2ª Lista de exercícios

1
1
10
3 months ago
Preview
Full text

  

COV250 – Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas Oceânicas I

2ª Lista de Exercícios

  1. Para o escoamento a 20 m/s sobre uma placa plana fina, determine as distâncias do bordo de ataque nas quais a espessura da camada limite será 1 mm e 10 cm x para (a) ar e (b) água a 20ºC e 1 atm.

2. A uma altitude padrão de 4.000 m, escoa ar a 724 km/h em torno de uma asa que tem 18 cm de espessura, 1,5 m de comprimento da corda e 12 m de envergadura.

  Qual é a fórmula adequada e o valor do número de Reynolds para correlacionar a sustentação e o arrasto dessa asa? Explique sua escolha.

  3. A equação abaixo admite que a camada-limite sobre a placa é turbulenta do bordo de ataque para frente. Imagine um esquema para determinar a espessura da camada-limite com mais precisão quando o escoamento for laminar até um ponto de Re e turbulento depois disso. Aplique seu esquema para calcular a x,crit espessura da camada-limite em x=1,5 m em um escoamento a 40 m/s de ar a

  20ºC e 1 atm sobre uma placa plana. Compare seu resultado com a equação

  • 6 abaixo. Admita Re .
  • x,crit ≈1,2x10 δ ,

      16 ≈ 1 /

      7 x Re x

    • 6 4.
    • x,crit ≈1,0x10 .

        Ar a 20ºC e 1 atm escoa a 15 m/s sobre uma placa plana com Re Em qual ponto x a espessura da camada-limite será 8 mm? Por que as equações abaixo parecem não se aplicar? Faça um esboço ilustrando a discrepância; em seguida utilize as idéias do problema 3 para completar este problema corretamente.

        5 , ⎧ laminar

        1 /

        2

        δ ⎪⎪ Re x = ⎨ ,

        16 x

        ⎪ turbulento

        1 /

        7

        ⎪ Re x

        5.

        Óleo SAE 30 a 20ºC e 1 atm escoa a 51 l/s de um reservatório para o interior de um tubo de 150 mm de diâmetro. Aplique a teoria da placa plana para determinar a posição x onde as camadas-limite na parede do tubo encontram-se no centro. Compare com a equação abaixo e dê algumas explicações para a discrepância.

        L e ,

        06 Re laminar ≈ d

        

      6. ºC e 1 atm entra em um duto quadrado de 40 cm, como na figura

      Ar a 20 abaixo. Aplicando o conceito de espessura de deslocamento, determine (a) a velocidade média e (b) a pressão média no núcleo do escoamento na posição x=3 m. (c) Qual o gradiente médio, em Pa/m, nessa seção?

        3 -5

      7. e kg/(m ⋅s), escoa a 10 m/s sobre uma placa plana.

        μ=1,8x10 Ar, ρ=1,2 kg/m No bordo de fuga da placa, foram medidos os dados do perfil de velocidade

        2

        mostrados na tabela abaixo. Se a superfície superior tem uma área de 0,6 m , determine, aplicando os conceitos de quantidade de movimento, o arrasto de atrito, em N, sobre a superfície superior.

      8. Repita a análise de quantidade de movimento sobre placa plana visto em sala de aula substituindo o perfil parabólico pelo perfil senoidal mais exato dado abaixo.

        

      Utilize a quantidade de movimento integral para determinar c f , θ/x, δ*/x e H.

        

      π

      y u = sin

        2 δ U 9.

        Repita o problema 8 usando o perfil polinomial sugerido por K. Pohlhausen em 1921, mostrado abaixo. Esse perfil satisfaz as condições de contorno para o escoamento laminar sobre placa plana?

        3

        4 u y y y

        ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 − 2 + ≈ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

        

      δ δ δ

      U

        ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 10.

      11. Mostre que o padrão de escoamento laminar bidimensional com:

        dp = dx Cy u = U

        

      1 − e

      ( )

      v = v <

        é uma solução exata para as equações de camada-limite. Determine o valor da constante C em termos dos parâmetros do escoamento. As condições de contorno são satisfeitas? O que esse escoamento pode representar? 12. Uma placa plana fina de 55 por 110 cm está imersa em um fluxo de 6 m/s de óleo SAE 10 a 20ºC. Calcule o arrasto total de atrito sabendo que o fluxo é paralelo ao (a) lado maior e (b) lado menor.

        13. Hélio a 20ºC e a baixa pressão escoa sobre uma placa plana fina de 1 m de comprimento e 2 m de largura. Deseja-se que o arrasto total de atrito da placa seja de 0,5 N. Qual é a pressão absoluta apropriada do hélio se U=35 m/s? 14. Ar a 20ºC e 1 atm escoa a 20 m/s em torno da placa na figura abaixo. Um tubo de Pitot, colocado a 2 mm da parede, apresenta uma leitura manométrica h=16 mm de óleo vermelho Meridiam, d=0,827. Use essa informação para determinar a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar.

        15. Ar a 20ºC e 1 atm escoa em torno da placa plana na figura abaixo em condições laminares. Existem dois tubos de Pitot igualmente espaçados, cada qual colocado a 2 mm da parede. O fluido manométrico é água a 20ºC. Se U=15 m/s e L=50 cm, determine os valores das leituras manométricas h e h em mm. 1 2 ,

        16. Considere o escoamento com camada-limite laminar passando pelos sistemas de placas quadradas na figura abaixo. Comparados ao arrasto de atrito de uma única placa 1, quanto o arrasto das quatro placas juntas é maior nas configurações (a) e (b)? Explique o seu resultado.

        17. Um disco liso e fino de diâmetro D está imerso paralelamente a um escoamento uniforme de velocidade U. Considerando escoamento laminar e usando a teoria da placa plana como uma orientação, desenvolva uma formula aproximada para o arrasto do disco.

      18. Uma placa plana de comprimento L e altura δ é colocada em uma parede paralelamente a uma camada-limite que se aproxima, como na figura abaixo.

        Admita que o escoamento sobre a placa seja totalmente turbulento e que o escoamento de aproximação siga a lei da potência um sétimo, conforme a equação abaixo. Aplicando uma teoria para tira de largura dy e comprimento L, deduza uma fórmula para o coeficiente de arrasto dessa placa. Compare esse resultado com o arrasto na mesma placa imersa em um escoamento uniforme U o .

        1 /

        7 y

        ⎛ ⎞ u ( y ) = U o ⎜ ⎟

        δ ⎝ ⎠ 19.

        Uma análise alternativa do escoamento turbulento sobre uma placa plana foi dada por Prandtl em 1927, usando uma fórmula para a tensão cisalhante na parede do escoamento em um tubo.

        

      2

      1 /

        4 υ

        ⎛ ⎞ τ ρ p ⎜ ⎟ = , 0225 U

        U δ ⎝ ⎠

        20. Uma placa fina em formato de triângulo eqüilátero está imersa paralelamente a um escoamento de 12 m/s de água a 20ºC, como na figura abaixo. Considerando

      • 5 Re =5x10 , calcule o arrasto sobre essa placa.
      • tr 21.

          Um rotor de 4 pás de helicóptero gira a n rpm no ar com propriedades (ρ, μ).

          Cada pá tem um comprimento da corda C e estende-se do centro de rotação para o raio R (o tamanho do cubo é desprezado). Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, desenvolva uma expressão analítica aproximada para a potência P necessária para acionar esse rotor.

          22. Uma chapa fina pesa 90 N e se localiza sobre o topo de um telhado, como mostra a figura. Considere ar ambiente a 20ºC e 1 atm. Se o coeficiente de atrito sólido entre o telhado for σ≈0,12, qual a velocidade do vento que gerará atrito fluido suficiente para desalojar a chapa? 23.

          A seção transversal de um cilindro é mostrada na figura. Admita que sobre a

        superfície frontal a velocidade seja dada pela teoria potencial, V=2U sin

        ∞ θ, a partir da qual a pressão na superfície é determinada pela equação de Bernoulli.

          No escoamento separado na parte traseira, admite-se que a pressão seja igual ao seu valor em

          24. Uma esfera pesada fixada em uma corda se deslocaria de um ângulo θ quando imerso em uma corrente de velocidade U, como na figura. Deduza uma expressão para θ em função das propriedades da esfera e do escoamento. Qual o valor de θ se a esfera for de aço (d=7,86) de 3 cm de diâmetro e o escoamento

        for de ar padrão no nível do mar com U=40 m/s? Despreze o arrasto da corda.

          25. Uma bola de tênis de mesa pesa 2,6 g e tem um diâmetro de 3,8 cm. Essa bola pode ser suportada por um jato de ar na saída de um aspirador de pó, como na

        figura. Para ar padrão ao nível do mar, qual é a velocidade necessária do jato?

          

        Viscosidade e massa específica da água a 1 atm

        Viscosidade e massa específica do ar a 1 atm

          

        Propriedade de líquidos comuns a 20ºC e 1 atm

          Propriedades de gases comuns a 20ºC e 1 atm Perfil de velocidade de Blasius

          Propriedades da atmosfera padrão

        • Derivadas
        • Integrais 1. R du = u + c.
          • u v

          3. R du u = ln |u| + c.

          15. R cosec

          2 u du = tg u + c.

          14. R sec

          13. R cosec u cotg u du = −cosec u + c.

          12. R sec u tg u du = sec u + c.

          11. R cosec u du = ln |cosec u − cotg u| + c.

          10. R sec u du = ln |sec u + tg u| + c.

          9. R cotg u du = ln |sen u| + c.

          8. R tg u du = ln |sec u| + c.

          7. R cos u du = sen u + c.

          6. R sen u du = − cos u + c.

          5. R e u du = e u + c.

          4. R a u du = a u ln a + c, a > 0, a 6= 1.

          2. R u n du = u n +1 n +1 + c, n 6= −1.

          16. R du u 2

          2 .

          = 1+cos 2x

          2 x

          5. cos

          2 .

          1−cos 2x

          2 x =

          4. sen

          2 x .

          = cosec

          2 x

          3. 1 + cotg

          2 x .

          2 x = sec

          2 u du = −cotg u + c.

          1 a arc tg u a + c.

        • a 2 =

        • a
        • √ u
        • a
        • 2 = ln ¯ ¯ ¯ u

            2 < a

          • F´ ormulas de Recorrˆ encia 1.
          • Identidades Trigonom´ etricas
            • ¡ n
            • cos
            • ¡ n

            (n−1) −

            3. R tg n au du = tg n −1 au a

            −2 au du.

            −1 n ¢ R cos n

            2. R cos n au du = sen au cos n −1 au an

            −2 au du.

            −1 n ¢ R sen n

            R sen n au du = − sen n −1 au cos au an

            1 a arc sec ¯ ¯ u a ¯ ¯ + c.

            −a 2 =

            21. R du uu 2

            2 .

            2. 1 + tg

            17. R du u 2 −a 2 =

            20. R dua 2

            2 ¯ ¯ ¯ + c .

            2 − a

            √ u

            −a 2 = ln ¯ ¯ ¯ u +

            19. R duu 2

            2 ¯ ¯ ¯ + c .

            2

            18. R duu 2

            2 .

            2 > a

            c, u

            −a u +a ¯ ¯ ¯ +

            1 2a ln ¯ ¯ ¯ u

            −u 2 = arc sen u a + c, u

            2 x

            2 x = 1.

            ′ = e u u

            9. y = sen u ⇒ y ′

            (ln u) v ′ .

            ′

            −1 u

            ′ = v u v

            8. y = u v ⇒ y

            ′ .

            1 u u

            ′ =

            . 7. y = ln u ⇒ y

            ′ = u u log a e

            6. y = log a u ⇒ y

            ′ .

            5. y = e u ⇒ y

            10. y = cos u ⇒ y ′

            ′ , (a > 0, a 6= 1).

            ′ = a u (ln a) u

            4. y = a u ⇒ y

            = u v −v u v 2 .

            3. y = u v ⇒ y

            ′ u .

            = u ′ v + v

            2. y = uv ⇒ y ′

            ′ .

            = n u n −1 u

            ⇒ y ′

            Sejam u e v fun¸c˜ oes deriv´aveis de x e n con- stante. 1. y = u n

            

          TABELA: Derivadas, Integrais

          e Identidades Trigonom´ etricas

            = u ′ cos u.

            = −u ′ sen u.

            1. sen

            √ 1−u 2 .

            , |u| > 1.

            √ u 2 −1

            −u |u|

            ′ =

            20. y = arc cosec u, |u| > 1 ⇒ y

            −1 , |u| > 1.

            |u| √ u 2

            ′ = u

            19. y = arc sec u, |u| > 1 ⇒ y

            1+u 2 .

            18. y = arc cot g u ⇒ −u

            = u 1+u 2 .

            17. y = arc tg u ⇒ y ′

            = −u

            11. y = tg u ⇒ y ′

            16. y = arc cos u ⇒ y ′

            1−u 2 .

            = u

            15. y = arc sen u ⇒ y ′

            = −u ′ cosec u cotg u.

            14. y = cosec u ⇒ y ′

            = u ′ sec u tg u.

            13. y = sec u ⇒ y ′

            2 u .

            = −u ′ cosec

            12. y = cotg u ⇒ y ′

            2 u .

            = u ′ sec

            R tg n −2 au du.