Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Hiperbolicidade e Propriedade de Especificac ¸˜ ao

Marcus Vin´ıcius da Conceic ¸˜ ao Morro

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2013 Hiperbolicidade e Propriedade de Especificac ¸˜ ao Marcus Vin´ıcius da Conceic ¸˜ ao Morro

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas.

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2013 Morro, Marcus Vin´ıcius da Concei¸c˜ ao.

  Hiperbolicidade e Propriedade de ESpecifica¸c˜ ao / Marcus Vin´ıcius da Concei¸c˜ ao Morro. – Salvador: UFBA, 2013. 35 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2013. Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Propriedade de Especifica¸c˜ ao. 2. Difeomorfismo. 3. Hiperbolici- dade. 4. Mistura Topol´ ogica. I. Varandas, Paulo C´esar Rodrigues Pinto.

II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 517.938 Hiperbolicidade e Propriedade de Especificac ¸˜ ao Marcus Vin´ıcius da Conceic ¸˜ ao Morro

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 25 de fevereiro de 2013.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. J´erˆome Fran¸cois Alain Jean Rousseau UFBA

  Profa. Dra. Katrin Grit Gelfert UFRJ Agradecimentos

  Agrade¸co a todos que, direta ou indiretamente, contribu´ıram para este trabalho

  e, em especial, ao Professor Paulo Varandas pela orienta¸c˜ao e a disposi¸c˜ao sempre que foi procurado.

  A CAPES pela bolsa concedida durante os dois anos de curso. Aos colegas acadˆemicos que colaboraram na elabora¸c˜ao deste trabalho, dentre eles, Anderson Cruz, ˆ Angela Soldatelli, K´atia Rocha, Luiz Alberto, Roberto Sant’Anna,

  Thiago Bomfim. Agrade¸co aos demais colegas de classe que contribu´ıram de alguma forma nestes dois anos de estudo, Darlan, Edward, Elaine, Elen, Jaqueline, Raimundo.

  A todos os funcion´arios do IM-UFBA, pela disposi¸c˜ao e profissionalismo. Em especial ao Professor Vitor Ara´ ujo pela simpatia e solicitude com que sempre me atendeu. Ao Professor Kleyber Cunha que me ajudou com referˆencias bibliogr´aficas.

  Aos Professores Katrin Gelfert e Jorˆome Rousseau por aceitarem participar da comiss˜ao julgadora da disserta¸c˜ao e pelas corre¸c˜oes e sugest˜oes para texto. Agrade¸co a Larissa por me ajudar com corre¸c˜oes no texto. Por fim, um agradecimento especial para minha m˜ae Rose.

  “Um pouco mais de conhecimento iluminar nosso caminho pode.” Mestre Yoda (Star Wars - Epis´odio 3). Resumo ∞

  Seja f um difeomorfismo de uma variedade fechada C M . Neste trabalho,

  1

  apresentamos a no¸c˜ao de propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel para um conjunto f - invariante Λ de M , e apresentamos a prova de que f | satisfaz a propriedade de especi-

  Λ

  1 fica¸c˜ao C -est´avel se e somente se Λ ´e um conjunto elementar hiperb´olico.

  Palavras-chave: Propriedade de Especifica¸c˜ao; Difeomorfismo; Hiperbolicidade; Mistura Topol´ogica.

  Abstract ∞

  Let f be a diffeomorphism of a closed C manifold M . In this work, we introduce

  1

  the notion of the C -stable specification property for a closed f -invariant set Λ of M , and

  1

  we present a proof that f | satisfies a C -stable specification property if and only if Λ is

  Λ a hyperbolic elementary set.

  Keywords: Property Specification; Diffeomorphism; Hyperbolicity; Topologically Mixing.

  Sum´ ario

  2.2 Hiperbolicidade e Especifica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  3.2 Especifica¸c˜ao N˜ao-Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  3.1 Caso N˜ao Invert´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  32

  3 Resultados Recentes e Perspectivas Futuras

  2.3.1 Especifica¸c˜ao robusta e ´ındices de pontos peri´odicos . . . . . . . . 22

  2.3 Robustez da propriedade de especifica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  2.1 Estabilidade de conjuntos hiperb´olicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  Introdu¸ c˜ ao

  15

  2 Hiperbolicidade e Especifica¸ c˜ ao

  1.3 Algumas no¸c˜oes de Topologia Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  8

  4 1.2 Especifica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 No¸ c˜ oes preliminares 4 1.1 Hiperbolicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  33 Introdu¸ c˜ ao

  A existˆencia de pontos peri´odicos ´e muitas vezes necess´aria no estudo de siste- mas dinˆamicos. Por exemplo, na defini¸c˜ao de Devaney [5] para sistema ca´otico temos a exigˆencia da densidade de pontos peri´odicos. A no¸c˜ao propriedade de especifica¸c˜ao, de- vida a Bowen [2], pode ser usada para a dedu¸c˜ao de boas propriedades topol´ogicas, entre elas a existˆencia de pontos peri´odicos, nos dando uma primeira motiva¸c˜ao pra estud´a-la. A propriedade de especifica¸c˜ao tornou-se muito importante no estudo de teoria erg´odica de sistemas dinˆamicos em espa¸cos m´etricos compactos (ver [4] e [8]). Neste trabalho, apresentamos um estudo da propriedade de especifica¸c˜ao do ponto de vista da teoria geom´etrica de sistemas dinˆamicos feito em [12].

  A defini¸c˜ao de especifica¸c˜ao pode ser feita de diversas formas equivalentes. A forma de definir a propriedade de especifica¸c˜ao que escolhemos ´e apresentada com detalhes na Se¸c˜ao 1.2. Moralmente, dizemos que uma transforma¸c˜ao f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se dado um erro ǫ > 0, para um n´ umero arbitr´ario de segmentos de ´orbitas arbitrariamente grandes, podemos encontrar uma ´orbita peri´odica que acompanha cada um dos segmentos com o erro de ǫ e muda de um segmento para outro em uma quantidade fixa de tempo que depende apenas de ǫ.

  Se f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao, ent˜ao f ´e topologicamente mistura- dora (na Se¸c˜ao 1.2 apresentamos a defini¸c˜ao de topologicamente misturadora e a prova deste resultado, a qual tamb´em pode ser encontrada em [4]). Prova-se que se f ´e topolo- gicamente misturadora, ent˜ao ´e transitiva, isto ´e, h´a uma ´orbita densa.

  No caso de transforma¸c˜oes do intervalo cont´ınuas, a propriedade de mistura to- pol´ogica implica em especifica¸c˜ao. Este resultado ´e devido a Blokh [1]. Por outro lado, Buzzi mostra em [3] que se tirarmos a hip´otese de continuidade, n˜ao temos equivalˆencia entre mistura topol´ogica e propriedade de especifica¸c˜ao. Em [3] ´e apresentado o seguinte contraexemplo: embora todas as transforma¸c˜oes T : [0, 1] → [0, 1] definidas por:

  β

  T : x 7→ {βx},

  β

  onde {·} ∈ [0, 1[ representa a parte fracion´aria, sejam topologicamente misturadoras, para todo β > 1, o conjunto de β > 1 tais que T satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao ´e

  β denso, mas tem medida de Lesbegue nula. Um homeomorfismo f ´e expansivo se existe uma constante c > 0 de tal modo

  n n

  que para qualquer x, y ∈ X, d(f (x), f (y)) ≤ c (n ∈ Z) implica x = y. ´ E provado em [4, Preposi¸c˜ao 23.20] que se um homeomorfismo f expansivo tem a propriedade de sombreamento (para defini¸c˜ao ver Se¸c˜ao 1.2) e ´e topologicamente misturador, ent˜ao f satisfaz a propriedade especifica¸c˜ao.

  Seja Λ ⊂ M um conjunto f -invariante fechado. Seja U ⊂ M uma vizinhan¸ca compacta de Λ, definamos \

  n Λ (U ) = f (U ). f

n∈Z

  Um conjunto Λ ´e localmente maximal em U se houver uma vizinhan¸ca compacta U de Λ

  1

  tal que Λ = Λ (U ). Dizemos que f | satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel

  f Λ (U ) f

  1

  se houver uma vizinhan¸ca compacta U de Λ e uma C -vizinhan¸ca U (f ) de f tal que Λ ´e localmente maximal em U e para qualquer g ∈ U (f ), g| satisfaz a propriedade de

  Λ (U ) g

  especifica¸c˜ao. No caso Λ = M , dizemos que f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao

1 C -est´avel.

  Um conjunto localmente maximal Λ ´e um conjunto b´asico (respectivamente con- junto elementar) se f | ´e transitiva (respectivamente topologicamente misturadora). Pode-

  Λ

  se mostrar que se Λ ´e um conjunto b´asico hiperb´olico (ver Se¸c˜ao 1.1), ent˜ao os pontos peri´odicos s˜ao densos nele. Cada conjunto elementar ´e um conjunto b´asico.

  O principal resultado apresentado neste trabalho, demonstrado por Sakai, Sumi, e Yamamoto em [12], ´e o seguinte Teorema A. Seja Λ um conjunto f -invariante fechado. Ent˜ao f | satisfaz a proprie-

  Λ (U ) f

  1 dade de especifica¸c˜ao C -est´avel se e somente se Λ ´e um conjunto elementar hiperb´olico.

  1 Em [10] este resultado ´e estendido para transforma¸c˜oes C -regulares (transfor-

  ma¸c˜oes diferenci´aveis n˜ao invert´ıveis cujas derivadas s˜ao sobrejetivas). Entretanto para transforma¸c˜oes n˜ao invert´ıveis n˜ao podemos aplicar a mesma defini¸c˜ao de hiperbolicidade que usamos para difeomorfismos. A exigˆencia de subespa¸cos est´aveis e inst´aveis invari- antes ´e muito forte. Mais precisamente, n˜ao se pode esperar que os subespa¸cos inst´aveis se sejam transformados de maneira invariante, visto que pode haver v´arios pontos com mesma imagem.

  A demonstra¸c˜ao de que se Λ ´e um conjunto elementar hiperb´olico ent˜ao f |

  Λ (U ) f

  1

  satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel, decorre da j´a conhecida estabilidade de conjuntos hiperb´olicos e do fato de hiperbolicidade mais a propriedade de topologicamente misturadora implicarem na propriedade de especifica¸c˜ao. Em [12] ´e feita a demonstra¸c˜ao

  1

  de que se f | satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel ent˜ao Λ ´e um conjunto

  Λ (U ) f

  elementar hiperb´olico. Para tal ´e utilizado um resultado devido a Ma˜ n´e [9] que afirma que sob a hip´otese de transitividade robusta (ver Se¸c˜ao 2.3) as seguintes condi¸c˜oes s˜ao

  • vizinhan¸ca U (f ) de f tal que para qualquer g ∈ U(f ), qualquer ponto peri´odico de Λ g (U ) ´e hiperb´olico e tem o mesmo ´ındice;
  • vizinhan¸ca U (f ) de f tal que para qualquer g ∈ U (f ), Λ
  • est´avel, ent˜ao para qualquer g C
  • pr´oxima de f tal que g|

  (U ) com ´ındices distintos;

  1

  1

  e q

  2

  pontos peri´odicos hiperb´olicos para ϕ em Λ

  ϕ

  3 Aplicar o resultado de Ma˜ n´e citado acima e concluir que se f |

  g

  Λ f (U )

  satisfaz a espe- cifica¸c˜ao C

  1

  1

  Λ g (U )

  ´e hiperb´olica, pois por 1 e 2 teremos que para qualquer g ∈ U(f ), qualquer ponto peri´odico de Λ

  g (U ) ´e hiperb´olico e tem o mesmo ´ındice.

  (U ) que n˜ao ´e hiperb´olico para g, ent˜ao podemos encontrar uma ϕ C

  1

  Este trabalho est´a organizado da seguinte forma. No primeiro cap´ıtulo, listamos defini¸c˜oes e resultados de Dinˆamica Hiperb´olica necess´arios no decorrer do texto. No se- gundo cap´ıtulo, apresentamos a demonstra¸c˜ao do Teorema A, apresentando a estabilidade de conjuntos hiperb´olicos e a demonstra¸c˜ao de que hiperbolicidade mais a propriedade de topologicamente misturadora implicarem na propriedade de especifica¸c˜ao e apresentamos as demonstra¸c˜oes feitas em [12]. Por fim, no terceiro cap´ıtulo comentamos a extens˜ao do Teorema A para o caso n˜ao invert´ıvel feita em [10] e falamos sobre uma vers˜ao da propriedade de especifica¸c˜ao sobre o ponto de vista da Teoria da Medida. Cap´ıtulo 1 No¸ c˜ oes preliminares

  1

  equivalentes: (1) existe uma C

  1

  (2) existe uma C

  1

  g

  (U ) ´e hiperb´olico. Observe que negar (1) ´e o mesmo que dizer que f pode ser aproximada por transforma¸c˜oes C

  com pontos peri´odicos n˜ao hiperb´olicos ou com ´ındices distintos. Assim, um roteiro para a prova da parte do Teorema A feita em [12] ´e o seguinte:

  2 Mostrar que se existe uma g C

  1 Mostrar que se f |

  Λ f (U )

  satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C

  1

  1

  

Λ

f (U )

  satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao, ent˜ao todo ponto peri´odico hiperb´olico para g em Λ g (U ) possui o mesmo ´ındice;

  • pr´oxima de f e um ponto peri´odico p ∈ Λ
  • pr´oxima de f com q
  • est´avel, ent˜ao existe uma C
  • vizinhan¸ca U (f ) de f tal que para toda g ∈ U (f ) g|

  Neste cap´ıtulo apresentamos alguns conceitos e resultados de dinˆamica hiperb´olica e propriedade de especifica¸c˜ao a serem utilizados neste trabalho. As defini¸c˜oes e resultados apresentados neste cap´ıtulo podem ser encontrados em [7] e [11].

1.1 Hiperbolicidade

  Nesta se¸c˜ao a presentamos a defini¸c˜ao de conjunto hiperb´olico e resultados rela- cionados.

  n n

  Dizemos que uma transforma¸c˜ao linear A : R → R ´e hiperb´olica se todos os autovalores de A possuem norma diferente de 1. Portanto um ponto fixo p para uma transforma¸c˜ao f : M → M ´e hiperb´olico se Df for uma transforma¸c˜ao hiperb´olica. Se

  p

  todos os autovalores de Df p tˆem norma maior do que 1, dizemos que p ´e hiperb´olico de tipo fonte. Se todos os autovalores de Df tˆem norma menor do que 1, dizemos que p ´e

  p

  hiperb´olico de tipo po¸co. Se p ´e hiperb´olico e Df tem autovalores com norma maior do

  p que 1 e autovalores com norma menor do que 1, dizemos que p ´e ponto fixo de tipo sela.

  Se p ´e um ponto peri´odico de per´ıodo k, dizemos que p ´e um ponto peri´odico hiperb´olico

  k

  (respectivamente de tipo fonte, po¸co ou sela) se p ´e um ponto fixo hiperb´olico para f (respectivamente de tipo fonte, po¸co ou sela).

  O conceito de ponto hiperb´olico ´e extendido para conjuntos com a seguinte de- fini¸c˜ao.

  1 Defini¸ c˜ ao 1.1.1.

  Sejam M uma variedade Riemanniana e Dif (M ) o espa¸co de difeo-

  1

  1

  morfismos de M dotado da topologia C . f ∈ Dif (M ). Dizemos que Λ ⊂ M ´e um conjunto (uniformemente) hiperb´olico se: (i) Λ ´e compacto e f -invariante;

  (ii) existe c > 0 e existe 0 < λ < 1 tal que para todo x ∈ Λ 

  s u

   T M = E ⊕ E decomposi¸c˜ao Df -invariante

  x x x

    

  s s

  Df (x) · E = E

  x f (x)

    

  u u

   Df (x) · E = E ;

  x f (x)

  (iii) 

  n n

   s kDf (x)| k ≤ c.λ

  E x , ∀n ≥ 1, ∀x ∈ Λ. −n n

   u kDf (x)| k ≤ c.λ

  E x Caso Λ = M dizemos que f ´e Anosov.

  A seguinte proposi¸c˜ao nos diz que existe uma m´etrica Riemanniana na qual a constante c da Defini¸c˜ao 1.1.1 pode ser tomada igual a 1. Proposi¸ c˜ ao 1.1.2.

  Seja Λ ⊂ M um conjunto hiperb´olico. Existe uma m´etrica Rieman- niana adaptada <, > de forma que:

  n n −n n s u kDf (x)| k ≤ λ e kDf (x)| k ≤ λ .

  

E E

x x

  Al´em disso, a m´etrica pode ser tomada C .

  Para uma prova da proposi¸c˜ao 1.1.2 ver [11] Teorema 1.1 sa Se¸c˜ao 7.3.1. Proposi¸ c˜ ao 1.1.3.

  Seja Λ um conjunto hiperb´olico para f : U → M . As dimens˜oes dos

  u s

  subespa¸cos E e E s˜ao localmente constantes e estes subespa¸cos variam continuamente

  x x com x.

  Demonstra¸c˜ao. Seja dimM = s. Segue da Proposi¸c˜ao 1.1.2 que para quaisquer x ∈ Λ,

  s

  ξ ∈ E e n ≥ 0,

  x

n n

  kDf ξk ≤ λ kξk (1.1.1)

  x s

  e estas desigualdades caracterizam o subespa¸co E . Seja Seja (x ) ⊂ M tal que

  m m∈N x s

  lim x = x. Tomando subsequˆencias se necess´ario podemos assumir que dimE

  m→∞ m x m (1) (k)

  ´e igual a uma constante k e escolhemos uma base ortonormal ξ m , . . . , ξ m em cada

  (i) s (i) n

  E tais que ξ → ξ ∈ T M , i = 1, . . . , k. Por continuidade da transforma¸c˜ao Df ,

  m x x m (i)

  tomando o limite em m, as desigualdades (1.1.1) para ξ = ξ m implicam que

  n (i) n (i) n

  kDf k ≤ λ kξ k = λ ξ , ∀n ≥ 1.

  x (i) s s s

  Assim ξ ∈ E , dimE ≥ k e, se definirmos lim E como sendo o subespa¸co gerado

  m→∞ x x x m (1) (k) s s

  por {ξ , . . . , ξ }, E ⊃ lim E .

  m→∞ u

  Analogamente, os vetores η ∈ E s˜ao caracterizados pelas desigualdades

  x

−n n

  kDf ξk ≤ λ kξk

  x

  para todo n ≥ 0, e uma repeti¸c˜ao do argumento anterior nos d´a, com uma defini¸c˜ao

  u

  an´aloga para lim E ,

  m→∞ x m u u u

  ⊃ lim ≥ s − k. E E e dimE

  x x x m m→∞ s s u u Isto implica que E = lim E , E = lim E . m→∞ m→∞ x x x x

m m

  Como corol´ario da proposi¸c˜ao 1.1.3 temos o seguinte resultado sobre transversa-

  u s lidade dos subespa¸cos E e E . x x s u

  Corol´ ario 1.1.4.

  Os subespa¸cos E e E s˜ao uniformemente transversais, isto ´e, existe

  x x s u

  α > 0 tal que para quaisquer x ∈ Λ, ξ ∈ E , η ∈ E o ˆangulo entre ξ e η ´e pelo menos

  x x α .

  Para uma demonstra¸c˜ao do Corol´ario 1.1.4 ver [7] Corol´ario 6.4.5.

  1 Teorema 1.1.5.

  Seja p um ponto fixo hiperb´olico para f ∈ Dif (M ). Ent˜ao existe

1 U(f ) vizinhan¸ca de f na topologia C tal que todo g ∈ U (f ) possui um ´ unico ponto fixo hiperb´olico p pr´oximo de p. A p denominamos continua¸c˜ao de p.

  g g Uma prova do Teorema 1.1.5 pode ser vista em [11] Teorema 6.4.

  Dados x ∈ M e ǫ > 0 defina

  s n n

  W (x, f ) = {y ∈ M : d (f (y), f (x)) ≤ ǫ, ∀n ≥ 0}

  ǫ u −n −n

  W (x, f ) = y ∈ M : d f (y), f (x) ≤ ǫ, ∀n ≥ 0 .

  ǫ

  Para simplificar a nota¸c˜ao, quando a fun¸c˜ao f estiver subentendida, podemos

  s u s u escrever W (x) e W (x) no lugar de W (x, f ) e W (x, f ). ǫ ǫ ǫ ǫ k

  Teorema 1.1.6 (Teorema da Variedade Est´avel). Seja f ∈ Dif (M ) e Λ ⊂ M conjunto hiperb´olico para f . Ent˜ao, existe ǫ > 0 tal que:

  s k s

  (i) W (x, f ) ´e um disco C -mergulhado com mesma dimens˜ao de E e

  ǫ x s s

  T (W (x, f )) = E

  x ǫ x s k

  (ii) W (x, f ) varia continuamente, na topologia C , em x

  ǫ

  S

  s −n s n k

  (iii) W (x, f ) = f (W (f (x), f )) ´e uma subvariedade C -imersa e varia conti-

  ǫ n≥0

  nuamente com x em compactos.

  Para uma demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1.6 ver [7] Teorema 6.4.9, onde vemos

  u

  tamb´em que existe um teorema an´alogo para W (x, f ). Neste caso definimos

  ǫ

  [

  u n s −n W (x, f ) = f W f (x), f .

  ǫ n≥0 ∞

  Seja M uma variedade C fechada. Denote por d a distˆancia em M induzida a

  1

  partir de uma m´etrica Riemanniana sobre o fibrado tangente T M . Sejam f ∈ Dif (M ) e P er(f ) o conjunto de pontos peri´odicos de f . Denote por O (p), a f -´orbita peri´odica

  f

  de p ∈ P er(f ). Se p ∈ P er(f ) ´e uma sela hiperb´olica com per´ıodo π(p) > 0, ent˜ao pelo Teorema da Variedade Est´avel (Teorema 1.1.6), aplicado a Λ = O (p) que ´e um

  f s

  conjunto hiperb´olico, existem a variedade est´avel local W (p) e a variedade inst´avel local

  ǫ u

  W (p) de p para algum ǫ = ǫ(p) > 0. Por (iii) do Teorema da Variedade Est´avel, se

  ǫ n n s

  d(f (x), f (p)) ≤ ǫ para qualquer n ≥ 0, ent˜ao x ∈ W (p) (uma propriedade semelhante

  u −1 s

  vale tamb´em para W (p) com respeito a f ). A variedade est´avel W (p) de p ´e definida

  u

  como no Teorema 1.1.6 e a variedade inst´avel W (p) de p ´e definido de modo an´alogo. A

  s

  dimens˜ao da variedade est´avel W (p) ´e chamado `as vezes o ´ındice de p, e denotamos por ind(p). Seja p um ponto peri´odico para f com per´ıodo k, definimos

  k−1

  [

  

u u n

  W (O (p)) := W (f (p))

  f n=0 k−1

  [

  s s n W (O (p)) := W (f (p)). f n=0

  1 Proposi¸ c˜ ao 1.1.7. Seja Λ um conjunto hiperb´olico para f ∈ Dif (M ). Ent˜ao existe s u

  ǫ > 0 tal que para quaisquer x, y ∈ Λ a interse¸c˜ao W (x) ∩ W (y) consiste, no m´aximo de

  ǫ ǫ

  um ponto [x, y] e existe δ > 0 tal que sempre que d(x, y) < δ para alguns x, y ∈ Λ temos

  s u W (x) ∩ W (y) 6= ∅. ǫ ǫ s u

  ∈ W Demonstra¸c˜ao. Suponha que existam z

  1 , z 2 (x) ∩ W (y) para todo ǫ > 0. Pela ǫ ǫ

  defini¸c˜ao temos

  n n

  d(f (z )f (x)) < ǫ ∀n ≥ 0, i = 1, 2

  i

  e

  −n −n d(f (z i )f (y)) < ǫ ∀n ≥ 0, i = 1, 2.

  Pela desigualdade triangular temos que

  n n

  d(f (z ), f (z )) < 2ǫ

  1

  2

  para todo n ∈ Z e para todo ǫ > 0. Em particular para n = 0 temos que d(z , z ) < ǫ ∀ǫ > 0.

  1

  2 Fazendo ǫ → 0 temos que z = z . Portanto existe ǫ > 0 tal que para quaisquer x, y ∈ Λ

  1

  2 s u

  a interse¸c˜ao W (x) ∩ W (y) consiste, no m´aximo de um ponto.

  ǫ ǫ

  Agora tome ǫ de maneira que valha o Teorema da variedade Est´avel. Temos que

  s s u u T (W (x)) = E e T (W (x)) = E . x x ǫ x ǫ x u u

  Pela Proposi¸c˜ao 1.1.3 tomando δ > 0 suficientemente pequeno os subespa¸cos E e E

  x y s u

  estar˜ao pr´oximos. Pelo Corol´ario 1.1.4 subespa¸cos E e E s˜ao transversais, logo teremos

  x x u u

  que E e E tamb´em ser˜ao transversais se δ for suficientemente pequeno.

  x y s u u

  Assim W (x) e W (y) ser˜ao transversais e se d(x, y) < δ teremos que W (y) ´e

  ǫ ǫ ǫ u s u

  uma pequena perturba¸c˜ao de W (x). Como W (x) intersecta W (x), temos pela trans-

  ǫ s u

  versalidade que W (x) e W (y) tamb´em se intersectam e esta interse¸c˜ao ser´a apenas um

  ǫ ǫ ponto.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.8.

  Seja Λ ⊂ M um conjunto f -invariante compacto, e denotamos por f |

  Λ

  a restri¸c˜ao de f ao conjunto Λ. Seja U ⊂ M uma vizinhan¸ca compacta de Λ, e ponha \

  n Λ (U ) = f (U ). f n∈Z

  Um conjunto Λ ´e localmente maximal em U se houver uma vizinhan¸ca compacta U de Λ tal que Λ = Λ (U ).

  f

  Uma propriedade t´ecnica importante que segue da maximalidade local ´e a pre- sen¸ca de uma estrutura de produto local : dizemos que um conjunto hiperb´olico Λ tem uma estrutura de produto local se, para ǫ > 0 suficientemente pequeno, os pontos de interse¸c˜ao dados pela Proposi¸c˜ao 1.1.7 est˜ao sempre contidos em Λ.

  Proposi¸ c˜ ao 1.1.9. Um conjunto hiperb´olico localmente maximal tem uma estrutura de produto local. Demonstra¸c˜ao. Tomemos ǫ tal que a ǫ-vizinhan¸ca U de Λ satisfaz Λ = Λ (U ). Ent˜ao

  f todos os pontos [x, y] obtidos na Proposi¸c˜ao 1.1.7 est˜ao em U e portanto em Λ.

1.2 Especifica¸ c˜ ao

  Nesta se¸c˜ao falamos de sombreamento e apresentamos as defini¸c˜oes de proprie-

  1 dade de especifica¸c˜ao e propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel. j 2 Defini¸ c˜ ao 1.2.1. Para d > 0, uma sequˆencia de pontos {x } ⊂ X , com j , j ∈ Z e i

  1

  2 i=j 1

  j ≤ j , ´e chamada uma δ-pseudo-´orbita de f se d(f (x ), x ) < δ para todo j ≤ i < j ,

  1

  2 i i+1

  1

  2

  i ∈ Z. N´os dizemos que f possui a propriedade de sombreamento se para todo ǫ > 0,

  j 2

  existe δ > 0 tal que para qualquer δ-pseudo-´orbita {x } de f , existe y ∈ X satisfazendo

  i i=j 1 i

  d(f (y), x ) < ǫ para todo j ≤ i < j , i ∈ Z (veja Figura 1.2.1).

  i

  1

  2 y

  2

  f (y)

  3

  x

  2

  ǫ f (y) x

  3

  ǫ f (y) f (x )

  

1

  ǫ f (x )

  2

  δ x

  1

  δ Figura 1.2.1: Propriedade de sombreamento

  Teorema 1.2.2 (Lema de Sombreamento). Seja Λ ⊂ M um conjunto hiperb´olico para f .

  j 2 Dado ǫ > 0, ent˜ao existem η, δ > 0 tais que se {x } for uma δ-pseudo ´orbita para f i i=j 1

  com d(x , Λ) < η, ent˜ao existe y ∈ M com d(y, Λ) < η tal que y ǫ-sombreia {x }. Ademais

  i i se j = −∞ e j = ∞, ent˜ao y ´e ´ unico.

  1

2 Para uma demonstra¸c˜ao do Teorema 1.2.2 ver [11] Teorema 3.1 na Se¸c˜ao 9.3.

  Defini¸ c˜ ao 1.2.3. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico compacto. Um homeomorfismo f : X → X satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se para qualquer ǫ > 0 existe um inteiro M = M (ǫ) > 0 tal que para qualquer k ≥ 2, para todos os k pontos x , x , . . . , x ∈ X,

  1 2 k

  ≤ b ≤ b ≤ b − b ≥ N para para quaisquer inteiros a < a < · · · < a com a

  1

  1

  2 2 k k i i−1 j j

  ≤ j ≤ b 2 ≤ i ≤ k, existe um ponto y ∈ X tal que d(f (y), f (x i )) ≤ ǫ para a i i , 1 ≤ i ≤ k (veja Figura 1.2.2). Al´em disso, se y pode ser tomando peri´odico com per´ıodo q, para qualquer q ≥ M + b − a , dizemos que f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao forte.

  m

  1

  x

  2 a 2

  f (x )

  2 b 2

  f (x )

  2 b a 1 1 a 2

  f (y) f (y) f (y)

  b 2

  y f (y)

  a 1 b 1

  f (x )

  1 f (x )

  

1

  x

  1 a b 3 3

  f (y) f (y)

  a b 3 3

  f (x )

  3

  f (x )

  3

  x

  3 Figura 1.2.2: Propriedade de especifica¸c˜ao Em outras palavras, um homeomorfismo satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao forte se ´e poss´ıvel sombrear segmentos de ´orbitas, suficientemente espa¸cados, por uma ´orbita peri´odica com um erro pr´e-definido. Exemplo 1.2.4. Considere a transforma¸c˜ao de transla¸c˜ao `a esquerda σ definida no con- N junto Σ = {1, 2, . . . , r} que associa cada elemento (x ) ∈ Σ ao elemento σ ((x )) = (y ) ∈

  n n n

  Σ, onde y n = x n+1 , ou seja, se (x n ) = (x

  

1 , x

2 , x 3 , . . .), ent˜ao σ ((x n )) = (x 2 , x 3 , x 4 , . . .), ∗

  onde x ∈ {1, 2, . . . , r} para todo i ∈ N . A transforma¸c˜ao σ ´e tamb´em conhecida como

  i

  shift unidimensional de r s´ımbolos. Considere a m´etrica em Σ dada por 

  −k

   2 se x = y para 1 ≤ n ≤ k e x 6= y

  n n k+1 k+1

  d((x ), (y )) =

  n n ∗

   se x = y para todo n ∈ N .

  n n

  Podemos verificar que (Σ, d) ´e um espa¸co m´etrico. Vamos mostrar que σ possui a pro-

  ∗ −M priedade de especifica¸c˜ao. De fato, seja ǫ > 0, tome M ∈ N tal que 2 < ǫ.

  Para qualquer k ≥ 2, dados k pontos x , x , . . . , x ∈ Σ e dados quaisquer inteiros

  1 2 k

  a ≤ b < a ≤ b < · · · < a ≤ b com a − b ≥ M . Para facilitar vamos escre-

  1

  1

  2 2 k k i i−1

  ver cada x na forma

  i

i i i i i

  x = (x , x , . . . , x , . . . , x , . . . , x , . . .).

  i

  1 2 a b b +N i i i

  Para construir o ponto y da propriedade de especifica¸c˜ao pomos y = (y , y , . . .)

  

1

  2

  de modo que

  i

  ≤ n ≤ b y n = x para a i i + M.

  n

j j

  ≤ j ≤ b Observe que desta forma a condi¸c˜ao d(σ (y), σ (x )) ≤ ǫ para a , 1 ≤ i ≤ k ´e

  i i i

  satisfeita. Vamos verificar para i = 1, os outros casos s˜ao an´alogos. Temos que

  a 1

  σ (y) = (y , y , . . .)

  a +1 a +2 1

1

  1

  1

  1

  = (x , . . . , x , . . . , x , . . . ,

  a 1 +1 b b +M 1 1

  2

  2

  2

  x , . . . , x , . . . , x , . . . ,

  a 2 b 2 b 2 +M k k k

  x , . . . , x , . . . , x , . . . , )

  a k k k b b +M

  e ainda que

  a 1

  1

  1

  1 σ (x ) = (x , . . . , x , . . . , x , . . . , ).

  1 a +1 b b +M 1 1 1 a a 1 1 Assim temos as b + M − a primeiras entradas de σ (y) e σ (x ) s˜ao iguais, portanto

  1

  1

  1 j j −(b 1 +M −a 1 −j) −M d(σ (y), σ (x )) ≤ 2 ≤ 2 < ǫ, ∀0 ≤ j ≤ b − a .

  1

  1

  1 j j

  Repetindo este argumento para x , . . . , x , vemos que y satisfaz d(σ (y), σ (x )) ≤ ǫ para

  2 k i a ≤ j ≤ b , 1 ≤ i ≤ k e portanto σ satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao. i i Defini¸ c˜ ao 1.2.5. Dizemos que f ´e transitiva se para quaisquer abertos n˜ao vazios U, V ⊂

  N

  X existe um inteiro N > 0 tal que f (U )∩V 6= ∅. E dizemos que f satisfaz a propriedade de mistura topol´ogica (ou que f ´e topologicamente misturadora) se para quaisquer abertos

  n n˜ao vazios U, V ⊂ X existe um inteiro N > 0 tal que para qualquer n ≥ N , f (U )∩V 6= ∅.

  Uma condi¸c˜ao equivalente a f ser transitiva ´e a existˆencia de um ponto x cuja

  n

  ´orbita por f , isto ´e, o conjunto O (x) = {f (x) : n ∈ N}, ´e densa em X. De fato temos

  f

  o seguinte resultado: Proposi¸ c˜ ao 1.2.6. Seja X espa¸co m´etrico compacto, s˜ao equivalentes

  (a) f : X → X ´e transitiva (b) existe x ∈ X tal que O (x) ´e densa em X

  f

  (c) o conjunto H = {x ∈ X : O f (x) ´e densa em X} ´e um conjunto G δ (interse¸c˜ao enu- mer´avel de abertos) denso em X Demonstra¸c˜ao. (b) ⇒ (a) : se O (x) ´e densa em X, e se U, V 6= ∅ s˜ao abertos em X,

  f n m m−n

  existe inteiros m, n tais que f (x) ∈ U e f (x) ∈ V . Assim f (U ) ∩ V 6= ∅.

  (c) ⇒ (b) ´e trivial. (a) ⇒ (c) : Sejam {B } uma base enumer´avel de conjuntos abertos para X, e

  j j∈N n E = X\H. Se x ∈ E, existe um B tal que f (x) n˜ao pertence a B para todo n ≥ 1. j j

  Assim [ \

  

−n

E = f (X\B ) . j j∈N n∈Z

  S T

  −n −n

  Os conjuntos f (B ) s˜ao abertos e densos em X, seus complementos f (X\B )

  j j n∈Z n∈Z s˜ao fechados com interior vazio e, portanto, X\E ´e um conjunto G denso.

  δ

  Note que se f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao, ent˜ao f ´e topologicamente misturadora. De fato, seja f : X → X satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao. Sejam U, V ⊂ X abertos n˜ao vazios, p ∈ U e q ∈ V . Tome ǫ > 0 suficientemente pequeno tal que B (p) ⊂ U e B (q) ⊂ V . Temos que existe N = N (ǫ) > 0, como na propriedade de

  ǫ ǫ −n

  especifica¸c˜ao, e seja n ≥ N qualquer. Ponha x = p, x ∈ f ({q}) (vamos supor que

  1

  2

  f ´e sobrejetiva, mas n˜ao necessariamente injetiva), a

  1 = b 1 = 0 e a 2 = b 2 = n. Pela

  propriedade de especifica¸c˜ao, existe y ∈ X tal que d(f (y), f (x )) = d(y, p) ≤ ǫ

  1

  e

  n n n

  d(f (y), f (x

  2 )) = d(f (y), q) ≤ ǫ, ver Figura 1.2.3.

  U V n n f (y) x = p f

  1

  ǫ ǫ q y n f x

  

2

Figura 1.2.3: Propriedade de especifica¸c˜ao implica em mistura topol´ogica. n

  Logo temos que f (U ) ∩ V 6= ∅ e, como n foi arbitr´ario, temos que f ´e topo- logicamente misturadora. ´ E f´acil ver que se f ´e topologicamente misturadora, ent˜ao ´e transitiva.

  1 Defini¸ c˜ ao 1.2.7. Dizemos que f | satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel Λ (U ) f

  1

  se houver uma vizinhan¸ca compacta U de Λ e uma C -vizinhan¸ca U (f ) de f tal que Λ ´e localmente maximal em U e para qualquer g ∈ U (f ), g| satisfaz a propriedade de

  Λ g (U )

  especifica¸c˜ao. O conjunto \

  n Λ (U ) = g (U ). g n∈Z

  ´e chamado a continua¸c˜ao de Λ (U ). No caso Λ = M , dizemos que f satisfaz a propriedade

  f

  1 de especifica¸c˜ao C -est´avel.

  Um conjunto localmente maximal Λ ´e um conjunto b´asico (respectivamente con- junto elementar) se f | ´e transitiva (respectivamente topologicamente misturadora). Cla-

  Λ ramente cada conjunto elementar ´e um conjunto b´asico.

  Teorema 1.2.8 (Lema do Fecho de Anosov). Seja Λ um conjunto hiperb´olico para f :

  M → M e Λ ⊂ U vizinhan¸ca. Ent˜ao existem uma vizinhan¸ca aberta V ⊃ Λ e C, ǫ > 0 tais que para 0 < ǫ < ǫ e qualquer ǫ-pseudo-´orbita peri´odica (x , . . . , x ) ⊂ V existe um

  m m k

  ponto y ∈ U tal que f (y) = y e d(f (y), x ) < Cǫ para k ∈ {0, . . . , m − 1}.

  

k

Para a demonstra¸c˜ao do Teorema 1.2.8 ver [7] Teorema 6.4.15.

  Dizemos que x ∈ M ´e um ponto n˜ao-errante de f ∈ Dif (M ) se para toda

  

n

  vizinhan¸ca U de x existe n 6= 0 tal que f (U ) ∩ U 6= ∅. O conjunto dos pontos n˜ao- errantes de f ´e denotado por Ω(f ). O conjunto P er(f ) dos pontos peri´odicos de f est´a sempre contido em Ω(f ). Dizemos que f ∈ Dif (M ) satisfaz o Axioma A se Ω(f ) ´e hiperb´olico e P er(f ) = Ω(f ).

  Teorema 1.2.9 (Decomposi¸c˜ao espectral). Sejam M uma variedade riemanniana, U ⊂ M um aberto, f : U → M um difeomorfismo e Λ ⊂ U um conjunto hiperb´olico compacto localmente maximal para f . Ent˜ao existem conjuntos fechados disjuntos Ω

  1 , . . . , Ω m e uma

  S

  m k

  permuta¸c˜ao σ de {1, . . . , m} tal que Ω(f | ) = Ω , f (Ω ) = Ω e quando σ (i) = i

  Λ i i σ(i) i=1 k a transforma¸c˜ao f | ´e topologicamente misturadora.

  Ω i Para demonstra¸c˜ao do Teorema 1.2.9 ver [7] Teorema 18.3.1.

  Considere os conjuntos Ω i dados pelo Teorema 1.2.9. Dizemos que f n˜ao tem ciclos se para cada fam´ılia Ω , . . . , Ω tal que a variedade est´avel de Ω tem interse¸c˜ao

  i i i 1 n j

  n˜ao vazia com a variedade inst´avel de Ω para todo 1 ≤ j < n, tem-se que a variedade

  i j +1

  est´avel de Ω n˜ao intersecta a variedade inst´avel de Ω . A Figura 1.2.4 mostra um

  i n i 1 exemplo de um ciclo.

  x

  1

  x

  2

  x

  

3

Figura 1.2.4: Exemplo de um 3-ciclo.

  O seguinte resultado ´e um corol´ario do Teorema da Decomposi¸c˜ao Espectral. Corol´ ario 1.2.10. Seja Λ um conjunto hiperb´olico compacto localmente maximal para f . Se f | satisfaz a propriedade de mistura topol´ogica, ent˜ao os pontos peri´odicos de f s˜ao

  Λ densos em Λ e a variedade inst´avel de qualquer ponto peri´odico ´e densa em Λ.

  Para prova do Corol´ario 1.2.10 ver [7] Corol´ario 18.3.2. Um difeomorfismo f ´e dito ser Kupka-Smale se os pontos peri´odicos de f s˜ao

  s u

  hiperb´olicos, e se p, q ∈ P er(f ), ent˜ao, W (p) ´e transversal `a W (q). ´ E bem conhecido que

  1

  1

  o conjunto de difeomorfismos Kupka-Smale ´e C -residual em Dif (M ) (ver [11] Teorema 1.1 da Se¸c˜ao 10.1).

1.3 Algumas no¸ c˜ oes de Topologia Diferencial

  Nesta se¸c˜ao apresentamos algumas de Topologia Diferencial a serem utilizadas na demonstra¸c˜ao da estabilidade de conjuntos hiperb´olicos na Se¸c˜ao 2.1. Sejam M uma variedade diferenci´avel e Λ ⊂ M . Definimos os seguintes conjuntos:

  Γ(Λ) := {X : Λ → T M campos tais que X(p) = (p, v ), com v ∈ T X} ;

  Λ p p p b

  Γ (Λ) = {campos limitados em Γ(Λ)} ; Γ (Λ) = {campos cont´ınuos em Γ(Λ)} .

  b

  Γ (Λ) e Γ (Λ) s˜ao espa¸cos vetoriais completos com a norma k · k . Estes espa¸cos

  ∞

  de Banach modelam variedades de espa¸cos de fun¸c˜oes como definimos a seguir: A(Λ) := {F : Λ → M transforma¸c˜ao} ;

  b

  A (Λ) = {F : Λ → M transforma¸c˜ao limitada} ; A (Λ) = {F : Λ → M transforma¸c˜ao cont´ınua} .

  n

  Exemplo 1.3.1. Pondo M = R . E considerando a carta global Φ : A (Λ) → Γ (Λ) tal que Φ(F )(x) = F (x) − x (ou seja, uma fun¸c˜ao F define um campo X usando F − id). Exemplo 1.3.2 (Caso geral). Seja (M, < ·, · >) uma variedade Riemanniana. Temos que para todo p ∈ M e todo v ∈ T M existe uma ´ unica γ geod´esica em M tal que γ (0) = p

  p v v ′

  e γ (0) = v.

  v

  Defina a aplica¸c˜ao exponencial exp : T M → M , onde exp (v) = γ (1), que

  p v p p

  ´e um difeomorfismo local em 0. Consideramos ent˜ao a carta de A (Λ) em Γ (Λ) dada

  −1

  por Φ : A (Λ) → Γ (Λ), com Φ(F ) : Λ → T M dada por Φ(F )(x) = (exp ) (F (x)),

  Λ x

  para todo F ∈ A (Λ) e todo x ∈ Λ, que est´a bem definida caso F seja C -pr´oxima da identidade i . Logo Φ ´e uma carta local na vizinhan¸ca de i .

  Λ Λ Cap´ıtulo 2 Hiperbolicidade e Especifica¸ c˜ ao

  Neste cap´ıtulo apresentamos a prova do principal resultado deste trabalho, que

  1

  diz que propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel ´e equivalente a propriedade de mistura topol´ogica mais hiperbolicidade. Na primeira se¸c˜ao apresentamos a prova de que conjuntos hiperbolicos s˜ao estruturalmente est´aveis. Na segunda se¸c˜ao apresentamos a prova de que hiperbolicidade mais mistura topol´ogica implicam em especifica¸c˜ao. E na terceira

  1

  se¸c˜ao apresentamos a prova feita em [12] de que propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel implica em hiperbolicidade. As principais referˆencias para os resultados apresentados neste cap´ıtulo foram [6], [7], [9] e [12].

2.1 Estabilidade de conjuntos hiperb´ olicos Nesta se¸c˜ao mostraremos a estabilidade estrutural de conjuntos hiperb´olicos.

  Lema 2.1.1 (Lema de expansividade). Seja Λ ⊂ M conjunto hiperb´olico para f ∈

  1 n n

  Dif (M ). Ent˜ao existe ǫ > 0 tal que, se x 6= y ent˜ao existe n ∈ Z tal que d (f (x), f (y)) > ǫ . A constante ǫ ´e dita constante de expansividade de Λ. Demonstra¸c˜ao. Utilizaremos o Lema de Sombreamento (Teorema 1.2.2). Seja ǫ > 0 qualquer. Defina ˜ δ = min{δ, ǫ}, em que δ ´e dado pelo Lema de Sombreamento, vejamos que ˜ δ ´e uma constante de expansividade. Por absurdo, suponha que existam x 6= y tais

  n n

  que d(f (x), f (y)) < ˜ δ para todo n ∈ Z. Portanto x sombreia a ´orbita de y. Como

  j 2 =∞ n

  {f (y)} ´e uma δ-pseudo ´orbita, pelo Lema de Sombreamento existe um ´ unico ponto

  j =−∞ 1 que a ǫ-acompanha. Mas y sombreia sua pr´opria ´orbita, logo x = y.

  Teorema 2.1.2 (Robustez de conjuntos hiperb´olicos). Seja Λ conjunto hiperb´olico para

  1

  f . Ent˜ao, existem U vizinhan¸ca de Λ e U (f ) ⊂ Dif (M ) vizinhan¸ca de f , tais que se g ∈ U(f ) e Λ ⊂ U ´e compacto g-invariante, ent˜ao Λ ´e conjunto hiperb´olico para g.

  g g Uma prova deste resultado pode ser vista em [7] Teorema 18.2.1. k

  Teorema 2.1.3 (Estabilidade de conjuntos hiperb´olicos). Sejam f ∈ Dif (M ) e Λ ⊂ M

  k

  um conjunto hiperb´olico para f . Ent˜ao, dado ǫ > 0 existe N ⊂ Dif (M ) vizinhan¸ca de f tal que: se g ∈ N existe h g : Λ → M homeomorfismo sobre a imagem tal que  

  ◦ f = g ◦ h h g g    h ´e ǫ-C -pr´oxima da identidade

  g

      Λ = h (Λ) ´e conjunto hiperb´olico.

  g g Λ ´e chamada de continua¸c˜ao hiperb´olica de Λ. g

  Demonstra¸c˜ao. Aqui iremos utilizar as defini¸c˜oes feitas na Se¸c˜ao 1.3, mais precisamente com o caso geral apresentado no Exemplo 1.3.2. Como Λ ´e f -invariante, temos que

  −1

  F : A (Λ) → A (Λ), dada por F (h) = f ◦ h ◦ f , com h : Λ → M , tem i como ponto

  Λ fixo. F ´e a candidata para buscar conjuga¸c˜oes.

  

1

Vamos mostrar que F ´e de classe C numa vizinhan¸ca de i Λ . Para isso, considera-

  mos ent˜ao a carta de A (Λ) em Γ (Λ) dada por Φ : A (Λ) → Γ (Λ), com Φ(G) : Λ → T M

  Λ −1

  dada por Φ(G)(x) = (exp ) (G(x)), para todo G ∈ A (Λ) e todo x ∈ Λ, que est´a bem

  x −1

  definida caso G seja C -pr´oxima da identidade i . Desta forma temos que Φ : Γ (Λ) →

  Λ −1

  A (Λ) dada por Φ (H)(x) = exp (H(x)) est´a bem definida numa vizinhan¸ca da identi-

  x −1

  dade i Λ . Seja e F : Γ (Λ) → Γ (Λ), a composta dada por e F (X)(x) = Φ (F (Φ (X))) (x) (ver figura 2.1.1).

  A (Λ) A (Λ) i Λ

F

i Λ −1

F = Φ ◦ F ◦ Φ

  

Φ Φ

  X F F (X) Γ (Λ) Γ (Λ)

  Figura 2.1.1: Fun¸c˜ao e F Assim temos que

  

−1

  e F (X)(x) = Φ (F (Φ (X(x)))) h i

  −1 −1

  = Φ f Φ X (f (x)) h i

  

−1 −1

  = (exp ) f exp X (f (x))

  x x

  

−1 −1

  1 Como a transforma¸c˜ao (exp ) ◦ f ◦ exp : Γ (Λ) → Γ (Λ) ´e C , pois ´e x x

  1

  1

  1 composi¸c˜ao de transforma¸c˜oes C , temos que e F ´e C , logo F ´e C .

  Ademais, temos que DF (i Λ ) : Γ (Λ) → Γ (Λ), com

  −1 DF (i )(X)(x) = Df (f (x)) · X (f (x)) ∈ T M. Λ x

  Afirma¸c˜ao 2.1.4. Λ ´e conjunto hiperb´olico se, e somente se, i ´e ponto fixo hiperb´olico

  Λ para F .

  Demonstra¸c˜ao. (da Afirma¸c˜ao 2.1.4) Supondo que Λ ´e conjunto hiperb´olico, temos que

  s u

  para todo x ∈ Λ existe decomposi¸c˜ao T M = E ⊕E , Df -invariante, com as propriedades

  x x x s u

  de contra¸c˜ao e expans˜ao da defini¸c˜ao de hiperbolicidade. Tome Γ (Λ) = Γ (Λ) ⊕ Γ (Λ), onde

  s s

  Γ (Λ) = x ∈ Γ (Λ) : X(x) ∈ E , ∀x ∈ Λ

  x u u

  Γ (Λ) = x ∈ Γ (Λ) : X(x) ∈ E , ∀x ∈ Λ .

  x

s s

  Assim sendo, se X ∈ Γ (Λ) temos DF (i ) · X ∈ Γ (Λ) e

  Λ −1 −1

  kDF (i ) · X(x)k = kDf (f (x)) · X (f (x)) k ≥ λ kX (f (x)) k.

  Λ u u

  Analogamente, se X ∈ Γ (Λ) ent˜ao DF (i Λ ) · X ∈ Γ (Λ) e

  −1 kDF (i ) · X(x)k = kDf (f (x)) · X (f (x)) k ≤ λkX (f (x)) k. Λ s u

  Portanto, Γ (Λ) ´e dire¸c˜ao expansora para DF (i ) e Γ (Λ) ´e dire¸c˜ao contratora

  Λ para DF (i ). Da´ı i ´e ponto fixo hiperb´olico para F . Λ Λ

  Suponhamos agora que i Λ ´e ponto fixo hiperb´olico para F . Definamos

  s u

  E = {X(x) : X ∈ Γ (Λ)}

  x u s

  E = {X(x) : X ∈ Γ (Λ)} .

  x

  Seguindo a prova da parte anterior “de baixo para cima” conclu´ımos a prova da afirma¸c˜ao. Continuamos agora a prova do Teorema. Pelo Teorema 1.1.5 aplicado a F :

  1 U vizinhan¸ca C

  A (Λ) → A (Λ) no ponto fixo hiperb´olico i , sabemos que existe ˆ de f

  

Λ

  U, existe g ∈ A tal que, se G ∈ ˆ (Λ) (´ unico) ponto fixo hiperb´olico para G C -pr´oxima de

  −1 i . Tome agora F : A (Λ) → A (Λ) tal que F (h)(x) = g h f (x) . Λ g g k k

  Se g ´e C -pr´oxima de f ent˜ao F ´e C -pr´oxima de F e podemos aplicar o anterior.

  g k

  • Assim sendo, existe U = viz(f ) ⊂ Dif (M ) tal que, para todo g ∈ U existe ´ unico h C

  g

  ◦ f | pr´oxima de i Λ ponto fixo hiperb´olico para F g . Deste modo temos, h g Λ = g ◦ h g e como

  Λ ´e compacto f -invariante, temos que h (Λ) um compacto g-invariante, C -pr´oximo a Λ.

  g Assim pelo Teorema 2.1.2 temos que Λ = h (Λ) ´e conjunto hiperb´olico. g g

  Falta provar que h g : Λ → h g (Λ) ´e homeomorfismo. De fato, como Λ ´e compacto e M ´e Hausdorff basta provar que h ´e bije¸c˜ao. Como h : Λ → h (Λ) ´e claramente

  g g g

  sobrejetiva, vejamos que ´e injetiva:

  −1 −n n

  h = g ◦ h ◦ f = g ◦ h ◦ f ,

  g g g

  para todo n ∈ Z. Portanto

  n n

  h (x) = h (y) ⇔ h (f (x)) = h (f (y)) ,

  g g g g ǫ

  para todo n ∈ Z. Tome ǫ = , onde ǫ ´e a constante de expansividade de f . Ent˜ao, se

  3

  h ´e ǫ-C -pr´oxima da identidade temos que

  g n n n n n n

  d (f (x), f (y)) ≤ d (f (x), h (f (x))) + d (h (f (x)) , h (f (y))) +

  g g g

n n

  • d (h g (f (y)) , f (y)) < ǫ , para todo n ∈ Z. Mas isto implica que x = y. Logo h ´e homeomorfismo, o que completa

  g a prova do Teorema.

2.2 Hiperbolicidade e Especifica¸ c˜ ao

  Mostramos primeiro que num conjunto hiperb´olico topologicamente misturadora todas as variedades inst´aveis s˜ao uniformemente densas. Proposi¸ c˜ ao 2.2.1.

  Se Λ ´e um conjunto hiperb´olico compacto localmente maximal para f e f | : Λ → Λ ´e topologicamente misturadora, ent˜ao dado α > 0 existe N = N (α) ∈ N

  Λ n u s

  tal que para x, y ∈ Λ e n ≥ N temos f (W (x)) ∩ W (y) 6= ∅.

  α α

  Demonstra¸c˜ao. Relembramos que um conjunto Y num espa¸co m´etrico X ´e dito ǫ-denso se X ´e uma ǫ-vizinhan¸ca de Y , ou seja, se para todo y ∈ Y existir x ∈ X tal que d(x, y) < ǫ.

  ∗

  Pela Proposi¸c˜ao 1.1.9, temos uma estrutura de produto local, isto ´e, existe δ > 0 tal

  s u ∗

  que W (x) ∩ W (y) consiste no m´aximo de um ponto quando 0 < δ < δ , e uma fun¸c˜ao

  δ δ s u ∗

  ǫ(δ) tal que d(x, y) < ǫ(δ) ⇒ W (x) ∩ W (y) 6= ∅. Seja δ := min {δ , α/2, ǫ(α/2)/4}.

  δ δ

  Para escolhermos N tomemos um conjunto ǫ(α/2)/2-denso {p |k = 1, . . . , r} de pontos

  k

  peri´odicos (com per´ıodo t k ). Pelo corol´ario 1.2.10, a variedade inst´avel de cada ponto

  mt u k

  peri´odico em Λ ´e densa em Λ e portanto para todo k existe m tal que f (W (p ))

  k k δ

  Q r

  N u

  ´e ǫ(δ)-denso para todo m ≥ m . Seja N = m t e notemos que f (W (p )) ´e

  k k k k δ k=1 ǫ(δ)-denso para todo o k ∈ {1, . . . , r}. Mostramos agora que N ´e como pretendido: para x, y ∈ Λ tomemos j tal que

  N u u s

  d(x, p ) < ǫ(α/2)/2, z ∈ f (W (p )) tal que d(y, z) ≤ ǫ(δ) e w ∈ W (z) ∩ W (y)

  j j δ δ δ −N u −N u u

  ⊂ W (ver figura 2.2.1). Ent˜ao f (w) ∈ W f (z) (p j ) ⊂ W (p j ) e logo

  δ 2δ ǫ(α/2)/2 −N s −N

  d f (w), x ≤ ǫ(α/2), pela desigualdade triangular. Assim existe v ∈ W f (w) ∩

  α/2 u

  W (x) e

  α/2 N N u s N u s

  f (v) ∈ f W (x) ∩ W (w) ⊂ f (W (x)) ∩ W (y) 6= ∅,

  α/2 α/2 α α pois δ < α/2 (veja Figura 2.2.1). N f (v)

  −N p w j z f (w) v x y Figura 2.2.1: Densidade das variedades inst´aveis e est´aveis.

  Para x, y ∈ Λ, n ≥ N notemos que

  n u s N u n−N s f (W (x)) ∩ W (y) ⊃ f W f (x) ∩ W (y) 6= ∅.

  α α α α O que termina a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao.

  Teorema 2.2.2 (Teorema de Especifica¸c˜ao). Seja Λ um conjunto hiperb´olico compacto localmente maximal para um difeomorfismo f e f | ´e topologicamente misturadora. Ent˜ao

  Λ f possui a propriedade de especifica¸c˜ao. |Λ

  ∗ s u

  Demonstra¸c˜ao. Seja ǫ > 0. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.9 existe δ > 0 tal que W (x) ∩ W (y)

  δ δ ∗

  consiste no m´aximo de um ponto quando 0 < δ < δ , e uma fun¸c˜ao ǫ(δ) tal que

  s u d(x, y) < ǫ(δ) ⇒ W (x) ∩ W (y) 6= ∅. δ δ ∗

  Para β ≤ min{ǫ, δ } e α = β/3 tomamos o N = N (α) dado pela Proposi¸c˜ao 2.2.1. Seja

  M

  M ≥ N tal que λ < 1/2, onde λ ´e como na defini¸c˜ao de hiperbolicidade (Defini¸c˜ao ∈ Λ e quaisquer inteiros

  1.1.1). Considere m pontos quaisquer x

  1 , x 2 , . . . , x m

  a ≤ b < a ≤ b < · · · < a ≤ b

  1

  1

  2 2 m m

  tais que a − b ≥ M para 2 ≤ i ≤ m. Seja y = x e definimos y , y , . . . , y do seguinte

  i i−1

  1

  1

  2 3 m

  modo: dado y , pela Proposi¸c˜ao 2.2.1 existe y tal que

  k k+1 a a −b u b s a k +1 k +1 k k k +1

  f (y ) ∈ f W f (y ) ∩ W (f (x )) ,

  k+1 k k+1 pois a − b ≥ N por hip´otese (ver figura 2.2.2).

  k+1 k a 1

  f (x

  1 )

  y

  2 −b a 2 1

  f

  b 1

  f (y

  1 )

  y

  1 a 2

  f (y

  2 ) a 2

  f (x

  2 )

b

2

  f (y )

  2 Figura 2.2.2: Constru¸c˜ao dos pontos y 1 , y 2 , . . . , y m .

  Para mostrar que a ´orbita de y := y m ´e como desejamos notamos que

  n n n n−a a k k

  d (f (y ), f (x )) = d f (y ), f (f (x )) ≤ α = β/3,

  k k k k a s a k k

  uma vez que por constru¸c˜ao f (y ) ∈ W (f (x )). Ficar´a ent˜ao demonstrado o preten-

  k k α

  dido usando a desigualdade triangular assim que mostrarmos a seguinte:

  n n

  ≤ n ≤ b Afirma¸c˜ao 2.2.3. d (f (y), f (y k )) ≤ 2β/3 para a k k , k = 1, . . . , m.

  b u b k k

  Demonstra¸c˜ao. (da Afirma¸c˜ao 2.2.3) Mostraremos que f (y) ∈ W f (y ) . Como

  k 2β/3

  X X

  M j j

  λ < (1/2) < 2 e α = β/3, isto segue se tivermos

  b u b k k f (y k+r ) ∈ W M M f (y k ) . (r−1)

α+αλ +···+αλ

b u b k +r k +r

  Para r = 1 isto ´e v´alido por constru¸c˜ao. Como f (y ) ∈ W f (y ) e

  k+r+1 k+r α b u b k k

  b − b ≥ rM , temos f (y ) ∈ W f (y ) e logo obtemos a afirma¸c˜ao por

  k+r k k+r+1 M r k+r αλ

  indu¸c˜ao.

  Continuando a prova do Teorema 2.2.2, para mostrarmos que a ´orbita que som-

  ∗

  breia pode ser tomada peri´odica assumimos que β ≤ min{ǫ/2C, ǫ, 2δ }/2, onde C ´e como Lema do Fecho de Anosov (Teorema 1.2.8) e tomamos M correspondente como anterior- mente. Seja q ≥ M + b − a o per´ıodo desejado, vamos considerar mais um seguimento

  m

  1 de ´orbita para sombrearmos juntamente com os m segmentos iniciais. Tome x = x ,

  m+1

  1 ′ a 1

  a = a + q e b ≥ a Obtemos assim um ponto y := f (y) ∈ Λ tal que

  m+1 1 m+1

  ǫ

  ′ q ′ ′ a 1 q ′ a 1

  d (y , f (y )) ≤ d (y , f (x

  1 )) + d (f (y ), f (x 1 )) ≤

  2C e portanto, pelo Lema do Fecho de Anosov, um ponto z ∈ Λ com per´ıodo q tal que

  n+a 1 n ′

  d (f (z), f (y )) < ǫ/2 para todo 0 ≤ n ≤ q. O teorema segue da desigualdade triangular.

2.3 Robustez da propriedade de especifica¸ c˜ ao Nesta se¸c˜ao apresentamos o principal resultado demonstrado em [12].

  Teorema A.

  Seja Λ um conjunto f -invariante fechado. Ent˜ao f | satisfaz a proprie-

  Λ (U ) f

  1 dade de especifica¸c˜ao C -est´avel se e somente se Λ ´e um conjunto elementar hiperb´olico.

  ∞

  1 Defini¸ c˜ ao 2.3.1. Sejam M uma variedade C fechada e f ∈ Dif (M ). Seja Λ um

  conjunto f -invariante fechado. Um conjunto Λ (U ) ´e robustamente transitivo se Λ ´e

  f

  1

  localmente maximal em U e existe uma C -vizinhan¸ca U (f ) de f tal que para qualquer g ∈ U(f ), g| ´e transitiva.

  Λ (U ) g

  Lembre-se que cada sistema dinˆamico satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao ´e transitivo. Observe neste ponto que n˜ao h´a po¸cos e fontes para um homeomorfismo transitivo.

  O seguinte resultado devido a Ma˜ n´e [9] ´e utilizado na demonstra¸c˜ao do Teorema

  A: Teorema 2.3.2. Seja Λ (U ) robustamente transitivo. Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao

  f

  equivalentes:

  1

  (1) existe uma C -vizinhan¸ca U (f ) de f tal que para qualquer g ∈ U(f ), qualquer ponto peri´odico de Λ (U ) ´e hiperb´olico e tem o mesmo ´ındice;

  g

  1

  (2) existe uma C -vizinhan¸ca U (f ) de f tal que para qualquer g ∈ U(f ), Λ (U ) ´e hi-

  g perb´olico.

  Vamos explicar o resultado com mais precis˜ao. Denote por Λ (f ) o fecho do

  i

  conjunto de pontos peri´odicos hiperb´olicos de f com ´ındice i. Na verdade, ´e provado

  1

  em [9, Teorema B] que se houver uma C -vizinhan¸ca U (f ) de f tal que para qualquer g ∈ U (f ), todos os pontos peri´odicos de g s˜ao hiperb´olicos e Λ (f ) ∩ Λ (f ) = ∅ para

  i j

  0 ≤ i 6= j ≤ dim M , ent˜ao, f satisfaz tanto o Axioma A e a condi¸c˜ao de n˜ao possuir S dimM ciclos. Como a prova ´e desenvolvida em uma vizinhan¸ca de Λ (f ), podemos ver

  i i=0

  que o resultado vale tamb´em para o nosso sistema dinˆamico semi-local f | Λ (U ) . Assim, f a afirma¸c˜ao (1) implica a afirma¸c˜ao (2) uma vez que g| ´e transitiva para todos g

  Λ (U ) g

1 C -pr´oxima de f .

  Observe que a prova de que se Λ ´e um conjunto elementar hiperb´olico ent˜ao f |

  Λ (U ) f

  1

  satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel do Teorema A prontamente decorre da estabilidade local de um conjunto hiperb´olico. Assim, para provar o Teorema 2.3, pelo Teorema 2.3.2, ´e suficiente mostrar a seguinte proposi¸c˜ao, cuja demonstra¸c˜ao ser´a feita na pr´oxima se¸c˜ao.

  1 Proposi¸ c˜ ao 2.3.3. Se f | satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel, ent˜ao Λ (U ) f

  1

  existe uma C -vizinhan¸ca U (f ) de f tal que para qualquer g ∈ U (f ), qualquer ponto peri´odico de g| ´e hiperb´olico e tem o mesmo ´ındice.

  Λ g (U )

2.3.1 Especifica¸ c˜ ao robusta e ´ındices de pontos peri´ odicos

  Provemos a Proposi¸c˜ao 2.3.3, preparamos alguns lemas que precisamos. Nesta

  1 se¸c˜ao, sejam f ∈ Dif (M ) e Λ um conjunto f -invariante fechado.

  Lema 2.3.4. Sejam p, q ∈ Λ ∩ P er(f ) selas hiperb´olicas. Se f | satisfaz a propriedade

  Λ u s

  de especifica¸c˜ao, ent˜ao, W (O (p)) ∩ W (O (q)) 6= ∅.

  f f

  Demonstra¸c˜ao. Sejam p, q ∈ Λ ∩ P er(f ) selas hiperb´olicas, e sejam ǫ(p) e ǫ(q) > 0 como no Teorema da Variedade Est´avel para p e q, respectivamente. Fixe ǫ = min {ǫ(p), ǫ(q)}, e seja N = N (ǫ) > 0 como na defini¸c˜ao da propriedade de especifica¸c˜ao aplicada a f | .

  Λ −n −N −n

  Para qualquer n ≥ N definimos x

  1 = f (p), x 2 = f (q), e colocamos a 1 = 0, b 1 = n,

  a = N + n e b = N + 2n. Claramente, a − b = N . Como f | satisfaz a propriedade

  2

  2

  

2

1 Λ

  de especifica¸c˜ao, para qualquer n ≥ N existe z ∈ Λ tal que

  n j j −n

  (i) d(f (z ), f (f (p))) ≤ ǫ para 0 ≤ j ≤ n,

  n j j −N −n

  (ii) d(f (z ), f (f (q))) ≤ ǫ para n ≤ j ≤ N + 2n.

  n −n

  Em outras palavras, temos que z sombreia f (p) por n iterados e depois de N iterados

  n −N −n

  sombreia f (q) tamb´em por n iterados.

  O item (i) implica que

  −i n j −i

  d(f (f (z )), f (f (p))) ≤ ǫ para 0 ≤ i ≤ n

  n

  e (ii) implica que

i N n i d(f (f (f (z ))), f (q)) ≤ ǫ para 0 ≤ i ≤ n.

  n

  • 2n
  • +n

  −N

  u ǫ(p)

  (p) ⊂ W

  u

  (p) e f

  N

  (w) ∈ W

  s ǫ(q)

  (q), isto ´e, w ∈ W

  s

  (f

  −N (q)) (veja figura 2.3.2).

  p w f

  

−N

  (q) f

  q Figura 2.3.2: Interse¸c˜ao das variedades inst´avel e est´avel de ´orbitas de selas hiperb´olicas.

  i

  Da´ı w ∈ W

  u

  (p) ∩ W

  s

  (f

  −N

  (q)) ⊂ W

  u

  (O

  f

  (p)) ∩ W

  s

  (O

  f (q)).

  (q)) ≤ ǫ ≤ ǫ(q) para 0 ≤ i ≤ n, como n foi tomado arbitrariamente, temos que w ∈ W

  )), f

  Ponha w

  x

  n

  = f

  n

  (z

  n

  ) e seja w = lim

  n→∞

  w

  n

  , tomando uma subsequˆencia se necess´ario (ver figura 2.3.1).

  ǫ ǫ f n (q) f N

  (z n ) p ǫ f n (z n ) = w n z n

  ǫ x

  1

  2

  n

  f N

  f n f n f N +n (z n ) q Figura 2.3.1: Constru¸c˜ao da sequˆencia w

  n .

  Ent˜ao, uma vez que d(f

  −i

  (w

  n

  ), f

  −i

  (p)) ≤ ǫ ≤ ǫ(p) e d(f

  i

  (f

  N

  (w

  O pr´oximo Lema foi demonstrado em [12].

  1 Lema 2.3.5. Seja f | satisfazendo o propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel, e seja Λ (U ) f

  1 U(f ) uma C -vizinhan¸ca de f tal que para qualquer g ∈ U (f ), g| satisfaz a propri- Λ g (U )

  edade de especifica¸c˜ao. Ent˜ao, para quaisquer selas hiperb´olicas p, q ∈ Λ g (U ) ∩ P er(g), com g ∈ U(f ), vale ind(p) = ind(q).

  1 Demonstra¸c˜ao. Seja f | satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel, e seja Λ (U ) f

1 U(f ) uma C

  • vizinhan¸ca de f tal que para qualquer g ∈ U (f ), g| Λ (U ) satisfaz a pro- g priedade de especifica¸c˜ao. Fixe g ∈ U (f ) qualquer, e sejam p, q ∈ Λ (U ) ∩ P er(g) selas

  g

  1

  hiperb´olicas. Pelo Teorema 1.1.5 existe uma C -vizinhan¸ca V(g) ⊂ U (f ) de g tal que, para qualquer ϕ ∈ V(g), existem as continua¸c˜oes p e q (de p e q) em Λ (U ), respec-

  ϕ ϕ ϕ

  tivamente. Note que como Λ f (U ) = Λ ⊂ int U , podemos supor que Λ g (U ) ⊂ int U para qualquer g ∈ U(f ), reduzindo U (f ) se necess´ario.

  A prova do lema ´e feita por contradi¸c˜ao. Suponhamos que ind(p) < ind(q),

  s u

  e, portanto, dimW (p, g) + dimW (q, g) < dimM (o outro caso ´e semelhante). Aqui

  s u

  W (p, g) e W (q, g) s˜ao as variedades est´avel e inst´avel de p e q com respeito a g. Tome um difeomorfismo Kupka-Smale ϕ ∈ V(g), tal difeomorfismo existe, pois, como foi dito

  1

  na Se¸c˜ao 1.2, tais difeomorfismos formam um conjunto residual em Dif (M ). Sejam p

  ϕ s u

  e q as continua¸c˜oes de p e q em Λ (U ). Ent˜ao, W (p , ϕ) e W (q , ϕ) s˜ao transversais,

  ϕ ϕ ϕ ϕ

  logo

  s u

  W (p ϕ , ϕ) ∩ W (q ϕ , ϕ) = ∅

  s s u u

  visto que dimW (p, g) = dimW (p , ϕ) e dimW (q, g) = dimW (q , ϕ), pois ϕ ´e uma

  ϕ ϕ

  pequena perturba¸c˜ao de g. Por outro lado, uma vez que ϕ ∈ U(f ), ϕ| Λ (U ) satisfaz a ϕ

  s u propriedade de especifica¸c˜ao de maneira que W (p , ϕ) ∩ W (q , ϕ) 6= ∅ pelo Lema 2.3.5.

  ϕ ϕ Esta ´e uma contradi¸c˜ao.

  A existˆencia de pontos peri´odicos n˜ao hiperb´olicos de f facilmente nos d´a dois

  1

  −pr´oxima de f pontos peri´odicos hiperb´olicos com ´ındices diferentes para alguma g C (ver Lema 2.3.7 abaixo). Para mostrar este fato usamos o seguinte resultado perturbativo

  1 na topologia C conhecido como Lema de Franks.

  Lema 2.3.6 (Franks, [6]). Sejam M variedade compacta e f : M → M um difeomorfismo.

  ′

  Seja θ um conjunto finito de pontos em M , seja Q = ⊕ T M e seja Q = ⊕ T M . Se

  x f (x) x∈θ x∈θ

  ǫ

  ′

  ǫ > 0 ´e suficientemente pequeno e G : Q → Q ´e um isomorfismo tal que kG − df k <

  10

  1

  ent˜ao existe um difeomorfismo g : M → M , ǫ-pr´oximo de f na topologia C , tal que dg = G| para qualquer x ∈ θ. Ademais se R ´e um conjunto compacto de M disjunto

  x T M x de θ, podemos exigir que f (x) = g(x) para x ∈ R.

  Demonstra¸c˜ao. Vamos assumir por simplicidade que a m´etrica Riemanniana em M vem

  m m ′

  de um mergulho M → R e da m´etrica usual no R . Seja exp a restri¸c˜ao a Q ∪ Q da transforma¸c˜ao exponencial de T M para M determinada pela m´etrica (exp sempre representa exp

  x

  e , kG − df

  k ent˜ao kd exp

  x

  kdf

  x∈M

  5. Se K = sup

  10 ).

  k < ǫ

  x i

  x i

  −d exp

  = d b f

  x i

  ⊂ Q (isto ´e poss´ıvel porque df

  i

  e b B

  

i

  10 kvk quando u ∈ b B

  (v)k < ǫ

  u

  

v

  10 kuk e kG(v)−d b f

  δ δ

  −1

  → T M por bg(v) = ρ(v)G(v) + (1 − ρ(v)) b f (v) (2.3.1) e definimos a fun¸c˜ao g : M → M por g(x) = exp ◦bg ◦ exp

  i

  b B

  x i ∈θ

  Seja ρ : T M → R definida por ρ(v) = σ(kvk). Definamos a fun¸c˜ao bg : S

  

1

σ(x) x Figura 2.3.3: A fun¸c˜ao σ ´e dita ser do tipo fun¸c˜ao de relevo.

  4

  − δ 4 −δ

  k < ǫ

  2 δ para todo x. A Figura 2.3.3 nos d´a uma ideia de como pode ser a fun¸c˜ao σ.

  (x) <

  ′

  4 , e 0 ≤ σ

  δ

  de valores reais tal que 0 ≤ σ(x) ≤ 1, σ(x) = 0 se |x| ≥ δ, σ(x) = 1 se |x| ≤

  ∞

  10K se u, v ∈ b B i . Escolhamos uma fun¸c˜ao σ C

  u

  ◦f ◦ exp(v) satisfaz kG(u) − b f (u)k < ǫ

  para algum x ∈ θ ∪ f (θ), esta nota¸c˜ao facilitar´a a nota¸c˜ao da derivada da transforma¸c˜ao exp

  x i

  

i

  ) ent˜ao B

  i

  = exp( b B

  i

  → M ´e um mergulho, e se B

  i

  M e kvk ≤ δ} ent˜ao exp : b B

  = {v|v ∈ T

  j

  i

  e b B

  n i=1

  }

  i

  1. Se θ ∪ f (θ) = {x

  Agora escolhemos δ > 0 satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:

  x ). Seja R ´e um conjunto compacto de M disjunto de θ.

  e B

  s˜ao disjuntos quando i 6= j. Tamb´em fazemos δ t˜ao pequeno que, para todo i, R ´e disjunto de B i . 2. k exp(v) − vk <

  −1

  

−1

x

  definida por b f (v) = exp

  ′

  → Q

  i

  4. b f : b B

  i .

  10 se x ∈ B

  k < 1 + ǫ

  e kd exp

  ǫ

  i

  10 se v ∈ b B

  k < 1 + ǫ

  v

  na qual M ´e mergulhada). 3. kd exp

  m

  (lembrando que k · k ´e a norma em R

  i

  10 se v ∈ b B

  (x) (2.3.2) S se x ∈ B e g(x) = f (x) caso contr´ario. Vamos mostrar que g ´e ǫ-pr´oxima de f na

  i x ∈θ i

  1 topologia C .

  S S Se x / ∈ B , f (x) = g(x) e se x ∈ B , pela condi¸c˜ao (2)

  i i x ∈θ x ∈θ i i −1 −1

  kf (x) − g(x)k = k exp ◦ b f ◦ exp (x)k (x) − exp ◦bg ◦ exp

  −1 −1 −1

  = k exp ◦ b f ◦ exp (x) − b f ◦ exp (x) + b f ◦ exp (x)

  −1 −1 −1

  (x)k − exp ◦bg ◦ exp (x) + bg ◦ exp (x) − bg ◦ exp

  −1 −1

  = k exp ◦ b f ◦ exp (x) − b f ◦ exp (x)k | {z } ǫ 10

  < / −1 −1

  (x)k

  • k exp ◦bg ◦ exp (x) + bg ◦ exp

  | {z } ǫ

  < / 10 −1 −1

  • k b f ◦ exp (x)k

  (x) − bg ◦ exp ǫ

  −1 −1 ≤ + k b f ◦ exp (x)k.

  (x) − bg ◦ exp

  5

  −1

  Assim, se v = exp (x), ǫ kf (x) − g(x)k =

  • k b f (v) − bg(v)k

  5 ǫ

  = + k b f (v) − ρ(v)G(v) − (1 − ρ(v)) ˆ f k

  5 ǫ

  = + ρ(v)k b f (v) − G(v)k

  5 ǫ ǫ

  ≤ kvkρ(v) < ǫ (por (4)). +

  5

  10 S b Vamos agora checar a diferen¸ca das derivadas. Se v ∈ B i ,

  x∈θ (u) = ρ(v)G(u) + dρ (u)G(v) + (1 − ρ(v)) d b f (u) − dρ (u) b f (v). v v v v

  dbg Ent˜ao b kd b f (u)k = kρ(v) d b f (u) − G(u) + dρ (u) f (v) − G(v) k

  v v v v

  (u) − dbg b ≤ ρ(v)kd b f (u) − G(u)k + kdρ (u) f (v) − G(v) k.

  v v

  Se kvk > δ, ρ(v) = 0; se kvk ≤ δ, por (4) temos ǫ kd b kuk. f (u) − G(u)k <

  v

  10

  2 Se kvk ≥ δ, dρ (u) = 0; se kvk < δ, kdρ k < e

  v v

  δ ǫ ǫδ kd b kuk < f (u) − G(u)k < .

  v

  10

  10 Assim 2 ǫδ ǫ b

  (u) f (v) − G(v) kuk = kuk.

  v

  dρ < Portanto ǫ ǫ 3ǫ kd b f (u)k ≤ kuk + kuk = kuk.

  v v

  (u) − dbg

  10

  5

  10

  −1

  Sejam y = exp (x), z = b f (y) e w = bg(y). Agora por (3) e (5)

  −1 −1

  kdf (v) − dg (v)k = kd exp ◦d b f ◦ exp (v) − d exp ◦ exp (v)k

  x x y y z x w ◦dbg x −1 −1

  ≤ kd exp ◦d b f ◦ exp (v) − d exp ◦d b f ◦ exp (v)k

  y y z x w x −1 −1

  • kd exp ◦d b f ◦ exp (v) − d exp ◦ exp (v)k

  y y w x w ◦dbg x

  ǫ ǫ 3ǫ

  −1 −1 ≤ Kkd exp (v)k + 1 + kd exp (v)k. x x

  10K

  10

  10 Assim ǫ ǫ 3ǫ ǫ + kdf (v) − dg (v)k ≤ 1 + 1 + kvk < ǫkvk.

  x x

  10

  10

  10

  10

  

1

Deste modo encontramos uma fun¸c˜ao g C -pr´oxima de f tal que dg = G para x |T x M

  qualquer x ∈ θ e g(x) = f (x) para todo x fora de um compacto R disjunto de θ. O que encerra a demonstra¸c˜ao do Lema.

  2

  ′

  Note que na demonstra¸c˜ao Lema 2.3.6 foi importante que a cota para a σ fosse δ

  2

  pequena. Um enunciado para o Lema 2.3.6 envolvendo topologia C envolveria a segunda derivada de σ que teria uma cota ruim, j´a que δ ´e pequeno.

  O pr´oximo Lema foi demonstrado em [12]. Lema 2.3.7. Seja Λ localmente maximal em U . Seja U (f ) vizinhan¸ca de f dada e tome g ∈ U (f ). Se p ∈ Λ (U ) ∩ P er(g) n˜ao ´e hiperb´olico, ent˜ao existe ϕ ∈ U(f ) possuindo

  g

  pontos peri´odicos hiperb´olicos q

  1 e q 2 em Λ ϕ (U ) com diferentes ´ındices.

  1 Demonstra¸c˜ao. Seja Λ localmente maximal em U , e seja U (f ) uma C -vizinhan¸ca de f

  1

  dada e tome g ∈ U (f ) (observe que U (f ) tamb´em ´e uma C -vizinhan¸ca de g). Suponha que p ∈ Λ (U ) ∩ P er(g) n˜ao ´e hiperb´olico. Mostramos que existe ϕ ∈ U(f ) possuindo

  g 1 k

  uma curva C ϕ -invariante em U (para algum k > 0), cujos pontos extremos s˜ao ambos hiperb´olicos com ´ındices diferentes. Afirma¸c˜ao 2.3.8. Com uma pequena modifica¸c˜ao do mapa g com respeito `a topologia

  1 π(p) 1 π(p)

  C , podemos assumir que Sp(D g ) ∩ S = λ, λ , onde Sp(D g ) ´e o conjunto dos

  p p π(p)

  1

  autovalores de D g e S ´e a esfera unit´aria em C (e, portanto, os outros autovalores

  p π(p)

  de D p g s˜ao com m´odulo inferior a 1 ou superior a 1). Demonstra¸c˜ao. (da Afirma¸c˜ao 2.3.8) De fato, como p ´e peri´odico de per´ıodo π(p), existe uma decomposi¸c˜ao em autoespa¸cos T M = ⊕ E(γ). Escreva

  p π (p) γ∈Sp(D g ) p π(p)

  

1 Sp(D g ) ∩ S = {λ , . . . , λ } . p 1 k Sabemos que para um operador linear qualquer A, se γ ∈ Sp(A) ent˜ao γ ∈ Sp(A), ent˜ao podemos assumir sem perda de generalidade que λ = λ . Sejam d, ǫ > 0 de modo que π (p)−1

  2

  1

  0 < |1 − ǫ|kD gk < d. Defina o operador L : T p M → T p M como

  g (p)

  

  π(p)

   π L = D (p)−1 g com γ ∈ Sp(D g )\{λ , . . . , λ }

  |⊕ E(γ) p γ g (p) 3 k

   π (p)−1 }.

  L |⊕ E(ˆ γ) = ǫ · D g com ˆ γ ∈ {λ γ ˆ g (p) 3 , . . . , λ k ´ π (p)−1 π (p)−1

  E f´acil ver que kL − D gk = |1 − ǫ| · kD gk < d. Assim, se d ´e pequeno,

  g (p) g (p) π(p)−1

  podemos aplicar o Lema 2.3.6 a g no ponto g (p) e encontramos uma fun¸c˜ao ˜ g pr´oxima

  π(p)−1 π

  de g tal que ˜ g = g fora de uma vizinhan¸ca U de g (p) e D (p)−1 g = L. Note que ˜

  g (p) i

  podemos tomar U de forma que g (p) / ∈ U para i 6= π(p) − 1. Al´em disso temos que

  π(p)−1 π(p)−1

  (p) = g (p), logo eg

  π(p)−1 π(p)−1 π(p)−1 π(p) ˜ (p) = ˜ g g (p) = g g (p) = g (p) = p.

  g eg Dado v ∈ T M , temos que

  p π(p)

  · v = D π (p)−1 π (p)−2 D p g ˜ g · D ˜ ˜ g · . . . · D g(p) ˜ g · D ˜ p g · v ˜

  ˜ g (p) ˜ g (p) = L · D π (p)−2 g · . . . · D g · D g · v. g(p) p g (p)

  π(p)

  Logo se v ∈ E(γ) com γ ∈ Sp(D g )\{λ , . . . , λ }, temos que

  p 3 k π(p)

  · v = L · D π D g ˜ (p)−2 g · . . . · D g · D g · v

  p g (p) g(p) p π (p)−1 π (p)−2

  = D g · D g · . . . · D g(p) g ◦ D p g · v

  g (p) g (p) = γv.

  E se v ∈ E(ˆ γ) com ˆ γ ∈ {λ , . . . , λ }, temos que

  3 k π(p) π

  D g ˜ · v = L · D (p)−2 g · . . . · D g ◦ D g · v

  p g(p) p g (p) π π

  = ǫ · D (p)−1 g · D (p)−2 g · . . . · D g · D g · v

  g (p) g (p) g(p) p = ǫˆ γv.

  π(p)

  Da´ı os ´ unicos autovalores de D g ˜ com m´odulo igual a 1 s˜ao λ e λ e ˜ g satisfaz a

  p

  1

  2

  afirma¸c˜ao. Isto conclui a demonstra¸c˜ao da Afirma¸c˜ao 2.3.8

  π(p)

  Observe que que se existir um autovalor real λ podemos concluir que Sp(D g )∩

  p

1 S = {λ}, pois neste caso, λ = λ.

  s

  Denote por E o autoespa¸co correspondente aos autovalores com m´odulo inferior

  p c u

  a 1, por E o autoespa¸co correspondente a λ, e por E o autoespa¸co correspondente aos

  p p s c u

  valores pr´oprios com m´odulo maior do que 1. Desta forma T M = E ⊕ E ⊕ E .

  p p p p c

  Dividimos a prova em dois casos: dim E = 1, isto ´e, o autovalor λ ´e real; ou

  p c

  dim E = 2, isto ´e, o autovalor λ ´e complexo. c Caso 1. dim E = 1, isto ´e, o autovalor λ ´e real com m´odulo igual a 1. p

  Neste caso, sup˜oe-se, ainda, que λ = 1 para simplicidade (o outro caso ´e se- melhante). Ent˜ao, pelo Lema 2.3.6, existem ǫ > 0 e ϕ ∈ U (f ) de tal modo que

  π(p) π(p)

  ϕ (p) = g (p) = p e i +1 i −1 ϕ(x) = exp ◦ D g ◦ exp (x)

  g (p) i g (p) g (p) i

  se x ∈ B ǫ (g (p)) para 0 ≤ i ≤ π(p) − 2, e π −1 ϕ(x) = exp ◦D (p)−1 g ◦ exp (x) π

  p g (p) (p)−1 g (p) π(p)−1 se x ∈ B (g (p)). ǫ π(p)

  ⊂ B Visto que o autovalor λ de D g c ´e 1, existe um pequeno arco I (p) ∩

  p p ǫ |E p c π(p) c c

  exp E (ǫ ) contendo p tal que ϕ (I p ) = I p . Aqui E (ǫ ) denota a ǫ -bola em E com

  p p p p centro na origem 0 (ver figura 2.3.4). p u u

  E p s E p s T p M T p M

p D p g p

E p c π (p) E p c E p

  E p ǫ π π −1 (p) (p) ǫ ◦D ◦ exp ϕ = exp p g p p exp p exp p ǫ c ǫ c exp (E ) exp (E ) p p p p p p I (p) p π p

  I s g s M M exp (E ) exp (E ) p p u p p u exp (E ) exp (E ) p p p p Figura 2.3.4: O intervalo I ´e deixado invariante por ϕ.

p

  Podemos supor que I ⊂ Λ (U ), reduzindo tanto U (f ) e ǫ , se necess´ario (observe

  p ϕ

  que λ ´e localmente maximal). Denote por q e q os dois pontos extremos de I . Observe

  

1

2 p

  que

  

π(p) π(p)

  D ϕ = D g = 1

  q c p c i

|E |E

p p

  1

  para i = 1, 2. Assim, pelo Lema 2.3.6, com uma C -modifica¸c˜ao do mapa ϕ nas extremidades, podemos ter que ambos os pontos s˜ao hiperb´olicos com diferentes ´ındices; isto ´e, ind(q ) 6= ind(q ) em rela¸c˜ao a ϕ.

  1

  2 c

  Caso 2. dimE = 2, e os autovalores correspondentes, s˜ao conjugados complexos,

  p λ, λ , com m´odulo igual a 1.

  Afirma¸c˜ao 2.3.9. Com uma pequena modifica¸c˜ao do mapa g, podemos supor que existe

  l π(p) −1 c

  l > 0 (o n´ umero m´ınimo) tal que D g · v = v para qualquer v ∈ exp (B (p)) ∩ E .

  p ǫ p p

  } uma base ortonormal do Demonstra¸c˜ao. (da Afirma¸c˜ao 2.3.9) De fato, seja B = {e

  1 , e

  2 l

  subespa¸co E(λ). Sabemos que existem ˜ λ e l tais que, ˜ λ = 1 e o ˆangulo α entre λ e ˜ λ na base base B ´e suficientemente pequeno de modo que, considerando a rota¸c˜ao R de

  α

  ˆangulo α na dire¸c˜ao do subespa¸co E(λ) (estamos assumindo que R (λ) = ˜ λ), temos que

  α

  kD π · D π (p)−1 g − R α (p)−1 gk < d, onde d ´e como no Lema 2.3.6 aplicado a g no ponto

  g (p) g (p) π(p)−1

  g (p). Assim aplicando o Lema 2.3.6 encontramos uma fun¸c˜ao ˜ g pr´oxima de g tal

  

π(p)−1

  que ˜ g = g fora de uma vizinhan¸ca U de g (p) (note que podemos tomar U de forma

  i π π π(p)

  que g (p) / ∈ U para i 6= π(p) − 1), D (p)−1 g = R ˜ · D (p)−1 g e ˜ g (p) = p. Assim

  α g (p) g (p) π(p)

  · v = λv, temos que, dado v tal que D g

  p π(p)

  · v = D π π D g ˜ (p)−1 g · D ˜ (p)−2 g · . . . · D ˜ g · D ˜ g · v ˜

  p g ˜ (p) g ˜ (p) g(p) ˜ p

  · D π (p)−1 π (p)−2 = R α g · D g · . . . · D g(p) g · D p g · v

  

g (p) g (p)

π(p)

  = R · D g · v

  α p

  = R · λv

  α = ˜ λv. l π(p)

  Dado l ≥ 0 temos que ˜ g (p) = p, da´ı

  l π(p) π(p) π(p) π(p) l−1 (p)

  · v = D · . . . · D π · D · v D p g ˜ g ˜ g ˜ p g ˜ π (p) g ˜ (p)

  ˜ g (p)

  ( )

  π(p) π(p) π(p)

  = D g ˜ · . . . · D g ˜ · D g ˜ · v

  

p p p

l

  = ˜ λ v = v.

  l π(p)

  · v = v para Assim podemos supor que existe l > 0 (o m´ınimo) tal que D p g

  −1 c qualquer v ∈ exp (B (p)) ∩ E . O que termina a demonstra¸c˜ao da Afirma¸c˜ao 2.3.9.

  ǫ p p π(p)

  Note que se π(p) > 1, ent˜ao p ´e um ponto fixo para g . Portanto, na prova do segundo caso, para evitar complexidade notacional, consideramos apenas o caso g(p) = p. Tal como no primeiro caso, pelo Lema 2.3.6, existem ǫ > 0 e ϕ ∈ U(f ) tais que ϕ(p) = g(p) = p e

  −1

  ◦D ϕ(x) = exp g ◦ exp (x)

  p g(p) p

  se x ∈ B ǫ (p).

  ǫ

  −1 c

  Tome v ∈ exp (B (p)) ∩ E tal que kv k = , e escreva

  ǫ p p

  4 ǫ J = exp {t · v : 1 ≤ t ≤ 1 + } .

  p p

  4 Ent˜ao, J ⊂ Λ (U ) ´e um arco de tal modo que

  p ϕ i j

  • ϕ (J ) ∩ ϕ (J ) = ∅ se 0 ≤ i 6= j ≤ l − 1 (ver figura 2.3.5),

  p p l l

  • ϕ (J ) = J e ϕ ´e o mapa identidade.

  p p |J p c c

  E E

  p p j

  v

  j

  λ v D g ǫ

  

p

  ǫ

  p p

j j −1

  exp ϕ = exp ◦D g exp exp

  p p g(p) p p j

  v λ v

  ǫ

  } }

  ǫ M

  M p J j

  p

  p ϕ (J )

  p

j

  g

  i j Figura 2.3.5: ϕ (J ) ∩ ϕ (J ) = ∅ se 0 ≤ i 6= j ≤ l − 1. p p

  1 Tal como no primeiro caso, com uma C -modifica¸c˜ao do mapa nos pontos de

  extremidade q e q de J , temos que ambos os pontos s˜ao hiperb´olicos com diferentes

  1 2 p

  ´ındices. Isto termina a demonstra¸c˜ao do Lema 2.3.7 Fim da prova da Proposi¸ c˜ ao 2.3.3.

  1 Seja f | satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao C -est´avel, e seja U (f ) Λ (U ) f

  como em tal propriedade. Pelo Lema 2.3.5, para chegar `a conclus˜ao, ´e suficiente mostrar que todo p ∈ Λ (U ) ∩ P er(g) (g ∈ U(f )) ´e hiperb´olico.

  g Por contradi¸c˜ao, suponha que p ∈ Λ g (U ) ∩ P er(g) (g ∈ U(f )) n˜ao ´e hiperb´olico.

  Ent˜ao, pelo Lema 2.3.7, existe ϕ ∈ U (f ) possuindo pontos peri´odicos, hiperb´olicos q e

  1

  q em Λ (U ) com diferentes ´ındices, ou seja, ind(q ) 6= ind(q ). Esta ´e uma contradi¸c˜ao

  2 ϕ

  1

  2

  1

  novamente por Lema 2.3.5 visto que f |

  • satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C

  Λ (U ) f est´avel.

  Portanto todos os pontos peri´odicos s˜ao do mesmo ´ındice. Isto finaliza a prova da proposi¸c˜ao. Cap´ıtulo 3 Resultados Recentes e Perspectivas Futuras

  Neste cap´ıtulo comentamos a extens˜ao do Teorema A para o caso n˜ao invert´ıvel e falamos sobre uma vers˜ao da propriedade de especifica¸c˜ao sobre o ponto de vista da Teoria da Medida. Aqui utilizamos [10] e [13] como referˆencias.

  3.1 Caso N˜ ao Invert´ıvel

  1

  • Em [10] ´e provado que o Teorema A tamb´em ´e v´alido para transforma¸c˜oes C regulares (transforma¸c˜oes diferenci´aveis n˜ao invert´ıveis cujas derivadas s˜ao sobrejetivas). Entretanto para transforma¸c˜oes n˜ao invert´ıveis n˜ao podemos aplicar a mesma defini¸c˜ao de hiperbolicidade que usamos para difeomorfismos. A exigˆencia de subespa¸cos est´aveis e inst´aveis invariantes ´e muito forte. Mais precisamente, n˜ao se pode esperar que os subespa¸cos inst´aveis se sejam transformados de maneira invariante, visto que pode ha- ver v´arios pontos com mesma imagem. Desta forma estudando apenas difeomorfismos conseguimos entender bem a rela¸c˜ao entre hiperbolicidade e propriedade de especifica¸c˜ao.

  Em [10] tamb´em ´e provado que existe um subconjunto residual R no espa¸co das

  1

  1

  transforma¸c˜oes C -regulares munido da topologia C tal que para f ∈ R, f | Λ satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se e somente se Λ ´e um conjunto elementar hiperb´olico.

  3.2 Especifica¸ c˜ ao N˜ ao-Uniforme

  Sob o ponto de vista da Teoria da Medida, temos uma outra no¸c˜ao de especi- fica¸c˜ao. Para X espa¸co m´etrico e f : X → X, utilizaremos a seguinte nota¸c˜ao

  

k k B (x, n, ǫ) = {y ∈ X : d(f (x), f (y)) < ǫ com 0 ≤ k ≤ n}. f Defini¸ c˜ ao 3.2.1. Dizemos que (f, µ) satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao n˜ao-uniforme se existe δ tal que para µ-quase todo ponto x e todo 0 < ǫ < δ existe um inteiro p(x, n, ǫ) ≥ 1 satisfazendo p(x, n, ǫ) lim lim sup = 0

  ǫ→0 n→∞ n

  e assim vale o seguinte: dados pontos x , . . . , x em um conjunto de µ-medida total e

  

1 k

  ≥ p(x inteiros positivos n

  1 , . . . , n k , se p i i , n, ǫ) ent˜ao existe z que ǫ-sombreia as ´orbitas de n i

  cada x durante n iterados com um salto de tempo de p(x , n, ǫ) entre f (x ) e x , isto

  i i i i i+1

  ´e

  

n +p +···+n +p

1 1 i−1 i−1

  z ∈ B(x , n , ǫ) e f (z) ∈ B(x , n , ǫ)

  1 1 i i para todo 2 ≤ i ≤ k.

  Em outras palavras, esta no¸c˜ao significa que quase todo peda¸co finito de ´orbitas ´e aproximado por uma ´orbita tal que o intervalo de tempo entre dois peda¸cos consecutivos ´e uma propor¸c˜ao pequena do tamanho do peda¸co de ´orbita sendo sombreado.

  Um estudo da propriedade de especifica¸c˜ao n˜ao-uniforme ´e feito em [13] para a obten¸c˜ao de limites de grandes desvios superiores e inferiores.

  1 Dizemos que f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao C -robusta se existe uma

  vizinhan¸ca aberta U de f tal que para todo g ∈ U , toda medida de probabilidade g- invariante satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao n˜ao-uniforme.

  Neste contexto, a seguinte quest˜ao continua em aberto: Quest˜ ao.

  Se (f, µ) satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao n˜ao-uniforme para toda medida µ f -invariante, ent˜ao f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao? Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  [1] A. M. Blokh. The “spectral” decomposition for one-dimensional maps. In Dynamics Reported, Dynam. Report. Expositions Dynam. Systems (N. S.), n

  o . 4, (1995) 1-59.

  Springer, Berlin. [2] R. Bowen, Periodic points and measures for Axiom A diffeomorphisms, Trans. Amer.

  Math. Soc. 154 (1971), 377-397. [3] J. Buzzi, Specification on the interval, Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997), 2737-2754. [4] M. Denker, C. Grillenberger and K. Sigmund, Ergodic Theory on Compact Spaces, Lecture Notes in Math. 527 (Springer-Verlag, Berlin, 1976).

  [5] R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems,AddisonWesley Studies in Nonlinearity, second edn, Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA (1989) [6] J. Franks, Necessary conditions for stability of diffeomorphisms, Trans. Amer. Math.

  Soc. 158 (1971), 301-308. [7] A. B. Katok, B. Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems,

  Cambridge University Press, 1995 [8] D. A. Lind, Ergodic group automorphisms and specification, Ergodic Theory (Proc. Conf., Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1978), 93-104, Lecture Notes in Math. 729 (Springer- Verlag, Berlin, 1979). [9] R. Ma˜ n´e, An ergodic closing lemma, Annals of Math. (2) 116 (1982), 503-540. [10] K. Moriyasu, K. Sakai and K. Yamamoto, Regular maps with the specification pro- perty, Discrete Contin. Dyn. Syst. 33 (2013), 2991-3009. [11] C. Robinson, Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos, 2nd ed., Studies in Advanced Mathematics (CRC Press, Boca Raton, FL, 1999).

  [12] K. Sakai, N. Sumi and K. Yamamoto, Difeomorphisms satisfying the specification property, Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), 315-321. [13] P. Varandas, Non-uniform specification and large deviations for weak Gibbs measures, Journal of Statistical Physics, 146 (2012), 330-358 .

  Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

  Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

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