MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Maria de Fátima Aleixo de Luna

  

Estudo das Trajetórias Hipotéticas da Aprendizagem de

Geometria Espacial para o Ensino Médio na Perspectiva

Construtivista

  

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

2009

  

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Maria de Fátima Aleixo de Luna

  

Estudo das Trajetórias Hipotéticas da Aprendizagem de

Geometria Espacial para o Ensino Médio na Perspectiva

Construtivista

  Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do Professor Doutor Armando Traldi Junior.

  

São Paulo

2009

  

Banca Examinadora

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

  

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

  

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

  

À memória de meu avô Manoel Luiz

Batista, por suas grandes histórias, fé e

perseverança.

  Muitos foram os momentos de ausência, mas nunca permitimos estranhamentos. Ao contrário, nos momentos mais difíceis, vocês me retribuíram além de flores, o mais importante: sorrisos e abraços! Demonstraram maturidade, em uma fase de muitas transformações em nossas vidas.

  A meus queridos, Stéfano e Luna

  A meu esposo Jeferson Marcial, pela compreensão e apoio a continuação de meus estudos.

  A GRADECIMENTOS

  O presente trabalho é fruto de vivência pessoal e profissional. Diante deste fato, muitas pessoas contribuíram para minha formação. Na impossibilidade de registrar todos os agradecimentos, deixo meu cordial:

  Muito obrigada! Há pessoas que não poderiam deixar de ser citadas, pois estiveram diretamente envolvidas na construção deste projeto que contribuíram significativamente em mais de uma etapa de minha vida. A Deus, pela vida e, por sempre apresentar caminhos que me levam a continuar na fé, vencer os desafios, inclusive o de vivenciar um curso de mestrado (não foi fácil, mas não impossível).

  Ao prof. Dr. Armando Traldi Júnior, orientador e cooperador, que soube ser paciente e dedicado sem perder o rigor, compreendendo minhas limitações, acreditando que elas poderiam ser aprimoradas (muitos foram os “nãos”, porém essenciais à minha formação acadêmica).

  À Profa. Dra. Célia Maria Carolino Pires e ao Prof. Dr. Armando Traldi Junior pela coordenação do grupo de pesquisa responsável pela inserção de meu trabalho no projeto, por proporcionar discussões e sugestões que serviram de crescimento, aprendizado e incentivo à realização deste estudo.

  Um especial agradecimento aos colegas do curso de mestrado, pela colaboração e incentivo nos momentos mais difíceis. A Márcia Maioli, por suas sugestões e paciência em observar as atividades.

  À Profa. Dra. Rosa Monteiro Paulo e ao Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud, por aceitarem o convite para participar da banca examinadora e por suas valiosas contribuições, enriquecendo o estudo. À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, pela bolsa concedida, tornando realidade um desejo antigo.

  Ao corpo docente do Curso de Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, pelo empenho e dedicação profissional. Serão eternamente lembrados. Ao secretário Francisco Olímpio da Silva, por sua organização e atenção as nossas solicitações.

  Aos docentes, estudantes e equipe gestora da EE Prefeito Nestor de Camargo, que carinhosamente me permitiram adentrar em seu espaço escolar e vivenciar com eles o desenvolvimento desta pesquisa. A meus pais, Felisbela e Alfredo, meus pilares de apoio.

  A meus irmãos: Mardônio, César, Manoel, João e Bruno, por compreenderem as constantes ausências e pela torcida. A meus sogros, Cacilda e Aristides, minha permanente gratidão pelo esmero com meus tesouros: Stéfano e Luna.

  A meu querido amigo Américo Augusto Barbosa, que constantemente me apoiou, com palavras de incentivo e esperança. Aos valiosos amigos, Expedito e Valdeci, pela dedicação e paciência ao saberem tolerar as lamentações emergidas de meus desabafos.

  Aos professores que ao longo desta jornada tive o prazer de rever: Maria Jesuína Moreira da Costa e Wladimir Nascimento da Silva; e a tantos outros que conheci: Desiree Ziglio, Heliel Ferreira dos Santos, Maria Geovane Queiroz Bispo, Paulo de Melo Pereira e Oliveira da Silva Reis.

  A extinta EE “Professor Taro Mizutori” e a todos que por ela passaram, foram muitos anos de convivência e respeito mútuo, aprendendo a trabalhar em equipe (nosso time continua no coração).

  A você, prezado docente, que tem a preocupação de aprimorar não apenas seus conhecimentos, mas que também considera a possibilidade de alternativas de trabalho, uma perspectiva de aprender e ensinar. À professora Ivone Borelli pela atenção e cuidados com a revisão desta pesquisa.

  Muito obrigada!

  ESUMO R

  O objetivo da presente pesquisa foi verificar a possibilidade de compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial e verificar a atuação do professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem. Faz parte do projeto de pesquisa denominado “Construção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem e implementação de Inovações Curriculares em Matemática no Ensino Médio”. A fundamentação teórica apoiou-se nas obras de Simon (1995) a respeito de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA). O estudo realizado foi de natureza qualitativa e envolveu três professores de Matemática da rede pública de São Paulo e suas atuações com 104 alunos da segunda série do Ensino Médio. A partir do Ciclo de Ensino de Matemática desenvolvido por Simon, elaborou-se THAs, buscando a proposição de tarefas que explorassem investigação, uso de tecnologia, contextos do cotidiano e em outras áreas de conhecimento e da própria Matemática. Os dados foram coletados por entrevistas semiestruturadas, questionário e observações em dois diferentes momentos: antes e durante o desenvolvimento das THAs. Verificou-se que, embora as THAs sejam potencialmente ricas, no sentido de produzir situações em que o professor cogite e participe constantemente da (re) organização do planejamento escolar, compreende-se que a THA por si só não garante uma aprendizagem sob perspectivas construtivistas. Desse modo, constatou-se, conforme já mencionado por diferentes autores, que o professor exerce papel fundamental na mediação da construção do conhecimento de seus alunos. Quanto à atuação do professor, considerou-se que esse caminho continua sendo desafiador, no sentido dos docentes estarem dispostos a aproximar-se do universo das pesquisas e formação continuada, apoiando-se em diferentes metodologias e procedimentos didáticos. Em relação aos estudantes, percebeu-se que seu envolvimento apresenta-se mais promissor, quando participa de tarefas que envolvem o uso de tecnologia e manipulação de materiais, particularmente, em relação aos conceitos e procedimentos da Geometria Espacial.

  

Palavras-chave: Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem. Perspectiva Construtivista.

  Geometria Espacial. Ensino Médio. Educação Matemática.

  BSTRACT A

  The aim of this research was to investigate the possibility of harmonizing constructivist learning perspective to the planning of education, in collaboration researcher and teacher in the particular geometry of space and check the performance of teachers of mathematics in relation to plan activities education, consistent with a constructivist view of learning. Part of the research project "construction of hypothetical learning trajectories and implementation of curricular innovations in mathematics in high school." The theoretical foundation was based on the works of Simon (1995) about hypothetical learning trajectories (HLT). The study was qualitative and involved three mathematics teachers from the public schools of Sao Paulo and his performances with 104 students in the second year of high school. From the stages of Mathematics developed by Simon, was elaborated HLTs, seeking proposing tasks that explore research, use of technology, everyday contexts and in other areas of knowledge and of mathematics itself. Data were collected through semi-structured interviews, questionnaires and observations at two different times: before and during the development of MASD. It was found that although the MASD are potentially rich in order to produce situations in which the teacher participates cogito is constantly (re) organization of school planning, it is understood that the HLT itself does not guarantee a constructivist learning perspectives. Thus, it was found, as already mentioned by different authors, the teacher plays a fundamental role in mediating the construction of knowledge of their students. The performance of teachers, it was considered that this path is still challenging in the sense of teachers' willingness to approach the world of research and continuing education, relying on different methodologies and didactic procedures. For students, it was felt that their involvement has become more promising, when participating in tasks that involve the use of technology and materials handling, particularly in relation to the concepts and procedures of the Space Geometry.

  

Keywords: hypothetical learning trajectories. Constructivist Perspective. Space

Geometry. High School. Mathematics Education.

  UMÁRIO S APRESENTAđấO DA PESQUISA ............................................................................

  12 I Introdução ...........................................................................................................

  12 II Problemática ......................................................................................................

  15 III Metodologia e procedimentos metodológicos ..................................................

  20 Metodologia ......................................................................................................

  20 Procedimentos metodológicos .........................................................................

  20 Definições para a análise de dados .................................................................

  21 Desenvolvimento da pesquisa ..........................................................................

  23 IV Cenários da pesquisa ......................................................................................

  24 Caracterização da escola ................................................................................

  24 Caracterização dos professores colaboradores ..............................................

  25 Caracterização dos estudantes .......................................................................

  28 V Estrutura do trabalho ........................................................................................

  28 CAPÍTULO 1 ..............................................................................................................

  30 FUNDAMENTAđấO TEốRICA ...........................................................................

  30

  1.1 O construtivismo epistemológico e a reconstrução da pedagogia da matemática .....................................................................................................

  30 1.1.1 Recuperando aspectos da perspectiva construtivista ...........................

  32 1.1.2 Construtivismo e Pedagogia da Matemática .........................................

  34 1.2 Trajetórias(s) hipotética(s) de aprendizagem segundo Simon .......................

  35 1.2.1 O Ciclo de Ensino de Matemática segundo Simon ...............................

  36

  1.2.2 Composição das trajetórias hipotéticas de aprendizagem segundo Simon ....................................................................................................

  38 1.2.3 A geração de uma trajetória hipotética de aprendizagem .....................

  40 1.3 Considerações e reflexões do nosso grupo de pesquisa ...............................

  41

  1.4 Revisões bibliográficas acerca de investigações sobre ensino aprendizagem em Geometria Espacial ..........................................................

  44

  CAPÍTULO 2 ..............................................................................................................

  56 A CONSTRUđấO DAS TRAJETốRIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM

  56 SOBRE GEOMETRIA ESPACIAL (THA) ............................................................

  2.1 A construção das THAs ..................................................................................

  56

  2.2 Motivações para elaboração da primeira versão das Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem em Geometria Espacial .....................................................

  56 2.3 Definições de expectativas para aprendizagem dos estudantes ...................

  59 2.4 Considerações a respeito do software Poly ...................................................

  60 2.4.1 O programa Poly ...................................................................................

  60 2.5 Hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes .....................

  60 2.6 Composição e elaboração da primeira versão das THAs ..............................

  63 2.6.1 Elaboração da primeira atividade ..........................................................

  64 2.6.2 Elaboração da Segunda atividade ........................................................

  66 2.6.3 Elaboração da Terceira atividade ..........................................................

  67 2.6.4 Elaboração da Quarta atividade ............................................................

  68 2.6.5 Elaboração da Quinta atividade ............................................................

  70 2.7 Plano para atividades de aprendizagem ........................................................

  71 2.8 Leituras da primeira versão das THAs pelos professores colaboradores ......

  72

  2.9 Resultados da discussão da THA com o grupo de professores colaboradores e proposição da segunda versão das THAs ...........................

  73 CAPÍTULO 3 ..............................................................................................................

  76 O DESENVOLVIMENTO DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE

  

APRENDIZAGEM EM SALA DE AULA E A ATUAđấO DOS PROFESSORES

E ESTUDANTES ..................................................................................................

  76

  3.1 Observações e reflexões em relação ao desenvolvimento das THAs em salas de aula ..................................................................................................

  77 3.1.1 Organização da classe e “clima” dominante .........................................

  78

  3.1.2 Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de aprendizagem ........................................................................................

  79

  3.1.3 Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e implicações deles na busca de soluções ..............................................

  80 3.1.4 Dificuldades observadas e possíveis causas ........................................

  81

  3.1.5 Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou interdisciplinares e recursos tecnológicos .............................................

  83 3.1.6 Adequação do tempo previsto para as tarefas ......................................

  84

  3.1.7 Intervenções do professor durante a realização das atividades, socialização e sistematização das conclusões .....................................

  84

  CAPÍTULO 4 ..............................................................................................................

  88 NOVOS CONHECIMENTOS DECORRENTES DAS TRAJETÓRIAS

  88 HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM ..........................................................

  4.1 Novos conhecimentos dos professores colaboradores – momentos de reflexões do grupo ..........................................................................................

  88

  4.2 Novos conhecimentos da pesquisadora – reflexões de uma professora- pesquisadora ..................................................................................................

  91 4.3 Sugestões para mudanças nas THAs ............................................................

  94 CAPÍTULO 5 ..............................................................................................................

  96 CONSIDERAđỏES FINAIS .................................................................................

  96 REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 100

  

ANEXOS ..................................................................................................................... 106

  Anexo A – Questionário para os professores colaboradores................................ 106 Anexo B – Roteiro para observações do desenvolvimento das aulas – O professor em relação às THAs ........................................................... 109 Anexo C – Apresentação das atividades das THAs com os respectivos objetivos de aprendizagem................................................................. 111 Anexo D – Relatórios da pesquisadora sobre o desenvolvimento das aulas...... 136

  A PRESENTAđấO DA P ESQUISA

1 I Introdução

  Desde 1997, lecionando a disciplina de Matemática, muitas vezes, deparamo-nos com diferentes desafios. Entre eles a escolha de conteúdos e as metodologias de ensino destacaram-se em nossas preocupações. Em relação aos conteúdos, o que mais chamou a atenção foi o da Geometria, visto que durante nossa trajetória como aluno foi o conteúdo menos abordado pelos professores.

  Diante do exposto e das inquietações com minha própria formação, em 2006, participamos do curso de Especialização em Educação Matemática para Professores do Ensino Médio oferecido pela Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP em parceria com a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo. O curso possibilitou-nos explorar e conhecer alguns resultados de pesquisa sobre o ensino e aprendizagem de Matemática.

  Entre os módulos abordados, destacamos o tema que envolve Geometria que nos proporcionou refletir sobre sua didática e aproximou-nos de teorias e metodologias de trabalho. Isto me levou a ingressar no Programa de Estudos de Pós-Graduados em Educação Matemática, pela mesma instituição.

  Desse modo, ao Inserir-me em uma das linhas de pesquisa deste programa “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores”, envolvi-me em discussões sobre as implementações de inovações curriculares 1 ____________ Esta dissertação está conforme as regras do Acordo ortográfico. em Matemática para o ensino Médio. Em busca de desenvolver propostas didáticas para subsidiar reflexões no processo de ensino e aprendizagem de Matemática, participei do projeto de pesquisa denominado “Construção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem e Implementação de Inovações Curriculares em Matemática no Ensino Médio”, coordenado pelos professores Armando Traldi Júnior e Célia Maria Carolino Pires, que tem como investigação os currículos de Matemática no Ensino Médio.

  O projeto compõe-se de um conjunto de pesquisas de mestrado e doutorado que se orientam por algumas referências teóricas comuns. A motivação para o desenvolvimento do projeto derivou da necessidade de propostas de apoio à inovação curricular na área de Matemática, considerando alguns princípios apresentados nas Diretrizes e Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio.

  A presente pesquisa tem como objetivo verificar a possibilidade de

  

compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a

planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso

particular da Geometria Espacial e verificar a atuação do professor de

Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de

forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem.

  Por considerar o termo planificação polissêmico, algumas definições foram

  2

  pesquisadas nos dicionários , como por exemplo, “Ato ou efeito de planificar”; “Planejamento”; “submeter a um plano”; “Estabelecer planos para implantação ou execução de serviços”; “Traçar ou desenhar num plano”. Salientamos que, em nossa pesquisa e nas considerações de Simon (1995), o termo planificação de ensino tem um sentido amplo e, relaciona-se à ação de desenvolver (desenhar) um plano de ensino que, em colaboração, professor e pesquisador verifiquem a possibilidade de desenvolver, na perspectiva construtivista, o ensino da Geometria Espacial. Nesse sentido, planificar o ensino potencializa desenhar um contexto vivo e atual do movimento da sala de aula, mostrar possibilidades de trabalhos, envolvendo os principais agentes do processo ensino e aprendizagem: estudantes e professores. 2 ____________

  http://houaiss.uol.com.br (acesso em 25/06/2009);

Dicionário Completo da Língua Portuguesa – Folha da Tarde. [Coordenação de Flávio Bonfim Pestana]. São

3 Paulo: Melhoramentos, 1992 ( 1994.) pg. 713

  Na expectativa de atingir o objetivo desta pesquisa nossa proposta é elaborar e avaliar trajetórias hipotéticas de aprendizagem (THAs), que consistem em definir os objetivos da aprendizagem dos estudantes, tarefas matemáticas que serão usadas para promover a aprendizagem e levantamento de hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes, conforme formulação de Simon (1995).

  Para Simon (1995), a geração de uma THA prima por buscar as formas pelas quais o professor desenvolve seu planejamento para atividades de sala de aula, identificando como o professor interage com as observações dos estudantes, coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos conhecimentos.

  Assim, consideramos esta investigação relevante, pois poderá contribuir para a melhor compreensão do papel do professor na elaboração e desenvolvimento de atividades e com o processo de ensino e aprendizagem dos estudantes do Ensino Médio em tarefas que envolvem resolução de problemas, investigação, uso de tecnologias, aplicações de conceitos e procedimentos matemáticos a situações do cotidiano e em outras áreas de conhecimento. Este estudo envolveu três professores da rede estadual de ensino e suas atuações com 104 estudantes da segunda série do Ensino Médio.

  A elaboração e o desenvolvimento das THAs sobre a Geometria Espacial

  3

  4

  5

  apoiam-se nas orientações dos PCNEM , PCNEM+ e OCEM , que abordam situações-problema de maneira contextualizada e interdisciplinar. Assim, procuramos algumas pesquisas na área do ensino e aprendizagem de Geometria nos Programas de Pós-Graduados da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC/SP e Universidade de São Paulo – Faculdade de Educação – USP, cuja finalidade é situar o que recomendam as recentes pesquisas nesse campo de atuação Matemática, para formar subsídios na elaboração da primeira versão da Trajetória Hipotética de Aprendizagem. 3 ____________ 4 Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 1999. 5 Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 2002.

  

Orientações Curriculares para o Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias -

Vol. 2, 2006.

  II Problemática

  Para melhor compreensão de algumas dificuldades relativas ao ensino e aprendizagem de Geometria e sua inserção no currículo, apresentamos um breve histórico, com algumas reflexões curriculares e didáticas. Estas reflexões possibilitaram-nos mostrar alguns dos problemas que favorecem baixo rendimento na aprendizagem dos alunos, entre eles: a ausência do ensino de Geometria, a prática e as escolhas metodológicas dos professores.

  Miorim (1998) refere que, com a expulsão dos jesuítas do Brasil (1759) e a estruturação da Reforma Pombalina (1772), inserindo aulas de disciplinas isoladas, como Aritmética, Álgebra e Geometria começam a ocorrer mudanças no ensino brasileiro, especialmente no que se refere ao ensino de Matemática/Geometria.

  Ao longo do percurso educacional, houve outras mudanças, como a Reforma Francisco Campos (1931) com a finalidade de possibilitar um ensino mais articulado, unindo Álgebra, Aritmética e Geometria em uma única disciplina: a Matemática. Em contrapartida, na sequência, passamos pela Reforma Gustavo Capanema (1942), que não prosseguiu com as inovações curriculares da época.

  Para Pires (2006), as reformas curriculares exerceram um importante papel na história da educação brasileira. O Movimento Matemática Moderna (MMM) foi um dos principais marcos das reformas, ocorrendo alterações curriculares em vários países, inclusive no Brasil, sendo vinculadas por meio de livros didáticos. Na apresentação do programa MMM, conforme a autora citada (p. 19), a divisão era composta por quatro temas: – Relações e funções – Campos numéricos – Equações e inequações e Geometria. Nesse período, embora a Geometria estivesse entre os quatro temas desse programa, a autora assinala que a Geometria e as medidas foram abandonadas, ou melhor, a Geometria era tratada como tema ilustrativo dos conjuntos ou da álgebra (p. 19).

  Ressaltamos que o objetivo do estudo realizado não foi apresentar e discutir as reformas educacionais ocorridas, porém consideramos importante compreender um pouco do processo educacional brasileiro. Então, citá-las tem o propósito de situar o contexto histórico do ensino da Geometria, para que possamos entender um pouco o desencadeamento dos fatos educacionais e suas influências como métodos e a construção do currículo de Matemática.

  6 Também merecem destaque, as afirmações feitas por Almouloud e Mello

  (2000) a respeito do MMM nas décadas de 1960/1970, como sendo um dos fatores que influenciaram a formação inadequada de muitos professores no que tange a aspectos da Geometria. Os autores incluem ainda a formação inicial dos docentes em relação aos cursos de magistério, bem como os de licenciatura e formação continuada, destacando que ainda não houve mudanças significativas nos resultados sobre a aprendizagem dos estudantes e as posturas de novas práticas do ensino de Matematica, disseminando o estudo da Geometria.

  Outro aspecto curricular relevante que se discute é o proposto nas Diretrizes Curriculares do Ensino Médio, como por exemplo, a importância da exploração de situações contextualizadas a serem trabalhadas por meio da resolução de problemas. Esta perspectiva de trabalho, embora tenha o apoio teórico e uma série considerável de experiências, é ainda pouco conhecida pela maioria dos professores que recebeu uma formação exatamente na direção oposta.

  Os PCNEM enfatizam que o papel da Matemática no Ensino Médio não é apenas formativo (que ajuda a estruturar o raciocínio dedutivo) ou instrumental (ferramenta que auxilia em todas as atividades humanas), mas que ela também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas.

  Nesse sentido, o documento destaca a importância do aluno perceber que definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas, com base em outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. Propõem ainda que cabe apresentar ao aluno o conhecimento matemático de modo que ele possa buscar novas informações e instrumentos necessários para que seja possível continuar aprendendo. As diferentes funções da Matemática devem ser discutidas e estimuladas de modo que sejam equilibradamente trabalhadas. 6 ____________ http:/anped.org. br. Atualmente, as preocupações em torno de aspectos metodológicos, as abordagens do ensino de Geometria e outros temas do curriculo da Matemática, incluíndo a própria prática do professor, vêm sendo refletidas nas várias pesquisas em Educação Matemática.

  Apesar de existirem muitas pesquisas na área de Educação Matemática, inclusive focando assuntos geométricos, difundindo a importância de seu ensino, há certo distanciamento na incorporação dos resultados desses trabalhos e menos ainda no que tange ao debate e pesquisa sobre questões curriculares pela comunidade de professores de Matemática.

  Para Pires (2009), parte bastante significativa das pesquisas em Educação Matemática que foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas situam-se no campo da Didática da Matemática e inscrevem-se no campo das abordagens construtivistas, colocando o foco na construção dos conhecimentos matemáticos pelos estudantes.

  Conforme cita a autora, apoiada em nossas reflexões no grupo de pesquisa, é bastante frequente certo desconforto quanto à discussão sobre “currículo” – entendido como planificação de uma trajetória a ser realizada por alunos, seja ao longo da educação básica ou do ensino superior. Esse desconforto é causado por uma ideia bastante comum de que, em uma perspectiva construtivista, esse percurso deve ser ditado pelos interesses dos alunos e sem definições prévias de conteúdos.

  Nesse contexto, consideramos que as questões curriculares podem estar influenciadas pelo processo de ensino e aprendizagem, pois, envolve a postura do professor, sua prática na sala de aula e seu diálogo com os alunos.

  Assim, compreender a importância do debate sobre as questões curriculares e metodológicas, especificamente, as ações dos professores na sala de aula, verificar como as dificuldades sentidas por eles e como as THAs podem colaborar no processo metodológico, consideramos que o desenho dessa trajetória, as ações didáticas, pode contribui para verificar a atuação e o olhar dele para a mudança do quadro do conhecimento da Geometria Espacial.

  Ainda no âmbito da Educação Matemática, temos as questões referentes à mudança da prática do professor.

  Ao desenvolver uma pesquisa a respeito da mudança da prática de ensino de Matemática, com professores da Rede Pública, em cursos de formação continuada sobre sua atuação como professor universitário, Hiratsuka (2004) entrevistou professores e analisou seus discursos com intenção de apresentar categorias que lhe permitiram interpretar a respeito do processo da origem da mudança da prática do professor.

  O autor ressalta que:

  A mudança da prática do professor é um tema importante e muito presente, pois vários trabalhos desenvolvidos nesse campo buscam apresentar ou subsidiar alternativas metodológicas para a mudança da prática dos professores, e mesmo certos trabalhos das áreas de filosofia e epistemologia têm por objetivo fundamentar ações de mudança da prática (tradicional), a qual é associada a um quadro problemático, até de fracasso, do ensino

da Matemática. (HIRATSUKA, 2004, p. 22)

  Na sequência, o autor relata que a percepção de descontentamento e, até mesmo, da angústia de alguns professores com suas práticas e a percepção de sua ação na convivência com esses professores, pouco auxiliaram na superação desses sentimentos. Hiratsuka suponha que o problema desses professores estava em suas formações, pois eles não dominavam o conteúdo que deveriam ensinar. O autor citado considera também que, ao melhorar a formação matemática deles e o fato de indicar métodos alternativos do ensino de Matemática, os problemas eram resolvidos. Entretanto, afirma que os professores continuavam descontentes com suas práticas. Inquieto com essas e outras preocupações, Hiratsuka traz o foco de sua pesquisa para a questão da mudança, como mudar, especialmente, na questão sobre como o professor vive a experiência da mudança da prática de ensino de Matemática. O autor prossegue, afirmando que o “ato de mudança, passa por um certo estranhamento em relação a uma prática habitual. Esse estranhamento poderá conduzir o professor a se abrir para o real significado de sua prática e a conscientizar-se do papel de seu ensino, especialmente, para a vida do aluno”. Nesse aspecto, Hiratsuka afirma que:

  De qualquer forma, é o professor, e somente ele, quem se impõe a tarefa de mudar. Somente uma escolha consciente, de um homem livre, poderá levá-lo a vencer a insegurança e a superar os obstáculos próprios da conquista de uma prática não habitual. Ele fará a escolha por si, mas não sozinho. Estará no mundo coexistindo com outras pessoas. Dessa forma, poderá ser importante, para a sua decisão, um relacionamento Eu/Outro, estabelecido com uma pessoa através de um diálogo genuíno, em que haja respeito mútuo. Pessoa que poderá discutir sobre Educação como algo maior do que o processo de ensino e que poderá discutir sobre a mudança, prestar-lhe um apoio próximo e, portanto, ser muito significativo nas suas escolhas e na vivência da modificação da prática de ensino. (HIRATSUKA, 2004, p. 42)

  Em contrapartida, entendemos que mudanças de qualquer natureza, não acontecem imediatamente; assim a necessidade de mudar requer antes de tudo, estabelecer novos hábitos e adaptações na própria metodologia de trabalho do professor.

  Em face dessas e outras questões a respeito do currículo de Matemática, da formação de professores e da prática docente temos como objetivo de pesquisa: verificar a possibilidade de compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial e, verificar a atuação do professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem. Sendo assim, propomos as seguintes questões de pesquisa:

  a) Como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial?

  b) Que atuação pode ter um professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem?

  III Metodologia e Procedimentos Metodológicos

  Apresentamos nesta seção a descrição de nossa metodologia de pesquisa, bem como os procedimentos metodológicos que permitiram observar e coletar dados, aproximando-nos da dinâmica do desenvolvimento das THAs em sala de aula.

  Metodologia

  Em relação aos tipos de metodologia de pesquisa, Bogdan e Biklen (1994) consideram como pesquisa qualitativa quando apresenta as seguintes características: a fonte direta de dados é o ambiente natural – no caso da investigação realizada a coleta de dados foi feita na própria escola onde os professores trabalham; a investigação é descritiva. Neste estudo, buscamos descrever todas as observações. Assim, consideramos nossa pesquisa de natureza qualitativa e o interesse do investigador é mais no processo do que no produto.

  Procedimentos Metodológicos

  Bogdan e Biklen (1994) descrevem que na Investigação Qualitativa, uma das estratégias mais representativas é a “observação participante”, processo pelo qual o investigador insere-se ou já faz parte do grupo das pessoas que pretende estudar e tenta conhecê-las, permitindo que elas o conheçam, e realiza registro escrito mais próximo possível do que observa.

  Para Dencker e Viá (2001), pesquisar implica observar de forma sistemática e controlada a realidade, procurando revelar todos os seus aspectos sem, contudo, apoiar-se em ideias preexistentes. Diante da impossibilidade de descrever a totalidade das ações, o que define a observação sistemática é a finalidade, porém o principal critério da observação deve ser a relevância do fato.

  Como primeiro instrumento para coleta de dados, realizamos as observações em três diferentes momentos: o primeiro, durante as intervenções dos professores na leitura da THA, o segundo no decorrer do desenvolvimento das THAs realizadas na sala de aula, acompanhadas pelas interações professor/aluno e, o terceiro momento, após o desenvolvimento das atividades, que foram influenciadas pelas interações dos estudantes, professores e pesquisadora.

  O segundo instrumento utilizado para a coleta de dados foi a entrevista, que apresenta o caráter de complementar os dados colhidos pela observação, na medida que permite obter elementos pessoais mais detalhados de cada sujeito de estudo, como suas concepções, ideias, perspectivas e as interpretações das suas vivências profissionais (Patton, 1987 apud Traldi, 2006).

  As entrevistas realizadas tiveram o objetivo de coletar, de maneira informal, dados em relação à prática pedagógica, conhecimentos tecnológicos e diálogos a respeito das concepções dos professores colaboradores com a finalidade de aproximar as relações profissionais, na expectativa de criar um ambiente favorável ao diálogo permitindo, assim, melhor interação entre docentes e capturar suas ideias e reflexões em relação à prática docente dos envolvidos no processo.

  7 O terceiro instrumento de coleta de dados foi o questionário distribuído

  aos três professores, complementando nossas observações e registros baseados nas entrevistas, permitindo obter informações a respeito da formação acadêmica, tempo de magistério, cursos que frequentou ou frequenta e sobre o modo como entendem o processo de ensino e aprendizagem, envolvendo temas geométricos.

  Dessa forma, estruturamos a coleta de dados do estudo realizado que se configurou pela triangulação, que, de acordo com André (1995), significa combinar diferentes fontes de dados, métodos de coleta e perspectivas de investigação. É percebida como uma estratégia para enriquecer a validade da pesquisa, proporcionar ao pesquisador a possibilidade de construir explicações dos fenômenos sociais a partir dos quais as evidências emergem.

  Definições para a análise de dados

  Para Bogdan e Biklen (1994), iniciar a análise de dados é começar o processo de busca e organização sistemática dos dados coletados. Em nosso 7 ____________ Anexo A. trabalho, os dados foram colhidos por meio das observações, entrevistas e questionários. Na análise, o objetivo é compreender o que foi reunido no quadro teórico, visando à compreensão do problema de pesquisa e responder às questões de investigação.

  A análise pode acontecer em diferentes momentos do estudo, isto é, concomitantemente à coleta de dados ou após a mesma (BOGDAN E BIKLEN, 1994). Em nossa pesquisa, os dados foram coletados, em sua maioria, antes da análise.

  Com a finalidade de responder às questões de pesquisa e, tendo clareza de que a preocupação com o processo é muito maior do que o produto, ressaltamos que o interesse maior da investigação não foi a elaboração das THAs, bem como constatar seu funcionamento mas sim verificar a atuação do professor em relação aos objetivos de aprendizagem, metodologias de trabalho, enfim, sua prática docente. Assim, decidimos observar e descrever a atuação do professor em relação às THAs, com proposição de relatar os acontecimentos o mais próximo possível da realidade da sala de aula.

  Para melhor compreensão em relação às observações do desenvolvimento das THAs pelos professores, algumas categorias foram sintetizamos no quadro- resumo a seguir:

  

Unidade de Observação: O professor em relação às THAs

Campo de Observação Categorias de Observação

  1) Organização da classe e “clima” dominante 2) Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de aprendizagem 3) Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e implicações deles na busca de soluções

  O professor em

  4) Dificuldades observadas e possíveis causas

  relação às THAs

  5) Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou interdisciplinares e recursos tecnológicos 6) Adequação do tempo previsto para as tarefas 7) Intervenções do professor durante a realização das atividades, socialização e sistematização das conclusões

  Desenvolvimento da Pesquisa

  O desenvolvimento da presente pesquisa foi organizado em três fases:

  Fase 1: preparação para o estudo: encontros e discussões no grupo de

  pesquisa, revisão bibliográfica referente s pesquisas sobre o ensino e aprendizagem de Geometria Espacial.

  Fase 2: elaboração da trajetória hipotética de aprendizagem pela

  pesquisadora, ou seja, definição de objetivos de aprendizagem, indicação das hipóteses sobre a aprendizagem dos alunos e escolha das tarefas; discussão da trajetória hipotética de aprendizagem no grupo de pesquisa; entrevistas com os professores colaboradores do projeto; apresentação da trajetória hipotética de aprendizagem com os três professores do Ensino Médio; avaliação dos professores das THAs, com base em seu conhecimento docente;

  Fase 3: desenvolvimento das THAs em três salas de aula pelos professores colaboradores, com observação direta da pesquisadora.

  Entrevista com os três professores do ensino médio, buscando a avaliação do desenvolvimento das THAs, na interação com os alunos. Discussão com os três professores a respeito de possíveis mudanças nas THAs; finalização da pesquisa; escrita da dissertação e elaboração das considerações finais. Conforme as etapas de organização citadas acima, o construto das THAs sobre Geometria Espacial foi fruto de encontros e discussões com o grupo de pesquisa e desenvolvido com base nos objetivos de aprendizagem dos estudantes.

  Nesse contexto, a pesquisa foi realizada com três professores colaboradores da rede estadual de São Paulo em uma escola de Ensino Médio, em dois períodos (vespertino e noturno), na qual foram desenvolvidas as THAs acompanhadas pela pesquisadora. As quinze aulas, disponibilizadas em cinqüenta minutos cada, foram acompanhadas por registros escritos, com base

  8 no roteiro de observações realizadas pela pesquisadora.

  IV Cenário da Pesquisa

  A seguir descrevemos o cenário do projeto de pesquisa, caracterizando a escola, professores e estudantes.

  Caracterização da escola

  O desenvolvimento das THAs ocorreu em uma escola da rede estadual de ensino situada na zona oeste de São Paulo, embora a escola tenha quase 15 anos de existência, atualmente, está locada em um novo prédio, situado em um

  9

  polo industrial, na qual compartilha o espaço físico com uma escola da rede municipal de ensino. Localizada a 26 km do centro da grande metrópole, tem 2000 metros quadrados de área construída, distribuídos em 17 salas de aulas, um laboratório para ciências físicas, biológicas e químicas, uma sala de informática (em reforma), uma biblioteca, uma cozinha, pátio e quadra esportiva.

  Possui o total de 984 estudantes, distribuídos em dois períodos: vespertino (240) e noturno (744), contemplando o ensino para Jovens e Adultos (ENCEJA – Ensino Fundamental e Médio) e o Ensino Médio Regular. A faixa etária dos estudantes varia entre 14 a 60 anos. Atende estudantes da própria comunidade e da cidade vizinha por fazer divisa com outro município.

  Nosso foco de observação no desenvolvimento das THAs foi apenas das três salas do segundo ano do Ensino Médio Regular. Duas destas salas no período vespertino e uma no noturno. 8 ____________ 9 Anexo B.

  

Entende-se por escola compartilhada aquelas unidades escolares que participam do mesmo espaço físico,

sendo uma unidade escolar pertencente ao município (5ª à 8ª série) e outra da rede estadual de ensino.

  Cada qual com sua respectiva gestão escolar.

  Caracterização dos professores colaboradores

10 O questionário elaborado teve o objetivo de conhecer um pouco a opinião

  desses professores a respeito do ensino e aprendizagem da Geometria Espacial e sua importância no currículo, sua formação acadêmica; os aspectos metodológicos de trabalho; os conhecimentos dos softwares matemáticos e sua aplicação em sala de aula.

  Para melhor organização na identificação de informações deste trabalho, nomeamos os professores como P1, P2 e P3. Estes professores colaboradores da pesquisa pertencem à mesma unidade escolar. A seguir, relatamos a descrição dos professores colaboradores no desenvolvimento da THA:

  Professor P1 O professor P1 tem 23 anos de magistério, é do gênero masculino, 47 anos de idade. É graduado em Ciências com habilitação plena em Matemática, já trabalhou 15 anos em uma escola particular de ensino. Cursou Pedagogia e costuma frequentar oficinas de Matemática na Universidade de São Paulo (USP); já participou de capacitações oferecidas pela Secretaria de Educação Estadual.

  Segundo o professor, sua metodologia de trabalho, em geral, é “tradicional”, utiliza-se de aula expositiva para abordar os conteúdos. Enriquece suas aulas com solicitação de pesquisas relacionadas aos vários temas da Matemática. Costuma desenvolver atividades em sala de aulas, distribuindo os estudantes em duplas e, outras vezes, em grupo. Exige que cada estudante registre suas aulas e respectivas atividades. Como suporte ás aulas, usa o livro didático, apostila da escola particular onde trabalhou e a revista fornecida pela Secretaria de Educação.

  O professor, diz que “[...] costuma abordar o conteúdo de Geometria Espacial, dando ênfase à diferenciação de Geometria plana da espacial e procura esclarecer sua necessidade para entender seu uso na sociedade”. Em relação a desenvolver atividades que abordem resolução de problemas, P1 afirma utilizar- se de situações que envolvam embalagens, casas, carros e outros. 10 ____________ Anexo A.

  Em relação ao uso de softwares, o professor refere que nunca empregou este recurso nas aulas de Matemática, e fica empolgado em saber que este projeto possibilita o uso de um software.

  O professor acrescenta que o ensino da Geometria, em geral, é deixado de lado, e que a aprendizagem dos estudantes em relação a esses temas é restrita, o que dificulta novas aprendizagens. Isso se agrava quando os alunos chegam ao Ensino Médio, não tendo pré-conhecimentos para avançar nos conteúdos. Assim muitos estudantes apresentam deficiência básica em conhecimento sobre Geometria plana.

  Professor P2 O professor P2 tem 10 anos de magistério, é do gênero feminino, 45 anos de idade. Sua graduação é plena em Matemática, e a maior experiência é no Ensino

  Fundamental, tendo pouca vivência no Ensino Médio. Nunca participou das capacitações oferecidas pela Secretaria de Educação Estadual.

  A professora considera que sua metodologia de trabalho é baseada em aulas expositivas, apresentação de conceitos matemáticos, seguidos de exemplos e exercícios para abordar os conteúdos. Costuma distribuir os estudantes em grupos para desenvolverem pesquisas relacionadas aos temas abordados em sala de aula, em forma de seminários. Para P2, o livro didático e a revista fornecida pela Secretaria de Educação são seus principais recursos para lecionar Matemática.

  A respeito do ensino de Geometria Espacial, a professora relata não ter ministrado tal conteúdo a seus alunos. Enfatiza seu entusiasmo, ao receber o apoio deste projeto e relata que será de grande ajuda não só para seus conhecimentos como professora, mas também para colaborar no processo de ensino e aprendizagem de seus alunos. Afirma que, em sua formação acadêmica, não houve preocupação em destacar esses conteúdos na grade curricular de sua graduação. Considera que “[...] é importante construir conhecimentos geométricos, uma vez que a nossa volta estamos sempre cercados por formas e representações geométricas”. Quanto aos recursos tecnológicos, a professora cita que nunca utilizou este recurso nas aulas de Matemática e que seus conhecimentos nessa área são restritos. Disponibiliza-se para conhecê-los de forma a complementar suas aulas de Matemática.

  A professora ainda relata que “[...] provavelmente seus alunos terão algumas dificuldades em desenvolver as atividades propostas, devido o ensino da Geometria não ter prioridade nos conteúdos matemáticos abordados pela grande maioria dos professores. E refere: “[...] Estou disposta a enfrentar o desafio de desenvolver uma THA sobre esse conteúdo. Você vai me ajudar?”.

  Diante desta declaração, disponibilizei algumas horas para esclarecimentos quanto às dúvidas que a professora por ventura teria.

  Professor P3 O professor P3 tem 23 anos de magistério, é do gênero feminino, 48 anos de idade. Sua graduação é plena em Matemática e Física, além de ter cursado o técnico em Construção Civil, já participou das capacitações oferecidas pela Secretaria de Educação Estadual.

  Segundo a professora, sua metodologia de trabalho é baseada em aulas expositivas, ressalta que “[...] a aula expositiva é só um dos recursos de trabalho e que as aulas devem ser o momento de diálogos, exercícios, criatividade e trabalho coletivo na elaboração do conhecimento”.

  Em relação à abordagem do conteúdo de Geometria Espacial, comenta que costuma citar em forma de pesquisa e que esse assunto era mais freqüente, quando a disciplina desenho geométrico fazia parte da grade curricular. Quanto à abordagem de resolução de problemas, P3 diz que trabalha muito pouco, afirma não utilizar nenhum tipo de recurso tecnológico em suas aulas, porém comenta que a “utilização de softwares torna o assunto mais dinâmico e que chama mais a atenção do aluno”.

  Caracterização dos estudantes

  Os estudantes envolvidos neste projeto de pesquisa são matriculados na segunda série do ensino médio e com idade entre 15 e 23 anos. Duas turmas desses jovens estudantes pertencem ao período diurno e uma em período noturno. São jovens que, na sua grande maioria não têm vínculo empregatício. Durante as observações da pesquisadora no desenvolvimento das atividades, descobriu que entre esses jovens apenas um deles frequenta o curso técnico em edificações no período oposto ao curso do Ensino Médio. Em relação ao período diurno há um total de 28 alunos em cada sala, no período noturno, esse número é de 48 alunos.

  V Estrutura do Trabalho

  Com o objetivo de situar a leitura, bem como a evolução desta pesquisa, destacamos a seguir os pontos principais dos cinco capítulos deste estudo.

  No primeiro capítulo, enfatizamos a apresentação da fundamentação teórica que norteia a pesquisa, incluindo um levantamento de pesquisas que abordam o ensino e aprendizagem sobre o tema Geometria, que auxiliou de sobremaneira na elaboração das THAs.

  O segundo capítulo, apresentamos o processo da construção das THAs, justificando a escolha dos objetivos de aprendizagem, incluindo as hipóteses das aprendizagens dos estudantes.

  O terceiro capítulo refere-se à descrição das observações do desenvolvimento das trajetórias hipotéticas de aprendizagem durante as aulas. Na sequência, apresentamos à leitura das THAs pelos professores colaboradores.

  No quarto capítulo, procurou-se identificar os novos conhecimentos, tanto dos professores, como da pesquisadora.

  Por fim, apresentamos as considerações finais desta pesquisa.

  C APÍTULO

  1 FUNDAMENTAđấO TEốRICA E PESQUISAS SOBRE

GEOMETRIA ESPACIAL

  Inicialmente, neste capítulo, apresentaremos algumas reflexões sobre o “construtivismo epistemológico”, ao qual, Simon (1995) faz referência. Em seguida, ilustramos uma síntese da teoria desenvolvida pelo pensador. Estas reflexões surgiram de nossas discussões, quando da leitura do texto (traduzido pelo nosso grupo de pesquisa). Além disso, destacamos algumas revisões bibliográficas no que tange ao ensino e aprendizagem de Geometria, tendo como finalidade, situarmos, o que recomendam as recentes pesquisas nesse campo de atuação matemática.

  

1.1 O construtivismo epistemológico e a reconstrução da pedagogia

da Matemática

  Para Simon (1995), o “construtivismo epistemológico tem sido fonte de pesquisas no ensino da Matemática e tem oferecido uma base para recentes esforços de uma reforma na Educação Matemática”. No entanto, considera que embora o construtivismo tenha potencialidade para sustentar mudanças no ensino da Matemática, é necessário formular modelos de ensino baseados no

  11 construtivismo . 11 ____________

Os dados apresentados no artigo de Simon foram coletados dentro de uma sala de aula experimental, de

25 alunos, em que pesquisador acompanhou um professor de Matemática em tarefas sobre a construção

do conceito de área; a partir da análise dos dados coletados, trabalhou em uma fundamentação teórica, visando à formulação de uma Pedagogia da Matemática. Pires (2009) relata que o autor discute “a tensão criativa entre a meta dos professores para o ensino e o compromisso de ser sensível ao pensamento matemático dos seus alunos”. Adiciona em suas reflexões alguns temas, a saber:

  a) as atividades de ensino estruturadas e implementas, tendo como ponto central a consideração do pensamento/entendimento dos alunos; b) o planejamento do ensino, gerado a partir de uma trajetória hipotética de aprendizagem dos alunos; c) a formação continuada dos professores, apoiada em reflexões sobre trajetórias hipotéticas de aprendizagem de seus alunos, num processo de permanente elaboração (SIMON, 1995 apud PIRES, 2009, p. 74).

  Simon ressalta que a perspectiva construtivista no ensino tem sido foco para muitos dos estudos empíricos e referenciais teóricos na Educação Matemática e, como resultado, tem contribuído para inovações nas reformas do ensino da Matemática, como é o caso, nos Estados Unidos da América, das proposições do NCTM – Conselho Nacional de Professores de Matemática.

  Pires (2009) ressalta que, no entender de Simon,

  Embora o construtivismo tenha apresentado aos professores de Matemática caminhos proveitosos para o entendimento de como se processam as aprendizagens, a tarefa da reconstrução de uma ‘Pedagogia da Matemática’ baseada na visão construtivista é um desafio considerável, no qual a comunidade de Educação Matemática tem apenas começado a trabalhar (PIRES, 2006, p. 75).

  Na opinião de Simon, o construtivismo pode contribuir com importantes

  

caminhos para o ensino da Matemática em sala de aula, embora não estipule um

modelo particular.

  Nessa seqüência, Pires explicita: ao referir-se à ‘Pedagogia da Matemática’, Simon explica que o termo pedagogia tem a intenção de significar todas as contribuições para a Educação Matemática na sala de aula. Dessa maneira, o autor inclui não apenas um trabalho multifacetado do professor, mas também o currículo a ser construído e o desenvolvimento de materiais de ensino.

  Assim, o foco específico de seu trabalho está na tomada de decisão a respeito de conteúdos matemáticos e nas tarefas de ensino da Matemática em sala de aula. Para expor sua proposta de Ciclo de Ensino de Matemática e de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem, Simon busca situar sua posição em relação às perspectivas construtivistas e às relações entre construtivismo e pedagogia da Matemática que destacaremos a seguir.

1.1.1 Recuperando aspectos da perspectiva construtivista

  Para Pires (2009), um ponto importante no texto de Simon é a recuperação de aspectos da perspectiva construtivista. Para Simon, o interesse na difusão do construtivismo entre teóricos da Educação Matemática, pesquisadores e praticantes tem moldado o discurso para diferentes pretensões do construtivismo.

  De expressões como “Construtivismo Radical” e “Construtivismo Social” derivam algumas orientações, caracterizando a existência de uma diversidade de perspectivas epistemológicas semelhantes dentro dessas categorias. Conseqüentemente, parece importante uma descrição aprofundada da perspectiva construtivista na qual nossa pesquisa está baseada. (SIMON, 1995, p. 4).

  Do ponto de vista de Simon, a maior parte das informações que dividem os recentes debates epistemológicos sobre o conhecimento, é, fundamentalmente, as que o identificam, como um processo social e as que o tomam como um processo cognitivo.

  A posição radical do construtivismo focaliza a construção individual para obter, desse modo, uma perspectiva cognitiva ou uma perspectiva psicológica. Embora a interação social seja vista como um contexto importante para o conhecimento, o foco está na reorganização cognitiva individual. Em contrapartida, a epistemologia com orientação sociocultural vê a construção mental como um processo socialmente determinado; o conhecimento individual origina-se da dimensão social. Para a perspectiva social, o conhecimento localiza-se na cultura, insere- se num sistema – que é maior que a soma de suas partes. (SIMON, 1995 apud PIRES, 2009, p. 76)

  Simon insiste que sua posição evita qualquer extremo, e busca construir um trabalho teórico baseado em autores como: Blumer (1969), Bauersfeld (1988), Cobb, Yackel, e Wood (1989) e Von Glasersfeld (1991). Ao referir-se aos trabalhos de Cobb (1989), Simon lembra que, para esse autor, a coordenação das duas perspectivas construtivistas é necessária para entender a aprendizagem em sala de aula. Ela não está somente no social ou na dimensão cognitiva, mas, preferencialmente, na combinação da análise dessas duas perspectivas.

  Simon formula uma analogia à luz das teorias psíquicas:

  Nenhuma teoria em particular acena um enfoque suficiente para caracterizar dados psíquicos. Porém cada teoria tem construído uma contribuição significativa para basear teoricamente a pesquisa; considerando ser um enfoque particular e considerando ser um enfoque que acena também para cada teoria em particular, coordena a descoberta que se origina de cada perspectiva moldada para avanços neste campo. (SIMON, 1995, p. 6).

  Para o autor, a organização do desenvolvimento do conhecimento em sala de aula parece uma análise particular coordenada, baseada nas perspectivas psicológicas (cognitivas) e sociológicas. A análise psicológica da aprendizagem da Matemática em sala de aula foca-se no conhecimento individual da Matemática, seu entendimento para o outro, e seu senso de funcionamento na aula de Matemática. A análise sociológica toma como ponto de partida o conhecimento e as normas sociais da sala de aula. As “normas sociais” referem- se àquilo que está entendido como a construção do conhecimento com efetiva participação dos alunos nas aulas de Matemática. Incluem as expectativas que os membros da comunidade têm sobre professores e alunos, os conceitos dos meios utilizados para a elaboração da aula de Matemática e o caminho utilizado para validar a aula de Matemática.

  Simon considera ser proveitoso ter uma visão da Matemática como uma atividade cognitiva, apreendida por processos culturais e sociais e como fenômenos sociais e culturais constituídos por uma comunidade altamente conscientizada.

1.1.2 Construtivismo e Pedagogia da Matemática

  No entender de Simon (1995), a aprendizagem é como um processo de construção individual e social mediado por professores com a concepção de um trabalho estruturado – no qual se entende a aprendizagem dos alunos. Compreender o desenvolvimento da aprendizagem é extremamente útil e tal fato leva à questão de como o construtivismo poderia contribuir para a reconstrução de uma Pedagogia da Matemática.

  Novamente, Simon faz referência a autores como Wood, Cobb e Yackel para os quais os professores devem ter como finalidade a construção de uma prática que capacite seus alunos a percorrerem o caminho da aprendizagem matemática. Este é o desafio fundamental que deve fascinar os professores de Matemática, o que implica a necessidade de reconstruir meios para fazer conhecer a Matemática na escola e, desse modo, meios para ensinar Matemática.

  Simon pondera mais uma vez que se o construtivismo é uma teoria epistemológica, ela não define uma orientação particular de ensino. O desenvolvimento do conhecimento está presente no professor ou no ensino realizado. Não existe uma simples função que mapeie a metodologia de ensino dentro de princípios construtivistas. Ou seja: o construtivismo epistemológico não determina a apropriação ou inapropriação de estratégias de ensino.

  Bauerfied, citado por Simon (apud PIRES, 2009), considera a construção cognitiva, de natureza essencialmente humana e a processual emergente dos temas, regularidades e normas entrecruzando Matemática, interação social – para trazer a cognição e o social juntos – não podem ser construídas com simples

  

sumários prescritivos de ensino. Assim, não há referências a respeito da

operacionalização de uma perspectiva construtivista social, sem contradizê-la.

  Comumente é usada a denominação “ensino construtivista”. No entanto, o construtivismo não oferece uma noção de como resolver os problemas de ensino ou de como efetivá-los.

  Simon propõe que, para uma perspectiva teórica, a questão que precisa de atenção é a seguinte: “Em que o construtivismo contribui para o desenvolvimento de um proveitoso trabalho teórico estruturado pela Pedagogia da Matemática?” Pires destaca sua concordância com Simon, quando ele considera excessivamente simplista aproveitar a conexão do construtivismo para o ensino com a romântica noção de “deixar os alunos sozinhos e eles construirão seu conhecimento matemático”. Ou então: “Colocar alunos em grupos e deixá-los socializar o modo como eles resolvem seus problemas”. E lembra que nas experiências educacionais brasileiras idéias como estas foram veiculadas de forma maciça e ocasionaram grandes problemas no que se refere ao papel do ensino e do professor.

  Em sua experiência com alunos, Simon relata que se perguntava: “Como poderia entender o pensamento daqueles estudantes e como poderia trabalhar com eles para verificar se seriam capazes de desenvolver raciocínios mais poderosos? O autor conclui que, nessas experiências com alunos, ficou bem nítida a relação entre o projeto de atividades do professor e a consideração do pensamento que os alunos podem trazer em sua participação nessas atividades – que conduzem à formulação da ideia das trajetórias hipotéticas de aprendizagem.

1.2 Trajetória(s) hipotética(s) de aprendizagem segundo Simon

  Simon (1995) defende a ideia de que a consideração do objetivo da aprendizagem, as atividades de aprendizagem e o pensamento e conhecimento dos estudantes são elementos importantes na construção de uma trajetória hipotética de aprendizagem – parte chave do que ele denomina Ciclo de Ensino de Matemática.

  No que se refere ao conhecimento dos professores de Matemática, além das hipóteses sobre o conhecimento dos alunos, outros diferentes saberes profissionais intervêm, como por exemplo, teorias de ensino sobre Matemática; representações matemáticas; materiais didáticos e atividades; e teorias sobre como os alunos constroem conhecimentos a respeito de um dado assunto – saberes estes derivados da pesquisa em literatura e/ou da própria experiência docente.

  Durante o desenvolvimento das atividades pelos professores, um objetivo inicial planejado, geralmente, deveria ser modificado muitas vezes (talvez continuamente), durante o estudo de um conceito matemático particular. Quando os alunos começam a comprometer-se com as atividades planejadas, os professores deveriam “comunicar-se” com as observações dos alunos, nas quais eles formatam novas ideias sobre esse conceito. Assim, o ambiente de aprendizagem envolveria resultados da interação entre o professor e os alunos e o modo como eles se engajam em um conteúdo matemático.

  Simon refere-se a um comentário de Steffe (1990): um professor pode propor uma tarefa; mas, como os alunos constroem suas tarefas e suas experiências é que vão determinar seu potencial de aprendizagem. Assim, por exemplo, se um aluno dá uma resposta a um problema elaborado pelo professor e no entendimento do professor não foi uma compreensão adequada sobre os conceitos ou procedimentos envolvidos, isso deve resultar em um novo objetivo de ensino sobre o assunto. Temporariamente, este objetivo substitui o original.

  Em suas experiências, a discussão na sala de aula impulsionou Simon a reexaminar diversos conhecimentos para favorecer a elaboração do seu “mapa conceitual”, destaca que o termo “mapa”, neste contexto, é usado para enfatizar que o conhecimento do professor serve como um mapa que traduz como ele se empenha na construção da compreensão dos alunos e identifica o potencial de aprendizagem.

  O autor também ressalta o que observou em relação aos alunos que mudou sua perspectiva sobre o conhecimento dos alunos e a concepção matemática envolvida (seu mapa interno). Esta reorganização de perspectivas contribuiu para modificar seus objetivos, planos para atividades de ensino e aprendizagem que havia elaborado anteriormente.

1.2.1 O Ciclo de Ensino de Matemática segundo Simon

  A análise do episódio de ensino vivenciado por Simon contribuiu para o desenvolvimento do Ciclo de Ensino Matemático (Figura 1), como um modelo de inter-relações cíclicas dos aspectos do conhecimento do professor, pensamento e tomada de atitudes.

  Trajetória Hipotética de Conhecimento do Aprendizagem

  Professor Objetivo do professor para a aprendizagem dos alunos

  Plano do professor para atividades de aprendizagem Hipóteses do professor sobre o processo de ensino aprendizagem dos alunos

  Avaliação do Constituição interativa nas conhecimento dos atividades de sala de aula alunos

  

Figura 1. Ciclo de ensino de Matemática abreviado (Simon, 1995)

  Quanto às hipóteses sobre o conhecimento dos alunos para enfatizar que não temos acesso direto ao conhecimento deles, Simon destaca que:

  Como professor, minha concepção do conhecimento matemático dos alunos, está estruturada pelo meu conhecimento da Matemática em questão. Convenientemente, o que observei no gosto pelo pensamento matemático dos alunos e meu entendimento das idéias matemáticas envolveram interconexões. Estes dois fatos são interessantes na esfera do ensino do professor. (SIMON, 995, p. 29).

  O autor faz uma referência a Stefe (1990) para o qual, usando seu próprio conhecimento matemático, os professores de Matemática devem interpretar a linguagem e as ações de seus alunos e tomar decisões sobre os possíveis conhecimentos matemáticos destes e sua possibilidade de aprendizagem. Para Simon, trata-se da meta da aprendizagem do professor para seus alunos que possibilita uma direção para uma trajetória hipotética de aprendizagem:

  Usaremos o termo trajetória hipotética de aprendizagem tanto para fazer referência ao prognóstico do professor, como para o caminho que possibilitará o processamento da aprendizagem. É hipotética porque caracteriza a propensão a uma expectativa. O conhecimento individual dos estudantes ocorre de forma idiossincrática, embora freqüentemente em caminhos similares. O conhecimento do indivíduo tem alguma regularidade (cf. Steffe, Von Glaserfield, Richards e Cobb, 1983), que em sala de aula adquire com atividades matemáticas freqüentes em métodos prognósticos, e que muitos dos alunos em uma mesma sala de aula podem se beneficiar das mesmas tarefas matemáticas.

  (SIMON, 1995, p. 34) Desse modo, Simon considera que a trajetória hipotética de aprendizagem dá ao professor a possibilidade de construir seu projeto de decisões, baseado em suas melhores suposições de como o conhecimento poderia ser processado.

1.2.2 Composição da trajetória hipotética de aprendizagem, segundo Simon

  Uma trajetória hipotética de aprendizagem – THA – é composta por três componentes: 1. o objetivo do professor com direções definidas para a aprendizagem de seus alunos; 2. as atividades de ensino e 3. o processamento hipotético de aprendizagem (uma suposição de como o pensamento e o entendimento dos alunos será colocado em ação no contexto de aprendizagem das atividades). A criação das possibilidades de modificações da trajetória hipotética de aprendizagem é a parte central do modelo diagramado a seguir:

  Trajetória Hipotética de Aprendizagem Objetivo do professor para a aprendizagem dos alunos

  Plano do professor para atividades de aprendizagem Hipóteses do professor sobre o processo de aprendizagem dos alunos

  Para Simon, a trajetória hipotética de aprendizagem pressupõe a importância da relação entre a meta pretendida e o raciocínio sobre decisões de ensino e a hipótese sobre esse percurso. Para ele, o desenvolvimento de um processo hipotético de aprendizagem e o desenvolvimento de atividades dessa aprendizagem tem uma relação simbólica. A geração de ideias para atividades de aprendizagem é subordinada à hipótese do professor sobre o desenvolvimento do pensamento e a aprendizagem de seus alunos. A escolha da palavra “trajetória” é significativa para designar um caminho. Simon convida a uma analogia:

  Façamos uma analogia: considere que você tenha decidido viajar ao redor do mundo para visitar, na seqüência, lugares que você nunca tinha visto. Ir para a França, depois Havaí, depois Inglaterra, sem uma série de itinerário a seguir. Antes, você adquire conhecimento relevante para planejar sua possível jornada. Você faz um plano. Você pode inicialmente planejar toda a viagem ou uma única parte dela. Você estabelece sua viagem de acordo com seu plano. No entanto, você deve fazer constantes ajustes, por causa das condições que irá encontrar. Você continua a adquirir conhecimento sobre a viagem e sobre as regiões que você deseja visitar. Você muda seus planos a respeito da seqüência do seu destino. Você modifica o tamanho e a natureza de sua visita, de acordo com o resultado da interação com as pessoas no decorrer do caminho. Você adiciona os destinos à sua viagem e que não eram de seu conhecimento. O caminho que você utilizará para viajar é sua “trajetória”. O caminho que você antecipa em algum ponto é a sua “trajetória hipotética”. (SIMON,

  1995, p. 5)

1.2.3 A geração de uma trajetória hipotética de aprendizagem

  Conforme explica Pires (2009), para Simon (1995) a geração de uma THA prioriza buscar a forma pela qual o professor desenvolve seu planejamento em atividades de sala de aula, mas também ajuda a identificar como o professor interage com as observações dos alunos, coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos conhecimentos.

  Esta experiência pela essência da sua construção social é diferente das primeiras antecipações dos professores. Simultaneamente ocorre uma construção social de atividades em sala de aula e a modificação das idéias e conhecimento do professor, que ele vai construir em função do que está acontecendo ou do que aconteceu na sala de aula. (SIMON, 1995,

  p. 6) O diagrama da Figura 1, mostrado anteriormente, indica que a avaliação do pensamento do aluno (com constantes idas ao modelo de ensino apresentado), pode trazer muitas adaptações a respeito de qualquer conhecimento do professor, o que possibilita uma nova ou modificada trajetória hipotética de aprendizagem.

  Simon destaca a relação entre os vários domínios do conhecimento do professor, a trajetória hipotética de aprendizagem e as interações com os alunos (Figura 2). O conhecimento matemático do professor contribui para a identificação de um objetivo de ensino. Estes domínios de conhecimento, a meta de ensino e o conhecimento da representação das atividades matemáticas para o professor, seu conhecimento sobre a aprendizagem individual do aluno, bem como a concepção de aprendizagem e ensino (ambos, em geral, dentro da Matemática) contribuem para o desenvolvimento de atividades de aprendizagem e processos de aprendizagens hipotéticas.

  ŽŶŚĞĐŝŵĞŶƚŽ ĚĞ KďũĞƚŝǀŽ ĚŽ ŵĂƚĞŵĄƚŝĐĂ ĚŽ ƉƌŽĨĞƐƐŽƌ ƉĂƌĂ Ă ƉƌŽĨĞƐƐŽƌ ĂƉƌĞŶĚŝnjĂŐĞŵ

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ĞƐƉĞĐşĨŝĐŽ ĐŽŶƚĞƷĚŽ

Figura 2. Ciclo de ensino de Matemática. Os domínios do conhecimento do professor e

avaliação do conhecimento dos alunos (SIMON, 1995, p. 137).

  Conforme Simon, a modificação da trajetória hipotética de aprendizagem não é alguma coisa que somente ocorre durante o planejamento entre aulas.

  O professor está constantemente comprometido em ajustar a trajetória de aprendizagem que “hipotetizou”, para melhor refletir seu aumento de conhecimento. Ele está constantemente percebendo a extensão das modificações e transformações que podem ser construídas por algum ou todos os componentes da trajetória hipotética de aprendizagem: o método, as atividades e o processamento hipotético da aprendizagem. (SIMON, 1995 apud, PIRES, 2009, p. 84)

1.3 Considerações e reflexões de nosso grupo de pesquisa

  Em seu artigo, Pires (2009) apresenta uma síntese de algumas das reflexões feitas em nosso grupo de pesquisa.

  Em relação às questões de como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, bem como as contribuições das pesquisas na área de Educação Matemática podem contribuir para a organização de um ensino que potencialize boas situações da aprendizagem dos alunos, o grupo encontrou no trabalho de Simon elementos importantes:

  1) Sua posição ao afirmar que as visões construtivistas da aprendizagem têm dado sustentação a fundamentos teóricos na pesquisa de campo da Educação Matemática; e

  2) Dar pistas importantes para que os professores possam compreender e antecipar a forma de construção dos conhecimentos matemáticos de seus alunos. O grupo considera particularmente importante o alerta de Simon no sentido de que o construtivismo também aponta um desafio para a Educação Matemática, como desenvolver modelos de ensino em que a construção de conhecimento seja tomada como perspectiva teórica.

  Simon (1995) adverte também que a Educação Matemática não produzirá métodos com ideias fixas ou plataformas para as ações docentes, e as estruturas metodológicas deverão sempre suportar transformações experimentais. O Ciclo de Ensino Matemático retrata uma visão das resoluções construídas pelo professor, a respeito do conteúdo e das tarefas, modeladas pelo encontro de uma perspectiva do construtivismo social com o desafio das aulas de Matemática. Nesse ciclo, são particularmente importantes, algumas premissas:

  a) O pensamento/entendimento dos estudantes é especialmente considerado e tem o lugar central na formatação e implementação de instruções. O pensamento/entendimento é um processo contínuo do conjunto de dados e hipóteses construídas.

  b) O conhecimento do professor envolve-se simultaneamente com o crescimento do conhecimento do aluno. Como os alunos estão aprendendo Matemática, o professor está aprendendo sobre Matemática, também aprendendo e ensinando a respeito do

pensamento matemático dos seus alunos.

  c) O planejamento das instruções é parecido com a inclusão, a criação de uma trajetória hipotética de aprendizagem. Esta visão reconhece e valida o método de ensino do professor e a importância de hipóteses sobre o processamento da aprendizagem dos alunos (idéias nas quais eu espero ter demonstrado que não estão em conflito com o construtivismo).

  d) A transformação continuada do conhecimento do professor cria mudanças contínuas na sua própria trajetória hipotética de aprendizagem. (SIMON 1995 apud PIRES, 2009, p. 8)

  Pires (2009) avalia que a leitura dos textos motivou a ampliação das discussões sobre a atuação do professor de Matemática quanto às atividades de planejamento do ensino e que deve levar em conta que o aluno desempenha papel central na construção de suas aprendizagens.

  Ressalta que a esse respeito Simon comenta que as indicações sobre a importância da interação de pequenos grupos e a manipulação de materiais, por exemplo, podem ser instrumentos valiosos nas mãos dos professores de Matemática.

  No entanto, estes instrumentos não são suficientes para permitir que os professores sejam arquitetos da produção de situações de aprendizagens que resultariam no crescimento conceitual de seus alunos. Por exemplo, os professores novatos, muitas vezes, questionam o conhecimento de seus alunos (consciente ou inconscientemente), esperando que, no mínimo, um aluno esteja habilitado a explicar sua ideia para os outros. Perguntam o que devem fazer com um grupo de alunos para que construam conceitos matemáticos.

  Pires (2009) comenta que essas situações, hoje, são bastante comuns no Brasil. Nos cursos de formação inicial, a chamada “Prática de Ensino” e mesmo as atividades de estágio, de modo geral, estão muito defasadas quanto a estudos que possibilitem ao futuro professor a construção de trajetórias hipotéticas de aprendizagem, tanto em termos teóricos como práticos.

  Assim, o jovem professor tende a usar modelos ultrapassados, sem perceber a necessidade de conhecer e construir modelos de ensino consistentes e de forma coerente, com teorias – como é o caso das teorias de perspectiva construtivista. Para mudanças significativas, os jovens professores precisam de conhecimentos sobre o saber dos alunos, a fim de gerar trajetórias hipotéticas de aprendizagem e análises conceituais para ensinar Matemática.

  Enfim, é fundamental que os professores apropriem-se efetivamente dos resultados de pesquisas relevantes sobre o conhecimento matemático de crianças e jovens, inovações curriculares, planejamento, construções de atividades; e é mais importante ainda que se apropriem da idéia de que suas hipóteses e metas sobre as aprendizagens dos estudantes (e a própria formatação das atividades) mudam continuamente e promovem novos conhecimentos e seu efetivo envolvimento na cultura matemática em sala de aula.

  

1.4 Revisões Bibliográficas a respeito de investigações sobre o

Ensino e Aprendizagem da Geometria Espacial

  Para o desenvolvimento deste trabalho, buscamos pesquisas na área do ensino e aprendizagem de Geometria. Assim, podemos destacar algumas referências sobre os problemas de ensino e aprendizagem de Geometria, como por exemplo, Cavalca (1998), Kaleff (2003) e Montenegro (2005), incluindo as pesquisas dos Programas de Pós - graduados da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC/SP e da Universidade de São Paulo – Faculdade de Educação – USP. O objetivo é situarmos o que recomendam as recentes pesquisas nesse campo de atuação Matemática, para formar subsídios na construção de uma primeira versão da Trajetória Hipotética de Aprendizagem sobre Geometria Espacial.

  Entre alguns resultados de trabalhos obtidos por diferentes pesquisadores, há destaque para problemas relacionados à visualização e compreensão das propriedades das figuras geométricas no espaço.

  Para Cavalca (1998), a ausência de visualização em Geometria pode “interferir na aprendizagem da Matemática, no que se refere tanto à coerência como à funcionalidade”. O autor relata que “os alunos têm dificuldades com a representação gráfica, no que se refere a sua interpretação”. Durante sua pesquisa busca analisar o desenvolvimento da sequencia didática, envolvendo situações que favorecem o desenvolvimento das capacidades de interpretar e fazer representações gráficas planas de objetos do espaço e resolver problemas, utilizando processos apoiados na visualização. Cavalca (1998) prossegue relatando que “essas duas capacidades são básicas para a aprendizagem da Geometria Espacial que é possível desenvolver as habilidades necessárias para a visualização e interpretação de objetos espaciais e suas representações”.

  A preocupação com a visualização em Geometria, também, é citada por Kaleff (2003) que afirma:

  Nesta última década diversas pesquisas em educação matemática apontam para a importância de se incentivar nos meios educacionais o desenvolvimento pelo educando da habilidade de visualizar tanto objetos do mundo real, quanto, em nível mais avançado, conceitos, processos e fenômenos matemáticos. Para alguns pesquisadores, esta habilidade é tão ou mais importante do que a de calcular numericamente e a de simbolizar algebricamente. Além disso, os educadores matemáticos começaram a tomar consciência da importância assumida pelo entendimento das informações visuais em geral, tanto para a formação matemática do educando quanto para sua educação global. (KALEFF, 1998, p. 15)

  A autora prossegue destacando que os aspectos ligados à visualização têm sido pouco enfatizados em nossas escolas elementares e universidades, e sua pesquisa contribui na melhoria do ensino de Geometria, enfatizando a visualização geométrica, as representações gráficas e suas interpretações.

  12 Preocupado com a habilidade espacial dos alunos que emergem do

  Ensino Médio, Montenegro (2005) analisa a amostragem de esboços realizados por alunos que ingressam na universidade, a fim de conhecer a “bagagem geométrica” desses alunos e de que maneira representam o pensamento em três dimensões. Para isso, utilizou-se de exercícios sobre assuntos geométricos abordando diferentes sistemas de representação.

  Montenegro considera ser possível desenvolver conhecimentos novos com base nos que os alunos já possuem e que a Geometria Espacial pode ser assimilada por seus conceitos básicos, intuitivos e visuais. 12 ____________

  

Montenegro (2005, p. 8) considera a habilidade espacial uma capacidade humana que pode ser estimulada

ou abandonada. Neste caso, algumas regiões do cérebro tendem a deteriorar-se ou a serem utilizadas

para processar outras funções. Inversamente, a estimulação se faz pela utilização freqüente da

capacidade, seja por aplicação direta numa atividade ou por meio de exercícios que envolvam rotação

mental de figuras, orientação espacial, reconhecimento de rostos, leitura de mapas, analogia de formas,

vistas ou perspectivas de outro ângulo, interpretação múltipla de uma mesma figura, a percepção de

padrões que parecem confusos a velocidade e compreensão da visualização espacial e outros aspectos.

  O autor comenta sobre a deficiência no estudo de Geometria e retrata ser comum, professores deixarem o conteúdo de Geometria para o final do semestre, pelo fato de não dominarem ou por que não gostam do assunto ou por preferirem o aspecto lógico-formal da Matemática. Montenegro afirma que esses e outros fatores acarretam “prejuízo do lado visual e aplicado. Assim, muitos alunos fazem um estudo abreviado ou deixam de ter aulas de Geometria”. Na sequência, o autor refere:

  Como resultado da deficiência do estudo de geometria, as formas tridimensionais e a relação da geometria com o mundo físico deixam de ser conhecidas. Conseqüentemente, perde-se a noção de que o mundo real é que dá origem aos conceitos básicos da geometria e não ao contrário, como se poderia supor. (MONTENEGRO, 2005, p. 10)

  Para complementar nossas revisões bibliográficas apresentaremos a seguir pesquisas dos Programas de Pós-graduados da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC/SP e da Universidade de São Paulo – Faculdade de Educação – USP, com o objetivo de mostrar um panorama das recentes pesquisas nesse campo de atuação Matemática.

  Silva (2004) investigou as sinalizações referentes às expectativas de aprendizagem sobre Geometria, aferindo as orientações das novas propostas curriculares e quais conhecimentos geométricos são priorizados nos exames vestibulares de três principais Universidades do Estado de São Paulo e do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). Seus estudos foram norteados por duas questões de pesquisa:

  1) “Como se caracterizam as propostas para o ensino de geometria, na Educação Básica, quais as sinalizações dos exames vestibulares e do Exame Nacional do ensino Médio – o ENEM?”

  2) “Que conhecimentos geométricos os exames vestibulares e o ENEM estão priorizando e quais as possíveis conseqüências disso para o ensino da Geometria ao longo da Educação Básica?” (SILVA, 2004, p. 15)

  O autor utilizou-se das pesquisas bibliográfica e documental e, entre os critérios adotados para a análise dos dados coletados das questões dos vestibulares, buscou identificar a classificação do nível de conhecimento desenvolvido, baseado na teoria de Aline Robert (1998) cujo artigo “Ferramentas de análise de conteúdos a ensinar” classifica o funcionamento do conhecimento pelos alunos em três níveis: técnico, mobilizável e disponível.

  Dentre os principais resultados de sua pesquisa, Silva (2004) constatou que nesses exames vestibulares há predominância do nível de conhecimento caracterizado por Robert (1998), como mobilizável que os vestibulares organizam suas questões ao redor de um conjunto restrito de conteúdos e habilidades, explorando pouquíssimas situações contextualizadas ou interdisciplinares, característica essa das questões propostas pelo ENEM. Silva (2004) ainda revela uma forte incoerência entre as expectativas de aprendizagem sobre Geometria, ao término da Educação Básica, levando em consideração as sinalizações analisadas em sua pesquisa.

  Mariano (2004) em sua pesquisa “Estudo de fatores restritivos para um bom desempenho dos alunos concluintes do Ensino Médio nos exames do ENEM, em Geometria” teve como objetivo investigar os aspectos do ensino de Geometria que podem estar presentes ou escapar à situação desses exames.

  Além de relacionar os aspectos do ensino de Geometria no Ensino Médio, envolvendo questões do ENEM, o autor procurou apresentar em algumas respostas as causas do insucesso dos alunos ao término do Ensino Médio. Complementa a pesquisa de Silva (2004), ao analisar algumas atividades desenvolvidas pelos estudantes em questões do ENEM. Seus estudos foram norteados pela questão:

  “Quais são os fatores restritivos para um bom desempenho dos alunos concluintes do Ensino Médio nos exames do ENEM, particularmente em Geometria?” (MARIANO, 2004, p. 18).

  Mariano (2004) utilizou-se de pesquisas bibliográficas, documentais e experimentais, observou e analisou as aplicações de testes e resoluções de atividades para diagnosticar o baixo desempenho de alunos concluintes do Ensino Médio. Uma das teorias em que fundamentou seus estudos foi o trabalho “Sémiosis et Pensée Humaine – Registres semiótiques et appendissages intelectelis” (1995) do pesquisador Raymound Duval, que enfatiza a importância dos signos e registros de representação semiótica.

  Ao término de sua pesquisa, Mariano (2004) afirma que os fatores restritivos para o bom desempenho dos alunos vêm em parte das dificuldades de comunicação com o texto, da falta de compreensão das situações-problema e da ausência de questões ligadas à contextualização e interdisciplinaridade durante as aulas de Matemática. O pesquisador ainda sugere Programas de Educação Continuada aos docentes como alternativa de minimizar as dificuldades encontradas na formação inadequada do professor.

  A pesquisa de Camilo (2007) “Geometria nos currículos dos anos finais do Ensino Fundamental: uma análise à luz dos modelos teóricos de Josep Gascón” analisa a trajetória das prescrições curriculares para o ensino de Geometria, guiando-se pelos modelos teóricos Euclidianista, Quase-empirista e Construtivista de Josep Gáscon. Ao longo de seu trabalho, a autora procura responder às seguintes questões de pesquisa:

  1) “Como os modelos teóricos denominados Euclidianista, Quase-empirista e Construtivista, são identificados na trajetória particular do ensino de Geometria e qual a implicação disso para a organização curricular na Educação Básica?” 2) “Analisando as prescrições curriculares para o ensino de Geometria hoje, qual a sua base e como estão sendo colocadas em prática na sala de aula?” (CAMILO, 2007, p. 15).

  Camilo (2007) desenvolveu seu trabalho, utilizando-se de pesquisa bibliográfica para análise dos documentos curriculares e atividades geométricas inseridas em alguns livros didáticos das décadas de 1930 até 1970 e atuais, acompanhado de um estudo sobre como os currículos mais recentes estão se desenvolvendo em sala de aula; utiliza como aporte teórico o trabalho “Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes”

  desenvolvido pelo pesquisador e professor Josep Gascón.

  Na conclusão de seu trabalho, a autora destaca que o uso da perspectiva Quase-empirista permanece forte nos currículos e livros didáticos, embora os novos documentos oficiais (PCN) apontem indicações para a perspectiva Construtivista. Em Lauro (2007), “Percepção – Construção – Representação – Concepção: Os quatro processos do ensino da Geometria: uma proposta de articulação”, a autora investiga como as principais Propostas Curriculares do Sistema Nacional de Ensino abordam a articulação entre os quatro processos fundamentais na construção do conhecimento geométrico. Ao longo de sua pesquisa, procura luz para suas questões:

  1) “Como ao longo da história do ensino da Matemática, as sucessivas propostas curriculares abordaram a articulação entre a percepção, a construção, a representação e a

concepção no ensino da Geometria?”

  2) “Considerando os livros didáticos historicamente relevantes e que tiveram um papel importante de referência na atuação do professor em sala de aula, como os mesmos estabelecem equilíbrio e trânsito entre os quatro aspectos citados na construção do conhecimento geométrico?” 3) “Será possível, propor atividades que estejam de acordo com a proposta curricular vigente, ou seja, os PCN’s e que possibilitem o trânsito natural dos quatro processos citados?” (LAURO, 2007, p. 15)

  A autora citada utiliza-se da pesquisa documental e apresenta um panorama das Reformas Nacionais de Ensino, de 1827 a 1998, investigando o tratamento dado à Geometria, bem como busca o modo pelo qual os quatro aspectos do aprendizado essencial à Geometria articulam-se no decorrer dessas reformas de ensino. Como complemento de seus estudos, analisa a organização do Ensino de Geometria nos principais livros didáticos do Ensino Fundamental do século XIX até os dias atuais e complementa o estudo com uma proposta de atividades em Geometria plana baseada nos PCN com fins de articulações entre percepção, construção, representação e concepção no ensino de Geometria.

  Ao término do trabalho, cita que, em todas as épocas, os autores de livros didáticos sempre abordaram a representação no ensino de Geometria. Em relação à construção, percebeu em alguns livros selecionados e analisados que eram compatíveis com o referencial teórico elucidado em sua pesquisa, ou seja, mesmo se referindo a alguns livros didáticos antigos, sempre houve autores que se preocuparam em articular os quatro processos fundamentais do ensino da Geometria. Em relação à sugestão de atividades elaboradas com base nos PCN’s a autora afirma ter respeitado a articulação entre Percepção – Construção – Representação – Concepção.

  Na pesquisa “Análise da organização didática da Geometria Espacial Métrica nos livros didáticos”, Carvalho (2008), investiga qual a organização que os livros didáticos de Matemática destinados ao 2º ano do Ensino Médio fazem referência ao tema Geometria Espacial Métrica e, se tal organização favorece a construção do pensamento geométrico. Seus estudos foram direcionados a responder:

  1) “Os livros didáticos do 2º ano do Ensino Médio desenvolvem os conteúdos referentes à Geometria Espacial Métrica ou Geometria Tridimensional Métrica dos Poliedros, em especial, prismas e pirâmides, sob as perspectivas dos resultados das pesquisas em Educação Matemática de Duval (1995); Robert (1998); Rommevaux (1999); Parsysz (2000) e Ponte et al (2005) sobre o tema e estão de acordo com os PCNEM, OCEM e PNLEM por serem estes os textos oficiais que regulamentam e orientam a Educação Nacional do Ministério da Educação? (CARVALHO, 2008, p. 74).

  O autor utilizou-se de pesquisas disponíveis em documentos oficiais, dissertações e teses defendidas no Brasil e artigos de congressos nacionais e internacionais. Assim, três dos oito livros de matemática enviados para o 2º ano do Ensino Médio pelo Programa Nacional do Livro para o ensino Médio 2006, do Ministério da Educação e Cultura às escolas da Diretoria de São Bernardo do Campo – SP foram escolhidos. A análise desses três livros foi fundamentada nos trabalhos de Duval (1950), Robert (1998) e Parsysz (2000).

  Carvalho (2008) conclui que os livros didáticos analisados atendem parcialmente à construção do pensamento geométrico espacial, pois os resultados da pesquisa indicam pouca exploração por parte dos autores de atividades que desenvolvem a visualização. Observou que a representação no plano das figuras tridimensionais não é estimulada. Há equilíbrio com relação aos exercícios propostos que exigem os níveis técnicos e mobilizáveis; mas observa uma discrepância em relação ao nível disponível e à falta de atividades que possam ser desenvolvidas por software educacional. O autor afirma que esses fatores contribuem para uma difusão de uma visão equivocada do professor sobre o ensino da Geometria Espacial Métrica. Desse modo, o autor ressalta:

  O docente acaba reforçando uma concepção errônea no ensino da Geometria Espacial Métrica, provavelmente pelo uso do livro didático, que explora atividades, exigindo em sua grande maioria um conhecimento técnico e limitado à aplicação de fórmulas para sua solução (CARVALHO, 2008, p. 138).

  Como sugestão para futuras pesquisas, Carvalho (2008, p. 139), recomenda um “trabalho de conscientização de professores para integrar o uso de materiais concretos, softwares dinâmicos à sua prática pedagógica no que se refere ao ensino da Geometria Espacial Métrica”.

  Síntese

  Considerando as revisões bibliográficas citadas, observamos entre outros fatores, que a singularidade entre essas pesquisas é a “negligência” no ensino de Geometria. Por exemplo:

  1) Abordagem dos conteúdos de maneira estagnada, com fórmulas prontas, não desenvolvendo a capacidade de pensamento geométrico dos estudantes;

  2) Formação precária docente em assuntos envolvendo Geometria, provocando práxis inadequadas à aprendizagem do aluno ou ao desenvolvimento do pensar geométrico; e

  3) Assuntos envolvendo Geometria restrita aos capítulos finais dos livros didáticos, provocando uma aparente justificativa para impossibilitar sua planificação de ensino. Embora estas pesquisas advirtam certa “negligência” no ensino de

  Geometria ao longo da trajetória curricular, observamos que demonstram preocupação ao apresentar as carências desse ensino, objetivando alavancar possíveis alternativas para inserir o estudo de assuntos sobre Geometria como meio de amenizar problemas com seu ensino e aprendizagem.

  Notamos, por exemplo, as inquietações de Cavalca (1998), Kaleff (2003) e Montenegro (2005) ao incentivar o raciocínio espacial, desenvolvendo atividades que exploram a visualização, representação gráfica e sua interpretação propondo aspectos diferenciados para desenvolver a sensibilidade à compreensão geométrica.

  Em seguida, as preocupações de Silva (2004) e Mariano (2004), ao analisarem os aspectos relacionados ao ensino e ao aprendizado de Geometria no Ensino Médio, incluindo o levantamento dos propósitos do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), possibilitam reflexões aos professores para organizarem sua planificação do ensino, abrangendo questões desse exame com um olhar criterioso e despertando a importância da abordagem do conhecimento geométrico e sua necessidade às diversas áreas do saber.

  Em Camilo (2007), temos importantes informações quanto ao ensino da Geometria em relação a modelos teóricos identificados na trajetória desse ensino, apresentando análises de alguns livros didáticos em relação a esses modelos teóricos.

  Em Lauro (2007), destaca-se um panorama histórico do ensino de Matemática, especificamente, de Geometria abordando as Reformas Educacionais e suas influências, incluindo, também, as análises de alguns livros didáticos sobre o olhar da “Percepção – Construção – Representação – Concepção: Os quatro processos do ensino da Geometria”. Já em Carvalho (2008), notam-se aspectos importantes quanto à importância da história dos sólidos geométricos e seu surgimento na sociedade, no intuito de compreender melhor o debate no que diz respeito ao ensino da Geometria Espacial.

  Embora as pesquisas aqui apresentadas destaquem a importância de se ensinar Geometria e que, pouco ou nada se ensina sobre esse tema, estas pesquisas contribuíram para compreender o modo como o ensino e a aprendizagem da Geometria são tratados por esses pesquisadores. Apesar de serem identificados problemas em relação a seu ensino, incluindo a própria formação do professor, é possível reverter o quadro do baixo desempenho dos alunos. Para isso, os pesquisadores citados contribuem, especialmente, no que se refere à preocupação em desenvolver habilidades básicas, como a intuição e a visualização dos objetos geométricos, indicações da utilização de materiais concretos, reflexão sobre a elaboração de material didático de modo a permitir aos alunos o desenvolvimento do raciocínio espacial, bem como a desenvoltura da criatividade e a autonomia no processo da aprendizagem, além de incentivar a exploração de softwares nas aulas de Matemática.

  Consideramos proveitosas as contribuições e sugestões dos pesquisadores mencionados e, compartilhamos da ideia de Simon quando se refere que “a aprendizagem é como um processo de construção individual e social mediados por professores com a concepção de um trabalho estruturado na qual se entende a aprendizagem dos alunos”, ponderando “o construtivismo como uma teoria epistemológica que não define uma orientação particular de ensino”.

  Assim, o desenvolvimento do conhecimento está presente no professor ou no ensino realizado, apreciamos o desenvolvimento das THAs como uma possibilidade de permitir ao professor a construção de uma prática pedagógica que capacite seus alunos a percorrerem o caminho da aprendizagem em Geometria Espacial.

  Assim, uma THA possibilita organizar não apenas o plano de ensino do professor, mais alia também fatores importantes, como: objetivos e as atividades das aprendizagens, o pensamento e o conhecimento do estudante, como fatores essenciais em seu Ciclo de Conhecimento Matemático apresentado por Simon que iremos descrever mais adiante.

  Observamos que, com os aspectos de organização do ensino, está o trabalho do professor em relação ao desenvolvimento do conhecimento de assuntos relacionados à Geometria Espacial nos alunos, possibilitando verificar em que medida esses alunos comprometem-se nas atividades planejadas e, ao mesmo tempo, buscando observar como esses professores se comunicam com a maneira de pensar dos alunos, que ideias os alunos têm sobre assuntos geométricos de forma que o professor sistematize os conhecimentos de fato.

  Simon (1995) relata que o ciclo de aprendizagem da Matemática consiste em uma dinâmica do envolvimento entre professor e aluno que pode potencializar a construção do conhecimento.

  Sabemos que ensinar é um ato complexo, em razão de uma série de interferências, sociais, culturais e do próprio currículo da Matemática. No entanto, consideramos que as THAs fornecem ao professor um papel desafiador pelo próprio contexto da interação entre o pensamento dos alunos e as interferências do professor.

  APÍTULO C

  2 A CONSTRUđấO DAS TRAJETốRIAS HIPOTÉTICAS DE

APRENDIZAGEM SOBRE GEOMETRIA ESPACIAL

  Neste segundo capítulo, propomo-nos a descrever o percurso para construção da primeira versão das THAs. Relatamos a justificativa de cada atividade. Incluímos nosso plano para atividades de aprendizagem e análises da primeira versão das THAs pelos professores colaboradores, com base em nossa avaliação, referente ao conhecimento atual dos estudantes aos quais serão oferecidas as atividades das THAs.

  2.1 A construção das THAs

  Para a construção das trajetórias hipotéticas de aprendizagem sobre Geometria Espacial, baseamo-nos nas discussões do grupo de pesquisa, experiência de nossa prática docente e, em estudos preliminares, como as revisões bibliográficas apresentadas no capítulo anterior desta dissertação, documentos oficiais e artigos.

  

2.2 Motivações para a elaboração da primeira versão das Trajetórias

Hipotéticas de Aprendizagem em Geometria Espacial.

  Construir Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem sobre Geometria Espacial caracterizou-se como um grande desafio. Ao atuar como professores de Matemática e, lecionar para turmas do Ensino Médio percebemos que os estudantes têm sérios comprometimentos em relação à aprendizagem com temas envolvendo Geometria, de modo geral. A partir desta e de outras inquietações, ao longo de nossas experiências, notamos que tais deficiências são geradas basicamente por dois grandes motivos: 1) não terem tido contato com conteúdos de Geometria Espacial; 2) não serem potencializadas atividades que provoquem os estímulos e os objetivos desse ensino. Logo, por esses motivos, esses estudantes quando se deparam com atividades ou mesmo exames externos que envolvam esses conteúdos não mostram um desempenho satisfatório.

  Por outro lado, Simon (1995) relata que, uma trajetória hipotética de aprendizagem fornece ao professor a possibilidade de construir seu projeto de decisões, tomando como premissas suas melhores suposições de como o conhecimento poderia ser processado e o mais interessante é a suposta alteração das atividades que ocorrerão em razão das influências do pensamento do aluno. Então, compartilhar na elaboração de um suposto caminho que viabilize a compreensão de assuntos envolvendo Geometria Espacial utilizando o conhecimento do aluno concatenado com nossas hipóteses é no mínimo provocador e estimulante.

  A seguir, destacamos algumas considerações sobre a importância do ensino e aprendizagem de Geometria apresentadas nos recentes documentos oficiais:

  De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM, BRASIL, 1999), os elementos norteadores que justificam o Ensino da Geometria devem visar à compreensão significativa e aplicação dos principais conceitos da Geometria desenvolvendo, entre outras habilidades e competências, a de identificar, representar e utilizar o conhecimento geométrico para aperfeiçoamento da leitura, da compreensão e da ação sobre a realidade.

  As Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEM+, BRASIL, 2002), destacam como essencial para a formação do indivíduo não só a leitura como domínio da língua portuguesa, bem como a necessidade de compreender a situação proposta como um todo, para ser possível não apenas resolver a situação, mas, intervir na solução final, ou seja, espera-se que o estudante ao término da escolarização básica seja competente na resolução de problemas, se não de todos, pelo menos dos que permitam desenvolver formas de pensar em Matemática (PCN+,BRASIL, 2002, p. 112). O mesmo documento alerta, quanto ao tema estruturador relacionado à Geometria na qual os temas devem ser articulados, possibilitando ao educando estabelecer relações de forma consciente no sentido de caminhar de maneira eficaz no processo de ensino e aprendizagem, ou seja, o aluno precisa entender o real significado da aprendizagem em Geometria e:

  Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para compreensão e construção de modelos para resolução de questões matemáticas e de outras disciplinas. Como parte integrante desse tema, o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução de problemas (PCNEM +, BRASIL, 2002, p. 123).

  Como complementos às discussões das equipes técnicas dos sistemas Estaduais de Educação surgem as Orientações Curriculares para o Ensino Médio

  • – volume 2, com o objetivo de contribuir para a qualidade do ensino da aprendizagem dos estudantes e endossa a importância dos conhecimentos de Matemática, agregarem o desenvolvimento de habilidades que caracterizem o “pensar matematicamente”. Nesse contexto, o estudo da Geometria deve:

  Possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida... E complementa; o trabalho de representar as diferentes figuras planas e espaciais, presentes na natureza ou imaginadas, deve ser aprofundado e sistematizado nesta etapa de escolarização. Alguns conceitos estudados no ensino fundamental devem ser consolidados, como, por exemplo, as idéias de congruência, semelhança e proporcionalidade, o Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras. (OCEM, BRASIL, 2006, p. 75/76).

  Agregados a essas leituras e discussões, temos os conhecimentos da própria docência que nos permitiram elaborar uma primeira versão da trajetória hipotética de aprendizagem, considerando o estudante como agente principal de sua aprendizagem, levando em consideração as interações entre professores e estudantes no processo de ensino e aprendizagem em uma perspectiva construtivista.

2.3 Definições de expectativas para aprendizagem dos estudantes

  Sabemos que os assuntos envolvendo Geometria Espacial para o segundo ano do Ensino Médio são amplos. Assim, na abordagem de seu ensino, há destaque para expectativas de aprendizagem relacionadas a volumes e áreas de objetos geométricos. Observamos que não existe preocupação de incentivar os estudantes para que investiguem as relações e propriedades fundamentais da geometria em três dimensões. Estas focam a aprendizagem em uma prática pedagógica desenvolvida por meio de uma aplicação linear, ditando fórmulas para resolução das atividades.

  Assim, para delimitar nosso trabalho, definimos algumas expectativas de aprendizagem para os estudantes que podem ser importantes para desenvolver o raciocínio do pensamento geométrico. Estas expectativas são identificadas a seguir:

  Usar formas geométricas tridimensionais para representar ou visualizar partes do “mundo real”; Associar objetos sólidos às suas diferentes representações bidimensionais; Reconhecer elementos e características de prismas, estabelecendo relações entre vértices, faces e arestas e elaborando conjecturas sobre tais relações

  Explorar os Poliedros Regulares, seu papel na arte e na explicação sobre o universo; Explorar secções cônicas, identificando suas curvas em objetos tridimensionais.

2.4 Considerações a respeito do software Poly

  Ao elaborarmos as THAs, buscamos diversificar as estratégias de trabalho em diferentes atividades, entre elas, o recurso tecnológico como um dos meios alternativos de incentivar os alunos no processo de ensino e aprendizagem. Assim, optamos por proporcionar aos alunos o programa Poly, por dois motivos: (1) ser um programa livre (versão avaliação) e de manipulação; (2) a investigação da própria tarefa em explorar poliedros convexos, permitindo aos estudantes realizarem conjecturas por meio da visualização e rotação das imagens.

2.4.1 O programa Poly

13 O programa Poly é um software educacional, tipo shareware, que foi

  desenvolvido pela Pedagoguery Software Inc. Tem como finalidade, auxiliar os estudantes a investigarem algumas categorias de sólidos geométricos, entre eles os poliedros regulares, sólidos arquimedianos e prismas. Este programa possibilita aos estudantes analisarem dinamicamente, em três diferentes maneiras de manipulação: imagens tridimensionais, planificações e incrustações topológicas no plano. Embora o programa Poly não possua características de programas interativos que permitem a criação e a manipulação de figuras, com base em suas propriedades, é um importante recurso tecnológico para os estudantes utilizarem em sala de aula, pois permite uma rápida visualização, promovendo aulas investigativas em relação aos assuntos de Geometria.

2.5 Hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes

  Conforme menções anteriores, esta pesquisa sobre Geometria Espacial tem por objetivo verificar como podem ser organizadas e desenvolvidas THAs em sala de aula, considerando que algumas metodologias e/ou estratégias possam contribuir para a aprendizagem dos estudantes, norteadas por: abordagens que 13 ____________ WWW.peda.com/poly/welcome.html. explorem situações interdisciplinares e contextualizadas a serem desenvolvidas por meio de resolução de problemas e utilização de recursos tecnológicos, como por exemplo, uso de softwares. Particularmente, nesta THA utilizamos o software Poly.

  Com relação à interdisciplinaridade e contextualização, os PCNEM destacam que são recursos complementares para ampliar as inúmeras possibilidades de interação entre disciplinas e entre as áreas nas quais disciplinas venham a ser agrupadas (PCNEM, BRASIL, 1999, p. 97).

  Quanto ao uso de tecnologia, as OCEM afirmam que, “há programas de computador (softwares), nos quais os alunos podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos”. Na sequência, enfatiza que esses softwares:

  Apresentam recursos que provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza o “pensar matematicamente”, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas (OCEM, 2006, p. 88).

  Para explorar essas metodologias e/ou estratégias de ensino, nossa justificativa deriva da observação de como as aulas de Matemática são constantemente desenvolvidas e apresentadas aos estudantes do Ensino Médio. No decorrer de nossas experiências docentes e contato com pesquisas desenvolvidas na área de Educação Matemática, notamos que o ensino da Geometria além de ser negligenciado, quando ocorre sua abordagem de ensino, muitas vezes, desenvolve-se de forma linear, utilizando-se de repetições da técnica estudada. Neste aspecto, conceitos geométricos são simplesmente expostos aos estudantes, que os utilizam por intermédio da memorização de técnicas e regras matemáticas.

  Sabemos que a Geometria Espacial é ferramenta importante no contexto das várias áreas do conhecimento. Sem os aspectos geométricos, não poderíamos representar as diversas situações, características e necessidades de outras áreas do saber, que estão representadas em suas ricas formas de exposição e representatividade, desde a mais remota civilização.

  Assim, uma trajetória hipotética de aprendizagem sobre a Geometria Espacial, utiliza-se de um contexto interdisciplinar e, em alguns momentos, da contextualização histórica, de modo que o estudante possa mobilizar seus conhecimentos matemáticos e aplicá-los em outras áreas do conhecimento e no próprio conhecimento da Matemática.

  Sendo assim o grupo de pesquisa que estamos inseridos, considera que essas metodologias vêm ao encontro do que Simon (1995) aprecia ser importante no decorrer do desenvolvimento das THAs, isto é, o papel do professor passa de transmissor para mediador e colaborador do conhecimento. Nesse processo, o estudante passa a ser o agente principal de sua própria aprendizagem.

  No entanto, destacamos que o processo de ensino construtivista da aprendizagem ao qual Simon (1995) refere-se, não é aquele no qual os professores deixam seus estudantes construírem seus conhecimentos a seu modo (sem orientação devida). Mas, a partir de um plano de ensino, com objetivos prédeterminados, possa conjecturar hipóteses de aprendizagens, interagir com o pensamento dos estudantes para promover capacidade de simular estratégias para enfrentar e resolver determinadas situações-problema contextualizadas, interdisciplinares e da própria Matemática, intervindo e refletindo em novos conhecimentos

  A seguir, apresentamos, resumidamente, nossas hipóteses sobre a aprendizagem dos alunos: H1 – Envolver áreas afins, aplicações em diferentes ciências, contribuir para que o aluno perceba que os conhecimentos matemáticos estão relacionados a acontecimentos naturais e sociais, em diferentes contextos da realidade (perspectivas da interdisciplinaridade e da contextualização);

  H2 – Uma THA deve contemplar sempre que possível, em diferentes momentos e dependendo dos objetivos pretendidos, tarefas como: resolução de problemas, investigações e de atividades com a finalidade de sistematização e mesmo treino de alguns procedimentos; H3 – Nas situações de aprendizagem (em particular de Geometria Espacial), é importante explorar a construção do pensamento geométrico, por meio do reconhecimento e associação de objetos do “mundo real” com figuras geométricas tridimensionais, construção e manipulação (material concreto) dos sólidos, desenvolver a capacidade de visualização e suas diferentes representações bidimensionais (planificações de um mesmo sólido), bem como estimular os registros na língua materna (leitura e interpretação de texto) que presumimos ser pouco explorado durante as aulas. E, por fim, utilizar-se de recurso tecnológico, como um dos meios de estimular o aprendizado dos alunos nas aulas de matemática.

2.6 Composição e elaboração da primeira versão das THAs

  Apoiados nas leituras realizadas sobre estudos em Educação Matemática,

  14

  15

  16

  documentos oficiais, como por exemplo: PCNM , PCNM+ e OCEM , e no levantamento de pesquisas em Educação Matemática a respeito de temas do ensino e aprendizagem de Geometria e, em nossos conhecimentos e

  17

  experiências em sala de aula, foi elaborada a primeira versão das Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem de Geometria Espacial.

  Para cada expectativa de aprendizagem, estabelecemos um objetivo geral, acompanhado do objetivo específico na composição de cada tarefa. A versão destinada ao professor colaborador apresenta as devidas orientações para cada atividade.

  ____________ 14 15 Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 1999. 16 Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 2002.

  

Orientações Curriculares para o Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias,

17 2006.

  Anexo C.

2.6.1 Elaboração da primeira atividade Primeira atividade - composta de cinco tarefas.

  Objetivo geral: reconhecer formas geométricas tridimensionais para representar ou visualizar partes do “mundo real”. − Associar objetos do “mundo real” com figuras geométricas Objetivos específicos:

  tridimensionais; Reconhecer o nome de alguns sólidos geométricos e esboçar o desenho − Identificar convexidade em figuras tridimensionais; desses sólidos; Identificar os diferentes polígonos que compõem o prisma.

  Como nossa proposta de trabalho baseia-se em uma perspectiva construtivista de ensino e aprendizagem, em vez de começar pela teoria, a primeira atividade parte do reconhecimento das figuras tridimensionais presentes no “mundo real” e explora o estudo dos sólidos geométricos. Propicia aos estudantes explicitarem para si e aos colegas características de figuras consideradas planas e não-planas, reconhecendo nelas formas geométricas tridimensionais que representam o espaço onde estão situados.

  Elaboração

  Para a construção da primeira atividade, tivemos como objetivo geral a preocupação de estimular a aprendizagem dos estudantes quanto ao aspecto de reconhecer formas geométricas tridimensionais para representar ou visualizar partes do “mundo real”. A proposta curricular para o Ensino Médio destaca: “Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para resolução de questões de matemática e de outras disciplinas” (PCNM+, BRASIL, 1999, p. 123). Nesse contexto, a primeira atividade foi composta por cinco tarefas que consideramos serem estímulos para iniciar a exploração de conhecimentos sobre Geometria Espacial, em que os estudantes têm conhecimentos anteriores e experiência do mundo que os rodeia. Logo, a tarefa 1 teve como objetivo específico a associação de objetos do “mundo real” com figuras geométricas tridimensionais, a fim de incentivar os estudantes a perceberem as associações das construções realizadas por meio do olhar humano, suas necessidades e o quanto de influência existe nessa relação “mundo real” e objetos tridimensionais.

  Na continuação, temos a tarefa 2, cujo objetivo específico foi reconhecer o nome de alguns sólidos geométricos e esboçar o desenho desses sólidos. Para isso, solicitou-se aos estudantes o uso de dicionários para encontrar o significado das palavras, estabelecendo certa autonomia no processo de aprendizagem, pois o professor pode disponibilizar diferentes dicionários e, no final da tarefa, os próprios alunos podem socializar suas buscas, expandindo as informações a toda sala, propondo também uma breve discussão sobre os significados encontrados, incluindo relações com as figuras tridimensionais apresentadas na tarefa 1 desta primeira atividade. Após a busca pelos significados das palavras, acreditamos que os estudantes possam representar essas figuras por meio de seus esboços, conforme foi solicitado na mesma tarefa.

  Nossa pesquisa referiu-se a uma proposta metodológica construtivista, consideramos que, após as explorações das tarefas 1 e 2, os estudantes tivessem condições de perceber que a parte da Matemática que estuda as formas tridimensionais denomina-se Geometria Espacial e pode ser explorada em dois grandes grupos: Corpos redondos: os que apresentam superfícies arredondadas, como por exemplo, o cilindro, cone e a esfera; e Poliedros: os que apresentam apenas superfícies planas, sendo os poliedros considerados convexos e não-convexos, citando alguns exemplos destas explorações.

  Em seguida, finalizamos a primeira atividade com as tarefas 3 e 4, cujos objetivos específicos foram, respectivamente, identificar a convexidade em figuras tridimensionais e identificar os diferentes polígonos que compõem o prisma de base pentagonal.

2.6.2 Segunda atividade

  Segunda atividade – composta de cinco tarefas Objetivo Geral: reconhecer objetos sólidos e suas diferentes

  representações bidimensionais.

  Objetivos específicos: − Perceber as diferentes planificações do tetraedro; − Desenhar as diferentes planificações do cubo;

  Investigar as planificações do cone e do cilindro; − Identificar a representação bidimensional de uma embalagem; e

  − Identificar a planificação de objetos tridimensionais;

  A segunda atividade visou a favorecer o desenvolvimento do pensamento geométrico dos estudantes em relação às diferentes planificações de um mesmo sólido geométrico, bem como reconhecer as planificações de algumas figuras tridimensionais, facilitando o trabalho com as áreas das superfícies de sólidos em estudos futuros.

  Elaboração

  A preocupação para elaborar a segunda atividade, cujo objetivo geral foi reconhecer os objetos sólidos e suas diferentes representações bidimensionais que surgiram dos resultados insatisfatórios de algumas atividades fornecidas durante minhas experiências em sala de aula.

  Quando do desenvolvimento de algumas tarefas relacionadas a encontrar a área de superfícies sólidas, os estudantes enfrentavam dificuldades para visualizar suas faces. E, também, pelo fato de alguns livros didáticos apenas apresentarem a planificação dos sólidos de maneira pronta e em uma única representação bidimensional, não estimulando outras maneiras de planificar um mesmo sólido. Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio – OCEM: “... as expressões que permitem determinar a medida da área das superfícies dos sólidos podem ser estabelecidas facilmente a partir de suas planificações”. (OCEM, BRASIL, 2006, p. 76).

  Nesse sentido, a segunda atividade compõe-se por cinco tarefas: as duas primeiras exploraram as diferentes planificações que podem ser feitas ao tetraedro e ao cubo, possibilitando aos estudantes identificar estratégias para encontrar essas planificações. Na sequência, investigou-se como podem ser representadas as planificações do cilindro e do cone. Já as tarefas 4 e 5 contemplaram os objetivos específicos para identificar a representação bidimensional de uma embalagem e Identificar a planificação de objetos tridimensionais, respectivamente. O último item da tarefa 5 exigiu dos estudantes a justificativa para cada erro cometido ao tentar planificar um tetraedro, uma vez que a primeira tarefa era relacionada a explorar as diferentes planificações desse sólido geométrico.

2.6.3 Terceira atividade

  Terceira atividade – composta de quatro tarefas Objetivo Geral: reconhecer elementos e características de prismas e

  pirâmides, estabelecendo relações entre o número de vértices, faces e arestas elaborando conjecturas sobre tais relações. − Diferenciar prismas de pirâmides; Objetivos específicos:

  − Reconhecer elementos e características de prismas e pirâmides, − Estabelecer relações entre a quantidade de vértices, faces e arestas e estabelecendo relações numéricas de seus elementos; identificar a relação de Euler em poliedros convexos; e Aplicar a relação de Euler em situações-problema.

  A terceira atividade teve o objetivo de reconhecer elementos e características de prismas e pirâmides, propondo aos estudantes que estabelecessem suas propriedades e as representassem por meio da linguagem matemática.

  Elaboração

  O objetivo geral da terceira atividade foi reconhecer elementos e características de prismas e pirâmides, estabelecendo as relações entre vértices, faces e arestas elaborando conjecturas sobre tais relações.

  Esta atividade foi composta de quatro tarefas, sendo o objetivo específico da tarefa: diferenciar prismas de pirâmides, propondo aos estudantes relatarem suas conjecturas em relação às suas características.

  Na tarefa 2, o objetivo específico foi reconhecer elementos e características de prismas e pirâmides, estabelecendo relações numéricas entre seus elementos, com base nos dados inseridos nas duas tabelas apresentadas aos estudantes, com o propósito deles perceberem tais relações numéricas e as registrarem na atividade. Um processo análogo ocorreu com a tarefa 3, cujo objetivo específico foi estabelecer as relações entre vértices, faces e arestas e identificar a relação de Euler em poliedros convexos, momento oportuno para institucionalizar essa relação. Para finalizar a terceira atividade, a tarefa 4 teve como objetivo específico a aplicação da relação de Euler em situações-problema.

2.6.4 Quarta atividade

  Quarta atividade – composta de cinco tarefas Objetivo Geral: explorar os “Poliedros Regulares”, seu papel na arte e nas

  explicações sobre o Universo. − Explorar os poliedros regulares por meio do software Poly e investigar Objetivos específicos: suas propriedades;

   Verificar a existência de apenas cinco poliedros regulares por meio da − Explorar a história dos “Poliedros de Platão” na literatura e provar a construção de polígonos regulares; existência de apenas cinco poliedros regulares com base nas − Identificar a relação de Euler nos sólidos considerados poliedros informações do texto; regulares e, com auxílio dessa relação demonstrar a existência desses − Pesquisar sobre os poliedros regulares, seu papel na arte e nas poliedros regulares; explicações sobre o Universo.

  Elaboração

  A quarta atividade teve como objetivo geral explorar os poliedros regulares, seu papel na arte e nas explicações sobre o Universo. Este é um momento rico e oportuno para investigar os diferentes aspectos de interesses desses poliedros e especial atenção do por que da existência de apenas cinco poliedros regulares.

  Para isto, a quarta atividade foi composta por quatro tarefas. Sendo reservada para a tarefa 1, uma exploração desses poliedros no ambiente informatizado, com o propósito de investigarem virtualmente aspectos de suas propriedades. Consideramos que, embora as escolas públicas estejam estruturadas com sala de informática, pouquíssimos alunos e professores têm acesso às novas tecnologias de comunicação em relação a softwares matemáticos para complementar seus estudos e aprendizagens no espaço escolar.

  Ressaltamos que recursos tecnológicos fazem parte do contexto da sociedade contemporânea que embora este recurso não seja o único meio de aprendizagem, o mesmo é um meio de colaborar de modo investigativo nas aulas de Matemática.

  Em relação à tarefa 2, procuramos explorar a construção desses sólidos, no intuito de perceber suas propriedades por meio de situações empíricas. Lauro (2007) ressalta em sua pesquisa a importância entre a articulação dos quatro processos necessários à construção de conhecimentos geométricos: Percepção – Construção – Representação – Concepção.

  Escolhemos algumas atividades diversificadas para a quarta atividade, porque, quando os Poliedros Regulares são apresentados aos estudantes, geralmente, é de forma direta, como os livros didáticos apresentam, destacando seus elementos e disponibilizando suas propriedades de maneira linear.

  Desse modo, não propicia aos estudantes conjecturarem a respeito de suas características, prejudicando o entendimento do porque da existência de apenas cinco poliedros regulares, ficando apenas a memorização desse assunto.

  A inserção do texto, nesta atividade, foi no sentido de retratar um pouco da história desses sólidos e suas influências, para que os estudantes refletissem e percebessem que o conhecimento também é produto de algumas investigações do passado. Como complemento da exploração e conjecturas nesse processo de aprendizagem, inserimos uma pesquisa, no intuito dos estudantes refletirem a respeito das explorações desses conhecimentos na transformação de fatos relevantes na sociedade e como esse conhecimento vem sendo divulgado ao longo dessa trajetória.

2.6.5 Quinta atividade

  Quinta atividade – composta de seis tarefas Objetivo Geral: explorar seções cônicas, identificando suas superfícies em

  objetos tridimensionais.

  Objetivos específicos: Identificar os sólidos de revolução por meio da rotação completa de − Associar a rotação de figuras planas aos sólidos de revolução; superfícies; − Relacionar as curvas cônicas às superfícies dessas secções; − Perceber as superfícies curvas resultantes de alguns cortes no cilindro;

   Relacionar as curvas cônicas às diferentes representações do “mundo − Pesquisar sobre as secções cônicas e suas influências nos avanços e real”; transformações da sociedade.

  Elaboração

  Esta quinta atividade teve como objetivo geral explorar seções cônicas, identificando suas superfícies em objetos tridimensionais. A motivação para desenvolvê-la deriva das dificuldades apresentadas pelos estudantes, quando assuntos envolvendo Geometria analítica, por exemplo, necessitam de conhecimentos prévios para relacionarem as curvas cônicas às superfícies das secções de cones.

  Inicialmente, visou desenvolver nos estudantes a capacidade de identificar os sólidos de revolução por meio da rotação completa de superfícies, associar a rotação de figuras planas aos sólidos de revolução e conjecturar que figuras geométricas planas potencializam a geração de diferentes sólidos de revolução. Explorar a percepção das superfícies curvas resultantes de algumas inclinações do cilindro contendo um líquido; investigar a percepção das diferentes inclinações do plano quando intercepta a(s) geratriz(es) do cone, servindo-se de uma breve história do surgimento dessas superfícies curvas com objetivo de explorar as secções cônicas, identificando a obtenção de diversos cortes com base na inclinação do plano para olhar às influências dessas curvas e sua presença no “mundo real.

2.7 Plano para atividades de aprendizagem

  As atividades de aprendizagem foram organizadas para serem desenvolvidas em 15 aulas de 50 minutos cada. No total foram programadas cinco atividades, cada uma acompanhada de objetivo geral seguida por tarefas matemáticas e seus respectivos objetivos específicos.

  Algumas destas atividades foram programadas para serem desenvolvidas em dupla ou grupo, explorando o diálogo e discussões com os colegas de classe.

  Em relação às estratégias para o professor desenvolver as tarefas, estas foram orientadas quando do primeiro encontro com os três professores colaboradores, no que se refere à perspectiva construtivista da aprendizagem. Sobretudo, para disponibilizarem um “tempo”, para que os estudantes pudessem explorar e tentar resolver as atividades e, em seguida, promover uma discussão das questões institucionalizando o conceito. Esperávamos que o estudante utilizasse conhecimentos adquiridos nas atividades anteriores e conjecturassem propriedades de figuras tridimensionais, estabelecendo reflexões e aplicando os conhecimentos em situações-problema.

  As THAs do aluno diferem-se da versão do professor em razão das sugestões das estratégias para seu desenvolvimento, bem como a resolução das atividades.

  

2.8 Leituras da primeira versão das THAs pelos professores

colaboradores

  Após apresentação do projeto de pesquisa aos professores colaboradores das THAs, o segundo encontro com os três professores teve o propósito de levantar discussões a respeito de prováveis alterações para (re) elaborar as atividades. Dadas as opiniões e/ou sugestões desses professores, o segundo momento tinha a expectativa de construir uma segunda versão das THAs para ser desenvolvida em sala de aula.

  Quando do novo encontro entre professores colaboradores e a pesquisadora para discussão e esboço das futuras alterações e/ou sugestões sobre as THAs, os professores optaram por realizar interferências em relação às tarefas só após desenvolvimento da primeira versão. Mas, todos discutiram e

  

concluíram a respeito de apresentar o objetivo geral e específico de cada

atividade aos estudantes, como meio deles começarem a apropriar-se dos

objetivos de cada aula, como uma postura positiva e organizada de ensino.

  Mas sentiram-se à vontade para relatar que, possivelmente, os alunos encontrariam dificuldades para desenvolver as atividades com temas envolvendo geometria espacial, pelo fato de não terem afinidades com esses temas, considerando que, em conteúdos ligados à Geometria plana, os estudantes demonstram uma série de dificuldades e acrescentaram, ainda, a ausência desses conteúdos desde as séries iniciais como fator responsável pelo estudante não avançar nos conhecimentos sobre Geometria.

  Em contrapartida, afirmaram ser um trabalho desafiador e que as alterações surgiriam no decorrer das experiências em sala de aula, momento este em que os alunos apontariam como retorno suas dúvidas e ansiedades.

  Sentiram-se entusiasmados pelas THAs contemplar momentos com software matemático, mas admitem não ter familiaridade com nenhum tipo de software. Os três professores afirmaram não conhecerem o software Poly.

  Frente à exposição dos três professores colaboradores, organizarmos o roteiro para explanação e familiarização do referido software entre os professores. Em nossas discussões, incluímos uma possível adaptação do espaço físico, para uso da informática, caso a infraestrutura não ficasse pronta até o desenvolvimento da quarta atividade.

2.9 Resultados da discussão das THAs com o grupo de professores colaboradores e proposição da segunda versão da THA.

  Em face dos relatos e discussão sobre a suposta análise da primeira versão das THAs pelos professores colaboradores quanto a primeira versão das THAs sobre Geometria Espacial, não houve alteração na segunda versão das THAs. No decorrer do encontro, a pesquisadora ressaltou a importância de (re) afirmar os objetivos de construir e aplicar uma THA sobre Geometria Espacial, estabelecendo um clima de cooperação e valorizando a voz do professor, visto que uma THA valoriza vários aspectos, inclusive, o compartilhar ansiedades e futuros desafios em relação à construção do conhecimento e o quão importante é o somatório das possibilidades de reorganização da THA, envolvendo professores colaboradores, alunos e pesquisadora. Neste caminho, Simon, 1995 apud Pires, 2008 destaca:

  Que a geração de uma THA prioriza buscar as formas pelas quais o professor desenvolve seu planejamento em atividades de sala de aula, mas também identificar como o professor interage com as observações dos alunos, coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos conhecimentos.

  De fato, a construção de uma THA e todo o processo que a permeia, privilegia uma série de ações conjuntas, como: desde saber ouvir outros profissionais da mesma área, o pensamento que o aluno tem sobre determinado tema e, em especial, saber adequar os momentos, para que ocorram alterações coletivamente, é um processo que Simon destaca como importante em sua pesquisa.

  Nesse sentido, talvez os professores tenha ficado na expectativa de vivenciar o desenvolvimento das THAs sem alterar a primeira versão, em razão da apresentação do roteiro de atividades já determinado.

  Após as discussão desses fatos, professores colaboradores e pesquisadora estabeleceram iniciar o desenvolvimento das THAs sobre Geometria Espacial. Mas, antes decidiram informar aos alunos envolvidos a respeito do projeto de pesquisa. Então o professor-coordenador de escola organizou um horário para que a pesquisadora fosse à sala de aula e expusesse o roteiro do projeto em questão e sua data de início.

  C APÍTULO

  3 O DESENVOLVIMENTO DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM EM SALA DE AULA E A ATUAđấO DOS PROFESSORES E ESTUDANTES

  Neste capítulo, apresentamos alguns dados listados com base no

  18

  relatório de observações do desenvolvimento de cada aula. A finalidade da observação direta teve o propósito de compreender melhor a atuação dos professores em atividades que se apóiam em uma perspectiva construtivista de ensino em relação às atividades organizadas e definições de objetivos de aprendizagem.

  Na ocasião do início do desenvolvimento das atividades, P3 informou que não poderia disponibilizar todas as aulas semanais de Matemática para o desenvolvimento do projeto. Sua justificativa foi motivada por sua turma pertencer ao período noturno, e a grade curricular dispor de quatro aulas semanais.

  Dada a exposição da situação e o cuidado para não comprometer o conteúdo em andamento dos estudantes, P3 disponibilizou duas aulas semanais para o projeto de pesquisa proposto. Desse modo, P3 desenvolvia as tarefas das THAs, sempre às quintas-feiras.

  Para o período vespertino, o desenvolvimento do projeto iniciou-se em 15 de abril de 2009, mas para o período noturno, o início ocorreu a partir da primeira semana de maio de 2009, pelo motivo explanado no parágrafo acima. 18 ____________ Anexo D.

  

3.1 Observações e reflexões em relação ao desenvolvimento das

THAs em salas de aula

  O primeiro contato com as salas de aula pela pesquisadora foi muito importante, no que se refere à explicação de sua presença como observadora do desenvolvimento das atividades pelos estudantes e interações entre eles, professor e a própria pesquisadora.

  Durante o desenvolvimento das THAs, os professores percorriam a sala de aula realizando interferências com os estudantes. Mas, P1, quando verificava que os estudantes não conseguiam progredir nas tarefas, recorria à lousa para explanar o assunto, corrigindo-os. P2 disponibilizava mais tempo e, geralmente, orientava as duplas e/ou grupo sem recorrer à lousa. Embora, P3 realizasse uma breve explanação das definições dos assuntos na lousa, durante as tarefas realizadas pelos alunos, o professor, também disponibilizava mais tempo para que os alunos tentassem realizá-las e, posteriormente sistematizava-as no quadro negro.

  Com frequência os estudantes levantavam perguntas ao professor, no intuito de obter respostas já prontas. Então, o grande desafio, durante o percurso do desenvolvimento das THAs, foi estimular esses estudantes a pensarem sobre suas hipóteses de resolução frente às atividades propostas.

  No entanto, controlar os anseios de estudantes e não responder imediatamente às suas expectativas foi exercício contínuo nas atitudes dos professores colaboradores.

  Sempre havia um desconforto inicial por parte dos estudantes quando não obtinham uma resposta imediata, mas com a interferência do professor ao estimular outras perguntas, para que respondessem à primeira. Com o desenvolvimento das atividades, os estudantes percebiam que respostas imediatas não ajudariam na aprendizagem, mas a estimulação de outros questionamentos esboçava uma espécie de rede de conexões que proporcionava transformação dos questionamentos em informações valiosas para desenvolver as atividades propostas. Isso foi notado pela pesquisadora, mas os estudantes apresentavam uma série de dificuldades quanto aos conceitos de geometria plana.

  Quanto à discussão entre os estudantes que apresentavam alguns conhecimentos geométricos, esclareciam dúvidas, culminando, assim, para o encadeamento das inter-relações existentes entre geometria plana e espacial.

  Quando dos encontros com os professores colaboradores e a pesquisadora, já eram previstas as situações de insucesso com conhecimentos sobre Geometria plana. Logo, em nossas discussões destacamos que a Geometria Espacial seria uma grande oportunidade de entender os conhecimentos da Geometria plana, visto que elas se entrelaçam a toda momento em nosso cotidiano.

  A seguir, descrevemos nossas impressões baseadas no relatório de observações do desenvolvimento de cada aula. Destacamos sete categorias que emergiram da leitura desses relatórios em relação aos acontecimentos das três turmas.

3.1.1 Organização da classe e “clima” dominante

  Os professores colaboradores, ao iniciarem suas aulas, sempre procuravam estabelecer certa ordem em sala de aula, como por exemplo, os estudantes situados cada qual em suas carteiras. Com exceção do professor P3, neste caso, a aula era constantemente interrompida pela entrada dos alunos durante os dez primeiros minutos da aula, visto que pertenciam ao período noturno e alguns alunos chegavam direto de seus trabalhos.

  O professor P1, sempre estabelecia a organização dos alunos individualmente, explicava o assunto e só depois solicitava-lhes que formassem as duplas ou grupos. Ainda orientava as duplas ou grupos, embora estivessem compartilhando o desenvolvimento das atividades cada aluno deveria registrar suas observações em seus respectivos cadernos. Em relação ao professor P2, ficou decidido desde o início das atividades que estas seriam realizadas em dupla ou em grupo. Já o professor P3, não fez orientações quanto à organização da sala e desenvolvimento das atividades. À medida que os estudantes iam chegando, eles mesmos se disponibilizavam, geralmente, em duplas para o desenvolvimento das tarefas.

  

3.1.2 Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de

aprendizagem

  Durante o desenvolvimento do projeto, os três professores não demonstraram dificuldades em relação ao conteúdo matemático proposto.

  Em relação à abordagem e orientações para o desenvolvimento das tarefas, P1 e P3, geralmente recorriam à lousa para explanar os assuntos. A diferença marcante entre eles dava-se pelo modo que disponibilizavam as informações. P1 unia suas explicações verbais às representações e imagens dos sólidos no quadro negro. Já P3, geralmente, fazia uma breve descrição das definições de alguns assuntos, como por exemplo, diferenciação de Geometria plana e tridimensional, prismas e pirâmides, entre outros.

  P2 instigava os alunos com perguntas em relação às tarefas serem desenvolvidas, buscava levantar os conhecimentos que eles possuíam.

  Embora, durante as entrevistas e questionários dos professores, eles tivessem afirmado ministrar suas aulas de forma tradicional, observamos que P1e P3 se apresentava mais tradicional em relação à P2.

  Nas discussões geradas durante o intervalo das aulas, P1 admitia que era muito difícil mudar sua prática, advinda de muitos anos de magistério. Argumentava que não conseguia disponibilizar muito tempo para os estudantes ficarem pensando. Então, após alguns instantes, foi até a lousa e sistematizou a aula prevista para o dia.

  Nesse aspecto P2, era determinada, antes de iniciar suas aulas, solicitava aos alunos que participassem com suas ideias e pensamentos. Só depois desse distribuía as atividades para desenvolvimento.

  Os três professores sempre iniciavam as aulas, destacando os objetivos de aprendizagem. O fato foi destacado por eles durante nossas primeiras reuniões, quando observaram a organização das atividades, acompanhadas de objetivo geral e seus respectivos objetivos específicos em relação a cada tarefa. Segundo os professores, é um modo de chamar a atenção dos alunos para o que se pretende estudar/explicar naquela aula e, também, uma maneira do professor ter clareza em relação à meta de aprendizagem dos alunos. Algumas vezes, o professor lia os objetivos de aprendizagem, outras vezes, solicitava a algum aluno que o fizesse.

  Uma rotina comum, entre esses professores eram as solicitações de trabalhos/pesquisas como complemento das aulas de Matemática. Em relação a trabalhos coletivos, P2 e P3 eram favoráveis, enquanto que P1 apresentava uma postura diferente – orientava os alunos a desenvolverem as pesquisas e trabalhos individualmente. Mas, P1 e P3 apenas solicitavam as pesquisas no formato escrito, acompanhado da conclusão dos alunos. P2 orientava os alunos a apresentarem as pesquisas em duas versões: (1) parte escrita e (2) forma de seminário/ exposição.

  Os professores, também, destacaram que a avaliação do bimestre dar-se- ia pela participação dos alunos no desenvolvimento das atividades e entrega das pesquisas. O professor P1 alertou seus alunos que, algumas vezes, eles iriam trabalhar em dupla ou em grupo, porém cada aluno deveria registrar as tarefas individualmente, sendo cobrado como participação e complemento no desempenho do bimestre.

  

3.1.3 Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e implicações

deles na busca de soluções

  Notamos que os alunos mostravam-se menos inibidos para relatarem sobre suas experiências na realização de tarefas e explorar suas dúvidas quando estavam trabalhando em dupla ou grupo. Percebeu-se certa timidez, que podemos traduzir como receio de perguntar, quando estão realizando as atividades individualmente. Observamos, também, que os alunos tinham um diálogo saudável com os professores envolvidos no projeto. Esse aspecto foi destacado, por meio das dúvidas dos alunos, quando recorriam ao professor.

  Em relação aos textos, alguns alunos não se integraram à leitura imediatamente. Quando um colega iniciou a leitura, aos poucos os demais alunos também se engajavam. O mesmo ocorreu, quando os alunos foram solicitados a demonstrarem a existência de cinco poliedros regulares e a provarem sua existência a partir de informações contidas no texto. Nossa hipótese era que os alunos não tinham contato com textos, nem com demonstrações e provas nas aulas de Matemática.

3.1.4 Dificuldades observadas e possíveis causas

  Durante o desenvolvimento das tarefas, percebemos que os estudantes, de fato não tiveram muito contato com assuntos envolvendo Geometria Espacial. Conforme discussão anterior com os professores colaboradores, essa hipótese veio ao encontro da realidade da sala de aula. Mas, no desenrolar das tarefas, notamos que esses estudantes tinham potencialidade para construírem conhecimentos geométricos. Bastando para isso, ser oferecida a oportunidade.

  Em relação a primeira atividade, apesar dos alunos estranharem o uso de dicionários na aula de Matemática, notou-se um avanço no aspecto de agregar novos conhecimentos em relação a comparar imagens e relacioná-las aos desenhos que foram propostos a esboçar. Destacamos também algumas confusões, como por exemplo, denominar o cubo de “quadrado” sem observar que o cubo tem seis faces quadradas. As dificuldades encontradas por esses estudantes estavam relacionadas com a nomeação dos sólidos, fazendo confusão com a Geometria plana e espacial e, particularmente, na questão de identificar os polígonos que compõem o prisma de base pentagonal, por exemplo.

  Quanto a segunda atividade, percebemos que as maiores dificuldades dos estudantes deram-se, pelo fato, deles não terem contato anterior com planificações de sólidos geométricos. Notamos, também, que a estratégia de utilizar o molde, especialmente, para o tetraedro favoreceu os alunos a conjecturarem sobre outras possibilidades de planificação.

  Embora nenhum aluno tenha conferido que existiam 11 planificações diferentes para representar o hexaedro (cubo), esta foi uma atividade que todos se envolveram bastante, ficaram ansiosos para ver quem construía uma planificação considerada correta. Este foi um momento de troca de informações interessante entre eles. Tanto a observadora, como os professores colaboradores ouviam as seguintes falas: “Não pode ser assim, porque se você tentar fechar a pirâmide não vai conseguir... um lado (se referindo à face) vai ficar em cima da outra”; “Desse jeito, está errado... olha só... tem um ponto (referindo-se ao vértice) que une quatro pontas dos triângulos... na hora de montar vai precisar de uma figura quadrada pra fechar o negócio” (trecho referente a segunda atividade).

  Notamos que relatos como esses mostravam indícios, de que os estudantes apresentam potencialidades de aprendizagem. E as estratégias, neste caso, o apoio do material concreto, são necessários para melhorar a compreensão do estudante, estimulando-os a levantarem hipóteses, verificando seus próprios erros, corrigindo-os entre seus pares.

  No que se refere a terceira atividade, notamos que as dificuldades das tarefas foram marcadas pela confusão para identificar corretamente os elementos dos poliedros. Em relação à descoberta das relações numéricas entre a base de prismas e pirâmides, os estudantes ficaram empolgados para descobrir por eles mesmos estas características. Muitos frisaram que não precisava ficar contando toda hora as arestas, vértices e faces, se souberem essas características. A relação de Euler foi estabelecida sem dificuldade pelos alunos. Apenas tiveram dificuldades para aplicá-la nas situações-problema da tarefa 4, os itens “a” e “c”, justamente, por não se darem conta de que as arestas são contadas em dobro, pelo fato de que duas faces têm uma aresta em comum.

  Durante o desenvolvimento da quarta atividade, os alunos tiveram dificuldade na construção do pentágono e hexágono regular e em relação ao estabelecimento da desigualdade solicitada na tarefa 3. Notamos que as possíveis causas dessas dificuldades, deviam-se aos alunos não terem o hábito de realizar tarefas geométricas, utilizando régua e transferidor, entre outros materiais. Logo, não sabiam construí-los e, também, a ausência de explorar as atividades que possibilitassem demonstração de expressões de desigualdade, como a solicitada na tarefa 3, desta mesma atividade.

  Por último, uma questão que também requeria atenção, referia-se aos textos, tanto a quarta como a quinta atividade disponibilizavam textos para leitura e compreensão da Matemática. Nesse aspecto, alguns alunos estranharam essa situação. Muitos justificaram que os textos eram muito longos. Observamos que considerar os “textos longos” deva-se ao fato de que não estavam familiarizados com eles nas aulas de Matemática.

  

3.1.5 Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou interdisciplinares

e recursos tecnológicos

  Embora os alunos tenham sentido certo estranhamento em relação aos textos que foram abordados nas THAs, observamos o interesse deles para saber sobre aspectos da história da Matemática e sua aplicação. Quanto às tarefas de investigação, os alunos empolgavam-se com as discussões entre os colegas, como por exemplo, na exploração de encontrar outras maneiras de planificar um sólido – chegaram a disputar quem conseguia mais representações das planificações.

  Em relação ao apoio tecnológico, notamos que os alunos interessavam-se mais por esses recursos. Embora esta aula tenha sido prejudicada em termos da sala de informática da escola não estar pronta, os próprios alunos organizaram- se, de modo a se revezarem em dupla e explorarem o programa Poly. Ao passo que as duplas revezavam-se, os demais alunos, acompanhavam as explorações do software pela outra por meio do Data Show disponibilizado pela escola.

3.1.6 Adequação do tempo previsto para as tarefas

  Com exceção da quarta atividade, as demais foram desenvolvidas, conforme as projeções previstas para o desenvolvimento das THAs.

  Os professores tiveram de disponibilizar um número maior de aulas, além das previstas, para que a quarta atividade pudesse ser completada. O motivo referiu-se a problemas relacionados a três aspectos: 1) Adaptação de uma sala para disponibilizar o recurso tecnológico aos alunos; 2) os alunos não levarem materiais (cartolina, régua, compasso, transferidor, etc.) para as produções solicitadas em relação à construção dos polígonos regulares; 3) a própria construção dos sólidos geométricos requereu dos alunos um maior tempo para montá-los.

  Embora esta atividade tenha demandado um maior número de aulas, a mesma provocou nos alunos um envolvimento geral. Primeiro, entusiasmaram-se quando tiveram contato com o programa Poly que, segundo eles, nunca tinham participado de aulas, utilizando a tecnologia nas aulas de Matemática. Um segundo aspecto foi, embora tivessem certa resistência na construção dos polígonos regulares, utilizando materiais como régua e transferidor, que percebiam uma empolgação ao concluírem suas montagens, finalizando-as com decorações, conforme suas preferências.

  

3.1.7 Intervenções do professor durante a realização das atividades,

socialização e sistematização das conclusões

  Entre as intervenções realizadas pelos professores, destacamos as interferências em relação ao vocabulário dos alunos com palavras do contexto da Geometria, sem refletir sobre seu real significado, como por exemplo, utilizar a palavra quadrado para referir-se tanto ao cubo como propriamente ao quadrado. Nossa hipótese, para este caso, deve-se ao fato dos alunos não vivenciarem a manipulação desses objetos e explorarem suas características e propriedades, não favorecendo discussões nesse sentido em situações anteriores. Outro exemplo bastante comum e não menos importante ocorreu com as palavras círculo e circunferência. Sempre que os professores percebiam esses equívocos, imediatamente, os alunos eram alertados para corrigir suas falhas.

  Outro aspecto que destacamos, é em relação à solicitação de pesquisas relacionadas aos temas envolvidos nas tarefas. Na prática desses três professores, parece ser hábito a solicitação de pesquisas. Mas, P1 e P3, apenas solicitaram as pesquisas no formato escrito, acompanhadas de conclusão dos alunos. Já P2, orientou os alunos a apresentarem as pesquisas em duas versões: (1) parte escrita e (2) forma de seminário/ exposição.

  No decorrer do desenvolvimento das tarefas, as observações em relação às interações entre professores e estudantes nos permitiram refletir a respeito não só da atuação dos professores, mas também na participação do aluno na construção do conhecimento de assuntos geométricos.

  Quanto aos professores observamos que existia certa ansiedade em apresentar uma explicitação do conteúdo (definição, elementos, propriedades, etc.) aos alunos e na sequência apresentar as soluções das tarefas, interferindo para refletir e discutir o assunto proposto, prejudicando, assim, a troca de informações entre os alunos.

  Observamos que, muitas vezes, essa ansiedade era gerada em razão da postura inicial dos estudantes. Conforme nossos relatórios, os alunos envolvidos no desenvolvimento das tarefas, geralmente, dirigiam-se aos professores, na busca de obter uma resposta quase que imediata para as tarefas.

  Nossa hipótese para essa situação deve-se ao fato de não haver um hábito de cultivar a investigação dos assuntos matemáticos de modo geral, como por exemplo, buscar verificar os conhecimentos que os alunos disponibilizam durante as aulas, instigando-os a explorem seus pensamentos e ideias, disponibilizando certo tempo para encontrarem possíveis soluções.

  Em contrapartida, observamos que, em alguns momentos, os alunos ficavam em “silêncio” ao iniciar as tarefas. À medida que um dos alunos da turma esboçava conflitos na aprendizagem, imediatamente, outros alunos sentiam-se encorajados a expor suas indagações.

  Embora os três professores colaboradores tivessem compreendido a proposta do projeto e tentasse disponibilizar determinado tempo, para que os alunos esboçassem suas ideias, no intuito de desenvolver um diálogo entre eles, na busca de comunicar e adquirir conhecimento, pois, ao mesmo tempo em que os auxiliavam, estava aprendendo a entender o pensamento dos alunos, verificamos, conforme relatório de nossas observações que esta dinâmica de trabalho deve ser construída e aprimorada.

  Nesse sentido, o desenvolvimento das THAs, proporcionou aos professores reflexões em suas ações pedagógicas, especialmente, na busca de estimular a circulação das ideias, informações e sugestões dos alunos, não se desprendendo dos objetivos de aprendizagem.

  No entanto, é preciso romper com as práticas de ensino, pois, ao mesmo tempo que necessitam conhecer as ideias dos alunos, devem sistematizar os assuntos programados, o que demanda um contínuo exercício de suas ações em sala de aula.

  C APÍTULO

  4 NOVOS CONHECIMENTOS DECORRENTES DA TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM

  Neste capítulo, apresentamos reflexões a respeito da construção dos novos conhecimentos dos professores colaboradores que participaram do projeto, bem como meus conhecimentos na situação de pesquisadora. Na sequencia, pautamos as sugestões para mudanças nas THAs.

  

4.1 Novos conhecimentos dos professores colaboradores – momentos

de reflexões do grupo

  A experiência realizada com o desenvolvimento das THAs em sala de aula possibilitou o levantamento de algumas reflexões por parte dos professores colaboradores nos seguintes aspectos:

  Controlar a ansiedade de explicar e/ou apresentar respostas/resoluções prontas (definições, exemplos prontos, etc.) e observar mais as discussões dos alunos, encaminhando-as em forma de perguntas, direcionando os alunos no sentido de perceber outros possíveis encaminhamentos no percurso do raciocínio. Oportunizar a interação entre os próprios colegas de sala, respeitando o pensar do outro, oferecendo espaço para discussão; A inclusão de texto que retrate a história da Matemática, como reflexão na construção do conhecimento matemático; A importância de desenvolver nos estudantes a construção do pensamento geométrico, de maneira a explorar outros recursos didáticos, além do quadro negro, como por exemplo, materiais concretos, incentivar a construção dos sólidos, utilizando compasso, esquadro e transferidor, com o apoio da tecnologia. Além de pesquisas sobre assuntos básicos de Geometria, como reforço para os estudantes completarem seus estudos referentes ao tema solicitado;

  A importância das pesquisas “chegarem” até o espaço escolar; As THAs possibilitou pensar em um plano de ensino de uma forma mais ampla, assegurando objetivos de aprendizagem, organização das atividades, pensar antes nas possíveis respostas dos alunos. Se no meio do caminho não der certo, é necessário repensar sobre a estratégia de trabalho. Embora, o somatório de itens faça o professor repensar em suas ações em sala de aula, isso tudo leva muito tempo e preparo;

  Uso do software como possibilidade de enriquecer as aulas de Matemática, e envolver os alunos nas tarefas;

  Os estudantes interessam-se mais pelas aulas, quando se engajam em atividades que utilizam material concreto; e Atividades em dupla ou em grupo incentivam a participação dos alunos nas discussões e levantamento de hipóteses na construção do pensamento geométrico. Embora os professores tenham considerado importantes os fatores explicitados acima, eles argumentavam ser difícil mudar a prática de ensino. Destacavam que, há muitos anos, vêm trabalhando de maneira tradicional e admitiam não ser impossível transformar sua metodologia de trabalho. Afirmaram que em uma sala de aula com muitos alunos (48, por exemplo) desenvolver um trabalho na perspectiva construtivista é muito proveitoso, por envolver muitos alunos e seus pensamentos, porém trabalhoso, pois demanda tempo para investigar, listar e discutir os pensamentos dos alunos e, por fim, sistematizar o assunto.

  Acrescentaram, ainda, que é um momento oportuno de perceber que todos ganham, pois alunos e professores aprendem ao mesmo tempo. Mas, é preciso que estejam dispostos a tentar mudar a rotina de trabalho, o que não ocorre de imediato.

  Ao longo do diálogo com os professores colaboradores, percebeu-se que era comum na fala deles, o fator tempo, ou seja, organizar objetivos de aprendizagem, pensar na elaboração de atividades, supor hipóteses dos alunos e rever todo esse processo, reorganizar as tarefas, demanda tempo e disponibilidade para assegurar a participação ativa dos alunos.

  Os professores destacaram que desenvolver as THAs em sala de aula foi um trabalho importante e desafiador, especialmente, por refletirem sobre os objetivos da aprendizagem, justificando que apresentá-los aos alunos proporcionou duas possibilidades: 1) Cuidado com o planejamento de atividades, não fugindo do objetivo de aprendizagem que o professor deseja alcançar com seus alunos; 2) Uma maneira dos alunos estarem “antenados” com o que vai acontecer na aula.

  Embora as reflexões mais destacadas pelos professores fossem direcionadas às dificuldades encontradas por eles e às ações durante o desenvolvimento das THAs em sala de aula, observamos que há um aspecto importante que Simon relata ao listar suas premissas e que os professores também procuraram assumir:

  O conhecimento do professor envolve-se simultaneamente com o crescimento do conhecimento do aluno. Como os alunos estão aprendendo Matemática, o professor está aprendendo sobre Matemática, também aprendendo e ensinando a respeito do pensamento matemático dos seus alunos (SIMON, 1995, apud PIRES, 2009, p. 93)

  Outro aspecto que destacamos foi que o próprio professor parecia ter ciência, ao se referir à mudança de sua prática de trabalho, o que consideramos similar às reflexões de Hiratsuka (2004), quando afirma que mudar implica “estranhamento que poderá conduzir o professor a se abri para o real significado de sua prática e a conscientizar-se do papel do seu ensino, especialmente para a vida do aluno”.

  Finalizamos estas reflexões, destacando que, apesar dos professores considerarem a questão do “tempo” disponibilizado para desenvolver atividades na perspectiva construtivista de ensino (deixarem os alunos exporem suas idéias/pensamentos, discuti-las e na sequência sistematizar o assunto) e afirmarem da dificuldade de mudar sua prática de trabalho, eles manifestaram ter apreciado desenvolver as THAs, pois possibilitou um olhar mais crítico a suas metodologias de trabalho, como por exemplo, o uso de recurso tecnológico, inserção de textos nas aulas de Matemática, bem como aproximar os alunos de questões contextualizadas e/ou interdisciplinares. E, também, um alerta em relação a deixarem os alunos à própria sorte da aprendizagem, como se eles fossem capazes de descobrir estratégias o tempo todo.

  Embora os professores não tenham dado ênfase às discussões a respeito do processo de construção do conhecimento dos alunos, as questões de como interferir nos aspectos das hipóteses de aprendizagem e modificá-las, não podemos deixar de destacar o interesse deles em querer refletir sobre suas metodologias de trabalho.

  

4.2 Novos conhecimentos da pesquisadora – reflexões de uma

professora-pesquisadora

  Fazer parte de uma pesquisa, envolvendo a Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores, já era de início um grande desafio a superar. Considerando que cada professor é único e molda-se diante de suas experiências e adaptações das mudanças não apenas curriculares, mas acima de tudo baseados em sua formação acadêmica, vivencia em sala de aula e seus anseios profissionais.

  Logo, considero um momento de reflexão em vários aspectos, entre eles, o fato de ser professora e estar inserida em um grupo de pesquisa que se dedicou a elaborar THAs, com o propósito de desenvolver subsídios para o processo ensino e aprendizagem de Matemática – outro grande desafio.

  Entretanto, a experiência para elaborar as THAs foi vivenciada por encontros e desencontros não apenas no sentido de realizar escolhas de objetivos de aprendizagem, visto que as pesquisas em Educação Matemática já citadas neste trabalho retratavam a negligência do ensino de Geometria.

  Especialmente enriquecedoras, foram as reflexões que iam surgindo ao vivenciar conflitos na escolha de conteúdos a serem abordados na THA de Geometria Espacial. Não foi uma tarefa fácil selecionar os objetivos de aprendizagem, direcioná-los de maneira a projetar êxito e garantir aprendizagem dos alunos. Embora, tivéssemos ciência de que não existiria uma THA perfeita, tínhamos a preocupação de apresentá-la adequadamente.

  Durante a elaboração das tarefas, tive muitos momentos de angústia, no sentido de envolver atividades que proporcionassem a interdisciplinaridade e contextualização da Matemática. Considero ter explorado mais as questões de investigação nas tarefas elaboradas.

  Deste modo, participar da elaboração das THAs foi um exercício de contínua reflexão, análise de minhas próprias falhas e aceitá-las, como um processo de amadurecimento em minha formação profissional.

  Outro aspecto que considero importante, foi em relação à proximidade das pesquisas em Educação Matemática nas discussões com nosso grupo de pesquisa. Ao mesmo tempo em que essas pesquisas são importantes, incorporá- las em nosso trabalho, não é um processo rápido e fácil. Mas, necessário, pois permite a capacitação constante e atualizada que possibilita aprender sempre em relação às metodologias, teorias e recursos tecnológicos.

  Entretanto, reconhecer a importância dessas pesquisas não é sinônimo de sucesso, especialmente, em relação à aprendizagem do aluno. Verifico que é preciso se indignar com nossas próprias ações pedagógicas, observando que a mudança é necessária para que novos conhecimentos sejam incorporados a nossa prática docente e, que o professor de Matemática precisa buscar um olhar crítico em suas reflexões, na busca de reorganizar suas ações. Outro aspecto que devemos considerar, é o fato desses três professores disponibilizarem-se a desenvolver as THAs com seus respectivos alunos. Considero um ponto de partida para reflexões e futuras mudanças na prática desses professores. Vejo nessa disposição oportunidade de aprendizagem, momentos de refletir sobre nossas concepções e práticas de trabalho (incluo-me, pois antes de ser pesquisadora, sou professora de Matemática).

  Nesse contexto, as THAs propiciaram um papel importante para responder nossas questões de pesquisas. Especialmente sob a perspectiva construtivista de ensino, contribuindo para reflexões em relação à ideia equivocada de deixar os alunos à própria sorte da aprendizagem, como se eles fossem capazes de descobrir estratégias o tempo todo. Mas, é essencialmente, importante na questão do trabalho multifacetado do professor, conforme Simon explícita na Figura 2 (domínios do conhecimento do professor, THA e interações com os alunos) do segundo capítulo desta pesquisa. E, também, reflexões no sentido de assegurar a criação de um ambiente de maior comunicação em sala de aula que permitirá maior participação do aluno na elaboração de seu conhecimento, com os estímulos do ensino e aprendizagem indicado pelo professor durante suas intervenções.

  Compreendi, então, que novos conhecimentos são possíveis quando nos permitimos tentar mudar, refletindo e adaptando nossas escolhas, as escolhas do outro e na busca de informações, bem como a importância de apropriar-se de pesquisas em nossa área de atuação, fornecendo subsídios a nossa formação e na busca de mudar o panorama do ensino e aprendizagem e o currículo de Matemática.

  Considero, também, que acima de tudo é fundamental aceitar nossos limites, pois mesmo estando próximos às pesquisas em Educação Matemática, conhecer um pouco das teorias de ensino e aprendizagem não significa conhecer tudo sobre essas teorias. Daí, a importância de estarmos em contato com essas pesquisas, aproximando-nos desse universo de informações, possibilitando refletir e rever nossas aprendizagens, bem como nossa prática docente.

4.3 Sugestões para mudanças nas THAs

  Assim, incorporar pesquisas na área de Educação Matemática não é um trabalho fácil, indicar mudanças nas THAs, também, não foi diferente, especialmente, por se tratar de assuntos envolvendo Geometria Espacial.

  Quando os professores colaboradores foram discutir e sugerir a respeito das alterações nas THAs desenvolvida em sala de aula, suas sugestões estiveram pautadas em acrescentar mais atividades do que propriamente alterar as tarefas. Os três professores envolvidos no projeto de pesquisa proposto justificaram que as atividades elaboradas contêm expectativas de aprendizagem básicas e importantes para explorar assuntos geométricos. Sugeriram que, futuramente, fosse apresentada uma THA que envolvesse situações-problema que abordando cálculo de áreas e volumes de sólidos geométricos. Mas, não apresentaram as sugestões para inserir mais atividades.

  APÍTULO C

  5 CONSIDERAđỏES FINAIS

  Neste trabalho, buscou-se verificar a possibilidade de compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial e, verificar qual foi a atuação do professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem.

  Ainda que as nossas discussões com o grupo de pesquisa tenham compreendido que:

  Embora o construtivismo tenha apresentado aos professores de Matemática caminhos proveitosos para o entendimento de como se processam as aprendizagens, a tarefa da reconstrução de uma ‘Pedagogia da Matemática’ baseada na visão construtivista é um desafio considerável, no qual a comunidade de Educação Matemática tem apenas começado a trabalhar (SIMON, 1995, apud PIRES, 2009, p. 75).

  Impulsionados pelo desafio de elaborar Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagens organizadas com base nos objetivos, hipóteses de aprendizagens dos alunos, expectativas de alterações das tarefas a partir da interação aluno- professor, concordamos com Simon, quando afirma ser um “desafio” e consideramos que sua valorização e incorporação depende especialmente, da atuação do professor de Matemática, pois é ele quem vivencia a dinâmica da sala de aula. Assim, retomamos às nossas questões de pesquisa com o objetivo de apresentar nossas considerações: Em relação a compatibilizar perspectivas construtivistas de

  

aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e

professor, no caso particular da Geometria Espacial, percebemos que,

  embora a teoria construtivista não estipule um caminho definitivo para a aprendizagem dos alunos, verificamos que suas contribuições podem ser significativas no processo de ensino e aprendizagem. Desde que o professor garanta não apenas uma organização e decisão dos conteúdos matemáticos e tarefas que serão desenvolvidas pelos alunos, mas, investigue o pensamento do aluno durante a realização das atividades em sala de aula, de modo a enriquecer e reformular as expectativas estabelecidas anteriormente, redirecionando o planejamento de aulas.

  Embora os professores não tenham alterado significativamente as THAs, notamos que o desenvolvimento do projeto e o compartilhar discussões, baseadas na dinâmica da sala de aula proporcionou aos professores reflexões sobre suas práticas pedagógicas e, consequentemente sobre as hipóteses de aprendizagem dos alunos.

  Notamos que as THAs são potencialmente ricas, no sentido de produzir situações em que o professor cogite e participe constantemente da (re) organização do planejamento escolar. Mas, compreendemos que as THAs, por si só, não garante uma aprendizagem com perspectivas construtivistas.

  Concordamos com Simon, quando o autor alerta que a “Educação Matemática não produzirá métodos com ideias fixas ou plataformas para as ações docentes, e as estruturas metodológicas deverão sempre suportar transformações experimentais”.

  Nesse contexto, as THAs, oferecem um panorama de inter-relações cíclicas dos aspectos do conhecimento do docente, pensamento, tomada de decisões, bem como interação dos alunos. Portanto, uma oportunidade do professor gerenciar não só conteúdos, mas tarefas matemáticas, bem como modelá-las pelo encontro de uma perspectiva construtivista de ensino, à medida que ocorre a influência mútua entre professor e aluno.

  Deste modo, as premissas listadas por Simon, baseadas no Ciclo de aprendizagem de Matemática, além de fundamentais, são desafiadoras no processo para compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, pois o professor precisa envolver-se com o pensamento/entendimento dos alunos, para buscar compreender seus pensamentos na resolução matemática, gerando a transformação constante do conhecimento do professor, bem como sua (re) organização na elaboração das atividades.

  Assim, consideramos, conforme já mencionado por diferentes autores, que o professor exerce papel fundamental na mediação da construção do conhecimento de seus alunos. Muito embora entendamos que a perspectiva construtivista congregada à planificação do ensino não garanta sucesso nas práticas pedagógicas. Observamos que, no mínimo, podem garantir um caminho para a reflexão da atuação do professor, tanto no aspecto profissional como no processo de ensino e aprendizagem dos estudantes.

  Quanto à atuação do professor de Matemática no que se refere às

  

atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma

perspectiva construtivista de aprendizagem, consideramos que a dinâmica

  oferecida por meio das tarefas das THAs em Geometria Espacial proporcionou aos docentes outro olhar na possibilidade de atuar em sala de aula. Como, por exemplo, na diversidade de recursos didáticos e inclusão de textos, favorecendo a aprendizagem dos alunos.

  Embora os professores afirmassem que, em suas metodologias de trabalho, não tinham o hábito de utilizar manipulação de matérias e nunca tinham usado recursos tecnológicos para enriquecer suas aulas sobre assuntos de Geometria Espacial, observamos que esses recursos podem ser instrumentos valiosos para a efetivação das tarefas solicitadas. A esse respeito Simon (apud, PIRES, 2009), comenta que “indicações sobre a importância da interação de pequenos grupos e a manipulação de materiais, por exemplo, podem ser instrumentos valiosos nas mãos dos professores de Matemática”. No entanto, Pires afirma que estes “instrumentos não são suficientes para permitir que professores sejam arquitetos da produção de situações de aprendizagens que resultariam em crescimento conceitual de seus alunos”.

  Faz se necessário, portanto, que novamente o professor tenha uma atuação frente às novas possibilidades de metodologias, enfrentando o desafio de estar atualizado com pesquisas em sua área de atuação e cursos de formação continuada. Verificamos que apenas a seleção e organização dos conteúdos não podem ser o único critério de atuação do professor. As atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem levam em consideração aspectos relacionadas à utilização de recursos diversificados, bem como as interações que ocorrem no desenvolvimento de tarefas.

  Portanto, valorizar e melhorar o desempenho dos alunos depende muito da atuação do professor. Logo, especialmente, ele decide sobre a disposição de aproximar-se do universo das diferentes possibilidades de metodologias e procedimentos didáticos. O caminho continua sendo desafiador, pois é necessário estar engajado no processo permanente de construção do saber, ou seja, no mínimo estar a par das pesquisas relacionadas à sua área de atuação.

  Nossas discussões decididamente são cada vez mais pautadas no sentido de que o professor de Matemática deve buscar a reflexão em todas as suas ações que, a partir delas, deve compreender e readaptar suas ações, no constante desafio de rever suas práticas pedagógicas. Portanto, a apropriação efetiva de resultados de pesquisas relevantes sobre o conhecimento matemático de alunos, inovações curriculares, planejamento, construções de atividade, são fundamentais para melhorar a qualidade de ensino dos estudantes.

  Salientamos que esta investigação sobre THAs é apenas um desafio inicial para futuros trabalhos que pretendem objetivar contribuições para a Educação Matemática e suas ações na dinâmica da sala de aula.

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  _____. Matemática e sua inserção curricular. São Paulo: Ed. PROEM, 2006. _____. Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: um encontro com as formulações de Martin Simon. Revista Educação Matemática. São Paulo, v. 11, nº 1, pp. 70-89, 2009. PONTE, J. P. Perspectivas de desenvolvimento profissional de professores de Matemática. In: João Pedro Ponte et al org). Desenvolvimento Profissional de Professores de Matemática: Que Formação? Lisboa: SPCE 1995.

  SấO PAULO (ESTADO) SECRETARIA DA EDUCAđấO. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o ensino de Matemática no segundo grau. São Paulo, SE/CENP, 1992.

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  XIMENES, S. Minidicionário da Língua Portuguesa. São Paulo: Ediouro - 2ª ed. 2000, p. 192.

  Endereços eletrônicos

  http:/anped.org. br http://houaiss.uol.com.br http:// images.google.com.br WWW.peda.com/poly/welcome.html

  A NEXOS ANEXO A - Questionário para os professores colaboradores PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO Programa de Estudos Pós-Graduação em Educação Matemática

  

Escola Estadual ____ ________________________________________

Pesquisa: Professor colaborador da THA em Geometria Espacial.

  Caro (a) Professor (a), Esta pesquisa é parte integrante da dissertação de mestrado profissional em Ensino de Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, intitulada: UMA ABORDAGEM DE GEOMETRIA ESPACIAL PARA O ENSINO MÉDIO NUMA PERSPECTIVA CONSTRUTIVISTA e tem por objetivo traçar um perfil da opinião do professor colaborador sobre o tema Geometria Espacial.

  Agradecemos antecipadamente sua participação e colaboração. 1) Nome _______________________________________________________ 2) Formação _______________________ (Graduação Plena em Matemática/

  Complementação/ Bacharelado) 3) Localização da escola __________________ D.E. ___________________ 4) Tempo de magistério.____________________________ 5) Professor: Efetivo ( ) OFA ( )

  6) Segmento que leciona: ( ) E.F. I ( ) E.F.II ( ) E.M. 7) Pós-Graduação cursada e/ou em andamento

  a) ( ) Extensão

  b) ( ) Aperfeiçoamento c) ( ) Especialização

  d) ( ) Mestrado

  e) ( ) Doutorado

  f) ( )sem pós-graduação 8) Já participou de cursos que a SEE–SP proporcionou para a formação continuada de professores, como Teia do Saber e Ensino Médio em Rede

  (EMR)? ______. 9) Em caso afirmativo, cite-os e relate a contribuição desses cursos em sua prática docente.

  ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 10) Comente sobre o que a Educação Matemática representa para você.

  ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  11) Qual metodologia de trabalho costume abordar em sala de aula? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  12) Este ano o ensino da escola pública está passando por mudanças, nos quais o professor tem uma organização de conteúdos a cumprir, apresentada pela SEE-SP do respectivo bimestre e série, utilizando uma apostila elaborada pela própria secretaria, contemplando sugestões de abordagens de exploração dos temas a trabalhar em sala de aula. Antes desse sistema e/ou dentro dele, utiliza recursos didáticos além do livro? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  13) Em nossa pesquisa, estamos desenvolvendo o conteúdo de Geometria Espacial. Como você costuma abordar esse tema em sala de aula? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  14) Os alunos compreendem a importância do tema? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  15) Costuma trabalhar com resolução de problemas para desenvolver e/ou aplicar o conteúdo envolvendo Geometria espacial? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  16) Que metodologia de trabalho você usa ao abordar temas que envolvem construção de gráficos? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  17) Que software você conhece para o estudo de temas envolvendo Geometria espacial? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  18) Já realizou atividades com os alunos, utilizando o recurso de algum software nas aulas de Matemática? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  19) Comente o que você acha sobre a utilização de softwares para o estudo de temas envolvendo Geometria espacial.

  ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  

ANEXO B - Roteiro para observações do desenvolvimento das aulas – O

professor em relação à THA

  Turma Número de alunos presentes Data Professor(a) Identificação da Aula Assunto

  1) Organização da classe e “clima” dominante: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  2) Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de aprendizagem: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  3) Combinados com a classe: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  4) Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e implicações deles na busca de soluções: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  5) Eventuais problemas relacionados à leitura e compreensão de textos: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  6) Interação entre alunos na realização de tarefas: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  7) Dificuldades observadas e possíveis causas: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  8) Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou interdisciplinares e recursos tecnológicos: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  9) Adequação do tempo previsto para as tarefas: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  10)Intervenções do professor durante a realização das atividades: socialização e sistematização das conclusões: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  11) Socialização e sistematização das conclusões: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  12)Outras observações: ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

  ANEXO C - Apresentação das atividades da THA com os respectivos objetivos de aprendizagem PRIMEIRA ATIVIDADE

Objetivo geral: reconhecer formas geométricas tridimensionais para representar

ou visualizar partes do “mundo real”.

  Tarefa 1

Objetivo específico: associar objetos do “mundo real” com figuras geométricas

  tridimensionais

  a) Observe as representações a seguir e associe as imagens, conforme suas respectivas semelhanças: b) Das figuras do item “a”, quais representam figuras que possuem apenas superfícies planas? c) Das figuras do item “a”, quais representam figuras com superfícies arredondadas? Observe que foram formados dois grupos de figuras: as figuras com apenas superfícies planas e figuras com superfícies arredondadas.

  Tarefa 2

Objetivo específico: reconhecer o nome de alguns sólidos geométricos e

esboçar o desenho desses sólidos.

  1. Com o apoio de um dicionário registre o significado das seguintes palavras:

  a) Cone

  b) Prisma

  c) Cilindro d) Tetraedro

  e) Esfera

  2. A partir do significado das palavras encontradas, faça um esboço das seguintes figuras: a) Cone

  b) Prisma

  c) Cilindro d) Tetraedro

  e) Esfera O campo da Matemática que se dedica ao estudo das formas tridimensionais, isto é, formas que possuem três dimensões: comprimento, largura e altura é conhecido por Geometria Espacial. Observe à sua volta e veja que o mundo está repleto de suas diversas representações, seja em objetos criados pelo homem ou em elementos da própria natureza como por exemplo, os cristais. As figuras geométricas espaciais podem ser classificadas em dois grandes grupos:

  

Corpos redondos - os que apresentam superfícies arredondadas, como por

exemplo, o cilindro, o cone e a esfera.

  

Poliedros - os que apresentam apenas superfícies planas. Sendo os poliedros

  considerados convexos e não convexos. Veja exemplos: Os elementos dos poliedros são: faces, vértices e arestas.

  

Observação: Para este estudo, vamos considerar apenas os poliedros convexos.

  Tarefa 3

3. Complete a tabela com base nas imagens da tarefa 1:

  Nomeação Corpos Poliedros redondos Cone

  X X Prisma

  Cilindro

  Tarefa 4 Objetivo específico: identificar convexidade em figuras tridimensionais a) Considere as figuras a seguir. Qual não é considerada um poliedro convexo. b) Das figuras a seguir, a única que é considerada convexa é:

  19 Tarefa

   5 Objetivo específico: identificar os diferentes polígonos que compõem o prisma.

  Temos abaixo, a imagem de um galpão. Aparentemente, o galpão tem a forma de um dos sólidos discutidos anteriormente.

  a) Um aluno disse que esse sólido geométrico tem a forma de um paralelepípedo.

  Você concorda?

  b) Outro aluno precisa decidir qual das alternativas a seguir representa os polígonos que compõe esse prisma. Qual alternativa você indica? 19 ____________ Atividade 1 – Tarefa 4 – Adaptada – SARESP 2000.

SEGUNDA ATIVIDADE

  

Objetivo Geral: reconhecer objetos sólidos e suas diferentes representações

bidimensionais.

  Tarefa 1 Objetivo específico: perceber as diferentes planificações do tetraedro.

  a) A seguir, as figuras mostram o processo de uma das planificações do tetraedro.

  Esta planificação pode ser representada em uma malha de pontos, da seguinte forma: b) Use a malha de pontos abaixo e apresente outras planificações do tetraedro.

  Se preferir não use a malha de pontos. c) Qual é a estratégia que você utiliza ao representar diferentes planificações desse tetraedro?

  Tarefa 2 Objetivo específico: desenhar as diferentes planificações do cubo.

  O hexaedro regular é um poliedro conhecido pelo nome cubo. Com o apoio da malha quadriculada a seguir, desenhe as possibilidades de planificação desse poliedro.

  Quantos modos de planificação existem para esse poliedro? Observe que planificar um poliedro consiste em representar suas superfícies em um plano, ou seja, é a forma de apresentar os modelos dos sólidos em forma de molde que, em Matemática denominamos de representação bidimensional ou, simplesmente, planificações dos sólidos. Perceba que, geralmente, existe a possibilidade de fazer mais de uma planificação para a mesma figura, bastando para isso estar atento aos cortes feitos pelas arestas e aos polígonos das faces (superfícies poligonais).

  Tarefa 3 Objetivo específico: investigar as planificações do cone e do cilindro. Você investigou a planificação de poliedros. Como será a planificação de alguns corpos redondos? a) Cilindro?

  b) Cone?

  Tarefa 4

Objetivo específico: identificar a representação bidimensional de uma

embalagem.

  Antes de ser montada, uma embalagem tem a seguinte planificação: Ela deverá ser montada para embalar um dos produtos abaixo: Qual produto melhor se encaixa na embalagem a ser montada?

  Tarefa 5 Objetivo específico: identificar a planificação de objetos tridimensionais.

  20

  a) João e seu amigo decidiram acampar neste final de semana e optaram pelo formato da barraca abaixo: Indique o item que representa a planificação deste objeto?

  21

  b) Uma determinada caixa de presentes tem a forma de um tetraedro regular, que nada mais é que uma pirâmide em que todas as faces são triângulos equiláteros. A caixa desmontada corresponde à planificação descrita em: 20 ____________ 21 Atividade 2 – tarefa 4 – item a – adaptada – Prova Brasil Atividade 2 – Tarefa 4 – item b – SARESP 2007

  22

  c) A planificação abaixo corresponde ao sólido:

  d) Qual figura a seguir não pode representar a planificação de um octaedro regular?

  23

  e) A seguir, o desenho é o tronco do cone. Qual alternativa pode representar a planificação desse sólido? 22 ____________ 23 Atividade 2 – Tarefa 4 – item c – SARESP 2005 Atividade 2 – Tarefa 4 – Adaptada - tem e – SARESP 2000 b) Ao desenhar planificações do tetraedro, um aluno cometeu erros. Observe:

  a) Qual foi o erro do item a?

  b) Qual foi o erro do item b?

  c) Qual foi o erro do item c?

  d) Qual foi o erro do item d?

TERCEIRA ATIVIDADE

  

Objetivo Geral: reconhecer elementos e características de prismas e pirâmides,

  estabelecendo relações entre vértices, faces e arestas, elaborando conjecturas sobre tais relações.

  Tarefa 1 Objetivo específico: Diferenciar prismas de pirâmides.

  a) Observe o seguinte grupo de poliedros: A partir de agora, separe esse grupo em dois subgrupos, justificando o critério adotado. Observe as duplas de figuras a seguir: Para cada dupla, verifique a quantidade de faces de cada elemento. O que você percebeu? Note que mesmo as duplas de figuras, tendo quantidades de faces congruentes, suas formas são diferentes. Vamos distinguir entre os poliedros duas classificações importantes: prismas e pirâmides.

  

Prisma: é o poliedro limitado por dois polígonos iguais e paralelos e por tantos

  paralelogramos quantos são os lados desses polígonos. Os polígonos iguais e paralelos chamam-se bases do prisma e os paralelogramos são as faces laterais. (Freire, 1948)

  

Pirâmide: é o poliedro limitado por um polígono qualquer e por triângulos que têm

  um vértice comum. O polígono qualquer é considerado base da pirâmide; os triângulos são as faces laterais e o vértice comum destas é o vértice da pirâmide. As arestas que partem do vértice, chamam-se arestas laterais da pirâmide. (Freire, 1948) Note que prismas e pirâmides recebem nomes, conforme os polígonos da base.

  Exemplos:

  Será possível classificar todos os poliedros em prismas e pirâmides? Caso contrário, cite exemplos de poliedros que não são nem prismas, nem pirâmides.

  Tarefa 2 Objetivo específico: reconhecer elementos e características de prismas e pirâmides, estabelecendo relações numéricas de seus elementos.

  a) Para cada subgrupo da atividade 1 (item a), coloque a letra correspondente ao nome dessa figura geométrica, completando as tabelas que seguem: Tabela 1

  Figuras Geométricas

Números de

lados do

polígono da

base (n)

Números de Faces (F) Números de Vértices

  (V) Números de Arestas

  (A) ( ) Hexaedro (cubo) ( ) Paralelepípedo oblíquo ( ) Prisma de base triangular ( ) Prisma de base hexagonal E se fosse um prisma de base pentagonal? Relação numérica entre o número de lados dos polígonos das bases do prisma

  Tabela 2

  Figuras Geométricas

Números

de lados do

polígono

da base (n)

Números de Faces (F) Números de Vértices

  (V) Números de Arestas

  (A) ( ) Pirâmide de base triangular ( ) Pirâmide de base hexagonal ( ) Pirâmide de base pentagonal E se fosse uma pirâmide de base octogonal? Relação numérica entre o número de lados do polígono da base da pirâmide.

  Tarefa 3

Objetivo específico: estabelecer relações entre vértices, faces e arestas e

identificar a relação de Euler em poliedros convexos.

  Você também já deve ter notado que esses poliedros estão constantemente em nosso dia a dia, sem darmos conta da relação matemática existente entre eles. Mas já, em 1572, o matemático suíço Euler observou uma relação muito importante nesses poliedros. Então, mãos à obra! Procure preencher o quadro a seguir e verifique você também.

  Sólidos ou planificações de sólidos Número de Número de Número de faces (F) vértices (V) arestas (A) Prisma pentagonal

  10 Pirâmide de base quadrada planificada

  5 Prisma triangular Pirâmide triangular (tetraedro)

  4 Paralelepípedo retangular planificado

  12 Após preencher a tabela, encontre uma maneira de relacionar o número de faces, vértices e arestas.

  Tarefa 4 Objetivo específico: aplicar a relação de Euler em situações-problema.

  a) (Unirio-RJ) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. Encontre o número de vértices desse cristal.

  b) (Giovanni, 2000) Em um poliedro convexo, o número de faces é 8 e o de vértices é 12. Calcular o número de arestas.

  c) (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Calcule o número de vértices desse poliedro.

QUARTA ATIVIDADE

  

Objetivo Geral: explorar os poliedros regulares, seu papel na arte e nas

explicações sobre o Universo.

  Tarefa 1 – atividade em dupla – sala de informática.

Objetivos específicos: explorar os poliedros regulares por meio do software Poly

e investigar suas propriedades.

  a) A partir da tela apresentada no software Poly, selecione os ”Poliedros Platônicos”.

  b) Quantos são? Vocês já conheciam esses sólidos?

  c) Quais são os nomes desses sólidos?

  d) Observe a forma de cada face desses sólidos. Existe alguma semelhança entre eles? e) Quantas arestas, no mínimo, são necessárias para formar um vértice (V)? f) O que podemos afirmar sobre o número de arestas em relação a face de cada poliedro? g) Registre suas principais observações, ao explorar os Poliedros regulares no software Poly.

  24 Tarefa

   2 Objetivo específico: verificar a existência de apenas cinco poliedros regulares, por meio da construção de polígonos regulares.

  Atividade para ser desenvolvida em grupo: cinco estudantes por grupo. Material necessário: régua; compasso, esquadro, cartolina e fita adesiva

  Considerando os itens a seguir, verifique por que será que existem apenas cinco poliedros regulares?

  1. Construa os seguintes polígonos regulares, sendo as medidas do lado 5 cm, por exemplo.

  a) triângulo eqüilátero b) quadrado

  c) pentágono d) hexágono.

  2. Em seguida, utilizando cartolina, reproduza esses polígonos, conforme quantidade a seguir: 50 triângulos equiláteros 40 quadrados 20 pentágonos 20 hexágonos

  3. Com o apoio da fita adesiva, verifique:

  a) È possível montar um poliedro com um, dois polígonos regulares?

  b) Quantos polígonos são necessários para construir um poliedro?

  c) É possível formar um vértice do poliedro com seis triângulos eqüiláteros? E com quatro quadrados? E com quatro pentágonos? E com três hexágonos? Por quê? 24 ____________

  

Tarefa adaptada de Machado (1996) – Os poliedros de Platão e os dedos da mão – Coleção Vivendo a Matemática. d) Construa poliedros, respeitando a solicitação a seguir em relação à construção dos vértices com: (a) 3 triângulos eqüiláteros (e) 4 triângulos equiláteros (b) 5 triângulos eqüiláteros (f) 3 pentágonos (c) 3 quadrados (g) 2 quadrados e 2 triângulos (d) 2 hexágonos e 1 pentágono

  Dos poliedros que você construiu, quais são regulares? Por quê?

  4. Construa um poliedro utilizando seis triângulos equiláteros. Trata-se de um poliedro regular? Por quê?

  Tarefa 3

Objetivo específico: explorar a história dos “Poliedros de Platão” na literatura e

  provar a existência de apenas cinco poliedros regulares, a partir de informações do texto.

  Leia o texto a seguir, extraído do livro intitulado – Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula – Eves (1992, p. 58/59) e procure responder às questões solicitadas sobre o mundo dos poliedros regulares.

  Poliedros regulares

  Os poliedros regulares fazem parte do estudo da geometria desde que esse estudo se iniciou. Eles têm uma beleza simétrica que fascinou os homens em todos os tempos. Alguns poliedros regulares eram conhecidos dos antigos egípcios, que os usavam, em sua arquitetura. Os pitagóricos (c.500 a.C.) provavelmente descobriram três dos cinco poliedros regulares e fizeram deles uma parte importante do estudo da geometria. Os gregos acreditavam que os cinco sólidos correspondiam aos elementos do Universo – o tetraedro ao fogo, o cubo à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao Universo. Pouco depois dos pitagóricos, Platão (c. 350 a. C) e seus seguidores estudaram esses sólidos com tal intensidade, que eles se tornaram conhecidos como “Poliedros de Platão”. Os poliedros regulares estão presentes na natureza: os três sob a forma de cristais e os outros dois como esqueletos de animais marinhos microscópicos. Todavia, sua beleza e simetria é que mantiveram o interesse do ser humano por eles através dos séculos. Não há nenhuma disciplina matemática específica baseada nos cinco sólidos, mas muita coisa importante da matemática foi descoberta como subproduto do estudo dessas figuras. Teatetus escreveu um tratado sobre os cinco sólidos por volta do ano 380 a. C, e diz-se que ele foi o primeiro a provar que há exatamente cinco poliedros regulares. Mais tarde Euclides (c. 300 a. C) dedicou a maior parte de seu décimo terceiro livro a teoremas sobre esses sólidos. Depois dos gregos, o interesse pelo assunto diminuiu, e os sólidos nunca mais alcançaram o mesmo interesse e a mesma importância daquele período. As considerações atuais sobre os cinco sólidos tendem a ser topológicas, como se pode observar numa definição moderna, ou seja, de que um sólido é um poliedro convexo regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes entre si, se seus vértices são convexos e se em cada vértice incide o mesmo número de faces.

  a) Segundo o texto de Eves (1992), esses poliedros foram “notados” apenas por Platão?

  b) Não é difícil provar que não existem outros poliedros regulares além dos cinco mencionados no texto. Ainda segundo Eves (1992, p. 59/60), O matemático suíço Ludwig Schlafli (1814-1895) concebeu o símbolo corrente [p, q] para os poliedros regulares, onde p indica o número de lados de cada polígono regular e q o número de polígonos que incidem em cada vértice. Seja [p, q] um poliedro regular genérico. O valor (em graus) de cada ângulo dos polígonos regulares que formam suas arestas pode ser expresso por 180 – (360/p). Considerando que [p, q] é convexo, a soma dos ângulos em cada vértice é menor que 360 graus. A partir das informações acima, estabeleça uma desigualdade e conclua por que existem cinco poliedros regulares.

  Tarefa 4

Objetivo específico: identificar a relação de Euler nos sólidos considerados

  poliedros regulares e, com auxílio dessa relação demonstrar a existência desses poliedros regulares.

  Observe os poliedros regulares: Complete a tabela e verifique se a relação de Euler é válida para esses poliedros.

  Poliedros Número Número de Número de Relação de Euler: Regulares de faces vértices (V) arestas (A)

  (F) O que você pode observar? Caros estudantes, vocês puderam conhecer um pouco da história destes famosos poliedros regulares por meio de software, texto, construção dos sólidos e acompanhar a verificação da relação de Euler para esses poliedros. Agora, vamos propor outra demonstração da existência de cinco Poliedros Regulares.

  

Conhecendo os elementos de um poliedro regular:

25 Segundo Dolce; Pompeo (2005) temos que:

  Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições: a) todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas,

  b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas, c) vale a relação de Euler (V - A + F = 2).

  A partir destas informações, procure demonstrar a existência de cinco poliedros regulares, respondendo: a) Como podemos representar uma lei matemática para a condição “a”?

  b) Como podemos representar uma lei matemática para a condição “b”?

  c) Substitua os dados encontrados referente às condições “a” e “b” na relação de Euler.

  d) Dividindo-se os dois membros desta igualdade por 2, encontramos: (2A/m)/2A + (2A/n)/2A = A/2A + 2/2A

  e) Cuidado! Não esqueça que n e m têm restrições. Quais são elas?

  f) Com essas informações m e n podem assumir quaisquer valores? Por quê? Para facilitar suas observações complete a tabela a seguir: e, registre suas conclusões: m n F V A Poliedro

  Conclusões: 25 ____________ Fundamentos da Matemática, v. 10, pg. 130.

  Tarefa 5

Objetivo específico: pesquisar sobre os poliedros regulares, seu papel na arte e

nas explicações sobre o Universo.

  Cada grupo deverá apresentar uma pesquisa sobre esses poliedros, destacando suas influências por meio da arte e das explicações sobre o Universo.

QUINTA ATIVIDADE

  

Objetivo Geral: explorar as seções cônicas, identificando suas superfícies em

objetos tridimensionais.

  Tarefa 1

Objetivo específico: identificar os sólidos de revolução por meio da rotação

completa de superfícies.

  a) Observe o triângulo retângulo a seguir: Considere que um dos catetos desse polígono esteja fixado em uma reta “e”. Em seguida suponha um movimento de rotação completo dessa superfície em torno da reta “e”. Qual sólido a seguir foi gerado pela rotação completa do triângulo retângulo?

  b) E os dois outros itens, que polígonos foram usados para gerá-los? (sugestão: esboce o desenho dessas superfícies).

  c) Considere o semicírculo abaixo. Em seguida, suponha uma rotação completa dessa superfície em torno de seu diâmetro. O que obtemos? Você deve ter notado que a partir da rotação completa de figuras planas, podem- ser gerados corpos redondos, como foi o caso do cone, do cilindro e do tronco de cone, por exemplo.

  26 Tarefa

   2 Objetivo específico: associar a rotação de figuras planas aos sólidos de revolução.

  Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada, obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. 26 ____________

  Atividade 5 – Tarefa 2 – ENEM 1999

  A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos, é: (A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E (B) 1A, 2B, 3C, 4E, 5D (C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C (D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C

  Tarefa 3

Objetivos específicos: perceber as superfícies curvas resultantes de alguns

cortes no cilindro.

  a) Suponha que as peças de queijo abaixo lembrem a forma de um cilindro: Um funcionário do mercado teve de disponibilizar esse produto em várias bandejas. Para isso realizou diferentes cortes na peça. Observe as inclinações em relação aos cortes e as possibilidades de superfícies geradas. b) Também é possível observar superfícies semelhantes a estas ao colocar água em um recipiente cilíndrico e variar a inclinação desse líquido no cilindro.

  Observe o contorno da superfície do líquido:

  c) Leia o texto a seguir: Diz a lenda que as secções cônicas originaram-se em Atenas, por volta do ano 430 a.C., como resultado de uma peste. Através do oráculo de Delfos, Zeus anunciou aos sofridos cidadãos que o fim da peste estava condicionado à construção de um altar a Apolo cujo tamanho fosse o dobro daquele já existente, que tinha a forma de um cubo. Todas as tentativas para dobrar o cubo com régua e compasso fracassaram. Por volta do ano 340 a.C., Menaecmo encontrou duas soluções usando cônicas. A questão é saber como eram descritas as cônicas primitivamente. Os escritos de Menaecmo perderam-se. Contudo, segundo Gêmino, os antigos só usavam cones retos para definir secção cônica. Destas, distinguiam três tipos, conforme a secção meridiana fosse um ângulo agudo, um ângulo reto ou ângulo obtuso, Obtinham-se então as três secções cônicas seccionado-se a superfície do cone com um plano perpendicular a uma de suas geratrizes (Figura 14.1) Apolônio de Perga (262-200 a.C.) deixou um tratado respeitável sobre cônicas, em oito livros. Seu grande avanço foi ter conseguido gerar todas as cônicas a partir de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinação do plano de intersecção (fig. 14.2). Atribui-se a Apolônio, também, o mérito de ter cunhado os nomes parábola, elipse e hipérbole.

  Se o plano de intersecção passa pelo vértice do cone, obtém-se uma cônica degenerada. Uma cônica degenerada pode ser simplesmente um ponto, uma reta ou um par de retas concorrentes. Aqui consideraremos apenas cônicas não degeneradas. (LINDQUIST; SHULTE, 1994, p. 192-193).

  Segundo o texto, tanto Menaecmo como Apolônio tinham grandes interesses em estudar as secções cônicas. Que diferenciação há entre suas descobertas?

  Tarefa 4

Objetivo específico: relacionar as curvas cônicas às superfícies dessas secções.

  Após a leitura do texto, indique qual das superfícies a seguir está relacionada com as curvas cônicas: As secções cônicas resultam de diferentes inclinações do plano em um cone e freqüentemente podemos observar suas curvas nas mais diferentes formas geométricas que se assemelham aos objetos do cotidiano. Observem a seu redor, quantos objetos foram criados a partir de cortes geométricos semelhantes às secções cônicas.

  Tarefa 5

Objetivo específico: Relacionar as curvas cônicas as diferentes representações

do “mundo real”.

  A seguir relacione as imagens que mais se assemelham às curvas cônicas.

  Tarefa 6

Objetivo específico: pesquisar sobre as secções cônicas e suas influências nos

avanços e transformações da sociedade.

  Cada grupo deverá apresentar uma pesquisar sobre secções cônicas, destacando suas influências por meio dos avanços e transformações da sociedade.

  

ANEXO D – Relatórios da pesquisadora sobre o desenvolvimento das aulas

Relatório referente a primeira atividade

  • * O trabalho do Professor P1

  O desenvolvimento da THA pelo P1 iniciou-se reforçando o motivo da presença da pesquisadora durante o desenvolvimento das atividades. Em seguida, explicou aos estudantes que a primeira aula tinha o objetivo de discutir ideias da Geometria plana e espacial. Para isso, contou com o recurso do quadro negro para registrar os conhecimentos que os estudantes tinham sobre os dois temas. Para dar início a esses registros, fez o seguinte comentário com os estudantes:

  

Professor (P1): “Quando colocamos o pé no chão, estamos pisando no plano,

  certo?!”

  Estudantes: “certo” (todos)

Professor (P1): “Agora imaginem esse espaço da sala de aula. Há partes que

  não estão totalmente no plano. Mas, sim no espaço, ok?”

  Estudantes: “Ok!” (todos)

  À medida que o professor perguntava aos estudantes sobre assuntos geométricos, estes respondiam palavras que eram de conhecimento deles. Ao final da explanação do professor, o quadro negro estava semelhante à imagem a seguir: A partir desta coleta de dados com os estudantes, o professor (P1) distribuiu a primeira atividade da THA para que eles iniciassem seu desenvolvimento, orientando-os quanto ao objetivo geral da referida tarefa. Assim, leu o objetivo geral aos estudantes e solicitou que os objetivos específicos fossem lidos por eles próprios, a fim de estarem conectados com o que estava sendo proposto naquela aula. Embora os estudantes houvessem respondido às perguntas do professor e estas terem sido expostas no quadro negro, percebeu- se que os estudantes faziam bastante confusão quantos aos nomes destinados aos objetos, dando destaque para objetos criados a partir das semelhanças dos objetos geométricos. Durante essa dinâmica, o professor sistematizava os nomes corretos, deixando entre parênteses as falas dos alunos.

  Em relação à primeira atividade, a maioria dos estudantes não teve dificuldade para associar objetos do “mundo real” com figuras tridimensionais. Quanto ao uso do dicionário nas aulas de matemática, houve “borbulho” como, por exemplo:

  Estudante A: “Dicionário na aula de matemática? Pra quê?”

Professor: “Ok. Caso você saiba o significado das palavras corretamente, não

  precisa recorrer ao dicionário.”

  

Estudante A: “Não, professor, eu não entendo desses nomes, isso pra mim é

  nome feio. Eu quero um dicionário.” Após esse breve diálogo, os estudantes, trocavam entre si as informações extraídas do dicionário, e recorriam ao professor, quando se deparavam com palavras que não eram do vocabulário habitual deles.

  As demais tarefas, a maior dificuldade por parte dos estudantes foi a de número 5. Dos 23 estudantes presentes, 15 disseram que o galpão assemelha-se à forma de um paralelepípedo. Quando esses estudantes foram questionados pelo professor, imediatamente um dos oito estudantes que tinham uma resposta contrária, disse à sala:

  

Estudante B: “Lógico, que não professor! Procura ai meu (referindo-se aos

  colegas de classe) no dicionário o significado de paralelepípedo que vocês vão ver que não é igual a esse galpão”. E complementou: “Lá embaixo, no item b, não bate com o significado do dicionário, porque em todas as alternativas diz que são tantos pentágonos e retângulos”. Na realidade, o que o estudante Cleyton estava querendo dizer aos colegas é que as características do paralelepípedo têm faces delimitadas por paralelogramos, dos quais os opostos são iguais e paralelos e que nenhuma das alternativas contemplava apenas paralelogramos, pelo contrário, as alternativas eram compostas por pentágonos e retângulos. Esse foi um momento que deve ser destacado, porque os próprios estudantes perceberam que um dos colegas de classe estava pensando com coerência. E que muitos não tinham atentado para esses detalhes.

  A primeira atividade teve duração de 2h aulas, cada uma de 50 minutos (dias: 15 e 16/04/2009). Embora o professor tenha se antecipado com levantamentos de dados sobre Geometria, os estudantes não sabiam o que era a representação de um tetraedo, por exemplo. Logo foi importante a busca do significado das palavras pelo dicionário, seguido do esboço dessas figuras, facilitando a compreensão desses elementos, como parte da Geometria espacial. Embora a maioria dos estudantes tenha comentado que não tinha habilidade para desenhar, todos apresentaram os esboços solicitados na tarefa.

  Em relação aos conhecimentos do professor, este não apresentou nenhuma dificuldade. Talvez sua ansiedade de explicar primeiro o conteúdo, tenha origem em sua prática em sala de aula. Como ele mesmo afirmou ter uma postura tradicional de abordar os conteúdos matemáticos. Assim, o processo de aplicação de uma atividade que demanda tempo para os estudantes pensarem e explorarem seus pensamentos necessita de uma prática constante a ser desenvolvida na profissão docente. No final desta atividade, o professor orientou os estudantes a trazerem alguns sólidos geométricos para a próxima aula, para os estudantes manipulá-los e ter um melhor contato com os sólidos.

  • * O trabalho do professor P2

  Inicialmente P2, explicou o papel da observadora durante o desenvolvimento das atividades, fez explanação do projeto e do tema a ser desenvolvido. Em seguida, perguntou aos estudantes: − “Vocês sabem me dizer do que se trata esse estudo? Formas

  Geométricas Tridimensionais?”

  Estudante D: “O que é isso?” Estudante E: “Eu já ouvi falar, mas não sei explicar...”.

  

Professora: “Então, a partir de agora, vou distribuir as atividades, vou dar um

  tempinho para vocês realizarem. Depois voltamos a nos falar. Ok?!” Assim, P2, o fez. Deu tempo para que os estudantes pudessem realizar a primeira atividade. Durante o desenvolvimento das tarefas, a professora percorria a sala, verificando como os alunos estavam se “saindo”. Logo um estudante perguntou à professora:

  “Quem é o cone aqui dessas figuras, professora?”. Nesse momento a professora dirigiu-se até a carteira do aluno, verificando que as associações estavam corretas e que o estudante antes de procurar o significado das palavras no dicionário, já tinha lido a questão seguinte, onde era solicitado o esboço de algumas figuras geométricas, entre elas o cone. Na busca de acalmar o aluno, ela o orientou primeiro para encontrar o significado das palavras, depois se não conseguisse complementar seu conhecimento, chamasse a novamente. Mesmo com certa resistência, o estudante pegou um dicionário e partiu para o registro da tarefa 2, cujo objetivo específico era conhecer o nome de alguns sólidos geométricos com o apoio de um dicionário.

  Na verdade, este aluno encorajou outros a esboçarem suas dificuldades à professora. Então, ela percebendo que a inquietação era de muitos colegas, indagou:

  “Quem já localizou no dicionário a palavra cone?”

  

Estudante T: “Eu achei professora. Aqui diz assim: Sólido com base circular, que

  diminui uniformemente seu diâmetro, terminando em ponta”. (Michaelis. Dicionário escolar da Língua Portuguesa. São Paulo: Ed. Melhoramentos, 2002, p. 190)

  

Estudante G: “Eu também achei: Sólido formado por um plano na base, em geral

  circular, é afunilado, na superfície lateral, em direção a um ponto fixo, chamado vértice”. (XIMENES, São Paulo: Ediouro, 2000, p. 192).

  Esse momento despertou os alunos que estavam com dificuldade de lembrar a imagem de um cone a apontar para a professora que não precisava que ela dissesse, pois já tinham a figura do cone na tarefa de número um, em que eles fizeram as associações. Só não lembravam que aquela figura se chamava cone. Um processo análogo ocorreu com o tetraedro.

  A professora (P2), percebendo a dificuldade dos estudantes em lembrar os nomes de alguns sólidos e suas respectivas imagens, solicitou à classe uma pesquisa sobre as formas tridimensionais.

  As demais atividades foram desenvolvidas sem dificuldades pelos estudantes, com exceção da tarefa cinco. Dos 24 estudantes presentes nesta atividade, 16 responderam no item “a” que o galpão (prisma de base pentagonal) assemelhava-se ao paralelepípedo.

  Dos 16 estudantes que concordaram que a imagem do galpão assemelhava-se ao paralelepípedo, oito responderam apenas sim, sem justificar. Sete estudantes responderam sim, “porque os quatro lados são iguais” e um estudante relatou que sim, “porque suas faces opostas são paralelas”.

  Ao perceber essa confusão por parte de muitos estudantes, a professora solicitou aos outros alunos que tinham respondido corretamente, a justificativa para o “não”. Pediu silêncio para que pudessem ouvir os devidos esclarecimentos dos colegas.

  Dos oito estudantes que responderam não, apenas quatro alunos justificaram o “não” da seguinte maneira:

  Estudante M: “Não tem nada a ver”

  

Estudante N: “Não, pois a forma de um paralelepípedo é totalmente diferente da

imagem”.

  

Estudante J: “Não concordo, porque a imagem parece mais com um tetraedro, e

tem dois lados iguais, de frente e os lados”.

  Estudante L: “Não, pois todos os paralelepípedos têm partes retangulares”.

  Diante destas confusões, a professora pediu calma e explicou as características de um paralelepípedo e de um prisma de base pentagonal, fazendo o esboço desses sólidos na lousa, destacando suas características com os estudantes, desfazendo as confusões. A professora destacou, também, que ambos são considerados prismas, sendo o paralelepípedo um caso especial, por conter todas as faces em forma de quadriláteros.

  Assim, no dia seguinte, os alunos trouxeram as pesquisas e cada grupo foi até o quadro negro para apresentar aos colegas de classe o que tinha encontrado. O interessante, nesse processo, foi à empolgação dos estudantes. Isso foi notado pelas pesquisas que trouxeram, incluindo alguns livros, pesquisa na internet e até montagem de alguns desses sólidos. Muitos relataram à professora que não tinham estudado esse tema ainda. De fato, isso foi uma surpresa para a observadora, que não havia conjecturado esta hipótese (pesquisa e alguns alunos nunca terem contato com essas figuras).

  Sabemos que pesquisas em Educação Matemática apontam para o baixo desempenho dos assuntos geométricos, porém, geralmente, em séries iniciais os alunos têm algum contato com esses conteúdos. A hipótese posterior, como observadora deste trabalho, é que esses alunos tenham visto ou ouvido falar dessas figuras, mas de uma forma pronta, não fazendo sentido para sua aprendizagem, por isso o “esquecimento”.

  Esta atividade durou 3h aulas de 50 minutos (14/15 e 16/04/2009). Neste caso, a justificativa para essa hora aula a mais deveu-se à apresentação da pesquisa solicitada pela professora colaboradora. Embora as apresentações não estivessem programadas para este momento, foi de grande valia para que os estudantes se integrassem com a nomeação e algumas das características desses sólidos.

  Durante o desenvolvimento da primeira atividade, os estudantes demonstraram bastante interesse pelo tema. Estranharam o uso de dicionários na aula de Matemática e, também, não tinham costume de esboçar desenhos das figuras.

  No decorrer da primeira atividade, P2, estava empolgada com as interações dos estudantes, porém apresentava certa inquietação quando os estudantes pediam sua ajuda (queriam respostas imediatas). Nesse aspecto, a professora fazia bastante esforço para não responder aos estudantes, devolvendo a pergunta a outros alunos, de forma a confrontar as ideias. Com essa estratégia, sempre iniciava um pequeno debate em sala de aula.

  No final da atividade, voltou à pergunta inicial: “E agora, vocês sabem me dizer do que se trata o estudo de formas geométricas tridimensionais?” Nesse momento, muitos começaram a falar ao mesmo tempo. Suas respostas eram muito semelhantes a: “estudo dos sólidos geométricos, como o cubo, o paralelepípedo, o cone e outros mais”.

  • * O trabalho do Professor P3

  Antes de iniciar a descrição do desenvolvimento das THAs pelo professor P3, destacamos que, as tarefas ocorriam sempre às quintas-feiras (duas aulas). O acordo foi afirmado entre a pesquisadora e o professor, em razão da turma estar no período noturno. A justificativa foi apresentada pelo fato do professor não poder parar o conteúdo que já estava em andamento e também, porque, nesse período a grade curricular de Matemática é reduzida para quatro aulas semanais.

  P3 iniciou a aula justificando a presença da pesquisadora. Em seguida, utilizou-se do quadro negro para definir o significado da palavra poliedro, definiu e exemplicou figuras planas e não planas, justificando a importância de estudar os conceitos da Geometria Espacial. Em seguida, esboçou alguns exemplos, como o prisma de base pentagonal, o cone e o cilindro na lousa. Disponibilizou alguns modelos de sólidos geométricos aos alunos, dizendo-lhes que a partir daquela aula iriam retomar os assuntos geométricos. Após a explanação, P3 distribuiu as atividades aos alunos. Durante o desenvolvimento desta atividade, os alunos relataram não saber desenhar direito as figuras e, que não estavam acostumados a utilizar o dicionário nas aulas de Matemática.

  Ao final da aula, P3 solicitou-lhes uma pesquisa sobre os sólidos geométricos, incluindo os elementos dos sólidos pesquisados. Orientou-os a realizarem a pesquisa em grupo de cinco alunos. A duração desta atividade foi de 2h aulas de 50 minutos e foram nos dias 29/04 e 07/05/09.

  Análise do desenvolvimento da primeira atividade

  Durante o desenvolvimento da primeira atividade, percebemos que os estudantes, de fato, não tiveram muito contato com assuntos envolvendo Geometria Espacial. Conforme a discussão anterior com os professores colaboradores, esta hipótese veio ao encontro da realidade da sala de aula. Mas, no desenrolar das tarefas, notamos que esses estudantes têm potencialidade para construir conhecimentos geométricos, bastando para isso ser oferecida a oportunidade. Apesar das duas classes estranharem o uso de dicionários na aula de Matemática, notou-se um avanço no aspecto de agregar novos conhecimentos em relação a comparar imagens e relacioná-las aos desenhos que foram propostos a esboçar. Destacamos, também, algumas confusões, como por exemplo, denominar o cubo de “quadrado” sem observar que o cubo tem seis faces quadradas. As dificuldades encontradas por esses estudantes estão relacionadas com a nomeação dos sólidos, fazendo confusão com a Geometria plana e espacial e, particularmente, a tarefa cinco desta atividade, na questão de identificar os polígonos que compoem o prisma de base pentagonal.

  Em relação à prática dos professores, embora relatem ministrar suas aulas de forma tradicional, observamos que P1 e P3 apresenta-se mais tradicionais em relação à P2.

  Nas discussões geradas durante o intervalo das aulas, P1 admite que seja muito difícil mudar sua prática, advinda de muitos anos de magistério. Argumenta que não consegue disponibilizar muito tempo para os estudantes ficarem pensando. Então, após alguns instantes, vai até a lousa e sistematiza a aula prevista para o dia. Nesse aspecto, P1 é organizado, antes de iniciar suas aulas, solicita aos alunos organização e postura. Só depois desse processo, inicia a aula. Mas admite ser interessante a perspectiva construtivista de aprendizagem e surpreende-se com a resposta do estudante Cleyton ao argumentar que as alternativas da tarefa de número cinco não iam ao encontro das características de um paralelepípedo.

  Em relação à P2, que também relatou ter um perfil tradicional ao ministrar suas aulas, està se apresentou ansiosa e cautelosa durante as interrogações dos estudantes. Percebeu-se que sua ansiedade provavelmente seja oriunda de sua prática. Mas mostrou-se desejosa de mudar sua metodologia de trabalho. Até mesmo por conta de relatar que não tem experiência com assuntos geométricos. Também se surpreendeu com a discussão dos estudantes quanto a reconhecer a imagem do cone e a procura do significado da palavra no dicionário.

  Quanto ao trabalho de P3, os alunos questionaram pouco, talvez pela sua explanação e definição de alguns conceitos geométricos. Só houve interferências dos alunos em relação a desenhar as figuras solicitadas e quanto ao uso do dicionário.

  Nesta primeira atividade, observamos ser possível não negligenciar o ensino da Geometria Espacial, visto que os estudantes são grandes potencializadores na construção desse conhecimento.

  Relatório referente a segunda atividade * O trabalho do Professor P1

  Após organizar sua sala de aula, P1 esclareceu aos estudantes que nesta segunda atividade iria ficar mais clara a relação da Geometria plana e espacial. Antes de entregar a atividade, dirigiu-se ao quadro negro, desenhou o cubo e foi explicando aos estudantes todas suas faces. Na continuação, pediu aos alunos que imaginassem todas as faces desse cubo, sendo desmembradas de forma a deixar todas totalmente no plano. Finaliza sua exposição, dizendo aos alunos que, na Matemática, chamamos esse processo de planificação dos sólidos geométricos. A seguir, um resumo de suas anotações no quadro negro: Após suas explicações, distribuiu as atividades aos estudantes para que pudessem realizá-las.

  A tarefa 1 iniciava com o processo de uma das planificações do tetraedo e os estudantes tinham de apresentar outras formas de planificar esse mesmo sólido. Inicialmente os estudantes não entendiam como poderiam exemplificar outras formas diferentes. Para os estudantes aquela planificação apresentada era a única maneira, além de se surpreenderem com esse assunto.

  A seguir, as primeiras tentativas de apresentar diferentes maneiras de planificar um tetraedo: Identificadas a dificuldade dos alunos, P1, imediatamente disponibilizou alguns moldes de triângulos equiláteros aos estudantes, para que eles pudessem realizar conjecturas em relação a outras formas de planificar o mesmo sólido. Com essa estratégia, os estudantes sentiram-se mais confiantes e integraram-se com outros colegas na busca de outras soluções, conforme imagens a seguir:

  Ao realizarem a tarefa 2, cujo objetivo era apresentar as várias possibilidades de planificar um hexaedro, os estudantes, não sentiram grandes dificuldades. Notamos que isso se deveu a dois aspectos: 1) à exposição inicial do professor ao apresentar uma primeira possibilidade; 2) às estratégias desenvolvidas pelos estudantes na tarefa anterior (planificação do tetraedro).

  As demais tarefas foram desenvolvidas sem grandes dificuldades, com exceção das tentativas de planificar o cone. Muitos perguntaram à P1, como planificar esse sólido. No intuito de ajudá-los, P1 foi à lousa, questionando a respeito da composição da forma do cone. Os estudantes não sabiam de fato responder coerentemente, apenas destacavam que havia uma base circular, mas estavam com dúvidas na forma da face lateral. Assim, representaram seus esboços ao professor, com o intuito de receber mais auxílio. A seguir, alguns exemplos:

  Por meio das imagens acima, verifica-se que a dificuldade em planificar o cone, esteve em função de representar sua face lateral.

  Na verdade P1, também, não se “lembrava como era a face lateral do cone. Dirigiu-se à observadora e solicitou ajuda.

  Então, discutimos a respeito de estimular os estudantes no sentido de imaginarem um círculo de modo que pudessem utilizar apenas um setor dele. Imediatamente P1, relembrou que de fato a face lateral de um cone é representada por uma superfície demarcada por um setor circular.

  Em face desse episódio, P1desenhou um círculo na lousa, demarcou um arco qualquer e apresentou aos estudantes a planificação correta de um cone.

  Embora os estudantes não tivessem contato com a planificação de alguns sólidos geométricos, eles participaram ativamente do desenvolvimento das atividades. As interações entre os próprios colegas e o professor favoreceram o processo, pois à medida que um colega encontrava um modelo diferente da planificação do cubo ou do tetraedro, ficava empolgado em mostrar ao professor e aos outros colegas.

  A atividade teve duração de 2h aulas e ocorreu no dia 17/04/2009.

  • * O trabalho do Professor P2

  Antes de distribuir o material da segunda atividade, a professora comentou o objetivo geral das tarefas. E perguntou aos estudantes se eles sabiam representar a planificação de um sólido qualquer.

  No primeiro momento, os estudantes silenciaram-se. E a professora no intuito de estimular o raciocínio começou a conservar com eles, perguntando-lhes como eles fariam para representar o desenho de uma caixa em forma de paralelepípedo totalmente aberta, em seus cadernos. Nesse momento, o aluno Maurício citou que durante a pesquisa dos nomes de alguns sólidos (primeira atividade) tinha visto algo parecido e era com o desenho de um cubo.

  A professora aproveitou a fala do aluno e pediu para ele contar aos colegas da classe o que tinha visto. Maurício fez um pouco mais que isso, pediu licença à professora e foi até a lousa desenhar o cubo e, também, as seis faces do cubo planificadas. Então, os colegas de classe responderam à professora que era a mesma coisa que: – “abrir toda a caixa”.

  Continuando o diálogo, a professora relatou que, em Matemática esse processo tem o nome específico de planificação, e esse era o objetivo da aula. Assim, distribuiu a atividade para os alunos desenvolverem.

  Um processo semelhante com o que havia ocorrido com o professor P1, aconteceu com a professora P2, pois precisou disponibilizar moldes do triângulo equilátero, para que os estudantes realizassem suas conjecturas. No caso da tarefa 2 (planificação do cubo), já se tornou um processo mais imaginário de representar as diferentes formas de planificar esse sólido. Inclusive, a maior dificuldade desta segunda atividade foi com respeito à planificação do cone.

  Os esboços foram semelhantes às representações do professor P1, tanto estudantes como a professora não lembravam a representação da planificação desse sólido. Então, novamente a observadora solicitou a professora P2 para que estimulasse os estudantes a pensarem em um círculo e demarcar um setor circular de forma a considerar esta “parte” para unir os segmentos (raios) desse setor circular, supondo a formação de um cone.

  As demais tarefas tiveram um bom desenvolvimento pelos estudantes, visto que as discussões geradas durante a aula favoreceram positivamente a realização das tarefas. A duração da atividade também se desenvolveu em 2 h aulas (17/04/2009).

  • * O trabalho do Professor P3

  Antes de distribuir a atividade aos estudantes P3, fez uma explanação sobre o processo de planificar um sólido. Como exemplo, citou a planificação de um cubo e na sequência orientou os alunos para que desenvolvessem a tarefa 1 da segunda atividade. No início, os alunos não entenderam como poderia surgir outra planificação do tetraedro. Muitos chamavam P3 para dizer que não havia outra maneira de planificar. Na ocasião, a professora distribuiu os triângulos equiláteros às duplas, orientando-as realizarem as tentativas. Só após algumas tentativas com o material disponibilizado, os estudantes esboçaram outras maneiras de planificar o tetraedro. Durante o processo, os alunos envolveram-se em uma disputa saudável para verificar quais duplas conseguiriam mais maneiras diferentes de planificar o tetraedro.

  Na realização da tarefa 2, os estudantes não usarem nenhum apoio concreto para esboçar algumas planificações do cubo. Embora nenhum estudante tenha apresentado as 11 planificações do cubo, foi possível observar que entenderam que não existe apenas uma única maneira de planificar um sólido. Nas demais atividades, não houve maiores problemas e, prosseguiram as discussões e correções pela professora.

  Esta atividade teve a durou 4 h aulas e verificou-se nos dias 14 e 21/05/09.

  Análise do desenvolvimento da segunda atividade

  Percebemos que as maiores dificuldades dos estudantes basearam-se no fato deles de não terem contato anterior com planificações de sólidos geométricos. Notamos, também, que a estratégia de utilizar o molde, especialmente, para o tetraedro favoreceu os alunos a conjecturarem sobre outras possibilidades de planificação.

  Embora nenhum aluno tenha concluído que havia 11 planificações diferentes para representar o hexaedro (cubo), esta foi uma atividade que todos se envolveram bastante, ficaram ansiosos para ver quem construía uma planificação considerada correta. Este foi um momento de troca de informações interessante entre eles. Tanto a observadora, como os professores colaboradores ouviam as seguintes falas: “Não pode ser assim, porque se você tentar fechar a pirâmide, não vai conseguir... um lado (se referindo à face) vai ficar em cima da outra”; “Desse jeito, tá errado... olha só... tem um ponto (referindo-se ao vértice) que une quatro pontas dos triângulos..., na hora de montar vai precisar de uma figura quadrada pra fechar o negócio”.

  Notamos que relatos como estes mostram indícios de que os estudantes apresentam potencialidades de aprendizagem. Neste caso, as estratégias de apoio do material concreto são necessárias para melhorar a compreensão do estudante, estimulando-os a levantarem hipóteses, verificando seus próprios erros e corrigindo-os entre seus pares.

  Relatório referente a terceira atividade * O trabalho do Professor P1

  O professor P1 distribuiu as atividades aos estudantes, orientando-os quanto a seu objetivo geral. Deixou um espaço para exposição de alguns sólidos construídos pelos próprios alunos anteriormente, de modo que a classe usasse os, caso precisassem. No início, os estudantes não tiveram dificuldades para identificar os dois subgrupos de sólidos. Mas não conseguiam justificar os critérios que adotaram, com exceção de citar que classificaram as pirâmides porque elas tinham “uma ponta em comum”. Diante do fato, o professor orientou os alunos a olharem um pouco mais com critério às faces laterais e às faces das bases do outro subgrupo. Foi, então, que um dos estudantes citou: “Já entendi, professor. O outro grupo tem duas bases uma de frente pra outra, igualzinha. Não é isso?”.

  

P1: Isso. Mas vamos melhorar um pouco mais esse entendimento. Observe cada

  uma dessas bases... O que acontece com suas faces laterais?

  Depois de um tempo, alguns estudantes responderam que o número de faces das imagens mudava, conforme a quantidade de lados da figura da base. Com esta informação, os estudantes continuaram a realizar a atividade. Portanto, não conseguiram citar exemplos de poliedros que não são nem prismas nem pirâmides, como por exemplo, o dodecaedro e o icosaedro. Então, o professor sistematizou esta parte, pois notou que os estudantes de fato não sabiam.

  Em relação à tarefa 2, o professor percebendo a confusão que os estudantes estavam fazendo com o levantamento de dados referente aos elementos dos poliedros, isto é, faces, arestas e vértices, pediu um tempo à classe para revisar esses conceitos. Assim que estas dificuldades foram sanadas, os alunos preencheram as tabelas sem maiores dificuldades. Observamos que muitos alunos contaram esses elementos um a um. O interessante aconteceu depois do preenchimento de tabela, quando os estudantes perceberam a regularidade existente entre os lados dos polígonos em relação às pirâmides e aos prismas, ouvimos alguns comentários, como por exemplo: “Agora é que vi que não precisava contar um a um (referindo-se aos elementos dos poliedros em questão)”.

  Na sequência, os estudantes encontraram a relação de Euler também com facilidade. Três dos alunos presentes não tinham conseguido contar os elementos dos poliedros, o problema foi sanado com a ajuda de outros colegas da sala.

  Em relação à tarefa 4, seu objetivo era aplicar a relação de Euler em situações-problema. O que dificultou para os estudantes encontrarem a solução da tarefa 4 itens “a” e “c”, foi observado por meio do desenvolvimento dos cálculos, isto é, das 60 faces triangulares multiplicadas por três que obtiveram 180 arestas, mas não prestaram atenção no fato de que cada aresta, comum a duas faces, foi contada em dobro. Logo o número de arestas, na verdade, era a metade desse número (90). O mesmo ocorreu com o item “c”, só perceberam o problema, quando o professor questionou-os em relação ao significado da aresta de um poliedro.

  A atividade teve 25 alunos presentes, mas dois destes surpreenderam, tanto o professor como a observadora. Em lugar de apresentar a fórmula de Euler, um deles mostrou os três itens (“a”, “b” e “c”) em forma de tabela. O segundo estudante ao realizar o item “b” esboçou o desenho de um prisma de base hexagonal, a partir desse desenho concluiu que o número de aresta era igual a 12. A seguir, imagens desta situação de resolução.

  A duração desta atividade foi de 3h aulas e aconteceu nos dias 22/23 e 24/04/09

  • * O trabalho do Professor P2

  A professora apresentou as atividades aos estudantes e solicitou que um aluno lesse o objetivo geral da atividade. Após a leitura, os estudantes começaram a desenvolvê-la. Logo de início, surgiram algumas dúvidas em relação aos subgrupos que tinham de criar. Mesmo apresentando ansiedade para explicar aos estudantes as características básicas de prismas e pirâmides, P2 procurou controlar-se. Em seguida, pediu aos estudantes, que observassem mais detalhadamente todas as imagens e utilizassem os sólidos que estavam disponíveis na sala.

  Na verdade, as dificuldades que os estudantes apontaram à professora eram muito semelhantes às dos estudantes do professor P1. Identificaram os dois subgrupos, destacando as pirâmides primeiro. Embora falassem que o outro subgrupo era considerado prisma, tiveram dificuldades para se justificar. Então, P2 foi ao quadro negro desenhou três prismas de base triangular, pentagonal e hexagonal e solicitou que relatassem sobre seus elementos, prestando atenção à formação de suas bases. Esta estratégia foi suficiente para que eles percebessem que o número de faces laterais dependia dos polígonos da base desses prismas.

  Em relação às tabelas, os estudantes também fizeram no início pequenas confusões em relação a faces, vértices e arestas. Novamente a professora interferiu para esclarecer tais dúvidas.

  Muitos estudantes acharam interessante que haviam descoberto sozinhos ou com os colegas as relações numéricas existentes entre o número de lados dos polígonos da base de prisma e das pirâmides e, também, a relação de Euler. Suas dificuldades estiveram na contagem das arestas duas vezes, sem perceber que a cada duas faces há uma aresta em comum.

  A atividade foi desenvolvida nos dias 22/23 e 24/04/09, e durou 3 h aulas.

  • * O trabalho do Professor P3

  P3 dirigiu-se à lousa, definindo prismas e pirâmides. Em seguida, comentou sobre os trabalhos que eles haviam lhe entregue, enfatizando que a pesquisa realizada iria ajudar bastante no desenvolvimento da terceira atividade. Prosseguiu, com a distribuição da atividade.

  De fato, os estudantes não sentiram dificuldades para diferenciar prisma de pirâmide. Mas, na tarefa 2 tiveram dificuldades para diferenciar vértices e arestas, confundindo os dados no preenchimento das tabelas. P3, interferiu, pediu calma aos estudantes e utilizou a lousa, explicando o significado de cada elemento dos poliedros. Após a explanação, orientou os estudantes a terminarem de completar a atividade, encontrando a relação numérica existente entre o número de lados dos polígonos das bases do prisma e da base da pirâmide.

  Antes dos estudantes desenvolverem a tarefa três, a professora fez um breve comentário para que observarem a tabela e verificassem a existência de uma relação matemática. Os estudantes pediram para que a professora não falasse, pois eles iriam encontrar. E, assim, acharam divertido encontrar a relação de Euler.

  Quanto à tarefa 4, os alunos desta turma não sentiram dificuldades para resolver as atividades.

  A atividade foi desenvolvida nos dias 28/05 e 04/06/09 e durou 04 horas aulas.

  Análise do desenvolvimento da terceira atividade

  Notamos que as dificuldades desta atividade foram marcadas pela confusão para identificar corretamente os elementos dos poliedros. Em relação à descoberta das relações numéricas entre a base de prismas e pirâmides, os estudantes ficaram empolgados para descobrir por eles mesmos estas características. Muitos frisaram que não precisava ficar contando toda hora as arestas, vértices e faces, se soubessem estas características. A relação de Euler foi estabelecida sem dificuldades pelos alunos. Apenas tiveram dificuldades para aplicá-la às situações-problema da tarefa 4, nos itens “a” e “c”, justamente por não se darem conta de que as arestas são contadas em dobro, pelo fato de que duas faces tem-se uma aresta em comum.

  Em relação aos conhecimentos dos professores colaboradores, não houve nenhuma situação embaraçosa. Apenas, em muitos momentos do desenvolvimento da atividade, faziam esforço para não responder imediatamente a resolução das atividades aos alunos. Assim, procuraram fornecer um tempo para que os alunos discutissem suas ideias.

  Relatório referente a quarta atividade

  Na ocasião do desenvolvimento desta atividade, especificamente a tarefa 1, foi necessário adaptar as salas de aulas com um data show e um notebook para que os estudantes tivessem acesso ao programa Poly, em razão da reforma do prédio, incluindo o laboratório de informática, que ainda não estava pronto.

  • * O trabalho do Professor P1

  Em relação à tarefa 1, P1 comentou o objetivo geral da quarta atividade aos estudantes. Seguiu com a apresentação do programa Poly para os estudantes, mostrando as janelas de acesso do programa, convidando-os organizadamente para explorarem o programa. Nesse ínterim, P1 disponibilizou as atividades em dupla, para que os estudantes pudessem responder. Percebemos que os estudantes ficaram empolgados por ter contato com esse tipo de programa e, pelo fato, da aula de Matemática estar sendo enriquecida com a informática. Durante o desenvolvimento desta tarefa, os estudantes envolveram- se mutuamente, pois à medida que um colega explorava o programa, eles estabeleciam diálogos e trocas de informações, como por exemplo: − “Com isso, é mais fácil a gente ver as arestas, vértices e faces com mais − “É, agora, eu tô entendendo, quer dizer, vendo, como uma aresta é clareza, porque dá pra movimentar e ver em outra posição” formada realmente por dois lados da figura” (referindo-se à união de dois − É assim, ó: a cada duas faces, tem uma vareta, que o professor chama polígonos para compor uma aresta). de aresta. Não é professor?”. Esta tarefa durou 2h aulas e ocorreu com um maior número de participação e concentração dos estudantes, provavelmente, pelo fato do envolvimento e da estratégia do uso da informática.

  Antes do término da aula, P1 orientou os estudantes que trouxessem o material solicitado para a próxima tarefa, comentando que eles iriam construir alguns dos poliedros que exploraram no programa Poly.

  Quando do desenvolvimento da tarefa 2, P1 solicitou a organização dos grupos compostos por cinco alunos e distribuiu a atividade. Uma das primeiras dificuldades de cada grupo foi em relação ao material solicitado, muitos haviam “esquecido”. O fato deve-se, provavelmente, pela a não utilização desse tipo de material pelos estudantes com frequência, em especial, esquadro e compasso. Apenas um aluno (único que frequenta um curso técnico) carregava em sua mochila estes materiais.

  Mediante o fato, a escola forneceu o material, para que a aula prosseguisse. Dentre as construções solicitadas, o polígono pentagonal regular foi o que mais gerou dúvidas. Enquanto os demais polígonos regulares foram construídos por meio de régua e esquadro; quando da construção do pentágono regular por este processo, gerava irritação nos estudantes, e estes chamavam o professor:

  

Grupos - ”Professor, não conseguimos fechar o pentágono direitinho, com todos

  os lados com a mesma medida”. Como é que constrói um pentágono regular certo, sem ficar torto?

  

P1 – Nesse momento, o professor convidou os estudantes a prestarem atenção a

  suas explicações. Foi à lousa e desenhou uma circunferência, lembrando que uma volta completa da mesma equivale ao valor de 360º. E a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é sempre 360º. Lembrou que nos polígonos regulares todos os ângulos são idênticos, então, bastava dividir 360º pelo número de lados do polígono regular desejado. Prosseguindo, afirmou que, nesse caso, temos 360º divididos por cinco, resultando assim em 72º, encontrando a medida de cada ângulo externo desse polígono. Incentivou os estudantes a prosseguirem na construção do polígono com estas informações.

  Após as informações, alguns estudantes falaram para o professor que não tinham pensado daquela maneira, pois construíram o triângulo equilátero e o quadrado por meio de régua, compasso e esquadro. Verificamos que os estudantes estavam curiosos com os cálculos dos outros polígonos regulares e os mesmos foram realizar os cálculos para esses polígonos, verificando que o valor de seus respectivos ângulos externos e internos vinha de encontro com o que os professor havia explicado.

  P1 finalizou o diálogo, afirmando que na Matemática não existe uma única maneira de resolver uma situação e que é importante pensar em algumas possibilidades de resoluções.

  Nesse momento um dos componentes de outro grupo, destacou-se da seguinte maneira:

   “Professor conseguimos montar o pentágono, juntando cinco triângulos iguais ao primeiro (referindo-se ao triângulo equilátero), venha ver”. E ai pegamos outros seis triângulos para formar o hexágono e deu certo. E pro quadrado, juntamos quatro triângulos. Venha ver que legal que ficou!”. Enquanto isso, os outros grupos ficaram curiosos e queriam fazer o mesmo procedimento.

  O professor, então, elogiou o grupo, comentando sobre as possibilidades de resolução de uma situação e que a troca de diálogo entre os grupos era importante para a construção do conhecimento e que esse modo só foi possível, porque de fato verificou-se que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é sempre igual a 360º e com a realização dos cálculos para os polígonos regulares em questão verificava-se esse fato também.

  Embora esta quarta atividade tenha demandado um maior número de aulas (8 h aulas), ela foi importante em vários aspectos, entre eles, no uso do programa Poly, como uma estratégia a mais para que os estudantes pudessem explorar os poliedros virtualmente e a sua construção, observando o surgimento das arestas, vértices e composição das faces, possibilitando aos estudantes conjecturarem sobre as características dos poliedros regulares.

  Ao finalizar a tarefa, a solicitação da construção de um poliedro utilizando seis triângulos equiláteros foi importante, pois propôs aos estudantes dúvidas e reflexões em relação à diferenciação entre poliedros regulares ou não. È importante ressaltar que isso só foi possível, após construírem o poliedro e perceberem que dois vértices foram formados pela junção de três faces, e os outros três vértices foram formados pela junção de quatro faces, descaracterizando que fosse um poliedro regular.

  Em relação à tarefa 3, o professor, solicitou a leitura silenciosa do texto, para, em seguida, tentarem esboçar suas conclusões. Observando que os alunos não conseguiam chegar a nenhuma conclusão, P1 organizou na lousa a relação de desigualdade para que os estudantes pudessem observar um dos casos. Antes, reforçou a ideia que os estudantes tinham assimilado pela apresentação do programa Poly e das construções dos poliedros, observando a quantidade de vértices em relação à quantidade de faces, como por exemplo, a situação do cubo, que era mais conhecida por todos, antes da apresentação das atividades propostas pelas THAs. Assim, forneceu na lousa o seguinte esquema:

  Vamos considerar as informações do texto sendo:

  p o número de lados do polígono regular e q o número de polígonos que incide em cada vértice.

  Assim temos: (180 – 360/p)q < 360; tomando, como exemplo, o cubo, verificamos que p = 3 e q = 4. Ao substituirmos esses valores em p e q respectivamente, verificamos que; 240 < 360. Agora, tentem verificar o que ocorre com os demais poliedros regulares.

  Assim, os estudantes verificaram que os casos (p,q) que surgiram eram apenas (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) e (5,3).

  A tarefa 5, foi finalizada com a entrega dos trabalho ao professor, acompanhada de uma breve explicação das pesquisas realizadas. Alguns estudantes destacaram os poliedros na arte, como por exemplo, algumas obras de Escher; um pouco da história de Kepler e suas descobertas sobre o Universo e a comparação com os poliedros. A maioria das pesquisas foi extraída de sites, acompanhadas de imagens. Este momento, também, foi enriquecedor, pois os alunos conversavam entre si, demonstrando surpresa ao pesquisarem sobre o trabalho, comentando a respeito da história da Matemática com os fenômenos ligados à natureza e outras invenções, dizendo que “os cientistas não tinham muita coisa pra fazer na época: por isso, ficavam pensando alto... e fazendo ligação com as coisas ao redor... e o pior é que eles tinham bom senso”. Os estudantes afirmaram que, não tinham conhecimento daquelas informações e que não conheciam o programa Poly e, também, não tinham visto os chamados poliedros regulares.

  • * O trabalho do Professor P2

  A professora iniciou a aula, solicitando aos estudantes que se organizassem em dupla para o desenvolvimento da atividade. Justificou o motivo da adaptação da aula de informática ser em uma sala de aula convencional e, em seguida, comentou sobre o programa Poly e sua disponibilidade gratuita, incentivando-os a pesquisarem o programa (alunos que têm computador em casa), ou mesmo em Lan House (como é de costume de muitos alunos).

  Comentou também, que teve conhecimento do programa há pouco tempo, mais que era de fácil manuseio que eles iriam gostar da brincadeira. Antes de entregar a atividade, apresentou um triângulo (face de um tetraedro regular) na tela, perguntando aos estudantes, se eles reconheciam aquele polígono? Todos responderam que sim, acompanhado de seu nome (triângulo). P2, então, prosseguiu com outros questionamentos, como por exemplo: – Agora vamos imaginar a movimentação desta figura, o que será que vai aparecer? Estudantes: “o triângulo visto de outro lado”.

  

P2: Vamos ver?! (e movimentou o mouse lentamente, para que os estudantes

pudessem olhar com calma).

  

Estudantes: “Nossa! Apareceu aquele poliedro que nós montamos! Que coisa

  maluca! Movimenta pra cima, professora! Deixa eu ir ai, olhar!” ( na verdade o estudante queria explorar o programa).

  P2: Calma! Que vocês irão poder explorar um pouco, deixe-me terminar de realizar alguns comentários, para que possam desenvolver a atividade. Prosseguiu abrindo algumas janelas do programa e comentando sobre suas funções.

  Após estas orientações, entregou as atividades aos estudantes. Embora não houvesse computadores disponíveis às duplas, os estudantes iam observando a movimentação de outros colegas e discutindo juntos as possíveis respostas da atividade. Esta aula teve a duração de 2h aulas, e os alunos queriam continuar explorando o programa. Notoriamente, foi observado que os alunos identificam o uso da tecnologia, como aliado a seu aprendizado.

  Assim, prosseguiram as demais tarefas desta atividade, Sempre que uma nova tarefa era apresentada aos estudantes, P2 solicitava-lhes a leitura do objetivo da aula e realizava alguns questionamentos, como seguem exemplos: Tarefa 2

  

P2 – Vocês conseguem construir estes polígonos regulares? Observem a

  característica que cada um deve ter, e após a construção façam os moldes solicitados na tarefa. Qual a característica básica de qualquer polígono regular? Um dos componentes do grupo disse que eram muitas perguntas ao mesmo tempo e pediu calma à professora (todos riram, inclusive, a professora).

  Nisso, outro aluno disse que um “polígono regular tem que ter todos os lados iguais e que lembrava como construía o triângulo equilátero e o quadrado, mais não tinha ideia de como construir o pentágono e o hexágono regular...”

  Nesse instante, a professora orientou os grupos a fazerem suas tentativas, para depois abrir a discussão, e à medida do possível um colega ir ajudando o outro de modo que a atividade pudesse ser desenvolvida por todos.

  Ao perceber que os estudantes estavam com dificuldades para prosseguir com a atividade, P2 solicitou atenção e convidou-os a pensarem no valor de cada ângulo interno e externo desses polígonos regulares. Citou como exemplo o triângulo equilátero. Em seguida, questionou-os em relação à soma desses ângulos externos. Alguns alunos responderam que era o valor de 360º, Desse modo, a aula virou um diálogo entre eles:

  

P2: “Então, agora vamos pensar no seguinte. Se a soma dos ângulos externos,

  como vocês mesmos responderam, tem o valor de 360º. O que devemos fazer para encontrar a medida de cada um deles?

  

Estudantes: “Acho que temos que fazer a divisão – 360º dividido pelo número de

  lados deles, não é ?

  P2: “Que tal vocês tentarem?!

  Nesse momento, os alunos já tinham percebido que, para determinar a medida de cada ângulo externo, bastava dividir 360º pelo número de lados de cada polígono regular solicitado, e partir para a construção de cada um deles, criando os moldes para desenvolver a próxima atividade.

  Nesse movimento, havia um grupo que tinha conseguido por meio da montagem de triângulos equiláteros a formação do pentágono regular. Um processo semelhante ocorrereu com a turma de P1.

  As maiores dificuldades para o desenvolvimento desta atividade assemelharam-se à turma do professor P1, porque os estudantes não levaram o material solicitado à sala, incluindo a dificuldade de construir o pentágono e hexágono regular, e o estabelecimento da desigualdade solicitada na tarefa 3.

  Em relação à tarefa 5, cujo objetivo geral era despertar o interesse para pesquisar sobre os poliedros regulares, seu papel na arte e nas explicações sobre o Universo, os grupos realizaram a pesquisa e apresentaram aos colegas de sala, como já era de hábito na sala de aula. Apresentamos a seguir um trabalho elaborado por um dos grupos de alunos da turma de P2:

  • * O trabalho do Professor P3

  Ao termino da terceira atividade, P3 comentou com os alunos que a próxima atividade seria com a apresentação do programa Poly. Nesse instante os alunos ficaram curiosos, pois, eles disseram não conhecer o programa.

  No dia do desenvolvimento da tarefa 1, P3 apresentou o programa Poly para os estudantes, mostrando as janelas de acesso do programa, convidando-os em dupla para explorarem o programa. Somente depois, de apresentar o programa, P3 disponibilizou as atividades em dupla, para que os estudantes pudessem responder.

  Antes do término da aula, P3 orientou os estudantes que trouxessem o material solicitado para a próxima tarefa, comentando que eles iriam construir alguns dos poliedros que exploraram no programa Poly.

  Quando da organização dos grupos para desenvolver a tarefa 2, P3 verificou que os alunos não haviam se programado com relação ao material solicitado. Assim, o professor disponibilizou os materiais necessários à produção da tarefa.

  Durante o desenvolvimento desta tarefa, os alunos sentiram dificuldades para construírem os polígonos regulares pentágono e hexágono. Apenas uma aluna, apresentou a construção correta, e passou a orientar os colegas da sala.

  Em relação à tarefa 3, o professor, solicitou a leitura silenciosa do texto, para, em seguida, tentarem esboçar suas conclusões. Observando que os alunos não conseguiam chegar a nenhuma conclusão, P3 dirigiu à lousa e explanou a tarefa aos alunos.

  Quanto à realização da tarefa 4, os alunos não sentiram dificuldades a respeito da relação de Euler e os poliedros regulares, porém precisaram do apoio do professor para demonstrarem a existência dos cinco poliedros regulares.

  E quanto à pesquisa solicitada, todos os alunos apresentaram. Muitos, disseram que tinham gostado da pesquisa e, não tinham estudado os poliedros regulares, nem visto as associações deles com o envolvimento da arte e das explicações de Kepler, por exemplo, a respeito do universo.

  Outro aluno comentou com a professora que, no final de semana passado, havia realizado um exame para fazer parte de um curso técnico e tinham duas questões envolvendo o assunto de poliedros. Segundo o aluno, as aulas da professora, foram fundamentais para resolver as questões solicitadas.

  Esta atividade teve a duração de 06 h aulas e ocorreu nos dias 18/06, 25/06 e 20/08/09.

  Análise do desenvolvimento da quarta atividade

  Particularmente, esta atividade foi bastante representativa para os alunos, considerando que eles envolveram-se mais nas tarefas. Consideramos que o entusiasmo deu-se pelo fato do apoio do programa Poly e as próprias construções dos poliedros.

  Em relação às dificuldades apresentadas pelos alunos, primeiramente, foram marcadas em razão de não comprometerem-se com materiais de apoio à construção de figuras geométricas, como régua, compasso, transferidor, por exemplo.

  No segundo momento, as três turmas, sentiram bastante dificuldade para construir os polígonos regulares pentágono e hexágono. Consideramos que esses alunos não tenham tido oportunidade anteriormente com essas construções.

  Em relação aos conhecimentos dos professores colaboradores, consideramos que não houve problemas, exceto a respeito da ansiedade do fechamento da atividade devido ao tempo programada para a realização das tarefas, pois, demandou um maior número de aulas para ser desenvolvidas.

  Outro aspecto que chamou à atenção foi em relação aos textos: os alunos não têm o hábito de leitura, especialmente, em assuntos matemáticos. Muito dos alunos pontuavam que os textos eram longos. No final, desta quarta atividade, os alunos tiveram como tarefa, pesquisar sobre os poliedros regulares, seu papel na arte e nas explicações sobre o Universo. As três turmas realizaram a pesquisa, sendo que os alunos de P1 e P3, apenas entregaram a pesquisa aos professores, alguns alunos comentavam com os professores a respeito de suas pesquisas e que tinham descobertos outras informações do assunto, por meio da internet. Já a turma de alunos de P2, além de apresentar a pesquisa na forma escrita, também o fez em forma de seminário para os grupos de colegas apreciarem as pesquisas. Ainda em relação à turma do professor P2, um dos grupos de alunos elaborou uma espécie de livreto a respeito dos poliedros regulares conforme protocolo apresentado no desenvolvimento da quarta atividade pelo P2.

  Relatório referente à quinta atividade * O trabalho do Professor P1

  Esta atividade durou 2h aulas e ocorreu nos dias 26 e 27/05/2009. No primeiro dia, P1 solicitou à coordenação, o equipamento necessário para utilizar o data show em sala de aula. Assim, explanou as tarefas contidas na atividade, para que os estudantes tivessem uma visão geral de como iria ocorrer as atividades, inclusive, agendou a tarefa 5 (pesquisa sobre secções cônicas), para que os estudantes se organizassem para completar os estudos da atividade em questão.

  Desta vez, não entregou a atividade aos alunos. Foi comentando uma a uma por meio do telão; após distribuiu a atividade.

  Em relação à tarefa 1, P1 esclareceu aos estudantes a importância do conhecimento geométrico, na criação de algumas ferramentas que são utilizadas, por exemplo, por mecânicos e ferreiros. Citou que esses profissionais produzem ferramentas com precisão e de grande utilidade. Falou a função da “camisa de pistão” utilizada nos carros, como exemplo do cotidiano, e muitas pessoas não dão importância para esse conhecimento e suas funções nos objetos que utilizamos. Comentou que existem peças que podem ser produzidas por um processo chamado rotação e que cada forma depende do formato gerado pelo movimento.

  Durante o desenvolvimento da tarefa 1, alguns alunos não lembravam o nome da figura que representava o trapézio, que gerava o tronco de cone, sendo auxiliados pelos próprios colegas de classe.

  Outro estudante chamou o professor para demonstrar o que tinha aprendido em uma instituição de que participava em seu bairro, o aluno foi até a lousa e representou um eixo vertical, em seguida, começou a esboçar algumas “elipses” (sequencialmente – umas maiores e outras menores), na sequência, interligava-as com segmentos de retas, ou mesmo, linhas curvas, sugerindo o surgimento de algumas imagens de objetos, como garrafa pet, panela de pressão e flauta, conforme imagens a seguir: O estudante F comentou com P1: “Achei interessante conhecer esse assunto e não tinha pensado que poderia ser na aula de Matemática”. Os demais colegas gostaram da ideia de desenhar os objetos a partir de imagens que se assemelhavam às elipses.

  Embora os alunos não encontrassem dificuldades para realizar esta última atividade, relataram não ter conhecimento sobre secções cônicas, que era um assunto novo para eles, nem tinham pensado na possibilidade da criação de outros objetos geométricos a partir de secções cônicas. Destacaram que a pesquisa sobre o assunto foi interessante, pois “navegaram na internet” e encontraram muitas informações a respeito de construções de pontes, antenas parabólicas e outras descobertas sobre as funções e criações pelo homem por meio desse conhecimento. Os estudantes afirmaram que não tinham visto a Matemática desse modo.

  • * O trabalho do Professor P2

  Esta atividade teve a duração de 2 h aulas e ocorreu nos dias 26 e 29/05/2009. P2 organizou a sala de aula, como de costume, comentou sobre os objetivos da quinta atividade e agendou o próximo tema de pesquisa na lousa: “Secções cônicas e suas influências na construção da sociedade. Os alunos indagaram a respeito do assunto, afirmando não terem ouvido falar do assunto. A professora respondeu que pesquisa era para isso mesmo, buscar informações daquilo que conhecemos pouco ou nada sobre o assunto.

  Um dos alunos disse o seguinte; professora, a senhora pede muita pesquisa, não é aula de história ou geografia, é de Matemática! P2 respondeu com humor, dizendo que a Matemática de hoje existe em razão das histórias e construções do conhecimento que ficaram no passado. Logo, era importante pesquisar sobre muitos assuntos.

  Antes de distribuir a atividade aos estudantes, P2 comentou que a aula seria dedicada a investigar alguns sólidos de revolução e explorar um pouco sobre secções cônicas.

  Estudante M: O que é isso?

P2: Vamos, imaginar uma pequena superficíe em forma de retângulo. Em

  seguida, vamos pensar que ela está fixa em um eixo, semelhante a este (fez o esboço na lousa).... De modo que ao girarmos obtenhamos um formato... um objeto. Como vocês imaginam ser a geração desse objeto? Estudante M: Não sei não, tem que pensar demais...

  P2: Vamos lá. Imaginem que esse pequeno retângulo vai iniciar o giro nesse ponto (apoiando-se no esboço que representou na lousa)... quando voltar a ele completa o ciclo. Observem que o retângulo está representando uma região plana

  (geometria plana) e todo esse movimento irá gerar um objeto em três dimensões (geometria espacial). Que objeto vocês conhecem que se assemelha a essa movimentação?

  

Alguns estudantes: “Acho que vai formar um cilindro, parecido com aquele da

atividade anterior que a senhora pediu pra gente planificar”.

  P2: “Isso mesmo! Observem que também podemos obter alguns objetos por meio da rotação completa a partir de uma superfície”.

  Após essa conversa com a classe, P2 distribuiu a atividade para que os estudantes pudessem desenvolvê-la.

  Em relação à tarefa 1 desta atividade, a dificuldade encontrada foi em razão de lembrar o nome da superfície que, ao rotacionar, gerava o tronco de cone. Neste caso, dos 25 estudantes presentes, apenas quatro citaram o trapézio. As demais tarefas, embora tenham relatado não conhecer e estranhar os nomes como hipérbole e elipse, não tiveram dificuldades para prosseguir. Para concluir, os estudantes apresentaram a pesquisa solicitada na tarefa 5 em grupo de cinco alunos, trazendo as informações coletadas à sala, por escrito, incluindo imagens e, oralmente, aos colegas. Este foi um momento enriquecedor, pois os grupos trocavam informações das fontes de pesquisa.

  • * O trabalho do Professor P3

  Para o desenvolvimento desta atividade, a professora, organizou duplas de alunos. Em seguida, distribuiu a atividade e solicitou que eles fossem desenvolvendo.

  À medida que os alunos, liam, solicitavam a ajuda da professora. Suas dúvidas estavam relacionadas sobre questões de rotação de figuras. A professora dirigiu-se à lousa e explanou o assunto. Ao término de sua explicação, solicitou que os alunos apresentassem uma pesquisa sobre o assunto para a próxima aula.

  Ao pesquisarem sobre o assunto, os alunos, disseram que nunca tinham ouvido falar em secções cônicas e descobriram sites interessantes sobre o assunto.

  Esta atividade teve a duração de 3 h aulas e ocorreu nos dias 27/08 e 03/09/2009.

  Análise do desenvolvimento da quinta atividade

  O desenvolvimento da quinta atividade ocorreu por meio de leitura e discussão dos alunos e professores, especialmente, em relação à turma de P1. A maior dificuldade das três turmas esteve relacionada com assuntos sobre rotação de figuras e propriamente a respeito de secções cônicas. Considerando que as três turmas tenham relatado aos professores que não conheciam esse assunto.

  Nesta atividade, destacamos a informação do estudante F, referente à turma do 2º B – período vespertino, dialogando com seu professor (P1) ao esboçar desenhos de alguns objetos a partir de representações de “elipses” e sua surpresa com o assunto em sala de aula.

  Em relação aos conhecimentos dos professores colaboradores, estes, também relataram que foi a primeira vez que desenvolviam atividades relacionadas às secções cônicas em sala de aula para alunos do 2º colegial. Os professores consideraram importante para despertar o conhecimento dos alunos, especialmente, quando forem abordar assuntos sobre geometria analítica no 3º ano do colegial.

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