DCC008 Aula04 Raiz EqNonLin

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  Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes N˜ao-Lineares

  

  DCC008 - C´alculo Num´erico

  

  Departamento de Ciˆ encia da Computa¸c˜ ao Universidade Federal de Juiz de Fora

  Conte´udo

  

  1

  

  2

  

  3

  

  4

  

  5

  6

  7

  Conte´udo

  

  1

  

  2

  

  3

  

  4

  

  5

  6

  7

  Introdu¸c˜ao

  • Vamos considerar agora m´etodos para resolver equa¸c˜oes

   n˜ao-lineares. Dada uma fun¸c˜ao n˜ao-linear escalar

  

  f : R → R, procuramos o valor de x para o qual

  

  f (x) = 0

  

  n n

  • , o problema consiste

  No caso vetorial onde f : R → R

  

  em encontrar o vetor x tal que todas as componentes de

  

f(x) s˜ao iguais a zero simultaneamente.

  Exemplos

  2 f

(x) = x

  − 4 sin (x) = 0

  

2

x

  2 + 0.25 1 − x f(x) = =

  2

  • x + 0.25

  1

−x

  2

  Introdu¸c˜ao

  • As ra´ızes correspondem aos pontos onde o gr´afico da

  

   fun¸c˜ao f(x) intercepta o eixo x

  ✻ y

  

  f (x)

  

  x x x

  1

  2

  3 ✲ s s s x Introdu¸c˜ao

  Para polinˆ • omios de grau at´e quatro, suas ra´ızes podem ser

  

  calculadas atrav´es de uma express˜ao fechada, como por

   exemplo no caso de uma fun¸c˜ao quadr´atica

  √

  2 b −b ± − 4ac

2 Ponto Fixo

  ax x

  • bx + c = 0 = ⇒ 2a

  

  De forma geral, n˜ao podemos encontrar os zeros de uma •

  

  fun¸c˜ao atrav´es de uma express˜ao fechada. Portanto, para

  

  encontrar os zeros de uma fun¸c˜ao temos que recorrer a

  

  m´ etodos aproximados . Em alguns casos, os zeros das fun¸c˜oes podem ser n´ umeros • complexos:

  √

  2

x x

  • 1 = 0 ⇒ = ± −1 = ±i Iremos trabalhar apenas com as ra´ızes reais. •

  Raiz de uma fun¸c˜ao

  

  Defini¸c˜ao

  

  Se f : [a, b] → R ´e uma fun¸c˜ao dada, um ponto α ∈ [a, b] ´e um

   zero (ou raiz) de f se f (α) = 0.

  

  Raiz de uma fun¸c˜ao

  

  Exemplos

  

  Seja f : (0, ∞) → R e considere as seguintes fun¸c˜oes

  

   3

  f

(x) = log (x) e f (x) = tanh(x) − x/3.

   2 1

   2 1

  3 2 4 6 8 10

  Multiplicidade

  

  Teorema (Multiplicidade)

  

  Um ponto α ∈ [a, b] ´e uma raiz de multiplicidade m da

   ′ (m−1)

  equa¸c˜ ao f (x) = 0 se f (α) = f (α) = . . . = f (α) = 0 e

  

  (m) f (α) 6= 0.

  

  Multiplicidade

  Exemplo

  

  2

  2 Seja f (x) = x + 2x + 1 = (x + 1) . Nesse caso temos α = −1

  ′ ′′

  

  com multiplicidade m = 2, pois f (x) = 2(x + 1), f (x) = 2 e

  

  ′ ′′ assim temos que f (−1) = 0, f (−1) = 0 e f (−1) 6= 0.

  

  8

  

  6

  

  4

  2

−4 −3 −2 −1

  1

  2 M´etodos para ra´ızes de equa¸c˜oes

  

  • Os m´etodos num´ericos podem ser divididos em duas

  

  etapas:

  

  •   Isolamento das ra´ızes

    • Encontrar um intervalo [a, b] que contenha apenas uma

      

      raiz, ou

      

    • Determinar uma aproxima¸c˜ ao inicial x

      

      (ou mais de uma, dependendo do m´etodo)

      

      Refinamento • , x , . . .

      

    Gerar uma sequˆencia {x

    1 } que convirja para a raiz exata r de f (x) = 0.

      Raiz de fun¸c˜oes

      

      Teorema

      

      Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Se f (a)f (b) < 0,

       ent˜ao existe pelo menos um ponto x ∈ [a, b] tal que f (x) = 0.

      

      Raiz de fun¸c˜oes

      

      Geometricamente, o teorema afirma que a curva de uma

      

      fun¸c˜ao cont´ınua que come¸ca abaixo do eixo horizontal e

      

      termina acima dele, deve cruzar o eixo em algum ponto

      

      Exemplo Exemplo

      

      

      Existem 3 ra´ızes no intervalo [0, 10] da fun¸c˜ao

      

      f (x) = (x − 1)(x − 5)(x − 10)

      

      60 f(x)

      

      40

      

      20

      

      y

    • 20
    • 40
    • 60

      2

      4

      6

      8

      10 x Exemplo Exemplo

      

      

      

    Como encontrar o intervalo da raiz x > 0 de

      

      2 x f (x) =

      − sen(x)?

    2 M´ etodo da

      

      Solu¸c˜ao

      

    Inspe¸c˜ao visual. Neste exemplo, x ∈ [1, 5; 2].

    2.5 M´ etodo da

      f(x)

      

    2 Considera¸c˜ oes

      

      1.5

      1 y

      0.5

    • 0.5
    • 1

      Exemplo Cont. Solu¸c˜ao

      

      Outra possibilidade ´e fazer uma tabela de valores

       x f

      (x) sinal

      

      0,5 -0,416925538604 < 0

      

      1,0 -0,591470984808 < 0

      

      1,5 -0,434994986604 < 0

      

      2,0 0,0907025731743 > 0

      

      2,5 0,964027855896 > 0

      

      3,0 2,10887999194 > 0 Logo, h´a ao menos uma raiz em [1, 5; 2] • Outra possibilidade ´e fixar o in´ıcio do intervalo x = a e •

    procurar b de modo que f (a)f (b) < 0

    b

    = a + h, a + 2h, a + 4h, . . .

      Exemplo

      Exemplo

      

      Encontre um intervalo de tamanho unit´ario em que haja ao √

      

      −x x menos uma raiz para f (x) = = 0 de modo que

      − 5e

      

      x ≥ 0.

      

      Exemplo

      Exemplo

      

      Encontre um intervalo de tamanho unit´ario em que haja ao √

      

      −x x menos uma raiz para f (x) = = 0 de modo que

      − 5e

      

      x ≥ 0.

      

      Solu¸c˜ao

      

      x f (x) sinal

      

      0,0 -5,0 < 0

      

      1,0 -0,839397205857 < 0 2,0 0,73753714619 > 0 Logo, pelos dados apresentados na tabela e sendo f (x) • cont´ınua no intervalo [1, 2], ent˜ao h´a ao menos uma raiz em [1, 2].

      Raiz de fun¸c˜oes

      

      Teorema

      

      ′

      

      Sob as hip´ oteses do teorema anterior, se f (x) existir e

      

      preservar o sinal em unico [a, b], ent˜ao o intervalo cont´em um ´

      

      zero de f (x).

      

      Raiz de fun¸c˜oes

      

      Exemplo

      

      Exemplo

      

      

    H´a garantia de haver apenas uma raiz para

       −x

      f x (x) = = 0 no intervalo [1, 2]? − 5e

      

      Exemplo

      

      Exemplo

      

      

    H´a garantia de haver apenas uma raiz para

       −x

      f x

    (x) = = 0 no intervalo [1, 2]?

    − 5e

      

      Solu¸c˜ao

      

      Sim, pois f (x) ´e cont´ınua nesse intervalo, f (1)f (2) < 0 e

      1 ′ −x f √ (x) = + 5e

      > 0, ∀x > 0 2 x

      Crit´erio de parada

    • Definido o intervalo (ou formas de inicializa¸c˜ao), pode-se

      

      ent˜ao gerar iterativamente uma sequˆencia de aproxima¸c˜oes

      

      para a raiz de f (x)

      

      Antes de estudar os m´etodos num´ericos para gera¸c˜ao •

      

      dessas aproxima¸c˜oes, ´e importante definir um crit´erio de

       parada para o processo iterativo

      Alguns dos crit´erios normalmente adotados s˜ao: •

       k

      |x − x | k−1

       k k

      |x − x k−1 | ≤ ǫ ≤ ǫ |f (x )| ≤ ǫ k

      |x | onde

    • k

      ´e o passo do processo iterativo

      ǫ ´e a precis˜ao/tolerˆancia da solu¸c˜ao

    • Pode-se adicionar um n´ umero m´aximo de itera¸c˜oes para
    • evitar que o programa itere indefinidamente

      Ordem de convergˆencia ´

       E importante definir com qual rapidez a sequˆencia de

      

      , x

      

      1 aproxima¸c˜oes {x , . . .} converge para a raiz exata α.

      Ordem de convergˆencia

      

      n Uma sequˆencia {x |n ≥ 0} ´e dita convergir com ordem p ≥ 1

      

      para um ponto α se

      

      p

      

      , n n +1 n

      |α − x | ≤ c|α − x | ≥ 0

       para uma constante c > 0.

      Sendo c < 1, dizemos que :

    • se p = 1: convergˆencia linear
    • se 1 < p < 2: convergˆencia super-linear se p = 2: convergˆencia quadr´a

      Ordem de convergˆencia

       Na pr´atica o que isso significa a ordem de convergˆencia?

      p n n

       +1

      |α − x | ≤ c|α − x |

      

      Exemplos de convergˆencia:

      

      −2 −3 −4 −5 −1

      −2 −4 −6 −8 −2 Linear: 10 , 10 , 10 , 10 , . . . com c = 10

    • −2 −3 −5 −8 Super-linear: 10 , 10 , 10 , 10 , . . .

      −2 −4 −8 −16 Quadr´atica: 10 , 10 , 10 , 10 , . . .

      Conte´udo

      

      

      1

      

      2

      

      3

      

      4

      

      5

      6

      7

      M´etodo da Bisse¸c˜ao

    • O m´etodo da bisse¸c˜ao baseia-se na ideia de que seja f (x)

      

      

    no intervalo [a, b].

      

      A cada passo, o intervalo ´e dividido ao meio

      

      a

    • b

      

      x k =

      2

      

      O novo (sub-)intervalo ser´a aquele que cont´em a raiz

      

    • k ], se f (a)f (x k ) < 0

      [a, x

    • k , b], caso contr´ario

      [x

      A busca continua at´e que algum crit´erio de parada seja • atendido: k

      |x − x k−1 | b k < ǫ.

      − a < ǫ; |f (x )| < ǫ; k

      |x | M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

      

      r f (a)

      

      b ✲ r r

       a

      x r f (b) M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

      

      r f (a)

       r

      b ✲ r r r

       a x

      1 x r f (b) M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

       r

      b ✲ r r

       a

      x r M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

       r

      x b

      2 ✲ r r r

       a

      x r r M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

       r

      b ✲ r r

       a

      x r M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

       r

      x b

      3 ✲ r r r

       a

      r x r M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

       r

      b ✲ r r

       a

      r x M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

       r

      b ✲ r r r

       a x

      4 r x M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      y

      ✻

      

      r f (a)

       r

      x x b

      3

      2 ✲ r r r r r r

       a x x

      1

      4 r x r r f (b) M´etodo da Bisse¸c˜ao

      

      Algoritmo 1: Algoritmo do m´etodo da Bisse¸c˜ao

      Entrada: f (x) cont´ınua em [a, b], intervalo [a, b] tal que f (a)f (b) < 0, precis˜ao ǫ e m´aximo n´ umero de

      

      itera¸c˜oes

      

      1 in´ıcio

      

      2 k

      

      ←− 0;

      

      3 enquanto crit´erio de parada n˜ao ´e satisfeito fa¸ca

      

      a +b 4 x ;

       k

      ←−

    2 Considera¸c˜ oes

      5 se f (a)f (x k ) < 0 ent˜ ao

      

      6 b ; k ←− x

      7 sen˜ ao

      8 a k ; ←− x

      9 k ←− k + 1;

      10 retorna x k

      Exemplo

      

       Exemplo

      

      

    Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

      2 x f (x) =

      

      − sen(x) no intervalo [1, 5; 2] executando 5 passos

    2 M´ etodo de do m´etodo da bisse¸c˜ao.

       Solu¸c˜ao

      k a b x f f f k (a) (b) (x k )

      

      1, 5 2 1, 75 0, 0907 −0, 4349 −0, 2184

      Exemplo

      

       Exemplo

      

      

    Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

      2 x f (x) =

      

      − sen(x) no intervalo [1, 5; 2] executando 5 passos

    2 M´ etodo de do m´etodo da bisse¸c˜ao.

       Solu¸c˜ao

      k a b x f f f k (a) (b) (x k )

      

      1, 5 2 1, 75 0, 0907 −0, 4349 −0, 2184 1 1, 75 2 1, 875 0, 0907 −0, 2184 −0, 0752

      Exemplo

      

       Exemplo

      

      

    Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

      2 x f (x) =

      

      − sen(x) no intervalo [1, 5; 2] executando 5 passos

    2 M´ etodo de do m´etodo da bisse¸c˜ao.

       Solu¸c˜ao

      k a b x f f f k (a) (b) (x k )

      

      1, 5 2 1, 75 0, 0907 −0, 4349 −0, 2184 1 1, 75 2 1, 875 0, 0907 −0, 2184 −0, 0752 2 1, 875 2 1, 9375 0, 0907 0, 0050 −0, 0752

      Exemplo

      

       Exemplo

      

      

    Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

      2 x f (x) =

      

      − sen(x) no intervalo [1, 5; 2] executando 5 passos

    2 M´ etodo de do m´etodo da bisse¸c˜ao.

       Solu¸c˜ao

      k a b x f f f k (a) (b) (x k )

      

      1, 5 2 1, 75 0, 0907 −0, 4349 −0, 2184 1 1, 75 2 1, 875 0, 0907 −0, 2184 −0, 0752 2 1, 875 2 1, 9375 0, 0907 0, 0050 −0, 0752

    3 1, 875 1, 9375 1, 90625 0, 0050

    −0, 0752 −0, 035814

      Exemplo

      

       Exemplo

      

      

    Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

      2 x f (x) =

      

      − sen(x) no intervalo [1, 5; 2] executando 5 passos

    2 M´ etodo de do m´etodo da bisse¸c˜ao.

       Solu¸c˜ao

      k a b x f f f k (a) (b) (x k )

      

      1, 5 2 1, 75 0, 0907 −0, 4349 −0, 2184 1 1, 75 2 1, 875 0, 0907 −0, 2184 −0, 0752 2 1, 875 2 1, 9375 0, 0907 0, 0050 −0, 0752

    3 1, 875 1, 9375 1, 90625 0, 0050

    −0, 0752 −0, 035814

    4 1, 90625 1, 9375 1, 921875 0, 0050

    −0, 035814 −0, 015601

      An´alise M´etodo da Bisse¸c˜ ao

      

    • A cada intera¸c˜ao k, a raiz de f (x) = 0 est´a num intervalo

       [a k , b k ]

      Assim, sendo r a solu¸c˜ao do problema, pode-se dizer que

      

      1 (b ) k k k

      |r − x | ≤ − a

      2

      

      An´alise M´etodo da Bisse¸c˜ ao

      

    • A cada intera¸c˜ao k, a raiz de f (x) = 0 est´a num intervalo

       [a k , b k ]

      Assim, sendo r a solu¸c˜ao do problema, pode-se dizer que

      

      1 (b ) k k k

      |r − x | ≤ − a

      2

      

      Al´em disso, o intervalo (b • ) no passo k pode ser k k

      − a

      

      escrito como

      

      b b b k−1 − a k−1 k−2 − a k−2 − a b = = k k

      − a = · · · = k

      2

      2

      2

      2 Logo, o erro absoluto no passo k satisfaz

    • b − a

      k |r − x | ≤ k +1

      2 onde a e b s˜ao os limites do intervalo original

      An´alise M´etodo da Bisse¸c˜ ao

      

      

      

      O limitante para o erro absoluto pode ser utilizado para

      determinar o n´ umero de itera¸c˜oes necess´arias para se obter

      

      uma raiz com uma dada precis˜ao ǫ

      

      Considerando como crit´erio de parada

      

      b − a ≤ ǫ

      

      Nesse sentido, deseja-se determinar k tal que • b − a k

      |r − x | ≤ ≤ ǫ k +1

      2

      An´alise M´etodo da Bisse¸c˜ ao

      

      Logo, • b − a

      

      ≤ ǫ

    k

       +1

      

    2

    b − a k +1

      

      ≤ 2 ǫ

      

      b k

    • 1 − a

      2 ≥

      

      ǫ

      

      b

       k +1 − a

      log (2

      

      2 ) ≥ log

      2 ǫ b

      − a

    k

      2

    • 1 ≥ log ǫ

      b −a ln

      ǫ b − a

    k k

    ou

      2 ≥ log − 1 ≥ − 1 ǫ ln(2)

      N´umero de itera¸c˜oes

      

      

      

      N´umero de itera¸c˜oes vs Precis˜ao

      

      N´ umero de itera¸c˜oes k para o m´etodo da bisse¸c˜ao atingir uma

      

      precis˜ao ǫ

      

      b −a ln

      

      ǫ b − a

      

      k k ou ≥ log 2 − 1 ≥ − 1 ǫ ln(2)

      Exemplo

      

       Exemplo

      

      Qual o n´ umero de itera¸c˜oes necess´arias para encontrar uma

      

      2 x

       aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao f (x) =

      − sen(x) no

      2 −5

      ?

    intervalo [1, 5; 2] de modo que b − a ≤ ǫ = 10

      

      Exemplo

      

       Exemplo

      

      Qual o n´ umero de itera¸c˜oes necess´arias para encontrar uma

      

      2 x

       aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao f (x) =

      − sen(x) no

      2 −5

      ? intervalo [1, 5; 2] de modo que b − a ≤ ǫ = 10

      

      Solu¸c˜ao

      

      b 2−1,5 −a

      

      k −5

      ≥ log 2 − 1 = log 2 − 1 ≈ 15, 61 − 1 = 14, 61 ǫ

      10 Logo, encontra-se a aproxima¸c˜ao para a solu¸c˜ao do problema com a precis˜ao desejada a partir da itera¸c˜ao 15. Ordem de Convergˆencia M´etodo da Bisse¸c˜ ao

      

      

    • Ordem de convergˆencia de um m´etodo

      p

      

      n n

    • 1

      |α − x | ≤ c|α − x |

      

    • No m´etodo da bisse¸c˜ao o erro cai pela metade (em m´edia)

      

      a cada itera¸c˜ao na busca da solu¸c˜ao α, ou seja,

      

      k

      1 |α − x |

      

      ≤

      

      2 |α − x k−1 |

      

      Assim,

      1 k

      |α − x | ≤ |α − x k−1 |

      2 e verifica-se que este m´etodo tem ordem de convergˆencia p = 1 (linear) e c = 1/2.

      Exerc´ıcios

      

      

      

      Exerc´ıcios

       1) Mostre que as seguintes equa¸c˜oes possuem exatamente uma

      raiz e que em cada caso a raiz est´a no intervalo [0.5, 1.0]

      

      2 x

      a) + ln(x) = 0

       x

      xe

      b) − 1 = 0

      

      Determine essas ra´ızes com at´e duas casas decimais corretas

      

      −2 (i.e., com ǫ = 10 ), usando o m´etodo da Bisse¸c˜ao. Fa¸ca

    as contas utilizando 4 d´ıgitos significativos.

      Conte´udo

      

      1

      

      

      2

      

      3

      

      4

      

      5

      6

      7

      M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

      Dado um intervalo [a, b] que cont´em uma raiz para

      

      f (x) = 0, ent˜ao o m´ etodo da falsa posi¸c˜ ao pode ent˜ao

      

      ser descrito como

    • Calcula-se a aproxima¸c˜ao x k :

      

      af (b) − bf (a) x k =

      

      f (b) − f (a)

      

      Determina-se o novo (sub-)intervalo, que ser´a aquele que •

      

      cont´em a raiz

      

      

    [a, x • k ], se f (a)f (x k ) < 0

    • [x k , b ], caso contr´ ario
    • atendido:

      A busca continua at´e que algum crit´erio de parada seja

      k |x − x k−1 | b k < ǫ.

      − a < ǫ; |f (x )| < ǫ; k

      |x | M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

      

      y

      

      ✻

      

      

      

      r f (a)

      

      r b

      ✲ r r r

       a x

      x reta r f (b) M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

      

      y

      

      ✻

      

      

      

      

    r f

    (a)f (b) < 0

      

      f (a)

      

      r b x

      1 ✲ r r r

       a

      r x reta r f (b) M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

      

      y

      

      ✻

      

      

      

      r

      

      f (a)

      

      r b a

      ✲ r r r

      

      x

      

      2 r f (b) x r M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao Algoritmo 2: Algoritmo do m´etodo da Falsa Posi¸c˜ao

      

      Entrada: f (x) cont´ınua em [a, b], intervalo [a, b] tal que

      

      f (a)f (b) < 0, precis˜ao ǫ e m´aximo n´ umero de itera¸c˜oes

      

      1 in´ıcio

      

      2 k ←− 0;

      

      3 enquanto crit´erio de parada n˜ao ´e satisfeito fa¸ca af

      

      (b)−bf (a)

      4 x k ;

      

      ←− f (b)−f (a)

      

      5 se f (a)f (x k ) < 0 ent˜ ao

      

      6 b k ; ←− x

      7 sen˜ ao

      8 a ; k

      ←− x 9 k

      ←− k + 1;

      10 retorna x k

      Exemplo

      

       Exemplo

      

       Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

      2 x f (x) = − sen(x) no intervalo [1, 5; 2] utilizando o m´etodo

    2 M´ etodo de

      −4 k . da falsa posi¸c˜ao, com |f (x )| < ǫ = 10

      

      Solu¸c˜ao

      

      k a b x f f f k (a) (b) (x k )

      1, 5 2 1, 913731 −4, 349950e − 01 9, 070e − 02 −2, 618006e − 02

      Exemplo

      

       Exemplo

      

       Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

      2 x f (x) = − sen(x) no intervalo [1, 5; 2] utilizando o m´etodo

    2 M´ etodo de

      −4 k . da falsa posi¸c˜ao, com |f (x )| < ǫ = 10

      

      Solu¸c˜ao

      

      k a b x f f f k (a) (b) (x k )

      1, 5 2 1, 913731 −4, 349950e − 01 9, 070e − 02 −2, 618006e − 02 1 1, 913731 2 1, 933054 −2, 618006e − 02 9, 070e − 02 −9, 243996e − 04

      Exemplo

      

       Exemplo

      

       Encontre uma aproxima¸c˜ao para o zero da fun¸c˜ao

      2 x f (x) = − sen(x) no intervalo [1, 5; 2] utilizando o m´etodo

    2 M´ etodo de

      −4 k . da falsa posi¸c˜ao, com |f (x )| < ǫ = 10

      

      Solu¸c˜ao

      

      k a b x f f f k (a) (b) (x k )

      1, 5 2 1, 913731 −4, 349950e − 01 9, 070e − 02 −2, 618006e − 02 1 1, 913731 2 1, 933054 −2, 618006e − 02 9, 070e − 02 −9, 243996e − 04 2 1, 933054 2 1, 933730 −9, 243996e − 04 9, 070e − 02 −3, 193009e − 05

      Exerc´ıcios

      

      

    1) Aplique o m´etodo da Bisse¸c˜ao e o da Falsa Posi¸c˜ao para

      

      2 −2 calcular a raiz positiva de x , − 7 = 0 com ǫ = 10

      

      partindo do intervalo inicial [2.0, 3.0] e utilizando 4 d´ıgitos

      

      significativos. Qual chegou na resposta com menos

      

      itera¸c˜oes?

       2) Aplique o m´etodo da Falsa Posi¸c˜ao utilizando 4 d´ıgitos

      −2 significativos para resolver utilizando ǫ = 10 : x

      a) e − 3x = 0

      3

      b) x − cos(x) = 0

      Conte´udo

      

      1

      

      2

      3

      

      4

      

      5

      6

      7

      M´etodo do Ponto Fixo

      

      Outra alternativa para encontrar a raiz r da equa¸c˜ao

       f (x) = 0,

      

      onde f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo [a, b] em que a

       raiz ´e procurada, ´e reescrever f (x) na forma

      x = φ(x) A solu¸c˜ao de x = φ(x) ´e chamada de ponto fixo de φ •

      

      Exemplo

      

    2 Seja f (x) = x

      − x − 2 = 0. Podemos escrever

      

      

      

      

      Exemplo

      

      2 Seja f (x) = x − x − 2 = 0. Podemos escrever

      

      2 x

      a) = x − 2

      

      

      

      Exemplo

      

      2 Seja f (x) = x − x − 2 = 0. Podemos escrever

      

      2 x

      a) = x − 2

       √

       x

      b) = 2 + x

      

      

      Exemplo

      

      2 Seja f (x) = x − x − 2 = 0. Podemos escrever

      

      2 x

      a) = x − 2

       √

       x

      b) = 2 + x

      

      2

      c) x = 1 +

       x

      

      Exemplo

      

      2 Seja f (x) = x − x − 2 = 0. Podemos escrever

      

      2 x

      a) = x − 2

       √

       x

      b) = 2 + x

      

      2

      c) x = 1 +

       x

      2 x

    • 2

      

      x

      d) =

      

      2x−1

      

      Existem diversas formas de expressar f (x) = 0 como um problema de ponto fixo da forma x = φ(x), entretanto veremos que nem todas s˜ao satisfat´ orias para nossos objetivos.

      M´etodo do Ponto Fixo

      

      M´etodo do Ponto Fixo

      

      No m´etodo do ponto fixo define-se x = φ(x) satisfazendo:

      

      ′ 1) φ(x) e φ

      

    (x) cont´ınuas para x ∈ I

      ′ 2)

      |φ (x)| < 1, ∀x ∈ I

      

      Dada uma aproxima¸c˜ao inicial x para a raiz r , ent˜ao as

      

      aproxima¸c˜oes sucessivas x s˜ao obtidas fazendo k

      

      x k k = φ(x ), = 1, 2, . . . k−1

      O processo continua at´e algum crit´erio de parada ser atendido: k

      |x − x k−1 | < ǫ ou k |f (x )| < ǫ. k

      |x |

      Ponto Fixo

      

      Algoritmo 3: Algoritmo do m´etodo Ponto Fixo

      

      Entrada: Aproxima¸c˜ao inicial x , fun¸c˜ao associada φ(x), precis˜ao ǫ e m´aximo n´ umero de itera¸c˜oes

      

      1 in´ıcio

      

      2 k ←− 1;

      

      3 enquanto crit´erio de parada n˜ao ´e satisfeito fa¸ca

      

      4 x ); k ←− φ(x k−1

      

      5 k ←− k + 1;

      6 retorna x k

      Exemplo

      

      Exemplo

      

      2

      2 f (x) = x − x − 2 usando o seguinte esquema x = x − 2.

       Considerando I = [1.5, 2.5], sabemos que a raiz ´e α = 2.

      

    2

      

      φ(x) = x φ (x) = 2x − 2 ⇒

      

      ′ Assim temos que φ(x) e φ (x) s˜ao cont´ınuas. Entretanto

      

      

    max |φ (x)| = max |2x| > 1 x ∈I x ∈I que nos mostra que o m´etodo do ponto fixo n˜ao converge para essa escolha da fun¸c˜ao de itera¸c˜ao φ(x). De fato, o m´etodo diverge (como visto anteriormente).

      Exemplo

      

      Exemplo

      

      2 Por outro lado, para f (x) = x

      

      − x − 2 com I = [1.5, 2.5] √

      

      x usando φ(x) = + 2, temos

      1

      

      φ (x) = √

      

      2 x + 2

      

      e assim

      

      1 ′ max = 0.267 < 1 √

      |φ (x)| = max x x ∈I x ∈I 2 + 2 ′

      Ou, podemos dizer que |φ (x)| < 1 se e somente se x > −1.75 e portanto nessas condi¸c˜oes o teorema garante a convergˆencia.

      Exemplo Exemplo

      

      2 Considere a equa¸c˜ao f (x) = 2x − 5x + 2 = 0, cujas ra´ızes s˜ao

      

      α = 0.5 e α = 2. Considere os processos iterativos:

      1

      2 q

      

      5x k

      a) x = k +1

       − 1

      2

      2 2x +2 k

      

      b) x = k +1

      5 Qual dos dois processos vocˆe utilizaria para obter a raiz α ?

      1

      

      Por que?

      

      Exemplo Exemplo

      

      2 Considere a equa¸c˜ao f (x) = 2x − 5x + 2 = 0, cujas ra´ızes s˜ao

      

      α = 0.5 e α = 2. Considere os processos iterativos:

      1

      2 q

      

      5x k

      a) x = k +1

       − 1

      2

      2 2x +2 k

      

      b) x = k +1

      5 Qual dos dois processos vocˆe utilizaria para obter a raiz α ?

      1

      

      Por que?

      

      Solu¸c˜ao Para a) temos que

      1/2

      1

      5 ′ 5x

      1 φ (x) = − 1 ⇒ φ (x) = q

      2 5xk 2 −1

      2

      2

      

    5

      |φ (α 1 )| = = 2.5 > 1 q

    5·0.5

      

    4 − 1

      

    2

      Exemplo

      

      Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.)

      

      Para b) temos que

      2 2x + 2 4x

      ′

      

      φ(x) = φ (x) = ⇒

      

      5

      5 4(0.5)

      2 ′

      

      (α = = 0.4 < 1

      1 |φ )| =

      5

      5

      

      ′ Temos ent˜ao que φ(x) e φ (x) s˜ao cont´ınuas e se x for suficientemente pr´oximo de α

      1 , ent˜ao o processo b) ir´a convergir, e portanto este ´e mais adequado para encontrar a raiz.

      Exemplo

      

      Exemplo

      

      3 Seja f (x) = x − 9x + 3. Considere a seguinte fun¸c˜ao de

      

    3

    x +3

      

      itera¸c˜ao x = φ(x) = . Queremos encontrar a raiz de

      

    9

    f (x) = 0 no intervalo [0, 1]. O m´etodo ir´a convergir?

      

      

      Exemplo

      

      Exemplo

      

      3 Seja f (x) = x − 9x + 3. Considere a seguinte fun¸c˜ao de

      3 x +3

      

      itera¸c˜ao x = φ(x) = . Queremos encontrar a raiz de

      9 f (x) = 0 no intervalo [0, 1]. O m´etodo ir´a convergir?

      

      

      Solu¸c˜ao

      

      2 x

       ′ ′

      Temos que φ (x) = , e portanto temos que φ(x) e φ (x) s˜ao

    3 Secante cont´ınuas.

      

      Verificamos agora que

      2 x

      ′ |φ (x)| = < 1, ∀x ∈ [0, 1]

      3 E assim concluimos que o m´etodo ir´a convergir. Podemos verificar tomando x = 0.25 e usando uma precis˜ao ǫ = 0.001.

      Exemplo

      

      Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.)

      

      Na primeira itera¸c˜ao, temos

      

      3 0.25 + 3 0.015625 + 3

       x = = = 0.335069

    1 Ponto Fixo

      9

      9

      3 f

      

      (x 1 ) = x 1 − 9x 1 + 3 = 0.037618 − 3.015621 + 3 = 0.021997 > ǫ

      

      Mais uma itera¸c˜ao

      

    3 Considera¸c˜ oes 0.335069 + 3

      x 2 = = 0.337513

      

      9

      3 f (x

      2 ) = x − 9x 2 + 3 = 0.038447 − 3.037617 + 3 = 0.00083 < ǫ

      2

      2 Como o crit´erio de parada |f (x )| < ǫ foi satisfeito, terminamos o processo com x = 0.337513 como aproxima¸c˜ao

      2 para a raiz.

      Exemplo

      

      Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.)

      

      Se tomarmos outra aproxima¸c˜ao inicial x = 0.5 mais distante da raiz temos:

      

      Exemplo

      

      Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.)

      

      Se tomarmos outra aproxima¸c˜ao inicial x = 0.5 mais distante da raiz temos:

      

      k x f k (x k )

      

      0.5 -1.375

      

      1 0.34722 -0.83137

      

      2 0.33798 -0.0032529 3 0.33762 -0.00012219

      Exemplo

      

      Exemplo

      

      Considere as seguintes fun¸c˜oes:

      

      a) φ

      1 (x) = 2x − 1

      

      2

      b) φ (x) = x

    2 Ponto Fixo − 2x + 2

      

      Qual delas vocˆe escolheria para obter a raiz 1, utilizando o

      

      processo iterativo x k = φ(x k )? Exiba a sequˆencia gerada

    • 1

       com sua escolha tomando x = 1.2.

      

      Exemplo

      

      Exemplo

      

      Considere as seguintes fun¸c˜oes:

      

      a) φ

      1 (x) = 2x − 1

      

      2

      b) φ (x) = x

    2 Ponto Fixo − 2x + 2

      

      Qual delas vocˆe escolheria para obter a raiz 1, utilizando o

      

      processo iterativo x k = φ(x k )? Exiba a sequˆencia gerada

    • 1

       com sua escolha tomando x = 1.2.

      

      Solu¸c˜ao ′

      

    Temos que φ (x) e φ (x) s˜ao cont´ınuas pois

      1

      1 ′ φ φ (x) = 2

      1 (x) = 2x − 1,

      1 ′ Mas |φ 1 (x)| = 2 > 1, ∀x pr´oximo de α = 1.

      Exemplo

      

      Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.)

      

      Por outro lado

      

      2 ′ φ

    2 (x) = x φ

    − 2x + 2,

      2 (x) = 2x − 2 ′

      |φ

    2 (x)| = |2x − 2| < 1

      

      de onde temos

      

      −1 < 2x − 2 < 1

      

      1 < 2x < 3

      

    1

      3 < x <

      

    2

      2 ′ Portanto |φ 2 (x)| < 1 se e somente se x ∈ I = [0.5, 1.5]. Como

      ′ φ (x) e φ (x) s˜ao cont´ınuas, tomando uma aproxima¸c˜ao inicial

      2

      2 x ∈ I , temos a convergˆencia do m´etodo garantida.

      Exemplo

      

      Solu¸c˜ao do exemplo - (cont.)

      

    2 M´ etodo do

      Tomando ent˜ao φ 2 (x) = x = 1.2, temos: − 2x + 2 e x

      

      k x k

      

      1.2

      1

      1.04

      

      2 1.0016 3 1.00000256

      Exerc´ıcios

      

      Exerc´ıcios

      

      1) Considere o problema de encontrar o zero da fun¸c˜ao

      

      f (x) = x + ln(x) no intervalo [0.5, 0.6] usando um m´etodo de ponto fixo. Analise a convergˆencia, quando a fun¸c˜ao de

       itera¸c˜ao ´e dada por:

      

      a) ϕ(x) = −ln(x)

      −x

      

      b) ϕ(x) = e

      

      2 2) A equa¸c˜ao x

       + 5x − 1 = 0 tem uma raiz em [0, 0.5].

      Verifique quais dos processos abaixo podem ser utizados, com sucesso, para obtˆe-la.

      2 k 1−x x

      a) k +1 =

      5 k

      1−5x x

      b) k +1 = x k

      √ x c) k +1 = k

      1 − 5x

      Conte´udo

      

      1

      

      2

      

      3

      

      4

      

      5

      6

      7

      M´etodo de Newton

      

      O m´etodo de Newton ´e definido por

      

       f (x ) k−1 x = x

       k

      − k−1 ′ f

       (x )

      k−1

      

      M´etodo de Newton Geometricamente

      

      

      

      Algoritmo

      

      Algoritmo 4: Algoritmo para o M´etodo de Newton

       ′

      Entrada: f (x), f (x), valor inicial x , precis˜ao ǫ e m´aximo

      

      n´ umero de itera¸c˜oes

      

      1 in´ıcio

       2 k

      ←− 1;

      

      3 enquanto crit´erio de parada n˜ao ´e satisfeito fa¸ca

      

      f (x ) k−1

      

      4 x k ′ ; ←− x k−1 − f

      (x )

       k−1

      5 k ←− k + 1;

      6 retorna x k

      Exemplo

      

      1/3 = 3 como

    Resolva f (x) = x − x − 2 = 0 usando x

       aproxima¸c˜ao inicial.

      

      

      

      Exemplo

      

      1/3 = 3 como

    Resolva f (x) = x − x − 2 = 0 usando x

       aproxima¸c˜ao inicial.

      

      Solu¸c˜ao

      

      Temos que a derivada ´e

      1 ′ −2/3 f x (x) = 1 −

      

      3

      

      nesse caso a f´ormula de itera¸c˜ao ´e 1/3 x k

      − x k − 2 x k = x k

    • +1

      − 1 −2/3 x 1 − k

      3 M´etodo de Newton

      

      Cont. Solu¸c˜ao

      

      Aplicando o m´etodo de Newton temos

      

      ′ k x f f k (x k ) (x k )

      

      3.0 0.839750 -0.442250e+00

      1 3.526644 0.856130 4.506792e-03

      2 3.521380 0.855986 3.771414e-07

      

      3 3.52137971 0.855986 0.00000e+00

      

      = 3.52137971

      3 E assim ao final das itera¸c˜oes obtemos α ≈ x como valor aproximado para a raiz. Exerc´ıcios

      

      Exerc´ıcios

      

      1) O valor de π pode ser obtido atrav´es das seguintes

      

      equa¸c˜oes:

      

      a) sen(x) = 0

      b) cos(x) + 1 = 0

      Aplique o m´etodo de Newton com x = 3 e com precis˜ao

      

      −7

       10 . Compare os resultados.

      √

      

      b 2) Suponha que vocˆe deseja computar em um computador

      

      que n˜ao possui a fun¸c˜ao de ”raiz quadrada”. Responda:

      a) Use o m´etodo de Newton para estabelecer uma forma de calcular a raiz √ b) Usando o m´etodo do item anterior calcule 2 neste computador

      Conte´udo

      

      1

      

      2

      

      3

      

      

      4

      

      5

      6

      7

      M´etodo da Secante Algumas desvantagens do m´etodo de Newton

      ′

      Determinar f

    (x)

      

      ′ Calcular f (x) a cada passo

      ′

      Uma adapta¸c˜ao poss´ıvel ´e substituir f (x) pela

      

      aproxima¸c˜ao

      

       f (x ) ) − f (x k−1 k−2 ′

       f (x k−1 ) ≈ x − x

       k−1 k−2

      ′ Dada a aproxima¸c˜ao para f (x • ), o m´etodo da secante k−1 resulta em f

      (x ) k−1 x

    k = x k−1 − f(x ) )−f(x k−1 k−2 x k−1 −x k−2 M´etodo da Secante

      

      Algoritmo 5: Algoritmo para o M´etodo da Secante

      

      Entrada: f (x), valores iniciais x e x , precis˜ao ǫ e m´aximo

      1 n´ umero de itera¸c˜oes

      

      1 in´ıcio

      

      2 k

      

      ←− 2;

    3 M´ etodo da enquanto crit´erio de parada n˜ao ´e satisfeito fa¸ca

       f (x ) k−1 )−f (x k−2

      4 d ; ←− x

       k−1 k−2

      −x

      

      f (x ) k−1

      5 x k ; ←− x k−1 − d

      6 k ←− k + 1;

      7 retorna x k

      M´etodo da Secante

      

      Exemplo

      

      √ −x

      

      x Encontre a raiz de = 0, usando o m´etodo da

    − 5e

      −3

      

      secante com x = 1.4 e x 1 = 1.5 com uma precis˜ao ǫ = 10 .

      

      

      

      M´etodo da Secante

      

      Exemplo

      

      √ −x

      

      x Encontre a raiz de = 0, usando o m´etodo da

    − 5e

      −3

      

      secante com x = 1.4 e x 1 = 1.5 com uma precis˜ao ǫ = 10 .

      

      Solu¸c˜ao

      

      Avaliando a fun¸c˜ao em x e x 1 temos

      

       √

      −1.4 f (x ) = f (1.4) = 1.4 − 5e = 1.183 − 5(0.247) = −0.052

       √

      −1.5

       f

      (x ) = f (1.5) =

      1 1.5 − 5e = 1.225 − 5(0.223) = 0.110 pelo m´etodo da secante temos

      1.4f (1.5) − 1.5f (1.4) 1.4(0.110) − 1.5(−0.052) x 2 = = = 1.432 f 0.110 + 0.052 (1.5) − f (1.4)

      |x 2 − x 1 | e = = 0.047 > ǫ

      

    2 ⇒ mais itera¸c˜oes!

    |x 2 |

      M´etodo da Secante

      

      Cont. da solu¸c˜ao do exemplo

      

      Avaliando a fun¸c˜ao em x

      

    2 Falsa Posi¸c˜ ao

      √ −1.432

      

      f (x 2 ) = f (1.432) =

      1.432 − 5e = 1.197 − 5(0.239) = 0.002

      

      assim

      

       1.5f (1.432) − 1.432f (1.5)

       x

      3 = f (1.432) − f (1.5)

      

      1.5(0.002) − 1.432(0.110) = = 1.431 0.002 − 0.110 |x

      3 − x

    2 |

    e = = 0.0007 < ǫ

      3 |x 3 | Portanto, a raiz aproximada ´e x = 1.431.

      3

      Exerc´ıcios

      

      Exerc´ıcios

      

    1) Encontre o zero das seguintes fun¸c˜oes pelo m´etodo da

      

      secante com ǫ = 0.0005 ou at´e seis itera¸c˜oes:

      3 f

      a) (x) = x − cos(x) no intervalo [0,1]

      3 f

      

    b) (x) = 2x + ln(x) no intervalo [1,2]

      

      Conte´udo

      

      1

      

      2

      

      3

      

      4

      

      

      5

      6

      7

      Compara¸c˜ao entre os M´etodos

      

      M´etodo da bisse¸c˜ao e falsa posi¸c˜ao

      

      Utiliza a ideia da existˆencia de ao menos uma raiz no •

      

      intervalo [a, b] quando f (x) ´e cont´ınua e f (a)f (b) < 0

      

      Convergˆencia linear

      

      M´etodo do ponto fixo

      ′ ′ φ (x) sejam cont´ınuas para x ∈ I e |φ (x)| < 1, ∀x ∈ I Convergˆencia linear

      Compara¸c˜ao entre os m´etodos

      

      M´etodo de Newton •

      

      Possui crit´erios mais restritivos para a convergˆencia •

      

      ′ Requer o c´alculo de f (x) e f (x) a cada passo •

      

      Pode em certas condi¸c˜ oes atingir convergˆencia quadr´atica

      

      M´etodo da secante

      ′ C´alculo de f (x) ´e substitu´ıdo por uma aproxima¸c˜ao

    • Convergˆencia super-linear

      Compara¸c˜ao entre os m´etodos

      

      De forma geral, entre os m´etodos apresentados aqui

      

    • O m´etodo de Newton ´e o mais indicado

      

    • Sempre que for poss´ıvel garantir as condi¸c˜ oes de

      

      ′ convergˆencia, e f (x) estiver dispon´ıvel e for simples de

      

      ser avaliada ′

      Se f (x) n˜ao estiver dispon´ıvel ou for computacionalmente

      

      custosa para se calcular, ent˜ao sugere-se o m´etodo da secante

    • quando se deseja garantir a convergˆencia ou para obter uma melhor aproxima¸c˜ao inicial para os demais m´etodos

      Pode-se utilizar os m´etodos da bisse¸c˜ao ou falsa posi¸c˜ao

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