APOSTILA Matrizes e Determinantes

19 

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(1)

APOSTILA

Matrizes e Determinantes

MATRIZ.

DEFINIÇÃO 1. É uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. ORDEM OU DIMENSÃO.

DEFINIÇÃO 2. A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas.

NOTAÇÃO. Representaremos a matriz A de m linhas e n colunas, isto é, a matriz A de ordem m por n, por

[ ]

ij m n

mn m

m m

n n n

n

m a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

A × = ×

     

 

     

 

=

" # % # # #

" " "

3 2 1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

OBSERVAÇÕES.

1.Existem outras notações para matrizes, além de colchetes, como parênteses ou duas barras.

   

  =

×

23 22 21

13 12 11 3 2

b b b

b b b

B ou

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

4 3

c c c c

c c c c

c c c c

C × =

2.Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes e minúsculas para os seus elementos.

3.Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos, funções ou mesmo outras matrizes.

4.Os elementos de uma matriz de ordem n × n que estão nas posições em que i = j, pertencem a diagonal que chamamos de diagonal principal. E a outra diagonal é chamada de diagonal secundária.

  

 

  

  =

×

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3 3

m m m

m m m

m m m M

DIAGONAL SECUNDÁRIA DIAGONAL PRINCIPAL EXEMPLOS.

Curso:

Disciplina:Matemática Data: Modalidade Integrada Turma:

Turno:

Professor (a): Gustavo Costa

(2)

TIPOS DE MATRIZES.

1. Nula: é a matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero (aij = 0, ∀ i = 1,...,m e j = 1,...,n).

EXEMPLOS.

2. Coluna: é a matriz que possui m linhas e uma única coluna (n = 1). EXEMPLOS.

3. Linha: é a matriz que possui uma única linha e n colunas (m = 1). EXEMPLOS.

4. Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n), que será chamada de matriz de ordem m.

EXEMPLOS.

4.1. Diagonal: é a matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal principal diferentes de

zero e os outros iguais a zero (aij ≠ 0, para i = j e aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e

j = 1,...,n). EXEMPLOS.

4.1.1. Escalar: é a matriz quadrada diagonal que tem os elementos da diagonal principal iguais e os outros iguais a zero (aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

EXEMPLOS.

4.1.1.1. Identidade: é a matriz escalar que tem os elementos da diagonal principal iguais a um (aij = 1, para i = j e aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

(3)

4.2. Triangular Superior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero (e aij = 0, para i > j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

EXEMPLOS.

4.3. Triangular Inferior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero (e aij = 0, para i < j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

EXEMPLOS.

4.4. Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal iguais (aij = aji, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

EXEMPLOS.

4.5. Anti-Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal opostos (aij = – aji, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

EXEMPLOS.

IGUALDADE DE MATRIZES.

DEFINIÇÃO 3. Duas matrizes

[ ]

n m ij n

m a

A × = × e

[ ]

s r ij s

r b

B× = × são iguais, A = B, se elas têm a mesma ordem (o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s)), e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij = bij).

EXEMPLO. Determine x, y, z e t, sabendo que as matrizes A e B são iguais:

(1) A =

  

 

−4

3 3 2x z

e B =

  

 

+ +

4 3

2 1

y x

(2) A =

  

 

2 2

5

4 t

y x x

e B =

  

 

t t z

x x

(4)

OPERAÇÕES COM MATRIZES.

1. Adição: A soma de matrizes de mesma ordem ou de mesma dimensão, m × n, é ainda uma matriz de ordem m × n, cujos elementos são obtidos pela soma dos elementos correspondentes das matrizes dadas.

NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n =

[ ]

n m ij

a × e Bm×n =

[ ]

bij m×n. Então, Cm×n = Am×n + Bm×n

[ ]

[

]

n m ij ij n m

ij a b

c × = + ×

   

 

   

 

+ +

+

+ +

+

+ +

+

=

×

mn mn m

m m m

n n

n n

n m

b a b

a b a

b a b

a b a

b a b

a b a

C

"

# %

# #

" "

2 2 1 1

2 2 22

22 21 21

1 1 12

12 11 11

EXEMPLOS.

(1) Dadas as matrizes A =     

5 2

4 1

, B =

  

 −

0 5

2 3

e C =

  

 

− −

− 15 8

2 4

. Calcule D = A + B + C.

(2) Dadas as matrizes A =

    

  

− −

4 3 3 5

4

2 1 9

3 e B =

  

  

− − −

1 0 5 1

2 8

19

. Calcule C = A + B.

(3) Dadas as matrizes A =   

 

  

 

3 11

5

(5)

Como foi definida a adição de matrizes, esta operação tem as mesmas propriedades da adição de números reais.

PROPRIEDADES. Considere as matrizes A, B e C de ordem m × n. [P1] Comutativa: A + B = B + A;

[P2] Associativa: (A + B) + C = A + (B + C);

[P3] Elemento Neutro: A + O = A, onde O é a matriz nula de ordem m × n; [P4] Elemento Simétrico: A – A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n. 2. Subtração: Se o sinal da adição for mudado por subtração tem-se a operação.

NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n =

[ ]

aij m×n e Bm×n =

[ ]

bij m×n. Então, Cm×n = Am×n – Bm×n

[ ]

[

]

n m ij ij n m

ij a b

c × = − ×

   

 

   

 

− −

− −

− −

=

×

mn mn m

m m m

n n

n n n

m

b a b

a b a

b a b

a b a

b a b

a b a

C

"

# %

# #

" "

2 2 1 1

2 2 22

22 21 21

1 1 12

12 11 11

OBSERVAÇÃO. C = – D ⇔ D = – C EXEMPLOS.

(1) Dadas as matrizes A =

  

 

−1 4 7 1

1 8 9 11

e B =

  

 

− −

1 10 13 4

1 2 8 0

. Calcule C = A – B e D = B – A.

(2) Dadas as matrizes A =   

 

  

 

4 21 10

e B =

  

 

  

 

7 6

5 22

1 3

. Calcule C = A – B e D = B – A.

(3) Dadas as matrizes A =

  

 

  

 

− −

2

4 5

1 2 1

2 10

e B =

   

 

   

 

− −

2

15 5

11 2

3

8 5 3

(6)

OBSERVAÇÃO. Usualmente, chamaremos um número real de escalar.

3. Multiplicação de um escalar por uma matriz: O produto de um escalar por uma matriz de ordem m × n, resulta em uma outra nova matriz também de ordem m × n, cujos elementos é o produto do escalar por cada elemento da matriz dada.

NOTAÇÃO. Considere o escalar k e a matriz Am×n =

[ ]

aij m×n. Então, Bm×n = k ⋅ Am×n

[ ]

bij m×n =

[

kaij

]

m×n

Bm×n=

   

 

   

 

mn m

m

n n

ka ka

ka

ka ka

ka

ka ka

ka

" # % # #

" "

2 1

2 22

21

1 12

11

EXEMPLOS.

(1) Dados o escalar k = 3 e a matriz A =

  

 

  

 

−1 4

3 0

1 2

. Calcule B = k ⋅ A.

(2) Dados o escalar k = 2 1

e a matriz A =

  

 

  

 

−8 4 1

5 2 0

. Calcule B = k ⋅ A.

(3) Dados o escalar k = – 5 e a matriz A =

     

 

     

 

− − −

12 10 3

5

5 2 0 2

3 25

4 1

. Calcule B = k ⋅ A.

PROPRIEDADES. Considere as matrizes A e B de mesma ordem, m × n e os escalares k1 e k2. [P1] k1 ⋅ (k2 ⋅ A) = (k1 ⋅ k2) ⋅ A;

[P2] k1 ⋅ (A + B) = k1 ⋅ A + k1 ⋅ B; [P3] (k1 + k2) ⋅ A = k1 ⋅ A + k2 ⋅ A;

[P4] 0 ⋅ A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n; [P5] 1 ⋅ A = A;

(7)

4. Multiplicação entre matrizes:

OBSERVAÇÃO PRELIMINAR. O símbolo de somatório (a notação sigma

): o uso do símbolo de somatório ajuda não somente na designação das localizações dos parâmetros e variáveis, mas também fornece um modo fácil e econômico de indicar somas de termos que surgirão no processo de multiplicação entre matrizes.

EXEMPLOS. (1)

= 4

0

i i

x = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 [Generalizando:

=

n i

i x

1

= x0 + x1 + x2 + x3 + ... + xn – 2 + xn – 1 + xn]

(2)

= 6

3

j j

ax = a ⋅ x3 + a ⋅ x4 + a ⋅ x5 + a ⋅ x6 = a ⋅ (x3 + x4 + x5 + x6) = a ⋅

= 6

3

j j

x

4.1O produto matricial A ⋅ B só é definido se o número de colunas da primeira matriz, A, for igual ao número de linhas da segunda matriz, B.

4.2A matriz resultante do produto da matriz de ordem m × n, Am×n, por uma matriz de ordem n × p,

Bn×p, é uma nova matriz de ordem m × p, Cm×p. NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n =

[ ]

n m ij

a × e Bn×p =

[ ]

p n jk

b × . Então, Cm×p = Am×n ⋅ Bn×p =

[ ]

cik m×p

4.3O elemento cik da matriz resultante C é obtido, somando o produto dos elementos da i-ésima linha

da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz. NOTAÇÃO. cik = ai1 ⋅ b1k + ai2 ⋅ b2k + ai3 ⋅ b3k + … + ain ⋅ bnk =

=

n j

jk ij b

a 1

EXEMPLOS.

(1) Dadas as matrizes A =   

 

−1 1 2

3 2 1

e B =   

 

  

 −

4 2 1

. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A.

(2) Dadas as matrizes A =   

 

−1 0

1 0

e B =

  

  −

− 3 2

7 4

(8)

(3) Dadas as matrizes A =      

1 5

e B =     −

5 1

. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A.

(4) Dada a matriz A =

  

 

  

 

5 4 5 2

5 2 5 1

. Calcule A2.

PROPRIEDADES. Considere as matrizes A de ordem m × n, B de ordem, n × p, C de ordem p × q. [P1] Associativa: (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C);

[P2] Distributiva à direita em relação à adição: (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C; [P3] Distributiva à esquerda em relação à adição: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C; [P4] Elemento Neutro: A ⋅ In = A, onde In é a matriz identidade de ordem n × n;

Im ⋅ A = A, onde Im é a matriz identidade de ordem m × m;

[P5] Elemento Nulo: A ⋅ O1 = O, onde O1 é a matriz nula de ordem n × p; O2 ⋅ A = O, onde O2 é a matriz nula de ordem l × m; [P6] k ⋅ (A ⋅ B) = (k ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (k ⋅ B), onde k é um escalar.

OBSERVAÇÃO. Em geral, a multiplicação entre matrizes não é comutativa, isto é, A ⋅ B nem sempre é igual a B ⋅ A.

EXEMPLOS.

(1) Dadas as matrizes A =   

 

− −

3 4

1 1

e B =

  

 −

1 2

0 6

(9)

OBSERVAÇÃO. Pelo exemplo anterior temos que B ⋅ A = O, sem que A = O ou B = O, com é verificado para o produto entre números reais, isto é, x ⋅ y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0.

(2) Dadas as matrizes A =     

1 0

2 1

e B =      0 1

. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A.

(3) Dadas as matrizes A =     

1 2

2 1

e B =     

2 1

1 2

. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A.

MATRIZES TRANSPOSTAS.

DEFINIÇÃO 4. Dada uma matriz

[ ]

n m ij n

m a

A × = × , pode-se obter uma outra matriz cujas linhas são as colunas da matriz A dada, chamada matriz transposta de A.

NOTAÇÃO. Dada a matriz

[ ]

n m ij n

m a

A × = × , a sua transposta é a matriz

[ ]

m n ji t

m

n a

A× = ×

Am×n =

   

 

   

 

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

" # % # #

" "

2 1

2 22

21

1 12

11

   

 

   

 

=

×

mn n

n

m m t

m n

a a

a

a a

a

a a

a

A

" " % # #

" "

2 1

2 22

12

1 21

11

EXEMPLOS.

(1) Dada a matriz A =     

3 0

1 2

, qual é a sua transposta?

(2) Dada a matriz A =

  

  −

5 6 9

3 2 1

(10)

PROPRIEDADES. Considere as matrizes A de ordem m × n e B de ordem, n × p. [P1] Toda matriz simétrica é igual à sua transposta.

[P2] A transposta da transposta de uma matriz A é a própria matriz A. Em símbolos,

( )

A A t t =

. [P3] A transposta da soma é a soma das transpostas. Em símbolos, (A + B)t = At + Bt.

[P4] O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica. [P5] (k ⋅ A)t = k ⋅ At, onde k é um escalar.

[P6] (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At.

EXERCÍCIO.

(1) Dada a matriz simétrica A =

  

 

  

 

8 0 2

0 1 5

2 5 3

, qual a sua transposta?

D

ETERMINANTE

O determinante de uma matriz A só é definido para matrizes quadradas.

NOTAÇÃO. det A = det [aij] = A, onde as barras não indica o valor absoluto de A ou o módulo de A.

DEFINIÇÃO 5. É um escalar associado a esta matriz, que é obtido dos elementos desta matriz, mediante operações da seguinte forma:

1.se A é uma matriz de ordem 1, então det A é o único de A, isto é, A = [a11] ⇒ det A = a11. EXEMPLOS.

2. se A é uma matriz de ordem 2, então det A é calculada pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária, isto é,

A =

  

 

22 21

12 11

a a

a a

⇒ det A = a11 a22 – a12 a21. EXEMPLOS.

3. se A é uma matriz de ordem 3, A =

  

 

  

 

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

, então det A é calculada por

(11)

REGRA PRÁTICA: Regra de Sarrus

1.Repita as duas colunas (ou linhas) ao lado (ou abaixo) da matriz.

2.Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal principal e os elementos das suas paralelas que têm três elementos.

3.Os termos precedidos pelo sinal “–” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal secundária e os elementos das suas paralelas que têm três elementos.

32 31

22 21

12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

a a

a a

a a a

a a a

a a a

ou

23 22 21

13 12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

EXEMPLOS. Dadas as matrizes abaixo calcule o seu determinante.

(1) A =

  

 

  

 

− −

3 1 3

4 2 0

3 4 1

(2) B =

  

 

  

 

− −

2 3 3

0 2 2

2 3 1

(3) I =

  

 

  

 

1 0 0

0 1 0

0 0 1

PROPRIEDADES. Considere uma matriz A de ordem n. [P1] det A = det At

[P2] Se a matriz A tem uma linha ou uma coluna qualquer nula, então det A = 0.

(12)

EXEMPLO. Dada a matriz A =

  

 

  

  −

7 4 0

5 6 1

3 2 1

, se for multiplicado 2 na 3ª linha é obtido a matriz

B =

  

 

  

  −

14 8 0

5 6 1

3 2 1

. Calcule det A e det B.

[P4] Se duas linhas forem trocadas da matriz A, então o determinante desta nova matriz tem sinal oposto ao de A.

[P5] Se a matriz A tiver linhas ou colunas iguais, então det A = 0.

[P6] Se a matriz A tiver linhas ou colunas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det A = 0.

EXEMPLO. Dadas as matrizes A =

  

 

  

 

1 6 3

3 4 2

0 2 1

e B =

  

 

  

 

− −

1 2 1

2 3 0

6 9 0

, calcule det A e det B.

[P7] Se a matriz A for uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior, então o determinante destas matrizes é calculado pelo produto dos elementos da diagonal principal.

[P8] Teorema de Binet: det (A ⋅ B) = det A ⋅ det B.

[P9] Se a matriz A tiver uma linha ou uma coluna que é combinação linear das outras linhas ou colunas, então det A = 0.

EXEMPLO. Dadas as matrizes A =

  

 

  

 

− 9 4 5

3 1 4

5 3 2

, onde C3 = C1 + C2, e B =

  

 

  

 

23 12 7

5 2 1

4 3 2

, onde

L3 = 2L1 + 3L2. Calcule det A e det B.

[P10] Em geral, det (A + B) ≠ det A + det B.

EXEMPLOS. Dadas as matrizes abaixo, calcule seus determinantes e verifique a propriedade P10.

(1) A = 

  

 −

4 2

3 1

e B = 

  

 −

5 8

0 6

(2) A = 

    

0 3

4 0

e B =    

 

−1 0

(13)

DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE. [Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês] Observe que o determinante da matriz A3×3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes de ordem 2×2.

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

A = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

A = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31

A = a11 (a22 a33 – a23 a32) – a12 (a21 a33 – a23 a31) + a13 (a21 a32 – a22 a31)

32 31

22 21 13 33 31

23 21 12 33 32

23 22 11

a a

a a a a a

a a a a a

a a a

A = − +

13 13 12 12 11

11 A a A a A

a

A = − +

Se ∆ij = (–1)i+j Aij , então A =a1111 +a1212 +a1313, onde Aij é o determinante da submatriz

obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial.

DEFINIÇÃO 6. Chama-se cofator ou complemento algébrico do elemento aij o número ∆ij .

O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, onde n ≥ 2, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n – 1. E consiste em somar os produtos dos elementos de uma linha qualquer ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores, isto é,

(n ) i(n ) i(n ) i(n ) in in i

i i i i

i n

m a ai a a a a

A × = 11 + 122 + 33 +"+ 22 + 11 + ∆

( )

=

+

=

× = ∆ = −

n j

ij j i ij n

j

ij ij n

m a a A

A

1 1

1 ,

onde Aij é o determinante da submatriz obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial. EXEMPLOS.

(1) Dada a matriz A =

  

 

  

 

2 3 3

5 1 2

4 3 4

, calcule A1j , onde j = 1,...,3, e conclua qual o valor de A.

(2) Dada a matriz B =

  

 

  

 

− −

− −

2 2 2

1 1 2

3 2 1

(14)

(3) Calcule

2 1 2

1 1 2

3 2 1

− −

− − =

A

(4) Calcule

1 3 5 2

0 3 2 1

0 0 2 4

4 3 2 1

− −

− −

=

B .

(5) Calcule

3 1 2 0

1 0 3 2

2 0 1 3

0 2 3 1 =

C .

OBSERVAÇÃO. Quanto mais zeros houver em uma linha ou coluna, mais fácil será o cálculo do determinante se for usado esta linha ou coluna.

MATRIZ DOS COFATORES.

DEFINIÇÃO 7. A matriz formada pelos cofatores de cada elemento de uma matriz quadrada A, de ordem n, é chamada de matriz dos cofatores.

NOTAÇÃO.

     

 

     

 

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

=

nn n

n n

n n n

A

" # % # # #

" " "

3 2 1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

(15)

MATRIZ ADJUNTA.

DEFINIÇÃO 8. Dada a matriz quadrada A, de ordem n, chama-se matriz adjunta de A à matriz transposta da matriz dos cofatores de A.

NOTAÇÃO. adj A = t A

EXEMPLO. Verifique que a matriz A =

  

 

  

  −

5 6 1

4 1 3

0 1 2

satisfaz a igualdade AAt =

(

detA

)

I, onde I é a

matriz identidade de ordem 3.

MATRIZES INVERSÍVEIS.

DEFINIÇÃO 9. Dada a matriz A quadrada de ordem n. Diz-se que A é matriz inversível se existir uma matriz A–1, única, que obedece as seguintes relações: A ⋅ A–1 = In e A–1 ⋅ A = In, onde In é a matriz

identidade de ordem n.

NOTAÇÃO. A matriz inversa de A é a matriz A–1, de ordem n.

DEFINIÇÃO 13. Se a matriz quadrada A possui uma inversa, A–1, diz-se que A é uma matriz não-singular. Caso contrário, A é dita matriz singular.

EXEMPLOS. (1) A = 

    

7 2

3 1

é inversível e A–1 =    

  −

− 1 2

3 7

, pois:

A ⋅ A–1 = 

     =    

 

+ − −

+ − − =    

  −

− ⋅

     

1 0

0 1 7 6 14 14

3 3 6 7 1

2 3 7 7

2 3 1

= I2

A–1⋅ A = 

     =    

 

+ − + −

− −

=       ⋅    

  −

1 0

0 1 7 6 2 2

21 21 6 7 7

2 3 1 1 2

3 7

= I2

(2) A matriz A =      

8 4

2 1

é singular, pois é impossível determinar a, b, c, e d que satisfaça a relação

A ⋅ A–1 = I2, onde A–1 =      

d c

b a

.

PROPRIEDADES. Considere as matrizes quadradas de ordem n, A e B. [P1]

( )

A = A

− −1 1

;

[P2]

(

)

1 1

1 − −

=

B B A

A ;

[P3]

( ) ( )

t t

A A −1 = −1 ;

(16)

[P5] det A–1 = A det

1 ; [P6] A–1 =

A det

1

(adj A)

EXEMPLOS.

(1) Dada a matriz A–1 =    

  −

− 1 2

3 7

, determine A, sabendo que A =

( )

A−1 −1.

(2) Dadas as matrizes A =      

7 2

3 1

e B =      

2 0

1 3

, determine (A ⋅ B)–1, B–1 ⋅ A–1 e verifique a igualdade

(

)

−1 = −1 −1

A B B

A .

(3) Dada a matriz A =    

 

2 5

1 2 3

, verifique a igualdade

( ) ( )

At −1 = A−1 t.

(4) Dada a matriz A =

  

 

  

 

− −

2 3 2 5

2 7 2 11

, determine det A.

(5) Dada a matriz A =

  

 

  

 

2 1 0

4 1 2

3 5 1

(17)

L

ISTA DE

E

XERCÍCIOS

1. Considere as matrizes

( )

2

2x

ij

a

A= , tal que    ≠ = + = j i j i j i aij , 0 ,

e

( )

2

2x

ij

b

B= , tal que bij =2i−3j. Determine A + B.

2. Determine x · y para que se tenha 

     − + =       + − 4 3 1 1 4 18 2 1 x y y x y x .

3. Sabendo que A = (aij)2 x 3 =

1, se , se

i j

i j i j

= 

 + ≠

 e B = (bij)3 x 3 =

0, se

2 , se , se

i j

i j i j

j i j

= 

 + >

<

, determine (A ⋅ B)t.

4. Que tipo de matriz é a matriz C, sabendo que A = (aij)3 x 3, onde aij =

   ≠ − = j i , i j j i , se se 0

, B = (bij)3 x 3,

onde bij =

     > + = < − − j i , j i j i , i j i , j i se se se

e C = A – B?

5. Considere as seguintes matrizes:       − = 4 3 2 1

A , 

     − = 7 6 0 5

B , 

     − − = 5 6 2 4 3 1

C , 

     = 4 3 2 1

D e

      = 11 6 4 5 E .

(a) Determine 5 ⋅ A – 2 ⋅ B e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B. (b) Determine A2 = A ⋅ A e A ⋅ C.

(c) Mostre que as matrizes D e E comutam e A e B não comutam.

6. Determine, se possível, x∈ℜ para que a matriz

          + − 0 1 4 0 1 2 0 3 2 x x x x x seja:

(a) Simétrica (b) Anti-simétrica

7. Dada a matriz 

     = 6 3 2 1

A , determine uma matriz

( )

3

2x

ij

b

B= , com elementos distintos, tal que A ⋅ B = O, onde O é matriz nula de dimensão 2 × 3.

8. Calcule o determinante das matrizes abaixo: (a) 

     − 2 4 1 3

(b) 

     y y x x cos sen sen cos

(c) 

     − y y x x cos sen cos sen

(d) 

(18)

(g)             3 1 2 0 1 0 3 2 2 0 1 3 0 2 3 1 (h)             0 1 0 0 0 1 0 1 0 a b b a a b a (i)                 d c b a 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 5 4 3 2 1

9. Determine x nas equações abaixo:

(a) 11

1 3 5 4 2 2 = − + − x x x x

(b) 0

1 1 1 1 1 1 = − − x x x

10.Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem. Determine X sabendo-se que:

(a) A ⋅ X ⋅ B = C (b) A ⋅ ( B + X) = A (c) A ⋅ C ⋅ X ⋅ B = C (d)

(

) (

−1

)

1

⋅ = ⋅ ⋅

B A X C C

A (e) ABtXB−1= At

11.Dada a matriz ∈ℜ

          −

= θ θ θ

θ θ , 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos

M , calcule M ⋅ Mt e conclua que Mt =M−1.

12.Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.

(a) 

     = 7 2 3 1 A (b)           − − = 1 4 0 2 1 4 1 5 2 B (c)           − − − = 2 1 0 4 2 3 2 1 1 C

13.Verifique se as seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas.

(A) Se duas linhas (colunas) de A são trocadas, para se tornar a matriz B, então: det (B) = –det (A). (B) Se AT é a transposta da matriz A, então det (AT) = det (A).

(C) Se os elementos de uma linha (ou coluna) de A são multiplicadas por uma constante c, o valor do determinante da nova matriz é c ⋅ det (A).

(D) Se qualquer linha (ou coluna) de A é um múltiplo de qualquer outra linha (ou coluna) de A, então o determinante da matriz A é nulo.

(E) A matriz transposta de uma matriz simétrica é a própria matriz. (F) A matriz transposta de uma matriz linha é uma matriz linha.

(G) A matriz transposta da matriz transposta de uma matriz A, é a matriz transposta da matriz A. (H) A soma de uma matriz A, de ordem 3 × 1, com uma matriz B, de ordem 1 × 3, é uma matriz de

ordem 3 × 3.

(I) O produto de uma matriz A, de ordem m × n, por uma matriz B, de ordem n × p, sendo m, n e p números inteiros positivos quaisquer, é tal que AB = BA.

(J) Se A e B são matrizes de ordem 5 × 6 e 6 × 7 respectivamente, então A ⋅ B é uma matriz 5 × 7 e não existe B ⋅ A.

(K) Se A e B são matrizes de ordem 3 × 5 e 5 × 3 respectivamente, então A ⋅ B é uma matriz 3 × 3 e B ⋅ A é uma matriz de ordem 5 × 3.

(L) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3, então A ⋅ B e B ⋅ A também são matrizes quadradas de ordem 3.

(19)

G

ABARITO

1. 

  

 −

2 1

4 1

2. 10

3.

(

)

  

 

  

  = ⋅

12 12

46 34

40 43 t

B

A 4.

  

 

  

 

− − −

− −

− =

3 6 6

6 2 4

6 4 1

C é uma matriz anti-simétrica

5. (a) 5 ⋅ A – 2 ⋅ B = 34 27

10 5

   

 

− −

e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B =    

 

−12 13

4 17

(b) A2 =

22 9

6 7

   

  −

e A ⋅ C = 

  

 

− −

− 32 33 5

6 9 5

6. (a) x=0 (b) x=−2

7. 

  

 

− − − =

3 2 1

6 4 2

B . Existem outras.

8. (a) 10 (b) cos

(

x+y

)

(c) sen x

(

+y

)

(d) 1 (e) 49 (f) –6

(g) 48 (h) a2 + b2 (i) abcd

9. (a) x=−1 ou x=12 (b) x=0 ou x=1

10. (a) X =A−1.C.B−1 (b) X =IB (c) X =

(

B.C−1.A.C

)

−1 (d) X =B (e) X =

( )

Bt −1.A−1.At.B

11. MMt = IMt =M−1. M é chamada de matriz ortogonal.

12. (a) 

  

  −

− =

1 2

3 7

1

A (b)

  

 

  

 

− =

27 11 27 4 27 8

27 4 27 1 27 2

6 1 6

1 6 1

1 B

(c) C não é inversível.

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