Eliseu Santiago de Assis

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´ atica

  Curso de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

Sombra e Convexidade

de Superf´ıcies

  Eliseu Santiago de Assis

Salvador-Bahia

  

Julho 2007 Sombra e Convexidade de Superf´ıcies

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao cole- giado do curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica em 12 de julho de 2007.

  Banca examinadora

  Prof. Dr Enaldo Silva Vergasta (Orientador) Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa Prof. Dr. Hil´ario Alencar da Silva Eliseu Santiago de Assis “Sombra e convexidade de Superf´ıcies ” /Salvador-Ba, 2007.

  Orientador : Dr. Enaldo Silva Vergasta (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em Ma- tem´atica da UFBA, 30 p´aginas.

  Palavras-Chave : convexidade, sombra, superf´ıcie. Agradecimentos Gostaria de agradecer, inicialmente, a Deus, por ter me concedido mais essa gra¸ca.

  Um especial agradecimento as pessoas mais importantes da minha vida: meu pai, Joselito; minha m˜ae, Rosa, meu irm˜ao Elias, minha irm˜a Verˆonica, meus sobrinhos e a Fl´avia.

  Aos amigos: James, Robson, Gilson e tantos outros, pois, sem o incentivo de vocˆes n˜ao estaria aqui; as amigas Irm˜a Maria Jos´e, Urˆania e as demais que me ajudaram nas melhores e piores horas.

  Aos novos amigos da UFBA: Adriano Cattai, Gilcl´ecio, Rosane, Ab´ılio, Rolando, Ariane, Jacson, Mariluce, Josaphat, Ella, Silvia, Ricardo, Luciana, Tiago, Ednaldo, Carla Lopes, Gabriela e Paulo Nascimento. E a todos que, de alguma forma, contribu´ıram na minha passagem no mestrado nestes 2 anos.

  Aos afarinhados da turma de 2005: B´arbara, Yuri Ki, Jarbas, Kleyber, Mariana e Ricardo. Com certeza, vocˆes foram bem mais que amigos, foram verdadeiros her´ois. Aos amigos que n˜ao foram citados. Gostaria tamb´em de agradecer a todos os colegas e funcion´arios do Instituto de Matem´atica da UFBA, em especial, Dona Zez´e, Tˆania Sp´ınola, Jom´ario e Alan. Aos professores do Instituto de Matem´atica da UFBa: Enaldo Silva Vergasta, Ed- son Alberto Coayla Teran, Jos´e Nelson Bastos Barbosa, Joseph Yartey, Marco Antˆonio N. Fernandes e Samuel Gomes da Silva. Resumo

  3

  ´e convexa se, e somente se, a Mostramos que uma superf´ıcie mergulhada em R sombra em cada dire¸c˜ao ´e um subconjunto simplesmente conexo da superf´ıcie. Provamos tamb´em que a propriedade da sombra ser simplesmente conexa n˜ao pode ser substitu´ıda apenas pela conexidade, exceto no caso em que a superf´ıcie ´e topologicamente uma uma esfera. O trabalho ´e baseado no artigo de Ghomi, M. Shadows and convexity of surfaces, publicado no Ann. of Math., 155 (2002) 281-293. Sum´ ario

  Resumo v

  Lista de Figuras vii

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares

  3

  2 Resultados Intermedi´ arios

  9

  3 Prova dos Resultados Principais

  18 Referˆ encias

  29 Lista de Figuras 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  13 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  17 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  25 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  26 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27 Introdu¸ c˜ ao

  Sejam M uma superf´ıcie compacta, orientada,

  3

  uma imers˜ao orientada no espa¸co eucli- f : M → R

  2

  diano tridimensional, e n : M → S a aplica¸c˜ao de u

  2 p

  Gauss de f . Dado um vetor u ∈ S , a sombra em M n

  (p)

  com rela¸c˜ao a u ´e o conjunto S := {p ∈ M; hn(p), ui > 0}, u

  Figura 1:

  

3

.

  onde h, i denota o produto interno usual em R Se f ´e um mergulho convexo, isto ´e, a imers˜ao f aplica M homeomorficamente no

  2

  bordo de um corpo convexo, ´e intuitivo que S u ´e um conjunto conexo para cada u ∈ S . ´ E natural perguntar se a rec´ıproca deste resultado tamb´em ocorre. Ou seja, a conexidade da

  2

  sombra S u para cada u ∈ S implica que f ´e um mergulho convexo? Segundo Ghomi, ver [G], Wente foi o primeiro matem´atico a estudar esta quest˜ao, em 1978 motivado por problemas referentes a estabilidade de superf´ıcies de curvatura m´edia constante. Este problema tornou- se conhecido como problema da sombra. Provaremos que o problema da sombra ´e v´alido se a sombra for simplesmente conexa. Mais precisamente, provaremos o resultado a seguir.

3 Teorema A.

  uma imers˜ao de uma superf´ıcie compacta orien- Seja f : M → R

  3

  2

  . Ent˜ao, f ´e um mergulho convexo se, e somente se, para cada u ∈ S , S u ´e tada em R simplesmente conexo.

  Mostraremos tamb´em que o problema da sombra n˜ao tem, em geral, resposta positiva. O exemplo constru´ıdo para provar o resultado a seguir mostra que a conexidade da sombra n˜ao ´e suficiente para garantir a convexidade da superf´ıcie.

  

  1

  1

  3

  Teorema B. Existe um mergulho C do toro f : S × S , tal que, para cada → R

  2 u ∈ S , S u ´e conexo.

  Desse modo, o Teorema A n˜ao permanece v´alido se substituirmos “simplesmente co- nexo” por “conexo”. O resultado, no entanto, vale se acrescentarmos a hip´otese da superf´ıcie ser homeomorfa a uma esfera.

  2 Teorema C. Se M ´e topologicamente uma esfera e, para cada u ∈ S , S u ´e conexo, ent˜ao f ´e um mergulho convexo.

  Esta disserta¸c˜ao ´e baseada no artigo de M. Ghomi Shadows and convexity of sur- faces, publicado no Ann. of Math., 155 (2002) 281-293. Este trabalho est´a dividido em trˆes cap´ıtulos. No primeiro, apresentamos alguns resultados importantes para o desenvol- vimento dos cap´ıtulos seguintes. Posteriormente, desenvolvemos informa¸c˜oes a respeito da regularidade de horizontes e fronteira das sombras, pontos cr´ıticos de fun¸c˜oes altura e terno de pontos na fronteira de dom´ınios simplesmente conexos. No ´ ultimo cap´ıtulo, provamos os trˆes teoremas centrais com o aux´ılio dos resultados mostrados nos cap´ıtulos anteriores. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Este cap´ıtulo tem por objetivo apresentar algumas defini¸c˜oes e resultados que ser˜ao de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho. m n Sejam M e N variedades diferenci´aveis e f : M → N uma aplica¸c˜ao n

  1

  diferenci´avel. Um ponto c ∈ N ´e um valor regular de f se, para todo x ∈ f (c), a diferencial f (x) : T x M → T F N ´e uma transforma¸c˜ao linear sobrejetiva.

  (x)

  A importˆancia do conceito de valor regular deve-se, em grande parte, ao resultado seguinte. m n

  1 1.1 Lema.

  Se c ∈ N ´e um valor regular de f : M → N , ent˜ao f (c) ´e uma subvariedade de M com dimens˜ao m − n.

  Um dos teoremas mais importantes do c´alculo diferencial ´e o chamado Teorema da Fun¸c˜ao Inversa, enunciado a seguir. n n n

  1.2 Teorema (Teorema da Fun¸c˜ao Inversa). Sejam U ⊂ M aberto, F : U ⊂ M → N n n uma aplica¸c˜ao diferenci´avel e suponha que em p ∈ U a diferencial dF p : M → N ´e um isomorfismo. Ent˜ao existem uma vizinhan¸ca V de p em U e uma vizinhan¸ca W de F (p) em n N , tal que F : V → W ´e um difeomorfismo.

  Um resultado importante para a elucida¸c˜ao de outros resultados que utilizaremos aqui ´e o teorema de Sard, apresentado a seguir.

  1

  1.3 Teorema (Sard). Seja f : M → N uma aplica¸c˜ao de classe C entre variedades de mesma dimens˜ao m e S o conjunto dos pontos x ∈ M tais que a diferencial f : T x M → T f (x) N n˜ao ´e um isomorfismo. Ent˜ao, f (S) tem medida nula em N.

  3

  , ou seja, para Muitos resultados apresentados a seguir para superf´ıcies em R

  3 , s˜ao v´alidos para dimens˜oes quaisquer.

  variedades bidimensionais imersas em R 1.4 Lema.

  Seja A ⊂ M um subconjunto aberto de uma superf´ıcie regular M. Ent˜ao, A ´e uma superf´ıcie regular.

  Prova.

  Tomemos p ∈ A. Temos ent˜ao que p ∈ M. Como M ´e superf´ıcie regular,

  3

  2

  → W = V ∩ M de um existem uma vizinhan¸ca V de p em R e uma aplica¸c˜ao x : U ⊂ R

  2

  3

  , tal que x ´e diferenci´avel, x ´e homeomorfismo e, para aberto U de R sobre V ∩ M ⊂ R

  2

  3 cada q ∈ U, dx q → R ´e injetiva.

  : R Como A ´e aberto em M, ent˜ao A ´e a intersec¸c˜ao da superf´ıcie M com um aberto

  3

  3

  . Seja W = W ∩ A. Notemos que W . Seja

  L ⊂ R

  1 1 ´e aberto em A e V ∩ L ´e aberto em R

  1

  → W U i = x (W

  1 ). Dessa forma, x 1 = x | U : U 1

  1 1 ´e diferenci´avel, x 1 ´e um homeomorfismo

  2

  3

  e dx ´e injetiva, para cada q ∈ U . Logo, x ´e uma parametriza¸c˜ao de A e,

  1 : R → R

  1

  1 portanto, A ´e uma superf´ıcie regular.

  3

  uma imers˜ao no espa¸co euclidiano tridimensional. Para Consideremos f : M → R

  2

  cada u ∈ S , seja h u : M → R a fun¸c˜ao altura na dire¸c˜ao u, definida por h u (p) := hf (p), ui.

  Recordemos que um ponto p ∈ M ´e ponto cr´ıtico de h u se a aplica¸c˜ao diferencial de h em p (dh u ) p : T p

  M → R ´e nula.

  3

  1.5 Lema. uma imers˜ao no espa¸co euclidiano tridimensional e Sejam f : M → R h u

  : M → R

  2

  a fun¸c˜ao altura relativa a um vetor u ∈ S . Ent˜ao, a diferencial de h u em p ∈ M ´e dada por (dh u ) p (w) = hw, ui, w ∈ T p M. Em particular, p ´e um ponto cr´ıtico de h u se, e somente se, u ´e ortogonal a T p M.

  Prova.

  Seja w ∈ T p M e identifiquemos w ≃ df p (w). Para calcular (dh u ) p (w), escolhamos uma curva diferenci´avel α : (−ǫ, ǫ) → M, com α(0) = p e α (0) = w. Como h(α(t)) = hf (α(t)), ui, obtemos d

  (dh u ) p (w) = h(α(t))| t

  =0

  dt d = hf (α(t)), ui | t

  =0

  dt = hdf α · α (t), ui | t

  (t) =0 = hw, ui.

  Dizemos que Γ ⊂ M ´e uma curva regular se, para cada p ∈ Γ, existem uma

  2 vizinhan¸ca aberta U de p em M e um homeomorfismo ϕ : U → R tal que ϕ(U ∩ Γ) = R.

  No presente trabalho, a menos que se estabele¸ca o contr´ario, uma curva regular n˜ao precisa ser diferenci´avel.

  A compreens˜ao das pr´oximas defini¸c˜oes, assim como do lema seguinte, ser´a de fun- damental importˆancia para o entendimento do Lema 2.4, desenvolvido no Cap´ıtulo 2. n Sejam U ⊂ R um aberto e f : U → R uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel no

  2

  ∂ f ponto x ∈ U. A matriz Hessiana de f no ponto x ´e definida por (x) . Um ponto ∂x i ∂x j cr´ıtico a de f ´e dito n˜ao-degenerado, se a matriz Hessiana nesse ponto ´e invert´ıvel, isto

  2

  ∂ f ´e, det (a) 6= 0. Se todos os seus pontos cr´ıticos s˜ao n˜ao-degenerados, diz-se que

  ∂x i ∂x j f ´e uma fun¸c˜ao de Morse. As defini¸c˜oes seguintes tamb´em s˜ao muito relevantes para o desenvolvimento do nosso trabalho.

  2 Visto que M ´e orient´avel, a aplica¸c˜ao n : M → S que a cada ponto p ∈ M

  2

  associa o vetor n(p) ∈ S , ortogonal a T p M, numa orienta¸c˜ao fixada de M, ´e chamada de aplica¸c˜ao de Gauss de M. A curvatura Gaussiana de M ´e a aplica¸c˜ao K : M → R dada por K(p) =: det(dn) p .

  2

  1.6 Lema. O conjunto dos pontos cr´ıticos da aplica¸c˜ao de Gauss n : M → S ´e fechado.

  1 Prova. O conjunto dos pontos cr´ıticos de n ´e dado por r

  (0), onde r : M → R ´e

  1 a aplica¸c˜ao definida por r(p) = det(dn p ). Como r ´e cont´ınua, temos que r (0) ´e fechado.

  A forma quadr´atica Π p , definida em T p M por Π p (v) = −hdn p (v), vi, ´e chamada a segunda forma fundamental de M em p.

  Para dar uma interpreta¸c˜ao da segunda forma fundamental Π p relacionada com a fun¸c˜ao altura, consideremos uma curva regular C ⊂ M parametrizada por α(s), onde s ´e o comprimento de arco de C, com α(0) = p. Se indicarmos por n(s) a restri¸c˜ao do campo normal n `a curva α(s), teremos hn(s), α (s)i = 0, donde ′′ ′ ′ hn(s), α

  (s)i = −hn (s), α (s)i. Portanto, ′ ′ ′

  Π p (α (0)) = −hdn p (α (0)), α (0)i ′ ′ = −hn (0), α (0)i ′′ = hn(0), α (0)i. (1.1) 1.7 Lema.

  A Hessiana em p ∈ M da fun¸c˜ao altura h : M → R na dire¸c˜ao n(p) ´e a segunda forma fundamental de M em p. Prova. Sejam w ∈ T p M e α : (−ǫ, ǫ) → M uma curva parametrizada, com α(0) = p e α (0) = w. Seja h : M → R a fun¸c˜ao altura de M na dire¸c˜ao n(p), isto ´e, h(q) = hq, n(p)i, q ∈ S. Notemos que, d d

  (h ◦ α(t)) = (h(α(t)) dt dt d

  = (hα(t), n(p)i) dt = hα (t), n(p)i.

  Logo,

  2

  d d (h ◦ α(t)) | t = (hα (t), n(t)i) | t

  =0 =0

  dt dt ′′ = hα (t), n(t)i | . t =0 O Lema a seguir ser´a aplicado nas demonstra¸c˜oes dos Teoremas A e C.

  1.8 Lema. Seja f : X → Y uma aplica¸c˜ao cont´ınua e localmente constante, onde X ´e conexo. Ent˜ao, f ´e constante.

  Prova. Fixemos p ∈ X, e mostraremos que f (p) = f (p ), para cada p ∈ X. Consideremos, o conjunto A = {p ∈ X; f (p) = f (p )}. Notemos que: i) A 6= ∅, pois p ∈ A; ii) A ´e aberto em X, pois, como f ´e localmente constante, dado p ∈ A, isto ´e, f (p) = f (p ), existe ǫ > 0 tal que f (B(p, ǫ)) = f (p) = {f (p )}, ou seja, existe uma bola B onde B(p, ǫ) ∩ X ⊂ A;

  1

  iii) A ´e fechado em X, pois, A = f (f (p )) ´e imagem inversa de um fechado por uma aplica¸c˜ao cont´ınua.

  Como X ´e conexo, temos que X = A. Logo, f ´e constante.

  2 O pr´oximo lema traz uma particularidade topol´ogica da esfera S que ´e muito ´ util na prova do Teorema C.

  2

  2

  1.9 Lema. Se U ⊂ S ´e um conjunto aberto conexo e S − U ´e um conjunto conexo que possui ponto interior, ent˜ao U ´e simplesmente conexo.

  2 Prova. Seja p um ponto interior de S − U, isto ´e, existe δ > 0 tal que

  2

  2 B(p, δ) ⊂ S − U. Tomemos p como p´olo norte da esfera S . Da´ı, a proje¸c˜ao

  2

  com complementar co- estereogr´afica aplica U em um subconjunto aberto conexo do R nexo, uma vez que proje¸c˜ao preserva conexidade. Assim, pelo Teorema 11.4.1 em [GK], Enunciaremos o Teorema da Vizinhan¸ca Tubular para uma variedade compacta M, que ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao do Teorema B. n Seja M uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n imersa isometricamente no R . O espa¸co normal a M em um ponto p ´e o espa¸co vetorial T p M formado por to- dos os vetores normais a M em p. Dado ǫ > 0, a bola normal B (p, ǫ) ´e definida como ⊥ ⊥ B (p, ǫ) = {w ∈ T p M , |w| < ǫ}.

  1.10 Teorema (Vizinhan¸ca Tubular). Seja M uma variedade diferenci´avel compacta n

  . Ent˜ao existe ǫ > 0 tal que, para q 6= p ∈ M, tem-se que imersa isometricamente no R ⊥ ⊥ B (q, ǫ) ∩ B (p, ǫ) 6= ∅. Al´em disso, V ǫ (U) = ∪ q∈U B (q, ǫ) ´e uma vizinhan¸ca aberta de M n e a proje¸c˜ao π : V ǫ (M) → M ´e de classe C . em R Cap´ıtulo 2 Resultados Intermedi´ arios

  Este cap´ıtulo est´a organizado em trˆes partes. Na primeira, usaremos o Teorema de

2 Sard para mostrar que, para quase todo u ∈ S , ∂S u ´e uma curva regular, onde ∂ denota

  2

  a fronteira. Ou seja, para cada u ∈ S , exceto num conjunto de medida nula, ∂S u ´e uma curva regular. Na seq¨ uˆencia, usaremos a teoria de Morse para provar que, para quase todo

  2

  u ∈ S , a fun¸c˜ao altura ´e de Morse. Por fim, trabalharemos na ´ ultima e principal parte deste cap´ıtulo com os pontos cr´ıticos de fun¸c˜oes altura para a constru¸c˜ao da prova do Teorema A.

  Inicialmente, precisamos estabelecer alguns resultados a respeito do comportamento

  2

  geral da sombra numa dire¸c˜ao u. Para cada u ∈ S , a fun¸c˜ao sombra σ u : M → R ´e dada

  1

  por σ u (p) := hn(p), ui e H u := σ (0) ´e chamado de horizonte, ver [C], na dire¸c˜ao u. Nem u sempre ocorre igualdade entre os conjuntos ∂S , H e ∂S − . u u u u No entanto, pode-se garantir H H 1 2 que ∂S u = H u = ∂S u global- mente, se H u ´e uma curva re-

  S H u = H

1 H

  

2

gular conexa ou localmente, na

  ∂S u 6= H u 6= ∂S u vizinhan¸ca de um ponto com curvatura Gaussiana n˜ao-nula, conforme as Proposi¸c˜oes 2.1 e

  2.3. Figura 2.1:

  2

  2.1 Proposi¸ c˜ ao. Para quase todo u ∈ S , H u ´e uma curva regular. Neste caso, ∂S u e ∂S − u tamb´em s˜ao curvas regulares. Al´em disso, se H u ´e conexo, ent˜ao ∂S u = H u = ∂S u .

  Prova. Seja UT M = {(p, u); p ∈ M, u ∈ T M, ||u|| = 1} o fibrado tangente unit´ario p de M. Consideremos a aplica¸c˜ao

  2

  τ : UT M → S dada por (p, u) 7→ u. Pelo Teorema de Sard, a imagem do conjunto dos pontos singulares de τ tem medida nula

  2

  2

  na esfera S . Logo, para quase todo u ∈ S , isto ´e, a menos de um conjunto de medida nula,

  1 u ´e valor regular de τ . Da´ı, pelo Lema 1.1, temos que τ (u) ´e uma curva regular em UT M.

  Agora, seja π a aplica¸c˜ao π : UT M → M definida por

  π(p, u) = p

  1

  e seja u um valor regular de τ . Temos, claramente, que π ´e injetiva em τ (u). Al´em disso,

  1 1 como τ (u) = {(p, u), p ∈ M} com ||u|| = 1, temos que τ (u) ´e difeomorfo a M × {u}.

1 Assim, segue-se que τ (u) ´e compacto.

  

  1 Seja (p, u) ∈ τ (u). Queremos mostrar que dπ ´e injetiva. Com efeito, dado (p,u)

  2

  (v , v ) ∈ T p M × T u S , escolhamos uma curva diferenci´avel α : (−ǫ, ǫ) → M com

  1

  2

  α(0) = (p, u) e α (0) = (v , v ). Tomando α(t) = (β(t), u), com β : (−ǫ, ǫ) → M

  1

  2

  diferenci´avel, obtemos d d d dπ (v , v ) = π(α(t)) | t = π(β(t), u) | t = β(t) | t = β (0) = v .

  (p,u)

  1 2 =0 =0 =0

  1

  dt dt dt

  1 Conseq¨ uentemente, a diferencial da proje¸c˜ao π : τ (u) → M ´e injetiva. Temos, ent˜ao, que 1 π : τ (u) → M ´e uma imers˜ao injetiva definida num compacto. Logo, ´e um mergulho.

  Al´em disso, notemos que

  1 π(τ (u)) = {p ∈ M; u ∈ T p M} = {p ∈ M; hn(p), ui = 0} = H u . Portanto, H u ´e uma curva regular, pois ´e imagem de uma curva regular pelo −1 mergulho π | τ . Como ∂S u ´e aberto em H u , temos, pelo Lema 1.4, que ∂S u e ∂S u

  (u) tamb´em s˜ao curvas regulares.

  Finalmente, como ∂S u ´e fechado em M e ∂S u = ∂S u ∩ H u , temos que ∂S u ´e fechado em H u . Assim, se H u ´e conexo, segue-se que ∂S u = H u = ∂S u .

  O pr´oximo resultado ser´a aplicado na prova do Lema 3.4, que por sua vez ser´a utilizado para finalizar a demonstra¸c˜ao do Teorema A. n

  2.2 Lema. Seja σ .

  : X → R uma fun¸c˜ao cont´ınua positiva, definida num compacto X ⊂ R Ent˜ao, existe ǫ > 0 tal que σ(p) > 0, para cada p ∈ X, satisfazendo |σ − σ | < ǫ.

  Prova. Como X ´e compacto, existe ǫ = min{σ (p); p ∈ X}. Ent˜ao, para |σ − σ | < ǫ, temos que |σ(p) − σ (p)| < ǫ, para cada p ∈ X. Da´ı, 0 ≤ σ (p) − ǫ < σ(p) < σ (p) + ǫ.

  Portanto, σ(p) > 0, para cada p ∈ X.

  Em seguida, veremos um resultado sobre regularidade local para horizontes e fron- teiras das sombras.

  2.3 Proposi¸ c˜ ao.

  Se K(p) 6= 0 para algum p ∈ M, ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U de p, tal que, para cada u ∈ T p M, H u ∩ U ´e uma curva regular C e ∂S u ∩ U = ∂S − u ∩ U = H u ∩ U.

  Prova.

  Como det(dn) p = K(p) 6= 0, temos, pelo Teorema da Fun¸c˜ao Inversa, que

  2

  n ´e um difeomorfismo entre vizinhan¸cas U de p em M e V de n(p) em S . Considere agora

  2

  2

  2

  2

  2 S := {x ∈ S ; hx, ui > 0}. Como ∂S = ∂S ´e o c´ırculo m´aximo C := {x ∈ S ; hx, ui = 0}, u u − u

  2

  2

  temos que ∂S = ∂S − ´e uma curva regular e u u

  1 H = {q ∈ M; hn(q), ui = 0} = n (C). u

  2 Ora, como difeomorfismo leva fronteira em fronteira, temos que n(∂S u ) = ∂S . Da´ı, segue-se − − − u

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  que ∂S u = n (∂S ). Considerando que S u = n (S ) e S u = n (S − ), temos, tamb´em, u u u que − −

  1

  2

  1

  2

  ∂(n (S )) = n (∂S ) u u

  1

  = n (C) = H u . Mais precisamente,

  1

  2 H u ∩ U = ∂(n (S )) ∩ U u

  1

  2

  = n ((∂S ) ∩ V ) u

  1

  = n (C ∩ V )

  1

  = n (C) | V . Como um difeomorfismo leva curva regular em curva regular, temos que H u ∩ U ´e uma curva regular. Obtemos, ainda, que

  1

  2

  ∩ U = ∂(n H u (S )) ∩ U u

  = ∂S ∩ U u = ∂S u ∩ U.

  O pr´oximo conjunto de resultados preliminares, envolve algumas aplica¸c˜oes b´asicas da teoria de Morse [M].

  2

  2.4 Lema. Seja h u . Ent˜ao

  : M → R a fun¸c˜ao altura na dire¸c˜ao u ∈ S (i) h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse se, e somente se, K 6= 0, para todos os pontos cr´ıticos de h u ;

  2

  (ii) h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse para quase todo u ∈ S ;

  2 (iii) O conjunto e U = {u ∈ S ; h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse} ´e aberto.

  Prova. (i) Se p ´e um ponto cr´ıtico de h , ent˜ao, pelo Lema 1.7, temos que a u Hessiana de h u ´e dada por Hess(h u (·, ·)) = ±h·, dn p (·)i. Assim, h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse se, e somente se, para cada ponto cr´ıtico p, temos que K(p) = det(dn) p 6= 0.

  (ii) Por (i), h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse se, e somente se, det(dn) p 6= 0, para todo ponto cr´ıtico p. Como p ´e um ponto cr´ıtico de h u se, e somente se, u = ±n(p), notemos que

  1

  1

  6= 0, para cada p ∈ n det(dn) p (u) ⇔ (dn) p ´e sobrejetiva para cada p ∈ n (u)

  2

  Logo, u e −u s˜ao valores regulares de n. Seja e U ⊂ S o conjunto de tais valores. Ent˜ao,

  2

  2

  pelo Teorema de Sard, S − e U tem medida nula. Assim, para quase todo u ∈ S , u ´e valor

  2 regular de n. Portanto, h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse para quase todo u ∈ S .

  (iii) Como M ´e compacta e, pelo Lema 1.6, o conjunto dos pontos cr´ıticos de n

  2

  ´e fechado, temos ent˜ao que o conjunto de seus valores cr´ıticos ´e fechado. Logo, S − e U ´e fechado e, portanto, e U ´e aberto.

  O pr´oximo lema ´e de fundamental importˆancia para a prova dos Teoremas A e C.

  2.5 Lema. Se f n˜ao ´e um mergulho convexo, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao altura de Morse com pelo menos trˆes pontos cr´ıticos. p 3 Prova. Seja ♯C(h u ) o n´ umero de pontos cr´ıticos de h u . u De acordo com o Lema 1.5, p ´e um ponto cr´ıtico de h u se, e somente se, n(p) = ±u. Ent˜ao, p 2 Z Z

  1 S S 2 ♯C(h u )du = ♯n (±u)du 2 p 1 Z

  = 2 | det(dn) p |dV M Z

  Figura 2.2: = 2 |K|dV, (2.1) M onde dV denota o elemento de volume em M e a segunda igualdade ´e obtida pela aplica¸c˜ao da f´ormula de ´area ([F], Teorema 3.2.3). Suponhamos que f n˜ao seja um mergulho convexo.

  Ent˜ao, pelo Teorema de Chern e Lashof [CL], temos Z M

  |K|dV > 4π. (2.2) Por (2.1) e (2.2), temos

  Z

  1 2 ♯C(h u )du > 2. 4π S

  Consideremos, agora, a aplica¸c˜ao

  2

  g : S → R u 7→ ♯C(h u ). Z

  1

  2

  Temos, ent˜ao, que g(u)du > 2. Seja e U = {u ∈ S ; h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse}. Pelo 2S

2 Teorema de Sard, S − e U tem medida nula. Sendo assim,

  Z Z

  1

  1 g(u)du = g(u)du > 2. 2 4π 4π U e S

  Suponhamos que g(u) ≤ 2, para cada u ∈ e U . Ent˜ao Z Z

  1

  1 g(u)du ≤ 2du 4π 4π U e U e

  Z

  2 = du

  4π U e Z

  2 = du 2

  4π S = 2. Assim, temos uma contradi¸c˜ao, o que mostra que g(u) > 2, para cada u ∈ e U . Ou seja, para cada u ∈ e U , a fun¸c˜ao altura h u tem pelo menos trˆes pontos cr´ıticos.

  Agora, na ´ ultima parte deste cap´ıtulo, desenvolveremos alguns m´etodos topol´ogicos cuja aplica¸c˜ao se tornar´a mais clara no pr´oximo cap´ıtulo, uma vez que utilizaremos estes resultados na demonstra¸c˜ao do Teorema A e do Teorema C.

  Por um dom´ınio em M entendemos um subconjunto aberto conexo Ω ⊂ M. Dizemos } ⊂ M se p ∈ ∂Ω. O dom´ınio Ω ´e que Ω ´e adjacente a um terno de pontos distintos {p

  1 , p 2 , p 3 i

  2

  regular pr´oximo a p i se existem vizinhan¸cas abertas U i de p i e homeomorfismos ϕ i : U i → R que aplicam U i ∩Ω no semi-plano superior. Uma curva fechada simples T ⊂ Ω ´e um triˆangulo

  }, se p ∈ ∂Ω e T − {p } ⊂ Ω. Uma vizinhan¸ca W de de Ω com v´ertices em {p

  1 , p 2 , p 3 i 1 , p 2 , p

  3 {p , p , p } significa a uni˜ao de vizinhan¸cas W i de p i , para i = 1, 2, 3.

  1

  2

3 O lema seguinte, embora elementar, ´e mais importante do que inicialmente aparenta

  ser, e subsidiar´a a prova da proposi¸c˜ao posterior que, certamente, ´e o principal resultado desta parte final do cap´ıtulo.

  2.6 Lema. } admite um triˆangulo. Al´em disso, se Ω ´e Todo dom´ınio Ω adjacente a {p , p , p

  1

  

2

  3

  simplesmente conexo e regular pr´oximo a p , dois triˆangulos quaisquer de Ω com v´ertices em i {p , p , p } podem ser transformados homotopicamente um no outro atrav´es de uma fam´ılia

  1

  2

  3 de triˆangulos de Ω.

  Prova. Como Ω ´e aberto e conexo, temos, ent˜ao, que Ω ´e conexo por caminhos. Logo, dois pontos quaisquer de Ω podem ser ligados por um caminho em Ω. Assim, existe

  ⊂ Ω cujos pontos finais s˜ao p um arco regular A

  12 1 e p 2 . Sendo A 12 regular e como Ω ´e

  • adjacente a {p , p , p }, existe uma componente (Ω − A ) de Ω − A que cont´em p em

  1

  2

  3

  12

  12

  3 seu fecho.

  • ⊂ (Ω − A Seja A

  23 12 ) um arco regular com pontos finais p 2 e p 3 . Ent˜ao, analoga-

  mente ao par´agrafo anterior, existe uma componente ((Ω−A ) −A ) de (Ω−A ) −A

  12

  23

  12

  23

  que cont´em p em seu fecho. Seja A ⊂ ((Ω − A ) − A ) um arco regular com pontos

  1

  31

  12

  23 finais p e p . A uni˜ao desses arcos e seus pontos finais resultam no triˆangulo desejado.

  3

  1 p 1

  Suponha, agora, que Ω seja simplesmente A 12 conexo e regular pr´oximo a p i . Sejam T e T A 12 triˆangulos de Ω com v´ertices em {p , p , p } e ′ ′

  1

  2

  3 p 2

  sejam A e A arcos de T e T , respectiva-

  12

  12

  mente, que ligam p

  1 e p 2 .

  Figura 2.3: Sabemos que, no plano, dois arcos com mesmos extremos s˜ao sempre homot´opicos.

  Como Ω ´e regular pr´oximo a p i e homeomorfismo leva homotopia em homotopia, temos por uma pequena pertuba¸c˜ao pr´oxima a p que A e A coincidem numa vizinhan¸ca de p

  1

  12

  1

  12

  com os pontos finais de A mantidos fixos. De forma similar, podemos assumir que eles

  12

  coincidir˜ao numa vizinhan¸ca de p 2 .

  p 1A 12 A 12 p 2 ϕ i

  Figura 2.4:

  ′

  No complementar dessas vizinhan¸cas, temos sub-arcos de A e A que coincidem

  12

  12

  nas suas extremidades e que est˜ao contidos em Ω. Como Ω ´e simplesmente conexo, existe uma homotopia entre esses sub-arcos, mantendo desta forma seus pontos finais fixos. Assim, A e A s˜ao homot´opicos atrav´es de uma fam´ılia de arcos de Ω com pontos finais p e p .

  12

  1

  2

  12 De modo semelhante, os outros arcos de T s˜ao homot´opicos a seus correspondentes em T .

  } s˜ao homot´opicos atrav´es Logo, dois triˆangulos quaisquer de Ω com v´ertices em {p , p , p

  1

  2

  3 de uma fam´ılia de triˆangulos de Ω.

  2.7 Proposi¸ c˜ ao.

  Para uma orienta¸c˜ao fixada de M, todo dom´ınio simplesmente conexo Ω, adjacente e regular pr´oximo ao terno de pontos {p , p , p } ⊂ M, determina uma ´unica

  1

  2

  3

  permuta¸c˜ao α de {p , p , p } tal que

  1

  2

  3 (i) se Ω e Ω tem um triˆangulo em comum, ent˜ao α = α . ′ ′ Ω Ω (ii) se ∂Ω = ∂Ω ´e uma curva regular, e Ω e Ω s˜ao distintos, ent˜ao α 6= α .

  Ω Ω

  Prova. (i) Como Ω ´e adjacente a {p , p , p }, temos, pelo Lema 2.6, que existe um

  

1

  2

  3

  triˆangulo T de Ω com v´ertices nesses pontos. Esse triˆangulo T limita um subdom´ınio conexo U de Ω. Logo, U ´e tamb´em orient´avel, pois todo subconjunto aberto de uma superf´ıcie regular orient´avel ´e tamb´em orient´avel. A orienta¸c˜ao de U induz uma orienta¸c˜ao ou sentido de dire¸c˜ao em T .

  A orienta¸c˜ao induzida por M em U determina um sentido de percurso em T , que, por sua vez, determina uma permuta¸c˜ao de {p , p , p } da seguinte forma: se, ao percorrer

  1

  2

  3 T , passamos primeiro por p , depois por p

  e, em seguida, por p , ent˜ao a permuta¸c˜ao α

  1

  2 3 Ω

  ´e o ciclo (p , p , p ); caso contr´ario, α ´e o ciclo (p , p , p ). ´ E claro que estas permuta¸c˜oes

  1

  2 3 Ω

  1

  3

  2

  dependem continuamente de T . Al´em disso, usando o Lema 2.6, todos os triˆangulos de Ω com v´ertices em {p , p , p } s˜ao homot´opicos. Como homotopia preserva orienta¸c˜ao, observa-se

  1

  2

  3

  que α n˜ao depende da escolha de T e, portanto, est´a bem definido. Da´ı, se Ω e Ω tˆem um

  Ω triˆangulo em comum, ent˜ao α = α , para todo T com v´ertices p i .

  Ω Ω

  (ii) Visto que ´e Ω simplesmente conexo, temos que ∂Ω ´e conexo. Supondo que ∂Ω = ∂Ω ´e uma curva regular com ′ ′ Ω e Ω distintos, teremos, ent˜ao, que Ω e Ω induzem ori- enta¸c˜oes opostas em ∂Ω que, por sua vez, originam per- muta¸c˜oes distintas de {p , p , p } (ver Figura 2.5). Como

  1

  2

  3

  ∂Ω ´e uma curva regular, por uma pequena pertuba¸c˜ao em ∂Ω obtemos um triˆangulo de Ω com v´ertices em {p , p , p }.

  1

  2

  3 Assim, repetindo para ∂Ω = ∂Ω o argumento que

  apresentamos no par´agrafo anterior para um triˆangulo com Figura 2.5: v´ertices em {p , p , p }, obtemos duas permuta¸c˜oes distintas

  1

  2

  3 de {p , p , p }.

  1

  2

  3 Cap´ıtulo 3 Prova dos Resultados Principais

3 Teorema A.

  uma imers˜ao de uma superf´ıcie compacta orien- Seja f : M → R

  3

  2

  . Ent˜ao, f ´e um mergulho convexo se, e somente se, para cada u ∈ S , S u ´e tada em R simplesmente conexo.

  Prova. do Teorema A. Suponhamos, primeiramente, que f ´e um mergulho convexo.

  3

  2

  um corpo convexo , tal que f (M) = ∂V . Dado u ∈ S , sejam Π o plano Seja V ⊂ R

  

3

  3 → Π a proje¸c˜ao ortogonal sobre Π.

  perpendicular a u passando pela origem de R e π : R Como π ´e uma transforma¸c˜ao linear, temos que π(V ) ´e convexo. Seja D := π(f (M)).

  Afirma¸ c˜ ao 1 : D = π(V ) e, portanto, D ´e convexo. Como f (M) ⊂ V percebe-se, claramente, que D ⊂ π(V ). Basta ent˜ao mostrar que π(V ) ⊂ D.

  Se p ∈ ∂V , ent˜ao π(p) ∈ D. Se, por outro lado, p ∈ intV , seja α uma semi-reta

  3

  − V ), da´ı com origem p na dire¸c˜ao e sentido do vetor u. Desta forma, existe q ∈ α ∩ (R α ∩ ∂V 6= ∅. Tomemos p ∈ α ∩ ∂V . Como π(p) = π(p ), observamos que π(p) ∈ D(ver

  1

  1 Figura 3.1 ). Isto conclui a prova da Afirma¸c˜ao 1. Figura 3.1: Afirma¸ c˜ ao 2 : intD 6= ∅. De fato, dado p ∈ intV , existe r > 0 tal que B(p, r) ⊂ intV . Temos ent˜ao que

  2

  π(B(p, r)) = B

  1 . Portanto, π(p) ´e um ponto interior de π(V ) = D(ver

  ´e uma bola em R Figura 3.2 ), o que prova a Afirma¸c˜ao 2.

  Figura 3.2: Afirma¸ c˜ ao 3 : O intD ´e homeomorfo a um disco aberto.

  Pelas afirma¸c˜oes 1 e 2, obtemos que D ´e um subconjunto convexo de Π com interior

  1

  n˜ao vazio. Seja p ∈ intD. Como D ´e convexo, para cada v ∈ S existe um n´ umero positivo

  2

  t v tal que a intersec¸c˜ao da semi-reta com origem p na dire¸c˜ao v e o intD ´e o segmento

  2

  1

  [p

  2 , t v v). Logo intD = {tv; v ∈ S e t ∈ [0, t v )} e temos, ent˜ao, o homeomorfismo

  ϕ : A → D t tv 7→ v t v

  

2

  2

  2 Afirma¸ c˜ ao 4 : f (S u ) ´e um gr´afico sobre intD. De fato, se f (S u ) n˜ao fosse um gr´afico sobre intD, existiria uma semi-reta com origem em intD que interceptaria V em dois pontos distintos q e q , com q − q paralelo a

  1

  2

  1

  2

  u. Assumiremos, sem perda de generalidade, que a distˆancia de q a intD ´e menor do que a

  1 distˆancia de q a intD. Como V ´e convexo, V ficaria de um mesmo lado em rela¸c˜ao a T q V .

  2 2 ∈ V .

  Mais precisamente, V estaria do lado oposto `a normal n(q

  2 ), contrariando o fato de q

  1 Logo, f (S u ) ´e um gr´afico sobre intD e a afirma¸c˜ao fica provada.

  → intD ´e um homeomorfismo. Conclu´ımos dessa forma que S Portanto, π ◦ f : S u u ´e simplesmente conexo.

  2 Provaremos agora a outra dire¸c˜ao. Assumamos que para cada u ∈ S , S u seja simplesmente conexo. Suponhamos, por contradi¸c˜ao que f n˜ao ´e um mergulho convexo.

  Temos, ent˜ao, o resultado a seguir.

  3.1 Lema.

  Se f n˜ao ´e um mergulho convexo, ent˜ao existe um par de vetores ortogonais

  2

  u , v ∈ S , tais que (i) h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse com pelo menos 3 pontos cr´ıticos.

  (ii) ∂S v = H v = ∂S − v ´e uma curva regular.

  Prova. do Lema 3.1. (i) Como f n˜ao ´e um mergulho convexo, de acordo com o

2 Lema 2.5, existe um vetor unit´ario u ∈ S , tal que a correspondente fun¸c˜ao altura h u ´e uma

  fun¸c˜ao de Morse com pelo menos trˆes pontos cr´ıticos. Al´em disso, pelo Lema 2.4, este u

  2

  2

  pode ser tomado no aberto e U = {u ∈ S ; h u ´e fun¸c˜ao de Morse} ⊂ S . Assim, tomando ∈ e u U , teremos que h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse com pelo menos trˆes pontos cr´ıticos. ⊥ ⊥ ⊥

  2

  (ii) Seja u := {v ∈ S ; hu, vi = 0}. Ent˜ao e U := ∪ u ´e aberto. Logo, se- ⊥ ⊥ u∈ e U ∈ u ⊂ e gundo a Proposi¸c˜ao 2.1, existe v U , tal que H v ´e uma curva regular. Como − −

  1

  1

  σ ((−∞, 0)) = S − v e σ ((0, ∞)) = S v , obtemos que S − v e S v s˜ao dom´ınios em M, uma vez que s˜ao imagens inversas de abertos por uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Como − ∪ S ∪ H S v v v = M, temos que o complementar de H v consiste de um par de dom´ınios simplesmente conexos. Logo, H v ´e conexo. Se H v n˜ao fosse conexo, seu complementar te- ria pelo menos trˆes componentes conexas. Consequentemente, S v ou S v n˜ao seria conexo, contrariando o fato que essas sombras s˜ao simplesmente conexas. Conclui-se, ent˜ao, que H v ´e conexo. Da´ı, ainda segundo a Proposi¸c˜ao 2.1, ∂S v = H v = S v ´e uma curva regular.

  Isto conclui a prova do Lema 3.1.

  2

  ∈ S um vetor ortogonal a u e v , e seja Seja bv v(θ) = cos(θ)v v . (3.1)

  • sin(θ) b v θ θ no espa¸co das

  Para cada θ ∈ R, consideremos a fun¸c˜ao altura σ : M → R na dire¸c˜ao v fun¸c˜oes cont´ınuas em M.

  3.2 Lema. A aplica¸c˜ao θ 7→ σ v ´e cont´ınua na vari´avel θ.

  (θ)

  Prova. do Lema 3.2. Queremos mostrar que, para todo ǫ > 0, existe δ > 0, tal que, se |θ − θ | < δ, ent˜ao |σ v − σ v | < ǫ. Estamos considerando a norma da

  (θ) (θ )

  convergˆencia uniforme no espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas em M. Assim, mostraremos que |σ v (p) − σ v (p)| < ǫ, para cada p ∈ M. Notemos que

  (θ) (θ )

  |σ v (p) − σ v (p)| = |hn(p), v(θ)i − hn(p), v(θ )i|

  (θ) (θ )

  = |hn(p), v(θ) − v(θ )i| ≤ |v(θ) − v(θ )|.

  Como a aplica¸c˜ao θ 7→ v(θ) = cos(θ)v v ´e cont´ınua, existe δ > 0 tal que

  • sin(θ) b |v(θ) − v(θ )| < ǫ se |θ − θ | < δ, e, portanto, o Lema 3.2 fica provado.

  Consideremos p i , i = 1, 2, 3 um terno de pontos cr´ıticos distintos fixados de h u .

  3.3 Lema. v ´e um dom´ınio adjacente e regular pr´oximo a p i .

  Para todo θ ∈ R, S (θ) Prova. do Lema 3.3. Como p i ´e um ponto cr´ıtico de h u , ent˜ao n(p i ) = ±u .

  Assim, σ (p ) = hn(p ), v(θ)i v (θ) i i

  = hcos(θ)v , ±u i

  • sin(θ)bv = 0.

  Logo, p i ∈ H v .

  (θ)

  Como h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse, temos, pelo Lema 2.4, que K(p i ) 6= 0. Sendo v(θ) ∈ T p i M, temos ∂S v ∩ U i = ∂S v ∩ U i

  

(θ) (θ)

  ∩ U = H v (θ) i . ∈ ∂S

  Por conseguinte, p i v (θ) , isto ´e, S v (θ) ´e adjacente a p i , i = 1, 2, 3. Basta mostrar

  2 agora que ϕ i : U i ´e um homeomorfismo que aplica U i ∩ S v no semi-plano superior.

  → R

  (θ)

  ∩ U Ora, como Γ = ∂S v i ´e uma curva regular, existem abertos U i de p i e

  (θ)

  2

  homeomorfismos ϕ i : U i , tal que ϕ i (U i ∩ Γ i conexo, → R ) = R. Ent˜ao, tomando U podemos assumir que ϕ i (U i ∩ S v ) est´a contido no semiplano superior. Assim, conclu´ımos

  (θ) a prova do Lema 3.3.

  Como S v ´e um dom´ınio adjacente, regular pr´oximo a p i e tamb´em ´e simplesmente

  (θ)

  conexo, temos, pela Proposi¸c˜ao 2.7, que cada S v induz uma permuta¸c˜ao de {p , p , p }

  (θ)

  1

  2

  3

  que denotamos por α θ = α (S v ) . Al´em disso, como ∂S v = ∂S v ´e uma curva regular, (θ) conclu´ımos por meio da mesma proposi¸c˜ao que α = α v 6= α v = α π . (3.2)

  Denotemos por Sym o grupo sim´etrico. Uma conseq¨ uˆencia imediata do lema a seguir ´e que a aplica¸c˜ao

  ∈ Sym({p }) R ∋ θ 7→ α θ 1 , p 2 , p

  3 ´e localmente constante.

  3.4 Lema.

  | < ǫ, ent˜ao S Para cada θ ∈ R, existe um ǫ > 0, tal que, se |θ − θ v (θ) e S v (θ ) tˆem um triˆangulo em comum(com v´ertices em {p , p , p }).

  1

  2

  3 Prova.

  do Lema 3.4. Recordemos que, como h u ´e uma fun¸c˜ao de Morse, de acordo com o Lema 2.4, tem-se K(p i ) 6= 0. Logo, n ´e um difeomorfismo local em p i . Al´em disso, pela Proposi¸c˜ao 2.3, em uma vizinhan¸ca W de {p , p , p }, temos

  1

  2

  3

  ∂S v (θ) = H v (θ)

  1

  = n (C) − ⊥

  1 = n (v (θ)), (3.3)

  2

  onde v (θ) denota o c´ırculo m´aximo em S ortogonal a v(θ). Por(3.1) temos que v (θ) depende continuamente de θ. A partir da´ı e de(3.3), verificamos que, em W , ∂S v tamb´em

  (θ) Seja T um triˆangulo de S v com v´ertices em {p , p , p }. Pela Proposi¸c˜ao 2.3,

  (θ )

  1

  2

  3

  numa vizinhan¸ca de {p , p , p } temos que ∂S v ´e uma curva regular C . Logo, se ne-

  1

  2 3 (θ )

  cess´ario, podemos substituir nessas vizinhan¸cas os arcos de T por curvas regulares C que interceptam ∂S v transversalmente. Agora, considerando a intersec¸c˜ao de cada arco de

  (θ ) T com o complementar de W , obtemos trˆes curvas compactas disjuntas no aberto ∂S v .

  (θ )

  Usando argumentos usuais de compacidade, podemos, se necess´ario, substituir essas trˆes cur- vas por curvas regulares C . Desse modo, podemos assumir que os arcos de T s˜ao regulares C e interceptam ∂S v transversalmente.

  (θ )

  Assim, pela continuidade de ∂S em rela¸c˜ao a θ, segue-se que, se |θ − θ | < ǫ v (θ)

  1 para algum ǫ suficientemente pequeno, ent˜ao T tamb´em encontra ∂S v transversalmente.

  1 (θ) Logo, para alguma vizinhan¸ca W de {p , p , p }, tem-se que (T − {p , p , p }) ∩ W ⊂ S v .

  1

  2

  

3

  1

  2 3 (θ) Resta-nos mostrar que T − W ⊂ S . v (θ)

  Pelo Lema 3.2, dado ǫ > 0, existe ǫ > 0, tal que, se |θ − θ | < ǫ , ent˜ao

  3

  2

  2

  |σ − σ | < ǫ v v

  3 . Al´em disso, como σ v > 0 no compacto T − W ⊂ S v , temos (θ) (θ ) (θ ) (θ )

  pelo Lema 2.2 que σ v (p) > 0, para todo p ∈ T − W . Logo, T − W ⊂ S v , para todo θ,

  (θ) (θ)

  tal que |θ − θ | < ǫ . Assim, tomando ǫ = min{ǫ , ǫ }, temos que T − {p , p , p } ⊂ S v ,

  2

  1

  2

  1

  2 3 (θ)

  | < ǫ. Portanto, para cada θ | < ǫ, S para cada θ tal que |θ − θ ∈ R com |θ − θ v e S v

  (θ) (θ ) tˆem um triˆangulo comum e, assim, provamos o Lema 3.4.

  Ora, como S v e S v tˆem um triˆangulo em comum, ent˜ao, de acordo com a

  (θ) (θ )

  Proposi¸c˜ao 2.7, temos que, α = α . Portanto, a aplica¸c˜ao θ 7→ α ´e localmente constante θ θ θ

  e, como [0, π] ´e conexo, temos pelo Lema 1.8 que θ 7→ α θ ´e constante. Dessa forma, α = α π , contrariando(3.2). Portanto, f ´e um mergulho convexo, o que finaliza a prova do Teorema A.

  1

  1

  3 Teorema B.

  Existe um mergulho C do toro f : S × S , tal que para cada → R

  2 u ∈ S , S u ´e conexo.

  1

  3 Prova. do Teorema B. Dizemos que uma imers˜ao γ : S ´e um skew

  ≃ R/2π → R loop se n˜ao existem pares de retas tangentes paralelas distintas, isto ´e, ′ ′ γ (t) × γ (s) 6= 0, ∀ t, s ∈ [0, 2π), t 6= s. aplica¸c˜ao γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), onde

  1

  1 x(t) = −cos(t) − cos(4t) + cos(2t)

  20

  10

  1

  1 y(t) = sin(t) + sin(2t) + sin(4t)

  10

  20

  46

  2 z(t) = − sin(3t) − cos(3t) sin(3t).

  75

  15 γ (t)

  O c´alculo da indicatriz tangente T (t) =: mostra que T (t) 6= ±T (s), para ||γ (t)|| cada t, s ∈ [0, 2π), t 6= s, j´a que

  1

  1 x (t) = sin(t) + sin(4t) − sin(2t)

  5

  5

  1

  1 , t ∈ [0, 2π). y (t) = cos(t) + cos(2t) + cos(4t)

  5

  5

  46

  2

  2

  2

  z (t) = − cos(3t) + (sin (3t) − cos (3t)) ′ ′

  25

  5 Assim, temos que γ (t) = γ (s), somente se t = s.

  Figura 3.3:

  1

  3

  1 Seja γ : S uma imers˜ao. Para cada p ∈ S , temos a decomposi¸c˜ao

  → R

  1

  

1

  3 T p S ⊕ (T p S ) = T p , ⊥ ′ R

  1

  1

  com dim(T p S ) = 1 e dim(T p S ) = 2. Portanto, γ (p) depende continuamente de p. Logo, o

  1

  plano normal (T p S ) tamb´em varia continuamente em rela¸c˜ao a p. Podemos, ent˜ao, tomar

  1

  uma base ortonormal {v(p), w(p)} de (T p S ) , variando continuamente em rela¸c˜ao a p. Seja agora ⊥ ⊥

  1

  

1

  1

  (US ) = {(p, ν); p ∈ S , ν ∈ (T p S ) , |ν| = 1} o fibrado normal unit´ario de γ (ver Figura 3.4).

1 Fixando p ∈ S , a aplica¸c˜ao

  

  1

  1

  1

  × S → (US S )

  Figura 3.4:

  1

  1

  1

  ´e um homeomorfismo entre o toro S × S e o fibrado normal unit´ario (US ) . Assim, a seguinte proposi¸c˜ao prova o Teorema B.

  1

  3 3.5 Proposi¸ c˜ ao. Sejam γ : S um it skew loop e M o fibrado normal unit´ario de γ.

  → R Para ǫ > 0, defina

  3

  f ǫ : M → R por f ǫ (p, ν) = γ(p) + ǫν.

  2 Ent˜ao, para ǫ suficientemente pequeno, f ǫ ´e uma imers˜ao C

  e, para cada u ∈ S , S u ´e conexo. Se γ ´e um mergulho, ent˜ao f ǫ ´e um mergulho tamb´em.

  Prova. da Proposi¸c˜ao 3.5. Pelo Teorema da Vizinhan¸ca Tubular, existe ǫ > 0 tal

  2

  que f ǫ ´e uma imers˜ao C e ´e um mergulho quando γ ´e mergulhado. Seja n : M → S a proje¸c˜ao na segunda coordenada, isto ´e, n(p, ν) = ν.

  Afirmamos que n ´e a aplica¸c˜ao de Gauss de f ǫ . De fato, dados (p, ν) ∈ M, seja

  2 X(t, θ) a aplica¸c˜ao de f ǫ

  definida por num sistema de coordenadas (t, θ) ∈ U ⊂ R X(t, θ) = γ(t) + ǫ(cosθe (t) + sin θe (t)),

  1

  2 ′ ⊥

  onde, para cada t, {e

  1 (t), e 2 (t)} ´e uma base ortonormal de (γ (t)) . Ent˜ao, ′ ′ ′

  X t = γ (t) + ǫcosθe (t) + ǫ sin θe (t)

  1

  2 X θ = ǫ(− sin θe (t) + cosθe (t)),

  

1

  2 logo hν, X t i = 0 e hν, X θ i = 0, o que prova a afirma¸c˜ao.

  1

  1

  1

  Seja π : M → S a proje¸c˜ao na primeira coordenada do fibrado M ≃ S × S , isto

  1

  1

  ´e, π(p, ν) = p. Para cada p ∈ S , seja F p := π (p) a fibra relativa a p. De acordo com a

  2

  afirma¸c˜ao acima, n mergulha F p num grande c´ırculo de S contido no plano perpendicular a γ (p). Recordemos que um ponto de M pertence `a sombra S u se, e somente se, o vetor

  2

  normal nesse ponto pertence ao hemisf´erio aberto S . Assim, para cada p ∈ M, a intersec¸c˜ao u da fibra F p com a sombra S u ´e um semi-c´ırculo aberto ou o conjunto vazio. E temos ent˜ao duas possibilidades: i) Cada F p intercepta a sombra S u em um semi-c´ırculo. Portanto, S u ´e homeomorfo a um anel (ver Figura 3.5).

  Figura 3.5: ii) Existe p ∈ M tal que F p ´e disjunta da sombra S u , isto ocorre se, e somente se, a fibra F p est´a contida no plano ortogonal a u, ou seja, os vetores u e γ (p) s˜ao paralelos. Como γ ´e um skew loop, este caso s´o poder´a ocorrer uma vez. Conclu´ımos ent˜ao que, neste caso, S u ´e homeomorfo a um disco.

  2 Em qualquer dos casos, temos que S u ´e conexo para cada u ∈ S . Desse modo, conclu´ımos a prova da Proposi¸c˜ao 3.5 e do Teorema B.

  2 Teorema C.

  Se M ´e topologicamente uma esfera, e para cada u ∈ S , S u ´e conexo, ent˜ao f ´e um mergulho convexo.

  Prova. do Teorema C. Assim como no Teorema A, a prova do Teorema C ´e feita

  2

  por contradi¸c˜ao. Suponhamos que M seja homeomorfo a S , que S seja conexo para cada u

  2 u ∈ S e que f n˜ao seja um mergulho convexo.

  Sejam u e v os vetores do Lema 3.1, e v(θ) definido por(3.1). A sombra ampliada e

  S v ´e a uni˜ao de S v com todas as componentes conexas X λ de H v tais que existe alguma

  (θ) (θ) (θ)

  ! [

  ´ − X ⊂ S ⊂ S ∪ vizinhan¸ca aberta V λ de X λ com V λ λ v E claro que e S v v

  V λ . Por

  (θ) (θ) (θ) λ

  ! [ outro lado, como V λ = X λ ∪ (V λ − X λ ) ⊂ X λ ∪ S v , tem-se que S v ∪

  V λ ⊂ e S v .

  (θ) (θ) (θ) λ

  Logo, ! !

  [ [ e ∪ ∪

  S v = S v X λ = S v V λ ,

  (θ) (θ) (θ) λ λ

  obtemos da´ı que e S v ´e aberto conexo, uma vez que os conjuntos V λ s˜ao abertos, conexos

  (θ)

  e interceptam S v . Ent˜ao, e S v satisfaz as condi¸c˜oes do Lema 1.9. Al´em disso, temos o

  (θ) (θ) u

H H

1 2 S

  e S v = S v H

  (θ) (θ)

  1 Figura 3.6: seguinte resultado, an´alogo ao Lema 3.3.

  3.6 Lema. S v ´e um dom´ınio adjacente e regular pr´oximo a p i .

  Para todo θ ∈ R, e (θ) Prova. do Lema 3.6. Como p i ´e ponto cr´ıtico de h u , vimos na Proposi¸c˜ao 2.3 que

  ∂S v = H v = ∂S v em determinadas vizinhan¸cas abertas U i de p i . Logo, temos que

  (θ) (θ) (θ)

  ∂ e S e ∂S coincidem nessas vizinhan¸cas. Portanto, p ∈ ∂ e S e como Γ := ∂ e S ∩U = v (θ) v (θ) i v (θ) v (θ) i

  2

  ∂S v ∩ U i ´e uma curva regular, existe um homeomorfismo ϕ i : U i que aplica e S v ∩ U i

  (θ)

  → R (θ) no semi-plano superior. Dessa maneira, conclu´ımos a prova do Lema 3.6.

  α θ = α Segundo a Proposi¸c˜ao 2.7, temos que cada θ induz uma permuta¸c˜ao e S v ( e ) (θ) de {p , p , p }. Como pelo Lema 3.1, ∂S v = ∂S v ´e uma curva regular, segue-se que

  1

  2 3 (0) (0)

  ∂ e S v = ∂ e S v tamb´em ´e uma curva regular. Da´ı, novamente pela Proposi¸c˜ao 2.7, temos

  (0) (0)

  que

  α(θ) ´e localmente O lema a seguir an´alogo ao Lema 3.4, mostra que a aplica¸c˜ao θ 7→ e constante.

  3.7 Lema.

  | < ǫ, ent˜ao e S v e e S v

  Para cada θ ∈ R, existe um ǫ > 0, tal que, se |θ − θ (θ) (θ ) tˆem um triˆangulo em comum (com v´ertices em {p , p , p }).

  1

  2

  3 Prova do Lema 3.7.

  A prova ´e uma conseq¨ uˆencia imediata do Lema 3.4, no qual mostramos que S e S tˆem um triˆangulo em comum. Ora, como pelo Proposi¸c˜ao 2.3 S = e S v (θ) v (θ ) v (θ) v (θ) em vizinhan¸cas abertas de p i , e S v ⊂ e S v , temos que e S v e e S v tamb´em tˆem um

  (θ) (θ) (θ) (θ ) triˆangulo em comum. Assim, conclu´ımos a prova do Lema 3.7.

  Uma vez que e S v e e S v tˆem um triˆangulo comum, pela Proposi¸c˜ao 2.7, temos

  (θ) (θ )

  α θ α θ α α π , o que contra- que e = e . Como [0, π] ´e conexo, pelo Lema 1.13 temos que e = e ria (3.4). Logo, f ´e um mergulho convexo e, assim, finalizamos a prova do Teorema C. Referˆ encias Bibliogr´ aficas [CL] CHERN, S. and LASHOF, R. K. On the total curvature of immersed manifolds. Amer.

  J. Math., 79 (1957), 306 - 318. [C] CHOE, J. Index, vision number and stability of complete minimal surfaces. Arch. Rati- onal Mech. Anal., 36 (1990), 195 - 212.

  [F] FEDERER, H. Geometric meansure theory. Springer-Verlag. New York, 1969. Die Grun- dlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153.

  [G] GHOMI, M. Shadows and convexity of surfaces. Ann. of Math., 155 (2002), 281 − 293. [GK] GREENE, R. E. and KRANTZ, S. G. Function theory of one complex variable. Jonh Wiley e Sons Inc., New York, 1997.

  [H] HOWARD, R. Mohammad Ghomi’s solution to the shadow problem. Dispon´ıvel em http//www.math.sc.edu/ howard/Notes/illumination.pdf.

  [M] MILNOR, J. Morse theory. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1963. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics Studies, No. 51.

  Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/Depto. de Matem´atica

  Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP:40170-110 http://www.pgmat.ufba.br/

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