UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL GRACINO FRANCISCO RODRIGUES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  INSTITUTO DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL As Curvas Cônicas com o Uso do GeoGebraMaceió 2015 As Curvas Cônicas com o Uso do GeoGebra Dissertação de Mestrado apresentada ao Mes- trado Profissional em Matemática em Rede Na-cional do Instituto de Matemática da Universi- dade Federal de Alagoas como requisito parcialpara obtenção do grau de Mestre em Matemá- tica. As curvas cônicas com o uso do GeoGebra / Gracino Francisco Rodrigues ; orientação de Hilário Alencar da Silva.

1. Cônicas. 2. GeoGebra. 3. Educação básica. I. Título

  24 3.6 Focos e Vértices da Hipérbole H . O uso do GeoGebra foi neces-sário para determinar o lugar geométrico da equação geral do segundo grau com duas variáveis onde g(x,y) = 0, que é o conjunto de nível zero da função g : R → R, tal que 2 2 g(x,y) = ax + bxy + cy + dx + ey + f .

1. NOđỏES BÁSICAS DO GeoGebra

  O GeoGebra é um software bastante popular entre os programas de geometria dinâmica, essa popularidade não é por acaso e deve-se ao poder e a facilidade de utilização desse programa.É um software gratuito desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vá- rios níveis de ensino, do básico ao universitário [2]. O GeoGebra pode ser usado simplesmente comouma ferramenta para soluções de situações-problema, para elaborar material de exposição ou disponibilizando a todos a oportunidade de experimentar as percepções extraordinárias que amatemática torna possível [1].

1.1. Download e Instalação

  PASSO 1 . PASSO 3 .

1.2. Ferramentas

  O GeoGebra oferece, em sua instalação padrão, uma grande variedade de recursos de geo- metria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos, ferramentascomuns a diversas áreas do conhecimento. Um conjunto de ferramentas e comandos acessíveis por meio da Barra de Ferramentas, com as quais é possível construir objetos geométricos, apli-car transformações e executar diversas outras ações.

1.2.1. O ambiente do GeoGebra e suas principais janelas

  Menu Exibir O GeoGebra oferece uma grande variedade de recursos, que podem ser acessados através do menu Exibir, janelas de álgebra, janela de visualização para construções geométricas 2D e 3D , protocolo de construção e tabelas, que interagem entre si em um único ambiente (figura 1.12). Com uma interface de fácil acesso, que pode ser feito através de ícones que dão acesso a ferramentas que permitem construções como: pontos, retas, vetores, polígonos,circunferências, cônicas e outras que são combinação de dois ou mais elementos.

1.2.4. Propriedades

  Clicando com o botão direito do mouse em um elemento representado na Janela de Visua- lização e depois com o botão esquerdo em propriedades, será visível a Janela de Preferências(figura 1.14), em suas abas pode-se alterar o nome, definição, cor, estilo, tipo de equação e outras propriedades do elemento. Figura 1.13 Configurar Barra de Ferramentas Fonte: Autor, 2015.

2. ELIPSE

  A Elipse é uma curva plana, mas tem origem como a seção do cone duplo, ou melhor, é uma superfície cônica seccionada por um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo à retageratriz e não é paralelo ao eixo da superfície (figura 2.1). O estudo da elipse ganhou maior importância quando o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) afirmou que todos osplanetas do sistema solar descrevem uma órbita elíptica, o que ficou conhecido como a primeira lei de Kepler [10].

2.1. Elipse

  e F dois pontos pertencentes a um plano π , o lugar geométrico dosDefinição 2.1. Sejam F 1 2 pontos P pertencentes a π, onde a soma das distância de P a F e P a F é igual a uma constante 1 2 r , com r maior que a distância entre F e F , é chamado de elipse E de focos F e F , ou seja, 1 2 1 2 E ) + d(P, F 1 2 = {P|d(P,F ) = r}.

2.2. Elementos da Elipse

  Pela definição temos d(P,F ) + d(P, F ) = r, sem perda de generalidade d(F , F ) = 2c e 1 2 1 2 r = 2a, onde a e c são constantes reais, com a > c ≥ 0. Em uma elipse temos alguns elementos que podemos destacar, são eles: 1 2 1 2 1 2 1 2 ′ ′ 1 2 1 2 vértice da elipse; 1 2 1 2 cé a excentricidade elipse; 1 2 √ 2 2 C , a distância entre os vértices B e B a , e a distância dos 1 2 ao centro C, com b = − c focos F e F ao centro C.

2 Tendo em vista o esclarecimento desses conceitos de forma mais pontual, bem como in-

  Para apresentação de forma clara da demonstração geométrica da definição de elipse, 1 e b = F P P . PASSO 2 .

2 Figura .5 Conjunto de Pontos Fonte: Autor, 015

  PASSO 5 . 1 ao eixo OX e excentricidade .

2 Solução:

  PASSO 2 . 1 PASSO 3 .

3. HIPÉRBOLE

  A interseção de um plano, paralelo com o eixo da superfície e que não passa pelo vértice, com a superfície cônica é denominado hipérbole (figura 3.1), o estudo da hipérbole como interseçãode um plano e um cone é atribuído a Menaecmus (380-320 a. aproximadamente) e precede, em uns 2000 anos, a própria geometria analítica que surgiu no século XVII [11].

3.1. Hipérbole

  e F dois pontos pertencentes a um plano π . O lugar geométrico dosDefinição 3.1.

2 H

1 2 = {P||d(P,F ) − d(P,F )| = r}.

3.2. Elementos da Hipérbole

Em nosso estudo da hipérbole escolhemos, sem perda de generalidade, d(F , F ) = 2c e 1 2 r = 2a, onde a e c são constantes reais, tais que 2c > 2a > 0. Em uma hipérbole temos alguns elementos os quais podemos destacar, são eles:

1 F

  2 , e a distância dos focos F 1 e F 2 Para melhor fixação dos conceitos apresentados anteriormente, bem como introduzir um programa de geometria dinâmica a esses conceitos matemáticos, na sequência serão resolvidosalgumas situações problemas com o uso do GeoGebra. 2 , perpendicular ao eixo focal que tem ponto médio C e comprimento2b, está contido no eixo não focal da hipérbole e os pontos B 1 e B 2 são os vértices imaginários da hipérbole; é a excentricidade da hipérbole; ao centro C; 1 Exemplo 3.1.

1 B

  PASSO 1 . PASSO 2 .

3 Figura .4 Ponto P Fonte: Autor, 2015

  PASSO 4 . Os pontos P , P e P gozam das mesmas propriedades de P(figura 3.5).

3 Figura .5 Reflexão do Ponto P Fonte: Autor, 2015

  1 PASSO 5 . Para apresentação de forma clara da demonstração geométrica da definição de hipér- P P .

1 Os pontos A

  PASSO 7 . Habilite o rastro dos pontos P, P , P e P , bem como dos seguimentos a e b, faça o 1 2 3 parâmetro t variar.

2 Figura 3.8 Lugar Geométrico dos Pontos P Fonte: Autor, 015

  2 2 x y PASSO 8 . Solução: 2 2 PASSO 1 .

4. PARÁBOLA

  R|d(P,F) = d(P,l)}, faremos uma parametrização, então P = (t, 8 . PASSO 2 .

2 Exemplo 4.. Seja f : R −→ R, f (x) = ax +bx +c, uma função de uma variável, onde a, b, c ∈

  Solução: 2 PASSO 1 + bx + c, então precisamos criar os parâme- . PASSO 2 .

1 Para digitar a função é necessário escrever y=a*xˆ 2+b*x+c

  PASSO 5 . Fixado um sistema ortogonal de coordenada, chama-se cônica o lugar geomé- trico dos pontos X = (x, y) que satisfazem uma equação do segundo grau g(x, y) = 0, em que 2 2 g(x,y) = ax + bxy + cy + dx + ey + f .

5.1. Translação dos Eixos Coordenados

  Vamos introduzir uma novo sistema, com as mesma medidas, mesma direção e mesmo sentido do ′ ′ ′ ′ sistema anterior OXY . O novo sistema tem origem no ponto O e fica determinado por O X Y , ′ ′ , y ), as coordenadas do um ponto P = (x,y) é designado no novo sistema pela coordenada (x ′ ′ ′ ponto P nos sistemas OXY e O X Y são relacionadas pelas seguintes fórmulas: ′ (x = x + x ′ y = y + y .

2 Exemplo 5.1. Procure transformar x + y

  ′′ ′ ′ Solução: Para determinar a equação g (x, y) = 0 no novo sistema de coordenadas O X Y , vamos utilizar o GeoGebra seguindo os passos abaixo: 2 2 PASSO 1 . Temos dessa forma, uma elipse representada no sistema de coordenadas OXY .

5.2. Rotação de Eixos

  Como o segmento orientado −→ OP = x~e e , 1 2 ′′ a componente x de −→ OP será a soma das projeções dos vetores x~e e y~e sobre o eixo OX , e, do 1 2 ′ mesmo modo para a componente y . Resolvendo o sistema das equações nas incógnitas x e y, podemos obter as expressões das coordenadas antigas em relação às novas: ′ ′ sen θ(x = x cos θ − y ′ ′ y = x cos θ . sen θ + yUsar rotação nos permite eliminar o termo quadrático misto da equação do segundo grau g(x,y) = 0.

1 O caractere α pode ser encontrado no lado direito do campo para digitação

6. APLICAđấO EM SALA DE AULA

  A pesquisa foi aplicada no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas-Campus Palmeira dos Índios, no mês de março de 2015. Para uso da imagem e das atividades realizadas pelos alunos, foi pedida autorização aos pais dos alunos através do Termo de ConsentimentoLivre e Esclarecido que se encontra no final do trabalho.

6.1. Sequência Didática

  Utilizando o material desenvolvido nos capítulos anteriores e o livro didático adotado na turma do terceiro ano do ensino médio técnico, foi elaborada uma sequência didática comduração de quatro horas e dez minutos de forma presencial e uma hora e quarenta minutos na modalidade “à distância”. No segundo encontro, que teve a duração de uma hora e quarenta minutos, partindo do pro- cesso de estudo registrado nos capítulos anteriores com o uso do software GeoGebra, foi rea-lizada a exposição dos conteúdos, elipse, parábola e hipérbole.

6.1.1. Objetivos Específicos

  Os objetivos dessa sequência didática é preparar o aluno para: (x+4) 36 2 16 2 x = 1(c) 9 2 16 2 = 1(b) 9 2 25 2 (x−9) (a) 6.1.3.1 Atividades 1. Para verificar o aprendizado dos alunos participantes em alguns conceitos matemáticos apresentados, após as exposições do conteúdo seções cônicas, foi solicitado que resolvessemtrês situações problemas com o uso do programa de geometria dinâmica GeoGebra.

2. Estabelecer a equação da parábola sabendo que o vértice V (0,0) e a diretriz r : y = −

  Solução: Nessa atividade todos os alunos seguiram a mesma sequência de passos para encontrar a solução (figura 6.3). Determinar os vértices e os focos da hipérbole H : = 1.100 − 64 Solução: Como na atividade 2, a sequência de passos para encontrar a solução foi a mesma em todos os casos (figura 6.4).

6.2. Reação dos Alunos

  Utilizando o programa, a aula torna-se mais dinâmica emrelação às aulas tradicionais, pois promove uma maior interação entre os alunos e o professor e mostra uma matemática mais aproximada do cotidiano.” A4“A seguinte aula nos trouxe um amplo conhecimento do software utilizado para a obtenção dos gráficos de uma elipse com precisão. Elas são atrativas, e como é um método novo de ensino, os alunos tendem a prestar mais atenção na hora da explicação, e comisso o rendimento do aluno será melhor.” A6“A aula no laboratório para o estudo desse assunto em questão é excelente , pois com o uso do programa permite provar o que foi calculado e a melhor visualização.

6.3. Análise dos Resultados

  A utilização de um programa de geometria dinâmica, em nosso caso o GeoGebra, otimiza o tempo gasto para exposição do conteúdo seções cônicas, de modo que facilita a obtençãodos gráficos, além de proporcionar uma construção com exatidão que muitas vezes tornam-se difíceis de serem reproduzidos com quadro e giz. Em atividades extraclasse o professorpode usar a janela Protocolo de Construção, que pode ser acessada no menu Exibir, para ve- rificar a ordem dos passos dados pelos alunos, ou seja, os procedimentos podem ser revistostanto pelo aluno quanto pelo professor, essa função é de grande importância para correção dos exercícios e para orientação futuras.

7. CONCLUSÃO

  Consideremos aqui um caso particular em que temos o cilindro reto 2 2 infinito θ determinado pela equação x +y = 9 e seu eixo e coincidido com o eixo coordenado s Oz, o plano α de equação (2 −t)x+z = 2 é secante ao cilindro, onde t ∈ R é um parâmetro que determina o ângulo formado pelo plano α e o eixo do cilindro e . Os focos F e F da elipse E são os pontos de interseção da 1 2 circunferência C com o reta e .

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