Jéssica Neckel Cavalheiro

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  UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM

  MATEM ´ ATICA PURA E APLICADA J´essica Neckel Cavalheiro

  CONDIC ¸ ˜ OES DE FINITUDE E O GRUPO DE THOMPSON F

  Florian´opolis 2018

  J´essica Neckel Cavalheiro CONDIC ¸ ˜ OES DE FINITUDE E O GRUPO DE

  THOMPSON F

  Disserta¸c˜ ao submetida ao Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica Pura e Aplicada para a obten¸c˜ ao do Grau de mestre em Matem´ atica Pura e Apli-

cada.

Orientador: Prof. Dr. S´ergio Tadao Martins (UFSC)

  Florian´opolis 2018

  

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

Tadao Martins, 2018.

Jéssica Neckel Cavalheiro ; orientador, Sérgio

Condições de finitude e o grupo de Thompson F. /

Neckel Cavalheiro, Jéssica Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de

130 p. Pura e Aplicada, Florianópolis, 2018. Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática

Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada. III.

Título.

Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de

Homológica. I. Tadao Martins, Sérgio. II. Grupos. 3. Topologia Algébrica. 4. Álgebra

1. Matemática Pura e Aplicada. 2. Teoria de

Inclui referências.

  AGRADECIMENTOS Primeiramente, agrade¸co a Deus por ter me ajudado a chegar at´e aqui. ´ E para Ele que dedico todo este aprendizado. A minha m˜ae Dirce e ao meu irm˜ao Ermes, que sempre acredita- ram em mim. A fam´ılia Noll, que me adotou como filha e cuidou de mim. Ao meu noivo Leonardo, que sempre me apoiou e incentivou, e com seu amor e cuidado me ajudou nos momentos dif´ıceis e se alegrou comigo nos momentos felizes.

  Agrade¸co a todos os professores que tive nestes dois anos de mestrado. Em especial, o meu orientador, S´ergio Tadao Martins, que aceitou o desafio de me orientar e por ter sido sempre muito paciente e gentil. O professor Giuliano Boava, que pacientemente me prestou o seu aux´ılio, me respondendo quest˜ oes simples at´e as mais complicadas que sempre eram acompanhados de um bom cafezinho. A professora Virg´ınia Rodrigues, que me motivou com seu grande amor pela matem´ atica.

  A todos os meus amigos de mestrado: Josiane Hoffmann, Francieli Triches Marduck Montoya, Luiza Sorice, Elemar Rapachi, Everton Boss, Rafaela Filippozzi e Mariana Ventureli, que estiveram comigo em momentos felizes e tristes durante estes dois anos. Tenho certeza que sem vocˆes esta caminhada seria muito dif´ıcil, vou sentir falta dos caf´es que eram realizados pontualmente ` as 15 hs.

  Por fim, agrade¸co a CAPES pelo suporte financeiro sem o qual n˜ ao seria poss´ıvel a conclus˜ao deste trabalho.

  

“Os encantos dessa sublime ciˆencia se re-

velam apenas ` aqueles que tem coragem de

irem a fundo nela.” (Carl Friedrich Gauss)

  RESUMO O prop´osito deste trabalho ´e exibir um grupo livre de tor¸c˜ao com dimens˜ao cohomol´ogica infinita e que seja do tipo F P , tal grupo ´e

  ∞

  conhecido como o grupo de Thompson F . Para mostrarmos que F ´e do tipo F P , ´e necess´ario construir um espa¸co topol´ogico adequado em

  ∞

  que F age. Devido a F n˜ao ser um grupo muito “simples”, usaremos sua representa¸c˜ao por meio de ´arvores bin´arias a fim de descrever a a¸c˜ ao de F neste espa¸co topol´ ogico. Palavras-chave: Grupo de Thompson. Dimens˜ao Cohomol´ogica. Tor¸c˜ ao livre. Condi¸c˜ ao F P .

  ∞

  ABSTRACT The goal of this work is to exhibit a torsion-free, infinite dimensional, F P group, knows as Thompson’s group F . In order to show that F

  ∞

  is F P , we construct a topological space on which F acts nicely. Since

  ∞

  F is not a particularly “simple” group, we will describe it by means of binary trees and build our topological space using this description. Keywords: Thompson’s group. Cohomological dimension. Torsion- free. F P .

  ∞

  LISTA DE FIGURAS Figura 1 Simplexos de dimens˜ oes 0, 1, 2 e 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Figura 2 π n (X, x ) ´e abelino quando n ≥ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  2

  2

  1 Figura 3 A representa¸c˜ ao de I , ∂I e J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  Figura 4 Estrela de σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Figura 5 Link de σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Figura 6 A subdivis˜ ao baricˆentrica de K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Figura 7 Subdivis˜ ao baricˆentrica de um 2-simplexo. . . . . . . . . . . . . . 56 Figura 8 Realiza¸c˜ ao geom´etrica de K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Figura 9 Representa¸c˜ ao de R como um CW -complexo . . . . . . . . . . 74 Figura 10 Diagramas retangulares de A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

  −1

  Figura 11 Diagrama retangular de AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

  −1 −2

  2 Figura 12 Diagramas retangulares de A BA e A BA . . . . . . . . . 96

  Figura 13 Diagrama retangular de X n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

  LISTA DE S´

  IMBOLOS S `

  ˙ , Uni˜ ao disjunta. := Defini¸c˜ ao. [ ] Classe de equivalˆencia (G : H) ´Indice do subgrupo H em G.

  ։ Epimorfismo. ֒→ Inclus˜ao canˆ onica. Id M Identidade em M G/H Classes laterais de H em G.

  ≈ Isomorfismo

  SUM ´ ARIO

  5.1 DIMENS ˜ AO COHOMOL ´ OGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

  4.1 Z G-M ´ ODULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  4.2 GRUPO DE INVARIANTES E COINVARIANTES . . . . . 61 4.3 (CO)HOMOLOGIA DE UM GRUPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  4.4 M ´ ODULOS INDUZIDOS E COINDUZIDOS . . . . . . . . . . . 68

  4.5 INTERPRETAC ¸ ˜ AO TOPOL ´ OGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

  4.6 HOMOLOGIA EQUIVARIANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5 CONDIC ¸ ˜ OES DE FINITUDE . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  77

  5.2 GRUPOS DO TIPO F P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

  3.9 COMPLEXO SIMPLICIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  5.3 CRIT´ ERIO DE BIERI-ECKMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6 O GRUPO DE THOMPSON F . . . . . . . . . . . . . . . . .

  93

  6.1 DIAGRAMAS RETANGULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

  6.2 ´

  ALGEBRA DO TIPO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

  6.3 PRESENTAC ¸ ˜ AO DE F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

  6.4 UMA CONDIC ¸ ˜ AO NECESS ´ ARIA E SUFICIENTE . . . . . 112

  4 HOMOLOGIA E COHOMOLOGIA DE GRUPOS 59

  3.8 TEOREMA DE WHITEHEAD E HUREWICZ . . . . . . . . . 52

  1 INTRODUC ¸ ˜ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2.5 TOR E EXT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  17

  2 ´ ALGEBRA HOMOL ´ OGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19

  2.1 SEQUˆ ENCIAS EXATAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  2.2 M ´ ODULOS LIVRES E PROJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

  2.3 SEQUˆ ENCIA EXATA LONGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  2.4 RESOLUC ¸ ˜ OES LIVRES E PROJETIVAS . . . . . . . . . . . . . . 30

  2.6 SEQUˆ ENCIA ESPECTRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

  3.7 ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  3 TOPOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  3.1 HOMOTOPIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  3.2 CW-COMPLEXO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  3.3 EXTENS ˜ AO HOMOT ´ OPICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  3.4 HOMOLOGIA SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  3.5 HOMOLOGIA CELULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  3.6 GRUPOS DE HOMOTOPIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

  6.5 CONDIC ¸ ˜ AO DE FINITUDE DE F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 REFERˆ ENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

  1 INTRODUC ¸ ˜ AO Um grupo G tem a condi¸c˜ao F P se existe uma resolu¸c˜ao proje-

  ∞

  tiva de Z sobre ZG que possui em todas as dimens˜oes m´odulos projetivos finitamente gerados. Grupos finitos sempre apresentam esta propriedade (veja a Proposi¸c˜ ao 5.16). Al´em disso, outra propriedade de um grupo que nos interessa ´e a dimens˜ ao cohomol´ogica: esta ´e um n´ umero inteiro denominado como sendo o ´ınfimo dos comprimentos das resolu¸c˜ oes pro- jetivas de Z sobre ZG. Este n´ umero pode n˜ao existir, por consequˆencia disso dizemos, neste caso, que G tem dimens˜ao cohomol´ ogica infinita. N˜ao ´e dif´ıcil encontrarmos grupos que possuam a dimens˜ao cohomol´ogica infinita, basta olharmos para os grupos com tor¸c˜ao, por exemplo os grupos c´ıclicos finitos. Por´em, encontrar um grupo infinito livre de tor¸c˜ ao que seja do tipo F P ∞ e possua a dimens˜ao cohomol´ogica infinita j´ a n˜ ao ´e uma tarefa t˜ao simples.

  Em 1965, Richard Thompson introduziu o grupo F que ´e chamado de grupo de Thompson F . Brown e Geoghegan demonstraram que F ´e do tipo F P , dando assim o primeiro exemplo de um grupo infinito do

  ∞

  tipo F P livre de tor¸c˜ao. O grupo F ´e definido como sendo o conjunto

  ∞

  de todos os homeomorfismos lineares por partes do intervalo [0, 1] em si mesmo que s˜ao diferenci´aveis, exceto em uma quantidade finita de a racionais di´adicos e cujas derivadas s˜ ao potˆencias inteiras de 2. k

  2 Este grupo possui duas presenta¸c˜ oes

  −1

  F = X , X , X , . . . ; X X n X k = X n , para k < n

  1

2 +1

k

  e

  −1 −1 −1 −2

  2 F =

  A, B; [AB , A BA] = 1, [AB , A BA ] = 1

  −1 −1

  em que [x, y] denota xyx y . Esta ´ ultima presenta¸c˜ao nos diz que F ´e finitamente presentado.

  Mostrar que F ´e do tipo F P exige a utiliza¸c˜ao de um espa¸co

  

  topol´ogico descrito por meio de um complexo simplicial. O grupo F age neste espa¸co e para descrever esta a¸c˜ao precisamos relacionar os elementos de F com ´ arvores bin´ arias.

  O trabalho est´ a organizado da seguinte forma: Os dois primeiros cap´ıtulos fornecem uma base para o restante do trabalho, no cap´ıtulo 2 veremos alguns t´ opicos da ´ Algebra Homol´ogica, dentre eles: as resolu¸c˜oes projetivas e livres, a homologia, a cohomologia e os funtores T or e Ext. No cap´ıtulo 3 nos atentaremos para o estudo dos CW-complexos, espa¸cos do tipo K(G, 1), homologia singular, entre outros aspectos da topologia alg´ebrica.

  O cap´ıtulo 4 fornece as defini¸c˜oes da homologia e cohomologia de grupo, uma do ponto de vista alg´ebrico e outra topol´ogico, quando o coeficiente ´e o ZG-m´ odulo trivial Z.

  No cap´ıtulo 5 ser˜ao vistas algumas propriedades a respeito das condi¸c˜oes F P n e F P , al´em de outras referentes a dimens˜ao coho-

  ∞ mol´ogica.

  No cap´ıtulo 6 ser´a apresentado o objetivo principal do trabalho, mostrar que F ´e um grupo livre de tor¸c˜ao com dimens˜ao cohomol´ogica infinita e do tipo F P ∞ .

  2 ´ ALGEBRA HOMOL ´ OGICA Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns resultados da ´algebra ho- mol´ogica que utilizaremos ao longo do trabalho.

  2.1 SEQUˆ ENCIAS EXATAS A defini¸c˜ao de um m´odulo ´e similar `a defini¸c˜ao de um espa¸co vetorial trocando corpo por anel. Por isso que um dos exemplos cl´ assicos de m´odulos s˜ao os espa¸cos vetoriais. Defini¸ c˜ ao 2.1. Seja R um anel com unidade. Um m´ odulo ` a esquerda M sobre R ´e um conjunto com opera¸c˜ oes

  • : M × M −→ M • : R × M −→ M

  tais que (i) (M, +) ´e um grupo abeliano;

(ii) (r + s) · m = r · m + s · m, para quaisquer r, s ∈ R e todo m ∈ M ;

(iii) r · (m + n) = r · m + r · n, para todo r ∈ R e quaisquer m, n ∈ M ;

  (iv) 1 · m = m, para todo m ∈ M ;

(v) (r · s) · m = r · (s · m), para quaisquer r, s ∈ R e todo m ∈ M .

  Podemos tamb´em definir de modo similar um R-m´odulo `a direita. Quando mencionarmos um R-m´ odulo sempre ser´a ` a esquerda, exceto nos casos em que for informado previamente.

  Defini¸ c˜ ao 2.2. Sejam M, N dois R-m´ odulos. Uma fun¸c˜ ao f : M → N

  

´e um homomorfismos de R-m´ odulos ou um R-homomorfismo se s˜ ao

satisfeitas as seguintes igualdades ′ ′

  (i) f (m + m ) = f (m) + f (m ) (ii) f (rm) = rf (m) ′ para todo r ∈ R e todo m, m ∈ M .

  No caso em que M e N s˜ao R-m´odulos ` a direta, o item (ii) ´e trocado pela igualdade f (mr) = f (m)r. Dado um R-homomorfismo f : M → N , denotaremos por Im(f ) Defini¸ c˜ ao 2.3. Sejam f : M → N e g : N → P homomorfismos de

  R-m´ odulos. A sequˆencia

f g

  // N // P M

  ´e dita exata em N se Ker(g) = Im(f ). Se a sequˆencia M → M 1 →

  . . . → M n → M n +1 ´e exata em M

  1 , · · · , M n , ent˜ ao a sequˆencia ´e simplesmente chamada exata.

  Um tipo de sequˆencia exata muito usada ´e da forma f g // M // N // Q // 0, e ´e chamada de sequˆ encia exata curta. Vejamos um exemplo. i π

  Exemplo 2.4. A sequˆencia 0 // N // M // M/N // 0 ´e exata, em que i e π s˜ao a inclus˜ao canˆonica e a proje¸c˜ ao canˆonica, respectivamente. f f

  // M // N ´e exata em Observa¸ c˜ ao 2.5. (i) A sequˆencia 0 M se, e somente se f ´e um monomorfismo. f f

  (ii) A sequˆencia M // N // 0 ´e exata em N se, e somente se f ´e um epimorfismo. Proposi¸ c˜ ao 2.6 (Lema dos cinco). Seja f f f f 1 2 3 4

  

′ ′ ′ ′ ′

  // // // // M N S P Q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 g g g g 1 2 2 3 3 4 4 5

  // N // S // P // Q M

  um diagrama comutativo de R-m´ odulos com linhas exatas. Ent˜ ao (a) Se ϕ 2 e ϕ 4 s˜ ao epimorfismos e ϕ 5 ´e um monomorfismo ent˜ ao ϕ 3 ´e um epimorfismo.

  

(b) Se ϕ e ϕ s˜ ao monomorfismos e ϕ ´e um epimorfismo ent˜ ao ϕ ´e

  2

  4

  1

  3 um monomorfismo.

  

Demonstra¸c˜ ao. Para demonstrar esta proposi¸c˜ao ´e necess´ario realizar

  uma “ca¸ca”ao diagrama. Faremos apenas o item (a), os outros itens seguem de maneira an´ aloga.

  (a) Seja y ∈ S, ent˜ ao g (y) ∈ P . Como ϕ ´e um epimorfismo,

  3

  4 ′ ′ ′

  existe p ∈ P tal que ϕ (p ) = g (y). Pela comutatividade do diagrama

  4

  3

  temos que

  ′ ′

  ϕ ◦ f (p ) = g ◦ ϕ (p )

  5

  4

  4

  4

  = g ◦ g (y)

  4

  3 = 0. ′ ′

  Ent˜ ao f

  4 (p ) ∈ Ker(ϕ 5 ) = {0}. Portanto p ∈ Ker(f 4 ) = Im(f 3 ), assim ′ ′

  existe x ∈ S tal que f

  3 (x) = p . Com isso,

  g

  3 (y) = ϕ 4 ◦ f 3 (x) = g 3 ◦ ϕ 3 (x)

  e consequentemente g (y − ϕ (x)) = 0, ou seja, y − ϕ (x) ∈ Ker(g ) =

  3

  3

  3

  3 Im(g ). Desta forma, existe n ∈ N tal que g (n) = y − ϕ (x). Como

  2

  2

  3 ′ ′ ′

  ϕ ´e um epimorfismo, existe n ∈ N tal que ϕ (n ) = n. Portanto

  2

  2

  y − ϕ (x) = g (n)

  3

  2 ′

  = g ◦ ϕ (n )

  2

  2 ′

  = ϕ ◦ f (n )

  3

  2 ′

  e consequentemente, y = ϕ (f (n ) + x). Logo ϕ ´e um epimorfismo.

  3

  2

  3 A seguir temos uma vers˜ao curta do Lema dos cinco, em que a

  demonstra¸c˜ ao ´e similar ` a da proposi¸c˜ao acima, ou seja, basta fazer uma ca¸ca ao diagrama. Corol´ ario 2.7. Seja

  // M // N // Q // 0 ϕ ϕ ϕ 1 2 3

  

′ ′ ′

  // M // N // Q // 0

  um diagrama comutativo de R-m´ odulos com linhas exatas. Ent˜ ao

  (2) se ϕ e ϕ s˜ ao epimorfismos ent˜ ao ϕ ´e epimorfismo;

  1

  3

  2 (3) se ϕ e ϕ s˜ ao isomorfismos ent˜ ao ϕ ´e isomorfismo.

  1

  3

  2 Defini¸ c˜ ao 2.8. A sequˆencia exata curta f g

  // M // N // Q // 0, cinde se existe um R-homomorfismo µ : Q → N tal que g ◦ µ = Id Q . i π // M // M ⊕ N // N // 0

  Exemplo 2.9. A sequˆencia 0 cinde.

  Definindo µ : N → M ⊕ N por µ(n) = (0, n), temos que π ◦ µ = Id N . Exemplo 2.10. Considere a sequˆencia de Z-m´ odulos n π

  // Z // Z // Z n // 0 , em que n representa o homomorfismo que pega um elemento de Z e mul- tiplica por n. Esta sequˆencia n˜ao cinde, pois n˜ao existe R-homomorfismo Z n → Z que n˜ ao seja o nulo. f g

  // M // N // Q // 0 uma sequˆencia exata curta Seja 0 que cinde. Ent˜ao, pela defini¸c˜ao acima, Im(f ) = Ker(g) ´e um somando direto de N .

  De fato, existe um homomorfismo µ : Q → N tal que g ◦ µ = Id Q . Seja n ∈ N , ent˜ao escreva n = µ ◦ g(n) + (n − µ ◦ g(n)). O elemento n − µ ◦ g(n) pertence a Ker(g), pois g(n − µ ◦ g(n)) = g(n) − g(µ ◦ g(n))

  = g(n) − g ◦ µ(g(n)) = g(n) − g(n) = 0.

  Desta forma, todo n ∈ N pode ser escrito como a soma de um elemento de Im(µ) com um elemento de Ker(g). Se x ∈ Im(µ)∩Ker(g), temos que g(x) = 0 e µ(y) = x para algum y ∈ Q. Assim, y = g ◦ µ(y) = g(x) = 0, consequentemente x = µ(y) = 0. Portanto N = Im(µ) ⊕ Ker(g). Al´em

  o

  disso, atrav´es do 1 Teorema do Isomorfismo segue que N tamb´em ´e

  2.2 M ´ ODULOS LIVRES E PROJETIVOS Sabemos que todo espa¸co vetorial possui base, por´em quando estamos trabalhando com m´odulos isto nem sempre ´e verdade.

  Defini¸ c˜ ao 2.11. Seja M um R-m´ odulo e X um subconjunto de M .

  

Dizemos que X ´e gerador de M , denotado por M = hXi, se todo

elemento m ∈ M pode ser escrito como uma combina¸c˜ ao linear de

elementos de X: k

  X m = α i x i , α i ∈ R, x i ∈ X. i

  =1 Dizemos que X ´e linearmente independente (LI) se k

  X i α i x i = 0

  =1 implica α 1 = · · · = α k = 0, para quaisquer α i ∈ R, x i ∈ X.

  Al´em disso, se X ´e um conjunto gerador de M que tamb´em ´e

LI dizemos ent˜ ao que X ´e uma base para M . Neste caso, qualquer

elemento m ∈ M pode ser escrito de forma ´ unica como uma combina¸c˜ ao

linear de elementos de X.

  Exemplo 2.12. Considere M = Z n como um Z-m´odulo. Observe que todo conjunto unit´ario de Z n ´e linearmente dependente, pois dado qualquer elemento [x] ∈ Z n temos que n · [x] = [nx] = [0]. Portanto Z n , visto como Z-m´ odulo, n˜ ao possui uma base.

  Como nem todo m´odulo possui uma base ent˜ao temos a seguinte defini¸c˜ ao: Defini¸ c˜ ao 2.13. Um R-m´ odulo F ´e livre se possui base. Exemplo 2.14. Seja R um anel com unidade. O anel R, visto como m´odulo sobre si mesmo (`a direita ou `a esquerda), ´e um m´ odulo livre com base {1}.

  No caso em que R ´e um anel comutativo ´e poss´ıvel mostrar que todas as bases de R possuem apenas um elemento. No entanto, quando R n˜ao ´e comutativo n˜ao podemos afirmar isto, ou seja, os m´odulos livres podem possuir bases com cardinalidades distintas (Veja Hungerford [9], Proposi¸ c˜ ao 2.15 (Propriedade universal). Seja M um R-m´ odulo livre

  

com base X = {x i } i . Sejam N um R-m´ odulo e f : X → N uma

∈I

fun¸c˜ ao. Ent˜ ao existe um ´ unico R-homomorfismo e f : M → N tal que

  e f | X = f .

  Demonstra¸c˜ ao. Ver em [9] p´ agina 181.

  Atrav´es da proposi¸c˜ ao anterior ´e poss´ıvel mostrar que se F ´e um R-m´ odulo livre com base {x i } i , ent˜ao

  ∈I

  M ϕ : F −→ R i ∈I x i 7−→ e i

  ´e um isomorfismo, em que e i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .).

  Proposi¸ c˜ ao 2.16. Para todo R-m´ odulo M existe um epimorfismo f : F → M , em que F ´e um R-m´ odulo livre.

  Demonstra¸c˜ ao. Ver em [9] p´ agina 182.

  Um tipo importante de m´odulos s˜ao os chamados m´odulos proje- tivos, estes ser˜ao extremamente ´ uteis para o desenvolvimento da teoria. Defini¸ c˜ ao 2.17. Um m´ odulo P ´e dito projetivo se dados f : M → N

  

e g : P → N R-homomorfismos, em que f ´e um epimorfismo, existe

(pelo menos) um R-homomorfismo ϕ : P → M tal que g = f ◦ ϕ. ϕ P g

  ~~ f M // N // 0 Exemplo 2.18. Todo m´odulo livre F ´e projetivo. f g

  Observa¸ c˜ ao 2.19. Se 0 // M // N // Q // 0 ´e uma sequˆencia exata de R-m´ odulos e P ´e um R-m´ odulo, ent˜ao a sequˆencia de grupos abelianos f g ∗ ∗

  // Hom R (P, M ) // Hom R (P, N ) // Hom R (P, Q) // 0 ´e exata, em que f : Hom R (P, M ) → Hom R (P, N ) ´e dado por f (ϕ) =

  ∗ ∗

  f ◦ ϕ, analogamente para g . Neste caso, dizemos que Hom R (P, ) ´e

  ∗ Existem defini¸c˜oes equivalentes para os m´odulos projetivos que s˜ao frequentemente usadas. Proposi¸ c˜ ao 2.20. Seja P um R-m´ odulo. S˜ ao equivalentes:

  (a) P ´e projetivo; f g

  // M // N // Q // 0 , temos

  (b) Para toda sequˆencia exata curta 0 que a sequˆencia de grupos abelianos f g ∗ ∗

  // Hom R (P, M ) // Hom R (P, N ) // Hom R (P, Q) // 0

  ´e exata; f g

  // M // N // P // 0 cinde;

  (c) Toda sequˆencia exata curta 0 (d) P ´e somando direto de um m´ odulo livre. Demonstra¸c˜ ao. Ver em [2] p´ agina 27.

  2.3 SEQUˆ ENCIA EXATA LONGA Defini¸ c˜ ao 2.21. Um complexo de cadeias ´e um par (C, d), em que C = {C n } n ´e uma fam´ılia de R-m´ odulos e d = {d n : C n → C n −1 }

  ∈Z s˜ ao R-homomorfismos tais que d n ◦ d n +1 = 0. Escreve-se d

n+1 d

n · · · // C n // C n // C n // · · · .

  • +1 −1

    Os homomorfismos d n s˜ ao chamados de diferenciais.

  O kernel de d n ´e o m´odulo de n-ciclos de C, denotado por Z n (C) = Z n . A imagem de d n +1 : C n +1 → C n ´e o m´odulo n-bordos de C, denotado por B n (C) = B n . Com isso definimos o n-´esimo grupo de homologia de C como sendo o quociente

  Z n (C) H n (C) = . B n (C)

  ′ ′

  Sejam (C, d), (C , d ) dois complexos de cadeia. Um homomor-

  ′

  ′

  morfismos f n : C n → C tais que o seguinte diagrama comuta d n+2 d n+1 d n d n n−1 // // //

  // C · · · n +1 C n C n −1 · · · d d d ′ ′ ′ n+2 n+1 d f f f n+1 n n n−1 n−1

  ′ ′ ′

  // C // C // C // · · · , · · · n +1 n n −1

  ′ isto ´e, f n ◦ d n = d ◦ f n . −1 n

  Defini¸ c˜ ao 2.22. Um homomorfismo f : C → D de complexos de cadeia encia fraca

  

´e chamado de equivalˆ se para cada n o homomorfismo

induzido f ∗ : H n (C) → H n (D) ´e um isomorfismo.

  Defini¸ c˜ ao 2.23. Um complexo de cadeia (C, d) ´e dito ac´ıclico quando H n (C) = 0 para todo n. Proposi¸ c˜ ao 2.24. Seja (C, d) um complexo de R-m´ odulos. S˜ ao equi-

  valentes: (i) C ´e exato, isto ´e, exato em todo C n .

  (ii) C ´e ac´ıclico.

(iii) O homomorfismo 0 → C ´e um equivalˆencia fraca, em que 0 ´e

considerado como um complexo de m´ odulos nulos.

  Demonstra¸c˜ ao. Ver em [14] p´ agina 3.

  Defini¸ c˜ ao 2.25. Um complexo de cocadeias ´e um par (C, d) em que n n n n

  • 1

  C = {C } n ´e uma fam´ılia de R-m´ odulos e d = {d : C → C }

  ∈Z n n

  • 1

  

uma fam´ılia de R-homomorfismos, tais que d ◦ d = 0. Escreve-se

n n n

d

n n+1

  • 1 d +2 · · · // C // C // C // · · · .
  • n n n

      Denotaremos o kernel de d como sendo Z (C) = Z que ´e o n n

      −1

      m´odulo de n-cociclos de C e a imagem de d como sendo B (C) = n B que ´e o m´odulo de n-cobordos de C. Desta forma definimos o n-´esimo grupo de cohomologia de C como sendo o quociente n n Z (C) H (C) = . n

      B (C)

    • 1
    • 1
    • 1

      ′ .

      Q // γ

      // M

      ′ µ

      // N

      

    ǫ

      // Q

      Ent˜ ao existe um homomorfismo de conex˜ ao ω : Ker(γ) → Coker (α) tal que a seguinte sequˆencia

      M µ // α

      Ker(α) µ → Ker(β) ǫ

      → Ker(γ) ω → Coker (α) µ

      → Coker (β) ǫ → Coker (γ)

      ´e exata, em que ω(q) = [µ ′−1

      β(ǫ

      −1 (q))], q ∈ Ker(γ).

      Demonstra¸c˜ ao. Ver em [13] p´ agina 335.

      N ǫ // β

      tativo com linhas exatas

      Teorema 2.26 (Sequˆencia exata longa de homologia/cohomologia).

      (Q) // H n (M ) f // H n (N ) g // H n (Q) // · · · ´e uma sequˆencia exata longa de homologia.

      Seja 0 // M f

      // N g // Q // 0 uma sequˆencia exata curta de comple-

      xos de cadeia. Ent˜ ao existem homomorfismos ∂ : H n (Q) → H n −1 (M ) chamados de homomorfismo de conex˜

      ao

      tais que

      · · · g // H n

      Similarmente, se 0 // M

    f

      Lema 2.27 (Lema da Serpente). Considere o seguinte diagrama comu-

      // N g // Q // 0 ´e uma sequˆencia

      exata curta de complexos de cocadeia, existem homomorfismos ∂ : H n

      (Q) → H n

      (M ) tais que · · · g // H n

      −1

      (Q) // H n

      (M ) f // H n (N ) g // H n (Q) // · · · ´e uma sequˆencia exata longa de cohomologia. Para demonstrarmos o Teorema 2.26 usaremos os seguintes lemas:

      Lema 2.28. O homomorfismo d n : C n → C n −1 induz ϕ n : Coker (d n +1 ) → Ker(d n −1 ), com Ker(ϕ n ) = H n (C) e Coker (ϕ n ) = H n −1 (C).

      (M ) → · · ·

      ′′ n −1

      ) // ϕ n

      Coker (d

      ′′ n +1

      ) ϕ ′′ n Ker(d n

      −1

      ) // Ker(d

      

    n

    −1

      ) // Ker(d

      ) H n −1 (M )

      Coker (d

      // H n −1 (N ) // H n −1 (Q). Novamente pelo Lema da Serpente, temos que existe um homo- morfismo ∂ : H n (Q) → H n

      −1

      (M ) e a sequˆencia · · · g

      → H n

      (Q) → H n (M ) f

      → H n (N ) g → H n (Q)

      → H n

      −1

      ′ n +1

      Coker (d n +1 ) // ϕ n

      Agora temos condi¸c˜ oes para demonstrar o Teorema 2.26.

      // M n

      

    Demonstra¸c˜ ao do Teorema 2.26. Faremos apenas a prova para a vers˜ao

      homol´ogica. A demonstra¸c˜ao para a vers˜ao cohomol´ogica segue de modo an´ alogo. Observe o seguinte diagrama Ker(d n )

      // Ker(d

      ′ n

      ) // Ker(d

      ′′ n

      ) // M n d n f n // N n g n

      // d n Q n d ′′ n // 0

      −1 f n−1

      H n (M ) // H n (N ) // H n (Q) }}

      // N n

      

    −1

    g n−1

      // Q n

      −1

      // 0 Coker (d n ) // Coker (d

      ′ n

      ) // Coker (d

      ′′ n ).

      Atrav´es do Lema da Serpente temos que a primeira e a ´ ultima linha s˜ao exatas. Aplicando Lema 2.28 obtemos o diagrama

    • 1

      ′ ′

      Defini¸ c˜ ao 2.29. Sejam (C, d) e (C , d ) complexos de cadeias. Uma

      ′

      homotopia entre dois homomorfismos de cadeia f, g : C → C ´e uma

      ′ fam´ılia de homomorfismos h = {h n : C n → C } tais que n

    • 1 ′ h n ◦ d n + d ◦ h n = f n − g n , ∀n.

      −1 n d n+1 d +1 n

      // // · · · // C n // C n C n · · ·

    • +1 −1

      h d n

      ′ ′

      f n

      n g h n−1

      || || d n+1 n

      

    ′ ′ ′

      · · · // C // C // C // · · · n n n

    • +1 −1

      Dizemos que f ´e homot´ opico a g se existe uma homotopia h entre eles e denotamos por f ≃ g. Observa¸ c˜ ao 2.30. A rela¸c˜ ao ≃ ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia. Proposi¸ c˜ ao 2.31. Um homomorfismo de complexos de cadeia f : C →

      ′ ′

      C induz um homomorfismo H(f ) : H(C) → H(C ). E, se f ≃ g, ent˜ ao H(f ) = H(g).

      Demonstra¸c˜ ao. Ver em [8] p´ agina 124.

      ′

      Defini¸ c˜ ao 2.32. Um homorfismo de complexos de cadeia f : C → C ´e

      ′ ′

    uma equivalˆ encia homot´ opica se existe um homomorfismo f : C →

      ′ ′ C tal que f ◦ f ≃ Id C e f ◦ f ≃ Id C .

      Proposi¸ c˜ ao 2.33. Qualquer equivalˆencia homot´ opica ´e uma equivalˆencia fraca. atil

      Defini¸ c˜ ao 2.34. Um complexo de cadeia C ´e chamado contr´ se ´e homotopicamente equivalente ao complexo zero, ou seja, se Id C ≃ 0.

      Quando o complexo C ´e contr´atil a homotopia entre os homo- morfismos Id C e 0 ´e dita uma homotopia de contra¸ c˜ ao. Dado um complexo ac´ıclico nem sempre podemos afirmar que existe uma homo- topia de contra¸c˜ ao, por isso temos seguinte a proposi¸c˜ ao: Proposi¸ c˜ ao 2.35. Um complexo de cadeia (C, d) ´e contr´ atil se, e

      somente se ´e ac´ıclico e cada sequˆencia exata curta

    i d

      // Z // C // Z // 0 n n n

    • 1 +1

      cinde, em que d ´e induzida por d e i ´e a inclus˜ ao canˆ onica, para todo n.

      2.4 RESOLUC ¸ ˜ OES LIVRES E PROJETIVAS Neste momento abordaremos as resolu¸c˜oes projetivas, as quais ser˜ao ´ uteis no Cap´ıtulo 4, pois usaremos para definir a (co)homologia de grupo. Defini¸ c˜ ao 2.36. Seja M um R-m´ odulo. Uma resolu¸ c˜ ao de M ´e um

      

    complexo (P, d) com P i = 0 para i < 0, munido de um R-homomorfismo

      ε : P → M de modo que o complexo d d d 3 2 1 ε · · · // P // P // P // M // 0

      2

      1 ´e exato.

      Se cada P i da defini¸c˜ao acima for projetivo (resp. livre) ent˜ao a resolu¸c˜ ao ´e dita projetiva (resp. livre). Denotaremos tal resolu¸c˜ ao apenas por ε : P → M ou simplesmente por P .

      Exemplo 2.37. Se M ´e um R-m´odulo projetivo, ent˜ao M admite a seguinte resolu¸c˜ ao projetiva: Id M // M // M // 0 .

      Exemplo 2.38. Seja R um dom´ınio de ideais principais. Ent˜ ao todo subm´odulo de um m´odulo projetivo ´e projetivo (Veja Hilton [8] p´agina 27). Desta forma, qualquer R-m´odulo M admite uma resolu¸c˜ao projetiva // P // P // M // 0 .

    1 Neste momento, podemos nos perguntar se dado um R-m´odulo ´e

      poss´ıvel encontrar uma resolu¸c˜ao projetiva. Felizmente, isto sempre ´e poss´ıvel. Lema 2.39. Todo R-m´ odulo M possui uma resolu¸c˜ ao livre e consequen- temente projetiva.

      

    Demonstra¸c˜ ao. A Proposi¸c˜ao 2.16 nos diz que existe um epimorfismo

      ε : F → M , sendo F um m´odulo livre. Aplicando a mesma proposi¸c˜ ao em Ker(ε ) temos que existe um epimorfismo F → Ker(ε ) tal que

      1 Repetindo este processo obtemos a seguinte sequˆencia exata d d ε 2 1 // · · · // F // F F // M // 0.

      2

      1 / / ?? ??

      Ker(d ) Ker(ε )

    1 J´a sabemos ent˜ao que todo m´odulo possui uma resolu¸c˜ao projetiva,

      mas podemos encontrar v´arias resolu¸c˜oes para um mesmo m´odulo. O resultado seguinte nos ajuda a perceber que as resolu¸c˜oes de um m´odulo s˜ao relacionadas atrav´es de um equivalˆencia homot´opica. Teorema 2.40. Sejam ε : P → M uma resolu¸c˜ ao projetiva de M e

      ′

      f : M → N um R-homomorfismo. Ent˜ ao para toda resolu¸c˜ ao µ : Q → N

      ′

    de N existe um homomorfismo de cadeia f : P → Q que levanta f no

      ′

    sentido de que µ ◦ f = f ◦ ε. O homomorfismo de cadeia f ´e ´ unico a

    menos de homotopia. d 2 d 1 ǫ

      // // // · · · // P // P P M

      2 f f f 2 d d 2 ′ ′

      1 1 f

    1

    µ

      · · · // Q // Q // Q // N // 0

      2

      1 Demonstra¸c˜ ao. Suponha por indu¸c˜ ao que f i existe para i 6 n tal que ′ ′

      d ◦ f i = f i −1 ◦ d i . Defina f −1 = f . i Note que para n = −1 temos

      Im(ε) = Ker(0) = M = Z −1 (P ) e Im(µ) = Ker(0) = N = Z (N ).

      −1 ′

      Para n > 0 temos que f n induz um homomorfismo f : Z n (P ) → n Z n (Q). Observe que os diagramas d n+2 d n+1

      // · · · // P n // Z n (P ) f n+1 +1 n ◦d f n

      $$ · · · // Q n // Z n (Q) // 0 d d n+2 n+1 ′ ′ +1

      // Z // P // P n (P ) n n −1 f n n n−1 f f // Z // Q // Q n (Q) n n −1 possuem linhas exatas. A existˆencia do homomorfismo representado pela flecha tracejada ´e garantida pela defini¸c˜ao do m´odulo projetivo, e consequentemente temos que o quadrado comuta. Indutivamente estendemos o resultado para os outros quadrados.

      Para mostrar a unicidade suponha que exista g : P → Q tal que

      ′

      µ ◦ g = f ◦ ε e seja s = f − g. Vamos construir uma homotopia de contra¸c˜ ao (h n : P n → Q n +1 ) por indu¸c˜ ao em n.

      Se n < 0 temos que P = 0 e assim h n = 0. Se n = 0 temos que

      ′ ′

      f ◦ ε = µ ◦ f e f ◦ ε = µ ◦ g , consequentemente obtemos µ(f − g ) = 0 donde µ ◦ s = 0. Da ´ ultima igualdade vemos que s leva P em

      ′ ′

      Z (Q) = Im(d ). Assim s = d ◦ h + h ◦ d . Indutivamente, suponha

      −1

      1

      1 ′

      que existe homomorfismos h i (i < n) tais que d ◦h n = s n −h n ◦d.

      −1 −1 −2

      Considere o homomorfismo s n − h n ◦ d de P n para Q n . Note que

      

    −1 −2

    ′ ′ ′

      d (s n − h n ◦ d n ) = d ◦ s n − d (h n ◦ d n ) n −1 n n −1

      

    ′ ′ ′

      = d ◦ s n − d (d ◦ h n − s n ) n n n

    • 1 ′ ′ ′ ′ = d ◦ s n − d d ◦ h n − d ◦ s n = 0.
    • n n n n<
    • 1

      Desta forma temos que s n − h n ◦ d n ´e um homomorfismo de P n para

      −1

      Z n (Q). Como P n ´e projetivo existe um homomorfismo h n : P n → Q n

    • 1 tal que d n ◦ h n + h n ◦ d n = s n .
    • 1 −1
    • h n P n s n −h ◦d n n−1 zz d n+1 Q n // Z n (Q)
    • 1 ′

      Teorema 2.41. Dadas duas resolu¸c˜ oes P e P de um m´ odulo M , existe

      ′

    um homomorfismo de cadeias f : P → P , ´ unico a menos de homotopia,

    e f ´e uma equivalˆencia homot´ opica.

      

    Demonstra¸c˜ ao. Considere as seguintes resolu¸c˜oes projetivas ε : P → M

      e µ : P → M . Pelo teorema anterior existe um homomorfismo de cadeia

      ′ de homotopia. ǫ // // //

      // P · · ·

      

    1 P M

    f 1 f Id M µ ′ ′

      // P // P // M // 0. · · ·

      1 ′ ′

      Similarmente, existe um homomorfismo de cadeia f : P → P tal

      ′ ′

      que ε ◦ f = µ. Atrav´es da Proposi¸c˜ao 2.40 temos que f ◦ f ≃ Id P ′ e

      ′

      f ◦ f ≃ Id P . Portanto, dadas duas resolu¸c˜oes projetivas de um m´odulo M obtemos um homomorfismo ´ unico a menos de homotopia e que al´em disso ´e uma equivalˆencia homot´opica.

      2.5 TOR E EXT Sejam M um R-m´odulo ` a direita e N um R-m´odulo ` a esquerda. Considere a seguinte resolu¸c˜ ao projetiva de M : d 3 d 2 d 1 ε // P // P // P // M // 0 . · · ·

      2 1 (2.1)

      Aplicando ⊗ R N no complexo acima, obtemos 2 ∂ 1 ε // P // P // M ⊗ // 0 . · · · ⊗ R N ⊗ R N R N

    1 R

      Defini¸ c˜ ao 2.42. O grupo abeliano T or n (M, N ) ´e definido como

      sendo R Ker(∂ n ) T or (M, N ) = . n

      Im(∂ n +1 ) Considere agora M como sendo um R-m´ odulo `a esquerda. Apli- cando Hom R ( , N ) em (2.1), obtemos o complexo ε ∂ ∂ 1

      // Hom R (M, N ) // Hom R (P , N ) // Hom R (P , N ) // · · · n

      1 Defini¸ c˜ ao 2.43. O grupo abeliano Ext (M, N ) ´e definido por R n n Ker(∂ ) Ext (M, N ) = . R n −1

      Im(∂ ) O Teorema 2.41 implica que os grupos T or e Ext independem f g

      Observa¸ c˜ ao 2.44. Se 0 // M // N // P // 0 ´e uma sequˆencia exata de R-m´odulos `a direita e Q ´e um R-m´odulo `a esquerda, ent˜ao a sequˆencia de grupos abelianos f Q g Q

      ⊗Id ⊗Id

      M ⊗ R Q // N ⊗ R Q // P ⊗ R Q // 0 ´e exata. Neste caso, dizemos que ⊗ R Q ´e exato ` a direita. Proposi¸ c˜ ao 2.45. Seja M um R-m´ odulo ` a direita e sejam N e Q

      R-m´ odulos ` a esquerda. Ent˜ ao R (i) T or (M, N ) ≈ M ⊗ R N ; (ii) Ext (N, Q) ≈ Hom R (N, Q); R R (iii) T or (M, N ) = 0 se M ´e projetivo, para n ≥ 1; n n (iv) Ext (N, Q) = 0 se N ´e projetivo, para n ≥ 1. R Demonstra¸c˜ ao. Veja em [12] p´ agina 46.

      Como era de se esperar, os grupos T or e Ext satisfazem a se- guinte propriedade: dada uma sequˆencia exata curta de R-m´odulos f g // M // N // P // 0 temos que

      1

      // Ext (P, Q) // Ext (N, Q) // Ext (M, Q) // Ext (P, Q) R R R R

      1

      1

      2

      // Ext // Ext // Ext // · · · R R R (N, Q) (M, Q) (P, Q) ´e uma sequˆencia exata longa. f g Semelhantemente, se 0 // M // N // P // 0 ´e uma sequˆencia exata de R-m´odulos ` a direita e Q ´e um R-m´odulo `a esquerda, temos que R R R R

      · · · // T or (P, Q) // T or (M, Q) // T or (N, Q) // T or (P, Q)

    2 R R R

      1

      1

      1

      // T or (M, Q) // T or (N, Q) // T or (P, Q) // 0 ´e uma sequˆencia exata longa. Estas sequˆencias s˜ao exatamente as

      2.6 SEQUˆ ENCIA ESPECTRAL Veremos nesta se¸c˜ ao uma s´ıntese a respeito das sequˆencias espec- trais. Focaremos apenas nas sequˆencias do tipo homol´ ogica, entretanto

      ´e poss´ıvel definir tamb´em para o tipo cohomol´ ogica. (Veja [11] e [14]).

      Um complexo duplo ´e um complexo de cadeia C = (C p,q ) p,q

      ∈Z ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′

      com um diferencial d horizontal e um vertical d tais que d ◦d +d ◦d = 0, conforme o seguinte diagrama: d oo

      C p C p,q

      −1,q d d ′′ ′′

    d

      oo C p −1,q−1 C p,q −1 ,

      ′ ′′

      em que d diminui um grau na primeira coordenada e d na segunda coordenada.

      O complexo duplo C d´a origem a um complexo de cadeia chamado complexo total, denotado por T ot(C), que ´e definido como sendo M

      (T ot(C)) n = C p,q , p

    • q=n ′ ′′ ′

      em que o diferencial d ´e dado por d = d + d . As rela¸c˜oes vindas de d

      ′′ e d mostram que d ◦ d = 0.

      Exemplo 2.46. Considere (M, d M ) e (N, d N ) dois complexos de cadeia de R-m´odulos `a direita e `a esquerda, respectivamente. O complexo duplo

      ′ ′′

      C p,q = M p ⊗ R N q , em que os diferenciais s˜ao dados por d = d M ⊗1 e d = p (−1) 1 ⊗ d N , d´a origem ao complexo total (T ot(C), d) = (M ⊗ R N, d ).

      ⊗

      Estamos interessados em calcular a homologia de T ot(C). Para isso usaremos duas sequˆencias espectrais que calculam a homologia de C em duas dire¸c˜ oes. encia espectral

      Defini¸ c˜ ao 2.47. Uma sequˆ (homol´ ogica) consiste em r r

      

    uma fam´ılia de R-m´ odulos bigraduados {E } e homomorfismos {d },

    p,q p,q r r r em que r, p, q ∈ Z e r ≥ 0. Os homomorfismos d : E → E r r p,q p,q p −r,q+r−1 satisfazem d ◦ d = 0 e, para todo p, q, r, temos que p −r,q p,q r r Ker(d ) p,q

    • 1 E ≈ .
    • p,q r

        Im(d ) p +r,q−r+1 r

        .. .

        · · · oo · · · • oo

        .. .

        · · · .. .

        · · · · · · • • dd

        · · · • • • · · · · · · • • dd

        .. .

        .. .

        .

        : ..

        2

        E

        .. .

        .. .

        · · · oo .. .

        · · · oo · · · • oo

        · · · • oo

        da sequˆencia espectral. A seguir, temos o diagrama que representa as p´ aginas r = 0, 1, 2 : E : ..

        .. .

        .

        .. .

        .. .

        .. .

        · · · • • • • · · · · · · • • • • · · · · · · • • • • · · · ..

        .

        .. .

        .. .

        .. .

        E

        1

        : ..

        .

        .. .

      • oo
      • oo
      • oo
      • oo
      • oo
      • oo
      • ee
      • ee
      O teorema padr˜ao das sequˆencias espectrais ´e dado da seguinte maneira: Teorema 2.48. Existe um sequˆencia espectral tal que

        2 E ≈ “alguma coisa comput´ avel” ∗,∗ e converge para H ∗ , alguma coisa desej´ avel.

        No nosso caso, encontraremos sequˆencias espectrais que s˜ao calcu- ladas a partir da homologia em duas dire¸c˜ oes, as quais convergir˜ao para a homologia de T ot(C) por meio de aproxima¸c˜oes dadas pelas filtra¸c˜ oes de T ot(C). c˜ ao F ∗

        Defini¸ c˜ ao 2.49. Uma filtra¸ em um R-m´ odulo A ´e um fam´ılia

        de subm´ odulos {F p A} p tal que ∈Z

        · · · ⊂ F p A ⊂ F p A ⊂ F p A ⊂ · · · ⊂ A

        −1 +1 r +1

        Dada uma sequˆencia espectral homol´ogica, temos que E ´e r p,q um quociente de um subm´ odulo de E . Por indu¸c˜ao em r, temos que p,q

        2

        existe uma fam´ılia de subm´odulos de E : r r p,q

        2

        3

        2

        2 B ⊆ B ⊆ · · · ⊆ B ⊆ · · · ⊆ Z ⊆ · · · ⊆ Z ⊆ E p,q p,q p,q p,q p,q p,q r r r r r r r tal que E ≈ Z /B , em que B = Ker(d ) e Z = Im(d ). p,q p,q p,q p,q p,q p,q p,q

        Defina

        ∞ ∞

        [ \

        

      ∞ r ∞ r

        B = B e Z = Z p,q p,q p,q p,q r r

        =2 =2 ∞ ∞ ∞

        e E = Z /B . Em uma sequˆencia espectral limitada (isto ´e, que p,q p,q p,q r possui apenas uma quantidade finita de termos n˜ao-nulos em E ) a r r ∗,∗ ∞ ∞ uni˜ao e a interse¸c˜ao s˜ao finitas, ent˜ao B = B e Z = Z para um p,q p,q p,q p,q r

        ∞ r grande. Ent˜ao, neste caso, temos que E = E para um r grande. p,q p,q

        Defini¸ c˜ ao 2.50. Dizemos que uma sequˆencia espectral converge para r

        

      um R-m´ odulo graduado H , denotado por E ⇒ H p , se existe uma

      ∗ p,q +q filtra¸c˜ ao F em H tal que

        ∗ ∗ ∞

        E ≈ F p H p +q /F p −1 H p +q , p,q

        ∞ em que E ´e o termo limite de uma sequˆencia espectral. p,q

        Defini¸ c˜ ao 2.51. Um R-m´ odulo A ´e um m´ odulo diferencial filtrado

      • q
      • 1
      • q
      • q (A, d).

        ◦ d

        e d

        ′

        ) s˜ao m´odulos bigraduados diferenciais, em que os diferenciais d

        ′′

        ) e (H II p,q , d

        ′

        = 0 implica que (H I p,q , d

        ′

        ′′

        s˜ao induzidos por d

        ′′

        ◦ d

        ′

        ) . A condi¸c˜ ao d

        ′′ p

        ) Im(d

        ′′ p,q

        Ker(d

        ′′

        ′

        ′ p

        H I (C) = H(H I

        C n

        e F II p (T ot(C)) n = M

        −i

        M C i,n

        Existem duas filtra¸c˜ oes de T ot(C), dadas por F I p (T ot(C)) n =

        ′ ).

        (C), d

        ∗,∗

        ∗,∗

        e d

        ) e H II

        ′′

        (C), d

        ∗,∗

        H II (C) = H(H II

        ∗,∗

        , respectivamente. Sejam H I

        ′′

        ) H II p,q (C) :=

        ) Im(d

        −j,j que o tornam um m´ odulo diferencial filtrado. Atrav´es destas filtra¸c˜ oes ´e poss´ıvel mostrar o seguinte teorema:

        (inclus˜ ao) −→ H(A, d)).

        1 p,q

        E

        −r,q+r−1 e

        : E r p,q → E r p

        em que r, p, q ∈ Z, d r p,q

        , d r },

        cada filtra¸c˜ ao F de A d´ a origem a uma sequˆencia espectral {E r p,q

        Teorema 2.52. Suponha que A ´e um m´ odulo diferencial filtrado. Ent˜ ao

        A, d) H

        (F p A/F p

        Ker(d)/ Im(d) herda uma filtra¸c˜ ao F p H(A, d) = Im(H(F p

        A) n → (F p A) n −1 . Visto que o diferencial respeita a filtra¸c˜ao, temos que H(A, d) =

        

      (iii) A possui uma filtra¸c˜ ao F e o diferencial d respeita a filtra¸c˜ ao, isto

      ´e, d n : (F p

        −1 ◦ d n = 0.

        (ii) Existem homomorfismos d : A n → A n −1 tais que d n

        =0 A n .

        L n

        (i) A ´e a soma direta dos seus subm´ odulos, A = ∞

        ≈ H p

        −1 A).

        ′ p,q

        −1

        Ker(d

        ) definido anteriormente. Defina H I p,q (C) :=

        ′′

        , d

        ′

        Introduziremos agora algumas nota¸c˜oes. Considere o complexo duplo (C, d

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [11] p´ agina 34.

        H p

        (A, d)/F p

        Suponha ainda que a filtra¸c˜ ao ´e limitada, isto ´e, para cada dimens˜ ao n, existem valores s = s(n) e t = t(n) de modo que

        ≈ F p H p

        ∞ p,q

        E

        ent˜ ao a sequˆencia espectral converge para H(A, d), ou seja,

        A n ⊂ F t A n = A n ,

        −1

        A n ⊂ · · · ⊂ F t

        {0} ⊂ F s A n ⊂ F s

      • 1,q
      • 1,q
      • d

        ′ ′′

        Teorema 2.53. Dado um complexo duplo {C p,q , d , d } existem duas

        sequˆencias espectrais tais que

      I

      II

      2 E ≈ H H (C)

        p,q

        

      ∗,∗

      e II I

      2 E ≈ H H (C)

        p,q

        ∗,∗ Se C p,q = {0} quando p &lt; 0 ou q &lt; 0, ent˜ ao ambas as sequˆencias espectrais convergem para H ∗ (T ot(C)).

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [11] p´ agina 48.

        3 TOPOLOGIA Este cap´ıtulo tem como objetivo apresentar defini¸c˜oes e resultados necess´arios para o desenvolvimento dos pr´ oximos cap´ıtulos. As demons- tra¸c˜oes ser˜ao omitidas, mas poder˜ ao ser encontradas em Geoghegan [5], Hatcher [6] e Lima [10].

        3.1 HOMOTOPIA Uma homotopia H entre fun¸c˜ oes cont´ınuas f, g : X → Y ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua H : X × [0, 1] → Y tal que

        H(x, 0) = f (x), ∀x ∈ X e H(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X. Em outras palavras, em um segundo H deforma f em g de modo cont´ınuo. Dizemos que f e g s˜ao homot´ opicas, denotado por f ≃ g ou H : f ≃ g, se existe uma homotopia entre elas.

        Ao longo do texto, escreveremos I = [0, 1] para facilitar a escrita. Observa¸ c˜ ao 3.1. A homotopia ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia.

        Homotopias s˜ao muito bem comportadas em rela¸c˜ ao a com- posi¸c˜ oes: Lema 3.2. Sejam f , f : X → Y e g , g : Y → Z tais que f ≃ f e

        1

        2

        1

        2

        1

        2 g ≃ g . Ent˜ ao g ◦ f ≃ g ◦ f .

        1

        2

        1

        1

        2

      2 Um caminho em um espa¸co topol´ogico X ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua

        γ : I → X, em que γ(0) ´e o ponto inicial e γ(1) ´e o ponto final do caminho γ.

        Dois caminhos γ, µ : I → X que satisfazem γ(0) = µ(0) = x e γ(1) = µ(1) = y s˜ao ditos homot´ opicos se existe h : I × I → X tal que

         h(s, 0) = γ(s), ∀s ∈ I    h(s, 1) = µ(s), ∀s ∈ I h(s, t) = h(0, t) = x, ∀t ∈ I

           h(1, t) = y, ∀t ∈ I

        As ´ ultimas igualdades acima nos dizem que durante toda a homotopia

        A nota¸c˜ao para homotopia de caminhos ´e a mesma que a de homotopia de fun¸c˜oes. E da mesma forma, temos que a homotopia de caminhos ´e uma equivalˆencia homot´opica. Defini¸ c˜ ao 3.3. Seja A um subespa¸co de um espa¸co topol´ ogico X. Dize- c˜ ao de X sobre

        mos que uma fun¸c˜ ao cont´ınua r : X → A ´e uma retra¸

        A

        

      se a restri¸c˜ ao r| A : A → A ´e a identidade em A. Se existir tal r,

        e um retrato de X

        

      dizemos que A ´ . O subespa¸co A ´e chamado de

        retrato por deforma¸ c˜ ao de X

        se A ´e retrato de X e i ◦ r ≃ Id X , em que r : X → A ´e uma retra¸c˜ ao e i : A → X ´e a inclus˜ ao.

        A defini¸c˜ ao acima nos diz que X ´e deformado para dentro de A por meio de uma homotopia que deixam os pontos de A sempre dentro de A. Entretanto, podemos ter tamb´em uma homotopia que deixa os pontos de A sempre fixos. A esta deforma¸c˜ao chamamos de retrato forte por deforma¸c˜ ao. Defini¸ c˜ ao 3.4. Sejam A um subespa¸co de um espa¸co topol´ ogico X

        

      e i : A → X a inclus˜ ao. Dizemos que A ´e um retrato forte por

        deforma¸ c˜ ao de X se existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua r : X → A tal que r ◦ i = Id A e existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua F : X × I → X satisfazendo

        (i) F (x, 0) = x, ∀x ∈ X. (ii) F (x, 1) ∈ A, ∀x ∈ A. (iii) F (a, t) = a, ∀a ∈ A e t ∈ I.

        Defini¸ c˜ ao 3.5. Uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : X → Y ´e uma equivalˆ encia homot´ opica se existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua g : Y → X tal que g ◦ f ≃ Id X

        

      e f ◦ g ≃ Id Y . Dizemos que os espa¸cos X e Y possuem o mesmo tipo

        de homotopia

        quando existe uma equivalˆencia homot´ opica de X para Y .

        Todo homeomorfismo ´e uma equivalˆencia homot´opica. Em parti- cular, a fun¸c˜ ao Id X ´e uma equivalˆencia homot´opica.

        Defini¸ c˜ ao 3.6. Um espa¸co X ´e contr´ atil se possui o mesmo tipo de homotopia de um ponto, isto ´e, um espa¸co com um ´ unico elemento.

        3.2 CW-COMPLEXO Iniciaremos esta se¸c˜ao construindo um espa¸co topol´ ogico X que

        Para construir um CW -complexo, iniciamos com um conjunto discreto X , cujos pontos s˜ao considerados 0-c´elulas. Indutivamente, n n n

        −1

        formamos o n-esqueleto X a partir de X , anexando n-c´elulas e n n n α

        −1 −1

        por meio de aplica¸c˜oes ϕ α : S → X . Isto significa que X = n n `

        −1

        X D α n n α

        −1

        , em que x ∼ ϕ α (x) quando x ∈ ∂D = S . Como um αn n n n `

        −1 conjunto, X = X e em que cada e ´e um disco. α α α

        Podemos parar este processo indutivo em um est´agio finito, defi- n nindo X = X para alguns n &lt; ∞, ou podemos continuar indefinida- S n mente, definindo X = n X . No ´ ultimo caso, X possui a topologia fraca relativa aos n-esqueletos: Um conjunto A ⊂ X ´e aberto (ou fe- n n chado) se, e somente se, A ∩ X ´e aberto (ou fechado) em X para cada n.

        A este espa¸co topol´ogico X chamamos de complexo celular ou CW-complexo. n Cada c´elula e α de um CW -complexo X possui uma fun¸ c˜ ao n caracter´ıstica φ α : D → X que estende ϕ α e ´e um homeomorfismo n n α do interior de D dentro de e . Ent˜ ao, a fun¸c˜ao φ α pode ser vista como a α α n n n n n n ` `

        −1 −1

        composi¸c˜ao D ֒→ X D → X ֒→ X, em que X D → n n α α α α α X ´e a fun¸c˜ ao quociente que define X . n Exemplo 3.7. A esfera S possui a estrutura de um complexo celular n com apenas duas c´elulas, e e e .

        Um subcomplexo de um complexo celular X ´e um subespa¸co fechado A ⊂ X que ´e a uni˜ao de c´elulas de X. A condi¸c˜ao de A ser fechado o torna um CW -complexo. Defini¸ c˜ ao 3.8. Um par (X, A) ´e um par CW se X ´e um complexo celular e A ´e um subcomplexo.

        Uma fun¸ c˜ ao de pares f : (X, A) → (Y, B) ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : X → Y tal que f (A) ⊂ B. De modo semelhante, definimos uma fun¸ c˜ ao de triplas f : (X, A, B) → (Y, C, D). Defini¸ c˜ ao 3.9. Sejam (X, A) e (Y, B) pares de CW e f , f : (X, A) →

        1 ′

        (Y, B) fun¸c˜ oes cont´ınuas. Suponha que X ⊂ X. Dizemos que f ´e

        ′ ′

        homot´ opico a relativo a f X , denotado por f ≃ f rel X , se

        1

        1 existe uma fun¸c˜ ao H : (X × I, A × I) → (Y, B) tal que

         H(x, 0) = f (x), ∀x ∈ X

         H(x, t) = H(x, 1) = f

        1 (x), ∀x ∈ X ′ ′ ′ ′

         H(x , t) = f (x ), ∀x ∈ X e ∀t ∈ I Os CW -complexos possuem algumas propriedades ´ uteis, como por exemplo, todo CW -complexo ´e Hausdorff e normal. E o complexo celular ´e compacto se, e somente se, este possui uma quantidade finita de c´elulas.

        Se X e Y s˜ao complexos celulares, ent˜ao X × Y tem a estrutura m n m de um complexo celular com as c´elulas produtos e × e , em que e n α β α varia ao longo das c´elulas de X e e varia ao longo das c´elulas de Y . A β topologia produto e a topologia fraca em X ×Y , em geral, n˜ao coincidem, exceto quando X ou Y tem uma quantidade finita de c´elulas, ou se X e Y tem uma quantidade enumer´avel de c´elulas (Ver Hatcher [6]).

        1

      1 Exemplo 3.10. Seja X = S × S . Ent˜ao o toro pode ser descrito

        1 atrav´es da estrutura celular de S .

        Defini¸ c˜ ao 3.11. Seja X um espa¸co topol´ ogico. O cone sobre X ´e o quociente (X × I)/(X × {0}). Defini¸ c˜ ao 3.12. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos e x ∈ X e y ∈ Y .

        `

        

      A soma wedge X ∨ Y ´e o quociente da uni˜ ao disjunta X Y obtida

      atrav´es da identifica¸c˜ ao de x e y em um ´ unico ponto.

        3.3 EXTENS ˜ AO HOMOT ´ OPICA Dizemos que um par CW (X, A) possui a propriedade de extens˜ ao homot´ opica se toda fun¸c˜ao X × {0} ∪ A × I → Y pode ser estendida para uma fun¸c˜ ao X × I → Y . Proposi¸ c˜ ao 3.13. Se (X, A) ´e um par de CW , ent˜ ao X × {0} ∪ A × I ´e

        

      um retrato forte por deforma¸c˜ ao de X × I e (X, A) possui a propriedade

      de extens˜ ao homot´ opica.

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [6] p´ agina 15.

        3.4 HOMOLOGIA SINGULAR Seja R um anel comutativo com unidade. n O n-simplexo padr˜ ao ∆ ´e o fecho convexo de n + 1 pontos n +1

        {p , . . . , p n }, p j ∈ R , em que as coordenadas de p j s˜ao todas iguais a zero, exceto na (j + 1)-´esima coordenada que ´e igual a 1, isto ´e, ( ) n n n

        X ∆ = (x , . . . , x n ) ∈ R | x i = 1, x i ≥ 0 . Figura 1 – Simplexos de dimens˜ oes 0, 1, 2 e 3.

        Fonte: Produ¸c˜ ao do pr´ oprio autor. Um n-simplexo singular no espa¸co topol´ogico X ´e uma aplica¸c˜ao n cont´ınua σ : ∆ → X. Denotaremos por S(X; R) o R-m´odulo livre gerado pelo conjunto de todos n-simplexos singulares e chamaremos os seus elementos de n -cadeias singulares de X com coeficientes em R. n

        Definimos uma i-´ esima face do n-simplexo σ : ∆ → X como n

        

      −1

        sendo o (n − 1)-simplexo ∂ i σ : ∆ → X dado por ∂ i σ(x , . . . , x n ) = σ(x , . . . , x i , 0, x i , . . . , x n ),

        −1 −1 +1

        para i = {0, 1, . . . , n}. Um 0-simplexo n˜ao possui faces. Por defini¸c˜ao temos que S n (X; R) = 0 quando n &lt; 0.

        O operador bordo ∂ : S n (X; R) → S n (X; R) ´e o homomor- n −1 P i n fismo dado por ∂σ = (−1) ∂ i σ para todo n-simplexo σ : ∆ → X. i

        =0

        ´ E poss´ıvel mostrar que ∂ n ◦ ∂ n = 0. Desta forma, a sequˆencia ∂ ∂ ∂ n n−1 −1 1

        · · · // S n (X; R) // S n (X; R) // · · · // S (X; R) //// S (X; R)

        −1

        1

        ´e um complexo de cadeias, chamado de complexo de cadeia singular de X.

        ∆

        A homologia singular, denotada por H (X; R), ´e dada por

        ∗

        Ker(∂ n )

        ∆ H (X; R) = = H n (S(X; R)). n

        Im(∂ n )

        

      −1

      △ △ Uma fun¸c˜ao f : X → Y induz um homomorfismo de cadeia f : S(X; R) → S(Y ; R) definido por f (σ) = f ◦σ. Com isso, temos que ∆ ∆

        f produz um homomorfismo f : H (X; R) → H (Y ; R), chamado

        ∗ n n

      de homomorfismo induzido por f (ou induzido por f ).

        (g ◦ f ) = g ◦ f : H n (X; R) → H n (Z; R), e a fun¸c˜ao identidade Id X :

        ∗ ∗ ∗ ∆

        X → X induz o homomorfismo identidade Id H : H (X; R) →

        (X;R) n ∆

        H (X; R). Consequentemente, se f : X → Y ´e um homeomorfismo n

        ∆ ∆ ent˜ao f : H (X; R) → H (Y ; R) ´e um isomorfismo. ∗ n n

        Para A ⊂ X, a homologia do complexo de cadeia quociente

        ∆

        S (X; R)/S (A; R) ´e denotado por H (X, A; R). Quando A ⊂ B ⊂ X,

        ∗ ∗

        existe um sequˆencia exata curta de complexos de cadeia S (B; R) S (X; R) S (X; R)

        ∗ ∗ ∗

        // // // // 0 (3.1)

        S (A; R) S (A; R) S (B; R)

        ∗ ∗ ∗ em que os homomorfismos s˜ao induzidos pelas inclus˜ oes.

        Seja f : (X, B, A) → (Y, D, C) uma fun¸c˜ao de triplas, assim f induz um diagrama comutativo S (B; R) S (X; R) S (X; R)

        ∗ ∗ ∗

        // // // // S (A; R) S (A; R) S (B; R)

        ∗ ∗ ∗

      f f f

      ∗ ∗ ∗

        S ∗ (D; R) S ∗ (Y ; R) S ∗ (Y ; R) // // //

        // 0 S (C; R) S (C; R) S (D; R)

        ∗ ∗ ∗

        em que f ´e um homomorfismo de cadeias. De (3.1), obtemos a seguinte

        ∗

        sequˆencia exata longa:

        ∆ ∆ ∆ ∆

        // // H (B, A; R) // H (X, A; R) // H (X, B; R) // H (B, A; R) n n n n

        −1

        Quando A = ∅, a sequˆencia acima se torna uma sequˆencia exata longa do par (X, B):

        ∆ ∆ ∆ ∆

        // // H (B; R) // H (X; R) // H (X, B; R) // H (B; R) n n n n

        −1

        Proposi¸ c˜ ao 3.14. Se X ´e um espa¸co conexo por caminhos, ent˜ ao

        ∆ H (X; R) ≈ R.

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [6] p´ agina 109 ou [10] p´ agina 153.

        Proposi¸ c˜ ao 3.15. Seja {X λ } λ a fam´ılia das componentes conexas por L

        ∆ ∆ caminhos do espa¸co X. Ent˜ ao H (X; R) ≈ H (X λ ; R). n λ n Demonstra¸c˜ ao. Ver em [6] p´ agina 109 ou [10] p´ agina 153.

        ∆

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [10] p´ agina 153.

        3.5 HOMOLOGIA CELULAR

        ∆

        Quando X ´e um CW -complexo, os m´odulos de homologia H (X; R)

        ∗

        podem ser calculados a partir de um complexo de cadeia muito menor do n n

        ∆ −1 que S (X; R). Em vista disso, defina C n (X; R) = H (X , X ; R). ∗ n Proposi¸ c˜ ao 3.17. Seja J o conjunto de ´ındices das n-c´elulas de X.

        L Ent˜ ao C n (X; R) ≈ R. j ∈J Demonstra¸c˜ ao. Ver em [5] p´ agina 40.

        O homomorfismo ∂ : C n (X; R) → C n (X; R) ´e dado pelo homo- n n n n −1 ∆ −1 ∆ −1 −2 morfismo de conex˜ao ∂ : H (X , X ; R) → H (X , X ; R) n n n n n −1 −1 −2 na sequˆencia exata longa da tripla (X , X , X ). O par (C (X; R), ∂)

        ∗

        ´e um complexo de cadeia chamado complexo de cadeia celular de X. n n Uma fun¸c˜ao f : X → Y entre CW -complexos ´e dita celular se f (X ) ⊂ Y para todo n ≥ 0. O fato principal ´e que fun¸c˜oes cont´ınuas entre dois CW -complexos s˜ao homot´opicos as fun¸c˜ oes celulares. (Veja Geoghegan [5] p´ agina 30) Proposi¸ c˜ ao 3.18. Se f : X → Y ´e uma fun¸c˜ ao celular ent˜ ao f induz

        um homomorfismo de cadeias f ∗ : C n (X; R) → C n (Y ; R). Se g : Y → Z

      ´e uma fun¸c˜ ao celular ent˜ ao (g ◦ f ) ∗ = g ∗ ◦ f ∗ : C ∗ (X; R) → C ∗ (Z; R) e

        Id = Id : C n (X; R) → C n (X; R).

        ∗ Demonstra¸c˜ ao. Ver em [5] p´ agina 41.

        A homologia celular de X sobre R, H ∗ (X; R), ´e a homologia do complexo de cadeia celular C ∗ (X; R).

        ∆ Teorema 3.19. H n (X, R) ≈ H n (X; R).

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [5] p´ agina 41.

        Podemos fazer uma pequena modifica¸c˜ ao na homologia celular a fim de que um espa¸co X unit´ ario possa ter em todas as dimens˜oes, in- cluindo a dimens˜ao zero, seus grupos de homologia iguais zero. Para isso, definimos a homologia reduzida e H n (X; R) como sendo a homologia do complexo 2 ∂ 1 ε

        // Z // C // C // C // 0, P P em que ε( z i σ i ) = z i . Este complexo de cadeia ´e chamado de i i complexo de cadeia celular aumentado.

        Proposi¸ c˜ ao 3.20. Se X = ∅ ent˜ ao e H n (X; R) = 0 se n 6= −1 e e H (X; R) ≈ R. Quando X 6= ∅ temos que e H n (X; R) ≈ H n (X; R) se

        −1

        n 6= 0 e existe uma sequˆencia exata curta q // e

        // H // R // 0 H (X; R) (X; R)

        

      em que q ∗ ´e induzido pelo homomorfismo de cadeias q : C ∗ (X; R) →

        C ∗ (X; R) que ´e a identidade em todas as dimens˜ oes, exceto na dimens˜ ao −1 em que o homomorfismo ´e nulo.

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [5] p´ agina 70.

        Corol´ ario 3.21. Se X ´e contr´ atil, ent˜ ao e H n (X; R) = 0 para todo n.

        3.6 GRUPOS DE HOMOTOPIA n n n Seja I o produto de n c´opias do intervalo [0, 1]. O bordo ∂I de I ´e um subespa¸co que consiste nos pontos que possuem pelo menos uma coordenada igual a 0 ou 1.

        Seja X um espa¸co com ponto base x ∈ X. Seja π n (X, x ) o n n conjunto das classes de homotopia das fun¸c˜ oes f : (I , ∂I ) → n (X, x ) em que as homotopias levam ∂I no ponto base x , isto ´e, n n π n (X, x ) = [(I , ∂I ), (X, x )].

        Quando n = 0, π (X, x ) se reduz ao conjunto das componentes conexas do espa¸co X. n n Sejam f, g : (I , ∂I ) → (X, x ) fun¸c˜oes cont´ınuas. Para n &gt; 0 podemos definir a opera¸c˜ ao ∗ como sendo f (2s

        1 , s 2 , . . . , s n ), s 1 ∈ [0, 1/2]

        (f ∗ g)(s

        1 , s 2 , . . . , s n ) =

        g(2s

        1 − 1, s 2 , . . . , s n ), s 1 ∈ [1/2, 1].

        Com esta opera¸c˜ao o conjunto π n (X, x ) torna-se um grupo, em que o n elemento neutro ´e a fun¸c˜ao constante que leva I em x e o elemento oposto de f (s , s , . . . , s n ) ´e a fun¸c˜ ao f (1 − s , s , . . . , s n ).

        1

        2

        1

        2 O grupo π (X, x ) ´e chamado de grupo fundamental que con-

        1 siste nas classes dos la¸cos que come¸cam e terminam em x .

        Quando n ≥ 2 temos que o grupo π n (X, x ) ´e abeliano. A figura

        Figura 2 – π n (X, x ) ´e abelino quando n ≥ 2. n n Fonte: Hatcher [6].

        A fun¸c˜oes (I , ∂I ) → (X, x ) podem ser identificadas com as n n n n n fun¸c˜oes que levam I /∂I = S em X e cujo ponto base s = ∂I /∂I n ´e levado em x . Desta forma, π n (X, x ) = [(S , s ), (X, x )].

        Se f : X → Y ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, definimos π n (f ) : π n (X, x ) → π n (Y, y ) como sendo π n (f )([γ]) = [f γ]. Proposi¸ c˜ ao 3.22. Sejam f : X → Y e g : Y → X fun¸c˜ oes cont´ınuas.

        Ent˜ ao temos as seguintes condi¸c˜ oes: (i) π n (f ◦ g) = π n (f ) ◦ π n (g).

        (ii) π n (Id X ) = Id π . n (X) (iii) Se f ≃ g, ent˜ ao π n (f ) = π n (g). Demonstra¸c˜ ao. Ver em [6] p´ agina 342.

        At´e agora vimos que existem grupos de homotopia de um espa¸co X. Entretanto, tamb´em ´e poss´ıvel definir tais grupos para um par (X, A). Dizemos que π n (X, A, x ) ´e o grupo de homotopia relativa para o par (X, A) com ponto base x ∈ A. Para n ≥ 1, π n (X, A, x ) ´e definido n n n

        −1

        como sendo o conjunto das classes das fun¸c˜oes f : (I , ∂I , J ) → n n n n n

        

      −1 −1 −1

        (X, A, x ), em que J = ∂I − I com I sendo a face de I com a ´ ultima coordenada s n = 0. Por exemplo, se n = 2 temos

        2

        2

        1 Figura 3 – A representa¸c˜ ao de I , ∂I e J .

        Fonte: Produ¸c˜ ao do pr´ oprio autor. A opera¸c˜ao em π n (X, A, x ) ´e dada da mesma forma que em papel especial e n˜ao est´a mais dispon´ıvel para a opera¸c˜ao. Desta forma, π n (X, A, x ) ´e um grupo quando n ≥ 2 e ´e abeliano quando n ≥ 3. n n n

        −1

        As fun¸c˜oes (I , ∂I , J ) → (X, A, x ) podem ser vistas como n n n

        

      −1 −1

        fun¸c˜oes (D , S , s ) → (X, A, x ), uma vez que J pode ser re- n n

        −1 duzido em um ponto. Assim, π n (X, A, x ) = [(D , S , s ), (X, A, x )]. n n

      −1

        Em vista disto, a classe de f : (D , S , s ) → (X, A, x ) em π n (X, A, x ) n

        −1

        ´e nula se, e somente se, ´e homot´ opico rel S a uma fun¸c˜ao cuja imagem est´a contida em A.

        Uma caracter´ıstica muito ´ util dos grupos de homotopia relativa ´e a existˆencia da seguinte sequˆencia exata longa (Veja Hatcher [6] p´ agina 344): i j ∗ ∂

        // π // π // π // π // · · · · · · n (A, x ) n (X, x ) n (X, A, x ) n −1 (A, x )

        // π · · · (X, x ) em que i : (A, x ) → (X, x ) e j : (X, x , x ) → (X, A, x ) s˜ao as in- n n n

        −1

        clus˜oes, respectivamente. A aplica¸c˜ ao ∂ vem da restri¸c˜ao de (I , ∂I , J ) → n n n

        −1 −1

        (X, A, x ) em I ou da restri¸c˜ ao de (D , S , s ) → (X, A, x ) em n

        −1 S . A aplica¸c˜ ao ∂ ´e um homomorfismo quando n &gt; 1.

        Dizemos que um espa¸co X com ponto base x ´e n-conexo se π i (X, x ) = 0 para todo x ∈ X e i ≤ n. Quando i = 0, temos que X ´e conexo por caminhos e se i = 1, temos que X ´e simplesmente conexo. Este conceito tamb´em pode ser estendido para um par (X, A). O par (X, A) ´e dito n-conexo se π i (X, A, x ) = 0 para todo x ∈ A e i ≤ n.

        3.7 ESPAC ¸ OS DE RECOBRIMENTO Um espa¸ co de recobrimento de X ´e um espa¸co e X munido com uma fun¸c˜ao p : e X → X satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao: Existe

        −1

        uma cobertura aberta {U α } de X tal que para cada α, p (U α ) ´e a uni˜ ao disjunta de conjuntos abertos em e X, cada um dos quais ´e levado homeomorficamente por p em U α .

        1

        1 Exemplo 3.23. Um recobrimento de S ´e o espa¸co R em que p : R → S ´e dada por p(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).

        Sejam p : e X → X um recobrimento e f : Y → X uma fun¸c˜ao mento de f se p ◦ e f = f , isto ´e, se o diagrama e

        X ?? f e

      f

      p

        // Y

        X comuta. A partir daqui, denotaremos f para π (f ) e p para π (p).

        ∗ 1 ∗

        1 Existe um crit´erio muito ´ util que nos diz quando que um levanta- mento existe.

        Proposi¸ c˜ ao 3.24. Sejam p : ( e x ) → (X, x ) um recobrimento e X, e f : (Y, y ) → (X, x ) uma fun¸c˜ ao cont´ınua. Suponha que Y ´e conexo

        

      por caminhos e localmente conexo por caminhos. Ent˜ ao o levantamento

        e f : (Y, y ) → ( e x ) de f existe se, e somente se, f (π (Y, y )) ⊂ X, e ∗

        1 p (π ( e x )).

      1 X, e

        π ( e x )

        1 X, e

        88 f e

      f

      p //

        π (Y, y ) π (X, x )

        1

        1 Demonstra¸c˜ ao. Ver em [6] p´ agina 61.

        Proposi¸ c˜ ao 3.25 (Unicidade do levantameto). Sejam p : e X → X um

        

      recobrimento e f , f : Y → e X levantamento de f : Y → X. Se Y ´e um

        1

        2 espa¸co conexo e f e f coincidem em um ponto, ent˜ ao f = f .

        1

        2

        1

        2 Demonstra¸c˜ ao. Ver em [6] p´ agina 62.

        Para um recobrimento p : e X → X o grupo dos automorfismos de p ´e dado por Aut(p) = {ϕ : e X → e X | ϕ ´e um homeomorfismo tal que p ◦ ϕ = p}.

        Podemos relacionar o grupo fundamental com o grupos dos auto- morfismo de p, conforme o seguinte teorema: Teorema 3.26. Se e X ´e conexo e localmente conexo por caminhos e p (π ( e x )) ´e um subgrupo normal de π (X, x x ) = x ,

        ∗

        1 X, e 1 ) em que p(e ent˜ ao

        π (X, x )

        1 ≈ Aut(p).

        Em particular, se e X ´e simplesmente conexo, ent˜ ao π (X, x ) ≈ Aut(p).

      1 Demonstra¸c˜ ao. Ver em [6] p´ agina 71.

        Um tipo especial de recobrimento ´e o chamado recobrimento universal . O recobrimento p : e X → X ´e universal se e X ´e simplesmente conexo. O nome vem do fato que este recobrimento recobre qualquer recobrimento conexo de X.

        Sejam G um grupo e X um CW -complexo que satisfaz as condi¸c˜oes: (i) X ´e conexo;

        (ii) π (X) ≈ G;

        1 (iii) O recobrimento universal de X ´e contr´atil.

        Ent˜ ao dizemos que X um complexo de Eilenberg-MacLane do tipo (G, 1) ou simplesmente K(G, 1).

        Os espa¸cos K(G, 1) n˜ao s˜ ao ´ unicos, entretanto possuem o mesmo tipo de homotopia.

        3.8 TEOREMA DE WHITEHEAD E HUREWICZ Se uma fun¸c˜ao cont´ınua f : X → Y ´e uma equivalˆencia ho- mot´opica, ent˜ao π n (X, x ) ≈ π n (Y, y ) para todo n. O Teorema de

        Whitehead nos diz que a reciproca desta afirma¸c˜ ao ´e v´alida para CW - complexos. Teorema 3.27 (Whitehead). Sejam X, Y CW -complexos. Considere f : X → Y uma fun¸c˜ ao cont´ınua em que f (x ) = y . Se f : π n (X, x ) →

        ∗

        π n (Y, y ) ´e um isomorfismo para todo n, ent˜ ao f ´e uma equivalˆencia

        

      homot´ opica. Se f for a inclus˜ ao de um subcomplexo X em Y , ent˜ ao X

      ´e um retrato forte por deforma¸c˜ ao de Y .

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [6] p´ agina 346.

        Corol´ ario 3.28. Seja X um CW-complexo. Ent˜ ao π n (X, x ) = 0 para todo n se, e somente se, X ´e contr´ atil.

        Demonstra¸c˜ ao. Suponha que π n (X, x ) = 0 para todo n.

        Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao constante em que Y = {y}. Note que f : π n (X, x ) → π n (Y, y) ´e o homomorfismo nulo e que π n (X, x ) ≈

        ∗

        Logo f ´e uma equivalˆencia homot´ opica e isto nos diz que X ´e contr´atil. Reciprocamente, suponha que X ´e contr´ atil. Ent˜ao X possui o mesmo tipo de homotopia de um conjunto unit´ario, assim pela Pro- posi¸c˜ ao 3.22 segue que π n (X, x ) ´e isomorfo ao grupo trivial para todo n. Portanto π n (X, x ) = 0 para todo n.

        n n

        Seja f : (D , ∂D , s ) → (X, A, x ) uma fun¸c˜ao cont´ınua. Defini- mos a aplica¸ c˜ ao de Hurewicz como sendo h : π n (X, A, x ) −→ H n (X, A) h([f ]) 7−→ f (α) n n ∗ em que α ´e um gerador fixado de H n (D , ∂D ) e n n f : H n (D , ∂D ) → H n (X, A)

        ∗ ´e induzida por f . Para n &gt; 1, esta aplica¸c˜ ao ´e um homomorfismo.

        Seja f : (X, x ) → (Y, y ) uma fun¸c˜ao cont´ınua. O conjunto

        ′

        π (X, A, x ) ´e o quociente de π n (X, A, x ) por um subgrupo normal n gerado pelos elementos da forma [γ][f ] − [f ] em que [γ] ∈ π (A, x ).

        1 ′ ′

        Ent˜ ao a aplica¸c˜ao h induz um homomorfismo h : π (X, A, x ) → n H n (X, A).

        Existe tamb´em uma aplica¸c˜ao de Hurewicz absoluta h : π n (X, x ) → H n (X) que ´e definida de modo similiar por h([f ]) = f (α) em que n

        ∗

        f : (S , s ) → (X, x ) e α ´e um gerador de H n (X). Isto nos leva ao seguinte diagrama comutativo com linhas exatas: // // //

        · · · // π n (A, x ) // π n (X, x ) π n (X, A, x ) π n (A, x ) · · ·

      h h h h

      −1 · · · // H n (A) // H n (X) // H n (X, A) // H n (A) // · · · .

        −1

        Teorema 3.29 (Hurewicz). Seja (X, A) um par de espa¸cos conexo por

        

      caminhos em que A 6= ∅. Se (X, A) ´e (n − 1)-conexo para n ≥ 2, ent˜ ao

      ′ ′

        h : π (X, A, x ) → H n (X, A) ´e um isomorfismo e H i (X, A) = 0 para n i &lt; n.

        3.9 COMPLEXO SIMPLICIAL Veremos agora um tipo especial de CW -complexo, o complexo simplicial. Um complexo simplicial K consiste em um conjunto de v´ertices

        V K e um conjunto S K n˜ao-vazio de subconjuntos finitos de V K que satisfazem: (i) Todo subconjunto unit´ ario de V K pertence a S K . (ii) Se X ∈ S K , seus subconjuntos n˜ ao-vazios pertencem a S K .

        Um n-simplexo de K ´e um elemento de S K que cont´em (n + 1)- v´ertices e n ´e a dimens˜ ao deste simplexo. Se σ, τ ∈ S K e σ ⊂ τ , ent˜ao dizemos que σ ´e uma face de τ . Considere o conjunto de todos os simplexos de K dos quais σ ´e uma face, ent˜ao o subcomplexo gerado por estes simplexos ´e chamado de estrela de σ em K e ´e denotado por st σ. O link de σ em K, denotado por lk σ, ´e o subcomplexo de st σ gerado pelos simplexos de st σ os quais n˜ ao possuem v´ertices de σ.

        Se σ for a aresta formada por v e v

        1 , como a Figura 4, ent˜ ao st σ ´e representada pela figura sombreada.

        Figura 4 – Estrela de σ.

        Fonte: Produ¸c˜ ao do pr´ oprio autor.

        Figura 5 – Link de σ.

        Fonte: Produ¸c˜ ao do pr´ oprio autor. Se K ´e um complexo simplicial, ent˜ao definimos sd K como sendo a subdivis˜ ao baricˆ entrica de K que tem a seguinte descri¸c˜ao: para cada v´ertice de K tˆem-se um v´ertice de sd K e {σ , . . . , σ n } ´e um n-simplexo se para todo i &lt; n, σ i ´e uma face pr´ opria de σ i +1 . Vejamos alguns exemplos. Exemplo 3.30. Considere K o complexo simplicial dado pelos v´ertices σ e σ

        1 e a aresta σ 2 , conforme a figura abaixo. Os simplexos σ , σ 1 e

        σ

        2 formam trˆes v´ertices em sd K. Os v´ertices σ e σ 1 s˜ao faces pr´oprias

        de σ

        2 , isto produz os simplexos τ e τ 1 em sd K, respectivamente.

        Figura 6 – A subdivis˜ ao baricˆentrica de K.

        Fonte: Produ¸c˜ ao do pr´ oprio autor. Figura 7 – Subdivis˜ ao baricˆentrica de um 2-simplexo.

        Fonte: Produ¸c˜ ao do pr´ oprio autor. A cada complexo simplicial K podemos associar um CW -complexo de maneira ´obvia, chamado de realiza¸ c˜ ao geom´ etrica de K, denotado por |K|. Exemplo 3.31. A figura abaixo mostra como associamos um complexo simplicial K com sua realiza¸c˜ ao geom´etrica.

        Figura 8 – Realiza¸c˜ ao geom´etrica de K.

        Fonte: Produ¸c˜ ao do pr´ oprio autor. Um conjunto parcialmente ordenado (poset) ´e um conjunto P munido de uma rela¸c˜ ao de ordem parcial &lt;. Denotaremos por |P | o complexo simplicial associado ao poset P , esta associa¸c˜ ao ´e feita da seguinte maneira: os v´ertices s˜ ao elementos de P e {x , x , . . . , x n } ´e um n-simplexo de P se x &lt; x &lt; ... &lt; x n

        1

        1 Teorema 3.32. Se P ´e um conjunto dirigido ent˜ ao |P | ´e contr´ atil. n

      Demonstra¸c˜ ao. Seja f : S → |P | uma fun¸c˜ao celular. Observe que

      n n n

        f (S ) ´e compacto, pois S ´e compacto. Assim f (S ) ´e um subcomplexo de |P | com finitos v´ertices. Como P ´e dirigido, existe v ∈ P tal que ´e n poss´ıvel construir um cone sobre f (S ). n Pelo fato do cone ser contr´atil, conseguimos deformar f (S ) para um ponto. Portanto, f ´e homot´ opica a uma fun¸c˜ ao constante. Logo,

        Considere a cobertura V = {X α } de um CW -complexo X. O nervo de V ´e um complexo simplicial N (V ) descrito da seguinte maneira: N (V ) possui um v´ertice v α para cada X α e um simplexo {v α , . . . , v α } k k

        T sempre que i X α i 6= ∅.

        =0 k

        T Teorema 3.33. Se V = {X α } ´e uma cobertura finita e i X α i ´e

        =0

      contr´ atil sempre que ´e n˜ ao-vazio, ent˜ ao |N (V )| e X s˜ ao homotopica-

      mente equivalentes.

        Demonstra¸c˜ ao. Ver em [5] p´ agina 211.

        4 HOMOLOGIA E COHOMOLOGIA DE GRUPOS O objetivo deste cap´ıtulo ´e definir a (co)homologia de um grupo

        G com coeficientes em M , em que M ´e um ZG-m´odulo. Podemos relacionar a (co)homologia de grupo com os grupos T or e Ext que vimos no Cap´ıtulo 2. H´a tamb´em uma interpreta¸c˜ao topol´ogica para a defini¸c˜ao de homologia de G usando um espa¸co de Eilenberg-MacLane K(G, 1).

        Este cap´ıtulo est´a baseado em Brown [2] e Hilton [8].

        4.1 ZG-M ´ ODULOS Defini¸ c˜ ao 4.1. Seja G um grupo. Define-se ZG como sendo o conjunto

        das somas formais

        X g g g ∈G r g

        g,

        

      com r ∈ Z e g ∈ G, em que r = 0 exceto para uma quantidade finita

      de elementos g ∈ G, e no qual + e · s˜ ao definidas por

           

        X X

        X   g g g r g g  + s g g  = (r g + s g )g,

        ∈G ∈G ∈G

            !

        X X

        X   g h g,h r g g  · s h h = (r g s h )gh  .

        ∈G ∈G ∈G Com estas opera¸c˜ oes ZG se torna um anel com unidade que ´e chamado de anel de grupo.

        O anel de grupo ZG ´e caracterizado pela seguinte propriedade uni- versal: Para qualquer fun¸c˜ ao f : G → R que satisfaz f (xy) = f (x)f (y)

        ′

        e f (1 G ) = 1 R , existe ´ unico homomorfismo de an´eis f : ZG → R tal que

        ′ f ◦ i = f , em que i : G → ZG ´e a inclus˜ ao.

        Dar uma estrutura de ZG-m´odulo `a esquerda ao grupo abeliano M equivale a munir este com um homomorfismo de grupos σ : G → Aut(M ). De fato, como Aut(M ) ⊆ End(M ) pela propriedade universal vista

        

      ′ ′

        acima existe σ : ZG → End(M ), assim por meio de σ temos que M ´e um ZG-m´odulo ` a esquerda. E se M ´e um ZG-m´odulo `a esquerda,

        ′ manda os elementos invers´ıveis de G em elementos invers´ıveis. Portanto um ZG-m´odulo pode ser visto como um Z-m´odulo munido de uma a¸c˜ao de G. Daqui para frente omitiremos a palavra esquerda.

        Dizemos que um ZG-m´odulo ´e trivial se os isomorfismos σ(g) : M → M s˜ao todos iguais a identidade. Observe que todo grupo abeliano pode ser visto como um ZG-m´odulo trivial para todo grupo G. Em particular, Z ´e um ZG-m´ odulo trivial.

        Todo ZG-m´odulo `a esquerda M pode ser considerado um ZG- m´odulo ` a direita por meio da a¸c˜ ao: ϕ : M × G −→ M

        −1 (m, g) 7−→ g m.

        Chama-se de homomorfismo de aumento o homomorfismo ε : ZG → Z tal que ε(g) = 1 para todo g ∈ G. O kernel de ε ´e chamado de ideal de aumento.

        Observa¸ c˜ ao 4.2. Se G ´e gerado pelo conjunto S, ent˜ao os elementos s − 1, com s ∈ S, geram Ker(ε) como um ideal `a esquerda de ZG. De fato, considere o ideal J = hs − 1, s ∈ Si sobre ZG. Observe que, se x ∈ J, ent˜ ao

             

        X X

        X X   

        ε(x) = ε r g g  (s − 1)  = ε r g g  ε(s − 1) s g s g

        ∈S ∈G ∈S ∈G

         

        X X 

        = ε r g g  · 0 = 0, s g

        ∈S ∈G com r g ∈ Z e g ∈ G. Ou seja, J ⊂ Ker(ε).

        P P Se x ∈ Ker(ε), ent˜ ao x = r g g tal que r g = 0. Assim, g g

        ∈G ∈G

         

        X X

        X  x = r g g − r g  = r g (g − 1). g ∈G g ∈G g ∈G Desta forma, precisamos apenas mostrar que g − 1 ∈ J para todo g ∈ G.

        ±1 ±1 ±1

        Como G = hSi, ent˜ ao x = s s . . . s . E por meio das n

        1

        2 −1 −1

        igualdades xy − 1 = x(y − 1) + (x − 1) e x − 1 = −x (x − 1), segue que Ker(ε) ⊂ J. grupo ZG e ZH conforme o seguinte lema. Lema 4.3. Seja H um subgrupo de G.

        (i) Ent˜ ao ZG ´e um ZH-modulo livre. (ii) Se M ´e um ZG-m´ odulo projetivo ent˜ ao M ´e projetivo sobre ZH.

        S

      Demonstra¸c˜ ao. (i) Observe que G = ˙ Hg i , em que Hg i = {hg i | h ∈ H}.

      i

        ∈I

        S L Z Desta forma, ZG = Z[ ˙ Hg i ] = [Hg i ]. Com isso, temos que i

        ∈I

        M M Z Z Z G = [Hg i ] ≈ [H/H g i ], i i

        ∈I ∈I

        onde H g i ´e o estabilizador de g i . Note que se hg = g ⇔ h = 1, e L Z consequentemente H g i = {1}. Logo ZG ≈ i H.

        ∈I

        (ii) Suponha que P ´e um ZG-m´ odulo projetivo. Ent˜ ao F = P ⊕ K, em L Z que F ´e um ZG-m´odulo livre. Pelo item (i) temos que ZG ≈

        H, assim F ´e a soma direta de ZH-m´odulos livres e portanto F ´e um Z H-m´ odulo livre. Logo P ´e um ZH-m´ odulo projetivo.

        4.2 GRUPO DE INVARIANTES E COINVARIANTES Dado um grupo G e um ZG-m´odulo M podemos definir os grupos de invariantes e coinvariantes de M como segue. G

        Defini¸ c˜ ao 4.4. O grupo de invariantes de M , denotado por M , G

        

      ´e definido por M = {m ∈ M | gm = m, ∀g ∈ G}. E o grupo de

        coinvariantes

        de M , denotado por M G , ´e dado pela quociente M/N ,

      em que N ´e um subgrupo aditivo gerado pelos elementos da forma

        gm − m, g ∈ G e m ∈ M .

        O grupo M G ´e o maior quociente de M em que G atua de forma trivial. Observe que se M ´e um ZG-m´odulo trivial, isto ´e gm = m para G todo m ∈ M e todo g ∈ G, ent˜ ao M G ≈ M ≈ M .

        Proposi¸ c˜ ao 4.5. Se M ´e um ZG-m´ odulo ent˜ ao M G ≈ Z ⊗ M e G

        ZG M ≈ Hom (Z, M ), com Z visto como um ZG-m´ odulo trivial. ZG Demonstra¸c˜ ao. Mostremos que M G ≈ Z ⊗ M .

        ZG podemos construir o homomorfismo ϕ : M G −→ Z ⊗

        ZG

        X i

        ZG

        (Z, M ) defina α : Hom

        ZG

        Para mostrar que M G ≈ Hom

        ZG M .

        . Logo M G ≈ Z ⊗

        −1

        Note que ϕ = ψ

        ZG M → M G tal que ψ(z ⊗ m) = zm g .

        Pela propriedade universal do produto tensorial existe ´ unico homomorfismo de grupos ψ : Z ⊗

        (r i ⊗ m i − r i ⊗ m i ) = 0. Portanto ϕ(m g ) = ϕ(n g ).

        =0

        (r i · g i ⊗ m i − r i ⊗ m i ) = k

        M m g 7−→ 1 ⊗ m, em que m g ´e a imagem em M G por um elemento m ∈ M .

        =0

        X i

        (r i ⊗ g i m i − r i ⊗ m i ) = k

        =0

        X i

        (1 ⊗ r i g i m i − 1 ⊗ r i m i ) = k

        =0

        X i

        r i (g i m i − m i ), em que g i ∈ G, m i ∈ M e r i ∈ Z. Desta forma, 1 ⊗ m − 1 ⊗ n = k

        =0

        X i

        Vejamos que ϕ est´a bem definida. Sejam m, n ∈ M tais que m g = n g . Isto nos diz que m − n ∈ N , em que N ´e um subgrupo aditivo gerado pelos elementos da forma gm − m, g ∈ G e m ∈ M . Assim, m − n = k

        (Z, M ) −→ M G f 7−→ f (1), e G β : M −→ Hom (Z, M )

        ZG

        m 7−→ h m , em que h m (z) = zm. Note que β(gm − m) = zgm − zm = zm − zm = 0. Assim,

        α ◦ β(m) = α(h m ) = h m (1) = 1m = m, β ◦ α(f ) = β(f (1)) = h f (z) = zf (1) = f (z) = f. G

      (1)

      Portanto M ≈ Hom (Z, M ).

        ZG

        A Proposi¸c˜ ao 4.5 nos diz duas coisas importantes. Se tivermos

        ′ ′′

        uma sequˆencia exata M // M // M // 0, ent˜ao a sequˆencia

        ′ ′′

        // M // M // 0 M G G G tamb´em ´e exata, pois o funtor Z ⊗ ´e exato ` a direita. E, se F ´e um

        

      ZG

        Z G-m´odulo livre com base (e i ) i ent˜ao F G ´e um Z-m´odulo livre com

        ∈I

        base (e i ) i . De fato, como F ´e livre temos que

        ∈I

        M M Z F ≈ G = he i i . i ∈I i ∈I Aplicando o funtor Z ⊗ obtemos

        ZG

        M M Z Z Z ⊗ F ≈ ⊗ G = he i i .

        ZG ZG i i ∈I ∈I

        Sejam M e N dois ZG-m´odulos `a esquerda. (Como j´a vimos anteriormente podemos sempre considerar um ZG-m´odulo `a esquerda

        −1

        como um ZG-m´odulo ` a direita atrav´es da a¸c˜ao mg = g m). Obtemos

        −1

        M ⊗ N introduzindo as rela¸c˜oes g m ⊗ n = m ⊗ gn em M ⊗ N . Se

        ZG

        trocarmos m por gm obteremos a rela¸c˜ao m ⊗ n = gm ⊗ gn. Definimos ent˜ao a a¸ c˜ ao diagonal de G em M ⊗ N = M ⊗ N como sendo

        Z

        g(m ⊗ n) = gm ⊗ gn. Isto nos leva a igualdade M ⊗ N = (M ⊗ N ) G .

        ZG Como (M ⊗ N ) G ≈ (N ⊗ M ) G , ent˜ao temos que M ⊗ N ≈ N ⊗ M .

      ZG ZG

        Hom(M, N ) ´e induzida pela a¸c˜ ao de G em M e N dada por G × Hom(M, N ) −→ Hom(M, N )

        (g, f ) 7−→ gf,

        −1 em que (gf )(m) = gf (g m) para g ∈ G, f ∈ Hom(M, N ) e m ∈ M .

        −1

        Por causa da contravariˆ ancia de Hom( , N ) ´e acrescentado g na a¸c˜ ao de G, isto faz com que M se torne um ZG-m´ odulo `a direita.

        Seja f ∈ Hom(M, N ) ent˜ao para todo m ∈ M e g ∈ G temos que

        −1

        gf (m) = f (gm) ⇔ f (m) = g f (gm)

        −1

        ⇔ f (m) = g f (m) ⇔ gf = f. G Portanto gf = f se, e somente se, f ∈ (Hom(M, N )) . Logo G Hom (M, N ) = (Hom(M, N )) .

        ZG

        4.3 (CO)HOMOLOGIA DE UM GRUPO Defini¸ c˜ ao 4.6. Seja M um ZG-m´ odulo. Definimos a homologia de G com coeficientes em M , denotado por H (G, M ), por G ∗ H (G, M ) = T or (Z, M ).

        ∗ ∗ ∗

        

      A cohomologia de G com coeficientes em M , denotado por H (G, M ),

      ´e definida por ∗ ∗ H (G, M ) = Ext (Z, M ). G

        Em outras palavras, para calcularmos a homologia e a cohomolo- gia de grupo podemos escolher uma resolu¸c˜ao projetiva P de Z sobre ZG, em que Z ´e visto como um ZG-m´odulo trivial. A homologia do grupo G ´e exatamente a homologia do complexo P ⊗ M e a cohomologia

        ZG de G ´e a cohomologia do complexo Hom (P, M ). ZG

        Lema 4.7. Seja F : R-mod → Z-mod um funtor aditivo da categoria

        

      dos R-m´ odulos na categoria dos Z-m´ odulos. Se os homomorfismos de

      ′ ′ ′ ′

      cadeias f : (C, d) → (C , d ) e g : (C, d) → (C , d ) s˜ ao homot´ opicos,

        ′ ′ ent˜ ao F (f ) : F (C) → F (C ) e F (g) : F (C) → F (C ) tamb´em s˜ ao.

        ′

        h ◦ d + d ◦ h. Disto segue que F (f ) − F (g) = F (f − g)

        ′ ′

        = F (h ◦ d + d ◦ h) = F (h ◦ d) + F (d ◦ h)

        ′ = F (h) ◦ F (d) + F (d ) ◦ F (h).

        Portanto F (h) ´e uma homotopia entre F (f ) e F (g).

        ′

        Sejam ε : P → Z e µ : P → Z duas resolu¸c˜oes projetivas de Z sobre ZG. J´ a vimos que pelo Teorema 2.40 existe uma equivalˆencia

        ′

        homot´opica τ : P → P . Considerando que os funtores Hom ( , M )

        ZG

        e ⊗ M s˜ao aditivos, segue do Lema 4.7 que ε : Hom G (P, M ) →

        ZG ∗ ′ ′

        Hom G (P , M ) e µ : P ⊗ M → P ⊗ M tamb´em s˜ao equivalˆencias

        ∗ ZG ZG ∗

        homot´opicas. Portanto H (G, M ) e H (G, M ) independem da escolha

        ∗ da resolu¸c˜ ao projetiva.

        Proposi¸ c˜ ao 4.8. Sejam G um grupo e M um ZG-m´ odulo. Ent˜ ao G H (G, M ) ≈ M G e H (G, M ) ≈ M .

        Demonstra¸c˜ ao. Seja ε : P → Z uma resolu¸c˜ ao projetiva de Z. d 2 d

      1

      ε

        // Z // P // P // P // 0. · · ·

        2 1 (4.1)

        Aplicando o funtor ⊗ M em (4.1) obtemos

        ZG ∂ ε 1

        Z // · · · // P ⊗ M // P ⊗ M ⊗ M // 0.

        1 ZG ZG ZG

      f

        Assim, Ker(f ) P ⊗ M

        ZG

        H (G, M ) = = Im(∂ ) Im(∂ )

        1

        1 P ⊗ M

      ZG

        = ≈ Z ⊗ M

        ZG

        Ker(ε )

        

      ∗ = M G . G Portanto H (G, M ) ≈ M G . De modo an´ alogo, temos que H (G, M ) ≈ M . Exemplo 4.9. Queremos calcular a homologia e a cohomologia do n grupo c´ıclico G = h t | t = 1i. A sequˆencia t −1 N t −1 N t −1 ε // Z

        · · · // C // C // C // C // C // 0

        4

        3

        2

        1 n 2 −1

        ´e uma resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre ZG, em que N = 1 + t + · · · + t e C i = ha i i ≈ ZG. De fato, existe uma homotopia de contra¸c˜ ao h dada por: i se k = 0 h (t a ) =

        2k 2k i 2 −1

        (1 + t + · · · + t )a se k ≥ 0 i se 0 ≤ k &lt; n − 1 2k+1 h (t a ) =

        2k−1 2k−1

        a se k = n − 1

        2k

        e visto que ZG ´e um ZG-m´ odulo livre segue que N −1 N −1 ε t t // Z

        · · · // ZG // ZG // ZG // ZG // 0 (4.2) ´e uma resolu¸c˜ ao projetiva de ZG.

        Aplicando ⊗ M em (4.2) obtemos

        ZG

        · · · // ZG ⊗ M // ZG ⊗ M // ZG ⊗ M,

      ZG ZG ZG

        que se reduz atrav´es do isomorfismo ZG ⊗ M ≈ M em

      ∂ ∂ ∂

      3

      2

      ZG 1 · · · // M // M // M, em que ∂ (m) = N m e ∂ (m) = (t − 1)m.

        2k 2k+1

        Assim, temos que 

        M G , quando n = 0       

        Ker(∂ )

        

      2k

         , quando n ´e par

        H n (G, M ) = (t − 1)M

             G 

        M   , quando n ´e ´ımpar.

        N M Aplicando Hom ( , M ) em (4.2) e atrav´es do isomorfismo

        ZG Hom (ZG, M ) = M obtemos o seguinte complexo

        ZG δ δ δ δ

      1

      2 3

        // M // M // M // M // · · ·

        2k 2k+1

        em que δ (m) = (t − 1)m e δ (m) = N m. Logo  G

        M , quando n = 0       G 

        M n  , quando n ´e par

        H (G, M ) = N M

            

        Ker(∂ )  2k   , quando n ´e ´ımpar.

        (t − 1)M Vejamos o que acontece quando M = Z. Considere os seguintes complexos ∂ ∂ ∂ 3 2 1 Z Z Z

        · · · // ZG ⊗ // ZG ⊗ // ZG ⊗ . (4.3)

      ZG ZG ZG

        Observe que ∂ ´e o homomorfismo nulo. De fato, considere

        2k

        Z Z ∂ : ZG ⊗ −→ ZG ⊗

        2k ZG ZG

        1 ⊗ 1 7−→ 1 (t − 1) ⊗ 1 ,

        ZG Z ZG Z

        assim 1 (t − 1) ⊗ 1 = 1 ⊗ t − 1 ⊗ 1

        ZG Z Z Z ZG

        = 1 · t ⊗ 1 − 1 ⊗ 1

        Z ZG Z ZG

        = 1 ⊗ 1 − 1 ⊗ 1

        Z ZG Z ZG = 0.

        Considere Z Z

        ∂ : ZG ⊗ −→ ZG ⊗

        2k−1 ZG ZG

        1 ⊗ 1 7−→ N ⊗ 1 .

        ZG Z Z Note que n

        2 −1

        N ⊗ 1 = (1 + t + t + · · · + t ) ⊗ 1

        Z Z 2 n −1

        = 1 ⊗ 1 + t ⊗ 1 + t ⊗ 1 + · · · + t ⊗ 1

        ZG Z Z Z Z n 2 −1

        = 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ t · 1 + 1 ⊗ t · 1 + · · · + 1 ⊗ t · 1

        ZG Z ZG Z ZG Z ZG Z

        = 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 + · · · + 1 ⊗ 1

        

      ZG Z ZG Z ZG Z ZG Z

      = n(1 ⊗ 1 ).

        ZG Z

        Desta forma, o complexo (4.2) se reduz a n n // Z // Z // Z // Z. · · ·

        Logo 

        Z , quando n = 0

         H n (G, Z) = 0, quando n ´e par

         Z n , quando n ´e ´ımpar.

        2k 2k+1 Analogamente, temos que δ (z) = 0 e δ (z) = nz, com z ∈ Z.

        Portanto 

        Z , quando n = 0 n

        Z H (G, Z) = n , quando n ´e par

         0, quando n ´e ´ımpar.

        4.4 M ´ ODULOS INDUZIDOS E COINDUZIDOS Antes de falarmos sobre os m´odulos induzidos e coinduzidos, introduziremos o conceito de extens˜ao e coextens˜ao de escalares. Considere os an´eis R e S e um homomorfismo α : R → S. Dado

        M um S-m´ odulo ` a esquerda, defina · : R × M −→ M (r, m) 7−→ r · m := α(r)m.

        Por meio desta a¸c˜ao podemos considerar M como um R-m´odulo `a esquerda. Assim, definimos um funtor chamado de restri¸c˜ao de escalares, que sai da categoria dos S-m´odulos ` a esquerda para a categoria dos R-m´ odulos ` a esquerda.

        Construiremos a seguir a extens˜ ao e coextens˜ao de escalares os quais produzem um S-m´ odulo a partir de um R-m´ odulo.

        Assuma agora que M ´e um R-m´odulo `a esquerda. Considere o produto tensorial S ⊗ R M , em que S ´e visto como um R-m´odulo `a direita por meio da a¸c˜ao s · r = sα(r), para s ∈ S e r ∈ R. Ent˜ao podemos ver o produto S ⊗ R M como um S-m´odulo `a esquerda atrav´es

        ′ ′

        da a¸c˜ao s · (s ⊗ m) = ss ⊗ m, para s ∈ S, r ∈ R e m ∈ M . Dizemos assim que este S-m´odulo ´e obtido de M pela extens˜ ao de escalares de R para S.

        Considere o grupo abeliano Hom R (S, M ), em que S ´e visto como um R-m´odulo `a esquerda por meio da a¸c˜ao r · s = α(r)s, para s ∈ S e r ∈ R. Assim Hom R (S, M ) ´e um S-m´odulo `a esquerda atrav´es de

        ′ ′

        (sf )(s ) = f (s s), para f ∈ Hom R (S, M ). Este S-m´odulo ´e dito ser obtido de M pela coextens˜ ao de escalares de R para S.

        Exemplo 4.10. Seja M um ZG-m´odulo ` a esquerda. Suponha que o homomorfismo α seja o homomorfismo de aumento ε : ZG → Z, ent˜ao o Z-m´odulo Z ⊗ M obtido de M pela extens˜ao de escalares de ZG

        ZG

        para Z ´e o m´odulo M G . E o Z-m´odulo Hom (Z, M ) obtido de M pela G ZG coextens˜ao de escalares ´e o m´odulo M .

        Aplicaremos a extens˜ao e a coextens˜ao de escalares para o homo- morfismo inclus˜ ao i : ZH → ZG, em que H ´e um subgrupo de G. Defini¸ c˜ ao 4.11. Seja H um subgrupo de G. Considere M um ZH-

        

      m´ odulo. A indu¸ c˜ ao ´e definida como sendo o ZG-m´ odulo obtido de

      G

        M pela extens˜ ao de escalares via i e escrevemos Ind M = ZG ⊗ H ZH M . Definimos tamb´em a coindu¸ c˜ ao como sendo o ZG-m´ odulo obtido G

        

      de M pela coextens˜ ao de escalares via i e escrevemos Coind M =

      H Hom (ZG, M ).

        ZH G

        No caso de H = {1}, chamamos Ind M = ZG⊗ M de m´ odulo

        Z G {1} induzido e Coind M = Hom (ZG, M ) de m´ odulo coinduzido.

        Z {1}

        Seja M um ZH-m´odulo. Existe um homomorfismo β : M → Z

        G ⊗ M dado por β(m) = 1 ⊗ m. Devido a

        ZH

        1 ⊗ rm = 1 · r ⊗ m = i(r) ⊗ m = i(r) · (1 ⊗ m), em que r ∈ ZH e m ∈ M , temos que β(rm) = i(r)β(m) = rβ(m). Assim, β ´e um ZH-homomorfismo.

        Dados um ZG-m´odulo N e um ZH-homomorfismo f : M → N diagrama β Z

        // M G ⊗ M (4.4) f g ZH yy

        N comuta. G Proposi¸ c˜ ao 4.12. Se o ´ındice de H em G ´e finito ent˜ ao Ind M ≈ G H Coind M . H

        Demonstra¸c˜ ao. Considere o seguinte ZH-homomorfismo

        ϕ : M −→ Hom (ZG, M )

        ZH

        gm, g ∈ H m 7−→ ϕ (m)(g) = 0, g / ∈ H.

        Em virtude de (4.4) existe um ´ unico ZG-homomorfismo ϕ : ZG ⊗ M → Hom (ZG, M )

      ZH ZH

        tal que β ◦ ϕ = ϕ . Escolhendo representantes das classes laterais de H em G e expressando ZG ⊗ M (resp. Hom (ZG, M )) como uma

      ZH ZH

        soma (resp. produto) de c´ opias de M , verifica-se que ϕ ´e a inclus˜ao canˆonica da soma direta no produto direto. Como (G : H) &lt; ∞, ϕ ´e um isomorfismo.

        O pr´oximo resultado relaciona a homologia e a cohomologia de um grupo com a de seus subgrupos. Proposi¸ c˜ ao 4.13 (Lema de Shapiro). Se H ´e um subgrupo de G e M

        ´e um ZH-m´ odulo, ent˜ ao G

        H ∗ (H, M ) ≈ H ∗ (G, Ind M ) H

        e G ∗ ∗

        H (H, M ) ≈ H (G, Coind M ) H

      Demonstra¸c˜ ao. Seja ε : P → Z uma resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre ZG. Pelo Lema 4.3 vemos que ε : P → Z tamb´em ´e uma resolu¸c˜ao projetiva Desta forma, Z

        P ⊗ M ≈ (P ⊗

        G) ⊗ M

      ZH ZG ZH

        ≈ P ⊗ (ZG ⊗ M )

        ZG ZH G ≈ P ⊗ Ind M. H

      G

      ZG Com isso, H (H, M ) ≈ H (G, Ind M ).

        ∗ ∗

      H

        Similarmente, temos que existe um isomorfismo Hom (P, M ) ≈ Hom (P, Hom (ZG, M ))

        ZH ZG ZH G = Hom (P, Coind M ).

        ZG H ∗ ∗ G

        Portanto H (H, M ) ≈ H (G, Coind M ). H Vejamos a seguir o que acontece quando aplicamos o Lema de Shapiro para H = {1}.

        Corol´ ario 4.14. Seja M um ZH-m´ odulo. Ent˜ ao H n (G, ZG ⊗ M ) = 0 n

        Z e H (G, Hom (ZG, M )) = 0, para n &gt; 0. Z

        

      Demonstra¸c˜ ao. Pela proposi¸c˜ao anterior temos que H ∗ (G, ZG ⊗ M ) ≈

      Z ∗ ∗

        H (1, M ) e H (G, Hom (ZG, M )) = H (1, M ). Com isso, considera-

        ∗ Z ∗

        mos M como sendo um Z-m´odulo e para calcular H (1, M ) e H (1, M )

        ∗

        precisamos de uma resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre Z. J´a que Z ´e um Z-m´odulo livre, e portanto projetivo, podemos escolher a seguinte resolu¸c˜ ao projetiva Id

        // Z // Z // 0 // 0 // 0. · · · n

        Portanto H n (G, ZG ⊗ M ) = 0 e H (G, Hom (ZG, M )) = 0, para

        

      Z Z

      n &gt; 0.

        4.5 INTERPRETAC ¸ ˜ AO TOPOL ´ OGICA Nesta se¸c˜ ao mostraremos a interpreta¸c˜ao topol´ogica para a ho- mologia de grupo com coeficientes em Z. Denotaremos H ∗ (G) ao inv´es de H ∗ (G, Z) e C ∗ (X) ao inv´es de C ∗ (X; Z).

        Nosso objetivo neste momento ´e mostrar que o complexo de cadeia celular C (X) de um CW-complexo X, sob determinadas hip´oteses, ´e

        ∗ uma resolu¸c˜ ao livre de Z como ZG-m´ odulo trivial.

        Seja X um conjunto com uma a¸c˜ao de G, formamos assim o a¸c˜ ao de G em ZX. Dizemos que a a¸c˜ao de G em X ´e livre se gx = x implica g = 1, em que x ∈ X. Proposi¸ c˜ ao 4.15. Seja X um conjunto no qual G age livremente.

        

      Ent˜ ao ZX ´e um ZG-m´ odulo livre, com base dada pelo conjunto dos

      representantes das G-´ orbitas em X.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Suponha que B = {x i ; i ∈ I} seja um conjunto formado

        pelos representantes de cada G-´orbita em X. Podemos escrever X = S

        ˙ x i ∈B G(x i ), em que G(x i ) = {gx i ; g ∈ G}. Assim, [ M

        ˙ Z Z X = Z( G(x i )) = (G(x i )). x i x i

        

      ∈B ∈B

        Defina ϕ i : G −→ G(x i ) g 7−→ gx i .

        Vamos mostrar que ϕ i ´e bijetora. Sejam g, h ∈ G tais que ϕ i (g) = ϕ i (h), assim gx i = hx i , ou seja,

        −1 −1

        h gx i = x i . Como a a¸c˜ao de G ´e livre em X segue que h g = 1, portanto h = g. Dado y ∈ G(x i ) temos que y = gx i = ϕ i (g). Portanto ϕ i ´e sobrejetora.

        L L Z Z Logo ZX = (G(x i )) ≈ x x i ∈B i ∈B G.

        Defini¸ c˜ ao 4.16. Um G-complexo ´e um CW-complexo X munido de

        

      uma a¸c˜ ao de G sobre X que permuta suas c´elulas, isto ´e, temos para

      cada g ∈ G um homeomorfismo x 7→ gx de X tal que a imagem de

      toda c´elula σ de X ´e novamente uma c´elula.

        Seja X um G-complexo. A a¸c˜ ao de G em X induz uma a¸c˜ao de G em C n (X) da seguinte forma: i g · (r

        1 σ 1 + · · · + r k σ k ) = r 1 gσ 1 + · · · + r k gσ k , em que σ s˜ao n-c´elulas.

        Com isso, C (X) se torna um complexo de cadeias de ZG-m´odulos.

        ∗

        E definimos ε : C (X) → Z como sendo ε(σ) = 1 para toda a 0-c´elula σ de X.

        Dizemos que X ´e um G-complexo livre se G age livremente em livremente. Pela Proposi¸c˜ao 4.15, C n (X) ´e um ZG-m´odulo livre com um elemento na base para cada G-´orbita de c´elulas. Proposi¸ c˜ ao 4.17. Seja X um G-complexo livre e contr´ atil. Ent˜ ao o

        complexo celular aumentado de X ∂ n ε

        // Z · · · // C n (X) // C n (X) // · · · // C (X) // 0,

        −1 ´e uma resolu¸c˜ ao livre de Z como ZG-m´ odulo trivial.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Seja X n = {σ | σ ´e uma c´elula de dimens˜ ao n em X}.

        Como C n (X) ´e o grupo abeliano gerado pelos n-simplexos que comp˜ oem X, podemos identific´a-lo com ZX n . Por hip´otese, a a¸c˜ao de G ´e livre sobre X, logo X n ´e um G- complexo livre. Portanto pela proposi¸c˜ao anterior C n (X) ´e um ZG- m´odulo livre tendo como base um conjunto formado por um represen- tante de cada G-´orbita de X n .

        O fato de X ser contr´ atil nos diz que H n (X) = H n (C(X)) = 0, para n &gt; 0. Consequentemente, Ker(∂ n ) = Im(∂ n ), para n &gt; 0.

      • 1

        Vejamos agora que Ker(ε) = Im(∂ ). Considere 1 ε

        1 Z

        // · · · // C (X) // C (X) // 0.

        1

        C (X)

        o

        Pelo 1 Teorema do Isomorfismo, segue que ≈ Im(ε) = Z. Temos Ker(ε)

        Ker(∂ ) C (X) tamb´em que Z ≈ H (X) = = .

        Im(∂ ) Im(∂ )

        1

        1 Observe que C (X)

        Z C (X)

        

      Im(∂

      1 )

        Z ≈ ≈ ≈ .

        Ker(ε) Ker(ε)

        Im(∂ )

        1 Im(∂ 1 ) Im(∂ 1 ) Portanto Ker(ε) = Im(∂ ).

        1 Logo ∂ n ε

        // Z · · · // C n (X) // C n (X) // · · · // C (X) // 0,

        −1 Exemplo 4.18. Sejam X = R e G = hti ≈ Z. Podemos representar R como um CW -complexo da seguinte forma: defina σ = {z} e z

        1

        σ = (z, z + 1), em que z ∈ Z. Desta forma, representamos R atrav´es z de 0-c´elulas e 1-c´elulas, conforme a figura: Figura 9 – Representa¸c˜ ao de R como um CW -complexo

        Considere a a¸c˜ ao de Z em R dada por Z n n × R −→ R (t , x) 7−→ t x = n + x. n n

        1

        1 Esta a¸c˜ao permuta as c´elulas, t σ = σ e t σ = σ . Ent˜ao R z n +z z n +z

        ´e um Z-complexo livre, e al´em disso ´e contr´atil. Agora estamos nas hip´ oteses da proposi¸c˜ ao anterior.

        Observe que existe apenas uma Z-´orbita de 0-c´elulas e tamb´em

        1

        apenas uma de 1-c´elulas. Sejam σ e σ os representantes das Z-´orbitas de 0-c´elulas e 1-c´elulas, respectivamente.

        1 Assim, temos que C (R) = σ ≈ ZZ e C 1 (R) = σ ≈ ZZ.

        1 Note que o homomorfismo ∂ : C (R) → C (R) ´e dado por ∂ (σ ) =

        1

        1 1 z

        σ − σ = tσ − σ = (t − 1)σ . Portanto z z z z z

      • 1

        t −1 ε

        // ZZ // ZZ // Z // 0 ´e uma resolu¸c˜ ao livre de Z sobre ZZ.

        Estamos interessados em aplicar a proposi¸c˜ ao anterior para os espa¸cos K(G, 1). Corol´ ario 4.19. Se X ´e um K(G,1), ent˜ ao o complexo celular aumen-

        

      tado do recobrimento universal de X ´e uma resolu¸c˜ ao livre de Z sobre

        Z G. Exemplo 4.20. Seja G = F (S) o grupo livre gerado por um conjunto

        W S. Seja X = S i um buquˆe de c´ırculos. Ent˜ao X ´e um CW-complexo i

        ∈S

        1-c´elula. Como π (X) ≈ G e o recobrimento universal de X ´e contr´atil

        1 segue que X ´e um K(G, 1).

        Como ponto base em ˜ X tomamos um v´ertice x , este representa a ´ unica G-´orbita de v´ertices de ˜ X e assim ´e um gerador para C ( ˜ X).

        1 Como base para C ( ˜ X) tome, para cada i ∈ S, uma 1-c´elula σ de ˜

        X

        1 i

        1

        sobre S tendo x como v´ertice inicial. Portanto i 1 ε L Z

        // // Z i G // ZG // 0,

        ∈S

        1

        ´e uma resolu¸c˜ao livre de Z sobre ZG, em que ∂ (σ ) = (i − 1)x e uma

        1 i

        L

        1 Z base para G ´e dada por {σ ; i ∈ S}. i ∈S i

        Proposi¸ c˜ ao 4.21. Seja X um G-complexo livre. Ent˜ ao C (X/G) ≈

        ∗ C (X) G .

        

      Demonstra¸c˜ ao. A proje¸c˜ao X → X/G induz C (X) → C (X/G) que

      ∗ ∗

        por sua vez induz ϕ : C (X) G → C (X/G). Observe que cada m´odulo

        ∗ ∗

        C n (X) G ´e um Z-m´odulo livre com um elemento na base para cada G- ´orbita de n-c´elulas de X. Al´em disso, C n (X/G) tamb´em ´e um Z-m´odulo livre com um elemento na base para cada G-´ orbita de n-c´elulas de X.

        Portanto ϕ manda uma elemento da base de C (X) G para o elemento

        ∗ correspondente da base de C (X/G). Logo ϕ ´e um isomorfismo. ∗

        Ent˜ao se X for um K(G, 1)-complexo sendo e X seu recobrimento universal, vimos que C ( e X) ´e uma resolu¸c˜ao livre de Z considerado

        ∗

        como um ZG-m´odulo. Devido a X ≈ e X/G temos que C ∗ ( e X) G ≈ C ∗ (X), assim obtemos o seguinte resultado: Teorema 4.22. Se X ´e um K(G,1)-complexo ent˜ ao H (G) = H (X).

        ∗ ∗

        Para calcular a homologia de um grupo G basta encontrar um CW-complexo X tal que seu recobrimento universal e X ´e contr´ atil e π

        

      1 (X) ≈ G, e a partir disso obtemos a homologia apenas calculando a

      homologia do complexo de cadeia celular de X.

        W Exemplo 4.23. Seja X = S i . Como j´a vimos no Exemplo 4.20, X i ∈S ´e um K(F (S), 1). Ent˜ao

         Z

        , n = 0  

        L Z , n = 1

        H n (F (S)) = H n (X) = i

        ∈S

          Analogamente, temos que no caso cohomol´ ogico que

        ∗ ∗ H (G) ≈ H (K(G, 1)).

        4.6 HOMOLOGIA EQUIVARIANTE Lembre que H (G, M ) ´e definido como sendo H (P ⊗ M ), em

        ∗ ∗ ZG

        que P ´e uma resolu¸c˜ ao projetiva de Z sobre ZG. Vamos generalizar esta defini¸c˜ao considerando agora um complexo de cadeia n˜ao-negativo C = (C n ) n . A partir deste complexo definimos

        ≥0

        H (G, C) = H (P ⊗

        C)

        

      ∗ ∗ ZG

        em que P ⊗ G C = T ot(P ⊗ C).

        ZG

        Estamos interessados em um complexo especifico, j´ a visto an- teriormente, o complexo de cadeia celular C(X) de um G-complexo

        X. Defini¸ c˜ ao 4.24. A homologia de grupo equivariante, denotada G

        por H (X, M ), ´e definida como sendoG

        H (X, M ) = H (G, C(X, M ))

        

      em que M ´e um ZG-m´ odulo e C(X, M ) = C(X) ⊗ M .

        A homologia equivariante ´e simplesmente o c´alculo da homologia de um complexo duplo. Da se¸c˜ ao 2.6 temos que existem duas sequˆencias espectrais tais que G

        1 E = H q (G, C p (X, M )) ⇒ H (X, M ) p,q p +q

        2 G

        E = H p (G, H q (X, M )) ⇒ H (X, M ) p,q p

      • q onde H (X, M ) ´e a homologia do complexo C(X) ⊗ M .

        ∗ G

        Proposi¸ c˜ ao 4.25. Se um G-complexo X ´e ac´ıclico ent˜ ao H (X, M ) ≈

        ∗ H (G, M ).

        

      Demonstra¸c˜ ao. Por meio do Teorema dos coeficientes universais (veja

        Brown [2] p´ agina 8), segue que H q (X, M ) = 0 para q &gt; 0. Ent˜ao

      2 E = H p (G, H (X, M )) = H p (G, M ).

        p, G G Desta forma, H p (G, M ) ⇒ H (X, M ). Logo H (X, M ) ≈ H (G, M ). p ∗

        ∗

        5 CONDIC ¸ ˜ OES DE FINITUDE

        ∗

        ´ E poss´ıvel calcular H (G, M ) e H (G, M ) por meio de resolu¸c˜oes

        ∗

        projetivas de Z sobre o anel ZG, entretanto, encontrar uma resolu¸c˜ ao projetiva pode n˜ao ser uma tarefa f´ acil. Em vista disso, seria interessante encontrar resolu¸c˜oes projetivas que sejam, em certo sentido, menores poss´ıveis. Quando dizemos “menor”, nos referimos a duas coisas: ao comprimento da resolu¸c˜ao e a existˆencia de um conjunto gerador finito para cada m´odulo projetivo da resolu¸c˜ao. Isto nos leva a no¸c˜ao de dimens˜ ao cohomol´ ogica e ` as condi¸c˜ oes F P , F P n e F P ∞ .

        5.1 DIMENS ˜ AO COHOMOL ´ OGICA Defini¸ c˜ ao 5.1. Sejam R um anel e M um R-m´ odulo. Ent˜ ao a di- mens˜ ao projetiva

        de M , denotada por proj dim R M , ´e definida como

      sendo o ´ınfimo do conjunto de inteiros n˜ ao negativos n, de modo que

        M admite uma resolu¸c˜ ao projetiva // P // · · · // P // M // 0 . n (5.1)

        

      Dizemos que (5.1) tem comprimento n. Se M n˜ ao admite uma resolu¸c˜ ao

      projetiva de comprimento finito, dizemos que proj dim R M = ∞.

        Lema 5.2. S˜ ao equivalentes as seguintes afirma¸c˜ oes:

        (i) proj dim R M ≤ n; i (ii) Ext (M, ) = 0, se i &gt; n; R n

      • 1

        (iii) Ext (M, ) = 0; R

      (iv) Se 0 // K // P n // · · · // P // M // 0 ´e qualquer sequˆencia

      −1 exata de R-m´ odulos com cada P i projetivo, ent˜ ao K ´e projetivo.

        

      Demonstra¸c˜ ao. (iii) ⇒ (iv) Considere a sequˆencia exata dada em (iv).

        Completando esta resolu¸c˜ ao para uma resolu¸c˜ ao projetiva, temos d n+1 d d n · · · // P n // P n // P n // · · · // P // M // 0,

      • 1 −1

        DD f 2 AA em que L = Ker(d n ) e K = Ker(d n ). Para qualquer R-m´odulo N

        −1

        um (n + 1)-cociclo ´e um homomorfismo ϕ ∈ Hom R (P n , N ) tal que

      • 1

        ϕ◦d n = 0. Como L tamb´em ´e igual ao Coker(d n ), pela propriedade

      • 2 +2

        universal do Cokernel temos que existe um homomorfismo ψ : L → N tal que ψ ◦ f = ϕ. Portanto o (n + 1)-cociclo pode ser representado por um homomorfismo L → N .

        O cociclo ´e um cobordo se, e somente se, ϕ se estende para P n → n

      • 1

        N . Como Ext (M, N ) = 0 ent˜ao todo homomorfismo L → N se R estende para P n → N . Em particular, se N = L temos que Id L : L → L se estende para P n → L, isto nos diz que a sequˆencia exata i

        // // L // K // 0 Id L P n

        L cinde. Portanto P n ≈ L ⊕ K, ou seja, K ´e projetivo. As implica¸c˜ oes (iv) ⇒ (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) seguem facilmente. A partir de agora consideraremos o caso em que R = ZG e M = Z. Defini¸ c˜ ao 5.3. Dizemos que cd G = n ´e a dimens˜ ao cohomol´ ogica

      de G se n for o menor inteiro tal que satisfaz as condi¸c˜ oes do Lema 5.2.

        Se n˜ ao existir tal inteiro ent˜ ao dizemos que cd G = ∞.

        Exemplo 5.4. O grupo trivial possui cd G = 0. De fato, se G = {1} temos a seguinte resolu¸c˜ ao projetiva de Z sobre Z: Id // Z // Z // 0 .

        Atrav´es do Lema 5.2 temos que a dimens˜ao cohomol´ogica de G pode ser vista tamb´em como sendo Z cd G = proj dim

        ZG

        = inf {n : Z admite uma resolu¸c˜ ao projetiva sobre ZG de comprimento n} i = inf {n : H (G, ) = 0, para i &gt; n} n = sup{n : H (G, M ) 6= 0, para algum ZG-m´ odulo M }. Proposi¸ c˜ ao 5.5. Se cd G &lt; ∞, ent˜ ao n cd G = sup{n : H (G, F ) 6= 0, para algum ZG-m´ odulo livre F}.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Suponha que cd G = n &lt; ∞. Considere a seguinte

        sequˆencia exata curta ϕ // Ker(ϕ) // F // M // 0 , i em que F ´e um ZG-m´odulo livre. Como H (G, ) = 0, para i &gt; n, temos a seguinte sequˆencia exata n n n // H // H // H // 0.

        · · · (G, Ker(ϕ)) (G, F ) (G, M ) n n n n Existe um m´odulo M tal que H (G, M ) 6= 0. E pelo fato de H (G, F ) → H (G, M ) ser um epimorfismo segue que H (G, F ) 6= 0.

        Proposi¸ c˜ ao 5.6. Se H ´e um subgrupo de G ent˜ ao cd H ≤ cd G. A igualdade ´e v´ alida quando cd G &lt; ∞ e (G : H) &lt; ∞.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Dada uma resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre ZG esta

        tamb´em ´e uma resolu¸c˜ ao projetiva sobre ZH. Ent˜ ao segue que cd H ≤ cd G. n Agora, suponha que cd G = n &lt; ∞. Sabemos que H (G, F ) 6= 0, para algum m´odulo livre F .

        ′

        Suponha que F ´e um ZH-m´odulo livre de mesmo posto de F , assim temos !

        M

        ′

        Z Z G ⊗ H F ≈ ZG ⊗ H H i

        ∈I

        M Z ≈ (ZG ⊗ H i

        H)

        

      ∈I

        M Z ≈ G ≈ F. i G

      ∈I

      ′ Isto nos diz que F ≈ Ind F . H G G

        ′ ′ G ′

        mente F ≈ Coind F . Pelo Lema de Shapiro segue que H n n G

        ′ ′

        H (H, F ) ≈ H (G, Coind F ) n H ≈ H (G, F ) 6= 0. Portanto cd H ≥ n. Corol´ ario 5.7. Se cd G &lt; ∞, ent˜ ao G ´e livre de tor¸c˜ ao.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Suponha que G possui um elemento t de ordem finita n.

        2k

        Considere o subgrupo c´ıclico H = hti de G. Como H (H, Z) 6= 0 para todo k (Exemplo 4.9) temos, pela proposi¸c˜ao anterior, que cd H = ∞. Logo cd G = ∞, absurdo. Portanto G ´e livre de tor¸c˜ ao.

        Veremos a seguir que ´e poss´ıvel encontrar uma resolu¸c˜ ao livre de Z sobre ZG de modo que seu comprimento ´e exatamente igual a cd G. Para isso precisamos do seguinte lema: Lema 5.8. Se P ´e um R-m´ odulo projetivo, ent˜ ao existe um R-m´ odulo livre F tal que P ⊕ F ≈ F .

        

      Demonstra¸c˜ ao. Como P ´e projetivo, temos que existe um R-m´ odulo Q

        tal que P ⊕ Q ´e livre. Seja F a soma direta enumer´avel (P ⊕ Q) ⊕ (P ⊕ Q) ⊕ · · · .

        Uma vez que a soma de m´odulos livres ´e livre, segue que F ´e livre. Desta forma, podemos escrever F como sendo (P ⊕P ⊕· · · )⊕(Q⊕Q⊕· · · ). Adicionando mais uma c´ opia de P , obtemos P ⊕ F ≈ F .

        Proposi¸ c˜ ao 5.9. Para qualquer grupo G existe uma resolu¸c˜ ao livre de Z sobre ZG de comprimento igual a cd G.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Seja n = cd G. Suponha que 0 &lt; n &lt; ∞. Escolha uma

        resolu¸c˜ ao livre parcial // Z

        F n // · · · // F // 0

        −1 de comprimento n − 1 e seja K = Ker{F n → F n }.

        −1 −2

        Por meio do Lema 5.2 sabemos que K ´e projetivo e atrav´es do Lema 5.8 temos que existe F tal que F ⊕K ´e livre. Desta forma, trocando F n por F ⊕ F n e definindo ∂(a, b) = i(a), em que i : K → F n ´e a

        

      −1 −1 −1

        inclus˜ ao canˆ onica, a ∈ K e b ∈ F , obtemos a seguinte resolu¸c˜ ao livre // Z

        5.2 GRUPOS DO TIPO F P Iniciaremos esta se¸c˜ao tratando a respeito dos R-m´ odulos finita- mente presentados. O Teorema 5.11 apresenta defini¸c˜ oes equivalentes destes m´odulos e a partir disto estenderemos este conceito para as resolu¸c˜ oes do tipo finito.

        Lema 5.10. Sejam // K // P // M // 0

        e ′ ′

        // K // P // M // 0

        ′

      duas sequˆencias exatas, em que P e P s˜ ao m´ odulos projetivos. Ent˜ ao

        ′ ′ P ⊕ K ≈ P ⊕ K.

        Demonstra¸c˜ ao. Seja Q o pullback do diagrama π P π

        // M P isto ´e, p

        // p π Q P , π

        ′

        ′ ′ ′ ′

        com Q = {(x , x) ∈ P × P | π (x ) = π(x)}. Assim, temos K K

        ′

        // K // Q // P // 0

        ′ ′

        // K // P // M // 0 A primeira sequˆencia horizontal cinde, visto que P ´e projetivo.

        ′

        Desta forma, temos que Q ≈ K ⊕ P . E da mesma maneira, a primeira

        ′

        sequˆencia exata vertical cinde fazendo com que Q ≈ K ⊕ P . Logo

        ′ ′ K ⊕ P ≈ K ⊕ P .

        Teorema 5.11. As seguintes condi¸c˜ oes sobre um R-m´ odulo M s˜ ao

        equivalentes: (i) Existe uma sequˆencia exata n m

        R // R // M // 0, para certos inteiros m, n.

        (ii) Existe uma sequˆencia exata

        P // P // M // 0,

        1 para certos P e P projetivos finitamente gerados.

        1

      (iii) O m´ odulo M ´e finitamente gerado e para todo epimorfismo ε : P →

        M com P projetivo e finitamente gerado, Ker(ε) ´e finitamente gerado. n m

      Demonstra¸c˜ ao. (i) ⇒ (ii) Visto que R e R s˜ao m´ odulos livres e

      portanto projetivos, segue trivialmente (ii).

        (ii) ⇒ (iii) Como P → M ´e um epimorfismo e P ´e finitamente

        Aplicando o Lema 5.10 temos que dadas as sequˆencias exatas ϕ // Ker(ϕ) // P // M // 0 e ε

        // Ker(ε) // P // M // 0 obtemos P ⊕ Ker(ϕ) ≈ P ⊕ Ker(ε). Uma vez que P ⊕ Ker(ϕ) e P s˜ao finitamente gerados, segue que Ker(ε) tamb´em ´e finitamente gerado.

        (iii) ⇒ (i) Como M ´e finitamente gerado, sabemos que existe m m um epimorfismo ϕ : R → M . Visto que R ´e projetivo, temos por hip´otese que Ker(ϕ) ´e finitamente gerado. Desta forma, existe um n epimorfismo ψ : R → Ker(ϕ). Assim, obtemos a sequˆencia exata n m // R // M // 0. R

        Um m´odulo que satisfaz as condi¸c˜oes do Lema 5.11 ´e chamado de m´ odulo finitamente presentado. Se M ´e um R-m´odulo finitamente presentado, dizemos que a sequˆencia n m

        R // R // M // 0 ´e uma presenta¸ c˜ ao finita para M . Podemos generalizar esta ideia estendendo a no¸c˜ ao para as resolu¸c˜ oes do tipo finito. Uma resolu¸c˜ ao P ´e dita do tipo finito se todos os m´odulos P i s˜ao finitamente gerados. n Dizemos que M ´e do tipo F P se existe uma resolu¸c˜ao projetiva P de M tal que P i ´e finitamente gerado para todo i ≤ n. Note que se M ´e do tipo F P , ent˜ao M ´e finitamente gerado. E se M ´e do tipo F P

        1 ent˜ao M ´e finitamente presentado.

        A condi¸c˜ao F P n fornece informa¸c˜oes a respeito de resolu¸c˜oes projetivas e equivalentemente podemos definir esta condi¸c˜ao em rela¸c˜ao a resolu¸c˜ oes livres, conforme veremos na Proposi¸c˜ ao 5.13. Lema 5.12. Sejam

        // P n // P n // · · · // P // M // 0

        −1 e

        ′ ′ ′

        // P // P // · · · // P // M // 0

        ′ sequˆencias exatas com P i e P projetivos para i ≤ n − 1. Ent˜ ao i

        ′ ′ ′ ′ P ⊕ P ⊕ P ⊕ P ⊕ · · · ≈ P ⊕ P ⊕ P ⊕ P ⊕ · · · .

        2

        1

        3

        1

        3

        2 Demonstra¸c˜ ao. Provaremos usando indu¸c˜ ao em n. ′ ′ ′ Sejam K = Ker({P n → P n }) e K = Ker({P → P }). −2 −3 n n −2 −3

        ′ ′

        Considere Q = P ⊕ P n ⊕ · · · e Q = P n ⊕ P ⊕ · · · , pela n −3 −2 n

        −2 −3 ′ ′

        hip´otese de indu¸c˜ao temos que K ⊕ Q ≈ K ⊕ Q . Assim, obtemos as seguintes sequˆencias exatas // P // P // K ⊕ Q // 0, n n −1 ⊕ Q

        

      ′ ′ ′ ′

      // P // P // K // 0. n n ⊕ Q ⊕ Q −1 ′ ′

        Uma vez que P n ⊕ Q e P ⊕ Q s˜ao projetivos, obtemos do

        −1 n

      −1

      ′ ′ ′ lema anterior que P n ⊕ P ⊕ Q ≈ P ⊕ P n ⊕ Q. n n −1

        −1

        Proposi¸ c˜ ao 5.13. Para qualquer m´ odulo M e qualquer inteiro n ≥ 0,

        as seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (i) Existe uma resolu¸c˜ ao parcial

        F n // · · · // F // M // 0, em que cada F i ´e livre e de posto finito.

        (ii) M ´e do tipo F P n .

      (iii) M ´e finitamente gerado, e para toda resolu¸c˜ ao parcial projetiva

        P k // · · · // P // M // 0

        do tipo finito com k &lt; n, temos que Ker{P k → P k } ´e finitamente −1 gerado.

        

      Demonstra¸c˜ ao. (i) ⇒ (ii) Diretamente da hip´otese segue imediatamente

      que M ´e do tipo F P n .

        (ii) ⇒ (iii) Suponha que M ´e do tipo F P n , assim existe uma re- // · · · // P // M // 0 , com solu¸c˜ ao parcial projetiva P k k &lt; n e em que cada P i ´e finitamente gerado. Considere

        ′ ′

        P // · · · // P // M // 0 k

        ′ gerado. Pelo fato de Ker({P k → P k }) ser finitamente gerado, obtemos

        

      −1

      ′ ′

        do Lema 5.11 (iii) que Ker({P → P }) tamb´em ´e finitamente gerado. k k

        −1

        (iii) ⇒ (i) Como M ´e finitamente gerado, existe um epimorfismo ε : F → M , em que F ´e livre e finitamente gerado, e por hip´otese temos que Ker(ε) ´e finitamente gerado. Da mesma forma, existe um epimorfismo f : F → Ker(ε), em que F ´e livre e finitamente gerado.

        1

        1

        1 Assim, considere d = i ◦f , em que i ´e a inclus˜ao canˆonica. Repetindo

        1

        1

        1

        1

        este processo obtemos a seguinte resolu¸c˜ ao parcial livre d d 2 1 ε //

        · · · // F // F F // M // 0

        2

        1 f 2 i / / 1 f ?? ?? 1 i

        Ker(d ) Ker(ε)

        1 at´e a dimens˜ ao n. Logo (i) ´e satisfeito.

        A condi¸c˜ao F P n nos d´a informa¸c˜oes apenas at´e a dimens˜ao n de uma resolu¸c˜ao, entretanto existem resolu¸c˜oes que possuem m´odulos finitamente gerados em todas as dimens˜oes, em outras palavras, ter´ıamos a condi¸c˜ ao F P n para todo n. Desta forma, dizemos que M ´e do tipo F P ∞ se satisfaz as condi¸c˜ oes da seguinte proposi¸c˜ ao: Proposi¸ c˜ ao 5.14. Seja M um R-m´ odulo. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes.

        (i) M admite uma resolu¸c˜ ao livre do tipo finito. (ii) M admite uma resolu¸c˜ ao projetiva do tipo finito. (iii) M ´e do tipo F P n para todo inteiro n ≥ 0.

      Demonstra¸c˜ ao. A demonstra¸c˜ ao desta proposi¸c˜ao ´e similar a Proposi¸c˜ao

      5.13.

        Voltaremos novamente para o caso em que R = ZG e M = Z . Assim, podemos aplicar as condi¸c˜oes F P n e F P para os grupos. n ∞

        Dizemos que um grupo G ´e do tipo F P (resp. F P ) se Z ´e do tipo F P n (resp. F P ) como um ZG-m´ odulo.

        ∞

        Exemplo 5.15. Uma vez que o homomorfismo de aumento ε : ZG → Z ´e um epimorfismo, segue que todo grupo ´e do tipo F P . Considere agora a seguinte sequˆencia exata curta  ε

        // Z // Ker(ϕ) // ZG // 0. Se G ´e do tipo F P ent˜ao G ´e finitamente gerado. E reciprocamente,

        1

        se G ´e finitamente gerado temos que Ker(ϕ) ´e finitamente gerado, e portanto a sequˆencia acima ´e uma presenta¸c˜ao finita para Z, ou seja, G ´e do tipo F P .

      1 As condi¸c˜oes F P n se comportam bem em rela¸c˜ao aos subgrupos de ´ındice finito.

        Proposi¸ c˜ ao 5.16. Seja H um subgrupo de G de ´ındice finito. Ent˜ ao G ´e do tipo F P n se, e somente se H ´e do tipo F P n , para 0 ≤ n ≤ ∞.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Se G ´e do tipo F P n ent˜ao existe um resolu¸c˜ ao parcial

        // Z P n // · · · // P // 0 projetiva do tipo finito sobre o anel ZG. Desta forma, podemos considerar esta mesma resolu¸c˜ao sobre ZH. O n

        Z G fato de P i ser finitamente gerado nos diz que P i ≈ , para algum n n L subm´odulo L de ZG . Como (G : H) &lt; ∞, segue que ZG ´e a soma finita de c´ opias de ZH, consequentemente P i ´e finitamente gerado sobre Z H. Portanto H ´e do tipo F P n .

        Reciprocamente, suponha que H ´e do tipo F P n . Seja P uma resolu¸c˜ ao projetiva parcial de Z visto como ZG-m´odulo, de comprimento k &lt; n.

        Sabemos que P pode ser visto como uma resolu¸c˜ ao projetiva de Z

        H-m´odulos do tipo finito. Da Proposi¸c˜ao 5.13 segue que Ker(P k → P k ) ´e finitamente gerado sobre o anel ZH. Logo Ker(P k → P k ) ´e

        −1 −1 finitamente gerado sobre ZG e portanto G ´e do tipo F P n .

        Existe uma outra no¸c˜ao que diz respeito a resolu¸c˜oes finitas do tipo finito, a saber, a condi¸c˜ ao F P . Dizemos que G ´e do tipo F P se Z admite uma resolu¸c˜ ao projetiva do tipo finito e de comprimento finito. Proposi¸ c˜ ao 5.17. G ´e do tipo F P se, e somente se, cd G &lt; ∞ e G ´e do tipo F P ∞ .

        

      Demonstra¸c˜ ao. Se G ´e do tipo F P segue facilmente que cd G &lt; ∞

        e G ´e do tipo F P . Reciprocamente, se G ´e do tipo F P existe

        ∞ ∞

        uma resolu¸c˜ao projetiva de tipo finito de Z sobre ZG. Considere esta resolu¸c˜ ao at´e a dimens˜ ao n − 1 // Z

        // · · · // P // 0, P n −1 em que cd G = n. Seja P n = Ker(P n → P n ). Note que P n

        −1 −2

        ´e projetivo devido ao Lema 5.2 e finitamente gerado em virtude da

        5.3 CRIT´ ERIO DE BIERI-ECKMANN Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e provar o Crit´erio de Bieri-Eckmann

        Q Z [1], o qual nos fornece uma rela¸c˜ao entre a condi¸c˜ao F P e H (G, G).

        ∞ ∗ I Isto nos ajudar´ a a mostrar que o grupo de Thompson F ´e do tipo F P .

        ∞

        Seja {A i } i um sistema inverso de R-m´odulos, ent˜ ao temos que R ∈I {T or (B, A i )} i ´e um sistema inverso de grupos abelianos. A partir k ∈I disto, existe um ´ unico homomorfismo natural R R T or (B, lim A i ) −→ lim T or (B, A i ), k = 0, 1, . . . k k

        ←− ←− Q

        Suponha que lim A i = R e considere o caso quando k = 0, I ←− ent˜ao o homomorfismo acima se reduz em

        Y Y µ B : B ⊗ R R → I I

        B, Q Q dado por µ B (b ⊗ r i ) = br i , em que b ∈ B e r i ∈ R. i ∈I i ∈I

        Veremos a seguir quais as implica¸c˜oes do fato de B ser finitamente gerado ou finitamente presentado, isto nos ser´ a ´ util para demonstrar o Crit´erio de Bieri-Eckmann. Antes, ´e necess´ario ter em mente o seguinte resultado, que ´e v´ alido para m´ odulos quaisquer: Lema 5.18. Considere o seguinte diagrama comutativo com linhas

        exatas de R-m´ odulos:

      f g

        // // // M N P ϕ ϕ ϕ 1 f g ′ ′ 2 3

        

      ′ ′ ′

        // M // N // P // 0 Suponha que ϕ ´e um isomorfismo e que ϕ ´e um epimorfismo.

        2

        3 Ent˜ ao ϕ ´e um epimorfismo se, e somente se, ϕ ´e um monomorfismo.

        1

        3 Demonstra¸c˜ ao. Basta fazer uma “ca¸ca”ao diagrama.

        Lema 5.19. (i) O homomorfismo µ B ´e um epimorfismo para todo Q

      produto direto R se, e somente se, B ´e finitamente gerado.

      I

      (ii) O homomorfismo µ B ´e um isomorfismo para todo produto direto

        Q I R se, e somente se, B ´e finitamente presentado.

        

      Demonstra¸c˜ ao. (i) Suponha que µ B ´e um epimorfismo para todo I

        Q Q e seja I = B o conjunto de ´ındices. Dado b ∈ B existe b B

        ∈B

        Q Q m

        P Q Sabemos que c = (b k ⊗ r bk ). Assim, b k ∈B =1 m m ! !

        X Y

        X Y Y µ B (c) = µ B b k ⊗ r bk = b k r bk = k =1 b ∈B k =1 b ∈B b ∈B m b.

        P m Isto nos diz que b = b k r bk . Logo B ´e gerado por {b k } . k k =1 =1 Reciprocamente, suponha B finitamente gerado. Seja X = m

        Q {x i } um conjunto gerador de B. Ent˜ao para qualquer b j ∈ i j

        =1 ∈I

        Q I B temos que   m m !

        Y

        X Y j j

        X Y  j ∈I =1 j ∈I =1 i ∈I b j = x i r  = µ B x i ⊗ r . i i i i

        (ii) Seja B um R-m´ odulo finitamente gerado. Considere // K // F // B // 0 uma presenta¸c˜ao de B, em que F ´e um R-m´ odulo livre de posto finito.

        Com isso produzimos o seguinte diagrama comutativo com linhas exatas Q Q Q

        // // // K ⊗ R R F ⊗ R R B ⊗ R R µ K µ F µ B I I I Q Q Q

        // // // I K F B // 0. I I Vejamos que µ F ´e um isomorfismo. n Uma vez que F ≈ R , ent˜ao µ F pode ser considerado como sendo n n Q Q um homomorfismo R ⊗ R R → (R ). I I Q Q n n

        Seja ϕ : R −→ R ⊗ R R o homomorfismo dado por I I !

        Y Y Y Y n n

        1

        1

        ϕ r , . . . , r = e ⊗ r + · · · + e n ⊗ r , i i

      i i i i

      1 i i

      ∈I ∈I ∈I ∈I

      com e j = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) no qual a j-´esima entrada ´e igual a 1.

        Observe que !

        Y Y Y Y

        1 n 1 n

        µ F ◦ ϕ r , . . . , r = µ F (e ⊗ r + · · · + e n ⊗ r ) i i

        1 i i

      • · · · +

        ∈I

        ⊗ Y i ∈I r

        1

        s i + · · · + e n ⊗ Y i ∈I r n s i

        = e

        

      1

        ⊗ r

        1 Y i ∈I s i + · · · + e n ⊗ r n

        Y i ∈I s i = e

        

      1

        r

        1

        ⊗ Y i

        s i + · · · + e n r n ⊗ Y i

        = e

        ∈I

        s i = (r

        1

        , . . . , r n ) ⊗ Y i

        ∈I

        s i ! .

        Portanto µ

        −1 F = ϕ.

        Suponha que µ B ´e um isomorfismo para todo produto direto Q I R. Desta forma, estamos nas hip´oteses do Lema 5.18, assim µ K ´e um epimorfismo. Pelo item (i) segue que K ´e finitamente gerado.

        Reciprocamente, se µ K ´e um epimorfismo segue do Lema 5.18 que µ B ´e um isomorfismo. A prova do Lema 5.19 nos diz que se B ´e um m´odulo finitamente presentado ent˜ao qualquer sequˆencia

        // K // F // B // 0 , com F sendo um m´odulo livre e finitamente gerado, ´e uma presenta¸c˜ao finita de B. Proposi¸ c˜ ao 5.20. O R-m´ odulo B admite uma resolu¸c˜ ao livre ε : F → B,

        

      com F i finitamente gerado para todo i ≤ k se, e somente se B ´e finita-

      R

        

      1

        s i , . . . , r n s i ) !

        = Y i

        ∈I

        

      ∈I

        e

        1 r

        1 i

        Y i

        ∈I

        e n r n i =

        Y i

        

      ∈I

        r

        1 i , . . . ,

        Y i

        r n i ! e

        1

        ϕ ◦ µ (r

        1 , . . . , r n ) ⊗

        Y i

        ∈I

        s i !

        = ϕ Y i

        ∈I

        (r

        1 , . . . , r n )s i

        ! = ϕ

        Y i

        ∈I

        (r

        Q Q e todo produto direto .

        Demonstra¸c˜ ao. Se ε : F → B ´e uma resolu¸c˜ ao livre em que cada F i

        ´e finitamente gerado quando i ≤ k e k ≥ 1, ent˜ ao B ´e um m´odulo finitamente presentado.

        Seja // K // F // B // 0 (5.2) uma presenta¸c˜ ao finita de B. Considere o seguinte diagrama comutativo com linhas exatas R Q Q Q Q

        // // // // T or (B, R) // K ⊗ R R F ⊗ R R B ⊗ R R I I I I

        1 µ µ µ K0 F0 B

        Q Q Q // // //

        // 0, I K F B I I em que µ B e µ F s˜ao isomorfismos e µ K ´e um epimorfismo.

        Pelo Lema 5.19, K ´e finitamente presentado se, e somente se, R Q µ K ´e um monomorfismo, isto ´e, T or (B, R) = 0 para todo I.

        

      1

      I

        Supondo que K ´e finitamente presentado, considere a presenta¸c˜ao finita // K // F // K // 0. (5.3)

        1

        1 Aplicando o mesmo argumento acima segue que K ´e finitamente pre-

        1 R

        Q sentado se, e somente se, T or (K , R) = 0.

        1 De (5.2) produzimos a seguinte sequˆencia exata longa: R R Q Q

        · · · // 0 // T or (B, R) // T or (K , R) // 0 // · · · ,

        2 I

        1 I R R Q Q

        em que T or (F , R) = T or (F , R) = 0. Assim,

        2 I

        1 I

        ! ! R R Y Y T or B, R ≈ T or K , R .

        2 I

        1 I Repetindo este argumento obtemos o resultado.

        Teorema 5.21 (Crit´erio de Bieri-Eckmann). Um grupo G ´e do tipo Q Z

        F P se, e somente se, G ´e finitamente gerado e H k (G,

        G) = 0

        ∞ I Q

        Z

        Demonstra¸c˜ ao. Considere a sequˆencia exata curta ε

        // Z // Ker (ε) // ZG // 0 . Suponha que G ´e do tipo F P , ent˜ao temos que Z ´e finitamente

        

        presentado sobre ZG. Ent˜ao Ker(ε) finitamente gerado, isto nos leva a concluir que G tamb´em ´e finitamente gerado (Observa¸c˜ ao 4.2). Portanto, G Q Q Z Z da Proposi¸c˜ ao 5.20 temos que T or (Z, i I G) = H i (G, I G) = 0,

        Q Z para todo i ≥ 1 e todo produto direto I G.

        Reciprocamente, se G ´e finitamente gerado temos que Ker(ε) ´e fi- nitamente gerado. Portanto, o resultado novamente segue da Proposi¸c˜ao

        5.20.

        6 O GRUPO DE THOMPSON F Neste cap´ıtulo mostraremos trˆes propriedades que o grupo de

        Thompson satisfaz. Estas propriedades se referem `a tor¸c˜ao do grupo, sua dimens˜ao cohomol´ogica e ` a condi¸c˜ao de finitude. Esta ´ ultima, nos diz que o grupo ´e do tipo F P e para mostrarmos isto nos basearemos

        ∞

        principalmente em Brown [3], e al´em de Bieri e Eckmann [1], Cannon et al. [4] e Higman [7]. Al´em disso, exibiremos duas presenta¸c˜ oes para F . Defini¸ c˜ ao 6.1. Seja F o conjunto dos homeomorfismos lineares por

        

      partes do intervalo [0, 1] para [0, 1] que s˜ ao diferenci´ aveis exceto em

        a

        

      uma quantidade finita de racionais di´ adicos (n´ umeros da forma com

      k

        2 a ∈ Z e k ∈ N) e cujas derivadas s˜ ao potˆencias inteiras de 2. Tal

        

      conjunto ´e grupo por composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes um grupo, que ´e chamado

      grupo de Thompson F .

        Exemplo 6.2. Considere as fun¸c˜ oes A(x) e B(x) dadas por 

        1  x, 0 ≤ x ≤ 

         

        2  x

        1 

          , 0 ≤ x ≤

            

        2 2    x

        1

        1

        3     + ≤ x ≤    

        2

        4

        2

        4

        1

        1

        3 A(x) = x − , ≤ x ≤ B(x) = 

        4

        2 4   

        1

        3

        7     x − ≤ x ≤    

        8

        4

        8  

        3    

        2x − 1, ≤ x ≤ 1,  

        4 

        7   2x − 1 ≤ x ≤ 1.

        8

        1

        1

        3

        4

        5

        8

        1

        1

        2

        2

        1

        4

        1

        3

        1

        3

        7

        1

        1

        2

        4

        2

        4

        8 As fun¸c˜ oes A(x) e B(x) s˜ao elementos do grupo F . Posterior- mente, veremos que estes homeomorfismos s˜ao geradores do grupo. Vejamos agora as primeiras propriedades satisfeitas por F . Teorema 6.3. O grupo F ´e livre de tor¸c˜ ao e cd(F ) = ∞.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Vejamos que F ´e livre de tor¸c˜ao. Seja f ∈ F tal que

        f 6= Id. Seja x o maior elemento de [0, 1] tal que f | = Id . Ent˜ao k [0,x] [0,x] a derivada pela direita em x ´e igual a 2 para algum k 6= 0. Desta n kn forma, neste ponto a derivada pela direita da fun¸c˜ ao f ´e 2 para todo n n ∈ N. Ou seja, f 6= Id.

        Para mostrar que cd(F ) = ∞, tome f, g ∈ F tais que f g = gf . Estas fun¸c˜ oes sempre existem, por exemplo as fun¸c˜ oes representadas abaixo comutam entre si.

      2 Ent˜ ao, Z ≈ hf, gi ´e um subgrupo de F . Da mesma forma, podemos

        estender esta ideia para n elementos. Para n = 4, podemos tomar as seguintes fun¸c˜ oes:

        n

        Portanto F possui um subgrupo isomorfo a Z . Pelo Lema de Shapiro n n n F n Z obtemos H (Z , Z) ≈ H (F, Coind ).

        

      Z

      n

        

      1

        1 O toro n-dimensional Y = S × · · · × S ´e um K(Z , 1), visto que n n n seu recobrimento universal ´e R que ´e contr´atil. Assim, H (Z , Z) = n n H (Y, Z) ≈ Z. Isto nos diz que cd(Z ) = n. Portanto, cd(F ) ≥ n.

        Este teorema juntamente com a Proposi¸c˜ao 5.17 nos mostram que o grupo F n˜ ao pode ser do tipo F P . A defini¸c˜ao do grupo de Thompson n˜ao ´e das mais amig´aveis, ajudam a trabalhar com ele. Veremos a seguir duas formas de representar estes elementos, primeiramente por meio de diagramas retangulares e, o mais importante para nossa teoria, mediante ´arvores bin´ arias.

        6.1 DIAGRAMAS RETANGULARES Baseado em Cannon et al. [4], descreveremos os diagramas re- tangulares da seguinte forma: para cada elemento f ∈ F podemos representa-lo construindo um retˆangulo, cuja parte superior corresponde ao dom´ınio de f , enquanto a parte inferior representa a imagem de f . Para todo ponto x na parte superior do retˆ angulo em que f n˜ao ´e diferenci´avel, constru´ımos um segmento de reta que sai de x e chega em f (x). Exemplo 6.4. Os homeomorfismos A(x) e B(x) vistos anteriormente, s˜ao representados da seguinte maneira:

        Figura 10 – Diagramas retangulares de A e B Fonte: adaptada de Cannon et al. [4]

        Para representar a composi¸c˜ao de homeomorfismos, ´e feita a jus- taposi¸c˜ao dos retˆangulos de cada homeomorfismo. Vejamos os exemplos. Exemplo 6.5. As figuras abaixo representam os diagramas retangulares

        −1 −1 −2

        2

        −1

        Figura 11 – Diagrama retangular de AB Fonte: adaptada de Cannon et al. [4]

        −1 −2

        2 Figura 12 – Diagramas retangulares de A BA e A BA

        Fonte: adaptada de Cannon et al. [4] Seguindo o padr˜ao da Figura 12, conseguimos construir os dia- n

        −(n−1) −1

        gramas retangulares dos homeomorfismos da forma A BA . A n

        −(n−1) −1

        partir disso, definiremos X n = A BA para n ≥ 1, que possui

        Figura 13 – Diagrama retangular de X n Fonte: adaptada de Cannon et al. [4] Quando n = 0, definiremos X = A.

        6.2 ´ ALGEBRA DO TIPO 2 Introduziremos um sistema alg´ebrico chamado de ´algebra do tipo 2. Considere o sistema alg´ebrico que consiste em um conjunto infinito

        2 V munido de uma bije¸c˜ao α : V → V . A aplica¸c˜ao α ´e descrita por

        meio das aplica¸c˜oes α i : V → V , i ∈ {0, 1}. Conforme Brown [3] e Higman [7], denotaremos xα i como sendo a imagem de x mediante α i . Assim, a aplica¸c˜ ao α i : V → V ´e descrita da seguinte forma xα 7−→ (xα , xα ).

        1

        2 Definiremos a inversa de α como sendo a aplica¸c˜ao λ : V → V . As

        aplica¸c˜ oes α , α

        

      1 e λ satisfazem as seguintes rela¸c˜ oes

        (xα , xα

        1 )λ = x

        (x , x

        1 )λα = x

        (x , x

        

      1 )λα

      1 = x

        1

        para todo x, x , x ∈ V . A este sistema, o conjunto V munido das

        1

        aplica¸c˜oes α e λ que satisfazem as rela¸c˜oes acima, chamaremos de algebra do tipo 2. ´ Estas rela¸c˜oes entre α e λ podem ser representadas por meio de x xα xα

        1

        xα α xα α xα α xα α

        1

        1

        1

        1

        xα α α xα α α

        1

        1

        1 Dizemos que x ´e a raiz da ´arvore e chamaremos de filhos de x os n´os

        representados pelas imagens de x por α e α . Os n´os que n˜ ao possuem

        1

        filhos s˜ao chamados de folhas. No caso acima, temos cinco folhas na arvore. ´ A partir disso, dado um conjunto X = {x j } j , construiremos

        ∈J uma ´algebra gerada por X que denotaremos por F (X) (Ver Higman [7]).

        Diremos ainda que X ´e uma base de F (X).

        Usaremos novamente as aplica¸c˜oes α , α

        1 e λ para descrever

        F (X). Seja A = {α , α 1 }. Assumiremos que X ∩ (A ∪ {λ}) = ∅.

        Dizemos que uma forma padr˜ ao sobre X ´e uma sequˆencia de elementos de X ∪ A ∪ {λ} que satisfaz as seguintes regras: i i (i) xα 1 . . . α k ´e uma forma padr˜ ao sempre que x ∈ X, k ≥ 0 e 0 ≤ i j ≤ 1 para j = 1, 2, . . . , k.

        (ii) Se w , w s˜ao formas padr˜ oes, ent˜ao (w , w )λ tamb´em ´e, a menos

        1

        1 que exista uma forma padr˜ ao u tal que w i = uα i para i = 0, 1.

        O conjunto das formas padr˜ao se torna uma ´algebra do tipo 2, por meio das rela¸c˜ oes (xα i , . . . , α i )α i = xα i , . . . , α i α i 1 k 1 k

        ((w , w )λ)α i = w i

        1

        para i = 0, 1 e (w , w )λ = w w λ

        1

        1

        a menos que exista uma forma padr˜ ao u tal que w i = uα i para i = 0, 1, neste caso definimos (w , w

        

      1 )λ = (uα , uα 1 ) = u. Chamaremos esta estrutura de ´ algebra livre gerada por X. Por meio da base X = {x j }, podemos construir uma nova base de F (X) removendo um determinado x j e substituindo-o pelos seus filhos x j α e x j α . Aplicando α , α e λ nos elementos da nova base,

        1

        1

        conseguimos obter toda a ´ algebra F (X). Esta nova base ´e chamada de uma expans˜ ao simples de X. A opera¸c˜ao obtida por meio de uma quantidade finita de composi¸c˜ oes de expans˜ oes simples resulta no que chamaremos de uma expans˜ ao de X.

        Expans˜oes de X s˜ao associadas a ´arvores bin´arias finitas, em que suas folhas s˜ ao exatamente os elementos da nova base. Por exem- plo, se X = {x}, a expans˜ao Y = {xα , xα

        1 α α , xα 1 α α 1 , xα 1 α 1 } ´e

        representada da seguinte forma: x xα xα

        1

        xα α xα α

        1

        1

        1

        xα α α xα α α

        1

        1

        1 Observando a ´arvore acima, ´e f´acil ver, por exemplo, que a imagem

        de xα por meio de α resulta no par (xα α , xα α ) e a imagem do par

        1

        1

        1

        1

        (xα α , xα α ) por meio de λ ´e exatamente xα . Por´em, se aplicarmos

        1

        1

        1

        1

        λ no par (xα α α , xα α ), obteremos tamb´em um elemento de F (X),

        1

        1

        1

        1

        mas tal elemento n˜ao ser´a vis´ıvel na ´arvore. A estes chamaremos de elementos invis´ıveis de F (X).

        Al´em de ser poss´ıvel fazer expans˜ oes, podemos tamb´em atrav´es de λ, obter contra¸c˜oes. Dizemos que Z ´e uma contra¸ c˜ ao de Y quando Z pode ser obtida de Y atrav´es uma quantidade finita de contra¸c˜oes simples. Uma contra¸ c˜ ao simples consiste em tomar um par (y , y

        1 )

        de distintos elementos de Y e troc´a-los por (y , y

        1 )λ. Ou seja, Z ´e uma contra¸c˜ ao de Y se Y ´e uma expans˜ ao de Z.

        Uma base tamb´em pode ser formada a partir das contra¸c˜oes. Como por exemplo, se Y = {xα , xα α α , xα α α , xα α }, ent˜ao

        1

        1

        1

        1

        1 ′

        Y = {xα , xα α α , (xα α α , xα α )λ} ´e uma base.

        1

        1

        1

        

      1

        1

        ´ E usual denotar por V a ´algebra do tipo 2 gerada por um conjunto

      2 X unit´ario, mesmo que as contra¸c˜oes e expans˜oes de bases mostrem

        Um fato importante ´e que sempre existe uma expans˜ao comum entre duas bases de F (X). Teorema 6.6. Duas bases finitas de F (X) possuem uma expans˜ ao em comum.

        A demonstra¸c˜ ao do teorema acima decorre dos dois pr´oximos lemas. Antes, introduziremos uma nota¸c˜ao baseada em Higman [7]. Seja X um subconjunto de uma ´algebra V em V e seja A = {α , α }.

        2

        1 Denotaremos por X hAi a sub´ algebra gerada por X.

        Lema 6.7. Para cada x ∈ V o conjunto x hAi \X hAi ´e finito.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Suponha que para cada x ∈ V temos que o n´ umero de

        λ envolvidos em x ´e m, ent˜ ao temos que xα i · · · α i r ∈ X hAi em que 1 r ≥ m. Assim, os elementos de x hAi \X hAi s˜ao da forma xα i · · · α i r ∈ 1 X hAi em que r &lt; m, e claramente ´e uma quantidade finita.

        Lema 6.8. Se X ´e um conjunto finito, ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ oes em

        um subconjunto U de F(X) contido em X hAi s˜ ao equivalentes:

      (i) U = X hAi ∩ Y hAi, para algum conjunto Y gerador de F (X).

        (ii) U ´e A-fechado e X hAi \ U ´e finito. (iii) U = Z hAi, para alguma expans˜ ao Z de X.

      Demonstra¸c˜ ao. (i) ⇒ (ii) Suponha que U = X hAi ∩ Y hAi, em que Y

      ´e uma base de F (X).

        Sabemos que X hAi e Y hAi s˜ao A-fechados no sentido de que para todo elemento x ∈ X hAi e y ∈ Y hAi, temos que xα i ∈ X hAi e yα i ∈ Y hAi para i = 0, 1. Consequentemente, U ´e fechado.

        Pelo Lema 6.7, temos que para qualquer x ∈ X o conjunto x hAi \Y hAi ´e finito. Como X ´e finito, isto nos diz que X hAi \Y hAi = X hAi \ U ´e finito. (ii) ⇒ (iii) Provaremos utilizando o princ´ıpio de indu¸c˜ao na cardinalidade de X hAi \ U . Se |X hAi \ U| = 0 temos que X = Z. Suponha que o resultado ´e v´ alido para |X hAi \ U| = n − 1. Seja w ∈ X hAi \ U tal que w envolva o maior n´ umero poss´ıvel

        ∗ ∗

        de α i . Considere U = U ∪ {w}. Note que U tamb´em ´e A-fechado e

        ∗

        que |X hAi \ U | = |X hAi \ U| −1 = n − 1. Assim, pela hip´otese de

        ∗ ∗ ∗ O elemento w ∈ Z

        ∗

        1

        4

        ,

        1

        2

        ] .. .

        .. .

        [

        1

        2

        , 1] [

        2

        [

        ,

        3

        4

        ] .. .

        .. .

        [

        3

        4

        , 1] .. .

        .. .

        1

        .. .

        , pois caso contr´ ario podemos escrever w = zα i 1 · · · α i r , com z ∈ Z

        1

        ∗

        e r &gt; 0. Consequentemente, z ∈ U

        ∗ \ {w} = U .

        Mas como U ´e A-fechado temos que w ∈ U, absurdo. Portanto, w ∈ Z

        ∗ .

        Seja Z = (Z

        ∗

        \{w}) ∪ {wα , wα

        1

        }. Assim, Z ´e uma expans˜ao de X e pela forma como escolhemos w segue que wα , wα

        ∈ U . Logo, U = Z hAi. (iii) ⇒ (i) Tomando Y = Z segue o resultado.

        ] .. .

        A partir de agora, assumiremos que os elementos das bases de F (X) s˜ ao intervalos di´ adicos em [0, 1], ou seja focaremos na constru¸c˜ ao de ´ arvores bin´ arias de intervalos di´ adicos em [0, 1].

        Um intervalo di´ adico em [0, 1] ´e um intervalo da forma a 2 n

        , a + 1 2 n

        , em que a e n s˜ao inteiros n˜ ao negativos tais que a ≤ 2 n − 1. Denotaremos por Λ a ´arvore formada pelos intervalos di´adicos. A ´ arvore Λ ´e definida da seguinte forma:

        (i) A raiz de Λ ´e o intervalo [0, 1]; (ii) As arestas s˜ ao os pares (I, J), em que I e J s˜ao intervalos di´ adicos; (iii) A aresta (I, J) ´e uma aresta esquerda se I ´e a metade esquerda do intervalo J; (iv) A aresta (I, J) ´e uma aresta direita se I ´e a metade direita do intervalo J;

        [0, 1] [0,

        1

        2

        ] [0,

        1

        4

        Denotaremos por Λ-tree uma sub´arvore finita qualquer de Λ com n + 1 folhas e o lado direito da ´arvore tem comprimento n. Por exemplo, Λ ´e da forma

        3

        ◦ ◦

        ◦ Uma sub´arvore de Λ ´e dita caret quando possui apenas duas folhas, como representado abaixo.

        ◦ Uma parti¸c˜ao de [0, 1] ´e chamada de parti¸ c˜ ao di´ adica se, e somente se os intervalos da parti¸c˜ ao s˜ao di´ adicos. Existe uma correspondˆencia bijetora entre as parti¸c˜oes di´adicas e a ´ arvore do tipo Λ-tree. Note que as folhas de Λ-tree s˜ao os intervalos de uma parti¸c˜ ao di´adica. E os intervalos de uma parti¸c˜ao di´adica determinam uma quantidade finita de folhas. Lema 6.9. Seja f ∈ F . Ent˜ ao existe uma parti¸c˜ ao padr˜ ao di´ adica 0 = x &lt; x &lt; . . . &lt; x n = 1 tal que f ´e linear em todo intervalo da

        2

      parti¸c˜ ao e 0 = f (x ) &lt; f (x ) &lt; . . . &lt; f (x n ) = 1 ´e uma parti¸c˜ ao di´ adica.

      2 Demonstra¸c˜ ao. Escolha uma parti¸c˜ ao P de [0, 1] no qual os pontos s˜ao n´ umeros racionais di´ adicos, em que f ´e linear em todo intervalo de P .

        Seja [a, b] um intervalo de P . Suponha que a derivada de f ´e m m

        −k

        2 . Seja m um inteiro tal que m ≥ 0, m + k ≥ 0, 2 a ∈ Z, 2 b ∈ Z, m m

      • k +k 2 f (a) ∈ Z e 2 f (b) ∈ Z.

        1

        2

        3 Ent˜ao a &lt; a + m &lt; a + m &lt; a + m &lt; . . . &lt; b ´e uma parti¸c˜ ao

        2

        2

        2

        di´ adica de [0, 1], assim temos que

        1

        2

        3 f (a) &lt; f (a + ) &lt; f (a + ) &lt; f (a + ) &lt; . . . &lt; f (b), m m m

        2

        2

        2 ou seja,

        1

        2

        3 f (a) &lt; f (a) + &lt; f (a) + &lt; f (a) + &lt; . . . &lt; f (b)

        ´e uma parti¸c˜ ao di´ adica de [f (a), f (b)]. Defini¸ c˜ ao 6.10. Um diagrama de ´ arvores ´e um par (R, S) de ´ arvores

        

      do tipo Λ-tree, tal que R e S tˆem o mesmo n´ umero de folhas. Este

      diagrama ´e representado da seguinte forma:

        R −→ S.

        

      A ´ arvore R ´e chamada de dom´ınio, enquanto S ´e chamada de imagem

      do diagrama.

        Os diagramas de ´arvores bin´arias nos auxiliam na representa¸c˜ao dos elementos do grupo F . O Lema 6.9 nos diz que dado f ∈ F , sempre existem parti¸c˜oes P e Q, tais que f ´e linear nos intervalos de P e f mapeia tais intervalos para os intervalos de Q. Assim, existe um diagrama de ´ arvores (R, Q), em que R, S s˜ ao do tipo Λ-tree associadas ` as parti¸c˜ oes P e Q, respectivamente.

        Observe que f n˜ao possui apenas uma representa¸c˜ao, visto que P e Q n˜ao s˜ ao ´ unicos. Por exemplo, se (R, S) ´e um diagrama para f , basta acrescentar dois carets, um em R e outro em S. Se I, J s˜ao folhas que est˜ao na posi¸c˜ao n de R e S, respectivamente, para algum inteiro n, considere I e I as folhas de um caret C de raiz I. Da mesma

        1

        2

        forma, considere J e J folhas de um caret D de raiz J. Pelo fato de f

        1

        2

        ser linear em I e f (I) = J segue que f (I ) = J e f (I ) = J . Defina

        1

        1

        2

        2 ′ ′ ′ ′

        R = R ∪ C e S = S ∪ D, assim (R , S ) ´e um diagrama de ´arvores que tamb´em representa f .

        Apesar de n˜ ao existir apenas um diagrama que represente f , da mesma forma que podemos acrescentar carets no diagrama, podemos retirar. Por´em, existe um momento que n˜ao ´e poss´ıvel retirar mais carets, sen˜ao as informa¸c˜oes contidas no diagrama sobre a fun¸c˜ao f s˜ ao perdidas. Isto nos motiva a seguinte defini¸c˜ ao. Defini¸ c˜ ao 6.11. Seja (R, S) um diagrama de ´ arvores para f ∈ F .

        

      Seja n um inteiro positivo tal que as folhas das posi¸c˜ oes n e n + 1 de

        R, respectivamente S, est˜ ao em um caret C, respectivamente D. O

        

      diagrama (R, S) ´e chamado reduzido se n˜ ao existe um inteiro positivo

        n tal que os carets C e D podem ser removidos a fim de obter outra representa¸c˜ ao de f .

        Qualquer elemento de F possui um ´ unico diagrama reduzido que o representa. Al´em disso, se (R, S) ´e um diagrama de ´ arvore temos que existe f ∈ F tal que f ´e linear em toda folha de R e f mapeia, em Exemplo 6.12. Os elementos A e B s˜ao representados pelos seguintes diagramas reduzidos ◦ ◦ A

        −→ ◦ ◦

        ◦ ◦ ◦ ◦ B

        −→ ◦ ◦

        ′

        Se (R, S) ´e uma representa¸c˜ ao para f e (R , R) ´e uma repre-

        ′ senta¸c˜ ao para g, ent˜ao (R , S) ´e uma representa¸c˜ ao para f g.

        A Figura 13 nos mostra que a representa¸c˜ao por meio de ´ arvores de X n ´e dada por ◦ ◦ n arestas n arestas X n

        −→ ◦ ◦

        ◦ ◦

        6.3 PRESENTAC ¸ ˜ AO DE F Mostraremos, com base em Cannon et al. [4], duas presenta¸c˜oes do grupo de Thompson F . Uma envolvendo os homeomorfismos A e

        B, e outra envolvendo X n . Para isso, definiremos o expoente de uma

        Defini¸ c˜ ao 6.13. Sejam I , . . . , I n as folhas de uma Λ-tree R, nesta

        

      ordem. Para todo inteiro k, com 0 ≤ k ≤ n, seja a k o tamanho m´ aximo

      da soma das arestas esquerdas que partem de I k em R as quais n˜ ao

      tocam a parte direita da ´ arvore. Ent˜ ao a k ´e o k-´esimo expoente de S.

        Exemplo 6.14. Considere a seguinte ´ arvore de oito folhas.

        ◦ ◦ ◦

        ◦ ◦ ◦ H

        ◦ A B C D E F G

        Para encontrarmos os expoentes, precisamos contar quantas arestas esquerdas existem ligando as folhas que est˜ao em uma aresta esquerda com a raiz da ´arvore. As folhas que est˜ao em arestas direitas sempre possuem expoente igual a zero.

        Por exemplo, a folha A ´e ligada por trˆes arestas esquerdas at´e a raiz da ´ arvore. Cada aresta conta como uma unidade, exceto quando a aresta toca a parte direita da ´ arvore. Desta forma, a folha A tem o expoente igual a 2.

        Na folha C, temos trˆes arestas que a ligam at´e a raiz. Dentre as trˆes arestas, uma toca a parte direita da ´arvore, outra ´e uma aresta direita e apenas uma ´e uma aresta esquerda que n˜ao toca a parte direita da ´ arvore. Assim, a folha C tem expoente 1.

        As folhas B, D, G e H est˜ao em arestas direitas, ent˜ ao os expoentes s˜ao iguais a zero. Desta forma, os expoentes desta ´arvore s˜ao, nesta ordem, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 0 e 0.

        Relacionaremos agora, mais efetivamente, os elementos de F com os diagramas de ´ arvores. Teorema 6.15. Sejam R, S Λ-trees com n + 1 folhas, para algum

        

      inteiro n˜ ao negativo n. Sejam a , . . . , a n expoentes de R e b , . . . , b n

      expoentes de S. Ent˜ ao a fun¸c˜ ao em F representada pelo diagrama (R, S)

      b b b 1 2 b −a n −a n 2 −a 1 −a

        

      Demonstra¸c˜ ao. Mostraremos que o diagrama de ´arvore (R, Λ n ) repre-

      n −a −a

        senta a fun¸c˜ao X . . . X , pois feito isto obtemos, por meio de n composi¸c˜ ao, a fun¸c˜ ao que ´e representada por (R, S). X ...X n −an −a0 //

        R Λ n X ...X b0 bn n X ...X n −bn ?? −b0 

        S n P Vamos provar este teorema usando indu¸c˜ ao em a = a i . i

        =0 Se a = 0, temos que R = Λ n .

        −a −a n

        Suponha que a &gt; 0 e que (R, Λ n ) ´e o diagrama de X . . . X n para os valores menores que a. Seja m o menor ´ındice tal que a m &gt; 0. Ent˜ao existem R

        1 , R 2 e

        R

        3 sub´ arvores de R que representam R da seguinte forma

        ◦ m arestas ◦

        ◦ R

        3 R R

        1

        2 ′ ′ ′ ′

        Seja R uma Λ-tree sendo R , R e R suas sub´arvores que s˜ao

        

      1

        2

        3

        isomorfas a R , R e R , respectivamente, sendo que um isomorfismo

        1

        2

        3

        de ´arvores leva arestas esquerdas em arestas esquerdas e arestas direitas

        ′

        ◦ m arestas ◦

        

        R ◦

        

      1

      ′ ′

        R R

        2

        3 −1 ′ ′ ′

        Observe que a fun¸c˜ ao X ´e representada por (R, R ). Se a , . . . , a m n

        ′ ′

        s˜ao os expoentes de R , ent˜ao a = a m − 1 e quando k 6= m, devido ao m n P

        ′

        isomorfismo, temos que a = a k . Assim, a−1 = a i −1 e pela hip´ otese k i

        =0 −a 1 −a −a n −a m +1

        de indu¸c˜ao obtemos que o diagrama de X . . . X . . . X n m

        X

        1 ′

        ´e (R , Λ n ).

        −1

        Como a m ´e o menor tal que a m &gt; 0 e X tem o diagrama m

        ′

        (R, R ) segue que

        −a n −a m +1 −a 1 −a −1 −a n −a m

        (X . . . X . . . X n m m n m X )X = X . . . X

        1 n m −a 1 −a −a −a

        = X . . . X . . . X n m

        X

        1 ´e representado por (R, Λ n ).

        Teorema 6.16. Sejam R, S Λ-trees com n+1 folhas, para algum inteiro

        

      n˜ ao negativo n. Sejam a , . . . , a n expoentes de R e b , . . . , b n expoentes

      de S. O diagrama (R, S) ´e reduzido se, e somente se (i) as ´ ultimas duas folhas de R est˜ ao em um caret, ent˜ ao as ´ ultimas folhas de S n˜ ao est˜ ao em um caret; (ii) para todo inteiro k com 0 ≤ k ≤ n, se a k &gt; 0 e b k &gt; 0 ent˜ ao a k &gt; 0 ou b k &gt; 0.

      • 1 +1 Demonstra¸c˜ ao. (⇒) Suponha que (R, S) ´e reduzido.

        Se as ´ ultimas folhas de R est˜ao em um caret, ent˜ ao pelo fato de (R, S) ser reduzido, obrigatoriamente as ´ ultimas folhas de S n˜ ao est˜ ao em um caret.

        Suponha que a k &gt; 0 e b k &gt; 0 para todo k, com 0 ≤ k ≤ n. Se a k = 0 e b k = 0 ter´ıamos que a k e a k estariam em um caret, e da

      • 1 +1 +1
      • 1

      • 1 &gt; 0, portanto n˜ ao existem tais carets.

        ,

        (⇐) Sejam C e D carets de R e S, respectivamente, em que seus v´ertices est˜ao na posi¸c˜ao k e k +1. Assim, a k &gt; 0 e b k &gt; 0 e por hip´otese temos que a k

        &gt; 0 ou b k

        Suponha que as ´ ultimas duas folhas de R est˜ao em um caret, ent˜ao por (i) temos que as ´ ultimas folhas de S n˜ao est˜ao em um caret. Logo, (R, S) ´e reduzido.

        Os teoremas mostrados acima originam o seguinte resultado. Corol´ ario 6.17. Todo elemento n˜ ao nulo de F pode ser expresso uni-

        camente na forma normal

        X b

        X b 1

        b 2

        2

        . . . X b n n

        X

        

      −a

      n n . . . X −a 2

      1 X

        1 X −a

      • 1
      • 1

        1

        X , X

        1 , X 2 , . . . ; X −1 k

        X n X k = X n +1 , para k &lt; n Usaremos a nota¸c˜ ao [x, y] para representar xyx

        −1

        y

        −1 .

        Primeiramente, mostremos que existe um isomorfismo entre os grupos F

        e F

        ] = 1 e F

        2

        , e a partir disso produziremos um isomorfismo de F para F

        1

        e F

        2 .

        Teorema 6.19. Existe um isomorfismo de grupos entre F

        1 e F

        2 , que

        2 =

        BA

        2

        b k ≥ 0 para todo 0 ≤ k ≤ n, s˜ ao chamados de positivas. As inversas de elementos positivos s˜ ao chamados elementos negativos.

        onde n, a , . . . , a n , b , . . . , b n s˜ ao inteiros tais que (i) exatamente um dos a n e b n ´e diferente de zero; (ii) se a k &gt; 0 e b k &gt; 0 para algum inteiro k com 0 ≤ k ≤ n, ent˜ ao a k

        &gt; 0 ou b k

        &gt; 0. Al´em disso, todo elemento de F que ´e expresso na forma normal ´e n˜ ao trivial. O corol´ ario anterior motiva a seguinte defini¸c˜ ao. Defini¸ c˜ ao 6.18. As fun¸c˜ oes em F da forma X b

        X b 1

        1 X b 2

        2

        . . . X b n n

        , com

        A seguir, apresentaremos os ´ ultimos resultados desta se¸c˜ ao que mostrar˜ ao duas presenta¸c˜ oes para F . Considere os seguintes grupos F

        2 X −a 1

        1 =

        A, B; [AB

        , A

        −1

        BA] = 1, [AB

        −1

        , A

        −2

        −1

        Demonstra¸c˜ ao. Defina

        X

        −1

        1 X

        X = X

        X

        −1

        1 X

      −1

        2 X

        1 X −3

        | {z } X 3 X

        1 X −1

        X

        −1

        X

        −1

        X

        X

        X

        1 X

        2

        2 BA −1

        A

        −2

        B

        −1

        A

        ) = X

        | {z } X 2 X

        X

        −1

        1 X

      −1

        X

        −1

        X

        1 X

        −1

        X = X

        

      −2

        1 X

        X

        −1

        X

        −1

        X

        −1

        X = X

        X

        3 X −1

        X

        

      −1

        X

        −1

        1 X

        | {z } X −1 2 X

        −1

        3 X

        X

        −1

        −1

        

      3

      X

        1

        | {z } X −1 X 3 X

        X

        −1

        X

        X

        X

        −1

        X

        −1

        1 X

        X = X

        X

        −1

        BA

        A

        ϕ : F −→ F

        −1

        −1

        A

        −1

        BABA

        −2

        B

        A) = X

        −1

        X

        

      −1

        

      1

      X −1

        X

        1 X

        | {z } X 2 X

        1 X −2

        BA]) = ϕ(AB

        , A

        −1

        X

        2 A 7−→ X

        B 7−→ X

        1

        , em que F ´e o grupo livre gerado por A e B. Dado um elemento X n ∈ F

        

      2

        temos que X n = X

        −(n−1)

        1 X n −1

        −1

        , ent˜ao o elemento A

        −(n−1)

        BA n

        −1

        ´e mapeado para X n , ou seja, ϕ ´e sobrejetora. Mostraremos agora que as rela¸c˜ oes definidas em F

        1

        est˜ao no kernel de ϕ. De fato, ϕ([AB

        X

        1 X

        −1

        2 X −1

        = X

        2 X

      −1

        X

        −1

        1 X

        | {z } X −1 2 = X

        2

        −1

        = 1, e ϕ([AB

        −1

        , A

        −2

        BA

        2

        ]) = ϕ(AB

        1 X

        X

        = X

        X

        X

        

      −1

        

      1

      X

        2 X

        1

        | {z } X 3 X

        −1

        −1

        −1

        X

        −1

        1 X

        = X

        X

        

      3

      X −1

        | {z } X 2 X

      1 X

      2 X

      • 1

        −1

        2

        = 1 =⇒ A

        −1

        BY

        

      3

      B −1

        AY

        3

        −1

        = 1 =⇒ [A

        −1

        B, Y

        3 ] = 1.

        Suponha por indu¸c˜ao que [A

        −1

        A

        B

        −1

        2

        

      2

      A −1

        BA

        −2

        B

        −1

        A

        = A

        −2

        −1

        B =⇒ A

        −1

        BA

        2 B −1

        AA

        B, Y m ] = 1, mostraremos que [A

        ] = 1. De fato, AB

        B, Y m

        

      −1

        −1

        = AY m B

        

      −1

        AA

        −1

        = AY m B

        = AY m A

        −1

        

      −1

        AB

        −1

        = Y m

        AB

        −1 .

        AY m A

        = AB

        −2

        BA m

        −1

        Y m

        = AB

        −1

        A

        −(m−2)

        −2

        −1

        = AB

        −1

        AA

        −(m−1)

        BA m

        −1

        A

        BA

        = 1 =⇒ A

        B

        −1

        −1 B, Y m ] = 1 para m ≥ 3.

        Vejamos que [A

        −1 B, Y m ] = 1 para m = 3.

        [AB

        −1

        , A

        BA] = 1 =⇒ AB

        −1

        −1

        A

        

      −1

        BABA

        −1

        A

        . Para isso, provare- mos primeiramente usando indu¸c˜ao que [A

        BA n

        2

        −→ F

        X

        

      −1

        | {z } X −1 3 = X

        3 X −1 3 = 1.

        Defina agora ψ : F

        2

        1 X 7−→ A

        −(n−1)

        X

        1 7−→ B.

        Para provar que ψ est´a bem definida, mostraremos que Y

        −1 k

        Y n Y k = Y n

        , k &lt; n, sendo Y = A e Y n = A

        −1

        −1

        = X

        

      −2

        −1

        A

        2

        = 1 =⇒ B

        −1

        AA

        BA

        −2

        2 A −1

        BA

        −2

        B

        −1

        A

        B

        BABA

        A = 1 =⇒ A

        −1

        −1

        AB

        

      −1

        A

        −1

        BABA

        A

        

      −1

        −1

        B

        −1

        AA = 1 =⇒ B

        −1

        A

        3 X −1

      2 BA

      • 1
      • 1
      • 1
      n˜ ao trivial pode ser escrito como o

        

      2

        1 e F 2 para F o qual leva os s´ımbolos A, B, X , X 1 , X 2 , . . . para a fun¸c˜ ao correspondente em F .

        . Ent˜ao as fun¸c˜oes A e B de F satisfazem as rela¸c˜ oes de F

        2

        BA

        −2

        comuta com A

        −1

        BA e AB

        −1

        comuta com A

        Demonstra¸c˜ ao. As Figuras 11 e 12 nos mostram que AB −1

        Teorema 6.20. Existe um isomorfismo de F

        Ent˜ ao existe um homomorfismo de grupos de F

        2 .

        ≈ F

        1

        = ψ(X k X n ). Logo, F

        BA n = Y k Y n

        −n

        = Y k A

        −1

        A k

        −k+1

        BA n

        1 .

        1 para F que

        A

        X

        Assim, todo elemento x ∈ F

        X n X k = X k X n

        −1 n +1

        X

        X k = X k

        −1 n

        X

        −1 k

        X

        X n = X n

        −1 k

        , obtemos as seguintes igualdades:

        mapeia os s´ımbolos A, B para as fun¸c˜oes correspondentes em F . Por meio do Corol´ario 6.17, temos que este homomorfismo ´e sobrejetor. Como F

        2

        , . . . para as fun¸c˜oes correspondentes em F , ´e um monomorfismo. Por meio das rela¸c˜ oes de F

        1

        para F , que leva os s´ımbolos X , X

        2

        para F . Assim, basta mostrar que o homomorfismo de F

        2

        , temos tamb´em um homomorfismo sobrejetor de F

        2

        ≈ F

        1

        −(n−k+1)

        −k+1

        Assim, como [A

        −k+2

        −k+2

        = A

        −1

        BA k

        −1

        A

        −k+1

        BA n

        

      −(n−k+1)

        A

        = A

        −k+2

        −1

        BA k

        −k+1

        A

        

      −1

        BA n

        −n+1

        = 1 para m = n − k + 2 ent˜ao temos ψ(X n X k ) = A

        (∗)

        B, Y m ]

        −1

        Y n

        A

        = Y k A

        A k

        −1

        Y n −k+2 A k

        −k+1

        = Y k A

        −1

        A k

        −k+2

        Y n

        −k+1

        A

        −1

        

      −1

        −1

        BA k

        −k−1

        = A

        −1

        BX n −k+2 A k

        −1

        A

        −k+2

        = A

        (∗)

        BA k −1

      • 1
      • +1

      • 1 , k &lt; n.
      que X k ocorra em ambos as partes, na parte positiva e negativa de x, mas X k ocorre em nenhuma. Ent˜ ao ´e poss´ıvel simplificar x deletando

      • 1

        uma ocorrˆencia de X k na parte negativa e positiva, assim trocando toda

        −1

        ocorrˆencia de X n por X n , usando a rela¸c˜ao X k X n X = X n , para

      • 1 +1 k n &gt; k.

        Portanto, todo elemento n˜ao trivial de F pode ser posto na

        2 forma normal, conforme o Corol´ario 6.17.

        Logo, todo elemento n˜ao trivial de F ´e levado em elemento n˜ao

        2 trivial de F , ou seja, o homomorfismo ´e injetor.

        6.4 UMA CONDIC ¸ ˜ AO NECESS ´ ARIA E SUFICIENTE O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que um grupo G ´e do tipo

        F P quando existe um G-complexo X contr´ atil que satisfaz algumas

        ∞

        condi¸c˜oes. Para cumprir tal objetivo, necessitamos de alguns resultados preliminares, dentre eles o Crit´erio de Bieri-Eckmann visto no Cap´ıtulo

        5. A partir de agora focaremos nossa aten¸c˜ao em definir um G- complexo X que nos ajudar´a a fornecer condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para determinar quando o grupo G ´e do tipo F P n . Defini¸ c˜ ao 6.21. Um G-complexo X ´e dito n-´ otimo relativo a G se

        satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes:

      (i) X ´e ac´ıclico em dimens˜ oes menores que n, isto ´e, a homologia

      reduzida e H i (X) = 0 para i &lt; n. (ii) A a¸c˜ ao de G em X ´e livre.

        Os espa¸cos n-´otimo sempre existem, por exemplo, considere X como sendo um recobrimento universal de um espa¸co K(G, 1). Visto que X ´e contr´atil temos que e H i (X) = 0, para todo i. Al´em disso, o grupo fundamental age livremente sobre o recobrimento universal.

        Proposi¸ c˜ ao 6.22. Suponha que G ´e finitamente gerado e que admite n

      um espa¸co X n-´ otimo tal que X /G ´e finito. Ent˜ ao G ´e do tipo F P n .

        

      Demonstra¸c˜ ao. Considere o complexo de cadeia celular C(X). Para

        todo p ≥ 0, temos que M M G Z Z

        C p (X) = Ind = (ZG ⊗ G ), G σ σ em que Σ p ´e um conjunto de representantes para as G-´orbitas de p- c´elulas. Como a a¸c˜ ao ´e livre, a igualdade se reduz a M Z

        C p (X) = σ p G.

        ∈Σ

        Considere a seguinte resolu¸c˜ ao projetiva sobre Z: Id Z // Z // Z

        // 0. (6.1) De (6.1), obtemos

        L L Z Z // // n σ ∈Σ p σ ∈Σ p G G // 0. (6.2) Por hip´otese X /G ´e finito e assim, as somas em (6.2) s˜ao finitas.

        Portanto cada soma ´e finitamente gerada, e consequentemente, o ZG- m´odulo C p (X) ´e do tipo F P ∞ .

        O fato de X ser ac´ıclico nas dimens˜oes menores que n nos diz G que H i (G, M ) = H (X, M ), quando i &lt; n. Por meio disso, queremos i Q Z mostrar que H i (G, I G) = 0, para todo i ≥ 1 e todo produto direto

        Q Z I G (Crit´erio de Bieri-Eckmann).

        Existe uma sequˆencia tal que Y Y G

      1 Z Z

        E = H q (G, C p (X) ⊗ p,q p +q I G) ⇒ H (X, I G).

        Observe que Y

      1 Z

        E = H q (G, C p (X) ⊗ p,q G I G) = T or (Z, C p (X) ⊗ M ) q G M Y

        Z Z = T or (Z, G ⊗ q σ I G)

        ∈Σ p

        M Y G Z = T or (Z, ZG ⊗ σ ∈Σ p q I G)

        M Y Z = H q (G, ZG ⊗ σ p I G)

        ∈Σ

        M Y Z = H q ({1}, σ I G),

        ∈Σ p em que na ´ ultima igualdade foi utilizado o Lema de Shapiro. Assim, 0, q &gt; 0

      1 Q

        E p,q = (6.3) Z Z

        ⊗ G (C p (X) ⊗ I G), q = 0.

        Como C p (X) ´e do tipo F P , conclu´ımos que C p (X) ´e finitamente

        ∞

        presentado. Consequentemente, atrav´es do Lema 5.19 (ii), obtemos Q Q

        1 Z

        o isomorfismo C p (X) ⊗ G G ≈ C p (X). Desta forma, E = I I p, Q Z

        ⊗ G C p (X). Al´em disso, I Y Y Y Y Z ⊗ G C p (X) = (Z ⊗ C p (X)) G = ( C p (X)) G = C p (X). I I I I A sequˆencia (6.3) se reduz em

        0, q &gt; 0

      1 E = Q (6.4)

        p,q I C p (X), q = 0.

        2

        1 Visto que podemos encontrar E atrav´es de E , conclu´ımos que p,q p,q

        Q

        2

      2 E = 0 quando 0 < p + q < n, e E = H p (X) quando p < n.

        p,q p, I Portanto Q Z Y Y G , i = 0 I Z Z

        H i (G,

        G) = H (X, i

        G) = I I 0, 0 &lt; i &lt; n.

        Logo pelo Teorema 5.21, segue que G ´e do tipo F P n .

        A Proposi¸c˜ao 6.22 ´e uma boa ferramenta para fornecer condi¸c˜ oes de finitude a respeito de G. Entretanto, se o G-complexo X n˜ao possuir n X /G finito, tal proposi¸c˜ao n˜ao pode ser aplicada. Focaremos ent˜ao em obter condi¸c˜oes, necess´arias e suficientes, em termos das propriedades de filtra¸c˜ ao de X, a fim de alcan¸car o crit´erio F P n para G. c˜ ao

        Defini¸ c˜ ao 6.23. Uma filtra¸ de X ´e uma fam´ılia {X α } de α

        ∈D

        S

        subcomplexos G-invariantes tal que X = α X α e D ´e um conjunto dirigido, em que X α ⊆ X β quando α ≤ β. n

        No caso em que os subcomplexos X α possuem X /G finito, α chamaremos esta filtra¸c˜ ao de finita do tipo n. Defini¸ c˜ ao 6.24. Um sistema direto de grupos {A α } α ´e chamado de

        ∈D

        essencialmente trivial se para cada α ∈ D existe β ≥ α tal que o

        Antes de mostrarmos uma equivalˆencia para esta defini¸c˜ao, lembre β que se lim A α = X e f : A α → A β , com α ≤ β, ent˜ao α −→

        L α A α

        ∈D X = .

        ∼ γ γ E x α ∼ x β se existe γ ≥ α, β tal que f (x α ) = f (x β ), x α ∈ X α e α β x β ∈ X β .

        Lema 6.25. Um sistema direto de grupos {A α } ´e essencialmente trivial Q se, e somente se lim A α = 0, para todo conjunto J. J

        −→

        

      Demonstra¸c˜ ao. (⇒) Se {A α } ´e essencialmente trivial, ent˜ ao para cada

      β

        α ∈ D existe f : A α → A β trivial. Como em um sistema direto os α Q homomorfismos comutam entre si, segue que lim A α = 0. J

        −→ Q (⇐) Seja {x j } ∈ A α . j j ∈J

        ∈J

        L Q α ∈D j ∈J ( A α ) Como X = = 0, para todo j ∈ J, ent˜ao

        ∼ β {x j } ∼ {0} . Ou seja, existe β ∈ D tal que Πf ({x j } ) = j ∈J ∈J j ∈J j α β {0} . Consequentemente, f ({x j } ) = {0} . j α j

        ∈J j ∈J ∈J

        Considere J = A α . Assim, {x j } = {x z } = {z} . j ∈J ∈A α ∈A α β β z z Portanto existe f : A α → A β tal que f (z) = 0, para todo α α z ∈ A α . Teorema 6.26. Seja X um G-complexo n-´ otimo com uma filtra¸c˜ ao

        {X α } finita do tipo n. Ent˜ ao G ´e do tipo F P n se, e somente se o sistema direto { e H i (X α )} ´e essencialmente trivial para i &lt; n.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Semelhantemente ao que foi feito na Proposi¸c˜ao 6.22,

      G Q Q Z

        deduzimos que H (X α , i I G) = H i (X α ). Neste caso, C p (X α ) ´e I do tipo F P , isto ´e verdade pelo fato de X ser n-´otimo, X α possuir n ∞ X /G finito e al´em disso, cada X α ser G-invariante. α Desta forma, para i &lt; n temos

        Y Y G Z Z H i (G, J

        G) = H (X, i I G) G Y Z

        = lim H (X α , i

        G) α −→

        

      ∈D

      I Y

        = lim H i (X α ). (6.5) α −→

        

      ∈D I Se { e H i (X α )} ´e essencialmente trivial, de (6.5) conclu´ımos que Q Z

        H i (G, I G) = 0, para todo 0 &lt; i &lt; n e todo I. Portanto, pelo Teorema 5.21 temos que G ´e do tipo F P n . Al´em disso, se G ´e do tipo

        F P n temos por meio da Proposi¸c˜ao 6.22 que { e H i (X α )} ´e essencialmente trivial para 0 &lt; i &lt; n.

        Vejamos agora quando i = 0. Considere a seguinte sequˆencia exata // e // Z // H // 0.

        H (X α ) (X α ) Tal sequˆencia produz uma outra sequˆencia exata curta

        Q Q Q Z e // // lim // lim // 0. I H (X α ) H (X α ) I I

        −→ −→ G Q Q Z

        Como H (X α , I G) ≈ H (X α ) para todo I, ent˜ao I Y e lim H (X α ) = 0, −→ I para todo I. Portanto { e H (X α )} ´e essencialmente trivial.

        Dizemos que a conectividade do par (X j +1 , X j ) tende para ∞ quando j tende para ∞ se para cada n &gt; 0, existe j tal que π k (X j +1 , X j ) = 0 para todo j ≥ j e k ≤ n. Usaremos esta defini¸c˜ao para provar o seguinte teorema:

        Teorema 6.27. Seja X um G-complexo contr´ atil livre. Seja {X j } j ≥1

        uma filtra¸c˜ ao tal que cada X j /G ´e finito. Se a conectividade do par

        (X j +1 , X j ) tende para quando j tende para , ent˜ ao G ´e do tipo F P .

        ∞ Demonstra¸c˜ ao. Nosso objetivo ´e mostrar que s˜ao satisfeitas as hip´oteses do Teorema 6.26.

        Visto que X ´e contr´atil e o estabilizador G σ ´e do tipo F P , segue

        ∞

        que X ´e n-´otimo para todo n. Agora basta mostrar que { e H n (X j )} ´e essencialmente trivial para todo n.

        Fixe n &gt; 0. Ent˜ ao existe j tal que π k (X j , X j ) = 0 para todo

      • 1

        j ≥ j e todo k ≤ n. Para k ≤ n, temos o seguinte diagrama comutativo com linhas exatas: // // //

        // π k (X j , X j ) // π k (X j ) π k (X j ) π k (X j , X j )

      • +1 −1 −1 +1 −1 +1

        ≈

        // e // e // e // e H k (X j , X j ) H k (X j ) H k (X j ) H k (X j , X j ) // .

        Do diagrama acima, temos que e H k (X j , X j ) = 0, e consequentemente

      • 1

        e H k (X j ) ≈ e H k (X j +1 ) para todo j ≥ j e todo k ≤ n. Os homomorfismos da sequˆencia

        ≈ ≈

        // e // e // e // e · · · H n (X j ) H n (X j ) // · · · H n (X j ) H n (X j ) // · · ·

      • 1 +1

        s˜ao isomorfismos quando j ≥ j . Seja [z] ∈ e H n (X j ), o qual pode ser visto como um elemento de H n (X). Como e H n (X) = 0, temos que existe y ∈ S n (X) tal que z = ∂ n (y). Queremos mostrar que a classe de

      • 1 +1 l

        P homologia de z ´e nula em e H n (X j ). Para isso, escreva y = α i f i , i n n =1 em que f i : ∆ → X j e α i ∈ Z. Pela compacidade de f i (∆ ) temos que existe J &gt; j tal que [z] ∈ e H n (X J ). Portanto [z] ´e a classe nula em e H n (X J ). E como existe um isomorfismo entre e H n (X j ) e e H n (X J ) isto nos diz que e H n (X j ) = 0. Em vista disto os homomorfismos e H n (X j ) → e H n (X j ) s˜ao triviais quando j ≥ j .

      • 1 Logo { e H n (X j )} ´e essencialmente trivial.

        6.5 CONDIC ¸ ˜ AO DE FINITUDE DE F A ´ ultima das trˆes propriedades que mostraremos ´e do fato de F ser um grupo do tipo F P . Para alcan¸car tal objetivo, voltaremos a

        ∞ utilizar a representa¸c˜ ao por meio de ´ arvores bin´ arias.

        Utilizaremos fortemente nesta se¸c˜ao as bases da ´algebra livre F (X). Por meio delas construiremos, com base em Brown [3], um espa¸co topol´ogico em que o grupo de Thompson age, e assim teremos condi¸c˜oes de aplicar o Teorema 6.27.

        Considere o poset (B, &lt;), em que B ´e o conjunto de todas as bases da ´algebra V

        2 e Y &lt; Z, se Z ´e uma expans˜ao de Y , com Y, Z ∈ B.

        Para qualquer Y ∈ B, temos os seguintes conjuntos: B &lt;Y = {Z ∈ B : Z &lt; Y }, B = {Z ∈ B : Z ≤ Y }.

        ≤Y

        O espa¸co topol´ogico que estamos interessados ´e o complexo sim- plicial, denotado por |B|, em que os v´ertices s˜ao as bases ordenadas de V , isto ´e, aquelas obtidas a partir da base unit´ aria fazendo expans˜oes

        2

        quaisquer e contra¸c˜oes apenas de elementos consecutivos. O conjunto

        {Y , Y , . . . , Y k } ´e um simplexo se Y &lt; Y &lt; · · · &lt; Y k .

        1

        1 Nosso primeiro objetivo ´e mostrar que o complexo simplicial |B|

        ´e n-´otimo. Primeiramente, observe que |B| ´e contr´atil por meio do Teorema 3.32. Portanto e H n (|B|) = 0, para todo n.

        Antes de calcularmos o estabilizador de cada elemento de |B|, ´e necess´ ario descrevermos a a¸c˜ ao de F em |B|. J´a vimos que todo elemento g ∈ F ´e um par de ´arvores bin´arias. Denotaremos ent˜ ao g = (R, S), em que (R, S) ´e um diagrama de ´arvores para g. Precisamos apenas entender como g age em um v´ertice Y ∈ |B|, pois a a¸c˜ao de g nos v´ertices de |B| mostra como g age em qualquer simplexo. Denotaremos a a¸c˜ ao atrav´es de gY .

        Suponha que R ´e a ´ arvore que representa Y , ou seja, as folhas de R s˜ao elementos da base Y . Neste caso temos que gY = Z, em que Z ´e a base representada pela ´arvore S. Suponha que R n˜ ao representa Y , ent˜ ao existe uma base W que ´e representada por R. Ent˜ao a a¸c˜ao de g em Y ´e descrita como segue:

        ′ 1. Encontre a menor expans˜ao comum entre Y e W , digamos Z .

        2. Efetue expans˜oes simples nas mesmas posi¸c˜ oes realizadas para

        ′ ′ encontrar Z a partir de W na base W representada por S.

        ′

        3. Depois de encontrada a base derivada de W , realize contra¸c˜oes

        ′ simples nas mesmas posi¸c˜ oes as quais Z contra´ıdo atinge Y .

        Vejamos dois exemplos para ilustrar este caso. Exemplo 6.28. Seja g ∈ F o elemento representado pelo par de ´arvores

        ◦ ◦ xα ◦ ◦ xα

        1

        xα α xα α xα α xα α

        1

        1

        1

        1 Suponha que Y = {xα α α , xα α α , xα α , xα }, o qual ´e

        1

        1

        1

        ◦ ◦ xα

        1

        xα α ◦

        1

        xα α α xα α α

        1 Ent˜ao a a¸c˜ ao de g em Y ´e descrita atrav´es dos seguintes passos:

        1. Encontrar uma expans˜ao comum entre a ´arvore que representa a base Y e a ´ arvore que representa o dom´ınio de g.

        ◦ ◦ ◦

        ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

        ◦ ◦

        2. Aplicar expans˜oes na ´arvore que representa o contradom´ınio de g nas mesmas posi¸c˜oes realizadas na ´arvore do dom´ınio, conforme o passo 1.

        ◦ ◦ ◦

        ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

        ◦ ◦ ◦

        ◦

        3. Realizar contra¸c˜ oes simples na ´ arvore expandida do contradom´ınio nas mesmas posi¸c˜oes em que a ´arvore de Y foi expandida para atingir a expans˜ao comum.

        ◦ ◦ ◦

        ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

        ◦ ◦ ◦

        ◦ Desta forma, a a¸c˜ ao de g em Y resulta na base {xα α α α , xα α α α , xα α α , (xα α , xα )λ}.

        1

        1

        1

        1 Exemplo 6.29. Seja g ∈ F o elemento representado pelo par de ´arvores

        ◦ ◦ xα xα

        ◦ ◦

        1

        xα

        1 α xα 1 α 1 xα α xα α

        1 Suponha que Y = {xα , xα }, o qual ´e representado pela ´ arvore

        

      1

        ◦ xα xα

        1 A a¸c˜ ao de g em Y ´e dada da seguinte forma:

        1. Encontrar uma expans˜ao comum entre a ´arvore que representa a base Y e a ´ arvore que representa o dom´ınio de g.

        ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

        2. Neste caso, a expans˜ao comum ´e igual a ´arvore que representa o dom´ınio da g. Desta forma, n˜ ao aplicaremos expans˜oes na ´ arvore do contradom´ınio de g.

        ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

        3. Realizar contra¸c˜ oes simples nas mesmas posi¸c˜oes em que a ´arvore que representa Y foi expandida.

        ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

        Logo a a¸c˜ ao ´e dada pela base {xα α , (xα α

        1 , xα 1 )λ}.

        Compreendido a a¸c˜ao de F em B, temos condi¸c˜oes de cacular o estabilizador F Y de uma base Y ∈ B. O ´ unico elemento g ∈ F que satisfaz gY = Y ´e o par de ´arvores que representam a base Y , isto ´e, F Y ´e o grupo trivial. Assim, F Y ´e do tipo F P n para todo n. Logo |B| ´e n-´otimo, para todo n.

        O complexo simplicial |B| n˜ao possui um n-esqueleto mod F finito, pois as bases podem possuir cardinalidade arbitrariamente grande. Ent˜ao ´e necess´ ario fazer uma filtra¸c˜ ao em |B|.

        Para Y ∈ B seja h(Y ) o maior inteiro h tal que existe uma cadeia Y = Y h &gt; · · · &gt; Y ∈ B, com isso temos que h(Y ) = dim|B |.

        ≤Y

        Chamaremos h(Y ) de altura de Y . Considere o conjunto B h = {Y ∈ B : h(Y ) ≤ h}. Lema 6.30. Suponha que Y , . . . , Y k s˜ ao contra¸c˜ oes simples de dois

        1 elementos consecutivos de uma base Y . Ent˜ ao Y 1 , . . . , Y k possuem uma

      cota inferior em B se, e somente se os k pares contra´ıdos de Y para

        Y 1 , . . . , Y k s˜ ao disjuntos dois a dois.

        

      Demonstra¸c˜ ao. Suponha que Y , . . . , Y k possuem uma cota inferior W ,

        1 ou seja, Y , . . . , Y k s˜ao expans˜oes de W .

      1 Existe uma bije¸c˜ ao entre as bases que s˜ ao expans˜ oes de W e as

        Como Y tamb´em ´e uma expans˜ao de W , podemos represent´a-lo por uma floresta com ra´ızes em W sendo suas folhas elementos de Y . Seja F a floresta associada a Y , note que a floresta F i associada a Y i ´e obtida a partir de F removendo dois irm˜aos, isto ´e, remover duas folhas de um determinado n´ o.

        Com isso, temos que os k conjuntos de irm˜ aos s˜ao disjuntos. A partir disso, as contra¸c˜ oes dos pares s˜ao tamb´em disjuntas. Neste caso Y , . . . , Y k possuem ´ınfimo, digamos Z, que pode ser

        1

        representado por uma ´arvore que consiste em retirar os k conjuntos de irm˜aos da ´ arvore com raiz em W e folhas em Y , assim W ≤ Z.

        Reciprocamente, suponha que os k pares contra´ıdos de Y para Y 1 , . . . , Y k s˜ao disjuntos dois a dois.

        Ent˜ ao se W ´e a base representada pelas k duplas consecutivas contra´ıdas de Y temos que W ´e uma cota inferior de Y

        1 , . . . , Y k .

        Lema 6.31. Para qualquer Y ∈ B, o complexo |B &lt;Y | ´e homotopi-

        

      camente equivalente ao seguinte complexo simplicial Σ = Σ(Y ): Os

      v´ertices de Σ s˜ ao os pares ordenados de elementos consecutivos distintos

      de Y , e uma cole¸c˜ ao de tais pares ´e um simplexo de Σ se, e somente se

      os conjuntos subjacentes dos pares s˜ ao dois a dois disjuntos.

        ′

      Demonstra¸c˜ ao. Seja K = |B &lt;Y |. Para qualquer Y &lt; Y , seja K Y

        o subcomplexo |K ′ | de K. Pela defini¸c˜ao de K Y ′ temos que este

        ≤Y ′

        subcomplexo ´e um cone, pois Y esta em K Y ′ e ´e ligado a todas as outras bases.

        S

        ′

        Observe que K = K Y ′ , em que Y ´e uma contra¸c˜ ao simples de Y . Dada uma cole¸c˜ ao {Y i } de contra¸c˜oes simples de elementos conse-

        T cutivos de Y , a interse¸c˜ao L = K Y ´e diferente do vazio se, e somente i se, Y i possui cota inferior. Neste caso, se Z ´e a maior das cotas inferiores de Y i , o complexo L ´e exatamente K Z .

        Pelo Teorema 3.33, temos que K ´e homotopicamente equivalente ao nervo da cobertura {K Y }. Note que o nervo N (K Y ) ´e um complexo simplicial tal que

        T k {v Y , . . . , v Y } ´e um simplexo sempre que K 6= ∅, ou seja, te- k Y i i

        =0 ′ ′

        mos um simplexo quando Y , . . . , Y possuem cota inferior. Pelo lema 1 k anterior temos que N (K Y ) = Σ.

        Lema 6.32. Para todo inteiro k ≥ 0 existe um inteiro µ(k) tal que Σ(Y ) ´e k-conexo sempre que card(Y ) ≥ µ(k).

        (A k ) Existem inteiros µ(k) e v(k) tais que se card(Y ) ≥ µ(k) o k k-esqueleto Σ(Y ) ´e homotopicamente equivalente a um ponto em Σ(Y ) por uma homotopia sobre a qual qualquer k-simplexo permanece em um subcomplexo que tenha no m´aximo v(k)-v´ertices.

        Usaremos o princ´ıpio de indu¸c˜ao em k para mostrar a afirma¸c˜ao. Se card(Y ) ≥ 5, ent˜ao para qualquer dois v´ertices de Σ(Y ) podem ser unidos por um caminho de tamanho menor ou igual a 3.

        Ent˜ ao defina µ(0) = 5. Mais precisamente, se tomarmos v(0) = 4, provamos a afirma¸c˜ ao para k = 0. Suponha que µ(k − 1) e v(k − 1) est˜ ao bem definidos e que (A k )

        −1 ´e verdadeira. k −1

        Considere card(Y ) ≥ µ(k − 1) e escolha uma homotopia de Σ como definido em (A k ).

        −1

        Seja σ ∈ Σ(Y ) um k-simplexo. Considere suas faces de codi- mens˜ao 1, isto ´e, faces formadas a partir da retirada de um v´ertice de σ. Pela hip´otese de indu¸c˜ ao, se τ representa uma face de codimens˜ao

        1, temos que τ permanece, por meio da homotopia, a um subcomplexo que possui no m´aximo v(k − 1) v´ertices. Sabemos que σ possui (k + 1)- v´ertices e por isso temos que a quantidade de faces de codimens˜ ao 1 de σ ´e exatamente k + 1. Assim, ∂σ permanece em um subcomplexo, que

        ′

        denotaremos por Σ (Y ), que cont´em no m´aximo (k + 1)v(k − 1) = m v´ertices.

        Se card(Y ) ≥ c = 3m + 2, note que m v´ertices utilizam no m´aximo 3m elementos de Y , assim existe um v´ertice v que ´e ligado com os m v´ertices.

        ′

        Assim, Σ (Y ) est´a contido no lk(v). Podemos estender a homo-

        ′

        topia para σ construindo um cone de v com base Σ (Y ). Desta forma,

        ′ σ permanece no subcomplexo gerado por Σ (Y ) e v.

        Portanto (A k ) ´e verdadeira para µ(k) = max{µ(k − 1), c} e v(k) = m + 1. Teorema 6.33. O grupo F ´e do tipo F P .

        ∞

      Demonstra¸c˜ ao. Vejamos primeiramente que (|B h +1 |, |B h |) ´e um par

        CW . Para cada Y ∈ B com h(Y ) = h + 1 ´e poss´ıvel construir um cone sobre |B h |, desta forma podemos ver |B h | como um subcomplexo de |B h +1 |. Pelo Lema 6.31 temos que |B h | ´e homotopicamente equivalente a Σ(Y ), e consequentemente pelo Lema 6.32, |B h | ´e k-conexo. A partir da sequˆencia exata de homotopia

        // π // π // π // · · · , conclu´ımos que (|B h |, |B h |) ´e k-conexo.

      • 1

        Quando h tende para ∞ temos a conectividade de (|B h |, |B h |)

      • 1 tende para ∞. Assim, pelo Teorema 6.27 segue que F ´e do tipo F P .

        ∞ REFERˆ ENCIAS [1] BIERI, Robert; ECKMANN, Beno. Finiteness properties of duality groups. Commentarii Mathematici Helvetici. Zurique, p. 74-83. dez. 1974. Dispon´ıvel em: &lt;https://link.springer.com/article/10.1007/BF02566720?LI=true&gt;. Acesso em: 24 ago. 2017

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