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Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica e

Computa¸c˜ ao Cient´ıfica

  

Estabilidade exponencial de modelos dissipativos

via teoria de semigrupos

Daiane Cristina Zanatta

Orientador: Prof. Dr. Ruy Coimbra Char˜ ao

  

Florian´ opolis

Agosto de 2008

  

Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica e

Computa¸c˜ ao Cient´ıfica

  

Estabilidade exponencial de modelos dissipativos

via teoria de semigrupos

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao Curso de P´ os- Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica e Computa¸c˜ ao Cient´ıfica, do Centro de Ciˆ encias F´ısicas e Matem´ aticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obten¸c˜ ao do grau de Mestre em Matem´ atica, com ´ Area de Concentra¸c˜ ao em Equa¸c˜ oes Diferenciais Parciais.

  Daiane Cristina Zanatta Florian´ opolis

  Agosto de 2008

  

Estabilidade exponencial de modelos dissipativos

via teoria de semigrupos

  por Daiane Cristina Zanatta

  Esta Disserta¸c˜ao foi julgada para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de “Mestre” em Matem´atica , ´

  Area de Concentra¸c˜ao em Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, e aprovada em sua forma final pelo Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica.

  Cl´ovis Caesar Gonzaga Coordenador da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

  Comiss˜ao Examinadora Prof. Dr. Ruy Coimbra Char˜ ao (Orientador-UFSC) Prof. Dr. J´ auber Cavalcante de Oliveira (Co-orientador-UFSC) Prof. Dr. Luis Antonio Cort´ es Vega (Universidade de Antofagasta - Chile) Prof. Dr. Milton dos Santos Braitt (UFSC)

Florian´ opolis, Agosto de 2008.

  Agradecimentos

  Agrade¸co primeiramente a Deus, pela for¸ca e sa´ ude para superar os obst´aculos.

  ` A minha fam´ılia que me apoiou nestes anos de estudo e que n˜ao mediram esfor¸cos para que se concluisse esta importante fase de minha vida.

  Meus agradecimentos sinceros, ao professor Dr. Ruy Coimbra Char˜ao e ao professor Dr. J´auber Cavalcante de Oliveira que n˜ao somente orientaram este trabalho, mas se mostraram grandes profissionais e pessoas de boa ´ındole.

  Tamb´em, aos amigos que fiz no curso, pois foram muitos os momentos felizes e horas de estudos que compartilhamos. Finalmente, agrade¸co `a CAPES pelo aux´ılio financeiro durante o per´ıodo de 05/2007 e 08/2008. Resumo

  Neste trabalho estudamos via teoria de semigrupos a existˆencia e a uni- cidade de solu¸c˜oes do problema de valor inicial e de contorno associado com uma equa¸c˜ao viscoel´astica unidimensional com dissipa¸c˜ao distribu´ıda de modo uniforme sobre o dom´ınio. Tamb´em estudamos o mesmo problema para a equa¸c˜ao da onda uni- dimensional com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda em parte do dom´ınio e o sistema linear termoel´astico unidimensional. Finalmente, consideramos a equa¸c˜ao da onda bidimensional com uma dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda em parte de um dom´ınio re- tangular. Usando o Teorema de Gearhart se obtem a estabilidade exponencial para esses modelos. Abstract

  In this work we study, using semigroups theory, the existence and unique- ness of solutions for the initial boundary value problem associated with the viscoelas- tic equation with a dissipative term on a bounded interval of R. We also study the same problem for the wave equation with a locally distributed damping and the linear one-dimensional thermoelastic system. Finally, we consider the two-dimensional wave equation in a bounded rectangular domain. Using the Gearhart theorem one obtain the exponential stability for these models. Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  2

  1 Resultados preliminares 4 1.1 An´alise funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.2 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7

  2 Teoria de semigrupos 9 2.1 Propriedades dos semigrupos de classe C . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 2.2 Caracteriza¸c˜ao dos geradores infinitesimais de semigrupos de classe C .

  18

  3 Estabilidade exponencial de semigrupos

  21 3.1 O Teorema de Gearhart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21

  4 Aplica¸c˜ oes 30 4.1 Sistema linear viscoel´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  30 4.1.1 Existˆencia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  31 4.1.2 Estabilidade exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  34

  4.2 Equa¸c˜ao da onda unidimensional com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda

  38 4.2.1 Existˆencia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  39 4.2.2 Estabilidade exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  43 4.3 Sistema linear termoel´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 4.3.1 Existˆencia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 4.3.2 Estabilidade exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  56 4.4 Equa¸c˜ao da onda bidimensional com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda .

  63

  4.4.1 Existˆencia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  64 4.4.2 Estabilidade exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  68 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  75 Introdu¸c˜ ao

  Neste trabalho estudamos via teoria de semigrupos a existˆencia, unici- dade e a estabilidade exponencial de solu¸c˜oes do sistema linear viscoel´astico unidi- mensional com dissipa¸c˜ao distribu´ıda de modo uniforme em todo o dom´ınio. Tamb´em estudamos o mesmo problema para a equa¸c˜ao da onda unidimensional com a dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda em parte do dom´ınio. O sistema linear termoel´astico unidimen- sional e a equa¸c˜ao da onda em um dom´ınio bidimensional retangular com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda tamb´em s˜ao estudados. A estabilidade exponencial ´e obtida como aplica¸c˜ao do Teorema de Gearhart.

  No primeiro cap´ıtulo, apresentamos algumas defini¸c˜oes e teoremas rela- tivos `a An´alise Funcional e espa¸cos de Sobolev, conceitos que ser˜ao usados nos cap´ıtulos subseq¨ uentes. No segundo cap´ıtulo, apresentamos algumas defini¸c˜oes e propriedades importantes de semigrupos de classe C em um espa¸co de Banach, como por exem- plo, a diferenciabilidade de um semigrupo, bem como os teoremas de Hille-Yosida e Lumer-Phillips que tratam da caracteriza¸c˜ao de um semigrupo de classe C . No terceiro cap´ıtulo, estudamos o Teorema de Gearhart que estabelece as condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para um semigrupo de classe C ser exponencialmente est´avel. Por fim, no quarto cap´ıtulo, demonstramos a existˆencia, unicidade e o decaimento exponencial da solu¸c˜ao dos sistemas dissipativos mencionados acima. Para obtermos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao para os modelos dissipativos que estudamos, reescrevemos os modelos como problemas de primeira ordem no tempo, a saber: U t = AU

  U (0) = U sendo A um operador linear associado com o modelo em considera¸c˜ao. Em seguida, mostramos que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo {S(t)} . Assim, usando t ≥0 as propriedades dos semigrupos de classe C em um espa¸co de Banach, mostramos que U

  (t) = S(t)U ´e a ´ unica solu¸c˜ao do problema considerado. Provamos a estabilidade exponencial do semigrupo de contra¸c˜oes de classe C , {S(t)} t , associado aos sis-

  ≥0

  temas dissipativos usando o Teorema de Gearhart. A demonstra¸c˜ao da estabilidade exponencial ´e feita por contradi¸c˜ao.

  Cap´ıtulo 1 Resultados preliminares

1.1 An´ alise funcional

  Neste cap´ıtulo, apresentamos alguns conceitos sobre o resolvente e o es- pectro de um operador linear e alguns teoremas que ser˜ao usados nos cap´ıtulos 2, 3 e

  4. Defini¸c˜ ao 1. Sejam X e Y espa¸cos de Banach. Um operador linear ´e uma aplica¸c˜ao linear A : D(A) ⊂ X → Y , com D(A) o dom´ınio de A. Diz-se que o operador linear ´e limitado se existe uma constante C ≥ 0 tal que

  , kAuk ≤ C kuk para todo u ∈ D(A). Y X Neste caso, se o dom´ınio de A ´e denso em X ent˜ao A pode ser estendido a todo X.

  Representa-se por B(X, Y ) a fam´ılia A : X → Y dos operadores lineares limitados de X em Y . A fun¸c˜ao real k·k definida por kAk kAxk < ∞, B Y = sup

  (X,Y ) kxk X ≤1 ´e uma norma sobre B(X, Y ).

  Tem-se que B(X, Y ) com a norma acima ´e um espa¸co de Banach e B(X) representa o conjunto dos operadores lineares limitados de X em X.

  No pr´oximo cap´ıtulo, para iniciarmos o estudo das propriedades dos semi- grupos de classe C em um espa¸co de Banach X, precisaremos do seguinte teorema: Teorema 1 (Teorema da Limita¸c˜ao Uniforme). Sejam X espa¸co de Banach e Y espa¸co vetorial normado. Seja (T n ) n ∈I uma fam´ılia em B(X, Y ), com I conjunto de ´ındices x qualquer. Supor que para cada x ∈ X, o conjunto {T n } n ´e limitado em Y . Ent˜ao,

  ∈I

  {T n } n ´e limitada em B(X, Y ), isto ´e, existe M > 0 tal que kT n k ≤ M , para todo

  ∈I

  n ∈ I, com M independente de n.

  A demonstra¸c˜ao desse resultado pode ser encontrada em Groetsch [4], pg. 51.

  Defini¸c˜ ao 2. Seja X um espa¸co de Banach e seja A um operador linear em X. (i) O conjunto dos λ ∈ C tal que o operador λI − A ´e invers´ıvel, seu inverso ´e limitado e tem dom´ınio denso em X ´e o conjunto resolvente de A.

  (ii) O conjunto σ(A) = C \ ρ(A) ´e o espectro de A.

  −1

  Nota¸c˜ ao 1. Denotamos por ρ(A) o conjunto resolvente e por R(λ, A) = (λI − A) o operador resolvente de A.

  Teorema 2. Seja X um espa¸co de Banach e seja A um operador linear e cont´ınuo, ent˜ao σ(A) ´e um conjunto fechado e σ(A) ⊂ {z ∈ C; |z| ≤ kAk}.

  A demonstra¸c˜ao desse resultado pode ser encontrada em Rivera [7], pg. 107.

  Defini¸c˜ ao 3. Seja A um operador linear e cont´ınuo num espa¸co de Banach. Diz-se que r |λ| σ (A) = sup λ

  ∈σ(A) ´e o raio espectral de A.

  Teorema 3. Seja A um operador linear e cont´ınuo, ent˜ao k k 1 r . σ (A) = lim kA k k →∞

  A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em Rivera [7], pg. 107. Teorema 4. Seja X um espa¸co de Banach e seja A um operador linear e cont´ınuo de

  X. Se kAk < 1, ent˜ao (I − A) ´e invers´ıvel, seu inverso ´e um operador limitado em todo X e Xj −1

  2

  3 (I − A) = A = I + A + A + A + .... j =0 A demonstra¸c˜ao desse resultado pode ser encontrada em Kreyszig [5], pg.

  375. Defini¸c˜ ao 4. i) Diz-se que uma forma bilinear a(·, ·) : H ×H → R ´e cont´ınua se existe c > 0 tal que

  |a(u, v)| ≤ ckukkvk, para todo u, v ∈ H. ii) Uma forma bilinear a(·, ·) : H × H → R ´e dita coerciva se existe k > 0 tal que

  2

  a , (u, u) ≥ kkuk para todo u ∈ H. Teorema 5 (Lax-Milgram). Seja H um espa¸co de Hilbert e seja a(u,v) uma forma bilinear cont´ınua e coerciva sobre H. Seja f ∈ H . Ent˜ao, existe ´ unico u ∈ H tal que a(u,v)=(f,v), para todo v ∈ H.

  A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em Brezis [6], pg. 84. Teorema 6. Seja X um espa¸co normado e seja A : X → X um operador linear compacto. Ent˜ao, se λ 6= 0 a equa¸c˜ao

  Ax − λx = y (1.1) possui uma solu¸c˜ao x para cada y ∈ X se, e somente se, a equa¸c˜ao

  Ax − λx = 0 admite apenas a solu¸c˜ao trivial x = 0. Neste caso, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1.1) ´e ´ unica e A − λI tem inversa limitada.

  A demonstra¸c˜ao desse resultado pode ser encontrada em Kreyszig [5], pg. 443.

1.2 Espa¸cos de Sobolev

  Nesta se¸c˜ao, apresentamos alguns resultados da teoria dos espa¸cos de Sobolev que s˜ao necess´arios neste trabalho, como a Desigualdade de Poincar´e e um Teorema de Regularidade El´ıptica. n Defini¸c˜ ao 5. Seja Ω ⊂ R um conjunto aberto, m ∈ N e 1 ≤ p < ∞. O espa¸co de m,p p Sobolev W (Ω) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes f ∈ L (Ω) tal que qualquer derivada distribu- p cional de f, at´e ordem m, ´e uma fun¸c˜ao do L (Ω). Isto ´e, m,p p α p n

  W f ∈ L , (Ω) = {f ∈ L (Ω); D (Ω), ∀α ∈ N e |α| ≤ m}. m,p Para 1 ≤ p < ∞, W (Ω) ´e um espa¸co de Banach com respeito a norma  f p  .   X α p p 1 kf k m,p = kD k L

  (Ω) m,p |α|≤m

  Quando p = ∞, W (Ω) ´e um espa¸co de Banach com respeito a norma ess |u(x)| = inf´ımo{M > 0; |u(x)| ≤ M quase sempre em Ω}. sup x ∈Ω m m,

  2 Nota¸c˜ ao 2. Quando p=2, escreve-se H (Ω) ao inv´es de W (Ω). m

  O espa¸co H (Ω) munido com o produto interno m X α α 2

  f, D g (f, g) H = (D ) L

  (Ω) |α|≤m

  ´e um espa¸co de Hilbert. n m,p Defini¸c˜ ao 6. Seja Ω um aberto do R . O espa¸co W (Ω) ´e definido como o fecho de m,p m m

  ∞ ∞

  C (Ω) em W (Ω). Analogamente, H (Ω) ´e o fecho de C (Ω) em H (Ω). n Teorema 7 (Desigualdade de Poincar´e). Seja Ω ⊂ R um aberto limitado e 1 ≤ p < ∞.

  Ent˜ao, existe uma constante C, que depende de Ω e p, tal que p p 1,p kuk L ≤ Ck∇uk L , para todo u ∈ W (Ω).

  (Ω) (Ω) Teorema 8 (Regularidade El´ıptica). Seja L um operador diferencial el´ıptico de ordem n ′ ′ 2m, m ∈ N, definido em um aberto regular Ω ⊂ R e u ∈ D (Ω), sendo D (Ω) o espa¸co das distribui¸c˜oes. Seja u solu¸c˜ao de Lu=f, no sentido distribucional, com f ∈

  2 2m L (Ω).Ent˜ao, u ∈ H .

  Este teorema ´e bem conhecido e sua demonstra¸c˜ao pode ser vista na referˆencia [10]. Cap´ıtulo 2 Teoria de semigrupos

  Neste cap´ıtulo, apresentamos a defini¸c˜ao de semigrupo de classe C , algu- mas propriedades dos semigrupos de classe C em um espa¸co de Banach X, bem como a caracteriza¸c˜ao dos geradores infinitesimais de um semigrupo de operadores lineares limitados de classe C .

  Defini¸c˜ ao 7. Seja X um espa¸co de Banach. Uma fam´ılia {S(t)} t ´e um semigrupo

  ≥0

  em B(X) se: i) S(0)=I, com I operador identidade de X; ii) S(t+s)=S(t)S(s), para todo t e s ∈ [0, ∞). Defini¸c˜ ao 8. O semigrupo {S(t)} t ´e de classe C se

  ≥0 t →0 + lim k(S(t) − I)xk = 0, para todo x ∈ X. At Um exemplo de semigrupo de classe C ´e a fun¸c˜ao exponencial S(t) = e que pode ser definida quando A for um operador linear limitado de um espa¸co

  de Banach X. No caso em que A ´e um operador linear n˜ao limitado, com certas At propriedades boas, pode-se tamb´em definir e . Isso ´e feito pela teoria de semigrupos (Gomes [1], Pazy [3]).

2.1 Propriedades dos semigrupos de classe C

  Proposi¸c˜ ao 1. Se {S(t)} t ´e um semigrupo de classe C , ent˜ao kS(t)k ´e uma fun¸c˜ao

  ≥0 limitada em todo intervalo limitado [0, T ].

  Demonstra¸c˜ao: Afirma¸c˜ ao: Existem δ > 0 e M ≥ 1, tal que kS(t)k ≤ M , para todo t ∈ [0, δ]. Se isso

  • n˜ao acontecesse, haveria uma seq¨ uˆencia (t n ) n , t n → 0 tal que kS(t n )k ≥ n, para

  ∈N

  todo n ∈ N. Ent˜ao, pelo teorema 1, kS(t n )xk n˜ao seria limitado para algum x ∈ X, o que entraria em contradi¸c˜ao com a defini¸c˜ao 8.

  Al´em disso, temos que M ≥ 1, pois pela condi¸c˜ao a) da defini¸c˜ao de semigrupo de classe C , kS(0)k = 1. Seja t ∈ [0, T ]. Ent˜ao, para algum inteiro n˜ao negativo n e algum r ∈ R, com 0 ≤ r < δ temos que t = nδ + r. Logo, kS(t)k = kS(nδ + r)k n n n n

  • 1

  S k kS(r)k ≤ M M = kS(δ) (r)k ≤ kS(δ) = M o que mostra que kS(t)k ´e uma fun¸c˜ao limitada em [0, T ].

  • Corol´ ario 1. Todo semigrupo de classe C ´e fortemente cont´ınuo em R , ou seja, se
  • t ∈ R ent˜ao s lim S (s)x = S(t)x, para todo x ∈ X.

  →t

  Demonstra¸c˜ao: Consideremos t ≥ 0. Para cada x ∈ X e h > 0, segue que kS(t + h)x − S(t)xk = kS(t)[S(h) − I]xk ≤ kS(t)k k[S(h) − I]xk → 0 quando h → 0, pois kS(t)k ´e limitada e lim k[S(h) − I]xk = 0, para todo x ∈ X. h

  • + →0

  Tamb´em para x ∈ X e para os valores de h tais que 0 < h < t resulta kS(t − h)x − S(t)xk = kS(t − h)[I − S(h)]xk ≤ kS(t − h)k k[I − S(h)]xk → 0

  • quando h → 0 .

  Assim, lim S (s)x = S(t)x, para todo x ∈ X. s →t Observa¸c˜ ao 1. Seja A ´e um operador linear e limitado de X. Ent˜ao, X ∞ ∞ n n X n tA t kAk (tA) t kAk e = ≤ = e , para todo t ≥ 0. n n n ! n !

  =0 =0 tA tw

  Se w ≥ kAk, ent˜ao e ≤ e , para todo t ≥ 0. Existe uma propriedade semelhante a esta para os semigrupos, que ser´a mostrada na pr´oxima proposi¸c˜ao.

  Defini¸c˜ ao 9. Uma fun¸c˜ao p : X → R, em que X ´e um espa¸co vetorial real, ´e subaditiva se satisfaz p(t + s) ≤ p(t) + p(s), para todo t, s ∈ X.

  • Lema 1. Seja p uma fun¸c˜ao subaditiva em R e limitada superiormente em todo p (t) intervalo limitado. Ent˜ao, tem limite quando t → ∞ e t p (t) p (t) t t>

  lim = inf . (2.1)

  →∞

  t t Demonstra¸c˜ao: p (t)

  Defina w = inf , sendo −∞ ≤ w < ∞. A demonstra¸c˜ao ser´a dividida em dois t> t casos.

  > −∞. Caso 1: w p

  (T ) ≤ w Seja ǫ > 0. Da defini¸c˜ao de ´ınfimo, existe T > 0 tal que + ǫ. T Sejam t > T , n ∈ N e r real com 0 ≤ r < T tal que t = nT + r.

  Considerando que p ´e subaditiva, resulta da defini¸c˜ao de w que p np nT p p nT p (t) (T ) + p(r) (T ) (r) (w + ǫ) (r) w

  . ≤ ≤

  • t t T t t t t
  • = ≤

  Tamb´em do fato que p ´e limitada superiormente em [0, T ), passando limite quando t → ∞ na desigualdade acima, obtemos p

  (t) w ≤ lim sup ≤ w + ǫ t →∞ t

  > Como ǫ ´e arbitr´ario, est´a provado (2.1) para w −∞. Caso 2: w = −∞. p (T )

  Para cada real w existe T > 0 tal que ≤ w. De maneira an´aloga T p (t) ao caso anterior, obt´em-se lim sup ≤ w. t

  →∞

  t Como w ´e arbitr´ario, segue que p

  (t) t lim = −∞.

  →∞

  t Isso conclui a prova do lema.

  Proposi¸c˜ ao 2. Seja {S(t)} t um semigrupo de classe C . Ent˜ao,

  ≥0

  log kS(t)k log kS(t)k t t> lim = inf = w (2.2)

  →∞

  t t e para cada w > w , existe uma constante M ≥ 1 tal que wt kS(t)k ≤ M e , para todo t ≥ 0. (2.3) Demonstra¸c˜ao:

  A fun¸c˜ao log kS(t)k ´e subaditiva. De fato, log kS(t + s)k = log kS(t)S(s)k ≤ log (kS(t)k kS(s)k) = log kS(t)k + log kS(s)k .

  Pela proposi¸c˜ao 1, a fun¸c˜ao kS(t)k ´e limitada superiormente em todo intervalo limitado. Assim, log kS(t)k ´e uma fun¸c˜ao limitada superiormente em intervalos limitados e, pelo lema 1, escolhendo p(t) = log kS(t)k concluimos que (2.2) ´e v´alida.

  Da defini¸c˜ao de limite e de (2.2), se w > w , existe t tal que para t > t vale a desigualdade log kS(t)k

  < w. (2.4) t Do fato que kS(t)k ≤ M , para todo t ∈ [0, t ] e kS(0)k = 1, concluimos que M ≥ 1. Agora, considerando w ≥ 0 em (2.4), obtemos log kS(t)k ≤ wt + log M , para todo t ≥ 0. Aplicando a exponencial em ambos os lados da desigualdade acima, temos que wt log M wt kS(t)k ≤ e e = M e , para todo t ≥ 0.

  Considerando M = M , verifica-se (2.3). Analogamente, se w < 0 em (2.4), vemos que

  , log kS(t)k ≤ wt − wt + log M para todo t ≥ 0. Da mesma forma que o procedimento anterior wt wt

  −wt log M −wt

  kS(t)k ≤ e e e e e , = M para todo t ≥ 0.

  −wt

  e Considerando M = M , obtemos (2.3). Para concluir a prova, podemos observar que M ≥ 1 em ambos os casos, pois M ≥ 1.

  Observa¸c˜ ao 2. Quando w < 0, existe M ≥ 1 tal que kS(t)k ≤ M, para todo t ≥ 0. Nesse caso, diz-se que S ´e um semigrupo uniformemente limitado de classe C . Se, al´em disto, M = 1, {S(t)} t ´e dito semigrupo de contra¸c˜oes de classe C .

  ≥0

  S (h) − I Defini¸c˜ ao 10. Seja X um espa¸co de Banach e seja D(A) = {x ∈ X : lim x existe }. h

  →0

  h S (h) − I

  O operador A : D(A) ⊂ X → X definido por Ax = lim x ´e o gerador infini- h

  →0

  h tesimal do semigrupo {S(t)} t .

  ≥0

  Nota¸c˜ ao 3. Denotamos por A h , com h > 0, o operador linear limitado dado por S (h) − I . h

  A pr´oxima proposi¸c˜ao ´e muito importante no estudo dos semigrupos de classe C . Ela trata da diferenciabilidade de um semigrupo associado a seu gerador infinitesimal. Proposi¸c˜ ao 3. Seja {S(t)} t ≥0 um semigrupo de classe C e A seu gerador infinitesi- mal. i) Se x ∈ D(A), ent˜ao d

  S S (t)x ∈ D(A) para todo t ≥ 0 e (t)x = AS(t)x = S(t)Ax; dt ii) Se x ∈ D(A), ent˜ao Z t Z t

  S AS S (t)x − S(s)x = (τ )xdτ = (τ )Axdτ ; s s iii) Se x ∈ X e t ∈ R com t ≥ 0, ent˜ao Z t

  • h

  1 S h →0 lim (τ )xdτ = S(t)x; h t iv) Se x ∈ X, ent˜ao Z t Z t S S (τ )xdτ ∈ D(A) e S(t)x − x = A (τ )xdτ.

  Demonstra¸c˜ao: (i):

  Seja {S(t)} t semigrupo de classe C e A seu gerador. Para t > 0 e

  ≥0

  h > 0, vale a identidade S (t + h) − S(t) S (h) − I x = S (t)x = A h S (t)x = S(t)A h x. h h

  Assim, para x ∈ D(A), o termo S(t)A h x tem um limite quando h → 0, isto ´e, S(h) − I

  S (t) x = S(t)A h x → S(t)Ax, h pela defini¸c˜ao de A ser gerador infinitesimal. Logo, S(t)x ∈ D(A) e

  • d

  S (t)x = AS(t)x = S(t)Ax. (2.5) dt Tamb´em para 0 < h < t e x ∈ D(A) segue que S

  (t − h) − S(t) x x = S(t − h)A h

  −h = S(t − h)(A h x − Ax) + S(t − h)Ax → S(t)Ax quando h → 0. Isto se justifica pois A x → Ax, quando h → 0 e, pela proposi¸c˜ao h x − Ax) → 0

  1, kS(t)k ´e limitada para 0 < h < t. Assim, o termo S(t − h)(A h quando h → 0. Al´em disso, da continuidade forte do semigrupo {S(t)} t temos que

  ≥0

  S (t − h)Ax → S(t)Ax. Portanto,

  −

  d S

  (t)x = S(t)Ax. (2.6) dt Assim, de (2.5) e (2.6), temos d

  S (t)x = AS(t)x = S(t)Ax. dt

  (ii): Consideremos x ∈ D(A) e t, s n´ umeros positivos. Integrando d

  S (t)x = AS(t)x = S(t)Ax dt de s a t, obtemos Z t Z t S (t)x − S(s)x = AS (τ )xdτ = S (τ )Axdτ. s s

  (iii): S

  Pelo corol´ario 1, lim (τ )x = S(t)x, para todo x ∈ X e t ≥ 0. Isto τ

  →t ´e, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que para |τ − t| < δ resulta kS(τ )x − S(t)xk < ǫ.

  Conseq¨ uentemente, para x ∈ X e 0 < |h| ≤ δ resulta Z t Z t

  • h +h

  1

  1 (S(τ )x − S(t)x)dτ ≤ kS(τ )x − S(t)xk dτ < ǫ. h h t t

  (iv):

  Agora para x ∈ X e h > 0, obtemos Z t Z t S (h) − I

  A h S (τ )xd(τ ) = S (τ )xdτ Z t Z t h

  1

  1 = S (h + τ )xdτ − S (τ )xdτ h h Z t Z h

  • h

  1

  1 S S = (τ )xdτ − (τ )xdτ. h h t

  Tomando limite quando h → 0, pelo item (iii) anterior, vemos que Z t A S (τ )xd(τ ) = S(t)x − x.

  Proposi¸c˜ ao 4. i) O gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C ´e um operador linear fechado e seu dom´ınio ´e denso em X. ii) Um operador linear A, fechado e com dom´ınio denso em X, ´e o gerador infinitesimal de, no m´aximo, um semigrupo de classe C .

  Demonstra¸c˜ao: (i):

  Seja {S(t)} t ≥0 um semigrupo de classe C e seja A seu gerador infinitesi- Z h

  1 S mal. Para cada x ∈ X e h > 0, considere x h = (t)xdt. Portanto, da proposi¸c˜ao h

  3, resulta que x h ∈ D(A) e, como x h → x quando h → 0, temos que x ∈ D(A). Logo, D (A) ´e denso em X.

  Agora, provaremos que A ´e fechado. Seja (x n ) n uma seq¨ uˆencia no dom´ınio de A tal que x n → x e Ax n → y

  ∈N

  quando n → ∞. Da proposi¸c˜ao 3, segue que Z h S (h)x n − x n = S (t)Ax n dt. (2.7)

  E, pela proposi¸c˜ao 1, existe M > 0 tal que kS(t)k ≤ M, para todo t ∈ [0, h]. Logo, kS(t)Ax − S(t)yk ≤ kS(t)kkAx − yk ≤ M kAx − yk, para todo t ∈ [0, h]. n n n

  Como Ax n → y quando n → ∞, conclu´ımos que S(t)Ax n → S(t)y uniformemente em [0, h]. Assim, passando limite quando n → ∞ em (2.7), segue que Z h

  S S (h)x − x = (t)ydt. Portanto, Z h

  S (h)x − x

  1 S = (t)ydt → y h h

  S (h) − I quando h → 0. Da´ı, conclu´ımos que lim x existe. Assim, x ∈ D(A) e Ax = y. h

  →0

  h Portanto, A ´e um operador fechado. (ii): Suponhamos que {S (t)} e {S (t)} possuem o mesmo gerador in-

  1 t ≥0 2 t ≥0

  finitesimal A. Se 0 ≤ s ≤ t < ∞, para cada x ∈ D(A), a fun¸c˜ao φ (s)x = S (t − s)S (s)x

  1

  2

  ´e diferenci´avel no intervalo 0 ≤ s ≤ t e, pela proposi¸c˜ao 3, d φ

  (s)x = S

  1 (t − s)AS 2 (s)x − S 1 (t − s)AS 2 (s)x = 0.

  ds Logo, φ(s)x ´e constante para 0 ≤ s ≤ t. Ent˜ao,

  φ (0)x = S (t)S (0)x = S (t)

  1

  2

  1

  φ (t)x = S (0)S (t)x = S (t)

  1

  2

  2

  para todo x ∈ D(A). Como D(A) ´e denso em X e S (t) e S (t) s˜ao operadores cont´ınuos

  1

  2

  de X, segue que S (t)x = S (t)x, para todo x ∈ X,

  1

  2 isto ´e, S (t) = S (t).

  1

2 Observa¸c˜ ao 3. Seja {S(t)} t ≥0 um semigrupo de classe C e A : D(A) ⊂ X → X seu

  gerador infinitesimal. Ent˜ao, U (t) = S(t)U ´e a ´ unica solu¸c˜ao do problema U t = AU U

  (0) = U para U ∈ D(A). Al´em disso,

1 U ∈ C ([0, ∞), X) ∩ C ([0, ∞), D(A)) .

  Esses fatos seguem de {S(t)} t ser um semigrupo de classe C e da

  ≥0 Proposi¸c˜ao 3.

  

2.2 Caracteriza¸c˜ ao dos geradores infinitesimais de

semigrupos de classe C

  Nesta se¸c˜ao, apresentamos os teoremas de Hille-Yosida e Lumer-Phillips, os quais caracterizam geradores infinitesimais de semigrupos de classe C . O teorema de Lumer-Phillips estuda o caso espec´ıfico dos semigrupos lineares de contra¸c˜oes de classe C .

  Teorema 9 (Hille Yosida). Seja X um espa¸co de Banach. Um operador linear A, definido em D(A) ⊂ X e com valores em X ´e um gerador infinitesimal de um semigrupo {S(t)} t de classe C se, e somente se

  ≥0

  i) A ´e fechado e seu dom´ınio ´e denso em X; ii) Existam n´ umeros reais M e w tal que, para cada real λ > w se tenha λ ∈ ρ(A) e n M kR(λ, A) k ≤ , para cada n ∈ N. n (λ − ω)

  Este teorema caracteriza um gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C . Encontramos sua demonstra¸c˜ao em [1].

  Nota¸c˜ ao 4. Escrevemos A ∈ G(M, ω) para indicar que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de operadores lineares limitados de classe C , {S(t)} t , que satisfaz a wt

  ≥0 condi¸c˜ao kS(t)k ≤ M e para todo t ≥ 0.

  Corol´ ario 2. Para que um operador linear A seja gerador infinitesimal de um semi- wt grupo de classe C , {S(t)} t , tal que kS(t)k ≤ e , t ≥ 0 ´e necess´ario e suficiente que

  ≥0 A seja fechado, seu dom´ınio seja denso e exista um n´ umero real w, tal que se λ > w, ent˜ao 1 λ ∈ ρ(A) e kR(λ, A)k ≤ . λ

  − w Demonstra¸c˜ao: n n

  1 k ≤ kR(λ, A)k ≤ Como kR(λ, A) , ent˜ao o operador A satisfaz as condi¸c˜oes n

  (λ − w) do teorema 9 com M = 1.

  Corol´ ario 3. Para que um operador A seja gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C , ´e necess´ario e suficiente que A seja fechado, seu dom´ınio denso em X, (0, ∞) ⊂ ρ(A) e para todo λ > 0, kλR(λ, A)k ≤ 1.

  Este corol´ario caracteriza um gerador infinitesimal de semigrupos de con- tra¸c˜oes de classe C e sua demonstra¸c˜ao ´e um caso particular do corol´ario anterior, tomando w = 0.

  A seguir, apresentamos uma outra caracteriza¸c˜ao dos geradores infinites- imais de semigrupos de contra¸c˜oes de classe C , o Teorema de Lumer-Phillips. Para

  ′

  isso, seja X um espa¸co de Banach e X o dual de X. Para cada x ∈ X, definimos o

  ′

  conjunto J(x) ⊂ X por

  ′ ′ ′ 2 ′

  2 J (x) = {x ∈ X ; (x, x ) = kxk = kx k }.

  Pelo Teorema de Hahn-Banach (Brezis [6], pg. 03), J(x) 6= ∅ para todo x ∈ X.

  ′

  Uma aplica¸c˜ao dualidade ´e uma aplica¸c˜ao j : X → X tal que j(x) ∈ J (x), para todo x ∈ X. Pela defini¸c˜ao de j, kj(x)k = kxk.

  Defini¸c˜ ao 11. Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X ´e dito dissipativo relativamente a uma aplica¸c˜ao dualidade j, se Re (Ax, j(x)) ≤ 0, para todo x ∈ D(A).

  Teorema 10 (Lumer-Phillips). Seja X um espa¸co de Banach e A : D(A) ⊂ X → X um operador linear com dom´ınio denso em X. (i) Se A ∈ G(1, 0), ent˜ao A ´e dissipativo e R(λ − A) = X, para todo λ > 0; (ii) Se A ´e dissipativo e existe λ > 0 tal que R(λ I − A) = X, ent˜ao A ∈ G(1, 0).

  Este teorema nos diz quando um operador linear A ´e um gerador infini- tesimal de semigrupos de contra¸c˜oes de classe C . Sua prova pode ser encontrada em [7].

  Agora, apresentamos um importante resultado que estabelece quais s˜ao as condi¸c˜oes para que um operador linear seja gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes. Este resultado ser´a usado na prova da existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes dos problemas do cap´ıtulo 4.

  Corol´ ario 4. Seja A um operador linear com dom´ınio denso em um espa¸co de Hilbert

  H. Se A ´e dissipativo e 0 ∈ ρ(A), ent˜ao A ´e um gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C .

  Demonstra¸c˜ao: Por hip´otese, 0 ∈ ρ(A), ent˜ao A ´e invers´ıvel e seu inverso ´e limitado e tem dom´ınio denso em H. Portanto, o operador

  −1

  λI − A = A(λA − I) (2.8)

  −1

  ´e invers´ıvel para 0 < λ < kA k. Agora, utilizando o teorema 10 conclu´ımos que A ´e um gerador de um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C .

  Cap´ıtulo 3 Estabilidade exponencial de semigrupos

  Neste cap´ıtulo, estudamos o Teorema de Gearhart que estabelece condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C ser exponen- cialmente est´avel.

3.1 O Teorema de Gearhart

  Apresentamos agora neste trabalho um importante teorema que ser´a usado no pr´oximo cap´ıtulo para provarmos o decaimento exponencial da solu¸c˜ao de alguns modelos dissipativos associados com equa¸c˜oes ou sistemas de equa¸c˜oes diferen- ciais parciais de evolu¸c˜ao.

  Teorema 11 (Gearhart). Seja {S(t)} t um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C em

  ≥0

  um espa¸co de Hilbert H e A seu gerador infinitesimal. Ent˜ao, {S(t)} t ´e exponencial-

  ≥0

  mente est´avel se, e somente se, {iβ; β ∈ R} ⊆ ρ(A)

  (3.1) e

  −1

  lim sup k(iβI − A) k < ∞. (3.2)

  |β|→∞ A demonstra¸c˜ao completa desse teorema n˜ao ser´a feita neste trabalho. De fato, nas aplica¸c˜oes necessitamos somente justificar que as condi¸c˜oes (3.1) e (3.2) s˜ao suficientes para a estabilidade exponencial do semigrupo {S(t)} t ≥0 . Para provar essa suficiˆencia, precisamos dos resultados a seguir. Mas, antes precisamos da seguinte defini¸c˜ao: Defini¸c˜ ao 12. Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C , {S(t)} . t ≥0 Diz-se que w (A) ´e o tipo do semigrupo gerado por A se ln kS(t)k ln kS(t)k w (A) = lim = inf . t →∞ t> t t

  Nota¸c˜ ao 5. Quando A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C , deno- At tamos {S(t)} t = {e } t .

  ≥0 ≥0

  Observa¸c˜ ao 4. Seja s > 0 e seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C , {S(t)} t ≥0 . Ent˜ao, w (sA) = sw (A).

  De fato, Ats Ats ln ke k ln ke k w (sA) = lim = s lim = sw (A). t t

  →∞ →∞

  t ts Lema 2. Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C , {S(t)} t ≥0 . O tw (A) raio espectral do operador S(t) ´e igual a e , para t > 0. Isto ´e, tw (A) r σ (S(t)) = e , para t > 0.

  Demonstra¸c˜ao: Da defini¸c˜ao do tipo de semigrupo e propriedade da fun¸c˜ao logar´ıtmica, vemos que Ast 1 k ln ke Ast s w k . (tA) = lim = lim ln ke s s

  

→∞ →∞

n Atn n n n 1 s 1 1 Como r σ (S(t)) = lim kS(t) k = lim kS(tn)k = lim ke k , ent˜ao n →∞ n →∞ n →∞ tw (A)

  r σ (S(t)) = e pela Observa¸c˜ao 4 . Teorema 12. Seja X um espa¸co de Banach, f ∈ C([0, 1]; X) e seja A o gerador At infinitesimal de um semigrupo de classe C , {S(t) = e } t . A equa¸c˜ao

  ≥0 ′

  u (t) = Au(t) + f (t), t ∈ [0, 1] (3.3) A possui uma ´ unica solu¸c˜ao peri´odica, de per´ıodo 1, se, e somente se 1 ∈ ρ(e ), o resol- A vente de e = S(1).

  Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, provamos que a equa¸c˜ao (3.3) possui uma ´ unica solu¸c˜ao peri´odica se A 1 est´a no resolvente do operador e . Suponhamos ent˜ao que u(t) ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima. Ent˜ao, vale que d

  

−At −At

  e u f (t) = e (t). dt

  Assim, integrando no tempo, vemos que a equa¸c˜ao (3.3) possui uma solu¸c˜ao que pode ser escrita como At A (t−s) Z t u (t) = e u (0) + e f (s)ds (3.4) com u(0) ∈ X. Para que essa solu¸c˜ao seja peri´odica, isto ´e, u(1)=u(0), devemos ter Z A A

  1 (1−s)

  u u e f A (0) − e (0) = (s)ds. Como 1 ∈ ρ(e ), constatamos que Z

A A

  1 −1 (1−s)

  u (0) = (I − e ) e f (s)ds. A Portanto, provamos que se 1 ∈ ρ(e ) ent˜ao a fun¸c˜ao dada por (3.4), com u (0) dado pela express˜ao acima, ´e uma solu¸c˜ao peri´odica da equa¸c˜ao (3.3).

  A seguir, mostramos a unicidade. Sejam u

  1 (t) e u 2 (t) solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (3.3), ent˜ao ′

  u (t) = Au

  1 (t) + f (t)

  1 e

  ′ u (t) = Au (t) + f (t).

  

2

2 Isso implica, usando a f´ormula (3.4), que

  At u (t) − u (t) = e (u (0) − u (0)) .

  2

  1

  2

  1 Da´ı, como u (0) − u (0) = 0, segue que u (t) = u (t).

  2

  1

  2

  1 Agora, supondo que a equa¸c˜ao (3.3) tem uma ´ unica solu¸c˜ao peri´odica, A A −1

  devemos provar que 1 ∈ ρ(e ). Para isso, precisamos mostrar que o operador (I −e ) existe e ´e cont´ınuo. A (i) I − e injetor: A A

  ∈ Ker(I − e − e x At Suponhamos que 0 6= x ), ent˜ao x = 0. Definindo u x (t) = e , segue que u(0) = u(1) e que u ´e uma solu¸c˜ao n˜ao nula da equa¸c˜ao (3.3)

  (com f (t) ≡ 0), o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois por hip´otese, a equa¸c˜ao (3.3) possui A uma ´ unica solu¸c˜ao peri´odica. Portanto, I − e ´e injetor. A (ii) I − e sobrejetor: A Para verificar isso, tomamos x ∈ X e mostraremos que existe y ∈ X, tal que y − e y = x. Para isso, definimos

  K : C([0, 1], X) → C([0, 1], X) f Kf

  → = u sendo u = u(t) a ´ unica solu¸c˜ao de 3.3, que existe por hip´otese. Notamos que o operador K ´e fechado. De fato, seja f n ∈ C([0, 1], X) tal que f n → f e Kf n = u n → u, sendo u n a solu¸c˜ao correspondente a f n . At A R t

  (t−s)

  u e f Como u n (t) = e n (0) + n (s)ds, para todo n ∈ N, ent˜ao, tomando limite em n, resulta At A (t−s) Z t u (t) = e u (0) + e f (s)ds. Portanto, u ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 3.3. Como u n (0) = u n (1), para todo n ∈ N, segue da convergˆencia uniforme que u(0) = u(1). Da´ı, concluimos que u ´e uma solu¸c˜ao peri´odica da equa¸c˜ao 3.3. Al´em disso, da unicidade da solu¸c˜ao, decorre que Kf=u. Logo, K ´e um operador fechado e, pelo teorema do gr´afico fechado, K ´e um operador cont´ınuo. At

  Considerando f (t) = e x , definimos o operador cont´ınuo S : X → X x → Sx = Kf (0) = u(0) onde u ´e, por hip´otese, a ´ unica solu¸c˜ao peri´odica associada a essa fun¸c˜ao f .

  Sendo u peri´odica, temos que Z A A A A As

1 Z

  1 (1−s) (1−s)

  u u e f u e e xds.

  (0) = u(1) = e (0) + (s)ds = e (0) + Da´ı, como Sx = u(0), ent˜ao A A A

  (I − e )(Sx + x) = (I − e )Sx + (I − e )x Z

  1 A As A (1−s)

  e e xds x = + x − e A A x x = e + x − e A A = x

  Assim, o operador I − e ´e sobrejetor. Como I − e ´e bijetor e cont´ınuo, pelo teorema A −1 A da aplica¸c˜ao aberta, (I − e ) ´e cont´ınuo. Logo, 1 ∈ ρ(e ).

  O teorema anterior ser´a usado para demonstrar o seguinte resultado: Teorema 13. Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo {S(t)} de classe C . A Ent˜ao, 1 ∈ ρ(e = S(1)) se, e somente se,

  2kπi ∈ ρ(A), para todo k ∈ Z

  −1

  e sup k(2kπiI − A) k < ∞. k

  ∈Z

  Demonstra¸c˜ao: A Seja 1 ∈ ρ(e ). Como Z Z

  1

  1

  d

  (A−2kπiI) (A−2kπiI)s (A−2kπiI)s

  e x − x = e xds xds = (A − 2kπiI)e ds e

  

(A−2kπiI) A

  e = e , obtemos que Z A

  1 (A−2kπiI)s

  e x xds. A − x = (A − 2kπiI)e Do fato de que 1 ∈ ρ(e ), verificamos que 1. Z A

  1 −1 (A−2kπiI)s

  x e xds = (A − 2kπiI)(e − I) = (A − 2kπiI)Bx R

A −1 (A−2kπiI)s A −1

  1

  e xds sendo Bx = (e − I) , pois os operadores (e − I) e (A − 2kπiI) comutam; 2. Z A

  1 −1 (A−2kπiI)s

  x = (e − I) (A − 2kπiI)e xds Z A

  1 −1 (A−2kπiI)s

  = (e − I) e (A − 2kπiI)xds = B(A − 2kπiI)x.

  Al´em disso, temos que Z

  1 −1 A −1 (A−2kπiI)s

  k(2kπiI − A) k ≤ k(e − I) e ds k ≤ M, (3.5) sendo M ≥ 0. Portanto, usando 1, 2 e (3.5), obtemos que 2kπi ∈ ρ(A) e

  −1 k(2kπiI − A) k ≤ M.

  sup k ∈Z Reciprocamente, mostramos que a equa¸c˜ao (3.3) possui uma ´ unica soluc˜ao peri´odica, para ent˜ao, aplicarmos o teorema 12. Primeiramente, mostramos que se existe uma solu¸c˜ao ela ´e ´ unica. Seja u uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 3.3. Denotando Z

  1 −2kπis

  u u ds k = (s)e e Z

  1 −2kπis

  f f ds, k = (s)e

  −1

  obtemos u k = (2kπi − A) f k . Usando s´eries de Fourier, segue que a solu¸c˜ao deve ser unica. Agora, mostramos que existe uma solu¸c˜ao peri´odica. Definindo ´ X N

  2kπit

  u N (t) = u k e k =−N e X N

  2kπit

  F (t) = f e N k k

  

=−N

  verificamos que d u = Au + F . N N N dt

  Isso implica que At Z t

  (t−s)A

  u N (t) = e u N (0) + e F N (s)ds. (3.6)

  2

  → f em L Das hip´oteses e como F N (0, 1), temos

  2

  u N → u forte em L (0, 1). Considerando t = 1 em (3.6), chegamos: Z A

  1 (1−s)A

  e F (1 − e )u N (0) = N (s)ds.

  E, como Z Z Z t A

  1

  1 (1−t)A (1−t)A (t−s)A

  e u N (0) = e u N (t)dt − e e F N (s)dsdt, ent˜ao A A u N (0) = (1 − e )u N (0) + e u N (0) → u , pois u N (0) ´e igual a soma de sequˆencias convergentes. Finalmente, aplicando o limite em 3.6, encontramos que At Z t

  (t−s)A

  • u u e f (t) = e (s)ds.

  Como u ´e uma solu¸c˜ao peri´odica da equa¸c˜ao (3.3), pelo teorema 12, concluimos que A 1 ∈ ρ(e ).

  Corol´ ario 5. Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C . Ent˜ao, λt At e ∈ ρ(e ) se, e somente se,

  −1

  2kπi 2kπi λ

  • < ∈ ρ(A) e (λ + )I − A ∞, para todo k ∈ Z.

  t t Demonstra¸c˜ao: λt At

  (A−λ)t

  Suponhamos que e ∈ ρ(e ). Isso implica que 1 ∈ ρ(e ). Logo, pelo teorema

  −1 anterior, 2kπi ∈ ρ((A − λ)t) para todo k ∈ Z e sup k(2kπiI − (A − λ)t) k < ∞. k ∈Z

  2kπi Como 2kπi ∈ ρ((A − λ)t) para todo k ∈ Z, ent˜ao λ + ∈ ρ(A). Al´em disso, como t

  2kπi

  

−1 −1

k(2kπiI − (A − λ)t) k < ∞, ent˜ao k[(λ + k < ∞ para todo k ∈ Z.

  sup )I − A] k ∈Z t

  2kπi Reciprocamente, do fato que λ + ∈ ρ(A), segue que 2kπi ∈ ρ((A − λ)t) e, como t

  −1 2kπi −1

  k (λ + k < ∞ para todo k ∈ Z, temos que k(2kπI − (A − λ)) k < t )I − A

  (A−λ)t (A−λ)t

  ∞, para todo k ∈ Z. Assim, pelo teorema anterior, 1 ∈ ρ(e λt At ). Logo, I − e ´e invers´ıvel e seu inverso ´e limitado. Portanto, e ∈ ρ(e ).

  Este corol´ario ser´a utilizado para demonstrarmos o Teorema de Gearhart, At pois ele nos diz que 1 ∈ ρ(e ) se, e somente se,

  1

  −1

  L µ ⊂ ρ(A) e sup k(λI − A) k < ∞. 1 t λ ∈ L µ t Demonstramos agora que as condi¸c˜oes (3.1) e (3.2) do Teorema de Gearhart s˜ao suficientes para a estabilidade exponencial de {S(t)} t ≥0 . Demonstra¸c˜ao: Consideramos a seguinte express˜ao:

  2 S S −1 (t) (t) −1 −1 −1 −1

  (λI − S(t)) = λ + − λ +

  I S (t) = λ I + ... .

  2

  λ λ Assim, se kS(t)k < |λ|, ent˜ao λ ∈ ρ(S(t)). Logo, λ ∈ σ(S(t)) implica que |λ| ≤ kS(t)k. Como {S(t)} t ´e um semigrupo de contra¸c˜oes, kS(t)k ≤ 1, logo,

  ≥0

  σ (S(t)) ⊆ {z ∈ C; |z| ≤ 1}. Al´em disto, utilizando as hip´oteses do teorema, segue que

  2πni 2πni

  −1

  { k( I − A) k ≤ M.

  ; n ∈ N} ⊂ ρ(A) e sup t t n ∈N At Logo, pelo corol´ario 5, concluimos que 1 ∈ ρ(e ). Portanto, At σ (S(t)) ⊆ {z ∈ C; |z| < 1}.

  Como σ(e ) ´e um conjunto fechado e limitado, tem-se At r σ (e ) = sup |λ| < 1, λ ∈σ(S(t)) ou seja, At Ats s 1 r < σ (e ) = lim ke k s 1. At tw

→∞

(A) Assim, como r σ (e ) = e , obtemos que tw (A) < 0. Isso implica que Az ln ke k

  < z lim 0,

  →∞

  z ou seja, existe γ > 0 tal que Az k ln ke z lim = −γ.

  →∞

  z Az ln ke k >

  < ǫ Ent˜ao, dado ǫ > 0 existe z 0 tal que z > z implica que + γ . γz z γ −γz Az Az 2 Considerando ǫ = , tem-se ln ke k < . Da´ı, ke k ≤ e , ou seja, {S(t)} ´e t ≥0

  2

  2 exponencialmente est´avel. Cap´ıtulo 4 Aplica¸c˜ oes

  Neste cap´ıtulo, estudamos a existˆencia, unicidade e decaimento expo- nencial de solu¸c˜oes do sistema linear viscoel´astico unidimensional com dissipa¸c˜ao dis- tribu´ıda de modo uniforme em todo o dom´ınio. Tamb´em estudamos o mesmo problema para a equa¸c˜ao da onda unidimensional com a dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda em parte do dom´ınio. O sistema linear termoel´astico unidimensional e equa¸c˜ao da onda em um dom´ınio bidimensional retangular com dissipa¸c˜ao localmente distribu´ıda tamb´em sˆao estudados.

4.1 Sistema linear viscoel´ astico

  Nesta se¸c˜ao, estudamos a equa¸c˜ao da onda unidimensional com dis- sipa¸c˜ao distribu´ıda de modo uniforme em todo o dom´ınio. O problema de valor inicial e de contorno associado ´e o seguinte: u tt − au xx − γu xxt = 0, (x, t) ∈ (0, l) × (0, ∞) u (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u

  (x, 0) = u (x), x ∈ (0, l) (4.1) u t (x, 0) = u

  1 (x), x ∈ (0, l) sendo a e γ constantes positivas.

4.1.1 Existˆ encia e unicidade

  1 .

  Demonstra¸c˜ao: Para provarmos este resultado, mostramos que A ´e dissipativo e que 0 ∈ ρ(A), para ent˜ao, aplicarmos o Corol´ario 4. i) A dissipativo:

  Em rela¸c˜ao ao operador A, temos o seguinte resultado: Teorema 14. O operador A gera um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C em H.

  2 (0, l).

  (0, l) × L

  1

  (0, l) . Notamos que D(A) ´e denso em H = H

  1

  (0, l) e (au x + γv x ) ∈ H

  1

  ∈ H; v ∈ H

  O dom´ınio natural para o operador A ´e D (A) = u v

  Seja H = H

  1

  U t = AU U

  = u v e AU = v au xx + γv xx  , podemos escrever o modelo (4.1) da seguinte forma:

  Agora, definindo U

  Considerando v = u t , reescrevemos a primeira equa¸c˜ao de (4.1) na forma de um sistema de primeira ordem no tempo dado por u t − v = 0 v t − au xx − γv xx = 0.

  dx 1 2 ´e um espa¸co de Hilbert.

  2

  dx + Z l |v|

  

2

  (0, l). Este espa¸co munido da norma kU k H = Z l a |u x |

  2

  (0, l) × L

  (0) = u u Seja U ∈ D(A). Usando as condi¸c˜oes de contorno, resulta que          ,    v u (AU, U ) H = au xx + γv xx v 1 2 H

  , v = (v, u) + (au xx + γv xx ) L Z l Z l H (0,l) (0,l) Z l x x xx xx + = au v dx (au + γv )vdx

  

2

γ dx. R l = − |v x |

  2

  γ dx Como (AU, U ) H = − |v x | ≤ 0 concluimos que A ´e dissipativo, pois γ > 0. ii) 0 ∈ ρ(A):     f Provaremos que para todo F = ∈ H, existe um ´ unico   g   u

  U = ∈ D(A) tal que v AU

  = F, ou seja,

  1

  v = f ∈ H (0, l)

  2 (au x + γv x ) = g ∈ L (0, l). x

  Resolvendo o sistema acima, isto ´e, substituindo a primeira equa¸c˜ao na segunda, vemos que u deve satisfazer

  −1

  a (u x ) = g − γf xx ∈ H (0, l). (4.2) x

  Agora, usamos o Teorema de Lax-Milgram para mostrar que (4.2) admite

  1

  uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ H (0, l). Para isto, definimos,

  1

  1 B

  (·, ·) : H (0, l) × H (0, l) → R (u, v) 7→ a(u x , v x )

  

2

  em que (·, ·) indica o produto interno em L (0, l). ´ E claro que B(·, ·) ´e bilinear. Resta verificar que B(·, ·) ´e coerciva e cont´ınua. i) Coercividade de B(·, ·):

1 Seja u ∈ H (0, l). Ent˜ao,

  2

  2 B , u 2 1 .

  (u, u) = a(u x x ) = aku x k = akuk L

  (0,l) H (0,l) 1

  1 Assim, B(u, u) ≥ akuk , para todo u ∈ H (0, l). Isso implica que B(·, ·) ´e coerciva. H (0,l)

  ii) Continuidade de B(·, ·):

1 Sejam u e v ∈ H (0, l). Ent˜ao,

  2 2 1 1 |B(u, v)| = |a(u , v k kv k kvk . x x )| ≤ aku x L x L = akuk H H

  (0,l) (0,l) (0,l) (0,l)

  1 1 1 Assim, para u e v ∈ H (0, l), |B(u, v)| ≤ akuk kvk . Isso implica que B(·, ·) H (0,l) H (0,l) −1

  ´e cont´ınua. Como γf xx − g ∈ H (0, l), pelo Teorema de Lax-Milgram, existe uma

  1

  unica u ∈ H ´ (0, l), tal que B (u, v) = (γf xx − g, v),

  1 para todo v ∈ H (0, l).

  Portanto, existe um ´ unico U ∈ D(A) tal que AU = F . Assim, existe o

  −1 −1

  operador A que ´e definido por A F = U . Al´em disso, kU k ≤ CkF k . H H De fato, usando a Desigualdade de Poincar´e, temos

  2

  2

1

  2 2

  kU k = akuk + kvk H H L (0,l)

  (0,l)

  2

1

  2 2

  ≤ akuk + kf x k . (4.3) H L (0,l)

  (0,l)

  Como

  2

  a 1 , u , u kuk = a(u x x ) = (γf xx − g, u) = −(γf x x ) − (g, u) H (0,l)

  1

  para todo u ∈ H (0, l), segue que

  2 2 2 2 2

  a 1 kuk ≤ kγf x k L ku x k L + kgk L kuk L H (0,l) (0,l) (0,l) (0,l) (0,l) 2 2 1 ≤ kγf x k L + kgk L kuk ,

  (0,l) (0,l) H (0,l)

  isto ´e, 1 2 2 a kuk ≤ kγf k H x L (0,l) + kgk L (0,l) (4.4)

  (0,l)

  1

  para todo u ∈ H (0, l). Logo, usando 4.4 em 4.3, resulta

  2

  2 2 2

  2 2

  kU k ≤ kγf x k L + kgk L + kf x k H (0,l) (0,l) L

  (0,l)

  2 1

  2 2

  ≤ C kf k + kgk H (0,l) (0,l) L

  2

  = CkF k H

  −1

  sendo C uma constante positiva. Isso implica que o operador A ´e limitado. Portanto, 0 ∈ ρ(A). Logo, segue do Corol´ario 4 que A ´e gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C .

  Agora, como A ´e gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes,     u {S(t)} t , de classe C , a teoria de semigrupos diz que para U = ∈ D(A),

  ≥0

  u

  1 U (t) = S(t)U ´e a ´ unica solu¸c˜ao do problema de valor inicial U t = AU

  U (0) = U com

  1 U ∈ C([0, ∞); D(A)) ∩ C ([0, ∞); H). (4.5)

  Interpretemos (4.5). Lembrando que v = u t , concluimos que

  1

  1

  u ∈ C ([0, ∞); H (0, l));

  1

  2

  2

  2

  u t ∈ C ([0, ∞); L (0, l)), ou seja , u ∈ C ([0, ∞); L (0, l));

  2 (au x + γv x ) ∈ L (0, l). x

  Conseq¨ uentemente, concluimos que existe uma ´ unica fun¸c˜ao u(x, t) que satisfaz o pro- blema de valor inicial (4.1).

4.1.2 Estabilidade exponencial

  Agora, usaremos o Teorema de Gearhart para provar que o semigrupo de contra¸c˜oes de classe C , gerado por A, ´e exponencialmente est´avel. Teorema 15. O semigrupo de contra¸c˜oes de classe C , {S(t)} t , gerado por A, ´e

  ≥0

  exponencialmente est´avel, isto ´e, existem constantes positivas M e α tal que

  −αt kS(t)k ≤ M e .

  Provaremos a estabilidade exponencial de {S(t)} t verificando as condi¸c˜oes

  ≥0

  (3.1) e (3.2) do Teorema de Gearhart. Primeiramente, mostramos que ρ (A) ⊇ {iβ; β ∈ R}.

  Segue do fato de 0 ∈ ρ(A) que o operador

  −1

  iβI − A = A(iβA − I)

  

−1 −1

  ´e invers´ıvel para todo β tal que |β| < kA k . Al´em disso, a fun¸c˜ao

  −1

  k(iβI − A) k

  −1 −1 −1 −1 ´e cont´ınua para todo β ∈ (−kA k , kA k ). −1 −1 −1 −1 −1 −1

  De fato, como (iβI − A) = A (iβA − I) e o operador (I − iβA ) ´e linear e

  −1 −1

  cont´ınuo, pois kiβA k < 1, segue que a fun¸c˜ao k(iβI − A) k ´e cont´ınua para todo

  −1 −1 −1 −1

  β ∈ (−kA k , kA k ).

  Agora, suponhamos que ρ(A) ⊇ {iβ; β ∈ R} ´e falso. Ent˜ao, existe

  −1 −1

  w ∈ R tal que w 6= 0, com kA k ≤ |w| < ∞, tal que

  {iβ; |β| < |w|} ⊂ ρ(A) e

  −1 sup{k(iβI − A) k; |β| < |w|} = ∞.

  } → w e |β | < w e Ent˜ao, existe uma seq¨ uˆencia de n´ umeros reais {β n n ∈N tal que β n n

  ∈ D(A), tal que kU k = 1 e k(iβ I − A)U k → 0. uma seq¨ uˆencia vetorial de fun¸c˜oes U n n n n Isto ´e,

  1

  iβ u − v → 0 em H (0, l) (4.6) n n n

  2

  iβ v − (au → 0 em L n n nx + γv nx ) x (0, l). (4.7)

  I Fazendo o produto interno de (iβ n − A)U n com U n em H, resulta que I , U U , U , U

  ((iβ n − A)U n n ) H =(iβ n n n ) H − (AU n n ) H Z l

  2 γ |v | dx.

  • =iβ n nx Tomando a parte real, temos que Z l

  2 Re ((iβ n I − A)U n , U n ) H = γ |v nx | dx.

  Assim, como a seq¨ uˆencia (U n ) n ´e limitada e (iβ n I − A)U n → 0 em H, segue que

  ∈N

Z l

  2 2

  2

  γ kv nx k = γ |v nx | dx → 0, L (0,l) ou seja, usando a Desigualdade de Poincar´e: Z l Z l

  2

  2

  2 2 C γ |v nx | dx ≥ γ |v n | dx = γkv n k , L (0,l)

  concluimos que

  2

  v n → 0 em L (0, l). (4.8)

  1 Multiplicando (4.6) por , segue que β n v n

  1 iu n − → 0 em H (0, l).

  β n

  1

2 Como v n → 0 em H (0, l), pois kv n k

  L 2 → 0, obtemos

  (0,l)

  1

  u n → 0 em H (0, l). (4.9) Portanto, de (4.8) e (4.9), segue que kU n k H → 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois kU n k H = 1.

  Agora, provaremos que

  −1

  lim sup k(iβI − A) k < ∞. (4.10)

  |β|→∞

  Suponhamos que (4.10) ´e falso, ent˜ao existe uma seq¨ uˆencia de n´ umeros reais {β n } n

  ∈N

  com |β n | → ∞ e uma seq¨ uˆencia vetorial de fun¸c˜oes (V n ) n em H tal que

  ∈N −1

  k(iβ n − A) V n k ≥ n, para todo n ∈ N, kV k n ou seja,

  −1

  k(iβ n − A) V n k ≥ nkV n k, para todo n ∈ N.

  ∈ H e que iβ ∈ ρ(A), existe uma ´ ∈ Uma vez que (V n ) n ∈N n unica seq¨ uˆencia (U n ) n ∈N D

  (A), tal que , (iβ n − A)U n = V n com kU n k = 1.

  Assim, kU k ≥ nk(iβ − A)U k, para todo n ∈ N. n n n Isso implica que k(iβ n

  I − A)U n k H → 0 quando n → ∞, ou seja,

  1

  iβ u n n − v n → 0 em H (0, l)

  2

  iβ v n n − (au nx + γv nx ) x → 0 em L (0, l). De maneira similar ao que foi feito acima, concluimos que

  2

  v n → 0 em L (0, l) e

  1

  u n → 0 em H (0, l), logo, kU n k H → 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois kU n k H = 1. Portanto, pelo Teorema de Gearhart, concluimos que o semigrupo de contra¸c˜oes de classe C , {S(t)} t , gerado

  ≥0

  por A, ´e exponencialmente est´avel. Assim, fica provado o decaimento exponencial da solu¸c˜ao do modelo (4.1), pois quando se considera o estudo do decaimento exponencial da solu¸c˜ao de um modelo dissipativo, o problema ´e estabelecer uma estimativa para a energia total do sistema, E(t). Essa estimativa para a energia do sistema ´e obtida da estabilidade exponencial

  −wt

  kS(t)k ≤ Ce , para todo t ≥ 0, do semigrupo dissipativo, {S(t)} t , gerado por A. De fato, temos que a energia do

  ≥0

  sistema ´e Z l

  1

  2

  2 E (t) = au + u dx x t

  2  

  2

  u

  1   =

  2 u t H

  1

  

2

.

  = kU k H

  2 Mas, sendo a solu¸c˜ao dada por U (t) = S(t)U , resulta que

  2 2 −wt 2 −wt

  2E(t) = kU k = kS(t)U k ≤ Ce kU k = 2CE(0)e H H H para todo t ≥ 0. Assim,

  −wt E (t) ≤ CE(0)e , para todo t ≥ 0.

  Portanto, a energia do sistema decai exponencialmente.

  

4.2 Equa¸c˜ ao da onda unidimensional com dissipa¸c˜ ao

localmente distribu´ıda

  Nesta se¸c˜ao, estudamos a equa¸c˜ao da onda unidimensional com uma

  1,∞

  dissipa¸c˜ao friccional representada por a(x)u t , sendo a(x) uma fun¸c˜ao em W (0, l) Z l a com a(x) ≥ 0 para todo x ∈ [0, l] e (x)dx > 0. O problema de valor inicial e de contorno associado ´e o seguinte: u − u tt xx + a(x)u t = 0, (x, t) ∈ (0, l) × (0, ∞) u

  (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u (x, 0) = u (x), x ∈ (0, l) (4.11) u t (x, 0) = u (x), x ∈ (0, l)

  1

4.2.1 Existˆ encia e unicidade

  1

2 Seja H = H (0, l) × L (0, l). Este espa¸co munido da norma

  2 1 Z l Z l 2 1

  2

  2

  2

  2

  kU k H = kuk + kvk = |u x | |v| H (0,l) 1 L 2 dx dx +

  (0,l) ´e um espa¸co de Hilbert.

  Considerando v = u t , reescrevemos a primeira equa¸c˜ao do sistema (4.11) na forma de um sistema de primeira ordem no tempo dado por u t − v = 0   v t − u xx + a(x)u t = 0.   u Fazendo U = e definindo o operador A como v     v

  AU = , u − a(x)v xx podemos reescrever o modelo (4.11) da seguinte forma: U t = AU   . u U   (0) = u

  1 O dom´ınio do operador A ´e dado por    u

  2

  1

  1 D   ∈ H; u ∈ H .

  (A) = (0, l) ∩ H (0, l) e v ∈ H (0, l) v

  1

  2 Notamos que D(A) ´e denso em H = H (0, l) × L (0, l).

  Em rela¸c˜ao ao operador A, temos o seguinte resultado: Teorema 16. O operador A gera um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C em H.

  Demonstra¸c˜ao: Mostramos que A ´e dissipativo e que 0 ∈ ρ(A), para ent˜ao, aplicarmos o Corol´ario 4. i) A dissipativo: Seja U ∈ D(A). Usando as condi¸c˜oes de contorno, obtemos que             v u

  (AU, U ) H = , u xx − a(x)v v 1 2 H = (v, u) + (u xx − a(x)v, v) L Z l Z l H (0,l) (0,l) v u dx − a(x)v)vdx = x x (u xx Z l +

  2 a dx. R l = − (x)|v|

  2

  a dx Como (AU, U ) H = − (x)|v| ≤ 0, ent˜ao A ´e dissipativo, pois a(x) ≥ 0. ii) 0 ∈ ρ(A):     f Provaremos que para todo F = ∈ H, existe um ´ unico   g   u

  U = ∈ D(A) tal que v AU   = F.   f

  Seja F = ∈ H. A equa¸c˜ao AU = F em termos de seus compo- g nentes ´e dada por

  1

  v = f ∈ H (0, l) .

  2

  u xx − a(x)v = g ∈ L (0, l) Resolvendo o sistema, isto ´e, considerando v = f e substituindo na segunda equa¸c˜ao, temos

  2

  u xx = g + a(x)f ∈ L (0, l). (4.12)

  1

  2 Agora, mostramos que (4.12) admite uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ H (0, l) ∩ H (0, l). Para

  isto, definimos a forma bilinear

  1

1 B (·, ·) : H (0, l) × H (0, l) −→ R

  7−→ B(u, v) = (u , v (u, v) x x ) em que (·, ·) indica o produto interno em L

  

2

  (0,l)

  (i) A linearidade de L segue direta da linearidade do produto interno. (ii) Continuidade de L: Sejam v ∈ H

  1

  (0, l) ⊂ L

  2

  (0, l) e − g − a(x)f ∈ L

  2

  (0, l). Ent˜ao, pela Desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que

  |L(v)| = |(−g − a(·)f, v)| ≤ k − g − a(·)f k L 2

  kvk L 2

  ´e linear e cont´ınuo sobre H

  (0,l) .

  Isso implica que L ´e cont´ınuo.

  Portanto, L ∈ H

  −1 (0, l).

  Usando o Teorema de Lax-Milgram concluimos que existe uma ´ unica u ∈ H

  1

  (0, l) tal que B(u,v)=(-g-a(x)f,v), para todo v ∈ H

  1

  (0, l). Isto ´e, (u x , v x ) = (−g − a(x)f, v), para todo v ∈ H

  1 (0, l).

  (0, l) −→ R v 7−→ L(v) = (−g − a(·)f, v)

  (0, l). Verificamos que B(·, ·) ´e coerciva e cont´ınua. i) Coercividade de B(·, ·):

  1

  Seja u ∈ H

  1

  (0, l). Ent˜ao, B

  (u, u) = (u x , u x ) = ku x k

  2 L 2 (0,l)

  = kuk

  2 H 1 (0,l)

  . Portanto, B(·, ·) ´e coerciva. ii) Continuidade de B(·, ·):

  Sejam u e v ∈ H

  (0, l). Ent˜ao, |B(u, v)| = |(u x , v x )| ≤ ku x k L 2

  1

  

(0,l)

  kv x k L 2

  (0,l)

  = kuk H 1

  (0,l)

  kvk H 1

  (0,l) Portanto, B(·, ·) ´e cont´ınua.

  Agora, mostraremos que o funcional L

  : H

  1 (0, l).

  • kvk
  • kf k
  • kf k

2 H

  2

  2 L 2 (0,l)

  2 H 1 (0,l)

  ≤ c

  5

  kf k

  1 (0,l)

  2 L 2 (0,l)

  = c

  5

  kF k

  sendo c

  1

  , c

  3

  , c

  4

  , c

  4

  e c

  5

  constantes positivas, isto ´e, o operador A

  −1

  ´e limitado. A de- sigualdade 1 ´e devida ao Teorema da Regularidade El´ıptica. Portanto, 0 ∈ ρ(A). Assim, pelo Corol´ario 4, segue que A ´e gerador infinitesimal de um semi- grupo de contra¸c˜oes de classe C .

  Logo, a teoria de semigrupos diz que para U = u u

  1

  ∈ D(A), U

  (t) = S(t)U ´e a ´ unica solu¸c˜ao cl´assica do problema de valor inicial

  U t = AU U (0) = u u

  1 .

  kgk

  1 (0,l)

  . Al´em disso, kU k

  2 H

  (0, l). Isso implica que u xx = g + a(x)f no sentido distribucional.

  Como g + a(x)f ∈ L

  2

  (0, l), usando o Teorema da Regularidade El´ıptica para o operador el´ıptico de ordem 2, ∆, resulta que u ∈ H

  2

  (0, l). Ent˜ao, u ∈ H

  1

  (0, l) ∩ H

  2 (0, l). Portanto, obtivemos uma ´ unica U ∈ D(A) tal que AU = F .

  Assim, existe o operador A

  −1

  kf k

  = kuk

  , φ x ) = (−g − a(x)f, φ), para toda φ ∈ D(0, l), sendo D(0, l) o espa¸co das fun¸c˜oes C

  2 H 1 (0,l)

  2 L 2 (0,l)

  ≤ kuk

  2 H 2 (0,l)

  2 L 2 (0,l)

  1

  ≤ c

  1

  kaf + gk

  2 L 2

(0,l)

  2 H 1 (0,l)

  ≤ c

  Em particular, (u x

  ∞

  • c
  • kf k

  3

2 H

  • kgk

2 H

  Tamb´em temos que

  1 U ∈ C([0, ∞); D(A)) ∩ C ([0, ∞); H). (4.13)

  Interpretemos (4.13). Lembrando que v = u t , (4.13) pode ser reescrito como   u  

  2

  1

  1

  1

  1

  2 ∈ C([0, ∞), H (0, l) ∩ H (0, l) × H (0, l)) ∩ C ([0, ∞); H (0, l) × L (0, l)).

  v Isso implica que

  2

  1

  u ∈ C([0, ∞), H (0, l) ∩ H (0, l));

  1

  1

  1

  u t ∈ C([0, ∞), H (0, l)), ou seja , u ∈ C ([0, ∞), H (0, l));

  1

  1

  u ∈ C ([0, ∞); H (0, l));

  1

  2

  2

  2

  u ∈ C t ([0, ∞); L (0, l)), ou seja , u ∈ C ([0, ∞); L (0, l)). Portanto, para U ∈ D(A), a fun¸c˜ao u = u(x, t) na classe

  2

  1

  

1

  1

  2

  2

  u ∈ C([0, ∞), H (0, l) ∩ H (0, l)) ∩ C ([0, ∞), H (0, l)) ∩ C ([0, ∞); L (0, l)) ´e a ´ unica solu¸c˜ao do problema (4.11).

  Conseq¨ uentemente, concluimos que existe ´ unica fun¸c˜ao u(x, t) que satis- faz o problema de valor inicial (4.11).

4.2.2 Estabilidade exponencial

  Teorema 17. O semigrupo de contra¸c˜oes de classe C , {S(t)} t , gerado por A, ´e

  ≥0

  exponencialmente est´avel, isto ´e, existem constantes positiva M e α tal que

  −αt kS(t)k ≤ M e , para todo t > 0.

  Para provar a estabilidade exponencial de {S(t)} t , verificaremos as

  ≥0 condi¸c˜oes (3.1) e (3.2) do teorema de Gearhart.

  Primeiramente provamos que ρ(A) ⊇ {iβ; β ∈ R}. Para isso, supo- nhamos que ρ

  (A) ⊇ {iβ; β ∈ R}

  ´e falso. Ent˜ao, existe β ∈ R, β 6= 0 tal que iβ ∈ σ(A). J´a sabemos que a inversa de A est´a definida em todo H, com valores em D(A), isto ´e,

  −1

  A : H → D(A) Como a imers˜ao i A i A : D(A) → H ´e compacta, temos que a aplica¸c˜ao

  −1 −1

  A = A ◦ i A : H → H ´e compacta. Assim, usando o Teorema 6, concluimos que iβ ´e um autovalor de A.

  De fato, considerando λ = iβ, temos as seguintes equa¸c˜oes:

  1

  1

  −1 (1) A x − x = y ⇔ x − Ax = Ay ⇔ λx − Ax = λAy.

  λ λ

  1

  1

  −1

  x − x Ax (2) A = 0 ⇔ x − = 0 ⇔ λx − Ax = 0.

  λ λ

  1

  −1

  Suponha que a equa¸c˜ao A − x = 0 admite apenas a solu¸c˜ao trivial, ent˜ao λ

  λx − Ax = 0 admite apenas a solu¸c˜ao trivial. Assim, pelo Teorema 6, a equa¸c˜ao

  1

  1

  −1 −1

  A x − x = y possui uma solu¸c˜ao x para cada y ∈ H e o operador A − tem λ

  λ inversa limitada, ou seja, o operador λI − A tem inversa limitada. Logo, λ ∈ ρ(A), o

  1

  −1

  A − x que ´e uma contradi¸c˜ao, pois por λ ∈ σ(A). Portanto, a equa¸c˜ao = 0 n˜ao λ possui apenas a solu¸c˜ao trivial e, desta forma, λ ´e um autovalor de A.

  Assim, existe um vetor U ∈ D(A), com kU k H = 1, tal que iβU − AU = 0, (4.14) isto ´e, iβu

  − v = 0 (4.15) iβv − u xx + a(x)v = 0 (4.16) Fazendo o produto interno de (4.14) com U em H, resulta que          ,    iβu − v u 0 = (iβU − AU, U ) H = iβv − u xx + a(x)v v 1 H 2

  = (iβu − v, u) + (iβv − u xx + a(x)v, v) L 1 H (0,l) (0,l) 1 2 2 , v

  = i(βu, u) − (v, u) + i(βv, v) L + (a(x)v − u xx ) L H (0,l) H (0,l) (0,l) (0,l) Considerando a parte real e usando as condi¸c˜oes de contorno, segue que 2 1

  , v 0 = Re(iβU − AU, U ) H = (a(x)v − u xx ) L − (v, u)

  (0,l) H Z l Z l (0,l)

  v u dx = (a(x)v − u xx )vdx − x x Z l

  2 a dx.

  = (x)|v| Como Z l Z l

  2 2

  2

  2

  kavk = |a(x)v| dx ≤ kak L a (x)|v| dx = 0 L (0,l) (0,l) ent˜ao, a

  (x)v(x) = 0, para todo x ∈ [0, l]. (4.17) Substituindo (4.15) e (4.17) em (4.16), obtemos

  2

  −β u − u xx = 0. Como u(0) = u(l) = 0, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima ´e dada por

  2

  mπ m

  2

  2

  u x π , (x) = k sin com β =

  2

  l l sendo k 6= 0 e m ≥ 1. Substituindo a solu¸c˜ao u(x) obtida em (4.17), segue que mπ x,

  0 = ika(x)β sin para todo x ∈ [0, l], l pois iβu − v = 0. Mas, isso diz que a(x) = 0 exceto sobre um conjunto enumer´avel de Z l a pontos, o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois (x)dx > 0. Portanto, podemos afirmar que ρ (A) ⊇ {iβ; β ∈ R}. Para a segunda parte da demonstra¸c˜ao, suponhamos que

  −1

  lim sup k(iβI − A) k = ∞, ent˜ao existe uma seq¨ uˆencia de n´ umeros reais {β } n n ∈N

  |β|→∞

  | → ∞ e uma seq¨ com |β n uˆencia vetorial de fun¸c˜oes (V n ) n ∈N em H tal que

  −1

  k(iβ − A) n n V k ≥ n, para todo n ∈ N, kV n k ou seja,

  −1

  V k(iβ n − A) n k ≥ nkV n k, para todo n ∈ N. Uma vez que (V n ) n ∈ H e que iβ n ∈ ρ(A), existe uma ´ unica seq¨ uˆencia (U n ) n ∈

  ∈N ∈N

  D (A), tal que iβ U − AU , k = 1. n n n = V n com kU n

  Assim, kU n k ≥ nkiβ n U n − AU n k, para todo n ∈ N.

  Isso implica que

  I k(iβ n − A)U n k H → 0 quando n → ∞, ou seja,

  1

  f u − v → 0 em H n = iβ n n n (0, l) (4.18)

  2

  g v n = iβ n n − u nxx + a(x)v n → 0 em L (0, l) (4.19) U

  Fazendo o produto interno de iβ n n − AU n com U n em H, resulta             iβ n u n − v n u n (iβ n U n − AU n , U n ) H = , iβ n v n − u nxx + a(x)v n v n 1 H 2 u , u v , v

  = (iβ n n − v n n ) + (iβ n n − u nxx + a(x)v n n ) L H (0,l) (0,l) Considerando a parte real e usando as condi¸c˜oes de contorno, obtemos 2 1 Re (iβ n U n − AU n , U n ) H = (a(x)v n − u nxx , v n ) L − (v n , u n )

  (0,l) H 2 (0,l)

  = (a(x)v n , v n ) L (0,l) Como iβ n U n − AU n → 0 em H e U n ´e limitada, segue que

  2

  (a(x)v n , v n ) → 0 em L (0, l). (4.20) Agora, considerando a desigualdade Z l Z l

  2 2 dx dx

  2

  2

  kav n k = |av n | ≤ kak L |av n | L (0,l)

  (0,l)

  e usando (4.20), segue que

  2

  av n → 0 em L (0, l). (4.21) Substituindo v n = iβ n u n − f n em g n = iβ n v n − u nxx + a(x)v n , obtemos

  2

  −β u n − u nxx = g n + iβ n f n − a(x)v n . (4.22) n

1 Agora, considerando q(x) ∈ C (0, l) uma fun¸c˜ao real e fazendo o produto interno de

  2

  (4.22) com q(x)u nx em L (0, l), obtemos Z l l

  2

  2

  2

  2

  q x (β |u n | + |u nx | )dx − [q|u nx | ] = 2(g n nx ) − 2(iβ n (f n ) x n ) − 2(av n nx ), n , qu q , u , qu pois Z l Z l

  2

  2

  u − u , qu β u qu dx − u qu dx (−β n nxx nx ) = − n nx nxx nx n n Z l Z l

  1

  1

  

2

  2

  2

  = − β q (u ) x dx − q (u ) x dx n n nx

  2 Z l Z l

  2

  1

  1 l

  2

  2

  2

  2

  β q u dx q u dx − [q|u | = x x nx ] n n nx +

  2

  2 e Z l Z l Z l (g n + iβ n f n − av + n , qu nx ) = g n qu nx dx iβ n f n qu nx dx − av n qu nx dx Z l Z l Z l g qu dx − iβ u q dx − av qu dx.

  = n nx n n (f n ) x n nx

  2 2

  u k ≤ 1 e

  Observando que β n n ´e uniformemente limitada em L (0, l), pois kv n L

  (0,l)

  2

  iβ u − v → 0 em L n n n (0, l), e usando (4.18), (4.19) e (4.21), concluimos que , qu q , u , qu

  2(g n nx ) − 2(iβ n (f n ) x n ) − 2(av n nx ) → 0 ou seja, Z l l

  2

  2

  2

  2 q x (β |u n | + |u nx | )dx − [q|u nx | ] → 0. n

  Considerando q(x) = x, temos Z l

  2

  2

  2 | u | → 0. Z l Z l (|u nx + |β n n )dx − q(l)|u nx (l)|

  2

  2

  2

  2 Como 1 = lim |u nx | + |v n | dx = lim |u nx | + |iβ n u n | dx , pois iβ n u n − v n → 0 n →∞ n →∞

  2

  em L (0, l), segue que

  1

  

2

|u nx (l)| → . R x l a

  Agora, considerando q(x) = (s)ds, temos Z l

  2

  2

  2

  2

  a (x)(β |u n | + |u nx | )dx − q(l)|u nx (l)| → 0, n ou seja, Z l

  1 (β n u n , aβ n u n ) + (au nx , u nx ) → a (s)ds > 0, l u , aβ u , u o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois por outro lado, mostraremos que (β n n n n ) e (au nx nx ) convergem para zero. u , aβ u 1 (β n n n n ) → 0:

  Fazendo o produto interno de iβ n u n − v n com aβ n u n , obtemos (iβ n u n − v n , aβ n u n ) = (iβ n u n , aβ n u n ) − (v n , aβ n u n ).

  1

  2 Como iβ n u n − v n → 0 em H (0, l) e β n u n ´e uniformemente limitada em L (0, l),

  |(iβ n u n , aβ n u n ) − (v n , aβ n u n )| → 0. (4.23) Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e (4.21), segue que

  |(v , aβ u )| → 0. (4.24) n n n Portanto, de (4.23) e (4.24), concluimos que u , aβ u

  (β n n n n ) → 0.

  , u 2 (au nx nx ) → 0: Fazendo o produto interno de iβ n v n − u nxx + a(x)v n com au n e usando as condi¸c˜oes de contorno, resulta

  (iβ n v n − u nxx + a(x)v n , au n ) = (iav n , β n u n ) + (a x u n , u nx ) + (au nx , u nx ) + (a(x)v n , au n ).

  2

  2 Como iβ n v n − u nxx + a(x)v n → 0 em L (0, l) e au n ´e limitada em L (0, l),

  i (av n , β n u n ) + (a x u n , u nx ) + (au nx , u nx ) + (av n , au n ) → 0. (4.25)

  2

  u Observando que β n n e au n s˜ao limitadas em L (0, l) e usando (4.21) , obtemos

  2

  , β u (iav n n n ) → 0 em L (0, l) (4.26) e

  2

  , au (av n n ) → 0 em L (0, l). (4.27)

  De (4.18), concluimos que v n

  2 iu n − → 0 em L (0, l).

  β n Isso implica que v n

  2

  iau − a → 0 em L n (0, l).

  β n Como

  2

  av n → 0 em L (0, l), concluimos que

  2 2 u n → 0 em L (0, l). (4.28) k ≤ 1, pois kU k

  Agora, como ku nx L n H = 1, usando (4.28), obtemos

  (0,l)

  2

  u , u (a x n nx ) → 0 em L (0, l). (4.29)

  Portanto, de (4.25), (4.26), (4.27) e (4.29), segue que

  2

  , u (au nx nx ) → 0 em L (0, l).

  −1 Assim, lim sup k(iβI − A) k < ∞. |β|→∞

  Logo, segue do Teorema de Gearhart que {S(t)} t ´e exponencialmente

  ≥0

  est´avel. Isso implica que a solu¸c˜ao do modelo (4.11) decai exponencialmente, isto ´e, Z l

  1

  2

2 −αt

  E (t) = (u + u )dx ≤ CE(0)e , para todo t > 0, x t

  2 sendo C uma constante positiva.

4.3 Sistema linear termoel´ astico

  Nesta se¸c˜ao, consideramos uma barra de comprimento l com densidade unit´aria. Seja u o deslocamento e θ a diferen¸ca de temperatura entre a barra e o meio ambiente. Ent˜ao, u e θ satisfazem o seguinte sistema linear termoel´astico unidimen- sional: u tt − u xx + γθ x = 0, (x, t) ∈ (0, l) × (0, ∞) θ t + γu xt − kθ xx = 0, (x, t) ∈ (0, l) × (0, ∞) u (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 θ (0, t) = θ(l, t) = 0, t > 0 (4.30) u

  (x, 0) = u (x), x ∈ (0, l) u t (x, 0) = u

  1 (x), x ∈ (0, l)

  θ (x, 0) = θ (x) x ∈ (0, l) sendo k e γ constantes com k > 0 e γ 6= 0. Estas constantes dependem das pro- priedades do material.

4.3.1 Existˆ encia e unicidade

  1

  2

  2 Seja H = H (0, l) × L (0, l) × L (0, l). Este espa¸co munido da norma 1

  2 2

  2 2

  2 2 2

  kU k k H = (ku x + kvk + kθk ) L L L

  (0,l) (0,l) (0,l) ´e um espa¸co de Hilbert.

        u Agora, considerando v = u t e U = , segue que     v     θ         u v t

  U t = = = AU.  t   xx x      v u − γθ θ kθ − γu t xx xt

  Portanto, podemos reescrever o modelo (4.30) da seguinte forma: U t = AU       u U  u (0) =   1 

  θ O dom´ınio natural para A ´e

  2

  1

  1

  2

  1 D (A) = H (0, l) ∩ H (0, l) × H (0, l) × H (0, l) ∩ H (0, l).

  1

  2

  2 Notamos que D(A) ´e denso em H = H (0, l) × L (0, l) × L (0, l).

  Em rela¸c˜ao ao operador A, temos o seguinte resultado: Teorema 18. O operador A gera um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C em H.

  Demonstra¸c˜ao: Para provarmos esse resultado mostramos que A ´e dissipativo e que 0 ∈ ρ(A), para ent˜ao, aplicarmos o Corol´ario 4. i) A dissipativo:

  Seja U ∈ D(A). Usando as condi¸c˜oes de contorno, obtemos                   v u (AU, U ) H = ,         xx − γθ x     u v kθ xx − γv x θ 1 2 H 2

  , v , θ = (v, u) + (u xx − γθ x ) L + (kθ xx − γv x ) L Z l Z l Z l H (0,l) (0,l) (0,l) Z l Z l Z L + = v x u x dx (u xx − γθ x )vdx + (kθ xx − γv x )θdx

  θ vdx θ θ dx vθ dx = −γ x − k x x + γ x Z l

  2 = −k |θ x | dx. R l

2 Como (AU, U ) H = −k |θ x | dx ≤ 0, A ´e dissipativo, pois k > 0.

  ii) 0 ∈ ρ(A):       f Provaremos que para todo F = ∈ H, existe um ´ unico     g   h     u U = ∈ H tal que AU = F .     v

  θ       f ∈ H. A equa¸c˜ao AU = F em termos de seus compo-

  Seja F =     g h nentes ´e dada por:

  

1

   v = f ∈ H (0, l)

  2 u xx − γθ x = g ∈ L (0, l)

  2

  kθ xx − γv x = h ∈ L (0, l) Resolvendo o sistema acima, isto ´e, substituindo v = f na terceira equa¸c˜ao, segue que

  2

  kθ = h + γf ∈ L (0, l). (4.31) xx x

  1

  2 Agora, mostramos que a equa¸c˜ao (4.31) possui uma ´ unica solu¸c˜ao θ ∈ H (0, l)∩H (0, l).

  Para isto, definimos uma forma bilinear

  1

1 R

  B → (·, ·) : H (0, l) × H (0, l)

  , v (θ, v) 7−→ B(θ, v) = k(θ x x )

  2

  em que (·, ·) ´e o produto interno em L (0, l). Verificamos que B(·, ·) ´e coerciva e cont´ınua. i) Coercividade de B(·, ·):

1 Seja θ ∈ H (0, l). Ent˜ao,

  2

  2 B , θ k 2 1 .

  (θ, θ) = (θ x x ) = kθ x = kθk L

  (0,l) H (0,l) Portanto, B(·, ·) ´e coerciva.

  ii) Continuidade de B(·, ·):

1 Sejam θ e v ∈ H (0, l). Ent˜ao,

  2 2 1 1 |B(θ, v)| = |(θ x , v x )| ≤ kθ x k kv x k = kθk kvk L (0,l) L (0,l) H H

  (0,l) (0,l) Portanto, B(·, ·) ´e cont´ınua.

  Definimos agora o funcional

1 L

  : H (0, l) −→ R v 7−→ L(v) = (−h − γf x , v )

  1 Verificamos que L ´e linear e cont´ınuo sobre H (0, l).

  (i) A linearidade de L segue direta da linearidade do produto interno. (ii) Continuidade de L:

  1

2 Seja v ∈ H (0, l) ⊂ L (0, l). Ent˜ao, pela Desigualdade de Cauchy-

  Schwarz, segue que |L(v)| = |(−h − γf x , v )| ≤ k − h − γf x kkvk.

  Isso implica que L ´e cont´ınuo.

  1 Logo, pelo Teorema de Lax-Milgram, existe uma ´ unica θ ∈ H (0, l) tal que

  1 B , v (θ, v) = (−h − γf x ), para todo v ∈ H (0, l). Isto ´e,

  1 k (θ , v ) = (−h − γf , v ), para todo v ∈ H (0, l). x x x

  Em particular, temos k (θ x , φ x ) = (−h − γf x , φ ), para toda φ ∈ D(0, l),

  ∞

  sendo D(0, l) o espa¸co das fun¸c˜oes C (0, l). Isso implica que kθ xx = h + γf x no sentido distribucional.

2 Como h+γf x ∈ L (0, l), usando o Teorema da Regularidade El´ıptica para

  2

  ∈ H o operador el´ıptico de ordem 2, ∆, resulta que θ (0, l). Ent˜ao,

  1

  2

  1

  2

  θ ∈ H (0, l) ∩ H (0, l). Logo, existe uma ´ unica θ ∈ H (0, l) ∩ H (0, l) satisfazendo (4.31).

  Agora, substituindo θ obtida resolvendo a equa¸c˜ao (4.31) na segunda equa¸c˜ao, vemos que

  2

  u xx = g + γθ x ∈ L (0, l). (4.32) Precisamos mostrar que a equa¸c˜ao (4.32) possui uma unica ´ solu¸c˜ao

  1

  2

  u ∈ H (0, l) ∩ H (0, l). Esse problema ´e similar ao que foi resolvido acima para a fun¸c˜ao θ.

  

1

  2 Logo, existe uma ´ unica u ∈ H (0, l)∩H (0, l) satisfazendo (4.32). Assim,

  concluimos que existe ´ unica U ∈ D(A) tal que AU = F . Portanto, existe o operador

  −1 −1

  A que ´e definido por A F = U . Al´em disso, da Desigualdade de Poincar´e e do

  Teorema da Regularidade El´ıptica, temos

  2

  2 2

  

2

2

  2 2

  kU k = ku x k + kf k + kθk H L (0,l) L (0,l) L (0,l)

  2 2

  

2

2

  2 2

  ≤ ku k k k x + kf x + kθ x L L L

  (0,l) (0,l) (0,l)

  2 2

  2 2

  2 2

  ≤ c kuk k kgk

  1 + kf x + c H L L

  2 (0,l) (0,l) (0,l)

  2

  2

  2

  ≤ c kh + γf k 2 k 2 kgk 2

  

3 x + kf x + c

L L L

  2 (0,l) (0,l) (0,l)

  2 2

  2 2

  2 2

  ≤ c kf x k + kgk + khk

  

4 L L L

(0,l) (0,l) (0,l)

  2

  kF k = c

  4 H −1

  , c , c sendo c e c constantes positivas. Isso implica que o operador A ´e limitado.

  1

  2

  3

4 Portanto, 0 ∈ ρ(A). Assim, aplicando o Corol´ario 4, concluimos que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C .

        u ∈ D(A), U (t) = S(t)U

  Logo, a teoria de semigrupos diz que para U = ´e a u   1  θ unica solu¸c˜ao do problema de valor inicial ´ U t = AU U (0) = U .

  Tamb´em temos que     u  

  1 ∈ C([0, ∞); D(A)) ∩ C ([0, ∞); H).    t  u

  θ Isso implica que

  2

  1

  u ∈ C([0, ∞), H (0, l) ∩ H (0, l));

  1

  1

  1

  u t ∈ C([0, ∞), H (0, l)), ou seja , u ∈ C ([0, ∞), H (0, l));

  2

  1

  θ ∈ C([0, ∞), H (0, l) ∩ H (0, l));

  1

  1

  u ∈ C ([0, ∞); H (0, l));

  1

  2

  2

  2

  u ∈ C t ([0, ∞); L (0, l)), ou seja , u ∈ C ([0, ∞); L (0, l));

  1

  2

  θ ∈ C ([0, ∞); L (0, l)). Portanto,

  2

  1

  

1

  1

  2

  2

  u ∈ C([0, ∞), H (0, l) ∩ H (0, l)) ∩ C ([0, ∞), H (0, l)) ∩ C ([0, ∞); L (0, l)) e

  2

  

1

  1

  2

  θ ∈ C([0, ∞), H (0, l) ∩ H (0, l)) ∩ C ([0, ∞), L (0, l)). Conseq¨ uentemente, concluimos que existe uma ´ unica fun¸c˜ao u(x, t) e uma unica fun¸c˜ao θ(x, t) que satisfazem o problema de valor inicial (4.30). ´

4.3.2 Estabilidade exponencial

  Agora, provamos que o semigrupo {S(t)} t , gerado pelo operador A,

  ≥0 associado ao problema termoel´astico ´e exponencialmente est´avel.

  Teorema 19. O semigrupo de contra¸c˜oes de classe C , {S(t)} , gerado por A, ´e

  ≥0

  exponencialmente est´avel, isto ´e, existem constantes positiva M e α tal que

  −αt kS(t)k ≤ M e , para todo t > 0.

  Para demonstrar este resultado, verificamos as condi¸c˜oes (3.1) e (3.2) do Teorema de Gearhart. Inicialmente, provamos que

  ρ (A) ⊇ {iβ; β ∈ R}.

  (0,l)

  2

  k; |β| < |w|} = ∞ Ent˜ao, existe uma sequˆencia β n

  ∈ R com β n → w e |β n | < |w| e uma sequˆencia vetorial de fun¸c˜oes U n = u n v n θ n

  ∈ D(A) com kU n k H = 1 tal que k(iβ n

  I − A)U n k H → 0, ou seja, iβ n u n − v n → 0 em H

  1

  (0, l) (4.33) iβ n v n − u nxx + γθ nx → 0 em L

  2

  (0, l) (4.34) iβ n θ n − kθ nxx + γv nx → 0 em L

  (0, l) (4.35) Fazendo o produto interno de (iβ n I − A)U n com U n em H, resulta

  ≤ |w| < ∞, tal que {iβ; |β| < |w|} ⊂ ρ(A) e sup {k(iβI − A)

  ((iβ n

  I − A)U n

  , U n ) = iβ n u n − v n iβ n v n − u nxx + γθ nx iβ n θ n − kθ nxx + γv nx

  , u n v n θ n

  = (iβ n u n − v n , u n ) H 1

  (0,l)

  (0,l)

  θ n − kθ nxx + γv nx , θ n ) L 2

  −1

  −1

  Segue do fato de 0 ∈ ρ(A) que o operador iβI − A = A(iβA

  −1

  −1

  − I) ´e invers´ıvel para todo n´ umero real β tal que |β| < kA

  −1

  k

  −1

  . Al´em disso, k(iβI − A)

  −1

  k ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua para todo β ∈ (−kA

  )k

  k

  −1

  , kA

  −1

  k

  −1 ).

  Agora, suponhamos que ρ (A) ⊇ {iβ; β ∈ R}

  ´e falso, ent˜ao existe w ∈ R com kA

  −1

  • (iβ n v n − u nxx + γθ nx , v n ) L
  • 2<
  • (iβ n
Tomando a parte real e usando as condi¸c˜oes de contorno, segue que Re ((iβ n I − A)U n , U n ) H = kkθ nx k

  2 L 2 (0,l)

  2

  2 L

2

(0,l)

  → 0.

  (4.36) Em particular, devido a Desigualdade de Poincar´e, segue que k kθ n k

  2 L

2

(0,l)

  → 0.

  (4.37) Usando (4.35) e (4.37), segue que kθ nxx − γv nx → 0 em L

  2

  (0, l). (4.38) Integrando kθ nxx − γv nx de 0 at´e x, teremos Z xnxx − γv nx dx

  = kθ nx (x) − kθ nx (0) − γv n (x). (4.39) Como kkθ nx − kθ nx (0) − γv n k

  . Como U n ´e limitada e (iβ n I − A)U n → 0, temos k kθ nx k

2 L

  = Z l Z x kθ nxx (x) − γv nx (x)dx

  kkθ nxx − γv nx k

  (0, l). (4.41)

  2

  (0, l). (4.40) Assim, de (4.40) e (4.36), chegamos a kθ nx (0) + γv n → 0 em L

  2

  . Ent˜ao, usando (4.38), devemos ter kθ nx − kθ nx (0) − γv n → 0 em L

  2 L 2 (0,l)

  2

  dy ≤ Z l Z l |kθ nxx (x) − γv nx (x)|dx

  dx dy = l

  2

  dx Z l |kθ nxx (x) − γv nx (x)|

  2

  1

  dy ≤ Z l Z l

  2 (0,l)

  2

  2 2 Agora, de (4.33) e do fato que ku nx k L ≤ 1, pois kU n k H = 1, obtemos que kv nx k L (0,l) 2 (0,l)

  ´e uniformemente limitada. Assim, de (4.38), segue que kθ nxx k L ´e uniformemente

  (0,l)

  limitada. Logo, pela Desigualdade Gagliardo-Nirenberg, concluimos que 2 1 1 2 2 |θ nx (0)| ≤ kθ nx k L ≤ C kθ nxx k 2 kθ nx k 2 + C kθ nx k L → 0 (4.42)

  (0,l)

  1 L L 2 (0,l) (0,l) (0,l)

  sendo C

  1 e C

2 constantes positivas. Ent˜ao, de (4.41) e (4.42) segue que

  2

  v n → 0 em L (0, l). (4.43)

  2

  v Fazendo o produto interno de iβ n n − u nxx + γθ nx com u n em L (0, l), resulta que Z l Z l Z l v − u , u iβ v − u dx u u dx γθ u dx

  (iβ + γθ ) = + n n nxx nx n n n n nxx n nx n Z l Z l Z l

  2 = + iβ n v n u n dx |u | + nx dx γθ nx u n dx.

  2

  2

  v Como u n ´e limitada em L (0, l) e iβ n n − u nxx + γθ nx → 0 em L (0, l), segue que

  2

  ku k → 0 em L nx (0, l). (4.44) Portanto, de (4.37), (4.43) e (4.44) concluimos que kU n k H → 0, o que ´e uma con- tradi¸c˜ao, pois kU n k = 1.

  Provaremos agora que

  −1

  lim sup k(iβI − A) k &lt; ∞. (4.45)

  |β|→∞

  Suponhamos que

  −1 lim sup k(iβI − A) k = ∞. |β|→∞

  Ent˜ao, existe uma sequˆencia de n´ umeros reais {β n } n com |β n | → ∞ e uma seq¨ uˆencia

  ∈N

  vetorial de fun¸c˜oes (V n ) n em H tal que

  ∈N −1

  k(iβ − A) n n V k ≥ n, para todo n ∈ N, kV n k ou seja,

  −1

  k(iβ − A) n n n V k ≥ nkV k, para todo n ∈ N. Uma vez que (V n ) n ∈ H e que iβ n ∈ ρ(A), pela primeira parte da demonstra¸c˜ao,

  ∈N

  existe uma ´ unica seq¨ uˆencia (U n ) n ∈ D(A), tal que

  ∈N iβ U − AU , k = 1. n n n = V n com kU n

  Assim, kU n k ≥ nkiβ n U n − AU n k, para todo n ∈ N.

  Isto implica que k(iβ n I − A)U n k H → 0 quando n → ∞, ou, usando a defini¸c˜ao do operador A, temos que

  1

  iβ u n n − v n → 0 em H (0, l) (4.46)

  2

  iβ v n n − u nxx + γθ nx → 0 em L (0, l) (4.47)

  2

  iβ n θ n − kθ nxx + γv nx → 0 em L (0, l) (4.48) I − A)U

  Fazendo o produto interno de (iβ n n com U n em H e usando as condi¸c˜oes de contorno, segue que

  2 2 Re ((iβ n

  I − A)U n , U n ) H = kkθ nx k → 0. (4.49) L (0,l) Em particular, devido a Desigualdade de Poincar´e, segue que

  2

2

  k kθ k → 0. (4.50) n L

  (0,l)

  1 2 Multiplicando (4.48) por e usando que kθ n k L → 0, segue que

  (0,l)

  β n kθ nxx γv nx

  2

  − → 0 em L (0, l). (4.51) β β n n

  γ Multiplicando (4.46) por , obtemos

  β n v nx

  2

  iγu nx − γ → 0 em L (0, l). (4.52) β n

  Subtraindo (4.52) de (4.51), vemos que kθ nxx

  2

  − iγu nx → 0 em L (0, l). (4.53) β n

  2 kθ nxx

  Do fato que ku nx k ≤ 1, pois kU n k H = 1, segue de (4.53) que ´e limitada L (0,l) β nnxx

  2

  2

  em L (0, l). Fazendo o produto interno de − iγu nx com u nx em L (0, l), vemos β n que kθ nxx kθ nxx

  2 2 − iγu nx , u nx = , u nx − iγku nx k . L (0,l)

  β β n nnxx

  2

  2

  − iγu → 0 em L Como u nx ´e limitada em L (0, l) e nx (0, l), ent˜ao

  β n kθ nxx

  2 2

  , u nx − iγku nx k → 0. (4.54) L (0,l) β n

  Agora, notamos que Z l kθ nxx kθ nxx , u u dx nx = nx

  β β n n kθ nx (l)u nx (l) kθ nx (0)u nx (0) kθ nx = − − , u nxx (4.55)

  β n β n β n

  1

  2 2 Multiplicando (4.47) por , usando que kkθ nx k L 2 → 0 e que kv n k ≤ 1, pois L (0,l) (0,l)

  β n u nxx

  2

  kU n k H = 1, segue que ´e limitada em L (0, l). Assim, utilizando a Desigualdade β n

  2

  de Cauchy-Schwarz e do fato que kkθ nx k L 2 → 0, temos que

  (0,l)

  kθ nx , u nxx → 0.

  β n Da desigualdade Gagliardo-Nirenberg e de estimativas acima, vemos que 1 2 1 kθ nxx k 2 2

  θ L kθ nx k L nx (0,l) (0,l) 2 ≤ C kθ k 2 → 0

  1 nx + C L 2 (4.56) (0,l)

  | ∞ | | p|β n p|β n p|β n L

  (0,l)

  e 1 1 2 ku nxx k 2 2 u L ku nx k L nx (0,l) (0,l) 2 ≤ C ku k 2 ≤ C

  3 nx + C L (0,l) 4 (4.57)

  | ∞ | | p|β n p|β n p|β n L

  (0,l) sendo C uma constante positiva independente de n.

  Ent˜ao, de (4.56) e (4.57), segue que kθ u θ u nx nx nx nx ≤ k → 0.

  β n L p|β n ∞ p|β n ∞ | |

  (0,l) L L (0,l) (0,l) kθ nx (l)u nx (l) kθ nx (0)u nx (0) Isso implica que e convergem para zero. Logo, segue

  β β n n de (4.55) que kθ nxx , u → 0. nx (4.58)

  β n Assim, de (4.54) e (4.58), concluimos que

  2

2

  ku nx k → 0. (4.59) L (0,l) De (4.46) e (4.59), vemos que v nx

  2

  → 0 em L (0, l). (4.60) β n

  2 Fazendo o produto interno de iβ v − u + γθ com v em L (0, l), obtemos n n nxx nx n Z l Z l Z l

  2

  v − u , v |v | dx − u v dx θ v dx (iβ n n nxx + γθ nx n ) = iβ n n nxx n + γ nx n

  

2

2

= iβ kv k + (u , v ) + γ(θ , v ). n n nx nx nx n L (0,l)

  2 2

  v − u → 0 em L k ≤ 1, pois kU k Como iβ n n nxx + γθ nx (0, l) e kv n L n H = 1, ent˜ao

  (0,l)

  2 2

  iβ kv k , v , v n n + (u nx nx ) + γ(θ nx n ) → 0. (4.61) L

  (0,l)

  1 Multiplicando (4.61) por , obtemos β n v nx v n

  2

  i kv k u ,

  • n nx + γ nx (4.62) L θ , → 0.
  • 2

      (0,l)

      β β n n v v nx n Como u nx , e γθ nx , convergem para zero, concluimos de (4.62) que

      β n β n

      2

      v n → 0 em L (0, l). (4.63) Assim, de (4.59),(4.63) e (4.50), concluimos que kU n k H → 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao,

      −1 pois kU n k H = 1. Portanto, lim sup k(iβI − A) k &lt; ∞. |β|→∞

      Logo, segue do Teorema de Gearhart que {S(t)} t ≥0 ´e exponencialmente est´avel e, portanto, a solu¸c˜ao do modelo (4.30) decai exponencialmente.

            u Conclus˜ ao: Da estimativa do Teorema 19 tem-se para U =     u t

      θ com u e θ solu¸c˜ao do problema termoel´astico a seguinte desigualdade:

      −αt

      , kU k H = kS(t)U k H ≤ kS(t)kkU k ≤ M kU ke t &gt; 0. Usando a defini¸c˜ao de H, resulta

      2 1

      2 2

      2 2

      2 2 −αt

      2E(t) = kuk + ku t k + kθk ≤ M kU k e , t &gt; H (0,l) (0,l) L L 0.

      (0,l)

      Assim, E(t), a energia do sistema termoel´astico, tem o seguinte compor- tamento assint´otico no tempo: Z l

      1

      2

      2 2 −αt

      E (t) = (u + u + θ )dx ≤ CE(0)e , t &gt; 0, x t

      2 com C uma constante positiva.

      

    4.4 Equa¸c˜ ao da onda bidimensional com dissipa¸c˜ ao

    localmente distribu´ıda

      Nesta se¸c˜ao, estudamos a equa¸c˜ao da onda bidimensional com uma dis-

      1,∞

      sipa¸c˜ao localizada representado pelo termo a(x, y)u t , sendo a(x, y) uma fun¸c˜ao W (Ω) Z a com a(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ Ω = [0, a] × [0, b] e (x, y)dz &gt; 0. Aqui

      Ω

      dz = dxdy. O problema de valor inicial e de contorno associado ´e o seguinte: u tt − △u + a(x, y)u t = 0, (x, y, t) ∈ Ω × (0, ∞) u (x, y, t) = 0, sobre ∂Ω × (0, ∞) u (x, y, 0) = u (x, y), (x, y) ∈ Ω (4.64) u t (x, y, 0) = u (x, y), (x, y) ∈ Ω

    1 A fun¸c˜ao a(x, y) pode anular em uma parte de Ω. Assim, o termo dis- sipativo pode ser efetivo apenas em parte do dom´ınio Ω.

    4.4.1 Existˆ encia e unicidade

      |v|

      1

      (Ω) × L

      2

      (Ω). Este espa¸co munido da norma kU k H = kuk

      2 H 1 (Ω)

      2 L 2 (Ω)

    1

    2

      Seja H = H

      dz 1 2 ´e um espa¸co de Hilbert.

      |∇u|

      2

      dz

      2

    • kvk
    • Z

      Ω

      (Ω) ∩ H

      Demonstra¸c˜ao: Mostramos que A ´e dissipativo e que 0 ∈ ρ(A), para ent˜ao, aplicarmos o Corol´ario 4.

      Em rela¸c˜ao ao operador A, temos o seguinte resultado: Teorema 20. O operador A gera um semigrupo de contra¸c˜oes de classe C em H.

      2 (Ω).

      (Ω) × L

      1

      (Ω) . Notamos que D(A) ´e denso em H = H

      1

      (Ω) e v ∈ H

      1

      

    2

      Ω

      ∈ H; u ∈ H

      (A) = u v

      O dom´ınio de A ´e dado por D

      1 .

      U t = AU U (0) = u u

      △u − a(x, y)u t  , podemos reescrever o modelo (4.64) da seguinte forma:

      = Z

      Escrevendo U = u v e definindo o operador A como i) A dissipativo: Seja U ∈ D(A). Usando as condi¸c˜oes de contorno, obtemos             v u

      Considerando v = u t , reescrevemos a primeira equa¸c˜ao do problema (4.64) na forma de um sistema de primeira ordem no tempo dado por: u t − v = 0 v t − △u + a(x, y)u t = 0.

      AU = v

      , (AU, U ) H = Z △u − a(x, y)v v H

      = [∇v · ∇u + (△u − a(x, y)v)v] dz

    Z Z Z

      2

      = ∇v · ∇udz + (△u) vdz − a (x, y)|v| dz

      

    Ω Ω Ω

    Z Z Z

      2

      v △udz + a dz = − (△u) vdz − (x, y)|v| Z

    Ω Ω Ω

      2

      a dz, = − (x, y)|v| Z ZR

      2

      v a dz pois △udz = − ∇v∇udz. Como (AU, U ) H = − (x, y)|v| ≤ 0, ent˜ao A ´e

      Ω Ω Ω

      dissipativo, pois a(x, y) ≥ 0. ii) 0 ∈ ρ(A):     f Provaremos que para todo F = ∈ H, existe um ´ unico   g   u

      U ∈ D(A) tal que = v

      AU   = F.   f Seja F = ∈ H. A equa¸c˜ao AU = F em termos de seus compo- g nentes ´e dada por

      1

      v = f ∈ H (Ω)

      2

      △u − a(x, y)v = g ∈ L (Ω) Resolvendo o sistema, isto ´e, considerando v = f e substituindo na segunda equa¸c˜ao, temos

      2

      △u = g + a(x, y)f ∈ L (Ω), (4.65)

      ∞

      pois a ∈ L (Ω). Agora, mostramos que (4.65) admite uma ´ unica solu¸c˜ao

      1

      2

      u ∈ H (Ω) ∩ H (Ω). Para isto, definimos uma forma bilinear

      1

    1 B (·, ·) : H (Ω) × H (Ω) −→ R

      7−→ B(u, v) = (∇u, ∇v) (u, v) em que (·, ·) indica o produto interno em L

      2

      (Ω)

      1 (Ω).

      (i) A linearidade de L segue direta da linearidade do produto interno. (ii) Continuidade de L: Seja v ∈ H

      1

      (Ω) ⊂ L

      2

      (Ω). Como −g − a(·, ·)f ∈ L

      2

      (Ω), ent˜ao pela De- sigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que |L(v)| = |(−g − a(x, y)f, v)| ≤ k − g − a(·, ·)f k L 2

      kvk L 2

      (Ω) −→ R v 7−→ L(v) = (−g − a(·, ·)f, v)

      (Ω) .

      Isso implica que L ´e cont´ınuo.

      Portanto, L ∈ H

      −1 (Ω).

      Usando o Teorema de Lax-Milgram concluimos que existe uma ´ unica u ∈ H

      1

      (Ω) tal que B(u, v) = (−g − a(·, ·)f, v), para todo v ∈ H

      1

      (Ω). Isto ´e, (∇u, ∇v) = (−g − a(·, ·)f, v), para todo v ∈ H

      ´e linear e cont´ınuo sobre H

      1

      (Ω). Verificamos que B(·, ·) ´e coerciva e cont´ınua. i) Coercividade de B(·, ·):

      1

      Seja u ∈ H

      1

      (Ω). Ent˜ao, B

      (u, u) = (∇u, ∇u) = k∇uk

      2 L 2 (Ω)

      = kuk

      2 H 1 (Ω)

      . Portanto, B(·, ·) ´e coerciva. ii) Continuidade de B(·, ·):

      Sejam u e v ∈ H

      (Ω). Ent˜ao, |B(u, v)| = |(∇u, ∇v)| ≤ k∇uk L 2

      : H

      (Ω)

      k∇vk L 2

      (Ω)

      = kuk H 1

      (Ω)

      kvk H 1

      (Ω) .

      Portanto, B(·, ·) ´e cont´ınua.

      Agora, mostraremos que o funcional L

      1 (Ω). Em particular, (∇u, ∇φ) = (−g − a(·, ·)f, φ), para toda φ ∈ D(Ω),

      ∞

      sendo D(Ω) o espa¸co das fun¸c˜oes C (Ω). Isso implica que △u = g + a(·, ·)f no sentido distribucional.

    2 Como g + a(·, ·)f ∈ L (Ω), usando o Teorema da Regularidade El´ıptica

      2

      para o operador el´ıptico de ordem 2, ∆, resulta que u ∈ H (Ω). Ent˜ao,

      1

      2

      u ∈ H (Ω) ∩ H (Ω). Portanto, obtivemos uma ´ unica U ∈ D(A) tal que AU = F .

      −1

      Assim, existe o operador A . Al´em disso, da Desigualdade de Poincar´e e do Teorema da Regularidade El´ıptica, temos

      2

      2 1

      2 2

      kU k = kuk + kvk H H L (Ω)

      (Ω)

      2 2

      2 2

      ≤ kuk + kf k H (Ω) L (Ω)

      2

    2

      2 1

      ≤ c kaf + gk + kf k

      1 L H (Ω) (Ω)

      2 1

      2 2

      2 1

      ≤ c kf k kgk

      3 + c H L H 4 + kf k (Ω) (Ω) (Ω)

      2 1

      2 2

      ≤ c kf k

      5 + kgk

    H L

    (Ω) (Ω)

      2

      kF k = c

      5 H −1

      1

      , c , c , c sendo c

      2

      3 4 e c 5 constantes positivas, isto ´e, o operador A ´e limitado.

      Portanto, 0 ∈ ρ(A). Assim, pelo Corol´ario 4, segue que A ´e gerador infinitesimal de um semi- grupo de contra¸c˜oes de classe C .

      Agora, como A ´e gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes,     u {S(t)} t ≥0 , de classe C , a teoria de semigrupo diz que para U = ∈ D(A), u

      1 U (t) = S(t)U ´e a ´ unica solu¸c˜ao cl´assica do problema de valor inicial U t = AU U (0) = U .

      Tamb´em temos que

      1 U ∈ C([0, ∞); D(A)) ∩ C

      ([0, ∞); H). (4.66) Interpretemos (4.66). Lembrando que v = u t , (4.66) pode ser reescrito como   u  

      2

      1

      1

      1

      1

      2 ∈ C([0, ∞), H (Ω) ∩ H (Ω) × H (Ω)) ∩ C ([0, ∞); H (Ω) × L (Ω)).

      v Isso implica que

      2

      1

      u ∈ C([0, ∞), H (Ω) ∩ H (Ω));

      1

      1

      1

      u ∈ C([0, ∞), H t (Ω)), ou seja , u ∈ C ([0, ∞), H (Ω));

      1

      1

      u ∈ C ([0, ∞); H (Ω));

      1

      2

      2

      2

      u   t ∈ C ([0, ∞); L (Ω)), ou seja , u ∈ C ([0, ∞); L (Ω)). u  

      2

      1

      1 Portanto, para ∈ H (Ω) ∩ H (Ω) × H (Ω), existe uma ´ unica solu¸c˜ao de (4.64)

      u

      1

      que satisfaz:

      2

      1

      

    1

      1

      2

      2 u ∈ C([0, ∞), H (Ω) ∩ H (Ω)) ∩ C ([0, ∞), H (Ω)) ∩ C ([0, ∞); L (Ω)).

      Conseq¨ uentemente, concluimos que existe uma ´ unica fun¸c˜ao u(x, t) que satisfaz o problema de valor inicial (4.64).

    4.4.2 Estabilidade exponencial

      Teorema 21. O semigrupo de contra¸c˜oes de classe C , {S(t)} t , gerado por A, ´e

      ≥0

      exponencialmente est´avel, isto ´e, existem constantes positiva M e α tal que

      −αt

      , kS(t)k ≤ M e para todo t &gt; 0. Para provar a estabilidade exponencial de {S(t)} t , verificamos as condi¸c˜oes

      ≥0 (3.1) e (3.2) do Teorema de Gearhart.

      Primeiramente, provamos que ρ(A) ⊇ {iβ; β ∈ R}. Para isso, supo- nhamos que ρ (A) ⊇ {iβ; β ∈ R}

      ´e falso. Ent˜ao, existe β ∈ R, β 6= 0 tal que iβ ∈ σ(A). J´a sabemos que a inversa de A est´a definida e ´e cont´ınua em todo H, com valores em D(A), isto ´e,

      −1 A : H → D(A).

      Como a imers˜ao i A i A : D(A) → H ´e compacta, temos que a aplica¸c˜ao

      −1 −1

      A = A ◦ i A : H → H ´e compacta. Assim, usando o Teorema 6, concluimos que iβ ´e um autovalor de A.

      De fato, considerando λ = iβ, temos as seguintes equa¸c˜oes:

      1

      1

      −1 (1) A x − x = y ⇔ x − Ax = Ay ⇔ λx − Ax = λAy.

      λ λ

      1

      1

      −1

      x − x Ax (2) A = 0 ⇔ x − = 0 ⇔ λx − Ax = 0.

      λ λ

      1

      −1

      Suponha que a equa¸c˜ao A − x = 0 admite apenas a solu¸c˜ao trivial, ent˜ao λ

      λx − Ax = 0 admite apenas a solu¸c˜ao trivial. Assim, pelo Teorema 6, a equa¸c˜ao

      1

      1

      −1 −1

      A x − x = y possui uma solu¸c˜ao x para cada y ∈ H e o operador A − tem λ

      λ inversa limitada, ou seja, o operador λI − A tem inversa limitada. Logo, λ ∈ ρ(A), o

      1

      −1

      A − x que ´e uma contradi¸c˜ao, pois por λ ∈ σ(A). Portanto, a equa¸c˜ao = 0 n˜ao λ possui apenas a solu¸c˜ao trivial e, desta forma, λ ´e um autovalor de A.

      Assim, existe um vetor U ∈ D(A), com kU k H = 1, tal que iβU − AU = 0, (4.67) isto ´e, iβu − v = 0 (4.68) iβv − △u + a(x, y)v = 0

      (4.69) Fazendo o produto interno de (4.67) com U em H, resulta             iβu − v u

      , 0 = (iβU − AU, U ) H = iβv v

      − △u + a(x, y)v 1 H 2 = (iβu − v, u) + (iβv − △u + a(x, y)v, v) H L (Ω) 1 (Ω) 1 2 2

      − (v, u) = i(βu, u) H H + i(βv, v) L (Ω) + (a(x, y)v − △u, v) L (Ω)

      (Ω) (Ω)

      Considerando a parte real e usando as condi¸c˜oes de contorno, segue que 2 1 − (v, u) 0 = Re(iβU − AU, U ) H = (a(x, y)v − △u, v) L H Z Z (Ω) (Ω)

      = (a(x, y)v − △u)vdz − ∇v∇udz Z Z Z Ω Ω

      2

      a dz = (x, y)|v| − (△u)vdz − ∇v∇udz Z Z Z Ω Ω Ω

      2

      a dz v = (x, y)|v| − (△u)vdz + △udz Z Ω Ω Ω

      2 a dz.

      = (x, y)|v|

      Ω

      Como Z Z

      2 2

      2

      2

      kavk = |a(x, y)v| dz ≤ kak L a (x, y)|v| dz = 0 L (Ω) (Ω) Ω Ω ent˜ao, a

      (x, y)v(x, y) = 0, para todo (x, y) ∈ Ω. (4.70) Substituindo (4.68) e (4.70) em (4.69), obtemos

      2

      −β u − △u = 0, em Ω. Como u(x, t) = 0 sobre ∂Ω × (0, ∞), a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima ´e dada por:

      2

      2

      mπ nπ m n

      2

      2

      2

      u x y π π , (x, y) = k sin sin com β = +

      2

      2

      a b a b sendo k 6= 0 e m, n ≥ 1. Substituindo em mπ mπ 0 = a(x, y)v(x, y) = iβa(x, y)u(x, y) = iβka(x, y) sin x sin y, a b para todo (x, y) ∈ Ω. Mas, isso diz que a(x, y) = 0 exceto sobre um conjunto enu- R a mer´avel de pontos, o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois (x, y)dz &gt; 0. Portanto, podemos

      Ω afirmar que ρ(A) ⊇ {iβ; β ∈ R}.

      Para a segunda parte da demonstra¸c˜ao, suponhamos que

      −1

      lim sup k(iβI − A) k = ∞, ent˜ao existe uma seq¨ uˆencia de n´ umeros reais {β n } n

      ∈N |β|→∞

      com |β n | → ∞ e uma seq¨ uˆencia vetorial de fun¸c˜oes (V n ) n em H tal que

      ∈N −1

      V k(iβ n − A) n k ≥ n, para todo n ∈ N, kV n k ou seja,

      −1

      k(iβ n − A) V n k ≥ nkV n k, para todo n ∈ N. Uma vez que (V n ) n ∈ H e que iβ n ∈ ρ(A), existe uma ´ unica seq¨ uˆencia

      ∈N

      ∈ D(A), tal que (U n ) n ∈N iβ U − AU , k = 1. n n n = V n com kU n Assim,

      U kU n k ≥ nkiβ n n − AU n k, para todo n ∈ N. Isso implica que

      I k(iβ n − A)U n k H → 0     u n quando n → ∞, ou seja, sendo U n = : v n

      1

      f n = iβ n u n − v n → 0 em H (Ω) (4.71)

      2

      g n = iβ n v n − △u n + a(x, y)v n → 0 em L (Ω). (4.72) Fazendo o produto interno de iβ n U n − AU n com U n em H, resulta       iβ u u n n − v n n

      U , U    ,    (iβ n n − AU n n ) H = iβ v v n n − △u n + a(x, y)v n n 1 H 2 u − v , u v − △u , v

      = (iβ n n n n ) H + (iβ n n n + a(x, y)v n n ) L

      (Ω) (Ω) Considerando a parte real e usando as condi¸c˜oes de contorno, obtemos 2 1 Re U , U , v , u (iβ n n − AU n n ) H = (a(x, y)v n − △u n n ) L − (v n n ) 2 (Ω) H (Ω)

      , v = (a(x, y)v n n ) L

      (Ω)

      Como iβ U − AU → 0 em H e U ´e limitada em H, segue que n n n n

      2

      , v (a(x, y)v n n ) → 0 em L (Ω). (4.73)

      Agora, considerando a desigualdade Z Z

      2 2 dz a dz

      2

      2

      kav n k = |av n | ≤ kak L |v n | L (Ω)

      (Ω) Ω Ω

      e usando (4.73), segue que

      2

      av → 0 em L n (Ω). (4.74) u − f v − △u Substituindo v n = iβ n n n em g n = iβ n n n + a(x, y)v n , obtemos

      2

      −β u n − △u n = g n + iβ n f n − a(x, y)v n . (4.75) n

      2

      1 Agora, considerando q : Ω → R uma fun¸c˜ao tal que q ∈ C (Ω) e fazendo o produto

      2

      interno em L (Ω) de (4.75) com q(x, y) · ∇u n , obtemos Z Z Z X

      2

      2

      2

      2

      2

      div (q)(β |u | + |∇u | )dz + q · η|∇u | d Γ + 2 (D q )(D u )(D u )dz = n n n n j i i n j n

      Ω ∂ Ω Ω i,j =1

      = 2(g n , q · ∇u n ) − 2(av n , q · ∇u n ) − 2(iβ n div (f n q ), u n ) = 2(g n , q · ∇u n )− −2(av n , q · ∇u n ) − 2(iβ n f n div (q), u n ) − 2(iβ n (∇f n )q, u n ), (4.76) sendo η = η(x, y) a vari´avel exterior unit´aria em (x, y) ∈ ∂Ω. Seguem abaixo as justificativas da igualdade acima.

      1 Como div(f F ) = f div(F ) + h∇f, F i, sendo F um campo de vetores e f uma fun¸c˜ao escalar, segue que

      2

      2

      2

      |u | |u | |u | n n n div q (x, y) = div (q(x, y)) + q(x, y) · ∇

      2

      2

      2

      2

      |u | n ∇u

      = div (q(x, y)) + q(x, y) · (u n n )

      2

      2

      |u n | = div (q(x, y)) + u n q (x, y) · ∇u n .

      2 Logo, Z Z

      2

      2

      |u n | |u n |

      2

      2

      u q dz div q dz −β n (x, y) · ∇u n = −β (x, y) − div (q(x, y)) n n

      2

      2

      Ω Ω

      por conseguinte, usando o teorema da divergˆencia, resulta que Z Z

      2

      |u n |

      2

      2 −β u n q (x, y) · ∇u n dz = β div (q(x, y)) dz. n n

      2

      Ω Ω

      2 Z Z Z

      1

      1

      2

      2

      q dz q d div dz −△u

    • n (x, y) · ∇u n = (x, y) · η|∇u n | Γ + (q(x, y)) |∇u n |

      2

      2

      Ω Ω Ω Z X

      2

      q u u (D + j i )(D i n )(D j n )dz.

      Ω i,j =1

      3 Como div (f n u n q (x, y)) = f n u n div (q(x, y)) + h∇(f n u n ), q(x, y)i = f n u n div (q(x, y)) + hu n ∇f n , q (x, y)i + hf n ∇u n , q (x, y)i ent˜ao, integrando e usando o teorema da divergˆencia, vemos que Z Z iβ f q dz iβ u q u div ∇f , q n n (x, y) · ∇u n = n (div(f n n (x, y)) − f n n (q(x, y)) − hu n n (x, y)i) dz

      Ω Ω

    Z Z

      f u div hu ∇f , q = −iβ n n n (q(x, y))dz − iβ n n n (x, y)idz Z Ω Ω u div q = −iβ n n (f n (x, y))dz.

      Ω

      2

      u Como β n n ´e uniformemente limitada em L (Ω), usando (4.71), (4.72) e

      (4.74), concluimos de (4.76) que: 2(g n , q · ∇u n ) − 2(av n , q · ∇u n ) − 2(iβ n f n div (q), u n ) − 2(iβ n (∇f n ) · q, u n ) → 0, ou seja, Z Z Z X

      2

      2

      2

      2

      

    2

    div (q)(β |u n | +|∇u n | )dz + q ·η|∇u n | d Γ+2 (D j q i )(D i u n )(D j u n )dz → 0. n Ω Ω Ω i,j   =1   x

      Considerando q(x, y) = , temos Z Z Z y

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      |u | | q · η|∇u | d u dz → 0, 2 (β n + |∇u n )dz + n Γ + 2 + u n nx ny

      Ω ∂ Ω Ω

      Z Z

      2

      2

      2

      o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois q (x, y) · η|∇u n | d Γ ≥ 0, 2 u + u dz ≥ 0 nx ny Z Z Ω Ω

      2

      2

      2

      2

      2 n n 2 |∇u n | + |v n | dz = lim + e 2 = lim 2 β |u n | + |∇u n | dz, por causa que n →∞ →∞ Ω Ω

      2 β u − v → 0 em L (Ω) . n n n −1 k(iβI − A) k &lt; ∞.

      Assim, lim sup

      |β|→∞

      Logo, segue do Teorema de Gearhart que {S(t)} t ≥0 ´e exponencialmente est´avel.

      Corol´ ario 6. A ´ unica solu¸c˜ao do problema (4.64) satisfaz a seguinte propriedade de decaimento:

      −αt

      E (t) ≤ Ce sendo C uma constante positiva dependendo dos dados iniciais e α uma constante positiva. Aqui, Z a Z b

      1

      2

      2 E (t) = |∇u| + |u t | dxdy.

      2 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

      [1] A. M. Gomes, Semigrupos de operadores lineares e aplica¸c˜oes `as equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao. Instituto de Matem´atica - UFRJ, Rio de Janeiro, 1985.

      [2] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equa- tions. Springer-Verlag, New York, 1983.

      [3] C.A. Raposo, Semigrupos aplicados a sistemas dissipativos em EDP. SBMAC, Flo- rian´opolis-SC:, 2007.

      [4] C. W. Groetsch, Elements of applicable functional analysis. Marcel Dekker, New York and Basel, 1983.

      [5] E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications. John Wiley e Sons, 1978.

      [6] H. Brezis, Analyse fonctionnelle: the´orie et applications. Masson, Paris, 1983. [7] J. E. Mu˜ noz Rivera, Semigrupos e equa¸c˜oes diferenciais parciais. Instituto de Matem´atica, Petr´opolis, 2007.

      [8] K. Yosida, Functional analysis. Springer-Verlag, Berlim-Heildelberg, New York, 1966.

      [9] L. A. Medeiros, P.H. Rivera, Espa¸cos de Sobolev e aplica¸c˜oes `as equa¸c˜oes diferenci- ais parciais. Textos de M´etodos Matem´aticos n´ umero 9, IM-UFRJ, Rio de Janeiro.

      [10] S. Agmon, H. Douglis, L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II.

      Comm. Pure Appl. Math, 17, 35-92, 1964. [11] Z. Liu, S. Zheng, Semigroups associated with dissipative systems. Chapman &amp; Hall/CRC. London, 1999.

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