Universidade Federal do Esp´ırito Santo Centro de Ciˆencias Exatas Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica Disserta¸c˜ ao de Mestrado em Matem´ atica

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo

Centro de Ciˆencias Exatas

Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica

Disserta¸c˜ ao de Mestrado em Matem´ atica

  

Existˆ encia de solu¸c˜ ao de energia m´ınima

para uma equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger n˜ ao linear

Karlo Fernandes Rocha

Orientadora: Prof. a Magda Soares Xavier

  

Vit´ oria, mar¸co de 2012

Agradecimentos Agrade¸co primeiramente a Deus

  Aos meus pais, Antˆonio Cordeiro da Rocha e Ala´ıde Fernandes Gomes Rocha, e a minhas irm˜as, Karine e Karolina, pelo apoio, incentivo e confian¸ca. Tamb´em a todos que fazem parte da minha fam´ılia, que mesmo distante, acompanharam e deram for¸ca durante todo o curso.

  A Professora Magda Soares Xavier, por ter aceitado me orientar e pela sua grande dedica¸c˜ao a este trabalho. E tamb´em pelo conhecimento e experiˆencia que pude adquirir ao longo do trabalho em nossas reuni˜oes.

  Aos Professores Marcelo Fernandes Furtado e Jo˜ao Pablo Pinheiro da Silva, por aceitarem participar da banca examinadora deste trabalho. Aos amigos do mestrado que sempre deram grande apoio nos momentos dif´ıceis e tamb´em pelos v´arios momentos de descontra¸c˜ao proporcionados. Ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica do CCE-UFES e ao apoio finan- ceiro da CAPES.

Resumo

  Neste trabalho estudamos um resultado de existˆencia de solu¸c˜ao para uma equa¸c˜ao N de Schr¨odinger quasilinear em R demonstrado por Ruiz e Siciliano. Trabalhando em um espa¸co de fun¸c˜oes apropriado, utilizando uma identidade variacional demonstrada por Pucci e Serrin, obt´em-se um conjunto M que cont´em todas as solu¸c˜oes n˜ao nulas da equa¸c˜ao. Utilizando um resultado de concentra¸c˜ao-compacidade devido a Lions, ´e poss´ıvel demonstrar que o ´ınfimo do funcional associado `a equa¸c˜ao, restrito a M , ´e atingido em um ponto u que ´e uma solu¸c˜ao positiva de energia m´ınima.

Abstract

  In this work we study the existence of solution of a quasilinear Schr¨odinger equa- N tion in R , demonstrated by Ruiz and Siciliano. By working in an appropriated func- tions space, by using a variational identity demonstrated by Pucci and Serrin, a set M containing all nontrivial solutions of the equation is obtained. By using a concentration- compactness result due to Lions, it is possible to prove that the infimum of the functional associated with the equation, restricted to the set M , is achieved at some u which is a positive ground state solution.

Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 Resultados preliminares 4 1.1 Conjunto contendo as solu¸c˜oes n˜ao nulas de (P ) . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  1.2 Caracteriza¸c˜ao do conjunto M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  1.3 O ´ınfimo de I em M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

  2 Existˆ encia de solu¸c˜ ao positiva de energia m´ınima

  29

  2.1 Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  2.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Apˆ endice

  67 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  68 Introdu¸c˜ ao

  Neste trabalho, consideramos uma vers˜ao modificada da equa¸c˜ao de Schr¨odinger n˜ao linear

  1

  2

  2 N ′ iφ t − ∆φ + W (x) φ − ∆g |φ| g |φ| φ = f (x, φ) , x ∈ R , (1) N N

  2 onde N ≥ 3, φ : R × R → C, W : R → R ´e um potencial dado e f (x, φ) ´e um termo n˜ao linear. Essa vers˜ao quasilinear da equa¸c˜ao de Schr¨odinger aparece em v´arios modelos de diferentes fenˆomenos f´ısicos, tais como o estudo de membranas de superfluidos em f´ısica dos plasmas, teoria da mat´eria condensada, entre outros (veja, por exemplo, [2, 18, 20, 28]). p −1

  Nos restringimos ao caso em que g (φ) = φ e f (x, φ) = |φ| φ. Nesse caso parti- cular, a equa¸c˜ao (1) se torna 1 p

  2 −1 N iφ t − ∆φ + W (x) φ − φ∆ |φ| = |φ| φ, x ∈ R . (2)

  2 Essa equa¸c˜ao foi introduzida em [7, 8, 15] para estudar um modelo de el´etrons em ret´ıculos quadrados ou hexagonais (veja tamb´em [5, 6]).

  De um ponto de vista matem´atico, a existˆencia local de solu¸c˜ao para o problema de Cauchy foi considerada primeiro por Lange, Poppenberg e Teismann em [19] e Poppenberg em [25], e melhorado posteriormente por Colin, Jeanjean e Squassina em [10]. Veja tamb´em em [17] um resultado tratando de equa¸c˜oes de Schr¨odinger quasilineares muito gerais. Em [10], a estabilidade orbital de solu¸c˜oes estacion´arias ´e estudada, incluindo “blow-up”, um assunto tamb´em considerado em [14].

  Aqui estamos interessados na existˆencia de solu¸c˜oes do tipo ondas estacion´arias N −iωt

  φ (t, x) = e u (x) com u : R → R e ω ∈ R. Tal φ ´e solu¸c˜ao de (2) se, e somente se, u

  ´e solu¸c˜ao de

  1 p N 2 −1

  −∆u + V (x) u − u∆u = |u| u, x ∈ R , (P )

  2 onde V (x) = W (x) + ω. Na literatura v´arios autores tˆem considerado este problema. Talvez o primeiro tenha sido Poppenberg, Schmitt e Wang em [26], onde os casos unidimensional e radial s˜ao estudados. Em [23], Liu e Wang consideraram o caso de maiores dimens˜oes. Em ambos os artigos as demonstra¸c˜oes baseiam-se em t´ecnicas de minimiza¸c˜ao com v´ınculo.

  Liu, Wang e Wang [22] e Colin e Jeanjean [9], atrav´es de uma mudan¸ca de vari´aveis conveniente, reduziram a equa¸c˜ao (P ) a um problema semilinear mais trat´avel. Liu, Wang e Wang trabalharam em um espa¸co de Orlicz enquanto Colin e Jeanjean trabalharam no

  1 N R espa¸co usual H , dando uma prova mais simples para os resultados de [22]. Tanto em [9] como em [22], as solu¸c˜oes s˜ao obtidas quando p ≥ 3. Finalmente, Liu, Wang e Wang em [24], usaram minimiza¸c˜ao sobre uma variedade de Nehari para obter resultados de existˆencia. O argumento deles n˜ao depende de qualquer mudan¸ca de vari´aveis. Al´em disso, eles tamb´em provaram a existˆencia de solu¸c˜oes que mudam de sinal. Esses resultados tamb´em foram obtidos supondo p ≥ 3.

  Em [29], Ruiz e Siciliano demonstraram a existˆencia de solu¸c˜ao de (P ) , supondo N ∗ ∗

  1 R p ∈ (1, 2 (2 ) − 1) com 2 = 2N / (N − 2) e que V ∈ C satisfaz as seguintes hip´oteses: (V ) 0 < V ≤ V (x) ≤ lim V (x) = V < ∞;

  1 ∞ |x|→∞ N

  ∞ R

  (V ) a fun¸c˜ao x 7→ x · ∇V (x) est´a em L ;

  2 N N N N +p+1 +p+1 +2 1 (V ) para cada x ∈ R , a fun¸c˜ao α x : [0, ∞) → R dada por α x (s) = s V s x

  3 ´e cˆoncava.

  Apesar da hip´otese (V ) ter sido usada uma ´ unica vez (veja Lema 1.11), ela o foi num

  3 ponto essencial `a demonstra¸c˜ao da existˆencia de solu¸c˜ao de (P ). A introdu¸c˜ao dessa hip´otese (V ), que n˜ao ´e usual nesse tipo de problema, possibilitou aos autores Ruiz e

  3 Siciliano permitirem que o parˆametro p tome valores no intervalo (1, 3). A hip´otese (V )

  2 ´e t´ecnica mas n˜ao muito restritiva, uma vez que, se lim x · ∇V (x) existe, ele deve ser

  |x|→∞ zero por (V ). Obviamente, se V ´e a fun¸c˜ao constante, ent˜ao ela satisfaz (V ) − (V ). No

  1

  1

  3 Cap´ıtulo 1 damos um exemplo de uma fun¸c˜ao V n˜ao constante que satisfaz (V ) − (V ) . N

  1

  3

  2 R Observamos que, se u ∈ C ´e uma solu¸c˜ao de (P ) , ent˜ao multiplicando a

  ∞ N N R equa¸c˜ao (P ) por ψ ∈ C , integrando em R e utilizando o Teorema da Divergˆencia obtemos

  Z p

  2 2 −1 R N 1 + u ∇u · ∇ψ + u|∇u| ψ + V (x) uψ − |u| uψ dx = 0, (3) ∞ N

  1 N

  2

  1 N R para toda ψ ∈ C . Vamos considerar o conjunto X = {u ∈ H (R ); u ∈ H (R )}.

  Dizemos que u ∈ X ´e uma solu¸c˜ao fraca de (P ) se u satisfaz (3) . Definimos o funcional I : X → R por

  Z Z

  1 1 p

  2

  2

  2 2 +1 I(u) = |∇u| + V (x)u + u |∇u| dx − |u| dx. N N

  2 R p + 1 R Como veremos no Cap´ıtulo 1, I est´a bem definido e u ∈ X ´e solu¸c˜ao fraca de (P ) se, e somente se, a derivada de Gateaux de I se anula no ponto u ao longo de qualquer dire¸c˜ao

  ∞ N R

  ψ ∈ C . Dizemos que u ∈ X ´e uma solu¸c˜ao de energia m´ınima de (P ) quando I (u) = inf {I (v) ; v ´e solu¸c˜ao fraca n˜ao trivial de (P )} .

  O objetivo deste trabalho ´e estudar o seguinte resultado, demonstrado por Ruiz e Siciliano em [29]. N

  1 R Teorema A Se p ∈ (1, 2 (2 ) − 1) e V ∈ C satisfaz (V ) , (V ) , (V ) ent˜ao (P )

  1

  2

  3 possui uma solu¸c˜ao positiva de energia m´ınima.

  A demonstra¸c˜ao ´e baseada num processo de minimiza¸c˜ao com v´ınculo. Utilizando uma identidade variacional devido a Pucci e Serrin [27], Ruiz e Siciliano definiram um conjunto M que cont´em todas as solu¸c˜oes n˜ao nulas de (P ) e obtiveram uma caracteriza¸c˜ao desse conjunto. Por fim, eles mostraram que o ´ınfimo do funcional I no conjunto M ´e estritamente positivo. Para demonstrar o Teorema A, inspirados por [24], eles mostraram que o ´ınfimo do funcional I restrito a M ´e atingido em um ponto u que de fato ´e uma solu¸c˜ao positiva de energia m´ınima de (P ) . Apresentamos tal demonstra¸c˜ao no Cap´ıtulo 2. Cap´ıtulo 1 Resultados preliminares

  Consideramos a equa¸c˜ao

  1 p N 2 −1

  −∆u + V (x) u − u∆u = |u| u, x ∈ R , (P )

  2 ∗ N

  1 onde N ≥ 3, p ∈ (1, 2 (2 ) − 1) e V : R −→ R ´e uma fun¸c˜ao de classe C satisfazendo (V ) 0 < V ≤ V (x) ≤ lim V (x) = V < ∞;

  1 ∞ |x|→∞ N

  ∞ R

  (V ) a fun¸c˜ao x 7→ x · ∇V (x) pertence a L ;

  2 N N N N +p+1 +p+1 +2 1 (V ) para cada x ∈ R , a fun¸c˜ao α : [0, ∞) → R dada por α (s) = s V s x

  3 x x ´e cˆoncava.

  A seguir damos um exemplo de uma fun¸c˜ao V n˜ao constante que satisfaz tais hip´oteses.

  1 Escolhemos g : [0, ∞) → R uma fun¸c˜ao de classe C tal que, para todo t ≥ 0, (g ) 0 ≤ g (t) ≤ lim g (t) = g < ∞;

  1 ∞ t →∞

  (g ) g (t) ≥ 0;

  2 ′′

  (g ) g (t) ≤ 0;

  3 ′ (g ) existe b > 0 tal que g (t) t ≤ b.

  4 −t

  ´ E f´acil encontrar fun¸c˜oes g que satisfazem tais condi¸c˜oes, por exemplo, g (t) = 2 − e ou t N g (t) = arctan (t) , ou ainda, g (t) = , t ≥ 0. Consideramos V : R → R dada por 1 + t

  2 V (x) = V + g |x| , onde V > 0. Por (g ) , tal V satisfaz (V ) . Tamb´em

  1

  1

  2

  2 ′ x · ∇V (x) = 2 |x| g |x| .

  A hip´otese (g ) nos garante que (V ) ´e satisfeita. Vamos mostrar que podemos escolher

  4

  2 V > 0 suficientemente grande de modo a termos (V ) satisfeita. Seja θ = 1/ (N + p + 1)

  3 ∗ e r = (N + 2) θ com N ≥ 3 e p ∈ (1, 2 (2 ) − 1) .Trata-se de mostrar que, para cada N x ∈ R , a fun¸c˜ao r θ f (s) = s V s x , s ≥ 0,

  ´e cˆoncava. Ou seja, devemos mostrar que, para cada a ≥ 0, r 2θ f (s) = s V + g as , s ≥ 0,

  ´e cˆoncava. Por c´alculo direto obtemos, para s > 0, r r ′′ −2 2θ −2 2θ ′ 2θ f (s) = r (r − 1) s V + g as + 2θ (2θ + 2r − 1) s as g as

  2 2 4θ+r−1 ′′ 2θ + 4a θ s g as .

  N + 2 Usando que 0 < r = < 1, de (g 1 ) e (g 3 ) segue que

  N + p + 1 r r ′′ −2 −2 2θ ′ 2θ f (s) ≤ r (r − 1) s V + C N,p s as g as (1.1) onde C N,p = 2θ (2θ + 2r − 1) . Observamos que C N,p > 0 sempre que N ≥ 4 e que, quando N = 3, o sinal de C depende do valor de p ∈ (1, 11) . Mas quando C N,p ≤ 0,

  3,p ′ ′′ como g ≥ 0, j´a teremos por (1.1) que f ≤ 0. Assim, podemos considerar apenas o caso em que C N,p > 0. De (1.1) e de (g ) segue que, para todo a ≥ 0,

  4 r ′′ −2 f (s) ≤ s [r (r − 1) V + C N,p b] .

  Tomando C N,p b 2b N + 5 − p

  V > =

  ′′ teremos f (s) ≤ 0 para todo s > 0. Isso conclui a verifica¸c˜ao de que a fun¸c˜ao V do nosso exemplo satisfaz (V ) − (V ) .

  1

  3 N

  1 R Ao longo desse trabalho, consideramos H o espa¸co usual de Sobolev com o produto interno

  Z Z (u, v) H 1 = ∇u · ∇v + uv R R N N e a correspondente norma associada 1 Z 2

  2

  2 kuk = |u| + |∇u| . R N Aqui, e no restante do texto, usamos indistintamente os s´ımbolos

  Z Z Z f , f dx e f (x) dx Ω Ω Ω para denotar a integral de Lebesgue de uma fun¸c˜ao f : Ω → R mensur´avel num conjunto N N

  2 R mensur´avel Ω ⊂ R . Tamb´em denotamos por | · | a norma usual de L . Vamos

  2 trabalhar com o conjunto

  1 N

  2

  1 N X = {u ∈ H (R ); u ∈ H (R )}.

  Proposi¸c˜ ao 1.1 O conjunto X ´e um espa¸co m´etrico completo com a m´etrica

  2

  2 d X (u, v) = ||u − v|| + |∇u − ∇v | . (1.2)

  2 Demonstra¸c˜ ao. Seja (u n ) uma sequˆencia de Cauchy em X. Por (1.2), as sequˆencias (u n ) N N N

  2

  1

  2 e (∇u ) s˜ao sequˆencias de Cauchy em H (R ) e L (R ) , respectivamente. Como N N N N n

  1

  2

  1

  2 H (R ) e L (R ) s˜ao completos, existem u ∈ H (R ) e v ∈ L (R ) tais que N N N

  1

  2

  2 u n → u em H (R ) e ∇u → v em L (R ) . (1.3) N N n N

  2

  2 Em particular, u n → u em L (R ), ∇u n → ∇u em L (R ) . Pelo Teorema IV.9 em [3], passando a uma subsequˆencia podemos supor que N u n (x) → u (x) , ∇u n (x) → ∇u (x) , q.t.p em R (1.4) e N

  2 ∇u (x) → v (x) , q.t.p em R . (1.5) n Por (1.4), N

  2 2 ∇u (x) = 2u (x) ∇u (x) → 2u (x) ∇u (x) = ∇u (x) q.t.p em R . n n n N

  2 Por (1.5), conclu´ımos que v (x) = ∇u (x) q.t.p em R e portanto N N

  2

  2

  2 R ∇u → ∇u em L . (1.6) n

  2

  2 N

  4 N R R Para mostrar que u ∈ X, resta verificar que u ∈ L , isto ´e, u ∈ L . De fato, N

  2

  1 R como u n ∈ X, temos que u ∈ H . Pela desigualdade de Sobolev, existe c > 0 tal n que 2∗

  Z Z 2

  2

  2

  2

  2 R R N N u ≤ c ∇u , n n

  2

  2 N ∗ R logo (u ) ´e limitada em L . Como 2 < 4 < 2 (2 ), existe θ ∈ (0, 1) tal que 4 = n

  ∗ θ ·2+(1 − θ) 2 (2 ) . Pela desigualdade de H¨older com expoentes 1/θ e 1/ (1 − θ) , obtemos c > 0 tal que

  Z Z 4 2θ (1−θ)2(2 ) R R N N |u n − u m | = |u n − u m | |u n − u m | θ 1−θ

  Z Z 2 2(2 )

  ≤ |u n − u m | |u n − u m | R R N N Z 1−θ ∗ ∗ 2θ 2(2 ) 2(2 )

  2(2 )−1 ≤ |u n − u m | 2 |u n | + |u m |

  2 R N 2θ 2θ

  ≤ c |u n − u m | ≤ c ku n − u m k ,

  2 N

  2

  2 R onde na pen´ ultima desigualdade usamos a limita¸c˜ao de (u ) em L . Como (u n ) N n N N

  1

  4

  4 R R R

  ´e de Cauchy em H , segue que (u n ) ´e de Cauchy em L . Como L ´e

  4 N

  4 N R R completo existe w ∈ L tal que u n → w em L . Novamente pelo Teorema IV.9 em [3], passando a uma subsequˆencia podemos supor que N u n (x) → w (x) q.t.p em R . N

  4 N R Por (1.4), conclu´ımos que u (x) = w (x) q.t.p em R . Logo u ∈ L e portanto u ∈ X.

  Por (1.3) e (1.6),

  2

  2 d X (u n , u) = ||u n − u|| + |∇u − ∇u | → 0 quando n → ∞. n

  2 Definimos o funcional I : X → R por Z

  Z

  1

  1

  2

  2

  2 2 p +1 I(u) = |∇u| + V (x)u + u |∇u| − |u| . (1.7) N N

  2 R p + 1 R N

  2

  2

  2 R Observamos que se u ∈ X ent˜ao u, u , |∇u|, |∇u | ∈ L . Por (V ),

  1 Z Z

  2

  2 R R N N V (x) u ≤ V ∞ u < ∞.

  Tamb´em, Z Z

  1

  2

  2

  2

  2 R N N u |∇u| = |∇u | < ∞.

  4 R p +1 p + 1 N N

  1 2 R R Al´em disso, como 1 < < 2 , pela continuidade da imers˜ao H ֒→ L ,

  2 existe uma constante c > 0 tal que Z Z p +1 p +1 p +1

  2 2

  2 2 R R N N |u| = u ≤ c||u || < ∞.

  Portanto I est´a bem definido.

  ∞ N

  1 N R R

  Para u ∈ X e ψ ∈ C temos que u + ψ ∈ X. De fato, como u ∈ H e N N

  1 R R ψ ∈ C ent˜ao uψ ∈ H (veja Teorema 1 da se¸c˜ao 5.2 em [11]). Logo

  2 N

  2

  2

  1 R (u + ψ) = u + 2uψ + ψ ∈ H . N

  R A derivada de Gateaux de I no ponto u ∈ X na dire¸c˜ao de ψ ∈ C ´e

  I (u + tψ) − I (u) ′ hI (u) , ψi = lim . t →0 t

  Calculando esse limite e procedendo como na Proposi¸c˜ao 1.12 de [30] para o c´alculo da derivada da ´ ultima parcela de I (u) , obtemos Z

  Z p

  2 2 −1 hI (u) , ψi = 1 + u ∇u · ∇ψ + V (x) uψ + u|∇u| ψ − |u| uψ. (1.8) R N R N

  ′ Assim, uma solu¸c˜ao fraca de (P ) ´e uma u ∈ X tal que hI (u) , ψi = 0 para toda ψ ∈ N

  ∞ R C .

  1.1 Conjunto contendo as solu¸c˜ oes n˜ ao nulas de (P)

  Nesta se¸c˜ao, utilizando resultados demonstrados por Pucci e Serrin em [27], mostramos

  2 N R que toda u ∈ X\ {0} que ´e uma solu¸c˜ao C de (P ) pertence ao conjunto

  M = {u ∈ X\ {0} ; J (u) = 0} , onde J : X → R ´e dado por Z Z

  N N + 2

  2

  2

  2

  2 J (u) = |∇u (x) | dx + V (x)u (x) + u (x) |∇u (x) | dx N N

  2 R

  2 R Z Z

  1 N + p + 1 p 2 +1 N N x · ∇V (x) u (x) dx − |u (x) | dx. (1.9) +

  2 R p + 1 R A fim de demonstrarmos tal fato, consideramos N N

  F : R × R × R → R

  2 de classe C e denotamos por N N

  F : R × R × R → R, s N N N F z : R × R × R → R as aplica¸c˜oes

  ∂F F s (x, s, z) = (x, s, z)

  ∂s e F z (x, s, z) = (F z (x, s, z) , . . . , F z (x, s, z)) 1 N N com x = (x , . . . , x N ) , z = (z , . . . , z N ) ∈ R , s ∈ R e

  1

  1 ∂F F z = , i ∈ {1, . . . , N } . i N ∂z i

  2 R Para u ∈ C consideramos a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange N div F z (x, u, ∇u) = F s (x, u, ∇u) , x ∈ R . (1.10) N P P P

  No restante desta se¸c˜ao, escrevemos no lugar de e significando o somat´orio i i i,j N N =1

  P P duplo . i j =1 =1 Come¸camos com o pr´oximo lema, que ´e um resultado t´ecnico, obtido como um caso particular da Proposi¸c˜ao 1 em [27]. Posteriormente o aplicamos para uma fun¸c˜ao F particular, escolhida de forma tal que a equa¸c˜ao (1.10) se torne a equa¸c˜ao (P ). N

  2 R Lema 1.2 Seja u ∈ C uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange (1.10) e seja a ∈ R. Ent˜ao vale

  " #

  X X ∂ ∂u x i F (x, u, ∇u) − x j F z (x, u, ∇u) − auF z (x, u, ∇u) = Q (x) , (1.11) i i i j ∂x i ∂x j sendo

  X X ∂u

  Q (x) := N F (x, u, ∇u) + x i F x (x, u, ∇u) − (a + 1) F z (x, u, ∇u) i i i i ∂x i − auF s (x, u, ∇u) ,

  (1.12) onde as fun¸c˜oes u, ∇u s˜ao calculadas no ponto x = (x , . . . , x N ).

  1 Demonstra¸c˜ ao. Para comodidade, denotamos ∂u ∂ ∂u e por u i e u ji ,

  ∂x i ∂x i ∂x j respectivamente e F (x, u, ∇u) por F. Pela regra do produto e da cadeia, no ponto (x, u, ∇u) , vale

  ( " #)

  X X

  X ∂

  [x i F] = F + x i F x + F s u i F + z u ji i j i i j ∂x i

  X X

  X = N F + x + + F x F u x F u (1.13) i i i,j i x i i s i i z j ji e

  " # " #

  X X

  X X

  X X ∂ ∂u ∂ ∂

  − x j F z = − (x j ) u j F z − x j u ji F z − x j u j [F z ] i i i i i j i j j j ∂x i ∂x j ∂x i ∂x i

  X X

  X ∂

  = − u i F z i − x j u ji F z i − x j u j [F z i ] i i,j i,j ∂x i

  X X

  X = − u i F z − x j u ji F z − x j u j F s , (1.14) i i,j j i i

  ∂ onde, na segunda igualdade usamos que (x j ) ´e zero para i 6= j e 1 para i = j e na ∂x i terceira igualdade usamos que, por (1.10),

  X ∂ F z i = div F z = F s . i ∂x i

  Usando novamente (1.10),

X X

  ∂ (−auF z ) = −a u i F z − auF s . (1.15) i i i i ∂x i

  Somando as equa¸c˜oes (1.13), (1.14) e (1.15) observamos que alguns termos se cancelam e obtemos que o lado esquerdo de (1.11) ´e exatamente Q (x) . N Definimos para R > 0, B R = x ∈ R ; |x| < R e a fun¸c˜ao N N

  H : R × R × R → R por

  X X

  1

  1 H (x, s, z) = |x| F (x, s, z) − x j z j x i F z (x, s, z) − as x i F z (x, s, z) . (1.16) i i |x| |x| i,j i

  Corol´ ario 1.3 Sob as mesmas hip´oteses do Lema 1.2, vale, para todo R > 0, Z Z ∂B B R R H (x, u, ∇u) dS = Q (x) dx, onde H ´e a fun¸c˜ao dada em (1.16) e Q ´e a fun¸c˜ao definida em (1.12).

  1 Demonstra¸c˜ ao. Pelo Teorema de Gauss-Green, para w ∈ C (B R ) vale Z Z B ∂B R R w x dx = wν i dS. (1.17) i x onde ν = = (ν , . . . , ν ) ´e o vetor unit´ario normal exterior em ∂B . Integrando ambos

  1 N R |x| os lados da equa¸c˜ao (1.11) e usando (1.17), obtemos

  " N Z Z

  X x ∂u x i i Q (x) dx = F (x, u, ∇u) − x j F z i (x, u, ∇u) B ∂B R R i i,j |x| ∂x j |x|

  2 X

  #

  X x i − auF (x, u, ∇u) dS z i i |x|

  Z = H (x, u, ∇u) dS. ∂B R

  • 1
  • 1
  • V (x) s − |s| p −1
  • V (x) u − |u| p −1 u.

  • 1 + u
  • ∆u +
  • ∆u +
  • ∆u +
  • N − 2
  • N
  • 1
  • 1

  2

  1

  2 u div ∇u

  2 = u |∇u|

  2

  1

  2 u∆u 2 .

  Assim a equa¸c˜ao de Euler-lagrange (1.10) para F definida em (1.18) ´e −∆u + V (x) u −

  1

  2 u∆u

  2 = |u| p −1 u. (P )

  Lema 1.4 Seja F dada em (1.18). Se u ∈ X ∩ C

  2 R N ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (P ) ent˜ao Q dada por (1.12) ´e

  Q (x) = N − 2

  2 − a |∇u|

  2

  2 − 2a u

  2 |∇u|

  2

  2 − a V (x) u

  2

  2 u

  2 x · ∇V (x) −

  N p + 1 − a |u| p

  (1.23) e R lim

  →∞ Z B R

  Q (x) dx = Z R N

  2 u div (2u∇u) = u |∇u|

  2

  1

  2 z, (1.20)

  Definimos F : R N × R × R N → R por F (x, s, z) =

  1

  2 1 + s

  2 |z|

  2

  2 V (x) s

  2 −

  1 p + 1 |s| p

  . (1.18) Por c´alculo direto obtemos

  F z i (x, s, z) = 1 + s

  2 z i , i ∈ {1, . . . , N } , (1.19)

  F z (x, s, z) = 1 + s

  F s (x, s, z) = s |z|

  = u |∇u|

  2

  s, (1.21) F x i (x, s, z) =

  1

  2 s

  2 ∂

  ∂x i V (x) . (1.22)

  De forma que a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange (1.10) se torna div 1 + u

  2 ∇u = u |∇u|

  2

  Mas div 1 + u

  2 ∇u = 2u |∇u|

  2

  2 ∆u

  Q (x) dx. (1.24) Demonstra¸c˜ ao. Substituindo (1.18), (1.19), (1.21) e (1.22) em (1.12) obtemos (1.23). N Definimos para R > 0 e x ∈ R ,

   

  1, se x ∈ B , R χ (x) = BR N

   N 0, se x ∈ R \B R . Para todo x ∈ R , R lim Q (x) χ (x) = Q (x) e Q (x) χ (x) ≤ Q (x) . BR BR

  →∞ Lembramos que, por (V ) e (V ) ,

  1

  2 ∞ N

  ∞

  R V ≤ V (x) ≤ V e x · ∇V (x) ∈ L .

  1 N R Al´em disso, u ∈ X. Portanto Q ∈ L . Assim podemos aplicar o Teorema da Con- vergˆencia Dominada de Lebesgue para obter

  Z Z Z R R lim Q (x) dx = lim Q (x) χ (x) dx = Q (x) dx. BR →∞ →∞ N N B R R R A seguir transcrevemos a Proposi¸c˜ao 2 de [27].

  • N

  2 R Proposi¸c˜ ao 1.5 Suponha que u ∈ C ´e tal que F (x, u, ∇u) , |∇u| |F z (x, u, ∇u)| ,

  |u| N

  1 R |F z (x, u, ∇u)| ∈ L . Ent˜ao vale

  |x| + 1 Z lim inf H (x, u, ∇u) dS ≤ 0. R

  →∞ ∂B R N

  2 R No nosso caso, para u ∈ X ∩ C ,

  1

  1

  1 p 2 +1

  2

  2

  • F (x, u, ∇u) = 1 + u |∇u| V (x) u − |u|

  2 2 p + 1 e

  2

  2 N |∇u| |F z (x, u, ∇u)| = 1 + u |∇u|

  1 R pertencem a L , pois u ∈ X e V ´e limitada. Tamb´em

  |u|

  2 |F z (x, u, ∇u)| ≤ |u| 1 + u |∇u|

  |x| + 1

  2 = |u| |∇u| + u |u| |∇u|

  2

  2

  2

  4

  2 u |∇u| u u |∇u| + + + ≤ .

  2

  2

  2

  2 Como u ∈ X, segue que |u|

  1 N R |F z (x, u, ∇u)| ∈ L .

  |x| + 1 Assim vemos que as hip´oteses da Proposi¸c˜ao 1.5 s˜ao satisfeitas no nosso caso e portanto

  Z lim inf H (x, u, ∇u) dS ≤ 0. R →∞ ∂B R No pr´oximo lema mostramos que esse lim inf ´e zero. N

  2 R Lema 1.6 Seja F dada em (1.18). Se u ∈ X ∩ C ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (P ) ent˜ao

  Z lim inf H (x, u, ∇u) dS = 0. R →∞ ∂B R

  Demonstra¸c˜ ao. Substituindo (1.18), (1.19) em (1.16) obtemos

  X 1 ∂u ∂u

  2 H (x, u, ∇u) = |x| F (x, u, ∇u) − x x 1 + u j i |x| ∂x j ∂x i i,j

  X 1 ∂u 2 − au x i 1 + u .

  |x| ∂x i i ∂u

  Para x ∈ ∂B R , como |x i | ≤ |x| = R e ≤ |∇u| com i ∈ {1, . . . , N} ,

  ∂x i

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2 |H (x, u, ∇u)| ≤ R |F (x, u, ∇u)| + R |∇u| 1 + u N + |a| |u| 1 + u R |∇u| N

  R R

  1

  1

  1 p 2 +1

  2

  2 ≤ R 1 + u + V (x) u + |∇u| |u|

  2 2 p + 1 " #

  2

  2 u |∇u|

  2

  2

  2

  2

  • R |∇u| 1 + u N + N |a| 1 + u , +

  2

  2

  2

  2 onde na ´ ultima parcela usamos que ab ≤ a /2 + b /2 para todo a, b ∈ R. Da desigualdade acima e de (V ) ,

  1

  2

  1 N |a| (1 + u )

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2 |H (x, u, ∇u)| ≤ 1 + u + N + 1 + u R |∇u|

  V Ru + ∞

  2

  2 R

  2 1 p

  • 1

  2

  2 |u| R + N |a| 1 + u u + . (1.25) p + 1 O Lema 5.10 em [24] garante que existem c > 0 e δ > 0 tais que −δR

  |u (x)| ≤ ce , para |x| = R (1.26) e Z

  2 −δR R N |∇u| dx ≤ ce , (1.27)

  \B R N

  2 R para R > 0 suficientemente grande e u ∈ X∩C solu¸c˜ao de (P ). Conforme observado por Ruiz e Siciliano em [29], os argumentos utilizados por Liu, Wang e Wang em [24] na demonstra¸c˜ao de (1.26), (1.27) tamb´em valem quando p ∈ (1, 3) . Por (1.26) para |x| = R com R > 0 suficientemente grande podemos supor que |u| ≤ 1 e, consequentemente, p p

  • 1 −1

  2

  2 |u| = |u| u ≤ u . Da´ı, de (1.26) e (1.25), existem constantes c , c 1 > 0 tais que, para todo x ∈ ∂B R com R > 0 suficientemente grande, vale

  2

  2

  2 |H (x, u, ∇u)| ≤ c R |∇u| + c u + c Ru

  2 −2δR −2δR ≤ c R |∇u| + c e + c R e .

  1

  1 Da´ı, Z Z

  H (x, u, ∇u) dS |H (x, u, ∇u)| dS ∂B ∂B R R ≤ Z

  2 N N −2δR −1 −2δR

  ≤ c R |∇u| dS + c N c e R + c N c e R , ∂B R

  1 N −1

  1 onde c N = N α (N ) ´e uma constante que depende s´o de N , tal que c N R ´e a ´area da superf´ıcie da esfera ∂B R . Como o limite das ´ ultimas parcelas ´e zero quando R → ∞, segue que

  Z Z

  2 lim inf H (x, u, ∇u) dS lim inf R |∇u| dS . (1.28) R ≤ c R

  →∞ →∞ ∂B ∂B R R Por (1.27),

  Z Z Z ∞

  2

  2 −δR R ∂B r |∇u| dS dr = |∇u| dx ≤ ce . R N

  \B R Definindo

  Z

  2 f (r) = |∇u| dS, ∂B r a desigualdade acima se torna

  Z ∞

  −δR f (r) dr ≤ ce . (1.29) Afirmamos que lim inf rf (r) = 0. Caso contr´ario, existiria A > 0 e c > 0 tal que r →∞ c rf (r) > > 0 para todo r > A 2 e da´ı, para todo R > A valeria

  Z Z ∞ ∞ c R R 2r f (r) dr > dr = ∞, o que contradiz (1.29). Isso mostra que

  Z

  2 lim inf r |∇u| dS = 0. r →∞ ∂B r Combinando com (1.28) conclu´ımos a demonstra¸c˜ao do lema. N

  2 R Proposi¸c˜ ao 1.7 Se u ∈ X ∩ C ´e uma solu¸c˜ao de (P ), ent˜ao, para todo a ∈ R, u satisfaz a identidade

  Z Z Z N − 2 N − 2 N

  2

  2

  2

  2 N N N + − a |∇u| − 2a u |∇u| − a V (x) u +

  2 R

  2 R

  2 R Z Z

  1 N p

  • 1

  2

  • u x · ∇V (x) − − a |u| = 0. (1.30) N N

  2 R p + 1 R Demonstra¸c˜ ao. Pelo Corol´ario 1.3, para R > 0

  Z Z ∂B B R R H (x, u, ∇u) dS = Q (x) dx, onde H ´e dada em (1.16) e Q ´e dada em (1.12). Pelo Lema 1.4, Z Z lim inf H (x, u, ∇u) dS = Q (x) dx R →∞ N ∂B R R

  Z e Q (x) dx ´e exatamente o lado esquerdo de (1.30). Aplicando o Lema 1.6, conclu´ımos R N que u satisfaz (1.30). N

  2 R Tomando a = −1 na Proposi¸c˜ao 1.7, obtemos que toda u ∈ X ∩ C que ´e uma solu¸c˜ao de (P ) pertence ao conjunto

  M = {u ∈ X\ {0} ; J (u) = 0} , onde J : X → R ´e dada em (1.9).

  1.2 Caracteriza¸c˜

ao do conjunto M

  • Nesta se¸c˜ao, para cada u ∈ X, definiremos uma fun¸c˜ao f u : R → R que satisfaz

  ′ f (1) = J (u) , de forma que u

  ′ M = {u ∈ X\ {0} ; f (1) = 0} . u Come¸camos definindo, para cada u ∈ X, a fun¸c˜ao γ u : [0, ∞) → X por γ u (t) = u t , N onde a fun¸c˜ao u t : R → R ´e dada por x u t (x) = tu , se t > 0 e u = 0. (1.31) t

  Observamos que, para t 6= 0, pela regra da cadeia, x N ∇u t (x) = ∇u , x ∈ R . N t

  2

  2

  2 R Como u ∈ X, ent˜ao u, u , |∇u| , |∇u | ∈ L , e portanto, para cada t ∈ [0, ∞), temos

  2

  2

  2 N R u t , u , |∇u t | , |∇u | ∈ L , isto ´e, u t ∈ X. Logo γ u est´a bem definida. No Lema 1.9 t t a seguir vamos mostrar que γ u ´e cont´ınua. Para tanto, utilizamos o Lema de Br´ezis-Lieb [4], cuja demonstra¸c˜ao tamb´em pode ser encontrada em [16] (veja Lema 4.6, Cap´ıtulo 1). N Lema 1.8 (Br´ ezis-Lieb) Sejam Ω ⊂ R aberto, 1 ≤ q < ∞ e (f n ) uma sequˆencia q limitada de fun¸c˜oes de L (Ω) convergente q.t.p em Ω para f . Ent˜ao q q q q f ∈ L (Ω) e |f | = lim |f n | − |f n − f | . q q q n

  →∞ Lema 1.9 Para cada u ∈ X fixado, seja γ u : [0, ∞) → X dada por γ u (t) = u t , onde N a fun¸c˜ao u t : R → R ´e dada em (1.31). Ent˜ao γ u ´e cont´ınua, considerando X com a m´etrica d X dada em (1.2).

  Demonstra¸c˜ ao. Seja (t n ) uma sequˆencia em [0, ∞) convergindo para t . Vamos mostrar que n lim d X (γ u (t n ) , γ u (t )) = 0, →∞ onde d X ´e a m´etrica de X dada em (1.2) . Primeiro vamos supor que t > 0. Nesse caso, podemos admitir que 0 < t ≤ t + 1 para todo n ∈ N. Como u ∈ X ´e fixado, por n comodidade denotamos γ u por γ. Pela defini¸c˜ao de d X ,

  2

  2 d X (γ (t n ) , γ (t )) = kγ (t n ) − γ (t )k + ∇ [γ (t n )] − ∇ [γ (t )] .

  2

  2

  2

  2 Usando que (a + b) ≤ 2a + 2b , para todos a, b ∈ R, temos que

  2

  2

  2 [d X (γ (t n ) , γ (t ))] ≤ 2 |γ (t n ) − γ (t )| + 2 |∇γ (t n ) − ∇γ (t )|

  2

  2

  2

  2

  2

  • 2 ∇ [γ (t n )] − ∇ [γ (t )] . (1.32)

  2 N Afirmamos que γ (t n ) (x) → γ (t ) (x) e ∇γ (t n ) (x) → ∇γ (t ) (x) q.t.p em R quando

  2

  2 n → ∞ ( e consequentemente ∇ [γ (t n )] (x) = 2γ (t n ) (x) ∇γ (t n ) (x) → ∇ [γ (t )] (x) N q.t.p em R quando n → ∞ ). Admitindo essa afirma¸c˜ao verdadeira, vamos concluir a prova do lema utilizando o Lema 1.8 (Lema de Br´ezis-Lieb). Primeiro observamos que

  Z Z Z x

  2

  2 N

  2 2 +2

  2 |γ (t n )| = |γ (t n )| = t u dx = t u (y) dy. (1.33) n n

  2 R R t n R N N N N

  2 R Como u ∈ X e t n → t , segue que (γ (t n )) ´e uma sequˆencia limitada em L . Al´em disso,

  Z

  2 N

  2

  • 2

  2 lim |γ (t n )| = t u (y) dy = |γ (t )| . n

  2

  2 →∞ N R

  Aplicando o Lema 1.8 com f n = γ (t n ), f = γ (t ) e q = 2, podemos concluir que

  2 lim |γ (t n ) − γ (t )| = 0. (1.34) n

  2 →∞

  Procedemos de forma an´aloga para mostrar que

  2 lim |∇γ (t n ) − ∇γ (t )| = 0 (1.35) n

  2 →∞ e

  2

  2

  2 lim n )] − ∇ [γ (t )] = 0. (1.36)

  ∇ [γ (t n →∞

  2 Tudo funciona bem pois Z Z

  2 Z x

  2

  2 N

  2 |∇γ (t n )| = |∇γ (t n )| = dx = t |∇u (y)| dy (1.37) n

  2 R R t n R N N N ∇u e

Z Z

  2 Z

  2 2 x

  2 n )] = n )] = t u dx = t (y) dy

  2

  2

  2

  2 N +2

  2 ∇ [γ (t ∇ [γ (t n n ∇u

  2 R R t n R N N N ∇ (1.38) e podemos aplicar novamente o Lema 1.8 para concluir (1.35) e (1.36) . Substituindo

  (1.34) , (1.35) e (1.36) em (1.32) , o lema fica demonstrado no caso t > 0, faltando apenas verificar as convergˆencias N γ (t n ) (x) → γ (t ) (x) e ∇γ (t n ) (x) → ∇γ (t ) (x) N N 1 ∞

  R R q.t.p em R quando n → ∞. Ora, como u ∈ X ⊂ H e C ´e denso em N N

  1 ∞ R R H existe uma sequˆencia (u k ) em C tal que ku k − uk → 0 quando k → ∞.

  Em particular, |u k − u| → 0 e |∇u k − ∇u| → 0 quando k → ∞.

  2

  2 Passando a uma subsequˆencia, podemos supor que N N u k (x) → u (x) e ∇u k (x) → ∇u (x) q.t.p em R quando k → ∞. Assim existe Z ⊂ R de medida nula tal que |u k (x) − u (x)| → N 0, para todo x ∈ R \Z, isto ´e, dado ε > 0, existe k ∈ N tal que N

  |u (x) → u (x)| < ε, para todo x ∈ R \Z e k ≥ k . (1.39) k x

  Fixado n ∈ N ∪ {0}, o conjunto Z n = {t n y : y ∈ Z} tem medida nula. E 6∈ Z se, t n somente se, x 6∈ Z n . Assim, segue de (1.39) que n u k − t n u + 1) k − u + 1) ε, x x x x t ≤ (t u < (t N t n t n t n t n

  ∞ para todo x ∈ R \Z n . Tomando N = Z ∪ [∪ Z n ] , temos que N tem medida nula e n

  =1 n u k − t n u + 1) ε, para todo x ∈ R \N e n ∈ N. x x N t < (t t n t n Logo, x x |γ (t n ) (x) − γ (t ) (x)| = n u − t u t t n t x x x x

  ≤ u − t u u − t u n n k n k k t + t t n t n t n t x x

  • u − t k u t t t x x

  ≤ 2 (t + 1) ε + n u k − t u k t N t t n para todo n ∈ N e x ∈ R \N. Ora, u k ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e t n → t . Logo existe n ∈ N tal que N |γ (t n ) (x) − γ (t ) (x)| ≤ 2 (t + 1) ε + ε, para todo x ∈ R \N e n ≥ n . Isso mostra que N γ (t n ) (x) → γ (t ) (x) q.t.p em R .

  A prova que N ∇γ (t n ) (x) → ∇γ (t ) (x) q.t.p em R

  ´e an´aloga. Com isso conclu´ımos a demonstra¸c˜ao do lema no caso t > 0. Quando t = 0, como γ (0) = 0,  

  0, se t n = 0, d X (γ (t n ) , 0) =  d X (γ (t n ) , 0) , se t n > 0 tender´a a zero quando n → ∞ como consequˆencia direta de (1.33) , (1.37) e (1.38) .

  Para cada u ∈ X definimos f u : [0, ∞) → R por N f u (t) = I(u t ), (1.40) onde u t : R → R ´e dada em (1.31). Temos f u (0) = 0 e, para t > 0, Z

  Z

  1 1 p

  2

  2

  2 2 +1 f u (t) = I(u t ) = (|∇u t | + V (x)u + u |∇u t | ) dx − |u t | dx N t t N

  2 R p + 1 R Z Z

  2 1 x

  1 1 x

  2

  2

  2 = t dx + V (x)t u dx

  ∇u N N

  2

  2 R t t

  2 R t Z Z

  2 p +1 1 x x

  1 1 x p

  2

  2 2 +1 t u t dx − t dx. +

  ∇u u N N

  2

  2 R t t t p + 1 R t Fazendo x = ty, pelo Teorema da Mudan¸ca de Vari´aveis, N Z N Z

  • 2

  t t

  2

  2 f u (t) = I(u t ) = |∇u (y) | dy + V (ty)u (y) dy N N

  2 R

  2 R N N Z Z

  • 2 +p+1

  t t

  2 2 p +1 N N (y) |∇u (y) | + u dy − |u (y) | dy. (1.41)

  2 R p + 1 R Observamos que, fixado u ∈ X\ {0} ,

  Z N N N N

  1 2 +2 +2 +p+1 f + u (t) = At V (ty)u (y) dy t + Bt − Ct , t > 0, N

  2 R onde A, B, C > 0. Por (V 1 ) ,

  0 < V ≤ V (ty) ≤ V , N ∞ para todo y ∈ R e t > 0. Assim existem constantes ˜ N N N

  B, ˆ B > 0 tais que

  • 2 +p+1

  f u (t) ≥ At + ˜ Bt − Ct e N N +2 N +p+1 f u (t) ≤ At + ˆ Bt − Ct , para todo t > 0. Como p + 1 > 2 conclu´ımos que f u (t) > 0 para t > 0 suficientemente pequeno (1.42) e t lim f u (t) = −∞. (1.43)

  →∞ Como f u = I ◦ γ u ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de t, e sendo f u (0) = I (u ) = 0, de (1.42) e (1.43) conclu´ımos que f u atinge um m´aximo em algum t > 0. No Lema 1.11 mostraremos que, para u 6= 0, a fun¸c˜ao f u tem um ´ unico ponto de m´aximo.

  A partir de (1.41) calculamos a derivada de f u , qual seja, Z Z N +2

  N t d N ′ −1

  2

  2 f (t) = t |∇u (y) | dy + · V (ty)u (y) dy u N N

  2 R 2 dt R Z Z

  N + 2 N + 2 N N

  • 1 2 +1

  2

  2

  • t V (ty) u (y) dy + t u (y) |∇u (y) | dy N N

  2 R

  2 R Z N + p + 1 N p

  • p +1

  − t |u (y) | dy. (1.44) N p + 1 R Neste ponto, gostar´ıamos de lembrar o seguinte corol´ario do Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue ( veja Corol´ario 5.9 em [1]).

  Corol´ ario 1.10 Suponha que para algum t ∈ [a, b] , a fun¸c˜ao x 7→ f (x, t ) seja integr´avel ∂f em Y, que exista em Y × [a, b] , e que exista uma fun¸c˜ao integr´avel g : Y → R tal que

  ∂t ∂f

  (x, t) ≤ g (x) . ∂t

  Ent˜ao a fun¸c˜ao Z

  F (t) = f (x, t) dx Y ´e diferenci´avel em [a, b]

  Z dF (t) ∂f = (x, t) dx. dt ∂t Y N

  Pela hip´otese (V ) podemos aplicar o resultado acima com Y = R , obtendo, para

  2 t > 0,

  Z Z d

  2

  2 R R N N V (ty)u (y) dy = y · ∇V (ty) u (y) dy dt

  Z

  1

  2 = ty · ∇V (ty) u (y) dy. N t R

  Substituindo em (1.44), vem Z Z N

  1 ′ N −1

  2 N +1

  2 f (t) = t |∇u (y) | dy + t ty · ∇V (ty) u (y) dy u R R N N

  2

  N + 2 N + 2 N N

  • 1 2 +1

  2

  2

  • t V (ty)u (y) dy + t u (y) |∇u (y) | dy N N

  2 R

  2 R Z N + p + 1 N p

  • p +1

  − t |u (y) | dy. (1.45) N p + 1 R ′

  Note que f (1) = J (u) onde J : X → R ´e dada em (1.9). Assim o conjunto M = u {u ∈ X\ {0} ; J (u) = 0} , que como vimos na Se¸c˜ao 1.1, cont´em todas as solu¸c˜oes n˜ao nulas de (P ) , ´e igual ao conjunto

  ′ M = {u ∈ X\ {0} ; f (1) = 0} . (1.46) u

  N Afirmamos que M ´e n˜ao vazio. De fato, para u ∈ X, a fun¸c˜ao u t : R → R, definida em N (1.31) satisfaz, para t, s > 0 e x ∈ R , h i h i x x x x x (u t ) (x) = su t = s tu = tsu = t su = tu s = (u s ) (x) . s t s ts ts st t

  Ou seja, (u t ) = u ts = (u s ) , para todo t, s > 0. Consequentemente, a fun¸c˜ao f u : [0, ∞) → s t R definida em (1.40) satisfaz, para t, s > 0, f u t (s) = I ((u t ) ) = I (u ts ) = f u (ts) . s

  Derivando em rela¸c˜ao a s, obtemos ′ ′ f (s) = tf (ts) . u t u

  Em particular, quando s = 1, ′ ′ f (1) = tf (t) , para todo t > 0. (1.47) u t u

  Conforme j´a observamos, se u ∈ X\ {0} , como f u (0) = 0, por (1.42) e por (1.43), f u M M possui pelo menos um ponto de m´aximo t > 0. Por (1.47) , u ∈ M. Logo M ´e n˜ao t vazio.

  Nesta se¸c˜ao mostramos que o ´ınfimo do funcional I no conjunto M ´e estritamente positivo e ´e caracterizado por m := inf I = inf max I (u t ) , M u t> N ∈X\{0} onde u t : R → R ´e definida em (1.31) .

  Lema 1.11 Para qualquer u ∈ X\{0}, a fun¸c˜ao f u definida em (1.40), atinge seu m´aximo u u em um ´ unico ponto t > 0. Al´em disso, f u ´e positiva, crescente para 0 < t < t e u decrescente para t > t . Finalmente m = inf I = inf max I (u t ) . M t> u

  ∈X\{0}

  N +p+1

  1 Demonstra¸c˜ ao. Seja h : [0, ∞) → R dada por h (s) = s . Para u ∈ X\ {0} , defina

  g u : [0, ∞) → R por g u = f u ◦ h. Ent˜ao, de (1.41), N +p+1 1 g u (s) = f u s N N +2 N +2 N N N +p+1 +p+1 +p+1 Z Z Z 1 s s s

  2 N +p+1

  2

  2

  2 = N N N |∇u| V (s x)u u |∇u| + +

  2 R

  2 R

  2 R Z s p +1 − |u| . N

  (1.48) p + 1 R Como h (s) ´e positiva e fica pr´oxima de zero para s > 0 pequeno, ent˜ao por (1.42), g u (s) = f u (h (s)) > 0 para s > 0 suficientemente pequeno. Por (1.43) e por ser lim h (s) = ∞, s

  →∞ s →∞ s →∞ lim g u (s) = lim f u (h (s)) = −∞.

  Afirmamos que g u ´e cˆoncava. Admitindo esse fato, e como g u (0) = 0, conclu´ımos que o u u m´aximo de g u ´e atingido em algum s > 0 e s ´e o ´ unico ponto cr´ıtico de g u . Portanto, u u ′ ′ g (s) > 0, para s ∈ (0, s ) e g (s) < 0, para s > s . Temos u u 1

  1 −1

  ′ ′ N +p+1 g (s) = f (h (s)) · s . u u N + p + 1

  Logo N +p ′ ′ N +p+1 u u u u u f (h (s)) = (N + p + 1) s g (s) . u u

  ′ ′ ′ Seja t = h (s ). Ent˜ao f (t ) = 0 e f (t) > 0, para t ∈ (0, t ) e f (t) < 0, para t > t . u u u u u Logo para u ∈ X\{0}, t ´e o ´ unico ponto de m´aximo de f u e t ´e o ´ unico ponto cr´ıtico de u ′ f u al´em de t = 0. Quando u ∈ M, t = 1 j´a que f (1) = 0 nesse caso. Como f u (0) = 0, u f u (1) > 0, para todo u ∈ M. Assim, pelas defini¸c˜oes de u t e f u (t) , o conjunto

  {I (u) ; u ∈ M } = {I (u ) ; u ∈ M } = {f u (1) ; u ∈ M }

  1 ´e limitado inferiormente por zero. Logo est´a bem definido m := inf I (u) u

  ∈M u ′ ′ e m ≥ 0. J´a vimos em (1.47) que f (1) = tf (t), para todo t > 0. Assim t ´e o ´ unico u u t

  ′ ′ u u u ponto tal que f (1) = f (t ) · t = 0, ou seja, t ´e o ´ unico ponto tal que u u tu

  u ′ u t ∈ M = {u ∈ X\{0}; f (1) = 0}. Agora vamos mostrar que u m := inf max I (u t ) e m = inf I = inf{I (u) ; u ∈ M }

  1 u ∈X\{0} t> M s˜ao iguais. Temos que u m

  1 = inf I (u t ) ≥ inf I (u) = m, u M ∈X\{0} u onde na ´ ultima desigualdade usamos o fato de que u t ∈ M , para todo u ∈ X\ {0}. Por outro lado, M ⊂ X\{0} e quando u ∈ M, f u atinge seu valor m´aximo em t = 1. Ent˜ao m 1 = inf max I (u t ) ≤ inf max f u (t) = inf f u (1) = inf I (u u ∈M ∈M ∈M ∈M t> u t> u u u 1 ) = inf I (u) = m,

  ∈X\{0} pois u = u.

  1 N Resta mostrar que g u ´e uma fun¸c˜ao cˆoncava. De fato, considere para cada x ∈ R N +2 1 N N

  • +p+1 +p+1

  a fun¸c˜ao α x : R → R dada por α x (s) = s V s x . Por (V 3 ) , α x ´e concˆava.

  • Vamos mostrar que a fun¸c˜ao p : R → R, N +2

  Z Z 1 N N +p+1 +p+1

  2

  2 p (s) = s R R N N V s x u (x) dx = α x (s) u (x) dx

  • ´e cˆoncava. Com efeito, para θ ∈ [0, 1] e s , s ∈ R ent˜ao

  1

  2 Z

  2 p ((1 − θ) s + θs ) = α x ((1 − θ) s + θs ) u (x) dx

  1

  2 R N

  1

  2 Z

  2 ≥ ((1 − θ) α x (s ) + θα x (s )) u (x) dx R N

  1

  2 Z Z

  2

  2 ≥ (1 − θ) α x (s ) u (x) dx + θ α x (s ) u (x) dx R R N N

  1

  2 = (1 − θ) p (s ) + θp (s ) .

  1 r

  2 Logo p ´e cˆoncava. Temos que a fun¸c˜ao s 7→ s com 0 < r < 1 ´e cˆoncava. Como p + 1 > 2, conclu´ımos que, para cada u ∈ X, a fun¸c˜ao g u dada em (1.48) ´e cˆoncava por ser a soma de fun¸c˜oes cˆoncavas.

  Lema 1.12 O valor m = inf I ´e estritamente positivo. M

  Demonstra¸c˜ ao. Seja V dado na hip´otese (V ) . Definimos I : X → R por

  1 Z Z

  1

  1 p

  2

  2

  2 2 +1 I (u) = |∇u| + V u + u |∇u| − |u| . N N

  2 R p + 1 R N Por (V 1 ), I (u (x)) ≤ I (u (x)) para todo x ∈ R . Isso implica que m := inf max u ∈X\{0} u ∈X\{0} t> t> I (u t ) ≤ inf max I (u t ) = m.

  Portanto basta mostrar que m > 0. Fixado u ∈ X\{0} definimos g : [0, ∞) → R N u ′ por g u (t) = I (u t ) e M = {u ∈ X\{0}; g (1) = 0}. A fun¸c˜ao V : R → R dada por N u V (x) = V para todo x ∈ R satisfaz (V ), (V ), (V ). Aplicando o Lema 1.11 para g u

  1

  2

  3 obtemos m = inf M I (u). Temos

  Z Z N N + 2 N N

  ′ −1 2 +1

  2 g + (t) = t |∇u| t u N N V u

  2 R

  2 R Z Z N + 2 N + p + 1 N N p

  • 1

  2 2 +p +1

  • t u |∇u| − t |u| . (1.49) N N

  2 R p + 1 R ′

  Para u ∈ M , g (1) = 0 ent˜ao u Z Z Z Z

  N N + 2 N + 2 N + p + 1 p

  2

  2

  2 2 +1 N N N N V u + u |∇u| − |u| = 0. (1.50) + |∇u|

  2 R

  2 R

  2 R p + 1 R Da´ı

  Z Z Z Z N + 2 N + 2 N + p + 1 N p

  2

  2 2 +1

  2

  V u u |∇u| = |u| − |∇u|

  • N N N N

  2 R

  2 R p + 1 R

  2 R Z N + p + 1 p

  • 1

  ≤ |u| . (1.51) N p + 1 R Temos

  N + p + 1 (N + 2) p +1 p +1 |u| = · V · q |u| , (1.52) p + 1

  2 onde

  2

  1 N + p + 1 q = · · . (N + 2) V p + 1

  ∗ ∗

  Como 2 < p + 1 < 2 (2 ) , ent˜ao existe θ ∈ (0, 1) tal que p + 1 = (1 − θ) 2 + θ 2 (2 ) . Logo p θ

  • 1 (1−θ)2 2·2

  q |u| = |u| q |u| . Pela desigualdade de Young com expoentes r = 1/ (1 − θ) e ′ r = 1/θ temos r θ ′ ∗ ′

  (1−θ)2r 2(2 )r 1 ∗ 1 ∗ p |u| q |u|

  • 1 2 2(2 ) θ θ

  2 2(2 ) q |u| ≤ = (1 − θ) u + θ q |u| ≤ u + q |u| . (1.53) +

  ′ Assim, de (1.52) e (1.53), 1 N + p + 1 (N + 2) (N + 2) p

  • 1 2 2(2 ) θ

  |u| ≤ + V u V q |u| . p + 1

  2

  2 Substituindo em (1.51) vem Z Z Z Z

  N + 2 N + 2 (N + 2)

  2

  2

  2 2 2(2 ) V u |∇u| ≤ + u V u + c |u| , N N N N

  1

  2 R

  2 R

  2 R R onde c > 0. Da desigualdade acima e pela Desigualdade de Sobolev, existe c > 0 tal

  1

  2 que

  Z Z N + 2

  2

  2

  2

  2 u |∇u| ≤ c |u | N N

  1

  2 R R 1 # 2 2∗

  Z " Z 2 2

  2

  2

  2

  2 ≤ c |∇u | = 2 c u |∇u| .

  2 R R N N

  2 Logo N −1

  Z N −2 N + 2

  2

  2 u |∇u| ≥ R 2 (2 ) c N

  2

  2 ou seja,

  Z

  2

  2 u |∇u|

  (1.54) R N ≥ ec > 0, para todo u ∈ M e algum ec > 0. De (1.50) temos

  Z Z Z

  1 N N + 2 p

  • 1

  2

  2

  2

  2 N N N + |u| = |∇u| V u + u |∇u| . p + 1 R 2 (N + p + 1) R 2 (N + p + 1) R

  (1.55) Substituindo a equa¸c˜ao (1.55) na express˜ao do funcional I , vem

  Z

  1

  2

  2

  2

  2 I (u) = |∇u| + V u + u |∇u| N

  2 R Z Z N N + 2

  2

  2

  2

  2 − |∇u| − R R N N V u + u |∇u| 2 (N + p + 1) 2 (N + p + 1)

  Z Z

  1 N

  1 N + 2

  2

  2 = + − |∇u| − N N V u 2 2 (N + p + 1) R

  2 2 (N + p + 1) R Z

  1 N + 2

  2

  2 − + u |∇u| . N 2 2 (N + p + 1) R

  Como p > 1 ent˜ao

  1 N

  1 N + 2 − > 0 e − > 0. Portanto, por (1.54), I (u) ≥ c > 0 para todo u ∈ M . Como m = inf u I conclu´ımos ∈M que m > 0, o que finaliza a demonstra¸c˜ao do Lema 1.12.

  Cap´ıtulo 2 Existˆ encia de solu¸c˜ ao positiva de energia m´ınima

  Neste cap´ıtulo, inicialmente provamos o seguinte resultado: Proposi¸c˜ ao 2.1 Seja m = inf M I. Ent˜ao existe u ∈ M tal que I (u) = m . Tal proposi¸c˜ao ser´a pe¸ca fundamental para demonstra¸c˜ao do Teorema A. N

  ∗

  1 R Teorema A Se p ∈ (1, 2 (2 ) − 1) e V ∈ C satisfaz (V ) , (V ) , (V ) ent˜ao (P )

  1

  2

  3 possui uma solu¸c˜ao positiva de energia m´ınima.

  A fim de demonstrar a Proposi¸c˜ao 2.1 utilizamos os resultados a seguir. Come¸camos com um resultado t´ecnico.

  Z

  2

  2

  2

  2 Proposi¸c˜ ao 2.2 Existe c > 0 tal que I (u) ≥ c (|∇u| + u + u |∇u| ) para todo R N u ∈ M.

  ′ Demonstra¸c˜ ao. Seja u ∈ M = {u ∈ X\{0}; f (1) = 0}. Para t ∈ (0, 1) , considere N u u : R → R definida em (1.31) . Por (1.41) e (1.7) , t N N +2 N +2 N +p+1 Z Z Z Z t t t t p

  2

  2

  2 2 +1 I(u ) = + |∇u| V (tx)u + t N N N N u |∇u| − |u|

  2 R

  2 R

  2 R p + 1 R e Z Z Z Z

  1

  1

  1

  1 p

  2

  2

  2 2 +1 I(u) = |∇u| + + V (x)u u |∇u| − |u| . N N N N

  2 R

  2 R

  2 R p + 1 R Ent˜ao N N +p+1 N +2 N +p+1 Z Z N t t t t

  • p+1

  2

  2

  2 I (u N N + t ) − t I (u) = − |∇u| − u |∇u|

  2

  2 R

  2

  2 R Z N N

  • 2 +p+1

  t t

  2 R N V (x) + V (tx) − u . (2.1)

  2

  2 N Por (V 1 ) temos que 0 < V ≤ V (x) ≤ V ∞ < ∞, para todo x ∈ R . Logo 0 < V /V ∞ ≤ 1 N

  e, al´em disso, V (tx) ≥ V para todo x ∈ R . Ent˜ao podemos tomar 0 < δ < V /V tal ∞ que V (tx) ≥ V > δ V ≥ δ V (x) . Note que δ ∈ (0, 1) e depende somente de V e V .

  ∞ ∞

  Como p + 1 > 2, escolhendo t ∈ (0, 1) suficientemente pequeno, temos N +2 N +p+1 N +2 N +p+1 N +2 N +p+1 t t t t t t V (tx)− V (x) ≥ δV (x)− V (x) ≥ δ − V := ε t > 0.

  2

  2

  2

  2

  2

  2 (2.2)

  ′ Como u ∈ M ent˜ao f (1) = 0. Pelo Lema 1.11, f u atinge seu m´aximo em t = 1. Logo para u t ∈ (0, 1) temos f u (t) ≤ f u (1) , ou seja, I (u t ) ≤ I (u) para todo t ∈ (0, 1) . Escolhendo t > 0 menor se necess´ario, temos, por (2.1) e (2.2), N N

  • p+1 +p+1

  1 − t I (u) = I (u) − t I (u) N

  • p+1

  ≥ I (u t ) − t I (u) N N Z N N Z

  • p+1 +2 +p+1

  t t t t

  2

  2

  2 N N + ≥ − |∇u| − u |∇u|

  2

  2 R

  2

  2 R Z

  2

  • ε t u R N Z Z Z

  2

  2

  2

  2 ≥ ε |∇u| + ε + t t u |∇u| ε t u R R R N N N

  Z

  2

  2

  2

  2 = ε t |∇u| + u |∇u| + u . R N

  ε t Tomando c = , conclu´ımos que N

  • p+1

  1 − t Z

  2

  2

  2

  2 I (u) ≥ c |∇u| + u |∇u| + u . R N Daqui por diante, nesta se¸c˜ao, denotaremos por (u ) uma sequˆencia em M tal que n

  I (u n ) converge para m = inf M I.

  2

  1 N R Lema 2.3 As sequˆencias (u n ) e (u ) s˜ao limitadas em H . Consequentemente (u n ) p N n

  • 1

  R ´e limitada em L . Demonstra¸c˜ ao. Como I (u n ) ´e convergente ent˜ao existe c tal que I (u n ) ≤ c para todo n ∈ N. Pela Proposi¸c˜ao 2.2,

  Z I (u n ) c

  2

  2

  2

  2 R N |∇u n | + u + u |∇u n | ≤ ≤ , para todo n ∈ N. (2.3) n n N c c

  1 R Portanto (u n ) ´e limitada em H . Por (2.3),

  Z Z 4c

  2

  2

  2

  2 R R c N N |∇u | = 4 u |∇u n | ≤ . (2.4) n n N

  2

  1 R Como u n ∈ M e M ⊂ X ent˜ao u ∈ H . Pela desigualdade de Sobolev, existe n

  2

  2 c > 0 tal que |u | ≤ c |∇u | . Combinando com (2.4), obtemos c , c > 0 tais que

  1 n

  2 1 n

  2 2∗

  2

  3 Z Z 2

  2

  2

  2

  2 |u | ≤ c |∇u | ≤ c . R R N N n n

  2

  3 Z c

  2 ∗ De (2.3), u ≤ . Como 2 < 4 < 2 (2 ) ent˜ao existe θ ∈ (0, 1) tal que 4 = θ · 2 + R c N n

  ∗ (1 − θ) 2 (2 ) . Pela desigualdade de H¨older com expoentes 1/θ e 1/ (1 − θ) e das duas ´ ultimas desigualdades, obtemos c > 0 tal que

  4 Z Z 2θ (1−θ)2(2 )

  4 R R N N u = |u n | |u n | n θ Z Z (1−θ)

  2(2 )

  2 ≤ u |u n | < c . n R R N N

  4

  2

  1 N R Da´ı e de (2.4) conclu´ımos que (u ) ´e uma sequˆencia limitada em H . Temos que n p +1 p + 1 N N

  ∗

  1 R 2 R 1 < < 2 . Pela imers˜ao cont´ınua de H em L , existe uma constante 2 c > 0 tal que

  5 2 Z p +1 p +1

  2

  2 2

  2 p +1

  2 |u n | = |u | ≤ u ≤ c u . (2.5) p n n

  5 n

  • 1 R N p +1 N
  • 2 R Logo (u n ) ´e uma sequˆencia limitada em L .

      Z p +1 Lema 2.4 A sequˆencia |u n | , n ∈ N, converge, a menos de subsequˆencia, para um R N valor A positivo.

      Demonstra¸c˜ ao. Por hip´otese, Z

      Z

      1 1 p

      2

      2

      2 2 +1 I(u ) = |∇u | + V (x)u + u |∇u | − |u | n n n n N n n N

      2 R p + 1 R

      2 converge para m. Pelo Lema 1.12, m > 0. Al´em disso, ku n k + ku k n˜ao converge para n

      2 2 zero. De fato, se fosse que ku n k + ku k → 0 ent˜ao seria lim ku n k = 0 e lim ku k = 0. n n n n

      →∞ →∞ Z p

    • 1

      De (2.5) ter´ıamos |u n | convergindo para zero. Por (V R N 1 ) , Z Z Z Z

      1 V

      1

      1 ∞ p

      2

      2

      2 2 +1 N N N N n n + |I(u )| ≤ |∇u | u |u | + + n n u |∇u n | n

      2 R

      2 R

      2 R p + 1 R Z

      2

      1 2 p 2 +1

      ≤ c + + ku n k u |u n | , n N p + 1 R para algum c > 0. Assim I (u n ) tenderia a zero contradizendo o fato de que I (u n ) converge

      2 para m > 0. Logo ku n k + ku k n˜ao converge para zero. Pelo Lema 1.11, f u n atinge seu u u n n n m´aximo num ´ unico ponto t > 0. Como t ´e o ´ unico ponto cr´ıtico de f u e u n ∈ M u n n ent˜ao t = 1. Assim para qualquer t > 1, por (1.41) f u (1) = I (u n ) ≥ f u (t) = I ((u n ) ) n n t N N N Z Z Z

    • 2 +2

      t t t

      2

      2

      2

      2 = |∇u + n | + V (tx) u |∇u n | u N N N n n

      2 R

      2 R

      2 R N Z

    • p+1

      t p

    • 1

      − |u n | N p + 1 R

      2 Por ser t > 1 e por (V ) ,

      1 N N Z Z

    • p+1

      t t p

      2 2 +1

      2

      2 I (u n ) ≥ |∇u n | + V u + |∇u n | u − |u n | . (2.6) N n n N Z

      2

      2

      2

      2 Seja δ n = |∇u n | + V u + |∇u n | u . Pela Proposi¸c˜ao 2.2, R N n n Z

      I (u n )

      2

      2

      2

      2 0 ≤ δ n ≤ (V + 1) |∇u n | + u + |∇u n | u ≤ (V + 1) . R N n n c

      Logo a sequˆencia (δ n ) ´e limitada. Portanto, a menos de subsequˆencia, (δ n ) converge para Z Z Z

      2

      2

      2

      2 um δ . Se δ = 0, ent˜ao as parcelas |∇u n | , N N R R R N N N V u e |∇u n | u convergem para n n

      2

      1

      2 R R zero. Como u ∈ H ֒→ L continuamente, existe c > 0 tal que n

      Z Z

      2

      2

      2

      2 u ≤ c . R R N N n n ∇u Z Z

      2

      2

      2

      2

      2 Como R R N N |∇u | → 0 ent˜ao (u ) → 0. Assim ter´ıamos ||u n || + ||u || convergindo n n n para zero, o que n˜ao pode ocorrer. Logo a sequˆencia (δ n ) converge para δ positivo e

      δ consequentemente, para n ∈ N suficientemente grande, δ n ≥ . Por hip´otese I (u n ) → m 2 e por (2.6) temos, para n suficientemente grande, N N Z

    • p+1

      t t p +1 m + 1 ≥ I (u n ) ≥ δ − |u n | . N 4 p + 1 R Logo N N Z

    • p+1

      t t p

    • 1 N |u n | ≥ δ − (m + 1) . N p + 1 R

      4 t Escolhendo t > 1 tal que δ > 2 (m + 1) , obtemos c > 0 tal que

      4 Z p

    • 1 R N

      |u n | > c > 0 Z p

    • 1

      para todo n ∈ N suficientemente grande. Como, pelo Lema 2.3, a sequˆencia |u n | , R N n ∈ N, ´e limitada, passando a uma subsequˆencia se necess´ario, podemos supor que Z p +1 R N |u n | → A ≥ c > 0.

      Na demonstra¸c˜ao do pr´oximo lema, utilizamos o seguinte resultado de concentra¸c˜ao de compacidade, devido a Lions ([21], Lema I.1).

      N r Lema 2.5 Sejam 1 < r ≤ ∞, 1 ≤ q < ∞,com q 6= , se r < N . Suponha que ψ n ´e q N r N N − r

      R R limitada em L , |∇ψ n | ´e limitada em L e que Z q n lim sup |ψ n | = 0, para algum R > 0. (H)

      →∞ N y ∈R B R (y) α N N r R Ent˜ao ψ n → 0 em L para todo α ∈ q, .

      N − r N +1 Z p Lema 2.6 Existem δ > 0 e uma sequˆencia (x n ) em R tais que |u n | > δ. B 1 (x n ) p + 1

      ∗ Demonstra¸c˜ ao. Sejam r = 2, N ≥ 3 e q = . Como 1 < p < 2 (2 ) − 1 ent˜ao

      2

      2N q N

      2

      2 R 1 < q < 2 = . Pelo Lema 2.3, (u ) ´e limitada em L e (|∇u |) ´e limitada em n n

      N − 2 p + 1

      2 N 2 t N ∗ R

      R L . Vamos mostrar que u n˜ao tende a zero em L para todo t ∈ , 2 . n 2 p + 1 p + 1 p + 1

      ∗ Sejam s ∈ 1, e t ∈ , 2 . Seja θ ∈ (0, 1) tal que = (1 − θ) s + θt.

      2

      2

      2 Pela desigualdade de H¨older com expoentes 1/ (1 − θ) e 1/θ, θ

    Z Z 1−θ p +1 θt s t Z Z

      (1−θ)s

      2 2

      2

      2

      2

      2 R R R R N N N N u = u u ≤ u u . (2.7) n n n n n Z s p + 1

      2 Note que (u ) ´e limitada pois podemos escrever s = (1 − β)+β para algum R N n

      2 β ∈ (0, 1) e, pela desigualdade de H¨older e pelo Lema 2.3,

      1−β β Z Z Z s p

    • 1

      2

      2 R R R N N N u ≤ u |u n | ≤ c. n n p +1 N

      2 2 R Como, pelo Lema 2.4, u n˜ao tende a zero em L , de (2.7) podemos concluir que n Z t p + 1

      2 ∗

      2 R N (u ) n˜ao tende a zero, para todo t ∈ , 2 . Ent˜ao, para ψ n = u , a tese do n n

      2 Lema 2.5 n˜ao ´e verdadeira. Logo a hip´otese (H) do Lema 2.5 n˜ao pode ser satisfeita, uma vez que as demais hip´oteses o s˜ao. Assim, Z p +1 n →∞ N lim sup |u n | 6= 0 y B

      ∈R R (y) Z p

    • 1

      para todo R > 0, em particular, para R = 1. Seja a n := sup |u n | , n ∈ N. Como y B N ∈R (y)

      (a n ) n˜ao tende a zero, existe δ > 0 tal que para todo n ∈ N podemos tomar n > n com a > δ. Assim, podemos construir uma subsequˆencia de (a ), ainda denotada por (a ), n n n tal que a n > δ para todo n ∈ N. Pela defini¸c˜ao de supremo, para cada n ∈ N, existe Z p N +1 y n ∈ R tal que |u n | > δ. B n 1 (y )

      De agora em diante, at´e o fim desta se¸c˜ao, para R > 0, consideramos η R : [0, ∞) → R ∞ uma fun¸c˜ao de classe C tal que (a) η R (t) = 1 para 0 ≤ t ≤ R, (b) η R (t) = 0 para t > 2R,

      2 ′ (c) 0 ≤ η R (t) ≤ 1 e |η (t)| ≤ para todo t ≥ 0. R

      R N E para n ∈ N, definimos v n , w n : R → R por v n (x) = η R (|x − x n |) u n (x) (2.8) e w (x) = (1 − η (|x − x |)) u (x) , (2.9) n R n n onde (x n ) ´e a sequˆencia obtida no Lema 2.6. Assim u n = v n + w n .

      Lema 2.7 As fun¸c˜oes v n e w n definidas em (2.8) e (2.9), respectivamente, pertecem a X. N

      2

      1

      2

      2 R Demonstra¸c˜ ao. Como u n ∈ X ent˜ao u n , u ∈ H , logo, u n , |∇u n | , u , |∇u | ∈ N n n n

      2 R L . Por ser η R ≤ 1, temos |v n | ≤ |u n | , logo

      Z Z Z Z

      2

      2

      4

      4 R R R R N N N N v ≤ u < ∞ e v ≤ u < ∞. n n n n

      2

      2

      2 N ′ R

      Segue que v n , v ∈ L . Usando que η R (t) ≤ 1 e |η (t)| ≤ para todo t ∈ [0, ∞), n R R obtemos

      2 x − x n

      2 ′

      |∇v n (x)| = R (|x − x n |) ∇u n (x) + u n (x) η (|x − x n |) R η

      |x − x n |

      2

      2 ≤ |∇u n (x)| + |u n (x)|

      R

      8

      2

      2 N

      1 R ≤ 2 |∇u + n (x)| |u n (x)| ∈ L . (2.10)

      2 R

      2 N R Logo |∇v n | ∈ L . Tamb´em,

      2

      4

      2

      2 ∇v = 2 |v n | |∇v n | ≤ 2 |u n | |∇u n | + |u n | ≤ 2 |u n | |∇u n | + |u n | . n R R

      Assim,

      2

      2

      4

      2

      32

      4 N

      2

      2

      2

    • 2

      1 R ∇v ≤ ∇u |u + n | ≤ 2 ∇u |u n | ∈ L . n n n

      2 R R

      2

      2 N R Logo ∇v ∈ L . Utilizando c´alculos semelhantes conclu´ımos que w n ∈ X. n Como consequˆencia do Lema 2.6, temos que, para R > 1,

      Z Z Z p +1 p p +1 p +1

    • 1 B B B R (x n ) R (x n ) (x n )

      |v n | = η (|x − x n |) |u n (x)| ≥ |u n | > δ > 0. (2.11) R 1 Lema 2.8 Dado ε > 0, sejam R > min {1, 1/ε} e w n definida em (2.9). Ent˜ao existem constantes c > 0 e σ > 0, que n˜ao dependem de ε, e n = n (ε) ∈ N tais que σ

      2 kw n k + w ≤ c ε para todo n ≥ n . n A seguir fazemos algumas defini¸c˜oes e provamos alguns resultados auxiliares a fim de demonstrar o Lema 2.8.

      Consideramos, daqui por diante, (z n ) a sequˆencia definida por z n (x) = u n (x + x n ) , onde (x n ) ´e a sequˆencia obtida no Lema 2.6. Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis y = x + x n , Z Z

      2

      2

      2 kz k = u (x + x ) dx + |∇u (x + x )| dx n n n n R R N N n

      Z Z

      2

      2

      2 = u (y) dy + |∇u n (y)| dy = ku n k R R N N n e

    Z Z

      2

      2

      2

      2

      2

      2 z = u (x + x n ) dx + ∇u (x + x n ) dx n n n R R N N

    Z Z

      2

      2

      2

      2

      2

      2 = u (y) dy + (y) dy = . R R N N n ∇u n u n N

      2

      1 Pelo Lema 2.3, (z n ) , (z ) s˜ao limitadas em H (R ). Portanto, existe z ∈ X tal que a n menos de subsequˆencia,

      2

      2

      1 N R z n ⇀ z e z ⇀ z fracamente em H . (2.12) n p +1 p + 1 N N

      ∗

      1 R 2 R Al´em disso, 1 < < 2 . Pela continuidade da imers˜ao de H em L

      2 p +1 Z p N +1

      2 2 R temos que z ∈ L , ou seja, |z| < ∞. N

      Z p +1 Lema 2.9 Dado ε > 0, existe R = R (ε) > 0 tal que |z| < ε. B R C Demonstra¸c˜ ao. Para R > 0,

      Z Z Z p p p

    • 1 +1 +1 B B R R C

      |z| = |z| − |z| (2.13) R N N Considere χ B a fun¸c˜ao caracter´ıstica da bola B R . Defina h : R × (0, ∞) → R por R p p

    • 1 +1 N

      h (x, R) = |z (x)| χ B R (x) , ent˜ao |h (x, R)| ≤ |z (x)| para todo x ∈ R , R > 0 p +1 p +1 N

      1 R e lim h (x, R) = |z (x)| . Como |z| ∈ L , pelo Teorema da Convergˆencia R

      →∞ Dominada de Lebesgue ([1], Corol´ario 5.7 ), segue que

      Z Z Z p p p

    • 1 +1 +1 R R lim |z| = lim |z| χ = |z| . B R →∞ →∞ N N B R R R

      Da´ı e de (2.13), Z p

    • 1 R lim |z| = 0.

      →∞ C B R Z p +1

      Assim, dado ε > 0, podemos escolher R suficientemente grande tal que |z| B C R < ε.

      Z Z p p

    • 1 +1 Lema 2.10 Para R > 0, lim |z n | = |z| , onde A (R, 2R) = B \B R . n

      2R →∞ A A

      (R,2R) (R,2R) N

      2

      2

      1 R Demonstra¸c˜ ao. Temos que z converge fracamente para z em H . Como 1 < n p +1 p + 1

      ∗

      2 2 N

      2

      2 N R < 2 ent˜ao z ≤ h para alguma h ∈ L e z → z q.t.p em R . Pelo n loc n

      2 Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue, Z Z p p +1 +1

      2 2

      2 2 z = lim z . n n A A →∞ (R,2R) (R,2R)

      Lema 2.11 Dado ε > 0, para n ∈ N suficientemente grande vale Z Z Z p p p

    • 1 +1 +1

      |u n | − |v n | − |w n | (2.14) R R R N N N ≤ 3ε. Demonstra¸c˜ ao. Fazendo a mudan¸ca de vari´avel x = y + x n , obtemos Z Z Z p p p

    • 1 +1 +1 R R R N N N

      |u n (x)| dx = |u n (y + x n )| dy = |z n (y)| dy, Z Z Z p p p p p

    • 1 +1 +1 +1 +1 R R R N N N

      |v n (x)| dx = η (|x − x n |) |u n (x)| dx = η (|y|) |z n (y)| dy R R e Z Z p p p

    • 1 +1 +1 R R N N

      |w n (x)| dx = (1 − η R (|x − x n |)) |u n (x)| dx Z p p

    • 1 +1 = (1 − η R (|y|)) |z n (y)| dy. R N

      Assim, Z Z Z Z Z p +1 p +1 p +1 p +1 p +1 p +1 R R R R R N N N = N N |u n | − |v n | − |w n | |z n (y)| dy − η (|y|) |z n (y)| dy R

      Z p p

    • 1 +1

      − (1 − η R (|y|)) |z n (y)| dy R N .

      (2.15) Temos

      Z Z Z Z p p p p

    • 1 +1 +1 +1 R N B A B R (R,2R) + |z n | = |z n | |z n | |z + n | .
    • 2R C C Como η R (|y|) ≡ 1 para todo y ∈ B R (0) e η R (|y|) ≡ 0 para todo y ∈ B , ent˜ao

        2R Z Z Z p +1 p +1 p +1 p +1 p +1 R N η (|y|) |z n (y)| dy = |z n (y)| dy + η (|y|) |z n (y)| dy R B A R (R,2R) R e

        Z Z p p p p

      • 1 +1 +1 +1 R A N

        (1 − η R (|y|)) |z n (y)| dy = (1 − η R (|y|)) |z n (y)| dy (R,2R)

        Z p

      • 1 B
      • 2R C |z (y)| dy. + n

          Das igualdades acima e de (2.15) ,

          Z Z Z p +1 p +1 p +1 R R R N N N |u n | − |v n | − |w n | Z Z p p

        • 1 p +1 +1

          = |z n (y)| dy − η (|y|) |z n (y)| dy A A R (R,2R) (R,2R)

          Z p p

        • 1 +1

          − (1 − η R (|y|)) |z n (y)| dy A (R,2R)

          Z Z p p p

        • 1 +1 +1

          ≤ |z n (y)| dy + η (|y|) |z n (y)| dy A (R,2R) A (R,2R) R Z p p

        • 1 +1
        • (1 − η R (|y|)) |z n (y)| dy A

          (R,2R) Z p +1

          ≤ 3 |z n (y)| dy, A (R,2R) pois 0 ≤ η R ≤ 1. Dado ε > 0, pelo Lema 2.9 podemos escolher R > 0 suficientemente

          Z p Z p

        • 1
        • 1

          grande tal que |z| < ε e pelo Lema 2.10 temos |z n | < ε para n > A A (R,2R) (R,2R) n (ε) suficientemente grande. Portanto,

          Z Z Z p p p

        • 1 +1 +1

          |u n | − |v n | − |w n | R R R N N N ≤ 3ε. N

          2

          1 R Como (z n ) ´e uma sequˆencia limitada em H , ent˜ao |∇z n | ´e uma sequˆencia

          1 N R limitada em L . Pela Proposi¸c˜ao A do Apˆendice, existe uma medida µ, finita em N

          2 R , tal que, a menos de subsequˆencia, |∇z n | dx ⇀ µ fracamente no sentido das medidas.

          Z Lema 2.12 Dado ε > 0 existe R = R (ε) > 0 tal que dµ < ε. B C R Demonstra¸c˜ ao. Para R > 0,

          Z Z Z B B R R C dµ = dµ − dµ. R N Al´em disso, N R lim χ B (x) = 1 e |χ B (x)| ≤ 1, para todo x ∈ R , R R

          →∞

          1 N R onde χ B ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica da bola B R . Como h ≡ 1 ∈ L pois R

          Z N N 1dµ = µ R < ∞, podemos aplicar o Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue para obter Z Z Z R R lim dµ = lim χ B (x) dµ = dµ. R

          →∞ →∞ N N B R R R Assim,

          Z R lim dµ = 0.

          →∞ C B R Z Portanto, dado ε > 0, podemos escolher R > 0 suficientemente grande tal que dµ < ε. B R C

          Lema 2.13 Dado ε > 0 existe R = R (ε) > 0 tal que Z

          2 L n := η R (|x − x n |) (1 − η R (|x − x n |)) |∇u n (x)| dx < ε, R N para n ∈ N suficientemente grande.

          Demonstra¸c˜ ao. Sejam Z

          2 N L := η (|x − x |) (1 − η (|x − x |)) |∇u (x)| dx n R n R n n R N e φ : R → R dada por φ (x) = η R (|x|) (1 − η R (|x|)). Fazemos a mudan¸ca de vari´aveis x = y + x n para obter

          Z Z

          2

          2 L n = η R (|y|) (1 − η R (|y|)) |∇u n (y + x n )| dy = φ (y) |∇z n (y)| dy. R N R N

          2 Como |∇z n | dy ⇀ µ fracamente no sentido das medidas, Z Z Z Z n lim L n = φ dµ = φ dµ ≤ dµ < dµ < ε C

          →∞ N R A (R,2R) A (R,2R) B (0) R para R = R (ε) dado no Lema 2.12. Segue que, para n ∈ N suficientemente grande, L n < ε.

          ′ Daqui por diante, nesta se¸c˜ao, algumas vezes denotamos η R (|· − x n |) e η (|· − x n |) R

          ′ por η R,n (·) e η (·) , respectivamente. R,n Lema 2.14 Dado ε > 0, para n ∈ N suficientemente grande vale Z Z Z

          2

          2

          2 |∇u n | − |∇v n | − |∇w n | (2.16) R R R N N N ≤ Cε.

          Demonstra¸c˜ ao. Como u n = v n + w n , temos

          2

          2

          2

          2 |∇u n | = |∇v n + ∇w n | = |∇v n | + 2∇v n · ∇w n + |∇w n | , ent˜ao

          Z Z Z Z

          2

          2

          2 R R R R N N N N |∇u n | − |∇v n | − |∇w n | = 2 ∇v n · ∇w n .

          J´a vimos que x − x n

          ′ ∇v n (x) = η R (|x − x n |) ∇u n (x) + u n (x) η (|x − x n |) (2.17) R

          |x − x n | e x − x n

          ′ ∇w n (x) = (1 − η R (|x − x n |)) ∇u n (x) − u n (x) η (|x − x n |) . (2.18) R

          |x − x n | Da´ı e do Lema 2.13, para n ∈ N suficientemente grande,

          Z Z

          2 2 ∇v · ∇w dx = η (|x − x |) [1 − η (|x − x |)] |∇u | dx R R N N n n R n R n n

          Z (x − x n )

          ′

        • [1 − 2η R (|x − x n |)] η (|x − x n |) u n ∇u n · dx R N R |x − x n |

          Z

          2 ′

          2 − [η (|x − x n |)] u dx R N R n

          Z Z

          2 ′

          ≤ η R,n (1 − η R,n ) |∇u n | dx + 3 η |u n | |∇u n | dx R R N N R,n Z

          2 ′

          2

        • η u dx R N R,n n

          Z

          2 Z

          6

          2

          2 ≤ ε + |u n | |∇u n | dx + u dx. N N n R R R R

          1 N R Pela desigualdade de H¨older e por (u n ) ser uma sequˆencia limitada em H , 1 1 Z Z Z Z 2 2

          6

          4

          2

          2

          2 2 |∇v · ∇w

        • n n | ≤ ε + |u n | |∇u n | u n R R R R R R N N N N

          2 c 1 c

          1 . + ≤ ε +

          2 R R Logo, podemos escolher R = R (ε) > 1 tal que Z Z Z c

          2

          2

          2

          2 |∇u n | − |∇v n | − |∇w n | ≤ cε. R R R R N N N ≤ ε + N

          2

          1 R Pelo Lema 2.3, (z ) ´e uma sequˆencia limitada em H . Pela Proposi¸c˜ao A n N do Apˆendice, existe uma medida ν, limitada em R , tal que, a menos de subsequˆencia,

          2

          2 |∇z | dx ⇀ ν fracamente no sentido das medidas. Os resultados demonstrados para n a medida µ, tamb´em podem ser demonstrados para a medida ν. Assim, dado ε > 0, analogamente `as demonstra¸c˜oes dos Lemas 2.12 e 2.13, obtemos, para n ∈ N suficiente- mente grande,

          Z

          2

          2 Q n := η R (|x − x n |) [1 − η R (|x − x n |)] u |∇u n | dx < ε. (2.19) R N n Lema 2.15 Dado ε > 0, para n ∈ N suficientemente grande vale

        Z Z Z

          2

          2

          2

          2

          2

          2 u |∇u n | − v |∇v n | − w |∇w n | n n n R R R N N N ≤ c ε.

          Demonstra¸c˜ ao. Temos u n = v n + w n , assim

          2

          2

          2

          2 ∇u = 4u |∇u n | n n

          2

          2 = 4 (v n + w n ) · |(∇v n + ∇w n )|

          2

          2

          2

          2

          2 = 4 v |∇v n | + 2v ∇v n · ∇w n + v |∇w n | n n n

          2

          2

        • 2v n w n |∇v n | + 4v n w n ∇v n · ∇w n + 2v n w n |∇w n |

          2

          2

          2

          2

          2

        • w |∇v n | + 2w ∇v n · ∇w n + w |∇w n | , n n n

          2

          2 da´ı, e usando que u = (v n + w n ) , obtemos n

          2

          2

          2

          2

          2

          2

          2

          2

          2 u |∇u n | − v |∇v n | − w |∇w n | = 2v ∇v n · ∇w n + v |∇w n | n n n n n

          2

          2

        • 2v n w n |∇v n | + 4v n w n ∇v n · ∇w n + 2v n w n |∇w n |

          2

          2

          2

        • w |∇v n | + 2w ∇v n · ∇w n n n

          2

          2

          2

          2 = 2u ∇v n · ∇w n + v |∇w n | + 2v n w n |∇v n | n n

          2

          2

          2

        • 2v n w n |∇w n | + w |∇v n | . (2.20) n
        • I

        • I
        • I
        • Z R N v n w n |∇w n |
        • [1 − 2η R (|x − x n |)] η

          η R,n (1 − η R,n ) u

          4 n dx.

          2 Z R N u

          R

          2 |u n | |∇u n | dx

          3 R Z R N u 2 n

          2 dx +

          2 n |∇u n |

          ≤ Z R N

          2 n ) ser uma sequˆencia limitada em H

          4 n dx

          2 u

          ′ R,n

          2 n |u n | |∇u n | dx

          ′ R,n u

          Z R N 3 η

          2 dx +

          2 n |∇u n |

          Por (2.19), pela desigualdade de H¨older e por (u

          1 R N ,

          ≤ Z R N

          2 R

          2 u

          2

          2 ≤ 2 |∇u n |

          |∇v n |

          2 n e que, por (2.10),

          2 lembramos que v n w n = η R,n (1 − η R,n ) u

          (2.22) Para estimar I

          2 .

          1 R

          |I 1 | ≤ ε +

          2 ≤ ε + c

          2 n

          2 Z R N u

          R

          2 1 2

          2 |∇u n |

          2 1 2 Z R N 4 |u n |

          3 R Z R N u 2 n

          η R,n (1 − η R,n ) u

          2 n } dx

          2 n . (2.23)

          3

          2 = 2

          I

          2 n ∇v n · ∇w n ,

          Z R N u

          1 = 2

          I

          4 , (2.21) onde

          2

          2

          1

          2 = I

          2 n |∇w n |

          2 − w

          2 n |∇v n |

          2 − v

          2 n |∇u n |

          Assim, Z R N u

          Z R N v n w n |∇v n |

          2 ,

          2 u

          I

          (|x − x n |)]

          − [η ′ R

          (x − x n ) |x − x n |

          ′ R (|x − x n |) u n ∇u n ·

          2

          2 nR (|x − x n |) [1 − η R (|x − x n |)] |∇u n |

          Z R N u

          1 | =

          Por (2.17) e (2.18), |I

          2 .

          2 n |∇v n |

          Z R N w

          4 =

          I

          2 ,

          2 n |∇w n |

          Z R N v

          3 =

        • Z R N η
        • 2
        • 2
        • c

        • 8
        • 8

        • |∇w n |
        • 16

          2 n |∇u n |

          2 Z R N u

          8 R

          4 n ≤ 2Q n +

          2 Z R N u

          R

          2

          2 η R,n (1 − η R,n ) u

          R

          ≤ Z R N

          2 i

          ′ R,n

          2 n η

          2

          2 |∇u n |

          (1 − η R,n )

          4 n < ε + c

          2 . (2.26)

          2 R,n u

          2 n |∇u n |

          2 .

          R

          4 n < ε + c

          2 Z R N u

          R

          2

          2 η R,n (1 − η R,n ) u

          Analogamente, de (2.17), |I

          ≤ Z R N

          2 i

          η R,n ∇u n + u n ηR,n

          2 n h

          2 u

          Z R N (1 − η R,n )

          4 | ≤

          2 n h

          Z R N 2 η

          (2.27) De (2.22), (2.25), (2.26), e (2.27), para R > 0 suficientemente grande, temos c c |I | + |I | + |I | + |I | ≤ 4ε + < cε. +

          2 u

          2 ≤

          2

          2 n |∇v n |

          Z R N η R,n (1 − η R,n ) u

          Logo |I 2 | =

          2 n . (2.24)

          R

          2 n 4 |∇u n |

          2

          2 ≤ 2 |∇u n |

          2 R |u n |

          2 ≤ |∇u n | +

          ′ R,n

          2 ≤ (1 − η R,n ) |∇u n | + |u n | η

          Ent˜ao, por (2.18), |∇w n |

          Z R N η R,n (1 − η R,n ) u

          2

          2 ≤

          ) ser limitada em H

          ′ R,n

          2 n (1 − η R,n ) |∇u n | + |u n | η

          2 R,n u

          Z R N η

          3 | ≤

          De (2.18), |I

          1 R N .

          (2.25) onde, na ´ ultima desigualdade, usamos (2.19) e o fato de (u 2 n

          R

          2 ,

          R

          4 n < ε + c

          2 Z R N u

          16 R

          2 n ≤ 4Q n +

          2 u

        • u
        • 8
        • 8

          1

          2

          3

          4

          2

          2 R R Combinando com (2.21), conclu´ımos a demonstra¸c˜ao do lema.

          Lema 2.16 Dado ε > 0, para n ∈ N suficientemente grande vale Z Z Z 1

          2

          2

          2 2 R R R N N N ≤ cε V (tx) u dx − V (tx) v dx − V (tx) w dx . (2.28) n n n

          2

          2

          2 Demonstra¸c˜ ao. Uma vez que u n = v n + w n , temos u − v − w = 2v n w n . Da´ı, de (V ) n n n

          1 e da desigualdade de H¨older,

          Z Z

          2

          2

          2 R R N ≤ 2V N V (tx) u − v − w |v n | |w n | n n n ∞ Z

          = 2V η R (|x − x n |) |u n (x)| (1 − η R (|x − x n |)) |u n (x)| ∞ R N 1 1 Z Z 2 2

          2

          2 ≤ c |u n | [η R (|x − x n |) (1 − η R (|x − x n |)) |u n |] R N n

          Ω N (2.29) onde Ω n = B

          3R (x n ) e usamos o fato de que η R (|x − x n |) = 0 para x ∈ R \B N 2R (x n ) .

          Definimos ψ n : R → R por ψ (x) = η (|x − x |) (1 − η (|x − x |)) u (x) . n R n R n n ∞ N

          1 N

          1 N R R R O produto de uma fun¸c˜ao em C por uma fun¸c˜ao em H pertence a H N

          1 R ( veja Teorema 1, p´ag.247, em [11]). Logo ψ n ∈ H . Como ψ n tem suporte compacto

          1 em Ω n , segue que ψ n ∈ H (Ω n ) (veja Lema IX-5 em [3] ). Pela desigualdade de Poincar´e, existe c > 0 tal que kψ n k L (Ω n ) L (Ω n ) 2 ≤ c k∇ψ n k 2 1

          ! 2

          ′ ′ = c R,n (1 − η R,n ) ∇u n + |u n η − 2η R,n η R N η R,n R,n

          2 Z x − x n

          |x − x n | 1 Z 2 h i

          2

          2

          2

          2 2 ′

          2 ≤ ˜ c η (1 − η R,n ) |∇u n | + (1 − 2 η R,n ) η u . R N R.n R,n n

          2 ′

          Usando que 0 ≤ η R ≤ 1 e que |η | ≤ , obtemos, pelo Lema 2.13, para 0 < ε < 1, R R 1 Z 2 1 1

          4

          2

          2 2

          2

          2

          2 2 2 kψ n k ≤ ˜ c η (1 − η + R,n ) |∇u n | u < ˜ c ε + cε < ˆ cε . L R,n n (Ω n ) R R N

          2 Em (2.29) e pelo Lema 2.3, Z 1

          2

          2

          2 2 2 V (tx) u − v − w n k < cε . n n n L (Ω n ) R N ≤ C kψ

          Demonstra¸c˜ ao do Lema 2.8. De (1.41) temos N N N N Z Z Z Z

        • 2 +2 +p+1

          t t t t

          2

          2

          2 2 p +1 N N N N + I(u + t ) = |∇u| V (tx)u u |∇u| − |u| .

          2 R

          2 R

          2 R p + 1 R Pelos Lemas 2.14, 2.16, 2.15 e 2.11, para n suficientemente grande e t > 0, N Z Z Z t

          2

          2

          2 |I ((u n ) t ) − I ((v n ) t ) − I ((w n ) t )| ≤ |∇u n | − |∇v n | − |∇w n | N N N

          2 R R R N +2 Z Z Z t

          2

          2

          2 N N N V (tx) u + − V (tx) v − V (tx) w n n n

          2 R R R N Z Z Z

        • 2

          t

          2

          2

          2

          2

          2

          2 N N N + u |∇u n | − v |∇v n | − w |∇w n | n n n

          2 R R R N Z Z Z

        • p+1

          t p +1 p +1 p +1 N N N |u + n | − |v n | − |w n | N N N N p + 1 R R R

        • 2 +2 +p+1
        • 1 t t t t ≤ cε + cε cε + cε. 2 +

            2

            2 2 p + 1 Logo, para 0 < ε < 1, 1 N N N 2 +2 +p+1

            |I ((u n ) t ) − I ((v n ) t ) − I ((w n ) t )| ≤ cε t + t + t . (2.30) v n w n Para cada n ∈ N, sejam t e t os pontos de m´aximos de f v n (t) = I ((v n ) ) e f w n (t) = t I ((w n ) ) , respectivamente, ou seja, t vn wn I ((v n ) t ) = max I ((v n ) t ) e I ((w n ) t ) = max I ((w n ) t ) . t> t> v n w n Inicialmente, vamos supor que t ≤ t . Ent˜ao, pelo Lema 1.11, v n f w n (t) = I ((w n ) t ) ≥ 0 para todo 0 < t ≤ t . (2.31) v n Mostraremos agora que a sequˆencia (t ) ´e limitada, obtendo ˜ t, ¯ t, que n˜ao dependem de v n ε, tais que 0 < ˜ t < 1 < ¯ t e t ∈ ˜ t, ¯ t para todo n ∈ N. Come¸camos observando que, pelo Lema 2.4, podemos supor que a partir de n suficientemente grande,

            Z p A

          • 1 R N |u n | > > 0.

            2 Tomamos p−1 1 B ¯ t = 2 (p + 1)

            A com B > 0 tal que ¯ t > 1. Pelo Lema 2.3, podemos escolher B maior se necess´ario, tal que

            Z Z Z

            2

            2

            2

            2 R R R N N N V ∞ u |∇u n | u , (2.32) n n + B ≥ + |∇u n | para todo n ∈ N. Ent˜ao, pela escolha de ¯ t, N N N N Z Z Z Z

          • 2 +2 +p+1

            ¯ ¯ ¯ ¯ t t t t

            2

            2

            2 2 p +1 I((u

          • n ) ) = |∇u n | V (¯ tx)u u |∇u n | − |u n | + t n n ¯ N N N N

            2 R

            2 R

            2 R p + 1 R N Z Z Z Z

          • 2

            ¯ t

            2

            2 2 p p

            2 2 −1 +1 ¯

            ≤ |∇u + | + n V u |∇u n | u − t |u n | N N N N ∞ n n N

            2 R R R p + 1 R

          • 2

            ¯ t B ≤ (B − 2B) ≤ − .

            2

            2 De (2.30), para todo t > 0, 1 N N N 2 +2 +p+1 I ((v n ) t ) + I ((w n ) t ) ≤ I ((u n ) t ) + cε t + t + t . (2.33)

            Assim, 1 1 N N N N N N B 2 +2 +p+1 +2 +p+1 2 ¯ ¯

            ¯ ¯ ¯ I ((v n ) t )+I ((w n ) t ) < I ((u n ) t )+cε t + ¯ t + ¯ t < − +cε t + ¯ t + ¯ t .

            2 Escolhendo ε > 0 menor se necess´ario, obtemos I ((v n ) t ¯ ) + I ((w n ) ¯ t ) < 0. (2.34) v n

            ¯ ¯ Ent˜ao I ((v n ) t ) < 0 ou I ((w n ) t ) < 0. Em qualquer caso, conclu´ımos que t < ¯ t. De fato, v n pelo Lema 1.11, f v (t) = I((v n ) ) ´e positiva, crescente, para t < t e decrescente para v n v n n t

            ¯ ¯ t > t . Logo se for I ((v n ) t ) < 0, ent˜ao t < ¯ t. E se I ((w n ) t ) < 0, novamente pelo w n v n w n v n Lema 1.11, t < ¯ t. Como estamos supondo t ≤ t segue que t < ¯ t. Agora tome N 1 m

            ˜ t = , onde B ´e escolhido como em (2.32). Temos I(u ) → m e n B Z

            Z

            1 1 p

            2

            2

            2 2 +1 I(u ) = |∇u | + V (x)u + u |∇u | − |u | n n n n N n n N

            2 R p + 1 R Z

            1 B

            2

            2

            2

            2 ≤ |∇u n | + V (x)u + u |∇u n | ≤ . N n n

            2 R

            2 B Segue que m ≤ < B, que implica ˜ t < 1. Para t ≤ ˜ t, por (V ) ,

            1

            2 N N N Z Z Z

          • 2 +2

            ˜ ˜ ˜ t t t

            2

            2

            2

            2 ) ) ≤ |∇u | V u |∇u + I((u

          • n n u n | t N N N

            ∞ n n

            2 R

            2 R

            2 R N Z ˜ t m m

            2

            2

            2

            2 ≤ |∇u n | + V u + u |∇u n | ≤ B = . (2.35) R Nn n v n

            2

            2B

            2 Como t ´e ponto de m´aximo de f v n (t) , pelo Lema 1.11, (v n ) vn ∈ M. Logo t I ((v n ) vn ) ≥ inf I = m. (2.36) v n t M

            Da´ı, de (2.33) e (2.31) , para 0 < t ≤ t , vn vn vn 1 2 h i v n v n v n N N +2 N +p+1 I ((u n ) t ) ≥ I ((v n ) t ) + I ((w n ) t ) − cε (t ) + (t ) + (t ) h i v n v n v n N N +2 N +p+1

            ≥ m − cε (t ) + (t ) + (t ) . (2.37) vn m v n Escolhendo ε menor se necess´ario, I ((u ) ) > . Logo t > ˜ t, j´a que (2.35) vale para n t

            2 v n todo t ≤ ˜ t. E assim mostramos que a sequˆencia (t ) ´e limitada. Para u n ∈ M temos I ((u n ) vn ) ≤ I (u n ) = max I ((u n ) ) . t t t>

            Como I (u n ) → m ent˜ao, para n suficientemente grande, 2 1 I ((u n ) vn ) ≤ m + ε . t v n Da desigualdade acima, de (2.37) , por ser (t ) limitada e por (2.36) , 2 1 2 1 2 1 2 1 I ((w n ) vn ) ≤ I ((u n ) vn ) − I ((v n ) vn ) + c ε ≤ m + ε − m + c ε = c ε . (2.38) t t t w n

            1

            1

            2 Para t ∈ (0, t ) temos que f w n (t) ´e crescente, ent˜ao v n f w n (t) ≤ f w n (t ) v n v n w n para t ∈ (0, t ) , pois estamos supondo t ≤ t . Portanto, 2 1 I ((w n ) ) ≤ I ((w n ) vn ) ≤ c ε (2.39) t t v n

            2 para n suficientemente grande e t ∈ (0, t ) . Afirmamos que existe um n´ umero D > A tal que

            Z 1 p

          • 1

            D n := |w n | ≤ D N p + 1 R onde

            Z p +1 A = lim |u n | . n →∞ R N De fato, seja

            Z p

          • 1 A n := |u n | com n ∈ N. R N

            Como w n (x) = (1 − η R (|x − x n |)) u n (x) ≤ u n (x) ent˜ao Z Z p p

          • 1 +1 D n ≤ |w n | ≤ |u n | = A n . R R N N Como A n → A quando n → ∞ ent˜ao para n suficientemente grande A n ≤ A + 1 := D.

            Portanto D > A e D n ≤ D para n suficientemente grande. Seja Z Z Z

            2

            2

            2

            2 R R R N N N n n + q n := |∇w n | + V w |∇w n | w .

            Observamos que N N

          • 2 +2

            t t N +p+1 q n − Dt = q n

            2

            4 se, e somente se, n p−1 1 q t = .

            4D Tomando D maior se necess´ario temos p−1 1 q n t := ≤ ˜ t.

            4D Por (2.39) , por (V ) e por ˜ t < 1, para t ∈ 0, ˜ t , 2 1

            1 c ε ≥ I (w n )

            2 N Z Z Z +p+1 Z t N

          • 2

            t t p

            2 2 +1

            2

            2 N N N N |∇w + ≥ n | + V w |∇w n | w − |w n | n n N N N

            2 R R R p + 1 R N +2

          • 2 +2 +p+1 p−1

            t N t 1 q n

          • p+1 p−1 n = q n − D n t ≥ q n = q n = ¯ cq .

            2

            4

            4

            4D Assim, 2(N +p+1) p−1 q ≤ ˜ cε . (2.40) n Pela defini¸c˜ao de q , n 1 1 Z Z Z Z 2 2

            2

            2

            2

            2

            4

            2 n n n n R R R R N N N N 1 + + + kw n k + w = w |∇w n | w w |∇w n | 2 1 Z 2

            4

          • ≤ c q n w + c q . (2.41) R N n n

            ∗ Existe θ ∈ (0, 1) tal que 4 = (1 − θ) 2 + θ 2 (2 ) . Pela desigualdade de H¨older com ex-

            ′ poentes r = 1/θ e r = 1/ (1 − θ), pela desigualdade de Sobolev, θ

            Z Z Z 1−θ Z θ

            2 4 2(1−θ) 2(2 )

            2

            2 R R R R N N N N w = w w ≤ w w n n n n n θ " 2∗ #

            1−θ Z Z 2

            2

            2

            2 ≤ w c |∇w | . R R N N n n Da ´ ultima desigualdade, da defini¸c˜ao de q n e de (2.40) , 2∗ 2∗

            Z θ θ p−1 p−1 p−1 1−θ 1−θ+ 2 2

            4 2(N +p+1) 2(N +p+1) 2(N +p+1) w ≤ c c ε ˜ cε = c ε . n R N

            2

            1

            3 ∗ ∗

            2

            2 Como 1 − θ + θ = 1 + − 1 θ > 1, para ε suficientemente pequeno temos

            2

            2 Z p−1

            4 2(N +p+1) R N w ≤ ε . n De (2.41), (2.40) e da desigualdade acima, obtemos p−1

            2 4(N +p+1) kw k + . n w ≤ cε n v n w n v n w n Isto conclui a demonstra¸c˜ao do Lema 2.8 no caso em que t ≤ t . O caso t > t levar´a v w n n a uma contradi¸c˜ao. De fato, no caso anterior usamos a hip´otese t ≤ t duas vezes, a v n primeira para mostrar que existem ˜ t, ¯ t, que n˜ao dependem de ε, tal que t ∈ ˜ t, ¯ t . E 2 1 v n w n a segunda, para estimar I ((w n ) ) ≤ cε em (2.39) . Usando agora a hip´otese t > t e t argumentos semelhantes aos anteriores com v no lugar de w , conclu´ımos que n n p−1

            2 4(N +p+1) kv n k + v ≤ cε n p +1

            1 N N R 2 R para alguma constante c > 0. Pela imers˜ao cont´ınua de H em L temos Z Z p p p +1 +1 p (p−1) +1

          • 1

            2 2

            2 2 ( 4(N +p+1) 2 R R N N |v n | = v ≤ c v ≤ cε ). n n Escolhendo ε menor se necess´ario, chegamos a uma contradi¸c˜ao com

            Z p

          • 1 B R (x n )

            |v n | dx ≥ δ > 0, dado em (2.11) . Portanto, vale que p−1

            2 4(N +p+1) ||w n || + w ≤ Cε n e o Lema 2.8 est´a demonstrado.

            Lema 2.17 Seja (z n ) a sequˆencia definida por z n (x) = u n (x + x n ) , com (x n ) obtida no q N ∗ R

            Lema 2.6. Ent˜ao z n → z em L para todo q ∈ [2, 2 (2 )) , onde z ´e o limite fraco de (z ) . n Demonstra¸c˜ ao. J´a vimos em (2.12) que existe z ∈ X tal que N N

            2

            2

            1

            2 R R z n ⇀ z, z ⇀ z em H e z n → z em L . (2.42) n loc

            Afirmamos que z 6= 0. De fato, por (2.11) , Z p

          • 1

            lim inf |v n | dx ≥ δ. (2.43) n →∞ B R (x n )

            Por defini¸c˜ao, v n (x) = η R (|x − x n |) u n (x) . Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis y = x − x n obtemos Z Z p p

          • 1 +1 R N

            |v n (x)| dx = [η R (|x − x n |) |u n (x)|] dx B (x n ) 2R Z p

          • 1

            = [η R (|y|) |u n (y + x n )|] dy B 2R (0) Z p

          • 1

            = [η R (|y|) |z n (y)|] dy B 2R (0) Z p

          • 1

            ≤ |z n (y)| dy, (2.44) B 2R (0) p +1

            2

            2 2 N R pois 0 ≤ η R ≤ 1. Por (2.43), (2.44) e como z → z em L , n loc

            Z Z p +1 p +1 δ ≤ lim inf |v n | ≤ lim inf |v n | n →∞ n →∞ B R (x n ) R N

            Z Z p p

          • 1 +1 ≤ lim inf |z n | = |z| . n

            →∞ B B 2R (0) (0) 2R Logo z 6≡ 0. Pela defini¸c˜ao de v n e w n temos u n = v n + w n . Pela desigualdade de H¨older

            ′ com expoentes r = 2 e r = 2,

            Z Z

            2

            2 − v |w n | (|u n | + |v n |) R R N N u dx ≤ n n 1 1 Z Z 2 2

            2

            2 ≤ w (|u | + |v |) . (2.45) R R N N n n n

            Pelo Lema 2.8, dado ε > 0 temos, para n suficientemente grande, 1 Z 2 p−1

            2

            2 4(N +p+1) R N w dx ≤ kw n k ≤ ||w n || + w ≤ Cε . n n Como 0 ≤ η R ≤ 1, ent˜ao 1 1 Z Z 2 2

            2

            2 R R N N (|u n | + |v n |) = (|u n | + |η R,n u n |) 1 Z 2

            2

            2

            2 ≤ 4u ≤ 2 u ≤ 2 u ≤ c. n n n R N

            2 Em (2.45), Z p−1

            2

            2 4(N +p+1) R N u − v ≤ Cε . (2.46) n n Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis y = x − x n , obtemos similarmente a (2.44) que,

            Z Z

            2

            2 R N |v n (x)| dx = [η R (|x − x n |) |u n (x)|] dx B (x n ) 2R Z

            2 ≤ |z n (y)| dy, B 2R (0)

            2 pois 0 ≤ η ≤ 1. Por (2.42), R

            Z Z

            2

            2 B (0) B (0) 2R |z n | → |z| . 2R Logo, para n suficientemente grande, Z Z

            2

            2 R R N N |v n | ≤ |z| + ε. (2.47) Agora, de (2.46) e (2.47), segue que

            Z Z Z

            2

            2

            2 R R R N N N |z n (x)| dx = |u n (x + x n )| dx = |u n (y)| dy Z Z

            2

            2

            2 ≤ u (y) − v (y) dy + v (y) dy R R N N n n n p−1 Z

            2 ≤ Cε |z (y)| dy + ε. 4(N +p+1) R N

          • Pelo Lema de Fatou,

            Z Z Z p−1

            2

            2

            2 R R R N →∞ N N z ≤ lim inf z ≤ cε z + ε. + n n 4(N +p+1) Como ε > 0 foi dado arbitrariamente ent˜ao

            Z Z

            2

            2 lim inf z = z . n n →∞ N N R R

            Assim, passando a uma subsequˆencia podemos supor que Z Z

            2

            2 R R N N z → z . n Por ( [16], Corol´ario 4.7) segue, a menos de subsequˆencia, que N

            2 R z n → z em L . (2.48)

            ∗ ∗

            Seja t ∈ (2, 2 (2 )) ent˜ao existe θ ∈ (0, 1) tal que t = (1 − θ) 2+θ 2 (2 ) . Pela desigualdade ′ de H¨older com expoentes r = 1/θ e r = 1/ (1 − θ) ,

            Z Z t θ (1−θ)2 2(2 ) R R N N |z n − z| = |z n − z| |z n − z|

            (1−θ) θ Z Z

            2 2(2 ) ≤ |z n − z| |z n − z| . (2.49) R R N N N N

            1

            2

            2 R R Pela continuidade da imers˜ao de H em L , e por (z ) ser limitada em N n

            1 R H ,

            Z Z ∗ ∗ ∗ Z

            2(2 ) 2(2 ) 2(2 ) |z n − z| dx ≤ c |z n | dx + |z| dx < ∞. N N N

            1 De (2.48) e de (2.49) segue que q N ∗ R z n → z em L para todo q ∈ [2, 2 (2 )) .

            N

            2

            1 Observamos que, pelo Lema 2.3, (u n ) e (u ) s˜ao limitadas em H (R ), logo existe n u ∈ X tal que N

            2

            2

            1 u n ⇀ u e u ⇀ u fracamente em H (R ), n s N

            2 2 ∗ u n → u e u → u em L (R ), para todo 2 ≤ s < 2 , n loc N u n (x) → u(x) q.t.p em R .

            No lema anterior provamos que a sequˆencia z n (x) = u n (x + x n ), com (x n ) obtida no q N

            Lema 2.6, converge fortemente para z em L (R ), para todo q ∈ [2, 2(2 )), onde z ´e o N limite fraco de (z n ). Quando (x n ) ´e uma sequˆencia convergente em R , digamos, x n → x , q N o lema a seguir nos garante que (u n ) converge em L (R ) para a fun¸c˜ao z(· − x ) e, N consequentemente, a menos de subsequˆencia, u n (x) → z(x − x ) q.t.p em R . Logo, no N

            1 caso em que x n → x , a fun¸c˜ao u ( o limite fraco de (u n ) em H (R )) ´e igual a z(· − x ).

            Lema 2.18 Se a sequˆencia (x n ) dada no Lema 2.6 converge para x , ent˜ao u n → u em q N

            R L para todo q ∈ [2, 2 (2 )) , com u ( · ) = z (· − x ) . Demonstra¸c˜ ao. Temos que

            Z Z q q R R N N |u n (x) − z (x − x )| ≤ [ |u n (x) − z (x − x n )| + |z (x − x n ) − z (x − x )| ] = c (E n + F n ) , onde

            Z q E n = |u n (x) − z (x − x n )| R N e

            Z q F n = |z (x − x n ) − z (x − x )| . R N Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis x = y + x em E , obtemos n n

            Z Z q q E n = |u n (y + x n ) − z (y)| dy = |z n (y) − z (y)| dy. N N q N ∗ R

            Pelo Lema 2.17, z n → z em L para todo q ∈ [2, 2 (2 )) . Segue que E n → 0 quando N

            R n → ∞. Resta mostrar que F → 0 quando n → ∞. Seja (ϕ ) uma sequˆencia em C N n k c

            1 R tal que ϕ k → z em H . Dado ε > 0, existe k ∈ N tal que q kϕ k − zk < ε, para todo k ≥ k . (2.50) Pelo Teorema da Mudan¸ca de Vari´aveis,

            Z Z q q F n ≤ c |z (x − x n ) − ϕ k (x − x n )| dx + c |ϕ k (x − x n ) − ϕ k (x − x )| dx

            1 R R N N

            1 Z q

          • c |ϕ k (x − x ) − z (x − x )| dx

            1 R N Z Z q q = 2c 1 |z (y) − ϕ k (y)| dy + c R R N N 1 |ϕ k (x − x n ) − ϕ k (x − x )| dx. (2.51)

            Pela Desigualdade de Interpola¸c˜ao e por (2.50), 1−θ θ

            Z Z Z q 2 2(2 ) R R R N N N |z − ϕ k | ≤ |z − ϕ k | |z − ϕ k | θ

          Z Z ∗ ∗

            2

            2 2(1−θ)

            2

            2

          • ≤ kz − ϕ k k c z ϕ

            2 k R R N N 2(1−θ)

            = c kz − ϕ k k

            3 2(1−θ) q < c ε ,

            3 para algum θ ∈ (0, 1) . Em (2.51), 2(1−θ) q Z q

            F n ≤ c ε + c |ϕ k (x − x n ) − ϕ k (x − x )| dx. (2.52)

            4

            1 R N N Seja r > 0 tal que supp ϕ k ⊂ B r e |x n | ≤ r para todo n ∈ N. Seja ψ n : R → R q dada por ψ n (x) = |ϕ k (x − x n ) − ϕ k (x − x )| . Afirmamos que ψ n (x) = 0 para todo N N x ∈ R \ B 2r e para todo n ∈ N. De fato, seja x ∈ R \ B 2r . Se fosse ψ n (x) 6= 0, ter´ıamos

            ϕ k (x − x n ) 6= 0 ou ϕ k (x − x ) 6= 0. Se ϕ k (x − x n ) 6= 0, ent˜ao x − x n ∈ B r e portanto

            |x| ≤ |x − x n | + |x n | < 2r, uma contradi¸c˜ao com o fato de que |x| > 2r. Analogamente, se ϕ k (x − x ) 6= 0 ent˜ao x − x ∈ B e r |x| ≤ |x − x | + |x | < 2r, novamente uma contradi¸c˜ao com |x| > 2r. Logo supp ψ n ⊂ B . Como x n → x , pela

            2r continuidade de ϕ k , ψ n (x) → 0 quando n → ∞.

            E al´em disso, existe uma constante E > 0 tal que N |ϕ k (x)| ≤ E para todo x ∈ R .

            Logo, para todo x ∈ B , q q q q 2r q q

          • 1

            1 ψ n (x) ≤ 2 |ϕ k (x − x n )| + 2 |ϕ k (x − x )| ≤ 2 E ∈ L (B ) .

            2r Pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue,

            Z Z n →∞ n →∞ lim ψ n = lim ψ n = 0. R N B 2r Ent˜ao, existe n ∈ N tal que

            Z R N ψ n < ε, para todo n > n . Em (2.52), segue que 2(1−θ) q F n ≤ c ε + c ε, para todo n > n .

            4

            1 Isso mostra que F n → 0 quando n → ∞, o que conclui a demonstra¸c˜ao do lema.

            Com os resultados provados at´e agora, j´a podemos demonstrar a Proposi¸c˜ao 2.1, que nos garante que o funcional I atinge seu ´ınfimo no conjunto M .

            Demonstra¸c˜ ao da Proposi¸c˜ ao 2.1. Vamos considerar dois casos. Primeiro vamos N supor que a sequˆencia (x n ) dada no Lema 2.6 ´e limitada em R . Assim, a menos de N subsequˆencia, podemos supor que x n → x em R . Como u n ∈ M , de (1.40), (1.46) e pelo Lema 1.11, para todo t > 0,

            I ((u n ) ) = f u n (t) ≤ f u n (1) = I (u n ) . (2.53) t Portanto, para todo t > 0, m = lim I (u n ) ≥ lim inf I ((u n ) ) . (2.54) n n t →∞ →∞

            De (1.41), N N +2 Z Z t t

            2

            2 I((u n ) ) = |∇u + n | V (tx)u t N N n

            2 R N Z N Z

            2 R

          • 2 +p+1

            t t p

            2 2 +1 N N + u |∇u n | − |u n | . n

            2 R p + 1 R Logo N Z N Z

          • 2

            t t

            2

            2 lim inf I((u n ) ) ≥ lim inf |∇u n | + lim inf V (tx)u n n n t n

            →∞ →∞ N →∞ N

            2 R

            2 R N N Z Z

          • 2 +p+1

            t t p

            2 2 +1 + lim inf u |∇u n | − lim sup |u n | . n n →∞ N N

            2 R n p + 1 R →∞ N

            (2.55)

            1 R Como u n ⇀ u fracamente em H ,

          Z Z Z Z

            2

            2

            2

            2

            2

            2 n n + lim inf ku k = lim inf |∇u + n n | u ≥ |∇u| u = kuk . n →∞ →∞ N N N N R R R R

            2 N R Mas, pelo Lema 2.18, u n → u em L . Logo

            Z Z

            2

            2 lim inf |∇u n | ≥ |∇u| . (2.56) n

            →∞ N N R R

            2

            2

            1 N R De maneira an´aloga, como u ⇀ u fracamente em H , aplicando novamente o n Lema 2.18,

            Z Z

            2

            2

            2

            2 lim inf |∇u | ≥ |∇u | . (2.57) n n

            →∞ N N R R Por (2.56) e (2.57) , pelo Lema de Fatou e pelo Lema 2.18 com q = p+1, podemos concluir de (2.55) que N N N N Z Z Z Z

          • 2 +2 +p+1

            t t t t

            2

            2

            2 2 p +1 n →∞ t N N N N + lim inf

          • I((u n ) ) ≥ |∇u| V (tx)u u |∇u| − |u|

            2 R

            2 R

            2 R p + 1 R = I (u t ) ,

            (2.58) u para todo t > 0. Combinando com (2.54), segue que I (u t ) ≤ m para todo t > 0. Como t u ´e ponto de m´aximo de f u ent˜ao, de (1.47), temos u t ∈ M. Assim, u u m ≤ I (u t ) = f u (t ) = max f u (t) = max I (u t ) ≤ m. t> t> u

            Portanto, o ´ınfimo de I ´e atingido em u t ∈ M. Isso conclui o primeiro caso. No segundo N caso, consideramos a sequˆencia (x ) ilimitada em R . Passando a uma subsequˆencia, n podemos supor que |x n | → ∞ quando n → ∞. Fazemos a mudan¸ca de vari´aveis x = y+x n , e obtemos

            Z Z

            2

            2 R R N N V (tx) u (x) dx = V (t (y + x n )) u (y + x n ) dy n n Z

            2 N = V (t (y + x n )) z (y) dy. R N n

            2 Sejam t > 0 e ϕ n : R → R dada por ϕ n (y) = V (t (y + x n )) z (y) . Por (V ) , n

            1

            2 n lim ϕ n (y) = V ∞ z (y) →∞ e

            2 |ϕ n (y)| ≤ V z (y) . N N ∞ n

            2 R Pelo Lema 2.17, existe uma h ∈ L tal que z n (y) ≤ h (y) q.t.p em R . Logo ϕ n (y) ≤ N

            2

            1 R V ∞ h (y) ∈ L . Assim podemos aplicar o Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue e (V ) para obter

            2

            2 n n lim V (tx)u (x) dx = lim V (t (y + x n ))z (y) dy n n →∞ N →∞ N R R

            Z

            2 = V z (y) dy

            ∞ R N Z

            2 ≥ V (ty)z (y) dy, (2.59) R N para todo t > 0. Temos, por (2.54), m ≥ lim inf I ((u n ) ) n →∞ N Z N Z t

          • 2

            t t

            2

            2 = lim inf |∇u n (x) | dx + V (tx)u (x) dx n n

            →∞ N N

            2 R

            2 R N +2 N +p+1 Z Z t t p

            2 2 +1 N N + u (x) |∇u n (x) | dx − |u n (x) | dx n

            2 R p + 1 R N N Z Z

          • 2

            t t

            2

            2 = lim inf |∇z n (y) | dy + V (tx)u (x) dx n →∞ N N n

            2 R

            2 R N N Z Z

          • 2 +p+1

            t t

            2 2 p +1

          • z (y) |∇z n (y) | dy − |z n (y) | dy . (2.60) N N n

            2 R p + 1 R

            2

            2

            1 N R Por termos z n ⇀ z e z ⇀ z fracamente em H , pelo Lema 2.17, por (2.60) e n (2.59), N N Z Z

          • 2

            t t

            2

            2 m ≥ lim inf |∇z n (y) | dy + lim inf V (tx)u (x) dx n →∞ n →∞ N N n

            2 R

            2 R N N Z Z

          • 2 +p+1

            t t p

            2 2 +1

          • lim inf z (y) |∇z n (y) | dy − lim sup |z n (y) | dy n →∞ N n N

            2 R n p + 1 R →∞ N N +2 Z Z t t

            2

            2 ≥ |∇z (y) | dy + V (ty)z (y) dy N N

            2 R N Z N Z

            2 R

          • 2 +p+1

            t t p

            2 2 +1 N N + z (y) |∇z (y) | dy − |z (y) | dy

            2 R p + 1 R = I (z ) , t z para todo t > 0. Logo I (z t ) ≤ m para todo t > 0. Pelo Lema 1.11, t ´e ponto de m´aximo z de f z ent˜ao, de (1.47), temos z t ∈ M. Assim z z m ≤ I (z t ) = f z (t ) = max f z (t) = max I (z t ) ≤ m. z t> t>

            Logo o ´ınfimo de I ´e atingido em z t ∈ M. Portanto, em qualquer um dos casos o ´ınfimo de I ´e atingido no conjunto M.

            Inicialmente vamos mostrar o seguinte resultado: Proposi¸c˜ ao 2.19 Se u ∈ M ´e tal que I (u) = inf I = m ent˜ao u ´e solu¸c˜ao fraca de (P). M Na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.19 utilizamos o seguinte lema. N

            R Lema 2.20 Sejam φ ∈ C , t, σ ∈ R e u ∈ X. Ent˜ao

            ′ ′ |hI (u t + σφ) , φi − hI (u) , φi| → 0 quando t → 1 e σ → 0.

            Demonstra¸c˜ ao. Consideramos sequˆencias (t n ) e (σ n ) em R tais que t n → 1 e σ n → 0, N

            R quando n → ∞. Trata-se de mostrar que, para todos u ∈ X e φ ∈ C , ′ ′

            |hI (v n ) , φi − hI (u) , φi| → 0 quando n → ∞, onde v n = u t n + σ n φ. Como t n → 1 e σ n → 0, sem perda de generalidade, podemos supor que 1/2 < t < 2 e |σ | < 1, para todo n ∈ N. Ao longo de toda a demonstra¸c˜ao n n N

            R usaremos que como φ ∈ C , existe uma constante M > 0 tal que |φ (x)| ≤ M e N |∇φ (x)| ≤ M, para todo x ∈ R . Primeiro vamos mostrar que

            2

            2 d X (v n , u) = kv n − uk + ∇v − ∇u → 0 quando n → ∞. (2.61) n

            2 De fato, como |σ n | < 1,

            2

            2 d X (v n , u) = ku t n + σ n φ − uk + ∇ (u t n + σ n φ) − ∇u

            2

            2

            2

            2 ≤ ku t n − uk + |σ n | kφk + ∇u − ∇u + 2 |σ n | |∇ (u t n φ)| + σ |∇φ| t n n

            2

            2

            2

            2

            2 ≤ ku t − uk + − ∇u + (kφk + 2 |∇ (u t φ)| + |∇φ| ) |σ n | . (2.62) n ∇u n t n

            2

            2

            2 Observamos que existe uma constante c > 0 tal que

            2

            2

            2

            2 |∇ (u φ)| = |u ∇φ + φ∇u | dx ≤ c u (x) dx + c |∇u (x)| dx. t n t n t n

            1 t n 1 t n

            2 R R R N N N Pela defni¸c˜ao de u dada em (1.31) e fazendo a mudan¸ca de vari´aveis x = t y, obtemos t n c > 0 tal que

            2 x x

            2

            2

            2 |∇ (u t φ)| ≤ c t u dx + c dx n

            1 n

            1

            2 R t n R t n N N ∇u N N Z Z

            2

          • 2

            2 ≤ c t u (y) dy + c t |∇u (y)| dy ≤ c ,

            1 n R R N N 1 n

            2 j´a que 1/2 < t n < 2 e u ∈ X. Combinando com (2.62) podemos escrever

            2

            2 d X (v n , u) ≤ ku t − uk + ∇u − ∇u + c |σ n | . (2.63) n t n

            3

            2 Lembramos que u t = γ u (t n ) e u = γ u (1) , onde γ u ´e a fun¸c˜ao definida no in´ıcio da Se¸c˜ao n

            2.2. Pelo que foi demonstrado no Lema 1.9 e como t n → 1,

            2

            2 ku t n − uk + ∇u − ∇u = d t n X (γ u (t n ) , γ u (1)) → 0, quando n → ∞.

            2 Da´ı, de (2.63) e como σ n → 0, conclu´ımos a verifica¸c˜ao de (2.61). Agora, sendo

            2

            2

            2 ∇u · ∇ (uφ) = 2u∇u · (u∇φ + φ∇u) = 2u ∇u · ∇φ + 2uφ |∇u| ,

            ′ a express˜ao (1.8) de hI (u) , φi pode ser reescrita como

            Z Z Z ′

            2

            2 hI (u) , φi = ∇u · ∇φ + V (x) uφ + u ∇u · ∇φ + uφ |∇u| R R R N N N

            Z p −1

            − |u| uφ R N Z Z Z Z 1 p

            −1

            2 = ∇u · ∇φ + V (x) uφ + ∇u · ∇ (uφ) − |u| uφ . (2.64) R R N N N N

            2 R R Assim,

            ′ ′ hI (v n ) , φi − hI (u) , φi = I + I + I ,

            1

            2

            3 onde

            Z Z

            I 1 = (∇v n − ∇u) · ∇φ + V (x) (v n − u) φ, R R N N Z

            1

            2

            2 I = ∇v · ∇ (v n φ) − ∇u · ∇ (uφ) 2 n N

            2 R e Z p −1 p −1

            I = |u| uφ − |v n | v n φ . (2.65)

            3 R N Para concluir a demonstra¸c˜ao do lema, basta mostrar que cada uma dessas integrais tende a zero quando n → ∞. De fato, por (V ) e pela desigualdade de H¨older,

            |I 1 | ≤ |∇v n − ∇u| |∇φ| + V ∞ |v n − u| |φ| R R N N 1 1 # Z

            " Z 2 2

            2

            2 R R N N + ≤ c |∇v n − ∇u| |v n − u| ≤ 2c kv n − uk .

            Logo, por (2.61), I → 0 quando n → ∞. Agora, podemos reescrever o integrando de I

            1

            2 como

            2

            2

            2

            2 ∇v · [∇ (v n φ) − ∇ (uφ)] + ∇v − ∇u · ∇ (uφ) = ∇v · [φ (∇v n − ∇u) + (v n − u) ∇φ] n n n

            2

            2 ∇v − ∇u · ∇ (uφ) . + n Logo Z Z

            2

            2 |I | ≤ M ∇v |∇v n − ∇u| + M ∇v |v n − u|

            2 n n R R N N Z

            2

            2 R N ∇v |∇ (uφ)| . + − ∇u n Pela desigualdade de H¨older,

            2

            2

            2 |I | ≤ M (|∇v n − ∇u| + |v n − u| ) + − ∇u |∇ (uφ)|

            2 ∇v ∇v n n

            2

            2

            2

            2

            2

            2

            2

            2 ≤ 2M ∇v kv n − uk + ∇v − ∇u |∇ (uφ)| . (2.66) n n

            2

            2

            2 Observamos que Z

            2

            2

            2

            2 ∇v = 4 |u t n + σ n φ| |∇u t n + σ n ∇φ| dx n

            2 R N Z

            2

            2

            2

            2

            2 ≤ c |u t | + σ |φ| |∇u t | + σ dx

            1 n n n n R N

          Z

            2

            2

            2

            2

            2

            2

            4 = c |u t ∇u t | + σ |u t | + σ |∇u t | + σ |φ| dx

            2 n n n n n n n R N

            2 Z

            2 (Z x x x

            2

            2 = c n u ∇u dx + σ t dx

            2 n n R t n t n R t n N N t u )

            Z

            2 x

            2

            4

          • σ dx + c σ n

            4 n R t n N ∇u N Z Z

            2 N

            2

          • 2 +2

            2 ≤ c t |u (y) ∇u (y)| dy + c t σ |u (y)| dy

            3 n R R N N 3 n n Z N

            2

            2

            4 + c t σ |∇u (y)| dy + c σ . 3 n n R N 5 n

            Usando que 1/2 < t n < 2, |σ n | < 1 e u ∈ X, ent˜ao

            2 ∇v ≤ c. n

            2 Usando essa limita¸c˜ao em (2.66), por (2.61) conclu´ımos que I 2 → 0 quando n → ∞. Resta mostrar que I → 0 quando n → ∞. Ora,

            3 Z Z p p −1 −1

            |I | = |u (x)| u (x) φ (x) dx − |v n (x)| v n (x) φ (x) dx

            3 N N , onde x v (x) = t u + σ φ (x) . n n n t n

            Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis x = t n y, obtemos Z p −1

            |I | = |u (x)| u (x) φ (x) dx

            3 R N Z p −1 N

            − |t n u (y) + σ n φ (t n y)| (t n u (y) + σ n φ (t n y)) φ (t n y) t dy n N N R N .

            ∞ R

            Como φ ∈ C , existe R > 0 tal que φ ≡ 0 em R \B R . Como t n > 1/2, φ (t n y) = 0 para y > 2R. Ent˜ao Z

            |I | ≤ |f n (x)| dx, (2.67)

            3 B 2R onde p p

            −1 −1 N f n (x) = |u (x)| u (x) φ (x) − |t n u (x) + σ n φ (t n x)| (t n u (x) + σ n φ (t n x)) φ (t n x) t . n Pela continuidade da φ, como t n → 1 e σ n → 0, N n lim f n (x) = 0 para todo x ∈ R . (2.68)

            →∞ p p p p Al´em disso, usando a desigualdade triangular, a desigualdade (a + b) ≤ 2 (a + b ) , N para todo a, b ≥ 0 e p > 1, usando que t n ∈ (1/2, 2) , |σ n | < 1 e que φ ´e limitada em R , obtemos uma constante c > 0 tal que p p N

            |f (x)| ≤ |u (x)| |φ (x)| + |t u (x) + σ φ (t x)| |φ (t x)| 2 n n n n n p p ≤ |u (x)| |φ (x)| + c |u (x)| |φ (t n x)| + c. p + 1

            Pela desigualdade de Young com expoentes e p + 1, obtemos uma constante c > 0

            1 p tal que p

          • 1 N

            |f n (x)| ≤ c p 1 |u (x)| + c 1 , para todo x ∈ R e n ∈ N. (2.69)

          • 1

            1 Agora, g := c |u| + c ∈ L (B ) , pois u ∈ X. Assim, de (2.67), (2.68), (2.69) e do

            1

            1

            2R Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue, segue que I 3 → 0 quando n → ∞, concluindo a demonstra¸c˜ao do lema. Demonstra¸c˜ ao da Proposi¸c˜ ao 2.19. Seja u ∈ M tal que I (u) = m. Usando argumento de contradi¸c˜ao, supomos que u n˜ao ´e uma solu¸c˜ao fraca de (P ). Nesse caso, existe N

            2 ∞ ′

            R φ ∈ C tal que hI (u) , φ i = c 6= 0. Tomando φ = − φ , temos que c

            ′ hI (u) , φi < −1. (2.70)

            Pelo Lema 2.20 podemos escolher ε ∈ (0, 1) tal que

            1 ′ ′

            |hI (u t + σφ) , φi − hI (u) , φi| < ,

            2 para todos t, σ tais que |t − 1| < ε, |σ| < ε. Combinando com (2.70) obtemos que

            1 ′ hI (u t + σφ) , φi < − para todos t, σ tais que |t − 1| < ε e |σ| < ε. (2.71)

            2 N

            R Consideramos a fun¸c˜ao corte η ∈ C tal que 0 ≤ η (t) ≤ 1 se ε/2 < |t − 1| < ε e

             ε

             1, se |t − 1| ≤

            2 η (t) =

             0, se |t − 1| ≥ ε. Lembramos que na Se¸c˜ao 2.2 definimos uma curva γ u : [0, ∞) → X por γ u (t) = u t , sendo N a fun¸c˜ao u t : R → R dada por x u t (x) = tu se t > 0 e u ≡ 0. t

            Agora perturbamos tal curva, definindo γ : [0, ∞) → X por   u t , se |t − 1| ≥ ε

            γ (t) =  u t + εη (t) φ, se |t − 1| < ε.

            Afirmamos que I (γ (t)) < m, para todo t ≥ 0. (2.72)

            De fato, como u ∈ M, f u atinge seu ´ unico ponto de m´aximo em t = 1. Logo I (u t ) = f u (t) ≤ f u (1) = I (u ) = I (u) = m, (2.73)

            1 sendo essa desigualdade estrita quando t 6= 1. Assim, se |t − 1| ≥ ε,

            I (γ (t)) = I (u t ) < m, o que mostra (2.72) nesse caso. Quando |t − 1| < ε, consideramos g : [0, ε] → R definida por g (σ) = I (u t + ση (t) φ) . Pelo Teorema do Valor M´edio, existe ˜ σ ∈ (0, ε) tal que

            ′ g (ε) = g (0) + g (˜ σ) ε, ou seja,

            ′ I (u t + εη (t) φ) = I (u t ) + hI (u t + ˜ ση (t) φ) , η (t) φiε.

            Como |˜ ση (t)| < ε, segue da´ı, de (2.71), (2.73) e da defini¸c˜ao de η, que

            1

            1 I (u t + εη (t) φ) < I (u t ) − εη (t) ≤ m − εη (t) < m,

            2

            2 o que conclui a verifica¸c˜ao de (2.72). Na Se¸c˜ao 2.2 mostramos que ′

            J (u) = f (1) u onde J : X → R ´e dado em (1.9). Pela defini¸c˜ao de γ, quando |t − 1| = ε, por (1.47), ′ ′ J (γ (t)) = J (u t ) = f (1) = tf (t) . u u t

            Como u ∈ M, f u atinge seu ´ unico m´aximo em t = 1. Logo J (γ (1 − ε)) > 0 e J (γ (1 + ε)) < 0.

            ′ Observamos que, da express˜ao (1.45) de f (t) e usando (V u 1 ) e (V 2 ), podemos concluir que a aplica¸c˜ao ϕ (t) = J (γ (t)) , t > 0, ´e cont´ınua. Ent˜ao existe t ∈ (1 − ε, 1 + ε) tal que

            J (γ (t )) = 0. Pela defini¸c˜ao de M ,

            γ (t ) = u t + εη (t ) φ ∈ M

            e, por (2.72), I (γ (t )) < m = inf I, M uma contradi¸c˜ao. Isso mostra que u ´e uma solu¸c˜ao fraca de (P ).

            Agora sim, finalmente temos condi¸c˜oes de demonstrar a existˆencia de uma solu¸c˜ao positiva de energia m´ınima de (P ) .

            Demonstra¸c˜ ao do Teorema A. Pela Proposi¸c˜ao 2.1, existe u ∈ M tal que I (u) = inf I = m. M Pela Proposi¸c˜ao 2.19, u ´e uma solu¸c˜ao fraca de (P ). Pelo Lema 1.12, I (u) = m > 0 = I (0) . Logo u 6≡ 0. Pelo Lema 7.6 em [13], |∇ |u|| = |∇u| . Logo

            J (|u|) = J (u) = 0, para u ∈ M. Portanto 0 6≡ v := |u| ∈ M. Al´em disso, I (v) = I (u) = m e, conse- quentemente, pela Proposi¸c˜ao 2.19, v ≥ 0 ´e tamb´em solu¸c˜ao fraca de (P ). Pela teoria de

            2 regularidade podemos admitir que v ´e de classe C e satisfaz

            1 p −1

            2 N −∆v + V (x) v − v∆v = |v| v, para todo x ∈ R .

            2

            2

            2 Como ∆v = 2 |∇v| + 2v∆v, segue que p 2 −1 2 1 + v ∆v − V (x) v = −v |∇v| − |v| v ≤ 0.

            Da´ı, e de (V ) ,

            1 V (x) ∆v − V v ≤ ∆v − v ≤ 0.

            ∞

            2 1 + v N

            Pelo Princ´ıpio do M´aximo Forte (Teorema 3.5 em [13]), se existisse x ∈ R tal que v (x) = 0 ent˜ao v ≡ 0, uma contradi¸c˜ao. Logo v > 0. Como vimos na Se¸c˜ao 2.1 toda solu¸c˜ao n˜ao trivial de (P ) pertence ao conjunto M . Consequentemente, v = |u| ´e solu¸c˜ao positiva de energia m´ınima de (P ).

          Apˆ endice

            Aqui enunciamos alguns conceitos e resultados da Teoria de Medida que podem ser encontrados em [12]. N N Defini¸c˜ ao: Seja µ uma medida de Borel em R e B ⊂ R um subconjunto de Borel. µ ´e regular exterior em B se µ(B) = inf {µ(U ) : U ⊃ B, U ´e aberto} e µ ´e regular interior em B se µ(B) = sup {µ(K) : K ⊂ B, K ´e compacto}. Dizemos que µ ´e regular se µ ´e regular exterior e regular interior em todos os conjuntos de Borel. N Defini¸c˜ ao: Uma medida de Radon em R ´e uma medida de Borel que ´e finita em conjuntos compactos, regular exterior em todos os conjuntos de Borel e regular interior em todos os conjuntos abertos. N N

            Denotamos por M(R ) o espa¸co das medidas de Radon sobre R . Dizemos que N uma sequˆencia (ω n ) ⊂ M(R ) converge fracamente no sentido das medidas para ω em N Z Z N M(R ) se φ dω n → φ dω para toda φ ∈ C (R ). R R N N N N

            1 Proposi¸c˜ ao A Seja λ uma medida positiva de Radon em R e (f n ) ⊂ L (R , λ) com

          Z R N

            |f n |dλ ≤ C para todo n ∈ N e para alguma constante C. Ent˜ao existe uma medida positiva de Radon λ tal que, a menos de subsequˆencia, λ n = |f n |dλ ⇀ λ fracamente no sentido das medidas.

          Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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