Atratores para semifluxos generalizados e aplicação às equações de Navier-Stokes em 3D

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Curso de Pós-Graduação em Matemática

Pura e Aplicada

Atratores para semifluxos

generalizados e aplicação às

equações de Navier-Stokes em

  

3D

Oriana Castaldi Ortiz de Almeida

Orientador: Prof. Dr. Matheus Cheque Bortolan

  

Florianópolis

Fevereiro de 2017

  

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Pura e Aplicada

Atratores para semifluxos generalizados e

aplicação às equações de Navier-Stokes em

  

3D

Dissertação apresentada ao Curso de Pós- Graduação em Matemática Pura e Apli- cada, do Centro de Ciências Físicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática, com Área de Concentração em Análise.

  

Oriana Castaldi Ortiz de Almeida

Florianópolis

Fevereiro de 2017

  

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

equações de Navier-Stokes em 3D / Oriana Castaldi Ortiz de

Atratores para semifluxos generalizados e aplicação às

Almeida, Oriana Castaldi Ortiz de

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. 115 p. Florianópolis, SC, 2017. Almeida ; orientador, Matheus Cheque Bortolan -

Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa

Graduação em Matemática Pura e Aplicada. III. Título.

Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós

Equações de Navier-Stokes. I. Bortolan, Matheus Cheque. II.

Semifluxos generalizados. 4. Semigrupos multivaluados. 5.

1. Matemática Pura e Aplicada. 2. Atratores. 3. Inclui referências

  "O Grande Caminho não tem porta, milhares de estradas lá vão dar. Aquele que atravessa esta Porta sem porta

caminha livremente entre o céu e a Terra." - Koan Budista

Agradecimentos

  A minha gratidão mais sincera a todos aqueles que passaram por minha vida e me ajudaram a me tornar quem hoje sou. Esse trabalho só foi escrito graças à imensa luz que cada um foi e é para mim, iluminando o momento da dificuldade e me fazendo brilhar mais forte no da alegria.

  Diante da perfeição da matemática, do milagre que de repente é compreender essa ínfima parte dela, me ajoelho primeiro perante ao Grande Amor substancial, àquele que sustenta e nutre tudo que existe, a quem muitos chamam de Deus.

  Depois, aos meus pais, através de quem esse Deus me colocou no mundo e zelou por mim todos os dias da minha vida, que me deram as melhores condições para crescer e liberdade para fazer escolhas; que constituem em mim a base sólida que necessito para pisar solos des- conhecidos, como era Florianópolis antes do ingresso no programa de mestrado.

  Agradeço também a essa cidade incrível e à Universidade Federal de Santa Catarina por terem me acolhido e se tornado o meu lar. Quando jovem houveram aqueles que foram responsáveis por me apresentarem a matemática em todo o seu esplendor e me motivaram a trilhar esse caminho duro mas tão compensador. Obrigada ao Co- légio Puríssimo Coração de Maria pela incrível formação que tive no Ensino Fundamental e Médio, em especial ao professor Sérgio Pedroso e à equipe de Olimpíadas de Matemática - Ricardo Turolla, Guilherme Salvador, Rodolfo Guedes, Aline e Amanda Souza, Natasha Cartolano, etc - que passava tardes estudando assuntos extra-curriculares e discu- tindo problemas dificílimos, combinando mentes (muitas delas brilhan- tes) para encontrar - às vezes - uma solução. Vocês me ensinaram a me divertir com a matemática. Agradeço ainda aos professores Eduardo Tengan e Ali Tahzibi por seu incrível trabalho com a Olimpíada São Carlense de Matemática que sempre proporcionou à nossa equipe os melhores momentos.

  No ensino superior, devo agradecer imensamente cada um dos pro- fessores e monitores do ICMC-USP e da Universidade de Salamanca que são parte essencial da minha formação matemática. Em especial a Maria do Carmo Carbinatto, que foi minha muito mais que orientadora durante praticamente a graduação inteira e a grande responsável pela solidez e o rigor matemático que hoje possuo.

  Pelo suporte a esse trabalho, e também pela amizade, sou muito grata a Matheus Cheque Bortolan, que foi um orientador no sentido pleno da palavra. Sentou ao meu lado sempre que houve necessidade sanando pacientemente cada uma das dúvidas, sempre compreensivo com cada dificuldade que surgiu no caminho. Agradeço também ao professor Jáuber Cavalcante, sem cujas aulas de Teoria de Distribui- ções eu estaria absolutamente perdida, e nos auxiliou no capítulo de aplicação.

  A minha gratidão a todos que constituem meu suporte pessoal. À minha família que sempre me mostrou o quanto sou amada e vibrou com as minhas conquistas, em especial minha irmã Ágata e minha prima-irmã Raísa. Ao meu namorado Miguel Phillipi por aguentar as muitas horas de dedicação a esse trabalho e me presentear com música e companhia quando a mente já não funcionava e o coração precisava ser nutrido.

  A Fernando Gasparotto - e à sua família - por ter sido meu porto se- guro durante toda a minha graduação e por sempre acreditar em mim. Aos meus grandes amigos para todas as horas Julia Sciamana, Clara Campos, Ana Beatriz, Camila Antunes, Laila Somaggio, Augusto Al- ves, Guilherme Caes, Karolyne Bortolotti, Aline Gurgel, Paloma Bri- gatto, Jéssika Ribeiro, Fabio Casula e Ingrid Mathias por absoluta- mente todos os momentos que compartilhamos. Um agradecimento especial para o Carlos Pecorari que foi meu colega de apartamento durante o mestrado e cuja parceria foi indispensável para a conclusão deste. A Celina Mitiko pelo suporte espiritual e pelo carinho.

  Finalmente, agradeço à CAPES pelo apoio financeiro durante todo o mestrado.

Resumo

  Neste trabalho estudamos a existência de atratores para semigru- pos multivaluados definidos a partir de semifluxos generalizados. Tal classe é comumente utilizada para tratarmos de equações de evolução nas quais não há unicidade de soluções. Aplicamos os resultados às equações incompressíveis de Navier-Stokes em dimensão 3.

  Palavras-chave: Atratores; semigrupos multivaluados; semifluxos generalizados; equações de Navier-Stokes.

Abstract

  In this work we study the existence of attractors for multivalued semigroups defined from generalized semiflows. Such class is commonly used to deal with evolutions equations in which there are no uniqueness of solutions. We apply the results to the incompressible Navier-Stokes equations in dimension 3.

  Keywords: Attractors; multivalued semigroups; generalized semi- flows; Navier-Stokes equations.

Sumário

  

  1

   5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  . . . . . . . . . . . . . . . 14

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  . . . . . . . . . . 23

  

  25

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

  . . . . 27

  . . . . 28

  . . . . . . . . . . . 31

  . . . . . . . . . . . . . . 33

  . . . . . . 35

  39

  . . . . 50

  . . . . . . . . . . . 56

  . . . . . . . . . . 60

  . . . 61

  . . . . . . . . . . . . . . . 66

  

  71

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Introdução

  A teoria de semigrupos e sua aplicabilidade ao estudo das equações diferenciais é estensamente conhecida e vem sendo estudada nas últimas décadas; recebem destaque na intersecção das Matemáticas pura e apli- cada por modelar fenômenos físicos e biológicos. Mais especificamente, o estudo dos atratores globais para semigrupos tem fundamental impor- tância para a compreensão da dinâmica assintótica para estes sistemas. Esta área de pesquisa conta com inúmeros trabalhos, como por exemplo Dentre as equações mais famosas deste século estão as equações de Navier-Stokes, que mo- delam o escoamento de fluidos, e sobre as quais importantes questões matemáticas estão em aberto. Essa é a equação à qual aplicaremos os estudos desse trabalho, realizado com base principalmente nos artigos

  Um problema que persiste até hoje, e acredita-se ter resposta nega- tiva entre os matemáticos mas é tomado como verdade pelas áreas de Engenharia, é a unicidade de soluções para equações incompressíveis de Navier-Stokes em três dimensões, e portanto, para abordar este pro- blema com a teoria clássica de semigrupos teríamos que adicionar essa hipótese. Por esse motivo se torna evidente a vantagem de conhecer uma teoria mais abrangente, que não necessite de tal hipótese para ser viável e extrairmos informações significativas a respeito da dinâmica das soluções, como faríamos no caso clássico.

  Uma das formas de se abranger a teoria de semigrupos é através de semifluxos generalizados, que na verdade é uma abstração dos sistemas dinâmicos autônomos para os quais existe essa possibilidade de haver mais de uma solução para um mesmo dado inicial.

  Existem outras formas de fazer essa abstração. Uma delas seria recuperar unicidade das soluções utilizando semitrajetórias φ ∶ [0, ∞) → t

  X

  , X espaço métrico, e definir o correspondente semifluxo T t (t)φ = φ para cada t ⩾ 0, φ (τ) = φ(t + τ), como feito em Outra maneira seria considerar aplicações de

  [0, ∞) em subconjuntos de X associando a cada tempo t um subconjunto T (t)z consistente de todos os possíveis pontos atingidos pelas soluções no tempo t com dado inicial z. Contudo tais métodos possuem desvantagens; o primeiro porque perde a conexão direta com a evolução do sistema no seu sentido físico e o segundo porque não fica descrito diretamente em termos das soluções e se torna uma dificuldade recuperá-las.

  Na nossa abordagem, que se relaciona com o segundo método des- crito, definimos semifluxo generalizado como uma família G de funções

  φ

  ∶ [0, ∞) → X satisfazendo axiomas de existência, translação, concate- nação e semicontinuidade para a partir daí definir semigrupos multiva-

  luados como aplicações T

  (t) ∶ P(X) → P(X) para as quais T(t)E será o conjunto de todos os pontos atingidos pelas funções do semifluxo no tempo t que iniciam no conjunto E, isto é

  T (t)E = {φ(t)∶ φ ∈ G e φ(0) ∈ E}. Com essa definição para os semigrupos multivaluados podemos es- tender muitos resultados da teoria clássica de semigrupos de forma natural. Contudo, alguns deles admitem mais de uma extensão, como quando consideramos condições satisfeitas a partir de um certo tempo

  τ

  . Isso ocorre por exemplo nos conceitos de atração, absorção e dissi- patividade. Para a teoria clássica, ou há possibilidade de escolhermos esse tempo de maneira uniforme em conjuntos limitados ou não há. Para o caso multivaluado podemos escolher esse tempo ser uniforme sobre conjuntos limitados e uniforme ou não-uniforme sobre pontos. Essas possibilidades nos levam a definições que não fazem sentido no caso clássico. Chamaremos B-conceitos aqueles com uniformidade re- ferente aos conjuntos limitados, ponto-conceitos os referentes a pontos e φ-conceitos aqueles que não possuem qualquer uniformidade.

  Nosso objetivo principal neste trabalho é estudar as propriedades dos semigrupos multivaluados definidos através dos semifluxos generali- zados e obter um teorema de caracterização de semifluxos que possuam atratores globais bem como do atrator em si (Teoremas Contudo, dada a relação já citada e por considerar im- portante o conhecimento do caso com unicidade (teoria clássica) para o entendimento do caso mais geral, fazemos um breve estudo de semi- grupos contínuos no primeiro capítulo em que definimos os conceitos básicos e provamos todos os resultados necessários para demonstrar o teorema chave de existência dos atratores globais. As demonstrações serão apresentadas para que o leitor tenha familiaridade com as téc- nicas utilizadas, e possa facilmente compreender o caso de semifluxos generalizados.

  No segundo capítulo, que pode ser lido de forma independente, defi- nimos semifluxos generalizados e semigrupos multivaluados conforme já descrito, fazemos uma breve associação com o primeiro capítulo, trata- mos e definimos propriedades relevantes dos semifluxos generalizados, demonstramos todos os resultados necessários para provar o teorema de caracterização dos semifluxos com atratores globais bem como o teorema que caracteriza o atrator em si.

  Finalmente, no terceiro capítulo, aplicamos a teoria do capítulo dois às famosas equações de Navier-Stokes em três dimensões com a qual ob- temos um resultado importante que nos dá as hipóteses necessárias para que o conjunto das soluções fracas de tais equações seja um semifluxo generalizado (Proposição Dentro dessas condições mostramos que é possível garantir a existência do que chamamos atrator global (Teorema

Capítulo 1 Semigrupos

  Este capítulo tem como objetivo tratar das noções básicas para o estudo de semigrupos contínuos e tem como base a referência Ao explorar a dinâmica de um semigrupo, existe um conjunto que recebe destaque, pois suas características nos dão informações diretas a res- peito de seu comportamento assintótico. Este conjunto recebe o nome de atrator global. Provar um resultado que caracterize os semigrupos que possuem atratores será a nossa meta final (veja o Teorema

  Ao longo do capítulo utilizaremos as seguintes notações: denotare- mos por X um espaço métrico, dX × X → [0, ∞) sua métrica e C(X) o conjunto das aplicações contínuas de X em X.

  Escreveremos T para denotar o conjunto dos números inteiros Z ou

  − +

  o conjunto dos números reais R, T = {t ∈ T ∶ t ⩾ 0}, T = {t ∈ T ∶ t ⩽ 0}, T t = t + T e T t = t + T . − + + − Dados K

  ⊂ X não-vazio e r > 0, a rvizinhança de K é o con- junto definido por r O (K) = {x X d(x, K) < r}, em que d(x, K) =

  d

  inf y (x, y).

  ∈K Nesta seção temos como objetivo definir um semigrupo, bem como alguns conceitos adicionais importantes para o estudo de sua dinâmica.

  Definição 1.1.1. Um semigrupo é uma família a um parâmetro

  T = {T(t) ∶ t ∈ T } ⊂ C(X) tal que

  • (i) T (0)x = x para todo x X, (ii) T
  • (iii) A aplicação [0, ∞) × X ∋ (t, x) ↦ T(t)x X é contínua.

  ,

  (t + s) = T(t)T(s), para todos t, s ∈ T

  Se T = Z, diremos que T é um semigrupo discreto.

  Notemos que no caso em que T = Z, a terceira condição está auto- n maticamente satisfeita. Como T , escrevendo T

  (n) = T(1) = T(1), o n semigrupo pode ser escrito na forma n {Tn ∈ N} e será simplesmente a família de aplicações {Tn ∈ N} ⊂ C(X); isto significa que, no caso de semigrupos discretos, o semigrupo

  T é totalmente descrito pelo comportamento da aplicação T .

  Definição 1.1.2. Dados um semigrupo

  T e um subconjunto B de X,

  definimos: 1. para cada t

  ∈ T, a imagem de B sob T(t),

  T

  (t)B = {T(t)x x B};

  2. a órbita positiva de B,

  • + +

  

γ T

  (t)B; (B) = ⋃ t

  ∈T

  3. a órbita parcial entre dois números de T < t

γ T

  • [t,t ] t st

  (s)B; (B) = ⋃

  4. para cada t

  ∈ T, a órbita de T(t)B, +

  • γ T T

    t (s)B.

  (B) = ⋃ (s + t)B = ⋃ s s +

  ∈T ∈T t

  Agora definiremos as noções de atração, absorção e invariância sob a ação do semigrupo T . Definimos também solução global e atrator global para um semigrupo e damos uma caracterização para os atrato- res globais. Antes disso, definimos a semi-distância de Hausdorff dist H

  (A, B) entre dois subconjuntos não-vazios A e B de X por

  d

  dist H inf (A, B) = sup (x, y). y

x

B HA Observamos que dist (A, B) = 0 se, e somente se, A B.

  

Definição 1.1.3. Sejam A e B subconjuntos não vazios de X. Diremos

H que A atrai B sob a ação do semigrupo

  {T(t) ∶ t ∈ T } se

  • t→ ∞ lim dist (T(t)B, A) = 0.
  • Se existir um t tal que T , diremos que A absorve B.

  = t (B) ∈ T (t)B A para todo t t

  Notemos que segue diretamente da definição acima que se A ab- sorve B então A atrai B, mas a recíproca não é verdadeira em geral. O seguinte resultado relaciona de maneira mais precisa estas duas pro- priedades.

  

Proposição 1.1.4. Se A atrai B então a r-vizinhança de A absorve

B , para cada r

  > 0. H

  

Prova: Fixemos r > 0. Como A atrai B, temos dist (T(t)B, A) → 0

H

  ∞ e existe t ⩾ 0 tal que dist (T(t)B, A) < r para todo quando t

  t

  ⩾ t . Se yT(t)B, então

d d H .

  (y, A) ⩽ sup (z, A) = dist (T(t)B, A) < r para cada t t z

  ∈T (t)B r r

  Logo, y ∈ O (A), o que mostra que T(t)B ⊂ O (A) para cada t ⩾ 0 e conclui a demonstração. A noção de invariância, dada a seguir, desempenha um papel fun- damental no estudo da dinâmica assintótica de semigrupos.

  

Definição 1.1.5. Diremos que um subconjunto A de X é invariante

  (ou positivamente invariante) sob a ação de um semigrupo T se

  • T (t)A = A para todo t ∈ T (ou T(t)A A).

  Um conjunto invariante unitário corresponde a um ponto de equi-

  • ∗ ∗ ∗

  

líbrio de {T(t) ∶ t ∈ T }; isto é, um ponto xX tal que T(t)x = x

para todo t

  • .

  ∈ T

  

Definição 1.1.6. Um conjunto A é chamado um atrator global para

um semigrupo

  T se é compacto, invariante e atrai todos os subconjuntos

  limitados de X sob a ação de T .

  Notemos que o atrator global para um semigrupo T , quando existe,

  é único. De fato, se H H A e ˆ A são atratores globais para este semigrupo, t→ ∞ dist (A, ˆ A) = dist (T(t)A, ˆ

  A) Ð→ 0, e assim A ⊂ ˆ O conjunto onde a órbita de B se acumula é chamado ω-limite de B. Nesta subseção definimos rigorosamente esse conjunto que desempenha um papel fundamental no estudo do comportamento assintótico de um semigrupo.

  

Definição 1.1.7. O conjunto ω-limite de um subconjunto B de X é

definido por ω γ t (B).

  • ∈T

  (B) = ⋂ + t

  O seguinte resultado nos dá uma caracterização do conjunto ω −limite e será frequentemente usado na demonstração dos próximos.

  Proposição 1.1.8. Se B

  ⊂ X, ω(B) é fechado e (B) = {y X existem sequências {t } em T {x } em B

  • n→ ∞

  ω n e n tais que t n T n n

  Ð→ ∞ e y = lim (t )x }. n→ ∞

  Prova: Observamos que ω

  (B) é claramente fechado, uma vez que é intersecção de conjuntos fechados. Para mostrar a primeira inclusão, tome y

  ∈ ω(B). Então y

  • t

  γ t t

  . Assim, para cada (B), e assim y γ (B), para todo t ∈ T

    • + ∈T n n k k
    • n n n

      ∈ N existe uma sequência {y k } ⊂ γ

      ∈N n (B) tal que y k Ð→ y. Como, n n n n

    • n,k k = T(n + q k )x k n

      para cada n n,k ∈ N, y kγ n (B) para todo k ∈ N, existem {x k } ∈N ⊂ B

    • n

      e tais que y . Sabemos que fixados {q k } ∈N ⊂ T

      , y

      ∈ N e ǫ > 0, existe k(n, ǫ) ∈ N tal que d(y k ) < ǫ, se k k(n, ǫ), n n

      , y n

      isto é, d (T(n + q )x ) < ǫ se k k(n, ǫ). Defina, então, t = n + n n 1 k k 1 1 n→ ∞

      q n n n , y k k e x = x , assim d (T(t )x ) < Ð→ 0, e portanto n (n, ) (n, ) n n ny T n n n n = lim n→ (t )x , t Ð→ ∞ e xB para todo n ∈ N.

      ∞ Para a recíproca, seja yX e sequências {t } ⊂ T e {x } ⊂ B, n

      ∞

    • n n n

      T

      tais que t Ð→ ∞ e y = lim n→ (t )x . Fixado τ ∈ T temos

      

    • n n t
    • nτ τ (B) e assim y γ τ (B). Portanto

      {T(t )x } ⊂ γ +

    • y γ t (B) = ω(B)

      ∈ ⋂ t

      ∈T como queríamos.

      Propriedades do ω-limite

      Esta seção tem como objetivo provar resultados acerca do ω-limite, que usaremos como ferramentas para demonstrar o teorema que carac- teriza semigrupos com atratores globais.

      A próxima proposição é um resultado conhecido que utilizaremos muitas vezes na demonstração dos demais resultados.

      

    Proposição 1.1.9. Seja K um subconjunto compacto de X e n

    n {x } ∞

      , K uma sequência em X tal que d n Ð→ 0, então n

      (x ) {x } tem uma subsequência convergente em K. m n

      

    Prova: Notemos que dado m ∈ N existem n ∈ N e yK tais que

    1 m d n , y n

      (x ) < . Como K é compacto podemos assumir, passando a m m m n m→ ∞ uma subsequência se necessário, que y Ð→ y para algum yK. m Assim, obtemos m

      ∞ d , y , y , y n n n n

      (x ) ⩽ d(x ) + d(y ) Ð→ 0; m m m m isto é, n {x } possui uma subsequência convergente em K.

      Proposição 1.1.10. Sejam T um semigrupo, K e K 1 , então γ 1

    • compactos de X. Se K atrai K pacto e
    • 1 ∅ ≠ ω(K ) ⊂ K. ǫ Prova: Da Proposição dado ǫ tal que T 1

        (K ) é relativamente com-

      • .

        > 0 existe t ∈ T (t)K

        Assim, O 2 (K) para todo t t ǫ

      • +

        t t (K ) está contido em uma união finita de bolas de raio ǫ.
      • 1

          T 1 1 t ⋃ (t)K = γ t (K ) ⊂ O 2 (K)

        • e, então, γ
        • T

          Temos γ 1 1 é compacto, pois é imagem de (K (t)K

          ) = ⋃ ⩽tt

          [0,t ] 1 pela função [0, ∞)×X ∋ (t, x) ↦ T(t)x X. Assim γ (K 1 ) =

          [0, tK

        • γ
        • 1 t (K ) é totalmente limitado, e, como K é compacto, 1

            (K ) ∪ γ

            [0,t ]

          • γ
          • 1 (K ) ∪ K também o é. 1<
          • Segue da Proposição que γ
          • 1 compacto. Com efeito, seja n

              (K ) ∪ K é completo e, portanto,

            • Cauchy. Vamos mostrar que é convergente. n

              {x } ⊂ γ (K ) ∪ K uma sequência de

              Se {x } possuir infinitos termos em K, então por ser K compacto n n terá uma subsequência convergente e, por ser {x } de Cauchy, será

            n

            ∈N ela toda convergente. Se não, {x } deve possuir infinitos termos em

            • γ
            • 1 n n n

                (K ) e então possuirá uma subsequência do tipo {T(t )y n 1 1 k k k ; t → ∞, yK }. Como K atrai K , k

                

              d , K

                lim n n k (T(t )y ) = 0. k k

                ∞ n n k

                Da Proposição possui uma subsequência con- {T(t k )y k } ∈N vergente em K. Mais uma vez por ser uma sequência de Cauchy, n n

                {x } convirgirá para o mesmo limite, o que conclui a prova da com-

                ∈N 1 pletude de γ (K ) ∪ K.

              Segue que γ (K ) ⊂ γ (K ) ∪ K é relativamente compacto, con- cluindo a primeira parte do resultado. Finalmente, temos γ

              • t
              • 1<
              • e

                (K ) compacto e não-vazio, para todo t ∈ T

                γ t (K ) ⊂ γ 1 s (K ) para s t,

              1

              • + 1 t possui a propriedade da interseção finita ∈T

                ou seja, a família {γ t (K )}

                e assim t (K ) ≠ ∅.

              • +

                ∈T

                ω γ 1 1

                (K ) = ⋂ + t

                Resta mostrar que ω 1 1 (K ) ⊂ K. Para isso, tome y ω(K ). Temos

                y t

              1 tal que

                . Dado ǫγ (K ) para todo t ∈ T &gt; 0, existe t ∈ T t

              • Assim d (y, K) &lt; ǫ e, como ǫ é arbitrário, o resultado segue.

                y

              1 ǫ

              γ (K ) ⊂ O (K).

                O seguinte lema nos dá condições necessárias para que o ω-limite de um conjunto seja invariante.

                Lema 1.1.11. Seja

                T um semigrupo em X. Se B X, então T(t)ω(B) ⊂

              • . Se B é tal que ω

                ω

                (B) para todo t ∈ T

                (B) é compacto e atrai B, então

                ω (B) é invariante.

                Prova: Se ω

              • Proposição se y n e n

                , da (B) = ∅, não há o que provar. Se ω(B) ≠ ∅, fixe t ∈ T

              • T

                ∈ ω(B), existem sequências {t } ⊂ T {x } ⊂ B

                tais que y n n com t n → = lim n→ ∞ (t )x ∞ quando n → ∞. Segue da

                T n n

                continuidade de T n→ e então T (t) que T(t)y = lim ∞ (t + t )x (t)y

                (B). Logo T(t)ω(B) ⊂ ω(B) para todo t ∈ T

              • ω .

                Resta mostrar que, se ω (B) é compacto e atrai B, então ω(B) ⊂

                T (t)ω(B) para cada t ∈ T .

                Para xω(B) existem sequências t → ∞ e {x } ⊂ B tais que n

                ∞ T n n n

                (t )x Ð→ x. Para t ∈ T fixo, uma vez que t → ∞, existe n ∈ N

              • tal que t n . Portanto T n n n n

                &gt; t para todo n n (t)T(tt)x = T(t )xx quando n → ∞. n

                ∞ , ω

                Como ω n n (B) atrai B temos d(T(tt)x (B)) Ð→ 0. Por ser

                ω n n

                (B) compacto, segue da Proposição que {T(tt)x } tem uma subsequência convergente para algum yω(B) (que denotaremos no- vamente por n n

                {T(tt)x }. Devemos ter x = T(t)y com y ω(B) o que implica xT(t)ω(B). Portanto ω(B) ⊂ T(t)ω(B), o que conclui a demonstração. t

                Lema 1.1.12. Se B é um subconjunto não-vazio de X tal que γ

                (B)

              • ∈ T (B) é não-vazio, compacto,
              • é compacto para algum t , então ω invariante e atrai B.

                t

              • +

                t

                Prova: Para cada t , t , γ

                ∈ T ⩾ t (B) é não-vazio e compacto. Segue

              • γ

                do fato que a família {γ (B) ∶ t t } tem a propriedade da interseção

              • t

                finita que ω t t (B) é não-vazio e compacto.

                (B) = ⋂

                Mostremos agora que ω (B) atrai B. Suponha que não, então exis- n

                ∞

              • , ω

                tem ǫ n n com t n &gt; 0 e sequências {x } em B, {t } em T Ð→ ∞, tais

                que d n n para todo n (T(t )x (B)) &gt; ǫ ∈ N.

              • + +

                , n

                Como γ n n t (B) é compacto e {T(t )xn } ⊂ γ (B) para al- j 1 t

                ∞

                gum n 1 n n n n ∈ N, existem subsequências t j Ð→ ∞ e {x j } ⊂ B tais que {T(t j )x j } é convergente para algum y X. Da Proposição segue que y

                ∈ ω(B). Assim, = d(y, ω(B)) ⩾ ǫ o que nos leva a uma contradição. Logo ω (B) atrai B. Segue agora do Lema que ω (B) é invariante e a prova está completa.

                Esta seção trata do conceito de compacidade assintótica que de- sempenha um papel importante na caracterização dos semigrupos que possuem um atrator global.

                

              Definição 1.1.13. Um semigrupo T é dito assintoticamente com-

              pacto se, para qualquer subconjunto fechado, limitado e não-vazio B

              • X para o qual T existe um conjunto compacto

                (t)B B para todo t ∈ T

                JB que atrai B.

                Lema 1.1.14. Se

                T é um semigrupo assintoticamente compacto e B é (B) é limitado para algum

              • um subconjunto não-vazio de X tal que γ t t , então ω ∈ T (B) é não-vazio, compacto, invariante e atrai B.
              • t (B) é fechado, limitado

                Prova: Primeiramente observamos que γ

              • (pois γ t (B) é limitado) e não-vazio (pois B é não-vazio). Como

                T

                (t)γ t (B) ⊂ γ t (B), segue que T(t)γ t (B) ⊂ γ t (B). Como T(t) é

              • + + +

                contínua, T (t)γ (B) ⊂ T(t)γ (B) ⊂ γ (B). Assim t t t t (B) ⊂ γ t (B) para todo t ⩾ 0

                T

                (t)γ

              • t (B) é positivamente invariante. Como T é assintoticamente com-

                e γ n→ ∞ t (B) que atrai γ t (B). pacto temos que existe um compacto J

              • n n

                ⊂ γ

                Logo, existem sequências ǫ → 0 e t Ð→ ∞ tais que T(t)γ (B) ⊂ ǫ n t

              • O (J) para todo t t . Assim, ∅ ≠ ω(B) ⊂ J. Como ω(B) é fechado n e J é compacto, temos que ω (B) é compacto.
              Mostremos que ω (B) atrai B. Se não, existem ǫ &gt; 0 e sequências n

                ∞ n n n n , ω N {x } ⊂ B e t Ð→ ∞ tais que d(T(t )x (B)) &gt; ǫ para todo n

                . Da compacidade de J e da Proposição existem sequências n n n n j→ ∞ j→ ∞ {x j } ⊂ B, t j Ð→ ∞ e z J tais que T(t j )x j Ð→ z. Assim zω(B) e d , o que nos dá um absurdo.

                (z, ω(B)) ⩾ ǫ Portanto, ω

                (B) é não-vazio, compacto, atrai B e, do Lema segue a invariância, o que completa o resultado.

                

              Definição 1.1.15. Um semigrupo T é dito eventualmente limitado

                se para cada limitado B tal que γ BX existe t ∈ T (B) é limitado. t B

                A seguinte proposição nos dá uma caracterização para um semi- grupo assintoticamente compacto.

                

              Proposição 1.1.16. Seja n n

                T um semigrupo e suponha que {T(t )x }

                é relativamente compacto sempre que n n n n {T(t )x } e {x } são limitadasem X e t n Ð→ ∞. Então T é assintoticamente compacto.

                Reciprocamente, se

                T é um semigrupo eventualmente limitado e

                assintoticamente compacto então n n n n {T(t )x } é relativamente compacto n→ ∞ sempre que Ð→ {x } é uma sequência limitada em X e t.

                Prova: Seja B

                ⊂ X um conjunto fechado, limitado e não-vazio tal que . Vamos mostrar que ω (t)B B, para todo t ∈ T (B) é não-vazio.

              • T

                Para isso, considere uma sequência n {x } ⊂ B. Como B é limitado, n→ ∞ n n n n segue que n n com t n Ð→

                {x } é limitada em X. Seja {t } ⊂ T ∞;

              • então T (t )xB para todo n. Assim, {T(t )x } é limitada em X. n n

                Por hipótese, {T(t )x } é relativamente compacto. Passando a uma T n n . subsequência se necessário, temos que deve existir z = lim (t )x n

                ∞ Logo zω(B) e ω(B) ≠ ∅. Do fato que T (t)B B, para todo t ∈ T segue que ω (B) ⊂ B. Além disso, ω (B) ⊂ γ (B) que é compacta devido à hipótese. Resta

              • mostrarmos que ω (B) atrai B.
              • n n Suponha que não; então existem sequências {x } ⊂ B, {t } ⊂ T n→<

                , ω

                com t n n n n n Ð→ ∞ e ε ⩾ 0 tais que d(T(t )x (B)) &gt; ε. Mas {T(t )x }

                é relativamente compacto, por hipótese, logo, passando a uma sub-

                T

                sequência se necessário, deve existir z n nω(B) tal que z = lim (t )x n

                ∞

                o que nos leva a uma contradição. Concluímos que T é assintoticamente compacto.

                Por outro lado, se n T é um semigrupo eventualmente limitado e {x } t ({x }) n

                é uma sequência limitada em X, logo existe t &gt; 0 tal que B = γ

              • é um conjunto limitado. Como B é positivamente invariante e

                T é assintoticamente compacto, existe um compacto JB que atrai B. Em particular n n

                {T(t )x } converge para J quando n tende a infinito e portanto, pela Proposição é relativamente compacto.

                Nesta seção, primeiramente damos algumas definições de conceitos chave para o teorema central do capítulo e demonstramos resultados auxiliares. Depois, provamos o resultado principal que caracteriza os semigrupos que possuem atratores globais utilizando fortemente todos os elementos até agora apresentados.

                Definição 1.2.1. Diremos que um semigrupo

                T é ponto dissipa-

                

              tivo (limitado dissipativo/compacto dissipativo) se existir um

              subconjunto limitado B

                ⊂ X que atrai pontos (subconjuntos limita-

                dos/subconjuntos compactos ) de X.

                Utilizando a Proposição na definição acima podemos trocar a palavra atrai pela palavra absorve sem mudar os significados dos conceitos, mas claramente alterando um pouco o conjunto B.

                Lema 1.2.2. Seja

                T um semigrupo ponto dissipativo e assintotica-

                mente compacto. Se γ

                (K) é limitada sempre que K é compacto, então

              • T é compacto dissipativo.

                Prova: Como

                T é ponto dissipativo, existe um conjunto não-vazio e limitado B que absorve pontos de X. De fato, T ponto dissipativo implica que existe A limitado tal que

                d t lim (T(t)x, A) = 0 para todo x X.

                ∞ x x

              • d ǫ x

                Fixe ǫ &gt; 0. Para cada x X existe t ∈ T tal que tt implica que

                (T(t)x, A) &lt; ǫ e, logo, T(t)x ∈ O (A) para todo t t . O conjunto

                B ǫ = O (A) é um limitado que absorve pontos de X.

                Defina U = {x B γ (x) ⊂ B}. Vamos mostrar que U é não-vazio.

              • Como B absorve pontos, dado y tal que TX, existe t ∈ T (t)y B
              • para todo t . Tome x

                ⩾ t = T(t )y B. Então,

              t t t s

              • ⩾0 ⩾0 ⩾0 ⩾t

                s

                γ T T T T

                (t)T(t (t + t (s)y, (x) = ⋃ (t)x = ⋃ )y = ⋃ )y = ⋃

                T

                mas T (s)y B para todo s t o que implica que (s)y B e, ⋃ ⩾t então, γ

              • Afirmamos que γ

                (x) ⊂ B. Portanto, x = T(t )y U e U ≠ ∅.

                (U) = U. Com efeito, seja x U. Temos x =

                (0)x ∈ ⋃

                ⩾0

                T T t (t)U = γ (U). Para a outra inclusão, seja x γ (U).

                Então, existe t e y ∈ T ∈ U tal que x = T(t )y. Precisamos mostrar

              • que xB e γ (x) ⊂ B<
              Como yU, sabemos que y B e γ t (t)y B. Agora, (y) = ⋃

                ⩾0 x T t = T(t )y com t (t)y e concluímos que x B.

                ⩾ 0, portanto x ∈ ⋃ ⩾0 Seja z 1

              • 1
              • 1γ (x). Existe t ⩾ 0 tal que z = T(t )x = T(t + t )y.
              • T

                que z t (t)y = γ (y) ⊂ B. Portanto z B e consequentemente

                ∈ ⋃ ⩾0 (x) ⊂ B, o que conclui a prova da afirmação.

              • γ

                Temos U limitado, uma vez que UB e B é limitado. Além disso, como γ

                (U) = U, temos γ (U) limitado. Sabemos também que

                T

                (t)γ (U) ⊂ γ (U), t ⩾ 0, o que significa que γ (U) é positivamente invariante. Ademais, γ (U) é fechado e não-vazio, uma vez que U é

              • não-vazio. Como T é assintoticamente compacto, existe um conjunto compacto K, com Kγ (U) = U que atrai U.
              • Vamos verificar que U absorve pontos de X e, então, como K é compacto e atrai U, concluir que K atrai pontos de X. Para isso, seja
              • y

                tal que TX. Como B absorve pontos, existe t ∈ T (t)y B para todo t . Temos

                ⩾ t

              s s r r

              • ⩾0 ⩾0 ⩾tt

                (T(t)y) = ⋃ (s)T(t)y = ⋃ (s + t)y = ⋃ (r)y ⊂ ⋃

                γ T T T T (r)y B.

              • n n n n n

                Mostremos agora que existe uma vizinhança V de K tal que γ t (V )

                é limitado para algum t . Se este não é o caso, existem sequências ∈ T

              • {x } em X, xyK e t → ∞ tais que {T(t )x } não é limitada.
              • n n + Considere A n n . Temos n

                  = {x }

                  ∈N {T(t )x } ∈N ⊂ γ (A). Portanto,

                V

                • γ (A) não é limitada com A compacto o que contradiz a hipótese.
                • V Sejam V a vizinhança de K e
                • V

                    tais que γ t ∈ T (V ) é limitado.

                  • Temos que γ t (V ) absorve uma vizinhança de x para cada x X. De fato, como K atrai pontos de X e T (t) é contínua, para todo x X x x existe uma vizinhança O de x e t &gt; 0 tal que T(t)O ⊂ V para x

                    ⩾ t . Então x t V T T V x V (t )T(t)O ⊂ T(t (t)V = γ t (V )

                  • t
                  • V V x

                      )V ⊂ ⋃

                      o que implica que T (t + t )O ⊂ γ (V ) para todo t t t V x

                      e, portanto,

                      T x x

                    V

                    (s)O ⊂ γ t (V ) para todo s t = t + t . V x V

                    • Finalmente, mostremos que γ t (V ) absorve subconjuntos compac- tos de X. Seja J um compacto de X. Para cada x x uma

                      ∈ J seja O

                    • t (V ). Considere a coleção
                    • V

                        vizinhança de x que é absorvida por γ x , x {O ∈ J}. Tal coleção é uma cobertura aberta para J. Por ser J 1 , ... , compacto existe uma subcobertura finita x x n {O O n }. Temos n T T . x x

                        (t)J T(t)(∪ O i ) = ⋃ (t)O i i=1 i=1 V Também, T x x . Defina t x (t)O iγ t (V ) para todo t t i = max i=1,...,n {t i }.

                      • Para t ,

                        ⩾ t n

                        T

                        (t)J ⊂ ⊂ γ

                      • T x (t)O t (V ).
                      • i i=1 V Logo, γ t (V ) absorve compactos e T é compacto dissipativo
                      • V queríamos demonstrar.

                        Proposição 1.2.3. Seja X um espaço métrico e

                        T um semigrupo em

                        X . Se K é compacto e atrai a si mesmo sob a ação de

                        T então ω(K) = +

                        T

                        ⋂ t∈T (t)K.

                      • + T

                        Prova: Para mostrar que ∩ t∈T (t)K ω(K), note que

                      • + +

                        T .

                        (t)K T(t)K para todo t ∈ T t∈T ⋂ Para s ∈ T , temos t r + s (K)

                      • s

                        ∈T

                        T T

                        (r)K = γ s (K) ⊂ γ

                      • ⋂ (t)K T(s)K ⊂ ⋃

                        e portanto

                      • + +

                        ⋂ (t)K ⊂ ⋂ t t

                      +

                        T γ t (K) = ω(K).

                        ∈T ∈T

                        Agora, para a inclusão contrária, usamos a Proposição com = K para garantir que ω(K) ⊂ K e γ (K) é relativamente com-

                      • K
                      • 1

                          pacto. Do Lema temos que ω (K) é não-vazio, compacto, invari- ante e atrai K. Assim

                          ω

                        • , o que prova o resultado.

                          (K) = T(t)ω(K) ⊂ T(t)K, para todo t ∈ T

                          O seguinte teorema caracteriza os semigrupos que têm atratores globais.

                          Teorema 1.2.4. Um semigrupo

                          T é eventualmente limitado, ponto

                          dissipativo e assintoticamente compacto se, e somente se,

                          T tem um

                          atrator global A.

                          Prova: Por ser

                          T eventualmente limitado, dado K compacto temos

                          γ t (K) limitado para algum t (K) é limitado. Disso e do

                          e, assim, γ fato de que T é assintoticamente compacto, ponto dissipativo segue do

                        Lema 1.2.2 que T é compacto dissipativo

                          Seja C um conjunto limitado que absorve subconjuntos compactos de X. Considere B = {x C γ (x) ⊂ C}. Temos que B absorve

                        • + subconjuntos compactos de X. Com efeito, como C absorve compactos

                        de X, dado J compacto existe t ∈ T tal que

                        T .

                          (t)J C para todo t t Vamos mostrar que T . Seja t e x (t)J B para todo t ttT(t)J. Temos xC; além disso, existe y J tal que x = T(t)y.

                        • γ T T T T (r)y C.

                          (x) = ⋃ (s)x = ⋃ (s)T(t)y = ⋃ (s + t)y = ⋃ s s s r

                          ⩾0 ⩾0 ⩾0 ⩾t

                          Portanto, γ (x) ⊂ C e x B. Assim T(t)J B e B absorve com-

                        • pactos.

                          Afirmamos que T . De fato, dado x (t)B B para todo t ∈ T ∈ B,

                          sabemos que x arbitrário, temos ∈ C e γ (x) ⊂ C. Para t ∈ T s

                        • ⩾0

                          (t)x ∈ ⋃

                          T T (s)x = γ (x) ⊂ C.

                          Portanto T (t)x C e além disso,

                          (T(t)x) = ⋃ (s)T(t)x = ⋃ (s+t)x = ⋃ s s r

                          γ T T T (r)x = γ t (x) ⊂ γ (x) ⊂ C.

                          ⩾0 ⩾0 ⩾t

                          Logo T (t)x B o que conclui a prova da afirmação.

                          Da continuidade de T (t) e da afirmação anterior segue que T(t)B

                          B

                          . Assim, temos que B é positivamente invariante. Ademais, B é fe- chado, limitado (pois BC e C é limitado), e não-vazio (basta proce- der como na demonstração do Lema Como

                        T é assintoticamente compacto, existe um conjunto compacto K ⊂ B que atrai B. Do fato de

                          que K atrai B e B absorve compactos, segue que K atrai subconjuntos compactos de X. Portanto K é um compacto que atrai a si próprio.

                          Da Proposição concluímos que o conjunto A = ω(K) é não-vazio, compacto, invariante e ω(K) ⊂ K. Para con- cluir que A é atrator global falta mostrar que A atrai limitados de X. Mostremos, primeiramente, que A atrai compactos.

                          Se JX é compacto, K atrai J. Da Proposição segue que γ

                          (J) é relativamente compacto e ∅ ≠ ω(J) ⊂ K. Como γ (J)

                          é compacto, podemos aplicar o Lema para concluir que ω (J) é invariante, compacto, não-vazio e atrai J.

                          Da invariância e do fato de que ω (J) ⊂ K temos ω(J) = T(s)ω(J) ⊂ +

                          T s T

                          (s)K para cada s ⩾ 0. Então, ω(J) ⊂ ∩ (s)K = ω(K) pela

                          ∈T

                          Proposição Disso, e do fato que ω (J) atrai J, temos que A =

                          ω (K) atrai J.

                          Agora seja B um subconjunto limitado de X, como T é eventu- almente limitado e assintoticamente compacto, segue do Lema que ω

                          (B) é não-vazio, compacto, invariante e atrai B. Como ω(B) é compacto, ω (K) atrai ω(B). Segue que A atrai B. Assim, A atrai limitados e é atrator global para

                          T . Suponha, agora, que T tem um atrator global A. Então A é invari- ante, compacto e atrai subconjuntos limitados de X. Segue diretamente o fato de o semigrupo ser limitado dissipativo e, consequentemente, ponto dissipativo.

                          Mostremos que T é eventualmente limitado. Para isso seja B um limitado de X; sabemos da Proposição que existe uma vizinhança

                        • V

                          do atrator tal que T A que absorve B, isto é, existe t ∈ T (t)B V para todo t . Assim

                          ⩾ t

                          T t ⋃ (t)B Vt

                        t (B) ⊂ V e, como V é limitado, γ

                        t (B) é limitado.

                        • o que implica que γ
                        • Finalmente, T é assintoticamente compacto pela Proposição
                        o que conclui a demonstração.

                          Segue diretamente da definição de atrator global que, quando este existe, ele atrai todos os subconjuntos limitados de X, isto é, a dinâmica assintótica de um semigrupo está concentrada no atrator. Mas o atrator global tem uma propriedade muito mais importante: ele contém toda a dinâmica limitada do semigrupo T . Esta afirmação ficará mais clara abaixo.

                          Definição 1.2.5. Uma função φ

                          ∶ T → X é uma solução global de T

                          se T e s (t)φ(s) = φ(t + s) para todo t ∈ T ∈ T.

                        • Se φ (0) = x dizemos que φ é uma solução global por x.

                          Proposição 1.2.6. Seja T um semigrupo com um atrator global A.

                          Então:

                          (1.1) A = {x Xexiste uma solução global limitada por x}.

                          Prova: Afirmamos que, dado x

                          ∈ A, existe uma solução global limitada

                        • φ x x

                          ∶ T → X tal que φ (0) = x. De fato, T ∋ t φ(t) = T(t)x X está sempre bem definida e é limitada. Agora, seja x ∈ A = T(1)A; existe

                          x

                          ∈ A tal que T(1)x = x e procedendo indutivamente conseguimos

                          −1 −1

                          uma sequência {x } tal que x = x e T(1)x = x para todo n ∈ N

                          

                        nn−1 −n

                        (lembre que a sequência {x } não é unicamente determinada).

                          −n Defina então

                        • , T

                          φ x

                          (t) = ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎩

                          T

                          (t)x, t ∈ T

                          (j + t)xj

                          , t

                          ∈ [−j, j + 1) ∩ T, j = 1, 2, 3, ⋯ que é uma solução global limitada por x em A. Reciprocamente, cada solução global limitada φ

                          ∶ T → X para T é tal que φ (T) ⊂ A, pela invariância de φ(T) e da atração de A, o que conclui a demonstração.

                        Capítulo 2

                        Semifluxos generalizados

                          Neste capítulo tratamos a teoria de semigrupos para o caso em que não temos uma única órbita passando por cada ponto. À semelhança do que fizemos no estudo da teoria clássica, começamos com definições e conceitos básicos, vemos as noções de atração, absorção e invariância a fim de definirmos e caracterizarmos um atrator global para esse caso multivaluado. Ao longo do capítulo procuramos explicitar a relação que existe entre os dois casos. Nas duas últimas seções trabalhamos brevemente mensurabilidade, continuidade, conexidade e funções de Lyapunov em semifluxos generalizados com a intenção de nos munir- mos de resultados que nos auxiliem na aplicação. Os enunciados dos resultados deste capítulo podem ser encontrados em As demons- trações foram, em sua maioria, desenvolvidas com consultas pontuais às referências

                          No que segue, como no capítulo anterior, (X, d) (ou apenas X) de- notará um espaço métrico completo. Daqui por diante, denotaremos por P (X) a coleção de subconjuntos não-vazios de X; B(X) a coleção de subconjuntos não-vazios limitados de X; C (X) a coleção dos fecha- dos não-vazios; K

                          (X) os compactos não-vazios e, finalmente, BC(X) a coleção dos subconjuntos não-vazios fechados e limitados.

                          Nesta seção, definimos semifluxos generalizados e semigrupos multi- valuados a partir destes. Definimos também outros conceitos que serão necessários para a compreensão dos resultados desta teoria.

                          

                        Definição 2.1.1. Um semifluxo generalizado em X é uma família

                          G de aplicações φ∶ [0, ∞) → X satisfazendo:

                        (H1) Para cada zX existe pelo menos uma φ ∈ G tal que φ(0) = z.

                        τ τ

                        (H2) Se φ ∈ G e τ ⩾ 0, então φ ∈ G, onde φ (t) = φ(t + τ) para todo

                          t ∈ [0, ∞).

                          (H3) Se φ, ψ

                          ∈ G e ψ(0) = φ(t) para algum t ⩾ 0 então θ ∈ G, onde

                          φ

                          (τ), τ ∈ [0, t] ⎧⎪⎪⎪

                          θ

                          (τ) =

                          ⎩

                          ψ ⎨⎪⎪⎪ (τ t), τ ∈ (t, ∞).

                          (H4) Se j j µ j µ {φ } ⊂ G e φ (0) → z, então existe uma subsequência {φ } de {φ } e φ ∈ G com φ(0) = z tais que φ (t) → φ(t) para cada t ⩾ 0.

                          Se, além das propriedades acima, cada φ

                          ∈ G for contínua dizemos

                          que G é um semifluxo generalizado contínuo.

                          

                        Definição 2.1.2. O semigrupo multivaluado T definido por G é

                        uma família de operadores multivaluados T

                          (t)∶ P(X) → P(X) tal que,

                          para cada t

                          ⩾ 0,

                          T (t)E = {φ(t)∶ φ ∈ G e φ(0) ∈ E}.

                          Usamos aqui a mesma notação T para os semigrupos multivaluados, que foi utilizada para semigrupos no sentido clássico no Capítulo 1.

                          Para não haver confusões, aos nos referirmos a semigrupos clássicos, usaremos a notação c , e deixaremos claro com qual tipo de semigrupo T estaremos lidando.

                          Podemos relacionar essa definição com a teoria clássica de semigru- pos tratada no Capítulo 1. Dado um semigrupo (no sentido clássico) c T , para T = R, podemos definir c x

                          G = {φx X}, onde φ x c (t) = T (t)x para cada t ⩾ 0.

                          

                        Proposição 2.1.3. A família c definida acima é um semifluxo gene-

                          G ralizado.

                          

                        Prova: Com efeito, provemos que c satisfaz (H1), (H2), (H3) e (H4).

                          G Notemos que (H1) segue do fato de que para todo z z c e

                          ∈ X, φ ∈ G

                          φ z c c (0) = T (0)z = z. Para ver que vale (H2), considere φ ∈ G e τ ⩾ 0. x

                          Temos φ = φ para algum xX e τ

                          φ x c c c

                        x (t) = φ (t+τ) = T (t+τ)x = T (t)T (τ)x = φ T (t) para todo t ⩾ 0, c (τ )x o que mostra que φ x = φ T ∈ G . Para mostrar (H3), tome φ, ψ ∈ G c (τ )x tais que φ (t) = ψ(0) para algum t ⩾ 0 e seja θ dada por

                          φ

                          (τ), τ ∈ [0, t] ⎧⎪⎪⎪

                          θ

                          (τ) =

                          ⎩ x y Sabemos que existem x, yX tais que φ = φ e ψ = φ . Como

                          ψ ⎨⎪⎪⎪ (τ t), τ ∈ (t, ∞).

                          φ c x y

                          (t) = ψ(0), segue que T (t)x = φ (t) = φ(t) = ψ(0) = φ (0) = y. Além x y disso, θ (τ) = φ(τ) = φ (τ) para τ ∈ [0, t] e θ(τ) = ψ(τ t) = φ (τ t) =

                          T c c c c x

                          (τ t)y = T (τ t)T (t)x = T (τ)x = φ (τ) para τ &gt; t. Portanto

                          θ x x c (τ) = φ (τ) para todo τ ⩾ 0 e θ = φ ∈ G . j c j Finalmente, seja {φ } ⊂ G tal que φ (0) → z para algum z X. j j x

                          Existe uma sequência {x } em X tal que φ = φ para todo j, e assim j

                          φ j c j j j c

                          (0) = T (0)x = x . Logo xz e da continuidade do semigrupo T ,

                          T c j c (t)xT (t)z para cada t ⩾ 0, o que conclui (H4).

                          O semigrupo multivaluado c é simplesmente a ima- T definido por G gem por T c

                          (t) de cada subconjunto E de X e conicidirá com o semi- grupo T no caso em que E é formado por um único ponto.

                          No que segue, sejam G um semifluxo generalizado e T o semigrupo multivaluado definido por

                          G.

                          Proposição 2.1.4.

                          T satisfaz as propriedades (i) e (ii) da Definição

                           (no sentido clássico) em P(X).

                          Prova: Para cada EX temos T

                          (0)E = {φ(0); φ ∈ G e φ(0) ∈ E} = {x E; existe φ ∈ G com φ(0) = x} = E, onde a última igualdade segue de (H1), e concluímos que T (0) = Id em P (X). Agora, dados t, s ⩾ 0, precisamos mostrar que T(t + s) =

                          T

                          (t)T(s). Sejam E X e z T(t)T(s)E. Então z = φ(t) com φ(0) ∈

                          T

                          (s)E. Segue que existe ψ ∈ G tal que ψ(s) = φ(0) e ψ(0) ∈ E. Defina

                          ψ

                          (τ), τ ∈ [0, s] ⎧⎪⎪⎪

                          θ

                          (τ) =

                          ⎩ Então, por (H3), θ ∈ G e z = φ(t) = θ(t + s) com θ(0) = ψ(0) ∈ E. Logo z

                          φ ⎨⎪⎪⎪ (τ s), τ ∈ (s, ∞).

                          ∈ T(t+s)E. Reciprocamente, se z T(t+s)E, então z = φ(t+s) s para alguma φ s s ∈ G com φ(0) ∈ E. Como s ⩾ 0, por (H2), φ ∈ G. Além disso, z = φ (t) = φ(t + s) e φ (0) = φ(s) ∈ T(s)E pois φ(0) ∈ E. Segue que zT(t)T(s)E, o que conclui a demonstração.

                          Proposição 2.1.5. Dados E, F

                          ∈ P(X) com E F temos T(t)E

                          T (t)F para todo t ⩾ 0.

                          

                        Prova: Seja zT(t)E. Então z = φ(t) com φ em G e φ(0) ∈ E F, e

                        por definição, zT(t)F. Proposição 2.1.6. Para cada xX, T(t)x é compacto. Prova: Fixe x n

                          ∈ X e tome {z } uma sequência em T(t)x. Vamos mostrar que z n admite uma subsequência convergente. Para cada n,

                          z n n n n n

                          = φ (t) com φ (0) = x e φ ∈ G. Logo φ (0) é convergente e por µ n (H4) deve existir {φ } subsequência de {φ } e φ ∈ G tais que φ(0) = x e φ µ µ µ

                          (τ) → φ(τ) para cada τ ⩾ 0. Em particular, z = φ (t) → φ(t) ∈

                          T (t)x pois φ(0) = x, o que conclui a demonstração. n

                        Proposição 2.1.7. Se {K } é uma sequência de compactos de X e K

                        n→ ∞ n→ ∞ K H n , K H n , T

                          (X) tais que dist (K ) Ð→ 0, então dist (T(t)K (t)K) Ð→ 0 para todo t ⩾ 0.

                          Prova: Por absurdo, suponha que existam t ⩾ 0, ε &gt; 0 e uma sub- n H n , T

                          sequência de {K } (que denotaremos pela mesma) tais que dist (T(t)K (t)K) &gt;

                          ε

                          para todo n. Logo existe n n n tal que {φ } ⊂ G com φ (0) ∈ K

                          d n (2.1) (φ (t), T(t)K) &gt; ε para todo n ∈ N.

                          Como φ n n , pela hipótese e a Proposição devemos ter (0) ∈ K n

                          ∞

                          uma subsequência - que não renomearemos - de φ n (0) Ð→ z para algum z µ

                          ∈ K. Por (H4), deve existir uma subsequência {φ } e ψ ∈ G µ

                          ∞

                          tais que ψ µ Ð→ ψ (0) = z e φ (s) (s). Em particular µ

                          ∞ φ µ

                          (t) Ð→ ψ (t) ∈ T(t)K. (2.2) Assim o que conclui a demonstração do resul- tado.

                          Agora definiremos as noções de atração, absorção e invariância, bem como provaremos dois resultados que relacionam os tipos de invariância abordados. Antes disso, precisaremos dos conceitos de órbitas, análogos aos definidos no Capítulo 1.

                        • t

                          Definição 2.1.8. Definimos por γ

                          (φ) = {φ(t)∶ t ⩾ 0} a órbita po-

                        • ⩾0 τ

                          T sitiva de φ

                          ∈ G e γ (t)E a órbita positiva de E X.

                          (E) = ⋃

                        • Para τ τ (t)E de E.

                          ⩾ 0, definimos ainda as órbitas positivas parciais γ (φ) =

                        • τ

                          T

                          {φ(t)∶ t τ} de φ e γ (E) = ⋃ t

                          Definição 2.1.9. Uma órbita completa por xX é uma aplicação

                        s

                        • + ψ R

                          ∶ R → X tal que, para todo s ∈ R, ψ ∣ ∈ G e ψ(0) = x. Também

                          utilizamos a expressão órbita completa de ψ por x para γ

                          (ψ) = Im(ψ) = {ψ(t)∶ t ∈ R}. Para o caso clássico, cada solução global é uma órbita completa c para G. Com efeito, seja T um semigrupo no sentido clássico e ψ uma solução global por x c

                          ∈ X. Então ψ(0) = x e T (t)ψ(s) = ψ(t + s) para s R + todo t ⩾ 0 e s ∈ R. Temos, para cada s ∈ R, ψ ∣ (t) = ψ(t + s) = s +

                          T c ψ ψ (t)ψ(s) = φ (t) para todo t ⩾ 0. Logo ψ ∣ = φ ∈ G e ψ é uma R

                        (s) (s)

                        órbita completa por x.

                          Os conceitos de atração e absorção são análogos aos dados no capí- tulo anterior.

                          Definição 2.1.10. Dizemos que A

                          ⊂ X atrai um conjunto E X se

                          para todo ε ε

                          &gt; 0 existe τ = τ(ε, E) ⩾ 0 tal que T(t)E ⊂ O (A) para todo

                          t

                          ⩾ τ, isto é, se t

                          ∞

                          dist H (T(t)E, A) Ð→ 0.

                          

                        Se existir um t , diremos que A

                          ⩾ 0 tal que T(t)E A para todo t t absorve E.

                          Definição 2.1.11. Dizemos que um subconjunto A

                          ⊂ X é positiva-

                          mente invariante se T

                          (t)A A para todo t ⩾ 0; A é negativamente

                          invariante se A

                          ⊂ T(t)A para todo t ⩾ 0; A é dito invariante se

                          A

                          = T(t)A para todo t ⩾ 0 e, finalmente, A é quasi-invariante se para

                          cada z

                          ∈ A existe uma órbita completa ψ por z e ψ(t) ∈ A para todo

                          t ∈ R.

                          Observamos que para a teoria clássica de semigrupos, quasi-invariância como definida aqui é equivalente a invariância. Mas na teoria de se- migrupos multivaludos, não temos esta equivalência. Veremos alguns resultados a seguir que relacionam estes conceitos.

                          

                        Proposição 2.1.12. Se um conjunto é invariante, então ele é quasi-

                        invariante.

                          

                        Prova: Seja A um conjunto invariante e zA. Por (H1) sabemos que

                          existe θ ∈ G tal que θ (0) = z. Como z A = T(1)A, segue que existe

                          φ 1 1 1

                          ∈ G tal que z = φ (1) e φ (0) ∈ A. Podemos definir

                          φ 1

                          (τ), τ ∈ [0, 1] ⎧⎪⎪⎪

                          θ 1

                          (τ) =

                          ⎩ Temos θ 1 1 1

                          θ ⎨⎪⎪⎪ (τ − 1), τ ∈ [1, ∞).

                          (0) = φ (0) = z −1 ∈ A. Por (H3), θ ∈ G e pela invariância de

                          A

                          , θ 1 (τ) ∈ A para todo τ ⩾ 0. Como z −1 ∈ A = T(1)A, segue que existe

                          φ 2 2 2

                          ∈ G tal que z −1 = φ (1) e φ (0) ∈ A. Podemos definir

                          φ 2 (τ), τ ∈ [0, 1]

                          ⎧⎪⎪⎪

                          θ 2

                          (τ) =

                          θ 1 (τ − 1), τ ∈ [1, ∞).

                          ⎨⎪⎪⎪ 2 22 Temos θ (0) = φ (0) = zA. Por (H3), θ ∈ G e pela invariância 2 −2 de A, θ (τ) ∈ A para todo τ ⩾ 0. Procedendo indutivamente, podemos n n n encontrar, para cada n ∈ N, φ ∈ G tal que z = φ (1) e φ (0) ∈ A e

                          −n+1 φ n

                          (τ), τ ∈ [0, 1] ⎧⎪⎪⎪

                          θ n

                          (τ) =

                          θ n

                          ⎨⎪⎪⎪ (τ − 1), τ ∈ [1, ∞)

                          −1

                          ⎩ com θ n n n n (0) = φ (0) = zA, θ ∈ G e θ (τ) ∈ A para todo τ ⩾ 0. n n n n Rn

                        • + Defina ψ ∶ [−n, ∞) → X por ψ (t) = θ (t + n). Por (H2), ψ ∣ ∈ G n n para todo n. Além disso, ψ (0) = θ (n). Finalmente, podemos definir

                          ψ m

                          ∶ R → X por ψ(t) = ψ (t) se t ∈ [−m, ∞). A função ψ está bem definida pois se t ∈ [−m, ∞),

                          ψ

                        m m m m m

                          (t) = θ (t + m + 1) = θ (t + m + 1 − 1) = θ (t + m) = ψ (t)

                        • 1 +1

                          já que t

                        • m + 1 ⩾ 1. Ademais, ψ é uma oŕbita completa por z. Com s + efeito, ψ (0) = ψ (0) = z e, para cada s ∈ R, ψ ∣ (t) = ψ(t+s) para t ⩾ 0. R Se m é o menor inteiro tal que

                          −m s então, para t ⩾ 0, t+s ∈ [−m, ∞) e s

                        • m

                          ψ m m (t + s) = ψ (t + s) = θ (t + s + m) = θ m (t) para todo t ⩾ 0. s s + m +m R

                          Como θ m ∈ G, por (H2) temos θ ∈ G e consequentemente, ψ ∣ ∈ G. n Além disso, como θ (t) ∈ A para todo t ⩾ 0 e todo n ∈ N, então ψ(t) ∈ A para todo t ∈ R, o que conclui a demonstração.

                          

                        Proposição 2.1.13. Se um conjunto é quasi-invariante, então é ne-

                        gativamente invariante.

                        Prova: Fixe t ⩾ 0 e A um conjunto quasi-invariante. Dado z A,

                          sabemos que existe ψ órbita completa por z inteiramente contida em

                          

                        ttt

                        + + + A R R R

                          . Em particular, ψ ∣ ∈ G e ψ ∣ (t) = z com ψ ∣ (0) = ψ(−t) ∈ A. Logo zT(t)A e A é negativamente invariante.

                          O objetivo desta seção é definir ω-limite de funções φ ∈ G e de subconjuntos de X, bem como α-limite para órbitas completas, carac- terizar alguns desses conjuntos e, finalmente, definir ponto-atrator e

                          B -atrator global.

                          

                        Definição 2.1.14. Sejam φ ∈ G, ψ uma órbita completa e E X.

                          Definimos j

                          1. o ω-limite de φ por ω j j (φ) = {z X; existe t Ð→ ∞ tal que

                          φ j Ð→ z

                          (t ) }; j→ ∞

                          2. o α-limite de ψ por α j j (ψ) = {z X; existe t Ð→ −∞ tal que

                          ψ j

                          (t ) Ð→ z };

                          3. ω B j j

                          (E) = {z X; existe {φ } ⊂ G tal que {φ (0)} ⊂ E pertence a j→ ∞ j→ ∞

                        • Ð→ z };
                        • t t (E).

                            B j com t j j j

                            (X) e existe {t } ⊂ R Ð→ ∞ tal que φ (t )

                          • γ

                            4. ω

                            (E) = ⋂

                            ⩾0 Agora veremos alguns resultados de caracterização destes objetos.

                          • γ Proposição 2.1.15. Para cada φ t (φ).

                            ∈ G temos ω(φ) = ⋂ t jj ⩾0 ∞ ∞

                            Prova: Seja z j j

                            ∈ ω(φ). Sabemos que existe t Ð→ ∞ tal que φ(t ) Ð→

                            z

                            . Devemos mostrar que zφ([t, ∞)) para todo t ⩾ 0. Para isso, fixe

                            t

                            . Como t j → tal que t j , e portanto ∞ existe jt para todo j j

                            φ j . Logo z (t ) ∈ φ([t, ∞)) para j jφ([t, ∞)).

                          • +

                            γ

                            Reciprocamente, seja z t (φ). Devemos mostrar que existe ∈ ⋂ t j→ ∞ ⩾0

                            t φ j j

                            Ð→ ∞ tal que z = lim j→ (t ). Para cada j ∈ N, z φ([j, ∞)), j j

                            φ

                            logo existem sequências {t } tais que z = lim k→ (t ). Para cada j, kk j 1 j escolha k Defina t j . Então t j

                            (j) tal que d(φ(t ), z) &lt; = tj k j k j→ ∞ j→ ∞ (j) (j) e portanto t j j

                            Ð→ ∞. Além disso, φ(t ) Ð→ z. Assim zω(φ), como queríamos.

                            

                          Proposição 2.1.16. Para cada EX temos ω(E) = {z X; existem

                          nn n n n n n ∞ ∞ {ξ } ⊂ X e t Ð→ ∞ tais que ξT(t )E para todo n e ξ Ð→ z }.

                            

                          Prova: Seja z (s)E para

                            ∈ ⋂ (E) = ⋂ t t s s t ⋃ (s)E. Temos z ∈ ⋃

                            ⩾tt ⩾0 ⩾0 j T

                            todo t ⩾ 0. Para cada j ∈ N existe {x n (s)E tal que z = } ⊂ ⋃ s j j j jj

                            ∞ j j 1 , z j

                            x lim nn . Observamos que cada x nT(t n )E para algum t nj.

                            Para cada j, escolha n (j) tal que d(x ) &lt; . Defina x = x e n j n j ∞ ∞ jj (j) (j)

                            t j j j j j = t . Então x Ð→ z, xT(t )E e t Ð→ ∞. n (j) j j j x

                            Reciprocamente, se existe {x } tal que z = lim j→ com xj→ ∞

                            T j j j

                            (t )E e t Ð→ ∞, para cada s &gt; 0 considere j(s) tal que ts para todo j j j j .j(s). Considere ainda as subsequências de {x }, {x }

                            ⩾j(s)

                            Por ser z limite de cada uma dessas subsequências,

                            z T T j

                            (t (t)E ∈ ⋃ )E ⊂ ⋃ j t

                            ⩾sj(s)

                            para todo s ⩾ 0, o que conclui a demonstração.

                            Observe que pela Proposição ω B (E) ⊂ ω(E). Claramente, se E é limitado, ω B

                            (E) = ω(E).

                            

                          2.2 Atratores globais para semifluxos ge-

                          neralizados

                            Nesta seção demonstramos algumas propriedades que um semifluxo generalizado pode possuir que são relevantes para o estudo de sua di- nâmica. Provamos resultados acerca da relação que existe entre tais propriedades. Finalmente, provamos os resultados centrais que carac- terizam semifluxos que possuem atratores globais e o próprio atrator.

                            Antes de começarmos, consideremos as seguintes definições de atra-

                            tores que usaremos no contexto de semifluxos generalizados:

                            

                          Definição 2.2.1. Um subconjunto A de X que atrai todos os subcon-

                          juntos limitados de X é chamado B-atrator global. Um subconjunto

                          A

                          que atrai todos os pontos de X é chamado ponto-atrator global.

                            Com as definições acima, podemos dar a definição de atrator global.

                            Definição 2.2.2. Um subconjunto

                            A de X é chamado de atrator glo-

                            bal para G se A é compacto, invariante e é um B-atrator global.

                            No que segue, exploraremos definições e resultados a fim de encon- trar condições para garantir a existência de um atrator global - veja os Teoremas , que estão na próxima seção.

                            Definição 2.2.3.

                            G é eventualmente limitado se para B B(X)

                          τ (B) ∈ B(X).

                            existe τ

                          • Vamos buscar condições para encontrar tais objetos, e para isso precisaremos de algumas definições e resultados básicos.

                            = τ(B) ⩾ 0 tal que γ

                            Definição 2.2.4. Dizemos que

                            G é

                            

                          (a) limitado dissipativo ou B-dissipativo se G possui um B-atrator

                          global limitado,

                            (b) ponto dissipativo se G possui um ponto-atrator global, (c) φ-dissipativo se existe um conjunto B tal que, para toda φ

                            ∈ G, existe t φ tal que φ para todo t φ . (t) ∈ Bt

                            Lema 2.2.5. Se G é B-dissipativo, então é eventualmente limitado. Prova: Seja

                            A o B-atrator global limitado de G e fixe ε &gt; 0. Dado

                            B ε

                            ∈ B(X) deve existir τ(B) ⩾ 0 tal que T(t)B ⊂ O (A) para todo

                          • t ε ε

                            ⩾ τ(B) e logo γ (B) ⊂ O (A). Como O (A) é limitado, segue que τ

                            (B) τ

                          • γ (B) também o é. Portanto G é eventualmente limitado.

                            (B)

                            

                          Proposição 2.2.6. Se G é limitado dissipativo então G é ponto dissi-

                          pativo. Se G é ponto dissipativo então G é φ-dissipativo.

                            

                          Prova: Como para cada ponto xX o conjunto {x} é limitado, a

                            primeira afirmação é satisfeita. Para provar a segunda, suponha que exista AX que atraia pontos de X e fixe ε &gt; 0. Para φ ∈ G, considere

                            x x

                            = φ(0). Temos, pela Proposição para algum τ ⩾ 0, T(t)x

                          ε x Como φ ε

                          .

                            O (A) para todo t τ (t) ∈ T(t)x, segue que φ(t) ∈ O (A) para todo t x . O resultado então segue tomando B ετ = O (A). j

                            

                          Definição 2.2.7. G é dito compacto se para toda sequência {φ } ⊂ G

                          com j µ j µ {φ (0)} ∈ B(X) existe uma subsequência {φ } de {φ } tal que {φ (t)} é convergente para todo t ⩾ 0.

                            

                          Definição 2.2.8. G é dito assintoticamente compacto se para toda

                          sequência j j j j {φ } ⊂ G com {φ (0)} ∈ B(X) e toda sequência {t } com

                            ∞ t j j j Ð→ ∞, a sequência {φ (t )} possui uma subsequência convergente.

                            Uma definição equivalente seria dizer que G é assintoticamente com- n n n pacto se para todo BB(X) e toda sequência {ξ } tal que ξT(t )B n n ∞ para todo n e t Ð→ ∞ existe uma subsequência convergente.

                            

                          Proposição 2.2.9. Se G é assintoticamente compacto então G é even-

                          tualmente limitado. Prova: Suponha, por absurdo, que exista B

                            ∈ B(X) tal que para todo ⩾ 0, γ

                          • τ (B) /∈ B(X). Defina t = 0. Tome ξT(t )B γ

                            t (B).

                            τ 1 1 1 , ξ 1 tal 1 Uma vez que γ τ , deve existir t

                          • que T (t )B é não limitado. Tome ξT(t )B tal que d(ξ ) &gt; 1.
                          • 2 1 2 Analogamente, existe t &gt; t tal que T (t )B não é limitado. Podemos 2 2 , , ξ 1 escolher ξ tal que d (ξ {ξ }) &gt; 1. Assim construimos uma sequência

                              (B) é não limitado para τ t &gt; t

                              n n n n

                              {ξ } tal que ξT(t )B para todo n com t Ð→ ∞ e B B(X) que não possui uma subsequência convergente, o que é uma contradição.

                              Proposição 2.2.10. Se

                              G é eventualmente limitado e compacto, então G é assintoticamente compacto. n n n n n

                              

                            Prova: Seja BB(X), t Ð→ ∞ e {ξ } ⊂ X tal que ξT(t )B

                            n n n n n para todo n. Temos, para cada n, ξ = φ (t ), φ ∈ G e φ (0) ∈ B.

                            • Seja τ ⩾ 0 tal que γ τ (B) é limitada. Da Proposição temos

                              ′ T n n n

                              (t )B = T(1)T(t − 1)B sempre que t &gt; 1. Segue que existe φ n ∈ G

                              ′ ′

                              tal que φ n n n (t ) = φ n (1) com φ n (0) ∈ T(t − 1)B γ τ (B) para todo n

                              tal que t n . Da compacidade de − 1 ⩾ τ

                              G, {φ n (1)} deve possuir uma subsequência convergente e portanto n n {φ (t )} possui uma subsequência convergente, o que mostra a compacidade assintótica de

                              G.

                              

                            Definição 2.2.11. G é dito condicionalmente assintoticamente

                            τ +

                            compacto se para todo BB(X) tal que γ (B) ∈ B(X) para algum

                            (B) n

                              τ n n n n

                              (B) ⩾ 0, toda sequência {ξ } tal que ξT(t )B para todo n e t Ð→ ∞ existe uma subsequência convergente.

                              

                            Proposição 2.2.12. G é assintoticamente compacto se, e somente se,

                              G é eventualmente limitado e condicionalmente assintoticamente com- pacto.

                              Prova: Suponha que

                              G é assintoticamente compacto. Da Proposição já sabemos que

                              G é eventualmente limitado. Além disso, é evidente das definições que G é condicionalmente assintoticamente compacto. n n n→ ∞

                            Para a outra implicação, seja B Ð→ n n ∈ B(X), t ∞ e {ξ } ⊂ X tal que ξ ∈ T(t )B para todo n. Como G é eventualmente limitado

                              sabemos que existe τ (B) ⩾ 0 para o qual γ τ (B) é limitada. Mas então,

                            • segue do fato de que G é condicionalmente assintoticamente compacto
                            que {ξ } possui uma subsequência convergente. Logo G é assintotica- mente compacto, como queríamos.

                              

                            2.2.1 Principais propriedades de semifluxos genera-

                            lizados Lema 2.2.13. Sejam FC(X) e A P(X).

                              1. Se F atrai A, então ω B (A) ⊂ ω(A) ⊂ F.

                              

                            2. Se ω (A) atrai A, então ω(A) é o fechado minimal que atrai A, isto

                            é, se F é um fechado que atrai A então ω (A) ⊂ F. τ (A)) = ω(A).

                              3. Para todo τ

                            • Prova: De (1). Da Proposição já temos, como observado an-

                              ⩾ 0, ω(γ

                              teriormente, ω B (A) ⊂ ω(A). Suponha que F atrai A, isto é, n

                              ∞

                              dist H (2.3) (T(t)A, F) Ð→ 0. Precisamos mostrar que ω

                              (A) ⊂ F. Para isso, seja x ω(A). Existe n

                              ∞

                              sequência n n n n nn {ξ } ⊂ X tal que ξT(t )A para todo n, t Ð→ ∞ e

                              ∞ ∞ d , x , F n Por d n

                              (ξ ) Ð→ 0. (ξ ) Ð→ 0, e portanto deve existir 1

                              , y

                              uma sequência n n n para todo n {y } ⊂ F tal que d(ξ ) &lt; ∈ N. Evi- n→ ∞ n dentemente y n Ð→ x e, como F é fechado, x

                              ∈ F como queríamos demonstrar.

                              De (2). Segue do item

                              (1) e do fato de que ω(A) é fechado. De n n→ ∞ n→ ∞

                            • +

                              ξ n n n n n n

                              (3). Sejam τ τ Ð→

                              ⩾ 0 fixado e x ω(γ (A)). Então existem t ∞ e

                              ∈ T(t )γ τ (A) tal que ξ Ð→ x. Logo, para cada n, ξ = φ (t ) com

                              φ n n n n n

                              ∈ G e φ (0) ∈ γ τ (A). Assim φ (0) ∈ T(s )A para algum sτ e n n n n n portanto existe φ ∈ G tal que ψ (0) ∈ A e ψ (s ) = φ (0). Seja θ definida por

                              ψ

                            n n

                              (τ), τ ∈ [0, s ], ⎧⎪⎪⎪

                              θ

                              (τ) =

                              

                            φ ,

                            n n n

                            ⎨⎪⎪⎪ (τ s ), τ ∈ (s ∞). n n n n n n n n n

                              Temos θ ∈ G, θ (0) = ψ (0) ∈ A e θ (t + s ) = φ (t ) = ξ n n n n n n n→ ∞ para todo n. Logo θ (t + s ) Ð→ x. Se definirmos r = t + s , nn n n n n n n ∞ ∞ então θ (r ) ∈ T(r )A para todo n, r Ð→ ∞ e θ (r ) Ð→ x. Logo

                              xω(A). n n n

                              Reciprocamente, seja xω(A). Então existem t Ð→ ∞ e ξn

                              ∞ T n n n n n n n (t )A tal que ξ Ð→ x. Temos ξ = φ (t ) com φ ∈ G e φ (0) ∈ A. n

                              ∞ τ τ

                              Defina s n n n n n n n = tτ. Então s Ð→ ∞, φ n ∈ G por (H2), φ n (s ) = φ (t ) =

                              ∞ τ τ

                              ξ n n n n

                              Ð→ x e φ n (0) ∈ T(τ)A γ τ (A). Logo ξ = φ n (s ) ∈ T(s )γ τ (A) τ (A)). Portanto ω(γ τ (A)) = para todo n. Concluímos que x

                              ∈ ω(γ

                              ω (A), como queríamos demonstrar.

                              Teorema 2.2.14.

                              ω

                              1. Se F x

                              (x) ⊂ ⊂ X é fechado e é um ponto-atrator global, então ⋃ ∈X

                              F. ω Em particular, se x

                              (x) é um ponto-atrator global, então ⋃ ∈X ele é ponto-atrator fechado minimal.

                              ω

                              2. Se ω x

                              (x) é o ponto-atrator (x) atrai x para cada x X, então ⋃ ∈X global fechado minimal.

                              

                            Prova: De (1). Como F atrai x para todo xX, segue do Lema

                            ω

                              que ω x (x) ⊂ F e, como F (x) ⊂ F para todo x X. Logo ⋃ ∈X

                              ⋃ ∈X

                              ω é fechado, temos x (x) ⊂ F como queríamos.

                              De (2). Seja xX. Temos , ω , ω ω

                              dist H H H (T(t)x (x)) ⩽ dist (T(t)x (x ))+dist (ω(x (x)). x ⋃ ), x

                              ∈XX

                              , ω

                              Por hipótese, dist H (T(t)x (x )) Ð→ 0 e, desde que ω(x ) ⊂ x H x ω ω

                              (x), temos dist (ω(x (x)) = 0. Assim ⋃ ∈X ), ⋃ ∈X t

                              ∞

                            , ω

                              dist H Ð→ 0, (T(t)x ⋃ (x)) x

                              

                            X

                            como queríamos demonstrar.

                              Teorema 2.2.15.

                              ω

                              1. Se F B (B) ⊂

                              ⊂ X é fechado e é um B-atrator global, então ⋃ ∈B(X)

                              F. Em particular, se ω B (B) é um B-atrator global, então

                              ⋃ ∈B(X) ele deve ser o B-atrator fechado minimal.

                              ω

                              2. Se ω B

                              (B) é o (B) atrai B para todo B B(X), então ⋃ ∈B(X)

                              B -atrator global fechado minimal.

                              Prova: De (1). Como F atrai B para todo B

                              ∈ B(X), segue do Lema

                              ω

                              que ω B (B) ⊂ F e,

                              (B) ⊂ F para todo B B(X). Logo ⋃ ∈B(X)

                              ⋃

                              ∈B(X) De (2). Seja BB(X). Temos H , ω

                              

                            ω

                            como F é fechado, temos B (B) ⊂ F.

                              dist (T(t)B (B)) ⩽ B

                            H , ω H ω

                            B(X) dist (T(t)B (B )) + dist (ω(B (B)). (2.4)

                              ), B tB(X) H , ω ∞ Por hipótese, dist (T(t)B (B )) Ð→ 0 e, desde que ω (B ) ⊂ B H B ω ω

                              (B), temos dist (ω(B (B)) = 0. Assim ⋃ ∈B(X) ), ⋃ ∈B(X) t

                              ∞

                            , ω

                              dist H (T(t)B (B)) Ð→ 0, B

                              ∈B(X) como queríamos demonstrar. Observemos que se para todo B x (x),B(X) tivermos ω(B) = ⋃ ∈B então

                              

                            ω ω

                            (B). x B ⋃ (x) = ⋃ ∈XB(X)

                              ω ω

                              Com efeito, temos x B (B), uma vez que {x} ∈

                              ⋃ ∈X (x) ⊂ ⋃ ∈B(X)

                              B x x ω ω

                              (x) (X) para cada x X. Além disso ω(B) = ⋃ ∈B (x) ⊂ ⋃ ∈X

                              ω ω

                              para todo B B x (x).

                              ∈ B(X) e logo ⋃ ∈B(X) (B) ⊂ ⋃ ∈X

                              Lema 2.2.16. Sejam

                              G um semifluxo generalizado, K K(X) e A

                              P n

                              (X) tais que K atrai A. Então para toda sequência {ξ } tal que n

                              ∞ ξ

                            n n n n n

                              ∈ T(t )A com t Ð→ ∞ existe uma subsequência {ξ k } ⊂ {ξ }

                              convergente para algum xK.

                              Prova: Seja n

                              {ξ } como na hipótese. Como K atrai A temos n

                              ∞ dist H n Ð→ 0. n , K n→ ∞ (T(t )A, K) Logo d Ð→ 0 e o resultado segue da Proposição

                              (ξ ) Mostremos agora que se o ω-limite de um conjunto A é compacto e atrai A, então ele é quasi-invariante.

                              Proposição 2.2.17. Sejam

                              G semifluxo generalizado, A P(X) tal

                              que ω (A) ∈ K(X) atrai A. Então ω(A) é quasi-invariante. j

                              Prova: Seja z j j Ð→ jω(A). Deve existir {φ } ⊂ G com t ∞ tal que j

                            t t

                            j j

                              φ j j

                              Ð→ z. Por (H2), φ Ð→ z, e por (t ) j ∈ G para todo j. Como φ j (0)

                              (H4) deve existir uma subsequência (que denotaremos pela mesma) e t j j

                              ψ

                              ∈ G tal que ψ (0) = z e φ (t) Ð→ ψ (t) para todo t ⩾ 0. Temos j

                              ψ (t) ∈ ω(A) para todo t ⩾ 0.

                              Agora considere a sequência {φ } ⊂ G. Sabemos que t j −1 j

                              φ j j j j (0) = φ (t − 1) ∈ T(t − 1)A para todo j. Como ω

                              (A) atrai A, devemos ter j→ ∞ dist H j j (φ (t − 1), ω(A)) Ð→ 0. t j

                              −1

                              Desde que ω (A) é compacto, segue da Proposição que {φ j (0)} possui uma subsequência convergente. Por (H4), deve existir ψ 1 t j −1

                              G

                              e uma subsequência de t j −1 j {φ j (t)} que não renomearemos tais que 1

                              φ j (t) (t) para todo t ⩾ 0. Temos ψ Ð→ ψ 1 . 1 = ψ r

                              Procedendo indutivamente, para cada r = 1, 2, ... encontramos ψ 1 r r tal que ψ r = ψ e ψ (t) ∈ ω(A) para todo t ⩾ 0. Dado t ∈ R, definimos

                              −1 ψ r (t) = ψ (t + r), para todo r ⩾ −t. τ τ R + +r

                              Temos ψ bem definida e uma órbita completa, pois ψ ∣ = ψ r ∈ G para r

                            • τ ⩾ 0. Além disso ψ(0) = ψ (0) = z e ψ(t) ∈ ω(A) para todo

                              t ∈ R, o que mostra que ω(A) é quasi-invariante.

                              Segue da Proposição

                              ω (A) é negativamente invariante.

                              Lema 2.2.18. Sejam

                              G um semifluxo generalizado e A P(X). Se n

                              ∞ para toda sequência n n n n Ð→

                              {ξ } tal que ξT(t )A com texiste uma

                              subsequência convergente, então ω

                              (A) é compacto, quasi-invariante e é o fechado minimal não-vazio que atrai A.

                              

                            Prova: Vamos mostrar que ω (A) é não-vazio. Para isso tome z A;

                            n

                              por (H1), existe φ ∈ G tal que φ(0) = z. Defina ξ = φ(n). Temos

                              ξ n n

                              ∈ T(n)A para todo n e, por hipótese, {ξ } possui uma subsequência convergente para algum ξX. Claramente ξ ω(A) e assim ω(A) ≠ ∅. Mostremos agora que ω (A) atrai A. Suponha, por absurdo, que não. n n H n

                              Então deve existir ε ⩾ 0 e t Ð→ ∞ tais que dist (T(t )A, ω(A)) ⩾

                              ε n

                              para todo n. Podemos então construir uma sequência {ξ } com

                              ξ , ω n n n n

                              ∈ T(t )A e d(ξ (A)) ⩾ ε para todo n. Por hipótese, {ξ } deve possuir uma subsequência convergente para algum ξω(A), e temos

                              d (ξ, ω(A)) ⩾ ε, o que nos leva a uma contradição. n Vamos mostrar que ω (A) é compacto. Para isso, seja {z } ⊂ ω(A). n n n n n k→ ∞

                              Para cada z existem sequências {ξ } tais que ξT(t )A, t Ð→ ∞ k k k k k nn e ξ Ð→ z . Para cada n fixado podemos escolher k (n) tal que n k 1 n n n

                              d , z n n n

                              (ξ ) &lt; e t &gt; n. Defina t = t e ξ = ξ . Então k n k k k n (n) (n) (n) (n) ∞

                              t n n n n

                              Ð→ ∞ e ξT(t )A para todo n. Por hipótese, {ξ } possui uma subsequência convergente, digamos, µ µ {ξ }. Mas então {z } é conver- gente e ω

                              (A) é relativamente compacto. Como ω(A) é fechado, temos

                              ω (A) compacto.

                              Segue da Proposição que ω (A) é o fechado minimal que atrai A.

                              

                            Teorema 2.2.19. Seja AP(X). Então ω(A) é compacto, não-vazio,

                            quasi-invariante e atrai A se, e somente se, para todas as sequências

                            n

                              ∞ t n n n n

                              Ð→ ∞ e {ξ } ⊂ X tais que ξT(t )A para todo n, existe uma subsequência convergente.

                              

                            Prova: O resultado segue do Lema tomando

                            K = ω(A).

                              

                            Teorema 2.2.20. Sejam G um semifluxo generalizado e K K(X).

                              Se A

                              ∈ P(X) é tal que K atrai A, então ω(A) é não-vazio, compacto, quasi-invariante e é o fechado minimal que atrai A.

                              Prova: O resultado segue do Lema

                              A seguinte proposição é análoga ao Lema para semigrupos no sentido clássico.

                              

                            Proposição 2.2.21. Sejam G um semifluxo generalizado e A P(X)

                            tal que γ

                            • invariante e atrai A. n n n n n

                              (A) ∈ K(X). Então ω(A) é não-vazio, compacto, quasi-

                              ∞

                            Prova: Sejam t Ð→ ∞ e {ξ } uma sequência tal que ξT(t )A.

                              Temos

                            • n

                              } ⊂ ⋃ t

                              T {ξ (t)A = γ (A) ⊂ γ (A).

                              ⩾0 n

                              Como γ (A) é compacto, {ξ } possui uma subsequência conver-

                            • gente e o resultado segue do Teorema

                              Lema 2.2.22. Seja

                              G um semifluxo generalizado assintoticamente com- pacto.

                              1. Se B

                              ∈ B(X), então ω(B) é não-vazio, compacto, quasi-invariante

                              e é o fechado minimal que atrai B. Além disso, se T

                              (t )ω(B) ⊂ B

                              para algum t ⩾ 0, então ω(B) é invariante.

                              2. Para toda φ

                              ∈ G, o conjunto ω(φ) é não-vazio, compacto, quasi-

                              invariante e φ (t) → ω(φ) quando t → ∞.

                              3. Se ψ é uma órbita completa limitada, então α

                              (ψ) é não-vazio, com-

                              pacto, quasi-invariante e ψ (t) → α(ψ) quando t → −∞.

                              

                            Prova: De (1). Segue diretamente do fato de G ser assintoticamente

                            n n n n n

                              compacto que toda sequência {ξ } tal que ξT(t )B, com t Ð→ ∞, possui subsequência convergente. Segue do Teorema e do Lema que ω

                              (B) é não-vazio, compacto, quasi-invariante e é o fechado minimal que atrai B. Suponha agora que T

                              (t )ω(B) ⊂ B para algum t ⩾ 0. Como já sabemos que ω (B) é quasi-invariante, temos da Proposição que

                              ω

                              (B) é negativamente invariante. Resta mostrar que T(t)ω(B) ⊂ ω(B) para todo t ⩾ 0. Primeiramente, vamos provar que ω(B) ⊂ B. Com efeito, seja z

                              ∈ ω(B) e ψ a órbita completa por z inteiramente contida +

                              −t R

                              em ω . Então φ (B). Defina φ = ψ ∣ ∈ G, φ(t ) = ψ(0) = z e φ(0) =

                              ψ (−t ) ∈ ω(B). Portanto z T(t )ω(B) ⊂ B.

                              Fixe agora t ⩾ 0 e seja z T(t)ω(B). Então existe φ ∈ G tal que

                              φ

                              (0) ∈ ω(B) e z = φ(t). Seja ψ órbita completa por z; para k &gt; t, t t +

                              −kk R

                              considere ψ ∣ ∈ G. Temos ψ (k t) = ψ(0) = φ(0) = z. Defina t

                              −k ψ

                              (s), s ∈ [0, k t] ⎧⎪⎪⎪

                              ψ k

                              (s) =

                              ⎨⎪⎪⎪ ⎩

                              φ (s k + t), s ∈ (k t, ∞).

                              Por (H4), ψ k k k t ∈ G e ψ (k) = φ(k k + t) = φ(t). Além disso, ψ (0) =

                              −k ψ

                              ψ k

                              (0) = ψ(t k) ∈ ω(B) ⊂ B. Assim, z = φ(t) = lim k→ (k), com

                              ∞ ψ k (k) ∈ T(k)B. Logo z ω(B), como queríamos.

                              

                            De (2). Mostremos que ω j j

                              (φ) é não-vazio. Defina φ = φ e t = j j

                              ∞

                              para cada j j j j ∈ N. Então {φ } ⊂ G, t Ð→ ∞ e {φ (0)} = {φ(0)} ∈

                              B j j

                              (X). Como G é assintoticamente compacto, {φ (t )} possui uma subsequência convergente para algum ξX. Mas então ξ ω(φ) e

                              ω (φ) ≠ ∅.

                              Para mostrar que ω (φ) é compacto, consideremos {z } uma sequên- cia em ω (φ). Para cada n, temos n

                              z φ n n n j→ ∞ = lim (t j ) j→ ∞ 1 com t n . Defina φ n j Ð→ ∞. Escolha j(n) tal que d(φ(t ), z ) &lt; = φ j n (n) n n

                              e t n . Temos n n = t {φ (0)} = {φ(0)} ∈ B(X) e t Ð→ ∞. Da compa- j

                              (n)

                              cidade assintótica de n n

                              G, {φ (t )} possui uma subsequência convergente (que não renomearemos) digamos para z

                              ∈ X. Mas então n

                              ∞ d , z , φ n n n n n n Ð→ 0

                              (z ) ⩽ d(z (t )) + d(φ (t ), z) n o que implica que {z } possui uma subsequência convergente e, desde que zω(φ) pela definição do ω-limite, ω(φ) é compacto como quería- mos demonstrar.

                              Vamos mostrar que ω (φ) é quasi-invariante. Seja z ω(φ). Sabemos j→ ∞ t j

                              φ

                              que existe t j j j Ð→ ∞ tal que z = lim j→ (t ). Temos φ = φ ∈ G j→ ∞ ∞ para todo j j µ j

                              ∈ N e φ (0) Ð→ z. Por (H4), deve existir {φ } ⊂ {φ } t µ µ→ ∞ e ψ µ ∈ G tais que ψ (0) = z e φ (t) = φ (t) Ð→ ψ (t) para todo

                              t

                              ⩾ 0. Afirmamos que ψ (t) ∈ ω(φ) para todo t ⩾ 0. De fato, ψ (t) = µ t µ

                              φ φ

                              lim µ µ µ→ ∞ (t) = lim µ→ ∞ (t + t ) com t + t Ð→ ∞. Agora considere t j −1

                              φ j para t j j j 1

                            1

                              = φ &gt; 1. Temos {φ (0)} = {φ(t − 1)}, que possui uma subsequência convergente, pois G é assintoticamente compacto e {φ(0)} 1

                              é limitado. Por (H4), obtemos ψ 1 j ∈ G e uma subsequência de {φ } que j j 1 j t j −1 ∞ não renomearemos tal que φ Ð→ ψ 1 1 (t) = φ (t) = φ(t + t − 1) (t) 1 1 φ j para todo t ⩾ 0. Temos ψ 1 = ψ pois ψ 1 (t) = ψ (t + 1) = lim j→ (t

                              ∞

                              1 + t + 1) = ψ (t) para todo t ⩾ 0. Prosseguindo indutivamente para 1

                              r r r r

                              = 1, 2, ... conseguimos ψ tal que ψ r = ψ e ψ (t) ∈ ω(φ) para todo

                              −1

                              ⩾ 0. Dado t ∈ R, definimos

                              ψ r

                              (t) = ψ (t + r), para todo r ⩾ −t τ τ +

                            • r

                              ψ R

                              está bem definida e é uma órbita completa pois ψ ∣ = ψ r ∈ G para r

                            • τ ⩾ 0; além disso, ψ(0) = ψ (0) = z e ψ(t) ∈ ω(φ) para todo

                              t ∈ R. Segue que ω(φ) é quasi-invariante. d

                              Finalmente, precisamos mostrar que lim t→ ∞ (φ(t), ω(φ)) = 0. Su- n

                              ∞

                              ponha, por absurdo, que existam ε n &gt; 0 e uma sequência t Ð→ ∞ tais que

                              d n (φ(t ), ω(φ)) &gt; ε para todo n ∈ N. n

                              Como G é assintoticamente compacto, sabemos que {φ(t )} possui uma subsequência convergente para algum zX. Mas então z deveria pertencer a ω (φ) o que resulta numa contradição.

                              De (3). A prova deste item é análoga à do anterior. Quando j

                              utilizamos a compacidade assintótica de G basta lembrar que ψ(t ) = jj 2 t j ∞ ∞ 2 t j

                              ψ j j j

                              (−t ) para −t Ð→ ∞ se t Ð→ −∞. A sequência {ψ (0)} é limitada, uma vez que ψ é limitada.

                              Lema 2.2.23. Sejam t, τ

                              ⩾ 0. Então

                              T T T (s + r)A. s r s ⋃ (s)( ⋃ (r)A) = ⋃ ⩾tτt;rτ

                              T T

                            Prova: Defina B r s (s)B. Logo x

                              = ⋃ (r)A e tome x ∈ ⋃

                              ⩾τt T (s )B para algum st e então x = φ(s ) com φ ∈ G e φ(0) ∈ B.

                              Deve existir rτ para o qual φ(0) ∈ T(r )A. Logo, φ(0) = ψ(r ) com

                              ∈ G e ψ(0) ∈ A. Defina

                              ψ

                              (a), a ∈ [0, r ] ⎧⎪⎪⎪

                              θ

                              (a) =

                              ⎨⎪⎪⎪ ⎩

                              φ , (a r ), a ∈ (r ∞).

                              Temos θ ∈ G, θ(0) = ψ(0) ∈ A e x = φ(s ) = θ(r + s ). Logo

                              )A ⊂ ⋃ ⩾t;rτ

                              x T sT(s + r (s + r)A.

                              ∈ ⋃ ⩾t;rτ (s + r)A = ⋃ ⩾t;rτ Então xT(s )T(r )A para st e rτ. Assim, x = φ(s ) com

                              T T Reciprocamente, seja x s s (s)T(r)A.

                              φ

                              ∈ G e φ(0) ∈ T(r )A. Portanto x T(s )B e, consequentemente,

                              ∈ ⋃ (s)( ⋃ s r

                              x T T (r)A).

                              ⩾tτ Teorema 2.2.24. Sejam

                              G um semifluxo generalizado condicional-

                              mente assintoticamente compacto e A

                              ∈ P(X) tal que existe τ ⩾ 0

                            • para o qual γ τ (A) ∈ B(X). Então ω(A) é não-vazio, compacto, quasi- invariante e é o fechado minimal que atrai A. n

                              ∞ Prova: Seja t n n n n

                              Ð→ ∞ e {ξ } tais que ξT(t )A para todo n. Pelo Teorema é suficiente mostrar que n

                              {ξ } possui uma subsequência convergente. Considere uma subsequência de n n {t } digamos {t k } tal que t n kτ para todo k. Então

                            • ξ n n n n

                              kT(t k )A = T(t kτ)T(τ)A T(t kτ)γ τ (A) para todo k.

                              k n n k

                              Se definirmos B = γ τ (A) e s = tτ, temos ξT(s )B para k k

                            todo k. Observe que, pelo Lema temos

                            • ttτ

                              γ T T T t (r)A)

                              (B) = ⋃ (s)B = ⋃ (s)( ⋃ s s r

                              T T

                              (s + r)A = γ t (A) ⊂ γ τ (A), = ⋃ (s + r)A ⊂ ⋃ +τ s s

                              ⩾t;rτ +rt+τ

                            • τ (A) é limitada, temos γ t (B) limitada para

                              para todo t ⩾ 0. Como γ todo t ⩾ 0. Por ser G condicionalmente assintoticamente compacto se- n n gue que {ξ } possui uma subsequência convergente, e logo {ξ } possui k uma subsequência convergente como queríamos.

                              Nesta subseção apresentaremos o conceito de propriedade B-assintoticamente

                              compacta e alguns resultados que a relacionam com as outras formas de compacidade de um semifluxo generalizado.

                              Definição 2.2.25. Dizemos que um semifluxo generalizado

                              G possui a

                              propriedade B-assintoticamente compacta ou BACP se para t + 1 todo B 1

                              ∈ B(X) tal que γ (B) ∈ B(X) para algum t (B) ⩾ 0 existe

                              (B) t 2 2 1 2 existem K

                              = t (B) ⩾ t (B) tal que para todo t t (B, t) ⊂ X com- t

                              ∞ pacto e ε

                              (B, t) &gt; 0 satisfazendo T(t)B ⊂ O ε (K(B, t)) e ε(B, t) Ð→

                              (B,t) 0.

                              Para obtermos resultados para semifluxos generalizados com a B- ACP precisaremos do seguinte lema:

                              Lema 2.2.26. Sejam X um espaço métrico completo e n

                              {L } uma

                              sequência de subespaços de X tal que L n n e existem K n compacto,

                            • 1 ⊂ L n→ ∞

                              ε n n ε n n

                              &gt; 0 tais que L ⊂ O (K ) para todo n = 1, 2, ... com ε Ð→ 0. En- n

                              tão toda sequência n n n para todo n

                              {y } tal que yL ∈ N possui uma subsequência convergente.

                              

                            Prova: Seja {y } ⊂ X tal que yL para todo n ∈ N e seja ε &gt; 0.

                            n n ε n n ε

                              Tome ε &lt; . Temos y ∈ O (K ) para todo n n . Como K é 2 n0

                              , x , ..., x

                              compacto devem existir x 1 2 N tais que N ε

                              

                            K n B j

                              ⊂ 2 (x ). N N j=1

                              B B

                              Mas então ε n ε j n ε j O n0 (K (x ). Temos {y (x ) o

                              ) ⊂ ⋃ j=1 } ⊂ ⋃ j=1 que mostra que n {y } é totalmente limitado e, portanto, relativamente compacto. Logo n

                              {y } possui uma subsequência convergente, como que- ríamos.

                              Teorema 2.2.27. Seja

                              G um semifluxo generalizado com B ACP eP(X) tal que γ (A) ∈ B(X) para algum τ ⩾ 0. Então ω(A) é

                            • A τ

                              não-vazio, compacto, quasi-invariante e é o minimal fechado que atrai

                              A .
                            • n n n n n

                              Prova: Seja {ξ } tal que ξT(t )A para todo n com t Ð→ ∞.

                              τ (A). Considere uma subsequência de {ξ } (que não

                                Defina B n = γ

                              • renomearemos) tal que t n

                                ⩾ τ para todo n. Temos

                                ξ n nT(tτ)T(τ)A.

                                Se chamarmos s n n n n = tτ, então ξT(s )B para todo n ∈ N.

                                Utilizando o mesmo argumento do Teorema concluímos que

                                γ

                              t (B) ⊂ γ τ (A) para todo t ⩾ 0 e, portanto, é limitado para cada t.

                                Aplicando a B 1 2 2ACP para B com t (B) = 0, obtemos t = t (B) ⩾ 0 tal que para t 2 existem K

                                ⩾ t (B, t) ⊂ X compacto e ε(B, t) &gt; 0 satisfazendo t→ ∞

                                (B,t)

                                T (t)B ⊂ O ε (K(B, t)) e ε(B, t) Ð→ 0.

                                Passando novamente a uma subsequência se necessário, podemos n n 2 supor que {s } é crescente e st para todo n. Assim, para cada n temos K compacto e ε &gt; 0 tais que n

                                ∞ T n ε n n (s )B ⊂ O (K ) com ε Ð→ 0. n

                                Como n m n {s } é crescente, para m &gt; n temos s = s +δ com δ = δ(n, m) ⩾

                                0. Então

                                T

                              m n n

                                (s )B = T(s + δ)B T(s )B pois

                              • δ)B = ⋃ + δ + t)A ⊂ ⋃ t s

                                T T T n n n (s (s (s + s)A.

                                

                              ττ

                                Se definirmos L n n n n para todo n e estamos = T(s )B, então L +1 ⊂ L nas condições do Lema Portanto, n

                                {ξ } possui uma subsequência convergente e o resultado segue do Teorema

                                Teorema 2.2.28. Seja

                                G um semifluxo generalizado eventualmente

                                limitado com B

                                − ACP. Então

                                G possui um único ponto-atrator global ˆ (x) fechado e = ⋃ ∈X

                                M ω 1. x

                                minimal; ω

                                (B) fechado e G possui um único B-atrator global M = ⋃ ∈B(X) minimal.

                                

                              Prova: Pelos Teoremas basta mostrarmos que ω (B)

                                atrai B para cada BB(X). Lembremos que {x} ∈ B(X) para cada

                                xX.

                                Seja BB(X). Como G é eventualmente limitado deve existir τ ⩾ 0 τ (B) ∈ B(X). Desde que G possui BACP, segue do Teorema + tal que γ que ω (B) atrai B, como queríamos.

                                

                              Teorema 2.2.29. Se G é um semifluxo generalizado com B ACP,

                              então G é condicionalmente assintoticamente compacto.

                                Prova: Seja AB(X) tal que γ τ (A) ∈ B(X) para algum τ ⩾ 0 e n n n n n

                                {ξ } uma sequência tal que ξT(t )A para todo n com t Ð→ n ∞. Precisamos ver que {ξ } possui uma subsequência convergente. τ } (que não Defina B n

                              • renomearemos) tal que t n

                                = γ (A). Considere uma subsequência de {ξ

                                ⩾ τ para todo n. Temos

                                ξ n nT(tτ)T(τ)A.

                                Se chamarmos s n n n n = tτ, então ξT(s )B para todo n ∈ N.

                                Utilizando o mesmo argumento do Teorema concluímos que

                                γ

                              t (B) ⊂ γ τ (A) para todo t ⩾ 0 e, portanto, é limitado para cada t.

                                Aplicando a B 1 2ACP para B com t (B) = 0, obtemos t (B) ⩾ 0 tal que para t 2 existem K

                                ⩾ t (B, t) ⊂ X compacto e ε(B, t) &gt; 0 satisfazendo t

                                ∞ T ε Ð→ 0.

                                (t)B ⊂ O (K(B, t)) e ε(B, t)

                                (B,t)

                                Passando novamente a uma subsequência se necessário, podemos supor que n n 2 para todo n. Assim, para cada n {s } é crescente e st temos K n compacto e ε n

                                &gt; 0 tais que n→ ∞

                                T n ε n n Ð→ 0. n m n (s )B ⊂ O n (K ) com ε

                                Como {s } é crescente, para m &gt; n temos s = s +δ com δ &gt; 0. Então

                                T m n n

                                (s )B = T(s + δ)B T(s )B pois

                              • δ)B = ⋃ + δ + t)A ⊂ ⋃ t s
                              • n n n n

                                ττ

                                Se definirmos L = T(s )B, então LL para todo n e estamos

                                  T T T n n n (s (s (s + s)A.

                                • 1 n

                                  nas condições do Lema Portanto, {ξ } possui uma subsequência convergente e o resultado segue.

                                  

                                Lema 2.2.30. Se um semifluxo generalizado G é condicionalmente

                                assintoticamente compacto e eventualmente limitado, então

                                  G possui

                                  BACP. 1 Prova: Sejam BB(X) tal que γ (B) ∈ B(X) para algum t (B) ⩾

                                t

                                • +

                                  1

                                  (B)

                                  0. Seja K = ω(B). Como pela Proposição para concluir que K é com- j 1 pacto e atrai B. Defina ε = para cada j ∈ N. Como K atrai B j j H j j sabemos que para cada ε existirá t tal que dist (T(t)B, K) &lt; ε para

                                  ⩾ t ⩾ 0. Tome j(t) = max (B, t) = ε jt (t) Então dist H j e logo T ε

                                  j todo t j . Fixe t t e defina ε j .

                                  (T(t)B, K) &lt; ε (t)B ⊂ O (K). Além disso, t (t) j (t) ∞

                                  (t)

                                Lema 2.2.31. Se G é φ-dissipativo e eventualmente limitado, então

                                existe B

                                1 limitado tal que para todo K compacto existem ε

                                  ε j Ð→ 0. Assim G possui B ACP como queríamos demonstrar.

                                  (K) &gt; 0 e

                                  t 1 ε 1 para todo t 1 .

                                  (K) &gt; 0 para os quais T(t)O (K) ⊂ Bt

                                  

                                Prova: De G ser φ-dissipativo sabemos que existe BB(X) tal que

                                  para toda φ φ para o qual φ sempre que t φ . Como ∈ G existe t (t) ∈ Bt

                                  , δ

                                  G é eventualmente limitado, para cada δ &gt; 0 deve existir τ(B ) tal δ que B δ

                                • 1 = γ τ (O (B )) ∈ B(X).
                                • 1 Fixe δ &gt; 0. Defina τ e B como acima. Suponha, por absurdo, jj j j ∞ ∞ que exista K compacto e sequências ε Ð→ 0 e t Ð→ ∞ tais que

                                    T j ε 1 j j ε

                                    (t )O (K) /⊂ B , isto, é, existem φ ∈ G com φ (0) ∈ O (K) tal j t j que φ j j 1 . Afirmamos que φ δ j (t ) /∈ B j (0) /∈ O (B ) para 0 ⩽ t tτ. t t Com efeito, se φ δ j j δ j (0) ∈ O (B ) então φ j (tt) ∈ T(tt)O (B ) com t

                                    t j j 1 o que é uma contradição.

                                    − t τ e, logo, φ j (tt) ∈ B j j ∞ Podemos assumir, passando a uma subsequência, que φ (0) Ð→ z

                                    K

                                    desde que d j j para todo j; temos d j (φ (0), K) &lt; ε (φ (0), K) Ð→ 0 e o fato segue da Proposição j j j

                                    Temos {φ } ⊂ G com φ (0) Ð→ z. Por (H4), deve existir uma µ µ µ ∞ subsequência {φ } e φ ∈ G tais que φ(0) = z e φ (t) Ð→ φ (t) para todo t ⩾ 0. Para cada t ⩾ 0 fixado, se tomarmos µ grande o suficiente para que 0 µ µ δ

                                    e, logo, ⩽ t tτ, então φ (t) /∈ O (B ) para todo µ µ

                                    φ

                                    . Isso contradiz o fato de (t) /∈ B G ser φ-dissipativo o que conclui a demonstração.

                                    

                                  Proposição 2.2.32. Se G é um semifluxo generalizado eventualmente

                                  limitado e φ -dissipativo com B

                                    − ACP, então G posssui um conjunto

                                    limitado que absorve limitados. Em particular, 1 G é B-dissipativo. 1 Prova: Seja B como no Lema Vamos mostrar que B absorve limitados. Para isso, considere BB(X). Como G é eventualmente τ

                                  • (B)

                                    limitado, então γ (B) ∈ B(X) para algum τ(B) ⩾ 0. Como G é

                                    eventualmente limitado e possui BACP, do Teorema temos

                                    ω 1

                                    (B) é não-vazio, compacto e atrai B. Devem existir ε &gt; 0 e t ⩾ 0 tais que

                                    

                                  T .

                                  ε 1 para todo t 1

                                    (t)O (ω(B)) ⊂ Bt ε Como ω (B) atrai B existe t 1 2 2 ⩾ 0 tal que, para t t 2 , temos T (t)B O (ω(B)). Para t t + t

                                    T 2 2 2 ε 1 .

                                    (t)B T(t t )T(t )B T(t t )O (ω(B)) ⊂ B 1 Portanto B absorve limitados e a demonstração está concluída.

                                    

                                  Lema 2.2.33. Seja G um semifluxo generalizado com B-atrator global

                                  compacto. Então G é φ-dissipativo e assintoticamente compacto.

                                    

                                  Prova: Seja A o B-atrator global compacto de G. Fixe δ &gt; 0 e defina

                                  B δ

                                    = O (A). Dada φ ∈ G, temos {φ(0)} é limitado e, portato, é atraído por e logo

                                    Seja j j j {φ } ⊂ G tal que {φ (0)} ∈ B(X). Então {φ (0)} é atraído por j j j→ ∞

                                    A. Se {t } é tal que t Ð→ ∞ temos j→ ∞

                                    d j j (φ (t ), A) Ð→ 0.

                                    Como j j A é compacto, segue da Proposição que {φ (t )} possui uma subsequência convergente, o que conclui a demonstração.

                                    Nesta seção vamos finalmente mostrar resultados que caracterizam semifluxos generalizados que possuem atrator global.

                                    ∗ Primeira caracterização.

                                    Lema 2.2.34. Seja

                                    G um semifluxo generalizado φ-dissipativo e assin-

                                    toticamente compacto. Então

                                    G possui um atrator global. Além disso,

                                  é dado no Lema

                                  A = ω(B 1 ) em que B 1 Prova: Se G é φ-dissipativo e assintoticamente compacto, pela Propo- sição G é eventualmente limitado e estamos sob as hipóteses do 1 B 1 Lema Seja B como neste definido e A = ω (B ). Desde que

                                    B 1 1

                                    é limitado, podemos escrever apenas A = ω(B ). Vamos mostrar que A é atrator global. Pelo Lema temos que A compacto e atrai B 1 . Afirmamos que A atrai limitados.

                                    Seja BB(X) e K = ω(B). Novamente pelo Lema K é 1 compacto e atrai B. Pelo Lema existem ε (K) e t (K) tais que

                                    

                                  T .

                                  ε 1 para todo t 1

                                    (t)O (K) ⊂ Bt

                                    (K)

                                    Seja 0 ε &lt; ε &lt; ε(K). Como K atrai B, existe t &gt; 0 tal que T(t )B ⊂ O (K). Então

                                    T 1 1 1 ε 1

                                    (t + t )B = T(t )T(t )B T(t )O (K) ⊂ B e logo

                                    T 1 1 para todo t (2.5) (t + t + t )B T(t)B ⩾ 0. 1 Assim, como A atrai B , segue que A atrai B, como queríamos.

                                    Finalmente, pelo Lema

                                    T 2 1 1 2 (t )ω(B ) ⊂ B para algum t ⩾ 0.

                                    Segue do Lema que 1 A = ω(B ) é invariante. Assim, A é atrator global, como queríamos.

                                    Dos lemas concluímos o primeiro resultado de ca- racterização de semifluxos generelizados que possuem atrator global.

                                    Teorema 2.2.35. Um semifluxo generalizado

                                    G possui um atrator glo-

                                    bal se, e somente se, G é φ-dissipativo e assintoticamente compacto.

                                    Temos ainda o seguinte resultado:

                                    

                                  Teorema 2.2.36. Nas condições do Teorema o atrator global

                                    A é dado por

                                    ω B 1 B

                                    (B) = ω (B ) = ω (X), A = ⋃ B

                                    ∈B(X) onde B 1 é como no Lema Além disso,

                                    A é o compacto in-

                                    

                                  variante maximal de X e o B-atrator global fechado minimal. Em

                                  particular,

                                    A é único.

                                    Prova: Pelo Lema

                                  1

                                  A = ω(B ). De temos

                                    γ T T T τ 1 (B) = (t+t +t (t)B = γ τ (B ) 1 1 1

                                    ⋃ (s)B = ⋃ )B ⊂ ⋃

                                  • t +t s

                                    1 t t

                                    τ+t +tττ

                                    para todo τ ⩾ 0. Logo

                                  • +

                                    ⩾0 ⩾t +t ⩾0

                                    ω γ γ γ α β α β τ (B) = ω(B ) = A. 1 τ 1

                                    (B) = ⋂ (B) = ⋂ (B) ⊂ ⋂

                                    Portanto

                                    ω

                                    (2.6) (B) ⊂ A para todo B B(X)

                                    ω

                                    e então B ⋃ (B) ⊂ A, e como a inclusão contrária é evidente

                                    ∈B(X) ω

                                    temos a igualdade. Observamos que ω B B (B) = A.

                                    (X) = ⋃ ∈B(X) Do Lema segue que A é o B-atrator global fechado minimal. Resta mostrar que A é o maximal compacto 1 invariante. Para isso, considere A compacto e invariante. Então

                                    ω 1 1 . Como 1 é limitado, segue que 1

                                    (A ) = A A A ⊂ A e a demonstração está concluída.

                                    ∗ Segunda caracterização.

                                    Veremos agora que, unindo os resultados provados até o momento, conseguimos o seguinte teorema, que nos dá condições equivalentes para a existência do atrator global.

                                    

                                  Teorema 2.2.37. Seja G um semifluxo generalizado. São equivalentes:

                                  1.

                                    G é condicionalmente assintoticamente compacto e B-dissipativo;

                                    2. G possui B ACP e é B-dissipativo;

                                    

                                  3. G é condicionalmente assintoticamente compacto, eventualmente li-

                                  mitado e ponto dissipativo;

                                    

                                  4. G possui B ACP, é eventualmente limitado e ponto dissipativo;

                                  5.

                                    G possui B ACP, é eventualmente limitado e φ-dissipativo; 6. G é assintoticamente compacto e φ-dissipativo; 7. G possui um atrator global que é minimal entre os B-atratores fe-

                                    chados não-vazios e maximal entre os subconjuntos compactos in- variantes de X;

                                    8. G possui um B-atrator global compacto não-vazio. Prova:

                                    (1) ⇒ (2) segue do Teorema (2) ⇒ (3) segue do Lema Do Teorema temos

                                    (3) ⇔ (4). Da Proposição temos (4) ⇒ (5). (5) ⇒ (6) segue do Teorema temos que (6) ⇔ (7).

                                    A implicação (7) ⇒ (8) é evidente. Finalmente, (8) ⇒ (1) pelo Lema Agora mostraremos um resultado que nos dá diversas caracteriza- ções do atrator global de um semifluxo generalizado.

                                    

                                  Teorema 2.2.38. Se G satisfaz qualquer das condições dadas pelo Te-

                                  orema então seu atrator global

                                    A é dado por

                                    ω

                                    1. B

                                    (B); A = ⋃ ∈B(X) B

                                    2. A = ω (X); B 1 1 é dado no Lema

                                    3. A = ω (B ) em que B ω

                                    4. K

                                    (K); A = ⋃ ∈K(X) 5.

                                    A é união das órbitas completas limitadas de X; 6. A é união das órbitas pré-compactas de X; 7. A é o subconjunto invariante maximal de X.

                                    Prova:

                                    (1), (2) e (3) são dados pelo Teorema Para provar (4) lembremos que, do fato de A ser compacto e invariante, temos que

                                    ω

                                    (A) = A. Então

                                    ω ω ω

                                    ⋃ (K). K B K (K) ⊂ ⋃ (B) = A = ω(A) ⊂ ⋃

                                    ∈K(X) ∈B(X) ∈K(X)

                                    Para provar (5) e (6), seja x ∈ A. Como A é invariante e, portanto, quasi-invariante, segue que existe uma órbita completa ψ tal que ψ

                                    (0) =

                                    x

                                    e Im (ψ) ⊂ A. Como A ∈ B(X), então Im(ψ) ∈ B(X). Mais que isso, ψ é pré-compacta pois Im (ψ) ⊂ A e A é compacto. Assim, cada ponto de A pertence à imagem de uma órbita completa limitada e pré- x compacta de X. Reciprocamente, seja xX e ψ uma órbita completa limitada por x. Afirmamos que Im (ψ ) é negativamente invariante. De x x fato, fixe t ⩾ 0 e seja y Im(ψ ). Então y = ψ (s) para algum s ∈ R. s s s

                                    

                                  ttt

                                  R R R + + +

                                    Temos ψ x x (s) = ψ x ∣ (t) e ψ x ∣ ∈ G com ψ x ∣ (0) = ψ (s t) ∈

                                    Im

                                  x x x x x

                                    (ψ ). Logo y = ψ (s) ∈ T(t)Im(ψ ) e Im(ψ ) ⊂ T(t)Im(ψ ) para todo t ⩾ 0. Também, Im x x x

                                    (ψ ) ⊂ γ τ (Im(ψ )) para todo τ ⩾ 0. Temos Im(ψ ) ⊂

                                    γ τ (Im(ψ )) para todo τ ⩾ 0 e logo x τ B (ψ ) ⊂ Im(ψ τ (Im(ψ )) = ω(Im(ψ (B) = A.

                                  • Im γ ω x x x x

                                    ) ⊂ ⋂ )) ⊂ ⋃

                                    ⩾0 ∈B(X)

                                    Portanto, a união das órbitas completas limitadas está contida em A. Em particular, união das órbitas pré-compactas está contida em A.

                                    Finalmente provemos (7). Seja D X limitado e invariante. Então t

                                  • D γ ω

                                    (B) = A, ⊂ ⋃ t (D) = ω(D) ⊂ ⋃ B

                                    ⩾0 ∈B(X)

                                    e portanto A é o subconjunto invariante limitado maximal de X o que conclui a demonstração.

                                    

                                  2.3 Funções de Lyapunov para semifluxos

                                  generalizados

                                    Nesta seção definiremos órbita completa estacionária e função de

                                    

                                  Lyapunov para um semifluxo generalizado. Também provaremos um

                                    resultado que caracteriza o comportamento das órbitas completas limi- tadas nos semifluxos generalizados que admitem esse tipo de função.

                                    

                                  Definição 2.3.1. Dizemos que uma órbita completa ψ ∶ R → X é es-

                                  tacionária se existe zX tal que ψ(t) = z para todo t ∈ R. Definimos

                                  Z

                                    (G) o conjunto dos pontos de X pelos quais passa uma órbita com-

                                    pleta estacionária. Chamaremos z

                                    ∈ Z(G) de solução estacionária ou ponto de equilíbrio.

                                    Proposição 2.3.2. Se

                                    G é um semifluxo generalizado, então Z(G) é fechado.

                                    Prova: Se Z

                                    (G) é vazio nada temos a provar. Caso contrário, seja n→ ∞

                                    z n n Ð→ z. Para cada n

                                    ∈ X tal que existe {z } ⊂ Z(G) com z ∈ N, n n R s + seja ψ a órbita completa por z . Temos ψ n ∣ ∈ G para todo s ⩾ 0 e t +

                                    ψ n n n R n

                                    (t) = z para todo t ∈ R. Se definirmos φ = ψ n ∣ , então {φ } ⊂ G n n µ n→ ∞ e φ (0) = z Ð→ z. Por (H4) devem existir {φ } subsequência de µ n µ ∞ {φ } e φ ∈ G tais que φ(0) = z e φ (t) Ð→ φ (t) para todo t ⩾ 0. Mas µ

                                    ∞ φ µ µ (t) = z Ð→ z para todo t ⩾ 0. Logo φ(t) = z para todo t ⩾ 0. s R +

                                    Podemos definir Φ (t) = z para todo t ∈ R. Para cada s ∈ R, Φ ∣ = φ que pertence a G. Assim Φ é uma órbita completa que passa por z, e portanto z

                                    ∈ Z(G), como queríamos demonstrar.

                                    Definição 2.3.3. Dizemos que uma função V

                                    ∶ X → R é uma função

                                    de Lyapunov para um semifluxo generalizado

                                    G se

                                    (a) V é contínua; (b) V

                                    (φ(t)) ⩽ V (φ(s)) para toda φ ∈ G e t s ⩾ 0;

                                    (c) Se ψ é uma órbita completa tal que V

                                    (ψ(t)) é constante para todo

                                    t ∈ R, então ψ é estacionária.

                                    Com um simples resultado, podemos ver que V também é decres- cente ao longo de órbitas completas.

                                    

                                  Lema 2.3.4. Seja VX → R uma função de Lyapunov para um se-

                                  mifluxo generalizado

                                    G e ψ uma órbita completa. Então V (ψ(t)) ⩽

                                    V (ψ(s)) para todo t s ∈ R. s + Prova: Sejam t

                                    ⩾ s ∈ R. Considere φ = ψ ∣ ∈ G. Então, como ts ⩾ 0, R

                                    V (ψ(s)) = V (φ(0)) ⩾ V (φ(t s)) = V (ψ(t)).

                                    Pelo Teorema por cada ponto do atrator global A passa uma órbita completa limitada. Na presença de uma função de Lyapu- nov podemos caracterizar o comportamento de tais órbitas. Para isso, precisamos do seguinte resultado de conexidade:

                                    Proposição 2.3.5. Sejam

                                    G um semifluxo generalizado assintotica-

                                    mente compacto e φ

                                    ∈ G contínua de (0, ∞) em X. Então ω(φ) é

                                    conexo. Se ψ é uma órbita completa limitada contínua, então α

                                    (ψ) é conexo.

                                    

                                  Prova: Para começarmos, lembremos que, do Lema temos ω (φ)

                                  e α (ψ) compactos.

                                    Suponha ω 1 e A 2 não-vazios, (φ) que não é conexo. Devem existir A compactos e disjuntos tais que ω 1 2 . Como X é normal,

                                    (φ) = AA sabemos que existem U 1 e U 2 abertos disjuntos com A 1 1 e A 2 2 . jjjUU

                                    ∞ ∞ ∞

                                    Devem existir t j j j 1 1 e j Ð→ ∞ e s Ð→ ∞ tais que φ(t ) Ð→ zA

                                    ∞ φ j 2 2 . Sem perda de generalidade podemos supor que t j

                                    (s ) Ð→ zA &lt;

                                    s j j , φ j 1 e φ j 2 para todo j

                                    &lt; t +1 (t ) ∈ U (s ) ∈ U ∈ N. Como φ é contínua de j 1 (0, ∞) em X, então φ(0, ∞) é conexo. Como para cada j, φ(t ) ∈ U j j j j j e φ 2 , deve existir t tal que φ 1 2 . Por ser

                                    (s ) ∈ U &lt; k &lt; s (k ) /∈ UU j G assintoticamente compacto, {φ(k )} deve possuir uma subsequência 1 2 convergente, digamos, para zω(φ). Mas z /∈ AA o que nos dá uma contradição. De forma similar, suponha α (ψ) não conexo. Devem existir A e A 1 2 não-vazios, compactos e disjuntos tais que α (ψ) = AA . Como X é normal, sabemos que existem U 1 e U 2 abertos disjuntos com A 1 1 e j→ ∞ j→ ∞ j→ ∞U

                                    A 2 2 . Devem existir t j j j 1

                                    ⊂ U Ð→ ∞ e s Ð→ ∞ tais que ψ(−t ) Ð→ zj→ ∞

                                    A 1 e ψ j 2 2 . Sem perda de generalidade podemos supor

                                    (−s ) Ð→ zA que t j j j , ψ j 1 e ψ j 2 para todo j &lt; s &lt; t (−t ) ∈ U (−s ) ∈ U ∈ N. Considere,

                                  • 1
                                    • +s j R

                                      para cada j, φ j j é contínua de = ψ ∣ ∈ G. Como por hipótese φ j j j 2

                                      (0, ∞) em X, então φ (0, ∞) é conexo. Como φ (0) = ψ(−s ) ∈ U e φ j j j j 1 então deve existir m j j j (st ) = ψ(−t ) ∈ U ∈ (0, st ) tal que ψ j j j j j 1 2 e j j j j e logo

                                      (ms ) = φ (m ) /∈ UUsms ⩽ −t j j j j Ð→ j j j j ∞ −k = ms −∞. Temos ψ(−k ) ∈ T(k )ψ(−2k ) ⊂ T(k )Im(ψ) para todo j e Im (ψ) limitada. Por ser G assintoticamente compacto, j

                                      {ψ(−k )} deve possuir uma subsequência convergente, digamos, para

                                      z 1 2α(ψ). Mas z /∈ AA o que nos dá uma contradição.

                                      Agora estamos em condições de provar o seguinte resultado.

                                      Teorema 2.3.6. Seja G assintoticamente compacto tal que toda φ ∈ G é contínua de

                                      (0, ∞) em X. Suponha, ainda, que exista uma função V

                                      de Lyapunov para

                                      G e que Z(G) seja limitado. Então vale:

                                      (i)

                                      G é φ-dissipativo e, consequentemente, possui um B-atrator global A.

                                      (ii) Para cada órbita completa ψ ∈ A, α(ψ) e ω(ψ) são subconjuntos conexos de Z (G) nos quais V é constante.

                                      (iii) Se Z

                                      (G) é totalmente desconexo (em particular se Z(G) é enumerável),

                                      existem z ψ ψ

                                      = lim (t) e z = lim (t),

                                      − +

                                    tt

                                    −∞ ∞

                                    onde z e z pertencem a Z (G).

                                      

                                    (iv) Toda φ ∈ G tende a um ponto de equilíbrio quando t tende a infi-

                                    nito.

                                      Prova: De (i). Seja ε ε &gt; 0, defina B = O (Z(G)) e tome φ ∈ G.

                                      (z) = lim t→ (φ(t)) para todo z ω(φ). Com

                                      ∞ j→ ∞ j→ ∞

                                      V Afirmamos que V

                                      efeito, sejam z e z 1 j j jjω(φ) e considere t Ð→ ∞ e s Ð→ ∞ tais

                                      ∞ ∞

                                      que φ j e φ j 1 . Passando a subsequências se ne- (t ) Ð→ z (s ) Ð→ z cessário podemos supor t j j j j para todo j. Como V é jj &lt; s &lt; t +1 &lt; s +1

                                      ∞ ∞

                                      contínua V j Ð→ V j Ð→ V 1 (φ(t )) (z ) e V (φ(s )) (z ). Temos

                                    • 1 +1

                                      V j j j j (φ(s )) ⩽ V (φ(t )) ⩽ V (φ(s )) ⩽ V (φ(t )).

                                      ∞, obtemos Passando o limite quando j

                                      V 1 1

                                      (z ) ⩽ V (z ) ⩽ V (z ) ⩽ V (z ),

                                      V

                                      e logo V (ω(φ)) é constante igual a lim t→ (φ(t)). Como G é assintoti-

                                      ∞

                                      camente compacto, pelo Lema temos que ω (φ) é quasi-invariante. Vamos mostrar que ω

                                      (φ) ⊂ Z(G). Para isso, seja x ω(φ). Então existe órbita completa por x, digamos ψ x tal que Im x

                                      (ψ ) ⊂ ω(φ). Pelo que já provamos,

                                      V x

                                      V

                                      (ψ (s)) = lim (φ(t)) para todo s ∈ R t

                                      ∞

                                      e como V é função de Lyapunov segue que ψ x é estacionária o que implica xZ(G).

                                      Novamente pelo Lema t

                                      ∞ d

                                      (φ(t), ω(φ)) Ð→ 0 e logo d (φ(t), Z(G)) Ð→ 0. Portanto, para t suficientemente grande

                                      φ

                                      e (t) ∈ B G é φ-dissipativo. Do Teorema segue que G possui um atrator global

                                      A o que conclui a demonstração do primeiro item.

                                      De (ii). Para provar o segundo, considere ψ uma órbita completa R R + +

                                      com Im (ψ) ⊂ A. Temos ψ∣ ∈ G e ω(ψ) = ω(ψ∣ ) ⊂ Z(G). Pelo que fizemos acima, temos V constante em ω (ψ) e da Proposição temos

                                      ω

                                      (ψ) conexo. De forma análoga ao que fizemos para ω(φ) podemos

                                      ψ

                                      mostrar que V (z) = lim t→ (t) para todo z α(ψ) e novamente pelo

                                      −∞

                                      Lema temos α (ψ) ⊂ G. Além disso, da Proposição segue que α

                                      (ψ) é conexo e o segundo item está demonstrado.

                                      De (iii). Se Z

                                      (G) é totalmente desconexo, por definição seus úni- cos subconjuntos conexos são pontos. Assim, como α (ψ) e ω(ψ) são conexos, temos α (ψ) = z e ω (ψ) = z com z e zZ(G). Assim segue

                                    • − −

                                      diretamente que

                                      z ψ ψ

                                      = lim (t) e z = lim (t),

                                    t→ −∞ t→ ∞

                                    + − o que conclui a demonstração do terceiro item.

                                      De (iv). Analogamente ao item (iii), ω

                                      (φ) é conexo e está contido em Z (G); ω(φ) = {z} com z Z(G) e da definição do conjunto segue que z é o limite de φ

                                      (t) quando t → ∞.

                                      Esta seção tem como objetivo tratar as condições de mensurabili- dade e continuidade que um semifluxo generalizado

                                    G pode assumir

                                      Provaremos então dois resultados que relacionam tais condições.

                                      No que segue, denotaremos por m (E) a medida de Lebesgue de E para cada subconjunto mensurável E ⊂ R.

                                      Definição 2.4.1. Uma função f

                                      ∶ (0, ∞) → X é dita fortemente men-

                                      

                                    surável se existe uma sequência f j de funções mensuráveis tais que

                                    j→ ∞ Im j j

                                      (f ) é um conjunto mensurável para todo j e f Ð→ f quase sempre

                                      em (0, ∞).

                                      Diremos que um semifluxo generalizado G satisfaz:

                                      (C0) se cada φ ∈ G é fortemente mensurável de (0, ∞) em X; (C1) se φ é contínua de

                                      (0, ∞) em X para toda φ ∈ G; j→ ∞

                                      (C2) se para cada sequência j j

                                      {φ } ⊂ G com φ (0) Ð→ z para algum

                                      z µ j

                                      ∈ X existe uma subsequência {φ } de {φ } e φ ∈ G tais que µ→ ∞

                                      φ µ

                                      (0) = z e φ (t) Ð→ φ (t) uniformemente para t em compactos de (0, ∞).

                                      Além disso, dizemos que um semifluxo generalizado G tem repre-

                                      

                                    sentantes únicos se para todas φ e ψ ∈ G tais que φ(t) = ψ(t) para

                                    quase todo t &gt; 0 temos φ(t) = ψ(t) para todo t &gt; 0. Teorema 2.4.2. Seja

                                      G um semifluxo generalizado com representantes

                                      únicos que satisfaz (C0). Então G satisfaz (C1).

                                      Prova: Seja φ

                                      ∈ G. Fixe δ &gt; 0 e 0 &lt; a &lt; a + δ &lt; ∞ e denote por

                                      I , a

                                      = (a, a+δ) e J = (a+ ). É suficiente mostrar que φ é contínua 3 δ 2 δ 3

                                    • em J. Usando uma versão do Teorema de Lusin (veja existe um
                                    • 1 2 conjunto fechado F j tal que φ F é jI com medida maior que δ − ∣ j j contínua. Como F é compacto a continuidade é uniforme e logo existe δ 1

                                        η j j j ∈ (0, ) tal que d(φ(t+h), φ(t)) &lt; sempre que ∣h∣ &lt; η e t, t +h F . 3 j j j

                                        Suponha, por absurdo, que existe tJ e uma sequência h Ð→ 0 tal que φ (t +h) /→ φ(t ) quando j → ∞. Passando a uma subsequência se necessário podemos assumir que existe ε &gt; 0 para o qual

                                        d j (2.7)

                                        (φ(t + h ), φ(t )) &gt; ε para todo j e que j j para todo j. Defina E j j j j jh ∣ &lt; η = {t J; t, t+hF } = F ∩(F

                                        h j j j j ; t j ) ∩ J em que Fh = {t hF }.

                                        Temos

                                        δ

                                        1

                                        1

                                        (J F ) = m(J) − m(F ) = ⩽ 2 2

                                      • m j j δ .

                                        j j j j j j j j 1 2 3 −

                                        Também, m (J − (Fh )) ⩽ . Como JE = J FJ − (Fh ), j temos 2

                                      m j j j .

                                      (J Ej) = m(J F ) + m(J − (Fh )) ⩽ 2

                                        j

                                        Observe que

                                        ∞ ∞ ∞ ∞ c c J E E E j k

                                        ∖ lim inf = J ∩ ( ) = J ∩ ( k j→ ∞ j=1 j=1 ⋃ ⋂ ⋂ ⋃ ) = k=j k=j

                                        ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

                                      c c

                                      E J J k ,

                                        = kE k = ∖ E j=1 k=j j=1 k=j j=1 k=j ⋂ (J ∩ ( ⋃ )) = ⋂ ⋃ ⋂ ⋃ e então

                                        ∞ ∞

                                        1

                                        m E m j k

                                        (J ∖ lim inf ) ⩽ (J E ) ⩽ 2 j ∑ ∑ 2

                                        ∞ k k=j k=j j 1 1 ∞ ∞ ∞ 2 2

                                        para todo j. Como é convergente temos ∑ ∑ Ð→ 0 e por- k=1 k k=j k j

                                        ∞ E

                                        tanto m j Ð→ 0. Logo quase todos os pontos de (J ∖ lim inf j→ ∞ )

                                        J j

                                        estão em E exceto por uma quantidade finita de índices j. Te- j j ∞ mos φ (t + h ) Ð→ φ (t) para quase todo t J. Em particular exis- j 1 2 1

                                      2

                                      1 j1 tem t e tJ com t &lt; t &lt; t tais que φ (t + h ) Ð→ φ (t ) e j

                                        ∞ φ 2 j 2 (t + h ) Ð→ φ (t ). Por (H2), φ 1 ∈ G e como φ (0) Ð→ φ(t ), já por (H4) existe µ t 1 t 1

                                      • +h µ +h µ

                                        uma subsequência Ð→ ψ {φ } e ψ ∈ G com φ (t) (t) para todo 2 δ

                                        t

                                        ⩾ 0. Mas então ψ(t) = φ(t + t 1 ) para quase todo t ∈ (0, a + − t 3 1 ).

                                        Definimos

                                        φ

                                      1

                                      2 1

                                        (t + t ), t ∈ [0, t + t ] ⎧⎪⎪⎪

                                        ˆ

                                        ψ

                                        (t) =

                                        

                                      ψ ,

                                      2 1 ⎨⎪⎪⎪ (t), t ∈ (tt ∞).

                                        ⎩

                                        ψ

                                        Por (H2) e (H3), ˆ ∈ G e ˆψ(t) = ψ(t) quase sempre em (0, ∞). Como G possui representantes únicos segue que ˆψ(t) = ψ(t) para todo t &gt; 0.

                                        ψ

                                        Em particular, ˆ 1 1 1 2 1 , (tt ) = ψ(tt ). Uma vez que tt &lt; tt temos t 1 ∞ µ

                                      • h µ

                                        φ 1 1 1

                                        (tt ) Ð→ ψ (tt ) = ˆψ(tt ) = φ(t ) o que contradiz e a demonstração está concluída.

                                        Teorema 2.4.3. Sejam

                                        G um semifluxo generalizado satisfazendo (C1) j→ ∞ j→ ∞

                                        , φ e φ j j j

                                        ∈ G tais que φ (t) Ð→ φ (t) para todo t &gt; 0. Então φ (t) Ð→

                                        φ

                                        (t) uniformemente sobre compactos de (0, ∞). Em particular G satis- faz (C2).

                                        Prova: Seja 0 &lt; a &lt; b &lt; ∞. Para cada ε &gt; 0 e n = 1, 2, ... defina S n,ε j = {t ∈ [a, b]; para todo j n, d(φ (t), φ(t)) ⩽ ε}. n,ε

                                        Por (C1), S é fechado e pela definição do conjunto temos [a, b] =

                                        ∞ S n,ε n,ε

                                        . Pelo Teorema da Categoria de algum dos S con- ⋃ n=1 tém um intervalo aberto. Como podemos aplicar o mesmo argumento para qualquer

                                        [a, b] ⊂ (0, ∞) obtemos um subconjunto denso de (0, ∞), que denotaremos por S ε , igual à união de todos esses intervalos tal que 1 Veja por exemplo. para todo tS existe uma vizinhança aberta N (t ) de t e r (t ) j ε ε tais que d (φ(t ), φ(t)) ⩽ ε sempre que j r (t ) e t N (t ).

                                        ∞ 1 1 S

                                        Seja K . Se t para todo i. Para ∈ K temos t S

                                        = ⋂ i=1 i i 1 1 1 1 cada i fixado, existe r 1 i i i i (t) e N (t) tais que se j r (t) e s N (t), j→ ∞

                                        d j . Além disso, como t j

                                        (φ (s), φ(s)) &lt; Ð→ t sabemos que existe i 1

                                        j j

                                        (t) tal que j j(t) implica tN (t). Ainda, por ser φ contínua j→ ∞ i temos φ j 1 1 (t ) Ð→ φ (t) e logo existe j (t) para o qual j j (t) implica 1 1

                                        d j . Se j 1 j j

                                        (φ(t ), φ(t)) ⩽ ⩾ max{r (t), j(t), j (t)} então d(φ (t ), φ(t)) ⩽ i i j 2 ∞ . Assim, para t j j Ð→ φ iK, temos φ (t ) (t). Novamente pelo Teorema da Categoria de Baire temos K denso em j (0, ∞).

                                        ∞

                                        Agora, seja t j Ð→ t. Suponha, por absurdo, que &gt; 0 arbitrário e t

                                        φ j j

                                        (t ) /→ φ(t) quando j → ∞. Sem perda de generalidade, podemos supor também que

                                        d j j

                                        (φ (t ), φ(t)) &gt; δ (2.8) j t j +st para algum δ &gt; 0. Seja s K com s &lt; t e considere ψ = φ ∈ G j j j j pata todo j suficientemente grande. Como sK, ψ (0) = φ (t + s jj

                                        ∞ ∞ t j

                                        ) Ð→ φ (s) uma vez que t + s t Ð→ s. Por (H4) deve existir uma µ→ ∞ subsequência µ µ {ψ } e ψ ∈ G tais que ψ (τ) Ð→ ψ (τ) para todo τ ⩾ 0. Mas se s

                                      • τ K, então j→ ∞

                                        ψ j j j (τ) = φ (t + s t + τ) Ð→ φ (s + τ).

                                        Como K é denso e φ, ψ são contínuas em (0, ∞) segue que ψ(τ) = µ

                                        ∞ φ µ µ µ Ð→ ψ

                                        (s+τ) para todo τ ⩾ 0. Portanto φ (t ) = ψ (ts) (ts) = φ(t), o que contradiz e conclui a demonstração.

                                      Capítulo 3 Aplicação às equações incompressíveis de Navier-Stokes em 3D

                                        Neste capítulo iremos aplicar a teoria abstrata de semifluxos gene- ralizados às equações de Navier-Stokes imcompressíveis em 3D. Vamos mostrar que, sob certas condições, tais equações geram um semifluxo generalizado que possui um atrator global. Para uma discussão mais detalhada sobre a teoria de equações de Navier-Stokes, recomendamos a consulta de Alguns resultados técnicos foram retirados de

                                        Para começar a nossa discussão, vamos colocar as definições bási- 3 cas que serão utilizadas. Seja Ω ⊂ R um conjunto aberto, conexo e 2 limitado com sua fronteira Ω suave (pelo menos de classe C ). Sejam

                                        ∈ L (Ω) - isto é, f (x) = (f (x), f (x), f (x)) com fL (Ω) para i=1,2,3 - e ν &gt; 0 uma constante. As equações incompressíveis de

                                        Navier-Stokes são dadas por: u t

                                        (t, x) + (u(t, x) ⋅ ∇)u(t, x) = νu(t, x) − ∇p(x) + f(x), t &gt; 0, x ∈ Ω, ⎧⎪⎪⎪ div u (t, x) = 0, t &gt; 0, x ∈ Ω, ⎨⎪⎪⎪ ⎩

                                        (3.1) com condição de fronteira de Dirichlet homogênea, dada por

                                        u Ω (3.2)

                                        ∣ = 0, para t &gt; 0, onde u 1 2 3 1 (t, x) = (u (t, x), u (t, x), u (t, x)), x ∈ Ω; (u(t, x) ⋅ ∇)u(t, x) = 1 2 2 3 3 ((u (t, x) ⋅ ∇)u (t, x), (u (t, x) ⋅ ∇)u (t, x), (u (t, x) ⋅ ∇)u (t, x)) e ∇ é o operador gradiente.

                                        No que segue, como feito na literatura padrão da teoria de equações de Navier-Stokes (veja utilizaremos os seguintes espaços 3 2 3

                                        ∞

                                        ; V = {u C (Ω) ∶ div u = 0}, H = fecho de V em L (Ω) 1 3 V

                                      w

                                      = {u H (Ω) ∶ div u = 0} e H = H com sua topologia fraca. 2 3 Denotaremos por

                                        , (⋅, ⋅) e ∥⋅∥ o produto interno e a norma em L (Ω) respectivamente. Também, para u, v, w

                                        ∈ V , definimos o produto in- terno em V por 3

                                        ∂u ∂v i i V dx,

                                        (u, v) ∑ = (Du, Dv) = ∫ i,j=1 ∂x ∂x j j a norma em V por 1 /2 1 V

                                        /2

                                        ∥u∥ = ∥Du∥ = (Du, Du) = (u, u) V e uma forma trilinear bV × V × V → R por 3

                                        ∂v i

                                      b u w dx.

                                      j i

                                        ∑ (u, v, w) = ∫ i,j=1 ∂x j

                                        O espaço V é um espaço de Hilbert com o produto interno definido acima, já que Ω é limitado. Além disso, temos

                                        ′ ,

                                      V H V

                                        ′ onde V denota o dual de V , e as inclusões são contínuas e densas.

                                        Como uma consequência destas identificações, para cada uV e h H, o produto escalar (h, u) em H coincide com a aplicação dualidade ⟨h, u

                                        ′ ′

                                        de V em V , quando identificamos h com seu representante em V , isto é ⟨h, u⟩ = (h, u) para todos h H e u V.

                                        Sabemos também que, para cada u VV fixado, o funcional V v ↦ (u, v) ∈ R é linear e contínuo em V , e portanto, existe um elemento

                                        ′

                                        em V , que denotaremos por Au tal que V ,Au, v⟩ = (u, v) para cada vV.

                                        Usando ainda Observação I.2.2], concluí-

                                        ′

                                        mos que A é um isomorfismo entre V e V . Este operador A é cha- 2 3 mado de operador de Stokes, e além disso, se uC (Ω) ∩ V temos 2 Au para

                                        = −∆u (veja Claramente ⟨Au, u⟩ = (Du, Du) = ∥uV cada uV .

                                        Seja u ∶ [0, ∞) → V definimos o funcional de energia associado à por t t

                                        1 2 2 V u dτ (3.3) (u)(t) = (t)∥ ∥Du(τ)∥ (f, u(τ))dτ.

                                      • ν ∫ − ∫ 2 ∥

                                        

                                      Definição 3.0.4. Dizemos que u ∶ [0, ∞) → H é uma solução fraca

                                      para se ela satisfaz as seguintes condições: 2

                                        (i) u w

                                        ∈ C([0, T]; H ) ∩ L (0, T; V ) para cada T &gt; 0,

                                        du 1

                                        (ii)L (0, T; V ) para cada T &gt; 0, dt

                                        (iii) para toda v

                                        ∈ V e quase todo t &gt; 0,

                                        du

                                        (3.4) ( (t), v) + ν(Du(t), Dv) + b(u(t), u(t), v) = (f, v);

                                        dt (iv) u satisfaz a desigualdade de energia

                                        V

                                        (u)(t) ⩽ V (u)(s) (3.5)

                                        para todo ts, para quase todo s ∈ (0, ∞) e para s = 0.

                                        No que segue definiremos a seguinte família de funções: N S G = {soluções fracas de }. (3.6)

                                        Pelo método clássico de Faedo-Galerkin aplicado às equações de Navier-Stokes, que pode ser encontrado em sabemos que para N S cada u tal que u

                                        ∈ H existe pelo menos uma solução fraca u ∈ G (0) =

                                        u N S N S . Isso nos diz que G satisfaz (H1). Também, G satisfaz (H3). N S

                                        Contudo, não sabemos se G satisfaz (H2) e (H4). Nosso objetivo N S será provar que G é um semifluxo generalizado se, e somente se, cada solução fraca é contínua de (0, ∞) em H e que, sob tais condições, G possui um atrator global.

                                        A fim de conseguir provar os resultados principais necessitaremos de uma desigualdade que se sabe ser satisfeita pelas soluções fracas construídas através do método de Faedo-Galerkin. Como não assumi- remos tal fato como hipótese devemos primeiramente provar dois lemas técnicos. Necessitaremos também alguns resultados auxiliares, que des- creveremos no que segue.

                                        

                                      Definição 3.1.1. Seja X um espaço métrico. Dizemos que uma função

                                      f se

                                        ∶ X → R é semicontínua inferiormente num ponto x

                                        f

                                        lim inf xx (x) ⩾ f(x ).

                                        Dizemos que f

                                        ∶ X → R é semicontínua superiormente num ponto

                                        x se f lim sup (x) ⩽ f(x ). xx

                                        ′

                                        No que segue D (0, ∞) é o espaço das distribuições, o dual de

                                        ∞

                                        D(0, ∞) = C (0, ∞) munido da convergência uniforme sobre com-

                                        ′

                                        pactos. Denotaremos também por ⟨ entre ( 0,, ⋅⟩ a D ∞) e

                                        D(0, ∞). 1 Lema 3.1.2. Seja ρ ( 0,L loc ∞). Então as seguintes condições são

                                        equivalentes: 1 ′ Note que a notação é a mesma da dualidade entre V e V . Como as notações não

                                      serão utilizadas simultaneamente, acreditamos que não haverá risco de confusão.

                                        

                                      (i) existe ¯ ∶ (0, ∞) → R não-crescente tal que ρ = ¯ρ quase sempre em

                                        (0, ∞),

                                        ′ (ii) ˙ρ ⩽ 0 em D (0, ∞).

                                        Se, além disso, ρ

                                        ∶ [0, ∞) → R é semicontínua inferiormente e contí-

                                        nua em zero, então (i) e (ii) são equivalentes a

                                      (iii) para quase todo s ∈ (0, ∞) e para s = 0 temos ρ(t) ⩽ ρ(s) para

                                      todo ts.

                                        Prova: Para ver que

                                        (i) ⇒ (ii) tome φ ∈ D(0, ∞). Temos, para h &gt; 0 suficientemente pequeno

                                        ∞ ∞ dφ φ

                                        (t) − φ(t h) ρ ρ dt. (t) (t) lim

                                        ⟨ ˙ρ, φ⟩ = −⟨ρ, ˙φ⟩ = − ∫ (t)dt = − ∫

                                        dt h→0 h

                                        Segue do Teorema da Convergência Dominada que

                                        ∞ φ

                                        (t) − φ(t h) ρ dt. ⟨ ˙ρ, φ⟩ = − lim (t) (3.7) h→0

                                        h

                                        Por outro lado

                                        ∞ ∞ ∞ ρ ρ ρ

                                        (t) − ρ(t + h) (t)φ(t) (t + h)φ(t)

                                        φ dt dt dt,

                                        (t) ∫

                                        = ∫ − ∫

                                        h h h

                                        e fazendo t = s h temos

                                        ∞ ∞ ∞ ρ ρ ρ

                                        (t) − ρ(t + h) (t)φ(t) (s)φ(s h)

                                        φ dt dt ds

                                        (t) =

                                        ∫ = ∫ − ∫ h h h h h

                                        

                                      ρ φ

                                        (t)φ(t) (t) − φ(t h) dt ρ dt.

                                        (t) = ∫ + ∫ h

                                        

                                      h h Além disso, por obtemos ⟨ ˙ρ, φ

                                        = − lim h→0

                                        (tτ)ρ(τ)dτ.

                                        (ψ ερ)

                                        ′

                                        (t) = (ψ

                                        

                                      ερ)(t)

                                        = ∫

                                        ∞

                                      −∞

                                      ψ

                                        ′ ε

                                        (tτ)ρ(τ)

                                        = ∫

                                        ∞ ψ

                                        ′ ε

                                        (3.9) Como ˙ρ

                                        ∞ ψ ε (t)dt

                                        ⩽ 0, para cada φ ∈ D(0, ∞) com φ ⩾ 0, temos ⟨ ˙ρ, φ

                                        = − ∫

                                        ∞

                                      ρ

                                        (t)φ

                                        ′

                                        (t)dt ⩽ 0.

                                        (3.10) Agora defina φ t

                                        (τ ) = ψ ε (tτ). Temos φ t ⩾ 0 e (φ t

                                        )

                                        ′

                                        (τ ) = −ψ

                                        ′ ε

                                        = 1 e ψ ε ⩾ 0. Sabemos que ψ ερ ε→0 Ð→ ρ em L 1 loc ( 0, ∞) com ρ = ρ quase sempre. Temos

                                        ⊂ B ε ( 0), ∫

                                        ∞

                                      φ

                                        ∫

                                        (t)

                                        ρ (t)

                                        − ρ(t + h)

                                        h dt.

                                        (3.8) Se ¯

                                        ρ

                                        ∶ (0, ∞) → R é a representante não-crescente de ρ então ¯

                                        ρ

                                        (t) − ¯ρ(t + h)

                                        h

                                        ⩾ 0 para todo t ∈ (0, ∞), e se φ ⩾ 0 obtemos

                                        ∞ φ (t) ρ

                                        ( 0, ∞) tal que supp(ψ ε )

                                        (t) − ρ(t + h)

                                        h dt

                                        = ∫

                                        ∞ φ (t)

                                        ¯

                                        ρ

                                        (t) − ¯ρ(t + h)

                                        h dt

                                        ⩾ 0, o que, juntamente com mostra que ⟨ ˙ρ, φ⟩ ⩽ 0.

                                        Para a implicação contrária, considere a extensão de ρ por zero em ( −∞, 0), que está definida para todo R e que não renomearemos. Para cada ε

                                        &gt; 0, seja uma função molificadora ψ εC

                                        ∞

                                        (tτ). Por temos

                                        

                                      ′ ′ ε ψ

                                        (ψρ) ε (t τ)ρ(τ) (t) = ∫

                                        

                                      t

                                        (3.11) (φ ) (τ)ρ(τ)⩽ 0, ε = − ∫ para todo t

                                        ⩾ 0. Assim ψρ é não-crescente, isto é, ε ε (ψρ)(t) ⩽ (ψρ)(s) para todo ε &gt; 0 e t s.

                                        (t) ⩽ ρ(s) para todo Passando o limite quando ε → 0, obtemos ρ

                                        ts. Logo ρ é um representante não-crescente para ρ.

                                        Finalmente, assuma ρ ∶ [0, ∞) → R semicontínua inferiormente e con- tínua em zero. Suponha que (i) é satisfeito. Temos ρ (τ) = ¯ρ(τ) para

                                        τ

                                        /∈ N, onde N é um conjunto de medida nula. Seja s &gt; 0 /∈ N, t &gt; s e j j j ∞ {t } ⊂ N tal que t Ð→ t. Sem perda de generalidade podemos supor

                                        t j j &gt; s para todo j. Como ¯ρ é não-crescente segue que ¯ρ(t ) ⩽ ¯ρ(s).

                                        Consequentemente

                                        ρ

                                        lim inf ¯ j j→ ∞ (t ) ⩽ ¯ρ(s) e então

                                        ρ ρ ρ j ¯ j (3.12)

                                        (t) ⩽ lim inf (t ) = lim inf (t ) ⩽ ¯ρ(s) = ρ(s) j→ ∞ j→ ∞ e o resultado segue para quase todo s k &gt; 0. Para s = 0 considere uma

                                        ∞

                                        sequência k k Ð→ 0. Suponha sem perda de generalidade {s } ⊂ N com s que s k j para todo k e todo j. De temos

                                        &lt; t

                                        ρ k

                                        (t) ⩽ ρ(s ) para todo k, ∞ concluímos a prova de (iii). Reci- e passando o limite quando k → procamente, se vale (iii), podemos definir

                                        ρ ρ

                                        ¯ (t) = sup (τ) τ

                                        ⩾t que é um representante não-crescente para ρ.

                                        Precisaremos agora de um lema ‘tipo-Gronwall’ para obter uma limitação para as funções em N S .

                                        G 1 Lema 3.1.3. Seja θ ∶ [0, ∞) → R ∈ L (0, T) para cada T &gt; 0. Suponha

                                        θ

                                      semicontínua inferiormente, contínua em zero e tal que, para algum

                                      c

                                        ⩾ 0, temos t s

                                        θ θ θ

                                        (τ) (3.13) (t) + c ∫ (τ)θ(s) + c

                                        para todo t

                                        ⩾ s, para quase todo s &gt; 0 e s = 0. Então ct cs

                                        θ

                                        (t)eθ(s)e (3.14)

                                        para todo t

                                        ⩾ s, para quase todo s &gt; 0 e s = 0. Em particular,

                                        −ct θ para todo t

                                        (t) ⩽ θ(0)e ⩾ 0.

                                        Prova: Defina ρ

                                        ∶ [0, ∞) → R por t

                                        ρ θ (τ)dτ. 1 (t) = θ(t) + c ∫ Afirmação 1: ρL (0, ∞). loc

                                        Com efeito, se K ⊂ (0, ∞) é um subconjunto compacto, K ⊂ [0, T] para algum T &gt; 0 e basta mostrarmos que ρ é módulo integrável sobre

                                        [0, T]. Vamos denotar por ∥θ∥ a norma de θ em L (0, T). Temos T T T tθ(τ)∣dτ dt

                                        ∫ ∫ ∣ρ(t)∣dt ⩽ ∫ ∣θ(t)∣dt + c T 1 1 dt 1 ⩽ ∥θ∥ + cθ∥ = ∥θ∥ (1 + cT) &lt; ∞.

                                        ∫ Afirmação 2: ρ é semicontínua inferiormente e contínua em 0. De fato t

                                        ρ θ θ

                                        lim (t) = lim (t) + c lim (τ)= θ(0) + c.0 = θ(0), t→0 t→0 t→0 ∫ pois θ é contínua em 0. Também, para s t s ∈ (0, ∞),

                                        ρ θ θ θ

                                        lim inf (t) ⩾ lim inf (t) + c lim (τ)= ρ(s),

                                        ∫ ts ts ts (τ)θ(s) + c ∫ pois θ é semicontínua inferiormente.

                                        ′

                                        Assim, por segue que ˙ρ ⩽ 0 em D (0, ∞). Afirmação 3: ˙ρ = ˙θ + .

                                        De fato, se φ ∈ D(0, ∞), então

                                        ∞ ∞ ∞ dφ dφ dφ

                                        ¯ ⟨ ρ (t) (t)dt θ (t) (t)dt θ (t) (t),

                                        ˙ρ, φ⟩ = −⟨ρ, ˙φ⟩ = − ∫ = − ∫ −c t dt dt dt d ¯ θ θ (t) θ (τ )dτ θ (t) onde ¯ . Note que ¯ é derivável e = θ(t) no sentido dt

                                        = ∫ clássico, logo ⟨ ˙ρ, φ

                                        = −⟨θ, ˙φ⟩ − c⟨¯θ, ˙φ⟩ = ⟨ ˙θ, φ⟩ + c⟨ ˙¯θ, φ⟩ = ⟨ ˙θ, φ⟩ + cθ, φ, o que conclui a afirmação.

                                        ′

                                        ( Portanto ˙θ + ⩽ 0 em D 0, ∞). Agora, a derivada distribucional ct ct ct

                                        

                                        ) ( ˙θ de θe , que denotaremos por (θe coincide com e + ), pois se

                                        ∈ D (0, ∞) temos

                                        ∞ ct ct ct , φ , ˙ φ θ

                                        ⟨(θe ) ⟩ = −⟨θe (t)e (t)dt, ⟩ = − ∫

                                        dt

                                        e por outro lado ct ct

                                        φ

                                        ⟨e ( ˙θ + ), φ⟩ = ⟨ ˙θ + cθ, ect ct

                                        φ φ

                                        = ⟨ ˙θ, e ⟩ + cθ, ect ct

                                        ′ φ φ

                                        = −⟨θ, (e ) ⟩ + cθ, e

                                        ∞ ∞ ct ct ct θ φ θ φ

                                        (t)(ce (t) + e (t)e (t)dt = − ∫ (t))dt + c

                                        dtct

                                        θ

                                        (t)e (t)dt, (3.15) = − ∫ ct ct dt

                                        ′ o que mostra que (θe ) = e ( ˙θ + ). ct ct 1 ′ ′

                                        Temos assim (θe ) ⩽ 0 em D (0, ∞). Uma vez que θeL (0, ∞) loc é semicontínua inferiormente e contínua em 0, podemos aplicar nova- mente o Lema para concluir que ct cs

                                        θ

                                        (t)eθ(s)e para todo ts, para quase todo s &gt; 0 e s = 0, como queríamos demons- trar.

                                        Sabemos de que, já que Ω é limitado, vale a Desigualdade de 1 Poincaré, isto é, se λ &gt; 0 é o menor autovalor do operador de Stokes, temos 2 1 2Dv∥ ⩾ λv∥ para todo vV. (3.16)

                                        Precisaremos também do seguinte resultado de aritmética básica: Com estes resultados, somos capazes de mostrar uma limitação im- portante para as funções em G . N S . Então

                                        Proposição 3.1.4. Seja u ∈ G 2

                                        1 2 1 t 2

                                        1 2

                                        −νλ

                                        ∥u(t)∥ − ∥f∥ ⩽ e (∥u(0)∥ − ∥f∥ ), (3.17) 1 2 1 2 (νλ ) (νλ )

                                        para todo t ⩾ 0.

                                        Prova: De para todo t

                                        ⩾ s, para quase todo s ∈ (0, ∞) e s = 0, temos t t

                                        1 2 2

                                        u dτ

                                        (t)∥ ∥Du(τ)∥ (f, u(τ))

                                      • ν ∫ − ∫ 2 ∥ s s

                                        1 2 2

                                        u dτ

                                        (s)∥ ∥Du(τ)∥ (f, u(τ))dτ,

                                      • ν ∫ − ∫ 2 ∥ e então t t

                                        1 2 2

                                        1 2

                                        u dτ u (t)∥ ∥Du(τ)∥ ⩽ (s)∥ (f, u(τ))dτ.

                                      • ν ∫ + ∫ s s 2 ∥ 2 ∥

                                        Como (f, u(τ)) ⩽ ∥f∥∥u(τ)∥ temos t t

                                        1 2 2

                                        1 2

                                        u dτ u

                                        (t)∥ ∥Du(τ)∥ ⩽ (s)∥ ∥f∥∥u(τ)∥dτ. (3.18)

                                      • ν ∫ + ∫ s s 2 ∥ 2 ∥
                                      • 2 2 Do fato de que 2aba + b quaisquer que sejam a e b reais,temos

                                          1 2

                                          1

                                          ∥f∥∥u(τ)∥ ⩽ ∥u(τ)∥ ∥f∥ ). (3.19) 2

                                        • νλ
                                        • 1

                                            νλ 1

                                            2 ( √ 1

                                            νλ

                                            Basta fazer a 1 = ∣∥u(τ)∥ e b = ∥f∥. νλ 1 Defina 2

                                            1 2

                                          θ .

                                            (t) = ∥u(t)∥ − ∥f1 2 (νλ ) 1 Afirmamos que θ satisfaz e da Desigualdade de Poincaré obtemos 2 t t t 2 2

                                            1 2 2

                                            νλ dτ dτ νλ dτ 1 1

                                            ∥u(t)∥ ∥u(τ)∥ ⩽ ∥u(s)∥ ∥f∥ ∥u(τ)∥

                                          • 2 ∫ +∫ +∫ s s s

                                            νλ 1

                                            o que implica que t t 2

                                            1 2 2

                                            1 2

                                            θ θ 1

                                            (τ)= ∥u(t)∥ − ∥f∥ + νλu(τ)∥ − ∥f2 2

                                            (t) + c 1 1 2 (νλ ) (νλ ) s

                                            1 2 2

                                            1 2 1 ⩽ ∥u(s)∥ − ∥f∥ + νλu(τ)∥ − ∥f1 2 ∫ 1 2

                                            (νλ ) (νλ ) s

                                            = θ(s) + c ∫ Além disso, θ é semicontínua inferiormente pois u w é

                                            θ (τ)dτ.

                                            ∶ [0, ∞) → H contínua. Também, de para s = 0, t + +

                                            θ θ

                                            lim sup (t) ⩽ lim sup (τ)= θ(0)], t→0 t→0 [θ(0) + c 1 e logo θ é contínua em 0. Temos θ 2L (0, T) para cada T &gt; 0 uma vez que u

                                            ∈ L (0, T; H) para cada T &gt; 0 e então, pelo Lema para todo ts, para quase todo s &gt; 0 e s = 0, segue que

                                            −ct θ .

                                            (t) ⩽ θ(0)e Portanto 2

                                            1 2 1 t 2

                                            1 2

                                            −νλ

                                            ∥u(t)∥ − ∥f∥ ⩽ e (∥u(0)∥ − ∥f∥ ), 1 2 1 2 (νλ ) (νλ ) como queríamos demonstrar.

                                            Antes de continuarmos, e seguir para os resultados principais deste trabalho, precisaremos de mais alguns resultados técnicos. A demons- tração da seguinte proposição pode ser encontrada em

                                            

                                          Proposição 3.1.5. Seja X um espaço métrico separável. Então uma

                                          função é fortemente mensurável se, e somente se, é fracamente mensu-

                                          rável.

                                            As próximas duas proposições são bem conhecidas na Análise Fun- cional, e podem ser encontradas em

                                            

                                          Proposição 3.1.6. Seja n

                                            (X, ∥⋅∥) um espaço de Banach sobre R e {u }

                                            uma sequência em X. Se n

                                            {u } converge fracamente para algum u X,

                                            então n

                                            {u } é limitada em X e nu∥ ⩽ lim inf ∥u. n

                                            ∞ Proposição 3.1.7. Seja

                                            (X, ∥ ⋅ ∥) um espaço de Banach sobre R uni-

                                            formemente convexo e n n

                                            {u } uma sequência em X. Se {u } converge nn

                                            ∞ ∞ fracamente para algum u n n

                                            ∈ X, e u ∥ Ð→ ∥u, então u Ð→ u forte- mente em X.

                                            A seguinte proposição será também necessária adiante, e é dada pelo resultado Proposição II.2.12].

                                            

                                          Proposição 3.1.8. Sejam E, F, G espaços de Banach e B uma função

                                          contínua bilinear de E j

                                            × F em G. Seja {x } uma sequência em E que

                                            converge fortemente para algum x n

                                            ∈ E e {y } uma sequência em F que

                                            , y converge fracamente para algum y j j

                                            ∈ F. Então a sequência {B(x )}

                                            converge fracamente para B (x, y) em G.

                                            Nesta seção enunciaremos e demonstraremos os resultados princi- pais deste trabalho, que garantem que, sob determinadas condições, a N S família G é um semifluxo generalizado que possui um atrator glo- N S bal. Para isso utilizaremos o Teorema provaremos que G é

                                            φ -dissipativo e assintoticamente compacto.

                                            Proposição 3.2.1. São equivalentes: (i) N S é um semifluxo generalizado.

                                            G (ii) Cada solução fraca é contínua de (0, ∞) em H.

                                            (iii) Cada solução fraca é contínua de [0, ∞) em H. Prova:

                                            (i) N S é um semifluxo generalizado. Como toda ⇒ (ii): Suponha que G

                                            u N S w N S

                                            ∈ G pertence a C ([0, T]; H ) segue que G possui representan- tes únicos. Pelo Teorema apenas precisamos mostrar que cada N S solução fraca é fortemente mensurável. Dada u ∈ G , u é contínua de w (0, ∞) em H , isto é, u é fracamente contínua, o que implica que u é fracamente mensurável. Mas então, como H é separável, pela Proposi- ção temos u fortemente mensurável. (ii)

                                            ⇒ (iii): Seja u uma solução fraca contínua de (0, ∞) em H. Pre- j→ ∞ cisamos mostrar que u é contínua em 0. Seja t j e T tal que Ð→ 0

                                          • t j w j

                                            &lt; T para todo j. Como u C([0, T]; H ) temos u(t ) ⇀ u(0) e pela Proposição ju(0)∥ ⩽ lim inf ∥u(t )∥. j

                                            ∞ Além disso, de para s = 0, temos j 2 t j 2u(t )∥ (f, u(τ))⩽ ∥u(0)∥

                                            − 2 ∫ e então 2 2 . lim sup j j→ ∞ j→ ∞u(t )∥ ⩽ ∥u(0)∥

                                            Portanto ju(t )∥ Ð→ ∥u(0)∥ e como H é uniformemente convexo, j→ ∞ pela Proposição segue que u j

                                            (t ) Ð→ u (0) como queríamos.

                                            [0, ∞) em H por (iii) ⇒ (i): Seja u uma solução fraca contínua de j j ∞ hipótese. Afirmamos que V (u)(t) é contínua. Com efeito, se t Ð→ t j→ ∞ para t j

                                            ∈ [0, ∞), então da continuidade de u temos u(t ) Ð→ u (t) e j→ ∞ consequentemente ju(t )∥ Ð→ ∥u(t)∥. Então t t j j j→ ∞

                                            1 2

                                            u j

                                            (t )∥ (f, u(τ)) Ð→

                                          • ν ∫ ∥Du(τ)∥− ∫ 2 ∥ t t

                                            1 2

                                            u

                                            (t)∥ (f, u(τ))

                                          • ν ∫ ∥Du(τ)∥− ∫ 2 ∥ e logo V j

                                            (u)(t ) converge para V (u)(t) quando j → ∞. Como V (u)(⋅) é não-crescente quase sempre em [0, ∞), da continuidade temos V (u)(⋅) não-crescente. τ τ

                                            Fixemos τ N S basta mostrarmos que u ⩾ 0. Para provar que u ∈ G satisfaz a desigualdade da energia, isto é, que τ τ

                                            V

                                            (u )(t) ⩽ V (u )(s) para todo t s para quase todo s ∈ (0, ∞) e em s = 0. Note que

                                          • ν t
                                          • ν t
                                          • +τ

                                            τ
                                          • τ τ (f, u(y))dy.
                                          • >ν t

                                            • +τ

                                            • τ
                                            • >ν t

                                                u

                                                (τ + t)∥ 2

                                                ∥Du(y)∥dy − ∫ t

                                                (f, u(y))dy, e portanto

                                                V

                                                (u τ )(t) = V (u)(t + τ) − ν τDu(y)∥dy + ∫ τ (f, u(y))dy.

                                                Seja s ∈ [0, ∞) e t s. Por ser V (u)(⋅) não-crescente

                                                V

                                                (u τ )(t) = V (u)(t + τ) − ν τDu(y)∥dy + ∫ τ

                                                (f, u(y))dy

                                                V

                                                (u)(s + τ) − ν τDu(y)∥dy + ∫ τ (f, u(y))dy = V (u τ )(s).

                                                Logo u τ ∈ G N S e G N S satisfaz (H2). Resta mostrarmos que satis- faz (H4). Para isso, seja

                                                {u j } uma sequência de soluções fracas com

                                                u j

                                                (0) j

                                                ∞

                                                Ð→ uH. Da Proposição temos, para cada j, ∥u jL

                                                (0,∞;H)

                                                1 2 ∥

                                                (u)(t + τ) =

                                                V

                                                u

                                                V

                                                (u τ )(t) =

                                                1 2 ∥

                                                u τ

                                                (t)∥ 2

                                                ∥Du τ (x)∥dx − ∫ t

                                                (f, u τ (x))dx =

                                                1 2 ∥

                                                (τ + t)∥ 2

                                                Por outro lado,

                                                ∥Du(τ + x)∥dx − ∫ t (f, u(τ + x))dx. Se fizermos y

                                                = τ + x, obtemos

                                                V

                                                (u τ )(t) =

                                                1 2 ∥

                                                u

                                                (τ + t)∥ 2

                                                ∥Du(y)∥dy − ∫ t

                                                ⩽ ∥u j (0)∥ e como {u j (0)} é convergente e portanto limitada, segue que {u j } é li- mitada em L (0, ∞; H). Afirmamos que {u } é limitada em L (0, , V ). De fato, pela desigualdade da energia para s = 0 obtemos t t 1 j 2 j 2 j 1 j 2

                                                u dτ u

                                                (t)∥ ∥Du (τ)∥ (f, u (τ))⩽ (0)∥

                                              • ν ∫ − ∫ 2 ∥

                                                2 ∥ para todo t j 2 j 2 ⩾ 0. Temos T T 2 j 2

                                                dt dt

                                                ∥uLu (t)∥ VDu (t)∥ ⩽

                                                (0,T ;V )

                                                = ∫ = ∫ T 1 j 2 j 2 j j 2 j

                                                u uL

                                                (0)∥ −∥u (t)∥ (f, (t))dt ⩽ ∥uL +Tf∥∥u

                                                (0,,H) (0,,H)

                                                )+∫ 2 (∥ j

                                                ∞

                                                e a limitação segue do fato de {u } ser limitada em L (0, ∞; H). du j 4

                                                /3 ′

                                                Por Teorema 3.3], temos { } limitada em L (0, T; V ) para dt cada T

                                                &gt; 0. Utilizando Teorema 2.2] obtemos uma subsequência 2 (que não renomearemos) e uma função u w

                                                ∈ C([0, T]; H ) ∩ L (0, T; V ) para cada T &gt; 0 tais que j 2

                                                u

                                                (3.20) → u em L (0, T; H) para todo T &gt; 0

                                                e, consequentemente, j

                                                u

                                                (t) → u(t) em H, para quase todo t &gt; 0 (3.21) j

                                                u

                                                (t) ⇀ u(t) em H para todo t ⩾ 0. (3.22) Por ser V reflexivo, das limitações obtidas temos ainda j 2

                                                u ju em L (0, T; V ) para todo T &gt; 0; (3.23) du du 4

                                                /3 ′

                                                ⇀ em L (0, T; V ) para todo T &gt; 0. (3.24)

                                                dt dt Vamos mostrar que u satisfaz Para cada j, temos para quase todo t &gt; 0 (

                                                du j

                                                (u j (t), u j (t), v) → b(u(t), u(t), v) quando j → ∞. Passando o limite em quando j

                                                (0, T; V

                                                ′

                                                ) = (L 2 (0, T; V ))

                                                ′ .

                                                Finalmente, de obtemos

                                                b

                                                ∞ obtemos (

                                                ′

                                                du

                                                (t)

                                                dt , v

                                                ) + ν(Du(t), Dv) + b(u(t), u(t), v) = (f, v), para quase todo t &gt; 0 e toda v V . Além disso, como u j (0) j

                                                ∞

                                                Ð→ uH e u j

                                                . Analogamente, por obtemos (Du j (t), Dv) = (u j (t), Av) → (u(t), Av) = (Du(t), Dv) pois Av pode ser vista como função contante em L 2

                                                ))

                                                (t)

                                                dt

                                                dt , v

                                                ) + ν(Du j (t), Dv) + b(u j (t), u j (t), v) = (f, v), (3.25) para todo v

                                                ∈ V . Por temos

                                                (

                                                du j

                                                (t)

                                                −

                                                ′

                                                du

                                                (t)

                                                dt , v

                                                ) → 0 pois cada vV pode ser vista como uma função constante de L 4 (0, T; V ) = (L 4

                                                /3

                                                (0, T; V

                                                (0) ⇀ u(0) em H temos u(0) = u . Definamos agora, para φL 2 (0, T; V ) para cada T &gt; 0, uma função auxiliar ˜ (φ) por t

                                                1 2 ˜

                                                V φ

                                                (φ)(t) = (t)∥ (f, φ(τ))dτ, para todo t ⩾ 0, − ∫ 2 ∥ t 2

                                                ∥(τ)∥ (φ)(t) = ˜V (φ)(t) + ν j

                                                 e notamos que V .

                                                (u )(t) → ˜V (u)(t) para quase todo t &gt; 0 j j e para t = 0. Além disso, ˜V (u )(t) é não-crescente, pois V (u )(t) é não-crescente. Para quase todo s j j &gt; 0 e para s = 0 temos

                                                V De temos ˜

                                                V

                                                (u )(t) ⩽ V (u )(s) para todo t s, o que implica que j j j t 2 ˜

                                                )(t) + ν s Então j j t 2 j

                                                V dτ (uDu (τ)∥ ⩽ ˜V (u )(s) para todo t s.

                                                ˜

                                                

                                                V

                                                lim inf [ ˜V (uDu (τ)∥ ] ⩽ lim inf (u )(s). j→ ∞ s j→ ∞ )(t) + ν t De temos 2 2 j 2 2 j 2 t 2

                                                 dτ.

                                                ∥Du(τ)∥ = ∥uL ⩽ lim inf ∥uL = lim inf ∥Du (τ)∥

                                                (s,t;V ) (s,t;V )

                                                ∫ s jjsj ∞ ∞

                                                V Logo, como ˜ (u )(t) → ˜V (u)(t) quase sempre para s &gt; 0 e para

                                                = 0, t t 2 j 2 ˜

                                                V dτ dτ

                                                ∥Du(τ)∥ ⩽ ˜V (u)(t) + ν lim inf ∥Du (τ)∥ ∫

                                                (u)(t) + ν s js j jt 2

                                                

                                                ⩽ lim inf { ˜V (uDu (τ)∥ } js )(t) + ν

                                                ∞ j

                                                ˜

                                                V

                                                ⩽ lim inf (u )(s) j

                                                ∞

                                                = ˜V (u)(s) e portanto V (u)(t) ⩽ V (u)(s) para quase todo t s, para quase todo

                                                s k k

                                                &gt; 0 e para s = 0. Para t s tome tt uma sequência tal que ts e V k w (u)(t ) ⩽ V (u)(s) para todo k. Como u C([0, T], H ) para todo

                                                T k

                                                &gt; 0, u(t ) ⇀ u(t) e então utilizando a Proposição obtemos

                                                V V k

                                                (u)(t) ⩽ lim inf (u)(t ) ⩽ V (u)(s), k→ ∞ o que mostra que u satisfaz a desigualdade da energia e, portanto, é uma solução fraca. Note que de forma análoga ao que fizemos para V , j

                                                V

                                                obtemos ˜ j (u )(t) e ˜V (u)(t) contínuas. Logo ˜V (u)(t) é não-crescente

                                                V

                                                e ˜ (u )(t) → ˜V (u)(t) para todo t ⩾ 0. De temos 2 ju(t)∥ ⩽ lim inf ∥u (t)∥ j

                                                

                                                para todo t ⩾ 0. Também de, seque que j (f, u (τ)) → (f, u(τ)) para todo τ ⩾ 0 e logo t t j (f, u (f, u(τ))dτ.

                                                (τ))→ ∫ Como ˜ (u )(t) → ˜V (u)(t) temos t t 1 j 2 j

                                                1 2

                                                u u

                                                lim sup (t)∥ (f, u (τ))⩽ (t)∥ (f, u(τ))dτ, j→ ∞ 2 ∥ 2 ∥ − ∫ − ∫ e portanto

                                                1 j 2

                                                1 2

                                                u u ,

                                                lim sup (t)∥ ⩽ (t)∥ j j→ ∞ 2 ∥ 2 ∥ o que implica que ju (t)∥ → ∥u(t)∥ quando j → ∞. Da Proposição j ∞ segue que u N S

                                                (t) Ð→ u (t) em H para todo t ⩾ 0. Concluímos que G satisfaz (H4) e é portanto um semifluxo generalizado, o que conclui a demonstração. N S é um semifluxo generalizado então ele possui

                                                Teorema 3.2.2. Se G um atrator global.

                                              Prova: Pela Proposição N S é um semifluxo generalizado se, e

                                                G somente se, cada solução fraca é contínua de [0, ∞) em H. Afirmamos

                                                √ 1 2 2

                                                1 e G = ∥f1

                                              • que N S é φ-dissipativo. Com efeito, defina r

                                                (νλ ) B r N S e t u grande o suficiente

                                                = B (0) = {ψ H∶ ∥ψ∥ ⩽ r}. Tome u ∈ G para que 1 t

                                                1

                                                −νλ e

                                                &lt; 2

                                                1 2u(0)∥ − ∥f1 2

                                                (νλ ) para todo t u . Pela Proposição temos, para t u , ⩾ tt 2

                                                1 2u(t)∥ ⩽ 1 + ∥f∥ ⇒ ∥u(t)∥ ⩽ r 1 2

                                                (νλ ) e então u . (t) ∈ B N S

                                                Também utilizando a Proposição concluímos que G é even- 1 t

                                                −νλ

                                                tualmente limitado. De fato, como e é decrescente, segue que para toda u ∈ G ∥u(t)∥ ⩽ ∥u(0)∥ para todo t

                                                ⩾ 0. Seja B H limitado. Então existe M &gt; 0 tal que ∥φ∥ ⩽ M para toda φ B. Observe que t t N S e u

                                              • γ T

                                                {u(t)∶ u ∈ G (0) ∈ B} (B) = ⋃ (t)B = ⋃

                                                ⩾0 ⩾0

                                              N S e

                                                {u(t)∶ u ∈ G ∥u(0)∥ ⩽ M}, ⊂ ⋃ t

                                                ⩾0

                                              • + +

                                                M

                                                logo para toda φγ (B) temos ∥φ∥ ⩽ M e assim γ (B) ⊂ B (0).

                                                Temos que N S é compacto, pois se tomarmos j N S tal que j G {u } ⊂ G {u (0)} é limitada em H podemos repetir o argumento da Proposição para concluir que existe uma subsequência µ j

                                                {u } de {u } tal que

                                                u µ (t) é convergente para todo t ⩾ 0.

                                                Da Proposição concluímos que N S é assintoticamente com- G pacto e portanto, pelo Teorema temos que N S possui um atra-

                                                G tor global que é minimal entre os B-atratores fechados não-vazios e maximal entre os subconjuntos compactos invariantes de H.

                                                Concluímos então que sob a condição de que N S seja um semifluxo G generalizado, isto é, assumindo que cada solução fraca seja contínua de N S (0, ∞) em H, G possui um atrator global.

                                              Referências Bibliográficas

                                                [1] A. V. Babin and M. I. Vishik, Attractors in Evolutionary Equa-

                                                tions, Studies in Mathematics and its Applications 25, North- Holland Publishing Co., Amsterdam (1992).

                                                [2] J. M. Ball, Continuity Properties and Global Attractors of Gene- ralized Semiflows and the Navier-Stokes Equations, J. Nonlinear Sci. 7, 475-502 (1997). [3] J. M. Ball, Erratum: Continuity Properties and Global Attrac- tors of Generalized Semiflows and the Navier-Stokes Equations, J.

                                                Nonlinear Sci. 8, 233 (1998). [4] F. Boyer and P. Fabrie, Mathematical Tools for the Study of the

                                                Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models, Ap- plied Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2013).

                                                [5] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle: Théorie et applications. Collec- tion Mathématiques appliquées pour la maîtrise, 2 (1987).

                                                [6] V. V. Chepyzhov and M. I. Vishik, Attractors for Equations

                                                of Mathematical Physics. Colloquium Publications 49, American Mathematical Society (2002).

                                                [7] J. W. Cholewa and T. Dlotko, Global Attractors in Abstract Para- bolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge (2000). [8] G. B. Folland, Real Analysis: Modern techniques and their appli- cations, Pure &amp; Applied Mathematics, John Wiley &amp; Sons (1984). [9] G. P. Galdi, Notes: An Introduction to the Navier-Stokes Initial-

                                                Boundary Value Problem, Department of Mechanical Engineering University of Pittsburgh, USA.

                                                [10] J. K. Hale, Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, Mathe- matical Surveys and Monographs 25 (American Mathematical So- ciety, Providence, RI) (1988). [11] J. K. Hale, L. Magalhães and W. M. Oliva, Dynamics in Infinite

                                                Dimensions, Applice Mathematical Sciences 47, Second Edition, Springer Verlag (2002).

                                                [12] A. Haraux, Systèmes dynamiques dissipatifs et applications. Mas- son, Paris (1991). [13] D. Henry, Geometric theory of semilinear parabolic equations. Lec- ture Notes in Mathematics Vol. 840. Springer-Verlag (1981). [14] E. Hille and R. S. Phillips, Functional Analysis and Semigroups

                                              31, Colloq. Publ. Col., Amer. Math. Soc., Providence (1957).

                                              [15] O. A. Ladyzhenskaya, Attractors for semigroups and evolution

                                                equations, Leizioni Lincee, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK (1991).

                                                [16] J. R. Munkres, Topology, Second Edition, Pearson Education (2000). [17] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Springer-Verlag, New York (1983). [18] G. Raugel, Global Attractors in Partial Differential Equations, in Handbook of Dynamical Systems 2, Elsevier Sciences, 885-982

                                                (2002). [19] G. Raugel, Global attractors in partial differential equations; in:

                                                Handbook of dynamical systems 2 885–982, North-Holland, Ams- terdam (2002). [20] G. R. Sell and Y. You, Dynamics of Evolutionary Equations, Sprin- ger, New York (2000). [21] J. C. Oxtoby, Measure and Category. Springer-Verlag, New York, (1971). [22] J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems. Cam- bridge University Press, Cambridge, England (2001). [23] G. R. Sell, Global attractors for the three-dimensional Navier- Stokes equations, J. Dyn. Differential Eqns 8, 1-33 (1996). [24] G. R. Sell and Y. You, Dynamics of evolutionary equations. Ap- plied Mathematical Sciences Vol. 143. Springer-Verlag, New York

                                                (2002). [25] J. Simsen and C. B. Gentile, On Attractors for Multivalued Se- migroups Defined by Generalized Semiflows, Set-Valued Anal 16,

                                                105-124 (2008).

                                                [26] R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer-Verlag, Berlin (1967). [27] R. Temam, Navier-Stokes Equations - Theory and Numerical Analysis, Studies in Mathematics and its Applications (1979). [28] M. I. Vishik, Asymptotic behaviour of solutions of evolutio-

                                                nary equations. Cambridge University Press, Cambridge, England (1992).

                                                [29] E. Zeidler and L. F. Boron, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications: IIA, Springer My Copy UK (1989).

                                                Notas de aula: Sistemas Dinâ-

                                                [30] A. N. Carvalho,

                                                micos não lineares,ICMC-USP

                                                São Carlos (2012) http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andcarva/SDNL2012.pdf. [31] De. Liu, The critical forms of the attractors for semigroups and

                                                the existence of critical attractors, Proc. Roy Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 454, 2157-2171 (1998).

                                                [32] V. S. Melnik and J. Valero, On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions, Set Valued Anal. 6(1), 83-111 (1998).

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