ESTUDO DIRIGIDO Vetores e Cálculo Vetorial

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COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA –ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

PROF.:GUSTAVO COSTA

ALUNO:______________________________________________________

ESTUDO DIRIGIDO

Vetores e Cálculo Vetorial

1.1 Segmentos Orientados

Considere um segmento de reta AB. Se atribuirmos a este segmento uma orientação (origem – extremidade) este segmento passa a ser chamado de segmento orientado.

Se A é a origem e B a extremidade, dizemos que AB é orientado no sentido de A para B, e o segmento BA , oposto de AB , é orientado de B para A.

Segmento nulo é aquele cuja origem coincide com a extremidade, é representado por um ponto e denotado por AA ou O.

Módulo: fixada uma unidade de comprimento, podemos associar a cada segmento orientado um número real não negativo que é a sua medida, o seu tamanho. O segmento nulo tem módulo igual a zero.

Direção: dois segmentos orientados (não nulos) têm a mesma direção se suas retas suporte são paralelas ou coincidentes.

Sentido: se dois segmentos têm a mesma direção, podemos comparar seus sentidos. Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

Ex: (aula)

1.2 Equipolência

Definição: Dizemos que os segmentos orientados AB e CD se ambos são nulos, ou têm o mesmo módulo e o mesmo sentido.

Notação: AB ~ CD.

Ex: (aula)

Obs: A Equipolência é uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva). Isso nos permite dividir os segmentos orientados em classes (de equipolência).

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2. Vetores

Definição: Chamamos de vetor determinado por um segmento orientado AB , ao conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB , ou seja, à classe de eqüipolência determinada por AB .

Notação: → AB . Obs:

i) AB~CD⇔

→ AB =

→ CD

ii) O vetor →

AB é o representante de uma classe de infinitos segmentos eqüipolentes a

AB . Quando nos referimos a um vetor →

AB , estamos nos referindo a todos os segmentos eqüipolentes a AB, muito embora usemos um único vetor para representar esta classe.

iii) Os segmentos nulos são representados por um único vetor, vetor nulo, denotado

por → 0 .

iv) Indicaremos por – → v =

BA o vetor oposto a → AB =

→ v .

v) Dado um vetor → AB =

v e um ponto P qualquer, existe um único ponto Q tal que →

AB = →

PQ ou seja, → v =

→ PQ .

vi) Se → AB =

CD , então → AC =

→ BD ;

Figura: (aula)

Definições:

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• Denotaremos o módulo do vetor v por |v |.

• O vetor nulo tem módulo igual a zero e não tem direção nem sentido. • Se |

v | = 1, dizemos que →

v é unitário. • Chamamos de versor de

v , ao vetor unitário que tem o mesmo sentido de → v .

Denotaremos por 0 0

v ou v

→ →

.

• Dizemos que dois vetores são ortogonais se podem ser representados por

segmentos orientados ortogonais, notação: → v ⊥

→ u .

• Convencionaremos que o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores do espaço.

2.1 Operações

2.1.1 Soma de um ponto com um vetor

Definição: Dados um ponto A e um vetor →

v , existe um único ponto B tal que → v =

→ AB .

Chamaremos este ponto B de soma do ponto A com o vetor →

v , e denotaremos por:

B = A + → v .

Para entender esta operação podemos ler da seguinte forma: o ponto B é a

extremidade do vetor →

v quando o representamos na origem A.

Figura: (aula)

Indicaremos A + (– →

v ) por A – → v .

Propriedades:

i) A +

→ AB = B

ii) A +

→ 0 = A

iii) (A – → v ) +

→ v = A

iv) A +

v = B + →

v ⇔ A = B

v) A +

v = A + → u ⇔

→ v =

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2.1.2 Adição de vetores

Definição: Dados dois vetores → u e

v e um ponto A qualquer, sejam A + →

u = B e B + →

v = C. O vetor → S =

AC é chamado vetor soma de → u e

v e é indicado por

→ → →

+ =u v

S .

Figura: (aula)

A soma está bem definida, isto é, não depende do ponto A escolhido.

Propriedades: A soma de vetores satisfaz às propriedades comutativa, associativa, elemento neutro (vetor nulo) e elemento simétrico (vetor oposto).

Obs:

→ → → →

− ≠ −v v u

u .

2.1.3 Produto de um número real (escalar) por um vetor

Definição: Dados a ∈ IR* e →

v (não nulo), chamamos produto de a por →

v o vetor → w =

a →

v , que satisfaz as seguintes condições:

a) | →

w | = |a| | → v |;

b) A direção de →

w é a mesma de → v ;

c) Se a > 0, o sentido de →

w é igual ao de → v ,

Se a < 0, o sentido de →

w é oposto ao de → v .

Se a = 0, ou → v =

0 , então → w =

→ 0 .

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Obs:

• Se a ≠ 0, então → v a 1

será indicado por a v →

.

→ →

→ = 0 v

v

| v |

, se → v≠

→ 0 .

• Desigualdade Triangular: |u v| |u| |v| → → → →

+ ≤

+ .

• Condição de espaço vetorial.

3. Combinação Linear

Definição: É uma combinação de operações de produto de um número real por um vetor com soma de vetores.

Ex: → w = 3

→ u + 2

v , é uma combinação linear dos vetores → u e

v com escalares 3 e 2.

→ w =

→ u – 2

→ v +

3 t →

, é uma combinação linear dos vetores → u ,

→ v e

t com escalares

1, –2 e . 3 1

Figura: (aula) (grade i x j)

Definição: Dizemos que os vetores

→ → →

n 2 1,v ,...,v

v são paralelos (ou colineares) se têm representantes na mesma reta.

Notação:

→ →

n 2

1//v //...//v v

Definição: Dizemos que os vetores

→ → →

n 2 1,v ,...,v

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Propriedades:

i) Os vetores

→ u e

v são paralelos se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear do outro.

ii) Os vetores → u ,

→ v e

w são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros.

4. Dependência Linear

Definição: Sejam → u ,

→ v e

w vetores do espaço, dizemos:

• Um vetor →

v é linearmente dependente (L.D.) se → v =

→ 0 . • Dois vetores

→ u e

v são L.D. se → u //

→ v . • Três vetores são L.D. se são coplanares.

• Quatro ou mais vetores no espaço são sempre L.D.

• Quando um conjunto de vetores não é L.D. dizemos que este conjunto é linearmente independente (L.I.).

• Qualquer conjunto de vetores que contenha o vetor nulo é L.D.

Obs: reveja as propriedades i) e ii) do item anterior.

Propriedades:

i) Se um vetor →

v é L.I., então, dado → u //

v , temos que existe um único número real

a tal que → u = a

→ v .

ii) Se dois vetores → u e

v são L.I. então, dado um vetor →

w coplanar com → u e

→ v ,

existe um único par de escalares (a,b) tal que → w = a

→ u + b

→ v .

iii) Se três vetores → u ,

→ v e

t são L.I., então dado um vetor →

w qualquer do espaço,

existe um único terno de escalares (a,b,c) tal que → w = a

→ u + b

→ v + c

→ t .

5. Base

Definição: Chamamos de base de um ‘sistema de vetores’, um conjunto L.I. de vetores que, através de combinações lineares, ‘gera’ esse sistema.

Ex: O conjunto { →

u }, L.I., é uma base para um ‘sistema’ de vetores paralelos a → u .

Dados dois vetores L.I. (não paralelos) → u e

v , o conjunto { → u ,

v } é uma base para o

‘sistema’ de vetores coplanares com → u e

→ v .

Obs: Três vetores L.I. formam uma base do espaço, assim, qualquer outro vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores desta base.

Definição: Uma base é ortogonal quando seus vetores são ortogonais, dois a dois. Definição: Uma base é ortonormal se é ortogonal e seus vetores são unitários.

Notação: Plano: { →

i , →

j } ; espaço: { →

i , →

j , →

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A B C D E F G H

Nesta parte do curso, procuraremos estudar os vetores segundo suas coordenadas em relação a uma base. No início introduziremos a noção de coordenadas de um vetor em relação a uma base qualquer, depois direcionaremos nosso estudo para o estudo em relação a uma base ortonormal fixada (base canônica).

A observação acima nos permite caracterizar unicamente um vetor em relação a uma

certa base fixada, para isso, considere a base {v1,v2,v3} → → →

e um vetor →

v qualquer do

espaço tal que

→ → → → + +

=av1 bv2 cv3

v , dizemos então que o terno (unicamente determinado)

(a,b,c) são as coordenadas de →

v em relação à base {v1,v2,v3}

→ → → . Notação: →

v = (a,b,c).

Obs:

• A base é um conjunto ordenado.

• Um vetor num conjunto de vetores paralelos tem 1 coordenada (reta - dimensão 1)

• Um vetor num conjunto de vetores coplanares tem 2 coordenadas (plano – dim. 2)

• Um vetor no espaço tem 3 coordenadas (espaço – dim. 3)

Ex: Consideremos o cubo ao lado e fixemos a base {AB,AC,AE} → → → . Podemos escrever: 1. → → → → + +

=1AB 0AC 0AE

AB , daí AB=(1,0,0) → . Analogamente, ) 0 , 1 , 0 ( AC= →

e AE =(0,0,1) →

.

Podemos então concluir que : dada uma base {v1,v2,v3}

→ → →

, as

coordenadas desses vetores, em relação a esta base são: v1 =(1,0,0) → , ) 0 , 1 , 0 ( v2 =

e v3 =(0,0,1)

. 2. → → → + = AB AE

AF e , portanto

→ → → → + +

=1AB 0AC 1AE

AF , logo AF=(1,0,1) →

.

Veja que se trocamos a ordem dos vetores da base, trocamos também a ordem das coordenadas do vetor.

3. → → → → + +

=0AB 1AC 1AE

AG e AG=(0,1,1) →

Propriedades:

Seja {v1,v2,v3}

→ → →

uma base e considere os vetores →

u = (a1,a2,a3), →

v = (b1,b2,b3) e →

w = (c1,c2,c3), representados por suas coordenadas em relação a esta base então:

i) → u =

v ⇔ a1 = b1, a2 = b2 e a3 = b3.

ii) → u +

v = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

iii) h →

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iv) → u //

→ v (

→ u e

v são L.D.) ⇔ existe h ∈ IR tal que: a1 = hb1, a2 = hb2 e a3 = hb3. (vetores paralelos são vetores IR - múltiplos)

v) → u ,

→ v e

w são coplanares (L.D.) se, e somente se, 0 c c c

b b b

a a a

3 2 1

3 2 1

3 2 1

= .

Obs:

a) Fixado um ponto no espaço e uma base, podemos construir um sistema de coordenadas cartesianas, associado a esta base e este ponto que chamaremos origem. Usaremos o sistema cartesiano canônico, onde a

origem é o ponto O(0,0,0) e a base é a base canônica ortonormal { →

i , →

j , → k }. b) Neste sistema, as coordenadas dos vetores correspondem às coordenadas do ponto que é a extremidade do vetor quando este tem sua origem no

ponto O, origem do sistema. Ex: v =(a,b,c) =OP ⇔P(a,b,c) →

. [Figura (aula)]

c) A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) ⇒ AB =(x2 −x1,y2 −y1,z2 −z1) →

. (vetor através de sua origem e extremidade)

d) P(x,y,z) e v =(a,b,c) →

, então P + →

v = (x + a, y + b, z + c). (soma de ponto com vetor)

e) Ponto médio de AB é M x1 x2,y1 y2,z1 z2

2 2 2

+ + +

 

 

 .

Exemplos

Ex. 1: Consideremos o paralelogramo ABCD, onde A(1,0,2), B(1,–1,2) e C(0,2,–2).

Desejamos determinar as coordenadas dos vetores

→ →

BC e

AB , do vértice D e do ponto médio de AB.

Ex. 2: Classifique, de acordo com a figura ao lado, em L.I. e L.D. os vetores a seguir. Justifique suas respostas.

a) →

AB b)

→ → →

+ +

AB BC CA

c)

→ →

AB e AE d)

1

AB e AB 2

e)

→ → →

AB, AD e AE f)

→ → →

AE, AB e DC

g)

→ → →

AB, AD e FF h)

→ → → →

(9)

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