Soluções Numéricas de EDO’s

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  Soluções Numéricas de EDO’s Prof. Dr. Leandro Blass Prof. Dr. Anderson Bihain

  Modificado de (Amintas Paiva Afonso) Equações Diferenciais  Equações contendo derivadas são equações diferenciais.

  corrente elétrica em circuitos , a dissipação de calor em objetos sólidos , a propagação e detecção de ondas sísmica , o aumento ou diminuição de populações , o movimento de fluidos , entre outros.

   É necessário conhecer equações diferenciais para:

  • Compreender e investigar problemas envolvendo o fluxo de

  

 Note que toda a parte do cálculo chamado de cálculo de

  primitivas compreende a determinação de soluções de uma equação diferencial.

  Equações Diferenciais

  Você aprendeu, em cálculo, que a derivada 

  dy/dx de uma y = (x)

  função  é em si uma outra função  . 2

  ’(x) 0 x

  1 ,

   (- , )

  A função é diferencial no intervalo   , e a sua

  ye , x 2 2

  1 0 x ,

  1

  derivada é . Se substituirmos no lado

  dy dx 2 xe /  , e

  direito da derivada pelo símbolo y , obteremos

  dy (1)

  

2 xy

 0, dx y = (x)

  Como resolver essa equação na função incógnita   ?

  A equação construída em (1) é chamada de equação diferencial. 

  Definição de Equação Diferencial Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de 

uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais

variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED).

  Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equações  diferenciais por tipo, ordem e linearidade. Classificação quanto ao Tipo

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): se a função

desconhecida depende de uma única variável independente.

  Neste caso, aparecem apenas derivadas simples.

  2 dy x d y dy dx dy

   5 ye ,   y

6 ,

  2 x y    (2)

  2 dx dx dx dt dt

  

Equações Diferenciais Parciais (EDP): se a função

desconhecida depende de diversas variáveis independentes.

  Neste caso, aparecem as derivadas parciais.

  2

  2

  2

  2  uuuuu u v

   

  

2

  ,   , (3)

   

  2

  2

  2

  2  txyxt

   yx Classificação de Equações Diferenciais Notação de Leibniz:

  ,... , , 3 3 2 2 dx y d dx y d dx dy

  Notação linha: ```,... ``, `, y y y

  Notação de Leibniz: Notação linha:

,

x e y dx dy

    5 ,

  6 2 2    y dx dy dx y d y x dt dy dt dx

    

  2 , ` x

   e y y 5 , ` ``

  6    y y y

  A notação linha é usada somente para denotar as três primeiras derivadas; a quarta derivada é escrita como y

  (4)

  , em vez de

  y’’’’. Classificação de Equações Diferenciais

Sistema de equações diferenciais: se existem duas ou mais

  funções que devem ser determinadas, precisamos de um sistema de equações.

  

Uma solução de um sistema como (8) é um par de funções

diferenciais x =1 (t), y =2 (t) , definidas em um intervalo comum I , que satisfazem cada equação do sistema neste intervalo.

  ) , , ( y x t f dt dx

  ) , , ( y x t g dt dy

  (8) Classificação de Equações Diferenciais

Notação ponto de Newton: é às vezes usada em Física ou

Engenharia para denotar derivadas em relação ao tempo.

  Assim sendo, a equação diferencial

  32

  2

  2   dt s d torna-se

   32  s 

Derivadas parciais são geralmente denotadas por uma

notação em subscrito. Assim sendo, a equação diferencial t tt xx u u u

  2   torna-se

  , t u t u x u

     

     

  2

  2

  2

  2

  2 Equações Diferenciais Ao estudar alguns fenômenos, é difícil estabelecer 

diretamente a relação de dependência entre uma

variável independente e uma dependente . x y

  Todavia, é mais fácil estabelecer a relação entre  (n) e as derivadas x (x) .

  , y y’(x), y’’(x), …, Y

Esta relação constitui uma equação diferencial.

   •

  Note que a grande maioria dos fenômenos físicos é modelada através de equações diferenciais. Equações Diferenciais Equação diferencial: 

  • é uma equação envolvendo uma função desconhecida e algumas de suas derivadas.

  Equação diferencial ordinária de ordem  n :

  n (n)

  • equação que envolve derivadas até a ordem da forma

  (n-1) Y (x) = f(x, y(x),

  (x)) y’(x), y’’(x), …, Y a ≤ x ≤b.

  

Ordem: a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que

aparece na equação.

  Exemplos: ,

  3  x 5  dx dy

  1 2 2 3 3 4 4      y dt dy dt y d dt y d dt y d

  Classificação por Ordem

É uma equação diferencial de segunda ordem.

x e y dx dy dx y d

      

  

  4

  5

  3

  2

  2 segunda ordem primeira ordem Classificação por Ordem

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são

  ocasionalmente escritas na forma diferencial

  M(x, y) dy + N(x, y) dx = 0 Por exemplo, supondo que seja a variável dependente em y (y - x) dx + 4x dy = 0, então y’ = dy/dx

  Portanto, dividindo pela diferencial , obtemos a forma alternativa dx

  4xy’ + y = x Classificação por Ordem

  Geralmente a equação (n)

  ) = 0 (4) F(y, y’, y”, ..., y n

  é uma equação diferencial ordinária de ordem em uma variável dependente.

  Onde F é uma função de valores reais de n + 2 variáveis, x, y, (n) (n) n n , e onde y = d y / dx .

  y’, ..., y Por razões práticas e teóricas, também consideraremos n d y n

  

  1 ( n )

yf x y y y y n ( , , ,' " ,..., ) (5) dx Classificação por Ordem

Quando servir aos nossos propósitos, usaremos a forma normal

  

2

d y

  e

  2 dx dx

  f x dy  ( y , )  f ( x , y , y ' )

  para representar equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem.

  Por exemplo, a forma normal da equação de primeira ordem

  é 4xy’ + y = x y’ = (x – y)/4x Classificação por Linearidade Equações Lineares e não-lineares: A equação diferencial

  (n ) F x y y y

  ( , ,' " ,..., )  (4) (n-1) É dita linear se F é uma função linear das varáveis y, y’, y”,..., y n

  

Assim a equação diferencial ordinária linear geral de ordem é

( n ) ( n 1 ) a x ya x y    a x ya x yg xn n ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( )

  1

  1 n n

  1 d y d y dy a x a xa x a x y g x

  ( )  ( )   ( )  ( )  ( ) n n (6) n n

  1

  1

  1 dx dx dx Classificação por n n Linearidade

  1 d y d y dy

  (2 ) a xa x    a xa x yg x

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n

  1

  1 n n

  1 dx dx dx

  

Em (2) observamos as duas propriedades características de

uma equação diferencial linear:

  2) Cada coeficiente depende no máximo da variável independente x . As equações diferenciais ordinárias lineares abaixo são, respectivamente, de 1ª, 2ª e 3ª ordem.

  3 d y dy x

    5 

  (y - x) dx + 4x dy = 0, y’’– 2y’ + y = 0 e x y e

  3 dt dx Classificação por Linearidade Equações não-lineares: Uma equação diferencial ordinária não-linear é simplesmente uma que não é linear.

  

A equação diferencial que não é da forma (1) é uma equação

t

  4 não-linear. Exemplo: y e y yy t

  ' ''  2 "  ' 

Funções não-lineares da variável dependente ou de suas derivadas,

y’

como ou , não podem aparecer em uma equação linear.

seny e

  Assim sendo, Termo não-linear Potência diferente de 1 Termo não-linear Termo não-linear Coeficiente dependente de y Função não-linear de y

  4

  2 d y

  2 x d yy

   seny  , ( 1  y ) y '  2 ye ,

  4

  2 dx dx Solução de uma EDO Definição: Toda função  , definida em um intervalo I que tem 

  I

  pelo menos derivadas contínuas em , as quais quando

  n

  substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem

  n

  reduzem a equação a uma identidade, é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo.

  

Em outras palavras, uma solução de uma equação diferencial

n n ordinária de ordem (4) é uma função  que tem pelo menos derivadas e para qual (n)

  F(x, (x),   (x)) = 0 para todo x em I.

  ’(x), ..., Soluções Soluções: Uma solução da equação (n) (n-1) y = f (x, y, y`, y``, ..., y ) em < x <

    (n) `, ``, ...

  é uma função  tal que    existem e satisfazem (n) (n-1)

   (x) = f [x, (x), `(x), ``(x), ... (x)]

  para todo x em  < x < 2

  0 x ,

  1 Em nossa discussão introdutória, vimos que é uma , 2 ye 1 x

  (- , ) solução de no intervalo   . dy / dx  , 2 xe Verificação de uma Solução

Exemplo 1: Verifique se a função indicada é uma solução da

equação diferencial dada no intervalo (- , ).

    1/2

  4 x

  a) b)

  dy/dx = xy ; y = x /16 y’’ – 2y’ + y = 0; y = xe

Solução: Uma maneira de verificar se a solução dada é uma

solução é observar depois de substituir, se ambos os lados da

equação são iguais para cada x no intervalo. 1/2 4

  a) dy/dx = xy ; y = x /16 dy

  1 3

  1 3 lado esquerdo:

   4 xx .

    dx

  16

  4 1 / 2

  1

  1

  1 1 / 2

   

4 2 3 lado direito: xyx xx xx

  

  .  

  16

  4

  4

    Verificação de uma Solução

  Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (- , ) . 1/2 4   a) dy/dx = xy ; y = x /16

  dy

  1 3

  1 3 lado esquerdo: x x

   4  .

    dx

  16

  4 1 /

2

  1

  1

  1 1 / 2     4 2 3 lado direito:

  

  

xy xxx .  xx

  16

  4

  4     Vemos que ambos os lados são iguais para cada número real x. 1/2 2 Note que y = ¼ x é, por definição, a raiz quadrada não negativa 4 de 1/16 . x Verificação de uma Solução

  Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (- , ). x   b)

  y’’ – 2y’ + y = 0; y = xe

x x x x

Das derivadas + e e + 2e , temos, para x

    y’ = xe y’’ = xe x x x x x lado esquerdo: yyyxeexexe

  2 '' ' ( 2 ) 2( e ) lado direito:

  

Observe que neste exercício, cada equação diferencial tem a

< x < . Uma solução de uma solução constante y = 0, -  

equação diferencial identicamente nula no intervalo I é chamada

de solução trivial.

  Curva Integral

O gráfico de uma solução  de uma EDO é chamado de curva

integral. Uma vez que  é uma função diferenciável, ela é

contínua no intervalo de definição I . Assim sendo, pode haver uma função função diferença entre o gráfico da  e a solução da  . função

  

Posto de outra forma, o domínio da  não precisa ser

igual ao intervalo I de definição (ou domínio) da solução.

  O exemplo 2 ilustra a diferença.

  Domínio versus intervalo I de Definição

Exemplo 2: O domínio de y = 1/x é  - {0} . A função racional y = 1/x , é

descontínua em zero. A função não é diferenciável em x = 0 , uma vez que

o eixo y (cuja equação é x = 0 ) é uma assíntota vertical do gráfico.

  Entretanto, é também solução da y = 1/x equação diferencial linear de primeira ordem . (verifique) xy’ + y = 0 Mas quando afirmamos que é uma y = 1/x solução dessa ED, queremos dizer que é uma função definida em um intervalo no qual é

  I diferenciável e satisfaz a equação.

  Portanto, tomamos I como sendo ou O gráfico ilustra as (-, 0) (0,). duas curvas integrais.

  Domínio versus intervalo I de Definição Exemplo 2:

  (a) Função y = 1/x, x 0 (b) Solução y = 1/x, (0, )

  Soluções Explícitas e Implícitas

Solução Explícita: É quando numa solução a variável dependente

é expressa somente em termos da variável independente e das

constantes. 4 x e y = x /16 , y = xe y = 1/x são soluções explícitas de 1/2 dy/dx = xy , e y’’ – 2y’ + y = 0 xy’ + y = 0

y = 0

  

Além disso, a solução trivial é uma solução explícita de

todas as três equações.

  Soluções Explícitas e Implícitas Solução Implícita: Dizemos que uma relação G(x, y) = 0

  é uma

solução implícita de uma equação diferencial (4) , em um intervalo

I, quando existe pelo menos uma função

   que satisfaça a relação, bem como a equação diferencial em

  I .

  Exemplo 3: A relação x 2 + y 2 = 25 é uma solução implícita da ED y x dx dy

    no intervalo -5 < x < 5 . Por diferenciação implícita, obtemos

   ) ,..., " ,' , ( ) (n F y y y x

  (4)

  25 2 2 dx d y dx d x dx d

    ou

  2

  2   dx d y x Soluções Explícitas e Implícitas Exemplo 3: Uma solução implícita e duas explícitas de y’ = - x/y

  (a) Solução implícita (b) Solução explícita (c) Solução explícita 2 2 2 2 x + y = 25            y 25 x 5 x 5 y 25 x 5 x

  5 1 , 2 , Uso de computadores na solução de EDO Exercícios destinados a Laboratório de Computação. 

  Use um SAC (Sistema Algérico Computacional) para computar todas as derivadas e fazer as simplificações necessárias à constatação de que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada. (4) 5x

  1) y cos 2x

  • – 20 y’’’ + 158y’’ – 580y’ + 841y = 0; y = xe
  • 3 2 cos( 5 ln x ) sen ( 5 ln x ) y  20 

      3 2) x y’’’ + 2x y’’ + 20xy’ - 78y = 0; x x Equações Diferenciais Ordinárias

      A solução de :

      (5’)

       (n) (n-1)

    • y

      (x)) (5) (x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y a ≤ x ≤b.

    • é qualquer função y = F(x) que é definida em [1, b] e tem n derivadas neste intervalo e que satisfaz (5) .
    • Se a função é de uma só variável, então a equação se chama ordinária.
    • As equações que estabelecem relações entre uma variável e

      depende de duas ou mais variáveis independentes e as derivadas (agora parciais), são chamadas de equações diferenciais parciais. Solução de uma EDO  Na solução de uma EDO, dois caminhos podem ser seguidos:

    • Método analítico: O que tenta levar à uma solução exata do problema
    • Método numérico: O que encontra uma solução aproximada.

       Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f(x,y)

      é encontrar uma função y = F(x) que satisfaça a equação dada.

       Por exemplo, dada equação diferencial y’ = f(x,y) = 2x + 3

      , sua solução é obtida por:

    • + 3x + C
      • y = ∫(2x+3)dx = x
      • 2

         R tem uma solução particular). A figura 1 (próximo slide) mostra algumas soluções para C = 0 , C = 2 e C = 4 .

      • Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C
      Solução de uma EDO Representações de soluções particulares, para alguns valores de C , da função y = x 2 + 3 x + C . Figura 1 C = 0 C = 2 C = 4 x y

        Note que à medida que C varia, tem-se uma família de soluções. Solução de uma EDO Para determinarmos uma solução específica é necessária a atribuição do

      valor de y em um dado x. Em outras palavras, deve ser dado um ponto ( x = a ,

      y = s ) por onde a solução particular deve obrigatoriamente passar.

        O processo para encontrar esta solução específica y da equação y =

      f ( x, y ) com y ( a ) = s, onde a e s são dados numéricos, é chamado

      de problema de condição inicial.

        Assim, podemos particularizar a solução do problema anterior atribuindo-lhe, por exemplo, a seguinte condição: Logo, a solução geral é dada por

      y

        = x 2 + 3 + C, e a particular será dada por y ( 0 ) = 0 = 0 2 + 3 0 + CC = 0. Ou seja, y = x 2 + 3 x .

             

          ) (

        3

        2 y x dx dy x Definindo as condições iniciais Para especificar uma das curvas que formam a família de

        

      soluções, é preciso impor condições adicionais na função y.

      Essas condições são da forma:

        y(a) = , , , (a) = (2) 1 y’(a) = 2 y’’(a) = 3 … , y n

      • (n-1)
      • Que são chamadas de condições iniciais.

        O problema (1) com as condições iniciais (2) é chamado de 

      problema de valor inicial ou problema de condições iniciais.

        (n) (n-1) y (x) = f(x, y(x),

        (x)) com a y’(x), y’’(x), …, y ≤ x ≤b (1) Definindo as condições iniciais O problema geral de primeira ordem é escrito como:

        

      y’(x) = f(x, y(x)), y(a) = com a ≤ x ≤ b (3)

      • ou

        dy/dt = f(t, y(t)), y(a) = com a ≤ t ≤ b Um problema de valor inicial de ordem n é escrito como: 

        

      (n-1)

      y (x) = f(x, y’, y’’, …, y ), a ≤ x ≤b (4a)

      • (n)

        y(a) = (a) = (4b) , y’(a) = , y’’(a) = ,… , y

      • (n-1)

        1

        2 3 n Condições de contorno Juntamente com o problema de valor inicial, podemos ter  problemas com condições de contorno, isto é:

        Além da condição no início do fenômeno, temos também uma  condição a atingir no fim do fenômeno.

        EXEMPLO: condição de contorno de segunda ordem é escrito como (5) y’’(x) = f(x, y, y’’) , a ≤ x ≤ b com y(a) = , y(b) =

        1

        2 Usando símbolos diferentes e , onde e são

        Exemplo 2: As funções x = c cos4t x = c sen4t c c

        1

        2

        1

        2

      constantes arbitrárias ou parâmetros, são ambas soluções da

      equação diferencial linear . x’’ + 16x = 0 Para x = c cos4tsen4t e cos4t . x’ = - 4c x’’ = - 16c

        1

        1

        1 Substituindo e x , obtemos x’’ cos4t + 16c cos4t = 0 x’’ + 16x = - 16c

        1

        1 Para x = c sen4t sen4t

        e, portanto,  x’’= - 16c

        2

        2 sen4t + 16c sen4t = 0 x’’ + 16x = - 16c

        2

        2

      É fácil constatar que a combinação linear de soluções, ou a família

      a dois parâmetros x = c cos4t + x = c sen4t é também uma

        1

        2 solução da equação diferencial. Verificação de uma Solução Uma solução de uma equação diferencial na incógnita y e na

      variável independente x no intervalo  é uma função y(x) que

      verifica a equação diferencial identicamente em todo x em  .

        Exemplo 3: Tem-se que y(x) = C 2 sen(2x) + C 2 cos(2x) é uma solução de y’’ + 4y = 0. Isso pode ser visto através da substituição de y(x) na equação original. Assim: y’(x) = C 1

      cos(2x) - C

      1 sen(2x) y’’(x) = -4C 1 sen(2x) - 4C 2 cos(2x) y(x) + 4y = (-4C 1 + 4C 1 )sen(2x) + (4C 2 - 4C 2 )cos(2x) = 0

        Sistema de Equações Diferenciais Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte

         forma geral:

      • (x) = f (x, y , y , y , ) y’ … y
      • 1 1 1 2 3 n<
      • (x) = f (x, y , y , y , ) y’ … y
      • 2 2 1 2 3 n (6a
      • a

        … ≤ x ≤ b

      • (x) = f (x, y , y , y , ) y’ n n
      • 1 2 3 … y n<
      • Sujeito a y (a) =  , k = 1(1)n (6b) k k
      • Onde f , f , são funções de n + 1 variáveis.
      • 1 2 1n &hell
      • Nota: se o problema (6a) tem solução, então ele tem, em geral, várias soluções (uma família de soluções). Com as condições (6b), temos o problema do valor inicial.

        Sistema de Equações Diferenciais

       As soluções do problema (6a) são derivadas da solução de uma

      única equação. Resolvendo o problema (6), podemos resolver o

      problema (4), utilizando mudanças de variáveis. Assim, basta definir

      um conjunto de n funções y

        1 , y

        2 , …, y n , da seguinte forma:

      • y
      • 1 (x) =
      • y
      • 2 (x) = y&rsqu

        (x) = y (n-1) (x)

      • y n
      • Então (4a) pode ser escrita como:
      • y

        (n) (x) = f(x, y

        1 , y

        2 , … y n ). (8a) (7) Sistema de Equações Diferenciais Diferenciando (7), obtemos: 

        (8b)

      • (x) = y (x) y’

        1

        2 (x) = y (x)

      • y’

        2

        3 … •

      • y (x) = y (x)

        n-1 n

      • De onde obtemos para (4) um sistema de equações diferenciais. As condições iniciais de (4b) tornam-se as condições iniciais do sistema.
      • y’’’(x) = xy’(x) + e

      • Fazendo a mudança de variáveis, obtemos:
      • y’

      • y’
        • 1

      • y’

        2

      (0) = 0, y

        1 (0) = 1, y

        y

        2

        1 (x) + x

        2 (x) + e x y

        3 (x) = xy

        2 (x) = y

        3

      (x) 0 ≤ x ≤ 1

        2 (x)

        1 (x) = y

        (0) = 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = -1

        2 + 1 0 ≤ x ≤ 1 y

        x y(x) + x

         EXEMPLO:

        

      Sistema de Equações

      Diferenciais

        1 (0) = -1

      Uso de computadores na solução de EDO

        Um computador pode ser uma ferramenta extremamente útil  no estudo de equações diferenciais.

        Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo para 

      solucioná-las como, por exemplo: o método de Euler e o de

      Runge-Kutta.

        Além disso, há excelentes pacotes (software) de solução 

      numérica que podem ser aplicados a diversos problemas

      matemáticos. Exemplo: Matlab, Mapple, Mathematica, Scilab.

      Algumas questões relevantes

        Uma equação diferencial sempre tem solução?  (existência) Quantas soluções tem uma equação diferencial dada  que ela tem pelo menos uma? Que condições adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma única solução? (unicidade) Dada uma ED, podemos determinar, de fato, uma  solução? E, se for o caso, como? Equações Diferenciais de Primeira Ordem

        A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é

        

      dy/dx = f (x,y) (i)

        Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça essa equação para todo t em um dado intervalo é uma solução desta equação.

        t

        Exemplo:

        y’ = 2y + 3e

        Serão estudadas três subclasses de equações de primeira ordem: as equações lineares; as separáveis e as equações

        exatas.

        Equações Lineares

        Se a função f em (1) depende linearmente de y, então ela é chamada de uma equação linear de primeira ordem. Um exemplo com coeficientes constantes é

        dy/dt = - ay + b, onde a e b são constantes dadas.

        Substituindo os coeficientes a e b por funções em t, temos a forma geral da equação linear de primeira ordem

        dy/dt + p(t)y = g(t), onde p e g são funções dadas da variável independente t. Equações Lineares Exemplo: Considere a equação diferencial dy/dt + 2y = 3. Encontre sua solução.

        Solução: Temos que dy/dt = -2y + 3 ou dy/dt = -2

        y - 3/2 ln |y - 3/2| = -2t + c

        Logo,

      • - 2t y = 3/2 + ce

        Se g(t) = 0, então a equação é dita equação linear homogênea.

      Fator integrante

        

      Consiste em multiplicar a equação diferencial por uma

      determinada função (t) de modo que a equação resultante

      seja facilmente integrável.

        

      Exemplo: Considere a equação dy/dt +2y = 3. Assim

      podemos ter (t) dy/dt + 2 (t) y = 3 (t)

      Vamos tentar encontrar (t) de modo que a expressão

      anterior tenha a esquerda do sinal da igualdade a derivada

      de (t) y.

        Assim, d[(t) y]/dt =(t) dy/dt + d(t)/dt y .

      Fator integrante

        Comparando com a equação anterior temos que as duas primeiras parcelas são iguais e que as segundas podem ficar desde que (t) seja tal que d (t) /dt = 2 (t) Logo [d (t) /dt] / (t) = 2 Donde d [ln| (t)|] / dt = 2 O que nos leva ao resultado 2 t ln |(t)| = 2t +c ou (t) = c e que é um fator integrante para a equação dada. Como não queremos um caso mais geral, tomamos 2 t

        (t) = e Fator integrante

        Logo, a equação dada, fica:

        2 t 2 t 2 t e dy/dt + 2 e y = 3 e

        2 t 2 t Ora, d (e y)/dt = 3 e

        2 t 2 t

      • 2 t Então e y = (3/2) e + c, donde y = (3/2) + c e .

        que é a mesma solução encontrada anteriormente.

        Em várias equações pode-se ter fator integrante como a t

      em dy/dt + ay = b, o fator será (t) = e basta apenas fazer as devidas substituições de a e b. Fator integrante

        Exemplo : Resolver a seguinte equação diferencial com condição inicial

      • –2t y ` + 2y = te , y(1) = 0.
      • 2 t

          Solução: Temos (t) = e 2 t 2 t Logo e y` + 2y e = t 2 t (e y)` = t 2 t 2 e y = (t /2) + c. Aplicando a condição inicial, y(1) = 0,

          Obtemos c = ½. E finalmente, a resposta 2

        • –2t

          y = (e /2) (t

        • – 1)
        Fator integrante

          Escolha de (t) dy/dt + p(t)y = g(t) (t) [dy/dt] + (t) p(t)y = (t) g(t) o segundo termo do lado esquerdo é igual a derivada do primeiro [d(t)] /dt = p(t) (t), supondo que (t) &gt; 0 {[d(t)] /dt} / (t) = p(t) então ln (t) =  p(t)dt + c, escolhendo c = 0, temos (t) que é a função mais simples, ou seja,

           p(t)dt

          (t) = exp [ p(t)dt] = e Fator integrante Exemplo: Seja dy/dt + y/2 = 2 + t. t /2

        Temos então a = 1/2, logo (t) = e .

        t /2 t /2 t /2 Então d[e y]/dt = 2 e + t e .

          Temos, integrando por partes, t /2 t / 2 t /2 t /2 e y = 4 e + 2t e - 4 e + c, Como c é constante, temos

        • t / 2

          y = 2t + c e

        Equações separáveis

          A equação geral de primeira ordem é dy/dx = f(x,y) que pode ser colocada na forma M(x,y) + N(x,y)dy/dx = 0 Onde M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1.

          Porém se M depende apenas de x e N apenas de y, ela pode ser escrita como M(x) + N(y)dy/dx = 0. Esta equação é dita separável, pois se for escrita na forma diferencial

        Equações separáveis

          M(x)dx + N(y)dy = 0 Então as fórmulas envolvendo cada variável pode ser separada pelo sinal da igualdade.

          Exemplo: Considere a equação diferencial y` = -2xy.

          Então podemos fazer y`/y = -2x e daí 2 ln|y| = - x + c,

          2

          2

          logo para cada c R temos duas soluções: - x + c - x + c y1 = e e y2 = - e

        Equações exatas

          Uma equação na forma M(x,y) + N(x,y) y` = 0 é uma equação exata em R (uma região) se, e somente se, M (x,y) = N (x,y) em cada ponto de R. y x Exemplo: Verifique se a equação 2 (x + 4y)y` + (2xy + 1 ) = 0 é exata.

          Solução: Neste caso, M(x,y) = 2xy +1 e 2 N(x,y) = x + 4y.

          Logo M = 2x e N = 2x, donde M = N e consequentemente ela é y x y x exata.

          Equações exatas

        Teorema 2.6.1: Suponha que as funções M, N, M , N são

        y x contínuas na região retangular R:  &lt; x &lt;  e  &lt; y &lt; . Então a equação M(x,y) + N(x,y)y` = 0 é uma equação exata em R se, e somente se, M (x,y) = N (x,y) (1) em cada ponto de y x

          

        R. Isto é, existe uma equação  satisfazendo as equações

         (x,y) = M(x,y),  (x,y) = N(x,y) se, x y e somente se, M e N satisfazem a equação (1).

        Equações exatas

          As vezes é possível transformar uma equação diferencial que não é exata em uma exata multiplicando-se a equação por um fator integrante apropriado. Isto é, determinar uma função (x,y) tal que (M) = (N) seja uma equação exata. y x Exemplo: A equação xy` - y = 0 não é exata. 2 Porém se multiplicarmos por 1/x = (x,y), temos 2 y`/x - y/x = 0 que é exata. 2 Facilmente podemos ver que M(x,y) = - y/x 2 N(x,y) = 1/x e que M = - 1/x = N y x

        Equações exatas

          Exemplo: Resolva a seguinte equação diferencial 2 2 2 (3x - x + 3) dy = 0.

        • – 2xy +2 ) dx + (6y Solução: Temos M (x,y) = -2x = N (x,y). Logo exata. y x

          Assim existe uma  (x, y) tal que 2 2 2

          (x, y) = 3x (x, y) = 6y - x + 3 x – 2xy +2 ,  y 2 Integrando a  (x, y), temos  (x, y) = (3x 3 2 x

        • – 2xy +2) dx = x y +2x + h(y).
        • – 2 x
        • 2 2 2 Fazendo  = N, temos - x - x + 3 y 2 + h’(y) = 6y 3<

          • 3 donde h(y) = 2y + 3y e por fim h’(y) = 6y
          • 3 2 3  (x, y) = x y +2x + 2y + 3y = c.

          • – 2 x
          Equações exatas

            Fatores integrantes para equações exatas Podemos multiplicar M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 por uma função  e depois tentar escolhê-la de modo que a equação resultante (x,y) M(x,y) dx + (x,y N(x,y)dy = 0 seja exata. Sabemos que ela será exata se, e somente se, (M) = (N) . Assim, y x ela deve satisfazer a equação diferencial M  - N  + (M )  = 0. y x y x – N Vamos determinar as condições necessárias sobre M e N de modo que a equação dada tenha um fator integrante  dependendo apenas de x.

            Equações exatas

            (M) = (N) , (N ) = N + N[(d )/dx] y x x x Logo, para que (M) seja igual a (N) , é necessário que y x d )/dx = [(M ) / N] . y x – N Se [(M ) / N] depende somente de x, então existe um fator y x – N integrante  que depende apenas de x também.

            Exemplo: Determine o fator integrante e resolva a seguinte equação diferencial dx

          • – 2xydy = 0. Solução: Temos que M = 1 e N = –2xy.

            Logo M = 0 e N = -2y e, como são diferentes, a equação dada y x não é exata.

            Vamos então determinar o fator que a torna exata.

            Equações exatas

          Temos (M ) / N = (0 + 2y) / (-2xy) = - 1 / x.

          • – N

            y x

          • – lnx Logo  (x,y) = exp  (-1/x)dx = e = 1/ x.

            Assim temos dx /x = 2y dy Donde  dx /x =  2y dy

            2 E conseqüentemente ln|x| - y + c = 0.

          Existência e unicidade de solução

            Teorema 2.4.1: (Existência e Unicidade) Se as funções p e g são contínuas em um intervalo aberto I :  &lt; t &lt;  contendo o ponto t = t então existe uma única função 0, y = (t) que satisfaz a equação diferencial y` + p(t)y = g(t) para cada t em I e que também satisfaz a condição inicial y(t ) = y , onde y é um valor inicial arbitrário prescrito.

          Existência e unicidade de solução

            Exemplo: Determine um intervalo no qual a equação 2 ty` + 2y = 4t e y(1) = 2 tem uma única solução.

            Solução: y` + (2/t) y = 4t Assim, p(t) = 2 / t e g(t) = 4t e consequentemente g(t) é contínua para todo t e p(t) contínua para t  0.

            Logo, para t &gt; 0 contém a condição inicial, dando o intervalo procurado 0 &lt; t &lt; . 2 2 A solução é y = t + 1 / t , t &gt; 0.

            .

            Existência e unicidade de solução

            Teorema: 2.4.2: Suponha que as funções f e f/y são contínuas em um retângulo  &lt; t &lt;   &lt; y &lt;  contendo o ponto (t e o o , y ). Então em algum intervalo t + h contido em  &lt; t &lt; , o o – h &lt; t &lt; t

            Existe uma única solução y = (t) do problema de valor inicial y’ = f(x,y) e y(t ) = y o o 2 Exemplo: Resolva o problema de valor inicial y’ = y e y(0) = 1 e determine o intervalo no qual a solução existe.

            Existência e unicidade de solução

            2 Solução: Pelo teorema 2.4.2 temos f(x,y) = y e f/y = 2y contínuas em todo ponto de R. 2 2 Logo a solução dy/dt = y dy/ y = dt, logo

          • – 1 -y = t + c e y = 1 / (t+c).

            Como y(0) = 1, temos y = 1 / (1 - t) que é a solução. Portanto a solução existe apenas em -  &lt; t &lt; 1.

            Referências HOPCROFT, J. E.; ULLMAN, J. D. Introdução à Teoria de

          Autômatos, Linguagens e Computação. Rio de Janeiro:

          Campus, 2002.

            MENEZES, P. F.; DIVÉRIO, T. A. Linguagens Formais e Autômatos, Porto Alegre: Sagra-Luzzatto, 2001.

            PAPADIMITRIOU, C. H.; LEWIS, H. F. Elementos de Teoria da Computação. Porto Alegre: Bookman, 2000.

            GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, Rio de Janeiro: LTC, 1995.

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