APOSTILA Matrizes e Determinantes

Livre

0
0
19
1 year ago
Preview
Full text

  Curso: Turno:

  Disciplina:Matemática Data: Modalidade Integrada Turma: Professor (a): Gustavo Costa Aluno (a):

APOSTILA

  

Matrizes e Determinantes

ATRIZ.

  M EFINIđấO D 1. É uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas.

  RDEM OU IMENSÃO. O D EFINIđấO

  D 2. A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas.

  OTAđấO

  N . Representaremos a matriz A de m linhas e n colunas, isto é, a matriz A de ordem m por n, por

  a a a a11 12 13 " 1 n   a a a a 21 22 23 " 2 n

    Aa a a aa m n = = 31 32 33 " 3 n [ ] ij

  × m n ×   # # # % #     a a a a m 1 m 2 m 3 " mn

    BSERVAđỏES O .

  1. Existem outras notações para matrizes, além de colchetes, como parênteses ou duas barras.

  c c c c 11 12 13 14 b b b11 12 13 

  B = ou C = c c c c 2 3 3 4 21 22 23 24 × ×

    b b b 21 22 23

    c c c c 31 32 33 34 2. Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes e minúsculas para os seus elementos.

  3. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos, funções ou mesmo outras matrizes.

  4. Os elementos de uma matriz de ordem n × n que estão nas posições em que i = j, pertencem a diagonal que chamamos de diagonal principal. E a outra diagonal é chamada de diagonal secundária.

  

m m m

  11 12 13  

  M m m m 3 3 = 21 22 23 ×

     m m m31 32 33  

  IAGONAL ECUNDÁRIA

IAGONAL RINCIPAL

  D S D P

  XEMPLOS E .

  T

  E

  E

  4.1.1.1. Identidade: é a matriz escalar que tem os elementos da diagonal principal iguais a um (a ij = 1, para i = j e a ij = 0, para ij, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

  XEMPLOS .

  E

  4.1.1. Escalar: é a matriz quadrada diagonal que tem os elementos da diagonal principal iguais e os outros iguais a zero (a ij = 0, para ij, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

  XEMPLOS .

  E

  j = 1,...,n).

  4.1. Diagonal: é a matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero e os outros iguais a zero (a ij ≠ 0, para i = j e a ij = 0, para ij, ∀ i = 1,...,n e

  XEMPLOS .

  4. Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n), que será chamada de matriz de ordem m.

  IPOS DE M

  XEMPLOS .

  E

  3. Linha: é a matriz que possui uma única linha e n colunas (m = 1).

  XEMPLOS .

  E

  2. Coluna: é a matriz que possui m linhas e uma única coluna (n = 1).

  XEMPLOS .

  E

  1. Nula: é a matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero (a ij = 0, ∀ i = 1,...,m e j = 1,...,n).

  ATRIZES.

  XEMPLOS .

  4.2. Triangular Superior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero (e a ij = 0, para i > j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

  XEMPLOS E .

  4.3. Triangular Inferior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero (e a ij = 0, para i < j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

  XEMPLOS E .

  4.4. Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal iguais (a = a ,

  ij jii = 1,...,n e j = 1,...,n).

  XEMPLOS E .

  4.5. Anti-Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal opostos (a ij = – a ji , ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).

  XEMPLOS E . GUALDADE DE ATRIZES.

  I M EFINIđấO

  D

  3. Duas matrizes A = a e B = b são iguais, A = B, se elas têm a mesma ordem m n [ ] ij r s [ ] ij

  × × m n r s × ×

  (o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s)), e todos os seus elementos correspondentes são iguais (a ij = b ij ).

  XEMPLO

  E . Determine x, y, z e t, sabendo que as matrizes A e B são iguais: 2

  3 z x

  • 2 x

  1 2   x 2 x

  3     x x y  

  (1) A = e B = (2) A = e B =

  

        2 

  3 y

  • 3 − 4

  4

  z

  5 t t

  4 5 t

       

   

  • B m
  • =     
  • =

     

  4

  5

  3

  3

  4

  − −

  (2) Dadas as matrizes A =    

  1

  4 . Calcule D = A + B + C.

  2

  8

  15

  − − −

    

  3 e C =   

  2

  9 3

  5

  19 . Calcule C = A + B.

  3

  5 e B = [ ]

  11

  3

     

       

  (3) Dadas as matrizes A =

  8

   e B =

  2

  1

  5

  1

  − − −

     

     

  2

  − Como foi definida a adição de matrizes, esta operação tem as mesmas propriedades da adição de números reais.

  O PERAđỏES COM

  ×

  . Então,

  ×

  [ ] n m ij b

  =

  ×n

  e B m

  [ ] n m ij a

   = A m

  =

  ×n

  . Considere as matrizes A m

  OTAđấO

  N

  1. Adição: A soma de matrizes de mesma ordem ou de mesma dimensão, m × n, é ainda uma matriz de ordem m × n, cujos elementos são obtidos pela soma dos elementos correspondentes das matrizes dadas.

  M ATRIZES.

  C m ×n

  ×n

    

  (1) Dadas as matrizes A =   

    

   , B =

  1

  4

  2

  5

    

  XEMPLOS .

  ×n

  2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 E

  " # % # # " "

  × mn mn m m m m n n n n n m b a b a b a b a b a b a b a b a b a C

        

  × ×

  [ ] [ ] n m ij ij n m ij b a c

  ⇔

  2 1 − . Calcule C = A + B.

  P

  21

  22

  5

  6

  7

     

       

  e B =

  10

  4

  3 . Calcule C = A – B e D = B A.

     

       

  (2) Dadas as matrizes A =

  8 . Calcule C = A – B e D = B – A.

  2

  1

  4

  13

  1

  (3) Dadas as matrizes A =     

  1

  − −

  8

  3

  2

  11

  5

  15

  2

  −

       

      

  10 e B =      

  2

  1

  2

  1

  5

  4

  2

  − −

  10

  − − − BSERVAđấO

  ROPRIEDADES

  N

  . Então,

  ×

  [ ] n m ij b

  e B m ×n =

  ×

  [ ] n m ij a

  . Considere as matrizes A m ×n =

  OTAđấO

  2. Subtração: Se o sinal da adição for mudado por subtração tem-se a operação.

  A m ×nB m ×n ⇔ [ ] [ ] n m ij ij n m

ij

b a c

  ] Elemento Simétrico: A A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n.

  4

  [P

  3 ] Elemento Neutro: A + O = A, onde O é a matriz nula de ordem m × n;

  [P

  2 ] Associativa: (A + B) + C = A + (B + C);

  [P

  1 ] Comutativa: A + B = B + A;

  . Considere as matrizes A, B e C de ordem m × n. [P

  C m ×n =

  × × − = 

    

  − −

  11 e B =   

  9

  8

  1

  1

  4

  7

  1

    

       

  (1) Dadas as matrizes A =   

  XEMPLOS .

  E

  . C = – D D = – C

  2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 O BSERVAđấO

  " # % # # " "

  × mn mn m m m m n n n n n m

b a b a b a

b a b a b a

b a b a b a

C

  − − − − − − =

       − − −

  5 3 . Calcule C = A – B e D = B – A.

  O . Usualmente, chamaremos um número real de escalar.

  3. Multiplicação de um escalar por uma matriz: O produto de um escalar por uma matriz de ordem m × n, resulta em uma outra nova matriz também de ordem m × n, cujos elementos é o produto do escalar por cada elemento da matriz dada.

  OTAđấO

  N . Considere o escalar k e a matriz A m = a . Então,

  ×n ij [ ] m n

  × =

  B m k A mb = ka ×n ×n ij ij

  [ ] [ ] m n m n × × ka ka ka

   11 12 " 1 n   ka ka ka 21 22 " 2 n

    B m ×n =

    # # % #   ka ka ka m 1 m 2 " mn

   

  XEMPLOS E .

  2

  1    

  (1) Dados o escalar k = 3 e a matriz A =

  3 . Calcule B = k A.   

  1 4  −  

  2    

  1

  5

  e a matriz A = . Calcule B = k (2) Dados o escalar k = ⋅ A.

   

  1

  2

    − 8  4 

  

4

 

  1

  3 − −

 

  

25

 

  2

  (3) Dados o escalar k = – 5 e a matriz A =   . Calcule B = k 2 ⋅ A.

  5

 

5

 

  

  10

  12

 

3

 

  × n e os escalares k

  1

  2

  ROPRIEDADES P . Considere as matrizes A e B de mesma ordem, m e k .

  [P

  1 ] k

  1

  2

  1 2 )

  ⋅ (k A) = (k k A; [P

  2 ] k 1 ⋅ (A + B) = k 1 ⋅ A + k 1 ⋅ B;

  [P ] (k + k )

  3

  1 2 ⋅ A = k 1 ⋅ A + k 2 ⋅ A;

  [P

  4 ] 0

  ⋅ A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n; [P

  5 ] 1 A = A;

  [P 6 ] 1 A = – A.

  4 . Calcule C = A B e D = B A.

  ∑ =

  1

  −1

    

  (1) Dadas as matrizes A =   

  XEMPLOS .

  ⋅ n j jk ij b a 1 E

  …

  3

   = a i1 ⋅ b 1k + a i2 ⋅ b 2k + a i3 ⋅ b 3k +

  . c ik

  OTAđấO

  da matriz resultante C é obtido, somando o produto dos elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz. N

  ik

  4.3 O elemento c

  ×

  2

  2

  =

  −

  7

  2

  3

  − −

    

  1 e B =   

  1

    

  1 e B =

  (2) Dadas as matrizes A =   

  . Calcule C = A B e D = B A.

  1

  2

  4

     −

  

  [ ] p m ik c

   = A

m ×n B n ×p

  4. Multiplicação entre matrizes: O

  (1)

  ∑ = 6 3 j j x

  ∑ = 6 3 j j ax = ax 3 + ax 4 + ax 5 + ax 6 = a ⋅ (x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) = a

  (2)

  1 + x 2 + x 3 + ... + x n – 2 + x n – 1 + x n ]

  = x + x

  ∑ = n i i x 1

  ∑ = 4 i i x = x + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 [Generalizando:

  XEMPLOS .

  4.2 A matriz resultante do produto da matriz de ordem m × n, A

  E

  ajuda não somente na designação das localizações dos parâmetros e variáveis, mas também fornece um modo fácil e econômico de indicar somas de termos que surgirão no processo de multiplicação entre matrizes.

  ∑ ) : o uso do símbolo de somatório

  . O símbolo de somatório (a notação sigma

  RELIMINAR

  P

  BSERVAđấO

  4.1 O produto matricial A B só é definido se o número de colunas da primeira matriz, A, for igual ao número de linhas da segunda matriz, B.

  m ×n

  C m ×p

  [ ] n m ij a

  . Então,

  ×

  [ ] p n jk b

  =

  n ×p

  e B

  ×

  =

  , por uma matriz de ordem n × p,

  m ×n

  . Considere as matrizes A

  OTAđấO

  N

  ×p .

  , é uma nova matriz de ordem m × p, C m

  B n ×p

  • a in b nk =

   

  1 5 − 

     

  (3) Dadas as matrizes A = e B = . Calcule C = A B e D = B A.

  5

  1  

   

  1

  2    

  2

  5

  5 (4) Dada a matriz A = . Calcule A .  

  2

  4  

  5

  5   ROPRIEDADES P . Considere as matrizes A de ordem m × n, B de ordem, n × p, C de ordem p × q.

  [P

  1 ] Associativa: (A

  ⋅ B) C = A (B C); [P

  2 ] Distributiva à direita em relação à adição: (A + B) C = A C + B C;

  [P

  3 ] Distributiva à esquerda em relação à adição: A (B + C) = A B + A C;

  [P ] Elemento Neutro: A = A , onde I é a matriz identidade de ordem n × n;

  4 ⋅ I n n

  I m m é a matriz identidade de ordem m × m; ⋅ A = A, onde I

  [P

  5 ] Elemento Nulo: A O 1 = O , onde O 1 é a matriz nula de ordem n × p; O é a matriz nula de ordem l

  2 ⋅ A = O, onde O 2 × m;

  [P

  6 ] k (A B) = (k A) B = A (k B), onde k é um escalar. BSERVAđấO

  O . Em geral, a multiplicação entre matrizes não é comutativa, isto é, A B nem sempre é igual a B A.

  XEMPLOS E .

  1 −

  1

  6   −  (1) Dadas as matrizes A = e B = . Calcule C = A B e D = B A.

      4 −

  3

  2

  1     O

  BSERVAđấO

  2 1 2 22 12 1 21 11 E

  =

  A m ×n

  =

       

        mn m m n n a a a a a a a a a

  " # % # # " "

  2 1 2 22 21 1 12 11

  ⇒

       

       

  = × mn n n m m t m n a a a a a a a a a A

  " " % # # " "

  XEMPLOS .

  [ ] m n ji t m n A a

  (1) Dada a matriz A =   

    

  3

  1

  2 , qual é a sua transposta?

  (2) Dada a matriz A =   

    

  − −

  5

  6

  9

  3

  2

  × ×

  × × = , a sua transposta é a matriz

  . Pelo exemplo anterior temos que B A = O, sem que A = O ou B = O, com é verificado para o produto entre números reais, isto é, x y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0.

  1 e B =   

  (2) Dadas as matrizes A =   

    

  1

  2

  1 e B =   

    

  1 . Calcule C = A B e D = B A.

  (3) Dadas as matrizes A =   

    

  1

  2

  2

    

  [ ] n m ij n m A a

  2

  1

  1

  2 . Calcule C = A B e D = B A.

  M ATRIZES T RANSPOSTAS .

  D

  EFINIđấO

  4. Dada uma matriz

  [ ] n m ij n m A a

  × × =

  , pode-se obter uma outra matriz cujas linhas são as colunas da matriz A dada, chamada matriz transposta de A. N

  OTAđấO

  . Dada a matriz

  1 , qual é a sua transposta? ROPRIEDADES

  P . Considere as matrizes A de ordem m × n e B de ordem, n × p. [P 1 ] Toda matriz simétrica é igual à sua transposta. t t

  [P ] A transposta da transposta de uma matriz A é a própria matriz A. Em símbolos, A A

  ( ) t t t [P ] A transposta da soma é a soma das transpostas. Em símbolos, (A + B) = A + B .

  2 = .

  3 t [P ] O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta A é uma matriz simétrica.

  4 t t

  [P 5 ] (k = k , onde k é um escalar.

  ⋅ A) ⋅ A

  t t t

  [P 6 ] (A B) = B A .

  XERCÍCIO E .

   

  3 5 −

  2  

  5 1 , qual a sua transposta? (1) Dada a matriz simétrica A =

     

  −

  2

  8  

  ETERMINANTE D O determinante de uma matriz A só é definido para matrizes quadradas.

  OTAđấO N . det A = det [a ] = A , onde as barras não indica o valor absoluto de A ou o módulo de A. ij

  EFINIđấO

  D 5. É um escalar associado a esta matriz, que é obtido dos elementos desta matriz, mediante operações da seguinte forma: ] .

  11 ⇒ det A = a

  11

  1. se A é uma matriz de ordem 1, então det A é o único de A, isto é, A = [a

  XEMPLOS E .

  2. se A é uma matriz de ordem 2, então det A é calculada pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária, isto é,

  a a11 12  A = ⇒ det A = a a – a a .

  11

  22

  12

  21   a a 21 22

   

  XEMPLOS E . a a a

    11 12 13   a a a , então det A é calculada por

  3. se A é uma matriz de ordem 3, A = 21 22 23

     a a a31 32 33  

  det A = a

  11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a

  33 XEMPLOS E . R

  EGRA

  3

     

  − −

  2

  3

  3

  2

  2

  2

  1

  (2) B =

  (3) I =

       

     

  1

  1

  1 P ROPRIEDADES . Considere uma matriz A de ordem n.

  [P

  1 ] det A = det A t

  [P 2 ] Se a matriz A tem uma linha ou uma coluna qualquer nula, então det A = 0. [P

       

  1

  P

  XEMPLOS . Dadas as matrizes abaixo calcule o seu determinante.

  RÁTICA:

  Regra de Sarrus

  1. Repita as duas colunas (ou linhas) ao lado (ou abaixo) da matriz.

  2. Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal principal e os elementos das suas paralelas que têm três elementos.

  3. Os termos precedidos pelo sinal “–” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal secundária e os elementos das suas paralelas que têm três elementos.

  

32

31

22

21

12

11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a

  ou 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11

  a a a a a a a a a a a a a a a

  E

  (1) A =

  4

       

     

  − −

  3

  1

  3

  4

  2

  3

  

3 ] Se multiplicar uma linha ou uma coluna da matriz A por um escalar, o determinante desta nova

matriz será o determinante da matriz A multiplicado por este escalar.

  2

  3

  1

  2

  5

  7

  12

  23

     

       

  , e B =

  2

  1

  = C

  , onde C

  3

  2

  3

  5

  4

  1

  3

  5

  4

  9

  −

     

       

  . Dadas as matrizes A =

  4

  2

  E

  2

  −1

    

  4 e B =   

  3

    

    

  6 (2) A =

  8

  5

    −

  1 e B =   

  3

  4

  , onde

  −

    

  (1) A =   

  10 .

  . Dadas as matrizes abaixo, calcule seus determinantes e verifique a propriedade P

  XEMPLOS

  E

  [P 10 ] Em geral, det (A + B) ≠ det A + det B.

  2 . Calcule det A e det B.

  1

  = 2L

  3

  L

  XEMPLO

  9 ] Se a matriz A tiver uma linha ou uma coluna que é combinação linear das outras linhas ou colunas, então det A = 0.

  E

  B =      

  4 ] Se duas linhas forem trocadas da matriz A, então o determinante desta nova matriz tem sinal oposto ao de A.

  [P

  1 . Calcule det A e det B.

  2

  3

  1

  6

  5

  8

  14

  − −

     

  , se for multiplicado 2 na 3ª linha é obtido a matriz

  5 ] Se a matriz A tiver linhas ou colunas iguais, então det A = 0.

  1

  2

  3

  1

  6

  5

  4

  7

  − −

      

      

  . Dada a matriz A =

  XEMPLO

  [P

  [P

  ] Se a matriz A for uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior, então o determinante destas matrizes é calculado pelo produto dos elementos da diagonal principal. [P 8 ] Teorema de Binet: det (AB) = det A ⋅ det B. [P

  e B =

  7

  [P

  9 , calcule det A e det B.

  6

  3

  2

  1

  2

  1

  

− −

  

      

  1

  6

  2

  2

  4

  3

  3

  6

  1

     

       

  . Dadas as matrizes A =

  XEMPLO

  E

  ] Se a matriz A tiver linhas ou colunas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det A = 0.

  • C
  • 3L

ESENVOLVIMENTO DE

  Se ∆ ij = (–1)

  ( ) ( ) ( ) ( )

in in n i n i n i n i i i i i i n m

A a a a a ai a

  O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, onde n ≥ 2, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n – 1. E consiste em somar os produtos dos elementos de uma linha qualquer ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores, isto é,

  o número ∆ ij .

  ij

  6. Chama-se cofator ou complemento algébrico do elemento a

  EFINIđấO

  D

  A é o determinante da submatriz obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial.

  i+j ij A , então 13 13 12 12 11 11 ∆ + ∆ + ∆ = a a a A , onde ij

  A a + − = 13 13 12 12 11 11 A a A a A a A + − =

  D

  31 A = a 11 (a 22 a 33 – a 23 a 32 ) – a 12 (a 21 a 33 – a 23 a

31 ) + a

13 (a 21 a 32 – a 22 a 31 ) 32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 a a a a a a a a a a a a a a

  33 A = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a

23 a

31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a

  11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a

13 a

21 a 32 – a 13 a 22 a 31 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a

  33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A = = a

  submatrizes de ordem 2 ×2.

  3 ×3 pode ser expresso em função dos determinantes de

  Observe que o determinante da matriz A

  . [Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês]

  L APLACE

  ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ = − − − − × 1 1 2 2 3 3 2 12 1 1 "

  • = ×

  =

  A 1 , onde j = 1,...,3, e conclua qual o valor de A .

  , calcule 2 i B , onde i = 1,...,3, e conclua qual o valor de B .

  1

  2

  3

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  − − − −

     

       

  (2) Dada a matriz B =

  , calcule j

  − = ∆ = n j ij j i ij n j ij ij n m A a a A 1 1 1 ,

  4

  3

  4

  2

  1

  5

  3

  3

  2

     

       

  ( ) ∑ ∑

  XEMPLOS .

  onde ij A é o determinante da submatriz obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial. E

  (1) Dada a matriz A =

  ⋅ − = ∆

  D

  3

  2

  2

  1

  3

  2

  3

  1 = C .

  O

  BSERVAđấO

  . Quanto mais zeros houver em uma linha ou coluna, mais fácil será o cálculo do determinante se for usado esta linha ou coluna.

  M ATRIZ DOS C OFATORES .

  EFINIđấO

  2

  7. A matriz formada pelos cofatores de cada elemento de uma matriz quadrada

  A, de ordem n, é chamada de matriz dos cofatores.

  N

  OTAđấO .

         

         

  ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

  = nn n n n n n n A

  " # % # # # " " "

  3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11

  , onde ( ) ij j i ij

  A

  1

  1

  (3) Calcule

  3

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  3

  2

  1 − − −

  − = A

  (4) Calcule

  1

  5

  3

  2

  3

  2

  1

  2

  4

  4

  3

  2

  1 − −

  − − = B .

  (5) Calcule

  • 1

ATRIZ DJUNTA

  M A .

  EFINIđấO

  D

  8. Dada a matriz quadrada A, de ordem n, chama-se matriz adjunta de A à matriz transposta da matriz dos cofatores de A. t

  OTAđấO

  N . adj A = A

  2

  1   t  

  XEMPLO

  E . Verifique que a matriz A = −

  3

  1 4 satisfaz a igualdade AA = ( det A ) ⋅ I , onde I é a    

  1

  6

  5  

  matriz identidade de ordem 3.

  ATRIZES NVERSÍVEIS M I .

  EFINIđấO

  D

  9. Dada a matriz A quadrada de ordem n. Diz-se que A é matriz inversível se existir uma matriz

  • –1
  • –1 –1

  A , única, que obedece as seguintes relações: AA = I n e AA = I n , onde I n é a matriz identidade de ordem n.

  • –1 OTAđấO N . A matriz inversa de A é a matriz A , de ordem n.
  • –1 EFINIđấO

  D 13. Se a matriz quadrada A possui uma inversa, A , diz-se que A é uma matriz não-singular.

  Caso contrário, A é dita matriz singular.

  XEMPLOS E .

  1

  3

  7

  3 −

     

  • –1

  (1) A = é inversível e A = , pois:    

  2

  7

  2

  1 −

     

  3

  7

  3

  7

  6

  3

  3

  1    −   − −   

  • 1
    • –1

  AA = ⋅ = = = I

  2

         

  7

  2

  1

  14

  14

  6

  7

  1 − − −

  • 2

          7 −

  3

  1

  3 7 −

  6 21 −

  21

  1        

  • –1

  AA = ⋅ = = = I

  2

          − + +

  2

  1

  2 7 −

  2 2 −

  6

  7

  1        

  1

  2  

  (2) A matriz A = é singular, pois é impossível determinar a, b, c, e d que satisfaça a relação  

  4

  8  

  a b

   

  • –1 –1

  AA = I 2 , onde A = .

   

  c d

   

  ROPRIEDADES P . Considere as matrizes quadradas de ordem n, A e B. 1 1 − −

  [P ] A A ;

  1 = ( )

  − 1 1 1 − −

  [P ] A B B A ;

  2 ( ⋅ ) = ⋅ 1 t t1

  [P ] A A ;

  3 = ( ) ( )

  [P ] A matriz A só admite inversa se, e somente, se det A

  4

  ≠ 0;

  • –1
  • –1
  • –1
  • –1
  • –1
  • –1

  − −

  2

  − −

     

       

  (4) Dada a matriz A =

  = .

  ( ) ( ) t t A A 1 1

  2

  3 , verifique a igualdade

  2

  1

  5

  2

  −

  3

  5

  (3) Dada a matriz A =    

  4

  , determine a inversa de A, usando a propriedade P

  1

  5

  3

  2

  1

  1

  2

  2

     

       

  (5) Dada a matriz A =

  11 , determine det A.

  2

  7

     

  ⋅ = ⋅ A B B A .

  [P

  A det

    

  =   

  (1) Dada a matriz A

  XEMPLOS .

  E

  1 ⋅(adj A)

  =

  1

  6 ] A

  [P

  1 ;

  A det

  =

  5 ] det A

  − −

  2

  ( ) 1 1 1 − − −

    

  e verifique a igualdade

  ⋅ A

  , B

  3 , determine (AB)

  1

  2

  1 e B =   

  3

  3

  2

  7

    

  (2) Dadas as matrizes A =   

  ( ) 1 1 −A .

  7 , determine A, sabendo que A =

  6 .

ISTA DE

  1

  1

  L

  E

  XERCÍCIOS

  1. Considere as matrizes ( ) 2 2 x ij A a = , tal que

    

  ≠ = +

  =

  j i j i j i a ij

  , , e

  ( ) 2 2 x ij B b = , tal que j i b ij

  3 = 2 − . Determine A + B.

  2

  • =

    

    

  (b)

  3

  1

  4

  2

  3

  −

    

    

  8. Calcule o determinante das matrizes abaixo: (a)

  A B = O, onde O é matriz nula de dimensão 2 × 3.

  ( ) 3 2 x ij B b = , com elementos distintos, tal que

  1 A , determine uma matriz

  2

  =

  6

  1

  (c) Mostre que as matrizes D e E comutam e A e B não comutam.

  6. Determine, se possível, ℜ ∈ x para que a matriz 

     

      

  1

  4

  2 3

2

x x x x x

  y y x x

  seja:

  (a)

  Simétrica (b) Anti-simétrica

  7. Dada a matriz

    

    

    

  cos sen sen cos

  2

     

  2

  5

  4

  3

  1 (f)

       

  − − − − − −

  1

  3

  5

  2

  6

  4

  1

  3

  4

  (c)

    

    

    

  −

  y y x x

  cos sen cos sen

  (d)

    

  2

  −

  x x x x

  sen cos cos sen

  (e)      

     

  −

  = AA e AC.

  (a) Determine 5 ⋅ A – 2 ⋅ B e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B. (b) Determine A

  −

  i j i j i j

  se se , B = (b ij ) 3 x 3 , onde b ij =

  , j i i j , j i

  ≠ − =

    

  4. Que tipo de matriz é a matriz C, sabendo que A = (a ij ) 3 x 3 , onde a ij =

  t .

  , determine (AB)

  =   + >   < 

  0, se 2 , se , se i j i j i j j i j

  =

  3 x 3

  )

  

ij

  =   + ≠  e B = (b

  , se

  5 E .

  4

    

    

  4

  3

  1

    

  18

  = 1, se

  2. Determine x · y para que se tenha

  x y y x y x

  .

  3. Sabendo que A = (a ij

  )

  2 x 3

       > +

  = < − − , j i j i , j i i , j i j i se se se

  e C = AB?

  6

  4

  6

  11

  =

    

  1 D e   

  3

  4

  =

    

  1 C ,   

  3

  4

  2

  5

  5. Considere as seguintes matrizes:

  1 A ,   

    

    

  − =

  4

  3

  2

    

  =

  − =

  7

  6

  5 B ,   

    

  − −

  2

  • +

  1

  2

  3

  4

  5  

  1

  3 2 a b 1           a

  1

  2

  3  

  3

  1

  2

  1    

   

  (g) (h) (i) b

  1

  2    

   

  2

  3 1 a a b

  c

  1  

     

  2

  1

  3 1 b a    

   

  d

   

  9. Determine x nas equações abaixo: 1 x

  1

  2 x x

  2 −

  (a)

  11 (b)

  1 1 x

  = − =

  5 3 x

  1 −

  • 4 x

  1 x

  1 −

  10. Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem. Determine X sabendo-se que:

  A A (c) A

  

(a)XB = C (b) ⋅ ( B + X) = ACXB = C

11 t t

  −1 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

  (d) A B A

  X C C (e) ABXB = A ( ) ( ) cos θ − sen θ  

    t t1 M = sen θ cos θ , θ ∈ ℜ , calcule MM e conclua que M = M .

  11. Dada a matriz    

  1  

  12. Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.

  2

5 −

  1 1 −

  1

  2    

  1 3      

  (a) A = (b) B = 4 −

  

1

2 (c) C =

  3 2 −

  4    

   

  2

  7  

     

  4

  1 1 −

  2    

  13. Verifique se as seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas.

  

(A) Se duas linhas (colunas) de A são trocadas, para se tornar a matriz B, então: det (B) = –det (A).

  T T é a transposta da matriz A, então det (A ) = det (A).

  (B) Se A (C) Se os elementos de uma linha (ou coluna) de A são multiplicadas por uma constante c, o valor do

  determinante da nova matriz é c ⋅ det (A).

  (D) Se qualquer linha (ou coluna) de A é um múltiplo de qualquer outra linha (ou coluna) de A, então o determinante da matriz A é nulo. (E) A matriz transposta de uma matriz simétrica é a própria matriz. (F) A matriz transposta de uma matriz linha é uma matriz linha. (G) A matriz transposta da matriz transposta de uma matriz A, é a matriz transposta da matriz A. (H) A soma de uma matriz A, de ordem 3 × 1, com uma matriz B, de ordem 1 × 3, é uma matriz de ordem 3 × 3.

  (I) O produto de uma matriz A, de ordem m × n, por uma matriz B, de ordem n × p, sendo m, n e p números inteiros positivos quaisquer, é tal que AB = BA. (J) Se A e B são matrizes de ordem 5 × 6 e 6 × 7 respectivamente, então AB é uma matriz 5 × 7 e não existe BA. (K) Se A e B são matrizes de ordem 3 × 5 e 5 × 3 respectivamente, então AB é uma matriz 3 × 3 e

  BA é uma matriz de ordem 5 × 3.

  (L) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3, então AB e BA também são matrizes quadradas de ordem 3. (M) Se A, B e C são matrizes de ordem 3 × 3, 3 × 1 e 2 × 1 respectivamente, então C ⋅ (AB) é uma matriz 2 × 1.

  

ABARITO

G

  1 −

  4   1.

  

2.

  10  

  1

  2  

  43 40 −

  1

  4

  6     t    

  ( AB ) =

  34

  46 C = − 4 −

   4.

  2 6 é uma matriz anti-simétrica 3.

         

  12 12 − 6 − 6 −

  3    

  −

  5

  10

  17

  4     e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B =

  5. (a) 5 ⋅ A – 2 ⋅ B =

      27 − 34 −

  12

  13     7 −

  6

  5 9 −

  6    

  2

  (b) A = e A C =

      −

  9 22 − 5 −

  33

  32    

  6. (a) x = (b) x = −

  2

  2

  4

  6   7. B = . Existem outras.

    − 1 − 2 −

  3  

  • sen x y

  (a)

  10 (b) cos ( x y ) (c) 8.

  • (d)

  ( )

  1 (e) 49 (f) –6

  2

  2 (g)

  48 (h) a + b (i) abcd

  9. (a) x 1 ou x

  1

  1 1 1 1 1 − − − −

  2 = − = (b) x = ou x =

  10. (a) X = A . C . B (b) X = IB (c) X = B . C . A . C 1 ( ) t1 t

  − (d)

  X = B (e) X = B . A . A . B t t 1 ( ) −

11. M ⋅ M = I ⇒ M = M . M é chamada de matriz ortogonal.

  1

  6

  1 6 −

  1

  6  

  7 − 3   1   1

  − − 12. (a) A = (b) B =

  2 27 −

  1

  27

  4

  27  

    −

  2

  1  

    −

  8

  27

  4

  27

  11

  27   (c) C não é inversível. 24. (A) V, (B) V, (C) V, (D) V, (E) V, (F) F, (G) F, (H) F, (I) F, (J) V, (K) F, (L) V, (M) F

Novo documento