Princípio fundamental da contagem

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(1)

P r in c íp io fu n d a m e n ta l d a

c o n ta g e m

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Se existem x maneiras de se tomar uma decisão 0zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1e, para cada uma delas,ymaneiras de se tomar uma decisão02'então o número

de maneiras de tomarmossucessivamente as decisões01e02 é dado por x .y.

Esseprincípioéválido para qualquer número de decisõessucessivas.

F a to r ia l

o

fatorial de um número natural nz 2 éindicado por n! e definido como sendo o produto de n por todos os números naturais positivos que o antecedem.

n!=n ·(n-1)·(n-2) '".·1

P e r m u ta ç õ e s

Permutacões simules

o

número de permutações simples de n elementos distintosé indi-cado porPne dado porPn= n!.

o

número de permutações de n elementos tais que um ou mais deles são repetidos é indicado por Pnu,p, ... e dado por pll,!},,,. = __n!_.

n a!.(3!.".

Na indicação Pnu,p, ... ,a,(3,e assim por diante, representam as quantidades devezes que os elementos repetidos aparecem.

Para obter o número de permutações circulares dos n elementos, que indicamos por(PC)n' dividimos o número de permutações sim-ples por n.

(PC) =~=.Q!=n.(n-1)!

n n n n

(PC)n =(n-1)!

C o m b in a ç õ e s s im p le s

o

número de combinações simples de n elementos tomados p a p édado por:

cP n!

n p!.(n-p)!

A r r a n jo s s im p le s

o

número de arranjos simples de n elementos tomados p a pé dado por:

AP=_n_!_ n (n-p)!

B in ô m io d e N e w to n

1 0

ca

o

Triângulo de Pascaléformado pelos valores de (~ , organizados em linhas e colunas.

(0

°

(0 (1 1 1

(0 (1 (~

2 2

(0 (1

(~ (j 3 3

(~ (14 (24 (~ (44

(0 (1 (2

(~ (4 (5

5 5 5 5 5

(0 (1 (2

(~ (4 (5 (6

6 6 6 6 6 6

(~ (17 (~ (~

(j

(57 (67

(;

(0 (1 (2

(~ (4 (5 (c (7

(~

8 8 8 8 8 8 8

• Relação de Stifel

(~~i

+(~-1 =(~

• Soma dos elementos de uma mesma linha (~ + (~ + (~ + . " + (~ =2n

e

(x + y)n = x" + (~ . xn-1. y 1+ (~. Xn-2 . y2 + ... +

v"

ou

n

(X+y)"= L(~· xn-p.yp p=o

(2)

P r in c íp io fu n d a m e n ta l d a

c o n ta g e m

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1. Mariana tem em seu guarda-roupa 5 blusas, 4 saias e 6 sapatos. Determine de quantos modos ela pode

escolher uma peça de cada tipo.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

total de modos que Manana pode escolher uma peça de cada tipo é 5 . 4 . 6

=

120.

2. Existem 3 opções de rota para ir da cidade A até a cidade B e 5 opções de rota para ir da cidade B até a cidade C. Determine quantas maneiras existem de ir da cidade A até a C e depois retornar à cidade A, passando sempre pela cidade B, sem utilizar a mesma via duas vezes.

Como o caminho éde Ida e volta e respeitando a condiçao de que a via utilizada na ida nao pode ser utilizada na volta,

o total de possibilidades é

U' U -

120.

IDA VOLTA

3. Seis garotos, entre os quais estão Márcio e Carlos, vão disputar um campeonato de bolinha de gude. Sabe-se que, na classificação final, não existe empate. Um dos meninos presentes fez a seguinte aposta:

- Márcio não seria o campeão e Carlos não seria o últi-mo colocado.

Determine:

a) o total de possibilidades para a classificação do campeonato;

6 5· 4 . 3 2· 1 720possibilidades diferentes para a classificação dos 6 garotos.

b)

em quantas das possíveis classificações o garoto ganha a aposta.

. Do total de POSSibilidades, devemos oesconsicerar aqce'as em que Marcio éo campeao ou Carlos e c U:tl:T'O coiocado

Mareio éo campeao. M

Onúmero de possibilidades é 5 4 3 2 I 12C

Carlos éo último colocado. C O numero de possibilidades é 5 4 ::s 2· 1")

Em cada um dos doscasos artenores cortab zanosas classificações em que Márcio éocampeão e Ci.\r o r o li timo colocado e portanto devemos subtrair uma VEZ esse

iunero depossíb ucaoes

M C 4 3 2 1 24

Assim o número de possibi .daoes lavorave s o g-'c'

emsua aposta e.720 (120 12C 24 'iC4

Observação' outra possível maneira de OOtE o resuln

do c fixar a posição dE um dos dOi M!1r10 c Car :JS)

e calei, a os nuneros de oossc« danes tavorave Por exemplo, vamos fixar as posiçoes de M2 cç

EXistem 4 possibilidades para a posiçao de Canos

M 4 4J 2 1 96

c 1 3 1 ."

• t

EXistem 4 possimlidaões para a posiçac 1e Carlos

[M] ~ ~ 4 3 2 1 96

C rimars

Existern 4 posséíüoades para a posiçac de Carlos

J

[M] 4 4 3·2 1 .96

Existem 4 possibilidades para a POSIÇflOde Carlos M 4 4 3 2 1 96

Existem 5 pos Ibl Idades para a posição dO)Carlos

r M í ~3 2 1 120

de

.a

Assim, o número de possibilidades faoráv' ao qarnt em sua aposta e

(3)

4.

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACom os algarismos 1, 2, 3, 4 e 6, determine:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a ) quantos números de 4 algarismos podem ser

formados;zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

~ [Ç1

[Q][ill

5 . 5 . 5 . 5 ==625

b ) quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados;

LUM:cJ

[QJ ~

5· 4· 3 .2 ==120

c ) quantos números pares de 4 algarismos distintos podem ser formados;

Para satisfazer àcondição do item, o algarismo da unidade deve ser" par, portanto este só pode ser 2. 4 ou 6 (3 possi-bilidades) Assim'

UM

CllD [Q!

4 3 2·3 ==72

d ) quantos números de 4 algarismos podem ser

formados de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais.

Para solucionar esse. item, basta calcular o total de nú-meros de quatro algarismos possíveis de ser escritos e subtrair as possibilidades em que todos os algarismos são diferentes. Portanto:

UM C

º

JlJ

5 . 5 5· 5 ==625

LUM ~

&][ill

5 .4 . 3 .2 ==120

Assim, o total de possibilidades em que pelo menos dois algarismos são iguais é 625 - 120 =505.

5 .Um artesão confecciona tapetes listrados formados por 5 listras coloridas. Ele dispõe de listras com 4 cores di-ferentes. Sabendo que listras consecutivas não podem ter a mesma cor, determine:

a ) o total de modelos de tapetes possíveis;

Como listras consecutivas não podem ter a mesma cor. para a primeira. existem 4 possibilidades de cor: para a segunda. existem 3: para a terceira, existem 3 também, pOIS a cor que foi utilizada na primeira listra pode ser utilizada novamente: o mesmo ocorre com a quarta e a quinta listras. Portanto, existem 4 . 3 . 3 . 3 . 3 ==324 modelos de tapetes diferentes.

V O Il.1 It 1 1 ! E 7

b) Onúmero de tapetes em que a cor da primeira listra

éigual àda última;

Como a primeira listra precisa ter a mesma cor da última, a escolha da cor da primeira listra faz com que a última tenha somente uma possibilidade de cor, im-pedindo que ela seja utilizada na segunda e na quarta listras, ficando disponível somente para a listra do meio. Se essa listra tiver a mesma cor escolhida para as pontas, entre as 4 possíveis (A, B, C e D), ficam 3 opções para a segunda listra e3opções para a quarta listra:

I

A

I

B, C ou D

I

A

I

B, C ou D

I

A Portanto, existem 4 . 3 . 1 .3 .1 =36 modelos de tapetes diferentes nessas condições.

Se a listra do meio não tiver a mesma cor utilizada nas pontas, teremos 3opções para a segunda listra:

I

A

IB,COUDI

I

I-A-2opções para a do meio:

I

A

I

B

l-c

ou-D

I

I

A

E 2 opções para a quarta listra:

I

A

I

B

I

C

I

B ou D

I

A

Portanto, existem 4· 3 . 2 . 2 . 1=48 tapetes diferen-tes nessas condições.

Desse modo, o número de modelos diferentes com a cor da primeira listra igual à da última totaliza 36+48

=

84.

c ) O número de tapetes em que se utilizam somente duas cores.

Os tapetes que são confeccionados com 2 cores são aqueles em que a primeira, a terceira e a quinta listras devem ter uma cor e a segunda e a quarta listras devem ter outra cor. Portanto, existem 4 . 3 . 1 . 1 . 1 == 12 modelos de tapetes diferentes confeccionados com so-mente 2 cores.

6 .Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-Ios, determine:

a ) quantos números com 4 algarismos podemos formar;

Nesse grupo de algarismos, temos o zero, que não pode ser o algarismo da unidade de milhar, pois o número formado teria três algarismos, não quatro. Assim:

[QM]

[Ç]

[QJ

[ill

(4)

b)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAquantos números com 4 algarismos e múltiplos de 5 podemos formar;

Para que o número formado seja múltiplo de 5, o algaris-mo da unidade deve ser O ou 5. Há 2 casos a considerar: I. o número termina com O e, além disso, o O não pode

ocupar a posição da unidade de milhar.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

[QM] [Ç]

[Q]

[Q]

6 . 5 .4 .1

=

120

11.O número termina com 5. Nesse caso, o 5 e o O não podem ocupar a posição da unidade de milhar.

[Q'M]

[Ç]

[Q] ~

5 . 5 . 4 . 1 =,1 00

Portanto, existem 120 + 100 = 220 múltiplos de 5 com quatro algarismos.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c ) quantos números compreendidos entre 1 000 e 5 000 podemos formar;

o

algarismo da unidade de milhar só pode ser ocupa-do pelos algarismos 1, 2,3 ou 4. Assim:

[QM] [Ç] [Q] [ill

4 . 6 . 5 . 4 =480 números possíveis entre 1 000 e5 000.

d ) quantos números compreendidos entre 50 e 1 500 podemos formar.

Nesse item, temos 3 tipos de formação.

I. Números com 2 algarismos: o algarismo da dezena so pode ser ocupado pelos algarismos 5 ou 6.

[Q][ill

2·6 =12

Desse total, devemos desconsiderar o número 50. Por-tanto, tem-se 12 - 1 = 11 numeros com 2 algarismos

11. Números com 3 algarismos: o algarismo O não pore ocupar a posição da unidade de milhar.

[Ç][Q][ill

6·6, 5 = 180

111.Números com 4 algarismos: o algarismo da unidade de milhar só pode ser 1 e o algarismo das centenas tem que ser menor que 5.

[QM]

[g

[Q] [ill

1·4·5·4

=

80

Portanto, há um total de 11+ 180 +80 = 271 números possíveis entre 50 e 1 500.

(ACAFE - SC) Com base no texto abaixo, responda às questões 7 e 8.

o

sistema binário ou de base 2 é um sistema

de numeração posicional em que todas as

quantidades se representam com base em

dois números, ou seja, zero e um (O e 1)

Os computadores digitais. trabalham interna-mente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sisternabiná-rio (aceso, apagado). Corh efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálcu-lo, com o auxílio da lógica booleana. Em

com-putação, chama-se um dígito binário (Oou 1) de

bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupa-mento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits, ainda, é cha-mado de nibble.

[ ...]

O matemático indiano Pinga Ia apresentou

a primeira descrição conhecida de um

sistema numérico binário no século III a.C.,

representando os números de O a 7 com a

sequência (usando símbolos modernos) 000,

001,010, Oll, 100, 101, llO e lll.

r. ..]

Por exemplo, o número binário 101001l

representa o número decimal 83. É difícil

dizer imediatamente, por inspeção do número,

qual seu valor decimal. Entretanto, em alguns

minutos, usando os procedimentos descritos

anteriormente, pode-se prontamente calcular

seu valor decimal. A quantidade de tempo que

leva para converter ou reconhecer um número

binário é uma desvantagem no trabalho com

este código, a despeito das numerosas vantagens de "hardware".

r...]

O "American Standard Code for lnformation

lnterchange" comumente referido como

ASCII - também chamado ASCII completo,

ou ASCII estendido -, é uma forma especial

de código binário que é largamente utilizado

em microprocessadores e equipamentos de

comunicação de dados.

Um novo nome para este código que está

se tornando popular é "American National

Standard Code for Information Interchange"

(ANSCIl). Entretanto, utilizaremos o termo

consagrado, ASCII. Éum código binário que é

usado em transferência de dados entre

micro-processadores e seus dispositivos periféricos, e em comunicação de dados por rádio e telefone. Com 7 bits pode-se representar um total de [...].

(5)

7 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAÉ correto afirmar que os 7 bits do código ASCII permi-tem representar um total de:

a ) 256 caracteres diferentes.

b ) 64 caracteres diferentes.

c ) 1 024 caracteres diferentes.

xd ) 128 caracteres diferentes.

Como o sistema binário admite duas possibilidades de dígitos na sua formação (O ou 1), o total de

possibilida-des para o código de 7 bitszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

=

128caracteres diferentes.

8 . Como você viu no texto, o número binário 101 equi-vale ao número decimal 5. Para se fazer a conver-são do número binário (que consiste em um sistema numérico de base 2), você pode seguir o exemplo abaixo:

O número binário 101 em decimal é 1· 22+0.21 +1· 2° ,

ou seja, corresponde ao número decimal 5.

Assim, é correto afirmar que o código ASCII 1011 011 é equivalente ao número decimal:

a ) 113

x

b ) 9 1

c ) 45

d ) 5 4

o

código apresentado é:

1· 26+ O. 25+ 1· 24+ 1· 23 O. 22.•.i+-1 .2°

1· 64+0· 32 + 1· 16+ 1· 8+0· 4 + 1· 2+ 1· 1

64+0+ 16+8..-0+2+ 1=91

. 9 . (ENEM) No Nordeste brasileiro, é comum

encontrar-mos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de

diferen-tes cores, formando desenhos. Um

artesão deseja fazer peças com

areia de cores cinza, azul, verde e

amarela, mantendo o mesmo

de-senho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado

nas cores azul ou cinza; a casa,

V O I I A I I I t l E 7

,

nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é

a ) 6 ..

xb)7.

c ) 8.

d ) 9 .

e ) 10.

o

problema pode ser dividido em duas possibilidades. 1~) Se o fundo for azul, a casa poderá ser verde ou amarela e a palmeira poderá ser cinza ou verde, assim temos 1 . 2 . 2

=

4 possibilidades.

2~) Se o fundo for cinza, a casa poderá ser azul, verde ou amarela e a palmeira poderá ser somente verde, assim temos 1 . 3 . 1=3 possibilidades.

Portanto, o número de variações que podem ser obti-das para a paisagemé7.

1 0 .(ENEM) O código de barras, contido na maior parte

dos produtos industrializados, consiste num conjun-to de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Ouando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número O e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direi-ta irá ler: 01011010111010110001.

Se o leitor óptico for passado da direita para a esquer-da irá ler: 10001101011101011010.

No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual àda direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.

(6)

esquer-da para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas

as escuras, é:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a ) 14.

b) 12.

c ) 8.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x

d ) 6 .

e ) 4 .

A leitura do código de barras deve ser a mesma da es-querda para a direita e da direita para a eses-querda. Assim, a primeira barra deve ser igualàquinta e a segunda deve ser igualàquarta, ou seja, a partir do momento em que a primeira barraécolorida, a quinta só tem uma possibilida-de possibilida-de cor e o mesmo acontece com a quarta barra quando se colore a segunda. Assim, temos 2 . 2 . 2 . 1 . 1

=

8 possibilidades ao todo. Como não são considerados os códigos em que todas as barras são claras ou escuras, temos 8 - 2=6 possibilidades ao todo.

1 1 .No Brasil, as placas de automóveis são compostas de 3

letras das 26 existentes no nosso alfabeto associadas a 4 algarismos.

Com relação à composição dessas placas, assinale V se a afirmação for verdadeira e F se ela for falsa.

a ) (v) O total de placas possíveis é 263 .104.

b) (F ) O total de placas possíveis iniciadas por vogal é 5.263.103

.

c ) (v) O total de placas possíveis com letras e algaris-mos distintos é 78 624 000.

d ) (F) O total de placas possíveis, sendo todas as le-tras vogais, é 15.104

e ) (v) O total de placas possíveis compostas somente

de consoantes e algarismos primos é 28 .33 .73.

b) Falsa. O total de placas iniciadas por vogal é

5.262.104 .

d) Falsa. O total de placas possíveis, sendo todas as le-tras vogais,é 53.104 .

1 2 .(FAE - PR) Com os números 1, 2, 4, 5, 6 e 8,

quan-tos números de quatro algarismos distinquan-tos podemos formar, sabendo que o algarismo das unidades é um número primo?

a ) 60

b) 1.00

e ) 240

x

c ) 120

d ) 180

[QM][Ç]illJillJ

5 4· 3 2 = 120

o algansmo das Unidadeséum número pnmo: 2 ou 5

1 3 .(UEM - PR) Uma senha bancária é composta de 3 (três)

dígitos que podem variar de O a 9 (zero a nove). Assina-le o que for incorreto.

a ) Se uma possível senha é testada a cada segundo, então todas as possíveis senhas serão verificadas em menos de 17 minutos.

xb) Há mais de mil possíveis senhas distintas.

c ) Existem apenas 10 senhas com todos os dígitos idênticos.

d) Há 720 senhas com todos os dígitos distintos.

e ) Há 100 senhas identificadas com números menores que o número 100 (cem).

a) Correto. O número total de senhasé10 . 10 . 10

=

=1 000.

Como a cada segundoétestada uma senha, todas as senhas possíveis levarão 1 000 segundos

=

16 minutos e 40 segundos para ser testadas.

b) Incorreto. Há exatamente mil posslveis senhas distintas.

c) Correto. São 10 senhas com todos os dígitos idên-ticos: 000, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 ou 999.

d) Correto. O número total de senhas com todos os dígi-tos distindígi-tosé10 . 9 . 8=720.

e) Correto. O número total de senhas identificadas com números menores que o número 100é1 . 10 . 10=100.

1 4 .(UFPR) Numa certa rede bancária, cada um dos

(7)

cadastradas. Quantas senhas diferentes podem ser

compostas dessa forma?ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

S E N H A :

DD~DD

dígitos centrais

x a)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA106 - 12 · 104

b) 106 -12

c) 106-12.102

d) 104- 12 . 102

e) 104 -12

o

número total de senhas é 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 106 .

O número total de senhas que não atendem ao critério de segurança é

1010 12

---' os dOISdigltos centrais não podem corresponder aos

doze meses do ano

10·10= 12.104

Assim, o total de senhas possívei atendendo aos crité-rios de segurança é 106

- 12.104

15. (ENEM) A bandeira de um estado éformada por cinco faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura.

-I

A

B

C

D

E

Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam pintadas com a mesma cor. O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, é:

a) 1 . 2 . 1 . 1 . 2.

x

b) 3 . 2 . 1 . 1 . 2.

c) 3 . 2 . 1 . 1 . 3.

d) 3 . 2 . 1 . 2 . 2.

e) 3 . 2 . 2 . 2 . 2.

A

3

B C

2 1

D

E

1 2

Não pode ter a Não pode ter as cor de A. cores de A e B.

-

-Não pode ter as Não pode ter a cores de A e C cor deO

16.(ENEM) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, 11,

111, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro

quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que

VOIVlVYtE 7

podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito En-redo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento er:n que faltava somente a di-vulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.

Quesitos 1. Fantasia 2. Evolução 3. Enredo 4. Bateria e Alegoria e Conjunto e Harmonia Total

Jurado A B A B A B A B

Escola

6 7 8 8 9 9 8 55

I

Escola

9 8 10 9 10 10 10 66

"

Escola

8 8 7 8 6 7 6 50

111

Escola

9 10 10 10 9 10 10 68

IV

Escola

8 7 9 8 6 8 8 54

V

Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola li?

a) 21

b) 90

e)3 125

x c) 750

d) 1250

I. As escolas I,111e V não podem ser campeãs, pois o

núme-ro máximo de pontos que podem conseguir é 65, 60 e 64, respectivamente.

11.Em caso de empate da escola11com a escola IV no

que-sito Bateria, a escola11será campeã, pois ganha da escola IV no quesito Enredo e Harmonia.

111.A escola11será campeã se as pontuações de11e IVforem:

Escola11 Escola IV

10 8

10 7

10 6

9 7

9 6

8 6

IV.Em cada uma dessas 6 possibilidades, as outras 3 esco-las podem ser avaliadas de 5 possíveis maneiras. O número de configurações possíveis é: 6 . 5 . 5 . 5 = 750.

1 7 .(UERJ) Considere a situação abaixo:

Em um salão há apenas 6 mulheres e 6 homens que sa-bem dançar. Calcule o número total de pares de pessoas de sexos opostos que podem ser formados para dançar.

(8)

A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira, a segunda pessoa só poderá ser escolhida de 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primeira. Há, portanto, 12 x 6 =72 modos de formar um casal.

Essa solução está errada. Apresente a solução correta.

Há 6 possibilidades de escolher uma mulher e, para cada uma dessas escolhas, existem 6 possibilidades de escolher um homem.

Portanto, o número de maneiras distintas de formar um

ca-sal é dado por 6 . 6 = 36.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

F a t o r ia l

8 .Calcule o valor das seguintes expressões:

a ) 5! + 4! - 3!

5 . 4 . 3 . 2 . 1 + 4 . 3 . 2 . 1 - 3 . 2.' 1 120 + 24 - 6

138

2! ·1!

b )

Ü!

2!.1!=~=2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

O! 1

8!·10!

c ) 6! .12!

8·7·6!·10! 8·7 14

--=-6!12·11·10! 1211 33

50!+ 48!

d ) 48!

50·49·48!+48! 50.49+1=2450+1=2451

48! 1

100!-98!

e ) 98! + 99!

100·99·98!-98! 100·99-19900-19899

--=--98! + 99 . --=--98! 1+ 99 100 100

1 9 .Simplifique as expressões a seguir:

(k-3)!

a ) (k-4)!

(k-3)·(k-4)! =k-3 (k-4)!

(p - 3)!

b )

(p

-1)!

(p-3)! 1 1

(p-1),(p-2).(p-3)! (p-1),(p-2)- p2-3p+2

n!+(n-2)!

c )

(n

-1)!

n.(n-1).(n-2)!+(n-2)!_n.(n 1)+1 n2-n+1

(n-1).(n-2)! - (n 1) n-1

(n + 1)! + (n -1)!

d ) (n + 1)! - n!

(n + 1). n . (n - 1)! + (n -1)!

(n + 1).n- (n -1)! - n· (n -1)!

n2+ n+1 n2+ n + 1 n2 + n -n - n2

(n+1).n+1

(n + 1)' n - n

2 0 .Calcule o valor de n de modo que 5 000 < n!<5 500.

Para resolver esta questão, é possível fazer as multiplica-ções dos números naturais na ordem inversa àque usa-mos para desenvolver um fatorial, até chegar a um valor que pertença ao intervalo. Nesse caso, temos:

1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5040 , portanto n = 7.

'-""" 2

'----v--'

6 ~

24

'--v---'"

120 ~

720

M .\t E IN l& t ic & _ .•

~J

(9)

2 1 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAResolva as equações a seguir:

(x-6)!

a )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(x _

5)!=1

(x 6)!

(x 5)·(x-6)!

_1_=1 (x-5)

1= x-5

x=6

b ) (x - 2)!. (x -1)! =12· (x -4)!

{x

-1)!

(x- 2).(x-3) (x-4)!·(x 1)!=12·(x 4)1·(X 1)'

(x-2).(x-3) 12

x2 3x - 2x

-t-6 - 12 =o

x2 5x -6=0 a-1; b=-5;c--6

.~=(-5/ -4·1(-6)

~-25+24

~=49

-(-5)±J49

x=

----"---'---21 5±7

x=-2

5+ 7 12 5-7 -2

x,=-=-=6 ou x2=-= = 1

2 2 2 2

x não pode ser -1, pois x - 1, x - 2 e x - 4 resultariam em números negativos e fatorial sóédefinido para nu-meros naturais. Portanto, x = 6.

(n+1)! - n! ( )

c ) = n-1 !

7n

(n"'1) n(n-1)I-n(n-1)1=7n (n-1)!

(nt1). n - n - 7n

n2+n - n - 7n = O

n2-7n O

n (n - 7) = O~ n = O ou n = 7

n não pode ser zero, pois n - 1 resultaria em número negativo e fatorial sóédefinido para números natu-rais. Portanto, n = 7

VOIl.1WlE

7

2 2 . (UFAC) Seja n um número inteiro tal que satisfaz a

igualdade 7! = 8·(n -1)! - 720. Então, vale que:

a ) néum número natural maior que 10.

b ) néum número par.

x

c )

n

éum número ímpar.

d ) néum inteiro quadrado perfeito.

e ) néum número natural menor que 6.

7! 8·(n-1)!-720

5040 8·(n 1)1 720

5760 8·(n 1)1

[n 1)!=720

(n 1)! 61

n 1 6

n 7

P e r m u ta ç õ e s

2 3 . Considere a palavra BRINQUEDO e responda às

ques-.... tões propostas.

a ) Qual o total de anagramas possíveis de serem formados?

9 letras distintas. Pg- 9! 362880.

b ) Quantos dos anagramas iniciam com a letra R?

R

Ps 8! 40320

c ) Quantos dos anagramas iniciam e terminam com vogal?

vogal_ _ _ vogal

~-~~

4 P7 3

4P7·3 4·5040·3 60480

d) Quantos dos anagramas iniciam com consoante?

consoante ----...--- ~

5 P~

(10)

e )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQuantos dos anagramas têm as letras E, D e O jun-tas e nessa ordem?

Como as letraszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAE, D eO necessitam estar juntas e nes-sa ordem, elas devem ser consideradas uma única letra.

que associada às outras 6 letras da palavra, configura uma permutação de7letras.

P7-7!-5040

f) Quantos dos anagramas têm as letras E, D e O juntas?

As letrasE, DeOnecessitam estar juntas, mas não ne-cessariamente nessa ordem. Portanto, elas devem ser consideradas uma única letra, que, associada às outras6

letras da palavra, configura uma permutação de7 elemen-tos. Considerando as trocas possíveis entre as letrasE. D eO,temos uma permutação de3elementos. Chegamos à resposta multiplicando essas duas permutações:

P7· P3 7! .31 5040 6 30240

2 4 . Uma família pretende tirar uma foto com os seus seis

integrantes (pai, mãe e quatro filhos, todos posiciona-dos lado a lado, sentaposiciona-dos em um banco).

a ) De quantos modos diferentes os seis integrantes podem se posicionar para a foto?

P6 6!-720

b ) De quantos modos diferentes os seis integrantes podem se posicionar para a foto de tal forma que os filhos fiquem sempre entre o pai e a mãe?

pais pais

'-.--'--v----''-v--'

2 P

4 1

2· P4· 1 2· 24· 1 48

c) De quantos modos diferentes os seis integrantes podem se posicionar para a foto de tal forma que o pai e a mãe fiquem sempre juntos?

Como os pais têm que ficar juntos, eles devem ser con-siderados uma única pessoa, que, associada aos quatro filhos, configura uma permutação de5elementos. Mul-tiplicamos essa permutação pelas trocas possíveis entre o pai e a mãe, queéuma permutação de2elementos:

P~,P2-5!· 2!-120· 2 240

2 5 .(UFSCAR - SP) Cinco amigos, João, Pedro, Antônio,

Carlos e José, irão caminhar por uma trilha na mata, um atrás do outro, formando uma fila. Sabendo que João e

Pedro sempre ficam nas extremidades da fila, então, o número de maneiras diferentes de se formar essa fila é:

a ) 13.

x

b ) 12.

c ) 11.

d ) 1 0 .

e ) 9 .

Como João e Pedro devem ocupar as extremidades da fila. temos duas situações:

João Pedro ou Pedra João

1 . 3 2· 1 . 1+1 . 3· 2 . 1 . 1 = 6+6 = 12.

Portanto, o número de maneiras diferentes de formar essa filaé12.

2 6 .(UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de

segun-da a sexta-feira, estas cinco ativisegun-dades:

a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola;

b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;

c) passeia com o cachorro da família;

d ) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; e) rega as plantas do jardim de sua casa.

Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá--Ias em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco ativida-des, em ordem diferente, é:

a ) 24

x

b ) 6 0

c ) 72

d ) 120

Ototal de maneiras de realizar as atividadesa, b, c, de e deve respeitar a condição de que a atividadednão pode acontecer antes da atividade a. Assim, temos as seguintes possibilidades:

ª

---1 . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 .

_ .L _ _ __ (a atividade dnão

3 . 1 . 3 . 2 . 1 = 18 pode ocupar a primeira posição)

- -

ª---

(a atividade dnão

3 2 1 2 =12 pode ocupar as

duas primeiras posições)

a,

(a atividade dnão

3 2 1 . 1 1 =6 pode ocupar as três

primeiras posições)

(11)

2 7 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(UFMG) Permutando-se os algarismos do núme-ro 123456, formam-se números de seis algarismos. Supondo-se que todos os números formados com es-ses seis algarismos tenham sido colocados numa lista em ordem crescente,

a) determine quantos números possui essa lista.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

total de permutações:

P6= 6! = 720 números diferentes.

b ) determine a posição do primeiro número que come-ça com o algarismo 4.

Os números são escritos em ordem crescente. Números iniciados por 1: 1 ~ Ps= 5! = 120

'--v--'

Ps

Númerosiniciados por2: 2 ~ Ps = 5! = 120

'--v--'

Ps

Números iniciados por 3: 3 ~ Ps= 51= 120

'--v--'

Ps

Assim, a posição do primeiro número que inicia com o algarismo 4é

120 + 120 + 120 + 1 = 361°.

c ) determine a posição do primeiro número que termi-na com o algarismo 2.

Os números são escritos em ordem crescente.

O primeiro número que termina com o algarismo 2 é 134562.

Números iniciados por 1 e com o 2 ocupando a casa da dezena de milhar: 12 ~ P4= 4! = 24

~

P4

Números iniciados por 1 , com o 3 ocupando a casa da dezena de milhar e com o 2 ocupando a casa da unida-de unida-de milhar: 132 ~ P3=3!=6

••...

P3

Números iniciados por 1, com o 3 ocupando a casa da dezena de milhar, com o 4 ocupando a casa da unidade de milhar e com o 2 ocupando a casa da centena:

1342 __--...- ~ P2=2!=2

P2

Números iniciados por 1, com o 3 ocupando a casa da -dezena de milhar, com o 4 ocupando a casa da unidade de milhar, com o 5 ocupando a casa da centena e com o 2 ocupando a casa da dezena: 13452:;: ~ P1= 1! = 1

P1

Assim, o número 134562 ocupa a 34~ posição (24 + 6 + + 2 + 1 + 1

=

34)

V O llA lI1 .1 E 7

28.

Todos os anagramas possíveis com as letras da pala-vra MARES foram organizados em ordem alfabética. Determine:

a ) a posição do primeiro anagrama que inicia com a letra S;

As palavras são escritas em ordem alfabética. Anagramas iniciados por A: A ~ P4= 4! = 24

~

P4

Anagramas iniciados por E: E ~ P4= 4! = 24

'---.,r--'

P4

Anagramas iniciados por M: M ~ P4= 4! = 24

'--v---'

P4

Anagramas iniciados por R: R .:: ~ P4=4! = 24

'---.,r--'

P4

Assim, a posição do primeiro anagrama que inicia com a letra S ocupa a ª7~ posição (24 + 24 + 24 +24 + 1

=

97).

b) a posição ocupada pelo anagrama RESMA;

As palavras são escritas em ordem alfabética. Anagramas iniciados por A: A ~ P4=4! = 24

'--v---'

P4

Anagramas iniciados por E: E ~ P4= 4! = 24 ~

P4

Anaqrarnas iniciados por M: M ~ P4= 4! = 24

'---.,r--'

P4

Anagramas iniciados por RA: RA ~ P3= 3! = 6

~

P3

Anagramas iniciados por REA: REA __---,...~ P2=2! = 2

P2

Anagramas iniciados por REM: REM __ ~ P2=2! = 2

---,...

P2

Anagramas iniciados por RES: RES __ ~ P2= 2! - 2

---,...

P2

No último caso, temos os anagramas R E S A M eR E S M A ,

assim, a palavra RESMA ocupa a 84~ posição (24 +24 + + 24 + 6 + 2 + 2 + 2 = 84)

c ) Oanagrama que ocupa a 60? posição.

As palavras são escritas em ordem alfabética. Anagramas iniciados por A: A ~ P4= 4! = 24

'---.,r--'

P4

Anagramas iniciados por E: E ~ P4= 4! = 24

'---.,r--'

(12)

Anagramas iniciados por MA: MA ~ P3=3!=6

~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

P3

Anagramas iniciados por MEA: MEA __ ~ P2=2!=2

'-v-'

P2

Anagramas iniciados por MER: MER __ ~ P2=2!=2

'-v-'

P2

Anagramas iniciados por MES: MES __ ~ P2=2!=2

'--v-' P2

No último caso, temos os anagramasZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAM E S A R eM E S R A .

Assim. a palavra MESRA ocupa a 6(Y.' posição (24 + 24 + + 6 + 2 + 2 + 2

=

60).

,29.

Considere a palavra GARGAREJO.

a ) Quantos são os anagramas dessa palavra?

9 letras, sendo 2 letras A, 2 letras G e 2 letras R. p,2,2,2__ 9_!_

9 - 21. 2! 2!

2.22 987·6543 2! 9·876543 45360

Pg =

=---2·1·2·12! 21'21

A palavra GARGAREJO tem 45 360 anagramas.

b ) Quantos são os anagramas dessa palavra que ini-ciam pela letra A?

Como a palavra deve iniciar com a letra A, sobram 8 letras para permutar, sendo 2 letras G e 2 letras R:

p'2.2_~ 8 - 2! .2!

~2 8.7.6.5.4.3.21 8·7·6·5·4·3 10080

~ =

=---2·1·2! 2·1

30.

Considerando a equação x+y +Z+W =20, com x, y, z e

w

naturais, responda às questões propostas,

a ) Qual o total de soluções da equação?

Podemos representar uma solução usando "bolinhas" e "sinais de mais". Por exemplo, as soluções 4 + 7 + 6 + 3 e 8 + O + 7 + 5 são representadas por:

4 + 7 + 6 + 3: •••• + ••••••• + ••••••.•.•• •

8 + O + 7 + 5: •••••••• + + ••••••• + •••• •

Cada sequência de bolinhas e sinais de mais corres-ponde a uma solução da equação. Assim, a quantidade de soluções é dada pelo número de permutações de 23 símbolos, sendo 20 bolinhas e 3 sinais de mais.

20.3 23! 23·22·21·20! 23·22·21 1771

P23

=---20!·3! 20!·3·2·1 3·2·1

b) Supondo que y seja igual a 4, qual o total de solu-ções possíveis para a equação?

Como y

=

4, a equação fica x + 4 + z +w

=

20 e, as-sim, x + z + w

=

16. Podemos representar uma solução usando "bolinhas" e "sinais de mais". Por exemplo, as soluções 8 + 2 + 6 e O + 4 + 12 são representadas por: '8+2+6: •••••••• + • • + • • • • • •

O + 4 + 12: + •••• + • •••••••••••

Cada sequência de bolinhas e sinais de mais corres-ponde a uma solução da equação. Assim, a quantidade de soluções é dada pelo número de permutações de 18 símbolos, sendo 16 bolinhas e 2 sinais de mais.

p16,2_~_18.17.16!_18.17 -153 18 -16!.2! - 16!·2·1 - 2.1

-3 1 .No plano cartesiano abaixo, temos os pontos A, B e C.

y

8

C

7 -

--

--+--6 .8

5

-+--4

L.

---L-o 5 8 x

-

+-2

-+---+---A

3 4

a ) Movendo-se apenas sobre as linhas do quadricula-do, de quantas maneiras diferentes é possível ir do ponto A ao ponto C deslocando-se ou para a direita ou para cima?

Podemos indicar um caminho com uma sequência de letras H ouV , em que H corresponde a deslocar-se na horizontal e V na vertical. Para ir de A(O, O) até C(8, 8), é necessário deslocar-se 8 unidades na horizontal e 8 na vertical. Assim, um possível caminho pode ser indicado porVVHVHVH H HVVHVHVH.

Portanto, a quantidade de caminhos é dada pelo número de perm utações dessas 16 letras (H e V aparecem oito vezes cada uma).'

8.8 16! 16 ·15.·14 ·13 ·12 ·11·1 0·9· 8! P16

=--=---8!·8! 8!·8·7·6·5·4·3·2·1

(13)

b )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBANas mesmas condições do item anterior, de quantas

maneiras diferenteszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAépossível ir do ponto A ao ponto C passando necessariamente por B?

1" Etapa: ir de A até B.

Para ir de A(O,O) até B(5, 6), é necessário deslocar-se 5 unidades na horizontal e 6 na vertical. Assim, um pos-sível caminho pode ser indicado por VVVVVV H H HH H. Se mudarmos a sequência, teremos um novo caminho. Portanto, a quantidade de caminhos é dada pelo número de permutações dessas 11 letras (a letra H aparece 5 vezes e a letra V aparece 6 vezes).

5,6 11! 11· 10· 9· 8· 7· 6! 11· 10· 9· 8· 7

P" =~-- =462

5!· 6! 5· 4· 3· 2· 1· 6! 5· 4· 3· 2· 1

2" Etapa: ir de B até G.

Para ir de B(5, 6) até C(8, 8), é necessário deslocar-se 3 unidades na horizontal e 2 na vertical. Assim, um possí-vel caminho pode ser indicado por HHV HV.

Se mudarmos a sequêncta.terernos um novo caminho. Portanto, a quantidade de caminhos é dada pelo número de permutações dessas 5 letras (H aparece 3 vezes e V aparece 2 vezes).

3.2 5! 5· 4· 3! 5· 4 .

P5 =--=--= -=10

3!· 2! 3! 2· 1 2· 1

Assim, o total de caminhos possíveis para ir de A até G, passando necessariamente por B, é igual a462 . 10 = = 4 620.

3 2 .

Desenvolvido em 1835, pelo pintor e inventor Samuel Finley Breese Morse, o Código Morse é um sistema binário de representação a distância de números, letras e sinais gráficos, utilizando-se de sons curtos e longos, além de pontos e traços para transmitir mensagens.

Esse sistema é composto por todas as letras do alfabeto e todos· os números. Os caracteres são representados por uma combinação específica de pontos e traços [...

l

FRA CISCO, Wagner de Cerqueira e. CódigoMorse. Disponível em: <http://brasilescola.uol.com.br/geograha/codigo-morse.h[lTl.>. Acesso em: 23 dez. 2015.

Considerando o exposto no texto e um conjunto de sinais composto de 2 traços e 3 pontos, determine quantas mensagens podem ser representadas:

V O Il- 1 IN lE 7

a ) usando exatamente quatro símbolos do conjunto;

I.Podemos criar mensagens com dois traços e dois pon-tos. Nesse caso, temos a permutação de 4 elementos, sendo eles dOIStraços e dois pontos.

22 4! 4· 3· 2! 4· 3

P4' =-- ---=--6

2!· 2! 2· 1· 2! 2· 1

li. Podemos criar mensagens com um traço e três pontos. Nesse caso, temos a permutação de 4 elementos, sendo eles um traço e três pontos.

p3=~= 4· 3!=4

4 3! 31

Portanto, o total de mensagens possíveis utilizando 4 ele-mentos do conjunto é 6+4=10.

b) usando todos os elementos do conjunto;

Com dois traços e três pontos, temos a permutação de 5 elementos com repetição.

2.3 5! 5· 4· 3! 5· 4

P5 =-- ---=-=10

2!· 3! 2· 1· 3! 2· 1

c ) usando, no máximo, três elementos do conjunto.

I.Podemos ter mensagens com um único elemento do conjunto. Nesse caso, temos somente 2 possibilidades: 1 traço ou 1ponto.

li. Podemos ter mensagens com dois elementos do con-junto. Nesse caso, temos 4 possibilidades:H; (- -); (.-);

(-').

111. Podemos ter mensagens com três elementos do

con-junto. Nesse caso, temos 7 possibilidades: (...); (.._); (._.);

(_..);(.- -); (_._); (--').

Portanto, o total de mensagens possíveis utilizando, no máximo,3elementos do conjunto é:2+4+7 = 13.

3 3 .Um cartomante vai organizar sete cartas de baralho

uma ao lado da outra, formando uma fila. Sabendo que três das cartas são valetes exatamente iguais e que as outras quatro são reis distintos, responda às questões propostas,

a ) Ouantas filas distintas de sete cartas podem ser formadas?

Permutação de 7 cartas com repetição de 3 valetes.

pi

= ~ = 7 · 6· 5· 4· 3!= 7 · 6· 5· 4=840

(14)

b)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEm quantas filas não aparecem reis um ao lado do outro?

Indicando os três valetes porzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJe os quatro reis porK1, K2, K3eK4,temos K1JK2JK3JK4como uma das

possibilidades. Os valetes não podem sair dessas posi-ções, pois os reis não podem estar um ao lado do outro. Portanto, há somente a permutação dos 4 reis distintos:

P4=4!=24ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 4 .Oito pessoas, entre eles Helena e Ricardo, dispõem-se ao redor de uma mesa redonda para uma reunião.

a ) De quantas formas as oito pessoas podem se dispor

à mesa?

(PC)8=(8-1)!

(PC)8=7!

(PC)8= 5 040

Ou seja, existem 5 040 maneiras diferentes de as oito pessoas se disporemàmesa.

b) Suponha que Helena e Ricardo precisam sentar-se juntos, pois apresentarão projetos desenvolvidos em conjunto. De quantas formas as oito pessoas podem dispor-se à mesa respeitando essa condição?

Como Helena e Ricardo precisam se sentar juntos à

mesa, consideramos os dois uma única pessoa. Utili-zamos, então, uma permutação circular de7 elemen-tos multiplicada pela quantidade de trocas que Helena e Ricardo podem fazer entre si (permutação simples de 2 elementos).

(PC)7 . P2= (7 - 1)! . 2!

(PC)7 'P2=6!· 2!

(PC)7 'P2=720· 2

(PC)7 . P2= 1440

Ou seja, existem1 440 maneiras diferentes de as oito pessoas se organizaremàmesa de modo que Helena e Ricardo fiquem juntos.

3 5 .(FUNCAB - RJ) João vai jogar o jogo das argolas. O

jogo contém cinco argolas idênticas que devem ser lançadas em um dos cinco pinos de maceira, conforme a figura abaixo.

Considerando que João acertará cada argola lançada em um dos pinos, determine de quantas formas distin-tas as argolas poderão ficar alocadas nos pinos após

os cinco lançamentos feitos por João. Tome, por exem-plo, todas em um único pino, ou três em um pino e duas em outro, ou, ainda, uma argola em cada pino e assim por diante.

x

a ) 126.

b) 114.

c ) 55.

d ) 84.

e ) 120.

Podemos representar as argolas como "bolinhas" e as separações dos pinos como "barras". Assim:

• / • / • / • /. representa uma argola em cada pino; •• / / / •• /. representa duas argolas no primeiro pino, duas no quarto pino e uma no quinto pino;

/ / / / ••••• representa as cinco argolas no quinto pino. Cada sequência de bolinhas e barras corresponde a uma organização das argolas nos pinos. Assim, a quantidade de formas distintas de disposição das argolasé dada pelo número de permutações de 9 símbolos, sendo 5 bolinhas e 4 barras.

5,4 9! 9· 8· 7· 6· 5! 9· 8· 7· 6

Pg = -- = = = 126

5!· 4! 5!· 4· 3· 2· 1 4· 3· 2· 1

C o m b in a ç õ e s s im p le s

3 6 .De quantas formas diferentes uma garota pode

combinar 4 das 12 pulseiras que possui para colocá-Ias em seu braço?

A quantidade de opçõesédada pelo número de combina-ções simples das12pulseiras tomadas 4 a 4.

c4

=

c8

= 12 11· 1 0· 9 = 495 12 12 4.3.2.1

Portanto, a garota pode fazer a escolha de495 maneiras.

37.Numa confeitaria, são vendidos cupcakes de 6 tipos diferentes: maçã com canela, cenoura com chocolate, fubá com glacê, morango, limão siciliano e dois amo-res. Paulo quer presentear sua mãe com 3 cupcakes

de sabores diferentes e, chegando àloja, ficou em dú-vida sobre quais sabores escolher. Determine:

a ) de quantas formas distintas ele pode escolher os

cupcakes entre os sabores disponíveis;

A quantidade de formas édada pelo número de combi-nações simples dos 6 tipos decupcakestomados 3 a 3.

C~=6 . 5 . 4=20 3 · 2· 1

Portanto, Paulo pode fazer a escolha dos 3 tipos de

(15)

b)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAde quantas formas diferentes ele pode escolher os

cupcakes, supondo que sua mãe não gosta de bolo de maçã com canela;

A quantidade de formas é dada pelo número de combi-nações simples dos 5 tipos decupcakes restantes to-mados 3 a 3.

CzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA3-C2 _ 5·4·3 -10 5-

5-3.2.1

-Portanto, há 10 maneiras de fazer a escolha.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c ) de quantas formas diferentes ele pode escolher os

cupcakes, supondo que o bolo de morango será um dos escolhidos.

A quantidade de maneiras de fazer a escolha,nessecaso, é dada pelo número de combinações simples dos 5 tipos de

cupcakesrestantes tomados 2 a 2, uma vez que um será de morango.

2 3 5·4

C5=C5 =-=10 2·1

Portanto, há 10 maneiras de fazer a escolha.

3 8 .Considere 10 crianças, sendo 4 meninos, entre eles

Rafael, e 6 meninas. Determine quantos grupos dife-rentes podem ser formados com 4 crianças, incluindo Rafael e pelo menos uma menina.

Como Rafael ocupa uma vaga, existem 3 vagas disponíveis no grupo. Assim, temos 3 modos de completar o grupo: 1~) 2 meninos e 1 menina

C~. C~=3 . 6=18 2~) 1 menino e 2 meninas

C~. C~.=3 . 15 = 45

3~) 3 meninas C~=20

Assim, o total de grupos que podem ser formados, contendo pelo menos uma das meninas e Rafael, é 18 + 45 + 20 = 83.

Também é possível encontrar essa resposta retir-andodo total de grupos possíveis, em que Rafael já está presente, o úni-co que não nos interessa, ou seja, o grupo formado pelos 4 meninos.

C~- 1= 84 - 1= 83

3 9 .Obtenha o número de diagonais de um dodecágono

regular.

Podemos resolver o problema fazendo a combinação dos 12 vértices do cocecáqono tomados 2 a 2, subtraindo da resposta as 12 situações em que os vértices são consecu-tivos e formam os lados do dodecágono.

C~2-12 = 12·11 - 12 = 66 - 12 54

2 · 1

Assim, o dodecágono regular tem 54 diagonais.

VOIL.1~E7

4 0 .(PUC-Campinas - SP) O cientista John Dalton é

bastan-te conhecido pelas suas contribuições para a Química e a Física. Descreveu a forma e o uso de vários instru-mentos de meteorologia, fazendo considerações sobre a variação da altura barométrica. Além disso, Dalton descreveu uma doença hereditária que o impossibilita-va de distinguir a cor verde da vermelha. Essa doença hereditária, causada por um alelo recessivo ligado ao cromossomo X, recebeu o nome de daltonismo.

• Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De quantas maneiras distintas pode-se selecionar 4 pessoas desse grupo, de maneira que haja pelo menos um daltônico entre os es-colhidos?

x

a ) 140

b) 240

c ) 285

d ) 336

e ) 392

Aqui, o caminho mais fácil é calcular o total de combina-ções de 10 pessoas tomadas 4 a 4 e subtrair os grupos que não têm nenhum daltônico (nesse caso, a combinação de 8 pessoas tomadas 4 a 4).

C;o-C:

= 10·9·8· 7 8· 7 ·6·5 =210-70=140 4·3·2·1 4·3·2·1

Assim, existem 140 grupos nos quais pelo menos uma pessoa é daltônica.

4 1 .Um professor de História, desenvolvendo seu projeto

de pesquisa, recebeu recursos financeiros para visitar 5 dos 10 museus listados a seguir.

Museu Oscar Niemeyer- PR Museu do Prado- Espanha

Museu Imperial - HJ Museu do Louvre- França

Museu do Ipiranga- SP British Museum - Inglaterra

Museu HistóricoNacional- RJ Museu Egípcio- Egito

Instituto Ricardo Brennand Museu Nacionalde História

- PE Natural- EUA

Ele estabeleceu algumas condições para escolher os museus a serem visitados:

- visitará 3 museus brasileiros e 2 museus

internacionais;

- não deixará de visitar o Museu Oscar Niemeyer.

(16)

Como o Museu Oscar Niemeyer será visitado obrigatoria-mente, há 4 a serem escolhidos entre os 9 restantes. Para encontrar a resposta, utilizaremos a combinação dos 4 mu-seus brasileiros restantes tomados 2 a 2 e a dos 5 mumu-seus internacionais tomados 2 a 2.

CzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2.C2=~. 5·4 =60 4 s 2.1 2.1

Portanto, nessas condições, o professor tem 60 possibili-dades de escolha.

42. Dos 20 alunos de uma classe, 5 serão escolhidos para participar de uma viagem de intercâmbio. Rober-to só irá se Antônio não for. Respeitando a condição apresentada, determine de quantas formas poderá ser formado o grupo de estudantes que realizará o intercâmbio.

Como a única condiçãoéque Roberto e Antônio não viajarão juntos, basta excluir do total de combinações de 20 alunos tomados 5 a 5 os grupos em que os dois rapazes estejam, ou seja, a combinação de 18 alunos tomados 3 a 3 (duas vagas já estão ocupadas pelos dois rapazes).

S 3 20 . 19 . 18 . 17 . 16 18 . 17 . 16

C20-C18=

----5·4·3·2·1 3·2·1

= 15504 - 816 = 14688

Portanto, nessas condições, existem 14 688 grupos possíveis para o intercâmbio.

43. Um salão tem 7 conjuntos de lâmpadas com interrupto-res individuais. Para conter gastos em energia elétrica, mais de 4 conjuntos não podem estar acesos ao mesmo tempo. Determine de quantas formas diferentes o galpão pode ser iluminado, sabendo que' pelo menos um dos conjuntos de lâmpadas sempre deve estar aceso.

Aqui, temos a condição de que pelo menos um grupo de lâmpadas deve estar aceso e não mais do que 4 grupos. Dessa forma, temos a combinação dos 7 grupos de lâmpa-das acesos 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3 ou 4 a 4.

1 2 3 4 7·6 7·6·5 7·6·5·4

c7+ C7+ C7+ C7= 7 + - + -- + -- =

2·1 32·1 4·3·2·1

= 7 +21+35+35 = 98

Portanto, existem 98 formas diferentes de manter de 1 a 4 grupos de lâmpadas acesas.

44. (FUVEST - SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhi-dos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos?

a) 360

b) 420

c) 540

d) 600

x e) 640

Como a condição éque haja pelo menos um alimento não perecível e um produto de limpeza, basta excluir do total de combinações de 13 produtos tomados 4 a 4 aqueles grupos em que há somente alimentos não perecíveis ou . somente produtos de limpeza.

4 4 4 13·12·11·10 8·7·6·5

C13-C8

-c

s = - -5=

4·3·2·1 4·3·2·1

=715-70-5=640

Portanto, existem 640 tipos de sacolas possíveis com pelo menos 1 alimento não perecível e 1 produto de limpeza.

45. (UFMT) Braille éOsistema de leitura e escrita mais uti-lizado pelos deficientes visuais em todo mundo. Esse método tátil consiste em pontos em relevo, dispostos de maneiras diferentes para cada letra do alfabeto, nú-meros, símbolos e pontuação.

A unidade de leitura onde são assinalados os pontos para representar cada algarismo édenominada CELA. A figura abaixo ilustra uma CELA.

r-,..

,..r-r-,..

Admita que na ilustração abaixo estão as representa-ções dos algarismos da base decimal nesse sistema.

1 121 3 I 4 I 5

6 171 8 I 9 I o

A partir das informações acima, quantas celas distin-tas, no sistema Braille, podem ser assinaladas com 1, 2,3 e 4 pontos e não representam algarismos da base decimal?

a)78

b) 109

c) 380

x

d) 46

e) 506

Os seis pontos da cela podem ser tomados 1 a 1, 2 a 2,

3a3ou 4 a 4.

1 2 3 4 6·5 6·5·4 65·4·3

C6+C6 +C6 +C6 =6+-+--+--=

2·1 3·2·1 4·3·2·1 = 6 + 15 + 20 + 15 = 56

(17)

46. (UEL - PR) Um professor entrega 08 questões aos alu-nos para que, em uma prova, escolham 05 questões para resolver, sendo que duas destas questões são obri-gatórias. Ao analisar as provas, o professor percebeu que não havia provas com as mesmas 05 questões. Assim, é correto afirmar que o número máximo de alu-nos que entregou a prova é:

a) 6zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x

b) 20

c) 56

d) 120

e) 336

Duas questões são obrigatórias, restando, portanto, 6 questões para que os alunos escolham 3 entre elas.

C~= 6·5·4 =20 3·2·1

47. (UFJF - MG) Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram que o número de maneiras possíveis de es-colher pelo menos 3 cobaias é:

a) 10.

x

b) 16.

c) 50.

d) 120.

e) 60.

3 4 5 5·4·3

Cs+Cs+Cs= -- +5+1= 1o+5 + 1= 16 3·2 ·1

Portanto, existem 16 formas diferentes de escolher pelo menos três cobaias.

48. (UFMG) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe--se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?

a) 70 c) 45

b)35 xd)55

Como a única condiçãoéque Gustavo e Danilo não par-ticiparão da comissão juntos, basta excluir do total de combinações de 8 pessoas tomadas 4 a 4 os grupos em que os dois rapazes estejam, ou seja, a combinação de 6 pessoas tomadas 2 a 2 (duas vagas já estão ocupadas pelos dois rapazes).

cri

-C~ = 8·7·6·5 -~=70-15=55. 4·3·2·1 2·1

Portanto, nessas condições, existem 55 grupos possíveis para a comissão.

VOIl.1W1E 7

49, (UFAL) O diretor de um departamento de uma empre-sa quer selecionar equipes formadas por 5 pessoas entre seus 12 empregados (que são 5 homens e 7 mulheres). Quantas equipes ele poderá formar se cada equipe deve conter pelo menos um homem e pelo me-nos uma mulher?

x a) 770

b) 760

c) 750

d) 740

e) 730

I.

o

número total de equipes sem a restriçãoé:

5 12·11·10·9·8 C'2= 5.4.3.2.1 =792

11. O número de equipes formadas somente por homens

é C~=1.

111.Onúmero de equipes formadas somente por mulheres

• 5 2 7·6 e C7=C7 =-=21.

2 ·1

Portanto, o número de equipes contendo pelo menos um homem e pelo menos uma mulheré792 -1 - 21

=

770.

50. (UERJ) Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela:

quantidade de figurinhas idênticasZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

- - -l

-time/escudo

A

B

C

D

T

E

3

2

G

Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com cinco dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos seguintes critérios:

- duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo;

- três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e também das outras duas.

De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos distintos entre si que podem ser formados é igual a:

a) 32

x

b) 40

c) 56

(18)

Paraformar o conjunto de acordo com os critérios esta-belecidos, as duas figurinhas com mesmo escudo serão ou do time A ou do time B. As outras três deverão ser escolhidas entre os seis times restantes em cada caso. Assim, o número de conjuntos distintos que têm duas figurinhas do time A mais três figurinhas dos demais

times é:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

C~=6.5.4 =20 3· 2· 1

O número de conjuntos distintos que têm duas figuri-nhas do time B mais três figurifiguri-nhas dos demais times

é:

C~=6.5.4 =20 3· 2· 1

Portanto, o número máximo de conjuntos que podem ser formados atendendo aos critérios indicados é

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