Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matemática - IM

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matemática - IM

Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT

Dissertação de Mestrado

  

Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob

Involuções orientadas

Edward Landi Tonucci

  Salvador-Bahia Abril de 2013

  Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob Involuções Orientadas Edward Landi Tonucci

  Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.

  Orientador: Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão.

  Salvador-Bahia Abril de 2013 Tonucci, Edward Landi, 1988 Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob Involuções Orien- tadas / Edward Landi Tonucci. – Salvador: UFBA, 2013.

  69 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Matemática, 2013.

  Referências bibliográficas.

1. Anéis (Álgebra). 2. Anéis de Grupo. 3. Teoria de Grupos. I.

  

Petit Lobão, Thierry. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matemática. III. Título.

  CDU : 512.552.7 Propriedades de Lie dos Elementos Simétricos sob Involuções Orientadas Edward Landi Tonucci

  Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, aprovada em 19 de Abril de 2013.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Thierry Petit Corrêa Lobão (Orientador) UFBA

  a

  Prof . Dra. Manuela da Silva Souza UNICAMP

  a

  Prof . Dra. Paula Murgel Veloso UFF

  Aos meus pais, Cláudio e Rita, minha companheira Jacqueline e meus irmãos João Paulo e Caroline. Agradecimentos

  Primeiro, agradeço imensamente à minha família por todo apoio moral e finan- ceiro, pois sem este tenho certeza que nunca alcançaria o nível intelectual, acadêmico e profissional no qual me encontro. Em especial, agradeço muito aos meus pais Cláudio e Rita por todo amor, carinho, incentivo e educação moral, pois cada um desses detalhes ajudou a construir minha personalidade e a pessoa que sou. Agradeço também aos meus irmãos, João Paulo e Caroline, e aos meus primos pelos quais possuo tanto afeto, por todo o carinho, amizade e diversão que me proporcionaram desde a minha infância até o presente momento.

  Agradeço à minha companheira Jacqueline por todo carinho, amor, confiança, companheirismo e por estar sempre ao meu lado me ajudando a passar por todos os momentos difíceis que apareceram nesta jornada, incentivando e apoiando as decisões importantes que tive que tomar após iniciar minha carreira acadêmica, além de ser uma pessoa excepcional com quem posso dividir meus desejos e gostos.

  Agradeço aos meus amigos, ex-colegas de graduação e mestrado pelos bons mo- mentos que passamos estudando e por ajudarem a me divertir e distrair nos momentos de descanso. Agradeço em especial aos amigos Ângela Soldatelli, João Paulo Cirineu e Marcus Morro, por toda a disposição e ajuda prestada neste trabalho e à Elen Deise por ter sido companheira durante toda a jornada.

  Agradeço muito também ao meu orientador, Thierry Petit Lobão, tanto pela sua disposição, dedicação e prestatividade quanto pelo seu constante incentivo e profissiona- lismo durante o período da pesquisa orientada do mestrado e por sua disposição para me orientar no doutorado.

  Agradeço às professoras Manuela Souza e Paula Veloso por aceitarem participar da comissão julgadora de minha dissertação e me darem a grande honra de tê-los como membros da banca examinadora de minha defesa.

  Agradeço a todos os professores do DCE-UESB e IM-UFBA que contribuíram efetivamente para minha formação como matemático. Agradeço ainda mais aos que con- tribuíram para minha formação não somente como matemático, mas também como ser humano. Agradecimentos especiais aos professores Adelzito, Acioly, Claudinei, Clênia, Débora, Eridan, Flaulles, Júlio, Márcio, Reginaldo, Tânia e ao meu orientador Augusto, por seus exemplos como profissionais e ótimos professores.

  Finalmente, agradeço à CAPES pelo apoio financeiro concedido a mim durante todo o meu mestrado.

  “Sonho que se sonha só é só um sonho que se sonha só. Mas sonho que se sonha junto é realidade.”

  • –John Lenon, traduzido por Raul Seixas
Resumo

  O presente trabalho exibirá a estrutura dos grupos tais que o conjunto dos ele- mentos simétricos sob uma involução orientada, em um anel de grupo por ele gerado, é comutativo, e, de forma original, estenderá tal resultado quando o anel é um corpo de característica 0 e os simétricos satisfazem alguma propriedade de Lie. Finalmente, serão caracterizados os grupos tais que os simétricos em relação à involução orientada indu- zida pela involução clássica, e o anel é um corpo, satisfazem alguma propriedade de Lie, generalizando, quase que completamente, os resultados anteriores. Serão apresentadas também condições para que as propriedades de Lie encontradas nos simétricos possam ser estendidas para todo o anel de grupo. Além disso, será mostrado que algumas hipóteses desses últimos resultados nunca poderão ser satisfeitas de forma não trivial.

  Palavras-chave: Anéis de Grupos; Involuções; Involuções Orientadas; Propriedades de Lie.

  Abstract

  This work will show the structure of groups such that the set of the symmetric elements under an oriented involution, in a group ring generated by this groups, is commu- tative, and extend this result when the ring is a field of characteristic 0 and the symmetric elements satisfy a Lie propertie, which is an original result. Finally, the groups such that the symmetric elements under the classical oriented involution, and the ring is a field, satisfy some Lie propertie will be classified, generalizing, almost completely, the results above. It will be also shown conditions to extend the found properties in the symmetric elements to the whole group ring, therefore, we will show that some hypothesis of these last results will never be satisfied in a non-trivial way. Keywords: Group Rings; Involutions; Oriented Involutions; Lie Properties. Sumário

  Introdução

1.4 Os conjuntos (RG) σϕ e (RG)

1.4.1 Propriedades de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  3.1 Involuções Orientadas em Q

  65

  64 Referências

  Conclusão

  8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

  4.2.2 Grupos que não contêm Q

  4.2.1 Grupos sem Elementos de Ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  4.2 Extensão das propriedades de Lie dos elementos simétricos para o anel de grupo KG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  4.1 Resultados Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  43

  4 Propriedades de Lie de (KG) σ e (KG) σ

  3.2 Propriedades de Lie de (KG) σϕ com char(K) = 0 . . . . . . . . . . . . . . 33

  8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  29

  1

  3 Propriedades de Lie de (KG) σϕ com char(K) = 0

  22

  2 Comutatividade de (RG) σϕ

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  − σϕ

  1.3.3 Involuções orientadas em anéis de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 16

  1.3.2 Involuções em Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  9

  9 1.3.1 Involuções em Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 1.3 Involuções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 1.2.2 O Centro de um Anel de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.2.1 O Homomorfismo de Aumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.2 Anéis de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 4 1.1 Módulos e Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Propriedades de Lie dos elementos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

  Introdução

  Dados um grupo G e um anel comutativo R, podemos tomar o R-módulo livre- mente gerado por G e definir um novo anel chamado anel de grupo de G sobre R. O estudo dessa nova estrutura possui uma íntima relação com as teorias das estruturas fun- damentais de grupos e anéis; portanto tem se desenvolvido em mão dupla, ou seja, com resultados da teoria dos anéis de grupos, extraem-se propriedades dos grupos e anéis, e vice-versa.

  Dado uma involução ϕ em um grupo G, podemos induzir uma involução no anel de grupo RG. Podemos observar, nas referências dessa dissertação, que muitos autores têm estudado o conjunto (RG) ϕ = {α ∈ RG : ϕ(α) = α}, dos elementos simétricos, para conseguir as informações supracitadas sobre as estruturas fundamentais. O estudo do conjunto (RG) ϕ é um exemplo de como funciona essa via de mão dupla. A partir de uma involução ϕ no grupo G, construímos uma involução no anel de grupo; estudamos as propriedades dessa nova involução em RG e daí podemos fazer diversas afirmações sobre o grupo e a involução ϕ.

  Definindo o colchete de Lie como [x, y] = xy − yx, ∀x, y ∈ RG, podemos facil- mente verificar que um subconjunto A de RG é comutativo se, e somente se, [x, y] = 0, ∀x, y ∈ A. Generalizando o conceito de comutatividade, temos que um subcon-

  ] = 0, ∀x, y ∈ A, e Lie nilpotente junto A ⊂ RG é dito Lie n-Engel, se [x, y, y, . . . , y | {z } n vezes

  1 , x 2 , . . . , x n ] = 0, ∀x i 1 , x

2 , x

3 , . . . x n ] = [[x 1 , x 2 ], x 3 , . . . x n ].

  ∈ A, onde [x se [x

  Para estudar RG utilizando involuções, podemos verificar sob quais condições em G, R ou ϕ, podemos estender certas propriedades de (RG) ϕ para todo o anel RG. Algumas dessas condições podem ser encontradas, por exemplo, em [JM06, L00, LSS09]. Outra linha de pesquisa é tentar descrever o grupo G quando (RG) ϕ satisfaz alguma das identidades de Lie (Lie n-Engel, Lie nilpotência ou comutatividade). Tais resultados podem ser encontrados, por exemplo, em [JM06, L00].

  Um problema bastante difícil e extremamente importante de se tratar em anéis de grupos é descrever o conjunto das unidades desse anel. Novamente, podemos verificar em [JM06] a eficiência do estudo das involuções para resolver os mais diversos problemas relacionados aos anéis de grupo.

  S. P. Novikov em [N70] introduziu, a partir de uma orientação σ de G (homo-

  3 morfismo de G em C ), uma nova involução σϕ em RG chamada involução orientada e,

  2

  naturalmente, a partir disso vários pesquisadores começaram a estudar as propriedades dos elementos simétricos sob esse novo tipo de involução. Os mesmos métodos de se resolver problemas utilizando involuções podem ser utilizados para as involuções orienta- das. Nesse sentido, podemos buscar condições que o grupo G deva satisfazer para que o conjunto (RG) σϕ satisfaça alguma identidade de Lie, ou ainda, sob quais condições tais propriedades podem ser estendidas para todo o RG.

  Nosso trabalho será estudar condições que o grupo deve possuir para que o con- junto dos elementos simétricos sob uma involução orientada satisfaça alguma das identi- dades de Lie, e, em alguns casos, mostrar condições para que a mesma propriedade nos simétricos possa ser estendida para todo o anel de grupo.

  No Capítulo 1, introduziremos os conceitos básicos e resultados fundamentais para o entendimento dos resultados. No Capítulo 2, apresentaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG) σϕ seja comutativo. Além disso, particularizaremos o resultado para o caso quando ϕ = ∗, a involução clássica.

  No Capítulo 3, mostraremos que se, K é um corpo de característica 0 e (KG) σϕ é Lie n-Engel, então (KG) σϕ é comutativo, além de apresentar algumas consequências desse resultado.

  No Capítulo 4, apresentaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG) σ ∗ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente, assim como exibiremos algumas

  −

  condições para que se tais propriedades forem satisfeitas em (RG) σ ∗ ou (RG) , também σ ∗ o sejam em todo o anel de grupo.

  Capítulo 1 Preliminares

  Neste primeiro capítulo, apresentaremos os conceitos elementares que serão de fundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho. Todos os anéis serão comutativos, tomados com unidade e denotados por R, exceto quando se tratar especifi- camente de um corpo, o qual denotaremos por K.

1.1 Módulos e Álgebras Esta seção está baseada em [Po72].

  Definição 1.1. Seja R um anel. Um grupo abeliano (M, +) é chamado de um R-módulo (à esquerda) se, para cada r ∈ R e cada m ∈ M , corresponde um elemento rm ∈ M tal que:

  (i) (r + s)m = rm + sm; (ii) r(m + n) = rm + rn;

  (iii) (rs)m = r(sm); (iv) 1m = m, para todos r, s ∈ R, m, n ∈ M .

  De maneira análoga, podemos definir um R-módulo à direita. Utilizaremos a expressão R-módulo para nos referirmos a um R-módulo à esquerda. Exemplo 1.2. Todo espaço vetorial sobre um corpo K é um K-módulo. Exemplo 1.3. Todo grupo abeliano G pode ser considerado como um módulo sobre o anel Z definindo-se o produto de um inteiro n por um elemento g ∈ G por:

   g + g + . . . + g(n vezes) , se n > 0;   ng =

  (−g) + (−g) + . . . + (−g)(|n| vezes) , se n < 0;   , se n = 0.

  5 Exemplo 1.4. Se I for um ideal de um anel R, então I admite uma estrutura de R- módulo com a soma induzida pela soma de R e a multiplicação por escalares definida pela multiplicação de R. Exemplo 1.5. Seja G um grupo abeliano. Indicaremos por End(G) o conjunto de todos os endomorfismos de G. Neste conjunto, pode-se induzir uma estrutura de anel definindo- se a soma e produto de dois endomorfismos f, g ∈ End(G) por:

  (f + g)(x) = f (x) + g(x), e (f.g)(x) = f (g(x)), ∀x ∈ G. Pode-se definir uma estrutura de End(G)-módulo em G associando, a cada par (f, x) ∈ End(G) × G, o elemento f.x = f (x) ∈ G. Definição 1.6. Sejam R um anel e I um conjunto de índices. Dizemos que uma sequência de elementos de R é quase nula se apenas uma quantidade finita de elementos (λ i ) i ∈I da sequência é não-nula. Definição 1.7. Seja M um R-módulo. Um conjunto {x i } de elementos de M é dito i

  ∈I

  um conjunto gerador de M (ou dizemos que {x i } gera M ) se, para todo m ∈ M , i

  ∈I

  X existe uma sequência quase nula (λ i ) i de elementos de R tal que m = λ i x i . Se o

  ∈I i ∈I

  } conjunto {x i é finito, dizemos que M é finitamente gerado. i ∈I Definição 1.8. Seja M um R-módulo. Um conjunto {x } de elementos de M diz- i i

  ∈I

  se linearmente independente (ou livre) se para toda sequência quase nula (λ i ) i de

  ∈I

  X elementos de R tem-se que λ i x i = 0 implica que λ i = 0 ∀i ∈ I. i ∈I }

  Definição 1.9. Seja M um R-módulo. Um conjunto {x i de elementos de M diz-se i ∈I } uma R-base de M se {x i é um conjunto linearmente independente e gera M . Um i

  ∈I R-módulo é chamado de livre se possui uma R-base.

  Neste ponto, podemos observar que alguns resultados válidos para espaços veto- riais não necessariamente o são para módulos. (i) Em geral não é verdade que todo subconjunto linearmente independente de um módulo livre possa ser ampliado a uma base;

  (ii) Em geral é falso que todo conjunto gerador contém uma base; (iii) Tanto para espaços vetoriais como para módulos, se, numa família de elementos

  {x } i de um R-módulo M, um deles é combinação linear dos outros, a família não i

  ∈I

  é livre. A recíproca sempre é verdadeira no caso dos espaços vetorias, porém pode não ser para módulos;

  6 (iv) Nem sempre um submódulo de um módulo livre é livre; (v) Sejam M um A-módulo livre e S ⊂ M, com S 6= M, um submódulo, também livre.

  Nem sempre é verdade que o número de elementos de uma base de S é menor que o número de elementos de uma base de M; (vi) Também não é válido, em geral, que duas bases de um mesmo R-módulo livre M possuam a mesma cardinalidade.

  Com o teorema a seguir, teremos condições suficientes para conseguirmos um resultado positivo para o item (vi). Teorema 1.10. Sejam R um anel comutativo e M um R-módulo livre finitamente gerado. Então quaisquer duas R-bases de M possuem o mesmo número de elementos. Definição 1.11. Seja M um R-módulo. Se M é livre e todas as R-bases de M possuem o mesmo número de elementos, a cardinalidade de uma R-base é chamada de posto de M .

  Devido à definição acima, temos que o posto de M está bem definido se M estiver nas condições do Teorema 1.10. Definição 1.12. Seja R um anel comutativo. Um R-módulo M é chamado de uma A- álgebra (associativa) se existe uma multiplicação definida em M de tal maneira que com a adição em M e esta multiplicação, M é um anel e para todos r ∈ R, m, n ∈ M é válida a seguinte condição: r(mn) = (rm)n = m(rn). Uma A-álgebra é dita comutativa se M é um anel comutativo. Exemplo 1.13. Seja R um anel comutativo. O conjunto M n (R) das matrizes de ordem n com coeficientes em R com as operações de adição e multiplicação usuais é uma R- álgebra não comutativa. O conjunto U T n (R) das matrizes triangulares superiores é uma subálgebra de M n (R). Exemplo 1.14. Todo anel comutativo R é uma álgebra comutativa sobre si próprio.

1.2 Anéis de Grupo Esta seção está baseada em [PS02].

  Definição 1.15. Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Denote por RG o conjunto de todas as combinações lineares formais da forma

  X α = a g ∈G g

  g,

  7 onde a g ∈ R e {a g } é quase nula. O conjunto (RG, +, ·) dotado das operações de soma g

  ∈G

  e produto definido da forma a seguir é um anel, chamado anel de grupo de G sobre R: ! !

  X X

  X g g g + a g g b g g = (a g + b g )g;

  ∈G ∈G ∈G

  ! !

  X X

  X · g g g,h a g g b g g = (a g b h )(gh).

  ∈G ∈G ∈G

  Note que RG é um anel com identidade, onde 1 RG = 1 R

  1 G , que, de agora em diante, denotaremos por 1.

  X Dado α = α g g ∈ RG, chamamos de suporte de α, supp(α), o conjuto dos g

  ∈G

  elementos g ∈ G que aparecem na composição de α de forma não trivial, ou seja, α g 6= 0; em outras palavras, supp(α) = {g ∈ G : α g 6= 0}.

  Podemos também definir um produto por escalares do anel R da seguinte maneira !

  X X b · a g g = ba g g g

  g, ∀b ∈ R,

  ∈G ∈G

  e facilmente verificamos que RG é um R-módulo. E, se R é comutativo, segue-se que RG é uma álgebra sobre R.

  −2 −1

  1

  2 Exemplo 1.16. Sejam G = C ≃ {. . . , x , x , x , x , x , . . .} e R = R, o corpo dos ∞

  números reais. Temos que RG = RC é isomorfo ao anel dos polinômios de Laurent.

  ∞

  Observe também que se R é comutativo e G é finito, pelo Teorema 1.10, temos que posto de RG está bem definido e posto(RG) = |G|. Utilizando o monomorfismo de inclusão i : R → RG definido por i(r) 7→ r1 G temos naturalmente que RG contém um subanel isomorfo a R, o qual frequentemente trataremos como o próprio R.

1.2.1 O Homomorfismo de Aumento

  A próxima proposição introduzirá um homomorfismo de anéis de forma bastante natural de RG em R. Proposição 1.17. Seja a função ε : RG → R dada por

  !

  X X ε a g g = a g . g g

  

∈G ∈G

  Esta função é um homomorfismo de anéis, chamado homomorfismo de aumento de RG. Neste caso, denotaremos seu núcleo por ∆(G) e o chamaremos de ideal de aumento de RG.

  8 X

  X Demonstração. Sejam a g g g

  g, b g g ∈ RG. Então

  ∈G ∈G

  (i) ! !

  X X

  X ε a g g + b g g = ε (a g + b g )g g ∈G g ∈G g ∈G

  X = (a g + b g ) g

  ∈G

  X X = + a g b g g ∈G g ∈G

  ! !

  X X = ε a g g + ε b g g ; g g

  ∈G ∈G

  (ii) ! !

  X X

  X ε a g g · b g g = ε (a g b h )gh g ∈G g ∈G g,h ∈G

  X = (a g b h ) g,h ∈G

  X X = a . b g ∈G g ∈G g g

  ! !

  X X = ε a g g .ε b g g . g g

  ∈G ∈G

  Proposição 1.18 (Proposição 3.2.10, [PS02]). O conjunto {g − 1; g ∈ G, g 6= 1} é uma R-base de ∆(G) sobre R.

  A proposição anterior nos garante então que podemos escrever ( )

  X ∆(G) = α g (g − 1); g 6= 1, α g ∈ R . g

  ∈G

  Definição 1.19. Seja H < G. Denotaremos por ∆(G, H) o ideal à esquerda de RG gerado pelo conjunto {h − 1; h ∈ H}, isto é, ( )

  X ∆(G, H) = α h (h − 1); α h ∈ RG . h ∈H Observe que na definição de ∆(G, H) os α g são tomados em RG, ao passo que na definição de ∆(G) são tomados em R. Note também que, pela definição acima, o ideal

  ∆(G, G) coincide com ∆(G).

  9

  −1 −1

  Note que, se N ⊳ G, uma vez que (n − 1)g = g(g ng − 1) e g(n − 1) = (gng − 1)g, ∀n ∈ N e g ∈ G, temos que ∆(G, N ) é um ideal bilateral e pode ser descrito como

  ( )

  X ∈ RG ∆(G, N ) = (n − 1)α n ; α n . n

  ∈N Além disso, podemos visualizar ∆(G, N) de uma forma diferente e bastante útil também.

  Como N ⊳G, podemos tomar o quociente G/N e o homomorfismo canônico ψ : G → G/N N

  e, assim, definir um homomorfismo de anéis ψ N : RG → R(G/N ) da seguinte forma !

  X X ψ N α g g = α g ψ (g). g g N

  ∈G ∈G

  Proposição 1.20 definido da forma acima,

  (Proposição 3.3.4, [PS02]). Sejam N ⊳G e ψ N então ker(ψ N ) = ∆(G, N ).

1.2.2 O Centro de um Anel de Grupo

  Sejam G um grupo e g ∈ G. Definimos a classe de conjugação de g como sendo

  −1 −1 o conjunto C(g) = {x gx|x ∈ G}. Observe que, para todo h ∈ G, h C(g)h = C(g).

  Definição 1.21. Sejam G um grupo, R um anel comutativo, RG o anel de grupo de G sobre R e {C i } o conjunto das classes de conjugação de G que possuem apenas um i ∈I X número finito de elementos. Para cada i ∈ I, escreva γ i = x ∈ RG. Esses elementos x i

  ∈C são chamados de somas de classes de G sobre R.

  Teorema 1.22 (Teorema 3.6.2, [PS02]). Sejam G um grupo e R um anel comutativo. Então o conjunto {γ i } de todas as somas de classes de G sobre R é uma R-base de i ∈I Z(RG), onde Z(RG) = {α ∈ RG; αβ = βα, ∀β ∈ RG} é o centro de RG.

1.3 Involuções

  Nesta seção, introduziremos os conceitos e alguns resultados de involuções em grupos e involuções em anéis para posteriormente definirmos a principal ferramenta deste trabalho, involuções orientadas em anéis de grupo.

1.3.1 Involuções em Grupos

  Definição 1.23. Seja G um grupo. Uma aplicação ϕ : G → G é dita uma involução de grupos, ou simplesmente involução, se, para todos g, h ∈ G, temos que, (i) ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g);

  10 (ii) ϕ(ϕ(g)) = g.

  −1 Note que [(ii)] diz que ϕ é bijeção (ϕ = ϕ).

  Lema 1.24. Sejam G um grupo e ϕ uma involução em G. Então: (1) ϕ(1 G ) = 1 G ;

  −1 −1 (2) ϕ(g ) = ϕ(g) ; ∀g ∈ G.

  Demonstração.

  (1) Temos que 1 G = ϕ(ϕ(1 G )) = ϕ(1 G ϕ(1 G )) = 1 G ϕ(1 G ) = ϕ(1 G ).

  −1 −1 −1 −1 (2) Temos que 1 G = ϕ(1 G ) = ϕ(gg ) = ϕ(g )ϕ(g). Logo, ϕ(g ) = ϕ(g) .

  ∗ −1

  Exemplo 1.25. Seja G um grupo. A aplicação ∗ : G → G definida por g = ∗(g) = g é uma involução em G, chamada de involução clássica de G. Exemplo 1.26. Seja S = {1 S 3 , (12), (13), (32), (123), (321)} o grupo de permutações de

  3 −1

  3 elementos e considere a aplicação ϕ : S → S definida por ϕ(g) = (12)g (12). A

  

3

  3

  aplicação ϕ é uma involução em S . De fato,

  3 −1 −1 −1 −1

  (i) ϕ(gh) = (12)h g (12) = [(12)h (12)][(12)g (12)] = ϕ(h)ϕ(g);

  −1 −1 (ii) ϕ(ϕ(g)) = (12)(12)(g ) (12)(12) = g.

  Definição 1.27. Um elemento g ∈ G diz-se ϕ-simétrico, ou simplesmente simétrico, se g é um ponto fixo para a involução ϕ, ou seja, ϕ(g) = g. Denotaremos por G = ϕ {g ∈ G; ϕ(g) = g} o conjunto dos elementos simétricos de G em relação a involução ϕ.

  Naturalmente, para H < G, denotaremos por H ϕ o conjunto dos elementos de H que são simétricos em relação a involução ϕ, ou seja, H ϕ = {h ∈ H : ϕ(h) = h}. 1 Vamos introduzir agora os LC-grupos , uma classe interessante de grupos em que podemos induzir uma involução de forma bastante natural e que nos será muito útil nos Capítulos 2 e 3. Para isso, precisaremos antes conhecer alguns outros conceitos.

  −1 −1

  Definição 1.28. Seja G um grupo. Dados g, h ∈ G, o operador (g, h) = g h gh será

  ′

  chamado de comutador de g e h. Denotamos por G = {h(g, h)i : g, h ∈ G}, o subgrupo gerado por todos os comutadores de G, o chamado subgrupo derivado de G. Definição 1.29. Seja G um grupo não abeliano. Dizemos que um elemento s ∈ G é o

  −1 −1

  único comutador não trivial de G se s 6= 1 e (g, h) = g h gh ∈ {1, s} ∀g, h ∈ G,

  ′

  ou seja, G = {1, s} 1 Do inglês Limited Commutativity, o que poderia ser entendido por “comutatividade limitada”.

  11 Lema 1.30. Seja G um grupo não abeliano. Se G possui um único comutador não trivial

  2 s, então s = 1 e s ∈ Z(G).

  −1 −1

  Demonstração. Sejam g, h ∈ G tais que gh 6= hg, assim temos que g h gh = s ⇒ s =

  −1 −1 −1 −1

  2

  ⇒ s ∈ Z(G) e seja h g hg = s , logo s = s = 1. Suponha por absurdo que s /

  −1 −1 −1

  g ∈ G tal que sg 6= gs. Temos que s = s g sg ⇒ 1 = g sg ⇒ g = sg ⇒ s = 1, uma contradição. Definição 1.31. Dizemos que um grupo não abeliano G é um LC-grupo se, para todos g, h ∈ G tais que gh = hg, temos que g ∈ Z(G), h ∈ Z(G) ou gh ∈ Z(G).

  2 Observação 1.32. Com a definição acima, temos que, se G é um LC-grupo, então g ∈ −2 −1

  

2

  2 Z(G), ∀g ∈ G e com isso (g, h) = g (gh ) h ∈ Z(G), ∀g, h ∈ G.

  4

  2 Exemplo 1.33. Seja o grupo dos quatérnios de ordem 8, Q 8 = hx, y; x = 1, x = 2 y −1

  i. y , x = x

  Dado essa presentação, podemos verificar que a tábua de multiplicação de Q

  8 é a seguinte.

  2

  

3

  2

  3

  · 1 x x x y xy x y x y

  2

  

3

  2

  3

  1 1 x x x y xy x y x y

  2

  3

  2

  3

  x x x x 1 xy x y x y y

  2

  2

  3

  2

  3

  x x x 1 x x y x y y xy

  3

  3

  

2

  3

  2

  x x 1 x x x y y xy x y

  3

  2

  2

  3

  y y x y x y xy x x 1 x

  3

  

2

  3

  2

  xy xy y x y x y x x x

  1

  2

  2

  

3

  3

  2

  x y x y xy y x y 1 x x x

  3

  3

  2

  3

  2

  x y x y x y xy y x 1 x x

  −1 −1

  Por se tratar de um grupo finito, podemos computar g h gh, ∀g, h ∈ Q e

  8 ′

  2

  verificar que Q = {1, x } e, assim, concluir que Q possui um único comutador não

  8

  8

  2

  trivial x . Note também que os únicos elementos que comutam entre si e que não estão

  3

  3

  3

  3

  no centro são x com x e xy com x y, e, nestes casos, xx = 1 e xyx y = 1, o que implica que Q é um LC-grupo.

8 O próximo corolário é uma consequência do Teorema 1.22.

  Corolário 1.34. Sejam R um anel comutativo e G um LC-grupo com um único comutador não trivial s. Então o conjunto Z(G) ∪ {g + sg; g ∈ G\Z(G)}

  12 é uma R-base de Z(RG).

  Demonstração. Seja g ∈ G. Se g ∈ Z(G) então C(g) = {g}. Agora, ∀x, y ∈ G tais

  −1 −1 −1

  que xy 6= yx, temos que s = x y xy, assim y xy = sx, logo, se g / ∈ Z(G), então C(g) = {g, sg}. Pelo Teorema 1.22, temos o resultado. Lema 1.35. Seja G um LC-grupo com um único comutador não trivial s. Então a aplicação ϕ : G → G dada por

  (

  g, se g ∈ Z(G); ϕ(g) = sg, se g / ∈ Z(G), define uma involução em G.

  Demonstração.

  (i) ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g), ∀g, h ∈ G. Suponha que gh 6= hg.

  ∈ Z(G), já que, se g ou h ∈ Z(G), teríamos que Assim, temos que g, h, gh / gh = hg e, se gh ∈ Z(G), teríamos que ghg = ggh ⇒ gh = hg, absurdo. Note que

  −1 −1 g h gh = s ⇒ gh = shg, logo ϕ(gh) = sgh = hg = shsg = ϕ(h)ϕ(g).

  Suponha agora que gh = hg. Como G é um LC-grupo, então g ∈ ZG, h ∈ ZG ou gh ∈ ZG. Se g, h ∈ Z(G), então ϕ(gh) = gh = hg = ϕ(h)ϕ(g). Se g ∈ Z(G) e h / ∈ Z(G), então ϕ(gh) = sgh = shg = hsg = ϕ(h)ϕ(g). O caso g / ∈ Z(G) e h ∈ Z(G) é análogo.

  2 Se g, h / ∈ Z(G), então gh ∈ Z(G), logo ϕ(gh) = gh = hg = s hg = shsg = ϕ(h)ϕ(g).

  (ii) ϕ(ϕ(g)) = g, ∀g ∈ G.

  ∈ Z(G), utilizando De fato, se g ∈ Z(G), temos que ϕ(ϕ(g)) = ϕ(g) = g. Se g / o item anterior, temos que ϕ(ϕ(g)) = ϕ(sg) = ϕ(g)ϕ(s) e, pelo Lema 1.30, ϕ(g)ϕ(s) =

  2 sgs = s g = g.

  Definição 1.36. Dizemos que um LC-grupo, G, com um único comutador não trivial s, 2 juntamente com a involução ϕ dada pelo Lema 1.35, é um SLC-grupo em relação à involução ϕ.

  No próximo capítulo, enunciaremos um teorema que nos fornece condições neces- sárias e suficientes para que G seja um SLC-grupo em relação à involução ϕ. 2 Do inglês Special LC-group.

  13

1.3.2 Involuções em Anéis

  Definição 1.37. Seja R um anel. Dizemos que uma aplicação ϕ : R → R é uma involu- ção de anéis em R, ou, simplesmente uma involução, se, para todo r, s ∈ R, as seguintes propriedades são satisfeitas:

  (i) ϕ(r + s) = ϕ(r) + ϕ(s); (ii) ϕ(rs) = ϕ(s)ϕ(r); (iii) ϕ(ϕ(r)) = r.

  Lema 1.38. Sejam R um anel e ϕ uma involução em R, então valem as seguintes pro- priedades: (i) ϕ(1) = 1;

  (ii) ϕ(0) = 0; (iii) ϕ(−r) = −ϕ(r), ∀r ∈ R;

  −1 −1

  (iv) Se u ∈ U(R) então ϕ(r ) = ϕ(r) ; (v) r ∈ Z(R), se e somente se, ϕ(r) ∈ Z(R).

  Demonstração. (i,iv) Seguem de forma análoga ao Lema 1.24. (ii,iii) Seguem do fato de que a involução atua como um homomorfismo de grupos na estrutura de grupo aditivo que R possui.

  (v) Se r ∈ Z(R) então para todo s ∈ R temos que ϕ(r)s = ϕ(r)ϕ(ϕ(s)) = ϕ(ϕ(s)r) = ϕ(rϕ(s)) = ϕ(ϕ(s))ϕ(r) = sϕ(r).

  Portanto, ϕ(r)s = sϕ(r), o que implica ϕ(r) ∈ Z(R). Reciprocamente, se ϕ(r) ∈ Z(R), então, do que já foi mostrado, temos que r = ϕ(ϕ(r)) ∈ Z(R).

  Exemplo 1.39. A função identidade é uma involução em um anel comutativo. De forma mais geral, todo homomorfismo de ordem 2 é uma involução em um anel comutativo. Exemplo 1.40. Sejam R um anel e M n (R) o anel das matrizes de ordem n com coefici- entes em R. A transposição de matrizes é uma involução em M n (R). Exemplo 1.41. A conjugação complexa é uma involução em C.

  14 Exemplo 1.42. Seja H = {a + bi + cj + dk; a, b, c, d ∈ R, i, j, k são unidades básicas}.

  Definido a soma por

  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

  (a + bi + cj + dk) + (a + b i + c j + d k) = (a + a ) + (b + b )i + (c + c )j + (d + d )k e o produto induzido pelo produto de R; sendo ele distributivo em relação à soma e satis- fazendo as seguintes leis para as unidades básicas:

  2

  2

  

2

  i = j = k = ijk = −1 ij = k = −ji jk = i = −kj ki = j = −ik, obtemos o anel (H, +, ·) dos quatérnios.

  As aplicações ϕ : H → H a + bi + cj + dk 7→ a − bi − cj − dk e

  ψ : H → H a + b i + b j + b k 7→ a + b i + b j + b k,

  1

  2 3 γ (1) γ (2) γ (3) onde γ é uma permutação do conjunto {1, 2, 3}, são involuções em H.

  Exemplo 1.43. Sejam R uma anel com uma involução ϕ e G um grupo com uma invo-

  ′

  lução ϕ . Definimos para o anel de grupo RG a seguinte aplicação: ϕ : RG → RG

  P P

  ′ α = α g g 7→ ϕ(α g )ϕ (g). g g ∈G ∈G Esta aplicação define uma involução em RG.

  De fato,

  15 (i)

  !

  X X ϕ(α + β) = ϕ α g g + β g g g g

  ∈G ∈G

  !

  X = ϕ (α g + β g )g g

  

∈G

  X

  ′

  = ϕ(α g + β g )ϕ (g) g

  ∈G

  X

  ′

  = (ϕ(α g ) + ϕ(β g ))ϕ (g) g ∈G

  X X

  ′ ′

  = ϕ(α g )ϕ (g) + ϕ(β g )ϕ (g) g g

  ∈G ∈G

  = ϕ (α) + ϕ (β) ; (ii)

  ! !!

  X X ϕ(α · β) = ϕ α g · β g g ∈G g ∈G g g

  !

  X = ϕ (α g β h )gh g,h ∈G

  X

  ′

  · β = ϕ(α g h )ϕ (gh) g,h

  ∈G

  X

  ′ ′

  = (ϕ(β h ) · ϕ(α g ))ϕ (h)ϕ (g) g,h

  ∈G

  X X

  ′ ′

  = ϕ(β g )ϕ (g) · ϕ(α g )ϕ (g) g ∈G g ∈G = ϕ (β) · ϕ (α) ;

  (iii) !!

  X ϕ(ϕ(α)) = ϕ ϕ α g g g ∈G

  !

  X

  ′

  = ϕ ϕ(α g )ϕ (g) g

  ∈G

  X

  ′ ′

  = ϕ(ϕ(α g ))ϕ (ϕ (g)) g ∈G

  X = α g g g

  

∈G

= α.

  Definição 1.44. Nas condições do exemplo anterior, se R for um anel comutativo e ϕ

  ′ for a identidade, dizemos que ϕ é uma involução induzida em RG pela involução ϕ .

  Quando não houver risco de ambiguidade, denotaremos as duas involuções pelo mesmo

  ′

  símbolo ϕ. Em particular, quando ϕ = ∗, a involução clássica de G, chamamos ϕ de involução canônica, ou clássica, de RG. Definição 1.45. Sejam R um anel e ϕ uma involução em R. Um elemento r ∈ R é

  16 chamado de simétrico ou antissimétrico, se ϕ(r) = r ou ϕ(r) = −r, respectivamente.

  −

  Denotamos por R ϕ e R o conjunto dos elementos simétricos e antissimétricos de R, ou ϕ

  − seja, R ϕ = {r ∈ R; ϕ(r) = r} e R = {r ∈ R; ϕ(r) = −r}. ϕ

  Lema 1.46. Seja R um anel com uma involução ϕ. O conjunto R ϕ é um subanel de R se, e somente se, R ϕ é comutativo. Demonstração. Sejam a, b ∈ R ϕ . Então ϕ(a − b) = ϕ(a) − ϕ(b) = a − b. Logo a − b ∈ R ϕ . Agora, ϕ(ab) = ϕ(b)ϕ(a) = ba. Assim, ab ∈ R ϕ se, e somente se, ab = ba; isto é, se, e somente se, R ϕ é comutativo.

1.3.3 Involuções orientadas em anéis de grupos

  Definição 1.47. Seja G um grupo. Um homomorfismo σ : G → {1, −1} é chamado de uma orientação de G. Observação 1.48. Seja N = ker(σ). Se σ é uma orientação não trivial de um grupo G, então N 6= G, [G : N ] = 2, e com isso G = N ∪ N g para qualquer g / ∈ N . Também, se G é um grupo finito e adimite uma orientação não trivial, então |G| é um número par. Observação 1.49. Note que, pela definição de subgrupo, se g, h ∈ N , então gh ∈ N e se g ∈ N e h / ∈ N , então gh / ∈ N . Podemos garantir usando a propriedade da orientação que se g, h / ∈ N , então gh ∈ N , pois σ(gh) = σ(g)σ(h) = (−1)(−1) = 1. Exemplo 1.50. Seja S n o grupo das permutações de n elementos e considere o homo- morfismo

  σ : S n → {1, −1} ψ 7→ σ(ψ) onde

  ( 1, se ψ for uma permutação par;

  σ(ψ) = −1, se ψ for uma permutação ímpar. Então σ é uma orientação de S n com núcleo N = A n , o grupo das permutações pares.

  ∗

  Exemplo 1.51. Seja (Q , ·) o grupo dos racionais não nulos em relação ao produto. A aplicação ϕ : Q → {1, −1} definida por (

  1, se α > 0; ϕ(α) =

  −1, se α < 0 é uma orientação em (Q, ·).

  Exemplo 1.52. Tomando G = {A ∈ GL(n) : det(A) = ±1}, temos que σ(A) = det(A) define uma orientação em G.

  • σϕ

  α g g !

  X g,h ∈G (α g β h )gh

  ! =

  X g,h

  ∈G

  (α g β h )σ(gh)ϕ(gh) =

  X g,h

  ∈G

  (α g β h )σ(g)σ(h)ϕ(h)ϕ(g) =

  X g,h ∈G (β h σ(h))(α g σ(g))ϕ(h)ϕ(g)

  = σϕ

  X h ∈G β h h

  ! σϕ

  X g

  ∈G

  ; (iii)

  X h ∈G β h h

  σϕ σϕ

  X g

  ∈G

  α g g !!

  = σϕ

  X g

  ∈G

  α g σ(g)ϕ(g) !

  =

  X g

  ∈G

  α g σ(g)σ(ϕ(g))g =

  X g ∈G α g

  g, já que ϕ(N) = N e [G : N] = 2.

  !! = σϕ

  α g g !

  17 Seja R um anel comutativo. Dados σ uma orientação de um grupo G e ϕ uma involução em G, podemos definir uma aplicação σϕ em RG dada por σϕ

  = σϕ P g ∈G

  X g

  ∈G

  a g g !

  =

  X g

  ∈G a g σ(g)ϕ(g).

  Se N = ker(σ) e ϕ(N) = N, então a aplicação σϕ é uma involução em RG. De fato, (i)

  σϕ

  X g

  ∈G

  α g g +

  X g

  ∈G

  β g g !

  (α g + β g )g =

  ∈G

  X g ∈G (α g + β g )σ(g)ϕ(g)

  =

  X g

  ∈G

  α g σ(g)ϕ(g) +

  X g

  ∈G

  β g σ(g)ϕ(g) = σϕ

  X g ∈G α g g

  !

  X g ∈G β g g

  ! ;

  (ii) σϕ

  X g

  Definição 1.53. A aplicação σϕ : RG → RG definida acima é chamada de involução orientada em RG. Observação 1.54. Note que, esta involução é induzida por uma involução em G se, e somente se, a orientação σ é trivial.

  18 Em [N70], Novikov introduziu a noção de involução orientada em anéis de grupos.

  Neste trabalho, Novikov trabalhou com involuções orientadas, onde a involução ϕ era a involução clássica de G.

  Em todo o texto, σ é orientação de grupo em G, N = ker(σ) e sempre que disser- mos que σϕ é uma involução orientada estaremos supondo que ϕ(N) = N. Vale ressaltar também que, quando não explicitado o contrário, σ sempre denotará uma orientação não trivial, pois, para uma orientação trivial, a maioria dos resultados encontrados nessa dis- sertação possuem versões semelhantes e podem ser encontradas, por exemplo, em [GPS09] e [JM06].

  Note que a condição ϕ(N) = N não é uma condição muito forte, visto que se ϕ = ∗ então para qualquer orientação σ de G essa condição é verificada. O mesmo ocorre para σ em G do exemplo 1.52 quando ϕ é a transposição de matrizes.

  Definição 1.55. Seja R um anel com unidade. Dizemos que R possui característica 0, char(R) = 0, se 1 + 1 + . . . + 1 6= 0, ∀n ≥ 1. Caso char(R) 6= 0, o menor número i tal | {z } n

  • vezes que 1 + 1 + . . . + 1 = 0 é chamado de característica de R, neste caso, char(R) = i.

  | {z } i

  • vezes Observação 1.56. Se σϕ é uma involução orientada em RG e σ é não trivial, então devemos ter que char(R) 6= 2; pois, se char(R) = 2, teríamos que σ(g) = −σ(g), o que contradiz o fato de σ ser não trivial. Observe também que se σϕ é uma involução orientada em RG, então σϕ| = ϕ, onde RN é o anel de grupo de N sobre R. RN

  −

1.4 Os conjuntos (RG) e (RG)

  σϕ σϕ

  Como σϕ é uma involução no anel RG, podemos então considerar os conjuntos

  −

  (RG) σϕ e (RG) . Estes serão os principais objetos de estudo dessa dissertação. No σϕ segundo capítulo, estudaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG) σϕ seja comutativo; no terceiro, estudaremos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (KG) σϕ com char(K) = 0 seja Lie n-Engel; no quarto capítulo, estudare- mos sob quais condições podemos estender as propriedades de Lie dos conjuntos (KG) σ

  ∗ −

  e (KG) para todo o anel KG, além de encontrar condições necessárias e suficientes para σ

  ∗ que o conjunto (KG) σ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente.

  ∗

  A importância do estudo desses conjuntos está no fato de que, sob certas con- dições, podemos estender algumas propriedades dos elementos simétricos para RG, e também encontrar outras propriedades para G, R ou RG. Algumas dessas condições podem ser observadas nos seguintes teoremas.

  Teorema A, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo de característica p 6= 2. Então, (KG) ϕ é Lie n-Engel se, e somente se, KG é Lie n-Engel.

  19 Teorema B, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo de característica p 6= 2. Então, (KG) ϕ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie nilpontente.

  Em [L99], Gregory Lee mostrou que este segundo resultado pode ser estendido para grupos que contenham 2-elementos, contanto que Q 6⊂ G, e classificou (RG) ϕ

  8 quando Q ⊂ G.

8 No caso dos elementos simétricos sob involuções orientadas, (RG) σϕ , iremos des-

  crever a estrutura de G, caso (RG) σϕ satisfaça alguma indentidade de Lie, e mostrar que os teoremas acima podem ser verificados também quando se trata de uma involução orientada.

  Encontraremos algumas condições para que uma propriedade de (KG) σ possa

  ∗ ser estendida para KG. A seguinte proposição exemplifica uma dessas condições. 2 −

  Proposição. Seja G um grupo tal que |Z(G) | = ∞. Então (KG) σ ou (KG)

  ∗ σ ∗

  é Lie nilpotente de índice n se, e somente se, KG é Lie nilpotente de índice n.

  −

  Denotaremos por (G) σϕ = {g ∈ G : σϕ(g) = g} e (G) = {g ∈ G : σϕ(g) = −g} σϕ os conjuntos dos elementos simétricos e antissimétricos de G sob σϕ. Denotaremos tam- bém por G ϕ os elementos simétricos sob a involução ϕ de G, ou seja, G ϕ = {g ∈ G : ϕ(g) = g}.

  Seja g ∈ G σϕ . Então σϕ(g) = σ(g)ϕ(g) = g. Logo, σ(g) = 1 e ϕ(g) = g. Assim, G σϕ = N ∩ G ϕ = N ϕ . Observe que, como gϕ(g) ∈ G ϕ , ∀g ∈ G, então gϕ(g) ∈ N ϕ , ∀g ∈ G. Note que podemos particionar G, utilizando σ e ϕ, em quatro subconjuntos dis- juntos, como segue:

  ∪ N \N ∪ (G\N )\G ∪ G \N. G = N ϕ ϕ ϕ ϕ

  −

  Vamos então descrever como (RG) σϕ e (RG) podem ser gerados, como R- σϕ módulos, a partir de elementos em cada uma dessas partes.

  !

  X X P Seja α = α g g ∈ (RG) σϕ . Então σϕ α g g = α g σ(g)ϕ(g) = g ∈G g g

  ∈G ∈G

  X α g

  g. Logo, α ϕ = σ(g)α g , ∀g ∈ supp(α). Com isso obtemos que, se g ∈ supp(α) ∩ g (g) ∈G G ϕ \N , temos que 2α g = 0, pois α g = σ(ϕ(g))α ϕ (g) = −α g .

  Observação 1.57. Para evitar que esses elementos estejam no suporte dos elementos simétricos, iremos sempre tomar anéis R tais que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}.

  Observe que essa restrição é, de certa forma, natural; visto que ela é verificada em todo anel de característica ímpar e nunca em característica par, exceto possivelmente

  0. Uma das excessões para característica 0 ocorre justamente quando o anel é um corpo,

  20 ou seja, esta condição sempre se verifica para um corpo K tal que char(K) 6= 2.

  Como N ∪ G ϕ ⊂ G, temos que supp(α) ∩ G\(G ϕ \N ) = supp(α) ∩ ((G\(N ∪ G ϕ )) ∪ (N \N ϕ ) ∪ N ϕ ) = supp(α) ∩ (((G\N )\G ϕ ) ∪ (N \N ϕ )). Então, (RG)

  ∈G

  α g σ(g)ϕ(g) = −

  X g

  ∈G

  α g

  g. Logo, −α ϕ

  (g)

  = σ(g)α g , ∀g ∈ supp(α). De forma análoga ao caso anterior, temos que, se R é um anel tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, então supp(α) ∩ N ϕ = ∅. Logo, (RG)

  − σϕ

  é gerado como R-módulo pelo conjunto L = G ϕ \N ∪ {g − σϕ(g) : g ∈ G\(G ϕ \N )} .

  −σϕ

  =

  é gerado por L = {g ∈ G ϕ \N } ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ G\(N ∪ G ϕ )} ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ N \G ϕ } .

  Em particular, se ϕ = ∗, então (RG) −σ∗ é gerado por L = g ∈ G\N : g

  2

  = 1 ∪ g + g

  −1

  : g ∈ G\N, g

  2

  6= 1 ∪ g − g

  −1

  : g ∈ N, g

  X g

  α g g !

  Logo, se R é um anel tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, então (RG) σϕ é gerado como R-módulo pelo conjunto

  : g ∈ G\N, g

  S = N ϕ ∪ {g + σϕ(g) : g ∈ G\N ϕ } . Para refinar esse conjunto gerador de (RG) σϕ , note que supp(α) ∩ G\N ϕ = supp(α) ∩ ((G\(N ∪ G ϕ )) ∪ (N \N ϕ ) ∪ (G ϕ \N ))

  = supp(α) ∩ (((G\N )\G ϕ ) ∪ (N \N ϕ )), com isso temos que S = N ϕ ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N \N ϕ } ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ (G\N )\G ϕ } . Em particular, se ϕ = ∗, então (RG) σ ∗ é gerado por

  S = g ∈ N : g

  2

  = 1 ∪ g + g

  −1

  : g ∈ N, g

  2

  6= 1 ∪ g − g

  −1

  2 6= 1 .

  ∈G

  Seja g ∈ G

  − σϕ

  . De forma análoga, encontramos que G

  − σϕ = (G\N ) ∩ G ϕ = G ϕ \N .

  Seja α = P g

  ∈G

  α g g ∈ (RG)

  − σϕ

  . Temos que σϕ

  X g

  2 6= 1 .

  21

1.4.1 Propriedades de Lie

  Em um anel associativo R, definimos o colchete de Lie de dois elementos x, y ∈ R por [x, y] = xy − yx. Esta definição pode ser estendida recursivamente por ∈ R. [x

  1 , . . . , x n +1 ] = [[x 1 , . . . , x n ], x n +1 ], ∀x i

  Definição 1.58. Seja S um subconjunto de R. Dizemos que S é Lie nilpotente se existe n ≥ 2 tal que [x , . . . , x n ] = 0, ∀x i ∈ S. O menor n tal que isso acontece é chamado de

  1 índice de nilpotência de S.

  Definição 1.59. Seja S um subconjunto de R. Dizemos que S é Lie n-Engel se existe n ≥ 2 tal que [x, y, . . . , y ] = 0, ∀x, y ∈ S.

  | {z } n vezes Note que, se S é Lie nilpotente de índice m, então S também é Lie n-Engel para algum n ≤ m.

  Observe também que, se G for abeliano, teremos então que RG é comutativo, assim o fato de (RG) σϕ ser comutativo ou possuir alguma propriedade de Lie não acres- centa nenhuma informação realmente nova, logo não poderemos fazer nenhuma afirmação acerca da estrutura do grupo. Assim, para que nosso estudo seja profícuo, exceto quando não seja explicitado o contrário, G sempre denotará um grupo não abeliano. Capítulo 2 Comutatividade de (RG) σϕ

  Em [JM06], Eric Jespers e M. Ruiz Marín estudaram a comutatividade dos ele- mentos simétricos sob uma involução induzida em um anel de grupo, encontrando condi- ções necessárias e suficientes para que o conjunto (RG) ϕ seja comutativo. Teorema 2.1

  (Teorema 2.4, [JM06]). Sejam ϕ uma involução em um grupo não abeliano G e R um anel comutativo tal que char(R) 6= 2. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. (RG) ϕ é comutativo;

  2. O grupo G é um SLC-grupo;

  3. G/Z(G) ≃ C × C ,

  2

  2

  (

  g, se g ∈ Z(G); ϕ(g) =

  

−1

  h gh, se g / ∈ Z(G), ∀h ∈ G com (g, h) 6= 1.

  O. Broche Cristo e C. Polcino Milies em [BP06] estudaram algo semelhante, subs- tituindo a involução induzida ϕ por uma involução orientada σϕ e encontrando condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG) σϕ seja comutativo. Este capítulo está baseado nesta referência.

  Embora o artigo [BP06] foi utilizado como base para esse capítulo, devemos notar que alguns resultados foram modificados, pois os autores cometeram um pequeno deslize ao desconsiderar a existência de elementos r ∈ R\ {0} tais que 2r = 0. Os próprios autores perceberam o equívoco e publicaram o artigo [GP13] considerando a existência de tais elementos, corrigindo o resultado contido em [BP06]. Como nosso interesse é estudar os elementos simétricos em anéis de grupo tais que o anel é um corpo de característica diferente de 2, temos que os resultados encontrados em [BP06] para esse tipo de anel são suficientes para nosso trabalho.

  23 Em todo o capítulo, R será um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, ϕ uma involução em G e σ uma orientação em G. Lembramos que, sob essas condições sobre o anel R, temos char(R) = 0 ou char(R) = a, onde a é um número ímpar. Lema 2.2. Seja R um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}. Se

  ⊂ Z(G). Além disso, se g ∈ (G\N )\G (RG) σϕ é comutativo, então (G\N )\G ϕ ϕ , então gϕ(g) = ϕ(g)g.

  Demonstração. Seja h ∈ G.

  Vamos analisar como h se relaciona com g ∈ (G\N)\G ϕ dependendo em que subconjunto da partição de G esse elemento se encontra. (a) Suponha que h ∈ N ϕ . Então 0 = [g + σϕ(g), h] = [g − ϕ(g), h]

  ⇓ gh + hϕ(g) = hg + ϕ(g)h. Como char(R) 6= 2 e g / ∈ G ϕ , temos que gh = hg. Em particular, como gϕ(g) ∈ N ϕ , g comuta com gϕ(g), ou seja, ggϕ(g) = gϕ(g)g, o que implica que g comuta com ϕ(g).

  (b) Se h ∈ (G\N)\G ϕ , temos que 0 = [g − ϕ(g), h − ϕ(h)] ⇓ gh + ϕ(g)ϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)g = gϕ(h) + ϕ(g)h + hg + ϕ(h)ϕ(g). ∈ G

  Como g, h / ϕ , temos que gh 6= gϕ(h) e gh 6= ϕ(g)h. Assim como char(R) 6= 2, devemos considerar as quatro seguintes possibilidades: (1) gh = hg; (2) gh = ϕ(h)ϕ(g); (3) char(R) = 3 e três elementos do lado esquerdo da equação acima são iguais entre si.

  Se (1) ocorre, temos o resultado. Suponha então que (2) ocorre, então temos que gh = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh), impli- cando que gh ∈ N ϕ , logo, podemos aplicar o caso (a), e verificar que gh e g comutam, o que nos garante que g e h comutam, e assim o resultado ocorre.

  Se (3) ocorre, analisemos alguns casos. Se ϕ(g)ϕ(h) = hϕ(g) = ϕ(h)g, aplicando ϕ em todos os elementos, temos que hg = gϕ(h) = ϕ(g)h. Assim gh = ϕ(h)ϕ(g), e novamente temos o caso (2). Se gh = ϕ(g)ϕ(h) = hϕ(g), então ϕ(h)ϕ(g) = hg = gϕ(h).

  24 Logo, ϕ(h)g = ϕ(g)h e dessa forma temos que ϕ(g)h ∈ N ϕ . Pelo caso (a), temos que ϕ(g)hg = gϕ(g)h = ϕ(g)gh, e assim gh = hg. Se gh = hϕ(g) = ϕ(h)g ou gh = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(h)g, de forma análoga encontramos o resultado.

  (c) Suponha que h ∈ N\G ϕ . Então 0 = [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] ⇓ gh + gϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(g)h + ϕ(g)ϕ(h) + hg + ϕ(h)g. ∈ G Como char(R) 6= 2 e g, h / ϕ , temos que gh 6= gϕ(h), hϕ(g) 6= ϕ(h)ϕ(g) e gh 6= ϕ(g)h.

  ∈ G Assim, gh ∈ {ϕ(g)ϕ(h), hg, ϕ(h)g}. Se gh = ϕ(h)g, então ϕ(gh) = ϕ(g)h. Como g / ϕ ,

  ∈ G temos que gh / ϕ . Por outro lado, se gh = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(hg) então gh ∈ G ϕ se, e ∈ G ϕ ∈ N , podemos aplicar o somente se, gh = hg. Suponha então que gh / . Como gh / caso (b) para gh e concluiremos que gh comuta com g implicando que gh = hg.

  (d) Suponha agora que h ∈ G ϕ \N . Neste caso, temos que gh ∈ N e podemos analisar dois casos: g ∈ G ϕ ou g / ∈ G ϕ . Se gh ∈ G ϕ então, pelo caso (a), segue que gh e g comutam, e assim gh = hg. Agora, se gh / ∈ G ϕ então, pelo caso (c), temos que ou gh comuta com g ou ghϕ(g) = ϕ(gh)g. Assim, g comuta com h ou ghϕ(g) = ϕ(h)ϕ(g)g = hgϕ(g). Logo, em ambos os casos, temos que gh = hg.

  Para estudar os simétricos em relação às involuções orientadas, é de fundamental importância conhecer o caso não orientado, pois temos que σϕ em N se comporta como uma involução induzida sem orientação.

  Visto isso, faremos as seguintes observações para continuarmos o estudo. Observação 2.3. Suponha que (RG) é comutativo, então (RN ) = (RN ) é comu- σϕ σϕ ϕ tativo. Assim, pelo Teorema 2.1, temos duas possibilidades para N :

  (A) N é um grupo abeliano; (B) N é um LC-grupo com um único comutador não trivial s tal que a involução ϕ é dada por:

  (

  g, se g ∈ Z(N ); ϕ(g) =

  (2.1) sg, se g ∈ G\Z(N ). Agora provaremos o principal teorema desse capítulo. Teorema 2.4. Sejam R um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, G um grupo não abeliano, ϕ uma involução em G, σ uma orientação não trivial de G e N = ker(σ). Então (RG) σϕ é comutativo se, e somente se, uma das condições é verificada:

  (i) N é um grupo abeliano e (G\N ) ⊂ G ϕ ;

  25 (ii) G e N são LC-grupos e existe um único comutador não trivial s tal que a involução

  ϕ é dada por (

  g, se g ∈ N ∩ Z(G) ou g ∈ (G\N )\Z(G); ϕ(g) = sg, caso contrário.

  Demonstração. Assuma que (RG) σϕ é comutativo. Devemos estudar separadamente dois casos dependendo se os elementos em G\N são simétricos sob ϕ ou não.

  (1) (G\N) ⊂ G ϕ . Neste caso mostraremos que (B) não pode ocorrer e, assim, (A) será satisfeito, consequentemente o item (i) também o será. De fato, suponha que (B) valha. Sejam x, y ∈ N tais que xy 6= yx. Dessa forma, podemos afirmar que x, y, xy / ∈ Z(N ). Assim, ϕ(x) = sx, ϕ(y) = sy e ϕ(xy) = sxy. Tome agora g ∈ G\N . Como x ∈ N e g / ∈ N , temos

  −1

  que xg ∈ G\N, logo xg = ϕ(xg) = ϕ(g)ϕ(x) = gsx, ou seja, g xg = sx. Analogamente,

  −1 −1 −1 −1 −1

  g yg = sy e g (xy)g = sxy. Mas, sxy = g (xy)g = g xgg yg = sxsy = xy e assim s = 1, contradição. Logo (B) não ocorre e assim N é abeliano.

  (2) (G\N) 6⊂ G ϕ . Neste caso mostraremos que (ii) é satisfeito. Fixe g um elemento de (G\N)\G ϕ . Neste caso, o Lema 2.2 nos garante que g é central. Usando o fato de que g ∈ Z(G) e a Observação 1.48, podemos afirmar que G é abeliano se, e somente se, N o é; logo, devemos assumir que N é não abeliano. Assim, N é um LC-grupo com um único comutador não trivial s.

  Afirmação: G é um LC-grupo com um único comutador não trivial. De fato, se g é central, para todo x, y ∈ N temos que xg e yg comutam se, e somente se, x e y comutam. Como N é um LC-grupo, isto é equivalente a x ∈ Z(N), y ∈

  Z(N ) ou xy ∈ Z(N ). Como G = N ∪ N g, resta mostrar que, se xgy = yxg, então xg ∈ Z(G), y ∈ Z(G) ou xgy ∈ Z(G) e que se xgyg = ygxg então xg ∈ Z(G), yg ∈ Z(G) ou xgyg ∈ Z(G).

  Suponha então que xgy = yxg. Como g ∈ Z(G), temos que gxy = gyx, o que implica em xy = yx, mas, como N é um LC-grupo, temos que x ∈ Z(N), y ∈ Z(N) ou xy ∈ Z(N ), o que implica xg ∈ Z(G), y ∈ Z(G) ou xgy ∈ Z(G), já que G = N ∪ N g.

  Suponha agora que xgyg = ygxg, portanto xy = yx, e, como N é LC-grupo, temos que x ∈ Z(N), y ∈ Z(N) ou xy ∈ Z(N), o que implica que xg ∈ Z(G), yg ∈ Z(G) ou xgyg ∈ Z(G). Assim, podemos concluir que G é um LC-grupo. Por outro lado, para todos x, y ∈ N que não comutam, temos que (xg, yg) = (x, y) = s e (xg, y) = (x, y) = s. Assim, s é o único comutador não trivial de G, que sabemos pertencer ao centro de G.

  Finalmente, lembrando que ϕ é dado por (2.1) em N, precisamos apenas mostrar que Z(N) = N ∩ Z(G) e determinar ϕ em G\N. Para determinar o segundo caso, seja h ∈ G\N . Se h / ∈ Z(G), então pelo Lema 2.2 temos que h ∈ G ϕ . Se h é central,

  26 tome x ∈ N\Z(N). Então xh ∈ (G\N)\Z(G) e novamente pelo Lema 2.2 obtemos que xh ∈ G ϕ , logo hx = xh = ϕ(xh) = ϕ(h)ϕ(x) = ϕ(h)sx e, assim, temos que ϕ(h) = sh.

  Mostraremos agora que Z(N) = N ∩ Z(G). Seja x ∈ Z(N)\Z(G). Então, ϕ(x) = x e existe y ∈ G\N tal que xy 6= yx e ϕ(y) = y. Assim, xy ∈ (G\N )\Z(G) e do que foi mostrado acima temos que xy = ϕ(xy) = ϕ(y)ϕ(x) = yx, uma contradição.

  Assim Z(N) ⊂ Z(G), logo Z(N) = N ∩ Z(G), e temos que (ii) é verificado.

  Reciprocamente, suponha que algum dos 2 itens ocorrem. Já que (RG) σϕ é gerado como R-módulo pelo conjunto S = N ϕ ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N \N ϕ } ∪ {g − ϕ(g) : g ∈ (G\N )\G ϕ } , é suficiente mostrar que os elementos de S comutam. Suponha que (i) ocorra. Seja g ∈ G\N. Temos que g + σϕ(g) = g − ϕ(g), mas como G\N ⊂ G ϕ , temos que g − ϕ(g) = 0. Assim, G\N = ∅ e, neste caso,

  S = N ∪ {g + ϕ(g) : g ∈ N \N } ; ϕ ϕ mas, por hipótese, N é abeliano; logo os elementos de S comutam, e assim (RG) σϕ é comutativo.

  Suponha agora que (ii) valha. Primeiro, vamos mostrar que ϕ é uma involução. Como s é um elemento central de ordem 2 em G e s ∈ N, já que s é o único comutador não trivial de N, temos que ϕ(ϕ(g)) = g. Para mostrar que ϕ satisfaz a propriedade (ii) da definição de involução, tome dois elementos g, h ∈ G e vamos considerar dois casos abaixo.

  Suponha que gh 6= hg. Neste caso, hg = sgh e g, h e gh não são elementos

  2

  centrais. Dessa forma, se g, h ∈ N ou g, h / ∈ N , temos que ϕ(gh) = sgh = hg = s hg = shsg = ϕ(h)ϕ(g). Caso g ∈ N e h / ∈ N , então ϕ(gh) = gh = shg = hsg = ϕ(h)ϕ(g). Logo, em ambos os casos, ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g).

  Suponha agora que gh = hg. Como G é um LC-grupo, temos que g, h ou gh ∈ N . Se g, h ∈ Z(G) ou g, h / ∈ Z(G), então

  é central. Suponha que g, h ∈ N ou g, h / gh ∈ Z(G) e, assim, ϕ(gh) = gh = hg = ϕ(h)ϕ(g).

  ∈ N . Novamente, se g, h ∈ Z(G) ou g, h / ∈ Z(G), Suponha agora que g ∈ N e h / então gh ∈ Z(G) e, assim, ϕ(gh) = sgh = shg = ϕ(h)ϕ(g).

  Com isso, ϕ dado por (ii) é uma involução, e neste caso, podemos escrever S = Z(N ) ∪ {g + sg : g ∈ N \Z(N )} ∪ {g − sg : g ∈ (G\N ) ∩ Z(G)}

  e, como s ∈ Z(G), temos que os elementos de {g − sg : g ∈ (G\N ) ∩ Z(G)}

  27 comutam com todos os elementos de S. Trivialmente temos que Z(N) comuta com {g + sg; g ∈ N \Z(N )}, assim a comutatividade de (RG) σϕ segue. Definição 2.5. Um grupo não abeliano G diz-se Hamiltoniano se, para todo H < G, temos que H ⊳ G. Definição 2.6. Um grupo G é chamado de p-grupo abeliano elementar se G é o produto direto de cíclicos de ordem p. Teorema 2.7

  (Teorema 1.8.5, [PS02]). Um grupo não abeliano G é Hamiltoniano se, e somente se, G ≃ Q × E × A, onde E é um 2-grupo abeliano elementar e A é um grupo

  8 abeliano no qual todos os elementos possuem ordem ímpar.

  ∗ −1

  Como a involução clássica, ϕ(g) = g = g , é a involução mais natural que podemos encontrar em um grupo, e possui propriedades bastante interessantes, o Capítulo 4 será destinado ao estudo dos elementos simétricos sob essa involução, porém iniciaremos o estudo da mesma apresentando uma versão do Teorema 2.4 quando ϕ = ∗.

  Teorema 2.8 (Teorema 2.3, [BP06]). Sejam R um anel comutativo com identidade tal que 2r 6= 0, ∀r ∈ R\ {0}, G um grupo não abeliano, ∗ a involução clássica de G e σ uma orientação não trivial de G. Então, o conjunto (RG) σ é comutativo se, e somente se,

  ∗

  uma das condições é verificada:

  2

  (1) N é abeliano e (G\N ) = 1;

  4

  2

  2 2 −1 −1 −1 −1

  (2) N ≃ Q × E e G ≃ hx, y, g; x = 1, x = y = g , y xy = x , g xg = x, g yg =

  8 yi × E, em que E é um 2-grupo abeliano elementar.

  Demonstração. Mostraremos que, neste caso, os itens (i) e (ii) do Teorema 2.4 são equi- valentes aos itens (1) e (2), respectivamente.

  Note que trivialmente temos que (i) ocorre se, e somente se, (1) ocorre. Assuma que a condição (ii) do Teorema 2.4 ocorra. Nesse caso, temos que Z(N) = N ∩ Z(G).

  2

  2 Como ϕ = ∗, temos que g = 1 se g ∈ Z(N ) e g = s se g ∈ N \Z(N ), já que −1

  sg = ϕ(g) = g . Como a ordem de s é igual a 2, podemos afirmar que N é um 2-grupo com expoente menor ou igual a 4. Além disso, todo subgrupo cíclico de N é normal.

  2

  2

  2 De fato, sejam g, h ∈ N tais que gh 6= hg. Neste caso, temos que g , h e (gh) são

  2

  2

  iguais a s e assim, |g| = |h| = |gh| = 4. Logo hgh = hshg = h sg = s g = g e assim

  −1 −1

  2 3 −1 h gh = h (hgh)h = gh = g = g . E assim temos que N é um 2-grupo Hamiltoniano.

  Assim, o Teorema 2.7 nos garante que N = hx, yi × E, onde hx, yi é o próprio Q

  

8 e E é um 2-grupo abeliano elementar. Observe também que, pela definição de ϕ,

  2 (G\N ) = 1 ou (G\N ) ∩ Z(G) 6= ∅.

  28

  2 Suponha que (G\N) = 1 e seja g ∈ G\N . Neste caso temos que xg ∈ G\N , 2 −1 −1 −1 −1 3 logo 1 = (xg) , isto é gxg = x . Analogamente, gyg = y e g(xy)g = y x = x y. −1 −1

  2 Mas, g(xy)g = gxggyg = x y = xy, uma contradição. Assim, (G\N ) 6= 1 e existe

  um elemento g ∈ (G\N) ∩ Z(G). Já que G = N ∪ Ng, N ≃ Q × E e g ∈ Z(G), temos

  8

  que E é um subgrupo central de G. Além disso, G = hx, y, giE e, assim, hx, y, gi é um subgrupo normal de G.

  Afirmação: G é o produto direto de hx, y, gi e E.

  2

2 −1 −1

  Note que g = x . De fato, como g = ϕ(g) = sg e x = ϕ(x) = sx, temos que

  2

  2

  g = s = x ∈ N = hx, yi × E para

  , assim, hx, y, gi = {ag : a ∈ hx, yi} ∪ hx, yi. Mas ag / todo a ∈ hx, yi. Assim, hx, y, gi ∩ E = {1} e com isso G = hx, y, gi × E.

  2

  2

  = x Já que g , temos que

  4

  2

  2 2 −1 −1 −1 −1

  hx, y, gi = hx, y, g; x = 1, x = y = g , y xy = x , g xg = x, g yg = yi, e assim (2) segue.

  Reciprocamente, suponha que (2) ocorra e seja

  4

  2

  2 2 −1 −1 −1 −1 H = hx, y, g; x = 1, x = y = g , y xy = x , g xg = x, g yg = yi. σ H

  Como E ⊂ Z(G) basta mostrar que (RH) ∗| é comutativo. Note que, na parte (2.1) da demonstração do Teorema 2.4, encontramos que H é um LC-grupo com um único comutador não trivial s. Assim (ii) segue pela demonstração do Teorema 2.4.

  Dessa forma, temos que o Teorema 2.4 juntamente com o Teorema 2.1, encontrado em [JM06], exibem a estrutura do grupo necessária para que os elementos simétricos em relação a uma involução induzida ou involução orientada sejam comutativos. Embora para uma involução induzida, o artigo [JM06] também exiba condições necessárias e suficientes para que o conjunto (RG) ϕ seja comutativo, com char(R) = 2, não podemos fazer o mesmo para os teoremas contidos neste capítulo, visto que char(R) 6= 2 faz-se necessário para definirmos uma orientação trivial. Capítulo 3 Propriedades de Lie de (KG) com σϕ char (K) = 0

  Neste capítulo, trataremos de um resultado que generaliza, em parte, o resultado anterior. Essa generalização foi feita substituindo-se a comutatividade de (RG) σϕ pela propriedade Lie n-Engel, porém não foi uma generalização completa, pois, para o resultado particularizamos o anel R para um corpo K tal que char(K) = 0.

  De agora em diante, K sempre denotará um corpo. O resultado principal deste capítulo nos garantirá que, se char(K) = 0, então

  (KG) σϕ é comutativo ⇔ (KG) σϕ é Lie n-Engel ⇔ (KG) σϕ é Lie nilpotente. Vale ressaltar que isto pode ser verificado ao combinarmos o Teorema 2.12 de [Pa77] e o Lema 2 de [LSS09], porém, iremos apresentá-lo aqui com uma abordagem original em que serão necessários apenas o teorema principal do capítulo anterior e as técnicas utilizadas para demonstrar-lo.

3.1 Involuções Orientadas em Q

  8 Ao observarmos o estudo das propriedades de Lie (Lie n-Engel, Lie nilpotência e comutatividade) dos elementos simétricos sob involuções, tanto orientadas como não, podemos verificar que o grupo dos quatérnios, Q , possui um papel de bastante destaque.

  8 Por exemplo, nas hipóteses do Teorema 2.8, temos que caso N não seja abeliano, sempre teremos uma cópia de Q contida em N, logo em G.

8 Podemos observar também na literatura, em [CP12, L10, L99, L00] por exemplo,

  que a inclusão de Q

  8 em G impede a extensão das propriedades encontradas nos simétricos

  para todo o anel de grupo. Utilizando a descrição do conjunto S dos geradores dos ) simétricos e o Exemplo 1.33, podemos verificar que (KQ

  8 σ ∗ sempre é comutativo, porém,

  pelo Teorema V.6.1 de [S78], KQ

  8 não pode ser Lie n-Engel para nenhum n. Para

  exemplificar os resultados, podemos citar o Teorema 1 de [L00] e o Teorema 1 de [L99],

  30 e verificar que fez-se necessário nas hipóteses admitir que Q 6⊂ G; nos mesmos artigos,

  8

  os autores descreveram quando encontraremos as propriedades de Lie para os elementos simétricos caso Q ⊂ G. Observações semelhantes podem ser feitas para o Capítulo 4

  8 dessa dissertação.

  Embora o estudo de Q seja essencialmente útil para o próximo capítulo, faremos

  8

  um estudo primordial de como algumas involuções orientadas se comportam nesse grupo, pois o corolário 3.3 servirá como motivação para buscarmos o resultado principal desse capítulo. Lema 3.1

  (Lema 3.1.6, [L10]). Seja R um anel com char(R) = p, onde p é um inteiro positivo primo. Então, para todos x, y ∈ R, m ∈ N, temos que p m [x, y, . . . , y ] = [x, y ]. p | {z } m vezes Demonstração. Sejam r y e l y os operadores de multiplicação pela direita e pela esquerda, respectivamente, em R por y. Então,

  [x, y] = xy − yx = (r y − l y )(x). Assim,

  [x, y, . . . , y ] = [[x, y], y, . . . , y ] p − | {z } | {z } m p m 1 vezes vezes

  = [(r y − l y )(x), y, . . . , y ] p m | {z } 1 vezes = [[(r y − l y )(x), y], y, . . . , y ] p m | {z } 2 vezes

  2

  = [(r y − l y ) (x), y, . . . , y ], p m | {z } 2 vezes portanto p m [x, y, . . . , y ] = (r y − l y ) (x). p | {z } m vezes

  Como os operadores definidos acima comutam, e char(R) = p, temos que p p p p p p m m m m m m − l − (l − y (r y y ) (x) = ((r y ) y ) )(x) = xy x = [x, y ].

  Lema 3.2. Sejam σϕ uma involução orientada, sendo ϕ uma involução em hx, yi ≃ Q

  8

  e σ uma orientação não trivial de Q e K um corpo tal que char(K) 6= 2. Se (KQ ) σϕ é

  8

  8 Lie n-Engel, então a involução será dada por uma das seguintes condições:

  31 (i) ϕ(x) = x e ϕ(y) = y, se x, y / ∈ N ;

  3

  (ii) ϕ(x) = x e ϕ(y) = y, se x ∈ N , y / ∈ N ;

  2 (iii) ϕ(x) = x e ϕ(y) = x y, se x / ∈ N , y ∈ N .

  ∈ N com x, y / ∈ G Demonstração. Suponha por absurdo que x, y / ϕ . ⊂ KQ

  Se char(K) = 0, temos que ZQ

  8 8 . Assim, (ZQ 8 ) σϕ é Lie n-Engel e,

  portanto, para todo p primo, (Z p Q

  8 ) σϕ também é Lie n-Engel. Tomando p primo tal que

  p > max {3, n}, computando o colchete de Lie em (Z Q ) temos que p

  8

  0 = [x − ϕ(x), y − ϕ(y), . . . , y − ϕ(y) ] | {z } p p p vezes = [x − ϕ(x), y − ϕ(y) ].

  Se p = 4t + 1 para algum t ∈ Z, temos que [x − ϕ(x), y − ϕ(y)] = 0, logo,

  3

  xy + ϕ(x)ϕ(y) + yϕ(x) + ϕ(y)x = xϕ(y) + ϕ(x)y + x y + ϕ(y)ϕ(x). (3.1)

  

3

  ∈ {xϕ(y), ϕ(x)y, x Como char(Z p ) > 3 e xy / y}, temos que xy = ϕ(y)ϕ(x), assim ϕ(x) =

  −1 −1

  2

  2

  2

  \ {1, x } e ϕ(y) / ∈ {1, x }, já que involuções preservam ϕ(y) xy, como g = x

  g, ∀g ∈ Q

  8 −1 2 −1

  a ordem do elemento, podemos afirmar que ϕ(y) = x ϕ(y), assim ϕ(x) = ϕ(y) xy =

  2

  3

  3

  x ϕ(y)xy = ϕ(y)x y. Observe também que ϕ(yx) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(y)x yϕ(y), mas

  −1

  2

  3

  3

  ghg = h , ∀g, h ∈ Q \ {1, x }, assim ϕ(yx) = ϕ(y)x yϕ(y) = x y. Substituindo em

  8

  (3.1), temos que

  3

  3 yϕ(y)x y + ϕ(y)x = xϕ(y) + ϕ(y)x y.

  3

  3

  3 Note que yϕ(y)x y 6= ϕ(y)x y. Logo ϕ(y)x = ϕ(y)x y, absurdo.

  Se p = 4t + 3, temos que

  3

  3

  

2

  2

  [x − ϕ(x), y − ϕ(y) ] = 0 ⇒ [x − ϕ(x), x (y − ϕ(y))] = x [x − ϕ(x), y − ϕ(y)] = 0, e, de forma análoga ao caso anterior, encontramos um absurdo.

  Se char(K) = p > 3 podemos fazer o mesmo raciocínio e encontrar o resultado. Se char(K) = 3, temos que considerar a mesma equação de (3.1), porém com a possibilidade de que 3 elementos coincidam do lado esquerdo da equação. Vamos mostrar que, se isso ocorrer, então os 4 elementos serão iguais e, novamente, teremos que xy é igual a algum elemento do lado direito da equação.

  Suponha que xy = ϕ(x)ϕ(y) = yϕ(x).

  −1 −1

  2 Como ϕ(x)ϕ(y) = yϕ(x) temos que ϕ(y) = ϕ(x)ϕ(y)ϕ(x) = y ⇒ ϕ(y) = x y

  2

  o que também implica que ϕ(y)x = x yx = xy. Para os outros casos a prova segue de forma semelhante. Com isso, (i) ocorre.

  32

  3 Agora, suponha por absurdo que x ∈ N, y / ∈ N , ϕ(x) 6= x e ϕ(y) 6= y.

  De forma análoga ao caso anterior, temos que, se p = 4t + 1 então p p − ϕ(y)

  [x + ϕ(x), y ] = 0, assim

  3 xy + ϕ(x)y + ϕ(y)x + ϕ(y)ϕ(x) = xϕ(y) + ϕ(x)ϕ(y) + x y + yϕ(x).

  3

  y, xy 6= xϕ(y) e xy 6= yϕ(x). De fato, se xy = yϕ(x) temos que Note que xy 6= x

  2

  3

  3

  ϕ(x) = x yxy = x yϕ(y).

  , absurdo. Assim, xy = ϕ(x)ϕ(y), o que implica que ϕ(x) = x Logo temos que

  3

  ϕ(x)y + ϕ(y)x + ϕ(y)ϕ(x) = xϕ(y) + x y + yϕ(x) ⇓

  3

  3

  3

  3

  x yϕ(y)y + ϕ(y)x + ϕ(y)x yϕ(y) = xϕ(y) + x y + yx yϕ(y) ⇓

  3

  3

  3

  3 x ϕ(y) + ϕ(y)x + x y = xϕ(y) + x y + x ϕ(y).

  Dessa forma, temos que ϕ(y)x = xϕ(y), mas, como os únicos elementos que i

  2

  3

  8

  \ {1, x }, temos que ϕ(y) = x ou ϕ(y) = x comutam com x são x e ϕ(y) ∈ Q .

  

3

  2

  2

  2

  3 Se ϕ(y) = x, temos que ϕ(x) = x yx = x y; mas ϕ(x y) = ϕ(y)ϕ(x) = x ,

  implicando que ϕ não preserva a ordem dos elementos, logo não é uma involução, e de

  3

  forma semelhante provamos que ϕ(y) = x não pode acontecer, assim encontramos um absurdo.

  Se p = 4t + 3, da mesma forma que o caso anterior, encontramos um absurdo. Assim temos que (ii) ocorre. Para char(K) 6= 0 a prova segue de forma semelhante ao caso (i).

  2 O caso x / ∈ N e y ∈ N , ϕ(x) = x e ϕ(y) = x y é análogo ao anterior.

  Corolário 3.3. Seja σϕ uma involução orientada em KQ , em que σ é não trivial,

  8 Q = hx, yi e char(K) 6= 2. Então são equivalentes:

  8

  (i) (KQ

  8 ) σϕ é comutativo;

  (ii) (KQ ) σϕ é Lie nilpotente;

  8 (iii) (KQ ) σϕ é Lie n-Engel.

8 Demonstração. Trivialmente temos que (i)⇒(ii)⇒(iii), sendo assim, basta mostrar que (iii)⇒(i).

  ) Suponha então que (KQ

  8 σϕ seja Lie n-Engel. Pela proposição anterior, podemos

  ) e, como Q descrever completamente σϕ em (KQ

  8 8 é um grupo finito, podemos explicitar o conjunto S e verificar que esse é comutativo em qualquer um dos casos.

  33 Embora o corolário acima nos permita estender as propriedades de Lie mais gerais (Lie n-Engel e Lie nilpotência) para o seu caso mais particular (comutatividade) para KQ , podemos facilmente verificar que nem sempre esse fato ocorre. No Capítulo 4,

  8 construiremos um exemplo de anel de grupo que exemplifica essa afirmação.

  ⊂ G. Seja σ Corolário 3.4. Sejam KG tal que char(K) 6= 2 e G um grupo tal que Q

  8 ⊂ N .

  uma orientação não trivial de G. Se (KG) σ ∗ é Lie n-Engel para algum n, então Q

  8

  6⊂ N , encontraríamos um absurdo, já que cada Demonstração. Basta verificar que, se Q

  8 uma das possibilidades de involução garantidas pelo Lema 3.2 são diferentes de ∗.

3.2 Propriedades de Lie de (KG) com char(K) = 0

  σϕ ⊂ G e char(K) = 0, então

  O resultado principal deste capítulo mostrará que se Q

  8

  as três identidades de Lie são equivalentes para o conjunto dos elementos simétricos, ou seja, se (KG) σϕ for Lie n-Engel, então (KG) σϕ comutativo.

  Para encontrar o resultado citado acima, foram encontrados lemas semelhantes aos do capítulo anterior e do artigo [JM06] ao substituir a hipótese de comutatividade em (RG) σϕ pela propriedade de Lie n-Engel.

  Para os próximos resultados, K será sempre um corpo tal que char(K) = 0 e σ poderá ser trivial. Lema 3.5. Suponha que (KG) σϕ é Lie n-Engel, para algum n, e char(K) = 0. Então ⊂ Z(G). Em particular hϕ(h) = ϕ(h)h, ∀h ∈ G. N ϕ Demonstração. Seja x ∈ G e g ∈ N ϕ , vamos mostrar que gx = xg.

  Suponha que x ∈ N ϕ . Como char(K) = 0, temos que ZG ⊂ KG, assim (ZG) σϕ

  G) é Lie n-Engel e, portanto, para todo p primo, (Z p σϕ também é Lie n-Engel. Tomando p > n com p 6= 2 temos que p 0 = [x, g, . . . , g ] = [x, g ]

  | {z } p vezes p p ⇓ xg = g x.

  De forma análoga, tomando q primo, tal que q > p, encontramos que q q xg = g x.

  Como mdc {p, q} = 1, temos que existem r, s ∈ Z tais que pr + qs = 1, sendo

  • pr
  • pr
  • pr gx = xg.

  x = xg

  x = xg

  2q

  e g

  2p

  x = xg

  2p

  Se (ii) e (1) ocorrem, o resultado segue de forma semelhante. Suponha agora que (ii) e (2) ocorrem. Procedendo de forma análoga, encontraremos que g

  Note que se mdc {p, q} = 1 e p, q 6= 2, temos que mdc {p, 2q} = 1, assim, procedendo como o caso anterior, encontramos o resultado.

  2q .

  2q

  34 assim g p x = xg p g p (r−1) g p x = g p (r−1) xg p g pr x = xg pr g qs g pr x = g qs xg pr g qs

  g

  2q

  = g q x e xg q = g q ϕ(x), sendo assim g q ϕ(x) = xg q g q ϕ(x)g q = xg q g q g q g q x = xg

  Se (i) e (1) ocorrem, a prova segue de forma análoga ao caso anterior. Suponha que (i) e (2) ocorrem. De (2) temos que ϕ(x)g q

  De forma análoga, tomando q primo tal que q > p, temos que (1) xg q = g q x e ϕ(x)g q = g q ϕ(x), ou; (2) ϕ(x)g q = g q x e xg q = g q ϕ(x).

  (ii) ϕ(x)g p = g p x e xg p = g p ϕ(x).

  ⇓ xg p + ϕ(x)g p = g p x + g p ϕ(x), assim, (i) xg p = g p x e ϕ(x)g p = g p ϕ(x), ou;

  Suponha agora que x ∈ N\N ϕ . Sendo assim, de forma análoga ao caso anterior, tomando p primo com p 6= 2 e p > n, temos que 0 = [x + ϕ(x), g p ]

  x = xg qs

  x = xg qs g pr g qs

  2q

  35

  2

  2

  ocorrem, e já que mdc {p, q} = 1, temos que mdc {2p, 2q} = 2, logo g x = xg , assim q q q q xg = g ϕ(x)

  −1

  xg g = g ϕ(x) q q

  −1

  g xg = g ϕ(x) xg = gϕ(x). ϕ ∩ N , e, pelo caso anterior, Mas, se xg = gϕ(x) = ϕ(g)ϕ(x) = ϕ(xg), temos que xg ∈ G temos que xg comuta com g, logo xgg = gxg ⇒ xg = gx.

  Suponha agora que x / ∈ N ∪ G ϕ . Assim, tomando p primo com p 6= 2 e p > n, temos que p 0 = [x − ϕ(x), g ] p p p pp p xg + g ϕ(x) = g x + ϕ(x)g .

  Como x / ∈ G ϕ , temos que xg = g x. Tomando q nas mesmas condições de p, com q > p, q q temos que xg = g x. Assim, utilizando o argumento do mdc o resultado segue.

  Finalmente, se x ∈ G ϕ \N , temos que xg / ∈ N . Se xg ∈ G ϕ , então xg = ϕ(xg) = ϕ(g)ϕ(x) = gx. Assim podemos assumir que xg / ∈ G ϕ

  e, pelo caso anterior, temos que xg comuta com x, o que já vimos que implica que xg = gx. Note agora que hϕ(h) ∈ N ϕ , assim hϕ(h) ∈ Z(G), logo hhϕ(h) = hϕ(h)h, o que implica hϕ(h) = ϕ(h)h.

  A fim de simplificar as próximas demonstrações, enunciaremos o seguinte lema para exibir como se comportam os elementos em alguns dos possíveis colchetes de Lie. Lema 3.6. Suponha que (KG) Lie n-Engel com char(K) = 0 e g, h / ∈ G . σϕ ϕ

  (i) Se [g + ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0 e g, h ∈ N , então (a) gh = hg, ou; (b) gh ∈ {hϕ(g), ϕ(h)g};

  (ii) Se g, h / ∈ N , então gh = hg; (iii) Se [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0, g / ∈ N e h ∈ N , então gh ∈ {hg, ϕ(g)ϕ(h)}.

  Demonstração. Suponha que [g + ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0 e g, h ∈ N . Então 0 = [g + ϕ(g), h + ϕ(h)] ⇓ gh + gϕ(h) + ϕ(g)h + ϕ(g)ϕ(h) = hg + hϕ(g) + ϕ(h)g + ϕ(h)ϕ(g).

  36 Como char(K) = 0, temos que gh ∈ {hg, hϕ(g), ϕ(h)g, ϕ(h)ϕ(g)}. Suponha por absurdo que nem (a) nem (b) ocorram. Assim temos que gh ∈ G ϕ , já que gh = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh).

  Logo, como g, h ∈ N, temos que gh ∈ N e, com isso, gh ∈ N ϕ , absurdo. Aplicando o Lema 3.5, temos que gh ∈ Z(G) e assim gh = hg.

  ∈ N . Então tomando p > n primo e computando em Suponha agora que g, h /

  Z p G temos que p p 0 = [g − ϕ(g), h − ϕ(h) ] p p p p p p p p ⇓ gh + ϕ(g)ϕ(h) + h ϕ(g) + ϕ(h) g = gϕ(h) + ϕ(g)h + h g + ϕ(h) ϕ(g). p p p p p p p ∈ {gϕ(h) , ϕ(g)h , h

  g, ϕ(h) ϕ(g)}. Como gh 6= ϕ(g)h Dessa forma, temos que gh p p p p p p p p ,

  = h

  g, gh = ϕ(h) ϕ(g) ou gh = gϕ(h) = ϕ(h) ϕ(g), temos que gh p p p p . Suponha que gh ou seja, gh ∈ G ϕ . Já que g, h ∈ N , temos que gh / ∈ N . Logo gh ∈ N ϕ e utilizando p p p o Lema 3.5, temos que gh ∈ Z(G) e assim gh = h q q q q

  g. Repetindo o mesmo argumento para q > p primo, temos que gh = h g ou gh = gϕ(h) . p p q q p p q q Note que se gh = gϕ(h) e gh = gϕ(h) ocorrem simultaneamente, temos que h = ϕ(h) e h = ϕ(h) , assim, utilizando o argumento do mdc, encontraremos que h = ϕ(h), um absurdo. p p q q

  Assim, sem perda de generalidade, temos que gh = h g ocorre. Se gh = gϕ(h) , t t t podemos tomar t > q primo e de forma semelhante encontraremos que gh = h ou gh = t gϕ(h) . Dessa forma, devemos ter que o segundo caso não ocorre, pois encontraríamos q q t t um absurdo, já que gh = gϕ(h) . Sendo assim, gh = h t p

  g. Novamente, utilizando o argumento do mdc, para gh e gh , encontraremos que gh = hg. ∈ N e h ∈ N ocorra, então temos que

  Suponha que [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] = 0, g / 0 = [g − ϕ(g), h + ϕ(h)] ⇓ gh + gϕ(h) + hϕ(g) + ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(g)h + ϕ(g)ϕ(h) + hg + ϕ(h)g. Dessa forma, como char(K) = 0 temos que gh ∈ {ϕ(g)h, ϕ(g)ϕ(h), hg, ϕ(h)g}. Note que gh 6= ϕ(g)h, pois g / ∈ G ϕ .

  Suponha então que gh = ϕ(h)g. Assim, temos que ϕ(gh) = ϕ(g)h. Além disso, ∈ G ∈ N já que g / ∈ (G ∪ N ) e h / ∈ N . Assim, utilizando o item (ii) para g e gh / ϕ e gh / ϕ gh, encontraremos que (gh)g = g(gh), logo gh = hg, absurdo.

  O próximo lema é uma modificação do Lema 2.2. Lema 3.7. Suponha que (KG) é Lie n-Engel, se char(K) = 0 então (G\N )\G ⊂ σϕ ϕ Z(G).

  37 Demonstração. Vamos dividir G em 4 partes e mostrar que g ∈ (G\N )\G ϕ comuta com os elementos de qualquer uma dessas partes.

  (a) h ∈ N ϕ . Neste caso, pelo Lema 3.5, h ∈ Z(G) e assim g e h comutam. (b) h ∈ (G\N)\G ϕ . Pelo item (ii) do Lema 3.6, temos que gh = hg. Note que podemos proceder de forma análoga à demonstração do Lema 3.5 e encontrar que (Z p

  G) σϕ , para qualquer p primo, é também Lie n-Engel. (c) Se h ∈ N\G ϕ , podemos tomar p > n primo e computando o colchete de Lie em Z p G temos que

  0 = [g − ϕ(g), h + ϕ(h), . . . , h + ϕ(h) ] | {z } p , p p vezes

  = [g − ϕ(g), h + ϕ(h) ] p p p ∈ {h

  g, ϕ(g)ϕ(h) }. Analogamente, tomando q assim, pelo item (iii) do Lema 3.6, gh q q q primo tal que q > max {p, n} e computando em Z q p p q q

  G, temos que gh ∈ {h g, ϕ(g)ϕ(h) }. Se gh = h g e gh = h g ocorrem simultaneamente, já vimos que o resultado segue. p p Suponha então que gh = ϕ(g)ϕ(h) ocorre. p p p p p p p p Note que gh = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(h

  g), e assim, gh ∈ G ϕ se, e somente se, gh = h g. Se gh ∈ G / ϕ , assim, como gh ∈ N , podemos utilizar o caso (b) e encontrar que / p p q gh = h g. As mesmas afirmações podem ser feitas para gh . Dessa forma sempre p p q q encontraremos que gh = h g e gh = h g ocorrem e, consequentemente, o resultado segue.

  (d) h ∈ (G\N) ∩ G ϕ .

  G e Z G com p, q primos maiores que n, temos p i Novamente, trabalhando em Z p q ∈ N . Se gh ∈ G que gh ϕ , com i ∈ {p, q} podemos aplicar o item (a) aos elementos g e i i i i gh = h g. Se gh ∈ G / ϕ

  , e encontrar que gh , podemos aplicar o item (c) aos elementos i i i g e gh , e encontrar que gh = h

g. Dessa forma, pelo argumento do mdc, temos que o resultado segue.

  Como σϕ| N = ϕ, conseguimos, sob as novas hipóteses, um resultado semelhante ao Lema 1.2 de [JM06]. Lema 3.8. Suponha que (KG) σϕ é Lie n-Engel com char(K) = 0. Seja g ∈ (G\G ϕ ) ∩ N . Então gh = hg, gh = ϕ(h)g ou gh = hϕ(g), ∀h ∈ N . Demonstração. Se h ∈ N ϕ , temos que h ∈ Z(G), e, neste caso, o lema se verifica.

  Suponha então que h ∈ N\N ϕ . p p p p ∈ {h

  Seja p > n primo, pelo Lema 3.6, temos que gh

  g, h ϕ(g), ϕ(h) g}. O

  38 mesmo vale para q > p e, assim, podemos considerar a combinação dos seguintes casos: p p q q (i)gh = h p p q q

  g, (1)gh = h

  g, (ii)gh = h ϕ(g), (2)gh = h ϕ(g), p p q q (iii)gh = ϕ(h)

  g, (3)gh = ϕ(h) g. É suficiente analisar apenas os casos semelhantes, pois, caso estes não ocorram podemos tomar um primo s tal que p, q < s e observar qual das possibilidades ocorrerá s para gh e, caso ainda não se repita algum dos casos, tomando um novo t primo tal que t > s e, pelo Princípio da Casa dos Pombos, temos que algum dos casos será semelhante ao outro para algum dos 3 primos considerados anteriormente.

  Se (i) e (1) ocorrem, temos que gh = hg. p −1 p q −1 q Se (iii) e (3) ocorrem, temos gh g = ϕ(h) e gh g = ϕ(h) , logo, tomando pr −1 pr qs −1 sq r, s ∈ Z tais que pr + qs = 1, gh g = ϕ(h) e gh g = ϕ(h) , assim, multiplicando cada um dos membros por seus respectivos temos que pr qs pr qs

  −1 −1

  gh g gh g = ϕ(h) ϕ(h) pr pr

  • qs −1 +qs

  gh g = ϕ(h)

  −1 ghg = ϕ(h).

  Assim, gh = ϕ(h)g.

  Suponha que (ii) e (2) ocorrem, logo temos que p p p

  −p

  gh = h ϕ(g) ⇒ h gh = ϕ(g), e q q q

  −q gh = h ϕ(g) ⇒ h gh = ϕ(g).

  −p

  Observe que podemos aplicar o Lema 3.6 duas vezes aos elementos g e h , e, g

  −q

  e h , e considerar os casos:

  ′ −p −p ′ −q −q

  (i) gh = h

  g, (1) gh = h

  g,

  

′ −p −p ′ −q −q

  (ii) gh = h ϕ(g), (2) gh = h ϕ(g),

  

′ −p −p ′ −q −q

  (iii) gh = ϕ(h)

  g, (3) gh = ϕ(h) g.

  −p −q Vamos analizar as possibilidades para gh e gh . p p ′ −p −p

  = h

  g, o que implica que gh = h

  g, entrando Se (i) ocorrer, temos que gh

  ′ ′ ′

  , (iii) em contradição com o fato de (i) não ocorrer. Analogamente, (1) e (3) não podem

  ′ ′ ocorrer. Temos então que (ii) e (2) ocorrem. p −p −p −p

  Assim temos que gh = h ϕ(g) ⇒ h gh = ϕ(g), e como (ii) ocorre, temos

  p

  39

  −p

  que g = h ϕ(g)h , assim p p

  

2p −2p −p −p

  h gh = h h gh h p

  −p

  = h ϕ(g)h = g.

  ′ 2q −2q Já que (2) também ocorre, de forma análoga encontramos que h gh = g.

  Assim, utilizando um argumento semelhante ao caso (ii) − (2) do Lema 3.5, temos que gh = hϕ(g) e o resultado segue.

  O próximo lema é uma modificação do Lema 2.1 de [JM06].

  −1

  ∈ Lema 3.9. Sejam g, h ∈ N . Se (KG) σϕ é Lie n-Engel e char(K) = 0, então ghg {h, ϕ(h)}.

  Demonstração. Se g ∈ N ϕ , temos que g ∈ Z(G) e o lema se verifica.

  Suponha então que g / ∈ N ϕ. Pelo Lema 3.8, temos que gh = hg, gh = ϕ(h)g ou gh = hϕ(g). Se as duas primeiras opções ocorrem, temos que o resultado é válido. Suponha por absurdo que não ocorram. Sendo assim temos que gh = hϕ(g) e aplicando

  2

  2 novamente o Lema 3.8 para gh e h, temos que gh = hϕ(h)ϕ(g) ou gh = ϕ(h)gh.

2 Observe que, se gh = hϕ(h)ϕ(g), podemos aplicar o Lema 3.5 para hϕ(h) e,

  2

  2

  assim, encontramos que gh = ϕ(g)ϕ(h)h ⇒ gh = ϕ(g)ϕ(h). Se gh = ϕ(h)gh então, gh = ϕ(h)g. Mas, por hipótese, temos que gh = hϕ(h). Logo ϕ(h)g = hϕ(g), assim,

  2

  = ϕ(h)gh = ϕ(h)hϕ(g) = ϕ(g)ϕ(h)h. Portanto gh = novamente pelo Lema 3.5, gh ϕ(g)ϕ(h).

  Assim, sempre encontraremos que gh = ϕ(g)ϕ(h) e hg = ϕ(h)ϕ(g). Dessa forma

  −1 −1 gh = ϕ(g)ϕ(h) = h ghϕ(h) = h hϕ(h)g = ϕ(h)g ⇒ gh = ϕ(h)g, uma contradição.

  Lema 3.10. Suponha que (KG) σϕ é Lie n-Engel com char(K) = 0. Se g, h ∈ N e

  −1 −1

  ∈ Z(N ) então g g, h / ϕ(g) = h ϕ(h). Demonstração. Se gh 6= hg temos, pelo Lema 3.9, que

  −1

  hgh = ϕ(g) ⇒ hg = ϕ(g)h e

  −1

  g hg = ϕ(h) ⇒ hg = gϕ(h), logo

  −1 −1 hg = ϕ(g)h = gϕ(h) ⇒ g ϕ(g) = ϕ(h)h . −1 −1 −1 ϕ(h) = ϕ(h)h = g ϕ(g), encontrando o resultado.

  Assim, pelo Lema 3.5, temos que h ∈ Z(N ), temos que existe x ∈ N , tal

  Suponhamos agora que gh = hg. Como g /

  −1 −1 −1

  que gx 6= xg. Se hx 6= xh, pelo Lema 3.9, temos que g ϕ(g) = x ϕ(x) = h ϕ(h). Se

  40 hx = xh, então g(xh) 6= (hx)g, e, novamente pelo Lema 3.9, g(xh) = ϕ(xh)g = ϕ(h)ϕ(x)g, como gx = ϕ(x)g, temos que gxh = ϕ(h)gx. Observe que, como gh = hg, então gϕ(h) = ϕ(h)g, pois pelo Lema 3.9 temos que

  −1 −1

  g ϕ(h)g ∈ {h, ϕ(h)}. Assim, se g ϕ(h)g = ϕ(h), temos o resultado. Podemos supor

  −1

  = h, logo h ∈ N ϕ agora que gϕ(h)g = h, o que implica ϕ(h) = ghg , absurdo; pois pelo Lema 3.5 deveriamos ter que h ∈ Z(G).

  Logo, gxh = ϕ(h)gx o que implica em h = ϕ(h), já que g e x comutam com h; o que seria um absurdo pelo Lema 3.5, pois h / ∈ Z(G). Teorema 3.11. Sejam K um corpo tal que char(K) = 0, G um grupo não abeliano, ϕ uma involução em G e σ uma orientação de G. Então são equivalentes:

  (1) (KG) σϕ é comutativo; (2) (KG) σϕ é Lie nilpotente; (3) (KG) σϕ é Lie n-Engel; (4) G e N satisfazem um dos seguintes itens:

  (a) N é um grupo abeliano e (G\N ) ⊂ G ; ϕ (b) G e N são LC-grupos e existe um único comutador não trivial s tal que a involução ϕ é dada por

  ( g , se g ∈ N ∩ Z(G) ou g ∈ (G\N )\Z(G); ϕ(g) = sg , caso contrário.

  Demonstração. Trivialmente temos que (1)⇒(2)⇒(3). Vamos mostrar agora que (3)⇒(4).

  Suponha então que (3) se verifique, ou seja, (KG) σϕ é Lie n-Engel. Vamos dividir a prova em dois casos. (3.a) Suponha que σ seja trivial. Assim temos que G = N e (4) é equivalente a G ser um grupo abeliano ou um SLC-grupo em relação à involução ϕ, e como, por hipótese, temos que G é não abeliano, basta mostrar que a segunda opção ocorre.

  Sejam g, h ∈ G tais que gh 6= hg, assim, pelo Lema 3.9, temos que 1 6=

  −1 −1 −1 −1

  g h gh = g ϕ(g) e, pelo Lema 3.10, s = g ϕ(g) é o único comutador não trivial

  −1 −1 −1 −1

  de G. Já que s também é um comutador, temos que s = s, e gs = gg h gh =

  −1 −1 h ghg g = sg, ∀g ∈ G, ou seja, s ∈ Z(G).

  −1 −1 −1 −1

  Como s = s , temos que s = g ϕ(g) = ϕ(g) g = gϕ(g) , logo ϕ(s) =

  −1 −1 −1 −1 g ϕ(g) = s e com isso ϕ(h) = g hg = g hgh h = sh, ∀h ∈ G\Z(G).

  41 Se g ∈ Z(G) e h / ∈ Z(G), então gh / ∈ Z(G), logo (sh)ϕ(g) = ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(gh) = sgh = shg, ou seja, ϕ(g) = g.

  ∈ Z(G) tais que gh = hg, Basta verificar que G é um LC-grupo. Sejam então g, h /

  2

  hg = gh. Logo gh ∈ G assim ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g) = shsg = s ϕ e pelo Lema 3.5 temos que gh ∈ Z(G).

  Dessa forma temos que G é um SLC-grupo em relação a involução ϕ e (4) é satisfeito. (3.b) Suponha que σ seja não trivial. Neste caso, basta simular os itens (1) e (2) da demonstração do Teorema 2.4, pois, para a sua prova, usamos apenas as hipóteses sobre N, a Observação 2.3, que é garantida pela item (3.a) feito anteriormente, e o Lema 2.2 que é equivalente ao Lema 3.7, e encontrar que os itens (a) ou (b) serão satisfeitos.

  Para finalizar a prova, resta mostrar que (4)⇒(1). Para isso, basta aplicar o Teorema 2.4 de [JM06], se σ for trivial, ou o Teorema 2.4, caso contrário. Corolário 3.12. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo sem elementos de ordem 2 e σ uma orientação de G. Então, (KG) σ é Lie n-Engel se, e somente se, G é

  ∗ abeliano.

  Demonstração. Suponha que (KG) σ

  ∗ seja Lie n-Engel para algum n. Suponha, por ab-

  surdo, que G seja não abeliano. Aplicando o Teorema 3.11, podemos afirmar que (KG) σ

  ∗

  2

  é comutativo, assim, pelo Teorema 2.8, temos que N é abeliano e (G\N) = 1. Note que σ não pode ser trivial, pois, nesse caso N = G seria abeliano, absurdo. Porém, se σ é não trivial, temos que G\N 6= ∅, e assim encontraríamos elementos de ordem 2, absurdo.

  Logo G é abeliano.

  A recíproca é trivial. O corolário acima mostra que, para um corpo de característica 0 e uma orientação não trivial, se (KG) σ ∗ for Lie n-Engel, então devemos assumir que G possui elementos de ordem 2, ou, caso contrário, estaremos trabalhando com um grupo abeliano, o que já vimos ser irrelevante.

  Corolário 3.13. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo não abeliano sem elementos de ordem 2 e σ uma orientação de G, então (KG) σ é Lie n-Engel para nenhum

  ∗ n ∈ N.

  Corolário 3.14. Sejam K um corpo de característica 0, G um grupo não abeliano tal que

  2 Q 6⊂ G com uma orientação não trivial σ. Se g 6= 1, ∀g ∈ G\N , então (KG) σ não

  8 ∗ pode ser Lie n-Engel para nenhum n ∈ N.

  42 Demonstração. Suponha, por absurdo, que (KG) σ é Lie n-Engel Aplicando os Teoremas

  ∗

  2

  3.11 e 2.8 e utilizando o fato de Q 6⊂ G, encontramos que N é abeliano e (G\N ) = 1,

  8 mas, por hipótese, temos uma contradição, logo (KG) σ não pode ser Lie n-Engel.

  ∗

  Além de ser bastante interessante por si só, o resultado principal desse capítulo irá nos fornecer uma prova mais simplificada dos próximos resultados, além de que os dois últimos corolários irão mostrar a inexistência de algumas hipóteses admitidas no artigo base do próximo capítulo. Capítulo 4 Propriedades de Lie de (KG) e σ∗ −

  (KG) σ∗

  Visto que o Capítulo 3 caracteriza os grupos G tais que (KG) σϕ é Lie n-Engel (nilpotente) quando char(K) = 0, temos que, para prosseguir o estudo nessa linha um caminho a seguir é caracterizar os grupos que satisfaçam a mesma propriedade para char(K) = p > 2, ou para um anel R comutativo com char(R) 6= 2. Tal caracterização ainda não se encontra completa na literatura, porém temos que foi realizada por John

  ⊂ G. Este é um Castillo Gómez e Polcino Milies em [CP12] para o caso ϕ = ∗ e Q

  8

  dos temas desse capítulo. Vale ressaltar que, o caso em que a involução é qualquer e a orientação é trivial, foi estudado em [LSS09].

  Como vimos no Capítulo 1, Antonio Giambruno, Polcino Milies e Sudarshan Sehgal mostraram os seguintes teoremas:

  Teorema A, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo de característica p 6= 2. Então, (KG) ϕ é Lie n-Engel se, e somente se, KG é Lie n-Engel. Teorema B, [GPS09]. Sejam G um grupo sem 2-elementos e K um corpo de característica p 6= 2. Então, (KG) ϕ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie nilpontente.

  No Teorema 1 de [L99], Lee mostrou que este segundo resultado pode ser estendido para grupos que contenham 2-elementos, contanto que Q 6⊂ G, e caracterizou o grupo

  8 G, no Teorema 2 do mesmo artigo, quando (KG) ϕ é Lie nilpotente, com char(K) 6= 2 e Q ⊂ G.

8 Seguindo essa linha de pesquisa, Castillo e Milies também mostraram em [CP12]

  algumas condições para que as propriedades de Lie de (KG) σ possam ser estendidas

  ∗

  para KG. Esse é o outro tema desse capítulo. Ressaltamos também que, o caso em que a involução é qualquer e a orientação trivial, foi estudado em [GPS09].

  Note que, o caso em que char(K) = 0, combinando os Teoremas 3.11 e 2.8, já

  44 temos condições necessárias e suficientes para que o conjunto (KG) σ seja Lie n-Engel

  ∗

  ou Lie nilpotente, e que implicarão comutatividade. Temos também pelo Corolário 3.13 que se, G é um grupo não-abeliano sem 2-elementos, então (KG) σ não pode ser Lie

  ∗

  n-Engel. Dessa forma, todos os resultados contidos no artigo [CP12] para o caso de char(K) = 0 estariam provados no capítulo anterior, caso os Teoremas 3.1 e 3.2 de

  −

  [CP12] não estendessem as propriedades de Lie também quando (KG) é Lie n-Engel ou σ

  ∗ Lie nilpotente.

  Em todo o capítulo, exceto quando explicitado o contrário, K será um corpo, G um grupo, σ uma orientação e ∗ a involução clássica.

4.1 Resultados Fundamentais

  Lema 4.1. Se (KG) é Lie n-Engel, para algum n, e char(K) 6= 2, então todo elemento σ ∗ de ordem 2 em N é central, ou seja N ⊂ Z(G).

  ∗ Demonstração. Se char(K) = 0, pelo Lema 3.5, temos resultado.

  Suponha então que char(K) = p > 2. Tome g ∈ N e vamos considerar que g

  ∗

  comutará com qualquer elemento de G analisando cada uma das componentes da partição de G. m Sejam x ∈ N e m ∈ N tais que p é maior do que n. Temos que 0 = p m mp m [g, x, . . . , x ] = [g, x ]. Já que p é ímpar, temos que g comuta com x, pois x = x. | {z } p m vezes

  Se x ∈ N\N ∗ temos que p m

  −1 −1 −1

  0 = [x + x , g, . . . , g ] = [x + x , g ] = [x + x , g] p | {z } m vezes ⇓

  −1 −1 xg + x g = gx + gx . −1

  −1

  Como xg 6= x

  g, temos que ou xg = gx, ou xg = gx , e, caso o primeiro ocorra,

  −1 2 −1

  encontramos o resultado. Podemos supor então que xg = gx . Então (xg) = xggx =

  2 ⇒ gx = xg.

  1, e, pelo primeiro caso, temos que xg comuta com g, logo gxg = xg ∪ N ), então

  Se x ∈ G\(G ∗ m

  −1 −1 p −1

  0 = [x − x , g, . . . , g ] = [x − x , g ] = [x − x , g] p | {z } m vezes ⇓

  

−1 −1

xg + gx = x g + gx.

  −1

  Assim, como char(K) 6= 2, xg = gx ou xg = x

  g. Neste caso, temos que xg = gx, pois

  −1 −1

  2

  6= 1. Logo, x xg = x g ⇒ x = x ; o que é um absurdo, já que estamos supondo que x

  45 comuta com g.

  2 −1

  Finalmente, se x ∈ G \N , então xg ∈ G\N . Se (xg) = 1, então xg = (xg) =

  ∗ −1 −1

  2

  g x = gx. Assim, podemos assumir que (xg) 6= 1. Então o caso anterior nos garante que xg comuta com g, e, com isso, xg = gx. Lema 4.2. Sejam g, h ∈ G\G ∗ . Então valem as seguintes afirmações:

  −1 −1

  (i) Se [g + g , h + h ] = 0, então

  −1 −1

  (a) gh ∈ {hg, h α β

  g, hg }, ou;

  2

  (b) (g h ) = 1, ∀α, β ∈ {−1, 1};

  −1 −1

  (ii) Se [g − g , h − h ] = 0, então (a) gh = hg, ou; α β

  2 (b) (g h ) = 1, ∀α, β ∈ {−1, 1}. −1 −1

  (iii) Se [g − g , h + h ] = 0, então

  −1

  (a) gh ∈ {hg, h g}, ou;

  2

  2 (b) |g| = 4 = |h| e g = h .

  −1 −1

  Demonstração. Suponha que ocorra [g + g , h + h ] = 0. Assim, temos que

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 gh + gh + g h + g h = hg + hg + h g + h g .

  (4.1)

  −1 −1 −1 −1 −1 −1

  Se char(K) 6= 3, como gh / ∈ {gh , g h}, então gh ∈ {hg, hg , h g, h g }.

  −1 −1 −1 −1 −1 −1

  Suponha que gh / ∈ {hg, h

  g, hg }, então gh = h g , que é equivalente a hg = g h ;

  −1 −1 2 −1 −1 −1 −1

  logo (g h ) = 1. Então, de (4.1), temos que gh + g h = hg + h

  g. Já que

  −1 −1 −1 −1

  char(K) 6= 2, podemos afirmar que gh = hg , ou gh = h

  g. Note que o segundo

  −1 −1

  caso não acontece, já que gh 6= hg. Logo, como gh = hg , temos que

  −1 −1

  gh = hg

  −1 −1 −1

  gh (hg ) = 1

  −1

  

2

(gh ) = 1.

  −1

  2 Da mesma forma que o caso anterior, temos também que (g h) = 1.

  Se char(K) = 3 em (4.1), teríamos que considerar a possibilidade de 3 elementos

  −1 −1

  de um mesmo lado da equação coincidirem, ou seja, ao menos gh = gh , gh = g h ou

  −1 −1 −1

  gh = g h . Entretanto, todos esses casos levam a uma contradição. Dessa forma, temos que o item (i) é verdadeiro.

  46

  −1 −1

  Suponha agora que [g − g , h − h ] = 0. Temos então que

  

−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

  gh + g h + hg + h g = gh + g h + hg + h g . (4.2)

  −1 −1 −1 −1 }.

  Suponha que char(K) 6= 3 e que gh 6= hg, assim temos que gh ∈ {gh , g

  h, h g

  2

  2 −1 −1

  6= 1 e h 6= 1, temos que as duas primeiras opções não ocorrem, logo gh = h g Como g e, de forma análoga ao caso anterior, encontramos o resultado.

  −1 −1 −1 −1

  h = hg g; logo, se

  Note que se gh = g , então temos também que gh = h três elementos do lado esquerdo de (4.2) forem iguais entre si, então o quarto também será. Note também que, se isso ocorre para o lado esquerdo da equação, o mesmo ocorrerá para o lado direito.

  −1 −1 −1

  Sendo assim, suponha que char(K) = 3. Então se gh 6= g h e gh 6= hg , podemos proceder de forma semelhante ao caso anterior e encontraremos o resultado.

  −1 −1 −1

  Suponha então que gh = g h = hg

  e, pelo observado acima, temos também que

  −1

  gh = h

  g, logo a equação (4.2) é equivalente à 4gh = 4hg, mas, como char(K) = 3, então, temos que gh = hg. Assim, o item (ii) é verdadeiro.

  −1 −1

  , h + h ] = 0. Temos então que Admita agora que [g − g

  

−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

  gh + gh + hg + h g = g h + g h + hg + h

  g. (4.3)

  −1

  Suponha que char(K) 6= 3. Se gh = hg ou gh = h g, temos o resultado.

  −1 −1 −1 2 −2 −1 −1

  ∈ {hg, h Suponha gh / g}, assim gh = g h , e, com isso, g = h e hg = h g , logo temos que

  −1 −1 −1 −1

  gh + hg = g h + h

  g,

  −1 −1 −1 −1

  implicando gh = g h ou gh = h

  g. Note que, se o segundo caso ocorre então

  −1 −1

  2

  2

  gh = hg, uma contradição. Logo gh = g h o que implica g = h . Como encontramos

  2 −2

  4

  4

  3

  = h = 1 = h = 1 ⇒ g = 1, o também que g , temos que g , note também que g que seria uma contradição, logo |g| = 4 = |h|, já que as mesmas considerações podem ser feitas para h.

  −1 −1 −1 −1

  Suponha que char(K) = 3. Como gh = gh ou hg = h g implicam

  2

  h = 1, uma contradição, podemos supor que essas igualdades não ocorrem. Procendendo de forma análoga ao caso anterior, encontramos que o item (iii) é verdadeiro. m Corolário 4.3. Assuma que char(K) = p > 2 e que (KG) σ ∗ é Lie p -Engel para algum m m

  2 2p p

  6= 1 e h 6= 1. Se g, h / ∈ N então (g, h m ≥ 1. Sejam g, h ∈ G tais que g ) = 1.

  −1 −1

  Demonstração. Como g, h / ∈ N , temos que g − g , h − h ∈ (KG) σ

  e, já que (KG) σ

  ∗ ∗

  m p m m

  47

  −1 −p

  é Lie p -Engel, obtemos que [g − g , h − h ] = 0; então, da parte (ii) do Lema p p i m m

  2

  4.2, segue que (g, h ) = 1 ou (gh ) = 1. Como h / ∈ N , temos que h ∈ N se i for / p m ímpar, logo h ∈ N . Note também que ab ∈ N se a, b ∈ N , ou a, b / / p m m

  ∈ N . Caso aconteça m

  2 p p

  (gh ) = 1, como g, h ∈ N , podemos usar o Lema 4.1, o que implica que gh / p m é central e, assim, (g, h ) = 1.

  

4.2 Extensão das propriedades de Lie dos elementos si-

métricos para o anel de grupo KG

  Até agora vimos que o estudo dos elementos simétricos é bastante útil para conhe- cermos a estrutura do grupo gerador do anel de grupo. Não menos importante, podemos também descobrir informações valiosas sobre todo o anel de grupo.

  Nessa seção buscaremos algumas condições sob as quais podemos estender as propriedades de Lie encontradas nos simétricos para todo o KG.

4.2.1 Grupos sem Elementos de Ordem

  2 Como foi comentado no início do capítulo, temos que, se um grupo G não abeliano

  não possuir elementos de ordem 2 e K for um corpo tal que char(K) = 0, então (KG) σ

  ∗

  não é Lie n-Engel para todo n ∈ N. Logo é impossível encontrar anéis de grupo que satisfaçam as hipóteses dos Teoremas 4.14 e 4.16 para o caso char(K) = 0 e (KG) σ

  ∗

  satisfazendo as propriedades de Lie. Afirmações semelhantes podem ser feitas para os Teoremas 4.18 e 4.19, que serão demonstrados nessa seção.

  Como Castillo e Polcino Milies conseguiram demonstrar os Teoremas 4.12 e

  −

  4.13 para (KG) Lie n-Engel e Lie nilpotentes, temos que é necessário explorar o caso σ

  ∗

  char(K) = 0, pois para este caso não temos, ainda, resultados suficientes para concluir que não existam tais exemplos, e já que o resultado para o (KG) σ ∗ segue sem muito

  −

  esforço quando temos que provar o mesmo para o (KG) , faremos, então, o resultado σ ∗ completo, já que ele por si só não é uma inverdade.

  

2

  2 Lema 4.4. Seja G um grupo tal que |Z(G) | = ∞. Se α ∈ KG é tal que (σ(z)z − 1)α = 0, ∀z ∈ Z(G), então α = 0.

  2

  ∈ KZ(G) Demonstração. Tome α nas condições acima e escreva α = P α i x i onde α i e

  2

  x i são escolhidos em um transversal à direita de Z(G) em G tal que x

  1 = 1. Suponha que

  2

  2

  2

  2

  6= 0. Dessa forma, (σ(z)z − 1)α = 0 ⇒ (σ(z)z − 1)α ∀z ∈ α

  1 1 = 0 ⇒ σ(z)z α 1 = α

  1

  2

2 Z(G) = ∞. Assim, se α 6= 0, temos que card(supp(α )) = ∞,

  , mas por hipótese |Z(G)|

  1

  1 = 0.

  absurdo, logo α

  1 −1 i = 0, ∀i.

  Multiplicando α por x , podemos mostrar de forma semelhante que α i Assim α = 0.

  48

  2 −

  Proposição 4.5. Seja G um grupo tal que |Z(G) | = ∞. Então, (KG) σ ou (KG) é

  ∗ σ ∗

  Lie nilpotente de índice n se, e somente se, KG é Lie nilpotente de índice n. Demonstração. Já que (KG) σ é Lie nilpotente de índice n, temos que KG satisfaz a

  ∗

  identidade polinomial 0 = f (x , . . . , x ) = [x + σ∗(x ), . . . , x + σ∗(x )]

  1 n

  1 1 n n

  = [x , . . . , x n + σ∗(x n )] + [σ∗(x ), . . . , x n + σ∗(x n )]

  1

  1

  = f + f ,

  1

  2 = [x , . . . , x + σ∗(x )] e f = [σ∗(x ), . . . , x + σ∗(x )].

  em que f

  1 1 n n

  2 1 n n

  ∈ Z(G), Então, se z

  1

  f (z x , . . . , x n ) = z f + σ∗(z )f

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  é uma identidade polinomial para KG, o que implica que σ∗(z )f = σ∗(z )f + σ∗(z )f

  1

  1

  1

  1

  2

  também o é, implicando que z f − σ∗(z )f possui a mesma propriedade. Temos também

  1

  1

  1

  1

  que multiplicando a última identidade por σ(z

  1 )z 1 , encontramos que −1 −1

  2

  2

  σ(z )z (z f − σ(z )z f ) = σ(z )z f − σ(z ) z z f

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  = σ(z )z f − f

  1

  1

  1

  1

  2

  = (σ(z )z − 1)f

  1

  1

  1 também é uma identidade polinomial para KG.

  Seja agora f = [x , x + σ∗(x ), . . . , x n + σ∗(x n )]

  1

  1

  2

  2

  = [x , x , . . . , x n + σ∗(x n )] + [x , σ∗(x ), . . . , x n + σ∗(x n )]

  1

  2

  1

  2 ′ ′

  = f + f ,

  1

  2 ′ ′

  em que f = [x , x , . . . , x n + σ∗(x n )] e f = [x , σ∗(x ), . . . , x n + σ∗(x n )]. Assim, para a

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  seguinte identidade

  2 2 ′ ′

  − 1)f − 1)(f (σ(z

  1 )z 1 = (σ(z 1 )z + f )

  1

  

1

  1

  2 2 ′ 2 ′

  − 1)f − 1)f = (σ(z

  1 )z + (σ(z 1 )z ,

  

1

  1

  1

  2

  podemos repetir o processo feito anteriormente e encontrar que

  2 2 ′

  2

  2

  (σ(z )z −1)(σ(z )z −1)f = (σ(z )z −1)(σ(z )z −1)[x , x , x +σ∗(x ), . . . , x n +σ∗(x n )]

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  3

  1

  2

  1

  1

  2

  49 também é uma identidade. Repetindo o argumento acima n vezes, encontraremos que,

  2

  2

  2

  (σ(z )z − 1)(σ(z )z − 1) . . . (σ(z n )z − 1)[x , . . . , x n ]

  1

2 n

  1

  1

  2

  2

  | = ∞, pelo Lema 4.4 temos que é uma identidade polinomial para KG. Já que |Z(G) [x , . . . , x ] = 0 e assim KG é Lie nilpotente de índice n.

  1 n −

  Se (KG) é Lie nilpotente de índice n, então KG satisfaz a identidade polinomial σ ∗ h(x , . . . , x n ) = [x − σ∗(x ), . . . , x n − σ∗(x n )] = 0

  1

  1

  1 e a prova segue de forma análoga.

  −

  Se KG é Lie nilpotente de índice n trivialmente temos que (KG) σ e (KG) são

  ∗ σ ∗

  Lie nilpotentes de índices m e t, respectivamente, com m, t ≤ n.

  −1 −1 Lema 4.6. Seja G = ha, bi um grupo gerado por dois elementos a e b tais que b ab = a .

  Se (KG) σ é Lie n-Engel, para algum n, então ou

  ∗

  2

  (i) a = 1 (e G é abeliano), ou m m p

  2p

  (ii) σ(a) = 1, σ(b) = −1, b = 1 para algum m > 0 e ha, b i ≃ D k , onde k = |a|, se |a| < ∞, ou k = ∞, caso contrário.

  2 −1 −1 Demonstração. Se a = 1, como b ab = a = a ⇒ ab = ba, temos que (i) ocorre. i i 2 −1 −i

  Seja a 6= 1. Dessa forma, temos que b a b = a , ∀i ∈ N, logo, a ∈ Z(G) se, e

  2i somente se, a = 1.

  −1 −1 −1 −1

  Suponha que char(K) = p > 2. Veja que b ab = a ⇒ b a b = a, logo

  −2 −1 2 −1 −1

  b a b = b ab = a , dessa forma facilmente verificamos que (

  −1

  a , se i é ímpar;

  −i i

  b ab = (4.4) m a , se i é par.

  Seja m > 0 tal que p > n. Dependendo dos valores que σ pode assumir em G, consideraremos 3 casos. (1) a / ∈ N e b ∈ N . (1.a) b tem ordem finita. s s

  • 2

  Já que b ∈ Z(G) e b / ∈ Z(G), |b| é da forma 2k para algum k ∈ Z , pois ∈ Z(G), mas isso não pode acontecer se s for ímpar. Note também que k b = 1 ⇒ b k k

  | = 2; mas b ∈ Z(G), o que seria não pode ser ímpar, pois, se fosse, teríamos que |b / r um absurdo pelo Lema 4.1. Assim, 4 divide |b| e podemos escrever |b| = 2 s, com s um inteiro ímpar e r ≥ 2. p s s m m

  −1 −p

  , b + b Já que 0 = [a − a ], do item (iii) do Lema 4.2, temos que p s p s −p s m m m ab ∈ b a, b a

  50 ou p s s m m

  2 2p

  |a| = 4 = |b | e a = b acontece. p s p s m m m Se a primeira opção ocorre, por (4.4), devemos ter que ab 6= b m m m m

  a, já que p s

  −1 p s −p s −p s −1 −p s −1

  é ímpar e a 6= a . Logo ab = b

  a. Como b = a b a , temos que m m s s

  

−p −p

  a = b ab m m s s

  −1 −p −1 −p

  = a b a ab m s

  −1 −2p

  = a b ⇓ m s

  2 −2p a = b . p s s m m −1 −p

  Mas também temos que 0 = [a − a, b + b ], então podemos aplicar novamente o Lema 4.2 e verificar que uma das duas condições acontece. Note porém, que se a segunda ocorre para um dos casos, também ocorrerá para o outro; logo, como acima estamos supondo que acontece o primeiro, temos que o mesmo deve ocorrer novamente e com um m

  2 2p s

  4 argumento análogo encontramos que a = b e assim a = 1. m m 2 2p s 4p s

  Logo, as duas opções implicam |a| = 4, a = b e b = 1. Assim, |b| = 4s, já s | = 4 que precisávamos apenas encontrar o valor adequado para r. Desta forma, |a| = |b

  2 2s s

  i ≃ Q e a = b , o que implica em ha, b

  8 . Mas σ(a) = −1 e sabemos pelo Corolário 3.4 ⊂ N , logo temos uma contradição.

  que Q

  8 n 6= 1, ∀n ∈ N\ {0}.

  (1.b) b p s s n m m

  −1 −p

  − a, b + b ] e aplicar o Lema 4.2. Como b 6= Podemos escrever 0 = [a

  1, ∀n ∈ N\ {0}, temos que o segundo caso não acontece, e, de forma análoga ao caso onde p s s s m m m

  

2 −p 2p

  |b| < ∞, encontramos que a = b = b ⇒ |a| = 4 ⇒ b = 1, um absurdo, já que n estamos supondo que b 6= 1, ∀n ∈ N\ {0}. Logo o caso (1) não ocorre.

  (2) a ∈ N e b / ∈ N . m

  2p

  Suponha que b 6= 1. Temos então que

  2

  (ab) = abab

  −1

  2

  = abab b

  −1

  2

  = aa b

  2 6= 1.

  = b p p p m m m = b a e novamente

  Aplicando o Corolário 4.3 aos elementos ab e b , temos que ab m m p

  2 2p

  a = 1, contradição. Assim, temos que b = 1, logo ha, b i é isomorfo a D k ou D ∞ , de acordo com a ordem de a.

  (3) a, b / ∈ N .

  −1 −1

  Seja c = ab. Então c ∈ N e c ac = a . Logo, novamente temos o primeiro caso, que mostramos que não pode ocorrer.

  m

  51

  2 2p

  2 Assim, provamos que ou a = 1 ou b = 1 para algum m ≥ 0, e, caso a 6= 1, a única possibilidade para σ é σ(a) = 1 e σ(b) = −1.

  Se char(K) = 0, então ZG ⊂ KG. Assim (ZG) σ é Lie n-Engel e assim, para

  ∗

  qualquer primo ímpar q, temos que ((Z/qZ)G) σ é Lie n-Engel. Usando o resultado acima, m ∗ 2 2q

  

2

  6= 1, então a a última opção vale para todo a = 1 ou b = 1, para algum m ≥ 0. Se a m ≥ n. Tome então r, s dois primos ímpares e t ≥ 0 tal primo ímpar q e m ≥ 0 tal que q t t t t t t

  • βs = 1,

  ≥ n. Como mdc {r } = 1, temos que existem α, β ∈ Z tais que αr que r , s , s t t t t

  2r 2s 2αr 2βs

  ⇒ b logo b = 1 = b = 1 = b , assim t t t t

  

2αr 2βs 2(αr +βs )

  2

  1 = b b = b = b ,

  2

  2 mas isso implica que a = 1, contradição. Dessa forma a = 1 e G é abeliano.

  O próximo lema não se encontra no artigo do Castillo, visto que é bastante semelhante ao anterior, porém, para tornar o trabalho o mais completo possível, faz-se necessário enunciar e provar o mesmo para demonstrarmos o Lema 4.8.

  −1 −1 Lema 4.7. Seja G = ha, bi um grupo gerado por dois elementos a e b tais que b ab = a . − Se (KG) é Lie n-Engel, para algum n, então G possui algum elemento de ordem 2. σ

  ∗ 2k 2t 2s

  Demonstração. Se a = 1, b = 1 ou (ab) = 1 para algum k, t, s ∈ Z, então temos o resultado.

  Note que temos também que (

  −1

  a , se i é ímpar;

  −i i

  b ab = (4.5) a , se i é par.

  2k 2t 2s

  Podemos supor então que a 6= 1, b 6= 1 e (ab) 6= 1 ∀k, t, s ∈ Z. Seja m > 0 m tal que p > n. Devemos considerar três casos separados, dependendo dos valores de σ em G.

  (1) a / ∈ N e b ∈ N . (1.a) Suponha que b tem ordem finita.

  2

  ∈ Z(G) e b / ∈ Z(G) podemos fazer um raciocínio análogo ao item (1) Já que b do lema anterior e concluir que 4 divide |b|, absurdo. n 6= 1, ∀n ∈ N\ {0}.

  (1.b) Suponha que b m m

  2

  2 2 −1 p −p

  ∈ N , b 6= 1, (ab) / ∈ N e (ab) 6= 1, temos que [ab+(ab) −b Como b

  , b ] = 0; da parte (iii) do Lema 4.2, temos que p p −1 p 2p 2p m m m m m

  2 b (ab) ∈ (ab)b , (ab) b ou |b | = 4 = |(ab)| e b = (ab) . p p p m m m

  Se a primeira opção ocorre, podemos ter que b (ab) = (ab)b ou b (ab) =

  p p p m m m

  52

  −1

  (ab) b . Se b (ab) = (ab)b ocorre, temos que p p m m b (ab) = (ab)b p p m m b a = ab , m p p m m

  −1

  mas, por (4.4), temos uma contradição, já que p é ímpar. Se b (ab) = (ab) b , temos então que p p m m

  −1

  b (ab) = (ab) b p p m m

  −1 −1 p p b ab = b a b m m

  • 1 −1 −1

  b a = a b p +1 p −1 −1 m m b a = b a

  

2 −2

b = a . −1 −1

  De bab = a , temos que

  2 −1 −2

  ba b = a

  2 −1

  2

  ba b = b

  2

  2

  a = b ,

  2 −2

  4

  assim, b = b , o que implica que b = 1, contradição. Assim só resta a segunda opção, n mas, como estamos supondo que b 6= 1, ∀n ∈ N\ {0}, temos que a / ∈ N e b ∈ N não ocorre.

  (2) a ∈ N e b / ∈ N . De forma análoga ao item (1) do Lema 4.6, encontraremos uma contradição. (3) a, b / ∈ N .

  

−1 −1

  Seja c = ab. Então c ∈ N e c ac = a . Assim, temos novamente o primeiro caso, onde mostramos que não pode ocorrer. Logo, para uma orientação não trivial σ, temos que existe um elemento de ordem 2 em G.

  Lema 4.8. Seja G = ha, bi um grupo gerado por dois elementos a, b satisfazendo a 6= 1 b

  −1

  e a = a . Suponha que G não possua elementos de ordem 2. Então nem (KG) nem σ ∗

  − (KG) são Lie n-Engel. σ ∗ Demonstração. O resultado segue imediatamente dos Lemas 4.6 e 4.7.

  −1 −1

  Lema 4.9. Seja G = hg, hi. Suponha que [g +c g , h+c h ] = 0, para algum c , c ∈ K

  1

  2

  1

  2 −

  e G não possua elementos de ordem 2. Se (KG) σ ou (KG) é Lie n-Engel, então G é

  ∗ σ ∗

  abeliano. Demonstração. Suponha, por absurdo, que [g, h] 6= 0. Então, g, h, gh 6= 1 e gh / ∈

  −1 −1 −1 −1 −1 −1

  {hg, g

  h, gh , h g }. Além disso, pelo Lema 4.8, temos que gh 6= hg , h

  g. Por

  53 hipótese temos que

  −1 −1

  0 = [g + c g , h + c h ]

  1

  2

  ⇓ (4.6)

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

  gh + c

  2 gh + c 1 g h + c 1 c 2 g h = hg + c 2 h g + c 1 hg + c 1 c 2 h g .

  Se c = c = 0 temos o resultado. Se c 6= 0 e c = 0, então temos que

  1

  2

  1

  2 −1 −1

  gh + c g h = hg + c hg ,

  1

  1 −1 −1

  1 , c

  2 −1 −1 −1 −1

  6= 0 da equação (4.6) mas, como gh 6= g h, hg, hg , encontramos um absurdo. Se c

  devemos ter que gh = −c

  1 c 2 g h , o que implica c 1 c 2 = −1 e gh = g h , e assim 2 −2

  2

  2

  g = h ∈ Z(G). Já que g / ∈ Z(G), temos

  . Daí, temos que g comuta com h, logo g i ∈ Z(G) com i primo e, caso |g| = k < ∞, teríamos / que g possui ordem infinita, pois g k 2 k

  ∈ Z(G); mas, se k é par, então g que k é par, pois 1 = g seria um elemento de ordem 2 em G, contradição. De forma análoga podemos encontrar os mesmos resultados para h. Assim,

  −1 −1 −2 −2

  0 = [g + c g , h + c h ] = [(1 + c g )g, (1 + c h )h]

  1

  2

  1

  2 −2 −2

  = (1 + c g )(1 + c h )[g, h]

  1

  2 −2

  2

  = (1 + c g + c g + c c )[g, h]

  1

  2

  1

  2 −2 2 = (c g + c g )[g, h].

  1

  2 −2

2 Vamos mostrar que (c g + c g ) não é um divisor de zero em KG.

  1

  2 X −2

  2 De fato, suponha que exista 0 6= η = η x x tal que γ = (c x 1 g + c 2 g )η = 0. x 6= 0, então c η x η x ∈G

  Seja x ∈ supp(η). Assim temos que η

  1 e c 2 são diferentes de zero e −2

  2

  com isso c η x g x e c η x g x aparecem como parcelas de γ; mas, como γ = 0, devemos ter

  1

  2 −2

  2

  elementos em η que ao serem multiplicados por (c g + c g ), anulem esses elementos em

  1

  2 −2

  2

  γ. Observe que os únicos elementos que, ao serem multiplicados por (c g + c g ), irão

  1

  2 −2 −4 4 −2

  resultar em αg são η x x e η g x g x; como já utilizamos η x x para encontrar o η x g x, 4 −4

  −2

  2

  temos que η g x g x é o elemento que deverá ser multiplicado por (c g + c g ) para

  1

  2 −2 −4

  anular o η x g x; portanto g x ∈ supp(η).

  2k

  Repetindo o processo, podemos concluir que g x ∈ supp(η), ∀k ∈ Z. Como

  2

  hg i não é de torção, já que G não possui elementos de ordem 2, encontramos que card(supp(η)) = ∞, um absurdo.

  −2

  2 Como c 1 g + c 2 g não é um divisor de zero em KG, podemos aplicar o Lema −2

  2

  1.14 de [Pa77], e com isso temos que c

  1 g + c 2 g também não é um divisor de zero em KG. Assim [g, h] = 0, uma contradição, provando o lema.

  Lema 4.10. Sejam G um grupo sem elementos de ordem 2 e K um corpo tal que

  −

  char(K) 6= 2. Suponha que (KG) σ ou (KG) é Lie n-Engel, para algum n. Então,

  ∗ σ ∗

  (i) se char(K) = 0, então G é abeliano;

  p m 54 (ii) se char(K) = p > 0, então G ⊂ Z(G), para algum m > 0.

  Demonstração. Suponha que (KG) σ é Lie n-Engel, para algum n ∈ N. Suponha que

  ∗

m

  char(K) = p > 2 e tome m > 0 tal que p > n. Seja h um elemento fixo de G, então para todo g ∈ G;

  −1 −1 −1 [g + σ(g)g , h + σ(h)h , . . . , h + σ(h)h ] = 0.

  | {z } p m p m m vezes p m

  −1 −p

  , h + σ(h)h ] = 0 e, pelo Lema 4.9, temos que gh = p p m m Assim, [g + σ(g)g h g. Logo G ⊂ Z(G).

  Se char(K) = 0, então ZG ⊂ F G, portanto (ZG) σ é Lie n-Engel e, assim, para

  ∗ q m

  qualquer primo ímpar q, (Z q

  G) σ é Lie n-Engel. Usando o resultado acima, G ⊂ Z(G)

  ∗ para algum m e usando um argumento análogo ao do Lema 4.6, temos que G ⊂ Z(G). − Se (KG) é Lie n-Engel, para algum n, a prova segue de forma semelhante. σ

  ∗

  Com o item (i) do Lema que acabamos de demonstrar, podemos concluir que, se o grupo G não possuir elementos de ordem 2, for não abeliano e K for um corpo tal

  −

  que char(K) = 0, então (KG) também não pode ser Lie n-Engel (lembrando que o σ

  ∗ Corolário 3.13 já garantia que sob essas hipóteses (KG) σ ∗ não poderia ser Lie n-Engel).

  Dessa forma, os teoremas a seguir embora estejam enunciados no artigo [CP12] com o caso char(K) = 0, faremos nesta dissertação apenas o caso char(K) = p > 2.

  Para entendermos a demonstração do próximo teorema, faz-se necessário a se- guinte definição. Definição 4.11. O subconjunto de G dos elementos de conjugação finita é chamado de FC-subgrupo de G e será denotado por φ(G), ou seja, φ(G) = {g ∈ G; |C(g)| < ∞} .

  Note que facilmente podemos verificar que que ϕ(G) ⊳ G.

  ′

  Definição 4.12. Um grupo G é chamado de p-abeliano, se G , o subgrupo derivado de G, é um p-grupo finito. Dizemos que G é 0-abeliano se G for abeliano. t Definição 4.13. Sejam p um inteiro positivo primo e g ∈ G. Se |g| = p para algum t ∈ N , então g é chamado de p-elemento. Se |g| < ∞ e p 6 ||g| então g é chamado de p -elemento. Teorema 4.14. Sejam K um corpo de característica p > 2, G um grupo não abeliano sem

  −

  elementos de ordem 2 e σ uma orientação não trivial de G. Então (KG) σ (ou (KG) )

  ∗ σ ∗

  é Lie n-Engel, para algum n se, e somente se, KG é Lie m-Engel, para algum m.

  55 Demonstração. Assuma que (KG) σ é Lie n-Engel para algum n.

  ∗

  Temos então que

  −1 −1

  [x, y + y , . . . , y + y ] = 0 | {z } n vezes

  é uma ∗-identidade polinomial em KG. Assim pelo Teorema 6.5.2 de [H76], temos que KG satisfaz uma identidade polinomial.

  Vamos mostrar que G é nilpotente. Para isso basta verificar que G/Z(G) é nilpotente. p m ⊂ Z(G) para algum m > 0, assim

  Pelo Lema 4.10, podemos afirmar que G G/Z(G) é um p-grupo de expoente limitado, pois, dado qualquer elemento g ∈ G/Z(G), p p m m

  ∈ Z(G). Como K(G/Z(G)) também é Lie n-Engel, temos temos que g = 1 já que g que K(G/Z(G)) satisfaz uma identidade polinomial; assim, podemos aplicar o Lema 3.2.7 de [L10] e encontrar que G/Z(G) é nilpotente, logo G também o é, dessa forma,

  ′

  aplicando o item 2 da Proposição 1.3.7 de [L10] e encontrar que G é um p-grupo de expoente limitado.

  Também temos, pelo Teorema 5.2.14 de [Pa77], que φ(G), o FC-subgrupo de G,

  ′

  é de índice finto em G e |φ(G) | < ∞. Note que Z(G) ⊂ φ(G), logo, como G/Z(G) é um p-grupo de expoente limitado, G/φ(G) é um p-grupo finito. Também podemos afirmar

  ′ ′ ′

  que φ(G) é p-abeliano, pois φ(G) é um p-grupo finito, já que φ(G) ⊂ G e este útimo mostramos ser um p-grupo.

  Assim, como φ(G) é normal em G, podemos aplicar o Teorema V.6.1 de [S78] e encontrar que KG é Lie m-Engel. Reciprocamente, se KG é Lie m-Engel, obviamente (KG) σ ∗ é Lie n-Engel.

  −

  Se (KG) é Lie n-Engel, então σ

  ∗ −1 −1

  [x, y − y , . . . , y − y ] = 0 | {z } n vezes

  é uma ∗-identidade polinomial em KG e a prova segue de forma análoga ao caso anterior. Lema 4.15. Sejam G um grupo sem elementos de ordem 2 e K um corpo de característica

  −

  p 6= 2. Se (KG) σ (ou (KG) ) é Lie nilpotente, G é nilpotente e |ξ i | = ∞, para algum i,

  ∗ σ ∗ então KG é Lie nilpotente.

  Demonstração. Note que se K (G/Z(G)) é Lie nilpotente de índice n, então KG será Lie nilpotente de índice n, pois se 0 = [g Z(G), . . . , g n Z(G)] = [g , . . . , g n ]Z(G), então

  1

  1

  [g , . . . , g n ] = 0, ∀g h ∈ G\Z(G) e, obviamente, se algum g h for substituido por g ∈ Z(G),

  1 o resultado do comutador continua o mesmo.

  −

  Observe também que se (KG) σ (ou (KG) ) é Lie nilpotente, (K(G/ξ j (G))) σ

  ∗ σ ∗ ∗ − (ou (K(G/ξ j (G))) respectivamente) também o será. σ

  ∗

  56 Seja i, o menor natural tal que |ξ i | = ∞.

  Como Z (G/ξ i (G)) ≃ ξ i (G)/ξ i (G), pela minimalidade do i, temos que

  −1 −1

  |Z (G/ξ i (G)) | = |ξ i (G)/ξ i (G)| = ∞.

  −1 −1

  Como G não possui elementos de ordem 2, temos que qualquer quociente de subgrupos

  2

  (G)/ξ (G)) | = ∞. Aplicando de G também não possuirá tais elementos, portanto |(ξ i i −1 i (G)) é Lie nilpotente. a Proposição 4.5, temos que K(G/ξ −1

  Dessa forma, se i = 1, 2 temos o resultado. Suponha então que i > 2. Pelo Teorema do Isomorfismo de Grupos, temos que

  G/ξ i −2 (G) G/ξ i −2 (G) ≃ K

  K(G/ξ i −1 (G)) ≃ K ,

  ξ i (G)/ξ i (G) Z (G/ξ i (G))

  −1 −2 −2 portanto, pelo argumento do início da demonstração, K(G/ξ i (G)) é Lie nilpotente.

  −2 Repetindo esse argumento, encontraremos que KG é Lie Nilpotente.

  Teorema 4.16. Sejam K um corpo de característica p > 2, G um grupo não abeliano sem

  −

  elementos de ordem 2 e σ uma orientação não trivial de G. Então (KG) (ou (KG) ) σ ∗ σ ∗ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie nilpotente.

  − Demonstração. Assuma que (KG) σ (ou (KG) ) seja Lie nilpotente. ∗ σ ∗

  ′ Pela demonstração do Teorema 4.14, G é nilpotente e G é um p-grupo.

  Se |ξ i (G)| = ∞, para algum i ∈ N, aplicando o Lema 4.15, temos o resultado.

  ′

  Dessa forma, podemos admitir que |ξ i (G)| < ∞, ∀i ∈ N. Portanto |G | < |G| < ∞, assim, podemos concluir que G é p-abeliano, logo, aplicando o Teorema V.4.4 de [S78], encontramos que KG é Lie nilpotente.

4.2.2 Grupos que não contêm Q

  8 Estenderemos um pouco os resultados anteriores permitindo que o grupo G con-

  tenha alguns elementos de ordem 2, porém, exigindo certas propriedades dos mesmos, e encontrando resultados semelhantes. Lema 4.17. Sejam G um grupo não abeliano tal que Q 6⊂ G com uma orientação não

  8

  2

  trivial σ e K um corpo tal que char(K) = p > 2. Assuma que g 6= 1 para todo g ∈ G\N p m e (KG) σ é Lie n-Engel para algum n. Então, G ⊂ Z(G), para algum m > 0.

  ∗ m

  Demonstração. Escolha m > 0 tal que p ≥ n e sejam b um elemento fixo de G e a ∈ G um elemento qualquer. Vamos analisar os casos dependendo dos valores de σ em a e b: (1) a, b ∈ N. p m Do Lema 5 de [L99] temos que (a, b ) = 1.

  57 (2) a, b / ∈ N . m

  2 2p

  Por hipótese, temos que a 6= 1 6= b , assim, pelo Corolário 4.3, temos que p m (a, b ) = 1 ∈ N .

  (3) a ∈ N e b / p m Tome c = ab, do item anterior, temos que c ∈ G\N, daí, (c, b ) = 1, o que implica p m que (a, b ) = 1.

  ∈ N e b ∈ N . (4) a / p p m m

  2

  , b ) = 1. Pelo item (3), temos que (b, a ) = 1. Assim Pelo item (1), temos que (a temos que p p p p m m m m

  • 1 +1

  a b = b a p p p p m m m m

  • 1

  aa b = b a p p p p m m m m

  • 1

  ab a = b a p p m m ab = b a e o resultado segue.

  No artigo [CP12], os autores mostraram que, sob as condições do lema anterior e alterando apenas a característica de K para 0, poderíamos afirmar que o grupo G seria abeliano, porém o Corolário 3.14 mostra que tais hipóteses não podem ser satisfeitas.

  Da mesma forma que os teoremas anteriores, temos que as hipóteses para o caso char(K) = 0 também não podem ser satisfeitas, de forma não trivial, para os dois teore- mas seguintes; assim enunciaremos os resultados apenas para char(K) = p > 2. Teorema 4.18. Sejam K um corpo tal que char(K) = p > 2 e G um grupo não abeliano

  2

  tal que Q 6⊂ G com uma orientação não trivial σ. Suponha que g 6= 1, para todo

  8

  g ∈ G\N . Então, (KG) σ é Lie n-Engel, para algum n, se, e somente se, KG é Lie

  ∗ m-Engel, para algum m.

  Demonstração. Similar à prova do Teorema 4.14, substituindo apenas o Lema 4.10 pelo Lema 4.17. Teorema 4.19. Sejam K um corpo tal que char(K) = p > 2 e G um grupo não abeliano

  2

  tal que Q 6⊂ G com uma orientação não trivial σ. Suponha que g 6= 1, para todo

  8 g ∈ G\N . Então (KG) σ é Lie nilpotente se, e somente se, KG é Lie nilpotente.

  ∗

  Demonstração. De forma análoga à prova do Teorema 4.14 temos que G é nilpotente e que G/Z(G) é um p-grupo de expoente limitado, assim, segue da Proposição 1.3.7 de

  ′ [L10] que G é um p-grupo.

  n

  58 Suponha que G contenha um elemento x tal que x 6= 1, ∀n ∈ Z\ {0}. Pelo Lema m

  2

  4.17, temos que existe m > 0 tal que x ∈ Z(G), e assim |Z(G) | = ∞. Pela Proposição 4.5 temos que KG é Lie nilpotente.

  Podemos admitir então que G é de torção. Assim, pelo Teorema 5.2.7 de [R96], temos que G = Π q P q , onde para cada primo q, P q é o único q-subgrupo de Sylow de G.

  ′ ′ ′

  Como G é um p-grupo, temos que G = P . Já que (KP p ) σ ∗ é Lie nilpotente, podemos p ⊂ N , aplicar o Teorema 1 de [L99], pois P p só possui elementos de ordem prima. Logo P p

  ′

  assim, P é finito, e, com isso, G é p-abeliano. Assim, aplicando o Teorema V.4.4 de [S78] p obtemos que KG é Lie nilpotente.

  Note que estes dois últimos teoremas generalizam completamente os teoremas principais da seção anterior, exceto para o caso quando temos que as propriedades de Lie são satisfeitas para os elementos antissimétricos.

4.3 Propriedades de Lie dos elementos simétricos

  G.T. Lee caracterizou em [L99] e [L00] quando o conjunto dos elementos simétri- cos sob a involução clássica é Lie nilpotente e Lie n-Engel, respectivamente. Nesta seção estudaremos estas propriedades para os elementos simétricos em relação a uma involução orientada, ou seja, faremos um estudo semelhante ao trabalho de Lee, porém, no nosso caso, utilizaremos uma orientação para induzir a involução em KG. Definição 4.20. Um grupo G diz-se um produto central de dois subgrupos normais H e K, se G = HK, (H, K) = 1 e H ∩ K ⊂ Z(G). Neste caso denotaremos G = H × Z K.

  Lema 4.21. Sejam G um grupo e A um subgrupo de índice 2 em G. Suponha que A = C × E, um produto direto de grupos, com E um 2-grupo abeliano elementar. Se E é central em G então, para qualquer g ∈ G\A, G é um produto central dos subgrupos hC, gi e E.

  Demonstração. Seja g ∈ G\A. Como, por hipótese, A é de índice 2 em G, E é central em G e A = C × E, temos que G = hC, giE e claramente hC, gi ∩ E ⊂ Z(G). Resta mostrar que hC, gi ⊳ G e E ⊳ G. Como E é central, trivialmente temos que E ⊳ G. Seja h ∈ hC, gi,

  −1

  devemos mostrar que aha ∈ hC, gi, ∀a ∈ G. Como G = hC, giE, temos que a = be

  −1 −1 −1 −1

  com b ∈ hC, gi e e ∈ E, assim, aha = behe b = bhb , já que E ⊂ Z(G), e como

  −1 b, h ∈ hC, gi, temos que bhb ∈ hC, gi, logo hC, gi ⊳ G.

  Lema 4.22. Sejam K um corpo de característica p > 2, G um grupo com uma orientação m não trivial σ e elementos x, y ∈ G tais que hx, yi ≃ Q m 8 . Se (KG) σ ∗ é Lie p -Engel 2p

  2

  2

  6= 1 e g para algum m > 0, então existe g ∈ G\N tal que g = x . Além disso, m

  2p 6= 1.

  (h, x) = (h, y) = 1, para todo h ∈ G\N tal que h

  m

  59

  2p Demonstração. Suponha, por absurdo, que a = 1 para todo a ∈ G\N . Seja g ∈ G\N . m

  Primeiramente, assuma que |g| 6= 2. Como (KG) σ é Lie p -Engel e |x| = 4, temos que p m m ∗ −1 −p −1 −1 0 = [g − g , x + x ] = [g − g , x + x ]. m

  −1 2p

  g ou |g| = 4. Já que g = 1, Da parte (iii) do Lema 4.2, temos que gx = xg, gx = x temos que a última opção não pode ocorrer. Como g ∈ G\N e, pelo Corolário 3.4, x ∈ N, m m m m

  2p 2p 2p 2p

  = g x = 1, uma temos que gx ∈ G\N. Se gx = xg, então 1 = (gx) e assim x

  −1

  contradição. Logo gx = x g.

  2 Suponha agora que |g| = 2. Se (gx) 6= 1, então, pelo argumento anterior, −1 −1 2 −1 −1 −1

  (gx)x = x (gx) e assim gx = x

  g. Se (gx) = 1, então gx = x g = x

  g. Dessa

  −1 −1

  forma, gx = x g∀g ∈ G\N . Como gy ∈ G\N , devemos ter que (gy)x = x (gy) = gxy, y o que implica x = x, contradição. m

  2p Assim, existe um g ∈ G\N tal que g 6= 1. m 2p m

  Seja h ∈ G\N um elemento tal que h 6= 1. Como (KG) σ é Lie p -Engel,

  ∗ −1 −1

  temos que [h − h , x + x ] = 0, assim, pelo item (iii) do Lema 4.2, podemos afirmar que (1) hx = xh, ou;

  −1

  (2) hx = x

  h, ou;

  2

  2 (3) x = h e |h| = 4.

  Vamos mostrar que (1) sempre ocorre. De fato, suponha que (2) ocorra, assim, podemos verificar que

  ( k k h , se k for par; (hx) = k m m h x, caso contrário. p p m m

  2p 2p

  = h 6= 1 e, pelo Corolário 4.3, temos que h(hx) = (hx) h e, com Logo, (hx) isso, p p m m hh x = h xh p p m m

  • 1

  h x = h xh p p m m

  • 1

  (hx) x = (hx) h

  2

  hx = h

  2

  x = 1, contradição. Vamos mostrar agora que (3)⇒(1).

  2

  2

  2

  = x = 1, Suponha que (3) seja satisfeito. Isto significa que |h| = 4 e h . Se (xh)

  −1 −1 3 −1 2 −1

  2

  x = h x = hx x = hx. Suponha que (xh) 6= 1, podemos então então xh = h aplicar o Corolário 4.3 encontrando que (xh, h) = 1, logo (x, h) = 1.

  −1 −1

  De forma análoga, podemos provar que [h − h , y + y ] = 0, o que implica

  60 (i) hy = yh; ou

  −1

  (ii) hy = y h; ou

  2

  2

  (iii) y = h e |h| = 4; e (i) sempre ocorre. m

  2 2p

  6= 1 para todos os elementos h ∈ G\N Finalmente, suponha que (xh) , (yh) m m

  2p 2p −1

  como acima. Como h comuta com x e y, e y = y ou y = y m m m m

  e, pelo Corolário 4.3,

  2p 2p 2p 2p h = y h xh, podemos concluir que xy = yx, uma contradição.

  temos que xhy m m

  2p 2 2p 6= 1 e (xg) = 1 ou (yg) = 1.

  Assim, existe g ∈ G\N tal que g

  2

  2

  2

  2

  2

  = 1, então x g = 1, o que implica que x = g m m m Se (xg) p . De forma análoga,

  2p 2 2p (yg) = 1 implica que y = g . Neste caso, tomamos g = g .

  1 Em todos os casos encontramos um elemento g ∈ G\N nas condições esperadas.

  Lema 4.23. Sejam R um anel comutativo, Q = hx, yi e G = hQ , gi, com (g, x) =

  8

  8

  2

  2

  (g, y) = 1 e g = x . Seja σ uma orientação de G definida por σ(x) = σ(y) = 1 e σ(g) = −1. Então, (RG) σ é central em RG.

  ∗

  Demonstração. Note que (RG) σ é gerado como um R-módulo pelo conjunto

  ∗ 2 −1 −1 −1 −1

  S = ∪ ∪ 1, x x + x , y + y , (xy) + (xy) g − g . Para qualquer γ ∈ S, é fácil verificar que [γ, x] = [γ, y] = [γ, g] = 0. Assim (RG) σ é

  ∗ central em RG.

  Teorema 4.24. Sejam K um corpo de característica p 6= 2, G um grupo com uma ori- entação não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ≃ Q . Então, (KG) σ é Lie

  8 ∗

  n-Engel, para algum n ≥ 0 se, e somente se, ou

  2

  (i) char(K) = 0, N ≃ Q × E e G ≃ hQ , gi × E, com E = 1, e g ∈ G\N é tal que

  8

  

8

  2

  2

  (g, x) = (g, y) = 1 e g = x ; ou, × E × P em que P é um p-grupo nilpotente de expoente

  (ii) char(K) = p > 2, N ≃ Q

  8

  limitado contendo um subgrupo p-abeliano normal A de índice finito, e existe g ∈ G\N tal que G ≃ hQ

  8 , gi × E × P , com (g, x) = (g, y) = (g, t) = 1, para todo t ∈ P

  2

  2 e g = x .

  Demonstração. Suponha que char(K) = 0. Pelo Teorema 3.11, temos que (KG) σ

  ∗ é

  comutativo; logo, aplicando o Teorema 2.8, temos que (1) ou (2) ocorre, já que char(K) 6= 2.

  61 Como Q ⊂ G, podemos aplicar o Corolário 3.4 e verificar que Q ⊂ N ; logo, N

  8

  8

  não pode ser abeliano. Assim, (2) ocorre e facilmente podemos verificar que o mesmo é equivalente ao item (i) desse teorema.

  Assuma então que char(K) = p > 2 e que (KG) σ é Lie n-Engel para algum n.

  ∗

  × E × P , em que E é um Pelo Corolário 3.4 e Teorema 2 de [L00], temos que N ≃ Q

  8

  2-grupo abeliano elementar e P é um p-grupo nilpotente de expoente limitado contendo um subgrupo p-abeliano elementar A de índice finito. Pelo Lema 4.1, sabemos que E é × P, gi × central em G e assim, pelo Lema 4.21, temos que G ≃ hQ

  8 Z

  E, sendo g um m ≥ n e elemento qualquer de G\N. Já que (KG) σ ∗ é Lie n-Engel, existe m > 0 tal que p p m [γ, β, . . . , β ] = [γ, β ] = 0, ∀ γ, β ∈ (KG) σ .

  ∗ | {z } p m vezes m 2p

  6= 1 Pelo Lema 4.22, sabemos que qualquer elemento h ∈ G\N tal que h m

  2p

  2

  2

  6= 1, g = x comuta com Q

  8 . Pelo mesmo lema, obtemos que existe g ∈ G\N tal que g e (g, x) = (g, y) = 1. Assim, temos também que |g| = 4. k m −1 −k

  Seja t um elemento qualquer de P . Então [t + t , g − g ] = 0, sendo k = p ,

  −1 −1

  assim [t + t , g − g ] = 0, já que |g| = 4. Pela parte (iii) do Lema 4.2, temos que

  −1

  gt ∈ {tgt g} ou |t| = 4. Como t é um p-elemento, a última possibilidade não ocorre. Se

  −1 2 −1 2 −1 −1

  gt = t

  g, então (gt) = gtgt = gtt g = g 6= 1. Já que [gt − (gt) , g − g ] = 0, pelo

  2 −1

  Corolário 4.3 obtemos que gt = tg e, assim, t = 1, logo t = t . Podemos concluir então que (g, t) = 1; assim, (g, P ) = 1, logo hQ × P, gi = hQ , gi × P .

  8

  8 Afirmação: O produto central de hQ × P, gi × E = hQ , gi × P × E é um

  8 Z

  8 Z produto direto.

  De fato, tome l ∈ (hQ

  8 , gi × P ) ∩ E. Como E ⊂ N , temos que g aparece uma

  quantidade par de vezes na expressão de l como um elemento do grupo hQ

  8 , gi × P e g 2r

  comuta com os elementos de Q

  8 e P . Podemos escrever l = ztg para algum r ∈ Z, z ∈ Q

  8

  2

  2

  = x e t ∈ P . Já que g temos que l ∈ (Q × P ) ∩ E = {1}, e disso a afirmação segue.

  , gi × E × P, (g, x) = (g, y) = 1 Reciprocamente, seja g ∈ G\N tal que G = hQ

  8

  2

  2 −1

  e g = x . Como g é central em G, temos que [g − g , γ] = 0, ∀γ ∈ (KG) σ . Queremos p s ∗ mostrar que existe s > 0 tal que [γ, β ] = 0, ∀γ, β ∈ (KG) σ . Primeiramente, note que

  ∗

  X P podemos escrever β = β + β , onde β = β h h e β = β h h.

  1

  2

  1

  2 h

h ∈N

∈(G\N )

  Assim, β ∈ (KN ) σ , e podemos escrever β como uma combinação linear de

  1 ∗

  1 −1 −1 −1 −1

  elementos da forma a c +a c , com a ∈ Q ×E e c ∈ P . Observe que a c +a c =

  1

  1

  1

  8

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 −1 −1

  − 1) + a − 1). Como E comuta com hQ a + a + a (c (c , gi e, pelo Lema 4.23, temos

  1

  1

  1

  1

  8

  1

  1 −1

  que a

  1 + a é central em K(hQ 8 , gi × E), logo, central em KG. Temos também que

  1 −1 −1

  − 1) + a − 1) ∈ ∆(G, P ). Assim, β a

  1 (c 1 (c 1 = α 1 + δ 1 , em que α 1 é central em KG e

  1

  1 ∈ ∆(G, P ).

  δ

  1

  c − Por outro lado, escreva β

  2 como combinação linear de elementos da forma ga

  2

  2

  62

  −1 −1 −1 −1 −1

  −1 −1

  g a c , com a ∈ Q × E e c ∈ P . Note que ga c − g a c = ga − (ga ) +

  2

  8

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 −1 −1 −1

  −1

  ga (c − 1) − g a (c − 1). De forma análoga a β , temos que ga − (ga ) é central

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  em K(hQ , gi × E). Assim β pode ser escrito na forma α + δ , onde α é central em KG

  8

  2

  2

  2

  2 e δ ∈ ∆(G, P ).

2 Assim podemos concluir que β = α+δ, onde α ∈ Z(KG) e δ ∈ ∆(G, P ). Observe

  que G hQ , gi × E × P

  8 = ≃ hQ , gi × P/A.

  8 E × A E × A

  Dessa forma, podemos concluir que E × A possui índice finito em G, já que |g| = 4 e |P |/|A| < ∞, e também é p-abeliano. Assim, pela Proposição 1.1.4 de [L10], temos que KG satisfaz uma identidade polinomial, logo, pelo Lema 1.3.14 de [L10], temos que r ∆(G, P ) é nil de expoente limitado, neste caso, p . p p p p p r r r r r

  Concluimos então que β = (α + δ) = α + δ = α . Como α é central em p p r r r KG, temos que [γ, β ] = [γ, α ] = 0 ∀γ ∈ (KG) σ , logo (KG) σ é Lie p -Engel.

  ∗ ∗ − −

  Lema 4.25. [(KG) σ , (KG) σ ] ⊂ (KG) e [(KG) , (KG) σ ] ⊂ (KG) σ .

  ∗ ∗ σ σ ∗ ∗ ∗ ∗ −

  Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que [(KG) σ ∗ , (KG) σ ∗ ] ⊂ (KG) . Para σ

  ∗ −

  isto, basta tomar α, β ∈ (KG) σ ∗ e mostrar que [α, β] ∈ (KG) . σ

  ∗

  De fato, como α, β, ∈ (KG) σ ∗ , temos que σ∗(α) = α e σ∗(β) = β, logo, aplicando σ∗ em [α, β] temos que

  σ∗([α, β]) = σ∗(αβ − βα) = σ∗(αβ) − σ∗(βα) = σ∗(β)σ∗(α) − σ∗(α)σ∗(β) = βα − αβ = −(αβ − βα) = −[α, β],

  − e com isso temos que [α, β] ∈ (KG) . σ ∗ −

  De forma análoga, podemos mostrar que [(KG) , (KG) σ ] ⊂ (KG) σ . σ ∗ ∗

  ∗

  Teorema 4.26. Sejam K um corpo de característica p 6= 2, G um grupo com uma ori- entação não trivial σ e x, y elementos de G tais que hx, yi ≃ Q

  8 . Então (KG) σ ∗ é Lie

  nilpotente se, e somente se, ou

  2

  (i) char(K) = 0, N ≃ Q × E e G ≃ hQ , gi × E, em que E = 1, e g ∈ G\N é tal

  8

  

8

  2

  2

  que (g, x) = (g, y) = 1 e g = x ; ou,

  2

  (ii) char(K) = p > 2, N ≃ Q × E × P em que E = 1, P é um p-grupo finito e existe

  8

  2

  2 g ∈ G\N tal que G ≃ hQ , gi × E × P, com (g, x) = (g, y) = 1 e g = x .

  8

  63 Demonstração. Se char(K) = 0, a prova segue de forma semelhante à do teorema anterior.

  Suponha que char(K) = p > 2 e que (KG) σ é Lie nilpotente. Pelo Corolário

  ∗

  3.4, temos que Q ⊂ N e, como a involução σ∗ em KN coincide com a involução canônica

  8

  2

  em KN, temos, pelo Teorema 2 de [L99], que N ≃ Q × E × P , com E = 1 e P um

  8

  p-grupo finito. Como (KG) σ é Lie nilpotente, temos também que (KG) σ é Lie n-Engel

  ∗ ∗

  para algum n. Assim, podemos aplicar o Teorema 4.24 e encontrar que ∃g ∈ G\N tal que

  

2

  2 G ≃ hQ 8 , gi × E × P, (g, x) = (g, y) = 1 e g = x . n

  Reciprocamente, suponha que P é um p-grupo finito, ou seja, |P | = p . Vamos n n , . . . , γ ∈ (KG) , . . . , γ ] = 0. mostrar, por indução em n, que, ∀γ

  1 p +1 σ ∗ , temos que [γ 1 p +1

  , gi × E, e assim, pelo Lema 4.23 e o argumento feito no Se n = 0, então G ≃ hQ

  8 σ item anterior, encontrarmos que (KG) ∗ é comutativo.

  Suponha que a tese valha para k = n − 1; vamos mostrar que também vale para k = n. Tome z ∈ Z(P ) tal que |z| = p. Como p é ímpar, temos que σ(z) = 1. Assim,

  2

  podemos considerar a orientação induzida σ definida em G/hz i. Assim, pela hipótese

  2 n 1

  de indução, temos que (K(G/hz i)) σ é comutativo, e assim [γ , . . . , γ − ] = 0, ∀γ ∈

  ∗ p i 1 +1 2 n 1

  2 2 −1

  (K(G/hz i)) σ . Assim [γ , . . . , γ p ] ∈ ∆(G, hz i) = (z − 1)KG = (z − z )KG. Logo,

  ∗ 1 +1 n 1 −1 [γ , . . . , γ p ] = (z − z )w, para algum w ∈ KG. 1 +1 n −1

  −1

  Como p + 1 é par, pelo Lema 4.25, podemos afirmar que (z − z )w = n 1 − −1 −1 −1 [γ , . . . , γ p ] ∈ (KG) , logo σ∗((z − z )w) = −(z − z )w. Como z − z é

  1 +1 σ ∗ 2 −1

  ∈ N e z 6= 1, temos também que σ∗((z − z central e antissimétrico, pois z / )w) =

  −1 −1 −1 −1

  σ∗(w)σ∗(z − z ) = −(z − z )σ∗(w). Assim, (z − z )w = (z − z )σ∗(w), logo

  

−1 −1

  (z − z )w = (z − z )σ∗(w) w σ∗(w)

  

−1 −1

  (z − z ) = (z − z )

  2

  2 w σ∗(w)

  −1 −1 −1

  (z − z )w − (z − z ) = (z − z )

  2

  2 w σ∗(w)

  −1 −1 −1

  (z − z )w = (z − z ) + (z − z )

  2

  2 w + σ∗(w)

  

−1 −1

  (z − z )w = (z − z )

  2

  

−1 −1

  (z − z )w = (z − z )β ,

  1

  w + σ∗(w) onde β = ∈ (KG) σ .

  1 ∗

  2 n − − − 1 n −1 1 n 1 Então [γ , . . . , γ ] = (z − z )[β , γ p , . . . , γ ]. Como o colchete 1 2p +1 n 1 +2 2p +1 n − − 1 n 1 −1 [β , γ p , . . . , γ ] possui p + 1 elementos, então, com um argumento análogo

  1 +2 2p +1 n n − − 1

1

−1 ao anterior, temos que [β , γ p , . . . , γ ] = (z − z )β , para algum β ∈ (KG) σ . 1 +2 2p +1

  2 2 ∗ p n −1

  Repetindo esse argumento, encontramos que [γ , . . . , γ p ] = (z − z ) β p , para

  1 +1 −1 p p −p

  algum β p ∈ (KG) σ . Mas (z − z ) = z − z = 1 − 1 = 0, assim encontramos que

  ∗ (KG) σ é Lie nilpotente. ∗

  Podemos agora construir um exemplo de anel de grupo que possua as propriedades

  64 de Lie gerais e não seja comutativo. Para isto basta tomar um anel que satisfaça o item (ii) dos Teoremas 4.24 ou 4.26 com P não trivial, e assim o Teorema 2.8 garantirá a veracidade do nosso exemplo.

  Vimos também, no Teorema 3.11, que, se char(K) = 0, não existem tais exem- plos, pois, neste caso, as propriedades de Lie são equivalentes entre si. Como podemos observar na literatura, a caracterização de grupos tais que (KG) σ ∗

  6⊂ G. Não conseguindo é Lie n-Engel (nilpotente) se torna mais complicada quando Q

  8

  ainda uma caracterização completa desse caso, os autores em [CP12] adicionaram a hipó- tese de KG ser semiprimo para resolver esse problema. Proposição 4.27. Sejam K um corpo tal que char(K) 6= 2 e G um grupo tal que KG é semiprimo e Q 6⊂ G. Então (KG) σ é Lie n-Engel para algum n se, e somente se, uma

  8 ∗

  das seguintes condições acontece: (i) G é abeliano;

  2 (ii) N = Ker(σ) é abeliano e (G\N ) = 1.

  Além disso, (KG) σ é comutativo.

  ∗

  Demonstração. Se (i) ocorre, trivialmente temos que KG é Lie n-Engel, e, caso (ii) ocorra, o Teorema 2.8 garante o resultado.

  6⊂ G e K é um Reciprocamente, suponha que (KG) σ ∗ é Lie n-Engel. Já que Q

  8

  corpo tal que char(K) 6= 2 temos, pelo Lema 2.4 de [GPS09], que (KG) σ ∗ é comutativo e, pelo Teorema 2.8, temos que o resultado segue.

  Assim, embora ainda não se encontre na literatura a caracterização dos grupos tais que o conjunto (RG) σϕ seja Lie n-Engel ou Lie nilpotente, ao menos para este caso particular de involução, um dos mais importantes, já temos alguns resultados nesse sen- tido. Conclusão

  Com os resultados encontrados nos teoremas dos 3 últimos capítulos podemos, utilizando involuções orientadas, extrair informações importantes sobre a estrutura do grupo G tal que os elementos simétricos do anel de grupo RG sob essas involuções orien- tadas satisfazem alguma das propriedades de Lie.

  Nesse sentido, no Capítulo 2, caracterizamos o grupo tal que os elementos si- métricos em relação a uma involução orientada satisfaçam comutatividade. No Capítulo 4, caracterizamos o grupo tal que os elementos simétricos em relação a uma involução orientada particular satisfaça alguma das propriedades de Lie.

  Para concluir o trabalho feito nessa direção, podemos generalizar a involução que particularizamos no Capítulo 4, ou equivalentemente, generalizar a comutatividade do Capítulo 2 para uma das propriedades de Lie mais gerais. Sendo assim, conseguimos resolver uma parte desse trabalho no Capítulo 3, onde utilizamos uma involução orientada qualquer e a propriedade de Lie n-Engel (nilpotência), caracterizando o grupo que possua alguma das propriedades supra citadas.

  Dessa forma, um possível caminho a se seguir nesse estudo seria exibir a estru- tura do grupo nas condições do Capítulo 3, alterando a condição de char(K) = 0 para char(K) = p, ou, melhor ainda, para um anel R comutativo.

  Observando também mais a fundo alguns dos resultados encontrados nessa dis- sertação, somos forçados a fazer a seguinte pergunta: seria possível encontrar um grupo G não abeliano, que não possua elementos de ordem 2 e uma orientação não trivial σ tal que (KG) σ satisfaça alguma propriedade de Lie?

  ∗

  Por que somos forçados a fazer essa pergunta? Note que o Corolário 3.13 já nos mostra que se char(K) = 0 tal grupo não existe. O Teorema 2.8 nos afirma que se tal grupo existir, e os elementos simétricos forem Lie n-Engel (nilpotente), este subconjunto não pode chegar a ser comutativo, pois caso contrário deverá possuir algum elemento de ordem 2. Temos também que se KG for semiprimo a conjectura se fortalece com a Proposição 4.27. Além disso o Lema 4.6 também reforça a mesma para um grupo

  −1 −1 G = ha, bi tal que b ab = a . Referências

  [BP06] BROCHE CRISTO, O.; POLCINO MILIES, C. Symmetric elements under orien- tated involutions in group rings, Communications in Algebra, v. 34, n. 9, p. 3347-3356, 2006. [CP12] CASTILLO GÓMEZ, J. H.; POLCINO MILIES, C. Lie Properties of Symmetric Elements Under Oriented Involutions, Communications in Algebra, v. 40, n. 12, p.

  4404-4419, 2012. [GPS09] GIAMBRUNO, A.; POLCINO MILIES, C.; SEHGAL, S. K. Lie properties of symmetric elements in group rings, Journal of Algebra, v. 321, n. 3, p. 890-902, 2009.

  [GS89] GIAMBRUNO, A.; SEHGAL, S. K. A Lie propertie in group rings, Proceedings of the American Mathematical Society, v. 105, n. 2, p. 287-292, 1989 [GS93] GIAMBRUNO, A.; SEHGAL, S. K. Lie Nilpotence of Group Rings, Communica- tions in Algebra, v. 21, n. 11, p. 4253-4261, 1993. [GP13] GOODAIRE,

  E. G.; POLCINO MILIES, Oriented Involuti- ons, Symmetric and Skew-symmetric Elements in Group RIngs. Em: http://arxiv.org/pdf/1108.4648v1.pdf. Acesso em 19 de abr. de 2013. [H76] HERSTEIN, I. N. Rings with involutions, Chicago: University of Chicago Press,

  1976. (Chicago lectures in mathematics) [JM96] JESPERS, E.; RUIZ MARÍN, M. Alternative Loop Rings, Amsterdam: Elsevier, 1996.

  [JM06] JESPERS, E.; RUIZ MARÍN, M. On symmetric elements and symmetric units in group rings, Communications in Algebra, v. 34, n. 2, p. 727-736, 2006. [K98] KNUS, M-A et al. The Book of Involutions, AMS Colloquium Publications, Vol.

  44, 1998. [L10] LEE, G. T. Group Identities on Units and Symmetric Units of Group Rings, New York: Springer, 2010.

  67 [L99] LEE, G. T. Group Rings Whose Symmetric Elements are Lie Nilpotent, Proceedings of the American Mathematical Society, v. 127, n. 11, p. 3153-3159, 1999.

  [L00] LEE, G. T. The Lie n-Engel Property in Group Rings, Communications in Algebra, v. 28, n. 2, p. 867-881, 2000. [LSS09] LEE, G. T.; SEHGAL, S. K.; SPINELLI, E. Lie properties of symmetric elements in group rings II, Journal of Pure and Applied Algebra, v. 213, n. 6, p. 1173-1178,

  2009. [N70] NOVIKOV, S. P. Algebraic construction and properties of hermitian analogues of

  K-theory over rings with involution from viewpoint of Hamiltonian formalism, Appli- cations to differential topology and the theory of characteristic classes II, Mathematics of the USSR-Izvestiya, v. 4, n. 2, p. 257-292, 1970. [PPS73] PASSI, I. B. S.; PASSMAN, D. S.; SEHGAL, S. K. Lie solvable group rings, Canadian Mathematical Society, v. 25, p. 748-757, 1973.

  [Pa77] PASSMAN, D. S. The Algebraic Structure of Group Rings, New York: Wiley- Interscience, 1977. [Po72] POLCINO MILIES, C. Anéis e Módulos, São Paulo: Publicações de Instituto de Matemática e Estatística da Univesidade de São Paulo, 1972. [PS02] POLCINO MILIES, C.; SEHGAL, S. K. An Introduction to Group Rings, Dor- drecht Boston: Kluwer Academic Publishers, 2002. [R96] ROBINSON, D. J. S. A course in the theory of groups, second ed., New York: Springer-Velag, 1996. [S78] SEHGAL, S. K. Topics in Group Rings, New York: Marcel Dekker, 1978.

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