UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS – PGCEM MAKHLES REUTER LANGE

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA

DE MATERIAIS – PGCEM

MAKHLES REUTER LANGE

  

EFEITOS ACOPLADOS DA TEMPERATURA E EVOLUđấO DE

DANO EM MEIOS CONTÍNUOS ELASTO-PLÁSTICOS

JOINVILLE, SC

  MAKHLES REUTER LANGE EFEITOS ACOPLADOS DA TEMPERATURA E EVOLUđấO DE DANO EM MEIOS CONTÍNUOS ELASTO-PLÁSTICOS

  Dissertação apresentada ao curso de Pós- Graduação em Ciência e Engenharia de Materiais como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ciência e Engenharia de Materiais. Orientador: Miguel Vaz Júnior Co-orientador: Pablo Andrés Muñoz-Rojas

JOINVILLE, SC 2011

  L274e Lange, Makhles Reuter.

  Efeitos Acoplados da Temperatura e Evolução do Dano em Meios Contínuos Elasto-plásticos / Makhles Reuter Lange; Orientador: Miguel Vaz Júnior. – Joinville, 2011.

  109 f.: il ; 30cm Inclui referências. Dissertação (mestrado) – Universidade do Estado de Santa

  Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais, Joinville, 2011.

  1. Plasticidade Computacional. 2. Mecânica do Dano Contínuo. 3. Acoplamento Termomecânico. I. Vaz Jr., Miguel.

  CDD 620.16

  

“ EFEITOS ACOPLADOS DA TEMPERATURA E EVOLUđấO DE

DANO EM MEIOS CONTÍNUOS ELASTO-PLÁSTICOS ”

  por

MAKHLES REUTER LANGE

  Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

  

MESTRE EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS

  área de concentração em “Modelamento Numérico de Material e Simulação de Processo,” e aprovada em sua forma final pelo CURSO DE MESTRADO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS

  CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS DA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA.

  Prof. Dr. Miguel Vaz Júnior CCT/UDESC (presidente/orientador) Banca Examinadora Joinville, SC, 27/07/2011.

  Prof. Dr. Pablo Andrés Muñoz-Rojas CCT/UDESC (membro/co-orientador) Prof. Dr. Renato Barbieri CCT/UDESC (membro)

  Prof. Dr. Luiz Antônio Bragança da Cunda UFRG (membro)

  

AGRADECIMENTOS

  Deixo os meus sinceros agradecimentos aos meus pais, por terem sempre me incentivado a buscar novos conhecimentos e a enfrentar os desafios com destemidez. Agradeço ao meu orientador e professor, Miguel Vaz Júnior, por me orientar e mostrar o “caminho das pedras”, e por todos os ensinamentos transmitidos desde a saudosa época da

  Graduação.

  Gostaria de agradecer ao meu co-orientador, Pablo Andrés Muñoz-Rojas, e aos demais professores, colegas e amigos, por terem contribuído de forma indireta para a realização deste trabalho e compartilhado momentos marcantes da minha vida.

  Agradeço também à Universidade do Estado de Santa Catarina, UDESC, e ao Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Materiais, PGCEM, por esta oportunidade de especialização e realização pessoal, e à CAPES, pela bolsa de estudo fornecida.

  

RESUMO

  LANGE, Makhles Reuter. Efeitos Acoplados da Temperatura e Evolução de Dano em

  

Meios Contínuos Elasto-plásticos. 2011. 109f. Dissertação (Mestrado em Ciência e

  Engenharia de Materiais – Área: Modelamento Numérico de Material e Simulação de Processo). Universidade do Estado de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Materiais, Joinville, 2011.

  O surgimento de novos materiais, aliado ao aumento da demanda industrial por ferramentas numéricas capazes de prever o aparecimento de defeitos em processos de conformação mecânica, tem estimulado o desenvolvimento de novos modelos materiais. A Mecânica do Dano Contínuo, em cujo contexto este trabalho está inserido, provou ser uma abordagem capaz de prever o início da fratura dúctil em operações de conformação mecânica. O principal objetivo deste trabalho é o estudo da formulação termo-elastoplástica de problemas com acoplamento termomecânico visando a sua aplicação na predição da degradação mecânica de materiais dúcteis. A descrição da degradação interna do material é feita através da modificação do modelo de dano de Lemaitre (1985) para incluir efeitos de abertura e fechamento de vazios relacionados a estados de tensão trativos e compressivos. Os problemas térmico e mecânico são formulados utilizando o método de Elementos Finitos. O acoplamento dos efeitos térmicos é definido através da inclusão de um fator de sensibilidade na função de escoamento e da geração de calor por dissipação plástica. Dois métodos de acoplamento foram abordados: método particionado e método iterativo. A avalição da precisão do método de solução iterativo do problema acoplado é feita através da análise de influência do incremento de carga. Neste caso, os resultados obtidos mostraram que o método iterativo é mais preciso que o método particionado. O estudo dos efeitos térmico e mecânico acloplados é feito através da análise da influência da temperatura e do coeficiente de troca de calor na simulação de um ensaio de tração usando um corpo de prova cilíndrico. Os resultados mostram que a degradação interna do material é fortemente influenciada pela temperatura do material e pelo coeficiente de troca de calor, ou seja, quanto maior a temperatura, maior é a capacidade do material de se deformar plasticamente com uma redução da taxa de degradação interna do material.

  

Palavras-chave: Plasticidade Computacional. Mecânica do Dano Contínuo. Acoplamento

termomecânico.

  

ABSTRACT

  LANGE, Makhles Reuter. Damage Evolution and Thermal Coupled Effects in Elasto-

  

plastic Solids. 2011. 109f. Dissertation (Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais –

  Área: Modelamento Numérico de Material e Simulação de Processo). Universidade do Estado de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Materiais, Joinville, 2011.

  The development of new materials, in addition to the increasing industrial demand for more efficient numerical tools capable of predicting defects in metal forming processes, has stimulated research on new material models. In this context, the Continuum Damage Mechanics has proved to be able of successfully predicting ductile failure onset in metal forming operations. The main objective of this work is the study of a thermo-elastic-plastic formulation and thermo-mechanical coupling schemes aiming at prediction of mechanical degradation of ductile materials. The material internal degradation is described using a modified version of Lemaitre’s (1985) damage model, in which the void opening and void closure effects associated to tensile and compressive stress states are accounted for. The mechanical and thermal problems are formulated using the Finite Element Method. Coupling of thermal effects is defined by a sensitivity factor included in the yield function and by a component describing the energy generated due to dissipation of plastic work. Two coupling procedures are addressed in this work: staggered scheme and iterative scheme. Accuracy of the iterative coupling scheme is assessed by the analysis of the load increment size. In this case, the results show that the iterative procedure is more accurate than the staggered scheme. The study of the coupled thermal and mechanical effects is discussed by the analysis of the influence of the temperature and the heat transfer coefficient based upon the simulation of tensile tests of U-notched specimens. The results show that the internal degradation of the material is strongly affected by its temperature and heat transfer coefficient, i.e., higher temperatures increase the material capacity to deform with smaller rates of material degradation.

  

Key words: Computational Plasticity. Continuum Damage Mechanics. Thermomechanical

Coupling.

  

LISTA DE ILUSTRAđỏES

  Figura 1 – Representação esquemática dos micromecanismos de falha dúctil. Adaptado de (BESSON, 2010)...................................................................................................25

  Figura 2 – Corpo danificado mostrando em detalhe o RVE. Fonte: Lemaitre e Desmorat + (2005). ...................................................................................................................26

  Figura 3 – Evolução da variável de dano para diversos limiares de dano, com

  h = h = 1, 0 e θ 300K . ...............................................................................................................44

  =

  • + −

  Figura 4 – Evolução da variável de dano para diversos limiares de dano, com e

  = = θ 300K

  h h 0, 75

  = . ...............................................................................................................45

  Figura 5 – Comparação da evolução da variável de dano utilizando dois limiares de dano e dois parâmetros de abertura e fechamento de vazios, com θ = 300 K. .................45 + Figura 6 – Efeito do limiar de dano sobre a tensão equivalente, com h = h = 1, 0 e θ = 300K .

  ...............................................................................................................................46 + Figura 7 – Efeito do limiar de dano sobre a tensão equivalente, com h = h = 0, 75 e θ = 300K .

  ...............................................................................................................................46 Figura 8 – Variação do dano com a deformação plástica equivalente para vários valores de temperatura inicial.................................................................................................47 Figura 9 – Variação do dano com a deformação plástica equivalente para vários valores de temperatura inicial.................................................................................................48 Figura 10 – Comparação da influência dos parâmetros de abertura e fechamento de vazios na evolução do dano...................................................................................................48 Figura 11 – Evolução da tensão equivalente para diversos valores de temperatura inicial, com − +

  h h 1, 0 = = . ..........................................................................................................49

  Figura 12 – Evolução da tensão equivalente para diversos valores de temperatura inicial, com + −

  h = h = 0, 75 . ........................................................................................................49

  Figura 13 – Comparação da influência dos parâmetros de abertura e fechamento de vazios na tensão equivalente. ................................................................................................50 Figura 14 – Decomposição do gradiente de deformação em configurações intermediárias. ...54 Figura 15 – Esquema de acoplamento particionado (“operator-split” isotérmico)..................72

  Figura 17 – Corpo de prova com entalhe em U e, em detalhe, malha de elementos finitos utilizada nas simulações. Fonte: Vaz Jr. et al., (2011)..........................................74 Figura 18 – Avaliação da descontinuidade do método de acoplamento particionado, para

  θ

  = 400 K. ............................................................................................................78 Figura 19 – Distribuição de temperaturas no último incremento de deformação, para σθ = − Y / 1,0 MPa/K . (a) θ = 300 K, (b) θ = 350 K, (c) θ = 400 K e (d)

  θ

  = 450 K. ............................................................................................................80 ε ε max Figura 20 – Distribuição da deformação plástica equivalente, / , no último incremento σθ = − p p de deformação, para / 1,0 MPa/K e temperaturas iniciais (a) θ = 300 K, Y

  (b) θ = 350 K, (c) θ = 400 K e (d) θ = 450 K....................................................80 Figura 21 – Distribuição da variável de dano, D / D , no último incremento de deformação, σθ = − max

  / 1,0 MPa/K

  para e temperaturas iniciais (a) θ = 300 K, (b) θ = 350 K, Y (c) θ = 400 K e (d) θ = 450 K. ............................................................................81 σθ =

  /

  Figura 22 – Efeito da temperatura inicial: evolução da força trativa, para ............82 Y Figura 23 – Efeito da temperatura inicial: evolução da força trativa, para σθ = − Y / 1,0 MPa/K .............................................................................................82

  Figura 24 – Efeito da temperatura inicial: evolução da força trativa, para σθ = − Y / 2,0 MPa/K . ...........................................................................................83 Figura 25 – Influência do fator de sensibilidade na evolução da força trativa, para θ = 400 K.

  ...............................................................................................................................83 Figura 26 – Efeito da temperatura inicial sobre as tensões equivalente de von Mises e tensão σθ =

  /

  de escoamento no centro do corpo de prova, para ..............................84 Y Figura 27 – Efeito da temperatura inicial sobre as tensões equivalente de von Mises e tensão de escoamento no centro do corpo de prova, para um fator de sensibilidade σθ = − Y / 1,0 MPa/K .............................................................................................85

  Figura 28 – Efeito da temperatura inicial sobre as tensões equivalente de von Mises e tensão de escoamento no centro do corpo de prova, para um fator de sensibilidade σθ = −

  / 2,0 MPa/K Y . ...........................................................................................85 σθ = /

  Figura 29 – Evolução da variável de dano no centro do corpo de prova, para ......86 Y Figura 30 – Evolução da variável de dano no centro do corpo de prova, para σθ = −

  / 1,0 MPa/K Y .............................................................................................87

  Figura 31 – Evolução da variável de dano no centro do corpo de prova, para σθ = − Y / 2,0 MPa/K . ...........................................................................................87

  Figura 32 – Efeito do fator de sensibilidade na evolução do dano no ponto central do corpo de prova......................................................................................................................88 Figura 33 – Variável de dano no ponto central em função do fator de sensibilidade à temperatura no último incremento de deformação. Curvas para várias temperaturas iniciais..............................................................................................88

  Figura 34 – Efeito do fator de sensibilidade na variável de dano ao longo do eixo de simetria, para θ = 300 K. ....................................................................................................89 Figura 35 – Efeito do fator de sensibilidade na variável de dano ao longo do eixo de simetria, para θ = 350 K. ....................................................................................................89 Figura 36 – Efeito do fator de sensibilidade na variável de dano ao longo do eixo de simetria, para θ = 400 K. ....................................................................................................90 Figura 37 – Efeito do fator de sensibilidade na variável de dano ao longo do eixo de simetria, para θ = 450 K. ....................................................................................................90 Figura 38 – Efeito do coeficiente de troca de calor na força trativa, para θ = 450 K e

  / 1,0 MPa/K Y σ θ ∂ ∂ = −

  .............................................................................................92 Figura 39 – Evolução da variável de dano e da temperatura em função do coeficiente de troca de calor. .................................................................................................................92 Quadro 1 – Esquema simplificado do algoritmo de retorno proposto por Souza Neto (2002) com a inclusão do limiar de dano..........................................................................42

  

LISTA DE TABELAS

  Tabela 1 – Dados utilizados na simulação para um ponto de Gauss........................................43 Tabela 2 – Métodos de aproximação do parâmetro Θ..............................................................69 Tabela 3 – Dados utilizados nas simulações. Fonte: Vaz Jr. et al. (2009). ..............................75 Tabela 4 – Dados utilizados nas simulações de um ensaio de tração do corpo de prova da

  Figura 17. ..............................................................................................................76 Tabela 5 – Redução do tempo de solução: modelo clássico de von Mises sem dano. .............77 Tabela 6 – Redução do tempo de solução: modelo de dano de Lemaitre (1985) modificado

  (VAZ JR. et al., 2011)...........................................................................................77

  LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS CDM – Continuum Damage Mechanics (Mecânica do Dano Contínuo).

  MDC – Mecânica do Dano Contínuo. MEF – Método de Elementos Finitos. GTN – Gurson-Tvergaard-Needleman (modelo de dano). RVE – Representative Volume Element (Elemento de Volume Representativo).

  XFEM – eXtended Finite Element Method (Método de Elementos Finitos Estendido).

  LISTA DE SÍMBOLOS

  SÍMBOLOS a − Módulo tangente espacial.

  A − Conjunto genérico de forças termodinâmicas (notação indicial). k A − Conjunto genérico de forças termodinâmicas (notação tensorial).

  − Operador de montagem do método de Elementos Finitos.

  A b − Forças de corpo por unidade de volume na configuração deformada.

  B − Operador gradiente simétrico discreto. c − Calor específico.

  − Matriz calor específico (na forma reduzida).

  C − Tensor rigidez (ou elasticidade). C dp − Vetor na configuração de referência.

  • dp − Vetor na configuração térmica.
    • dp − Vetor na configuração relaxada.

  dx − Vetor na configuração atual.

  D

  mec − Termos dissipativos da equação de energia.

  D − Variável de dano. D n − Dano segundo a direção normal n.

  D c − Valor de dano crítico. D max − Valor máximo de dano no último incremento de deformação.

  D − Variável de dano não-local.

  D − Variável de dano de quarta ordem.

  − Tensor taxa de deformação plástica.

  D p ɶ − Tensor taxa de deformação plástica rotacionado.

  D p − Tensor taxa de deformação plástica modificado. D ep ˆ D − Operador tangente consistente elastoplástico.

  E − Módulo de Young.

  − Energia interna específica.

  − Taxa de variação da energia interna específica.

  e ɺ e − Parcela desviadora do tensor deformação. e i − Autovetor unitário associado com o i-ésimo autovalor. f − Porosidade. f − Porosidade efetiva.

  • fɺ − Taxa de evolução da porosidade.

  − Tensor gradiente de deformação.

  F ɺ

  F − Taxa do tensor gradiente de deformação.

   − Vetor independente. f ext f − Vetor de forças externas global. int f − Vetor de forças internas global. ext ( ) e f − Vetor de forças externas do elemento (e). int e ( ) f − Vetor de forças internas do elemento (e). gɺ − Geração de calor por unidade de volume.

  − Módulo de cisalhamento.

  G g G − Operador gradiente global espacial.

  − Coeficiente de troca de calor.

  • + h h − Parâmetro de dano relacionado à abertura de vazios.

    h − Parâmetro de dano relacionado ao fechamento de vazios.

  − Tensor identidade de segunda ordem.

  I I − Tensor identidade de quarta ordem.

  J − Jacobiano; razão de volumes. k − Condutividade térmica. k − Tensor condutividade térmica.

  − Módulo de compressibilidade.

  K K − Matriz condutividade térmica. T K − Matriz rigidez tangente global.

  L − Gradiente de velocidade. p L − Gradiente de velocidade plástico modificado. M − Tensor efetivo de dano (de segunda ordem).

  M − Tensor efetivo de dano (de quarta ordem).

  − Incremento n.

  n n elem − Número de nós do elemento. n − Vetor unitário normal à superfície.

  N − Matriz das funções de interpolação. p − Tensão hidrostática. pɶ − Tensão hidrostática efetiva. p h − Ponto material genérico na configuração inicial. q − Fluxo de calor por convecção por unidade de área. i q − Termo relacionado com a dissipação térmica.

  ,

  1

  2

q q − Parâmetros relacionados à cinética do crescimento de vazios.

q − Fluxo de calor prescrito. q − Tensão equivalente de von Mises. qɶ − Tensão efetiva de von Mises. q − Fluxo de calor por condução.

  Q − Termo fonte de geração de calor.

  Q − Vetor correspondente ao termo fonte. r − Parâmetro de dano. r − Força virtual ou resíduo. r − Vetor residual.

  R − Encruamento isotrópico da matriz (modelo GTN). R − Variável associada ao encruamento isotrópico.

  RR ' − Linha de simetria.

  R − Tensor rotação. s − Parâmetro de dano.

  s − Entropia específica.

  S − Entropia total.

  − Tensor tensão desviador.

  s s − Tensor tensão desviador efetivo.

  ɶ t − Tempo. t − Vetor tração. e e

  T ɺ

  1...6 z

− Termos genéricos relativos à obtenção do termo B B .

u − Deslocamento na direção “z” (longitudinal).

  r u − Deslocamento na direção “r” (radial).

  − Deslocamento prescrito.

  u U − Energia de deformação elástica. u − Campo de deslocamentos. u − Vetor de deslocamentos global. v − Campo de velocidades.

  V − Tensor estiramento esquerdo.

  − Função arbitrária.

  W W − Tensor vorticidade.

x − Ponto material genérico na configuração atual.

  Y − Taxa de liberação de energia de deformação causada por dano.

  ' − Eixo longitudinal.

  ZZ α − Variável de encruamento isotrópico.

  α ,

  α k − Conjunto de variáveis internas.

  β − Coeficiente de expansão térmica.

  • β − Função peso (no contexto de modelos não-locais).

  γ − Multiplicador plástico ou parâmetro de consistência. Γ − Fronteira total.

  Γ q h − Fronteira com fluxo de calor prescrito.

  Γ − Fronteira com convecção. θ Γ − Fronteira com temperatura prescrita. δ − Delta de Krönecker. ij δ − Área total.

  S ɶ δ − Área livre de microdefeitos.

  S δ v − Velocidade virtual. q h δ w − Potência virtual.

  , , , θ δθ δθ δθ δθ − Funções escalares arbitrárias.

  ∂ σ θ Y − Fator de sensibilidade.

  δ u − Vetor de deslocamentos incrementais.

  ε − Deformação uniaxial. ε − Deformação uniaxial efetiva.

  ɶ

  v e ε − Deformação elástica volumétrica.

  ξ − Parâmetro de dissipação plástica. ρ − Densidade específica. σ − Tensão uniaxial. σ

  τ − Tensor tensão de Kirchhoff. + τ − Componente trativa de τ . τ − Componente compressiva de τ .

  τ + − Autovalores positivos de τ . i τ − Autovalores negativos de τ .

  ˆσ − Função constitutiva incremental. i

  σ − Tensão equivalente de von Mises.

  σ ɶ − Tensor tensão efetiva. eq

  σ − Tensão de escoamento da matriz. H σ − Tensão hidrostática. Y σ − Função de encruamento. Y σ − Tensão de escoamento inicial.

  ɶ − Tensão uniaxial efetiva.

  µ − Variável de dano escalar. ν − Coeficiente de Poisson.

  ε − Tensor deformação total.

  Θ − Parâmetro de peso.

  ˆ θ − Temperatura discretizada.

  θ − Temperatura. θ − Temperatura ambiente.

  ζ − Intervalo de tempo genérico.

  ε − Limiar de dano.

  ε − Deformação plástica equivalente máxima. pD

  ε ɶ − Tensor deformação efetivo. p ε − Deformação plástica equivalente. max p

  φ − Mapeamento da configuração material para a espacial.

  Φ − Função de escoamento.

  int Φ − Dissipação intrínseca.

  ψ − Energia livre de Helmholtz.

  Ψ − Potencial de dissipação.

  ω − Continuidade. OPERADORES det ⋅ − Determinante de ⋅ .

  ( ) ( ) div ⋅ − Divergente de ⋅ . ( ) ( ) ln ⋅ − Logaritmo natural ou tensorial de ⋅ .

( ) ( )

⋅ .

  sym ⋅ − Parte simétrica de ( ) ( ) ⋅ . tr ⋅ − Traço de ( ) ( ) ∆ ⋅ ⋅ . Por exemplo, ∆ ⋅ = ⋅ − ⋅ .

  ( ) − Incremento de ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 + d , , ∂ − Operadores diferenciais.

  δ ∂ ⋅ − Fronteira do domínio ⋅ .

  ( ) ( ) ∇ ⋅ − Gradiente de ⋅ . ( ) ( ) ∇ ⋅ − Gradiente material de ⋅ . p ( ) ( ) ∇ ⋅ − Gradiente espacial de ⋅ . x ( ) ( ) s ∇ ⋅ − Gradiente simétrico de ⋅ . s ( ) ( ) ∇ ⋅ − Gradiente simétrico material de ⋅ . p p ( ) ( ) ∇ ⋅ ⋅ . x ( ) − Gradiente simétrico espacial de ( ) ∇ ⋅ ⋅ .

  ( ) − Divergente de ( )

  i i ⋅ .

  ( )

  ⋅ − Derivada temporal de

  ( ) i i ⋅ .

  ( )

  ⋅ − Derivada segunda no tempo de

  ( ) ′ ⋅ .

  

( )

− Derivada de

  ( ) T ⋅ .

  ⋅ − Transposto de ( ) ( )

  −

  1 − Inverso de ⋅ .

  ( ) ⋅

  ( ) ⋅ − Valor absoluto do escalar ⋅ .

  ( ) ( ) ⋅ − Norma Euclideana de ⋅ : TT T : , uu u ⋅ . ( ) ( ) u v T u S T , , ⋅ ⋅ ⋅ − Contração entre vetores e/ou tensores.

  S : , T S : , : T S T − Contração dupla entre tensores.

  SUBSCRITOS e − Elástico.

  p − Plástico.

  θ − Térmico.

  − Dano.

  d ed − Elástico e dano.

n − Passo de tempo de referência e atual.

  − Estado inicial ou à configuração de referência.

  trial − Estado teste do algoritmo de retorno.

  SOBRESCRITOS − Elástico.

  e p − Plástico.

  θ − Térmico.

  d − Dano.

  − Elástico e dano.

  ed − Passo do processo iterativo. k

n − Passo de tempo de referência e atual.

  − Estado inicial ou à configuração de referência.

  trial − Estado teste do algoritmo de retorno.

  SUMÁRIO

  

1. INTRODUđấO ........................................................................................................... 21

  1.1 APRESENTAđấO E IMPORTÂNCIA DO ESTUDO............................................. 21

  1.2 OBJETIVOS............................................................................................................... 22

  1.3 ORGANIZAđấO E CONTEÚDO DA DISSERTAđấO ......................................... 22

  

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................... 24

  2.1 FRATURA DÚCTIL.................................................................................................. 24

  2.2 MODELOS FENOMENOLÓGICOS ........................................................................ 25

  2.2.1. Tensão efetiva.......................................................................................................... 27

  2.2.2. Hipóteses de equivalência ....................................................................................... 29

  2.3 MODELOS MICROMECÂNICOS ........................................................................... 30

  2.4 DESENVOLVIMENTOS RECENTES ..................................................................... 31

  2.5 CONCLUSÃO............................................................................................................ 34

  

3. O MODELO DE DANO ACOPLADO...................................................................... 36

  3.1 CONCEITO DE TENSÃO EFETIVA ....................................................................... 36

  3.2 TAXA DE LIBERAđấO DE ENERGIA DE DEFORMAđấO POR DANO ......... 38

  3.3 RELAđỏES CONSTITUTIVAS CINÉTICAS ......................................................... 39

  3.4 ALGORITMO DE INTEGRAđấO........................................................................... 40

  3.4.1. Matriz rigidez tangente............................................................................................ 41

  3.5 EXEMPLOS NUMÉRICOS ...................................................................................... 43

  3.5.1. Limiar de dano......................................................................................................... 43

  3.5.2. Efeito da temperatura............................................................................................... 46

  

4. PROBLEMA TERMOMECÂNICO ......................................................................... 51

  4.1 PLASTICIDADE FINITA ......................................................................................... 52

  4.1.1. Deformações elásticas ............................................................................................. 52

  4.1.2. Deformações térmicas ............................................................................................. 52

  4.1.3. Decomposição multiplicativa do gradiente de deformação..................................... 53

  4.2 ASPECTOS TERMODINÂMICOS .......................................................................... 56

  4.2.1. Equações de equilíbrio............................................................................................. 56

  4.2.2. Primeira lei da termodinâmica................................................................................. 56

  4.2.4. Desigualdade de Clausius-Duhem........................................................................... 57

  4.2.5. Equação de evolução da temperatura ...................................................................... 60

  4.2.6. Relações constitutivas cinéticas .............................................................................. 61

  4.3 PROBLEMA MECÂNICO ........................................................................................ 62

  4.3.1. O problema a valor de contorno .............................................................................. 63

  4.3.2. O problema a valor de contorno incremental .......................................................... 63

  4.3.3. Equação de equilíbrio .............................................................................................. 64

  4.4 PROBLEMA TÉRMICO ........................................................................................... 65

  4.4.1. Equação de conservação e condições de fronteira................................................... 65

  4.4.2. Aproximação da equação......................................................................................... 66

  4.4.3. A integração no tempo............................................................................................. 68

  4.5 ESTRATÉGIAS DE ACOPLAMENTO.................................................................... 70

  5. RESULTADOS E DISCUSSÕES .............................................................................. 73

  5.1 DADOS E GEOMETRIA DO PROBLEMA............................................................. 73

  5.2 COMPARAđấO DOS MÉTODOS DE SOLUđấO DO SISTEMA DE EQUAđỏES75

  5.3 EFEITO DO INCREMENTO DE CARGA ............................................................... 77

  5.4 INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA....................................................................... 79

  5.4.1. Influência na força trativa........................................................................................ 81

  5.4.2. Influência da temperatura inicial e fator de sensibilidade nas tensões .................... 84

  5.4.3. Influência na variável de dano................................................................................. 86

  5.5 EFEITO DO COEFICIENTE DE TROCA DE CALOR ........................................... 91

  6. CONCLUSÃO.............................................................................................................. 94

  6.1 OBJETIVOS PROPOSTOS ....................................................................................... 94

  6.2 CONCLUSÕES .......................................................................................................... 94

  6.3 SUGESTÕES ............................................................................................................. 96

  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 98 APÊNDICES .................................................................................................................... 103

  21

1. INTRODUđấO

  1.1 APRESENTAđấO E IMPORTÂNCIA DO ESTUDO "Conformação mecânica" é o ramo da engenharia mecânica que inclui processos de fabricação por deformação plástica, tais como o forjamento, extrusão, laminação e estampagem, dentre outros. No projeto de ferramentas para a execução dessas operações, têm- se utilizado procedimentos padrões, muitos dos quais advindos de anos de experiência prática.

  Essa metodologia apresenta limitações, tais como as dificuldades na predição do aparecimento de defeitos e no projeto do ferramental para operações com novos materiais.

  Simulações numéricas de processos de conformação mecânica envolvendo fratura dúctil são de grande interesse no ramo industrial, pois são capazes de contornar as dificuldades supracitadas, especialmente em situações nas quais abordagens experimentais (em grande escala) são demasiadamente caras ou até mesmo impraticáveis (BESSON, 2010).

  Nos primeiros códigos computacionais utilizados em análises de tensão, a descrição da resposta mecânica dos materiais era dominada pelas teorias clássicas e matematicamente bem estabelecidas da elasticidade e da elastoplasticidade infinitesimal. Com o passar dos anos, o crescimento da demanda industrial por ferramentas preditivas mais eficazes incitou a melhoria dos modelos materiais e a sua adaptação para lidar com problemas de deformação mais complexos, como aqueles que envolvem grandes deslocamentos, deformações finitas, efeitos viscoelásticos, viscoplásticos, etc. Embora grandes conquistas tenham sido obtidas com relação à simulação de diversos tipos de materiais sob as mais diversas condições, para muitas aplicações industriais a descrição da resposta mecânica dos materiais por meio de modelos padrões elastoplásticos pode levar a representações fictícias dos processos reais (SOUZA NETO et al., 1998), especialmente quando efeitos físicos importantes são desconsiderados, tais como a variação de temperatura e a degradação mecânica do material.

  Apesar de tais dificuldades de modelamento, uma formulação acoplada de deformação elastoplástica e degradação do material provou ser a melhor aproximação para a fratura dúctil (VAZ Jr. et al., 2011a). Em geral, dentre tais formulações, aquela conhecida por Mecânica do

  (MDC) constitui a base do presente trabalho. Adicionalmente, o problema se

  Dano Contínuo

  22 torna ainda mais complexo quando se incluem os efeitos de variação de temperatura do material durante o processo de deformação plástica.

  1.2 OBJETIVOS Os objetivos principais deste estudo são: (i) estudo da formulação termo-elastoplástica de problemas termomecânico acoplados; (ii) implementação de um novo método de solução do sistema de equações; (iii) avaliação da precisão do método de solução iterativo do problema acoplado; (iv) avaliação da influência da variável de dano e dos efeitos térmicos na solução de acoplamento termomecânico completo através do modelo de dano de Lemaitre (1985) modificado. Para isso, implementações e simulações foram feitas utilizando o programa HYPLAS, desenvolvido por Souza Neto et al. (1998, 2003) e modificado por Vaz Jr. (2000) e Vaz Jr. et al. (2006, 2010b).

  1.3 ORGANIZAđấO E CONTEÚDO DA DISSERTAđấO A contextualização do presente trabalho é feita no Capítulo 2, no qual são apresentados os estudos iniciais de Kachanov (1958), Rabotnov (1968) e Gurson (1977), relacionados à evolução da degradação interna em metais dúcteis. Estudos subseqüentes feitos por Lemaitre (1985) e Tvergaard e Needleman (1984), relacionados, respectivamente, às abordagens fenomenológica e micromecânica, são apresentados e discutidos. Aspectos relacionados à formulação fenomenológica, tais como conceitos de tensão efetiva e hipóteses de equivalência são abordados. Neste capítulo, especial atenção é dada ao modelo de Lemaitre, pois constitui a base da formulação de dano utilizada neste trabalho. Por último, aplicações recentes de ambas abordagens enfatizando modelos de dano não-locais e modelos acoplados com a temperatura são apresentados.

  A formulação do modelo de dano acoplado é desenvolvida no Capítulo 3. Utiliza-se como base o modelo de Lemaitre (1985), o qual considera que a degradação interna é representada por uma variável de dano isotrópica e escalar, e que a relação constitutiva para o material danificado é dada segundo a hipótese da equivalência de deformações. A tensão efetiva, no entanto, é definida utilizando-se uma função de dano que incorpora os efeitos do fechamento de vazios para estados de tensão compressivos. Da mesma forma, a taxa de liberação de energia de deformação por dano é reescrita para incluir os efeitos de estados de tensão trativos e compressivos, conforme proposto por Vaz Jr. et al. (2006, 2010b). Ainda, a

  23 relação constitutiva cinética que descreve a evolução da variável de dano é obtida através do potencial de dissipação proposto por Lemaitre (1985). Por fim, a influência do limiar de dano e da temperatura nas tensões equivalente e de escoamento e na evolução do dano é discutida através de exemplos numéricos.

  No Capítulo 4 é desenvolvida a formulação elasto-termoplástica do problema de acoplamento termomecânico. Neste contexto, os subproblemas mecânico e térmico são analisados separadamente. Primeiramente, alguns aspectos da formulação cinemática das deformações finitas são abordados através da decomposição multiplicativa do gradiente de deformação em parcelas elástica, plástica e térmica. Em seguida, a equação da evolução da temperatura é obtida através de princípios termodinâmicos e obtida utilizando o método de Galerkin, enquanto que a equação de equilíbrio do problema mecânico é obtidas através do princípio dos trabalhos virtuais. O método de Elementos Finitos é utilizado na discretização de ambas as equações. Finalmente, faz-se uma breve revisão das formas de acoplamento termomecânico existentes e aquelas utilizadas neste trabalho.

  A discussão das análises realizadas e dos resultados obtidos é feita no Capítulo 5. A influência do incremento de carga, da temperatura e do coeficiente de troca de calor na evolução da tensão equivalente de von Mises, da tensão de escoamento e da variável de dano é discutida através de simulações de um ensaio de tração.

  As principais conclusões obtidas no desenvolvimento do presente trabalho, em conjunto com algumas sugestões para estudos futuros, são apresentadas no Capítulo 6.

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