Variedades Instáveis e Centrais

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado Variedades Inst´ aveis e Centrais

  

Kleyber Mota da Cunha

Orientador: Prof. Dr. Vilton Pinheiro

  Salvador-Bahia Dezembro 2006 Variedades Inst´ aveis e Centrais Kleyber Mota da Cunha

  Disserta¸c˜ao apresentada ao co- legiado do curso de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para ob- ten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Vilton Pinheiro (Orientador) Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves Prof. Dr. Alberto Pinto Kleyber Mota da Cunha “Variedades Centrais” /Salvador-Ba, 2006.

  Orientador: Dr. Vilton Pinheiro (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em Ma- tem´atica da UFBA, ?? p´aginas.

  Palavras-Chave: variedade inst´avel e variedades centrais. Resumo

  Neste trabalho, mostraremos que dada uma aplica¸c˜ao Lipschitz f : D ⊂ E → E, r onde E ´e espa¸co de Banach, bem pr´oxima, na topologia C , de uma automorfismo linear hiperb´olico, T : E → E, a variedade inst´avel de f ´e bem pr´oxima da variedade inst´avel de T.

  ´ E mostrado tamb´em que a variedade inst´avel de f possui algumas propriedades em comum com a variedade inst´avel de T , como ser f -invariante, e ser constitu´ıda dos pontos cujo os iterados para tr´as tende ao ponto fixo de f, neste conjunto. Em particular, mostraremos tamb´em que a variedade inst´avel de f ´e lipschitz e t˜ao diferenci´avel quanto f .

  Em seguida estenderemos este resultado para um caso mais geral, que ´e a variedade central. Abstract

  In this work, we will show that given an Lipschitz map f : D ⊂ E → E, where E r is a Banach space, well close, in the C topology, of a hyperbolic automorphism linear map, T : E → E, the unstable manifold of f it is very close of the unstable manifold of T.

  It is also shown that the unstable manifold of f has some properties in common with the unstable manifold of T, how to be f-invariante, and to be constituted of the points whose backwards iterates tends to the fixed point of f, in this set. In particular we will also show that the unstable variety of f is lipschitz and so differentiable as f .

  Soon after we will extend this result for a more general case, that it is the central manifold. Sum´ ario

  Resumo iv

  Abstract v

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 Preliminares

  3

  2 Variedade Inst´ avel

  8

  3 O caso f diferenci´ avel

  22

  4 Variedades Centrais 34 4.1 A n˜ao unicidade da Variedade Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  41 Referˆ encias

  53 Introdu¸c˜ ao

  Dada uma aplica¸c˜ao f : E → E, onde E espa¸co de Banach, n´os definimos o conjunto inst´avel de um ponto p ∈ E, em rela¸c˜ao a f, sendo o conjunto dos pontos q ∈ E que s˜ao assint´oticos a p no passado. Sob certas condi¸c˜oes, n´os mostraremos que esse conjunto possui certas propriedades interessantes.

  Esta disserta¸c˜ao est´a estruturada em quatro cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo, apresentamos algumas defini¸c˜oes e alguns resultados de An´alise, que ser˜ao utilizados no decorrer da disserta¸c˜ao. Omitiremos algumas demonstra¸c˜oes por se tratarem de resultados conhecidos.

  No segundo e terceiro cap´ıtulo, n´os provamos, respectivamente, o Teorema da Va- riedade Inst´avel na vers˜ao lipschitz, bem como sua vers˜ao diferenci´avel. Este teorema ´e mais geral que o teorema de Grobman-Hartman, pois este nos diz que se uma aplica¸c˜ao n n n n f : R → R ´e bem pr´oxima de uma aplica¸c˜ao linear hiperb´olica A : R → R , ent˜ao f

  ´e localmente topologicamente conjugada a aplica¸c˜ao A. Este teorema mostra ainda que a variedade inst´avel(est´avel) de f ´e um disco topol´ogico tangente a variedade inst´avel(est´avel) de A na origem. Mas, o mesmo, n˜ao mostra que a variedade inst´avel(est´avel) ´e diferenci´avel.

  O Teorema da Variedade Inst´avel(Est´avel) prova que a variedade inst´avel(est´avel) k ´e uma variedade mergulhada C que pode ser representada por um gr´afico.

  Para provar este teorema, existem basicamente dois tipos de provas: o m´etodo da transforma¸c˜ao do gr´afico de Hadamard(1901) e o m´etodo da varia¸c˜ao de parˆametros de Perron(1929). N´os seguiremos, na prova do teorema, a id´eia de Hadamard.

  ´e uma modifica¸c˜ao do Teorema da Variedade Inst´avel, visto que, neste teorema a aplica¸c˜ao linear possui autovalores sobre o c´ırculo unit´ario. A vers˜ao diferenci´avel tamb´em ´e provada.

  Ainda neste cap´ıtulo, mostraremos atrav´es de um exemplo simples, que ao contr´ario da variedade inst´avel(est´avel), a variedade central n˜ao ´e ´ unica. r No apˆendice mostramos o Teorema da se¸c˜ao C , no qual diz que existe uma ´ unica se¸c˜ao invariante diferenci´avel para uma determinada aplica¸c˜ao que tem contra¸c˜ao nas fibras. Este teorema ´e utilizado para provar a vers˜ao diferenci´avel do Teorema da Variedade Central. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo, apresentaremos algumas defini¸c˜oes, proposi¸c˜oes, bem como alguns teoremas que ser˜ao de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho.

  

1.1 Definic ¸˜ ao. Seja E e F espa¸cos de Banach. Dizemos que uma aplica¸c˜ao f : E → F

  ´e Lipschitziana se existe k > 0 tal que, para quaisquer x, y ∈ E, tem-se k f (x) − f (y) k≤ k k x − y k. O menor valor de k para que a desigualdade anterior seja v´alida ´e chamada constante de Lipschitz, e denotada por Lip(f ). Quando Lip(f ) < 1, f ´e dita uma contra¸c˜ao.

  

1.2 Observa¸c˜ao. A continuidade de uma aplica¸c˜ao pode ser definida da seguinte maneira:

  Uma aplica¸c˜ao f : U ⊂ E → F ´e cont´ınua em p ∈ U se dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f (B δ (p)) ⊂ B ε (f (p)).

  

1.3 Observa¸c˜ao. Note que toda aplica¸c˜ao Lipschitziana ´e cont´ınua, pois dado ε > 0, basta

  ε ε tomar δ = . Ent˜ao k x − y k< δ ⇒k f (x) − f (y) k≤ k k x − y k< k · = ε. k k

  

1.4 Teorema. Seja f : E → F uma aplica¸c˜ao, onde E e F s˜ao espa¸cos vetorias sobre um

corpo F. Se o graf(f ) for um subespa¸co vetorial de E × F ent˜ao f ´e linear.

  Prova: Seja (x , y ), (x , y ) ∈ graf (f ) e λ ∈ F, ou seja, y = f (x ) e y =

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2 f (x ). Como graf (f ) ´e subespa¸co linear, temos que (x , y ) + λ(x , y ) ∈ graf (f ), ou seja,

  2

  1

  1

  2

  2 ∃(x , y ) ∈ graf (f ), tal que y = f (x ) e (x , y ) + λ(x , y ) = (x , y ). Assim x = x + λx

  3

  3

  3

  3

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  3

  1

  2 e y = y + λy . Logo

  3

  1

  2

  ¥

  

1.5 Observa¸c˜ao. A rec´ıproca deste Teorema n˜ao ´e verdadeira. Basta considerarmos o seguinte

  contra-exemplo:

  2

  2 f : R −→ R

  2 v 7→ |v| · v.

  2

  2 Vemos que f leva subespa¸cos lineares do R em subespa¸cos lineares do R , mas f n˜ao ´e linear.

  

1.6 Definic ¸˜ ao (Ponto Fixo). Seja M um conjunto. Um ponto fixo de uma aplica¸c˜ao

f : M → M ´e um elemento x ∈ M satisfazendo f (x) = x.

  

1.7 Teorema (Ponto Fixo de Banach). Seja F um subconjunto fechado do espa¸co m´etrico

  completo (X, d). Se a aplica¸c˜ao f : F → F ´e uma contra¸c˜ao ent˜ao f possui um, e somente um, ponto fixo.

  Prova: Ver em [6].

  

1.8 Teorema (Pertuba¸c˜ ao da Identidade). Seja ϕ : U ⊂ F → F contra¸c˜ao, U ⊂ F

  aberto, F espa¸co de Banach. A aplica¸c˜ao f : U → F dada por f (x) = x + ϕ(x) ´e um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f (U ) ⊂ F . Al´em disso, se U = F , tˆem se f (U ) = F Prova: Ver em [5].

  

1.9 Lema. Sejam F um espa¸co de Banach, X um espa¸co m´etrico e f, g duas fun¸c˜oes

  −1 cont´ınuas de X em F . Suponha que f seja injetiva e f seja Lipschitz. Se g satisfaz

  −1 −1 a condi¸c˜ao Lip(f − g) < [Lip(f )] , ent˜ao g tamb´em ´e injetiva e

  −1 −1 −1 −1 Lip(g ) ≤ {[Lip(f )] − Lip(f − g)}

  −1 Lip(f )

  = −1

  1 − Lip(g − f )Lip(f ) −1 −1 −1

  Prova: Como f ´e injetiva e f ´e Lipschitz, obtemos para x = f (z) e y = f (w): −1 −1 −1 k f (z) − f (w) k ≤ Lip(f )d(z, w) =⇒

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 k f (z) − f (w) k ≥ Lip(f ) d(z, w) =⇒

  −1 −1 −1 −1 d(x, y) ≥ Lip(f ) k f (x) − f (y) k =⇒ k g(x) − g(y) k = k g(x) − g(y) + f (x) − f (x) + f (y) − f (y) k ≥ k f (x) − f (y) k − k (g − f )(x) − (g − f )(y) k e por (1.1)

  −1 −1 ≥ [Lip(f )] d(x, y) − Lip(f − g)d(x, y)

  −1 −1 = {[Lip(f )] − Lip(f − g)}d(x, y)

  A ´ ultima desigualdade nos d´a que g ´e injetiva, pois se g(x) = g(y) ⇒k g(x) − g(y) k= 0 e −1 −1 usando o fato de que [Lip(f )] − Lip(f − g) > 0, por hip´otese, temos d(x, y) = 0 ⇒ x = y.

  −1 −1 Agora, sendo x = g (z) e g = f (w), obtemos novamente da ´ ultima desigualdade

  −1 −1 −1 −1 d(z, w) ≥ {[Lip(f )] − Lip(f − g)} k g (z) − g (w) k⇒

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 d(z, w) ≤ {[Lip(f )] − Lip(f − g)} k g (z) − g (w) k ⇒

  −1 −1 −1 −1 −1 k g (z) − g (w) k ≤ {[Lip(f )] − Lip(f − g)} d(z, w). (1.2) Assim de (1.2), obtemos o resultado.

  ¥

1.10 Teorema. Seja f um homeomorfismo de um subconjunto aberto U de um espa¸co de

  Banach E sobre um aberto V de um espa¸co de Banach F , cuja a inversa ´e Lipschitz. Seja −1 h uma aplica¸c˜ao cont´ınua, Lipschitz de U em F satisfazendo Lip(h)Lip(f ) < 1. Seja g = f + h. Ent˜ao g ´e um homeomorfismo de U sobre um subconjunto aberto de F , com inversa Lipschitz.

  −1 −1 −1 −1 Prova: Seja ϕ = g ◦ f = (f + h) ◦ f = id + hf . Como h e f s˜ao Lipschitz

  −1 temos que hf ´e Lipschitz e

  −1 −1 λ = Lip(hf ) ≤ Lip(h)Lip(f ) < 1

  −1 Assim hf ´e uma contra¸c˜ao. Logo pelo Teorema 1.8 (note que ϕ : f (U ) ⊂ F → F ) temos que ϕ ´e um homeomorfismo de f (U ) sobre o conjunto aberto ϕ(f (U )). Obtemos assim que g ´e um homeomorfismo de U sobre g(U ), pois composta de homeomorfismos ´e um homeomorfismo, e

  −1 Resta agora mostrarmos que g ´e Lipschitz. Para isto basta observamos que

  −1 −1 k ϕ(x) − ϕ(y) k = k x + hf (x) − y − hf (y) k

  −1 −1 ≥ k x − y k − k hf (x) − hf (y) k ≥ k x − y k −λ k x − y k = (1 − λ) k x − y k

  Da ´ ultima desigualdade temos que ϕ ´e injetiva. Logo fazendo ϕ(x) = w e ϕ(y) = z temos:

  1

  1

  1 ≤ · =⇒

  −1 −1 k w − z k 1 − λ k ϕ (w) − ϕ (z) k

  1 −1 −1 −1 k ϕ (w) − ϕ (z) k ≤ k w − z k =⇒ ϕ ´e Lipschitz.

  1 − λ −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

  Mas ϕ = f ◦ g ⇒ g = f ◦ ϕ . Como ϕ e f s˜ao Lipschitz, temos que g ´e Lipschitz.

  ¥

1.11 Proposi¸c˜ ao. Seja U um subconjunto aberto de um espa¸co de Banach E e g um home-

  −1 omorfismo de U sobre um subconjunto aberto de um espa¸co de Banach F . Se g ´e Lipschitz

  −1 r com Lip(g ) < λ, ent˜ao B (g(x)) ⊂ g(B r (x)). λ −1 −1

  Prova: Como g ´e Lipschitz, temos que g ´e cont´ınua bastando tomar δ = ε

  −1 , pela Observa¸c˜ao 1.3. Usando agora o fato de que g ´e cont´ınua em g(x), pela

  −1 Lip(g )

  Observa¸c˜ao 1.2 temos que: −1 r r g (B (g(x))) ⊂ B r (x) ⇒ B (g(x)) ⊂ g(B r (x)) λ λ

  Passando agora o fecho, obtemos: r B (g(x)) ⊂ g(B r (x)). λ Agora resta-nos mostrar que g(B r (x)) ⊂ g(B r (x)). De fato, seja y ∈ g (B r (x)) ⇒ ∃y n ∈ g(B r (x)), tal que y n → y.

  Agora

  Usando agora o fato de que g −1

  ´e cont´ınua, temos: y n → y ⇒ x n = g −1

  (y n ) → g −1

  (y) ⇒ g −1

  (y) ∈ B r (x) ⇒ y ∈ g(B r (x)) ⇒ g(B r (x)) ⊂ g(B r (x)) ¥ Cap´ıtulo 2 Variedade Inst´ avel

  Neste cap´ıtulo iremos provar o Teorema da Variedade Inst´avel Local para um ponto.

  

2.1 Definic ¸˜ ao. Seja T : E → E um endomorfismo linear, E um espa¸co de Banach.

  Dizemos que T ´e hiperb´olico se e somente se existe uma decomposi¸c˜ao em soma direta E = E ⊕ E , onde E e E s˜ao invariantes por T e constantes c > 0 e λ < 1 tal que:

  1

  2

  1

  2

  (1) A restri¸c˜ao T de T a E ´e uma expans˜ao, ou seja:

  1

  1 n −n ∀n ≤ 0, k T k≤ cλ .

  1

  (2) A restri¸c˜ao T de T a E ´e uma contra¸c˜ao, ou seja:

  2

  2 n n ∀n ≥ 0, k T k≤ cλ .

  2 ∞

  

2.2 Proposi¸c˜ ao (Norma adaptada). Seja T como acima. Ent˜ao existe uma m´etrica C

  em E e uma constante η, 0 < η < 1 tal que −1 k T | E 2 k < η e k T | E 1 k < η.

  Prova: Ver em [8]. De agora em diante, denota-se por E i (r), i = 1, 2 a bola fechada de raio r e centro na origem em E i .

2.3 Teorema (Teorema da Variedade Inst´ avel Local para um Ponto). Seja T : E →

  1 (r) × E

  1 com f (0) = 0, Df (0) = T , ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E

  1 em 0.

  (5) Se f (0) = 0 e f ´e invert´ıvel, o gr´afico de g consiste dos pontos em E

  1 (r) × E

  2 (r) cujo os iterados para tr´as tende a 0.

  

(6) Se f (0) = 0, um ponto x pertence ao gr´afico de g se e somente se existe uma seq¨ uencia

  x n , n ≥ 0, em E

  2 (r), tendendo a 0 tal que f n (x n ) = x.

  ent˜ao g ´e C k .

  N´os obtemos a variedade est´avel local trocando T por T −1

  , E

  1 por E

  2 .

  Antes de come¸carmos a demonstrar o Teorema, iremos fixar algumas nota¸c˜oes: T i = T | E i , p i = proje¸c˜ao de E sobre E i , f i = p i ◦ f, i = 1, 2.

  N´os usaremos, por conveniˆencia, a norma box k k box

  = sup(k k E 1 , k k E 2 ), isto ´e, k x k= sup(k p 1 (x) k, k p 2 (x) k).

  (4) Se f ´e C

  E um automorfismo hiperb´olico de um espa¸co de Banach E com decomposi¸c˜ao E = E

  1 ⊕E

  2 (r) → E, com k f (0) k < δ e Lip(f − T ) < ε, existe uma aplica¸c˜ao g : E

  2 =

  E

  1 × E

  2 e suponha que a norma ´e adaptada, isto ´e, n´os podemos encontrar 0 < λ < 1, tal que k T | E 2 k < λ e k T

  −1 | E 1 k < λ.

  Ent˜ao existe um ε > 0, que depende somente de λ, e constante δ = δ(λ, ε, r) tal que para toda aplica¸c˜ao Lipschitz f : E

  1 (r) × E

  1 (r) → E 2 (r) cujo o gr´afico nos d´a uma variedade inst´avel para f .

  2 (r)). (Esta intersec¸c˜ao ´e o conjunto est´avel local de p, W u loc (p).)

  Al´em disso g e seu gr´afico tem as seguintes propriedades:

  (1) g ´e Lipschitz, com Lip(g) ≤ 1. Al´em disto, a restri¸c˜ao de f

  −1 ao gr´afico de g ´e contra¸c˜ao e deste modo tem um ponto fixo p sobre o gr´afico de g.

  (2) O gr´afico de g ´e igual a

  T ∞ n

  =0 f n (E

  1 (r), E

  (3) Se f ´e C k

  2.4 Observa¸c˜ao. Usando o fato de que E = E

  1 ⊕ E 2 = E 1 × E 2 e essa decomposi¸c˜ao ´e invariante por T, para x ∈ E e y ∈ E , temos que:

  1

  2 T (x, y) = T (x ⊕ y) = T (x) ⊕ T (y) = T (x) ⊕ T (y) = (T (x), T (y)).

  1

  2

  1

  2 Iremos a partir de agora, estabelecer alguns resultados que utilizaremos para a demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3.

  

2.5 Definic ¸˜ ao (Transformac ¸˜ ao de Gr´ afico). Suponhamos que n´os temos uma σ :

  E (r) → E (r) para o qual f ◦ (id, σ) ´e injetiva e E (r) ⊂ f ◦ (id, σ)(E (r)). Definimos a

  1

  2

  1

  1

  1

  1 fun¸c˜ao Γ f (σ) por:

  −1 Γ f (σ) = f ◦ (id, σ) ◦ [f ◦ (id, σ)] | E 1 .

  2 1 (r) Isto ´e ilustrado na Figura 2.1.

  E 2

(x,g(x))

graf(g) f(x,g(x)) f(graf(g)) E 1

  • r

  r p f(x,g(x)) x 1 Figura 2.1: Transforma¸c˜ao de Gr´afico

  Podemos notar que o gr´afico de Γ f (σ) ´e a intersec¸c˜ao de f (graf de σ) com E (r) ×

  1 E (r), por isso Γ f ´e chamada Transforma¸c˜ao de Gr´afico. Note que a variedade inst´avel de T

  2 ´e E 1 que ´e o ´ unico gr´afico invariante sobre Γ T , assim existe uma esperan¸ca de encontrarmos uma variedade inst´avel de f, pois f ´e bem pr´oxima de T no sentido Lip(f − T ) < ε, bem como um ponto fixo de Γ f .

  Seja Lip (E (r), E (r)) o conjunto das fun¸c˜oes Lipschitz cuja constante ´e menor ou

  1

  2

  1 mostraremos que Γ f ´e uma contra¸c˜ao de Lip 1 (E 1 (r), E 2 (r)) na m´etrica C e usaremos o Teorema da Contra¸c˜ao para garantir que Γ f tem um ´ unico ponto fixo g.

  2.6 Lema. Se σ ∈ Lip

  1 (E 1 (r), E 2 (r)) temos a seguinte estimativa: Lip(f ◦ (id, σ) − T ) ≤ Lip(f − T ).

  1

  1 Prova: Note que f ◦ (id, σ) − T = p ◦ (f − T ) ◦ (id, σ). De fato,

  1

  1

  1 p ◦ (f − T ) ◦ (id, σ)(x) = p ◦ (f − T ) ◦ (x, σ(x))

  1

  1 = p 1 ◦ (f (x, σ(x)) − T (x, σ(x))) = f (x, σ(x)) − T (x)

  1

  1 = [f ◦ (id, σ) − T ](x)

  1

  1 Assim, Lip[f ◦ (id, σ) − T ] = Lip[p ◦ (f − T ) ◦ (id, σ)]

  1

  1

  1 ≤ Lip(p )Lip(f − T )Lip(id, σ)

  1 ≤ Lip(f − T )

  ¥

  1

  

2.7 Lema. Se ε > 0 ´e menor que e Lip(f −T ) < ε, ent˜ao para todo σ ∈ Lip (E (r), E (r)),

λ

  1

  2

  1 a aplica¸c˜ao f 1 ◦ (id, σ) ´e um homeomorfismo. Al´em disso, a inversa ´e uma fun¸c˜ao Lipschitz cuja constante Lipschitz satisfaz

  1 −1 Lip([f ◦ (id, σ)] ) ≤ .

  1

  1 λ − ε

  1 Prova: Pelo Lema 2.6 temos que Lip(f ◦ (id, σ) − T ) ≤ Lip(f − T ) ≤ ε < <

  1

  1 λ −1 −1 k T k .

  1 Fazendo g = f ◦ (id, σ) e f = T , podemos aplicar o Teorema 1.10 onde h = g − f ,

  1

  1 sendo assim conclu´ımos que g = f 1 ◦ (id, σ) ´e um homeomorfismo. Agora pelo Lema 1.9,

  −1 −1

  1 pois Lip(f − g) < [Lip(T )] = , obtemos:

  1 λ

  1 −1

  Lip[f ◦ (id, σ)] ) ≤

  1

  1 − Lip(f − g)

  −1 Lip(f )

  1 ≤

  −1 −1 k T k −Lip(f 1 ◦ (id, σ) − T 1 )

  1

  1 ≤ .

  1

  ¥

  1 λ − 1. Suponha que Lip(f − T ) < ε e k f (0) k< r(

  1 λ − 1 − 2ε), ent˜ao para todo σ ∈ Lip

2.8 Lema. Seja 0 < 2ε <

  1 (r), E

  1 (0, 0) k

  1 (0, 0) + p

  1 T (0, σ(0)) −f

  1 T (0, σ(0)) + p

  1 (0, σ(0)) − p

  1 (0, 0) k + k f

  ≤ k f

  1 (0, σ(0)) − f

  1 T (0, 0) k ≤ k f

  1 (0, 0) k + k f

  1 (0, σ(0)) k ≤ k f

  1 (r)). k f

  1 ◦ (id, σ)(E

  1 (0, σ(0))) ⊂ f

  ( 1 λ −ε) (f

  1 T (0, 0) − p

  1 (0, 0) k + k (f

  E

  1 − p

  1 T )(0, 0) k≤k (f − T )(0, σ(0)) − (f − T )(0, 0) k

  1 − p

  1 T )(0, σ(0)) − (f

  1 − p

  Como k (f

  1 T )(0, 0) k .

  1 T )(0, σ(0)) − (f

  1 − p

  1 − p

  1 (0, 0) k + k (f

  1 T (0, 0) k ≤ k f

  1 T )(0, 0) −p

  1 − p

  1 T (0, σ(0)) − (f

  1 T )(0, σ(0)) + p

  1 (r) = B r (0) ⊂ B ρ (0) ⊂ B r

  1 (0, σ(0)) k. Resta-nos mostrar que ρ ≥ r, pois assim

  2 (r)), E

  Fazendo agora g = f

  ( 1 λ −ε) (f 1 (0, σ(0))) ⊂ f 1 ◦ (id, σ)(E 1 (r)).

  (f 1 ◦ (id, σ)(0)) ⊂ f 1 ◦ (id, σ)(E 1 (r)) ⇒ B r

  B r ( 1 λ −ε)

  1 (r) obtemos:

  E

  1 ◦ (id, σ) na Proposi¸c˜ao 1.11 e usando o fato de que B r (0) =

  1 λ − ε .

  (0) ⊂ B r ( 1 λ −ε)

  1

  −1 ) ≤

  1 ◦ (id, σ)]

  Prova: Pelo Lema 2.7 temos que Lip([f

  1 (r))

  1 ◦ (id, σ)(E

  1 (r) ⊂ f

  Mostraremos agora que B r ( 1 λ −ε)−kf 1 (0,σ(0))k

  (f

  1 λ − ε)− k f

  1 (0, σ(0)) k≤k x k + k f

  1 (E

  1 (0, σ(0))).

  (f

  − ε) ⇒ x ∈ B r ( 1 λ −ε)

  1 λ

  1 (0, σ(0)) k&lt; r(

  − ε), mas k x − f

  1 (0, σ(0))).

  1 λ

  1 (0, σ(0)) k&lt; r(

  1 (0, σ(0)) k⇒k x k + k f

  − ε)− k f

  1 λ

  (0), logo k x k&lt; r(

  Seja x ∈ B r ( 1 λ −ε)−kf 1 (0,σ(0))k

  Seja ρ = r( e k f 1 (0, 0) k&lt;k f (0, 0) k, pois estamos utilizando a norma do sup, temos: k f 1 (0, σ(0)) k ≤ k f (0, 0) k + k (f − T )(0, σ(0)) − (f − T )(0, 0) k

  ≤ k f (0, 0) k +Lip(f − T ) k (0, σ(0)) − (0, 0) k ≤ k f (0, 0) k +εr

  1 ≤ r( − 1 − 2ε) + εr λ

  1 = r( − 1 − ε) λ

  1 ⇒ 0 ≤ r( − ε)− k f (0, σ(0)) k −r ⇒ r ≤ ρ.

  1 λ

  | {z } ρ ¥

  1

  

2.9 Lema. Seja 0 &lt; 2ε &lt; 1−λ e δ &lt; r min{ −1−2ε, 1−ε−λ}. Se f satisfaz Lip(f −T ) &lt; ε

λ

  e k f (0) k&lt; δ, ent˜ao para todo σ ∈ Lip (E (r), E (r)) a aplica¸c˜ao Γ f (σ) est´a bem definida

  1

  2

  1 sobre E 1 (r) e Γ f (σ) ∈ Lip (E 1 (r), E 2 (r)).

  1

  1 −1

  Prova: Primeiro mostraremos que Lip([f ◦ (id, σ)] ) ≤ &lt; 1. Para isto note

  1

  1 λ − ε

  1

  1 que − 1 &gt; 1 − λ, pois &gt; 1 e 0 &lt; λ &lt; 1. Agora, por hip´otese λ λ 1 − λ

  1

  1 2ε &lt; 1 − λ ⇒ ε &lt; &lt; − 1 ⇒ − ε &gt; 1, 2 λ λ como quer´ıamos.

  −1 Agora como Γ f (σ) = f 2 ◦ (id, σ) ◦ [f 1 ◦ (id, σ)] | E 1 (r) , temos:

  −1 Lip(Γ (σ)) ≤ Lip(f ◦ (id, σ)) · Lip([f ◦ (id, σ)] ) f

  2

  1 ≤ Lip(f ◦ (id, σ))

  2 ≤ Lip(f ) · Lip(id, σ)

  2 ≤ Lip(f ) = Lip(T + p (f − T ))

  2

  2

  2 ≤ Lip(T ) + Lip(p (f − T ))

  2

  2 ≤ Lip(T ) + Lip((f − T ))

  2 ≤ λ + ε ≤ 1, pois como 2ε &lt; 1 − λ ⇒ ε &lt; 1 − λ ⇒ ε + λ &lt; 1.

  Para mostrar que Γ f (σ) ∈ Lip(E (r), E (r)), resta mostrar que Γ f (σ)(E (r)) ⊂

  1

  2

  1

  −1 J´a sabemos pelo Lema 2.8 que E 1 (r) ⊂ f 1 ◦ (id, σ)(E 1 (r)) ⇒ [f 1 ◦ (id, σ)] (E 1 (r)) ⊂

  E (r), ent˜ao basta mostrar que f ◦ (id, σ)(E (r)) ⊂ E (r). Para isto seja x ∈ E (r), ent˜ao:

  1

  2

  1

  2

  1 k f (x, σ(x)) k ≤ k f (x, σ(x)) − p T (x, σ(x)) + p T (x, σ(x)) k

  2

  2

  2

  2 ≤ k f (x, σ(x)) − p T (x, σ(x)) k + k p T (x, σ(x)) k

  2

  2

  2 ≤ k f (x, σ(x)) − p T (x, σ(x)) k + k T kk σ(x) k

  2

  2

  2 ≤ k (f − T )(x, σ(x)) k +λr ≤ k (f − T )(x, σ(x)) − (f − T )(0, 0) k + k (f − T )(0, 0) k λr ≤ Lip(f − T ) k (x, σ(x)) k + k f (0) k +λr ≤ εr + δ + λr ≤ εr + r(1 − ε − λ) + λr ≤ r.

  Assim como f 2 (x, σ(x)) ∈ E 2 e k f 2 (x, σ(x)) k&lt; r ⇒ f 2 (x, σ(x)) ∈ E 2 (r).

  ¥

2.10 Lema. Seja (x, y) um ponto de E (r) × E (r) tal que f (x, y) esteja em E (r). Para

  1

  2

  1

  1 todo σ ∈ Lip(E (r), E (r)) a seguinte desigualdade vale:

  1

  2 k f (x, y) − Γ f σ(f (x, y)) k≤ (λ + 2ε) k y − σ(x) k .

  2

  1 Este lema est´a ilustrado na Figura 2.2.

  Prova: k f (x, y) − Γ f σ(f (x, y)) k = k f (x, y) − f (x, σ(x)) + f (x, σ(x)) − Γ f σ(f (x, y)) k

  2

  1

  2

  2

  2

  1 ≤ k f (x, σ(x)) − Γ f σ(f (x, y)) k + k f (x, y) − f (x, σ(x)) k

  2

  1

  2

  2 = k Γ f σ(f 1 (x, σ(x))) − Γ f σ(f 1 (x, y)) k

  • k f (x, y) − f (x, σ(x)) k,

  2

  2 −1 pois Γ f (σ) = f ◦(id, σ)◦[f ◦(id, σ)] ⇒ Γ f (σ)◦[f ◦(id, σ)] = f ◦(id, σ) ⇒ Γ f (σ)(f (x, σ(x))) =

  2

  1

  1

  2

  1 f 2 (x, σ(x)).

  Como p e f s˜ao Lipschitz, temos que f = p ◦ f tamb´em ´e Lipschitz. Logo

  2

  2

  2 k f (x, y) − Γ f σ(f (x, y)) k ≤ Lip(f ) k (x, y) − (x, σ(x)) k

  2

  1

  2

  • p

  2 ∈ Lip

  1 T ) k (x, σ(x)) − (x, y) k

  1 (x) k ≤ {(λ + ε) + Lip(f − T )} k y − σ(x) k ≤ (λ + ε + ε) k y − σ(x) k ≤ (λ + 2ε) k y − σ(x) k .

  ¥

  x (x,y) ä(x) f(x,y) f (x,y) 1 f (x, ) 1 ä(x) (f (x,y), 1 f (x,y)) 1 G f

  ä f(x, )

  ä(x) f (x,y) 2 Figura 2.2: Lema 2.10.

  Prova: Seja σ

  1 , σ

  1 (E

  1 T (x, y) k ≤ (λ + ε) k y − σ(x) k +Lip(f

  1 (r), E

  2 (r)), z ∈ E

  1 (r) e (x, y) = ([f

  1 ◦(id, σ

  1 )]

  −1 (z), σ

  1 ([f

  1 ◦

  1 − p

  1 T (x, σ(x)) − p

  1 (x, σ(x)) − p

  1 T )(x, y) k + k p

  2 − p

  2 T + p

  2 T ) = Lip(T

  2 ) + Lip(p

  2 (f − T ))

  ≤ Lip(T 2 ) + Lip(f − T ) ≤ λ + ε. Ent˜ao k f

  2 (x, y) − Γ f σ(f 1 (x, y)) k ≤ (λ + ε) k y − σ(x) k + k f 1 (x, σ(x)) − f 1 (x, y) k ≤ (λ + ε) k y − σ(x) k + k f

  1 T (x, σ(x))

  Pelo Lema 2.9 temos que Lip(Γ f σ) ≤ 1. Observe tamb´em que Lip(f

  1 T (x, σ(x)) + p

  1 T (x, y) − p

  1 T (x, y) − f

  1 (x, y) k

  ≤ (λ + ε) k y − σ(x) k + k (f 1 − p

  1 T )(x, σ(x)) −(f

  1 − p

  2 ) = Lip(f

  • k T 1 (x) − T

2.11 Lema. Na situa¸c˜ao anterior Γ f contrai na distˆancia C por um fator no m´aximo λ+2ε.

  Aplicando o Lema 2.10 para σ = σ 2 em (x, y) temos: k f (x, y) − Γ f σ (f (x, y)) k≤ (λ + 2ε) k y − σ (x) k .

  2

  2

  1

  2 Mas note que −1

  Γ f σ (z) = f ◦ (id, σ ) ◦ [f ◦ (id, σ )] (z)

  1

  2

  1

  1

  1 | {z } x

  = f ◦ (id, σ )(x)

  2

  1 = f 2 (x, σ 1 (x)) = f 2 (x, y) e que

  −1 x = [f ◦ (id, σ )] (z) ⇒ [f ◦ (id, σ )](x) = z ⇒ z = f (x, σ (x)) = f (x, y).

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 Ent˜ao k Γ f σ 1 − Γ f σ 2 k = sup k Γ f σ z 1 1 (z) − Γ f σ 2 (z) k

  ∈E (r) −1 −1

  ≤ (λ + 2ε) sup k σ ([f ◦ (id, σ )] (z)) − σ ([f ◦ (id, σ )] (z)) k z 1

  1

  1

  1

  2

  1

  1 ∈E (r)

  ≤ (λ + 2ε) sup k σ (z) − σ (z) k z 1

  1

  2 ∈E (r)

  = (λ + 2ε) k σ 1 − σ 2 k, −1 onde na pen´ ultima desigualdade utilizamos o fato de que [f ◦ (id, σ )] (E (r)) ⊂ E (r) ⇒

  1

  1

  1

  1 −1 sup k σ ([f ◦ (id, σ )] (z)) k≤ sup k σ (z) k. z ∈E (r) z ∈E (r) 1

  1

  1

  1 1

  1 ¥ 1 − λ

2.12 Proposi¸c˜ ao. Se Lip(f − T ) < ε < e

  2 ¾

  ½ 1 k f (0) k≤ δ &lt; r min − 1 − 2ε, 1 − ε − λ λ ent˜ao a transforma¸c˜ao de gr´afico Γ f tem um ´ unico ponto fixo g ∈ Lip (E (r), E (r)).

  1

  2

  1 Prova: Pelo Lema 2.11 temos que 1 − λ Lip(Γ f ) ≤ λ + 2ε &lt; λ + 2 · = 1 ⇒ Γ f ´e uma contra¸c˜ao.

  2

  • k x − y k + ε

  ) −1

  1 ◦ f | graf(g)

  ◦ (p

  1 | graf(g)

  ) −1

  (x) = p

  1 ◦ f (x, g(x))

  Pelo Lema 2.7 temos que f

  1 ◦ (id, g) ´e homeomorfismo, logo invert´ıvel, ent˜ao

  (p 1 | graf(g) ) −1

  ◦ p 1 ◦ f | graf(g) ◦ (p 1 | graf(g) ) −1

  (x) = (p 1 | graf(g) ) −1

  ◦ f 1 (x, g(x)) =⇒ f | graf(g)

  ◦ (p

  1 | graf(g)

  (x) = (p

  ) −1

  1 | graf(g)

  ) −1

  ◦ f

  1 (x, g(x))

  Assim f | graf(g)

  ´e conjugado a p

  1 ◦ f (x, g(x)) via (p

  1 | graf(g)

  ) −1 .

  Como p

  1 ◦ f (x, g(x)) ´e invert´ıvel ent˜ao f | graf(g) ´e invert´ıvel.

  Usando o fato de que p 1 | graf(g)

  ´e uma isometria com respeito a norma do sup (veja Proposi¸c˜ao 2.14) e isometria preserva a constante de Lipschitz, conclu´ımos que Lip(f

  −1 | graf(g)

  (x) = f (x, g(x)) =⇒ p

  1 | graf(g)

  De fato, utilizando a norma da convergˆencia uniforme, seja f n ∈ Lip

  −1 | graf(g)

  1 (E 1 (r), E 2 (r)), tal que f n u

  → f . Assim k f (x) − f (y) k ≤ k f (x) − f n (x) k + k f n (x) − f n (y) k + k f n (y) − f (y) k &lt; ε

  2

  2 &lt; ε+ k x − y k .

  Fazendo ε tender a zero, obtemos que k f (x) − f (y) k≤k x − y k⇒ f ∈ Lip

  1 (E

  1 (r), E

  2 (r)).

  Assim pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema 1.7) existe um ´ unico ponto fixo de Γ f em Lip

  1 (E

  1 (r), E

  2 (r)). Chamemos de g este ponto fixo.

  ¥ Agora provaremos o resultado principal, que ´e o Teorema 2.3.

  Prova: Por constru¸c˜ao sabemos que Lip(g) ≤ 1. Para ver que f

  ´e uma contra¸c˜ao, note que quando (x, g(x)) = f (y, g(y)) ⇒ x = f

  ◦ (p

  ) −1

  (x) = f (y, g(y)) = (x, g(x)) =⇒ f | graf(g)

  ) −1

  1 | graf(g)

  (p

  1 ◦ f (y, g(y)) =⇒

  (x) ◦ p

  1 | graf(g)

  1 (x, g(y)) = f

  (x) = (p

  ) −1

  1 | graf(g)

  (p

  1 ◦ f (y, g(y)) temos o seguinte:

  1 ◦ (id, g)(y) = p

  ) &lt; Assim f −1 | graf(g) : graf(g) → graf(g) ´e uma contra¸c˜ao.

  Afirmamos que o graf(g) ⊂ E ´e fechado. De fato, considere a aplica¸c˜ao ϕ(x, y) = y − g(x), que ´e cont´ınua, pois g ´e cont´ınua (g ∈ Lip

  ′ , y

  ′ )) − g ◦ p

  ′ , y

  2 ◦ f (f n −2 (x

  ≤ (λ + 2ε) k p

  ′ ) k por (2.1)

  ′ , y

  −1 (x

  1 ◦ f n

  ′ ) − g ◦ p

  −1 (x

  ′ , y

  2 ◦ f n

  )) k ≤ (λ + 2ε) k p

  , y ′

  (x ′

  )) − g ◦ f 1 (f n −1

  , y ′

  (x ′

  = k f 2 (f n −1

  ′ )) k

  1 ◦ f (f n −2 (x

  ′ )) k

  1 ◦ f (f n −1 (x

  1 ◦ f n

  ≤ (λ + 2ε) n 2r Mas ε &lt; 1 − λ

  ′ ) k)

  ′ k + k g(x

  ) k ≤ (λ + 2ε) n (k y

  − g(x ′

  ≤ (λ + 2ε) n k y ′

  ′ ) k por (2.1)

  ′ , y

  −2 (x

  ′ ) − g ◦ p

  ≤ (λ + 2ε) k f 2 (f n −2

  ′ , y

  −2 (x

  2 ◦ f n

  2 k p

  )) k ≤ (λ + 2ε)

  , y ′

  (x ′

  )) − g ◦ f 1 (f n −2

  , y ′

  (x ′

  ′ , y

  ′ )) − g ◦ p

  1 ()E

  2 (r) tal que f (x

  ′ , y

  1 (x

  ′ ) − Γ f (g)(f

  ′ , y

  2 (x

  2 (r), para que possamos considerar os iterado de f . Pelo Lema 2.10, temos k f

  1 (r) × E

  ′ ) ∈ E

  ′ , y

  1 (r) × E

  ′ − g(x

  ) ∈ E

  , y ′

  Para provar (2) considere (x ′

  Logo (1) est´a provado.

  | graf(g) .

  Ent˜ao temos que existe um ´ unico ponto fixo, que denotamos por p, de f −1

  −1 (0). Como ϕ ´e cont´ınua e 0 ´e fechado conclu´ımos que graf(g) ´e fechado, j´a que a pr´e-imagem de fechado por uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e fechado.

  2 (r)). Observe agora que graf(g) = ϕ

  1 (r), E

  ′ )) k≤ (λ + 2ε) k y

  ′ ) k .

  ′ , y

  , y ′

  2 ◦ f (f n −1 (x

  = k p

  ′ ) k

  ′ , y

  1 ◦ f n (x

  ′ ) − g ◦ p

  ′ , y

  2 ◦ f n (x

  ) = (x, y), temos: k y − g(x) k = k p

  ), . . . , f n (x ′

  Como g ´e ponto fixo de Γ f , temos que Γ f (g) = g, logo k f 2 (x

  , y ′

  ), f (x ′

  , y ′

  Repetindo-se o processo para os primeiros n iterados de f , (x ′

  ′ ) k . (2.1)

  ′ − g(x

  ′ )) k≤ (λ + 2ε) k y

  ′ , y

  ′ ) − g(f 1 (x

  ′ , y

  2 , pelo Lema 2.9, assim

  ∞ \ n f (E (r) × E (r)) ⊂ graf(g). n

  1

  2 =0

  ∞ \ n

  Resta-nos mostrar que graf(g) ⊂ f (E (r)×E (r)). Sabemos que graf(Γ f (g)) = f (graf(g))∩ n

  1

  2 =0

  (E (r) × E (r)). Mas como g ´e o ponto fixo de Γ f , temos que

  1

  2 graf(g) = f (graf(g)) ∩ (E (r) × E (r)) ⊂ E (r) × E (r) (2.2)

  1

  2

  1

  2 Da equa¸c˜ao (2.2), obtemos que graf(g) ⊂ f (graf(g)) ⊂ E (r) × E (r). (2.3)

  1

  2 Aplicando f na equa¸c˜ao (2.3) temos que

  2 graf(g) ⊂ f (E (r) × E (r)).

  1

  2 Repetindo-se o mesmo processo n vezes, temos que n graf(g) ⊂ f (E 1 (r) × E 2 (r)) ∀n. T ∞ n Logo graf(g) ⊂ f (E (r) × E (r)). n

  1

  2 =0 E assim fica demonstrado o ´ıtem (2).

  −1 −1 Para demonstrar o ´ıtem (5), note que como f | ´e uma contra¸c˜ao e f (0) = 0, graf(g)

  −1 ent˜ao 0 ´e o ´ unico ponto fixo de f | . Seja (x, y) ∈ graf(g), ent˜ao: graf(g)

  −n −n −1 −n+1 −1 −n+1 k f (x, y) − f (0) k = k f (f (x, y)) − f (f (0)) k

  | {z } −n+1 −n+1

  ≤ α k f (x, y) − f (0) k (2.4) n ≤ α k x k n ≤ α r,

  −1 onde α = Lip(f | ) &lt; 1. Logo graf(g) n n →∞ n →∞

  −n −n k f (x, y) k≤ α r −→ 0 ⇒ f (x, y) −→ 0.

2.13 Observa¸c˜ao. Note que como g ´e o ponto fixo de Γ f , temos que graf(g) = f (graf(g)) ∩

  −1 (E (r) × E (r)). Como f ´e invert´ıvel por hip´otese, temos que f (graf(g)) ⊂ graf(g). Assim

  1

  2

  −n −n n n n Agora seja (x, y) ∈ E 1 (r) × E 2 (r) com f (x, y) → 0. Seja (x n , y n ) = f (x, y), ou seja f (x n , y n ) = (x, y). Assim x = p ◦ f (x n , y n ) e y = p ◦ f (x n , y n ). Logo, por (2.1)

  1 n n

  2 k y − g(x) k = k p ◦ f (x n , y n ) − g(p ◦ f (x n , y n )) k

  2 n

  1 ≤ (λ + 2ε) k y n − g(x n ) k

  Como (x n , y n ) → 0, temos que x n → 0 e y n → 0. Usando o fato de g ser cont´ınua temos que g(x n ) → g(0) = 0. Assim n →∞ k y − g(x) k −→ 0 ⇒ (x, y) ∈ graf(g), e (5) est´a provado.

  −n Agora para demonstrar (6), tomemos (x, y) ∈ graf(g), logo por (5), f (x, y) → 0. n −n

  Fazendo (x n , y n ) = f (x, y), temos que, f (x n , y n ) = (x, y), e (x n , y n ) → 0. Por outro lado, n quando (x n , y n ) ∈ E (r) × E (r), tal que (x n , y n ) → 0 e f (x n , y n ) = (x, y), o resultado segue

  1

  2 diretamente por (5).

2.14 Proposi¸c˜ ao. p | Graf : Graf (g) → E ´e uma isometria com a norma do sup.

  1 (g)

  1 Prova: k p (x, g(x)) − p (y, g(y)) k =k x − y k = sup(k p (x − y) k E 1 , k p (x − y) k E 2 ) =

  1 1 sup sup 1

  1 1

  2 sup(k x − y k E , 0) =k x − y k E .

  Resta mostrar que k (x, g(x)) − (y, g(y)) k =k x − y k E 1 . Mas sup k (x, g(x)) − (y, g(y)) k = k (x − y, g(x) − g(y)) k sup sup

  = sup(k p (x − y) k E 1 , k p (g(x) − g(y)) k E 2 )

  1

  2 = sup(k x − y k E 1 , k g(x) − g(y) k E 2 ) = k x − y k E 1 , pois g ∈ Lip (E (r), E (r)), ou seja, k g(x) − g(y) k≤k x − y k.

  1

  1

  2 ¥ Os ´ıtens (3) e (4) s˜ao conhecidos como a vers˜ao diferenci´avel do Teorema da Varie- dade Inst´avel, pois o leitor pode notar que nestes ´ıtens estamos supondo que f ´e diferenci´avel. ´

  E necess´ario ent˜ao ver alguns resultados sob esta hip´otese para demonstr´a-los. E isto ´e tarefa para o pr´oximo cap´ıtulo.

  Cap´ıtulo 3 O caso f diferenci´ avel

  Neste cap´ıtulo mostraremos a vers˜ao diferenci´avel do Teorema da Variedade Inst´avel. Ou seja, mostraremos que: k k (3) Se f ´e C ent˜ao g ´e C .

  1

  (4) Se f ´e C com f (0) = 0, Df (0) = T , ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E 1 em 0.

  1 A id´eia da prova ´e a seguinte: Se existe uma fun¸c˜ao g ∈ C cujo gr´afico ´e f invariante, ent˜ao a derivada de f aplica o espa¸co tangente do gr´afico no espa¸co tangente do gr´afico, isto

  ´e: f (x, g(x)) = (y, g(y)) ⇒ Df (T graf(g)) = T graf(g) = T f graf(g) (x,g(x)) (x,g(x)) (y,g(y)) (x,g(x)) ou

  Df (x,g(x)) · (id, Dg x ) = (id, Dg y ) = (id, Dg f 1 (x,g(x)) ) ⇒ Df (graf(Dg x )) = graf(Dg f 1 ),

  (x,g(x)) (x,g(x)) pois (id, Dg x ) · v = (v, Dg x (v)) = graf(Dg x ). Ver Figura 3.1.

  Depois consideraremos uma nova transforma¸c˜ao de gr´afico (global e linear), em graf g f (x,g ) 2 (x) graf Dg f1(x,g (x) ) g(x) graf Dg x x f (x,g (x) ) 1 Figura 3.1: Derivada de f .

  fun¸c˜ao σ : E (r) → L (E , E ), onde L (E , E ) ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes lineares cont´ınuas

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  2 de E para E cuja norma ´e menor ou igual a 1, que tem a seguinte propriedade:

  1

  2 Γ Df σ(x) = σ(f (x, g(x))).

  1 E finalmente mostraremos que σ ´e a derivada de g.

  Aqui e no que se segue, para simplificar a nota¸c˜ao n´os escreveremos Df para Df (x,g(x)) .

3.1 Lema. Existe um ε > 0, tal que quando k S − T k< ε, a transforma¸c˜ao de gr´afico

  Γ S : L (E , E ) → L (E , E ) ´e bem definida. Al´em disso, Γ S ´e Lipschitz em L (E , E ) com

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  1

  2 constante de Lipschitz menor ou igual a λ + 2ε.

  Prova: Primeiro note que toda aplica¸c˜ao linear ´e Lipschitz, com constante de Lips- chitz igual a sua norma, ou seja, L (E , E ) ⊂ Lip (E (r), E (r)) ∀r. Assim escolhendo ε

  1

  1

  2

  1

  2

  1 igual ao do Lema 2.9, n´os temos que Γ S est´a bem definida em Lip (E (r), E (r)) para todo

  1

  2

  1 r, logo em L 1 (E 1 , E 2 ).

  Sabemos que graf(Γ S σ) = S(graf(σ)). Como σ ´e uma aplica¸c˜ao linear ent˜ao graf(σ) ´e um subespa¸co linear. Sendo S linear, S leva subespa¸co linear em subespa¸co linear, logo S(graf(σ)) ´e um subespa¸co linear. Conclu´ımos ent˜ao que graf(Γ S σ) ´e subespa¸co linear.

  Assim pelo Teorema 1.4 temos que Γ S ´e linear.

  Finalmente, a constante de Lipschitz de Γ S ´e estimada pelo Lema 2.11.

  3.2 Lema. Seja U ε uma vizinhan¸ca de T em L

  1 (E 1 , E 2 ). A aplica¸c˜ao Γ : U ε × L 1 (E 1 , E 2 ) → L (E , E ) dada por Γ(S, K) = Γ S (K) ´e cont´ınua.

  1

  1

  2 −1

  Prova: Seja S i = p i ◦ S. Sabemos que Γ S (K) = S ◦ (id, K) ◦ [S ◦ (id, K)] . Como

  2

  1 invers˜ao e composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes cont´ınuas s˜ao cont´ınuas sobre o espa¸co das aplica¸c˜oes lineares, Γ ´e cont´ınua.

  ¥

  1

  1 Suponha agora que f ´e C bem pr´oxima de T , na topologia C em E 1 (r) × E 2 (r), ou seja, Lip(f − T ) &lt; ε e k Df − T k&lt; ε para todo z ∈ E (r) × E (r). Seja g a aplica¸c˜ao

  1

  2 de E (r) para E (r) cujo o gr´afico ´e a variedade inst´avel de f . N´os examinaremos o gr´afico

  1

  2 da derivada de g, supondo que esta ´e diferenci´avel.

  Seja h = f ◦ (id, g) : E (r) → E . O dois lemas precedentes nos permite definir

  1

  1

  1 uma aplica¸c˜ao cont´ınua

  F : E (r) × L (E , E ) → E × L (E , E )

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  2 F : (x, L) 7→ (h(x), Γ Df L).

  Al´em disso, F faz o seguinte diagrama de aplica¸c˜oes cont´ınuas comutar: F // E (r) × L (E , E ) E × L (E , E )

  1 ²² ²²

  1

  1

  2 h

  1 //

  1

  1

  2 E (r) E 1 ,

  1 onde as aplica¸c˜oes verticais s˜ao proje¸c˜oes, sobre o primeiro fator.

  3.3 Lema. k F (x, L) − F (x, K) k≤ (λ + 2ε) k L − K k, uniformemente sobre E

  1 (r) e, al´em −1 disso, E (r) ⊂ h(E (r)), Lip(h ) &lt; 1.

  1

  1 Prova: k F (x, L) − F (x, K) k=k (h(x), Γ Df L) − (h(x), Γ Df K) k= k Γ Df L − Γ Df K k≤k L − K k, pelo Lema 3.1. E pelos Lemas 2.7 e 2.8, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao. Seja Γ (E 1 (r), E 1 (r) × L 1 (E 1 , E 2 )) o espa¸co das se¸c˜oes cont´ınuas do fibrado trivial E (r) × L (E , E ) → E (r), ou seja, Γ (E (r), E (r) × L (E , E )) = {σ : E (r) → E (r) ×

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  1 L (E , E ) \ σ(x) = (x, Π σ(x))}, com a m´etrica uniforme, ou seja para se¸c˜oes σ e σ :

  1

  1

  2

  2

  1

  2 d(σ , σ ) = sup k Π σ (x) − Π σ (x) k,

  1

  2 x ∈E (r) 1

  2

  1

  2

  2 onde Π ´e a proje¸c˜ao sobre o segundo fator de E (r) × L (E , E ). Note que o espa¸co das

  2

  1

  1

  1

  2 se¸c˜oes cont´ınuas ´e isom´etrico, via composi¸c˜ao com Π 2 , com o espa¸co completo das aplica¸c˜oes cont´ınuas de E (r) para L (E , E ) e as imagens da se¸c˜oes correspondem aos gr´aficos. Assim

  1

  1

  1

  2 n´os definimos uma nova transforma¸c˜ao de gr´afico Γ F sendo um automorfismo Γ F : τ 7→

  −1 F ◦ τ ◦ h de Γ (E 1 (r), E 1 (r) × L 1 (E 1 , E 2 )); isto ´e, Γ F τ ´e uma se¸c˜ao cuja a imagem ´e a intersec¸c˜ao de F (imagem τ ) com E (r) × L (E , E ).

  1

  1

  1

  2

3.4 Lema. Γ F tem um ´ unico ponto fixo σ que satisfaz Γ Df (Π σ(x)) = Π σh(x) = Π σf (x, g(x)).

  2

  2

  2

  1 Prova: Sejam τ , τ se¸c˜oes. Logo

  1

  2 k Γ τ − Γ τ k = sup k Γ τ (z) − Γ τ (z) k F

  1 F

  2 F z 1

  1 F

  2 ∈E (r)

  −1 −1 = sup k F ◦ τ ◦ h (z) − F ◦ τ ◦ h (z) k z ∈E (r) 1

  1

  2 −1 −1 −1 −1

  = sup k F (h (z), Π τ (h (z))) − F (h (z), Π τ (h (z))) k z 1

  2

  1

  2

  2 ∈E (r)

  −1 −1 ≤ (λ + 2ε) sup k Π τ (h (z) − Π τ (h (z) k z 1

  2

  1

  2

  2 ∈E (r) ≤ (λ + 2ε)d(τ , τ ).

  1

  2 Como λ + 2ε &lt; 1 ⇒ Γ F ´e contra¸c˜ao.

  Seja σ a se¸c˜ao que ´e o ´ unico ponto fixo de Γ F . Ent˜ao −1 Γ F σ = σ ⇒ F σh = σ ⇒ F σ = σh.

  Assim F σ(x) = F (x, Π 2 σ(x)) = σ(h(x)) = (h(x), Π 2 σh(x)).

  Mas F (x, Π σ(x)) = (h(x), Γ Π σ(x)), pela defini¸c˜ao da F . Logo

  2 Df

  2

  ¥ Como um dos nossos objetivo ´e provar que o gr´afico de g ´e tangente a E 1 em zero, iremos agora definir quando duas fun¸c˜oes s˜ao tangentes em um ponto.

3.5 Definic ¸˜ ao. Seja Y e Z dois espa¸cos m´etricos. Suponha que h e h s˜ao duas fun¸c˜oes

  1

  2 de uma vizinhan¸ca de x em Y para Z, com h 1 (x) = h 2 (x). N´os dizemos que h 1 e h 2 s˜ao tangentes em x se, e somente se, d(h 1 (y), h 2 (y)) Lip (h , h ) = lim sup = 0. x

  1

  2 y →x d(x, y) Isto ´e, a distˆancia Lipschitz h para h em x ´e 0.

  1

  2

  

1 Exemplo. Se E e E s˜ao espa¸cos vetoriais normados e L e L s˜ao duas aplica¸c˜oes

  1

  2

  1

  2 lineares cont´ınuas de E para E , ent˜ao independente de x,

  1

  2 Lip (L , L ) =k L − L k . x

  1

  2

  1

  2 De fato, k L (y) − L (y) k

  1

  2 Lip (L , L ) = lim sup x

  1

  2 y →x k x − y k k L 1 (y) − L 1 (x) + L 2 (x) − L 2 (y) k

  = lim sup , pois L (x) = L (x) y →x k x − y k

  1

  2 k L (y − x) − L (y − x) k

  1

  2 = lim sup y k y − x k

  →x k (L − L )(y − x) k

  1

  2 = lim sup y

  →x k y − x k = k L − L k .

  1

  2

  

2 Exemplo. Se f : U ⊂ E → E , onde U ⊂ E ´e aberto, E e E s˜ao espa¸cos de Banach

  1

  2

  1

  1

  2 e L : E → E uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua. L ´e a derivada de f em x se, e somente se

  1

  2 f (x + y) e f (x) + L(y) s˜ao tangentes em y = 0, isto ´e k f (x) − f (x + y) − L(y) k y →0 lim = 0. k y k

  Iremos provar agora uma proposi¸c˜ao, na qual temos como conseq¨ uˆencia o ´ıtem (3) do Teorema da Variedade Inst´avel (Teorema 2.3).

  1

  1

3.6 Proposi¸c˜ ao. Quando f ´e C , o ponto fixo g de Γ f ´e C com derivada Π σ, onde σ ´e o

  2 Prova: Observemos que (Γ f g)(h(x) + y) − g(h(x)) − Γ Df [Π σ(x)](y) =

  2 (Γ f g)(h(x)+y)−g(h(x))−Γ Df [g◦(id+x)−g(x)](y)+Γ Df [g◦(id+x)−g(x)](y)−Γ Df [Π σ(x)](y).

  2 Assim Lip [(Γ f g)(h(x) + y), g(h(x)) − Γ Df [Π σ(x)](y)] = (3.1)

  2 k (Γ f g)(h(x) + y) − g(h(x)) − Γ Df [Π σ(x)](y) k

  2 lim sup y

  ≤ →0 k y − 0 k k (Γ f g)(h(x) + y) − g(h(x)) − Γ Df [g ◦ (id + x) − g(x)](y) k lim sup y

  • →0 k y k

  k Γ Df [g ◦ (id + x) − g(x)](y) − Γ Df [Π σ(x)](y) k

  2 lim sup y →0 k y k =

  Lip [(Γ f g)(h(x) + y) − g(h(x)), Γ Df [g ◦ (id + x) − g(x)](y)] + Lip [Γ Df [g ◦ (id + x) − g(x)](y), Γ Df [Π σ(x)](y)] =

  2 (I) + (II).

  Primeiro iremos trabalhar com a equa¸c˜ao (II). Seja k = p Df (id, g ◦(id+x)−g(x)).

  1 −1

  Utilizando o Lema 2.7, substituindo f por Df e σ por g ◦ (id + x) − g(x), temos que k ´e uma contra¸c˜ao e k ´e sobrejetiva. Isto ´e poss´ıvel, pois k Df − T k&lt; ε e g ◦ (id + x) − g(x) ∈ Lip (E (r), E (r)), visto que

  1

  2

  1 k g(y + x) − g(x) − (g(w + x) − g(x)) k=k g(y + x) − g(w + x) k≤k y + x − w − x k=k y − w k .

  Agora, note que k(0) = p

  1 Df (0, g(x) − g(x)) = p 1 Df (0, 0) = 0. ′ ′

  Considere w tal que k(w ) = y, isto ´e poss´ıvel pela sobrejetividade de k. Ent˜ao ′ −1 −1 ′ ′ k y k=k k(w ) − k(0) k≥ [Lip(k )] k w − 0 k&gt;k w k,

  −1 −1 −1 pois Lip(k ) &lt; 1 ⇒ [Lip(k )] &gt; 1. Aplicando o Lema 2.11, trocando f, σ 1 , σ 2 por Df, g ◦ (id + x) − g(x), Π 2 σ(x), res- ′ ′ pectivamente, observando que k = p Df (id, g ◦ (id + x) − g(x)) = Df (id, σ) e (x , y ) =

  1

  1 −1 −1 ′ ′

  (k (y), σ (k )(y)) = (w , σ (w )), temos

  1

  1 −1 −1 k Γ Df [g(id + x) − g(x)](y) − Γ Df [Π σ(x)](y) k ≤ (λ + 2ε) k σ (k (y)) − σ (k (y)) k

  2

  1

  2 ′ ′

  = (λ + 2ε) k σ 1 (w ) − σ 2 (w ) k ′ ′ = (λ + 2ε) k g(w + x) − g(x) − Π σ(x)(w ) k .

  2 ′

  Usando o fato de que k w k&lt;k y k, temos ′ ′ k Γ Df [g(id + x) − g(x)](y) − Γ Df [Π σ(x)](y) k k g(w + x) − g(x) − Π σ(x)(w ) k

  2 2 ≤ (λ+2ε) .

  ′ k y k k w k

  Assim, (II) = Lip [Γ Df [g ◦ (id + x) − g(x)](y), Γ Df [Π σ(x)](y)]

  2 k Γ Df [g(id + x) − g(x)](y) − Γ Df [Π 2 σ(x)](y) k

  = lim sup y →0 k y k

  ′ ′ k g(w + x) − g(x) − Π σ(x)(w ) k

  2 ≤ (λ + 2ε) lim sup w k w k ′ ′

  →0 ′ ′

  = (λ + 2ε)Lip [g(w + x) − g(x), Π σ(x)w ]

  2 ′ ′

  = (λ + 2ε)Lip [g(w + x), g(x) + Π σ(x)w ],

  2 isto ´e

  (II) ≤ Lip [Π σ(x), g(x + id) − g(x)]. (3.2)

  2 Agora iremos mostrar que (I) = 0. Para isto, seja w, tal que h(x + w) = h(x) + y, isto ´e poss´ıvel, pois h ´e homeomorfismo. Observe que

  −1 −1 k y k=k h(x + w) − h(x) k≥ [Lip(h )] k (x + w) − x k≥k w k, e que

  (Γ f g)(h(x) + y) = (Γ f g)(h(x + w)) = (Γ f g)(f (x + w, g(x + w))) = f (x + w, g(x + w)),

  1

  2 ′

  Pela escolha de w , temos −1

  Γ [g(x + id) − g(x)](y) = p Df (id, g(x + id) − g(x)) ◦ [p Df (id, g(x + id) − g(x))] (y) Df

  2

  1 −1

  = p Df (id, g(x + id) − g(x)) ◦ k (y)

  2 ′

  = p Df (id, g(x + id) − g(x))(w )

  2 Deste modo, n´os podemos expressar (III) = k (Γ f g)(h(x) + y) − g(h(x)) − Γ Df [g(id + x) − g(x)](y) k

  ′ ′ = k p ◦ f (x + w, g(x + w)) − p ◦ f (x, g(x)) − p Df (w , g(x + w ) − g(x)) k

  2

  2

  2 = k p ◦ Df (w, g(x + w) − g(x)) + p ◦ R[w, g(x + w) − g(x)]

  2

  2 ′ ′

  −p ◦ Df (w , g(x + w ) − g(x)) k

  2 ′ ′

  = k p ◦ Df (w − w , g(x + w) − g(x + w )) + p ◦ R[w, g(x + w) − g(x)] k,

  2

  2 onde, na pen´ ultima igualdade, usamos o fato de que f (a + v) − f (a) = Df (a)v + R(v), onde a = (x, g(x)) e v = (w, g(x + w) − g(x)).

  Como k v k=k (w, g(x + w) − g(x)) k=k w k, pois como Lip(g) ≤ 1, k g(x + w) − g(x) k≤k x + w − x k=k w k, pelo Teorema de Taylor R(v) R[w, g(x + w) − g(x)] v w lim = lim = 0.

  →0 →0 k v k k w k

  Assim ′

  (III) k w − w k R[w, g(x + w) − g(x)] + (IV ) = ≤k p Df k .

  2 k y k k y k k y k

  Agora observe que k [(Γ f g)(h(x) + y) − g(h(x)) − Γ Df [g ◦ (id + x) − g(x)](y)] k (I) = lim sup y →0 k y k = lim sup (IV ). y

  →0 R[w, g(x + w) − g(x)] R[w, g(x + w) − g(x)]

  Note que lim ≤ lim = 0, pois k kyk→0 kwk→0 k y k k w k w k≤k y k e assim k y k→ 0 ⇒k w k→ 0.

  ′ k w − w k

  Iremos agora mostrar que lim = 0. Para isto, observe que y = h(x + kyk→0 k y k w) − h(x) e

  ′ ′ ′ h(x + w ) − h(x) = p f (x + w , g(x + w )) − p f (x, g(x))

  1

  1 ′ ′ ′ ′

  = p Df (w , g(x + w ) − g(x)) + p R(w , g(x + w ) − g(x)),

  1

  1 assim

  ′ ′ ′ p R(w , g(x + w ) − g(x)) = h(x + w ) − h(x) − y

  1 ′

  = h(x + w ) − h(x) − h(x + w) + h(x) ′

  = h(x + w ) − h(x + w), mas logo ′ ′ ′ k w − w k≤k p R(w , g(x + w ) − g(x)) k .

  1 Ent˜ao ′ ′ ′ ′ k w − w k k p R(w , g(x + w ) − g(x)) k k w − w k

  1 lim ≤ lim = 0 ⇒ lim = 0, kyk→0 kyk→0 kyk→0 k y k k y k k y k o que nos d´a (I) = 0.

  Assim, por (3.1) e (3.2), temos Lip [(Γ f g)(h(x) + y), g(h(x)) − Γ Df [Π σ(x)](y)]

  2 ≤ (λ + 2ε)Lip [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)]. (3.3)

  Agora, usando o fato de que Γ f g ≡ g e que Γ Df [Π σ(x)] = Π σh(x) (Lema 3.4),

  2

  2 temos

  Lip [g(h(x) + y), gh(x) + Π σh(x)(y)]

  2 ≤ (λ + 2ε)Lip [g(x + y), g(x) + Π σ(x)(y)]. (3.4)

  2 −1

  −n Como h (E 1 (r)) ⊂ E 1 (r) e x ∈ E 1 (r), vemos que h (x) ∈ E 1 (r) e ent˜ao por (3.4), temos

  −n −n −n Lip [g(h (x) + y), gh (x) + Π σh (x)(y)]

  2

  1 −n+1 −n+1 −n+1

  ≥ Lip [g(h (x) + y), gh (x) + Π 2 σh (x)(y)] λ + 2ε

  1

  1 −n+2 −n+2 −n+2 ≥ · Lip [g(h (x) + y), gh (x) + Π σh (x)(y)].

  2 λ + 2ε λ + 2ε

  Repetindo-se esse processo n vezes, obtemos a seguinte estimativa: −n −n −n

  Lip [g(h (x) + y), gh (x) + Π σh (x)(y)] n

  2 µ ¶

  1 ≥ Lip [g(x + y), g(x) + Π σ(x)(y)]. (3.5)

  2 λ + 2ε

  Queremos mostrar que Lip [g(x + y), g(x) + Π σ(x)(y)] = 0. Suponhamos que n˜ao,

  2 ent˜ao existe x ∈ E 1 (r) tal que Lip [g(x + y), g(x) + Π 2 σ(x)(y)] = δ &gt; 0, ou seja k g(x + y) − g(x) − Π

  2 σ(x)(y) k Logo existe seq¨ uˆencia x n ∈ E 1 (r), tal que Lip [g(x n + y), g(x n ) + Π 2 σ(x n )(y)] → ∞, ou seja k g(x n + y) − g(x n ) − Π σ(x n )(y) k

  2 lim sup = ∞, y k y k

  →0 pois pela equa¸c˜ao (3.5) temos que seu segundo membro ´e infinito, visto que estamos supondo n

  ¡ ¢

  1

  1 Lip [g(x + y), g(x) + Π σ(x)(y)] = δ &gt; 0 e → ∞, pois &gt; 1.

  2 λ λ

  • 2ε +2ε

  Mas Lip(g) ≤ 1 e σ ∈ L 1 (E 1 , E 2 ), ou seja, k σ k≤ 1, logo temos que k Π 2 σ(x n ) k≤ 1. Assim k g(x n + y) − g(x n ) − Π σ(x n )(y) k

  2 Lip [g(x n + y), g(x n ) + Π σ(x n )(y)] = lim sup

  2 y →0 k y k k g(x n + y) − g(x n ) k k Π σ(x n )(y) k

  2 ≤ lim sup + lim sup y y

  →0 k y k →0 k y k k x n + y − x n k

  ≤ lim sup + lim sup k Π σ(x n ) k y →0 k y k y →0

  2 ≤ 1 + 1 = 2, o que contradiz o fato de que Lip [g(x n + y), g(x n ) + Π σ(x n )(y)] → ∞, logo n˜ao existe

  2 x ∈ E (r), tal que Lip [g(x + y), g(x) + Π σ(x)(y)] = δ &gt; 0, ent˜ao

  1

  2 Lip [g(x + y), g(x) + Π σ(x)(y)] = 0 ∀x ∈ E (r).

  2

  1 Assim, como Π 2 σ(x) ´e linear, temos que Dg(x) = Π 2 σ(x).

  ¥ Para provar o ´ıtem (4) do Teorema 2.3, temos que f (0) = 0 e Df (0) = T . Pelo

  Lema 3.4, temos que Γ [Π σ(x)] = Π σf (x, g(x)). Fazendo x = 0 temos que Γ [Π σ(0)] = Df

  2

  2

  1 T

  2 Π σf (0, g(0)) = Π σ(0), ou seja, o gr´afico de Π σ(0) ´e invariante por T . Mas sabemos que

  2

  1

  2

  2 o gr´afico de E ´e o ´ unico invariante por Γ T . Assim

  1 graf(Π σ(0)) = graf(Dg(0)) = (E , 0).

  2

  1 Portanto o gr´afico de g ´e tangente a E em zero.

  1 De agora em diante, E(r) denota E 1 (r) × E 2 (r) e T E(r) = T E 1 (r) × T E 2 (r), o fibrado tangente de E(r), ou seja, o conjunto {(x, v)/x ∈ E(r) e v ∈ T x E(r)}.

  Definamos agora a fun¸c˜ao T f : T E(r) → T E dada por, T f (x, v) = (f (x), Df (x)v). Note que: (i) k T f (0) k=k (f (0), Df (0)0) k=k f (0) k&lt; δ.

  (ii) T f ´e Lipschitz.

  Logo, pelo Teorema da Variedade Inst´avel, aplicado a T f , existe uma aplica¸c˜ao g : T E 1 (r) → T E 2 (r) cujo o gr´afico ´e a variedade inst´avel para T f , ou seja, g ´e o ponto fixo para a aplica¸c˜ao Γ T : Lip (T E (r), T E (r)) → Lip (T E (r), T E (r)) que ´e uma contra¸c˜ao, f

  1

  2

  1

  2

  1

  1 pelo Lema 2.11.

  Queremos encontrar quem ´e esse ponto fixo. E isto ´e feito pela seguinte proposi¸c˜ao:

3.7 Proposi¸c˜ ao. A fun¸c˜ao g : T E (r) → T E (r) dada por g(x, v) = (g(x), Dg(x)v) ´e o

  1

  2 ponto fixo de Γ T f .

  Prova: Suponhamos que isto seja v´alido, logo −1

  Γ T (g)(x, v) = T f f 2 ◦ (id, g) ◦ [T f 1 ◦ (id, g)] (x, v).

  −1 Seja [T f 1 ◦ (id, g)] (x, v) = (y, w). Assim 2

  (g(x), Dg(x)v) = T f ◦ (id, g)(y, w) = T f 2 ◦ (y, w, g(y), Dg(y)w) = T f 2 ((y, g(y)), (w, Dg(y)w)) = p 2 ◦ T f ((y, g(y)), (w, Dg(y)w)) = p (f (y, g(y)), Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w))

  2 = Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w). (3.6) Mas (x, v) = T f 1 ◦ (id, g)(y, w)

  = T f 1 ◦ (y, w, g(y), Dg(y)w) = p ◦ T f ((y, g(y)), (w, Dg(y)w))

  1 = p (f (y, g(y)), Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w))

  1 = f (y, g(y)), obtendo-se que x = f (y, g(y)) e v = f (y, g(y)). Substituindo estes valores na equa¸c˜ao (3.6)

  1

  2 temos

  (g(f 1 (y, g(y))), Dg(f 1 (y, g(y))) · f 2 (y, g(y))) = Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w) ⇒ (f (y, g(y)), Dg(f (y, g(y))) · f (y, g(y))) = Df (y, g(y)) · (w, Dg(y)w), (3.7)

  2

  1

  2 pois no nosso caso f (y, g(y)) = (x, g(x)), visto que x = f (y, g(y)).

  1 Assim temos Df (y, g(y)) · (grafDg(y)) = graf(Dg(f 1 (y, g(y)))), como vimos no inicio do cap´ıtulo. Assim a equa¸c˜ao (3.7) ´e satisfeita e nosso ponto fixo, ´e de fato, g(x, v) = (g(x), Dg(x)v).

  ¥ Note que u u graf(g) = (x, v, g(x), Dg(x)v) = (graf(g), graf(Dg(x))) = (W , T W ).

  1

  1 J´a sabemos que se f ´e C ent˜ao g ´e C . Suponhamos que o resultado seja v´alido k −1 para k − 1. Logo aplicando a hip´otese de indu¸c˜ao para T f , temos que se T f ´e C ent˜ao g k −1

  ´e C . Sendo assim k k k k k −1 −1 −1 f ´e C ⇒ T f ´e C ⇒ g ´e C ⇒ Dg ´e C ⇒ g ´e C .

  Isto prova o ´ıtem (4) e, por sua vez, o Teorema 2.3 est´a provado.

3.8 Observa¸c˜ao. O ´ıtem (4) do Teorema 2.3 tamb´em pode ser provado usando o Teorema

  Cap´ıtulo 4 Variedades Centrais

  Neste cap´ıtulo n´os provaremos o Teorema da Variedade central que ´e uma genera- liza¸c˜ao do Teorema da Variedade Inst´avel.

4.1 Definic ¸˜ ao. Seja T : E → E uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua de um espa¸co de Banach

  E. T ´e ρ-pseudohiperb´olico se existe uma decomposi¸c˜ao em soma direta E = E ⊕ E

  1

  2 T -invariante e constantes 0 &lt; λ 1 &lt; ρ &lt; µ 1 , e C 1 , C 2 &gt; 0 tal que:

  (1) a restri¸c˜ao T de T a E ´e um isomorfismo e ∀n ≥ 0 e ∀v ∈ E

  1

  1 n n

  1 k T (v) k≥ C µ k v k;

  1

  1

  1

  (2) ∀n ≥ 0 e ∀v ∈ E e T a restri¸c˜ao de T a E

  2

  2 n n

  2 k T (v) k≤ C 2 λ k v k .

  2

  1 Vemos claramente que uma aplica¸c˜ao linear pseudohiperb´olica ´e hiperb´olica quando ρ = 1. Se assumimos que a norma em E ´e adaptada para T , ent˜ao para 0 &lt; λ &lt; ρ &lt; µ temos:

  (1) k T (v) k&gt; µ k v k para todo v 6= 0 em E ,

  1 1 (2) k T (v) k&lt; λ k v k para todo v 6= 0 em E .

  2

  2

4.2 Teorema. Seja T : E → E uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua ρ-pseudohiperb´olica de um

  espa¸co de Banach E, com decomposi¸c˜ao E = E ⊕ E , m´etrica adaptada k k e constantes

  1

  2 0 &lt; λ &lt; ρ &lt; µ tais que k T (v) k&gt; µ k v k para todo v 6= 0 em E ,

  1 1 k T (v) k&lt; λ k v k para todo v 6= 0 em E .

  2

  2 Seja ε &gt; 0 um n´ umero real tal que f : E → E ´e uma aplica¸c˜ao lipschitz com f (0) = 0 e Lip(f − T ) &lt; ε, ent˜ao

  T n

  

(1) O conjunto W = f S , onde S = {(x, y) ∈ E × E ; k x k≥k y k} ´e o gr´afico de

  1 n ≥0

  1

  1

  1

  2 uma fun¸c˜ao Lipschitz g : E 1 → E 2 com Lip(g) ≤ 1 e f (graf(g)) = graf(g). n

  −n −n

  

(2) z ∈ W se, e somente se, existe a imagem inversa f z tal que k f z k /ρ → 0

  1 n −n quando n → ∞ ou quando k f z k /ρ → 0 est´a limitado quando n → ∞. r −j r

  

(3) Se f ´e C e µ λ &lt; 1 para 1 ≤ j ≤ r ent˜ao g ´e C . Se f ´e diferenci´avel em 0 e se

Df (0) = T ent˜ao o gr´afico de g ´e tangente a E em 0.

  1 cu cu Para µ &lt; 1, o gr´afico de g ´e chamado de variendade inst´avel central e denotado por W ou W (0). Se λ &gt; 1 o gr´afico de g ´e chamado variendade inst´avel forte e denotado por uu uu f W ou W (0). f

  −1 Se f ´e invert´ıvel ent˜ao considerando f existe uma variedade invariante tangente

  T −n a E em 0, que ´e a interse¸c˜ao f S , onde S = {(x, y) ∈ E × E ; k x k≤k y k}. Essa

  2 n

  2

  2

  1

  2 ≥0 variedade ´e chamada de variedade centro est´avel se λ &gt; 1 e variedade est´avel forte se µ &lt; 1, cs ss e s˜ao denotadas por W e W respectivamente.

  Considere fun¸c˜oes g : E → E tais que g(0) = 0 e Lip(g) ≤ 1. Considere Df =

  1

  2  

  A B −1

    , com E = E × E , α = sup k A k, k = sup k K k, b = sup k B k,

  1

  2 C K c = sup k C k . Quando k &gt; 1, a transforma¸c˜ao de gr´afico, Γ f , n˜ao ´e necessariamente uma contra¸c˜ao na norma do sup, pois Γ f (Lip (E

  1 , E 2 )) 6⊂ Lip (E 1 , E 2 ), como mostra o exemplo

  1

  1 abaixo.

3 Exemplo. Considere as seguintes fun¸c˜oes: f : R×R → R×R dada por f (x, y) = (4x, 10y),

  menor do que um. Note que

  1 −1 h(x) = f ◦ (id, g)(x) = 4x ⇒ h (x) = x.

  1

  4 Logo

  1

  1

  1

  5 Γ (g)(x) = f ◦ (id, g)( x) = p ◦ f ( x, x) = x 6∈ Lip (R, R). f

  2

  2

  1

  4

  4

  8

  4 Ent˜ao definimos a seguinte m´etrica k g (x) − g (x) k

  1

  2 k g − g k = sup , x ∈ E .

  1 2 ∗ x k x k

  1 6=0

  1 −1 −1

  De acordo com o Lema 2.7 temos que h ´e Lipschitz com Lip(h ) ≤ , onde µ −ε h = f ◦ (id, g).

  1

4.3 Lema. Com a norma k k o espa¸co G = {g : E → E |g(0) = 0 e k g k < ∞} ´e um

  ∗

  1 2 ∗ espa¸co de Banach e G(1) = {g ∈ G|Lip(g) ≤ 1} ´e um subconjunto fechado.

  Prova: Seja g n uma sequˆencia de Cauchy em G. Ent˜ao g n converge uniformemente sobre os conjuntos limitados, logo pontualmente para uma fun¸c˜ao g. Assim para cada n, kg m (x)−g(x)k

  1 escolha m = m(x, n) ≥ n tal que &lt; . Ent˜ao n kxk k g n (x) − g(x) k k g n (x) − g m (x) k k g m (x) − g(x) k

  1 sup x k x k x k x k k x k n + ≤ sup ≤ ε , + n 6=0 6=0 onde ε n = sup k g m −g n k . Assim k g n −g k → 0, quando n → ∞ e ent˜ao G ´e completo. m ∗ ∗

  ≥n Mostraremos agora que G(1) ´e fechado. Para isto basta mostrarmos que quando g n → g, na nova m´etrica definida acima, e Lip(g n ) ≤ 1 ent˜ao Lip(g) ≤ 1. k g n (x) − g(x) k sup =k g n − g k &lt; ε =⇒k g n (x) − g(x) k&lt; ε k x k . x k x k

  6=0 Logo k g(x) k = k g(x) − g(0) k

  ≤ k g n (x) − g(x) k + k g n (x) k ≤ ε k x k + k x k = (ε + 1) k x k .

  Fazendo ε → 0 temos o resultado.

  ¥ 4.4 Lema. Γ f est´a bem definida e Γ f : G(1) → G(1).

  Prova: Para toda g ∈ G(1), Γ f (g) est´a definida e −1

  Lip(Γ f (g)) ≤ Lip(f )Lip(id, g)Lip(h )

  2

  1 ≤ [Lip(T ) + Lip(p ◦ (f − T ))]

  2

  2 µ − ε

  λ + ε ≤ &lt; 1,

  µ − ε para ε bastante pequeno.

  ¥

4.5 Lema. Se k x k≥k y k e g ∈ G(1) ent˜ao

  k f (x, y) − Γ (g)(f (x, y)) k λ + 2ε k y − g(x) 2 f

  1 &lt; . k f (x, y) k µ − ε k x k

  1 Ver Figura 4.1.

  E 2 G f (g) f (x,y) 1 g(x) (x,y) x f (x,y) 1 E 1 Figura 4.1: Lema 4.5.

  Prova: Primeiro, note que k f (x, g(x)) − f (x, y) k ≤ k f (x, g(x)) − T (x, g(x)) + T (x, g(x))

  1

  1

  1

  1

  1 −T (x, y) + T (x, y) − f (x, y) k

  1

  1

  1 ≤ k (f − T )(x, g(x)) − (f − T )(x, y) k + k T (x, g(x)) − T (x, y) k

  1

  1

  1

  1

  1

  1 | {z }

  =0 ≤ ε k y − g(x) k, k f (x, y) k = k T (x, y) + f (x, y) − T (x, y) k

  1

  1

  1

  1 ≥ k T (x, y) k − k (f − T )(x, y) k

  1

  1

  1 ≥ µ k x k −ε k (x, y) k = (µ − ε) k x k, (4.1) pois k x k&gt;k y k.

  Logo k f (x, y) − Γ f (g)(f (x, y)) k ≤ k f (x, y) − f (x, g(x)) + f (x, g(x)) − Γ f (g)(f (x, y)) k

  2

  1

  2

  2

  2

  1 ≤ k f (x, y) − f (x, g(x)) k + k f (x, g(x)) − Γ f (g)(f (x, y)) k

  2

  2

  2

  1 ≤ Lip(f 2 ) k y − g(x) k + k Γ f (g)(f 1 (x, g(x))) − Γ f (g)(f 1 (x, y)) k ≤ (λ + ε) k y − g(x) k +Lip(Γ f (g)) k f (x, g(x)) − f (x, y) k

  1

  1 ≤ (λ + ε) k y − g(x) k +ε k y − g(x) k ≤ (λ + 2ε) k y − g(x) k . (4.2)

  Das equa¸c˜oes (4.1) e (4.2) temos k f (x, y) − Γ f (g)(f (x, y)) k λ + 2ε k y − g(x) k

  2

  1 &lt; . k f (x, y) k µ − ε k x k

  1 ¥

  ′

4.6 Lema. Para g, g ∈ G(1)

  λ + 2ε ′ ′ k Γ f (g) − Γ f (g ) k ∗ ≤ k g − g k ∗ .

  µ − ε −1 ′ −1 ′

  Prova: Seja (x, y) = (h (z), g (h (z))), z ∈ E , ou seja, (x, y) ∈ graf(g ). Note

  1 que

  ′ ′ ′ −1 Γ f g (z) = f ◦ (id, g ) ◦ [f ◦ (id, g )] (z)

  2

  1 −1 ′ −1

  = f ◦ (h (z), g (h (z)))

  2 e que x = h −1

  (z) ⇒ z = h(x) = f 1 ◦ (id, g ′

  2 (f n

  1 (f n

  ′ ))) k k f

  ′ , y

  −1 (x

  1 (f n

  ′ )) − g(f

  ′ , y

  −1 (x

  = k f

  ′ , y

  ′ ) k

  ′ , y

  1 ◦ f n (x

  ′ )) k k p

  ′ , y

  1 ◦ f n (x

  ′ ) − g(p

  ′ , y

  −1 (x

  ′ )) k

  = k p

  µ − ε ¶ n k y

  ′ k k g(x

  ′ ) k k y

  ) k k y ′ k + k g(x

  − g(x ′

  Mas note que k y ′

  ′ k .

  ′ ) k k x

  ′ − g(x

  &lt; µ λ + 2ε

  &lt; λ + 2ε

  ′ ) k

  ′ , y

  1 ◦ f n −1 (x

  ′ )) k k p

  ′ , y

  ′ ) − g(p 1 ◦ f n −1 (x

  ′ , y

  µ − ε k p 2 ◦ f n −1 (x

  2 ◦ f n (x

  ) = (x, y), temos k y − g(x) k k x k

  )(x) = f 1 (x, g ′

  ≤ λ + 2ε

  ≤ λ + 2ε

  −1 (z) k

  −1 (z)) k k h

  −1 (z)) − g(h

  ′ (h

  µ − ε sup x 6=0 k g

  ≤ λ + 2ε

  µ − ε sup x 6=0 k y − g(x) k k x k

  1 (x, y) k

  − g k ∗ .

  1 (x, y)) k k f

  2 (x, y) − Γ f g(f

  = sup x 6=0 k f

  ′ (z) − Γ f g(z) k k z k

  6=0 k Γ f g

  ∗ = sup z

  ′ − Γ f g k

  (x)) = f 1 (x, y). Logo k Γ f g

  µ − ε k g ′

  ¥ De acordo com os Lemas 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, temos que Γ f est´a bem definida, ´e uma contra¸c˜ao em G(1), logo possui um ´ unico ponto fixo, que a partir de agora, denotamos de g.

  , y ′

  &lt; λ + 2ε

  ), . . . , f n (x ′

  , y ′

  ), f (x ′

  , y ′

  Repetindo-se esse processo para os primeiros n interados de f , (x ′

  ) k k x ′ k .

  − g(x ′

  µ − ε k y ′

  ′ ) k

  Iremos agora iniciar a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.2. Prova:

  ′ , y

  1 (x

  ′ )) k k f

  ′ , y

  ′ ) − Γ f (g)(f 1 (x

  ′ , y

  Pelo Lema 4.5 temos que k f 2 (x

  1 .

  (1) Como g ´e o ponto fixo de Γ f , claramente f (graf(g)) = graf(g). Agora, seja (x, y) ∈ S

  ′ ) k Logo n n ¶ ¶

  ′ ′ k y − g(x) k µ λ + 2ε k y − g(x ) k µ λ + 2ε

  &lt; &lt; · 2 −→ 0, ′ k x k µ − ε k x k µ − ε quando n → ∞. Assim conclu´ımos que y = g(x), ou seja, (x, y) ∈ graf(g), e isto

  T n implica que f S ⊂ graf(g). n

  1 ≥0

  Agora seja (x, y) ∈ graf(g), ou seja y = g(x). Como (x, g(x)) ∈ S , pois

  1 k g(x) − g(0) k≤ Lip(g) k x − 0 k⇒k g(x) k≤k x k, temos que graf(g) ⊂ S . Aplicando f , obtemos

  1 f (graf(g)) ⊂ f S ⇒ graf(g) ⊂ f S .

  1

  1 Repetindo-se esse processo n vezes n graf(g) ⊂ f S .

  1 T T n n Logo graf(g) ⊂ f S , e assim graf(g) = f S . n ≥0 n ≥0

  1

  1

  (2) Se (x, y) ∈ graf(g) ent˜ao n

  −n −n (x, y) = f (h (x), gh (x)). (4.3)

  −1 Provaremos isto por indu¸c˜ao. Seja x = h (x) ⇒ h(x) = x ⇒ x = f (x, g(x)). Assim

  1 −1 −1 f (h (x), gh (x)) = f (x, g(x)) = (f (x, g(x)), g(f (x, g(x)))) = (x, g(x)) = (x, y).

  1

  1 n −n −n Suponhamos agora, que a equa¸c˜ao (4.3) seja v´alida para n, ou seja, (x, y) = f (h (x), gh (x)).

  Logo n +1 −n−1 −n−1 n −n −1 −n −1 f (h (x), gh (x)) = f ◦ f (h (h (x)), gh (h (x))) −1 −1

  = f (h (x), gh (x)) = (x, y).

  Agora note que n µ ¶

  1 −n −n −n −n k f (x, y) k=k (h (x), gh (x)) k=k h (x) k≤ k x k .

  µ − ε E ent˜ao temos n

  µ ¶ −n k f (x, y) k ρ n ≤ k x k→ 0,

  ρ µ − ε

  1

  1

  (3) Primeiro, provaremos que g ´e C quando f ´a C . Defina o fibrado E

  1 × L 1 (E 1 , E 2 ) → E como na prova do Teorema 2.3. O fato de que Lip(f − T ) &lt; ε nos d´a que k

  1 Df (x, y) − T k&lt; ε para todo (x, y). Definindo F : E × L (E , E ) → E × L (E , E )

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  2 por F (x, L) = (h(x), Γ Df L) temos que F ´e uma contra¸c˜ao nas fibras, cujo o fator de λ

  • 2ε contra¸c˜ao e ≤ . µ −ǫ

  Seguindo exatamente como na Proposi¸c˜ao 3.6, chegamos a seguinte estimativa: Lip [(Γ f g)(h(x) + y), gh(x) + Γ Df (σ (x))(y)]

  2 ¶

  µ λ + 2ε ≤ Lip [g(x + y), g(x) + σ (x)(y)].

  2 µ − ǫ

  E novamente, seguindo as linhas da Proposi¸c˜ao 3.6 a partir da equa¸c˜ao acima, con-

  1 clu´ımos que σ ´e a derivada de g. Logo g ´e C .

  2 k k Assim se f ´e C , segue diretamente do Teorema 4.10 (apˆendice) que g ´e C .

  ¥

4.1 A n˜ ao unicidade da Variedade Central

  Ao contr´ario da variedade inst´avel (est´avel), a variedade central n˜ao ´e ´ unica. Um exemplo bem simples da n˜ao unicidade da variedade central ´e dado a seguir.

4 Exemplo. Considere a seguinte equa¸c˜ao diferencial:

   ′

  2  x = x

  ′  y = −y

  A lineariza¸c˜ao do sistema acima, na origem ´e    

  DX(0)(x, y) 0 −1 Os autovalores de DX(0) s˜ao 0 e −1. O autoespa¸co associado ao autovalor −1 ´e o eixo y, que ´e o espa¸co est´avel e o autoespa¸co associado ao autovalor 0 ´e o eixo x, que ´e os Note que a curva y =    y exp(

  1 x )/ exp(

  1 x ), se x &lt; 0

  0, se x ≥ 0 ´e uma solu¸c˜ao do sistema inicial, que passa pelo ponto (x , y ), quando x &lt; 0 e que ´e invariante pelo fluxo. Temos tamb´em que a curva acima ´e tangente ao eixo x em 0, pois exp(

  1 x ) → 0 quando x → 0

  − e d m y d m x = 0 em x = 0 para todo m ∈ N. Logo ´e uma variedade central para o nosso sistema inicial.

  Sendo assim, o nosso sistema inicial, possui uma infinidade de variedades centrais, como mostra a figura seguinte.

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

. . .

. . . .

. . .

. .

. . .

. . .

. . . .

. . .

. .

  x y

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apˆ endice

  

4.7 Definic ¸˜ ao. Um fibrado vetorial π : E → X, com espa¸co total E, base X e fibra t´ıpica

  F , ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua com a seguinte propriedade: para todo ponto x ∈ X existem −1 uma vizinhan¸ca U ∋ x e um homeomorfismo ϕ : U × F → π (U), tal que π ◦ ϕ = π ,

  U U U onde π : U × F → U ´e a proje¸c˜ao na primeira coordenada. U

  A igualdade π(ϕ U (x, y)) = x significa que, para cada x ∈ U, ϕ U leva x × F ho- −1 −1 meomorficamente sobre π (x). Assim, a imagem inversa π (x) de cada ponto de X ´e homeomorfa a fibra t´ıpica F . O diagrama abaixo ´e comutativo ϕ U // −1

  Π (U) U × F K K K π U K K K K π K K K K %% ²²

  U Quando E = B × F dizemos que o fibrado ´e trivial.

  

4.8 Definic ¸˜ ao. Seja Π : E → X um fibrado vetorial com uma m´etrica no espa¸co base. N´os

  dizemos que uma m´etrica d em E ´e admiss´ıvel quando

  (1) d induz uma norma sobre cada fibra;

  ′ ′

  

(2) Existe um fibrado complementar E sobre X e um isomorfismo de E ⊕ E em X × A,

  onde A ´e um espa¸co de Banach e a m´etrica produto em X × A induz d em E; (3) A proje¸c˜ao de X × A sobre E ´e de norma 1.

  

4.9 Definic ¸˜ ao. Uma aplica¸c˜ao ϕ entre dois espa¸cos m´etricos Y e Y ´e dita ser α-H¨older,

  1

  2 0 &lt; α ≤ 1, se existe uma constante K tal que para todo x, y ∈ Y

  1 r

4.10 Teorema (Teorema da Se¸c˜ ao C ). Seja Π : E → X um fibrado vetorial sobre o

  espa¸co m´etrico X, com uma m´etrica admiss´ıvel sobre E. Seja X um subconjunto de X e D um disco fibrado de raio C em E, onde C &gt; 0 ´e uma constante finita. Seja D a restri¸c˜ao −1 de D a X , ou seja, D = D ∩ Π (X ).

  Seja h um homeomorfismo que cobre X , isto ´e, X ⊂ h(X ). Seja F : D → D uma aplica¸c˜ao que cobre h. Suponha que exista uma constante k, 0 ≤ k &lt; 1, tal que, para todo x ∈ X , a restri¸c˜ao de F a uma fibra sobre x, F x : D x → D h , ´e Lipschitz com constante

  (x) n˜ao maior do que k. Ent˜ao:

(a) Existe uma ´ unica se¸c˜ao σ : X → D tal que F (imagem de σ) ∩ D = imagem de σ.

  (b) Se F ´e cont´ınua ent˜ao σ ´e cont´ınua. α

  −1 −1

  

(c) Se, al´em disso, h ´e Lipschitz com Lip(h ) = µ, F ´e α-H¨older, e kµ &lt; 1, ent˜ao σ

´e α-H¨older. Em particular, quando α = 1, σ ´e Lipschitz. r r

  (j) −1 (j)

  

(d) Se, al´em disso, X, X e E s˜ao variedades C (r ≥ 1), h e F s˜ao C , F e (h )

r

  −1 s˜ao limitadas para 1 ≤ j ≤ r, Lipschitz para 1 ≤ j &lt; r, e kµ &lt; 1, onde µ = Lip(h ), r ent˜ao σ ´e C .

  Prova: N´os podemos assumir, sem perda de generalidade, que E ´e trivial. Se n˜ao ´e, ′ a existˆencia da m´etrica admiss´ıvel nos permite substituir E por E ⊕ E e F pela composi¸c˜ao F i

  ′ ′ p ′ F : E ⊕ E → E → E → E ⊕ E ,

  ′ onde p ´e a proje¸c˜ao e i a inclus˜ao. Claramente F cobre h e tem a mesma constante de

  ′ Lipschitz sobre qualquer fibra, al´em disso, desde que a imagem de F est´a contida em E, assim ´e a imagem de qualquer se¸c˜ao invariante sob Γ F .

  Ent˜ao de agora em diante, consideraremos E = X × A e escreveremos σ(x) = (x, σ (x)) em coordenadas.

  2

  (a) Veja que o espa¸co Γ(X , D ) das se¸c˜oes σ : X → D , com a m´etrica

  ′ ′ d(σ, σ ) = sup k σ(x) − σ (x) k

  ´e completo.

  −1 Definamos agora a aplica¸c˜ao Γ F : Γ(X , D ) → Γ(X , D ) dada por Γ F (σ) = F ◦σ◦h .

  Temos que Γ F ´e uma contra¸c˜ao(ver Lema 3.4), logo possui um ´ unico ponto fixo, que denotaremos por σ. Este ponto fixo satisfaz claramente que F (imagem de σ) ∩ D = imagem de σ.

  (b) Se F ´e cont´ınua, ent˜ao Γ F : Γ (X , D ) → Γ (X , D ) est´a bem definida, onde Γ (X , D ) ´e o espa¸co das se¸c˜oes cont´ınuas. Como Γ (X , D ) ´e fechado em Γ(X , D ).

  Logo pela unicidade do ponto fixo, temos que σ ´e cont´ınua.

  (c) Seja F = Π ◦ F. Note que

  2 −1 −1 −1 −1 −1

  F (h (x), σ h (x)) = (h ◦ h (x), Γ Df σ h (x)) = (x, Γ Df σ h (x)) = (x, σ (x)),

  2

  2

  2

  2 −1 −1 pois Γ Df σ 2 (x) = σ 2 ◦ h(x) pelo Lema 3.4. Logo F 2 (h (x), σ 2 h (x)) = σ 2 (x). A componente σ satisfaz

  2 −1 −1 −1 −1 d[σ (x), σ (y)] = d[F (h (x), σ h (x)), F (h (y), σ h (y))]

  2

  2

  2

  2

  2

  2 −1 −1 −1 −1

  ≤ d[F (h (x), σ h (x)), F (h (x), σ h (y))]

  2

  2

  2

  2 −1 −1 −1 −1

  • d[F (h (x), σ h (y)), F (h (y), σ h (y))]

  2

  2

  2

  2 α −1 −1 −1 −1

  ≤ kd[σ h (x), σ h (y)] + Hd[h (x), h (y)]

  2

  2 −1 −1 α α ≤ kd[σ h (x), σ h (y)] + Hµ d[x, y] .

  2

  2 Mais geralmente temos n n α j j α

  X −n −n −1 d[σ 2 (x), σ 2 (y)] ≤ k d[σ 2 h (x), σ 2 h (y)] + H (µ ) k d[x, y] . (4.4) j =1

  Provaremos que a equa¸c˜ao acima ´e valida por indu¸c˜ao: Para n = 1 j´a foi mostrado anteriormente. Suponha agora que a equa¸c˜ao acima seja v´alida para n. Agora, note que n n α α ©

  ª −n −n −n−1 −n−1 −n −n k d[σ h (x), σ h (y)] ≤ k kd[σ h (x), σ h (y)] + Hµ d[h (x), h (y)]

  2

  2 n n α α

  2

  2

  • 1 −n−1 −n−1 −n −n

  ≤ k d[σ n +1 −n−1 −n−1 n α αn α 2 h (x), σ 2 h (y)] + Hk µ d[h (x), h (y)] ≤ k d[σ h (x), σ h (y)] + Hk µ µ d[x, y]

  2

  2 Assim das equa¸c˜oes (4.4) e (4.5) temos n +1 −(n+1) −(n+1) n α n +1 α d[σ 2 (x), σ 2 (y)] ≤ k d[σ n 2 h (x), σ 2 h (y)] + Hk (µ ) d[x, y]

  X α j j α −1

  • H (µ ) k d[x, y] j

  =1 n

  • 1 n +1 −(n+1) −(n+1) −1

  X α j j α = k d[σ 2 h (x), σ 2 h (y)] + H (µ ) k d[x, y] . j =1

  E isto conclui a indu¸c˜ao. Fazendo agora n → ∞, temos n −n −n d[σ (x), σ (y)] ≤ lim {k d[σ h (x), σ h (y)]}

  2

  2 n

  2

  2 →∞ n

  X α j j α −1 + lim {H (µ ) k d[x, y] }. n

  →∞ j n n→∞ −n −1 −n −n =1 Temos que k −→ 0, pois k &lt; 1, h (X ) ⊂ X , pois h (X ) ⊂ X e que d[σ h (x), σ h (y)] ≤

  2

  2

  2C, pois σ : X → D . Logo n −n −n lim {k d[σ h (x), σ h (y)]} = 0. n

  2

  2 →∞

  Assim α µ α d[σ (x), σ (y)] ≤ H d[x, y] .

  2

  2 α 1 − µ k Logo σ ´e α-H¨older, o que nos d´a que σ = (id, σ ) tamb´em ´e α-H¨older.

  2

  2

  (d) Seja E → X o fibrado vetorial com fibra L(T x X, A) em x, onde L(T x X, A) ´e o espa¸co

  das aplica¸c˜oes lineares cont´ınuas do espa¸co tangente em x de X em A. Note que esse espa¸co ´e onde est´a a derivada de σ 2 .

  Seja D o disco fibrado de raio C associado a E. Sua fibra em x e o conjunto das aplica¸c˜oes lineares de norma n˜ao maior do que 2C. Definamos agora a aplica¸c˜ao Γ DF : D → D que cobre o homeomorfismo h : X → X dada por

  −1 Γ DF (L) = Π DF 2 ◦ (id, L) ◦ Dh .

  2 x,σ (x) h Dh (id,L) DF −1 (x) 2 Π

  T h X −→ T x X −→ T x X × A −→ T h × A −→ A.

  (x) (x) Note que

  −1 Γ DF (L) = Π DF x,σ 2 ◦ (id, L) ◦ Dh

  2 (x) h (x)

  −1 −1 = Π (D F x,σ 2 ⊕ D F x,σ 2 ) ◦ (Dh , LDh )

  2 1 (x) 2 (x) h h (x) (x)

  −1 k

  ◦ L

  2 ◦ Dh

  ◦ L

  2 F x,σ 2 (x)

  2 D

  (x) − Π

  1 F x,σ 2 (x)Dh −1 h

  2 D

  −Π

  −1 h (x)

  1 ◦ Dh

  2 F x,σ 2 (x)

  = k Π

  2 D

  (x)

  1 F x,σ 2 (x)Dh −1 h

  2 D

  = k Π

  −1 h (x) k

  2 ) ◦ Dh

  ◦ (id, L

  2 DF x,σ 2 (x)

  −Π

  −1 h (x)

  −1 h (x) k

  2 D

  ◦ (id, L

  1 ◦ Dh

  2 ) ◦ Dh

  1 − L

  ◦ (L

  2 F x,σ 2 (x)

  2 D

  ) k = k Π

  −1 h (x)

  2 ◦ Dh

  − L

  −1 h (x)

  (L

  2 F x,σ 2 (x)

  2 F x,σ 2 (x)

  2 D

  = k Π

  −1 h (x) k

  2 ◦ Dh

  ◦ L

  2 F x,σ 2 (x)

  2 D

  −1 h (x) − Π

  1 ◦ Dh

  ◦ L

  1 ) ◦ Dh

  2 DF x,σ 2 (x)

  e que se σ ´e diferenci´avel, a derivada de σ 2 ´e o ponto fixo de Γ DF , pois (Γ F σ)

  ′ ◦ Dh

  −1 (x) − h

  −1 nos d´a as seguintes estimativas: k h

  = Γ DF Dσ 2 . As hip´oteses sobre a constante de Lipschitz de F e h

  2 DF x,σ 2 x ◦ (id, Dσ 2 ) ◦ Dh −1 h (x)

  ′ = Dσ 2 = Π

  Assim Π 2 (Γ F σ)

  −1 h (x) .

  2 ) ◦ Dh

  = DF x,σ 2 x ◦ (id, Dσ

  −1 h (x)

  2 )

  −1 (x) − h

  = DF x,σ 2 x ◦ (id, σ

  −1 h (x)

  ′ x ◦ Dh

  2 ))

  = (F ◦ (id, σ

  ′ h (x)

  −1 )

  2 ) = (F ◦ σ ◦ h

  = (id, Dσ

  = σ ′

  ′ h (x)

  −1 (y) k&lt; µ k x − y k⇒k h

  −1 (y) x − y k≤ µ ⇒ k lim x →y h

  2 ) k = k Π

  −1 k≤ µk k L

  1 ) − Γ DF (L

  ⇒ Γ DF (L) ´e linear, e se L 1 = L 2 ⇒ Γ DF (L 1 ) = Γ DF (L 2 ). De fato k Γ DF (L

  −1 h (x) | {z } linear

  | {z } linear ◦ Dh

  | {z } linear ◦ (id, L)

  2 DF x,σ 2 (x)

  Γ DF (L) = Π

  (i) Γ DF : L(T x X, A) → L(T x X, A) est´a bem definida. De fato,

  Logo temos que

  2 k . (4.6)

  1 − L

  2 ) ◦ Dh

  −1 (x) − h

  1 − L

  ◦ (L

  2 F x,σ 2 (x)

  2 D

  Ent˜ao k Π

  2 F k≤ k, pois a norma da proje¸c˜ao ´e menor ou igual a 1.

  2 D

  2 F k≤ k ⇒k Π

  F (x, L) − F (x, S) L − S k≤ k ⇒ k D

  −1 k&lt; µ, e k F (x, L) − F (x, S) k≤ k k L − S k⇒k

  −1 (y) x − y k≤ µ ⇒k Dh

  • Π
Como L 1 = L 2 ⇒k L 1 − L 2 k= 0 ⇒k Γ DF (L 1 ) − Γ DF (L 2 ) k= 0 ⇒ Γ DF (L 1 ) = Γ DF (L ).

  2 (ii) Γ ´e cont´ınua. DF De (4.6), temos que se k L − L k&lt; δ ent˜ao k Γ DF (L ) − Γ DF (L ) k&lt; µkδ.

  1

  2

  1

  2 (iii) Γ DF ´e afim sobre as fibras.

  J´a vimos que −1

  Γ DF (L ) − Γ DF (L ) = Π D F x,σ 2 (L − L )Dh .

  1

  2

  2 2 (x)

  1

  2 h (x)

  −1 Como Π D F x,σ 2 (L − L )Dh ´e linear, temos o resultado.

  2 2 (x)

  1

  2 h (x) (iv) Γ DF tem transla¸c˜ao limitada.

  (v) Lip((Γ DF ) x ) ≤ µk &lt; 1.

  Segue diretamente de (4.6). Portanto, n´os podemos encontrar uma constante finita C tal que Γ DF aplique D em D. Agora n´os iremos aplicar a hip´otese de indu¸c˜ao.

  Suponhamos que a se¸c˜ao invariante, τ de Γ DF ´e a derivada de σ . d

  2

  1 r=1: Suponha que F e h s˜ao C e µk &lt; 1. Considere Γ (X , D ) o espa¸co da se¸c˜oes d σ : X → D que s˜ao diferenci´aveis. Claramente Γ (X , D ) ⊂ Γ (X , D ) e se σ ∈ d −1 d d Γ (X , D ), temos que Γ F σ = F ◦ σ ◦ h ∈ Γ (X , D ), ou seja Γ F : Γ (X , D ) → d d Γ (X , D ). Como Γ (X , D ) ´e fechado em Γ (X , D ), temos que a se¸c˜ao invariante

  1 de Γ F tamb´em ´e C .

  2

  2

  2 r=2:Suponha agora que F e h s˜ao C e kµ = (kµ)µ &lt; 1. Se F ´e C , temos que DF

  1 −1

  ´e C . Sabemos que Γ DF : D → D, Lip((Γ DF ) x ) ≤ µk &lt; 1 e por hip´otese Liph = µ

  1 e (kµ)µ &lt; 1. Aplicando o Teorema no caso C , para DF no lugar de F, temos que o

  1

  2 ponto fixo de Γ DF ´e C . Mas esse ponto fixo ´e Dσ , logo σ ´e C e assim σ = (id, σ )

  2

  2

  2

  2 ´e C . r r −1 −2

  Suponhamos agora que o Teorema est´a provado quando F e h s˜ao C e µ (µk) &lt; 1, r −1 ou seja, nestas condi¸c˜oes a se¸c˜ao invariante de Γ F ´e C . r r −1 r r −1

  Agora, seja F e h C e µ (µk) &lt; 1. Novamente, como F ´e C , DF ´e C , aplicando r −1 o Teorema no caso C para DF no lugar de F, obtemos que a se¸c˜ao invariante de

  Agora, mostraremos que de fato τ ´e a derivada de σ 2 . A prova ´e um pouco longa, mas segue os passo da Proposi¸c˜ao 3.6. Fixando x e deixando y variar, temos Lip [σ (h(x) + y), σ (h(x)) + τ (h(x))(y)] ≤

  2

  2 Lip [σ (h(x) + y) − σ (h(x)), Γ [σ (x + y) − σ (x)]] + Lip [Γ [σ (x + y) − σ (x)], Γ τ (x)(y)] .

  2

  2 DF

  2

  2 DF

  2

  2 DF | {z } | {z }

  (I) (II)

  A equa¸c˜ao (II) nos d´a que: (II) = k Γ DF [σ 2 (x + y) − σ 2 (x)] − Γ DF τ (x)(y) k

  ≤ µk k [σ (id + x) − σ (x)](y) − τ (x)(y) k,

  2

  2 pois Lip((Γ DF ) x ) ≤ µk.

  Agora, mostraremos que (I) = 0. Seja w, tal que h(x + w) = h(x) + y. ´ E f´acil ver que k w k≤ µ k y k e que

  −1 Γ DF [σ 2 (id + x) − σ 2 (x)](y) = Π

  2 DF x,σ 2 (x) ◦ (id, σ 2 (id + x) − σ 2 (x)) ◦ Dh (y). h (x) −1

  ′ ′ Chamando Dh (y) = w , temos que k w k≤ µ k y k e que h

  (x) ′ ′

  Γ DF [σ (id + x) − σ (x)](y) = Π DF x,σ 2 (w , σ (w + x) − σ (x)).

  2

  2 2 (x)

  2

  2 Sabemos que F (x, L) = (h(x), Γ Df L(x)) e que σ (h(x) + y) = σ ◦ h(x + w) = Γ Df σ (x + w).

  2

  2

  2 Logo F (x + w, σ ) = (h(x + w), Γ Df σ (x + w)) ⇒ Π F (x + w, σ (x + w)) = Γ Df σ (x + w).

  2

  2

  2

  2

  2 Ent˜ao k σ 2 (h(x) + y) − σ 2 (h(x)) − Γ DF [σ 2 (id + x) − σ 2 (x)](y) k=

  ′ ′ k Γ Df σ (x + w) − Γ Df σ (x) − Π DF x,σ 2 (w , σ (w + x) − σ (x)) k=

  2

  2 2 (x)

  2

  2 ′ ′ k Π F (x + w, σ (x + w)) − Π F (x, σ (x)) − Π DF x,σ 2 (w , σ (w + x) − σ (x)) k=

  2

  2

  2

  2 2 (x)

  2

  2 k Π

  2 DF x,σ 2 (w, σ 2 (w + x) − σ 2 (x)) + Π

  2 R(w, σ 2 (w + x) − σ 2 (x)) (x) Note que k (w, σ 2 (w + x) − σ 2 (x)) k= max{k w k, k σ 2 (w + x) − σ 2 (x) k} =k w k, pois σ ∈ L (E , E ). Logo

  2

  1

  1

  2 R(w, σ (w + x) − σ (x))

  2

  2 lim = 0. kwk→0 k w k

  A equa¸c˜ao (III) pode ser reescrita como ′ ′

  (III) =k Π DF x,σ 2 (w − w , σ (x + w) − σ (x + w )) + Π R(w, σ (x + w) − σ (x)) k .

  2 (x)

  2

  2

  2

  2

  2 Assim ′

  (III) k w − w k R(w, σ (w + x) − σ (x))

  2

  2 (IV ) = + ≤k Π DF x,σ 2 k .

  2 (x) k y k k y k k y k

  Ent˜ao σ (h(x) + y) − σ (h(x)) − Γ DF [σ (id + x) − σ (x)](y)

  2

  2

  2

  2 (I) = lim sup y →0 k y k

  (III) = lim sup y k y k

  →0 = lim sup (IV ). y →0

  Como k w k≤ µ k y k, temos R(w, σ (w + x) − σ (x)) R(w, σ (w + x) − σ (x))

  2

  2

  2

  2 lim ≤ µ lim = 0. kyk→0 kwk→0 k y k k w k

  ′ k w − w k

  Iremos agora mostrar que lim k y k→ 0 = 0. Para isto, observe que k y k ′ ′ ′ h(x + w ) − h(x) = Π F (x + w , σ (x + w )) − Π F (x, σ (x))

  1

  2

  1

  2 ′ ′ ′ ′

  = Π

  1 DF x,σ 2 (x) (w , σ 2 (x + w ) − σ 2 (x)) + R(w , σ 2 (x + w ) − σ 2 (x)). ′ ′ ′

  Mas Π DF x,σ 2 (w , σ (x + w ) − σ (x)) = Dh x (w ) = y, pois 1 (x)

  2

  2 ′ ′

  DF x,σ 2 (x) (w , σ 2 (x + w ) − σ 2 (x)) =    

  ′ Dh x w

      = ′

  D F x,σ 2 D F x,σ 2 σ (x + w ) − σ (x) 1 (x) 2 (x)

  2

  2 ′ ′ ′

  (Dh x w , D

  1 F x,σ 2 (x) w + D

  2 F x,σ 2 (x) (σ 2 (x + w ) − σ 2 (x))).

  Logo ′ ′ ′

  Como y = h(x + w) − h(x) temos ′ ′ ′ h(x + w ) − h(x + w) = R(w , σ 2 (x + w ) − σ 2 (x)).

  −1 Usando o fato de que h ´e Lipschitz, obtemos

  ′ −1 −1 ′ −1 ′ k h(x + w ) − h(x + w) k≥ [Lip(h )] k w − w k= µ k w − w k .

  E assim ′ ′ ′ ′ k w − w k≤ µ k h(x + w ) − h(x + w) k= µ k R(w , σ (x + w ) − σ (x)) k .

  2

  2 Ent˜ao ′ ′ ′ k w − w k k R(w , σ (x + w ) − σ (x)) k

  2

  2 lim ≤ µ lim kyk→0 kyk→0 k y k k y k

  ′ ′ k R(w , σ (x + w ) − σ (x)) k

  2

  2 ≤ lim µ

  −1 ′ kw k→0 µ k w k

  ′ ′ k R(w , σ 2 (x + w ) − σ 2 (x)) k

  2 = µ lim

  ′ kw k→0 k w k = 0.

  E assim (I) = 0. Ent˜ao

  Lip [σ (h(x) + y), σ (h(x)) + τ (h(x))(y)]

  2

  2 ≤ µk · Lip [σ (x + y), σ (x)(y) + τ (x)(y)], (4.7)

  2

  2 ou seja,

  1 Lip [σ 2 (x + y), σ 2 (x)(y) + τ (x)(y)] ≥ Lip [σ 2 (h(x) + y), σ 2 (h(x)) + τ (h(x))(y)]. µk

  Logo −n −n −n

  Lip [σ (h (x) + y), σ (h (x)) + τ (h (x))(y)]

  2

  2

  1 −n+1 −n+1 −n+1

  ≥ Lip [σ 2 (h (x) + y), σ 2 (h (x)) + τ (h (x))(y)] µk

  1

  1 −n+2 −n+2 −n+2

  Lip [σ (h (x) + y), σ (h (x)) + τ (h (x))(y)]

  2

  2 µk µk n

  ¶ µ 1 ≥ . . . ≥ Lip [σ (x + y), σ (x)(y) + τ (x)(y)].

  2

  2 µk

  Suponhamos agora que exista x ∈ X , tal que Lip [σ (x + y), σ (x)(y) + τ (x)(y)] =

  2

  2 δ &gt; 0, ou seja, existe uma seq¨ uencia x n ∈ X , tal que Lip [σ (x n + y), σ (x n )(y) +

  2

  2 τ (x n )(y)] → ∞. Assim k σ

  2 (x n + y) − σ 2 (x n )(y) − τ (x n )(y) k Mas k σ (x + y) − σ (x )(y) − τ (x )(y) k k σ (x + y) − σ (x )(y) k 2 n 2 n n 2 n 2 n lim sup y

  ≤ lim sup y →0 k y k →0 k y k k τ (x n )(y) k

  • lim sup y →0 k y k k x n + y − x n k

  ≤ Lip(σ ) lim sup

  2 y k y k →0

  • lim sup k τ (x n ) k y

  →0 ≤ Lip(σ )+ k τ (x n ) k .

  2 E isto nos da que Lip [σ (x n + y), σ (x n )(y) + τ (x n )(y)] ´e limitado, o que contradiz a

  2

  2 existˆencia de algum x ∈ X , tal que Lip [σ (x + y), σ (x)(y) + τ (x)(y)] = δ &gt; 0, ou

  2

  2 seja, Lip [σ (x + y), σ (x)(y) + τ (x)(y)] = 0. Logo τ (x) ´e a derivada de σ em x.

  2

  2

  2 ¥ Referˆ encias Bibliogr´ aficas

[1] Brin, Michael; Stuck, Garret(2002)“Introduction to Dynamical Systems”, Cam-

bridge University Press.

  

[2] Burns, Keith; Gidea, Marian(2005)“Differential Geometry and Topology with a view

to Dynamical Systems”, Chapman&amp; Hall.

  [3] Grant, Christopher P. (1999) ”Lecture Notes on Ordinary Differential Equations.

[4] Hirsch, Morris. W.; Pugh, Charles. C.; Shub, Michael (1977)“Invariant Mani-

folds”, Lecture Notes in Mathematics, No. 583, Springer-Verlag, New York. a [5] Lima, Elon L. (2005) ”Curso de An´alise volume 2”, Impa, 8 edi¸c˜ao.

  

[6] Oliveira, C´ esar R. (2005)“Introdu¸c˜ao `a An´alise Funcional”,Impa, Publica¸c˜oes Mate-

a maticas, 2 edi¸c˜ao.

  

[7] Robinson, Clark(1999)“Dynamical Systems - Stability, Symbolic Dynamics, and

Chaos”, Second Edition, CRC Press.

  [8] Shub, Michael“Global Stability of Dynamical Systems”, Springer-Verlag.

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