O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac ¸ ˜ oes

Teles Ara´ ujo Fernandes

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2010 O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac ¸ ˜ oes Teles Ara´ ujo Fernandes

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. ´ Ezio de Ara´ ujo Costa.

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2010 Fernandes, Teles Ara´ ujo.

  O Teorema das Curvaturas Principais e Aplica¸c˜ oes / Teles Ara´ ujo Fernandes. – Salvador: UFBA, 2010. 35 f. Orientador: Prof. Dr. ´ Ezio de Ara´ ujo Costa. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2010. Referˆencias bibliogr´aficas.

  1. Geometria diferencial. 2. Variedades (Matem´atica). 3. Variedades

riemannianas. I. Costa, ´ Ezio de Ara´ ujo. II. Universidade Federal da

Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 514.764.2 O Teorema das Curvaturas Principais e Aplicac ¸ ˜ oes Teles Ara´ ujo Fernandes

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 05 de fevereiro de 2010.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. ´ Ezio de Ara´ ujo Costa (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa UFBA

  Prof. Dr. Vicente Francisco de Sousa Neto UNICAP

  A minha m˜ae Madalena Ara´ ujo e minha noiva Manu- ela Silva. Agradecimentos

  Agrade¸co a todos que, de forma direta ou indireta, me deu apoio na elabora¸c˜ao deste trabalho. Em particular, ao meu orientador ´ Ezio Costa que me transferiu um pouco da sua sabedoria, ao professor Jos´e Nelson Bastos que me deu grande apoio no que envolveu a geometria riemanniana geral, a minha noiva Manuela Souza e minha m˜ae Madalena Ara´ ujo. Agrade¸co ao meu presidente Luiz In´acio Lula da Silva pois sem o seu incentivo a educa¸c˜ao superior n˜ao poderia me demitir, da empresa onde trabalhei, para estudar matem´atica.

  Existe apenas um bem, o sa- ber, e apenas um mal, a ig- norˆancia.

  S´ocrates. Resumo

  Neste trabalho demonstramos um teorema devido a Brian Smyth e Frederico Xavier, a saber: O Teorema das Curvaturas Principais. Entre aplica¸c˜oes desse

  3

  teorema, provamos uma generaliza¸c˜ao de Efimov: N˜ao existe hipersuperf´ıcie f : M −→

4 R completa e orient´avel com Ric

  ≤ −c tal que c > 0. De forma original, tamb´em provamos que, esse resultado ´e verdadeiro quando substituimos a curvatura de Ricci pelas curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar.

  Al´em disso, ainda como consequˆencia deste teorema provamos que, para n n n +1 ≥ 4 completa e orient´avel com Ric n˜ao existe hipersuperf´ıcie f : M

  −→ R ≤ −c tal que c > 0 e com as curvaturas seccionais n˜ao assumindo todos os valores reais. n

  • 1

  Palavras-chave: ; imers˜ao Isom´etrica; curvatura de Ricci; cur- Hipersuperf´ıcies do R vatura seccional; curvatura Gauss-Kronecker; curvatura m´edia; variedade riemanniana completa.

  Abstract

  We demonstrated a theorem due to Brian Smyth and Frederico Xavier, namely: The Principal Curvature Theorem . Among applications of this theorem, we prove a

  3

  generalization of Efimov: There are no complete and orientable hypersurfaces f : M −→

4 R with Ric

  ≤ −c such that c > 0. In original form, also proved that this result is true when we substitute the curvature of Ricc for curvature and Gauss-Kronecker scalar. Moreover, even as a consequence of this theorem we prove that, to n n n ≥ 4, there

  • 1

  with Ric are no complete and orientable hypersurfaces f : M −→ R ≤ −c such that c > 0 and the sectional curvatures not taking all real values. n +1

  Keywords: ; isometric immersions; Ricci curvature; sectional curva-

  Hipersurface in R ture; Gauss-Kronecker curvature; mean curvature; completeness Riemannian manifolds.

  • 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 Hipersuperf´ıcies Convexas de R n

  27 Referˆ encias

  4 Aplica¸ c˜ oes

  21

  3 O Teorema das Curvaturas Principais

  . . . . . . . 12

  2.1 Propriedade da Envolt´oria Convexa da Hipersuperf´ıcie de R n

  12

  6

  1.3 Hipersuperf´ıcies de R n

  4

  2 1.2 Variedades Riemannianas Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 2 1.1 Fatos B´asicos da Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  Introdu¸ c˜ ao

  Sum´ ario

  • 1
  • 1

  34 Introdu¸ c˜ ao n

  ´ pode

  E fato conhecido e provado por Nash [8] que toda variedade Riemanniana M m . Entretanto, se m = n+1 pode ser imersa isometricamente em algum espa¸co euclidiano R existir obstru¸c˜ao ´a existˆencia de tais imers˜oes (hipersuperf´ıcies). Por exemplo, o cl´assico Teorema de Hilbert [6] afirma que o plano hiperb´olico n˜ao pode ser imerso isometricamente

  3

  . Em 1968, Efimov [4] foi mais al´em e mostrou que uma superf´ıcie no espa¸co euclidiano R completa com curvatura gaussiana menor ou igual a uma constante negativa n˜ao pode

  3

  . Reilly [10] propos: Se uma n-variedade completa ser imersa isometricamente em R tem curvatura de Ricci menor ou igual a uma constante negativa ent˜ao essa variedade n +1

  . Smyth e Xavier [11] mostraram que este n˜ao pode ser imersa isometricamente no R resultado ´e verdadeiro para n = 3 e para n

  ≥ 4 com a hip´otese adicional das curvaturas seccionais n˜ao asumirem todos os valores reais. A prova do resultado de Smyth e Xavier se baseia no Teorema das Curvaturas

  Principais que ´e nosso principal resultado. Em seguida damos aplica¸c˜oes do referido teo- rema. Em particular, provamos que o resultado de Smyth e Xavier ´e v´alido em dimens˜ao n = 3 e tamb´em quando substituimos a curvatura de Ricci pela curvatura escalar ou pela curvatura de Gauss-Kronecker.

  Assim, o objetivo deste trabalho ´e demonstrar, com detalhes, o resultado em [11] e acrescentar que esses resultados tamb´em s˜ao v´alidos para as curvaturas de Guass- Kronecker e escalar. Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro cap´ıtulo as no¸c˜oes b´asicas da geometria Riemanniana que est˜ao relacionada com o proposto. No segundo n

  • 1

  e da propriedade cap´ıtulo, apresentamos os conceitos de hipersuperf´ıcies convexas de R da envolt´oria convexa das variedades. No terceiro cap´ıtulo, demonstramos o Teorema das Curvaturas Principais e, para finalizar este trabalho, o cap´ıtulo quatro apresenta as aplica¸c˜oes desse teorema. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  O objetivo deste cap´ıtulo ´e familiarizar o leitor com a linguagem b´asica e alguns resultados fundamentais da Geometria Riemanniana. Come¸camos com conceitos b´asicos: variedades diferenci´aveis, m´etrica Riemanniana, conex˜ao Riemanniana e curvatura. Em seguida ´e apresentada a segunda se¸c˜ao, onde definimos uma distˆancia em uma variedade, as curvas geod´esicas e a completude de variedades. Na terceira se¸c˜ao, abordamos o con- n

  • 1 .

  ceito e as principais equa¸c˜oes das hipersuperf´ıcies de R

  1.1 Fatos B´ asicos da Geometria Riemanniana n

  Uma variedade diferenci´avel de classe C , ´e e de dimens˜ao n, denotada por M α : U α n um conjunto conexo M e uma fam´ılia de aplica¸c˜oes biun´ıvocas x n ⊂ R −→ M de abertos U α de R em M tais que:

  [ (i) x (U α α α ) = M.

  −1 −1

  (ii) Para todo par α, β, com x α (U α ) β (U β ) = W (W ) e x (W ) n −1 ∩ x 6= ∅, os conjuntos x α β e as aplica¸c˜oes x α s˜ao diferenci´aveis. s˜ao abertos em R β ◦ x

  (iii) A fam´ılia α , x α ) {(U } ´e m´axima relativamente `as condi¸c˜oes (i) e (ii).

  De agora em diante, quando indicarmos uma variedade diferenc´avel por M, esta- remos considerando que sua dimens˜ao ´e n, salvo men¸c˜ao em contr´ario. Dada uma variedade diferenci´avel M definimos uma m´etrica Riemanniana como uma fun¸c˜ao que associa cada p p : T p p

  M M ∈ M um produto interno h, i × T −→ R satisfazendo a seguinte propriedade: Se U ´e um aberto em M e X, Y s˜ao campos de vetores diferenci´aveis em U , ent˜ao a fun¸c˜ao hX, Y i : U −→ R dada por

  , Y p

  | p | p

  hX, Y i(p) = hX i

  ´e diferenci´avel em U .

  Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade diferenci´avel com uma m´etrica Riemanniana.

  ∞

  Sejam χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C em M e C(M) o anel

  ∞

  das fun¸c˜oes reais de classe C definidas em M. Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e uma aplica¸c˜ao

  ∇ : χ(M) × χ(M) −→ χ(M) (X, Y ) X Y

  7−→ ∇ que satisfaz as propriedades: (i) f X Z = f X Z + g y Z,

  • gY

  ∇ ∇ ∇ (ii) X (Y + Z) = X Y + X Z,

  ∇ ∇ ∇ (iii) X (f Y ) = f X Y + X(f )Y,

  ∇ ∇ onde X, Y, Z ∈ χ(M) e f, g ∈ C(M). Defini¸ c˜ ao 1.1.1.

  Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇ e uma m´etrica Riemanniana h, i. A conex˜ao ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h, i se

  X X Y, Z X Z hY, Zi = h∇ i + hY, ∇ i, X, Y, Z ∈ χ(M).

  Sejam X, Y campos diferenci´aveis de vetores em uma variedade diferenci´avel M. ´

  E poss´ıvel provar que existe um ´ unico campo vetorial Z tal que, para todo f ∈ C(M),

  Zf = (XY − Y X)f. O campo vetorial Z ´e chamado o colchete de X e Y e denotamos

  [X, Y ] = XY − Y X. Defini¸ c˜ ao 1.1.2.

  Uma conex˜ao afim em uma variedade diferenci´avel M ´e dita sim´etrica quando X Y Y X = [X, Y ] para todo X, Y ∇ − ∇ ∈ χ(M).

  Um teorema de Levi-Civita mostra que dada uma variedade Riemanniana M, existe uma ´ unica conex˜ao afim ∇ em M tal que ∇ ´e sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana. Dizemos que essa conex˜ao ´e a conex˜ao Riemanniana de M.

  A curvatura R de uma variedade Riemanniana M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ χ(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : χ(M) −→ χ(M) dada por

  R(X, Y )Z = Z Z + Z, Z Y X X Y [X,Y ] ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ ∈ χ(M). onde ∇ ´e conex˜ao Riemanniana de M.

  Intimamente relacionado com o operador curvatura est´a a curvatura seccional que definimos, n Defini¸ c˜ ao 1.1.3. (Curvatura seccional) Dado um ponto p e um subespa¸co bi-

  ∈ M n R(u, v)u, v i dimensional σ p o n´ umero real K p (u, v) = K p (σ) = h onde u, v ´e uma

  M ⊂ T

  2

  |u ∧ v| base qualquer de σ, ´e chamado curvatura seccional de σ em p. Existem combina¸c˜oes importantes das curvatura seccionais, a saber:

  Seja x = z n um vetor unit´ario em T p , ..., z n = x M, tomemos uma base ortonormal

  1

  {z } do hiperplano de T p n . M ortogonal a x = z

  A curvatura de Ricci, no ponto p, e na dire¸c˜ao x ´e

  X Ric p (x) = i )x, z i i hR(x, z i.

  6=n

  A curvatura escalar, no ponto p ´e a soma das curvaturas de Ricci, i.´e,

  X X τ (p) = Ric p (z i ) = i , z j )z i , z j i ij hR(z i, j = 1, ..., n.

1.2 Variedades Riemannianas Completas

  Dados dois pontos p e q em M, dizemos que a distˆancia de p a q, denotada por d(p, q), ´e o ´ınfimo dos comprimentos de todas as curvas diferenci´aveis por partes ligando p a q. Munido da m´etrica d, M ´e um espa¸co m´etrico completo e al´em disso, a topologia induzida por d em M coincide com a topologia inicial de M.

  Dada uma curva parametrizada γ : I −→ M, dizemos que γ ´e uma geod´esica se

  D dγ D = 0 para todo t ´e a derivada covariante. Note que, se γ ´e uma

  ∈ I onde, dt dy dt geod´esica, ent˜ao d dγ dγ D dγ dγ

  , , h i = 2h i = 0. dt dt dt dt dt dt dγ

  Portanto, o comprimento do vetor tangente ´e constante. O comprimento de arco s de dt γ, a partir de uma origem fixa, digamos t = t , ´e dado por

  Z t dγ s(t) = ). k k dt = c(t − t t dt Se c = 1, dizemos que a geod´esica γ est´a normalizada.

  Com o intuito de definir aplica¸c˜ao exponencial e vizinhan¸ca totalmente normal, seguem duas proposi¸c˜oes e suas demostra¸c˜oes podem ser encontradas em [3]. Proposi¸ c˜ ao 1.2.1. Dado p ∈ M, existem uma vizinhan¸ca V de p em M, um n´umero

  ∞

  real ε > 0 e uma aplica¸c˜ao C , γ( −a, a) × U −→ M tal que t 7−→ γ(t, q, w) ´e a ´unica geod´esica de M que no instante t = 0 passa por q com velocidade w, para cada q ∈ V e cada w q q

  M. Onde M, ∈ T U = {(q, w) ∈ T M; q ∈ V, w ∈ T kwk < ε}. Seja p

  ∈ U ⊂ T M como acima. Ent˜ao a aplica¸c˜ao exp : U −→ M dada por v exp(q, v) = γ ´e chamada aplica¸c˜ao exponencial em kvk, q,

  U. Dizemos que M ´e kvk geodesicamente completa se para todo p p , est´a definida

  ∈ M, a aplica¸c˜ao exponencial exp para todo v p M, i.´e, se as geod´esicas que partem de p est˜ao definidas para todos os

  ∈ T valores de t ∈ R.

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.2.

  Para cada p ∈ M existem uma vizinhan¸ca W de p e um n´umero δ > 0, tais que, para cada q q ´e um difeomorfismo em B δ (0) q q (B δ (0))

  M e exp ∈ W, exp ⊂ T ⊃ W . Dizemos que (W, δ) ´e uma vizinhan¸ca totalmente normal de p.

  Agora, definiremos variedade completa e curva divergente. Em seguida temos um teorema, devido a Hopf e Rinow, que torna relevante o conceito de completeza. Na sequˆencia, apresentamos uma caracteriza¸c˜ao de variedade completa. Defini¸ c˜ ao 1.2.3.

  (Variedade Riemanniana completa) Diremos que M ´e uma variedade riemanniana completa se M ´e geodesicamente completa. Defini¸ c˜ ao 1.2.4. (Curva divergente) Dizemos que uma curva α : [0, +

  ∞) −→ M ´e divergente em M se para cada compacto K ⊂ M, ∃t ∈ [0, +∞) tal que α(t) 6∈ K, para

  Z s todo t > t . O comprimento de uma curva divergente ´e dado por l(α) = lim (t) s |α | dt.

  →∞

  Agora, segue um teorema devido a Hopf, sua prova pode ser encontrada em [3] p´ag. 163. Este teorema possui um corol´ario seguinte que caracteriza as variedades completas em fun¸c˜ao das curvas divergentes.

  Teorema 1.2.5.

  Seja M uma variedade Riemmaniana e seja p ∈ M. As afirma¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

  (i) exp p est´a definida em todo o T p M. (ii) Os limitados e fechados de M s˜ao compactos. (iii) M ´e completa como espa¸co m´etrico.

  (iv) M ´e geodesicamente completa.

  [ (v) Existe uma sucess˜ao de compactos K n n n e K n

  • 1 = M, tais que

  ⊂ M, K ⊂ intK n se q n / n ent˜ao d(p, q n ) ∈ K −−−→ ∞. Al´em disso, cada uma das afirma¸c˜oes acima implica que (vi) Para todo q ∈ M existe uma geod´esica γ ligando p a q com l(γ) = d(p, q). Corol´ ario 1.2.6.

  Uma variedade Riemanniana M ´e completa se, e somente se, o com- primento de qualquer curva divergente ´e ilimitado. Prova:

  Seja M uma variedade Riemanniana completa, pelo teorema 1.2.5 existe uma [ sucess˜ao de compactos K n n n +1 e K n n / n ent˜ao

  ⊂ M, K ⊂ intK = M, tais que se q ∈ K n d(p, q n ) −−−→ ∞, para todo p ∈ M. Seja α : [0, ∞) −→ M uma curva divergente tal que n

  →∞

  Z s α(t n ) = q n n ) (t)

  . Da defini¸c˜ao de distˆancia d em M seque que d(p, q ≤ |α | dt. Al´em

  Z s disso, d(p, q n ) (t) −−−→ ∞ logo |α | dt −−−→ ∞. Portanto o comprmento de uma curva n s

  →∞ →∞ divergente qualquer α ´e ilimitado.

  Reciprocamente, se M ´e uma variedade Riemanniana n˜ao completa ent˜ao existe uma geod´esica normalizada, γ, que n˜ao est´a definida para todo t ∈ R, i.´e, γ n˜ao se estende. Vamos mostrar que γ se estende. Para isso, seja γ : [0, s ) −→ M com γ(0) = p. J´a que l(γ) = s , ´e suficiente demonstrar que γ sai de qualquer compacto.

  Com efeito, pois caso contr´ario ter´ıamos um compacto K tal que, para todo t e algum t > t , γ(t) n convergindo a s ∈ K. Sendo assim, existiria uma sequˆencia {s } n ∈N com s n < s e γ(s n ) k ) de n )

  ∈ K. Portanto existe subsequˆencia {γ(s } k {γ(s } tal que

  ∈N ⊂N

  γ(s k ) → q ∈ K.

  Seja (W, δ) uma vizinhan¸ca totalmente normal de q . Da convergˆencia de n {s } n ∈N podemos escolher um ´ındice n tal que, se n, m > n ent˜ao n m n ), γ(s m ) ks −s k < δ com γ(s ∈

  W . Da proposi¸c˜ao 1.2.1, existe uma ´ unica geod´esica η de comprimento menor que δ li- gando s(t n ) a s(t m ). Portanto γ coincide com η onde γ est´a definida. Como exp γ ´e um

  (s n )

  difeomorfismo em B δ (0) e exp γ (B δ (0)) . Isso mostra que

  (s n )

  ⊃ W , η estende γ al´em de q γ se estende o que ´e um absurdo pois estamos supondo que γ n˜ao se estende. Portanto M ´e completa. n+1

1.3 Hipersuperf´ıcies de R

  Iniciamos esta se¸c˜ao com alguns fatos gerais das imers˜oes isom´etricas. Em seguida n

  • 1 .

  exibimos os principais conceitos das hipersuperf´ıcies de R n m n m ´e uma

  Sejam M e M variedades Riemannianas. Dizemos que f : M −→ M imers˜ao se a diferencial df x : T x x

  M M ´e injetiva para todo x −→ T ∈ M. O n´umero n n +p p = m entre duas

  − n ´e chamado codimens˜ao de f. Uma imers˜ao f : M −→ M

  

M

  variedades Riemannianas com m´etricas e , respectivamente, ´e chamada uma M h; i h; i imers˜ao isom´etrica se: M

  = x X; df x Y M hX; Y i hdf i para todo x x M.

  ∈ M e todo X, Y ∈ T n n +p uma imers˜ao isom´etrica. Em cada x

  Seja f : M −→ M

  ∈ M existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M tal que a restri¸c˜ao de f a U ´e um mergulho em f(U). Portanto podemos identificar U com sua imagem por f , isto ´e, f ´e localmente uma inclus˜ao.

  Dessa forma, podemos considerar o espa¸co tangente de M em x como um su- bespa¸co do espa¸co tangente a M em x, e escrever

  ⊥

  T x x x , M = T M M

  ⊕ T

  ⊥

  onde T x ´e o complemento ortogonal de T x x M M em T M. Com esta decomposi¸c˜ao obtemos

  S

  ⊥ ⊥

  = T x um fibrado de vetores T M M , chamado fibrado normal a M. Dessa maneira, x

  ∈M

  os vetores =

  T M | f {X ∈ T M : π(X) ∈ f(M), onde π : T M −→ M ´e a proje¸c˜ao} (M)

  ⊥

  , isto ´e, ´e uma soma direta do fibrado tangente T M com T M W .

  ⊥

  T M | f = T M T M (M) ⊕ Com respeito a estas decomposi¸c˜oes temos as proje¸c˜oes T

  () : T M | f (M) −→ T M

  

⊥ ⊥

  () , : T M | f (M) −→ T M as quais s˜ao chamadas tangente e normal respectivamente. n

  • p

  uma variedade Riemanniana com a conex˜ao de Levi-Civita Seja M n

  ∇, e seja n +p uma imers˜ao isom´etrica. Dados campos de vetores X, Y f : M

  −→ M ∈ T M, temos que T X Y = ( X Y ) + ( X Y ) .

  ∇ ∇ ∇ T Com a unicidade da conex˜ao de Levi-Civita temos que ´e a conex˜ao de Levi-Civita de

  ∇ M, e ser´a denotada por Portanto, obtemos a f´ormula de Gauss: X Y = X Y + α(X, Y ). (1.1) ∇ ∇

  ⊥

  chamada segunda forma fundamental A qual define uma fun¸c˜ao α : T M

  × T M −→ T M de f . Pode-se concluir, com as propriedades das conec¸c˜oes de Levi-Civita ∇ e ∇, que α

  ∞

  ´e sim´etrica e bilinear sobre o anel C (M) das fun¸c˜oes diferenci´aveis em M. Em particular, para algum ponto x

  ∈ M e campos de vetores X, Y ∈ T M, a fun¸c˜ao

  ⊥

  α x : T x x x M M M

  × T −→ T (X, Y ) x (X, Y ) = α(X, Y )(x)

  7−→ α depende apenas dos valores de X e de Y em x.

  ⊥

  , denote por A X a componente Seja X campos de vetores em T M e ξ de T M ξ tangencial de ξ X, i.´e.,

  −∇ T A ξ X = X ξ) .

  −(∇ Portanto para cada Y

  ∈ T M temos 0 = X X ξ, Y X Y hξ, Y i = h∇ i + hξ, ∇ i, Da f´ormula de Gauss segue que ξ X, Y hA i = hα(X, Y ), ξi.

  Em particular, a fun¸c˜ao

  ⊥

  A : T M × T M −→ T M (X, ξ) ξ

  X 7−→ A(X, ξ) = A

  ∞ ∞

  ´e bilinear sobre C ξ (M). Portanto, a fun¸c˜ao A : T M −→ T M ´e linear sobre C (M) e sim´etrica, isto ´e, X, Y Y ξ ξ hA i = hX, A i para todo X, Y ∈ T M. Por abuso de nota¸c˜ao chamaremos a fun¸c˜ao A ξ de segunda forma fundamental na dire¸c˜ao normal ξ.

  ⊥

  A componente normal de X ξ, denotada por ξ, define uma conex˜ao com- X ∇ ∇

  ⊥ ⊥

  . Dizemos que ´e a conex˜ao normal de f , e obtemos pat´ıvel no conjunto normal T M ∇ a f´ormula de Weingarten X ξ = ξ X + ξ. (1.2)

  ∇ −A ∇ X Sejam X, Y, Z X Y Z = ∈ T M, ent˜ao X Y Z + X α(Y, Z) ∇ ∇ ∇ ∇ ∇

  (1.3)

  ⊥

  = X Y Z + α(X, Y Z) α (Y,Z) X + α(Y, Z),

  onde a primeira equa¸c˜ao ´e dada por 1.1 e a ´ ultima equa¸c˜ao segue de 1.1 e 1.2. De maneira similar, Y X Z = Y X Z + α(Y, X Z) α Y + α(X, Z). (1.4)

  ∇ ∇ ∇ ∇ ∇ − A (X,Z) ∇ Y Seguindo de 1.1 temos

  Z = Z + α([X, Y ], Z). (1.5)

  [X,Y ] [X,Y ]

  ∇ ∇ Subtraindo 1.4 e 1.5 de 1.3, e tomando componentes tangenciais, obtemos a aqua¸c˜ao de Gauss hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i, onde R e R s˜ao os operadores curvaturas de M e M respectivamente. Em particular, se K(X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi e K(X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi s˜ao as curvaturas seccionais do plano gerado pelos vetores ortogonais X, Y x M, a equa¸c˜ao de Gauss ´e

  ∈ T

  2 K(X, Y ) = K(X, Y ) + . (1.6)

  hα(X, X), α(Y, Y )i − kα(X, Y )k n m dizemos que f ´e uma hipersu- Dado uma imers˜ao isom´etrica f : M

  −→ M perf´ıcie se a codimens˜ao de f ´e igual a um.

  ⊥

  Seja p p , ξ : T p p M) M M ´e sim´etrica, existe

  ∈ M e ξ ∈ (T |ξ| = 1. Como A −→ T uma base ortonormal de autovetores , ..., e n p , ..., λ n ,

  1 M com autovalores reais λ

  1

  {e } de T i.´e, A ξ (e i ) = λ i e i , 1

  ≤ i ≥ n. Se escolhemos uma orienta¸c˜ao para M e M, ent˜ao o vetor ξ fica unicamente determinado se exigirmos que, sendo

  1 , ..., e n

  {e } uma base na orienta¸c˜ao m , ..., e , ξ . Neste caso, denominamos os e de M,

  1 n i

  {e } seja uma base na orienta¸c˜ao de M dire¸c˜oes principais e os λ i curvaturas principais de f . Dizemos que G p = λ (p) n (p)

  1

  · · · λ

  1 ´e a curvatura de Gauss-Kronecker de f e que H p = (λ (p) + ... + λ n (p)) ´e a curvatura

  1

  n m´edia de f . n m uma imers˜ao isom´etrica e x Agora, seja f : M

  −→ M ∈ M. Podemos conside- rar, localmente, um campo diferenci´avel de vetores normal e unit´ario, i.´e, um campo de

  ⊥

  definido num aberto U de x tal que y , ξ y vetores diferenci´avel ξ em T M hξ i = 1 para todo y x

  M ∈ U. Na verdade, existe apenas duas possibilidades de escolha para ξ. Dado X ∈ T e Y

  ∈ T M ´e f´acil ver da f´orrmula de Gauss que X Y = X Y + ξ X, Y (1.7)

  Por outro lado, j´a que ξ ´e um campo de vetor normal unit´ario, temos X ξ, ξ h∇ i = 0,

  ⊥

  consequentemente ξ = 0 para todo X X ∇ ∈ T M. Portanto, da f´ormula de Weingarten temos X ξ = ξ

  X. (1.8) m n ∇ −A

  • 1

  , A ξ tem uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante. Para Quando M = R ver isto, definimos a aplica¸c˜ao normal de Gauss. n

  • 1

  , seja ξ um campo normal Seja uma hipersuperf´ıcie orient´avel f : M

  −→ R

  ⊥

  . A aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e definida por global unit´ario de vetores em T M n φ : M −→ S x x n n n 7−→ ξ

  • 1

  ⊥

  Onde S ´e a esfera e ξ x denota a trasla¸c˜ao paralela do vetor ξ x x M

  ⊂ R ∈ S n ∈ T

  • 1 .

  para a origem do R n n

  • 1 Proposi¸ c˜ ao 1.3.1.

  uma hipersuperf´ıcie orient´avel com aplica¸c˜ao Seja f : M −→ R n

  . Ent˜ao, para cada x de Gauss φ : M −→ S ∈ M temos dφ x = ξ x .

  −A Prova:

  Dado X x ∈ T M, seja γ : ( −ε, +ε) −→ M uma curva diferenci´avel tal que γ(0) = x e γ (0) = X. Ent˜ao d dφ x (X) = (φ = X ξ = ξ X.

  | t x

  ◦ γ)(t) =0 ∇ −A dt onde a ´ ultima igualdade ´e dada por 1.8. Portanto ξ ´e a derivada da aplica¸c˜ao normal

  −A de Gauss.

  A curvatura seccional das hipersuperf´ıcies admite uma express˜ao mais simples do que aquela apresentada em 1.1.3. n n +1

  ⊥

  uma hipersuperf´ıcie, p p , De fato, sejam f : M

  M) −→ M ∈ M e ξ ∈ (T

  , ..., e n p ξ . Se

  1 M que diagonaliza A

  |ξ| = 1. Considere uma base ortonormal {e } de T λ , ..., λ n s˜ao os autovalores de A ξ ent˜ao, de 1.1 e de 1.7 obtemos,

  1 i , e i ), α(e j , e j ) i λ j

  hα(e i = λ Portanto a equa¸c˜ao 1.6 reduz-se a K(X, Y ) i λ j . m n

  • 1

  ent˜ao K(X, Y ) = λ i λ j . Consequentemente, a curvatura de Ricci Se M = R e a curvatura escalar s˜ao respectivamente,

  X Ric p (x) = λ i λ j i

  6=n

  X X τ (p) = λ i λ j i i

  6=n Defini¸ c˜ ao 1.3.2.

  Dada uma fun¸c˜ao f : M −→ R diferenci´avel, dizemos que p ∈ M ´e um ponto cr´ıtico se df p n˜ao ´e sobrejetiva. A imagem de um ponto cr´ıtico ´e um valor cr´ıtico.

  Se a imagem de um ponto p n˜ao ´e um valor cr´ıtico, dizemos que ´e um valor regular e em particular, segue do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que a imagem inversa de um valor regular ´e uma hipersuperf´ıcie de M.

  Se f : M −→ R ´e uma fun¸cao diferenci´avel, ´e poss´ıvel provar que o conjunto dos valores cr´ıticos de f tem medida nula em R. Esse resultado ´e devido a Sard e sua prova pode ser encontrada em [7]. Cap´ıtulo 2 n+1

  Hipersuperf´ıcies Convexas de R

  Aqui, apresentaremos sem demonstra¸c˜oes, o teorema de H. Wu [12] e o teorema de Sacksteder-van Heijenoort [12]. O primeiro garante que uma hipersuperf´ıcie convexa n ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao convexa n˜ao negativa. O segundo mostra e homeomorfa ao R n

  • 1

  , com curvatura seccional n˜ao basicamente que uma hipersuperf´ıcie completa de R negativa e n˜ao identicamente nula, ´e convexa. Antes de exibir esses resultados, veremos o conceito da envolt´oria convexa e o teorema de Robert Osserman.

2.1 Propriedade da Envolt´ oria Convexa da Hipersu-

  n+1

  perf´ıcie de R n +1 Nesta se¸c˜ao definiremos a propriedade da envolt´oria convexa da hipersuperf´ıcie de

  R e demostraremos o teorema de Robert Osserman. Este teorema ´e uma caracteriza¸c˜ao das variedades com tal propriedade e tem grande relevˆancia na demonstra¸c˜ao do teorema das curvaturas principais. n Defini¸ c˜ ao 2.1.1. (Envolt´oria convexa) Dado E , a envolt´oria convexa de E, que

  ⊂ R ser´a denotada por Env(E), ´e a intersec¸c˜ao de todos os subespa¸cos convexos que cont´em E. n n

  • 1 Defini¸ c˜ ao 2.1.2.

  , dizemos que f tem a Dada uma hipersuperf´ıcie f : M −→ R propriedade da envolt´oria convexa se, para todo dom´ınio D em M, com f(D) limitado em n

  • 1

  , tivermos f (D) R ⊂ Env(∂f(D)).

  Observa¸ c˜ ao 2.1.3. Se, na defini¸c˜ao acima, D ´e relativamente compacto ent˜ao os valores de fronteira de f (D) conincidem com a imagem da fronteira, i.´e, ∂f (D) = f (∂D).

  A seguir, provamos o teorema de Osserman, este d´a uma estimativa para as curvaturas principais em um determinado ponto. Para isto, apresentamos o lema que segue. n

  • 1

  Lema 2.1.4. uma hipersuperf´ıcie com segunda forma fundamental Seja f : M

  −→ R A na dire¸c˜ao ξ. Denote os autovalores de A por λ n . Para cada R > 0 seja

  1

  ≥ ... ≥ λ B R (c R ) a bola de raio R e centro em c = f (p) + Rξ.

  1 (i) Se V p p ) R (c) ent˜ao λ n . ´e uma vizinhan¸ca de p em M e f(V

  ⊂ B ≥ R

  1 (ii) Se λ n > p ) R (c). ent˜ao existe vizinhan¸ca de p em M tal que f(V

  ⊂ B R n

  Prova: Inicialmente vamos provar (i). Seja x : U ⊂ R −→ M uma parametriza¸c˜ao em p, com x(p) = 0.

  ∂ ∂ Em T p (p), ..., (p) p .

  M, seja { } uma base ortonormal que diagonaliza A

  ∂u ∂u n

1 Defina a aplica¸c˜ao

  n g : U ⊂ R −→ R

  2

  u 7−→ ||f ◦ x(u) − c||

  Aplicando a f´ormula de Taylor a g, obtemos:

  1

  2

  2

  2

  g(u) = g(0) + dg(0)u + ρ(u) (2.1) + d g(0)u ||u||

  2 Com lim ρ(u) = 0. Note que, u

  →0

  ∂ dg(0) = 2 f ; f

  |

  h ◦ x(u) ◦ x(u)i ∂u i

  ∂ = 2 (p); h −Rξ i = 0

  ∂u i ∂ ∂

  2

  d g(0) = f ; f

  | |

  {2h ◦ x(u) ◦ x(u)i} ∂u j ∂u i

  2

  ∂ ∂ ∂ = 2 f + 2 f f

  | |

  h ◦ x(u); −Rξ i h ◦ x(u); ◦ x(u)i ∂u i ∂u j ∂u i ∂u j

  = j δ ij + 2δ ij −2Rλ

  = 2δ ij (1 j ) − Rλ

  Portanto, da equa¸c˜ao 2.1

  n

  1 ∂ g(0)

  

2

X

  2

  g(u) = g(0) + u + i u j ρ(u) ||u|| n 2 ∂u i u j i,j =1

  X

  2

  2

  = R δ ij (1 j )u i u j ρ(u) + + i,j − Rλ ||u|| n =1

  X

  2

  2

  • = R + (1 j )u j u j ρ(u) j

  − Rλ ||u||

  =1 n

  X

  2

  2

  • = R j + ρ(u) (2.2) j j

  {1 − Rλ }u

  =1

  Suponha que existe vizinhan¸ca V ) (c). Ent˜ao para p de p em M tal que f(V p R ⊂ B todo u

  ∈ U segue de 2.2 n

  X

  2

  2

  = j + ρ(u) (2.3) j ≥ g(u) − R {1 − Rλ }u j

  

=1

  Em particular para u = (0, ..., t) obtemos,

  2

  2

  = (1 n + ρ(0, ..., t))t ≥ g(0, ..., t) − R − Rλ

  1 Como lim ρ(u) = 0 temos que λ n . u

  →0

  R Para provar (ii) suponha que existe ε

  ≥ 0 tal que 1 ε

  • λ n =

  1

  ≥ ... ≥ λ R R

  Donde temos

  • ρ(u) = 1 n + ρ(u) + ρ(u)

  1

  −ε − Rλ ≥ ... ≥ 1 − Rλ E da equa¸c˜ao 2.3 n

  X

  2

  2

  g(u) + ρ(u) j − R ≤ {−ε }u j

  

=1

  J´a que lim ρ(u) = 0, dado ε = ε existe δ u →0 ≥ 0 tal que ||u|| ≤ δ temos ρ(u) ≤ ||ρ(u)|| < ε. Portanto, para todo u tal que

  ||u|| ≤ δ temos n

  X

  2

  2

  g(u) + ρ(u) − R ≤ {−ε }u j ≤ 0

  logo,

  2

  2

  ||f ◦ x(u) − c|| − R ≤ 0 Isso mostra que existe vizinhan¸ca V p = x(U ) tal que f (V p ) R (c) concluindo a prova

  ⊂ B de (ii). n

  • 1 Teorema 2.1.5.

  uma hipersuperf´ıcie, f tem (Robert Osserman) Seja f : M

  −→ R a propriedade da envolt´oria convexa se, e somente se, para todo ponto de M, n˜ao existe dire¸c˜ao normal ξ tal que a segunda forma fundamental de f , A ξ tem todos os autovalores positivos.

  Prova: Inicialmente, suponha que existe p em M, ∈ M e um vetor normal unit´ario ξ no ponto p, tal que todas as curvaturas principais s˜ao positivas, ou equivalentemente,

  1

  como no lema anterior, λ n > 0. Escolha R > 0 tal que λ n > . Por 2.1.4 (ii), existe V p p ) R (c). Sendo f uma imers˜ao, podemos restringir R vizinhan¸ca de p em M, tal que f(V ⊂ B ′ ′ V p (se necess´ario) a uma vizinhan¸ca V tal que f : V ) seja bijetora. ′ ′ p p −→ f(V p Note que, sendo V uma vizinhan¸ca de p ent˜ao p / e como f ´e bijetora p p | ′ ∈ ∂V V p obtemos que f (p) / ). ∈ f(∂V p

  ′

  Da continuidade de f e da compacidade de ∂V vem que E = f (∂V p ) ´e compacto p em B R − f(p).

  Defina a fun¸c˜ao h : ∂V p −→ R x 7−→ hf(x) − f(p); ξ i

  Note que h ´e n˜ao negativa pois, h(x) = hf(x) − f(p); ξ i

  = ; ξ hf(x) − c + Rξ i = hf(x) − c; ξ i + R =

  ||f(x) − c|| cos{f(x) − c; ξ } + R ′ ′ ≥ −||f(x) − c|| + R e como f (p) / ) e f (V ) R (c) obtemos que p p ∈ f(∂V ⊂ B −||f(x) − c|| + R > 0.

  ′

  Al´em disso, h(x) tal que p 6= 0 caso contr´ario existiria x ∈ ∂V hf(x)−f(p); ξ i = 0. Reescrevendo esta igualdede temos, hf(x) − c; ξ i = hf(p) − c; ξ i = −R Portanto, hf(x) − c; ξ i = ||f(x) − c||||ξ ||cos{f(x) − c; ξ } = −R.

  Obtemos ent˜ao cos . Se

  {f(x) − c; ξ } = −1 e ||f(x) − c|| = R e temos f(x) − c = ±Rξ f (x) ent˜ao f (x) ´e bijetora, x = p

  | ′

  −c = −Rξ −c = f(p)−c e temos f(x) = f(p). Como f V p o que ´e um absurdo pois p / . Se f (x) ent˜ao f (x) p ∈ ∂V − c = Rξ − c = −(f(p) − c) o que implica f (x) . Portanto ; ξ

  − f(p) = −2{f(p) − c} = −2Rξ hf(x) − f(p); ξ i = h−2Rξ i = −2R 6= 0 que ´e um absurdo pois estamos supondo que h(x) = 0. Isto conclui que h n˜ao se anula.

  Da continuidade de h e da compacidade da ∂V vem que h possui um m´ınimo p n +1 positivo em E, digamos ω. Portanto f (∂V ) : p ⊂ S = {x ∈ R hx − f(p); ξ i ≥ ω > 0} e temos claramente que f (p) /

  ) ′ ′ ′ ′ ∈ S. Logo existe um subespa¸co convexo S que cont´em f(∂V p mas n˜ao cont´em f (V ). Segue que f (V ) )). Como V ´e relativamente p p 6⊂ Env(f(∂V p p ′ ′ compacto, da observa¸c˜ao 2.1.3 temos que f (V ) )). Isto mostra que f n˜ao p p 6⊂ Env(∂f(V tem a propriedade da envolt´oria convexa.

  Reciprocamente, suponha que f n˜ao tem a propriedade da envolt´ooria convexa. Ent˜ao existe um dom´ınio D

  ∈ M, com f(D) limitado mas f(D) 6⊂ Env(∂f(D)). Portanto, n

  • +1

  existe um subespa¸co convexo S = : {x ∈ R hx, vi ≤ a, kvk = 1} com ∂f(D) ⊂ S e f (D)

  ), v 6⊂ S. Logo existe p ∈ D tal que hf(p i = b > a. Afirma¸ c˜ ao 2.1.6.

  Existem p R (c R ) (com c R = f (p)+Rξ) ∈ D, ξ dire¸c˜ao normal em p e B tal que f (D) R (c R ).

  ⊂ B Prova: Para a provar essa afirma¸c˜ao, considere os lemas que seguem: Lema 2.1.7.

  Seja B r (c r ) o fecho da bola de raio r e centro c r , onde r ; v hc i = a e f(D) ⊂ √

  2

  2 B r (c r ) . Para cada t > r, se B t (c t ) ´e o fecho da bola de raio t e centro c t = c r + v t

  − r ent˜ao ∂f (D) t (c t ). ⊂ B

  Prova: Para todo valor de fronteira x de f (D), √ √

  2

t = r + v t ; x r + v t

  

2

  2

  2

  2

  kx − c k hx − c − r − c − r i √

  2

  2

  2

  2

  2

  = r + 2 t r , v kx − c k − r hx − c i + t − r √

  2

  2

  2

  2

  

2

  < r + 2 t r , v J´a que f (D) r (c r ), r , v ⊂ B hx, vi ≤ a e hc i = a, segue que

  √

  2

  2

  2

  2

  2

  2 r + 2 t r , v .

  − r hx − c i + t − r ≤ t Portanto, t .

  2

  2

  kx − c k ≤ t √

  2

  2

2 Lema 2.1.8. Se (2b t > 2r ent˜ao f (p) n˜ao pertence a B t (c t ).

  − 2a) − r Prova:

  √ √

  2 t = r + v t ; f (p) r + v t

  2

  2

  2

  2

  kf(p) − c k hf(p) − c − r − c − r i √

  2

  2

  2

  2

  = r , f (p) r r , v t hf(p) − c − c i + 2hf(p) − c − r i + t − r √

  2

  2

  2

  2

  > t + 2 r , v t − 2r hf(p) − c − r i

  √ √

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  = t + 2 r , v t t − 2r hf(p) − c i − r − 2hr, vi − r

  √

  2

  2

  2

  2

  2

  = t + (2b t > t − 2r − 2a) − r Lema 2.1.9.

  Existe t = R tal que f (D) R (c R ) e existe q = f (p) ⊂ B ∈ f(D) tal que q R (c R ).

  ∈ ∂B Prova: Considere o conjunto

  Θ = t (c t ) {t ≥ r : f(D) ⊂ B }. Para mostrar que, para algum valor de t => 0, f (D) t (c t ), ´e suficiente que Θ ⊂ B 6= ∅. Isso ´e dado diretamente da defini¸c˜ao de B r (c r ), pois f (D) r (c r ), consideremos ent˜ao

  ⊂ B t = r = R. Agora mostremos que algum q = f (p) em f (D) est´a na fronteira de B R (c R ). Pela afirma¸c˜ao 2.1.8 Θ ´e limitado superiormente logo existe sup Θ = t . Seja

  (t k ) k uma sequˆencia em Θ tal que t k t . Para todo k e todo x

  ∈N

  −−−→ ∈ f(D) segue da k

  →∞

  defini¸c˜ao de Θ que t k k kx − c k ≤ t Da continuidade da norma temos t . Isto prova que f (D) t (c t ) logo kx − c k ≤ t ⊂ B t ∈ Θ.

  Agora, suponha que n˜ao existe ponto de f (D) em ∂B t (c t ). Ent˜ao, pela compa- ′ ′ cidade de f (D), existiria t > t com f (D) (c ) o que ´e uma contradi¸c˜ao j´a que t ´e ⊂ B t t supremo. Portanto existe y t (c t ).

  Seja (x k ) k uma sequˆencia em D tal que f (x k ) y. ´ E fato que, (x k ) k ´e

  ∈N ∈N

  −−−→ k

  →∞

  convergente pois se n˜ao fosse y estaria na fronteira de f (D). Pela afirma¸c˜ao 2.1.7, ter´ıamos y t (c t ) que ´e uma contradi¸c˜ao pois y t (c t ). Portanto (x k ) k ∈N ´e convergente, ∈ B ∈ ∂B digamos a x

  ∈ D. Assim, y = lim f (x k ) = f (x) k ∈ f(D)

  →∞

  c R − f(p)

  Lema 2.1.10. Existe R > 0 tal que ξ = ´e uma dire¸c˜ao unit´aria e normal a f R em p.

  Prova: Seja α : ( −ε, ε) −→ f(D) uma curva diferenci´avel tal que α(0) = f(p).

  2 Como f (p) (c ) (lema 2.1.9) ent˜ao assume o m´aximo em R R R

  ∈ ∂B kα(s) − c k s = 0 pois, α(s) R (c R ) e R = R R ⊂ f(D) ⊂ f(D) ⊂ B kα(s) − c k = kf(p) − c k. Logo, d

  2

  ( R ) = 0

  |

  kα(s) − c k dt ou seja,

  (0), α(0) R hα − c i = 0. α(0) R ′ R

  − c kα(0) − c k Seja agora ξ = ent˜ao (0), ξ = 1. Isto hα i = 0 e kξk =

  R R prova que ξ ´e um vetor unit´ario e normal a f em p.

  Portanto, obtemos que existem p R (c R ) (com ∈ D, ξ dire¸c˜ao normal em p e B c R = f (p) + Rξ) tal que f (D) R (c R ).

  ⊂ B Agora ´e so aplicar o lema 2.1.4 (i) para concluir que os autovalores de A ξ s˜ao

  1 λ > 0.

  1 n

  ≥ ... ≥ λ ≥ R n

  • 1

  Corol´ ario 2.1.11. uma hipersuperf´ıcie com segunda forma funda- Seja f : M

  −→ R mental A na dire¸c˜ao ξ. Se f possui a propriedade da envolt´oria convexa ent˜ao M n˜ao ´e compacta. Prova: Pelo teorema anterior A ξ possui autovalores positivo e negativo em cada ponto de M. Pela proposi¸c˜ao 1.3 em [2] obtemos o desejado.

  Agora, abordaremos o conceito das hipersuperf´ıcies convexas e os teoremas de Sacksteder-van Heijenoort e H. Wu. A demonstra¸c˜ao desses resultados podem ser vistas em [12]. n n +1 Defini¸ c˜ ao 2.1.12.

  , ´e (hipersuperf´ıcie convexa) Uma hipersuperf´ıcie f : M −→ R n

  • 1

  ´e um conjunto convexo fechado com interior dita convexa se f (M) = ∂C onde C ⊂ R n˜ao vazio. n n

  • 1 Teorema 2.1.13.

  uma hipersuperf´ıcie (Sacksteder-van Heijenoort) Seja f : M

  −→ R completa e orient´avel, A a segunda forma fundamental de f . Se a curvatura seccional de M ´e n˜ao negativa e n˜ao identicamente nula, ent˜ao temos: (i) f ´e um mergulho e f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa. n

  • 1

  (ii) Se r = max p , p pode ser

  {posto de A ∈ M} (necessariamente 2 ≤ r ≤ n) ent˜ao R n r n

  • 1 +1 −r

  tal que f (M ) ∼ decomposto em soma direta ortogonal R = R = M

  1 n −r r r +1 ⊕ R ⊕

  R com segunda forma fundamental

  . M ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em R

  1 .

  de posto r em algum ponto de M

  1 n n

  • 1

  Teorema 2.1.14. uma hipersuperf´ıcie e A a segunda (H. Wu) Seja f : M

  −→ R n n

  −1

  . Temos: forma fundamental de f com respeito a ξ : M n −1 −→ S (i) Se o interior de ξ(M), relativo a S , ´e n˜ao vazio e M n˜ao ´e compacta ent˜ao M ´e n . homeomorfa ao R n ent˜ao as coordenadas

  (ii) Se f (com f (M) = ∂C) ´e convexa e M ´e homeomorfa ao R n

  • 1

  podem ser escolhidas tal que H = , ..., x n ) : x n = 0

  1 +1 +1

  {x = (x ∈ R } ´e o hiper- plano suporte de C na origem.

  Al´em disso, n

  • 1

  (ii.1) Se Π : R ´e a proje¸c˜ao ortogonal ent˜ao M ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao −→ H convexa n˜ao negativa h : int Π(C)

  −→ R.

  −1 (a) ´e um segmento de reta.

  (ii.2) Para todo a na fronteira de Π(C) teremos que M ∩ Π n

  −1 c

  (ii.3) Se o interior de ξ(M), relativo a S , ´e n˜ao vazio ent˜ao para cada c > 0, f (M) n n ∩H

  • 1

  ´e difeomorfo a S , onde H c = , ..., x n ) : x n = c

  1 +1 +1 {x = (x ∈ R } . n +1 n Corol´ ario 2.1.15.

  Seja f : M uma hipersuperf´ıcie convexa homeomorfa a R −→ R n +1 satisfazendo (ii.1) e (ii.3) do teorema de Wu. Se Π n +1 n

  : R −→ R ´e a ´ultima proje¸c˜ao

  • 1

  ent˜ao Π n n ) de R +1 +1 | : f (M) ◦ f(M) := (Π −→ R ´e uma aplica¸c˜ao pr´opria. f (M)

  Prova: Inicialmente, notemos que Π : H c c ∩ f(M) −→ Υ = Π(H ∩ f(M)) ´e um n n difeorfismo. Para todo c > 0, H c logo Υ = Π(H c

  ∩ f(M) ´e difeomorfo a S ∩ f(M)) e S s˜ao difeomorfos.

  −1

  Como Π n +1 n +1 (K) ´e compacto ◦ f(M) ´e cont´ınua, resta mostrar que (Π ◦ f) em f (M) para todo compacto K em R. Note que, se K ´e compacto em R ent˜ao K

  ⊂ [

  −c, c] para algum c ∈ R. Como f(M) ´e gr´afico de uma fun¸c˜ao n˜ao negativa ent˜ao

  −1

  K n +1 ([0, c]) ´e compacto em f (M).

  −1 −1

  Como (Π n ([0, c]) ´e fechado, resta mostar que (Π n ([0, c]) ´e limitado em

  • 1
  • 1

  ◦ f) ◦ f) f (M).

  −1

  Suponha por absurdo que (Π n +1 ([0, c]) ´e ilimitado. Como 0 n +1 ◦ f) ≤ x ≤ c

  −1 −1

  para todo (x , ..., x n , x n ) = x n ([0, c]) ent˜ao existe x n ([0, c]) tal

  1 +1 +1 +1

  ∈ (Π ◦f) ∈ (Π ◦f) que Π(x) est´a na componente ilimitada de H , i.´e, Π(x) ∈ H \Υ. Como 0, Π(x) ∈ Π(C) e Π(C) ´e convexo ent˜ao existe t Π(x) = z

  ∈ (0, 1) tal que t ∈ Υ. Al´em disso, f(M) ´e gr´afico sobre int

  1 , ..., w n +1 ) = w n +1 = c

  {Π(C)}, logo existe um ´unico (w ∈ f(M), com w tal que w = (z, h(z)). Como 0, x x n ∈ ∂C e C ´e conexo, ent˜ao w = t ∈ int C. Portanto, temos w ∈ int C

  • 1

  e (z, 0) ∈ R \int C. Logo o segmento que liga w a (z, 0) intersecta ∂C = f(M) em w n w n < t w n

  • 1 +1 +1 < c. J´a que f (M)

  algum ponto, digamos b w. Note que b w = (z, b ) com b w = (z, h(z)) = w w n +1 = w n +1 = c o que ´e um absurdo ´e gr´afico de h ent˜ao b . Portanto, b

  −1

  w n < c. Logo (Π n ([0, c]) ´e limitado e Π n

  • 1 +1 +1 pois b ◦ f) ◦ f(M) ´e pr´opria.
Cap´ıtulo 3 O Teorema das Curvaturas Principais Dedicamos este cap´ıtulo a demonstra¸c˜ao do Teorema das Curvaturas Principais.

  Este teorema determina o comportamento das curvaturas principais das hipersuperf´ıcies euclidianas completas. A t´ecnica usada por Brian Smyth e Frederico Xavier, na demons- tra¸c˜ao desse teorema, foi criar uma perturba¸c˜ao adequada na hipersuperf´ıcie dada (com segunda forma fundamental A) obtendo uma hipersuperf´ıcie (com segunda forma funda- mental A) com curvatura seccional n˜ao negativa. Dai, foi usado o teorema de Sacksteder- van Heijenoort garantindo que a hipersuperf´ıcie perturbada ´e uma hipersuperf´ıcie convexa. Al´em disso, o conjunto de autovalores de A coincide com o de A. Para concluir a demons- tra¸c˜ao foi usado o teorema de Hung-Hsi Wu para hipersuperf´ıcie convexa. Interessantes consequˆencias saem do teorema das curvaturas principais, essas consequˆencias s˜ao tema do pr´oximo cap´ıtulo.

  Inicialmente provamos o lema que segue: n n

  • 1

  Lema 3.0.16. uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel e A a Sejam f : M

  −→ R n n

  −1 .

  segunda forma fundamental de f com respeito ao compo normal unit´ario ξ : M −→ S

  • ± ± −

  Considere Λ = Λ . Se Λ , Λ

  ⊂ R o conjunto dos autovalores n˜ao nulos de A e Λ ∩ R

  s˜ao ambos n˜ao vazios e inf Λ 6= 0 ou sup Λ 6= 0 ent˜ao, para cada ponto de M, A possui autovalores positivo e negativo. Em particular f tem a propriedade da envolt´oria convexa.

  Prova: Primeiro mostremos que, em cada ponto de M, A possui um autovalor positivo. n n Equivalentemente, se N = : λ i (p) > 0 para algum i = N .

  {p ∈ M ∈ (1, ..., n)} ent˜ao M

  • n

  Com efeito, N

  1 e existe i

  6= ∅ j´a que Λ 6= ∅, i.´e, existe p ∈ M ∈ (1, ...n) tal n que λ (p i

  1 ) > 0. Dado que uma inclus˜ao ´e ´obvia, provemos que M n

  ⊂ N. Suponha que tal que, para todo i i (p ) M

  2

  2

  6⊂ N, i.´e, existe p ∈ M ∈ (1, ..., n) temos λ ≤ 0. Considere uma curva C que liga p a p .

  1

  2

  i i (C) ´e n

  Da conexidade de M e da continuidade de λ : M −→ R, obtemos que λ um intervalo com extremos em λ i (p ) i (p ) > 0. Portanto existe sequˆencia (p k ) k

  2 1 ∈N

  ≤ 0 e λ em C com λ i (p k ) > 0 tal que λ i (p k )

  0. Isto ´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo −−−→ k n →∞

  • que inf Λ = N e A possui um autovalor positivo em cada ponto de

  > 0. Portanto M M. n Para concluir a prova do lema, suponha por absurdo que existe um ponto p

  ∈ M

  −

  tal que λ i (p ) > 0 para todo i. Da hip´otese Λ 6= ∅ e com os mesmos argumentos de

  , obtemos sequˆencia (p ) tal que λ (p ) conexidade de M e continuidade de λ i k k ∈N i k −−−→ k

  →∞ n

  • contradizendo que inf Λ

  existe i tal que 6= 0. Portanto para todo ponto p ∈ M λ i (p) < 0.

  Concluimos ent˜ao que, para cada ponto de M, A possui autovalores positivo e negativo. Pelo teorema 2.1.5, f tem a propriedade da envolt´oria convexa.

  • A prova deste resultado segue de forma an´aloga se supormos que sup Λ n n 6
  • 1 Teorema 3.0.17.

  uma hipersuperf´ıcie (Curvaturas Principais) Sejam f : M

  −→ R e seja A a segunda forma fundamental de f com respeito a um campo normal unit´ario n n −1 . Considere Λ global ξ : M −→ S ⊂ R o conjunto dos autovalores n˜ao nulos de A e

  ± + + ± − − Λ = Λ . Se Λ e Λ s˜ao n˜ao vazios ent˜ao inf Λ = sup λ = 0.

  ∩ R Demonstra¸ c˜ ao:

  • Suponha por absurdo que inf Λ = 2c > 0. Seja t = 1/c e defina n n1

  f = f + t o ξ : M −→ R

  Afirma¸ c˜ ao 3.0.18. Seja

  h, i a m´etrica induzida por f. Ent˜ao a aplica¸c˜ao f ´e uma

  2

  hipersuperf´ıcie com a m´etrica dada por

  A) u; v hu; vi = h(I − t i. Prova: Para todo ponto p : T p f p M (p)M ´e injetiva. Caso

  ∈ M, a aplica¸c˜ao df −→ T contr´ario existiria q q ∈ M e T M ∋ v 6= 0 tal que 0 = df (v) = df (v) + t dξ (v) = df (v) df (A v) = df (v λ v). q − t − t q q q q q q q

  Onde a terceira igualdade ´e dada por 1.3.1. Da injetividade de df q vem que v λ p v = 0 − t

  • donde temos λ(p) = 1 = c e isto ´e um absurdo pois inf Λ = 2c. Portanto v = 0 e df ´e p t injetiva.

  Al´em disso,

2 A) u; v

  hu; vi = h(I − t i

  2

  2

  = u, v hu; vi − 2t hAu; vi + t hA i. Por outro lado, p p u; df (v) p (u) df p (Au); df p (v) df p (Av) hdf i = hdf − t − t i

  2

  = p (u); df p (v) f + t hdf i − 2t hλu, vi hλu; λvi

  2

  = (u); df (v) p p hdf i − 2t hAu, vi + t hAu; Avi. Usando que A ´e um opearador auto-adjunto, obtemos

  2

  2

  u; df (v) u, v hdf p p i = hu; vi − 2t hAu; vi + t hA i. Portanto (u); df (v) p p hu; vi = hdf i e f ´e uma isometria.

  Note que, se b λ s˜ao os autovalores do operador I A ent˜ao b λ ´e maior ou igual − t a unidade em valor absoluto.

  De fato, (I A)v = b λv λv = b λv λ = b λ. Se supormos que − t ⇔ v − t ⇔ 1 − t

  λ < 0 e teriamos 0 < λ < 2 = 2c o que ´e um absurdo pois |bλ| < 1 ent˜ao −2 < −t t

  • inf Λ = 2c. Portanto |bλ| > 1.

  Afirma¸ c˜ ao 3.0.19.

  Munida da m´etrica hu; vi, M ´e completa. Prova:

  Seja α : [0, + ∞) −→ M uma curva divergente. De acordo com 1.2.6, se l(α) ´e o comprimento de α com respeito a m´etica h; i, basta mostrar que l(α) ´e ilimitado. Para cada t (t), ...e n (t) α

  1 (t) M que diagonaliza o

  ∈ [0, +∞), seja {e } uma base ortonormal de T operador P = I A e tem λ , ..., c λ n

  1

  − t { b } como autovalores associados. Podemos escrever n

  X α (t) = α i (t)e i (t) i

  

=1

  Assim, teremos ′ ′ ′

  2

  (t) = (t); α (t) |α | hα i ′ ′

  = A)α (t); (I A)α (t) h(I − t − t i ′ ′ = (t); P α (t) hP α i n n

  X X = α i (t)P e i (t); α j (t)P e j (t) h i i i n

=1 =1

  X

  

2

  2

  = (α i (t)) ( b λ i ) i

  =1 n

  X

  

2

  (α i (t)) (pois λ i ≥ | b | ≥ 1) i =1

  2

  = (t) |α | Portanto, Z s Z s l(α) = lim (t) (t) s s |α | dt ≥ l(α) = lim |α | dt

  →∞ →∞

  Sendo M, com a m´etrica h; i, uma variedade completa segue que l(α) ´e ilimitado.

  −1 Afirma¸ c˜ ao 3.0.20.

  A imers˜ao f possui segunda forma fundamental A = (I

  A) A − t com respeito ao mesmo campo de vetores normal unit´ario ξ. Al´em disso, se K ´e a cur- vatura seccional de f (M) ent˜ao K > 0.

  Prova: Para mostrar que o campo global, normal e unit´ario com respeito a A ´e ξ,

  −1

  assumiremos que A = (I

  A) A. Esta igualdade ser´a provada em seguida. − t

  Se N ´e o campo global, normal e unit´ario com respeito a A ent˜ao, dN = −df(A)

  = dξ)A −(df + t

  = df (AA) −df(A) + t

  = AA) −df(A − t

  = A)A) −df((I − t

  = −df(A)

  = dξ portanto ξ = N. n +1 , com respeito ao campo de vetores

  Ademais, como a derivada covariante do R X ´e ´ unica, vem que X ξ =

  −df(AX) = D −df(AX) = df (AAX))

  −(df(AX) − t = AAX)

  −df(AX − t = A)AX)

  −df((I − t

  −1

  Sendo f uma imers˜ao, (I A)AX = AX e portanto AX = (I A) AX.

  − t − t Provemos que K > 0. Se λ ´e um autovalor de A ent˜ao podemos escrever

  λ λc λ = = . 1 λ c

  − t − λ Se λ

  • inf Λ = 2c segue que c
  • i λ j −λ < 0 logo λ ≤ 0. Portanto a curvatura seccional K = λ ≥ 0.

      Do lema 3.0.16, A possui posto r ≥ 2 e como A tem o mesmo posto de A conclu´ı-se que K n˜ao ´e identicamente nula. n Podemos aplicar o teorema 2.1.13 a f . Assim, f ´e uma hipersuperf´ıcie convexa

    • 1

      em R e podemos decompor M e f (veja [5] p´ag. 1) como segue: r n

      −r

      M = M e f = f × R

      1 × f

      2

    1 Tal que,

      r r n n

    • 1 −r −r

      f e f : M : R

      1 1 −→ R 2 −→ R r

    • 1

      Onde f ´e a aplica¸c˜ao identidade e f . A segunda

      ´e uma hipersuperf´ıcie convexa em R

      2

      1 r

      forma fundamental A com respeito a f . Portanto

      1 tem posto r em algum ponto de M

      2

      1

      podemos escrever A = A

      1 em que A ´e a segunda forma fundamental com respeito

      × A a f . Segue que A = 0 e como o posto de A ´e igual ao posto de A, podemos supor que

      2 r = n. n n Afirma¸ c˜ ao 3.0.21.

      com rela¸c˜ao a A imagem da aplica¸c˜ao de Gauss ξ : M

      −→ S imers˜ao f , tem interior n˜ao vazio. Prova: Do par´agrafo anterior, existe p p possui posto n, i.´e, λ i (p)

      ∈ M tal que A 6= 0 para todo i = 1, ..., n. Da continuidade de λ i , existe vizinhan¸ca de p, V i ⊂ M, tal que λ i (p) i . 6= 0 ∀q ∈ V n

      \ n Se U = V i ent˜ao a aplica¸c˜ao de Gauss ξ : U ´e um difeomorfismo sobre i −→ S

      =1 sua imagem.

      De fato, dξ p = df ( p ) logo, se v p M e dξ p (v) = df ( p (v)) = 0 ent˜ao, p p −A ∈ T −A da injetividade de df temos que p (v) = 0. Como o posto de A ´e igual a n, obtemos p −A | U que v = 0. Portanto dξ ´e injetiva e do teorema da fun¸c˜ao inversa ξ ´e um difeomorfismo p

      | U

      sobre sua imagem. J´a que um difeomorfismo ´e uma aplica¸c˜ao aberta, ξ(M) tem interior n˜ao vazio. n . Podemos ent˜ao

      Do corol´ario 2.1.11 e do teorema 2.1.14, M ´e homeomorfa ao R aplicar o corol´ario 2.1.15 a hipersuperf´ıcie f e concluir que Π n +1 ◦ f(M) ´e pr´opria.

      Afirma¸ c˜ ao 3.0.22.

      Π n +1 n +1 ) | ◦ f := (Π f : f (M) −→ R ´e pr´opria. (|M )

      −1

      Prova: Como Π n +1 n +1 (K) ´e compacto

      ◦ f ´e cont´ınua, ´e suficiente mostrar que (Π ◦ f) n

      −1 +1

      , em f (M), para qualquer compacto K n +1 (K) est´a contido em R ∈ R. J´a que (Π ◦ f)

      −1 basta mostrar que (Π n (K) ´e sequencialmente compacto.

    • 1

      −1

      Seja (x n ) n sequˆencia em (Π n (K). Sabemos que, para ξ = (ξ , ...ξ n )

      ∈N +1 1 +1

      ◦ f) Π n +1 n ) = Π n +1 n ) + t ξ n +1 (x n ). ◦ f(x ◦ f(x

      Como Π n +1 n ) n +1 n +1 n ) pertence a um compacto ◦ f(x ∈ K e kξ k ≤ 1 segue que Π ◦ f(x K . Sendo assim, existe subsequˆencia (x n ) de (x n ) n tal que Π n n ) converge. Se k ∈N +1 k

      ◦ f(x Π n n ) tamb´em ´e convergente, digamos a x.

    • 1 k

      ◦ f ´e uma aplica¸c˜ao pr´opria ent˜ao (x Ademais, da continuidade de Π n n n ) converge a

    • 1 +1 k

      ◦ f obtemos que Π ◦ f(x

      −1

      Π n n n ) n n (K)

    • 1 ◦ f(x). Como Π +1 ◦ f(x k ∈ K temos Π +1 ◦ f(x) ∈ K logo x ∈ (Π +1 ◦ f) −1 provando que (Π n +1 (K) ´e sequencialmente compacto.

      ◦ f) Decorre do teorema de Sard [7] e do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que, para quase

      −1

      todo valor regular a > 0 de Π n n (a) ´e uma

    • 1 +1

      ◦ f : M −→ R, temos que (Π ◦ f) n +1

      1 =

      hipersuperf´ıcie de M. Seja ent˜ao a > 0 um valor regular de Π ◦ f e seja M

      −1

      (Π n (a). J´a que Π n ´e uma hipersuperf´ıcie compacta de

    • 1 +1

      1 n ◦ f) ◦ f ´e pr´opria, ent˜ao M que podemos assumir que ´e conexa (caso contr´ario, consideramos uma componente

      M ). conexa de M

      1 n n

      ) ´e uma Considere agora o homeomorfismo h : M −→ R e note que h(M

    n

      1

      . Uma generaliza¸c˜ao do teorema de Jordan hipersuperf´ıcie (topol´ogica) compacta de R n n em dois abertos L , onde L ´e nos permite afirmar que h(M

      1 ) decomp˜oe o R 1 e R

      1

      1 n

      \ L ´e ilimitado. relativamente compacto e R

      1

      \ L

      −1

      Seja ent˜ao Ω = h (L ). Observe que Ω ´e um aberto relativamente compacto em n

    1 M e que, ) = ∂L = ∂h(Ω) = h(∂Ω).

      h(M

      1

      1 Portanto, −1 −1 −1

      = (Π n (a) = f (Π (a)). ∂Ω = M

      

    1 +1 n

      ◦ f) +1

      −1

      Assim, f (∂Ω) = Π (a) = H a . Em particular Envf (∂Ω) = Env(H a ) = H a . Pelo n

    • 1

      lema 3.0.16 f tem a propriedade da envolt´oria convexa. Segue que f (Ω) ⊂ Env(f(∂Ω)). Portanto f (Ω) a (hiperplano) e f possui segunda forma fundamental nula em Ω. Isto

      ⊂ H

    • ´e uma contradi¸c˜ao pois estamos supondo que inf Λ 6= 0.

      − −

      Para provar que sup Λ = 0, basta supor por absurdo que sup Λ = −2c < 0 e proceder de forma an´aloga ao acima. Cap´ıtulo 4 Aplica¸ c˜ oes n Aqui, usamos o Teorema das Curvaturas Principais para provar que: Se n = 3 e

      ´e uma variedade completa e orient´avel com curvatura de Ricci menor ou igual a uma M

      4

      . E constante negativa ent˜ao, essa variedade n˜ao pode ser imersa isometricamente no R para n

      ≥ 4, isso tamb´em ´e v´alido se, a curvatura seccional n˜ao assume todos os valores reais. Isto pode ser enunciado de forma equivalente, a saber, se M ´e uma variedade completa e orient´avel, de dimens˜ao trˆes, com curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao, a curvatura de Ricci est´a pr´oxima de zero quanto se queira, i.´e, o ´ınfimo da curvatura de Ricci ´e igual a zero. E, se a dimens˜ao ´e maior ou igual a quatro, isso tamb´em ´e v´alido se a curvatura seccional n˜ao assume todos os valores reais.

      Acrescentamos a este resultado, obtido por Smyth e Xavier [11], que isso ´e tamb´em v´alido para as curvaturas de Gaus-Kronecker e escalar. Para demonstrar o proposto em dimens˜ao trˆes, necessitamos do pr´oximo teorema. n n

    • 1

      Teorema 4.0.23. uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com Seja f : M

      −→ R curvatura de Ricci n˜ao positiva e A a segunda forma fundamental de f . Suponha que A possui assinatura, i.´e, A tem um autovalor positivo e n

      − 1 autovalores negativos, ou vice versa, para todo p ∈ M. Ent˜ao inf p p kA k := inf kAk = 0

      ∈M

      inf p (v) v p ∈M ∈TpM kRic k := inf kRick = 0 Prova:

      Sejam λ (p), λ (p), ..., λ n (p) os autovalores de A p , escolhamos uma orienta¸c˜ao p possua um autovalor positivo e n

      1

      2

      para M tal que A −1 autovalores negativos. Da hip´otese sobre a curvatura de Ricci temos

      X Ric p (v) K p (e i , e j ) ≤ 0 ⇔ ≤ 0. i

      

    6=j Segue da equa¸c˜ao de Gauss que K p (e i , e j ) = λ i (p)λ j (p), donde temos que

      X K p (e i , e j ) i ≤ 0 ⇒

      6=j

      X λ (p)λ (p) i j i ≤ 0 ⇒

      6=j

      X λ (p) λ (p) i j i ≤ 0

      6=j

      Assim, obtemos que n

      X λ i (p) (λ j (p) i (p)) j − λ ≤ 0.

      =1

      Note que, para i = 2, n

      X λ (p) (λ j (p) (p))

      2

      2 j =1 − λ ≤ 0 ⇒ n

      X λ (p)λ (p) + λ (p) λ j (p)

      2

      1

      2 j ≤ 0 ⇒

    n n

    =3

      X X λ (p) λ j (p) = j (p)

      1 ≥ − kλ k. j j =3 =3

      Portanto, λ (p) j (p)

      1 ≥ kλ k para todo j 6= 2.

      De forma an´aloga, para i = 3, λ (p) j (p)

      1 ≥ kλ k para todo j 6= 3.

      Segue que λ (p) j (p)

      1

    • Do Teorema das Curvaturas Principais, inf Λ = inf λ (p) = 0. Logo existe uma
    • p

        1 ∈M

        sequˆencia (p k ) k (p k )

        0. Como λ (p) j (p)

        ∈N em M, tal que λ

        1

        1

        −−−→ ≥ kλ k para todo j ent˜ao, k

        →∞

        ao longo dessa mesma sequˆencia λ j (p k ) 0.

        −−−→ k

        →∞

        Ademais, para todo p ∈ M, n

        X p = (λ j (p)) .

        2

        2

        kA k j

        

      =1

        Em particular para p k , n

        X p = (λ j (p k ))

        2

        2 0.

        kA k k −−−→ k j =1 →∞ Portanto, inf kAk = 0.

        Al´em disso, se v k ´e uma sequˆencia em T p k M obtemos

        X X Ric p (v k ) = K p (e i , e j ) = λ i (p k )λ j (p k ) k k k k k k −−−→ k 0. i i k 6=j k k 6=j k →∞

        Portanto, inf kRick = 0.

        Com esse teorema vimos que, as hipersuperf´ıcies completas e orient´aveis com curvatura de Ricci n˜ao positiva, que possui segunda forma fundamental com assinatura, tem ´ınfimo da curvatura de Ricci igual a zero. Nessas condi¸c˜oes, as hipersuperf´ıcies de uma variedade de dimens˜ao trˆes tem automaticamente segunda forma fundamental com assinatura. Isso pode ser facilmente provado pelo lema que segue.

        3

      4 Lema 4.0.24. uma hipersuperf´ıcie com curvatura de Ricci negativa

        Seja f : M −→ R e A a segunda forma fundamental de f . Ent˜ao A possui assinatura.

        Prova: Sejam λ (p), λ (p) e λ (p) os autovalores de A p . Da hip´otese sobre a curvatura

        1

        2

        3

        de Ricci temos,

        X Ric p (v) < 0 i (p) λ j (p) < 0 ⇒ λ i

        6=j .

        X Para i = 1, λ (p) λ j (p) < 0 e supondo λ (p) > 0 teremos λ (p) + λ (p) < 0 o

        1 i

        1

        2

        3 6=j

        que nos d´a λ

        2 (p) < 0 ou λ 3 (p) < 0.

        Se λ (p) < 0 e λ (p) < 0 nada a fazer. Caso λ (p) < 0 e λ (p) > 0 mudamos a

        2

        3

        2

        3 (p) < 0, λ (p) > 0 e λ (p) < 0.

        orienta¸c˜ao de M obtendo λ

        1

        2

        3 Se λ (p) < 0 o resultado ´e an´alogo. Portanto A p possue um autovalor positivo e

        1

        n − 1 autovalores negativos.

        Com esse lema podemos provar a generaliza¸c˜ao de Efimov [4] em dimens˜ao trˆes, a saber,

        3

      4 Teorema 4.0.25.

        ´e uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com Se f : M −→ R curvatura de Ricci negativa ent˜ao inf n kRick = 0.

        3 +1

        Prova: uma hipersuperf´ıcie e A a segunda forma fundamental de Seja f : M

        −→ R f . Pelo lema 4.0.24 A possui assinatura e pelo teorema 4.0.23 inf kRick = 0.

        N´os adicionamos ao trabalho de Smyth e Xavier [11] que este ´ ultimo resultado tamb´em ´e v´alido para as curvaturas de Gauss-Kronecker e escalar. Como podemos ver nos dois pr´oximos teoremas.

        3

      4 Teorema 4.0.26.

        uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com Seja f : M −→ R curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao inf p p = cte para todo p |G | = 0. Em particular se G

        ∈M

        3

        p , teremos G ∈ M ≡ 0. Prova:

        Pela afirma¸c˜ao 4.0.24 A possui um autovalor positivo e dois autovalores nega- k ) k ∈N , tal que tivos ou vice-versa. Da demonstra¸c˜ao de 4.0.23 existe sequˆencia em M, (p λ i (p k ) 0 para todo i −−−→ ∈ {1, 2, 3}. k

        →∞

        Portanto,

        3 Y k k lim G(p k ) = lim λ i (p k ) = 0.

        →∞ →∞ i =1

        Logo, inf p p |G | = 0.

        ∈M

        3

      4 Teorema 4.0.27. uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com

        Seja f : M −→ R curvatura de Ricci n˜ao positiva ent˜ao inf p ∈M |τ(p)| = 0. Em particular se τ(p) = cte para

        3

        todo p , teremos τ ∈ M ≡ 0. Prova: Do teorema 4.0.23, Ric p (v k ) k

        0. Ent˜ao ao longo desta mesma sequˆencia, −−−→ k

        →∞

      3 X

        τ (p k ) = Ric p (v j ) k 0.

        −−−→ k j →∞ Logo, inf p |τ(p)| = 0.

        ∈M

        Agora, apresentamos um teorema o qual mostra que uma hipersuperf´ıcie com- pleta e orient´avel, com curvatura de Ricci n˜ao positiva, pode ser um cilindro. Al´em disso, mostra uma rela¸c˜ao entre a curvatura m´edia e a curvatura de Ricci. Esta rela¸c˜ao ser´a usada para mostrar uma generaliza¸c˜ao de Efimov para n n ≥ 4.

        3 +1

        Teorema 4.0.28. uma hipersuperf´ıcie completa e orient´avel com Seja f : M

        −→ R curvatura de Ricci n˜ao positiva e H a curvatura m´edia de M. n +1 (i) Ou inf p . p |H | = inf kHk := 0 ou f(M) ´e um cilindro sobre uma curva plana em R

        ∈M

        (ii) Se inf H 6= −∞ ou sup H 6= +∞ ent˜ao inf kRick = 0. Em particular, se H = constante 6= 0 ent˜ao f(M)´e um cilindro.

      • − +

        Prova: Para a prova de (i), suponhamos inicialmente que Λ ou Λ ´e vazio. Se Λ =

        −

        Λ = ∅ ent˜ao M´e um hiperplano e H ≡ 0.

        − +

        Caso Λ = ∅ e Λ 6= ∅, da hip´otese sobre a curvatura de Ricci sabemos que

        X X λ i (p) λ j (p) λ j (p) j (p) = 0 para todo j i i ≤ 0. ent˜ao ≥ 0 o que nos d´a λ 6= i.

        6=j 6=j

        Dessa forma, K (e , e ) = λ (p)λ (p) = 0 para todo p p i j i j ∈ M. Por Hartman- Niremberg [2] pag. 72, f (M) ´e um cilindro sobre uma curva plana.

        − +

        Supondo que nem Λ nem Λ s˜ao vazios, assuma por absurdo que inf p p |H | 6= 0.

        ∈M

        Se H p p ≥ ε > 0, da condi¸c˜ao sobre a curvatura de Ricci λ(p)(nH − λ(p)) ≤ 0 para todo

      • λ(p) p . Do teorema das curvaturas

        ∈ Λ o que nos d´a n · H ≤ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ

      • principais inf n p = 0. Isto ´e um absurdo pois estamos supondo inf H p p ∈M

        · H ≤ inf Λ p ∈M 6= 0.

        −

        Caso H p p . Analoga- ≤ −ε < 0, teremos que n · H ≥ λ(p) para todo λ(p) ∈ Λ mente, usando o teorema das curvaturas principais chegamos a uma contradi¸c˜ao.

        Portanto inf H = 0 e isto conclui a prova de (i).

        2 Para provar (ii) suponha que existe c p (v) , equivalente-

        ∈ R tal que Ric ≤ −c

        2

        2

        mente, λ(p)(nH p para todo λ(p) p + λ(p) − λ(p)) ≤ −c ∈ Λ. Disto segue que nH ≤ −c

        λ(p)

      • para todo λ(p) .

        ∈ Λ

      • Como inf Λ = 0 existe uma sequˆencia (p k ) k k ) 0.

        ∈N em M tal que λ(p −−−→ k →∞

        2

        −c Portanto lim ( + λ(p k )) = k −∞ e ao longo dessa mesma sequˆencia H −−−→ −∞. k

        →∞ →∞

        λ(p k )

        2 −

        Analogamente, usando que nH p + λ(p) para todo λ(p) e que ≥ −c ∈ Λ

        λ(p)

        −

        sup Λ = 0, obtemos que sup H = + n n +1 ∞. Teorema 4.0.29.

        (n Seja f : M

        −→ R ≥ 4) uma hipersuperf´ıcie completa e ori- ent´avel com curvatura de Ricci negativa. Se a curvatura seccional de M n˜ao assume todos os valores reais ent˜ao inf p p kRic k = 0.

        ∈M

        Prova: Inicialmente vamos provar que, nas condicoes do teorema, sup K 6= +∞.

        Com efeito, suponha que inf K = −∞. Da continuidade da fun¸c˜ao curvatura seccional e da hip´otese sobre sua imagem temos que sup K

        6= +∞. Caso inf K

        6= −∞ suponha por absurdo que sup K = +∞. Ent˜ao, existem sequˆencias (p k ) k e (v k , u k ) k p K p (e i , e j ) = +

        ∈N ∈N em M e T k M respectivamente, onde lim k k k k ∞. Al´em →∞

        disso, existe c > 0 tal que inf K ≥ −c.

        Da hip´otese sobre a curvatura de Ricci,

        X X

        X K (e , e ) < 0 K (e , e ) + K (e , e ) < 0. p k i k j k p k i k j k p k i k j k i K> K< k 6=j k ⇒ E portanto,

        X X K p ,e < K p ,e k (e ) k (e ) − ≤ c. K> K< ik jk ik jk

        Isto ´e um absurdo pois estamos supondo que sup K = + ∞.

        Provemos o teorema: se a segunda forma fundamental de M tem um autovalor positivo e n − 1 autovalores negativos o resultado segue do teorema 4.0.23. Caso contr´ario A possui pelo menos dois autovalores positivos e dois autovalores negativos. Como λ(p)(nH p p < λ(p) para λ(p) > 0.

        − λp) < 0 para todo λ ∈ Λ ent˜ao nH Digamos que λ (p) e λ (p) s˜ao dois autovalores positivos de A . i i 1 2 P Ent˜ao, para H p > 0 ( nH p < λ i 1 (p) nH p < λ i 2 (p).

        Portanto, λ i 1 (p)

        · λ i 2 (p)

        ≥ n

        2

        (H p )

        2

        ⇒ K p (e i 1 , e i 2 )

        ≥ n

        2

        (H p )

        2 .

        Logo,

      • ∞ 6= sup K ≥ sup K p (e i
      • 1 , e i 2 ) ≥ sup H.

          Do teorema 4.0.28 (ii), inf p ∈M kRic p k = 0.

          Referˆ encias

          [1] ALEXANDER, S.; MALTZ, R. Isometric immersions of Riemannian products in Eu- clidean space, J. Differential Geometry, v. 11, no. 1, p. 47-57, 1976. [2] DAJCZER, M. et al. Submanifolds and Isometric Immersions, 1. ed. Rio de Janeiro:

          IMPA, 1990. (Mathematics Lecture Series) [3] DO CARMO, M. P. Geometria Riemanniana, 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008. (Projeto Euclides)

          [4] EFIMOV, N. V. Hyperbolic problems in the theory of surfaces. In: PROCEEDINGS OF INTERNATIONAL CONGRESS OF MATHEMATICS, Moscow, 1966. Amer.

          Math. Soc. Transl., v. 70, no. 2, p. 26-38, 1968. [5] HARTMAN, P. On the Sacksteder Decomposition of Complete W-Hypersurfaces of

          Nonnegative Sectional Curvature, Arch. Rational Mech. Anal., v. 70, no. 1, p. 13-18, 1979. [6] HILBERT, D. On surfaces of constant Gaussian curvature, Trans. Am. Mat. Soc., v.

          2 , no. 1, p. 87-99, 1901. [7] LLOYD, N. G. Degree theory. Cambridge: University Press, 1978. (Cambridge Tracts in Mathematics, 73) [8] NASH, J. The imbedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math.. v. 63, no. 2, p. 20-63, 1956.

          [9] OSSERMAN, R. The convex hull property of immersed manifolds, J. Differential Geometry, v. 6, p. 267-261, 1971. [10] REILLY, R. C. Applications of the Hessian operador in a Riemannian manifold, Mich. Math. J., no. 26, p. 457-472, 1973. [11] SMYTH B.; XAVIER, F. Efimov’s theorem in dimension greater than two, Invent.

          Math., v. 90, no. 3, p. 443-450, 1987.

          [12] WU, H. The spherical images of convex hypersurfaces, J. Differential Geometry, v.

          9 , p. 279-290, 1974.

          Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

          Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

          <http://www.pgmat.ufba.br>

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