FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Livre

0
0
33
1 year ago
Preview
Full text

  Notas de aula --- Parte II FUNđỏES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

  Escritas pelo Professor Wilson Canesin

Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade

Braz Cubas

  Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

1- FUNđỏES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

  Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis.

  Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é

  P = f( L, K) O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis.

  1.2 – Funções de duas variáveis

  2 Seja D um subconjunto (região) do espaço R (plano) . Chama- se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função.

  z

  Assim,

  f(x,y)

2 D é o domínio da função em R ,

  f é a função

  y f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). x z (x,y) D

  Exemplos de valores de função de 2 variáveis:

  2

  2 Ex.1- se f(x,y) = x + 2y , então f(2,3) = 2 +2.3 = 10 3 1/2 3 1/2

  Ex.2- f(x,y) = (3x+y ) f(1,2) = (3.1+2 ) = 3,32 Domínio das funções de duas variáveis

  O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio

  2 de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R , tal que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em valores finitos e reais para f(x,y).

  y x Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = −

  A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu

  2 domínio é D ={ (x,y) ε R / y - x ≥ 0 }. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

  2 x

  Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) =

  , a função é finita 2 xy quando 2x-y ≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais que,

  z D

  2

  y D ={ (x,y) ε R / y ≠ 2x }. x z D

  2 x

  Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) =

  , a função é finita 3 xy quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que,

2 D ={ (x,y) ε R / 3x - y > 0 }.

  1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis

  Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x).

  3 Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R e z = f(x,y). Uma

  3 função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R .

  X Y A superfície é obtida

  0 0 Z 0 1 para cada par x,y ,

  0 2 fixando um valor de

  0 3 x e variando y, em o

  1 0 seguida fixa um 2

  1 1 valor de x e varia y ,

  1 2 o depois fixa um 3 x e

  1 3 Y varia y ,etc., até

  2 0 2 1 variar x e y em todo

  2 2 o domínio.

  X 2 3 3 0 3 1 ... ... Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

  Exemplos de funções de 2 variáveis:

  Z Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5

  5 A superfície é um plano infinito, paralelo Y a x,y e passando por z=5

  X Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser

  escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer :

  Z

  a) x =0 e y =0 → z = 6

  (0,0,6)

  b) x =0 e z = 0 → y = 2

  c) y =0 e z = 0 → x = 3 Portanto, o gráfico de f no

  X (0,2,0)

  plano é ⇒

  (3,0,0) Y Ex. 4 - A função é

  2

2 Ex.3 – A função é z = f(x,y) = x

  • y

  2

  2

  1 − xy

  z = f(x,y) = Z

  Z A superfície é A superfície gerada um parabolóide é uma semi-esfera de revolução. de centro na origem.

  Y Y

  

X X Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

  O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x ,y ), é o número L (se existir) e é representado por

  l i m f x y L ( , ) = ( x , y ) → ( x , y )

  Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x , y ), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.

  Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas restrições.

  2

2 Ex. 1 f(x,y) = x

  • y – xy , é contínua para todo par x,y

  3

  2

3 Ex.2 f(x,y) = x y –xy + y + 6, contínua ∀ x , y

  2

  • 2

  x y Ex.3 f(x,y) =

  é contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x

  − x y

  1 y D

  X

  • x y

  Ex. 4 f(x,y) = é contínua se ∀ x ≠ y xy y

y = x

  D

  X Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

  Ex.5 f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0 ou y > x y

  y > x

  x

  2 2

  2

  2

  2

  2

  x y 1 − −

  Ex.6 f(x,y) = é contínua se 1-x -y ≥ 0 ,ou x +y ≤ 1 y

  O domínio é uma circunferência de

  D centro na origem

  e de raio r ≤

  1

  x

  yx

  Ex.7 f(x,y) =

  1 / a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x

  Que resulta no gráfico: y x

  Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis

  A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , sua derivada em relação a x é

  ∆ = ∆ −

  • f f ( x x , y ) f ( x , y )

  incremento da função

  ∆ ∆ − + f f ( x x , y ) f ( x , y )

  =

  taxa de variação da função

  ∆ xx l i m

  ∆ ff = = f ( x , y ) x Derivada parcial em x ∆x→0 x x

  ∆ ∂

  Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é

  f f l i m ∆ ∂

  = = f ( x , y )

  Derivada parcial em y

  yy → ∆ xy

  1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial

  Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x ,y ,z ) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.

  z Assim, tan α = f x (x ,y ) = ∂ f / ∂x y

  β = f ∂ f / ∂y tan y (x ,y ) = y x β x α

  = -cotu.cscu.u s

  = cosu .u s

  = e u u s

  9 f = u v f s

  = v u s

  s

  10 f = u / v , u s

  = ∂u/∂(x,y) f s =(v u s

  s ) / v

  2 11 f = senu f s

  12 f = cosu f s

  8 f = e u

  = -senu .u s

  13 f = tanu f s

  = sec

  2 u .u s

  14 f = secu f s

  = secu.tanu.u s

  15 f = cscu f s

  = -cscu.cotu.u s

  16 f = cotu f s

  D s e u

  = a u lna u s

  Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva TABELA DE DERIVADAS

  = ∂u/∂(x,y)

  (adaptada p/derivadas parciais) Número Função f = f(x,y)

  Derivada f s

  = ∂f/∂s , s = x,y 1 f = k ( k = constante) f s

  = 0 (derivada de 1 const.) 2 f = x ou f = y f s

  = 1 s = x ou y 3 f = u n

  ; u = f(x,y) D s u n

  = n u n-1 u s

  , u s

  4 f = n m

  D s a u

  u

  D s n m s n m

  u u n u m u =

  5 f = ln u D s ln u =

  u u s

  6 f = lg a u

  D s lg a u =

  a u u s ln

  7 f = a u

  • u v
    • – u v
    Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais

  A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante. f x = ∂ f / ∂ x → y=constante f y = ∂ f / ∂ y → x=constante

  3

  2 Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x y

  3

  2

  2

  2

  3

  2

  3 f x = ∂ (3x y ) / ∂ x = 9x y f y = ∂ (3x y ) / ∂ y = 6x y

  2

  2 Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x

  • y

  2

  2

  2

  2 f x = ∂ ( x + y ) / ∂ x = 2x f y = ∂ (x + y ) / ∂ y = 2y

  2

  2 Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x

  • y )

  2

  2

  2 f = u / v , u =x e v = x + y f = [ v u – u v ]/v s s s

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  • y ).1 – x. 2x]/( x + y ) = (y -x )/(x + y ) f x =[(x

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  • y ).0 – x. 2y]/( x + y ) = -2xy/(x + y ) f y =[(x

  

Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da

  2

  3 superfície z = 4 x y -xy , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).

  Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante.

  ∂ z ∂ ∂

  2

  3

  3 = ( 4 x y ) − ( x y ) = 8 x yyxxx

  mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se

  ∂ f

  • 1

  tan α = (

  3 ,

2 ) = 40 ⇒ α = tan (40) = 88,57 °

x Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície

  3

  2 z = x + y +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4). Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva ∂ f

  2 = 3x + 2y

  ∂ xf

  • 1

  ( 1 , 1 )

  tan α = = 5 ⇒ α = tan (5) = 78,69 °

  ∂ x

  2

  3 Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x

  • y ).senx

  ∂ fu vuv ( . )

  2

  3 + . v u .

  = = = 2x.senx + ( x + y ).cosx

  ∂ xxxxfu vuv ( . )

  2

  2

  3

  2

  v u

  • yyyy

  = = . . = 3y .senx + ( x + y ).0 = 3y .senx

  1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis

  A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua diferencial total é :

  ∂ ff

  • =

  d z dx dy

  ∂ xy

  3

  2

  3 Ex.1 diferenciar a função z = 3x y – 2xy +xy –1

  ∂ ff

  2

  2

  3

  3

  2 = 9x y – 2y +y e = 6x y – 6xy + x

  ∂ xy

  assim, a diferencial da função é

  2

  2

  3

  3

  2 df = (9x y – 2y +y ) dx + (6x y – 6xy + x) dy

  A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função F(x ,x ,...x ) de n 1 2 n variáveis é:

  n

  ∂ F

  ∂ FFF dx dx dx dx

  dF = +......+ = i 1 2 n

  • xxxx
  • 1 2 n i i =

      ∑

      1 Ex.2-Calcule a diferencial da função

      F(x,y,z) =2x+3xy-2zy F = 2+3y ; F = 3x-2z ; F = -2y x y z Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

      dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz

      1.8 – Derivada de funções compostas

      Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A derivada desta função em relação a “t” é

      d f f d x f d y ∂ ∂

    • =

      d tx d ty d t

      2 Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x

    • 3y –5 ,

      t

      3 onde x(t) = e e y(t) = t .

      2t

      3

      a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e +3t – 5 2t

      2 E a derivada dF/dt = 2 e + 9t

      b) Calcula-se pelas derivadas parciais

      ∂ ff d x d y

      t

      2

      = =

      = 2x ; = 3 ; e ; 3t

      x y d t d t ∂ ∂

      Assim

      d F

      t 2 t

      2 = 2x.e + 3.3t = 2 e + 9t

      d t

      Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x ,x ,...x ), onde x (t),

      1 2 n

      1 x 2 (t),...x n (t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é dada pela regra da cadeia

      n d x dff d x if d xf d xf n

      1

      2

      = . . .

      =

      ∑ dt x d tx d tx d tx d t i 1 ∂

      = n

      1

      

    2

      t

      2 Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=e e z =t t f x = 2 , f y = 3 , f x = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =e ; dz/dt = 2t

      d f t

      = + 2 . cos t 3 . e − 4 t

      d t Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

      Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt

      2

      3 1) f(x,y,z) =x+x y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t x+y+z

      2

      3 2) f(x,y,z) =e , com x=t ; y= t e z = t-1

      2

      2

      2

      3 3) f(x,y,z) =x y+3yz , com x=1/ t ; y= 1/ t e z =1/ t

      1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis

      Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.

      A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a x é

      ∂ f dxf dyff dy

    • = =

      →

      ∂ x dxy dxxy dxf

      ou,

      dy fx x

      = − = − ∂ f dx f y

      ∂ y

      2

      3 Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x + 5y + 2 =0 usado, diretamente a fórmula acima,

      ∂ f dy x

      4 x

      ∂ = − = − 2f dx y

      15 ∂ y

    2 Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y – 6xy = 0

      ∂ f dy y

      6 ∂ x = − = ∂ f dx yx

      8

      6 ∂ y

      Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e diferenciando, e após algumas considerações teremos Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva f z f x f z f y

      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y

      x

      = − = − = − = − e

      x f z f y f z f

      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

      z z

      2

      3

      ∂ zxzy Ex.3 - Achar as derivadas e , da função x +y - z=0.

      Solução; ∂ zfx

      − x = − 2 = 2 x

      = ∂ xfz

      1

      2 z f y

      ∂ ∂ ∂ −

      3

      2

      = − x = 3 y =

      y f z

      ∂ ∂ ∂ −

      1

      z x

      Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar ∂ ∂ e

      ∂ zy

      , nas expressões abaixo

      3

      2 1) 2 x - 4 y – 6 z = 0

      2

      2

      3 2) x + xy + xyz –3 =0

      1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem

      Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são f = = x ∂f /∂x e f y ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por 2 2 2

      2 ∂ ffff f = f = f = f = xx , xy , yx , yy 2

      ∂ xyyxyxx

    Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas

    cruzadas são iguais , ou seja f = f .

    xy yx

      2

      2 Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x +3y – 6xy f = ∂f /∂x = 8x – 6y e f = ∂f /∂y = 6y – 6x x y

      Note que f xy = f yx

      ) (

      =

      2

      2 2 x f f xx

      ∂ ∂ =

      = 2 . .

      V V U U

      V x x

      = 2 2 2 2 2

      ) ( ) (

      2 y x x y

      ;

      x y f f yx

      ∂ ∂ ∂ = 2

      = 2 2 2

      4 y x xy

      2 y x x

      4 y x xy

      2 y x y x

      ) ( ) (

      = 2 2 2 2 2

      ∂ ∂ ∂ = 2

      x y f f yy

      ;

      ) (

      y x f f xy

      = 2 2 2

      V y y

      V V U U

      = 2 . .

      2

      ∂ ∂ ∂ =

      V U y x y

      2 ) f x = ∂f /∂x = 2 2

      Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

      = -6 ;

      2x+5y f y = ∂f /∂y = 5e

      2x+5y f x = ∂f /∂x = 2e

      EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e

      = -6

      ∂ ∂ ∂ = 2

      x y f f yy

      2

      x f f xx

      ∂ ∂ ∂ =

      y x f f xy

      = -6

      ∂ ∂ ∂ = 2

      ∂ ∂ = = 8 ; ; x y f f yx

      2 2 x f f xx

      2x+5y 2 2

      ∂ ∂ =

      2

      = 10e 2x+5y

      Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x

      EX.3 -

      = 25e 2x+5y

      ∂ ∂ ∂ = 2

      x y f f yy

      ;

      2

      = 4e 2x+5y

      ∂ ∂ ∂ =

      y x f f xy

      = 10e 2x+5y

      ∂ ∂ ∂ = 2

      x y f f yx

      ;

    • y
    • 2
    • 2<
    • ; f y = ∂f /∂y =
    Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis

      As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis e são representadas da mesma forma. Exemplos:

      2

      3

      2 1) f(x,y,z) = x + y +z x

      2

      2 f x = 2x+z ; f y = 3y ; f z = 2zx

      2

      2 2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z + t )

      2

      3

      f x = ; f y = 2 2 2 2

      2

      3

      2

      3 z t

      x yz t x yz t

    + + + +

      −

      2

      2

      f z = ; f t = 2 2 2 2

      2

      3

      

    2

      x yz t x yz t + + + +

      3 Exercícios propostos - Derivar as funções:

      1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z 2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz

    • x y 3) f(x,y,z) =

      −

      x z xyz

      4) f(x,y,z) =

      2

      3 5) f(x,y,z) = (x +2y-3z) 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt

      2

      2

      3 7) f(x,y,z,t) =ln(3x +5y -zt )

      1.12 – Derivadas de Ordem Superior

      Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas. f x ,f y ,...f r ,f s, f t , ou seja f xx ,f xy ,...f xt ; f yx ,f yy ,...,f ys ,f yt , etc.

      2

      2

      2

    3 Ex.1 – f(x,y,z) = x + 4xy – 3y z

      2 f x = 2x + 4y ; f xx =2 ; f xy = 8y ; f xz = 0

      3

      3

      2 f y = 8xy – 6yz ; f yx = 8y ; f yy = 8x – 6 z ; f yz =-18yz

      2

      2

      2

      2 f = -9y z ; f = 0 ; f = -18yz ; f = -18y z z zx zy zz Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função :

      2

      3 n n-1 f(x,y,z) = ln(xy z ) .Lembrando que D s lnu = u s /u e D s u =un u s

      2

      3

      2 3 ∂ -2

      2

      − 1 x

      f = y z / xy z =1/x ; f = ( ) = -1.x = -1/x x xx

      ∂ x

      f = 0 ; f = 0 xy xz

      ∂

      3

      2 3 − 1 -2

      2

      y ( 2 )

      f y = 2xyz /xy z = 2 / y ; f yx = 0 ; f yy = = -2y = -2 / y

      y ∂ ∂

      − 1 y

      ( 2 )

      f yz = = 0

      ∂ z

      2

      2

      2

      3

      2 f z = 3xy z / xy z = 3 / z ; f zx = 0 ; f zy = 0 ; f zz = -3 /z EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas)

      1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. f

      x =2y+3z , f y = 2x+4z , f z =3x+4y f =0 ; f =2 ; f =3 xx xy xz f =2 ; f =0 ; f =4 yx yy yz f zx =3 ; f zy =4 ; f zz = 0

    • x y

      2

      2

      2) f(x,y,z) =

      ; f x = 1/(y-z) ; f y =-(z+x)/(y-z) ; f z =(x+y)/(y-z)

      yz

      2

      2

      2

      3 f =0 ; f =-1/(y-z) ; f =1/(y-z) ;f =-1/(y-z) ; f =2(z+x)/(y-z) ; xx xy xz yx yy

      3

      2

      3 f yz =(2x+y-z)/(y-z) ; f zx =1/((y-z) ; f zy = f yz ; f zz =2(x+y)/(y-z)

      3

      2

      2

      2

      3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)

      ;f x =3(x+2y+3z) ; f y =6(x+2y+3z) ;f z =3(x+2y+3z) ;f = 6(x+2y+3z) ; f = 12(x+2y+3z) ; f = 18(x+2y+3z) f = 12(x+2y+3z) xx xy xz yx

      ;f yy =24(x+2y+3z) ; f yz = 36(x+2y+3z) ; f zx = 6(x+2y+3z) ; f zy = 12(x+2y+3z) ; f zz = 18(x+2y+3z) .

      1/2 -1/2 -1/2

      xyz 4) f(x,y,z)= =(xyz) ; f =(1/2).yz(xyz) ; f =(1/2).xz(xyz)

      x y

    • 1/2 2 -1/2

      f z =(1/2).yx(xyz) ; f xx =(-1/4)(yz) (xyz) ;

    • 1/2 2 -1/2 -1/2

      2 -1/2 f xy = (1/2)z(xyz) -(1/4)(yz) (xyz) ; f xz =(1/2)y(xyz) -(1/4)(yz) (xyz) ;

    • 1/2 2 -1/2 -1/2

      2 -1/2 f =(1/2)z(xyz) -(1/4)(xz) (xyz) ;f = (1/2)x(xyz) -(1/4)(xz) (xyz) ; yx yz Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

    • 1/2 2 -1/2 -1/2

      2 -1/2 f =(1/2)y(xyz) -(1/4)(yx) (xyz) ;f = (1/2)x(xyz) -(1/4)(yx) (xyz) ; zx zy 2 -1/2 f zz =(1/2)(yx) (xyz) .

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      5) f(x,y,z,t) = ln(2x

    • y -zt ) ; f x =4x/(2x +y -zt ) ; f y =2y/(2x +y -zt )

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 f z = -t /(2x +y -zt ) ; f t =-2zt/(2x +y -zt ) ;f xx =4(y -zt )/( (2x +y -zt ) ;

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 f =-8xy/( (2x +y -zt ) ; f =4xt /( (2x +y -zt ) ; f =-8xy/(2x +y -zt ) ; xy xz yx

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 f yy =(4x -2y -2zt )/(2x +y -zt ) ; f yz =2yt /(2x +y -zt ) ;

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      4

      2

      2

      2

      2 f zx =4xt /( (2x +y -zt ) ; f zy = 2yt /(2x +y -zt )2 ; f zz =-t /(2x +y -zt )

      2

      2

      2

      2

      6) f(x,y,z) = sen(x

    • xy+yz ) ; f x = -(2x+y)cos(x +xy+yz ) ;

      2

      2

      2

      2

      2 f =-(x+z )cos(x +xy+yz ) ; f =-2yzcos(x +xy+yz ); y z

      2

      2

      2

      2

      2 f xx = -2.cos(x +xy+yz )+(2x+y) sen(x +xy+yz )

      2

      2

      2

      2

      2 f = -cos(x +xy+yz )+(2x+y)(x+z )sen(x +xy+yz ) xy

      2

      2

      2

      2

      2

      2 f xz = 2yz(2x+y)sen(x +xy+yz ) ; f yy = (x+z ) sen(x +xy+yz )

      2

      2

      2

      2

      2 f yx = f xy ; f yz = -2zcos(x +xy+yz )+2yz(x+z )sen(x +xy+yz ) ;

      2

      2

      2

      2

      2 f =f ; f =f ; f =-2ycos(x +xy+yz )+(2yz) sen(x +xy+yz ) zx xz zy yz zz

    • 2
    • 2 3 2 2 3 2 + + 2 3 2 2 + + 3

        x y z x y z x y z

        2 x y z

        7) f(x,y,z) = e e e e 2 2 3 2 ; f x =2x ; f y =2y ; f z =3z 2 3 2 2 3 2 2 3

        x y z x y z x y z x y z

        2

        2

        e e e e

        f xx =2 +4x ; f xy =4xy ; f xz =6xz 2 2 3 2 2 3 2 2 3

        x y z x y z x y z

        2 + + +

        2 + + +

        e e e

        f yx =f xy ; f yy =2 + 4y ; f yz = 6yz 2 2 3 2 2 3

        4

      • x y z x y z
      •   e e

          f zx =f xz ; f zy =f yz ; f zz = 6z +9z

          Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis

          Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano calculado no ponto (x ,y ), que é definido a seguir.

          f f xx xy

          H(x ,y ) =

          f f yx yy x y

          ( , ) Assim , Se as derivadas f e f forem nulas, o ponto(x ,y ) é um extremo, e x y a) H(x ,y )&gt;0 e f (x ,y )+ f (x ,y ) &lt;0 então (x ,y ) é um máximo. xx yy b) H(x ,y )&gt;0 e f xx (x ,y )+ f yy (x ,y ) &gt;0 então (x ,y ) é um mínimo.

          c) H(x ,y )&lt;0 então (x ,y ) é um ponto de sela.

          d) H(x ,y )= 0 o teste é inconclusivo.

          Q

          Os pontos P e Q são pontos de máximo, porque qualquer

          P

          deslocamento em sua vizinhança,

          S irá descer.

          F(x,y) O ponto S é uma sela porque nos

          T

          sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido SL ou ST desce.

          L Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

        Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm

          de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade máxima.

          x sen θ θ y cos x x

          θ 12-2x

          A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois triângulos. A = f = (1/2).xcos θ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x) (a)

          2

          2 f(x, cos sen

          θ) = x θsenθ + 12xsenθ -2x θ Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função. f x = ( ∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0

          sen2 θ = 2senθcosθ 2 θ - 1 =2 cos

          2xcos θ = 4x – 12 ou cosθ = 2-6/x 2 2

          cos2 θ =cos θ - sen θ 2 θ -1

          2 2 = 2cos f = ( ∂ f / ∂θ ) = x cos2 θ + 12xcosθ - 2x cos θ=0

          θ

          2 = x ( 2cos θ - 2cosθ-1)+12cosθ a substituindo o valor cos θ = 2 – 6/x na 2 equação e resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cos θ =2-6/4=1/2 o cos θ = ½ → θ = 60 as

          O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2 derivadas, também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima.

        20 XYZ

          = cos[0,0225(x

          4 78 18.904

          4 84 17.576

          4

          90

          16 = Ex.2 – Achar os extremos da função

          f(x,y) = sen[0,0225(x

          2

          2 ) –0,45(x+y) + 4,5].

          Calculando as primeiras derivadas , tem-se: f x = cos[0,0225(x

          2

          2 ) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0 f y

          2

          4 66 20.562

          2 ) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0

          Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula) então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 = 0 , que resulta x = 10 e y =10 . Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as segundas derivadas. f xx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)

          2

          yy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)

          2

          xx

          yy &gt; 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função.

          máximo 100

          75

          50

          25

          4 72 19.919

          4 60 20.785

          Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          15

          X Y , Z , Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 )

          5

          10

          15

          20

          5

          10

          15

          20

          5

          10

          1

          4 54 20.553

          2 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207

          4 6 3.336

          4

          12

          6.58

          4 18 9.647

          4 24 12.453

          4 30 14.928

          4 36 17.013

          4 42 18.662

          4 48 19.846

        • y
        • y
        • y
        • cos(…). 0,045 f
        • cos(…). 0,045 Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se: f
        • f
        Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é confirmado pelo gráfico tridimensional da função.

          Note que nos pontos x =10 e y =10, a função tem um de seus mínimos.

          0.5

          0.5

          5

          10

          15

          5

          10

        15 M

          Gráfico 3D da função seno Ex.3

        • – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do exemplo 2, para uma exponencial.

          2

          2 − , 0225 ( ) , 45 ( ) + + + +

        4 ,

          5 x y x y

          f(x,y)

          e

          f(x,y) = = e

          2 45 ( x y ) + + , 0225 ( x y ) − , 4 ,

        • 2

          5 e f = [-0,045 x + 0,45] .

          x

          2

          2 , 0225 ( x y ) − , 45 ( x y ) + + + 4 ,

          5 e f = [-0,045 y + 0,45] .

          y 2 f(x,y) f(x,y) f xx = [-0,045 x+ 0,45] . e + 0,045 . e

          2 f(x,y) f(x,y) f xx = [-0,045 y + 0,45] . e + 0,045 . e No ponto x=y=10, tem-se: f xx + f yy &lt; 0 que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode ser verificado no gráfico da função. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          1

          0.8

          0.6

          0.4

          0.2

          10

          20

          10

        20 M

          Gráfico 3D da função exponencial

        Ex.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é

          2

          2 dada pela equação T=16x +24x +40y . Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região. f x = ( ∂ f / ∂x) =32x +24 ; f y = ( ∂ f / ∂y) = 80y Os pontos extremos são calculados para f =0 e f =0 , resultando x y x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 .

          f f

          32 xx xy

          H(x ,y ) = = &gt; 0

          f f yx yy

          80 x y ( −

          3 / 4 , ) ( , ) H(x ,y ) &gt; 0 , f + f &gt; 0 é um ponto de mínimo. xx yy

          O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outro ponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conforme mostra o gráfico da superfície.

        • 1 1.2 49.6
        • 1 1.6 94.4
        • 1 2 152
        • 0.8 -2 151.04
        • 0.8 -1.6 93.44
        • 0.8 -1.2 48.64
        • 0.8 -0.8 16.64
        • 0.8 -0.4 -2.56
        • 0.8 0 -8.96
        • 0.8 0.4 -2.56
        • 0.8 0.8 16.64
        • 0.8 1.2 48.64
        • 0.8 1.6 93.44
        • 0.8 2 151.04
        • 0.6 -2 151.36 =

          2

          2 –2x .

          Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema: f x

          = 2x –2 = 0 , ou x=1 f y = 2y =0 , ou y=0 , o ponto é (x,y) =(1,0) Por outro lado, f xx

          (1,0) = 2 , f xy

          (1,0) = 0 , f yx

          (1,0)= 0 e f yy

          (1,0) = 2 H(1,0) = yy yx xy xx

          f f f f

          =

          2

          Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x

          = 4 &gt;0 f xx (1,0) + f yy (1,0) &gt;0 , o ponto é um mínimo de f(x,y).

          

        1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis

          Seja f uma função de n variáveis x

          1 ,x

          2 ,...x n

          , diz-se que um ponto P (x 10 ,x 20 ,...x n0 ) é um ponto de máximo local de f(x 1 ,x 2 ,...x n ), quando f(x

          10 ,x 20 ,...x n0 ) &gt; f(x 1 ,x 2 ,...x n ) , para qualquer ponto P(x 1 ,x 2 ,...x n ) vizinho de P (x

          10 ,x

          20 ,...x n0 ).

          2

          22

          mínimo Escala em x = x-10 Escala em y =y-10

          10

          Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          X Y ,

          Z ,

          Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0) 5 10 15 20 5 10 15 20 100

          XYZ

          1

          2

          8

          9

          11

          21

          12

          13

          14

          15

          16

          17

          18

          19

          20

        • y

          Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          1 1

        1

        2 2 1 2

        1

        2 1 1 1 P f P f P f P f P f P f P f P f P f n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x

          ) ( .... ) ( ) ( .... .... .... .... ) ( .... ) ( ) ( ) ( .... ) ( ) (

          ∆ n =

          P f P f P f P f P f P f x x x x x x xx x x x x x x x x x x x ..................................................................

          ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 P f P f P f

          3 =

          ∆

          P f P f x x x x x x x x

          ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 1 1 1 P f P f

          2 =

          ∆

          =1 ∆ 1 = ) ( 1 1 P f x x

          Além disso é necessário calcular os n determinantes ∆

          ) ( .... ) ( ) ( .... .... .... .... ) ( .... ) ( ) ( ) ( .... ) ( ) (

          Da mesma forma, P (x 10 ,x 20 ,...x n0 ) é um ponto de mínimo local de f, se f(x

          O ponto P é encontrado, pela solução das equações: f x1 =0 , f x2 =0 , ......., f xn = 0 (tangentes à superfície no ponto) O determinante Hessiano calculado no ponto P , de máximo ou de mínimo, para o caso de n variáveis é dado por: H(P ) =

          20 ,...x n0 ).

          10 ,x

          ) vizinho de P (x

          2 ,...x n

          1 ,x

          ) para qualquer ponto P(x

          2 ,...x n

          1 ,x

          ) &lt; f(x

          20 ,...x n0

          10 ,x

          1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 P f P f P f P f P f P f P f P f P f n n n n

        n

        n

        x x x x x x x x x x x x x x x x x x

          Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          Então, se:

          a) ∆ , ∆ 1 , ∆ 2 ,..., ∆ n forem todos positivos, P é um ponto de mínimo de f .

          b) ∆ , ∆ 1 , ∆ 2 ,..., ∆ n são alternadamente positivos e negativos, P é um ponto de máximo de f.

          2

          2

          2 Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x

        • y + z e verificar se são de máximos ou de mínimos.

          f x = 2x = 0 →x =0 f = 2y = 0 →y =0 → P (0,0,0) ,que é o único ponto crítico y f z = 2z =0 → z =0 f = 2 , f = 0 , f = 0 xx xy xz f = 0 , f = 2 , f = 0 yx yy yz f zx = 0 , f zy = 0 , f zz = 2

          2

        2 H(0,0,0) = = 8

          2

          2

          2

          ∆ =1 ; ∆ 1 = 2 = 2 ; ∆ 2 = = 4 ; ∆ 3 =

          2 =8

          

        2

          2 todos positivos , logo, o ponto P (0,0,0) é um ponto de mínimo de f.

          2

          2

          2 Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x - y - z +4y+2z-5 .

          Os pontos críticos da função são: f x = -2x = 0 →x =0 f = -2y+4 = 0 →y =2 → P (0,2,1) ,que é o único ponto crítico y f = -2z=2 =0 → z =1 z f xx = -2 , f xy = 0 , f xz = 0 f = 0 , f = -2 , f = 0 yx yy yz Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva −

          2 −

          2 H(0,2,1) = = - 8 −

          2 −

          2

          

        2

          =1 ; = 2 − = -2 ; ∆ = = 4 ; = −

          2 =-8

          ∆ ∆

          1 2 ∆

          3

          −

          2 −

          2 Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P (0,2,1) é um ponto de máximo da função f.

          Ex.3 – Estudar os extremos da função:

          3

          3

          2

          2 f(x,y) = x / 3 + 2y / 3 – 3x + 10y + 8x + 42y + 2

          2 f = x – 6x +8 = 0 =4 e x =2 x → x

          1

          2

          2 f = 2y – 20y + 42 = 0 → y =7 e y =3 y

          1

          2 f xx =2x-6 , f xy =0 , f yx = 0 , f yy = 4y - 20 .

          → existem pontos que podem ser críticos, ou seja P 1 (4,7) ; P 2 (4,3) ; P 3 (2,7) e P 4 (2,3)

          x

          2

          6 O Hessiano calculado nestes pontos é H(x,y) = y

          4 −

          20

          2

          2 H(4,7) = &gt;0 e ∆ =1 ; ∆ = 2 = 2 ; ∆ = = 4 ;

          1

          2

          8

          8 O ponto é de mínimo.

          2 H(4,3) = &lt;0 (sela) − 8 −

        2 H(2,7) = < 0 (sela)

          8 −

          2 −

          2

          − = -2 ; ∆ H(2,3) = &gt;0 e ∆ =1 ; ∆ 1 = 2 2 = = 16

          − −

          8

          8 Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva O ponto é de máximo.

          Exercícios propostos:

          2

          2

          3

          3 1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x +3y - x /3 – y /3 +1

          Resp. P 1 (0,0) é mínimo e P 4 (4,6) é máximo e P (0,6) e P (4,0) são selas.

          2

          3 2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+ π/2) Resp. P ( π/2,0) é máximo.

          1

          3

          4 3- Achar os extremos da função f(x,y)= x /3 + y /4 - 25x + 27y + 1

          Resp. P 1 (5,-3) é mínimo.

          3

          3

          2

          2 4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x /3 -y /3 -2x -3y +4x+8y+1

          Resp. P 1 (2,4) e P 2 (2,2) são de máximo. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.15 – Operadores especiais da física 1.15.1 - Gradiente

          Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se por grad f ou ∇f, a expressão:

          ∂ ∂ ∂ f ˆ f ˆ f ˆ i j k

          grad f = ∇f = + +

          ∂ xyz O gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários.

          1.15.2 - Divergência r ˆ

          ˆ ˆ V = V i V j + + V k

          Denomina-se divergência de um vetor x y z , e representa-se por div V ou ∇. V , a expressão

          ∂

          VV y

          V x z

          div + +

          V = ∇. V = ∂ ∂ ∂ x y z

          Uma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento de um fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pela velocidade então div ( ρ v) representa o escoamento por unidade de volume num ponto do fluido.

          1.15.3 - Rotacional

          O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V é definido por

          ⎡ ˆ ⎤ ˆ ˆ i j k

          ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥

          rot V = ∇×V =

          ∂ xyz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

          V x y z

          V V ⎣ ⎦ ∂

          V

          V ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂

          V z x z x y ⎛ ∂ VVy

          V ˆ ˆ ˆ i j k

          − − −

          = + +

          ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂ yzzxxy ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

          O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação ( Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma

          Ω = (1/2). rot (ρ v) Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.16 – Integrais múltiplas

          As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou podem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integrais simples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas de integração simples:

          1 csu du = ln cscu - cotu + C u n

        • n

          ∫ u dx = + C , onde u =f(x) e

          ∫

        • n

          1

          cotu du = ln senu + C n 1 du

          = ln u + C

          2 u sec u du = tanu + C

          ∫ u u e du = e + C

          2 csc u du = - cotu + C

          ∫ u u a du = a / lna + C secu tanu du = secu + C

          ∫ ∫ cosu du = senu + C cscu cotu du = -cscu + C

          ∫ ∫

          2 senu du = -cosu + C sen u du = [2u - sen2u] / 4 + C ∫ ∫

          2 tanu du = -ln|cosu + C cos u du = [2u + sen2u] / 4 + C ∫ ∫ secu du = ln secu + tanu + C

          ∫

          A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular a área de uma figura plana.

          y A área infinitesimal dA = dx. dy f(x)

          é obtida integrando de x até x

          1

          2 dA x f ( x ) 2 x 2 f ( x ) A dx . dy y dx

          = = [ ] ∫ ∫ x1 dy x 2 x 1 dx

          A = f ( x ) dxx 1

          x

          x 1 x

          2 Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          2 Ex.1 Achar a área sob a função y= -2x + 18 , de x=0 até x=3. x f ( x ) x 2 2 3 3

          − 3 2

          2 dx . dy f ( x ) dx x

          A = = = ( −

          18 [ ]

          2 + x ) dx = 18 x +

          ∫ ∫ xx 1 1

          3

        2 A = - 18 + 54 = 46 (unid )

          Outros exemplos de integrais são: x 2

          xydxdy

          Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida)

          ∫ ∫ x

          Solução: 2

          4

          2

          x 2 ⎡ ⎤ x 2 6 4 x x

          ⎡ ⎤ y x x xydxdy x . − dx x dxc

        • ⎢ ⎥

          = . = ⎢ ⎥ =

          ∫ ∫ ∫

          ∫

          2

          2

          2

          12

          8 x

          ⎣ ⎦ x ⎣ ⎦ x x y + dxdy

          Ex.3 Calcular a integral múltipla mista sen(

          ) x ∫∫ o

          x y dxdy cos( x y ) dx [cos( 2 x ) cos x ] dx o sen( ) = [ − ] = - − = x ∫ ∫ ∫ ∫

          1 − sen( x x 2 ) sen c + +

          =

        2 As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais de

          volume de sólidos, conforme mostra a figura

          z O volume do sólido pode ser calculado por uma integral tripla, do tipo: a b c dz V = dxdydz

          ∫∫∫ 0 0 0 y dx dy x Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          1.16.1- Volume de sólidos de revolução Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana em torno de uma reta fixa.

          Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se:

          r = f(x) y 2 dV = πr dx y = f(x) 2 dV = π[f(x)] dx b 2 V = f x dx

          π [ ( )] ∫ a a b x

          Figura plana girando em x Cálculo do elemento de volume Ex1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido

          3 gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x , no intervalo [1,2].

          (2,8) y (2,8) (1,1) 3 r y = x x (1,1)

          R 1 2 x

          7

          2

          2

          2

          2 x 127

          3

          2

          3

          2

          

        6

        = π = π = π

          V = π [ f ( x )] dx [ x ] dx x dx = π (unid)

          ∫ ∫ ∫

          7

          7

          1

          1

          1

          1

          2

          2 a − x

          Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = em [-a, a]

          Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva y

          2

          2 a x − y = = r

        • a a x

          Semi-círculo em rotação Sólido (esfera) gerado pela rotação

          do semi-círculo

          3 a a

          

        2

        ⎡ ⎤ a x

          2

          2

          2

          2

          2

          2

          2 [ f ( x )] dx = π [ a − x ] dx = π [ a − x ] dx = π a x −

          V = π

          ⎢ ⎥ ∫ ∫ ∫ − a

          3 − a − a 1 ⎢ ⎥

          ⎣ ⎦

          3

          3

          3

          3

          3 ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ a a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a a

          2 a

          3

          3

          3

          3 − − − − − −

        • ⎢ a ⎥ ⎢ a ⎥ = π a a = π
        • 3

          = π

          2 a ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

          3

          3

          

        3

          3

          3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭

          ⎪⎩ ⎪⎭

          3

          1

          3

          ⎫

          4

          1 = 2 πa ⎧ − = πa que é o volume da esfera gerada. ⎨ ⎬

          3

          3 ⎩ ⎭

          2 Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].

          y y

          4

          2 y = x y x = x x

          Sólido gerado pela parábola

          Seção plana parábola

          de revolução

          girando em y

          2 b b

          4

          4

          3

          2

          2

          2 r dy = π [ g ( y )] dy = π [ y ] dy = π ydy =

          4 π y

          V = π = 8 π = 25,13 unid .

          ∫ ∫ ∫ ∫

          2 a a Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

          EXERCÍCIOS PROPOSTOS

          2

          3 1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x +2xy+z

          2 Resp. grad Φ = (2x+2y)i + 2xj + 3z k

          3

          2

          2

          3

          i+3xyz j+4(x

        2) Dada a função vetorial V = 2x +y ) k , calcule a sua divergência.

          2

        2 Resp. div V = 6x + 3xz

          2

          2 3) Calcule o rotacional do vetor V = x i + 2xy j + 5yz k

          2 Resp. rot V = 5z i + 2y k x

          3 4) Calcular a integral Resp. x / 2 = C

          ( )

        • x y dxdy a b

          ∫∫

          2

          2

          xydxdy

          5) Resp. a b / 4

          ∫∫ 0 0

          6) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana, transformando integral dupla em integral simples. As expressões em x f ( x ) x f ( x ) 2 2

          x dxdy y dxdy

          integral dupla são: x c = (1/A) e y c = (1/A) x x 2 ∫ ∫ ∫ ∫ x g ( x ) x g ( x ) 1 2 2 1 2

          f xg x x dx f xg x dx

          Resp. x =(1/A). [ ( ) ( )] . e y =(1/2A). [ ( ) ( )] c c

          ∫ ∫ x x 1 1

          7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de 0,5 até 3 3 3 2

          1 2

          3

          f x dx = dx =

          Resp . V = π [ ( )] π [ ] 8,34 unid

          ∫ ∫ , 5 , 5 x

Novo documento