de Mach para o caso em estudo e de aproxim adam ente M « 6, 66 x 10-4. Para numeros de Mach muito pequenos, como e o caso, e possível dizer que o escoamento e incompressível.

  3 . 2 . 1 . 3 P r o p r i e d a d e s f í s i c a s

  No presente trabalho utiliza-se a hipótese do contínuo. As propriedades físicas do fluido foram consideradas constantes. Essa consideracão deve ser feita de forma cuidadosa, pois m uitas vezes as propriedades físicas dos m ateriais variam por efeitos de operacao (variaçao da tem peratura, por exemplo) ou por ser um a característica intrínseca ao m aterial (m ateriais nao newtonianos, por exemplo). Assume-se que agua salgada se com porta como um fluido

  P a s específica como pf = 1,025 x 103 kg m 3.

3.2.2 Subsistema estrutura

  A seguir serêo mostradas as suposicoes físicas para o subsistema estrutura. Elas foram

separadas em três subgrupos: domínio e propriedades físicas e

geometricas

  3.2.2.1 Domínio Tubos utilizados no transporte de petróleo e gas natural podem ter quilômetros de

extensao. Mas, como ja foi discutido na sec, o domínio de cálculo deve ser reduzido

para viabilizar a simulacao numerica. Portanto, o domínio escolhido para o subsistema

estrutura tem 42m, que e o comprimento do domínio escolhido para o fluido. O tubo tem

secao circular de diametro nominal 0 = 2, 73 x 10-1 m, que sera considerado constante

na direcao axial, visto que nao foram informados dados sobre a variaçao do diametro da

tubulacao.

  A escolha de um domínio menor que o domínio real implica em perda de informacoes.

Por exemplo, a vibracao da estrutura fora do domínio escolhido influencia na vibracao do

trecho em analise. Para levar em consideraçao esses efeitos, e preciso conhecer a forma como

essas vibracoes influenciam o trecho em estudo e impor como condicao de contorno. Por

falta de informacoes sobre esse comportamento, esses efeitos foram desconsiderados.

  3.2.2.2 Dunas As dunas, sobre as quais a estrutura estí apoiada podem ser constituídas por rochas

solidas ou sedimentos acumulados. Diante disso, e preciso que se modele o comportamento

das dunas sobre a estrutura de tal forma que represente a física da melhor forma possível.

No caso em estudo, as dunas foram modeladas como molas lineares de constante elastica

igual a 1010 N/m. Esse valor foi determinado em conjunto com a empresa, mas sem estudos

  3.2.2.3 Propriedades físicas e geométricas 3. 2. 2.3.1 Propriedades físicas Devido às diferentes necessidades técnicas, existem vários tipos de tubos utilizados na

extração e no transporte de petróleo. Em alguns casos os tubos utilizados no transporte de

petróleo e gas natural são formados por varias camadas de aco intercaladas com materiais

polimericos como pode ser visto na Fig. Em comum acordo com a empresa o tubo

e considerado vazado e formado por aco macico. Alem disso, o tubo e coberto por uma

camada de material anticorrosivo, que seró somente considerado para efeitos de inercia do

tubo e peso proóprio.

  

Figura 3.3: Ilustracao de um duto real utilizado no transporte de petró­

leo. Figura retirada de

  No presente trabalho utiliza-se a hipotese do contínuo. As propriedades físicas da estru­

tura foram consideradas constantes. Essa consideracao deve ser feita de forma cuidadosa, pois

muitas vezes as propriedades físicas dos materiais variam por efeitos de operaçao (variacao

da temperatura, por exemplo) ou por ser uma característica intrínseca ao material (materiais

  11

  1

  módulo de elasticidade E = 2,07 x 10 P a, coeficiente de Poisson vs = 3 x 10 e modulo

  transversal = 7, 962 x 10 P a. A m assa específica adotada foi = 7, 850 x 103kg

10 G p s m - 3 .

  S . 2 . 2 . 3 . 2 P r o p r i e d a d e s g e o m é t r i c a s

  Como foi discutido na subsecaodotou-se que a tubulacao tem diam etro no­

  t s

  minal constante. A espessura do duto tam bem e considerada constante e de valor =

  8

  2

  1, x 10- m. Com esses dados e possível calcular algumas propriedades im portantes como:

  2 n t s t s )

  A = (0 — = 1,4518 x 10- m 2, (3.7)

  " ( 0

  2

  n — t )

  s ' 4

  4 (A

  1,192 x 10- m 4, (3.8)

  s LY s

  • x

4 I

  2

  4 onde A e area da secão transversal do duto, IXs e IYs são os mementos de inercia de area da

  w

  Y s , secão transversal do duto em relacao aos eixos de referencia X s e apresentados na Fig.

  

3.3 Modelo matemático diferencial

  No modelo m atem ótico diferencial, sao apresentadas as formulações diferenciais do problem a em estudo levando em consideracao as simplificacoes discutidas no modelo físico (secao. A seguir serâo apresentadas as formulacoes diferencias para os subsistemas fluido e estrutura.

  3 . 3 . 1 S u b s i s t e m a f l u i d o

  No modelo m atem atico diferencial sao apresentadas as equacoes diferenciais parciais que modelam o problem a junto com as condicães de contorno e condicoes iniciais, quando aplicaveis. Para o subsistem a do fluido, foram utilizadas as equacães do balanço de massa, simplificada para o caso incompressível e a equacão do balanço da quantidade de movimento escoamentos isotérmicos e incompressíveis. A Equação e a equação do balanço de m assa simplificada para a o caso de escoamento incompressível em coordenadas cartesianas, utilizando-se a notacao indiciai:

  d u j

  (3.9) 1, 2, 3,

  0, j d x j X j X f Y f Z f Uj

  na qual são as direções coordenadas , e , respectivamente, e e a componente da velocidade do fluido na direcao j . A Equacao representa o balanco da quantidade de movimento linear para fluido newtoniano escrita na forma conservativa, simplificada para a o caso de massa específica constante e escrita em coordenadas cartesianas, em notacao indicial:

  d u i d u j d u i d ( u i U j d P d

  • )

  1 (3.10)

  • 1 d t d x j p f d x i d x j õx-í dxj.

  i e j P t e na qual = 1,2, 3, e a pressao e a variavel tem poral.

  As Equacães sao suficientes para simular a dinâm ica do fluido em es­ tudo. No entanto, para utilizar essas equacães e preciso que se resolvam todas as escalas do escoamento. Isso e inviavel, visto que a Eq. estim a que existem aproxim adam ente

  46 - 3

  3, 44 x 10 m graus de liberdade presentes em cada unidade de volume 03. Os domínios do subsistem a fluido descrito na seçaotem de 630m3 a 1008m3, portanto seria necessario

  51

  51 resolver de 1,064 x 10 a 1, 703 x 10 equacoes simultaneas, o que e inviavel atualm ente.

  Portanto, e necessario o uso da metodologia da simulacao de grandes escalas. Nessa m etodo­ logia sãao resolvidas as grandes escalas e a interacçãao entre as grandes escalas com as pequenas escalas e m odelada. No presente trabalho sera utilizada a modelagem subm alha descrita em Para se utilizar essa metodologia e necessario que se filtre as Eqs.

   duas vezes, obtendo-se as equacoes de transporte das velocidades filtradas,

  G

  que correspondem as grandes escalas que sao resolvidas. Aplicando-se o primeiro filtro de comprimento característico A nas Eqs.

  Õ U j (3.11) d x j

  • 1---------— = ------------1------
    • Pf dxi dx j dui duj " ' a j + aZd - Tij

  T ij u iu j u i u j , (3.16) de tal forma que a Eq. pode ser reescrita da seguinte forma: dui d [ui uj dt + dxj

  dui du

v\ ------+

d x j dx, 1 Tij

  1 dP d

  d ( u i Uj du„ + dt dxj

  ia p

  (3.17) Aplicando-se o filtro G a Eq. obtem-se:

  1 nr

" ' a Z

  d u j

  ,

  

. d u i

  1 dP d

  (3.15) De forma semelhantemente à Eq. define-se o tensor das tensões relativas ao segundo filtro, tambem denominada tensor sub-teste:

  j dxj dxi

  1 ÕP d

  (3.14) A Equacão modela a interacao entre as escalas resolvidas e as não-resolvidas e

depende da expressao uiUj, que não e resolvida nas Eqs. obtendo-se: dui d [uiuj dt + dxj

  1 dP d

  (3.13) pode-se reescrever a Eq. da seguinte forma: duj + d (ui uj ) dt dxj

  V 1 dxj + dxi (3.12) Tij u iu j Uj Ui)

  dt dx j p f dx i dx j

nas quais a barra superior representa o operador filtragem com um filtro G. Definindo-se r

ij como o tensor de Reynolds submalha que pode ser escrito como: dui duj

  ) 1 dP d

  U j

  õu i d (u i

  • Pf dxi dxj dp + Su
  • Pf dxi dxj
  • a z d - T i j

  (3.18) v

  • p d x i dxj

  Subtraindo-se a Eq. pode-se definir o tensor de Leonard da seguinte forma:

  L ij Ui Uj Ui U j T ij T i j .

  (3.19)

  De acordo com e fazer a suposição da viscosidade turbulenta proposta por Boussi- nesq, de tal forma que a parte deviatoria do tensor possa ser m odelada em função de um a viscosidade turbulenta e do tensor taxa de deformacao filtrado (utilizando o filtro G), como m ostra a Eq.

  3

  (3.20) — ,

2 Tij $ij Tkk v t S i j

  v t e S j

  na qual a viscosidade cinem atica turbulenta, ô j e o delta de Kronecker e e o tensor taxa e deformaçcãao escrito em funçcaão das velocidades filtradas, como m ostra a Eq. : ' — D

  • d j

  S dui

  (3.21)

  ij d x j d x i

  V A viscosidade turbulenta pode ser m odelada com a equaçao:

  • 2

  v t c t ) ^

  — (x, |SI (3.22)

  na qual |S — V2 . Portanto, e possível reescrever a Eq. da seguinte forma:

1 S S

  1 — 2

  1

  — I _

  3

  2

  a

1 Tij S i j Tkk S iij

  (3.23) c (x, t) |S De forma analoga ao deviatorio do tensor de Reynolds subm alha, e possível modelar o deviatorio do tensor sub-teste (Eq. da seguinte forma:

  Tij - SijTkk (3.24) 1 — - 2c (X, t) A ij

3 Tkk

1 L

2 Portanto, substituindo a Eq. (3.20) e a Eq. (3.21) na Eq. (3.12), obtem-se:

  d u

  O traço do tensor subm alha pode ser incorporado a pressao, da seguinte forma:

  p

  =

  P

  P f d ô i j T k k ,

  (3.29) na qual

  p e a pressao modificada. Substituindo a Eq. , obtem-se a Eq.

  

  v Ou,, â ü i d x i dxi.

  (3.28)

  1 d p

  )

  3

  na qual

  v ef

  e a viscosidade cinem ática efetiva calculada como a soma da viscosidade cine- m atica molecular com a viscosidade cinem atica turbulenta. Como já foi dito, a viscosidade turbulenta

  v t e obtida pela Eq. obtida a partir do modelo de Germano.

  Portanto, a Eq. .

  d u d u j

  f

  d x j

  (3.30)

  d x i d x j

  õ õ ij T kk d d t d x j p f d x i

  Filtrando-se a Eq. com o filtro G, tem-se: _ ^

  2 M ij M ij

  1

  ^ ^^

  27— I — Tij

  2c (x>

  t )

  A |S | S

  i]i

  (3.25) A partir das Eqs. e de manipulações tensoriais, obtem-se a equação:

  c ( x , t )

  = —

  ij M ij

  (3.26) na qual :

  1

  M ij

  = A S S i j - a

  2

  |

  s

  I S i j .

  (3.27)

  d ü l d ( u i u ]

  )

  1

  d P

  • vt õüi, d u j d x j dxi.
  • 3
  • d ( u ü j
  • d d t d x j p f d x i d x j
  • d x i

3.3.1.1 Condiçoes de contorno e iniciais

  Além da equação diferencial parcial, as condições de contorno e as condições iniciais também serão discutidas a seguir. Como foi discutido na sea definicõo das condicoes de contorno e iniciais

e extremamente importante, pois pequenos ruídos nessas condiçoes podem ser amplificados

levando o sistema a comportamentos diferentes. Por falta de informacoes do escoamento real

e em comum acordo com a empresa, foram impostas as condiçcõoes de contorno mostradas na

Ta.

  

Tabela 3.2: Condições de contorno para o subsistema do fluido.

Local da condição Velocidades Pressao de contorno u v w f

  X =0 m (plano de entrada) dp

  1

  1

  1

  1

  1,0 m s 0,0 m s 0,0 m s = 0 Pa m dx

  (Dirichlet) Xf=6 m (plano de saída) Equaçõo Equaçao Equaçõo dp = 0 Pa m

  • 1

  dx da onda da onda da onda f

  Y =0 m (plano inferior) dp

  1

  1

  1

  • 1

  0,0 m s 0,0 m s 0,0 m s = 0 Pa m dx

  (Dirichlet) m ax y (plano superior) dp

  1

  1

  1

  0,0 m s = 0 Pa m dy = 0 S = 0 s dy dx

  1 JT d y

  (Simetria) f

  Z =0m dp

  1

  1

  1

  1 d z d z

  = 0 s = 0 s 0,0 m s = 0 Pa m dz dz dx

  (Simetria) Zf=42m dp

  1

  1

  1

  1 TT JT dz = 0 S dz = 0 s dx

  0,0 m s = 0 Pa m

  (Simetria)

Tabela 3.3: Condiçoes iniciais para o subsistema do fluido.

  

Velocidades

Pressõao

u v w

Condiççõoes

iniciais) 1,0 ms-1 0,0 m s-1 0,0 m s-1 0 Pa

Além das condições de contorno descritas na tabela Tae preciso que se defina a

condição de contorno para o fluido na interface entre o fluido e a estrutura. Considerou-se a

condicão de velocidade imposta (Dirichlet) para o fluido com a velocidade da estrutura no

tempo em analise, ou seja, a velocidade do fluido deve ser igual a velocidade da estrutura na

3.3.2 Subsistema estrutura

  No presente trabalho, a estrutura foi tratada como uma viga de Timoshenko. No código

computacional Fluids3D estão implementadas as teorias de Timoshenko, Euler-Bernoulli e

Cosserat. O uso da metodologia de Cosserat nao e viavel nas simulates do presente trabalho

devido ao alto custo computacional. Portanto, as teorias de Timoshenko e Euler-Bernoulli

sao mais adequadas. Nao há perda de informações, visto que essas teorias lineares sao

adequadas para vigas cuja deformacao e pequena, que e o caso das simulações do presente

trabalho. A teoria de Euler-Bernoulli e mais adequada para vigas longas, enquanto a de

Timoshenko e adequada para vigas longas e curtas. A ultima teoria leva em consideracão a

rotaçao da seçao transversal enquanto a primeira não leva isso em conta. Embora as vigas

simuladas no presente trabalho sejam longas e a teoria de Euler-Bernoulli seja adequada, foi

utilizada a teoria de Timoshenko por ser mais completa.

  No caso do subsistema da estrutura as equacoes discretizadas por elementos finitos sao

obtidas a partir da avaliacão da energia cinetica e energia potencial etástica de elementos fini­

tos, diferentemente do caso do subsistema do fluido no qual as equaçoes diferenciais parciais

são obtidas e depois discretizadas. E possível a obtencão das equacoes discretizadas a partir

da equacão diferencial obtida para uma viga de Timoshenko, no entanto, o presente trabalho

nao abordara essa metodologia. Portanto, a forma de obtençao das equacoes discretizadas,

que sao o objeto de estudo, serão mostradas na sec.

3.4 Modelo matemático numérico

  No modelo matemático numérico, são apresentadas as formulações numéricas do pro­

blema em estudo levando em consideraçõo as simplificações discutidas no modelo físico (seçao

. A seguir serao apresentados os meto-

dos numericos utilizados para a obtencao das equacões discretizadas dos subsistemas fluido

e estrutura e outros metodos numericos necessarios para a solucao do problema de fluido-

  3.4-1 Subsistema fluido

  Nessa seção serão discutidos os métodos de discretização das equações do fluido e outros métodos que possibilitam a solução desse subsistema. Na Equaçao sao m ostrados os principais termos das equaçoes de Navier-Stokes filtradas (Eq. sera desçrito o m etodo de disçretizaçao do term o adveçtivo , na seçao.

  d u j d ( u i U j d p d d u i d u

  )

  • 1

  V f

  (3.31) d t p f d x i d x j d x j d x i

  Termo Temporal Termo Advectivo Termo Difusivo

  Na seçaoerá desçrito o m etodo de açoplamento pressao-veloçidade e na seção sera desçrito o m etodo de imposiçao da çondiçao de çontorno da interfaçe entre o fluido e a estrutura.

  S-4-1-1 Disçretizaçao do termo temporal

  A disçretizaçao do term o tem poral foi feita çom o m etodo MCNAB çom passo de tem po variavel desçrito em m ostra a Eq. disçretizada no tem po çom o m etodo MCNAB:

  1 /_„+1 _„x 1 0pn+1 1 + 2 [(2 + Wn+1) f (Un) — Wn+l/ (un +

  A \UÍ Ui ) Õ Atn+1 Pf dxi

  (3.32)

  1 ) + (7^n+1 — 1) 9 (Un) + ^n+l9 (U” , 16íura+i [(8^+1 + 1) 9 {un+1

  • 1

  (

  na qual = A/^') , e o passo de tem po avaliado no tem po a função se refere ao

  xi+i Atn n, f term o difusivo disçretizado e a funçao se refere ao term o adveçtivo disçretizado. g Os term os difusivo e adveçtivo ainda preçisam ser disçretizados.

3.4.1.2 Disçretizaçao do termo adveçtivo

  A discretização do term o advectivo foi feita através do m étodo

  Convergent and Universally ( ) por. Esse m étodo e um esquema com Variação Total Dimi­

  T V D , T V D

  nuída que e um conceito introduzido por. Um esquema e dito ser se:

  T V < T V u

  (un+1) ( n), (3.33) na qual :

  t v u j (u) = Y1 iui+i - i •

  (3-34) j

  Essa e uma propriedade importante de um método de discretização utilizado para o

termo advectivo, visto que ajuda a controlar e evitar instabilidades numericas. A avaliacao

C U B I S T A

da velocidade na face pelo metodo para uma malha estruturada cartesiana e

uniforme e mostrada na Eq.

  8 u p < u p <

  4 se

  8

  8 u P u p <

  • 3

  se <

  4 (3.35)

  u f

  3 u P < u P <

  4 + 4 se

  1

  u p u p

  para outros valores de sendo:

  u p u u

  __„ —

  u P

  (3.36) = -------------,

  u D — u U U D u p s t r e a m ( d o w n s t r e a m )

  onde os subscritos e se referem a “a m ontante” ( ) e “a jusante”

  ( P

  em relacao ao ponto de interesse ). Im portante notar que a determ inaçao de qual e a ceiula a jusante e a ceiula a m ontante depende da direcao do escoamento. Após a determ inacao dos fluxos nas faces da celula em estudo, deve-se utiliza-los para o calculo das derivadas.

  3 - 4 - 1 - 3 D i s c r e t i z a ç a o d o t e r m o d i f u s i v o ( C e n t r a l D i f f e r e n c e

  O term o difusivo e discretizado pelo m étodo de diferenças centradas

   S c h e m e C D S

  ) da seguinte forma para um a m alha estruturada cartesiana e uniforme:

  d 2 u — 2 u p u w u

  • e

  (3.37)

  d x 2 A x 2 u E u P u w

  na qual e a velocidade avaliada na ceiula leste em relaçao à ceiula , e a velocidade

  u P u P u P

  avaliada na celula oeste em relaçao à celula , e a velocidade avaliada na celula e A x e o passo espacial. As outras derivadas parciais de segunda ordem nas outras direcoes e para as outras variáveis de interesse podem ser obtidas de forma semelhante a forma na Eq. Esse m etodo e um m etodo de segunda ordem, de tal forma que o erro obtido e O (A x)2.

  A seguir será m ostrado o m etodo de acoplamento pressão-velocidade necessário para a soluçao num erica das equações de Navier-Stokes utilizando-se o m etodo de volumes finitos ou diferenças finitas.

  3 -4 -1 4 A c o p l a m e n t o p r e s s a o - v e l o c i d a d e

  No presente trabalho foi utilizado o m etodo do passo fracionado (tam bem chamado de m etodo da projecao) proposto porem um a m alha cartesiana uniforme e

  n

  deslocada. Portanto a Eq. deve ser reescrita com a pressao avaliada no tem po da seguinte forma:

  1 \ 1 dpn 1 — Ü") = — - 4 4 + 2 [(2 + Wn+l) f (un) — c W (ün-q] +

  Atn+1

  (3.38)

  • 1 + 1

  n n n l ?

  [(8c + 1) g {un+l^ + (7c — 1) g (u ) + Wn+ g (u % ,

  • 1

  16wn na qual u* e a velocidade estim ada do fluido. Essa velocidade não obedece necessariamente a equacão da continuidade (Eq. tem-se:

  1 + 1 + 1

  1 d P n - P n

  é-Vn _ ^ n á =

  • +1

  (3.39)

  

na qual pn+1 -p n e chamado de correção de pressão e será denotado com a letra Q. Aplicando-

se o divergente a Eq. tem-se:

  1

  1 õ ü * d ü T + 1 \ d 2Q

  / _

  (3.40) d x i d x i I p f d x i d x i

  A ín+M

  Nesse caso, o campo vetorial uin+1 deve obedecer à Eq. pode ser simplificada da seguinte forma: d 2Q õ ü f n

  1 1 /

  (3.41) P f d x i d x i d x i

  Atn+i \

  Essa equação e chamada de equação de Poisson. Como o campo de velocidades u*

e conhecido, resolvendo-se a Eq. e a variavel Q. As

derivadas da Eq. sao discretizadas com o metodo das diferenças centradas em um

malha estruturada cartesiana deslocada.

  S . f . í . õ M é t o d o d a f r o n t e i r a i m e r s a O metodo de fronteira imersa e necessario para a im posto da condiçao de contorno

no subsistema do fluido na interface entre o fluido e a estrutura e para a determinacao das

forcas fluidodinamicas que atuam sobre a estrutura. Nessa secao sera discutido o metodo

de imposicao da condicao de contorno e na sesera mostrado como as forcas

fluidodinamicas sao obtidas. O metodo de fronteira imersa utilizado no presente trabalho

foi proposto por. Antes da apresentacao do metodo propriamente

dito, sera feita uma introduçao sobre a necessidade da utilizacão dessa metodologia.

  O domínio do fluido e discretizado em uma malha cartesiana uniforme, enquanto a

superfície da estrutura e discretizada com pontos lagrangeanos. Esses pontos se movimentam

dentro do domínio do fluido. A velocidade do fluido nos pontos lagrangeanos (interface entre

o fluido e a estrutura) deve ser igual a velocidade dos pontos materiais que pertencem à

estrutura. Tanto a velocidade quanto a posicao desses pontos lagrangeanos sao variaveis no

tempo. Portanto, e preciso que se utilize um metodo que localize os pontos lagrangeanos no proposto porse coloca nesse contexto.

  A superfície da estrutura do presente trabalho e discretizada em 20.986 pontos lagran- geanos. Esse número se mantem constante ao longo da simulacao. Para levar em consideracão a presenca da fronteira imersa, e preciso que se adicione um termo fonte fi [Nm-3] à Eq. da seguinte forma: d u j duj duj d (ui Uj ) 1 dp d

  • Ve f (3.42) +

  Õ X i dt p f dxi dxj dxi

  Termo Temporal

  T erm ofonte

  Termo Advectivo Termo Difusivo

  onde: f i x F k i x k ó x x k d x k ,

  ( ) = ( ) ( ) ( — ) (3.43)

  Jn ó x x k x k x

sendo ( — ) e a função delta de Dirac, e a posicao do ponto lagrangeano e e a

posicao do ponto euleriano em analise. A Equação deve ser reescrita para levar em

conta o termo fonte:

  

  

  

  

  

  

  

   g g U n ^ n g v

  n n —

   [(8W +1 + 1) ÍFn+l^ + (7^ +1 1) ( ) + +1 ( ™ + = (3.44) p f

  n

  16^ +1 R H S

  • —,

  P f Um termo temporário pode ser adicionado e subtraído da Eq. da seguinte forma:

  1 R H S u i + — ,

  (3.45)

  • 1

  p f

  A tn

  De forma semelhante ao metodo do passo fracionado, apresentado na secao pode ser decomposta em:

  1 R H S u i n

  (3.46)

  • 1

  A tn

1 A

  (3.47)

  • 1

  A tn

  P f Quando o ponto lagrangeano coincide com um ponto euleriano a Eq. pode ser reescrita da seguinte forma:

  1 (3.48)

  A

  • 1

  A tn p f

mas nao se pode contar com esse caso, visto que a fronteira esta sempre em movimento.

  

Portanto e preciso que se utilize uma versao discreta do delta de Dirac descrito na Eq.

  

Mais detalhes sobre

a implementacão e verificacao podem ser encontrados e.

  3.4-2 Subsistema estrutura Nessa seção será discutida a obtenção das equações discretizadas da viga de Ti­

moshenko (seção e a forma de obtençõo das forças aplicadas aos elementos da es-

trutura(seçaoas equações para os elementos finitos

serõao obtidos a partir da energia cinetica e potencial elastica do elemento e nõao a partir da

discretizacao das equacões diferenciais da viga de Timoshenko.

3.4.2.1 Equaçao de Timoshenko elementar

  A tubulacõo e modelada como uma viga de secao transversal circular vazada com dia-

metros interno e externo constantes. A deducao mostrada a seguir e baseada na encontrada

em. A seguir sera mostrada a obtençao das equacoes do movimento para um

elemento finito da viga discretizada. Esse elemento finito possui comprimento L e dois nos

  

(1 e 2) com quatro graus de liberdade cada (u1, w1, 91 e p1 no no 1 e u2, w2, 02 e ^2 no no

36 Figura 3.4: Ilustração do elemento finito em análise construído para representar a tubulação.

  Os graus de liberdade ui e u2 sao graus de liberdade de translaçao e estão na direçao

Xs, os graus de liberdade wi e w2 sao graus de liberdade de translaçao e estao na direção

Zs, os graus de liberdade Bi e B2 são graus de liberdade de rotação e estao na direção Xs e

os graus de liberdade y i e ^2 sao graus de liberdade de rotação e estao na direção Zs. O

vetor de deslocamentos nodais do elemento e escrito da seguinte forma:

  2

  2

  2

  2 q6 = [ui wi Bi <pi U W B y ]T ,

  (3.49)

o qual pode ser definido como a uniao dos vetores qu e qw, que correspondem aos graus de

liberdade nas direçães Xs e Zs, respectivamente: qu = [ui ^i U2 ^2]T ,

  (3.50) qw = [wi Bi W2 B2]T .

  O elemento finito e construído a partir das seguintes relacoes: u (y,t) =Niqu, (3.51)

  2 w (y, t) =N qw,

onde Ni = [ci c2 c3 c4] N2 = [c5 c6 c7 c8] são vetores formados por coeficientes de equa-

coes polinomiais de terceira ordem (hipótese considerada), conhecidos como polinómios de

Hermite Tais polinómios descrevem os deslocamentos nodais nos planos

Xs Ys e Zs Ys , respectivamente, onde c* (i = 1, 2, ..., 8) são os coeficientes correspondentes. de deslocamento e rotação ao longo do comprimento da viga.

  2

  • 2

  y

  3

  2

  2

  3

  2

  3

  3y y y y y 3y2

1 N i(y) + 2y3

  3

  2

  2

  3

  2 T

  L - y + L L L L L

  L2

  (3.52)

  2 y 2

  

3

  2

  2

  3

  2

  3

  3y y y y + y 3y2

  1

  2

  • 2y3 N (y)

  2

  3

  

2

  2

  3

  2

  • T + L L L L L L + L Para o elemento de viga com comprimento L, utilizando a Eq. a expressão da energia cinetica e dada por:

  T = ^ í [qlN f NiC[u + qWNNráw] dy

  2 q

  / (3.53)

  2 Psd(Zs ) r-L r T d N f dNi . ,T d N f dN

  dy, u

  2

  dy dy -9« + 9w dy dy 9W

  q

  onde ps e a m assa específica do m aterial do duto, S e a area da seção transversal da viga e 1(Ys) e o momento de inercia de área da seção transversal da viga em relaçao a coordenada Ys. Nessa equaçao a prim eira integral representa a energia da viga em flexao e a segunda integral retrata o efeito secundario da inercia de rotacao (Rayleigh). Substituindo a Eq. na Eq. tem-se:

  1

2 M 2

  1 1 (3.54)

  T = M iq« + <j, + M3«u +

  1

  2

  3

  4 As m atrizes M e M são as m atrizes classicas de massa. M e M dao a influencia do

  efeito secundario da inercia de rotação. A aplicaçao da equacão de Lagrange ' Eq. leva a: dt ( f ) - f = <M > + M > 9'

  <3-55> onde a soma das matrizes M s e M T resultam na m atriz de m assa elem entar M . As m atri­ zes elementares formuladas a partir da energia cinetica da viga sao apresentadas a seguir

  

  13L 156 0 0 -22L 54 156 22L 0 54 -13L 0

  

4L2 0 0 13L -3L

to

  00

  1 s

  

4L2 -13L 0

P SL

  (3.56) 420 156 0

  22L 156 -22L 0

  4L2

  4L2 Sim.

  36 0 0 -3L -36 0 0 -3L

36 3L 0 0 -36 3L 0

  4L2 0 0 -3L -L 2 0 0 -L 2

  4L2 3L 0 Pslys

  (3.57)

  30L 36 0 0 3L 36 -3L 0

  4L2 0 Sim.

  4L2 Apos a obtenção da matriz de massa elementar e preciso que se obtenha a matriz de

rigidez. Seja o elemento de eixo com comprimento L (0 < Z < L) mostrado na Fig..

  

Considerando esse sistema em flexao pura no plano YsZs e engastado no no 1. Ao no 2 e

aplicada uma força Z2 e um momento fletor MX2, aplicados aos graus de liberdade w2 e 92

respectivamente.

  Negligenciando a deformacao devido ao esforco cortante (Timoshenko), a forca cortante TZ e o momento fletor MX podem ser representados da seguinte forma: z

  (3.58) T (Z

  ) = Z2,

  39 Figura 3.5: Ilustração do elemento finito engastado em flexão pura no plano YsZs.

  (3.59) MX (C) — MX2 + Z2C

  A energia de deformaçao da viga UMx em funçao do momento aplicado e dada por: x

  (M 2 + Z2ç )2 d Z m x

  (3.60) U

  2EIys

onde E e o modulo de elasticidade ou modulo de Young do material do duto. Aplicando o se­

gundo teorema de Castigliano, obtem-se as expressões para os gdl referentes ao deslocamento

transversal e a rotacao na extremidade da viga (no 2), Eqs. respectivamente.

d U M X L3 L2

  (MX 2 + Z2 Z) Z 2

  • 2 r

  (3.61) W2

  MX 2 ZdZ

  y s

  

3 E I

  dZ y E I S

  2 Ys EI m x x

  • - d — + ^ M

  2

  (M X2 + Z dC Z2

  2 (3.62)

  OM J L A s

  s

  dMX 2 0 EIY ^ 2EIV ^ EIY Dessa forma a relacao de flexibilidade pode ser escrita como:

  2

  1 L33 L22 y s c zs

  2 W Z2 Z

  — C (3.63) y

  — EI 1 s 2 x x

  2

  

onde CYaZa c é a matriz de flexibilidade do elemento engastado em flexão pura (plano YsZs).

Consequentemente, KYaZa c representa a matriz de rigidez do mesmo elemento como mostra

a Eq.

  12 - 6L e i s

  Y C -1 K VsZs c

  (3.64) C YsZs c

  L3

  6L 4L2 A deformação devido ao esforço cortante (Timoshenko) e agora adicionada a Eq.

   considerando a expressao para a deformaçao cisalhante 7YsZs na viga.

  Zo

  TYsZs YYsZs (3.65)

  G k Ys G S r

onde G e o modulo de cisalhamento do material da viga, Sr e a área reduzida da seção

transversal (considerada igual a area da secao transversal S por

e kYs e o coeficiente de forma da secão ao cisalhamento, que e a seção transversal ao longo

da coordenada Ya .

  6(1 + Vs)2

  kv —

  (3.66) 7 + 12vs + 4vs2

na qual vs e o coeficiente de Poisson. Desta forma, a energia de deformação da viga devido

ao esforço de cisalhamento e dada pela seguinte equaçao:

  1

  1

nL r L

z l

  22 s

  2

  —

  U f L kY GS z

  UT —

2 Y s s T d Z — 7 ^ 7 Z2^d(

  Y Z d( 2kYs GS 2kYs GS (3.67) 2kY GS'

  Aplicando o segundo teorema de Castigliano na Eq. , chega-se à flecha suple­ w mentar A 2tz devido ao esforço cisalhante: d U T z Z 2L

  (3.68) AW2T Z dZ2 kYs GS

  Portanto, a Eq. torna-se: rß \ L ‘

  2 L3 L2 L3

  2

  2 2 - f ) Z + 2 Y M x

  3 E I Ys y e i EI Ys

  2 W — Z2 + nr^T Mx + AW2 — y 1 s

  3 V

  EI 2 (369)

  E Iy s

  12

  

na qual dYs A matriz de flexibilidade na presença do efeito de esforço cisalhante

  • kYs G SL 2

  torna-se: L . L .

  1

  1

  3 + A c y sz s

  2 c T

  (3.70) E IY S L . L

2 Consequentemente, a nova matriz de rigidez para a viga engastada e dada pela seguinte

  equaçao: 1 -L

  12EIys

  1

  2

  C K Y Z s c T (3.71)

  • 1 s

  C YHZ H c T

Y . t

_L (4+^ys)

  2 L3 (1 + i> ) 2 12 L Seja agora o elemento de viga de comprimento L, agora em flexão pura no plano YsZs

como a viga da Fi. Nesse caso, o engaste foi retirado, deixando a viga livre. Aos nós

  

1 e 2 sao aplicadas as forcas e momentos fletores Z1 e MX1 e Z2 e MX2, respectivamente.

Os gdl de deslocamento e rotacao referentes aos nós 1 e 2 continuam sendo w1, 91 e w2 e 02,

respectivamente. s

  As equacães de equilíbrio das forcas e momentos da viga livre podem ser escritas da seguinte forma:

  1

  2

  2 x

  (3.73)

  Mxi + Z L + M 2 — 0

  As Equações podem ser agrupadas m atricialm ente, chegando-se a:

  1 0

  Z Z Z Z

  i 2 i

  2 — 0

  — (3.74) to + $ +

1 L

  M M M

  X1 ÿ 1_________ X1 x 2

  dem onstra que a m atriz de rigidez elem entar de um corpo livre de

  K L

  restrições de movimento pode ser calculada im ediatam ente a partir da m atriz de rigidez K c do mesmo corpo em um a condição de engaste (Fig.pode ser utilizada.

  l K ,

  (3.75) [ - $ T i]

  K

  I na qual $ e definida na Eq. e I trata-se de um a m atriz identidade de ordem 2.

  E im portante ressaltar que $ m uda conforme o plano em analise. Assim, para o plano

  Y s Z s

  em questão e conveniente denom inar esta m atriz por $ YsZs e a Eq. torna-se: Z

  2

i Z

  (3.76) M

  • — 0

  $YSZS

  X1 MX 2 Y s Z s e A m atriz de rigidez elem entar da viga no plano de flexão obtida a partir da Eq.

  com K c = K YsZscT e ^ = ^ YsZs, como m ostrado a seguir:

  • 1

  1 L L

1 -L

  1 2 E I

  1 1 0

  ys

  1

  2 y z

  (3.77)

  K $ Y a

  L (1 + ) L (4+tfYs ) L 2

  1 2 12 L

  • 3

  1 0 1

  1

  onde o resultado final e dado por (linhas e colunas referentes ao vetor de gdl qw, Eq.

  

  

   s k y s z s EIY

  =

  (3.78) L3 (1+ dys)

  

Será agora considerado o plano XsYs, também com a viga em flexao pura, seus gdl (u1, <^1,

u2 e ^2 ) e forças e momentos fletores aplicados (X1, MZ1, X2 e MZ2), como mostra a Fig.

  

e respectivamente (na presenca do efeito de esforço cisalhante).

  

Figura 3.7: Ilustracão do elemento finito livre em flexao pura no plano XsYs.

  L i L.

  1

  2

  • 1

  3 C YsZs c T

  (3.79) E IY s L .

  L

2 L

  y s E I

  12

  1

  2 K YsZs c T c T

  (3.80)

  • iYsZs

  L l

  L3 (1+ dYs) (4+^Ys)

   2 L

  2

  • X2 L + M
  • =
  • $XSYS =0 M
    • -L 1

  1 (3.83) A matriz de rigidez elementar da viga no plano de flexao X sYs e obtida a partir da

  (3.85)

Ordenando os gdl conforme o vetor q da Eq. , de forma a adequa-los a ordem utilizada

  6L SIM. (4 + dY) L2

  12

  L3 (1+ ^ ) 12 - 6L -12 - 6L (4 + dY) L2 6 (2 - dY) L2

  EI y s

  12 L 0 -1 0 1 (3.84)

onde o resultado final e dado por (linhas e colunas referentes ao vetor de gdl qu, Eq. :

k xsys

  2

  l

  L -1 1 0 0 1

  12EIyg L3 (1+ tfVs) 1 0

  

Eq. com Kc = KXsYs cT e $ = $YsZs, porem alterando a relação $ = $YsZs para

$ = $XsYs, conforme abaixo: k xsys

  1 CM __

  1 MZ1

  1 CM __

  1

  z

  2

  X

  X2 Xi

  (3.82)

As Equações podem ser agrupadas matricialmente, chegando-se a:

Xi 1 0

  z 2 = 0

  1

  M z

  descritas da seguinte forma: Xi + X2 = 0 (3.81)

1 L2

  • 1 L 1 0

    L2 (4+tf Ys)

por, chega-se à m atriz de rigidez do elemento completo, K T:

  1 2 6 - 1 2

  6 L L

  6 - 1 2

  12 L

  6 L

  L

  2

  • 6

  2

  (4 + ^Ys) L (2 - ^Ys) L

  6

  2 L

  2

  (4 + ^Ys) L (2 - ^Ys) L K

  s 1 2

  6 L

  • 1 2

  6 L

  2

  (4 + ^Ys) L

  (4 + ^Ys) L (3.86)

  2 Sim.

  E I Ys t

  (3.87) = K s

  K L 3 a-&Y

  (1 +

  a)

  ( F a )

  Apos a viga de Timoshenko ter sido modelada, o efeito devido à força axial na m atriz de rigidez sera adicionado. Considerando a expressao da energia potencial eiastica devido a força axial para a viga elem entar ilustrada na Fig.

  Y sZ s ,

  Figura 3.8: Ilustração do elemento finito, e seus graus de liberdade no plano subm etido a um a força axial de traçao.

  2 d w

  (3.88)

  U YsZs Fa

  dy

  • W

  F a

  1 O

  2 1 12

  (

  w i

  —

  w 2 )

  Õ W i — 2 V 5 + 5 +

  5 L (3.91) d U

  Y s

  Z s

  —

  — F a (

  F a f

  W W

  1

  

i

L

  O2 dOi — ^ + 15 15"

  (3.92) dUYsZsFaFa í 12 wi — 12 w2 + L Oi + L O2 ÕW2 2 l

  (3.93) d U YsZsFa

  — F a

  í wi w2 LOi . 4 LO2 d d

  2 — T i l 5 15" + 15 (3.94)

onde q2, q3, q6 e q7 são as forças generalizadas referentes aos graus de liberdade wi, Oi, w2 e

  O2 respectivamente.

  Oi

  15 (3.90) Aplicando o primeiro teorema de Castigliano a Eq. obtem-se as expressões para os gdl referentes ao plano YsZs : d U YsZsFa

  Diante disso, e preciso que se calcule a derivada do vetor w (descrito na Eq. , na direcão y: dw dy

  15

  6y 6y2 i 4y 3y2 6y 6y2 L2 + L3 - T + L3 L2 - L3 2y . 3y2

  L + L2 [Wi Oi W2 (3.89) Portanto, substituindo-se a Eq. tem-se:

  U y z f

  — — 1sZsF a ^

  F a

  (

  6

  (w

  i

  2

  )

  2 O i

  W

  i

  5L .

  5 O i

  W

  2 + O

  2 Wi

  5

  5 O2 W2 2 LO2 2 LO2 L O1O

  1 O2

  5

  15

4 L O

5 L

  • 01
  • 02

  74 du

  

O mesmo procedimento e realizado para os graus de liberdade do plano X sYs:

U x sYsFa

  2 6 (wi - W2)2

  5L

  wi

  5 di W

  2

  5

   w

  

1

  5 02 w2 2 L 02 2 L 02 L 01 02

  5 + 15 + 15 Í5- (3.95) Aplicando o primeiro teorema de Castigliano à Eq. obtem-se as expressões para os gdl referentes ao plano YsZs : dUYszsFa _ F a í 12 (

  u

  2 )

  7 2 _

i - U

  1 _ 2 l 5

  q

  0 7

  2

  _ T v ¥ - "5

  15

  15

  (3.99) onde

  q

  1,

  4,

  1

  q

  5 e

  q

  8 são as forças generalizadas referentes aos graus de liberdade

  U

  1,

  7 1, u

  2 e

  7 2 respectivamente. Reescrevendo as Eqs. ,

  2

  varphi

  L

  7 2

  5

  5 (3.96) dÜY s

  Z s

  F g

  _ Fa íU2 _ U1 + 4 L 71 L 72 ô^1 _ 2 V 5 5 + 1 5 15 (3.97) d U Y sz sFa

  _ Fa

  (

  71 +

  _

  1 L

  1 2

  (Uj - u2) ôu

  _ 2 l 5 + 5

  5 L

  (3.98) dUYszsFa

  _

  • 4 L varphi

  Fa íU

  2 U

  2

5 L 5

  4 L 15 Sim.

  0 0

  15 125 L

  15 125 L 15 125 L 15

  4 L 15

  15 L15 F a

  

4 L 15 15 L15

  2

  125 L

  15 125 L 15

  4 L 15

  G

  (3.101) Diante disso, a m atriz de rigidez elem entar levando em conta a força axial pode ser escrita como :

  K =

  K t

  (3.102) A m atriz de am ortecim ento será utilizada como um a m atriz de am ortecim ento proporcional

  (C g

  =

  y

  M + fiK ), no qual os valores adotados sao:

  y

  = 1 , 0 e = 1 , 0 x 10-4. As taxas de am ortecim ento modal foram calculadas e sao apresentadas nos apendiceso trabalho. Diante das matrizes elementares, e possível m ontar a m atriz global com todos os elementos utilizados na simulacao conforme Portanto, o sistem a de equações global pode

  125 L

  (3.100) Portanto, a m atriz de rigidez elem entar geometrica pode ser escrita como:

  em forma de m atriz, chega-se a m atriz de rigidez elem entar geométrica:

  5 15 5 15

  125 L 0 0 15 125 L 0 0

  12 1 0 0 12 1

  5 L 5 1 4 L 0 0

  1 L 5 15 5 15 F a

  15 0 0 4 L 15 15 0 0

  2 125 L 0 0 15 125 L 0 0 12 1 0 0 12 1

  5 L 5

  

5 L

  5

  1 L 0 0 1 4 L

  1 _ 5 0 L15 15 0 0 15 u1

  4 L 15 . _ ^2 _ _ 98 _

  91 w1

  92

  01

  93 L15 <P1

  94

  15 U2

  95 W2

  96

  02

  97

  • G
ser escrito da seguinte forma:

  g g g ç M Q C Q K F ,

  • = W +

  (3.103)

  M G C G

  na qual e a m atriz de m assa global, e a m atriz de am ortecim ento global (amor­

  K G

  tecim ento proporcional) e e a m atriz de rigidez global. O vetor de deslocamentos e representado por q e a força peso por W . F representa as forcas que atuam sobre a viga, que envolvem a forca da mola nos apoios e as forcas fluidodinamicas.

  Para se resolver as equacoes descritas na Eq. e necessario que se m onte o sistem a na forma de espaco de estado e entao utilizar um m etodo numerico de discretizacao tem poral. No presente trabalho utilizou-se o integrador Runge-Kutta-Fehlberg.

  3 .4 - 2 .2 O b t e n ç ã o d a s f o r ç a s f l u i d o d i n a m i c a s v i a M é t o d o d a f r o n t e i r a i m e r s a

  Na seçaooi m ostrado o m etodo de fronteira imersa para a im p o s to da con- dicão de contorno no fluido na fronteira entre o fluido e a estrutura. Nessa subsecao sera m ostrado o m etodo de obtençao da forca nos pontos lagrangenos. Para tanto, utiliza-se o

  F i [ N

  term o fonte m -3] dado pela Eq. Para que se possa obter a força propriam ente dita e necessário que se obtenha um volume de transformacão:

  F lag F i V

  = (3.104) na qual V e o volume de transform acao calculado como:

  A t d ,

  V = (3.105) onde At e a área do elemento triangular da m alha lagrangena e d e calculado como a media das arestas do elemento triangular.

  Pontanto, cada ponto lagrangeano tera um a forca aplicada sobre ele, que deve ser transferida para os nos dos elementos finitos descrito na secaoPara isso sao con­ siderados apenas os pontos lagrangeanos contidos em um mesmo elemento estrutural. A

  Y s .

  nos do elemento estrutural. O mesmo e realizado para as forças ao longo da direção O procedim ento acima e realizado para todos os pontos lagrangianos que definem a estrutura imersa. Desta forma, o algoritm o identifica a posiçao de cada ponto lagrangiano, identifica o elemento ao qual este esta inserido, bem como o nos estruturais que definem este elemento e distribui as forcas para os nos estruturais. Nesse algoritmo não estao sendo levados em conta os momentos aplicados aos nós estruturais pela posicao x e y no qual o no lagrangiano esta distante da posiçao do centroide da estrutura imersa. E sta modelagem pode ser melhor explorada em trabalhos futuros.

  3 - 4 - 3 A c o p l a m e n t o f l u i d o - e s t r u t u r a

  Nas secoesoram apresentados os metodos numericos utilizados para a solucao com putacional dos subdomínios do fluido e da estrutura respectivamente. Agora e necessario que se acoplem os subsistemas para que se consiga a solucao do sistem a completo do problem a de interaçao fluido-estrutura. Exitem três formas de se acoplar os subsiste­ mas: o acoplamento monolítico (nao sera utilizado) e o particionado

  . No acoplamento monolótico os subsistemas fluido e o estrutura são resolvidos em unico sistem a nao linear, enquanto no particionado eles sao resolvidos separadam ente. A abordagem particionada óe subdividida em duas categorias o acoplamento particionado fraco e o acoplamento particionado forte. Nessa secao serêo discutidas as formas de acoplamento entre os subsistemas fluido e estrutura utilizadas no presente trabalho. Na secaoera discutido o acoplamento forte utilizado.

  3 .4 .3 . 1 A c o p l a m e n t o fr a c o

  O acoplamento fraco consiste na solucao do subsistem a fluido com a posiçao da es­

  n ( D n ),

  trutura no tem po obtendo-se assim a forca que atua sobre a estrutura no tem po

  n

  • 1 (F n+1). A partir dessa força resolve-se o subsistem a estrutura, obtendo-se D n+1. Essa posicao e então utilizada para resolver o subdomónio fluido e obter F n+2, e assim por diante. A Figurailustra esse procedimento.

  Esse tipo de acoplamento apresenta um erro de O (Aí) de acordo com Figura 3.9: Evolução de um sistem a de interação fluido-estrutural segundo abordagem par­ ticionada fraca. utilizado em um a formulação de escoamento incompressível, pode apresentar instabilidade num erica cham ada efeito de m assa adicionada artificial.

  S - 4 - 3 .2 A c o p l a m e n t o f o r t e

  O acoplamento forte e feito utilizando-se iteracoes entre os subsistemas, em um dado passo de tem po, ate que os dois convirjam para um a solução. Essa soluçao e entao utilizada como condicao inicial para o próximo passo tem poral. Os metodos bloco-Jacobi nao linear, bloco-Gauss-Seidel nao linear, bloco-Newton inexato e Quasi-Newton sao apresentados em . No presente trabalho utilizou-se o m etodo bloco- Gauss-Seidel nao linear. Nesse m etodo deve-se resolver o subsistem a fluido com a posicao da

  n

  estrutura no tem po (D n), obtendo-se assim a forca que atua sobre a estrutura no tem po n k ( F ^ + v).

  • 1 e na iteracão A partir dessa força resolve-se o subsistem a estrutura, obtendo- se D^+1. Devolve-se essa posição para o subsistem a fluido sem avançar no tem po, obtendo-se

  1. As iteracães k sao feitas ate que a solucao convirja. Utiliza-se então a últim a posiçao

  K f ú

  DK+1, na qual o número total de iteracães necessarias, como condicao inicial para a solucao no tem po n + 2 (proximo passo de tem po). E o processo iterativo comeca novamente. A Figuralustra esse processo.

  ú

  O acoplamento forte um meio de contornar o problema de instabilidade numerica analisado por se um número de iterações suficientes forem feitas o erro do acoplamento

  p Figura 3.10: Evolução de um sistem a de interação fluido-estrutural segundo abordagem particionada forte. ricos de integraçao tem poral utilizados nos sistemas fluido e estrutura respectivamente.

  

CAPÍTU LO IV

RESULTADOS

4.1 Validação A verificação num érica das rotinas de fluido e de estrutura foram feitas separadam ente.

  A rotina da estrutura foi verificada com parando as respostas da rotina com as respostas obtidas com o software ANSYS®. A rotina do fluido em conjunto com o m etodo de fronteira imersa foi verificada com a metodologia da solucao m anufatura e pode ser vista em . Apesar de a verificacao num erica ser um bom indicativo de que as soluções dos dois subsistemas estao corretas, a validacao do acoplamento entre os dois sub domínios ainda se faz necessária. Essa secao e dedicada à apresentacao da validacao feita. Mais detalhes sobre o trabalho de referencia utilizado para a validacao do acoplamento fluido-estrutura podem ser encontrados no apendice

  4 - 1 .1 C o n f i g u r a ç ã o d a s s i m u l a ç õ e s A seguir serâo m ostrados os dados de entrada para as simulacoes.

  4 - 1 .1 .1 S u b s i s t e m a f l u i d o Nessa subsecao serâo mostrados os valores definidos para as variaveis referentes ao

  4 . 1 . 1 . 1 . 1 D o m í n i o , m a l h a e p r o c e s s a d o r e s

  O domínio do fluido e discretizado de forma cartesiana e uniforme. O domínio na

  2

  direção X f (direção principal do escoamento) tem m etros de comprimento em todas as simulações. Essa direcao foi discretizada em 172 partes de 1,163 cm cada. O domínio na

  Y f direçao (direcão transversal ao escoamento principal) tem 1,4 metros de comprimento.

  Essa direçao foi discretizada em 120 partes de 1,167 cm cada. O tam anho do domínio na

  Z f

  direcao (direçao axial em relaçao ao cilindro) tem 3,67665m. Essa direção foi discretizada em 320 partes de 1,149cm cada. O domínio do fluido com a estrutura imersa e m ostrada na Fig.

  Figura 4.1: Ilustracao do domínio do fluido com a estrutura imersa e eixos de referencia.

  Foram utilizados 6.604.800 volumes computacionais, para o cálculo dos casos, divididos

  4 . 1 . 1 . 1 . 2 C o n d i ç o e s d e c o n t o r n o e c o n d i ç o e s i n i c i a i s

  As condições de contorno utilizadas foram: entrada do domínio, X f= m: condição de contorno de Dirichlet (valor da propriedade im posta) para a velocidade e Newman (derivada da propriedade im posta) para a pressao - u=0,421m /s para o caso com velocidade reduzida igual a 1 e u=0,842m /s para o caso com velocidade reduzida igual a 2; v=0m /s; w =0m /s e

  d p / d x = 0

  Pa/m ; para a saída, X f=2 m, impôs-se a condicõo de contorno de

  Y f

  para a velocidade e, ainda, c o n d ã o de Newman para a pressao; para o fundo, =0 m,

  Y f

  e para o contorno superior, =1,4m , impôs-se condição de contorno de simetria, ou seja, derivadas nulas para u e w e v=0 m /s e Newman para a pressõao; para as laterais verticais,

  Z f Z f

  =0m e =3,67665m, impos-se a condição de contorno de sim etria ( derivada nula para componentes u e v e velocidade imposta: w =0 m /s) e Newman para a pressão. A velocidade inicial foi im posta u=0,421m /s para o caso com velocidade reduzida igual a 1 e u=0,842m /s

  2 = 0

  para o caso com velocidade reduzida igual a e v=w m /s e pressao inicial foi im posta p=0 Pa.

  4 . 1 . 1 . 1 . 3 P r o p r i e d a d e s f í s i c a s k g m

  A m assa específica do fluido externo e de 1.000 -3 , a viscosidade dinômica e de

  • 3

  N s 10 m -2. 4 . 1 . 1 . 2 S u b s i s t e m a e s t r u t u r a

  Nessa subsecao serão m ostrados os valores definidos para as variaveis referentes a estrutura. Nesse caso o am ortecim ento proporcional foi utilizado como descrito na secão

  

  4 . 1 . 1 . 2 . 1 D o m í n i o e m a l h a

  A tubulação tem um comprimento de 3,67665m e o diam etro e de 0,0635m, o que fornece um a relaçao L/D =58. A estrutura foi discretizada de duas formas. Uma discretizacao foi feita para que o fluido enxergue a estrutura e defina as forçcas que o fluido faz sobre a equações discretizadas da estrutura. Na prim eira discretização foram utilizados 13.190 pontos e na segunda discretização a linha de centro da estrutura e discretizada em 32 elementos finitos.

  4 . 1 . 1 . 2 . 2 C o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o e c o n d i ç õ e s in i c i a i s .

  A estrutura esta ancorada sobre apoios moveis. Esses apoios foram definidos com

7 Y s .

  rigidez linear de 10 N /m nas direcoes X s e A Figuralustra a condição de apoio em

  Z s Z s = 3, 67665m. A mesma condição de apoio e utilizada em = 0m.

  Figura 4.2: Ilustracao da condicão de apoio em Zs = 3, 67665m (molas lineares com rigidez

  7 de 10 N /m nas direcães X s e Ys).

  No início da simulacao impoem-se a tubulacao cilíndrica e sem nenhum a deformaçao.

  X f Y f

  A estrutura foi posicionada no domínio do fluido nas direcães e de forma que não esteja muito próximo as condicães de contorno. Os pontos de ancoragem da estrutura foram

  Y f posicionados em 0,66675m e em 0,7m nas direcoes X f e respectivamente. 4 . 1 . 1 . 2 . 3 P r o p r i e d a d e s f í s i c a s e g e o m é t r i c a s .

  O modulo de elasticidade da estrutura e de 206,85GPa, o coeficiente de Poisson e 0,3, a

  

4

  7

  4 7 . 8 5 0 k g / m 3 ,

  X s e Ys sao de 1, 535021 x 10- m a m assa específica e o módulo transversal e de 79,6GPa, nenhum a forca axial foi aplicada sobre a tubulaçao, a tubulaçao nao deforma devido ao peso próprio, pois o peso da estrutura e aplicado na direcao axial, portanto, como nao se tem , no modelo estrutural, graus de liberdade na direcão axial, o peso da estrutura nao influenciaró nos calculos. Os modos de vibrar, as frequencias naturais e as taxas de am ortecim ento devido ao am ortecim ento proporcional se encontram no apendice

  4 . 1 . 1 . 3 A c o p l a m e n t o

  O acoplamento forte foi escolhido para as rodadas de todos os casos por ter se m ostrado mais robusto que o acoplamento fraco. O acoplamento fraco foi testado, mas nãao foi robusto o suficiente para dar convergencia.

  4 . 1 . 2 C o m p a r a c a o d a s s i m u l a ç õ e s c o m a l i te r a tu r a

  Nessa secão serâo apresentados os valores obtidos nas simulacoes numerico-computacionais feitas com velocidade reduzida igual a 1 e 2. Esses valores serão comparados com os valores

  

  obtidos no artigo

  4 . 1 . 2 . 1 V e lo c id a d e r e d u z i d a ig u a l a 1

  A Figuraostra a transform ada de Fourier da am plitude de vibracao na direcao em linha (direcao X s) dividida pelo diam etro da tubulação para velocidade reduzida igual a

  1

  . E possível ver dois picos bem caracterizados em 0,2215 Hz e em 5,5758Hz. O primeiro pico pode ser devido a um com portam ento transiente de baixa frequencia, que a tubulacao esta sofrendo nessa direcao, enquanto o segundo e a frequencia de vibracao característica.

  

  No artigo deostra os valores de frequencia para algumas velocidades reduzidas testadas no artigo proxim a a velocidade reduzida igual a 1. Esses valores foram retirados da Fig.utilizando o program a Engauge Digitizer.

  Esses dados sao im portantes para se analisar, pois em bora a frequencia obtida pela simulacao num erico-com putacional seja diferente da frequencia encontrada no experimento

  0 , 8 6 Figura 4.3: Transform ada de Fourier da am plitude de vibração na direção em linha (direção X s) dividida pelo diam etro da tubulação para velocidade reduzida igual a 1. Tabela 4.1: Valores de frequencia para algumas velocidades reduzidas testadas no artigo próxim a à velocidade reduzida igual a 1. Esses valores foram obtidos com o program a Engauge Digitizer.

  Velocidade reduzida Frequencia de vibracao.

  0, 73 7,14 H z

  8 6

  , 5, 00 H z

  1 , 0 1

  7, 20 H z

  6 8 8

  1,16 , H z 1,30 7, 01 H z a frequencia de vibracao e de 5,00264 Hz. O valor obtido com a simulacao proximo desse valor experimental. Os valores de R M S das am plitudes de vibracao divididas pelo diam etro

  • 2 6 - 4

  da tubulação obtidos na simulação sao de 1,051 x 10 e , 451 x 10 nas direcoes em linha e cruzada respectivamente. No artigo nao e possível obter um valor definido para esses R M S , visto que a escala da figura e m uito grande para os valores de R M S obtidos nos outros experimentos m ateriais, ou seja, os valores de R M S para essas direçães para um a velocidade reduzida igual a 1 sao proximos de zero. Portanto, conclui-se que os valores obtidos na simulaçao sao adequados, visto que tam bem são proximos de zero.

  4 . 1 . 2 . 2 V e lo c id a d e r e d u z i d a ig u a l a 2

  A Figuram ostra a transform ada de Fourier da am plitude de vibracao na direcão a 2. E possível ver dois picos bem caracterizados em 4,664 Hz e em 7,774Hz. O primeiro pico pode ser devido a um com portam ento transiente de baixa frequencia, que a tubulacao esta sofrendo nessa direcao, enquanto o segundo e a frequencia de vibracao característica.

  

  No artigo detilizando o program a Engauge Digitizer.

  Figura 4.4: Transform ada de Fourier da am plitude de vibração na direção em linha (direção X s) dividida pelo diam etro da tubulação para velocidade reduzida igual a 2.

  Nesse caso a diferença de frequencia entre um ponto e outro no gráfico e de 1,554Hz. Isso im possibilitaria a obtencao de um valor interm ediário a 6,219 Hz e 7,774Hz. Portanto, conclui-se que o valor obtido de frequencia e próximo à frequencia obtida no artigo. Os valores de R M S das am plitudes de vibracao divididas pelo diam etro da tubulacao obtidos

  • 2 - 2

  na simulaçao sao de 6,149 x 10 e 2,027 x 10 nas direções em linha e cruzada respectiva­ mente. Os valores de R M S obtidos no artigo foram retirados das Figs.utilizando

  • 2 - 2

  o program a Engauge Digitizer: 4, 82681 x 10 e 2,09434 x 10 nas direcoes em linha e cruzada respectivamente. Portanto, conclui-se que para as velocidades reduzidas iguais a 1 e 2 o codigo Fluids3D apresenta frequencia e valores de R M S condizentes com a literatura. A Tab.m ostra um resumo da com paracão das simulacães de validação com o trabalho Tabela 4.2: Resumo da comparação das simulações de validação com o trabalho de referência.

  Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade

  1

  2

  reduzida reduzida

  1

  2

  reduzida reduzida Referencia Referencia

  R M S

  direcao

  • 2
  • 2 - 2 ,

  4 82681 x 10 1,051 x 10 Próxim o de zero 6,149 x 10 em linha

  R M S

  direcao

  • 2
  • 4 - 2

  6,451 x 10 Próxim o de zero 2,027 x 10 2, 09434 x 10 cruzada Frequencia na direçcaõo 5,5758 Hz 7,19864 Hz 7,774 Hz 6,760Hz em linha

4.2 Simulação do caso industrial

  Nessa seçao serâo apresentados os resultados das simulações feitas do caso industrial discutido no modelo físico (secõo Serao m ostrados os resultados para gap de 0,10, 0,20, 0,30, 0,50, 10 e 50.

  Antes de serem apresentados os resultados sera feita um a apresentacõo sobre a m alha utilizada nos domínios do fluido e da estrutura e sobre o acoplamento utilizado.

  4 - 2 .1 M a l h a e p r o c e s s a d o r e s - f l u i d o

  O domínio do fluido e discretizado de forma cartesiana e uniforme. O domínio na

  6

  direçao X f (direçõo principal do escoamento) tem m etros de comprimento em todas as simulacoes. Essa direcao foi discretizada em 120 partes de 5 cm cada. O tam anho do domínio

  Y f

  na direcao (direçõo transversal ao escoamento principal) depende do gap da simulaçõo a ser feita: 2,5m, 2,55m, 2,55m, 2,8m e 4m para os casos com gap de 0,1D, 0,2D, 0,3D, 1D e 5D respectivamente. Essa diferença ocorre devido ao espaço que deve ser deixado entre o ponto de ancoragem da tubulaçao e o limite superior do domínio e influencia tam bem na quantidade de volumes com putacionais necessarios para fazer as simulacoes. Esse espaço entre o ponto de ancoragem e o limite superior do domínio foi definido como no mínimo 1,25m. Essa direcõo foi discretizada de um a forma que a m alha fosse uniforme, portanto cada divisao nessa direcao deve ter 5cm. Dessa forma, essa direcao foi discretizada em 50, 51, 51, 56 e 80 partes para na direção z (direção axial em relação ao cilindro) tem 42m em todas simulações. Essa direção foi discretizada em 840 partes de 5cm cada. Foram utilizados 5.040.000, 5.140.800, 5.140.800, 5.644.800 e 8.064.000 volumes com putacionais para o calculo dos casos com gap de 0,1D, 0,2D, 0,3D, 1D e 5D respectivamente. Foram utilizados 80 processadores para a execuçao das simulacoes com gap de 0,1D, 0,2D e 0,3D e 160 processadores para os casos 1D e 5D.

  4 - 2 . 2 M a l h a - e s t r u t u r a

  A tubulação tem um comprimento de 42 metros e o diâm etro e de 0,27305m, o que fornece um a relacao L/D =154. A estrutura foi discretizada de duas formas. Uma discreti- zacão foi feita para que o fluido enxergue a estrutura e defina as forcas que o fluido faz sobre a estrutura e as que a estrutura faz sobre o fluido, outra discretizaçcaão foi feita para resolver as equacoes discretizadas da estrutura. Na prim eira discretizaçao foram utilizados 20.986 pontos para descrever a superfície da estrutura e na segunda discretizacao a linha de centro da estrutura e discretizada em 84 elementos finitos. Os modos de vibrar, as frequencias naturais e as taxas de am ortecim ento devido ao am ortecim ento proporcional se encontram no apendice

  4 . 2 . 3 A c o p l a m e n t o

  Devido às características físicas e operacionais do problem a industrial a ser analisado, o míetodo com acoplamento fraco se m ostrou robusto o suficiente pra obter estabilidade numerica. Como o m etodo com acoplamento fraco e com putacionalm ente mais barato que o m etodo com acoplamento forte, o mesmo foi escolhido para as analises apresentadas nesse capítulo. Diante do exposto, serâo m ostrados os resultados obtidos nas simulações dos casos industriais.

  4

  2.4 . C a s o c o m g a p 0,1(4 m - G ü 1 0

  Esse caso tem como dados de entrada da simulaçao tudo que foi descrito no modelo físico (secao. Alem disso impos-se um gap de 0,10, ou seja um a distancia de 0,027305m

  Y s

  foram posicionados a 1,72m do início do domínio e na direção foi posicionado a 1,22383m do chao. Essas dimensões estao ilustradas na Fig..

  Figura 4.5: Ilustracao da posiçao da ancoragem da tubulacao em relacao a entrada do domínio e do solo, tam anho de gap e altura do domínio; caso GÜ10 (vista lateral da Fig. . Cotas em metros.

  A metodologia LES fornece o com portam ento transiente do escoamento, o que pode ser visualizado na Fig.em três dimensões. O critério Q colorido pela velocidade u (componente da velocidade na direcao X f descrita na Fig.foi utilizado como traçador numíerico para visualizar o escoamento.

  Esse escoamento e caracterizado dinam icam ente por um valor do numero de Reynolds

  1 0

  de Re^ = 1, 73 x

  5. Sabendo-se que escoamentos sobre cilindros se tornam instáveis a Re^ = 47, 5, em conformidade com a teoria da estabilidade linear, a esse valor de Reynolds do presente caso o escoamento deve ser seguram ente instavel a jusante do cilindro. Nas

  Figuras, podem-se visualizar as instabilidades de Kelvin-Helmholtz, as quais estao sendo transportadas sequencialmente no espaco. Ao mesmo tem po instabilidades secundárias longitudinais estao sendo formadas e transportadas. O processo de transicõo a turbulencia esta ocorrendo.

  Essa riqueza de instabilidades fluidodinâmicas seguram ente afeta a estrutura em um Figura 4.6: Visualização tridim ensional do escoamento sobre um a tubulação horizontal.

  X f

  Visualiza-se isovalor do criterio Q (com Q=0,515) colorido pela componente u (direcão ) da velocidade em t=50s. (Caso GO10).

  Figura 4.7: Visualização tridim ensional do escoamento sobre um a tubulaçao horizontal. Visualizam-se cortes do campo da componente u(direcao X f) da velocidade em t=50s. (Caso GO10). a fluidodinâmica, mostram-se, na Fig., vários cortes longitudinais sobre os quais se jusante da tubulação. Apesar do forte nível de tridim ensionalidade do escoamento, percebe- se que a esteira se m anifesta de forma ainda organizada nas proximidades do cilindro.

  A tubulação se desloca, sob a influencia do escoamento, tanto na direcao em linha (direçao X s descrita na Fig.mostra-se o deslocamento da estrutura projetado no plano (Zs,Xs), expresso normalizado pelo diâm etro do tubo. As diferentes cores e símbolos Figura 4.8: Visualizacao dos deslocamentos da tubulacão em funcão do tem po. Visualiza- se a distribuiçao dos deslocamentos da tubulacao projetados no plano (Zs,Xs), expresso

  Z s )

  normalizado pelo diam etro do tubo. Posicoes relativas ao eixo de referencia (X s, Ys e (Fig. (Caso GÜ10). representam as posicães da tubulação em funcao do tem po. Percebe-se que a cor vermelha com sinal de (x ) representa a posiçao inicial da tubulaçao, deformada pela açao do peso próprio, mas sem a açao fluidodinamica. No tem po 2,5 x 10-3s a viga se posiciona, na direcao longitudinal, jó sob os efeitos das forcas fluidodinamicas.

  Na Figuramostra-se o deslocamento da estrutura projetado no plano (Ys,Zs), expresso normalizado pelo diâametro do tubo. Ela se desloca na direcao transversal ao escoamento, sob efeito do peso próprio e das forças fluidodinamicas. Observa-se que o deslocamento e oscilante, caracterizando-se um modo de vibraçcaão. Percebe-se que os deslocamentos na direçcaão transversal ao escoamento sao maiores que os deslocamentos na direcão do escoamento, em linha.

  As Figurasm ostram os deslocamentos do ponto central da tubulacão, nas Figura 4.9: Visualização dos deslocamentos da tubulação em função do tem po. Visualiza- se a distribuiçao dos deslocamentos da tubulação projetados no plano (Ys,Zs), expresso

  Y s Z s )

  normalizado pelo diam etro do tubo. Posições relativas ao eixo de referencia (X s, e (Fig. (Caso GÜ10). osçila entre 158,99% e 151,86% do diâm etro da tubulação. Portanto, a diferença entre o maximo e o mínimo do desloçamento e de 7,12% do diam etro da tubulaçao. Esse dado foi obtido após a retirada da distribuiçao iniçial do desloçamento da estrutura, portanto, após os 40 segundos físiços iniçiais foram obtidos o mínimo e o maximo desloçamento. Alem disso, foram çalçulados o desvio padrao e a m edia do desloçamento dividido pelo diam etro, que sao respeçtivamente, 1,45% e 154,84%. O desloçamento na direçao Ys (çruzado), osçila entre

  • 355,12% e - 372,33% do diam etro da tubulaçao. Portanto, a diferença entre o maximo e o mínimo desloçamento e de 17,21% do diam etro da tubulaçao. Esse dado tam bem foi obtido apos a retirada da distribuiçao iniçial da estrutura, portanto, apos os 40 segundos físiços iniçiais foram obtidos o mínimo e o maximo desloçamento. Alem disso, foram çalçulados o desvio padrao e a media do desloçamento dividido pelo diâm etro, que sao respeçtivamente, 4,67% e - 363,12%.

  Alem disso, para ter dados estatístiços medios no tem po, o valor R M S dos desloçamen- tos foi çalçulado para çada ponto da tubulaçao, tanto para a direçao em linha do esçoamento quanto para a direççãao çruzada ao esçoamento. Essas informaççãoes saão apresentadas na Fig. na forma de duas çurvas intituladas R M S-em linha (direçao do esçoamento) e R M S - çruzado (direçao transversal ao esçoamento). O valor maximo R M S do desloçamento na Figura 4.10: Visualização do deslocamento da tubulação na direção em linha em função do tem po. (Caso GO10).

  Figura 4.11: Visualizaçao do deslocamento da tubulaçao na direçao transversal em funçao do tem po. (Caso GO10). mento na direção transversal ao escoamento e de 363,15% do diametro. Esses dados tam bem apesentados os desvios padrões do deslocamento da estrutura na direção em linha e cruzada. O valor maximo de desvio padrâo do deslocamento na direçao em linha e de 1,45%, enquanto o valor maximo do desvio padrâo do deslocamento na direçao cruzada ao escoamento e de 4,67% do diam etro. Esses dados tam bem foram obtidos com a resposta da estrutura após 40 segundos físicos.

  Figura 4.12: E statística do deslocamento da tubulacõo, nas direcoes do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em R M S . Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig.. (Caso GO10).

  Figura 4.13: E statística do deslocamento da tubulacao, nas direcoes do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em desvio padrâo. Posiçoes relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig. (Caso GO10).

  A orbita da tubulacao ao longo do tem po pode ser visualizada na Fig.para cinco pontos da sua linha de centro, posicionados de um a das extrem idades ate o ponto central. Essas posicoes esrâo assinaladas pelos valores da coordenada Z (representando a di- reçõo Zs nesse contexto), variando de 2,0 m (proximo do ponto de ancoragem) a 21 m Figura 4.14: (Orbitas da tubulação representadas em diferentes posições axiais. (Caso GÜ10). da tubulaçao (orbitas) com am plitudes variaveis ao longo da coordenada axial. Proximo da extrem idade os deslocamentos sao menores, tornando-se mais amplos a medida que se desloca para o centro da tubulaçõo. A coloraçao e feita com a variável tem po, o que perm ite visualizar em cada árbita a sua evoluçao tem poral. Percebe-se que a tubulacao foi liberada

  t= Ü

  a partir da deformaçõo devido ao peso práprio no tem po s e que logo em seguida a mesma se desloca para a direita, na direcao positiva do escoamento, sob o efeito das forças fluidodinâmicas. Para melhor visualizar a árbita, escolheu-se a posiçao Z =21 m, para a qual ela e apresentada em maiores detalhes, conforme Fig.

  A fim de fazer um a analise da dinam ica do escoamento, mostram-se nas Figs. as posicoes nas quais foram colocadas as sondas de m edida de velocidade a jusante do cilindro. As distribuicoes tem porais da componente u da velocidade sao apresentadas nas Figs..

  As instabilidades fluidodinamicas se m anifestam como oscilacoes tem porais. M ostra­ se na Fig.lgumas figuras com a esteira turbilhonar à jusante do cilindro, relativas a s = 2 1

  Figura 4.15: O rbita da tubulação representada em Z m, para t variando entre 20 s e

  Y s

  133,5 s. Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig. (Caso GO10).

  Figura 4.16: Posições das sondas em um a seçao transversal do campo de velocidades em

  2 1 Zs= m (77 diam etros). (Caso GO10).

  diferentes tempos. Os campos de vorticidade sao utilizados para visualizar o escoamento em um corte feito no centro da tubulaçao. Os modos de emissao de estruturas turbilhonares classicamente identificados por meio de analises bidimensionais, e aqui mais difícil de ser identificados, um a vez que a analise aqui apresentada e proveniente de simulacoes tridim en­ Figura 4.17: Posições das sondas em relação à orbita da estrutura em Zs=41m . Posições

  Y s

  relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig.. (Caso GO10).

  8 8

  Figura 4.18: Distribuiçao tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda m ostrada na Fig.. (Caso GO10).

  Figura 4.19: Distribuição tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda 165 m ostrada na Fig.. (Caso 0010). mecanismos físicos que levam aos diferentes modos de emissao de estruturas turbilhonares. Uma analise de correlacao entre as frequencias de formacao das estruturas turbilhonares e as frequencias de vibraçao da tubulacao e apresentada em seguida.

  Na Figuraostram-se as transform adas de Fourier das distribuições das compo­ nentes de velocidades u (direcao X f) e v (direção Yf) em função da frequência, a partir das

  8 8

  series tem porais am ostradas pela sonda ilustrada nas Figs. A distribuicao

  8 8

  tem poral da componente u, obtida pela sonda , foi apresentada na Fig.percebe-se que as frequencias dos deslocamentos (em linha e transversal) da estrutura (tubulacão) sao correlacionados com as frequencias de formacão das estruturas turbilhonares. Observa-se ainda que o deslocamento em linha da estrutura apresenta um a maior gam a de frequencias excitadas quando com parado com o deslocamento transversal da tubulacao.

  4 . 2 . 5 C a s o c o m g a p 0 ,2 D m - G 0 2 D

  Esse caso tem como dados de entrada da simulaçao tudo que foi descrito no modelo

  t = t =

  (a) 60s (b) 70s

  1 0 0

  (e) t = s Figura 4.20: Campos de vorticidade para diferentes tem pos, na sequencia apresentada, de cima para baixo: í=60 s; í=70 s; í=80 s; í=90 s; t=100 s. (Caso G010).

  Figura 4.21: Transformadas de Fourier das componentes de velocidades e dos deslocamentos do ponto central da estrutura (tubulacao). (Caso G010). do ponto mais baixo do tubo ao solo. Na direçao os pontos de ancoragem da tubulação

  Y s

  foram posicionados a 1,72m do início do domínio e na direcao foi posicionado a 1,251m

  Figura 4.22: Ilustração da posição da ancoragem da tubulação em relação à entrada do domínio e do solo, tam anho de gap e altura do domínio; caso G02D (vista lateral da Fig. . Cotas em metros.

  A metodologia LES fornece o com portam ento transiente do escoamento, o que pode ser visualizado na Fig.em três dimensães. O criterio Q colorido pela velocidade u (componente da velocidade na direçao X f descrita na Fig.foi utilizado como traçador numerico para visualizar o escoamento.

  Nas Figuras podem-se visualizar as instabilidades de Kelvin-Helmholtz, as quais estao sendo transportadas sequencialmente no espaco. Ao mesmo tem po instabilidades secundarias longitudinais estao sendo form adas e transportadas. O processo de transicao à turbulencia esta ocorrendo.

  Para melhor ilustrar a fluidodinâmica, mostram-se, na Fig., vários cortes longitu­

  u

  dinais sobre os quais se visualizam isovalores da componente da velocidade, que m ostram a esteira turbilhonar à jusante da tubulacão. Apesar do forte nível de tridim ensionalidade do escoamento, percebe-se que a esteira se m anifesta de form a ainda organizada nas proxi­ midades do cilindro.

  A tubulacão se desloca, sob a influencia do escoamento, tanto na direcao em linha

  Y s

  (direçao X s descrita na Fig.quanto na direçao transversal ao escoamento (direcao Figura 4.23: Visualização tridim ensional do escoamento sobre um a tubulação horizontal de

  R e $

  relação de aspecto L/0=154; esse escoamento está dinam icam ente caracterizado por =

  1 0

  1, 73 x

  5. Visualiza-se isovalor do criterio Q (com Q=0,514971) colorido pela velocidade u (direcao principal do escoamento) do fluido em t=50s. (Caso G020).

  50s

  Figura 4.24: Visualizacao tridim ensional do escoamento sobre um a tubulacao horizontal de relacao de aspecto L/0=154; esse escoamento está dinam icam ente caracterizado por Re$ = 1, 73 x 105. Visualizam-se cortes do campo da componente u da velocidade em t=50s. (Caso

  2 0 GO ). plano (Zs,Xs), expresso normalizado pelo diâm etro do tubo. As diferentes cores e símbolos Figura 4.25: Visualizacâo dos deslocamentos da tubulacâo em funcão do tem po. Visualiza- se a distribuicao dos deslocamentos da tubulacao projetados no plano (Zs,Xs), expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Posicoes relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig.. (Caso GÜ20). representam as posicoes da tubulacão em funcão do tem po. Percebe-se que a cor vermelha com sinal de (x ) representa a posiçao inicial da tubulaçao, deformada pela açao do peso próprio, mas sem a acão fluidodinamica. No tem po 2, 5 x 10-3s a viga se posiciona, na direcao longitudinal, já sob os efeitos das forças fluidodinâmicas.

  ( Y s , Z s ),

  Na Figuramostra-se o deslocamento da estrutura projetado no plano expresso normalizado pelo diâametro do tubo. Ela se desloca na direcao transversal ao escoamento, sob efeito do peso práprio e das forcas fluidodinamicas. Observa-se que o deslocamento e oscilante, caracterizando-se um modo de vibração. Percebe-se que os deslocamentos na direcão transversal ao escoamento são maiores que os deslocamentos na direcão do escoamento, em linha.

  As Figurasostram os deslocamentos do ponto central da tubulacao, nas direções em linha e transversal respectivamente. O deslocamento na direcao X s (em linha) oscila entre 148,72% e 142,79% do diam etro da tubulacao. Portanto, a diferenca entre o máximo e o mínimo do deslocamento e de 5,93% do diam etro da tubulacão. Esse dado foi obtido apos a retirada da distribuicao inicial do deslocamento da estrutura, portanto, apos os 40 segundos físicos iniciais foram obtidos o mínimo e o maximo deslocamento. Alem disso, Figura 4.26: Visualização dos deslocamentos da tubulação em função do tem po. Visualiza-

  , Z s ),

  se a distribuiçao dos deslocamentos da tubulação projetados no plano (Ys expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Posições relativas ao eixo de referênçia da estrutura

  Y s Z (X s, e s) apresentados na Fig.. (Caso GQ20).

  sao respeçtivamente, Q,91% e 146,96%. O desloçamento na direção Ys (çruzado), osçila entre

  • 361,41% e -368,22% do diam etro da tubulaçao. Portanto, a diferença entre o maximo e o mínimo desloçamento e de 6,81% do diam etro da tubulaçao. Esse dado tam bem foi obtido após a retirada da distribuiçao iniçial da estrutura, portanto, após os 4Q segundos físiços iniçiais foram obtidos o mínimo e o maximo desloçamento. Alem disso, foram çalçulados o desvio padrao e a m edia do desloçamento dividido pelo diâm etro, que sao respeçtivamente, 1,20% e - 365,08%.

  Alem disso, para ter dados estatístiços medios no tem po, o valor R M S dos desloçamen- tos foi çalçulado para çada ponto da tubulaçao, tanto para a direçao em linha do esçoamento quanto para a direçao çruzada ao esçoamento. Essas informações são apresentadas na Fig. na forma de duas çurvas intituladas R M S-em linha (direção do esçoamento) e R M S - çruzado (direçao transversal ao esçoamento). O valor maximo R M S do desloçamento na direçao em linha e de 146,97% do diam etro, enquanto o valor maximo do R M S do desloça­ m ento na direção transversal ao esçoamento e de 365,08% do diametro. Esses dados tam bem foram obtidos çom a resposta da estrutura apos 40 segundos físiços. Na Figuraao apesentados os desvios padroães do desloçamento da estrutura na direççãao em linha e çruzada. O valor maximo de desvio padrao do desloçamento na direçao em linha e de 0,91%, enquanto Figura 4.27: Visualização do deslocamento da tubulação na direção em linha em função do tem po. (Caso GQ20).

  Figura 4.28: Visualizaçao do deslocamento da tubulaçao na direçao transversal em funçao do tem po. (Caso GQ20).

  1,20% do diâmetro. Esses dados tam bem foram obtidos çom a resposta da estrutura após Figura 4.29: Estatística do deslocamento da tubulação, nas direções do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em R M S . Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig. (Caso GQ20).

  Figura 4.3Q: Estatística do deslocamento da tubulacao, nas direcoes do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em desvio padrâo. Posicoes relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig. (Caso GQ20).

  A orbita da tubulaçao ao longo do tem po pode ser visualizada na Fig.ara cinco pontos da sua linha de centro, posicionados de um a das extrem idades ate o ponto central. Essas posicoes estao assinaladas pelos valores da coordenada Z (representando a di- recão Zs nesse contexto), variando de 2,0 m (próximo do ponto de ancoragem) a 21 m

  (próximo do centro da tubulaçao). Observa-se que são formados envelopes de movimentacão da tubulaçao (orbitas) com am plitudes variaveis ao longo da coordenada axial. Próximo da extrem idade os deslocamentos sao menores, tornando-se mais amplos à m edida que se desloca para o centro da tubulação. A coloração e feita com a varióvel tem po, o que perm ite visualizar em cada orbita a sua evolucão tem poral. Percebe-se que a tubulação foi liberada

  = 0

  a partir da deformacao devido ao peso proprio no tem po t s e que logo em seguida a

  Figura 4.31: O rbitas da tubulação representadas em diferentes posições axiais. (Caso GQ20). fluidodinâmicas. Para melhor visualizar a orbita, escolheu-se a posiçao Z =21 m, para a qual ela e apresentada em maiores detalhes, conforme Fig.

  A fim de fazer um a analise da dinam ica do escoamento, mostram-se nas Figs. as posicoes nas quais foram colocadas as sondas de m edida de velocidade a jusante do cilindro. As distribuicoes tem porais da componente u da velocidade sao apresentadas nas Figs.

  As instabilidades fluidodinamicas se m anifestam como oscilacoes tem porais. M ostra­ se na Fig.lgumas figuras com a esteira turbilhonar à jusante do cilindro, relativas a diferentes tempos. Os campos de vorticidade sao utilizados para visualizar o escoamento em um corte feito no centro da tubulacao. Uma analise de correlacao entre as frequencias de for- maçõo das estruturas turbilhonares e as frequencias de vibracao da tubulacõo e apresentada em seguida.

  Na Figuraostram-se as transform adas de Fourier das distribuições das compo­

  X f Y f

  nentes de velocidades u (direcao ) e v (direçõo ) em funcao da frequencia, a partir das

  / s = 2 1

  Figura 4.32: O rbita da tubulação representada em Z m, para t variando entre 30 s e

  Y s

  147 s. Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig. (Caso G020).

  Figura 4.33: Posições das sondas em um a seçao transversal do campo de velocidades em

  2 1 Zs= m (77 diam etros). (Caso G020).

  series tem porais am ostradas pela sonda 110 ilustrada nas Figs. Analisando- se a Fig.ercebe-se que as frequencias dos deslocamentos (em linha e transversal) da estrutura (tubulaçao) sao correlacionados com as frequencias de formacõo das estruturas turbilhonares. Observa-se ainda que o deslocamento em linha da estrutura apresenta um a

  Figura 4.34: Posições das sondas em relação à orbita da estrutura em Zs=41m . Posições

  Y s

  relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig. (Caso

  2 0 GQ ).

  8 8

  Figura 4.35: Distribuiçao tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda m ostrada na Fig.. (Caso GQ20). Figura 4.36: Distribuição tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda 110 m ostrada na Fig.. (Caso 0020). maior gam a de frequencias excitadas quando com parado com o deslocamento transversal da tubulaçao.

  4 - 2 . 6 C a s o c o m g a p 0 , 3 D m - G 0 3 D

  Esse caso tem como dados de entrada da simulacao tudo que foi descrito no modelo físico (seçao. Alem disso impos-se um gap de 0,3D, ou seja um a distancia de 0,081915m do ponto mais baixo do tubo ao solo. Na direcão X s os pontos de ancoragem da tubulação

  Y s

  foram posicionados a 1,72m do início do domínio e na direçao foi posicionado a 1,27844m do chao. Essas dimensões estão ilustradas na Fig.

  A metodologia LES fornece o com portam ento transiente do escoamento, o que pode ser visualizado na Fig.em três dimensães. O critério Q colorido pela velocidade u

  X f

  (componente da velocidade na direçao descrita na Fig.foi utilizado como traçador numerico para visualizar o escoamento.

  Nas Figuras podem-se visualizar as instabilidades de Kelvin-Helmholtz, as quais estao sendo transportadas sequencialmente no espaco. Ao mesmo tem po instabilidades

  

(a) t = 60s (b) t = 70s

(c) t = 80s (d) t = 90s

  

(e) t = 100s

  Figura 4.37: Campos de vorticidade para diferentes tem pos, na sequencia apresentada, de cima para baixo: í=60 s; í=70 s; í=80 s; í=90 s; t=100 s. (Caso G020).

  Figura 4.38: Transform adas de Fourier das componentes de velocidades e dos deslocamentos do ponto central da estrutura (tubulacão).(Caso G020). turbuiencia esta ocorrendo.

  Para melhor ilustrar a fluidodinâmica, m ostram-se, na Fig., vários cortes longitu­ Figura 4.39: Ilustração da posição da ancoragem da tubulação em relação à entrada do domínio e do solo, tam anho de gap e altura do domínio; caso G03D (vista lateral da Fig. . Cotas em metros. U

  

50s

  Figura 4.40: Visualizaçao tridim ensional do escoamento sobre um a tubulaçao horizontal de

  R e $

  relaçao de aspecto L/0=154; esse escoamento está dinam icam ente caracterizado por = 1, 73 x 105. Visualiza-se isovalor do criterio Q (com Q=0,514971) colorido pela velocidade u (direção principal do escoamento) do fluido em t=50s. (Caso G030).

  Figura 4.41: Visualização tridim ensional do escoamento sobre um a tubulação horizontal de

  R e $

  relação de aspecto L /0=154; esse escoamento está dinam icam ente caracterizado por =

  1 0

  1, 73 x

  5. Visualizam-se cortes do campo da componente u da velocidade em t=50s. (Caso GQ30). a esteira turbilhonar à jusante da tubulação. Apesar do forte nível de tridim ensionalidade do escoamento, percebe-se que a esteira se m anifesta de forma ainda organizada nas proxi­ midades do cilindro.

  A tubulação se desloca, sob a influencia do escoamento, tanto na direcao em linha

  Y s

  (direcao X s descrita na Fig.mostra-se o deslocamento da estrutura projetado no

  ( Z s

  plano ,Xs), expresso normalizado pelo diam etro do tubo. As diferentes cores e símbolos representam as posicoes da tubulacão em função do tem po. Percebe-se que a cor vermelha com sinal de (x) representa a posiçao inicial da tubulaçao, deformada pela açao do peso próprio, mas sem a acao fluidodinâmica. No tem po 2, 5 x 10-3s a viga se posiciona, na direcao longitudinal, já sob os efeitos das forcas fluidodinâmicas.

  Na Figuraostra-se o deslocamento da estrutura projetado no plano (Ys,Zs), expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Ela se desloca na direcao transversal ao escoamento, sob efeito do peso proprio e das Figura 4.42: Visualização dos deslocamentos da tubulação em função do tem po. Visualiza- se a distribuiçao dos deslocamentos da tubulação projetados no plano (Zs,Xs), expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig. (Caso GQ30).

  Figura 4.43: Visualizaçao dos deslocamentos da tubulação em função do tem po. Visualiza- se a distribuiçao dos deslocamentos da tubulação projetados no plano (Ys,Zs), expresso normalizado pelo diâm etro do tubo. Posiçoes relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig. (Caso GQ30). modo de vibração. Percebe-se que os deslocamentos na direção transversal ao escoamento sao maiores que os deslocamentos na direção do escoamento, em linha.

  As Figurasm ostram os deslocamentos do ponto central da tubulaçao, nas direçoes em linha e transversal respectivamente. O deslocamento na direção X s (em linha) oscila entre 144,50% e 140,02% do diam etro da tubulação. Portanto, a diferença entre o obtido apos a retirada da distribuição inicial do deslocamento da estrutura, portanto, apos os 150 segundos físicos iniciais foram obtidos o mínimo e o maximo deslocamento. Alem disso, foram calculados o desvio padrao e a media do deslocamento dividido pelo diametro, que sao respectivamente, 0,88% e 141,81%. O deslocamento na direcao Ys (cruzado), oscila entre

  • 364,94% e -369,25% do diam etro da tubulacao. Portanto, a diferenca entre o maximo e o mínimo deslocamento e de 4,30% do diam etro da tubulaçao. Esse dado tam bem foi obtido apos a retirada da distribuiçao inicial da estrutura, portanto, após os 150 segundos físicos iniciais foram obtidos o mínimo e o maximo deslocamento. Alem disso, foram calculados o desvio padrao e a media do deslocamento dividido pelo diâm etro, que são respectivamente, 0,87% e -367,28%. Figura 4.44: Visualizacão do deslocamento da tubulaçao na direcao em linha em funcao do tem po. (Caso G030).

  Alem disso, para ter dados estatísticos medios no tem po, o valor R M S dos deslocamen­ tos foi calculado para cada ponto da tubulacao, tanto para a direcao em linha do escoamento quanto para a direcao cruzada ao escoamento. Essas informacoes são apresentadas na Fig. na forma de duas curvas intituladas R M S-em linha (direçao do escoamento) e R M S - cruzado (direcao transversal ao escoamento). O valor maximo R M S do deslocamento na Figura 4.45: Visualização do deslocamento da tubulação na direção transversal em função do tem po. (Caso G030). mento na direçao transversal ao escoamento e de 367,28% do diametro. Esses dados tam bem foram obtidos com a resposta da estrutura após 15Q segundos físicos. Na Figuraao apesentados os desvios padroes do deslocamento da estrutura na direçao em linha e cruzada.

  8 8

  O valor maximo de desvio padrâo do deslocamento na direcao em linha e de , %, enquanto o valor maximo do desvio padrão do deslocamento na direcão cruzada ao escoamento e de 0,88% do diâmetro. Esses dados tam bem foram obtidos com a resposta da estrutura após 150 segundos físicos.

  A orbita da tubulacao ao longo do tem po pode ser visualizada na Fig.ara cinco pontos da sua linha de centro, posicionados de um a das extrem idades ate o ponto central. Essas posicoes estão assinaladas pelos valores da coordenada Z (representando a di­

  Z s

  recão nesse contexto), variando de 2,0 m (proximo do ponto de ancoragem) a 21 m (próximo do centro da tubulaçao). Observa-se que são formados envelopes de movimentacao da tubulaçao (orbitas) com am plitudes variaveis ao longo da coordenada axial. Próximo da extrem idade os deslocamentos sao menores, tornando-se mais amplos a m edida que se desloca para o centro da tubulacao. A coloraçao e feita com a varióvel tem po, o que perm ite

  Figura 4.46: E statística do deslocamento da tubulação, nas direções do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em R M S . Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig.. (Caso GQ30).

  Figura 4.47: E statística do deslocamento da tubulacao, nas direcões do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em desvio padrâo. Posiçoes relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig. (Caso GQ30). a partir da deformaçao devido ao peso próprio no tem po t= 0 s e que logo em seguida a mesma se desloca para a direita, na direcçõao positiva do escoamento, sob o efeito das forcças fluidodinamicas. Para melhor visualizar a orbita, escolheu-se a posicao Z =21 m, para a qual ela e apresentada em maiores detalhes, conforme Fig..

  A fim de fazer um a análise da dinam ica do escoamento, m ostram -se nas Figs.e as posiçoes nas quais foram colocadas as sondas de m edida de velocidade a jusante do cilindro. As distribuicoes tem porais da componente u da velocidade sõo apresentadas nas Figs.

  As instabilidades fluidodinamicas se m anifestam como oscilacoes tem porais. M ostra­ se na Fig.lgumas figuras com a esteira turbilhonar à jusante do cilindro, relativas a Figura 4.48: O rbitas da tubulação representadas em diferentes posições axiais. (Caso GO30). um corte feito no centro da tubulaçao. Uma analise de correlaçao entre as frequencias de for- maçao das estruturas turbilhonares e as frequencias de vibraçao da tubulaçõo e apresentada em seguida.

  Na Figuraostram-se as transform adas de Fourier das distribuições das compo­

  X f Y f

  nentes de velocidades u (direçao ) e v (direçõo ) em funçõo da frequencia, a partir das

  8 8

  series tem porais am ostradas pela sonda ilustrada nas Figs. Analisando- se a Fig.ercebe-se que as frequencias dos deslocamentos (em linha e transversal) da estrutura (tubulaçao) sao correlacionados com as frequencias de formaçõo das estruturas turbilhonares. Observa-se ainda que o deslocamento em linha da estrutura apresenta um a maior gam a de frequencias excitadas quando com parado com o deslocamento transversal da

  Figura 4.49: (Orbita da tubulação representada em Zs=21 m, para t variando entre 40 s e

  Z

  260 s. Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e s) apresentados na

  

2 Fig. . . (Caso GO30).

  Figura 4.50: Posiçoes das sondas em um a seçao transversal do campo de velocidades em

  2 1 Z s = m (77 diam etros). (Caso GO30).

  4 . 2 . 7 C a s o c o m g a p 1 D m - G 1 D

  Esse caso tem como dados de entrada da simulaçao tudo que foi descrito no modelo físico (seçao. Alem disso impos-se um gap de 1D, ou seja um a distancia de 0,27305m do ponto mais baixo do tubo ao solo. Na direçao X s os pontos de ancoragem da tubulação Figura 4.51: Posições das sondas em relação à orbita da estrutura em Zs=41m . Posições

  Y s Z

  relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e s) apresentados na Fig.. (Caso GQ30).

  Figura 4.52: Distribuiçõo tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda 110 apresentada na Fig. (Caso GQ30).

  Figura 4.53: Distribuição tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda 143 apresentada na Fig. (Caso 0030). do chao. Essas dimensões estao ilustradas na Fig.

  A metodologia LES fornece o com portam ento transiente do escoamento, o que pode ser visualizado na Fig.em três dimensões. O critério Q colorido pela velocidade u

  X f

  (componente da velocidade na direçõo descrita na Fig.foi utilizado como traçador numerico para visualizar o escoamento.

  Nas Figuras podem-se visualizar as instabilidades de Kelvin-Helmholtz, as quais estao sendo transportadas sequencialmente no espaco. Ao mesmo tem po instabilidades secundarias longitudinais estao sendo formadas e transportadas. O processo de transicao a turbulencia esta ocorrendo.

  Para melhor ilustrar a fluidodinâmica, mostram-se, na Fig. varios cortes longitu­

  u

  dinais sobre os quais se visualizam isovalores da componente da velocidade, que m ostram a esteira turbilhonar a jusante da tubulacõo. Apesar do forte nível de tridim ensionalidade do escoamento, percebe-se que a esteira se m anifesta de forma ainda organizada nas proxi­ midades do cilindro.

  A tubulacao se desloca, sob a influencia do escoamento, tanto na direcao em linha

  X s

  V > jk

  

(a) t = 60s (b) t = 70s

(c) t = 80s (d) t = 90s

  

(e) t = 100s

  Figura 4.54: Campos de vorticidade para diferentes tem pos, na sequencia apresentada, de cima para baixo: í=60 s; í=70 s; í=80 s; í=90 s; t=100 s. (Caso G030).

  Figura 4.55: Transformadas de Fourier das componentes de velocidades e dos deslocamentos do ponto central da estrutura (tubulacao).(Caso G030). descrita na Fig.ostra-se o deslocamento da estrutura projetado no

  ( Z s , X s ),

  plano expresso normalizado pelo diâm etro do tubo. As diferentes cores e símbolos

  Figura 4.56: Ilustração da posição da ancoragem da tubulação em relação à entrada do domínio e do solo, tam anho de gap e altura do domínio; caso G1D (vista lateral da Fig..

  Cotas em metros.

  Figura 4.57: Visualizaçao tridim ensional do escoamento sobre um a tubulaçao horizontal de

  R e $

  relaçao de aspecto L /0=154; esse escoamento está dinam icam ente caracterizado por =

  1 0

  1, 73 x

  5. Visualiza-se isovalor do criterio Q (com Q=0,514971) colorido pela velocidade u (direçao principal do escoamento) do fluido em t=50s. (Caso G10). com sinal de (x) representa a posição inicial da tubulação, deformada pela ação do peso Figura 4.58: Visualização tridim ensional do escoamento sobre um a tubulação horizontal de

  R e $

  relação de aspecto L/0=154; esse escoamento está dinam icam ente caracterizado por = 1, 73 x 105. Visualizam-se cortes do campo da componente u da velocidade em t=50s. (Caso G10).

  Figura 4.59: Visualização dos deslocamentos da tubulação em função do tem po. Visualiza- se a distribuiçao dos deslocamentos da tubulação projetados no plano (Zs,Xs), expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Posiçães relativas ao eixo de referênçia da estrutura

  Y s (X s, e Zs) apresentados na Fig.. (Caso G10).

  direção longitudinal, ja sob os efeitos das forças fluidodinâmiças.

  Na Figuraostra-se o desloçamento da estrutura projetado no plano (Ys,Zs), Figura 4.60: Visualização dos deslocamentos da tubulação em função do tem po. Visualiza- se a distribuiçao dos deslocamentos da tubulação projetados no plano (Ys,Zs), expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Posições relativas ao eixo de referênçia da estrutura

  Y s Z s ) (X s, e apresentados na Fig.. (Caso G10).

  Ela se desloça na direçao transversal ao esçoamento, sob efeito do peso próprio e das forças fluidodinamiças. Observa-se que o desloçamento e osçilante, çaraçterizando-se um modo de vibração. Perçebe-se que os desloçamentos na direção transversal ao esçoamento sao maiores que os desloçamentos na direção do esçoamento, em linha.

  As Figurasostram os desloçamentos do ponto çentral da tubulação, nas direções em linha e transversal respeçtivamente. O desloçamento na direçao X s (em linha) osçila entre 157,74% e 148,17% do diam etro da tubulação. Portanto, a diferença entre o maximo e o mínimo do desloçamento e de 9,57% do diam etro da tubulação. Esse dado foi obtido após a retirada da distribuiçao iniçial do desloçamento da estrutura, portanto, após os 100 segundos fósiços iniçiais foram obtidos o mónimo e o maximo desloçamento. Alem disso, foram çalçulados o desvio padrao e a m edia do desloçamento dividido pelo diam etro, que sao respeçtivamente, 2,07% e 153,05%. O desloçamento na direção Ys (çruzado), osçila entre

  • 373,83% e -390,00% do diam etro da tubulaçao. Portanto, a diferença entre o maximo e o mónimo desloçamento e de 16,16% do diâm etro da tubulação. Esse dado tam bem foi obtido apos a retirada da distribuiçao iniçial da estrutura, portanto, após os 100 segundos fósiços iniçiais foram obtidos o mónimo e o maximo desloçamento. Alem disso, foram çalçulados o desvio padrao e a media do desloçamento dividido pelo diâm etro, que sao respeçtivamente,
Figura 4.61: Visualização do deslocamento da tubulação na direção em linha em função do tem po. (Caso G10).

  Figura 4.62: Visualização do deslocamento da tubulaçao na direçao transversal em funçao do tem po. (Caso G10).

  Alem disso, para ter dados estatísticos medios no tem po, o valor R M S dos deslocamen­ quanto para a direção cruzada ao escoamento. Essas informações são apresentadas na Fig.

   na forma de duas curvas intituladas R M S-em linha (direçao do escoamento) e

  • R M S

  R M S

  cruzado (direcão transversal ao escoamento). O valor maximo do deslocamento na direcão em linha e de 153,07% do diam etro, enquanto o valor maximo do R M S do desloca­ m ento na direcao transversal ao escoamento e de 381,19% do diam etro. Esses dados tam bem foram obtidos com a resposta da estrutura após 100 segundos físicos. Na Figuraao apesentados os desvios padrães do deslocamento da estrutura na direçao em linha e cruzada. O valor maximo de desvio padrâo do deslocamento na direção em linha e de 2,07%, enquanto o valor maximo do desvio padrão do deslocamento na direcao cruzada ao escoamento e de 3,96% do diam etro. Esses dados tam bem foram obtidos com a resposta da estrutura apos 100 segundos físicos.

  Figura 4.63: E statística do deslocamento da tubulaçao, nas direçoes do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em R M S . Posiçoes relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig.. (Caso G10).

  A órbita da tubulacao ao longo do tem po pode ser visualizada na Fig.para cinco pontos da sua linha de centro, posicionados de um a das extrem idades ate o ponto central. Essas posicoes estao assinaladas pelos valores da coordenada Z (representando a di­ recão Zs nesse contexto), variando de 2,0 m (proximo do ponto de ancoragem) a 21 m

  (próximo do centro da tubulaçao). Observa-se que são formados envelopes de movimentacao da tubulaçao (órbitas) com am plitudes variaveis ao longo da coordenada axial. Proximo da extrem idade os deslocamentos sao menores, tornando-se mais amplos a m edida que se desloca para o centro da tubulacão. A coloraçao e feita com a varióvel tem po, o que perm ite Figura 4.64: Estatística do deslocamento da tubulação, nas direções do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em desvio padrâo. Posiçoes relativas ao eixo de referencia da

  Y s estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig.. (Caso G10).

  Figura 4.65: (Orbitas da tubulacão representadas em diferentes posicoes axiais. (Caso G10).

  t = 0

  a partir da deformação devido ao peso proprio no tem po s e que logo em seguida a mesma se desloca para a direita, na direçao positiva do escoamento, sob o efeito das forcas fluidodinâmicas. Para melhor visualizar a orbita, escolheu-se a posiçao Z =21 m, para a qual

  101

  Figura 4.66: O rbita da tubulação representada em Zs=21 m, para t variando entre 50 s e

  Y s

  196 s. Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig. (Caso G10).

  A fim de fazer um a análise da dinam ica do escoamento, mostram-se nas Figs. as posiçoes nas quais foram colocadas as sondas de m edida de velocidade a jusante do cilindro. As distribuições tem porais da com ponente u da velocidade sao apresentadas nas Figs.

  Figura 4.67: Posições das sondas em um a secao transversal do campo de velocidades em Zs=21m (77 diâm etros). (Caso G10). Figura 4.68: Posições das sondas em relação à orbita da estrutura em Zs=41m . Posições

  Y s

  relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig.. (Caso G 1 # Figura 4.69: Distribuicao tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda 88 apresentada na Fig. (Caso G10).

  Figura 4.70: Distribuição tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda 110 apresentada na Fig. (Caso G10). se na Fig.lgumas figuras com a esteira turbilhonar ' jusante do cilindro, relativas a diferentes tempos. Os campos de vorticidade sao utilizados para visualizar o escoamento em um corte feito no centro da tubulacao. Uma analise de correlacao entre as frequencias de for- macao das estruturas turbilhonares e as frequencias de vibracao da tubulacao e apresentada em seguida.

  Na Figura ?? mostram -se as transform adas de Fourier das distribuições das compo­

  X f

  nentes de velocidades u (direcao ) e v (direçao Yf) em funcao da frequência, a partir das series tem porais am ostradas pela sonda 88 ilustrada nas Figs. A distribuicao tem poral da componente u, obtida pela sonda 88, foi apresentada na Fig.Analisando- se a Fig. ?? percebe-se que as frequencias dos deslocamentos (em linha e transversal) da estrutura (tubulacao) sao correlacionados com as frequencias de formacao das estruturas turbilhonares. Observa-se ainda que o deslocamento em linha da estrutura apresenta um a maior gam a de frequencias excitadas quando com parado com o deslocamento transversal da

  « i * / a (a) t = 60s (b) t = 70s

  g»/ j Hl

  (c) t = 80s (d) t = 90s

  HH se*

  (e) t = 100s Figura 4.71: Campos de vorticidade para diferentes tem pos, na sequencia apresentada, de cima para baixo: í=60 s; í=70 s; í=80 s; í=90 s; t=100 s. (Caso G10).

  Figura 4.72: Transformadas de Fourier das componentes de velocidades e dos deslocamentos do ponto central da estrutura (tubulacao).(Caso G10).

  4 .2 .8 C a s o c o m g a p 5 D m - G 5 D

  Esse caso tem como dados de entrada da simulação tudo que foi descrito no modelo físico (seçao. Alem disso impos-se um gap de 5D, ou seja um a distância de 1,36525m do ponto mais baixo do tubo ao solo. Na direcao X s os pontos de ancoragem da tubulação foram

  Y s

  posicionados a 1,72m do início do domínio e na direçao foi posicionado a 2,561775mm do chao. Essas dimensães estao ilustradas na Fig.

  Figura 4.73: Ilustracao da posiçao da ancoragem da tubulacao em relacao à entrada do domínio e do solo, tam anho de gap e altura do domínio; caso G1D (vista lateral da Fig.. Cotas em metros.

  A metodologia LES fornece o com portam ento transiente do escoamento, o que pode ser visualizado na Fig. ?? em três dimensões. O crirêrio Q colorido pela velocidade u (componente da velocidade na direçao X f descrita na Fig.foi utilizado como traçador numerico para visualizar o escoamento.

  Nas Figuras ?? podem-se visualizar as instabilidades de Kelvin-Helmholtz, as quais estao sendo transportadas sequencialmente no espaco. Ao mesmo tem po instabilidades secundarias longitudinais estao sendo formadas e transportadas. O processo de transicao a turbulencia está ocorrendo.

  Para melhor ilustrar a fluidodinamica, m ostram-se, na Fig. varios cortes longitu­ Figura 4.74: Visualização tridim ensional do escoamento sobre um a tubulação horizontal de

  R e $

  relação de aspecto L/0=154; esse escoamento está dinam icam ente caracterizado por = 1,73 x 105. Visualiza-se isovalor do criterio Q (com Q=0,514971) colorido pela velocidade u (direcao principal do escoamento) do fluido em t=50s. (Caso G50).

  Figura 4.75: Visualizacao tridim ensional do escoamento sobre um a tubulacao horizontal de relacao de aspecto L/0=154; esse escoamento está dinam icam ente caracterizado por Re$ = 1,73 x 105. Visualizam-se cortes do campo da com ponente u da velocidade em t=50s. (Caso G50). a esteira turbilhonar a jusante da tubulação. Apesar do forte nível de tridim ensionalidade do escoamento, percebe-se que a esteira se m anifesta de forma ainda organizada nas proxi­ midades do çilindro.

  A tubulaçao se desloca, sob a influencia do escoamento, tanto na direção em linha (direçao X s descrita na Fig. Na Figura ?? mostra-se o deslocamento da estrutura projetado no plano (Zs,Xs), expresso normalizado pelo diâm etro do tubo. As diferentes cores e símbolos Figura 4.76: Visualizaçao dos deslocamentos da tubulacão em funcão do tem po. Visualiza- se a distribuicao dos deslocamentos da tubulação projetados no plano (Zs,Xs), expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Posicoes relativas ao eixo de referencia da estrutura

  Z s ) (X s, Ys e apresentados na Fig.. (Caso G50).

  representam as posicoes da tubulacão em funcão do tem po. Percebe-se que a cor vermelha com sinal de (x ) representa a posiçao inicial da tubulaçao, deformada pela ação do peso próprio, mas sem a acão fluidodinamica. No tem po 2, 5 x 10-3s a viga se posiciona, na direcao longitudinal, já sob os efeitos das forcas fluidodinamicas.

  ( Y s ,Z s ),

  Na Figuramostra-se o deslocamento da estrutura projetado no plano expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Ela se desloca na direcao transversal ao escoamento, sob efeito do peso práprio e das forcas fluidodinamicas. Observa-se que o deslocamento e oscilante, caracterizando-se um modo de vibraçcaão. Percebe-se que os deslocamentos na direçcaão transversal ao escoamento sao maiores que os deslocamentos na direcão do escoamento, em linha. Figura 4.77: Visualização dos deslocamentos da tubulação em função do tem po. Visualiza-

  ,Z s ),

  se a distribuiçao dos deslocamentos da tubulação projetados no plano (Ys expresso normalizado pelo diam etro do tubo. Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura

  Y s Z (X s, e s) apresentados na Fig.. (Caso G50).

  direçoes em linha e transversal respeçtivamente. O desloçamento na direçao X s (em linha) osçila entre 137,34% e 132,46% do diam etro da tubulação. Portanto, a diferença entre o máximo e o mínimo do desloçamento e de 4,89% do diam etro da tubulação. Esse dado foi obtido após a retirada da distribuiçao iniçial do desloçamento da estrutura, portanto, após os 50 segundos físiços iniçiais foram obtidos o mínimo e o maximo desloçamento. Alem disso, foram çalçulados o desvio padrao e a m edia do desloçamento dividido pelo diam etro, que sao respeçtivamente, 0,98% e 135,28%. O desloçamento na direção Ys (çruzado), osçila entre

  • 380,54% e -402,71% do diam etro da tubulaçao. Portanto, a diferença entre o máximo e o mínimo desloçamento e de 22,18% do diâm etro da tubulaçao. Esse dado tam bem foi obtido apos a retirada da distribuiçao iniçial da estrutura, portanto, apos os 50 segundos físiços iniçiais foram obtidos o mínimo e o maximo desloçamento. Alem disso, foram çalçulados o desvio padrao e a m edia do desloçamento dividido pelo diâm etro, que sao respeçtivamente, 5,96% e -391,20%.

  Alem disso, para ter dados estatístiços medios no tem po, o valor R M S dos desloçamen- tos foi çalçulado para çada ponto da tubulação, tanto para a direçao em linha do esçoamento quanto para a direçao çruzada ao esçoamento. Essas informaçães são apresentadas na Fig.

  ??, na forma de duas çurvas intituladas R M S-em linha (direçao do esçoamento) e R M S -

  Figura 4.78: Visualização do deslocamento da tubulação na direção em linha em função do tem po. (Caso G50).

  Figura 4.79: Visualizaçao do deslocamento da tubulação na direção transversal em funçao do tem po. (Caso G50). direçao em linha e de 135,29% do diâmetro, enquanto o valor maximo do R M S do desloça- foram obtidos com a resposta da estrutura após 50 segundos físicos. Na Figuraao apesentados os desvios padrões do deslocamento da estrutura na direcao em linha e cruzada.

  O valor maximo de desvio padrâo do deslocamento na direcao em linha e de 0,98%, enquanto o valor maximo do desvio padrâo do deslocamento na direcao cruzada ao escoamento e de 5,96% do diametro. Esses dados tam bem foram obtidos com a resposta da estrutura apos 50 segundos físicos.

  Figura 4.80: Estatística do deslocamento da tubulaçao, nas direcoes do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em R M S . Posiçoes relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig. (Caso G50).

  0.06

  0.05

  0.04 ^ 1 ^

  0.03 Desvio padrão: em linha

  0.02 Desvio padrão: cruzado

  0.01 140 160

  100 120

  

A.rinJ

  Figura 4.81: Estatística do deslocamento da tubulacao, nas direcões do escoamento e trans­ versal ao escoamento, dada em desvio padrâo. Posiçoes relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, Ys e Zs) apresentados na Fig. (Caso G50).

  A orbita da tubulaçao ao longo do tem po pode ser visualizada na Fig. ?? para cinco pontos da sua linha de centro, posicionados de um a das extrem idades ate o ponto central. Essas posicoes esrâo assinaladas pelos valores da coordenada Z (representando a di- Figura 4.82: O rbitas da tubulação representadas em diferentes posições axiais. (Caso G50).

  (próximo do centro da tubulaçao). Observa-se que são formados envelopes de movimentaçao da tubulaçao (orbitas) com am plitudes variaveis ao longo da coordenada axial. Proximo da extrem idade os deslocamentos sao menores, tornando-se mais amplos a medida que se desloca para o centro da tubulacão. A coloração e feita com a variável tem po, o que perm ite visualizar em cada orbita a sua evolucao tem poral. Percebe-se que a tubulaçao foi liberada

  t = 0

  a partir da deformaçao devido ao peso proprio no tem po s e que logo em seguida a mesma se desloca para a direita, na direção positiva do escoamento, sob o efeito das forcas fluidodinâmicas. Para melhor visualizar a orbita, escolheu-se a posiçao Z =21 m, para a qual ela e apresentada em maiores detalhes, conforme Fig.

  A fim de fazer um a analise da dinam ica do escoamento, mostram-se nas Figs. ?? e as posicoes nas quais foram colocadas as sondas de m edida de velocidade a jusante do cilindro. As distribuicoes tem porais da componente u da velocidade sao apresentadas nas Figs. ?? e

  As instabilidades fluidodinamicas se m anifestam como oscilacoes tem porais. M ostra- Figura 4.83: O rbita da tubulação representada em Zs=21 m, para t variando entre 50 s e

  Y s

  158 s. Posições relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig.. (Caso G50).

  Figura 4.84: Posições das sondas em um a seção transversal do campo de velocidades em

  Z s =21m (77 diâm etros). (Caso G50).

  se na Fig. ?? algumas figuras com a esteira turbilhonar a jusante do cilindro, relativas a diferentes tem pos. Os campos de vorticidade sao utilizados para visualizar o escoamento em um corte feito no centro da tubulacao. Uma analise de correlacão entre as frequencias de for- macão das estruturas turbilhonares e as frequencias de vibracão da tubulacão e apresentada

  Figura 4.85: Posições das sondas em relação à orbita da estrutura em Zs=41m . Posições

  Y s

  relativas ao eixo de referencia da estrutura (X s, e Zs) apresentados na Fig. (Caso G50).

  Figura 4.86: Distribuiçao tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda 88 apresentada na Fig. ??. (Caso G50).

  1.4

1.2 Figura 4.87: Distribuição tem poral da componente de velocidade u am ostrado na sonda 143 apresentada na Fig. ??. (Caso G50).

  Na Figuraostram-se as transform adas de Fourier das distribuições das compo­

  X f

  nentes de velocidades u (direçao ) e v (direção Yf) em funçao da frequencia, a partir das series tem porais am ostradas pela sonda 88 ilustrada nas Figs. ?? e A distribuicao tem poral da componente u, obtida pela sonda 88, foi apresentada na Fig. ??. Analisando-se a Fig.percebe-se que as frequencias dos deslocamentos (em linha e transversal) da estrutura (tubulaçao) sao correlacionados com as frequencias de formacao das estruturas turbilhonares. Observa-se ainda que o deslocamento em linha da estrutura apresenta um a maior gam a de frequencias excitadas quando com parado com o deslocamento transversal da tubulacçao.

  4 - 2 .9 C o m p a r a ç ã o e n tr e o s c a s o s

  Nessa secao serao apresentadas comparacoes entre alguns resultados obtidos nas simu-

  R M S

  lacoes dos casos industriais. As Figs. ?? m ostram os valores do deslocamento adimensionalizado pelo diâm etro da estrutura no ponto central (Zs = 21m) para a direçao em linha (X s) e transversal (Ys), respectivamente. A ordem dos casos apresentados nessas

  €£# • |

  (b) t = 70s (a) t = 60s

  3 / ' ? -• t

  (c) t = 80s (d) t = 90s

  »

  (e) t = 100s Figura 4.88: Campos de vorticidade para diferentes tem pos, na sequencia apresentada, de cima para baixo: í=60 s; í=70 s; í=80 s; í=90 s; t=100 s. (Caso G50).

  Na Figura ?? fica evidente que o valor R M S na direcao transversal se torna cada vez maior, quanto mais se afasta a estrutura do solo, mas o mesmo nao acontece para o R M S na direção em linha. Pode-se dizer que a proximidade com o solo aum enta a forca de sustentacao m edia na estrutura, fazendo com que o valor R M S do deslocamento diminua. No entanto, Figura 4.89: Transformadas de Fourier das componentes de velocidades e dos deslocamentos do ponto central da estrutura (tubulacão).(Caso G50).

  g a p s im u la d o .

  Tabela 4.3: A ltura do domínio para cada

  g a p

  Caso

  1 0,10

  2 0, 20 3 0, 30

  4

  10

  5

  50 R M S diminuição do nessa direção quando se afasta a estrutura do solo, indicando que a força de arrasto m edia diminui quando se afasta a estrutura do solo. Ha um a anomalia no caso 4 (gap 10), que faz com que o R M S nessa direçao aum ente, chegando a um valor proximo do valor do caso 1 (gap 0,10).

  Figura 4.90: Com paraçao entre os valores RMS do deslocamento na direção em linha das simulacões do caso industrial. Valores normalizados pelo diam etro e am ostrados no ponto central da estrutura (Zs = 21m).

  Figura 4.91: Com paração entre os valores RMS do deslocamento na direção transversal das simulações do caso industrial. Valores normalizados pelo diam etro e am ostrados no ponto central da estrutura (Zs = 21m). onalizado pelo diam etro da estrutura no ponto central (Zs = 21m) para a direçõo em linha

  (X s) e cruzada (Ys), respectivamente. Em bora o valor R M S na direçõo transversal aum ente quando se afasta a estrutura do solo, o mesmo nao acontece com o desvio padrâo nessa dire- cao. Ha um a anom alia no caso 1 (gap 0,10), que faz com que o desvio padrõo seja alto. Nos outros casos, pode-se dizer que quanto mais afastado do solo maior sera o desvio padrâo.

  O caso 4 apresenta a mesma anom alia no desvio padrõo vista no valor R M S na mesma direcõo (Fig.. Os casos 1 e 4 foram os que apresentaram maior desvio padrâo nessa direçcõao, enquanto os outros casos apresentaram valores semelhantes.

  2.2

?l________________ I________________ I________________ I________________ I________________ I________________ I________________ I________________

  1

  1.5

  2

  2.5

  3

  3.5

  4

  4.5

  5 Casos

  Figura 4.92: Com paração entre os valores de desvio padrão do deslocamento na direção em linha das simulaçães do caso industrial. Valores normalizados pelo diam etro e am ostrados no ponto central da estrutura (Zs = 21 m).

  ST tr D an sv er sa l

  Figura 4.93: Com paração entre os valores de desvio padrão do deslocamento na direção trans­ versal das simulações do caso industrial. Valores normalizados pelo diam etro e am ostrados no ponto central da estrutura (Zs = 21m).

  

CAPÍTU LO V

CONCLUSOES E TRABALHOS FUTUROS

5.1 Conclusões

  O presente trabalho foi proposto com os objetivos de: form ar pessoas no tem a interação fluido-estrutura; dar sequencia aos desenvolvimentos, no M FLab, sobre esse im portante tema; contribuir para o desenvolvimento de um a plataform a de simulaçao num erica de problemas de dinamica dos fluidos. Alem disso, objetivou-se contribuir com o estudo de um problem a industrial, mesmo que de forma preliminar. Para isso foi utilizado o software Fluids3D, que e um a ferram enta com putacional que esta sendo desenvolvida no Laboratório de M ecanica dos Fluidos (M FLab) da Universidade Federal de Uberlandia. Os metodos utilizados nesse trabalho foram descritos na seçao mas existem outros implementados que podem ser encontrados eme outros.

  As verificacoes numericas dos dois subsistemas fluido e estrutura foram feitas separa­ dam ente, como foi discutido na secao. Apesar dessas verificações terem sido feitas, ainda foi necessária a validacão do acoplamento entre esses dois subsistemas. Para perm itir que isso fosse feito, foi im plem entado o acoplamento forte descrito na secao.

  O estudo do problem a de interacao fluido-estrutura industrial foi feito. Conclui-se que os desvios padrão do deslocamento da estrutura nas direcoes em linha e transversal foram ser um fator im portante nos valores rms do deslocamento da tubulação nas duas direções. O caso com gap 1 0 se m ostrou diferente dos outros casos, apresentando valores estatísticos fora do padrâo para o deslocamento na direção em linha.

  Foi possível evidenciar a estrita correlacao entre a dinâmica de formação das estruturas turbilhonares e a dinâm ica da estrutura imersa, como já era esperado. As frequencias de oscilacão induzidas sobre a estrutura sao casadas com as frequencias mais energizadas do espectro de estrutura turbilhonares.

  Nao foi possível ainda ter conclusães fechadas sobre a influencia da proximidade da tubulacao em relaçao ao solo. Perceberam-se anomalias interessantes para determ inados valores de gap. Identificaram-se diferentes com portam entos dinamicos na movimentacao da estrutura. As orbitas variam sensivelmente com o gap.

  A principal c o n trib u to com o presente trabalho foi a abertura, no M FLab, de um a im portante linha investigativa numerico-computacional. Grandes sao os desdobramentos dessa dissertaçcãao em termos de pesquisa e desenvolvimento. A seguir elencam-se os principais tópicos que serão desenvolvidos no M FLab, como consequencia dessa dissertaçao.

5.2 Trabalhos futuros

  Em bora bons resultados tenham sido obtidos com o codigo em desenvolvimento, mui­ tos esforços ainda sao necessarios a fim de m elhorar os resultados. Os seguintes itens sao propostos:

  • Utilizaçao de outra abordagem para a fronteira imersa, como a com volume fantasm a local discutida por para m elhorar a definiçao da fronteira e das forcas que atuam sobre a estrutura.
  • Utilizacão da abordagem m odal para a soluçao num erica da viga de Timoshenko. Esse recurso ja está disponível no codigo FLUIDS 3DP.
  • Investigaçcãao de outros integradores tem porais para a estrutura.
  • Utilizaçao do cádigo AMR3DP, que apresenta o recurso de m alha adaptativa para o subdomínio do fluido.

  • Im plementação de um acelerador de convergência para o acoplamento forte já im­ plementado, como os propostos por.
  • Im plementacão de outras formas de acoplamento forte, como as descritas por.
  • Com paraçao entre os metodos monolítico, particionado forte e particionado fraco, para verificacao de robustez e custo.
  • Investigacao detalhada sobre a dinamica da estrutura no caso com gap 10.

  

  • Validacao do acoplamento para outros m ateriais testados por
  • Verificacao da influencia da velocidade do fluido na resposta dinam ica da estrutura.
  • Obtencão das frequencias naturais da estrutura dentro d ’agua a partir de um pluck test numerico.
  • Investigacao da influencia do fluido na resposta dinam ica da estrutura, partindo-se do princípio da massa, da rigidez e do am ortecim ento adicionados.
  • Investigacao da influencia de um a topologia variavel do solo na resposta dinamica da estrutura.
  • Implementaçcãao de modelos de choque da estrutura com o solo.
  • Avaliacao num erica da influencia do escoamento sobre a tubulacao em movimento em um solo erodível.
  • Avaliacao da influencia do perfil de entrada do fluido na resposta dinam ica da estru- tura.

  

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APENDICE

  I Revisão bibliográfica do caso de validação

  conduziram experimentos físicos m ateriais em tanques de teste no Shell Westhollow Technology Center. A configuracao dos testes e m ostrada na Fig. Um Figura I.1: Configuracao dos testes m ateriais conduzidos em tanques no Shell Westhollow Technology Center. Figura adaptada de. acelerômetro biaxial foi m ontado dentro da tubulacão no centro do cilindro. Um segundo acelerometro do mesmo tipo foi colocado a um quarto de distancia da junta superior. Uma celula de carga de flexao, feita pelo grupo, foi m ontada sob a junta inferior para m onitorar as sobre a junta superior. O peso total da m ontagem superior foi de aproxim adam ente 7,26kg. Um sistem a de compensaçao de peso, constituído por duas polias e um peso, foi utilizado para com pensar o peso superior. A distancia entre centros das duas juntas foi de 3,725 m.

  A junta superior nao foi subm ersa (aproxim adam ente 26,7 cm acima da interface entre agua e ar). Experim entos foram feitos com 5 tubos diferentes, com m ateriais diferentes, como pode ser visto na Tab., retirada do artigo. Utilizando um acelerometro biaxial montado Tabela I.1: Propriedades estruturais dos cilindros testados. Tabela adaptada do artigo

  . Serie do teste sst12 sst21 sst19 sst20 sst22

  Cilindro ABS (0,25”) ABS (Alu (0,035”)) Alu (0,125”) Aço (0,065”) Aço (0,25”) Diametro ABS 2,5,

  2,5 2,5 2,5 2,5 externo (in.) alu 2,0

  Espessura da 0,25 alu 0,035 0,125 0,065 0,25 parede (in.)

  Com prim ento (in.) 144,75 144,75 144,75 144,75 144,75 E I(kips/in2) 336 1379 6594 11064 33962

  K1 (lb/ft)* 62 257 1226 2056 6310 Mass ratio 1,00 1,05 1,32 1,69 3,47 f1 (Hz) (medido)** 1,53 2,81 5,38 6,63 8,13

  • K1 e a prim eira rigidez modal;

  Notas: p lu c k te s t.

  • f1 e a prim eira frequencia natural na agua, obtida atraves de um dentro da tubulaçao no centro do cilindro, foram obtidos valores de R M S das am plitudes de deslocamento, divididas pelo diam etro da tubulacão, nas direcoes em linha (Fig.para varias velocidades reduzidas.

  A partir dessas informações e da necessidade de se validar o código com putacional

  s s t2 0

  para aplicacoes com interacao fluido-estrutura, escolheu-se o caso da Fig.ara fazer a validacao, que corresponde a um a tubulaçao de aco com um a parede de 1,651mm de espessura. Na próxim a subsecao serâo m ostrados os dados de entrada para as duas simulações

  R M S

  Figura I.2: Valores de das am plitudes de deslocamento na direção em linha, divididas pelo diam etro da tubulação, obtidos utilizando o acelerometro biaxial m ontado dentro da tubulação no centro do cilindro, para os testes descritos na Fig. artigo

  R M S

  Figura I.3: Valores de das am plitudes de deslocamento na direcão cruzada, divididas pelo diam etro da tubulacao, obtidos utilizando o acelerometro biaxial m ontado dentro da tubulacão no centro do cilindro, para os testes descritos na Fig. artigo

  Figura I.4: Frequências das vibrações na direção em linha, obtidas utilizando o acelerômetro biaxial m ontado dentro da tubulaçao no centro do cilindro, para os testes descritos na Fig.

  

  .

  II Avaliação da estrutura no caso de validação

  Nessa seçao serâo apresentadas as cem primeiras frequencias naturais, os 5 primeiros modos de vibrar e as taxas de am ortecimentos modais dos cem primeiros modos da estrutura utilizada no caso de validacão do acoplamento fluido-estrutura. A seguir sao apresentadas as cem prim eiras frequencia naturais da estrutura no vacuo:

  1, 3023 x 101 [Hz] 1, 3023 x 101 [Hz]

  5.1789 x 101 [Hz] 5.1789 x 101 [Hz]

  1.1540 x 102 [Hz] 1.1540 x 102 [Hz]

  2, 0235 x 102 [Hz] 2, 0235 x 102 [Hz] 3, 1043 x 102 [Hz] 3, 1043 x 102 [Hz]

  4, 3659 X 102 [Hz] 4, 3659 X 102 [Hz] 5,7688 X 102 [Hz] 5,7688 X 102 [Hz] 7, 2711 X 102 [Hz] 7, 2711 X 102 [Hz] 8, 8498 X 102 [Hz] 8, 8498 X 102 [Hz]

  1, 0526 X 103 [Hz] 1, 0526 X 103 [Hz] 1, 2357 X 103 [Hz] 1, 2357 X 103 [Hz] 1, 4391 X 103 [Hz] 1, 4391 X 103 [Hz] 1, 6640 X 103 [Hz] 1, 6640 X 103 [Hz] 1, 9085 X 103 [Hz] 1, 9085 X 103 [Hz]

  2,1703 X 103 [Hz] 2,1703 X 103 [Hz] 2, 4467 X 103 [Hz] 2, 4467 X 103 [Hz] 2, 7354 X 103 [Hz] 2, 7354 X 103 [Hz] 3, 0344 X 103 [Hz] 3, 0344 X 103 [Hz] 3, 3419 X 103 [Hz] 3, 3419 X 103 [Hz] 3, 6562 X 103 [Hz] 3, 6562 X 103 [Hz]

  3,9760 X 103

  H z

  ,

  7

  ]

  H z

  5328 X 103 [

  ,

  7

  ]

  H z

  2217 X 103 [

  ,

  7

  ]

  2217 X 103 [

  H z

  ,

  7

  ]

  H z

  9062 X 103 [

  ,

  6

  ]

  H z

  9062 X 103 [

  ,

  6

  ]

  5328 X 103 [

  ]

  5870 X 103 [

  8

  H z

  4364 X 103 [

  ,

  8

  ]

  H z

  4364 X 103 [

  ,

  8

  ]

  H z

  1405 X 103 [

  ,

  ]

  7

  H z

  1405 X 103 [

  ,

  8

  ]

  H z

  8392 X 103 [

  ,

  7

  ]

  H z

  8392 X 103 [

  ,

  H z

  ,

  [ H z

  6263 X 103 [

  ,

  5

  ]

  H z

  2834 X 103 [

  ,

  5

  ]

  H z

  ] 4,9545 X 103 [

  H z

  ] 4,9545 X 103 [

  H z

  ,

  H z

  4

  ]

  H z

  6263 X 103 [

  ,

  4

  ]

  H z

  ] 4,2998 X 103 [

  H z

  ] 4,2998 X 103 [

  [ H z

  ] 3,9760 X 103

  2834 X 103 [

  ] 5,6118 X 103 [

  6

  ,

  ]

  H z

  5870 X 103 [

  ,

  6

  ]

  H z

  2644 X 103 [

  ,

  6

  ]

  H z

  2644 X 103 [

  6

  H z

  ]

  H z

  9391 X 103 [

  ,

  5

  ]

  H z

  9391 X 103 [

  ,

  5

  ]

  H z

  ] 5,6118 X 103 [

  ]

  8,7266 X 103 [Hz] 8,7266 X 103 [Hz] 9, 0110 X 103 [Hz] 9, 0110 X 103 [Hz] 9,2894 X 103 [Hz] 9,2894 X 103 [Hz] 9, 5616 X 103 [Hz] 9,5616 X 103 [Hz] 9, 8277 X 103 [Hz] 9, 8277 X 103 [Hz]

  1, 0087 X 104 [Hz] 1, 0087 X 104 [Hz] 1, 0341 X 104 [Hz] 1, 0341 X 104 [Hz] 1, 0588 X 104 [Hz] 1, 0588 X 104 [Hz] 1, 0829 X 104 [Hz] 1, 0829 X 104 [Hz] 1, 1063 X 104 [Hz] 1, 1063 X 104 [Hz] 1,1292 X 104 [Hz] 1,1292 X 104 [Hz] 1, 1514 X 104 [Hz] 1, 1514 X 104 [Hz] 1,1730 X 104 [Hz] 1,1730 X 104 [Hz] 1,1940 X 104 [Hz] 1,1940 X 104 [Hz] 1,2144 X 104 [Hz] 1,2144 X 104 [Hz]

  Na Figurasao apresentados os cinco primeiros modos de vibrar da estrutura. Os

  Z s ) modos de vibrar nos planos (Zs,Xs) e (Ys, são identicos.

  Figura II.5: Ilustracao dos primeiros modos de vibrar da estrutura utilizada na simulacao de validacao.

  A seguir sao apresentadas as cem prim eiras taxas de am ortecim ento m odal referentes aos 100 primeiros modos de vibrar da estrutura (Essa taxa de am ortecim ento e devido ao am ortecim ento proporcional. O efeito do fluido externo nao e contabilizado.):

  1.0202 x 10-2 1.0202 x 10-2 1.7807 x 10-2 1.7807 x 10-2

  3, 6944 x 10-2 3, 6944 x 10-2 6, 3962 x 10-2 6, 3962 x 10-2 9, 7779 x 10-2 9,7779 x 10-1

  1,3734 x 10-1 1, 3734 x 10-1 1, 8137 x 10-1 1, 8137 x 10-1

  2, 2854 x 10-1 2, 2854 x 10-1

  2,7812 X 10­ 2 ,7812 X 10­ 3 ,3076 X 10­ 3 ,3076 X 10­ 3, 8828 X 10­ 3, 8828 X 10­ 4, 5217 X 10­ 4, 5217 X 10­ 5 ,2279 X 10­ 5 ,2279 X 10­ 5, 9963 X 10­ 5, 9963 X 10­ 6, 8186 X 10­ 6, 8186 X 10­ 7, 6869 X 10­ 7, 6869 X 10­ 8, 5938 X 10­ 8, 5938 X 10­ 9, 5331 X 10­ 9, 5331 X 10­

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1, 0499 1, 0499 1, 1487 1, 1487 1, 2491 1, 2491 1, 3508 1, 3508 1, 4534 1, 4534

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1.5565 1.5565 1.6598 1.6598 1.7630 1.7630 1, 8658 1, 8658 1, 9680 1, 9680

  2.0694 2.0694 2, 1697 2, 1697 2, 2688 2, 2688 2, 3665 2, 3665 2, 4628 2, 4628 2, 5574 2, 5574 2, 6504 2, 6504 2.7416 2.7416 2, 8309 2, 8309 2.9184 2.9184

  3,0039 3, 0039 3.0875 3.0875 3.1691 3.1691 3.2487 3.2487 3, 3263 3, 3263 3, 4019 3, 4019 3, 4756 3, 4756 3, 5474 3, 5474 3.6172 3.6172 3, 6850 3, 6850 3.7511 3.7511 3, 8152 3, 8152 III

  III Avaliação da estrutura do caso industrial

  Nessa seção serão apresentadas as cem prim eiras frequências naturais, os 5 primeiros modos de vibrar e taxas de amortecimentos modais dos cem primeiros modos da estru­ frequência naturais da estrutura no vácuo: 4.1974 x 10-1 [Hz] 4.1974 x 10-1 [Hz]

  1, 4792 [Hz] 1, 4792 [Hz]

  3, 2370 [Hz] 3, 2370 [Hz] 5, 6944 [Hz] 5, 6944 [Hz] 8, 8494 [Hz] 8, 8494 [Hz]

  1, 2699 x 101 [Hz] 1, 2699 x 101 [Hz] 1, 7239 x 101 [Hz] 1, 7239 x 101 [Hz]

  2, 2466 x 101 [Hz] 2, 2466 x 101 [Hz] 2, 8373 x 101 [Hz] 2, 8373 x 101 [Hz] 3, 4956 x 101 [Hz] 3, 4956 x 101 [Hz] 4, 2208 x 101 [Hz] 4, 2208 x 101 [Hz] 5.0122 x 101 [Hz] 5.0122 x 101 [Hz] 5, 8691 x 101 [Hz] 5, 8691 x 101 [Hz] 6, 7906 x 101 [Hz] 6, 7906 x 101 [Hz] 7, 7758 x 101 [Hz]

  7, 7758 X 101 [Hz] 8, 8240 X 101 [Hz] 8,8240 X 101 [Hz] 9,9340 X 101 [Hz] 9,9340 X 101 [Hz]

  1,1105 X 102 [Hz] 1,1105 X 102 [Hz] 1,2336 X 102 [Hz] 1,2336 X 102 [Hz] 1, 3625 X 102 [Hz] 1, 3625 X 102 [Hz] 1, 4973 X 102 [Hz] 1, 4973 X 102 [Hz] 1, 6377 X 102 [Hz] 1, 6377 X 102 [Hz] 1, 7836 X 102 [Hz] 1, 7836 X 102 [Hz] 1, 9349 X 102 [Hz] 1, 9349 X 102 [Hz]

  2, 0916 X 102 [Hz] 2, 0916 X 102 [Hz] 2, 2534 X 102 [Hz] 2, 2534 X 102 [Hz] 2, 4203 X 102 [Hz] 2, 4203 X 102 [Hz] 2, 5920 X 102 [Hz] 2, 5920 X 102 [Hz] 2, 7686 X 102 [Hz] 2, 7686 X 102 [Hz] 2, 9498 X 102 [Hz]

  2,9498 X 102 [Hz] 3.1356 X 102 [Hz] 3.1356 X 102 [Hz] 3, 3257 X 102 [Hz] 3, 3257 X 102 [Hz] 3, 5201 X 102 [Hz] 3, 5201 X 102 [Hz] 3, 7186 X 102 [Hz] 3, 7186 X 102 [Hz] 3.9211 X 102 [Hz] 3.9211 X 102 [Hz] 4.1275 X 102 [Hz] 4.1275 X 102 [Hz] 4, 3375 X 102 [Hz] 4, 3375 X 102 [Hz] 4.5512 X 102 [Hz] 4.5512 X 102 [Hz] 4, 7682 X 102 [Hz] 4, 7682 X 102 [Hz] 4, 9886 X 102 [Hz] 4, 9886 X 102 [Hz] 5.2121 X 102 [Hz] 5.2121 X 102 [Hz] 5, 4385 X 102 [Hz] 5, 4385 X 102 [Hz] 5, 6679 X 102 [Hz] 5, 6679 X 102 [Hz] 5, 8999 X 102 [Hz] 5, 8999 X 102 [Hz] 6, 1344 X 102 [Hz]

  6,1344 x 102 [Hz] 6, 3713 x 102 [Hz] 6, 3713 x 102 [Hz] 6.6105 x 102 [Hz] 6.6105 x 102 [Hz] 6.8517 x 102 [Hz] 6.8517 x 102 [Hz] 7.0947 x 102 [Hz] 7.0947 x 102 [Hz] 7, 3395 x 102 [Hz] 7, 3395 x 102 [Hz] Na Figurasao apresentados os cinco primeiros modos de vibrar da estrutura. Os modos de vibrar nos planos (Zs,Xs) e (Ys, Zs) sao identicos.

  Figura III.6: Ilustraçao dos cinco primeiros modos de vibrar da estrutura utilizada na simu- lacao dos casos industrias.

  A seguir sao apresentadas as cem primeiras taxas de am ortecim ento m odal referentes aos 100 primeiros modos de vibrar da estrutura (Essa taxa de am ortecim ento e devido ao am ortecim ento proporcional. O efeito do fluido externo nao e contabilizado.):

  1.8972 x 10-1 1.8972 x 10-1

  5, 4261 x 10-1 5, 4261 x 10-1 2, 5600 x 10-1

  1 2, 5600 X 10­

  1 1,5764 X 10­

  1 1,5764 X 10­

  1 1 ,1773 X 10­ 1 1 ,1773 X 10­

  1 1, 0256 X 10­

  1 1, 0256 X 10­

  1 1, 0032 X 10­

  1 1, 0032 X 10­

  1 1, 0600 X 10­

  1 1, 0600 X 10­

  1 1 ,1718 X 10­ 1 1 ,1718 X 10­

  1 1, 3258 X 10­

  1 1, 3258 X 10­

  1 1,5146 X 10­

  1 1, 5146 X 10­

  1 1, 7334 X 10­

  1 1, 7334 X 10­

  1 1,9794 X 10­

  1 1,9794 X 10­

  1 2, 2505 X 10­

  1 2, 2505 X 10­

  1 2, 5452 X 10­

  1 2, 5452 X 10­

  1 2, 8623 X 10­

  1 2, 8623 X 10­

  1 3, 2010 X 10­

  1 3, 2010 X 10­

  1 3, 5604 X 10-

  3, 5604 X 10­ 3, 9399 X 10­ 3, 9399 X 10­ 4, 3390 X 10­ 4, 3390 X 10­ 4, 7570 X 10­ 4, 7570 X 10­ 5, 1935 X 10­ 5, 1935 X 10­ 5 ,6480 X 10­ 5 ,6480 X 10­ 6 ,1199 X 10­ 6 ,1199 X 10­ 6, 6090 X 10­ 6, 6090 X 10­ 7 ,1146 X 10­ 7 ,1146 X 10­ 7, 6364 X 10­ 7, 6364 X 10­ 8 ,1738 X 10­ 8 ,1738 X 10­ 8, 7266 X 10­ 8, 7266 X 10­ 9, 2941 X 10­ 9, 2941 X 10­ 9 ,8761 X 10­ 9 ,8761 X 10­

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1, 0472 X 10­ 1, 0472 X 10­ 1 ,1081 X 10-

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1,1081 X 10­ 1 ,1704 X 10­ 1 ,1704 X 10­ 1 ,2339 X 10­ 1 ,2339 X 10­ 1 ,2986 X 10­ 1 ,2986 X 10­ 1 ,3645 X 10­ 1 ,3645 X 10­ 1, 4315 X 10­ 1, 4315 X 10­ 1, 4997 X 10­ 1, 4997 X 10­ 1, 5688 X 10­ 1, 5688 X 10­ 1, 6389 X 10­ 1, 6389 X 10­ 1, 7100 X 10­ 1, 7100 X 10­ 1, 7820 X 10­ 1, 7820 X 10­ 1, 8548 X 10­ 1, 8548 X 10­ 1, 9285 X 10­ 1, 9285 X 10­

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2, 0029 X 10­ 2, 0029 X 10­ 2, 0780 X 10­ 2, 0780 X 10­ 2, 1537 X 10-

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2,1537 2, 2300 2, 2300 2, 3068 2,3068

  10-1 10-1 10-1 10-1 10-1

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