Tensores de Codazzi em subvariedades

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Universidade Federal da Bahia

  Instituto de Matem´ atica Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Tensores de Codazzi em subvariedades

Eliane da Silva dos Santos

  Salvador-Bahia Fevereiro 2009 Tensores de Codazzi em subvariedades Eliane da Silva dos Santos

  Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado da P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

  Salvador-Bahia Fevereiro 2009 Tensores de Codazzi em subvariedades / Eliane da Silva dos Santos. – Salvador, 2009. 39 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´atica, 2009. Referˆencias bibliogr´ aficas.

  1. Geometria diferencial. 2. Geometria Riemanniana. 3. Imers˜ oes

(Matem´atica). I. Vergasta, Enaldo Silva. II. Universidade Federal da

Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

  Santos, Eliane da Silva dos.

  CDD - 516

  • 515
Tensores de Codazzi em subvariedades Eliane da Silva dos Santos

  Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado da P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Fede- ral da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador).

  UFBA

  a a Prof . Dr . Rosa Maria dos Santos Barreiro Chaves.

  USP Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa.

  UFBA

  Aos meus pais, `as minhas irm˜as e `a mem´oria do meu querido avˆo.

Agradecimentos

  A Deus pelo dom da vida, por iluminar o meu caminho e por me dar for¸ca e coragem para enfrentar todas as dificuldades, pois “Tudo posso naquele que me fortalece”. Aos meus pais e as minhas irm˜as, pelo incentivo, pelo apoio e amor incondicional. Ao professor Enaldo, admir´avel profissional e ser humano, pela orienta¸c˜ao, pelo incentivo e por todo apoio desde o in´ıcio da minha gradua¸c˜ao. Ao professor Jos´e Nelson por participar da banca examinadora deste trabalho e por estar sempre disposto a ajudar e `a professora Rosa por aceitar o convite de participar da banca examinadora deste trabalho e por todo incentivo e apoio para que eu continue a estudar a Matem´atica, cursando o doutorado.

  A todos os professores do Departamento de Matem´atica da UFBA, em especial, Jos´e Fernandes, Joseph, Antˆonio, Marco Antˆonio, Bahiano, Evandro, Rita, Lina, Silvinha, Gra¸ca Luzia, Cristiana, Jod´alia e Gl´oria por todo carinho e aten¸c˜ao.

  As minhas eternas amigas super-poderosas Fabiana, Manu e Vanessa e a ´Isis pela amizade, carinho e apoio em todos os momentos. A minha av´o, pelas ora¸c˜oes, `a tia Lina pelo carinho e por me apoiar em tudo. Aos funcion´arios do Instituto de Matem´atica, em especial, Dona Zez´e e Tˆania pelo carinho e por sempre estarem dispostas a ajudar e Alan e Jom´ario pela aten¸c˜ao e amizade.

  ` A Fabiana Laranjeiras, Renivaldo, Felipe, Hivanna, Teles, Luide, Mariana e Elias pela generosidade e amizade.

  Ao colega Jo˜ao Paulo pela generosidade e paciˆencia em me ensinar a utilizar o Latex.

  ` A CAPES pelo apoio financeiro. E a todos que de alguma maneira contribuiram para o meu desenvolvimento.

  “Deus n˜ao escolhe os capacitados, capacita os escolhidos. Fazer ou n˜ao fazer algo, s´o depende de nossa vontade e perseveran¸ca.”

  Albert Einstein

Resumo

  Neste trabalho, estudamos alguns resultados e aplica¸c˜oes relacionados com tensores de Codazzi em subvariedades e as transforma¸c˜oes de Ribaucour e de Combescure, com base em trabalhos de Dajczer-Tojeiro e Hasanis-Vlachos. Sejam M uma variedade Rie- manniana e f uma imers˜ao isom´etrica de M como hipersuperf´ıcie do espa¸co Euclidiano. Dada outra m´etrica Riemanniana em M , obtida a partir de um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f , ´e apresentada uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que M , com a nova m´etrica, possa ser imersa isometricamente no mesmo espa¸co Euclidiano. Com este objetivo, prova-se que qualquer tensor de Codazzi Q que comuta com a segunda forma fundamental de f d´a origem a uma transforma¸c˜ao de Com- bescure F de f . Al´em disso, Q e F podem ser determinados atrav´es de uma fun¸c˜ao diferenci´avel em M e um campo normal em M satisfazendo determinadas condi¸c˜oes. Tamb´em ´e estabelecida uma correspondˆencia entre tais tensores e transforma¸c˜oes de Ri- baucour da imers˜ao. Na verdade, mostra-se que estes ´ ultimos resultados s˜ao v´alidos para codimens˜ao maior que um no espa¸co Euclidiano com m´etrica pseudo-Riemanniana. Palavras-chave: Tensores de Codazzi; Transforma¸c˜oes de Combescure; Transforma¸c˜oes de Ribaucour.

Abstract

  In this work, we study some results and applications related with Codazzi ten- sors, Ribaucour and Combescure transforms of submanifolds, based at works by Dajczer- Tojeiro and Hasanis-Vlachos. Let M be a Riemannian manifold and f an isometric immersion of M as a hypersurface in a Euclidean space. Given another Riemannian me- tric on M obtained from a Codazzi tensor that commute with the second fundamental form of f , we present a necessary and sufficient condition for that M , with the new me- tric, admits an isometric immersion into the same Euclidean space. With this aim, it is showed that any Codazzi tensor Q that commutes with the second fundamental form of f gives rise to a Combescure transform F of f . Moreover, Q and F can be determined by a smooth function on M and a normal vector field on M satisfying certain conditions. Also it is obtained a correspondence between such tensor and Ribaucour transforms for submanifolds. In the truth, it is showed that the last results are true for larger codimen- sion that one in a Euclidean space with pseudo-Riemannian metric. Keywords: Codazzi tensors; Combescure transformations; Ribaucour transformations. Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares 5 1.1 Conceitos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.2 Imers˜oes Isom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7

  1.3 Alguns resultados cl´assicos para hipersuperf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . 10

  1.4 Tensores em variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  2 Tensores de Codazzi

  12

  3 Hipersuperf´ıcies e tensores de Codazzi

  19

  4 Tensores de Codazzi e transforma¸ c˜ oes de Ribaucour de subvariedades

  28 Referˆ encias

  38 Introdu¸ c˜ ao

n

  Dada uma variedade Riemanniana (M , h, i), nem sempre existe uma imers˜ao isom´e- n n

  • 1

  trica f : M → . Por exemplo, de acordo com o Teorema de Hilbert, n˜ao ´e poss´ıvel n n R

  • 1

  imergir isometricamente em . No entanto, de acordo com um resultado devido a H R n

  Nash [N], para k suficientemente grande, mais precisamente k = (n+1)(3n+11), existe n k

  2 um mergulho isom´etrico f : M → .

  R Em [V], Vilms obteve uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a existˆencia de n n

  • 1

  uma imers˜ao isom´etrica local de (M , h, i) em . Condi¸c˜oes necess´arias e suficientes R para uma variedade Riemanniana ser imersa minimamente como uma hipersuperf´ıcie num espa¸co de curvatura constante foram obtidas por do Carmo e Dajczer em [dCD]. n

  Consideremos o seguinte problema: Sejam (M , h, i) uma variedade Riemanniana n n

  • 1

  e f : (M , h, i) → uma imers˜ao isom´etrica. Dada outra m´etrica Riemanniana f

  h, i n R n em M queremos encontrar condi¸c˜oes para que (M , f n n +1

  h, i) admita uma imers˜ao isom´etrica ˜ f : (M , f h, i) → . Se tal ˜ f existir, como podemos descrevˆe-la em termos de f ?

  R Para m´etricas obtidas a partir de tensores de Codazzi, uma solu¸c˜ao para esse pro- blema foi dada por Hasanis e Vlachos em [HV]. Para resolver o problema, eles utilizaram alguns resultados de Dajczer e Tojeiro [DT1], relacionados com transforma¸c˜oes de Com- n n +p bescure de uma imers˜ao isom´etrica f : M → no espa¸co Euclidiano munido com

  R s uma m´etrica pseudo-Riemanniana de assinatura s, e com tensores de Codazzi que comu- tam com a segunda forma fundamental dessa imers˜ao. Esses resultados tamb´em foram utilizados para estabelecer uma correspondˆencia entre tais tensores e transforma¸c˜oes de Ribaucour de uma imers˜ao isom´etrica.

R tudadas, entre outros, por Bianchi [B1] e Eisenhart [E]. O caso de hipersuperf´ıcies ho-

  lonˆomicas, ou seja, hipersuperf´ıcies que admitem uma parametriza¸c˜ao global por linhas de curvatura, foi tamb´em considerado em [B2]. Este caso foi estendido em [DT2] para subvariedades holonˆomicas de formas espaciais pseudo-Riemannianas com dimens˜ao e co- dimens˜ao arbitr´arias.

  As transforma¸c˜oes de Ribaucour possuem v´arias aplica¸c˜oes. Por exemplo, elas po- dem ser utilizadas como um m´etodo para obten¸c˜ao de superf´ıcies de Weingarten lineares

  3

  contidas em (ver [Te]), podem ser aplicadas no estudo de subvariedades Lagrangia-

R nas com curvatura seccional constante c de formas espaciais complexas com curvatura

  holomorfa 4c (ver [DT3] e [To]) e tamb´em s˜ao utilizadas no estudo de redutibilidade de subvariedades de Dupin [DFT].

  Neste trabalho, apresentamos a correspondˆencia entre as transforma¸c˜oes de Ribau- cour de uma imers˜ao isom´etrica e tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental da imers˜ao.

  Esta disserta¸c˜ao ´e baseada nos artigos Commuting Codazzi tensors and the Ribau- cour transformation for submanifolds de Dajczer e Tojeiro, [DT1] e Hypersurfaces and Codazzi tensors de Hasanis e Vlachos, [HV]. Ela est´a dividida em 4 cap´ıtulos e apresenta alguns resultados e aplica¸c˜oes relacionados com tensores de Codazzi em subvariedades e as transforma¸c˜oes de Ribaucour e de Combescure.

  No Cap´ıtulo 1, citamos algumas defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e resultados b´asicos que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos subsequentes. n

  • p

  No Cap´ıtulo 2, trabalhamos com imers˜oes isom´etricas no espa¸co ambiente e R s apresentamos alguns resultados relacionados com tensores de Codazzi, entre os quais des- tacamos os dois a seguir. A Proposi¸c˜ao 2.2, enunciada abaixo, mostra que qualquer tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de uma imers˜ao isom´etrica n n

  • p f : M → d´a origem a uma transforma¸c˜ao de Combescure de f .

  R s n n +p Proposi¸ c˜ ao 2.2.

  Se f : M → ´e uma imers˜ao isom´etrica e F ´e uma

R s transforma¸c˜ao de Combescure de f determinada por um tensor Q, ent˜ao Q ´e um tensor

  de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f . Reciprocamente, se n M ´e simplesmente conexa, ent˜ao qualquer tensor Q que comuta com a segunda forma fundamental de f d´a origem a uma transforma¸c˜ao de Combescure de f .

  Outro resultado de destaque, a Proposi¸c˜ao 2.4, enunciada abaixo, mostra que po- demos determinar o tensor de Codazzi e a correspondente transforma¸c˜ao de Combescure ∞ ⊥ de f atrav´es de uma fun¸c˜ao diferenci´avel ϕ ∈ C (M ) e um campo normal β ∈ T M f satisfazendo determinadas condi¸c˜oes. n n

  • +p

    Proposi¸ c˜ ao 2.4.

  Seja f : M → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

R s

  Riemanniana simplesmente conexa. Ent˜ao qualquer tensor Q de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f e a correspondente transforma¸c˜ao de Combescure F de f podem ser dados como f ∞ ⊥ Q = Q ϕ,β = Hess ϕ − A e F = C ϕ,β (f ) = df (grad ϕ) + β, (1) β onde ϕ ∈ C (M ) e β ∈ T M satisfazem f

  α f (grad ϕ, X) + ∇ β = 0, (2) X para qualquer vetor tangente X. Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2), sejam Q e F definidos por (1). Ent˜ao Q ´e um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f e F ´e a transforma¸c˜ao de Combescure de f .

  No Cap´ıtulo 3, trabalhamos com hipersuperf´ıcies imersas no espa¸co Euclidiano, com a m´etrica Riemanniana usual canˆonica. Esse cap´ıtulo ´e dedicado ao resultado, enunciado a seguir, devido a Hasanis e Vlachos [HV], que responde o problema, citado anteriormente, restrito a m´etricas obtidas a partir de tensores de Codazzi. n n

  • +1

  Teorema. Sejam f : (M , h, i) → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade n R Riemanniana simplesmente conexa (M , h, i) com operador de Weingarten A e Q um n tensor de Codazzi invert´ıvel. Seja f h, i uma nova m´etrica em M dada por ^ hX, Y i =

  2

  hQ X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A ´e maior ou igual a 3. Ent˜ao: n n

  • 1

  i) Existe uma imers˜ao isom´etrica ˜ f : (M , f

  h, i) → se, e somente se Q comuta R com A. Al´em disso, se tal ˜ f existir, ˜ f ´e r´ıgida e o seu operador de Weingarten ´e dado

  1 por ˜ A = ±Q ◦ A. n ii) Se Q comuta com A, ent˜ao existem fun¸c˜oes diferenci´aveis g, h : M →

  R tais que A(grad g) = −grad h e QX = ∇ X grad g − hAX onde X ´e um campo tangente n arbitr´ario e ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de (M , h, i). Al´em disso, qualquer imers˜ao n n

  • 1

  isom´etrica ˜ f : (M , f

  h, i) → ´e dada por ˜ f := τ ◦ F , onde τ ´e um movimento r´ıgido e R F = df (grad g) + hN .

  Ainda no Cap´ıtulo 3, apresentamos dois exemplos de aplica¸c˜oes desse resultado. No Cap´ıtulo 4, apresentamos o teorema, enunciado a seguir, que estabelece uma cor- n n

  • p

  respondˆencia entre transforma¸c˜oes de Ribaucour de uma imers˜ao isom´etrica f : M → R s e tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental dessa imers˜ao. n n +p Teorema.

  Seja f : M → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Rie- R s n n

  • p

  manniana simplesmente conexa e seja ˜ f : M → uma transforma¸c˜ao de Ribaucour R s de f com isometria P, tensor D e campo diferenci´avel δ. Ent˜ao, existem uma fun¸c˜ao ∞ ⊥

  ϕ ∈ C (M ) e um campo normal β ∈ T M satisfazendo (2) tais que f ˜ f = f − 2νϕF, (3)

  1

  onde F ´e a transforma¸c˜ao de Combescure de f e ν = hF, Fi := ϑ. Al´em disso, ∗ −

  1 P = I − 2νFF , D = I − 2νϕQ ϕ,β e δ = −ϕ ∞ ⊥

  F. (4) Reciprocamente, dados ϕ ∈ C (M ) e β ∈ T M satisfazendo (2) tais que ϕϑ 6= 0 em n f n cada ponto q ∈ M , sejam P, D e δ dados por (4) em um subconjunto aberto U ⊂ M n +p onde D ´e invert´ıvel. Ent˜ao, ˜ f : U → dada por (3) ´e a transforma¸c˜ao de Ribaucour

  R s de f | U com isometria P, tensor D e um campo diferenci´avel δ. Aplicando esse resultado, obtemos as transforma¸c˜oes de Ribaucour determinadas pelos tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental de f e s˜ao determinados por combina¸c˜oes lineares do tensor identidade e do operador de Weingarten de f na dire¸c˜ao de campos normais paralelos.

Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo, dividido em quatro se¸c˜oes, apresentamos defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e re- sultados que ser˜ao utilizados no decorrer deste trabalho. Na Se¸c˜ao 1, introduzimos as defini¸c˜oes de operador gradiente, hessiano, fibrado vetorial e conceitos b´asicos de Geome- tria Riemanniana. Na Se¸c˜ao 2, apresentamos a defini¸c˜ao da segunda forma fundamental de uma imers˜ao isom´etrica e as equa¸c˜oes de Gauss, Codazzi e Ricci. Na Se¸c˜ao 3, citamos resultados cl´assicos relacionados com hipersuperf´ıcies tais como o Teorema de Beez-Killing e o Teorema Fundamental das Hipersuperf´ıcies. Terminamos este cap´ıtulo com a Se¸c˜ao 4, onde introduzimos o conceito de tensores em variedades Riemannianas.

  1.1 Conceitos b´ asicos n

  Sejam M uma variedade Riemanniana n dimensional, X (M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C em M e D(M ) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C definidas em M . Uma conex˜ao Riemanniana ∇ de M ´e uma aplica¸c˜ao ∇ : X (M ) × X (M ) → X (M ) que se indica por (X, Y ) → ∇ X Y e satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: i)∇ f X Z = f ∇ X Z + g∇ Y Z

  • gY

  ii)∇ X (Y + Z) = ∇ X Y + ∇ X Z iii)∇ X (f Y ) = f ∇ X Y + X(f )Y iv)XhY, Zi = h∇ X Y, Zi+hY, ∇ X Zi (compatibilidade com a m´etrica Riemanniana) v) ∇ X Y − ∇ Y X = [X, Y ] (simetria), onde X, Y, Z ∈ X (M ) e f, g ∈ D(M ).

  O operador curvatura R de M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ X (M ) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) dada por

  R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ Z,

  [X,Y ] onde Z ∈ X (M ).

  • gX
  • gY

  Hess f : T M × T M → R dada por

  , Y

  2

  ),

  f, g ∈ D(M ) e X

  1 , X 2 , Y 1 , Y 2 ∈ X (M ) e para todo par X, Y ∈ X (M ) o operador curvatura

  R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) ´e linear, isto ´e, R(X, Y )(f Z + gW ) = f R(X, Y )Z + gR(X, Y )W, f ∈ D(M ), Z, W ∈ X (M ).

  Sejam f ∈ D(M ) e p ∈ M ; definimos o gradiente de f como o campo vetorial grad f em M definido por hgradf (p), vi = df p (v), ∀v ∈ T p M, ou ainda, hgradf, Xi = df (X) = X(f ), ∀X ∈ X (M ). Decorre imediatamente da defini¸c˜ao que i) grad(f + g) = grad f + grad g, ∀f, g ∈ D(M ) ii) grad(f · g) = f grad g + g grad f, ∀f, g ∈ D(M ) iii) grad(f ◦ g) = g (f ) · grad f, ∀f ∈ D(M ) e g :

  R → R de classe C k , k ≥ 1. Sejam f ∈ D(M ) e ∇ a conex˜ao Riemanniana de M . Definimos o hessiano de f como a aplica¸c˜ao bilinear sim´etrica

  (Hess f )(X, Y ) = h∇ X grad f, Y i ∀X, Y ∈ T M. Sejam E e M variedades diferenci´aveis, um fibrado vetorial de posto k ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel π : E → M tal que, para cada ponto p ∈ M , i) π

  ) + gR(X

  1

  (p) ´e um espa¸co vetorial real de dimens˜ao k ii) existe uma vizinhan¸ca aberta U de p em M e um difeomorfismo ϕ : π

  1

  (U) → U × R k tal que sua restri¸c˜ao a π

  1

  (q) ´e um isomorfismo em {q} ×

  Um exemplo bastante conhecido de fibrado vetorial ´e o fibrado tangente π : T M → M de uma variedade M , onde T M = {(p, v); p ∈ M, v ∈ T p M } e π(p, v) = p. ´

  E comum, por abuso de linguagem, utilizarmos a nota¸c˜ao T M , quando estamos nos referindo ao fibrado tangente de uma variedade M , e n˜ao `a aplica¸c˜ao π : T M → M.

  1

  1

  Verifica-se que R ´e bilinear em X (M ) × X (M ), isto ´e, R(f X

  ) + gR(X

  1

  2

  , Y

  1

  ) = f R(X

  1

  , Y

  1

  2

  , Y

  , Y

  1

  ) e R(X

  1

  , f Y

  1

  2

  ) = f R(X

  1

R k para todo q ∈ U

  Dado um aberto U ⊂ M , uma se¸c˜ao local de um fibrado vetorial ´e uma aplica¸c˜ao U diferenci´avel ξ : U → E tal que π ◦ ξ = Id , ou seja, se U = M , ξ : M → E ´e uma se¸c˜ao global ou simplesmente, uma se¸c˜ao do fibrado.

  No caso particular em que E = T M , uma se¸c˜ao do fibrado tangente ´e um campo diferenci´avel na variedade M . Neste caso, utilizamos tamb´em a nota¸c˜ao X ∈ T M para um campo tangente X : M → T M .

  Sejam W um espa¸co vetorial de dimens˜ao n e h, i : W × W → R um produto interno n˜ao degenerado. A assinatura de h, i ´e a dimens˜ao m´axima de um subespa¸co de W onde n

  • m

  h, i ´e definido negativo. Dessa forma, o espa¸co vetorial com o produto interno n˜ao n n R

  • m +m

  degenerado h, i : × → R R R definido por s n

  • m

  X X h(x , ..., x ), (y , ..., y )i = − x y x y +

  1 n +m 1 n +m i i j j n +m i =1 j =s+1 tem assinatura s e o denotaremos por .

  R s Uma m´etrica pseudo-Riemanniana em uma variedade diferenci´avel M ´e a escolha, para cada ponto p ∈ M de uma forma bilinear sim´etrica n˜ao degenerada h, i em T p M (n˜ao necessariamente definida positiva), que varia diferenciavelmente com p.

  1.2 Imers˜ oes Isom´ etricas n n +m

  Seja f : M → M uma imers˜ao de uma variedade diferenci´avel M de dimens˜ao n em uma variedade Riemanniana M de dimens˜ao n + m (se m = 1, f (M ) ´e denominada hipersuperf´ıcie de M ). A m´etrica Riemanniana de M induz, de maneira natural, uma m´etrica Riemanniana em M , dada por hv , v i = hdf p (v ), df p (v )i, com v , v ∈ T p M.

  

1

  2

  1

  2

  1

  2 Nesta situa¸c˜ao, f passa a ser uma imers˜ao isom´etrica de M em M . n n +m

  Considerando uma imers˜ao isom´etrica f : M → M temos que para todo ponto p ∈ M existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que a restri¸c˜ao de f a U ´e um mergulho em f (U ). Portanto podemos identificar U com f (U ) e assim considerar o espa¸co tangente de M em p como um subespa¸co do espa¸co tangente de M em p. Podemos ent˜ao decompor ⊥ ⊥ T f M em T f M = df p (T p M ) ⊕ (T p M ) onde (T p M ) ´e o complemento ortogonal de

  (p) (p)

  df p (T p M ) em T f (p) M , ou equivalentemente, T p M = T p M ⊕ T p M , onde identificamos T p M com T M e T p M com df p (T p M ). Desse modo, cada vetor v ∈ T p M pode ser f (p) escrito como ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ v = v + v , onde v ∈ T p M e v ∈ T p M . Em termos de fibrado, podemos tamb´em dizer que o fibrado induzido pela imers˜ao f , se decomp˜oe na soma de Whitney ortogonal ∗ ⊥ ⊥ ⊥ f (T M ) = T M ⊕ T M , onde T M = {(p, v); p ∈ M, v ∈ T p M } ´e o fibrado ortogonal da imers˜ao f . Desse modo, cada se¸c˜ao de f (T M ) se decomp˜oe em uma soma de um campo tangente e um campo normal em M .

  Assim, se Z ´e uma se¸c˜ao do fibrado induzido f (T M ) podemos escrever Z = df (Z T ) + β, onde df (Z T ) e β s˜ao, respectivamente, as componentes tangente e normal n n de Z, Z T ´e um campo tangente em M e β ´e um campo normal em M .

  Se ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M , ent˜ao a conex˜ao Riemanniana ∇ de M ´e dada por ∇ X Y = (∇ df df (Y )) = df (∇ X Y ) onde X e Y s˜ao campos locais de

  (X)

  vetores tangentes em M , df (X), df (Y ) extens˜oes locais a M e (∇ df df (Y )) denota

  (X)

  a componente tangente de ∇ df df (Y ). Por simplicidade, escreveremos ∇ X df (Y ) em vez

  (X) de ∇ df (Y ). df (X)

  Dado um ponto p ∈ M , a segunda forma fundamental de f em p ´e a aplica¸c˜ao bilinear e sim´etrica α p : T p M × T p M → (T p M ) dada por

  α (x, y) = α(X, Y )(p) = (∇ df (Y ))(p) − (df (∇ Y ))(p), p X X onde X, Y s˜ao campos locais em M e tangentes em M com X(p) = x e Y (p) = y.

  A igualdade ∇ X df (Y ) = df (∇ X Y ) + α(X, Y ) ´e chamada f´ormula de Gauss.

  Dado η ∈ (T p M ) , podemos associar `a aplica¸c˜ao bilinear α p a aplica¸c˜ao linear auto- adjunta A η : T p M → T p M dada por hA η (x), yi = hα(x, y), ηi, ∀x, y ∈ T p M. Sejam p ∈ M, x, y ∈ T p M, η ∈ (T p M ) , N a extens˜ao local de η e X, Y extens˜oes locais de x, y, respectivamente, tangentes a M . Ent˜ao hN, Y i = 0 e portanto hA η (x), yi = hα p (x, y), ηi = h∇ X df (Y ) − df (∇ X Y ), N i(p)

  = h∇ X df (Y ), N i(p) = −hY, ∇ X N i(p) = −h∇ X N, yi, ∀y ∈ T p M. ⊤ ⊤ ⊤

  Assim, A η (x) = −(∇ X N ) , ou seja, df (AX) = −(∇ X N ) , onde (∇ X N ) ´e a componente tangente de ∇ X N . Denotamos a componente normal de ∇ N por ∇ N , o que d´a origem `a conex˜ao ⊥ ⊥ ⊥ X X

  ⊥

  as propriedades usuais de uma conex˜ao. A partir da defini¸c˜ao de ∇ , obtemos a f´ormula de Weingarten X N = −df (A N X) + ∇ N. X Chamaremos a aplica¸c˜ao linear auto-adjunta A associada `a aplica¸c˜ao bilinear α p de operador de Weingarten. n

  • 1

Observe que, se M = e N ´e um campo de vetores normais unit´arios temos que ⊤ R

  ∇ X N = (∇ X N ) . Neste caso, a f´ormula de Weingarten reduz-se a ∇ X N = −df (AX).

  Al´em disso, temos que α(X, Y ) = hAX, Y iN e portanto podemos escrever a f´ormula de Gauss como nX df (Y ) = df (∇ X Y ) + hAX, Y iN.

  • 1 Quando M = podemos dar uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante de A η .
  • n n +1 n +1 n n R

      Sejam S = {x ∈ ; kxk = 1} a esfera unit´aria de e N : M → S a aplica¸c˜ao

    R R n normal de Gauss. Dado p ∈ M , como T M e T S s˜ao paralelos, podemos identific´a-los

      p N (p) e vemos que ′ ⊤ dN p (x) = (N ◦ c) (0) = ∇ X N = (∇ X N ) = −A η (x), onde c : (−ε, ε) → M ´e uma curva diferenci´avel com c(0) = p e c (0) = x. Segue-se que A η = −dN.

      Sejam R e R os tensores de curvatura de M e M , respectivamente. Estes tensores de curvatura est˜ao relacionados com a segunda forma fundamental atrav´es da equa¸c˜ao de Gauss, hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i.

      A curvatura R de M tamb´em est´a relacionada com a derivada covariante de α atrav´es da equa¸c˜ao de Codazzi, R(X, Y )Z = (∇ n X α)(Y, Z) − (∇ Y α)(X, Z). n

    • 1
    • 1 Observe que se M = , ent˜ao R(X, Y )Z = 0, para todo X, Y, Z ∈ X ( ).

      R

    R

      Al´em disso, considerando o campo N de vetores unit´arios normais a M temos que α(X, Y ) = hAX, Y iN e portanto as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi s˜ao reduzidas, res- pectivamente, a

      R(X, Y )Z = hAY, ZiAX − hAX, ZiAY e (∇ Y A)X = (∇ X A)Y, para quaisquer campos de vetores tangentes X, Y, Z.

      Denotaremos por R o operador curvatura normal da imers˜ao definido por ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

      ⊥ para todo X, Y ∈ T M e ξ ∈ T M .

      Segue das f´ormulas de Gauss e Weingarten que a componente normal de R(X, Y )ξ satisfaz a equa¸c˜ao de Ricci dada por ⊥ ⊥ (R(X, Y )ξ) = R (X, Y )ξ + α(A ξ X, Y ) − α(X, A ξ Y ).

      Um c´alculo simples mostra que tamb´em podemos escrever a equa¸c˜ao de Ricci como hR (X, Y )ξ, ηi = hR (X, Y )ξ, ηi − h[A ξ , A η ]X, Y i, para todo X, Y ∈ T M , ξ, η ∈ T M e [A ξ , A η ] = A ξ ◦ A η − A η ◦ A ξ .

      

    1.3 Alguns resultados cl´ assicos para hipersuperf´ıcies

    n n +m

      Dizemos que uma imers˜ao isom´etrica f : M → ´e r´ıgida se, dada outra n n n n R

    • m +m +m

      imers˜ao isom´etrica g : M → , existe uma isometria τ : → , tal que R R R g = τ ◦ f.

      Um resultado cl´assico relacionado com rigidez isom´etrica ´e o Teorema de Beez- Killing, enunciado abaixo, que ser´a utilizado no cap´ıtulo 3. n n

    • 1 Teorema 1.1.

      (Beez-Killing) Seja f : M → uma imers˜ao isom´etrica com operador R de Weingarten A. Se o posto de A ´e maior ou igual a 3 em cada ponto p ∈ M , ent˜ao f

      ´e r´ıgida. n n +1 Como vimos na se¸c˜ao anterior, dada uma imers˜ao isom´etrica f : M → , temos

      R que seu operador de Weingarten A satisfaz as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi. Reciprocamente, o Teorema Fundamental das Hipersuperf´ıcies afirma que se existe um tensor auto-adjunto A : T p M → T p M em uma variedade Riemanniana simplesmente n conexa (M , h, i), p ∈ M , que satisfaz as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi, ent˜ao existe uma n n +1 imers˜ao isom´etrica f : M → com operador de Weingarten A.

      R n Portanto, dada uma variedade Riemanniana simplesmente conexa M , o Teorema

      Fundamental das Hipersuperf´ıcies fornece uma maneira de produzir uma imers˜ao isom´etrica n

    • 1

      local em , mas, em geral, ´e muito dif´ıcil resolver o problema de encontrar um ten-

    R sor auto-adjunto A que satisfa¸ca a equa¸c˜ao de Gauss e o problema diferencial dado pela

      equa¸c˜ao de Codazzi.

      Um resultado de Allendoerfer [A] estabelece que qualquer solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Gauss com o posto maior ou igual a 4 em cada ponto p ∈ M , tamb´em ser´a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Codazzi. Ent˜ao, pelo Teorema de Beez-Killing, a imers˜ao isom´etrica obtida desta maneira ´e r´ıgida.

      1.4 Tensores em variedades Riemannianas

      A id´eia de tensor ´e uma generaliza¸c˜ao natural da id´eia de campos de vetores e, analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados covariantemente. Observe que X (M ) tem uma estrutura linear quando tomamos como ”escalares”os elementos de D(M ). Um tensor T de ordem r em uma variedade Riemanniana M ´e uma aplica¸c˜ao mul- tilinear T : X (M ) × ... × X (M ) → X (M ).

      | {z } r f atores Isto significa que, dados Y , ..., Y r ∈ X (M ), T (Y , ..., Y r ) ´e uma aplica¸c˜ao dife-

      1

      1

      renci´avel em M e que T ´e linear em cada argumento, isto ´e, T (Y

      1 , ..., f X + gY, ..., Y r ) = f T (Y 1 , ..., X, ..., Y r ) + g T (Y 1 , ..., Y, ..., Y r ), para todo X, Y ∈ X (M ), f, g ∈ D(M ).

      Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T ´e um tensor de ordem (r + 1) dado por (∇T )(Y , ..., Y r , Z) = (∇ Z T )(Y , ..., Y r )

      1

      1 = ∇ (T (Y , ..., Y )) − T (∇ Y, ..., Y ) − ... − T (Y , ..., Y , ∇ Y ). Z

    1 r Z r

    1 r−

      1 Z r

      Um tensor T ´e um objeto pontual em um sentido que passamos a explicar. Fixe um ponto p ∈ M e seja U uma vizinhan¸ca de p em M onde ´e poss´ıvel definir campos n E , ..., E n ∈ X (M ), de modo que em cada q ∈ U , os vetores {E i (q)}, i ∈ {1, ..., n}

      1 formam uma base de T q M ; diremos, neste caso, que {E i } ´e um referencial m´ovel em U .

      X X Sejam Y = y i 1 E i 1 , ..., Y r = y i r E i r com i , ..., i r ∈ {1, ..., n} as restri¸c˜oes a

      1 i 1 i r

      1 U dos campos Y , ..., Y , expressas no referencial m´ovel {E }. 1 r i

      Por linearidade, temos

      X T (Y , ..., Y r ) = y i 1 ...y i r T (E i 1 , ..., E i r ).

      1 i 1 ,...,i r

      As aplica¸c˜oes T (E i i r i ,...,i r 1 , ..., E ) = T 1 em U s˜ao chamadas as componentes de T no refe- rencial {E i }.

      Da express˜ao acima, decorre que o valor de T (Y , ..., Y r ) em um ponto p ∈ M depende

      1

      apenas dos valores em p das componentes de T e dos valores de Y , ..., Y r em p. ´ E neste

      1 sentido que dizemos que T ´e pontual.

    Cap´ıtulo 2 Tensores de Codazzi

      Neste cap´ıtulo, apresentamos alguns resultados relacionados com tensores de Co- dazzi, que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores. Um tensor de Codazzi Q ´e um tensor auto-adjunto do tipo 1 em uma variedade n

      Riemanniana M que satisfaz a equa¸c˜ao diferencial (∇ Q)Y = (∇ Q)X, para todo X Y X, Y ∈ T M .

      Denotaremos por S(M ) e C(M ), respectivamente, os espa¸cos vetoriais formados n n pelos tensores em uma variedade Riemanniana M e pelos tensores de Codazzi em M . n n +p n +p Seja f : M → uma imers˜ao isom´etrica, onde ´e o espa¸co Euclidiano

    R s R s de dimens˜ao n + p com uma m´etrica pseudo-Rimanniana de assinatura s. Dizemos que

      um tensor Q ∈ S(M ) pertence ao subespa¸co S(f ) de tensores que comutam com a se- gunda forma fundamental α f de f , se α f (X, QY ) = α f (QX, Y ), para quaisquer campos tangentes X e Y .

      Chamaremos de C(f ) o subespa¸co vetorial de S(M ) dado por C(f ) = C(M ) ∩ S(f ). Observe que o operador de Weingarten de uma imers˜ao isom´etrica no espa¸co Eucli- diano na dire¸c˜ao de campos de vetores normais paralelos ´e um tensor de Codazzi. Em n n +1 particular, o operador de Weingarten A de uma imers˜ao isom´etrica f : (M , h, i) →

      R ´e um tensor de Codazzi. n Seja (M , h, i) uma variedade Riemanniana com m´etrica h, i, com conex˜ao Rie- n manniana ∇ e tensor curvatura R. Considere uma nova m´etrica f h, i em M dada por

      2

      ^ hX, Y i = hQ X, Y i, onde Q ´e um tensor de Codazzi invert´ıvel. Sejam e R o tensor cur- n vatura e e ∇ a conex˜ao Riemanniana de (M , f h, i). A proposi¸c˜ao seguinte estabelece uma rela¸c˜ao entre ∇ e e ∇ e uma rela¸c˜ao entre R e e R.

      Proposi¸ c˜ ao 2.1. Com a nota¸c˜ao acima, temos que as conex˜oes ∇ e e ∇ est˜ao relacionadas por

      

    1

      e ∇ Y X = Q (∇ Y (QX))

    • hQX, ∇ Y (QZ)i − h∇ Z (QX), QY i − hQX, ∇ Z (QY )i −hQ[X, Z], QY i − hQ[Y, Z], QXi − hQ[X, Y ], QZi
    • h∇ X (QZ) − ∇ Z (QX) − Q[X, Z]
    • h∇ X (QY ) + ∇ Y (QX) − Q[X, Y ], QZi

      1

      Z = e ∇ X (Q

      1

      (∇ Y (QZ)) − e ∇ Y (Q

      1

      (∇ X (QZ)) − Q

      1

      (∇

      [X,Y ]

      (QZ)) = Q

      (∇ X ∇ Y (QZ)) − Q

      ∇ Y Z − e ∇ Y e ∇ X Z − e ∇

      

    1

      (∇ Y ∇ X (QZ)) − Q

      1

      (∇

      [X,Y ]

      (QZ)) = Q

      1

      (∇ X ∇ Y (QZ) − ∇ Y ∇ X (QZ) − ∇ [X,Y ] (QZ)) = Q

      1

      [X,Y ]

      Consequentemente, temos que e R(X, Y )Z = e ∇ X e

      e os tensores curvatura R e e R est˜ao relacionados por e R(X, Y )Z = Q

      −hQ[X, Z], QY i − hQ[Y, Z], QXi − hQ[X, Y ], QZi = h∇ X (QY ), QZi + hQY, ∇ X (QZ)i + h∇ Y (QX), QZi

      

    1

    (R(X, Y )QZ).

      Prova.

      Sabemos que a m´etrica f

      h, i est´a relacionada com a conex˜ao Riemanniana e ∇ atrav´es da express˜ao 2 ^ h e ∇ Y X, Zi = X ^ hY, Zi + Y ^ hX, Zi − Z ^ hX, Y i −

      ^ h[X, Z], Y i − ^ h[Y, Z], Xi −

      ^ h[X, Y ], Zi. Como Q ´e um tensor de Codazzi, temos 0 = (∇ X Q)Y − (∇ Y Q)X = ∇ X (QY ) − ∇ Y (QX) − Q[X, Y ], para quaisquer campos tangentes X, Y . Ent˜ao,

      2hQ

      2

      e ∇ Y X, Zi = XhQY, QZi + Y hQX, QZi − ZhQX, QY i

      = h∇ Y (QZ) − ∇ Z (QY ) − Q[Y, Z] | {z }

      

    1

    (∇ Y (QX)).

      = 0

      , QXi

      | {z }

      

    = 0

      , QY i

      = h2∇ Y (QX), QZi = 2hQ∇ Y (QX), Zi, para qualquer campo tangente Z. Portanto

      Q

      2

      e ∇ Y X = Q∇ Y (QX), isto ´e, e

      ∇ Y X = Q

      (R(X, Y )QZ),

      ✷ A seguir, definimos a transforma¸c˜ao de Combescure de uma imers˜ao isom´etrica e apre- sentamos alguns resultados relacionados com ela. n n

    • p

      Dizemos que uma aplica¸c˜ao F : M → ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure R s n n +p determinada por Q ∈ S(M ) de uma imers˜ao isom´etrica f : M → se dF = df ◦ Q.

      R s A proposi¸c˜ao seguinte mostra que, neste caso, Q ´e um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f . n n +p Proposi¸ c˜ ao 2.2.

      Se f : M → ´e uma imers˜ao isom´etrica e F ´e uma transforma¸c˜ao R s de Combescure de f determinada por Q ∈ S(M ), ent˜ao Q ∈ C(f ). Reciprocamente, se n

      M ´e simplesmente conexa, ent˜ao qualquer Q ∈ C(f ) d´a origem a uma transforma¸c˜ao de Combescure de f . n n

    • p

      Prova. Considere a 1-forma w = df ◦ Q em M com valores em . Seja ∇ a n R s

    • p conex˜ao pseudo-Riemanniana de .

    R s

      Utilizando a f´ormula de Gauss, temos que dw(X, Y ) = X(w(Y )) − Y (w(X)) − w([X, Y ]) = X(df (QY )) − Y (df (QX)) − df (Q[X, Y ]) = ∇ X df (QY ) − ∇ Y df (QX) − df (Q[X, Y ]) = df (∇ X (QY )) + α f (X, QY ) − df (∇ Y (QX)) − α f (Y, QX) − df (Q[X, Y ]) = df (∇ X (QY ) − ∇ Y (QX) − Q[X, Y ]) + α f (X, QY ) − α f (Y, QX). n n

    • p

      Supondo que F : M → ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure de f determi-

    R s nada por Q ∈ S(M ), temos que dF = df ◦ Q. Portanto w = dF, isto ´e, w ´e exata, logo

      w ´e fechada. Assim, α f (X, QY ) = α f (Y, QX) e

      0 = ∇ X (QY ) − ∇ Y (QX) − Q[X, Y ] = (∇ X Q)Y − (∇ Y Q)X, ou seja, Q ∈ C(f ). n Reciprocamente, supondo que M ´e simplesmente conexa e Q ∈ C(f ), temos que n dw = 0, isto ´e, w ´e fechada. Como M ´e simplesmente conexa, temos que w ´e exata. n n

    • p

      Dessa forma, existe uma fun¸c˜ao F : M → tal que dF = w = df ◦ Q, ou seja, existe R s uma transforma¸c˜ao de Combescure de f determinada por Q.

      ✷

      

    3

    Classicamente, duas superf´ıcies em est˜ao relacionadas por uma transforma¸c˜ao

      R tal que os vetores normais nos pontos correspondentes s˜ao paralelos [B1]. Observe que n n +p se F : M → ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure de uma imers˜ao isom´etrica n n +p R s f : M → determinada por um tensor invert´ıvel Q ∈ S(M ), ent˜ao F ´e uma imers˜ao R s com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss na variedade Grassmaniana dos n-planos tipo-espa¸co n

    • p

      n˜ao-orientados em . Al´em disso, no caso de superf´ıcies, a exigˆencia de que o tensor R s

      Q seja invert´ıvel implica que as linhas de curvatura s˜ao preservadas, como mostra a f proposi¸c˜ao seguinte. Denotaremos por A : T M → T M o operador de Weingarten de f δ na dire¸c˜ao δ ∈ T M . f n n n n

    • p
    • p

      Proposi¸ c˜ ao 2.3. Seja f : M → uma imers˜ao isom´etrica e seja F : M → a R s

      R s transforma¸c˜ao de Combescure de f determinada pelo tensor invert´ıvel Q ∈ S(M ). Ent˜ao, as segundas formas fundamentais de f e F est˜ao relacionadas por F F f − ⊥ α (X, Y ) = α f (QX, Y ),

      1

      ou equivalentemente, A = A ◦ Q para todo ξ ∈ T M . Em particular, existe um ξ ξ f F f referencial ortonormal de dire¸c˜oes principais para A e A . n +p ξ ξ Prova.

      Sejam ∇ a conex˜ao usual em e e ∇ a conex˜ao de Levi-Civita da m´etrica R s induzida por F, dada por,

      2

      ^ hX, Y i = hdF(X), dF(Y )i = hdf ◦ Q(X), df ◦ Q(Y )i = hQX, QY i = hQ X, Y i, para quaisquer campos tangentes X e Y .

      Pela Proposi¸c˜ao 2.2, temos que Q ∈ C(f ), e portanto, F df (∇ X (QY )) + α f (QX, Y ) = ∇ X df (QY ) = ∇ X dF(Y ) = dF( e ∇ X Y ) + α (X, Y ). Utilizando a Proposi¸c˜ao 2.1, observe que

      1 F

      dF( e ∇ X Y ) = df (Q e ∇ X Y ) = df (Q ◦ Q (∇ X (QY )) = df (∇ X (QY )).

      Logo α (X, Y ) = α f (QX, Y ) para quaisquer campos tangentes X e Y . Por sua vez, F F

      2

      ^ hQ ◦ A (X), Y i = hA X, Y i = hα F (X, Y ), ξi ξ ξ f = hα f (QX, Y ), ξi = hA (QX), Y i f ξ ⊥ F − = hQ ◦ A (X), Y i, ξ f

      1 para todo ξ ∈ T M . Consequentemente, A = A ◦ Q . f ξ ξ

      ✷ De acordo com [F] e [S], qualquer tensor de Codazzi em um subconjunto aberto e n +p simplesmente conexo U ⊂ pode ser dado como Q = Hess ϕ, para alguma fun¸c˜ao R

      ϕ ∈ D(U ). A proposi¸c˜ao seguinte estende esse resultado, mostrando que qualquer tensor n n

    • p

      de Codazzi Q ∈ C(f ), onde f : M → ´e uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade R s f

      Riemanniana simplesmente conexa pode ser dado como Q = Hess ϕ − A , para alguma β fun¸c˜ao ϕ ∈ D(f ) e algum β ∈ T M . n n f

    • p

      Proposi¸ c˜ ao 2.4. Seja f : M → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Ri-

    R s emanniana simplesmente conexa. Ent˜ao qualquer tensor Q ∈ C(f ) e a correspondente

      transforma¸c˜ao de Combescure F de f podem ser dados como f Q = Q ϕ,β = Hess ϕ − A e F = C ϕ,β (f ) = df (grad ϕ) + β, (2.1) β onde ϕ ∈ D(M ) e β ∈ T M satisfazem f

      α f (grad ϕ, X) + ∇ β = 0, (2.2) X para qualquer vetor tangente X.

      Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2.2), sejam Q e F definidos por (2.1). Ent˜ao Q ∈ C(f ) e F ´e a transforma¸c˜ao de Combescure de f . n n n

    • p +p

      Prova. Podemos identificar T com , para todo q ∈ M , e portanto f (q) R s R s n

    • p

      podemos considerar F como uma se¸c˜ao do fibrado induzido f T . Decompondo F

    R s em suas componentes tangente e normal podemos escrever F = df (z) + β, onde z ∈ T M

       e β ∈ T M . Ent˜ao, utilizando as f´ormulas de Gauss e Weingarten, temos f ⊥ f dF(X) = ∇ X F = ∇ X (df (z) + β) = df (∇ X Z) + α f (X, Z) + ∇ β − A X β X.

      Uma vez que dF = df ◦ Q, obtemos f ⊥ df (QX − ∇ X Z) + A X = α f (X, Z) + ∇ β, β X o que implica em f hQX − ∇ X Z, Y i = −hA X, Y i, β ou seja, h∇ Z, Y i = hQX, Y i + hα (X, Y ), βi. X f

      Como Q ´e auto-adjunto e α f ´e sim´etrica, temos que h∇ X Z, Y i = h∇ Y Z, Xi. Dessa forma, existe ϕ ∈ D(M ) tal que z = grad ϕ, e por sua vez, f ⊥ df (QX) = dF(X) = df (Hess ϕ − A )X + α f (grad ϕ, X) + ∇ β. f ⊥ β X

      Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2.2), sejam Q e F definidos por (2.1). Observe que dF(X) = ∇ X F = ∇ X (df (grad ϕ) + β) ⊥ f

      = df (∇ X grad ϕ) + α f (grad ϕ, X) + ∇ β −A X β

      X | {z }

    f

    = 0

      = df (∇ X grad ϕ − A X) β = df (QX) = (df ◦ Q)(X).

      Logo, F ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure de f determinada por Q e, pela Proposi¸c˜ao 2.2, temos que Q ∈ C(f ).

      ✷ Denotaremos por D(f ) o espa¸co vetorial de todos os pares (ϕ, β) satisfazendo (2.2). Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 2.4, existe uma aplica¸c˜ao linear

      D(f ) → C(f ) (2.3) (ϕ, β) 7→ Q ϕ,β f que associa cada (ϕ, β) ∈ D(f ) ao tensor Q ϕ,β = Hess ϕ − A . β

      A seguir, apresentamos exemplos b´asicos de tensores de Codazzi obtidos atrav´es de uma fun¸c˜ao ϕ ∈ D(M ) e um campo β ∈ T M dados. n +p f Exemplo 2.5.

      a) Dados P e v ∈ com hv, vi = ǫ = ±1, seja ϕ = hf − P , vi e seja R s n β = v o campo normal obtido pela proje¸c˜ao de v em T M em cada ponto q ∈ M . f Observe que hgrad ϕ , Xi = X ◦ ϕ = hdf (X), vi, o que implica em hdf (grad ϕ ) − v, df (X)i = 0, ou seja, hdf (grad ϕ − v ), df (X)i = 0, para todo X ∈ T M . Assim, grad ϕ = v . Dessa forma, ⊥ ⊥

      α f (grad ϕ , X) + ∇ v = 0, X isto ´e, (ϕ , β ) ∈ D(f ). Al´em disso, ⊤ ⊥ C ϕ ,β (f ) = v + v = v e Q ϕ ,β = 0.

      n

      1

    • p

      b) Dados P ∈ e b 6= 0, defina ϕ = (hf − P , f − P i −b) e seja β = (f − P ) R s

      1

      1

      2

      o campo normal obtido pela proje¸c˜ao do vetor posi¸c˜ao f − P em T M em cada ponto n f q ∈ M . Ent˜ao hgrad ϕ , Xi = X ◦ ϕ = hdf (X), f − P i,

      1

      

    1

      consequentemente, hdf (grad ϕ ) − (f − P ), df (X)i = 0,

      1

      ou equivalentemente, hdf (grad ϕ − (f − P ) ), df (X)i = 0,

      1

      para todo X ∈ T M . Portanto grad ϕ = (f − P ) . Assim,

      1 ⊥ ⊥

      α f (grad ϕ , X) + ∇ (f − P ) = 0,

      isto ´e, (ϕ

      1 , β 1 ) ∈ D(f ). Al´em disso, ⊤ ⊥

      C ϕ 1 ,β 1 (f ) = (f − P ) + (f − P ) = (f − P ) e Q ϕ 1 ,β 1 = I.

      c) Suponha que f possui uma se¸c˜ao normal paralela n˜ao nula ξ. Sejam ϕ = c ∈ f

      2 R

      e β

      2 = −ξ. Ent˜ao (ϕ 2 , β 2 ) ∈ D(f ), C ϕ 2 ,β 2 (f ) = −ξ e Q ϕ 2 ,β 2 = A . ξ

      O subespa¸co de D(f ) gerado por um dos pares (ϕ i , β i ) com i ∈ {0, 1, 2} do Exemplo 2.5 ser´a denotado por D (f ). Assim, a imagem C (f ) ⊂ C(f ) de D (f ) pela aplica¸c˜ao definida em (2.3) ´e gerada pelo endomorfismo identidade e pelo operador de Weingarten na dire¸c˜ao de campos de vetores normais paralelos. Cap´ıtulo 3 Hipersuperf´ıcies e tensores de Codazzi

      Neste cap´ıtulo apresentaremos a demonstra¸c˜ao e alguns exemplos de aplica¸c˜oes do teorema enunciado abaixo, que soluciona o problema proposto, restrito a m´etricas deter- minadas a partir de tensores de Codazzi invert´ıveis, citado na introdu¸c˜ao deste trabalho. n n

    • +1

      Teorema 3.1. Sejam f : (M , h, i) → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade n R Riemanniana simplesmente conexa (M , h, i) com operador de Weingarten A e Q um n tensor de Codazzi invert´ıvel. Consideremos em M uma nova m´etrica f h, i, dada por

      2

      ^ hX, Y i = hQ X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A ´e maior ou igual a 3. Ent˜ao: n n

    • 1

      i) Existe uma imers˜ao isom´etrica ˜ f : (M , f

      h, i) → se, e somente se Q comuta R

      1 com A. Al´em disso, se tal ˜ f existir, ˜ f ´e r´ıgida com operador de Weingarten ˜ A = ±Q ◦A. n ii) Se Q comuta com A, ent˜ao existem fun¸c˜oes diferenci´aveis g, h : M →

      R tais que A(grad g) = −grad h e QX = ∇ grad g − hAX onde X ´e um campo tangente X n arbitr´ario e ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de (M , h, i). Al´em disso, qualquer imers˜ao n n

    • 1

      isom´etrica ˜ f : (M , f

      h, i) → ´e dada por ˜ f = τ ◦ F , onde τ ´e um movimento r´ıgido e R F = df (grad g) + hN .

      A prova de cada um dos itens (i) e (ii) deste teorema ´e baseada, respectivamente, nas Proposi¸c˜oes 3.2 e 3.4 a seguir. n n

    • 1

      Proposi¸ c˜ ao 3.2. Sejam f : (M , h, i) → uma imers˜ao isom´etrica de uma varie- R n dade Riemanniana simplesmente conexa (M , h, i) com operador de Weingarten A e Q n um tensor de Codazzi invert´ıvel. Considere em M uma nova m´etrica f h, i, definida por

      2

      ^ hX, Y i = hQ X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y . Suponha que o posto de A n ´e maior ou igual a 3. Ent˜ao a variedade Riemanniana (M , f

      h, i) admite uma imers˜ao

      n n n

    • 1
    • 1

      isom´etrica em se, e somente se, Q comuta com A. Se ˜ f : (M , f

      h, i) → ´e uma R R

      1 tal imers˜ao ent˜ao ˜ f ´e r´ıgida, com operador de Weingarten ˜ A = ±Q ◦ A. n n

    • 1

      Prova. Suponha que existe uma imers˜ao isom´etrica ˜ f : (M , f

      h, i) → com R operador ˜

      A.

      1 Pela Proposi¸c˜ao 2.1, temos que ˜ R(X, Y )Z = Q (R(X, Y )QZ) e portanto a equa¸c˜ao

      de Gauss

      2

      2

      ˜ R(X, Y )Z = ^ h ˜ AY, Zi ˜ AX − ^ h ˜ AX, Zi ˜ AY = hQ ◦ ˜ A(Y ), Zi ˜ AX − hQ ◦ ˜ A(X), Zi ˜ AY

      ´e equivalente a

      1

      2

      2 Q (R(X, Y )QZ) = hQ ◦ ˜ A(Y ), Zi ˜ AX − hQ ◦ ˜ A(X), Zi ˜ AY

      o que implica em

      1

      2

      2 Q (hAY, QZiAX − hAX, QZiAY ) = hQ ◦ ˜ A(Y ), Zi ˜ AX − hQ ◦ ˜ A(X), Zi ˜ AY.

      Compondo os membros da igualdade acima com Q, obtemos

      2

      2 hAY, QZiAX − hAX, QZiAY = hQ ◦ ˜ A(Y ), ZiQ ◦ ˜ AX − hQ ◦ ˜ A(X), ZiQ ◦ ˜ AY.

      Portanto hAY, QZiAX − hAX, QZiAY = hQ ◦ ˜ A(Y ), QZiQ ◦ ˜ AX − hQ ◦ ˜ A(X), QZiQ ◦ ˜ AY, ou equivalentemente,

      Q ◦ ˜ A(X) ∧ Q ◦ ˜ A(Y ) = AX ∧ AY, (3.1) onde ∧ representa o produto exterior.

      Afirma¸ c˜ ao 3.3. ker A = ker e A. De fato, seja e , ..., e r uma base ortonormal de (ker A) com respeito a h, i tal que

      1 ⊥ ⊥

      Ae i = k i e i , i ∈ {1, ..., r} onde r = dim(ker A) ≥ 3 e (ker A) ´e o complemento ortogo- nal de ker A. Por (3.1), temos que AX ∧ Ae i = 0 para qualquer X ∈ ker ˜ A e i ∈ {1, ..., r}. Dessa forma, X ∈ ker A e portanto ker ˜ A ⊂ ker A.

      Por outro lado, seja X ∈ ker A. Ent˜ao, por (3.1), Q ◦ ˜ A(X) ∧ Q ◦ ˜ A(e i ) = 0 para qualquer i ∈ {1, ..., r}. Uma vez que Q ◦ ˜ A(e i ) 6= 0, ∀e i , obtemos Q ◦ ˜ A(X) = ρ i Q ◦ ˜ A(e i ) para algum ρ , i ∈ {1, ..., r}, ou equivalentemente, ˜ A(X − ρ e ) = 0. Portanto X − ρ e ∈ i i i i i

      Como X ∈ ker A temos que ter ρ i = 0 para todo i ∈ {1, ..., r}. Logo, Q ◦ ˜ A(X) = 0 e X ∈ ker ˜ A, o que prova a Afirma¸c˜ao 3.3. Seja X ∈ (ker A) e suponha que Q ◦ ˜ A(X) e AX s˜ao linearmente independentes. ⊥ ⊥ Como dim(ker A) ≥ 3, existe Y ∈ (ker A) tal que Q ◦ ˜ A(X), AX e AY s˜ao linearmente independentes. Ent˜ao, por (3.1) obtemos

      Q ◦ ˜ A(X) ∧ Q ◦ ˜ A(X) ∧ Q ◦ ˜ A(Y ) = Q ◦ ˜ A(X) ∧ AX ∧ AY 6= 0 o que ´e uma contradi¸c˜ao j´a que Q ◦ ˜ A(X) ∧ Q ◦ ˜ A(X) = 0. Logo, Q ◦ ˜ A(X) e AX s˜ao linearmente dependentes para qualquer X ∈ (ker A) e consequentemente Q ◦ ˜ A(X) = a(X)AX. Escolhendo uma base arbitr´aria X , ..., X r de (ker A) , temos que Q ◦ ˜ A(X i ) =

      1

      a(X i )AX i , para todo i ∈ {1, ..., r}. Como X i + X j ∈ (ker A) , ent˜ao Q ◦ ˜ A(X i + X j ) = a(X i + X j )A(X i + X j ), para todo i e j ∈ {1, ..., r} e consequentemente 0 = Q ◦ ˜ A(X i + X j ) − Q ◦ ˜ A(X i ) − Q ◦ ˜ A(X j )

      = a(X i + X j )A(X i + X j ) − a(X i )AX i − a(X j )AX j = (a(X i + X j ) − a(X i ))AX i + (a(X i + X j ) − a(X j ))AX j .

      Assim, a(X i + X j ) = a(X i ) = a(X j ), ∀i, j ∈ {1, ..., r}. Al´em disso, para qualquer n´ umero real λ, usando a linearidade de Q ◦ ˜

      A, segue-se que Q ◦ ˜ A(λX) = λQ ◦ ˜ A(X) = λa(X)AX

      e, por outro lado, Q ◦ ˜ A(λX) = a(λX)A(λX) = λa(λX)AX o que implica em a(λX) = a(X). Portanto, existe uma constante a tal que Q ◦ ˜ A(X) =

      1 aA(X) para qualquer X. Por (3.1), tem-se a = ±1 e consequentemente ˜ A = ±Q ◦ A.

      ^ Como o operador ˜ A ´e auto-adjunto com respeito a f

      h, i, temos que h ˜ AX, Y i =

      2

      2

      2

      ^ hX, ˜ AY i, o que implica em hQ ◦ ˜ A(X), Y i = hX, Q ◦ ˜ A(Y )i, ou seja, Q ◦ ˜ A ´e auto-

      2

      adjunto com respeito `a m´etrica h, i. Portanto, ±Q ◦ A = Q ◦ ˜ A ´e auto-adjunto com respeito a m´etrica h, i. Logo, Q comuta com A.

      Reciprocamente, suponha que Q ◦ A = A ◦ Q. Como Q e A s˜ao auto-adjuntos com

      1 respeito a h, i, temos que Q ◦ A ´e auto-adjunto com respeito a h, i. Defina ˜ A = ±Q ◦ A.

      2 Ent˜ao Q ◦ ˜ A = ±Q ◦ A e consequentemente

      2

      2

      ^ h ˜ AX, Y i = hQ ◦ ˜ A(X), Y i = hX, Q ◦ ˜ A(Y )i = ^ hX, ˜ AY i,

      Al´em disso,

      1

      ˜ R(X, Y )Z = Q (R(X, Y )QZ)

      1

      = Q (hAY, QZiAX − hAX, QZiAY ) − −

      1

      1

      = hQ ◦ A(Y ), ZiQ ◦ A(X) − hQ ◦ A(X), ZiQ ◦ A(Y )

      2

      2

      = hQ ◦ ˜ A(Y ), Zi ˜ AX − hQ ◦ ˜ A(X), Zi ˜ AY = ^ h ˜ AY, Zi ˜ AX − ^ h ˜ AX, Zi ˜ AY, isto ´e, ˜ A satisfaz a equa¸c˜ao de Gauss.

      X Y = Q (∇ X (QY )), temos, − −

      1

      1

      ˜ ( ˜ ∇ A)Y = Q (∇ (Q ◦ ˜ A))Y = Q (∇ A)Y X − − X X

      1

      1

      = Q (∇ Y A)X = Q (∇ Y (Q ◦ ˜ A))X ˜

      = ( ˜ ∇ Y A)X, ou seja, ˜ A satisfaz a equa¸c˜ao de Codazzi. Ent˜ao, pelo Teorema Fundamental das Hipersu- n n −

    • 1

      1

      perf´ıcies, existe uma imers˜ao isom´etrica ˜ f : (M , f h, i) → com operador ˜ A = ±Q ◦ A.

      R Como postoA ≥ 3 temos que posto ˜ A ≥ 3 e pelo Teorema de Beez-Killing, ˜ f ´e r´ıgida.

      ✷ O resultado seguinte ´e uma consequˆencia imediata da Proposi¸c˜ao 2.2 e da Proposi¸c˜ao 2.4. n n

    • +1

      Proposi¸ c˜ ao 3.4. Seja f : (M , h, i) → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade n R Riemanniana simplesmente conexa (M , h, i) com operador de Weingarten A. Suponha que Q ´e um tensor de Codazzi invert´ıvel que comuta com A. Ent˜ao existem n n +1 i) uma imers˜ao F : M → tal que dF = df ◦ Q

      R n ii) fun¸c˜oes diferenci´aveis g, h : M → R tais que

      A(grad g) = −grad h e QX = ∇ X grad g − hAX, onde X ´e um campo tangente arbitr´ario e F ´e dada por F = df (grad g) + hN . n n n Al´em disso, F ´e uma imers˜ao isom´etrica da variedade Riemanniana (M , f

      h, i) em

    • 1

      2

      , onde a m´etrica f

      h, i em M ´e dada por ^ hX, Y i = hQ X, Y i para quaisquer campos R tangentes X, Y . n

      Prova. i) Como M ´e simplesmente conexa e Q ´e um tensor de Codazzi que comuta com A, pela Proposi¸c˜ao 2.2, temos que Q d´a origem a uma transforma¸c˜ao de n n

    • 1 Combescure de f . Dessa forma, existe uma imers˜ao F : M → tal que dF = df ◦ Q.

      R

      ⊥

      ii) Pela Proposi¸c˜ao 2.4, existem uma fun¸c˜ao g ∈ D(M ) e um campo β ∈ T M f f satisfazendo α f (grad g, X) + ∇ β = 0, tais que Q = Hess g − A . Como a codimens˜ao da X β imers˜ao ´e 1, podemos escrever β = hN , onde h ∈ D(M ) e N ´e o campo normal unit´ario.

      Ent˜ao, 0 = hα f (grad g, X) + ∇ hN, N i = hα f (grad g, X) + X(h)N, N i X = hA(grad g), Xi + X(h) = hA(grad g) + grad h, Xi, para todo X ∈ T M , o que implica em A(grad g) = −grad h.

      Al´em disso, QX = ∇ X grad g − hAX, para todo campo tangente X. n A m´etrica f

      h, i induzida em M ´e dada por

      2

      ^ hX, Y i = hdF (X), dF (Y )i = hdf (QX), df (QY )i = hQ X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y.

      ✷ Uma vez provadas as Proposi¸c˜oes 3.2 e 3.4, podemos agora provar, sem muita difi- culdade, o Teorema 3.1. n n +1 Prova do Teorema 3.1.

      Sejam f : (M , h, i) → uma imers˜ao isom´etrica de n R uma variedade Riemanniana simplesmente conexa (M , h, i) com operador de Weingarten n A e Q um tensor de Codazzi invert´ıvel. Considere a m´etrica Riemanniana f

      h, i em M

      2 dada por ^ hX, Y i = hQ X, Y i, para quaisquer campos de vetores tangentes X, Y . n i) De acordo com a Proposi¸c˜ao 3.2, a variedade Riemanniana (M , f n +1

      h, i) admite uma imers˜ao isom´etrica em se, e somente se Q comuta com A. Al´em disso, uma tal n n R

    • 1

      1

      imers˜ao ˜ f : (M , f h, i) → ´e r´ıgida com operador de Weingarten ˜ A = ±Q ◦ A.

      R ii) Se Q comuta com A, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.4, existem uma imers˜ao isom´etrica n n n

    • 1

      F : (M , f

      h, i) → e fun¸c˜oes diferenci´aveis g, h : M → R

      R tais que A(gradg) = −gradh, QX = ∇ X gradg − hAX, para qualquer campo tangente X e F = df (gradg) + hN . Como o posto de A ´e maior ou igual a 3, pelo Teorema de Beez-Killing qualquer imers˜ao n n

    • 1

      isom´etrica ˜ f : (M , f h, i) → ´e dada por ˜ f = τ ◦ F, onde τ ´e um movimento r´ıgido.

    R

      ✷ n Note que, como dF = df ◦ Q temos df (T p M ) = dF (T p M ) para qualquer ponto p em M e portanto as imers˜oes f e F possuem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Consequente- mente, f e ˜ f dadas no Teorema 3.1 possuem aplica¸c˜oes de Gauss congruentes.

      Os dois exemplos seguintes s˜ao aplica¸c˜oes do Teorema 3.1. n n

    • 1

      Exemplo 3.5. Seja f : (M , h, i) → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade n R Riemanniana simplesmente conexa (M , h, i) com operador de Weingarten A. Considere o tensor Q := Id − tA, onde t ∈

      R ´e escolhido tal que Q ´e invert´ıvel. Pela maneira que foi definido, Q ´e um tensor de Codazzi que comuta com A. Pelo Teorema 3.1, existe n n

    • 1

      uma imers˜ao isom´etrica de (M , f

      h, i) em onde a m´etrica f

      h, i ´e dada por ^ hX, Y i = R

      2 hQ X, Y i, para quaisquer campos tangentes X, Y . n +1

      Considerando f como uma se¸c˜ao do fibrado induzido f (T ) e decompondo-a em

    R componentes tangente e normal, temos f = df (x ) + sN, onde x ´e um campo tangente

      T T e s = hf, N i ´e a fun¸c˜ao suporte de f . Diferenciando f com respeito a um campo de vetores tangentes X e usando as f´ormulas de Gauss e Weingarten, obtemos df (X) = ∇ X f = ∇ X (df (x T ) + sN )

      = ∇ X df (x T ) + ∇ X sN = df (∇ X x T ) + hAX, x T iN + s∇ X N + X(s)N

      = df (∇ X x T ) + hAX, x T iN − sdf (AX) + X(s)N = df (∇ X x T − sAX) + (hAX, x T i + X(s))N.

      Consequentemente, df (X − ∇ X x T + sAX) = (hAX, x T i + X(s))N, o que implica em X − ∇ X x T + sAX = 0 e hAX, x T i = −X(s), isto ´e,

      X = ∇ X x T − sAX e Ax T = −grads.

      1

      2 n

      Dado p ∈ M , sejam X(p) ∈ T p M e α : (−ε, ε) → M uma curva diferenci´avel tal que α(0) = p e α (0) = X(p). Ent˜ao, hgradg(p), X(p)i = dg p (X) = (g ◦ α) (0) 1

      = hf ◦ α(t), f ◦ α(t)i | t =0

      2 = hdf p (X), f (p)i, ou seja, hgradg, Xi = hdf (X), f i

      = hdf (X), df (x ) + sN i, T para qualquer campo tangente X.

      Portanto

      2 hgradg, x T i = hdf (x T ), df (x T )i = hx T , x T i =k x T k .

      Por outro lado,

      2 hgradg, x T i = hdf (gradg), df (x T )i = hgradg, gradgi =k gradg k .

      Logo, k x T k=k gradg k e

      2

      2

      2

      hgradg, x i =k x k k gradg k , T T o que implica em gradg = x T . Consequentemente as fun¸c˜oes g e s satisfazem A(gradg) = −grads e

      QX = X − tAX = ∇ X gradg − sAX − tAX = ∇ X gradg − (s + t)AX. Assim, as fun¸c˜oes g e h := s+t podem ser usadas para a constru¸c˜ao da imers˜ao isom´etrica n n +1

      F : (M , f

      h, i) → . Logo, R

      F = df (gradg) + hN = f + tN, isto ´e, F ´e uma hipersuperf´ıcie paralela a f . n n +1 Exemplo 3.6.

      Seja f : (M , h, i) → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade n R Riemanniana simplesmente conexa (M , h, i) com operador de Weingarten A. Considere n

    • 1

      o tensor de Codazzi Q = −A. Seja a um vetor constante em . Considerando a como n R

    • 1

      uma se¸c˜ao do fibrado induzido f (T ) e decompondo-a em componentes tangente e

    R normal temos

      a = df (a T ) + hN, aiN. Diferenciando a com respeito a um campo tangente X e usando as f´ormulas de

      Gauss e Weingarten, obtemos 0 = da(X) = ∇ X a = ∇ X (df (a T ) + hN, aiN ) = ∇ X df (a T ) + ∇ X hN, aiN = df (∇ X a T ) + hAX, a T iN + hN, ai∇ X N + XhN, aiN

      = df (∇ a ) + hAX, a iN − hN, aidf (AX) + XhN, aiN X T T o que implica em ∇ X a T = hN, aiAX e hX, Aa T i = −XhN, ai ou seja,

      ∇ X a T = hN, aiAX e Aa T = −gradhN, ai. n Seja g := hf, ai. Dado p ∈ M , sejam X(p) ∈ T p M e α : (−ε, ε) → M uma curva diferenci´avel tal que α(0) = p e α (0) = X(p). Ent˜ao, hgradg(p), X(p)i = dg p (X) = (g ◦ α) (0)

      = h(f ◦ α) (0), ai = hdf p (X), ai, ou seja, hgradg, Xi = hdf (X), ai

      = hdf (X), df (a T ) + hN, aiN i, = hdf (X), df (a T )i para qualquer campo tangente X. Portanto,

      2 hgradg, a T i = hdf (a T ), df (a T )i = ha T , a T i =k a T k .

      Por outro lado,

      2 hgradg, a T i = hdf (gradg), df (a T )i = hgradg, gradgi =k gradg k .

      Assim, k a T k=k gradg k e

      2

      2

      2

      hgradg, a T i =k a T k k gradg k , o que implica em gradg = a T . Consequentemente as fun¸c˜oes g e hN, ai satisfazem A(grad g) = −gradhN, ai e

      QX = −AX = ∇ X a T − hN, aiAX − AX = ∇ X a T − (hN, ai + 1)AX. Dessa forma, as fun¸c˜oes g e h := hN, ai + 1 satisfazem

      A(grad g) = −gradh e QX = ∇ X gradg − hAX n n

    • 1

      e portanto podem ser usadas para a constru¸c˜ao da imers˜ao isom´etrica F : (M , f

      h, i) → , R

      2

      onde ^ hX, Y i = hA X, Y i para quaisquer campos tangentes X, Y . Logo, F = df (gradg) + hN = df (a T ) + (hN, ai + 1)N = a + N, isto ´e, F ´e uma transla¸c˜ao da aplica¸c˜ao de Gauss de f .

      A observa¸c˜ao seguinte apresenta uma discuss˜ao sobre a unicidade das fun¸c˜oes g e h para um dado tensor de Codazzi que comuta com o operador A. Observa¸ c˜ ao 3.7. Suponha que existem dois pares de fun¸c˜oes (g, h) e (g , h ) tais que

      1

      1 A(gradg) = −gradh e A(gradg ) = −gradh

      1

      1

      e QX = ∇ X gradg − hAX e QX = ∇ X gradg

      1 − h

      1 AX,

      para qualquer campo tangente X. Ent˜ao, de acordo com a Proposi¸c˜ao 3.4, as imers˜oes F = df (grad g) + hN e F n 1 = df (gradg 1 ) + h

      1 N induzem a mesma m´etrica em M e satisfazem dF = df ◦ Q = dF .

      1 Dessa forma, F = F + a, para algum vetor constante a. Considerando a como uma

      1 n

    • 1

      se¸c˜ao do fibrado induzido f (T ) e escrevendo a = df (a T ) + hN, aiN , pelo Exemplo R 3.6, temos que a T = gradhf, ai.

      Ent˜ao, F = F + a ´e equivalente a

      1

      df (gradg ) + h N = df (gradg) + hN + df (a T ) + hN, aiN

      1

      1

      = df (gradg + gradhf, ai) + (hN, ai + h)N = df (grad(g + hf, ai)) + (hN, ai + h)N.

      Consequentemente g = g + hf, ai + c e h = h + hN, ai,

      1

      1 onde c ´e uma constante real.

      Portanto as fun¸c˜oes g e h s˜ao unicamente determinadas a menos das fun¸c˜oes hN, ai e hf, ai. Cap´ıtulo 4 Tensores de Codazzi e transforma¸ c˜ oes de Ribaucour de subvariedades

      Neste cap´ıtulo apresentaremos a defini¸c˜ao de transforma¸c˜ao de Ribaucour e o teo- rema que mostra a correspondˆencia entre transforma¸c˜oes de Ribaucour de uma imers˜ao n

    • p

      isom´etrica em e os tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma funda- R s mental dessa imers˜ao.

      Classicamente, duas superf´ıcies no espa¸co Euclidiano est˜ao relacionadas por uma transforma¸c˜ao de Ribaucour quando existe um difeomorfismo entre elas preservando as linhas de curvatura tal que as retas normais em pontos correspondentes intersectam um ponto que est´a equidistante a ambos os pontos, conforme a seguinte figura.

      

    Figura 4.1.

      A seguinte defini¸c˜ao de transforma¸c˜ao de Ribaucour ´e dada para subvariedades n

    • p arbitr´arias de .

      R s n n

    • p

      Defini¸ c˜ ao 4.1. Dada uma imers˜ao isom´etrica f : M → , dizemos que uma imers˜ao n n +p R s

      ˜ f : M → ´e uma transforma¸c˜ao de Ribaucour de f quando kf − ˜ f k 6= 0 em todo R s n ∗ ∗ n +p n +p ponto de M e existem uma isometria entre fibrados vetoriais P : f T → ˜ f T , n R s R s

    • p

      um tensor D ∈ S(M ) e um campo de vetores diferenci´avel δ ∈ f T com kδk 6= 0 em n R s todos os pontos de M , tais que n

    • p

      (a) P(Z) − Z = hδ, Zi(f − ˜ f ) para todo Z ∈ f T , R s (b) d ˜ f = P ◦ df ◦ D. n

    • p

      Geometricamente, a condi¸c˜ao (a) significa que para qualquer Z ∈ T f com n +p

      (x) R s

      hδ, Zi 6= 0 as retas em passando por f (x) e ˜ f (x) tangentes a Z e P(Z) respectiva- R s mente, se intersectam em um ponto que est´a a uma distˆancia comum d = kZk/hδ, Zi de f (x) e ˜ f (x).

      

    Figura 4.2.

      Quando hδ, Zi = 0, as retas s˜ao paralelas.

      

    Figura 4.3.

      A condi¸c˜ao (b) implica que a isometria P preserva as dire¸c˜oes tangentes e portanto preserva as dire¸c˜oes normais. No que se segue, o termo (P, D, δ) representa a isometria P, o tensor D e o campo δ de uma transforma¸c˜ao de Ribaucour. O resultado seguinte estende a parametriza¸c˜ao cl´assica de transforma¸c˜oes de Ribau- cour de uma superf´ıcie dada ([B1] ou [E]). Dado um campo vetorial Z ao longo de uma n n

    • p

      imers˜ao isom´etrica f : M → , denotaremos por Z a correspondente 1-forma em ∗ ∗ ∗ n +p R s n +p n f T , que ´e, Z (Y q ) = hZ q , Y q i para Y ∈ f T e q ∈ M .

      R s n n R s

    • p

      Teorema 4.2. Seja f : M → uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Rieman- R s n n

    • p

      niana simplesmente conexa e seja ˜ f : M → uma transforma¸c˜ao de Ribaucour de f R s determinada por (P, D, δ). Ent˜ao, existe (ϕ, β) ∈ D(f ) tal que

      ˜

      −

      1

      onde F = C ϕ,β e ν = hF, Fi := ϑ. Al´em disso, ∗ −

      1 P = I − 2νFF , D = I − 2νϕQ ϕ,β e δ = −ϕ n

      F. (4.2) Reciprocamente, dado (ϕ, β) ∈ D(f ) tal que ϕϑ 6= 0 em todo q ∈ M , sejam P, D e δ dados n n

    • p

      por (4.2) em um subconjunto aberto U ⊂ M onde D ´e invert´ıvel. Ent˜ao, ˜ f : U → R s dada por (4.1) ´e a transforma¸c˜ao de Ribaucour de f | U com (P, D, δ). ∞ ∗ n +p Prova.

      Defina µ ∈ C (M ) e ζ ∈ f T com hζ, ζi = ǫ = ±1 por R s f − ˜ f = µζ. (4.3) n

    • p

      Ent˜ao, P(Z) = Z + µhδ, Ziζ para todo Z ∈ f T . Assim, R s

      2

      2

      µ hδ, Zi ǫ = hµhδ, Ziζ, µhδ, Ziζi = hP(Z) − Z, P(Z) − Zi = 2hZ, Zi − 2hP(Z), Zi = 2hZ, P(Z) − µhδ, Ziζi − 2hP(Z), Zi = −2µhδ, ZihZ, ζi. n

    • p

      Observe que, se hδ, Zi = 0 para algum Z ∈ f T , temos que P(Z) = Z, e portanto R s hζ, Zi = hδ + ζ, Zi = hP(δ) − µhδ, δiζ + ζ, Zi = hP(δ), P(Z)i − µhδ, δihζ, Zi + hζ, Zi

      = hδ, Zi − µhδ, δihζ, Zi + hζ, Zi = −µhδ, δihζ, Zi + hζ, Zi, o que implica em µhδ, δihζ, Zi = 0 e, consequentemente, hζ, Zi = 0. Logo

      µhδ, Zi = −2ǫhζ, Zi e P(Z) = Z − 2ǫhζ, Ziζ, (4.4) − ⊤

      h∇ X Z , Y i = Xhdf (z ), df (Y )i − hdf (z ), df (∇ − ⊤ − ⊤ X Y )i

      1

      1

      = Xhµ (df (grad µ) − 2ǫζ ), df (Y )i − hµ (df (grad µ) − 2ǫζ ), ∇ − ⊤ X df (Y )i

      1

    • hµ (df (grad µ) − 2ǫζ ), α f (X, Y )i − − −

      1

      1

      1

      = Xhdf (µ grad µ), df (Y )i − hdf (µ grad µ), ∇ − − X df (Y )i − 2ǫXhµ ζ, df (Y )i

      1

      1

    • 2ǫhµ ζ, ∇ − − − X df (Y )i − 2ǫµ hα f (X, Y ), ζi

      1

      1

      1

      = h∇ X df (µ grad µ), df (Y )i − 2ǫh∇ − − − X µ ζ, df (Y )i − 2ǫµ hα f (X, Y ), ζi

      1

      1

      1

      = hdf (∇ X (µ grad µ)), df (Y )i − 2ǫµ hα f (X, Y ), ζi − 2ǫµ h∇ X ζ, df (Y )i

      1

      −2ǫX(µ )hζ, df (Y )i − −

      1

      2

      = hdf (∇ X (grad log µ)), df (Y )i − 2ǫµ hα f (X, Y ), ζi + 2ǫµ (X(µ)hζ, df (Y )i −µh∇ X ζ, df (Y )i), ou seja,

      1

      h∇ X Z , Y i = Hess log µ(X, Y ) − 2ǫµ hα f (X, Y ), ζi

      2

    • 2ǫµ (X(µ)hζ, df (Y )i − µh∇ ζ, df (Y )i). (4.5)
    • X Por um lado, hdf (X) − ∇ X µζ, P(df (Y ))i = hd ˜ f (X), P(df (Y ))i = hP(df (DX)), P(df (Y ))i = hDX, Y i.

        (4.6) Por outro lado, usando (4.4) temos hdf (X) − ∇ X µζ, P(df (Y ))i = hdf (X), df (Y ) − 2ǫhζ, df (Y )iζi

        −h∇ X µζ, df (Y ) − 2ǫhζ, df (Y )iζi = hX, Y i − 2ǫhζ, df (Y )ihdf (X), ζi − µh∇ ζ, df (Y )i X

        −X(µ)hζ, df (Y )i + 2X(µ)hζ, df (Y )i, isto ´e, hdf (X) − ∇ µζ, P(df (Y ))i = hX, Y i − 2ǫhζ, df (Y )ihdf (X), ζi X

      • X(µ)hζ, df (Y )i − µh∇ X ζ, df (Y )i. (4.7)

        Segue de (4.6) e (4.7) que X(µ)hζ, df (Y )i − µh∇ X ζ, df (Y )i = hDX, Y i − hX, Y i + 2ǫhζ, df (Y )ihdf (X), ζi. Portanto, de (4.5) e D ∈ S(M ), temos

        1

        h∇ X Z , Y i = Hess log µ(X, Y ) − 2ǫµ hα f (X, Y ), ζi

        2

      • 2ǫµ (X(µ)hζ, df (Y )i − µh∇ X ζ, df (Y )i)

        1

        = Hess log µ(Y, X) − 2ǫµ hα f (Y, X), ζi

        2

      • 2ǫµ (hDX, Y i − hX, Y i + 2ǫhζ, df (Y )ihdf (X), ζi)

        1

        = Hess log µ(Y, X) − 2ǫµ hα f (Y, X), ζi

        2

      • 2ǫµ (hDY, Xi − hY, Xi + 2ǫhζ, df (Y )ihdf (X), ζi)

        1

        = Hess log µ(Y, X) − 2ǫµ hα f (Y, X), ζi

        2

      • 2ǫµ (Y (µ)hζ, df (X)i − µh∇ Y ζ, df (X)i) = h∇ Y Z , Xi.

        Ent˜ao, existe ρ ∈ C (M ) tal que Z = grad (log ρ). Observe que

      • grad ρ

        1

        . Assim, utilizando (4.8), segue que hF, df (X)i = ρ

        1

        hζ, df (X)i = ρ

        1

        1 2ǫ

        (X(µ) − µhZ , Xi) = ρ

        1

        1 2ǫ

        (hgrad µ − µ grad (log ρ), Xi) = ρ

        1

        1 2ǫ

        (hgrad µ − µρ

        grad ρ, Xi) =

        µρ

        1 2ǫ

        (hρ

        1

        grad µ + µ grad ρ

        1

        , Xi) =

        1 2ǫ hgrad (ρ

        1

        µ), Xi =

        1 2ǫ

        X(

        2 ǫ

        1

        2

        Por sua vez, usando (4.4), obtemos 0 = hdf (X) − ∇ X µζ, ξ − 2ǫhζ, ξiζi = −2ǫhζ, ξihdf (X), ζi − µh∇ X ζ, ξi + X(µ)hζ, ξi. Consequentemente,

        hgrad (log ρ), Xi + hgrad ρ

        µh∇ X ζ, ξi = hζ, ξi(X(µ) − 2ǫhdf (X), ζi). Al´em disso,

        µhZ , Xi = µhdf (Z ), df (X)i = hdf (grad µ) − 2ǫζ , df (X)i = hgrad µ, Xi − 2ǫhζ, df (X)i, ou seja,

        µhZ , Xi = X(µ) − 2ǫhζ, df (X)i, (4.8) o que implica em hZ , Xihζ, ξi = h∇ X ζ, ξi. Seja F = ρ

        1

        ζ, ent˜ao hdF(X), ξi = h∇ X ρ

        1

        ζ, ξi = ρ

        1

        hZ , Xihζ, ξi + X(ρ

        1

        )hζ, ξi = hζ, ξi(ρ

        1

        1

        Seja ϕ = ǫ

        , Xi) = hζ, ξihρ

        1

        ρ

        1

        grad ρ + grad ρ

        1

        , Xi = hζ, ξih−ρ

        1

        ρ grad ρ

        1

        1

        , Xi = 0.

        ϕ) = X(ϕ). Portanto, podemos escrever F = df (grad ϕ) + β com β ∈ T f M, e dessa forma, F ´e uma

        −

        1

        2 Seja ν = hF, Fi := ϑ, ou equivalentemente, ν = ρ ǫ. Por sua vez,

        1

        ˜ f − f = −µζ = −2ǫϕρζ = −2ϕνρ ζ. Assim,

        ˜ f = f − 2ϕνF. Al´em disso, utilizando (4.4), temos − − −

        2

        2

        1

        1 P(Z) = Z − 2ǫhζ, Ziζ = Z − 2ǫρ ρ hζ, Ziζ = Z − 2νhρ ζ, Ziρ ζ = Z − 2νhF, ZiF,

        isto ´e, P = I − 2νFF .

        Por outro lado, segue-se ent˜ao de (4.4) e da defini¸c˜ao de ϕ que − − −

        1

        

      1

        1 ∗ n − hδ, Zi = −2ǫµ ρρ hζ, Zi = −ϕ hF, Zi,

      • p

        1

        para todo Z ∈ f T , o que implica em δ = −ϕ F.

        R s Observe que

        − −

        2

        1

        2

        1

        = 2ǫhρ ρ grad ρ, Xi = −2ǫhρ ρ grad ρ , Xi − − −

        3

        1

        2

        4

        1

        1

        = −2ǫρ X(ρ ) = −2(ρ hζ, ∇ X ζi +ρ hρ ζ, X(ρ )ζi) | {z } − − − − = 0

        4

        1

        1

        1

        2

        1

        = −2(ρ hρ ζ, ρ ∇ X ζ + X(ρ )ζi) = −2ν hF, ∇ X ρ ζi

        2 = −2ν hF, dF(X)i.

        Ent˜ao, diferenciando (4.1) temos d ˜ f (X) = df (X) − 2∇ X νϕF = df (X) − 2νϕdF(X) − 2X(νϕ)F = df (X − 2νϕQ ϕ,β (X)) − 2νX(ϕ)F − 2ϕX(ν)F

        2

        = df (X − 2νϕQ ϕ,β (X)) − 2νFhF, df (X)i + 4Fϕν hF, dF(X)i = df (X − 2νϕQ ϕ,β (X)) − 2νFhF, df (X − 2νϕQ ϕ,β (X))i.

        Por outro lado, d ˜ f (X) = P(df (DX)) = df (DX) − 2νFhF, df (DX)i.

        Portanto, D(X) = X − 2νϕQ ϕ,β (X), ou seja, D = I − 2νϕQ ϕ,β . n

        Reciprocamente, dado (ϕ, β) ∈ D(f ) tal que ϕϑ 6= 0 em todo q ∈ M , sejam n P, D e δ dados por (4.2) em um subconjunto aberto U ⊂ M onde D ´e invert´ıvel. Seja n +p

        1

        ˜ f : U → dada por ˜ f = f − 2νϕF, onde ν = hF, Fi := ϑ e F = C ϕ,β (f ).

        R s n

        2

        2

        2 Observe que k ˜ f − f k = 4kνϕFk = 4kνk kϕkkϕϑk 6= 0, em todo q ∈ M . Al´em

        disso,

        1

        hδ, Zi(f − ˜ f ) = h−ϕ F, Zi2νϕF = −hF, Zi2νF = −2νFF (Z) = P(Z) − Z. − −

        2

        1 De (4.2) segue que F = −ϕδ e portanto ν = ϕ hδ, δi . Ent˜ao, − −

        2

        

      2

        2

        1

        ϕX(ν)F + 2ν ϕhF, dF(X)iF = −ϕ X(ϕ hδ, δi )δ − −

        2

        2

        −2ϕ hδ, δi h−ϕδ, −ϕ∇ − − − X δ − X(ϕ)δiδ

        1

        2

        1

        2

        = −X(hδ, δi )δ − ϕ hδ, δi X(ϕ )δ − − −

        2

        1

        1

        −2hδ, δi hδ, ∇ − − X δiδ − 2ϕ hδ, δi X(ϕ)δ

        1

        2

        = −X(hδ, δi )δ − hδ, δi X(hδ, δi)δ − − − −

        1

        1

        1

        1

        −2hδ, δi ϕ X(ϕ)δ − 2hδ, δi ϕX(ϕ )δ − − −

        1

        1

        1

        = −X(hδ, δi )δ + hδ, δi hδ, δiX(hδ, δi )δ | {z } − − − = 0

        1

        1

        1

        −2hδ, δi (ϕ X(ϕ) + ϕX(ϕ ) )δ | {z }

        = 0

        = 0, para todo X ∈ T M.

        

        X. Temos que

        1

        d ˜ f (D X) = d ˜ f (Y ) = df (Y ) − 2∇ νϕF Y = df (Y − 2νϕQ ϕ,β (Y )) − 2νY (ϕ)F − 2ϕY (ν)F = df (DY ) − 2νhgrad ϕ, D(Y ) + 2νϕQ ϕ,β (Y )iF − 2ϕY (ν)F

        2

        = df (X) − 2νX(ϕ)F − 4ν ϕhdf (grad ϕ), df (Q ϕ,β (Y ))iF − 2ϕY (ν)F

        2

        = df (X) − 2νhF, df (X)iF − 2(2ν ϕhF, dF(Y )iF + ϕY (ν)F ) | {z }

        = 0

        = P(df (X)), n

      • p

        ou equivalentemente, d ˜ f = P ◦ df ◦ D. Portanto, ˜ f : U → ´e uma transforma¸c˜ao de

      R s Ribaucour de f | U

        ✷ Pelo Teorema 4.2, qualquer transforma¸c˜ao de Ribaucour de f ´e determinada por um ′ ′ par (ϕ, β) ∈ D(f ) tal que ϕϑ 6= 0. Al´em disso, dois pares (ϕ, β) e (ϕ , β ) d˜ao origem `a

        ′ ′ mesma transforma¸c˜ao de Ribaucour se e somente se (ϕ, β) = λ(ϕ , β ) para algum λ 6= 0. ′ ′ De fato, suponha que (ϕ, β) e (ϕ , β ) d˜ao origem `a mesma transforma¸c˜ao de Ribaucour. ′ ′− ′ ′ − ′− ′ ′ ′

        1

        1

        1 Sejam F = C ϕ ,β (f ) e ν = hF , F i. Ent˜ao −ϕ F = δ = −ϕ F o que implica em ′− ′

        ′ ′ ′ ′ − − ′ ′− − ′− Por um lado, como I − 2νϕQ ϕ,β = D = I − 2ν ϕ Q ϕ ,β e utilizando que ν =

        2

        1

        2

        1

        1 ′ ′

        ϕ hδ, δi e ν = ϕ hδ, δi , obtemos Q ϕ,β = ϕϕ Q ϕ ,β . Assim, ′− ′− ′

        

      1

      ′ ′

        1 dF = df ◦ Q ϕ,β = ϕϕ df ◦ Q ϕ ,β = ϕϕ dF . ′− ′

        ′− ′ ′− ′

        

      1

        1

        dF(X) = X(ϕϕ )F + ϕϕ dF , ′−

        1

        para todo campo tangente X. Consequentemente X(ϕϕ ) = 0, para todo campo tan- n ′−

        1

        gente X. Uma vez que M ´e simplesmente conexa temos que ϕϕ = λ, onde λ ´e uma ′ ′ ′ ′ constante real. Logo F = λF e F = λdf (grad ϕ ) + β = λdf (grad ϕ ) + λβ . Portanto ′ ′ ′ β = λβ e (ϕ, β) = λ(ϕ , β ). ′ ′ Reciprocamente, suponha que (ϕ, β) = λ(ϕ , β ) para algum λ 6= 0. Consequente- − − − ′− − − ′ ′ ′

        2

        1

        2

        2

        1

        2

        mente ν = ϕ hδ, δi = λ ϕ hδ, δi = λ ν e F = λF . Seja ˜ f a transforma¸c˜ao de ′ ′ Ribaucour de f determinada por (ϕ , β ). Ent˜ao, − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

        2

        ˜ f = f − 2νϕF = f − 2λ ν λϕ λF = f − 2ν ϕ F = ˜ f . ′ ′ Denotaremos por D(f ) o conjunto das classes de equivalˆencia dos elementos (ϕ , β ) ′ ′ de D(f ) estabelecida pela rela¸c˜ao dada por (ϕ, β) = λ(ϕ , β ). A transforma¸c˜ao de Ri- baucour de f determinada por w ∈ D(f ) ser´a denotada por R w (f ).

        No exemplo abaixo obteremos as transforma¸c˜oes de Ribaucour originadas pelos ele- mentos de D (f ), onde D (f ) ´e o subespa¸co de D(f ) gerado por um dos tipos dos pares (ϕ i , β i ) com i ∈ {0, 1, 2} do Exemplo 2.5. n

      • p Exemplo 4.3.

        a) Dados P e v ∈ com hv, vi = ǫ = ±1, seja w = (ϕ , β ) = R s (hf − P , vi, v ). Temos, pelo Teorema 4.2, que R w (f ) = f − 2νϕ F = f − 2ǫhf − P , viv.

        Portanto, R w (f ) = R v ◦ f , onde R v (X) = X − 2ǫhX − P , viv ´e a reflex˜ao com respeito n

      • p ao hiperplano H v de sobre P ortogonal a v.

        R s n +p

        1 b) Dados P ∈ e b 6= 0, seja w = (ϕ , β ) = ( (hf − P , f − P i − b), (f − P ) ).

        R s

        1

        1

        2 Ent˜ao,

        1 R w (f ) = f − 2νϕ F = P + bhf − P , f − P i (f − P ).

        1

        1 Logo R (f ) = I ◦ f , onde I(X) = P + bhX − P , X − P i (X − P ) ´e uma invers˜ao w n

      • p
      c) Suponha que f possui uma se¸c˜ao normal paralela n˜ao nula ξ. Seja w = (ϕ , β ) =

        2

        2

        (c, −ξ), com c ∈ R. Ent˜ao

        1 R w (f ) = f − 2νϕ

        2 F = f + 2chξ, ξi ξ ´e paralela a f na dire¸c˜ao de ξ. n n

        Denotaremos por ˜ M a variedade M com a m´etrica induzida pela ˜ f e dessa forma a n n +p imers˜ao ˜ f : ˜ M → ´e isom´etrica. Denotaremos por A ξ o operador de Weingarten na R s n n +p P dire¸c˜ao normal ξ ∈ T f M da imers˜ao isom´etrica f : M → e por ˜ A (ξ) o operador R s de Weingarten na dire¸c˜ao normal P(ξ) ∈ T M da transforma¸c˜ao de Ribaucour ˜ f de f .

      f

      ˜

        Utilizando o Teorema 4.2, ´e estabelecida, pelo corol´ario enunciado a seguir, uma rela¸c˜ao P entre A ξ e ˜ A para todo ξ ∈ T f M .

        (ξ) Corol´ ario 4.4.

        Os operadores de Weingarten de f e ˜ f est˜ao relacionados por

        1

        ˜ A P = D (A ξ + 2νhβ, ξiQ) (4.9)

        (ξ)

        e a restri¸c˜ao da isometria P ao fibrado normal ´e paralela na conex˜ao normal, ou seja, ⊥ ⊥ e ∇ P(ξ) = P∇ ξ, X X para todo X ∈ T M e ξ ∈ T f M .

        Prova. Temos, por (4.2) que P −d ˜ f ˜ A X + e ∇ P(ξ) = ∇ X P(ξ) = ∇ X (ξ − 2νhF, ξiF).

        (ξ) X Observe que

        2

        2 X(ν) = −2ν hF, dF(X)i = −2ν hgrad ϕ, QXi. (4.10)

        Utilizando (2.2) e (4.10) obtemos ⊥ ⊥ ⊥X (ξ − 2νhF, ξiF) = −df A ξ X + ∇ ξ − 2hβ, ξiX(ν)F − 2ν(h∇ β, ξi + hβ, ∇ ξi)F X X X

        −2νhβ, ξidf (QX) ⊥ ⊥ = −df (A ξ + 2νhβ, ξiQ)X + ∇ ξ − 2νh∇ ξ, FiF X X

        2

      • 4ν hβ, ξihdf (grad) ϕ, df (QX)iF − 2νh∇ β, ξiF
      • X = P(∇ ξ) − df (A ξ + 2νhβ, ξiQ)X X

          2

        • 4ν hβ, ξihF, df (QX)iF + 2νhα f (grad ϕ, X), ξiF

          = P(∇ X ξ) − df (A ξ + 2νhβ, ξiQ)X

          1

          (ξ)

          . Dessa forma, por (4.9), temos que cada v i com i ∈ {1, ..., n} ´e autovetor de ˜ A P

          1

          , ..., v n } de T q M formada por autovetores comuns a Q e A ξ . Como D = I − 2νϕQ, essa base tamb´em ´e formada por autovetores de D e portanto de D

          1

          ✷ Sabemos que A ξ e Q s˜ao auto-adjuntos e Q comuta com A ξ para todo ξ ∈ T f M . Assim, para cada ξ ∈ T f M existe uma base ortonormal {v

          ∇ X P(ξ) = P∇ X ξ.

          (A ξ + 2νhβ, ξiQ) e e

          = D

          2

          (ξ)

          A P

          Portanto ˜

          X + e ∇ X P(ξ) = P(∇ X ξ) − P(df (A ξ + 2νhβ, ξiQ)X).

          (ξ)

          Logo −d ˜ f ˜ A P

          −2νh−df (A ξ + 2νhβ, ξiQ)X, Fi)F = P(∇ X ξ) − P(df (A ξ + 2νhβ, ξiQ)X).

          −2ν(h−df (A ξ X) − 2νhβ, ξidf (QX), Fi)F = P(∇ X ξ) − df (A ξ + 2νhβ, ξiQ)X

          hβ, ξihF, df (QX)iF + 2νhdf (A ξ X), df (grad ϕ)iF = P(∇ X ξ) − df (A ξ + 2νhβ, ξiQ)X

          . Ou seja, em cada ponto q ∈ M , para cada dire¸c˜ao normal ξ existe uma base ortonormal de T q M de dire¸c˜oes principais de f e ˜ f com respeito a ξ e P(ξ), respectivamente.

        Referˆ encias

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