O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

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Full text

(1)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Salvador-Bahia

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O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Salvador-Bahia

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Fernandes, Teles Ara´ujo.

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplica¸c˜oes / Teles Ara´ujo Fernandes. – Salvador: UFBA, 2010.

35 f.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2010.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Variedades (Matem´atica). 3. Variedades riemannianas. I. Costa, ´Ezio de Ara´ujo. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

¸ ˜

oes

Teles Ara´

ujo Fernandes

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 05 de fevereiro de 2010.

Banca examinadora:

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa UFBA

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(6)

Agradecimentos

(7)

Existe apenas um bem, o sa-ber, e apenas um mal, a ig-norˆancia.

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Resumo

Neste trabalho demonstramos um teorema devido a Brian Smyth e Frederico Xavier, a saber: O Teorema das Curvaturas Principais. Entre aplica¸c˜oes desse teorema, provamos uma generaliza¸c˜ao de Efimov: N˜ao existe hipersuperf´ıcief :M3 −→

R4 completa e orient´avel com Ric ≤ −c tal que c > 0. De forma original, tamb´em provamos que, esse resultado ´e verdadeiro quando substituimos a curvatura de Ricci pelas curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar.

Al´em disso, ainda como consequˆencia deste teorema provamos que, para n 4 n˜ao existe hipersuperf´ıcie f : Mn −→ Rn+1 completa e orient´avel com Ric ≤ −c tal que

c >0 e com as curvaturas seccionais n˜ao assumindo todos os valores reais.

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Abstract

We demonstrated a theorem due to Brian Smyth and Frederico Xavier, namely: The Principal Curvature Theorem. Among applications of this theorem, we prove a generalization of Efimov: There are no complete and orientable hypersurfacesf :M3 −→

R4 with Ric ≤ −c such that c >0. In original form, also proved that this result is true when we substitute the curvature of Ricc for curvature and Gauss-Kronecker scalar.

Moreover, even as a consequence of this theorem we prove that, to n ≥ 4, there are no complete and orientable hypersurfaces f :Mn−→ Rn+1 with Ric≤ −c such that c >0 and the sectional curvatures not taking all real values.

(10)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 2

1.1 Fatos B´asicos da Geometria Riemanniana . . . 2 1.2 Variedades Riemannianas Completas . . . 4 1.3 Hipersuperf´ıcies de Rn+1 . . . 6 2 Hipersuperf´ıcies Convexas de Rn+1 12

2.1 Propriedade da Envolt´oria Convexa da Hipersuperf´ıcie de Rn+1 . . . 12

3 O Teorema das Curvaturas Principais 21

4 Aplica¸c˜oes 27

(11)

Introdu¸

ao

´

E fato conhecido e provado por Nash [8] que toda variedade RiemannianaMnpode ser imersa isometricamente em algum espa¸co euclidianoRm. Entretanto, sem=n+1 pode

existir obstru¸c˜ao ´a existˆencia de tais imers˜oes (hipersuperf´ıcies). Por exemplo, o cl´assico Teorema de Hilbert [6] afirma que o plano hiperb´olico n˜ao pode ser imerso isometricamente no espa¸co euclidianoR3. Em 1968, Efimov [4] foi mais al´em e mostrou que uma superf´ıcie completa com curvatura gaussiana menor ou igual a uma constante negativa n˜ao pode ser imersa isometricamente em R3. Reilly [10] propos: Se uma n-variedade completa tem curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa ent˜ao essa variedade n˜ao pode ser imersa isometricamente no Rn+1. Smyth e Xavier [11] mostraram que este

resultado ´e verdadeiro para n = 3 e para n ≥ 4 com a hip´otese adicional das curvaturas seccionais n˜ao asumirem todos os valores reais.

A prova do resultado de Smyth e Xavier se baseia no Teorema das Curvaturas Principais que ´e nosso principal resultado. Em seguida damos aplica¸c˜oes do referido teo-rema. Em particular, provamos que o resultado de Smyth e Xavier ´e v´alido em dimens˜ao n= 3 e tamb´em quando substituimos a curvatura de Ricci pela curvatura escalar ou pela curvatura de Gauss-Kronecker.

Assim, o objetivo deste trabalho ´e demonstrar, com detalhes, o resultado em [11] e acrescentar que esses resultados tamb´em s˜ao v´alidos para as curvaturas de Guass-Kronecker e escalar. Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro cap´ıtulo as no¸c˜oes b´asicas da geometria Riemanniana que est˜ao relacionada com o proposto. No segundo cap´ıtulo, apresentamos os conceitos de hipersuperf´ıcies convexas deRn+1 e da propriedade

da envolt´oria convexa das variedades. No terceiro cap´ıtulo, demonstramos o Teorema das Curvaturas Principais e, para finalizar este trabalho, o cap´ıtulo quatro apresenta as aplica¸c˜oes desse teorema.

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo ´e familiarizar o leitor com a linguagem b´asica e alguns resultados fundamentais da Geometria Riemanniana. Come¸camos com conceitos b´asicos: variedades diferenci´aveis, m´etrica Riemanniana, conex˜ao Riemanniana e curvatura. Em seguida ´e apresentada a segunda se¸c˜ao, onde definimos uma distˆancia em uma variedade, as curvas geod´esicas e a completude de variedades. Na terceira se¸c˜ao, abordamos o con-ceito e as principais equa¸c˜oes das hipersuperf´ıcies de Rn+1.

1.1

Fatos B´

asicos da Geometria Riemanniana

Uma variedade diferenci´avel de classe C∞ e de dimens˜aon, denotada por Mn, ´e

um conjunto conexo M e uma fam´ılia de aplica¸c˜oes biun´ıvocas xα : Uα ⊂ Rn −→ M de

abertos Uα de Rn em M tais que:

(i) [

α

xα(Uα) =M.

(ii) Para todo par α, β,com xα(Uα)∩xβ(Uβ) =W 6=∅, os conjuntosx−α1(W) ex−β1(W)

s˜ao abertos em Rn e as aplica¸c˜oes x−1

β ◦xα s˜ao diferenci´aveis.

(iii) A fam´ılia {(Uα, xα)}´e m´axima relativamente `as condi¸c˜oes (i) e (ii).

De agora em diante, quando indicarmos uma variedade diferenc´avel porM, esta-remos considerando que sua dimens˜ao ´en, salvo men¸c˜ao em contr´ario.

Dada uma variedade diferenci´avel M definimos uma m´etrica Riemanniana como uma fun¸c˜ao que associa cada p M um produto interno h,ip : TpM × TpM −→ R

satisfazendo a seguinte propriedade: Se U ´e um aberto em M e X, Y s˜ao campos de vetores diferenci´aveis emU, ent˜ao a fun¸c˜ao hX, Yi:U −→R dada por

(13)

3

´e diferenci´avel emU.

Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade diferenci´avel com uma m´etrica Riemanniana.

Sejam χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classeC∞ emMeC(M) o anel

das fun¸c˜oes reais de classeC∞ definidas emM. Uma conex˜ao afim em uma variedade

diferenci´avel M´e uma aplica¸c˜ao

∇: χ(M)×χ(M) −→ χ(M) (X, Y) 7−→ ∇XY

que satisfaz as propriedades:

(i) f X+gYZ =f∇XZ +g∇yZ,

(ii) X(Y +Z) =∇XY +∇XZ,

(iii) X(f Y) =f∇XY +X(f)Y,

onde X, Y, Z χ(M) e f, g∈ C(M).

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇ e uma m´etrica Riemanniana h,i. A conex˜ao ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h,i se

XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi, X, Y, Z ∈χ(M).

Sejam X, Y campos diferenci´aveis de vetores em uma variedade diferenci´avel M. ´

E poss´ıvel provar que existe um ´unico campo vetorial Z tal que, para todo f ∈ C(M), Zf = (XY Y X)f. O campo vetorial Z ´e chamado o colchete de X e Y e denotamos [X, Y] =XY Y X.

Defini¸c˜ao 1.1.2. Uma conex˜ao afim em uma variedade diferenci´avel M ´e dita sim´etrica

quando

∇XY − ∇YX = [X, Y]para todoX, Y ∈χ(M).

Um teorema de Levi-Civita mostra que dada uma variedade Riemanniana M, existe uma ´unica conex˜ao afim emMtal que ´e sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana. Dizemos que essa conex˜ao ´e a conex˜ao Riemanniana deM.

A curvatura R de uma variedade Riemanniana M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X, Y ∈χ(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y) :χ(M)−→χ(M) dada por

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4

onde ´e conex˜ao Riemanniana de M.

Intimamente relacionado com o operador curvatura est´a a curvatura seccional que definimos,

Defini¸c˜ao 1.1.3. (Curvatura seccional) Dado um ponto p ∈ Mn e um subespa¸co bi-dimensional σ ⊂ TpMn o n´umero real Kp(u, v) =Kp(σ) = hR(u, v)u, vi

|u∧v|2 onde u, v ´e uma

base qualquer de σ, ´e chamado curvatura seccional de σ em p.

Existem combina¸c˜oes importantes das curvatura seccionais, a saber:

Seja x = zn um vetor unit´ario em TpM, tomemos uma base ortonormal {z1, ..., zn = x}

do hiperplano de TpM ortogonal a x=zn.

A curvatura de Ricci, no ponto p, e na dire¸c˜ao x ´e Ricp(x) =

X

i6=n

hR(x, zi)x, zii.

A curvatura escalar, no ponto p´e a soma das curvaturas de Ricci, i.´e, τ(p) = X

i

Ricp(zi) =

X

ij

hR(zi, zj)zi, zji, j = 1, ..., n.

1.2

Variedades Riemannianas Completas

Dados dois pontos p e q em M, dizemos que a distˆancia de p a q, denotada por d(p, q), ´e o ´ınfimo dos comprimentos de todas as curvas diferenci´aveis por partes ligando p a q. Munido da m´etrica d, M ´e um espa¸co m´etrico completo e al´em disso, a topologia induzida pord em M coincide com a topologia inicial deM.

Dada uma curva parametrizada γ :I −→M, dizemos que γ ´e uma geod´esica se D dt dγ dy

= 0 para todo t I onde, D

dt ´e a derivada covariante. Note que, se γ ´e uma geod´esica, ent˜ao d dth dγ dt, dγ dti= 2h

D dt

dγ dt,

dγ dti= 0.

Portanto, o comprimento do vetor tangente dγ

dt ´e constante. O comprimento de arcosde γ, a partir de uma origem fixa, digamos t=t0, ´e dado por

s(t) = Z t

t0

kdγ

dtkdt =c(t−t0). Sec= 1, dizemos que a geod´esicaγ est´a normalizada.

(15)

5

Proposi¸c˜ao 1.2.1. Dado p M, existem uma vizinhan¸ca V de p em M, um n´umero real ε > 0 e uma aplica¸c˜ao C∞, γ(a, a)× U −→ M tal que t 7−→ γ(t, q, w) ´e a ´unica

geod´esica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q V e cada w∈TqM. Onde U ={(q, w)∈TM;q∈V, w∈TqM,kwk< ε}.

Seja p ∈ U ⊂ TM como acima. Ent˜ao a aplica¸c˜ao exp : U −→ M dada por exp(q, v) = γ

kvk, q, v

kvk

´e chamada aplica¸c˜ao exponencial em U. Dizemos que M ´e geodesicamente completa se para todopM, a aplica¸c˜ao exponencialexpp, est´a definida

para todo v TpM, i.´e, se as geod´esicas que partem de p est˜ao definidas para todos os

valores detR.

Proposi¸c˜ao 1.2.2. Para cadap∈Mexistem uma vizinhan¸caW depe um n´umeroδ >0, tais que, para cadaq W, expq´e um difeomorfismo em Bδ(0)⊂TqMe expq(Bδ(0)) ⊃W.

Dizemos que (W, δ) ´e uma vizinhan¸ca totalmente normal de p.

Agora, definiremos variedade completa e curva divergente. Em seguida temos um teorema, devido a Hopf e Rinow, que torna relevante o conceito de completeza. Na sequˆencia, apresentamos uma caracteriza¸c˜ao de variedade completa.

Defini¸c˜ao 1.2.3. (Variedade Riemanniana completa) Diremos que M ´e uma variedade

riemanniana completa seM ´e geodesicamente completa.

Defini¸c˜ao 1.2.4. (Curva divergente) Dizemos que uma curva α : [0,+) −→ M ´e divergente em M se para cada compacto K M, t0 ∈ [0,+∞) tal que α(t) 6∈ K, para

todot > t0. O comprimento de uma curva divergente ´e dado por l(α) = lim

s→∞

Z s

0 |

α′(t)|dt.

Agora, segue um teorema devido a Hopf, sua prova pode ser encontrada em [3] p´ag. 163. Este teorema possui um corol´ario seguinte que caracteriza as variedades completas em fun¸c˜ao das curvas divergentes.

Teorema 1.2.5. Seja M uma variedade Riemmaniana e seja p M. As afirma¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

(i) expp est´a definida em todo o TpM.

(ii) Os limitados e fechados de M s˜ao compactos.

(iii) M ´e completa como espa¸co m´etrico.

(iv) M ´e geodesicamente completa.

(v) Existe uma sucess˜ao de compactos Kn⊂ M, Kn ⊂intKn+1 e

[

n

Kn=M, tais que

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6

Al´em disso, cada uma das afirma¸c˜oes acima implica que

(vi) Para todo q M existe uma geod´esica γ ligando p a q com l(γ) =d(p, q).

Corol´ario 1.2.6. Uma variedade Riemanniana M ´e completa se, e somente se, o

com-primento de qualquer curva divergente ´e ilimitado.

Prova: Seja M uma variedade Riemanniana completa, pelo teorema 1.2.5 existe uma sucess˜ao de compactos Kn ⊂M, Kn ⊂intKn+1 e

[

n

Kn =M, tais que se qn ∈/ Kn ent˜ao

d(p, qn) −−−→

n→∞ ∞, para todo p∈ M. Seja α : [0,∞) −→M uma curva divergente tal que

α(tn) = qn. Da defini¸c˜ao de distˆancia d em M seque que d(p, qn) ≤

Z s

0 |

α′(t)|dt. Al´em disso,d(p, qn)−−−→

n→∞ ∞logo

Z s

0 |

α′(t)|dt−−−→s

→∞ ∞. Portanto o comprmento de uma curva

divergente qualquerα ´e ilimitado.

Reciprocamente, se M´e uma variedade Riemanniana n˜ao completa ent˜ao existe uma geod´esica normalizada,γ, que n˜ao est´a definida para todot R, i.´e,γ n˜ao se estende. Vamos mostrar que γ se estende. Para isso, seja γ : [0, s0)−→M com γ(0) =p.

J´a que l(γ) = s0, ´e suficiente demonstrar que γ sai de qualquer compacto.

Com efeito, pois caso contr´ario ter´ıamos um compacto K tal que, para todo t0 e

algum t > t0, γ(t) ∈ K. Sendo assim, existiria uma sequˆencia {sn}nN convergindo a s0

comsn< s0 eγ(sn)∈K. Portanto existe subsequˆencia {γ(sk)}kN′N de{γ(sn)}tal que

γ(sk)→q0 ∈K.

Seja (W, δ) uma vizinhan¸ca totalmente normal deq0. Da convergˆencia de{sn}nN

podemos escolher um ´ındicen0tal que, sen, m > n0ent˜aoksn−smk< δcomγ(sn), γ(sm)∈

W. Da proposi¸c˜ao 1.2.1, existe uma ´unica geod´esica η de comprimento menor que δ li-gandos(tn) as(tm). Portantoγ coincide comηondeγ est´a definida. Comoexpγ(sn)´e um difeomorfismo em Bδ(0) e expγ(sn)(Bδ(0)) ⊃W, η estende γ al´em deq0. Isso mostra que γ se estende o que ´e um absurdo pois estamos supondo que γ n˜ao se estende. Portanto

M´e completa.

1.3

Hipersuperf´ıcies de

R

n+1

Iniciamos esta se¸c˜ao com alguns fatos gerais das imers˜oes isom´etricas. Em seguida exibimos os principais conceitos das hipersuperf´ıcies deRn+1.

Sejam Mn e

Mm variedades Riemannianas. Dizemos que f : Mn−→

Mm ´e uma imers˜ao se a diferencial dfx : TxM −→ TxM ´e injetiva para todo x ∈ M. O n´umero

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7

variedades Riemannianas com m´etricas h;iM e h;iM, respectivamente, ´e chamada uma

imers˜ao isom´etrica se:

hX;YiM =hdfxX;dfxYiM

para todox∈M e todo X, Y ∈TxM.

Seja f : Mn −→ Mn+p uma imers˜ao isom´etrica. Em cada x M existe uma vizinhan¸ca U M tal que a restri¸c˜ao de f a U ´e um mergulho em f(U). Portanto podemos identificarU com sua imagem porf, isto ´e,f ´e localmente uma inclus˜ao.

Dessa forma, podemos considerar o espa¸co tangente de M em x como um su-bespa¸co do espa¸co tangente aM em x, e escrever

TxM=TxM⊕TxM⊥,

ondeTxM⊥´e o complemento ortogonal deTxMemTxM. Com esta decomposi¸c˜ao obtemos

um fibrado de vetoresTM⊥ =SxMTxM

, chamado fibrado normal aM. Dessa maneira,

os vetores

TM|f(M) ={X ∈TM:π(X)∈f(M), onde π :TM−→M ´e a proje¸c˜ao}

´e uma soma direta do fibrado tangente TM com TM⊥, isto ´e, TM|f(M) =TM⊕W TM

.

Com respeito a estas decomposi¸c˜oes temos as proje¸c˜oes ()T :T

M|f(M) −→TM

()⊥:TM|f(M) −→TM

,

as quais s˜ao chamadas tangente e normal respectivamente.

Seja Mn+p uma variedade Riemanniana com a conex˜ao de Levi-Civita , e seja f :Mn −→

Mn+p uma imers˜ao isom´etrica. Dados campos de vetores X, Y TM, temos que

∇XY = (∇XY)T + (∇XY)⊥.

Com a unicidade da conex˜ao de Levi-Civita temos queT ´e a conex˜ao de Levi-Civita de

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8

Portanto, obtemos a f´ormula de Gauss:

∇XY =∇XY +α(X, Y). (1.1)

A qual define uma fun¸c˜aoα:TM×TM−→TMchamada segunda forma fundamental

def. Pode-se concluir, com as propriedades das conec¸c˜oes de Levi-Civita ∇ e ∇, que α ´e sim´etrica e bilinear sobre o anel C∞(M) das fun¸c˜oes diferenci´aveis em M.

Em particular, para algum pontoxM e campos de vetores X, Y TM, a fun¸c˜ao αx : TxM×TxM −→ TxM⊥

(X, Y) 7−→ αx(X, Y) =α(X, Y)(x)

depende apenas dos valores deX e de Y em x.

Seja X campos de vetores em TM e ξ de TM⊥, denote por AξX a componente

tangencial de −∇ξX, i.´e.,

AξX =−(∇Xξ)T.

Portanto para cadaY ∈TMtemos

0 =Xhξ, Yi=h∇Xξ, Yi+hξ,∇XYi,

Da f´ormula de Gauss segue que

hAξX, Yi=hα(X, Y), ξi.

Em particular, a fun¸c˜ao

A: TM×TM⊥ −→ TM

(X, ξ) 7−→ A(X, ξ) =AξX

´e bilinear sobre C∞(

M). Portanto, a fun¸c˜ao Aξ : TM −→ TM ´e linear sobre C∞(M) e

sim´etrica, isto ´e, hAξX, Yi = hX, AξYi para todo X, Y ∈ TM. Por abuso de nota¸c˜ao

chamaremos a fun¸c˜aoAξ de segunda forma fundamental na dire¸c˜ao normal ξ.

A componente normal de Xξ, denotada por ∇⊥Xξ, define uma conex˜ao

com-pat´ıvel no conjunto normal TM⊥. Dizemos que ´e a conex˜ao normal de f, e obtemos

a f´ormula de Weingarten

∇Xξ =−AξX+∇⊥Xξ. (1.2)

Sejam X, Y, Z ∈TM, ent˜ao

∇X∇YZ =∇X∇YZ+∇Xα(Y, Z)

=∇X∇YZ+α(X,∇YZ)−Aα(Y,Z)X+∇⊥Xα(Y, Z),

(19)

9

onde a primeira equa¸c˜ao ´e dada por 1.1 e a ´ultima equa¸c˜ao segue de 1.1 e 1.2. De maneira similar,

∇Y∇XZ =∇Y∇XZ+α(Y,∇XZ)−Aα(X,Z)Y +∇⊥Yα(X, Z). (1.4)

Seguindo de 1.1 temos

∇[X,Y]Z =∇[X,Y]Z+α([X, Y], Z). (1.5)

Subtraindo 1.4 e 1.5 de 1.3, e tomando componentes tangenciais, obtemos a aqua¸c˜ao de Gauss

hR(X, Y)Z, Wi=hR(X, Y)Z, Wi+hα(X, W), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W)i,

onde R e R s˜ao os operadores curvaturas de M e M respectivamente. Em particular, se K(X, Y) = hR(X, Y)Y, Xi e K(X, Y) = hR(X, Y)Y, Xi s˜ao as curvaturas seccionais do plano gerado pelos vetores ortogonaisX, Y TxM, a equa¸c˜ao de Gauss ´e

K(X, Y) =K(X, Y) +hα(X, X), α(Y, Y)i − kα(X, Y)k2. (1.6)

Dado uma imers˜ao isom´etrica f : Mn −→ Mm dizemos que f ´e uma hipersu-perf´ıcie se a codimens˜ao de f ´e igual a um.

Seja p M e ξ (TpM)⊥, |ξ| = 1. Como Aξ :TpM−→ TpM ´e sim´etrica, existe

uma base ortonormal de autovetores {e1, ..., en} de TpM com autovalores reais λ1, ..., λn,

i.´e, Aξ(ei) =λiei, 1≤i≥n. Se escolhemos uma orienta¸c˜ao paraM e M, ent˜ao o vetorξ

fica unicamente determinado se exigirmos que, sendo {e1, ..., en} uma base na orienta¸c˜ao

deM, {e1, ..., en, ξ} seja uma base na orienta¸c˜ao de M m

. Neste caso, denominamos os ei

dire¸c˜oes principais e osλi curvaturas principais def. Dizemos que Gp =λ1(p)· · ·λn(p)

´e a curvatura de Gauss-Kronecker de f e que Hp =

1

n(λ1(p) +...+λn(p)) ´e a curvatura m´edia de f.

Agora, seja f :Mn−→

Mm uma imers˜ao isom´etrica e xM. Podemos conside-rar, localmente, um campo diferenci´avel de vetores normal e unit´ario, i.´e, um campo de vetores diferenci´avelξ emTM⊥ definido num abertoU dextal que hξy, ξyi= 1 para todo

yU. Na verdade, existe apenas duas possibilidades de escolha paraξ. Dado X TxM

eY TM´e f´acil ver da f´orrmula de Gauss que

(20)

10

Por outro lado, j´a que ξ ´e um campo de vetor normal unit´ario, temos h∇Xξ, ξi = 0,

consequentemente

Xξ = 0 para todo X ∈ TM. Portanto, da f´ormula de Weingarten

temos

∇Xξ =−AξX. (1.8)

Quando Mm = Rn+1, Aξ tem uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante. Para

ver isto, definimos a aplica¸c˜ao normal de Gauss.

Seja uma hipersuperf´ıcie orient´avel f : M −→ Rn+1, seja ξ um campo normal

global unit´ario de vetores emTM. A aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e definida por

φ : M −→ Sn

x 7−→ ξx

Onde Sn

Rn+1 ´e a esfera e ξx ∈ Sn denota a trasla¸c˜ao paralela do vetor ξx ∈ TxM⊥

para a origem doRn+1.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie orient´avel com aplica¸c˜ao de Gaussφ :M−→Sn. Ent˜ao, para cada x

∈M temos

dφx =−Aξx.

Prova: Dado X ∈ TxM, seja γ : (−ε,+ε) −→ M uma curva diferenci´avel tal que

γ(0) =x eγ′(0) =X. Ent˜ao dφx(X) =

d

dt(φ◦γ)(t)|t=0 =∇Xξ=−AξxX.

onde a ´ultima igualdade ´e dada por 1.8. Portanto Aξ ´e a derivada da aplica¸c˜ao normal

de Gauss.

A curvatura seccional das hipersuperf´ıcies admite uma express˜ao mais simples do que aquela apresentada em 1.1.3.

De fato, sejam f : Mn −→ Mn+1 uma hipersuperf´ıcie, p ∈ M e ξ ∈ (TpM)⊥, |ξ| = 1. Considere uma base ortonormal {e1, ..., en} de TpM que diagonaliza Aξ. Se

λ1, ..., λn s˜ao os autovalores de Aξ ent˜ao, de 1.1 e de 1.7 obtemos, hα(ei, ei), α(ej, ej)i=λiλj

Portanto a equa¸c˜ao 1.6 reduz-se a

(21)

11

Se Mm = Rn+1 ent˜ao K(X, Y) =λiλj. Consequentemente, a curvatura de Ricci

e a curvatura escalar s˜ao respectivamente, Ricp(x) =

X

i6=n

λiλj

τ(p) = X

i

X

i6=n

λiλj

Defini¸c˜ao 1.3.2. Dada uma fun¸c˜ao f :M−→R diferenci´avel, dizemos que pM ´e um ponto cr´ıtico se dfp n˜ao ´e sobrejetiva. A imagem de um ponto cr´ıtico ´e um valor cr´ıtico.

Se a imagem de um ponto p n˜ao ´e um valor cr´ıtico, dizemos que ´e um valor regular e em particular, segue do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que a imagem inversa de um valor regular ´e uma hipersuperf´ıcie de M.

(22)

Cap´ıtulo 2

Hipersuperf´ıcies Convexas de

R

n

+1

Aqui, apresentaremos sem demonstra¸c˜oes, o teorema de H. Wu [12] e o teorema de Sacksteder-van Heijenoort [12]. O primeiro garante que uma hipersuperf´ıcie convexa e homeomorfa aoRn ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao convexa n˜ao negativa. O segundo mostra

basicamente que uma hipersuperf´ıcie completa de Rn+1, com curvatura seccional n˜ao negativa e n˜ao identicamente nula, ´e convexa. Antes de exibir esses resultados, veremos o conceito da envolt´oria convexa e o teorema de Robert Osserman.

2.1

Propriedade da Envolt´

oria Convexa da

Hipersu-perf´ıcie de

R

n+1

Nesta se¸c˜ao definiremos a propriedade da envolt´oria convexa da hipersuperf´ıcie de

Rn+1e demostraremos o teorema de Robert Osserman. Este teorema ´e uma caracteriza¸c˜ao das variedades com tal propriedade e tem grande relevˆancia na demonstra¸c˜ao do teorema das curvaturas principais.

Defini¸c˜ao 2.1.1. (Envolt´oria convexa) Dado E ⊂ Rn, a envolt´oria convexa de E, que ser´a denotada por Env(E), ´e a intersec¸c˜ao de todos os subespa¸cos convexos que cont´em

E.

Defini¸c˜ao 2.1.2. Dada uma hipersuperf´ıcie f : Mn −→ Rn+1, dizemos que f tem a propriedade da envolt´oria convexa se, para todo dom´ınioD em M, comf(D) limitado em

Rn+1, tivermos f(D)Env(∂f(D)).

Observa¸c˜ao 2.1.3. Se, na defini¸c˜ao acima,D´e relativamente compacto ent˜ao os valores

de fronteira de f(D) conincidem com a imagem da fronteira, i.´e, ∂f(D) =f(∂D).

A seguir, provamos o teorema de Osserman, este d´a uma estimativa para as curvaturas principais em um determinado ponto. Para isto, apresentamos o lema que segue.

(23)

13

Lema 2.1.4. Seja f :M −→Rn+1 uma hipersuperf´ıcie com segunda forma fundamental

A na dire¸c˜ao ξ. Denote os autovalores de A por λ1 ≥ ... ≥ λn. Para cada R > 0 seja

BR(cR) a bola de raio R e centro em c=f(p) +Rξ.

(i) Se Vp ´e uma vizinhan¸ca de p em M e f(Vp)⊂BR(c) ent˜ao λn ≥

1 R.

(ii) Se λn>

1

R ent˜ao existe vizinhan¸ca de p em M tal que f(Vp)⊂BR(c).

Prova: Inicialmente vamos provar (i). Seja x:U ⊂Rn −→M uma parametriza¸c˜ao em p, com x(p) = 0.

Em TpM, seja {

∂ ∂u1

(p), ..., ∂ ∂un

(p)} uma base ortonormal que diagonaliza Ap.

Defina a aplica¸c˜ao

g :U Rn −→ R

u 7−→ ||fx(u)c||2

Aplicando a f´ormula de Taylor ag, obtemos: g(u) = g(0) +dg(0)u+1

2d

2g(0)u2+

||u||2ρ(u) (2.1) Com lim

u→0ρ(u) = 0. Note que,

dg(0) = 2h ∂ ∂ui

f x(u)|0;f◦x(u)i

= 2h ∂

∂ui

(p);−Rξ0i= 0

d2g(0) = ∂ ∂uj{

2h ∂ ∂ui

fx(u)|0;f ◦x(u)i}|0

= 2h ∂

2

∂ui∂uj

f ◦x(u);−Rξ0i|0 + 2h

∂ ∂ui

f ◦x(u); ∂ ∂uj

f ◦x(u)i|0

=−2Rλjδij + 2δij

= 2δij(1−Rλj)

(24)

14

g(u) = g(0) + 1 2

n

X

i,j=1

∂2g(0)

∂uiuj

uiuj +||u||2ρ(u)

= R2+

n

X

i,j=1

δij(1−Rλj)uiuj+||u||2ρ(u)

= R2+

n

X

j=1

(1−Rλj)ujuj +||u||2ρ(u)

= R2+

n

X

j=1

{1Rλj+ρ(u)}u2j (2.2)

Suponha que existe vizinhan¸ca Vp depem M tal quef(Vp)⊂BR(c). Ent˜ao para

todouU segue de 2.2

0g(u)R2 =

n

X

j=1

{1Rλj+ρ(u)}u2j (2.3)

Em particular parau= (0, ..., t) obtemos,

0g(0, ..., t)R2 = (1Rλn+ρ(0, ..., t))t2

Como lim

u→0ρ(u) = 0 temos queλn ≥

1 R.

Para provar (ii) suponha que existe ε0 ≥0 tal que

λ1 ≥...≥λn=

1 R +

ε0

R

Donde temos

−ε0 +ρ(u) = 1−Rλn+ρ(u)≥...≥1−Rλ1+ρ(u)

E da equa¸c˜ao 2.3

g(u)R2

n

X

j=1

{−ε0+ρ(u)}u2j

J´a que lim

u→0ρ(u) = 0, dado ε=ε0 existeδ ≥0 tal que||u|| ≤δ temosρ(u)≤ ||ρ(u)||< ε.

Portanto, para todou tal que ||u|| ≤δ temos

g(u)R2

n

X

j=1

(25)

15

logo,

||f x(u)c||2R2 0

Isso mostra que existe vizinhan¸ca Vp = x(U) tal que f(Vp) ⊂ BR(c) concluindo a prova

de (ii).

Teorema 2.1.5. (Robert Osserman) Seja f : M −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie, f tem a propriedade da envolt´oria convexa se, e somente se, para todo ponto de M, n˜ao existe dire¸c˜ao normalξ tal que a segunda forma fundamental de f, Aξ tem todos os autovalores

positivos.

Prova: Inicialmente, suponha que existe p M e um vetor normal unit´ario ξ0 em M,

no ponto p, tal que todas as curvaturas principais s˜ao positivas, ou equivalentemente, como no lema anterior, λn >0. Escolha R >0 tal que λn > R1. Por 2.1.4 (ii), existeVp

vizinhan¸ca depem M, tal que f(Vp)⊂BR(c). Sendo f uma imers˜ao, podemos restringir

Vp (se necess´ario) a uma vizinhan¸caV

p tal que f :V

p −→f(V

p) seja bijetora.

Note que, sendo Vp′ uma vizinhan¸ca de p ent˜ao p / ∂Vp′ e como f|

Vp′

´e bijetora obtemos que f(p)/ f(∂Vp′).

Da continuidade def e da compacidade de∂Vp′ vem queE =f(∂V′p) ´e compacto

em BR−f(p).

Defina a fun¸c˜ao

h : ∂Vp′ −→R

x7−→ hf(x)f(p);ξ0i

Note que h´e n˜ao negativa pois,

h(x) =hf(x)f(p);ξ0i

=hf(x)c+Rξ0;ξ0i

=hf(x)−c;ξ0i+R

=||f(x)c||cos{f(x)c;ξ0}+R

≥ −||f(x)c||+R

e comof(p)∈/ f(∂Vp′) e f(V

(26)

16

Al´em disso,h(x)6= 0 caso contr´ario existiriax∂Vp′ tal quehf(x)−f(p);ξ0i= 0.

Reescrevendo esta igualdede temos,

hf(x)c;ξ0i=hf(p)−c;ξ0i=−R

Portanto,

hf(x)c;ξ0i=||f(x)−c||||ξ0||cos{f(x)−c;ξ0}=−R.

Obtemos ent˜ao cos{f(x)c;ξ0}= −1 e ||f(x)−c|| =R e temos f(x)−c= ±Rξ0. Se

f(x)−c=−Rξ0ent˜aof(x)−c=f(p)−ce temosf(x) =f(p). Comof|

Vp′ ´e bijetora,x=p o que ´e um absurdo poisp /∂Vp′. Se f(x)c=Rξ0 ent˜ao f(x)−c=−(f(p)−c) o que

implicaf(x)−f(p) =−2{f(p)−c}=−2Rξ0. Portantohf(x)−f(p);ξ0i=h−2Rξ0;ξ0i=

−2R 6= 0 que ´e um absurdo pois estamos supondo que h(x) = 0. Isto conclui que h n˜ao se anula.

Da continuidade de h e da compacidade da ∂Vp′ vem que h possui um m´ınimo

positivo emE, digamos ω. Portanto f(∂Vp′)S ={xRn+1 :hxf(p);ξ

0i ≥ω >0}e

temos claramente quef(p)/ S. Logo existe um subespa¸co convexoS que cont´emf(∂Vp′) mas n˜ao cont´em f(Vp′). Segue que f(V

p) 6⊂ Env(f(∂V

p)). Como V

p ´e relativamente

compacto, da observa¸c˜ao 2.1.3 temos que f(Vp′) 6⊂Env(∂f(V

p)). Isto mostra que f n˜ao

tem a propriedade da envolt´oria convexa.

Reciprocamente, suponha que f n˜ao tem a propriedade da envolt´ooria convexa. Ent˜ao existe um dom´ınioDM, comf(D) limitado masf(D)6⊂Env(∂f(D)). Portanto, existe um subespa¸co convexo S = {x Rn+1 : hx, vi ≤ a,kvk = 1} com ∂f(D) S e

f(D)6⊂S. Logo existe p0 ∈D tal que hf(p0), vi=b > a.

Afirma¸c˜ao 2.1.6. Existemp∈D,ξ dire¸c˜ao normal empeBR(cR)(comcR=f(p)+Rξ)

tal que f(D)⊂BR(cR).

Prova: Para a provar essa afirma¸c˜ao, considere os lemas que seguem:

Lema 2.1.7. Seja Br(cr)o fecho da bola de raio r e centro cr, onde hcr;vi=a e f(D)⊂

Br(cr) . Para cada t > r, se Bt(ct)´e o fecho da bola de raio t e centro ct =cr+v √

t2r2

ent˜ao ∂f(D)Bt(ct).

Prova: Para todo valor de fronteira x def(D),

kx−ctk2 =hx−cr+v √

t2r2;xc

r+v √

t2r2i

=kxcrk2+ 2 √

t2r2hxc

r, vi+t2−r2

< r2+ 2√t2r2hxc

(27)

17

J´a que f(D)Br(cr), hx, vi ≤a ehcr, vi=a, segue que

r2+ 2√t2r2hxc

r, vi+t2−r2 ≤t2.

Portanto,

kxctk2 ≤t2.

Lema 2.1.8. Se (2b2a)√t2r2 >2r2 ent˜ao f(p) n˜ao pertence a B

t(ct).

Prova:

kf(p)−ctk2 =hf(p)−cr+v √

t2r2;f(p)c

r+v √

t2r2i

=hf(p)cr, f(p)−cri+ 2hf(p)−cr, v √

t2r2i+t2

−r2 > t2−2r2+ 2hf(p)−cr, v

t2r2i

=t22r2+ 2hf(p)c

r, vi √

t2r22hr, vit2r2

=t22r2+ (2b2a)√t2r2 > t2

Lema 2.1.9. Existe t = R tal que f(D) BR(cR) e existe q = f(p) ∈ f(D) tal que

q∈∂BR(cR).

Prova: Considere o conjunto

Θ = {t≥r:f(D)⊂Bt(ct)}.

Para mostrar que, para algum valor de t => 0, f(D) Bt(ct), ´e suficiente que Θ 6= ∅.

Isso ´e dado diretamente da defini¸c˜ao de Br(cr), pois f(D)⊂ Br(cr), consideremos ent˜ao

t=r=R. Agora mostremos que algum q =f(p) emf(D) est´a na fronteira de BR(cR).

Pela afirma¸c˜ao 2.1.8 Θ ´e limitado superiormente logo existe supΘ = t0. Seja

(tk)k∈N uma sequˆencia em Θ tal que tk −−−→

k→∞ t0. Para todo k e todo x ∈f(D) segue da

defini¸c˜ao de Θ que

kxctkk ≤tk

Da continuidade da norma temos kx−ct0k ≤ t0. Isto prova que f(D) ⊂ Bt0(ct0) logo

t0 ∈Θ.

Agora, suponha que n˜ao existe ponto de f(D) em∂Bt0(ct0). Ent˜ao, pela

compa-cidade def(D), existiria t′ > t0 com f(D)⊂Bt′(ct′) o que ´e uma contradi¸c˜ao j´a quet0 ´e

(28)

18

Seja (xk)k∈N uma sequˆencia em D tal que f(xk) −−−→

k→∞ y. ´E fato que, (xk)k∈N ´e

convergente pois se n˜ao fosseyestaria na fronteira def(D). Pela afirma¸c˜ao 2.1.7, ter´ıamos y Bt0(ct0) que ´e uma contradi¸c˜ao pois y ∈ ∂Bt0(ct0). Portanto (xk)k∈N ´e convergente,

digamos a x∈D. Assim,

y= lim

k→∞f(xk) = f(x)∈f(D)

Lema 2.1.10. Existe R >0 tal que ξ= cR−f(p)

R ´e uma dire¸c˜ao unit´aria e normal a f

em p.

Prova: Sejaα : (ε, ε)−→f(D) uma curva diferenci´avel tal que α(0) =f(p).

Como f(p) ∂BR(cR) (lema 2.1.9) ent˜ao kα(s)−cRk2 assume o m´aximo em

s= 0 pois, α(s)f(D)f(D)BR(cR) e R=kα(s)−cRk=kf(p)−cRk. Logo,

d

dt(kα(s)−cRk

2)

|0 = 0

ou seja,

hα′(0), α(0)−cRi= 0.

Seja agora ξ = α(0)−cR

R ent˜ao hα

(0), ξi = 0 e kξk = kα(0)−cRk

R = 1. Isto prova queξ ´e um vetor unit´ario e normal af em p.

Portanto, obtemos que existem p ∈ D, ξ dire¸c˜ao normal em p e BR(cR) (com

cR=f(p) +Rξ) tal que f(D)⊂BR(cR).

Agora ´e so aplicar o lema 2.1.4 (i) para concluir que os autovalores de Aξ s˜ao

λ1 ≥...≥λn≥

1

R >0.

Corol´ario 2.1.11. Seja f :M−→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie com segunda forma

funda-mental A na dire¸c˜ao ξ. Se f possui a propriedade da envolt´oria convexa ent˜ao M n˜ao ´e compacta.

Prova: Pelo teorema anterior Aξ possui autovalores positivo e negativo em cada ponto

deM. Pela proposi¸c˜ao 1.3 em [2] obtemos o desejado.

Agora, abordaremos o conceito das hipersuperf´ıcies convexas e os teoremas de Sacksteder-van Heijenoort e H. Wu. A demonstra¸c˜ao desses resultados podem ser vistas em [12].

Defini¸c˜ao 2.1.12. (hipersuperf´ıcie convexa) Uma hipersuperf´ıcie f : Mn −→ Rn+1, ´e dita convexa se f(M) = ∂C onde C Rn+1 ´e um conjunto convexo fechado com interior

(29)

19

Teorema 2.1.13. (Sacksteder-van Heijenoort) Sejaf :Mn−→Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel,A a segunda forma fundamental de f. Se a curvatura seccional de

M´e n˜ao negativa e n˜ao identicamente nula, ent˜ao temos:

(i) f ´e um mergulho e f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa.

(ii) Ser=max{posto de Ap, p∈M}(necessariamente2≤r ≤n)ent˜aoRn+1 pode ser

decomposto em soma direta ortogonal Rn+1 = Rr+1⊕Rn−r tal que f(M) ∼= M1 ⊕

Rn−r. Mr1 ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rr+1 com segunda forma fundamental

de posto r em algum ponto de M1.

Teorema 2.1.14. (H. Wu) Seja f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie e A a segunda

forma fundamental de f com respeito a ξ:Mn −→Sn−1. Temos:

(i) Se o interior de ξ(M), relativo a Sn−1, ´e n˜ao vazio e M n˜ao ´e compacta ent˜ao M´e

homeomorfa ao Rn.

(ii) Se f (com f(M) = ∂C) ´e convexa e M ´e homeomorfa ao Rn ent˜ao as coordenadas

podem ser escolhidas tal que H0 ={x= (x1, ..., xn+1)∈Rn+1 :xn+1 = 0} ´e o

hiper-plano suporte de C na origem.

Al´em disso,

(ii.1) Se Π : Rn+1 −→ H0 ´e a proje¸c˜ao ortogonal ent˜ao M ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao

convexa n˜ao negativa h:intΠ(C)−→R.

(ii.2) Para todo a na fronteira de Π(C) teremos que MΠ−1(a) ´e um segmento de reta.

(ii.3) Se o interior deξ(M), relativo a Sn−1, ´e n˜ao vazio ent˜ao para cadac > 0, f(

M)Hc

´e difeomorfo a Sn, ondeH

c ={x= (x1, ..., xn+1)∈Rn+1 :xn+1 =c} .

Corol´ario 2.1.15. Seja f :M −→Rn+1 uma hipersuperf´ıcie convexa homeomorfa a Rn

satisfazendo (ii.1)e (ii.3) do teorema de Wu. Se Πn+1 :Rn+1 −→R ´e a ´ultima proje¸c˜ao

de Rn+1 ent˜ao Πn+1◦f(M) := (Πn+1)|f(M) :f(M)−→R ´e uma aplica¸c˜ao pr´opria.

Prova: Inicialmente, notemos que Π : Hc ∩ f(M) −→ Υ = Π(Hc ∩f(M)) ´e um

difeorfismo. Para todoc >0, Hc∩f(M) ´e difeomorfo a Sn logo Υ = Π(Hc∩f(M)) e Sn

s˜ao difeomorfos.

Como Πn+1 ◦f(M) ´e cont´ınua, resta mostrar que (Πn+1 ◦f)−1(K) ´e compacto

(30)

20

Como (Πn+1◦f)−1([0, c]) ´e fechado, resta mostar que (Πn+1◦f)−1([0, c]) ´e limitado em

f(M).

Suponha por absurdo que (Πn+1 ◦f)−1([0, c]) ´e ilimitado. Como 0 ≤ xn+1 ≤ c

para todo (x1, ..., xn, xn+1) =x∈(Πn+1◦f)−1([0, c]) ent˜ao existex∈(Πn+1◦f)−1([0, c]) tal

que Π(x) est´a na componente ilimitada de H0, i.´e, Π(x)∈ H0\Υ. Como 0, Π(x) ∈Π(C)

e Π(C) ´e convexo ent˜ao existe t0 ∈ (0,1) tal que t0Π(x) = z ∈ Υ. Al´em disso, f(M) ´e

gr´afico sobreint{Π(C)}, logo existe um ´unico (w1, ..., wn+1) =w0 ∈f(M), comwn+1 =c

tal que w0 = (z, h(z)).

Como 0, x∂C eC´e conexo, ent˜aow=t0x∈int C. Portanto, temosw∈int C

e (z,0) ∈ Rn+1\int C. Logo o segmento que liga w a (z,0) intersecta ∂C = f(M) em algum ponto, digamos w. Note queb wb= (z,wbn+1) com wbn+1 < t0wn+1 < c. J´a que f(M)

´e gr´afico de h ent˜ao wb= (z, h(z)) = w0. Portanto, wbn+1 =wn+1 =c o que ´e um absurdo

(31)

Cap´ıtulo 3

O Teorema das Curvaturas

Principais

Dedicamos este cap´ıtulo a demonstra¸c˜ao do Teorema das Curvaturas Principais. Este teorema determina o comportamento das curvaturas principais das hipersuperf´ıcies euclidianas completas. A t´ecnica usada por Brian Smyth e Frederico Xavier, na demons-tra¸c˜ao desse teorema, foi criar uma perturba¸c˜ao adequada na hipersuperf´ıcie dada (com segunda forma fundamental A) obtendo uma hipersuperf´ıcie (com segunda forma funda-mentalA) com curvatura seccional n˜ao negativa. Dai, foi usado o teorema de Sacksteder-van Heijenoort garantindo que a hipersuperf´ıcie perturbada ´e uma hipersuperf´ıcie convexa. Al´em disso, o conjunto de autovalores deAcoincide com o deA. Para concluir a demons-tra¸c˜ao foi usado o teorema de Hung-Hsi Wu para hipersuperf´ıcie convexa. Interessantes consequˆencias saem do teorema das curvaturas principais, essas consequˆencias s˜ao tema do pr´oximo cap´ıtulo.

Inicialmente provamos o lema que segue: Lema 3.0.16. Sejam f : Mn −→

Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel e A a segunda forma fundamental def com respeito ao compo normal unit´arioξ :Mn−→Sn−1.

ConsidereΛ ⊂R o conjunto dos autovalores n˜ao nulos de A e Λ± = ΛR±. Se Λ+,Λ

s˜ao ambos n˜ao vazios einfΛ+ 6= 0 ou supΛ+6= 0 ent˜ao, para cada ponto de M, A possui

autovalores positivo e negativo. Em particularf tem a propriedade da envolt´oria convexa.

Prova: Primeiro mostremos que, em cada ponto de M,A possui um autovalor positivo. Equivalentemente, se N ={pMn:λ

i(p)>0 para algum i∈(1, ..., n)} ent˜ao Mn =N.

Com efeito, N 6= ∅ j´a que Λ+ 6= , i.´e, existe p

1 ∈ Mn e existe i ∈ (1, ...n) tal

que λi(p1) > 0. Dado que uma inclus˜ao ´e ´obvia, provemos que Mn ⊂ N. Suponha que

M6⊂N, i.´e, existe p2 ∈ Mn tal que, para todo i∈ (1, ..., n) temos λi(p2)≤0. Considere

uma curvaC que ligap1 a p2.

(32)

22

Da conexidade de M e da continuidade de λi : Mn −→ R, obtemos que λi(C) ´e

um intervalo com extremos emλi(p2)≤0 eλi(p1)>0. Portanto existe sequˆencia (pk)k∈N

emCcomλi(pk)>0 tal queλi(pk)−−−→

k→∞ 0. Isto ´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo

que infΛ+ > 0. Portanto Mn = N e A possui um autovalor positivo em cada ponto de

M.

Para concluir a prova do lema, suponha por absurdo que existe um pontop0 ∈Mn

tal que λi(p0) > 0 para todo i. Da hip´otese Λ− 6= ∅ e com os mesmos argumentos de

conexidade de M e continuidade de λi, obtemos sequˆencia (pk)k∈N tal que λi(pk) −−−→

k→∞ 0

contradizendo que infΛ+ 6= 0. Portanto para todo ponto p

Mn existe i tal que λi(p)<0.

Concluimos ent˜ao que, para cada ponto de M, A possui autovalores positivo e negativo. Pelo teorema 2.1.5, f tem a propriedade da envolt´oria convexa.

A prova deste resultado segue de forma an´aloga se supormos que supΛ+ 6= 0.

Teorema 3.0.17. (Curvaturas Principais) Sejam f : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie

e seja A a segunda forma fundamental de f com respeito a um campo normal unit´ario global ξ :Mn −→ Sn−1 . Considere Λ R o conjunto dos autovalores n˜ao nulos de A e

Λ±= ΛR±. Se Λ+ e Λs˜ao n˜ao vazios ent˜ao infΛ+=sup λ= 0.

Demonstra¸c˜ao:

Suponha por absurdo que infΛ+ = 2c >0. Seja t

0 = 1/c e defina

f =f +toξ:Mn −→Rn+1

Afirma¸c˜ao 3.0.18. Seja h,i a m´etrica induzida por f. Ent˜ao a aplica¸c˜ao f ´e uma hipersuperf´ıcie com a m´etrica dada porhu;vi=h(It0A)2u;vi.

Prova: Para todo ponto p M, a aplica¸c˜ao dfp : TpM −→ Tf(p)M ´e injetiva. Caso

contr´ario existiriaq ∈M e TqM∋v 6= 0 tal que

0 =dfq(v) =dfq(v) +t0dξq(v) = dfq(v)−t0dfq(Aqv) = dfq(v−t0λqv).

Onde a terceira igualdade ´e dada por 1.3.1. Da injetividade dedfq vem quev−t0λpv = 0

donde temosλ(p) = 1t

0 =ce isto ´e um absurdo pois inf Λ

+ = 2c. Portanto v = 0 edf

p ´e

injetiva.

Al´em disso,

hu;vi=h(It0A)2u;vi

(33)

23

Por outro lado,

hdfpu;dfp(v)i=hdfp(u)−t0dfp(Au);dfp(v)−t0dfp(Av)i

=hdfp(u);dfp(v)i −2t0hλu, vif +t20hλu;λvi

=hdfp(u);dfp(v)i −2t0hAu, vi+t20hAu;Avi.

Usando queA ´e um opearador auto-adjunto, obtemos

hdfpu;dfp(v)i=hu;vi −2t0hAu;vi+t20hA2u, vi.

Portanto hu;vi=hdfp(u);dfp(v)i e f ´e uma isometria.

Note que, se bλ s˜ao os autovalores do operador I t0A ent˜ao λb´e maior ou igual

a unidade em valor absoluto.

De fato, (I −t0A)v = bλv ⇔ v −t0λv = λvb ⇔ 1−t0λ = bλ. Se supormos que

|bλ| < 1 ent˜ao 2 < t0λ < 0 e teriamos 0 < λ < t2

0 = 2c o que ´e um absurdo pois

inf Λ+ = 2c. Portanto |bλ|>1.

Afirma¸c˜ao 3.0.19. Munida da m´etrica hu;vi, M´e completa.

Prova: Seja α : [0,+) −→M uma curva divergente. De acordo com 1.2.6, se l(α) ´e o comprimento de α com respeito a m´etica h;i, basta mostrar que l(α) ´e ilimitado. Para cada t ∈ [0,+∞), seja {e1(t), ...en(t)} uma base ortonormal de Tα(t)M que diagonaliza o

operadorP =I−t0A e tem {λb1, ...,cλn} como autovalores associados. Podemos escrever

α′(t) =

n

X

i=1

αi(t)ei(t)

Assim, teremos

|α′

(t)|2 =hα′

(t);α′

(t)i =h(It0A)α

(t); (It0A)α

(t)i =hP α′(t);P α′(t)i

=h n

X

i=1

αi(t)P ei(t); n

X

i=1

αj(t)P ej(t)i

=

n

X

i=1

(αi(t))2(λbi)2 ≥

n

X

i=1

(αi(t))2 (pois|λbi| ≥1)

(34)

24

Portanto,

l(α) = lim

s→∞

Z s

0 |

α′

(t)|dt l(α) = lim

s→∞

Z s

0 |

α′(t)|dt

SendoM, com a m´etrica h;i, uma variedade completa segue que l(α) ´e ilimitado.

Afirma¸c˜ao 3.0.20. A imers˜ao f possui segunda forma fundamental A = (I −t0A)−1A

com respeito ao mesmo campo de vetores normal unit´ario ξ. Al´em disso, se K ´e a cur-vatura seccional def(M) ent˜ao K >0.

Prova: Para mostrar que o campo global, normal e unit´ario com respeito a A ´e ξ, assumiremos queA= (It0A)−1A. Esta igualdade ser´a provada em seguida.

Se N ´e o campo global, normal e unit´ario com respeito a A ent˜ao, dN =df(A)

=−(df+t0dξ)A

=df(A) +t0df(AA)

=df(At0AA)

=−df((I−t0A)A)

=df(A) =dξ

portanto ξ=N.

Ademais, como a derivada covariante doRn+1, com respeito ao campo de vetores

X ´e ´unica, vem que

−df(AX) = DXξ =−df(AX)

=(df(AX)t0df(AAX))

=df(AXt0AAX)

=−df((I−t0A)AX)

Sendof uma imers˜ao, (I−t0A)AX =AX e portanto AX = (I−t0A)−1AX.

Provemos que K >0. Se λ´e um autovalor de A ent˜ao podemos escrever λ= λ

1t0λ

= λc cλ.

(35)

25

inf Λ+ = 2csegue quecλ <0 logoλ0. Portanto a curvatura seccionalK =λ

iλj ≥0.

Do lema 3.0.16, A possui posto r 2 e como A tem o mesmo posto de A conclu´ı-se que

K n˜ao ´e identicamente nula.

Podemos aplicar o teorema 2.1.13 a f. Assim, f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rn+1 e podemos decompor M ef (veja [5] p´ag. 1) como segue:

M=Mr1×R

n−r

e f =f1×f2 Tal que,

f1 :Mr

1 −→Rr+1 e f2 :Rn−r −→Rn−r

Ondef2 ´e a aplica¸c˜ao identidade ef1 ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em Rr+1. A segunda

forma fundamental A1 com respeito a f2 tem posto r em algum ponto de Mr1. Portanto

podemos escrever A=A1 ×A0 em que A0 ´e a segunda forma fundamental com respeito

af2. Segue que A0 = 0 e como o posto de A ´e igual ao posto de A, podemos supor que

r=n.

Afirma¸c˜ao 3.0.21. A imagem da aplica¸c˜ao de Gauss ξ : Mn −→ Sn com rela¸c˜ao a

imers˜ao f, tem interior n˜ao vazio.

Prova: Do par´agrafo anterior, existe p M tal que Ap possui posto n, i.´e, λi(p) 6= 0

para todo i = 1, ..., n. Da continuidade de λi, existe vizinhan¸ca de p, Vi ⊂ M, tal que

λi(p)6= 0 ∀q∈Vi.

Se U =

n

\

i=1

Vi ent˜ao a aplica¸c˜ao de Gaussξ :U −→Sn ´e um difeomorfismo sobre

sua imagem.

De fato, dξp = dfp(−Ap) logo, se v ∈ TpM e dξp(v) = dfp(−Ap(v)) = 0 ent˜ao,

da injetividade dedfp temos que −Ap(v) = 0. Como o posto deA|U ´e igual an, obtemos quev = 0. Portantodξp ´e injetiva e do teorema da fun¸c˜ao inversaξ|U ´e um difeomorfismo sobre sua imagem. J´a que um difeomorfismo ´e uma aplica¸c˜ao aberta, ξ(M) tem interior

n˜ao vazio.

Do corol´ario 2.1.11 e do teorema 2.1.14,M´e homeomorfa aoRn. Podemos ent˜ao aplicar o corol´ario 2.1.15 a hipersuperf´ıcief e concluir que Πn+1◦f(M) ´e pr´opria.

Afirma¸c˜ao 3.0.22. Πn+1◦f := (Πn+1)|f(|M) :f(M)−→R ´e pr´opria.

Prova: Como Πn+1◦f ´e cont´ınua, ´e suficiente mostrar que (Πn+1◦f)−1(K) ´e compacto

emf(M), para qualquer compactoK R. J´a que (Πn+1◦f)−1(K) est´a contido emRn+1,

(36)

26

Seja (xn)n∈N sequˆencia em (Πn+1◦f)−1(K). Sabemos que, para ξ = (ξ1, ...ξn+1)

Πn+1◦f(xn) = Πn+1◦f(xn) +t0ξn+1(xn).

Como Πn+1◦f(xn) ∈ K e kξn+1k ≤ 1 segue que Πn+1◦f(xn) pertence a um compacto

K′. Sendo assim, existe subsequˆencia (xnk) de (xn)n∈Ntal que Πn+1◦f(xnk) converge. Se Πn+1◦f ´e uma aplica¸c˜ao pr´opria ent˜ao (xnk) tamb´em ´e convergente, digamos a x.

Ademais, da continuidade de Πn+1 ◦ f obtemos que Πn+1 ◦f(xnk) converge a Πn+1◦f(x). Como Πn+1◦f(xnk)∈K temos Πn+1◦f(x)∈K logo x∈(Πn+1◦f)

−1(K)

provando que (Πn+1◦f)−1(K) ´e sequencialmente compacto.

Decorre do teorema de Sard [7] e do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que, para quase todo valor regular a > 0 de Πn+1 ◦f : M −→ R, temos que (Πn+1 ◦ f)−1(a) ´e uma

hipersuperf´ıcie de M. Seja ent˜ao a > 0 um valor regular de Πn+1 ◦ f e seja M1 =

(Πn+1◦f)−1(a). J´a que Πn+1◦f ´e pr´opria, ent˜ao M1 ´e uma hipersuperf´ıcie compacta de

Mn que podemos assumir que ´e conexa (caso contr´ario, consideramos uma componente

conexa deM1).

Considere agora o homeomorfismo h : Mn −→ Rn e note que h(M1) ´e uma

hipersuperf´ıcie (topol´ogica) compacta de Rn. Uma generaliza¸c˜ao do teorema de Jordan nos permite afirmar que h(M1) decomp˜oe o Rn em dois abertos L1 e Rn\L1, onde L1 ´e

relativamente compacto eRn\L

1 ´e ilimitado.

Seja ent˜ao Ω =h−1(L

1). Observe que Ω ´e um aberto relativamente compacto em

Mn e que,

h(M1) =∂L1 =∂h(Ω) =h(∂Ω).

Portanto,

∂Ω = M1 = (Πn+1◦f)−1(a) = f−1(Π−n+11 (a)).

Assim, f(∂Ω) = Π−n+11 (a) = Ha. Em particular Envf(∂Ω) = Env(Ha) = Ha. Pelo

lema 3.0.16 f tem a propriedade da envolt´oria convexa. Segue que f(Ω) Env(f(∂Ω)). Portantof(Ω)Ha (hiperplano) ef possui segunda forma fundamental nula em Ω. Isto

´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo que infΛ+ 6= 0.

Para provar que supΛ− = 0, basta supor por absurdo que supΛ= 2c < 0 e

proceder de forma an´aloga ao acima.

(37)

Cap´ıtulo 4

Aplica¸

oes

Aqui, usamos o Teorema das Curvaturas Principais para provar que: Se n = 3 e

Mn ´e uma variedade completa e orient´avel com curvatura de Ricci menor ou igual a uma

constante negativa ent˜ao, essa variedade n˜ao pode ser imersa isometricamente no R4. E

para n ≥ 4, isso tamb´em ´e v´alido se, a curvatura seccional n˜ao assume todos os valores reais. Isto pode ser enunciado de forma equivalente, a saber, se M ´e uma variedade completa e orient´avel, de dimens˜ao trˆes, com curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao, a curvatura de Ricci est´a pr´oxima de zero quanto se queira, i.´e, o ´ınfimo da curvatura de Ricci ´e igual a zero. E, se a dimens˜ao ´e maior ou igual a quatro, isso tamb´em ´e v´alido se a curvatura seccional n˜ao assume todos os valores reais.

Acrescentamos a este resultado, obtido por Smyth e Xavier [11], que isso ´e tamb´em v´alido para as curvaturas de Gaus-Kronecker e escalar.

Para demonstrar o proposto em dimens˜ao trˆes, necessitamos do pr´oximo teorema. Teorema 4.0.23. Seja f :Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com

curvatura de Ricci n˜ao positiva e A a segunda forma fundamental de f. Suponha que A

possui assinatura, i.´e,A tem um autovalor positivo en1 autovalores negativos, ou vice versa, para todo p∈M. Ent˜ao

inf

p∈MkApk:= infkAk= 0

inf p∈M

v∈TpM

kRicp(v)k:= infkRick= 0

Prova: Sejam λ1(p), λ2(p), ..., λn(p) os autovalores de Ap, escolhamos uma orienta¸c˜ao

paraMtal queAppossua um autovalor positivo en−1 autovalores negativos. Da hip´otese

sobre a curvatura de Ricci temos

Ricp(v)≤0⇔

X

i6=j

Kp(ei, ej)≤0.

(38)

28

Segue da equa¸c˜ao de Gauss que

Kp(ei, ej) =λi(p)λj(p),

donde temos que

X

i6=j

Kp(ei, ej)≤0⇒

X

i6=j

λi(p)λj(p)≤0⇒

λi(p)

X

i6=j

λj(p)≤0

Assim, obtemos que

λi(p) n

X

j=1

(λj(p)−λi(p))≤0.

Note que, para i= 2,

λ2(p)

n

X

j=1

(λj(p)−λ2(p))≤0⇒

λ2(p)λ1(p) +λ2(p)

n

X

j=3

λj(p)≤0⇒

λ1(p)≥ −

n

X

j=3

λj(p) = n

X

j=3

kλj(p)k.

Portanto,

λ1(p)≥ kλj(p)k para todo j 6= 2.

De forma an´aloga, para i= 3,

λ1(p)≥ kλj(p)k para todo j 6= 3.

Segue que

(39)

29

Do Teorema das Curvaturas Principais, inf Λ+ = inf

p∈Mλ1(p) = 0. Logo existe uma

sequˆencia (pk)k∈NemM, tal queλ1(pk)−−−→

k→∞ 0.Comoλ1(p)≥ kλj(p)kpara todoj ent˜ao,

ao longo dessa mesma sequˆenciaλj(pk)−−−→ k→∞ 0.

Ademais, para todo p∈M,

kApk2 = n

X

j=1

(λj(p))2.

Em particular parapk,

kApkk

2 =

n

X

j=1

(λj(pk))2 −−−→ k→∞ 0.

Portanto,

infkAk= 0. Al´em disso, sevk ´e uma sequˆencia em TpkM obtemos

Ricpk(vk) = X

ik6=jk

Kpk(eik, ejk) = X

ik6=jk

λik(pk)λjk(pk)−−−→

k→∞ 0.

Portanto,

infkRick= 0.

Com esse teorema vimos que, as hipersuperf´ıcies completas e orient´aveis com curvatura de Ricci n˜ao positiva, que possui segunda forma fundamental com assinatura, tem ´ınfimo da curvatura de Ricci igual a zero. Nessas condi¸c˜oes, as hipersuperf´ıcies de uma variedade de dimens˜ao trˆes tem automaticamente segunda forma fundamental com assinatura. Isso pode ser facilmente provado pelo lema que segue.

Lema 4.0.24. Seja f :M3 −→R4 uma hipersuperf´ıcie com curvatura de Ricci negativa e A a segunda forma fundamental de f. Ent˜ao A possui assinatura.

Prova: Sejam λ1(p), λ2(p) e λ3(p) os autovalores de Ap. Da hip´otese sobre a curvatura

de Ricci temos,

Ricp(v)<0⇒λi(p)

X

i6=j

λj(p)<0

.

Para i= 1, λ1(p)

X

i6=j

λj(p)<0 e supondo λ1(p)>0 teremos λ2(p) +λ3(p)<0 o

que nos d´aλ2(p)<0 ou λ3(p)<0.

Se λ2(p) < 0 e λ3(p) < 0 nada a fazer. Caso λ2(p) < 0 e λ3(p) > 0 mudamos a

(40)

30

Se λ1(p)<0 o resultado ´e an´alogo. Portanto Ap possue um autovalor positivo e

n1 autovalores negativos.

Com esse lema podemos provar a generaliza¸c˜ao de Efimov [4] em dimens˜ao trˆes, a saber,

Teorema 4.0.25. Se f : M3 −→ R4 ´e uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com curvatura de Ricci negativa ent˜ao infkRick= 0.

Prova: Sejaf :M3 −→Rn+1 uma hipersuperf´ıcie e A a segunda forma fundamental de

f. Pelo lema 4.0.24 A possui assinatura e pelo teorema 4.0.23 infkRick= 0.

N´os adicionamos ao trabalho de Smyth e Xavier [11] que este ´ultimo resultado tamb´em ´e v´alido para as curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar. Como podemos ver nos dois pr´oximos teoremas.

Teorema 4.0.26. Seja f : M3 −→

R4 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao inf

p∈M|Gp|= 0. Em particular se Gp =cte para todo

p∈M3, teremos G≡0.

Prova: Pela afirma¸c˜ao 4.0.24 A possui um autovalor positivo e dois autovalores nega-tivos ou vice-versa. Da demonstra¸c˜ao de 4.0.23 existe sequˆencia em M, (pk)k∈N, tal que

λi(pk)−−−→

k→∞ 0 para todo i∈ {1,2,3}.

Portanto,

lim

k→∞G(pk) = limk→∞

3

Y

i=1

λi(pk) = 0.

Logo,

inf

p∈M|Gp|= 0.

(41)

31

Teorema 4.0.27. Seja f : M3 −→ R4 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao inf

p∈M|τ(p)| = 0. Em particular se τ(p) = cte para

todo pM3, teremos τ 0.

Prova: Do teorema 4.0.23, Ricpk(vk)−−−→

k→∞ 0. Ent˜ao ao longo desta mesma sequˆencia,

τ(pk) =

3

X

j

Ricpk(vj)−−−→

k→∞ 0.

Logo,

inf

p∈M|τ(p)|= 0.

Agora, apresentamos um teorema o qual mostra que uma hipersuperf´ıcie com-pleta e orient´avel, com curvatura de Ricci n˜ao positiva, pode ser um cilindro. Al´em disso, mostra uma rela¸c˜ao entre a curvatura m´edia e a curvatura de Ricci. Esta rela¸c˜ao ser´a usada para mostrar uma generaliza¸c˜ao de Efimov paran 4.

Teorema 4.0.28. Seja f : M3 −→Rn+1 uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com

curvatura de Ricci n˜ao positiva e H a curvatura m´edia de M.

(i) Ou inf

p∈M|Hp|= infkHk:= 0 ou f(M)´e um cilindro sobre uma curva plana emR

n+1.

(ii) Se infH 6=−∞ ou supH 6= +∞ ent˜ao infkRick= 0.

Em particular, se H =constante6= 0 ent˜ao f(M)´e um cilindro.

Prova: Para a prova de (i), suponhamos inicialmente que Λ+ ou Λ´e vazio. Se Λ+ =

Λ−= ent˜ao M´e um hiperplano eH 0.

Caso Λ+ = e Λ6= , da hip´otese sobre a curvatura de Ricci sabemos que

λi(p)

X

i6=j

λj(p)≤0. ent˜ao

X

i6=j

λj(p)≥0 o que nos d´a λj(p) = 0 para todo j 6=i.

Dessa forma, Kp(ei, ej) = λi(p)λj(p) = 0 para todo p ∈ M. Por

Hartman-Niremberg [2] pag. 72, f(M) ´e um cilindro sobre uma curva plana.

Supondo que nem Λ+ nem Λs˜ao vazios, assuma por absurdo que inf

p∈M|Hp| 6= 0.

SeHp ≥ε > 0, da condi¸c˜ao sobre a curvatura de Ricci λ(p)(nHp −λ(p))≤ 0 para todo

λ(p) ∈ Λ o que nos d´a n·Hp ≤ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ+. Do teorema das curvaturas

principais inf

p∈Mn·Hp ≤inf Λ

+ = 0. Isto ´e um absurdo pois estamos supondo inf

(42)

32

Caso Hp ≤ −ε < 0, teremos que n·Hp ≥ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ−.

Analoga-mente, usando o teorema das curvaturas principais chegamos a uma contradi¸c˜ao. Portanto infH = 0 e isto conclui a prova de (i).

Para provar (ii) suponha que existe c ∈ R tal que Ricp(v) ≤ −c2,

equivalente-mente, λ(p)(nHp−λ(p))≤ −c2 para todoλ(p)∈Λ. Disto segue quenHp ≤ −c

2

λ(p) +λ(p) para todoλ(p)Λ+.

Como inf Λ+ = 0 existe uma sequˆencia (p

k)k∈N em M tal que λ(pk) −−−→ k→∞ 0.

Portanto lim

k→∞(

−c2

λ(pk)

+λ(pk)) = −∞e ao longo dessa mesma sequˆencia H −−−→ k→∞ −∞.

Analogamente, usando que nHp ≥ −c

2

λ(p) + λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ− e que

sup Λ− = 0, obtemos que supH = +.

Teorema 4.0.29. Seja f : Mn −→ Rn+1 (n 4) uma hipersuperf´ıcie completa e

ori-ent´avel com curvatura de Ricci negativa. Se a curvatura seccional deMn˜ao assume todos os valores reais ent˜ao inf

p∈MkRicpk= 0.

Prova: Inicialmente vamos provar que, nas condicoes do teorema, supK 6= +∞. Com efeito, suponha que infK = −∞. Da continuidade da fun¸c˜ao curvatura seccional e da hip´otese sobre sua imagem temos que supK 6= +.

Caso infK 6= −∞ suponha por absurdo que supK = +. Ent˜ao, existem sequˆencias (pk)k∈N e (vk, uk)kN em M eTpkMrespectivamente, onde lim

k→∞Kpk(eik, ejk) = +∞. Al´em

disso, existe c >0 tal que infK ≥ −c.

Da hip´otese sobre a curvatura de Ricci, X

ik6=jk

Kpk(eik, ejk)<0⇒ X

K>0

Kpk(eik, ejk) + X

K<0

Kpk(eik, ejk)<0.

E portanto,

X

K>0

Kpk(eik,ejk) <− X

K<0

Kpk(eik,ejk) ≤c. Isto ´e um absurdo pois estamos supondo que supK = +.

Provemos o teorema: se a segunda forma fundamental de M tem um autovalor positivo en−1 autovalores negativos o resultado segue do teorema 4.0.23.

Caso contr´ario A possui pelo menos dois autovalores positivos e dois autovalores negativos. Comoλ(p)(nHp−λp)<0 para todo λ∈Λ ent˜aonHp < λ(p) paraλ(p)>0.

(43)

33

Ent˜ao, paraHp >0

(

nHp < λi1(p)

nHp < λi2(p).

Portanto,

λi1(p)·λi2(p)≥n

2(H

p)2 ⇒Kp(ei1, ei2)≥n

2(H

p)2.

Logo,

+∞ 6= supK supKp(ei1, ei2)≥supH.

Do teorema 4.0.28 (ii),

inf

p∈MkRicpk= 0.

(44)

Referˆ

encias

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(45)

35

(46)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

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