EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO E DE UM ATRATOR PARA EQUAÇÃO DA ONDA COM MEMÓRIA DEGENERADA

Livre

0
0
82
1 year ago
Preview
Full text

  

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM MATEMÁTICA

  (Mestrado)

TALITA DRUZIANI MARCHIORI

  

EXISTÊNCIA DE SOLUđấO E DE UM ATRATOR PARA

EQUAđấO DA ONDA COM MEMốRIA DEGENERADA

  Maringá-PR UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

  DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM MATEMÁTICA

  

EXISTÊNCIA DE SOLUđấO E DE

UM ATRATOR PARA EQUAđấO DA

ONDA COM MEMÓRIA

DEGENERADA

  

ALITA RUZIANI ARCHIORI

T D M

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Esta- dual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requi- sitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Área de concentração: Análise.

  a a

  Orientadora: Prof . Dr . Claudete Matilde Webler Martins.

  Maringá-PR

  À minha família.

  

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, por me permitir chegar até aqui.

  Aos meus pais, que sempre estiveram comigo ao longo dessa caminhada e nunca mediram esforços para que esse sonho fosse alcançado. Aos meus irmãos, pelo carinho dedicado a mim, especialmente à minha irmã Jaqueline, que sempre esteve disposta a me ajudar.

  Ao meu namorado Cristian que, com muito amor, paciência e companheirismo, es- teve ao meu lado e nunca deixou de acreditar e confiar em mim, mesmo nos momentos de estresse.

  Aos meus amigos, próximos e distantes, que me apoiaram e incentivaram. Obri- gada por todos os encontros e companheirismo. A todos os professores da minha vida acadêmica, em especial à minha orientadora

  Claudete Matilde Webler Martins, pela paciência, sabedoria, compreensão, confiança, incentivo e ajuda que foram essenciais para elaboração e conclusão deste trabalho.

  Ao CNPq, pelo apoio financeiro. Enfim, a todos que acreditaram em mim. Meu muito obrigada!

  Talita Druziani Marchiori

  "Tudo é possível ao que crê." Marcos 9:23

  

Resumo

  Neste trabalho consideramos a equação da onda viscoelástica degenerada com com- portamento a longo tempo Z

  ∞

  u g

  tt − △u + (s)div[a(x)∇(u)(t − s)]ds + b(x)u t + f (u) = h(x). (0.0-1)

  Estudamos a existência e unicidade de solução para (0.0-1), definida em um domínio

  3

  1

  limitado Ω de R , com condição de fronteira do tipo Dirichlet, onde a ∈ C (Ω) satis-

  ∞

  1 + +

  1

  2

  fazendo med{x ∈ Γ; a(x) > 0} > 0, b ∈ L (Ω) , g ∈ C (R ) ∩ L (R ) , f ∈ C (R) e

  2

  h ∈ L (Ω) . Além disso, estudamos a existência de um atrator global para o problema com dissipação viscoelástica e atrito combinados (caso b 6= 0) onde (0.0-1) é estudada em Ω × R ,

  • u (x, t) = 0 em Γ × R,

  u u (x, −t) = u (x, −t) , u t (x, −t) = (x, −t) em Ω × R ,

  ∂t e u (x, t), t ≤ 0 , é estabelecido como passado histórico de u.

  Palavras-chave: equação da onda, viscoelástica degenerada, atrator global.

  

Abstract

  This work considers a degenerate viscoelastic wave equation with long-time behaviour Z

  ∞

  u g

  tt − △u + (s)div[a(x)∇(u)(t − s)]ds + b(x)u t + f (u) = h(x). (0.0-2)

  We study the existence and uniqueness of solution for (0.0-2), defined in a bounded do-

  3

  1

  main Ω of R , with Dirichlet boundary condition, where a ∈ C (Ω) such that med{x ∈

  ∞

  1 1 +

  2 2 +

  Γ; a(x) > 0} > 0 , b ∈ L (Ω) , g ∈ C (R ) ∩ L (R ) , f ∈ C (R) and h ∈ L (Ω) . In addition, we study the existence of a global attractor for the problem with combined viscoelastic and frictional dissipations (case b 6= 0) where (0.0-2) is defined in Ω × R ,

  • u (x, t) = 0 in Γ × R,

  u u (x, −t) = u (x, −t) , u t (x, −t) = (x, −t) in Ω × R ,

  ∂t and u (x, t), t ≤ 0 , is a prescribed past history of u.

  Keywords: wave equation, degenerate viscoelastic, global attractor.

  

SUMÁRIO

Introdução

  11

1 Resultados Preliminares

  14

  1.1 Alguns Conceitos de Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  p

  1.2 Os Espaços L (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  1.3 Teoria das Distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  1.4 Os Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  1.5 Teoria do Traço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

  1.6 Semigrupo de Operadores Lineares e Limitados e Sistemas Dinâmicos . 32

  1.7 O Problema de Cauchy Abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Equação da Onda com Memória Degenerada

  39

2.1 Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  2.1.1 Hipótese 1 (H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  1

  2.1.2 Hipótese 2 (H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  2

  2.1.3 Hipótese 3 (H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  3

  2.1.4 Hipótese 4 (H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  4

  2.2 Existência e Unicidade de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  2.3 Existência de Atrator Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

  Bibliografia

  81

  

INTRODUđấO

  Este trabalho foi baseado no artigo de Marcelo Moreira Cavalcanti, Luci Harue Fa- tori e Ma To Fu [6]. Consideramos a equação da onda viscoelástica semilinear com história

  Z

  ∞

  u tt − △u + g (s)div[a(x)∇u(t − s)]ds + f (u) = h(x), (0.0-3)

  3

  definida em um domínio limitado Ω ⊂ R , com fronteira regular Γ e condição de fron- teira do tipo Dirichlet. Temos ainda que o problema é degenerado, considerando que a função a(x) ≥ 0, no termo de memória, se anula em um subconjunto de medida positiva de Ω.

  Inicialmente, foram provados resultados de existência e unicidade de solução do sistema Z ∞

  t

  u tt − div[(1 − a(x)k )∇u] − g (s)div[a(x)∇η (s)]ds + b(x)u t = −f (u) + h (0.0-4)

  Z

  ∞

  2

  g onde h ∈ L (Ω) , k = (s)ds η t = −η s + u t , (0.0-5) com condição de fronteira

  

t

  u (x, t) = 0, x ∈ Γ, t > 0 e η (x, s) = 0, x ∈ Γ, t, s > 0 (0.0-6) e condição inicial

  1 t

  u (x, 0) = u (x), u t (x, 0) = u (x), η (x, 0) = 0, η (x, s) = η (x, s), (0.0-7) onde    u  (x) = u (x, 0), x ∈ Ω,   

  1

  (0.0-8) u u , x ∈ Ω, (x) = ∂ t (x, t)| t

  =0

     

  •   η .

  (x, s) = u (x, 0) − u (x, −s), (x, s) ∈ Ω × R Assumimos hipóteses apropriadas para as funções a, b, g e f, descritas em (H1) −

  (H4) , como em [6]. Para demonstração dos resultados de existência e unicidade de solução utilizamos resultados da teoria de semigrupos de classe C e da teoria de pro- blemas de Cauchy abstrato.

  Posteriormente, estabelecemos a existência de um atrator global para o sistema (0.0- 4)-(0.0-8). Para esta demonstração utilizamos resultados da teoria de sistemas dinâmi- cos. Usando propriedades de sistemas quase estáveis, mostramos que o atrator global possui dimensão fractal finita.

  Estabelecemos a existência do atrator global adicionando uma dissipação de atrito definida localmente, o termo dissipação também é conhecido por "damping". O pro- blema explora a dissipação combinada dada por dois tipos de dissipações parciais di- ferentes, elas são complementares. Além disso, a dissipação de atrito pode ser tomada arbitrariamente pequena (veja hipótese (H )).

  

2

O trabalho de CAVALCANTI, M. M.; FATORI, L. H.; FU, M. T; [6], o qual nos ba-

  seamos, foi um trabalho pioneiro abordando o comportamento a longo tempo de uma equação de onda viscoelástica degenerada.

  A organização desta dissertação é a seguinte: no Capítulo 1 apresentaremos alguns conceitos e resultados básicos, necessários ao longo de todo o trabalho; no Capitulo 2 provaremos a existência e unicidade de solução e estabeleceremos a existência de um atrator global utilizando as teorias de semigrupos, sistemas dinâmicos e problemas de Cauchy abstratos.

  

CAPÍTULO 1

RESULTADOS PRELIMINARES

  O capítulo que se inicia tem por objetivo apresentar os principais conceitos e resul- tados que são necessários ao desenvolvimento deste trabalho. Ao longo deste capítulo, K denotará o corpo dos números reais R ou o corpo dos números complexos C e Ω um

  n subconjunto aberto de R .

  Cabe salientar que não provaremos os resultados expostos, mas citaremos a refe- rência onde as provas estão feitas.

1.1 Alguns Conceitos de Análise Funcional

  

Definição 1.1. Seja X um espaço vetorial. Uma sequência em X é uma função x : N →

  X . Denotaremos por x(n) := x n e x(N) := (x n ) n ou simplesmente por (x n ) . Uma

  ∈N ′

  | N′ ′

  → X subsequência de (x n ) é uma restrição x : N da função x a um subconjunto

  infinito N ⊂ N .

  

Definição 1.2. Seja X um K−espaço vetorial. Uma métrica em X é uma função d :

  • X × X → R tal que para quaisquer elementos x, y, z ∈ X temos:
    • d(x, y) = 0 ⇔ x = 0;
    • d(x, z) ≤ d(x, z) + d(z, y) .

  O par (X, d) é chamado espaço métrico.

  

Definição 1.3. Seja (x n ) uma sequência em um espaço métrico X. Dizemos que (x n ) é:

  • convergente em X quando existe x ∈ X satisfazendo a seguinte condição: para todo ε > , x

  , existe n ∈ N tal que d(x n ) < ε , para todo n > n . Denotamos a convergência → x de (x n ) para x por x n .

  • m , x n ) < ε

  , para quaisquer m, n > n .

  ∈ N de Cauchy em X se para todo ε > 0, existe n tal que d(x

  

Definição 1.4. O espaço métrico X é chamado de espaço métrico completo se toda

sequência de Cauchy definida em X convergir em X, isto é, tem um limite x ∈ X.

  

Definição 1.5. Seja X um K-espaço vetorial. Uma norma em X é uma função k·k :

  X

  • X → R tal que para quaisquer x, y ∈ X e α ∈ K:
    • kxk

  = 0 ⇔ x = 0;

  X

  • kαxk = |α| kxk ;

  X X • kx + yk ≤ kxk + kyk .

  X X

  X

  ) O par (X, k·k é chamado espaço normado. Quando não houver confusão, deno-

  X taremos por X um espaço normado e por k·k a norma em X.

  • Definição 1.6. Seja X um K-espaço vetorial. Uma aplicação n : X → R é uma se-

  minorma se as seguintes condições são satisfeitas para quaisquer x, y ∈ X e λ ∈ K:

  • n(λx) = | λ | n(x) ; • n(x + y) ≤ n(x) + n(y) .

  Quando n(x) 6= 0 para x 6= 0 a seminorma é uma norma.

  ,

Definição 1.7. Seja X um espaço vetorial normado e k·k k·k duas normas em X.

  1

  2

  > > Dizemos que k·k é equivalente a k·k quando existem constantes C e C tais

  1

  2

  1

  2

  que C kxk ≤ kxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X.

  1

  2

  1

  2

  1 Observação 1.8. Todo espaço normado (X, k·k) pode ser considerado um espaço métrico (X, d),

  considerando, d(x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ X. Esta métrica é chamada de métrica induzida pela

  

Definição 1.9. Um espaço vetorial normado (X, k·k) é chamado de espaço de Banach

  quando toda sequência de Cauchy em X é convergente em X, com respeito à métrica induzida pela norma k·k.

  

Definição 1.10. Seja X um K-espaço vetorial. Um produto interno em X é uma função

  • h·, ·i

  : X × X → R tal que para quaisquer x, y, z ∈ X e α ∈ K:

  X

  • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi ;

  X X

  X

  • hαx, yi = α hx, yi ;

  X X

  • hx, yi

  = hy, xi ;

  X X • hx, xi = 0 ⇔ x = 0 .

  X Neste caso, o par X = (X, h·, ·i ) é chamado espaço com produto interno. Quando

  X

  não houver confusão, denotaremos por X um espaço com produto interno e por h·, ·i o produto interno em X.

  Definição 1.11. Seja X um espaço com produto interno. Então a aplicação:

  • d(·, ·) : X × X → R dada por

  1

  2

  d (x, y) = hx − y, x − yi define uma métrica em X, que será denominada métrica induzida pelo produto in- terno h·, ·i. dada por

  • k·k : X × X → R

  1

  2

  kxk = hx, xi define uma norma em X, que será denominada norma induzida pelo produto interno h·, ·i .

  

Definição 1.12. Um espaço com produto interno X é um espaço de Hilbert se ele for

um espaço de Banach relativamente à norma induzida pelo produto interno.

Definição 1.13. Sejam X e Y dois K-espaços normados. Dizemos que um operador

  T : D(T ) ⊂ X → Y é linear quando

  T (x + αy) = T (x) + αT (y), O conjunto D(T ) é o domínio de T . No caso particular Y = K, dizemos que T é um funcional linear.

  

Definição 1.14. Um operador linear T : D(T ) ⊂ X → Y definido entre dois espaços

  normados X e Y é chamado de: ≤ C kxk limitado em X quando existe uma constante C > 0 tal que kT (x)k , para

  • Y

  X

  todo x ∈ D(T );

  • contínuo quando T é contínuo em todo x ∈ D(T ), ou seja, dado a ∈ D(T ), para

  X

  < δ cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ D(T ) com kx − ak , então

  kT (x) − T (a)k < ε .

  Y

Teorema 1.15. Seja T : D(T ) ⊂ X → Y um operador linear definido entre dois espaços

normados X e Y . Então T é limitado se, e somente se, T é contínuo.

  Demonstração. Ver [13], página 97, Teorema 2.7-9.

  Denotaremos por L(X, Y ), o conjunto dos operadores lineares limitados. Este con- junto munido com a norma kT k kT (x)k ,

  := sup

  Y L(X,Y ) x ∈X, kxk =1

  X ′ ′

  é um espaço normado. No caso Y = R, denotaremos L(X, Y ) := X . O espaço X é chamado de dual topológico do espaço X.

  

Teorema 1.16. Sejam X e Y dois espaços normados. Se Y é um espaço de Banach, então

′ ′′ ′ ′

  L(X, Y ), k·k é um espaço de Banach. Em particular, X e X := (X ) são espaços de

  L(X,Y ) Banach.

  Demonstração. Ver [13], página 118, Teorema 2.10-2.

  Definição 1.17. Um espaço normado X é chamado de reflexivo quando o operador ′′

  J : X → X x 7→ J(x), definido por J(x)(f) = f(x), é sobrejetor. Demonstração. Ver, [13], página 242, Teorema 4.6-6.

  

Definição 1.19. Seja H um espaço com produto interno. Diremos que uma forma bili-

  near a h·, ·i : H × H → R, isto é, uma aplicação linear na primeira e na segunda variável, é 1. contínua se existir c ≥ 0 tal que |a hu, vi| ≤ c kuk kvk , ∀u, v ∈ H.

  2. coerciva se existir α > 0 tal que

  2

  a , hv, vi ≥ α kvk ∀v ∈ H.

  

Teorema 1.20. (Lax Milgran). Sejam H um espaço de Hilbert e a : H × H → R uma forma

  bilinear, contínua e coerciva. Então, para todo φ ∈ H , existe um único u ∈ H tal que a hu, vi = φ(v), ∀v ∈ H.

  Ver [5], página 181, Corolário 4.15. Demonstração.

  

Definição 1.21. Uma sequência (x n ) em um K-espaço normado X converge fracamente

  para x ∈ X quando f(x n ) → f (x) em K, para todo f ∈ X . Denotaremos a convergên- cia fraca de (x n ) para x por x n ⇀ x .

  

Definição 1.22. Seja X um K-espaço vetorial. Uma seminorma n em X é dita compacta

  ⇀ se, para qualquer sequência (x j ) ⊂ X tal que x j fracamente em X implicar que n (x j ) ⇀ 0 .

  

Definição 1.23. Sejam X e Y espaços de Banach. Um operador F : X → Y é dito

  localmente Lipschitziano quando para toda constante L > 0, existe uma constante M L > tal que se kxk ≤ L e kyk ≤ L , então

  X X .

  kF (x) − F (y)k ≤ M L kx − yk

  Y

  X Definição 1.24. Sejam X e Y espaços de Banach. Um operador F : A ⊂ X → Y é dito Lipschitz se existe C > 0 tal que kF (x) − F (y)k ≤ C kx − yk

  Y A para todo x, y ∈ A.

  

Definição 1.25. Sejam X e Y espaços com produto interno e T : X → Y um operador.

  ∗

  Dizemos que o operador T : Y → X é o adjunto de T se

  ∗

  y hT x, yi = hx, T i , para quaisquer x ∈ X e y ∈ Y .

  

Definição 1.26. Seja X um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita e

  T : X → X um operador linear. Dizemos que T é auto adjunto se T = T . p

1.2 Os Espaços L (Ω)

  p Definição 1.27. Denotaremos por L (Ω)

  , 1 ≤ p < ∞, o conjunto das (classes de) funções reais f definidas em Ω cuja p-ésima potência é integrável no sentido de Lebesgue e por

  ∞

  L (Ω) denotaremos o conjunto das (classes de) funções mensuráveis e essencialmente limitadas em Ω.

  p

Definição 1.28. Denotaremos por L (Ω), 1 ≤ p < ∞ , o espaço das (classes de) funções

loc

  reais definidas em Ω, cuja p-ésima potência é integrável à Lebesgue sobre qualquer

  n ∞

  subconjunto compacto R contido em Ω e por L (Ω) o espaço das (classes de) fun-

  loc

  ções mensuráveis e essencialmente limitadas em qualquer subconjunto compacto do

  n

  R contido em Ω.

  p Teorema 1.29. O espaço L (Ω) munido da norma

  1 Z p p p

  kf k = kf k = |f | dx , se 1 ≤ p < ∞

  L p (Ω) Ω

  e ess kf k = kf k = sup |f (x)|

  L (Ω) ∞ x ∈Ω Demonstração. Ver [1], página 26, Teorema 2.10.

2 Corolário 1.30. O espaço L (Ω) é um espaço de Hilbert com produto interno dado por

  Z hf, gi p f = hf, gi = (x)g(x)dx.

  L p (Ω) Ω p p

  2

  1

  1 Teorema 1.31. Se 0 < p < p ≤ ∞ e |Ω| < ∞, então L (Ω) ⊂ L (Ω) , onde |Ω| denota a

  2 medida de Lebesgue.

  Demonstração. Ver [18], página 184, Teorema 8.2.

  p

1 Teorema 1.32. L (Ω) ⊂ L (Ω) para 1 ≤ p ≤ ∞ e qualquer domínio Ω.

  loc Demonstração. Ver [1], página 26, Corolário 2.9.

  1

  1 Teorema 1.33. (Desigualdade de Young). Sejam 1 < p < ∞ e q ∈ R tais que = 1 . + p q Dados a, b ≥ 0, então

  p q

  a b + ab ≤ . p q Demonstração. Ver [18], página 186, Teorema 8.5.

  Corolário 1.34. (Desigualdade de Young com peso) Dados a, b ≥ 0 e ε > 0 vale

  2

  b

  

2

+ ab ≤ εa .

  4ε

  

Definição 1.35. Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Dizemos que um número real q é expoente conjugado

  1

  1 de p quando = 1 se p ∈ (1, ∞), q = ∞ se p = 1 e q = 1 se p = ∞. + p q

Teorema 1.36. (Desigualdade de Hölder). Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e q o expoente conjugado de p.

  p q

  1

  (Ω) (Ω) (Ω) Se f ∈ L e g ∈ L , então fg ∈ L e . kf gk ≤ kf k kgk

  1 p q Demonstração. Ver [18], página 186, Teorema 8.6.

  Teorema 1.37. (Desigualdade de Minkowski). Se 1 ≤ p ≤ ∞ então

  Demonstração. Ver [18], página 188, Teorema 8.10.

  p ′

  (Ω)) .

  

Teorema 1.38. (Teorema de Representação de Riesz) Sejam 1 < p < ∞ e f ∈ (L Então

  1

  1

  q

  existe uma única função u ∈ L (Ω) com = 1 , tal que + p q Z

  p

  u hf, vi = (x)v(x)dx, ∀v ∈ L (Ω).

  Ω

  Mas ainda,

  p kuk = kf k . q (L (Ω))

  1 ′ ∞

  E, se p = 1 e f ∈ (L (Ω)) , existe uma única u ∈ L (Ω) tal que Z

  1

  ∞ (L (Ω)) Ω

  1 hf, vi = u (x)v(x)dx, ∀v ∈ L (Ω) e kuk = kf k .

  Demonstração. Ver [2], página 97, Teorema 4.11.

  1 Proposição 1.39. (Lema de Gronwall). Dado T > 0, sejam f ∈ C([0, T ]), g ∈ L (0, T ) fun-

  ções não negativas e C uma constante positiva. Se Z t f g

  (t) ≤ C + (s)f (s)ds, ∀t ∈ [0, T ], então

  t R g

  

(s)ds

f (t) ≤ Ce , ∀t ∈ [0, T ].

  Demonstração. Ver [17], página 16, Corolário 1.5.1.

1.3 Teoria das Distribuições

  n n α

  Dados α = (α , α , ..., α n ) ∈ N e x = (x , x , ..., x n ) ∈ R , representaremos por D

  1

  2

  

1

  2

  o operador derivação de ordem α definido por

  |α|

  ∂

  α

  D = ,

  α

1 α

  2 α n

  ∂x ∂x ...∂x

  n

  1

  2 n

  X

  α onde |α| = α i . Se α = (0, 0, ..., 0), defini-se D u = u .

  

Definição 1.40. Seja φ : Ω → K uma função contínua. Definimos o suporte de φ, e

  denotaremos por supp(φ), como sendo o fecho em Ω do conjunto {x ∈ Ω; f(x) 6= 0}. Se

  n este conjunto for um compacto do R , então dizemos que φ possui suporte compacto. ∞

  

Definição 1.41. Denotaremos por C (Ω) o espaço vetorial, com as operações usuais,

das funções infinitamente diferenciáveis em Ω e que tem suporte compacto. p ∞

  Teorema 1.42. C (Ω) (Ω) é denso em L , para 1 ≤ p < ∞.

  Ver [1], página 31, Teorema 2.19. Demonstração.

  ∞ ∞

Definição 1.43. Uma sequência (φ ν ) em C (Ω) converge para φ em C (Ω) , quando

  existe um subconjunto compacto K de Ω, tal que:

  • supp(φ), supp(φ ν ) ⊂ K , para todo ν ∈ N;

  n α

  Para todo multi-índice α ∈ N , tem-se D (φ • ν − φ) → 0 uniformemente em K.

  ∞

  O espaço C (Ω) , munido dessa noção de convergência, é chamado de Espaço das Funções Teste sobre Ω e é representado por D(Ω).

  n

Definição 1.44. Uma distribuição sobre um aberto Ω ⊂ R é um funcional linear T :

  D(Ω) → R , contínuo no sentido da convergência em D(Ω), isto é,

  • T (aφ + bψ) = aT (φ) + bT (ψ), ∀φ, ψ ∈ D(Ω); Se φ ν converge para φ em D(Ω), então T (φ ν ) converge para T (φ) em R.
  • ′ O espaço das distribuições sobre Ω é denotado por D (Ω) .

  ′

  Se T ∈ D (Ω) , representamos o valor da distribuição T em φ por hT, φi. Com isso, dizemos que

  ′

  T ν → T em D (Ω), quando hT ν , φ i → hT, φi em R, ∀φ ∈ D(Ω).

  1 Exemplo 1.45. Seja u ∈ L (Ω) . O funcional T u : D(Ω) → R , definido por loc

  Z hT , φ i = u

  u (x)φ(x)dx, ∀φ ∈ D(Ω), Ω

  ∈ Ω

  Exemplo 1.46. Seja x . Então δ x definido por

  hδ x , φ i = φ(x ), φ ∈ D(Ω) é uma distribuição sobre Ω. Quando x = 0 , escrevemos δ .

  A distribuição δ x não é definida por uma função localmente integrável. Para mais detalhes ver [3], página 23, Exemplo 1.12.

  1 ′

Observação 1.47. Do Exemplo 1.45, segue que a função T : L (Ω) → D (Ω) , dada por

loc

  R T (u) = T u u , φ i = u (x)φ(x)dx, ∀φ ∈ D(Ω) , sendo hT , está bem definida, é linear e injetiva.

  Ω

  Por esta razão, identifica-se u com a distribuição T u por ela definida e diz-se "a distribuição u"ao

  1

  invés da distribuição T u . Além disso, T é contínua. Então, podemos escrever que L (Ω) está

  loc

  imerso continuamente em D(Ω). Porém, pelo Exemplo 1.46 vemos que, não é toda distribuição

  1 que pode ser definida por uma função u ∈ L (Ω) . Ou seja, a função T não é sobrejetora. loc n

  

Definição 1.48. Seja T uma distribuição sobre Ω e α ∈ N . A derivada de ordem α de

α

  T é um funcional D T : D(Ω) → R , definido por

  

α α

|α|

  T, φ φ hD i = (−1) hT, D i .

  α

  T Observação 1.49. • D é uma distribuição sobre Ω. Uma distribuição possui derivadas de todas as ordens. •

  α ′ ′ α α

  T A função D : D • (Ω) → D (Ω) dada por D (T ) = D é linear e continua no sentido da

  ′ convergência definida em D (Ω) .

  Para mais detalhes, veja [3].

  Exemplo 1.50. Seja u a função Heavisidade definida em R do seguinte modo:

    

  1, se x ≥ 0 u (x) =   0, se x < 0.

  ′

  Ela é localmente integrável em R mas, sua derivada u no sentido das distribuições não é localmente integrável. Veja [3], página 27, Exemplo 1.15.

1.4 Os Espaços de Sobolev

  Sejam 1 ≤ p < ∞ e m ∈ N. Como visto nas Observações 1.47 e 1.49, no Teorema

  p

  1.32 e no Exemplo 1.50, se u ∈ L (Ω) a distribuição u possui derivadas de todas as

  α

  u ordens no sentido das distribuições, mas não é verdade, em geral que D seja uma

  

p

  distribuição definida por uma função de L (Ω) . Isto é o que motivou a definição dos espaços de funções denominados Espaços de Sobolev.

  m,p Definição 1.51. Dado um número inteiro m > 0, representamos por W (Ω)

  o espaço

  p

  vetorial de todas as funções u pertencentes a L (Ω) , tais que para todo |α| ≤ m, temos

  α p

  u que a derivada de u no sentido das distribuições D , pertence a L (Ω) .

  m,p

  Para cada u ∈ W (Ω) , definimos a norma de u pondo

  1

   

  p

  Z

  X

  

p

α

  W L (Ω) (Ω) Ω |α|≤m

    kuk m,p kD u k p = , quando 1 ≤ p < ∞,

  e

  X

  α m,∞ u kuk = kD k , quando p = ∞.

  W (Ω) L (Ω) |α|≤m m, m

2 Observação 1.52. Quando p = 2, W (Ω) é representado por H (Ω) .

  m,p Teorema 1.53. O espaço de Sobolev W (Ω) é um espaço de Banach.

  Demonstração. Ver [3], página 80, Proposição 2.2.

  m

Corolário 1.54. Os espaços H (Ω) são espaços de Hilbert com a estrutura de produto interno

  dada por

  X

  α α

m u, D v

2 .

  hu, vi = hD i

  H (Ω) L (Ω) |α|≤m p ∞

  ∞

  Sabemos que C (Ω) é denso em L (Ω) , mas não é verdade que C (Ω) é denso

  m,p m,p

  em W (Ω) , para m ≥ 1. Por isto defini-se o espaço W (Ω) como sendo o fecho de

  ∞ m,p

  C (Ω) em W (Ω) .

  Observemos que quando Ω é "suficientemente suave"com fronteira Γ = ∂Ω limi-

  m,p

  tada, então para 1 ≤ p < ∞ consideramos W (Ω) munido da norma

  1

   

  p

  Z

  X

  p α m,p

  W (Ω) Ω |α|=m m,p

   u dx  kuk = |D (x)|

  que é equivalente a norma kuk . Suponha que 1 ≤ p < ∞ e 1 < q ≤ ∞ tal

  W (Ω)

  1

  1

  m,p −m,q

  que + = 1 . Representa-se por W (Ω) o dual topológico de W (Ω) . O dual p q

  m −m topológico de H (Ω) denota-se por H (Ω) .

  

Teorema 1.55. (Desigualdade de Poincaré). Se |Ω| < ∞ então existe uma constante C > 0 tal

  que

  1

  kuk

  L L (Ω) (Ω)

  2 ≤ C k∇uk 2 , ∀u ∈ H (Ω).

  Demonstração. Ver [2], página 290, Corolário 9.19.

  N m

  

Teorema 1.56. Suponha que Ω ⊂ R é limitado e que a fronteira de Ω, ∂Ω ∈ C (Ω) . Se

  mp < N , então

  

m,p q

  W (Ω) ֒→ L (Ω) h i

  pN 1, .

  para todos q ∈

  N −mp Demonstração. Ver [1], página 85, Proposição 4.12. m,p n

  

Exemplo 1.57. Acima, definimos os espaços W (Ω) , onde Ω ⊂ R era um aberto

n

  genérico. Em particular, quando p = 2 e Ω = R , temos:

  m n n α n n

  2

  2 H u ∈ L

  (R ) = {u ∈ L (R ); D (R ); ∀α ∈ N ; | α |≤ m}, onde as derivadas são distribucionais, munido do produto interno

  X

  α α

  hu, vi m n hD u, D v i 2 n .

  = (1.4-1)

  

H (R ) L (R )

|α|≤m Definição 1.58. Denotamos por S o espaço de Schwartz que é definido por k n α n ∞

  S kxk D ϕ }.

  = {ϕ ∈ C (R ); lim (x) = 0, para quaisquer k ∈ N e α ∈ N

  kxk7→∞ n

  1

  (R )

  

Definição 1.59. Para cada função u ∈ L a transformada de Fourier de u é dada

  por Z

  n −ihx,yi

  2

  u e u ˆ (x) = (2π) (y)dy

  n

R

n

  X

  n

  x y onde, hx, yi denota o produto interno usual de R , ou seja, hx, yi = j j .

  j =1

  Consideremos o seguinte espaço

  m ′ n

  2 2 n

  2

  {u ∈ S (R ); (1 + kxk ) ˆ u ∈ L (R )} onde ˆu designa a transformada de Fourier de u, munido do produto interno Z

  m m 2 m

  2

  2

  2

  (1 + kxk ) ˆ (x)ˆ (x)dx = ) ˆ (1 + kxk ) ˆ

  2 n (1.4-2) L (R ) n

  2 hu, vi = u v (1 + kxk u, v .

  R Proposição 1.60. Para todo m ∈ N temos: m m n n 2 n ′

  2

  2 H u ∈ L (R ) = {u ∈ S (R ); (1 + kxk ) ˆ (R )}.

  Além disso, as normas k·k e k·k provenientes dos produtos internos dados em (1.4-1) e (1.4-2)

  m são equivalentes.

  Ver [3], página 209, Proposição 5.2. Demonstração.

  Motivados pela Proposição 1.60 temos a seguinte definição:

  Definição 1.61. Definimos para s ∈ R, s ≥ 0: s s n 2 n ′

  2

  (R ) = {u ∈ S ; (1 + kxk ) ˆ ∈ L (R )} munido do produto interno Z

  2 H u

  2 s s n hu, vi = (1 + kxk ) u ˆ (x)ˆ v (x)dx.

  H (R ) n

  R

s n

Teorema 1.62. Para todo s ≥ 0, o espaço H (R ) , é um espaço de Hilbert.

  Demonstração. Ver [3], página 211, Proposição 5.3.

  Observação 1.63. Se s ≥ 0, temos que

s n n s n n

2 ′ −s

  H (R ) ֒→ L (R ) ֒→ (H (R )) = H (R ).

  n n

Definição 1.64. Para Ω ⊂ R aberto e limitado bem regular (ou o R ) e s ≥ 0, definimos

  • s s n

  H (Ω) = {u ; u ∈ H (R )},

  | Ω

  cuja norma é dada por kuk s = inf{kvk s n ; v = u}.

  | Ω H H (Ω) (R ) s

  

Observação 1.65. Quando s ≥ 0 é um inteiro as definições de H (Ω) dadas acima e na Ob-

servação 1.52 são equivalentes. n s

  Proposição 1.66. Seja Ω ⊂ R

  (Ω) um aberto e limitado bem regular. Para todo s ≥ 0, H é um espaço de Hilbert.

  Ver [3], página 229, Proposição 5.11. Demonstração.

  n

  Agora, considerando Ω um subconjunto aberto limitado do R com fronteira Γ bem

  s

  regular vamos introduzir os espaços H (Γ) . Esta teoria pode ser vista detalhadamente em [3] e em [14].

  , ϕ , ϕ Seja {(U ), ..., (U k k )} um sistema de cartas locais para Γ. A cobertura aberta

  1

  1 ∞

  Ω, U , ..., U k de ¯ Ω determina uma partição C da unidade subordinada à mesma. Mais

  1

n

  1

  , θ , ..., θ precisamente, existem θ k ∈ C (R ) tais que

  (i) supp(θ ) ⊂ Ω; supp(θ i ) ⊂ U i para i = 1, ...k;

  k

  X θ

  (ii) i (x) = 1 ; para todo x ∈ ¯ Ω ;

  i =0

  ≤ 1 (iii) 0 ≤ θ i para i = 1, ..., k. Seja u uma função definida sobre Γ. Por (ii), temos que

  n

  X u u (x) = (θ i )(x), quase sempre em Γ. (1.4-3)

  i =1

  Para cada i ∈ {1, ..., k}, definimos

  −1

  u i (y) = (θ i u )(ϕ (y))

  i n −1

  onde y ∈ P = (0, 1) .

  Observação 1.67. Notemos que

  S (uθ i ) = {x ∈ Γ; (uθ i )(x) 6= 0} ⊂ supp(θ i ) ∪ Γ ⊂ U i ∪ Γ. Então,

  n −1

  S (u i ) = {x ∈ (0, 1) ; (u i )(x) 6= 0}

  n −1

  é um compacto do R contido no aberto P. Além disso, como,

  X supp (u i ) ⊂ S(u i ) ⊂ podemos estender u i a uma função ˜u i definida por

   P

  

−1

   

  (uθ i )(ϕ (y)), se y ∈

  i

  u ˜ i (y) =

   n

  −1

   0, se y ∈ R − P .

  n −1

  Se ˜u i for para todo i = 1, ..., k, uma função integrável em R então em virtude de (1.4-3)

  k k

  Z Z Z

  X X u (x)dΓ = (uθ i )(x)dΓ = u ˜ i (y) ¯ J (y)dy,

  n−1 R Γ Γ i i =1 =1 n −1

  onde ¯ J (y) é uma aplicação infinitamente diferenciável sobre R .

  Denotando por dΓ a medida superficial sobre Γ induzida pela medida de Lebesgue,

  p p

  designaremos por L (Γ) , 1 ≤ p ≤ ∞, o espaço das funções L somáveis sobre Γ para a medida superficial dΓ, munido da norma

  1 Z p p p

  kuk = | u(x) | d Γ , (1.4-4)

  L (Γ) Γ

  se 1 ≤ p < ∞ ou, kuk ess | u(x) |, = sup

  L (Γ) se p = ∞.

  m m

  Seja m ∈ N. Representamos por C (Γ) o espaço das funções u : Γ → K de classe C e por D(Γ) o espaço das funções infinitamente diferenciáveis sobre Γ. Usando a partição } da unidade {θ i 0≤i≤k introduzida anteriormente temos,

  p ^ p n −1 −1

  L (Γ) = {u : Γ → K; u θ i ◦ ϕ = ˜ u i ∈ L (R ), i = 1, ..., k},

  i

  ^

  m m n −1 −1

  C θ ◦ ϕ u ∈ C (Γ) = {u : Γ → K; u i = ˜ i (R ), i = 1, ..., k}

  i

  e ^

  m n −1 −1

  D θ ◦ ϕ u ∈ C (Γ) = {u : Γ → K; u i = ˜ i (R ), ∀m ∈ N e i = 1, ..., k}.

  i

  Consideremos a aplicação:

  n −1

  φ i : D(Γ) → D(R ) ^

  −1 u u θ .

  7→ φ i (u) = ˜ i = u i ◦ ϕ (1.4-5)

  i n −1

  Sendo v ∈ D(R ) vem que Z

  n−1 n−1

  hφ i (u), vi = u ˜ i (y)v(y)dy

  D (R )×D(R ) n−1

  R

  Z = u (x)θ i (x)v(ϕ i (x))J i (x)dΓ (1.4-6)

  U i ∪Γ onde J i (x) é uma aplicação infinitamente diferenciável sobre Γ i = U i ∪ Γ .

  Definindo   

  θ ∪ Γ

  i (x)v(ϕ i (x))J i (x), se x ∈ U i

  ψ

  i (v)(x) =

    se x ∈ Γ − (U ∪ Γ)

  0, i então, de (1.4-6) podemos escrever Z hφ n−1 n−1 u

  i (u), vi = (x)ψ i (v)(x)dΓ D (R )×D(R ) Γ

  ou ainda, do fato que ψ i (v) ∈ D(Γ) , tem-se ′ ′ hφ n−1 n−1 .

  i (u), vi = hu, ψ i (v)i

D D

(R ),D(R ) (Γ),D(Γ)

  ′

  (Γ) Da igualdade acima e do fato que D(Γ) é denso em D , resulta que a aplicação definida em (1.4 − 5) se prolonga, por continuidade a uma aplicação que ainda deno-

  ′ ′ n −1 taremos por φ i de D (Γ) em D (R ) .

  Definição 1.68. Definimos para s ∈ R, s s n −1

  H (Γ) = {u; φ i (u) ∈ H (R ), i = 1, 2, ..., k} dotado da norma

  1

  !

  2 k

  X

  2 kuk s kφ s n−1 .

  = i (u)k

  H H

(Γ) (R )

j =1 s n s

  

−1

Observação 1.69. • Segue do fato de H (R ) ser um espaço de Hilbert que H (Γ) também

é um espaço de Hilbert. s

  , ϕ A definição dos espaços H (Γ) independe da escolha do sistema de cartas locais {U •

  j j } e da

  } partição da unidade {θ j subordinada.

  s s ∗ ∗ ∗ ∗

  Dados dois sistemas {U i , ϕ i , θ i } e {U , ϕ , θ } para Ω, prova-se que H (Γ) e H (Γ) são •

  i i i "isomorfos"como espaços de Hilbert.

1.5 Teoria do Traço

  Nesta seção, consideremos Ω sendo um subconjunto um aberto limitado com fron-

  n teira Γ bem regular do R .

  

Definição 1.70. Denotamos por D(Γ) o espaço das funções reais definidas na fronteira

  de Ω, que possuem derivadas parciais de todas as ordens e por D(¯ Ω) o conjunto de

  ∞ n

  todas as funções ρ : ¯ Ω → R que são restrições de funções de C (R ) , ou seja,

  ∞ n D ( ¯ Ω) = {φ = ρ, φ ∈ C (R )}. | ¯

  Ω

  Definamos γ : D( ¯ Ω) → D(Γ) u .

  7→ u (1.5-7)

  | Γ

  1

  1

  2

  Ω) (Ω) (Γ) Induzindo em D(¯ e em D(Γ) as topologias de H e H , respectivamente, te- mos o resultado abaixo.

  n

Teorema 1.71. Seja Ω ⊂ R aberto limitado com fronteira Γ bem regular. Então, existe uma

  constante positiva C, tal que

  1

  1

  kγ u k ≤ C kuk ,

  H 2 (Ω)

  H (Γ)

  para todo u ∈ D(¯ Ω) . Demonstração. Ver [3], página 263, Proposição 6.8.

1 Como D(¯ Ω) é denso em H (Ω) e pelo Teorema anterior, podemos estender a aplica-

  ção γ dada em (1.5-7) a uma única aplicação linear e contínua

  1

  1

  2

  γ : H (Ω) → H (Γ) u 7→ u , ∀u ∈ D( ¯ Ω)

  | Γ a qual chamamos de aplicação traço de u sobre Γ. n

  

Teorema 1.72. Seja Ω um subconjunto aberto limitado do R com fronteira Γ bem regular. A

  1

  1

  2

  : H (Ω) → H (Γ) aplicação traço γ é sobrejetiva e além disso

  1

  ker (γ ) = H (Ω), onde ker(γ ) representa o núcleo de γ .

  Demonstração. Ver [3], página 275, Teorema 6.14.

  1,p

  De maneira mais geral, podemos definir o traço em espaços de Sobolev W , para 1 ≤ p < ∞ :

1 Teorema 1.73. Sejam Ω limitado e Γ ∈ C

  . Então existe um operador linear limitado

  p 1,p

  T : W → L (Γ) tal que

  1,p

  1,p

  (ii) kT uk p ≤ C kuk ,

  L W (Γ) (Ω) 1,p para cada u ∈ W (Ω) , onde a constante C depende somente de p e Ω.

  Demonstração. Ver [8], página 258, Teorema 1.

  1 1,p Teorema 1.74. Sejam Ω limitado e Γ ∈ C . Suponha que u ∈ W (Ω) . Então

  1,p

  u ∈ W (Ω) se, e somente se, T u = 0 em Γ. Ver [8], página 259, Teorema 2. Demonstração.

  

1.6 Semigrupo de Operadores Lineares e Limitados e Sis-

temas Dinâmicos

Definição 1.75. Uma família {S(t)} t ≥0 de operadores lineares e limitados definida so-

  bre um espaço de Banach X é chamada de semigrupo de operadores lineares limitados (ou simplesmente semigrupo) quando i) S(0) = Id : X → X (Operador Identidade em X).

ii) S(t + s) = S(t)S(s), para cada t, s ≥ 0.

  Ainda, dizemos que {S(t)}

  • t é um semigrupo de classe C (ou simplesmente C

  ≥0

  semigrupo) se além dos itens acima tivermos que iii) lim S (t)x = x , para todo x ∈ X.

  t →0

Definição 1.76. Um operador A é chamado gerador infinitesimal de um semigrupo

  {S(t)}

  t ≥0 quando A é definido como

  S (t)x − x D (A) = x ∈ X | lim existe

  t →0

  t

  • +

    e para cada x ∈ D(A) temos

  S (t)x − x Ax = lim .

  • +

    t

    →0 t

    At No decorrer deste trabalho, representaremos S(t) = e .

  Observação 1.77. O domínio D(A) do operador A pode ser reescrito como D (A) = {x ∈ X | Ax ∈ X}.

  

Definição 1.78. Um semigrupo {S(t)} t ≥0 é chamado de uniformemente limitado se

  existe uma constante M ≥ 1 tal que kS(t)k ≤ M, ∀t ≥ 0.

  Quando M = 1, diremos também que {S(t)} t ≥0 é um semigrupo de contrações.

  

Definição 1.79. Seja A um operador linear definido sobre um espaço de Hilbert H com

  domínio D(A) ⊆ H. Dizemos que A é um operador dissipativo quando Re hAx, xi ≤ 0, ∀x ∈ D(A).

  H

Teorema 1.80. Seja H um espaço de Hilbert e A : D(A) ⊆ H → H um operador dissipativo

tal que o operador Id − A é sobrejetor. Então, D(A) = H.

  Demonstração. Ver [15], página 16, Teorema 4.6.

  

Teorema 1.81. (Lummer-Philips) Seja H um espaço de Hilbert e A : D(A) ⊆ H → H

  um operador com D(A) = H. Então, A é o gerador infinitesimal de um C - semigrupo de contrações em H se, e somente se, A é dissipativo e o operador λId − A é sobrejetor para algum λ > . Demonstração. Ver [15], página 14, Teorema 4.3.

  

Teorema 1.82. Se A é o gerador infinitesimal de um C - semigrupo S(t) então D(A), o domínio

de A, é denso em H e A é um operador linear fechado.

  Demonstração. Ver [15], página 5, Corolário 2.5.

  

Definição 1.83. Um sistema dinâmico é um par de objetos (X, S(t)) onde X é um es-

  paço métrico completo e a família de operadores limitados {S(t)} t de X nele mesmo

  ≥0

  satisfaz: S (0) = Id, S(t + s) = S(t)S(s).

  ∈ X Assumiremos que y(t) = S(t)y é contínua com respeito à t para qualquer y . Com isso, denominamos X de espaço fase e S(t) por semigrupo de evolução.

  

Definição 1.84. Sejam A, B ⊂ X, onde X é um espaço métrico. A semi distância de

  Hausdorff entre A e B é dada por

  X

  d (A, B) = sup d

  X (x, B)

x

∈A

  X (x, B) = inf (x, y) . y ∈B

  d onde, d

  

Definição 1.85. Um sistema dinâmico (X, S(t)) é dito assintoticamente suave se para

  qualquer conjunto limitado B tal que S(t)B ⊂ B, para t > 0, existe um conjunto compacto K ⊂ ¯ B tal que

  X

  d lim (S(t)B, K) = 0.

  t →∞

Definição 1.86. Um conjunto D ⊂ X é dito atrator uniforme se para todo conjunto

  limitado B ⊂ X

  X lim d (S(t)B, D) = 0. t →∞

  Definição 1.87. Um conjunto D ⊂ X é dito invariante se

  S (t)D = D, ∀t ≥ 0.

  

Definição 1.88. Um atrator global de um sistema dinâmico (X, S(t)) é um conjunto

  compacto A ⊂ X tal que: (i) A é invariante; (ii) A é atrator uniforme.

  Definição 1.89. A dimensão fractal de um conjunto compacto A ⊂ X é definida por

  ln N ǫ (A) dim A

  F = lim sup

  1 ǫ →0

  ln

  ǫ onde N ǫ (A) é o número mínimo de bolas fechadas de raio 2ǫ necessárias para cobrir A.

  

Definição 1.90. Uma curva contínua γ ≡ {u(t); t ∈ R} em X é dita uma trajetória

  completa se S

  (t)u(τ ) = u(t + τ ),

  

Definição 1.91. O conjunto dos pontos estacionários de um sistema dinâmico (X, S(t))

  é dado por N = {v ∈ X : S(t)v = v, ∀t ≥ 0}.

  u

  Definimos a variedade M (N ) de N como o conjunto dos elementos y ∈ X tal que existe uma trajetória completa γ = {u(t); t ∈ R} que satisfaz a seguinte propriedade: u (0) = y e lim d (u(t), N ) = 0.

  X t →−∞

Definição 1.92. Seja Y ⊆ X um conjunto invariante de um sistema dinâmico (X, S(t)).

  A função contínua Φ(y) definida em Y é dita função de Lyapunov para o sistema

  • dinâmico (X, S(t)) em Y se a função t → Φ(S(t)y) é uma função não crescente para qualquer y ∈ Y .

  A função de Lyapunov Φ(y) é dita estrita em Y se a equação Φ(S(t)y) = Φ(y) para

  • todo t > 0 e, para algum y ∈ Y , implicar que S(t)y = y para todo t > 0, ou seja, y é um ponto estacionário de (X, S(t)).

  O sistema dinâmico (X, S(t)) é dito gradiente se existe uma função de Lyapunov

  • estrita para (X, S(t)) no espaço fase X.

  

Teorema 1.93. Suponha que o sistema dinâmico (X, S(t)) é um sistema dinâmico gradiente,

  assintoticamente suave e com função de Lyapunov Φ. Suponha também que, Φ(S(t)z) → ∞ se, e somente se, kzk → ∞, (1.6-8)

  X

  e o conjunto N de pontos estacionários de (X, S(t)) é limitado. Então o sistema dinâmico

  

u

(X, S(t)) possui um atrator global dado por M (N ) , onde N são os pontos fixos de S(t).

  Demonstração. Ver [7], página 360, Corolário 7.5.7.

  Sejam X, Y, Z espaços de Banach reflexivos com X compactamente imerso em Y e defina H = X × Y × Z. Suponha que o sistema dinâmico é dado pelo semigrupo de evolução

  S , u , ξ (t)z = (u(t), u t (t), ξ(t)), z = (u

  1 ) ∈ H, (1.6-9) onde as funções u e ξ são regulares

  1 + + +

  u ∈ C(R ; X) ∩ C (R ; Y ), ξ ∈ C(R ; Z). (1.6-10)

  

Definição 1.94. Um sistema (H, S(t)) é chamado de quase estável em um conjunto

  B ⊂ H se existe uma seminorma compacta n

  X , funções escalares não negativas a(t) e

  • 1

  c b

  (t) , localmente limitadas em [0, ∞) e b(t) ∈ L (R ) com lim (t) = 0 , tais que,

  t →∞

  2

  2

  1

  2

  1

  2 S − S(t)z ≤ a(t) z − z ,

  (t)z

  H H

  e

  2

  1

  2

  1

  

2

  1

  2 S z

  (t)z − S(t)z ≤ b(t) − z + c(t)sup[n

  X (u (s) − u (s))], H H

  1

  2 para quaisquer z , z ∈ B onde, .

  

Teorema 1.95. (Chueshov-Lasiecka). Seja (H, S(t)) um sistema dado por (1.6 − 9), satisfa-

  zendo (1.6 − 10) e quase estável em todo subconjunto limitado B ⊂ X tal que S(t)B ⊂ B, para t > . Então (H, S(t)) é assintoticamente suave e qualquer atrator global deste sistema possui dimensão fractal finita. Demonstração. Ver [7], páginas 383 e 384, Proposição 7.9.4 e Teorema 7.9.6.

1.7 O Problema de Cauchy Abstrato

  Consideremos o seguinte Problema de Cauchy   

  U t (t) + A(U (t)) = F (t, U (t)), t > t , (1.7-11)

   

  U (t ) = U , onde −A é o gerador infinitesimal de um C - semigrupo S(t), t ≥ 0, em um espaço de , T

  Banach X e F : [t ] × X → X é contínua em t e satisfaz a condição de Lipschitz em

  U . Consideremos a seguinte equação:

  Z t

  • U (t) = S(t − t )U S (t − s)F (s, U (s))ds. (1.7-12)

  t

  , T , T

  

Definição 1.96. Dizemos que uma função U : [t ] → X , contínua em [t ] é uma

  solução generalizada para o Problema de Cauchy (1.7 − 11) se U é uma solução para a equação (1.7 − 12).

  A solução generalizada também é chamada de "mild"solução.

  , T , T

  

Definição 1.97. Dizemos que uma função U : [t ) → X contínua em [t ) e U ∈

1 C , T

  (]t [) é uma solução regular do Problema de Cauchy (1.7 − 11) se U(t) ∈ D(A) para t < t < T e (1.7 − 11) é satisfeito em [t , T [.

  

Teorema 1.98. Seja F : [0, ∞] × X → X uma função contínua em t, para t ≥ 0, e localmente

  Lipschtziana em U. Se −A é o gerador infinitesimal de um C -semigrupo S(t) em X então para ∈ X max ≤ ∞ todo U existe um t tal que o problema de Cauchy

    

  U

  t (t) + A(U (t)) = F (t, U (t)), t > 0

  (1.7-13)  

  U , (0) = U

  max [ max < ∞

  possui uma única solução generalizada U em [0, t . Além disso, se t então lim kU (t)k = ∞.

  t →t max

  Demonstração. Ver [15], página 185, Teorema 1.4.

  

Teorema 1.99. Seja −A um gerador infinitesimal de um C -semigrupo S(t) em X. Se F :

  1

  , T , T [t ] × X → X ∈ C ([t ], X) então a solução generalizada do Problema de Cauchy (1.7-

  ∈ D(A) 11) com U é uma solução regular para o Problema de Cauchy (1.7-11). Demonstração. Ver [15], página 187, Teorema 1.5.

  

Observação 1.100. Seja −A um gerador infinitesimal de um C - semigrupo S(t) em H. Con-

  sideremos o domínio de A, D(A), com a norma | x | A = kxk + kA(x)k , para cada x ∈ D(A). Munido desta norma, D(A) é um espaço de Banach. Agora, supondo que a função F : [t , T ] × D(A) → D(A) é localmente Lipschitziana, contínua

  , T em D(A) e uniformemente contínua em [t ] , pela Teorema 1.98, obtemos que para todo U ∈ D (A) o problema de valor inicial 1.7-11 possui uma solução regular em um intervalo máximo [t , t max [ e se t max < T lim (kU (t)k + kA(U (t))k) = ∞.

  t →t max

  (Ver [15], página 190.)

  

CAPÍTULO 2

EQUAđấO DA ONDA COM MEMốRIA DEGENERADA

  Vamos considerar o problema com dissipações viscoelástica e friccional combinadas Z

  ∞

  • u tt − △u + g (s)div[a(x)∇(u)(t − s)]ds + b(x)u t + f (u) = h(x) em Ω × R , (2.0-1) u

  (x, t) = 0 em Γ × R, (2.0-2) ∂

  • u (x, −t) = u (x, −t) e u t (x, −t) = u (x, −t) em Ω × R , (2.0-3)

  ∂t

  3

  sendo Ω um domínio limitado de R com fronteira regular Γ, b(x)u t um termo de amor- (x, t), t ≤ 0 tecimento de atrito, denominado dissipação friccional e u , estabelecido como passado histórico de u.

  )− Na seção 2.1, assim como em [6], assumiremos algumas hipóteses adequadas, (H

  1

  (H ) , sobre as funções a, g, f, b e h e definiremos alguns espaços de funções com os

  4 quais trabalharemos no restante do trabalho.

  Na seção 2.2, estudaremos a existência e unicidade de solução do problema (2.0-1)- (2.0-3) e seu comportamento a longo tempo. Na seção 2.3, investigaremos a existência de um atrator global.

2.1 Hipóteses

  1 )

2.1.1 Hipótese 1 (H

1 Seja a ∈ C ( ¯ Ω) tal que

  med {x ∈ Γ; a(x) > 0} > 0 (2.1-4) e

  Z

  2

  2 V = u ∈ L (Ω); a (x) |∇u| dx < ∞, u = 0 a | Γ .

  Ω

  = 0 sendo u | Γ no sentido do traço, munido do produto interno Z hu, vi = a (x)∇u∇vdx

  V a

  e norma Z

  2

  2

  kuk = a (x) |∇u| dx,

  V a

  Ω assumiremos que V a é um espaço de Hilbert.

  Além disso, assumiremos

  1

  2 H ֒

  (Ω) ֒→ V a → L (Ω) (2.1-5) e que Au = div(a(x)∇u) é um operador auto adjunto não positivo.

  Estas premissas apresentadas acima são necessárias, quando trabalhamos com pro- blemas viscoelásticos com memória (conforme [9]-[12]). Como consequência, defini- mos o espaço M frequentemente usado nestes estudos

  Z ∞

  2

  • 2

  M = L η g ds < ∞ , (R ; V a ) = ; (s) kη(s)k (2.1-6)

  g

  V a Z Z

  ∞

  g a ds hη, ξi = (s) (x)∇η(x, s)∇ξ(x, s) dx

  M Ω

  e norma Z

  ∞

  2

  2

  g ds kηk = (s) kη(s)k

  V a M

  M é um espaço de Hilbert.

  2 )

  2.1.2 Hipótese 2 (H ∞

  Para o termo de amortecimento de atrito adicional, b(x)u t , supomos que b ∈ L (Ω) é uma função não negativa satisfazendo a

  (x) + b(x) ≥ δ > 0, ∀x ∈ Ω, (2.1-7) para algum δ > 0.

  Notemos que b(x) é necessário (b(x) > 0) apenas em uma vizinhança pequena de ω

  , onde ω é o conjunto de pontos em que a(x) = 0. Por exemplo, se Ω = (0, 1) e a(x) se anula somente em x = 0, então podemos ter b(x) = c em (0, ǫ) onde c e ǫ são constantes positivas, que existem, mesmo pequenas. Entretanto, podemos ver b(x)u t como uma dissipação complementar pequena e arbitrária.

  3

  2.1.3 Hipótese 3 (H )

  1 + +

  (R ) ∩ L (R ) satisfaz

  1 Em relação a memória, assumiremos que g ∈ C

  ′

  g (s) > 0 e g (s) ≤ −ǫg(s), ∀s ≥ 0, (2.1-8) para algum ǫ > 0. Além disso, assumiremos Z ∞

  −1 k g .

  = (s)ds < kak (2.1-9)

  ∞

  (i) A condição (2.1 − 8) é usual e implica que g decresce exponencialmente para zero. De fato, como

  ′

  g (s) ≥ 0 e g (s) + ǫg(s) ≤ 0, ∀s ≥ 0,

  ǫs

  multiplicando a desigualdade por e , temos

  ǫs ǫs ′

  e g (s) + ǫg(s)e ≤ 0, ∀s ≥ 0, ou ainda, d

  ǫs

  g (e (s)) ≤ 0, ∀s ≥ 0. ds

  Isto nos dá

  ǫs e g (s) − g(0) ≤ 0, ∀s ≥ 0.

  Consequentemente,

  −ǫs 0 ≤ g(s) ≤ g(0)e , ∀s ≥ 0.

  Portanto, g(s) → 0 quando s → ∞.

  (ii) Tomando l = 1 − k kak , (2.1-10)

  ∞

  obtemos da condição (2.1 − 9) que

  −1

  1 − a(x)k ≥ 1 − kak k > 1 − kak kak ≥ 0

  ∞ ∞ ∞

  e assim ≥ l > 1 − a(x)k para todo x ∈ Ω.

  4

2.1.4 Hipótese 4 (H )

  2 Para o termo não linear f(s) assumiremos que f ∈ C (R) , onde suppf = P , f(0) =

  ′

  f (0) = 0 > e que existe C f tal que

  ′′ |f (s)| ≤ C f (1 + |s|), s ∈ R.

  Observação 2.2. Esta hipótese implica que existe C > 0 tal que

  2

  2

  |f (s) − f (r)| ≤ C(1 + |s| + |r| ) |s − r| , ∀s, r ∈ R. (2.1-11) De fato, pelo Teorema do Valor Médio, existe θ entre r e s, tal que

  ′ | f (r) − f (s) |=| f (θ) || r − s | .

  Novamente pelo Teorema do Valor Médio, como | k |≤| r | + | s | para qualquer k entre r e s

  ′

  2

  2

  2

  | f ≤ C(1+ | r | (θ) |≤ C f (1+ | r | + | s |) + | s | )

  Então,

  

2

  2 |f (s) − f (r)| ≤ C(1 + |s| + |r| ) |s − r| , ∀s, r ∈ R.

  Além disso, assumimos que para algum β ∈ (0, λ ) , onde λ > é o primeiro

  1

  1

  > autovalor de −△ com condição de fronteira do tipo Dirichlet, existe ρ f tal que −l β

  2

  2

  f βs − ρ e ˆ f s − ρ , ∀s ∈ R, (s)s ≥ −l f (s) ≥ f (2.1-12)

  2 Z s onde ˆ f (s) = f (y)dy . Tal suposição é padrão e pode ser obtida através de

  ′

  inf f λ , lim (s) > −l

  1 |s|→∞

  veja [16].

2.2 Existência e Unicidade de Solução

  Definiremos como espaço fase

  1

  2 H = H (Ω) × L (Ω) × M ,

  com norma

  2

  2

  

2

  2

  , k(u, v, η)k = k∇uk + kvk + kηk (u, v, η) ∈ H,

  H

  2

  2 M

  equivalentemente, Z

  2

  2

  2

  2

  k(u, v, η)k = (1 − a(x)k ) |∇u| dx + kvk + kηk

  H

  2 M Ω

  e produto interno Z Z h(u

  • , v , η ), (u , v , η )i = (1 − a(x)k )∇u ∇u dx v v dx

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  2 H Ω Ω

  Z ∞ Z g a ∇η dx ds, (s) (x)∇η +

  1 2 (2.2-13) Ω

  para (u i , v i , η i ) ∈ H, i = 1, 2. A classe memória degenerada que consideraremos é dada pelo operador definido na hipótese (H1) dado por

  Au = div(a(x)∇u),

  1 onde a ∈ C ( ¯ Ω) pode ser zero em um subconjunto ω de ¯ Ω . t

  Introduziremos uma nova variável η , que corresponde à história de deslocamento relativo, definida por

  • t

  η , t ≥ 0,

  (x, s) = u(x, t) − u(x, t − s), (x, s) ∈ Ω × R (2.2-14) donde

  • t t

  η , t ≥ 0,

  (x, s) = u t (x, t) − η (x, s), (x, s) ∈ Ω × R

  t s que sugere a condição inicial (t = 0) η (x, s) = u(x, 0) − u(x, 0 − s)

  = u(x, 0) − u(x, −s) = u (x, 0) − u (x, −s),

  • (x, s) ∈ Ω × R .

  t t

  , Como mostrado por Grasselli e Pata [9], vamos considerar η = v + T η onde

  t

  v e T η , η = u t = −η s ∈ D(T ) ,

  é o gerador do semigrupo de translação com domínio D ∈ M, η(0) = 0 (T ) = {η ∈ M | η s }. Para simplificar um pouco a representação de fórmulas, frequentemente escrevere-

  t mos u ou u(t) ao invés de u(x, t) e η ou η(s) ao invés de η (x, s) .

  A relação (2.2 − 14) implica que Z ∞ Z ∞

  t

  g g (s)div[a(x)∇u(t − s)]ds = (s)div[a(x)∇(u(x, t) − η (x, s))]ds

  Z

  ∞ t

  g div = − (s)div[a(x)∇η (s)]ds + k [a(x)∇u(t)], onde k é como na hipótese (H3). Portanto o problema (2.0 − 1) − (2.0 − 3) pode ser escrito por

  Z

  ∞ t

  u − div[(1 − a(x)k g

  tt )∇u] − (s)div[a(x)∇η (s)]ds + b(x)u t (2.2-15)

  = −f (u) + h(x)

  2

  em Ω × R , onde h ∈ L (Ω) ,

  η em × R ,

  t = −η s + u t Ω × R (2.2-16)

  com condição de fronteira

  t

  u (x, t) = 0, x ∈ Γ, t > 0 e η (x, s) = 0, x ∈ Γ, t, s > 0, (2.2-17) e condição inicial

  

t

  1

  u (x, 0) = u (x), u t (x, 0) = u (x), η (x, 0) = 0, η (x, s) = η (x, s), (2.2-18) onde    u  (x) = u (x, 0), x ∈ Ω,   

  1

  u u , x ∈ Ω, (x) = ∂ t (x, t)| t =0

     

  •  

  η .

  (x, s) = u (x, 0) − u (x, −s), (x, s) ∈ Ω × R Nosso estudo do problema viscoelástico degenerado será feito pelo sistema (2.2−15)− (2.2 − 18 ).

  Considerando U = (u, v, η) ∈ H, reescrevemos o sistema (2.2−15)−(2.2−18) como um problema de Cauchy equivalente, dU

  , = LU + FU t > 0, U (0) = U (2.2-19) dt

  

1

  , u , η sobre o espaço de fase H, onde U = (u ) , 

   v 

   Z ∞

   

   

  LU = div g [(1 − a(x)k )∇u] + (s)div[a(x)∇η(s)]ds − b(x)v

   

    v − η

  s

  e

  T F(U ) = (0, −f (u) + h, 0) .

  (2.2-20) Uma vez que o domínio de L é definido por

  D (L) = {z ∈ H | Lz ∈ H}, temos que 

  (

  1

   v ∈ H (Ω), η ∈ D(T ), 

  Z

  ∞

  D (L) = (u, v, η) ∈ H .

  2

  

   div g [(1 − a(x)k )∇u] + (s)div[a(x)∇η(s)]ds ∈ L (Ω) Lt

Lema 2.3. O operador L é o gerador infinitesimal de um C - semigrupo de contrações e em

H .

  Demonstração. Pelos Teoremas 1.80 e 1.81 precisamos provar que o operador L é dissi- pativo em H e que o operador Id − L é sobrejetor. Conforme definido em (2.2-13), para todo U = (u, v, η) ∈ D(L), tem-se

  Z Z hLU, U i = (1 − ak )∇v∇udx + vdiv [(1 − ak )∇u]dx

  H Ω Ω

  Z Z ∞ Z

  2

  v g dx − b dx (s)div[a∇η]ds + (x)|v|

  Ω Ω

  Z Z

  

∞ Z ∞ Z

+ g (s) a ∇v∇ηdx ds − g (s) a ∇η s ∇ηdx ds.

  Ω Ω

  Integrando por partes, obtemos Z Z

  ∞

  2 1 ′

  2

  • hLU, U i = b (x)|v| dx g (s)kη(s)k ds .

  V a

  H

  2 Ω ′

  (s) 6 0 Por hipótese, b(x) ≥ 0 e g , então para todo U = (u, v, η) em D(L) temos

  6 hLU, U i ,

  H mostrando que L é dissipativo em H.

  Agora, mostraremos que o operador Id − L é sobrejetor, ou seja, para cada F ∈ H, existe U ∈ D(L) tal que (Id − L)U = F .

  , f , f De forma equivalente, mostraremos que, para cada F = (f ) ∈ H onde f ∈

  1

  2

  3

  1

  1

2 H ∈ L ∈ M

  (Ω) , f

  2 (Ω) e f 3 , existe U = (u, v, η) ∈ D(L) tal que

  u − v = f , (2.2-21)

  1 Z

  v g ,

  • b(x)v − div[(1 − ak )∇u] − (s)div[a∇η(s)] ds = f (2.2-22)

  2

  η − v + η s = f . (2.2-23)

  3 s

  Multiplicando (2.2-23) por e e integrando sobre (0, s) obtemos Z s Z s Z s Z s

  

τ τ τ τ

  (x, τ )e + η dτ − v (x)e dτ η τ (x, τ )e dτ = f (x, τ )e dτ. (2.2-24)

  3 Após integrarmos por partes e impormos a condição η(0) = 0, a equação (2.2-24) re- sulta em Z s

  

τ

−s −s

  η f dτ (x, s) = (x, τ )e + v(x)(1 − e ). (2.2-25)

3 Substituindo (2.2-21) e (2.2-25) em (2.2-22) temos

  div (1 + b)v − div[(1 − ak )∇v] − k [a∇v]

  1 Z ∞ Z s τ −s

  = f + div[(1 − ak )∇f ] + g (s)e div [a∇f (τ )] dτ ds,

  2

  1 3 (2.2-26)

  Z Z Z

  

∞ ∞ ∞

−s −s

  1

  g g g onde k = (s)(1 − e )ds . Note que (s)(1 − e )ds < ∞ pois (s)ds < ∞ ,

  pela hipótese (H 3 ). A fim de resolver a equação (2.2-26), definimos a forma bilinear

  1

  1 B : H (Ω) × H (Ω) → R

  dada por Z Z Z B(w, z) = (1 − ak )∇w∇z dx + k a ∇w∇z dx + (1 + b(x))wz dx.

  

1

Ω Ω Ω

  Aplicando a desigualdade de Hölder e a desigualdade de Poincaré obtemos Z Z

  |B(w, z)| ≤ k a ∇w∇z dx

  • (1 − ak )∇w∇z dx

  1 Ω Ω

  Z

  • (1 + b(x))wz dx

  Ω

  Z Z Z wz dx ≤ c ∇w∇z dx + c ∇w∇z dx + c

  1

  2

  3 Ω Ω Ω

  1

  1

  ≤ C kwk kzk

1 H H

  e pelo item (ii) da Observação 2.1 Z Z

  

2

  2

  dx a dx B(w, w) = (1 − ak ) | ∇w | + k | ∇w |

  1 Ω Ω

  Z

  

2

  dx (1 + b(x)) | w | +

  Ω

  Z Z Z

  2

  2

  2

  dx dx dx ≥ l | ∇w | + d | ∇w | + d | w |

  

2

  3 Ω Ω Ω

  2

  1

  ≥ C kwk

2 H

  1

  1

  , C > (Ω) (Ω) com C

  1 2 , isto é, B é contínua e coerciva em H para todo w, z ∈ H .

  −1

  1

  2

  1

  1

  2

  2 Observemos que, f + div[(1 − ak )∇f ] ∈ H (Ω) pois f ∈ H (Ω), f ∈ L (Ω) e

  1 2 −1

  H (Ω) ֒→ V ֒ → L (Ω) ֒→ V ֒ → H (Ω) a .

  a

  Denotando Z ∞ Z s

  

τ

∗ −s

  f = g (s)e div [a∇f (τ )] dτ ds

  3

  1

  usaremos a integração por partes e a desigualdade de Hölder, para w ∈ H (Ω) com

  2

  1 , Z Z s

  6 k∇wk

  ∞ Z τ ∗ −s

  1

  1

  f , w ) = g (s)e div [a∇f (τ )]wdx dτ ds

  H ,H

  3

  (

  Ω

  Z Z s Z

  ∞ τ −s

  g e a dτ ds = (s) ∇f (τ )∇wdx

  3 Ω

  1

  1 Z ∞ Z s Z Z

  2

  2 τ −s

  

2

  2

  2

  ≤ g (s) e a | ∇f (τ ) | dx | ∇w | dx dτ ds

  3 Ω Ω

  Z Z s

  ∞

  1 2 τ −s

  ∞ (s) (kf (τ )k V a ) dτ ds

  6 kak g e k∇wk

  3

  2 Z ∞ Z ∞

  1 2 τ −s

  ∞ (s)e 3 (τ )k V a τ

  6 kak g kf dsdτ

  Mas, Z Z

  ∞ ∞ τ τ

−s ′ −s

  g ds g ds (s)e = g(τ ) + (s)e ≤ g(τ ),

  τ τ ′

  (s) pois g . Logo,

  Z

  ∞

  1

  2 ∗

  1

  1

  6 f , w kak g dτ ) H ,H ∞ (τ )kf

  3 (τ )k V a

  (

  1

  1 Z Z ∞ 2 ∞

  2

  1

  2

  2

  ∞ (τ ) dτ (τ )kf (τ )k

  6 kak g g dτ

  3 V a

  1

  1

  2

  2

  = kak k kf k

  ∞

3 M < ∞.

  ∗ −1

  ∈ H Portanto, f (Ω) . Consequentemente,

  ∗ −1 f + div[(1 − ak )∇f ] + f ∈ H (Ω).

  2

  1 Pelo Teorema de Lax-Milgram (Teorema 1.20), a equação (2.2-26) possui uma solução fraca

  

1

  v ∈ H ˆ (Ω). (2.2-27)

  Desta forma, pelas equações (2.2-21) e (2.2-25), vamos definir u v ˆ = ˆ + f

  1

  e Z s

  τ −s −s

  η ˆ (s) = ˆ v (1 − e ) + f (τ )e dτ. (2.2-28)

  3

  1

  1

  ∈ H Como ˆv, f (Ω) , temos que ˆu ∈ H (Ω) . Por outro lado, pela desigualdade de

1 Minkowski,

  Z s

  2 τ 2 −s 2 −s

  η v f dτ kˆ k kˆ (1 − e )k (τ )e

  • 6

  V V

  3 a a

  V a

  Z s

  2 τ −s

  2

  • 6 kˆ v k e kf (τ )k dτ,

  3 V a V a

  de onde segue que Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z s

  τ

  2 2 −s

  2

  g η k ds 6 g v k g ds kf dτ ds.

  (s)kˆ (s)kˆ (s)e +

  3 (τ )k V a V a V a

  Como Z Z Z Z s

  ∞ ∞ ∞ τ 2 2 −s

  2

  g η ds 6 g v ds g dτ ds (s)kˆ k (s)kˆ k (s)e kf (τ )k +

  V V

  3 V a a a

  Z

  

  2

  2

  • 6 k kˆ v k g (τ )kf (τ )k ds

  V

  3 V a a

  2

  2

  v = k kˆ k + kf k

  V

  

3

a M

  &lt; ∞, concluímos, pela definição do conjunto M, que ˆη ∈ M. Portanto U = (ˆ u, v, ˆ η ˆ ) ∈ H é uma solução fraca de (2.2-21) - (2.2-23). Resta provarmos que U = (ˆu, ˆv, ˆη) ∈ D(L). Temos:

  1

  (i) ˆ v ∈ H (Ω) por (2.2-27); η

  (ii) ˆ ∈ D(T ) . De fato, acabamos de mostrar que ˆη ∈ M. Além disso, de (2.2-28) temos que ˆη(0) = 0 e η ˆ s = f + ˆ v − ˆ η ∈ M,

3 Z ∞

  1

  2

  3 e ˆv ∈ M (ˆv ∈ H (Ω) implica que (s)kˆ ); V a

  ∈ M, ˆ η ∈ M g v k ds &lt; ∞ pois f

  (iii) Como Z

  ∞

  u g η v −div[(1 − ak )∇ˆ ] − (s)div[a∇ˆ (s)]ds = f − (1 + b(x))ˆ

  2

  e

  2

  f − (1 + b(x))ˆ v ∈ L (Ω)

  2

  temos que Z

  ∞

  2 −div[(1 − ak )∇ˆ u ] − g (s)div[a∇ˆ η (s)]ds ∈ L (Ω).

  Portanto, de (i), (ii) e (iii) U = (u, v, η) ∈ D(L), completando a prova.

  

Lema 2.4. O operador F : H → H definido por F (u, v, η) = (0, −f(u) + h, 0) é localmente

Lipschitziano.

  Demonstração. Sejam B um conjunto limitado em H e U, V ∈ B. Denotemos U =

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  (u , v , η ) , V = (u , v , η ) . Da hipótese (H ), (ver (2.1-11)) existe C &gt; 0 tal que

  

4

  2

  2

  |f (u) − f (v)| 6 C(1 + |u| + |v| )|u − v|, para todo u, v ∈ R. Assim,

  2

  1

  2

  2

  kF(U ) − F(V )k = k − f (u ) + h − (−f (u ) + h)k

  H

  2

  1

  2

  2

  = k − f (u ) + f (u )k

  2 Z

  1

  2

  2

  2

  2

  1

  2

  2

  6 [C(1 + |u | + |u | )] |u − u | dx.

  Ω

  3 Aplicando, na desigualdade acima, a desigualdade de Hölder com p = e q = 3

  2

  obtemos

  2

  1

  4

  2

  4

  1

  2

  2

  6 kF(U ) − F(V )k C k k − u k , (1 + ku + ku )ku

1 H

  6

  6

  6 onde C &gt; .

  1

  1

6 Porém como H (Ω) ⊂ L (Ω) (Teorema 1.56) e por U, V ∈ B podemos concluir que

  2

  2

  6 kF(U ) − F(V )k C kU − V k ,

  2 H H para algum C &gt; dependendo de B, o que finaliza a prova.

2 No próximo lema provaremos algumas propriedades sobre a energia do sistema

  (2.2-15)-(2.2-18), a qual é definida por Z Z

  1

  1

  1

  t

  2

  

2

  2

  (t) = + ku t k (1 − a(x)k )|∇u| kη k ( ˆ (u) − hu) dx. (2.2-29) +

  • E dx f

2 M

  2

  2

  2

  

Ω Ω

t Lema 2.5. A energia E(t) é não crescente ao longo de qualquer solução (u(t), u t (t), η )

  de (2.2-15)-(2.2-18). Além disso, existem δ , C f h &gt; , que não dependem do fluxo, tais que

  t

  2 E k(u(t), u − C ,

  (t) ≥ δ t (t), η )k f h (2.2-30)

  H para todo t &gt; 0 .

  Demonstração. Multiplicando a equação (2.2 − 15) por u t e integrando sobre Ω temos Z Z Z

  2

  u t (x)u tt (x) dx − u t (x)div[(1 − a(x)k )∇u(x)] dx + b (x)u (x) dx

  t Ω Ω Ω

  Z Z ∞ Z

  t

  − u g t (x) (s)div[a(x)∇η (x)] dsdx = (h(x) − f (u))u t (x) dx.

  Ω Ω

  Z u f f Por definição, ˆ (u) = (s) ds e h não dependem de t explicitamente. Então, inte- grando por partes a igualdade acima, obtemos

  ( )

  Z Z d

  1

  2

  2

  ku k dx f

  • t (1 − a(x)k )|∇u| + 2 ( ˆ (u) − hu) dx

  2

  dt

  2

  Ω Ω

  Z Z Z

  ∞ 2 t

  = − b |u t | dx − g (s) a (x)∇η (s)∇u t (t) dxds. (2.2-31)

  • 1

  • Z
  • 2
  • 1

  t

  (s)k

  2 V a ds.

  (2.2-32) Conforme mostramos na prova do Lema 2.3, temos

  − Z

  Ω

  b |u t |

  2

  dx

  ∞

  g

  ′

  (s)kη

  t

  (s)k

  (s)kη

  g

  ′

  Z

  (1 − a(x)k )|∇u|

  2

  dx

  t

  k

  2 M

  Ω

  ∞

  ( ˆ f (u) − hu)(x) dx

  ) = −

  Z

  Ω

  b (x)|u t (x)|

  2

  dx

  2 V a

  ds ≤ 0, ∀t ≥ 0. Logo concluímos que E é não crescente ao longo de qualquer solução (u(t), u t (t), η

  t ) .

  , existe C h &gt; tal que

  f

  |Ω| − Z

  Ω hu dx.

  Definindo δ = l 4 1 −

  β λ

  1

  Z

  2

  Ω

  hu dx ≤ C h khk

  2

  2

  2

  2

  − ρ

  2

  Por outro lado, da Hipótese (H

  Ω

  4 ) (ver (2.1 -12)) também temos

  ˆ f (u) ≥ − l β

  2 u

  

2

  − ρ f , ∀u ∈ R.

  Assim, da desigualdade de Poincaré, Z

  ( ˆ f (u) − hu) dx ≥

  k∇uk

  Z

  Ω

  − l β 2 u

  2

  − ρ f − hu dx ≥ − l β

  2λ

  

1

  Ω

  2

  2

  (s)∇η

  t s

  (s)] dxds = −

  Z ∞ g (s) Z

  Ω

  a (x)∇η

  t

  t t

  t t

  (s) dxds − Z ∞ g (s)

  Z

  Ω

  a (x)∇η

  t

  (s)∇η

  (s) + η

  (s)∇[η

  (s) dxds = −

  a (x)∇η

  Vamos analisar separadamente a segunda parcela do lado direito da igualdade acima. De u t (t) = η t (s) + η s (s) , temos

  − Z

  ∞

  g (s)

  Z

  Ω

  t

  t

  (s)∇u t (t) dxds = −

  Z

  ∞

  g (s) Z

  Ω

  a (x)∇η

  k

  t s

  1

  2 V

a

ds.

  ∞

  g

  ′

  (s)kη

  t

  (s)k

  Substituindo esta última igualdade em (2.2-31) e mantendo em mente (2.2-29), vem que E

  2 M

  ′

  (t) =

  1

  2 d dt

  ( ku

  t

  2 d dt kη

  2 Z

  k

  ∞

  t

  k

  2 M

  −

  1

  t

  2 Z

  g (s) d ds kη

  t

  (s)k

  2 V a

  ds = −

  1

  2 d dt kη

2 Z

  • 1

2 Z

  • δ k∇uk
pelas Desigualdades de Young e Poincaré. Portanto, da Observação 2.1 - (ii), segue que

  Z

  1

  t

  

2

E k(u, u , η f

  (t) = + t )k ( ˆ (u) − h(u))dx

  t

H

  2

  Ω t

  

2

  2

  ≥ δ k(u, u t , η )k − ρ f |Ω| − C h khk ,

  

t H

  2

  uma vez que β l &lt;

  1 e 1 − &lt;

  1 λ

  1

  implicam em 1 l

  1

  &gt; δ &lt; − + δ e δ .

  2

  2

  2

  2 Disso, obtemos (2.2-30), com C f h = ρ f |Ω| + C h khk .

  2

  2 Teorema 2.6. Assuma que as hipóteses (H1) − (H4) são satisfeitas, h ∈ L (Ω) e que os

  1 ) ∈ H . Então o problema (2.2-15)-(2.2-18) possui uma única solução

  , u , η dados iniciais (u

  generalizada

  t

  1

  2

  u ∈ C([0, ∞); H (Ω)), u t ∈ C([0, ∞); L (Ω)) e η ∈ C([0, ∞), M). (2.2-33)

  i

  , u , η Se os dados iniciais (u

  1 ) ∈ D(L) então a solução é regular. Além disso, se z (t) = i i i,t

  (u (t), u (t), η ), i = 1, 2 são duas soluções generalizadas de (2.2-15)-(2.2-18), então para

  t

  qualquer T &gt; 0,

  C T

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  kz (t) − z (t)k ≤ e kz (0) − z (0)k , 0 ≤ t ≤ T, (2.2-34)

  H H

  &gt; onde C é uma constante que depende dos dados iniciais. Demonstração. Temos que F definida em (2.2-20), é contínua e localmente Lipschitziana

  Lt

  pelo Lema 2.4 e L é o gerador infinitesimal do C -semigrupo de contrações e pelo Lema 2.3. Pelo Teorema 1.98, o problema de Cauchy (2.2-19) possui uma única solução generalizada

  Z t

  Lt L(t−s)

  (t) = e F(U (s))ds, (2.2-35)

  • U U e

  ) = ∞ definida em [0, t max . Mostraremos que t max . De fato, no Lema 2.5 vimos que

  t

  (u(t), u t (t), η ) satisfaz

  2 −1

  kU (t)k ≤ (E(0) + C , ∀t ∈ [0, t

  f h )δ− max ), H

  com E(t) decrescente. Assim, segue do Teorema 1.98 que t max = ∞ , provando (2.2-33).

  , u , η Agora, pelo Teorema 1.99 e pela Observação 1.100, se os dados iniciais (u ) ∈

  1 D (L) então a solução é regular.

  1

  1 1 1,t

  2

  

2

2 2,t

  Sejam z (t) = (u (t), u (t), η ) e z (t) = (u (t), u (t), η ) duas soluções generalizadas

  t t

  de (2.2-15)-(2.2-18). Para todo T &gt; 0 com 0 ≤ t ≤ T temos que Z t Z t

  1

  2 Lt

  1 L(t−s)

  1 Lt

  2 L(t−s)

  2

  (t) − z (t) = e (s))ds − e (s))ds Z t

  • z z e F(z z − e F(z

  Lt

  1

2 L(t−s)

  1

  2 = e (z − z ) + e (F(z (s)) − F(z (s)))ds. Lt

  Disso, como e é C - semigrpo de contrações pelo Lema 2.3, como F é localmente Lipschtziana pelo Lema 2.4 obtemos que

  Z t

  1

  2 Lt

  1

  2 L(t−s)

  1

  2

  kz (t) − z (t)k = e (z − z ) + e (F(z (s)) − F(z (s)))ds

  H H

  Z t

  Lt

  1

  

2 L(t−s)

  1

  2

  ≤ + e (z − z ) e (F(z (s)) − F(z (s)))ds

  H H

  Z t

  Lt

  1

2 L(t−s)

  1

  2

  e z e ds ≤ + − z F(z (s)) − F(z (s))

  H H H H

  Z t

  1

  2

  

1

  2

  z z ds ≤ − z (s) − z (s) +

  H H

  E pelo Lema de Gronwall (Proposição 1.39)

  2 C T

  1

  2

  2

  1

  2

  z , kz (t) − z (t)k ≤ e (0) − z (0)

  H H

  T &gt; para algum C , finalizando a demonstração deste Teorema. Vamos provar a existência de solução fraca para o problema (2.2-15)-(2.2-18) por argumentos de densidade, utilizando o Teorema 2.6. Para isto, definiremos o que é uma solução fraca para este problema.

  2

  , u , η

  

Definição 2.7. Com dados iniciais (u ) ∈ H e h ∈ L (Ω) , uma função z =

  

1 t

  (u, u , η ) ∈ C([t , T ], H)

  t é uma solução fraca de (2.2-15)-(2.2-18) se satisfaz a condição

  inicial z = (u , u , η ) e

  1

  d hu , w i , w i

  t + h(1 − ak )∇u, ∇wi + hbu t

  2

  2

  2

  dt Z ∞

  t

  • g (s) a∇η , ∇w ds + hf (u) − h, wi

  2

  2

  = 0, (2.2-36)

  t t

  η , ξ , ξ i ,

  • η = hu t (2.2-37)

  t s M M

  1 para todo w ∈ H (Ω) , ξ ∈ M e t ∈ [0, T ] quase sempre.

  A partir de agora, consideraremos que f é Lipschitz.

  Teorema 2.8. O problema (2.2-15)-(2.2-18) possui uma solução fraca.

  2

  , u , η Demonstração. Suponhamos que z = (u

  1 ) ∈ H e h ∈ L (Ω) . Pelo Teorema 1.82, n

  D (L) , o domínio do operador L, é denso em H. Logo existe uma sequência z =

  n n n

  , u , η (u ) ⊂ D(L) tal que

  1 n

  z → z , em H.

  n n n n

  Pelo Teorema 2.6, para cada n, temos uma solução regular U = (u , u , η ) do

  t

  sistema (2.2-15)-(2.2-18). Disto segue que

  n

  1

  u ∈ C ([0, ∞); H (Ω)),

  n

  2

  u ∈ C ([0, ∞); L (Ω)),

  t n

  η ∈ C ([0, ∞); M), e as equações (2.2-19) e (2.2-20) são satisfeitas para quase todo x ∈ Ω.

  n Vamos mostrar que a sequência (U ) é uma sequência de Cauchy em H.

  Sejam m, n ∈ N, temos de (2.2 − 19) que

  n m n m n m n m

  hU − U , U − U i − U i = hL(U ) − L(U ), U

  t t H H n m n m ou seja, d

  1

  m n 2 n m n m

  kU − U k = hL(U ) − L(U ), U − U i

  H H

  2 dt

  n m n m − U i .

  • hF(U ) − F(U ), U (2.2-38)

  H

  Mas, como L é linear, com um raciocino análogo ao usado no Lema 2.3 obtemos

  n m n m n m n m

  hL(U ) − L(U ), U − U i = hL(U − U ), U − U i

  H H ≤ 0.

  Assim em (2.2-38) temos d

  1

  m n 2 n m n m

  kU − U k ≤ hF(U ) − F(U ), U − U i

  H H

  dt

  2

  n m n m ≤ kF(U ) − F(U )k kU − U k .

  (2.2-39)

  H H

  Mas,

  n m m n

F(U

  ) − F(U ) = (0, f (U ) − f (U ), 0) então, por f ser Lipschitz

  n m m n

  kF(U ) − F(U )k = kf (U ) − f (U )k

  H

  2 m n ′

  ≤ C kU − U k

  2 m n

  ≤ C kU − U k .

  1 H

  Substituindo em (2.2-39), vem 1 d

  m n 2 m n

  2 kU − U k ≤ C kU − U k .

  1 H H

  dt

2 Integrando obtemos

  Z t

  m n 2 n m 2 n m

  2 kU ≤ kU − U k C kU − U k ds.

  (t) − U (t)k + 2

  1 H H H Pela Desigualdade de Gronwall (Proposição 1.39),

  m n n m C

  2 kU (t) − U (t)k ≤ kU − U k e .

  H H m

  Portanto, (U ) é uma sequência de Cauchy em C ([0, T ]; H) . Como H é um espaço de Hilbert, existe z = (u, v, η) tal que

  n

  U → z em H, ou seja, para todo T &gt; 0,

  n

  1

  u → u em C ([0, T ]; H (Ω)), (2.2-40)

  n

  2

  u → v em C ([0, T ]; L (Ω)), (2.2-41)

  t n

  η → η em C ([0, T ]; M). (2.2-42)

  ′

  Para Q = [0, T ] × Ω, como o operador derivada é contínuo em D (Q) , segue por (2.2-40) que

  n u .

  → u t (2.2-43)

  t

  Mas, de (2.2-41) e pela unicidade do limite (no sentido fraco), v = u t . (2.2-44) , η

  Logo temos z = (u, u t ) . De (2.2-19) e (2.2-20), temos para cada n, que vale, para quase todo x ∈ Ω, t ∈ [0, T ] Z

  ∞

n n n n

  u g − div[(1 − a(x)k )∇u ] − (s)div[a(x)∇η (s)]ds + b(x)u

  tt t n

  = −f (u ) + h(x), (2.2-45)

  n n n

  η = −η + u . (2.2-46)

  t s t

  ∞

  (Ω) De (2.2-45), para cada φ ∈ C , temos: d

  n n n

  hu , φ i + h(1 − a(x)k )∇u , ∇φi + hbu , φ i

  t t

  2

  2

  2

  dt Z

  ∞ n n

  g , ds (s) ha∇η ∇φi + hf (u ) − h, φi +

  2

  2 = 0.

  ∞

1 Como C (Ω) é denso em H (Ω) e das convergências (2.2-40), (2.2-41) e (2.2-42), temos que vale (2.2-36).

  Ainda, de (2.2-46), para cada ξ ∈ M

  n n n , ξ , ξ .

  hη + η i = hu i

  t s t M M

  Novamente pela continuidade do operador derivada, obtemos de (2.2-42) que

  n n

  η + η → η t + η s ,

  t s

  donde

  n n hη + η , ξ i → hη + η , ξ i . t s t s

  M M

  Por (2.2-43) e (2.2-44)

  n hu , ξ i → hu , ξ i . t t

  M M

  Portanto, pela unicidade do limite, concluímos hη , ξ i , ξ i ,

  t + η s = hu t M M

  como queríamos demonstrar.

2.3 Existência de Atrator Global

  A solução do problema (2.2-15)-(2.2-18) com dados iniciais em H gera um sistema dinâmico (H, S(t)). De fato, para cada t ≥ 0, definamos S (t) : H → H

  t

  , u , η , u , η (u ) 7→ S(t)(u ) = (u(t), u t (t), η ), (2.3-47)

  1

  1 t

  onde z(t) = (u(t), u t (t), η ) ∈ H é a única solução de (2.2-15)-(2.2-18) com dados z(0) = (u , u , η ) ∈ H . Pela existência, unicidade, continuidade de solução e dependência

  1

  contínua asseguradas pelo Teorema 2.6, temos que o par (H, S(t)) é um sistema dinâ- mico.

  Portanto, vamos estudar o comportamento da solução de (2.2-15)-(2.2-18) por meio da existência de um atrator global para o sistema dinâmico (H, S(t)). Para provar a existência de um atrator global usaremos propriedades de sistemas dinâmicos e de sistemas quase estáveis conforme exposto na seção 1.6 do Capítulo 1.

  O próximo resultado mostra que o sistema dinâmico (H, S(t)) definido em (2.3-47) é gradiente.

  

Lema 2.9. A energia E é uma função de Lyapunov estrita para o sistema dinâmico (H, S(t))

t

  definido em (2.3-47). Além disso, E(t) → ∞ se, e somente se, k(u(t), u t (t), η )k → ∞,

  H (quando t → ∞).

  Demonstração. Seja Y ⊂ H um conjunto invariante do sistema dinâmico (H, S(t)). Con-

  t sideremos E(t) = Φ(S(t)z) a energia ao longo da solução S(t)z = (u(t), u t (t), η ).

  Pelo Lema 2.5, Φ(S(t)z) é não crescente ao longo de cada solução S(t)z, ou equivalen- temente, a aplicação t 7→ Φ(S(t)z) é não crescente para qualquer z ∈ Y . Então, pela Definição 1.92, a energia Φ(z) é uma função de Lyapunov para o sistema dinâmico (H, S(t)) em Y . Resta provarmos que Φ é uma função de Lyapunov estrita em Y , ou seja, mostrar que

  ∈ Y se para algum z tem-se:

  = (u , u , η ) ∈ H Suponha que para algum dado inicial z

  1 temos Φ(S(t)z ) = Φ(z ), ∀t &gt; 0.

  ′ Então a energia ao longo do fluxo é constante, donde, E (t) = 0 .

  Já vimos que Z Z

  

  1

  t 2 ′ 2 ′

  • E (t) = − b |u t | dx g (s)kη (s)k ds, ∀t ≥ 0,

  V a

  2

  Ω

  ou seja, Z Z

  ∞

  1

  t 2 ′ 2 b |u t | dx − g (s)kη (s)k ds = 0, ∀t ≥ 0.

  V a

  2

  Ω

  Z Z

  ∞

  2 1 ′ t

2 Como b |u t | dx e − g (s)kη (s)k ds possuem o mesmo sinal, resulta que

  V a

  2 Ω

  Z Z

  ∞

  1

  2 ′ t

  2 b |u t | dx = − g (s)kη (s)k ds = 0, ∀t ≥ 0.

  V a

  2

  Ω ′

  Por outro lado, de g (s) ≤ −ǫg(s), ∀s ≥ 0 (hipótese (H

  3 )), obtemos

  Z Z

  ∞ ∞ t t ′

  2

  2

  − g (s)kη (s)k ds ≥ ǫg (s)kη (s)k ds

  V V a a t

  2

  = ǫkη k

  M ≥ 0. t t

  2 Portanto kη k = 0 pois ǫ &gt; 0, o que implica, η (x, s) = 0 , quase sempre em Ω para M

  todo t, s ≥ 0. Como u t = η t + η s segue que u t (x, t) = 0 quase sempre em Ω, t ≥ 0. Então,

  S (t)z = S(t)(u , u , η ) = (u , 0, 0)

  1

  é um ponto fixo de S(t). Provando que a energia E é uma função de Lyapunov estrita para o sistema dinâmico gerado por (2.2-15)-(2.2-18), isto é, definido por (2.3-47).

  Provemos agora a segunda afirmação do lema. Novamente pelo Lema 2.5,

  t −1

  k(u(t), u (t), η )k ≤ (E(t) + C )δ t f h .

  H t

  Consequentemente, k(u(t), u t (t), η )k → ∞ implica E(t) → ∞.

  H Por outro lado, denotemos Z Z

  1

  1

  1

  t

  2

  2

  2

  (t) = + + E ku t k (1 − a(x)k )|∇u| dx kη k + ( ˆ f (u) − hu)dx

  2 M

  2

  2

  2

  Ω Ω .

  = E + E + E + E

  1

  2

  3

  4 Como é válido

  2 M

  2

  2

  2

  , ≤ M ≤ 1 + M (2.3-48)

  2 para todo M ≥ 0, obtemos que

  2

  2

  2

  h i ku t k

  2 E = ≤ 1 + ku t k

  1

  2

  2 e

  t

  2

  2 M t

  h i kη k

  2 E = ≤ 1 + kη k .

3 M

  2

  −1

  k &lt; Por outro lado, de a(x)k ≤ kak kak kak = 1,

  ∞ ∞ ∞

  Z

  1

  2 E = (1 − a(x)k )|∇u| dx

  2

  2

  Ω

  Z

  2

  &lt; | ∇u | dx

  Ω

  2

  = k∇uk

  2

  h i

  2

  2 .

  ≤ 1 + k∇uk

  2 Da desidualdade de Hölder e (2.3-48)

  Z Z h i

  2

  2

  hu dx hu dx − ≤ ≤ C khk k∇uk ≤ C 1 + k∇uk

  1

  2

  2

  2

  2 Ω Ω

  e, como f possui suporte compacto P , Z Z u

  Z ˆ f (u) dx = f (s) ds dx

  Ω Ω

  Z Z f dx ≤ (s) ds

  P

  ≤ C .

  4 Portanto, Z

  E = ( ˆ f (u) − hu)dx

  4 Ω

  h i

  2

  2 ≤ C .

5 1 + k∇uk

  2 Ou seja,

  E (t) = E + E + E + E

  1

  2

  3

  4

  h i h i h i h i

  2

  2

  2

  2 2 t

  2

  2

  2

  ≤ + + 1 + ku k 1 + k∇uk 1 + kη k + C 1 + k∇uk

  t

  5

2 M

  2

  2

  h i

  

2

2 t

  2

  2

  ≤ C 1 + k∇uk + ku t k + kη k

2 M

  2

  4 t

  , = C 1 + (u(t), u t (t), η )

  (2.3-49)

  H t t (t), η )k →

  para todo t ≥ 0 e algum C &gt; 0. Concluindo que E(t) → ∞ implica em k(u(t), u

  H ∞ .

  Lema 2.10. O conjunto das soluções estacionárias do problema (2.2-15)-(2.2-18) é limitado em

  H . Demonstração. Pelo Lema 2.9 (demonstração), sabemos que as soluções estacionárias de (2.2-15)-(2.2-18) são da forma

  1

  −div[(1 − a(x)k )∇u] + f (u) = h(x), u ∈ H (Ω). Donde,

  Z Z Z

  1

  − div f hudx, u ∈ H [(1 − a(x)k )∇u]udx + (u)udx = (Ω). (2.3-50)

  Ω Ω Ω

  Da desigualdade de Hölder, desigualdade de Poincaré, l = 1 − k kak e de f(u)u ≥

  ∞

  2

  βu −l − ρ f obtemos que

  Z Z

  2

  2

  (1 − a(x)k ) |∇u| dx ≥ l |∇u| dx

  Ω Ω

  2

  = l k∇uk ,

  2 Z

  hudx ≤ khk kuk (2.3-51)

  2

  2 Ω e Z Z

  2

  f (u)udx ≥ −l βu − ρ f dx

  Ω Ω

  Z

  2

  = −l β u dx − ρ f |Ω|

  Ω

  l β

  2

  ≥ − k∇uk − ρ f |Ω| . (2.3-52)

  2

  λ

  1 Como

  Z Z

  2

  − div dx,

  [(1 − a(x)k )∇u]udx = (1 − a(x)k ) | ∇u |

  Ω Ω

  temos de (2.3-50), (2.3-51) e (2.3-52) que l β

  2

  2

  l k∇uk − k∇uk − ρ |Ω| ≤ khk kuk

  f

  2

  2

  2

  2

  λ

  1

  ou seja, β

  2 l k∇uk ≤ ρ |Ω| + khk kuk .

  1 − f (2.3-53)

  2

  2

  2

  λ

1 Por outro lado, existe k > 0 tal que

  khk kuk ≤ k khk k∇uk .

  2

  2

  2

  2

  λ

1 Tomando ǫ = temos que ǫ > 0 pois

  2l λ − 4βl 1 l β = 1 −

  λ 4ǫ

  2

  1

  e l β 1 − &gt; 2 λ

  1

  uma vez que β

  &lt; &gt; 1 e l

  0. λ

1 Desta forma, pela desigualdade de Young com peso, Corolário 1.34

  2

  k∇uk

  2

  2 k khk k∇uk ≤ ǫ(k khk .

  • ) (2.3-54)

  2

  2

  2

  4ǫ Portanto, de (2.3-53) e (2.3-54), temos

  

2

  k∇uk ≤ D,

  

2

  2

  ρ |Ω| + ǫ(k khk

  f )

  2

  onde D = , concluindo que toda solução estacionária é uniforme-

  β l

  1 −

  2 λ

  1 mente limitada em H. t

  1

  2 Para a prova dos próximos lemas, suponhamos que S(t)z = (u(t), u t (t), η ) e S(t)z = t

  (v(t), v t (t), ξ ) sejam duas soluções fracas do problema (2.2-15)-(2.2-18), com respecti-

  1

  2 vos dados iniciais z , z ∈ B , onde B ⊂ H é um conjunto limitado.

  Nestas condições, consideraremos w = u − v e ζ = η − ξ. Então (w, w t , ζ ) é uma solução fraca de

  Z

  ∞

  w g

  tt − div[(1 − ak )∇w] − (s)div[a∇ζ(s)]ds + bw t = −f (u) + f (v), (2.3-55)

  ζ t = −ζ s + w t , (2.3-56) onde as condições iniciais são w

  − ξ , (0) = u(0) − v(0), w t (0) = u t (0) − v t (0), ζ = η com condição de fronteira do tipo Dirichlet.

  O funcional de energia é dado por Z

  1

  1

  1

  2

  2 2 t + + G (t) = kw t (t)k (1 − a(x)k ) |∇w(t)| dx ζ .

2 M

  2

  2

  2

  Ω

  2

  1

  1

  1 e kS(t)z − S(t)z k = G(t) , obtemos

  2 Como 0 &lt; l &lt;

  2 H

  2

  2

  1

  2

  1

  2 l S S .

  (t)z − S(t)z ≤ 2G(t) = (t)z − S(t)z (2.3-57)

  H H

  • Z

  Com argumentos análogos aos usados na prova do Lema 2.9, usando a equação (2.3- 56), temos que

  2 V a

  (s)

  t

  (s) ζ

  ′

  g

  ∞

  dx

  2

  b |w t |

  (2.3-58) A seguir, usaremos métodos de multiplicadores para obter propriedades de decai- mento para G(t). Por existir δ &gt; 0 tal que a(x) + b(x) ≥ δ &gt; 0, ∀x ∈ Ω (veja hipótese (H

  (t) = − Z

  ′

  G

  Ω (−f (u) + f (v))w t dx.

  (f (v) − f (u))w t dx.

  dx = Z

  2

  b | w t |

  Ω

  g (s)div[a∇ζ(s)]dsdx

  ∞

  w t Z

  Ω

  w t div [(1 − ak )∇w]dx − Z

  Ω

  w t w tt dx − Z

  Ω

  Além disso, multiplicando a equação (2.3-55) por w t e integrando-a sobre Ω, obtemos Z

  ds

  • 1
  • Z

2 Z

  Ω

  dx, (2.3-60) Z

  

2

  ) |∇w|

  2

  2

  (|ϕ|

  Ω

  2

  • |∇ϕ|
  • |∇ϕ|

  a (x) |∇w|

  Ω

  dx ≤ Z

  2

  )w

  2

  dx ≤

  Z

  (|ϕ|

  ∞

  G (t) = M G(t) + µφ(t) + ψ(t), onde µ, M &gt; 0 são constantes a serem fixadas.

  (s) dxds e ˜

  t

  ϕ (x)w t (t)ζ

  

  g (s) Z

  ψ (t) = − Z

  Ω

  w (t)w t (t) dx,

  Ω

  Z

  φ (t) =

  (2.3-61) Definiremos os seguintes funcionais:

  2 dx.

  a (x) |∇w|

  2

  Ω

  Ω

  , se x ∈ a

  δ

  , ∞]) 0 ≤ ϕ(x) ≤

  2

  δ

  ([

  −1

  2

  , se x ∈ a

  δ

  ϕ (x) ≥

  ( ¯ Ω) tal que         

  2

  ) ), podemos definir uma função por partes ϕ ∈ C

  2

  2

  −1

  Ω, (2.3-59) Z

  ([0,

  2 , ∀x ∈ ¯

  δ

  ϕ (x) + b(x) ≥

  ]) . Desta definição, temos que supp(ϕ) ⊂ supp(a). Como provado em [4] temos que

  4

  δ

  −1

  δ

  (x) = 0, se x ∈ a

  ]) ϕ

  2

  δ

  ,

  4

  ([

1 G (t) ≤ ˜ G (t) ≤ β

  • Z

2 Z

  • kw t k
  • kw t k
  • kw t k

  g (s) Z

  ds ≤ k

  2

  (s)

  t

  a (x) ∇ζ

  Ω

  Z

  g (s)

  2 Z ∞

  2

  Ω

  kw t k

  dxds = k

  1

  dx

  2

  (s) |

  t

  | ϕ(x)ζ

  2

  t

  2 Z ∞

  = M + β &gt; para concluirmos que

  &gt; dependente de B,

  &gt; , independente de t e B e C

  1

  Lema 2.12. Existe uma constante C

  (t), ∀t ≥ 0.

  

2

G

  (t) ≤ β

  (t) ≤ ˜ G

  β

  2

  g (s) ζ

  = M − β &gt; e β

  1

  &gt; tal que |µφ(t) + ψ(t)| ≤ β G (t). Então, basta tomarmos M tal que β

  (2.3-64) Segue de (2.3-63) e (2.3-64), que existe β

  t

  ζ

  2

  ds = k

  

2

V a

  ∞

  Z

  (s) dxds ≤

  Ω

  µ

  dx =

  2

  t (t)

  w

  Ω

  dx

  2

  w (t)

  µ

  t

  w (t)w t (t) dx ≤

  Ω

  Z

  Demonstração. Pelas desigualdades de Young e Poincaré, segue que µφ (t) = µ

  

2

G (t), ∀t ≥ 0. (2.3-62)

  &gt; tais que β

  2

  , β

  1

  Lema 2.11. Para M suficientemente grande, existem β

  2 kwk

  2

  2

  2

  ϕ (x)w t (t)ζ

  Ω

  Z

  g (s)

  ∞

  Z

  ψ (t) = −

  (2.3-63) Das desigualdades de Hölder e (2.3-60), temos

  2 .

  dx

  

2

  2

  (1 − a(x)k ) |∇w(t)|

  1 Z Ω

  ≤ k

  2

  2

  2

  2

  ≤ k k∇wk

  

2

2 M .

1 G

  tal que Z l

  3

  2

  2

  2 ′

  φ k∇w(t)k + (t) ≤ − G(t) − kw t (t)k + C b (x) |w t (t)| dx

  1

  2

  2

  4

  2

  Ω

  Z ∞

  ′

  2

  2

  − C g (s) kζ(s)k ds + C kw(t)k ,

  1

  (2.3-65)

  V a

  4

  ∞

  &gt; onde l = 1 − k kak , como definido em (2.1-10).

  Segue da definição de φ que Demonstração.

  Z

  2 ′

  φ ww dx.

  (t) = kw + t k tt

  2 Ω

  De (2.3-55), Z Z Z Z

  ∞

  2

  ww tt dx = − (1 − a(x)k )∇w dx − g (s) a ∇ζ∇w dxds

  Ω Ω Ω

  Z Z − b (x)w t w dx − (f (u) − f (v))w dx.

  Ω Ω

  Então, pela definição de G(t), Z Z Z

  ∞

  3

  1

  ′

  2

  2

  φ (t) = −G(t) + kw t k − (1 − a(x)k ) |∇w| dx − g (s) a (x)∇ζ∇w dxds

  2

  2

  2

  Ω Ω

  Z Z Z

  ∞

  1

  2

t

  − b

  (x)ww t (s) (s) (f (u) − f (v)) w dx. (2.3-66)

  • dx g ζ ds −

  V a

  2

  Ω Ω

  Mas, da desigualdade de Young, temos que Z Z Z

  ∞ ∞

  l

  2 2 t

  g a g ζ ds − (s) (x)∇ζ∇w dxds ≤ k∇wk + C l (s) (s) (2.3-67)

  2 V a

  8

  Ω

  e Z Z l

  2

  2

  − b (x)ww t dx ≤ k∇wk + C l kbk b (x) |w t | dx, (2.3-68)

  2 ∞

  8

  Ω Ω

  &gt; para algum C l .

  ) Por outro lado, segue da desigualdade de Hölder, da hipótese (H

  4 , do Lema 2.5 e da

  1

  4

  (Ω) ֒→ L (Ω) imersão H Z Z

  2

  2

  (f (u) − f (v)) w dx ≤ C 1 + |u| + |v| |u − v| |w| dx

  Ω Ω

  Z

  2

  2

  2

  = C 1 + |u| + |v| |w| dx

  Ω

  2

  2

  2

  ≤ C(1 + kuk + kvk ) kwk

  4

  4

  4

  2

  ≤ C kwk , (2.3-69)

  4 para algum C &gt; dependendo de B.

  Z l

  1

  2

  2

  dx ≤ − k∇wk

  E, como − (1 − a(x)k ) | ∇w | , concluímos pelas desigualdades

  2

  2

  2

  Ω

  (2.3-66)-(2.3-69) que Z l

  3

  2

  

2

  2

  2 ′

  φ b dx

  (t) ≤ −G(t) − k∇wk kw t k + C kwk + C l kbk (x) |w t | +

  2

  

2

4 ∞

  4

  2

  Ω

  Z Z

  ∞ ∞

  C l

  2

  1

  ′ t ′

  2

  − g (s) ζ (s) ds − g (s) kζ(s)k ds,

  V V a a

  ǫ 2ǫ

  ′ uma vez que g (s) ≤ −ǫg(s) com ǫ &gt; 0. Portanto, segue o desejado em (2.3-64).

  &gt;

  Lema 2.13. Dado r &gt; 0 existe C 0,r dependendo de r e de B, tal que

  Z k δ

  2

  2

  2 ′

  (t) ≤ −k (x) |w (t)| + r k∇w(t)k + ψ ϕ t dx kw t (t)k

  2

  2

  4

  Ω

  Z Z ∞

  2 2 t ′

  b dx − C g ζ ds, (x) |w (x)| (s) (2.3-70) +

  t 0,r (s) V a Ω onde δ &gt; 0 é definido em (2.1-7).

  Demonstração. Pela definição de ψ, temos que Z Z Z Z

  ∞ ∞ t t ′ ψ g ϕ ζ dxds g ϕ ζ dxds.

  (t) = − (s) (x)w t − (s) (x)w tt (2.3-71)

  t

Ω Ω

  Denotemos Z Z

  ∞ t

  I = − g (s) ϕ (x)w t ζ dxds

  1 t Ω

  e Z Z

  ∞ t

  I = − g (s) ϕ (x)w tt ζ dxds.

  2

Ω t t

  = −ζ + w Da equação (2.3-56), ζ t . Logo,

  t s

  Z Z Z Z

  ∞ ∞ t

  2 I = g (s) ϕ (x)w t ζ dxds − g (s) ϕ (x) |w t | dxds. 1 s

Ω Ω

  Integrando a igualdade acima por partes e aplicando as desigualdades de Hölder, Young e (2.3-60) desigualdade, obtemos que:

  Z Z Z Z

  

∞ ∞

t 2 ′

  I ϕ g dsdx g ϕ dxds = − (x)w t (s)ζ − (s) (x) |w t |

  1 Ω Ω

  Z Z

  ∞ 2 ′ t

  ≤ − g (s) kw t (t)k ϕζ (s) ds − k ϕ (x) |w t | dx

  2

  2 Ω

  Z ∞ Z k δ

  2 2 t 2 ′

  ≤ kw k − D g ζ ds − k ϕ |w | dx.

  t (s) t (2.3-72)

2 V a

  4

  Ω

  Por outro lado, (2.3-55), I pode ser escrita como

2 I

  = I + I + I + I (2.3-73)

  2 2,1 2,2 2,3 2,4

  onde, Z Z

  ∞ t

  I g ϕζ = (s) [f (u) − f (v)] dxds,

  2,1 Ω

  Z Z

  ∞ t

  I = g (s) ϕζ bw t dxds,

  2,2 Ω

  Z Z

  ∞ t

  I g ϕ div

  

2,3 = − (s) (x)ζ [(1 − a(x)k )∇w] dxds

  e Z Z Z

  ∞ ∞ t t

  I g ϕ g = − (s) (x)ζ (τ )div[a∇ζ (τ )]dτ dxds.

  2,4 Ω

  1

  2

  (Ω) ֒→ V (Ω) ֒→ L (Ω) Assumimos na hipótese (H

  1 ) que H a . Na Observação 2.2 da

  hipótese (H ) vimos que

  4

  2

  2

  |f (u) − f (v)| ≤ C(1 + |u|

  • |v| ) |u − v|

  1

6 Disso, do fato de H (Ω) ⊂ L (Ω) , pelas desigualdades Young com r > e (2.3-60) e de

  1

  • | v |
  • kvk
  • kvk

  ) |

  (s) ζ

  t

  2 V a ds.

  (2.3-75) Utilizando as desigualdades (2.3-60) e (2.3-61) temos

  Z

  Ω

  | ∇(ϕζ

  t

  2

  g

  dx ≤ 2 Z

  Ω

  (| ϕ |

  2

  2

  )(| ζ

  t

  |

  ′

  

2

Z ∞

  t

  1

  ∞

  g (s) ϕζ

  t

  2

  b

  1

  2 ∞

  b

  2

  dx − C

  w t

  2

  ds ≤

  Z

  Ω

  b |w

  t

  |

  2

  2

  |

  ds ≤

  t

  a (x) | ∇ζ

  t

  (s) |

  2

  dx

  Z

  Ω

  a (x) | ∇ζ

  (s) |

  Z

  2

  dx = 4

  ζ

  t

  (2.3-76) Integrando por partes I

  2,3

  , aplicando a desigualdade de Young com r

  3

  &gt; e (2.3-76),

  Ω

  )dx ≤ 2

  2

  |

  )dx = 2

  Z

  Ω

  (| ϕ |

  2

  2

  ) | ζ

  t

  2

  2

  dx

  Z

  Ω

  (| ϕ |

  2

  2

  ) | ∇ζ

  t

  |

  Z

  2

  g (s)

  2

  ϕζ

  t

  

2

  kwk

  6 C

  (1 + kuk

  2

  6

  6

  ∞

  ds ≤ k k∇wk

  2

  [C(1 + kuk

  

2

  

6

  2

  6

  )] Z

  g (s)ds

  Z

  1

  t

  (s) ≤ −ǫg(s)

  I

  2,1

  = Z

  ∞

  g (s) Z

  Ω

  ϕζ

  [f (u) − f (v)] dxds, ≤

  )]w dxds ≤ k

  ∞

  Z ∞ g (s) Z

  Ω

  ϕζ

  t

  [C(1+ | u |

  2

  2

  ∞

  ζ

  g

  (ϕζ

  Ω

  ϕζ

  t

  bw t dxds, ≤

  Z

  ∞

  g (s) Z

  Ω

  

t

  ∞

  )

  2

  dx

  1

  2 Z Ω

  (bw t )

  2

  dx

  g (s) Z

  = Z

  t

  ) Z

  2 V a

  ds ≤ r

  1

  2 k∇wk

  2

  2

  − C(r

  1

  ∞

  2,2

  g

  ′

  (s) ζ

  t

  2 V a ds.

  (2.3-74) De g

  ′

  (s) ≤ −ǫg(s) , aplicando as desigualdades de Hölder, Young e (2.3-60), obtemos que

  I

  ′

  • | ∇ϕ |
  • | ∇ζ
  • | ∇ϕ |
  • 2
  • | ∇ϕ |
  • 2

2 V a .

  concluímos que Z Z

  ∞ t

  I = − g (s) ϕ (x)ζ div [(1 − a(x)k )∇w] dxds

  2,3 Ω

  Z ∞ Z

  t

  ≤ g (s) ∇(ϕζ )∇w dxds

  Ω

  Z Z Z Z

  ∞ ∞

  r C

  3 r

  3 t

  2

  2

  ≤ g | ∇w | g

  (s) (s) ) |

  • dxds | ∇(ϕζ dxds

  2

  2

  Ω Ω

  Z Z Z Z

  ∞ ∞

  r C

  r

  3

  3 t

  2

  2

  dxds dx ds ≤ (s) | ∇w | (s) 4 (x) | ∇ζ (s) |

  • g g a

  2

  2

  

Ω Ω

  Z

  ∞

  r

  3

  

2

2 t ′

  ≤ k∇wk − C(r g ζ ds, ) (s)

  (2.3-77)

  3

2 V a

  2

  ′ uma vez que, g (s) ≤ −ǫg(s) .

  Por último, usando a integração por partes a desigualdade de Young e (2.3-76) Z ∞ Z Z ∞

  t t

  I g ϕζ g

  2,4 = − (s) (τ )div[a∇ζ ] dτ dx ds Ω

  Z Z Z

  ∞ ∞ t t

  g g a dx dτ ds = (s) (τ ) ∇ϕζ (x)∇ζ

  Ω

  Z Z Z

  ∞ ∞

  1

  2

  1

  2 t t

  2

  g g a dx dτ ds ≤ (s) (τ ) ∇ϕζ + (s) (x) ∇ζ (τ )

  2

  2

  Ω

  Z Z

  ∞

  5k

  

2

t

  g a dxds. ≤ (s) (x) ∇ζ

  2

  Ω ′

  Pelo que acabamos de ver, juntamente com g (s) ≤ −ǫg(s) , segue que Z

  ∞

  2 t

  I ≤ −C g (s) ζ (s) ds. (2.3-78)

  2,4

4 V

  a

  Portanto, substituindo (2.3-72), (2.3-74), (2.3-75), (2.3-77) e (2.3-78) em (2.3-71) e esco- r r

  1

  3

  1 3 tal que , obtemos

  • , r &lt; r lhendo r

  2

  2 Z k δ

  o

  2

  2

  2 ′

  (t) ≤ −k (x) |w t (t)| + r k∇w(t)k kw t (t)k

  • ψ ϕ dx

  2

  2

  4

  Ω

  Z Z

  ∞

  2

  2 ′ t

  • b (x) |w t (x)| dx − C g (s) ζ (s) ds,

  0,r

  V a

  Ω

  0,r (r 1 )

  2

  3

  4

  &gt; com C = D + C + C + C r + C , o que conclui a prova de (2.3-70).

  &gt;

  Lema 2.14. Existe uma contante C dependendo de B, tal que

  Z t Z

  γs γt

  2

  e (f (u) − f (v))w t dxds ≤ C e sup kw(s)k

  4 0&lt;s&lt;t Ω

  Z t

  γs

  • C (ku t (s)k + kv t (s)k )e G (s)ds, (2.3-79)

  2

  2 onde γ é uma constante positiva.

  Demonstração. Primeiramente, observamos que Z t Z

  γs

  e dxds (f (u) − f (v))w t

  Ω

  Z t Z Z

  1

  d

  1

  γs

  2

  e f = |w(s)| (v(s) + λ(u(s) − v(s))dλ dxds ds

  2

  Ω t

  Z Z

  γs

  1

  e

  2 ′

  = f (v(s) + λ(u(s) − v(s))dλ |w(s)| dx

  2

  Ω

  Z t Z Z

  1

  d

  1

  γs

  2 ′

  e f dxds − (v(s) + λ(u(s) − v(s))dλ |w(s)| 2 ds

  Ω

  I =

  3 + I

  4

  pois Z Z t Z

  1

  d

  1

  ′

  2

  f dsdx (v(s) + λ(u(s) − v(s)))dλ | w(s) | ds

  2

  Ω

  Z t Z Z

  1

  1 d

  γs ′

  2

  = e f (v(s) + λ(u(s) − v(s))dλ |w(s)| dxds ds

  2

  Ω

  Z t Z Z

  

1

  d

  1

  γs

  2 ′

  e f + |w(s)| (v(s) + λ(u(s) − v(s))dλ dxds. 2 ds

  Ω

  2

2 De |f(u) − f(v)| ≤ C(1 + |u| + |v| ) |u − v| (Observação 2.2) aplicando a desigualdade

  1

  4

  de Hölder e do fato de H (Ω) ֒→ L (Ω)

  t

  Z Z

  γs

  1

  e

  2 ′

  I f dx = (v(s) + λ(u(s) − v(s))dλ |w(s)|

  3

  2

  Ω

  Z

  1

  γs

  ≤ e |(f (u) − f (v))| | w(s) | dx sup 2 0&lt;s&lt;t

  Ω

  Z

  1

  γs

  2

  2

  2

  ≤ sup e C (1 + |u| + |v| ) |w(s)| dx

  2

  0&lt;s&lt;t Ω 2 γt

  ≤ e C sup kwk ,

  0,1

  4 0&lt;s&lt;t

  • I
  • λ(u

  γs

  Ω

  Z

  1 C f (1 + |v + λ(u − v)|)(v t + λ(u t − v t ))dλ |w|

  2

  dxds ≤ d

  Z t e

  Z

  γs

  Ω

  (1+ | u | + | v |)(| u t | + | v t |) | w |

  2

  dxds ≤ d

  1 Z t

  e

  γs

  Z

  2 Z t e

  6

  1

  dxds ≤ −

  1

  2 Z t e

  γs

  Z

  Ω

  Z

  f ”(v(s) + λ(u(s) − v(s)))(v

  1

  t

  t

  − v

  t

  ))dλ |w(s)|

  2

  dxds ≤

  (1 + kuk

  6

  ))dλ |w(s)|

  0,3

  0,3

  Z t e

  γs

  (ku t (s)k

  2

  2

  )G(s)ds, para alguma C

  &gt; dependendo de B. Portanto, considerando

  2

  C

  2 ≥ max{C

  0,1

  , C

  

0,2

  , C

  0,3

  ds ≤ C

  2

  )(ku t k

  e

  2

  2

  ) kwk

  2

  6

  ds ≤ d

  2 Z t

  γs

  ) k∇wk

  (ku

  t

  (s)k

  2

  t

  (s)k

  2

  2

  t

  } , temos o desejado em (2.3-79).

  ′

  γe

  γs

  Z

  Ω

  Z

  1

  f

  (v(s) + λ(u(s) − v(s)))dλ|w(s)|

  2 Z

  2

  dxds −

  1

  2 Z

  t

  e

  γs

  t

  1

  Ω

  Ω

  para alguma constante C 0,1 &gt; dependendo de B.

  Agora, note que

  I

  4

  = −

  1

  2 Z t Z

  d ds e

  dxds −

  γs

  Z

  1

  f

  ′

  (v(s) + λ(u(s) − v(s))dλ |w(s)|

  2

  Z

  Z

  − v

  2 Z t e

  Com auxilio da desigualdade de Hölder e da hipótese (H

  4

  ) , obtemos

  I

  4,2

  = −

  1

  γs

  2

  Z

  Ω

  Z

  1

  f ”(v(s) + λ(u(s) − v(s)))(v

  t

  t

  4 .

  kwk

  1

  Com mesmo raciocínio usado em I

  f

  ′′

  (v(s) + λ(u(s) − v(s)))(v t + λ(u t − v t ))dλ |w(s)|

  2

  dxds = I

  4,1

  4,2 .

  3 existe C 0,2 dependente de B tal que

  0&lt;s&lt;t

  I

  4,1

  ≤ C

  0,2

  e

  γt

  sup

  • λ(u
  • kvk
  • kv t k
  • kv
  • kv t (s)k

  

Lema 2.15. Considere B um conjunto limitado que seja positivamente invariante sobre H com

  k δ respeito ao sistema dinâmico definido em (2.3-47). Então, dado q &lt; existe uma constante

  2 K tal que

  0,q

  Z t ku t (s)k ds ≤ qt + K , ∀t ≥ 0,

  0,q (2.3-80)

  2 t

  para qualquer solução (u(t), u t (t), η ) = S(t)z do problema (2.2-15)-(2.2-18), com dado inicial z ∈ B .

  Demonstração. Definamos o funcional J (t) = N E(t) + X (t), onde:

  • E(t) foi definida em (2.2-29);

  Z Z

  ∞ t

  g ϕu

  • X (t) = − (s) t (t)η (s)dxds;

  Ω

  • N é uma constante a ser escolhida.

  Já sabemos por (2.3-49), que

  4 t

  E , η , ∀t ≥ 0.

  (t) ≤ C 1 + k(u, u t )k

  H

  E, pela desigualdade de Hölder Z Z

  ∞ t

  X (t) = − g ϕu (s) t (t)η (s)dxds

  

  Z

  ∞ t

  g ϕη ds ≤ (s) ku t (t)k (s)

  2

  2 Z Z ∞ 2 t

  ≤ ku t (t)k g (s) a (x) ∇η dx ds

  2 Ω 2

t

  ≤ u (s), u t (s), η (s)

  H t

  Logo, como ku(s), u t (s), η (s)k é limitado em B, vem que

  H

  | J(t) |≤ C , ∀t ≥ 0,

  0,N (2.3-81)

  0,N

  &gt; para alguma constante C .

  &gt; Dado q &gt; 0 existe uma constante C 0,q tal que

  Z Z Z

  ∞

  2

  2 2 t ′ 3 ′

  • X (t) ≤ −k ϕ |u t | dx b |u t | dx + q − C g (s) η (s) ds. (2.3-82)

  0,q

  V a

  Ω Ω

  De fato, pela definição de X , Z Z Z Z

  ∞ ∞ ′ t t

  X (t) = − g (s) ϕu t η dxds − g (s) ϕu tt η dxds

  t Ω Ω ′ ′ .

  = I + I

  1

  2 De (2.2-15) e (2.2-16), temos t t

  η = η + u t ,

  t s

  Z

  ∞ t

  u g

tt = div[(1 − a(x)k )∇u] + (s)div[a(x)∇η (s)] ds − b(x)u t − f (u) + h.

  ′ ′ ′ ′ ′

  = I + I + I + I Análogo à (2.3-73), consideremos I . Com o mesmo raciocínio

  2 2,1 2,2 2,3 2,4

  utilizado no Lema 2.13, pode-se mostrar que Z Z

  ∞

  q

  1

  2 t ′ ′

  2 I ≤ − C g η ds − k ϕ | u | dx 0,q 1 (s) (s) t ;

1 V a

  3

  Ω

  Z Z

  

  2 t ′ 2 ′

  I b dx g η ds ≤ | u t | − C (s) (s) ;

  2 2,2 V a Ω

  Z

  ∞

  q

  2

  3 ′ ′ t

  I ≤ − C g (s) η (s) ds ;

  0,q

  3 2,3

  V a

  3 e Z

  ∞

  

2

t ′ ′ I ≤ −C g η ds.

  4 (s) (s) 2,4

V a

  Agora vamos estimar I . Aplicando a desigualdade de Hölder e do fato de ϕ ser

  2,1

  contínua com domínio compacto, obtemos Z ∞ Z

  t ′

  I g ϕη = (s) [−f (u) + h]dxds

  2,1 Ω

  1 Z ∞ Z

  2 t

  2 ≤ g ϕη dx ds.

  (s) (f (u) − h)

  

2

  Por outro lado, pela desigualdade de Minkowski

  1

  1 Z Z

  2

  2

  2

  2

  dx ≤ f dx (f (u) − h) (u) + khk

  2 Ω Ω e

  1

  1 Z Z

  2

  2

  2

  2

  f (u) dx = |f (u) − f (0)| dx

  Ω Ω

  1 Z

  2

  2

  2

  ≤ dx (C[1 + |u| ]|u|)

  Ω

  3 .

  ≤ k kuk

  6

  3 Como kϕk (1 + kuk) é uniformemente limitado com respeito a t, pois B é invariante, ∞

  6

  concluímos que Z

  3 ∞

  q

  2 t ′ 4 ′ I g η ds.

  ≤ − C (s) (s)

  0,q

  4 2,4 V a

  3

  • 1, 2C } Consideremos N = max{k 0,q . De (2.3-82), (2.3-59) e (2.2-32) temos

  ′ ′ ′

  J (t) = N E (t) + X (t) Z

  2

  3

  ≤ −k dx (b(x) + ϕ) |u t (t)| + q

  Ω

  2

  3

  ≤ −q ku k + q

  t

  2

  k δ onde q &lt; . Mas, segue da desigualdade de Young que 2 q

  1

  2 ku k ≤ ku k .

  • t t

  2

  2

  2 2q Com isso,

  ′

  

2

  3 J ku k .

  (t) ≤ −2q t + 2q

  2 Portanto, integrando ambos os lados da desigualdade acima sobre (0, t) e usando

  (2.3-81), obtemos Z t

  2

  3 J (t) − J(0) ≤ −2q ku t (s)k ds + 2q t, (2.3-83)

  2

  ou seja, Z t ku t (s)k ds ≤ qt + K ∀t ≥ 0,

  0,q

  2 C

  0,N onde K = . 0,q

  2

  q

  

Lema 2.16. Dado um conjunto limitado B ⊂ H, suponha que as hipóteses (H ) − (H ) são

  1

  4 t t

  2

  1

  2

  (Ω) = (u(t), u (t), η ) = (v(t), v (t), ξ ) satisfeitas e que h ∈ L . Sejam S(t)z t e S(t)z t duas

  1

  2 soluções fracas do problema (2.2-15)-(2.2-18) com dados iniciais z , z ∈ B , respectivamente.

  , C Então existem constantes positivas θ, b B , dependentes de B porém, não de t, tais que

  2

  2

  1 2 −θt

  1

  2 S (t)z − S(t)z ≤ b e z − z

H H

θt

  2

  e ,

  • C B sup ku(s) − v(s)k ∀t ≥ 0. (2.3-84)

  4 0&lt;s&lt;t

  Demonstração. Fixemos µ ∈ (0, 1) e ν &gt; 0 tais que k δ µl µ .

  ≤ e ν &lt;

  6

  4

  νl

  Pelos Lemas 2.12 e 2.13 com r &lt; , temos:

  4

  l

  3

  

2

  2 ′ ′

  µφ (t) + ψ (t) = −µG(t) − µ k∇w(t)k + µ kw t (t)k

  

2

  2

  4

  2 Z Z

  ∞

  2 2 t 2 ′

  b dx − µC g ζ ds kw(t)k

  • µC

  1 (x) |w t (t)| 1 (s) (s) + µC

  4 V a Ω

  Z k δ

  2

  2

  2

  dx −k (x) |w t (t)| + r k∇w(t)k kw t (t)k

  • ϕ

  2

  2

  4

  Ω

  Z Z

  ∞

  2 2 t ′

  • b (x) |w t (x)| dx − C g (s) ζ (s) ds

  0,r

  V a

  Ω

  Z k δ

  2

  2

  ≤ −µG(t) + kw t k − k ϕ (x)|w t | dx

  2

  2

  Ω

  Z Z

  ∞

  2 t 2 ′

  b | dx − (C g ζ ds

  • (C

  1 + 1) (x)|w t 1 + C ν ) (s) (s) V a Ω

  2 +C kwk .

  (2.3-85)

4 G

  Em ˜ (t) = M G(t) + µφ(t) + ψ(t) , escolhemos M &gt; 0 tal que M ≥ max{β , C + 1 + k , 2(C + C ν )} .

  1

  1 Além disso, de (2.3-58) temos

  Z Z Z

  ∞

  1

  2 ′ 2 ′ t + G (t) = − b (x)|w t | dx g (s) + ζ (s) ds (f (v) − f (u))w t dx.

  V a

  2

  Ω Ω Disso e de (2.3-85) obtemos

  ′ ′ ′ ′

  ˜ G (t) = M G (t) + µφ (t) + ψ (t)

  Z Z Z

  ∞

  1

  2 t 2 ′

  ≤ M − b | dx g ζ ds dx (x)|w t (s) (s) (f (v) − f (u))w + t +

  V a

  2

  Ω Ω

  Z Z k δ

  2

  2

  2

  −µG(t) + kw k − k ϕ (x)|w | dx + (C + 1) b (x)|w | dx

  t t 1 t

  2

  2

  Ω Ω

  Z

  ∞

  2 t 2 ′

  g ζ ds −(C + C ν ) (s) (s) + C kwk

  1

  4 V a

  Z k δ

  2

  2

  dx ≤ −µG(t) − k + (ϕ(x) + b(x)) |w t | kw t k

  2

  2

  Ω

  Z

  2 dx.

  • C kw(t)k + M (f (v) − f (u))w t

  4 Ω

  δ

  E, por ϕ(x) + b(x) ≥ &gt; 0, ∀x ∈ ¯ Ω ,

  2

  ′

  ˜ G (t) ≤ −µG(t) + Z(t), ∀t ≥ 0,

  &gt; onde, para algum C , Z

2 Z (t) = C kw(t)k + M (f (v) − f (u))w t dx.

  (2.3-86)

  4

  Combinando isto com o Lema 2.11, obtemos µ

  ′

  ˜ ˜ G G (t) ≤ − (t) + Z(t), ∀t ≥ 0.

  β

  2

  µ

  γt

  Consideremos γ = . Multiplicando a desigualdade acima por e e integrando, ob- β

  2

  temos Z t

  −γt −γ(t−s)

  ˜ G G e Z

  • (t) ≤ ˜ (0)e (s)ds, ∀t ≥ 0. (2.3-87)

  Novamente pelo Lema 2.11, juntamente com (2.3-86) Z t Z

  2 γs −γt −γt

  β G G kw(s)k e dxds.

  1 (t) ≤ β 2 (0)e + C sup + M e (f (v) − f (u))w t

  4 0&lt;s&lt;t Ω ′

  &gt; Agora do Lema 2.14, para algum C

  Z t

  2 γt γt ′ γs ′ ′

  e G (t) ≤ C G (0) + C e sup kw(s)k + C e G (s)(ku t (s)k + kv t (s)k )ds,

  4

  2

  2 0&lt;s&lt;t γt

  G e aplicando a Proposição 1.39 para e (t)

  Z t

  γt γt

  

2

′ ′

  e G G kw(s)k exp C .

  (t) ≤ C (0) + e sup (ku t (s)k + kv t (s)k )ds

  

4

  2

  2 0&lt;s&lt;t

  Por outro lado, podemos escolher µ pequeno no Lema 2.15, tal que Z t

  γt

  ′

  C (ku t (s)k + kv t (s)k )ds ≤ + C k ,

  2

  2

  2 donde, finalmente obtemos:

  γ γ

  2 C − t C t ′ k ′ k

  2

  (t) ≤ (C )e (0) + (C )e sup kw(s)k

  2 G e G e .

  4 0&lt;s&lt;t

  2

  2

  1

  2

  1

  2 Portanto, como l kS(t)z − S(t)z k ≤ 2G(t) ≤ kS(t)z − S(t)z k , concluímos H H

  2

  2G(t)

  1

2 S

  (t)z − S(t)z ≤

  H

  l

  2 θt 2 −θt

  1

  2

  e z e , ≤ b − z + C B sup ku(s) − v(s)k

  4 H 0&lt;s&lt;t k k ′ ′

  γ C e e

  2C , b onde θ = = e C B = , provando o desejado

  2 l l

  2 Teorema 2.17. Suponha que as hipóteses (H 1 ) − (H 4 ) são satisfeitas e que h ∈ L (Ω) . Então,

  o sistema dinâmico (H, S(t)) gerado pelo problema (2.2-15)-(2.2-18) é gradiente e possui um

  u

  atrator global A, com dimensão fractal finita, o qual é dado pela variedade instável M (N ) do conjunto das soluções estacionárias N de (2.2-15)-(2.2-18).

  Demonstração. O Lema 2.16 juntamente com a desigualdade (2.2-34), já provada no Teorema 2.6, mostram que o sistema dinâmico (H, S(t)) gerado pela sistema (2.2-15)-

  1

  2

  (2.2-18) é quase estável onde X = H (Ω) , Y = L (Ω) , Z = M e com n

  X = k.k como

  4

  1

  4

  3 seminorma compacta em X, pois a imersão H (Ω) ֒→ L (Ω) é compacta para Ω ⊂ R .

  Pelo Teorema 1.95, temos que (H, S(t)) é assintoticamente suave. Agora, como provado nos Lemas 2.9 e 2.10 o sistema dinâmico (H, S(t)) é gradiente e o conjunto N de pontos estacionários de (H, S(t)) é limitado então, segue do Teorema 1.93 que este sistema

  u

  possui um atrator global A caracterizado por M (N ) , onde N é o conjunto de pontos

  u

  fixos de S(t). Novamente pelo Teorema 1.95, a dimensão fractal de A = M (N ) é finita, finalizando a prova deste resultado.

  

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

  [1] ADAMS, R. A. Sobolev Spaces. Pure and Applied Mathematics. , Academic Press, INC., 1975.

  [2] BREZIS, H.,Functional Analysis, Sobolrv Spaces and Partial Differential eqati- ons. Springer, New York, 2011.

  [3] CAVALCANTI, M. M., AND CAVALCANTI, V. N. D.Introdução a Teoria das Dis- tribuições e aos Espaços de Sobolev. Eduem, Maringá, PR, 2009.

  [4] CAVALCANTI, M. M., CAVALCANTI, V. N. D., LASIECKA, I. AND NASCI- MENTO, F. A. F. Intrinsic decay rate estimates for the wave equation with com- peting viscoelastic and frictional dissipative effects. Discrete Contin. Dyns. Syst.

  Ser. B 19, 2014 (1987-2011). [5] CAVALCANTI, M. M., CAVALCANTI, V. N. D., AND KOMORNIK, V. Introdu- ção a Análise Funcional. Eduem, Maringá, PR, 2011.

  [6] CAVALCANTI, M. M., FATORI, L. H. AND MA, T. F. Attractors for wave equati- ons with degenerate memory. J. Differential Equations, 2016, 56-83.

  [7] CHEUESHOV, I. AND LASIECKA, I. Von Karman Evolution Equations. Sprin- ger Monogr. Math., Springer, New York, 2010.

  [8] EVANS, L. Partial Differential Equations. Graduate studies in mathematics.

  American Mathematical Society, 1998.

  [9] GRASSELLI, M. PATA, V. Uniform attractors of nonautonomous dynamical sys-

  tems with memory. Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 50 (2002) 155- 178.

  [10] GIORGI, C. MUÑOZ, J.E. AND PATA V. Global attractors for a semilinear hy-

perbolic equation in viscoelasticity. J. Math. Anal. Appl. 260 (2001) 83–99.

  [11] GIORGI, C., NASO, M.G. AND PATA V. Exponential stability in linear heat

  conduction with memory: a semigroup approach. Commun. Appl. Anal. 5 (2001) 121–133.

  [12] GIORGI, C. PATA, V. AND MARZOCCHI, A. Asymptotic behavior of a semili-

  near problem in heat conduction with memory. NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 5 (1998) 333–354.

  [13] KREYSZIG, E. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley Clas- sics Library. Wiley, 1989.

  [14] MEDEIROS, L. A., MIRANDA, M. M. Espaços de Sobolev (Iniciação aos Proble- mas Elíticos Não Homogêneos). IM-UFRJ, Rio de Janeiro, 2000.

  [15] PAZY, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differen- tial Equations. Applied Mathematical Sciences. Springer New York, 1992.

  [16] PLINIO, F. DI. PATA, V. AND ZELIK, S. On the strongly damped wave equation with memory. Indiana Univ. Math. J. 57 (2008) 757–780.

  [17] RIVERA, J. Teoria das distribuições e equações diferenciais parciais. UFRJ, Rio de Janeiro, 2004.

  [18] WHEEDEN, R. L., AND ZYGMUND, A. Measure and Integral: An Introduction

  to Real Analysis. Pure and Applied Mathematics. Chapman and Hall/CRC; 2 edition, 2015.

Novo documento

Tags

Documento similar

SOBRE A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA EQUAÇÕES
0
3
57
OS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA E A IMPOSSIBILIDADE DE SOLUÇÃO COM RÉGUA E COMPASSO
0
2
49
UM CASTELO PARA A MEMÓRIA
0
0
37
PROPOSTA E VALIDAÇÃO DE SOLUÇÃO DE COMPUTAÇÃO EM NUVEM PARA REDES COM DISPOSITIVOS NACIONAIS
0
0
86
EQUAÇÃO MESTRA MICROSCÓPICA PARA O MODELO DE RABI
0
1
71
GERAÇÃO DE COLUNAS PARA O PROBLEMA DE ROTEAMENTO E ATRIBUIÇÃO DE COMPRIMENTOS DE ONDA
0
0
12
ANÁLISE DE UM MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS COM INTERFACE ESTABILIZADA PARA A EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO - REAÇÃO
0
0
80
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS E MAPAS CONCEITUAIS: UM ESTUDO DE
0
1
78
MODELO TÉRMICO PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS INVERSOS EM TRANSFERÊNCIA DE CALOR COM APLICAÇÃO EM UM PROCESSO DE USINAGEM POR TORNEAMENTO
0
0
153
SOLUÇÃO HÍBRIDA DA EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO-DISPERSÃO EM MEIOS POROSOS
0
1
87
O PAPEL DAS INTERAÇÕES PROFESSOR-ALUNO NA CONSTRUÇÃO DA SOLUÇÃO LÓGICO-ARITMÉTICA OTIMIZADA DE UM JOGO COM REGRAS
0
1
151
PRODUÇÃO E CARACTERIZAÇÃO DE AMOSTRAS VÍTREAS DE GERMANATO DOPADAS COM ÍONS DE ÉRBIO, ITÉRBIO E NANOPARTÍCULAS METÁLICAS PARA PRODUÇÃO DE GUIAS DE ONDA
0
0
53
Beatriz Wilges UM MODELO PARA ORGANIZAÇÃO DE DOCUMENTOS NO CONTEXTO DA MEMÓRIA ORGANIZACIONAL
0
0
125
PROBLEMAS PARABÓLICOS QUASI-LINEARES E EXISTÊNCIA DE ATRATOR Luiz Mateus Santana Santos
0
0
91
MODELAGEM E ANÁLISE DE UM DISPOSITIVO MITIGADOR DE FLECHA PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA BASEADO EM LIGAS COM MEMÓRIA DE FORMA
0
0
126
Show more