Variedades Instáveis e Centrais

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Full text

(1)

Curso de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Variedades Inst´

aveis e Centrais

Kleyber Mota da Cunha

Orientador: Prof. Dr. Vilton Pinheiro

Salvador-Bahia

(2)

Variedades Inst´

aveis e Centrais

Kleyber Mota da Cunha

Disserta¸c˜ao apresentada ao

co-legiado do curso de

P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da

Universidade Federal da Bahia,

como requisito parcial para

ob-ten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em

Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves

(3)

Orientador: Dr. Vilton Pinheiro (UFBA).

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em

Ma-tem´atica da UFBA, ?? p´aginas.

(4)

Resumo

Neste trabalho, mostraremos que dada uma aplica¸c˜ao Lipschitz f : D ⊂ E → E, onde E ´e espa¸co de Banach, bem pr´oxima, na topologia Cr, de uma automorfismo linear

hiperb´olico, T :E → E, a variedade inst´avel de f ´e bem pr´oxima da variedade inst´avel de

T.

´

E mostrado tamb´em que a variedade inst´avel de f possui algumas propriedades

em comum com a variedade inst´avel de T, como ser f-invariante, e ser constitu´ıda dos

pontos cujo os iterados para tr´as tende ao ponto fixo de f, neste conjunto. Em particular,

mostraremos tamb´em que a variedade inst´avel def ´e lipschitz e t˜ao diferenci´avel quanto f.

Em seguida estenderemos este resultado para um caso mais geral, que ´e a variedade

central.

(5)

In this work, we will show that given an Lipschitz map f :D ⊂ E → E, where E

is a Banach space, well close, in the Cr topology, of a hyperbolic automorphism linear map,

T :E →E, the unstable manifold of f it is very close of the unstable manifold of T.

It is also shown that the unstable manifold of f has some properties in common

with the unstable manifold ofT, how to be f-invariante, and to be constituted of the points

whose backwards iterates tends to the fixed point off, in this set. In particular we will also

show that the unstable variety of f is lipschitz and so differentiable as f.

Soon after we will extend this result for a more general case, that it is the central

manifold.

(6)

Sum´

ario

Resumo iv

Abstract v

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

2 Variedade Inst´avel 8

3 O caso f diferenci´avel 22

4 Variedades Centrais 34

4.1 A n˜ao unicidade da Variedade Central . . . 41

Referˆencias 53

(7)

Dada uma aplica¸c˜aof :E →E,ondeEespa¸co de Banach, n´os definimos o conjunto inst´avel de um ponto p ∈ E, em rela¸c˜ao a f, sendo o conjunto dos pontos q ∈ E que s˜ao assint´oticos apno passado. Sob certas condi¸c˜oes, n´os mostraremos que esse conjunto possui

certas propriedades interessantes.

Esta disserta¸c˜ao est´a estruturada em quatro cap´ıtulos.

No primeiro cap´ıtulo, apresentamos algumas defini¸c˜oes e alguns resultados de An´alise,

que ser˜ao utilizados no decorrer da disserta¸c˜ao. Omitiremos algumas demonstra¸c˜oes por se

tratarem de resultados conhecidos.

No segundo e terceiro cap´ıtulo, n´os provamos, respectivamente, o Teorema da

Va-riedade Inst´avel na vers˜ao lipschitz, bem como sua vers˜ao diferenci´avel. Este teorema ´e

mais geral que o teorema de Grobman-Hartman, pois este nos diz que se uma aplica¸c˜ao

f : Rn Rn ´e bem pr´oxima de uma aplica¸c˜ao linear hiperb´olica A : Rn Rn, ent˜ao f

´e localmente topologicamente conjugada a aplica¸c˜ao A. Este teorema mostra ainda que a

variedade inst´avel(est´avel) def ´e um disco topol´ogico tangente a variedade inst´avel(est´avel)

deAna origem. Mas, o mesmo, n˜ao mostra que a variedade inst´avel(est´avel) ´e diferenci´avel.

O Teorema da Variedade Inst´avel(Est´avel) prova que a variedade inst´avel(est´avel)

´e uma variedade mergulhada Ck que pode ser representada por um gr´afico.

Para provar este teorema, existem basicamente dois tipos de provas: o m´etodo da

transforma¸c˜ao do gr´afico de Hadamard(1901) e o m´etodo da varia¸c˜ao de parˆametros de

Perron(1929). N´os seguiremos, na prova do teorema, a id´eia de Hadamard.

Em seguida, no quarto cap´ıtulo, n´os provamos o Teorema da Variedade Central, que

(8)

Introdu¸c˜ao 2

´e uma modifica¸c˜ao do Teorema da Variedade Inst´avel, visto que, neste teorema a aplica¸c˜ao

linear possui autovalores sobre o c´ırculo unit´ario. A vers˜ao diferenci´avel tamb´em ´e provada.

Ainda neste cap´ıtulo, mostraremos atrav´es de um exemplo simples, que ao contr´ario

da variedade inst´avel(est´avel), a variedade central n˜ao ´e ´unica.

No apˆendice mostramos o Teorema da se¸c˜ao Cr, no qual diz que existe uma ´unica

se¸c˜ao invariante diferenci´avel para uma determinada aplica¸c˜ao que tem contra¸c˜ao nas fibras.

(9)

Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentaremos algumas defini¸c˜oes, proposi¸c˜oes, bem como alguns

teoremas que ser˜ao de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho.

1.1 Definic¸˜ao. Seja E e F espa¸cos de Banach. Dizemos que uma aplica¸c˜ao f : E → F ´e Lipschitziana se existe k > 0 tal que, para quaisquer x, y ∈ E, tem-se k f(x)−f(y) k≤ k k x−y k. O menor valor de k para que a desigualdade anterior seja v´alida ´e chamada constante de Lipschitz, e denotada por Lip(f). Quando Lip(f)<1, f ´e dita uma contra¸c˜ao.

1.2 Observa¸c˜ao. A continuidade de uma aplica¸c˜ao pode ser definida da seguinte maneira:

Uma aplica¸c˜aof :U ⊂E →F ´e cont´ınua em p∈U se dado ε >0, existe δ >0 tal que

f(Bδ(p))⊂Bε(f(p)).

1.3 Observa¸c˜ao. Note que toda aplica¸c˜ao Lipschitziana ´e cont´ınua, pois dado ε > 0, basta

tomarδ = ε

k. Ent˜ao kx−yk< δ ⇒kf(x)−f(y)k≤k kx−yk< k· ε k =ε.

1.4 Teorema. Seja f :E → F uma aplica¸c˜ao, onde E e F s˜ao espa¸cos vetorias sobre um corpoF. Se o graf(f) for um subespa¸co vetorial de E×F ent˜ao f ´e linear.

Prova: Seja (x1, y1),(x2, y2) ∈ graf(f) e λ ∈ F, ou seja, y1 = f(x1) e y2 =

f(x2). Como graf(f) ´e subespa¸co linear, temos que (x1, y1) +λ(x2, y2)∈ graf(f), ou seja,

∃(x3, y3)∈graf(f),tal que y3 =f(x3) e (x1, y1) +λ(x2, y2) = (x3, y3). Assimx3 =x1+λx2

ey3 =y1+λy2. Logo

y3 =f(x3) = f(x1+λx2) =y1+λy2 =f(x1) +λf(x2).

(10)

Preliminares 4

¥

1.5Observa¸c˜ao. A rec´ıproca deste Teorema n˜ao ´e verdadeira. Basta considerarmos o seguinte

contra-exemplo:

f : R2 −→ R2 v 7→ |v|2·v.

Vemos que f leva subespa¸cos lineares do R2 em subespa¸cos lineares do R2, mas f n˜ao ´e

linear.

1.6 Definic¸˜ao (Ponto Fixo). Seja M um conjunto. Um ponto fixo de uma aplica¸c˜ao f :M →M ´e um elemento x∈M satisfazendo f(x) =x.

1.7 Teorema (Ponto Fixo de Banach).SejaF um subconjunto fechado do espa¸co m´etrico

completo (X, d). Se a aplica¸c˜ao f :F →F ´e uma contra¸c˜ao ent˜ao f possui um, e somente um, ponto fixo.

Prova: Ver em [6].

1.8 Teorema (Pertuba¸c˜ao da Identidade). Seja ϕ : U ⊂ F → F contra¸c˜ao, U ⊂ F aberto, F espa¸co de Banach. A aplica¸c˜ao f : U → F dada por f(x) = x+ϕ(x) ´e um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f(U) ⊂ F. Al´em disso, se U = F, tˆem se f(U) =F

Prova: Ver em [5].

1.9 Lema. Sejam F um espa¸co de Banach, X um espa¸co m´etrico e f, g duas fun¸c˜oes

cont´ınuas de X em F. Suponha que f seja injetiva e f−1 seja Lipschitz. Se g satisfaz

a condi¸c˜aoLip(f−g)<[Lip(f−1)]−1, ent˜ao g tamb´em ´e injetiva e

Lip(g−1) ≤ {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)}−1

= Lip(f

−1)

1−Lip(g−f)Lip(f−1)

Prova: Comof ´e injetiva ef−1´e Lipschitz, obtemos parax=f−1(z) ey=f−1(w):

kf−1(z)−f−1(w)k ≤ Lip(f−1)d(z, w) =⇒

kf−1(z)−f−1(w)k−1 ≥ Lip(f−1)−1d(z, w)−1 =⇒

d(x, y)−1 ≥ Lip(f−1)−1 kf(x)−f(y)k−1=⇒

(11)

kg(x)−g(y)k = kg(x)−g(y) +f(x)−f(x) +f(y)−f(y)k

≥ kf(x)−f(y)k − k(g−f)(x)−(g−f)(y)k e por (1.1)

≥ [Lip(f−1)]−1d(x, y)−Lip(f −g)d(x, y) = {[Lip(f−1)]−1Lip(f g)}d(x, y)

A ´ultima desigualdade nos d´a que g ´e injetiva, pois se g(x) = g(y) ⇒k g(x)−g(y) k= 0 e usando o fato de que [Lip(f−1)]−1Lip(fg)>0, por hip´otese, temosd(x, y) = 0x=y.

Agora, sendo x=g−1(z) e g =f−1(w), obtemos novamente da ´ultima desigualdade

d(z, w) ≥ {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)} kg−1(z)−g−1(w)k⇒

d(z, w)−1 ≤ {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)}−1 kg−1(z)−g−1(w)k−1⇒

kg−1(z)−g−1(w)k ≤ {[Lip(f−1)]−1−Lip(f −g)}−1d(z, w). (1.2)

Assim de (1.2), obtemos o resultado.

¥

1.10 Teorema. Seja f um homeomorfismo de um subconjunto aberto U de um espa¸co de

Banach E sobre um aberto V de um espa¸co de Banach F, cuja a inversa ´e Lipschitz. Seja

h uma aplica¸c˜ao cont´ınua, Lipschitz de U em F satisfazendo Lip(h)Lip(f−1) < 1. Seja

g = f +h. Ent˜ao g ´e um homeomorfismo de U sobre um subconjunto aberto de F, com

inversa Lipschitz.

Prova: Sejaϕ =g◦f−1 = (f+h)f−1 =id+hf−1. Comoh e f−1 s˜ao Lipschitz

temos quehf−1 ´e Lipschitz e

λ = Lip(hf−1)≤Lip(h)Lip(f−1)<1

Assim hf−1 ´e uma contra¸c˜ao. Logo pelo Teorema 1.8 (note que ϕ : f(U) F F)

temos que ϕ ´e um homeomorfismo de f(U) sobre o conjunto aberto ϕ(f(U)). Obtemos

assim queg ´e um homeomorfismo deU sobreg(U), pois composta de homeomorfismos ´e um

homeomorfismo, e

(12)

Preliminares 6

Resta agora mostrarmos queg−1 ´e Lipschitz. Para isto basta observamos que

kϕ(x)−ϕ(y)k = kx+hf−1(x)yhf−1(y)k

≥ kx−yk − khf−1(x)hf−1(y)k

≥ kx−yk −λkx−yk

= (1−λ)kx−yk

Da ´ultima desigualdade temos que ϕ ´e injetiva. Logo fazendo ϕ(x) =w eϕ(y) =z

temos:

1

kw−z k ≤

1 1−λ ·

1

kϕ−1(w)ϕ−1(z)k =⇒

kϕ−1(w)−ϕ−1(z)k ≤ 1

1−λ kw−z k =⇒ϕ

−1 ´e Lipschitz.

Mas ϕ−1 = f g−1 g−1 = f−1 ϕ−1. Como ϕ−1 e f−1 s˜ao Lipschitz, temos que g−1 ´e

Lipschitz.

¥

1.11 Proposi¸c˜ao. Seja U um subconjunto aberto de um espa¸co de BanachE e g um

home-omorfismo deU sobre um subconjunto aberto de um espa¸co de BanachF. Se g−1 ´e Lipschitz

com Lip(g−1)< λ, ent˜ao Br

λ(g(x))⊂g(Br(x)).

Prova: Como g−1 ´e Lipschitz, temos que g−1 ´e cont´ınua bastando tomar δ =

ε

Lip(g−1), pela Observa¸c˜ao 1.3. Usando agora o fato de que g

−1 ´e cont´ınua em g(x), pela

Observa¸c˜ao 1.2 temos que:

g−1(Br

λ(g(x)))⊂Br(x)⇒B r

λ(g(x))⊂g(Br(x))

Passando agora o fecho, obtemos:

Br

λ(g(x))⊂g(Br(x)).

Agora resta-nos mostrar queg(Br(x))⊂g(Br(x)). De fato, seja

y∈g(Br(x))⇒ ∃yn ∈g(Br(x)), tal que yn →y.

Agora

(13)

Usando agora o fato de que g−1 ´e cont´ınua, temos:

yn→y⇒xn =g−1(yn)→g−1(y)⇒g−1(y)∈Br(x)⇒y∈g(Br(x))⇒

g(Br(x))⊂g(Br(x))

(14)

Cap´ıtulo 2

Variedade Inst´

avel

Neste cap´ıtulo iremos provar o Teorema da Variedade Inst´avel Local para um ponto.

2.1 Definic¸˜ao. Seja T : E → E um endomorfismo linear, E um espa¸co de Banach. Dizemos que T ´e hiperb´olico se e somente se existe uma decomposi¸c˜ao em soma direta E =

E1⊕E2, onde E1 e E2 s˜ao invariantes por T e constantes c >0 e λ <1 tal que:

(1) A restri¸c˜ao T1 de T a E1 ´e uma expans˜ao, ou seja:

∀n ≤0, kTn

1 k≤cλ−n.

(2) A restri¸c˜ao T2 de T a E2 ´e uma contra¸c˜ao, ou seja:

∀n ≥0, kT2nk≤cλn.

2.2 Proposi¸c˜ao (Norma adaptada). Seja T como acima. Ent˜ao existe uma m´etrica C∞

em E e uma constante η, 0< η <1 tal que

kT |E2k < η e kT −1 |E

1k < η.

Prova: Ver em [8].

De agora em diante, denota-se por Ei(r), i= 1,2 a bola fechada de raio r e centro

na origem em Ei.

(15)

2.3 Teorema (Teorema da Variedade Inst´avel Local para um Ponto). Seja T :E → Eum automorfismo hiperb´olico de um espa¸co de BanachE com decomposi¸c˜aoE =E1⊕E2 =

E1×E2 e suponha que a norma ´e adaptada, isto ´e, n´os podemos encontrar 0< λ < 1, tal

que

kT |E2k < λ e kT −1 |E

1k < λ.

Ent˜ao existe um ε > 0, que depende somente de λ, e constante δ = δ(λ, ε, r) tal que para

toda aplica¸c˜ao Lipschitz f :E1(r)×E2(r)→E, com kf(0) k < δ e Lip(f −T)< ε, existe

uma aplica¸c˜ao g :E1(r)→E2(r) cujo o gr´afico nos d´a uma variedade inst´avel para f.

Al´em disso g e seu gr´afico tem as seguintes propriedades:

(1) g ´e Lipschitz, com Lip(g) ≤ 1. Al´em disto, a restri¸c˜ao de f−1 ao gr´afico de g ´e

contra¸c˜ao e deste modo tem um ponto fixo p sobre o gr´afico de g.

(2) O gr´afico de g ´e igual a T∞n=0fn(E

1(r), E2(r)). (Esta intersec¸c˜ao ´e o conjunto est´avel

local de p, Wu loc(p).)

(3) Se f ´e Ck ent˜ao g ´e Ck.

(4) Se f ´e C1 com f(0) = 0, Df(0) =T, ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E

1 em 0.

(5) Se f(0) = 0 e f ´e invert´ıvel, o gr´afico de g consiste dos pontos em E1(r)×E2(r) cujo

os iterados para tr´as tende a 0.

(6) Se f(0) = 0, um ponto xpertence ao gr´afico deg se e somente se existe uma seq¨uencia

xn, n≥0, em E1(r)×E2(r), tendendo a 0 tal que fn(xn) =x.

N´os obtemos a variedade est´avel local trocando T por T−1, E

1 por E2.

Antes de come¸carmos a demonstrar o Teorema, iremos fixar algumas nota¸c˜oes:

Ti =T |Ei, pi = proje¸c˜ao deE sobre Ei, fi =pi◦f, i= 1,2.

N´os usaremos, por conveniˆencia, a norma box k kbox= sup(k kE1,k kE2), isto ´e,

(16)

Variedade Inst´avel 10

2.4 Observa¸c˜ao. Usando o fato de que E = E1 ⊕E2 = E1 ×E2 e essa decomposi¸c˜ao ´e

invariante por T, para x∈E1 e y∈E2, temos que:

T(x, y) = T(x⊕y) = T(x)⊕T(y) =T1(x)⊕T2(y) = (T1(x), T2(y)).

Iremos a partir de agora, estabelecer alguns resultados que utilizaremos para a

demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3.

2.5 Definic¸˜ao (Transformac¸˜ao de Gr´afico). Suponhamos que n´os temos uma σ :

E1(r)→ E2(r) para o qual f1 ◦(id, σ) ´e injetiva e E1(r)⊂ f1◦(id, σ)(E1(r)). Definimos a

fun¸c˜aoΓf(σ) por:

Γf(σ) =f2◦(id, σ)◦[f1◦(id, σ)]−1 |E1(r) .

Isto ´e ilustrado na Figura 2.1.

E1

E2

-r r

graf(g)

f(graf(g))

x (x,g(x))

f(x,g(x))

p f(x,g(x))1

Figura 2.1: Transforma¸c˜ao de Gr´afico

Podemos notar que o gr´afico de Γf(σ) ´e a intersec¸c˜ao def(graf de σ) comE1(r)×

E2(r), por isso Γf ´e chamada Transforma¸c˜ao de Gr´afico. Note que a variedade inst´avel deT

´eE1 que ´e o ´unico gr´afico invariante sobre ΓT, assim existe uma esperan¸ca de encontrarmos

uma variedade inst´avel de f, pois f ´e bem pr´oxima de T no sentido Lip(f −T) < ε, bem como um ponto fixo de Γf.

Seja Lip1(E1(r), E2(r)) o conjunto das fun¸c˜oes Lipschitz cuja constante ´e menor ou

(17)

mostraremos que Γf ´e uma contra¸c˜ao de Lip1(E1(r), E2(r)) na m´etrica C0 e usaremos o

Teorema da Contra¸c˜ao para garantir que Γf tem um ´unico ponto fixo g.

2.6 Lema. Se σ ∈Lip1(E1(r), E2(r)) temos a seguinte estimativa:

Lip(f1◦(id, σ)−T1)≤Lip(f−T).

Prova: Note que f1◦(id, σ)−T1 =p1 ◦(f −T)◦(id, σ). De fato,

p1◦(f −T)◦(id, σ)(x) = p1◦(f −T)◦(x, σ(x))

= p1◦(f(x, σ(x))−T(x, σ(x)))

= f1(x, σ(x))−T1(x)

= [f1◦(id, σ)−T1](x)

Assim,

Lip[f1◦(id, σ)−T1] = Lip[p1◦(f−T)◦(id, σ)]

≤ Lip(p1)Lip(f −T)Lip(id, σ)

≤ Lip(f−T)

¥

2.7 Lema. Seε >0´e menor que λ1 eLip(f−T)< ε, ent˜ao para todoσ ∈Lip1(E1(r), E2(r)),

a aplica¸c˜ao f1◦(id, σ) ´e um homeomorfismo. Al´em disso, a inversa ´e uma fun¸c˜ao Lipschitz

cuja constante Lipschitz satisfaz

Lip([f1◦(id, σ)]−1)≤

1

1

λ −ε .

Prova: Pelo Lema 2.6 temos que Lip(f1◦(id, σ)−T1)≤Lip(f −T)≤ε < 1λ <

kT1−1 k−1.

Fazendo g =f1◦(id, σ) e f =T1, podemos aplicar o Teorema 1.10 onde h=g−f,

sendo assim conclu´ımos que g = f1 ◦(id, σ) ´e um homeomorfismo. Agora pelo Lema 1.9,

pois Lip(f−g)<[Lip(T−1

1 )]−1 = 1λ, obtemos:

Lip[f1◦(id, σ)]−1) ≤

1 1

Lip(f−1)−Lip(f−g)

≤ 1

kT1−1 k−1 Lip(f

1◦(id, σ)−T1)

≤ 1

1

(18)

Variedade Inst´avel 12

¥

2.8 Lema. Seja 0< 2ε < 1λ −1. Suponha que Lip(f −T)< ε e k f(0) k< r(λ1 −1−2ε), ent˜ao para todoσ ∈Lip1(E1(r), E2(r)), E1(r)⊂f1◦(id, σ)(E1(r))

Prova: Pelo Lema 2.7 temos que Lip([f1◦(id, σ)]−1)≤

1

1

λ −ε

.

Fazendo agora g =f1 ◦(id, σ) na Proposi¸c˜ao 1.11 e usando o fato de que Br(0) =

E1(r) obtemos:

Br(1

λ−ε)(f1◦(id, σ)(0))⊂f1◦(id, σ)(E1(r))⇒

Br(1

λ−ε)(f1(0, σ(0)))⊂f1◦(id, σ)(E1(r)).

Mostraremos agora queBr(1

λ−ε)−kf1(0,σ(0))k(0)⊂Br( 1

λ−ε)(f1(0, σ(0))).

Seja x∈Br(1

λ−ε)−kf1(0,σ(0))k(0), logo

kxk< r(1

λ −ε)− kf1(0, σ(0))k⇒kxk+kf1(0, σ(0))k< r(

1

λ −ε),

mas

kx−f1(0, σ(0))k≤kxk+kf1(0, σ(0))k< r(

1

λ −ε)⇒x∈Br(1

λ−ε)(f1(0, σ(0))).

Seja ρ=r(1λ −ε)− kf1(0, σ(0)) k. Resta-nos mostrar que ρ≥r, pois assim

E1(r) =Br(0) ⊂Bρ(0) ⊂Br(1

λ−ε)(f1(0, σ(0)))⊂f1◦(id, σ)(E1(r)).

kf1(0, σ(0))k ≤ kf1(0,0)k+kf1(0, σ(0))−f1(0,0)k

≤ kf1(0,0)k+kf1(0, σ(0))−p1T(0, σ(0)) +p1T(0, σ(0))

−f1(0,0) +p1T(0,0)−p1T(0,0)k

≤ kf1(0,0)k+k(f1−p1T)(0, σ(0)) +p1T(0, σ(0))−(f1 −p1T)(0,0)

−p1T(0,0)k

≤ kf1(0,0)k+k(f1−p1T)(0, σ(0))−(f1−p1T)(0,0)k.

(19)

ekf1(0,0)k<kf(0,0)k, pois estamos utilizando a norma do sup, temos:

kf1(0, σ(0)) k ≤ kf(0,0)k+k(f −T)(0, σ(0))−(f −T)(0,0)k

≤ kf(0,0)k+Lip(f −T)k(0, σ(0))−(0,0)k ≤ kf(0,0)k+εr

≤ r(λ1 −1−2ε) +εr

= r(1

λ −1−ε)

⇒0≤r(1

λ −ε)− kf1(0, σ(0)) k

| {z }

ρ

−r⇒r≤ρ.

¥

2.9 Lema. Seja0<2ε <1−λeδ < rmin{1

λ−1−2ε,1−ε−λ}. Sef satisfazLip(f−T)< ε e k f(0) k< δ, ent˜ao para todo σ ∈ Lip1(E1(r), E2(r)) a aplica¸c˜ao Γf(σ) est´a bem definida sobre E1(r) e Γf(σ)∈Lip1(E1(r), E2(r)).

Prova: Primeiro mostraremos que Lip([f1◦(id, σ)]−1)≤

1

1

λ −ε

<1. Para isto note

que λ1 −1>1−λ, pois 1λ >1 e 0 < λ <1. Agora, por hip´otese

2ε <1−λ ⇒ε < 1−λ

2 < 1

λ −1⇒

1

λ −ε >1,

como quer´ıamos.

Agora como Γf(σ) =f2◦(id, σ)◦[f1◦(id, σ)]−1 |E1(r), temos:

Lip(Γf(σ)) ≤ Lip(f2◦(id, σ))·Lip([f1◦(id, σ)]−1)

≤ Lip(f2◦(id, σ))

≤ Lip(f2)·Lip(id, σ)

≤ Lip(f2) = Lip(T2+p2(f −T))

≤ Lip(T2) +Lip(p2(f−T))

≤ Lip(T2) +Lip((f −T))

≤ λ+ε≤1,

pois como 2ε <1−λ ⇒ε <1−λ⇒ε+λ <1.

Para mostrar que Γf(σ) ∈ Lip(E1(r), E2(r)), resta mostrar que Γf(σ)(E1(r)) ⊂

(20)

Variedade Inst´avel 14

J´a sabemos pelo Lema 2.8 que E1(r)⊂f1◦(id, σ)(E1(r))⇒[f1◦(id, σ)]−1(E1(r))⊂

E1(r), ent˜ao basta mostrar que f2 ◦(id, σ)(E1(r))⊂E2(r). Para isto seja x∈E1(r), ent˜ao:

kf2(x, σ(x))k ≤ kf2(x, σ(x))−p2T(x, σ(x)) +p2T(x, σ(x))k

≤ kf2(x, σ(x))−p2T(x, σ(x))k+kp2T(x, σ(x))k

≤ kf2(x, σ(x))−p2T(x, σ(x))k+kT2 kkσ(x)k

≤ k(f −T)(x, σ(x))k+λr

≤ k(f −T)(x, σ(x))−(f−T)(0,0)k+k(f −T)(0,0)kλr ≤ Lip(f−T)k(x, σ(x))k+kf(0)k+λr

≤ εr+δ+λr

≤ εr+r(1−ε−λ) +λr ≤ r.

Assim como f2(x, σ(x))∈E2 e kf2(x, σ(x))k< r⇒f2(x, σ(x))∈E2(r).

¥

2.10 Lema. Seja (x, y) um ponto de E1(r)×E2(r) tal que f1(x, y) esteja em E1(r). Para

todo σ∈Lip(E1(r), E2(r)) a seguinte desigualdade vale:

kf2(x, y)−Γfσ(f1(x, y))k≤(λ+ 2ε)ky−σ(x)k.

Este lema est´a ilustrado na Figura 2.2.

Prova:

kf2(x, y)−Γfσ(f1(x, y))k = kf2(x, y)−f2(x, σ(x)) +f2(x, σ(x))−Γfσ(f1(x, y))k

≤ kf2(x, σ(x))−Γfσ(f1(x, y))k+kf2(x, y)−f2(x, σ(x))k

= kΓfσ(f1(x, σ(x)))−Γfσ(f1(x, y))k

+kf2(x, y)−f2(x, σ(x))k,

pois Γf(σ) =f2◦(id, σ)◦[f1◦(id, σ)]−1 ⇒Γf(σ)◦[f1◦(id, σ)] = f2◦(id, σ)⇒Γf(σ)(f1(x, σ(x))) =

f2(x, σ(x)).

Como p2 ef s˜ao Lipschitz, temos que f2 =p2◦f tamb´em ´e Lipschitz. Logo

kf2(x, y)−Γfσ(f1(x, y))k ≤ Lip(f2)k(x, y)−(x, σ(x))k

(21)

Pelo Lema 2.9 temos que Lip(Γfσ)≤1. Observe tamb´em que

Lip(f2) = Lip(f2−p2T +p2T)

= Lip(T2) + Lip(p2(f −T))

≤ Lip(T2) + Lip(f−T)

≤ λ+ε.

Ent˜ao

kf2(x, y)−Γfσ(f1(x, y))k ≤ (λ+ε)ky−σ(x)k+kf1(x, σ(x))−f1(x, y)k

≤ (λ+ε)ky−σ(x)k+kf1(x, σ(x))−p1T(x, σ(x))

+p1T(x, σ(x)) +p1T(x, y)−p1T(x, y)−f1(x, y)k

≤ (λ+ε)ky−σ(x)k+k(f1−p1T)(x, σ(x))

−(f1 −p1T)(x, y)k+kp1T(x, σ(x))−p1T(x, y)k

≤ (λ+ε)ky−σ(x)k+Lip(f1−p1T)k(x, σ(x))−(x, y)k

+kT1(x)−T1(x)k

≤ {(λ+ε) + Lip(f−T)} ky−σ(x)k ≤ (λ+ε+ε)ky−σ(x)k

≤ (λ+ 2ε)ky−σ(x)k.

¥

x (x,y)

ä(x)

f(x,y)

f (x,y)1 f (x,1 ä(x)) (f (x,y),1 Gfäf (x,y))1

f(x,ä(x)) f (x,y)2

Figura 2.2: Lema 2.10.

2.11 Lema. Na situa¸c˜ao anteriorΓf contrai na distˆanciaC0 por um fator no m´aximoλ+2ε.

Prova: Sejaσ1, σ2 ∈Lip1(E1(r), E2(r)),z ∈E1(r) e (x, y) = ([f1◦(id, σ1)]−1(z), σ1([f1◦

(22)

Variedade Inst´avel 16

Aplicando o Lema 2.10 paraσ =σ2 em (x, y) temos:

kf2(x, y)−Γfσ2(f1(x, y))k≤(λ+ 2ε)ky−σ2(x)k.

Mas note que

Γfσ1(z) = f2◦(id, σ1)◦[f1◦(id, σ1)]−1(z)

| {z }

x

= f2◦(id, σ1)(x)

= f2(x, σ1(x)) = f2(x, y)

e que

x= [f1◦(id, σ1)]−1(z)⇒[f1◦(id, σ1)](x) = z ⇒z=f1(x, σ1(x)) = f1(x, y).

Ent˜ao

kΓfσ1−Γfσ2 k = sup

z∈E1(r)

kΓfσ1(z)−Γfσ2(z)k

≤ (λ+ 2ε) sup

z∈E1(r)

kσ1([f1◦(id, σ1)]−1(z))−σ2([f1◦(id, σ1)]−1(z))k

≤ (λ+ 2ε) sup

z∈E1(r)

kσ1(z)−σ2(z)k

= (λ+ 2ε)kσ1−σ2 k,

onde na pen´ultima desigualdade utilizamos o fato de que [f1◦(id, σ1)]−1(E1(r))⊂E1(r)⇒

sup

z∈E1(r)

kσ1([f1◦(id, σ1)]−1(z))k≤ sup

z∈E1(r)

kσ1(z)k.

¥

2.12 Proposi¸c˜ao. Se Lip(f −T)< ε < 1−λ

2 e

kf(0)k≤δ < rmin

½

1

λ −1−2ε,1−ε−λ

¾

ent˜ao a transforma¸c˜ao de gr´aficoΓf tem um ´unico ponto fixo g ∈Lip1(E1(r), E2(r)).

Prova: Pelo Lema 2.11 temos que Lip(Γf)≤λ+ 2ε < λ+ 2·

1−λ

2 = 1⇒Γf ´e uma contra¸c˜ao.

(23)

De fato, utilizando a norma da convergˆencia uniforme, seja fn∈Lip1(E1(r), E2(r)),

tal que fn →u f. Assim

kf(x)−f(y)k ≤ kf(x)−fn(x)k+kfn(x)−fn(y)k+kfn(y)−f(y)k < ε

2+kx−yk+

ε

2

< ε+kx−yk.

Fazendoε tender a zero, obtemos que

kf(x)−f(y)k≤kx−yk⇒f ∈Lip1(E1(r), E2(r)).

Assim pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema 1.7) existe um ´unico ponto fixo de

Γf em Lip1(E1(r), E2(r)). Chamemos deg este ponto fixo.

¥

Agora provaremos o resultado principal, que ´e o Teorema 2.3.

Prova: Por constru¸c˜ao sabemos que Lip(g)≤1. Para ver que f−1|

graf(g) ´e uma contra¸c˜ao, note que quando (x, g(x)) =f(y, g(y))⇒

x=f1(x, g(y)) =f1◦(id, g)(y) = p1◦f(y, g(y)) temos o seguinte:

(p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1(x)◦p1◦f(y, g(y)) =⇒

(p1|graf(g))−1(x) = f(y, g(y)) = (x, g(x)) =⇒

f|graf(g)◦(p1|graf(g))−1(x) = f(x, g(x)) =⇒

p1◦f|graf(g)◦(p1|graf(g))−1(x) = p1◦f(x, g(x))

Pelo Lema 2.7 temos que f1◦(id, g) ´e homeomorfismo, logo invert´ıvel, ent˜ao

(p1|graf(g))−1◦p1◦f|graf(g)◦(p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1◦f1(x, g(x)) =⇒

f|graf(g)◦(p1|graf(g))−1(x) = (p1|graf(g))−1◦f1(x, g(x))

Assimf|graf(g) ´e conjugado a p1◦f(x, g(x)) via (p1|graf(g))−1.

Como p1◦f(x, g(x)) ´e invert´ıvel ent˜ao f|graf(g) ´e invert´ıvel.

Usando o fato de que p1|graf(g) ´e uma isometria com respeito a norma do sup (veja

Proposi¸c˜ao 2.14) e isometria preserva a constante de Lipschitz, conclu´ımos que Lip(f−1|graf(g))<

(24)

Variedade Inst´avel 18

Assim f−1|

graf(g) : graf(g)→graf(g) ´e uma contra¸c˜ao.

Afirmamos que o graf(g) ⊂ E ´e fechado. De fato, considere a aplica¸c˜ao ϕ(x, y) =

y−g(x), que ´e cont´ınua, pois g ´e cont´ınua (g ∈ Lip1()E1(r), E2(r)). Observe agora que

graf(g) = ϕ−1(0). Comoϕ ´e cont´ınua e 0 ´e fechado conclu´ımos que graf(g) ´e fechado, j´a que

a pr´e-imagem de fechado por uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e fechado.

Ent˜ao temos que existe um ´unico ponto fixo, que denotamos por p, de f−1| graf(g).

Logo (1) est´a provado.

Para provar (2) considere (x′, y)E

1(r)×E2(r) tal que f(x′, y′)∈E1(r)×E2(r),

para que possamos considerar os iterado de f. Pelo Lema 2.10, temos

kf2(x′, y′)−Γf(g)(f1(x′, y′))k≤(λ+ 2ε)ky′ −g(x′)k.

Comog ´e ponto fixo de Γf, temos que Γf(g) =g, logo

kf2(x′, y′)−g(f1(x′, y′))k≤(λ+ 2ε)ky′−g(x′)k. (2.1)

Repetindo-se o processo para os primeiros n iterados de f, (x′, y), f(x, y), . . . , fn(x, y) =

(x, y), temos:

ky−g(x)k = kp2◦fn(x′, y′)−g◦p1◦fn(x′, y′)k

= kp2◦f(fn−1(x′, y′))−g◦p1◦f(fn−1(x′, y′))k

= kf2(fn−1(x′, y′))−g◦f1(fn−1(x′, y′))k

≤ (λ+ 2ε)kp2◦fn−1(x′, y′)−g◦p1◦fn−1(x′, y′)k por (2.1)

≤ (λ+ 2ε)kp2◦f(fn−2(x′, y′))−g◦p1◦f(fn−2(x′, y′))k

≤ (λ+ 2ε)kf2(fn−2(x′, y′))−g◦f1(fn−2(x′, y′))k

≤ (λ+ 2ε)2 kp

2◦fn−2(x′, y′)−g◦p1◦fn−2(x′, y′)k por (2.1)

≤ (λ+ 2ε)n kyg(x)k

≤ (λ+ 2ε)n(kyk+kg(x)k)

≤ (λ+ 2ε)n2r

Masε < 1−λ

2 , pelo Lema 2.9, assim

(25)

\

n=0

fn(E1(r)×E2(r))⊂graf(g).

Resta-nos mostrar que graf(g)⊂

\

n=0

fn(E1(r)×E2(r)). Sabemos que graf(Γf(g)) =f(graf(g))∩

(E1(r)×E2(r)). Mas como g ´e o ponto fixo de Γf, temos que

graf(g) =f(graf(g))∩(E1(r)×E2(r))⊂E1(r)×E2(r) (2.2)

Da equa¸c˜ao (2.2), obtemos que

graf(g)⊂f(graf(g))⊂E1(r)×E2(r). (2.3)

Aplicandof na equa¸c˜ao (2.3) temos que

graf(g)⊂f2(E1(r)×E2(r)).

Repetindo-se o mesmo processon vezes, temos que

graf(g)⊂fn(E1(r)×E2(r)) ∀n.

Logo graf(g)⊂T∞n=0fn(E

1(r)×E2(r)).

E assim fica demonstrado o ´ıtem (2).

Para demonstrar o ´ıtem (5), note que como f|−graf(1 g) ´e uma contra¸c˜ao e f−1(0) = 0,

ent˜ao 0 ´e o ´unico ponto fixo def|−graf(1 g). Seja (x, y)∈graf(g), ent˜ao:

kf−n(x, y)f−n(0)

| {z }

0

k = kf−1(f−n+1(x, y))f−1(f−n+1(0))k

≤ αkf−n+1(x, y)−f−n+1(0)k (2.4)

≤ αnkxk

≤ αnr,

ondeα = Lip(f|−graf(1 g))<1. Logo

kf−n(x, y)k≤αnr n−→→∞ 0f−n(x, y)n−→→∞0.

2.13 Observa¸c˜ao. Note que como g ´e o ponto fixo de Γf, temos que graf(g) =f(graf(g))∩

(E1(r)×E2(r)). Como f ´e invert´ıvel por hip´otese, temos que f−1(graf(g))⊂graf(g). Assim

(26)

Variedade Inst´avel 20

Agora seja (x, y)∈ E1(r)×E2(r) com f−n(x, y)→0. Seja (xn, yn) =f−n(x, y), ou

sejafn(xn, yn) = (x, y). Assim x=p

1◦fn(xn, yn) e y=p2◦fn(xn, yn). Logo, por (2.1)

ky−g(x)k = kp2◦fn(xn, yn)−g(p1◦fn(xn, yn))k

≤ (λ+ 2ε)nkyng(xn)k

Como (xn, yn)→0, temos que xn→0 e yn →0. Usando o fato de g ser cont´ınua temos que

g(xn)→g(0) = 0. Assim

ky−g(x)kn−→→∞0⇒(x, y)∈graf(g),

e (5) est´a provado.

Agora para demonstrar (6), tomemos (x, y)∈ graf(g), logo por (5),f−n(x, y) 0.

Fazendo (xn, yn) =f−n(x, y), temos que, fn(xn, yn) = (x, y), e (xn, yn)0.Por outro lado,

quando (xn, yn)∈E1(r)×E2(r), tal que (xn, yn)→0 efn(xn, yn) = (x, y),o resultado segue

diretamente por (5).

2.14 Proposi¸c˜ao. p1|Graf(g) :Graf(g)→E1 ´e uma isometria com a norma do sup.

Prova:

kp1(x, g(x))−p1(y, g(y))ksup=kx−y ksup= sup(kp1(x−y)kE1,kp2(x−y)kE2) =

sup(kx−ykE1,0) =kx−ykE1

.

Resta mostrar que k(x, g(x))−(y, g(y))ksup=kx−ykE1. Mas

k(x, g(x))−(y, g(y))ksup = k(x−y, g(x)−g(y))ksup

= sup(kp1(x−y)kE1,kp2(g(x)−g(y))kE2) = sup(kx−ykE1,kg(x)−g(y)kE2)

= kx−ykE1,

poisg ∈Lip1(E1(r), E2(r)), ou seja, kg(x)−g(y)k≤kx−yk.

(27)

Os ´ıtens (3) e (4) s˜ao conhecidos como a vers˜ao diferenci´avel do Teorema da

Varie-dade Inst´avel, pois o leitor pode notar que nestes ´ıtens estamos supondo quef´e diferenci´avel. ´

E necess´ario ent˜ao ver alguns resultados sob esta hip´otese para demonstr´a-los. E isto ´e tarefa

(28)

Cap´ıtulo 3

O caso

f

diferenci´

avel

Neste cap´ıtulo mostraremos a vers˜ao diferenci´avel do Teorema da Variedade Inst´avel.

Ou seja, mostraremos que:

(3) Se f ´eCk ent˜ao g ´eCk.

(4) Se f ´eC1 com f(0) = 0, Df(0) =T, ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E

1 em 0.

A id´eia da prova ´e a seguinte: Se existe uma fun¸c˜aog ∈C1cujo gr´afico ´efinvariante,

ent˜ao a derivada def aplica o espa¸co tangente do gr´afico no espa¸co tangente do gr´afico, isto

´e:

f(x, g(x)) = (y, g(y))⇒Df(x,g(x))(T(x,g(x))graf(g)) =T(y,g(y))graf(g) =Tf(x,g(x))graf(g)

ou

Df(x,g(x))·(id, Dgx) = (id, Dgy) = (id, Dgf1(x,g(x)))⇒

Df(x,g(x))(graf(Dgx)) = graf(Dgf1(x,g(x))),

pois (id, Dgx)·v = (v, Dgx(v)) = graf(Dgx). Ver Figura 3.1.

Depois consideraremos uma nova transforma¸c˜ao de gr´afico (global e linear), em

seguida usaremos o Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema (1.7)) para encontrar uma

(29)

x g(x)

f (x,g1 (x)) f (x,g2 (x))

graf Dgx

graf Dgf1(x,g(x))

graf g

Figura 3.1: Derivada de f.

fun¸c˜aoσ :E1(r)→L1(E1, E2), onde L1(E1, E2) ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes lineares cont´ınuas

deE1 para E2 cuja norma ´e menor ou igual a 1, que tem a seguinte propriedade:

ΓDfσ(x) = σ(f1(x, g(x))).

E finalmente mostraremos que σ ´e a derivada de g.

Aqui e no que se segue, para simplificar a nota¸c˜ao n´os escreveremos Df para

Df(x,g(x)).

3.1 Lema. Existe um ε > 0, tal que quando k S −T k< ε, a transforma¸c˜ao de gr´afico

ΓS :L1(E1, E2)→L1(E1, E2)´e bem definida. Al´em disso, ΓS ´e Lipschitz emL1(E1, E2)com

constante de Lipschitz menor ou igual aλ+ 2ε.

Prova: Primeiro note que toda aplica¸c˜ao linear ´e Lipschitz, com constante de Lips-chitz igual a sua norma, ou seja, L1(E1, E2) ⊂ Lip1(E1(r), E2(r)) ∀r. Assim escolhendo ε

igual ao do Lema 2.9, n´os temos que ΓS est´a bem definida em Lip1(E1(r), E2(r)) para todo

r, logo em L1(E1, E2).

Sabemos que graf(ΓSσ) =S(graf(σ)). Comoσ´e uma aplica¸c˜ao linear ent˜ao graf(σ)

´e um subespa¸co linear. Sendo S linear, S leva subespa¸co linear em subespa¸co linear, logo

S(graf(σ)) ´e um subespa¸co linear. Conclu´ımos ent˜ao que graf(ΓSσ) ´e subespa¸co linear.

Assim pelo Teorema 1.4 temos que ΓS ´e linear.

Finalmente, a constante de Lipschitz de ΓS ´e estimada pelo Lema 2.11.

(30)

O casof diferenci´avel 24

3.2 Lema. SejaUε uma vizinhan¸ca de T em L1(E1, E2). A aplica¸c˜aoΓ :Uε×L1(E1, E2)→

L1(E1, E2) dada porΓ(S, K) = ΓS(K)´e cont´ınua.

Prova: SejaSi =pi◦S. Sabemos que ΓS(K) =S2◦(id, K)◦[S1◦(id, K)]−1. Como

invers˜ao e composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas s˜ao cont´ınuas sobre o espa¸co das aplica¸c˜oes

lineares, Γ ´e cont´ınua.

¥

Suponha agora que f ´eC1 bem pr´oxima deT, na topologia C1 em E

1(r)×E2(r),

ou seja, Lip(f −T)< ε e kDf −T k< ε para todo z ∈ E1(r)×E2(r). Seja g a aplica¸c˜ao

deE1(r) para E2(r) cujo o gr´afico ´e a variedade inst´avel de f. N´os examinaremos o gr´afico

da derivada deg, supondo que esta ´e diferenci´avel.

Seja h = f1◦(id, g) : E1(r) → E1. O dois lemas precedentes nos permite definir

uma aplica¸c˜ao cont´ınua

F :E1(r)×L1(E1, E2) → E1×L1(E1, E2)

F : (x, L) 7→ (h(x),ΓDfL).

Al´em disso, F faz o seguinte diagrama de aplica¸c˜oes cont´ınuas comutar:

E1(r)×L1(E1, E2) F //

²

²

E1×L1(E1, E2)

²

²

E1(r) h //E1,

onde as aplica¸c˜oes verticais s˜ao proje¸c˜oes, sobre o primeiro fator.

3.3 Lema. kF(x, L)−F(x, K)k≤(λ+ 2ε)kL−K k, uniformemente sobre E1(r) e, al´em

disso, E1(r)⊂h(E1(r)), Lip(h−1)<1.

Prova: kF(x, L)−F(x, K)k=k(h(x),ΓDfL)−(h(x),ΓDfK)k=

k ΓDfL −ΓDfK k≤k L −K k, pelo Lema 3.1. E pelos Lemas 2.7 e 2.8, conclu´ımos a

demonstra¸c˜ao.

(31)

Seja Γ0(E

1(r), E1(r)×L1(E1, E2)) o espa¸co das se¸c˜oes cont´ınuas do fibrado trivial

E1(r)×L1(E1, E2)→E1(r), ou seja, Γ0(E1(r), E1(r)×L1(E1, E2)) ={σ :E1(r)→E1(r)×

L1(E1, E2)\σ(x) = (x,Π2σ(x))}, com a m´etrica uniforme, ou seja para se¸c˜oesσ1 e σ2:

d(σ1, σ2) = sup

x∈E1(r)

kΠ2σ1(x)−Π2σ2(x)k,

onde Π2 ´e a proje¸c˜ao sobre o segundo fator de E1(r)×L1(E1, E2). Note que o espa¸co das

se¸c˜oes cont´ınuas ´e isom´etrico, via composi¸c˜ao com Π2, com o espa¸co completo das aplica¸c˜oes

cont´ınuas deE1(r) paraL1(E1, E2) e as imagens da se¸c˜oes correspondem aos gr´aficos. Assim

n´os definimos uma nova transforma¸c˜ao de gr´afico ΓF sendo um automorfismo ΓF : τ 7→ F ◦τ ◦h−1 de Γ0(E1(r), E1(r)×L1(E1, E2)); isto ´e, ΓFτ ´e uma se¸c˜ao cuja a imagem ´e a

intersec¸c˜ao deF(imagem τ) com E1(r)×L1(E1, E2).

3.4 Lema. ΓF tem um ´unico ponto fixo σ que satisfaz

ΓDf(Π2σ(x)) = Π2σh(x) = Π2σf1(x, g(x)).

Prova: Sejam τ1,τ2 se¸c˜oes. Logo

kΓFτ1−ΓFτ2 k = sup

z∈E1(r)

kΓFτ1(z)−ΓFτ2(z)k

= sup

z∈E1(r)

kF ◦τ1◦h−1(z)−F ◦τ2◦h−1(z)k

= sup

z∈E1(r)

kF(h−1(z),Π2τ1(h−1(z)))−F(h−1(z),Π2τ2(h−1(z))) k

≤ (λ+ 2ε) sup

z∈E1(r)

kΠ2τ1(h−1(z)−Π2τ2(h−1(z)k

≤ (λ+ 2ε)d(τ1, τ2).

Comoλ+ 2ε <1⇒ΓF ´e contra¸c˜ao.

Seja σ a se¸c˜ao que ´e o ´unico ponto fixo de ΓF. Ent˜ao

ΓFσ =σ ⇒F σh−1 =σ ⇒F σ=σh.

Assim

F σ(x) =F(x,Π2σ(x)) =σ(h(x)) = (h(x),Π2σh(x)).

MasF(x,Π2σ(x)) = (h(x),ΓDfΠ2σ(x)), pela defini¸c˜ao daF. Logo

(32)

O casof diferenci´avel 26

¥

Como um dos nossos objetivo ´e provar que o gr´afico de g ´e tangente a E1 em zero,

iremos agora definir quando duas fun¸c˜oes s˜ao tangentes em um ponto.

3.5 Definic¸˜ao. Seja Y e Z dois espa¸cos m´etricos. Suponha que h1 e h2 s˜ao duas fun¸c˜oes

de uma vizinhan¸ca de x em Y para Z, com h1(x) = h2(x). N´os dizemos que h1 e h2 s˜ao

tangentes em x se, e somente se,

Lipx(h1, h2) = lim sup

y→x

d(h1(y), h2(y))

d(x, y) = 0.

Isto ´e, a distˆancia Lipschitz h1 para h2 em x ´e 0.

1 Exemplo. Se E1 e E2 s˜ao espa¸cos vetoriais normados e L1 e L2 s˜ao duas aplica¸c˜oes

lineares cont´ınuas de E1 para E2, ent˜ao independente de x,

Lipx(L1, L2) =kL1 −L2 k.

De fato,

Lipx(L1, L2) = lim sup

y→x

kL1(y)−L2(y)k

kx−yk

= lim sup

y→x

kL1(y)−L1(x) +L2(x)−L2(y)k

kx−yk , pois L1(x) =L2(x)

= lim sup

y→x

kL1(y−x)−L2(y−x)k

ky−xk

= lim sup

y→x

k(L1−L2)(y−x)k

ky−xk

= kL1−L2 k.

2 Exemplo. Se f : U ⊂E1 →E2, onde U ⊂ E1 ´e aberto, E1 e E2 s˜ao espa¸cos de Banach

e L : E1 → E2 uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua. L ´e a derivada de f em x se, e somente se

f(x+y) e f(x) +L(y) s˜ao tangentes em y= 0, isto ´e

lim

y→0

kf(x)−f(x+y)−L(y)k

kyk = 0.

Iremos provar agora uma proposi¸c˜ao, na qual temos como conseq¨uˆencia o ´ıtem (3)

do Teorema da Variedade Inst´avel (Teorema 2.3).

3.6 Proposi¸c˜ao. Quando f ´eC1, o ponto fixo g de Γf ´eC1 com derivada Π2σ, onde σ ´e o

(33)

Prova: Observemos que

(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[Π2σ(x)](y) =

(Γfg)(h(x)+y)−g(h(x))−ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)+ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y).

Assim

Lip0[(Γfg)(h(x) +y), g(h(x))−ΓDf[Π2σ(x)](y)] = (3.1)

lim sup

y→0

k(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[Π2σ(x)](y)k

ky−0k ≤

lim sup

y→0

k(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)k

kyk +

lim sup

y→0

kΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y)k

kyk =

Lip0[(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x)),ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)] +

Lip0[ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y),ΓDf[Π2σ(x)](y)] =

(I) + (II).

Primeiro iremos trabalhar com a equa¸c˜ao (II). Sejak =p1Df(id, g◦(id+x)−g(x)).

Utilizando o Lema 2.7, substituindof por Df e σ por g◦(id+x)−g(x), temos que k−1 ´e

uma contra¸c˜ao e k ´e sobrejetiva. Isto ´e poss´ıvel, poiskDf −T k< ε eg◦(id+x)−g(x)∈

Lip1(E1(r), E2(r)), visto que

kg(y+x)−g(x)−(g(w+x)−g(x))k=kg(y+x)−g(w+x)k≤ky+x−w−xk=ky−wk.

Agora, note que

k(0) =p1Df(0, g(x)−g(x)) =p1Df(0,0) = 0.

Considere w′ tal que k(w) = y, isto ´e poss´ıvel pela sobrejetividade de k. Ent˜ao

kyk=kk(w′)−k(0)k≥[Lip(k−1)]−1 kw′−0k>kw′ k,

(34)

O casof diferenci´avel 28

Aplicando o Lema 2.11, trocando f, σ1, σ2 por Df, g◦(id+x)−g(x),Π2σ(x),

res-pectivamente, observando que k = p1Df(id, g ◦(id+x)−g(x)) = Df1(id, σ) e (x′, y′) =

(k−1(y), σ

1(k−1)(y)) = (w′, σ1(w′)), temos

kΓDf[g(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y)k ≤ (λ+ 2ε)kσ1(k−1(y))−σ2(k−1(y))k

= (λ+ 2ε)kσ1(w′)−σ2(w′)k

= (λ+ 2ε)kg(w′+x)g(x)Π

2σ(x)(w′)k.

Usando o fato de que kw′ k<ky k, temos

kΓDf[g(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y)k

ky k ≤(λ+2ε)

kg(w′+x)g(x)Π

2σ(x)(w′)k

kw′ k .

Assim,

(II) = Lip0[ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y),ΓDf[Π2σ(x)](y)]

= lim sup

y→0

kΓDf[g(id+x)−g(x)](y)−ΓDf[Π2σ(x)](y)k

kyk ≤ (λ+ 2ε) lim sup

w′0

kg(w′ +x)g(x)Π

2σ(x)(w′)k

kw′ k = (λ+ 2ε)Lip0[g(w′+x)g(x),Π

2σ(x)w′]

= (λ+ 2ε)Lip0[g(w′+x), g(x) + Π

2σ(x)w′],

isto ´e

(II)≤Lip0[Π2σ(x), g(x+id)−g(x)]. (3.2)

Agora iremos mostrar que (I) = 0. Para isto, seja w, tal que h(x+w) =h(x) +y,

isto ´e poss´ıvel, poish ´e homeomorfismo. Observe que

kyk=kh(x+w)−h(x)k≥[Lip(h−1)]−1 k(x+w)−xk≥kwk,

e que

(Γfg)(h(x) +y) = (Γfg)(h(x+w)) = (Γfg)(f1(x+w, g(x+w))) =f2(x+w, g(x+w)),

Pela escolha de w′, temos

ΓDf[g(x+id)−g(x)](y) = p2Df(id, g(x+id)−g(x))◦[p1Df(id, g(x+id)−g(x))]−1(y)

= p2Df(id, g(x+id)−g(x))◦k−1(y)

= p2Df(id, g(x+id)−g(x))(w′)

(35)

Deste modo, n´os podemos expressar

(III) = k(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[g(id+x)−g(x)](y)k

= kp2◦f(x+w, g(x+w))−p2◦f(x, g(x))−p2Df(w′, g(x+w′)−g(x))k

= kp2◦Df(w, g(x+w)−g(x)) +p2◦R[w, g(x+w)−g(x)]

−p2◦Df(w′, g(x+w′)−g(x))k

= kp2◦Df(w−w′, g(x+w)−g(x+w′)) +p2◦R[w, g(x+w)−g(x)]k,

onde, na pen´ultima igualdade, usamos o fato de quef(a+v)−f(a) =Df(a)v+R(v), onde

a= (x, g(x)) e v = (w, g(x+w)−g(x)).

Como kv k=k (w, g(x+w)−g(x))k=k w k, pois como Lip(g) ≤1, k g(x+w)− g(x)k≤kx+w−xk=kwk, pelo Teorema de Taylor

lim

v→0

R(v)

kv k = limw→0

R[w, g(x+w)−g(x)]

kwk = 0.

Assim

(IV) = (III)

kyk ≤kp2Df k

kw−w′ k

kyk +

R[w, g(x+w)−g(x)]

ky k .

Agora observe que

(I) = lim sup

y→0

k[(Γfg)(h(x) +y)−g(h(x))−ΓDf[g◦(id+x)−g(x)](y)]k kyk

= lim sup

y→0

(IV).

Note que lim kyk→0

R[w, g(x+w)−g(x)]

kyk ≤ kwlimk→0

R[w, g(x+w)−g(x)]

kwk = 0, pois k wk≤ky ke assim kyk→0⇒kwk→0.

Iremos agora mostrar que lim kyk→0

kw−w′ k

ky k = 0. Para isto, observe que y = h(x+ w)−h(x) e

h(x+w′)h(x) = p

1f(x+w′, g(x+w′))−p1f(x, g(x))

= p1Df(w′, g(x+w′)−g(x)) +p1R(w′, g(x+w′)−g(x)),

assim

p1R(w′, g(x+w′)−g(x)) = h(x+w′)−h(x)−y

= h(x+w′)h(x)h(x+w) +h(x) = h(x+w′)−h(x+w),

mas

(36)

O casof diferenci´avel 30

logo

kw−w′ k≤kp1R(w′, g(x+w′)−g(x))k.

Ent˜ao

lim kyk→0

kw−w′ k

kyk ≤kylimk→0

kp1R(w′, g(x+w′)−g(x))k

kyk = 0 ⇒kylimk→0

kw−w′ k

kyk = 0,

o que nos d´a (I) = 0.

Assim, por (3.1) e (3.2), temos

Lip0[(Γfg)(h(x) +y), g(h(x))−ΓDf[Π2σ(x)](y)]

≤(λ+ 2ε)Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.3)

Agora, usando o fato de que Γfg ≡ g e que ΓDf[Π2σ(x)] = Π2σh(x) (Lema 3.4),

temos

Lip0[g(h(x) +y), gh(x) + Π2σh(x)(y)]

≤(λ+ 2ε)Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.4)

Comoh−1(E

1(r))⊂E1(r) ex∈E1(r), vemos queh−n(x)∈E1(r) e ent˜ao por (3.4),

temos

Lip0[g(h−n(x) +y), gh−n(x) + Π2σh−n(x)(y)]

≥ 1

λ+ 2εLip0[g(h

−n+1(x) +y), gh−n+1(x) + Π

2σh−n+1(x)(y)]

≥ 1

λ+ 2ε ·

1

λ+ 2εLip0[g(h

−n+2(x) +y), gh−n+2(x) + Π

2σh−n+2(x)(y)].

Repetindo-se esse processon vezes, obtemos a seguinte estimativa:

Lip0[g(h−n(x) +y), gh−n(x) + Π

2σh−n(x)(y)]

µ

1

λ+ 2ε

¶n

Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)]. (3.5)

Queremos mostrar que Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = 0. Suponhamos que n˜ao,

ent˜ao existex∈E1(r) tal que Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] =δ >0, ou seja

lim sup

y→0

kg(x+y)−g(x)−Π2σ(x)(y)k

(37)

Logo existe seq¨uˆenciaxn ∈E1(r), tal que Lip0[g(xn+y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)]→ ∞, ou seja

lim sup

y→0

kg(xn+y)−g(xn)−Π2σ(xn)(y)k

kyk =∞,

pois pela equa¸c˜ao (3.5) temos que seu segundo membro ´e infinito, visto que estamos supondo

Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = δ >0 e

¡ 1

λ+2ε

¢n

→ ∞, pois λ+21 ε >1.

Mas Lip(g)≤1 eσ ∈L1(E1, E2), ou seja,kσk≤1, logo temos quekΠ2σ(xn)k≤1.

Assim

Lip0[g(xn+y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)] = lim sup

y→0

kg(xn+y)−g(xn)−Π2σ(xn)(y)k

kyk

≤lim sup

y→0

kg(xn+y)−g(xn)k

kyk + lim supy→0

kΠ2σ(xn)(y)k

kyk

≤lim sup

y→0

kxn+y−xn k

kyk + lim supy→0

kΠ2σ(xn)k

≤1 + 1 = 2,

o que contradiz o fato de que Lip0[g(xn +y), g(xn) + Π2σ(xn)(y)] → ∞, logo n˜ao existe

x∈E1(r), tal que Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] =δ > 0, ent˜ao

Lip0[g(x+y), g(x) + Π2σ(x)(y)] = 0 ∀x∈E1(r).

Assim, como Π2σ(x) ´e linear, temos que Dg(x) = Π2σ(x).

¥

Para provar o ´ıtem (4) do Teorema 2.3, temos que f(0) = 0 e Df(0) = T. Pelo

Lema 3.4, temos que ΓDf[Π2σ(x)] = Π2σf1(x, g(x)). Fazendox= 0 temos que ΓT[Π2σ(0)] =

Π2σf1(0, g(0)) = Π2σ(0), ou seja, o gr´afico de Π2σ(0) ´e invariante porT. Mas sabemos que

o gr´afico deE1 ´e o ´unico invariante por ΓT. Assim

graf(Π2σ(0)) = graf(Dg(0)) = (E1,0).

Portanto o gr´afico de g ´e tangente aE1 em zero.

(38)

O casof diferenci´avel 32

De agora em diante, E(r) denota E1(r)× E2(r) e T E(r) = T E1(r)×T E2(r), o

fibrado tangente deE(r), ou seja, o conjunto {(x, v)/x∈E(r) e v ∈TxE(r)}.

Definamos agora a fun¸c˜ao Tf : T E(r)→ T E dada por, Tf(x, v) = (f(x), Df(x)v). Note que:

(i) kTf(0)k=k(f(0), Df(0)0)k=kf(0) k< δ.

(ii) Tf ´e Lipschitz.

Logo, pelo Teorema da Variedade Inst´avel, aplicado a Tf, existe uma aplica¸c˜ao

g :T E1(r)→T E2(r) cujo o gr´afico ´e a variedade inst´avel para Tf, ou seja, g ´e o ponto fixo

para a aplica¸c˜ao ΓTf : Lip1(T E1(r), T E2(r))→Lip1(T E1(r), T E2(r)) que ´e uma contra¸c˜ao,

pelo Lema 2.11.

Queremos encontrar quem ´e esse ponto fixo. E isto ´e feito pela seguinte proposi¸c˜ao:

3.7 Proposi¸c˜ao. A fun¸c˜ao g : T E1(r) → T E2(r) dada por g(x, v) = (g(x), Dg(x)v) ´e o

ponto fixo de ΓTf.

Prova: Suponhamos que isto seja v´alido, logo

ΓTf(g)(x, v) = Tf2 ◦(id, g)◦[Tf1 ◦(id, g)]

−1(x, v).

Seja [Tf1 ◦(id, g)]

−1(x, v) = (y, w). Assim

(g(x), Dg(x)v) = Tf2 ◦(id, g)(y, w)

= Tf2 ◦(y, w, g(y), Dg(y)w)

= Tf2((y, g(y)),(w, Dg(y)w))

= p2 ◦Tf((y, g(y)),(w, Dg(y)w))

= p2(f(y, g(y)), Df(y, g(y))·(w, Dg(y)w))

(39)

Mas

(x, v) = Tf1 ◦(id, g)(y, w)

= Tf1 ◦(y, w, g(y), Dg(y)w) = p1◦Tf((y, g(y)),(w, Dg(y)w))

= p1(f(y, g(y)), Df(y, g(y))·(w, Dg(y)w))

= f(y, g(y)),

obtendo-se quex=f1(y, g(y)) ev =f2(y, g(y)).Substituindo estes valores na equa¸c˜ao (3.6)

temos

(g(f1(y, g(y))), Dg(f1(y, g(y)))·f2(y, g(y))) =Df(y, g(y))·(w, Dg(y)w)⇒

(f2(y, g(y)), Dg(f1(y, g(y)))·f2(y, g(y))) =Df(y, g(y))·(w, Dg(y)w), (3.7)

pois no nosso caso f(y, g(y)) = (x, g(x)), visto que x=f1(y, g(y)).

Assim temos

Df(y, g(y))·(grafDg(y)) = graf(Dg(f1(y, g(y)))),

como vimos no inicio do cap´ıtulo. Assim a equa¸c˜ao (3.7) ´e satisfeita e nosso ponto fixo, ´e de

fato,g(x, v) = (g(x), Dg(x)v).

¥

Note que

graf(g) = (x, v, g(x), Dg(x)v) = (graf(g),graf(Dg(x))) = (W0u, T W0u).

J´a sabemos que se f ´e C1 ent˜ao g ´e C1. Suponhamos que o resultado seja v´alido

para k−1. Logo aplicando a hip´otese de indu¸c˜ao para Tf, temos que se Tf ´eCk−1 ent˜ao g

´eCk−1. Sendo assim

f ´eCkTf ´eCk−1 g ´eCk−1 Dg ´eCk−1 g ´eCk.

Isto prova o ´ıtem (4) e, por sua vez, o Teorema 2.3 est´a provado.

3.8 Observa¸c˜ao. O ´ıtem (4) do Teorema 2.3 tamb´em pode ser provado usando o Teorema

(40)

Cap´ıtulo 4

Variedades Centrais

Neste cap´ıtulo n´os provaremos o Teorema da Variedade central que ´e uma

genera-liza¸c˜ao do Teorema da Variedade Inst´avel.

4.1 Definic¸˜ao. Seja T : E → E uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua de um espa¸co de Banach E. T ´e ρ-pseudohiperb´olico se existe uma decomposi¸c˜ao em soma direta E = E1 ⊕E2

T-invariante e constantes 0< λ1 < ρ < µ1, e C1, C2 >0 tal que:

(1) a restri¸c˜ao T1 de T a E1 ´e um isomorfismo e ∀n ≥0 e ∀v ∈E1

kT1n(v)k≥C1µn1 kv k;

(2) ∀n ≥0 e ∀v ∈E2 e T2 a restri¸c˜ao de T a E2

kTn

2(v)k≤C2λn1 kv k.

Vemos claramente que uma aplica¸c˜ao linear pseudohiperb´olica ´e hiperb´olica quando

ρ = 1. Se assumimos que a norma em E ´e adaptada para T, ent˜ao para 0 < λ < ρ < µ

temos:

(1) kT1(v)k> µkv k para todo v 6= 0 em E1,

(2) kT2(v)k< λkv k para todo v 6= 0 em E2.

(41)

4.2 Teorema. Seja T : E → E uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua ρ-pseudohiperb´olica de um espa¸co de Banach E, com decomposi¸c˜ao E =E1 ⊕E2, m´etrica adaptada k k e constantes

0< λ < ρ < µ tais que

kT1(v)k> µkv k para todo v 6= 0 em E1,

kT2(v)k< λkv k para todo v 6= 0 em E2.

Seja ε > 0 um n´umero real tal que f : E → E ´e uma aplica¸c˜ao lipschitz com f(0) = 0 e

Lip(f −T)< ε, ent˜ao

(1) O conjunto W1 =

T

n≥0fnS1, onde S1 ={(x, y)∈E1×E2;kxk≥kyk} ´e o gr´afico de

uma fun¸c˜ao Lipschitz g :E1 →E2 com Lip(g)≤1 e f(graf(g)) = graf(g).

(2) z ∈ W1 se, e somente se, existe a imagem inversa f−nz tal que k f−nz k /ρn → 0

quando n→ ∞ ou quando kf−nzkn 0 est´a limitado quando n → ∞.

(3) Se f ´e Cr e µ−jλ < 1 para 1 j r ent˜ao g ´e Cr. Se f ´e diferenci´avel em 0 e se Df(0) =T ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E1 em 0.

Para µ <1,o gr´afico de g ´e chamado devariendade inst´avel central e denotado por

Wcu ouWcu

f (0). Se λ >1 o gr´afico deg ´e chamado variendade inst´avel fortee denotado por Wuu ouWuu

f (0).

Se f ´e invert´ıvel ent˜ao considerando f−1 existe uma variedade invariante tangente

aE2 em 0, que ´e a interse¸c˜ao Tn≥0f−nS2, onde S2 ={(x, y)∈E1×E2;kxk≤kyk}. Essa

variedade ´e chamada de variedade centro est´avel seλ >1 e variedade est´avel forte se µ <1,

e s˜ao denotadas porWcs e Wss respectivamente.

Considere fun¸c˜oes g : E1 → E2 tais que g(0) = 0 e Lip(g) ≤ 1. Considere Df =

 A B

C K

, com E = E1 × E2, α = sup k A−1 k, k = sup k K k, b = sup k B k,

c= supk C k . Quando k > 1, a transforma¸c˜ao de gr´afico, Γf, n˜ao ´e necessariamente uma

contra¸c˜ao na norma do sup, pois Γf(Lip1(E1, E2))6⊂ Lip1(E1, E2), como mostra o exemplo

abaixo.

3 Exemplo. Considere as seguintes fun¸c˜oes: f :R×RR×Rdada porf(x, y) = (4x,10y), que ´e Lipschitz, e g :RR dada por g(x) = 1

(42)

Variedades Centrais 36

menor do que um. Note que

h(x) =f1◦(id, g)(x) = 4x⇒h−1(x) =

1 4x.

Logo

Γf(g)(x) = f2 ◦(id, g)(

1

4x) = p2◦f( 1 4x,

1 8x) =

5

4x6∈Lip1(R,R).

Ent˜ao definimos a seguinte m´etrica

kg1−g2 k∗= sup

x6=0

kg1(x)−g2(x)k

kxk , x∈E1.

De acordo com o Lema 2.7 temos que h−1 ´e Lipschitz com Lip(h−1) 1

µ−ε, onde h=f1◦(id, g).

4.3 Lema. Com a norma k k∗ o espa¸co G= {g :E1 → E2|g(0) = 0 e kg k∗<∞} ´e um

espa¸co de Banach e G(1) ={g ∈G|Lip(g)≤1} ´e um subconjunto fechado.

Prova: Sejagnuma sequˆencia de Cauchy em G. Ent˜aognconverge uniformemente sobre os conjuntos limitados, logo pontualmente para uma fun¸c˜ao g. Assim para cada n,

escolham=m(x, n)≥n tal que kgm(x)−g(x)k kxk <

1

n. Ent˜ao

sup

x6=0

kgn(x)−g(x)k

kxk ≤supx6=0

kgn(x)−gm(x)k

kxk +

kgm(x)−g(x)k

kxk ≤εn+

1

n,

ondeεn= supm≥n kgm−gn k∗ .Assimkgn−g k∗→0,quandon→ ∞e ent˜aoG´e completo.

Mostraremos agora que G(1) ´e fechado. Para isto basta mostrarmos que quando

gn→g, na nova m´etrica definida acima, e Lip(gn)≤1 ent˜ao Lip(g)≤1.

sup

x6=0

kgn(x)−g(x)k

kxk =kgn−g k∗< ε=⇒kgn(x)−g(x)k< εkxk.

Logo

kg(x)k = kg(x)−g(0)k

≤ kgn(x)−g(x)k+kgn(x)k ≤ εkxk+kxk

= (ε+ 1)kxk.

(43)

¥

4.4 Lema. Γf est´a bem definida e Γf :G(1) →G(1).

Prova: Para toda g ∈G(1), Γf(g) est´a definida e

Lip(Γf(g)) ≤ Lip(f2)Lip(id, g)Lip(h−1)

≤ [Lip(T2) + Lip(p2◦(f−T))]

1

µ−ε ≤ λ+ε

µ−ε <1,

para ε bastante pequeno.

¥

4.5 Lema. Se kxk≥kyk e g ∈G(1) ent˜ao

kf2(x, y)−Γf(g)(f1(x, y))k

kf1(x, y)k

< λ+ 2ε µ−ε

ky−g(x)

kxk .

Ver Figura 4.1.

E1 E2

(x,y)

g(x)

x f (x,y)1

Gf(g)f (x,y)1

Figura 4.1: Lema 4.5.

Prova: Primeiro, note que

kf1(x, g(x))−f1(x, y)k ≤ kf1(x, g(x))−T1(x, g(x)) +T1(x, g(x))

−T1(x, y) +T1(x, y)−f1(x, y)k

≤ k(f1 −T1)(x, g(x))−(f1−T1)(x, y)k+kT1(x, g(x))−T1(x, y)k

| {z }

=0

≤ εky−g(x)k,

(44)

Variedades Centrais 38

kf1(x, y)k = kT1(x, y) +f1(x, y)−T1(x, y)k

≥ kT1(x, y)k − k(f1−T1)(x, y)k

≥ µkxk −εk(x, y)k

= (µ−ε)kxk, (4.1)

pois kxk>ky k.

Logo

kf2(x, y)−Γf(g)(f1(x, y))k ≤ kf2(x, y)−f2(x, g(x)) +f2(x, g(x))−Γf(g)(f1(x, y))k

≤ kf2(x, y)−f2(x, g(x))k+kf2(x, g(x))−Γf(g)(f1(x, y))k

≤ Lip(f2)ky−g(x)k+kΓf(g)(f1(x, g(x)))−Γf(g)(f1(x, y))k

≤ (λ+ε)ky−g(x)k+Lip(Γf(g))kf1(x, g(x))−f1(x, y)k

≤ (λ+ε)ky−g(x)k+εky−g(x)k

≤ (λ+ 2ε)ky−g(x)k. (4.2)

Das equa¸c˜oes (4.1) e (4.2) temos

kf2(x, y)−Γf(g)(f1(x, y))k

kf1(x, y)k

< λ+ 2ε µ−ε

ky−g(x)k kxk .

¥

4.6 Lema. Para g, g′ G(1)

kΓf(g)−Γf(g′)k∗≤

λ+ 2ε

µ−ε kg−g

k ∗ .

Prova: Seja (x, y) = (h−1(z), g(h−1(z))), z E

1, ou seja, (x, y) ∈graf(g′). Note

que

Γfg′(z) = f2◦(id, g′)◦[f1◦(id, g′)]−1(z)

= f2◦(h−1(z), g′(h−1(z)))

(45)

e que x=h−1(z)z =h(x) =f

1◦(id, g′)(x) = f1(x, g′(x)) = f1(x, y).

Logo

kΓfg′ −Γfg k∗ = sup

z6=0

kΓfg′(z)−Γfg(z)k kz k

= sup

x6=0

kf2(x, y)−Γfg(f1(x, y))k

kf1(x, y)k

≤ λ+ 2ε µ−ε supx6=0

ky−g(x)k kxk ≤ λ+ 2ε

µ−ε supx6=0

kg′(h−1(z))g(h−1(z))k

kh−1(z)k

≤ λ+ 2ε µ−ε kg

g k ∗ .

¥

De acordo com os Lemas 4.3,4.4,4.5,4.6, temos que Γf est´a bem definida, ´e uma

contra¸c˜ao emG(1), logo possui um ´unico ponto fixo, que a partir de agora, denotamos de g.

Iremos agora iniciar a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2.

Prova:

(1) Como g ´e o ponto fixo de Γf, claramente f(graf(g)) = graf(g).Agora, seja (x, y)∈S1.

Pelo Lema 4.5 temos que

kf2(x′, y′)−Γf(g)(f1(x′, y′))k

kf1(x′, y′)k

< λ+ 2ε µ−ε

ky′ g(x)k

kx′ k .

Repetindo-se esse processo para os primeirosninterados def, (x′, y), f(x, y), . . . , fn(x, y) =

(x, y), temos

ky−g(x)k

kxk =

kp2◦fn(x′, y′)−g(p1◦fn(x′, y′))k

kp1◦fn(x′, y′)k

= kf2(f

n−1(x, y))g(f

1(fn−1(x′, y′)))k

kf1(fn−1(x′, y′))k

< λ+ 2ε µ−ε

kp2 ◦fn−1(x′, y′)−g(p1 ◦fn−1(x′, y′))k

kp1◦fn−1(x′, y′)k

<

µ

λ+ 2ε µ−ε

¶n

ky′g(x)k

kx′ k .

Mas note que

ky′g(x)k

kx′ k <

ky′ k+kg(x)k

kx′ k <

ky′ k

kx′ k +

kg(x′)k

(46)

Variedades Centrais 40

Logo

ky−g(x)k kxk <

µ

λ+ 2ε µ−ε

¶n

ky′g(x)k

kx′ k <

µ

λ+ 2ε µ−ε

¶n

·2−→0,

quando n → ∞. Assim conclu´ımos que y = g(x), ou seja, (x, y) ∈ graf(g), e isto implica que Tn0fnS

1 ⊂graf(g).

Agora seja (x, y)∈graf(g),ou seja y=g(x). Como (x, g(x))∈S1, pois

kg(x)−g(0)k≤Lip(g)kx−0k⇒kg(x)k≤kxk,

temos que graf(g)⊂S1. Aplicando f, obtemos

f(graf(g))⊂f S1 ⇒graf(g)⊂f S1.

Repetindo-se esse processo n vezes

graf(g)⊂fnS

1.

Logo graf(g)⊂Tn0fnS

1,e assim graf(g) =

T

n≥0fnS1.

(2) Se (x, y)∈graf(g) ent˜ao

(x, y) =fn(h−n(x), gh−n(x)). (4.3)

Provaremos isto por indu¸c˜ao. Seja x=h−1(x)h(x) = xx=f

1(x, g(x)). Assim

f(h−1(x), gh−1(x)) =f(x, g(x)) = (f1(x, g(x)), g(f1(x, g(x)))) = (x, g(x)) = (x, y).

Suponhamos agora, que a equa¸c˜ao (4.3) seja v´alida paran,ou seja, (x, y) =fn(h−n(x), gh−n(x)).

Logo

fn+1(h−n−1(x), gh−n−1(x)) = f fn(h−n(h−1(x)), gh−n(h−1(x)))

= f(h−1(x), gh−1(x))

= (x, y).

Agora note que

kf−n(x, y)k=k(h−n(x), gh−n(x))k=kh−n(x)k≤

µ

1

µ−ε

¶n

kxk.

E ent˜ao temos

kf−n(x, y)k

ρn ≤

µ

ρ µ−ε

¶n

kxk→0,

(47)

(3) Primeiro, provaremos que g ´eC1 quando f ´a C1.Defina o fibrado E

1×L1(E1, E2)→

E1 como na prova do Teorema 2.3. O fato de que Lip(f − T) < ε nos d´a que k

Df(x, y)−T k< εpara todo (x, y).Definindo F :E1×L1(E1, E2)→E1×L1(E1, E2)

por F(x, L) = (h(x),ΓDfL) temos que F ´e uma contra¸c˜ao nas fibras, cujo o fator de

contra¸c˜ao e ≤ λ+2ε µ−ǫ .

Seguindo exatamente como na Proposi¸c˜ao 3.6, chegamos a seguinte estimativa:

Lip0[(Γfg)(h(x) +y), gh(x) + ΓDf(σ2(x))(y)]

µ

λ+ 2ε µ−ǫ

Lip0[g(x+y), g(x) +σ2(x)(y)].

E novamente, seguindo as linhas da Proposi¸c˜ao 3.6 a partir da equa¸c˜ao acima,

con-clu´ımos que σ2 ´e a derivada de g. Logo g ´eC1.

Assim se f ´eCk, segue diretamente do Teorema 4.10 (apˆendice) que g ´eCk.

¥

4.1

A n˜

ao unicidade da Variedade Central

Ao contr´ario da variedade inst´avel (est´avel), a variedade central n˜ao ´e ´unica. Um

exemplo bem simples da n˜ao unicidade da variedade central ´e dado a seguir.

4 Exemplo. Considere a seguinte equa¸c˜ao diferencial:

 

x′ =x2

y′ =−y

A lineariza¸c˜ao do sistema acima, na origem ´e

DX(0)(x, y)

 0 0

0 −1

Os autovalores de DX(0) s˜ao 0 e−1. O autoespa¸co associado ao autovalor −1 ´e o eixo y, que ´e o espa¸co est´avel e o autoespa¸co associado ao autovalor 0 ´e o eixo x, que ´e os

(48)

Variedades Centrais 42

Note que a curva

y=

 

y0exp(x1)/exp(x10), se x <0

0, se x≥0

´e uma solu¸c˜ao do sistema inicial, que passa pelo ponto (x0, y0), quando x0 < 0 e que ´e

invariante pelo fluxo. Temos tamb´em que a curva acima ´e tangente ao eixo x em 0, pois

exp(1

x) → 0 quando x → 0

e dmy

dmx = 0 em x = 0 para todo m ∈ N. Logo ´e uma variedade

central para o nosso sistema inicial.

Sendo assim, o nosso sistema inicial, possui uma infinidade de variedades centrais,

como mostra a figura seguinte.

(49)

4.7 Definic¸˜ao. Um fibrado vetorial π : E →X, com espa¸co total E, base X e fibra t´ıpica F, ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua com a seguinte propriedade: para todo ponto x ∈ X existem uma vizinhan¸ca U ∋ x e um homeomorfismo ϕU : U ×F → π−1(U), tal que π◦ϕU = πU,

onde πU :U ×F → U ´e a proje¸c˜ao na primeira coordenada.

A igualdade π(ϕU(x, y)) = x significa que, para cada x ∈ U, ϕU leva x×F ho-meomorficamente sobre π−1(x). Assim, a imagem inversa π−1(x) de cada ponto de X ´e

homeomorfa a fibra t´ıpicaF. O diagrama abaixo ´e comutativo

U ×F ϕU //

πU

%

%

K K K K K K K K K K K

Π−1(U)

π

²

²

U

Quando E =B ×F dizemos que o fibrado ´e trivial.

4.8Definic¸˜ao. Seja Π :E →X um fibrado vetorial com uma m´etrica no espa¸co base. N´os dizemos que uma m´etrica d em E ´e admiss´ıvel quando

(1) d induz uma norma sobre cada fibra;

(2) Existe um fibrado complementar E′ sobre X e um isomorfismo de EEem X×A,

onde A ´e um espa¸co de Banach e a m´etrica produto emX×A induz d em E;

(3) A proje¸c˜ao de X×A sobre E ´e de norma 1.

4.9 Definic¸˜ao. Uma aplica¸c˜ao ϕ entre dois espa¸cos m´etricos Y1 e Y2 ´e dita ser α-H¨older,

0< α≤1, se existe uma constante K tal que para todo x, y ∈Y1

d[ϕ(x), ϕ(y)]≤K(d[x, y])α.

Figure

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