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Universidade Federal da Bahia

  Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  Ergodic Closing Lemma Tiago Estrela de Oliveira

  Salvador-Bahia Dezembro 2008 Ergodic Closing Lemma Tiago Estrela de Oliveira

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao cole- giado do curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica.

  Banca examinadora: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro J´ unior (Orientador).

  Prof. Dr.

  Prof. Dr. Tiago Estrela Oliveira “Ergodic Closing Lemma ”/ Salvador-BA, 2008.

  Orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro J´ unior (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´ os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFBA, 46 p´aginas.

  Palavras-Chave: .

  Este trabalho ´e dedicado com todo carinho a minha m˜ ae, irm˜a, fa- miliares e amigos.

  “S´o existem dois dias no ano que nada pode ser feito. Um se chama ontem e o outro se chama amanh˜ a, portanto hoje ´e o dia certo para amar, acreditar, fazer e principalmente viver..”

  Dalai Lama Agradecimentos

  Resumo

  Neste trabalho caracterizaremos M(f ), que ´e o conjuntos das probabilidades f - invariantes. O estudo desenvolvido foi baseado no artigo de R. Ma˜ n´e intitulado An Ergodic Closing Lemma, publicado na revista Annals of Mathematics em 1982.

  Seja Dif f (M) o espa¸co dos difeomorfsmos sobre a variedade M com a topologia

1 C . Ent˜ao existe um conjunto residual R ∈ M(f ) tal que para toda f ∈ R vale que M(f )

  ´e igual ao fecho convexo das probabilidades invariantes suportadas em ´ orbitas peri´odicas, como poderemos ver no cap´ıtulo final da disserta¸c˜ao.

  Sum´ ario

  Agradecimentos i

  Resumo ii

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Vers˜ ao Forte do Closing Lemma

  3

  2 Teorema A

  13

  3 Vers˜ ao Residual do Ergodic Closing Lemma

  23

  4 Apˆ endices 28 4.1 Apˆendice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  28 4.2 Apˆendice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  31 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  32 Introdu¸ c˜ ao

  Um t´opico cl´assico na teoria Sistemas Dinˆ amicos que tem destacado interesse ´e a cria¸c˜ao de ´orbitas atrav´es de perturba¸c˜ao como feito no closing lemma de Pugh. Al´em de melhorar esse resultado geom´etrico tamb´em obteremos um resultado do ponto de vista estat´ıstico.

  Vamos definir alguns objetos importantes para a compreens˜ ao global do problema.Por todo nosso trabalho M ser´a uma variedade compacta sem bordo e Dif f (f ) o espa¸co dos

  1

  1 difeomorfismos de classe C munido da topologia C .

  Definic ¸˜ ao

  0.1. Sejam x ∈ M e f ∈ Dif f (f ). Dizemos que x ´e ponto peri´ odico de f se m existe m ∈ Z tal que f (x) = x Definic ¸˜ ao

  0.2. Sejam x ∈ M e f ∈ Dif f (f ). Dizemos que x ´e recorrente se n lim inf d(f (x), x) = 0 n

  →+∞

  Definic ¸˜ ao

  0.3. Sejam x ∈ M e f ∈ Dif f (f ). Dizemos que x ´e um ponto n˜ ao-errante de f se para toda vizinhan¸ca U de x existe n "= 0 tal que n ! f (U) U "= ∅. Definic ¸˜ ao

  0.4. Sejam f, g ∈ Dif f (M). Dizemos que g ´e g-pr´oxima de f se g ∈ U, onde U ´e uma vizinhan¸ca de f em Dif f (M)

  Definic ¸˜ ao

  0.5. Sejam y, z ∈ M e f, g ∈ Dif f (f ). Dizemos que y ´e !-sombreado por um ponto z m-peri´ odico para g-pr´oxima se i i d(f (y), g (z)) < ! para i ∈ {1, . . . , m}.

  A primeira parte do nosso trabalho ser´ a melhor´a o trabalho de Pugh, [Pugh1], mostraremos fortalecimento da Closing Lemma desenvolvido por Pugh, isto ´e, provaremos m (x)

  que todo ponto n˜ao-errante x ∈ M tem um iterado f (x) = y tal que y ∈ M ´e sombreado por z ∈ M, onde z ´e um ponto peri´odico para g-pr´oxima de f . Formalmente falando: Proposi¸ c˜ ao 0.6. Dada f ∈ Dif f (M), p ∈ M, ! > 0 e uma vizinhan¸ca U de f, existe r > 0, m ρ > 1 tal que se x ∈ B r com 0 < r ≤ 0 e f (x) ∈ B r (p) para algum m > 0 ent˜ ao existe 0 ≤

  (p) m m m m m 1 2 2 1 2 2 −m

  m < m ≤ m e g ∈ U tal que f (x) ∈ B ρr (p),f (x) ∈ B ρr (p), g (f (x)) = f (x),

  1

  2 i m 2 j m 1

  ∈ B − m g(w) = f (w) para w / " (f, p) e d(g (f (x)), f (f (x))) ≤ ! para 0 ≤ j ≤ m

  2 n 1 .

  Definic ¸˜ ao

  0.7. Denotamos por B " (f, x) conjunto dos pontos y ∈ M tal que d(f (x), y) ≤ ! para algum n ∈ Z "

  Definic ¸˜ ao

  0.8. Denotamos por (U, !) o conjunto dos pontos x ∈ M tal que existe g ∈ U,

  • y ∈ M e z ∈ Z tal que y ´e um ponto m-peri´ odico para g, g = f sobre M − B " (f, x) e j j d(f (x), g (y)) ≤ ! para todo 0 ≤ j ≤ m

  " Definic ¸˜ ao

  0.9. Denotamos por (f ) o conjunto dos pontos x ∈ M tal que para toda vizinhan¸ca U de f e todo ! > 0 existe g ∈ U e y ∈ M tal que y ´e um ponto m-peri´ odico para j j

  g, g = f sobre M − B " (f, x) e d(f (x), g (y)) ≤ ! para todo 0 ≤ j ≤ m Definic ¸˜ ao

  0.10. Uma medida de probabilidade µ ´e erg´ odica se para qualquer A ⊂ M temos c µ(A) = 0 ou µ(A ) = 0 .

  Perceba que o resultado acima ´e geom´etrico e uma quest˜ ao natural seria tirar in- forma¸c˜oes estat´ısticas sobre o conjunto dos pontos que satisfaz a proposi¸c˜ao acima.Isto ser´a o tema central do segundo cap´ıtulo, ou seja, Proposi¸ c˜ ao 0.11. Para toda f ∈ Dif f (M), toda vizinhan¸ca U de f e todo ! > 0 temos

  " µ( (U, !)) = 1 para toda medida erg´ odica µ ∈ M(f ). Definic ¸˜ ao

  0.12. Seja X um esta¸co topol´ ogico. Dizemos que R ⊂ X ´e um conjunto residual de X se ele puder ser escrito como interse¸c˜ao enumer´ avel de abertos densos em X.

  Finalmente no terceiro cap´ıtulo usaremos o resultado acima para provar Teorema 0.13. Sejam M(f ) o espa¸co das probabilidades f-invariantes e Dif f (M) o espa¸co

  1

  dos difeomorfsmos sobre a variedade M com a topologia C . Ent˜ ao existe um conjunto residual R ∈ M(f ) tal que para toda f ∈ R vale que M(f ) ´e igual ao fecho convexo das probabilidades invariantes suportadas em ´orbitas peri´ odicas.

  Cap´ıtulo 1 Vers˜ ao Forte do Closing Lemma

  Mostraremos nesse cap´ıtulo o fortalecimento da Closing Lemma desenvolvido por m (x) Pugh, isto ´e, provaremos que todo ponto n˜ ao-errante x ∈ M tem um iterado f (x) = y tal que y ∈ M ´e sombreado por z ∈ M, onde z ´e um ponto peri´odico para g-pr´oxima de f .Formalmente falando: ao Forte Proposi¸ c˜ ao 1.1. Vers˜

  Dada f ∈ Dif f (M), p ∈ M, ! > 0 e uma vizinhan¸ca U de f, existe r > 0, ρ > 1 m tal que se x ∈ B r com 0 < r ≤ 0 e f (x) ∈ B r (p) para algum m > 0 ent˜ ao existe 0 ≤

  (p) m m m m m 1 2 2 1 2 2 −m

  m < m ≤ m e g ∈ U tal que f (x) ∈ B ρr (p),f (x) ∈ B ρr (p), g (f (x)) = f (x),

  1

  2 i m j m 2 1 g(w) = f (w) para w / ∈ B (f, p) e d(g (f (x)), f (f (x))) ≤ ! para 0 ≤ j ≤ m − m . "

  2

  1 Para provar a proposi¸c˜ao acima precisaremos de dois lemas:

  Lema 1.2. Sejam f ∈ Dif f (M) e p ∈ M. Suponha que exista uma vizinhan¸ca compacta de p que ´e identificada pela aplica¸c˜ao exponencial com a bola B R = {x ∈ T p M; ' x '≤ # #

  R}.Ent˜ ao existe uma decomposi¸c˜ao T p M = E ... E l tal que dada uma vizinhan¸ca U de

  

1

  f e constante C > 1, 2 > δ > 1 existe N > 0, 0 < r < r < R com r arbitrariamente

  1

  pequeno e λ , i = 1, ..., l, satisfazendo as seguintes propriedades: i

  I Se π i : T p M → E i , i = 1, ..., l denota a proje¸c˜ao associada com a decomposi¸c˜ao T p M = # #

  ' π } ⊂ B E ... E l ent˜ ao {x; sup λ i i (x − u) '≤ 2r r se ' u '≤ r .

  1 i

  1

  1 II Se ' y '≤ r , ' z '≤ r e 1 ≤ µ i ≤ C, i = 1, ..., l ent˜ao existe g ∈ U tal que N N

  1

  1

  • g (y) = f (z)

  $ N

  −1 i

  • g(w) = f (w) quando w / ∈ j

  f ( % B δr (q))

  =0

  −1 −1

  onde q = 2 (y + z), r = 2 ' y − z ', % B δr (q) = {x; sup µ i λ i ' π i (x − q) '≤ δr} i A demonstra¸c˜ao desse lema est´a feita no artigo C. Pugh, The Closing Lemma,Amer.

  J.Math.,89,(1967),956-1009. Por´em tiraremos algumas consequˆencias pertinentes ao nosso prop´osito.

  • Suponha ! > 0 dado pela proposi¸c˜ao 1.1 ent˜ao pela continuidade de f podemos escolher i r tal que sup diamf (B r ) ≤ !

  0≤j≤N

  • % B δr (q) ⊂ B r

  Seja x ∈ % B δr (q) ent˜ao sup µ i λ i ' π i (x − q) '≤ δr mas como cada µ i ≥ 1 temos que i µ i λ i ' π i (x − q) '≥ λ i ' π i (x − q) ' para todo i ∈ {1, ..., l} logo λ i ' π i (x − q) '≤ δr mas como r < r e 2 > δ > 1 obtemos assim δr < 2r . Portanto sup λ i ' π i (x − q) '≤ 2r logo

  1 1 i

  1 pela propriedade I do lema obtemos que x ∈ B r .

  • g(w) = f (w) para w / ∈ B " (f, p). n

  Se w / ∈ B " (f, p) ent˜ao pela defini¸c˜ao desse conjunto temos que d(f (p), w) > ! ∀n ∈ j j N

  .Em particular, d(f (p), w) > !, ∀j ∈ {0, 1, ..., N −1} logo como sup diamf (B r ) ≤ ! j

  0≤j≤N j

  obtemos que w / ∈ f (B r ) ∀j ∈ {0, 1, ..., N − 1} mas % B δr (q) ⊂ B r logo w / ∈ f ( % B δr (q)) $ N

  −1 i

  ∀j ∈ {0, 1, ..., N − 1}. Consequentemente, w / ∈ f ( % B δr (q)) logo por II temos que j =0 f(w)=g(w).

  • Se p n˜ao ´e f -peri´odico podemos escolher pela continuidade e compacidade da variedade j j
  • 1 & 2 M r t˜ao pequeno que f (B r ) f (B r ) = ∅ para todo 0 ≤ j ≤ j ≤ N.

      1 m i

      2

      ∈ % Sejam y, z ∈ % B δr (q). Suponha que para algum m temos y = f (z) e f (z) / B δr (q) para todo 0 < j < m.Ou seja, os iterados de z saindo de % B δr (q) e s´o retornam no m-´esimo m iterado quando y = f (z).Ent˜ao podemos inferir o seguinte:

    • m ≥ N & m m

      Se m < N ent˜ao B r f (B r ) ⊃ {y = f (z)} com m < N contrariando a escolha j j 1 & 2 de r de modo que f (B r ) f (B r ) = ∅ para todo 0 ≤ j ≤ j ≤ N. m

      1

      2

    • g (y) = y

      N N

      Seja m > N pois g (y) = f (y) = y ent˜ao m = kN +r com 0 ≤ r < N e k ∈ Z.Com isso temos m kN r kN r kN

    • r g (y) = g (y) = g (g (y)) = (II) g (f (z)).

      Mas N

      

    −1

    kN i ' f (z) / ∈ f ( % B δr (q)). j

    =0

      De fato, se N

      

    −1

    kN j ' f (z) ∈ f ( % B (q)) j =0 δr ent˜ao existe j ∈ {0, 1, ..., N − 1} tal que kN j f (z) ∈ f ( % B δr (q))

      logo kN

      −j

      f (z) ∈ % B δr (q) com kN − j variando entre kN e (k − 1)N + 1 mas isso contraria a hip´ otese de que i ∈ % f (z) / B δr (q) para todo 0 < j < m.Consequentemente, N

      

    −1

    kN i ' f (z) / ∈ f ( % B δr (q)) j

    =0

      implicando por (II) que kN kN kN

    • 1

      g(f (z)) = f (f (z)) = f (z) logo r kN r kN r kN

    • 1 −1 −1 g (f (z)) = g (g(f (z))) = g (f (z)).

      Procedendo da mesma forma anterior obtemos que kN kN

    • 1 +2

      g(f (z)) = f (z) logo r kN r kN r kN

    • 1 +1 +2 −1 −2 −2

      g (f (z)) = g (g(f (z))) = g (f (z))) Repetindo o processo temos r kN kN m

    • 2 +r −2
    • m g (f (z))) = ... = f (z) = f (z) = y.

        Logo g (y) = y i i

      • d(g (y), f (z)) ≤ !

        O item acima est´ a ´e provado no trabalho do Pugh na hora em quele constroi a perturba¸c˜ao com essa propriedade. Agora vamos enunciar e provar o segundo lema.

      • Lema 1.3. Dado l ∈ Z existem C = C(l) > 1, A = A(l) > 1 e 2 > δ = δ(l) > 1

        # # tal que se E = E ... E l ´e um espa¸co vetorial e |.| i uma norma em E i proveniente

        1

        do produto interno ent˜ ao para qualquer conjunto x , ..., x n de pontos distintos de E existem ≤ n e 1 ≤ µ ≤ C com i = 1, ..., m tal que definindo ' . ' 0 ≤ j < j i em E por

        1

        2

        1

        ' v ' = sup µ i |π i (v)| i , onde π i : E → E i s˜ ao as proje¸c˜oes associadas com as decomposi¸c˜oes

        1 i

        de E i , satisfazendo as seguintes propriedades:

      • ' x j − x ' ≤ A ' x n − x ' , i = 1, 2 i

        1

        1 −1 −1 • ' x j − p ' > 2 δ ' x j − x j ' , j < j < j , onde p = 2 (x j + x j ).

        1 1 2

        1

        1

        2 1 2 Prova 1. Para provar esse lema necessitaremos de algumas afirma¸c˜oes.

        √

        5

        2

        2 −1

        − 1) Afirma¸ c˜ ao 1.1. Se 1 < δ < , C > 1 e 1 < δ < δ tal que C > 4m(δ e

        2 1 1

        " l " l

        2

        2

        2

        2 −2 2 2

        2δ < δ + 1 ent˜ ao δ( max{β , C }) ≤ δ ( β ) para todo 0 ≤ β i ≤ 1, i = 1, ..., l, i i i i

        =1 =1 com β = 1.

      1 Prova 2. Vamos provar essa afirma¸c˜ao por indu¸c˜ao em l. Pois veja que essa desigualdade

        depende da quantidade de subespa¸cos que vamos decompor T p M. Seja m = 1. Temos que β

        1 = 1 logo 1 1 1

        2 2 −2 −2 2 2 2 δ(max{β , C }) = δ(max{1, C }) = δ ≤ δ = δ (β ) . i

        1 Suponha por hip´ otese de indu¸c˜ao que m m −1 −1 1 1

        ( (

        2

        2

      −2

      2 2

        }) ≤ δ δ( max{β , C ( β ) . i i i i

        =1 =1

        Para completar a provar da afirma¸c˜ao provaremos que m m ( (

        2

        2

        2

        2

      −2

        δ ( max{β , C }) ≤ δ ( β ). i i i i

        

      =1 =1

        De fato, m m

        −1

        ( (

        2

        2

        2

        2

        2

        2 −2 −2 −2

        }) ≤ δ }) + δ }) δ ( max{β , C ( max{β , C (max{β , C i =1 i =1 i i m m

        −1

        (

        2

        2

        

      2

        2 −2

        ≤ δ ( β ) + δ (max{β , C }), i i m

        =1

        usamos a hip´otese de indu¸c˜ao na segunda desigualdade. Agora se

        2

        2 −2

      • max{β , C } = β ent˜ ao
      • m m " m " m

          −1

          2

          2

          2

          2

          2

          2 −2 −2

          δ ( max{β , C }) ≤ δ ( β ) + δ (max{β , C }) i =1 i =1 i i m " m " m " m

          2 −1

          2

          2

          2 2 −1

          2

          2

          2

          2

          2

          ≤ δ ≤ δ ( β ) + δ β ( β ) + δ β = δ ( β ) i i m i i m i i

          =1 =1 =1

          2 −2 −2

        • max{β } = C m

          , C ent˜ ao " m " m " m

          2

          2 2 −1

          2

          2

          2 2 −1

          2

          2 −2 −2 −2

          δ ( max{β , C }) ≤ δ ( β ) + δ (max{β , C }) ≤ δ ( β ) + δ C . i i i i m i i

          =1 =1 =1

          2

          2

          2 −2 −2

          Resta mostrar que δ C ≤ δ β .Mas isso segue direto do fato que β ≤ C pois δ 2 m m

          2

          2 −2

          ≤ δ ↔ 2 ≤ 1 δ C β m δ

          ! 1 1 " 2

          2 2 Defina A = 4Cm . Seja |.| a norma em E dada por |v| = ( |π i v| ) e se µ = i i

          (µ , ..., µ ) com C ≥ µ ≥ 1 para todo 1 ≤ i ≤ m defina a norma ' . ' por ' v ' =

          1 m i 1 µ µ −1 2

          sup µ i |π i v| i .Para todo v ∈ E n´os temos C ' v ' µ ≤' v '≤ m ' v ' µ i Afirma¸ c˜ ao 1.2. Afirmamos que existe j , j (0 ≤ j < j ≤ n) tal que

          1

          2

          1

          2

        • |x j − x | ≤ 4|x n − x |, i = 1, 2 i

          −1

        • |x − p| > δ j j

          2 |x − x | , j < j < j 1 j 2

          1

          2

          ≤ i ≤ ... ≤ i ≤ l ≤ ... ≤ l Prova 3. Escolha por indu¸c˜ao um conjunto 0 = i s < l s s = n

          1 −1

          tal que vale   x i = x i ou k+1 k

           x l = x l k+1 k e 1

          2

        −1

        2

          |x l − x i | ≤ 2 (1 + δ ) |x i − x l | k+1 k+1 k k para todo 0 ≤ k < s. Suponha que o conjunto de ´ındices constru´ıdo seja maximal. Ent˜ao mostraremos que se

          −1

          p = 2 (x i + x l ) s s

          −1

          − p| > δ |x − x | para todo i temos |x j 2 i s l s s < j < l s .Caso contr´ ario,

          −1

          |x j − p| ≤ δ 2 |x i − x l | s s para algum i s < j < l s usando identidade do paralelogramos obter´ıamos:

          1

          2

          2

          2

          2

          2

          2 −1

          |x j − x | + i + |x j − x l | = 2|x j − p| |x i − x l | ≤ 2 (1 + δ )|x i − x l | s s s s s s

          2 mas como temos dois farores somados sendo menores ou iguais a

          2

          2 −1

          2 (1 + δ )|x i − x l | s s ent˜ ao pelo menos um ´e menor ou igual a

          2

          2 −1

          − x | 4 (1 + δ )|x i s l s e sem perda de generalidade podemos supor que

          2

          2

          2 −1

          |x j − x l | ≤ 4 (1 + δ )|x i − x l | s s s .Ent˜ ao com fazendo i s = j, l s = l s temos um novo ´ındice satisfazendo as trˆes condi¸c˜oes

        • 1 +1

          iniciais e com isso ampliariamos o conjunto maximal de ´ındices constru´ıdos. Al´em disso obtemos de 1

          2

        −1

        2

          |x l − x i | ≤ 2 (1 + δ ) |x i − x l | k+1 k+1 k k implica 1 k

          2 −1 2 |x − x | ≤ (2 |x − x |. i l (1 + δ ) ) o n k k

          De fato, 1 1

          2

          2

          2 −1 −1 2 2

          |x i − x l | ≤ (2 (1 + δ ) )|x i − x l | ≤ (2 (1 + δ ) ) |x i − x l | ≤ k k 1 k−1 k−1 k−2 k−2 1 k

          2

          3

          2 −1 −1 2 2 (2 (1 + δ ) ) |x i − x l | ≤ . . . ≤ (2 (1 + δ ) ) |x o − x n |. k−3 k−3

          Usando essa desigualdade provada agora e o fato que   x i = x i ou k+1 k

           x l = x l k+1 k para todo 0 ≤ k < s obtemos que

          ∞

          ( 1

          1 k

          2 2

          |x i − x | ≤| x o − x n | ( (1 + δ ) ) ≤ s k =0

          2

          ∞

          (

          3 k |x o − x n | ( ) = 4|x o − x n |. k =0

          4 De maneira similar provamos a desigualdade para x l s no lugar de x i s .

          ! Munido da afirma¸c˜ao temos que para qualquer escolha de µ temos 2 1

          ' x j − x ' µ ≤ C|x j − x | ≤ 4l ' x n − x ' µ = A ' x n − x ' µ i i para i = 1, 2. Para completar a prova do lema basta encontrar µ tal que

          

        −1

          ' x − p ' µ ≤ δ2 ' x j − x j ' µ 1 2 implica

          −1

          |x − p| ≤ δ 2 |x j − x j |. 1 2 Suponha para simplicar a nota¸c˜ao suponha que |π (x j − x j )| = sup |π i (x j − x j )| i .

          1 1 2

          1 i 1 2 Defina

           

          C se |π i (x j − x j )| i = 0 1 2 µ i =

          −1

           min{C, |π (x j − x j )| |π i (x j − x j )| } se |π i (x j − x j )| i "= 0

          1 1 2

          1

        1

        2 i 1 2 Ent˜ao

          ( 1 ( 1

          2

        2

        −2 2

          |x − p| = ( |π i (x − p)| ) ≤ ( µ ) ' x − p ' µ ≤ i i i i ( 1 ( 1

          −2 −1 −2 −1 2 2 ( µ ) δ2 ' x j − x j ' µ = ( µ ) δ2 |π (x j − x j )| . i 1 2 i i i

          1 1 2

          1 A segunda desigualdade segue da hip´ otese verificaremos a primeira. Denote

          µ max = sup µ i i ent˜ ao (

          (

          −2

          2

          2

          2

          2

          2 −2 −2

          ≥ n(µ ' x−p ' ≥ n sup ' π ≥ |π ( µ ) ' x−p ' max ) (µ max ) µ i (x−p) ' i (x−p)| . i i µ µ i i i i i Usando a defini¸c˜ao do µ i e a primeira afirma¸c˜ao feita no nesse lema temos que

          2

          ( 1 ( 1 |π i (x j − x j )| 1 2 i

          −2 2 2 ( µ ) δ < δ [ ] . i

          2

          |π − x

          1 (x j j )| 1 2 i i

          1 Portanto

          ( 1

          2 −1 −1 2

          |x − p| ≤ δ 2 ( |π i (x j − x j )| ) = δ i 1 2 i 2 |x j − x j |. 1 2 ! Ap´os finalizar a prova dos dois lemas estamos em condi¸c˜oes de atacar o resultado principal desse cap´ıtulo. Todos os elementos utilizados agora s˜ ao os mesmo do resultado principal e dos lemas. Se p ´e um ponto peri´odico ent˜ao o resulado ´e imediato , caso contr´ ario suponhamos que p seja um ponto n˜ ao peri´odico e tamb´em que r t˜ao pequeno tal que i sup diamf (B r ) ≤ !

          0≤j≤N

          e j j 1 ! 2 f (B r ) f (B r ) = ∅ l para j , j ∈ {1, . . . , N} com j "= j sejam satisfeitos. Seja S = [1, C]× . . . ×[1, C]. Se µ ∈ S

          1

          2

          1

          2

          defina a norma ' . ' µ sobre T p M por ' v ' µ := sup i µ i λ i |π i v| i e fa¸ca 0 < k < K, 0 < b < B tal que kd(x, y) ≤' x − y '≤ Kd(x, y) para todo x ∈ B R , onde d(.,.) denota a m´etrica de M, e

          ≤' x '≤ B ' x ' b ' x ' µ µ para todo x ∈ T M, µ ∈ S. Fa¸ca r > 0 e ρ > 1 satisfazendo p

          −1

        • (2ABb + 1)Kr ≤ r
        • δ

            1 −1 −1

          • (2ABb

            )(1 + B b )Kr ≤ r

            −1 −1

          • ρ = (2ABb + 1)Kk
          • m Suponha agora que x ∈ M, m > 0 e 0 < ¯ r ≤ r satisfazendo x ∈ B r (p) e f (x) ∈ k k k i j i ¯

              B ¯ r (p). Sejam 0 = k

              1 < ... < k m inteiros em [0, m] tais que f (x) ∈ B r . Se f (x) = f (x) k i

              para alguma i "= j ent˜ao n˜ao h´a nada a se provar;portanto podemos supor que os f (x) k j s˜ao distintos. Aplicando o segundo lema para os pontos x = x, x j = f (x), 1 ≤ j ≤ n, # #

              ' v ' sobre E a decomposi¸c˜ao T p M = E

              1 ... E l , e normas |v| i = λ i i , encontraremos

              0 ≤ m = k j < k j = m ≤ m e µ ∈ S tal que definindo ' . ' =' . ' µ

              1 1 2

              2

              1

              temos pelo segundo lema que m i m

            • ' f ≤ A ' f
            • k j (x) − x '

                1 (x) − x ' 1 , i=1,2

              • f (x) / ∈ ˜ B δr (q) para todo j < j < j
              • 2

                  1

                  2

                  f m1 m2 m1 m2

                  (x)+f (x) 1 &f (x)−f (x)&

                  onde q = , r = e

                  2

                  2

                  2

                  % ' π }. B δr 2 (q) = {x; sup µ i λ i i (x − q) '≤ δr i

                  2

                  Ent˜ao para i=1,2 m i m m

                  −1 −1 ' f (x) − x '≤ AB ' f (x) − x ' ≤ ABb (' f (x) ' + ' x ') ≤ 2ABb K ¯ r.

                1 Afirmamos que

                  j f (x) / ∈ ˜ B δr (q) 2 para todo m < j < m . Se

                  1

                  2 j

                  f (x) ∈ ˜ B (q) δr 2 ent˜ao j ' f ≤ δr

                  (x) − q '

                  1

                  2

                  implicando temos j j ' f (x) '≤' f (x) − q ' + ' q − x ' + ' x ' j m m

                  1 1

                  1 2 ≤ B ' f ' f ' f

                  (x) − q ' +

                  1 (x) − x ' + (x) − x ' + ' x '

                  2

                  2

                  1 m m 1 2 −1 ≤ Bδ ' f (x) − f (x) ' +2ABb K ¯ r + Kd(x, p)

                  1

                  2 (pois existe uma identifica¸c˜ao entre p e 0 com isso ' x '=' x − p '≤ Kd(x, p))

                  1 m 1 m 2

                  −1 −1

                  ≤ Bδ b ' f (x) − f (x) ' +2ABb K ¯ r + Kd(x, p)

                  2

                  1 m m 1 2

                  −1 −1

                  ≤ Bδ b (' f (x) − x ' + ' f (x) − x ') + 2ABb K ¯ r + K ¯ r

                  2

                  −1 −1 −1

                  ≤ Bδb

                  2ABb K ¯ r + 2ABb K ¯ r + K ¯ r

                  −1 −1 j ≤ (2ABb (1 + Bδb ) + 1)K ¯ r ≤ r

                  Ent˜ao f (x) ∈ B r logo podemos ter j "= k i para algum j < i < j mas isso contradiz a

                  1

                  2

                  maximalidade do conjunto de tempos que k i ∈ B f r por outro na lado se j = k i contradiz a hip´otese k j f (x) / ∈ ˜ B δr (q) 2 para todo j < j < j .

                  1

                  2 Al´em disso para 1=1,2 m i

                  −1

                  ' f (x) '≤ 2ABb K ¯ r+ ' x '

                  −1 −1

                  ≤ 2ABb K ¯ r + Kd(x, p) ≤ (2ABb + 1)K ¯ r ≤ r

                  1 .

                  Ent˜ao aplicando o primeiro lema para m m 2 1 y = f (x), z = f (x) obtemos uma aplica¸c˜ao g ∈ U satisfazendo N N g (y) = f (z) , g(w) = f (w)

                  $ N i

                  −1

                  ∈ quando w / f ( % B δr (q)) e j

                  =0 i

                  f (z) / ∈ % B δr (q) para todo 0 < j < m mas escolhemos r t˜ao pequeno que i sup diamf (B r ) ≤ !

                  0≤j≤N

                  e j 1 j ! 2 f (B r ) f (B r ) = ∅ para todo 0 ≤ j ≤ j ≤ N ent˜ao como foi observado ap´os o primeiro lema temos que

                  1

                  2 m m m 2 1 2 2 −m

                  o difeomorfismo g satisfaz g(w) = f (w) para w / ∈ B " (f, p), g (f (x)) = f (x) e j m j m 2 1 d(g (f (x)), g (f (x))) ≤ ! para 0 ≤ j ≤ m − m .Finalmente por

                  

                2

                  1 −1 −1

                  ρ = (2ABb + 1)Kk e m i ' f

                  (x) − x ' , para i=1,2 m m i i

                  −1 −1 −1

                  d(f (x), p) ≤ k ' f (x) '≤ (2ABb + 1)Kk r = ρ¯ ¯ r e isso completa a prova do resultado principal. Cap´ıtulo 2 Teorema A n

                  Definic ¸˜ ao

                  2.1. Denotamos por B " (f, x) conjunto dos pontos y ∈ M tal que d(f (x), y) ≤ ! para algum n ∈ Z "

                  Definic ¸˜ ao

                  2.2. Denotamos por (U, !) o conjunto dos pontos x ∈ M tal que existe g ∈ U,

                • y ∈ M e z ∈ Z tal que y ´e um ponto m-peri´ odico para g, g = f sobre M − B " (f, x) e j j d(f (x), g (y)) ≤ ! para todo 0 ≤ j ≤ m

                  " Definic ¸˜ ao

                  2.3. Denotamos por (f ) o conjunto dos pontos x ∈ M tal que para toda vizinhan¸ca U de f e todo ! > 0 existe g ∈ U e y ∈ M tal que y ´e um ponto m-peri´ odico para j j

                  g, g = f sobre M − B " (f, x) e d(f (x), g (y)) ≤ ! para todo 0 ≤ j ≤ m Definic ¸˜ ao

                  2.4. Uma medida de probabilidade µ ´e erg´ odica se para qualquer A ⊂ M temos c µ(A) = 0 ou µ(A ) = 0 .

                  Vamos usar a vers˜ao forte do Closing Lemma para provar o Teorema A. Inicialmente " teremos que analisar o conjunto (f ) para simplificar a prova de A. Observe que se U n e

                  ! n > 0 s˜ao base de vizinhan¸ca de f e uma sequencia convergindo a 0 respectivamente ent˜ ao ( ! ( (f ) = (U n , ! n ). n

                  

                ≥0

                  " Com efeito, x ∈ (f ) ent˜ao para toda vizinhan¸ca U de f e todo ! > 0 existe g ∈ U,

                • m n n

                  y ∈ M e m ∈ Z satisfazendo g (y) = y, g=f em M \ B " (f, x) e d(f (x), g (x)) ≤ ! " & " para todo 0 ≤ n ≤ m logo x ∈ (U n , ! n ) em particular x ∈ (U n , ! n ) basta tomar n

                  ≥0

                  & " " U = U n e ! = ! n logo x ∈ (U n , ! n ). Reciprocamente se x ∈ (U n , ! n ) ∀n ∈ N ent˜ao n

                  ≥0

                  ⊃ U pois {U } uma podemos escolher n suficientemente grande de modo que ! n < ! e U n n " base de vizinha¸ca de U e sem perda de generalidade podemos assumir ! n ↓ 0 logo x ∈ (f ). Com esse argumento percebemos que a prova do teorema A resume-se a prova da seguinte proposi¸c˜ao Proposi¸ c˜ ao 2.5. Para toda f ∈ Dif f (M), toda vizinhan¸ca U de f e todo ! > 0 temos

                  " µ( (U, !)) = 1 para toda medida erg´ odica µ ∈ M(f ).

                  Boa parte do trabalho de prova dessa proposi¸c˜ao foi feita no capitulo anterior, isto ´e m

                  (x)

                  mostramos que todo ponto nao errante x tem um iterado f (x) = y tal que y ´e !-sombreado por z, onde z ´e ponto peri´odico para g pr´oxima de f .Por z sombrear y,entendemos que a ´orbita de z !-acompanha a ´orbita de y durante um n´ umero de iterados pelo menos igual ao per´ıodo de z.Agora mostraremos que o conjunto Y dos pontos y com tal propriedade de sombreamento tem probabilidade total para toda medida erg´ odica.Neste cap´ıtulo tamb´em usaremos argumentos de Ergodicidade, Teorema de Birkhoff, e alguma gordura de certos conjuntos que aproximam Y .

                  "

                • Definic ¸˜ ao

                  2.6. Defina (µ, !, r, ρ, m) onde r > 0, ρ > 1 e m ∈ Z como o conjunto m dos pontos x ∈ M tal que se y ∈ B r (x) para algum 0 < r ≤ r e f (y) ∈ B r (x) existe 1

                  1 m 2 1 1 −m

                  ≤ m, g ∈ U e z ∈ M tal que g = f sobre M − B 0 ≤ m n n m m 1 < m

                  2 1 1 " (f, x), g (z) = z,

                  d(g (z), f (f ) ≤ ! para todo 0 ≤ n ≤ m − m e f ∈ B ρr (x)

                  2

                  1 1

                  " Observe que nesse caso pela propria defini¸c˜ao de (U, !) considerando m = m

                  2 m 1 " " temos que f (y) ∈ (U, !). ´ E f´acil ver que (µ, !, r, ρ, m) ´e fechado. Com efeito, tome n "

                  } em uma sequˆencia {x (µ, !, r, ρ, m) convergindo para x ∈ M. Devemos mostrar que " " x ∈ (µ, !, r, ρ, m).Ent˜ao como x ∈ (µ, !, r, ρ, m) temos que para cada n ∈ N tal que: se n n m n n n n n y ∈ B r (x) para algum 0 < r ≤ r e f (y ) ∈ B r (x) existe 0 ≤ m < m ≤ m, g n ∈ U 1 n

                  1 m n n j j m n n n 1

                  1

                  2 2 −m 1 1

                  ∈ M tal que g e z n = f sobre M − B " (f, x), g (z ) = z , d(g (z), f (f ) ≤ ! para n n m 1 n n n todo 0 ≤ j ≤ m − m e f ∈ B ρr (x).Perceba que todas as novas sequˆencia formadas,

                  2

                  1 1

                  exceto {g n } que est´a em U, est˜ao em compactos. Logo sem perda de generalidade podemos n n n n n → y,z → z, r → r → m → m supor que elas est˜ ao convergindo. Ou seja, y

                  1 ,m 1 , m 2 .

                  1

                  1

                  2 Por outro lado podemos considerar que {g n } que est´a contido num compacto K ⊂ U. Como

                  g n = f sobre M − B " (f, x) pela convergencia das sequˆencias temos g = f sobre M − B " (f, x), m n n m 2 1 1 m 1

                  −m

                  − m ∈ B g (z) = z, d(g (z), f (f ) ≤ ! para todo 0 ≤ n ≤ m

                  2 1 e f ρr 1 (x). Em

                  " outras palavras x ∈ (µ, !, r, ρ, m). Definic ¸˜ ao 2.7.

                  ( ' ( (µ, !, r, ρ) = (µ, !, r, ρ, m) m

                  

                ≥0

                  " "

                  Como (µ, !, r, ρ, m) ´e fechado logo boreliano temos que (µ, !, r, ρ) ´e boreliano pois ´e a uni˜ao enumer´avel de borelianos.

                  A prova da proposi¸c˜ao requer um tipo de Teorema de Recobrimento de Vitali sobre s s

                  1

                  1

                  certas parti¸c˜oes do toro T = S × . . . = ×S . Necessitando de algumas defini¸c˜oes: s Definic ¸˜ ao

                  2.8. Dizemos que A ⊂ T ´e um cubo se ele puder ser escrito como A = I . . . I s

                  1

                  1 onde cada I i s˜ ao intervalos de S .

                  Definic ¸˜ ao 2.9. Dizemos que (p , . . . , p s ) ´e o centro do cubo A se p i ´e o ponto m´edio de I i .

                1 Definic ¸˜ ao 2.10. O comprimento de um intervalo I i ´e chamado de lado do cubo.

                  k s

                  2π

                  Definic ¸˜ ao

                  2.11. Dizemos que P ´e uma parti¸c˜ao de T com lado de comprimento j j k

                  2π j k

                  Como cada lado possui tamanho j ser˜ao necess´arios k ´atomos da parti¸c˜ao P , s k j para cobrir T k k

                • Definic ¸˜ ao

                  2.12. Seja k ∈ Z . Ent˜ ao dizemos que P ≤ P ≤ . . . ´e uma sequˆencia de s

                  1

                  2

                  parti¸c˜oes sobre T k Observe que para cada elemento Q de P podemos associar cubos ˆ Q, ˜ Q concentricos j k

                  2kπ 6kπ

                  e de lados j , j respectivamente. Com esses ´ atomos geraremos as seguintes parti¸c˜oes ˆ P k s k k j e ˜ P para o toro T . j s k k Definic ¸˜ ao

                  2.13. Seja x ∈ T . Dizemos que P (x) ´e o ´atomo de P contendo x j j Provaremos alguns lemas importantes para a prova da Proposi¸c˜ao principal do s cap´ıtulo. Mas para isso suponha M isometricamente imerso em T s

                  Lema 2.14. Para cada medida de probabilidade µ sobre os conjuntos borelianos de T , todo δ > 0 e todo inteiro ´ımpar k as seguintes inequa¸c˜oes s˜ao satisfeitas para todo j ≥ 1 : k k s k k s s µ({x|µ(P (x)) ≥ δµ( ˆ P (x))}) ≥ 1 − δk e µ({x|µ(P (x)) ≥ δµ( ˜ P (x))}) ≥ 1 − δ3 k j j j j

                  } um conjunto de pontos que cada elemento est´a est´a em um ´unico Prova 4. Seja {x k j 1 , . . . , x l

                  ´atomo de P logo l = k . Seja j k k ˆ

                  P S = {1 ≤ i ≤ l|µ(P (x i )) < δµ( ˆ (x i ))}. j j Ent˜ao k k

                  µ({x|µ(P (x)) < δµ( ˆ P (x))}) = j j

                  ( i

                  P k j (x i ))}. Ent˜ao

                  µ({x|µ(P k j (x)) ≥ δµ( ˜ P k j

                  3 s k s µ(P k j (x i )) = δk s . Consequentemente, 1 − µ({x|µ(P k j (x)) < δµ( ˜ P k j (x))}) ≤ 1 − δ3 s k s k s

                  =1

                  ( i

                  µ(tildeP k j (x i )) = δ l

                  =1

                  ( i

                  µ( ˜ P k j (x i )) ≤ δ l

                  ∈S

                  µ(P k j (x i )) < δ ( i

                  ∈S

                  µ({x|µ(P k j (x)) < δµ( ˜ P k j (x))}) = ( i

                  ˜ S = {1 ≤ i ≤ l|µ(P k j (x i )) < δµ( ˜

                  ∈S

                  P k j (x i ), i = 1, . . . , l, cobre cada ´ atomo de P k j (x i )) exatamente k s vezes. Isto prova a primeira desigualdade. Vamos provar a segunda desigualdade. Defina

                  (x))}) ≤ 1 − δk s ⇔ µ({x|µ(P k j (x)) ≥ δµ( ˆ P k j (x))}) ≥ 1 − δk s . Usamos o fato de k ser ´ımpar, pois sendo assim temos que conjuntos ˆ

                  Consequentemente, 1 − µ({x|µ(P k j (x)) < δµ( ˆ P k j

                  ( i =1 k s µ(P k j (x i )) = δk s .

                  (x i )) = δ l

                  µ( ˆ P k j

                  =1

                  ≤ δ l ( i

                  µ( ˆ P k j (x i ))

                  ∈S

                  ( i

                  µ(P k j (x i )) < δ

                  (x))}) ≥ 1 − δ3 S k s . ! Agora provaremos a proposi¸c˜ao. Seja f ∈ Dif f (M), ! > 0, uma vizinhan¸ca U de f s e uma medida erg´ odica µ ∈ M seja dada. Extenda µ para uma medida sobre T definindo

                  & s µ(A) = µ(A M) para todo conjunto boreliano A de T . Pegue uma sequencia mon´ otona r n > 0, ρ n > 1 convergindo para 0 e +∞ respectivamente. Para cada par de inteiros n > 0, s m > 0 podemos encontrar k = k(n, m) e j(n, m) tal que se j ≥ j(n, m) e x ∈ T existem

                  0 < r ≤ r n satisfazendo k (a) P (x) ⊂ B (x) j r k (b) B ρ r (r)(x) ⊂ ˆ P (x) m j s Agora a nota¸c˜ao B t (z) denota a bola aberta em T com raio t e centro z. N´ os deveremos sempre escolher k = k(n, m) ´ımpar pelo motivo mencionado na prova do lema anterior.

                  , s Definic ¸˜ ao

                  2.15. Seja δ > 0 denotamos (n, m) como o conjunto dos pontos x ∈ T tal k k k k δ que para k = k(n, m) as inqua¸c˜oes s˜ao µ(P (x)) ≥ δµ( ˆ P (x)) e µ(P (x)) ≥ δµ( ˜ P (x)) s˜ ao j j j j satisfeitas para uma sequˆencia ν(x) de infinitos valores de j , " & ,

                  Definic ¸˜ ao 2.16. Defina (n, m) = (U, !, r n , ρ m ) (n, m). δ δ " k

                  Lema 2.17. Se x ∈ (U, !, r n , ρ m ), j ≥ j(n, m), j ≥ j(n, m) k ≥ k(n, m) e µ(P (x)) ≥ k j P

                  δµ( ˆ (x))}) temos j k k ! ( µ( ˆ P (x) (U, !)) ≥ δµ(P (x)). j j Prova 5. Fa¸ca 0 < r ≤ r n satisfazendo as propriedades (a) e (b). Queremos mostrar que que i i k 1 2 para qualquer par de inteiros 0 ≤ i i < i tal que f (y) e f (y) pertencentes a P (x) ⊂ B r (x),

                  2 j

                  ≤ i ≤ i existe i

                  3 , i

                  1

                  3 3 tal que i k 3 ! ( ! (

                  P f (y) ∈ B ρ m r (x) (U, !) ⊂ ˆ (x) (U, !). j Como

                  ( x ∈ (U, !, r n , ρ m ) i 1 podemos aplica a vers˜ ao forte do Closing lema da seguinte maneira: sejam w = f (y) e m i 2 1 i 2 i 2 1 k

                  −i −i

                  f (w) = f (f (y)) = f (w) pertencentes a ∈ P (x) ⊂ B r (x) logo existe 0 ≤ m j 1 < m ≤ m e g ∈ U tal que

                  2 m 1 m 2

                  f (w) ∈ B ρr (p), f (w) ∈ B ρr (p), m 2 1 m 2 m 2

                  −m

                  g (f (w)) = f (w) i m j m 2 1

                  , g(θ) = f (θ) para θ / ∈ B " (f, p) e d(g (f (w)), f (f (w))) ≤ ! para 0 ≤ j ≤ m − m .

                  2

                  1 i 3

                  " Basta definir i = m + i que teremos tamb´em de forma imediata que f (y) ∈ (U, !)

                  3

                  1

                  1

                  e o resto do desejado. Esta propriedade mostrada agora ser´ a importante para estimar a cardinalidade dos seguintes conjuntos: i k ! ( P

                  A = ♯{1 ≤ i ≤ l|f (y) ∈ ˆ (x) (U, !)}, i k j B = ♯{1 ≤ i ≤ l|f (y) ∈ P (x)} j

                  } ent˜ao pela propriedade mostrada existe i ∈ A logo Se ♯B = 2 isto ´e, B = {i

                  1 i

                  2

                  3

                  ♯A ≥ ♯B − 1. Por racioc´ınio an´ alogo, podemos aplicar o processo indutivo e obter que: i k i k ! ( P ♯{1 ≤ i ≤ l|f (y) ∈ ˆ (x) (U, !)} ≥ ♯{1 ≤ i ≤ l|f (y) ∈ P (x)} − 1. j j

                  Antes de realizar a majora¸c˜ao desejada pelo lema perceba que como µ ´e uma medida erg´ odica ent˜ ao existe y ∈ M tal que : ! ( ! (

                  1 i k k l lim ♯{1 ≤ i ≤ l|f (y) ∈ ˆ P (x) (U, !)} = µ( ˆ P (x) (U, !)) j j

                  →∞ l

                  1 i k k l lim ♯{1 ≤ i ≤ l | f (y) ∈ P (x)} = µ(P (x)) j j

                  →∞

                  l Ent˜ao

                  ! ( ! ( k i k

                  1 µ( ˆ P (x) (U, !)) = lim ♯{1 ≤ i ≤ l|f (y) ∈ ˆ P (x) (U, !)} ≥ j l j

                  →∞ l

                  1 i k k k l lim ♯{1 ≤ i ≤ l|f (y) ∈ P (x)} = µ(P (x)) ≥ δµ( ˆ P (x)). j j j

                  →∞

                  l Isto completa a prova do lema. !

                  (k)

                  Definic ¸˜ ao

                  2.18. Denotamos por F a fam´ılia de conjuntos P (x) com j i ! ( - c x ∈ (n, m) (U, !) δ e j ∈ ν(x).

                  , & " c Lema 2.19. Dada uma vizinhan¸ca de U de (n, m) (U, !) existe uma sequˆencia de δ

                  , & " c x i ∈ (n, m) (U, !) , j i ∈ ν(x i ),i=1,2,3... tal que δ

                  (k) • Os conjuntos ˆ P (x i ) ,i=1,2,3... s˜ ao disjuntos e est˜ ao contidos em U. j i

                  , & " $ c (k) ˆ

                • µ( (n, m) (U, !) − P (x i )) = 0 δ i i j
                • s Prova 6. Por argumentos padr˜ oes de medida podemos encontrar uma transla¸c˜ao τ : T ←+ tal que

                    '

                    (k)

                    {∂ ˆ µ(τ ( A|A ∈ P (x i ), l ≥ 1, i ≥ 1})) = 0 j i s onde ∂ ˆ A denota a fronteira de ˆ A.De fato se para toda transla¸c˜ao τ : T ←+ temos

                    '

                    (k)

                    µ(τ ( {∂ ˆ A|A ∈ P (x i ), l ≥ 1, i ≥ 1})) "= 0 j i Ent˜ao se consideramos o subconjunto de M dado por

                    ' '

                    (k)

                    V = µ(τ ( {∂ ˆ A|A ∈ P (x i ), l ≥ 1, i ≥ 1})) τ j i temos que µ(V ) = +∞ contrarindo que V ⊂ M e µ(M) = 1.

                    Ent˜ao podemos supor sem perda de generalidade, que: '

                    (k) µ( {∂ ˆ A|A ∈ P (x i ), l ≥ 1, i ≥ 1}) = 0. j i

                    ∈ F Como j e k n˜ao s˜ao fixos podemos escollher uma sequˆencia A i

                    ⊂ U para todo 1 ≤ i 1. ˆ A i

                    & ˆ 2. µ( ˆ A i A l ) = 0 para todo 1 ≤ l < i

                    & ˆ

                    3. Para todo l < i temos que diamA i = max{diamA|A ∈ F, ˆ A ⊂ U, µ( ˆ A i A l ) = 0 para todo 1 ≤ l < i} ´

                    E f´acil ver que essa propriedade implica j lim diamA j = 0

                    →+∞

                    Pois se lim j diamA j = L "= 0 dado ! ent˜ ao existiria j tal que diamA j > L − !

                    →+∞

                    & logo podemos escolher j j > j de modo que µ(A j A j ) "= 0 contrariando a constru¸c˜ao da

                    1

                    2 1 2 fam´ılia.

                    ( ' i i µ(A i ) = µ( A i ) ≤ 1 pois ' ' !

                    µ( A i ) = µ(( A i ) M) ≤ µ(M) = 1. i i Afirmamos que para qualquer N ≥ 1 temos N

                    ! ( ' - c ' ˆ ˜

                    − ⊂ δ i =1 i>N (n, m) (U, !) A i A i . Suponha que N

                  • ! ( ' c

                    ˆ x ∈ (n, m) (U, !) − A i . δ i

                    =1

                    Ent˜ao existe A ∈ F com x ∈ A e N ! '

                    ˆ ˆ A A = ∅. i =1 i fazendo N crescer temos que os cubos ˆ A i v˜ao diminuido e exaurindo o subconjunto U de , & " c

                    (n, m) (U, !) ent˜ ao existe um determinado momento,N > N, em que δ

                    1

                    ! ˆ ˆ

                    A A i = ∅ para todo 1 ≤ i < N e

                    1

                    ! ˆ ˆ A A "= ∅. N 1 Por outro lado como N

                    ! ' ˆ ˆ

                    A ( A i ) = ∅ i

                    

                  =1

                    temos N ' c

                    ˆ ˆ A ⊂ ( A i ) i =1 logo N

                    ! ' ! c ˆ ˆ ˆ ˆ

                    ⊂ ( A A N A i ) A N = ˆ A N 1 i 1 1

                    =1

                    implicando ˆ

                    A ⊂ ˆ A N 1 . Portanto diam( ˆ

                    A) ≤ diam( ˆ A N ). 1 Temos tamb´em ' '

                    ˆ ˜ ⊂ ⊂ x ∈ A ⊂ ˆ A ⊂ ˆ A N 1 A i A i i>N i>N completando assim a prova de N

                  • ! ( ' '
                  • c ˆ ˜

                      − ⊂ δ i =1 i>N (n, m) (U, !) A i A i . Segue de

                      '

                      (k)

                      µ( {∂ ˆ A | A ∈ P (x i ), l ≥ 1, i ≥ 1}) = 0 j i . que N

                    • ! ( ' c

                      ˆ µ(( (n, m) (U, !) ) − A i ) = δ i N =1

                    • ! ( ' c ¯

                      ˆ µ(( (n, m) (U, !) ) − δ =1 i

                      A) ≤ i ! ( - c

                      µ(( (n, m) (U, !) ) ≤ δ ' ( (

                      −1

                      ˜ µ( A i ) ≤ µ( ˜ A i ) ≤ δ µ(A i ). i>N i>N i>N Por

                      ( ' i i µ(A i ) = µ( A i ) ≤ 1 o lema est´ a provado.

                      ! Pelos dois ´ ultimos lemas temos que

                      ( ( ! (

                      1

                      (k) (k) c

                      P P µ(U) ≥ µ( ˆ (x i )) ≥ µ( ˆ (x i ) (U, !) ) = j j i i i i 1 − δ

                    • ' ! ( ! (

                      1

                      1

                      (k) c c

                      ˆ µ( P (x i ) (U, !) ) ≤ µ( (n, m) (U, !) ). j i 1 − δ 1 − δ i δ A ´ ultimas desigualdade segue do fato de que

                      ! ( -

                      (k) c

                      ˆ P (x i ) ⊂ U ⊂ (n, m) (U, !) j i δ

                      Mas se

                    • ! ( c

                      µ( (n, m) (U, !) ) > 0 δ podemos escolher U satisfazendo ! ( -

                      1 c µ(U) < µ( (n, m) (U, !) ) 1 − δ δ contradizendo a ´ ultima inequa¸c˜ao. Portanto ! ( - c

                      µ( (n, m) (U, !) ) = 0. δ , , s s s Pelo primeiro lema aplicado ao conjunto µ( (n, m) temos que µ( (n, m)) ≥ 1 − δ δ

                      δ (k + 3 k ).

                      , Al´em disso a partir da defini¸c˜ao de (n, m) podemos escrever δ

                    • ∞ +∞

                      ' - ' ( ! - r r 1 (n, m) = ( (U, !, r n , ρ m ) (n, m)) = 1

                      =1 =1 r r

                      • ( ! ' ( (U, !, r n , ρ m ) ( (n, m)) = (U, !, r n , ρ m )mod(0), r
                      • 1

                        =1 r

                        onde mod(0) representa a menos de um conjunto de medida nula.Como mostramos acima ( ! - c

                        µ( (U, !) (n, m)) = 0 δ para todo 0 < δ < 1 temos que ( -

                        (U, !) ⊃ (n, m))mod(0) δ para todo 0 < δ < 1 logo

                        1

                        ( ' - (U, !) ⊃ (n, m))mod(0). δ δ

                        =0

                        ou seja,

                        • ( ' ( (U, !) ⊃ (n, m) ⊃ (U, !, r , ρ )mod(0). r =1 r
                        • 1 n m Como a propriedade ser´ a satisfeita para todo n > 0, m > 0 mas como

                          ' ' ( M = (µ, !, r n , ρ m ) n m

                          ≥0 ≥0

                          obteremos que (

                          µ( (U, !)) = µ(M) = 1 e isso completa a prova da proposi¸c˜ao que implica no teorema A. Cap´ıtulo 3 Vers˜ ao Residual do Ergodic Closing Lemma

                          Inicialmente teremos que introduzir uma topologia em M(f ) para obter os resultados desejados do cap´ıtulo.

                          Definic ¸˜ ao

                          3.1. Sejam µ ∈ M(f ) um conjunto finito ! > 0 e F = {ϕ , . . . , ϕ s } ⊂ C (M)

                          1

                          dados. Defina . .

                          V ϕ ,...,ϕ := {ν ∈ M(f ); | ϕ i dν k − ϕ i dµ k |< !, ∀i = 1, . . . , s}. 1 s ;"

                          ∗

                          Ent˜ao a topologia fraca- ´e definida estipulando que estes conjuntos V ϕ ,...,ϕ para ! > 0 e 1 s ;" {ϕ , . . . , ϕ s } vari´aveis constituem uma base de vizinhan¸ca de µ

                        1 Vamos agora caracterizar a convergˆencia nesse espa¸co.

                          Lema 3.2. Uma sequˆencia (µ n ) n em M(f ) converge para uma medida µ em M(f ) na

                          ∈N ∗

                          topologia fraca- se e somente se . .

                          ϕ ϕ dµ k → dµ para toda fun¸c˜ao cont´ınua ϕ : M → R.

                          Prova 7. (⇒) Considere qualquer fun¸c˜ao continua ϕ e forme o conjunto F = {ϕ}. Como µ n → µ temos que dado ! > 0 existe n tal que

                          µ n ∈ V ϕ

                          ;" para todo n > n logo . .

                          ϕ ϕ | dµ k − dµ |< ! para todo n > n . Portanto

                          . .

                          ϕ dµ k → ϕ dµ . (⇐)

                          / / ϕ ϕ

                          Se dµ k → dµ para toda fun¸c˜ao cont´ınua ϕ, ent˜ ao dado ! e F = {ϕ , . . . , ϕ s }

                          1

                          temos para cada i ∈ {i = 1, . . . , s} existe n i tal que . .

                          ϕ ϕ | i dµ k − i dµ |< ! para todo n > n i . Fazendo n = max{n , . . . n s } temos µ n ∈ V ϕ ,...,ϕ .

                          1 1 s ;"

                          ! Lema 3.3. Seja f : M → M um difeomorfismo.Se para um x em um conjunto de probabili- dade total S temos que dado ! > 0 existe um ponto p = p(x) f -peri´ odico que ´e !-sombreado por x ent˜ ao M(f ) ´e o fecho convexo de medidas erg´ odicas suportadas em ´ orbitas f -peri´ odicas. Prova 8. Relembramos que um conjunto convexo em M(f ) ´e fechado sse ´e fechado na

                          ∗

                          topologia fraca- . Devido ao Teorema da Decomposi¸c˜ao Erg´ odica M(f ) ´e o fecho convexo de probabilidades f -erg´ odicas. Todo o trabalho ser´ a para mostrar que qualquer medida de

                          ∗ probabilidade erg´ odica µ ser´a o limite fraco- de medidas suportadas em ´orbitas peri´ odicas.

                          Portanto consideremos uma probabilidade f -erg´ odica µ. Suponhamos sem perda de general- idade que µ n˜ao ´e suportada numa ´ orbita peri´ odica. Para um ponto x ∈ M µ-t´ıpico temos:

                        • Teorema de Recorrˆencia de Poincar´e implica x ´e recorrente
                        • Pela vers˜ao forte do Ergodic Closing Lemma temos que x possui a propriedade de sombreamento
                        • Teorema Erg´odico de Birkhoff implica que n

                          −1

                          (

                          1 j δ ∗ f → f raca µ

                          (x) −

                          n j

                          =0

                          quando n → +∞.[Apendice A]

                          Vamos agora construir as medidas suportadas nas ´ orbitas peri´ odicas. Seja (n k ) a sequˆencia de tempos de primeiro retorno da ´ orbita de x que voltam para B(x, α k ), onde d αk

                          (f (x),x)

                          α → +∞ quando k → +∞.Pela

                          1 = 1 e α k +1 := para todo k ≥ 1. Portanto n k

                        2 Vers˜ ao Forte do Ergodic Closing Lemma escolha uma sequˆencia de pontos peri´ odicos (p k ) de

                          α k tal modo que cada p k ´e a ´orbita de x.

                        3 Em particular, o per´ıodo t k de p k ´e de pelo menos n k (de outro modo a ´ orbita de x

                          retornaria a B(x, α k )ante de n k ). Ent˜ ao para t k ≥ n k implica t k → +∞ quando k → +∞ e at´e termos uma sequˆencia podemos supor que os t k ’s s˜ao dinstintos. Defina µ k como uma probabilidade erg´ odica suportada na ´ orbita de (p k ), ou seja, t k

                          −1

                          (

                          1 j δ µ k := f .

                          (p k )

                          t k j

                          =0

                          Mostraremos → µ k f raca µ.

                          −

                          De n

                          −1

                          (

                          1 j δ ∗ f → f raca µ

                          (x) −

                          n j

                          =0

                          temos que t k

                          −1

                          (

                          1 j ν δ → k = f f raca µ

                          (x) −

                          t k j =0 quando k → +∞. Sejam ! > 0 e {ϕ , . . . , ϕ s } ⊂ C (M) dados. Tudo o que

                          1

                          ∈ N tal que ν precisamos verifica ´e se existe k k pertence a vizinhan¸ca . .

                          ϕ ϕ V ϕ ,...,ϕ s := {ν ∈ M(f ); | i dν k − i dµ k |< !, ∀i = 1, . . . , s}, 1 ;" para todo k ≥ k . "

                          De fato, fa¸ca α > 0 tal que | ϕ (y)ϕ (z) |< , ∀i = 1, . . . , s, ∀y, z ∈ M tal que i i α

                          2

                          d(y, z) < α. Ent˜ ao, fa¸ca k tal que α k < , e

                          2 . .

                          ! | ϕ − ϕ i dν k i dµ |< ,

                          2 para todo k ≥ k , ∀i = 1, . . . , s. concluimos que . . . . . .

                          ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ | i dµ k − i dµ |≤| i dν k − i dµ k | + | i dν k − i dµ |< t k −1

                          ( !

                          1 j j | ϕ i (f (x)) − ϕ i (f (p k )) | + < !, t k j

                          2

                          =0

                          ∀i = 1, . . . , s. A ´ultima desigualdade ´e devida a pr´opria defini¸c˜ao de integral. Com isso obtemos que µ k ∈ V ϕ ,...,ϕ , para todo k ≥ k . Portanto µ k → f raca µ 1 s ;"

                          −

                          ! Definic ¸˜ ao

                          3.4. Seja X um esta¸co topol´ ogico. Dizemos que R ⊂ X ´e um conjunto residual de X se ele puder ser escrito como interse¸c˜ao enumer´ avel de abertos densos em X. Teorema 3.5. Vers˜ ao Residual do Ergodic Closing Lemma

                          Sejam M(f ) o espa¸co das probabilidades f-invariantes e Dif f (M) o espa¸co dos

                          1

                          difeomorfsmos sobre a variedade M com a topologia C . Ent˜ ao existe um conjunto residual R ∈ M(f ) tal que para toda f ∈ R vale que M(f ) ´e igual ao fecho convexo das probabilidades invariantes suportadas em ´ orbitas peri´ odicas.

                          Prova 9. Devido ao ´ ultimo lema se para alguma f e qualquer ponto q ∈ M que retorna suficientemente pr´ oximo de si mesmo, tem algum interado que ´e sombreado por um ponto f -peri´ odico, ent˜ ao para f, n´ os temos que M(f ) ´e o fecho convexo de medidas erg´ odicas suportadas em ´ orbitas peri´ odicas. De fato, se isso ocorre, como na prova do teorema da Vers˜ ao Forte do Closing Lemma segue que para qualquer ! > 0 o conjunto dos pontos x ∈ M que s˜ ao !-sombreadas por pontos f -peri´ odicos de probabilidade total. Seja ! > 0 dado e seja

                          ˆ B = B( ˆ f , ˆ!) para alguma bola em Dif f (M). Fixe m ∈ N. N˜ ao h´a perda de generalidade generalidade em supor que todos os pontos peri´ odicos de f com per´ıodo at´e m s˜ ao hiperb´ olicos, como tais tipos de endomorfismos formam um subconjunto aberto e denso em Dif f (M).

                          Tamb´em pegaremos ˆ! suficientemente pequeno tal que cada ponto peri´ odico p g de g ∈ ˆ B ´e uma continua¸c˜ao anal´ıtica hiperb´ olica de um ponto peri´ odico p f de f .Fazendo ˆ! suficientemente j j " pequeno , podemos supor que d(f (x), g (x)) < , para todo x ∈ M e f, g ∈ B, j = 1, . . . , m.

                        3 Agora pegue qualquer ponto x ∈ M e qualquer f ∈ ˆ

                          B. Pelo lema na primeira parte do teorema A, existe r > 0 tal que, se x, f (x) ∈ B(q, r), ent˜ ao existe 0 ≤ m ≤ m ≤ m tal que m " 1

                          1

                          2

                          f (x) ´e -sombreado por um ponto p g m − m -peri´ odico para g-pr´oxima em ˆ

                          B. Devido a

                          1

                          2

                          3

                          nossa escolha de ˆ

                          B, f tamb´em tem um ponto p f cuja f -´orbita a g-´orbita de p g . Portanto, m 1 (x) concluimos que f ´e !-sombreado por p f . Agora S m," ´e a uni˜ ao de todas as bolas ˆ B. Portanto S m," ´e um aberto e denso de Dif f (M). Seja uma sequˆencia ! ↓ 0. ´ E claro que

                          ! ˆ

                          S S := m," m

                          

                        ∈N

                          , ´e um conjunto residual que para qualquer ! > 0, qualquer f ∈ e qualquer q ∈ M que retorna suficientemente pr´ oximo de si mesmo, q possui algum iterado que ´e !-sombreado por algum ponto f -peri´ odico. Isto implica que o conjunto dos pontos x ∈ M que s˜ ao sombreados por pontos f -peri´ odicos tem f -probabilidade total. Logo o resultado segue do ´ ultimo lema.

                          ! Cap´ıtulo 4 Apˆ endices

                        4.1 Apˆ endice A

                          Dissemos no cap´ıtulo 3 que a partir do Teorema Erg´ odico de Birkhoff ter´ıamos: n

                          −1

                          (

                          1 j ν k = δ → f raca µ f (x)

                          −

                          n j

                          =0 quando n → +∞.

                          Para tal precisamos mostrar um lema que garantir´ a esse fato imediatamente. Lema 4.1. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

                          1. M(f ) possui um ´ unico elemento 2. existe µ ∈ M(f ) tal que para toda aplica¸c˜ao ϕ : M → R cont´ınua e qualquer x ∈ M n −1 .

                          (

                          1 i n lim ϕ(f (x)) = ϕdµ

                          →+∞

                          n j

                          =0

                          " n i

                          1 −1

                          3. Para toda ϕ : M → R cont´ınua, ϕ(f (x)) converge pontualmente a uma con- n =0 j stante " n

                          1 −1 i

                          4. Para toda ϕ : M → R cont´ınua, ϕ(f (x)) converge uniformemente a uma n j =0 constante Prova 10. (4) ⇒ (3) Imediato

                          (3) ⇒ (2) Seja C (M) o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas de M em R. Defina ξ : C (M) → R por n

                          −1

                          (

                          1 i ξ ϕ

                          (ϕ) = lim (f (x)) n

                          →+∞ n j =0 para todo x ∈ M. Afirmamos que essa aplica¸c˜ao ´e um funcional linear positivo.A linearidade ´e imediata resta mostra que ´e positivo. Se ϕ ≥ 0 ent˜ ao i

                          ϕ (f (x)) ≥ 0 para todo i ∈ N logo ξ(ϕ) ≥ 0. Consequentemente pelo Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz existe uma ´ unica probabilidade invariante µ tal que .

                          ϕdµ = ξ(ϕ) para toda ϕ ∈ C (M). Al´em disso a medida µ encontrada ´e invariante pois ξ(ϕ ◦ f ) = ξ(ϕ).

                          (2) ⇒ (1) Suponhamos a exstˆencia de ν ∈ M(f ). Sabemos pelo Teorema Erg´ odico de Birkhoff que n

                          

                        −1

                          (

                          1 i ϕ n lim (f (x))

                          →+∞ n j

                        =0

                          converge para ν-q.t.p para uma fun¸c˜ao ˆ ϕ tal que . .

                          ϕdν ϕdν.

                          = ˆ /

                          Mas os fatos das m´edias convergirem pontualmente para a fun¸c˜ao constante igual a ϕdµ / / segue que ϕdν ˆ = ϕdµ . Como ν e µ integram fun¸c˜oes cont´ınuas da mesma forma ent˜ ao s˜ ao idˆenticas.

                          (1) ⇒ (4) Lembre-se qie a constante para qual a m´edia de Birkhoff converge tem /

                          ϕdµ que ser , onde µ ´e a ´ unica probabilidade invariante de f . Suponha que (4) n˜ ao valha ≥ 1 existem n ≥ n ent˜ ao. ent˜ ao, existem ψ ∈ C (M) e ! > 0 tais que para todo n e x n tais que n −1 .

                          (

                          1 i ψ ψdµ | (f (x n )) − |≥ !. n j

                          =0

                          Ou seja, exite uma subsequˆencia {n j } j e para cada j um ponto x n tais que n j j

                          −1 .

                          (

                          1 i ψ ψdµ | (f (x n )) − |≥ !. j n j j

                          =0

                          Tomes as medidas µ n dadas por j n j

                          −1

                          (

                          1 i µ δ . n j = f

                          xnj

                          n j j =0 Para elas, temos . . | ψdµ − ψdµ |≥ !. n j

                          Por causa da compacidade de M(f ), existe uma uma subsequˆencia de {n j } j (su- poremos que ´e a mesma, para facilitar a nota¸c˜ao) tal que µ n → µ j

                          ∞

                          " n j

                          −1

                          1 i

                          δ , onde µ = lim j f .Pela desigualdade acima µ "= µ . Como µ ´e invari- j

                          ∞ →+∞ n =0 ∞ ∞ j xnj } contrariando (1).

                          ante provamos que M(f ) ⊃ {µ, µ

                          ∞

                          ! Observaremos que se µ ´e erg´odica ent˜ao toda fun¸c˜ao invariante ψ ∈ C (M) ´e con- stante num concjunto de medida total.Com efeito,considerando ψ ∈ C (M)uma fun¸c˜ao qual-

                          −1

                          quer invariante temos que a pr´e-imagem A = ψ (I) de qualquer intervalo I(R) ´e um con- junto invariante pois

                          −1 −1 −1 −1 −1

                          f ◦ ψ (A) = f (I) = (ψ ◦ f ) (I) = ψ (I) = A. Como µ ´e erg´odica temos que temos que essa pr´e-imagem tem medida zero ou 1. Como o intervalo I ´e arbitr´ario, isto prova que ψ constante num conjunto de probabilidade total µ.

                          " n

                          1 −1 i

                          ϕ Como µ ´e erg´odica e por um argumento simples sabemos que lim n (f (x)) j

                          →+∞ n =0

                          " n i

                          1 −1

                          ´e invariante ent˜ao sabemos pelo argumento anterior que lim n ϕ (f (x)) ´e costante

                          →+∞ j n =0

                          num conjunto de medida de medida total.Ent˜ ao a condi¸c˜ao (3) do lema ´e satisfeita para um conjunto de medida total. Logo n −1 .

                          (

                          1 i n lim ϕ (f (x)) = ϕdµ

                          →+∞

                          n j

                          =0 para µ − q.t.p x ∈ M.

                          Sejam {ϕ , ldots, ϕ s } e ! > 0 ent˜ao pela igualdade acima temos que existe n i para

                          1

                          todo i ∈ {1, . . . , s} tal que . .

                          ϕ dν ϕ dµ | i k − i | !, para todo n > n i onde n

                          

                        −1

                          (

                          1 j ν δ . k := f

                          (x)

                          n j

                          

                        =0 Portanto n

                          −1

                          ( 1 j

                          ν δ → µ k = f f raca

                          (x) −

                          n j =0 quando n → +∞.

                        4.2 Apˆ endice B

                          Referˆ encias Bibliogr´ aficas [Castro] A. Castro, -A criterion of generic hyperbolicity based on periodic points, to appear.

                          [M] R. Ma˜ n´e, -An Ergodic Closing Lemma Ann.of Math. , 116, (1982), 503-540.

                          1

                          [Pugh1] C. Pugh,C. Robinson -The C Closing Lemma, including Hamiltonians Ergodic Theory Dynam. Systems 3, (1983),2 61-313.

                          [Pugh2] C. Pugh, -The Closing Lemma , Amer. J. Math. , 89, (1967), 956-1009 [Robinson] C. Robinson, -Introduction to the Closing Lemma ,The Structure of Attractors in Dynamical Systems, Lectures Nontes in Math. , 668, (1978), Springer Verlag.

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