Tensores de Codazzi em subvariedades

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Full text

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Tensores de Codazzi em subvariedades

Eliane da Silva dos Santos

Salvador-Bahia

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Eliane da Silva dos Santos

Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Salvador-Bahia

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Santos, Eliane da Silva dos.

Tensores de Codazzi em subvariedades / Eliane da Silva dos Santos. – Salvador, 2009.

39 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2009.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Geometria Riemanniana. 3. Imers˜oes (Matem´atica). I. Vergasta, Enaldo Silva. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Eliane da Silva dos Santos

Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Fede-ral da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador). UFBA

Profa. Dra. Rosa Maria dos Santos Barreiro Chaves.

USP

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A Deus pelo dom da vida, por iluminar o meu caminho e por me dar for¸ca e coragem para enfrentar todas as dificuldades, pois “Tudo posso naquele que me fortalece”.

Aos meus pais e as minhas irm˜as, pelo incentivo, pelo apoio e amor incondicional. Ao professor Enaldo, admir´avel profissional e ser humano, pela orienta¸c˜ao, pelo incentivo e por todo apoio desde o in´ıcio da minha gradua¸c˜ao.

Ao professor Jos´e Nelson por participar da banca examinadora deste trabalho e por estar sempre disposto a ajudar e `a professora Rosa por aceitar o convite de participar da banca examinadora deste trabalho e por todo incentivo e apoio para que eu continue a estudar a Matem´atica, cursando o doutorado.

A todos os professores do Departamento de Matem´atica da UFBA, em especial, Jos´e Fernandes, Joseph, Antˆonio, Marco Antˆonio, Bahiano, Evandro, Rita, Lina, Silvinha, Gra¸ca Luzia, Cristiana, Jod´alia e Gl´oria por todo carinho e aten¸c˜ao.

As minhas eternas amigas super-poderosas Fabiana, Manu e Vanessa e a ´Isis pela amizade, carinho e apoio em todos os momentos.

A minha av´o, pelas ora¸c˜oes, `a tia Lina pelo carinho e por me apoiar em tudo. Aos funcion´arios do Instituto de Matem´atica, em especial, Dona Zez´e e Tˆania pelo carinho e por sempre estarem dispostas a ajudar e Alan e Jom´ario pela aten¸c˜ao e amizade.

`

A Fabiana Laranjeiras, Renivaldo, Felipe, Hivanna, Teles, Luide, Mariana e Elias pela generosidade e amizade.

Ao colega Jo˜ao Paulo pela generosidade e paciˆencia em me ensinar a utilizar o Latex. `

A CAPES pelo apoio financeiro.

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“Deus n˜ao escolhe os capacitados, capacita os escolhidos. Fazer ou n˜ao fazer algo, s´o depende de nossa vontade e perseveran¸ca.”

(8)

Neste trabalho, estudamos alguns resultados e aplica¸c˜oes relacionados com tensores de Codazzi em subvariedades e as transforma¸c˜oes de Ribaucour e de Combescure, com base em trabalhos de Dajczer-Tojeiro e Hasanis-Vlachos. Sejam M uma variedade Rie-manniana e f uma imers˜ao isom´etrica de M como hipersuperf´ıcie do espa¸co Euclidiano. Dada outra m´etrica Riemanniana em M, obtida a partir de um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental def, ´e apresentada uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para queM, com a nova m´etrica, possa ser imersa isometricamente no mesmo espa¸co Euclidiano. Com este objetivo, prova-se que qualquer tensor de Codazzi Q que comuta com a segunda forma fundamental def d´a origem a uma transforma¸c˜ao de Com-bescure F de f. Al´em disso, Q e F podem ser determinados atrav´es de uma fun¸c˜ao diferenci´avel em M e um campo normal em M satisfazendo determinadas condi¸c˜oes. Tamb´em ´e estabelecida uma correspondˆencia entre tais tensores e transforma¸c˜oes de Ri-baucour da imers˜ao. Na verdade, mostra-se que estes ´ultimos resultados s˜ao v´alidos para codimens˜ao maior que um no espa¸co Euclidiano com m´etrica pseudo-Riemanniana.

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Abstract

In this work, we study some results and applications related with Codazzi ten-sors, Ribaucour and Combescure transforms of submanifolds, based at works by Dajczer-Tojeiro and Hasanis-Vlachos. Let M be a Riemannian manifold and f an isometric immersion of M as a hypersurface in a Euclidean space. Given another Riemannian me-tric on M obtained from a Codazzi tensor that commute with the second fundamental form of f, we present a necessary and sufficient condition for that M, with the new me-tric, admits an isometric immersion into the same Euclidean space. With this aim, it is showed that any Codazzi tensor Q that commutes with the second fundamental form of

f gives rise to a Combescure transform F of f. Moreover, Q and F can be determined by a smooth function onM and a normal vector field on M satisfying certain conditions. Also it is obtained a correspondence between such tensor and Ribaucour transforms for submanifolds. In the truth, it is showed that the last results are true for larger codimen-sion that one in a Euclidean space with pseudo-Riemannian metric.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Conceitos b´asicos . . . 5

1.2 Imers˜oes Isom´etricas . . . 7

1.3 Alguns resultados cl´assicos para hipersuperf´ıcies . . . 10

1.4 Tensores em variedades Riemannianas . . . 11

2 Tensores de Codazzi 12

3 Hipersuperf´ıcies e tensores de Codazzi 19

4 Tensores de Codazzi e transforma¸c˜oes de Ribaucour de subvariedades 28

(11)

Introdu¸

ao

Dada uma variedade Riemanniana (Mn,h,i), nem sempre existe uma imers˜ao

isom´e-trica f :MnRn+1. Por exemplo, de acordo com o Teorema de Hilbert, n˜ao ´e poss´ıvel

imergirHn isometricamente emRn+1. No entanto, de acordo com um resultado devido a

Nash [N], para k suficientemente grande, mais precisamente k = n

2(n+1)(3n+11), existe

um mergulho isom´etrico f :Mn Rk.

Em [V], Vilms obteve uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a existˆencia de uma imers˜ao isom´etrica local de (Mn,h,i) em Rn+1. Condi¸c˜oes necess´arias e suficientes

para uma variedade Riemanniana ser imersa minimamente como uma hipersuperf´ıcie num espa¸co de curvatura constante foram obtidas por do Carmo e Dajczer em [dCD].

Consideremos o seguinte problema: Sejam (Mn,h,i) uma variedade Riemanniana

e f : (Mn,h,i)Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica. Dada outra m´etrica Riemanniana hf,i

emMn queremos encontrar condi¸c˜oes para que (Mn,hf,i) admita uma imers˜ao isom´etrica

˜

f : (Mn,hf,i)Rn+1. Se tal ˜f existir, como podemos descrevˆe-la em termos de f?

Para m´etricas obtidas a partir de tensores de Codazzi, uma solu¸c˜ao para esse pro-blema foi dada por Hasanis e Vlachos em [HV]. Para resolver o propro-blema, eles utilizaram alguns resultados de Dajczer e Tojeiro [DT1], relacionados com transforma¸c˜oes de Com-bescure de uma imers˜ao isom´etrica f :Mn Rn+p

s no espa¸co Euclidiano munido com

uma m´etrica pseudo-Riemanniana de assinaturas, e com tensores de Codazzi que comu-tam com a segunda forma fundamental dessa imers˜ao. Esses resultados comu-tamb´em foram utilizados para estabelecer uma correspondˆencia entre tais tensores e transforma¸c˜oes de Ribaucour de uma imers˜ao isom´etrica.

Para superf´ıcies em R3 as transforma¸c˜oes de Ribaucour foram extensivamente

es-tudadas, entre outros, por Bianchi [B1] e Eisenhart [E]. O caso de hipersuperf´ıcies ho-lonˆomicas, ou seja, hipersuperf´ıcies que admitem uma parametriza¸c˜ao global por linhas de curvatura, foi tamb´em considerado em [B2]. Este caso foi estendido em [DT2] para subvariedades holonˆomicas de formas espaciais pseudo-Riemannianas com dimens˜ao e co-dimens˜ao arbitr´arias.

As transforma¸c˜oes de Ribaucour possuem v´arias aplica¸c˜oes. Por exemplo, elas po-dem ser utilizadas como um m´etodo para obten¸c˜ao de superf´ıcies de Weingarten lineares

(12)

contidas em R3 (ver [Te]), podem ser aplicadas no estudo de subvariedades

Lagrangia-nas com curvatura seccional constante c de formas espaciais complexas com curvatura holomorfa 4c (ver [DT3] e [To]) e tamb´em s˜ao utilizadas no estudo de redutibilidade de subvariedades de Dupin [DFT].

Neste trabalho, apresentamos a correspondˆencia entre as transforma¸c˜oes de Ribau-cour de uma imers˜ao isom´etrica e tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental da imers˜ao.

Esta disserta¸c˜ao ´e baseada nos artigos Commuting Codazzi tensors and the Ribau-cour transformation for submanifolds de Dajczer e Tojeiro, [DT1] e Hypersurfaces and Codazzi tensors de Hasanis e Vlachos, [HV]. Ela est´a dividida em 4 cap´ıtulos e apresenta alguns resultados e aplica¸c˜oes relacionados com tensores de Codazzi em subvariedades e as transforma¸c˜oes de Ribaucour e de Combescure.

No Cap´ıtulo 1, citamos algumas defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e resultados b´asicos que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos subsequentes.

No Cap´ıtulo 2, trabalhamos com imers˜oes isom´etricas no espa¸co ambiente Rn+p s e

apresentamos alguns resultados relacionados com tensores de Codazzi, entre os quais des-tacamos os dois a seguir. A Proposi¸c˜ao 2.2, enunciada abaixo, mostra que qualquer tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de uma imers˜ao isom´etrica

f :MnRn+p

s d´a origem a uma transforma¸c˜ao de Combescure def.

Proposi¸c˜ao 2.2. Se f : Mn Rn+p

s ´e uma imers˜ao isom´etrica e F ´e uma

transforma¸c˜ao de Combescure de f determinada por um tensor Q, ent˜ao Q´e um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f. Reciprocamente, se

Mn ´e simplesmente conexa, ent˜ao qualquer tensor Q que comuta com a segunda forma

fundamental de f d´a origem a uma transforma¸c˜ao de Combescure de f.

Outro resultado de destaque, a Proposi¸c˜ao 2.4, enunciada abaixo, mostra que po-demos determinar o tensor de Codazzi e a correspondente transforma¸c˜ao de Combescure de f atrav´es de uma fun¸c˜ao diferenci´avel ϕ ∈ C∞

(M) e um campo normal β ∈ T⊥

f M

satisfazendo determinadas condi¸c˜oes.

Proposi¸c˜ao 2.4. Seja f : Mn Rn+p

s uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Riemanniana simplesmente conexa. Ent˜ao qualquer tensorQ de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f e a correspondente transforma¸c˜ao de Combescure F

de f podem ser dados como

Q=Qϕ,β =Hessϕ−Afβ e F =Cϕ,β(f) = df(gradϕ) +β, (1)

onde ϕ∈C∞

(M) e β∈T⊥

f M satisfazem

αf(gradϕ, X) +∇

(13)

3

para qualquer vetor tangente X. Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2), sejam Q

eF definidos por (1). Ent˜aoQ´e um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f e F ´e a transforma¸c˜ao de Combescure de f.

No Cap´ıtulo 3, trabalhamos com hipersuperf´ıcies imersas no espa¸co Euclidiano, com a m´etrica Riemanniana usual canˆonica. Esse cap´ıtulo ´e dedicado ao resultado, enunciado a seguir, devido a Hasanis e Vlachos [HV], que responde o problema, citado anteriormente, restrito a m´etricas obtidas a partir de tensores de Codazzi.

Teorema. Sejam f : (Mn,h,i)Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Riemanniana simplesmente conexa (Mn,h,i) com operador de Weingarten A e Q um

tensor de Codazzi invert´ıvel. Seja hf,i uma nova m´etrica em Mn dada por h^X, Yi = hQ2X, Yi, para quaisquer campos tangentes X, Y. Suponha que o posto de A ´e maior ou

igual a3. Ent˜ao:

i) Existe uma imers˜ao isom´etrica f˜: (Mn,hf,i)Rn+1 se, e somente se Q comuta

com A. Al´em disso, se tal f˜existir, f˜´e r´ıgida e o seu operador de Weingarten ´e dado por A˜=±Q−1A.

ii) Se Q comuta com A, ent˜ao existem fun¸c˜oes diferenci´aveis g, h : Mn R tais

que A(gradg) = −gradh e QX = ∇Xgradg − hAX onde X ´e um campo tangente arbitr´ario e ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de (Mn,h,i). Al´em disso, qualquer imers˜ao

isom´etricaf˜: (Mn,hf,i)Rn+1 ´e dada por f˜:=τF, onde τ ´e um movimento r´ıgido e

F =df(gradg) +hN.

Ainda no Cap´ıtulo 3, apresentamos dois exemplos de aplica¸c˜oes desse resultado. No Cap´ıtulo 4, apresentamos o teorema, enunciado a seguir, que estabelece uma cor-respondˆencia entre transforma¸c˜oes de Ribaucour de uma imers˜ao isom´etricaf :MnRn+p

s

e tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma fundamental dessa imers˜ao.

Teorema. Seja f : Mn Rn+p

s uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Rie-manniana simplesmente conexa e seja f˜:Mn Rn+p

s uma transforma¸c˜ao de Ribaucour

de f com isometria P, tensor D e campo diferenci´avel δ. Ent˜ao, existem uma fun¸c˜ao

ϕ∈C∞

(M) e um campo normal β∈T⊥

f M satisfazendo (2) tais que

˜

f =f−2νϕF, (3)

onde F ´e a transforma¸c˜ao de Combescure de f e ν−1

=hF,Fi:=ϑ. Al´em disso,

P =I−2νFF∗

, D =I−2νϕQϕ,β e δ=−ϕ

−1F. (4)

Reciprocamente, dados ϕ ∈ C∞

(M) e β ∈ T⊥

f M satisfazendo (2) tais que ϕϑ 6= 0 em

cada ponto q ∈ Mn, sejam P, D e δ dados por (4) em um subconjunto aberto U Mn

onde D ´e invert´ıvel. Ent˜ao, f˜:U →Rn+p

s dada por (3) ´e a transforma¸c˜ao de Ribaucour

(14)
(15)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, dividido em quatro se¸c˜oes, apresentamos defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e re-sultados que ser˜ao utilizados no decorrer deste trabalho. Na Se¸c˜ao 1, introduzimos as defini¸c˜oes de operador gradiente, hessiano, fibrado vetorial e conceitos b´asicos de Geome-tria Riemanniana. Na Se¸c˜ao 2, apresentamos a defini¸c˜ao da segunda forma fundamental de uma imers˜ao isom´etrica e as equa¸c˜oes de Gauss, Codazzi e Ricci. Na Se¸c˜ao 3, citamos resultados cl´assicos relacionados com hipersuperf´ıcies tais como o Teorema de Beez-Killing e o Teorema Fundamental das Hipersuperf´ıcies. Terminamos este cap´ıtulo com a Se¸c˜ao 4, onde introduzimos o conceito de tensores em variedades Riemannianas.

1.1

Conceitos b´

asicos

SejamMnuma variedade Riemannianandimensional,X(M) o conjunto dos campos

de vetores de classeC∞

emM eD(M) o anel das fun¸c˜oes reais de classeC∞

definidas em

M. Uma conex˜ao Riemanniana ∇ de M ´e uma aplica¸c˜ao ∇:X(M)× X(M)→ X(M) que se indica por (X, Y)→ ∇XY e satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

i)∇f X+gYZ =f∇XZ +g∇YZ

ii)∇X(Y +Z) =∇XY +∇XZ

iii)∇X(f Y) = f∇XY +X(f)Y

iv)XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi (compatibilidade com a m´etrica Riemanniana) v) ∇XY − ∇YX = [X, Y] (simetria),

onde X, Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ D(M).

Ooperador curvaturaR deM ´e uma correspondˆencia que associa a cada parX, Y ∈ X(M) uma aplica¸c˜aoR(X, Y) :X(M)→ X(M) dada por

R(X, Y)Z =∇X∇YZ− ∇Y∇XZ− ∇[X,Y]Z,

onde Z ∈ X(M).

(16)

Verifica-se que R ´e bilinear emX(M)× X(M), isto ´e,

R(f X1+gX2, Y1) =f R(X1, Y1) +gR(X2, Y1)

e

R(X1, f Y1+gY2) = f R(X1, Y1) +gR(X1, Y2),

f, g∈ D(M) eX1, X2, Y1, Y2 ∈ X(M) e para todo parX, Y ∈ X(M) o operador curvatura

R(X, Y) :X(M)→ X(M) ´e linear, isto ´e,

R(X, Y)(f Z+gW) =f R(X, Y)Z+gR(X, Y)W,

f ∈ D(M), Z, W ∈ X(M).

Sejamf ∈ D(M) ep∈M; definimos ogradiente def como o campo vetorial gradf

em M definido por

hgradf(p), vi=dfp(v), ∀v ∈TpM,

ou ainda,

hgradf, Xi=df(X) =X(f), ∀X ∈ X(M).

Decorre imediatamente da defini¸c˜ao que

i) grad(f+g) = gradf + gradg, ∀f, g∈ D(M) ii) grad(f ·g) = fgradg+g gradf, ∀f, g ∈ D(M) iii) grad(f ◦g) =g′

(f)·gradf, ∀f ∈ D(M) e g :R→R de classeCk, k1.

Sejam f ∈ D(M) e ∇ a conex˜ao Riemanniana de M. Definimos o hessiano de f

como a aplica¸c˜ao bilinear sim´etrica

Hessf :T M ×T M →R

dada por

(Hessf)(X, Y) =h∇Xgradf, Yi ∀X, Y ∈T M.

Sejam E e M variedades diferenci´aveis, um fibrado vetorial de posto k ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel π:E →M tal que, para cada pontop∈M,

i) π−1

(p) ´e um espa¸co vetorial real de dimens˜aok

ii) existe uma vizinhan¸ca abertaUdepemM e um difeomorfismoϕ:π−1

(U)→ U ×Rk

tal que sua restri¸c˜ao a π−1(q) ´e um isomorfismo em{q} ×Rk para todo q∈ U.

Um exemplo bastante conhecido de fibrado vetorial ´e o fibrado tangenteπ:T M →M

de uma variedade M, onde T M ={(p, v); p∈M, v ∈TpM} e π(p, v) = p.

´

(17)

7

Dado um aberto U ⊂ M, uma se¸c˜ao local de um fibrado vetorial ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avelξ :U →E tal queπ◦ξ=IdU, ou seja, se U =M, ξ :M →E ´e uma se¸c˜ao global ou simplesmente, uma se¸c˜ao do fibrado.

No caso particular em que E = T M, uma se¸c˜ao do fibrado tangente ´e um campo diferenci´avel na variedade M. Neste caso, utilizamos tamb´em a nota¸c˜ao X ∈ T M para um campo tangente X :M →T M.

SejamW um espa¸co vetorial de dimens˜aoneh,i:W ×W →Rum produto interno n˜ao degenerado. Aassinatura deh,i´e a dimens˜ao m´axima de um subespa¸co de W onde

h,i ´e definido negativo. Dessa forma, o espa¸co vetorial Rn+m com o produto interno n˜ao

degeneradoh,i:Rn+m×Rn+m R definido por

h(x1, ..., xn+m),(y1, ..., yn+m)i=− s

X

i=1

xiyi+ nX+m

j=s+1

xjyj

tem assinatura s e o denotaremos porRn+m s .

Uma m´etrica pseudo-Riemanniana em uma variedade diferenci´avel M ´e a escolha, para cada pontop∈M de uma forma bilinear sim´etrica n˜ao degeneradah,iem TpM (n˜ao

necessariamente definida positiva), que varia diferenciavelmente comp.

1.2

Imers˜

oes Isom´

etricas

Seja f :Mn Mn+m uma imers˜ao de uma variedade diferenci´avelM de dimens˜ao

nem uma variedade Riemanniana M de dimens˜ao n+m (sem = 1, f(M) ´e denominada hipersuperf´ıcie de M). A m´etrica Riemanniana de M induz, de maneira natural, uma m´etrica Riemanniana em M, dada por hv1, v2i = hdfp(v1), dfp(v2)i, com v1, v2 ∈ TpM.

Nesta situa¸c˜ao,f passa a ser uma imers˜ao isom´etrica de M em M.

Considerando uma imers˜ao isom´etrica f :MnMn+m temos que para todo ponto

p∈M existe uma vizinhan¸ca U ⊂M deptal que a restri¸c˜ao def aU ´e um mergulho em

f(U). Portanto podemos identificarU com f(U) e assim considerar o espa¸co tangente de

M em p como um subespa¸co do espa¸co tangente de M em p. Podemos ent˜ao decompor

Tf(p)M em Tf(p)M =dfp(TpM)⊕(TpM)⊥ onde (TpM)⊥ ´e o complemento ortogonal de

dfp(TpM) em Tf(p)M, ou equivalentemente, TpM = TpM ⊕ TpM⊥, onde identificamos

TpM com Tf(p)M e TpM com dfp(TpM). Desse modo, cada vetor v ∈ TpM pode ser

escrito como

v =v⊤

+v⊥ ,

onde v⊤

∈ TpM e v⊥ ∈ TpM⊥. Em termos de fibrado, podemos tamb´em dizer que o

fibrado induzido pela imers˜aof,

f∗

(18)

se decomp˜oe na soma de Whitney ortogonal

f∗

(T M) = T M⊕T M⊥ ,

onde T M⊥

= {(p, v); p ∈ M, v ∈ TpM⊥} ´e o fibrado ortogonal da imers˜ao f. Desse

modo, cada se¸c˜ao de f∗

(T M) se decomp˜oe em uma soma de um campo tangente e um campo normal emM.

Assim, se Z ´e uma se¸c˜ao do fibrado induzido f∗

(T M) podemos escrever Z =

df(ZT) +β, onde df(ZT) e β s˜ao, respectivamente, as componentes tangente e normal

deZ, ZT ´e um campo tangente em Mn e β ´e um campo normal em Mn.

Se ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M, ent˜ao a conex˜ao Riemanniana ∇ de M

´e dada por ∇XY = (∇df(X)df(Y))⊤ = df(∇XY) onde X e Y s˜ao campos locais de

vetores tangentes em M, df(X), df(Y) extens˜oes locais a M e (∇df(X)df(Y))⊤ denota

a componente tangente de∇df(X)df(Y). Por simplicidade, escreveremos ∇Xdf(Y) em vez

de∇df(X)df(Y).

Dado um ponto p ∈ M, a segunda forma fundamental de f em p ´e a aplica¸c˜ao bilinear e sim´etrica

αp :TpM ×TpM →(TpM)⊥

dada por

αp(x, y) = α(X, Y)(p) = (∇Xdf(Y))(p)−(df(∇XY))(p),

onde X, Y s˜ao campos locais em M e tangentes em M com X(p) =x e Y(p) =y.

A igualdade

∇Xdf(Y) = df(∇XY) +α(X, Y)

´e chamada f´ormula de Gauss.

Dadoη∈(TpM)⊥,podemos associar `a aplica¸c˜ao bilinearαp a aplica¸c˜ao linear

auto-adjuntaAη :TpM →TpM dada porhAη(x), yi=hα(x, y), ηi, ∀x, y ∈TpM.

Sejamp∈M, x, y ∈TpM, η ∈(TpM)⊥, N a extens˜ao local deηeX, Y extens˜oes

locais dex, y, respectivamente, tangentes a M. Ent˜ao hN, Yi= 0 e portanto

hAη(x), yi = hαp(x, y), ηi=h∇Xdf(Y)−df(∇XY), Ni(p)

= h∇Xdf(Y), Ni(p) =−hY,∇XNi(p)

= −h∇XN, yi,

∀y∈TpM.

Assim, Aη(x) = −(∇XN)⊤, ou seja, df(AX) = −(∇XN)⊤, onde (∇XN)⊤ ´e a

componente tangente de∇XN.

Denotamos a componente normal de ∇XN por ∇⊥

XN, o que d´a origem `a conex˜ao

normal ∇⊥

: T M ×T M⊥

→ T M⊥

da imers˜ao f. Verifica-se facilmente que ∇⊥

(19)

9

as propriedades usuais de uma conex˜ao. A partir da defini¸c˜ao de∇⊥

, obtemos af´ormula de Weingarten

∇XN =−df(ANX) +∇

XN.

Chamaremos a aplica¸c˜ao linear auto-adjunta Aassociada `a aplica¸c˜ao bilinear αp de

operador de Weingarten.

Observe que, se M =Rn+1 eN ´e um campo de vetores normais unit´arios temos que

∇XN = (∇XN)⊤

. Neste caso, a f´ormula de Weingarten reduz-se a ∇XN = −df(AX).

Al´em disso, temos que α(X, Y) = hAX, YiN e portanto podemos escrever a f´ormula de Gauss como

∇Xdf(Y) = df(∇XY) +hAX, YiN.

Quando M =Rn+1 podemos dar uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante de A

η.

Sejam Sn ={x Rn+1;kxk = 1} a esfera unit´aria de Rn+1 e N : Mn Sn a aplica¸c˜ao

normal de Gauss. Dadop∈M, comoTpM eTN(p)Sns˜ao paralelos, podemos identific´a-los

e vemos que

dNp(x) = (N ◦c)

(0) =∇XN = (∇XN)⊤=−Aη(x),

onde c : (−ε, ε) → M ´e uma curva diferenci´avel com c(0) = p e c′

(0) = x. Segue-se que

Aη =−dN.

Sejam R e R os tensores de curvatura de M e M, respectivamente. Estes tensores de curvatura est˜ao relacionados com a segunda forma fundamental atrav´es daequa¸c˜ao de Gauss,

hR(X, Y)Z, Wi=hR(X, Y)Z, Wi+hα(X, W), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W)i.

A curvatura R de M tamb´em est´a relacionada com a derivada covariante de α

atrav´es da equa¸c˜ao de Codazzi,

R(X, Y)Z = (∇Xα)(Y, Z)−(∇Yα)(X, Z).

Observe que se M = Rn+1, ent˜ao R(X, Y)Z = 0, para todo X, Y, Z ∈ X(Rn+1).

Al´em disso, considerando o campo N de vetores unit´arios normais a M temos que

α(X, Y) = hAX, YiN e portanto as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi s˜ao reduzidas, res-pectivamente, a

R(X, Y)Z =hAY, ZiAX− hAX, ZiAY

e

(∇YA)X = (∇XA)Y,

para quaisquer campos de vetores tangentesX, Y, Z.

Denotaremos por R⊥

o operador curvatura normal da imers˜ao definido por

R⊥

(X, Y)ξ =∇⊥

X∇

Yξ− ∇

Y∇

Xξ− ∇

(20)

para todoX, Y ∈T M e ξ ∈T M⊥

.

Segue das f´ormulas de Gauss e Weingarten que a componente normal de R(X, Y)ξ

satisfaz aequa¸c˜ao de Ricci dada por

(R(X, Y)ξ)⊥

=R⊥

(X, Y)ξ+α(AξX, Y)−α(X, AξY).

Um c´alculo simples mostra que tamb´em podemos escrever a equa¸c˜ao de Ricci como

hR(X, Y)ξ, ηi=hR⊥(X, Y)ξ, ηi − h[Aξ, Aη]X, Yi,

para todoX, Y ∈T M,ξ, η ∈T M⊥

e [Aξ, Aη] =Aξ◦Aη−Aη ◦Aξ.

1.3

Alguns resultados cl´

assicos para hipersuperf´ıcies

Dizemos que uma imers˜ao isom´etrica f : Mn Rn+m ´e r´ıgida se, dada outra

imers˜ao isom´etrica g :Mn Rn+m, existe uma isometria τ : Rn+m Rn+m, tal que

g =τ ◦f.

Um resultado cl´assico relacionado com rigidez isom´etrica ´e o Teorema de Beez-Killing, enunciado abaixo, que ser´a utilizado no cap´ıtulo 3.

Teorema 1.1. (Beez-Killing) Sejaf :Mn Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica com operador

de Weingarten A. Se o posto de A ´e maior ou igual a 3 em cada ponto p ∈M, ent˜ao f

´e r´ıgida.

Como vimos na se¸c˜ao anterior, dada uma imers˜ao isom´etricaf :MnRn+1, temos

que seu operador de WeingartenA satisfaz as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi.

Reciprocamente, o Teorema Fundamental das Hipersuperf´ıcies afirma que se existe um tensor auto-adjunto A: TpM → TpM em uma variedade Riemanniana simplesmente

conexa (Mn,h,i), pM, que satisfaz as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi, ent˜ao existe uma

imers˜ao isom´etricaf :Mn Rn+1 com operador de Weingarten A.

Portanto, dada uma variedade Riemanniana simplesmente conexa Mn, o Teorema

Fundamental das Hipersuperf´ıcies fornece uma maneira de produzir uma imers˜ao isom´etrica local em Rn+1, mas, em geral, ´e muito dif´ıcil resolver o problema de encontrar um

ten-sor auto-adjunto A que satisfa¸ca a equa¸c˜ao de Gauss e o problema diferencial dado pela equa¸c˜ao de Codazzi.

(21)

11

1.4

Tensores em variedades Riemannianas

A id´eia de tensor ´e uma generaliza¸c˜ao natural da id´eia de campos de vetores e, analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados covariantemente.

Observe que X(M) tem uma estrutura linear quando tomamos como ”escalares”os elementos de D(M).

Um tensor T de ordem r em uma variedade RiemannianaM ´e uma aplica¸c˜ao mul-tilinearT :X(M)×...× X(M)

| {z }

r f atores

→ X(M).

Isto significa que, dados Y1, ..., Yr ∈ X(M), T(Y1, ..., Yr) ´e uma aplica¸c˜ao

dife-renci´avel emM e que T ´e linear em cada argumento, isto ´e,

T(Y1, ..., f X+gY, ..., Yr) = f T(Y1, ..., X, ..., Yr) +g T(Y1, ..., Y, ..., Yr),

para todoX, Y ∈ X(M), f, g∈ D(M).

Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T ´e um tensor de ordem (r+ 1) dado por

(∇T)(Y1, ..., Yr, Z) = (∇ZT)(Y1, ..., Yr)

= ∇Z(T(Y1, ..., Yr))−T(∇ZY, ..., Yr)−...−T(Y1, ..., Yr−1,∇ZYr).

Um tensor T ´e um objeto pontual em um sentido que passamos a explicar. Fixe um ponto p ∈ M e seja U uma vizinhan¸ca de p em M onde ´e poss´ıvel definir campos

E1, ..., En ∈ X(Mn), de modo que em cada q ∈ U, os vetores {Ei(q)}, i ∈ {1, ..., n}

formam uma base deTqM; diremos, neste caso, que {Ei}´e um referencial m´ovel em U.

Sejam Y1 =

X

i1

yi1Ei1 , ..., Yr =

X

ir

yirEir com i1, ..., ir ∈ {1, ..., n} as restri¸c˜oes a

U dos campos Y1, ..., Yr, expressas no referencial m´ovel{Ei}.

Por linearidade, temos

T(Y1, ..., Yr) =

X

i1,...,ir

yi1...yir T(Ei1, ..., Eir).

As aplica¸c˜oes T(Ei1, ..., Eir) =Ti1,...,ir em U s˜ao chamadas as componentes de T no

refe-rencial{Ei}.

Da express˜ao acima, decorre que o valor deT(Y1, ..., Yr) em um pontop∈M depende

apenas dos valores em p das componentes de T e dos valores de Y1, ..., Yr em p. E neste´

(22)

Tensores de Codazzi

Neste cap´ıtulo, apresentamos alguns resultados relacionados com tensores de Co-dazzi, que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores.

Um tensor de Codazzi Q ´e um tensor auto-adjunto do tipo 1 em uma variedade Riemanniana Mn que satisfaz a equa¸c˜ao diferencial (∇XQ)Y = (∇YQ)X, para todo

X, Y ∈T M.

Denotaremos por S(M) e C(M), respectivamente, os espa¸cos vetoriais formados pelos tensores em uma variedade RiemannianaMn e pelos tensores de Codazzi em Mn.

Seja f : Mn Rn+p

s uma imers˜ao isom´etrica, onde Rns+p ´e o espa¸co Euclidiano

de dimens˜ao n+p com uma m´etrica pseudo-Rimanniana de assinatura s. Dizemos que um tensor Q ∈ S(M) pertence ao subespa¸co S(f) de tensores que comutam com a se-gunda forma fundamentalαf de f, se αf(X, QY) = αf(QX, Y), para quaisquer campos

tangentesX e Y.

Chamaremos deC(f) o subespa¸co vetorial de S(M) dado porC(f) = C(M)∩ S(f). Observe que o operador de Weingarten de uma imers˜ao isom´etrica no espa¸co Eucli-diano na dire¸c˜ao de campos de vetores normais paralelos ´e um tensor de Codazzi. Em particular, o operador de Weingarten Ade uma imers˜ao isom´etrica f : (Mn,h,i)Rn+1

´e um tensor de Codazzi.

Seja (Mn,h,i) uma variedade Riemanniana com m´etrica h,i, com conex˜ao

Rie-manniana ∇ e tensor curvatura R. Considere uma nova m´etrica hf,i em Mn dada por

^

hX, Yi = hQ2X, Yi, onde Q ´e um tensor de Codazzi invert´ıvel. Sejam Re o tensor

cur-vatura e ∇e a conex˜ao Riemanniana de (Mn,hf,i). A proposi¸c˜ao seguinte estabelece uma

rela¸c˜ao entre∇ e ∇e e uma rela¸c˜ao entreR eRe.

Proposi¸c˜ao 2.1. Com a nota¸c˜ao acima, temos que as conex˜oes∇e∇e est˜ao relacionadas por

e

∇YX =Q−1(∇Y(QX))

(23)

13

e os tensores curvatura R e Re est˜ao relacionados por

e

R(X, Y)Z =Q−1(R(X, Y)QZ).

Prova. Sabemos que a m´etrica hf,i est´a relacionada com a conex˜ao Riemanniana

e

∇atrav´es da express˜ao

2h∇Ye^X, Zi=Xh^Y, Zi+Yh^X, Zi −Zh^X, Yi −h[X, Z^], Yi −h[Y, Z^], Xi −h[X, Y^], Zi.

Como Q´e um tensor de Codazzi, temos

0 = (∇XQ)Y −(∇YQ)X =∇X(QY)− ∇Y(QX)−Q[X, Y],

para quaisquer campos tangentesX, Y. Ent˜ao,

2hQ2∇Ye X, Zi = XhQY, QZi+YhQX, QZi −ZhQX, QYi

−hQ[X, Z], QYi − hQ[Y, Z], QXi − hQ[X, Y], QZi

= h∇X(QY), QZi+hQY,∇X(QZ)i+h∇Y(QX), QZi

+hQX,∇Y(QZ)i − h∇Z(QX), QYi − hQX,∇Z(QY)i

−hQ[X, Z], QYi − hQ[Y, Z], QXi − hQ[X, Y], QZi

= h∇Y(QZ)− ∇Z(QY)−Q[Y, Z]

| {z }

= 0

, QXi

+h∇X(QZ)− ∇Z(QX)−Q[X, Z]

| {z }

= 0

, QYi

+h∇X(QY) +∇Y(QX)−Q[X, Y], QZi

= h2∇Y(QX), QZi

= 2hQ∇Y(QX), Zi,

para qualquer campo tangente Z. Portanto

Q2∇Ye X =Q∇Y(QX),

isto ´e,

e

∇YX =Q−1(∇Y(QX)).

Consequentemente, temos que

e

R(X, Y)Z = ∇Xe ∇Ye Z−∇Ye ∇Xe Z−∇e[X,Y]Z

= ∇Xe (Q−1(∇Y(QZ))∇Ye (Q−1(∇X(QZ))Q−1(

[X,Y](QZ))

= Q−1(∇X∇Y(QZ))−Q−1(∇Y∇X(QZ))−Q−1(∇[X,Y](QZ))

= Q−1(∇X∇Y(QZ)− ∇Y∇X(QZ)− ∇

[X,Y](QZ))

= Q−1(R(X, Y)QZ),

(24)

A seguir, definimos a transforma¸c˜ao de Combescure de uma imers˜ao isom´etrica e apre-sentamos alguns resultados relacionados com ela.

Dizemos que uma aplica¸c˜ao F :MnRn+p

s ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure

determinada porQ∈ S(M) de uma imers˜ao isom´etricaf :Mn Rn+p

s se dF =df ◦Q.

A proposi¸c˜ao seguinte mostra que, neste caso,Q´e um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f.

Proposi¸c˜ao 2.2. Sef :MnRn+p

s ´e uma imers˜ao isom´etrica e F ´e uma transforma¸c˜ao

de Combescure de f determinada por Q ∈ S(M), ent˜ao Q ∈ C(f). Reciprocamente, se

Mn ´e simplesmente conexa, ent˜ao qualquer Q∈ C(f) d´a origem a uma transforma¸c˜ao de

Combescure def.

Prova. Considere a 1-forma w =df ◦Q em Mn com valores em Rn+p

s . Seja ∇ a

conex˜ao pseudo-Riemanniana deRn+p s .

Utilizando a f´ormula de Gauss, temos que

dw(X, Y) = X(w(Y))−Y(w(X))−w([X, Y])

=X(df(QY))−Y(df(QX))−df(Q[X, Y])

=∇Xdf(QY)− ∇Ydf(QX)−df(Q[X, Y])

=df(∇X(QY)) +αf(X, QY)−df(∇Y(QX))−αf(Y, QX)−df(Q[X, Y])

=df(∇X(QY)− ∇Y(QX)−Q[X, Y]) +αf(X, QY)−αf(Y, QX).

Supondo que F : Mn Rn+p

s ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure de f

determi-nada por Q ∈ S(M), temos que dF =df ◦Q. Portanto w =dF, isto ´e, w ´e exata, logo

w´e fechada. Assim,

αf(X, QY) = αf(Y, QX)

e

0 = ∇X(QY)− ∇Y(QX)−Q[X, Y] = (∇XQ)Y −(∇YQ)X,

ou seja, Q∈ C(f).

Reciprocamente, supondo que Mn ´e simplesmente conexa e Q ∈ C(f), temos que

dw = 0, isto ´e, w ´e fechada. Como Mn ´e simplesmente conexa, temos que w ´e exata.

Dessa forma, existe uma fun¸c˜aoF :Mn Rn+p

s tal quedF =w=df◦Q, ou seja, existe

uma transforma¸c˜ao de Combescure de f determinada por Q.

Classicamente, duas superf´ıcies em R3 est˜ao relacionadas por uma transforma¸c˜ao

(25)

15

tal que os vetores normais nos pontos correspondentes s˜ao paralelos [B1]. Observe que se F : Mn Rn+p

s ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure de uma imers˜ao isom´etrica

f :MnRn+p

s determinada por um tensor invert´ıvel Q∈ S(M), ent˜aoF ´e uma imers˜ao

com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss na variedade Grassmaniana dos n-planos tipo-espa¸co n˜ao-orientados em Rn+p

s . Al´em disso, no caso de superf´ıcies, a exigˆencia de que o tensor

Q seja invert´ıvel implica que as linhas de curvatura s˜ao preservadas, como mostra a proposi¸c˜ao seguinte. Denotaremos por Afδ : T M → T M o operador de Weingarten de f

na dire¸c˜aoδ ∈T⊥

f M.

Proposi¸c˜ao 2.3. Seja f :Mn Rn+p

s uma imers˜ao isom´etrica e seja F :Mn→Rns+p a

transforma¸c˜ao de Combescure def determinada pelo tensor invert´ıvelQ∈ S(M). Ent˜ao, as segundas formas fundamentais def e F est˜ao relacionadas por

αF(X, Y) = αf(QX, Y),

ou equivalentemente, AF

ξ = A f ξ ◦Q

−1 para todo ξ T

f M. Em particular, existe um

referencial ortonormal de dire¸c˜oes principais para AF

ξ e A f ξ.

Prova. Sejam∇a conex˜ao usual emRn+p

s e∇e a conex˜ao de Levi-Civita da m´etrica

induzida porF, dada por,

^

hX, Yi=hdF(X), dF(Y)i=hdf◦Q(X), df◦Q(Y)i=hQX, QYi=hQ2X, Yi,

para quaisquer campos tangentesX e Y.

Pela Proposi¸c˜ao 2.2, temos que Q∈ C(f), e portanto,

df(∇X(QY)) +αf(QX, Y) =∇Xdf(QY) =∇XdF(Y) = dF(∇Xe Y) +αF(X, Y).

Utilizando a Proposi¸c˜ao 2.1, observe que

dF(∇Xe Y) = df(Q∇Xe Y) = df(Q◦Q−1(∇X(QY)) =df(∇X(QY)).

Logo αF(X, Y) =αf(QX, Y) para quaisquer campos tangentes X e Y. Por sua vez,

hQ2◦AF

ξ(X), Yi = hA^

F

ξX, Yi=hαF(X, Y), ξi

= hαf(QX, Y), ξi=hAfξ(QX), Yi

= hQ◦Afξ(X), Yi,

para todoξ ∈T⊥

f M. Consequentemente,A

F

ξ =A f ξ ◦Q

1 .

(26)

De acordo com [F] e [S], qualquer tensor de Codazzi em um subconjunto aberto e simplesmente conexo U ⊂ Rn+p pode ser dado como Q = Hessϕ, para alguma fun¸c˜ao

ϕ∈ D(U). A proposi¸c˜ao seguinte estende esse resultado, mostrando que qualquer tensor de CodazziQ ∈ C(f), onde f : Mn Rn+p

s ´e uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Riemanniana simplesmente conexa pode ser dado como Q = Hessϕ−Afβ, para alguma fun¸c˜ao ϕ∈ D(f) e algum β ∈T⊥

f M.

Proposi¸c˜ao 2.4. Seja f : Mn Rn+p

s uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Ri-emanniana simplesmente conexa. Ent˜ao qualquer tensor Q ∈ C(f) e a correspondente transforma¸c˜ao de Combescure F de f podem ser dados como

Q=Qϕ,β =Hessϕ−Afβ e F =Cϕ,β(f) = df(gradϕ) +β, (2.1)

onde ϕ∈ D(M) e β∈T⊥

f M satisfazem

αf(gradϕ, X) +∇

Xβ = 0, (2.2)

para qualquer vetor tangente X.

Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2.2), sejam Q e F definidos por (2.1). Ent˜aoQ∈ C(f) e F ´e a transforma¸c˜ao de Combescure de f.

Prova. Podemos identificar Tf(q)Rns+p com Rns+p, para todo q ∈ Mn, e portanto

podemos considerar F como uma se¸c˜ao do fibrado induzido f∗ TRn+p

s . Decompondo F

em suas componentes tangente e normal podemos escrever F =df(z) +β, ondez ∈T M

eβ ∈T⊥

f M. Ent˜ao, utilizando as f´ormulas de Gauss e Weingarten, temos

dF(X) =∇XF =∇X(df(z) +β) = df(∇XZ) +αf(X, Z) +∇

Xβ−A f βX.

Uma vez que dF =df ◦Q, obtemos

df(QX− ∇XZ) +AfβX =αf(X, Z) +∇⊥Xβ,

o que implica em

hQX − ∇XZ, Yi=−hAfβX, Yi,

ou seja,

h∇XZ, Yi=hQX, Yi+hαf(X, Y), βi.

ComoQ´e auto-adjunto eαf ´e sim´etrica, temos queh∇XZ, Yi=h∇YZ, Xi. Dessa forma,

existeϕ∈ D(M) tal que z = gradϕ, e por sua vez,

df(QX) = dF(X) = df(Hessϕ−Afβ)X+αf(gradϕ, X) +∇

Xβ.

(27)

17

Reciprocamente, dados ϕ e β satisfazendo (2.2), sejamQ eF definidos por (2.1). Observe que

dF(X) = ∇XF =∇X(df(gradϕ) +β)

= df(∇Xgradϕ) +αf(gradϕ, X) +∇

| {z }

= 0

−AfβX

= df(∇Xgradϕ−AfβX)

= df(QX) = (df ◦Q)(X).

Logo,F ´e uma transforma¸c˜ao de Combescure def determinada porQe, pela Proposi¸c˜ao 2.2, temos queQ∈ C(f).

Denotaremos porD(f) o espa¸co vetorial de todos os pares (ϕ, β) satisfazendo (2.2). Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 2.4, existe uma aplica¸c˜ao linear

D(f)→ C(f) (2.3)

(ϕ, β)7→ Qϕ,β

que associa cada (ϕ, β)∈ D(f) ao tensor Qϕ,β = Hessϕ−Afβ.

A seguir, apresentamos exemplos b´asicos de tensores de Codazzi obtidos atrav´es de uma fun¸c˜ao ϕ∈ D(M) e um campo β ∈T⊥

f M dados.

Exemplo 2.5. a) Dados P0 ev ∈Rsn+p com hv, vi=ǫ=±1,seja ϕ0 =hf −P0, vie seja

β0 = v⊥ o campo normal obtido pela proje¸c˜ao de v em Tf⊥M em cada ponto q ∈ Mn.

Observe que

hgrad ϕ0, Xi=X◦ϕ0 =hdf(X), vi,

o que implica em

hdf(gradϕ0)−v, df(X)i= 0,

ou seja,

hdf(gradϕ0−v⊤), df(X)i= 0,

para todoX ∈T M. Assim, gradϕ0 =v⊤. Dessa forma,

αf(gradϕ0, X) +∇

Xv

= 0,

isto ´e, (ϕ0, β0)∈ D(f). Al´em disso,

Cϕ0,β0(f) = v

+v⊥

(28)

b) DadosP0 ∈Rns+p eb 6= 0, definaϕ1 = 12(hf−P0, f−P0i −b) e sejaβ1 = (f−P0)⊥

o campo normal obtido pela proje¸c˜ao do vetor posi¸c˜ao f −P0 em Tf⊥M em cada ponto

q∈Mn. Ent˜ao

hgradϕ1, Xi=X◦ϕ1 =hdf(X), f −P0i,

consequentemente,

hdf(gradϕ1)−(f−P0), df(X)i= 0,

ou equivalentemente,

hdf(gradϕ1−(f −P0)

), df(X)i= 0,

para todoX ∈T M. Portanto gradϕ1 = (f−P0)⊤. Assim,

αf(gradϕ1, X) +∇X⊥(f −P0)⊥= 0,

isto ´e, (ϕ1, β1)∈ D(f). Al´em disso,

Cϕ1,β1(f) = (f −P0)

+ (f −P0)⊥ = (f −P0) e Qϕ1,β1 =I.

c) Suponha que f possui uma se¸c˜ao normal paralela n˜ao nulaξ. Sejam ϕ2 =c∈R

eβ2 =−ξ. Ent˜ao (ϕ2, β2)∈ D(f), Cϕ2,β2(f) =−ξ eQϕ2,β2 =A

f ξ.

O subespa¸co de D(f) gerado por um dos pares (ϕi, βi) comi∈ {0,1,2}do Exemplo

2.5 ser´a denotado por D0(f). Assim, a imagem C0(f) ⊂ C(f) de D0(f) pela aplica¸c˜ao

(29)

Cap´ıtulo 3

Hipersuperf´ıcies e tensores de

Codazzi

Neste cap´ıtulo apresentaremos a demonstra¸c˜ao e alguns exemplos de aplica¸c˜oes do teorema enunciado abaixo, que soluciona o problema proposto, restrito a m´etricas deter-minadas a partir de tensores de Codazzi invert´ıveis, citado na introdu¸c˜ao deste trabalho.

Teorema 3.1. Sejam f : (Mn,h,i) Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Riemanniana simplesmente conexa (Mn,h,i) com operador de Weingarten A e Q um

tensor de Codazzi invert´ıvel. Consideremos em Mn uma nova m´etrica hf,i, dada por

^

hX, Yi =hQ2X, Yi, para quaisquer campos tangentes X, Y. Suponha que o posto de A ´e

maior ou igual a3. Ent˜ao:

i) Existe uma imers˜ao isom´etrica f˜: (Mn,hf,i)Rn+1 se, e somente se Q comuta

comA. Al´em disso, se talf˜existir,f˜´e r´ıgida com operador de WeingartenA˜=±Q−1A.

ii) Se Q comuta com A, ent˜ao existem fun¸c˜oes diferenci´aveis g, h : Mn R tais

que A(gradg) = −gradh e QX = ∇Xgradg − hAX onde X ´e um campo tangente arbitr´ario e ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de (Mn,h,i). Al´em disso, qualquer imers˜ao

isom´etrica f˜: (Mn,hf,i)Rn+1 ´e dada por f˜=τF, onde τ ´e um movimento r´ıgido e

F =df(gradg) +hN.

A prova de cada um dos itens (i) e (ii) deste teorema ´e baseada, respectivamente, nas Proposi¸c˜oes 3.2 e 3.4 a seguir.

Proposi¸c˜ao 3.2. Sejam f : (Mn,h,i) Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica de uma

varie-dade Riemanniana simplesmente conexa (Mn,h,i) com operador de Weingarten A e Q

um tensor de Codazzi invert´ıvel. Considere em Mn uma nova m´etrica hf,i, definida por

^

hX, Yi = hQ2X, Yi, para quaisquer campos tangentes X, Y. Suponha que o posto de A

´e maior ou igual a 3. Ent˜ao a variedade Riemanniana (Mn,hf,i) admite uma imers˜ao

(30)

isom´etrica em Rn+1 se, e somente se, Q comuta com A. Se f˜: (Mn,hf,i)Rn+1 ´e uma

tal imers˜ao ent˜ao f˜´e r´ıgida, com operador de Weingarten A˜=±Q−1A.

Prova. Suponha que existe uma imers˜ao isom´etrica ˜f : (Mn,hf,i) Rn+1 com

operador ˜A.

Pela Proposi¸c˜ao 2.1, temos que ˜R(X, Y)Z =Q−1

(R(X, Y)QZ) e portanto a equa¸c˜ao de Gauss

˜

R(X, Y)Z =hAY, Z^˜ iAX˜ −hAX, Z^˜ iAY˜ =hQ2◦A˜(Y), ZiAX˜ − hQ2 ◦A˜(X), ZiAY˜

´e equivalente a

Q−1(R(X, Y)QZ) =hQ2A˜(Y), ZiAX˜ − hQ2A˜(X), ZiAY˜

o que implica em

Q−1(hAY, QZiAX− hAX, QZiAY) =hQ2A˜(Y), ZiAX˜ − hQ2A˜(X), ZiAY.˜

Compondo os membros da igualdade acima com Q, obtemos

hAY, QZiAX− hAX, QZiAY =hQ2◦A˜(Y), ZiQ◦AX˜ − hQ2◦A˜(X), ZiQ◦AY.˜

Portanto

hAY, QZiAX− hAX, QZiAY =hQ◦A˜(Y), QZiQ◦AX˜ − hQ◦A˜(X), QZiQ◦AY,˜

ou equivalentemente,

Q◦A˜(X)∧Q◦A˜(Y) =AX∧AY, (3.1)

onde ∧representa o produto exterior.

Afirma¸c˜ao 3.3. kerA= kerAe.

De fato, seja e1, ..., er uma base ortonormal de (kerA)⊥ com respeito a h,i tal que

Aei =kiei, i∈ {1, ..., r}onde r= dim(kerA)⊥ ≥3 e (kerA)⊥´e o complemento

ortogo-nal de kerA. Por (3.1), temos queAX∧Aei = 0 para qualquer X ∈ker ˜A ei∈ {1, ..., r}.

Dessa forma,X ∈kerA e portanto ker ˜A⊂kerA.

Por outro lado, seja X ∈ kerA. Ent˜ao, por (3.1), Q◦A˜(X)∧Q◦A˜(ei) = 0 para

qualqueri∈ {1, ..., r}.Uma vez que Q◦A˜(ei)6= 0, ∀ei, obtemosQ◦A˜(X) = ρiQ◦A˜(ei)

para algumρi, i∈ {1, ..., r}, ou equivalentemente, ˜A(X−ρiei) = 0. PortantoX−ρiei ∈

(31)

21

Como X ∈ kerA temos que ter ρi = 0 para todo i ∈ {1, ..., r}. Logo, Q◦A˜(X) = 0 e

X ∈ker ˜A, o que prova a Afirma¸c˜ao 3.3. Seja X ∈ (kerA)⊥

e suponha que Q◦A˜(X) e AX s˜ao linearmente independentes. Como dim(kerA)⊥

≥3, existeY ∈(kerA)⊥

tal queQ◦A˜(X), AX e AY s˜ao linearmente independentes. Ent˜ao, por (3.1) obtemos

Q◦A˜(X)∧Q◦A˜(X)∧Q◦A˜(Y) = Q◦A˜(X)∧AX ∧AY 6= 0

o que ´e uma contradi¸c˜ao j´a queQ◦A˜(X)∧Q◦A˜(X) = 0.

Logo, Q◦A˜(X) e AX s˜ao linearmente dependentes para qualquer X ∈ (kerA)⊥

e consequentemente Q◦A˜(X) = a(X)AX.

Escolhendo uma base arbitr´aria X1, ..., Xr de (kerA)⊥, temos que Q ◦A˜(Xi) =

a(Xi)AXi, para todo i∈ {1, ..., r}. Como Xi +Xj ∈ (kerA)⊥, ent˜ao Q◦A˜(Xi+Xj) =

a(Xi+Xj)A(Xi+Xj), para todo i e j ∈ {1, ..., r}e consequentemente

0 = Q◦A˜(Xi+Xj)−Q◦A˜(Xi)−Q◦A˜(Xj)

= a(Xi+Xj)A(Xi+Xj)−a(Xi)AXi−a(Xj)AXj

= (a(Xi+Xj)−a(Xi))AXi+ (a(Xi+Xj)−a(Xj))AXj.

Assim,

a(Xi+Xj) = a(Xi) = a(Xj), ∀i, j ∈ {1, ..., r}.

Al´em disso, para qualquer n´umero real λ, usando a linearidade de Q◦A˜, segue-se que

Q◦A˜(λX) = λQ◦A˜(X) =λa(X)AX

e, por outro lado,

Q◦A˜(λX) =a(λX)A(λX) =λa(λX)AX

o que implica em a(λX) = a(X). Portanto, existe uma constante a tal que Q◦A˜(X) =

aA(X) para qualquer X. Por (3.1), tem-se a=±1 e consequentemente ˜A=±Q−1

◦A.

Como o operador ˜A ´e auto-adjunto com respeito a hf,i, temos que hAX, Y^˜ i =

^

hX,AY˜ i, o que implica em hQ2 A˜(X), Yi = hX, Q2 A˜(Y)i, ou seja, Q2 A˜ ´e

auto-adjunto com respeito `a m´etrica h,i. Portanto, ±Q◦A = Q2 A˜ ´e auto-adjunto com

respeito a m´etrica h,i. Logo, Q comuta com A.

Reciprocamente, suponha que Q◦A=A◦Q. Como Q e A s˜ao auto-adjuntos com respeito ah,i, temos queQ◦A ´e auto-adjunto com respeito ah,i. Defina ˜A=±Q−1

◦A. Ent˜aoQ2A˜=±QA e consequentemente

^

hAX, Y˜ i=hQ2◦A˜(X), Yi=hX, Q2◦A˜(Y)i=hX,^AY˜ i,

(32)

Al´em disso,

˜

R(X, Y)Z = Q−1(R(X, Y)QZ)

= Q−1(hAY, QZiAX− hAX, QZiAY)

= hQ◦A(Y), ZiQ−1

◦A(X)− hQ◦A(X), ZiQ−1

◦A(Y)

= hQ2◦A˜(Y), ZiAX˜ − hQ2◦A˜(X), ZiAY˜

= hAY, Z^˜ iAX˜ −hAX, Z^˜ iAY,˜

isto ´e, ˜A satisfaz a equa¸c˜ao de Gauss. Como ˜∇XY =Q−1(∇X(QY)), temos,

( ˜∇XA˜)Y = Q−1(∇X(QA˜))Y =Q−1(∇XA)Y

= Q−1(∇YA)X =Q−1(∇Y(QA˜))X

= ( ˜∇YA˜)X,

ou seja, ˜Asatisfaz a equa¸c˜ao de Codazzi. Ent˜ao, pelo Teorema Fundamental das Hipersu-perf´ıcies, existe uma imers˜ao isom´etrica ˜f : (Mn,hf,i)Rn+1com operador ˜A=±Q1

◦A.

ComopostoA ≥3 temos que postoA˜≥3 e pelo Teorema de Beez-Killing, ˜f ´e r´ıgida.

O resultado seguinte ´e uma consequˆencia imediata da Proposi¸c˜ao 2.2 e da Proposi¸c˜ao 2.4.

Proposi¸c˜ao 3.4. Seja f : (Mn,h,i) Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Riemanniana simplesmente conexa (Mn,h,i) com operador de Weingarten A. Suponha

queQ ´e um tensor de Codazzi invert´ıvel que comuta com A. Ent˜ao existem i) uma imers˜ao F :MnRn+1 tal que dF =df Q

ii) fun¸c˜oes diferenci´aveis g, h:MnR tais que

A(gradg) =−gradh e QX =∇Xgradg−hAX,

onde X ´e um campo tangente arbitr´ario eF ´e dada por F =df(gradg) +hN.

Al´em disso, F ´e uma imers˜ao isom´etrica da variedade Riemanniana (Mn,hf,i) em

Rn+1, onde a m´etrica hf,i em Mn ´e dada por h^X, Yi = hQ2X, Yi para quaisquer campos

tangentes X, Y.

Prova. i) Como Mn ´e simplesmente conexa e Q ´e um tensor de Codazzi que

(33)

23

ii) Pela Proposi¸c˜ao 2.4, existem uma fun¸c˜ao g ∈ D(M) e um campo β ∈ T⊥

f M

satisfazendoαf(gradg, X) +∇⊥Xβ = 0, tais queQ= Hessg−A f

β. Como a codimens˜ao da

imers˜ao ´e 1, podemos escreverβ =hN, ondeh∈ D(M) e N ´e o campo normal unit´ario. Ent˜ao,

0 = hαf(gradg, X) +∇

XhN, Ni=hαf(gradg, X) +X(h)N, Ni

=hA(gradg), Xi+X(h) =hA(gradg) + gradh, Xi,

para todoX ∈T M, o que implica emA(gradg) = −gradh.

Al´em disso, QX =∇Xgradg−hAX, para todo campo tangente X. A m´etrica hf,i induzida em Mn´e dada por

^

hX, Yi=hdF(X), dF(Y)i=hdf(QX), df(QY)i=hQ2X, Yi,

para quaisquer campos tangentesX, Y.

Uma vez provadas as Proposi¸c˜oes 3.2 e 3.4, podemos agora provar, sem muita difi-culdade, o Teorema 3.1.

Prova do Teorema 3.1. Sejam f : (Mn,h,i)Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica de

uma variedade Riemanniana simplesmente conexa (Mn,h,i) com operador de Weingarten

A e Q um tensor de Codazzi invert´ıvel. Considere a m´etrica Riemanniana hf,i em Mn

dada porh^X, Yi=hQ2X, Yi, para quaisquer campos de vetores tangentesX, Y.

i) De acordo com a Proposi¸c˜ao 3.2, a variedade Riemanniana (Mn,hf,i) admite uma

imers˜ao isom´etrica em Rn+1 se, e somente se Q comuta com A. Al´em disso, uma tal

imers˜ao ˜f : (Mn,hf,i)Rn+1 ´e r´ıgida com operador de Weingarten ˜A=±Q1

◦A. ii) SeQ comuta comA, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.4, existem uma imers˜ao isom´etrica

F : (Mn,hf,i)Rn+1e fun¸c˜oes diferenci´aveisg, h:Mn Rtais queA(gradg) = gradh,

QX =∇Xgradg−hAX, para qualquer campo tangenteX eF =df(gradg) +hN. Como o posto de A ´e maior ou igual a 3, pelo Teorema de Beez-Killing qualquer imers˜ao isom´etrica ˜f : (Mn,hf,i)Rn+1 ´e dada por ˜f =τ F, onde τ ´e um movimento r´ıgido.

Note que, como dF =df◦Qtemosdf(TpM) = dF(TpM) para qualquer pontopem

Mn e portanto as imers˜oes f e F possuem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss.

(34)

Exemplo 3.5. Seja f : (Mn,h,i) Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Riemanniana simplesmente conexa (Mn,h,i) com operador de WeingartenA. Considere

o tensor Q :=Id−tA, onde t ∈ R ´e escolhido tal que Q ´e invert´ıvel. Pela maneira que foi definido, Q ´e um tensor de Codazzi que comuta com A. Pelo Teorema 3.1, existe uma imers˜ao isom´etrica de (Mn,hf,i) em Rn+1 onde a m´etrica hf,i ´e dada por h^X, Yi =

hQ2X, Yi, para quaisquer campos tangentes X, Y.

Considerandof como uma se¸c˜ao do fibrado induzidof∗

(TRn+1) e decompondo-a em

componentes tangente e normal, temosf =df(xT) +sN, onde xT ´e um campo tangente

e s = hf, Ni ´e a fun¸c˜ao suporte de f. Diferenciando f com respeito a um campo de vetores tangentes X e usando as f´ormulas de Gauss e Weingarten, obtemos

df(X) = ∇Xf =∇X(df(xT) +sN)

= ∇Xdf(xT) +∇XsN

= df(∇XxT) +hAX, xTiN +s∇XN +X(s)N

= df(∇XxT) +hAX, xTiN −sdf(AX) +X(s)N

= df(∇XxT −sAX) + (hAX, xTi+X(s))N.

Consequentemente,

df(X− ∇XxT +sAX) = (hAX, xTi+X(s))N,

o que implica em

X− ∇XxT +sAX = 0 e hAX, xTi=−X(s),

isto ´e,

X =∇XxT −sAX e AxT =−grads.

Seja g := 1 2 kf k

2.

Dado p ∈ Mn, sejam X(p) T

pM e α : (−ε, ε) → M uma curva diferenci´avel tal

queα(0) =pe α′

(0) =X(p). Ent˜ao,

hgradg(p), X(p)i =dgp(X) = (g◦α)

(0)

= 1

2hf◦α(t), f ◦α(t)i

|t=0

=hdfp(X), f(p)i,

ou seja,

hgradg, Xi = hdf(X), fi

= hdf(X), df(xT) +sNi,

(35)

25

para qualquer campo tangente X.

Portanto

hgradg, xTi=hdf(xT), df(xT)i=hxT, xTi=kxT k2 .

Por outro lado,

hgradg, xTi=hdf(gradg), df(xT)i=hgradg,gradgi=kgradg k2 .

Logo,

kxT k=kgradg k

e

hgradg, xTi2 =kxT k2kgradg k2,

o que implica em gradg =xT. Consequentemente as fun¸c˜oes g es satisfazem

A(gradg) =−grads

e

QX=X−tAX =∇Xgradg−sAX −tAX =∇Xgradg−(s+t)AX.

Assim, as fun¸c˜oesg eh:=s+tpodem ser usadas para a constru¸c˜ao da imers˜ao isom´etrica

F : (Mn,hf,i)Rn+1. Logo,

F =df(gradg) +hN =f+tN,

isto ´e,F ´e uma hipersuperf´ıcie paralela af.

Exemplo 3.6. Seja f : (Mn,h,i) Rn+1 uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Riemanniana simplesmente conexa (Mn,h,i) com operador de WeingartenA. Considere

o tensor de CodazziQ=−A. Sejaa um vetor constante emRn+1. Considerandoacomo

uma se¸c˜ao do fibrado induzido f∗

(TRn+1) e decompondo-a em componentes tangente e

normal temos

a=df(aT) +hN, aiN.

Diferenciando a com respeito a um campo tangente X e usando as f´ormulas de Gauss e Weingarten, obtemos

0 =da(X) = ∇Xa=∇X(df(aT) +hN, aiN)

= ∇Xdf(aT) +∇XhN, aiN

= df(∇XaT) +hAX, aTiN +hN, ai∇XN+XhN, aiN

= df(∇XaT) +hAX, aTiN − hN, aidf(AX) +XhN, aiN

(36)

o que implica em

∇XaT =hN, aiAX e hX, AaTi=−XhN, ai

ou seja,

∇XaT =hN, aiAX e AaT =−gradhN, ai.

Seja g := hf, ai. Dado p ∈ Mn, sejam X(p) T

pM e α : (−ε, ε) → M uma curva

diferenci´avel tal que α(0) =p eα′

(0) =X(p). Ent˜ao,

hgradg(p), X(p)i = dgp(X) = (g◦α)

(0)

= h(f◦α)′

(0), ai

= hdfp(X), ai,

ou seja,

hgradg, Xi =hdf(X), ai

=hdf(X), df(aT) +hN, aiNi,

=hdf(X), df(aT)i

para qualquer campo tangente X. Portanto,

hgradg, aTi=hdf(aT), df(aT)i=haT, aTi=kaT k2 .

Por outro lado,

hgradg, aTi=hdf(gradg), df(aT)i=hgradg,gradgi=kgradg k2 .

Assim,

kaT k=kgradg k

e

hgradg, aTi2 =kaT k2kgradg k2,

o que implica em gradg =aT. Consequentemente as fun¸c˜oesg e hN, aisatisfazem

A(gradg) =−gradhN, ai

e

QX =−AX =∇XaT − hN, aiAX−AX =∇XaT −(hN, ai+ 1)AX.

Dessa forma, as fun¸c˜oesg e h:=hN, ai+ 1 satisfazem

(37)

27

e portanto podem ser usadas para a constru¸c˜ao da imers˜ao isom´etricaF : (Mn,hf,i)Rn+1,

onde h^X, Yi=hA2X, Yi para quaisquer campos tangentes X, Y. Logo,

F =df(gradg) +hN =df(aT) + (hN, ai+ 1)N =a+N,

isto ´e,F ´e uma transla¸c˜ao da aplica¸c˜ao de Gauss def.

A observa¸c˜ao seguinte apresenta uma discuss˜ao sobre a unicidade das fun¸c˜oes g e h

para um dado tensor de Codazzi que comuta com o operador A.

Observa¸c˜ao 3.7. Suponha que existem dois pares de fun¸c˜oes (g, h) e (g1, h1) tais que

A(gradg) = −gradh e A(gradg1) = −gradh1

e

QX =∇Xgradg−hAX e QX =∇Xgradg1 −h1AX,

para qualquer campo tangente X. Ent˜ao, de acordo com a Proposi¸c˜ao 3.4, as imers˜oes

F =df(gradg) +hN e F1 =df(gradg1) +h1N

induzem a mesma m´etrica em Mn e satisfazem dF =dfQ=dF

1.

Dessa forma, F1 =F +a, para algum vetor constantea. Considerando acomo uma

se¸c˜ao do fibrado induzido f∗

(TRn+1) e escrevendo a = df(a

T) +hN, aiN, pelo Exemplo

3.6, temos queaT = gradhf, ai.

Ent˜ao,F1 =F +a´e equivalente a

df(gradg1) +h1N =df(gradg) +hN +df(aT) +hN, aiN

=df(gradg+ gradhf, ai) + (hN, ai+h)N

=df(grad(g+hf, ai)) + (hN, ai+h)N.

Consequentemente

g1 =g +hf, ai+c e h1 =h+hN, ai,

onde c´e uma constante real.

Portanto as fun¸c˜oesg eh s˜ao unicamente determinadas a menos das fun¸c˜oes hN, ai

(38)

Tensores de Codazzi e

transforma¸

oes de Ribaucour de

subvariedades

Neste cap´ıtulo apresentaremos a defini¸c˜ao de transforma¸c˜ao de Ribaucour e o teo-rema que mostra a correspondˆencia entre transforma¸c˜oes de Ribaucour de uma imers˜ao isom´etrica emRn+p

s e os tensores de Codazzi que comutam com a segunda forma

funda-mental dessa imers˜ao.

Classicamente, duas superf´ıcies no espa¸co Euclidiano est˜ao relacionadas por uma transforma¸c˜ao de Ribaucour quando existe um difeomorfismo entre elas preservando as linhas de curvatura tal que as retas normais em pontos correspondentes intersectam um ponto que est´a equidistante a ambos os pontos, conforme a seguinte figura.

Figura 4.1.

A seguinte defini¸c˜ao de transforma¸c˜ao de Ribaucour ´e dada para subvariedades arbitr´arias deRn+p

s .

(39)

29

Defini¸c˜ao 4.1. Dada uma imers˜ao isom´etricaf :MnRn+p

s , dizemos que uma imers˜ao

˜

f : Mn Rn+p

s ´e uma transforma¸c˜ao de Ribaucour de f quando kf −f˜k 6= 0 em todo

ponto de Mn e existem uma isometria entre fibrados vetoriais P :f∗ TRn+p

s →f˜

∗ TRn+p

s ,

um tensorD∈ S(M) e um campo de vetores diferenci´avelδ ∈f∗

TRn+p

s com kδk 6= 0 em

todos os pontos de Mn, tais que

(a) P(Z)−Z =hδ, Zi(f −f˜) para todo Z ∈f∗ TRn+p

s ,

(b) df˜=P ◦df ◦D.

Geometricamente, a condi¸c˜ao (a) significa que para qualquer Z ∈ Tf(x)Rns+p com hδ, Zi 6= 0 as retas em Rn+p

s passando por f(x) e ˜f(x) tangentes a Z e P(Z)

respectiva-mente, se intersectam em um ponto que est´a a uma distˆancia comum d =kZk/hδ, Zi de

f(x) e ˜f(x).

Figura 4.2.

Quandohδ, Zi= 0, as retas s˜ao paralelas.

Figura 4.3.

A condi¸c˜ao (b) implica que a isometria P preserva as dire¸c˜oes tangentes e portanto preserva as dire¸c˜oes normais.

No que se segue, o termo (P, D, δ) representa a isometria P, o tensor D e o campo

δ de uma transforma¸c˜ao de Ribaucour.

O resultado seguinte estende a parametriza¸c˜ao cl´assica de transforma¸c˜oes de Ribau-cour de uma superf´ıcie dada ([B1] ou [E]). Dado um campo vetorial Z ao longo de uma imers˜ao isom´etrica f : Mn Rn+p

s , denotaremos por Z

a correspondente 1-forma em

f∗ TRn+p

s , que ´e, Z

(Yq) =hZq, Yqi para Y ∈f∗TRns+p eq ∈Mn.

Teorema 4.2. Seja f :MnRn+p

s uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade

Rieman-niana simplesmente conexa e seja f˜:Mn Rn+p

s uma transforma¸c˜ao de Ribaucour de f

determinada por(P, D, δ). Ent˜ao, existe (ϕ, β)∈ D(f) tal que

˜

(40)

onde F =Cϕ,β e ν−1 =hF,Fi:=ϑ. Al´em disso,

P =I−2νFF∗

, D =I−2νϕQϕ,β e δ=−ϕ

−1F. (4.2)

Reciprocamente, dado(ϕ, β)∈ D(f)tal queϕϑ= 06 em todoq ∈Mn, sejamP, Deδdados

por (4.2) em um subconjunto aberto U ⊂Mn onde D ´e invert´ıvel. Ent˜ao, f˜:U Rn+p s

dada por (4.1) ´e a transforma¸c˜ao de Ribaucour de f|U com (P, D, δ).

Prova. Defina µ∈C∞

(M) e ζ ∈f∗ TRn+p

s com hζ, ζi=ǫ=±1 por

f −f˜=µζ. (4.3)

Ent˜ao,P(Z) =Z +µhδ, Ziζ para todo Z ∈f∗ TRn+p

s . Assim,

µ2hδ, Zi2ǫ = hµhδ, Ziζ, µhδ, Ziζi=hP(Z)−Z,P(Z)−Zi

= 2hZ, Zi −2hP(Z), Zi= 2hZ,P(Z)−µhδ, Ziζi −2hP(Z), Zi

= −2µhδ, ZihZ, ζi.

Observe que, sehδ, Zi= 0 para algum Z ∈f∗

TRn+p

s , temos que P(Z) = Z, e portanto

hζ, Zi = hδ+ζ, Zi=hP(δ)−µhδ, δiζ+ζ, Zi=hP(δ),P(Z)i −µhδ, δihζ, Zi+hζ, Zi

= hδ, Zi −µhδ, δihζ, Zi+hζ, Zi=−µhδ, δihζ, Zi+hζ, Zi,

o que implica em µhδ, δihζ, Zi= 0 e, consequentemente, hζ, Zi= 0. Logo

µhδ, Zi=−2ǫhζ, Zi e P(Z) = Z−2ǫhζ, Ziζ, (4.4)

DefinaZ0 ∈T M por df(Z0) =µ−1(df(gradµ)−2ǫζ⊤). Ent˜ao,

h∇XZ0, Yi = Xhdf(z0), df(Y)i − hdf(z0), df(∇XY)i

= Xhµ−1(df(gradµ)2ǫζ

), df(Y)i − hµ−1(df(gradµ)2ǫζ

),∇Xdf(Y)i

+hµ−1(df(gradµ)2ǫζ

), αf(X, Y)i

= Xhdf(µ−1gradµ), df(Y)i − hdf(µ−1gradµ),∇Xdf(Y)i −2ǫXhµ−1ζ, df(Y)i

+2ǫhµ−1ζ,∇Xdf(Y)i −2ǫµ−1hα

f(X, Y), ζi

= h∇Xdf(µ−1gradµ), df(Y)i −2ǫh∇Xµ−1ζ, df(Y)i −2ǫµ−1hα

f(X, Y), ζi

= hdf(∇X(µ−1gradµ)), df(Y)i −2ǫµ−1hαf(X, Y), ζi −2ǫµ

1

h∇Xζ, df(Y)i

−2ǫX(µ−1)hζ, df(Y)i

= hdf(∇X(grad logµ)), df(Y)i −2ǫµ−1hα

Figure

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