Universidade Federal da Bahia

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  Universidade Federal da Bahia

  Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Hipersuperf´ıcies com Curvatura m´ edia Constante e

´ındice finito

Hivanna Nascimento Santos

  Salvador-Bahia Agosto 2008 Hipersuperf´ıcies com Curvatura M´ edia Constante e ´ Indice Finito Hivanna Nascimento Santos

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao cole- giado do curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica.

  Banca examinadora: Prof. Dr Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador).

  Prof. Dr.Isaac Costa L´azaro.

  Prof. Dr. Pedro A. Hinojosa. Hivanna Nascimento Santos “Hipersuperf´ıcies com Curvatura M´ edia Constante e ´ Indice Finito ”/ Salvador-BA, 2008.

  Orientador : Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFBA, 50 p´aginas.

  Palavras-Chave : Estabilidade e ´ındice, hipersuperf´ıcies com cur- vatura m´edia constante e operador estabilidade.

  ` A minha m˜ae e `as minhas irm˜as. Resumo

  Nosso objetivo principal nesta disserta¸c˜ao ´e mostrar a n˜ao existˆencia de hipersuperf´ıcies n˜ao compactas completas com curvatura m´edia constante e ´ındice finito imersas em uma varieade de dimens˜ao 4 ou 5.

  Como conseq¨ uˆencia, obteremos que uma hipersuperf´ıcie completa n˜ao compacta com cur- n , n=4 ou n=5, ´e m´ınima. vatura m´edia constante e ´ındice finito imersa em R Sum´ ario

  Resumo i

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares 5 1.1 Variedades Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.2 Imers˜oes Isom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 1.3 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7

  2 F´ ormulas da primeira e da segunda varia¸ c˜ oes do comprimento de arco

  9 2.1 Primeira varia¸c˜ao do comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 2.2 Segunda varia¸c˜ao do comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  12

  3 Hipersuperf´ıcies com Curvatura M´ edia Constante e ´ Indice Finito

  15 Introdu¸ c˜ ao n n

  • 1

  Sejam N uma variedade orientada e ψ : M uma imers˜ao de uma variedade → N diferenci´avel, compacta, conexa e orient´avel em N. Escolhemos a orienta¸c˜ao de M compat´ıvel com a orienta¸c˜ao de N. Uma varia¸c˜ao de ψ ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel Ψ : ( −ǫ, ǫ) × M → N com campo variacional f η, onde f (M ) e η ´e um campo normal em M, tal que Ψ t : M

  ∈ C → N definida por Ψ t (p) = Ψ(t, p), p

  ∈ M, ´e uma imers˜ao. Definimos a fun¸c˜ao ´area A : (−ǫ, ǫ) → R por Z dM , t

  A(t) = M . onde dM t representa o elemento de ´area de M na m´etrica induzida por Ψ t A primeira f´ormula da varia¸c˜ao para a ´area estabelece que Z nHf dM

  (0) = A − M

  Como uma conseq¨ uˆencia, hipersuperf´ıcies m´ınimas s˜ao caracterizadas como pontos cr´ıticos do funcional ´area e as hipersuperf´ıcies com curvatura m´edia H constante tamb´em podem ser pontos cr´ıticos do funcional ´area, mas restritas a varia¸c˜oes que preservam volume, isto ´e, fun¸c˜oes suaves

  R f f dM tais que = 0. M

  O operador estabilidade deste problema variacional ´e dado pela segunda f´ormula da varia¸c˜ao para a ´area ′′ Z

  2

  2

  (0) = (f + n)f )dM A − △f + (|A| M

  Z f Lf dM = ∞ ∞M

  2

  onde L : C (M ) (M ) dado por L = + Ric(N ) ´e chamado de operador estabili- → C △ + |A|

  2

  2

  dade de M (ou operador de Jacobi) e = tr(A ) e Ric(N ) denotam, respectivamente, o △, |A| operador laplaciano de M, o quadrado da norma do operador forma da imers˜ao e a curvatura de Ricci da variedade ambiente N na dire¸c˜ao η.

  ∞

  O operador L induz a forma quadr´atica Q : C (M ) → R dada por

  Z Q f Lf dM,

  (f ) = − M que atua no espa¸co das fun¸c˜oes suaves em M. O ´ındice de uma hipersuperf´ıcie M, denotado por

  Ind (M ), ´e definido como a dimens˜ao m´axima do subespa¸co V de C (M ) em que Q ´e negativa definida. Isto ´e, Ind

  (M ) = max (M ), Q(f ) < 0 para todo f {dimV ; V ≤ C ∈ V }. Equivalentemente, Ind(M ) ´e o n´ umero de autovalores negativos de L contados com multiplici- dade. Dizemos que uma hipersuperf´ıcie m´ınima ´e est´avel se Q(f ) (M ).

  ≥ 0 para todo f ∈ C Equivalentemente, em termos do ´ındice, estabilidade significa que Ind(M ) = 0.

  Em 1985, Fischer-Colbrie estudou em [8] a estrutura conforme de uma superf´ıcie m´ınima M completa, orientada e com ´ındice finito imersa em uma variedade N de dimens˜ao 3 com curvatura escalar n˜ao negativa. Ela mostrou que se a curvatura escalar de N ´e limitada inferi- ormente por uma constante positiva, ent˜ao M ´e compacta.

  Posteriormente, em 1989, Lopez e Ros estudaram em [11] a estrutura conforme de uma uma superf´ıcie completa M com curvatura m´edia constante H e ´ındice finito imersa em uma variedade N de dimens˜ao 3. Eles mostraram que se H e a curvatura escalar S de N satisfazem

2 S

  • δ, para alguma constante δ > 0, ent˜ao M ´e compacta. Como caso particular, ≥ −3H eles obtiveram que toda superf´ıcie completa, n˜ao compacta com curvatura m´edia constante H n

  3

  , ent˜ao, pelo resultado e ´ındice finito no espa¸co euclidiano R ´e m´ınima, pois como S = 0 em R

  2

  acima, devemos ter 0 < + δ, −3H ∀δ > 0. Conseq¨uentemente H = 0.

  Esta disserta¸c˜ao ´e baseada no artigo de Xu Cheng [6] e tem como objetivo principal provar o Teorema seguinte, que ´e uma vers˜ao generalizada do resultado de Lopez e Ros em uma variedade de dimens˜ao 4 ou 5. n

  • 1

  Teorema 3.1. Sejam N , n ∈ {3, 4}, uma variedade de dimens˜ao (n + 1) e M uma hiper- superf´ıcie completa com curvatura m´edia constante H e ´ındice finito imersa em N. Suponha que

  σ := inf p M, {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)|w ∈ T |w| = 1, p ∈ M}

  2

  2

  n (5

  − n)H > ,

  −

  4 onde Ric, K e ν denotam, respectivamente, a curvatura de Ricci, a curvatura seccional de N e o campo normal unit´ario em M. Ent˜ao M ´e compacta.

  Como conseq¨ uˆencia do Teorema 3.1, teremos o resultado seguinte. n

  • 1

  Teorema 3.3. Sejam N , n ∈ {3, 4}, uma variedade completa de dimens˜ao (n + 1) com curvatura seccional K

  ≥ −τ, τ ≥ 0, e M uma hipersuperf´ıcie completa com curvatura m´edia

  2

  10

  > τ, constante H diferente de zero e ´ındice finito imersa em N. Se H satisfaz H quando

  9

  2

  7 n = 3 ou H > τ, quando n = 4, ent˜ao M ´e compacta.

4 Como casos particulares do Teorema 3.3, teremos os corol´arios abaixo.

  Corol´ ario 3.4.

  Seja N uma variedade completa de dimens˜ao 4 ou 5 com curvatura seccional n˜ao negativa. Ent˜ao toda hipersuperf´ıcie completa com curvatura m´edia constante diferente de zero e ´ındice finito em N ´e compacta. Corol´ ario 3.5.

  Toda hipersuperf´ıcie completa com ´ındice finito e curvatura m´edia constante H

  10

  7

  2

  2

  4

  5

  satisfazendo H > (H > , respectivamente ( ( ) no espa¸co hiperb´olico H

  −1) (H −1), res-

  9

  4

  pectivamente ) ´e compacta. n ´e

  Em [7], Chern mostrou que um gr´afico inteiro com curvatura m´edia constante em R uma hipersuperf´ıcie m´ınima. Alencar e do Carmo provaram em [1] que uma hipersuperf´ıcie n

  • 1

  com curvatura m´edia constante, ´ındice finito e crescimento de volume poli- completa em R nomial ´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima. Como gr´aficos inteiros com curvatura m´edia constante n s˜ao fortemente est´aveis (isto ´e, indM=0) e tˆem crescimento de volume polinomial, ent˜ao no R eles generalizaram o Teorema de Chern. Posteriormente, do Carmo e Zhou generalizaram em [4] este resultado para o caso de hipersuperf´ıcies com crescimento de volume sub-exponencial. Sem a condi¸c˜ao do crescimento do volume, o problema para hipersuperf´ıcies n˜ao compactas, n

  • 1

  , n completas, com curvatura m´edia constante e ´ındice finito em R ≥ 3, serem m´ınimas ainda est´a sem solu¸c˜ao. O Teorema seguinte, que ´e uma conseq¨ uˆencia do Corol´ario 3.4, responde a

  4

  5 .

  esta quest˜ao em R e em R Teorema 3.6.

  Toda hipersuperf´ıcie completa, n˜ao compacta com curvatura m´edia constante H

  4

  5 ´e m´ınima.

  e ´ındice finito no espa¸co euclidiano R ou R n

  • 1

  , Fischer-Colbrie Para a estrutura de hipersuperf´ıcies m´ınimas com ´ındice finito em R

  3

  ´e mostrou em [8] que uma superf´ıcie m´ınima, completa, orientada e com ´ındice finito em R difeomorficamente conforme a uma superf´ıcie Riemanniana completa com n´ umero finito de pon- tos removidos. Recentemente, Li e Wang mostraram em [10] que uma hipersuperf´ıcie m´ınima, n

  • 1

  , n n˜ao compacta, completa e com ´ındice finito em R ≥ 3, tem n´umero finito de fins. Por este resultado e pelo Teorema 3.6, obtemos que toda hipersuperf´ıcie n˜ao compacta, completa,

  4

  5 tem n´ umero finito de fins.

  com curvatura m´edia constante e ´ındice finito em R ou em R Apresentaremos tamb´em outra vers˜ao do Teorema 3.3, provado em [9] por M.F.Elbert, B.Nelli e H.Rosenberg, que se refere a uma estimativa para o diˆametro de uma variedade.

  Teorema 3.7. Sejam N uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n + 1, n ∈ {3, 4}, com cur- vatura seccional uniformemente limitada inferiormente e M uma variedade completa, est´avel e com curvatura m´edia constante H imersa em N. Existe uma constante c = c(n, H, sec(N )) onde p para todo p

  ∈ M, dist(p, ∂M) ≤ c qualquer que seja H satisfazendo |H| > 2 |min{0, sec(N)}|, onde sec(N ) denota o ´ınfimo das curvaturas seccionais de N.

  O corol´ario seguinte ´e uma conseq¨ uˆencia deste Teorema. n n

  • 1

  Corol´ ario 3.8. Seja M uma subvariedade completa est´avel com curvatura m´edia ⊂ N p constante H. Se , n ∈ {3, 4}, e |H| > 2 |min{0, sec(N)}|, ent˜ao ∂M 6= ∅.

  No cap´ıtulo 1, trataremos de alguns conceitos e resultados relacionados `a Geometria Rie- manniana. No cap´ıtulo 2, apresentaremos as f´ormulas das primeira e segunda varia¸c˜oes do comprimento de arco. Finalmente, no cap´ıtulo 3, provaremos os teoremas citados aqui na Introdu¸c˜ao. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e apresentar defini¸c˜oes, resultados e estabelecer as nota¸c˜oes necess´arias `a compreens˜ao dos cap´ıtulos subseq¨ uentes.

1.1 Variedades Conformes

  Seja ϕ : M → N um difeomorfismo, onde N ´e uma variedade Riemanniana. Denotemos por h, i, ∇ e △ a m´etrica em N, a conex˜ao Riemanniana e o laplaciano relativos a esta m´etrica, respectivamente. Suponha que existe uma fun¸c˜ao µ (M ) que satisfa¸ca, para todo p

  ∈ C ∈ M M, µ e todo par de vetores v, w p (p)

  ∈ T 6= 0 e p p (p)

  2 hdϕ · v, dϕ · wi = µ hv, wi.

  Neste caso, dizemos que ϕ ´e um difeomorfismo conforme, que M e N s˜ao variedades conformes

  2

  e que a fun¸c˜ao µ ´e o coeficiente de conformalidade de ϕ. Observemos que dados X ∞ − ∈ X (M) e

  1

  f (M ), pondo g = f , temos para q = ϕ(p), ∈ C ◦ ϕ

  ((dϕ q p · X)g)(q) = dg · (dϕ · X(p))

  1

  = (df p p ) q ◦ dϕ ◦ dϕ · (X(p))

  = df p · (X(p))

  = (Xf )(p)

  1

  = (Xf )(q), ◦ ϕ isto ´e,

  1 .

  (dϕ (1.1)

  · X)g = Xf ◦ ϕ O lema seguinte nos mostra como se relacionam as conex˜oes de M e N. Lema 1.1.1. Se X, Y ∈ X (M), ent˜ao

  1

  

2

  2

  2 dϕ·X (dϕ X (µ )Y + Y (µ )X ) (1.2) Y X .

  • 2

  ∇ · Y ) = dϕ · ∇ − hX, Y igrad(µ

  2µ Prova: Seja S(X, Y ) o campo que satisfaz dϕ·X (dϕ Y + S(X, Y )), (1.3) X

  ∇ · Y ) = dϕ · (∇ para quaisquer X, Y, Z ∈ X (M). Utilizando (1.1) obtemos

  2

  1

  (dϕ )

  · X)hdϕ · Y, dϕ · Zi = (dϕ · X)(µ hY, Zi ◦ ϕ

  2

  1

  , = X(µ hY, Zi) ◦ ϕ ou seja,

  2

  2

  1 X .

  (dϕ ) (1.4) · X)hdϕ · Y, dϕ · Zi = {X(µ hY, Zi + µ hY, Zi} ◦ ϕ

  Temos tamb´em que dϕ·X (dϕ X + S(X, Y )), dϕ Y h∇ · Y ), dϕ · Zi = hdϕ · (∇ · Zi

  2

  1

  = µ X Y + S(X, Y ), Z , h∇ i ◦ ϕ

  2

  2

  1 Y, Z .

  = X (1.5)

  {µ h∇ i + µ hS(X, Y ), Zi} ◦ ϕ Permutando-se Y e Z em (1.5) obtemos

  2

  2

  1 dϕ·X (dϕ X (1.6) Z .

  hdϕ · Y, ∇ · Z)i = {µ hY, ∇ i + µ hY, S(X, Z)i} ◦ ϕ Como

  (dϕ dϕ·X (dϕ dϕ·X (dϕ (1.7) · X)hdϕ · Y, dϕ · Zi = h∇ · Y ), dϕ · Zi + hdϕ · Y, ∇ · Z)i, decorre de (1.4), (1.5) e (1.6) que (1.3) equivale a

  2

2 X (µ )

  (1.8) hY, Zi = µ {hS(X, Y ), Zi + hY, S(X, Z)i}. Por outro lado, S(X, Y ) dado por

  1

  2

  2

  2 S (X, Y ) =

  X (µ )Y + Y (µ )X ) (1.9) − hX, Y igrad(µ

  2

  2µ obviamente verifica

  1

  2

  2

  2 X (µ ) ) ) (1.10)

  hS(X, Y ), Zi = hY, Zi + Y (µ hX, Zi − Z(µ hX, Y i

  2

  2µ e, conseq¨ uentemente, satisfaz a equa¸c˜ao (1.8), o que conclui a demonstra¸c˜ao do lema.

  1.2 Imers˜ oes Isom´ etricas

  Seja f : M → M uma imers˜ao de uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n em uma variedade Riemanniana M de dimens˜ao n + m. A m´etrica Riemanniana de M induz de maneira natural uma m´etrica em M dada por , v p v , df p v , v p M. Neste caso, diz-se

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  hv i = hdf i, v ∈ T que f ´e uma imers˜ao isom´etrica de M em M. Para cada p ∈ M, a m´etrica de M decomp˜oe

  T M f (p) na soma direta T f M = df p (T p M ) p T p M ) .

  (p) ⊥ ⊥ ⊥ ⊕ (df Indica-se por T M o fibrado normal de f e por ( o conjunto das se¸c˜oes de (T M ) .

  X (M)) T Y Y ,

  Se X, Y X = ( ) onde X e X ∈ X (U), ent˜ao a conex˜ao Riemanniana de M ´e dada por ∇ ∇

  Y s˜ao extens˜oes locais de df X e df Y a M . Dado qualquer ξ a segunda forma fundamental de f em p, segundo o vetor

  ∈ (X (U)) ξ,

  , associada `a aplica¸c˜ao bilinear e sim´etrica B : T U dada por B(X, Y ) = × T U → (T U) X Y Y, X

  ∇ − ∇ ∀X, Y ∈ X (M) ´e definida por H ξ (X, Y ) = hB(X, Y ), ξi. M M

  Denota-se por A ξ : T p p a aplica¸c˜ao linear auto-adjunta associada `a segunda forma → T fundamental de f na dire¸c˜ao de ξ, isto ´e, ξ (X), Y ξ (X, Y ) = p M. hA i = H hB(X, Y ), ξi, ∀X, Y ∈ T

  A equa¸c˜ao hR(X, Y )Z, T i = hR(X, Y )Z, T i + hB(X, Z), B(Y, T )i −hB(X, T ), B(Y, Z)i, ∀X, Y, Z, T ∈ X (M), denominada Equa¸c˜ao de Gauss, relaciona as curvaturas R e R de M e M , respectivamente.

  1.3 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

  Dada f ∈ D(M), o gradiente de f ´e o campo de vetores

  ∇f : M → T M, p 7→ (p, ∇(p)) definido por h∇f, Xi = X(f), ∀X ∈ X (M).

  Dado X ∈ X (M), o divergente de X ´e a fun¸c˜ao divX : M → R dada por divX (p) = tr(Y (p) Y X )(p)),

  7→ (∇ onde tr representa o tra¸co da aplica¸c˜ao linear Y (p) Y X )(p). 7→ (∇

  O operador linear △ : D(M) → D(M) definido por

  △ = div(∇f) ´e chamado o operador Laplaciano de M.

  Sejam f ∈ X (M) e p ∈ M. Definimos o hessiano de f no ponto p como a aplica¸c˜ao bilinear

  Hessf : T p M p M × T → R dada por

  Hessf (X, Y ) = X h∇ ∇f, Y i. Cap´ıtulo 2 F´ ormulas da primeira e da segunda varia¸ c˜ oes do comprimento de arco

2.1 Primeira varia¸ c˜ ao do comprimento de arco

  Seja s : I × J → M, I, J ⊂ R, uma superf´ıcie parametrizada. Dizemos que um campo de vetores V ao longo de s ´e uma correspondˆencia que associa cada (t, ǫ)

  ∈ I × J a um vetor tangente V (t, ǫ) M, que ´e diferenci´avel no seguinte sentido: se f s (t,ǫ) ∈ T

  ∈ D(M), ent˜ao a aplica¸c˜ao (t, ǫ) 7→ V (t, ǫ) · f ´e diferenci´avel.

  ∂s Seja s ǫ : I ǫ (t) = s(t, ǫ). Dizemos que (t, ǫ) =

  → M a curva parametrizada definida por s ∂t

  ∂s s (t) ´e um campo de vetores ao longo de s. De modo an´alogo, define-se o campo . ǫ ∂ǫ

  Se V ǫ ´e o campo ao longo de s ǫ definido por V ǫ (t) = V (ǫ, t), ent˜ao definimos a derivada DV DV DV ǫ . covariante por (t, ǫ) = (t). De modo an´alogo, define-se

  ∂t ∂t ∂s Lema 2.1. (de simetria) Se M ´e uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao sim´etrica e s : I

  × J → M ´e uma superf´ıcie parametrizada, ent˜ao D ∂s D ∂s .

  = ∂v ∂u ∂u ∂v

  Prova: Sejam x : U , ..., ∂

  1 n → M um sistema de coordenadas e {∂ } uma base associada. Ent˜ao 1 x (t, ǫ), ..., x n (t, ǫ)).

  1

  ◦ s(t, ǫ) = (x Portanto, D ∂s D

  = (s (t)) ǫ ∂ǫ ∂t ∂ǫ

  D X ∂x i = i

  · ∂ ∂ǫ ∂t

  ∂ x ∂x i i

  2 X

  = i s i · ∂ ∇

  • t

  (ǫ) i ∂ǫ∂t ∂t

         

  2

    X ∂ x ∂x i i

  ∂ = i i j

  • · ∂

  ∇X ∂x ∂ǫ∂t ∂t i i  

    · ∂

     ∂ǫ  i,j

  X ∂ x ∂x ∂x i i j ∂ .

  2 X

  = i ∂ j i · ∂ ∇

  • i i,j

  ∂ǫ∂t ∂t ∂ǫ e D ∂s D

  = (s (ǫ)) t ∂t ∂ǫ ∂t

  ! D X ∂x j

  = j · ∂

  ∂t ∂t j

  2 X ∂ x ∂x j j

  ∂ = j s j

  • (t)

  · ∂ ∇ ǫ j ∂t∂ǫ ∂ǫ        

  2

    X ∂ x ∂x j j

  = j i · ∂

  ∇X ∂x i

  ∂t∂ǫ ∂ǫ j j    

  · ∂    ∂ǫ  i,j

  X ∂ x ∂x ∂x j j i ∂ .

  2 X

  = j ∂ i · ∂ ∇ j

  • j i,j

  ∂ǫ∂ǫ ∂ǫ ∂t D ∂s D ∂s

  ∂ ∂ . , Pela simetria da conex˜ao, ∂ i j = ∂ j i Logo, = o que prova o lema. ∇ ∇

  ∂v ∂u ∂u ∂v Seja w : [α, β]

  → M uma curva diferenci´avel em uma variedade Riemanniana M de di- mens˜ao n. Uma varia¸c˜ao de w ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua v : [α, β] , ǫ ) × (−ǫ → M, para

  > todo ǫ 0, tal que: v(t, 0) = w(t), t ∈ [α, β]. Se v fixa pontos finais, isto ´e, se v satisfaz w

  , ǫ (α) = v(α, ǫ) e w(β) = v(β, ǫ) para todo ǫ ), ent˜ao v ´e uma varia¸c˜ao pr´opria ( ou

  ∈ (−ǫ uma homotopia de w). Dizemos que v ´e uma varia¸c˜ao suave de w se v ´e diferenci´avel em

  [α, β] , ǫ ). Se para todo ǫ , ǫ ) a aplica¸c˜ao w ǫ : [α, β] ǫ (t) = v(t, ǫ) × (−ǫ ∈ (−ǫ → M dada por w

  ´e uma geod´esica, ent˜ao v ´e uma varia¸c˜ao geod´esica de w. Ent˜ao, D D D D ∂v ∂v = R , .

  − ∂ǫ ∂t ∂t ∂ǫ ∂t ∂ǫ e

  D ∂v D ∂v = 0 (lema de simetria).

  − ∂ǫ ∂t ∂t ∂ǫ Teorema 2.2.

  (F´ormula da primeira varia¸c˜ao do comprimento de arco) Sejam w : [α, β] → M uma curva diferenci´avel e v uma varia¸c˜ao diferenci´avel de w. Para cada ǫ , ǫ ), seja β

  ∈ (−ǫ Z

  ∂v L .

  (ǫ) = (t, ǫ) ǫ Ent˜ao L ´e diferenci´avel e dt o comprimento de w α ∂t

  • !+
    • ∂v ∂v

  Z β β ∂L ∂v ∂v D ∂t ∂t = , , . ∂v ∂v

  ∂ǫ ∂ǫ ∂ǫ ∂t α | | | | ∂t ∂t α

  Em particular, se w ´e parametrizada pelo comprimento de arco, isto ´e, ∂v |w | = 1, e Y (t) =

  ( )(t, 0), ent˜ao ∂t β Z β ′ dL Dw Y, dt.

  (0) = hY, w i − dǫ ∂t α α

  Prova: Temos que β Z

  ∂L ∂ ∂v = dt

  ∂ǫ ∂ǫ ∂t α 1 ! Z β 2

  ∂ ∂v ∂v = , dt α ∂ǫ ∂t ∂t

1 Z β

  ∂v D ∂v ∂v

  1 , dt

  =

  2 ∂t ∂ǫ ∂t ∂t α

  2 β ∂v + * Z

  D ∂v ∂t , dt

  = ∂v α ∂t ∂ǫ | ∂t | β ∂v ∂v ( !+) + * *

  Z ∂ ∂v ∂v D ∂t ∂t

  , , dt = ∂v ∂vα ∂t ∂ǫ ∂ǫ ∂t

  | | | | ∂t ∂t ∂v β ∂v * * !+ β

  • Z ∂v ∂v D ∂t ∂t , , .

  = ∂v ∂v − ∂ǫ ∂ǫ ∂t α

  | ∂t | | ∂t | α

2.2 Segunda varia¸ c˜ ao do comprimento de arco Teorema 2.3.

  (F´ormula da segunda varia¸c˜ao do comprimento de arco). Sejam w e L como no Teorema 2.2, com |w | = 1. Ent˜ao para a segunda derivada de L, temos β

  2

  d L D ∂v (0) = , w

  2

  dǫ ∂ǫ ∂ǫ ǫ α

  =0

  ( Z β

  2 2 ′ )

  DY DY Dw D ∂v ′ ′ ′ , Y , Y w , , dt.

  )w − − hR(w i − − α ∂t ∂t ∂t ∂ǫ dǫ

  Prova: Para a segunda derivada de L, come¸camos pela integra¸c˜ao por partes na prova do Teorema 2.2. β ∂v * +

  Z

  2

  d L ∂ D ∂v ∂t = , dt ∂v

  2

  dǫ ∂ǫ ∂t ∂ǫ α | | ∂t β ∂v * +

  Z ∂ D ∂v ∂t

  , dt = ∂v α ∂ǫ ∂t ∂ǫ

  | ∂t | β ∂v ∂v + (* !+) * Z

  D D ∂v D ∂v D ∂t ∂t

  dt = ∂v ∂v α ∂ǫ ∂t ∂ǫ ∂t ∂ǫ ∂ǫ

  • , ,

  | ∂t | | ∂t | (* ) +

  Z β ∂v D D ∂v D ∂v D ∂v ∂t

  1 , , dt

  • = ∂v ∂v α

  ∂ǫ ∂t ∂ǫ ∂t ∂ǫ ∂t ∂ǫ | | | | ∂t ∂t

    β !

2 Z

    ∂v ∂ ∂v D ∂v ∂v + , dt. − α ∂t ∂ǫ ∂t ∂t ∂ǫ ∂ǫ

    Se ǫ = 0, obtemos β (

  )

  2

  2

  2 Z

  d L D D ∂v ∂v DY DY + (0) = , , w dt.

  −

  2

  dǫ ∂ǫ ∂t ∂ǫ ∂t ∂t dt α ǫ

  =0

  Mas, D D ∂v ∂v D D ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v

  • , = , R , , ∂ǫ ∂t ∂ǫ ∂t ∂t ∂ǫ ∂ǫ ∂t ∂t ∂ǫ ∂ǫ ∂t

  ∂ D ∂v ∂v D ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v = , , R , , .

  − − ∂t ∂ǫ ∂ǫ ∂t ∂ǫ ∂ǫ ∂t ∂t ∂ǫ ∂t ∂ǫ

  Logo,

  β ′ ) * + ( Z

  2

  d L ∂ D ∂v Dw D ∂v , w , dt

  (0) = −

  2

  dǫ ∂t ∂ǫ ∂ǫ ∂t ∂ǫ dǫ α ǫ =0 β ( )

  2

  2 Z ′ ′ ′ DY DY

  • , Y , Y w , dt )w

  − hR(w i + − α ∂t ∂t β ) (

  2 Z β

  D ∂v DY , w dt

  = −

  ∂ǫ ∂ǫ ∂t ǫ α α

  =0 β ( 2 ′ )

  Z ′ ′ ′ DY Dw D ∂v

  • , Y , Y w , , dt.

  )w − hR(w i − − α ∂t ∂t ∂ǫ dǫ

  Teorema 2.4. Seja γ : [α, β] ′ ′ → M, |γ | = 1 uma geod´esica. Para toda varia¸c˜ao v de γ, seja Y ⊥

  = Y . Ent˜ao − hY γ iγ ′ ′ β

  L (0) = hY γ i α e β

  ) (

  2 Z β ′′ ′ ′ ′ D ∂v DY ⊥ (0) = + L , γ , Y ⊥ )γ , Y ⊥ dt.

  − hR(γ i ∂Y ∂ǫ ∂t α α

  Em particular, se v ´e uma homotopia de γ, ent˜ao L

  (0) = 0 e β ( )

   ′′ ′ ′ DY L (0) = , Y ⊥ )γ , Y ⊥ dt.

2 Z

  − hR(γ i α ′ ′ ∂t + Prova: Temos que Y = Y . Assim, hY, γ iγ

  DY D ′ ′ = + (Y ) hY, γ iγ

  ∂t ∂t DY D ′ ′

  • = ( ) hY, γ iγ

  ∂t ∂t DY ∂ Dγ ′ ′ ′ + + = . hY, γ iγ hY, γ i ∂t ∂t ∂t

  Como hY, γ i = 0, ent˜ao DY DY ⊥ DY ′ ′ , γ γ .

  = + ∂t ∂t ∂t

  Assim,

  2

  2

  2 DY DY ⊥ DY ⊥ DY DY ′ ′ ′ , , γ γ , γ .

  = + + 2 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t

  • DY
    • D ∂ǫ

  • β α
  • Z β α

  ∂v ∂ǫ ǫ

  =0

  , γ

  ( DY ⊥

  ∂t

  2

  , DY

  ∂t

  2

  ) dt

  ( − hR(γ

  , Y )γ , Y i − γ ,

  DY ∂t

  2

  ) dt =

  =0

  =

  (0) = 0 e L ′′

  )γ , Y ⊥ i

  − hR(γ , Y ⊥

  2

  ∂t

  ( DY ⊥

  (0) = Z β α

  Em particular, se v ´e uma homotopia de γ, ent˜ao L

  , γ

  ) dt.

  )γ , Y i

  − hR(γ , Y

  2

  ∂t

  ( DY ⊥

  ∂v ∂ǫ ǫ

  ) ∂t

  ) dt. Cap´ıtulo 3

Hipersuperf´ıcies com Curvatura M´ edia

Constante e ´ Indice Finito

  Calculemos L ′′ (0).

  Mas DY

  ∂t γ

  = 0. Logo, DY

  ∂t

  2

  = DY ⊥

  ∂t

  2

  ∂t , γ

  2 .

  Portanto, L (0) = hY, γ i | β α −

  Z β α Y,

  Dγ ∂t dt.

  Como γ = 0, ent˜ao L (0) = hY, γ i | β α .

  L ′′ (0) =

  ∂v ∂ǫ

  ( −

  D ∂ǫ

  ∂t ,

  − Dγ

  2

  ∂t

  γ , DY

  ) dt

  ∂v ∂ǫ ǫ

  − hR(γ , Y )γ , Y i

  2

  ∂t

  ( DY

  , γ

  =0

  • Z β α
    • D ∂Y

  • β α
  • γ
  • Z β α
  • Z β α
    • D ∂Y

  • β α
  • Z β α

  Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e apresentar a prova do teorema principal e a prova dos seus casos particulares. n

  • 1

  Teorema 3.1. Sejam N (n = 3, 4) uma variedade de dimens˜ao (n + 1) e M uma hiper- superf´ıcie completa com curvatura m´edia constante H e ´ındice finito imersa em N. Suponha que

  σ := inf p M, {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)|w ∈ T |w| = 1, p ∈ M}

  2

  2

  n (5 − n)H

  > , −

  4 onde ν denota o campo unit´ario normal em M. Ent˜ao M ´e compacta.

  Para a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1, precisamos do Lema seguinte. Lema 3.2. Sejam N uma variedade de dimens˜ao (n+1) e M uma hipersuperf´ıcie imersa em N

  , i com curvatura m´edia constante H. Ent˜ao, para todo referencial ortonormal local e i = 1, ..., n de M , n

  2

  (5

  2 X n

  2 2 − n)H

  h ,

  • nHh

  (3.1)

  11

  |A| − 1i ≥ i

  4

  =1

  tal que A = (h ij ), h ij = i , e j hAe i, i, j = 1, ..., n. Prova: Defina a aplica¸c˜ao linear sem tra¸co φ = (b : T M M ) por ij p p

  → T hφX, Y i = hAX, Y i +

  n n !

  X X

  2

  2 H p M, p b ii = 0, temos que b = b . Logo,

  hX, Y i, X, Y ∈ T ∈ M. Como i i 11 ii n n n =1 =2

  X X

  X

  2

  2

  

2

  2

  2

  = + 2 + b b b ij ii |φ| ≥ b i,j i i 11 1i =1 =2 =2 n n

  !

  2 X

  X

  1

  2

  2

  11 1i

  • b ii + 2 b ≥ b

  n − 1 i i

  =2 =2 n !

  X n

  2

  2

  11 1i

  • b b , ≥

  n − 1 i

  =2

  ou seja, n r !

  X (n n

  − 1) − 1

  2

  2

  2

  • b b e b

  11

  − 11 1i ≥ − |φ| ≥ − |φ|. i =2 n n Como

  2

  2

  2

  , b , i = + nH ii = ii + H, b ij = h ij

  |A| |φ| −h 6= j, i, j = 1, ..., n, ent˜ao

  • nHh
  • nH
  • n
  • nH
  • n
  • nH
  • 2Hb
  • nH
  • n

  − 1 |φ|

  n −

  2

  = |φ|

  √ n H

  − 1 |φ|

  −(n − 2) √ n

  2

  − 1)H

  n

  2

  − (n − 1)|φ|

  2

  = n |φ|

  √ n H

  − (n − 2) √ n

  (n − 2)

  = |φ|

  ) + (n − 1)H

  2

  −(n − 2)H|φ| r n

  − 1 n − n

  − 1 n |φ|

  2

  2

  2

  − n − 1 n

  |φ|

  2

  2

  2

  −H

  |φ| √ n

  √ n − 1H + (2n − 1)H

  2

  − (n

  ∆u + (

  ´ındice finito, pela Proposi¸c˜ao 1 em [8], existem uma fun¸c˜ao positiva u em M e algum subconjunto compacto Ω de M tal que, em M \ Ω, Lu = 0, ou seja,

  4 . Prova do Teorema 3.1: Suponha, por contradi¸c˜ao, que M n˜ao ´e compacta. Como M tem

  2

  (5 − n)H

  2

  4 ≥ n

  2

  (5 − n)H

  2

  2

  2

  − 1H

  − 2) √ n

  |φ| √ n

  2

  − 2)

  = |φ|

  2

  n −

  |φ| √ n

  (n − 2)

  √ n − 1H

  2

  4 =

  (n − 1)H

  2

  4

  2

  (5 − n)H

  2

  2

  ! ≥ (|φ|

  2

  − h

  11

  − nHb

  2

  ) + nH

  2

  2

  |φ|

  ! = (

  2 1i

  b

  =2

  X i

  11

  2

  11

  − b

  − nHb

  2

  ) + nH

  2

  2

  = ( |φ|

  2 1i

  h

  =1

  X i

  − n

  11

  2

  |A|

  − (H

  11

  2 1i

  − b

  X i =2 b

  11

  2

  − b

  11

  −(n − 2)Hb

  2

  ) + (n − 1)H

  2

  2

  = ( |φ|

  2 1i

  X i =2 b

  2 11 − n

  11

  )

  2

  2

  X i

  =2

  b

  2 1i

  ! = (

  |φ|

  2

  2

  ) + nH

  2

  − nHb

  11

  −H

  • nH
  • nH
  • nH
  • (2n
  • (n
  • n
  • n

  • Ric(ν))u = 0. (3.2)

  2

  2

  2

  2 Seja ds

  = u ds a m´etrica original em M. Para essa m´etrica, temos a m´etrica conforme des K, g Ric em M. No que segue, denotaremos por e a conex˜ao, a curvatura e a curvatura de Ricci

  ∇, e

  2

  , respectivamente. na m´etrica des

  2

  , onde Afirmamos que existe uma geod´esica minimizante eγ(s) : [0, +∞) → M \ Ω na m´etrica des

  2 .

  o parˆametro s ´e o comprimento de arco na m´etrica ds De fato, escolhamos uma exaust˜ao de M = R (p) (R i R (p) denota a bola geod´esica de M na m´etrica i

  ∪B → ∞, i → ∞), tal que cada B

  2

  ds , de raio R centrada em p i (s) ∈ M. Ent˜ao, para cada i existe um segmento de geod´esica eγ

  2

  , que realiza a distˆancia de p `a fronteira ∂B R tal que s ´e o comprimento de (p) na m´etrica des i na m´etrica ds . Pela teoria das equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, existe uma geod´esica

  2

  arco de eγ

  2

  , tal limitante eγ(s), s ∈ [0, +∞), parametrizada pelo comprimento de arco na m´etrica ds i que eγ converge para eγ em todo conjunto compacto de [0, +∞). Portanto, eγ ´e uma geod´esica

  2

  , + . minimizante na m´etrica des Observe que eγ ´e propriamente mergulhada. Logo, eγ|[s ∞),

  > para algum s 0, estar´a fora de Ω. Mudando o ponto inicial, se necess´ario, podemos escolher

  eγ|[s

  • , ∞) como afirmamos.

  2

  que possui Agora, temos uma geod´esica minimizante eγ(s) : [0, +∞) → M\Ω na m´etrica des

  2 .

  comprimento infinito na m´etrica ds A seguir, provaremos que toda geod´esica minimizante em

  2

  2 M .

  tem comprimento uniformemente limitado na m´etrica ds Assim, vio- \Ω na m´etrica des

  2

  e completaremos a prova por laremos o fato que o comprimento de eγ ´e infinito na m´etrica des contradi¸c˜ao.

  No que segue, assumiremos que ec(s) (o ≤ s ≤ l) ´e qualquer geod´esica minimizante em M \ Ω

  2

  2

  , tal que s ´e o comprimento de arco na m´etrica ds . Escolhemos um referencial na m´etrica des d

  1

  , i . e e ortonormal e i

  = i = u i s˜ao ortonormais

  1

  = 1, ..., n de M ao longo de ec tal que e Logo, e ds d

  2 e = .

  1

  na m´etrica des e e d es

  Afirmamos agora que para n < 5 e qualquer fun¸c˜ao suave f ao longo de ec com f(0) = f(l) = 0, l

  2 l

  Z Z 4 df

  2

  ds f (Ric(e ) + Ric(ν) , ν ))ds

  1

  1

  ≥ − K(e 5 ds − n l

  Z

  2

  2

  n (5

  2 − n)H

  • f ds. (3.3)

  4 Antes de apresentarmos a prova de (3.3), daremos uma pr´evia da demonstra¸c˜ao. Consider-

  2

  2

  . , a segunda varia¸c˜ao do comprimento de arco (3.5) implicar´a a desigualdade (3.6) envolvendo a curvatura de Ricci na

  2 2 .

  ) na desigualdade (3.13) m´etrica des Da´ı, transformaremos a desigualdade (3.6) (na m´etrica des

  2

  (na m´etrica ds ) usando as leis de transforma¸c˜ao para a mudan¸ca conforme da m´etrica. Depois, pela equa¸c˜ao de Jacobi e pela equa¸c˜ao de Gauss, obteremos a desigualdade (3.16) envolvendo as curvaturas do espa¸co ambiente e a segunda forma fundamental. Finalmente, obteremos (3.3) 2 1 trocando a fun¸c˜ao teste ϕ por f u e usando o lema 3.2.

  2

  , ela satisfaz Agora provaremos (3.3). Como ec ´e uma geod´esica minimizante na m´etrica des d d e

  = 0, (3.4) ∇ d s e d es

2 Z el Z el

  dϕ

  2

  e d ϕ K e , e i (3.5)

  1

  es ≥ ( e e )des, i = 2, ..., n, d es para qualquer fun¸c˜ao suave ϕ ao longo de ec com ϕ(0) = ϕ(el) = 0, tal que el´e o comprimento de

  2 .

  ec na m´etrica des De (3.5), segue-se que

2 Z el Z el

  dϕ

  2

  g d ϕ Ric e (n

  1 (3.6)

  − 1) es ≥ ( e )des. d es

  Calculemos g Ric e ).

  1

  ( e d d

  1 ,

  Como = ent˜ao d u ds es d d d 1 1 d 0 = e = e

  ∇ ∇ d s u ds e d u ds es d

  1 d

  1 e =

  ∇ ds u u ds d d 1 − d

  1

  1

  1 d

  u e

  • =

  ∇ ds u ds ds u u ds 1 du d 1 d

  2 d

  e = +

  −u ∇

  2 ds

  u ds ds u ds du d d

  1

  1

  1 d e

  = − ∇

  • .

  

2

2 ds

  u u ds ds u ds Assim, 1 d d

  1 1 du d e = . ∇

  2 ds

  2

  u ds u u ds ds Logo, d d d d log u e .

  = (3.7)

  ∇ ds ds ds ds

  2

  2 Da rela¸c˜ao entre as conex˜oes na m´etrica ds , temos

  e na m´etrica conforme des d d 1 d d d d d d

  2

  2

  2

  e = + 2 (u ) , gradu

  ∇ ∇ − ds ds ds

  2

  ds ds ds ds ds ds 2u d du d

  1

  1

  2

  = 2.2u 2u d ∇ − ∇ log u ds

  • 2

  2

  ds 2u ds ds 2u

  2

  d u du d

  1 = d +

  2 ∇ − ∇ log u ds

  2

  ds u u ds ds d d d d log u = + 2

  (3.8) ∇ − ∇ log u. ds ds ds ds Igualando a equa¸c˜ao (3.7) e a equa¸c˜ao (3.8), obtemos d d d log u d

  = ∇ ∇ log u − ds ds ds ds

  Da´ı, d d d d log u log u . log u = (

  ∇ ∇ log u) logu − ds ds ds ds Logo,

  2

  d d log u d

  2 .

  log u = (3.9)

  ∇ |∇ log u| − ds ds ds Pela f´ormula da transforma¸c˜ao da curvatura para a mudan¸ca conforme da m´etrica [12], temos

  2

  d (log u) g Ric ) , ) + (n

  1

  1

  1

  1

  (ee ) = Ric(ee − (n − 2)Hess(log u)(ee ee − 2) d es

  2

  d

  2

  ] , (3.10) −[∆(log u) + (n − 2)|∇ log u| d es

  2

  tal que Hess e em M ,

  |.| denotam o hessiano e o comprimento do vetor tangente na m´etrica ds respectivamente. Mas, d d

  Hess , grad

  1 1 ) = log u,

  ∇ (log u)(ee ee d s e d es d d d

  2 d

  = u grad log u, grad log u, − ∇ ds ds ds ds

  2 d log u d 2 d = u log u .

  − ∇

  2 ds

  ds ds Logo, por (3.9),

   

  2

  

2

d log u d log u

  2

  2

  • Hess , ) = u   . (3.11)

  1

  1

  (log u)(ee ee − |∇ log u|

  2

  ds ds Assim,    

  2

  2

    d d log u log u

  2

  2

  g

  • Ric ) = u Ric(e )

  

  1

  1

  (ee − (n − 2) − |∇ log u|

  2

  ds ds  

   

  

2

d (log u)

  2

  2

  • u  .

  (n − 2) − ∆(log u) − (n − 2)|∇ log u| ds Logo, (3.10) torna-se

  2 d log u

  2

  g Ric ) = u Ric (e ) . (3.12)

  1

  1

  (ee − (n − 2) − △(log u)

  2

  ds Substituindo (3.12) em (3.6), temos l

  2 l

  Z Z

  2 − −

  d log u

  1

  

1

  2

  (n u ds u Ric (e ) ϕ ds

  1

  − 1) ≥ − (n − 2)

  2

  ds l ds Z

  1

  2

  u [ ds. (3.13) − △(log u)]ϕ

  Mas △(log u) = trHess(log u)

  X grad = e log u, e i i h∇ i

  X e = i i hgrad log u, e i

  X e i (u) e = i e i

  − (e =

  2 X (e e (u))u (u)) i i i

  2

  u

  2

  u △u − |∇u|

  =

  2

  u

  2

  △u |∇u| . =

  −

  2

  u u Assim,

  △u

  2 = .

  △(log u) + |∇ log u| u Da equa¸c˜ao (3.2), obtemos

  △u

  

2

  = + Ric(ν), − |A| u ou seja,

  2

  2 = + Ric(ν).

  −△(log u) − |∇ log u| |A| Da´ı,

  2

  2 .

  • Ric(ν) + (3.14) −△(log u) = |A| |∇ log u|

  Pela equa¸c˜ao (3.14) e pela equa¸c˜ao de Gauss n

  X

  2 Ric (e ) = Ric(e ) , ν ) + nHh h ,

  1

  1

  

1

  11

  − K(e − 1j j

  =1

  temos " # n

  d log u

2 X

  2

  2 Ric (e )

  Ric (e ) , ν ) + nHh h

  1

  1

  1

  11

  − (n − 2) − △(log u) = u − K(e − 1j

  2

  ds j

  =1

  2 d log u

  2

  • u

  −(n − 2)

  2

  ds

  2

  2

  • . (3.15) + Ric(ν) +

  |A| |∇ log u| Substituindo (3.15) em (3.13), temos l

  2 l

  Z Z − −

  1

  1

  2

  2

  (n u ds u Ric (e ) + Ric(ν) , ν ) + ϕ ds

  1

  1

  − 1) ≥ − K(e |A| ds " # n

  Z l

  X

  

1

  2

  2

  u h ϕ ds nHh

  • 11

  − 1j j =1 Z l

  2 − log u d

  

1

  2

  u ϕ ds −(n − 2)

  • 2

  ds Z l

  

1

  2

  2 u ϕ ds. 2 1

  • Trocando ϕ por f u pra tirar u do denominador, temos
  • 2 1 dϕ d (f u )

      (3.16) |∇ log u|

      = ds ds 1 −1 df 1 du

    • = u f u
    • 2 2 ds ds 2 e

        2

        2 1 −1

        2

        dϕ df df 1 du 1 du

        2

        1

        = u + 2 u f u f u 2 2 + ds ds ds ds ds

        2

        4

        2

        2

        df df du du

        1

        2

        1

        = + f ds ds ds 4 ds

      • u f u .
      Sejam l

        df

        2 Z

        1

        a uu ds, = (n

        − 1) l ds

        du (n − −

        2 Z

        − 1)

        

      2

        1

        1

        b f u u ds = 4 ds e

        Z l df du

        1 c f u ds.

        = (n − 1) ds ds

        Ent˜ao, (3.16) torna-se Z l

        1

        2

        2

        a u Ric , ν f uds

      • b + c (e

        1 ) + Ric(ν) 1 ) +

        ≥ − K(e |A| " # n

        Z l

        X

        1

        2

        2

      • u nHh h f uds

        11

        − 1j j

        =1

        Z l

        2 − log u d

        1

        2

        2

        u f uds.

      • −(n − 2) |∇ log u|

        2

        ds Sejam

        2 Z l

        df d ds, = (n

        − 1) l ds Z

        2

        d (n log u

        − 1)

        2

        e f ds =

        2

        4 ds e Z l df d log u g f ds.

        = (n − 1) ds ds

        Da´ı, l Z

        2

        2

        d f Ric , ν ds

      • e + g (e ) + Ric(ν) ) +

        1

        1

        ≥ − K(e |A| " # n

        Z l

        X

        2

        2

        f nHh h ds

        

      11

        − 1j j =1

      • Z l

        2

        d log u

        2

        f ds −(n − 2)

      • 2

        ds Z l

        2

        2 f ds. l

        (3.17) |∇ log u|

      • Z

        2

        d log u

        2

        f ds Integremos por partes.

        2

        ds

        2

        d df d log u log u

      2 Sejam U = f e dv = . Ent˜ao dU = 2f ds e v = .

        2

        ds ds ds Da´ı,

      • Z l f
      • 2(n

      • Z l f
      • nHh
      • Z l f
      • (n
      • Z l f
      • nHh
      • Z l f
      • (n
      • Z l f

        =1

        X j

        − n

        11

        

      2

        " |A|

        2

        , ν ) ds

        1

        ) + Ric(ν) − K(e

        1

        2 Ric (e

        − 3) Z l f df ds d log u ds ds

        2

        d log u ds

        2

        4 Z l f

        5 − n

        # ds ≥

        2 1j

        h

        =1

        X j

        − n

        11

        h

        # ds.

        2 1j

        (e

        2 1j

        X j =1 h

        − n

        11

        2

        " |A|

        2

        , ν ) ds

        1

        ) + Ric(ν) − K(e

        1

        2 Ric

        (3.18) Assim,

        − 3) Z l f df ds d log u ds ds

        ds

        2

        d log u ds

        2

        4 Z l f

        5 − n

        ds ≥

        2

        Z l df ds

        (5 − n)

        (n − 1)(5 − n)

        

      2

        2

        " |A|

        d

        Z l f

        ds =

        2

        |∇ log u|

        2

        Mas Z l f

        −2 Z l f df ds d log u ds ds.

        ds =

        2

        log u ds

        2

        2

        d

        Como f (0) = f (l) = 0, ent˜ao Z l f

        − 2 Z l f df ds d log u ds ds.

        d log u ds l

        2

        ds = f

        2

        logu ds

        2

        d

        2

        Z l f

        2

        2

        , ν ) ds

        2

        1

        ) + Ric(ν) − K(e

        1

        2 Ric (e

        − 2) Z l f df ds d log u ds ds

        Z l f df ds d log u ds ds

        ds −(n − 1)

        2

        log u ds

        2

        d

        ds

        log u ds

        2

        log u ds

        2

        d

        2

        4 Z l f

        (n − 1)

        ds ≥ −

        2

        − 1) Z l df ds

        Logo (3.17) equivale a (n

        2 ds.

        # ds, ou seja,

      • nHh
      • Z l f
      • 6n

      • (n
      • Z l f
      • nHh
      • Z l f
      • 6n
      • (n
      • Z l f
      • nHh

      • Z l f

        2 1j

        h

        =1

        X j

        − n

        11

        2

        " |A|

        2

        , ν ) ds

        1

        ) + Ric(ν) − K(e

        1

        − 3) Z l f df ds d log u ds ds

        2 Ric (e

        ds

        2

        d log u ds

        2

        4 Z l f

        5 − n

        ds ≥

        2

        df ds

        4(5 − n)4

        2

        − 3)

        − (n

        # ds.

        Logo,

        4 (5

        (e

        # ds.

        2 1j

        X j =1 h

        − n

        11

        2

        " |A|

        2

        , ν ) ds

        1

        ) + Ric(ν) − K(e

        

      1

        2

        − n) Z l df ds

        d log u ds

        2

        4 Z l f

        − n

        − 3) Z l f df ds d log u ds ds

        ds

        2

        l df ds

        4(5 − n)4

        2

        (n − 3)

        ds ≥

        2

        5 − n

        4

        # ds, por conseguinte,

        − 3) Z l f df ds d log u ds ds

        =1

        X j

        − n

        11

        2

        " |A|

        2

        , ν ) ds

        1

        ) + Ric(ν) − K(e

        1

        2 Ric (e

        ds

        2 1j

        2

        d log u ds

        2

        4 Z l f

        5 − n

        ds ≥

        2

        Z l df ds

        5 − n

        − 5

        2

        −n

        2 1j

        h

        # ds, isto ´e,

        (e

        h

        =1

        X j

        − n

        11

        2

        " |A|

        2

        , ν ) ds

        1

        ) + Ric(ν) − K(e

        4 − n

        1

        2 Ric

        ds ≥

        2

        − 9

        5 − n

        − 3) Z l f df ds d log u ds ds

        2

        Z l df ds

        5 − n

        4 Z l f

        2

        d log u ds

        2

        ds

      1 Z l

      • (n
      • Z l f
      • nHh
      • Z l f

      1 Z

      • (n
      • 5

      2 Ric

      • Z l f
      • nHh
      • Z l f
      • Z l

      • Z l
      • Z l f
      • nHh
      • Z l f

        h

        ) + Ric(ν) − K(e

        1

        (e

        Z l f

        ds ≥

        2

        − n) Z l df ds

        4 (5

        # ds. (3.19) Portanto, pelo lema 3.2,

        2 1j

        =1

        , ν ) ds

        X j

        − n

        11

        2

        " |A|

        

      2

        , ν ) ds

        1

        ) + Ric(ν) − K(e

        1

        1

        2

        ds

        , ν ) ≥ σ.

        2 ds.

        f

        2

        (5 − n)H

        2

        Z l σ + n

        ds ≥

        2

        4 Z l df

        Logo,

        1

        n

        ) + Ric(ν) − K(e

        1

        (e

        De fato, por hip´otese Ric

        2 ´e uniformemente limitado superiormente.

        Afirmamos que o comprimento l de ec na m´etrica ds

        4 ds, como afirmamos.

        2

        (5 − n)H

        2

        

      2

      Ric (e

        2

        

      2

      Ric (e

        ds

        2

        d log u ds

        2

        ϑf

        √ ϑf d log u ds ds

        ϑ df ds

        2 √

        − 3)

        2 (n

        2

        ϑf d log u ds

        4ϑ Z l df ds

        

      2

        (n − 3)

        ds ≥

        2

        − n) Z l df ds

        4 (5

        0, n = 3, 4. Logo,

        4 >

        ds

        1

        Seja ϑ =

        # ds.

        ϑ df ds

        2 √

        − 3)

        Z l (n

        ds ≥

        2

        − n) Z l df ds

        4 (5

        Portanto,

        2 1j

        ) + Ric(ν) − K(e

        h

        =1

        X j

        − n

        11

        2

        " |A|

        

      2

        , ν ) ds

        1

        5 − n

      • Z l f
      • nHh
      • Z l f

      2 Ric

      • Z l f

        2

        2

        n 4 (5 − n)H σ .

        Sejam D = e B = + (5

        4 − n)

        Da´ı, Z l Z l

        2

        df

      2 Bf ds D ds − ≤ 0.

        l ds

      2 Z

        df Integremos ds por partes. ds

        2

        df df d f ds ds Sejam U = e dv = . Ent˜ao dU = e v = f.

        2

        ds ds ds Assim, l

        2

      2 Z l Z l

        df df d f ds = f f ds.

        −

        2

        ds ds ds Como f (0) = f (l) = 0, ent˜ao l

        

      2 l

        Z Z

        2

        df d f ds = f ds.

        −

        2

        ds ds Logo,

        2 Z l Z l

        df

      2 Bf ds D ds

      • ds isto ´e,

        ≤ 0,

        Z l

        2

        d f D + Bf f ds ≤ 0.

        2

        ds πs

        , Agora, escolhemos f = sen

        ≤ s ≤ l. Da´ı, l df πs π

        = cos ds l l e

        2

        2

        d f πs π .

        = −sen

        2

        ds l l Logo, l

        Z

        2

        πs π πs πs D + Bsen sen

        −sen ≤ 0. l l l l

        Assim, l Z

        2

        πs π πs

        2

        2 D ds

      • Bsen −sen ≤ 0,

        2

        l l l ou seja, l Z

      2 Dπ

        πs

        2 B sen ds − ≤ 0.

        2

        l l Portanto,

        2 Dπ

        B − ≤ 0,

        

      2

        l isto ´e, √

        Dπ l √

        ≤ B p

        1

        4(5 π − n)

        = r

        2

        2

        n (5 − n)H

      • σ

        4 Logo, 2π l

        ≤ r

        2

        2

        n √ (5

        − n)H σ

        5 − n

      • 4 como afirmamos.

        2 Assim, toda geod´esica minimizante em M tem comprimento uniformemente Ω

        | na m´etrica des

        2 .

        limitado na m´etrica ds Contradi¸c˜ao. Portanto, M ´e compacta. n

      • 1

        Teorema 3.3. Sejam N (n = 3, 4) uma variedade completa de dimens˜ao (n + 1) com cur- vatura seccional K ≥ −τ, τ ≥ 0, e M uma hipersuperf´ıcie completa com curvatura m´edia

        2

        10

        constante H diferente de zero e ´ındice finito imersa em N. Se H satisfaz H > τ, quando

        9

        2

        7

        n > τ, = 3 ou H quando n=4, ent˜ao M ´e compacta.

        4 Prova: M, , ..., e , ..., f M,

        Sejam w p n n p onde ∈ T |w| = 1 e {w, e

        

      1 }, {ν, f

      1 } bases ortonormais de T

        ν M ) . Ent˜ao p ∈ (T n n

        X X Ric K K

        (w) + Ric(v) (w, e i ) + (ν, f i ) − K(w, ν) = − K(w, ν) i i

        =1 =1

        ≥ −nτ − nτ − (−τ) = −(2n − 1)τ.

        Assim, por hip´otese, temos que se n = 3, inf {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)} ≥ −5τ

        5 · 9

        2

        > H −

        10

        9

        2

        = H −

        2

        2

        3 (5 − 3)

        2 H

        = −

        4 e se n = 4, inf

        {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)} ≥ −7τ

        2

        > −4H

        2

        4 (5 − 4)

        2 H .

        = −

        4 Portanto, se n = 3 ou n = 4, obtemos

        2

        n (5

        − n)

        2

        inf H .

        {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)} ≥ −

        4 Logo, pelo Teorema 3.1, M ´e compacta.

        Como casos particulares do Teorema 3.3, temos:

        Corol´ ario 3.4. Seja N uma variedade completa de dimens˜ao 4 ou 5 com curvatura seccional n˜ao negativa. Ent˜ao toda hipersuperf´ıcie completa M com curvatura m´edia constante diferente de zero e ´ındice finito em N ´e compacta.

        2 Prova: Com efeito, como K

        > 0 e portanto ≤ 0, escolhendo τ = 0, temos que H satisfaz H satisfaz `as hip´oteses do Teorema 3.3. Logo, M ´e compacta.

        Corol´ ario 3.5.

        Toda hipersuperf´ıcie M completa com ´ındice finito e curvatura m´edia constante

        10

        7

        2

        2

        4

        5 H satisfazendo H > (H > respectivamente ( (

        ) no espa¸co hiperb´olico H −1) (H −1) respectivamente

        9

        4 ´e compacta.

        2

        10 Prova:

        > , De fato, como neste caso K =

        −1, escolhendo τ = 1, temos que H satisfaz H

        9

        2

        7

        quando n = 3 ou H > , quando n = 4 e portanto satisfaz `as hip´oteses do Teorema 3.3. Logo,

      4 M ´e compacta.

        O Teorema seguinte ´e uma conseq¨ uˆencia do Corol´ario 3.4. Teorema 3.6. Toda hipersuperf´ıcie completa M , n˜ao compacta com curvatura m´edia constante

        4

      5 H ´e m´ınima.

        e ´ındice finito no espa¸co euclidiano R ou R Prova:

        De fato, como M ´e completa, com curvatura m´edia constante, ´ındice finito e curvatura n ) segue do Corol´ario 3.4 que H = 0. seccional n˜ao negativa (pois K = 0 em R

        Apresentamos agora a prova de M.F.Elbert, B.Nelli e H.Rosenberg [9] para o Teorema 3.3, que ´e muito similar `a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1.

        Teorema 3.7. Sejam N uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n + 1 (n = 3, 4) com cur- vatura seccional uniformemente limitada inferiormente e M uma variedade completa, est´avel e com curvatura m´edia constante H imersa em N. Existe uma constante c = c(n, H, sec(N )) tal p que para todo p

        ∈ M, dist(p, ∂M) ≤ c qualquer que seja H satisfazendo |H| > 2 |min{0, sec(N )}|, tal que sec(N ) denota o ´ınfimo das curvaturas seccionais de N.

        2 2 2k

        2 Prova: Denotemos por ds

        = u ds a m´etrica em M induzida pela imers˜ao em N e seja des

        5(n−1)

        4

        , n a m´etrica conforme em M , com = 3, 4. Consideremos p ≤ k ≤ n− ∈ M e seja

        4n

        

      1

        2

        r > 0 tal que a bola intr´ınseca B r de M na m´etrica ds , de raio r centrada em p ∈ M. esteja

        2

        contida no interior de M. Sejam γ r ligando p

        ∈ B uma geod´esica minimizante na m´etrica des

        

      2

      .

        a ∂B r e a o comprimento de γ na m´etrica ds Ent˜ao a ≥ r e ´e suficiente provar que existe uma constante c(n, H, sec(N )) tal que a R os tensores curvatura de M nas

        ≤ c. Sejam R e e ∂γ

        2

        2

        , e , e , ..., e m´etricas ds respectivamente. Escolhamos uma base ortonormal = n

        1

        2

        e des { e ∂ e e }

        es

        2

        e , ..., e n n = η. A base

        2

      • 1

        para a m´etrica des , tal que e e s˜ao paralelos ao longo de γ e seja ee ∂γ k k k

        2

        = = u , e = u , ..., e n = u n . Denotemos por R

        1

        1

        2

        2

        11

        {e ee ee ee } ´e ortonormal para a m´etrica ds ∂s

        2

        2 R

        , e e as curvaturas de Ricci na dire¸c˜ao de e para as m´etricas ds respectivamente. Seja

        11

        1

        e des R b R . o tensor curvatura da variedade ambiente N e escrevamos Ric(η) = b n

      • 1

        d 1 d Como = , por c´alculos an´alogos aos da prova do Teorema 3.1, obtemos k d u ds es

        2 d logu 2k

        2

        2 R e R 11 = u 11 + k( + nH )

        − k(n − 2) |φ|

        2

        ds

        2

        |∇u|

        2k

        k b R

      • u n +1,n+1 + k (3.20)

        2

        u Da equa¸c˜ao de Gauss, temos que

        2

        b R R h , ijij = ijij + h ii jj (3.21)

        − h ij onde h ij =< B(e i , e j ), N > .

        Como φ = A = h e , ent˜ao i ii i − HI e Ae

        φ (e i ) = Ae i i − HIe e

        = h ii i i − He = (h ii i .

        − H)e . Mas φ ij = h ij ij Logo, φ ii = hii ii = φ ii + H. Assim,

        − Hδ − H, ou seja, h

        2 R ijij = b R ijij + (φ ii + H)(φ jj + H) ii + Hδ ij ) .

        − (φ Tomando i = 1 e j = 2, ..., n, obtemos

      • H) n
      • (n
      • H)(
      • (n
      • (n
      • (n

      • (n
      • (n
      • (n
      • (n
      • u
      • knH
      • u
      • k
      • >1
      • k b
      • (kn + n
      • (n
      • >1
      • u
      • u

        (φ

        1j

        )

        2

        #

        2k

        −k(n − 2)(log u) ss + k |φ|

        2

        2

        2k

        k b R n

        |∇u|

        2

        u

        2

        = u

        2k

        =2

        − n

        X j

        =2

        (3.22) Substituindo a equa¸c˜ao (3.22) na equa¸c˜ao (3.20), temos

        R e

        11

        = u

        2k

        " n

        X j

        R b

        2

        1j1j

        − (φ

        11

        )

        2

        − 2)Hφ

        11

        − 1)H

        " n

        X j

        =2

        er

        −k(n − 2)(log u) ss + k |∇u|

        2

        u

        2 .

        (3.23) Como

        (n − 1)

        Z

        dϕ

        #

        2

        ≥ Z

        er

        e R

        11

        ϕ

        2

        2k

        2

        R b

        2k

        1j1j

        R n

        − 1)H

        2

        − 2)Hφ

        11

        #

        " k |φ|

        )

        2

        − (φ

        11

        )

        2

        − n

        X j =2

        1j

        2 .

        1j

        )

        2 .

        − 1)H !

        − n

        X j

        =2

        (φ

        1j

        )

        Mas n

        φ jj − φ

        X j =1 (φ jj ) = 0. Logo,

        R

        11

        = n

        X j =2 b R

        1j1j

        11

        11

        =1

        11

        X j =2 (φ 1j

        n

        X j =2 R

        1j1j = n

        X j =2 b R

        1j1j + (φ 11 + H)

      n

        X j =2 (φ jj + H)

        − n

        Hδ

        X j

        1j )

        2

        = n

        X j

        =2

        R b

        1j1j

        11

        −φ

        − 1)H) − n

        (φ

        11

        

      2

        = n

        X j

        =2

        R b

        1j1j

        − (φ

        )

        1j

        2

        − 2)Hφ

        11

        − 1)H

        2

        − n

        X j

        =2

        )

        (φ

        X j =2 (φ 1j )

        )

        2

        = n

        X j

        =2

        R b

        1j1j − (φ

        11

        2

        =2

        − 1)Hφ

        11

        − 1)H

        2

        −Hφ

        11

        − n

        X j

        ds, (3.24)

      • (n
      • Z a
      • Z a
      • Z a

        R b

        ds

        11

        − 2)Hφ

        2

        (kn + n − 1)H

        2

        ϕ

        # ds

        R n

        

      1j1j

        =2

        2

        X j

        " n

        2

        ϕ

        ≥ Z a

        Assim, a desigualdade (3.25) ´e equivalente a m

        2 ds.

        u

        2

        (u s )

        2

        ϕ

        " k |φ|

        (n − 1)

        Z a ϕ

        Z a ϕϕ s u s u ds.

        (log u) ss ds = −2

        2

        Z a ϕ

        (3.26) Integrando por partes, temos

        2 .

        u

        2

        − 2)(log u) ss − k |∇u|

        k (n

        2

        # ds −

        

      2

        2

        )

        1j

        (φ

        =2

        X j

        − n

        2

        )

        11

        − (φ

        ϕ

        2

        )

        − 1)H

        − (φ

        2

        |φ|

        u k " k

        2

        ϕ

        ds

        11

        − 2)Hφ

        2

        u k (kn + n

        ds e q = k

        2

        ϕ

        R n +1,n+1 # ds

        1j1j + k b

        X j =2 R b

        u k " n

        2

        Z a ϕ

        u k ds ≥

        2

        (ϕ s )

        11

        2

        ent˜ao substituindo a equa¸c˜ao (3.23) na desigualdade (3.24), obtemos (n

        2

        1

        ϕϕ s u s u

        − 1) Z a

        ds, n = k(n

        2

        Z a (ϕ s )

        = (n − 1)

        (3.25) Por c´alculos an´alogos aos da prova do Teorema 3.1, trocamos ϕ por ϕu k 2 para tirar u k do denominador e denotamos por m

        2 ds.

        u

        u k k |∇u|

        − n

        2

        ϕ

        − 2)(log u) ss ds

        u k k (n

        2

        Z a ϕ

        # ds −

        2

        )

        1j

        X j =2

        − 1) Z a

      4 Z a

      • n + q
      • k b
      • 1,n+1
      • (n
      • Z a
      • Z a
      • k

      • n
      • 1,n+1
      • (n
      • Z a

        . Assim, Z a

        ds =

        2

        u

        2 s

        u

        2

        ϕ

        ds = Z a

        2

        u

        2

        2 |∇u|

        ϕ

        2 s

        2 Z a

        = u

        2

        |∇u|

        # ds. (3.27) Mas,

        2

        )

        1j

        (φ

        =2

        X j

        − n

        2

        )

        11

        1 k

        ϕ

        

      2

        (log u k )

        2 s ds.

        (log u k )

        2

        ϕ

        1 k Z a

        ds =

        2

        u

        2

        2 |∇u|

        ϕ

        Logo, k Z a

        2 s ds.

        2

        2

        ϕ

        2 Z a

        1 k

        ds =

        2 s

        (k log u)

        2

        ϕ

        2 Z a

        1 k

        =

        u s u ds

        2

        k

        − (φ

        " k |φ|

        Ent˜ao, a desigualdade (3.27) torna-se a a

        1 k

        (ϕ s )

        − 1) Z a

        ds, substituindo na desigualdade (3.26), obtemos (n

        2 s

        (log u k )

        2

        ϕ

        2 Z a

        1 k

        ds =

        2 s

        (k log u)

        2

        2

        ds ≥ k(n − 3)

        Z a ϕ

        ds =

        2 s

        (log u)

        2

        Z a ϕ

        ds =

        2

        u

        2

        (u s )

        2

        ϕ

        Como Z a

        2

        Z a ϕϕ s u s u

        2

        " k b R n

        ϕ

        ds

        11

        − 2)Hφ

        2

        (kn + n − 1)H

        2

        ϕ

        # ds

        1j1j

        b R

        =2

        X j

        2

        1

        ϕ

        ds + Z a

        2

        u

        

      2

        2 |∇u|

        Z a ϕ

        ds

        2 s

        (log u k )

        2

        4 ϕ

        (n − 1)

        ds −

      • Z a

        Z Z

        2

        1

        ds ϕϕ u u ds (n (ϕ s ) s s

        − 1) ≥ k(n − 3) 1 (n − 1)

        2 k

        2

        (log u ) + ϕ ds s − k

        4 " # n

        Z a

        X

        2

        b n +1,n+1 1j1j + + ϕ k b R R ds j =2 Z a

        2

        2

        ϕ ds (kn + n + (n

      • 11

        − 1)H − 2)Hφ a " # n Z

        X

        2

        2

        2

        2

      • ϕ k ) φ ds. (3.28)

        11

        |φ| − (φ − 1j j

        =2

        φ

        11

        2

      2 Agora usamos que a + b . Da´ı,

        ≥ −2ab, com a = (n − 2)H e b =

        2

        2

        φ

        2

        2

        11

        (n

      • H ,

        11

        − 2) ≥ −(n − 2)Hφ

        4 ou seja,

        2

        φ

        

      2

        2

        11 (n + 4n .

        11

        − 2)Hφ ≥ (−n − 4)H −

        4 Substituindo na desigualdade (3.28), obtemos a a Z Z

        2

        1

        ds ϕϕ u u ds (n (ϕ s ) s s

        − 1) ≥ k(n − 3) 1 (n k − 1)

        2

        2

      • ϕ ds (log u ) s

        − k

        4 " # n

        Z a

        X

        2

        b

      • ϕ k b R n
      • 1,n+1 1j1j j =2

        Z a

        2

        2

        2

        2

        ϕ ds

        (kn + n + ( + 4n − 1)H −n − 4)H

      • a

        " # n Z

        φ

      2 X

        2

        11

        2

        2

        2

      • ϕ + k φ ds

        − − φ

        11 |φ| − 1j

        4 j

        =2

        Z a

        1

        ϕϕ s u s u ds ≥ k(n − 3) 1 (n

        − 1) k

        2

        2

        ϕ (log u + ) ds − s k

        4 " n #

        Z a

        X

        2

        2

        2

        ϕ k b R R b ds n + (kn + 5n

      • 1,n+1 1j1j − n − 5)H j =2
      • a " # n

          Z

          X

          5

          2

          2

          2

          2

        • ϕ k φ φ ds. (3.29)

          |φ| −

          11 − 1j

          4 j

        • 2 n
        • 2k n
        • 2

        • 5(n
        • 1 k
        • n
        • 1,n+1
        • Z a
        • 5n

          2

          )

          1j

          (φ

          =2

          X j

          − n

          2

          )

          1j

          (φ

          =2

          X j

          − 1) 2n n

          2

          ≥ 5(n

          )

          1j

          (φ

          =2

          X j

          − n

          2

          )

          

        11

          4 (φ

          5

          −

          2

          )

          = 3n

          X j

          − 5 2n n

          ds

          2 ds.

          − 5)H

          2

          (kn − n

          2

          ϕ

          # ds

          1j1j

          R b

          =2

          X j

          " k b R n

          2

          ϕ

          2 s

          =2

          (log u k )

          2

          4 Z a ϕ

          − 1)

          − (n

          ) s ds

          Z a ϕϕ s (log u k

          ds ≥ (n − 3)

          2

          Z a (ϕ s )

          (n − 1)

          ≥ 0. Logo, a desigualdade (3.29) ´e equivalente a

          2 1j

          φ

          1j

          =2

          (φ

          2

          11 )

          4 (φ

          5

          −

          2

          |φ|

          . Assim, k

          2 1j

          X j =2 φ

          11

          2

          − 1) φ

          ≥ k n (n

          |φ|

          − n

          − 1) 4n e usando a desigualdade (3.30), obtemos k

          ≥ 5(n

          . (3.30) Como k

          2 1j

          φ

          =2

          X j

          11

          2

          − 1) φ

          ≥ n (n

          2

          |φ|

          Vamos provar que o ´ ultimo termo da desigualdade (3.29) ´e maior ou igual a zero. Por c´alculos an´alogos aos da prova do lema 3.2, temos

          2

          X j =2 (φ 1j )

          X j

          2

          − 1) 2n n

          2

          )

          11

          4 (φ

          5

          ≥

          2

          )

          1j

          (φ

          =2

          X j

          − n

          2

          )

          2

          ≥ 5(n

          − 1) 4n n

          (n − 1)

          (φ

          11 )

          5(n − 1)

          

        11

          4n n

          X j =2 (φ 1j )

          2

          −

          5

          4 (φ

          (3.31)

        • Z a
        • b

        • (n

          (n − 1)

          4

          2

          (n − 3)

          ds ≥ −

          2

          Z a (ϕ s )

          ds Da ´ ultima desigualdade junto com a desigualdade (3.31), temos

          (n − 1)

          2 s

          ϕ

          1 Z a

          4

          (n − 1)

          1 k −

          4

          1 k −

          4

          − 3)

          2

          # ds.

          1j1j

          X j =2 R b

          " k b R n +1,n+1 + n

          2

          ϕ

          ds

          − 5)H

          1 Z a

          2

          (kn − n

          2

          ϕ

          ds

          2 s

          ϕ

          2

          ≥ − (n

          (3.32)

          (n − 3)

          4 ϕ

          (n − 1)

          1 k −

          4 −1 2 ϕ s para obtermos

          (n − 1)

          1 k −

          2

          (log u k ) s e b =

          (log u k )

          4 1 2 ϕ

          (n − 1)

          1 k −

          ≥ −2ab, com a =

          2

          2

          Usamos agora que a

          2

          2 s

          Z a ϕϕ s (log u k ) s ds

          ≥ −(n − 3)ϕϕ s (log u k ) s

          2 s

          4 ϕ

          (n − 1)

          1 k −

          ϕϕ s (log u k ) s ds +

          − 3) Z a

          , ou seja, (n

          2 s

          − 3)

          ϕ

          1

          4

          (n − 1)

          1 k −

          4

          2

        • 5n
        • Z a
        • Z a
        Seja

          1

          2

          (n 1 (n − 3) − 1)

          A = + (n

          − − 1) 4 k 4

          1

          2

          (n

          4 − 3) − k(n − 1)

          = + (n − 1) 4 4k

          2

          (n k − 3)

          = + (n − 1)

          4 − k(n − 1)

          (n − 3)k + (4 − k(n − 1))(n − 1)

          =

          4 − k(n − 1)

          2

          2

          (n k + 4(n − 3) − 1) − k(n − 1)

          =

          4 − k(n − 1)

          −4nk + 8k + 4(n − 1) =

          4 − k(n − 1)

          4[k(2 − n) + (n − 1)] .

          =

          4 − k(n − 1) n

          4 − 1

          , Observamos que A ´e positiva, pois como k < ent˜ao

          ≤ (n n

          − 1) − 2 k (n − 2) ≤ (n − 1), ou seja, k(2 − n) + (n − 1) ≥ 0. e k

          (n − 1) < 4, ou seja, 4 − k(n − 1) > 0

          Fazendo uma escolha conveniente da constante positiva B, podemos reescrever a desigualdade (3.32) como a a

          Z Z

          2

          2 A ϕ ds ϕ ds. (3.33) s

          ≥ B Queremos escolher B tal que n !

          X

          2

          

        2

          k b R R b .

        • 5n n +1,n+1 1j1j j
        • =2

          ≤ B ≤ (kn − n − 5)H

          2

          2 Quando a curvatura da variedade ambiente ´e n˜ao-negativa, escolhemos B = (kn +5n ,

          −n −5)H que ´e positiva se H 6= 0. Neste caso, |H| > 0 e podemos escolher ρ = 0. Caso contr´ario, como

          R (e i , e j , e i , e j )

          2 K , e ,

          (e i j ) = i j = 1, |e ∧ e | i j

          2

          |e ∧ e | ent˜ao n

          X K , e (e i j ) j ≥ (n − 1)inf{curvaturas seccionais de N}

          =2 e como R b n +1,n+1

          ≥ n.inf{curvaturas seccionais de N}, ent˜ao n

          X b

        • k b R
        • 1,n+1 1j1j
        • j ≥ (kn + n − 1)inf{curvaturas seccionais de N} =2

            = (kn + n − 1)sec(N), e escolhemos

            2

            2 B

            = (kn + 5n + (kn + n − n − 5)H − 1)sec(N). Se

            2 −(kn + n − 1)

            H > sec (N ),

            2

            (kn + 5n − n − 5)

            (kn + n

            5(n−1)

            − 1)

            4

            , n < ent˜ao B ´e positiva. Usando as restri¸coes em k, = 3, 4, obtemos ≤ k ≤ n−

            4n

            1

            2

            (kn + 5n − n − 5)

            5

            4. De fato, para n = 3 temos que ≤ k < 2. Logo,

            6

            3k + 2 −2

            < ,

            4 ⇔ 3k + 2 < 12k + 4 ⇔ k > 3k + 1

            9

            2

            5

            15

            4

            pois < . Logo,

            ≤ k < 2. E para n = 4, temos que ≤ k <

            9

            6

            16

            3

            4k + 3

            7 < ,

            4 ⇔ 4k + 3 < 16k − 4 ⇔ k >

            4k

            12 − 1

            7

            15

            4 pois < .

            ≤ k <

            12

            16

            3

            p p Neste caso, |H| > 2 |sec(N )| e podemos escolher ρ = 2 |sec(N )|.

            Por c´alculos an´alogos aos da prova do Teorema 3.1, a Z A

            (ϕ ss + Bϕ)ϕds ≤ 0.

          1 Escolhendo ϕ = sen(πsa ), s

            ∈ [0, a], temos

            2

            (Aπ) B

            − ≤ 0,

            2

            a ou seja, √

            Aπ a . ≤ √

            √ Aπ . Como queremos provar que a

            ≤ c, seja c = √ B

            Assim, p k

            2π (2 − n) + (n − 1) c

            . = p

            2

            2

            (4 + 5n + (kn + n − k(n − 1))[(kn − n − 5)H − 1)min{0, sec((N))}] O corol´ario seguinte ´e um caso particular do Teorema 3.7. n n

          • 1

            Corol´ ario 3.8. Seja M uma subvariedade completa est´avel com curvatura m´edia ⊂ N p constante H. Se n = 3, 4 e |H| > 2 |min{0, sec(N)}|, ent˜ao ∂M 6= ∅.

            Prova: Assuma que tal M existe. Na prova do Teorema 3.7, mostramos que o raio de um disco intr´ınseco de M que n˜ao toca em ∂M ´e menor ou igual a c. Portanto, quando ∂M = ∅, o diˆametro de M ´e menor ou igual a c e ent˜ao M ´e compacta. Como M ´e est´avel, existe uma

            2

            2 R fun¸c˜ao positiva f em M tal que L(f ) = 0. Assim, L(f ) = ( + nH + b n )(f ) = 0.

          • 1,n+1

            △ + |φ| Seja p um m´ınimo da fun¸c˜ao f. Da´ı, em p temos:

            2

            2

            (p) + nH + b R n (p))(f (p)). (3.34)

          • 1,n+1

            ≤ △f(p) = −(|φ| p

            2

            2 R

            Como + nH + b n ) ´e estritamente positivo em M.

          • 1,n+1

            |H| > 2 |min{0, sec(N)}|, ent˜ao (|φ| Portanto, a desigualdade (3.34) nos d´a uma contradi¸c˜ao. Logo, ∂M 6= ∅. Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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