Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

Livre

0
0
129
1 year ago
Preview
Full text

  

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Espac ¸os m´ etricos e topol´ ogicos

na ausˆ encia do

Axioma da Escolha

  

Jo˜ ao Paulo Cirineu de Jesus

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2010 Espac ¸os m´ etricos e topol´ ogicos na ausˆ encia do Axioma da Escolha

  Jo˜ ao Paulo Cirineu de Jesus

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva.

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2010 Jesus, Jo˜ao Paulo Cirineu de.

  Espa¸cos m´etricos e topol´ ogicos na ausˆencia do Axioma da Escolha / Jo˜ao Paulo Cirineu de Jesus. – Salvador: UFBA, 2010. 116 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2010. Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Teoria dos conjuntos. 2. Espa¸cos m´etricos. 3. Topologia. I.

  

Silva, Samuel Gomes da. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 510.22 : 515.122 Espac ¸os m´ etricos e topol´ ogicos na ausˆ encia do Axioma da Escolha

  Jo˜ ao Paulo Cirineu de Jesus

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 24 de fevereiro de 2010.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Charles James Glyn Morgan University College London

  Profa. Dra. Of´elia Teresa Alas USP

  `

A minha m˜ae e `as minhas lindas sobrinhas. Agradecimentos

  Primeiramente, agrade¸co imensamente `a minha fam´ılia pelo apoio incondicional, moral e financeiro, para que eu pudesse alcan¸car o meu desejo de crescer cada vez mais intelectual e profissionalmente, de maneira justa e honesta, fazendo-me chegar ao n´ıvel intelectual e acadˆemico no qual hoje me encontro. Em especial, agrade¸co muito mesmo `a minha m˜ae pelo seu amor e carinho incondicionais por mim e `as minhas lindas sobrinhas, paix˜oes da minha vida e minha felicidade, pela alegria que me deram e me d˜ao em meus momentos de tristeza.

  Agrade¸co aos meus car´ıssimos amigos, ex-colegas de mestrado e meus sempre companheiros de luta, Teles e Wendell, Rob´erio e Roberto e o nosso querido Vinicius “pink and blue butterfly” pelos nossos momentos memor´aveis de estudos em grupo no IM e de divers˜ao e farra comedidas dentro e fora do IM.

  Agrade¸co muito `a minha querida e “fofucha” Francisleide, aos meus caros M´arcio n “miserex-man”, Edgard “minu”, Renivaldo “R ” e a todos os meus outros caros amigos, que fiz durante os meus anos de estudo no IM, por serem a comprova¸c˜ao de que existem pessoas das quais podemos ter uma amizade sincera e pelas quais podemos nutrir grande apre¸co e ter verdadeira considera¸c˜ao.

  Agrade¸co muito tamb´em ao meu orientador, Prof. Samuel Gomes da Silva, tanto pela sua disposi¸c˜ao, dedica¸c˜ao e prestatividade quanto pelo seu constante incentivo e profissionalismo durante o per´ıodo em que me orientou em nossos trabalhos de inicia¸c˜ao cient´ıfica – que nos rendeu um artigo de capa em uma das edi¸c˜oes de 2007 da revista Matem´atica Universit´aria – e durante a pesquisa orientada do mestrado – que culminou na apresenta¸c˜ao de minha defesa de disserta¸c˜ao na Semana de Teoria dos Conjuntos e Topologia Geral do IM-UFBA neste ano de 2010. Agrade¸co-o ainda pelas experiˆencias compartilhadas e pelos seus aconselhamentos, mesmo discordando de algumas opini˜oes suas expressas nestes ´ ultimos.

  Agrade¸co `a Profa. L´ ucia Renato Junqueira e `a Profa. Of´elia Teresa Alas pela gentileza e receptividade quando fui a S˜ao Paulo para apresentar um recorte do presente trabalho nos semin´arios de Topologia Geral e Teoria dos Conjuntos do IME -USP.

  Agrade¸co ao Prof. Charles James Glyn Morgan e `a Profa. Of´elia Teresa Alas por aceitarem participar da comiss˜ao julgadora de minha disserta¸c˜ao e me darem a grande honra de tˆe-los como membros da banca examinadora de minha defesa.

  Agrade¸co a todos os professores do DMAT-UFBA que contribu´ıram efetivamente para minha forma¸c˜ao como matem´atico. Agrade¸co ainda mais aos que contribu´ıram para minha forma¸c˜ao n˜ao somente como matem´atico, mas tamb´em como ser humano. Agradecimentos especiais `a Profa. Silvia Veloso Guimar˜aes pela sua dedica¸c˜ao extrema aos alunos da gradua¸c˜ao em Matem´atica e por tudo aquilo que aprendi com o exemplo de pessoa e educadora que ela ´e.

  Finalmente, agrade¸co `a CAPES pelo apoio financeiro concedido a mim durante todo o meu mestrado.

  Ainda que sujeitos aos contratempos da vida, somos os principais respons´aveis pelas escolhas que fazemos e seremos os maiores respons´aveis pelas suas consequˆencias.

  Jo˜ao Paulo C. de Jesus

  “Aquilo que ´e o melhor para n´os nem sempre ´e o mais f´acil. Mas, em ´ ultima an´alise, ´e o que realmente compensa.”

  Jos´e Couto Nogueira Resumo

  O presente trabalho tem como objetivo determinar a necessidade exata do uso de princ´ıpios de escolha para o estabelecimento de determinados resultados consagrados da Teoria dos Conjuntos e da Topologia Geral, assim como o de estabelecer a rela¸c˜ao exata entre determinados princ´ıpios topol´ogicos bem conhecidos e certos princ´ıpios de escolha e maximais. Al´em disso, s˜ao apresentados v´arios resultados que evidenciam o que pode ocorrer com os espa¸cos m´etricos e topol´ogicos na ausˆencia de certos princ´ıpios de escolha ou mesmo de qualquer princ´ıpio de escolha. Em particular, s˜ao apresentados alguns resultados relacionados `a paracompacidade e `a metrizabilidade do primeiro cardinal n˜ao enumer´avel. Finalmente, s˜ao apresentadas duas constru¸c˜oes de subconjuntos n˜ao mensur´aveis da reta real e ´e feito um breve coment´ario sobre dois espec´ıficos modelos da teoria de conjuntos de Zermelo–Fraenkel. Palavras-chave: Axioma da Escolha; Axioma da Escolha Enumer´avel; Espa¸cos (pseudo)m´etricos; Produtos topol´ogicos. Abstract

  This work aims to determine the exact need of the use of choice principles to establish certain renowned results in Set Theory and General Topology, as well as to establish the exact relationship between certain well-known topological principles and certain maximal and choice principles. In addition, we present several results that show what can happen with the topological and metric spaces in the absence of certain choice principles or even any choice principle. In particular, we present some results related to paracompactness and metrizability of the first uncountable cardinal. Finally, we present two constructions of non-measurable subsets of the real line and is made a brief comment on two specific models of Zermelo–Fraenkel set theory. Keywords: Axiom of Choice; Axiom of Countable Choice; (Pseudo)metric spaces; Topological products. Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 No¸c˜ oes preliminares de Teoria dos Conjuntos e Topologia Geral

  5 1.1 No¸c˜oes conjuntistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5

  1.2 No¸c˜oes topol´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  2 Asser¸c˜ oes demonstr´ aveis em: ZF, ZF + AC ω e ZF + AC ω (R)

  30

  2.1 Asser¸c˜oes que ZF prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

  2.2 Asser¸c˜oes que ZF + AC ω prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  2.3 Asser¸c˜oes que ZF + AC ω (R) prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  2.4 Equivalˆencias em termos de sequˆencias para AC e AC (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ω ω

  3 Produtos topol´ ogicos em ZF

  46

  3.1 Equivalˆencia entre AC e o Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . 46

  3.2 Restri¸c˜oes de TT a espa¸cos compactos T

  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  3.2.1 Equivalˆencias entre BPI e algumas restri¸c˜oes de TT a espa¸cos compactos T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  2

  3.2.2 Produtos topol´ogicos de 2 em ZF e algumas restri¸c˜oes de BPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

  3.3 Rela¸c˜oes entre AC, BPI e a restri¸c˜ao de TT aos espa¸cos compactos cuja topologia ´e a cofinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  4 Espa¸cos (pseudo)m´ etricos e topol´ ogicos em ZF

  67

  4.1 Sobre o modelo b´asico de Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

  4.2 Sob quais condi¸c˜oes N ´e Lindel¨of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

  4.3 AC ω e espa¸cos (pseudo)m´etricos e topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . 79

  4.4 AC ω (R) e espa¸cos topol´ogicos SE e SSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

  4.5 Paracompacidade e metrizabilidade de ω

  1 em ZF . . . . . . . . . . . . . . 98 A Rela¸c˜ oes entre AC, BPI e a existˆ encia de subconjuntos n˜ ao mensur´ aveis de R 106

  A.1 Constru¸c˜ao de Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 A.2 Constru¸c˜ao de Sierpi´ nski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A.3 Sobre os modelos de Halpern–L´evy e de Solovay . . . . . . . . . . . . . . . 113

  Referˆ encias 114

  Introdu¸c˜ ao

  Em um de seus artigos de 1908, Ernst Zermelo (1871–1953) apresentava a primeira axiomatiza¸c˜ao da Teoria dos Conjuntos. Fazem parte da axiom´atica de Zermelo os Axiomas da Extensionalidade (“quaisquer dois conjuntos que tenham exatamente os mesmos elementos s˜ao iguais”), da Separa¸c˜ao (“para todo conjunto z e toda propriedade φ(x) que se aplica a cada x ∈ z, existe o conjunto y que ´e constitu´ıdo por todo x ∈ z tal que φ(x) vale”), do Vazio (“existe o conjunto sem elementos”), do Par (“existe o conjunto que ´e constitu´ıdo somente por dois conjuntos dados”), da Uni˜ao (“existe o conjunto que ´e constitu´ıdo pelos elementos dos elementos de um conjunto dado”), do Infinito (“existe um conjunto indutivo”) e das Partes (“existe o conjunto dos subconjuntos de um conjunto dado”). Em 1922, Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem propuseram (independentemente) um novo axioma-esquema, denominado Esquema de Substitui¸c˜ao, o qual declara que: “para todo conjunto z e toda propriedade φ(x, y) que tem car´ater funcional em z (i.e., para todo x ∈ z, existe um ´ unico conjunto y tal que φ(x, y) vale), existe o conjunto que ´e constitu´ıdo por todo conjunto y para o qual existe um x ∈ z tal que φ(x, y) vale”. Falando intuitivamente, o Esquema de Substitui¸c˜ao garante que “a imagem de um conjunto por uma fun¸c˜ao tamb´em ´e um conjunto”. ´ E utilizado quando n˜ao se tem pr´e-especificado um contradom´ınio natural para “separar” o conjunto-imagem. Em um artigo de 1925 de John von Neumann – e posteriormente em um trabalho de 1930 de Zermelo –, aparecia o chamado Axioma da Funda¸c˜ao, tamb´em conhecido como Axioma da Regularidade, o qual declara que: “todo conjunto n˜ao vazio possui um elemento ∈-minimal”, i.e., “para todo conjunto x 6= ∅, existe um y ∈ x tal que y ∩ x = ∅”. ´ E um axioma t´ecnico, irrelevante para as aplica¸c˜oes matem´aticas padr˜oes, cuja finalidade menos ´obvia ´e estabelecer uma estrutura “hier´arquica cumulativa” para o universo de todos os conjuntos e a mais ´obvia ´e impedir que ocorram certas “patologias”, tais como: x = {x}, x ∈ x e x ∈ y ∈ x, entre outras. Chama-se axiom´atica ZF (de Zermelo-Fraenkel) o sistema formado pelos axiomas de Zermelo (apresentados acima) mais o Esquema de Substitui¸c˜ao e o Axioma da Regularidade. A teoria de conjuntos ZF fica definida como a teoria resultante da axiom´atica ZF.

  Dentre os axiomas que Zermelo apresentou em 1908, o que levantou maiores problemas conceituais foi, sem d´ uvida alguma, o seu famoso Axioma da Escolha. Este axioma ´e polˆemico devido justamente ao seu car´ater inerentemente “n˜ao construtivo”, pois o mesmo garante a todo matem´atico a possibilidade de fazer “infinitas escolhas arbitr´arias” – o que n˜ao pode ser demonstrado por processos construtivos e finit´ısticos de prova. Falando intuitivamente, o Axioma da Escolha garante que “dada uma fam´ılia infinita de conjuntos n˜ao vazios, pode-se formar um conjunto escolhendo um elemento de cada um dos conjuntos dessa fam´ılia”. Al´em deste enunciado para o Axioma da Escolha, outros mais comuns (e um pouco mais precisos) s˜ao os seguintes: “toda fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios admite uma fun¸c˜ao-escolha”, “o produto cartesiano de qualquer fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios ´e n˜ao vazio” e “para toda fam´ılia disjunta de conjuntos n˜ao vazios, existe um conjunto que possui exatamente um elemento em comum com cada elemento dessa fam´ılia”. Em muitas situa¸c˜oes envolvendo os n´ umeros reais, a existˆencia de m´aximos e m´ınimos para subconjuntos compactos facilita bastante a introdu¸c˜ao de regras espec´ıficas de escolha em alguns argumentos – tamb´em h´a muitas situa¸c˜oes envolvendo conjuntos enumer´aveis em que podemos facilmente introduzir regras espec´ıficas de escolha em determinados argumentos. No entanto, h´a muitas situa¸c˜oes nas quais sabemos que infinitas escolhas arbitr´arias n˜ao podem ser evitadas – por exemplo, a asser¸c˜ao “a uni˜ao enumer´avel de conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel” depende fortemente do Axioma da Escolha (ou, pelo menos, do chamado Axioma da Escolha Enumer´avel, que ´e a restri¸c˜ao do Axioma da Escolha `as fam´ılias enumer´aveis de conjuntos n˜ao vazios). De fato: existem modelos de ZF nos quais R pode ser escrito como uma uni˜ao enumer´avel de conjuntos enumer´aveis.

  Quando se inclui o Axioma da Escolha na axiom´atica de uma teoria de conjuntos (que seja relativamente consistente com este axioma, tal como ZF), ´e costume notacional juntar `a direita da sigla dessa axiom´atica a letra C (da palavra inglesa choice). Logo, ZFC ´e a axiom´atica ZF mais o Axioma da Escolha. Naturalmente, a teoria de conjuntos ZFC fica definida como a teoria resultante da axiom´atica ZFC. A sigla mais comumente utilizada para representar o Axioma da Escolha ´e AC. Na presente disserta¸c˜ao, est´a sendo adotada a sigla AC ω para representar o Axioma da Escolha Enumer´avel e a sigla AC ω (R) para representar AC ω restrito `as fam´ılias (enumer´aveis) de subconjuntos n˜ao vazios de R.

  O autor e o seu orientador, seguindo a tendˆencia da literatura atual sobre o tema que d´a t´ıtulo a presente disserta¸c˜ao, tˆem grande interesse em trabalhar tanto com vers˜oes fracas de AC – em espec´ıfico, AC ω e AC ω (R) – quanto com princ´ıpios maximais mais fracos que o Lema de Zorn – em particular, BPI (o Teorema do Ideal Booleano Primo), UT (o Teorema do Ultrafiltro) e UF (Existˆencia de Ultrafiltros Livres) –, devido aos interessantes (e, em sua maioria, recentes) resultados que relacionam tais princ´ıpios de escolha e maximais com teoremas centrais da Teoria dos Espa¸cos M´etricos e Topol´ogicos. Os seguintes (entre muitos outros) exemplos comprovam isso:

  • Na ausˆencia de qualquer princ´ıpio de escolha, ´e poss´ıvel construir um espa¸co m´etrico compacto que n˜ao ´e separ´avel nem tem base enumer´avel.
  • Na ausˆencia de AC ω , pode-se construir um espa¸co pseudom´etrico que ´e Lindel¨of e tem base enumer´avel, mas n˜ao ´e separ´avel.
  • Na ausˆencia de AC ω (R), garante-se a existˆencia de um subespa¸co de R que n˜ao

  ´e separ´avel – e isto nos garante a existˆencia de um espa¸co m´etrico que tem base enumer´avel, mas n˜ao ´e separ´avel. Ainda que existam muito mais exemplos (que aparecer˜ao ao longo deste trabalho) t˜ao surpreendentes quanto os exemplos acima, estes ´ ultimos j´a representam muito bem o objetivo da presente disserta¸c˜ao: o de falar sobre “espa¸cos m´etricos e topol´ogicos na ausˆencia do Axioma da Escolha”.

  O corpo da presente disserta¸c˜ao est´a dividido em quatro cap´ıtulos e um apˆendice cujos conte´ udos e objetivos est˜ao brevemente discriminados a seguir:

  • Cap´ıtulo 1: Apresenta¸c˜ao de no¸c˜oes conjuntistas e topol´ogicas preliminares e de proposi¸c˜oes relacionadas a estas no¸c˜oes.
  • Cap´ıtulo 2: Apresenta¸c˜ao e demonstra¸c˜ao de asser¸c˜oes que s˜ao demonstr´aveis em:

  ZF, ZF + AC ω e ZF + AC ω (R), com o intuito de explicitar a necessidade exata do uso de princ´ıpios de escolha para o estabelecimento de determinados resultados consagrados da Teoria dos Conjuntos e da Topologia Geral.

  • Cap´ıtulo 3: Apresenta¸c˜ao e demonstra¸c˜ao da equivalˆencia entre AC e o Teorema de Tychonoff e de equivalˆencias entre BPI e algumas restri¸c˜oes do Teorema de Tychonoff, com o objetivo de estabelecer a rela¸c˜ao exata entre tais princ´ıpios de escolha e maximal e determinados princ´ıpios topol´ogicos bem conhecidos.
  • Cap´ıtulo 4: Apresenta¸c˜ao de alguns “horrores” da An´alise Real e da Topologia da Reta no modelo b´asico de Cohen, de condi¸c˜oes sob as quais N ´e Lindel¨of e de determinados resultados sobre: espa¸cos (pseudo)m´etricos e topol´ogicos na ausˆencia de AC ω , espa¸cos topol´ogicos SE e SSE na ausˆencia de AC ω (R) e paracompacidade e metrizabilidade de ω em ZF, com o prop´osito de evidenciar o que pode ocorrer

  1

  com os espa¸cos m´etricos e topol´ogicos na ausˆencia de certos princ´ıpios de escolha ou mesmo de qualquer princ´ıpio de escolha.

  • Apˆ endice A: Apresenta¸c˜ao das constru¸c˜oes de Vitali e de Sierpi´ nski (com as quais prova-se a existˆencia de subconjuntos n˜ao Lebesgue-mensur´aveis de R na presen¸ca, respectivamente, de AC e de BPI) e apresenta¸c˜ao de um breve coment´ario sobre os modelos de Halpern–L´evy e de Solovay.

  Finalmente, destaquemos que, devido `a extens˜ao que o presente trabalho j´a tem com os conte´ udos que est˜ao sendo abordados, n˜ao foi poss´ıvel falarmos sobre resultados relacionados a outros princ´ıpios de escolha estritamente mais fracos que AC, tal como DC (o Princ´ıpio das Escolhas Dependentes). Em trabalhos futuros, incluiremos, muito possivelmente, tais resultados que s˜ao t˜ao importantes e interessantes quanto os que s˜ao apresentados na presente disserta¸c˜ao. Gostar´ıamos tamb´em de destacar que, devido `a extens˜ao e ao cumprimento do prazo de conclus˜ao do presente trabalho, omitiremos as demonstra¸c˜oes de algumas asser¸c˜oes nos Cap´ıtulos 1 e 2. Por´em, salientamos a nossa pretens˜ao de incluir tais demonstra¸c˜oes em trabalhos futuros. Cap´ıtulo 1 No¸c˜ oes preliminares de Teoria dos Conjuntos e Topologia Geral

  No presente cap´ıtulo, apresentaremos as no¸c˜oes conjuntistas e topol´ogicas que s˜ao necess´arias para a devida compreens˜ao dos conte´ udos que ser˜ao abordados nos demais cap´ıtulos. A maioria das no¸c˜oes b´asicas de Teoria dos Conjuntos e de Topologia Geral que aparecer˜ao ao longo do presente trabalho ser˜ao supostas conhecidas.

1.1 No¸c˜ oes conjuntistas

  Na presente se¸c˜ao, s˜ao apresentadas algumas no¸c˜oes conjuntistas e determinadas proposi¸c˜oes relacionadas a estas no¸c˜oes. Mesmo que n˜ao seja apresentada, a prova de cada uma das proposi¸c˜oes seguintes ´e feita em ZF, salvo men¸c˜ao em contr´ario. Defini¸c˜ ao 1.1.1. Sejam X e I conjuntos. Seja ξ : I −→ X uma fun¸c˜ao. Diz-se que ξ ´e uma indexa¸c˜ ao de X por I se ξ for sobrejetora. Neste caso, diz-se que I ´e um conjunto de ´ındices para X, ou que X pode ser indexado por I. Para cada i ∈ I, diz-se que ξ(i) ´e a i-´ esima coordenada de ξ e denota-se ξ(i) por ξ i . Escreve-se ent˜ao X = {ξ i : i ∈ I} e, por abuso de linguagem, diz-se que {ξ i : i ∈ I} ´e uma indexa¸c˜ao de X por I. Finalmente, se ξ for bijetora, diz-se que ξ ´e uma enumera¸c˜ ao de X por I e, por abuso de linguagem, que {ξ i : i ∈ I} ´e uma enumera¸c˜ao de X por I. △

  Em virtude da Defini¸c˜ao 1.1.1, ´e imediato concluir que, dados X e I conjuntos e uma indexa¸c˜ao ξ : I −→ X, se I = ∅, ent˜ao X = ξ = ∅, i.e., o ´ unico conjunto que pode ser indexado por ∅ ´e o pr´oprio ∅. Observa¸c˜ ao 1.1.2. Na literatura matem´atica, ´e bastante comum chamar um conjunto

de conjuntos que esteja indexado por algum conjunto de fam´ılia indexada de conjuntos. Em tratamentos “ingˆenuos” de Teoria dos Conjuntos, o termo “fam´ılia” ´e comumente utilizado para designar o que seria um conjunto de conjuntos. No entanto, para a teoria de conjuntos ZF, todo conjunto ´e um conjunto de conjuntos. Por esta raz˜ao, o termo “fam´ılia” ser´a tratado no presente trabalho apenas como um sinˆonimo para o termo “conjunto”. Al´em disso, chamaremos uma fam´ılia indexada de conjuntos simplesmente de fam´ılia de conjuntos.

  △ Y [ Defini¸c˜ ao 1.1.3. Seja {X i : i ∈ I} uma fam´ılia de conjuntos. Diz-se que o conjunto ( ) i i X i := ζ : I −→ X i : ∀ i ∈ I (ζ(i) ∈ X i ) ´e o produto cartesiano de {X i : i ∈ I}.

  ∈I ∈I Y

  Caso seja I 6= ∅, considere, para cada i ∈ I, π i : i ∈I X i −→ X i definida por π i (ζ) = ζ(i). Y Neste caso, para cada i ∈ I, diz-se que π i ´e a proje¸c˜ ao de i X i na i-´ esima coordenada Y ∈I e, para cada ζ ∈ i X i , que π i (ζ) ´e a i-´ esima coordenada de ζ. △

  ∈I Y

  Destaquemos que, na defini¸c˜ao da proje¸c˜ao de i X i em um dada coordenada,

  ∈I

  n˜ao ´e considerado o caso em que I = ∅, devido ao seguinte fato: para I = ∅, temos Y que {X i : i ∈ I} = ∅. Ent˜ao, por vacuidade, segue que i X i = {∅}. Neste caso, note

  ∈I

  que n˜ao ´e poss´ıvel bem definir a proje¸c˜ao em uma dada coordenada. Por este motivo, ´e necess´ario que o conjunto de ´ındices da fam´ılia seja n˜ao vazio para que se possa bem definir a proje¸c˜ao de seu produto cartesiano em uma dada coordenada.

  Al´em disso, destaquemos a seguinte consequˆencia imediata da Defini¸c˜ao 1.1.3: dada uma fam´ılia {X i : i ∈ I} de conjuntos tal que, para todo i, j ∈ I, X i = X j = A, Y I tem-se que i X ´e o conjunto das fun¸c˜oes de I em A, o qual denotamos por i A.

  ∈I

  Defini¸c˜ ao 1.1.4. Sejam P um conjunto e 6 uma rela¸c˜ao bin´aria sobre P. Diz-se que hP, 6i ´e uma pr´ e-ordem, ou que 6 ´e uma pr´ e-ordem sobre P, se valer as seguintes condi¸c˜oes:

  (i) 6 ´e reflexiva, i.e., para todo x ∈ P, x 6 x. (ii) 6 ´e transitiva, i.e., para todo x, y, z ∈ P, se x 6 y e y 6 z, ent˜ao x 6 z. Diz-se que hP, 6i ´e uma ordem parcial, ou que 6 ´e uma ordem parcial sobre P, se hP, 6i for uma pr´e-ordem e valer a seguinte condi¸c˜ao:

  (iii) 6 ´e antissim´etrica, i.e., para todo x, y ∈ P, se x 6 y e y 6 x, ent˜ao x = y. Diz-se que hP, 6i ´e uma ordem total, ou que 6 ´e uma ordem total sobre P, se hP, 6i for uma ordem parcial e valer a seguinte condi¸c˜ao: (iv) 6 ´e dicotˆomica, i.e., para todo x, y ∈ P, x 6 y ou y 6 x. Agora, se hP, 6i for uma ordem parcial, considere a rela¸c˜ao bin´aria < sobre P que ´e definida pela seguinte senten¸ca: para todo x, y ∈ P, x < y se, e somente se, x 6 y e x 6= y. Neste caso, diz-se que hP, <i ´e uma ordem parcial estrita, ou que < ´e uma ordem parcial estrita sobre P.

  △ Um exemplo muito importante de ordem parcial ´e a rela¸c˜ao de inclus˜ao ⊆ sobre a uma fam´ılia qualquer de conjuntos. Neste caso, a ordem parcial estrita associada ´e, evidentemente, a rela¸c˜ao de inclus˜ao estrita – a qual ser´a denotada de agora em diante por ⊂.

  No presente trabalho, iremos supor conhecidas as no¸c˜oes de: “ordem induzida sobre subconjuntos”, “cota inferior” e “cota superior”, “elemento minimal” e “elemento maximal”, “´ınfimo” e “supremo”, “elemento m´ınimo” e “elemento m´aximo”. Estas no¸c˜oes podem ser encontradas, por exemplo, nos livros [End77] e [Jec03]. Sejam hP, 6i uma ordem parcial e C ⊆ P. Diremos que C ´e uma cadeia segundo 6 se a ordem induzida por 6 sobre C for uma ordem total.

  Diremos que uma ordem parcial hP, 6i (resp., uma ordem parcial estrita hP, <i) ´e uma boa ordem (resp., uma boa ordem estrita) se todo subconjunto n˜ao vazio de P tiver elemento m´ınimo segundo 6. Neste caso, diremos que 6 ´e uma boa ordem (resp., que < ´e uma boa ordem estrita) sobre que P. Sendo assim, “toda boa ordem ´e uma ordem total”. De fato: dados uma boa ordem hP, 6i e x, y ∈ P, tem-se que o conjunto n˜ao vazio {x, y} tem elemento m´ınimo segundo 6, o que implica que x 6 y ou y 6 x. Agora, seja X um conjunto. Diremos que X pode ser bem ordenado se existir uma boa ordem 6 sobre X. i e hP i ordens parciais estritas. Diremos que hP i e hP i

  Sejam hP

  1 , <

  1 2 , <

  2 1 , <

  1 2 , <

  2

  s˜ao isomorfas, ou que hP , < i ´e isomorfa a hP , < i, se existir uma bije¸c˜ao f : P −→ P

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  tal que, para todo x, y ∈ P , x < y se, e somente se, f (x) < f (y). Diremos que uma tal

  1

  1

  2 bije¸c˜ao ´e um isomorfismo de ordem de hP , < i sobre hP , < i.

  

1

  1

  2

  2 Uma das no¸c˜oes mais importantes da Teoria dos Conjuntos ´e a de “ordinal”.

  Para apresentar a defini¸c˜ao de “ordinal”, iremos introduzir a de “conjunto transitivo”. Seja z um conjunto. Diremos que z ´e transitivo se, para todo y ∈ z e todo x ∈ y, x ∈ z.

  Agora, considere a rela¸c˜ao bin´aria 6 sobre z que ´e definida pela seguinte senten¸ca: para todo x, y ∈ z, x 6 y se, e somente se, x ∈ y ou x = y. Caso z seja transitivo, diremos boa ordem estrita. S˜ao exemplos de ordinais os conjuntos ∅, {∅} e {∅, {∅}}. Mostra-se que, para todo ordinal α e todo γ ∈ α, γ ´e um ordinal e γ ⊆ α. Mais ainda: prova-se que a classe dos ordinais n˜ao forma um conjunto.

  Usaremos, como ´e usual, letras gregas min´ usculas (por exemplo, α, β, γ, δ, ζ e ξ) para designar ordinais. Seja α um ordinal. Dada uma ordem parcial estrita hP, <i tal que hα, ∈i ´e isomorfa a hP, <i, diremos, por abuso de linguagem, que α ´e isomorfo a hP, <i. Agora, dado um ordinal β, representaremos a senten¸ca “α ∈ β” por “α < β” e a senten¸ca “α ∈ β ou α = β” por “α 6 β”. Diremos que o conjunto α + 1 := α ∪ {α} ´e o sucessor de α. ´ E f´acil ver que α + 1 ´e o menor ordinal maior que α (i.e., se β for um ordinal tal que α < β, ent˜ao α + 1 6 β), o que justifica o nome e a nota¸c˜ao dados para o conjunto α ∪ {α}. Diremos que α ´e sucessor se existir um ordinal γ tal que α = γ + 1. Neste caso, mostra-se que γ ´e unicamente determinado por α e denota-se γ por α − 1. Se α 6= ∅ e α n˜ao for sucessor, diremos que α ´e limite. Verifica-se que α ´e limite se, e somente se, α = S α.

  Agora, podemos descrever quem s˜ao os “n´ umeros naturais” de von Neumann. Dado um ordinal α, diremos que α ´e um n´ umero natural, se satisfizer a seguinte condi¸c˜ao: para todo γ 6 α, ou γ = ∅ ou γ ´e sucessor. ´ E imediato concluir que ∅ ´e um n´ umero natural. Al´em disso, ´e f´acil ver que o sucessor de um dado n´ umero natural tamb´em ´e um n´ umero natural. Portanto, todos os ordinais na lista a seguir s˜ao n´ umeros naturais: 0 := ∅ < 1 := 0 + 1 = {0} < 2 := 1 + 1 = {0, 1} < 3 := 2 + 1 = {0, 1, 2} <

  < 4 := 3 + 1 = {0, 1, 2, 3} < 5 := 4 + 1 = {0, 1, 2, 3, 4} < . . . Como ´e usual, tamb´em iremos designar n´ umeros naturais por letras latinas min´ usculas (por exemplo, i, j, k, l, m e n). Por simplicidade, usaremos o termo “natural” em lugar do termo “n´ umero natural”. Mostra-se que todo natural ´e elemento de qualquer conjunto indutivo (i.e., um conjunto X tal que 0 ∈ X e, para todo x ∈ X, (x ∪ {x}) ∈ X).

  Utilizando-se os Axiomas do Infinito e da Separa¸c˜ao, pode-se ent˜ao fixar um conjunto indutivo e “separar” deste ´ ultimo o chamado “conjunto dos n´ umeros naturais” ω := {n : n ´e natural} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Prova-se que ω ´e o menor ordinal limite e que ω satisfaz os chamados Axiomas de Peano.

  Partindo-se do ordinal ω, os conjuntos num´ericos Z, Q e R podem ser constru´ıdos formalmente, em ZF, com os procedimentos usuais: passagem ao quociente (constru¸c˜ao de Z e de Q) e via cortes `a esquerda de Dedekind (constru¸c˜ao de R).

  Sejam α um ordinal e X um conjunto. Seja s : α −→ X uma fun¸c˜ao. Diremos que s ´e uma α-sequˆ encia em X. Para todo ξ < α, chamaremos s(ξ) de ξ-´ esimo termo de s

  ´e uma sequˆ encia. Para todo n < ω, chamaremos toda n-sequˆencia de sequˆ encia finita. Por abuso de linguagem, diremos que toda fun¸c˜ao s : ω \ 1 −→ X ´e uma sequˆencia em X. Para toda α-sequˆencia s em X e todo x ∈ X, a (α + 1)-sequˆencia s ∪ {hα, xi} em X ser´a representada por s hxi.

  Seja β um ordinal tal que β 6= 0. Sejam α um ordinal e s uma α-sequˆencia em β. Diremos que s ´e cofinal em β se valer a seguinte condi¸c˜ao: ou β ´e sucessor e (β − 1) ∈ im(s) ou β ´e limite e sup (im(s)) = β. Note que a fun¸c˜ao identidade de β ´e uma β-sequˆencia cofinal em β. Logo, existem um ordinal α e uma α-sequˆencia s em β tal que α s ´e cofinal. Diremos que o ordinal cf(β) := min {α : α ´e ordinal e ∃ s ∈ β (s ´e cofinal)} ´e a cofinalidade de β. Assim definida, ´e claro que cf(β) 6 β. Al´em disso, ´e f´acil verificar que, se β for sucessor, ent˜ao cf(β) = 1. Diremos que β ´e regular se β for limite e cf(β) = β. Diremos que β ´e singular se β for limite e cf(β) < β. Mostra-se que, para todo ordinal limite β, cf(β) ´e regular (i.e., cf(β) ´e limite e cf (cf(β)) = cf(β)).

  Um dos resultados mais importantes da Teoria dos Conjuntos ´e o que estabelece uma rela¸c˜ao intr´ınseca entre as no¸c˜oes de “boa ordem” e de “ordinal”. Este declara que: “dada uma boa ordem estrita hP, <i, tem-se que existe um ´ unico ordinal α que ´e isomorfo a hP, <i e ´e ´ unico o isomorfismo de ordem de hP, <i sobre α, o que implica que ´e ´ unico o isomorfismo de ordem de α sobre hP, <i” (veja o Teorema 7.6 em [Kun80, p. 17] e aplique o Lema 6.2 em [Kun80, p. 15]). Este resultado – cuja prova da existˆencia do ordinal utiliza essencialmente o Esquema de Substitui¸c˜ao – enseja a seguinte Defini¸c˜ ao 1.1.5. Sejam hP, <i uma boa ordem estrita e α o ´ unico ordinal que ´e isomorfo a hP, <i. Diz-se que α ´e o tipo de ordem de hP, <i e denota-se α por t. o. (P, <). Al´em disso, diz-se que o ´ unico o isomorfismo de ordem de t. o. (P, <) sobre hP, <i ´e a enumera¸c˜ ao canˆ onica de P.

  △ Associada a esta defini¸c˜ao est´a a seguinte – e bem conhecida – equivalˆencia que relaciona boa ordena¸c˜ao e enumera¸c˜ao: “dado um conjunto X, tem-se que X pode ser bem ordenado se, e somente se, existir uma enumera¸c˜ao de X por um ordinal”. Esta equivalˆencia est´a provada, por exemplo, em [SiJ07, p. 26]. Um resultado mais geral est´a enunciado na seguinte Proposi¸c˜ ao 1.1.6. Dado um conjunto X, tem-se que X pode ser bem ordenado se, e somente se, valer que X pode ser indexado por um ordinal.

  Demonstra¸c˜ ao: Por um lado, se valer que X pode ser bem ordenado, ent˜ao existe uma enumera¸c˜ao de X por um ordinal. Como ´e ´obvio que toda enumera¸c˜ao ´e uma indexa¸c˜ao, segue que X pode ser indexado por um ordinal.

  Por outro lado, suponha que existam um ordinal α e uma indexa¸c˜ao ξ de X por α. Se for X = ∅, ent˜ao X pode ser bem ordenado, por vacuidade. Suponha ent˜ao que X

  −1 seja n˜ao vazio. Como ξ ´e sobrejetora, ent˜ao, para todo x ∈ X, ξ [{x}] ⊆ α ´e n˜ao vazio. −1

  Com isso, pode-se definir f : X −→ α pondo f (x) := min (ξ [{x}]). Pela constru¸c˜ao, ´e claro que f est´a bem definida e que, para todo x ∈ X, ξ f = x. Considere o conjunto

  (x)

  A := im(f ). Defina g : A −→ X pondo g(β) := ξ . ´ E claro que g est´a bem definida, por β constru¸c˜ao. Afirmamos que g ´e bijetora. Com efeito: sejam β, γ ∈ A tais que g(β) = g(γ). Assim, tem-se que ξ β = ξ γ e que existem x, y ∈ X tais que f (x) = β e f (y) = γ. Logo, x = ξ f = ξ β = ξ γ = ξ f = y e, por conseguinte, β = f (x) = f (y) = γ. Al´em disso,

  (x) (y)

  para cada x ∈ X, tem-se que β := f (x) ∈ A e que g(β) = ξ β = ξ f (x) = x. Agora, como A ⊆ α, tem-se que A pode ser bem ordenado. Seja s : t. o. (A, <) −→ A a enumera¸c˜ao canˆonica de A. Como g e s s˜ao bije¸c˜oes, tem-se que (g ◦ s) ´e uma enumera¸c˜ao de X por t. o. (A, <). Portanto, existe uma enumera¸c˜ao de X por um ordinal, o que implica que X pode ser bem ordenado.

  Defini¸c˜ ao 1.1.7. Sejam A e B conjuntos. Diz-se que A ´e dominado por B, e denota-se por A B, se existir uma fun¸c˜ao injetora f : A −→ B. Diz-se que A ´e equipotente a B, e denota-se por A ≈ B, se existir uma fun¸c˜ao bijetora f : A −→ B. △

  Em virtude da Defini¸c˜ao 1.1.7, conclui-se que: dados X, Y e Z conjuntos, se X Y e Y Z, ent˜ao X Z (visto que a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes injetoras ´e uma fun¸c˜ao injetora). Caso seja X ≈ Y , ent˜ao Y ≈ X (j´a que a inversa de uma bije¸c˜ao ´e uma bije¸c˜ao). Al´em disso, sendo X ≈ Y , tem-se que X Y e Y X (pois toda bije¸c˜ao e a sua inversa s˜ao injetoras). A rec´ıproca deste ´ ultimo resultado ´e v´alida – mas n˜ao ´e evidente – e est´a expressa na seguinte Proposi¸c˜ ao 1.1.8 (Teorema de Schr¨oder–Bernstein–Cantor). Dados X e Y conjuntos, se X Y e Y X, ent˜ao X ≈ Y .

  Uma prova da Proposi¸c˜ao 1.1.8 pode ser encontrada tanto em [End77, p. 147], quanto em [Jec03, p. 28].

  Defini¸c˜ ao 1.1.9. Seja X um conjunto. Diz-se que X ´e finito se existir um n < ω tal que X ≈ n. Caso contr´ario, diz-se que X ´e infinito. △ Como consequˆencia imediata da Defini¸c˜ao 1.1.9, tem-se que, para todo n < ω, n ´e finito. Em particular, ∅ ´e finito.

  Defini¸c˜ ao 1.1.10. Seja X um conjunto. Diz-se que X ´e enumer´ avel se X for finito ou X ≈ ω. Caso contr´ario, diz-se que X ´e n˜ ao enumer´ avel. Se X for infinito e △ enumer´avel, diz-se que X ´e infinito enumer´ avel. Mostra-se que, para todo conjunto finito X, X 6≈ ω. Como ´e ´obvio que ω ´e enumer´avel, tem-se ent˜ao que ω ´e infinito enumer´avel. Al´em disso, verifica-se que Z e

  Q s˜ao infinitos enumer´aveis. Utilizando-se o chamado argumento diagonal de Cantor, prova-se que R ´e n˜ao enumer´avel.

  Defini¸c˜ ao 1.1.11. Seja X um conjunto. Diz-se que X tem tamanho ℵ se X ≈ ω. Diz-se que X tem tamanho c se X ≈ R.

  △ Em virtude das Defini¸c˜oes 1.1.10 e 1.1.11, ´e imediato concluir que, dado um conjunto X, tem-se que X tem tamanho ℵ se, e somente se, X for infinito enumer´avel.

  Defini¸c˜ ao 1.1.12. Seja X um conjunto. Diz-se que X ´e Dedekind-infinito se existir um Y ⊂ X tal que X ≈ Y . Caso contr´ario, diz-se que X ´e Dedekind-finito. △ Com uma simples aplica¸c˜ao do Princ´ıpio da Casa dos Pombos (que ´e f´acil de demonstrar e precisamente declara que: “dados n, m ∈ ω, se n < m, ent˜ao m 6≈ n”), prova-se que todo conjunto finito ´e Dedekind-finito. Assim, por contraposi¸c˜ao, tem-se a seguinte Proposi¸c˜ ao 1.1.13. Todo conjunto Dedekind-infinito ´e infinito. Proposi¸c˜ ao 1.1.14. Dado um conjunto n˜ao vazio X, s˜ao equivalentes: (i) X ´e enumer´avel.

  (ii) X ω. (iii) X pode ser indexado por ω.

  (iv) X pode ser indexado por um conjunto enumer´avel. Demonstra¸c˜ ao:

  (i) ⇐⇒ (ii) : Por um lado, se X for enumer´avel, ent˜ao ou X ´e equipotente a um natural ou X ´e equipotente a ω. Em qualquer dos casos, X ´e dominado por ω. Por outro lado, suponha que X ω. Se X for finito, ´e claro que X ´e enumer´avel. Suponha ent˜ao que X seja infinito e fixe uma fun¸c˜ao injetora f : X −→ ω. Como f ´e uma bije¸c˜ao sobre sua imagem, ent˜ao o conjunto M := im(f ) ⊆ ω ´e infinito. Defina ent˜ao a sequˆencia s = hn k i k em M pondo

  ∈ω n := min (M ) e, para todo k ∈ ω \ 1, n k := min (M \ {n i : i < k}) .

  Como M ´e um subconjunto infinito de ω, pode-se concluir, por indu¸c˜ao finita, que a sequˆencia hn k i k> est´a bem definida. Al´em disso, ´e f´acil ver que, para todo k ∈ ω \ 1,

  1

  n k < n k . Logo, a sequˆencia s ´e injetora. Afirmamos que s ´e sobrejetora. Com efeito:

  • 1

  suponha que exista um n ∈ M tal que n 6∈ im(s). Sendo assim, para todo k ∈ ω \ 1, n ∈ M \ {n i : i < k}. Ent˜ao, por minimalidade, para cada k ∈ ω \ 1, tem-se que n > n k . Disso, segue que im(s) ´e finita, contradizendo o fato de s ser estritamente crescente. Consequentemente, s ´e uma bije¸c˜ao de ω sobre M . Com isso, tem-se que (s ◦ f ) ´e uma bije¸c˜ao de X sobre ω. Portanto, X ≈ ω.

  (ii) ⇐⇒ (iii) : Por um lado, suponha que X ω. Fixe um x ∈ X e uma fun¸c˜ao injetora f : X −→ ω. Como f ´e injetora, para cada n ∈ im(f ), existe um ´ unico x n ∈ X tal que f (x n ) = n. Defina ent˜ao g : ω −→ X pondo ( x n , se n ∈ im(f ); g(n) := x , se n ∈ ω \ im(f ). Pela constru¸c˜ao, ´e claro que g est´a bem definida. Al´em disso, ´e f´acil verificar que g ´e sobrejetora. Logo, X pode ser indexado por ω.

  Por outro lado, suponha que exista uma indexa¸c˜ao ξ de X por ω. Como ξ ´e

  −1

  sobrejetora, ent˜ao, para todo x ∈ X, ξ [{x}] ⊆ ω ´e n˜ao vazio. Com isso, pode-se

  −1

  definir f : X −→ ω pondo f (x) := min (ξ [{x}]). ´ E claro que f est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Al´em disso, ´e f´acil verificar que f ´e injetora. Portanto, X ω.

  (iii) ⇐⇒ (iv) : Por um lado, se valer que X pode ser indexado por ω, ent˜ao ´e claro que X pode ser indexado por um conjunto enumer´avel. Por outro lado, suponha que exista uma indexa¸c˜ao ξ de X por algum conjunto enumer´avel I. Como I ´e enumer´avel, ent˜ao ou I ´e equipotente a um natural ou I ´e equipotente a ω. Caso I seja equipotente a ω, fixe ent˜ao uma bije¸c˜ao f : I −→ ω.

  −1

  Logo, a fun¸c˜ao (ξ ◦ f ) ´e uma indexa¸c˜ao de X por ω. Caso exista um n < ω tal que I seja equipotente a n, pode-se ent˜ao fixar uma bije¸c˜ao g : I −→ n. Ent˜ao, a fun¸c˜ao

  −1

  ϕ := (ξ ◦ g ) ´e uma indexa¸c˜ao de X por n. Como X 6= ∅, tem-se que n > 0. Com isso, pode-se definir h : ω −→ X pondo ( ϕ(k) , se k < n;

  ψ(n) := ϕ(0) , se k > n. Pela constru¸c˜ao, tem-se claramente que ψ est´a bem definida e que ψ ´e uma sobreje¸c˜ao. Portanto, X pode ser indexado por ω. Corol´ ario 1.1.15. Todo conjunto enumer´avel pode ser bem ordenado. Prova:

  Seja X um conjunto enumer´avel qualquer. Se for X = ∅, ent˜ao X pode ser bem ordenado. Suponha ent˜ao que X seja n˜ao vazio. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.14, conclui-se que X pode ser indexado por ω. Sendo assim, segue da Proposi¸c˜ao 1.1.6 que X pode ser bem ordenado. Portanto, como X ´e qualquer, segue que todo conjunto enumer´avel pode ser bem ordenado. Corol´ ario 1.1.16. Todo subconjunto de um dado conjunto enumer´avel ´e enumer´avel. Prova:

  Sejam X um conjunto enumer´avel e A ⊆ X quaisquer. Se for X = ∅, ent˜ao A = ∅, o qual ´e enumer´avel. Suponha ent˜ao que X seja n˜ao vazio. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.14, conclui-se que X ω. Como a fun¸c˜ao inclus˜ao ´e uma inje¸c˜ao, segue que A X.

  Logo, A ω. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.14, tem-se ent˜ao que A ´e enumer´avel. Portanto, como X e A s˜ao quaisquer, segue que todo subconjunto de um dado conjunto enumer´avel ´e enumer´avel.

  Corol´ ario 1.1.17. Dado um conjunto X, s˜ao equivalentes: (i) X ´e enumer´avel.

  (ii) X ´e imagem de um conjunto enumer´avel por uma fun¸c˜ao. Prova:

  (i) =⇒ (ii) : Suponha que X seja enumer´avel. Se for X = ∅, ent˜ao ´e claro que X ´e imagem de ∅ pela ´ unica fun¸c˜ao definida em ∅, que ´e a fun¸c˜ao ∅. Suponha ent˜ao que X seja n˜ao vazio. Pela Proposi¸c˜ao 1.1.14, conclui-se que X pode ser indexado por um conjunto enumer´avel. Logo, X ´e imagem de um conjunto enumer´avel por uma fun¸c˜ao.

  (ii) =⇒ (i) : Suponha agora que existam uma fun¸c˜ao f e um conjunto enumer´avel I tal que X = f [I]. Assim, tem-se que X pode ser indexado por I. Se for X = ∅, ent˜ao ´e claro que X ´e enumer´avel. Suponha ent˜ao que X seja n˜ao vazio. Portanto, como X pode ser indexado por um conjunto enumer´avel, segue da Proposi¸c˜ao 1.1.14 que X ´e enumer´avel. Proposi¸c˜ ao 1.1.18. Dado um conjunto X, tem-se que X ´e Dedekind-infinito se, e somente se, ω X.

  Uma id´eia da prova da Proposi¸c˜ao 1.1.18 pode ser encontrada, por exemplo, em [Jec73, p. 25]. Agora, note que, para todo conjunto X, ω X se, e somente se, existir um

  Y ⊆ X tal que Y ≈ ω. Com isso, ´e imediato concluir da Proposi¸c˜ao 1.1.18 a seguinte Proposi¸c˜ ao 1.1.19. Dado um conjunto X, tem-se que X ´e Dedekind-infinito se, e somente se, existir um subconjunto infinito enumer´avel de X.

  Corol´ ario 1.1.20. Dados um conjunto X e um Y ⊆ X, se X for Dedekind-finito, ent˜ao Y ´e Dedekind-finito.

  Existem v´arias formula¸c˜oes conjuntistas para o Axioma da Escolha – mas, para o presente trabalho, preferimos aquela que estabelece a existˆencia de uma fun¸c˜ao-escolha para certos conjuntos. Para enunciar tal formula¸c˜ao do Axioma da Escolha, ´e preciso apresentar a seguinte Defini¸c˜ ao 1.1.21. Sejam X um conjunto e φ : X −→ S X uma fun¸c˜ao. Diz-se que φ ´e

  △ uma fun¸c˜ ao-escolha para X se, para todo x ∈ X, φ(x) ∈ x. Existem muitos exemplos de fun¸c˜ao-escolha. Um deles ´e o seguinte exemplo:

  fixe um conjunto Y e considere o conjunto X := {{y} : y ∈ Y }. Vˆe-se facilmente que o conjunto φ := {h{y} , yi : y ∈ Y } ´e uma fun¸c˜ao-escolha para X. Na verdade, tal fun¸c˜ao ´e a ´ unica fun¸c˜ao-escolha para X. Apesar de ser um exemplo muito trivial, este nos mostra que h´a situa¸c˜oes em que n˜ao ´e preciso fazer infinitas escolhas arbitr´arias para fixarmos um elemento de cada elemento de uma dada fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios – o que n˜ao ´e verdade para qualquer fam´ılia de conjuntos (como, por exemplo, as fam´ılias infinitas de subconjuntos de R).

  Agora, sendo necess´ario fazer infinitas escolhas arbitr´arias, ser´a preciso ent˜ao utilizar o Axioma da Escolha. Das formula¸c˜oes conjuntistas que s˜ao dadas para este axioma, a que adotamos ´e a formula¸c˜ao dada a seguir: (AC) Toda fam´ılia infinita de conjuntos n˜ao vazios admite uma fun¸c˜ao-escolha.

  Mais precisamente, AC (o Axioma da Escolha) declara que: “para todo conjunto X, se X for infinito e todo elemento de X for um conjunto n˜ao vazio, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao-escolha para X”.

  Observa¸c˜ ao 1.1.22. Apesar de ser necess´ario o uso de AC para se poder fazer infinitas escolhas arbitr´arias, pode-se, em ZF, fazer finitas escolhas (arbitr´arias ou n˜ao), pois tais escolhas s˜ao justificadas pela L´ogica Cl´assica, que ´e finit´aria. Cientes disso, temos ent˜ao que um resultado pode ser provado em ZF nas seguintes situa¸c˜oes: quando em sua prova n˜ao houver escolhas arbitr´arias ou, quando houver, que tais escolhas possam ser feitas em um n´ umero finito de vezes.

  △ Devido `a Observa¸c˜ao 1.1.22, conclui-se que, em ZF, AC ´e equivalente `a asser¸c˜ao

  “toda fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios admite uma fun¸c˜ao-escolha”. ´ E fato que existem muitas outras asser¸c˜oes equivalentes a AC em ZF. Por exemplo, a proposi¸c˜ao a seguir estabelece a equivalˆencia entre AC e a n˜ao vacuidade do produto cartesiano de fam´ılias infinitas de conjuntos n˜ao vazios, que ´e a vers˜ao mais conhecida e comumente utilizada deste princ´ıpio de escolha. Proposi¸c˜ ao 1.1.23. S˜ao equivalentes: (i) AC.

  (ii) O produto cartesiano de qualquer fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios ´e n˜ao vazio. (iii) O produto cartesiano de qualquer fam´ılia infinita de conjuntos n˜ao vazios ´e n˜ao vazio.

  Recordemos que AC ω (o Axioma da Escolha Enumer´avel) ´e a restri¸c˜ao de AC `as fam´ılias enumer´aveis de conjuntos n˜ao vazios e que AC ω (R) ´e a restri¸c˜ao de AC ω `as fam´ılias (enumer´aveis) de subconjuntos n˜ao vazios de R.

  Com as devidas adapta¸c˜oes, a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.1.23 nos fornece uma prova para cada uma das duas proposi¸c˜oes a seguir: Proposi¸c˜ ao 1.1.24. S˜ao equivalentes: (i) AC ω .

  (ii) O produto cartesiano de qualquer fam´ılia enumer´avel de conjuntos n˜ao vazios ´e n˜ao vazio. (iii) O produto cartesiano de qualquer fam´ılia infinita enumer´avel de conjuntos n˜ao vazios ´e n˜ao vazio.

  Proposi¸c˜ ao 1.1.25. S˜ao equivalentes:

  (i) AC ω (R). (ii) O produto cartesiano de qualquer fam´ılia enumer´avel de subconjuntos n˜ao vazios de R ´e n˜ao vazio.

  (iii) O produto cartesiano de qualquer fam´ılia infinita enumer´avel de subconjuntos n˜ao vazios de R ´e n˜ao vazio.

  Proposi¸c˜ ao 1.1.26 (AC). Dadas {X i : i ∈ I} e {Y i : i ∈ I} fam´ılias de conjuntos n˜ao Y Y

  vazios, se i i X i = Y i , ent˜ao, para todo i ∈ I, X i = Y i .

  ∈I ∈I

  Demonstra¸c˜ ao: Y Y 6= Y

  Suponha que i i X i = Y i e admita que, para algum j ∈ I, X j j . Fixando

  ∈I ∈I

  um tal j ∈ I, podemos supor, sem perda de generalidade, que X j \ Y j 6= ∅ (pois, por hip´otese, X j e Y j s˜ao ambos n˜ao vazios). Sendo assim, pode-se fixar um p ∈ X j \ Y j . Agora, considere o conjunto F := {X i : i ∈ I \ {j}}. Como {X i : i ∈ I} ´e uma fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios, ´e claro que F tamb´em o ´e. Assim, supondo-se que AC valha, pode-se concluir que existe uma fun¸c˜ao-escolha para F, i.e., uma fun¸c˜ao φ : F −→ S F [ tal que, para todo i ∈ I \ {j}, φ (X i ) ∈ X i . Defina ent˜ao ζ : I −→ ( i ∈I X i pondo

  φ (X i ) , se i ∈ I \ {j}; ζ(i) := p , se i = j.

  Pela constru¸c˜ao, ´e claro que ζ est´a bem definida e que, para todo i ∈ I, ζ(i) ∈ X i . Logo, Y Y ζ ∈ i ∈I i ∈I X = Y . Consequentemente, teremos que p = ζ(j) ∈ Y , uma contradi¸c˜ao. i i j Portanto, conclui-se que, para todo i ∈ I, X = Y . i i

  Seja X um conjunto qualquer. Representaremos por AC ω (X) a restri¸c˜ao de AC ω `as fam´ılias (enumer´aveis) de subconjuntos n˜ao vazios de X.

  1 Proposi¸c˜ ao 1.1.27. Dados X e Y conjuntos n˜ao vazios, se Y X ou, mais geralmente, valer que Y pode ser indexado por X, ent˜ao AC ω (X) implica AC ω (Y ).

  Demonstra¸c˜ ao: 1 Sejam X e Y conjuntos n˜ao vazios. Suponha que Y pode ser indexado por X. Fixe

  ´ E realmente mais geral, pois, em ZF, prova-se que: “dados X e Y conjuntos n˜ ao vazios, se existir

uma inje¸c˜ ao f : Y −→ X, ent˜ao existe uma sobreje¸c˜ ao g : X −→ Y ”. De fato: usando-se a injetividade

de f e a n˜ ao vacuidade de X e Y , constr´oi-se facilmente uma inversa ` a esquerda g para f , analogamente

ao que foi feito na prova de (ii) =⇒ (iii) da Proposi¸c˜ ao 1.1.14. Em contraste com este fato, mostra-se ent˜ao uma sobreje¸c˜ao ξ : X −→ Y . Tome uma fam´ılia qualquer F de subconjuntos n˜ao

  −1

  vazios de Y . Como ξ ´e sobreje¸c˜ao, ent˜ao o conjunto H := {ξ [B] : B ∈ G} ´e uma fam´ılia de subconjuntos n˜ao vazios de X. Supondo-se a validade de AC ω (X), pode-se fixar uma

  −1 fun¸c˜ao-escolha φ para H. Defina ent˜ao φ : F −→ (B) := (ξ ◦ φ) (ξ [B]). F S F pondo φ F

  Pela constru¸c˜ao, ´e claro que φ est´a bem definida. Al´em disso, ´e f´acil ver que φ ´e uma

  F F fun¸c˜ao-escolha para F. Como F foi tomada qualquer, conclui-se ent˜ao que AC ω (Y ) vale.

  Portanto, segue que AC ω (X) implica AC ω (Y ).

  Agora, observe que, dada uma boa ordem hP, 6i, o ´ unico isomorfismo de ordem de hP, <i sobre o ordinal t. o. (P, <) testemunha que P ´e equipotente a pelo menos um ordinal. Por este motivo, podemos introduzir a seguinte Defini¸c˜ ao 1.1.28. Sejam X um conjunto que pode ser bem ordenado e κ um ordinal.

  2 Diz-se que o ordinal |X| := min {α : α ´e ordinal e X ≈ α} ´e a cardinalidade de X.

  Diz-se que κ ´e um cardinal se |κ| = κ (i.e., para todo α < κ, κ 6≈ α). Agora, seja κ um cardinal tal que κ > ω. Diz-se que κ ´e um cardinal regular se κ for ordinal regular. Diz-se que κ ´e um cardinal singular se κ for ordinal singular. △

  Mostra-se que todo natural e ω s˜ao cardinais. Por´em, todos estes cardinais s˜ao enumer´aveis. Utilizando-se cuidadosamente os Axiomas das Partes e da Substitui¸c˜ao, pode-se, para cada conjunto X, construir o conjunto H (X) := {α : α ´e ordinal e α X}, chamado de a fun¸c˜ao de Hartogs de X. Prova-se que H(X) ´e o menor cardinal que n˜ao ´e dominado por X. ´ E interessante destacar que n˜ao ´e necess´ario o uso de AC para a constru¸c˜ao da fun¸c˜ao de Hartogs. Dado um cardinal κ, tem-se que H (κ) ´e exatamente o menor cardinal que ´e maior que κ. Em particular, tem-se que H (ω) ´e o menor cardinal n˜ao enumer´avel. Denota-se o primeiro cardinal n˜ao enumer´avel H (ω) tanto por ω

  1 quanto

  por ℵ . O cardinal ω ´e comumente denotado por ℵ . ´ E devido a esta nota¸c˜ao que o

  1

  termo “tem tamanho ℵ ” ´e empregado para se referir aos conjuntos equipotentes a ω (veja Defini¸c˜ao 1.1.11).

  Dados X e Y conjuntos que podem ser bem ordenados, mostra-se que |X| < |Y | se, e somente se, X Y e que |X| = |Y | se, e somente se, X ≈ Y . Como todo conjunto enumer´avel pode ser bem ordenado (pelo Corol´ario 1.1.15), conclui-se ent˜ao que, dado 2 Para um dado conjunto X que n˜ ao pode ser bem ordenado, tamb´em ´e poss´ıvel definir de maneira

  

adequada a sua cardinalidade |X| para que esta satisfa¸ca a seguinte condi¸c˜ ao desejada: para todo A e

todo B conjuntos, |A| = |B| se, e somente se, A ≈ B. Basta, para cada conjunto X, tomar |X| igual ` a

fam´ılia de todos os conjuntos equipotentes a X e de “rank” m´ınimo. Por´em, se assim o fizermos, teremos

que, para todo conjunto X, X 6≈ |X|. Sugerimos o Cap´ıtulo 6 do livro [Jec03] para se obter a defini¸c˜ ao

de “rank” de um conjunto e o Cap´ıtulo 11 do livro [Jec73] para obten¸c˜ ao de mais informa¸c˜ oes sobre a defini¸c˜ ao de cardinalidade na ausˆencia de AC. um conjunto X, tem-se que X ´e enumer´avel se, e somente se, valer que X pode ser bem ordenado e |X| 6 ℵ .

  Devido `a bem conhecida equivalˆencia entre AC e o Teorema da Boa Ordem (que declara que: “todo conjunto pode ser bem ordenado”), conclui-se que: sob AC, todo conjunto tem cardinalidade bem definida. Sejam κ e λ cardinais tais que κ > ω ou λ λ

  λ > ω. Sob AC, define-se o seguinte cardinal: κ := κ . Como ser´a visto logo adiante, ω ω

  ℵ

  mostra-se que R ≈ 2. Ent˜ao, sob AC, tem-se que c := |R| = | 2| = 2 .

  Al´em disso, se definirmos adequadamente adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de cardinais (consulte, por exemplo, os livros [Jec03] e [Kun80] para uma exposi¸c˜ao sistem´atica da Teoria dos Cardinais), podemos garantir a validade de uma determinada asser¸c˜ao sobre equipotˆencia ou sobre domina¸c˜ao de conjuntos que podem ser bem ordenados apenas provando sua vers˜ao para cardinais. Um exemplo disto ´e a seguinte Proposi¸c˜ ao 1.1.29. Dado um conjunto X, se X for infinito e valer que X pode ser bem

  2 ≈ X. ordenado, ent˜ao X

  Uma prova da vers˜ao para cardinais da Proposi¸c˜ao 1.1.29 pode ser encontrada em [Kun80, p. 29], o que nos garante a validade da referida proposi¸c˜ao.

2 Corol´ ario 1.1.30. ω ≈ ω.

  ´ E interessante destacar que a asser¸c˜ao “para todo conjunto X, se X for infinito,

  2

  ent˜ao X ≈ X” ´e equivalente a AC (veja em [Jec73, p. 157] uma prova de que tal asser¸c˜ao implica AC). Em contraste com a referida asser¸c˜ao, temos a Proposi¸c˜ao 1.1.29, que ´e v´alida em ZF justamente pela hip´otese adicional de boa ordena¸c˜ao do conjunto.

  Na presente disserta¸c˜ao, trabalharemos bem mais com argumentos que envolvem domina¸c˜ao e equipotˆencia de conjuntos do que com argumentos envolvendo cardinalidade, j´a que a maior parte de nosso trabalho est´a ambientada em ZF.

  Um resultado importante ´e o que est´a expresso na proposi¸c˜ao a seguir, pois estabelece equipotˆencias que ser˜ao necess´arias para se demonstrar outros resultados no presente trabalho. ω ω Proposi¸c˜ ao 1.1.31. 2 ≈ ω ≈ P (ω) ≈ R.

  A partir de agora, iremos apresentar a defini¸c˜ao de ´algebra de Boole e algumas no¸c˜oes e proposi¸c˜oes relacionas a esta defini¸c˜ao. Defini¸c˜ ao 1.1.32. Sejam B um conjunto n˜ao vazio, + e · opera¸c˜oes bin´arias sobre B, − uma opera¸c˜ao un´aria sobre B e 0, 1 ∈ B tais que 0 6= 1. Diz-se que hB, +, ·, −, 0, 1i ´e uma ´algebra de Boole se, para todo a, b, c ∈ B, valer as seguintes condi¸c˜oes:

  (i) (comutatividade) a + b = b + a e a · b = b · a. (ii) (associatividade) (a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c). (iii) (distributividade) a + (b · c) = (a + b) · (a + c) e a · (b + c) = a · b + a · c.

  (iv) (absor¸c˜ao) a + (a · b) = a e a · (a + b) = a. (iv) (complementa¸c˜ao) a + (−a) = 1 e a · (−a) = 0. Sempre que n˜ao houver confus˜ao, diremos simplesmente que “B ´e uma ´algebra de Boole” em lugar de “hB, +, ·, −, 0, 1i ´e uma ´algebra de Boole”. △

  Um exemplo bastante natural de ´algebra de Boole ´e obtido quando se considera as opera¸c˜oes conjuntistas de uni˜ao, de interse¸c˜ao e de complementa¸c˜ao sobre o conjunto das partes de um dado conjunto n˜ao vazio. Precisamente falando, dado um conjunto n˜ao vazio X, tem-se que hP (X) , ∪, ∩, X\, ∅, Xi ´e uma ´algebra de Boole, a qual ´e chamada de “a ´algebra dos subconjuntos de X”.

  Seja B uma ´algebra de Boole. Para todo a, b ∈ B, a diferen¸ca de a e b ´e a − b := a · (−b) e a diferen¸ca sim´ etrica de a e b ´e a △ b := (a − b) + (b − a). Agora, considere a rela¸c˜ao bin´aria 6 sobre B que ´e definida pela seguinte senten¸ca: para todo

  a, b ∈ B, a 6 b se, e somente se, a − b = 0. Mostra-se que 6 ´e uma ordem parcial sobre B e que, para todo a, b ∈ B, a 6 b se, e somente se, a + b = b se, e somente se, a · b = a. Al´em disso, ´e f´acil ver que, para todo b ∈ B, 0 · b = 0 e b + 1 = 1, o que implica que 0 6 b 6 1.

  Defini¸c˜ ao 1.1.33. Sejam B uma ´algebra de Boole e I, F ⊆ B. Diz-se que I ´e um ideal em B se valer as seguintes condi¸c˜oes: (I.i) 0 ∈ I e 1 6∈ I. (I.ii) Para todo a, b ∈ I, (a + b) ∈ I. (I.iii) Para todo a ∈ I e todo b ∈ B, se b 6 a, ent˜ao b ∈ I.

  Diz-se que F ´e um filtro em B se valer as seguintes condi¸c˜oes: (F.i) 0 6∈ F e 1 ∈ F .

  (F.iii) Para todo a ∈ F e todo b ∈ B, se a 6 b, ent˜ao b ∈ F . △ Seja B uma ´algebra de Boole. Sejam I e F , respectivamente, um ideal e um filtro

  ∗

  em B. Vˆe-se facilmente que o conjunto I := {b ∈ B : −b ∈ I} ´e um filtro em B e que o

  ∗ ∗

  conjunto F := {b ∈ B : −b ∈ F } ´e um ideal em B. Diremos que I ´e o filtro dual de I

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ e que F ´e o ideal dual de F . Claramente, tem-se que: (I ) = I e (F ) = F .

  Defini¸c˜ ao 1.1.34. Sejam B uma ´algebra de Boole e G, H ⊆ B tais que H, G 6= ∅ e 0 6∈ G. Diz-se que:

  (i) G ´e uma base de filtro se, para todo b , b ∈ G, existir um b ∈ G tal que

  1

  2

  3

  b 6 b · b .

  3

  1

  2

  (ii) H tem a p.i.f. (propriedade da interse¸c˜ ao finita) se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo subconjunto finito e n˜ao vazio J de H, se n = |J| e J = {a k : k < n}, ent˜ao a · . . . · a 6= 0. n −1

  △ Sejam B uma ´algebra de Boole e G ⊆ B tal que G 6= ∅ e 0 6∈ G. Caso G seja uma base de filtro, verifica-se que o conjunto F (G) := {c ∈ B : ∃ b ∈ G (b 6 c)} ´e um

  filtro em B que cont´em G. Neste caso, diremos que F (G) ´e o filtro gerado por G. Agora, seja H ⊆ B tal que H 6= ∅. Considere o conjunto

  G H := {b ∈ B : ∃ n ∈ ω \ 1 ∃ a , . . . , a n ∈ H (b = a · . . . · a n )}

  −1 −1

  Note que G H cont´em H. Caso H tenha a p.i.f., tem-se que 0 6∈ G H e mostra-se que G H ´e uma base de filtro. Neste caso, denotaremos por F (H) o filtro gerado por G H .

  Defini¸c˜ ao 1.1.35. Sejam X um conjunto n˜ao vazio e I, F e H fam´ılias de subconjuntos de X. Diz-se que: (i) I ´e um ideal sobre X se I for um ideal em P (X). (ii) F ´e um filtro sobre X se F for um filtro em P (X). (iii) H tem a p.i.f. se H for n˜ao vazia e tiver a p.i.f. como subconjunto de P (X) (i.e., se toda subfam´ılia finita e n˜ao vazia de H tiver interse¸c˜ao n˜ao vazia). △

  Proposi¸c˜ ao 1.1.36. Dados uma ´algebra de Boole B, um H ⊆ B tal que H 6= ∅ e a, b ∈ B, se H tiver a p.i.f. e a + b = 1, ent˜ao H ∪ {a} tem a p.i.f. ou H ∪ {b} tem a p.i.f..

  Corol´ ario 1.1.37. Dados um conjunto n˜ao vazio X, uma fam´ılia n˜ao vazia H de

  

subconjuntos de X e A, B ⊆ X, se H tiver a p.i.f. e A ∪ B = X, ent˜ao H ∪ {A} tem

a p.i.f. ou H ∪ {B} tem a p.i.f..

  Pode-se exibir facilmente um conjunto n˜ao vazio X, uma fam´ılia n˜ao vazia H de subconjuntos de X que tem a p.i.f. e subconjuntos A e B de X tais que A ∪ B = X, com H ∪ {A} e H ∪ {B} tendo a p.i.f.. Defini¸c˜ ao 1.1.38. Seja B uma ´algebra de Boole. Sejam I e F , respectivamente, um ideal e um filtro em B. Diz-se que:

  (i) I ´e primo se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo a, b ∈ B, se (a · b) ∈ I, ent˜ao a ∈ I ou b ∈ I. (ii) F ´e primo se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo a, b ∈ B, se (a + b) ∈ F , ent˜ao a ∈ F ou b ∈ F . (iii) F ´e ultrafiltro se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo filtro G em B, se F ⊆ G, ent˜ao F = G (i.e., F ´e maximal segundo ⊆). △

  Valendo-se das propriedades b´asicas das opera¸c˜oes booleanas, verifica-se que:

  ∗

  para toda ´algebra de Boole B e todo ideal I em B, I ´e primo se, e somente se, I ´e primo. Al´em disso, mostra-se que: para toda ´algebra de Boole B e todo filtro F em B,

  ∗ F ´e primo se, e somente se, F ´e primo.

  Proposi¸c˜ ao 1.1.39. Dados uma ´algebra de Boole B e um filtro F em B, s˜ao equivalentes: (i) F ´e ultrafiltro.

  (ii) F ´e primo. (iii) Para todo b ∈ B, ou b ∈ F ou −b ∈ F .

  Corol´ ario 1.1.40. Dados um conjunto n˜ao vazio X e um filtro F sobre X, s˜ao

  equivalentes: (i) F ´e ultrafiltro.

  (ii) F ´e primo. (iii) Para todo A ⊆ X, ou A ∈ F ou (X \ A) ∈ F.

  Sejam B uma ´algebra de Boole e a ∈ B. Diremos que a ´e um ´ atomo de B se a 6= 0 e valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo b ∈ B, se 0 6 b < a, ent˜ao b = 0. Agora, seja a ∈ B tal que a 6= 0. ´ E ´obvio que {a} ´e um subconjunto n˜ao vazio de B que tem a p.i.f.. Ent˜ao, o conjunto U a := F ({a}) = {c ∈ B : a 6 c} ´e um filtro em B, o qual chamaremos de o filtro principal associado a a. Caso a seja um ´atomo de B, mostra-se, com o uso da Proposi¸c˜ao 1.1.39, que U a ´e um ultrafiltro. Neste caso, diremos que U a ´e o ultrafiltro principal associado a a.

  Note que, para todo conjunto n˜ao vazio X e todo A ⊆ X, A ´e ´atomo de P (X) se, e somente se, existir um x ∈ X tal que A = {x}. Note ainda que, para todo conjunto n˜ao vazio X e todo x ∈ X, U ´e o conjunto U x := {C ⊆ X : x ∈ C}.

  {x}

  Agora, sejam X um conjunto n˜ao vazio e U um ultrafiltro sobre X. Diremos que U ´e livre se U n˜ao for um ultrafiltro principal (i.e., para todo x ∈ X, U 6= U x ). Utilizando-se a equivalˆencia entre os itens (i) e (ii) do Corol´ario 1.1.40, mostra-se que: todo ultrafiltro livre sobre um dado conjunto infinito X n˜ao possui subconjunto finito algum de X como elemento. Proposi¸c˜ ao 1.1.41. Dados um conjunto infinito X e um ultrafiltro U sobre X, s˜ao

  equivalentes: (i) U ´e livre.

  (ii) T U = ∅. (iii) {A ⊆ X : X \ A ´e finito} ⊆ U.

  Proposi¸c˜ ao 1.1.42. Dados um conjunto infinito X, um ultrafiltro livre U sobre X e A, B ⊆ X, se A \ B for finito e A ∈ U, ent˜ao B ∈ U. Demonstra¸c˜ ao:

  Suponha que A \ B seja finito e que A ∈ U. Como U ´e um filtro primo (pelo Corol´ario 1.1.40) e A = (A ∩ B)∪(A \ B), tem-se ent˜ao que (A ∩ B) ∈ U ou (A \ B) ∈ U. Como X ´e infinito, U ´e um ultrafiltro livre sobre X e A \ B ´e suposto finito, segue que (A \ B) 6∈ U. Logo, (A ∩ B) ∈ U. Portanto, como U ´e um filtro e A ∩ B ⊆ B, conclui-se que B ∈ U. Corol´ ario 1.1.43. Dados um conjunto infinito X, um ultrafiltro livre U sobre X e A, B ⊆ X, se A △ B for finito, ent˜ao A ∈ U se, e somente se, B ∈ U. Prova:

  Suponha que A △ B seja finito. Como A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A), tem-se ent˜ao que A \ B e B \ A s˜ao finitos. Admita que A ∈ U. Como A \ B ´e finito, conclui-se da Proposi¸c˜ao 1.1.42 que B ∈ U. Admita agora que B ∈ U. Analogamente, conclui-se que A ∈ U. Portanto, tem-se que A ∈ U se, e somente se, B ∈ U.

  Sugerimos o livro “Models and Ultraproducts: An Introduction”, dos autores John L. Bell e Abraham B. Slomson, para obten¸c˜ao da prova de cada uma das proposi¸c˜oes relacionadas a filtros, ultrafiltros e ultrafiltros livres cujas demonstra¸c˜oes omitimos no presente trabalho.

  Gostar´ıamos de destacar que um princ´ıpio maximal importante relacionado `as ´algebras de Boole ´e o chamado Teorema do Ideal Booleano Primo, o qual ´e enunciado a seguir:

  (BPI) Toda ´algebra de Boole possui um ideal primo. Utilizando-se a dualidade entre as no¸c˜oes de “ideal primo” e “ultrafiltro” em uma ´algebra de Boole, conclui-se que BPI (o Teorema do Ideal Booleano Primo) ´e equivalente a asser¸c˜ao “toda ´algebra de Boole possui um ultrafiltro”. Outra asser¸c˜ao equivalente a BPI ´e o chamado Teorema do Ultrafiltro, cujo enunciado ´e dado a seguir: (UT) Todo filtro em um dada ´algebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro.

  Mais precisamente, UT (o Teorema do Ultrafiltro) declara que: “para toda ´algebra de Boole B e todo filtro F em B, existe um ultrafiltro U em B tal que F ⊆ U ”.

  A equivalˆencia entre BPI e UT ´e justificada, sem muitos detalhes, no que segue: seja B uma ´algebra de Boole qualquer. ´ E claro que o conjunto F := {1} ´e um filtro em B. Ent˜ao, supondo-se que UT valha, pode-se concluir que existe um ultrafiltro U em B que cont´em F . Por conseguinte, UT implica BPI. Agora, tome um filtro F qualquer em B. Seja I o ideal dual de F . Considere ent˜ao a rela¸c˜ao bin´aria ∼ sobre B que ´e definida pela seguinte senten¸ca: para todo a, b ∈ B, a ∼ b se, e somente se, (a △ b) ∈ I. Verifica-se que ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Considere agora o conjunto quociente B/ ∼ = {[b] : b ∈ B}. Defina as opera¸c˜oes +, · e − sobre B/ ∼ pondo, para todo a, b ∈ B, [a] + [b] := [a + b], [a] · [b] := [a · b] e −[a] := [−a]. Mostra-se que estas opera¸c˜oes est˜ao bem definidas e que hB/ ∼, +, ·, −, [0], [1]i ´e uma ´algebra de Boole. Assim, admitindo-se que BPI valha, conclui-se que B/ ∼ possui um ideal primo K. ´ E f´acil verificar que o conjunto J := {b ∈ B : [b] ∈ K} ´e um ideal primo em B que cont´em I. Logo, o filtro dual de J ´e um ultrafiltro em B que cont´em F . Portanto, como B ´e qualquer, conclui-se que BPI implica UT.

  Um fato de prova bastante simples ´e que o Lema de Zorn implica UT em ZF. Com efeito: fixe arbitrariamente uma ´algebra de Boole B e um filtro F em B. Considere ent˜ao a fam´ılia F := {G ⊆ B : G ´e filtro e F ⊆ G}. Como a inclus˜ao ⊆ ´e uma ordem parcial sobre F, tome uma cadeia C qualquer em F segundo ⊆. ´ E f´acil ver que S C ´e um filtro em B que cont´em F . Logo, para toda cadeia C em F segundo ⊆, existe uma cota superior para C segundo ⊆. Ent˜ao, supondo-se que o Lema de Zorn valha, pode-se fixar um elemento maximal U para F segundo ⊆. Tem-se claramente que U ´e um ultrafiltro em B que cont´em F . Portanto, como B e F foram fixados arbitrariamente, segue que o Lema de Zorn implica UT.

  Como vimos que BPI e UT s˜ao equivalentes e ´e bem conhecida a equivalˆencia entre AC o Lema de Zorn, conclu´ımos ent˜ao que AC implica BPI em ZF. Contudo, veremos no Apˆendice A que, no chamado modelo de Halpern–L´evy, a rec´ıproca desta implica¸c˜ao ´e falsa, i.e., BPI n˜ao implica AC em ZF.

1.2 No¸c˜ oes topol´ ogicas

  Na presente se¸c˜ao, s˜ao apresentadas algumas no¸c˜oes topol´ogicas e determinadas proposi¸c˜oes relacionadas a estas no¸c˜oes. Mesmo que n˜ao seja apresentada, a prova de cada uma das proposi¸c˜oes seguintes ´e feita em ZF, salvo men¸c˜ao em contr´ario. Defini¸c˜ ao 1.2.1. Seja X um espa¸co topol´ogico. Diz-se que:

  (i) X ´e primeiro-enumer´ avel se, para todo x ∈ X, existir uma base local enumer´avel para x. (ii) X ´e segundo-enumer´ avel se existir uma base enumer´avel de X. Neste caso, tamb´em ´e comum dizer que X tem base enumer´ avel. (iii) X ´e super segundo-enumer´ avel se, para toda base B de X, existir uma base enumer´avel de X contida em B.

  (iv) X ´e separ´ avel se existir um subconjunto enumer´avel denso de X. Por simplicidade, ser˜ao adotadas as siglas SE e SSE para “segundo-enumer´avel” e “super segundo-enumer´avel”, respectivamente.

  △ Lembrando que a topologia de um espa¸co topol´ogico qualquer ´e uma base deste espa¸co, segue imediatamente da Defini¸c˜ao 1.2.1 a seguinte

  Proposi¸c˜ ao 1.2.2. Todo espa¸co topol´ogico SSE tem base enumer´avel. Defini¸c˜ ao 1.2.3. Seja X um espa¸co topol´ogico. Diz-se que:

  (i) X ´e T se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo x, y ∈ X, se x 6= y, ent˜ao existe um aberto U em X tal que x ∈ U e y 6∈ U ou existe um aberto V em X tal que y ∈ V e x 6∈ V . 1

  (ii) X ´e T se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo x, y ∈ X, se x 6= y, ent˜ao existe um aberto U em X tal que x ∈ U e y 6∈ U e existe um aberto V em X tal que y ∈ V e x 6∈ V . 2

  (iii) X ´e T se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo x, y ∈ X, se x 6= y, ent˜ao existem abertos U e V em X tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. 3 (iv) X ´e T se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo x ∈ X e todo F fechado em X, se x 6∈ F , ent˜ao existem abertos U e V em X tais que x ∈ U , F ⊆ V e U ∩ V = ∅.

  (v) X ´e regular se X for T e T . 1

  1

  3

  (vi) X ´e T 3 se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo x ∈ X e todo F fechado em X, 2 se x 6∈ F , ent˜ao existe uma fun¸c˜ao cont´ınua f : X −→ [0, 1] tal que f (x) = 0 e f [F ] ⊆ {1}.

  △ Em virtude da Defini¸c˜ao 1.2.3, conclui-se que todo espa¸co topol´ogico regular ´e T ,

  2

  que todo espa¸co T ´e T e que todo espa¸co T ´e T . Al´em disso, prova-se que todo espa¸co

  2

  1

  

1

  topol´ogico zero-dimensional (i.e., que possui uma base constitu´ıda por abertos-fechados) 1

  1

  0, 1, 2, 3, 3 , T ´e T e que todo espa¸co m´etrico ´e, para todo i ∈ i .

  3 2

  2 Defini¸c˜ ao 1.2.4. Sejam X um espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. Sejam U e V fam´ılias de

  subconjuntos de X. Diz-se que: (0) U cobre A se A ⊆ S U. (1) U ´e uma cobertura de X se valer que U cobre X.

  (2) U ´e uma cobertura aberta de X se U for uma cobertura de X e todo elemento de U for um aberto em X. (3) V refina U se, para todo V ∈ V, existir um U ∈ U tal que V ⊆ U . (4) V ´e um refinamento de U se V for uma cobertura de X e valer que V refina U. (5) V ´e um refinamento aberto de U se V for uma cobertura aberta de X e valer que V refina U. (6) U ´e localmente finita se, para todo x ∈ X, existir uma vizinhan¸ca aberta V de x em X satisfazendo a condi¸c˜ao de que o conjunto {U ∈ U : V ∩ U 6= ∅} ´e finito. (7) V ´e um refinamento aberto localmente finito de U se V for um refinamento aberto de U e for localmente finita. (9) U ´e discreta se, para todo x ∈ X, existir uma vizinhan¸ca aberta V de x em X satisfazendo a condi¸c˜ao de que o conjunto {U ∈ U : V ∩ U 6= ∅} ou ´e vazio ou ´e unit´ario. (10) U ´e σ-localmente finita (resp., σ-discreta, σ-finita) se existir uma fam´ılia enumer´avel {U n : n < ω} de fam´ılias localmente finitas (resp., fam´ılias discretas, [ fam´ılias finitas) de subconjuntos de X tal que U = U . △ n<ω n

  Como consequˆencia imediata da Defini¸c˜ao 1.2.4, tem-se que toda fam´ılia discreta e toda fam´ılia finita ´e localmente finita. Al´em disso, ´e f´acil ver que toda fam´ılia discreta ´e disjunta. Defini¸c˜ ao 1.2.5. Seja X um espa¸co topol´ogico. Diz-se que:

  (i) X ´e compacto se, para toda cobertura aberta C de X, existir uma subcobertura finita de C. (ii) X ´e enumeravelmente compacto se, para toda cobertura aberta enumer´avel C de X, existir uma subcobertura finita de C. (iii) X ´e Lindel¨ of se, para toda cobertura aberta C de X, existir uma subcobertura enumer´avel de C.

  (iv) X ´e paracompacto se, para toda cobertura aberta C de X, existir um refinamento aberto localmente finito de C.

  1

  • compacto se todo subconjunto n˜ao enumer´avel de X tiver um ponto de (v) X ´e ℵ acumula¸c˜ao.

  △ Em virtude da Defini¸c˜ao 1.2.5, conclui-se que, dado um espa¸co topol´ogico X, tem-se que X ´e compacto se, e somente se, X for enumeravelmente compacto e Lindel¨of.

  Al´em disso, pode-se provar que todo espa¸co topol´ogico compacto ´e paracompacto. Proposi¸c˜ ao 1.2.6. Todo espa¸co topol´ogico compacto e discreto ´e finito.

  Com argumento an´alogo `aquele que ´e usualmente dado para se demonstrar a Proposi¸c˜ao 1.2.6, prova-se a seguinte Proposi¸c˜ ao 1.2.7. Todo espa¸co topol´ogico Lindel¨of e discreto ´e enumer´avel.

  Proposi¸c˜ ao 1.2.8. Dado um ordinal α > 0, tem-se que α ´e compacto se, e somente se, α for sucessor.

  Defini¸c˜ ao 1.2.9. Seja X um espa¸co topol´ogico. Diz-se que X ´e DCCC se toda fam´ılia

  3

  discreta de subconjuntos abertos de X for enumer´avel. △ Defini¸c˜ ao 1.2.10. Sejam φ e ψ propriedades que se aplicam a espa¸cos topol´ogicos. Diz-se que φ ´e preservada por homeomorfismos, ou que φ ´e uma propriedade topol´ ogica, se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo espa¸co topol´ogico X que satisfaz φ e todo espa¸co topol´ogico Y que ´e homeomorfo a X, Y satisfaz φ. Diz-se que uma propriedade topol´ogica φ ´e heredit´ aria (resp., heredit´ aria para subespa¸cos que satisfazem ψ) se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo espa¸co topol´ogico X que satisfaz φ e todo subespa¸co Y de X (resp., que satisfaz ψ), Y satisfaz φ.

  △

  1 Proposi¸c˜ ao 1.2.11. Ser primeiro-enumer´avel, ser SE e, para cada i ∈ 0, 1, 2, 3, 3 ,

  2 ser T i s˜ao propriedades topol´ogicas heredit´arias.

  Proposi¸c˜ ao 1.2.12. Ser compacto, ser enumeravelmente compacto e ser Lindel¨of s˜ao propriedades topol´ogicas heredit´arias para subespa¸cos fechados. δ Defini¸c˜ ao 1.2.13. Sejam X um espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. Diz-se que A ´e G em X se existir uma fam´ılia enumer´avel {U n : n < ω} de subconjuntos abertos de X \ tal que A = U n . Diz-se que X ´e perfeito se todo subconjunto fechado de X for n<ω G δ em X. 3

  △ Proposi¸c˜ ao 1.2.14. Todo espa¸co m´etrico ´e perfeito. Proposi¸c˜ ao 1.2.15. Dados um ordinal δ, um ordinal limite γ < δ e um A ⊆ δ tal que A ´e fechado em δ, se A ∩ γ for ilimitado em γ, ent˜ao γ ∈ A.

  Demonstra¸c˜ ao: Seja V uma vizinhan¸ca aberta qualquer de γ em δ. Como a topologia da ordem sobre δ ´e gerada pelo conjunto {{0}} ∪ {]β, α] : β < α < δ}, tem-se ent˜ao que existe um

  β < γ tal que ]β, γ] ⊆ V . Agora, suponha que A ∩ γ seja ilimitado em γ. Ent˜ao, pode-se concluir que existe um ξ ∈ A ∩ γ tal que β < ξ. Com isso, tem-se de imediato que δ ξ ∈ ]β, γ] ∩ A ⊆ V ∩ A. Logo, V ∩ A 6= ∅. J´a que V ´e qualquer, segue que γ ∈ A .

  Portanto, como A ´e um subconjunto fechado de δ, conclui-se que γ ∈ A. Proposi¸c˜ ao 1.2.16 (AC). Dadas uma fam´ılia {X : i ∈ I} de espa¸cos topol´ogicos e uma i Y

  fam´ılia {A i : i ∈ I} de conjuntos tais que, para todo i ∈ I, A i ⊆ X i , se Y = Y Y Y X i i ∈I X i estiver munido da topologia-produto, ent˜ao A i = A i . i i ∈I ∈I

  Proposi¸c˜ ao 1.2.17. Dado um espa¸co topol´ogico X, tem-se que X ´e compacto se, e

somente se, toda fam´ılia n˜ao vazia de subconjuntos fechados de X que tem a p.i.f.

  possuir interse¸c˜ao n˜ao vazia.

  O argumento usual para a prova da Proposi¸c˜ao 1.2.17 ´e essencialmente o de fazer passagens ao complementar de fechados no espa¸co topol´ogico X – destacando-se que, para tal argumento, n˜ao ´e necess´ario utilizar princ´ıpio de escolha algum.

  Em ZF, prova-se que “todo ultrafiltro sobre um espa¸co compacto converge”. Contudo, ´e necess´ario o uso de BPI para provar a seguinte Proposi¸c˜ ao 1.2.18 (BPI). Dado um espa¸co topol´ogico X, se valer que todo ultrafiltro sobre X converge, ent˜ao X ´e compacto.

  Ent˜ao, sob BPI, pode-se concluir que: dado um espa¸co topol´ogico X, tem-se que X ´e compacto se, e somente se, valer que todo ultrafiltro sobre X converge.

  Proposi¸c˜ ao 1.2.19. Todo subconjunto infinito de um dado espa¸co topol´ogico compacto tem um ponto de acumula¸c˜ao.

  Com argumento an´alogo `aquele que ´e usualmente dado para se demonstrar a Proposi¸c˜ao 1.2.19, prova-se a seguinte Proposi¸c˜ ao 1.2.20. Todo subconjunto n˜ao enumer´avel de um dado espa¸co topol´ogico Lindel¨of tem um ponto de acumula¸c˜ao.

  Proposi¸c˜ ao 1.2.21. Dados X e Y espa¸cos topol´ogicos, uma fun¸c˜ao cont´ınua e injetora f : X −→ Y , um ponto z ∈ X e um A ⊆ X, se z for um ponto de acumula¸c˜ao de A

  em X, ent˜ao f (z) ´e um ponto de acumula¸c˜ao de f [A] em Y .

  Proposi¸c˜ ao 1.2.22. Dados um espa¸co topol´ogico X, um ponto z ∈ X e um A ⊆ X,

  se X for T , s˜ao equivalentes:

  1 (i) z ´e um ponto de acumula¸c˜ao de A.

  (ii) Para toda vizinhan¸ca V de z em X, o conjunto A ∩ V ´e infinito. Proposi¸c˜ ao 1.2.23. Dados um espa¸co topol´ogico X e um A ⊆ X, se X for T , s˜ao

  1 equivalentes: (i) A ´e fechado e discreto em X.

  (ii) {{x} : x ∈ A} ´e uma fam´ılia discreta. (iii) {{x} : x ∈ A} ´e uma fam´ılia locamente finita.

  Corol´ ario 1.2.24. Dados um espa¸co topol´ogico X, uma fam´ılia F de subconjuntos n˜ao

  

vazios de X e uma fun¸c˜ao-escolha φ : F −→ S F, se X for T e F for localmente finita,

  1 ent˜ao im(φ) ´e um subconjunto fechado e discreto de X.

  Defini¸c˜ ao 1.2.25. Sejam z ∈ R e A ⊆ R. Diz-se que: (i) z ´e um ponto de acumula¸c˜ ao de A ` a esquerda se, para todo y ∈ R tal que y < z, o conjunto A ∩ ]y, z[ for infinito.

  (ii) z ´e um ponto de acumula¸c˜ ao de A ` a direita se, para todo w ∈ R tal que z < w, o conjunto A ∩ ]z, w[ for infinito.

  △ Em virtude da Defini¸c˜ao 1.2.25, conclui-se facilmente da Proposi¸c˜ao 1.2.22 a seguinte

  Proposi¸c˜ ao 1.2.26. Dados um ponto z ∈ R e um A ⊆ R, z ´e um ponto de acumula¸c˜ao

  

de A se, e somente se, z for um ponto de acumula¸c˜ao de A `a esquerda ou z for um ponto

  4 de acumula¸c˜ao de A `a direita. 4 Note que ambas as possibilidades podem ocorrer, ou seja, um ponto de acumula¸c˜ ao de A pode ser

  Cap´ıtulo 2 Asser¸c˜ oes demonstr´ aveis em: ZF, ZF + AC e ZF + AC (R)

  ω ω

  No presente cap´ıtulo, apresentaremos algumas asser¸c˜oes que s˜ao demonstr´aveis em: ZF, ZF + AC ω e ZF + AC ω (R), com o intuito de explicitar a necessidade exata do uso de princ´ıpios de escolha para se estabeler a maioria dos resultados nos cap´ıtulos subsequentes. Al´em disso, iremos apresentar e demonstrar dois resultados que estabelecem equivalˆencias em termos de sequˆencias tanto para AC ω quanto para AC ω (R).

2.1 Asser¸c˜ oes que ZF prova

  Na presente se¸c˜ao, s˜ao apresentadas algumas asser¸c˜oes que s˜ao demonstr´aveis em ZF. Contudo, para a maioria destas asser¸c˜oes, iremos omitir as demonstra¸c˜oes.

2 Teorema 2.1.1 (ZF). R ≈ R.

  Demonstra¸c˜ ao: ω ω ω Defina σ : 2 × 2 −→ 2 pondo σ hs, ti := hx , y , x , y , x , y , . . .i, em que

  1

  1

  2

  2

  i i s = hx n n<ω e t = hy n n<ω . Pela constru¸c˜ao, ´e claro que σ est´a bem definida. Al´em disso, ω ω ω ω ´e f´acil ver que σ ´e uma bije¸c˜ao. Logo, 2 × 2 ≈ ω ω ω

  2. Portanto, j´a que 2 ≈ R (pela

2 Proposi¸c˜ao 1.1.31), segue que R = R × R ≈ 2 × 2 ≈ 2 ≈ R.

  <α ξ <α Para cada conjunto X e cada ordinal α, iremos definir os seguintes conjuntos: [ X := X e [X] := {A ⊆ X : ∃ β < α (A ≈ β)}. Em particular, para um dado ξ<α <ω <ω conjunto X, tem-se que: X ´e o conjunto das sequˆencias finitas em X e [X] ´e o conjunto dos subconjuntos finitos de X.

  2 Teorema 2.1.2 (ZF). Dado um conjunto X, se X for infinito e X ≈ X, ent˜ao X ´e <ω Dedekind-infinito e X ≈ X.

  Demonstra¸c˜ ao: Seja X um conjunto infinito. Sendo assim, pode-se fixar um x ∈ X. Defina

  ϕ : X −→ {x } × X pondo ϕ (x) := hx , xi. Pela constru¸c˜ao, ´e claro que ϕ est´a bem definida e que ϕ ´e injetora (e sobrejetora). Logo, X {x } × X. Agora, suponha que

  2

  2

  2

  2

  ≈ X. Assim, tem-se que X X e que X X } × X X

  X . Como ´e ´obvio que {x

  2

  e se tem que X X {x } × X, segue do Teorema de Schr¨oder–Bernstein–Cantor

  2

  (Proposi¸c˜ao 1.1.8) que X ≈ {x } × X. Novamente usando que X ´e infinito, pode-se

  2

  fixar um y ∈ X \ {x }. Tem-se ent˜ao que hy , y i ∈ X \ ({x } × X), implicando que

  2

  2

  {x } × X ⊂ X . Logo, X ´e Dedekind-infinito. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.1.18, tem-se

  2

  que ω X . Por conseguinte, ω X. Novamente pela Proposi¸c˜ao 1.1.18, conclui-se que X ´e Dedekind-infinito.

  Pode-se provar, por indu¸c˜ao finita sobre n > 1, que existe um subconjunto [ n X n {g n : n ∈ ω \ 1} de X tal que, para todo n ∈ ω \ 1, g n ´e uma bije¸c˜ao de X em X. n>

  1 De fato: para n = 1, tome g 1 igual a fun¸c˜ao identidade de X. Suponha que, para um dado n n

  • 1

  2

  n > 1, tenhamos definido uma bije¸c˜ao g n : X −→ X. Defina ent˜ao h n : X −→ X n pondo, para todo z ∈ X e todo x ∈ X, h n hz, xi := hg n (z), xi. Claramente, tem-se que h n est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Al´em disso, tem-se que h n ´e bijetora, j´a que

  2

  2

  ≈ X, fixe uma bije¸c˜ao g : X −→ X. Defina agora g n o ´e. Supondo ainda que X n n

  • 1 g : X −→ X pondo, para todo z ∈ X e todo x ∈ X, g hz, xi := (g ◦ h ) hz, xi.
  • n +1 n n +1 n<
  • 1 Assim, tem-se que g n ´e uma bije¸c˜ao de X em X.
  • 1
  • n n Para prosseguir com a demonstra¸c˜ao, fixe arbitrariamente um n ∈ ω \ 1 e defina

      σ n : X −→ X pondo ( hx , . . . , x n i , se n &gt; 1;

      −1

      σ n (hx k i k&lt;n ) := x , se n = 1. ´

      E claro que σ n est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Al´em disso, vˆe-se facilmente que σ n ´e n ◦ σ bijetora. Agora, tome ϕ n : X −→ X definida por ϕ n (s) = (g n n )(s). Sendo assim, &lt;ω tem-se que, para todo n ∈ ω \ 1, ϕ n ´e bijetora. Finalmente, tome Φ : X −→ ω × X definida por ( h0, x i , se s = ∅;

      Φ(s) = &lt;ω hdom(s), ϕ dom (s) (s)i , se s ∈ X \ {∅}.

      Pela constru¸c˜ao, tem-se claramente que Φ est´a bem definida. Utilizando-se diretamente a defini¸c˜ao de Φ e o fato de que, para cada n ∈ ω \ 1, ϕ n ´e injetora, verifica-se facilmente &lt;ω

      2

      que Φ ´e injetora. Logo, X ω × X. Al´em disso, como X X e ω X, conclui-se

      &lt;ω

      2

      2

      2

      que ω × X X × X = X [ n &lt;ω

      X. Consequentemente,

      X X. J´a que X X

      X

      2 &lt;ω

      e, obviamente,

      X X = X, conclui-se tamb´em que X n&lt;ω &lt;ω

      X. Portanto, segue do Teorema de Schr¨oder–Bernstein–Cantor que X ≈ X. &lt;ω &lt;ω &lt;ω Corol´ ario 2.1.3 (ZF). ω ≈ ω, R ≈ R e [ω] ´e enumer´avel.

      Prova:

      2

      2 Como se tem que: ω e R s˜ao infinitos, ω ≈ ω (pelo Corol´ario 1.1.30) e R ≈ R &lt;ω &lt;ω

      R ≈ R. Agora, (pelo Teorema 2.1.1), ent˜ao segue do Teorema 2.1.2 que: ω ≈ ω e &lt;ω para cada A ∈ [ω] , tome o natural n (A) := t. o. (A, &lt;). Seja hx i a enumera¸c˜ao &lt;ω &lt;ω k k&lt;n (A) canˆonica de A. Defina ent˜ao ϕ : [ω] −→ ω pondo ϕ (A) := hx k i k&lt;n . Tem-se

      (A)

      claramente que ϕ est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Al´em disso, ´e f´acil verificar que ϕ &lt;ω &lt;ω &lt;ω &lt;ω ´e injetora. Logo, [ω] ω. J´a que ω ≈ ω, tem-se, em particular, que ω ω. &lt;ω &lt;ω ω. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.1.14, tem-se que [ω]

      Conclui-se ent˜ao que [ω] ´e enumer´avel.

      Teorema 2.1.4 (ZF). A uni˜ao de qualquer fam´ılia finita de conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.

      Teorema 2.1.5 (ZF). O produto cartesiano de qualquer fam´ılia finita de conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.

      Teorema 2.1.6 (ZF). Dados um espa¸co topol´ogico X, um ponto x ∈ X, uma sequˆencia hx i n n&gt; ∈ A} for infinito e x → x

      1 em X e um A ⊆ X, se o conjunto {n ∈ ω \ 1 : x n n , ent˜ao existe uma sequˆencia em A que converge para x .

      Demonstra¸c˜ ao: Considere o conjunto M := {n ∈ ω \ 1 : x n ∈ A} e defina a sequˆencia s = hn k i k&gt;

      1

      em M pondo n := min (M ) e, para todo k ∈ ω \ 1, n k := min (M \ {n i : 1 6 i 6 k}) .

      1 +1

      Como M ´e um subconjunto infinito de ω, pode-se concluir, por indu¸c˜ao finita, que a sequˆencia s est´a bem definida. Al´em disso, ´e f´acil ver que, para todo k ∈ ω \ 1, n k &lt; n k .

    • 1

      Assim, tem-se que a sequˆencia s ´e injetora, implicando que im(s) ´e um subconjunto

      ∗

      infinito de ω \ 1. Agora, considere a sequˆencia hx i k&gt; em A tal que, para todo k ∈ ω \ 1, k

      1 ∗ ∗

      x := x n . Pela constru¸c˜ao, tem-se claramente que hx i k&gt; est´a bem definida. J´a que k k k

      1

      im(s) ⊆ ω ´e infinita, tem-se que im(s) ´e ilimitada. Portanto, como x n → x e s ´e

      ∗

      → x estritamente crescente, segue que x . k Teorema 2.1.7 (ZF). Todo espa¸co pseudom´etrico separ´avel tem base enumer´avel. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja X um espa¸co pseudom´etrico separ´avel. Ent˜ao, pode-se fixar um subconjunto enumer´avel denso D de X. Para cada x ∈ D e cada n ∈ ω \ 1, considere o conjunto

    1 B .

      B := B x, . Considere agora o conjunto B := : hx, ni ∈ D × (ω \ 1)

      hx,ni hx,ni

      n ´

      E claro que B ´e enumer´avel, pois est´a indexado por um produto finito de conjuntos enumer´aveis (veja Teorema 2.1.5 e Proposi¸c˜ao 1.1.14). Utilizando-se adequadamente a densidade de D em X, verifica-se facilmente que B ´e uma base de X. Portanto, tem-se que X ´e SE.

      Lema 2.1.8 (ZF). Dado um espa¸co topol´ogico hX, τ i, se valer que hX, τ i tem base enumer´avel, ent˜ao τ R. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja hX, τ i um espa¸co topol´ogico SE. Sendo assim, fixe uma base enumer´avel B para τ e defina ϕ : τ −→ P (B) pondo ϕ (U ) := {B ∈ B : B ⊆ U }. ´ E claro que ϕ est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Al´em disso, tem-se que ϕ ´e injetora. De fato: como B ´e uma base para τ , conclui-se que

      S ϕ (U) = U. Ent˜ao, dados U, V ∈ τ tais que ϕ (U) = ϕ (U), tem-se que U = S ϕ (U) = S ϕ (V ) = V . Logo, τ P (ω). Agora, como B ´e enumer´avel, conclui-se que B ω (pela Proposi¸c˜ao 1.1.14). Segue disso que P (B) P (ω). Como P (ω) ≈ R (pela Proposi¸c˜ao 1.1.31), ent˜ao, em particular, P (ω) R. Portanto, tem-se que τ R.

      Lema 2.1.9 (ZF). Dado um espa¸co topol´ogico X, se X for T e valer que X tem base enumer´avel, ent˜ao X R. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja X um espa¸co topol´ogico T e SE. Seja τ a topologia sobre X. Como X ´e SE, segue do Lema 2.1.8 que τ R. Agora, defina ψ : X −→ τ pondo ψ(x) := X \ {x}. ´ E claro que ψ est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Al´em disso, tem-se que ψ ´e injetora. De fato: sejam x, y ∈ X tais que x 6= y. J´a que X ´e T , conclui-se que {x} 6= {y}, o que implica que ψ(x) 6= ψ(x). Logo, X τ . Portanto, segue que X R.

      A demonstra¸c˜ao da equivalˆencia dada no lema seguinte ´e um bom exemplo para o que foi dito na Observa¸c˜ao 1.1.22, pois: na prova da implica¸c˜ao “somente se”, apenas finitas escolhas arbitr´arias s˜ao feitas, enquanto na prova da implica¸c˜ao “se”, n˜ao existe escolha arbitr´aria alguma. Lema 2.1.10 (ZF). Dados um espa¸co topol´ogico X e um A ⊆ X, A ´e um subespa¸co

      

    compacto de X se, e somente se, toda fam´ılia de subconjuntos abertos de X que cobre A

    possuir uma subfam´ılia finita que cobre A.

      Demonstra¸c˜ ao: Por um lado, suponha que A seja um subespa¸co compacto de X. Seja U uma fam´ılia de subconjuntos abertos de X tal que A ⊆ S U. Assim, para cada U ∈ U, tem-se [ que o conjunto V U := A ∩ U ´e um aberto em A e que A = A ∩ S U = A ∩ U = U [ [

      ∈U U U (A ∩ U ) =

      V U , implicando que o conjunto C := {V U : U ∈ U} ´e uma cobertura

      ∈U ∈U ′

      aberta de A. Como A ´e compacto, ent˜ao existe uma subfam´ılia finita C de C tal que

      ′ ′

      A = . Para cada V ∈ C , fixe um U V ∈ U tal que V = A ∩ U V . Considere ent˜ao o S C

      ′ ′ ′ ′

      conjunto U := {U V : V ∈ C }. Note que U ´e finito, pois C ´e um conjunto finito de ´ındices [ [ [

      ′ ′ ′

      para U . Como A = S C = V = (A ∩ U V ′ ′ ′ V V ) = A ∩ U V V = A ∩ S U , tem-se que

      

    ∈C ∈C ∈C

      A ⊆ S U . Consequentemente, toda fam´ılia de subconjuntos abertos de X que cobre A possui uma subfam´ılia finita que cobre A.

      Por outro lado, suponha que toda fam´ılia de subconjuntos abertos de X que cobre A possua uma subfam´ılia finita que cobre A. Fixe arbitrariamente uma cobertura aberta C de A como subespa¸co de X. Considere ent˜ao, para cada V ∈ C, o conjunto U V := S {U ⊆ X : U ´e um aberto em X e V = A ∩ U}. ´ E imediato concluir que, para todo V ∈ C, U V ´e um aberto em X tal que V = A ∩ U V . Considerando agora o conjunto

      U := {U V : V ∈ C}, tem-se que U ´e uma fam´ılia de subconjuntos abertos de X tal que [ [ [ A = S C = V = (A ∩ U V V V ) = A ∩ U V V = A ∩ S U, o que implica que A ⊆ S U.

      ∈C ∈C ∈C ′ ′

      Assim, pode-se fixar uma subfam´ılia finita U de U tal que A ⊆ S U (pela suposi¸c˜ao que

      ′ ′

      est´a sendo feita). Tome ent˜ao, para cada U ∈ U , o conjunto V U := A ∩ U . Como U ⊆ U,

      ′

      tem-se que, para todo U ∈ U , existe um V ∈ C tal que U = U V , o que implica que

      

    ′ ′

      V = A ∩ U = V U . Logo, o conjunto C := {V U : U ∈ U } ´e um subconjunto de C. Note que

      ′ ′ ′ ′

      C ´e finito, pois U ´e um conjunto finito de ´ındices para C . Al´em disso, como A ⊆ S U , [ [ [

      ′ ′

      tem-se que A = A ∩ = A ∩ U = (A ∩ U ) =

      V U = . Conclui-se ent˜ao S U U U U ′ ′ ′ S C

      ∈U ∈U ∈U ′

      que C ´e uma subcobertura finita de C. Portanto, j´a que C foi fixada arbitrariamente, tem-se que A ´e um subespa¸co compacto de X.

      Com algumas adapta¸c˜oes ´obvias, a demonstra¸c˜ao do Lema 2.1.10 nos fornece uma prova do seguinte Lema 2.1.11 (ZF). Dados um espa¸co topol´ogico X e um A ⊆ X, A ´e um subespa¸co

      

    enumeravelmente compacto de X se, e somente se, toda fam´ılia enumer´avel de

      subconjuntos abertos de X que cobre A possuir uma subfam´ılia finita que cobre A.

      Teorema 2.1.12 (ZF). Todo intervalo fechado e limitado em R ´e um subespa¸co compacto de R. Demonstra¸c˜ ao:

      Sejam a, b ∈ R quaisquer. Fixe arbitrariamente uma fam´ılia C de subconjuntos abertos de R que cobre [a, b]. Considere agora o conjunto

      ′ ′ ′ K := {x ∈ [a, b] : ∃ C ⊆ C (C ´e finito e [a, x] ⊆ )}.

      S C Como [a, b] ⊆ S C, ent˜ao, para todo x ∈ [a, b], existe um U ∈ C tal que x ∈ U. Fixando um U ∈ C tal que a ∈ U , tem-se que [a, a] = {a} ⊆ U = S {U}. Segue disso, e de o conjunto {U } ⊆ C ser finito, que a ∈ K e, por conseguinte, que K 6= ∅. Al´em disso, tem-se que K ´e limitado em R, pois, obviamente, K ⊆ [a, b]. Logo, existe o supremo de K em R. Seja ent˜ao c := sup (K). Sendo assim, tem-se que c ∈ K ⊆ [a, b] = [a, b]. Afirmamos que c ∈ K e que c = b. Com efeito: j´a que c ∈ [a, b], pode-se fixar um U ∈ C tal que c ∈ U . De U ser aberto em R, segue que existe um ε &gt; 0 tal que ]c − ε, c + ε[ ⊆ U .

      Como c ´e o supremo de K, ent˜ao, para um tal ε &gt; 0 fixado, existe um d ∈ K tal que c − ε &lt; d, al´em do fato de ser d 6 c &lt; c + ε. Assim, para um tal d ∈ K fixado,

      ′ ′ tem-se que [d, c + ε[ ⊂ ]c − ε, c + ε[ ⊆ U e que, para algum C ⊆ C finito, [a, d] ⊆ S C .

      Consequentemente, [

      ′

      [a, c] ⊂ [a, c + ε[ = [a, d] ∪ [d, c + ε[ ⊆ C ∪ U. (*)

      ′′ ′

      Claramente, tem-se que o conjunto C := C ∪ {U } ⊆ C ´e finito, por ser uni˜ao finita de

      ′′

      conjuntos finitos, e que [a, c] ⊆ S C , por (*). Logo, c ∈ K. Se fosse c 6= b, ter´ıamos que n o ε

      ′ ′

      6 c &lt; b. Ent˜ao, poder´ıamos fixar um ε &gt; 0 tal que ε min , b − c . Disso, seguiria

      2

      ′ ′ ′′

      facilmente que a &lt; c + ε 6 b e, juntamente com (*), que [a, c + ε ] ⊂ [a, c + ε[ ⊆ .

      S C

      ′

      Com isso, concluir´ıamos que c + ε ∈ K, uma contradi¸c˜ao ao fato de que c ´e uma cota superior para K. Logo, c = b. Ora, pela afirma¸c˜ao que foi provada, tem-se obviamente

      ′ ′

      que b ∈ K, i.e., que existe um subconjunto finito C de C tal que [a, b] ⊆ S C . Logo, C possui uma subfam´ılia finita que cobre [a, b]. Portanto, como C foi fixada arbitrariamente, segue do Lema 2.1.10 que [a, b] ´e um subespa¸co compacto de R. Teorema 2.1.13 (ZF). Dados um espa¸co m´etrico M e uma cobertura aberta C de M ,

      

    se valer que C pode ser bem ordenada, ent˜ao C admite um refinamento aberto localmente

    finito e σ-discreto.

      Uma prova do Teorema 2.1.13 pode ser encontrada em [Eng89, p. 280]. Conforme resultado expresso no Teorema 2.1.13 ´e v´alido para qualquer espa¸co pseudom´etrico que possui uma cobertura aberta bem ordenada. ´ E interessante destacar que a referida prova ´e o cerne de uma das provas de um resultado cl´assico da Topologia Geral. Precisamente, daquela devida `a Mary E. Rudin – que foi publicada em um artigo seu de 1969, intitulado “A new proof that metric spaces are paracompact”. A primeira prova de que se tem conhecimento ´e devida a Arthur H. Stone – e foi publicada em um artigo seu de 1948, intitulado “Paracompactness and product spaces”. O resultado ao qual nos referimos n˜ao ´e nada a mais, nada a menos que o seguinte Corol´ ario 2.1.14 (ZF). AC implica que todo espa¸co m´etrico ´e paracompacto.

      Teorema 2.1.15 ([GoT95], ZF). Todo espa¸co m´etrico que possui um subconjunto denso que pode ser bem ordenado ´e paracompacto. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja M um espa¸co m´etrico que possui um subconjunto denso D que pode ser bem ordenado. Sejam δ o tipo de ordem de D e {x : α &lt; δ} a enumera¸c˜ao canˆonica de D. α Fixe arbitrariamente uma cobertura aberta C de M e tome um α &lt; δ qualquer. Sendo assim, existe um U ∈ C tal que x α ∈ U . De U ser aberto em M e de R ser corpo ordenado

      1 ⊆ U . Logo, para todo arquimediano, segue que existe um k ∈ ω \ 1 tal que B x α , k

      1 α &lt; δ, k α := min k ∈ ω \ 1 : ∃ U ∈ C B x α , ⊆ U est´a bem definido. k

      1 Agora, tome o conjunto U := B x α , : α &lt; δ . Pela constru¸c˜ao, ´e claro k α que U ´e uma fam´ılia de abertos em M que refina C. Tem-se tamb´em que U pode ser bem ordenada, pois est´a indexada por um ordinal (veja Proposi¸c˜ao 1.1.6). Utilizando-se de maneira adequada a densidade de D em M e, para cada α &lt; δ, a minimalidade de k α , verifica-se facilmente que U ´e uma cobertura aberta de M . Ent˜ao, pelo Teorema 2.1.13, conclui-se que existe um refinamento aberto localmente finito V de U. Como U refina C, segue que V tamb´em ´e um refinamento aberto localmente finito de C. Portanto, j´a que C foi fixada arbitrariamente, tem-se que M ´e paracompacto.

      Corol´ ario 2.1.16 (ZF). Todo espa¸co m´etrico separ´avel ´e paracompacto. Prova:

      Seja M um espa¸co m´etrico separ´avel. Sendo assim, pode-se fixar um subconjunto enumer´avel denso D de M . Como D ´e enumer´avel, ent˜ao D pode ser bem ordenado (pela Proposi¸c˜ao 1.1.6). Portanto, segue do Teorema 2.1.15 que M ´e paracompacto. Corol´ario 2.1.16 o seguinte Corol´ ario 2.1.17 (ZF). R ´e paracompacto.

    2.2 Asser¸c˜ oes que ZF + AC prova

      ω Na presente se¸c˜ao, s˜ao apresentadas algumas asser¸c˜oes que s˜ao demonstr´aveis em ZF + AC ω . Contudo, para a maioria destas asser¸c˜oes, iremos omitir as demonstra¸c˜oes.

      Teorema 2.2.1 (AC ω ). Todo conjunto infinito ´e Dedekind-infinito. Observa¸c˜ ao 2.2.2. Segue imediatamente da Proposi¸c˜ao 1.1.13 e do Teorema 2.2.1 que, sob AC ω , as no¸c˜oes de infinitude e de Dedekind-infinitude coincidem. Conclui-se ent˜ao

      △ que, sob AC ω , as no¸c˜oes de finitude e de Dedekind-finitude tamb´em coincidem. Teorema 2.2.3 (AC ω ). A uni˜ao de qualquer fam´ılia enumer´avel de conjuntos enumer´aveis ´e enumer´avel.

      Corol´ ario 2.2.4 (AC ω ). ω ´e cardinal regular.

    1 Teorema 2.2.5 (AC ω ). Dados um espa¸co topol´ogico X, um ponto z ∈ X e um A ⊆ X,

      

    se X for primeiro-enumer´avel e z ∈ A, ent˜ao existe uma sequˆencia hx n i n&gt; em A tal que

      1 → z.

      x n Teorema 2.2.6 (AC ω ). Todo espa¸co topol´ogico enumeravelmente compacto e discreto ´e finito.

      Lema 2.2.7 (AC ω ). Dado um espa¸co topol´ogico X, se X for T , s˜ao equivalentes:

      1 (i) X ´e enumeravelmente compacto.

      (ii) Todo subconjunto infinito de X tem um ponto de acumula¸c˜ao. (iii) Todo subconjunto infinito enumer´avel de X tem um ponto de acumula¸c˜ao.

      (iv) Toda fam´ılia locamente finita de subconjuntos de X ´e finita. Teorema 2.2.8 (AC ω ). ω ´e enumeravelmente compacto.

      1 Teorema 2.2.9 (AC ω ). Todo espa¸co topol´ogico T , enumeravelmente compacto e

      1 paracompacto ´e compacto.

      Corol´ ario 2.2.10 (AC ω ). ω n˜ao ´e paracompacto.

    1 Teorema 2.2.11 (AC ω ). Todo espa¸co topol´ogico que tem base enumer´avel ´e SSE.

      Demonstra¸c˜ ao: Seja X um espa¸co topol´ogico SE. Ent˜ao, pode-se fixar uma base enumer´avel

      B de X. Agora, fixe arbitrariamente uma base B de X. Para cada U, V ∈ B tais que U ⊆ V , tome o conjunto B := {B ∈ B : U ⊆ B ⊆ V }. Com isso, considere o

      hU,V i

      2

      hU, V i ∈ B e note que este conjunto conjunto U := : U ⊆ V e ∃ B ⊆ X B ∈ B

      hU,V i

      ´e enumer´avel, j´a que est´a contido em um produto finito de um conjunto enumer´avel por si mesmo (veja Teorema 2.1.5). Agora, considere o conjunto F := B : hU, V i ∈ U .

      hU,V i

      Ora, para cada hU, V i ∈ U, tem-se que B ´e n˜ao vazio. Al´em disso, tem-se que F

      

    hU,V i

    ´e enumer´avel, pois est´a indexado por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14).

      Ent˜ao, admitindo-se que AC ω valha, pode-se concluir que existe uma fun¸c˜ao-escolha para

      F, i.e., uma fun¸c˜ao φ : F −→ ∈ B .

      S F tal que, para todo hU, V i ∈ U, φ B hU,V i hU,V i Tome ent˜ao, para cada hU, V i ∈ U, o conjunto B := φ B . Tem-se obviamente

      hU,V i hU,V i que, para todo hU, V i ∈ U, U ⊆ B ⊆ V . hU,V i

      B ⊆ B ´e uma base Agora, afirmamos que o conjunto B := : hU, V i ∈ U

      1 hU,V i

      enumer´avel de X. Com efeito: ´e claro que B

      1 ´e enumer´avel, j´a que est´a indexado por um

      conjunto enumer´avel. Pela constru¸c˜ao, ´e evidente que todo elemento de B ´e um aberto

      1

      em X. Seja W um aberto qualquer em X. Se for W = ∅, nada a fazer. Se for W 6= ∅, tome um w ∈ W qualquer. Como B e B s˜ao bases de X, ent˜ao fixe um V ∈ B tal que ⊆ W e um B ∈ B tal que w ∈ B ⊆ V w ∈ V

      . Novamente utilizando que B ´e uma base de X, fixe um U ∈ B tal que w ∈ U ⊆ B . Logo, B ∈ B e, por conseguinte,

      hU ,V i

      hU , V i ∈ U. Ent˜ao, tem-se que w ∈ U ⊆ B ,V ⊆ V ⊆ W . Consequentemente,

      hU i

      para todo w ∈ W , existe um B ∈ B tal que w ∈ B ⊆ W . Portanto, como B foi fixada

      1 arbitrariamente, conclui-se que X ´e SSE.

      Teorema 2.2.12 (AC ω ). Todo espa¸co topol´ogico que tem base enumer´avel ´e separ´avel. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja X um espa¸co topol´ogico SE. Sendo assim, pode-se fixar uma base enumer´avel

      ′ ′

      B \ {∅}. Note que B de X. Considere ent˜ao o conjunto B := B ´e enumer´avel (pelo

      Corol´ario 1.1.16) e que ´e, obviamente, uma fam´ılia de subconjuntos n˜ao vazios de X.

      ′

      ′

      considere o conjunto D := im(φ) = φ [B ]. Ora, ´e claro que D ´e enumer´avel, j´a que ´e imagem de um conjunto enumer´avel por uma fun¸c˜ao (veja Corol´ario 1.1.17). Al´em disso, como B ´e uma base de X e D intersecta cada elemento n˜ao vazio de B , tem-se que D ´e denso em M . Portanto, segue que M ´e separ´avel.

      Teorema 2.2.13 (AC ω ). Todo espa¸co topol´ogico que tem base enumer´avel ´e Lindel¨of. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja X um espa¸co topol´ogico SE. Ent˜ao, pode-se fixar uma base enumer´avel B de X. Agora, fixe arbitrariamente uma cobertura aberta C de X e considere o conjunto

      ′ ′

      B := {B ∈ B : ∃ U ∈ C (B ⊆ U )}. Como B ´e enumer´avel, tem-se que B tamb´em ´e

      ′

      enumer´avel (pelo Corol´ario 1.1.16). Al´em disso, para cada B ∈ B , tem-se que o conjunto

      ′

      C B := {U ∈ C : B ⊆ U } ´e n˜ao vazio. Agora, tome o conjunto F := {C B : B ∈ B } e note que este conjunto ´e enumer´avel, pois est´a indexado por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14). Pela constru¸c˜ao, tem-se tamb´em que F ´e uma fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios. Ent˜ao, admitindo-se a validade de AC ω , pode-se concluir que existe uma

      ′

      fun¸c˜ao-escolha para F, i.e., uma fun¸c˜ao φ : F −→ , S F tal que, para todo B ∈ B

      ′

      φ (C B ) ∈ C B . Tome ent˜ao, para cada B ∈ B , o conjunto U B := φ (C B ). Obviamente,

      ′ tem-se que, para todo B ∈ B , U B ∈ C e B ⊆ U B .

      ′

      } ⊆ C ´e uma subcobertura Agora, afirmamos que o conjunto C := {U B : B ∈ B enumer´avel de C. Com efeito: ´e claro que C ´e enumer´avel, j´a que est´a indexado por um conjunto enumer´avel. Tome um x ∈ X qualquer. Como C ´e uma cobertura de X, ent˜ao fixe um U ∈ C tal que x ∈ U . J´a que B ´e uma base de X, pode-se fixar um B ∈ B

      ′

      tal que x ∈ B ⊆ U . Logo, B ∈ B [

      e, por conseguinte, B ⊆ U B . Consequentemente, ⊆ x ∈ U B U B = S C . Como x ∈ X foi tomado qualquer, conclui-se que X ⊆ S C , B ∈B ou melhor, que X = S C . Portanto, como C foi fixada arbitrariamente, segue que X ´e

      Lindel¨of. Teorema 2.2.14 (AC ω ). Todo espa¸co pseudom´etrico Lindel¨of tem base enumer´avel. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja X um espa¸co pseudom´etrico qualquer. ´ E imediato concluir que, para todo

      1 n ∈ ω \ 1, o conjunto C n := B x, : x ∈ X ´e uma cobertura aberta de X. Agora, n suponha que X seja Lindel¨of. Sendo assim, pode-se concluir que, para todo n ∈ ω \ 1,

      ′

      existe uma subcobertura enumer´avel C de C n . Ent˜ao, para cada n ∈ ω \ 1, tem-se que

      ′ ′ o conjunto F n := {C ⊆ P (X) : C ´e uma subcobertura enumer´avel de C n } ´e n˜ao vazio.

      Considere o conjunto G := {F n : n ∈ ω \ 1}. Obviamente, tem-se que G ´e uma fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios, por constru¸c˜ao. Al´em disso, ´e claro que G ´e enumer´avel, pois est´a indexado por um conjunto enumer´avel. Ent˜ao, supondo-se que AC ω valha, pode-se concluir que existe uma fun¸c˜ao-escolha para G, i.e., uma fun¸c˜ao φ : G −→ S G tal que, para todo n ∈ ω \ 1, φ (F n ) ∈ F n . Considere ent˜ao, para cada n ∈ ω \ 1, o conjunto

      ′ ′

      C := φ (F n ). Tem-se obviamente que, para todo n ∈ ω \ 1, C ´e uma subcobertura n n enumer´avel de C n . [

      ′ ′

      C Afirmamos que o conjunto B := ´e uma base enumer´avel de X. Com efeito: n&gt; n

      

    1

      ´e claro que todo elemento de B ´e um aberto em X, por constru¸c˜ao. Al´em disso, tem-se

      ′ ′

      que B ´e a uni˜ao da fam´ılia enumer´avel {C : n ∈ ω \ 1} de conjuntos enumer´aveis. Assim, n

      ′ admitindo-se que AC ω valha, pode-se concluir que B ´e enumer´avel (pelo Teorema 2.2.3).

      Agora, seja U um aberto qualquer de X. Caso seja U = ∅, nada a fazer. Caso contr´ario, tome um x ∈ U qualquer. De U ser aberto em X e de R ser corpo ordenado arquimediano,

      2

      ′

      ⊆ U . Como C segue que existe um k ∈ ω \ 1 tal que B x, ´e uma cobertura de X e k k

      1

      ′ ′ C ⊆ C k , pode-se fixar um B ∈ C tal que x ∈ B e um x ∈ X tal que B = B x , . k k

      k

      2

      ′

      Logo, conclui-se que B ∈ B e que B ⊆ B x, ⊆ U . Ent˜ao, j´a que x ∈ U foi tomado k

      ′

      qualquer, tem-se que, para todo x ∈ U , existe um B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U . Portanto, segue que X ´e SE.

      Corol´ ario 2.2.15 (AC ω ). Dado um espa¸co pseudom´etrico X, s˜ao equivalentes: (i) X tem base enumer´avel.

      (ii) X ´e SSE. (iii) X ´e separ´avel.

      (iv) X ´e Lindel¨of. Prova: (i) ⇐⇒ (ii) : Segue da Proposi¸c˜ao 1.2.2 e do Teorema 2.2.11.

      (i) ⇐⇒ (iii) : Segue dos Teoremas 2.1.7 e 2.2.12. (i) ⇐⇒ (iv) : Segue dos Teoremas 2.2.13 e 2.2.14.

    2.3 Asser¸c˜ oes que ZF + AC (R) prova

      ω Na presente se¸c˜ao, s˜ao apresentadas algumas asser¸c˜oes que s˜ao demonstr´aveis em ZF + AC ω (R), sendo a maioria refinamentos de asser¸c˜oes que s˜ao demonstr´aveis em ZF + AC ω . Teorema 2.3.1 (AC ω (R)). Todo espa¸co topol´ogico enumer´avel ´e Lindel¨of. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja X um espa¸co topol´ogico enumer´avel. Se X for finito, ent˜ao P (X) tamb´em ´e finito, o que, obviamente, implica que X ´e Lindel¨of. Se X for infinito, ent˜ao X ≈ ω. Logo, P (X) ≈ P (ω). Disso, segue que P (X) ≈ R (pela Proposi¸c˜ao 1.1.31) e, em particular, que P (X) R. Admitindo-se que AC ω (R) valha, pode-se ent˜ao concluir que AC ω (P (X)) vale (pela Proposi¸c˜ao 1.1.27). Agora, fixe arbitrariamente uma cobertura (aberta) C de X.

      Sendo assim, para cada x ∈ X, tem-se que o conjunto C x := {U ∈ C : x ∈ U } ´e n˜ao vazio. Considere ent˜ao o conjunto F := {C : x ∈ X} e note que este conjunto ´e enumer´avel, pois x est´a indexado por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14). Pela constru¸c˜ao, ´e claro que F ´e uma fam´ılia de subconjuntos n˜ao vazios de P (X). Logo, AC ω (P (X)) implica que existe uma fun¸c˜ao-escolha para F, i.e., uma fun¸c˜ao φ : F −→ S F tal que, para todo x ∈ X, φ (C x ) ∈ C x . Tome ent˜ao, para cada x ∈ X, o conjunto U x := φ (C x ). Obviamente, tem-se que, para todo x ∈ X, U x ∈ C e x ∈ U x .

      Agora, afirmamos que o conjunto C := {U x : x ∈ X} ⊆ C ´e uma subcobertura enumer´avel de C. Com efeito: ´e claro que C ´e enumer´avel, j´a que est´a indexado por um [ conjunto enumer´avel. Como, para todo x ∈ X, x ∈ U x , conclui-se ent˜ao que X ⊆ U x , x [

      ∈X

      ou melhor, que X = U x . Portanto, como C foi fixada arbitrariamente, segue que X ´e x

      ∈X Lindel¨of.

      Argumentando-se tal como na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.11, mas utilizando de forma conveniente o Lema 2.1.8 e a Proposi¸c˜ao 1.1.27, prova-se o seguinte refinamento do referido teorema: Teorema 2.3.2 (AC ω (R)). Todo espa¸co topol´ogico que tem base enumer´avel ´e SSE.

      Com a mesma argumenta¸c˜ao dada na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.12, mas utilizando convenientemente o Lema 2.1.9 e a Proposi¸c˜ao 1.1.27, obt´em-se uma prova do seguinte Teorema 2.3.3 (AC ω (R)). Todo espa¸co topol´ogico T que tem base enumer´avel ´e separ´avel.

      Com os mesmos argumentos dados na prova do Teorema 2.2.13, mas utilizando refinamento do referido teorema: Teorema 2.3.4 ([HrS97], AC ω (R)). Todo espa¸co topol´ogico que tem base enumer´avel ´e Lindel¨of.

      Demonstra¸c˜ ao: Seja X um espa¸co topol´ogico SE. Tal como na parte inicial da demonstra¸c˜ao do

      Teorema 2.2.13, fixe uma base enumer´avel B de X, fixe arbitrariamente uma cobertura

      ′

      aberta C de X, considere o conjunto enumer´avel B = {B ∈ B : ∃ U ∈ C (B ⊆ U )} e

      ′

      tome a fam´ılia enumer´avel F = {C B : B ∈ B } de conjuntos n˜ao vazios, em que, para

      ′

      todo B ∈ B , C B = {U ∈ C : B ⊆ U }. Seja τ a topologia sobre X. Sendo assim, tem-se que τ R (pelo Lema 2.1.8). Ent˜ao, como ´e ´obvio que C τ , segue que C R.

      Assim, supondo-se que AC ω (R) valha, pode-se concluir que AC ω (C) vale (pela Proposi¸c˜ao 1.1.27). Ora, como F ´e uma fam´ılia enumer´avel de subconjuntos n˜ao vazios de C, ent˜ao AC ω (C) implica que existe uma fun¸c˜ao-escolha para F, i.e., uma fun¸c˜ao

      ′

      φ : F −→ S F tal que, para todo B ∈ B , φ (C B ) ∈ C B . Agora, com os mesmos argumentos dados na parte final da demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.13, conclua que o

      ′

      conjunto C = {φ (C B ) : B ∈ B } ´e uma subcobertura enumer´avel de C. Portanto, j´a que C foi fixada arbitrariamente, segue que X ´e Lindel¨of.

      2.4 Equivalˆ encias em termos de sequˆ encias para AC e AC (R)

      ω ω Na presente se¸c˜ao, iremos apresentar dois resultados que s˜ao “folklore” em Teoria dos Conjuntos. Em v´arios artigos onde tais resultados s˜ao enunciados, apenas referˆencias para coment´arios sobre suas provas s˜ao encontradas. Por exemplo, em [Gut08], uma das referˆencias dadas para tais resultados ´e o cl´assico “Foundations of Set Theory” – livro de autoria de A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel e A. L´evy –, no qual ´e feito apenas um breve coment´ario a respeito em uma de suas notas de rodap´e. Contudo, al´em de enunciados um pouco mais precisos, daremos aqui a nossa prova desses resultados – e esta com um n´ıvel de detalhamento que dificilmente ´e encontrado em outros textos que falem a respeito de AC ω e de AC ω (R). Com este prop´osito, comecemos por enunciar o seguinte Teorema 2.4.1 (ZF). S˜ao equivalentes: (i) AC ω .

      (ii) Toda fam´ılia infinita enumer´avel de conjuntos n˜ao vazios possui uma subfam´ılia infinita que admite uma fun¸c˜ao-escolha. (iii) Para toda fam´ılia infinita enumer´avel F = {X n : n ∈ ω \ 1} de conjuntos n˜ao

      vazios, existe uma sequˆencia s = hx k i k&gt; em

      1 S F satisfazendo a condi¸c˜ao de que o conjunto {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X n 6= ∅} ´e infinito.

      Demonstra¸c˜ ao: (i) =⇒ (ii) : ´ E imediato, j´a que AC ω implica que toda fam´ılia infinita enumer´avel

      F de conjuntos n˜ao vazios admite uma fun¸c˜ao-escolha e, evidentemente, por ser uma tal F uma subfam´ılia infinita de si pr´opria.

      (ii) =⇒ (iii) : Seja F uma fam´ılia infinita enumer´avel qualquer de conjuntos n˜ao vazios tal que F = {X n : n ∈ ω \ 1}. Ent˜ao, supondo-se a validade de (ii), pode-se fixar uma subfam´ılia infinita G de F que admite uma fun¸c˜ao-escolha φ : G −→ S G. Considere o conjunto M := {n ∈ ω \ 1 : X n ∈ G} e note que G = {X n : n ∈ M }, j´a que G ⊆ F. Como G ´e uma fam´ılia infinita, segue que M ´e um subconjunto infinito de ω. Seja ent˜ao {n k : k &lt; ω} a enumera¸c˜ao canˆonica de M . Com isso, defina a sequˆencia s = hx k i k&gt; em k := f (X n ) ∈ X n . Pela constru¸c˜ao, ´e claro que

      1 S G ⊆ S F pondo, para todo k &lt; ω, x k k

      s est´a bem definida e que, para todo k &lt; ω, im(s) ∩ X n 6= ∅. J´a que M = {n k : k &lt; ω}, k 6= ∅}. Portanto, como M ´e infinito, segue tem-se ent˜ao que M ⊆ {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X n que o conjunto {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X 6= ∅} tamb´em ´e infinito. n

      (iii) =⇒ (i) : Seja F uma fam´ılia infinita enumer´avel qualquer de conjuntos n˜ao vazios. Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {X n : n ∈ ω \ 1} de F. Considere, para cada n ∈ ω \ 1, Y o conjunto Y n := X i . Note que, para todo n ∈ ω \ 1, Y n 6= ∅ (por ser produto

      16i6n

      cartesiano finito de conjuntos n˜ao vazios). Considere agora a fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios H := {Y n : n ∈ ω \ 1}. Note que H ´e enumer´avel, pois est´a indexada por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14). Al´em disso, dados n, m ∈ ω \ 1 tais que n 6= m, tem-se claramente que Y ∩ Y = ∅, o que implica que Y 6= Y (por ser n˜ao n m n m vazio cada um destes conjuntos). Segue disso que a dada indexa¸c˜ao de H por ω \ 1 ´e uma enumera¸c˜ao. Consequentemente, H ´e uma fam´ılia infinita enumer´avel de conjuntos n˜ao vazios. i

      Ent˜ao, admitindo-se que (iii) valha, pode-se fixar uma sequˆencia t = hy k k&gt;

      1

      em n 6= ∅} ´e S H satisfazendo a condi¸c˜ao de que o conjunto M := {n ∈ ω \ 1 : im(t) ∩ Y infinito. Logo, para todo n ∈ M , j(n) := min {j ∈ ω \ 1 : y j ∈ Y n } est´a bem definido.

      Considere ent˜ao, para cada n ∈ M , z(n) := y j ∈ Y n . Agora, note que M ´e ilimitado

      (n)

      em ω \ 1, j´a que M ´e um subconjunto infinito de ω \ 1. Sendo assim, para todo n ∈ ω \ 1, k(n) := min {k ∈ M : n &lt; k} est´a bem definido. Logo, para todo n ∈ ω \ 1, n &lt; k(n) e,

      [ Agora, defina ζ : ω \ 1 −→ n&gt; X n pondo ζ(n) := z n (k(n)). Pela constru¸c˜ao, ´e

    1 Y

      claro que ζ est´a bem definida e que, para todo n ∈ ω \ 1, ζ(n) ∈ X n . Logo, ζ ∈ i&gt; X i Y

      1

      e, por conseguinte, i&gt; X i 6= ∅. Como F foi tomada qualquer, conclu´ımos que “o produto

      1 cartesiano de qualquer fam´ılia infinita enumer´avel de conjuntos n˜ao vazios ´e n˜ao vazio”.

      Portanto, j´a que esta ´ ultima asser¸c˜ao ´e equivalente a AC ω (veja Proposi¸c˜ao 1.1.24), segue da validade de (iii) que AC ω tamb´em vale.

      Teorema 2.4.2 (ZF). S˜ao equivalentes: (i) AC ω (R).

      (ii) Toda fam´ılia infinita enumer´avel de subconjuntos n˜ao vazios de R possui uma subfam´ılia infinita que admite uma fun¸c˜ao-escolha. (iii) Para toda fam´ılia infinita enumer´avel F = {X n : n ∈ ω \ 1} de subconjuntos n˜ao

      vazios de R, existe uma sequˆencia s = hx k i k&gt; em

      1 S F satisfazendo a condi¸c˜ao de que o conjunto {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X n 6= ∅} ´e infinito.

      (iv) Para todo conjunto X que pode ser indexado por R e toda fam´ılia infinita

      enumer´avel F = {X : n ∈ ω \ 1} de subconjuntos n˜ao vazios de X, existe uma n sequˆencia s = hx k i k&gt; em

    1 S F satisfazendo a condi¸c˜ao de que o conjunto {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X n 6= ∅} ´e infinito.

      Demonstra¸c˜ ao: (i) =⇒ (ii) : A justificativa para a validade desta implica¸c˜ao ´e an´aloga `a de (i) =⇒ (ii) do Teorema 2.4.1.

      (ii) =⇒ (iii) : Prova-se esta implica¸c˜ao com os mesmos argumentos dados na prova de (ii) =⇒ (iii) do Teorema 2.4.1, mas restringindo a argumenta¸c˜ao `as fam´ılias infinitas enumer´aveis de subconjuntos n˜ao vazios de R.

      (iii) =⇒ (iv) : Sejam X um conjunto qualquer que pode ser indexado por R e F uma fam´ılia infinita enumer´avel qualquer de subconjuntos n˜ao vazios de X tal que F = {X n : n ∈ ω \ 1}. Fixe uma indexa¸c˜ao ξ de X por R. Considere ent˜ao o conjunto

      −1

      H := {ξ [X n ] : n ∈ ω \ 1} e note que este conjunto ´e enumer´avel, pois est´a indexado por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14). Como ξ ´e uma sobreje¸c˜ao de R em X e F ´e uma fam´ılia de subconjuntos n˜ao vazios de X, ent˜ao H ´e uma fam´ılia de subconjuntos n˜ao vazios de R. Al´em disso, note que a dada indexa¸c˜ao de H por ω \ 1 ´e

      −1 −1

      uma enumera¸c˜ao, pois: dados n, m ∈ ω \ 1 tais que ξ [X n ] = ξ [X m ], tem-se, por ser

      −1 −1

      ξ sobrejetora, que X n = ξ [ξ [X n ]] = ξ [ξ [X m ]] = X m . Consequentemente, H ´e uma fam´ılia infinita enumer´avel de subconjuntos n˜ao vazios de R. i

      Ent˜ao, supondo-se que (iii) valha, pode-se fixar uma sequˆencia t = hy k k&gt;

      1 em −1

      [X n ] 6= ∅} S H satisfazendo a condi¸c˜ao de que o conjunto M := {n ∈ ω \ 1 : im(t) ∩ ξ ´e infinito. Agora, tome a sequˆencia s = hx k i k&gt; em ξ [ 1 S H] = S F tal que s := (ξ ◦ t).

      −1 −1

      Assim, para cada n ∈ M , tem-se que ∅ 6= ξ [im(t) ∩ ξ [X n ]] ⊆ ξ [im(t)] ∩ ξ [ξ [X n ]] = 6= ∅}. Portanto, como im(ξ ◦ t) ∩ X n = im(s) ∩ X n . Logo, M ⊆ {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X n

      M ´e infinito, segue que o conjunto {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X 6= ∅} tamb´em ´e infinito. n (iv) =⇒ (i) : Seja F uma fam´ılia infinita enumer´avel qualquer de subconjuntos n˜ao vazios de R. Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {X n : n ∈ ω \ 1} de F. Considere, para Y cada n ∈ ω \ 1, o conjunto Y n :=

      X . Argumentando-se como no in´ıcio da prova i&lt;n (i+1) de (iii) =⇒ (i) do Teorema 2.4.1, conclui-se que H := {Y n : n ∈ ω \ 1} ´e uma fam´ılia infinita enumer´avel de conjuntos n˜ao vazios. No presente caso, conclui-se tamb´em que &lt;ω

      R H ´e uma fam´ılia de subconjuntos de . De fato: para cada n ∈ ω \ 1, tem-se que Y [ n k

      ⊆ R ⊆ R Y n = X , j´a que F ´e uma fam´ılia de subconjuntos de R. Como &lt;ω i&lt;n k&lt;ω (i+1)

    &lt;ω

    R ≈ R (pelo Corol´ario 2.1.3), tem-se que R pode ser indexado por R.

      Ent˜ao, admitindo-se que (iv) valha, pode-se fixar uma sequˆencia t = hy k i k&gt;

      1

      em S H satisfazendo a condi¸c˜ao de que o conjunto M := {n ∈ ω \ 1 : im(t) ∩ Y n 6= ∅} ´e infinito. Argumentando como na parte final da prova de (iii) =⇒ (i) do Teorema 2.4.1, conclua ent˜ao que o produto cartesiano da fam´ılia F = {X n : n ∈ ω \ 1} ´e n˜ao vazio. Como F foi tomada qualquer, conclu´ımos que “o produto cartesiano de qualquer fam´ılia infinita enumer´avel de subconjuntos n˜ao vazios de R ´e n˜ao vazio”. Portanto, j´a que esta ´ ultima asser¸c˜ao ´e equivalente a AC ω (R) (veja Proposi¸c˜ao 1.1.25), segue da validade de (iv) que AC ω (R) tamb´em vale.

      Cap´ıtulo 3 Produtos topol´ ogicos em ZF

      No presente cap´ıtulo, iremos demonstrar a equivalˆencia entre AC e o Teorema de Tychonoff e certas equivalˆencias entre BPI e algumas restri¸c˜oes do Teorema de Tychonoff. Al´em disso, provaremos que BPI ´e equivalente ao Teorema de Tychonoff restrito aos espa¸cos compactos cuja topologia ´e a cofinita.

    3.1 Equivalˆ encia entre AC e o Teorema de Tychonoff

      Para a presente se¸c˜ao, relembremos o enunciado do Teorema (do Produto) de Tychonoff. Este declara que: “o espa¸co-produto de qualquer fam´ılia de espa¸cos compactos ´e compacto”. A sigla que adotamos para este teorema ´e TT. ´ E interessante destacar que TT ´e um dos teoremas da Topologia Geral com diversas aplica¸c˜oes n˜ao somente nos ramos da pr´opria Topologia – tal como a Teoria das Compactifica¸c˜oes – mas tamb´em em diversos ramos da An´alise Matem´atica – como, por exemplo, na An´alise Funcional. Em sua vers˜ao original, TT foi provado por Andrey Tychonoff em um artigo seu de 1930 – utilizando argumentos que se valiam de AC. Na verdade, a vers˜ao original de TT garantia apenas a compacidade de potˆencias arbitr´arias de [0, 1]. Contudo, os argumentos de Tychonoff envolvendo pontos de acumula¸c˜ao puderam ser generalizados. Com estes argumentos generalizados, Eduard ˇ Cech provou a vers˜ao que apresentamos aqui de TT em um artigo seu de 1937 – e assim, estabeleceu a validade da asser¸c˜ao AC =⇒ TT. Quanto a sua rec´ıproca, sabe-se que Shizuo Kakutani a conjecturou em um artigo seu de 1935. Por´em, a primeira prova de TT =⇒ AC ´e devida a John L. Kelley – e foi publicada em um artigo seu de 1950, intitulado “The Tychonoff Product Theorem Implies the Axiom of Choice”.

      Sugerimos o artigo [SiJ07] para obten¸c˜ao de referˆencias a respeito do que ´e citado acima e a seguir. Agora, passemos a nos concentrar no objetivo desta se¸c˜ao: apresentar uma

      − demonstra¸c˜ao de que TT implica AC em ZF (i.e., ZF − Axioma da Regularidade).

      − Teorema 3.1.1 (Kelley (1950 apud [SiJ07]), ZF ). TT implica AC.

      Demonstra¸c˜ ao: Seja F uma fam´ılia qualquer de conjuntos n˜ao vazios. Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao Y {A i : i ∈ I} de F por algum conjunto I. Ora, se for I = ∅, nada mais a fazer, j´a que i A i = {∅} 6= ∅. Logo, podemos supor que I ´e n˜ao vazio. Agora, pela n˜ao existˆencia

      ∈I

      do conjunto-universo (veja, por exemplo, o Teorema 1.1 (ii) em [SiJ07]), pode-se fixar um conjunto p tal que p 6∈ S F. Com isso, considere, para cada i ∈ I, o conjunto X i := A i ∪ {p} munido da sua topologia cofinita σ i = {∅} ∪ {U ⊆ X i : X i \ U ´e finito}. Verifica-se facilmente que, para todo i ∈ I, (a) o conjunto τ i := σ i ∪ {{p}} ´e uma topologia sobre X i .

      1

      \ {p} e, por conseguinte, A (b) A i = X i i ´e fechado em X i segundo τ i . (c) hX i , τ i i ´e um espa¸co compacto, j´a que o ´e hX i , σ i i.

      Considere agora, para cada i ∈ I, X i munido da topologia compacta τ i . Ent˜ao, Y supondo-se que TT valha, pode-se concluir que o espa¸co-produto Y = i X i ´e compacto.

      ∈I Considere tamb´em, para cada i ∈ I, a proje¸c˜ao na i-´esima coordenada, π i : Y −→ X i .

      −1

      Como toda proje¸c˜ao ´e cont´ınua, conclui-se ent˜ao que, para todo i ∈ I, π [A i ] ´e fechado Y \ i

      −1

      em Y . Al´em disso, verifica-se facilmente que A = π [A ]. Assim, para provar Y i ∈I i ∈I i i i

      −1

      6= ∅, basta mostrar que o conjunto G := π tem a p.i.f., pois G ´e que A i i i [A i ] : i ∈ I

      ∈I

      uma fam´ılia n˜ao vazia de subconjuntos fechados do espa¸co compacto Y . Mostremos isso dividindo a prova nos seguintes itens: (d) Seja J um subconjunto finito e n˜ao vazio qualquer de I. Sendo assim, tem-se que Y i A i 6= ∅ (por ser produto cartesiano finito de conjuntos n˜ao vazios). Verifica-se 1 ∈J

      Na prova original de Kelley, ´e cometido um pequeno erro nesta parte, devido ao fato de Kelley ter

    considerado τ i := σ i . Tal erro ´e descrito pela seguinte observa¸c˜ ao: se, para algum j ∈ I, X j for infinito

    (i.e., A j for infinito), ent˜ao {p} 6∈ σ j (i.e., A j n˜ ao ´e fechado em X j segundo σ j ), pois, obviamente,

    {p} 6= ∅ e X j \ {p} = A j ´e infinito. Sendo assim, caso n˜ ao se adicione o conjunto {p} a cada σ i ,

    fica comprometida a validade de quase todos os argumentos que s˜ao dados posteriormente. Cabe aqui

    destacar que isto foi observado, imediatamente ap´ os a publica¸c˜ ao da prova de Kelley, em um artigo

    de Jerzy Lo´s e Czes law Ryll-Nardzewski, na edi¸c˜ ao subsequente da mesma revista em que tal prova

    TT

    foi publicada. Apesar desse pequeno erro – que facilmente pode ser corrigido – a prova original de

    =⇒ AC permanece devidamente creditada a Kelley. Em um artigo de 1972 de Frank Plastria,

    intitulado “Two loose results in general topology”, foi publicada uma prova corrigida de TT =⇒ AC,

    mas que difere da original apenas pela escolha das topologias.

      \ Y

      −1

      facilmente que π [A i ] = Z i , em que i i i

      ∈J ∈I (

      A , se i ∈ J; i Z i = Y [ X i , se i ∈ I \ J.

      (e) Fixe ent˜ao um a ∈ A i , i.e., uma fun¸c˜ao a : J −→ A i tal que, para todo i ∈ J, i ∈J i ∈J [ [ [ ∈ A

      ∪ a i i . Com isso, defina uma extens˜ao ζ : I −→ Z i = A i i i i X i para a

      ∈I ∈J ∈I\J

      fun¸c˜ao a pondo ( a i , se i ∈ J; ζ(i) := p , se i ∈ I \ J.

      (f ) Claramente, tem-se que ζ est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Al´em disso, para ∈ A todo i ∈ J, ζ(i) = a i i Y \

      e, para todo i ∈ I \ J, ζ(i) = p ∈ X i . Conclui-se

      2 −1

      ent˜ao que ζ ∈ Z . Consequentemente, π [A ] 6= ∅. Como J ´e qualquer, i ∈I i ∈J i i i \ segue que a fam´ılia G tem a p.i.f.. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.2.17, conclui-se que

      −1

      π [A i ] = i ∈I i T G 6= ∅. Y \

      −1

      Consequentemente, A i = π [A i ] 6= ∅. Como F foi tomada qualquer, e AC ´e i i i

      ∈I ∈I

      equivalente `a asser¸c˜ao “o produto cartesiano de qualquer fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios ´e n˜ao vazio” (veja Proposi¸c˜ao 1.1.23), segue ent˜ao da validade de TT que AC tamb´em vale. Portanto, conclui-se que TT implica AC.

      Observa¸c˜ ao 3.1.2. Note que, na demonstra¸c˜ao dada acima, poder´ıamos ter considerado topologias menos finas sobre cada conjunto X i . Por exemplo, se consider´assemos sobre cada conjunto X i a topologia {∅, X i , {p}}, ter´ıamos espa¸cos topol´ogicos compactos com os quais poder´ıamos levar a cabo todos os argumentos dados. No entanto, tais espa¸cos topol´ogicos, em geral, n˜ao s˜ao T – enquanto os que s˜ao considerados na demonstra¸c˜ao

      1

      acima s˜ao sempre T . Representando-se por TT T o Teorema de Tychonoff restrito aos

      1 1

      espa¸cos compactos T , os argumentos dados na demonstra¸c˜ao acima nos garantem que

      1 −

      TT T implica AC. Assim, em ZF (na verdade, em ZF ), tem-se a prova de cada uma 1 das implica¸c˜oes a seguir: 2 AC =⇒ TT =⇒ TT T =⇒ AC. 1 Observe que, nesta parte da prova, n˜ ao s˜ao utilizadas infinitas escolhas arbitr´ arias, j´ a que a fun¸c˜ ao

      

    ζ ´e dada de forma expl´ıcita. Por este motivo, vˆe-se o quanto ´e crucial a adi¸c˜ ao daquele conjunto p a cada

    elemento da fam´ılia F.

      E isto nos garante que AC ´e equivalente a TT T – que, a princ´ıpio, poderia ser uma 1 asser¸c˜ao estritamente mais fraca que TT, mas que acabamos de provar que ´e equivalente △ a este teorema.

      Agora, ´e natural perguntar se ´e poss´ıvel enfraquecer ainda mais as hip´oteses do Teorema de Tychonoff e mesmo assim manter a equivalˆencia entre este ´ ultimo e AC. Por exemplo, o Teorema de Tychonoff restrito aos espa¸cos compactos T – o qual iremos

      2

      representar por TT T – ´e equivalente a AC ? A resposta ´e n˜ao. Precisamente, como ser´a 2 visto na pr´oxima se¸c˜ao, TT T ´e equivalente `a asser¸c˜ao BPI, que ´e estritamente mais fraca 2 que AC.

      Aproveitando o ensejo, apresentamos a seguir a nossa prova de um resultado interessante que estabelece equivalˆencias para AC. Aparentemente, tal resultado ´e uma contribui¸c˜ao original nossa, pois, at´e onde sabemos, as equivalˆencias estabelecidas n˜ao constam em lista alguma de princ´ıpios equivalentes a AC. Tais equivalˆencias s˜ao as que se encontram enunciadas no seguinte Teorema 3.1.3 (ZF). S˜ao equivalentes: (i) AC.

      (ii) Dadas uma fam´ılia {X i : i ∈ I} de espa¸cos topol´ogicos e uma fam´ılia {A i : i ∈ I} de Y ⊆ X

      conjuntos n˜ao vazios tais que, para todo i ∈ I, A i i , se A i for fechado no i Y ∈I espa¸co-produto i X i , ent˜ao, para todo i ∈ I, A i ´e fechado em X i .

      ∈I

      (iii) Dadas uma fam´ılia {X i : i ∈ I} de espa¸cos topol´ogicos e uma fam´ılia {A i : i ∈ I} Y

      de conjuntos n˜ao vazios tais que, para todo i ∈ I, A i ⊆ X i , se I 6= ∅ e A i for Y i ∈I fechado no espa¸co-produto i X i , ent˜ao existe um i ∈ I tal que A i ´e fechado em X i .

      ∈I

      Demonstra¸c˜ ao: (i) =⇒ (ii) : Sejam {X i : i ∈ I} uma fam´ılia de espa¸cos topol´ogicos e {A i : i ∈ I} Y uma fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios tal que, para todo i ∈ I, A ⊆ X . Suponha que Y Y Y i i Y i A i seja fechado no espa¸co-produto Y = i i i X i , i.e., que A i = A i . Admita

      ∈I ∈I ∈I ∈I Y Y Y X i que AC valha. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.2.16, pode-se concluir que A i = A i . i i Y X Y i ∈I ∈I

      Disso, e da suposi¸c˜ao feita, segue que A i = A i . Al´em disso, para cada i ∈ I, i i X i ∈I ∈I tem-se que A i 6= ∅ (pois, por hip´otese, A i 6= ∅). Assim, pela Proposi¸c˜ao 1.1.26, tem-se

      X i

      que, para todo i ∈ I, A i = A i . Logo, para todo i ∈ I, A i ´e fechado em X i . Portanto, conclui-se que AC implica (ii). Y Y (ii) =⇒ (iii) : Supondo que I 6= ∅ e que A seja fechado no espa¸co-produto i ∈I i ∈ I. Ent˜ao, admitindo-se que (ii) valha, pode-se concluir que i X i , pode-se fixar um i

      ∈I A i ´e fechado em X i . Portanto, segue que (ii) implica (iii).

      (iii) =⇒ (i) : Provaremos a contrapositiva desta implica¸c˜ao. Suponha que AC n˜ao valha. Assim, tem-se que existe uma fam´ılia F = {A i : i ∈ I} de conjuntos n˜ao Y vazios tal que A i = ∅ (implicando que I 6= ∅, pois, por vacuidade, se I = ∅, ent˜ao i Y Y Y ∈I i i i A i = {∅}). Ent˜ao, ´e claro que A i ´e fechado no espa¸co-produto X i . Agora,

      ∈I ∈I ∈I pela n˜ao existˆencia do conjunto-universo, pode-se fixar um conjunto p tal que p 6∈ S F.

      Considere ent˜ao, para cada i ∈ I, o conjunto X := A ∪ {p} munido da sua topologia i i ca´otica τ i = {∅, X i }. Ora, para cada i ∈ I, tem-se que A i 6= ∅ e que p 6∈ A i . Logo, para todo i ∈ I, X i 6= {p} e X i \ A i = {p} 6= ∅. Assim, para cada i ∈ I, tem-se que (X i \ A i ) 6∈ τ i , i.e., que A i n˜ao ´e fechado em X i . Portanto, existem uma fam´ılia {X i : i ∈ I} de espa¸cos topol´ogicos e uma fam´ılia {A i : i ∈ I} de conjuntos n˜ao vazios tais Y que, para todo i ∈ I, A i ⊆ X i e que satisfazem a condi¸c˜ao de que I 6= ∅, A i ´e fechado Y i ∈I no espa¸co-produto i X i e, para todo i ∈ I, A i n˜ao ´e fechado em X i .

      ∈I

      Como na prova de (iii) =⇒ (i) do Teorema 3.1.3 usamos essencialmente que ∅ ´e Y fechado no espa¸co-produto i X i , surge naturalmente a quest˜ao sobre o que aconteceria

      ∈I Y

      se adicion´assemos ao item (iii) a hip´otese de que A i ´e n˜ao vazio. A equivalˆencia com i

      ∈I

      AC ainda se manteria ? Ou, em caso negativo, ser´a que se poderia provar, em ZF, que existe ao menos um i ∈ I para o qual A i ´e fechado em X i ? Gostar´ıamos de encerrar a presente se¸c˜ao salientando que, de maneira simples e elegante, a Profa. Of´elia Teresa Alas respondeu “fortemente” as quest˜oes e gentilmente nos forneceu a sua resposta atrav´es de sua prova – dada a seguir – do interessante Fato 3.1.4 (ZF). Dadas uma fam´ılia {X i : i ∈ I} de espa¸cos topol´ogicos e uma fam´ılia Y {A i : i ∈ I} de conjuntos n˜ao vazios tais que, para todo i ∈ I, A i i , se I e A i ⊆ X i Y Y ∈I

      forem n˜ao vazios e A i for fechado no espa¸co-produto i i X i , ent˜ao, para todo i ∈ I, ∈I ∈I

      A i ´e fechado em X i . Prova:

      Sejam {X i : i ∈ I} uma fam´ılia de espa¸cos topol´ogicos e {A i : i ∈ I} uma fam´ılia Y de conjuntos n˜ao vazios tal que, para todo i ∈ I, A i ⊆ X i . Suponha que I e A i sejam Y Y Y i ∈I n˜ao vazios e que A i seja fechado no espa¸co-produto Y = i i i X i . J´a que A i ´e n˜ao

      ∈I Y ∈I ∈I

      vazio, fixe ent˜ao um z ∈ A i . Suponha, por absurdo, que exista um j ∈ I tal que A j i

      ∈I X j

      n˜ao seja fechado em X . Sendo assim, pode-se fixar um p ∈ A \ A . Defina ent˜ao [ j j j ζ : I −→ i ∈I X i pondo ( z(i) , se i ∈ I \ {j};

      ζ(i) := p , se i = j. Pela constru¸c˜ao, tem-se claramente que ζ est´a bem definida e que, para todo i ∈ I, Y ζ(i) ∈ X i . Logo, ζ ´e um ponto em Y . Ora, tamb´em ´e claro que ζ 6∈ A i , j´a que i Y Y Y

      ∈I

      ζ(j) = p 6∈ A j . Ent˜ao, por ser A i = A i , segue que existe uma vizinhan¸ca aberta i i

      ∈I ∈I Y

      b´asica V de ζ em Y tal que V ∩ A i = ∅. Fixe ent˜ao uma fam´ılia {V i : i ∈ I} de i ∈I conjuntos tal que, para todo i ∈ I, V i ´e um aberto em X i e que satisfaz a condi¸c˜ao de Y Y Y Y Y que V = i i i i i V i . Logo, (V i ∩ A i ) = V i ∩ A i = V ∩ A i = ∅. Agora, admita que

      ∈I ∈I ∈I ∈I ∈I [

      V j ∩ A j 6= ∅. Fixe ent˜ao um q ∈ V j ∩ A j . Defina agora ξ : I −→ ( i ∈I X i pondo z(i) , se i ∈ I \ {j}; ξ(i) := q , se i = j. Pela constru¸c˜ao, ´e claro que ξ est´a bem definida e que, para todo i ∈ I, ξ(i) ∈ X , Y i implicando que ξ ´e um ponto em Y . Al´em disso, como ζ ∈ V = i ∈I V i , tem-se que, para todo i ∈ I \ {j}, ξ(i) = z(i) = ζ(i) ∈ V i ∩ A i . Ent˜ao, j´a que ξ(j) = q ∈ V j ∩ A j , Y

      ∩ A pode-se concluir que ξ ∈ (V i i ), uma contradi¸c˜ao. Consequentemente, teremos que i

      ∈I X j V j ∩ A j = ∅, outra contradi¸c˜ao, pois V j ´e uma vizinhan¸ca aberta de p = ζ(j) e p ∈ A j .

      Portanto, conclui-se que, para todo i ∈ I, A i ´e fechado em X i .

    3.2 Restri¸c˜ oes de TT a espa¸cos compactos T

      2

      3.2.1 Equivalˆ encias entre BPI e algumas restri¸c˜ oes de TT a espa¸cos compactos T

    2 Apresentamos a seguir cinco princ´ıpios topol´ogicos que s˜ao equivalentes a BPI

      em ZF. Os quatro primeiros princ´ıpios s˜ao restri¸c˜oes de TT a espa¸cos compactos T ,

      2

      enquanto o ´ ultimo estabelece uma caracteriza¸c˜ao de compacidade atrav´es da convergˆencia de ultrarredes. Na presente subse¸c˜ao, demonstraremos somente as equivalˆencias entre BPI e os dois primeiros princ´ıpios e admitiremos a validade das equivalˆencias entre BPI e os dois ´ ultimos. A equivalˆencia entre BPI e o terceiro princ´ıpio ser´a demonstrada na pr´oxima subse¸c˜ao. Esses princ´ıpios topol´ogicos, aos quais nos referimos, s˜ao: (TT T ) o espa¸co-produto de qualquer fam´ılia de espa¸cos compactos T ´e compacto. 2

      2

      (TT T , ) o espa¸co-produto de qualquer fam´ılia de espa¸cos compactos T que possuem 2

      2 2 2 pontos ´e compacto.

      (TT

      2 ) Dado um conjunto X, se 2 = {0, 1} estiver munido da topologia discreta, ent˜ao X o espa¸co-produto 2 ´e compacto. X

      (TT I ) Dado um conjunto X, tem-se que o espa¸co-produto [0, 1] ´e compacto.

      (U) Dado um espa¸co topol´ogico X, tem-se que X ´e compacto se, e somente se, toda ultrarrede em X convergir para algum ponto em X.

      ´ E ´obvio que TT T implica TT T , em ZF. Sendo assim, basta provar, em ZF, 2 2

      2

      que TT T , implica BPI e que este, por sua vez, implica TT T para se estabelecer as 2

      2 2

      equivalˆencias entre BPI e tais princ´ıpios topol´ogicos. Provaremos essas implica¸c˜oes mais adiante. Agora, demonstremos o seguinte Teorema 3.2.1 (ZF). Dados uma fam´ılia {X i : i ∈ I} de conjuntos com a topologia Y Y

      discreta, um J ⊆ I tal que J ´e finito e uma fun¸c˜ao g ∈ i i X i , se Y = X i estiver ∈J ∈I

    munido da topologia-produto, ent˜ao o conjunto [g] := {f ∈ Y : g ⊆ f } ´e um aberto-fechado

    no espa¸co-produto Y .

      Demonstra¸c˜ ao: Y Seja g ∈ i X i qualquer. Se for I = ∅, ent˜ao Y = [g] = {∅} e, obviamente, [g] ´e

      ∈J

      um aberto-fechado em Y . Logo, podemos supor que I ´e n˜ao vazio. Como ´e f´acil ver que

      Y [g] = {f ∈ Y : g = f ↾ J}, segue de imediato que [g] = i V i , em que ( ∈I

      {g(i)} , se i ∈ J; V i = X i , se i ∈ I \ J.

      Por hip´otese, para cada i ∈ I, tem-se que X i est´a munido da topologia discreta. Ent˜ao, tem-se que, para todo i ∈ J, {g(i)} ´e um aberto-fechado em X i . Logo, o conjunto [g] ´e um aberto no espa¸co-produto Y . Agora, considere, para cada i ∈ I, a proje¸c˜ao na i-´esima coordenada, π i : Y −→ X i . Portanto, como toda proje¸c˜ao ´e cont´ınua e ´e f´acil verificar Y \

      −1

      que i ∈I i ∈J V i = π [{g(i)}], segue que [g] ´e fechado no espa¸co-produto Y . i Corol´ ario 3.2.2 (ZF). Dados um conjunto X, um F ⊆ X tal que F ´e finito e uma F

      

    fun¸c˜ao g ∈ 2, se 2 = {0, 1} estiver munido da topologia discreta, ent˜ao o conjunto

    X X

      f ∈ ´e um aberto-fechado no espa¸co-produto 2 [g] = 2 : g ⊆ f .

      A segunda nota do artigo [Myc64] ´e uma generaliza¸c˜ao do teorema a seguir, para o qual n˜ao h´a dispon´ıvel uma demonstra¸c˜ao em nossas referˆencias (apenas uma sugest˜ao em [Jec73, Problema 16, p. 27]). Por este motivo, adaptamos os argumentos dessa segunda nota para redigir a demonstra¸c˜ao que vem a seguir, a qual, possivelmente, era bem conhecida pelo autor do artigo [Myc64] e pela comunidade de top´ologos dos anos de 1960, como foi deixado a entender na primeira nota do referido artigo. Apresentemos ent˜ao a prova que redigimos do seguinte Teorema 3.2.3 ([Myc64], ZF). TT T , 2 2 implica BPI.

      Demonstra¸c˜ ao: Seja B uma ´algebra de Boole qualquer. Considere ent˜ao, para cada b ∈ B, o conjunto {−b, b} munido da topologia discreta. Fixe arbitrariamente um subconjunto Y

      {−b, b}. Afirmamos que finito e n˜ao vazio F de B. Tome ent˜ao o conjunto Z := b

      ∈F

      o conjunto W := {f ∈ Z : im(f ) tem a p.i.f.} ´e n˜ao vazio. Com efeito: tome o ´ unico n ∈ ω \ 1 tal que |F | = n. Fixe ent˜ao uma enumera¸c˜ao {x k : k &lt; n} de F . Agora, dados um e ∈ {−1, 1} e um b ∈ B, defina eb pondo ( b , se e = 1; eb := −b , se e = −1.

      ∈ {−1, 1} tal que e 6= 0 Ora, como x + (−x ) = 1 6= 0, ent˜ao ´e claro que existe um e x

      e, por conseguinte, o conjunto {e x } tem a p.i.f.. Prossigamos por indu¸c˜ao finita sobre sequˆencia he k i k6m em {−1, 1} para a qual o conjunto {e k x k : k 6 m} tem a p.i.f.. Ent˜ao, j´a que x m + (−x m ) = 1, segue da Proposi¸c˜ao 1.1.36 que existe um e m ∈ {−1, 1}

    • 1 +1
    • 1

      } = {e tal que o conjunto {e k x k : k 6 m} ∪ {e m +1 x m +1 k x k : k 6 m + 1} tem a p.i.f.. Logo, pode-se fixar uma sequˆencia he k i k&lt;n em {−1, 1} para a qual o conjunto {e k x k : k &lt; n} [ tem a p.i.f.. Defina ent˜ao h : F −→ {−b, b} pondo, para todo k &lt; n, h(x k ) := e k x k . b ∈F Pela constru¸c˜ao, ´e claro que h est´a bem definida e que, para todo b ∈ F , h(b) ∈ {−b, b}.

      Al´em disso, ´e ´obvio que im(h) = {e k x k : k &lt; n}. Logo, h ∈ W , seguindo o afirmado. Y Agora, considere Y = {−b, b} munido da topologia-produto. Sendo assim, b

      ∈B

      segue do Teorema 3.2.1 que, para todo g ∈ Z, o conjunto [g] = {f ∈ Y : g ⊆ f } ´e um aberto-fechado em Y . Tome agora o conjunto H F := {f ∈ Y : im (f ↾ F ) tem a p.i.f.}. [ ´

      E f´acil ver que H F = {f ∈ Y : (f ↾ F ) ∈ W } = [g]. Ora, como W ´e finito (por ser g

      ∈W

      subconjunto de um produto finito de conjuntos finitos), ent˜ao que H F ´e fechado em Y (por ser uni˜ao finita de fechados em Y ). J´a que F foi fixado arbitrariamente, segue que &lt;ω o conjunto H := H F : F ∈ [B] \ {∅} ´e uma fam´ılia de subconjuntos fechados de Y .

      Note que a fam´ılia H ´e n˜ao vazia, pois, obviamente, B ´e n˜ao vazia.

      Afirmamos agora que a fam´ılia H tem a p.i.f.. Com efeito: tome uma subfam´ılia

      ′ ′

      finita e n˜ao vazia H qualquer de H. Sendo assim, para cada G ∈ H , pode-se fixar um &lt;ω [ F G ∈ [B] \ {∅} tal que G = H F . Tome ent˜ao o conjunto F := F G e note F ´e um G G ∈H subconjunto finito e n˜ao vazio de B (por ser uni˜ao finita de subconjuntos finitos e n˜ao vazios de B). Logo, H F est´a bem definido e ´e n˜ao vazio. Al´em disso, ´e f´acil verificar que \

      

    ′ ′ ′

      ⊆ 6= ∅. Como H

      H F H F G = T H . Conclui-se ent˜ao que T H foi tomada qualquer, G

      ∈H segue o afirmado.

      Supondo-se que TT T , 2 2 valha, e notando que a topologia discreta ´e compacta T , pode-se concluir que Y ´e compacto. Ent˜ao, como H ´e uma fam´ılia n˜ao vazia de

      2

      subconjuntos fechados de Y que tem a p.i.f., pode-se fixar uma fun¸c˜ao g ∈ T H. Ora, ´e claro que o conjunto G := im(g ) ´e n˜ao vazio, j´a que dom(g ) = B. Al´em disso, prova-se que G tem a p.i.f.. De fato: seja E um subconjunto finito e n˜ao vazio qualquer de G. Assim, para cada x ∈ E, pode-se fixar um b x ∈ B tal que g(b x ) = x. Agora, considere o conjunto F := {b x : x ∈ E} e note que este conjunto ´e finito e n˜ao vazio, j´a que est´a indexado por E. Note ainda que E = im (g ↾ F ). Ent˜ao, como H F est´a bem definido e

      ∈ H g F , conclui-se que E tem a p.i.f.. Finalmente, considere o filtro F (G) gerado por

    3 G. Assim, para cada b ∈ B tal que b 6∈ F (G), tem-se que g (b) = −b e, por conseguinte,

      que −b ∈ F (G). Logo, F (G) ´e um ultrafiltro em B (pela Proposi¸c˜ao 1.1.39). Portanto, 3 Sem muita dificuldade, pode-se verificar que F (G) = G. como B ´e qualquer, segue que TT T , implica BPI. 2

    2 Teorema 3.2.4 (ZF). BPI implica TT T .

      2 Demonstra¸c˜ ao: Seja F uma fam´ılia qualquer de espa¸cos compactos T . Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao

      2 Y

      {X i : i ∈ I} de F por algum conjunto I. Agora, considere o espa¸co-produto Y = i X i .

      ∈I

      Se for I = ∅, ent˜ao Y = {∅}, que ´e compacto, j´a que a ´ unica topologia sobre {∅} ´e o conjunto {∅, {∅}}. Logo, podemos supor que I ´e n˜ao vazio. Considere ent˜ao, para cada i ∈ I, a proje¸c˜ao na i-´esima coordenada, π i : Y −→ X i . Fixe arbitrariamente um ultrafiltro U sobre Y . Sem muita dificuldade, verifica-se que, para todo i ∈ I, o conjunto U i := {π i [A] : A ∈ U} ´e um ultrafiltro sobre o espa¸co-fator X i . Ora, como cada elemento de F ´e um espa¸co compacto, tem-se que, para todo i ∈ I, U i converge em X i . Como tamb´em cada elemento de F ´e um espa¸co T , conclui-se que, para todo i ∈ I, existe um

      

    2

      ´ unico x ∈ X i tal que U i converge para x. Sendo assim, para cada i ∈ I, denote por x i [ o ´ unico ponto em X i que ´e limite de U i . Defina ent˜ao ζ : I −→ i X i pondo ζ(i) := x i .

      ∈I

      Pela constru¸c˜ao, ´e claro que ζ est´a bem definida e que, para todo i ∈ I, ζ(i) ∈ X i . Logo, ζ ´e um ponto em Y .

      Afirmamos que U converge para ζ. Com efeito: tome uma vizinhan¸ca aberta b´asica V qualquer de ζ em Y . Sendo assim, existe uma fam´ılia {V i : i ∈ I} de conjuntos tal que, para todo i ∈ I, V i ´e um aberto em X i e que satisfaz a condi¸c˜ao de que o conjunto Y J := {i ∈ I : V i 6= X i } ´e finito e V = i V i . Ent˜ao, para cada i ∈ I, tem-se que V i ´e

      ∈I

      uma vizinhan¸ca aberta de ζ(i) em X i , sendo ζ(i) o limite de U i . Logo, para todo i ∈ I, ∈ U

      ∈ U tal que V V i i . Assim, para cada i ∈ I, pode-se fixar um A i i = π i [A i ]. Com isso, \ ´e f´acil concluir que A i ⊆ V . Como U ´e um filtro sobre Y e J ´e finito, tem-se ent˜ao que i ∈J V ∈ U. J´a que V foi tomada qualquer, segue o afirmado.

      Finalmente, como U foi fixado arbitrariamente, segue que todo ultrafiltro sobre Y converge. Agora, suponha que BPI valha. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.2.18, conclui-se que Y ´e compacto. Portanto, j´a que F ´e qualquer, segue que BPI implica TT T . 2 Finalizemos esta subse¸c˜ao apresentando o seguinte diagrama onde constam, na horizontal, as equivalˆencias que acabamos de estabelecer e, na vertical, aquelas que est˜ao sendo admitidas:

      TT I KS

      ks +3 ks +3

      TT T TT T , 2 BPI 2

      2 KS

      U

    Diagrama 3.2.1.

      3.2.2 Produtos topol´ ogicos de 2 em ZF e algumas restri¸c˜ oes de BPI

      Na presente subse¸c˜ao, demonstraremos a equivalˆencia entre TT e BPI em ZF

      2

      e apresentaremos algumas consequˆencias interessantes desta equivalˆencia. Al´em disso, provaremos, em ZF, o not´avel teorema que garante que: “para todo conjunto X que X pode ser bem ordenado, o espa¸co-produto 2 ´e compacto, quando 2 est´a munido da topologia discreta”. Finalmente, apresentaremos, sem demonstra¸c˜ao, um resultado que R estabelece, em ZF, equivalˆencias entre a compacidade do espa¸co-produto 2 , quando 2 est´a munido da topologia discreta, e algumas asser¸c˜oes que s˜ao restri¸c˜oes de BPI.

      Inicialmente, note que TT T , implica TT em ZF, pois, obviamente, o conjunto 2 2

      2

      2

      com a topologia discreta ´e um espa¸co compacto T que possui 2 pontos. Provaremos, mais

      2

      adiante, que TT implica TT T , em ZF utilizando-se a equivalˆencia entre os seguintes

      2 2

      2

      princ´ıpios de escolhas: (C ) Toda fam´ılia de conjuntos que possuem 2 elementos admite uma fun¸c˜ao-escolha.

      2 ′

      (C ) Toda fam´ılia disjunta de conjuntos que possuem 2 elementos admite uma

      2 fun¸c˜ao-escolha.

      ′

      Antes disso, verifiquemos que, de fato, C

      2 e C s˜ao equivalentes: por um lado,

      2 ′

      ´e ´obvio que C implica C . Por outro lado, seja F uma fam´ılia qualquer de conjuntos

      2

      2

      que possuem 2 elementos. Considere ent˜ao o conjunto H := {F × {F } : F ∈ F}. Ora, note que, para todo F ∈ F, existem x, y ∈ S F tais que x 6= y e F = {x, y}, implicando que F × {F } = {hx, F i, hy, F i}. Al´em disso, ´e claro que, para todo F, G ∈ F tais que F 6= G, (F × {F }) ∩ (G × {G}) = ∅. Ent˜ao, tem-se que H ´e uma fam´ılia disjunta de

      ′

      conjuntos que possuem 2 elementos. Assim, supondo-se que C valha, pode-se concluir

      2

      que existe uma fun¸c˜ao-escolha para H, i.e., uma fun¸c˜ao φ : H −→ S H tal que, para todo F ∈ F, φ (F × {F }) = hφ (F × {F }) , φ (F × {F })i ∈ F × {F }. Com isso, defina

      1

      2

      φ F : F −→ S F pondo φ F (F ) := φ

      1 (F × {F }) ∈ F . Pela constru¸c˜ao, ´e ´obvio que φ F est´a bem definida e que φ ´e uma fun¸c˜ao-escolha para F. Portanto, como F ´e qualquer,

      F ′

      conclui-se que C implica C .

      2

      2 ′

      Teorema 3.2.5 ([Myc64], ZF). TT implica C .

      2

      2 Demonstra¸c˜ ao:

      Suponha que 2 = {0, 1} esteja munido da topologia discreta. Seja F uma fam´ılia disjunta qualquer de conjuntos que possuem 2 elementos. Se for F = ∅, ent˜ao F ´e uma fun¸c˜ao-escolha para si pr´opria, por vacuidade. Se for F 6= ∅, considere ent˜ao o conjunto X := S F. Fixe arbitrariamente um F ∈ F. Considerando o conjunto X f ∈ , pode-se concluir que, para todo f ∈ A

      A F := 2 : f [F ] = 2 F e todo j ∈ 2, o

      −1

      conjunto (f ↾ F ) [{j}] ⊆ F ´e unit´ario. De fato: se existissem um f ∈ A F e um j ∈ 2

      −1

      tais que (f ↾ F ) [{j}] n˜ao ´e unit´ario, ent˜ao, como f [F ] = 2 e |F | = 2, ter´ıamos que

      −1 (f ↾ F ) [{j}] = F , implicando que 2 = f [F ] = (f ↾ F ) [F ] ⊆ {j}, uma contradi¸c˜ao.

      Agora, tome x, y ∈ X tais que x 6= y e F = {x, y} e considere as seguintes fun¸c˜oes: g : F −→ 2 definida por g(x) = 0 e g(y) = 1 e h : F −→ 2 definida por h(x) = 1 e h(y) = 0. Com isso, tem-se que: X f ∈

      = A F = 2 : (f (x) = 0 e f (y) = 1) ou (f (x) = 1 e f (y) = 0) X X

      = f ∈ 2 : g ⊆ f ∪ f ∈ 2 : h ⊆ f = [g] ∪ [h] , X Logo, A F ´e fechado no espa¸co-produto 2 , pois o s˜ao [g] e [h] (pelo Corol´ario 3.2.2).

      Ent˜ao, como F ∈ F foi fixado arbitrariamente, tem-se que o conjunto G := {A : F ∈ F} X F ´e uma fam´ılia n˜ao vazia de subconjuntos fechados de 2 .

      Afirmamos que a fam´ılia G tem a p.i.f.. Com efeito: tome uma subfam´ılia finita

      ′ ′

      e n˜ao vazia G qualquer de G. Sendo assim, para cada G ∈ G , fixe um F G ∈ F tal que

      ′ ′ ′ ′

      } e note que F G = A F G . Considere ent˜ao o conjunto F := {F G : G ∈ G ´e finito, pois G

      ′ ′ ′ ´e um conjunto finito de ´ındices para F . Fixe ent˜ao uma fun¸c˜ao-escolha φ : F −→ .

      S F Com isso, pode-se definir f : X −→ 2 pondo, para todo x ∈ X, ( 1 , se x ∈ im(φ); f (x) := 0 , se x 6∈ im(φ).

      ´ E claro que f est´a bem definida, j´a que f ´e a fun¸c˜ao-caracter´ıstica de im(φ) ⊆ X. Al´em

      

    ′ ′

      disso, tem-se que f ∈ T G . De fato: tome um G ∈ F arbitr´ario e denote por z o elemento φ(G). Seja w o ´ unico elemento de X tal que z 6= w e G = {z, w}. Como

      ′ ′

      F ´e disjunta e F ⊆ F, tem-se ent˜ao que, para todo F ∈ F tal que F 6= G, w 6∈ F ,

      ′

      implicando que w 6= φ(F ). Logo, w 6∈ {φ(F ) : F ∈ F } = im(φ). Assim, tem-se que

      ′

      f [G] = f [{z, w}] = {f (z), f (w)} = {1, 0} = 2. Por conseguinte, f ∈ A G . J´a que G ∈ F

      \ \ \

      ′

      foi tomado arbitr´ario, segue que f ∈ A F = A F = G = T G . Finalmente, F G G ′ ′ ′ G

      ∈F ∈G ∈G ′

      como G foi tomada qualquer, conclui-se o afirmado. X Assim, supondo-se que TT valha, tem-se que o espa¸co-produto 2 ´e compacto

      2

      e, por conseguinte, que T G 6= ∅. Fixe ent˜ao um f ∈ T G. Note que, para todo F ∈ F,

      −1

      o conjunto (f ↾ F ) [{0}] ´e unit´ario, j´a que f ∈ A F . Sendo assim, para cada F ∈ F,

      

    −1

      ↾ denote por x F o ´ unico elemento de (f F ) [{0}] ⊆ F . Defina ent˜ao φ : F −→ S F pondo φ (F ) := x F . Pela constru¸c˜ao, ´e claro que φ est´a bem definida e que ´e uma

      ′ fun¸c˜ao-escolha para F. Portanto, como F ´e qualquer, segue que TT implica C .

      2

      2 ′

      Uma consequˆencia importante do Teorema 3.2.5 e da equivalˆencia entre C e C

      2

      2

      ´e o seguinte Teorema 3.2.6 ([Myc64], ZF). TT

      

    2 implica TT T ,

    2 2 .

      Demonstra¸c˜ ao: Seja F uma fam´ılia qualquer de espa¸cos compactos T que possuem 2 pontos.

      2 Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {X i : i ∈ I} de F por algum conjunto I. Agora, suponha que

      2 = {0, 1} esteja munido da topologia discreta e que TT

      2 valha. Como consequˆencia do ′

      Teorema 3.2.5 e da equivalˆencia entre C e C , tem-se ent˜ao que C vale. Assim sendo,

      2

      2

      2

      pode-se concluir que existe uma fun¸c˜ao-escolha para F, i.e., uma fun¸c˜ao φ : F −→ S F tal que, para todo i ∈ I, φ (X i ) ∈ X i . Defina ent˜ao, para cada i ∈ I, g i : X i −→ 2 pondo ( 1 , se x = φ (X i ); g i (x) := 0 , se x 6= φ (X i ).

      Para cada i ∈ I, ´e claro que g i est´a bem definida, por constru¸c˜ao, e que ´e bijetora, pois |X | = 2. Notando que a ´ i unica topologia T

      1 sobre um conjunto que possui 2 elementos ´e

      a sua topologia discreta, conclui-se que: para cada i ∈ I, g i ´e uma bije¸c˜ao entre conjuntos com a topologia discreta, implicando que g i ´e um homeomorfismo. Defina agora, para Y cada f ∈ i X i , f : I −→ 2 pondo f (i) := (g i ◦ f )(i). Pela constru¸c˜ao, ´e claro que,

      ∈I Y I

      para todo f ∈ i X i , f est´a bem definida. Logo, f ´e um ponto no espa¸co-produto 2 .

      ∈I Y I Considere ent˜ao Φ : i ∈I X i −→ 2 definida por Φ(f ) = f . Vˆe-se facilmente que Φ est´a bem definida. Sem muita dificuldade, verifica-se que Φ ´e uma bije¸c˜ao que transforma

      base canˆonica em base canˆonica. Consequentemente, Φ ´e um homeomorfismo. Agora, I como est´a sendo suposta a validade de TT , pode-se concluir que o espa¸co-produto 2

      

    2

    Y

      ´e compacto. Por conseguinte, o espa¸co-produto i X i tamb´em ´e compacto. Portanto,

      ∈I como F ´e qualquer, conclui-se que TT implica TT T , .

      2 2

      2 O diagrama a seguir apresenta a implica¸c˜ao e as equivalˆencias que estabelecemos

      nesta subse¸c˜ao mais uma equivalˆencia que foi estabelecida na subse¸c˜ao anterior: BPI

      KS ks +3

      TT T , TT

      2

      

    2

    2 ′ ks +3

      C C

      2

      2 Diagrama 3.2.2.

      Um fato interessante para ser destacado ´e que se pode construir um modelo M de ZF no qual “existe uma fam´ılia enumer´avel de conjuntos que possuem 2 elementos que n˜ao admite fun¸c˜ao-escolha alguma” (veja o Par´agrafo 4 do Cap´ıtulo 5 de [Jec73]).

      ′ ′

      Assim, tem-se que C ´e falsa em M. Como C ´e equivalente a C e TT implica C ,

      2

      2

      2

      2

      2

      tem-se ent˜ao que TT

      2 ´e falso em M. Logo, BPI ´e falso em M, j´a que BPI ´e equivalente

      a TT e este ´ ultimo ´e equivalente a TT . Portanto, conclu´ımos que “´e consistente que T , 2

      2

      2

      exista uma ´algebra de Boole que n˜ao possui ideal primo e, consequentemente, que n˜ao possui ultrafiltro”.

      Al´em disso, temos duas outras consequˆencias, bastante ´obvias, da equivalˆencia entre TT e BPI. Uma dessas duas ´e que, em todo modelo de ZF + BPI, seja qual

    2 X

      for o conjunto X, o espa¸co-produto 2 ´e compacto, quando 2 est´a munido da topologia discreta. A outra ´e que, em todo modelo de ZF + ¬ BPI, existe um conjunto infinito X X tal que o espa¸co-produto 2 n˜ao ´e compacto, quando 2 est´a munido da topologia discreta.

      Em contraste com essas duas consequˆencias, temos o not´avel Teorema 3.2.7 ([Ker00], ZF). Dado um conjunto X, se valer que X pode ser bem X

      

    ordenado e 2 = {0, 1} estiver munido da topologia discreta, ent˜ao o espa¸co-produto 2 ´e

    compacto.

      Demonstra¸c˜ ao: Suponha que exista uma boa ordem 6 sobre X e que 2 = {0, 1} esteja munido da X topologia discreta. Sendo assim, considere o conjunto 2 munido da topologia-produto. X Se for X = ∅, ent˜ao 2 = {∅}, que ´e compacto, j´a que a topologia-produto sobre {∅} ´e o conjunto {∅, {∅}}. Logo, podemos supor que X ´e n˜ao vazio. Fixe arbitrariamente uma X

      X

      para cada x ∈ X, a proje¸c˜ao na x-´esima coordenada, π x : 2 −→ 2. Como claramente

      −1 −1 −1 X

      π [{0}] ∪ π [{1}] = π [2] = 2 , segue do Corol´ario 1.1.37 que: x x x X (*) para cada x ∈ X e toda fam´ılia n˜ao vazia F de subconjuntos de 2 que tem a

      −1 −1 p.i.f., F ∪ {π [{0}]} tem a p.i.f. ou F ∪ {π [{1}]} tem a p.i.f.. x x

      Ent˜ao, tomando o ordinal δ := t. o. (X, &lt;), prova-se, por indu¸c˜ao sobre α &lt; δ, que existe X uma fam´ılia {F α : α &lt; δ} de subconjuntos de 2 que satisfaz a seguinte condi¸c˜ao: para todo α &lt; δ, a fam´ılia G ∪ {F β : β 6 α} tem a p.i.f..

      De fato: seja {x α : α &lt; δ} a enumera¸c˜ao canˆonica de X. Para α = 0, tem-se, por (*), que

      −1 −1

      G ∪ π tem a p.i.f. ou G ∪ π tem a p.i.f.. Logo, x x [{0}] [{1}]

      −1

      j ∈ 2 : G ∪ π j := min [{j}] tem a p.i.f. est´a bem definido. x

      −1

      }], ´e claro que F } tem a Tomando ent˜ao F := π [{j est´a bem definido e que G ∪ {F x p.i.f.. Agora, suponha que, para um dado α &gt; 0 tal que α &lt; δ, a fam´ılia {F β : β &lt; α} de X subconjuntos de 2 esteja definida de maneira que satisfa¸ca a seguinte condi¸c˜ao:

      (**) para todo β &lt; α, a fam´ılia G ∪ {F γ : γ 6 β} tem a p.i.f.. Afirmamos que a fam´ılia G ∪ {F β : β &lt; α} tem a p.i.f.. Com efeito: tome uma subfam´ılia

      ′ ′

      finita e n˜ao vazia G qualquer de G ∪ {F β : β &lt; α}. Caso G esteja contida em G, ent˜ao,

      ′

      por G ter a p.i.f., segue que T G 6= ∅. Caso contr´ario, pode-se tomar o conjunto n˜ao vazio

      ′′ ′ ′′

      G ∩ {F } est´a

      := G β : β &lt; α}. ´ E claro que, para todo G ∈ G , β G := min {β ∈ α : G = F β

      ′′ ′′

      } bem definido. Disso, e do fato de G ser finito, conclui-se que β G := max {β G : G ∈ G

      ′′

      est´a bem definido. Logo, para todo G ∈ G , G = F β e β G G G 6 β &lt; α. Com isso,

      ′

      tem-se de imediato que G ⊆ G ∪ {F γ : γ 6 β }. Al´em disso, tem-se, por (**), que

      G ′ ′

      G ∪ {F γ : γ 6 β } tem a p.i.f.. Ent˜ao, segue que T G 6= ∅. Como G foi tomada qualquer,

      G conclui-se o afirmado.

      −1

      Sendo assim, tem-se, novamente por (*), que (G ∪ {F β : β &lt; α}) ∪ π [{0}] x α

      −1

      tem a p.i.f. ou (G ∪ {F β : β &lt; α}) ∪ π [{1}] tem a p.i.f.. Logo, x α

      −1 j α := min j ∈ 2 : (G ∪ {F β : β &lt; α}) ∪ π [{j}] tem a p.i.f. est´a bem definido. x α −1

      Tomando ent˜ao F α := π [{j α }], tem-se claramente que F α est´a bem definido e que x α (G ∪ {F β : β &lt; α}) ∪ {F α } = G ∪ {F β : β 6 α} tem a p.i.f..

      Consequentemente, com os mesmos argumentos que s˜ao dados no passo indutivo da indu¸c˜ao transfinita, conclui-se que a fam´ılia G ∪ {F α : α &lt; δ} tamb´em tem a p.i.f.. Agora, defina f : X −→ 2 pondo, para todo α &lt; δ, f (x ) := j . ´ E claro que f X α α

      X Com efeito: tome uma vizinhan¸ca aberta b´asica V qualquer de f em 2 . Ent˜ao, existe

      uma fam´ılia {V x : x ∈ X} de conjuntos tal que, para todo x ∈ X, V x ´e um aberto em 2 e Y 6= 2} ´e finito e V = que satisfaz a condi¸c˜ao de que o conjunto F := {x ∈ X : V x x V x .

      ∈X

      Como 2 est´a munido da topologia discreta, tem-se que, para todo x ∈ X, o conjunto {f (x)} ´e o ´ unico aberto em 2 que ´e diferente de 2 e possui f (x) como elemento. Logo, X para todo x ∈ F , V x = {f (x)}. Se for F = ∅, ent˜ao V = 2 e, para cada G ∈ G, tem-se que G ∩ V = G 6= ∅ (pois a fam´ılia G tem a p.i.f.). Se for F 6= ∅, ent˜ao ´e f´acil ver que \ \

      −1 −1

      V = π [V x ] = π [{f (x)}]. Para cada x ∈ X, seja α(x) o ´ unico α &lt; δ tal que x x x x

      ∈F ∈F \ \ \ −1 −1

      x = x α . Assim, tem-se que V = π f x α = π j α = F α . x x x x (x) x (x) (x) α α (x) (x)

      ∈F ∈F ∈F

      Tome um G ∈ G qualquer e considere o conjunto F G := {G} ∪ F α : x ∈ F . Como

      (x)

      a fam´ılia G ∪ {F α : α &lt; δ} tem a p.i.f. e, obviamente, F G ´e uma subfam´ılia finita e n˜ao \ ! 6= ∅. Ent˜ao, para cada vazia desta fam´ılia, segue que G ∩ V = G ∩ F α (x) = T F G x

      ∈F

      G ∈ G, tem-se que G ∩ V 6= ∅. Consequentemente, para todo G ∈ G e toda vizinhan¸ca X X

      2

      aberta b´asica V de f em 2 , G ∩ V 6= ∅. Logo, para todo G ∈ G, f ∈ G . J´a que todo X elemento de G ´e fechado em 2 , segue ent˜ao o afirmado. Portanto, como G foi fixada X arbitrariamente e T G 6= ∅, tem-se, pela Proposi¸c˜ao 1.2.17, que o espa¸co-produto 2 ´e compacto.

      Corol´ ario 3.2.8 (ZF). Dado um cardinal κ, se 2 = {0, 1} estiver munido da topologia κ discreta, ent˜ao o espa¸co-produto 2 ´e compacto.

      Finalizemos esta subse¸c˜ao apresentando um resultado bem interessante – por´em, com a demonstra¸c˜ao omitida no presente trabalho – que estabelece, em ZF, equivalˆencias R entre a compacidade do espa¸co-produto 2 , quando 2 est´a munido da topologia discreta, e, por exemplo, duas asser¸c˜oes que s˜ao restri¸c˜oes de BPI (por serem restri¸c˜oes de UT). Este resultado est´a expresso no seguinte Teorema 3.2.9 ([Ker05], ZF). S˜ao equivalentes:

      (i) Dada uma ´algebra de Boole B, se B R, ent˜ao todo filtro em B pode ser estendido a um ultrafiltro. (ii) Todo filtro sobre ω pode ser estendido a um ultrafiltro. R

      (iii) Dado um espa¸co topol´ogico X, se X for compacto T , ent˜ao o espa¸co-produto X ´e

      2 compacto. R (iv) O espa¸co-produto [0, 1] ´e compacto.

      (v) O espa¸co-produto de qualquer fam´ılia de subespa¸cos finitos de R ´e compacto. R (vi) Se 2 = {0, 1} estiver munido da topologia discreta, ent˜ao o espa¸co-produto 2 ´e compacto.

      (vii) Dados uma linguagem proposicional L e um conjunto Σ de senten¸cas de L, se Σ for

      consistente e o conjunto das senten¸cas de L for dominado por R, ent˜ao existe uma valora¸c˜ao que satisfaz Σ.

      

    3.3 Rela¸c˜ oes entre AC, BPI e a restri¸c˜ ao de TT aos

    espa¸cos compactos cuja topologia ´ e a cofinita

      Como j´a foi mencionado na Se¸c˜ao 3.1, Kelley apresentou, em 1950, uma prova da asser¸c˜ao TT =⇒ AC que continha um pequeno erro – observado no artigo de 1951 de Lo´s e Ryll-Nardzewski –, que pode ser facilmente corrigido, tal como o fizemos ao

      −

      provar, com os argumentos de Kelley, que TT implica AC em ZF . Representando por TT cf o Teorema de Tychonoff restrito aos espa¸cos compactos cuja topologia ´e a cofinita, poder´ıamos concluir, com os argumentos originais de Kelley, que TT =⇒ TT =⇒ AC.

      cf

      Contudo, podemos questionar se asser¸c˜ao TT =⇒ AC ´e falsa, devido ao fato de um

      cf

      dos argumentos de Kelley estar incorreto. Na presente se¸c˜ao, mostraremos que realmente TT cf n˜ao implica AC. Para este prop´osito, iremos provar, em ZF, a equivalˆencia entre TT e a asser¸c˜ao BPI, que ´e estritamente mais fraca que AC, utilizando os mesmos

      cf

      argumentos dados no artigo [Sch06]. Tal como o autor deste artigo, destaquemos que BPI ´e mencionado apenas para “identificar” v´arios princ´ıpios maximais e topol´ogicos que lhe s˜ao equivalentes em ZF – destacando que algumas dessas equivalˆencias est˜ao demonstradas na se¸c˜ao anterior. Concentremos agora a nossa aten¸c˜ao em dois de tais princ´ıpios equivalentes a BPI. S˜ao eles os seguintes princ´ıpios topol´ogicos:

      (TT

      2 ) Dado um conjunto X, se 2 = {0, 1} estiver munido da topologia discreta, ent˜ao X o espa¸co-produto 2 ´e compacto.

      (U) Dado um espa¸co topol´ogico X, tem-se que X ´e compacto se, e somente se, toda ultrarrede em X convergir para algum ponto em X.

      Como obviamente as topologias discreta e cofinita sobre um mesmo conjunto finito coincidem, tem-se de imediato que TT cf implica TT

      2 em ZF. Ent˜ao, para verificar

      a equivalˆencia entre TT e BPI, basta provar que U implica TT , pois j´a temos que as

      cf cf

      seguintes implica¸c˜oes s˜ao v´alidas:

      Lembrando que estamos admitindo a validade da equivalˆencia entre U e BPI. Agora, para provarmos que U implica TT em ZF, comecemos com as seguintes defini¸c˜oes:

      cf

      Defini¸c˜ ao 3.3.1. Sejam ∆ um conjunto e 6 uma rela¸c˜ao bin´aria sobre ∆. Diz-se que ∆ ´e direcionado por 6 se h∆, 6i for uma pr´e-ordem satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao: para todo subconjunto finito Φ de ∆, existe uma cota superior em ∆ para Φ segundo 6.

      Agora, sejam X um conjunto e ν : ∆ −→ X uma fun¸c˜ao. Diz-se que ν ´e uma rede em X

      4

      se ∆ for direcionado por 6. Caso ν seja uma rede em X, para cada δ ∈ ∆, denota-se ν(δ) por x δ . Neste caso, representa-se ν por hx δ i δ . △

      ∈∆

      Defini¸c˜ ao 3.3.2. Sejam X um conjunto, hx δ i δ uma rede em X e z ∈ X. Se X for

      ∈∆

      um espa¸co topol´ogico, diz-se que hx δ i δ converge para z, e representa-se por x δ → z,

      ∈∆

      ∈ ∆ tal que, para todo se, para toda vizinhan¸ca aberta V de z em X, existir um δ ∈ V . Agora, seja φ(x) uma propriedade que se aplica a cada x ∈ X. δ &gt; δ em ∆, x δ Diz-se que hx δ i δ satisfaz residualmente φ(x), ou que φ(x δ ) residualmente, se existir

      ∈∆

      um δ ∈ ∆ tal que, para todo δ &gt; δ em ∆, φ(x δ ) vale. Diz-se que hx δ i δ ´e uma

      ∈∆

      5 ultrarrede se, para todo A ⊆ X, ou x δ ∈ A residualmente ou x δ ∈ X \ A residualmente.

      i Por fim, diz-se que hx δ δ ∈∆ ´e residualmente constante se existir um x ∈ X tal que x = x residualmente. δ

      △ ´ i i

      E claro que, para todo conjunto X e toda rede hx δ δ em X, se hx δ δ for

      ∈∆ ∈∆ residualmente constante, ent˜ao existe um ´ unico x ∈ X tal que x = x residualmente. δ

      Portanto, se existir um x ∈ X que testemunhe que hx δ i δ ´e residualmente constante,

      ∈∆

      diremos especificamente que hx δ i δ ´e residualmente constante de valor x. Agora,

      ∈∆

      prossigamos apresentando o seguinte Lema 3.3.3 (ZF). Dados um conjunto X e uma ultrarrede hx δ i δ em X, se existir

      ∈∆

    um F ⊆ X tal que F ´e finito e x δ ∈ F residualmente, ent˜ao hx δ i δ ´e residualmente

    4

      ∈∆ Em virtude desta defini¸c˜ ao, segue de imediato que toda sequˆencia hx n i n&gt; 1

      e, para todo ordinal α, toda α-sequˆencia hx ξ i ξ&lt;α s˜ao redes em seus respectivos contradom´ınios. 5 ´ E interessante destacar que, dado um conjunto X, a cada rede em X podemos associar um filtro i

    sobre X e vice-versa da seguinte maneira: dada uma rede ν = hx δ δ ∈∆ em X, considere o conjunto

    F (ν) := {A ⊆ X : x δ ∈ A residualmente}. Verifica-se que F (ν) ´e um filtro sobre X e que F (ν) ´e um

    ultrafiltro se, e somente se, ν for uma ultrarrede. Agora, dado um filtro F sobre X, considere sobre o

    conjunto ∆ (F) := {hA, xi : A ∈ F e x ∈ A} a rela¸c˜ ao bin´ aria 6 que ´e definida pela seguinte senten¸ca:

    para todo hA, xi, hB, yi ∈ ∆ (F), hA, xi 6 hB, yi se, e somente se, B ⊆ A. Mostra-se que ∆ (F) ´e

    direcionado por 6. Considere ν (F) : ∆ (F) −→ X definida por ν (F) hA, xi = x. Pela constru¸c˜ ao,

    tem-se que ν (F) est´a bem definida, implicando que ν (F) ´e uma rede em X. Al´em disso, verifica-se que,

    para todo filtro G sobre X, F (ν (G)) = G.

      constante.

      Demonstra¸c˜ ao: ∈ F residualmente.

      Suponha que exista um F ⊆ X tal que F seja finito e x δ Ent˜ao, pode-se fixar um δ ∈ ∆ tal que, para todo δ &gt; δ em ∆, x δ ∈ F . Admita que hx δ i δ n˜ao seja residualmente constante. Assim sendo, para todo x ∈ F , n˜ao ´e

      ∈∆

      verdade que x δ ∈ {x} residualmente. Como hx δ i δ ´e uma ultrarrede em X, segue ent˜ao

      ∈∆

      ∈ X \ {x} residualmente. Logo, para cada x ∈ F , pode-se que, para todo x ∈ F , x δ fixar um δ ∈ ∆ tal que, para todo δ &gt; δ em ∆, x ∈ X \ {x}. Ora, o conjunto x x δ ∆ F := {δ } ∪ {δ x : x ∈ F } ´e um subconjunto finito de ∆. Ent˜ao, pode-se fixar uma cota superior δ F em ∆ para ∆ F . Consequentemente, teremos que, para todo δ &gt; δ F em ∆, \ [ x δ ∈ X \ {x} = X \ {x} = X \ F , uma contradi¸c˜ao. Portanto, conclui-se que x x

      ∈F ∈F

      hx i δ δ ∈∆ ´e residualmente constante. Lema 3.3.4 (ZF). Dados um conjunto I 6= ∅, uma fam´ılia {X i : i ∈ I} de conjuntos Y

      e uma rede hx δ i δ no produto cartesiano

      X i , se hx δ i δ for uma ultrarrede, ent˜ao,

      ∈∆

    i

    ∈∆

    ∈I

    para todo i ∈ I, hx δ (i)i δ ´e uma ultrarrede em X i .

      ∈∆

      Demonstra¸c˜ ao: Y Seja hx δ i δ uma rede qualquer em Y = X i . Pode-se verificar facilmente que:

      ∈∆ i ∈I

      (**) dada uma fam´ılia {Z : i ∈ I} de conjuntos tal que, para todo i ∈ I, Z ⊆ X , Y i i i se x δ ∈ Z i residualmente, ent˜ao, para todo i ∈ I, x δ (i) ∈ Z i residualmente. i ∈I Agora, suponha que hx δ i δ seja uma ultrarrede. Fixe arbitrariamente um j ∈ I

      ∈∆

      e um A ⊆ X j . Ent˜ao, dado um i ∈ I, considere o conjunto ( X i , se i 6= j;

      Z i := Y A , se i = j. Considere agora o conjunto Z := Z i ⊆ Y . Suponha que n˜ao seja verdade que x δ (j) ∈ A i

      ∈I

      ∈ Z residualmente. Ent˜ao, j´a que Z j = A, segue de (**) que n˜ao ´e verdade que x δ residualmente. Como hx δ i δ ´e uma ultrarrede em Y , segue ent˜ao que x δ ∈ Y \ Z

      ∈∆

      residualmente. Com isso, pode-se fixar um δ ∈ ∆ tal que, para todo δ &gt; δ em ∆, x δ ∈ Y \ Z. Logo, para todo δ &gt; δ em ∆, existe um k ∈ I tal que x δ (k) 6∈ Z k . Ora, se fosse k 6= j, ter´ıamos que Z k = X k , uma contradi¸c˜ao. Assim, tem-se que k = j e, por conseguinte, que Z = A. Consequentemente, para todo δ &gt; δ em ∆, x (j) 6∈ A. Logo, k δ hx δ (j)i δ ´e uma ultrarrede em X j . Portanto, j´a que j ∈ I foi fixado arbitrariamente,

      ∈∆ conclui-se que, para todo i ∈ I, hx δ (i)i δ ´e uma ultrarrede em X i .

      ∈∆

      Lema 3.3.5 (ZF). Dados um conjunto I 6= ∅, uma fam´ılia {X i : i ∈ I} de espa¸cos Y

      topol´ogicos, uma rede hx δ i δ no espa¸co-produto Y =

      X i e um ponto z ∈ Y , x δ → z

      ∈∆ i ∈I em Y se, e somente se, para todo i ∈ I, x δ (i) → z(i) em X i .

      Demonstra¸c˜ ao: Por um lado, suponha que x δ → z em Y . Fixe arbitrariamente um j ∈ I e uma vizinhan¸ca aberta U de z(j) em X j . Ent˜ao, dado um i ∈ I, considere o conjunto (

      X i , se i 6= j; V i := U , se i = j. Y

      Pela constru¸c˜ao, ´e ´obvio que o conjunto V := i ∈I V i ´e uma vizinhan¸ca aberta de z em Y . Como x δ → z em Y , pode-se ent˜ao fixar um δ ∈ ∆ tal que, para todo δ &gt; δ em ∆, x δ ∈ V . Logo, para todo δ &gt; δ em ∆, x δ (j) ∈ U e, por conseguinte, x δ (j) → z(j) em X j .

      J´a que j ∈ I foi fixado arbitrariamente, segue ent˜ao que, para todo i ∈ I, x δ (i) → z(i) em X i .

      Por outro lado, suponha que, para todo i ∈ I, x δ (i) → z(i) em X i . Tome uma vizinhan¸ca aberta b´asica V qualquer de z em Y . Sendo assim, existe uma fam´ılia {V i : i ∈ I} de conjuntos tal que, para todo i ∈ I, V i ´e um aberto em X i e que satisfaz Y

      6= X } ´e finito e V = a condi¸c˜ao de que o conjunto J := {i ∈ I : V i i i V i . Ora, para

      ∈I

      cada i ∈ I, tem-se que V i ´e uma vizinhan¸ca aberta de z(i) em X i

      e, por hip´otese, que x δ (i) → z(i) em X i . Ent˜ao, para cada i ∈ J, pode-se fixar um δ i ∈ ∆ tal que, para todo δ &gt; δ i em ∆, x δ (i) ∈ V i . Como o conjunto ∆ J := {δ i : i ∈ J} ´e um subconjunto finito de ∆, pode-se ent˜ao fixar uma cota superior δ J em ∆ para ∆ J . Logo, para todo i ∈ J e todo δ &gt; δ em ∆, x (i) ∈ V . Al´em disso, ´e ´obvio que, para todo i ∈ I \ J e todo δ ∈ ∆, J δ i x δ (i) ∈ V i . Consequentemente, para todo δ &gt; δ J em ∆, x δ ∈ V . Portanto, como V foi tomada qualquer, conclui-se que x δ → z em Y .

      Mesmo com enunciado e prova muito simples, o resultado a seguir ´e de relevante importˆancia para se estabelecer a equivalˆencia entre TT e BPI. Este resultado – devido

      cf

      a Alexey Muranov (cf. [Sch06, Se¸c˜ao 3, p. 287]) – est´a enunciado no seguinte Lema 3.3.6 ([Sch06], ZF). Dados um conjunto X e uma ultrarrede hx δ i δ em X,

      ∈∆

    se X estiver munido da topologia cofinita, ent˜ao hx δ i δ converge para qualquer ponto

      ∈∆

      em X ou hx δ i δ ´e residualmente constante.

      ∈∆

      Demonstra¸c˜ ao: Suponha que X esteja munido da topologia cofinita. Admita que exista um ponto z ∈ X tal que hx δ i δ n˜ao convirja para z. Ent˜ao, existe uma vizinhan¸ca aberta V de

      ∈∆

      z em X para a qual n˜ao ´e verdade que x δ ∈ V residualmente. Como hx δ i δ ´e uma

      ∈∆

      ultrarrede em X, tem-se que x δ ∈ X \ V residualmente. Tem-se tamb´em que X \ V ´e finito, j´a que V ´e um aberto n˜ao vazio da topologia cofinita sobre X. Portanto, segue do Lema 3.3.3 que hx i ´e residualmente constante. δ δ ∈∆ Teorema 3.3.7 ([Sch06], ZF). U implica TT .

      cf

      Demonstra¸c˜ ao: Seja F uma fam´ılia qualquer de espa¸cos compactos cuja topologia ´e a cofinita. Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {X i : i ∈ I} de F por algum conjunto I. Com isso, considere Y o espa¸co-produto Y = i X i . Se for Y = ∅, ent˜ao Y ´e compacto, pois a ´ unica topologia

      ∈I

      sobre ∅ ´e o conjunto {∅}. Se for I = ∅, ent˜ao Y = {∅}, que tamb´em ´e compacto, j´a que a ´ unica topologia sobre {∅} ´e o conjunto {∅, {∅}}. Logo, podemos supor que Y e I s˜ao ambos n˜ao vazios. Fixe ent˜ao um z ∈ Y . Agora, tome uma ultrarrede qualquer hx δ i δ

      ∈∆ em Y . Pelo Lema 3.3.4, tem-se que, para todo i ∈ I, hx δ (i)i δ ´e uma ultrarrede em X i . ∈∆

      Ent˜ao, segue do Lema 3.3.6 que, para todo i ∈ I, hx δ (i)i δ ∈∆ converge para qualquer ponto [ em X ou ´e residualmente constante. Com isso, pode-se definir ζ : I −→ i ( i ∈I X pondo i z(i) , se hx δ (i)i δ convergir para qualquer ponto em X i ;

      ∈∆

      ζ(i) := c i , se hx δ (i)i δ for residualmente constante de valor c i .

      ∈∆

      Pela constru¸c˜ao, tem-se claramente que ζ est´a bem definida e que, para todo i ∈ I, → ζ. Como hx i x δ (i) → ζ(i) em X i . Assim, pelo Lema 3.3.5, conclui-se que x δ δ δ ∈∆ foi tomada qualquer, tem-se que toda ultrarrede em Y converge para algum ponto em Y . Ent˜ao, supondo-se que o princ´ıpio U valha, pode-se concluir que Y ´e compacto. Portanto, segue que U implica TT .

      cf

      Finalmente, em virtude do Teorema 3.3.7 e das implica¸c˜oes em (*), podemos encerrar a presente se¸c˜ao com seu principal resultado, o qual se encontra enunciado no seguinte Teorema 3.3.8 (ZF). TT cf ´e equivalente a BPI. Cap´ıtulo 4 Espa¸cos (pseudo)m´ etricos e topol´ ogicos em ZF

      No presente cap´ıtulo, iremos apresentar alguns “horrores” da An´alise Real e da Topologia da Reta no modelo b´asico de Cohen, dez condi¸c˜oes sob as quais N ´e Lindel¨of e alguns resultados sobre: espa¸cos (pseudo)m´etricos e topol´ogicos na ausˆencia de AC ω , espa¸cos topol´ogicos SE e SSE na ausˆencia de AC ω (R). Al´em disso, apresentaremos alguns resultados resultados de consistˆencia relacionados, por exemplo, `a paracompacidade de ω e sobre a n˜ao metrizabilidade de ω em ZF.

      1

      1

    4.1 Sobre o modelo b´ asico de Cohen

      No in´ıcio dos anos de 1960, Paul J. Cohen revolucionou a Teoria dos Conjuntos ao criar o m´etodo de “forcing”, que ´e hoje largamente empregado em provas de consistˆencia e de independˆencia. Este m´etodo foi introduzido por Cohen exatamente para provar que

      ℵ

      a nega¸c˜ao de AC e de CH (a Hip´otese do Cont´ınuo, a qual declara que: “2 = ℵ ”) s˜ao

      1

      asser¸c˜oes consistentes, respectivamente, com ZF e com ZFC. Com rela¸c˜ao `a nega¸c˜ao de AC, Cohen utilizou o seu m´etodo de “forcing” para construir um modelo de ZF no qual AC ´e falso. Este modelo, denotado a partir de agora por M1, ´e comumente chamado na literatura matem´atica de o “modelo b´asico de Cohen”. Trabalhando em M1, Cohen obteve um resultado que veio a se tornar o primeiro de uma sucess˜ao de “horrores” da An´alise Real e da Topologia da Reta na ausˆencia de AC. Este resultado – de enunciado muito simples, mas de consequˆencias “desastrosas” – est´a expresso no seguinte Fato 4.1.1. Em M1, existe um subconjunto infinito de R que ´e Dedekind-finito.

      Fixando ent˜ao um tal subconjunto infinito de R e denotando-o por C, segue imediatamente da Proposi¸c˜ao 1.1.19 que, em M1, todo subconjunto infinito de C ´e n˜ao enumer´avel (em particular, tem-se que C ´e n˜ao enumer´avel). Mais que isso: em virtude do Teorema 2.2.1, conclui-se do Fato 4.1.1 que AC ω ´e falso em M1. Logo, AC ´e, de fato, falso em M1.

      Para continuar com o “circo de horrores” no modelo de Cohen, iremos provar alguns fatos que s˜ao consequˆencias do Fato 4.1.1 – muitos deles t˜ao “chocantes” quanto este ´ ultimo. S˜ao eles: Fato 4.1.2. Em M1, R n˜ao pode ser bem ordenado.

      Prova: Suponha, por absurdo, que exista uma boa ordem sobre R em M1. Denotando por 6 uma tal boa ordem, tem-se ent˜ao que C est´a bem ordenado por 6. Logo, existe um ´ unico isomorfismo de ordem f : C −→ t. o. (C, &lt;). Como C ´e infinito, segue que ω 6 t. o. (C, &lt;), i.e., que ω ⊆ t. o. (C, &lt;). Ent˜ao, por ser f bijetora, tem-se claramente

      −1

      que f [ω] ⊆ C ´e equipotente a ω e, por conseguinte, que C possui um subconjunto infinito enumer´avel, uma contradi¸c˜ao. Portanto, tem-se que, em M1, R n˜ao pode ser bem ordenado. Fato 4.1.3. Em M1, existem um ponto x ∈ R e um A ⊆ R tais que x ∈ A, mas toda sequˆencia em A n˜ao converge para x.

      Prova: Iniciamente, afirmamos que:

      (*) dado um X ⊆ R, se X for infinito e Dedekind-finito, ent˜ao existe um elemento de X que ´e ponto de acumula¸c˜ao de X. Com efeito: suponha que X ⊂ R seja infinito e Dedekind-finito e admita que qualquer elemento de X seja ponto isolado. Tome a base enumer´avel B = {]a, b[ : a, b ∈ Q e a &lt; b} de R. Note que B ´e infinita, pois, obviamente, o conjunto {]n, n + 1[ : n &lt; ω} ⊂ B ´e infinito. Sendo assim, pode-se fixar uma enumera¸c˜ao {I n : n &lt; ω} de B. Como B ´e uma base de R e cada ponto em X ´e suposto isolado, tem-se ent˜ao que, para todo x ∈ X, existe um k &lt; ω tal que I k ∩ X = {x}. Defina ent˜ao φ : X −→ ω pondo

      ∩ X = {x}}. Pela constru¸c˜ao, ´e claro que φ est´a bem definida e φ(x) := min {k ∈ ω : I k que ´e injetora, i.e., que X ω. Disso, segue que X ´e enumer´avel (pela Proposi¸c˜ao 1.1.14).

      Consequentemente, teremos que X ´e um subconjunto infinito enumer´avel de si pr´oprio, contradizendo a Proposi¸c˜ao 1.1.19.

      ∈ C que ´e ponto de acumula¸c˜ao de C. Agora, Ent˜ao, pode-se fixar um x

      }. Como C ´e Dedekind-finito, ent˜ao A Dedekind-finito (pelo Corol´ario 1.1.20). Assim, tem-se que toda sequˆencia em A assume um n´ umero finito de valores, pois: dado um conjunto Dedekind-finito X, se existisse uma sequˆencia s em X assumindo um n´ umero infinito de valores, ent˜ao im(s) seria um subconjunto infinito enumer´avel de X, uma contradi¸c˜ao. Ent˜ao, toda sequˆencia em A que converge ´e quase constante. Disso, segue que toda sequˆencia em A n˜ao converge para x , j´a que x 6∈ A . Portanto, basta tomar x = x e A = A para concluir que, em M1, existem um ponto x ∈ R e um A ⊆ R tais que x ∈ A, mas toda sequˆencia em A n˜ao converge para x.

      Fato 4.1.4. Em M1, existe um A ⊆ R tal que toda sequˆencia em A possui uma subsequˆencia convergente, mas A n˜ao ´e fechado nem limitado em R. Prova:

      ∈ C que ´e obtido na prova do Fato 4.1.3, juntamente com o Considere o ponto x conjunto A = C \ {x }. ´ E evidente que x 6∈ A . Al´em disso, tem-se que x ´e um ponto de acumula¸c˜ao de A , j´a que ´e um ponto de acumula¸c˜ao de C. Logo, x ∈ A \ A

      e, por conseguinte, A n˜ao ´e fechado em R. Agora, note que toda sequˆencia em A possui uma subsequˆencia constante (logo convergente), visto que toda sequˆencia em A assume um n´ umero finito de valores. Se A for ilimitado em R, nada mais a fazer. Se A for limitado em R, h´a dois casos a considerar: caso x seja um ponto de acumula¸c˜ao de A

      π `a esquerda, considere f : ]x − 1, x [ −→ R definida por f (x) = tan (2x − 2x + 1) .

      2 Claramente, tem-se que f est´a bem definida e que ´e estritamente crescente. Al´em disso, vˆe-se facilmente que f ´e um homeomorfismo. Afirmamos que o conjunto B := f A ∩ ]x − 1, x [ ´e infinito e Dedekind-finito. Com efeito: j´a que x ´e um ponto de acumula¸c˜ao de A `a esquerda, tem-se ent˜ao que o conjunto A ∩ ]x − 1, x [ ´e infinito. Disso, e de f ser injetora, segue que B ´e infinito. Suponha, por absurdo, que B seja Dedekind-infinito. Sendo assim, existe um conjunto B que ´e subconjunto infinito enumer´avel de B (pela Proposi¸c˜ao 1.1.19). Como f ´e

      −1 uma bije¸c˜ao, tem-se que o conjunto f [B ] ⊆ A ∩ ]x − 1, x [ ´e infinito enumer´avel.

      Ora, j´a que A ´e Dedekind-finito, ent˜ao A ∩ ]x − 1, x [ tamb´em ´e Dedekind-finito (pelo Corol´ario 1.1.20). Consequentemente, teremos um conjunto Dedekind-finito que possui um subconjunto infinito enumer´avel, contradizendo a Proposi¸c˜ao 1.1.19. Afirmamos agora que B ´e ilimitado em R. De fato: tome um c ∈ R arbitr´ario. J´a que f ´e sobrejetora, ent˜ao existe um b ∈ ]x − 1, x [ tal que c = f (b). Como x ´e um ponto de acumula¸c˜ao de A `a esquerda, tem-se que A ∩ ]b, x [ 6= ∅. Fixe ent˜ao um a ∈ A ∩ ]b, x [. Assim,

      ∈ A ∩ ]x − 1, x tem-se que a [ e que b &lt; a . Como f ´e estritamente crescente, segue que f (b) &lt; f (a ), i.e., que c &lt; f (a ). Logo, existe um y ∈ B tal que c &lt; y. Ent˜ao, j´a que Agora, j´a que A ∩ ]x − 1, x [ ´e infinito e Dedekind-finito, pode-se fixar, por (*), um z ∈ A ∩ ]x − 1, x [ que ´e um ponto de acumula¸c˜ao deste conjunto em R e, por − 1, x conseguinte, em ]x [. Como f ´e cont´ınua e injetora, segue da Proposi¸c˜ao 1.2.21 que f (z ) ∈ B ´e um ponto de acumula¸c˜ao de B. Tome ent˜ao o conjunto A := B \{f (z )}.

      1 Ora, ´e claro que B = A ∪ {f (z )}. Assim, tem-se que A ´e ilimitado em R, j´a que o ´e B.

      1

      1 Al´em disso, com os mesmos argumentos dados para A , conclui-se que A n˜ao ´e fechado

      1

      em R e que toda sequˆencia em A 1 possui uma subsequˆencia convergente.

      Finalmente, caso x seja um ponto de acumula¸c˜ao de A `a direita, considere π g : ]x , x + 1[ −→ R definida por g(x) = tan (2x − 2x − 1) . Tal como f , tem-se

      2 claramente que g est´a bem definida e que ´e estritamente, al´em de ser um homeomorfismo. Ent˜ao, com argumentos an´alogos aos que foram dados para f , obt´em-se um conjunto A

      1

      que satisfaz o que ´e desejado. Portanto, basta tomar A = A , se A for ilimitado em R, ou A = A , se for o contr´ario, para concluir que, em M1, existe um A ⊆ R tal que toda

      1

      sequˆencia em A possui uma subsequˆencia convergente, mas A n˜ao ´e fechado nem limitado em R.

      Fato 4.1.5. Em M1, existem um ponto x ∈ R e uma fun¸c˜ao f : R −→ R tais que f ´e sequencialmente cont´ınua em x, mas f n˜ao ´e cont´ınua em x. Prova:

      ∈ C que ´e obtido na prova do Fato 4.1.3, Novamente, considere o ponto x juntamente com o conjunto A = C \ {x }. Seja ent˜ao χ : R −→ R a fun¸c˜ao-caracter´ıstica de A , i.e., a fun¸c˜ao tal que, para todo x ∈ R, ( 1 , se x ∈ A ;

      χ(x) := 0 , se x 6∈ A . Afirmamos que χ n˜ao ´e cont´ınua em x . Com efeito: j´a que x ∈ A

      e, para todo δ &gt; 0, ]x − δ, x + δ[ ´e uma vizinhan¸ca aberta de x em R, segue ent˜ao que existe um x ∈ ]x − δ, x + δ[ ∩ A . Al´em disso, tem-se que x 6∈ A . Logo, fixando um ε &gt; 0 tal que ε 6 1, conclui-se que, para todo δ &gt; 0, existe um x ∈ A de forma que |x − x | &lt; δ e

      1

      |χ(x) − χ(x )| = |1 − 0| = 1 &gt; ε.

      Agora, tomando uma sequˆencia qualquer hx n i n&gt; em R que converge para x ,

      1

      considere o conjunto M := {n ∈ ω \ 1 : x n ∈ A}. Note que M ´e finito, pois: se M fosse infinito, ir´ıamos concluir que existe uma sequˆencia em A convergindo para x (pelo 1 Cabe aqui destacar que, em ZF, prova-se facilmente o seguinte fato mais geral: “dados espa¸cos

      

    topol´ ogicos X e Y , uma fun¸c˜ ao f : X −→ Y e um ponto x ∈ X, se Y for T e existir um ponto

    1 z ∈ Y \ {f (x )} que pertence a imagem por f de qualquer vizinhan¸ca aberta de x em X, ent˜ao f n˜ ao ´e cont´ınua em x ”.

      Teorema 2.1.6), contradizendo o fato de que toda sequˆencia em A n˜ao converge para x . Logo, se for M = ∅, teremos que, para todo n ∈ ω \ 1, x n 6∈ A . Se for M 6= ∅, ent˜ao M ter´a elemento m´aximo. Com isso, tome ( 0 , se M = ∅; k (M ) := max (M ) , se M 6= ∅.

      Pela constru¸c˜ao, ´e claro que k (M ) est´a bem definido. Al´em disso, ´e f´acil ver que, para todo natural n &gt; k (M ), x n 6∈ A . Ent˜ao, para todo natural n &gt; k (M ), χ(x n ) = 0. Disso, ´e imediato concluir que, para toda vizinhan¸ca aberta V de 0 em R, o conjunto {n ∈ ω \ 1 : χ(x n ) 6∈ V } ´e finito, i.e., que χ(x n ) → 0. J´a que χ(x ) = 0, tem-se ent˜ao que χ(x n ) → χ(x ). Como a sequˆencia s foi tomada qualquer, segue que χ ´e sequencialmente cont´ınua em x . Portanto, basta tomar x = x e f = χ para concluir que, em M1, existem um ponto x ∈ R e uma fun¸c˜ao f : R −→ R tais que f ´e sequencialmente cont´ınua em x, mas f n˜ao ´e cont´ınua em x.

      Fato 4.1.6. Em M1, existe um espa¸co m´etrico que tem base enumer´avel, mas n˜ao ´e separ´avel. Prova:

      Considere, em M1, o conjunto C munido da topologia de subespa¸co de R. Tome a base enumer´avel B = {]a, b[ : a, b ∈ Q e a &lt; b} de R. Assim, tem-se que o conjunto B C := {C ∩ I : I ∈ B} ´e uma base de C e que ´e enumer´avel, pois est´a indexado por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14). Al´em disso, note que C n˜ao possui subconjunto enumer´avel denso algum, pois: se existisse um tal subconjunto enumer´avel de C, este seria infinito (j´a que C ´e um subespa¸co infinito de R), uma contradi¸c˜ao. Portanto, tem-se que, em M1, C ´e um subespa¸co de R que tem base enumer´avel, mas n˜ao ´e separ´avel.

      ´ E interessante aqui observar que o Fato 4.1.6 implica a nega¸c˜ao do item (6) do

      Teorema 4.2.1 da se¸c˜ao a seguir. Como consequˆencia disso, tem-se que, em M1, o espa¸co m´etrico discreto enumer´avel N n˜ao ´e Lindel¨of. Contudo, N ´e separ´avel, pois, obviamente, ´e um subconjunto enumer´avel denso de si pr´oprio. Pelo Teorema 2.1.7, tem-se ent˜ao que N tem base enumer´avel. Portanto, segue do Fato 4.1.6 o seguinte Fato 4.1.7. Em M1, existe um espa¸co m´etrico que ´e separ´avel e, consequentemente, tem base enumer´avel, mas n˜ao ´e Lindel¨of.

      Finalmente, para encerrar a presente se¸c˜ao, destaquemos que todas as informa¸c˜oes

      “Cem Anos do Axioma da Escolha - IV: Horrores da matem´atica sem o Axioma da Escolha”, que o Prof. Samuel Gomes da Silva proferiu em outubro de 2008 (por ocasi˜ao da IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica) e para qual adotou o livro [Jec73] (em especial, o seu Cap´ıtulo 10) como uma das referˆencias principais.

    4.2 Sob quais condi¸c˜ oes N ´ e Lindel¨ of

      Nesta se¸c˜ao, iremos estabelecer sob quais condi¸c˜oes o espa¸co discreto enumer´avel N

      ´e Lindel¨of. Para isso, provaremos, em ZF, o seguinte Teorema 4.2.1 ([HrS97]). S˜ao equivalentes: (0) Todo espa¸co topol´ogico enumer´avel ´e Lindel¨of.

      (1) N ´e Lindel¨of. (2) Q ´e Lindel¨of. (3) R ´e Lindel¨of. (4) Todo espa¸co topol´ogico que tem base enumer´avel ´e Lindel¨of. (5) Todo subespa¸co de R ´e separ´avel. (6) Todo espa¸co topol´ogico T que tem base enumer´avel ´e separ´avel. (7) Dados um ponto x ∈ R e um A ⊆ R, x ∈ A se, e somente se, existir uma sequˆencia hx n i n&gt;

      1 em A tal que x n → x.

      (8) Dados um ponto x ∈ R e uma fun¸c˜ao f : R −→ R, f ´e cont´ınua em x se, e somente se, f for sequencialmente cont´ınua em x. (9) Todo subconjunto ilimitado de R possui um subconjunto enumer´avel ilimitado. (10) AC ω (R). Demonstra¸c˜ ao:

      Observemos que as implica¸c˜oes (10) =⇒ (0), (10) =⇒ (4) e (10) =⇒ (6) j´a est˜ao demonstradas (veja Teoremas 2.3.1, 2.3.4 e 2.3.3). Para demonstrar as equivalˆencias acima, provaremos as demais implica¸c˜oes que est˜ao presentes no esquema de prova dado pelo diagrama a seguir:

    • 3 +3

      8

      7

      9 KS

    • 3 +3 ks ks ks

      1

      9

      5

      6

      10

    • 3 +3 +3

      10

      4

      2

      1

    • 3

      3

      1 Diagrama 4.2.1.

      Destaquemos que as implica¸c˜oes (1) =⇒ (9) =⇒ (10) =⇒ (4) s˜ao contribui¸c˜oes originais dos autores do artigo [HrS97], as quais s˜ao cruciais para estabelecer todas as equivalˆencias acima. Destaquemos tamb´em que nesse artigo n˜ao ´e fornecida a prova das outras implica¸c˜oes presentes no diagrama acima – mas salientando que as implica¸c˜oes (10) =⇒ (0) =⇒ (1) e (10) =⇒ (6) =⇒ (5) s˜ao inclus˜oes nossas e, portanto, n˜ao est˜ao presentes em [HrS97]. Contudo, daremos aqui a nossa contribui¸c˜ao apresentando tamb´em a prova de todas aquelas implica¸c˜oes que ainda n˜ao foram demonstradas.

      (0) =⇒ (1) : ´ E imediato, j´a que N ´e um espa¸co enumer´avel. (2) =⇒ (1), (3) =⇒ (1) : Sabemos que ser Lindel¨of ´e uma propriedade heredit´aria para subespa¸cos fechados (pela Proposi¸c˜ao 1.2.12) e que N ´e um subespa¸co fechado tanto de R quanto de Q. Portanto, admitindo-se a validade de (3) ou de (2), pode-se concluir que N ´e Lindel¨of.

      (4) =⇒ (2), (4) =⇒ (3) : Sabemos que R ´e SE. Ora, j´a que ser SE ´e uma propriedade heredit´aria (pela Proposi¸c˜ao 1.2.11), temos ent˜ao que Q ´e SE. Portanto, supondo-se que (4) valha, conclui-se que Q e R s˜ao Lindel¨of.

      (6) =⇒ (5) : Como R ´e T e SE, e as propriedades ser T e ser SE s˜ao heredit´arias (pela Proposi¸c˜ao 1.2.11), segue que todo subespa¸co de R ´e T e SE. Portanto, supondo-se que (6) valha, pode-se concluir que todo subespa¸co de R ´e separ´avel.

      (5) =⇒ (9) : Seja A um subconjunto ilimitado qualquer de R. Valendo (5), podemos concluir que A ´e um subespa¸co separ´avel de R. Sendo assim, podemos fixar um subconjunto enumer´avel denso B de A. Afirmamos que B ´e ilimitado. De fato: se B R A A R fosse limitado, ent˜ao B tamb´em seria limitado. Como A = B e tem-se que B ⊆ B , concluir´ıamos ent˜ao que A ´e um subconjunto limitado de R, uma contradi¸c˜ao.

      (9) =⇒ (8) : Sejam um ponto x ∈ R e uma fun¸c˜ao f : R −→ R arbitrariamente fixados. Por um lado, admitindo-se que f seja cont´ınua em x , conclui-se facilmente que f ´e sequencialmente cont´ınua em x . Por outro lado, admita que f seja sequencialmente cont´ınua em x e suponha que f n˜ao seja cont´ınua em x . Desta suposi¸c˜ao, segue que existe um ε &gt; 0 satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao: | &lt; δ e |f (x) − f (x (*) para todo δ &gt; 0, existe um x ∈ R tal que |x − x )| &gt; ε. Fixando um tal ε &gt; 0, considere o conjunto A := {x ∈ R : |f (x) − f (x )| &gt; ε}. Ora, ´e ε

      1 claro que x 6∈ A ε . Logo, para todo x ∈ A ε , y x := ´e um elemento de R (que ´e x − x unicamente determinado por x). Considere agora o conjunto A := {y x : x ∈ A ε } ⊂ R.

      Afirmamos que A ´e ilimitado em R. Com efeito: seja c &gt; 0 qualquer. Por (*), conclui-se

      1 | &lt; que existe um x ∈ R tal que |x − x e |f (x) − f (x )| &gt; ε. Claramente, segue disso c

      1 | = que x ∈ A ε e que |y x &gt; c. Logo, existe um y ∈ A tal que c &lt; |y|. Como c &gt; 0

      |x − x | ´e qualquer, segue o afirmado. Ent˜ao, admitindo-se que (9) valha, pode-se concluir que existe um conjunto B que ´e subconjunto enumer´avel ilimitado de A. Como B ´e enumer´avel, pode-se ent˜ao

      fixar uma indexa¸c˜ao {y k : k &lt; ω} de B. J´a que B ´e ilimitado, tem-se que, para todo n ∈ ω \ 1, existe um k &lt; ω tal que n &lt; |y k |. Sendo assim, para todo n ∈ ω \ 1,

      ∗

      k(n) := min {k ∈ ω \ 1 : n &lt; |y k |} est´a bem definido. Defina ent˜ao a sequˆencia hy i n&gt; n

      1 ∗ ∗

      em A pondo, para todo n ∈ ω \ 1, y := y k . Para cada n ∈ ω \ 1, denote por x o n (n) n

      1

      ∗ ∗

      i ´ unico elemento de A ε tal que y := . Ora, a sequˆencia hx n&gt; n n 1 em A ε ´e tal que, ∗

      − x x n

      1

      1

      1

      ∗

      para todo n ∈ ω \ 1, |x − x | = = &lt; . Disso, e de R ser corpo ordenado n

      ∗

      |y | |y | n (n) k n

      ∗

      arquimediano, conclui-se facilmente que x → x . Como f ´e sequencialmente cont´ınua n

      ∗

      em x , tem-se ent˜ao que f (x ) → f (x ). Portanto, para ε &gt; 0 fixado acima, existe um n

      ∗

      natural k &gt; 1 tal que, para todo natural n &gt; k, |f (x ) − f (x )| &lt; ε, contradizendo o fato n

      ∗ de que, para todo n ∈ ω \ 1, x ∈ A ε . n (8) =⇒ (7) : Sejam um ponto x ∈ R e um A ⊆ R arbitrariamente fixados.

      i → x Por um lado, admitindo-se que exista uma sequˆencia hx n n&gt;

      1 em A tal que x n , ´e

      imediato concluir que x ∈ A. Por outro lado, admita que x ∈ A e suponha que toda sequˆencia em A n˜ao convirja para x . Em particular, segue desta suposi¸c˜ao que toda sequˆencia constante em A n˜ao converge para x , o que implica que x 6∈ A. Agora, seja f : R −→ R a fun¸c˜ao-caracter´ıstica de A, i.e., a fun¸c˜ao tal que, para todo x ∈ R, ( 1 , se x ∈ A; f (x) := 0 , se x 6∈ A. Ora, das hip´oteses que est˜ao sendo assumidas, tem-se que: x ∈ A e x 6∈ A. Logo, com os mesmos argumentos que s˜ao dados na prova do Fato 4.1.5, pode-se concluir que f n˜ao ´e cont´ınua em x . Al´em disso, com esses mesmos argumentos, conclui-se que f ´e sequencialmente cont´ınua em x . Portanto, admitindo-se que (8) valha, obt´em-se uma

      (7) =⇒ (9) : Seja A um subconjunto ilimitado de R. Sem perda de generalidade,

      2

      podemos supor que A ´e ilimitado superiormente. Seja agora f : ]0, 1[ −→ R definida 2x − 1 por f (x) = . Sem muita dificuldade, verifica-se que f est´a bem definida e

      1 − |2x − 1| que ´e uma sobreje¸c˜ao estritamente crescente (implicando que f ´e bijetora). Sendo assim,

      −1

      afirmamos que 1 ∈ f [A]. Com efeito: tome uma vizinhan¸ca aberta V qualquer de 1 em R e fixe um ε &gt; 0 tal que ]1 − ε, 1 + ε[ ⊆ V . Como A ´e ilimitado superiormente em R, segue que existe um y ∈ A tal que f (1−ε) &lt; y. J´a que f ´e sobrejetora, pode-se ent˜ao fixar um x ∈ ]0, 1[ tal que y = f (x). Logo, f (1 − ε) &lt; f (x). Como f ´e estritamente crescente, ent˜ao 1 − ε &lt; x. Assim, tem-se que x ∈ ]1 − ε, 1[ ⊂ ]1 − ε, 1 + ε[ ⊆ V . Al´em disso, tem-se

      −1 −1

      que x ∈ f [A], j´a que f (x) = y e y ∈ A. Consequentemente, V ∩ f [A] 6= ∅. Como V foi tomada qualquer, conclui-se o afirmado.

      Ent˜ao, supondo-se que (7) valha, pode-se concluir que existe uma sequˆencia

      −1

      hx i → 1. Denote por s uma tal sequˆencia e considere o n n&gt; em f [A] tal que x n

      1 −1

      conjunto B := f [im(s)] ⊆ f [f [A]] = A. Como ´e claro que B = (f ◦ s) [ω \ 1], segue ent˜ao que B ´e enumer´avel, j´a que ´e imagem de um conjunto enumer´avel por uma fun¸c˜ao (veja Corol´ario 1.1.17). Tem-se tamb´em que B ´e ilimitado. De fato: tome um c ∈ R arbitr´ario. Como f ´e sobrejetora, ent˜ao existe um b ∈ ]0, 1[ tal que c = f (b). Agora, fixe

      → 1, ent˜ao existe um natural k &gt; 1 tal que, um ε &gt; 0 tal que ε 6 1 − b. J´a que x n para todo natural n &gt; k, x ∈ ]1 − ε, 1 + ε[. Disso, e de como ε &gt; 0 foi fixado, segue n que b 6 1 − ε &lt; x k , implicando que b &lt; x k . J´a que f ´e estritamente crescente, segue que f (b) &lt; f (x k ), i.e., que c &lt; f (x k ). Logo, existe um y ∈ B tal que c &lt; y. Portanto, j´a que c ∈ R foi tomado arbitr´ario, conclui-se que B ´e ilimitado superiormente.

      (1) =⇒ (9) : Seja A um subconjunto ilimitado de R. Tal como na prova de (7) =⇒ (9), podemos supor, sem perda de generalidade, que A ´e ilimitado superiormente. Fixe uma sobreje¸c˜ao f : N −→ Q (ao menos uma existe, j´a que Q ´e enumer´avel) e defina g : A −→ P (N) pondo g(x) := {n ∈ N : f (n) &lt; x}. ´ E claro que g est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Tem-se tamb´em que g ´e injetora. De fato: sejam x, y ∈ A tais que x 6= y. Sem perda de generalidade, podemos supor que x &lt; y. Sendo assim, tem-se que o intervalo ]x, y[ ´e n˜ao degenerado. Ent˜ao, Q ∩ ]x, y[ 6= ∅, i.e., existe um r ∈ Q tal que x &lt; r &lt; y. Como f ´e sobrejetora, ent˜ao existe um n ∈ N tal que r = f (n). Assim, tem-se que x &lt; f (n) &lt; y e, consequentemente, que n ∈ g(y) \ g(x). Logo, g(x) 6= g(y). Agora, tome um n ∈ N qualquer. Como A ´e ilimitado superiormente, ent˜ao existe um x ∈ A tal 2 Pelo seguinte fato: sendo A um subconjunto ilimitado inferiormente de R, ´e f´ acil verificar que

      

    −A := {x ∈ R : −x ∈ A} ´e um subconjunto ilimitado superiormente de R. Assim, provando-se que

    “todo subconjunto ilimitado superiormente de R possui um subconjunto enumer´ avel ilimitado”, pode-se

    concluir que −A possui um subconjunto enumer´avel ilimitado. Denotando-se por B um tal subconjunto

    de −A, conclui-se facilmente que −B ´e um subconjunto enumer´avel ilimitado de A.

      [ que f (n) &lt; x, o que implica que n ∈ g(x). Por conseguinte, tem-se que N ⊆ g(x), ou x [

      ∈A

      melhor, que N = g(x). Logo, o conjunto C := im(g) ´e uma cobertura de N. Ora, toda x

      ∈A cobertura de N ´e aberta, j´a que N ´e um espa¸co discreto.

      Assim, supondo-se que (1) valha, pode-se concluir que existe uma subcobertura enumer´avel C de C. Como g ´e injetora, tem-se que, para todo U ∈ C, existe um ´ unico x ∈ A tal que U = g(x). Para cada U ∈ C ⊆ C, denotaremos por x U o ´ unico elemento de A tal que U = g(x U ). Afirmamos que o conjunto B := {x U : U ∈ C } ⊆ A ´e enumer´avel e ilimitado. Com efeito: claramente, temos que B ´e enumer´avel, pois est´a indexado por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14). Suponha, por absurdo, que B seja limitado. Sendo assim, existe um c &gt; 0 tal que, para todo U ∈ C , |x U | 6 c. Como N ´e ilimitado superiormente em R, ent˜ao existe um r ∈ N ⊂ Q tal que c &lt; r. Por ser f sobrejetora, segue que existe um n ∈ N tal que r = f (n). Logo, para todo U ∈ C ,

      6 |x | 6 c &lt; f (n). Portanto, conclu´ımos que existe um n ∈ N tal que, para todo x U U U ∈ C , n 6∈ g (x ) = U , implicando que C n˜ao ´e cobertura de N, uma contradi¸c˜ao. U

      (9) =⇒ (10) : Seja F uma fam´ılia enumer´avel qualquer de subconjuntos n˜ao vazios de R. Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {X n : n ∈ ω \ 1} de F. Para cada n ∈ ω \ 1, n tome a inje¸c˜ao f n : R −→ ]n, n + 1[ que ´e constru´ıda da seguinte maneira: considere o conjunto

      (ω\1) A := s ∈ 2 : s = hx n i n&gt; n˜ao ´e constante e {n ∈ ω \ 1 : x n = 0} ´e infinito .

    1 X

      x n Defina ent˜ao β : A −→ ]0, 1[ pondo β(s) := . Pode-se verificar facilmente que n n&gt;

      2

      1

      3

      β est´a bem definida e que ´e bijetora. Considere agora ψ : R −→ ]0, 1[ definida por 1 x ψ(x) = 1 + . Sem muita dificuldade, verifica-se que ψ tamb´em est´a bem 2 1 + |x|

      −1

      definida e que ´e bijetora. Tomando φ : R −→ A definida por φ(x) = (β ◦ ψ)(x), n n n segue que φ ´e bijetora, j´a que o s˜ao β e ψ. Considerando ent˜ao φ : R −→ A definida 3 (ω\1)

      Este fato pode ser justificado com a seguinte observa¸c˜ ao: como A ⊂ 2, conclui-se que, de fato, β

    est´a definida em A e que im(β) ⊆ [0, 1]. Prova-se que todo irracional em [0, 1] admite uma ´ unica

    representa¸c˜ ao di´ adica e que tal representa¸c˜ ao n˜ ao possui um n´ umero finito de termos iguais a 0 (j´a que

    todo “di´ adico exato” ´e, evidentemente, um racional). Note que a ´ unica representa¸c˜ ao di´ adica de 0 ´e a

    sequˆencia constante nula, a qual n˜ ao pertence a A. Note tamb´em que a ´ unica representa¸c˜ ao di´ adica de 1 ´e

    a sequˆencia constante de valor 1, que tamb´em n˜ ao pertence a A. Al´em disso, mostra-se que todo racional

    em ]0, 1[ ou admite exatamente duas representa¸c˜ oes di´ adicas (se for “di´ adico exato”) ou admite uma

    ´ unica representa¸c˜ ao di´ adica (se for o contr´ario). Caso seja “di´ adico exato”, suas representa¸c˜ oes di´ adicas

    s˜ao sequˆencias n˜ ao constantes tais que uma ´e quase constante de valor 0 e a outra ´e quase constante

    de valor 1. Caso contr´ario, sua ´ unica representa¸c˜ ao di´ adica possui uma infinidade de termos iguais a 0.

    Consequentemente, todo racional em ]0, 1[ admite uma ´ unica representa¸c˜ ao di´ adica que pertence a A. Portanto, conclui-se que β ´e uma fun¸c˜ ao injetora e que im(β) = ]0, 1[. n n

      por φ hx , . . . , x n i := hφ(x ), . . . , φ(x n )i, tem-se claramente que φ est´a bem definida

      1

      1 n

      e verifica-se facilmente que φ ´e uma bije¸c˜ao. Defina agora ϕ n : ]0, 1[ −→ ]n, n + 1[ e n −→ A pondo, respectivamente, ϕ

      σ n : A n (x) := x + n e σ n hs(1), . . . , s(n)i := hx (1), . . . , x (n), x (1), . . . , x (n), x (1), . . . , x (n), . . .i,

      1

      1

      2

      2

      3

      3

      sendo, para todo k ∈ ω tal que 1 6 k 6 n, s(k) = hx n (k)i n&gt; . ´ E claro que ϕ n e

      1

      σ n est˜ao bem definidas, por constru¸c˜ao. Al´em de se ter claramente que ϕ n ´e bijetora, tamb´em ´e f´acil verificar que σ n ´e injetora (e n˜ao ´e sobrejetora). Finalmente, tomando n n f n : R −→ ]n, n + 1[ definida por f n (x) = (ϕ n ◦ β ◦ σ n ◦ φ )(x), segue que f n ´e injetora, n j´a que o s˜ao ϕ n , β, σ n e φ .

      Agora, para prosseguir com a prova, considere, para cada n ∈ ω \ 1, o conjunto " # Y Y A n := f n X i ⊆ ]n, n + 1[. Note que, para todo n ∈ ω \ 1, X i 6= ∅ (por ser

      16i6n 16i6n

      produto cartesiano finito de conjuntos n˜ao vazios). Sendo assim, para cada n ∈ ω \ 1, tem-se que A n 6= ∅. Al´em disso, dados n, m ∈ ω \ 1 tais que n &lt; m (i.e., n + 1 6 m), ∩ A tem-se que A n m = ∅, j´a que ]n, n + 1[ ∩ ]m, m + 1[ = ∅. Considere agora o conjunto [ ⊆ R. Afirmamos que A ´e ilimitado em R. Com efeito: seja c &gt; 0 qualquer. A := A n n&gt;

    1 De R ser corpo ordenado arquimediano, segue que existe um m ∈ ω \ 1 tal que c < m.

      6= ∅, pode-se ent˜ao fixar um y ∈ A ⊆ ]m, m + 1[. Assim, tem-se que Ora, como A m m m &lt; y e, por conseguinte, que c &lt; y e y = |y|. Logo, existe um y ∈ A tal que c &lt; |y|.

      Como c &gt; 0 ´e qualquer, segue o afirmado.

      Ent˜ao, valendo (9), pode-se concluir que existe um conjunto B que ´e subconjunto enumer´avel ilimitado de A. J´a que B ´e enumer´avel, pode-se ent˜ao fixar uma indexa¸c˜ao {y : k &lt; ω} de B. Como A ´e a uni˜ao da fam´ılia disjunta {A : n ∈ ω \ 1}, segue que, k n para todo k &lt; ω, existe um ´ unico m ∈ ω \ 1 tal que y k ∈ A m . Assim, para cada k &lt; ω, denote por m(k) o ´ unico elemento de ω \ 1 tal que y k ∈ A m . Por ser f m injetora, Y (k) (k) segue que existe um ´ unico z ∈ X i tal que y k = f m (z). Ent˜ao, para cada k &lt; ω,

      (k) 16i6m(k) Y

      denote por z(k) o ´ unico elemento de X i tal que y k = f m (z(k)). Afirmamos

      (k) 16i6m(k)

      agora que, para todo n ∈ ω \ 1, existe um k &lt; ω tal que n 6 m(k). De fato: suponha que exista um n ∈ ω \ 1 tal que, para todo k &lt; ω, m(k) &lt; n (i.e., m(k) + 1 6 n). [ Sendo assim, para um tal n ∈ ω \ 1 fixado, tem-se que B = {y k : k &lt; ω} ⊆ A ⊆ [ k&lt;ω m (k) k&lt;ω ]m(k), m(k) + 1[ ⊆ ]1, n[, implicando que B ´e limitado, uma contradi¸c˜ao. Logo, para todo n ∈ ω \ 1, k(n) := min {k ∈ ω \ 1 : n 6 m(k)} est´a bem definido. Ent˜ao, j´a que Y n 6 m(k(n)), pode-se tomar a n-´esima coordenada z n (k(n)) de z(k(n)) ∈

      X i .

      16i6m(k(n))

      [ Finalmente, defina ζ : ω \ 1 −→ n&gt; X n pondo ζ(n) := z n (k(n)). Pela constru¸c˜ao,

      1 Y

      ´e claro que ζ est´a bem definida e que, para todo n ∈ ω \ 1, ζ(n) ∈ X n . Logo, ζ ∈ i&gt; X i , Y

      1

      implicando que i&gt; X i 6= ∅. J´a que F foi tomada qualquer, conclu´ımos que “o produto

      1 cartesiano de qualquer fam´ılia enumer´avel de subconjuntos n˜ao vazios de R ´e n˜ao vazio”.

      Portanto, como esta ´ ultima asser¸c˜ao ´e equivalente a AC ω (R) (veja Proposi¸c˜ao 1.1.25), segue da validade de (9) que AC ω (R) tamb´em vale.

      Observa¸c˜ ao 4.2.2. Note que os argumentos dados na prova da implica¸c˜ao (9) =⇒ (10) do teorema acima s˜ao semelhantes aos que s˜ao dados na demonstra¸c˜ao de (iii) =⇒ (i) do Teorema 2.4.1, no sentido de que se valem de uma t´ecnica utilizada em alguns dos trabalhos de Horst Herrlich, a qual pode ser esbo¸cada assim: partindo-se de um conjunto ilimitado, constr´oi-se uma fun¸c˜ao-escolha que testemunha a n˜ao vacuidade do produto

      △ cartesiano de uma fam´ılia de conjuntos n˜ao vazios dada. Gostar´ıamos de encerrar a presente se¸c˜ao apresentando a interessante equivalˆencia que conjecturamos, mas que foi provada pela Profa. Of´elia Teresa Alas, a qual gentilmente nos forneceu a sua demonstra¸c˜ao. Esta equivalˆencia ´e a que est´a enunciada no seguinte Teorema 4.2.3. S˜ao equivalentes: (i) AC ω (R).

      (ii) Todo espa¸co m´etrico que tem base enumer´avel ´e separ´avel. Demonstra¸c˜ ao:

      (i) =⇒ (ii) : Sabemos que AC ω (R) ´e equivalente ao item (6) do Teorema 4.2.1 e temos que este item implica (ii), j´a que todo espa¸co m´etrico ´e T . Consequentemente, AC ω (R) implica (ii).

      (ii) =⇒ (i) : Seja A um suconjunto ilimitado qualquer de R. Como R ´e SE, e ser SE ´e uma propriedade heredit´aria (pela Proposi¸c˜ao 1.2.11), temos ent˜ao que A ´e SE. Assim, supondo-se que (ii) valha, pode-se concluir que A ´e separ´avel. Logo, existe um subconjunto enumer´avel denso D de A. Note que D ´e ilimitado, pois A o ´e. Como A ´e qualquer, conclu´ımos que (ii) implica o item (9) do Teorema 4.2.1, o qual ´e equivalente a AC (R). Portanto, temos que (ii) implica AC (R). ω ω

    4.3 AC e espa¸cos (pseudo)m´ etricos e topol´ ogicos

      ω Na presente se¸c˜ao, usaremos o Teorema de Metriza¸c˜ao de Bing–Nagata–Smirnov para mostrar que, em um dado modelo de ZF, onde n˜ao vale AC ω restrito `as fam´ılias

      (enumer´aveis) de conjuntos que possuem 2 elementos, existe um espa¸co m´etrico compacto que n˜ao tem base enumer´avel. Al´em disso, iremos enunciar e demonstrar, em ZF, algumas equivalˆencias para AC ω que garantem a separabilidade dos espa¸cos: SE, pseudom´etricos Lindel¨of e pseudom´etricos compactos. Finalmente, apresentaremos, sem demonstra¸c˜ao, dois resultados que est˜ao relacionados a uma no¸c˜ao topol´ogica que envolve limites de sequˆencias convergentes.

      Comecemos destacando que, durante os anos de 1950 e de 1951, Jun-iti Nagata, Yuri M. Smirnov e R. H. Bing apresentaram (cada um independentemente dos outros) uma generaliza¸c˜ao para o Teorema de Metriza¸c˜ao de Urysohn, provando (todos eles) o seguinte Teorema Geral de Metriza¸c˜ao: “dado um espa¸co topol´ogico X, tem-se que X ´e metriz´avel se, e somente se, X for regular e possuir uma base σ-localmente finita”.

      Na verdade, o teorema de metriza¸c˜ao que Bing apresentou tem enunciado ligeiramente diferente, pois declara que: “dado um espa¸co topol´ogico X, tem-se que X ´e metriz´avel se, e somente se, X for regular e possuir uma base σ-localmente discreta”. Para provar a implica¸c˜ao “somente se” do Teorema Geral de Metriza¸c˜ao ´e necess´ario o uso de AC, em contraste com a prova do Teorema de Metriza¸c˜ao de Urysohn, para a qual n˜ao ´e preciso utilizar princ´ıpio de escolha algum (cf. [GoT95, Corol´ario 4.8, p. 86]). Contudo, a implica¸c˜ao “se” do Teorema Geral de Metriza¸c˜ao pode ser provada em ZF. Sugerimos o artigo [Dal03] para obten¸c˜ao de mais informa¸c˜oes e das referˆencias a respeito do que citamos. Para o que segue, precisaremos do seguinte e not´avel Teorema 4.3.1 (Teorema de Metriza¸c˜ao de Bing–Nagata–Smirnov, ZF). Todo espa¸co topol´ogico regular que possui uma base σ-localmente finita ´e metriz´avel.

      Uma prova deste teorema de metriza¸c˜ao pode ser encontrada, por exemplo, em [Eng89, p. 282]. Agora, desejamos destacar que Cohen, utilizando mais uma vez o seu m´etodo de

      “forcing”, construiu um modelo de ZF – diferente do modelo M1 – no qual “existe uma fam´ılia enumer´avel de conjuntos que possuem 2 elementos que n˜ao admite fun¸c˜ao-escolha alguma”. Este ´e justamente aquele modelo M que citamos e com qual trabalhamos na Subse¸c˜ao 3.2.2, p´agina 59. Tal modelo ´e comumente chamado na literatura matem´atica de o “segundo modelo de Cohen”. A partir de agora, denotaremos este modelo por M7. Cientes disso, podemos ent˜ao enunciar o seguinte e interessante

      Fato 4.3.2 ([GoT95]). Em M7, existe um espa¸co m´etrico compacto (logo Lindel¨of ) que n˜ao tem base enumer´avel e, consequentemente, n˜ao ´e separ´avel. Prova:

      Inicialmente, denote por C a asser¸c˜ao “toda fam´ılia enumer´avel de conjuntos

      2,ω ′

      que possuem 2 elementos admite uma fun¸c˜ao-escolha” e por C a asser¸c˜ao “toda fam´ılia

      2,ω disjunta enumer´avel de conjuntos que possuem 2 elementos admite uma fun¸c˜ao-escolha”.

      ′

      Note que se pode utilizar os argumentos dados na prova da equivalˆencia entre C

      2 e C

      2 ′

      (veja a Subse¸c˜ao 3.2.2, p´agina 56) para tamb´em provar a equivalˆencia entre C e C .

      2,ω 2,ω ′ Ent˜ao, segue da n˜ao validade de C em M7 que C tamb´em n˜ao ´e v´alida em M7. 2,ω 2,ω

      Assim, pode-se fixar em M7 uma fam´ılia disjunta enumer´avel F de conjuntos que possuem 2 elementos que n˜ao admite fun¸c˜ao-escolha alguma. J´a que F ´e necessariamente infinita, pode-se fixar uma enumera¸c˜ao {A n : n &lt; ω} de F. Note agora que o conjunto S F ´e n˜ao enumer´avel, pois: supondo-se que S F seja enumer´avel, pode-se fixar uma indexa¸c˜ao {x k : k &lt; ω} de n ,

      S F. Com isso, para cada n &lt; ω, tem-se que, para todo x ∈ A existe um k &lt; ω tal que x = x k . Logo, para todo n &lt; ω, k(n) := min {k ∈ ω : x k ∈ A n } ∈ A est´a bem definido. Sendo assim, para cada n &lt; ω, tem-se que x k n . Defina ent˜ao

      (n)

      φ : F −→ S F pondo, para todo n &lt; ω, φ (A n ) := x k (n) . Pela constru¸c˜ao, ´e claro que φ est´a bem definida e que ´e uma fun¸c˜ao-escolha para F, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

      Em virtude da n˜ao existˆencia do conjunto-universo, fixe um conjunto p tal que [ p 6∈ S F. Considere ent˜ao o conjunto n˜ao enumer´avel X := {p} ∪ S F = {p} ∪ A n . n&lt;ω Considere agora, para cada k &lt; ω, os seguintes conjuntos: [

      W k := {p} ∪ A n e n&gt;k B := {{x} : x ∈ A } ∪ {W } . k k k [ Verifica-se facilmente que o conjunto B := B k = {{x} : x ∈ k : k &lt; ω} ´e

      ∗ S F} ∪ {W k&lt;ω

      base para uma topologia τ sobre X. De agora em diante, considere X munido dessa topologia τ . Sendo assim, tem-se que, para todo x ∈ S F, o conjunto {x} ´e um aberto em X. Ent˜ao, para qualquer base B de X, tem-se que S F ⊆ B, implicando que B ´e n˜ao enumer´avel. Logo, X n˜ao tem base enumer´avel. Agora, para cada k &lt; ω, tem-se que A k ´e finito e ´e claro que B ≈ A ∪ {W }. Segue disso que, para todo k &lt; ω, B ´e finito. k k k k Logo, B ´e uma fam´ılia σ-finita. Por conseguinte, B ´e uma fam´ılia σ-localmente finita.

      ∗ ∗

      Dividamos a prova nos trˆes seguintes itens: (a) Mostremos que X ´e um espa¸co T 2 : fixe arbitrariamente x, y ∈ X tais que x 6= y.

      Suponha que tenhamos x, y ∈ S F. Tomando os conjuntos U := {x} e V := {y},

      Suponha agora que tenhamos x 6∈ S F ou y 6∈ S F. Disso, ´e imediato concluir que x = p ou y = p. Sem perda de generalidade, podemos supor que y = p, o que implica que x 6= p. J´a que {A n : n &lt; ω} ´e uma enumera¸c˜ao da fam´ılia disjunta F, ent˜ao existe um ´ unico n(x) &lt; ω tal que x ∈ A . Tomando os conjuntos U := {x} n (x) e V := W , tem-se claramente que: U e V s˜ao abertos em X, x ∈ U , y ∈ V e

      (n(x)+1) U ∩ V = ∅. Como x, y ∈ X foram fixados arbitrariamente, segue que X ´e T .

      2 (b) Mostremos que X ´e um espa¸co metriz´avel: tome um x ∈ S F e um k &lt; ω quaisquer.

      Como X ´e T , visto que ´e T , segue que o conjunto {x} ´e fechado em X. Agora,

      1

      2

      note que [ [ [ ! X \ W = A = {x} ∈ τ. k n n&lt;k n&lt;k x ∈A n Assim, tem-se que o conjunto W k ´e fechado em X. Como x ∈

      S F e k &lt; ω foram tomados quaisquer, conclui-se ent˜ao que todo elemento de B ´e um aberto-fechado

      ∗

      em X, o que implica que X ´e zero-dimensional. Ora, j´a que todo espa¸co topol´ogico 1 1 zero-dimensional ´e T , ent˜ao X ´e T . Por conseguinte, X ´e T . Como X ´e T ,

      3

      1

      3 2

      

    3

    2

      segue que X ´e regular. Visto que B ´e uma base σ-localmente finita de X, conclui-se

      ∗

      ent˜ao, pelo Teorema de Metriza¸c˜ao de Bing–Nagata–Smirnov (Teorema 4.3.1), que X ´e metriz´avel. (c) Mostremos que X ´e um espa¸co compacto: fixe arbitrariamente uma cobertura aberta

      C de X. Sendo assim, existe um U ∈ C tal que p ∈ U . Como U ´e uma vizinhan¸ca aberta de p e B ´e uma base de X, segue que existe um B ∈ B tal que p ∈ B ⊆ U .

      ∗ ∗

      Ent˜ao, j´a que p 6∈ S F, tem-se que existe um k &lt; ω tal que B = W k . Assim, tem-se [ que X \ B = A n . Note que o conjunto X \ B ´e finito (por ser uni˜ao finita de n&lt;k conjuntos finitos). Para cada x ∈ X \ B, fixe um U x ∈ C tal que x ∈ U x . Com isso, [ [ tem-se que X ⊆ U ∪ U x , ou melhor, que X = U ∪ U x . Logo, o conjunto x x

      ∈X\B ∈X\B ′

      C := {U } ∪ {U x : x ∈ X \ B} ´e uma subcobertura finita de C. Como C foi fixada arbitrariamente, segue que X ´e compacto.

      Portanto, tem-se que, em M7, existe um espa¸co topol´ogico metriz´avel que ´e compacto (logo Lindel¨of) e que n˜ao tem base enumer´avel e, consequentemente, n˜ao ´e separ´avel. Teorema 4.3.3 ([BeH98]). S˜ao equivalentes: (i) AC ω .

      (ii) Todo espa¸co topol´ogico que tem base enumer´avel ´e separ´avel.

      (iii) Todo espa¸co pseudom´etrico Lindel¨of ´e separ´avel.

      em S F satisfaz a condi¸c˜ao de que o conjunto {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X n 6= ∅} ´e finito.

      Note que d est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Sem muita dificuldade, verifica-se que hX, d i ´e um espa¸co pseudom´etrico (implicando que X ´e um espa¸co topol´ogico com a

      1 m , se n 6= m e n · m 6= 0.

      1 n −

      , se n 6= m e n · m = 0;

      d (hx, ni, hy, mi) := 0 , se n = m; 1 n + m

      Para cada n ∈ ω \ 1, considere o conjunto B n := X n × {n}. Considere ent˜ao o conjunto X := {h0, 0i} ∪ [ n&gt;

      1

      (iv) Todo espa¸co pseudom´etrico compacto ´e separ´avel. Demonstra¸c˜ ao:

      (*) toda sequˆencia s = hx k i k&gt;

      (ii) =⇒ (i), (iii) =⇒ (i), (iv) =⇒ (i) : Provaremos a contrapositiva destas implica¸c˜oes. Suponha que AC ω n˜ao valha. Assim, pelo Teorema 2.4.1, tem-se que existe uma fam´ılia infinita enumer´avel F = {X n : n ∈ ω \ 1} de conjuntos n˜ao vazios tal que

      Agora, provemos as equivalˆencias entre os itens acima: (i) =⇒ (ii), (i) =⇒ (iii), (i) =⇒ (iv) : As duas primeiras implica¸c˜oes j´a est˜ao demonstradas (veja Teorema 2.2.12 e Corol´ario 2.2.15). A ´ ultima implica¸c˜ao ´e imediata, pois j´a se tem que (i) implica (iii) e, obviamente, este ´ ultimo implica (iv).

      e n˜ao ser compacto) ´e, obviamente, um espa¸co compacto (logo Lindel¨of) que n˜ao ´e separ´avel (j´a que todo elemento de X ´e um ponto isolado em Y ).

      2

      Al´em disso, observemos que n˜ao faz sentido generalizar o item (iii) para todo espa¸co topol´ogico Lindel¨of nem o item (iv) para todo espa¸co topol´ogico compacto, pois existem contra-exemplos para tais generaliza¸c˜oes. Por exemplo, dado um espa¸co discreto n˜ao enumer´avel X, a sua compactifica¸c˜ao de Alexandroff Y = X ∪ {∞} (que existe, pelo fato de X ser localmente compacto T

      Gostar´ıamos de salientar que o item (iv) n˜ao est´a incluso no artigo [BeH98] como uma equivalˆencia de AC ω . Presumimos que os autores desse artigo n˜ao o inclu´ıram porque possivelmente desejavam apenas confrontar as equivalˆencias entre AC ω e os itens (ii) e (iii) com aquelas que s˜ao estabelecidas pelo Corol´ario 2.2.15.

    1 B n e defina d : X × X −→ R pondo

      (a) Mostremos que X ´e um espa¸co SE: pode-se verificar facilmente que, para cada

      1 n ∈ ω \ 1 e todo z ∈ B n , B n = B z, . Logo, para todo n ∈ ω \ 1, B n ´e n(n + 1) um aberto em X. Al´em disso, vˆe-se facilmente que:

      (**) para cada n ∈ ω \ 1 e todo z ∈ B n , B n ´e o m´ınimo segundo ⊆ para a propriedade “U ´e um aberto em X e z ∈ U ”.

      ∈ B. Considere Consequentemente, para todo n ∈ ω \ 1 e toda base B de X, B n

      1 ent˜ao o conjunto B := {B n : n ∈ ω \ 1} ∪ B h0, 0i, : n ∈ ω \ 1 . Note que n

      B ´e enumer´avel, por ser uni˜ao finita de conjuntos indexados por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14 e Teorema 2.1.4). Afirmamos que B ´e uma

      1 base de X. Com efeito: para todo n ∈ ω \ 1, B n e B h0, 0i, s˜ao abertos em X. n

      Logo, todo elemento de B ´e um aberto em X. Tome agora um aberto U qualquer em X. Se for U = ∅, nada a fazer. Se for U 6= ∅, tome um z ∈ U qualquer. H´a dois casos a considerar:

      (1) Caso ocorra que z 6= h0, 0i, teremos, pela constru¸c˜ao acima, que existe um ⊆ U .

      ´ unico n ∈ ω \ 1 tal que z ∈ B n . Por (**), concluiremos que B n (2) Caso ocorra que z = h0, 0i, seguir´a de U ser aberto em X e de R ser corpo

      1 h0, 0i, ⊆ U . ordenado arquimediano que existe um k ∈ ω \ 1 tal que B k

      Dos dois casos acima, segue que, para todo z ∈ U , existe um B ∈ B tal que z ∈ B ⊆ U .

      4

      (b) Mostremos que X ´e um espa¸co compacto: fixe arbitrariamente uma cobertura aberta C de X. Sendo assim, existe um U ∈ C tal que h0, 0i ∈ U . Com isso, tem-se 1 que existe um k ∈ ω \ 1 tal que B h0, 0i, ⊆ U . Note que, para todo hx, ni ∈ X, k 0 , se n = 0; d (hx, ni, h0, 0i) =

      1 , se n 6= 0. n

      1 Assim, para cada hx, ni ∈ X, tem-se que hx, ni ∈ B h0, 0i, se, e s´o se, n = 0 ou k

      1 ⊆ B h0, 0i, ⊆ U , n &gt; k. Logo, para cada natural i tal que i &gt; k, tem-se que B i 4 k

      Note que o argumento que segue ´e an´ alogo ` aquele usualmente dado para se provar, em ZF, que:

    “dados um espa¸co topol´ ogico X e uma sequˆencia hx n i n&gt; em X, se existir um ponto x ∈ X tal que

    1 x n → x , ent˜ao o conjunto {x } ∪ {x n : n ∈ ω \ 1} ´e um subespa¸co compacto de X”.

      [ ⊆ U . Agora, para cada natural i tal que 1 6 i 6 k, implicando que X \ B i

      16i6k

      fixe um z i ∈ B i e um U i ∈ C tais que z i ∈ U i . Ent˜ao, segue de (**) que, para todo [ [ natural i tal que 1 6 i 6 k, B i ⊆ U i , implicando que B i ⊆ U i . Com isso, [ [ 16i6k 16i6k tem-se que X ⊆ U ∪ U i , ou melhor, que X = U ∪ U i . Logo, o conjunto

      16i6k 16i6k ′

      C := {U } ∪ {U i : 1 6 i 6 k} ´e uma subcobertura finita de C. Como C foi fixada arbitrariamente, segue que X ´e compacto.

      (c) Mostremos que o espa¸co X n˜ao ´e separ´avel, i.e., que todo subconjunto enumer´avel de X n˜ao ´e denso em X: tome um subconjunto enumer´avel Y qualquer de X e considere o conjunto Z := Y \ {h0, 0i}. Se for Z = ∅, ent˜ao Y ⊆ {h0, 0i} ⊂ X, implicando que Y n˜ao ´e denso em X. Se for Z 6= ∅, ent˜ao, como Z ´e enumer´avel (pelo Corol´ario 1.1.16), fixe uma indexa¸c˜ao {z k : k ∈ ω \ 1} de Z. Tome a sequˆencia

      a

      s = hx k i k&gt; tal que, para todo k ∈ ω \ 1, x k ´e a 1 coordenada de z k . Assim, tem-se

      1 que Z ⊆ im(s)×(ω \ 1). Agora, note que s ´e uma sequˆencia em S F, por constru¸c˜ao.

      6= ∅} ´e finito. J´a que Ent˜ao, por (*), tem-se que o conjunto {n ∈ ω \ 1 : im(s) ∩ X n ω \ 1 ´e infinito, pode-se ent˜ao fixar um m ∈ ω \ 1 tal que im(s) ∩ X m = ∅. Disso, segue que Y ∩ B m = Z ∩ B m ⊆ (im(s) × (ω \ 1)) ∩ (X m × {m}) = ∅ (usando-se, na primeira igualdade, o fato de que h0, 0i 6∈ B m ). Logo, Y n˜ao intersecta um subconjunto aberto e n˜ao vazio de X. Consequentemente, Y n˜ao ´e denso em X.

      Portanto, tem-se que existe um espa¸co pseudom´etrico (logo topol´ogico) SE que ´e Lindel¨of (j´a que ´e compacto) e n˜ao ´e separ´avel. Agora, apresentemos as no¸c˜oes de “subconjunto sequencialmente fechado” e de

      “espa¸co topol´ogico sequencial”. Comecemos ent˜ao pela seguinte Defini¸c˜ ao 4.3.4. Sejam X um espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. Diremos que A ´e sequencialmente fechado em X se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo x ∈ X, se existir uma sequˆencia hx n i n&gt; em A tal que x n → x, ent˜ao x ∈ A. △

    1 Em virtude da Defini¸c˜ao 4.3.4, ´e imediato concluir que “todo subconjunto fechado

      de um dado espa¸co topol´ogico ´e sequencialmente fechado”. No entanto, a rec´ıproca n˜ao ´e v´alida, j´a que “existem espa¸cos topol´ogicos que possuem subconjuntos sequencialmente fechados que n˜ao s˜ao fechados”. Por exemplo, considere sobre ω + 1 a topologia que ´e

      1

      gerada pelos unit´arios de todos os ordinais menores que ω

      1 e por todos os subconjuntos

      coenumer´aveis de ω + 1 que possuem ω como elemento (ou, mais geralmente, considere

      1

      1

      o espa¸co topol´ogico que ´e obtido pelo processo de Lindel¨ofza¸c˜ao por um ponto aplicado ao

      5

      espa¸co discreto que possui ℵ pontos) . Segundo esta topologia, ´e claro que toda sequˆencia

      1

      em ω que converge tem de convergir para algum ponto em ω (pois o complementar em

      1

      1

      ω

      1 + 1 da imagem de qualquer sequˆencia em ω 1 ´e uma vizinhan¸ca aberta de ω 1 ), mas ω

      1

      n˜ao ´e fechado (j´a que ω ´e um ponto isolado, devido ao fato de toda vizinhan¸ca aberta de

      1

      ω ser n˜ao enumer´avel). Este exemplo simples ´e providencial, pois enseja a seguinte

    1 Defini¸c˜ ao 4.3.5. Seja X um espa¸co topol´ogico. Diremos que X ´e sequencial se

      todo subconjunto sequencialmente fechado de X for fechado. △ Assim definido, temos que ω +1 n˜ao ´e sequencial quando munido da topologia que

      1

      acabamos de considerar. Mais geralmente, temos que n˜ao ´e sequencial o espa¸co topol´ogico que ´e obtido pelo processo de Lindel¨ofza¸c˜ao por um ponto aplicado a um espa¸co discreto n˜ao enumer´avel.

      Agora, prossigamos apresentando dois teoremas bem interessantes – por´em, com as demonstra¸c˜oes omitidas no presente trabalho – onde est˜ao presentes as no¸c˜oes de subconjunto sequencialmente fechado e espa¸co topol´ogico sequencial e cujos enunciados nos dizem o que pode ocorrer, por exemplo, com os subespa¸cos sequencialmente compactos de R na ausˆencia de uma certa restri¸c˜ao de AC ω . S˜ao eles: Teorema 4.3.6 ([Gut03]). S˜ao equivalentes:

      (i) AC ω restrito `as fam´ılias (enumer´aveis) de subconjuntos sequencialmente fechados de R. (ii) R ´e sequencial. (iii) Todo subconjunto sequencialmente fechado de R ´e separ´avel.

      (iv) Todo subespa¸co sequencialmente compacto de R ´e Lindel¨of.

      (v) Todo subespa¸co sequencialmente compacto de R ´e compacto. (vi) Todo subespa¸co sequencialmente compacto de R ´e fechado. (vii) Todo subespa¸co sequencialmente compacto de R ´e limitado. (viii) Todo subespa¸co sequencialmente compacto de R ´e separ´avel. 5 Em ZF, o processo de Lindel¨ofza¸c˜ ao por um ponto aplicado a um espa¸co discreto n˜ ao enumer´ avel

      

    n˜ ao nos fornece necessariamente um espa¸co Lindel¨of. Contudo, sob AC ω , pode-se mostrar que ´e Lindel¨of

    o espa¸co topol´ ogico que ´e obtido pelo processo de Lindel¨ofza¸c˜ ao por um ponto aplicado a um espa¸co

      Teorema 4.3.7 ([Gut08]). S˜ao equivalentes: (i) AC ω .

      (ii) Todo espa¸co m´etrico ´e sequencial. (iii) Todo espa¸co topol´ogico primeiro-enumer´avel ´e sequencial.

      Gostar´ıamos de encerrar a presente se¸c˜ao formulando duas quest˜oes que surgem naturalmente quando observamos as equivalˆencias no Teorema 4.3.3 – e para as quais ainda n˜ao se conhece qualquer resposta na literatura. S˜ao elas: Quest˜ ao 4.3.8. A asser¸c˜ao “todo espa¸co m´etrico Lindel¨of ´e separ´avel” ´e equivalente a

      △ AC ω ? Quest˜ ao 4.3.9. Caso a resposta para a quest˜ao anterior seja negativa, existe algum princ´ıpio de escolha estritamente mais fraco que AC ω que seja equivalente `a referida asser¸c˜ao ?

      △

    4.4 AC (R) e espa¸cos topol´ ogicos SE e SSE

      ω Na presente se¸c˜ao, iremos enunciar e demonstrar, em ZF, algumas equivalˆencias para AC ω (R) que est˜ao relacionadas `as no¸c˜oes topol´ogicas de: espa¸co SE, espa¸co SSE, espa¸co pseudom´etrico separ´avel e subespa¸co Lindel¨of de R. Al´em disso, iremos provar, em ZF, que todos os subespa¸cos SSE de R s˜ao separ´aveis. Inicialmente, daremos a nossa contribui¸c˜ao apresentando uma constru¸c˜ao, em ZF, de um exemplo possivelmente conhecido, mas para o qual n˜ao conseguimos obter a constru¸c˜ao em nenhuma de nossas referˆencias. Este exemplo ´e o seguinte e interessante Exemplo 4.4.1. Existe um espa¸co topol´ogico compacto SE que ´e SSE.

      Constru¸c˜ ao: &lt;ω De in´ıcio, lembre-se que o conjunto [ω] ´e enumer´avel (pelo Corol´ario 2.1.3). &lt;ω &lt;ω &lt;ω Como obviamente [ω \ 1] ⊂ [ω] , ent˜ao segue do Corol´ario 1.1.16 que [ω \ 1] ´e &lt;ω enumer´avel. Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {X k : k &lt; ω} de [ω \ 1] . Agora, considere o

      1 conjunto A := {0} ∪ : n ∈ ω \ 1 munido da topologia de subespa¸co de R. Tome a n

      1 i → 0, segue ent˜ao sequˆencia hx n n&gt;

      

    1 em R tal que, para todo n ∈ ω \ 1, x n := . Como x n

      n

      6

      que A ´e um subespa¸co compacto de R. Al´em disso, tem-se que, para todo n ∈ ω \ 1,

      1 ´e um aberto em A, pois, obviamente, n

      1

      3

      1

      1

      1 {1} = , ∩ A e, para todo n ∈ ω \ 2, = , ∩ A.

      2 2 n n + 1 n − 1

      1

      1 ∪ ∩ A : n ∈ ω \ 1

      Considere ent˜ao o conjunto B := : n ∈ ω \ 1 0, e note n n que este conjunto ´e enumer´avel, por ser uni˜ao finita de conjuntos indexados por um conjunto enumer´avel (veja Proposi¸c˜ao 1.1.14 e Teorema 2.1.4).

      Afirmamos que B ´e uma base de A. Com efeito: para cada n ∈ ω \ 1, tem-se

      1

      1

      1 que e 0, ∩ A = −1, ∩ A s˜ao abertos em A, i.e., todo elemento de B ´e um n n n aberto em A. Tome um aberto U qualquer em A. Sendo assim, existe um aberto V em R tal que U = V ∩ A. Se for U = ∅, nada a fazer. Se for U 6= ∅, tome um z ∈ U qualquer. H´a dois casos a considerar:

      (1) Se ocorrer que z 6= 0, teremos obviamente que existe um ´ unico n ∈ ω \ 1 tal que

      1 z ∈ ⊆ U . n

      (2) Se ocorrer que z = 0, ent˜ao V ser´a uma vizinhan¸ca aberta de 0 em R. De R ser

      1

      1 corpo ordenado arquimediano, seguir´a que existe um k ∈ ω \1 tal que − , ⊆ V , k k

      1

      1

      1 ∩ A = − ∩ A ⊆ V ∩ A = U . implicando que 0, , k k k

      Dos dois casos acima, segue que, para todo z ∈ U , existe um B ∈ B tal que z ∈ B ⊆ U .

      7 Agora, seja B uma base qualquer de A. Considere, para cada m, n ∈ ω \ 1 tais

      1

      1 que m 6 n, o conjunto B := B ∈ B : 0, ∩ A ⊆ B ⊆ 0, ∩ A . Considere

      hm,ni

      n m

      2

      hm, ni ∈ (ω \ 1) e note que ent˜ao o conjunto M := : m 6 n e ∃ B ⊆ A B ∈ B

      hn,mi

      este conjunto ´e enumer´avel, j´a que est´a contido em um produto finito de um conjunto enumer´avel por si mesmo (veja Teorema 2.1.5). Note ainda que, para todo hm, ni ∈ M , &lt;ω

      1 B 6= ∅. Considere agora, para cada F ∈ [ω \ 1]

      hm,ni , o conjunto A F := : n ∈ F .

      n Facilmente se verifica que, para todo hm, ni ∈ M ,

      1 B = B ∈ B : ∃ F ⊆ n \ m B = 0, ∩ A ∪ A F .

      hm,ni 6

      n 7 Veja a nota de rodap´e da p´ agina 83.

      Note que A admite ao menos uma base B de tamanho c. De fato: basta fixar uma base B de A

    (por exemplo, B = B ) e tomar a fam´ılia B := B ∪ P (A \ {0}). Facilmente se verifica que essa fam´ılia ∗ ∗ tamb´em ´e uma base de A e que tem tamanho c. Al´em disso, para todo F ⊆ n \ m, existe um k &lt; ω tal que F = X k (pois, obviamente, &lt;ω P (n \ m) ⊂ [ω \ 1] ). Consequentemente, para todo hm, ni ∈ M ,

      1 k(m, n) := min k ∈ ω : 0, ∩ A ∪ A X ∈ B est´a bem definido. k hm,ni n

      1 ∩ A ∪ A ∈ B

      Tome, para cada hm, ni ∈ M , o conjunto B := 0, X .

      hm,ni k hm,ni (m,n)

      n

      1

      1 Ent˜ao, para cada hm, ni ∈ M , tem-se que 0, ∩ A ⊆ B ⊆ 0, ∩ A.

      hm,ni

      n m Agora, afirmamos que o conjunto B := B : hm, ni ∈ M ⊆ B ´e uma base

      1 hm,ni

      local enumer´avel para o ponto 0. De fato: ´e claro que B

      1 ´e enumer´avel, pois est´a indexado

      por um conjunto enumer´avel. Pela pr´opria defini¸c˜ao dada para B , ´e evidente que todo

      1

      elemento de B ´e uma vizinhan¸ca aberta de 0 em A. Seja W uma vizinhan¸ca aberta

      1

      qualquer de 0 em A. Com aquele argumento dado em (2), conclui-se que existe um

      1 1 m ∈ ω \ 1 tal que 0, ∩ A ⊆ W . Como B ´e uma base de A e 0, ∩ A ´e uma m m

      1 vizinhan¸ca aberta de 0 em A, ent˜ao existe um B ∈ B tal que 0 ∈ B ⊆ 0, ∩ A. m

      Novamente com aquele argumento dado em (2), conclui-se que existe um n ∈ ω \ 1 tal que

      1 ∩ A ⊆ B, j´a que B ´e uma vizinhan¸ca aberta de 0 em A. Consequentemente, existe

      0, n

      1

      1 um hm, ni ∈ M tal que 0, ∩ A ⊆ B ⊆ 0, ∩ A ⊆ W . Logo, existe um B ∈ B

      hm,ni

      1

      n m

      1 tal que B ⊆ W . Disso, ´e f´acil concluir que o conjunto B := : n ∈ ω \ 1 ∪ B ´e

      2

      1

      n

      1 uma base de A. Como B ⊆ B e, para cada n ∈ ω \ 1, tem-se que est´a contido em

      1

      n qualquer base de A, segue de imediato que B est´a contido em B. Al´em disso, ´e claro que

      

    2

      8 B ´e enumer´avel, por ser uni˜ao finita de conjuntos enumer´aveis.

    2 Uma outra maneira de concluir que B possui uma subfam´ılia enumer´avel que

      &lt;ω tamb´em ´e base do subespa¸co A ´e a seguinte: para cada n ∈ ω \ 1 e cada F ∈ [ω \ 1] , 1 considere o conjunto B := 0, ∩ A ∪ A F . Com isso, considere agora o conjunto

      hn,F i

      n &lt;ω

      V B e observe que este conjunto ´e enumer´avel, := : hn, F i ∈ (ω \ 1) × [ω \ 1]

      hn,F i

      pois est´a indexado por um produto finito de conjuntos enumer´aveis. Assim, tem-se que

      1 o conjunto B := : n ∈ ω \ 1 ∪ (B ∩ V ) ´e enumer´avel, por ser uni˜ao finita de

      3

      n conjuntos enumer´aveis. Sem muita dificuldade, verifica-se tamb´em que B ´e uma base de

      3 A que est´a contida em B. 8 Portanto, da argumenta¸c˜ao que foi dada, segue que A, como subespa¸co de R, ´e Esta primeira forma de argumentar para a constru¸c˜ ao do exemplo ´e, de fato, bastante trabalhosa,

    mas ´e dada com o intuito de estabelecer uma compara¸c˜ ao com o argumento dado para a demonstra¸c˜ ao do Teorema 2.2.11, na qual AC ω ´e utilizado. um espa¸co topol´ogico compacto SE que ´e SSE. Observa¸c˜ ao 4.4.2. Note que, apesar do uso de AC (R) na prova do Teorema 2.3.2, o ω Exemplo 4.4.1 nos mostra que existem casos em que n˜ao ´e necess´ario usar princ´ıpio de escolha algum para se provar que certos espa¸cos topol´ogicos SE s˜ao SSE. Por´em, isto n˜ao ´e verdade para o espa¸co R, como ser´a visto no Teorema 4.4.5, logo mais adiante. △

      ´ E interessante destacar que, utilizando argumento an´alogo ao que ´e dado no pen´ ultimo paragr´afo da constru¸c˜ao do Exemplo 4.4.1, pode-se provar uma das implica¸c˜oes do seguinte complemento ao Teorema 4.3.3: Teorema 4.4.3. S˜ao equivalentes: (i) AC ω .

      (ii) Todo espa¸co topol´ogico SSE ´e separ´avel. Demonstra¸c˜ ao: (i) =⇒ (ii) : J´a est´a demonstrada (veja Corol´ario 2.2.15).

      (ii) =⇒ (i) : Tal como na prova de (ii) =⇒ (i) do Teorema 4.3.3, suponha que [ AC ω n˜ao valha e considere o espa¸co pseudom´etrico n˜ao separ´avel, X = {h0, 0i} ∪ B n , n&gt; &lt;ω

      1

      que ´e constru´ıdo a partir desta suposi¸c˜ao. Agora, como o conjunto [ω] ´e enumer´avel &lt;ω &lt;ω &lt;ω

      e, obviamente, [ω \ 1] ⊂ [ω] , tem-se ent˜ao que [ω \ 1] ´e enumer´avel. Considere, &lt;ω [ para cada F ∈ [ω \ 1] , o conjunto X F := B n . Considere agora, para cada n ∈ ω \ 1 n &lt;ω ∈F 1 h0, 0i, ∪ X e cada F ∈ [ω \ 1] , o conjunto B := B F . Tome ent˜ao o conjunto

      hn,F i &lt;ω n

      V := B : hn, F i ∈ (ω \ 1) × [ω \ 1] e observe que este conjunto ´e enumer´avel,

      hn,F i

      pois est´a indexado por um produto finito de conjuntos enumer´aveis. Tome agora uma base B qualquer de X. Considere ent˜ao o conjunto B := {B n : n ∈ ω \ 1} ∪ (B ∩ V ).

      1 Note que B 1 ´e enumer´avel, por ser uni˜ao finita de conjuntos enumer´aveis. Verifica-se,

      sem muita dificuldade, que B ´e uma base de X que est´a contida em B. Ent˜ao, j´a que

    1 B foi tomada qualquer, conclui-se que X ´e SSE. Consequentemente, existe um espa¸co

      pseudom´etrico (logo topol´ogico) SSE que n˜ao ´e separ´avel. Portanto, a implica¸c˜ao segue por contraposi¸c˜ao.

      Como j´a foi visto, o Teorema 4.2.1 nos garante que AC ω (R) ´e equivalente `a asser¸c˜ao “todo subespa¸co de R ´e separ´avel”. Contudo, tal equivalˆencia n˜ao ´e de longe a ´ unica entre AC ω (R) e asser¸c˜oes topol´ogicas que envolvem certas fam´ılias de subespa¸cos de R, conforme nos diz o seguinte e importante Lema 4.4.4. S˜ao equivalentes: (i) AC ω (R).

      (ii) AC ω restrito `as fam´ılias (enumer´aveis) de subconjuntos densos de R. (iii) Todo subespa¸co de R ´e separ´avel.

      (iv) Todo subespa¸co SE de R ´e separ´avel.

      (v) Todo subespa¸co denso de R ´e separ´avel. Demonstra¸c˜ ao: (i) ⇐⇒ (iii) : J´a est´a demonstrada (veja o Teorema 4.2.1).

      (i) =⇒ (ii) : ´ E imediato, j´a que toda fam´ılia de subconjuntos densos de R ´e obviamente constitu´ıda por subconjuntos n˜ao vazios de R. Para prosseguir com a demonstra¸c˜ao, considere inicialmente a base enumer´avel

      B = {]a, b[ : a, b ∈ Q e a &lt; b} de R. Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {]a n , b n [ : n &lt; ω} de B. Para cada n &lt; ω, tome o correspondente ]a , b [ ∈ B e defina ϕ : ]0, 1[ −→ ]a , b [ n n n n n pondo ϕ n (x) = (b n − a n )x + a n . Claramente, para todo n &lt; ω, ϕ n est´a bem definida e

      1 x ´e um homeomorfismo. Considere ψ : R −→ ]0, 1[ definida por ψ(x) = 1 + . 2 1 + |x| Sem muita dificuldade, verifica-se que ψ est´a bem definida e que ´e um homeomorfismo.

      Finalmente, para cada n &lt; ω, tome f n : R −→ ]a n , b n [ definida por f n (x) = (ϕ n ◦ ψ)(x).

      ´ E claro que, para todo n &lt; ω, f n ´e um homeomorfismo, pois o s˜ao ϕ n e ψ. Agora, prossigamos com a prova das seguintes implica¸c˜oes:

      (iii) ⇐⇒ (iv) : Por um lado, valendo (iii), ´e imediato concluirmos que todo subespa¸co SE de R ´e separ´avel. Por outro lado, como R ´e SE, ent˜ao todo subespa¸co de R

      ´e SE (pela Proposi¸c˜ao 1.2.11). Portanto, supondo-se que (iv) valha, podemos concluir que todo subespa¸co de R ´e separ´avel.

      (ii) =⇒ (v) : Seja D um subespa¸co denso qualquer de R. Para cada n &lt; ω, temos

      −1

      claramente que f : ]a n , b n [ −→ R ´e cont´ınua e sobrejetora (por ser a inversa de um n homeomorfismo) e que D ∩ ]a n , b n [ ´e denso em ]a n , b n [ (pois a interse¸c˜ao de um subespa¸co aberto com um subconjunto denso ´e denso em um tal subespa¸co). Sendo assim, para

      −1

      D ∩ ]a ´e um subconjunto denso cada n &lt; ω, conclu´ımos que o conjunto D n := f n , b n [ n de R (j´a que a imagem de um subconjunto denso por uma fun¸c˜ao cont´ınua e sobrejetora ´e um denso no contradom´ınio). Considere ent˜ao o conjunto F := {D n : n &lt; ω}. Temos obviamente que F ´e uma fam´ılia enumer´avel de subconjuntos densos de R. Com isso, se admitirmos que (ii) valha, podemos ent˜ao concluir que existe uma fun¸c˜ao-escolha para F, i.e., uma fun¸c˜ao φ : F −→ ) ∈ D . Considere agora,

      S F tal que, para todo n &lt; ω, φ (D n n subconjunto enumer´avel denso de D. Com efeito: claramente, temos que D ´e enumer´avel. Ora, para cada n &lt; ω, ´e evidente que d n ∈ f n [D n ] = D ∩ ]a n , b n [ ⊆ D. Segue obviamente

      ⊆ D e que D disso que D intersecta cada elemento do conjunto B D := {D ∩ I : I ∈ B}. Como B D ´e uma base de D (visto que B ´e uma base de R), ent˜ao D ´e denso em D. Consequentemente, D ´e um subespa¸co separ´avel de R.

      (v) =⇒ (i) : Seja F uma fam´ılia infinita enumer´avel qualquer de subconjuntos n˜ao vazios de R. Fixe ent˜ao uma enumera¸c˜ao {X n : n &lt; ω} de F. Com isso, tome o conjunto [ D := f [X ] ⊆ R. Observe que, para cada n &lt; ω, o correspondente ]a , b [ ∈ B ´e tal n&lt;ω n n n n que D ∩ ]a n , b n [ ⊇ D ∩ f n [X n ] = f n [X n ] 6= ∅ (pois, por hip´otese, X n 6= ∅). Como B ´e uma base de R, ent˜ao D ´e um subespa¸co denso de R. Assim, supondo-se que (v) valha, pode-se concluir que existe um conjunto D que ´e subconjunto enumer´avel denso de D.

      Logo, conclui-se que D tamb´em ´e denso em R (pois um denso em um subespa¸co denso ´e denso). Considere agora o conjunto M := {n ∈ ω : D ∩ f n [X n ] 6= ∅}. Afirmamos que M ´e infinito. De fato: suponha que M seja finito. Para ver que isto nos levar´a a uma contradi¸c˜ao, note inicialmente que: [ [ [    

      D = D ∩ D = D ∩ f n [X n ] = D ∩ f n [X n ] ∪ f n [X n ] ⊆ n&lt;ω n

      ∈M n [ [ [ [ ∈ω\M ⊆ f n [X n ] ∪ (D ∩ f n [X n ]) ⊆ ]a n , b n [ ∪ ∅ = ]a n , b n [ . n ∈M n n ∈M n ∈M ∈ω\M Com isso, temos que D est´a contido em uma uni˜ao de subconjuntos limitados de R.

      Sendo M finito, seguir´a que D ´e limitado em R, contradizendo o fato de D ser denso em R (j´a que R ´e ilimitado em si mesmo). Ent˜ao, fixando-se uma indexa¸c˜ao {d k : k &lt; ω} de D , conclui-se que, para todo n ∈ M , k(n) := min {k ∈ ω : d k ∈ f n [X n ]} est´a bem definido. Considere agora o conjunto F M := {X n : n ∈ M } ⊆ F. Ora, ´e claro que F M ´e uma subfam´ılia infinita de F, por ser imagem do conjunto infinito M pela enumera¸c˜ao de

      F. Obviamente, para todo n ∈ M , d ∈ f −→ k n [X n ]. Com isso, defina φ : F M S F M

      (n) −1

      pondo, para todo n ∈ M , φ (X ) := f d . Como ´e f´acil verificar que n = m implica n k (n) n f n = f m , e temos que {X n : n &lt; ω} ´e uma enumera¸c˜ao de F, segue ent˜ao que φ est´a bem definida. Al´em disso, temos que φ ´e uma fun¸c˜ao-escolha para F M , j´a que, para todo

      −1

      n ∈ M , φ (X n ) ∈ f [f n [X n ]] = X n . Como F foi tomada qualquer, conclu´ımos que n “toda fam´ılia infinita enumer´avel de subconjuntos n˜ao vazios de R possui uma subfam´ılia infinita que admite uma fun¸c˜ao-escolha”. Ora, sabemos que esta asser¸c˜ao ´e equivalente a AC ω (R) (pelo Teorema 2.4.2). Portanto, segue da validade de (v) que AC ω (R) tamb´em vale. principais resultados desta se¸c˜ao, que ´e dado pelo seguinte Teorema 4.4.5. S˜ao equivalentes: (i) AC ω (R).

      (ii) Todo espa¸co topol´ogico SE ´e SSE. (iii) Todo espa¸co pseudom´etrico separ´avel ´e SSE.

      (iv) [0, 1] ´e SSE.

      (v) R ´e SSE. Demonstra¸c˜ ao: (i) =⇒ (ii) : J´a est´a demonstrada (veja Teorema 2.3.2).

      (ii) =⇒ (iii) : Sabemos que todo espa¸co pseudom´etrico separ´avel ´e SE (pelo Teorema 2.1.7). Portanto, admitindo-se a validade de (ii), pode-se concluir que todo espa¸co pseudom´etrico separ´avel ´e SSE.

      (iii) =⇒ (iv) : Como Q ´e um subconjunto enumer´avel denso de R, ent˜ao o conjunto Q ∩ [0, 1] ⊂ Q ´e enumer´avel (pelo Corol´ario 1.1.16) e subconjunto denso de [0, 1] (j´a que o conjunto B = {]x, y[ ∩ [0, 1] : x, y ∈ R} \ {∅} ´e uma base de [0, 1] tal que todo elemento de B intersecta Q). Assim, tem-se que [0, 1] ´e um subespa¸co separ´avel de R. Portanto, admitindo-se que (iii) valha, pode-se concluir que [0, 1] ´e SSE.

      (iv) =⇒ (v) : J´a sabemos que ]0, 1[ ´e homeomorfo a R. Ent˜ao, para provar que (iv) implica que R ´e SSE, ´e basta mostrar que (iv) implica que ]0, 1[ ´e SSE. Para mostrar isso, tome uma base B qualquer de ]0, 1[ e considere o conjunto

      1

      1

      ′ B ∪ ∪ B.

      := 0, : n ∈ ω \ 1 1 − , 1 : n ∈ ω \ 1 n n

      ′

      Afirmamos que B ´e uma base de [0, 1]. Com efeito: ´e imediato concluir que todo elemento de B ´e um aberto em [0, 1], pois, obviamente, ]0, 1[ ´e um aberto em [0, 1]. Al´em disso, ´e

      1

      1

      1

      1 claro que, para todo n ∈ ω \ 1, 0, = −1, ∩ [0, 1] e 1 − , 1 = 1 − , 2 ∩ [0, 1] n n n n

      ′

      s˜ao abertos em [0, 1]. Logo, todo elemento de B ´e um aberto em [0, 1]. Seja U um aberto em [0, 1], i.e., U = V ∩ [0, 1], para algum aberto V em R. Caso seja U = ∅, nada a fazer. Caso contr´ario, tome um z ∈ U qualquer. Temos ent˜ao trˆes casos a considerar:

      (1) Se for z = 0, como U ⊆ V , ent˜ao V ser´a uma vizinhan¸ca aberta de 0 em R. Disso, e de R ser corpo ordenado arquimediano, concluiremos que existe um k ∈ ω \ 1 tal que

      1

      1

      1

      1

      1 − , ⊆ V . Com isso, teremos que 0, = − , ∩ [0, 1] ⊆ V ∩ [0, 1] = U .

      (2) Se for z = 1, com argumento an´alogo ao do caso anterior, iremos concluir que

      1

      1 existe um k ∈ ω \ 1 tal que 1 − , 1 + ⊆ V . Por conseguinte, teremos que k k

      1

      1

      1 1 − , 1 = 1 − , 1 + ∩ [0, 1] ⊆ V ∩ [0, 1] = U . k k k (3) Se for z 6= 0 e z 6= 1, teremos que z ∈ U \ {0, 1} = V ∩ ([0, 1] \ {0, 1}) = V ∩ ]0, 1[.

      ′

      Como obviamente V ∩ ]0, 1[ ´e um aberto em ]0, 1[, ent˜ao existir´a um B ∈ B ⊂ B tal que z ∈ B ⊆ U \ {0, 1} ⊆ U .

      ′ Dos trˆes casos acima, segue que, para todo z ∈ U , existe um B ∈ B tal que z ∈ B ⊆ U .

      Ent˜ao, admitindo-se a validade de (iv), pode-se concluir que existe uma base

      ′ ′ ′ enumer´avel B de [0, 1] contida em B . Sendo assim, considere o conjunto B := B ∩ B.

      ′

      Ora, ´e claro que B ´e enumer´avel, j´a que B ⊂ B . Mais do que isso: temos que B ´e uma ⊆ B, temos claramente que todo elemento de B base de ]0, 1[. De fato: como B

      ´e um aberto em ]0, 1[. Seja W um aberto qualquer em ]0, 1[. Como ]0, 1[ ´e um aberto em [0, 1], ´e imediato concluir que W tamb´em ´e um aberto em [0, 1]. Se for W = ∅, nada a fazer.

      ′

      Se for W 6= ∅, tome um w ∈ W qualquer. De B ser base de [0, 1], conclu´ımos que existe

      ′

      um B ∈ B tal que w ∈ B ⊆ W . J´a que W ⊆ ]0, 1[, ent˜ao 0 6∈ B e 1 6∈ B. Disso, e de

      ′ ′ ′

      ⊆ B ∩ B = B termos B , segue de imediato que B ∈ B. Logo, B ∈ B . Portanto, temos que ]0, 1[ ´e SSE.

      (v) =⇒ (i) : Suponha que (v) valha. Conforme o Lema 4.4.4, para se concluir a validade de AC ω (R), ´e suficiente provar que todo subespa¸co denso de R ´e separ´avel. Para provar isso, tome um subespa¸co denso D qualquer de R. Sendo assim, pode-se mostrar facilmente que o conjunto B := {]a, b[ : a, b ∈ D e a &lt; b} ´e uma base de R. Ent˜ao, da validade de (v), conclui-se que existe uma base enumer´avel B de R contida em B. Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {]a n , b n [ : n &lt; ω} de B . Agora, defina ϕ : B −→ D pondo ϕ (]a, b[) := a. ´ E claro que ϕ est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Considere ent˜ao o conjunto D := ϕ [B ] ⊆ D e note que este conjunto ´e enumer´avel, j´a que ´e imagem de um conjunto enumer´avel por uma fun¸c˜ao (veja Corol´ario 1.1.17). Afirmamos que D ´e denso em D. Com efeito: para concluir o afirmado, basta mostrar que D ´e denso em R D R

      (j´a que D = D ∩ D). Mostremos isso: fixe arbitrariamente um n &lt; ω e considere o correspondente ]a n , b n [ ∈ B . Tome um z ∈ ]a n , b n [ qualquer e fixe um ε &gt; 0 tal que

      1 − z}. Tome agora o conjunto V := ]z − ε, z + ε[ ⊂ ]a

      ε 6 min {z − a n , b n n , b n [. Como

      2 B ´e uma base de R e V ´e, obviamente, uma vizinhan¸ca aberta de z em R, conclui-se que existe um k &lt; ω tal que o correspondente ]a k , b k [ ∈ B satisfaz a condi¸c˜ao de que z ∈ ]a k , b k [ ⊆ V ⊂ ]a n , b n [. Segue facilmente disso que a k ∈ ]a n , b n [. Al´em disso, pela 6= ∅. defini¸c˜ao de ϕ, ´e claro que a k = ϕ (]a k , b k [) ∈ D . Consequentemente, ]a n , b n [ ∩ D Como n &lt; ω foi tomado arbitr´ario, conclui-se que D ´e denso em R e, por conseguinte, que D ´e separ´avel. Portanto, j´a que D foi tomado qualquer, segue que todo subespa¸co denso de R ´e separ´avel.

      Observa¸c˜ ao 4.4.6. Para as demonstra¸c˜oes do Lema 4.4.4 e do Teorema 4.4.5, demos a nossa contribui¸c˜ao apresentando a justificativa de todos os detalhes das provas dadas pelo autor do artigo [Gut04], no qual obtivemos os resultados que est˜ao expressos no lema e no teorema referidos.

      △ Corol´ ario 4.4.7. S˜ao equivalentes: (i) AC ω (R).

      (ii) Todo subespa¸co Lindel¨of de R ´e SSE. Prova:

      (i) =⇒ (ii) : Pelo fato de R ser SE, tem-se que todo subespa¸co de R ´e SE (pela Proposi¸c˜ao 1.2.11). Ent˜ao, valendo AC ω (R), pode-se concluir, pelo Teorema 4.4.5, que todo subespa¸co de R ´e SSE.

      (ii) =⇒ (i) : Basta verificar que a contrapositiva vale. Suponha que AC ω (R) n˜ao valha. Sendo assim, segue do Teorema 4.4.5 que [0, 1] n˜ao ´e SSE. Ora, temos que [0, 1] ´e Lindel¨of, por ser compacto (veja Teorema 2.1.12). Portanto, existe um subespa¸co Lindel¨of de R que n˜ao ´e SSE.

      9 Corol´ ario 4.4.8. Se todo espa¸co m´etrico Lindel¨of for SSE, ent˜ao AC ω (R) vale.

      O Corol´ario 4.4.8 ´e uma consequˆencia imediata do Corol´ario 4.4.7, pois segue obviamente da sua hip´otese que todo subespa¸co Lindel¨of de R ´e SSE. Agora, com o prop´osito de motivar o ´ ultimo dos principais resultados desta se¸c˜ao, vamos nos reportar ao Teorema 4.4.3. A princ´ıpio, pode parecer surpreendente que o item (ii) desse teorema, quando restrito aos subespa¸cos de R, possa ser provado em ZF. Contudo, isso ´e justamente o que garante o ´ ultimo dos principais resultados apresentados nesta se¸c˜ao, o qual passamos a enunciar no seguinte 9 Observe que n˜ ao faz sentido enunciar este corol´ ario com a hip´ otese mais geral de que todo espa¸co

      

    topol´ ogico Lindel¨of ´e SSE, devido ao seguinte fato: a compactifica¸c˜ ao de Alexandroff de um dado espa¸co

    discreto n˜ ao enumer´avel ´e um espa¸co Lindel¨of (por ser compacto) que n˜ ao tem base enumer´ avel alguma

    (j´a que possui um subconjunto n˜ ao enumer´avel de pontos isolados).

      Teorema 4.4.9. Todo subespa¸co SSE de R ´e separ´avel. Demonstra¸c˜ ao:

      Seja A um subespa¸co SSE de R. Como ´e evidente que ∅ ´e um subespa¸co SSE separ´avel de R, podemos ent˜ao supor que A ´e n˜ao vazio. Sem perda de generalidade, podemos supor tamb´em que todo a ∈ A ´e ponto de acumula¸c˜ao de A, pois, se a ∈ A for

      10

      ponto isolado, ent˜ao {a} pertencer´a a qualquer base de A. Agora, considere os seguintes conjuntos: B := {]a, b[ ∩ A : a, b ∈ A} ;

      1 B := {[c, d[ ∩ A : c, d ∈ A e ∃ δ &gt; 0 (]c − δ, c[ ∩ A = ∅)} ;

      2 B

    3 := {]e, f ] ∩ A : e, f ∈ A e ∃ δ &gt; 0 (]f, f + δ[ ∩ A = ∅)} .

      Afirmamos que o conjunto B := (B ∪ B ∪ B ) \ {∅} ´e uma base de A. Com efeito:

      1

      2

      3

      todos os elementos de B s˜ao abertos em A, pois: dados a, b, c, d, e, f ∈ R quaisquer,

      ′

      temos que ]a, b[ ∩ A ´e claramente um aberto em A e, caso existam δ, δ &gt; 0 tais que

      ′

      ]c − δ, c[ ∩ A = ∅ = ]f, f + δ [ ∩ A, teremos tamb´em que [c, d[ ∩ A = ]c − δ, d[ ∩ A e

      ′

      ]e, f ] ∩ A = ]e, f + δ [ ∩ A s˜ao abertos em A. Seja U um aberto em A, i.e., U = V ∩ A, para algum aberto V em R. Caso seja U = ∅, nada a fazer. Caso contr´ario, teremos que V 6= ∅, o que implica que V ´e uma uni˜ao de intervalos abertos e limitados em R. Assim, podemos supor, sem perda de generalidade, que U ´e um aberto b´asico n˜ao vazio de A da forma ]x, y[ ∩ A, com x, y ∈ R e x &lt; y. Seja ent˜ao w ∈ U = ]x, y[ ∩ A qualquer. Como w ∈ A, ent˜ao w ´e um ponto de acumula¸c˜ao de A. Logo, ]x, y[ ∩ (A \ {w}) 6= ∅, pois, obviamente, ]x, y[ ´e uma vizinhan¸ca aberta de w em R. Consequentemente, temos trˆes casos a considerar. S˜ao eles:

      (1) Existem a, b ∈ A tais que a ∈ ]x, w[ e b ∈ ]w, y[. Disso, segue imediatamente que w ∈ ]a, b[ ∩ A ⊆ ]x, y[ ∩ A = U . (2) Existe d ∈ A tal que d ∈ ]w, y[ e ]x, w[ ∩ A = ∅. Conclui-se facilmente disso que

      [w, d[ ∩ A ⊆ ]x, y[ ∩ A = U . Tomando δ = w − x &gt; 0, tem-se evidentemente que ]w − δ, w[ ∩ A = ]x, w[ ∩ A = ∅. (3) Existe e ∈ A tal que e ∈ ]x, w[ e ]w, y[ ∩ A = ∅. Facilmente se conclui disso que

      ]e, w] ∩ A ⊆ ]x, y[ ∩ A = U . Tomando δ = y − w &gt; 0, tem-se obviamente que 10 ]w, w + δ[ ∩ A = ]w, y[ ∩ A = ∅.

      Em virtude da Proposi¸c˜ ao 1.2.2, tem-se que A ´e SE e, por conseguinte, que o conjunto dos pontos

    isolados de A (que, eventualmente, estejamos descartando) ´e, no m´aximo, infinito enumer´ avel – e n˜ ao h´ a conflito algum entre a nossa suposi¸c˜ ao e a hip´ otese de A ser SSE. Pelos trˆes casos acima, tem-se que, para todo w ∈ U , existe um B ∈ B tal que w ∈ B ⊆ U . Ent˜ao, j´a que o subespa¸co A ´e SSE, segue que existe uma base enumer´avel B de A contida em B.

      Para prosseguirmos com a demonstra¸c˜ao, provemos agora o seguinte Fato 4.4.10. Dado A ⊆ R tal que A 6= ∅ e dados intervalos I, J ⊂ R com extremos

      ∈ A tais que a 6∈ I e a 6∈ J, se I ∩ A = B = J ∩ A

      inferiores, respectivamente, a I , a J I J e B 6= ∅, ent˜ao a I = a J .

      Prova: Suponha, por absurdo, que tenhamos a I &lt; a J (para o caso a I &gt; a J , a prova segue de forma an´aloga). Como B 6= ∅, podemos fixar um c ∈ B. Logo, c ∈ J e a I &lt; a J &lt; c. Disso, de termos que c ∈ I e de I ser intervalo com extremo inferior a I , seguir´a que a J ∈ I. J´a que a J ∈ A, teremos ent˜ao que a J ∈ I ∩ A = B. Portanto, como tamb´em B = J ∩ A ⊆ J, concluiremos que a J ∈ J, uma contradi¸c˜ao.

      Agora, observe que todos os elementos de B s˜ao obviamente n˜ao vazios (pela pr´opria defini¸c˜ao de B). Com isso, podemos definir f : B −→ A pondo  min (B) , se B tiver elemento m´ınimo; a I , se B n˜ao tiver elemento m´ınimo f (B) :=  com extremo inferior a e existir um intervalo limitado I, I , tal que B = I ∩ A, a ∈ A e a 6∈ I. I I Notemos que f est´a bem definida, pois: se B ∈ B tiver elemento m´ınimo, ent˜ao ´e claro que f (B) existir´a, ser´a unicamente determinado e pertencer´a a B ⊆ A. Se B ∈ B n˜ao tiver elemento m´ınimo, ent˜ao, pela defini¸c˜ao de B, teremos que B = I ∩ A, para algum

      ∈ A e a 6∈ I. Ora, se tivermos outro intervalo limitado I, com extremo inferior a I I intervalo limitado J, com extremo inferior a ∈ A e a 6∈ J, tal que B = J ∩ A, ent˜ao o J J Fato 4.4.10 nos garante que a I = a J . Consequentemente, al´em de existir e pertencer a A, tamb´em teremos f (B) unicamente determinado.

      Considere ent˜ao o conjunto D := f [B ] ⊆ A. ´ E claro que D ´e enumer´avel, pois ´e imagem de um conjunto enumer´avel por uma fun¸c˜ao (veja Corol´ario 1.1.17). Al´em disso, temos que D ´e denso em A. De fato: isto ´e consequˆencia de um resultado mais geral, enunciado no seguinte Fato 4.4.11. Dados B e f : B −→ A como acima definidos e B ⊆ B, se B for uma base

      ∗ ∗

      do subespa¸co A, ent˜ao f [B ] ´e denso em A.

      ∗

      Prova: ⊆ B, segue disso que U 6= ∅ e que existe um

      Dado U ∈ B ∗ qualquer, como B ∗ intervalo limitado I tal que U = I ∩ A. Tome ent˜ao um v ∈ U qualquer. Como U ⊆ A, ent˜ao v ∈ A e, por conseguinte, v ´e ponto de acumula¸c˜ao de A. Ora, disso, e de U ser aberto em A, segue que {v} ⊂ U . Sendo assim, existe um w ∈ U tal que w 6= v. Sem perda de generalidade, podemos supor que v &lt; w. Como R ´e T

      2 , e ser T 2 ´e uma propriedade heredit´aria (pela Proposi¸c˜ao 1.2.11), segue que o subespa¸co A tamb´em ´e T .

      2 Assim, existem U e U abertos em A tais que v ∈ U , w ∈ U e U ∩ U = ∅. Agora,

      1

      2

      1

      2

      1

      2 observe que U ∩ U e U ∩ U s˜ao claramente abertos em A e que v ∈ U ∩ U e w ∈ U ∩ U .

      1

      2

      1

      2 Ora, temos que B ´e, por hip´otese, uma base do subespa¸co A. Por conseguinte, existem ∗

      V, W ∈ B ∗ tais que v ∈ V ⊆ U ∩ U

      

    1 e w ∈ W ⊆ U ∩ U

    2 . ´ E imediato ver que V ∩ W = ∅,

      pois claramente V ⊆ U e W ⊆ U . Caso W tenha elemento m´ınimo, teremos ent˜ao que

      1

      2

      f (W ) ∈ W . Como obviamente W ⊆ U , seguir´a disso que f (W ) ∈ U . Caso contr´ario, teremos que f (W ) 6∈ W e que f (W ) ser´a o extremo inferior de algum intervalo limitado J tal que W = J ∩ A. Como w ∈ W , seguir´a ent˜ao que f (W ) &lt; w. Se tiv´essemos f (W ) &lt; v, concluir´ıamos que v ∈ ]f (W ) , w[ ∩ A ⊆ J ∩ A = W . Assim, ter´ıamos que v ∈ V ∩ W , uma contradi¸c˜ao. Logo, deveremos ter v 6 f (W ). Com isso, concluiremos que f (W ) ∈ [v, w[ ∩ A. Como v, w ∈ U = I ∩ A, ent˜ao v, w ∈ I. Ora, sendo I um intervalo, teremos ent˜ao que [v, w[ ⊆ I e, por conseguinte, que [v, w[ ∩ A ⊆ I ∩ A = U . Consequentemente, teremos que f (W ) ∈ U . Logo, para todo U ∈ B ∗ , U ∩ f [B ∗ ] 6= ∅. Como B ´e uma base do subespa¸co A, segue portanto que f [B ] ´e denso em A.

      ∗ ∗

      Finalmente, basta tomar B ∗ = B para que o Fato 4.4.11 nos garanta que D ´e um subconjunto denso de A. Portanto, visto que D ´e enumer´avel, conclu´ımos que A ´e um subespa¸co separ´avel de R. Observa¸c˜ ao 4.4.12. A justificativa de todos os detalhes dos argumentos dados para a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.4.9 ´e contribui¸c˜ao nossa, pois o autor do artigo [Gut04], no qual foi obtido o referido teorema, apenas indica como pode ser feita a prova deste ´ ultimo. Al´em disso, ao redigirmos tal prova com todos os seus detalhes, conjecturamos a seguinte generaliza¸c˜ao para o Teorema 4.4.9: “todo subespa¸co SSE de uma ordem total munida da topologia da ordem ´e separ´avel”.

      △

    4.5 Paracompacidade e metrizabilidade de ω em ZF

      1 No in´ıcio da d´ecada de 1960, Solomon Feferman e Azriel L´evy utilizaram o m´etodo de “forcing” para construir um modelo de ZF no qual ω ´e singular. Na verdade, ω ´e

      1

      1

      singular em qualquer modelo de ZF em que R pode ser escrito como uma uni˜ao enumer´avel de conjuntos enumer´aveis (cf. [GoT95, Se¸c˜ao 3, p. 83]). Al´em disso, em todo modelo de ZF no qual ω ´e singular, pode-se mostrar que ω (com a topologia da ordem) ´e

      1

      1

      paracompacto. Como tamb´em se tem que ω

      1 n˜ao ´e paracompacto naqueles modelos em

      que, pelo menos, AC ω valha (veja Corol´ario 2.2.10), ent˜ao ZF n˜ao ´e capaz de decidir a paracompacidade de ω . Em outras palavras, isto nos diz que a boa ordem sobre ω

      1

      1

      n˜ao ´e suficiente para implicar a paracompacidade de ω em ZF – por´em, o mesmo n˜ao

      1

      ocorre com rela¸c˜ao `a n˜ao metrizabilidade de ω

      1 . Na presente se¸c˜ao, iremos apresentar

      alguns resultados que garantem justamente a validade desses fatos. Destaquemos que todos os resultados desta se¸c˜ao encontram-se no artigo [GoT95]. Contudo, contribu´ımos aqui com algumas altera¸c˜oes e v´arias complementa¸c˜oes nas demonstra¸c˜oes. No que segue, M denota um dado modelo de ZF no qual valha a asser¸c˜ao “ω ´e singular”.

      1 Teorema 4.5.1. ´ E consistente que ω seja paracompacto.

    1 Demonstra¸c˜ ao:

      Sendo M |= ZF + “ω

      1 ´e singular”, podemos ent˜ao fixar em M uma sequˆencia

      hα n i n&lt;ω estritamente crescente e cofinal em ω . Sem perda de generalidade, podemos

      1

      11

      supor que α = 0. Afirmamos que o conjunto C := {{0}} ∪ {]α n , α n ] : n &lt; ω} ´e uma

    • 1

      fam´ılia disjunta que cobre ω . Com efeito: como hα n i n&lt;ω ´e estritamente crescente em ω ,

      1

      1

      segue imediatamente que C ´e uma fam´ılia disjunta de subconjuntos de ω [ 1 . Al´em disso, por ser hα i cofinal em ω , tem-se que ω = : n &lt; ω} = {0} ∪ ]α , α ] = n n&lt;ω

      1 1 S {α n n n +1 S C. n&lt;ω

      Agora, fixe arbitrariamente uma cobertura aberta U de ω e um n &lt; ω. Defina

      1

      ent˜ao a sequˆencia hδ m i m&lt;ω em ω pondo

      1

      δ := α n

      e, para todo m &lt; ω, ( +1 0 , se δ m = 0;

      δ m +1 := min {β : β &lt; δ m e ∃ V ∈ U (]β, δ m ] ⊆ V )} , se δ m &gt; 0. Afirmamos que hδ m i m&lt;ω est´a bem definida. De fato: supondo que m = 0 ou, para um dado m &lt; ω, que δ m = 0, ´e claro que δ m est´a bem definido. Suponha agora que, para

    • 1

      um dado m &lt; ω, δ m esteja bem definido e que δ m &gt; 0. J´a que U cobre ω , segue que existe 11 ∗ ∗

      1 &gt; Caso seja α 0, basta considerar, em lugar de hα n i n&lt;ω , a sequˆencia hα i n&lt;ω em ω n 1 tal que α := 0

      

    e, para todo n &lt; ω, α := α n . ´ E f´ acil ver que tal sequˆencia est´a bem definida e que ´e estritamente n +1 crescente e cofinal em ω . 1 um V ∈ U tal que δ m ∈ V . Para um tal V , existe um β &lt; δ m tal que ]β, δ m ] ⊆ V (pois o conjunto {{0}} ∪ {]β, α] : β &lt; α &lt; ω } ´e uma base para a topologia da ordem sobre ω ).

      1

      1 Logo, δ m +1 est´a bem definido.

      Pela constru¸c˜ao acima, tem-se que, para todo m &lt; ω, δ m 6 α n

      e, se δ m &gt; 0,

    • 1

      ent˜ao δ m &lt; δ m . Sendo assim, existe um k &lt; ω tal que δ k 6 α n . De fato: suponha

    • 1

      que, para todo k &lt; ω, α n &lt; δ k . Ent˜ao, seguir´a que, para todo k &lt; ω, δ k &gt; 0 e ∈ ]α i que δ k n , α n +1 ]. Por conseguinte, a sequˆencia hδ k k&lt;ω seria estritamente decrescente em ]α , α ], contradizendo o fato de tal conjunto est´a bem ordenado por &lt;. Logo, n n +1 k(n) := min {k ∈ ω : δ k

      6 α n } est´a bem definido. Com isso, defina a sequˆencia finita hγ j i j6k em ω pondo

      (n)

      1

      γ k (n) := α n e, para todo natural j &lt; k(n), γ j := δ j . Claramente, tem-se que hγ j i j6k est´a bem definida, por constru¸c˜ao. Pela minimalidade

      (n)

      de k(n), tem-se tamb´em que, para todo natural j &lt; k(n), α n &lt; δ j . Disso, facilmente se i conclui que, para todo natural j &lt; k(n), γ k &lt; γ j +1 &lt; γ j . Logo, hγ j j6k ´e estritamente

      (n) (n)

      decrescente em ω . J´a que n &lt; ω foi fixado arbitrariamente, pode-se ent˜ao considerar,

      1

      para cada n &lt; ω, o conjunto U n := {]γ j , γ j ] : j &lt; k(n)}. Assim, para cada n &lt; ω,

    • +1

      tem-se que U n ´e uma fam´ılia disjunta tal que [ γ = γ = ]α n , α n +1 ] = k (n) , δ k (n) , γ ]γ j +1 , γ j ] = S U n . j&lt;k [ (n)

      U Afirmamos agora que o conjunto V := {{0}} ∪ n ´e um refinamento aberto localmente n&lt;ω finito de U. Com efeito: claramente, tem-se que V ´e uma fam´ılia de subconjuntos abertos de ω . Tem-se tamb´em que V cobre ω , pois

      1

    [ [ [

      1 S !

      ω = {0} ∪ ]α n , α n ] = {0} ∪ ( n ) = {0} ∪ U n =

    1 +1 S U S V.

    n&lt;ω n&lt;ω n&lt;ω

    Al´em disso, pela constru¸c˜ao feita acima, segue que, para todo U ∈ V, existe um V ∈ U tal que U ⊆ V , i.e., que V refina U. Agora, tome um ξ &lt; ω qualquer. Se for ξ = 0, ent˜ao

      1

      {0} ´e uma vizinhan¸ca aberta de ξ em ω que intersecta exatamente um elemento de V,

      1

      que ´e, obviamente, o pr´oprio {0}. Se for ξ &gt; 0, ent˜ao, j´a que a fam´ılia C ´e disjunta e cobre ω , segue que existe um ´ unico m &lt; ω tal que ξ ∈ ]α m , α m ]. Agora, note que ]α m , α m ]

      1

    • 1 +1

      ´e uma vizinhan¸ca aberta de ξ em ω

      1 que intersecta apenas um n´ umero finito de elementos (n)

      de V. De fato: para cada n &lt; ω, denote por hγ i j6k a sequˆencia hγ j i j6k constru´ıda j (n) (n) (n) (n+1) (n) acima. Assim, para cada n &lt; ω, tem-se que ]α n , α n ] = γ , γ e que hγ i j6k

    • 1 j (n) k k (n) (n+1)

      ´e estritamente decrescente. Disso, ´e imediato concluir que ]α m , α m ] intersecta somente

    • 1

      os elementos de V que pertencem a U m . Portanto, como ξ &lt; ω

      1 foi tomado qualquer, conclui-se que ω ´e paracompacto em M.

      1 Observa¸c˜ ao 4.5.2. Sabe-se que, naqueles modelos de ZF em que, pelo menos, AC ω valha, ω ´e enumeravelmente compacto (conforme Teorema 2.2.8) e, consequentemente,

      1

      ℵ

      

    1 -compacto (devido ao Lema 2.2.7). Entretanto, o teorema a seguir nos garante que:

      naqueles modelos de ZF em que ω ´e singular, tem-se que ω ´e ℵ -compacto e DCCC,

      1

      1

      1

      ainda que n˜ao seja enumeravelmente compacto em tais modelos. △ Teorema 4.5.3. ´ E consistente que ω n˜ao seja enumeravelmente compacto, e ainda assim

      1

      12 seja -compacto e DCCC.

    1 Demonstra¸c˜ ao:

      i Como antes, fixe em M uma sequˆencia hα n n&lt;ω estritamente crescente e cofinal em ω

      1 . Com isso, tem-se claramente que a fam´ılia {[0, α n ] : n &lt; ω} ´e uma cobertura

      aberta enumer´avel de ω que n˜ao possui subcobertura finita alguma. Conclui-se ent˜ao

      1 que ω n˜ao ´e enumeravelmente compacto em M.

    1 Agora, tome em M um subconjunto n˜ao enumer´avel A qualquer de ω e considere,

      1

      para cada n &lt; ω, o conjunto A n := A ∩ α n . Afirmamos que existe um n &lt; ω tal que A n ´e infinito. Com efeito: suponha, por absurdo, que, para todo n &lt; ω, A n seja finito. Ora, para cada n &lt; ω, tem-se que A n est´a bem ordenado por &lt;. Ent˜ao, para todo n &lt; ω, existe um ´ unico isomorfismo de ordem f n : A n −→ t. o. (A n , &lt;). Tamb´em, para

      | &lt; ω (devido `a suposi¸c˜ao de A cada n &lt; ω, tem-se que t. o. (A n , &lt;) = |A n n ser finito). Como ω

      1 = S {α n : n &lt; ω}, ent˜ao ´e claro que A = A ∩ ω 1 = S {A n : n &lt; ω}. Assim,

      tem-se que, para todo ξ ∈ A, existe um k &lt; ω tal que ξ ∈ A k . Logo, para todo ξ ∈ A,

      2

      k(ξ) := min {k ∈ ω : ξ ∈ A k } est´a bem definido. Defina agora f : A −→ ω pondo f (ξ) := hk(ξ), f k (ξ)i. Pela constru¸c˜ao, tem-se claramente que f est´a bem definida.

      (ξ)

      2 Al´em disso, tem-se que f ´e injetora, j´a que, para todo n &lt; ω, f n ´e injetora. Logo, A ω .

    2 Como ω ω (veja Proposi¸c˜ao 1.1.29), segue ent˜ao que A ω. Disso, conclui-se que

      A ´e enumer´avel (pela Proposi¸c˜ao 1.1.14), uma contradi¸c˜ao. Agora, note que, para cada n &lt; ω, tem-se que A n ⊂ α n + 1 e que α n + 1 ´e um subespa¸co compacto de ω (pelo

      1 Teorema A.2.2). Assim, fixando um m &lt; ω tal que A m ´e infinito, conclui-se que A m tem

      um ponto de acumula¸c˜ao em α m + 1 (pela Proposi¸c˜ao 1.2.19) e, por conseguinte, em ω 12 1 .

      Cabe aqui destacar que, segundo o artigo [GoT95], segue como corol´ ario deste teorema o seguinte resultado: “´e consistente que ω 1 seja Lindel¨of”. Por´em, tanto o Prof. Samuel Gomes da Silva quanto

    a Profa. Of´elia Teresa Alas observaram que, sem o uso de algum princ´ıpio de escolha conveniente, n˜ ao

    parece razo´ avel que este resultado valha – mas conclu´ıram que a seguinte vers˜ ao fraca deste resultado

    ´e v´ alida: “´e consistente que toda cobertura aberta de ω admita um refinamento aberto enumer´ avel”. 1 Em contato por e-mail, o autor do artigo em quest˜ao, Prof. Chris Good, atenciosamente nos respondeu

    dizendo que possivelmente h´ a um erro na prova que ele apresenta em seu artigo e que, provavelmente, o referido resultado n˜ ao seja v´ alido. Como A m ⊆ A, segue ent˜ao que A tem um ponto de acumula¸c˜ao. Consequentemente, como A foi tomado qualquer, tem-se que ω ´e ℵ -compacto em M.

      

    1

      1 Finalmente, tome em M uma fam´ılia discreta U qualquer de subconjuntos abertos ′

      de ω . Admita que U seja n˜ao enumer´avel. Sendo assim, o conjunto U := U \ {∅} ´e n˜ao

      1 ′ ′

      enumer´avel e est´a bem definida φ : U −→ dada por φ (U ) := min {β ∈ ω : β ∈ U }.

      S U

      1 ′ ′

      J´a que U ´e uma fam´ılia disjunta e φ ´e uma fun¸c˜ao-escolha para U , tem-se ent˜ao que φ

      ′

      ´e injetora. Logo, im(φ) ´e n˜ao enumer´avel (pois U ´e n˜ao enumer´avel). Agora, pelo fato

      ′

      de ω ser T e por ser U localmente finita, tem-se que im(φ) ´e um subconjunto fechado e

      1

      1

      discreto de ω (pelo Corol´ario 1.2.24). Consequentemente, teremos um subconjunto n˜ao

      1

      enumer´avel de ω que n˜ao tem ponto de acumula¸c˜ao algum, contradizendo o fato de ω

      1

      1

      ser ℵ -compacto em M. Conclui-se ent˜ao que U ´e enumer´avel. Portanto, j´a que U foi

      1

      tomada qualquer, segue que ω 1 ´e DCCC em M.

      Diferentemente da paracompacidade e da compacidade enumer´avel de ω – que

      1

      s˜ao independentes de ZF –, temos que ZF ´e capaz de decidir a metrizabilidade de ω 1 . Para verificar este fato, comecemos por demonstrar o interessante resultado – devido a Robin Knight (cf. [GoT95, Se¸c˜ao 4, p. 84]) – que se encontra enunciado no seguinte

      13 Teorema 4.5.4 (ZF). ω + 1 n˜ao ´e metriz´avel.

    1 Demonstra¸c˜ ao:

      Suponha, por absurdo, que ω + 1 (com a topologia da ordem) seja um espa¸co

      1 &lt;ω

      m´etrico associado a uma m´etrica d. Defina ent˜ao f : ω −→ ω + 1 pondo f (∅) := ω

      e, &lt;ω

      1

      1

      para todo n &lt; ω e toda sequˆencia s ∈ ω,  0 , se f (s) = 0; f (s) − 1 , se f (s) for sucessor; f (s hni) :=

      1 min B f (s), ∩ [0, f (s)[ , se f (s) for limite. n

      2 Note que f est´a bem definida, pois: admitindo-se que cada uma das cl´ausulas da defini¸c˜ao acima esteja bem definida, verifica-se, por indu¸c˜ao finita sobre os dom´ınios das sequˆencias, &lt;ω que, para toda sequˆencia s ∈ ω, f (s) est´a bem definida. Se for f (s) = 0 ou f (s) sucessor, hni) est´a bem definida. Suponha ent˜ao que f (s) seja ´e claro que, para todo n &lt; ω, f (s limite. Sendo assim, f (s) ´e um ponto de acumula¸c˜ao de f (s) = [0, f (s)[. Como est´a 13 Sob AC ω , esta asser¸c˜ ao ´e uma consequˆencia imediata do seguinte fato: como ω ´e ordinal limite, 1 ω 1 +1 ∈ ω

      tem-se que ω 1 ´e um ponto de acumula¸c˜ ao de ω

    1 em ω 1 + 1, o que implica que ω 1 1 . Contudo,

    sob AC ω , tem-se que ω n˜ ao ´e limite de sequˆencia alguma em ω (pelo Corol´ario 2.2.4) e que, em um 1 1

    espa¸co m´etrico qualquer, todo ponto aderente a um dado subconjunto desse espa¸co ´e limite de alguma sequˆencia nesse subconjunto (pelo Teorema 2.2.5). sendo suposto que a m´etrica d induz a topologia da ordem sobre ω + 1, segue ent˜ao que

      1

      1 ∩ [0, f (s)[ 6= ∅. Logo, conclui-se que, para todo n &lt; ω e toda sequˆencia

      B f (s), n &lt;ω ⌢

      2 s ∈ ω, f (s hni) est´a bem definida. &lt;ω Afirmamos que, para toda sequˆencia s ∈ ω tal que f (s) ´e limite, o conjunto {f (s hni) : n &lt; ω} ´e cofinal em f (s). Com efeito: pela defini¸c˜ao dada para f , tem-se &lt;ω ⌢ que, para todo n &lt; ω e toda sequˆencia s ∈ ω tal que f (s) ´e limite, f (s hni) &lt; f (s). Assim sendo, basta mostrar que, para todo ξ &lt; f (s), ξ n˜ao ´e uma cota superior para {f (s hni) : n &lt; ω}. Para verificar isso, tome um ξ &lt; f (s) qualquer. Considere ent˜ao o conjunto F := [0, ξ]. Claramente, tem-se que F ´e fechado em ω

      1 +1 e que f (s) 6∈ F . Segue

      disso que d (f (s), F ) &gt; 0. De R ser corpo ordenado arquimediano, segue facilmente que

      1 existe um m &lt; ω tal que &lt; d (f (s), F ). Com isso, pode-se concluir que f (s hmi) 6∈ F . m

      2 De fato: se tiv´essemos f (s hmi) ∈ F , ent˜ao ter´ıamos d (f (s), F ) 6 d (f (s), f (s hmi)).

      1

      1 Como, por constru¸c˜ao, f (s hmi) ∈ B f (s), , ent˜ao d (f (s), f (s hmi)) &lt; . Logo, m m

      2

      2

      1 concluir´ıamos que d (f (s), F ) &lt; , uma contradi¸c˜ao. Agora, por constru¸c˜ao, tem-se m

      2 tamb´em que f (s hmi) ∈ [0, f (s)[. Consequentemente, f (s hmi) ∈ [0, f (s)[ \ F = ]ξ, f (s)[

      e, por conseguinte, ξ n˜ao ´e uma cota superior para {f (s hni) : n &lt; ω}. Conclui-se ent˜ao que f (s) = sup {f (s hni) : n &lt; ω}.

      Afirmamos tamb´em que f ´e sobrejetora. De fato: suponha, por absurdo, que exista um α &lt; ω tal que α 6∈ im(f ). Ent˜ao, por arim´etica ordinal, existe um ´ unico

      1

      ζ 6 ω tal que α + ζ = ω . Verifiquemos que, para todo ξ 6 ζ, α + ξ 6∈ im(f ). A prova

      1

      1

      disto ´e por indu¸c˜ao sobre ξ 6 ζ. Se for ξ = 0, ´e claro que α + ξ 6∈ im(f ). Suponha ent˜ao &lt;ω que ξ seja sucessor. Se α+ξ ∈ im(f ), ent˜ao existe um s ∈ ω tal que f (s) = α+ξ. Logo, h0i) = f (s) − 1 = (α + ξ) − 1 = α + (ξ − 1), o que implica que α + (ξ − 1) ∈ im(f ). f (s Por contraposi¸c˜ao, se α + (ξ − 1) 6∈ im(f ), ent˜ao α + ξ 6∈ im(f ). Suponha agora que ξ seja limite e que, para todo β &lt; ξ, α + β 6∈ im(f ). Admita que α + ξ ∈ im(f ). Sendo assim, &lt;ω existe um s ∈ ω tal que f (s) = α + ξ. Com isso, tem-se que α &lt; f (s) e, sendo ξ limite, hni) : n &lt; ω}, ent˜ao existe um m &lt; ω tal que que f (s) ´e limite. Como f (s) = sup {f (s α &lt; f (s hmi). Assim, por aritm´etica ordinal, segue que existe um ´ unico β &lt; ξ tal que f (s hmi) = α + β, implicando que α + β ∈ im(f ), uma contradi¸c˜ao. Ent˜ao, conclui-se que α + ξ 6∈ im(f ). Consequentemente, teremos que [α, ω ] ∩ im(f ) = ∅, contr´ario ao fato

      1

      ∈ im(f ). Logo, im(f ) = ω ∪ {ω } = ω de que ω

    • 1 e, com isso, segue o afirmado.

      1

      1

      

    1

      1

      ≈ ω &lt;ω Finalmente, como ω

      1 + 1 ≈ 1 + ω

      1 1 , teremos ent˜ao que ω 1 pode ser indexado

      por ω e, por conseguinte, que ω ´e enumer´avel (veja Corol´ario 2.1.3 e Proposi¸c˜ao 1.1.14),

      1 uma contradi¸c˜ao. Portanto, conclui-se que ω + 1 n˜ao ´e metriz´avel.

      

    1 Teorema 4.5.5 (ZF). Se cf(ω ) = ω, ent˜ao ω n˜ao ´e metriz´avel.

      1

      1 Demonstra¸c˜ ao:

      i Sendo cf(ω

      1 ) = ω, podemos ent˜ao fixar uma sequˆencia hα n n&lt;ω (estritamente

      crescente e) cofinal em ω . Suponha, por absurdo, que ω (com a topologia da ordem)

      1

      1 &lt;ω

      seja um espa¸co m´etrico associado a uma m´etrica d. Defina ent˜ao f : ω −→ ω pondo &lt;ω

      1

      f (∅) := 0 e, para todo n &lt; ω e toda sequˆencia s ∈ ω \ {∅}, f (hni) := α e  0 , se f (s) = 0; n f (s) − 1 , se f (s) for sucessor; f (s hni) :=

      1 min B f (s), ∩ [0, f (s)[ , se f (s) for limite. n

      2 Tal como na demonstra¸c˜ao do Teorema 4.5.4, pode-se verificar que f est´a bem definida. Al´em disso, tem-se que f ´e sobrejetora. De fato: se existisse um α &lt; ω tal que α 6∈ im(f ),

      1

      poder´ıamos concluir, utilizando os mesmos argumentos dados na prova do Teorema 4.5.4, que [α, ω [ ∩ im(f ) = ∅. Como hα n i n&lt;ω ´e cofinal em ω , ter´ıamos que existe um m &lt; ω

      1 1 tal que α &lt; α m , implicando que α m 6∈ im(f ), contr´ario ao fato de que f (hmi) = α m . &lt;ω

      Consequentemente, teremos que ω pode ser indexado por ω e, por conseguinte, que

      1

      ω ´e enumer´avel (veja Corol´ario 2.1.3 e Proposi¸c˜ao 1.1.14), uma contradi¸c˜ao. Portanto,

      1

      supondo-se que cf(ω

      1 ) = ω, tem-se que ω 1 n˜ao ´e metriz´avel.

      Visto que os ´ unicos valores poss´ıveis para cf(ω ) s˜ao ω e o pr´oprio ω , ent˜ao,

      1

      1

      para se estabelecer a n˜ao metrizabilidade de ω

      1 em ZF, ´e suficiente mostrar que, sob a

      hip´otese de que cf(ω ) = ω , tem-se tamb´em que ω n˜ao ´e metriz´avel. ´ E o que faremos

      1

      1

      1

      agora, iniciando com o Lema 4.5.6 (ZF). Se cf(ω ) = ω , ent˜ao valem os seguintes itens:

      1

      1 14 (i) Dados F e G subconjuntos fechados e ilimitados de ω , tem-se que F ∩ G 6= ∅.

      1

      (ii) Dado um subconjunto aberto U de ω , se existir um subconjunto fechado e ilimitado

      1 F de ω 1 contido em U , ent˜ao existe um α &lt; ω 1 tal que ]α, ω 1 [ ⊆ U .

      Demonstra¸c˜ ao: (i) : Sejam F e G subconjuntos fechados e ilimitados quaisquer de ω . Como

      1 F e G s˜ao subconjuntos n˜ao vazios de ω , ent˜ao α := max {min (F ) , min (G)} est´a 14

      

    1 Tal como os autores do artigo [GoT95], daremos a prova deste item por simples cortesia, j´ a que

    se pode provar, em ZF, o seguinte resultado mais geral: “dado um ordinal limite γ, se cf(γ) &gt; ω,

    ent˜ao a interse¸c˜ ao de qualquer fam´ılia bem ordenada de subconjuntos fechados e ilimitados de γ que tem

    tamanho menor do que cf(γ) ´e um subconjunto fechado e ilimitado de γ” (uma prova deste resultado ´e bem definido. Suponha que, para algum n &lt; ω, esteja bem definida a sequˆencia de ordinais hα k i k&lt;n em ω . Assim, tem-se que β n := max {α k : k &lt; n} est´a bem definido.

      1 J´a que se tem F e G ilimitados em ω 1 , ent˜ao existem γ ∈ F e δ ∈ G tais que β n &lt; γ

      e β n &lt; δ. Logo, γ n := min {γ ∈ F : β n &lt; γ} e δ n := min {δ ∈ G : β n &lt; δ} est˜ao bem definidos. Ent˜ao, segue que α n := max {γ n , δ n } est´a bem definido. Consequentemente,

    • 1

      a sequˆencia hα n i n&lt;ω em ω est´a bem definida, por indu¸c˜ao finita. Como, por hip´otese,

      1

      i cf(ω

      1 ) = ω 1 , ent˜ao α ∗ := sup {α n : n &lt; ω} &lt; ω 1 . Pela constru¸c˜ao de hα n n&lt;ω , tem-se claramente que, para todo n &lt; ω, α &lt; α . Disso, segue facilmente que α ´e limite. n n +1 ∗

      Agora, afirmamos que F ∩ α e G ∩ α s˜ao ilimitados em α . Com efeito: tome

      ∗ ∗ ∗

      um ξ &lt; α qualquer. Ora, j´a que α = sup {α n : n &lt; ω}, ent˜ao existe um m &lt; ω tal que

      ∗ ∗

      6 ξ &lt; α m . Como, por constru¸c˜ao, α m β m , β m &lt; γ m e β m &lt; δ m , segue ent˜ao que ξ &lt; γ m

      ∈ F e δ ∈ G. Logo, existem γ ∈ F e ξ &lt; δ m . Tamb´em, por constru¸c˜ao, tem-se que γ m m e δ ∈ G tais que ξ &lt; γ e ξ &lt; δ. J´a que ξ &lt; α foi tomado qualquer, segue o afirmado.

      ∗

      Ent˜ao, como F e G s˜ao fechados e ilimitados em ω e α &lt; ω ´e um ordinal limite, segue

      1 ∗

      1 da Proposi¸c˜ao 1.2.15 que α ∈ F ∩ G. Portanto, tem-se que F ∩ G 6= ∅. ∗

      (ii) : Seja U um subconjunto aberto de ω tal que algum subconjunto fechado e

      1

      ilimitado F de ω

      1 esteja contido em U . Suponha, por absurdo, que, para todo α &lt; ω 1 ,

      ]α, ω [ 6⊆ U . Logo, para todo α &lt; ω , existe um β ∈ ]α, ω [ tal que β ∈ ω \ U . Assim,

      1

      1

      1

      1

      considerando o conjunto G := ω \ U , tem-se que, para todo α &lt; ω , existe um β ∈ G

      1

      1

      tal que α &lt; β, i.e., que G ´e ilimitado em ω . ´ E claro que G ´e fechado em ω , j´a que U

      

    1

      1

      \ U ), uma ´e um aberto em ω

      1 . Ent˜ao, pelo item (i), teremos que ∅ 6= F ∩ G ⊆ U ∩ (ω

      1 contradi¸c˜ao. Portanto, conclui-se que existe um α &lt; ω tal que ]α, ω [ ⊆ U .

      1

      1 Teorema 4.5.7 (ZF). Se cf(ω ) = ω , ent˜ao ω n˜ao ´e perfeito e, consequentemente, n˜ao

      1

      1

      1 ´e metriz´avel.

      Demonstra¸c˜ ao: Considere o conjunto F := {β ∈ ω : β ´e limite}. Afirmamos que F ´e fechado

      

    1

      e ilimitado em ω . Com efeito: tome um ξ &lt; ω qualquer. Assim, tem-se que ξ ´e

      1

      1 enumer´avel. Disso, e de ω ser limite e enumer´avel, segue que ξ + ω ´e limite e enumer´avel.

      Logo, ξ + ω ∈ F . Como ξ &lt; ξ + ω, ent˜ao existe um β ∈ F tal que ξ &lt; β. J´a que ξ foi tomado qualquer, segue ent˜ao que F ´e ilimitado em ω

      1 . Al´em disso, F ´e fechado em ω 1 ,

      pois ω \ F = {0} ∪ {β ∈ ω : β ´e sucessor} = e β ´e um ponto isolado} ´e

      1

    1 S {{β} : β ∈ ω

      1 um aberto em ω (por ser uni˜ao de subconjuntos abertos de ω ).

      1

      1 Agora, tome uma fam´ılia enumer´avel U qualquer de subconjuntos abertos de ω

      1

      cuja interse¸c˜ao contenha F . Fixe ent˜ao uma indexa¸c˜ao {U n : n &lt; ω} de U. Como, por hip´otese, cf(ω ) = ω , ent˜ao segue do item (ii) do Lema 4.5.6 que, para todo n &lt; ω, existe

      1

      1 est´a bem definido. Considere agora α := sup {α n : n &lt; ω}. Como α + 1 &lt; ω ´e sucessor,

      ∗ ∗

      1

      6 tem-se ent˜ao que α + 1 6∈ F . Ora, para cada n &lt; ω, tem-se que α n α e ]α n , ω [ ⊆ U n .

      ∗ \

      1 Logo, para todo n &lt; ω, ]α ∗ , ω \ ! 1 [ ⊆ U n . Segue disso que α ∗ + 1 ∈ U n . Assim, tem-se n&lt;ω

      que α + 1 ∈ U n \ F . Como U foi tomada qualquer, segue ent˜ao que F ´e um

      ∗ n&lt;ω

      subconjunto fechado de ω

      1 que n˜ao ´e G δ em ω 1 . Portanto, tem-se que ω 1 n˜ao ´e perfeito e, consequentemente, n˜ao ´e metriz´avel (pela Proposi¸c˜ao 1.2.14).

      Finalmente, podemos encerrar a presente se¸c˜ao com a j´a esperada consequˆencia dos Teoremas 4.5.5 e 4.5.7, a qual est´a expressa no seguinte Teorema 4.5.8 (ZF). ω n˜ao ´e metriz´avel.

      1 Apˆ endice A Rela¸c˜ oes entre AC, BPI e a existˆ encia de subconjuntos n˜ ao mensur´ aveis de R

      No presente apˆendice, iremos apresentar as constru¸c˜oes de Vitali e de Sierpi´ nski (com as quais provaremos a existˆencia de subconjuntos n˜ao Lebesgue-mensur´aveis de R na presen¸ca, respectivamente, de AC e de BPI) e, ao final, apresentaremos um breve coment´ario sobre os modelos de Halpern–L´evy e de Solovay.

      A.1 Constru¸c˜ ao de Vitali

      No in´ıcio dos anos de 1900, Giuseppe Vitali construiu o primeiro exemplo de subconjunto n˜ao Lebesgue-mensur´avel de R de que se tem conhecimento. Precisamente, a constru¸c˜ao de Vitali foi publicada em seu trabalho de 1905, intitulado “Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta”. Na presente se¸c˜ao, apresentaremos a constru¸c˜ao de um subconjunto n˜ao Lebesgue-mensur´avel de R que segue essencialmente a mesma linha de argumenta¸c˜ao da constru¸c˜ao original de Vitali. Com este intuito, comecemos por dar a seguinte Defini¸c˜ ao A.1.1. Sejam X um conjunto, E uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre X e S ⊆ X. Diz-se que S ´e um sistema completo de representantes m´ odulo E se, para todo x ∈ X, existir um ´ unico y ∈ S tal que hx, yi ∈ E. Por simplicidade, ser´a

      △ adotada a sigla SCR para “sistema completo de representantes”. Um resultado que estabelece a equivalˆencia entre AC e a existˆencia de sistemas completos de representantes ´e o seguinte e interessante Fato A.1.2 (ZF). S˜ao equivalentes: (i) AC.

      (ii) Dados um conjunto X e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia E sobre X, existe um SCR m´odulo E.

      Utilizando-se a vers˜ao de AC que declara que: “para toda fam´ılia disjunta de conjuntos n˜ao vazios, existe um conjunto que possui exatamente um elemento em comum com cada elemento dessa fam´ılia”, pode-se provar facilmente o Fato A.1.2. Agora, para seguirmos com a constru¸c˜ao de Vitali, considere a rela¸c˜ao bin´aria R sobre [0, 1] que ´e definida pela seguinte senten¸ca: para todo x, y ∈ [0, 1] , hx, yi ∈ R se, e somente se, (x − y) ∈ Q.

      ´ E f´acil ver que R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Diremos ent˜ao que um V ⊆ [0, 1] ´e um conjunto de Vitali se V for um SCR m´odulo R. Em virtude desta defini¸c˜ao, segue imediatamente do Fato A.1.2 o seguinte Lema A.1.3 (AC). Existe um conjunto de Vitali.

      Com este ´ ultimo resultado em m˜aos, podemos ent˜ao encerrar a presente se¸c˜ao apresentando a constru¸c˜ao de Vitali para o seguinte Exemplo A.1.4 (Vitali (1905 apud [Jec73]), AC). Existe um subconjunto n˜ao Lebesgue-mensur´avel de R. Constru¸c˜ ao:

      Pelo Lema A.1.3, pode-se fixar um conjunto de Vitali V ⊆ [0, 1]. Para cada x ∈ R, considere o conjunto V + x := {z ∈ R : ∃ u ∈ V (z = u + x)}. Afirmamos que a fam´ılia {V + x : x ∈ Q} ´e disjunta. Com efeito: suponha que existam x, y ∈ Q tais que (V + x) ∩ (V + y) 6= ∅. Sendo assim, existe um z ∈ (V + x) ∩ (V + y). Ent˜ao, pode-se fixar u, v ∈ V tais que u + x = z = v + y, o que implica que u − v = y − x. J´a que x, y ∈ Q, ent˜ao (x − y) ∈ Q, i.e., hu, vi ∈ R. J´a que V ´e um SCR m´odulo R, u, v ∈ V e hu, ui ∈ R, segue que u = v. Logo, y − x = 0, i.e., x = y. Ent˜ao, por contraposi¸c˜ao, tem-se que, para todo x, y ∈ Q tais que x 6= y, (V + x) ∩ (V + y) = ∅, concluindo-se o afirmado. Por conseguinte, a fam´ılia {V + x : x ∈ Q ∩ [−1, 1]} ´e disjunta. [

      Agora, afirmamos que [0, 1] ⊆ (V + x) ⊆ [−1, 2]. Com efeito: tome um x ∈Q∩[−1,1] z ∈ [0, 1] qualquer. Como V ´e um SCR m´odulo R, ent˜ao existe um ´ unico w ∈ V tal j´a que z, w ∈ V ⊆ [0, 1]. Logo, y ∈ Q ∩ [−1, 1]. Como z = w + y, tem-se ent˜ao que [ [ z ∈ (V + x). Como z foi tomado qualquer, segue que [0, 1] ⊆ (V + x). x ∈Q∩[−1,1] [ x ∈Q∩[−1,1] Tome agora um z ∈ (V + x) arbitr´ario. Ent˜ao, existe um y ∈ Q ∩ [−1, 1] x

      ∈Q∩[−1,1]

      tal que z ∈ V + y. Por conseguinte, existe um u ∈ V tal que z = u + y. J´a que u ∈ [0, 1] e y ∈ [−1, 1], ´e claro que z ∈ [−1, 2]. Como z foi tomado arbitr´ario, segue que [ x ∈Q∩[−1,1] (V + x) ⊆ [−1, 2].

      Notando que Q ∩ [−1, 1] ⊆ Q ´e enumer´avel (pelo Corol´ario 1.1.16), fixe uma indexa¸c˜ao {x n : n ∈ ω \ 1} de Q ∩ [−1, 1]. Com isso, tem-se que: [ [0, 1] ⊆ (V + x n ) ⊆ [−1, 2] . (*) n&gt;

    1 Agora, denote por m a medida de Lebesgue em R e suponha, por absurdo, que V seja

      Lebesgue-mensur´avel. J´a que m ´e invariante por transla¸c˜oes, pode-se ent˜ao concluir que, para todo n ∈ ω \ 1, V + x n ´e Lebesgue-mensur´avel e m (V + x n ) = m (V ). Como m ´e mon´otona e associa a cada intervalo em R o seu comprimento, segue ent˜ao de (*) que: [ !

      6 1 = m ([0, 1]) 6 m (V + x n ) m ([−1, 2]) = 3. (**) n&gt;

    1 Al´em disso, pelo fato de m ser σ-aditiva e de a fam´ılia {V + x n : n ∈ ω \ 1} ser disjunta,

      [ ! X X tem-se que m (V + x n ) = m (V + x n ) = m (V ). Ent˜ao, por (**), conclui-se n&gt; n&gt; n&gt; X

      1

    1 X

      1 que 1 6 m (V ) 6 3. Se for m (V ) = 0, ent˜ao 1 6 m (V ) = 0, o que ´e um absurdo. n&gt;

      1 X n&gt;

      1 Se for m (V ) &gt; 0, ent˜ao 3 &gt; m (V ) = ∞, o que ´e outro absurdo. Portanto, tem-se n&gt; 1 que V n˜ao ´e Lebesgue-mensur´avel.

      A.2 Constru¸c˜ ao de Sierpi´ nski

      Em 1938, Wac law Sierpi´ nski apresentava, em seu artigo intitulado “Fonctions additives non compl`etement additives et fonctions non mesurables”, sua constru¸c˜ao de um subconjunto n˜ao Lebesgue-mensur´avel de R. Conforme [Jec73, Problema 10, p. 7], usa-se, para a referida constru¸c˜ao, uma vers˜ao fraca de AC que pode ser substitu´ıda pela asser¸c˜ao UF (que declara que: “para todo conjunto infinito X, existe um ultrafiltro livre sobre X”). Destaquemos que UF ´e uma consequˆencia de BPI, pois UT implica UF em ZF. Na presente se¸c˜ao, utilizaremos UF para apresentar uma constru¸c˜ao que mesma linha de argumenta¸c˜ao desta ´ ultima. Antes dessa constru¸c˜ao, fa¸camos as seguintes considera¸c˜oes: Vimos na prova de (9) =⇒ (10) do Teorema 4.2.1 que, entre o conjunto

      (ω\1)

      A = s ∈ 2 : s = hx n i n&gt; n˜ao ´e constante e {n ∈ ω \ 1 : x n = 0} ´e infinito

    1 X

      x n e o intervalo ]0, 1[, existe a seguinte bije¸c˜ao: β : A −→ ]0, 1[ definida por β(s) = . n n&gt;

      2

      1 ′

      Denotando por s a sequˆencia constante nula e tomando o conjunto A := A ∪ {s }, vˆe-se facilmente que a seguinte fun¸c˜ao tamb´em ´e uma bije¸c˜ao: X ( 0 , se s = s ; x n

      ′

      −→ [0, 1[ definida por ϕ(s) = ϕ : A , i.e., ϕ(s) = n

      2 n&gt; β(s) , se s ∈ A.

      

    1

    Em outras palavras, pode-se concluir que: para todo x ∈ [0, 1[, existe uma ´ unica sequˆencia ′

      i ∈ A s = hx n n&gt; para a qual x = ϕ(s). Agora, observe que, dada uma sequˆencia

    1 X

      x n

      ′

      i s = hx n n&gt;

      1 em 2, se 1 = , ent˜ao s ´e constante de valor 1, implicando que s 6∈ A . n n&gt;

      2

    1 Por tal motivo, e por termos a bije¸c˜ao ϕ, que iremos nos restringir ao intervalo [0, 1[ em quase toda a argumenta¸c˜ao que segue.

      ′

      Sejam x ∈ [0, 1[ e s x ∈ A a ´ unica sequˆencia tal que x = ϕ(s x ). Diremos que s x ´e a representa¸c˜ ao di´ adica de x. Al´em disso, diremos que x ´e di´ adico exato se s x for quase constante de valor 0. Com isso, tem-se que:

      (*) para todo x ∈ [0, 1[, se x n˜ao for di´adico exato, ent˜ao (1 − x) ∈ [0, 1[ e s = hy n i n&gt; ´e tal que, para todo n ∈ ω \ 1, y n = 1 − x n .

      (1−x)

    1 Tome, para cada x ∈ [0, 1[, o conjunto A x := {n ∈ ω \ 1 : s x (n) = x n = 1} e note que

      este conjunto est´a bem definido, j´a que s x ´e unicamente determinada por x. Considere ent˜ao, para cada ultrafiltro livre U sobre ω \ 1, o conjunto X := {x ∈ [0, 1[ : A x ∈ U}.

      U ′

      Considere agora o conjunto X := {y ∈ [0, 1] : ∃ x ∈ X (y = 1 − x)}. Considere tamb´em

      U U

      o conjunto E := {x ∈ [0, 1[ : x ´e di´adico exato}. Utilizando-se (*), verifica-se facilmente que: para todo x ∈ [0, 1[, se x n˜ao for di´adico exato, ent˜ao A est´a bem definido e

      (1−x)

      A = (ω \ 1) \ A x . Conclui-se disso e do Corol´ario 1.1.40 que: para todo ultrafiltro U

      (1−x) sobre ω \ 1 e todo x ∈ [0, 1[, se x n˜ao for di´adico exato, ent˜ao ou A x ∈ U ou A ∈ U.

      (1−x)

      Com isso, mostra-se que: para todo ultrafiltro livre U sobre ω \ 1,

      ′ ′

      {E, X } ´e uma fam´ılia disjunta tal que [0, 1[ = E ∪ X ∪ X

      U , X U . (†) U

      U

      Em toda a argumenta¸c˜ao que segue, trabalharemos com a medida de Lebesgue

      1

      em R e a denotaremos por m. Agora, sejam d ∈ [0, 1], x ∈ R e A ⊆ R. Considere, para cada ε &gt; 0, m (A ∩ [x − ε, x + ε]) m (A ∩ [x − ε, x + ε])

      6 d x (A) (ε) := =

      1. m ([x − ε, x + ε]) 2ε Diremos que A tem densidade d em x se existir lim d x (A) (ε) e este for igual a d. ε

      →0

      Neste caso, d ser´a denotado por d x (A). Tome a sequˆencia hε n i n&gt; em ]0, 1[ tal que, para

      1

      1 todo n ∈ ω \ 1, ε n := . Como ε n → 0, se valer que A tem densidade d em x, n

    • 1

      2

      1

      1 n ent˜ao d x (A) = lim d x (A) (ε n ) = lim m A ∩ x − , x + n n n +1 n +1 2 . Finalmente,

      →∞ →∞

      2

      2 considere o conjunto φ (A) := {x ∈ R : d x (A) = 1}. Um resultado importante para o nosso prop´osito, pois estabelece uma rela¸c˜ao entre A e φ (A) em termos da medida de Lebesgue, ´e o seguinte Teorema A.2.1 (Teorema da Densidade de Lebesgue, ZF). Dado um A ⊆ R, se A for Lebesgue-mensur´avel, ent˜ao m (A △ φ (A)) = 0.

      Uma prova do Teorema da Densidade de Lebesgue pode ser encontrada no livro [Oxt80, p. 17]. Prossigamos com a nossa argumenta¸c˜ao. Para cada z ∈ R, denote por ⌊z⌋ a parte inteira de z e por z mod 1 a parte fracion´aria de z, i.e., a diferen¸ca z − ⌊z⌋. Agora, seja 1

      ´ E interessante destacar que poder´ıamos ter adotado uma argumenta¸c˜ ao mais conjuntista, como esta

    que segue: considere o conjunto F n (ω, 2) := {f : f ´e fun¸c˜ ao, dom(f ) ⊆ ω, |dom(f )| &lt; ω e im(f ) ⊆ 2}.

    ω

    Tome, para cada g ∈ F n (ω, 2), o conjunto [g] := {f ∈ 2 : g ⊆ f }. Considere ent˜ao a σ-´algebra B gerada

    ω

    pelo conjunto {[g] : g ∈ F n (ω, 2)}. A medida-produto µ em 2 ´e definida em B de forma que satisfa¸ca a

    −|dom(g)|

    seguinte condi¸c˜ ao: para todo g ∈ F n (ω, 2), µ ([g]) = 2 . ´ E um fato not´avel que se pode utilizar a

    medida µ para obter uma constru¸c˜ ao alternativa da medida de Lebesgue em [0, 1]. Isto ´e feito da seguinte

    j j + 1 ,

    maneira: para cada g ∈ F n (ω, 2), associa-se ao “boreliano b´ asico” [g] um subintervalo de

    k k

      2 X

      2 f ω (n)

    [0, 1], para certos j &lt; ω e k ∈ ω \ 1, atrav´es da fun¸c˜ ao φ : 2 −→ [0, 1] definida por φ(f ) = .

    n +1 n&lt;ω

      2

      2

      3

      1

      3 , ,

    Por exemplo, para a sequˆencia finita g = h0, 1, 0i ∈ F n (ω, 2), φ [g] = = . A fun¸c˜ ao φ

    3 3

      2

      2

      4

      8 j j + 1 ,

    preserva a medida dos “intervalos b´ asicos”, i.e., para todo g ∈ F n (ω, 2), se φ [g] = , para

    k k

      2

      2 j j

    • 1

      1 ,

    certos j &lt; ω e k ∈ ω \ 1, ent˜ao µ ([g]) = m = . Desse modo, tem-se que a constru¸c˜ ao

    k k k ω

      2

      

    2

      2

    usual da medida-produto µ em 2 (por extens˜ ao da medida definida em B, via medida exterior) nos ω

    fornece uma medida em 2 que coincide com a de Lebesgue definida sobre todos os “intervalos b´ asicos”

    e, por conseguinte, sobre todos os borelianos de [0, 1]. Logo, a medida-produto µ ´e equivalente ` a medida

    de Lebesgue m em [0, 1], pois a medida de Lebesgue ´e a ´ unica que estende a medida de comprimento dos

    intervalos a todos os borelianos. Portanto, em virtude dessa argumenta¸c˜ ao, poder´ıamos ter considerado ω

    o conjunto 2 munido da medida-produto µ (que ´e a medida de Lebesgue neste conjunto) em lugar de A ⊆ [0, 1[. Diremos que A ´e um conjunto de cauda se valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo x ∈ A e todo y ∈ [0, 1[, se y for di´adico exato, ent˜ao (x + y) mod 1 ∈ A. Por esta raz˜ao, costuma-se dizer que um conjunto de cauda ´e aquele que satisfaz a condi¸c˜ao de “invariˆancia por transla¸c˜oes por di´adicos exatos”. Pode-se provar facilmente a seguinte caracteriza¸c˜ao: para todo A ⊆ [0, 1[, A ´e um conjunto de cauda se, e somente se, valer a seguinte condi¸c˜ao: para todo x ∈ A e todo y ∈ [0, 1[, se as representa¸c˜oes di´adicas hx n i n&gt;

      1

      i e hy n n&gt;

      1 , respectivamente, de x e de y possu´ırem uma mesma “cauda” (i.e., se existir um natural k &gt; 1 tal que, para todo natural n &gt; k, x = y ), ent˜ao y ∈ A. n n

      Como consequˆencia desta caracteriza¸c˜ao, tem-se que: para todo ultrafiltro livre U sobre ω \ 1, o conjunto X ´e um conjunto de cauda. De fato: tome x ∈ X e y ∈ [0, 1[

      U U

      quaisquer. Sejam hx n i n&gt; e hy n i n&gt; , respectivamente, as representa¸c˜oes di´adicas de x e

      1

      1 de y. Suponha que exista um natural k &gt; 1 tal que, para todo natural n &gt; k, x n = y n .

      Agora, note que, para todo n ∈ A x \ A y , x n 6= y n . Assim, pode-se concluir que, para todo n ∈ A x \ A y , n &lt; k. Por conseguinte, A x \ A y ´e finito. Como U ´e um ultrafiltro livre sobre ω \ 1 e A x ∈ U, conclui-se ent˜ao que A y ∈ U (pela Proposi¸c˜ao 1.1.42). Logo, y ∈ X . Portanto, j´a que x ∈ X e y ∈ [0, 1[ foram tomados quaisquer, segue que X ´e

      U U U um conjunto de cauda.

      Al´em disso, como consequˆencia do Teorema da Densidade de Lebesgue, tem-se o seguinte, e essencial para o nosso prop´osito, Teorema A.2.2 (Lei zero-um de Kolmogorov, ZF). Dado um A ⊆ [0, 1[, se A for um conjunto de cauda Lebesgue-mensur´avel, ent˜ao ou m (A) = 0 ou m (A) = 1. Demonstra¸c˜ ao:

      Suponha que A ⊆ [0, 1[ seja um conjunto de cauda Lebesgue-mensur´avel e que m (A) &gt; 0. Como A ´e Lebesgue-mensur´avel, segue do Teorema da Densidade de Lebesgue que m (A △ φ (A)) = 0. J´a que m (A) 6 m (A ∪ φ (A)) = m (A △ φ (A)) + m (A ∩ φ (A)), ent˜ao m (A) 6 m (A ∩ φ (A)). Logo, m (A ∩ φ (A)) &gt; 0, implicando que A ∩ φ (A) 6= ∅. Fixe ent˜ao um x ∈ A ∩ φ (A). J´a que m (A ∩ φ (A)) &gt; 0, podemos supor que x &gt; 0. Agora, tome um ε &gt; 0 qualquer. Como d x (A) = 1, ent˜ao segue que existe um natural k &gt; 1 tal que, para todo natural n &gt; k,

      1

      1 n

      2 1.

      6 1 − ε &lt; d x (A) (ε n ) = m A ∩ x − , x + n +1 n +1

      2

      2

      1

      1 k Em particular, tem-se que m A ∩ x − , x + k k 2 &gt; 1 − ε. Note que um tal

    • 1 +1

      2

      2

      1 natural k &gt; 1 pode ser tomado de forma que se tenha x &gt; . Como m ´e invariante por k

    • 1

      2

      1 que: para todo intervalo I ⊆ [0, 1[ tal que m (I) = , k

      2

      1

      1 m A ∩ x − , x + = m (A ∩ I) . (††) k k

    • +1 +1

      2

      2 k j j + 1

      1 Para cada natural j &lt; 2 , considere o intervalo I j := , e note que m (I j ) = . k k k k

      2

      2 [

      2 Note tamb´em que a fam´ılia I j : j &lt; 2 ´e disjunta e que [0, 1[ = j&lt; k I j . Ent˜ao, usando-se k

      2

      o fato de a fam´ılia A ∩ I j : j &lt; 2 ser disjunta e a igualdade de medidas dada por (††), tem-se que:         [ [ 1 = m ([0, 1[) &gt; m (A) = m (A ∩ [0, 1[) = m A ∩ j&lt; j&lt; k k I j = m (A ∩ I j ) = X X

      2

      2

      1

      1 = m (A ∩ I j ) = m A ∩ x − , x + = k +1 k +1 j&lt; j&lt; k k

      2

      2

      2

      2

      1

      1 k = m A ∩ x − , x + k +1 k +1 2 &gt; 1 − ε.

      2

      2 Logo, 1 − ε &lt; m (A) 6 1. Como ε &gt; 0 foi tomado qualquer, se fosse m (A) &lt; 1, ent˜ao poder´ıamos tomar ε = 1 − m (A) &gt; 0 e concluir que m (A) = 1 − ε &lt; m (A), o que ´e um absurdo. Portanto, tem-se que m (A) = 1.

      Com a Lei zero-um de Kolmogorov, podemos ent˜ao alcan¸car o nosso prop´osito de apresentar uma vers˜ao da constru¸c˜ao original de Sierpi´ nski. Assim sendo, podemos finalmente encerrar a presente se¸c˜ao apresentando o seguinte Exemplo A.2.3 (Sierpi´ nski (1938 apud [Jec73]), UF). Existe um subconjunto n˜ao Lebesgue-mensur´avel de R.

      Constru¸c˜ ao: Suponha que UF valha. Fixe ent˜ao um ultrafiltro livre U sobre ω \ 1. Por (†),

      ′ ′

      tem-se que {E, X , X } ´e uma fam´ılia disjunta tal que [0, 1[ = E ∪ X ∪ X . Suponha,

      U U U

      U

      por absurdo, que X seja Lebesgue-mensur´avel. Considere a fun¸c˜ao ρ : [0, 1] −→ [0, 1]

      U

      1 definida por ρ(x) = 1 − x. Note que ρ ´e a reflex˜ao em torno do ponto . Note ainda

      2

      ′

      que ρ [X U ] = X . Como m ´e invariante por reflex˜oes em torno de um ponto e X U ´e

      U ′

      suposto Lebesgue-mensur´avel, pode-se ent˜ao concluir que X ´e Lebesgue-mensur´avel e

      U ′

      que m (X ) = m (X ). Visto que X ´e um conjunto de cauda, segue da Lei zero-um de

      U U U

      Kolmogorov que: ou m (X ) = 0 ou m (X ) = 1. Al´em disso, vˆe-se facilmente que:

      U U (ω\1) &lt;ω &lt;ω

      &lt;ω

      J´a que ω ≈ ω (pelo Corol´ario 2.1.3), tem-se ent˜ao que E ω. Disso, segue que E ´e enumer´avel (pela Proposi¸c˜ao 1.1.14) e, por conseguinte, que E ´e Lebesgue-mensur´avel,

      ′

      ∪ X com m (E) = 0. Ent˜ao, por ser a uni˜ao E ∪ X U disjunta e igual a [0, 1[, m (E) = 0,

      U ′

      m (X ) = m (X ) e m (X ) ∈ {0, 1}, conclui-se que:

      U U U ′ ′

      1 = m ([0, 1[) = m (E ∪ X ∪ X ) = m (E) + m (X ) + m (X ) =

      U U ( U U

      0 , se m (X U ) = 0; = 2 m (X ) =

      U 2 , se m (X ) = 1.

      U

      O que ´e um absurdo. Portanto, tem-se que X ´e um subconjunto de [0, 1[ que n˜ao ´e

      U Lebesgue-mensur´avel.

      

    A.3 Sobre os modelos de Halpern–L´ evy e de Solovay

      No final dos anos de 1960, James D. Halpern e Azriel L´evy usaram o m´etodo de “forcing” para construir um modelo de ZF no qual BPI ´e verdadeiro, mas AC ´e falso. Com a constru¸c˜ao deste modelo – comumente chamado na literatura matem´atica de o “modelo de Halpern–L´evy” – pˆode-se garantir que BPI ´e uma asser¸c˜ao estritamente mais fraca que AC. Assim, pˆode-se encarar BPI n˜ao apenas como uma consequˆencia de AC, mas tamb´em como um princ´ıpio maximal que pode continuar v´alido mesmo na ausˆencia de AC. ´ E ´obvio que, em tal modelo, s˜ao v´alidas todas as asser¸c˜oes equivalentes a BPI (por exemplo, TT T e o Teorema de Banach–Alaoglu da An´alise Funcional), bem como 2 todas as suas consequˆencias importantes para a An´alise Matem´atica (como o Teorema de

      Hahn–Banach e a existˆencia de subconjuntos n˜ao Lebesgue-mensur´aveis de R).

      ´ E interessante destacar que: no modelo de Halpern–L´evy, existe um conjunto com uma propriedade bastante “estranha” a nossa intui¸c˜ao, mas certamente uma propriedade bem interessante. Tal conjunto ´e “um subconjunto denso de R que ´e Dedekind-finito”.

      Como justificado mais adiante, a existˆencia desse conjunto garante que DC ´e falso no modelo de Halpern–L´evy. Mais que isso: no modelo de Halpern–L´evy, podemos utilizar esse subconjunto infinito de R que n˜ao possui subconjunto infinito enumer´avel para obter contra-exemplos para as “caracteriza¸c˜oes por sequˆencias” para pontos aderentes a um conjunto e para continuidade em um ponto, tal como o fizemos no Cap´ıtulo 4, quando trabalhamos no modelo b´asico de Cohen.

      Quanto ao chamado “modelo de Solovay”, este ´e um modelo de ZF + DC + “todo subconjunto de R ´e Lebesgue-mensur´avel”, que foi apresentado por Robert M. Solovay em 1970. Neste modelo, ´e v´alida a asser¸c˜ao implica a referida asser¸c˜ao. Com esta mesma justificativa, conclui-se que DC ´e falso no modelo de Halpern–L´evy. Em contraste com este ´ ultimo, no modelo de Solovay s˜ao v´alidas as “caracteriza¸c˜oes por sequˆencias” para pontos aderentes a um conjunto e para continuidade em um ponto, visto que AC ω ´e suficiente para demonstrar tais resultados. Contudo, no modelo de Solovay, tem-se que BPI ´e falso, pois este princ´ıpio (na verdade, a sua consequˆencia UF) ´e suficiente, como vimos, para a constru¸c˜ao de um subconjunto n˜ao Lebesgue-mensur´avel de R. Pelo mesmo motivo, tem-se tamb´em que AC ´e falso no modelo de Solovay.

      Um aspecto muito importante do modelo de Solovay s˜ao as rela¸c˜oes que este tem com os chamados “grandes cardinais” ou “cardinais inacess´ıveis”. A primeira delas ´e que existe um grande cardinal em tal modelo. Este fato ´e devido ao seguinte resultado que Stanis law Ulam apresentou em um trabalho seu de 1930:

      “Se existirem um conjunto X e uma medida µ sobre X que seja n˜ao trivial (i.e., todo subconjunto unit´ario de X tem medida nula com rela¸c˜ao a µ), σ-aditiva, probabil´ıstica e que esteja definida em todos os subconjuntos de X, ent˜ao existe um cardinal inacess´ıvel.”

      A segunda delas ´e que o modelo de Solovay foi constru´ıdo assumindo-se que existe um modelo de ZFC + “existe um cardinal inacess´ıvel”. Um fato not´avel ´e que n˜ao se pode evitar grandes cardinais, se desejarmos construir um modelo em que DC valha e no qual todo subconjunto de R ´e Lebesgue-mensur´avel. Isto foi justificado por Saharon Shelah em um trabalho seu de 1984, intitulado “Can you take Solovay’s inaccessible away ?”.

      A conclus˜ao a que chegamos com este breve coment´ario a respeito dos modelos de Halpern–L´evy e de Solovay est´a expressa no seguinte diagrama de n˜ao implica¸c˜oes:

      

    Solovay Halpern–L´ evy

    6 +3 ks

      6 DC AC BPI

    Solovay Halpern–L´ evy

    6 +3 6 +3

      DC BPI DC

    Diagrama A.3.

      Finalizemos a presente se¸c˜ao destacando que todas as informa¸c˜oes dadas aqui foram obtidas na palestra “Cem Anos do Axioma da Escolha - IV: Horrores da matem´atica sem o Axioma da Escolha”, a qual foi proferida pelo Prof. Samuel Gomes da Silva em outubro de 2008 (por ocasi˜ao da IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matem´atica). Referˆ encias

      [BeH98] BENTLEY, Herschel L.; HERRLICH, Horst. Countable choice and pseudometric spaces, Topology Appl., v. 85, no. 1 - 3, p. 153 -164, 1998. [End77] ENDERTON, Herbert B. Elements of Set Theory. New York: Academic Press, c1977. [Eng89] ENGELKING, Ryszard. General Topology. rev. compl. ed. Berlin: Heldermann,

      1989. (Sigma Series in Pure Mathematics, 6) [Dal03] DE LA CRUZ, Omar et al. Metric spaces and the axiom of choice, Math. Log.

      Quart., v. 49, no. 5, p. 455 - 466, 2003.

      [GoT95] GOOD, Chris; TREE, Ian J. Continuing horrors of topology without choice, Topology Appl., v. 63, no. 1, p. 79 - 90, 1995. [Gut08] GUTIERRES, Gon¸calo. On countable choice and sequential spaces, Math. Log.

      Quart., v. 54, no. 2, p. 145 -152, 2008.

      [Gut04] GUTIERRES, Gon¸calo. On first and second countable spaces and the axiom of choice, Topology Appl., v. 143, no. 1 - 3, p. 93 -103, 2004. [Gut03] GUTIERRES, Gon¸calo. Sequential topological conditions in R in the absence of the axiom of choice, Math. Log. Quart., v. 49, no. 3, p. 293 - 298, 2003. [HrS97] HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. When is N Lindel¨of?, Comment.

      Math. Univ. Carolinae, v. 38, no. 3, p. 553 - 556, 1997.

      [Jec03] JECH, Thomas J. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and

      

    Expanded. New York: Springer, c2003. (Springer Monographs in Mathematics)

    [Jec73] JECH, Thomas J. The Axiom of Choice. Amsterdam: North-Holland, 1973.

      (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 75) [Ker00] KEREMEDIS, Kyriakos. The Compactness of 2 R and the Axiom of Choice,

      [Ker05] KEREMEDIS, Kyriakos. Tychonoff Products of Two-Element Sets and Some Weakenings of the Boolean Prime Ideal Theorem, Bull. Polish Acad. Sci. Math., v. 53, no. 4, p. 349 - 359, 2005.

      [Kun80] KUNEN, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs.

      Amsterdam: North-Holland, 1980. (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102)

      [Myc64] MYCIELSKI, Jan. Two Remarks on Tychonoff’s Product Theorem, Bull. Polish Acad. Sci. Math., v. 12, no. 8, p. 439 - 441, 1964. [Oxt80] OXTOBY, John C. Measure and Category: A Survey of the Analogies between

      Topological and Measure Spaces. 2. ed. New York: Springer, 1980. (Graduate Texts

      in Mathematics, 2) [Sch06] SCHECHTER, Eric. Kelley’s specialization of Tychonoff’s Theorem is equivalent to the Boolean Prime Ideal Theorem, Fund. Math., v. 189, no. 3, p. 285 - 288, 2006.

      [SiJ07] SILVA, Samuel G.; JESUS, Jo˜ao Paulo C. Cem anos do Axioma da Escolha: boa ordena¸c˜ao, Lema de Zorn e o Teorema de Tychonoff, Matem´atica Universit´aria, no. 42, p. 16 - 34, jun. 2007. [Wil70] WILLARD, Stephen. General Topology. Reading, MA: Addison–Wesley, 1970.

      (Addison–Wesley Series in Mathematics)

      Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

      Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

      &lt;http://www.pgmat.ufba.br&gt;

Novo documento

Tags

Documento similar

Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Instituto de Ciências Sociais e Aplicadas - ICSA
0
3
249
Universidade Federal do Pará - UFPA Instituto de Ciências da Arte - ICA Programa de Pós Graduação em Artes - PPGARTES
0
1
127
Universidade Federal de Uberlândia Instituto de História - INHIS
0
2
81
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica Aprendizagem Ativa e Colaborativa: uma proposta de uso de metodologias ativas no ensino da matem´ atica
0
0
67
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
88
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
64
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
105
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
1
136
Universidade Federal da Bahia
0
5
167
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´
0
0
97
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´
0
1
102
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica PRATICANDO ESTAT´ ISTICA NO ENSINO M´ EDIO
0
0
64
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica Os polinˆ omios centrais de algumas ´ algebras
0
0
102
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
74
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
58
Show more