UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIˆ ENCIAS TECNOL ´ OGICAS - FEJ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA EL´ ETRICA - DEE MESTRADO EM AUTOMAC ¸ ˜ AO INDUSTRIAL DISSERTAC ¸ ˜ AO DE MESTRADO Mestrando: Marcos Ferg¨

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC

  apresenta certas limita¸c˜oes, tais como a pequena capacidade de sobrecarga, a estreita faixa de opera¸c˜ao da velocidade e o alto custode fabrica¸c˜ao e manuten¸c˜ao, devido ` a existˆencia de escovas e do comutador, o que restringe a utiliza¸c˜ao em ´areas inflam´aveis, onde o faiscamento do comutador ´e invi´ avel. Podemos observar que o motor ´e composto de um estator sobre o qual est˜ao distribu´ıdas uni- formemente as bobinas de cada uma das trˆes fases e, de um rotor de p´olos salientes com umenrolamento concentrado, no caso da m´aquina convencional, e com ´ım˜as permanentes, no caso do servomotor C.

2 L s

  MODELAMENTO DO MOTOR S´ INCRONOA equa¸c˜ao el´etrica para o rotor ´e dada por: ˙ I φ r = R r r r (1.6) onde o fluxo no rotor ´e dado por:φ r = L r I r + M ar I sa + M I + M cr I sc br sb sendo L r a indutˆ ancia pr´opria do enrolamento do rotor e φ r o fluxo concatenado com o enrolamento do rotor. Aplicando a transforma¸c˜ao K na equa¸c˜ao(1.2) temos: ˙K [V s ] = K [R s ] [I s ] + K φ s (1.8) 3 3 3 3 A rela¸c˜ao de transforma¸c˜ao K nos permite escrever a seguinte rela¸c˜ao: −1 [I ] = K [I ] (1.9) s 3 s 20 T sendo I s = [I α , I β , I 0] , com I0 sendo a componente de seq¨ uˆencia zero.

20 Assumindo a m´aquina como sendo sim´etrica e equilibrada, as componentes de seq¨ uˆencia

  = [R s −1 ]K 3 ] ´e proporcional ` a matriz identidade, temos que K[R s 3 3 Contudo, como [R s φ s ] + K˙ 2 −1 ] = [R ] K 3 ] = K [R s 3 Aplicando a equa¸c˜ao (1.9) em (1.8), temos:K [V s T . Opasso seguinte ´e a transforma¸c˜ao de todas as grandezas da m´aquina para um ´ unico sistema de coordenadas fixado no rotor, conhecido na literatura como sistema de coordenadas s´ıncronodq .

2 Observamos que o fluxo ´e, t˜ao somente, fun¸c˜ao da corrente do rotor e da corrente de

  MODELAMENTO DO MOTOR S´ INCRONO direto com o eixo direto do rotor, eliminando a componente em quadratura do fluxo. Ent˜ aoa equa¸c˜ao (1.6) que descreve a tens˜ao do rotor pode ser reescrita, no referencial s´ıncrono, como:v r = R r i r + L r ˙i r + M srd ˙i sd (1.30) 3 sendo M srd = L sr .

2 Finalmente temos determinadas todas as equa¸c˜oes el´etricas do estator e do rotor nos trˆes referenciais, ou seja, referencial trif´ asico, referencial estacion´ario e referencial s´ıncrono

  MODELAMENTO DO MOTOR S´ Ent˜ ao as equa¸c˜oes (1.38) e (1.39) definem as equa¸c˜oes mecˆanicas para o motor s´ıncrono, sendo que o modelo completo do motor s´ıncrono de rotor bobinado no referencial dq ´e dado ITULO 1. MODELAMENTO DO MOTOR S´ INCRONO pelo seguinte conjunto de equa¸c˜oes diferenciais:˙θ m = ω m p f Tv l ω˙ω m = [(L d q )i sd + K m ]i sq m − L − − J J J pLR s q 1 (1.40)˙i + = − 1 ˙i i ω i ω v L q L q L q L q v r = R r i r + L r ˙i r + M ˙i srd sd Na pr´oxima se¸c˜ao determinaremos o conjunto de equa¸c˜oes para o modelo do motor com rotor a ´ım˜a permanente.

1.3 Motor com Rotor a ´ Im˜ a Permanente

  Basicamente a mudan¸ca construtiva sed´ a somente no rotor, onde o enrolamento bobinado sobre o maci¸co ferro-magn´etico com p´olos salientes ´e substitu´ıdo por um maci¸co ferro-magn´etico recoberto por um material magn´etico(´ım˜a), o qual conforma os p´ olos salientes de modo a fornecer um fluxo magn´etico co-senoidal no entreferro. Ent˜ ao a equa¸c˜ao (1.4), na forma mais compacta, fica:[φ s ] = [L s ] [I s ] + [φ sr ] (1.43) 3 3 3 T φ φ sendo [φ sr ] = [φ ar br cr ] .

1 M ac L s + L m cos )

  Podemos concluir afirmando que as equa¸c˜oes que modelam os dois tipos de motores s˜ao as mesmas, por´em, as indutˆancias de eixo direto e de eixo em quadratura tˆem valores diferentespara cada caso, uma vez que as relutˆancias de eixo direto e de eixo em quadratura se alteram conforme o tipo de rotor utilizado. Enquanto o motor convencional tem a indutˆ ancia de eixodireto maior que a do eixo em quadratura, o motor com ´ım˜a permanente apresenta situa¸c˜ao contr´ aria, ou seja, a indutˆ ancia de eixo em quadratura ´e maior que a de eixo direto.

2.2.1 Formula¸ c˜ ao do Problema de Controle

  Podemos notar que o projeto da superf´ıcie, para sa´ıdas com grau relativo superior a 1, constitui-se numa dinˆ amica linear de erro de seguimento 1 (y − y) . Assim, uma vez estando o sistema sobre a superf´ıcie de deslizamento, o erro de ref seguimento converge exponencialmente para a origem, com a constante de tempo regulada pelo valor dos ganhos l ji .

2.3 Redu¸ c˜ ao do Chattering

  Como foi exposto na se¸c˜ao anterior, o “chattering”, ou seja, o excessivo chaveamento do controle ´e um fenˆomeno inerente ao controle descont´ınuo por modos deslizantes cl´assico epode excitar dinˆ amicas n˜ao modeladas, as quais podem levar o sistema `a instabilidade. Nesta se¸c˜ao iremos desenvolver um estudo sobre as t´ecnicas de redu¸c˜ao do “chattering”aplicadas aocontrolador de 1a.

2.3.1 Altera¸ c˜ oes da Lei de Controle

  Para o controle em modos deslizantes de 1a. ordem, a id´eia que tem sido utilizada para minimizar os efeitos negativos do “chattering”introduz a no¸c˜ao de camada limite [34] navizinhan¸ca da superf´ıcie de deslizamento.

CAMADA LIMITE

  Mas, quando a trajet´ oria estiver dentro da camada,ent˜ ao, ou n˜ ao ´e aplicada qualquer lei de controle, o que seria a considera¸c˜ao da utiliza¸c˜ao de ITULO 2. A utiliza¸c˜ao da camada limite implica altera¸c˜ao da estrutura decontrole e, portanto, h´ a a necessidade de definirmos as novas fun¸c˜oes matem´aticas que nos permitir˜ao usar a no¸c˜ao de camada limite.

1 A fun¸c˜ao ´e definida matematicamente como:

        −1 , −ǫ < S(x, t); S sat (S, x, t) =(2.18) 1 , −ǫ ≤ S(x, t) ≥ ǫ;      ǫ 1 , S(x, t) > ǫ. O gr´afico relativo `a fun¸c˜ao ´e mostrado na Figura 2.3.

2 A fun¸c˜ao que introduz uma zona morta no interior da camada limite ´e definida pela

  Para a escolha das vari´ aveis de sa´ıda levamos em considera¸c˜ao os seguintes aspectos: a velocidade foi escolhida porque o objetivo b´ asico de controle de um motor el´etrico ´e o seumovimento, ou seja, sua posi¸c˜ao ou velocidade. ORDEM deslizantes para o motor como:      − 1 v b b a + K sign (S )      sd 11 12 1 ω 1 (2.34) v = = −      v sq b b a + K i sign (S ) 21 22 2 2 sendo que K > 0 e K > 0 s˜ao os ganhos que determinam a velocidade de convergˆencia das ω i dinˆ amicas em dire¸c˜ao `as superf´ıcies de deslizamento.

2.5 Estudo de Simula¸ c˜ ao

  ORDEM item, s˜ao analisados trˆes casos: (i) controle descont´ınuo com a fun¸c˜ao sinal (sign); (ii) controlecom camada limite e fun¸c˜ao linear no interior da camada, atrav´es da aplica¸c˜ao da fun¸c˜ao sat 1 (Figura 2.3); e (iii) controle com camada limite e zona morta no interior da camada, atrav´es da utiliza¸c˜ao da fun¸c˜ao sat (Figura 2.3). Por fim, apresentamos uma subse¸c˜ao com os 2 resultados obtidos utilizando o controle sem realimenta¸c˜ao para simplifica¸c˜ao, com o objetivo de reduzir os tempos computacionais e, aplicando a fun¸c˜ao sat 1 , visando obter a caracter´ıstica de redu¸c˜ao de “chattering”, dada por esta fun¸c˜ao.

2.5.1 Condi¸ c˜ oes de Simula¸ c˜ ao

  Para a valida¸c˜ao dos objetivos de controle, iremos analisar o desempenho do sistema atrav´es da aplica¸c˜ao de uma referˆencia de velocidade e de uma perturba¸c˜ao de carga, as quaisest˜ao mostradas na Figura 2.5 e Figura 2.6, respectivamente. 1800 2000 Referência de velocidade1600 1200 1400 rpm 1000 600 800 200 4000.511.522.533.544.55 tempo (s) Figura 2.5: Referˆencia de velocidadeAs especifica¸c˜oes de desempenho visam reproduzir caracter´ısticas de sistemas industri- ais, tais como, pontes rolantes, guindastes e esteiras transportadoras, os quais apresentamrestri¸c˜oes de acelera¸c˜oes e varia¸c˜oes de torque.

2.5.2 Parˆ ametros do motor

O motor s´ıncrono de ´ım˜a permanente utilizado apresenta os seguintes valores nominais:Potˆencia Nominal: 736 W N´ umero de pares de p´olos: 2Velocidade nominal: 1800 rpmTens˜ao nominal: 208 VCorrente nominal: 3,5 AResistˆencia estat´orica: R s = 1, 5 OhmIndutˆ ancia de eixo direto: L = 0, 0424 H d Indutˆ ancia de eixo em quadratura: L q = 0, 0795 H 2 In´ercia (motor e carga): J = 0, 003 N m/rad/s−

3 Coeficiente de atrito viscoso: f v = 0, 8x10 Nm/rad/s

  CAP´ ITULO 2. MODOS DESLIZANTES DE 1A.

2.5.3 Controle com Realimenta¸ c˜ ao para Simplifica¸ c˜ ao

  ORDEM perf´ıcie de corrente, qual seja, de que a referˆencia da corrente de eixo direto i sd seria con-siderada nula para minimizar os efeitos do torque de relutˆ ancia e garantir que a matriz de desacoplamento do controle, [b], tivesse sempre inversa. A Figura 2.9 mostra o comporta-mento da corrente de eixo direto.0.4 Corrente de Eixo Direto − isd0.2 0.1 −0.2 −0.1 −0.30.511.52 Tempo (s)2.533.544.55 Figura 2.9: Corrente de eixo direto Fica clara a capacidade do controlador de levar e manter a sa´ıda de controle para muito pr´ oximo de zero e que os transit´orios de corrente s˜ao de curt´ıssima dura¸c˜ao, apresentando,no pior caso (t=1s), um valor de pico de 400mA.

2.5.4 Controle sem Realimenta¸ c˜ ao para Simplifica¸ c˜ ao

  Controle com Camada Limite - fun¸ c˜ ao sat 1 Com o objetivo de obter uma melhor resposta dinˆ amica do sistema, os valores de ǫ para a defini¸c˜ao da camada limite a ser aplicada a cada uma das superf´ıcies de deslizamento foram modificados. 0.511.522.533.544.5−1 5 −21234567A 8 Corrente de Eixo em Quadratura − isq Tempo (s) Figura 2.29: Corrente de eixo em quadraturaDa an´alise das trˆes figuras, podemos observar a ausˆencia total de “chattering”nestas vari´ aveis, tal qual observado anteriormente, quando da aplica¸c˜ao das fun¸c˜oes sat 1 e sat 2 .

3.1 Introdu¸ c˜ ao

  A id´eia baseia-se na utiliza¸c˜ao do princ´ıpio dos modos deslizantes n˜ao s´opara a superf´ıcie de chaveamento, mas tamb´em, para as dinˆamicas de ordem superior, por´em, fazendo a descontinuidade do controle aparecer em uma dinˆ amica de mais alta ordem. Issoequivale a impor condi¸c˜oes n˜ao s´o para a fun¸c˜ao de restri¸c˜ao, mas tamb´em, para as suas derivadas de ordem superior.

3.2 O Controle por Modos Deslizantes de 2a. Ordem

  ordem, que fa¸ca o seguimento da sa´ıda y(t) e que se apresente robusto `as perturba¸c˜oes de carga e `asvaria¸c˜oes na resistˆencia de estator . Uma vez definido o projeto da superf´ıcie vamos, ent˜ao, estabelecer a lei de controle que levar´ a o sistema ao deslizamento na superf´ıcie S(x, t) = ˙ S(x, u, t) = 0.

2 O problema agora passa a ser o de estabilizar as novas vari´ aveis z e z para a origem

  Primeiramente, vamos considerar a seguinte lei de controle, que desacopla o sistema com rela¸c˜ao ao controle:′ − 1 u = [b(x)] u n (3.5) T m onde b(x, t) ´e uma matriz n˜ao singular e o vetor u n = [u n 1 , ..., u n ] ∈ ℜ ´e a nova entrada m de controle do sistema. Oproblema ´e garantir que o segundo termo de (3.13) seja sempre negativo, ou seja, que: T (3.13)Assim, sempre ´e poss´ıvel encontrar uma matriz P que torna a matriz −Q = A d j P B (u T T 2 d j 1 1   [u d j + ζ j (x, t) + a j (x, u, t)] 2 j    z 1 j z 2       −c 1−c ˙z j = Az j + B[u d j + ζ j (x, t) + a j (x, u, t)] (3.10) comz =    2 j    ˙z 1 j ˙z   ITULO 3.

3.4 Resultados da Simula¸ c˜ ao

  Para melhorobservar o comportamento do seguimento de velocidade, a Figura 3.2 mostra, em uma escala ampliada, o intervalo de tempo em que o motor est´ a `a velocidade nominal, e ´e sujeito avaria¸c˜oes significativas no torque de carga. Verificamos que, apesar das perturba¸c˜oes de carga, 1808 Velocidade do motor e referência1804 1800 1802 1806 rpm 1792 1794 1796 179817901.52 tempo (s)2.53 Figura 3.2: Velocidade do motor e referˆencia (amplia¸c˜ao) a resposta dinˆamica ´e excelente, apresentando transit´orios de curt´ıssima dura¸c˜ao e amplitude, e erros de seguimento de referˆencia ´ınfimos, o que prova a robustez do controlador.

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