Algumas Propriedades Geométricas do Conjunto de Julia.

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  ALGUMAS PROPRIEDADES GEOM´ ETRICAS DO CONJUNTO DE JULIA

  Disserta¸c˜ao apresentada `a Universi- dade Federal de Vi¸cosa, como parte das exigˆencias do Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Matem´atica, para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Magister Scientiae.

  VIC ¸ OSA MINAS GERAIS - BRASIL

  2014 ALGUMAS PROPRIEDADES GEOM´ ETRICAS DO CONJUNTO DE JULIA

  Disserta¸c˜ao apresentada `a Universi- dade Federal de Vi¸cosa, como parte das exigˆencias do Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Matem´atica, para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Magister Scientiae.

  APROVADA: 24 de Fevereiro de 2014.

  Andr´e Junqueira da Silva Corrˆea Carlos Maria Carballo

  Kennedy Martins Pedroso Juan Valent´ın Mendoza Mogoll´on (Coorientador) (Coorientador)

  Alexandre Miranda Alves (Orientador)

  “ ´ E melhor tentar e falhar, que preocupar-se a ver a vida passar. ´

  E melhor tentar, ainda que em v˜ao, que sentir-se fazendo nada at´e o final. Eu prefiro na chuva caminhar, que em dias tristes em casa me esconder. Prefiro ser feliz, embora louco, que em conformidade viver”.

  Martin Luther King.

  “A entrada para a mente do homem ´e o que ele aprende, a sa´ıda ´e o que ele realiza. Se sua mente n˜ao for alimentada por um fornecimento cont´ınuo de novas ideias que ele p˜oe a trabalhar com um prop´osito e, se n˜ao houver uma sa´ıda por uma a¸c˜ao, sua mente torna-se estagnada. Tal mente ´e um perigo para o indiv´ıduo que a possui e in´ util para a comunidade”.

  Jeremias Whipple Jenks. Agradecimentos

  Em primeiro lugar agrade¸co a Deus que me concedeu mais esta vit´oria. A minha fam´ılia pelo apoio em todos os momentos dif´ıceis (meus pais Ana e Francisco, meus irm˜aos Sergiana, Sergio, Afonso e Antˆonio Jos´e), ao meu orientador Alexandre pela paciˆencia, companheirismo e profissionalismo durante estes dois anos.

  N˜ao posso deixar de agradecer tamb´em aos meus amigos de Mestrado que tornaram esta caminhada mais amena e divertida, a minha turma: Rondinei, Thiago, Aline, Priscila, Filipe (Til´ u), Renno, Carlos, Luiz Henrique, L´ıvia e tamb´em o membro pro tempore Diego, as turmas de 2011: Samara, D´ebora, Victor, Michele, Robledo, Guemael, Michely, Alana Nunes, Alana Cavalcante, Maisa, Anna Paula e Gustavo, a turma de 2013: L´azaro, Anderson, Ygor, Glelson, Cris, Lizeth, Fl´avio, Sabrina e Marcelo.

  Rendo homenagens tamb´em ao Matheus e ao Gustavo que foram meus amigos de rep´ ublica nestes dois anos, ao pessoal do 2331 que ser˜ao sempre como minha fam´ılia, a Karine, Mislene e Afonso J´ unior pela amizade e bons momentos compartilhados. Agrade¸co a todos os meus professores do Departamento de Matem´atica que contribu´ıram para o meu crescimento pessoal e profissional, principalmente a Catarina, o Alexandre e o Rog´erio pelos conselhos e pela amizade.

  Aos meus coorientadores Juan Valent´ın Mendoza Mogoll´on e Kennedy Martins Pe- dros pelas prof´ıcuas contribui¸c˜oes dadas a essa disserta¸c˜ao. Aos professores Dr Andr´e Junqueira da Silva Corrˆea e o Dr Carlos Maria Carballo por aceitarem fazer parte da banca examinadora deste trabalho.

  Afinal agrade¸co a todos que de alguma forma estavam torcendo por mim, mesmo a ditˆancia, mais esta vit´oria em minha vida n˜ao ´e s´o minha ´e de todos n´os. Agrade¸co CAPES pelo apoio financeiro indispens´avel para a realiza¸c˜ao deste trabalho. Sum´ ario

   iii

  24

  46

  . . . . . . . . . 43

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  

   vi

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  3

   3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  

   vii

  . . . . . . . . . . . . . . 47

  

  60

  61

  

  63 Resumo

  LIBERATO, Serginei Jos´e do Carmo, M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, fevereiro de etricas do Conjunto de Julia 2014. Algumas Propriedades Geom´ . Orientador: Alexandre Miranda Alves. Coorientadores: Juan Valent´ın Mendoza Mogoll´on e Kennedy Martins Pedroso.

  Neste trabalho estudamos algumas propriedades geom´etricas do Conjunto de Julia e do e Conjunto de Julia Cheio. Al´em disso, procuramos uma forma de “mensurar” o conjunto de Julia, para isso utilizamos a medida de Hausdorff e determinamos uma cota inferior para a dimens˜ao de Hausdorff do conjunto de Julia.

  Abstract

  LIBERATO, Serginei Jos´e do Carmo, M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, febru- etricas do Conjunto de Julia ary, 2014. Algumas Propriedades Geom´ . Adviser: Alexandre Miranda Alves. Co-Advisers: Juan Valent´ın Mendoza Mogoll´on and Kennedy Martins Pedroso.

  In this work we study some geometric properties of Julia sets and filled-in Julia sets of polynomials. In addition, we seek a form of “measure”the Julia set, for this we use the Hausdorff measure and determine a lower bound to the Hausdorff dimension of the Julia set.

  Introdu¸ c˜ ao

  O campo da dinˆamica complexa anal´ıtica tem sofrido um r´apido desenvolvimento nos ´ ultimos 20 anos. Depois de um per´ıodo de relativa dormˆencia, o campo de estudo resurgiu em 1980 devido a algumas imagens, bastante intrigantes, obtidas com o aux´ılio de computadores do conjunto de Mandelbrot ou Connectedness Locus (O Conectedness Locus n da fam´ılia de polinˆomios de grau n consiste de todos os parˆametros c, tais

  M n que o conjunto de Julia de P c (z) = z + c ´e conexo, ou equivalentemente se a ´orbita de cada ponto cr´ıtico de P (z) ´e limitada), assim como a novos avan¸cos na matem´atica c preconizados por Douady, Hubbard, Sullivan e outros.

  O campo experimentou dois per´ıodos de evolu¸c˜ao de curta dura¸c˜ao, mas com um cresci- mento vigoroso e prof´ıcuo. As suas origens remontam aos finais do s´eculo XIX e in´ıcio do s´eculo XX. Nesta altura, matem´aticos como Leau, Schr¨oder, Koenings, B¨ottcher, entre outros, interessaram-se pelo comportamento das fun¸c˜oes complexas quando iteradas.

  O trabalho inicialmente focava-se no comportamento das mesmas junto aos pontos fixos. Nos anos 1918-20, uma dram´atica mudan¸ca ocorreu quando, gra¸cas aos esfor¸cos de dois matem´aticos franceses, Julia e Fatou, se come¸cou a estudar n˜ao apenas o comporta- mento local das fun¸c˜oes mas tamb´em o comportamento global das mesmas, ao estudar a dinˆamica das fun¸c˜oes fora dos pontos fixos. Por vezes, os resultados das itera¸c˜oes eram quase previs´ıveis e outras vezes o comportamento assumia-se como altamente inst´avel, o que agora conhecemos como comportamento ca´otico. Em mem´oria da contribui¸c˜ao dada por estes dois matem´aticos franceses no estudo da dinˆamica complexa, designamos o con- junto est´avel no plano complexo de conjunto de Fatou, enquanto que a regi˜ao ca´otica ´e conhecida por conjunto de Julia.

  Numa s´erie de trabalhos, nos anos vinte, Fatou e Julia, descreveram de forma fasci- nante muitas das propriedades destes conjuntos para transforma¸c˜oes racionais. Mais tarde, Baker estendeu o trabalho de Julia e Fatou a outras classes de fun¸c˜oes, mostrando durante a sua investiga¸c˜ao que outros tipos de comportamento est´avel podem ocorrer para fun¸c˜oes inteiras e fun¸c˜oes holomorfas.

  O segundo maior per´ıodo de atividade da dinˆamica complexa come¸cou em 1980, neste ano Mandelbrot usou gr´aficos obtidos por computador para estudar a dinˆamica complexa. A sua descoberta do conjunto de Mandelbrot catapultou a ´area e promoveu o interesse de outros matem´aticos em retomar os estudos neste campo. Numa r´apida sucess˜ao de Sullivan provar o teorema dos dom´ınios n˜ao errantes, que veio completar a classifica¸c˜ao de dinˆamicas est´aveis, classifica¸c˜ao essa que foi iniciada por Fatou e Julia. Com o aparec- imento do espa¸co dos parˆametros para polinˆomios quadr´aticos, introduzido por Douady, surge o desenvolvimento de t´ecnicas que permitiram a classifica¸c˜ao de quase todas as dinˆamicas quadr´aticas, ficando por resolver a quest˜ao da conectividade do conjunto de Mandelbrot.

  Logo ap´os estes trabalhos estendeu-se o estudo de outros tipos de sistemas dinˆamicos complexos, incluindo transforma¸c˜oes racionais e polinˆomios de grau superior, que surgem do m´etodo de Newton, e as fun¸c˜oes inteiras e holomorfas.

  No nosso trabalho estudamos algumas propriedades geom´etricas do conjunto de Julia e do conjunto de Julia Cheio. No cap´ıtulo 1 em um primeiro momento introduzimos os conceitos de An´alise Com- plexa como fun¸c˜oes holomorfas, condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann, Teorema Integral de

  Cauchy, Teorema de Green, F´ormula Anal´ıtica de Green, entre outros resultados de inte- gra¸c˜ao Complexa. Em um segundo momento estudamos alguns resultados de Teoria da Medida, como o conceito de σ-´algebra e a medida de Hausdorff;

  No cap´ıtulo 2 apresentamos alguns resultados gerais de dinˆamica, os conjuntos de Julia e de Fatou e as propriedades inerente a eles, al´em disso apresentamos o Teorema de B¨ottcher e suas implica¸c˜oes para o estudo dos conjuntos de Julia e de Julia Cheio, tamb´em apresentamos uma forma de estimarmos os coeficientes da fun¸c˜ao inversa a fun¸c˜ao dada pelo Teorema de B¨ottcher, e finalizamos o cap´ıtulo com estudando um pouco da teoria de polinˆomios de Faber;

  No cap´ıtulo 3 tratamos aspectos geom´etricos do conjunto de Julia e do conjunto de Julia Cheio, mais especificamente apresentamos condi¸c˜oes necess´arias para que o conjunto de Julia Cheio de um polinˆomio mˆonico e centrado seja conexo. Al´em disso, estimamos a dimens˜ao de Hausdorff do conjunto de Julia. Cap´ıtulo 1 Conceitos Preliminares

  Neste primeiro cap´ıtulo estamos interessados em apresentar alguns aspectos gerais da teoria de fun¸c˜oes complexas, para isto faremos uso das referˆencias bibliogr´aficas , .

1.1 T´ opicos em Vari´ aveis Complexas

  Defini¸ c˜ ao 1.1. Seja f uma fun¸c˜ao complexa f : G → C, com G ⊆ C aberto, dizemos que f ´e deriv´avel em z se o limite f (z) )

  − f(z z lim

  →z

  z − z

  ′ existe, e o denotamos f (z ).

  Se f ´e deriv´avel em todo z ∈ G dizemos que f ´e deriv´avel em G ou que f ´e holomorfa em G.

  Exemplo 1.2. : 1. f (z) = a,

  ∀z ∈ C e a ∈ C ´e holomorfa. De fato, f (z) ) a − f(z − a z z lim = lim = 0,

  →z →z

  z z − z − z

  ′

  Da´ı f ´e holomorfa e f (z) = 0, ∀z ∈ C. 2. g(z) = z ´e holomorfa. De fato, f (z) ) z

  − f(z − z z z lim = lim = 1,

  →z →z

  z z − z − z

  • iy )
  • iy )

  (z n

  −1

  −2

  −1

  −1

  • z n

  • · · · z n

  − z )

  ´e equivalente a lim h

  ′

  − z ) = f

  ) = nz n

  ) z − z lim z →z (z

  Observa¸ c˜ ao 1.3. :

  1. O limite lim z

  →z

  f (z) − f(z

  ) z − z

  →0

  − z (z

  f (z + h) − f(z

  ) h .

  = lim z →z f (z) − f(z

  Um dom´ınio ´e um subconjunto de C que ´e aberto e conexo. Teorema 1.5. Se f for holomorfa em um dom´ınio G ent˜ao f ´e cont´ınua em G.

  Demonstra¸c˜ao. Seja z ∈ G, temos que mostrar que lim z →z f (z) = f (z ), ∀z ∈ G. Como f ´e holomorfa temos que lim z

  →z

  f (z) − f(z

  ) z − z existe, assim lim z →z f (z)

  − f(z ) = lim z →z f (z)

  − f(z ) z

  2. As fun¸c˜oes polinomiais s˜ao holomorfas. Defini¸ c˜ ao 1.4.

  − z = lim z

  →z

  Por outro lado ao aproximar-se de z = x +iy pela reta z = x +i(y −y

  ′ ∀z ∈ C.

  3. h(z) = z n˜ao ´e holomorfa. De fato, ao aproximar-se de z = x + iy pela reta z = (x + x ) + iy com x → 0, temos lim z

  →z

  z − z z − z

  = lim x

  →0

  (x + x ) − iy − (x − iy

  ) (x + x ) + iy

  − (x

  = lim x

  →0

  x x = 1.

  ) com y → 0, temos lim z →z z

  z n − z n z

  − z z − z

  = lim y →0 x − i(y + y

  ) − (x − iy

  ) x + i(y − y

  ) − (x

  = lim y →0 −iy iy

  = −1. Portanto h(z) = z n˜ao ´e holomorfa. 4. f (z) = z n , n ∈ N ´e holomorfa.

  De fato, lim z

  →z

  f (z) − f(z

  ) z − z

  = lim z

  →z

  (z ) · 0 = 0 o que acarreta o resultado. suficiente sabermos se a parte real e a parte imagin´aria de f admitem derivadas parciais de primeira ordem em z = (x , y ), e se essas derivadas verificam as condi¸c˜oes de Cauchy- Riemann que ser˜ao apresentadas a seguir. Seja f : G

  → C sendo G um dom´ınio e escrevemos f (z) = u(x, y) + iv(x, y), sendo u : G

  → R, v : G → R. Teorema 1.6. Seja f : G = x + iy . Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente

  → C e z para que f seja deriv´avel em z ´e que u e v possuam derivadas parciais cont´ınuas em (x , y ), satisfazendo as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann dadas abaixo

  ∂u ∂v ∂u ∂v (x , y ) = (x , y ); (x , y ) = (x , y )

  − ∂x ∂y ∂y ∂x

  ′

  Al´em disso, se f (z ) existe ent˜ao ∂u ∂v ∂f

  ′

  f (z ) = + i = ∂x ∂x ∂x ∂v ∂u 1 ∂f = = .

  − i ∂y ∂y i ∂y

  Demonstra¸c˜ao. Por defini¸c˜ao f (z) ) − f(z

  ′

  f (z ) = lim z

  →z

  z − z

  Se z = x + iy , obtemos u(x, y ) + iv(x, y ) , y ) , y )

  ′ − u(x − iv(x

  f (z ) = lim z

  →z

  x − x u(x, y ) , y ) v(x, y ) , y )

  − u(x − v(x = lim + i lim z x

  →x →x

  x x − x − x

  ∂u ∂v = (x, y ) + i (x, y ) (1.1)

  ∂x ∂x Por outro lado, se z = x + iy, obtemos u(x , y) + iv(x , y) , y ) , y )

  − u(x − iv(x

  ′

  f (z ) = lim z

  →z

  i(y ) − y 1 u(x , y) , y ) v(x , y) , y )

  − u(x − v(x = lim + lim y y

  →y →y

  i y y − y − y 1 ∂u ∂v

  = (x , y) + (x , y) i ∂y ∂y ∂v ∂u

  = (x , y) (x , y) (1.2) − i

  ∂y ∂y

  ∂u ∂v ∂v ∂u

  ′

  f (z ) = + i = − i

  ∂x ∂x ∂y ∂y Da´ı

  ∂u ∂v ∂u ∂v = e =

  − ∂x ∂y ∂y ∂x

  E mais, temos que ∂f 1 ∂f = .

  ∂x i ∂y Agora se supondo que u e v satisfazem as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann e s˜ao de classe

1 C , temos que existem fun¸c˜oes ε e ε definidas em torno de (0, 0) satisfazendo que para

  1

  2

  2

  todo (r, s) suficientemente pequeno ∈ R

  ∂u ∂u u(x + r, y + s) , y ) = (x , y )r + (x , y )s + ε (r, s),

  1

  − u(x ∂x ∂y ∂v ∂v v(x + r, y + s) , y ) = (x , y )r + (x , y )s + ε (r, s),

  2

  − v(x ∂x ∂y e

  ε (r, s) ε (r, s)

  1

  2

  lim = lim = 0 √ √

  2

  2

  2

  2 (r,s)→(0,0) (r,s)→(0,0)

  r + s r + s Colocando h = r + is e utilizando as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, obtemos f (z + h) ) = u(x + r, y + s) , y ) + i(v(x + r, y + s) , y ))

  − f(z − u(x − v(x ∂u ∂u ∂v ∂v

  = (x , y )r + (x , y )s + i (x , y )r + i (x , y )s + ε (r, s) + iε (r, s)

  1

  2

  ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u

  = (x , y )r (x , y )s + i (x , y )r + i (x , y )s + ε

  1 (r, s) + iε 2 (r, s)

  − ∂x ∂x ∂x ∂x

  ∂u ∂v = (x , y )(r + si) + i (x , y )(r + si) + ε (r, s) + iε (r, s)

  1

  2

  ∂x ∂x ∂u ∂v

  = (x , y ) + i (x , y ) h + ε (r, s) + iε (r, s)

  1

  2

  ∂x ∂x Da´ı f (z + h) ) ∂u ∂v ε

  1 (r, s) ε 2 (r, s)

  − f(z lim (x , y ) + i (x , y ) = lim + i = 0, hh

  →0 =r+si→0

  h ∂x ∂x r + si r + si pois ε (r, s) (r, s) j j

  |ε | √ −→ 0, quando (r, s) → 0, j = 1, 2.

  2

  2

  = r + si r + s

  ∂u ∂v

  ′ f (z ) = (x , y ) + i (x , y ).

  ∂x ∂x

  ′

  Corol´ ario 1.7. Seja f : G (z) = 0 em G, ent˜ao

  → C holomorfa em um dom´ınio G. Se f f ´e constante.

  ∂u ∂v

  ′

  Demonstra¸c˜ao. De fato, tem-se f (z) = (x, y) + i (x, y) = 0 em G. Pelas equa¸c˜oes ∂x ∂x

  ∂v ∂u ∂u de Cauchy-Riemann conclui-se que (x, y) (x, y) = 0 em G. Resulta (x, y) = − i

  ∂y ∂y ∂x ∂v ∂v ∂u

  (x, y) = (x, y) = (x, y) = 0 em G, portanto u e v s˜ao constantes, e da´ı f ´e ∂x ∂y ∂y constante.

  Defini¸ c˜ ao 1.8.

  Seja G um subconjunto aberto de C, a um elemento de G e f : G \{a} → C uma aplica¸c˜ao holomorfa. Se existir uma aplica¸c˜ao holomorfa g : G

  → C, g(a) 6= 0 e g(z) um inteiro n˜ao negativo n tal que f (z) = para todo z em G n \ {a}, ent˜ao a ´e

  (z − a) denominado um polo de f de ordem m.

  Defini¸ c˜ ao 1.9. Dizemos que uma aplica¸c˜ao f ´e meromorfa num aberto U ⊂ C, se existe um conjunto discreto Γ

  ⊂ U tal que f ´e holomorfa em U \ Γ e os pontos de Γ s˜ao polos de f . Defini¸ c˜ ao 1.10.

  Uma aplica¸c˜ao meromorfa e um a um ´e dita aplica¸c˜ao univalente. Exemplo 1.11.

  As seguintes aplica¸c˜oes s˜ao univalentes: 1. f (z) = z;

  1 2. f (z) = z

  Defini¸ c˜ ao 1.12. Uma fun¸c˜ao f : G → C que tem a propriedade que o ˆangulo ´e preservado e tamb´em

  |f(z) − f(a)| z lim

  →a

  |z − a|

  ′

  existe ´e chamada aplica¸c˜ao conforme. Se f ´e anal´ıtica e f (z) 6= 0 para algum z ent˜ao f ´e conforme. az + b Defini¸ c˜ ao 1.13.

  A fun¸c˜ao racional da forma f (z) = , com ad − bc 6= 0 ´e chamada cz + d transforma¸c˜ao de M¨obius. dz − b

  −1

  Se f ´e uma transforma¸c˜ao de M¨obius ent˜ao f (z) = tamb´em ´e uma trans- −cz + a forma¸c˜ao de M¨obius, pois ad

  − bc 6= 0 e al´em disso dz − b a + b dz adz

  − b − ab − bcz + ab

  −1

  −cz + a f (f (z)) = f = = dz

  − b cdz −cz + a − cb − cdz + ad c + d

  −cz + a (ad

  − bc)z −1 = = z = f (f (z)) ad

  − bc az + b rz + s

  −1

  Da´ı temos que f (z) ´e a inversa da aplica¸c˜ao f . Sejam f (z) = e g(z) = cz + d tz + w (ar + bt)z + (as + bw) transforma¸c˜oes de M¨obius, ent˜ao (f

  ´e uma ◦ g)(z) = f(g(z)) =

  (cr + dt)z + (cs + dw) transforma¸c˜ao de M¨obius, pois (ar+bt)(cs+dw) −(as+bw)(cr+dt) = (ad−bc)(wr−st) 6= 0. Portanto as transforma¸c˜oes de M¨obius tem estrutura de grupo. z

  − i Exemplo 1.14. A fun¸c˜ao f (z) = ´e uma transforma¸c˜ao de M¨obius. z + i Os resultados apresentados podem ser encontrados em ().

  Defini¸ c˜ ao 1.15.

  Seja f : [a, b] ⊂ R → C dada por f(t) = u(t) + iv(t). Definimos a integral complexa de f por b b b

  Z Z Z a a a f (t)dt = u(t)dt + i v(t)dt Propriedades:

  R b b R i) Re f (t)dt = Re(f (t))dt a a

  R b b R ii) Im f (t)dt = Im(f (t))dt b b b a a

  R R R iii) (f + g)(t)dt = f (t)dt + g(t)dt a a a iv) Se c b Z b b b b ∈ C, c = a + bi: Z Z Z Z c f (t)dt = (a + bi) u(t)dt + v(t)dt = (au (bu + av)dt a a a a a − bv)dt + i e b b b b

  Z Z Z Z cf (t)dt = (a + bi)(u + iv)dt = (au (bu + av)dt a a a a − bv)dt + i

  

b b

  Z Z c f (t)dt = cf (t)dt a a Defini¸ c˜ ao 1.16. Uma curva parametrizada diferenci´avel ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel f

  ∞

  de classe C , e seu tra¸co ´e o conjunto {f(t) : t ∈ [a, b] ⊂ R}. Defini¸ c˜ ao 1.17.

  Uma fun¸c˜ao γ : [a, b] ⊂ R → C ´e de varia¸c˜ao limitada se existe M > 0 tal que para toda parti¸c˜ao P = < t < n = b

  1

  {a = t · · · < t } temos que ν(γ, P ) = max 1≤k≤n k ) k −1 ) {|γ(t − γ(t |} ≤ M. A varia¸c˜ao total ´e ν(γ) = sup ν(γ, P ). P Defini¸ c˜ ao 1.18.

  Uma curva ´e retific´avel se ela ´e de varia¸c˜ao limitada. Defini¸ c˜ ao 1.19 (Integral de Riemann-Stieltjes). O n´ umero

  Z Z I = f = f (γ(t))dγ(t) γ γ ´e dito a integral de f sobre γ.

  1 Proposi¸ c˜ ao 1.20.

  Se γ : [a, b] em [a, b] ent˜ao γ ´e retificavel e → C ´e de classe C b

  Z

  ′

  ν(γ) = γ (t)dt a Demonstra¸c˜ao. Dada P = = a < t < t < k = b

  1

  

2

  {t · · · < t } temos n

  X ν(γ, P ) = k ) k )

  −1 k =1 n |γ(t − γ(t | t

  Z k

  X

  ′

  = γ (t)dt k =1 n | | t t b k−1 Z k Z

  X

  ′ ′

  (t) (t) ≤ |γ |dt = |γ |dt k t a k−1

  =1

  1 Definida para fun¸c˜oes cont´ınuas sobre γ que s˜ao de classe C em [a, b].

  1 Defini¸ c˜ ao 1.21. Dada f cont´ınua em γ e γ de classe C em [a, b] definimos a integral

  de f sob a curva γ por Z Z Z Z b

  ′ γ γ γ a f dγ = f = f dz = f (γ(t))γ (t)dt.

  1 it Exemplo 1.22. Se f (z) = e γ(t) = re , t

  ∈ [0, 2π] ent˜ao z Z Z 2π it it

  ′ γ f dz = f (re )(re ) dt

  Z 2π Z 2π

  1 it = rie dt = idt = 2iπ it re

  Defini¸ c˜ ao 1.23. Seja f : G → C, com G aberto, e f cont´ınua. Dizemos que F : G → C

  

´e uma primitiva de f se F ´e holomorfa e F = f .

  Proposi¸ c˜ ao 1.24. Seja f : G → C cont´ınua em G, onde G ´e um dom´ınio (aberto e conexo). Se F ´e uma primitiva de f ent˜ao F + K tamb´em o ´e, mais ainda qualquer outra primitiva de f ´e da forma F + K, onde K ´e uma constante.

  Demonstra¸c˜ao. Se H ´e outra primitiva de f ent˜ao H − F ´e holomorfa e

  ′ ′ ′

  (H (z) = H (z) (z) = f (z) − F ) − F − f(z) = 0

  Ent˜ao H − F = K, com K constante. Defini¸ c˜ ao 1.25. Uma fun¸c˜ao f : G

  ⊂ C → C ´e dita anal´ıtica se para todo a ∈ G, ∃r m´aximo tal que B r (a) ⊂ G e

  ∞

  X n f (z) = a (z , (a). n r n − a) ∀z ∈ B

  =0

  Teorema 1.26 (Teorema Integral de Cauchy). Se f : G → C, com G um dom´ınio simplesmente conexo (ou seja, G ´e aberto, conexo, e sem buracos, no sentido que qualquer curva fechada de G delimita uma regi˜ao inteiramente contida em G), e f anal´ıtica. Ent˜ao R γ f dz = 0 para toda curva γ de Jordan, regular, inteiramente contida em G.

  Observa¸ c˜ ao 1.27. γ ser uma curva de Jordan significa que γ ´e uma curva fechada e simples (ou seja, γ ´e uma aplica¸c˜ao injetora). Demonstra¸c˜ao. (Teorema Integral de Cauchy): Ver referˆencia . Proposi¸ c˜ ao 1.28. Se f : G

  → C ´e anal´ıtica ent˜ao f possui uma primitiva, mais ainda R se γ ´e um caminho fechado em B(a) f dz = 0.

  ⊂ G ent˜ao γ Demonstra¸c˜ao. Dado a r (a)

  ∈ G, ∃r > 0 tal que B ⊂ G e

  ∞

  X n f (z) = a n (z , r (a) n − a) ∀z ∈ B

  =0

  • 1

  ∂x

  a z

  2 .

  Demonstra¸c˜ao. (1) ⇒ (3) : Sejam σ(t) = x(t) + iy(t), t ∈ (a, b); f(z) = u + iv, F (z) =

  N + iM e z

  1 = σ(a) = x(a) + iy(a), z 2 = σ(b) = x(b) + iy(b). Sabemos que F ′

  = f e F

  ′

  = ∂N

  ∂M ∂x

  de qualquer caminho σ contido em G, que liga z

  = ∂M

  ∂y − i

  ∂N ∂y

  Ent˜ao         

  ∂N ∂x

  = u = ∂M

  ∂y e −

  ∂N ∂y

  = v = ∂M

  1

  

2

  ∂x e

  < 1, ent˜ao a n (z − a) n +1 n + 1

  → C dada por F (z) =

  ∞

  X n

  =0

  a n n + 1 (z

  − a) n

  Sabemos que para n grande: |z − a| n + 1

  ≤ r n + 1

  = |a n (z − a) n | z

  e z

  − a n + 1 ≤ |a n (z

  − a) n | Ent˜ao F est´a bem definida (raio de convergˆencia r) e F

  ′ = f .

  Teorema 1.29.

  Dada f : G → C cont´ınua e G um dom´ınio simplesmente conexo, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

  1. f possui uma primitiva 2.

  R γ f dz = 0, para todo caminho fechado γ ⊂ G 3.

  R σ f dz s´o depende dos extremos z

  1

  • i
  • iM (x(t), y(t))

  Z γ f dz = Z b a

  1

  1

  a z

  2

  e σ um caminho que liga z

  2

  a z

  em G. Seja γ um caminho que liga z

  Z γ

  2

  e z

  1

  (2) ⇒ (3) : Sejam z

  2 segue o resultado.

  = z

  ambos os caminhos definidos em G. Logo γ − σ ´e um caminho fechado em G, que ´e simplesmente conexo, assim

  −σ

  ⇒ (2) : Como em (1) ⇒ (3) temos z

  ′

  Z γ f (w)dw + Z σ f (w)dw

  F (z + h) = Z γ +σ f (w)dw =

  ⊂ G. Mais ainda, temos que σ(t) = z + th, com t ∈ [0, 1] est´a contido em B r (z) ⊂ G, logo temos

  |h| < r, z + h ∈ B r (z)

  De fato, como G ´e aberto, existe r > 0 tal que B r (z) ⊂ G. Assim para h ∈ C com

  (z) = f (z), ∀z ∈ G

  Afirma¸ c˜ ao: F

  f dz = 0 ⇒

  R γ f dz, onde γ ´e o caminho que liga z a z. F est´a bem definida por hip´otese, pois a integral est´a bem definida.

  F : G → C z 7→ F (z) por F (z) =

  (3) ⇒ (1) : Agora fixe z ∈ G, e defina

  R γ f dz = R σ f dz.

  Z σ f dz = 0, ent˜ao

  Z γ f dz −

  

1

  ) (1)

  (u(t)x

  ′

  ∂N ∂y y

  (t) −

  ′

  ∂x x

  Z b a ∂N

  (t))dt =

  (t) + v(t)x

  (t) dt + i Z b a

  ′

  (u(t)y

  (t))dt + i Z b a

  ′

  (t) − v(t)y

  ′

  ′

  ∂M ∂y y

  1

  | b a

  ) − F (z

  2

  − F (x(a) + iy(a)) = F (z

  − (N(x(a), y(a)) + iM(x(a), y(a))) = F (x(b) + iy(b))

  − N(x(a), y(a)) + iM(x(b), y(b)) − iM(x(a), y(a)) = N (x(b), y(b)) + iM (x(b), y(b))

  | b a = N (x(b), y(b))

  (M (x(t), y(t)))dt = N (x(t), y(t))

  ′

  (N (x(t), y(t)))dt + i Z b a d dt

  Z b a d dt

  (t) dt =

  ′

  ∂x x

  (t) + ∂M

  = F (z) + Z σ f (w)dw

  Z F (z + h)

  1 − F (z)

  = f (w)dw h h σ Por outro lado,

  Z Z

  1

σ dw = 1σ (t)dt = h1 = h

  ´e da´ı temos que Z Z

  F (z + h)

  1

  1 − F (z) f (w)dw f (w)dw

  − f(z) = − f(z) = − f(z)h h h h σ σ Z Z Z Z

  1

  1 = f (w)dw dw = f (w)dw f (z)dw

  − f(z) − h h σ σ σ σ Z f (w)

  − f(z) = dw σ h

  Como f ´e cont´ınua dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se |w − z| < δ ent˜ao |f(w) − f(z)| < ǫ. Logo tomando δ = min

  {r, δ} e se h < δ, temos |f(w) − f(z)| < ǫ, assim dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que

  Z F (z + h) f (w)

  − F (z) − f(z) h < δ dw

  ⇒ − f(z) = ≤ h h σ

  Z |f(w) − f(z)|

  ≤ |dw| σ |h|

  Z ǫ ǫ

  < σ |dw| = |h| = ǫ |h| |h|

  ′ Ent˜ao F (z) = f (z).

  Nos pr´oximos resultados mostraremos que se G ⊂ C ´e um dom´ınio simplesmente conexo e f : G

  → C ´e holomorfa, ent˜ao existe uma representa¸c˜ao de f ao longo de caminhos fechados contidos em G. Teorema 1.30

  (F´ormula Integral de Cauchy). Sejam f : G → C holomorfa no dom´ınio simplesmente conexo G e γ um caminho fechado qualquer contido em G. Para todo z no interior da regi˜ao delimitada por γ, tem-se

  Z 1 f (ξ)dξ f (z) = ,

  2πi ξ γ − z denominada f´ormula integral de Cauchy.

  Demonstra¸c˜ao. De fato, sendo G aberto, para cada z no interior de γ existe um disco f (ξ) suponhamos que γ e Γ sejam caminhos orientados no mesmo sentido. A fun¸c˜ao ξ →

  ξ − z

  ´e holomorfa em G − I(Γ) (G menos o interior de Γ ). Como anteriormente temos

  Z Z f (ξ)dξ f (ξ)dξ = γ ξ ξ

  − z Γ − z it Uma representa¸c˜ao param´etrica de Γ ´e dada por ξ = z + ρe , com 0

  ≤ t ≤ 2π. Da´ı Z Z 2π 1 f (ξ)dξ

  1 it = f (ξ + ρe )dt,

  2πi ξ 2πi γ − z da qual obtem-se

  Z Z 2π 1 dξ 1 it

  ) − f(z) |f(z + ρe − f(z)|dt

  ≤ 2πi ξ 2π γ

  − z Sendo f cont´ınua em G, por ser holomorfa, segue-se que para cada ε > 0, existe δ = δ(ε) it tal que

  |f(z + ρe − f(z)| < ε, para todo ρ < δ. Resulta que a f´ormula anterior implica na f´ormula integral de Cauchy. Observemos que a f´ormula integral de Cauchy, nos diz que se f : G

  → C for holomorfa no dom´ınio simplesmente conexo G, ent˜ao o seu valor f (z) em todo z no interior da regi˜ao delimitada por um caminho fechado γ qualquer contido em G, ´e obtido atrav´es do conhecimento de f sobre γ.

  Como f ´e holomorfa em G e como f : G → C ´e cont´ınua segue que

  Z f (ξ) z dξ

  → γ ξ − z

  ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em (G − γ). Teorema 1.31. Seja f : G

  ⊂ C → C uma fun¸c˜ao holomorfa, com g um dom´ınio, ent˜ao f ´e anal´ıtica, ou seja dado a (a) r ∈ G, existe B ⊂ G tal

  ∞

  X n f (z) = a n (z , r (a). n − a) ∀z ∈ B

  =0

  Demonstra¸c˜ao. Dado a ∈ G, ∃R > 0 tal que B(a, R) ⊂ G. Considere r tal que 0 < r < R, da´ı B(a, r)

  ⊂ B(a, R) e f ´e holomorfa em B(a, r). Logo pela f´ormula integral de Cauchy, temos que Z 1 f (w)dw f (z) = , onde γ = ∂B(a, r),

  ∀z ∈ B(a, r) 2πi w γ

  − z

  !

  1

  1

  1

  1 = = z

  −a

  w (w w

  1 − z − a) − (z − a) − a − w

  −a

  z − a

  Como (z − a) < r e |w − a| = r, temos que

  < 1, assim w − a

  

∞ n

  X

  1 1 z − a

  = , ∀z ∈ B(a, r) w w w

  − z − a − a n =0 ou seja,

  ∞ n

  X 1 (z − a)

  = , n ∀z ∈ B(a, r)

  • 1

  w (w − z − a) n

  =0

  da´ı !

  ∞

  Z Z n

  X 1 f (w) 1 (z

  − a) f (z) = dw = f (w) dw n

  • 1

  2πi w 2πi (w γ γ − z − a) n

  =0

  !

  ∞ ∞

  Z Z n n

  X X 1 f (w)(z 1 f (w)(z

  − a) − a) = dw = dw n +1 n +1

  2πi (w 2πi (w γ γ n n − a) − a)

  =0 =0 ∞ ∞

  Z

  X X 1 f (w) n n = dw (z = a n (z , n − a) − a)

  • 1

  2πi (w γ n n − a)

  =0 =0

  onde Z n f (w) f (a) a n = dw = n +1 γ − a) (w n! Portanto f ´e anal´ıtica.

  Observa¸ c˜ ao 1.32. Se f ´e anal´ıtica ent˜ao f ´e holomorfa em G.

  Da´ı segue os dois resultados seguintes, estes podem ser consultados em detalhes em . Teorema 1.33.

  Seja f : (G − γ) → C definida por

  Z 1 ϕ(ξ)dξ f (z) = ,

  2πi ξ γ − z com ϕ : G → C cont´ınua e holomorfa em (G − γ), ent˜ao a derivada ´e igual a

  Z 1 ϕ(ξ)dξ

  ′ f (z) = .

  2

  2πi (ξ γ − z)

  Z 1 ϕ(ξ) f (z) = dξ

  2πi ξ γ − z possui derivadas de todas as ordens, sendo a derivada de ordem n dada por

  Z n! ϕ(ξ)

  (n)

  f (z) = dξ, n +1 2πi (ξ γ − z) para todo z em (G

  − γ). Teorema 1.35

  (Teorema de Morera). Seja f : G → C uma fun¸c˜ao cont´ınua no dom´ınio simplesmente conexo G. Se

  Z f (z)dz = 0

  Γ para todo caminho fechado contido em G, segue-se que f ´e holomorfa em G.

  R Demonstra¸c˜ao. Como f (z)dz = 0 para todo caminho contido em G, temos que se

  Γ

  z ∈ G, a integral z

  Z z f (ξ)dξ = 0 depende somente de z. da´ı Z z

  ϕ(z) = f (ξ)dξ = 0 z

  ′

  est´a definida em G e ´e deriv´avel, com ϕ (z) = f (z). Portanto, f ´e igual a derivada de uma fun¸c˜ao holomorfa, ϕ, logo holomorfa, e segue o teorema.

  Teorema 1.36 (Teorema de Liouville). Se f : C

  → C ´e holomorfa em todo C ent˜ao f ´e constante. Demonstra¸c˜ao. Seja z um ponto qualquer de C e D(0, ρ) um disco aberto com centro na origem contendo z em seu interior. Representamos por γ a fronteira de D(0, ρ). Sendo f holomorfa em C,

  Z 1 f (ξ) f (z ) = dξ,

  2πi ξ γ − z pela f´ormula integral de Cauchy. Tem-se tamb´em,

  Z 1 f (ξ) f (0) = dξ.

  2πi ξ γ Assim

  Z

  1 |z ||f(ξ)|

  ) |f(z − f(0)| ≤ |dξ|

  2π γ |ξ − z ||ξ|

  |f(z)| < K para todo z ∈ C. Consequentemente,

  Z 2π K

  |z | |dξ| ) . |f(z − f(0)| ≤

  2π |ξ − z ||ξ|

  Temos que ξ ∈ γ, logo |ξ − z | ≥ ρ − |z |, portanto

  K |z | ) .

  |f(z − f(0)| ≤ (ρ

  − |z |) Sendo K,

  |z | n´umeros independentes de ρ. Fazendo ρ → ∞ na express˜ao anterior temos que para todo z ) = f (0) o que mostra que f ´e constante em C.

  ∈ C, f(z Teorema 1.37

  (Teorema do M´odulo M´aximo). Seja f : U → C uma fun¸c˜ao holomorfa, onde U

  ) ⊂ C ´e um aberto conexo. Suponhamos que exista z ∈ U tal que |f(z)| ≤ |f(z | para todo z numa vizinhan¸ca de z . Ent˜ao f ´e constante em U .

  Demonstra¸c˜ao. Seja z ) = ) . Consideremos a ∈ U, e suponhamos que f(z |f(z |e

  −iθ

  fun¸c˜ao g(z) = e f (z). Temos que ) ) para todo z numa |g(z)| = |f(z)| ≤ |f(z | = g(z vizinhan¸ca de z . Escrevamos g(z) = u(z) + iv(z), onde u = Reg e v = Img. Como

  −iθ −iθ g(z ) ) = e f (z ) = e e ) ) = g(z ) e v(z ) = 0.

  ∈ R(pois g(z |f(z |), temos que u(z Agora seja r > 0 tal que D r (z ) r (θ) = z + re . Pela f´ormula

  ⊂ U ⊂ C e tomemos γ integral de Cauchy podemos escrever Z Z 2π iθ 1 g(w)

  1 g(z + re ) u(z ) = g(z ) = dw = ire dθ 2πi w 2πi re γ r

  − z Z 2π

  1 = g(z + re )dθ

  2π Z 2π Z 2π 1 i iθ iθ

  = u(z + re )dθ + v(z + re )dθ 2π 2π

  Igualando as partes reais, obtemos Z 2π

  1 u(z ) = u(z + re )dθ (1.3) 2π

  Afirma¸ c˜ ao: A hip´otese do teorema e a igualdade acima implicam que u(z ) = u(z + re ), ∀θ ∈ [0, 2π].

  De fato, seja h(θ) = u(z ) + re ). Assim temos − u(z u(z) ) = u(z ),

  ≤ |u(z)| ≤ |g(z)| ≤ g(z ∀z ∈ V

  1

  1

  ≥ 0 para todo θ ∈ [0, 2π]. Note que se h(θ ∈ [0, 2π], ent˜ao ter´ıamos h(θ) > 0 para θ em um intervalo contendo θ , pois h ´e cont´ınua. O que

  1

  implica Z 2π Z 2π

  1

  1 0 < h(θ)dθ = (u(z ) + re ))dθ − u(z

  2π 2π Z 2π

  1 = u(z ) u(z + re )dθ

  − 2π o que gera uma contradi¸c˜ao com a igualdade Concluimos que u(z +re ) = u(z ),

  ∀θ ∈ [0, 2π] e todo r > 0 tal que D r (z )

  ⊂ V ⊂ C. Da´ı obtemos que u ´e uma constante em um disco aberto D . Por outro lado as rela¸c˜oes de Cauchy-Riemann ⊂ C, com centro em z

  ∂v ∂u ∂v ∂u = = 0, = = 0.

  − − ∂x ∂y ∂y ∂x

  Portanto v ´e tamb´em constante em D, ou seja, g = u + iv ´e constante em D. Como f (z) = e g(z), concluimos que f tamb´em ´e constante em D, logo constante em U , uma vez que U ´e conexo e f ´e anal´ıtica.

  Corol´ ario 1.38 (Princ´ıpio do M´aximo). Seja G um dom´ınio limitado de C. Se f : G → C holomorfa em G e cont´ınua no fecho G. O m´aximo de

  |f| ´e assumido em um ponto da fronteira de ∂G. Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que

  |f| assume m´aximo no interior de G, digamos em a ∈ intG, assim Z

  

  1 f (a) = f (a + re )dθ 2π e assim temos

  Z 2π Z 2π

  1

  1 )

  |f(a)| ≤ |f(a + re |dθ ≤ |f(a)|dθ = |f(a)| 2π 2π

  Z 2π

  1 iθ iθ Portanto ) ) ) =

  |f(a+re |dθ = |f(a)| e como 0 ≤ |f(a+re | ≤ |f(a)|, da´ı f(a+re 2π f (a),

  ∀r ∈ [0, 2π]. Como |f| ´e cont´ınua, ent˜ao temos que f ´e localmente constante, e do fato de G ser conexo e f cont´ınua segue que f ´e constante, o que ´e um absurdo, logo o m´aximo de f n˜ao pode ocorrer no interior de G.

  Agora apresentaremos a f´ormula anal´ıtica de Green para ´area de uma regi˜ao, usaremos este resultado no cap´ıtulo 3. Os resultados desta se¸c˜ao podem ser encontrados em ,

  ∞

  X

  −n

  g(z) = z + b n z ( i n |z| > 1) e b ∈ R

  =0

  Defini¸ c˜ ao 1.39. O ´ındice de uma curva fechada suave por partes C em rela¸c˜ao a um ponto w 6∈ C ´e definido por

  Z

  1

  1 χ(C, w) = du. 2πi C u

  − w Observa¸ c˜ ao 1.40. O ´ındice ´e uma constante em cada componente conexa de C

  \ C. Da´ı temos os seguintes resultados: Teorema 1.41

  (F´ormula anal´ıtica de Green). Seja C uma curva suave por partes ho- mologa a zero com respeito a um dom´ınio H ⊂ C. Se h(w) ´e holomorfa em H ent˜ao

  Z Z Z

  1

  1

  ′ ′

  2

  h(w)h (w)dw = χ(C, w) (w) dΩ |h |

  2πi π C H onde dΩ ´e um elemento de ´area.

  A curva C ser homologa a 0 significa que o ´ındice da curva satisfaz χ(C, w) = 0 para w 6∈ H, assim em alguma vizinhan¸ca de ∂H. Com base neste teorema temos o seguinte corol´ario

  Corol´ ario 1.42. Sejam g ), 0

  ∈ Σ e H(r) todo o dom´ınio de C : g(re ≤ θ ≤ 2π. Se h(w) ´e anal´ıtica em H(r ) para algum r > 1 ent˜ao Z Z Z

  1

  1

  ′ ′

  2

  h(w)h (w)dw = (w) dΩ (1 < r < r ) |h |

  2πi π C H (r)

1.2 Alguns Resultados de Teoria da Medida Nesta se¸c˜ao usaremos as referˆencias [7], [12], [15] e [16], .

  C Sejam Ω um conjunto qualquer, A = Ω

  ⊂ Ω um subconjunto de Ω e A \A. Denotemos

  Ω por 2 o conjunto das partes de X, onde X ´e um conjunto qualquer.

  Defini¸ c˜ ao 1.43. Seja Ω um conjunto. Uma sigma-´algebra (σ-´algebra) ´e uma fam´ılia de subconjuntos de Ω, denotada por F, que satisfaz as seguintes propriedades: i)

  ∅, Ω ∈ F;

  C

  ∈ F, ent˜ao A ∈ F; S ∞ iii) Se A A n n ∈ F para cada n ∈ N, ent˜ao n ∈ F.

  

=1

  O par ordenado (Ω,

  F) ´e chamado espa¸co mensur´avel. Cada elemento da σ-´algebra ´e chamado conjunto mensur´avel. Observa¸ c˜ ao 1.44.

  Quando (Ω,

  F) ´e um espa¸co topol´ogico, a sua σ-´algebra ´e chamada σ-´algebra de Borel de Ω, e ´e denotada por

  B = B(F). Os elementos de B s˜ao denominados subconjuntos de Borel. Observa¸ c˜ ao 1.45.

  Pelas Leis de De Morgan uma σ-´algebra ´e fechada em rela¸c˜ao a in- terse¸c˜ao. Exemplo 1.46.

  S˜ao conjuntos de Borel em R

  1. Os conjuntos com um ´ unico elemento;

  1

  ∞

  De fato, seja a a , a ∈ R ent˜ao {a} = ∩ i =1 − ∈ B(R), pois cada elemento da n interse¸c˜ao pertence a B(R).

  2. Conjuntos Cont´aveis; De fato, pois um conjunto cont´avel ´e a uni˜ao cont´avel de conjuntos com um ´ unico elemento. n Defini¸ c˜ ao 1.47.

  Chamamos µ uma medida em R se µ ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa, n possivelmente , µ satisfaz:

  ∞, tal que para cada subconjunto de R ı) µ(

  ∅) = 0 ı) µ(A)

  ≤ µ(B) se A ⊂ B ı) Se A

  1 , A 2 ,

  · · · , ´e uma sequˆencia cont´avel de conjuntos disjuntos ent˜ao !

  

∞ ∞

  [

  X µ A i = µ(A i ) i =1 i =1 onde os A s˜ao conjuntos de Borel. Chamamos µ(A) de medida do conjunto A. i

  Observa¸ c˜ ao 1.48. Como consequˆencia da defini¸c˜ao anterior, se um conjunto A pode ser expresso como a uni˜ao disjunta A = B ∪ (A \ B) ent˜ao

  µ(A \ B) = µ(A) − µ(B). Similarmente, se A

  1

  2

  ⊂ A ⊂ · · · ´e uma sequˆencia de conjuntos de Borel ent˜ao !

  ∞

  [ i →∞ lim µ(A i ) = µ A i i

  =1 S ∞ S S S i \ A \ A · · · com esta uni˜ao

  1

  2

  1

  3

  2 =1

  disjunta !

  ∞ ∞

  [

  X µ A i = µ(A ) + (A i i )

  1 +1 i i − A =1 =1 k

  X = µ(A

  1 ) + lim (µ(A i +1 ) i )) k − µ(A →∞ i =1

  = lim µ(A k ) k

  →∞

  Mais geralmente, podemos mostrar que se δ > 0, A δ s˜ao conjuntos de Borel que ′ crescem quando δ decresce, ou seja, A δ δ para 0 < δ < δ , ent˜ao

  ⊂ A !

  [ δ lim µ(A δ ) = µ A δ

  →0 δ> n Defini¸ c˜ ao 1.49.

  Uma medida de um subconjunto limitado A de R tal que 0 < µ(A) < ∞ ser´a chamada distribui¸c˜ao de massa.

  Defini¸ c˜ ao 1.50.

  Por um espa¸co de medida (Ω,

  F, µ) significa um espa¸co (Ω, F) junto com uma medida µ definida sobre F.

  Defini¸ c˜ ao 1.51.

  Se µ(Ω) = 1 dizemos que µ ´e uma probabilidade e o espa¸co (Ω,

  F, µ) ´e chamado espa¸co de probabilidade. Observa¸ c˜ ao 1.52. :

  1. Na topologia fraca estrela uma medida µ n → µ em M(X) se, e somente se, ∀f ∈

  R R

  ′

  C(X) f dµ n f dµ, onde M (X) ´e a cole¸c˜ao de todas as medidas de probabili- → dade definidas sobre o espa¸co mensur´avel (X,

  B(X)) e C(X) conjunto de aplica¸c˜oes cont´ınuas de X para X.

  2. Se µ n , µ ∈ M(X), n ≥ 1, pode-se provar as seguintes equivalˆencias i) µ n

  → µ na topologia fraca estrela. ii) Para cada subconjunto fechado F de X, lim supµ n (F ) n ≤ µ(F ).

  →∞

  iii) Para cada subconjunto aberto U de X, lim infµ n (U ) n ≥ µ(U).

  →∞

  iv) Para cada A n (A) ∈ B com µ(∂A) = 0, µ → µ(A). Em 1918, Hausdorff introduziu a medida t t (E) de um conjunto E e −dimensional m definiu a dimens˜ao de Hausdorff de E.

  Denotamos por D(w, r) o c´ırculo de centro w e raio r, e para um conjunto A, denotamos o diˆametro de A por |A| = sup{|z − w| : z, w ∈ A.}

  C Seja E algum subconjunto de b = C

  ∪ {∞} (a esfera de Riemann) e t um n´umero positivo. Para cada δ > 0, consideremos as poss´ıveis coberturas j {A } de E por conjuntos

  P t de diˆametro menor do que δ. Nosso objetivo ser´a minimizar a soma j , para isso j |A | definamos: ( ) δ t X [ m (E) = inf j : j A j t |A | |A | < δ, E ⊂ j j Defini¸ c˜ ao 1.53.

  Quando δ decresce, a classe de tais coberturas de E diminuem e defini- mos a medida t-dimensional m t (E) de E por δ δ m t (E) = lim m (E) = sup m (E) δ t δ> t

  →0

  Observe que tal limite sempre existe, e da´ı m t (E) ´e chamado medida t-dimendional de Hausdorff O seguinte resultado nos permitir´a definir a dimens˜ao de Hausdorff.

  Lema 1.54. Se 0 t (E) < + T (E) = 0 ≤ m ∞ e t < T , ent˜ao m

  S Demonstra¸c˜ao. Suponha que a fam´ılia j A j e j

  {A } satisfaz E ⊂ j |A | < δ, ent˜ao δ T T t

  X X

  −t

  m (E) j j T ≤ |A | ≤ δ |A | j j Variando j

  {A } sobre todas tais coberturas de E, obtemos δ T δ

  −t

  m (E) m (E), T ≤ δ t e fazendo δ T (E) = 0. → 0, obtemos que m Defini¸ c˜ ao 1.55.

  Uma consequˆencia imediata do lema anterior ´e a existˆencia de um n´ umero n˜ao negativo d(E) tal que ∞ se t < d(E)

  • m t (E) = 0 se t > d(E) tal n´ umero d(E) ´e denominado a dimens˜ao de Hausdorff de E.
Observa¸ c˜ ao 1.57.

  Note que n˜ao fizemos afirma¸c˜oes sobre o tamanho de d(E), ent˜ao d(E) = Dim H (E) pode assumir qualquer valor no intervalo [0, ∞].

  Observa¸ c˜ ao 1.58.

  Note que se trocarmos o conjunto E por bolas a defini¸c˜ao e o resul- tados de medida n˜ao s˜ao alterados. Cap´ıtulo 2 Conjuntos de Julia e de Fatou,

Fun¸ c˜ oes de B¨ ottcher e Polinˆ omios de

Faber

  Neste cap´ıtulo usaremos as seguintes referˆencias e para apresentar a teoria de conjuntos de Julia e de Fatou e algumas de suas propriedades, e tamb´em introduziremos o conceito de Connectedness Locus. Por ´ ultimo apresentaremos o Teorema de B¨ottcher e a teoria de polinˆomios de Faber que nos auxiliar´a a trabalhar com Conjunto de Julia Cheio no cap´ıtulo 3.

2.1 Preliminares de Dinˆ amica Complexa

  Primeiramente estamos interessados em apresentar alguns resultados gerais de dinˆamica, C e na pr´oxima se¸c˜ao come¸caremos a trabalhar sobre a esfera de Riemann b = C

  ∪ {∞}. C

  Defini¸ c˜ ao 2.1. Seja n ´e a esfera de Riemann.

  ∈ N e f : S → S uma aplica¸c˜ao, onde b Definimos a n-´esima iterada de f como a composi¸c˜ao de f n-vezes consigo mesma n f = f

  ◦ f ◦ · · · ◦ f. Defini¸ c˜ ao 2.2.

  Um ponto w ´e um ponto peri´odico de uma aplica¸c˜ao f se ele ´e um ponto m m fixo de alguma iterada f , ou seja, f (w) = w. Defini¸ c˜ ao 2.3.

  Considere a ´orbita peri´odica: f : z m m = z

  1 −1

  7→ z 7→ · · · 7→ z 7→ z para uma aplica¸c˜ao holomorfa f : S

  1 , m −1 , z m s˜ao todos distintos

  → S. Se os pontos z · · · z ent˜ao o inteiro m ≥ 1 ´e chamado per´ıodo. n +i i i

  existe um n > 0 tal que f (z ) = f (z ), com i > 0, ou seja, f (z ) ´e peri´odico para i > 0, com i inteiro positivo. Defini¸ c˜ ao 2.5. Suponha z um ponto peri´odico de per´ıodo m, de uma fun¸c˜ao holomorfa f , m m ′ ′ ′ ′ isto ´e, f (z ) = z , para algum m ) (z ) = f (z ) (z ) (z m )

  1

  2

  ∈ N. O n´umero λ = (f ·f · · · f i ´e chamado multiplicador de f em z , onde z i = f (z ). O ponto peri´odico z ´e classificado da seguinte forma:

  ´e super-atrator se

  • z |λ| = 0;

  ´e atrator se 0 <

  • z |λ| < 1;

  ´e repulsor se

  • z |λ| > 1;

  ´e indiferente se • z |λ| = 1.

2 Exemplo 2.6.

  Se f (z) = z ent˜ao f tem trˆes pontos fixos, a saber: zero, a unidade e o infinito. Assim os multiplicadores s˜ao:

  ′

  (0)

  • λ = |f | = 2 · 0 = 0, portanto 0 ´e superatrator;

  ′

  (1)

  • λ = |f | = 2 · 1 = 2, portanto 1 ´e repulsor;

  ′

  ( • λ = |f ∞)| = 2 · ∞ = ∞, mas nesse caso especial ∞ ´e atrator, e n˜ao repulsor. De fato, a defini¸c˜ao anterior dever ser vista com cautela no caso em que o ponto m no infinito ´e per´ıodico sobre uma aplica¸c˜ao racional, f (

  ∞) = ∞. Neste caso o m multiplicador λ n˜ao ´e igual ao limite de z (z), mas o → ∞ da derivada de f inverso deste n´ umero. Detalhes podem ser vistos na referˆencia

  Em 1884 G. Koenings provou o seguinte teorema de lineariza¸c˜ao, que nos d´a uma forma de estudar o comportamento de uma fun¸c˜ao f qualquer a partir de uma aplica¸c˜ao conforme, ver referˆencia . Teorema 2.7.

  Suponha que f tem um ponto fixo atrator em z , com multiplicador λ satisfazendo 0 < λ < 1. Ent˜ao existe uma aplica¸c˜ao conforme ξ = ϕ(z) de uma vizinhan¸ca de z sobre uma vizinhan¸ca de 0 que conjuga f (z) com a fun¸c˜ao linear g(ξ) = λξ. A conjuga¸c˜ao ´e ´ unica, a menos de multiplica¸c˜ao por um fator constante n˜ao nulo. n n

  −n +1

  Demonstra¸c˜ao. Suponhamos z = 0. Definamos ϕ n (z) = λ f (z) = z + b n z

  • 1

  · · · , ent˜ao ϕ satisfaz n n

  

−n +1

  ϕ n f = λϕ n

  • 1

  ◦ f = λ

  −1

  Assim se ϕ n = λξ e ϕ ´e uma conjuga¸c˜ao.

  → ϕ ent˜ao ϕ ◦ f = λϕ e temos que ϕ ◦ f ◦ ϕ Mostaremos a convergˆencia citada acima, ou seja, que ϕ n

  → ϕ. Note que para δ > 0 pequeno, temos

  2

  , |f(z) − λz| ≤ C|z| |z| ≤ δ e C > 0 constante.

  2

  |f(z)| ≤ |λ||z| + C|z| ≤ (|λ| + Cδ)|z|, e por indu¸c˜ao com |λ| + Cδ < 1, n n (z) |f | ≤ (λ + Cδ) |z|, |z| ≤ δ.

  2

  ( |λ| + Cδ)

  Escolhamos δ pequeno de forma que se ρ = < 1, obtemos n n n n λ

  2

  2

  f (f (z)) (z) C (z) ρ C n (z) n (z) − λf |f | |z|

  • 1

  |ϕ − ϕ | = ≤ n n

  • 1 +1

  ≤ λ

  |λ| |λ| para n (z) converge uniformemente para |z| ≤ δ. Desta forma ϕ |z| ≤ δ, e existe a con- juga¸c˜ao.

  Para provarmos a unicidade ´e suficiente mostrarmos que alguma conjuga¸c˜ao de f (z) = λz sobre si mesma ´e uma constante multiplicada por z. De fato, suponhamos que ϕ(z) =

  2

  a

  1 z +a + 2 z n · · · seja tal conjuga¸c˜ao, ent˜ao ϕ(λz) = λϕ(z). Fazendo as substitui¸c˜oes temos que a n λ = λa n , da´ı obtemos que a n = 0 se n z.

  1

  ≥ 2, portanto ϕ(z) = a Em 1904 B¨ottcher foi o primeiro a provar a existˆencia da conjuga¸c˜ao no caso supera- trator, ver (os outros casos do Teorema de B¨ottcher ser˜ao discutidos adiante).

  Teorema 2.8. Suponha que f tem um ponto fixo superatrator em z , e que p f (z) = z + a p (z ) p − z · · · , a 6= 0, p ≥ 2.

  • Ent˜ao existe uma conjuga¸c˜ao ξ = ϕ(z) de uma vizinhan¸ca de z sobre uma vizinhan¸ca de p 0 que conjuga f (z) para ξ . A fun¸c˜ao conjuga¸c˜ao ´e ´ unica a menos de multiplica¸c˜ao por uma (p − 1)- ´esima raiz da unidade.

  Demonstra¸c˜ao. Suponha z = 0. Para p n +1 n |z| pequeno existe uma constante C > 1 tal que . Por indu¸c˜ao, escrevendo f = f

  |f(z)| ≤ C|z| ◦ f e usando que p ≥ 2, encontramos que n p n (z) , n |f | ≤ (C|z|) |z| ≤ δ ent˜ao f (z)

  → 0. p

  1

  −1

  Fazendo a mudan¸ca de vari´avel w = cz onde c = ent˜ao temos a conjugada de f p a p

  • da forma f (w) = w p = 1. Queremos uma conjuga¸c˜ao da forma

  · · · , assim assumimos a p p

  −1 ϕ(z) = z + , que ´e equivalente a condi¸c˜ao que ϕ = ξ .

  · · · tal que ϕ(f(z)) = ϕ(z) ◦ f ◦ ϕ Seja n p p p p −n −n −n n

  • ϕ n (z) = (f (z)) = (z = z(1 + ,

  · · · ) · · · ) que esta bem definida em uma vizinhan¸ca da origem, e as ϕ n ’s satisfazem n p p −n+1

  

−1

  ϕ n −1 = ϕ , ◦ f = (f ◦ f) n

  

p

  → ϕ ent˜ao ϕ satisfaz ϕ ◦ f = ϕ n +1 n agora que n = f e note que {ϕ } converge, escrevamos f ◦ f n p −n −n

  ϕ n ϕ

  • 1

  1

  ◦ f n p = = (1 + n O(|f |))

  ϕ n f p p n n

  −n −n

  = 1 + ) C ) = 1 + ) O(p O(|z|) O(p

  1 Se . Assim o produto |z| ≤

  C

  ∞

  Y ϕ n +1 n =1 ϕ n

  1 converge uniformemente para , o que implica que n |z| ≤ c < {ϕ } converge, o que

  C garante a existˆencia almejada. Os dois resultados anteriores nos d˜ao uma base para enunciarmos o Teorema de

  B¨ottcher na se¸c˜ao 4, este resultado nos dar´a uma forma mais geral de determinarmos as fun¸c˜oes conjuga¸c˜ao. n Defini¸ c˜ ao 2.9.

  Um ponto peri´odico z = f (z ) ´e chamado parab´olico se o m´odulo do m multiplicador λ em z ´e igual a 1, desde que f n˜ao seja a aplica¸c˜ao identidade. Mais geralmente, se λ ´e uma raiz da unidade nenhuma iterada de f ´e a aplica¸c˜ao identidade. Defini¸ c˜ ao 2.10.

  Se O ´e uma ´orbita peri´odica atratora de per´ıodo m, definimos a bacia de atra¸c˜ao dessa ´orbita como sendo o conjunto aberto m A ⊂ S consistindo de todos os pontos

  2m

  z (z), f (z),

  ∈ S para os quais as sucessivas iteradas f · · · , convergem para algum ponto de O.

2.2 Conjuntos de Julia e Fatou

  Para estudarmos os conjuntos de Julia e de fatou precisamos primeiramente da defini¸c˜ao de fam´ılia normal.

  C Defini¸ c˜ ao 2.11. Seja

  = C F uma cole¸c˜ao de aplica¸c˜oes da esfera de Riemann b ∪ {∞}

  C para a esfera de Riemann b .

  F ser´a chamada normal se cada sequˆencia de aplica¸c˜oes de F cont´em ou uma subsequˆencia que converge localmente uniformemente ou uma subsequˆencia C que diverge localmente uniformemente em b . Teorema 2.12. Uma fam´ılia

  F de fun¸c˜oes anal´ıticas uniformemente limitadas em um dom´ınio G ´e normal. Demonstra¸c˜ao. Seja o disco unit´ario D =

  {z : |z| < 1} e seja f ∈ G satisfazendo |f| ≤ N

  ′

  para algum N (z)

  ∈ R. Se |f| < r < 1 usando as desigualdades de Cauchy temos f ≤ N . Considerando G coberto por discos segue o resultado.

  1 − r

  Fuma fam´ılia de aplica¸c˜oes anal´ıticas C definidas em dom´ınio S, e f : S uma aplica¸c˜ao que omite trˆes diferentes valores. → b

  C C Isto ´e, assuma que existem trˆes pontos distintos a, b, c tais que f (S)

  ∈ b ⊂ b \{a, b, c} para cada f ∈ F. Ent˜ao F ´e uma fam´ılia normal.

  ∞

  C Lema 2.14. Se M = b

  (cobertura de \{0, 1} ´e a esfera perfurada trˆes vezes, ent˜ao M M ) ´e conformalmente equivalente ao disco unit´ario D.

  Demonstra¸c˜ao. J´a que D ´e conformalmente equivalente `a parte superior do plano H = C

  : Im(z) > 0 {z ∈ b }, ´e suficiente encontrar uma aplica¸c˜ao cobertura de H sobre M. Construiremos tal aplica¸c˜ao, a fun¸c˜ao modular, como segue: Seja

  1

  1 E = z : 0 < Re(z) < 1, . Ent˜ao pelo teorema da transforma¸c˜ao de Rie- z − >

  2

  2

  ∗

  mann existe uma aplica¸c˜ao ψ de E para H fixando 0, 1, a reflex˜ao de E ∞. Denote E

  1

  1 sobre o c´ırculo . Pelo princ´ıpio de reflex˜ao de Schwarz, extendemos ψ para z − =

  2

  2

  ∗

  uma aplica¸c˜ao conforme de E para C ∪ E \(−∞, 0] ∪ [1, ∞). Continuando a reflex˜ao

  C extendemos ψ a todos {0 < Re(z) < 1, Im(z) > 0} tomando os valores em b \{0, 1}. Por reflex˜ao das linhas verticais

  {Re(z) = n} para n inteiro, extendemos ψ para todo H. Por constru¸c˜ao temos que ψ ´e uma transforma¸c˜ao cobertura de H sobre M . Demonstra¸c˜ao. (do Teorema de Montel) Assumindo que S ´e um disco, e por composi¸c˜ao por uma transforma¸c˜ao de M¨obius, assumimos que as fun¸c˜oes em

  F n˜ao asssumem os valores 0, 1, e ∞. Seja M = C\{0, 1}. Pelo Lema anterior existe uma aplica¸c˜ao cobertura ψ : D f : S

  → M. Seja b → D o levantamento de f f f : f ∈ F, tal que b ◦ ψ = f. Ent˜ao { b ∈ F} ´e uma fam´ılia normal, pois

  ´e uma fam´ılia normal limitada, portanto F ´e uma fam´ılia normal.

  C Defini¸ c˜ ao 2.15. Seja b a esfera de Riemann, que ´e uma superf´ıcie de Riemann compacta, n

  C C C C e f : b uma aplica¸c˜ao holomorfa e f : b a n-´esima iterada. O dom´ınio de → b → b n normalidade da cole¸c˜ao de iteradas f ´e chamado Conjunto de Fatou para f . O seu complementar ´e chamado de Conjunto de Julia.

  C Nota¸ c˜ ao: J = J(f ) para conjunto de Julia e b

  \ J ou F = F (f) para o conjunto de Fatou. n n n

  2

  2 Exemplo 2.16.

  Considere f (z) = z , ent˜ao f (z) = z . Como f converge para 0 em {|z| < 1} e converge para ∞ em {|z| > 1} o Conjunto de Julia de f ´e o c´ırculo unit´ario {|z| = 1}, e seu complementar F (f) ´e o conjunto de Fatou.

  2 Figura 2.1: Conjunto de Julia de f (z) = z .

  Agora apresentaremos alguns figuras que representam o conjunto de Julia para algumas aplica¸c˜oes, estas figuras forma obtidas utilizando o sofware fraqtive.

2 Exemplo 2.17.

  Considere f (z) = z + i, ent˜ao a figura abaixo representa o conjunto de Julia de f .

  2 Figura 2.2: Conjunto de Julia de f (z) = z + i.

2 Exemplo 2.18.

  Agora considere f (z) = z − 0.55i + 0.6, ent˜ao a figura abaixo representa o conjunto de Julia de f .

  2 Figura 2.3: Conjunto de Julia de f (z) = z − 0.55i + 0.6.

  1

2 Exemplo 2.19. Considere f (z) = z

  − 2. Se usarmos o homeomorfismo g(z) = z + z

  2

  2

  2 C

  em g : D ) = f (g(z)), e z → b \ [−2, 2] ent˜ao g(z ∀z, e da´ı z 7→ z 7→ z − 2 s˜ao topologicamente conjugadas. Portanto o conjunto de pontos que escapam para infinito ´e

  C b \ [−2, 2], assim o conjunto de Julia ´e o intervalo do eixo real [−2, 2].

  2 Figura 2.4: Conjunto de Julia de f (z) = z − 2.

  C C Defini¸ c˜ ao 2.20. Seja P : b um polinˆomio complexo mˆonico de grau d n → b

  ≥ 2. De- notamos por P a n-´esima iterada de P . O Conjunto de Julia Cheio de P ´e definido por n

  K(P ) = (z), n˜ao tende para {z : P ∞}

  Observa¸ c˜ ao 2.21. Com a defini¸c˜ao de conjunto de Julia Cheio e com a defini¸c˜ao do conjunto de Julia, observamos que o conjunto de Julia ´e o bordo do conjunto de Julia Cheio. Exemplo 2.22. Sejam os polinˆomios de Tchebychev T k definidos pela seguinte forma de recorrˆencia

  T k = zT k (z) k (z), k = 1, 2,

  • 1 −1

  − T · · · e T (z) = 2, T (z) = z, da´ı temos

  1

  

2

T (z) = z

  2

  − 2

  

3

T (z) = z

  3

  − 3z

  

4

  2 T (z) = z + 2

  4

  − 4z ... = ...

  O conjunto de Julia Cheio K(T k ) ´e o intervalo [ k ) = J(T k ), e −2, 2]. Desta forma K(T da´ı o conjunto de Julia Cheio tem interior vazio (ver referˆencia d

  Exemplo 2.23. Para o polinˆomio P (z) = z o conjunto de Julia Cheio K(P ) ´e o disco unit´ario fechado, e o conjunto de Julia J(P ) ´e o c´ırculo unit´ario. d n d n n De fato, como P (z) = z , ent˜ao P (z) = z . Assim P (z) converge para 0 em

  {|z| < 1} e converge para ∞ em {|z| > 1}, portanto o Conjunto de Julia Cheio ´e o conjunto {z : |z| < 1}, e o conjunto de Julia ´e o c´ırculo unit´ario {|z| = 1}.

  Defini¸ c˜ ao 2.24. O Conectedness Locus n de uma fam´ılia de polinˆomios de grau n M consiste de todos os parˆametros c, tais que o conjunto de Julia de P c (z) ´e conexo, ou equivalentemente se a ´orbita de cada ponto cr´ıtico de P c (z) ´e limitada.

  No pr´oximo exemplo apresentamos o Connectedness Locus de algumas fam´ılias de polinˆomios, novamente utilizamos o sofware fraqtive. n

  representado na figura abaixo: Figura 2.5: Connectedness Locus para n = 2, n = 3 e n = 4, respectivamente.

2.3 Propriedades dos Conjuntos de Julia e Fatou

  Nesta se¸c˜ao apresentaremos uma s´erie de propriedades dos conjuntos de Julia e de Fatou, o que nos permitir´a compreender o comportamento dinˆamico de uma aplica¸c˜ao holomorfa. Antes de tratarmos as propriedades do Conjunto de Julia e de Fatou pre- cisamos da seguinte teorema que pode ser encontrado em :

  P (z) Teorema 2.26. Seja uma fun¸c˜ao racional, onde P e Q n˜ao possuem ra´ızes comuns. Q(z)

  Coloquemos k = max {grau(P ), grau(Q)}. Valem as seguintes propriedades

  C a) Para todo z a equa¸c˜ao f (z) = z possui k solu¸c˜oes, contadas com multiplicidade. ∈ b

  C

  b) Existe um subconjunto finito C(f ) com no m´aximo 2k ⊂ b − 2 elementos, tal que

  − C(f) = {z }.

  C b : a equa¸c˜ao f (z) = z possui k solu¸c˜oes distintas

  c) O conjunto C(f ) ´e vazio se, e somente se, k = 1. Assim diremos que k ´e o grau de f e C(f ) ´e o conjunto de valores cr´ıticos de f , al´em

  C disso um ponto z ∈ b − C(f) ´e chamado valor regular de f.

  Proseguimos agora com as propriedades dos Conjuntos de Julia e Fatou. Teorema 2.27 (Lema da Invariˆ ancia ). O Conjunto de Julia J = J(f ) de uma aplica¸c˜ao

  C C holomorfa f : b ´e totalmente invariante sobre f . Isto ´e, z pertence a J se, e somente → b se, f (z) pertence a J. O mesmo vale para o conjunto de Fatou.

  

−1

  Demonstra¸c˜ao. Primeiramente note que f (F ) n n j +1 j ⊆ F . Agora suponha que z ∈ F (f), e que f = f . Como f ´e anal´ıtica

  ◦f converge uniformemente em uma vizinhan¸ca de z n j

  uniformemente em uma vizinhan¸ca de f (z ), pois z ) ∈ F (f). Segue que f(z ∈ F (f), e da´ı f (F )

  ⊆ F , e portanto F ´e completamente invariante.

  C C Teorema 2.28 ao

  (Lema da Itera¸c˜ ). Seja uma aplica¸c˜ao holomorfa f : b . Para k → b todo k > 0, o Conjunto de Julia J(f ) da k-´esima iterada coincide com o Conjunto de Julia J(f ). k

  Demonstra¸c˜ao. O conjunto de Julia de f coincide com o conjunto de Julia de f , pois k nk se f ´e normal sobre um conjunto aberto U ent˜ao f tamb´em ´e normal sobre U . Por nk k outro lado se f ´e normal sobre U ent˜ao f tamb´em ´e normal sobre U , e da´ı segue o resultado.

  Lema 2.29.

  Cada ´orbita peri´odica atratora est´a contida no Conjunto de Fatou de f . De fato, toda bacia de atra¸c˜ao A para uma ´orbita peri´odica atratora est´a contida no conjunto de Fatou. Al´em disso, cada ´orbita peri´odica repulsora est´a contida no conjunto de Julia.

  Demonstra¸c˜ao. Primeiro considere um ponto fixo z = f (z ) com multiplicador λ. Se |λ| > 1, ent˜ao nenhuma sequˆencia de iteradas de f pode convergir uniformemente pr´oximo n n de z , como a primeira derivada de f em z ´e λ , temos que f se aproxima do infinito quando n → ∞. Se

  |λ| < 1 e escolhendo |λ| < c < 1 temos pela expans˜ao de Taylor que )

  |f(z) − f(z | < c|z − z |, para z suficientemente pr´oximo de z . Desta forma as sucessivas iteradas de f restritas a uma vizinhan¸ca de z convergem uniformemente para a fun¸c˜ao constante z , como n → z um ponto peri´odico de f ´e um ponto fixo de alguma itera¸c˜ao f segue o resultado. Corol´ ario 2.30. As ´orbitas peri´odicas repulsoras s˜ao densas no Conjunto de Julia. Lema 2.31. Cada ponto peri´odico parab´olico pertence ao Conjunto de Julia. Demonstra¸c˜ao. Seja w um parˆametro local de uniformiza¸c˜ao com w = 0 correspondedo n ao ponto peri´odico. Assim alguma iterada f corresponde a uma transforma¸c˜ao local do q q +1 w-plano com uma s´erie de potˆencias da forma w q w + a q +1 w mk

  • q q

  7→ w + a · · · , onde

  em 0 ´e igual a q!ka q que tende a infinito ≥ 2, a 6= 0. Da´ı a derivada de ordem q de f a medida que k

  → ∞. Pelo Teorema da Convergˆencia Uniforme de Weierstrass, segue mk j que nehuma subsequˆencia de f pode convergir localmente de forma uniforme a medida que k j → ∞.

  Antes de seguirmos para a pr´oximo teorema precisamos da defini¸c˜ao de grande ´orbita

  → S ao conjunto

  ′

  GO(z, f ) consistindo de todos os pontos z ∈ S cuja ´orbita eventualmente intercepta a m n

  ′ ′

  ´orbita de z. Assim z e z tem a mesma grande ´orbita se, e somente se, f (z) = f (z ) para alguma escolha de m ≥ 0 e n ≥ 0. Um ponto z ∈ S ser´a chamado grande ´orbita finita ou excepcional sobre f se sua grande ´orbita GO(z, f )

  ⊂ S ´e um conjunto finito. Similarmente a esta defini¸c˜ao temos:

  C Defini¸ c˜ ao 2.33. O conjunto dos pontos de b que tem grande ´orbita finita ser´a denotado por ε(f ) .

  C Teorema 2.34 (Transitividade). Seja z um ponto arbitr´ario do conjunto de Julia J

  1 n ⊂ b e seja N uma vizinhan¸ca arbitr´aria de z . Ent˜ao a uni˜ao U de imagens futuras f (N )

1 C

  cont´em todo o conjunto de Julia, e cont´em todos os pontos de b ; `a exce¸c˜ao de, no m´aximo dois pontos C

  Demonstra¸c˜ao. Primeiramente note que o conjunto complementar b \ U pode conter no

  C m´aximo dois pontos, pois se b \ U cont´em mais de dois pontos, usando que f(U) ⊂ U, obtemos pelo Teorema de Montel que U deve estar contido no conjunto de Fatou, que ´e imposs´ıvel, j´a que z

  1

  ∈ U ∩ J. Novamente usando que f(U) ⊂ U, temos que C

  C alguma pr´e-imagem de um ponto z ∈ b \ U deve pertencer ao conjunto finito b \ U.

  Seguindo com este argumento que alguma pr´e-imagem de iterada z ´e peri´odica, assim z ´e ele mesmo peri´odico e com grande ´orbita finita. Assim o conjunto ε(f ) de grande ´orbita finita ´e disjunta de J, segue que J

  ⊂ U. Finalmente, se N ´e pequeno o suficiente ent˜ao C C N ⊂ b \ ε(f), segue que U = b \ ε(f).

  Lema 2.35. Se f ´e uma aplica¸c˜ao racional de grau 2 ou mais, ent˜ao o Conjunto de Julia J = J(f ) ´e n˜ao vazio. n C

  Demonstra¸c˜ao. Suponha que J = ´e uma fam´ılia normal sobre toda b , e ent˜ao ∅, ent˜ao f n j

  C existe uma subsequˆencia j (z) {n } tal que f → g(z) para alguma fun¸c˜ao anal´ıtica g de b n j

  C para b . Se g ´e constante ent˜ao a imagem de f est´a contida em uma pequena vizinhan¸ca n C de um valor constante, o que ´e imposs´ıvel, pois f converge em b . Se g ´e n˜ao constante n j n ent˜ao f tem o mesmo n´ umero de zeros de g, o que ´e imposs´ıvel j´a que f tem grau n d .

  Corol´ ario 2.36.

  Se o Conjunto de Julia cont´em um ponto interior, ent˜ao ele deve ser igual a toda a esfera de Riemann. Demonstra¸c˜ao. Se J tem um ponto interior z

  1 , ent˜ao escolhendo uma vizinhan¸ca N

  ⊂ J de z a uni˜ao U C, e como J ´e

  1

  ⊂ J de imagens futuras de N ´e densa, portanto U = b C fechado segue que J = b .

  C A ⊂ b o bordo topol´ogico ∂ A = A \ A ´e igual a todo o Conjunto de Julia. Cada componente do Conjunto de Fatou F ou coincide com alguma componente conexa da bacia

  A ou ´e disjunta de A. n

  Demonstra¸c˜ao. Se N ´e alguma vizinhan¸ca de um ponto do conjunto de Julia, ent˜ao f (N ) intercepta A, e da´ı o pr´oprio N intercepta A, e assim temos que J ⊂ A. Mas J ´e disjunto de

  A ent˜ao J ⊂ ∂A. Por outro lado, se N ´e uma vizinhan¸ca de um ponto de ∂A ent˜ao n alguma iterada f N deve ter uma descontinuidade entre | A e ∂A, e assim ∂A ⊂ J. Finalmente, note que alguma componente conexa do conjunto de Fatou intercepta

  A, uma vez que n˜ao pode interceptar o bordo de A, deve coincidir com alguma componente de

A. Portanto segue o resultado.

  Corol´ ario 2.38. Se z ´e um algum ponto do conjunto de Julia J = J(f ), ent˜ao o conjunto n (z) = z para algum n

  {z ∈ C; f ≥ 0} ´e denso em J(f ).

  Demonstra¸c˜ao. Primeiramente note que z 6∈ ε(f), pois z ∈ J(f). Pelo teorema temos que se z

  1

  ∈ J(f) ent˜ao ele pode ser aproximado por fechados arbitr´arios que cont´em z que pertence ao conjunto formado pelas ´orbitas passadas de z . Corol´ ario 2.39.

  Se f ´e uma aplica¸c˜ao racional de grau 2 ou mais, ent˜ao J(f ) n˜ao tem pontos isolados. Demonstra¸c˜ao. Seja z

  . Assumiremos que z n˜ao ∈ J e U uma vizinhan¸ca aberta de z n

  ´e peri´odico e escolhemos z com f (z ) = z , ent˜ao f (z ) para algum n

  1

  1

  1

  6= z ∈ N. Desde que z s˜ao densas em J, ent˜ao existe um ξ

  1

  1 m ∈ J, as iteradas passadas de z

  ∈ U com f (ξ) = z , assim ξ , assim z n˜ao ´e isolado.

  1 ∈ J ∩ U e ξ 6= z n n

  Agora suponha f (z ) = z para algum n minimal. Se z ´e a ´ unica solu¸c˜ao de f (z ) = z n ent˜ao z deveria ser um ponto fixo superatrator de f contradizendo que z n j ∈ J. Portanto existe z com f (z ) = z , al´em disso f (z ) para 0

  1

  1

  1

  6= z 6= z ≤ j ≤ n, pois caso contr´ario j n n

  • j

  isto asseguraria que 0 (z ) = f (z ) = f (z

  1 ) = z contradizendo a

  ≤ j ≤ n e da´ı f minimalidade de n. Assim como anteriormente z deveria ter uma pr´e-imagem em U

  1

  ∩ J que n˜ao pode ser z . Corol´ ario 2.40.

  Para toda aplica¸c˜ao racional de grau 2 ou mais, o Conjunto de Julia J ou ´e conexo ou tem uma quantidade n˜ao enumerav´el de componentes conexas. Defini¸ c˜ ao 2.41.

  Um espa¸co topol´ogico X ´e de Baire se cada intersec¸c˜ao enumer´avel de abertos densos de X ´e tamb´em densa. Ser´a conveniente dizer que uma propriedade de pontos no espa¸co de Baire X ´e gen´erica para x, se ´e v´alida para todos os pontos de alguma interse¸c˜ao enumer´avel de subconjuntos abertos densos de X.

  ∈ J = J(f), a ´orbita futura

  

2

  (z), {z, f(z), f · · · } ´e densa em J.

  Demonstra¸c˜ao. Para cada j > 0 podemos cobrir J por um n´ umero finito de conjuntos

  1 abertos N jk de diˆametro menor do que usando a m´etrica esf´erica. Para cada N jk seja j

  −n

  U jk a uni˜ao das pr´e-imagens de iteradas de f (N jk ). Segue do corol´ario que o fechado U jk jk ∩ J ´e igual a todo o conjunto de Julia, em outras palavras, U ∩ J ´e um subconjunto denso do conjunto de Julia.

  Agora se z pertence a interse¸c˜ao desses conjuntos, ent˜ao a ´orbita de z intercepta cada N jk e por isso ´e denso em J. Teorema 2.43.

  Seja f uma aplica¸c˜ao racional de grau maior ou igual 2, e seja E um subconjunto compacto da esfera de Riemann com a propriedade que para todo z n ∈ F (f), a sequˆencia (z) : n

  {f ≥ 1} n˜ao acumula em nenhum ponto de E. Ent˜ao dado algum

  −n

  conjunto U que cont´em J(f ) temos que f (E) ⊂ U para n suficientemente grande. Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a conclus˜ao seja falsa, ou seja, existe alguma vizinhan¸ca

  −n

  aberta de U de J, e para n em alguma sequˆencia , n , n (E) mas

  1

  2

  {n · · · } os pontos z ∈ f n˜ao pertence a U . Sem perda de generalidade, supomos que z n → w, como U ´e aberto e w

  6∈ U, temos que w ∈ F pois J ⊂ U.

  Agora seja ǫ > 0 positivo, existe δ > 0 tal que se n n n n n |z − w| < δ implica que (z n ) (w) (z n ) (w) se acumula em E

  |f − f | < ǫ e como f ∈ E, assim a mostramos que f contradizendo a hip´otese.

2.4 As Coordenadas de B¨ ottcher no Infinito

  Agora estudaremos uma forma mais f´acil de trabalharmos com o conjunto de Julia Cheio, para isso faremos uso do teorema de B¨ottcher. Daremos primeiramente a vers˜ao geral do Teorema de B¨ottcher e depois analisaremos o caso especial para o conjunto de Julia Cheio. Teorema 2.44

  (Teorema de B¨ottcher). Suponha f um polinˆomio mˆonico, existe uma mudan¸ca de coordenadas holomorfa w = φ(z), com φ(0) = 0, que conjuga f com a n aplica¸c˜ao w em uma vizinhan¸ca de zero. Al´em disso φ ´e unica, a menos de 7→ w multiplica¸c˜ao por uma (n

  − 1)-raiz da unidade. Dessa forma f ´e conjugada a uma aplica¸c˜ao φ, na vizinhan¸ca de um ponto fixo, ou seja: n

  −1

  φ : w com n ◦ f ◦ φ 7→ w ≥ 2.

  n −1 z

  equa¸c˜ao c = a n , ent˜ao a aplica¸c˜ao conjuga¸c˜ao cf tˆem coeficiente lider, coeficiente c de maior grau, igual a +1. Assim assumimos, sem perda de generalidade, que tal aplica¸c˜ao n

  2

  

3

  tem a forma f (z) = z (1 + b

  1 z + b 2 z + b 3 z n · · · ), ou de forma resumida

  2

  3

  f (z) = z (1 + η(z)) com η(z) = b z + b z + b z

  1

  2

  3

  · · ·

  1

  1 Escolhemos um raio 0 < r < que seja pequeno o suficiente tal que η(z) < sobre

  2 2 3 n

  o disco D r de raio r. Ent˜ao f aplica o disco sobre si mesmo, com |f(z)| ≤ |z| ≤ k

  2

  3 r tamb´em aplica D r sobre

  |z| e com f(z) 6= 0 para D \ {0}. A k-´esima iterada f

  4 k k n k −1 k

  si mesmo, e segue indutivamente que ela (f ) tem a forma f (z) = z (1 + n b z +

  1 (termos de grau menor)).

  A id´eia da prova a seguinte, tome k 1 nk p b k n k −1

  1

  φ k (z) = f (z) = z (1 + n b z + (termos de grau menor)) = z 1 + , nk +

  1

  · · · k z onde a express˜ao da direita prov´em de uma escolha expl´ıcita da n -raiz da unidade. Assim n φ k (f (z)) = φ k (z) . Mostraremos que a fun¸c˜ao φ k converge uniformemente para a fun¸c˜ao

  • 1
  • Z

      limite φ : D r , onde

      → D. Para provarmos a convergˆencia fa¸camos a substitui¸c˜ao z = e Z esta definido em rela¸c˜ao ao semi-plano esquerdo de H r definido pela desigualdade Re(Z) < logr. Ent˜ao a aplica¸c˜ao f do disco D r sobre si mesmo corresponde a uma Z Z Z Z aplica¸c˜ao F (Z) = logf (e ) de H sobre si mesmo. Tomando η = η(e ) = b e +b e

      1

      2

    • r

      · · · ,

      1 com , temos que podemos escrever |η| <

      2 nZ F (Z) = log(e (1 + η)) = nZ + log(1 + η)

      2

      3

      η η = nZ + η

    • 2

      − − + · · ·

      3 onde a express˜ao anterior prov´em de uma escolha explic´ıta do ramo do logaritmo que estamos usando.

      1 Note que F : H r r ´e uma fun¸c˜ao holomorfa bem definida, assim de temos → H

      |η| <

      2 (2.1)

      |F (Z) − nZ| = |log(1 + η)| < log2 < 1 n nk 1 para todo Z neste semi-plano. Similarmente a aplica¸c˜ao φ k (z) = f (z) para |z| < r corresponde a uma aplica¸c˜ao k Z F (Z)

      Φ k (Z) = logφ k (e ) = , k n k k

    • +1

      (Z) (Z)

      |F − nF | 1 k +1 (Z) k (Z) < . |Φ − Φ | = k +1 k +1 n n

      Assim a aplica¸c˜ao exponencial do semi-plano sobre D reduz distˆancias, e segue que k (Z) k (Z)

      1

    • 1

      |φ − φ | < k

    • 1

      n para k (z), |z| < r. Portanto, quando r → ∞ a sequˆencia de aplica¸c˜es holomorfas z 7→ φ sobre o disco

      |z| < r, converge uniformemente para a aplica¸c˜ao holomorfa limite φ(z), e n satis faz a identidade φ(f (z)) = (φ(z)) . n Prova da Unicidade: Neste caso ´e suficiente estudar o caso especial f (z) = z . Se k n a aplica¸c˜ao da forma φ(z) = c z + c k z + (termos de menor grau) conjuga z sobre

      1

      7→ z si mesmo, ent˜ao a s´erie n nk

    • φ(z) = c z + c k z

      1

      · · · deve ser igual a n n n n n

      −1 +k−1

      (φ(z)) = c z + nc + c

      1 1 k · · · , n −1

      com nk > n + k = 1 e que os

      − 1. Comparando os coeficientes, encontramos c

      1 coeficientes restantes se anulam, o que prova o resultado.

      Agora apresentaremos a vers˜ao do teorema de B¨ottcher para o conjunto de Julia cheio, tal resultado ser´a de fundamental importˆancia nos resultados sequentes. Teorema 2.45. Para toda fun¸c˜ao polinomial P de grau ao menos 2 o conjunto de Julia Cheio K

      ⊂ C ´e compacto, com complemento conexo, com bordo topol´ogico ∂K igual ao conjunto de Julia J = J(P ) e com interior igual a uni˜ao de todas as componentes limitadas U do conjunto de Fatou F (P ). Assim K ´e igual a uni˜ao de todas as tais U juntamente com J. Sendo alguma destas componentes conexas U necessariamente simplesmente conexa.

      P (z) d

      |z| → ∞ (P (z) = a d z

    • Demonstra¸c˜ao. Note que converge para a d quando d z d

      −1

    • a d z + a ). Assumindo convenientemente que a d = 1 podemos escolher uma

      −1

      1

      · · · a constante r ≥ 2 tal que d

      −1

      X a i P (z)

      1 = para d −i d − 1 |z| > r

      < i z z

      2

      =0

      e segue que d |z | > 2 . |P (z)| > |z| para |z| > r

      2

      |z| > r A = A(∞) do ponto no infinito. Assim C podemos identificar K com o complemento b

      \ A. Assim K ´e compacto, e segue pelo corol´ario que ∂K = ∂ A ´e igual ao conjunto de Julia de P .

      Mostremos que A ´e conexo. Seja U uma componente conexa limitada do conjunto de d

      Fatou C (z) para cada z \ J, ent˜ao |P | ≤ r ∈ U, isto pelo Princ´ıpio do M´odulo M´aximo, desta forma cada componente limitada de C

      \ J est´a contida no conjunto de Julia Cheio K, e a ´ unica componente ilimitada pode ser identificada com C \ K = C ∩ A(∞).

      Similarmente se Γ ´e uma curva fechada simples situada em uma componente limitada de U , e se V ´e a componente limitada de C \Γ ent˜ao segue do princ´ıpio do m´odulo m´aximo que V

      ⊂ K. Em particular, V n˜ao pode conter algum ponto de J = ∂K, pelo Teorema de Montel, ent˜ao segue que V ⊂ U, o que mostra que U ´e simplesmente conexa.

      Teorema 2.46 (Teorema de B¨ottcher Conjunto de Julia Cheio). Seja P um polinˆomio de grau d ≥ 2. Se o conjunto de Julia Cheio K = K(P ) cont´em todos os pontos cr´ıticos finitos de P ent˜ao ambos K e J = ∂K s˜ao conexos, e al´em disso o complemento de K ´e conformalmente isomorfo ao exterior do disco unit´ario D por um isomorfismo b

      φ : C \ K → C \ D d que conjuga P em C

      . Por outro lado, se \ K com a d-´esima s´erie de potˆencias ω → ω ao menos um ponto cr´ıtico de P pertence a C

      \ K ent˜ao ambos K e J tem incont´aveis componentes conexas. Demonstra¸c˜ao. A prova ser´a baseada no seguinte: para estudar o comportamento de P

      1 pr´oximo do infinito fazemos a substitui¸c˜ao usual ξ = e consideramos a fun¸c˜ao racional z

      1 F (ξ) = . Novamente consideramos que P ´e mˆonico. Da igualdade assint´otica

    1 P

      d d z P (z) quando z quando ξ

      ∼ z → ∞ segue que F (ξ) = ξ → 0. Existe uma associa¸c˜ao com a aplica¸c˜ao de B¨ottcher k dk 1 φ(ξ) = lim F (ξ) k ∈ D

      →∞

      Assim b φ aplica alguma vizinhan¸ca de infinito biholomorficamente sobre o infinito, com b φ φ conjuga a aplica¸c˜ao polinomial de grau d com a d-´esima s´erie

      ∼ z quando |z| → ∞, e b d de potˆencias, de forma que b φ(f (z)) = b φ(z) .

      De fato, suponha primeiro que n˜ao existe outro ponto cr´ıtico al´em do infinito na bacia de atra¸c˜ao A = A(∞), ent˜ao a aplica¸c˜ao de B¨ottcher se estende para um isomorfismo conforme

      C = C

      \ K ∼ \ D A 1+ε = {z ∈ C; 1 < |z| < 1 + ε} aplica sobre b ψ(A ) ψ(A ) ´e compacto conexo que cont´em o conjunto

      1+ε 1+ε

      ⊂ C \ K o fecho b de Julia J = ∂A, segue que a interse¸c˜ao \ b

      J = ψ(A 1+ε ) ε> ´e tamb´em conexo, e segue do Teorema que K ´e conexo. Agora suponha que h´a ao menos um ponto cr´ıtico em C

      \ K, ent˜ao a conclus˜ao do lema anterior se traduz no seguinte: existe um menor n´ umero r > 1 tal que a inversa de b φ pr´oxima do infinito se estende a um isomorfismo

      

    =

      b ψ : C r U

      \ D → ⊂ C \ K Al´em disso,o bordo ∂U do conjunto aberto U = b ψ(C r ) ´e um subconjunto conexo em

      \ D C \ K que cont´em ao menos um ponto cr´ıtico de P .

      Mostraremos que o fecho U separa o plano em dois ou mais conjuntos abertos limitados, com cada contendo incontav´eis pontos do conjunto de Julia. Seja c um ponto cr´ıtico em d ∂U , ent˜ao o valor cr´ıtico correspondente v = P (c) pertence a U , com φ(v) > r. |b | = r

      Considere o raio infinito R r consistindo de os produtos tb φ(v) com t ⊂ C \ D

      ≥ 1. A

      ′

      imagem R = b φ(R) ⊂ U ´e chamada raio externo do ponto v, associado com o conjunto compacto K

      ⊂ C.

      −1 ′ −1 ′

      Agora consideremos todas as imagens P (R ) (R ) consiste ⊂ U, a interse¸c˜ao U ∩ P de d raios externos distintos, correspondendo a d compontentes distintas do conjunto

      √ d

      ′

      R r . Cada um desses d raios externos R ´e alguma solu¸c˜ao z da equa¸c˜ao j ⊂ C \ D f (z) = v. Mas esta equa¸c˜ao tem ao menos duas solu¸c˜oes no ponto cr´ıtico c, ent˜ao ao

      ′ ′ ′ ′

      menos dois destes raios externos R e R ser˜ao levados em c. Como a uni˜ao R ∪ R ⊂ U

      1

      2

      1

      2 dividimos o plano em dois conjuntos abertos conexos, que chamaremos V e V .

      1 Note agora que cada uma das imagens P (V ) e P (V 1 ) cont´em todos os pontos do plano ′

      complexo, exceto possivelmente os pontos de R . De fato, cada P (V k ) ´e um conjunto z ), ent˜ao podemos escolher uma sequˆencia k aberto. Se b ∈ C ´e um ponto limite de P (V de pontos z j k tal que as imagens P (z j z. O z j certamente deve

      ∈ V ) convergem para b ser limite de uma sequˆencia, ent˜ao podemos escolher uma subseqˆencia que converge para

      ′ ′ ′

      algum ponto z k desde que P (z z ´e um ponto limite e P uma ∈ C. Agora z 6∈ V ) = b

      ′ ′ ′ ′ ′

      aplica¸c˜ao aberta, assim segue que z k = R z . Se C ´e conexo implica ∈ ∂V

      1 ∪ R 2 e b ∈ R \ R

      que

      ′

      P (V k ) ⊃ C \ R ⊃ K

      Agora sejam J = J e J = J . Assim segue que

      1

      1

      ∩ V ∩ V P (J ) = P (J ) = J

      1

      1

      1

      ∪J

      −1 −1

      mos dividir cada J k em dois conjuntos disjuntos J k = J k (J ) e J k = J k (J ) ∩ P q 1 ∩ P

      1

    • 1

      com P (J kl ) = J l , continuando indutivamente, podemos dividir J em 2 conjuntos com- pactos disjuntos q

      −1

      J k = J k (J k ) (J k )

      ···k q 1 q

      ∩ P ∩ · · · ∩ P com P (J k ) = J k . Similarmente para alguma sequˆencia infinita k , k , k ,

      ···k q 1 ···k q

      1

      2

      · · · de zeros e uns, seja J a interse¸c˜ao da sequˆencia k k 1 k 2 ··· J k k k k k k 1 1 2

      ⊃ J ⊃ J ⊃ · · · Cada tal interse¸c˜ao ´e compacta e n˜ao vazia. Seguindo este caminho obtemos incontav´eis subconjuntos n˜ao vazios que a uni˜ao ´e o conjunto J. Cada componente conexa de J deve estar contida exatamente em um desses conjuntos, ent˜ao J tem infinitas componentes conexas. A prova para o conjunto de Julia Cheio ´e an´aloga.

      Observa¸ c˜ ao 2.47. Da proposi¸c˜ao anterior vemos que se o Conjunto de Julia Cheio ´e conexo, a inversa de b φ(z) = φ (z) denotada por ψ ´e uma fun¸c˜ao meromorfa univalente p p definida sobre D e tem a forma b b b

      1

      2

      ψ + + (z) = z + + p · · · , para |z| > 1.

      1

      2

      z z z

    2.4.1 Coeficientes das Fun¸ c˜ oes de B¨ ottcher

      O resultado seguinte nos mostra uma forma de relacionar os coeficientes da inversa da fun¸c˜ao meromorfa obtida pelo teorema de B¨ottcher, e os coeficientes de um polinˆomio que tem conjunto de Julia Cheio conexo. Teorema 2.48.

      Seja P um polinˆomio mˆonico de grau d com conjunto de Julia Cheio conexo, para |z| > 1 seja

      ∞

      X

      −n

    • ψ P (z) = z + b b n z n

      =1

      a fun¸c˜ao de B´ottcher de P , e

      ∞

      X

      −k

      P (ψ P (z)) = c k z k =−d Ent˜ao

      

    ∞ ∞

      X X

      

    2

      2

      1 + k k = n n k =−d =1 |c | |b | n Demonstra¸c˜ao. Seja C r a imagem de ψ p (z) do c´ırculo r o interior de C r .

      |z| = r > 1, e E Z Z

      1

      1

      

    1

    ′ ′ ′

      P (ψ P (z))P (ψ P (z))ψ (z)dz = P (w)P (w)dw P 2i

      2i

      |z|=r C r

      Z Z

      1

      

    2

      2

      = (w) dudv |P |

      2i E r r ∞ Z Z 2π

      X

      

    3

      1

      2 2k |z|

      = k k dudv − |c | |z | ·

      2

      2i k |z|

      =−d ∞

      X

      2 −2k = k k r .

      −π |c | k

      =−d

      Na express˜ao acima usamos,

      

      1. a substitui¸c˜ao w = ψ P (z), da´ı dw = ψ (z)dz, P 2. o Corol´ario da F´ormula Anal´ıtica de Green do cap´ıtulo 1, e 3. as igualdades

      ∞ ∞

      X X

      ′ ′ 2 −2k −1 2 2k |z| (w) (w) = k k = k k .

      |P | = P (w)P − |c | |z |z − |c | |z | ·

      2 k k |z| =−d =−d

      Por outro lado, Z

      Z

      1 1 d d

      ′ ′ d ′ −1

      P (ψ P (z))P (ψ P (z))ψ (z)dz = ψ P (z )ψ (z )dz dz P P 2i

      2i

      |z|=r |z|=r

      !

      ∞

      Z 2π

      X

      1 d −itd −nd itnd = r e b + n r e

      ·

      2 n

      =1

      !

      ∞ d itd −nd −itnd

      X r e nb n r e dt · − n

      =1

      !

      ∞

      X

      2d 2 −2nd = π r n n r .

      − |b | n

      =1

      R R 2π

      

      Acima usamos que f (z)dz = f (γ(t))γ (t)dt, com γ it γ ∈ [0, 2π], pois z pode ser escrito como z = re ,com t ∈ [0, 2π].

      Fazendo r → 1, segue a demonstra¸c˜ao.

    2 Exemplo 2.49.

      Seja P (z) = z + c, com c ∈ C. Determinemos os coeficientes da

      2

      aplica¸c˜ao de B¨ottcher ψ P (z), para isso utilizaremos o teorema assim (ψ P (z)) + c =

      2

      s˜ao b = 0, b = 0, (n = 1, 2, 3,

      2n

      · · · ) Al´em disso se supormos que c

      ∈ M, onde M ´e o Connectedness Locus de P , temos

      2

      c c c b = , b = ,

      1

      3 − − − · · · .

      2

      4

      8 De fato, por um lado temos que

      ∞

      X

      2 2 −2n

    • ψ P (z ) = z + b b n z , (2.2) n

      =1

      por outro lado temos que !

      2 ∞

      X

      2 −n

    • (ψ P (z)) + c = z + b b n z + c n =1

      !

      2 ∞ ∞

      X n

      X

      2 −n −n

      ) + = (z + b + 2(z + b ) b z b z + c n n n

      =1 =1

      !

      2 ∞ ∞

      X X

      2 2 −n −n

      = z + 2b z + b + 2(z + b ) b + n z b n z + c (2.3) n n

      =1 =1

      Igualando os termos z das express˜oes respectivamente, temos 0 = 2b = 0 ⇒ b

      Igualando os termos constantes das express˜oes respectivamente, temos c

      2

      b = b + c + 2b =

      1

      1

      ⇒ b −

      2

      −1

      Igualando os termos que tˆem potˆencia z das express˜oes respectivamente, temos 0 = 2b + 2b = 0

      2

      2

      ⇒ b Seguindo de maneira similar temos que todos os b i , com i par se anulam, pois todos as

      −j

      2

      2

      potˆencias z se anulam na express˜ao de ψ P (z ), e na express˜ao de (ψ P (z)) +c dependem de b = 0.

      −2

      Igualando os termos que tˆem potˆencia z das express˜oes respectivamente, temos

      2

      c c

      2

      b = 2b + 2b b + b =

      1

      3

      2

      3 1 ⇒ b − −

      4

      8

      −4

      2

      3

      b b c c

      1

      3

      2

      b = 2b + 2b b + b + b b = =

      2

      5

      4

      1

      3

      

    5

      5 2 ⇒ b − ⇒ b − −

      2

      8

      16 e assim por diante. d Exemplo 2.50. Mais geralmente se P (z) = z + c, com c

      ∈ C, os coeficientes da fun¸c˜ao meromorfa univalente ψ (z) s˜ao P b = b = d = 0

      

    2 −2

      · · · b e b nd = b nd +1 = = 0, ( n = 1, 2, 3,

      · · · b (n+1)d+1 · · · ) Se supormos que c d , onde M d ´e o Connectedness Locus, temos

      ∈ M c c d − 1

      2

      b d = , b = c ,

      −1 2d−1

      − − − · · ·

      2

      2 d d d d d 2d −1 −2

    • Teorema 2.51. Seja P (z) = z + a d z + a d z um polinˆomio mˆonico

      −1 −2

      · · · + a de grau d ≥ 2 com conjunto de Julia Cheio conexo. Seja

      ∞

      X

      −n

      ψ P (z) = z + b + b n z n =1 dada sobre ∆ = {z ∈ C : |z| > 1}. Ent˜ao a d −1

      1 d a d −2 − 1

      2

      b = , e b = a −

      1 d − · · · −1

      2

      d 2 d d Demonstra¸c˜ao. Ver referˆencia . d d

      −2

      Se, em particular, P (z) = z +a + Observa¸ c˜ ao 2.52. d z ´e mˆonico e centrado

      −2

      · · ·+a ent˜ao b = 0.

      

    2.5 Polinˆ omios de Faber e Coeficientes de Garabedian-

    Schiffer

      Os resultados desta subse¸c˜ao podem ser consultados na referˆencia .

      −1 −2

      Defini¸ c˜ ao 2.53. Seja Σ a fam´ılia de fun¸c˜oes g(z) = z + b + b + z + b z

      1

      2

      · · · que s˜ao univalentes para |z| > 1. Seja E = E(g) o complemento compacto da imagem de kl (l, k = 1, 2,

      {g(z) : |z| > 1}. Os coeficientes de Faber b · · · ) relativos ao polinˆomio g, s˜ao

      ∞ ∞

      X X g(ξ) − g(z) −k −l log = b kl ξ z

      − |z| > 1, |ξ| > 1 ξ

      − z k =1 l =1 k

    • e satisfazem b kl = b lk , b k = b k . Os polinˆomios de Faber φ k (w) = w

      1

      · · · s˜ao definidos por

      ∞ ′

      X g (ξ) φ k (w) = k +1 g(ξ) ξ

      − w k

      =0

      e satisfazem

      ∞ k

      X

      −l

      φ k (g(z)) = z + k b kl z l |z| > 1

      =0

      Agora seja n Y α h(w) = (w p ) (α > 0, n > 0, α n = 1) p +

      1

      1 p − v · · · , α · · · + α =1 k −1

      com v

    • p k (w) = w ∈ E, definimos os polinˆomios Ψ · · · por

      ∞ ′

      X g (ξ) 1 Ψ k (w)

      = (2.4) k

    • 1

      g(ξ) h(g(w)) ξ − w k =0 de maneira similar aos polinˆomios de Faber podemos escrever

      ∞ ∞ ′

      X X g (ξ) h(g(z)) z

      −l −k−1

      = kc kl z ξ (2.5) − g(ξ) h(g(w)) ξ(ξ

      − g(z) − z) k l

      =1 =0

      pois as fun¸c˜oes s˜ao ambas anal´ıticas quando {1 < |z| ≤ ∞, 1 < |ξ| ≤ ∞} e tem dois zeros quando ξ =

      ∞. Da´ı podemos escrever

      ∞ k

      X

      −l

      h(g(z))Ψ k (g(z)) = z + k c kl z l |z| > 1

      =0

      Os n´ umeros c kl (k = 1, 2, · · · ; l = 1, 2, · · · ) n˜ao precisam ser sim´etricos em k e l. No caso n = 1 encontramos que

      φ k (w) k (v )

      1

      − φ Ψ k (w) = , c kl = b kl w

      1

      − v p O que generaliza os coeficientes de Faber. Escolhendo h(w) = (w

      − u)(w − v), u, v ∈

      √ √ Ψ (w) = 2log( w w

      − u + − v) − log(v − u) Normalisando por Ψ (v) = 0 podemos escrever

      ∞

      X

      −l

      Ψ (g(z)) = logz + c z l =0 0l E da´ı integrando em rela¸c˜ao a ξ obtemos g(ξ)

      − g(z) log + log[(v − u)ξz]

      ξ − z p p

      (g(ξ) (g(z) − 2log[ − v)(g(z) − u) + − v)(g(ξ) − u)]

      ∞ ∞

      X X g(z) − g(ξ) −k −l

      = log = c kl ξ z −

      −1 −1

      (z )(g(z) + g(ξ)) − ξ k l

      =0 =0

      Agora os n´ umeros c s˜ao definidos para k, l = 0, 1, 2, = c s˜ao kl kl lk · · · e que satisfazem c chamados coeficientes de Garabedian-Schiffer.

      Cap´ıtulo 3 Aspectos Geom´ etricos e a Dimens˜ ao de Hausdorff do Conjunto de Julia

      Neste cap´ıtulo nosso objeto de estudo ser˜ao as propriedades geom´etricas do conjunto de Julia Cheio, para isso usaremos principalmente a referˆencia . Para termos re- sultados mais gerais primeiramente definiremos polinˆomio centrado, e mostraremos que qualquer polinˆomio pode ser conjugado a um polinˆomio centrado. Portanto obteremos nossos resultados para polinˆomios centrados e estes ser˜ao v´alidos para qualquer polinˆomio mediante a uma conjuga¸c˜ao.

      Defini¸ c˜ ao 3.1.

      Um polinˆomio ´e dito centrado se a soma de suas ra´ızes se anulam. n n

      −1

      Pelas rela¸c˜oes de Girard temos que o polinˆomio P (z) = a n z +a n z n

    • Observa¸ c˜ ao 3.2.

      −1 −2 2 + a n z z + a z + a ´e centrado, se ´e somente se, o termo a n = 0. −2

      2

      1 −1

      · · · + a De fato, as rela¸c˜oes de Girard dizem que se r , r , n s˜ao as ra´ızes de P (z) ent˜ao

      1

      2

      · · · , r

      1 + r 2 n

    • r

      · · · + r a n = , da´ı como P (z) ´e centrado segue que a n = 0.

      −1 −1

      a n r

      1 + r 2 n

    • Por outro lado, se a n

      · · · + r

      −1 = 0, das rela¸c˜oes de Girard, temos que 0 = ⇒ a n r +

      1 + r 2 n = 0, ou seja, P (z) ´e um polinˆomio centrado.

      · · · + r m m

      −1

    • Lema 3.3. Dado um polinˆomio complexo f (z) = a m z +a m z z+a , a m

      −1

      1 m m · · ·+a 6= 0 −2

      existe um polinˆomio centrado g(z) = b + m z + b m −2 z

      1 z + b , b m

      · · · + b 6= 0 e uma a m −1 transla¸c˜ao h(z) = z + c, com c = de forma que f e g s˜ao conjugados. ma m

      Demonstra¸c˜ao. De fato, usando o binˆomio de Newton para desenvolvermos as potˆencias

      −1

      de (z (z) = z − c), e colocando h − c temos

    • a m
    • · · · + a
    • a m
    • c = a m z m
    • · · · + a
    • a m m!
    • m! m!0! z (
    • a m
    • · · · + m!

      (m − 1)!1! z(

      −2

      − 2)! z m

      − 1)! 1!(m

      − (m

      −1

      −c) m

      −c) m −1

      2

      (m − 1)!

      2!(m − 2)! z m −2 c

      −1

      ) z m

      −1

      = a m z m + ( −ma m c + a m

      1 ) + a

      − a

      c + · · · +

      (m − 1)!0! z (

      · · · + a

      −1

      Dados dois polinˆomios e seus conjuntos de Julia Cheios surge naturalmente a quest˜ao: se existe uma rela¸c˜ao de inclus˜ao entre seus conjuntos de Julia Cheio, existe alguma rela¸c˜ao entre tais polinˆomios? Para responder esta quest˜ao temos o seguinte teorema.

      A observa¸c˜ao anterior ´e crucial para o desenvolvimento deste cap´ıtulo, pois todos os re- sultados aqui obtidos exigem que os polinˆomios sejam centrados, mas com esta observa¸c˜ao temos que os resultados s˜ao v´alidos para qualquer polinˆomio complexo.

      )) = d(h(J(R))) = d(J(R)), da´ı a dimens˜ao de Hausdorff de R e h coincidem, portanto a conjuga¸c˜ao preserva resul- tados referentes a medida de Hausdorff (ver pag. 248).

      −1

      Dado uma aplica¸c˜ao racional R e uma aplica¸c˜ao de M¨obius h, ent˜ao d(J(hRh

      Observa¸ c˜ ao 3.4.

      ma m ´e conjugado a f (z) por h(z).

      · · · + a m

      −c) m

      ma m , da´ı temos que g(z) = a m z m +

      −1

      · · · , c = a m

      ) + a Da´ı basta tomar b m = a m ,

      1

      z + c(1 − a

      1

      · · · + a

      1 z + c(1

      −c) m

      − 1)! z m

      X k =0 m k z m −k (

      (z − c) + a

      1

      −c) k

      X k =0 m − 1 k z m −1−k (

      −1 m −1

      −c) k

      ) = a m m

      (m − 1)!0! z (

      (z − c) + a

      1

      −1

      (z − c) m

      −1

      = h(a m (z − c) m

      (z) = hf (z − c)

      − m!a m 1!(m

      −1

      hf h

      −1

      (m − 1)!

      − 2)! z m −2 c + · · · +

      − 1)! 1!(m

      − (m

      −1

      (m − 1)!0! z m −1 + a m

      (m − 1)!

      −c) m

      c +

      −1

      −c) m

      (m − 1)!1! z(

      2

      c

      −2

      2!(m − 2)! z m

      −1

    • a m m!
    • m! m!0! z (
    • a m
    • · · · + m!

    3.1 Aspectos Geom´ etricos do Conjunto de Julia Cheio

      1

      2

      1

      2

      ≥ 2 e d ≥ 2, respectivamente, e K(P ) ) ent˜ao d .

      1 ⊂ K(P

      2 2 ≤ d

      1 C C

      Demonstra¸c˜ao. Suponha A = b ) e A = b ) os dom´ınios de ϕ P e ϕ P

      1

      1

      2

      2 1 2

      − K(P − K(P dados pelo teorema de B¨ottcher, da´ı: d 1 d 2 ϕ P (P (z)) = (ϕ P (z)) ; ϕ P (P (z)) = (ϕ P (z)) 1

      1 1 2

      2 2 Portanto

      log P 1 (P

      1 (z)) log P 2 (P 2 (z))

      |ϕ | |ϕ | d

      1 = ; d 2 =

      log P (z) log P (z) 1 2 |ϕ | |ϕ |

      Por K(P ) ) e

      1

      2

      ⊂ K(P ϕ P (z) ϕ P (z) 1 2

      → 1 (z → ∞); → 1 (z → ∞), z z pois ϕ P (z) e z tendem a infinito quando z P (z) e z. 1 2

      → ∞, o mesmo acontece com ϕ Conseguimos que:

      ϕ P (z) 1 → 1 (z → ∞)

      ϕ P (z) 2 Da´ı ϕ P (z) P (z) (ϕ P (z) pode ser aproximado por ϕ P (z)) para z suficientemente 1 ∼ ϕ 2 1 2 grande. n n Agora seja z

      1 e z 2 , assim P (z ) (z )

      ∈ A 6∈ A → ∞ mas P 6→ ∞. Da´ı podemos

      

    1

      2

      encontrar z suficientemente grande tal que

    1 P

      2 (P (z )) (P (z ))

      2

    1 P

      1

      1

      1

      |logϕ | ≤ |logϕ | e como ϕ P (z ) P (z ) 1

      1 2

      1

      ∼ ϕ Temos que d .

      2

      1

      ≤ d Com o objetivo de estudar algumas propriedades geom´etricas do conjunto de Julia

      Cheio necessitamos da defini¸c˜ao dos polinˆomios de Faber e dos coeficientes de Garabedian- Schiffer que foram definidos na se¸c˜ao .

      At´e o final desta se¸c˜ao usaremos principalmente a referˆencia d d

      −2

    • Teorema 3.6. Suponha que P (z) = z + a d z ´e um polinˆomio centrado e

      

    −2

      · · · + a mˆonico com K(P ) conexo, ent˜ao r a d

      −2

      Diam(K(P )) 8 1 + , ≤ d Demonstra¸c˜ao. Supondo que

      

    −1 −2

      ϕ (z) = z + b + b z + b z + p

      1

      2

      · · · para |z| > 1 Sejam u, v

      ∈ K(P ) (note que K(P ) ⊂ E) n´umeros complexos distintos, colocamos s ϕ p (z) v

      − u − u −1

    • g(z) = = 1 + z

      · · · , ϕ p (z)

      2 − v 2 1 2 1 isto decorre integrando em rela¸c˜ao a ξ, tomando h(g(ξ)) = (g(ξ) (g(ξ) , k −1 k − u) − v) com k (w) = w + w

    • consultado em ).

      |ξ| suficientemente grande e lembrando que Ψ · · · (isto pode ser

      Para |z| suficientemente grande, temos que os coeficientes de Garabedian-Schiffer definidos na se¸c˜ao c kl = c kl (u, v) (k, l = 0, 1, 2,

      · · · ), que s˜ao obtidos da fun¸c˜ao geradora

      ∞ ∞

      X X g(z) − g(ξ) −k −l log = c kl ξ z

      −

      −1 −1

      (z )(g(z) + g(ξ)) − ξ k l

      =0 =0

      Para |z| e |ξ| suficientemente grandes, depois de alguns c´alculos, obtemos

      1

      2

      c = b (u

      11

      1

      − − v)

      8 e da´ı, pelo seguinte lema (que pode ser consultado em ), conseguimos Lema 3.7. Sejam g , m n´ umeros complexos n˜ao todos

      ∈ Σ e u, v ∈ E. Sejam λ · · · , λ nulos. Ent˜ao

    m m m

    2 " # ∞

      X X k

      X |λ | k c kl λ l + 2Re λ c λ l

      2 X

      ≤ 0l k l k l k

      =1 =0 =1 =0 e a igualdade vale se, e somente se, area(E) = 0.

      Escolhendo λ l = 0 para j 6= l obtemos

      ∞

      X

      1

      2

      k (l = 1, 2, kl |c | ≤ · · · ) k l

      =1

      e segue que kl (k, l = 1, 2,

      1 √

      |c | ≤ · · · ) kl

      11

      ≤ 1, e assim p 8(1 +

      1

      |u − v| ≤ |b |) Temos que o diˆametro de K(P ) ´e definido por

      Diam(K(P )) = sup {|u − v| : u, v ∈ K(P )}, satisfaz p

      Diam(K(P )) 8(1 +

      1

      ≤ |b |) a d

      −2

      e usando o teorema anterior, sabemos que b = e assim

      

    1

      − d r a d

      −2

      Diam(K(P )) 8 1 + ≤ d

      Para a demonstra¸c˜ao da pr´oxima proposi¸c˜ao precisaremos de dois resultados prelim- inares: P ∞

      −n

    • Lema 3.8. Seja g

      b z , com n ∈ Σ (conjunto das fun¸c˜oes do tipo z + b n |z| > 1)

      =1

      ent˜ao

      1 |b | ≤ 1.

      Demonstra¸c˜ao. Na demonstra¸c˜ao do Teorema temos !

      ∞

      X

      2

      area(K(P )) = π 1 n n .

      − |b | n

      =1

      Como

      ∞

      X

      2

      2

      area(K(P )) n n

      1

      ≥ 0 ⇒ |b | ≤ 1 ⇒ |b | ≤ 1, n

      =1

      portanto obtemos

      1 |b | ≤ 1 e da´ı temos o resultado do lema.

      Lema 3.9.

      Seja g ∈ Σ e w ∈ K(P ) ent˜ao p

      1

      ∗ −1 −(2n+2)

      2

    • g (z) = g(z ) (b z + n (3.1)

      − w = z + − w)z · · · + b · · ·

      2 ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar em Σ.

      −2

    2 Demonstra¸c˜ao. Note que a fun¸c˜ao z (g(z )

      − w) ´e an´alitica e par em seu dom´ınio (que ´e conexo). Assim a fun¸c˜ao ´ımpar 1 p

      ∗ −2 −2n−2 2 −2

      2

      g

    • &min
    • (z) = z z (g(z ) 1 + (b n z − w) = z − w)z · · · + b · · ·
    • = z + (b − w)z · · ·

      ∗ ∗

      2

      2

      2

      1

      |z| < ∞ e tem a expans˜ao Se g

      2

      1

      e desde que g(z) ´e univalente segue que z = . ´ E imposs´ıvel de acontecer z = ,

      2 ±z

      1 2 −z

      1 ∗ ∗ ∗

      pois g ( ) = ) (z ), da´ı g (z) ´e univalente em ∆ =

      1

      1

      1 −z −g(z 6= g {z ∈ C : |z| > 1}.

      Proposi¸ c˜ ao 3.10. Suponha P um polinˆomio mˆonico e centrado de grau d ≥ 2 com conjunto de Julia Cheio K(P ) conexo. Ent˜ao

      K(P ) ⊂ {w : |w| ≤ 2}. Demonstra¸c˜ao. Como g

      1

      ∈ Σ dos lemas temos que |b | ≤ 1 e |b − w|

      ≤ 1 ⇒ |b − w| ≤ 2,

      2 isto para qualquer w ∈ K(P ), portanto K(P ) ⊂ {w : |w − b | ≤ 2} e da observa¸c˜ao temos que b = 0, da´ı

      K(P ) ⊂ {w : |w| ≤ 2}. n Defini¸ c˜ ao 3.11.

      Dizemos que z escapa sob itera¸c˜ao por P se P (z) → ∞ quando n → ∞. Se existe um R > 0 tal que se d d d |z| > R, ent˜ao z escapa, tal R ´e chamado raio de escape.

      −1 −2

      Para P (z) = z + a + z + a z , o valor d −1 d −2 · · · + a 1 + d

      1

      |a | + · · · + |a | + |a | R = d

      |a | ´e um raio de escape. Observa¸ c˜ ao 3.12. Nas condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao temos que 2 ´e um raio de escape para todo polinˆomio mˆonico, centrado e com grau maior ou igual a dois.

    3.2 A Dimens˜ ao de Hausdorff do Conjunto de Julia Agora apresentaremos uma estimativa para a dimens˜ao de Hausdorff de um conjunto.

      Geralmente n˜ao ´e dif´ıcil estabelecer uma cota superior para um dado conjunto, mas cota inferior j´a se apresenta mais trabalhosa. Assim para determinarmos uma cota inferior para o conjunto de Julia utilizaremos a medida de Haussdorff, para isso utilizaremos as referˆencias .

      Seja f uma aplica¸c˜ao racional de grau d, onde d ≥ 2, e suponha que ∞ ∈ F (f). Ent˜ao

      ′

      f n˜ao tem polos em J e (z) |f | alcan¸ca seu m´aximo em J. Como J cont´em um ciclo repulsor , z , m

      {z

      1 2 · · · , z } e como m ′ ′ ′

      (z ) (z m ) ) (z )

      1

      1

      |f · · · f | = |(f | > 1,

      

      K = max (z) {|f | : z ∈ J}. Antes de demonstrarmos o teorema principal desta se¸c˜ao precisamos do seguinte lema auxiliar, no qual utilizaremos a defini¸c˜ao de medida de Hausdorff estudada no cap´ıtulo 1

      Lema 3.13.

      Suponha que µ ´e uma medida de probabilidade de um subconjunto E de C, e para constantes positivas c, t e r t µ(D(z, r)) ,

      ≤ cr onde D(z, r) ´e o disco de centro z e raio r, sempre que z . Ent˜ao ∈ E e 0 < r < r Dim (E) (E) ´e a dimens˜ao de Hausdorff do conjunto E. H H

      ≥ t, onde Dim Demonstra¸c˜ao. Tome algum n´ umero positivo δ, e fazendo δ

      → 0 quando calcularmos r a dimens˜ao de Hausdorff assumimos que δ < . Consideremos alguma cobertura de

      2 E por discos D(w k , r k ), k = 1, 2, k < δ. Para cada disco D(w k , r k ) sobre E · · · , com r selecionamos um ponto ξ j na intersec¸c˜ao e criamos o disco D(ξ j , ρ j ) onde ρ j = 2r j .

      ≤ r Dessa forma E est´a na uni˜ao dos novos discos criados, e como

      X 1 = µ(E) µ(D(ξ j , ρ j )) ≤ j

      X t ρ j

      ≤ c j

      X t (2r k )

      ≤ c k

      X t [diamD(w k , r k )] δ ≤ c k

      −1 −1

      Encontramos que m (E) . Fazendo δ t (E) e assim t ≥ c → 0, obtemos que m ≥ c

      Dim H (E) ≥ t. Teorema 3.14. Seja f uma aplica¸c˜ao racional de grau d, onde d

      ≥ 2. Se ∞ ∈ F (f), F (f ) ´e o conjunto de Fatou de f , ent˜ao a dimens˜ao de Hausdorff do conjunto de Julia J(f ) satisfaz que log(d)

      Dim H (J) .

      ≥ logK Demonstra¸c˜ao. A id´eia para demonstrarmos o teorema ´e encontrar um ponto ξ

      ∈

      −n n

      F (f ) tal que para cada n, a aplica¸c˜ao f (ξ) tem precisamente d elementos, e quando

      −n

      n (ξ) acumula em J. Antes de seguirmos com a prova, denotamos → ∞ temos que f dist[U, V ] =

      {inf{d(u, v), u ∈ U, v ∈ V }} como a distˆancia euclidiana dos conjuntos U e V , e card(E) a cardinalidade do conjunto E.

      ∞ ∈ F (f) podemos selecionar um n´umero positivo δ tal que cada polo de f est´a a uma distˆancia de pelo menos 2δ de J. Agora temos J(δ) =

      {z : dist[z, J] < δ}, e

      

      K(δ) = sup (z) {|f | : z ∈ J(δ)} desta forma, 1 < K < K(δ) < +

      ∞ e K(δ) quando δ

      → K → 0 provaremos que log(d)

      Dim H (J) ≥ logK(δ) e obteremos o resultado desejado fazendo δ

      → 0. Para selecionarmos ξ adequadamente, escolhemos um disco compacto E em F (f ) de forma que possamos aplicar o teorema cap´ıtulo 2.

      Agora tomamos ξ para algum ponto de E que a ´orbita n˜ao intercepta a ´orbita de

      −n n

      nenhum ponto cr´ıtico. Ent˜ao para cada n, f (ξ) tem precisamente d elementos. Do

      −n

      teorema existe um inteiro m tal que f (z) ⊂ J(δ) sempre que n ≥ m, e substituindo

      −m

      ξ por algum ponto em f (ξ) e reclassificando, podemos assumir que

      ∞

      [

      −n

      f (ξ) n ⊂ J(δ)

      =0

      Agora introduziremos v´arias grandezas que ser˜ao necess´arias para a prova:

      −n n

      a) f (ξ) = n (i) : i = 1, {ξ · · · , d };

      −n

      b) d n = dist[J, f (ξ)], ent˜ao d = dist[J, ξ] e;

      −n

      c) uma distribui¸c˜ao de probabilidade uniforme µ n de f (ξ)

      −n

      Note que µ n leva uma massa de d sobre cada ξ n (i), e para algum E,

      −n

      µ n (E) = d card n (i) {i : ξ ∈ E} e da´ı temos que d n < δ. Da´ı pelo Teorema implica que d n

      → 0 quando n → ∞, e

      −n

      agora mostraremos que tal convergˆencia n˜ao ´e t˜ao r´apida (isto ´e, os conjunto f (ξ) n˜ao se aproximam de J t˜ao rapidamente). Lema 3.15. Na nota¸c˜ao anterior, d n n , e ent˜ao

    • 1

      ≤ Kd

      2

      d K K

      1

      2 ≤ d ≤ d ≤ · · · . K em vez de K(δ). Demonstra¸c˜ao. Tome algum z n (i), ent˜ao ou

      ∈ J e algum ξ +1 i) δ n (i)

    • 1

      ≤ |z − ξ |; ou ii) (i) n +1 |z − ξ | ≤ δ

      Se (i) ´e valida, ent˜ao d < δ < Kδ (i) n n +1 ≤ K|z − ξ |

      Se (ii) ´e valida, ent˜ao o segmento que liga z a ξ n est´a inteiramente contido em J(δ)

    • 1 ′

      −n

      e ent˜ao n (i)) est˜ao em J e f (ξ)

    • 1

      |f | ≤ K sobre este segmento. Como f(z) e f(ξ respectivamente, temos d n n +1 (i)) n +1 (i) ≤ |f(z) − f(ξ | ≤ K|z − ξ |. Em ambos os casos, temos d n n +1 (i)

      ≤ K|z − ξ |, e fazendo z e ξ variarem obtemos d n +1 n n +1 ≤ Kd

      A prova do teorema ´e mais f´acil quando n˜ao h´a pontos cr´ıticos em J, ent˜ao mostramos o teorema sob esta suposi¸c˜ao (n˜ao haver pontos cr´ıticos), e subsequentemente consid- eraremos uma mudan¸ca necess´aria nesta demonstra¸c˜ao para obtermos o caso geral. O importante ser´a que parte da prova deste caso continuar´a v´alida no caso geral.

      A afirma¸c˜ao anterior diz que para cada z z tal que ∈ J, existe um inteiro positivo r f ´e univalente sobre D(z, r z ). Agora os discos D(z, r z ), z

      ∈ J, formam uma cobertura aberta do conjunto compacto J, ent˜ao pelo Teorema de Cobertura de Lebesgue, existe um n´ umero positivo τ tal que f ´e univalente para cada disco D(z, τ ), z

      ∈ J. fazendo τ decrescer, se necess´ario, assumimos que τ < δ, e agora escolhemos um inteiro positivo q tal que q d /K < τ < δ.

      −n

      O pr´oximo resultado diz que de alguma forma, f (ξ) deve ter uma distribui¸c˜ao uniforme pr´oximo de J. Lema 3.16. Se n˜ao h´a pontos cr´ıticos em J, para todo z n m ∈ J, e para todos inteiros n e

    • q−m −n

      m satisfazendo n pontos de f (ξ) em D(z, d /K ), ≥ 1, m ≥ q h´a no m´aximo d assim m n

      −n +q−m

      card(D(z, d /K ) (ξ)) (3.2) ∩ f ≤ d

      ∈ J e para todo n ≥ 1, por indu¸c˜ao sobre m para m ≥ q. Agora se a desigualdade anterior ´e v´alida para todo z ∈ J n e todo n

      . Agora assumimos que a ≥ 1 quando m = q, neste caso limite superior ´e d afirma¸c˜ao ´e verdadeira quando q

      ≤ m ≤ M e provaremos que para todo z ∈ J e todo n ≥ 1, M n

    • 1 −n +q−(M +1)

      card(D(z, d /K ) (ξ)) ∩ f ≤ d

      Primeiro suponha que n = 1, ent˜ao pelo lema anterior (e como K > 1), M +1 −1 d /K /K = dist[J, f (ξ)],

      1

      ≤ d ≤ d M +1 e ent˜ao neste caso nenhum dos pontos ξ

      1 (i) est˜ao dentro de uma distˆancia d /K de J, e a desigualdade ´e valida pois o lado esquerdo da desigualdade ´e zero.

      Agora suponha que n ≥ 2, ent˜ao n − 1 ≥ 1. Neste caso, M q

    • 1

      d /K < d /K < τ < δ, M

    • 1 ′

      ent˜ao f ´e univalente no disco D(z, d /K ) e M +1 M |f | ≤ K. Isto significa que f ´e uma aplica¸c˜ao univalente de D(z, d /K ) em D(f (z), d /K ), e ent˜ao pontos distintos M

      −n +1 −(n−1)

      de f (ξ) em D(z, d /K ) s˜ao aplicados sobre pontos distintos de f (ξ) em D(f (z), d /K). Assim usando a hip´otese de indu¸c˜ao (e n M M − 1 ≥ 1), temos

    • 1 −n −(n−1)

      card(D(z, d /K ) (ξ)) /K ) (ξ)) ∩ f ≤ card(D(z, d ∩ f ≤

      (n−1)+q−M

      ≤ d n

    • q−(M +1)

      = d Isto prova o lema quando n = 1 e quando n ≥ 2, e ent˜ao a prova do lema est´a completa.

      Podemos reescrever o lema anterior em termos de medida de probabilidade µ n e obte- mos M q m µ n (D(z, d /K )) /d ,

      ≤ d d Mostraremos que para r < ,

      K q +1 −t t logd µ n (D(z, r)) d )r , onde t = . (3.3)

      ≤ (d logK d d d

      Se r < , existe algum inteiro positivo m tal que < r < , e ent˜ao como m m

    • 1

      K K K t

      d µ n (D(z, r)) n (D(z, ))

      ≤ µ m q K d ≤ m d q d

      ≤ mt K t q rK

      ≤ d q d

    • 1

      d t r . ≤ t d o que demonstra

      −n

      Observe que a medida de probabilidade µ n ´e distribuida uniformemente sobre f (ξ), e fazendo n n → ∞ obtemos que alguma subsequˆencia de {µ } converge fracamente para a medida de probabilidade µ sobre J, isto decorre da observa¸c˜ao Assim para todo d z 0, , temos

      ∈ J e todo r ∈ K q +1 d t

      µ(D(z, r)) r ≤ t d e pelo lema temos que logd

      Dim H (J) ≥ logK o que completa a prova no caso em que f n˜ao tem pontos cr´ıticos em J.

      Agora discutiremos as mudan¸cas necess´arias para provarmos o caso geral. Assumindo agora que f tem pontos cr´ıticos em J ent˜ao seja C =

      1 , k

      {c · · · , c } m o conjunto de tais pontos cr´ıticos. Assim f , e tamb´em f , tem derivada zero para cada m n c e nenhuma iterada f fixa algum c . Deduzimos que para cada j, f (c ) encontra-se j j j fora de C sempre que n ´e suficientemente grande, e ent˜ao existe algum inteiro p tal que p f (C) ´e disjunto de C.

      Escolha algum positivo ρ satisfazendo as condi¸c˜oes

      a) os discos D(c j , 2ρ) s˜ao dois a dois disjuntos p

      ′

      b) ) (z) j , 2ρ) |(f | ≤ 1 para cada D(c p

      c) 4ρ < dist[f (C), C]

      [ H = J D(c j , ρ),

      − ent˜ao H ´e um subconjunto compacto de J e H ∩ C = ∅. Segue que existe um n´umero positivo τ tal que se z

      ∈ H, ent˜ao f ´e univalente sobre o disco D(z, τ). Finalmente, nossa escolha do inteiro q ´e modificada ao levarmos a presen¸ca de C em conta e aqui escolhemos q tal que d

      < min q {τ, ρ, δ}, q > p. K

      Com esta modifica¸c˜ao e o lema dado a seguir, sendo v´alido a prova segue exatamente como a anterior.

      Mostremos o caso geral do lema Lema 3.17. Para todo z n m ∈ J, e para todos inteiros n e m satisfazendo n ≥ 1, m ≥ q h´a

    • q−m −n

      no m´aximo d pontos de f (ξ) em D(z, d /K ), assim m −n n +q−m card(D(z, d /K ) (ξ)) (3.4) ∩ f ≤ d

      Demonstra¸c˜ao. Provaremos por indu¸c˜ao sobre m para m ≥ q e como antes a desiguadade

      ´e valida quando m = q. Asssumimos que a desigualdade ´e v´alida para z ∈ J, para todo n

      ≥ 1, e para todo m com q ≤ m ≤ M, e procedemos mostrando que d n

      −n +q−(M +1)

      card D z, (ξ) (3.5) m +1 ∩ f ≤ d K

      Primeiro supomos que 1 ≤ n ≤ M + 1. Ent˜ao por d d n M +1 n ≤ ≤ d

      K K Ent˜ao d

      −n −n

      card D z, (ξ) n ) (ξ)) = 0 M ∩ f ≤ card(D(z, d ∩ f

    • 1

      K pela defini¸c˜ao de d . n Assim podemos assumir que n > M + 1 ent˜ao n > M + 1 > q > p. Quando z

      ∈ H, segue da hip´otese de indu¸c˜ao, exatamente como antes, ent˜ao podemos assumir que

      S z D(c j , ρ). De (a) z na verdade est´a em um dos discos D(c j , ρ), digamos D(c , ρ).

      1

      ∈ Note que d d

      < ρ, M q

    • 1

      K K d d e usando (b), encontramos que f aplica D z, sobre D f (z), . Observe M +1 M +1 K K p d que ao menos d pontos em D z, podem-se aplicar em algum ponto dado em M

    • 1

      K p d D f (z), e disto segue que M

    • 1

      K d p p d

      −n −(n−p)

      card D z, (ξ) card D f (z), (ξ) M +1 M +1 ∩ f ≤ d ∩ f p K K

      Agora de (c), f (z) esta em H, e como j´a temos derivado da desigualdade para pontos z ∈ H, deduzimos que d p

      −n (n−p)+q−(M +1)

      card D z, (ξ) d M ∩ f ≤ d

    • 1

      K o que completa a prova.

      Usando o teorema e sabendo que dada uma aplica¸c˜ao racional f , podemos escolher

      −1

      uma aplica¸c˜ao de M¨obius tal que ), pois J e g(J) tem a mesma dimens˜ao, ∞ ∈ f(gfg temos

      Corol´ ario 3.18. Se grau de f ´e maior ou igual a 2, ent˜ao Dim H (J) > 0. d Teorema 3.19.

      Seja P (z) = z + c (d ≥ 2) com K(P ) conexo, ent˜ao a dimens˜ao de

      Hausdorff do conjunto de Julia satisfaz log d H (J(P )). ≤ Dim log d + (d

      − 1) log 2

      ′ d −1

      Demonstra¸c˜ao. Primeiro note que P (z) = dz , da´ı

      ′

      log(P (z)) = logd + (d − 1)log(z)

      Como um raio de escape de P (z) ´e 2 (a 2−1 = a

      1 = 0), temos ′

      K = max z log (z)

      ∈J(P ) |P | ≤ logd + (d − 1)log2.

      Portanto

      1 1 logd logd (J(P)).

      H

      ≤ ⇒ ≤ ≤ Dim logd + (d K logd + (d K − 1)log2 − 1)log2

    2 Exemplo 3.20. Seja P (z) = z +c, onde c ´e uma constante pertencente ao Connectdness

      1 Locus de P . Uma estimativa da dimens˜ao de Hausdorff de P (z) ´e , pois de acordo com

      2 log(2) log(2)

      1 = = H (J(P )).

      ≤ Dim log(2) + (2 2log(2)

      2 − 1)log(2)

    5 Exemplo 3.21. Seja P (z) = z +c, onde c ´e uma constante pertencente ao Connectdness

      log(5) Locus de P , uma estimativa da dimens˜ao de Hausdorff de P (z) ´e , pois log(5) + 4log(2) de acordo com o teorema anterior, temos log(5) log(5)

      = H (J(P )).

      ≤ Dim log(5) + (5 log(5) + 4log(2) − 1)log(2) Considera¸ c˜ oes Finais

      Neste trabalho investigamos propriedades geom´etricas do conjunto de Julia e do con- junto de Julia Cheio, para muitos de nossos resultados precisamos usar como hip´otese de que os polinˆomios em exame fossem centrados. A limita¸c˜ao referida foi transpassada com o argumento que todo polinˆomio pode ser conjugado a um polinˆomio com esta especial caracter´ıstica, ser centrado. Como a conjuga¸c˜ao preserva propriedades geom´etricas os resultados obtidos valem para qualquer polinˆomio, sendo este centrado ou n˜ao. ´ E impor- tante notar tamb´em que a estimativa da dimens˜ao de Hausdorff obtida no desenvolvimento do trabalho depende apenas do grau do polinˆomio. Referˆ encias Bibliogr´ aficas

      [1] Atela, Pau; Hun, Jun. Commuting Polynomials and Polynomials with Same Julia Set, 1995. [2] Beardon, Alan F. Iteration of Irational Functions, Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2000. [3] Cabral, Jo˜ao Manuel Gon¸calves. Dinˆamica Holomorfa: Conjuntos de Julia e de

      Mandelbrot, Provas de Aptid˜ao Pedag´ogica e Capacidade Cient´ıfica- Universi- dade dos A¸cores, Ponta Delgada, Portugal, 2002. [4] Cabral, Jo˜ao Manuel Gon¸calves. Estudo Anal´ıtico e Simbolico das Bifurca¸c˜oes para a Fam´ılia de Aplica¸c˜oes Racionais de Grau 2, Tese (Doutorado em

      Matem´atica)- Universidade dos A¸cores, Ponta Delgada, Portugal, 2009. [5] Carleson, Lennart; Gamelin, Theodore W. Complex Dynamics, Springer-Verlag, 1992.

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      1975. [14] Pommerenke, Ch. On the Grunsky Inequalities for Univalent Functions, Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 35, 234-244, 1969.

      [15] Rogers, C. A. Hausdorff Measures, Cambridge University Press, 1970. [16] Royden, H. L.; Fitzpatick, P. M. Real Analysis. Fourth Edition, China Machine Press, 2010.

      [17] Soares, Marcio G. C´alculo em uma Vari´avel Complexa, Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, IMPA, 2012. [18] Sofware Fraqtive. Dispon´ıvel em http://fraqtive.mimec.org/. Acesso em 21 de janeiro de 2014. [19] Yang, Guoxiao. Some Geometrics Properties of Julia Sets and filled-in Julia Sets of Polynomials, Complex Variables, Theory and application: An International

      Journal, 383-391, 2002. [20] Zireh, Ahmad. Hausdorff Dimension of the Julia Set for Complex Polynomial z(z d + c), International Journal of Math Analysis, Vol. 2, n´ umero 1, 5-9, 2008.

      ´ Indice Remissivo

      ´orbita peri´odica, A Dimens˜ao de Hausdorff do Conjunto de multiplicador,

      Julia, aplica¸c˜ao univalente, Aspectos Geom´etricos do Conjunto de Julia polinˆomios de Tchebychev T k ,

      Cheio, ponto peri´odico, ponto pr´e-peri´odico, Princ´ıpio do M´aximo,

      Conectedness Locus, Conjunto de Fatou, Conjunto de Julia, Conjunto de Julia Cheio, conjunto mensur´avel,

      Teorema de B¨ottcher, Teorema de Liouville, Teorema de Montel, Teorema de Morera, Teorema Integral de Cauchy, espa¸co de Baire, valor cr´ıtico de uma aplica¸c˜ao racional, espa¸co mensur´avel, F´ormula anal´ıtica de Green, grande ´orbita, grau de uma aplica¸c˜ao racional, integral complexa,

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