Formas Normais de Sistemas Hamiltonianos Revers´ıveis Equivariantes

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PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

PRISCILA FRIEDEMANN CARDOSO

  

Formas Normais de Sistemas Hamiltonianos

Revers´ıveis Equivariantes

MARING ´ A

2017

  

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

PRISCILA FRIEDEMANN CARDOSO

ORIENTADORA: PROF

  ➟. DR➟. PATR´ICIA HERNANDES BAPTISTELLI

Formas Normais de Sistemas Hamiltonianos

Revers´ıveis Equivariantes

  Disserta¸c˜ao apresentada ao programa de P´ os- gradua¸c˜ao em Matem´ atica do Departamento de Ma- tem´atica - PMA/UEM, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´ atica.

  

MARING ´ A

2017 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil) Cardoso, Priscila Friedemann C268f Formas normais de sistemas hamiltonianos reversíveis equivariantes / Priscila Friedemann Cardoso. -- Maringá, 2017. vi, 119 f. : il. Orientador: Profª. Drª. Patrícia Hernandes Baptistelli.

  Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós- Graduação em Matemática - Área de Concentração: Geometria e Topologia, 2017.

  Inclui índice.

1. Formas normais 2. Campos Hamiltonianos. 3.

  Simetria. 4. Antissimetria. 5. Normal forms. 6. Hamiltonian fields. 7. Symmetry. 8. Reversing symmetry. I. Baptistelli, Patrícia Hermandes, orient. II. Universidade Estadual de Maringá. Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Geometria e Topologia. III. Título.

  CDD 22.ed. 515.353

  

Ao meu amado esposo

Jean Carlos Cardoso

  

AGRADECIMENTOS

Inicio agradecendo `aquele que escolhi para ser meu parceiro na vida Jean Carlos.

  

Obrigada por sua paciˆencia, carinho, encorajamento e incentivo, demonstrados n˜ao apenas

em palavras mas tamb´em em atitudes.

  Agrade¸co aos meus pais que, mesmo de longe, choraram, sorriram e sonharam junto comigo. Ao meu irm˜ao e amigo incondicional Daniel. Aos meus amigos Juliana e Anderson que se fizeram fam´ılia durante este tempo em

Maring´a. Obrigada pelas conversas, jantas, pipocas e pelos momentos de estudo. Incluo

neste par´agrafo os queridos amigos Guilherme Desoler, J´essica e Mˆonica que se fizeram

especiais principalmente neste ´ ultimo ano de mestrado. Agrade¸co `a fam´ılia do meu esposo,

que se tornou minha tamb´em, por todo o apoio nessa caminhada.

  Apesar de todo incentivo e suporte que recebi de familiares e amigos, este trabalho

jamais seria concluido sem a orienta¸c˜ao da professora Patr´ıcia. Obrigada por aceitar esse

desafio, pela paciˆencia e, principalmente, por sua compreens˜ao. Sei que colocou o melhor

de si neste ano de trabalho e lhe admiro por isso.

  Agrade¸co tamb´em ao CNPq pelo apoio financeiro, fundamental para a conclus˜ao desta disserta¸c˜ao. Por fim, agrade¸co a Deus pelo que Ele ´e e pelo que me deu. Obrigada por me ensinar

com amor que sem Ti eu nada sou. Que atrav´es da Matem´atica eu veja, cada vez mais,

a Sua beleza refletida na beleza da Sua cria¸c˜ao.

  

RESUMO

O objetivo principal deste trabalho ´e determinar formas normais formais de campos

de vetores Hamiltonianos revers´ıveis equivariantes segundo a a¸c˜ao de um grupo de Lie

compacto. Para isso, apresentamos um m´etodo alg´ebrico derivado do m´etodo cl´assico

dado por Belitskii que reduz este problema ao c´alculo dos ge-

radores para o m´odulo das aplica¸c˜oes que s˜ao revers´ıveis equivariantes segundo a a¸c˜ao de

um grupo de Lie. Neste processo, utilizamos ferramentas da teoria invariante de grupos e

seguimos a abordagem dada em . Finalizamos este trabalho com a aplica¸c˜ao do m´etodo

em alguns exemplos espec´ıficos de campos Hamiltonianos Z

  2 -revers´ıveis-equivariantes

  

e D −revers´ıveis-equivariantes com parte linear semissimples e campos Hamiltonianos

  4 φ ψ

  

Z × Z -revers´ıveis-equivariantes com parte linear n˜ao semissimples, onde φ e ψ s˜ao in-

  2

  2 volu¸c˜oes que agem como antissimetrias.

  Palavras-chave: Formas normais, campos Hamiltonianos, simetrias, antissimetrias.

  

ABSTRACT

The main objective of this work is to determine formal normal forms of reversible-

equivariant Hamiltonian vector fields under the action of a compact Lie group. For this,

we present an algebric method derived from the classic method given by Belitskii , which reduces this problem to computing the generators for the

module of reversible equivariants by the action of a Lie group. In this process, we use

tools from the invariant theory of groups and follow the approach given in . We finish

this work by applying the method in some specific examples of Z -reversible-equivariant

  2

  and D

  4 −reversible-equivariant Hamiltonian vector fields with semisimple linearization and φ ψ

  

Z × Z -reversible-equivariant Hamiltonian vector fields with non-semisimple lineariza-

  2

  2 tion, where φ e ψ are involutions acting as reversing symmetries.

  Keywords: Normal forms, Hamiltonian fields, symmetries, reversing symmetries.

  

SUM ´ ARIO

  1

  4

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5

  . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  14

2.1 Representa¸c˜ao de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  37

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  . . . . . . . . . . . 44

3.3 Teoria Invariante para o Produto Semidireto . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5 Formas Normais Revers´ıveis Equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

  85

4.1 Formais normais Z -revers´ıveis-equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

  . . . . . . . 97

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . 101

  

  

   113 116 118

  

“A matem´atica n˜ao ´e uma caminhada cuida-

dosa atrav´es de uma estrada bem conhecida,

´e uma jornada por uma terra selvagem e es-

tranha, onde os exploradores frequentemente

se perdem. A exatid˜ao deve ser um sinal aos

historiadores de que os mapas j´a foram fei-

tos e os exploradores se foram para outras

terras.”

  (W. S. Anglin)

  

INTRODUC ¸ ˜ AO

A no¸c˜ao convencional de antissimetria (ou reversibilidade) est´a relacionada `a ob-

serva¸c˜oes de fenˆomenos f´ısicos. Considere, por exemplo, o movimento de um pˆendulo

no estado ideal (sem atrito ou qualquer outro tipo de perda de energia). Se filmarmos

este movimento e o assistirmos ser´a imposs´ıvel distinguir quando o v´ıdeo est´a na posi¸c˜ao

convencional ou quando est´a invertido, sendo que a ´ unica diferen¸ca entre as imagens ´e a

posi¸c˜ao inicial e final do pˆendulo. Esse exemplo foi dado por Lamb em para ilustrar a

dinˆamica de um sistema revers´ıvel pelo tempo, ou seja, um sistema que pode voltar para

uma condi¸c˜ao idˆentica `a que possu´ıa inicialmente. Sistemas revers´ıveis est˜ao presentes,

mesmo que idealmente, na mecˆanica cl´assica (como a situa¸c˜ao proposta anteriormente),

na termodinˆamica e na mecˆanica quˆantica (veja ).

  Quando um sistema possui mais de uma antissimetria ele ´e chamado de sistema re-

vers´ıvel equivariante. Neste caso, a composi¸c˜ao de um n´ umero ´ımpar de antissimetrias

´e uma antissimetria, enquanto que a composi¸c˜ao de um n´ umero par ´e o que chamamos

de simetria. A diferen¸ca entre simetrias e antissimetrias, do ponto de vista da dinˆamica,

´e que simetrias mapeiam trajet´orias sobre outras trajet´orias preservando a dire¸c˜ao com

o passar do tempo, enquanto que antissimetrias revertem a dire¸c˜ao das trajet´orias com

rela¸c˜ao ao tempo. Al´em disso, o conjunto de todas as simetrias e antissimetrias de um

sistema formam um grupo Γ com a propriedade de que o conjunto de todas as simetrias

  ´e um subgrupo normal de ´ındice 2 de Γ.

  

sistemas Hamiltonianos, primeiramente porque muitos sistemas revers´ıveis s˜ao Hamilto-

nianos e vice-versa. Em mecˆanica cl´assica, um sistema Hamiltoniano ´e um sistema f´ısico

no qual todas as for¸cas s˜ao conservativas (n˜ao modificam a energia mecˆanica do sistema).

Na matem´atica, um sistema Hamiltoniano ´e um sistema de equa¸c˜oes diferenciais obtido

atrav´es das equa¸c˜oes de Hamilton. Sistemas Hamiltonianos e revers´ıveis possuem carac-

ter´ısticas dinˆamicas importantes em comum, como por exemplo o Teorema do Centro de

Lyapunov e o Teorema da Cat´astrofe mostrados por Devaney em 1976. Infelizmente, a

rela¸c˜ao entre reversibilidade e Hamiltoniedade ´e bastante obscura, no sentido de ainda

n˜ao sabermos quais propriedades s˜ao exclusivamente de sistemas revers´ıveis e quais s˜ao

de sistemas Hamiltonianos.

  O foco deste trabalho est´a em sistemas Hamiltonianos revers´ıveis equivariantes, ou

seja, em presen¸ca simultˆanea de simetrias e antissimetrias, e daremos um tratamento

puramente matem´atico sem nos preocuparmos com as aplica¸c˜oes f´ısicas do nosso estudo.

  Na maioria das vezes, n˜ao ´e poss´ıvel encontrar solu¸c˜oes exatas para os sistemas

dinˆamicos em geral. Por isso, a teoria de formas normais tem sido usada como uma

ferramenta para o estudo qualitativo do comportamento local dos campos de vetores. O

estudo tem sido desenvolvido h´a anos por diversos autores, sendo os principais desen-

volvedores e precursores Poincar´e . O m´etodo cl´assico

consiste em realizar mudan¸cas de coordenadas no sistema em torno de um ponto singular

a fim de obter um campo de vetores formalmente conjugado ao original e que ´e mais

conveniente aos prop´ositos da pesquisa. Uma das dificuldades no c´alculo da forma normal

  

´e a resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial parcial associada, o que faz com que a forma

normal seja truncada em um baixo grau. Por isso, Elphick et al. propuseram um

m´etodo alg´ebrico que dispensa esse c´alculo, mas leva em considera¸c˜ao um conjunto S de

simetrias do sistema.

  No contexto revers´ıvel equivariante, muitos autores tem usado a teoria de formas nor-

mais em situa¸c˜oes distintas para estudar equil´ıbrio relativo, solu¸c˜oes peri´odicas relativas

e fam´ılias de ´orbitas peri´odicas (veja por exemplo ). Em geral,

a forma normal ´e calculada sem levar em considera¸c˜ao as condi¸c˜oes de simetria e antis-

  

m´etodo de Elphick et al, Baptistelli et al. desenvolveram em um m´etodo alternativo

para a obten¸c˜ao de formas normais revers´ıveis equivariantes que leva em considera¸c˜ao as

propriedades sim´etricas do sistema desde o in´ıcio do processo. ´ E esta abordagem que n´os

seguimos neste trabalho.

  O texto est´a organizado da seguinte maneira. No Cap´ıtulo 1 fazemos uma sucinta

apresenta¸c˜ao de sistemas dinˆamicos Hamiltonianos. Para isso, tamb´em compilamos alguns

conceitos de ´algebra linear simpl´etica. No Cap´ıtulo 2 apresentamos os principais t´opicos

das teorias invariante e equivariante de grupos de Lie. O Cap´ıtulo 3 ´e destinado `a teoria de

formas normais de sistemas revers´ıveis equivariantes. Nas se¸c˜oes 3.1 a 3.3 nos dedicamos

`a teoria revers´ıvel equivariante e alguns de seus resultados, com destaque ao Algoritmo

que apresenta uma forma de calcular geradores do m´odulo das aplica¸c˜oes polinomiais

revers´ıveis equivariantes sobre o anel dos polinˆomios invariantes. Nas duas ´ ultimas se¸c˜oes

deste cap´ıtulo apresentamos a teoria de formas normais e o principal resultado deste

trabalho, o Teorema e o

Teorema para calcular formas normais de alguns sistemas Hamiltonianos revers´ıveis

equivariantes pela a¸c˜ao de trˆes grupos de Lie compactos distintos.

  

CAP´ITULO 1

SISTEMAS HAMILTONIANOS

Os sistemas Hamiltonianos formam uma subclasse dos sistemas dinˆamicos conservati-

vos e, apesar dessa restri¸c˜ao, a formula¸c˜ao hamiltoniana constitui uma base para diversos

m´etodos matem´aticos utilizados na matem´atica e na f´ısica. Tal formalismo encontra v´arias

aplica¸c˜oes importantes, n˜ao somente na mecˆanica cl´assica, mas tamb´em em eletromagne-

tismo, e ´e o ponto de partida da mecˆanica quˆantica e da mecˆanica estat´ıstica.

  A teoria de sistemas Hamiltonianos teve in´ıcio ap´os a formula¸c˜ao da mecˆanica cl´assica

segundo Hamilton. Lagrange j´a havia libertado a mecˆanica cl´assica Newtoniana da

exigˆencia de um sistema de coordenadas inercial e Hamilton adaptou essa ideia passando

a usar um espa¸co 2n−dimensional. Iniciou-se ent˜ao o desenvolvimento do formalismo ma-

tem´atico necess´ario para dar suporte `a teoria f´ısica, fazendo nascer a geometria simpl´etica,

hoje trabalhada independente de motiva¸c˜oes f´ısicas.

  Come¸caremos apresentando os conceitos b´asicos da ´algebra linear simpl´etica necess´arios

para o formalismo de sistemas Hamiltonianos que ser´a apresentado na Se¸c˜ao 1.2. Nossas

principais referˆencias neste cap´ıtulo s˜ao .

  ´

1.1 Algebra Linear Simpl´ etica

  Nessa se¸c˜ao, vamos estudar espa¸cos vetoriais que possuem uma estrutura especial

dada por uma forma bilinear simpl´etica, os chamados espa¸cos vetoriais simpl´eticos. Tais

espa¸cos fazem parte de um contexto introdut´orio no estudo da geometria simpl´etica como

uma ferramenta de suporte na investiga¸c˜ao de campos Hamiltonianos. Para o que segue,

V ´e um espa¸co vetorial m−dimensional sobre R e ω : V × V → R ´e uma forma bilinear

sobre V . Lembremos que ω ´e antissim´etrica se ω(u, v) = −ω(v, u), para todo u, v ∈ V.

  O pr´oximo teorema constr´oi uma base apropriada para o espa¸co vetorial V quando dotado de uma forma antissim´etrica ω.

  

Teorema 1.1.1. Seja ω uma forma bilinear antissim´etrica sobre V. Ent˜ao, existe uma

base B = {u , · · · , u k , e , · · · , e n , f , · · · , f n } de V tal que

  1

  1

  1

  1. ω(u i , v) = 0 para todo i = 1, · · · , k e para todo v ∈ V ; 2. ω(e i , e j ) = ω(f i , f j ) = 0 para todo i, j = 1, · · · , n;

3. ω(e i , f j ) = δ ij , onde δ ij = 0 se i 6= j e δ ij = 1 se i = j, para todo i, j = 1, · · · , n.

Demonstra¸c˜ao. Considere o subespa¸co U de V dado por

  U = {u ∈ V ; ω(u, v) = 0, ∀v ∈ V } (1.1)

e escolha uma base {u , · · · , u k } de U. Se U = V, ent˜ao ω ≡ 0, de onde segue que n = 0

  1 e temos obviamente v´alido o primeiro item.

1 Suponha agora U 6= V. Ent˜ao, existe um subespa¸co vetorial W 6= {0} de V tal

  C

  

que V = U ⊕ W. Tome 0 6= e ∈ W e, como e ∈ U , existe tamb´em f ∈ W tal

  1

  1

  1

  

que ω(e , f ) 6= 0. Sem perda de generalidade, podemos supor que ω(e , f ) = 1. Defina

  1

  1

  1

  1 W = he , f i o subespa¸co vetorial de V gerado por e e f , e considere o conjunto

  1

  1

  1

  1

  1 ω

W = {w ∈ W ; ω(w, v) = 0, ∀v ∈ W }.

  1

  1

1 Pode-se consultar [15] por exemplo.

  ω

  1

  1

  1

  1 ω

  

v = (−cf + de ) + (v + cf − de ), com (−cf + de ) ∈ W e (v + cf − de ) ∈ W , pois

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  ω(v + cf − de , pe + qf ) = pω(v, e ) + qω(v, f ) + cpω(f , e )+

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  • cqω(f , f ) − dpω(e , e ) − dqω(e , f )

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  = pc + qd − cp − dq = 0,

  • para todo c, d, p, q ∈ R, uma vez que ω ´e antissim´etrica e ω(e , f ) = 1. Ent˜ao W = W

  1

  1

  1 ω ω

  

W . Seja v ∈ W ∩ W . Como v ∈ W existem a, b ∈ R tais que v = ae + bf . Al´em disso,

  1

  1

  1

  1

  1

  1 ω

  

como v ∈ W ent˜ao ω(v, e ) = 0 e ω(v, f ) = 0, o que implica em aω(e , e ) − bω(e , f ) =

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  

0 = aω(e , f ) + bω(f , f ). Como ω ´e antissim´etrica, ω(e , e ) = 0 e da primeira igualdade

  1

  1

  1

  1

  1

  1

temos b = 0. Consequentemente, a = 0 da segunda igualdade, mostrando que v = 0.

  Logo, a soma em quest˜ao ´e direta.

  ω ω

  Seja agora 0 6= e ∈ W . Novamente, existe f ∈ W tal que ω(e , f ) 6= 0 e assumimos,

  2

  2

  2

  2

  1

  1

  sem perda de generalidade, que ω(e , f ) = 1. Tomando W = he , f i e

  2

  2

  2

  2

  2 ω ω

  

W = {w ∈ W ; ω(w, v) = 0, ∀v ∈ W },

  2

  2

  1 ω ω

  

´e poss´ıvel mostrar que W = W ⊕ W . Continuando o processo, podemos decompor

  2

  1

  2 ω ω ω ω

  W = W

  3 ⊕ W , W = W 4 ⊕ W e assim sucessivamente. Como a dimens˜ao de V ´e

  2

  3

  3

  4

  finita, tal processo ´e finito e obtemos V = U ⊕ W ⊕ W ⊕ · · · ⊕ W n , (1.2)

  1

  2

  

onde W i tem base {e i , f i } e ω(e i , f i ) = 1 para todo i = 1 · · · , n. Note que e i ∈ W i e

  ω

e j ∈ W para todo j = i + 1, · · · , n. Logo, ω(e i , e j ) = 0 para todo i, j = 1, · · · , n.

i

  

Da mesma forma, ω(f i , f j ) = 0 para todo i, j = 1, · · · , n. Por constru¸c˜ao, j´a vimos que

ω(e i , f i ) = 1 para todo i = 1, · · · , n. Agora, se i 6= j, digamos i < j, ent˜ao e i ∈ W i e

  ω ω

  

f j ∈ W de onde segue que ω(e i , f j ) = 0. Se i > j, ent˜ao f j ∈ W j e e i ∈ W e novamente

  i j ω(e i , f j ) = 0. Assim ω(e i , f j ) = δ ij .

  Claramente, B = {u , · · · , u k , e , · · · , e n , f , · · · , f n } gera V. Para concluirmos que B ´e

  1

  1

  1

  

uma base de V resta mostrarmos que tal conjunto ´e linearmente independente. Suponha

que

α u + · · · + α k u k + β e + · · · + β n e n + γ f + · · · + γ n f n = 0

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

   

  k n n

  X X

  X

  1  

u i = − α j u j β j e j γ j f j .

+ +  

  α i j=1

  j =1 j =1 j 6=i

  

Como a soma em ´e direta e u i ∈ U, temos β j = γ j = 0 para todo j = 1, · · · , n. Mas

ent˜ao 1 u i = − (α

  1 u 1 + · · · + α i −1 u i −1 + α i +1 u i +1 + · · · + α k u k )

  α i

o que ´e um absurdo, pois o conjunto {u , · · · , u k } ´e linearmente independente (´e uma base

  1

  para U ). De modo an´alogo, se β j 6= 0 para algum 1 ≤ j ≤ n ent˜ao

  

1

e j = − (γ j f j )

β j

pois a soma em ´e direta e e j ∈ W j = he j , f j i . Mas isso novamente ´e um absurdo

pois ter´ıamos ω(e j , f j ) = 0. Se supormos γ j = 0 para algum 1 ≤ j ≤ n chegaremos a

uma conclus˜ao an´aloga. Portanto, α i = 0 para todo i = 1, · · · , k e β j = γ j = 0 para todo

j = 1, · · · , n, de onde segue que B ´e uma base de V.

  A base B do teorema anterior n˜ao ´e necessariamente ´ unica, por´em ´e tradicionalmente

chamada de “base canˆonica”. Como ω ´e uma forma bilinear, sua nota¸c˜ao matricial com

  t

  

respeito a B ´e dada por ω(u, v) = [u] Ω[v], onde [u], [v] s˜ao as coordenadas de u, v ∈ V na

base B, respectivamente, t denota a transposta e  

  k ×k k ×n k ×n

      Ω =

  (1.3)

  n n

  I n  ×k   

  n −I n n ×k

  (k+2n)×(k+2n)

  

com I n a matriz identidade de ordem n e 0 n a matriz nula de ordem n. Note que Ω ´e

uma matriz antissim´etrica. Mais do que isso, ω ´e uma forma bilinear antissim´etrica se, e

somente se, a matriz de ω com respeito a qualquer base de V ´e antissim´etrica.

Defini¸c˜ ao 1.1.2. Dizemos que uma forma bilinear antissim´etrica ω ´e simpl´etica, ou n˜ao

  ∗

  

degenerada, se a aplica¸c˜ao ˜ ω : V → V definida por ˜ ω(u)(v) = ω(u, v) ´e bijetora, onde

  ∗ V ´e o dual de V .

  ω(u, v) = 0, ∀ v ∈ V ⇔ u = 0. (1.4)

De fato, se ˜ ω ´e bijetora, ent˜ao ker ˜ ω = {0}. Suponha que ω(u, v) = 0 para todo v ∈ V.

  

Ent˜ao ˜ ω(u) ≡ 0 e u ∈ ker ˜ ω = {0}, ou seja, u = 0. Agora, se u = 0 ´e claro que ω(u, v) = 0

para todo v ∈ V. Por outro lado, suponha que vale e tome u ∈ ker ˜ ω. Ent˜ao ˜ ω(u) ≡ 0,

ou seja, ω(u, v) = ˜ ω(u)(v) = 0 para todo v ∈ V. Logo u = 0 por hip´otese, de onde segue

  ∗ que ˜ ω ´e injetora. Como dim V = dim V < ∞ segue que ˜ ω ´e bijetora.

  Nessas condi¸c˜oes, a aplica¸c˜ao ω ´e ent˜ao chamada uma estrutura linear simpl´etica em V e (V, ω) ´e chamado espa¸co vetorial simpl´etico. Note que o n´ ucleo da aplica¸c˜ao ˜ ω ´e o subespa¸co U definido em

segue que dim V = 2n. Portanto, um espa¸co vetorial simpl´etico (V, ω) tem dimens˜ao par

e admite uma base

  

{e , · · · , e , f , · · · , f }

  1 n 1 n

  

satisfazendo ω(e i , f j ) = δ ij e ω(e i , e j ) = ω(f i , f j ) = 0 para todo i, j = 1, · · · , n, que ´e

chamada base simpl´etica de (V, ω). Neste caso, a matriz em fica na forma  

  n

  

I n

  Ω = . (1.5) −I n n

  (2n)×(2n)

  

Exemplo 1.1.3. O exemplo canˆonico de espa¸co vetorial simpl´etico ´e o espa¸co euclidiano

  2n 2n 2n

  R com a forma bilinear ω : R × R → R dada por

  n

  X ω (u, v) = (u j v n +j − u n +j v j ) (1.6)

  j =1 t

  

onde u = (u , · · · , u ) e v = (v , · · · , v ). ´ E f´acil ver que ω (u, v) = [u] Ω[v], onde Ω ´e

  1 2n 1 2n dada por . Logo, ω ´e antissim´etrica e n˜ao degenerada.

  ´ E poss´ıvel mostrar que uma forma bilinear antissim´etrica ω : V × V → R ´e n˜ao

degenerada se, e somente se, sua matriz ´e invers´ıvel. A ideia aqui ´e observar que a matriz

  ∗

  

agora segue pois ω ´e n˜ao degenerada se, e somente se, ˜ ω ´e bijetora, o que ocorre se, e

somente se, sua matriz ´e invers´ıvel.

  

Defini¸c˜ ao 1.1.4. Um simplectomorfismo ϕ entre os espa¸cos vetoriais simpl´eticos (V, ω)

  ′ ′ ′ ′

  

e (V , ω ) ´e um isomorfismo linear ϕ : V → V tal que ω(u, v) = ω (ϕ(u), ϕ(v)), para

  ′ ′

  

todo u, v ∈ V. Se existe tal isomorfismo linear, ent˜ao os espa¸cos (V, ω) e (V , ω ) s˜ao ditos

simplectomorfos.

  Todo espa¸co vetorial simpl´etico 2n−dimensional (V, ω) ´e simplectomorfo ao espa¸co

  2n

  (R , ω ), onde ω ´e definido em . De fato, sejam

  ′ ′ ′ ′

  {e

  1 , · · · , e n , f 1 , · · · , f n } e {e , · · · , e , f , · · · , f } n n

  1

  1 2n

  2n

  

as bases simpl´eticas de R e V , respectivamente, e defina ϕ : V → R por ϕ(v) =

  n n n n

  X X

  X X

  ′ ′

  • c e d f se v = c e d f + . ´ E f´acil verificar que ϕ ´e um isomorfismo

  i i i i i i i i i =1 i =1 i =1 i =1 n n

  X X

  ′ ′

  • linear. Vamos mostrar que ω(u, v) = ω (ϕ(u), ϕ(v)). Sejam u = a i e b i f ,

  i i i i =1 =1 n n n n n n

  X X

  X X

  X X

  ′ ′

  • v = c i e d i f ∈ V. Ent˜ao ϕ(u) = a i e i b i f , ϕ(v) = + i c i e i d i f i

  e,

  i i i i i i i i =1 =1 =1 =1 =1 =1

  pela bilinearidade de ω , temos

  n n n

  X X

  X

ω (ϕ(u), ϕ(v)) = a i c j ω (e i , e j ) + a i d j ω (e i , f j ) + b i c j ω (f i , e j )+

  i,j =1 i,j =1 i,j =1 n

  X

  • b i d j ω (f i , f j )

  i,j =1 n n n

  X X

  X

  ′ ′ ′ ′ ′ ′

  = a i c j ω(e , e ) + a i d j ω(e , f ) + b i c j ω(f , e )+

  i j i j i j i,j i,j i,j =1 =1 =1 n

  X

  ′ ′

  • b i d j ω(f , f )

  i j i,j =1

  = ω(u, v), a segunda igualdade seguindo pois ω e ω satisfazem as condi¸c˜oes do Teorema

  Assim, quando consideramos um sistema simpl´etico de coordenadas (dado pela base

  2n simpl´etica), podemos olhar (V, ω) localmente como (R , ω ), para algum n ∈ N.

1.2 Sistemas Dinˆ amicos e Campos Hamiltonianos

  Um sistema Hamiltoniano ´e um sistema de equa¸c˜oes diferenciais que pode ser escrito na

forma das equa¸c˜oes de Hamilton. Nesta se¸c˜ao introduzimos o conceito de sistema dinˆamico

e como o trataremos no presente trabalho. Tamb´em apresentamos a fun¸c˜ao Hamiltoniana,

que induz um campo vetorial especial chamado de campo vetorial Hamiltoniano. Este

campo, por sua vez, induz os chamados sistemas Hamiltonianos.

Defini¸c˜ ao 1.2.1. Sejam M um conjunto e G um grupo. Um fluxo ´e um conjunto de

aplica¸c˜oes φ t : M → M, com t ∈ G, satisfazendo φ = Id M e φ r = φ r φ s . Tal fluxo induz

  • s

  

uma aplica¸c˜ao φ : G × M → M definida por φ(t, x) = φ t (x) e o trio (M, G, φ) ´e dito um

sistema dinˆamico.

  Na defini¸c˜ao acima, quando G ∈ {N, Z}, o trio (M, G, φ) ´e um sistema dinˆamico discreto e quando G = R, o sistema dinˆamico ´e cont´ınuo.

  n n

   em M ´e uma aplica¸c˜ao X : M → R que n

  

associa a cada ponto x ∈ M o vetor X(x) ∈ R . Para nossos prop´ositos, vamos sempre

  n ∞

  

assumir que M = R e que o campo ´e de classe C . Dado um campo de vetores X em

  n

  R , podemos considerar a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria

˙x = X(x).

Atrav´es da solu¸c˜ao desse sistema, ´e poss´ıvel induzir um fluxo e, por isso, um campo

de vetores induz um sistema dinˆamico. Reciprocamente, um fluxo induz um campo de

vetores e este, por sua vez, induz uma equa¸c˜ao diferencial. Desta forma, tornamos quase

que indistintos os conceitos de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (autˆonomas), sistemas

  

  

dinˆamicos e campos de vetore.

  n n

  

Defini¸c˜ ao 1.2.2. Sejam X um campo vetorial em R e x ∈ R . Dizemos que x ´e uma

singularidade (ou um ponto cr´ıtico, ou um ponto de equil´ıbrio) de X se X(x ) = 0. Caso

contr´ario, x ´e dito um ponto regular.

  2 Mais geralmente, se M ´e uma variedade diferenci´avel, um campo de vetores em M ´e uma aplica¸c˜ ao X : M → T M , onde T M ´e o fibrado tangente de M .

  3 A prova deste fato pode ser encontrada em .

  ∞ sempre supor que ao menos uma das singularidades, se houver, est´a na origem.

  Usualmente, define-se um campo Hamiltoniano como segue:

  2 Defini¸c˜ ao 1.2.3. Sejam H : V → R uma fun¸c˜ao de classe C e ∇H o gradiente de H,

  

onde (V, ω) ´e um espa¸co vetorial simpl´etico. Um campo de vetores Hamiltoniano ´e um

campo da forma X (x) = J∇H(x), (1.7)

  H

  

onde x ∈ V e J ´e a matriz da forma simpl´etica ω numa dada base de V . Neste caso, H

denomina-se Hamiltoniano ou fun¸c˜ao Hamiltoniana do campo

  2n

  Considerando o espa¸co vetorial simpl´etico (R , ω ), onde ω ´e a forma simpl´etica canˆonica dada por , um campo Hamiltoniano ´e da forma  ∂H   ˙x = (x, y)

  ∂y (1.8)

∂H

   

˙y = − (x, y),

∂x

  2n 2n

  2

  

onde (x, y) ∈ R e H : R → R ´e de classe C . Neste caso, J = Ω como definida em

  2n

  

.

  Sistemas de equa¸c˜oes com essa mesma estrutura j´a haviam sido obtidos por Lagrange

e Poisson, mas eles n˜ao perceberam que se tratavam de um conjunto b´asico de equa¸c˜oes de

movimento. As equa¸c˜oes ganharam o nome de equa¸c˜oes de Hamilton em homenagem

  

  Quando n˜ao for especificada a forma simpl´etica, deve ser entendido que o campo ´e Hamiltoniano em rela¸c˜ao `a forma simpl´etica usual ω dada em .

Exemplo 1.2.4. Vamos considerar neste exemplo a equa¸c˜ao do pˆendulo simples sob a

a¸c˜ao da for¸ca da gravidade g. Considere o pˆendulo como na figura abaixo, de haste r´ıgida

de comprimento l e massa desprez´ıvel, com um extremo fixo e um objeto de massa m no

outro extremo.

4 Dentre as contribui¸c˜ oes de Hamilton, destacam-se o desenvolvimento de uma abordagem unificada

  

para problemas de ´ optica geom´etrica e dinˆ amica, usando c´ alculo variacional, e trabalhos sobre a ´ algebra

de n´ umeros complexos.

  

Figura 1.1: O pˆendulo.

Considerando o atrito desprez´ıvel, a equa¸c˜ao de movimento do pˆendulo ´e dada por

g

  ¨

θ + sin θ = 0,

l que d´a origem ao sistema de EDO’s de primeira ordem

     ˙θ = p

g

  

˙p = − sin θ,

l

onde θ ´e uma vari´avel angular e p ´e o momento. Esse sistema ´e Hamiltoniano da forma

  com fun¸c˜ao Hamiltoniana

  2

  

p g

+ H(θ, p) = (1 − cos θ).

  

2 l

Exemplo 1.2.5. O sistema    ˙x = x  

  ˙y = sin x − y ´e um sistema Hamiltoniano da forma . De fato, se

∂H ∂H

x = (x, y) e sin x − y = − (x, y),

  

∂y ∂x

ent˜ao, integrando com rela¸c˜ao `a y e a x, respectivamente, obtemos H(x, y) = xy + f (x)

  1

  

e H(x, y) = cos x + yx + f (y), para algumas fun¸c˜oes f , f : R → R. Igualando as duas

  2

  1

  2

  fun¸c˜oes, temos que f

  1 (x) = cos x + b e f 2 (y) = b para alguma constante b ∈ R. Logo uma fun¸c˜ao Hamiltoniana deste sistema ´e H(x, y) = cos x + xy + b.

  2 ).

  1

  1

  ∇H(x

  1

  ) = J

  2

  , y

  , y

  2

  2

  , x

  1

  ), o campo de vetores em quest˜ao ´e Hamiltoniano da forma X(x

  1

  , ω

  , x

  , y

  espa¸co simpl´etico (R

  1

  2

  1

  2

  ) + β 2 (y

  2

  2

  2

  1

  2

(x

  α

  1 , x 2 , y 1 , y 2 ) =

  ) com fun¸c˜ao Hamiltoniana H(x

  2

  , y

  4

  1 = 1 6= 0, ω 1 ´e n˜ao degenerada. Portanto, considerando o

  precisamos encontrar uma fun¸c˜ao H : R

  , y

  , −αx

  2

  ) = (αx

  2

  , y

  1

  2

  , βy

  , x

  1

  tal que X H (x) = J∇H para

alguma matriz J da forma simpl´etica ω. Como um exemplo, considere o campo de vetores

X(x

  2

  → R de classe C

  2n

  1

  2

  . Al´em disso, uma vez que det J

  1

  4

  sobre R

  1

  induz uma forma bilinear antissim´etrica ω

  1

  ´e antissim´etrica, J

  . (1.9) Como J

  , −βy

         

  

1

−1 0 1 0 −1 0

         

  1 =

  ) e considere a matriz J

  1

  • x
  • y

  

CAP´ITULO 2

TEORIA INVARIANTE DE GRUPOS DE

LIE

  Como mencionamos na Introdu¸c˜ao, o objetivo desse trabalho ´e calcular formas normais

de sistemas Hamiltonianos sob a a¸c˜ao de simetrias e antissimetrias. Nossa abordagem para

o estudo sistem´atico neste contexto segue principalmente as referˆencias e se d´a

atrav´es da teoria de representa¸c˜ao de grupos em um espa¸co vetorial V de dimens˜ao finita.

As aplica¸c˜oes que regem sistemas dinˆamicos Γ−revers´ıveis-equivariantes tem uma forma

geral bem determinada uma vez conhecida a teoria invariante para a a¸c˜ao de Γ em V.

  Neste cap´ıtulo introduzimos as ferramentas necess´arias para o estudo de tais sistemas

come¸cando pela teoria de representa¸c˜ao de grupos de Lie e em seguida desenvolvendo as

teorias invariante e equivariante. Todos os exemplos feitos neste cap´ıtulo ser˜ao utilizados

no Cap´ıtulo 4 e, uma vez resolvidos aqui, facilitam os arduosos c´alculos que vir˜ao.

2.1 Representa¸c˜ ao de Grupos

  Um determinado grupo pode agir em um espa¸co vetorial de v´arias formas. Por isso,

a teoria de representa¸c˜ao de grupos ´e fundamental, em particular quando trabalhamos

  

importantes. Um exemplo disso ´e a existˆencia de uma integral de Haar invariante pela a¸c˜ao

do grupo, o que nos permite admitir que um grupo de Lie compacto age ortogonalmente

em um espa¸co vetorial. Daqui em diante, assumimos que o leitor esteja familiarizado

com conceitos de teoria de grupos como subgrupos, subgrupos normais, homomorfismos

  n

  

e grupos quocientes, bem como com conceitos topol´ogicos de R como abertos, fechados

e compactos.

2.1.1 Grupos de Lie

  Apesar do conceito de grupo de Lie ser bem mais abrangente, para nossos objetivos

estamos interessados em uma defini¸c˜ao um pouco mais restrita, a de grupo de Lie linear.

Em todo texto, M n (R) denota o grupo das matrizes quadradas de ordem n, GL(n) o

  t

  

subgrupo de M n (R) formado pelas matrizes invers´ıveis, A denota a transposta de uma

matriz A e I n denota a matriz identidade de ordem n.

  Defini¸c˜ ao 2.1.1. Um grupo de Lie linear ´e um subgrupo fechado Γ de GL(n).

  Note que precisamos considerar uma topologia em GL(n). Para isso, considere em

  2

  n

  M n (R) a topologia induzida pelo isomorfismo φ : M n (R) → R dado por   a a · · · a

  11 12 1n

       a a · · · a 

  21 22 2n

  11 12 1n

  21

    7−→ (a , a , · · · , a , a , · · · , a nn ),

    ... ... ... ...     a n a n · · · a nn

  1

  2

  

ou seja, um conjunto U de matrizes ´e um aberto em M (R) se, e somente se, φ(U ) ´e

  n

  2

  n

  

um aberto em R . Assim, a topologia adotada em GL(n) ´e a topologia do subespa¸co

induzida por M n (R). Vejamos alguns exemplos.

  

Exemplo 2.1.2. O grupo ortogonal O(n), que consiste de todas as matrizes quadradas t

  

  f : M n (R) → M n (R)

  t A 7−→ AA .

  −1

O grupo ortogonal O(n) ´e a imagem inversa de I n por f , ou seja O(n) = f ({I n }).

2 Como {I n } ´e unit´ario, tamb´em ´e fechado em M n (R) e, como f ´e cont´ınua, temos que

  

O(n) ´e fechado em M n (R). Agora, observe que O(n) ⊆ GL(n), pois se A ∈ O(n), ent˜ao

det A = ±1 6= 0. Assim, O(n) = GL(n)∩O(n) e, por isso, O(n) ´e fechado em GL(n). Resta

mostrar que O(n) ´e um subgrupo de GL(n). Claramente, I n ∈ O(n). Sejam A, B ∈ O(n).

  t −1

  Ent˜ao, B = B e segue que

  t t t t t t t t −1 −1 −1

  AB (AB ) = AB (B ) A = AB BA = AI n A = AA = I n , como desejado.

  

Exemplo 2.1.3. Seja SO(n) = {A ∈ O(n); det A = 1}. Esse grupo ´e chamado grupo

ortogonal especial, ou grupo de rota¸c˜ao n-dimensional, e ´e um grupo de Lie linear. De

  t −1

  fato, note que I n ∈ SO(n) e se A, B ∈ SO(n), ent˜ao B = B e temos

  t −1 −1 det AB = det A det B = det A det B = det A det B = 1.

  −1

  

Portanto, AB ∈ SO(n) e, assim, SO(n) ´e um subgrupo de GL(n). Para mostrar que

SO(n) ´e fechado em GL(n), escreva SO(n) = O(n) ∩ H, onde H = {B ∈ GL(n); det B =

1}, e considere a fun¸c˜ao f : GL(n) → R

  A 7−→ det A.

Temos que f ´e cont´ınua (pois ´e cont´ınua como fun¸c˜ao de M n (R) em R e restri¸c˜ao de

  −1

  

cont´ınua ´e cont´ınua) e H = f ({1}) onde {1} ´e fechado em R. Logo, H ´e fechado em

GL(n). Como O(n) tamb´em ´e fechado em GL(n) segue o que quer´ıamos.

  1 t

  Observe que se A ∈ O(n), ent˜ao A tamb´em satisfaz A A = I , uma vez que a matriz inversa ` a direita n de A ´e igual ` a sua inversa ` a esquerda.

  2

  2 n Essa afirma¸c˜ ao ´e v´ alida pois M n (R) ´e homeomorfo ` a R , que ´e Hausdorff. de rota¸c˜ao dadas por

 

cos θ sin θ

 

  R θ = , (2.1)

− sin θ cos θ

  a b  

com θ ∈ [0, 2π). De fato, se A = ∈ SO(2), ent˜ao det A = 1, e, al´em disso,

c d

  t −1

  A = A . Calculando a inversa de A e igualando a sua transposta, temos

 

a b

 

  A = .

  

−b a

  t

  2

  2 Como a + b = 1 (pois AA = I 2 ), existe θ ∈ [0, 2π) tal que a = cos θ e b = sin θ. Assim,

  

A = R θ , provando a afirma¸c˜ao. Em nosso trabalho, vamos identificar SO(2) com o grupo

  1

  

do c´ırculo unit´ario S = {z ∈ C; |z| = 1}, pela correspondˆencia R θ 7−→ θ, uma vez que

  iθ

  1 cada z ∈ S pode ser escrito de forma ´ unica como z = e , com θ ∈ [0, 2π).

  

Exemplo 2.1.5. Todo grupo finito ´e isomorfo a um grupo de Lie linear. Para ver isto,

considere G = {a , a , · · · , a n } um grupo finito e defina

  1

  2

  f : G → S ⊂ S G

a i 7−→ σ i : G → G

a j 7→ a i a j ,

  

  1

2 Iniciaremos mostrando que S ´e um subgrupo de S G (e, portanto, um grupo). Supondo

  

que a ´e o elemento neutro de G, conclu´ımos que σ ´e neutro em S, pois para todo

  1

  1 −1 −1

  

i = 1, · · · , n tem-se σ (a i ) = a a i = a i . Se σ i (a k ) = a i a k ent˜ao σ (a k ) = a a k , pois

  1 1 i i −1 −1 −1

  σ i (a a k ) = a i (a a k ) = (a i a )a k = a k = σ

  1 (a k ) para todo k = 1, · · · , n. Assim, se i i i

  σ i , σ j ∈ S, ent˜ao

  −1 −1 −1

  

σ i (σ (a k )) = σ i (a a k ) = (a i a )a k = a l a k = σ l (a k )

  j j j

3 Note que se n 6= 2, ent˜ao S ´e diferente de S G , pois o n´ umero de elementos de S ´e n enquanto que o n´ umero de elementos de S G ´e n!.

  −1 j

  

i, j = 1, · · · , n. Mostremos agora que f ´e um homomorfismo de grupos. De fato, se a l , a m ∈

G ent˜ao a l a m = a k para algum a k ∈ G. Logo, σ k (a j ) = a k a j = a l a m a j = σ l ◦ σ m (a j ) para

todo a j ∈ G, ou seja, f (a l a m ) = f (a k ) = σ k = σ l ◦ σ m = f (a l ) ◦ f (a m ), como desejado.

Note tamb´em que se σ i = σ j para i, j = 1, · · · , n, ent˜ao a i = a j , uma vez que G ´e um

grupo. Consequentemente, f ´e um isomorfismo de grupos.

  Agora, podemos identificar cada permuta¸c˜ao de S com uma matriz de ordem n dada

pela permuta¸c˜ao das colunas (ou linhas) da matriz identidade. Assim, S ´e identificado

com um subgrupo de GL(n) que ´e fechado, pois ´e finito e GL(n) ´e Hausdorff. Portanto,

associamos a G um grupo de Lie linear, como desejado.

  n

  1

  1 Exemplo 2.1.6. O toro n−dimensional T = S × · · · × S (n vezes) ´e um grupo de Lie n

  linear. Se θ = (θ , · · · , θ n ) ∈ T podemos identific´a-lo com a matriz

  1

    R · · ·

  θ

  1    

  R θ · · ·  2 

      ∈ GL(2n),  R θ · · · 

  3    

  ... ... ... ... ...    

  

· · · R θ

n onde R θ ´e como em .

  

Defini¸c˜ ao 2.1.7. Um grupo de Lie linear ´e compacto se o for pela topologia induzida

  2

  n como um subconjunto de R .

  Por´em existem n n

  

grupos de Lie que n˜ao s˜ao compactos, como ´e o caso de R . Temos que R ´e isomorfo ao

grupo de matrizes da forma   1 a

  1 a 2 · · · a n

      1 · · ·  

    ∈ GL(n + 1),   ... ... ... ... ...    

  · · ·

  

1

  4 N´ os omitiremos a demonstra¸c˜ ao desta afirma¸c˜ ao.

  n tipo possui entradas que n˜ao s˜ao limitadas e, portanto, R n˜ao ´e compacto.

  Em nosso trabalho, consideramos especificamente grupos de Lie compactos e, embora

a defini¸c˜ao de grupo de Lie seja mais geral do que a de grupo de Lie linear, ´e fato que

todo grupo de Lie compacto ´e topologicamente isomorfo `a um grupo de Lie linear (veja

Γ ´e chamado somente de grupo de Lie.

2.1.2 A¸c˜ oes e Representa¸c˜ oes

  Estamos interessados agora em determinar como um grupo de Lie transforma o espa¸co

  n

  

R , ou seja, em como seus elementos agem em um determinado sistema. Formalizamos

essa ideia com o conceito de a¸c˜ao e representa¸c˜ao de grupos.

  

Defini¸c˜ ao 2.1.8. Sejam Γ um grupo de Lie e V um espa¸co vetorial real de dimens˜ao

finita. Dizemos que Γ age linearmente em V se existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua, chamada

a¸c˜ao,

  ψ : Γ × V →

  V

(γ, v) 7−→ γ · v

tal que para cada γ ∈ Γ a aplica¸c˜ao ρ γ : V → V definida por ρ γ (v) = γ · v ´e linear e

ρ γ ◦ ρ γ = ρ γ γ para todo γ , γ ∈ Γ.

  1

  2

  1

  2

  1

2 A aplica¸c˜ao

  ρ : Γ → GL(V )

γ 7−→ ρ γ

´e chamada de representa¸c˜ao de Γ em V , onde GL(V ) ´e o grupo das transforma¸c˜oes

lineares invers´ıveis de V em V .

  Primeiramente notemos que ρ γ ´e de fato invers´ıvel para todo γ ∈ Γ. Sejam v

  1 , v 2 ∈ V −1

  

tais que ρ γ (v ) = ρ γ (v ), ou seja, γ · v = γ · v . Aplicando a a¸c˜ao de γ (que existe

  1

  2

  1

  2

  

pois Γ ´e um grupo) em ambos os lados dessa igualdade, temos pela defini¸c˜ao de a¸c˜ao que

  −1 −1

  (γγ ) · v

  1 = (γγ ) · v 2 o que implica em v 1 = v 2 . Portanto, ρ γ ´e injetora. Pelo Teorema

  Γ em GL(V ). De fato, ρ(γ γ )(v) = ρ γ γ (v) = ρ γ (ρ γ (v)) = ρ(γ ) ◦ ρ(γ )(v),

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 para todo v ∈ V.

  Desta maneira, a toda a¸c˜ao est´a associada uma representa¸c˜ao que nos diz como Γ

transforma o espa¸co todo V. Como V ´e um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita n > 0,

  n podemos assumir V ∼ , como nos seguintes exemplos.

  = R

Exemplo 2.1.9. Como todo grupo de Lie linear Γ ´e um grupo de matrizes em GL(n),

  n

  

para algum n, existe uma a¸c˜ao natural de Γ em R dada pela multiplica¸c˜ao de matriz por

vetor. De fato, a aplica¸c˜ao

  n n

  R Γ × R → , (M, v) 7−→ M v

  n

  

onde M v representa a multiplica¸c˜ao da matriz M ∈ Γ pelas coordenadas de v ∈ R (em

  n n

  uma dada base de R ), ´e cont´ınua. Ainda se u, v ∈ R e α ∈ R ent˜ao ρ M (u + αv) = M (u + αv) = M u + αM v = ρ M (u) + αρ M (v),

de onde segue que ρ M ´e linear para todo M ∈ Γ. Por fim, se M, N ∈ Γ, ent˜ao ρ M ◦ρ N (v) =

  n M (N v) = (M N )v = ρ (v) para todo v ∈ R . M N n n

  

Exemplo 2.1.10. Todo grupo Γ age trivialmente em R como γ ·v = v, para todo v ∈ R

e todo γ ∈ Γ. Note que esta a¸c˜ao, dada por ψ(γ, v) = v, ´e uma proje¸c˜ao e, portanto, ´e

  n

  cont´ınua. Al´em disso, se u, v ∈ R , α ∈ R e γ , γ ∈ Γ ent˜ao

  1

  2

  

ρ γ (u + αv) = u + αv = ρ γ (u) + αρ γ (v) e

ρ γ ◦ ρ γ (v) = γ · (γ · v) = γ · v = v = (γ γ ) · v = ρ γ γ (v).

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2 Exemplo 2.1.11. A aplica¸c˜ao

  1

  ψ : S × C → C

  iθ

  

(θ, z) 7−→ e z

  1 iθ iθ iθ

  ρ θ (u + αv) = e (u + αv) = e u + αe v = ρ θ (u) + αρ θ (v),

  1

  para todo u, v ∈ C e θ ∈ S . Al´em disso,

  iϕ iθ iϕ iθ iϕ i (θ+ϕ)

  θ · (ϕ · z) = θ · (e z) = e (e z) = e e z = e z = (θ + ϕ) · z,

  1 onde + ´e a opera¸c˜ao do grupo S .

  1 Exemplo 2.1.12. Para qualquer inteiro k, a aplica¸c˜ao que leva S × C em C definida por ikθ

  θ · z = e z

  1

  

tamb´em ´e uma a¸c˜ao de S em C. A justificativa desse fato ´e an´aloga `a feita no exemplo

anterior. Note que se k = 0 a a¸c˜ao ´e a trivial e se k = 1 a a¸c˜ao ´e a dada no Exemplo

  

2.1.3 Integral de Haar

  A integral de Haar ´e uma das principais ferramentas utilizadas no Cap´ıtulo 3. Nesta

subse¸c˜ao mostraremos que todo grupo de Lie linear compacto ´e um subgrupo fechado de

O(n), usando algumas propriedades desta integral. Daqui em diante, Γ ´e um grupo de

Lie.

  Z

Defini¸c˜ ao 2.1.13. Seja f : Γ → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao, a opera¸c˜ao f dγ ∈ R,

  Γ

  Z

tamb´em denotada por f (γ), ´e uma integral em Γ se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

  γ ∈Γ

  Z Z Z

(i) Linearidade, ou seja (λf + µg)dγ = λ f dγ + µ gdγ, onde f, g : Γ → R s˜ao

  Γ Γ Γ cont´ınuas e λ, µ ∈ R.

  Z (ii) Positividade, que significa que se f (γ) ≥ 0 para todo γ ∈ Γ, ent˜ao f dγ ≥ 0.

  Γ

  Esta opera¸c˜ao ´e uma Integral de Haar se, al´em dos itens (i) e (ii), satisfaz Z Z

(iii) Invariˆancia por transla¸c˜ao, isto ´e, f (δγ) = f (γ), para todo δ ∈ Γ fixado.

  γ γ ∈Γ ∈Γ Z

´e uma integral de Haar normalizada se 1dγ = 1. A prova da existˆencia e unicidade da

  Γ

  

integral de Haar normalizada est´a feita em I, Theorem 5.13], bem como a demonstra¸c˜ao

de que para grupos compactos, a integral de Haar tamb´em ´e invariante por transla¸c˜oes `a

direita, ou seja, Z Z

f (γδ) = f (γ), ∀δ ∈ Γ fixado.

  γ γ ∈Γ ∈Γ n

  

Observa¸c˜ ao 2.1.14. Aplica¸c˜oes da forma f : Γ → R tamb´em podem ser integr´aveis por

Haar, fazendo a integra¸c˜ao separadamente em cada componente.

  n n

  

Observa¸c˜ ao 2.1.15. Seja C(R , R) o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas R 7−→ R. A integral

Z

  n n

  

de Haar pode ser definida para aplica¸c˜oes f : Γ → C(R , R) como f dγ : R → R

  Γ

  Z Z

tal que f dγ (x) = f (γ)(x)dγ. Juntamente com a observa¸c˜ao anterior, vemos ´e

  Γ Γ n n

  

poss´ıvel integrar aplica¸c˜oes da forma f : Γ → C(R , R ). Faremos uso dessa observa¸c˜ao

na Defini¸c˜ao

  Exibimos abaixo um exemplo para o caso em que Γ ´e finito.

Exemplo 2.1.16. Seja Γ um grupo de Lie finito de ordem |Γ|. Ent˜ao, para qualquer

f : Γ → R cont´ınua temos

  Z

  X

  1 f dγ = f (γ). (2.2) |Γ|

  Γ γ

  ∈Γ

  De fato, se f, g : Γ → R e λ, µ ∈ R ent˜ao Z

  

X

  1 (λf + µg)dγ = (λf + µg)(γ) |Γ|

  Γ γ ∈Γ

  

X

  1 = (λf (γ) + µg(γ)) |Γ|

  γ ∈Γ

  

X

X

  1

  1 = λf (γ) + µg(γ) |Γ| |Γ|

  γ ∈Γ γ ∈Γ

  Z Z = λ f dγ + µ gdγ

  Γ Γ

e, se f (γ) ≥ 0 para todo γ ∈ Γ, ent˜ao claramente, a opera¸c˜ao definida em ´e positiva.

  Para mostrar que esta integral ´e invariante, fixe δ ∈ Γ. Ent˜ao, Z Z

  X X

  1

  1

f (δγ) = f (δγ) = f (α) = f dγ,

|Γ| |Γ|

  γ ∈Γ γ ∈Γ

  γ α ∈Γ ∈Γ

  Z

  X

  1

  1

segue de . Al´em disso, ela ´e normalizada pois 1dγ = 1 = |Γ| = 1. Pela

|Γ| |Γ|

  Γ γ

  ∈Γ unicidade, temos que a opera¸c˜ao definida em ´e a integral de Haar de f em Γ.

  O teorema a seguir ´e um caso particular do Teorema de Fubini para a integral de Haar enunciado e demonstrado em I, Proposition 5.16].

  

Teorema 2.1.17. Sejam Γ um grupo de Lie compacto e Σ ⊂ Γ um subgrupo fechado de

´ındice 2 de Γ. Para qualquer fun¸c˜ao cont´ınua f : Γ → R temos

  Z Z Z

  1 f (γ)dγ = f (γ)dγ + f (δγ)dγ ,

  2

  Γ Σ Σ para δ ∈ Γ\Σ fixado.

  Da proposi¸c˜ao que encerra esta subse¸c˜ao implica que podemos identificar grupos de Lie compactos em GL(n) com subgrupos fechados de O(n).

  

Proposi¸c˜ ao 2.1.18. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em um espa¸co vetorial

de dimens˜ao finita V e seja [ρ γ ] a matriz associada `a transforma¸c˜ao linear ρ γ dada pela

representa¸c˜ao de Γ em V. Ent˜ao, existe um produto interno em V tal que, para todo γ ∈ Γ,

[ρ γ ] ´e ortogonal.

  

Demonstra¸c˜ao. Seja h , i um produto interno em V. Para v, w ∈ V, considere a fun¸c˜ao

  

  cont´ınu f v,w : Γ → R γ 7−→ hρ γ (v), ρ γ (w)i . Assim, fica bem definido outro produto interno em V dado por Z Z hv, wi = f v,w (γ) = hρ γ (v), ρ γ (w)i .

  Γ γ ∈Γ γ ∈Γ

5 Veja que f v,w (γ) = hg v , g w i (γ) = hg v (γ), g w (γ)i, onde g v (γ) = γ · v pode ser definida para todo v ∈ V.

  

Agora, se ϕ ´e a a¸c˜ ao de Γ em V, ent˜ao ϕ ´e cont´ınua, bem como sua restri¸c˜ ao ϕ v ao conjunto Γ × {v}.

Al´em disso, µ v : Γ → Γ × v definida por γ 7→ (γ, v) ´e cont´ınua (a primeira coordenada ´e a identidade e a

segunda ´e uma fun¸c˜ ao constante). Logo, g v (γ) = ϕ v ◦ µ v (γ) ´e cont´ınua para todo v ∈ V. Como o produto

interno de fun¸c˜ oes cont´ınuas ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua (veja Cap´ıtulo 1, Se¸c˜ ao 7, Teorema 16]), segue

que f v,w ´e cont´ınua.

  Γ

  

bilinearidade de h , i . A comutatividade de h , i segue da comutatividade de h , i . Por

  Γ

  

fim, a n˜ao negatividade de h , i segue uma vez que h , i ´e n˜ao negativo e a integral de

  Γ Haar satisfaz (ii) da Defini¸c˜ao

  Agora, da propriedade de invariˆancia por transla¸c˜ao, segue que, para todo δ ∈ Γ fixado, Z Z hv, wi = f v,w (γ) = f v,w (γδ)

  Γ γ γ

  ∈Γ ∈Γ

  Z Z = hρ γδ (v), ρ γδ (w)i = hρ γ (ρ δ (v)), ρ γ (ρ δ (w))i

  γ γ ∈Γ ∈Γ = hρ δ (v), ρ δ (w)i .

  Γ

  Uma vez que δ ∈ Γ ´e arbitr´ario, hv, wi = hρ γ (v), ρ γ (w)i para todo γ ∈ Γ. Assim,

  Γ Γ ∗

  hv, wi = hρ γ (v), ρ γ (w)i = v, ρ ρ γ w ,

  γ Γ Γ

  Γ ∗ ∗

  

para todo v, w ∈ V, onde ρ ´e o operador adjunto de ρ γ . Logo, ρ ρ γ ´e o operador identidade,

  γ γ ∗

  

de onde [ρ ][ρ γ ] = I n , com [ρ γ ] denotando a matriz do operador com rela¸c˜ao a uma base

  γ ∗ t

  

ortonormal de V . Como V ´e um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita, ent˜ao [ρ ] = [ρ γ ] ,

  γ t

  

onde t representa a transposta. Logo, [ρ γ ] [ρ γ ] = I n , ou seja, [ρ γ ] ∈ O(n), para todo

γ ∈ Γ.

2.2 Fun¸c˜ oes Invariantes

  As fun¸c˜oes invariantes formam uma base para toda teoria revers´ıvel equivariante que

vamos apresentar no pr´oximo cap´ıtulo. Veremos que o conjunto dessas fun¸c˜oes forma

um anel e as demais estruturas envolvidas formam m´odulos sobre este anel. Al´em disso,

garantir a existˆencia e encontrar um conjunto de geradores para o anel dos invariantes ´e

fundamental para calcularmos as formas normais do Cap´ıtulo 3.

  Daqui em diante, vamos nos referir `a a¸c˜ao ρ γ (x) = γ · x simplesmente por γx. Al´em disso, V se refere sempre a um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita.

  

Defini¸c˜ ao 2.2.1. Seja (ρ, V ) o espa¸co vetorial V sob a representa¸c˜ao ρ de um grupo de

Lie Γ. Uma fun¸c˜ao a valores reais f : (ρ, V ) → R ´e invariante sobre Γ, ou Γ−invariante, f (γx) = f (x), (2.3)

para todo γ ∈ Γ, x ∈ V. Um polinˆomio invariante ´e definido da mesma forma tomando f

um polinˆomio.

  

Observa¸c˜ ao 2.2.2. Se Γ ´e finitamente gerado, pela linearidade da a¸c˜ao, para verificar

que uma fun¸c˜ao ´e Γ−invariante ´e suficiente mostrar que a condi¸c˜ao ´e satisfeita para

um conjunto de geradores de Γ.

  Nos exemplos a seguir nos restringiremos ao caso polinomial.

Exemplo 2.2.3. Seja Γ = Z = {1, −1} agindo n˜ao trivialmente em R, ou seja, 1 · x = x

  2 X i

  

e −1 · x = −x, para todo x ∈ R. Suponha que f (x) = a i x com a i ∈ R. Ent˜ao, se f ´e

  X X

  i i i

Z −invariante temos f (x) = f (−x), para todo x ∈ R, de onde a i x = a i (−1) x .

  2 X i i i

  

Assim ((−1) − 1)a i x = 0, o que implica em (−1) − 1 = 0 ou a i = 0. Portanto, i ´e

  X

  2j

  

par ou a i = 0, ou seja, f (x) = b j x , com b j = a 2j ∈ R. Logo, f ´e uma fun¸c˜ao par da

  X

  2 j

forma f (x) = h(x ), onde h : R → R ´e uma fun¸c˜ao polinomial dada por h(x) = b j x .

  1

  2

  1 Exemplo 2.2.4. Seja S agindo em R ≡ C da forma θ · z = e z para todo θ ∈ S . 1 iθ

  1 Ent˜ao f ´e S −invariante se f (e z) = f (z) para todo z ∈ C e todo θ ∈ S . Se f : C → C ´e

  X

  α β

  

  

uma fun¸c˜ao polinomial, escrevemo f (z) = a αβ z z com a αβ ∈ C. Por´em, definimos

invariˆancia para polinˆomios cuja imagem ´e real. Logo, f (z) = f (z) para todo z ∈ C e os

coeficientes a αβ satisfazem a αβ = a βα . (2.4)

  iθ

  Se queremos f (e z) = f (z), ent˜ao

  X X

  α β iθ α β iθ

  a αβ z z = a αβ (e z) (e z)

  

X

  iθ α β (α−β)

  = a αβ e z z

6 Escrevemos o polinˆ omio nas coordenadas z e z, pois elas transformam C em um espa¸co vetorial real.

  

Entretanto, para z = x + iy, temos x = (z + z)/2 e y = (z − z)/2i, assim os coeficientes do polinˆ omio podem ser complexos. iθ (α−β)

  1

  1

  a αβ = 0 ou se α = β. Assim, a S −invariˆancia implica em

  X

  α α

  f (z) = a αα z z ,

onde a αα ∈ R uma vez que a αα = a αα por . Assim, definindo h : R → R por

  X

  α h(x) = a α x teremos que f (z) = h(zz).

  1

  2 Queremos observar aqui que se considerarmos a a¸c˜ao de S em R , basta trocarmos

  2

  2

  2 z = x + iy por (x, y) ∈ R e teremos f (x, y) = h(x + y ). iθ iθ

  1

  2

  2 Exemplo 2.2.5. Seja S agindo em C como θ(z , z ) = (e z , e z ). Se f : C → R ´e

  1

  2

  1

  2

  1

  4

  

uma fun¸c˜ao polinomial S −invariante, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao polinomial h : R → R

tal que

  2

  2

  f (z

  1 , z 2 ) = h(|z 1 | , |z 2 | , Re(z 1 z 2 ), Im(z 1 z 2 )).

  De fato, escreva f como

  X

  γ α β δ

  f (z , z ) = a αβγδ z z z z , (2.5)

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  

onde a αβγδ ∈ C e (z , z ) ∈ C . Como f toma valores reais, ou seja, f = f , segue que

  1

  2

  a αβγδ = a βαδγ . Al´em disso, como f (θ(z , z )) = f (z , z ) ent˜ao

  1

  2

  1

  2 X

  X

  γ γ α β δ iθ α β δ

  (α−β+γ−δ)

  

a αβγδ z z z z = a αβγδ e z z z z ,

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  para todo θ ∈ S e (z

  1 , z 2 ) ∈ C , e isso ocorre se a αβγδ = 0 ou se α − β + γ − δ = 0.

  Portanto, a αβγδ = 0 ou α − β = δ − γ. Logo, se a αβγδ 6= 0 ent˜ao observe que   

  α ≥ β ⇒ δ − γ ≥ 0 ⇒ δ ≥ γ   α < β ⇒ δ − γ < 0 ⇒ δ < γ. Assim, fatorando as potˆencias de z z e z z , obtemos

  1

  1

  2

  2 X γ

  α β −α δ −δ

  f (z , z ) = a αβγδ (z + z ) z (z z ) z

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  2 α<β

  X

  α β −β γ δ

  −γ

  • a αβγδ (z

  1 z 1 ) z (z 2 z 2 ) z

  2

  1 α

  ≥β

  X

  α δ β γ −δ −α

  = a αβγδ (z z ) (z z ) z z

  1

  1

  2

  2

  1

  2 α<β

  X

  β α δ −α γ

  −δ

  • a (z z ) (z z ) z z ,

  (2.6)

  βαδγ

  1

  1

  2

  2

  2

  1 α

  ≤β

  

Escrevendo β − α = γ − δ = n, a αβγδ = x αβγδ + iy αβγδ e lembrando que a αβγδ = a βαδγ , a

equa¸c˜ao acima torna-se

  X

  α δ n

  f (z , z ) = (x αβγδ + iy αβγδ )(z z ) (z z ) (z z )

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2 α<β

  X

  α δ n

  

(x + αβγδ − iy αβγδ )(z

  1 z 1 ) (z 2 z 2 ) (z 1 z 2 ) α

  ≤β

  X

  α δ n n

  = x αβγδ (z z ) (z z ) ((z z ) + (z z ) )

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 α<β

  X

  α δ n n

  • iy αβγδ (z z ) (z z ) ((z z ) − (z z ) )

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 α<β

  α δ

  • x ααδδ (z z ) (z z ) ,

  1

  1

  2

  2

  

onde x αβγδ , y αβγδ ∈ R. Notamos que a parcela referente a α = β segue pois n = β − α = 0

e como a ααδδ = a ααδδ temos que y ααδδ = 0. Se z ´e um n´ umero complexo qualquer, ent˜ao

  n n n n n n −1 −1 −2 −2

  

z + z = (z + z)(z + z ) − (zz)(z + z )

  n n n −1 n −1 n −2 n −2

i(z − z ) = i(z − z)(z + z ) + i(zz)(z − z ).

n n n n

  

Por essas identidades, vemos que os termos z + z e i(z − z ) s˜ao redut´ıveis para n ≥ 2,

n ∈ Z. Logo, se z = z

  1 z 2 , f tem a forma

  X

  j k l m

  f (z , z ) = A jklm (z z ) (z z ) (z z + z z ) (i(z z − z z )) ,

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 m m

  

onde A jklm ∈ R. Com respeito ao termo (i(z z − z z )) temos que se m ´e par, i = ±1

  1

  2

  1

  2 m

  e da´ı (z

  1 z 2 − z 1 z 2 ) pode ser escrito atrav´es dos outros termos. Caso contr´ario, como

  i(z z − z z ) = 2Im(z z ) e (z z + z z ) = 2Re(z z ), temos, finalmente,

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 X j k l m

  f (z , z ) = B jklm (z z ) (z z ) (Re(z z )) (Im(z z )) ,

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 com B jklm ∈ R, j, k, l, m ∈ N, como desejado.

  Denotaremos o conjunto das fun¸c˜oes polinomiais Γ−invariantes f : V → R por P V (Γ). Observe que P

  V (Γ) tem estrutura de anel, uma vez que somas e produtos de polinˆomios Γ−invariantes s˜ao ainda Γ−invariantes.

  

{u , u , · · · , u s } tal que cada polinˆomio invariante pode ser escrito como uma fun¸c˜ao

  1

  2

  polinomial de u

  1 , · · · , u s . Dizemos que tal conjunto forma uma base de Hilbert para os

  invariantes. A existˆencia desse conjunto finito ´e garantida pelo seguinte teorema:

Teorema 2.2.6. (Teorema de Hilbert-Weyl) Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em

V. Ent˜ao, existe uma base de Hilbert finita para o anel P V (Γ).

  A demonstra¸c˜ao desse teorema ´e bastante interessante mas necessita de resultados

preliminares e ferramentas de ´algebra comutativa. Por isso n˜ao nos cabe fazˆe-la aqui,

mas, aos curiosos, sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em XII, ➜ 6].

  Para finalizar, um exemplo relevante ao nosso trabalho que foi deixado como exerc´ıcio em e ser´a utilizado nas aplica¸c˜oes do Cap´ıtulo 4.

  kiθ liθ

  1

  2 Exemplo 2.2.7. Seja S agindo em C por θ(z 1 , z 2 ) = (e z 1 , e z 2 ), onde k, l s˜ao copri-

  1

  2 2 l k l k

  C

  1

  2

  1

  2

  1

  2 mos. Ent˜ao, uma base de Hilbert para P (S ) ´e {|z | , |z | , Re(z z ), Im(z z )}.

  2 Para mostrar nossa afirma¸c˜ao, vamos seguir os passos do Exemplo Seja f uma

  fun¸c˜ao polinomial nas vari´aveis z

  1 , z 2 escrito como . Novamente, como f = f , temos

  

a αβγδ = a βαδγ . Se f ´e invariante pela a¸c˜ao acima, ent˜ao f (θ(z , z )) = f (z , z ), ou seja,

  1

  2

  1

  2 X

  X

  γ γ α β δ iθ α β δ

  (αk−βk+γl−δl)

a αβγδ z z z z = a αβγδ e z z z z .

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Isso ocorre se a = 0 ou se k(α − β) + l(γ − δ) = 0. αβγδ

  Note que k(α − β) + l(γ − δ) = 0 implica em k(β − α) = l(γ − δ). Como k e l s˜ao

coprimos e β − α ´e inteiro, necessariamente k divide γ − δ. Com o mesmo argumento, l

divide β − α, ou seja, β − α = lm e γ − δ = kn para alguns m, n ∈ Z.

  Agora, f pode ser escrito como em e, escrevendo a αβγδ = x αβγδ + iy αβγδ com

  X

  α δ lm kn

  f (z , z ) = (x αβγδ + iy αβγδ )(z z ) (z z ) (z z )

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2 α<β

  X

  α δ lm kn

  (x − iy )(z + αβγδ αβγδ

  1 z 1 ) (z 2 z 2 ) (z z 2 )

  1 α

  ≤β

  X

  α δ lm kn lm kn

  = x αβγδ (z z ) (z z ) (z z + z z )

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1 α<β

  X

  α δ lm kn lm kn

  • iy αβγδ (z z ) (z z ) (z z − z z )

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1 α<β

  α δ

  • x ααδδ (z

  1 z 1 ) (z 2 z 2 ) .

  Usando as seguintes identidades indutivamente,

  (n−1)k (m−1)l lm kn lm kn l k l k (m−1)l (n−1)k

  

(z z + z z ) = (z z + z z )(z z + z z ) +

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1 l k (n−2)k (m−2)l (m−2)l (n−2)k

  −(z z ) (z z ) (z z + z z ) e

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1 lm kn lm kn l k l k (n−1)k (m−1)l (m−1)l (n−1)k

  

i(z z − z z ) = i(z z − z z )(z z + z z ) +

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1 (n−2)k (m−2)l l k

  (m−2)l (n−2)k

  • i(z

  1 z 1 ) (z 2 z 2 ) (z 1 z − z z 2 ),

  2

  1 l k l k l k l k l k

  

com m, n ≥ 2 e considerando que (z z + z z ) = 2Re(z z ) e i(z z − z z ) =

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  1 l k

  2Im(z z ), conclu´ımos finalmente que

  2

  1 X r s l k t l k u

  f (z , z ) = B rstu (z z ) (z z ) (Re(z z )) (Im(z z )) ,

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  1

  1 l k l k

  2

  2

  

com B rstu ∈ R, r, s, t, u ∈ N. Portanto {|z | , |z | , Re(z z ), Im(z z )} constitui uma base

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  C

  2 de Hilbert para P (S ) com a a¸c˜ao considerada neste exemplo.

  Como visto, determinar uma base de Hilbert para o anel P

  V (Γ) pode ser uma tarefa

  

extremamente dif´ıcil. Existem programas computacionais, como o Singular , que nos

auxiliam nesta tarefa quando o grupo Γ ´e finitamente gerado.

2.3 Aplica¸c˜ oes Equivariantes

  Nesta se¸c˜ao, vamos descrever a primeira estrutura modular sobre o anel P

  V (Γ), a

  

saber, as aplica¸c˜oes que comutam com a a¸c˜ao de Γ. Em todo o texto, denotamos por

(ρ, V ) o espa¸co vetorial V sob a representa¸c˜ao ρ de um grupo de Lie Γ em V.

  Γ−equivariante, se g(ρ γ (x)) = η γ g(x), (2.7)

para todo γ ∈ Γ e para todo x ∈ V. Quando (ρ, V ) = (η, W ) dizemos que g satisfazendo

´e puramente equivariante. Uma aplica¸c˜ao polinomial equivariante ´e definida da

mesma forma.

  Denotaremos o espa¸co das aplica¸c˜oes polinomiais Γ−equivariantes por ~ P V,W (Γ) e das puramente Γ−equivariantes por ~ P

  V (Γ). O elemento γ ∈ Γ que satisfaz ´e chamado simetria da aplica¸c˜ao g.

  Por um abuso de nota¸c˜ao, escrevemos a igualdade simplesmente como g(γx) = γg(x), quando n˜ao houver d´ uvidas sobre as respectivas a¸c˜oes e representa¸c˜oes.

  ´ E poss´ıvel ver que se f : (ρ, V ) → R ´e uma fun¸c˜ao Γ−invariante e se g : (ρ, V ) →

(η, W ) ´e uma aplica¸c˜ao Γ-equivariante, ent˜ao o produto f g : (ρ, V ) → (η, W ) ´e Γ-

equivariante. Com igual facilidade, ´e poss´ıvel ver que ~ P V,W (Γ) ´e um m´odulo sobre o

  

  anel dos polinˆomios invariantes P V (ΓEnt˜ao, faz sentido a defini¸c˜ao abaixo.

Defini¸c˜ ao 2.3.2. Dizemos que as aplica¸c˜oes polinomiais Γ−equivariantes g , · · · , g r ge-

  1

  ram o m´odulo ~ P V,W (Γ) sobre o anel P

  V (Γ) se toda aplica¸c˜ao Γ−equivariante g ∈ ~ P V,W (Γ)

  pode ser escrita como g = f g + · · · + f r g r ,

  1

  1

  para certos f , · · · f r ∈ P

  V (Γ). Neste caso, escrevemos ~ P V,W (Γ) = P V (Γ){g , · · · , g r }.

  1

  1 Abaixo enunciamos a vers˜ao equivariante do Teorema de Hilbert-Weyl, cuja demons- tra¸c˜ao pode ser encontrada em XII, Theorem 6.8].

7 Se R ´e um anel, um R−m´odulo ` a direita ´e um grupo abeliano aditivo (M, +) em conjunto com uma

  

opera¸c˜ ao M ×R → M, (m, r) 7−→ mr, que satisfaz (m+n)r = mr+nr, m(r+s) = mr+ms, m(rs) = (mr)s

e m1 R = m, para todo m, n ∈ M, e r, s ∈ R. Um R− m´odulo ` a esquerda ´e definido de maneira sim´etrica

e dizemos que M ´e um R−m´odulo se o for ` a direita e ` a esquerda.

  

conjunto finito {g , · · · , g r } de aplica¸c˜oes polinomiais Γ−equivariantes que gera o m´odulo

  1

  ~ P V,W (Γ) sobre o anel P

  V (Γ).

  Nos pr´oximos exemplos, at´e o fim desta se¸c˜ao, vamos determinar os geradores de m´odulos puramente equivariantes sob a¸c˜oes distintas de um grupo de Lie compacto Γ.

  Exemplo 2.3.4. O exemplo mais simples nos ´e dado quando Γ = Z

  2 age em R como no

  X

  i

  

Exemplo Se g ∈ ~ P R (Z ), ent˜ao g : R → R ´e um polinˆomio da forma g(x) = a i x ,

  2 i i

  

com a i ∈ R, que satisfaz g(−x) = −g(x), para todo x ∈ R. Logo a i (−x) = −a i x ,

implicando que ou a i = 0 ou i ´e ´ımpar, ou seja,

  X X

  2j+1 2j

  2

  g(x) = b j x = b j x x = h(x )x,

onde b = a . Pelo Exemplo podemos escrever g(x) = f (x)x, onde f ∈ P (Z ).

  j 2j+1 R

  2 Portanto,

  ~ P R (Z ) = P R (Z ){g },

  2

  2

  1 onde g (x) = x.

  1 iθ

1 Exemplo 2.3.5. Seja Γ = S agindo em C como θ · z = e z. Vamos mostrar que toda

  1

  g ∈ ~ P C (S ) tem a forma g(z) = p(z)z + q(z)iz, (2.8)

  1

  1

  onde p, q ∈ P C (S ). Para isso, tome g : C → C um polinˆomio S −equivariante

  X

  j k

  g(z) = b z z (2.9)

  jk −1

  com b jk ∈ C. Como g(θz) = θg(z), ou seja, g(z) = θ g(θz) para todo z ∈ C, temos

  

X

  −iθ iθ (j−k) j k

  

g(z) = e b jk e z z

  X

  iθ j k (j−k−1)

  = b jk e z z ,

  1

  para todo θ ∈ S , z ∈ C. Por segue que b jk = 0 ou j = k + 1 e da´ı

  X

  k g(z) = b k (zz) z.

  • 1,k
  • 1,k +1,k

  X X

  k k g(z) = x k (zz) z + y k (zz) iz.

  X X

  k k

  

Tomando p, q : C → R como p(z) = x k (zz) e q(z) = y k (zz) temos, pelo Exemplo

  1

  2

  

. Aqui tamb´em, se trocarmos C por R temos

que os geradores ser˜ao g (x, y) = (x, y) e g (x, y) = (−y, x).

  1

  2

  1

2 Exemplo 2.3.6. Seja S agindo em C como no Exemplo 2.2.5. Vamos mostrar que

  1

  2

o m´odulo das aplica¸c˜oes polinomiais equivariantes sobre o anel P (S ) ´e gerado pelas

  C

  aplica¸c˜oes g i , com 1 ≤ i ≤ 8, onde g

  1 (z 1 , z 2 ) = (z 1 , 0), g 2 (z 1 , z 2 ) = (z 2 , 0), g 3 (z 1 , z 2 ) = (iz 1 , 0), g 4 (z 1 , z 2 ) = (iz 2 , 0),

g (z , z ) = (0, z ), g (z , z ) = (0, z ), g (z , z ) = (0, iz ), g (z , z ) = (0, iz ).

  5

  1

  2

  1

  6

  1

  2

  2

  7

  1

  2

  1

  8

  1

  2

  2

  2

  2

  1 Seja g : C → C uma aplica¸c˜ao polinomial equivariante por esta a¸c˜ao de S . Escre-

  2

  vendo g = (p, q), com p, q : C → C, temos

  iθ iθ

  (p(θ(z

  1 , z 2 )), q(θ(z 1 , z 2 ))) = θ(p(z 1 , z 2 ), q(z 1 , z 2 )) = (e p(z 1 , z 2 ), e q(z 1 , z 2 )),

  1 2 iθ iθ iθ

  

para todo θ ∈ S , (z , z ) ∈ C . Ent˜ao, p(e z , e z )) = e p(z , z ), o mesmo valendo

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  para q. Escrevendo p como

  X

  γ α β δ

  p(z , z ) = a z z z z , (2.10)

  1 2 αβγδ

  1

  2

  1

  2 iθ iθ −iθ

  

com a αβγδ ∈ C, temos que a igualdade p(z , z ) = e p(e z , e z ) ´e satisfeita se, e

  1

  2

  1

  2

  somente se,

  X

  γ −iθ iθ (α−β+γ−δ) α β δ

  

p(z , z ) = e a αβγδ e z z z z ,

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  

para todo θ ∈ [0, 2π), (z , z ) ∈ C . Logo, α − β + γ − δ − 1 = 0 quando a αβγδ 6= 0. Observe

  1

  2

  

que se α ≥ β, ent˜ao γ ≤ δ + 1 e se α < β, ent˜ao γ > δ + 1. Assim, no primeiro caso,

se α − β = m ∈ N, ent˜ao δ − γ = m − 1 e, no segundo caso se β − α = n ∈ N, ent˜ao

γ − δ = n + 1. Fatorando em os termos de menor grau e substituindo os respectivos

  X X

  γ α α β −α δ −δ β −β γ δ −γ

  p(z , z ) = a αβγδ (z z ) z (z z ) z a + αβγδ (z z ) z (z z ) z +

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  1 α<β α>β

  α δ

  • a αα (z z ) (z z ) z

  (δ+1)δ

  1

  1

  2

  2

  2 X

  X

  α δ n n β γ m m

  • 1 −1

  = a αβγδ (z z ) (z z ) + z z a αβγδ (z z ) (z z ) z z +

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  1 α<β α>β

  α δ + a αα (z z ) (z z ) z .

  (2.11)

  (δ+1)δ

  1

  1

  2

  2

  2 Das identidades n n n n n n

  • 1 −1 −2 −1

  z

  1 z = (z 1 z 2 + z 1 z 2 )z 1 z − (z 1 z 1 )(z 2 z 2 )z 1 z

  2

  2

  2 m m −1 m −1 m −2 m −2 m −3

  z z = (z z + z z )z z − (z z )(z z )z z

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  1 n n m m

  • 1 −1

  

v´alidas para m ≥ 3 e n ≥ 2, podemos reduzir os termos z z e z z at´e m = 2 e

  1

  2

  2

  1

  n = 1, o que nos d´a, respectivamente,

  2

  

z z = (z z + z z )z − (z z )z

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  1

  2

  2

z z = (z z + z z )z − (z z )z .

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  1

  2

1 Rearranjando os termos em (2.11), escrevemos p como

  X X

  r s t u v w

  

p(z , z ) = A rst (z z ) (z z ) (z z + z z + ) z B uvw (z z ) (z z ) (z z + z z ) z

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  

com A rst e B uvw ∈ C. Se A rst = M rst + iN rst e B uvw = P uvw + iQ uvw , com M rst , N rst , P uvw

e Q uvw ∈ R, ent˜ao reescrevemos p como p(z

  1 , z 2 ) = f 1 (z 1 , z 2 )z 1 + f 2 (z 1 , z 2 )iz 1 + f 3 (z 1 , z 2 )z 2 + f 4 (z 1 , z 2 )iz 2 ,

  2

  2

  2

  

com f : C → R fun¸c˜oes de |z | , |z | , Re(z z ) para i = 1, 2, 3, 4. Analogamente,

  i

  1

  2

  1

  2

  encontraremos

q(z , z ) = g (z , z )z + g (z , z )iz + g (z , z )z + g (z , z )iz ,

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  2

  4

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  com g : C → R fun¸c˜oes de |z | , |z | , Re(z z ) para i = 1, 2, 3, 4. Portanto,

  1

  1

  2

  1

  2

  

g(z , z ) =f (z , z )(z , 0) + f (z , z )(iz , 0) + f (z , z )(z , 0) + f (z , z )(iz , 0)+

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  2

  4

  1

  2

  2

  • g (z , z )(0, z ) + g (z , z )(0, iz ) + g (z , z )(0, z ) + g (z , z )(0, iz ),

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  2

  4

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  4 C

  2 com f , f , f , f , g , g , g e g ∈ P (S ), pelo Exemplo

  1

  2

  1

  2 C dos equivariantes segundo essa a¸c˜ao ´e gerado pelas aplica¸c˜oes

  l k l k −1 −1

  

h (z , z ) = (z , 0), h (z , z ) = (iz , 0), h (z , z ) = (z z , 0), h (z , z ) = (iz z , 0),

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  4

  1

  2

  1

  2

  1

  2 l k l k −1 −1

h (z , z ) = (0, z ), h (z , z ) = (0, iz ), h (z , z ) = (0, z z ) e h (z , z ) = (0, iz z ).

  5

  1

  2

  2

  6

  1

  2

  2

  7

  1

  2

  8

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  C

  1

  2

  1

  2

  1

  2

2 Se g ∈ ~ P (S ), ent˜ao g(θ(z , z )) = θg(z , z ), para todo θ ∈ S , (z , z ) ∈ C . Escre-

  2

  vendo g(z , z ) = (p(z , z ), q(z , z )), com p, q : C → C, temos

  1

  2

  1

  2

  1

  2 −1 −kiθ kiθ liθ −liθ kiθ liθ

  g(z , z ) = θ g(θ(z , z )) = (e p(e z , e z ), e q(e z , e z ))

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  e da´ı

  −kiθ kiθ liθ −liθ kiθ liθ

  p(z , z ) = e p(e z , e z ) e q(z , z ) = e q(e z , e z ), (2.12)

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  para todo θ ∈ [0, 2π), (z

  1 , z 2 ) ∈ C . Como p ´e polinomial, podemos escrever

  X

  α β γ δ

  p(z , z ) = a αβγδ z z z z , (2.13)

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  com a αβγδ ∈ C. Pela condi¸c˜ao

  X

  k α β γ δ −kiθ (α−β)+l(γ−δ)

  p(z , z ) = e a αβγδ e z z z z

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  

e tal igualdade ´e v´alida se a αβγδ = 0 ou k(α − β − 1) + l(γ − δ) = 0. Supondo a segunda

igualdade, como k e l s˜ao coprimos, necessariamente l divide α − β − 1 e k divide γ − δ.

Ent˜ao α − β ≡ 1(mod l) e γ − δ ≡ 0(mod k). Observe que se α ≥ β + 1 ent˜ao γ ≤ δ e se

α < β + 1 ent˜ao γ > δ. Fatorando em as potˆencias de z

  1 z 1 e z 2 z 2 , obtemos

  X X

  β α −β γ δ α β δ γ −δ −γ −α

  p(z , z ) = a αβγδ (z z ) z (z z ) z a + αβγδ (z z ) z (z z ) z

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  2 α α

  −1≥β −1<β

  X X ′ ′

  β γ ml nk α δ m l n k

  • 1 −1

  = a αβγδ (z z ) (z + z ) z z a αβγδ (z z ) (z z )z z ,

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2 α α

  −1≥β −1<β

  (2.14)

  ′ ′ ′

  para alguns l, m, n, m , n ∈ N, com m 6= 0. Das identidades

  (m−1)l+1 (m−2)l+1 ml +1 nk l k l k (n−1)k l k (n−2)k

  

z z = (z z + z z )z z − (z z ) (z z ) z z ,

  2

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  1

  ′ ′ ′ ′ ′ ′

  m l n k l k l k (n −1)k l k (n −2)k −1 (m −1)l−1 (m −2)l−1

  

z z = (z z + z z )z z − (z z ) (z z ) z z ,

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  ′ ′

  ml +1 nk m l −1 n k ′ ′

  2

  1

  1

  2 ′ ′

  respectivamente. Al´em disso, para m = n = 1, m = n = 2, temos

  l +1 k l k l k l −1 k

  z z = (z z + z z )z − (z z )z z e

  2

  2

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  2 l k l k l k l k 2l−1 2k −1 −1

z z = (z z + z z )z z − (z z ) (z z ) z .

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  2 Portanto, torna-se

  X

  r s l k l k t

  p(z

  1 , z 2 ) = A rst (z 1 z 1 ) (z 2 z 2 ) (z z 2 + z 1 z ) z +

  1

  1

  2 X u v l k l k w l −1 k

  • B uvw (z z ) (z z ) (z z + z z ) z z .

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  1

  2

  2 Escrevendo A rst = M rst + iN rst e B uvw = P uvw + iQ uvw , com M rst , N rst , P uvw , Q uvw ∈ R e l k l k l k

  observando que z z + z z = 2Re(z z ) temos

  2

  1

  2

  1

  2

  1 l k l k −1 −1

  p(z

  1 , z 2 ) = f 1 (z 1 , z 2 )z 1 + f 2 (z 1 , z 2 )iz 1 + f 3 (z 1 , z 2 )z 1 z + f 4 (z 1 , z 2 )iz 1 z ,

  2

  2 l k

  2

  2

  2

  1

  2

com f i : C → R, i = 1, 2, 3, 4, fun¸c˜oes de |z | , |z | , Re(z z ), ou seja, f i ∈ P C (S ),

  1

  2

  2

  1 pelo Exemplo

  2 Fazendo o mesmo processo para q : C → C, obtemos l k l k −1 −1

  q(z

  1 , z 2 ) = g 1 (z 1 , z 2 )z 2 + g 2 (z 1 , z 2 )iz 2 + g 3 (z 1 , z 2 )z z 2 + g 4 (z 1 , z 2 )iz z

  2

  1

  1

  1

  2 com g , g , g , g ∈ P C (S ). Temos ent˜ao

  1

  2

  3

  4 l k l k

  −1 −1

  

g(z , z ) =f (z , z )(z , 0) + f (z , z )(iz , 0) + f (z , z )(z z , 0) + f (z , z )(iz z , 0)

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  1

  4

  1

  2

  1

  2

  2 l k l k −1 −1

  • g (z , z )(0, z ) + g (z , z )(0, iz ) + g (z , z )(0, z z ) + g (z , z )(0, iz z ),

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  2

  3

  1

  2

  2

  4

  1

  2

  2

  1

  1

  1

  2 com f i , g i ∈ P C (S ), como desejado.

  Para encerrar este cap´ıtulo, introduzimos o conceito de m´odulo livre. Defini¸c˜ ao 2.3.8. Dizemos que g , · · · , g r geram livremente o m´odulo ~ P

  V (Γ) sobre P V (Γ)

  1

  se a rela¸c˜ao f g + · · · + f r g r ≡ 0,

  1

  1

  onde f j ∈ P

  V (Γ), implicar que f 1 ≡ · · · ≡ f r ≡ 0. Neste caso, dizemos que ~ P V (Γ) ´e um

  m´odulo livre sobre P V (Γ).

  1

  1

  1

  1

  

m´odulo livre sobre P C (S ). De fato, pelo Exemplo temos que ~ P C (S ) ´e gerado por

  1

  g

  1 (z) = z e g 2 (z) = iz sobre P C (S ), cuja base de Hilbert ´e {u(z) = zz}. Suponha

  1

  

que p(z)z + q(z)iz = 0, onde p, q : C → R s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias em P C (S ). Ent˜ao,

z(p(z) + iq(z)) = 0 para todo z ∈ C, de onde p(z) + iq(z) = 0. Como p(z), q(z) ∈ R e z ´e

qualquer, temos p ≡ q ≡ 0 como desejado.

  

CAP´ITULO 3

TEORIA REVERS´IVEL EQUIVARIANTE

E FORMAS NORMAIS

  Muitos problemas em sistemas dinˆamicos possuem estruturas especiais que s˜ao pre-

servadas no estudo qualitativo do sistema. Uma dessas estruturas ´e um dos objetivos

em nosso estudo e ´e dada pela presen¸ca de transforma¸c˜oes que deixam as equa¸c˜oes de

movimento invariantes, as j´a mencionadas simetrias (equivariˆancias) e antissimetrias (re-

versibilidades) . Um exemplo simples deste comportamento ´e o pˆendulo ideal (sem perda

de energia) mencionado na Introdu¸c˜ao.

  A teoria de formas normais ´e uma ferramenta importante na an´alise qualitativa lo-

cal (em uma vizinhan¸ca de um ponto singular) de sistemas em presen¸ca de simetrias e

antissimetrias e o seu desenvolvimento ´e o nosso segundo objetivo principal.

  Neste cap´ıtulo, vamos continuar descrevendo a abordagem alg´ebrica inerente ao con-

texto revers´ıvel equivariante, analisando as rela¸c˜oes entre a teoria revers´ıvel e a teoria

invariante apresentada no Cap´ıtulo 2. Num segundo momento, vamos apresentar a teoria

de formas normais para campos de vetores revers´ıveis equivariantes como uma adapta¸c˜ao

da teoria desenvolvida por Belitskii , usando as ferramentas

alg´ebricas apresentadas no Cap´ıtulo 2 e no presente.

  

um espa¸co vetorial V de dimens˜ao finita. Nossa abordagem aqui baseia-se nas referˆencias

.

3.1 Simetrias e Antissimetrias

  Considere um homomorfismo de grupos σ : Γ → Z . (3.1)

  2 Vamos denotar por Γ o kernel de σ. Se σ ´e o homomorfismo trivial, ent˜ao obviamente +

  

Γ = Γ . Caso contr´ario, Γ ´e um subgrupo pr´oprio de Γ. Em ambos os casos, Γ ´e um

  

subgrupo normal de Γ j´a que ´e o kernel de um homomorfismo de grupos. Denotamos por

Γ − o complementar de Γ em Γ. Temos ent˜ao a seguinte defini¸c˜ao: +

Defini¸c˜ ao 3.1.1. Um elemento γ ∈ Γ ´e chamado simetria de Γ e um elemento γ ∈ Γ

  − + ´e chamado antissimetria de Γ.

  O pr´oximo resultado deriva simplesmente do fato de σ ser um homomorfismo de gru- pos.

  

Proposi¸c˜ ao 3.1.2. O produto de duas simetrias ou de duas antissimetrias ´e uma sime-

tria; o produto de uma simetria e uma antissimetria ´e uma antissimetria e o inverso de

uma simetria (respectivamente, antissimetria) ´e uma simetria (respectivamente, antissi-

metria).

  Devido `a proposi¸c˜ao anterior, para todo γ ∈ Γ temos γΓ = Γ . Al´em disso, se

  

δ ∈ Γ , ent˜ao δΓ = Γ pois, pela proposi¸c˜ao anterior, δΓ ⊆ Γ e se β ∈ Γ podemos

  −

  − − + −1

  

escrever β = δ(δ β) ∈ δΓ . Logo, se σ ´e n˜ao trivial, ent˜ao existem duas classes laterais

  • de Γ em Γ: Γ e δΓ , com δ ∈ Γ fixado (por´em arbitr´ario). Portanto, neste caso, Γ

  − +

  ´e um subgrupo normal de Γ de ´ındice 2. Al´em disso, podemos escrever Γ = Γ ˙∪ Γ = Γ ˙∪ δΓ ,

  • − + para qualquer δ ∈ Γ − fixado.

  Sob este formalismo alg´ebrico temos a seguinte defini¸c˜ao:

  

  2

  

senta¸c˜ao ρ de Γ. Uma fun¸c˜ao polinomial f : (ρ, V ) → R ´e chamada de Γ−anti-invariante,

ou simplesmente anti-invariante, se f (γx) = σ(γ)f (x) (3.2)

para todo x ∈ V e para todo γ ∈ Γ. Uma aplica¸c˜ao polinomial g : (ρ, V ) → (ρ, V ) ´e

chamada de Γ−revers´ıvel-equivariante, ou revers´ıvel-equivariante, se g(γx) = σ(γ)γg(x), (3.3) para todo γ ∈ Γ e para todo x ∈ V.

  Denotamos por Q

  V (Γ) o espa¸co de todas as fun¸c˜oes polinomiais Γ−anti-invariantes e

  por ~ Q V (Γ) o espa¸co de todas as aplica¸c˜oes polinomiais Γ−revers´ıveis-equivariantes.

  Na defini¸c˜ao acima, se σ ´e o homomorfismo trivial, ent˜ao f satisfazendo se reduz a uma aplica¸c˜ao puramente

Γ−equivariante.

Observa¸c˜ ao 3.1.4. Note que a existˆencia de um epimorfismo σ : Γ → Z ´e garantida

  2

  

sempre que Γ possuir um subgrupo normal de ´ındice 2. Caso contr´ario, n˜ao faz sentido

falarmos em Q

  V (Γ) e ~ Q V (Γ).

  Assim como ~ P

  V (Γ), os espa¸cos Q V (Γ) e ~ Q V (Γ) tamb´em possuem estrutura de m´odulos

  sobre o anel P

  V (Γ). Para ver isso, considere a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ ao 3.1.5. Sejam ρ uma representa¸c˜ao de Γ em V e σ : Γ → Z um epimorfismo.

  2 A representa¸c˜ao σ−dual de ρ ´e a representa¸c˜ao de Γ em V definida por

  ρ σ : Γ → GL(V ) γ 7−→ σ(γ)ρ γ .

  

A a¸c˜ao correspondente ´e chamada de a¸c˜ao dual. Al´em disso, podemos definir uma a¸c˜ao

de Γ em R por R ϕ : Γ × R →

  

(γ, x) 7−→ σ(γ)x.

1 Um homomorfismo sobrejetor

  g(ρ γ (x)) = g(γx) = σ(γ)γg(x) = ρ σ (γ)(g(x)),

para todo γ ∈ Γ, x ∈ V , ou seja, g pode ser vista como uma aplica¸c˜ao equivariante

de (ρ, V ) em (ρ σ , V ). Do mesmo modo, se f ∈ Q

  V (Γ), ent˜ao por temos v´alida a

  

igualdade f (ρ γ (x)) = σ(γ)f (x), para todo γ ∈ Γ, x ∈ V, e podemos ver f como uma

aplica¸c˜ao equivariante de (ρ, V ) em (σ, R). Portanto, Q

  V (Γ) e ~ Q V (Γ) tem a estrutura de

  m´odulo herdada de ~ P V,W (Γ) e, pelo Teorema ambos Q

  V (Γ) e ~ Q V (Γ) s˜ao finitamente

  gerados sobre P V (Γ).

  O lema a seguir caracteriza o anel P

  V (Γ) e os m´odulos Q V (Γ), ~ P V (Γ) e ~ Q V (Γ), relacionando-os com os invariantes e equivariantes sob Γ apenas.

  • Lema 3.1.6. Seja Γ o subgrupo das simetrias de Γ e fixe δ ∈ Γ = Γ\Γ . Ent˜ao,

  − +

  • P

  V (Γ) = {f ∈ P V (Γ ); f (δx) = f (x), ∀ x ∈ V }

  • ~ P

  V (Γ) = {g ∈ ~ P V (Γ ); g(δx) = δg(x), ∀ x ∈ V }

  • Q

  V (Γ) = {f ∈ P V (Γ ); f (δx) = −f (x), ∀ x ∈ V } +

  ~ Q

  V (Γ) = {g ∈ ~ P V (Γ ); g(δx) = −δg(x), ∀ x ∈ V }.

  • Demonstra¸c˜ao. Vamos demonstrar somente a terceira igualdade e as demais seguem ana-

  

logamente. Considere um epimorfismo σ : Γ → Z com Γ = ker σ e Γ = Γ\Γ . Seja

  2 + − +

  f ∈ P

  • V (Γ ) tal que f (δx) = −f (x) para todo x ∈ V. Ent˜ao f (γx) = f (x), para todo

  ′

  

γ ∈ Γ . Al´em disso, uma vez que Γ = δΓ , dado γ ∈ Γ , podemos escrever γ = δγ para

  − + − +

  ′

  algum γ ∈ Γ e da´ı

  • ′ ′ ′

    f (γx) = f ((δγ )x) = f (δ(γ x)) = −f (γ x) = −f (x).

  Portanto, f (γx) = σ(γ)f (x) para todo γ ∈ Γ e para todo x ∈ V, ou seja, f ∈ Q V (Γ). Para a inclus˜ao contr´aria, seja f ∈ Q

  V (Γ). Ent˜ao, f (γx) = σ(γ)f (x) para todo x ∈ V e

  

para todo γ ∈ Γ. Mas, σ(γ) = 1 se γ ∈ Γ e σ(γ) = −1 se γ ∈ Γ . Ent˜ao f ∈ P (Γ ) e

  V + − + f (δx) = −f (x) para todo x ∈ V, como desejado.

  A fim de facilitar futuros c´alculos, enunciamos o seguinte lema, cuja demonstra¸c˜ao

segue da defini¸c˜ao de produto de aplica¸c˜oes, da defini¸c˜ao dos respectivos m´odulos e anel e da linearidade da a¸c˜ao de Γ em V. Q

  V (Γ), g ∈ ~ P V (Γ) e q ∈ ~ Q V (Γ). Ent˜ao, f p ∈ Q V (Γ), f g ∈ ~ P V (Γ), pq ∈ ~ P V (Γ), f q ∈

  ~ Q

  V (Γ), pg ∈ ~ Q V (Γ).

  Demonstra¸c˜ao. Sejam p ∈ Q

  V (Γ) e q ∈ ~ Q V (Γ). Ent˜ao

  2

  

pq(γx) = p(γx)q(γx) = σ(γ)p(x)σ(γ)γq(x) = σ(γ) γp(x)q(x) = γ(pq)(x),

para todo γ ∈ Γ, x ∈ V. Os outros casos seguem analogamente.

3.2 C´ alculo de Geradores

  J´a vimos que se Γ ´e um grupo de Lie compacto, ent˜ao Q

  V (Γ) e ~ Q V (Γ) s˜ao m´odulos

  finitamente gerados sobre P

  V (Γ). Nessa se¸c˜ao vamos apresentar um algoritmo que nos

  

fornece seus geradores a partir do conhecimento dos invariantes e equivariantes apenas

sob a a¸c˜ao do grupo de simetrias Γ . A principal ferramenta utilizada neste processo s˜ao os

  • operadores e σ−operadores de Reynolds. A importˆancia da constru¸c˜ao dos geradores de

    ~ Q

  V (Γ) se tornar´a clara no c´alculo das formas normais revers´ıveis equivariantes apresentada neste cap´ıtulo e no pr´oximo.

3.2.1 Operadores de Reynolds

  Os operadores e σ−operadores de Reynolds constituem um importante mecanismo

alg´ebrico na teoria invariante de grupos de Lie. Sua defini¸c˜ao faz uso do grupo Γ das

  • simetrias de Γ.

    Defini¸c˜ ao 3.2.1. Sejam Γ um grupo de Lie compacto e σ : Γ → Z um epimorfismo de

  2

  grupos. Considere Γ = ker σ e fixe δ ∈ Γ . Os operadores de Reynolds sobre P

  V (Γ ) e

  ~ P

  V (Γ ) s˜ao aplica¸c˜oes R : P V (Γ ) → P V (Γ ) e ~ R : ~ P V (Γ ) → ~ P + V (Γ ) definidas por + + + +

  1

  1

  −1

  R(f )(x) = (f (x) + f (δx)) e ~ R(g)(x) = (g(x) + δ g(δx)), (3.4)

  2

  2

respectivamente. Os σ−operadores de Reynolds sobre P (Γ ) e ~ P (Γ ) s˜ao aplica¸c˜oes

  V + +

  V S : P V (Γ ) → P V (Γ ) e ~ S : ~ P V (Γ ) → ~ P V (Γ ) definidas por

  1

  1

  −1

  S(f )(x) = (f (x) − f (δx)) e ~ S(g)(x) = (g(x) − δ g(δx)), (3.5)

  2

  2 Para a pr´oxima proposi¸c˜ao Id P e Id ~ denotam os operadores identidade em V (Γ )

  • V (Γ )

  P

  P (Γ ) e ~ P (Γ ), respectivamente. + +

  V V

  Proposi¸c˜ ao 3.2.2. Os operadores de Reynolds R, ~ R, S e ~ S definidos em respectivamente, satisfazem as seguintes propriedades: (i) S˜ao homomorfismos de P

  V (Γ)−m´odulos tais que

R + S = Id e ~ R + ~ S = Id ~ .

  P

  V (Γ )

  • V +

  P

  (Γ )

  (ii) Eles s˜ao proje¸c˜oes idempotentes com ImS = ker R = Q

  V (Γ) e ker S = ImR = P V (Γ);

  Im~ S = ker ~ R = ~ Q

  V (Γ) e ker ~ S = Im ~ R = ~ P V (Γ).

  (iii) Valem as seguintes decomposi¸c˜oes como espa¸cos vetoriais: P

  • V (Γ ) = ker R ⊕ ImR = ker S ⊕ ImS e

  ~ P

  V (Γ ) = ker ~ R ⊕ Im ~ R = ker ~ S ⊕ Im~ S.

  • Demonstra¸c˜ao. (i) Temos que P (Γ) ⊆ P (Γ ) pelo Lema Logo, P (Γ) ´e um su-

  V V

  • V

  banel do anel P

  V (Γ ) de modo que P V (Γ ) pode ser visto como um P V (Γ)−m´odulo.

  Por consequˆencia, como ~ P

  V (Γ ) ´e um m´odulo sobre P V (Γ ) temos que ~ P V (Γ ) ´e

  • um P (Γ)−m´odulo. Agora, fixando δ ∈ Γ , se f, g ∈ P (Γ ) e p ∈ P (Γ) temos

  V V

  • V −

  para todo x ∈ V

1 R(f + g)(x) = ((f + g)(x) + (f + g)(δx))

  2

  1 = (f (x) + g(x) + f (δx) + g(δx))

  2

  1

  1 = (f (x) + f (δx)) + (g(x) + g(δx)) = R(f )(x) + R(g)(x)

  2

  2 e

1 R(pf )(x) = (pf (x) + pf (δx))

  2

  1 = (p(x)f (x) + p(δx)f (δx))

  2

  1 = (p(x)f (x) + p(x)f (δx))

  2

  1 = p(x)(f (x) + f (δx)) = (pR(f ))(x).

  2 fismo de P V (Γ)−m´odulos. Para os outros operadores a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga. Al´em disso,

  

1

  1 (R + S)(f )(x) = R(f )(x) + S(f )(x) = (f (x) + f (δx)) + (f (x) − f (δx)) = f (x),

  

2

  2 para todo f ∈ P +

  V (Γ ) e para todo x ∈ V. Logo, R +S = Id P (Γ ) . Da mesma forma,

  • V usando a defini¸c˜ao de ~ R e ~ S temos que ~ R + ~ S = Id ~ .

  P

  V (Γ ) + (ii) Vamos mostrar que ker ~ R = ~ Q

  V (Γ) e que Im ~ R = ~ P V (Γ) e as demais igualdades

  seguem de modo an´alogo. Seja f ∈ ker ~ R e fixe δ ∈ Γ . Ent˜ao, f ∈ ~ P

  V (Γ ) e, para

  1

  −1

  todo x ∈ V, ~ R(f )(x) = 0. Por defini¸c˜ao, (f (x) + δ f (δx)) = 0, o que implica em

  2

  −1

  f (x) = −δ f (δx), para todo x ∈ V. Portanto, f (δx) = −δf (x) e pelo Lema f ∈ ~ Q

  V (Γ). Por outro lado, se f ∈ ~ Q V (Γ), ent˜ao f (δx) = σ(δ)δf (x) = −δf (x), para −1

  todo x ∈ V. Logo, δ f (δx) = −f (x) e, consequentemente, R(f ) ≡ 0. Portanto, ker ~ R = ~ Q

  V (Γ).

  Seja agora f ∈ ~ P

  V (Γ ). Por defini¸c˜ao ~ R(f ) ∈ ~ P V (Γ ). Vamos usar novamente o

  Lema para mostrar que ~ R(f ) ∈ ~ P

  V (Γ). Temos:

  1

  −1

  ~ R(f )(δx) = (f (δx) + δ f (δδx))

  2

  1

  −1

  2

  = (f (δx) + δ δ f (x))

  2

  1

= (f (δx) + δf (x))

  2

  1

  −1

  = δ(δ f (δx) + f (x)) = δ ~ R(f )(x),

  2

  2

  a segunda igualdade seguindo pois δ ∈ Γ . Assim, Im ~ R ⊆ ~ P +

  V (Γ). Por outro lado,

  se f ∈ ~ P

  V (Γ), ent˜ao f (δx) = δf (x) e da´ı

  1

  1

  −1

  f (x) = (f (x) + f (x)) = (f (x) + δ f (δx)) = ~ R(f )(x) (3.6)

  2

  2 para todo x ∈ V. Portanto, segue a igualdade Im ~ R = ~ P

  V (Γ). Resta mostrar a

  idempotˆencia de ~ R. De fato, de segue que ~ R| ~ = Id ~ . Como ~ R(f ) ∈

  P P

  V (Γ) V (Γ) ~ P

  V (Γ), para todo f ∈ ~ P V (Γ ), temos que ~ R ◦ ~ R(f ) = ~ R( ~ R(f )) = ~ R(f ), de onde +

  2

  ~ R = ~ R.

  • ~ P

  V (Γ ), bem como ker ~ R ⊆ ~ P V (Γ ) implicando que ker ~ R + Im ~ R ⊆ ~ P V (Γ ). Seja

  f ∈ ~ P

  V (Γ ). Podemos escrever f = (f − ~ R(f )) + ~ R(f ). Como ~ R ´e idempotente +

  2

  e ´e um homomorfismo de m´odulos, temos ~ R(f − ~ R(f )) = ~ R(f ) − ~ R (f ) ≡ 0, ou seja, f − ~ R(f ) ∈ ker( ~ R). Ent˜ao, f = (f − ~ R(f )) + ~ R(f ) ∈ ker ~ R + Im ~ R e a igualdade segue. Resta mostrar que a soma ´e direta. Se f ∈ ker ~ R ∩ Im ~ R, ent˜ao ~ R(f ) ≡ 0 e existe f ∈ ~ P

  V (Γ ) tal que ~ R(f ) = f. Como ~ R ´e idempotente,

  • f = ~ R(f ) = ~ R( ~ R(f )) = ~ R(f ) ≡ 0, fazendo-nos concluir o resultado.

  Do item (iii) da proposi¸c˜ao anterior est˜ao consequˆencias imediatas e valiosas, tanto

para o desenvolvimento da teoria quanto para as aplica¸c˜oes do ´ ultimo cap´ıtulo. Por isso,

daremos destaque a elas, enunciando-as em forma de corol´ario.

Corol´ ario 3.2.3. Sejam Γ agindo linearmente em V e Γ o grupo das simetrias de Γ.

  • Ent˜ao, as seguintes decomposi¸c˜oes em soma direta de m´odulos sobre o anel P

  V (Γ) valem:

  P

  V (Γ ) = P V (Γ) ⊕ Q V (Γ) e (3.7)

  • ~ P

  V (Γ ) = ~ P V (Γ) ⊕ ~ Q + V (Γ). (3.8)

3.2.2 C´ alculo dos Geradores Revers´ıveis Equivariantes

  A sequˆencia de resultados dessa subse¸c˜ao culminar´a em um algoritmo para a deter- mina¸c˜ao dos geradores do m´odulo ~ Q

  V (Γ) sobre o anel de invariantes P V (Γ). Come¸camos

  

com um teorema que nos mostra como encontrarmos os geradores dos anti-invariantes

como um m´odulo sobre P

  V (Γ). Para a demonstra¸c˜ao deste teorema usamos a nota¸c˜ao de

  

multi-´ındice, ou seja, a α representa a α α se α = (α , α , · · · , α s ) ´e uma s−upla de

  1 2 ···α s

  1

  2 inteiros n˜ao negativos.

  Teorema 3.2.4. Seja Γ agindo linearmente em V e fixe σ : Γ → Z

  2 um epimorfismo de

  

grupos com ker σ = Γ . Considere o operador S definido em Se {u , · · · , u s } ´e uma

  1 +

  base de Hilbert para P

  V (Γ ), ent˜ao o conjunto

  • {S(u ), · · · , S(u s )} (3.9)

  1

  Demonstra¸c˜ao. Sejam f ∈ Q

  V (Γ) e {u , · · · , u s } uma base de Hilbert para P V (Γ ). Fixe

  1

  • δ ∈ Γ − qualquer. Como I P (Γ ) = R + S, podemos escrever u i = R(u i ) + S(u i ), para todo +

  V

i = 1, · · · , s. Deste modo, o conjunto {R(u i ), S(u i ); i = 1, · · · , s} tamb´em forma uma

base de Hilbert para P

  V (Γ ). Pelo Lema f ∈ P V (Γ ) e o escrevemos como

  X

  α α s β β s

  1

  1 f (x) = a α [R(u

  1 )(x)] · · · [R(u s )(x)] [S(u 1 )(x)] · · · [S(u s )(x)] , (3.10) α

  2s

  onde α = (α

  1 , · · · , α s , β 1 , · · · , β s ) ∈ N e a α ∈ R. Sabemos pela Proposi¸c˜ao que

  R(u i ) ∈ P

  V (Γ) e S(u i ) ∈ Q V (Γ). Ent˜ao,

  X

  α α β β

  1 s 1 s f (δx) = a α [R(u )(δx)] · · · [R(u s )(δx)] [S(u )(δx)] · · · [S(u s )(δx)]

  1

  1 α

  X

  β

  1 +···+β s α 1 α s β 1 β s = (−1) a α [R(u )(x)] · · · [R(u s )(x)] [S(u )(x)] · · · [S(u s )(x)] .

  1

  1 α

  Como f ∈ Q

  V (Γ) temos que f (δx) = −f (x), para todo x ∈ V, ou seja,

  0 = f (δx) + f (x)

  X

  β s α α s β β s

  1 +···+β

  

1

  1 = ((−1) + 1)a [R(u )(x)] · · · [R(u )(x)] [S(u )(x)] · · · [S(u )(x)] ,

  α 1 s 1 s α

  

de onde a α = 0 ou β + · · · + β s ´e um n´ umero ´ımpar. Neste caso, β + · · · + β j + (β j −

  1 1 −1

  1) + β j + · · · + β s ´e par e temos a parcela k α (x)S(u j )(x) onde

  • 1

  α α β β β

  1 s 1 j −1 s k α (x) = a α [R(u

  1 )(x)] · · · [R(u s )(x)] [S(u 1 )(x)] · · · [S(u j )(x)] · · · [S(u s )(x)] ,

  

para algum j = 1, · · · , s. Tal produto ´e Γ-invariante, uma vez que temos um produto par

  

  de fun¸c˜oes Γ−anti-invarianteLogo, k α ∈ P

  V (Γ). Escrevemos L j para a soma de todas

  as fun¸c˜oes k α que acompanham S(u j ). Assim, para todo x ∈ V, !

  s s

  X X f (x) = L j (x)S(u j )(x) = L j S(u j ) (x),

  j j =1 =1

  com L j ∈ P V (Γ) e, portanto, segue o resultado.

  2

  1 Basta observar que se f i ∈ Q V (Γ), com 1 ≤ i ≤ n, e f (x) = f (x) · · · f n (x), com n par, ent˜ao n f (δx) = (−1) f 1 (x) · · · f (x) = f (x). Logo, f ´e Γ−invariante. n

  1

  gera P

  V (Γ ) como um m´odulo sobre P V (Γ).

  • Demonstra¸c˜ao. O resultado segue usando a decomposi¸c˜ao dada em . De fato, se

  f ∈ P

  V (Γ ), ent˜ao

  • s

  

X

  • f = f f j S(u j ),

  j =1

  com f

  V (Γ), para todo i = 0, · · · , s e S(u j ) geradores de Q V (Γ). Portanto, P V (Γ ) = + i ∈ P

  P V (Γ){1, S(u ), · · · , S(u s )}.

  1 Lema 3.2.6. Seja {S(u ) ≡ 1, S(u ), · · · , S(u s )} um conjunto de geradores para P V (Γ )

  1

  • como no corol´ario anterior. Seja {H , · · · , H r } um conjunto de geradores para o m´odulo

  ~ P + +

  V (Γ ) sobre o anel P V (Γ ). Ent˜ao,

  {H ij = S(u i )H j ; i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r} ´e um conjunto de geradores para o m´odulo ~ P

  V (Γ ) sobre o anel P V (Γ).

  • Demonstra¸c˜ao. Seja G ∈ ~ P

  V (Γ ). Ent˜ao existem p j ∈ P V (Γ ), j = 0, · · · , r tais que

  • r

  X G = p j H j . Como {S(u ) ≡ 1, S(u ), · · · , S(u s )} gera P

  V (Γ ) sobre P V (Γ), ent˜ao para

  1 + j =0 s

  X cada j = 0, · · · , r existem p ij ∈ P

  V (Γ) com i = 0, · · · , s tais que p j = p ij S(u i ). i

  =0

  Substituindo devidamente temos !

  r r s s,r

  X X

  X X G = p j H j = p ij S(u i ) H j = p ij S(u i )H j ,

  j j i i,j =0 =0 =0 =0

  com p ij ∈ P

  V (Γ) e S(u i )H j ∈ ~ P V (Γ ), conforme o Lema para todo i = 0, · · · , s e

  • j = 0, · · · , r.

  Segue, portanto, o principal resultado desta se¸c˜ao:

Teorema 3.2.7. Seja {H ij ; i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r} um conjunto de geradores para

~ P

  V (Γ ) sobre P + V (Γ) obtido como no lema anterior. Considere o σ−operador de Reynolds

  ~ S definido em Ent˜ao {~ S(H ij ); i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r}

  ´e um conjunto de geradores para ~ Q(Γ) sobre P V (Γ). s,r

  X Logo, existe G ∈ ~ P

  V (Γ ) tal que ˜ G = ~ S(G). Por hip´otese, G = p ij H ij com p ij ∈

  • i,j

  =0

  P (Γ). Como ~ S ´e um homomorfismo de P (Γ)−m´odulos, temos

  V V s,r s,r

  X X ˜ ~ G = ~ S( p ij H ij ) = p ij S(H ij ),

  i,j i,j =0 =0

  com p ij ∈ P

  V (Γ) e ~ S(H ij ) ∈ ~ Q V (Γ), o que prova o resultado.

  Vamos organizar todos os resultados desta subse¸c˜ao na forma de um algoritmo, que

ser´a utilizado no Cap´ıtulo 4 na determina¸c˜ao das formas normais de campos de vetores

Hamiltonianos revers´ıveis equivariantes. Algoritmo 3.2.8. (Geradores Revers´ıveis equivariantes)

  1. Considere Γ um grupo de Lie compacto. Fixe um epimorfismo σ : Γ → Z , com

  2

  ker σ = Γ , e fixe uma antissimetria δ ∈ Γ ;

  − +

  2. Considere uma base de Hilbert {u , · · · , u s } para P

  V (Γ ) e {H , · · · , H r } um con-

  1 +

  junto de geradores para ~ P

  V (Γ ) sobre P V (Γ );

  3. Defina S(u ) ≡ 1 e fa¸ca S(u i ) para i = 1, · · · , s;

  4. Construa H ij = S(u i )H j para i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r; 5. Para i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , r, calcule ~ S(H ij ).

  Resultado: Conjunto de geradores {~ S(H ij ); i = 0, · · · , s e j = 0, · · · , s} para ~ Q

  V (Γ)

  como m´odulo sobre P V (Γ).

  Ainda com o prop´osito de determinarmos formas normais, ´e necess´ario a obten¸c˜ao de uma base de Hilbert para P

  V (Γ). O pr´oximo teorema, cuja demonstra¸c˜ao ´e encontrada

  em , nos mostra que podemos fazer isto a partir de uma base de Hilbert para P V (Γ ).

  • Teorema 3.2.9. Sejam Γ agindo linearmente em V e σ : Γ → Z

  2 um epimorfismo com

ker σ = Γ . Considere os operadores R e S definidos em respectivamente.

  • Se {u , · · · , u s } ´e uma base de Hilbert para o anel P

  V (Γ ), ent˜ao o conjunto

  1

  • {R(u i ), S(u i )S(u j ); i, j = 1, · · · , s}

  

Demonstra¸c˜ao. Vamos seguir a mesma ideia da demonstra¸c˜ao do Teorema Come¸camos

fixando δ ∈ Γ e seja f ∈ P

  V (Γ). Sabemos que {R(u ), · · · , R(u s ), S(u ), · · · , S(u s )} ´e −

  1

  1

  tamb´em uma base de Hilbert para P

  V (Γ ). Como f ∈ P + V (Γ), em particular f ∈ P V (Γ ) +

  e podemos escrevˆe-la como em . J´a que R(u i ) ∈ P

  V (Γ) e S(u i ) ∈ Q V (Γ) para todo

  i = 1, · · · , s, ent˜ao

  X

  β

  1 +···+β s α 1 α s β 1 β s f (δx) = (−1) a α [R(u )(x)] · · · [R(u s )(x)] [S(u )(x)] · · · [S(u s )(x)] .

  1

  1 α

  Como f ∈ P

  V (Γ) temos que f (δx) = f (x), de onde a α = 0 ou β + · · · + β s ´e um n´ umero

  1

  par. Como produto par de fun¸c˜oes Γ-anti-invariantes ´e Γ-invariante, temos que

  β β

  1 s k α (x) = a α [S(u )(x)] · · · [S(u s )(x)]

  1

  ´e uma fun¸c˜ao Γ-invariante. Assim, de os geradores de P

  V (Γ), como anel, s˜ao dados

  por

  β

  1 β s R(u )(x), · · · , R(u s ), S(u ) · · · S(u s ) ,

  1

  1

  onde β

  1 + · · · + β s ´e par. Portanto, o conjunto {R(u i ), S(u i )S(u j ); i, j = 1, · · · , s} ´e uma

  base de Hilbert para P V (Γ).

  

Similar ao resultado anterior, o pr´oximo teorema nos mostra uma forma de encontrar

os geradores de ~ P

  V (Γ) como um m´odulo sobre P V (Γ) a partir de um conjunto de geradores

  para o m´odulo ~ P

  V (Γ ) sobre P V (Γ). Este processo ser´a usado no caso espec´ıfico das formas

  • φ ψ

  normais de campos hamiltonianos Z × Z −revers´ıveis-equivariantes do Cap´ıtulo 4. Sua

  2

  2

  demonstra¸c˜ao ´e idˆentica `a demonstra¸c˜ao do Teorema trocando ~ S por ~ R e por isso a omitimos aqui.

  Teorema 3.2.10. Seja {H ij ; 0 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ r} um conjunto gerador de ~ P

  V (Γ )

  • sobre P V (Γ) obtido como no Lema

  Ent˜ao { ~ R(H ij ); 0 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ r}

  ´e um conjunto gerador para o m´odulo ~ P

  V (Γ) sobre P V (Γ).

3.3 Teoria Invariante para o Produto Semidireto

  Para calcularmos as formas normais pelo m´etodo descrito na Subse¸c˜ao 3.5, precisare-

mos construir o produto semidireto de dois grupos. Essa constru¸c˜ao generaliza o produto

direto e depende da existˆencia de um homomorfismo de grupos. Essa se¸c˜ao destina-se a

descrever algumas ferramentas da teoria invariante para os produtos direto e semidireto.

Para o que segue, denotamos por Aut(Γ) o grupo dos automorfismos de Γ com a opera¸c˜ao

de composi¸c˜ao.

  

Defini¸c˜ ao 3.3.1. Dados dois grupos Γ e Γ , o produto semidireto de Γ e Γ , denotado

  1

  2

  1

  2

  

por Γ ⋊ Γ , ´e o produto direto Γ × Γ como conjunto munido de uma opera¸c˜ao induzida

  2

  1

  2

  por um homomorfismo µ : Γ → Aut(Γ ), onde

  2

  1 (γ , γ ) · µ (τ , τ ) = (γ µ(γ )(τ ), γ τ ).

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2 O produto semidireto tem estrutura de grupo e, da forma como foi definido, segue que

  

Γ × {0} ⊳ Γ ⋊ Γ . Note tamb´em que se µ ´e o homomorfismo trivial, que leva γ ∈ Γ no

  1

  1

  2

  2

  2 automorfismo identidade de Γ , ent˜ao Γ ⋊ Γ = Γ × Γ .

  1

  1

  2

  1

  2 Dadas (ρ, V ) e (η, V ) representa¸c˜oes de Γ e Γ em V, respectivamente, gostar´ıamos

  1

  2

  

de definir uma representa¸c˜ao do produto semidireto Γ ⋊ Γ em V. Para isso, considere

  1

  2

  

as a¸c˜oes (γ , x) 7→ γ x e (γ , x) 7→ γ x de Γ e Γ , respectivamente, e defina a opera¸c˜ao

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  ⋊ (Γ Γ ) × V → V por

  1

  2

  (γ , γ )x = γ (γ x). (3.11)

  1

  2

  1

  2 Note que pode ser reescrita como (γ , γ )x = ρ γ (η γ (x)), para todo γ ∈ Γ ,

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  γ ∈ Γ , x ∈ V. Ent˜ao, temos:

  2

  2

  ⋊

Proposi¸c˜ ao 3.3.2. A opera¸c˜ao definida em define uma a¸c˜ao de Γ Γ em V se,

  1

  2 −1

  

e somente se, ρ = η γ ◦ ρ γ ◦ η . Em particular, quando Γ ⋊ Γ = Γ × Γ como

  µ (γ

  2 )(γ 1 )

  2

  1

  1

  2

  1

  2 γ

  2

grupo, a opera¸c˜ao em quest˜ao define uma a¸c˜ao se, e somente se, as a¸c˜oes de Γ e de Γ

  1

  2 comutam.

  

Demonstra¸c˜ao. Veja primeiramente que a aplica¸c˜ao definida em ´e cont´ınua pois ´e

a composta das a¸c˜oes de Γ e Γ em V, que s˜ao cont´ınuas. Al´em disso, ela define uma

  1

  2

  1

  2

  1 2 (γ

  1 2 ) por ̺ ,γ (x) = γ (γ x) ´e linear e

  (γ

  1 2 )

  1

  2

  (γ

  1 , γ 2 )((τ 1 , τ 2 )x) = ((γ 1 , γ 2 ) · µ (τ 1 , τ 2 ))x, (3.12)

  

para todo (γ , γ ), (τ , τ ) ∈ Γ ⋊ Γ e x ∈ V. A primeira condi¸c˜ao sempre ocorre pois

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  

̺ ,γ = ρ γ ◦ η γ , sendo ρ γ e η γ lineares. Assim, a aplica¸c˜ao define uma a¸c˜ao se,

  (γ

  1 2 )

  1

  2

  1

  2 e somente se, vale . Por um lado, (γ , γ )((τ , τ )x) = ρ γ (η γ (ρ τ (η τ (x)))) = ρ γ ◦ η γ ◦ ρ τ ◦ η τ (x)

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  

2

  1

  2

  1

  2 e por outro lado

((γ , γ ) · µ (τ , τ ))x = (γ µ(γ )(τ ), γ τ )x = ρ γ µ ◦ η γ τ (x)

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1 (γ 2 )(τ 1 )

  2

  2 = ρ γ ◦ ρ µ ◦ η γ ◦ η τ (x),

  1 (γ

2 )(τ

1 )

  2

  2 para todo x ∈ V. Portanto, vale se, e somente se, ρ γ ◦ η γ ◦ ρ τ ◦ η τ = ρ γ ◦ ρ µ ◦ η γ ◦ η τ ,

  1

  2

  1

  2 1 (γ 2 )(τ 1 )

  2

  2

  −1 ou seja, ρ µ = η γ ◦ ρ τ ◦ η para todo τ ∈ Γ e γ ∈ Γ . (γ

  2 )(τ 1 )

  2 1 γ

  1

  1

  2

  2

2 Portanto, neste trabalho, sempre que Γ e Γ admitirem um produto semidireto Γ ⋊ Γ

  1

  2

  1

  2

  

com uma representa¸c˜ao ̺ ,γ = ρ γ ◦ η γ , vamos assumir as condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao

  (γ

  1 2 )

  1

  2 anterior.

  O pr´oximo resultado relaciona, de certo modo, a teoria invariante para Γ ⋊ Γ com a

  1

  2

  

teoria invariante de Γ e Γ . Tal resultado ´e de fundamental importˆancia na dedu¸c˜ao das

  1

  2

  

formas normais no Cap´ıtulo 4, quando Γ for um grupo de Lie compacto cujos elementos

  1

  

agem como simetrias. Sendo assim, suponha que exista um epimorfismo σ : Γ → Z e

  2

  2

  2

  defina σ : Γ ˜ ⋊ Γ → Z

  1

  2

  2

  (3.13)

(γ , γ ) 7−→ σ (γ ).

  1

  2

  2

  2 Esta constru¸c˜ao ´e um modo de ver Γ 1 como um grupo que cont´em somente simetrias, ou

  

seja, dotado do homomorfismo trivial σ : Γ → Z . Temos, ent˜ao o seguinte resultado:

  1

  1

  2

  1

  2

  considere o epimorfismo ˜ σ definido em Ent˜ao

  (i) P

  V (Γ 1 Γ 2 ) = P V (Γ 1 ) ∩ P V (Γ 2 );

  (ii) ~ P

  V (Γ ⋊ Γ ) = ~ P V (Γ ) ∩ ~ P V (Γ );

  1

  2

  1

  2

  ⋊ (iii) Q

  V (Γ Γ ) = P V (Γ ) ∩ Q V (Γ );

  1

  2

  1

  2

  ⋊ (iv) ~ Q

  V (Γ 1 Γ 2 ) = ~ P V (Γ 1 ) ∩ ~ Q V (Γ 2 ).

  

Demonstra¸c˜ao. Mostremos apenas o item (iv), os demais itens seguem de forma an´aloga.

  V (Γ Γ ), (γ , γ ) ∈ Γ Γ e x ∈ V quaisquer. Ent˜ao

  ⋊ ⋊ Sejam g ∈ ~ Q

  1

  2

  1

  2

  1

  2 g(γ (γ x)) = g((γ , γ )x) = ˜ σ(γ , γ )γ γ g(x).

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Sejam e , e os elementos neutros de Γ e Γ , respectivamente. Ent˜ao

  1

  2

  1

  2

  g(γ

  2 x) = g(e 1 (γ 2 x)) = ˜ σ(e 1 , γ 2 )e 1 γ 2 g(x) = σ 2 (γ 2 )γ 2 g(x),

  para todo γ ∈ Γ , x ∈ V, de onde g ∈ ~ Q

  V (Γ ). Ainda

  2

  2

  2

  g(γ x) = g(γ (e x)) = ˜ σ(γ , e )γ e g(x) = σ (e )γ g(x) = γ g(x),

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  para todo γ

  1 ∈ Γ 1 , x ∈ V, uma vez que σ 2 (e 2 ) = 1. Logo, g ∈ ~ P V (Γ 1 ) e, portanto,

  g ∈ ~ P

  V (Γ ) ∩ ~ Q V (Γ ).

  1

  2 Seja agora g ∈ ~ P V (Γ ) ∩ ~ Q V (Γ ). Ent˜ao

  1

  2

  g((γ

  1 , γ 2 )x) = g(γ 1 (γ 2 x)) = γ 1 g(γ 2 x) = γ 1 σ 2 (γ 2 )γ 2 g(x) = ˜ σ(γ 1 , γ 2 )γ 1 γ 2 g(x),

  para todo (γ , γ ) ∈ Γ ⋊ Γ , x ∈ V , onde a segunda igualdade segue pois g ∈ ~ P

  V (Γ ) e a

  1

  2

  1

  2

  1

  V (Γ ). Portanto, g ∈ ~ Q V (Γ Γ ).

  ⋊ terceira segue pois g ∈ ~ Q

  2

  1

  2 As igualdades da Proposi¸c˜ao valem, obviamente, para o produto direto Γ × Γ

  1

  2

  

quando Γ e Γ agem em um mesmo espa¸co V . Agora, se Γ e Γ s˜ao grupos agindo em

  1

  2

  1

  2 V e W respectivamente, podemos definir as a¸c˜oes induzidas de Γ e Γ em V × W como

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  a a¸c˜ao diagonal do grupo Γ × Γ em V × W ´e definida por

  1

  2

  (γ

  1 , γ 2 )(x, y) = (γ 1 x, γ 2 y).

  

Neste caso, se ρ ´e a representa¸c˜ao de Γ em V e η ´e a representa¸c˜ao de Γ em W, ent˜ao a

  1

  2

  representa¸c˜ao diagonal de (γ , γ ) ∈ Γ × Γ em V × W corresponde `a matriz

  1

  2

  1

  2

    [ρ γ ]

  1   ∈ GL(V × W ),

  [η γ ]

  2 onde [ρ γ ] e [η γ ] denotam as matrizes das respectivas representa¸c˜oes.

  1

2 Finalizamos esta se¸c˜ao com dois resultados da teoria invariante para a a¸c˜ao diagonal de Γ × Γ em V × W.

  1

2 Lema 3.3.4. Sejam Γ , Γ grupos de Lie compactos agindo linearmente em V e W, res-

  1

  2

  pectivamente. Sejam {u , · · · , u r } e {v , · · · , v s } bases de Hilbert para P

  V (Γ ) e P W (Γ ),

  1

  1

  1

  2

  

respectivamente. Definimos U c : V × W → R e V d : V × W → R como U c (x, y) = u c (x) e

V d (x, y) = v d (y) para c = 1, · · · , r e d = 1, · · · , s. Ent˜ao {U , · · · , U r , V , · · · , V s } ´e uma

  1

  1

  base de Hilbert para P V (Γ × Γ ).

  ×W

  1

  2 X α β

  Demonstra¸c˜ao. Seja H ∈ P

  V (Γ × Γ ) e escreva H(x, y) = a αβ x y , com a αβ ∈ R, ×W

  1

  2 α,β

  α, β ∈ N. Pela proposi¸c˜ao anterior, H ∈ P

  V (Γ ) ∩ P V (Γ ) o que implica em ×W 1 ×W

  2 H(γ x, y) = H(x, y) e H(x, γ y) = H(x, y),

  1

  2

  para todo γ ∈ Γ , γ ∈ Γ , (x, y) ∈ V × W. Ent˜ao

  1

  1

  2

  2 X

  X X

  α β α β α β

  

a αβ (γ x) y = a αβ x y = a αβ x (γ y) ,

  1

  2 α,β α,β α,β

  X X

  α α β α β β ou seja, a αβ ((γ x) − x )y = 0 = a αβ x ((γ y) − y ).

  1

  2 α,β α,β

  α α β β

  Como x ∈ V e y ∈ W s˜ao arbitr´arios, segue que (γ x) = x e (γ y) = y uma vez

  1

  2 α β

  

que a αβ 6= 0. Defina p α (x) = x e q β (y) = y . Das duas ´ ultimas igualdades temos que

  r s ′ ′

  p α ∈ P

  V (Γ ) e q β ∈ P W (Γ ) se a αβ 6= 0. Assim, existem p : R → R e q : R → R

  1 2 α β

  ′ ′

  1

  1 α β r

  • s

  y ∈ W. Portanto, existe h : R → R tal que

  X H(x, y) = a αβ p α (x)q β (y)

  α,β

  X

  ′ ′

  = a αβ p (u (x), · · · , u r (x))q (v (y), · · · , v s (y))

  1 α,β

  α 1 β

  

= h(u (x), · · · , u r (x), v (y), · · · , v s (y))

  1

  1

  = h(U

  1 (x, y), · · · , U r (x, y), V 1 (x, y), · · · , V s (x, y)).

  Como H ∈ P

  V ×W (Γ 1 × Γ 2 ) ´e arbitr´ario, segue o resultado.

  Lema 3.3.5. Nas condi¸c˜oes do lema anterior, sejam ~ P

  V (Γ ) e ~ P W (Γ ) m´odulos dos

  1

  2

  Γ

  1 −equivariantes e Γ 2 −equivariantes sobre P V (Γ 1 ) e P W (Γ 2 ), respectivamente. Suponha-

  mos que ambos os m´odulos sejam livres e que ~ P

  V (Γ ) = P V (Γ ){f , · · · , f m } e ~ P W (Γ ) =

  1

  1

  1

  2 P W (Γ ){g , · · · , g n }. Definimos F i : V × W → V e G j : V × W → W por F i (x, y) = f i (x)

  2

  1

  e G j (x, y) = g j (y) para i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n. Ent˜ao,           

  1

   F F m

  ~         P

  V (Γ × Γ ) = P V (Γ × Γ ) , · · · , , , · · · , .

  ×W

  1 2 ×W

  1

  2

    G G n

  1 Demonstra¸c˜ao. Seja H ∈ ~ P V (Γ × Γ ) e escreva H ≡ (p, q) com p : V × W → V e ×W

  1

  2

  q : V × W → W. Como a a¸c˜ao de Γ × Γ ´e diagonal temos

  1

  2 H(γ 1 x, γ 2 y) = H((γ 1 , γ 2 )(x, y)) = (γ 1 , γ 2 )H(x, y) = (γ 1 p(x, y), γ 2 q(x, y)),

  para todo (γ

  1 , γ 2 ) ∈ Γ 1 × Γ 2 e (x, y) ∈ V × W, de onde

  p(γ x, γ y) = γ p(x, y) e q(γ x, γ y) = γ q(x, y). (3.14)

  1

  2

  1

  1

  2

  2 Defina, para cada y ∈ W,

  p y : V →

  V

x 7−→ p(x, y).

Por , p y (γ x) = p(γ x, y) = γ p(x, y) = γ p y (x), ou seja, p y ∈ ~ P

  V (Γ ). Por hip´otese,

  1

  1

  1

  1

  1 y

  para cada y ∈ W, existem h ∈ P (Γ ), i = 1, · · · , m, tais que

  V

  1 i m

  X

  y

  p y (x) = h (x)f i (x). (3.15)

  i i =1

  R h i : V × W →

  y

(x, y) 7−→ h (x).

i

  Ent˜ao, de e pela defini¸c˜ao de F i obtemos

  m

  X p(x, y) = h i (x, y)F i (x, y),

  i =1 y

  para todo (x, y) ∈ V × W. Como h ∈ P

  V (Γ ) temos que h i ∈ P V (Γ ). Mostremos que i 1 ×W

  1

  h i ∈ P

  V ×W (Γ 2 ). De , tomando γ 1 = e 1 o elemento neutro de Γ 1 , podemos concluir

  

que p(x, γ y) = p(x, y), para todo γ ∈ Γ , (x, y) ∈ V × W. Al´em disso, F i (x, γ y) =

  2

  2

  2

  2

  f i (x) = F i (x, y). Ent˜ao,

  m m m

  X X

  X h i (x, y)F i (x, y) = p(x, y) = p(x, γ

  2 y) = h i (x, γ 2 y)F i (x, γ 2 y) = h i (x, γ 2 y)F i (x, y), i i i

  =1 =1 =1

  ou seja,

  m m

  X X

  y γ y

  2

(h (x) − h (x))f i (x) = (h i (x, y) − h i (x, γ y))F i (x, y) = 0,

  i i

  2 i i =1 =1

  

para todo γ ∈ Γ , (x, y) ∈ V × W. Uma vez que {f , · · · , f m } gera livremente o m´odulo

  2

  2

  1 y γ y y γ y

  2

  2 ~ P

  V (Γ 1 ) sobre P V (Γ 1 ) e h − h ∈ P V (Γ 1 ), segue que h (x) = h (x) para todo i = i i i i

  

1, · · · , m, x ∈ V, y ∈ W e γ ∈ Γ . Reescrevendo esta igualdade, temos h i (x, γ y) =

  2

  2

  2

  h i (x, y), provando que h i ∈ P

  V (Γ ). Pela proposi¸c˜ao anterior, h i ∈ P V (Γ × Γ ). Por ×W 2 ×W

  1

  2

  meio de uma constru¸c˜ao an´aloga, tamb´em podemos mostrar que

  n

  X

  ′

  q(x, y) = h (x, y)G j (x, y),

  j j =1 ′

  onde h ∈ P

  V ×W (Γ 1 × Γ 2 ) para todo j = 1, · · · , n. Portanto, j m n

  X X

  ′

  H(x, y) = (p(x, y), q(x, y)) = h i (x, y)(F i (x, y), 0) + h (x, y)(0, G j (x, y)),

  j i j =1 =1

  ′

  com h i , h ∈ P V (Γ × Γ ), como quer´ıamos.

  j ×W

  1

  2 iθ

1 Exemplo 3.3.6. Considere Γ = S agindo em V = C como θz = e z. Pelo Exemplo

  1

  

  1

  1

  1

  1 n n

  1

  1 Considere o toro T = S × · · · × S agindo em C por iθ iθ n

  1 (θ

  1 , · · · , θ n )(z 1 , · · · , z n ) = (e z 1 , · · · , e z n ). n

  n

Claramente, tal a¸c˜ao ´e diagonal e, pelo Lema

  1

  1 n n

  ~ n n P C (T ) = P C (T ){(z

  1 , 0 · · · , 0), (iz 1 , 0 · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, z n ), (0, · · · , 0, iz n )}. n n

  n n

  Al´em disso, ~ P C (T ) ´e um m´odulo livremente gerado sobre P C (T ). De fato, suponha que

(f (z)z + g (z)iz , · · · , f (z)z + g (z)iz ) ≡ 0,

  1

  1

  1 1 n n n n n

  onde z = (z , z , · · · , z n ) e f j , g j ∈ P C (T ), para todo j = 1, · · · , n. Ent˜ao f j (z)z j

  • n

  1

  2

  

g j (z)iz j ≡ 0 para todo j = 1, · · · , n. Logo, f j (z) + ig j (z) = 0 e, como f j , g j s˜ao fun¸c˜oes

com imagem real, segue que f j ≡ g j ≡ 0 para todo j = 1, · · · , n, provando o desejado.

3.4 Teoria de Formas Normais

  A teoria de formas normais tem sido usada como uma ferramenta para o estudo local

e qualitativo de campos de vetores. Segundo Belitskii , o conceito e os primeiros

resultados da teoria iniciaram-se com Poincar´e em 1928, com o objetivo de encontrar

coordenadas locais de modo que o sistema dinˆamico em quest˜ao tenha uma forma mais

conveniente ou mais “simples”, perto de um ponto de equil´ıbrio. Essa simplifica¸c˜ao ´e

obtida atrav´es de mudan¸cas de coordenadas em cada grau da expans˜ao em s´erie de Tay-

lor do campo de vetores, de modo que essas mudan¸cas preservem propriedades a serem

investigadas. O m´etodo desenvolvido por Belitskii reduz este processo ao c´alculo do

kernel do chamado operador homol´ogico.

  Na pr´oxima subse¸c˜ao, apresentamos a forma normal de Belitskii seguindo como

principal referˆencia, cuja abordagem pode ser aplicada a qualquer sistema dinˆamico, in-

cluindo os revers´ıveis equivariantes e os Hamiltonianos. Na Subse¸c˜ao 3.4.2, apresentamos ao de Belitskii baseado na matriz da parte linear do sistema.

  k

  Para o que segue, V ´e um espa¸co vetorial real de dimens˜ao n ≥ 1 e ~ P denota o espa¸co

  V

  

vetorial real das aplica¸c˜oes polinomiais homogˆeneas de V em V e de grau k. Um monˆomio

  k α n α α α α

  1 2 n em ~ P ´e uma express˜ao da forma x e j , onde α = (α , · · · , α n ) ∈ N , x = x x · · · x

  V 1 n

  1

  2 n k

  

e e j ´e o j−´esimo elemento da base canˆonica de V ≡ R . ´ E poss´ıvel mostrar que ~ P tem

  V

  n + k − 1 dimens˜ao finita igual a n (veja ). k

3.4.1 Forma Normal de Belitskii

  Considere o sistema de equa¸c˜oes diferenciais dado por ˙x = h(x), (3.16)

  ∞ onde x ∈ V e h : V → V ´e um campo de vetores de classe C tal que h(0) = 0.

  Dizemos que dois campos vetoriais h, f : V → V s˜ao conjugados se existe um difeo-

  −1

  

morfismo φ : V → V tal que f (x) = dφ(x) h(φ(x)), para todo x ∈ V. Nosso primeiro

objetivo ´e encontrar um campo conjugado `a h em que seja mais “simples” (termo

que parece ser consenso entre os autores, apesar de “simples” ser bastante abstrato) e que

mantenha a parte linear de e a dinˆamica do fluxo numa vizinhan¸ca da origem.

  Podemos expandir h em sua s´erie de

4 Taylor formal em torno da origem como

  2

  3 L + h + h + · · · , k k

  

com h ∈ ~ P para cada k ≥ 2. Em outras palavras, em uma vizinhan¸ca Ω suficientemente

  V

  pequena da origem, o sistema pode ser reescrito como ˙x = L(x) + H(x) (3.17)

  2

  3 onde H(x) = h (x) + h (x) + · · · , para todo x ∈ Ω.

  3 n Em toda a parte confundimos L = dh(0) com sua matriz na base canˆ onica de V ≡ R .

4 Quando utilizamos o termo “s´erie formal” nos referimos apenas ` a expans˜ao de Taylor, sem necessa-

  

riamente haver convergˆencia da s´erie. Al´em disso, nessa expans˜ao surge um problema t´ecnico quando h e suas derivadas de todas as ordens se anulam na origem. Por isso, desconsideramos esse caso. forma

  k

  x = ξ(y) = y + ξ (y), (3.18)

  k k k

  

onde ξ ∈ ~ P , ξ (0) = 0 e y ∈ Ω k com Ω k uma vizinhan¸ca da origem em V. Faremos

  V

  

algumas observa¸c˜oes sobre tais mudan¸cas de coordenadas. Primeiramente, veja que para

cada y ∈ Ω k ,

  k

  dξ(y) = Id + dξ (y),

onde Id : V → V denota o operador identidade. Logo, dξ(y) ´e invers´ıvel com a inversa

  ∞

  X

  −1 i k i

  dada por (dξ(y)) = Id + (−1) (dξ (y)) . De fato,

  i =1

  ∞

  X

  k i k i −1

  dξ(y)(dξ(y)) = (Id + dξ (y))(Id + (−1) (dξ (y)) )

  i =1

  ∞ ∞

  X X

  i k i k i k i

  • 1

  = Id + (−1) (dξ (y)) ) + dξ (y) + (−1) (dξ (y))

  i =1 i =1 ∞ ∞

  X X

  k i k i k i k i

  • 1

  = Id − dξ (y) + (−1) (dξ (y)) ) + dξ (y) + (−1) (dξ (y)) )

  i i =2 =1 = Id.

  2

5 Por fim, como ξ(y) = y+O(|y| ), e como y est´a numa vizinhan¸ca suficientemente pequena

  −1

  

da origem temos que dξ(0) = (dξ(0)) = Id. Voltando a temos que ˙x = dξ(y) ˙y,

de onde segue que ˙y = f (y), (3.19)

  −1 −1 com f (y) = (dξ(y)) h(ξ(y)) = (dξ(y)) (L(ξ(y)) + H(ξ(y))) e y ∈ Ω.

  Mostremos que tais mudan¸cas de coordenadas mantˆem a parte linear de . De-

  −1

  notando por D(y) a derivada de dξ(y) com respeito a y temos

  −1 df (y) = D(y)(L(ξ(y)) + H(ξ(y))) + (dξ(y)) (Ldξ(y) + dH(ξ(y))dξ(y)).

  5 s A express˜ ao O(|y| ) ser´ a usada para denotar os termos polinomiais de grau maior ou igual a s, com s ≥ 2.

  −1

  

df (0) = D(0)(L(ξ(0)) + H(ξ(0))) + (dξ(0)) (Ldξ(0) + dH(ξ(0))dξ(0))

  −1 −1

  = D(0)(L(0) + H(0)) + (dξ(0)) Ldξ(0) + dξ(0) dH(0)dξ(0)

  −1

  = dξ(0) Ldξ(0),

  −1

  

uma vez que ξ(0) = H(0) = 0 e dH(0) = 0. Como dξ(0) = dξ(0) = Id, temos que

df (0) = L, ou seja, podemos, ent˜ao escrever o novo sistema como ˙y = L(y) + g(y), onde g ∈ ~ P

  V tem termos de ordem k ≥ 2.

  Antes de prosseguirmos, como ξ : V → V ´e continuamente diferenci´avel e dξ(0) ´e

  

  

invers´ıvel, temos pelo Teorema da Fun¸c˜ao Invers que ξ ´e um difeomorfismo em al-

guma vizinhan¸ca ˜ Ω da origem. Al´em disso, h e f s˜ao campos conjugados na vizinhan¸ca

˜

Ω uma vez que a mudan¸ca de coordenadas transforma h no campo conjugado

  −1

  

f (y) = dξ(y) h(ξ(y)) do sistema , satisfazendo os prop´ositos iniciais da teoria. ´ E

poss´ıvel provar que a rela¸c˜ao de conjuga¸c˜ao estabelecida entre os campos ´e uma rela¸c˜ao

de equivalˆencia.

  Antes do principal teorema desta subse¸c˜ao, Teorema definimos o seguinte ope- rador:

Defini¸c˜ ao 3.4.1. Dado L : V → V um operador linear, definimos, para cada k ≥ 2, a

  k k k

  aplica¸c˜ao Ad : ~ P → ~ P por

  L

  V V k

  Ad f (x) = df (x)L(x) − L(f (x)), (3.20)

  L k

  com f ∈ ~ P e x ∈ V.

  V k k k

  ´ E f´acil ver que Ad ´e tamb´em um operador linear. Como Ad ( ~ P ) ´e um subespa¸co

  L L

  V k k k k

  

vetorial de ~ P , cuja dimens˜ao ´e finita, existe um subespa¸co complementar C de Ad ( ~ P )

  V L

  V

  6 m k m “Seja f : U → R de classe C (k ≥ 1) no aberto U ⊂ R . Se a ∈ U ´e tal que df (a) ´e invers´ıvel, ent˜ao m

existem abertos W ⊂ U e Z ⊂ R contendo a e f (a), respectivamente, tal que a f | W ´e um difeomorfismo sobre Z”. k

  V k k k k

  ~ P = Ad ( ~ P ) ⊕ C . (3.21)

  V L

  V para cada k ≥ 2.

  ∞

  

Teorema 3.4.2. Seja h : V → V um campo de vetores de classe C com h(0) =

0 e dh(0) = L. Fixe um inteiro r ≥ 2 e considere a decomposi¸c˜ao para k =

2, · · · , r. Ent˜ao existe uma sequˆencia de transforma¸c˜oes polinomiais pr´oximas `a identidade

  k k k

  

da forma x = y + ξ (y), y ∈ Ω k , onde ξ ∈ ~ P e Ω k ´e uma vizinhan¸ca da origem, com

  V

  Ω k ⊂ Ω k , tal que nas novas coordenadas o sistema tem a forma

  • 1 2 r r +1

  ˙y = L(y) + g (y) + · · · + g (y) + O(|y| ), y ∈ Ω r , (3.22)

  k k onde g ∈ C para k = 2, · · · , r.

  Demonstra¸c˜ao. Seja h como nas hip´oteses do teorema e considere

  2 3 r r +1

  L(x) + h (x) + h (x) + · · · + h (x) + O(|x| )

a s´erie de Taylor formal de h na origem. Considere a mudan¸ca de coordenadas dada em

  k

  

como

  −1

  ˙y = dξ(y) (L(ξ(y)) + H(ξ(y)))

  k 2k−2 2 k

  = (Id − dξ (y) + O(|y| ))(L(ξ(y)) + h (ξ(y)) + · · · + h (ξ(y))

  k k k k

  2

  = (L(y) + L(ξ (y)) + h (y + ξ (y)) + · · · + h (y + ξ (y)) +

  k k k k k k 2 2k−2

  − (dξ (y)L(y) + dξ (y)L(ξ (y)) + dξ (y)h (ξ(y)) + · · · + dξ (y)h (ξ(y))) + O(|y| )

  2 k −1 k k k k +1

  = L(y) + h (y) + · · · + h (y) + [h (y) − (dξ (y)L(y) − L(ξ (y)))] + O(|y| )

  k k k k k 2 −1 +1

  = L(y) + h (y) + · · · + h (y) + [h (y) − Ad (ξ (y))] + O(|y| ), (3.23)

  L

  

para y ∈ Ω onde Ω ´e uma vizinhan¸ca pequena o suficiente da origem tal que dξ(y) =

  k k k

  Id + dξ (y) seja invers´ıvel.

  Para k = 2, temos que fica como

  2

  2

  2

  3

  ˙y = L(y) + (h (y) − Ad ξ (y)) + O(|y| ), (3.24)

  L

  2

  2

  2

  2

  2

  

com y ∈ Ω . Pela decomposi¸c˜ao , existem f ∈ Ad ( ~ P ) e g ∈ C tais que

  2 L

  V

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  

h = f + g . Sendo assim, escolhemos ξ ∈ ~ P de forma que f = Ad ξ . Substituindo

  V L

  em , temos

  2

  3

  ˙y = L(y) + g (y) + O(|y| ),

  2

  2 onde y ∈ Ω e g ∈ C .

2 Procedemos agora por indu¸c˜ao sobre k. Assumimos o teorema v´alido para k − 1 ≥ 1,

  

ou seja, existem sucessivas mudan¸cas de coordenadas que transformam o sistema

em

  k k k

  2 3 −1 +1

  ˙x = L(x) + g (x) + g (x) + · · · + g (x) + h (x) + O(|x| ),

  t t k k

  

onde x ∈ Ω k , g ∈ C para t = 2, · · · , k − 1, h ∈ ~ P e Ω k ´e uma vizinhan¸ca da

  −1 V −1 k

  

origem. Tome a mudan¸ca de coordenadas x = y + ξ (y), com y ∈ Ω k , onde escolhemos

  k k k k k k k k

  

ξ ∈ ~ P de modo que h = Ad ξ + g para algum g ∈ C . Al´em disso, Ω k ⊆ Ω k ´e

  V L −1 k

  

uma vizinhan¸ca da origem na qual Id + dξ (y) ´e invers´ıvel. Ent˜ao, observando que n˜ao alteram os termos de ordem menor

que k, temos o novo sistema

  k k k k k

  2 3 −1 +1

  ˙y = L(y) + g (y) + g (y) + · · · + g (y) + (h (y) − Ad ξ (y)) + O(|y| )

  L

  2 3 k −1 k k k k k k +1

  = L(y) + g (y) + g (y) + · · · + g (y) + (Ad ξ + g (y) − Ad ξ (y)) + O(|y| )

  L L k k k 2 3 −1 +1

  = L(y) + g (y) + g (y) + · · · + g (y) + g (y) + O(|y| ), com y ∈ Ω k , concluindo a prova.

  Defini¸c˜ ao 3.4.3. Para cada k ≥ 2, a equa¸c˜ao truncada de

  r r

  2 3 −1

  ˙y = L(y) + g (y) + g (y) + · · · + g (y) + g (y),

  k k onde g ∈ C , k = 2, · · · , r, ´e chamada uma forma normal de de ordem r.

  

Observa¸c˜ ao 3.4.4. Como a s´erie de Taylor para h em s˜ao conjugados no sentido de que suas respectivas s´eries de Taylor s˜ao conjugadas entre si. k

  

os espa¸cos complementares C ’s em , k = 2, · · · , r. Claramente, a forma normal

  k

  

n˜ao ´e ´ unica j´a que depende da escolha dos C ’s. O m´etodo do operador adjunto, mais

  k

  

conhecido como m´etodo de Belitskii pois foi introduzido por ele, consiste em tomar C

  k k k

como o complemento ortogonal de Ad ( ~ P ) segundo um produto interno definido em ~ P .

  L

  V V Vamos formalizar tal m´etodo a partir de agora. k

  Defini¸c˜ ao 3.4.5. Sejam p, q ∈ ~ P dados por

  V n n

  X X

  X X

  α α

  

p(x) = p αj x e j e q(x) = q αj x e j ,

  j j =1 |α|=k =1 |α|=k n

  onde p

  1

  • αj , q αj ∈ R, e j ´e o j−´esimo elemento da base canˆonica de V ≡ R e |α| = α

  k k

  · · · + α n . Definimos o produto interno h , i : ~ P × ~ P → R por

  V V n

  X X hp, qi = p αj q αj α!, (3.25)

  j =1

  |α|=k onde α! = α ! · · · α n !.

  1

2 Exemplo 3.4.6. Considere V = R e k = 3. Vamos calcular o produto interno das

  aplica¸c˜oes

  2

  2

  3

  3

  3

  3 p(x , x ) = (2x x + x x , x + 3x ) e q(x , x ) = (5x , x ).

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Colocando nas nota¸c˜oes da defini¸c˜ao do produto interno, temos (2,1) (1,2) (3,0) (0,3)

  

p(x) = (p x + p x , p x + p x )

  (2,1),1 (1,2),1 (3,0),2 (0,3),2 (3,0) (0,3)

  q(x) = (q (3,0),1 x , q (0,3),2 x ), onde p = 2, p = 1, p = 1, p = 3, q = 5 e q = 1. Ent˜ao

  (2,1),1 (1,2),1 (3,0),2 (0,3),2 (3,0),1 (0,3),2

  

hp, qi = p q 2!1! + p q 1!2! + p q 3!0! +

  (2,1),1 (2,1),1 (1,2),1 (1,2),1 (3,0),2 (3,0),2 +p q 0!3! + p q 3!0!.

  (0,3),2 (0,3),2 (3,0),1 (3,0),1

2 Agora, q ´e o coeficiente do termo x x e em q(x), ou seja, q = 0. Da mesma

  (2,1),1

  2 1 (2,1),1

  1

  maneira, q (1,2),1 = p (3,0),2 = p (3,0),1 = 0. Portanto, hp, qi = p q 0!3! = 18.

  (0,3),2 (0,3),2 k

  

omitir os passos aqui. Como ~ P tem dimens˜ao finita e admite um produto interno temos

  V k

  

ent˜ao garantida a existˆencia de um operador adjunto de Ad com respeito a que

  L k ∗

  

denotamos por (Ad ) . Mais do que isso, atrav´es do teorema abaixo, sabemos caracterizar

  L k ∗ (Ad ) . L k

  

Teorema 3.4.7. Sejam L : V → V um operador linear e Ad definido em Para

  L k k

  

cada k ≥ 2, Ad ∗ ´e o operador adjunto de Ad com respeito ao produto interno definido

  L L ∗ em onde L ´e o adjunto de L com respeito ao produto interno canˆonico em V. n n

  X X

  X X

  k α β

Demonstra¸c˜ao. Sejam p, q ∈ ~ P dados por p(x) = p x e e q(x) = q x e .

  αi i βj j

  V i =1 j =1 |α|=k |β|=k k k k

  Ad = p, Ad ∗ . De um lado, usando a linearidade de Ad Queremos mostrar que p, q q

  L L L

  e do produto interno temos

  n n

  X X

  X X

  k k α β

  Ad

p, q = Ad ( p αi x e i ), q βj x e j

  L L i =1 j =1 |α|=k |β|=k

  n n

  X X

  X X

  k α β

  = q βj p αi Ad (x e i ), x e j

  L j i =1 =1

  |β|=k |α|=k n

  X X

  k α β = p q Ad (x e ), x e . αi βj i j

  L i,j =1 |α|=|β|=k k

  

Do outro lado, usando a linearidade de Ad e do produto interno tamb´em temos

  L n

  X X

  k α k β

  L L i,j =1

  ∗ ∗ p, Ad q = p αi q βj x e i , Ad (x e j ) .

  |α|=|β|=k k k

  Assim, para provar a igualdade desejada, basta provarmos que Ad

  f, g = f, Ad ∗ g ,

  L L α β

onde f (x) = x e i e g(x) = x e j para todo i, j = 1, · · · , n e α, β tais que |α| = |β| = k.

  

Lembramos que vamos confundir os operadores L e df (x) com suas formas matriciais.

Escrevendo L = (a lm ) e levando em considera¸c˜ao que

  α α α

  1 2 α n α ∂x ∂x x · · · x x

  n

  1

  2

  = = α l ∂x l ∂x l x l

        · · · a a · · · a x

  11 12 1n

  1

          · · ·

   a a · · · a   x 

  21 22 2n

  2

          ... ... ...    

  α α α

  •       Ad f (x) = ∂x ∂x ∂x

  L

        · · ·   a i a i · · · a in x i

  k ... ... ... ...

  1

  2

       ∂x ∂x ∂x 

  1 2 n

        ... ... ... ... ...

  . .. ... ... ...       a n a n · · · a nn x n

  1

  2

  · · ·     a a · · · a

  11 12 1n

       a a · · · a   

  21 22 2n

          ... ... ... ...

  α

      −

  1

  2

          ... ... ... ... ...

      a i a i · · · a in x

      a n a n · · · a nn

  1

  2

       

  · · · α x a x 

  

  1 1i

        · · · α

     x   a x 

  2 2i

        ... ... ...

  n n n

        α α α ... ...

  X X

  X       x x x

  = −

  α

        a l α l a l α l · · · a ln α l

  1

  2

  x i aiix       x l x l x l

  l l l

   =1 =1 =1      ... ... 

    α x n a ni x

      

. ..

... ... ...

  

· · ·

!

  n n α

  α α

  X X x x m

  = α l a lm e i − (a x e + · · · + a ni x e n )

  1i

  1

  x

  l m l =1 =1

  !

  n n n α

  X X

  α

  X x x m

  = α a e − a x e

  l lm i li l

  x l

  m l =1 l =1 =1 t

  ∗

  

Como L = L segundo uma base ortonormal V com rela¸c˜ao ao produto interno de V

onde t denota a transposta, obtemos analogamente que

  k t t

  t Ad g(x) = dg(x)L x − L g(x)

  L

  !

  n n n β

  X X

  X x x l

  β = β m a lm e j − a jm x e m .

  x m

  l m =1 m =1 =1

  • n
    • =

  l =1

  β!, se i 6= j e α = β; 0, nos demais casos. Com rela¸c˜ao `a segunda linha de cada express˜ao temos α l a lm β! = α l a lm β

  ji

  β l a ll − a ii ! β!, se i = j e α = β; β l a lm α!, se i = j, α l = β l + 1, α m = β m − 1, e β s = α s para algum l 6= m e todo s 6= l, m; −a

  l =1

  X

  n

                         

  t g(x) = 

  k L

  α l a ll − a ii ! α!, se i = j e α = β; α l a lm β!, se i = j, β l = α l − 1, β m = α m + 1, e β s = α s , para algum l 6= m e todo s 6= l, m; −a ji α!, se i 6= j e α = β; 0, nos demais casos, e f(x), Ad

  X

  ! · · · β m ! · · · β n ! = α l a lm α

  n

  e j =                         

  β

  e n , x

  α

  e j + · · · + a ni x

  β

  , x

  1

  e

  α

  1

  1

  1i

  k L

  ⊥

  ))

  V

  k

  ( ~ P

  k L

  ) ⊕ (Ad

  V

  k

  ( ~ P

  = Ad

  ! · · · (α l − 1)! · · · (α m + 1)! · · · α n ! = (α m + 1)a lm α! = β m a lm α!. Portanto, segue que (Ad

  V

  k

  Assim sendo, segundo o produto interno , podemos escrever ~ P

  

, como desejado.

  k L

  t = Ad

  k L

  = Ad

  ∗

  )

  k L

  x

  e j − a

  Ad

  a li x

  α l a lm x

  m =1

  X

  l =1 n

  X

  n

  e j

  β

  e l , x

  α

  l =1

  x m

x

  X

  n

  x m x l ! e i −

  α

  α l a lm

x

  m =1

  X

  l =1 n

  X

  f (x), g(x) =

  k L

  α

  l

  β

  l =1

  x n x l e i , x

  α

  e j + · · · + α l a ln x

  β

  x l e i , x

  1

  x

  α

  x

  1

  α l a l

  X

  e i , x

  n

  e j =

  β

  e l , x

  α

  a li x

  l =1

  X

  n

  e j −

  β

  , k k k k k ⊥

  Ad ( ~ P ) = {g ∈ ~ P ; g, Ad f = 0, ∀ f ∈ ~ P }.

  L

  V V L

  V k k ⊥

  

Portanto, Ad ( ~ P ) ´e uma poss´ıvel escolha, proposta por Belitskii em , para o sub-

  L

  V k k k ⊥ k k

  t espa¸co C em . Mas se g ∈ Ad ( ~ P ) , ent˜ao

  g, Ad f = Ad

  g, f = 0 para

  L

  V L L k k k

  t t

todo f ∈ ~ P , o que implica em Ad g = 0, ou seja, g ∈ ker(Ad ). Reciprocamente, se

  V L L k k k ⊥

  t g ∈ ker(Ad ), ent˜ao g ∈ (Ad ( ~ P )) . Portanto,

  L L

  V k k ⊥ k

  L

  V L

  t Ad ( ~ P ) = ker(Ad ).

  Segue pelo Teorema ´e formalmente conjugado ao sistema

  k k

  2

  3

  t

˙x = L(x) + g (x) + g (x) + · · · , onde g ∈ ker(Ad ) para k ≥ 2. Portanto, o m´etodo

  L k k

  

da forma normal de Belitskii consiste em determinar solu¸c˜oes polinomiais g ∈ ~ P para a

  V k k

  t

equa¸c˜ao Ad g ≡ 0. Mostramos agora que, na pr´atica, este processo equivale a encontrar

  L

  t

os polinˆomios de um dado grau k sem termos constantes e lineares que est˜ao em ker Ad L ,

t onde Ad L ´e um operador linear definido em ~ P

  V , o espa¸co vetorial das aplica¸c˜oes poli- k k

  t t k nomiais em V, tal que Ad L | ~ = Ad . Para isso, note primeiramente que ~ P ⊂ ~ P

  V e L

  V P

  V que

  ∞

  

M

  k

  ~ ~ P

  V = P .

  V k =0

  Defini¸c˜ ao 3.4.8. Dado L um operador linear em V, definimos Ad L : ~ P

  V → ~ P V , chamado

  operador homol´ogico, por Ad L ξ(x) = dξ(x)L(x) − L(ξ(x)), (3.26) para todo ξ ∈ ~ P V .

  k

  k Como Ad L ´e linear e preserva a gradua¸c˜ao de ~ P

  V , temos que Ad = Ad L | ~ . Considere L P

  V

  2 3 r k k

  

um polinˆomio de grau r da forma g = g + g + · · · g , onde g ∈ ~ P , k = 2, · · · , r. Ent˜ao

  V k k

  t

t

g ∈ ker(Ad L ) se, e somente se g ∈ ker(Ad ). De fato, como

  L r r r r

  2

  2

  2

  2

  t t t t t t

Ad L g = Ad L (g + · · · + g ) = Ad L g + · · · + Ad L g = Ad g + · · · + Ad g ,

  L L k k

  2

  2

  t t t

  L L r r k k k k

  t t t · · · + Ad g ≡ 0, ent˜ao Ad g ≡ 0 para todo k = 2, · · · , r uma vez que Ad L g ∈ ~ P .

  L L

  V Assim, pelo m´etodo de Belitskii, uma forma normal de ordem r ´e obtida se determi-

  

narmos as solu¸c˜oes polinomiais ξ de grau r, sem constantes e termos lineares, da equa¸c˜ao

t

diferencial parcial (EDP) Ad L ξ ≡ 0. Mostraremos como isso ´e feito no pr´oximo exemplo.

  2 2 ∞

  

Exemplo 3.4.9. Considere o sistema ˙x = h(x), com h : R → R de classe C tal que

  0 1

  2

  1

  2

  1

  2

   

h(0) = 0 e L = dh(0) = . Seja ξ(x) = (ξ (x), ξ (x)) ∈ R , onde x = (x , x ) ∈

  0 0

2 R

  e ξ i s˜ao polinˆomios de grau r ≥ 2. Ent˜ao, por temos           ∂ξ ∂ξ

  1

  1

  (x) (x) 0 0 x 0 0 ξ (x)

  1

  1

   ∂x ∂x 

  1

  2

  t         Ad L ξ(x) =

  −   ∂ξ ∂ξ

  2

  2

  1 0 x 1 0 ξ (x) (x) (x)

  2

  2

  ∂x

  1 ∂x

  2

  1

    ∂ξ

  x (x)

  1

   ∂x 

  2 = .

  2

    ∂ξ

  x (x) − ξ (x)

  1

  1

  ∂x

  2

  2

  t

Como queremos Ad L ξ(x) = 0, para todo x ∈ R , nosso problema resume-se a encontrar

uma solu¸c˜ao para o sistema de EDP’s

   ∂ξ

  1

    x (x) = 0 

  1

  ∂x

  2

  (3.27) ∂ξ

  2

   

x (x) − ξ (x) = 0,

  1

  1

   ∂x

  2

  2

  para todo x ∈ R . Como a primeira equa¸c˜ao de deve valer para todo x

  1 ∈ R, temos

  ∂ξ

  1

  

necessariamente (x) = 0. Ent˜ao ξ ´e constante com rela¸c˜ao `a x e podemos escrever

  1

  2

  ∂x

  2

ξ (x) = ϕ(x ) + a, para alguma constante a ∈ R e alguma fun¸c˜ao polinomial ϕ : R → R.

  1

  1 Como queremos ξ 1 sem termos lineares e constantes, podemos escrever ξ 1 (x) = x 1 f 1 (x 1 ),

  

onde f (x ) ´e um polinˆomio de grau r − 1 sem termos constantes. Pela segunda equa¸c˜ao

  1

  1

  ∂ξ (x) ∂ξ (x)

  2 2

de , temos x − x f (x ) = 0, para todo x ∈ R, ou seja, = f (x ).

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  ∂x ∂x

  2

  2 Logo, ξ 2 (x) = f 1 (x 1 )x 2 + f 2 (x 1 ), onde f 2 (x 1 ) ´e um polinˆomio em x 1 de grau r sem termos

  

constantes e lineares. Portanto, uma forma normal de grau r para o sistema ˙x = h(x) ´e

      0 1 x x f (x)

  1

  1

  1

  •       ˙x = L(x) + ξ(x) =

  , 0 0 x x f (x ) + f (x )

  2

  2

  1

  1

  2

  1

     x ˙ = x + x f (x )

  1

  2

  1

  1

  1

    x ˙ = x f (x ) + f (x ).

  2

  2

  1

  1

  2

  1 3.4.2 O M´ etodo de Elphick et al. t

  Em geral n˜ao ´e f´acil determinar o kernel do operador Ad uma vez que isso envolve

  L

  

resolver uma EDP. Neste caso, a forma normal ´e truncada em uma baixa ordem pois

os c´alculos ficam mais complicados conforme a ordem aumenta. Uma alternativa a este

  k

  

m´etodo foi dada por Elphick et al. em ao mostrar que o subespa¸co complementar C

pode ser considerado como o m´odulo das aplica¸c˜oes polinomiais de V em V equivariantes

por um grupo de matrizes a um parˆametro, definido a partir da lineariza¸c˜ao L do campo

de vetores (Teorema . Isso ´e bastante confort´avel para n´os, pois podemos utilizar

as ferramentas da teoria invariante apresentada no Cap´ıtulo 2 para encontrar as formas

normais.

  ∞ i

  B

  X B

  Lembremos que se B ´e uma matriz quadrada, e = . Lembremos tamb´em que i!

  i =0

  

vamos confundir L = dh(0) com sua matriz de ordem n = dim V. Defina ent˜ao o grupo

abeliano t

  rL

  R = {e ; r ∈ R} ⊂ GL(n), (3.28) com L = dh(0), onde h em ´e um campo de vetores.

7 Como o fecho R ⊆ GL(n) ´e um subgrupo fechado, ent˜ao R ´e um grupo de Lie linear.

  Sendo assim, temos: Defini¸c˜ ao 3.4.10. Definimos o grupo de Lie S como t

  rL

  S = R = {e ; r ∈ R}. (3.29) Com c´alculos simples ´e poss´ıvel mostrar que como R ´e abeliano, ent˜ao S tamb´em ´e,

pois se P, Q ∈ S\R ent˜ao existem sequˆencias n˜ao constantes (X n ) n ∈N , (Y n ) n ∈N ⊂ R tais

7 Pela Proposi¸c˜ ao 2.11 de [26] se G ´e um grupo topol´ ogico e H ≤ G ´e um subgrupo, ent˜ao o fecho H tamb´em ´e um subgrupo de G.

  P Q = (lim X n )(lim Y n ) = lim(X n Y n ) = lim(Y n X n ) = lim(Y n ) lim(X n ) = QP. t

  t r L

  j Al´em disso, S comuta com a matriz L . De fato, se s ∈ S, ent˜ao s = lim e , para

  i

  r

  j i

  

alguma sequˆencia (r j ) j de n´ umeros reais. Da´ı, considerando s = , para todo i, j ∈ N,

  ∈N j

  i! temos

  ∞ ∞

  t

  X X

  t r L t i t i t i t i

  j

  • 1

  

sL = lim e L = lim( s (L ) )L = lim( s (L ) )

  j j i =0 i =0 ∞ ∞

  X X

  t i t i t i t i t

= lim(L s (L ) ) = L lim( s (L ) ) = L s.

j j i i

  =0 =0 A a¸c˜ao natural de S em V ´e dada pelo produto de matriz por vetor.

    0 1  

Exemplo 3.4.11. Vamos determinar o grupo S relativo `a matriz L = . Seja

  0 0   0 0

  t i

    B = rL = com r ∈ R. Ent˜ao, B ≡ 0 para todo i ≥ 2, ou seja, r 0  

  ∞ i

  B

  

X 1 0

B

  2

   

e = = I + B = ,

  i!

  i r 1 =0

  onde r ∈ R. Ent˜ao,

   

 

1 0

    R = ; r ∈ R .

 

r 1

  

Note assim que R ∼ = R e, portanto, R ´e fechado. Logo S = R. Uma ´ ultima observa¸c˜ao

acerca desse exemplo ´e que, como R n˜ao ´e limitado, ele ilustra o fato de que S definido

em n˜ao ´e necessariamente compacto.

  A proposi¸c˜ao abaixo est´a demonstrada em XVI, Proposition 5.7] e ser´a de grande

valia para as aplica¸c˜oes feitas no ´ ultimo cap´ıtulo desta disserta¸c˜ao. Ela determina uma

caracteriza¸c˜ao do grupo S quando L tem apenas autovalores puramente imagin´arios.

  

  

´e uma matriz nilpotente e N D = DN. Se os autovalores n˜ao nulos de L s˜ao puramente

imagin´arios, ent˜ao

  k

    T se N = 0 S =

  k

    R × T se N 6= 0,

  k rD

  

onde k ´e o n´ umero de autovalores algebricamente independentes de L, T = {e ; r ∈ R}

t

  rN e R = {e ; r ∈ R}. k k k

  

t

O lema a seguir mostra que C = ker Ad coincide com o espa¸co ~ P (S) das aplica¸c˜oes

  L

  V

polinomiais em V que s˜ao S−equivariantes. O Teorema devido a Elphick et al.

  , segue quase que imediatamente.

  k

  

Lema 3.4.13. Seja p ∈ ~ P para k ≥ 2 fixado. Seja L = dh(0) a parte linear do campo

  V k

  t de vetores h e considere o operador Ad definido em Ent˜ao,

  L

  t t d

  k rL −rL

  t (i) Ad p(x) = e p(e x)| r ;

  L =0

  dr

  k k k k

  t

(ii) ~ P (S) = ker Ad , onde ~ P (S) ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes p ∈ ~ P que s˜ao S-

  V L

  V V equivariantes.

  Demonstra¸c˜ao. (i) Vamos direto aos c´alculos: t t t t t t t d

  −rL rL t −rL rL −rL rL t rL

  e p(e x) = −L e p(e x) + e (dp)(e x)L e x dr t t t t

  rL t rL t rL −rL

  = e ((dp)(e x)L e x − L p(e x)) t t

  −rL k rL

  t = e Ad p(e x),

  L

  t

  t −rL

  

onde a segunda igualdade segue pois L comuta com e . Quando r = 0 segue que

t t d

  rL k −rL

  L

  t e p(e x)| r =0 = Ad p(x) como desejado.

  dr

8 Sejam F um subcorpo de C, V um espa¸co vetorial complexo de dimens˜ ao finita sobre F e T um

  

operador linear sobre V. Ent˜ao, T ´e semissimples se, e somente se, T ´e diagonaliz´ avel sobre C (veja Teorema 7, p´ agina 232]). t t

  k rL rL

  V

  todo r ∈ R. Por (i) t t d

  k rL −rL

  t Ad p(x) = e p(e x)| r

  L =0

  dr t t d

  −rL rL

  = e e p(x)| r

  =0

  dr d = p(x)| r = 0

  =0

  dr

  k k

  t t

para todo x ∈ V, de onde p ∈ ker Ad . Reciprocamente, se Ad p ≡ 0 ent˜ao, uma vez

  L L

  t t t t t t d d

  −rL k rL −rL rL −rL rL

  L

  t

que e Ad p(e x) = e p(e x), temos e p(e x) = 0 para todo x ∈ V.

  dr dr t t

  rL −rL

  

Isto implica que e p(e x) ´e constante com rela¸c˜ao `a r. Em especial, para r = 0 temos

t t t t

  rL rL rL −rL

  

e p(e x) = p(x), ou seja, e p(x) = p(e x), para todo x ∈ V. Portanto, p comuta

t

  r j L

  

com R. Por fim, se s ∈ S ent˜ao s = lim e , para alguma sequˆencia (r j ) j de n´ umeros

  ∈N

  reais e, portanto, t t t

  r L r L r L

  

j j j

p(sx) = p(lim e x) = lim p(e x) = lim e p(x) = sp(x)

para todo s ∈ S e x ∈ V, a segunda igualdade segue pois p ´e polinomial. Logo p ´e

  S-equivariante. Teorema 3.4.14. Seja S como definido em Ent˜ao, para k ≥ 2,

  k k k k

  ~

P = ~ P (S) ⊕ Ad ( ~ P ).

  V V L

  V k k

  t

Demonstra¸c˜ao. Como mostrado no lema anterior, ~ P (S) = ker Ad . Como pelo m´etodo

  V L k k k k k ⊥ k k ⊥ k

  t t t t

de Belitskii ~ P = Ad ( ~ P ) ⊕ (Ad ( ~ P )) , onde Ad ( ~ P ) = ker Ad , segue imediata-

  V L

  V L

  V L

  V L mente o resultado.

  Assim, pelo m´etodo de Elphick et al., uma forma normal de ordem r para o sistema

  k

´e dada por ˙x = L(x) + g (x) + · · · + g r (x), onde g k ∈ ~ P (S) para k = 2, · · · , r.

  2 V

  Portanto, este m´etodo nos permite usar ferramentas da teoria invariante de grupos na

determina¸c˜ao de uma forma normal de um sistema, uma vez que o processo se resume

na determina¸c˜ao dos geradores de grau k do m´odulo ~ P

  V (S). Neste caso, ´e poss´ıvel deter-

  

minar a forma normal em qualquer ordem que se deseje pois a dificuldade de encontrar

os geradores de ~ P

  V (S) independe da ordem. Ou seja, a determina¸c˜ao dos geradores

  

para exibir a forma normal truncada, basta truncarmos o polinˆomio neste grau. Essa ´e

uma diferen¸ca relevante entre as formas normais de Belitskii e de Elphick et al., j´a que a

primeira delas, por ter em seu processo o c´alculo de um sistema de EDP’s, muitas vezes

precisa ser determinada grau a grau.

  k

  Exemplificaremos o m´etodo de Elphick et al. a seguir. Denotemos por P (S) o espa¸co

  V k

  

dos polinˆomios homogˆeneos de grau k que s˜ao S−invariantes e por ~ P (S) o espa¸co das

  V aplica¸c˜oes polinomiais homogˆeneas de grau k que s˜ao S−equivariantes.

    0 1  

Exemplo 3.4.15. Considere o sistema onde L = dh(0) = . O grupo S

  0 0

  2

  

com rela¸c˜ao a esta matriz j´a foi calculado no Exemplo e considere-o agindo em R

pela multiplica¸c˜ao de matriz por vetor       1 0 x x

  1

  1

        = , r 1 x rx + x

  2

  1

  2

  2

  

para todo r ∈ R, (x , x ) ∈ R . Para calcularmos a forma normal deste sistema precisamos

  1

  2

  

encontrar os geradores dos equivariantes com rela¸c˜ao `a S, ou seja, precisamos determinar

  2

  2

uma base de Hilbert para P (S) e os geradores de ~ P (S) sobre este anel. Apesar de S

  R R

  2

  2

n˜ao ser compacto, ´e poss´ıvel estabelecer tais c´alculos desde que P R (S) e ~ P R (S) sejam

finitamente gerados.

  X

  j k i

  1

  2 R

  1

  2 i +j=k

2 Seja f k ∈ P (S) dado por f k (x , x ) = a ij x x , com a ij ∈ R. Supondo f k in-

  

variante com rela¸c˜ao `a S temos que f k (x , rx + x ) = f k (x , x ), para todo r ∈ R e

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  (x , x ) ∈ R , ou seja,

  1

  2 X

  X

  j i i j

  a ij x x = a ij x (x + rx ) .

  2

  1

  1

  2

  1 i i

  • j=k +j=k k

  

Como r ∈ R ´e qualquer, f k n˜ao pode depender de x . Assim f k (x , x ) = a k x , para algum

  2

  1

  2

  1 a k ∈ R. ∞

  M

  k k

  2

  2

  2

  R R k =0

  2 Tome agora f ∈ P R (S). Como P R (S) = P (S), existem f k ∈ P (S) para todo

  

f (x , x ) = f (x , x ) + f (x , x ) + f (x , x ) + · · ·

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  = a + a x + a x + · · ·

  1

  1

  2

  1

  = g(x

  1 ),

  

para alguma fun¸c˜ao polinomial g : R → R. Logo, {u(x , x ) = x } ´e uma base de Hilbert

  1

  2

  1

  2 para P R (S).

  k k

  2

  R

  1

  2 R

  2 Vamos calcular agora os geradores de ~ P (S). Seja p = (p , p ) ∈ ~ P (S). Ent˜ao,

  2

  sp(x) = p(sx), para todo s ∈ S e x ∈ R , de onde

s · (p (x , x ), p (x , x )) = (p (s · (x , x )), p (s · (x , x )))

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  ou seja,

(p (x , x ), rp (x , x ) + p (x , x )) = (p (x , rx + x ), p (x , rx + x )),

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  para todo r ∈ R e (x , x ) ∈ R . Ent˜ao

  1

  2

  p (x , x ) = p (x , rx + x ) (3.30)

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  p (x , x ) = p (x , rx + x ) − rp (x , x ). (3.31)

  2

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  1

  2 Para que a igualdade em seja v´alida, p deve ser independente de x , pois r ∈ R

  1

  2 k

  

´e qualquer. Como p ´e homogˆeneo de grau k, p (x , x ) = cx para algum c ∈ R.

  1

  1

  1

  2

  1 k

  Substituindo em temos p

  2 (x 1 , x 2 ) = p 2 (x 1 , rx 1 + x 2 ) − rcx . Diferenciando essa

  1

  ∂p

  2 k

  ultima equa¸c˜ao com respeito a r, obtemos 0 = ´ (x , rx + x )x − cx , ou seja,

  1

  1

  2

  1

  1

  ∂x

  2

  ∂p

  2 k −1

  (x

  1 , x 2 ) = cx (para r = 0). Portanto,

  1

  ∂x

  2 k k

  −1

  

p (x , x ) = cx x + dx ,

  2

  1

  2

  2

  1

  1

  para algum d ∈ R, pois p ´e homogˆeneo de grau k. Assim,

  2 k k k k k k −1 −1

  

p(x , x ) = (cx , cx x + dx ) = c(x , x x ) + d(0, x ),

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  1

  1

  1

  1 k k k k −1

  2 para c, d ∈ R. Ent˜ao h 1,k (x

  1 , x 2 ) = (x , x x 2 ) e h 2,k (x 1 , x 2 ) = (0, x ) geram ~ P (S) como R

  1

  1

  1

  

espa¸co vetorial sobre R para todo k ≥ 1. Para k = 0, p (x , x ) = a e p (x , x ) = b

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  

implica em a = 0. Como b ´e qualquer, p(x , x ) = b (0, 1) e da´ı h (x , x ) = (0, 1) gera

  1

  2

  1

  2

  ~

  R ∞

  2 P (S) sobre R.

  M

  k

  ~

  2

  2

  R R R k =0 k

  2 Seja agora g ∈ ~ P (S). Similarmente, vale que ~ P (S) = P (S) e, ent˜ao, para

  2 g k ∈ ~ P (S), temos

  R

  g(x , x ) = g (x , x ) + g (x , x ) + g (x , x ) + · · ·

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  = b (0, 1) + a (0, x ) + b (x , x ) + a (0, x ) + b (x , x x ) + · · ·

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  = b (0, 1) + a x (0, 1) + b (x , x ) + a x (0, 1) + b x (x , x ) + · · ·

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  = k (x )(0, 1) + k (x )(x , x ),

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  2

com a i , b i ∈ R e k , k ∈ P R (S), pois u(x , x ) = x constitui uma base de Hilbert para

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

o anel P R (S). Portanto, H (x , x ) = (0, 1) e H (x , x ) = (x , x ) geram ~ P R (S) sobre

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  R

  2 P (S).

  Pelo m´etodo de Elphick et al. temos que uma forma normal para o sistema ´e

  2

dada por ˙x = L(x) + g(x), onde g ∈ ~ P R (S) tem grau maior ou igual a 2 sem termos

constantes ou lineares, ou seja,

g(x) = u (x)(x , x ) + u (x)(0, 1),

  1

  1

  2

  2

  2

onde u , u ∈ P (S) s˜ao tais que u n˜ao tem termos constantes e u n˜ao tem termos

  1

  2 R

  1

  2

  constantes e lineares. Logo, uma forma normal ´e         x ˙ 0 1 x x f (x )

  1

  1

  1

  1

  1

  • +

            =

  , x ˙

  2 0 0 x 2 f 1 (x 1 )x 2 + f 2 (x 1 )

  que na forma de sistema torna-se    x ˙

  1 = x 2 + x 1 f 1 (x 1 )

    x ˙

  2 = x 2 f 1 (x 1 ) + f 2 (x 1 )

  

com f , f fun¸c˜oes polinomiais, sendo f sem termos constantes e f sem termos constantes

  1

  2

  1

  2

  

e lineares. Note que essa forma normal coincide com a encontrada no Exemplo

usando o m´etodo de Belitskii.

  2

  2 R

  R

  que

p(x , x )(0, 1) + q(x , x )(x , x ) ≡ 0,

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

com p, q ∈ P R (S). Ent˜ao, (q(x , x )x , p(x , x )+q(x , x )x ) ≡ 0, ou seja, q(x , x )x = 0

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  e p(x

  1 , x 2 ) + q(x 1 , x 2 )x 2 = 0 para todo (x 1 , x 2 ) ∈ R . Da primeira condi¸c˜ao segue que q ≡ 0 e, substituindo na segunda condi¸c˜ao, temos que p ≡ 0, como desejado.

3.5 Formas Normais Revers´ıveis Equivariantes

  Uma maneira de encontrar formas normais de sistemas que s˜ao revers´ıveis equivariantes

segundo a a¸c˜ao de um grupo de Lie compacto Γ ´e pelo m´etodo cl´assico de Belitskii ou

pelo m´etodo alg´ebrico de Elphick et al., impondo, no final do processo, as simetrias e as

antissimetrias do campo de vetores na forma normal predeterminada. Descrevemos nesta

se¸c˜ao um m´etodo alternativo, que ´e a vers˜ao revers´ıvel equivariante do Teorema

levando em considera¸c˜ao a teoria invariante para Γ e para S com base na abordagem

apresentada no Cap´ıtulo 2. Como sabemos, S n˜ao ´e necessariamente compacto, mas a

teoria continua v´alida se existirem conjuntos finitos de geradores para o anel de invariantes

P

  V (S) e para o m´odulo de equivariantes ~ P V (S) sobre P V (S).

  Nossa abordagem nesta se¸c˜ao baseia-se em . Seguindo o que viemos fazendo, a ideia

  k k k

  

´e reconhecer um subespa¸co complementar de Ad ( ~ P (Γ)) em ~ Q (Γ) — o espa¸co das

  L

  V V

  

aplica¸c˜oes polinomiais homogˆeneas Γ−revers´ıveis-equivariantes de grau k — e procurar

  k

  

os g ’s do Teorema em tal complementar. O m´etodo ´e puramente alg´ebrico e assim

como ocorreu na Subse¸c˜ao 3.4.2, o aparecimento do grupo de simetrias S culminar´a no

resultado principal, o Teorema

  Para o que segue, sejam Γ um grupo de Lie compacto agindo em um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita V , σ : Γ → Z

  2 um epimorfismo de grupos com Γ = ker σ e considere + ∞

  o sistema de equa¸c˜oes diferenciais de classe C com h(0) = 0 e h ∈ ~ Q V (Γ).

  A primeira observa¸c˜ao que fazemos ´e que se h ´e Γ-revers´ıvel-equivariante, ent˜ao L =

dh(0) tamb´em ´e. De fato, lembrando que confundimos γ ∈ Γ com sua representa¸c˜ao

(operador linear) ρ γ , temos que h(γx) = σ(γ)γh(x) para todo x ∈ V e γ ∈ Γ. Derivando

  

d´a dh(0)γ = σ(γ)γdh(0). Aplicando em x ∈ V segue que L(γx) = σ(γ)γL(x) para todo

x ∈ V e para todo γ ∈ Γ.

  Come¸camos com algumas propriedades preliminares do operador homol´ogico Ad L de-

finido em onde, de agora em diante, L = dh(0) ´e um operador Γ−revers´ıvel-

equivariante. Lema 3.5.1. O operador Ad L : ~ P

  V → ~ P V definido em permuta as parcelas da

  decomposi¸c˜ao ~ P

  V (Γ ) = ~ P

  • V (Γ) ⊕ ~ Q V (Γ) dada em

  Demonstra¸c˜ao. Seja g ∈ ~ P

  V (Γ) ⊂ ~ P V . Ent˜ao g(γx) = γg(x) de onde dg(γx)γ = γdg(x),

  para todo γ ∈ Γ, x ∈ V. Assim, Ad L g(γx) = dg(γx)L(γx) − L(g(γx))

  −1

  = γdg(x)γ σ(γ)γL(x) − L(γg(x)) = σ(γ)γdg(x)L(x) − σ(γ)γL(g(x)) = σ(γ)γ(dg(x)L(x) − L(g(x))) = σ(γ)γAd L g(x), para todo γ ∈ Γ, x ∈ V, ou seja, Ad L g ∈ ~ Q

  V (Γ). Agora, seja p ∈ ~ Q V (Γ). Ent˜ao p(γx) =

  2

  

σ(γ)γp(x) de onde dp(γx)γ = σ(γ)γdp(x). Lembrando que (σ(γ)) = 1, temos, para todo

x ∈ V e γ ∈ Γ, que Ad L p(γx) = dp(γx)L(γx) − L(p(γx))

  −1

  = σ(γ)γdp(x)γ L(γx) − L(σ(γ)γp(x))

  −1

  = σ(γ)γdp(x)γ σ(γ)γL(x) − σ(γ)L(γp(x))

  2

  

= γdp(x)L(x) − (σ(γ)) γL(p(x))

= γdp(x)L(x) − γL(p(x)) = γAd L p(x), ou seja, Ad L p ∈ ~ P

  V (Γ).

  Para o pr´oximo resultado lembramos que Γ − = Γ\Γ denota o conjunto das antissi- + metrias de Γ, ou seja, σ(δ) = −1 para todo δ ∈ Γ .

  −

  tivamente. Para todo p ∈ ~ P

  V (Γ ) ⊂ ~ P V temos

  • ~ S(Ad L (p)) = Ad L ( ~ R(p)).

  −1

  

Demonstra¸c˜ao. Seja δ ∈ Γ fixado. Ent˜ao σ(δ) = σ(δ ) = −1. Lembrando que L ´e

  −

  Γ−revers´ıvel-equivariante temos

  1

  −1

  Ad L ( ~ R(p))(x) = Ad L ( (p(x) + δ p(δx)))

  2

  1

  −1

  = (Ad L p(x) + Ad L (δ p(δx)))

  2

  1

  −1 −1

  = (Ad p(x) + (d(δ p(δx))L(x) − L(δ p(δx))))

  L

  2

  1

  −1 −1 −1

  = (Ad p(x) + (δ dp(δx)δL(x) − σ(δ )δ L(p(δx))))

  L

  2

  1

  −1 −1

  = (Ad L p(x) + (δ dp(δx)δL(x) + δ L(p(δx))))

  2

  1

  2 −1 −1

  = (Ad L p(x) + (σ(δ) δ dp(δx)δL(x) + δ L(p(δx))))

  2

  1

  −1

  = (Ad L p(x) + σ(δ)δ (dp(δx)σ(δ)δL(x) − L(p(δx))))

  2

  1

  −1

  = (Ad L p(x) − δ (dp(δx)L(δx) − L(p(δx))))

  2

  1

  −1

  = (Ad L p(x) − δ Ad L p(δx))

  2 = ~ S(Ad L p)(x), para todo x ∈ V e para todo p ∈ ~ P

  V (Γ ) e, portanto, segue o resultado. +

  Vamos mostrar agora que est´a bem definido um produto semidireto entre os grupos

de simetrias Γ e S, onde S ´e como em , bem como uma a¸c˜ao deste produto em V.

Considere o produto semidireto S ⋊ Γ munido da opera¸c˜ao (s , γ ) · µ (s , γ ) = (s µ(γ )(s ), γ γ ),

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  

para todo s , s ∈ S e γ , γ ∈ Γ, induzida pelo homomorfismo µ : Γ → Aut(S) definido

  1

  2

  1

  2

  por

  σ (γ)

  µ(γ)(s) = s ,

  − + −1

  

ent˜ao µ(γ)(s) = s , ou seja, µ(γ) ´e um automorfismo de S, para todo γ ∈ Γ. Mostremos

que µ ´e de fato um homomorfismo. Sejam γ

  1 , γ 2 ∈ Γ. Ent˜ao σ γ σ σ σ σ

  (γ

  1 2 ) (γ 1 )σ(γ 2 ) (γ 2 ) (γ 1 ) (γ 2 ) µ(γ

  1 γ 2 )(s) = s = s = (s ) = µ(γ 1 )(s ) = µ(γ 1 )(µ(γ 2 )s))

  = µ(γ ) ◦ µ(γ )(s),

  1

  2 para todo s ∈ S.

  Vejamos agora que a aplica¸c˜ao (S ⋊ Γ) × V → V (3.32)

  ((s, γ), v) 7−→ s(γv)

´e uma a¸c˜ao de S ⋊ Γ em V. De fato, pela Proposi¸c˜ao define uma

a¸c˜ao se a representa¸c˜ao de µ(γ)(s) ´e uma conjuga¸c˜ao. t t

  rL σ (γ)rL

  Primeiramente vejamos que γe = e γ para todo γ ∈ Γ e r ∈ R, pois, como Γ

  t −1

  

´e compacto, podemos supor que ele age ortogonalmente em V, ou seja, γ = γ . Sendo

assim temos

  t t t t t t t t −1

  −1

  γ L = γ L = (Lγ) = (σ(γ)γL) = σ(γ)L γ = σ(γ)L γ ,

  t t −1 −1

  

uma vez que L ´e Γ−revers´ıvel-equivariante. Logo, L = σ(γ) γ L γ para todo γ ∈ Γ,

  t −1 t

  ou seja, L = σ(γ)γ L γ. Agora, observe que

  t 2 −1 t −1 t

  

(L ) = (σ(γ)γ L γ)(σ(γ)γ L γ)

  t t 2 −1 −1

  

= σ(γ) γ L γγ L γ

  t 2 −1 2 = σ(γ) γ (L ) γ. t i i t i

  −1

  

Procedendo por indu¸c˜ao, temos que (L ) = (σ(γ)) γ (L ) γ. Tendo isso em m˜aos, segue

que

  ∞ ∞ ∞ t i t i i t i

  X X

  X t t

  (rL ) (rL ) (σ(γ)) (rL )

  rL σ (γ)rL

  γe = γ = γ = γ = e γ, (3.33) i! i! i!

  i =0 i =0 i =0 σ

  (γ)

  

para todo γ ∈ Γ, r ∈ R. Disto segue que γs = s γ para todo γ ∈ Γ, s ∈ S. De fato, seja

s ∈ S\R, onde R ´e como em . Ent˜ao existe uma sequˆencia (s n ) n inteiramente

  ∈N

  σ (γ)

  γs n = s γ, para todo γ ∈ Γ. Fixe γ ∈ Γ (arbitr´ario) e defina as fun¸c˜oes

  n

  ϕ : S → Gl(n) e ϕ : S → Gl(n)

  1

  2 σ

  (γ) s 7−→ γs s 7−→ s γ.

  

Ambas s˜ao claramente cont´ınuas, pois produto e invers˜ao de matrizes s˜ao cont´ınuas. Dessa

forma, ϕ (s) = ϕ (lim s n ) = lim ϕ (s n ) e ϕ (s) = ϕ (lim s n ) = lim ϕ (s n ) e, portanto,

  1

  1

  1

  2

  2

  2 σ σ

  (γ) (γ)

  γs = ϕ (s) = lim ϕ (s n ) = lim γs n = lim s γ = lim ϕ (s n ) = ϕ (s) = s γ,

  1 1 n

  2

  2 σ

  (γ) −1

  

onde a quarta igualdade segue pois s n ∈ R. Segue portanto que µ(γ)(s) = s = γsγ ,

ou seja, µ(γ)s ´e uma conjuga¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao ´e uma

a¸c˜ao do produto semidireto Γ ⋊ S em V, como desejado.

  Para os pr´oximos resultados, defina a aplica¸c˜ao linear ~ ⋆ : Γ × ~ P

  V → P

  V

  

(γ, g) 7−→ γ ⋆ g

  −1

  

por γ ⋆ g(x) = γ g(γx), para todo x ∈ V. Esta opera¸c˜ao define uma a¸c˜ao de Γ em ~ P

  V induzida pela a¸c˜ao de Γ em V.

  Defini¸c˜ ao 3.5.3. Fixado δ ∈ Γ , definimos π : ~ P

  V → ~ P V como

  Z Z

  1 π(p) = τ ⋆ pdτ − (δτ ) ⋆ pdτ , (3.34)

  2

  Γ Γ + +

  Z onde ´e a integral de Haar normalizada em Γ .

  • Γ +

  n

  Pela Observa¸c˜ao tal defini¸c˜ao faz sentido pois V ∼ para algum inteiro = R

  n n

  positivo n e, assim, ~ P

  V ⊂ C(R , R ). Mais especificamente, na defini¸c˜ao anterior, estamos

  integrando fun¸c˜oes f p , g p : Γ → ~ P

  V das formas f p (τ ) = τ ⋆ p e g p (τ ) = (δτ ) ⋆ p para

  • p ∈ ~ P V fixado, por´em arbitr´ario.

  k Para o pr´oximo lema vamos restringir π a ~ P e continuar denotando por π.

  V k k

  Lema 3.5.4. A aplica¸c˜ao π : ~ P → ~ Q (Γ) ´e uma proje¸c˜ao linear.

  V V

  − k k

  

opera¸c˜ao ⋆ s˜ao lineares. Al´em disso, se p ∈ ~ P ent˜ao π(p) tamb´em pertence a ~ P , uma vez

  V V

  

γ ⋆ p ´e tamb´em um polinˆomio homogˆeneo de grau k e a integral de Haar mant´em o grau

  k

  

desses polinˆomios (veja XVI, Lema 5.10]). Queremos mostrar que π(p) ∈ ~ Q (Γ), ou

  V k

  

seja, π(p)(γx) = σ(γ)γπ(p)(x) para todo p ∈ ~ P , x ∈ V. Mas isto ´e equivalente a mostrar

  V −1

  que σ(γ)γ π(p)(γx) = π(p)(x), para todo x ∈ V, ou seja, que σ(γ)γ ⋆ π(p) = π(p),

  k k

  

para todo p ∈ ~ P . Temos que τ ⋆ (γ ⋆ p) = (γτ ) ⋆ p, para todo p ∈ ~ P . De fato, dados

  V V

  τ, γ ∈ Γ,

  −1 −1 −1 −1

  τ ⋆ γ ⋆ p(x) = τ ⋆ (γ p(γx)) = τ (γ p(γτ x)) = (γτ ) p(γτ x) = γτ ⋆ p(x), (3.35) para todo x ∈ V. Ent˜ao, por e para todo γ ∈ Γ fixado (por´em arbitr´ario), temos Z Z

  1

  1 σ(γ)γ ⋆ π(p) = σ(γ)γ ⋆ τ ⋆ pdτ − (δτ ) ⋆ pdτ

  2

  2

  Γ Γ + +

  Z Z

  1 = σ(γ) γ ⋆ τ ⋆ pdτ − γ ⋆ (δτ ) ⋆ pdτ

  2

  Γ Γ + +

  Z Z

  1 = σ(γ) (τ γ) ⋆ pdτ − (δτ γ) ⋆ pdτ . (3.36)

  2

  Γ Γ + +

  

Se γ ∈ Γ , ent˜ao σ(γ) = 1 e pela invariˆancia `a direita da integral de Haar, a igualdade

  • torna-se Z Z

  1 σ(γ)γ ⋆ π(p) = τ ⋆ pdτ − (δτ ) ⋆ pdτ

  2

  Γ Γ + + = π(p).

  Se, por outro lado, γ ∈ Γ − = δΓ , ent˜ao σ(γ) = −1 e γ = δλ para algum λ ∈ Γ . + +

Como γ, δ est˜ao fixados, λ tamb´em est´a. Por I, Theorem 5.12], se ϕ : Γ → Γ ´e um

Z Z

  k

  

automorfismo ent˜ao f (γ)dγ = f ◦ ϕ(γ)dγ, para todo f : Γ → ~ P . Defina, ent˜ao

  V Γ Γ k

  

f , f : Γ → ~ P por f (τ ) = τ δλ ⋆ p, f (τ ) = δτ δλ ⋆ p e considere o automorfismo

  1

  2

  1

  2 V

  • , com λ, δ
  • . Logo, π(p) ∈ ~ Q

  ´e normalizada, π(p) =

  Γ +

  pdτ − Z

  Γ +

  2 Z

  1

  (δτ ) ⋆ pdτ =

  Γ +

  

τ ⋆ pdτ −

Z

  Γ +

  2 Z

  1

  Γ +

  1

  . Da´ı, por e lembrando que Z

  −

  para todo x ∈ V, uma vez que δ ∈ Γ

  −1 (δτ )p(x) = −p(x).

  

p(δτ x) = σ(δτ )(δτ )

  −1

  τ p(x) = p(x) e (δτ ) ⋆ p(x) = (δτ )

  −1

  p(τ x) = σ(τ )τ

  −1

  (Γ). Ent˜ao, se τ ∈ Γ

  −pdτ =

  2 Z

  k

  V

  k

  (S)) = ~ Q

  V

  k

  Lema 3.5.5. A proje¸c˜ao π definida em satisfaz π( ~ P

  V (Γ).

  k

  (Γ) ´e o operador identidade e, portanto, π ´e uma proje¸c˜ao sobre ~ Q

  V

  k

  (Γ). Pelo que mostramos acima, π restrita a ~ Q

  k

  Γ +

  ) = ~ Q

  V

  k

  ) e, assim, π( ~ P

  V

  k

  Ent˜ao, p ∈ π( ~ P

  dτ = p.

  Γ +

  pdτ = p Z

  Γ +

  pdτ + Z

  V

  Seja agora p ∈ ~ Q

  V (S ⋊ Γ). k k k

  (τ )dτ − Z

  Γ +

  ◦ ϕ(τ )dτ − Z

  1

  f

  Γ +

  2 Z

  1

  (τ )dτ = −

  2

  f

  Γ +

  1

  2

  f

  Γ +

  2 Z

  1

  (δτ δλ) ⋆ pdτ = −

  Γ +

  (τ δλ) ⋆ pdτ − Z

  Γ +

  2 Z

  1

  σ(γ)γ ⋆ π(p) = −

  −1

  f

  ◦ ϕ(τ )dτ = −

  V (Γ).

  2

  k

  ) ⊆ ~ Q

  V

  k

  , ou seja, π( ~ P

  V

  k

  (Γ), para todo p ∈ ~ P

  V

  k

  ∈ Γ

  τ ⋆ pdτ = π(p),

onde a pen´ ultima igualdade segue do fato da integral de Haar ser invariante `a direita e

`a esquerda por Γ

  1

  Γ +

  (δτ ) ⋆ pdτ + Z

  Γ +

  2 − Z

  1

  τ λ) ⋆ pdτ =

  2

  (δ

  Γ +

  (δτ λ) ⋆ pdτ − Z

  Γ +

  2 Z

  • , temos τ ⋆ p(x) = τ

  V V

  V k k k

  

Pelo lema anterior, como g ∈ ~ Q (Γ) ent˜ao g = π(g) ∈ π( ~ P (S)), ou seja, ~ Q (S ⋊ Γ) ⊆

  V V

  V k k k k

  

π( ~ P (S)). Por outro lado, seja p ∈ ~ P (S). Pelo lema anterior, como ~ P (S) ⊂ ~ P , temos

  V V

  V V k k k

  

que π(p) ∈ ~ Q (Γ). Se mostrarmos que π(p) ∈ ~ P (S) terminamos, pois ~ Q (S ⋊ Γ) =

  V V

  V k k

  ~

P (S) ∩ ~ Q (Γ). Precisamos ent˜ao mostrar que π(p)(sx) = sπ(p)(x), para todo x ∈ V e

  V V −1

  

s ∈ (S), ou seja, s π(p)(sx) = π(p)(x) para todo x ∈ V e s ∈ S. Mas isso ´e mostrar

  k

  

que s ⋆ π(p) = π(p) para todo p ∈ ~ P (S) e, de fato, isto ocorre. Primeiramente veja que,

  V σ

  (γ) −1

  como µ(γ)(s) = s = γsγ para todo γ ∈ Γ, s ∈ S, ent˜ao   γs = sγ, se γ ∈ Γ

  • −1

  − k

   γs = s γ se γ ∈ Γ .

  Assim, se τ ∈ Γ e usando que p ∈ ~ P (S), temos

  • V −1 −1 −1 −1

  

(τ s) ⋆ p(x) = (τ s) p(τ sx) = (sτ ) p(sτ x) = τ s sp(τ x) = τ ⋆ p(x) e

  −1 −1 −1 −1 −1 −1

  

(δτ s) ⋆ p(x) = (δτ s) p(δτ sx) = (s δτ ) p(s δτ x) = (δτ ) ss p(δτ x) = (δτ ) ⋆ p(x),

para todo x ∈ V, s ∈ S e para δ ∈ Γ fixado. Ent˜ao, usando segue, para cada

  −

  s ∈ S, Z Z 1 s ⋆ π(p) = s ⋆ τ ⋆ pdτ − δτ ⋆ pdτ

  2

  Γ Γ + +

  

Z Z

  1 = (τ s) ⋆ pdτ − (δτ s) ⋆ pdτ

  2

  Γ Γ + +

  Z Z

  1 = τ ⋆ pdτ − δτ ⋆ pdτ

  2

  Γ Γ + +

  = π(p), o que demonstra o resultado.

  k

  

Lema 3.5.6. Considere Ad definida em satisfaz

  L k k k k

  π(Ad ( ~ P )) = Ad ( ~ P (Γ)).

  L

  V L

  V k

  Demonstra¸c˜ao. Seja p ∈ ~ P . Para todo γ ∈ Γ temos

  V −1 −1

  

d(γ ⋆ p)x = d(γ pγx) = γ (dp)(γx)γ, Ad

  k L

  Γ

  )) ⊆ Ad

  V

  k

  ( ~ P

  k L

  (Γ) ter´ıamos π(Ad

  V

  k

  γ ⋆ pdγ ∈ ~ P

  Γ

  γ ⋆ pdγ , onde a ´ ultima igualdade segue do Teorema Agora, se Z

  Z

  ( ~ P

  k L

  (δγ) ⋆ pdγ = Ad

  Γ +

  γ ⋆ pdγ + Z

  Γ +

  1

  k L

  (δγ ⋆ p)dγ = Ad

  k L

  Ad

  Γ +

  k L

  k

  k L

  Γ

  γ ⋆ p(x)dγ,

  Γ

  γ ⋆ p(τ x)dγ = Z

  Γ

  Z

  −1

  γ ⋆ pdγ,

onde a segunda igualdade segue de e a pen´ ultima igualdade segue da invariˆancia

da integral de Haar `a direita, mostrando que τ

  Γ

  (γ)dγ =

Z

  p

  f

  f p (γτ )dγ = Z

  V

  Γ

  (γτ ) ⋆ pdγ = Z

  Γ

  τ ⋆ γ ⋆ pdγ = Z

  Γ

  γ ⋆ pdγ = Z

  Γ

  Dado τ ∈ Γ fixado, temos τ ⋆ Z

  V definido por f p (γ) = γ ⋆ p.

  k

  (Γ)). De fato, considere f p : Γ → ~ P

  (γ ⋆ p)dγ + Z

  Ad

  (γ ⋆ p)(x) = d(γ ⋆ p)(x)L(x) − L((γ ⋆ p)(x)) = γ

  −1

  

p = σ(γ)Ad

  k L

  p(x), para todo γ ∈ Γ, x ∈ V. Assim γ ⋆ Ad

  k L

  ((dp)(γx)L(γx) − L(p(γx))) = σ(γ)γ ⋆ Ad

  −1

  ((dp)(γx)σ(γ)γL(x) − L(p(γx))) = σ(γ)γ

  −1

  L(p(γx)) = σ(γ)γ

  −1

  (dp)(γx)γL(x) − σ(γ)γ

  γ

  (γ ⋆ p), para todo p ∈ ~ P

  2

  L(p(γx)) = (σ(γ))

  −1

  )γ

  −1

  (dp)(γx)γL(x) − σ(γ

  −1

  p(γx)) = γ

  −1

  (dp)(γx)γL(x) − L(γ

  −1

  k L

  k

  Γ +

  1

  2 Z

  1

  (δγ ⋆ p)dγ =

  k L

  σ(δγ)Ad

  Γ +

  (γ ⋆ p)dγ − Z

  k L

  σ(γ)Ad

  Γ +

  2 Z

  pdγ =

  V

  k L

  (δγ) ⋆ Ad

  Γ +

  pdγ − Z

  k L

  γ ⋆ Ad

  Γ +

  2 Z

  1

  p) =

  k L

  , de onde π(Ad

2 Z

  Z

  k k

  

para todo τ ∈ Γ, ou seja, γ ⋆ pdγ ∈ ~ P (Γ) como desejado. Ainda, se p ∈ ~ P (Γ) ent˜ao

  V V Γ

  −1 −1

  

γ ⋆ p(x) = γ p(γx) = γ γp(x) = p(x),

para todo x ∈ V, γ ∈ Γ, de onde para cada γ ∈ Γ temos Z Z Z

p = p · 1 = p dγ = pdγ = γ ⋆ pdγ,

  Γ Γ Γ k

  uma vez que a integral de Haar sobre Γ ´e normalizada. Logo, dado p ∈ ~ P (Γ) temos

  V Z k k k

  

Ad p = Ad ( γ ⋆ pdγ) = π(Ad p)

  L L L Γ k k k k k k

  

e, portanto, Ad ( ~ P (Γ)) ⊆ π(Ad ( ~ P )) uma vez que ~ P (Γ) ⊆ ~ P . Segue ent˜ao o resul-

  L

  V L

  V V

  V tado.

  O seguinte resultado ´e a vers˜ao revers´ıvel equivariante do Teorema Teorema 3.5.7. Seja S como definido em Para cada k ≥ 2 temos

  k k k k

  ~

Q (Γ) = ~ Q (S ⋊ Γ) ⊕ Ad ( ~ P (Γ)).

  V V L

  V k k k k

  

Demonstra¸c˜ao. Aplicando a proje¸c˜ao π na igualdade ~ P = ~ P (S) ⊕ Ad ( ~ P ) do Teorema

  V V L

  V k k k k

  

segue

  V V L

  V

  que

  k k k k

  ~ Q (Γ) = ~ Q (S ⋊ Γ) + Ad ( ~ P (Γ)).

  V V L

  V k k k

  

Resta mostrar ent˜ao que esta soma ´e direta. J´a sabemos que ~ Q (S ⋊ Γ) = ~ P (S) ∩ ~ Q (Γ)

  V V

  V k k k k k k

  

e, do Teorema que ~ P (S) ∩ Ad ( ~ P ) = {0}. Como ~ P (Γ) ⊆ ~ P temos ~ P (S) ∩

  V L

  V V

  V V k k k k k

  Ad ( ~ P (Γ)) = {0}, de onde segue que ~ Q (S⋊Γ)∩Ad ( ~ P (Γ)) = {0}, como desejado.

  L

  V V L

  V Toda a discuss˜ao dessa se¸c˜ao juntamente com o teorema anterior resulta no principal

  

resultado deste trabalho, que determina uma maneira alg´ebrica de encontrar uma forma

normal de um sistema revers´ıvel equivariante.

  Teorema 3.5.8. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em V e considere h ∈ ~ Q

  V (Γ)

  

com h(0) = 0 e L = dh(0). Seja S como em Ent˜ao a forma normal de ˙x = h(x)

´e dada por

  2

  3

  ˙x = L(x) + g (x) + g (x) + · · · , (3.37) k k

  V Demonstra¸c˜ao. Para cada k ≥ 2 fixado, considere a mudan¸ca de coordenadas pr´oxima `a k

  

identidade x = ξ(y) = y + ξ (y). Queremos que tal mudan¸ca de coordenadas preserve as

simetrias e antissimetrias do sistema, ou seja, se h ´e Γ-revers´ıvel-equivariante, ent˜ao f (y) =

  k −1

  

dξ(y) h(ξ(y)) dada em tamb´em ´e. Vamos mostrar que se ξ ´e Γ−equivariante,

isto acontece. Primeiro note que, neste caso, ξ tamb´em ´e Γ−equivariante. De fato,

  k k

  

ξ(γy) = γy + ξ (γx) = γ(y + ξ (x)) = γξ(y),

  −1

  

para todo γ ∈ Γ, y ∈ V. Logo, dξ(γy)γ = γdξ(y) e da´ı dξ(γy) = γdξ(y)γ , para todo

γ ∈ Γ, y ∈ V. Assim,

  −1

  f (γy) = (dξ(γy)) h(ξ(γy))

  −1 −1

  = (γdξ(y)γ ) h(γξ(y))

  −1 −1

  = γdξ(y) γ σ(γ)γh(ξ(y)) = σ(γ)γf (y),

mostrando que f em ´e Γ−revers´ıvel-equivariante. Al´em disso, j´a sabemos dos Lemas

  k k k k k k k

  

que Ad ( ~ P (Γ)) ⊂ ~ Q (Γ). Assim, Ad ξ ∈ ~ Q (Γ) e devemos considerar Ad

  L

  V V L

  V L k k

  

definido em

  V k k k

  est´a no subespa¸co complementar de Ad ( ~ P (Γ)) que ´e, neste caso, ~ Q (S ⋊ Γ).

  L

  V V

  No pr´oximo cap´ıtulo dedicamo-nos ao c´alculo das formas normais de sistemas Hamil-

tonianos revers´ıveis equivariantes segundo a a¸c˜ao de espec´ıficos grupos de Lie compactos.

  

CAP´ITULO 4

CAMPOS HAMILTONIANOS

REVERS´IVEIS EQUIVARIANTES

  Este cap´ıtulo ´e uma contribui¸c˜ao ao estudo local de sistemas Hamiltonianos revers´ıveis

equivariantes definidos em um espa¸co vetorial V de dimens˜ao finita em presen¸ca de duas

  

  

involu¸c˜oes lineare φ e ψ que agem como antissimetrias em V. Estes s˜ao casos particulares

de sistemas Hamiltonianos Γ-revers´ıveis-equivariantes. As involu¸c˜oes φ e ψ podem comu-

  φ ψ

  

tar ou n˜ao. No primeiro caso, elas geram o grupo Γ = Z × Z , onde uma componente

  2

  2

  

´e gerada por φ e a outra por ψ. No segundo caso, o grupo em a¸c˜ao ´e o diedral D , que ´e

  4 um dos dois grupos n˜ao abelianos com 8 elementos.

  No presente cap´ıtulo, tais sistemas tˆem a forma ˙x = X H (x) (4.1)

definido em um espa¸co vetorial V de dimens˜ao finita, onde X H (x) ´e um campo Hamilto-

niano como em e ´e revers´ıvel equivariante segundo um dos grupos Γ = Z

  2 , Γ = D

  4 φ ψ

  

ou Γ = Z ×Z , onde φ e ψ comutam entre si. Nosso objetivo aqui ´e ent˜ao aplicar a teoria

  2

  2

  

de formas normais apresentada na Se¸c˜ao para

  1

  2 Uma involu¸c˜ ao φ ´e uma aplica¸c˜ ao invers´ıvel que ´e igual ` a sua inversa, ou seja, φ = Id.

  φ

  4

  −1

  , respectivamente. Na Se¸c˜ao 4.2, o campo tem parte linear do tipo para o caso gen´erico, ou seja, αβ

  2

  ψ

  × Z

  2

  φ

  e Z

  / ∈ Q (caso gen´erico), α = β (caso 1 : 1) e qα − pβ = 0 com p, q ∈ Z, p 6= q (caso p : q). As Se¸c˜oes 4.2 e 4.3 s˜ao destinadas ao c´alculo de formas normais de campos Hamiltoni- anos revers´ıveis equivariantes segundo a a¸c˜ao de D

  × Z

  −1

  , (4.2) com α, β ∈ R, nos casos αβ

         

  0 −α 0 α 0 −β β

  

−revers´ıveis-equivariantes de campos Hamiltonianos com aproxima¸c˜ao linear do tipo

L =        

  2

  Z

  ψ

  / ∈ Q. Na Se¸c˜ao 4.3 o campo Hamiltoniano Z

  • revers´ıvel-equivariante tem parte linear M =    

  2

  , · · · , ω n s˜ao algebricamente independente

  1 , · · · , ω n s˜ao algebri- camente independentes.

  1

  1 ω

  1 , · · · , k n tais que k

  k

  Na Se¸c˜ao 4.4 vamos provar que existem, de fato, campos Hamiltonianos com as line- ariza¸c˜oes L e M dadas em , respectivamente.

  Lembremos que Γ

  

  1

  ω n −ω n                  , (4.3) onde ω

  1 . ..

  −ω

  1

  0 0 ω

               0 1

  2

  • denota o sub- grupo das simetrias de Γ e Γ − = Γ\Γ + .

2 Se M ´e uma matriz da forma (4.3), dizemos que M ´e ressonante se existem inteiros n˜ ao nulos

  • · · · + k n ω n = 0. Caso contr´ario, M ´e n˜ ao ressonante e ω

4.1 Formais normais Z -revers´ıveis-equivariantes

2 Nesta se¸c˜ao vamos calcular formas normais de sistemas Hamiltonianos Z -revers´ıveis-

  2

  equivariantes da forma , onde Γ = Z

  2 = {id, ˜ δ} age

  4

  em R como ˜ δ(x

  1 , x 2 , y 1 , y 2 ) = (−x 1 , x 2 , y 1 , −y 2 ). (4.4)

  

Consideramos aqui o epimorfismo σ : Γ → Z tal que ˜ δ ∈ Γ . ´ E facil ver que L em

  2 − anticomuta com ˜ δ, bastando tomar ˜ δ em sua forma matricial, ou seja, L˜ δ = −˜ δL.

  2

  4 Em alguns casos, ser´a mais f´acil trabalhar em C ao inv´es de R . Neste caso temos

  ˜ ∼ ∼

δ(z , z ) = (−z , z ), onde z = x + ix , x ) e z = y + iy , y ). Al´em disso,

  1

  2

  1

  2

  1

  1 2 = (x

  1

  2

  2

  1 2 = (y

  1

  2

  sobre o corpo dos n´ umeros complexos, L pode ser escrita como

 

αi

 

  L = , (4.5) βi que ´e uma matriz diagonal. Ent˜ao L ´e semissimples e seus autovalores s˜ao αi e βi.

4.1.1 Caso gen´ erico

  −1

  Comecemos com o caso em que αβ ∈ Q. Decompomos L como L = D + N , onde /

D = L ´e semissimples e N = 0 ´e nilpotente. Seus autovalores αi e βi s˜ao algebricamente

  −1

  independentes pois αβ ∈ Q. Pela Proposi¸c˜ao temos que o conjunto S definido /

  2

  1

  1

  

em ´e o toro T = S × S . Observe tamb´em que tal grupo age diagonalmente em

  4

  2

2 R = R × R .

  2

  4 Para o c´alculo da forma normal precisamos encontrar os geradores do m´odulo ~ Q R (T ⋊ Z

  2 ) das aplica¸c˜oes S ⋊ Z 2 −revers´ıveis-equivariantes e, para isso, utilizamos o Algoritmo

  2

  4

3.2.8. O primeiro passo ´e encontrar uma base de Hilbert para o anel P ((T ⋊ Z ) ),

  2 + R

  2

  2

  2

  4

  4

  4

  4

que coincide com P R (T × {id}) = P R (T ) ∩ P R ({id}) = P R (T ), e os geradores de

  2

  2

  ~

  4

4 P R (T ) sobre P R (T ). Pelo Exemplo 3.3.6, para n = 2 e escrevendo em coordenadas reais,

  2

  2

  2

  4

temos que uma base de Hilbert para P (T ) ´e {u , u } com u (x , x , y , y ) = x + x

  R

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  4

  4

e u (x , x , y , y ) = y + y . Pelo mesmo exemplo, ~ P R (T ) = P R (T ){H , H , H , H }

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  com

H (x , x , y , y ) = (x , x , 0, 0), H (x , x , y , y ) = (−x , x , 0, 0),

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2

  2

  1 Convencionamos ent˜ao S(u ) ≡ 1 e calculamos S(u ) e S(u ), para S definido em

  1

  2

  2

  2

  2

  

e δ = (s, ˜ δ) ∈ (T ⋊ Z ) = T ⋊ Z \T × {id}, onde escolhemos s = (0, 0) o elemento

  2 −

  2

  2

  neutro de S = T e ˜ δ ´e como em . Ent˜ao, δ(x , x , y , y ) = s(˜ δ(x , x , y , y )) = s(−x , x , y , −y ) = (−x , x , y , −y ), (4.6)

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  4

  

para todo (x , x , y , y ) ∈ R . Note que u e u s˜ao invariantes pela a¸c˜ao de δ. Ent˜ao, pelo

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  

item (ii) da Proposi¸c˜ao S(u ) = S(u ) ≡ 0. Fazemos agora H ij = S(u i )H j . Como

  1

2 S(u ) = S(u ) ≡ 0 resta-nos H = H j , para j = 0, 1, 2, 3. O ´ ultimo passo do Algoritmo

  1 2 0j

  e j = 0, 1, 2, 3. Veja que H (δ(x , x , y , y )) = H (−x , x , y , −y ) = (−x , x , 0, 0) = δ(x , x , 0, 0)

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  = δH (x , x , y , y ),

  1

  2

  1

  2 H 1 (δ(x 1 , x 2 , y 1 , y 2 )) = H 1 (−x 1 , x 2 , y 1 , −y 2 ) = (−x 2 , −x 1 , 0, 0) = δ(x 2 , −x 1 , 0, 0)

  = −δH (x , x , y , y ),

  1

  1

  2

  1

  2 H (δ(x , x , y , y )) = H (−x , x , y , −y ) = (0, 0, y , −y ) = δ(0, 0, y , y )

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  = δH

  2 (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ) e

  H (δ(x , x , y , y )) = H (−x , x , y , −y ) = (0, 0, y , y ) = δ(0, 0, y , −y )

  3

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1 = −δH (x , x , y , y ).

  3

  1

  2

  1

  2

  2

  2 Em outras palavras, H e H s˜ao T ⋊ Z -equivariantes e H e H s˜ao T ⋊ Z -revers´ıveis-

  2

  2

  1

  3

  2

  

equivariantes. Novamente pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao temos ~ S(H ) = ~ S(H ) ≡ 0,

  2

  ~ S(H

  1 ) = H 1 , e ~ S(H 3 ) = H 3 . Assim, pelo Algoritmo

  2

  2

  ~

  4

  R

  2 R

  2

  1

  3

4 Q (T ⋊ Z ) = P (T ⋊ Z ){H , H }.

  2

  4 ⋊ Z Precisamos ainda de uma base de Hilbert para o anel P R (T

  2 ). Como j´a temos

  2

  4

uma base para P ((T ⋊ Z ) ), que ´e dada por {u , u }, pelo Teorema basta

  2

  1 R 2 +

  

calcularmos R(u i ) e S(u i )S(u j ) com i, j = 1, 2 onde R e S s˜ao definidos em ,

respectivamente. Sabemos que S(u

  1 ) = S(u 2 ) ≡ 0 e, uma vez que u 1 , u 2 s˜ao invariantes

  

por Z , segue que R(u i ) = u i para i = 1, 2. Portanto {u , u } tamb´em ´e uma base de

  2

  1

  2

  2

4 R

  2

  2

  do sistema ´e ˙x = L(x) + f (x)H

  1 (x) + f 1 (x)H 3 (x),

  4

  2

  4

com x = (x , x , y , y ) ∈ R e f , f ∈ P (T ⋊ Z ), que em termos matriciais torna-se

  1

  2

  1

  2

  1 R

  2

            x ˙ 0 −α 0 x −x

  1

  1

  2

                      x ˙ α x x 

  2     2   1   

  1 (x) .

             y ˙

            = + f (x) + f

  1   0 −β   y 1     −y 2 

            y ˙ β y y

  2

  2

  1 Portanto, a forma normal procurada ´e

     x ˙

  1 = −αx 2 − x 2 f (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 )

         x ˙

  2 = αx 1 + x 1 f (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 )

  (4.7)   y ˙

  1 = −βy 2 − y 2 f 1 (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 )

         y ˙

  2 = βy 1 + y 1 f 1 (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ) ∞

  ∞

  X X

  i j

  2

  2

  2

  2

  2

  onde f

  • (x , x , y , y ) = a ij (x + x ) (y + y ) e f (x , x , y , y ) = b ij (x

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1 i i

  • j=1
  • j=1 i j

  2

  2

  2 x ) (y + y ) , com a ij , b ij ∈ R.

  2

  1

2 Esta mesma forma normal tamb´em foi obtida em [23], onde Martins usou o m´etodo

  

cl´assico desenvolvido por Belitskii sem impor a reversibilidade de Z , obtendo primeiro

  2

  uma pr´e-forma normal. Depois disso, Martins considerou a a¸c˜ao de Z

  2 para obter a forma

  

normal nos permite

impor a reversibilidade de Z desde o in´ıcio dos c´alculos.

  2

4.1.2 Caso 1:1

  Consideramos aqui o caso α = β e calculamos a forma normal Z -revers´ıvel-equivariante

  2

  

de . Para facilitar os c´alculos, vamos trabalhar

  2

  4

  

com C ao inv´es de R . Podemos escrever L = D + N, onde D = L ´e semissimples

  1

  2

  

dente, pois α = β. Pela Proposi¸c˜ao S = S e consideramos sua a¸c˜ao em C como

  iθ iθ

  2

  1

  θ(z

  1 , z 2 ) = (e z 1 , e z 2 ), para todo (z 1 , z 2 ) ∈ C , θ ∈ S .

  Para aplicarmos o Teorema precisamos dos geradores do m´odulo das aplica¸c˜oes

  1

  1

  2

  2

  2 S ⋊ Z −revers´ıveis-equivariantes sobre o anel P C (S ⋊ Z ). Sigamos novamente o Algo-

  1

  1

  1

  1

  2

  

2

  2

  2

  2 ⋊ Z ritmo Veja que P C ((S

  • 2 ) ) = P C (S × {id}) = P C (S ) ∩ P C ({id}) = P C (S )

  1

  1

  2

  2 e da mesma forma ~ P ((S ⋊ Z ) ) = ~ P (S ). Pelos Exemplos

  2 C + C

  2

  2

  u (z , z ) = |z | , u (z , z ) = |z | , u (z , z ) = Re(z z ), e u (z , z ) = Im(z z )

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  3

  1

  2

  1

  2

  4

  1

  2

  1

  2

  1

  2 formam uma base de Hilbert para P C (S ) e

H (z , z ) = (z , 0), H (z , z ) = (z , 0), H (z , z ) = (iz , 0), H (z , z ) = (iz , 0),

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  2 H (z , z ) = (0, z ), H (z , z ) = (0, z ), H (z , z ) = (0, iz ), e H (z , z ) = (0, iz )

  4

  1

  2

  1

  5

  1

  2

  2

  6

  1

  2

  1

  7

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 geram ~ P C (S ) sobre P C (S ).

  1

  1

  1

  1 , z 2 ) = (−z 1 , z 2 ), fixe δ = (0, ˜ δ) ∈ (S 2 ) − = S 2 \S × {id},

  ⋊ Z ⋊ Z Lembrando que ˜ δ(z

  1

onde 0 ´e o elemento neutro do grupo S . ´ E f´acil ver que u e u s˜ao invariantes por δ.

  1

  2 Agora,

  u

  3 (δ(z 1 , z 2 )) = u 3 (−z 1 , z 2 ) = Re(−z 1 z 2 ) = −Re(z 1 z 2 ) = −Re(z 1 z 2 ) = −u 3 (z 1 , z 2 ),

  2 ou seja, u ∈ Q (Z ). J´a u ´e invariante por δ, pois

  3 C

  2

  4 u (δ(z , z )) = u (−z , z ) = Im(−z z ) = Im(z z ) = u (z , z ).

  4

  1

  2

  4

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  4

  1

  2 Assim, por (ii) da Proposi¸c˜ao S(u ) = S(u ) = S(u ) ≡ 0, e S(u ) = u . Definindo

  1

  2

  4

  3

  3 S(u ) ≡ 1, constru´ımos H ij = S(u i )H j e calculamos ~ S(H ij ), para todo i = 0, · · · , 4,

  

j = 0, · · · , 7 com os operadores S e ~ S definidos em . Ent˜ao, faremos os c´alculos

apenas para H = H e H = u H com j = 0, · · · , 7, visto que H = 0 para i = 1, 2, 4.

  0j j 3j 3 j ij H (δ(z

  1

  3

  30

  ) = H

  2

  , z

  1

  (z

  , 0) K

  1

  1

  ) = (iz

  2

  , z

  1

  (z

  2

  (z

  

, z

  2

  (z

  1

  (z

  33

  ) = H

  2

  , z

  1

  4

  2

  , 0) K

  1

  )(z

  2

  z

  1

  ) = Re(z

  ) = H

  , z

  2

  = u

  2 (S

  ) sobre o anel P C

  2

  ⋊ Z

  1

  2 (S

  geradores do m´odulo ~ Q

  3j

  ⋊ Z

  ) = H

  3j

  ). Novamente pela Proposi¸c˜ao

~ S(H 3j ) = H 3j , para j = 0, 3, 5, 6 e ~ S(H 3j ) ≡ 0 para j = 1, 2, 4, 7. Dessa forma,

~ S(H i ) = H i e ~ S(H

  2

  2 (Z

  ∈ ~ P C

  7

  1

  2

  1

  1

  (z

  2

  , 0) K

  2

  ) = (z

  2

  , z

  (z

  ). Mais especificamente, K

  1

  ) = H

  2

  , z

  1

  (z

  1

  

, z

  ) = Re(z

  

, u

  )(0, z

  2

  , z

  1

  (z

  8

  ) K

  2

  2

  36

  z

  1

  ) = Re(z

  2

  

, z

  1

  (z

  ) = H

  (z

  ) = H

  ), geram ~ Q C

  ⋊ Z 2 ).

  1

  2 (S

  2 ) sobre P C

  ⋊ Z

  1

  2 (S

  1

  1

  )(0, iz

  2

  z

  1

  ) = Re(z

  2

  

, z

  35

  2

  1

  , z

  2

  , z

  1

  (z

  4

  ) = H

  2

  1

  1

  (z

  5

  , 0) K

  2

  )(iz

  2

  z

  ) = (0, z

  ) K

  , z

  , z

  1

  (z

  7

  ) K

  2

  ) = (0, iz

  2

  1

  6

  (z

  7

  ) = H

  2

  , z

  1

  (z

  3 H

  4

  , z

  2

  3

  , 0) = δH

  2

  , 0) = δ(iz

  2

  ) = (iz

  , z

  1

  1

  (−z

  3

  )) = H

  2

  , z

  1

  (z

  , z

  3

  )) = H

  2

  ) = (0, z

  2

  , z

  1

  (−z

  5

  2

  2

  , z

  1

  (δ(z

  5

  H

  4 (δ(z 1 , z 2 )) = H 4 (−z 1 , z 2 ) = (0, −z 1 ) = −δ(0, z 1 ) = −δH 4 (z 1 , z 2 ),

  ), H

  (δ(z

  ), H

  2

  1

  H

  1 (δ(z 1 , z 2 )) = H 1 (−z 1 , z 2 ) = (z 2 , 0) = −δ(z 2 , 0) = −δH 1 (z 1 , z 2 ),

  ), H

  2

  , z

  1

  , 0) = δH (z

  , 0) = δ(z

  (δ(z

  1

  ) = (−z

  2

  , z

  1

  )) = H (−z

  2

  2

  1

  2

  1

  , z

  1

  (z

  2

  , 0) = −δH

  1

  , 0) = −δ(iz

  ) = (−iz

  , z

  2

  , z

  1

  (−z

  2

  )) = H

  2

  ) = δ(0, z

  ) = δH

  3 H

  ). Portanto, novamente por

(ii) da Proposi¸c˜ao temos ~ S(H i ) ≡ 0 para i = 0, 3, 5, 6 e ~ S(H j ) = H j , para j =

1, 2, 4, 7. Agora, como S(u

  2

  2 (Z

  C

  ∈ Q

  3

  ) = u

  3

  2

  3 H , u

  2 (Z

  ∈ ~ Q C

  7

  , H

  4

  

, H

  2

  ) ent˜ao, pelo Lema temos u

  3 H

  1

  2

  , u

  2

  3 H

  , u

  1

  3 H

  ) e u

  2 (Z

  3

  ∈ ~ Q C

  6

  3 H

  , u

  5

  3 H

  , u

  , H

  ) e H

  5

  , z

  2

  , z

  1

  (−z

  6

  )) = H

  2

  1

  1

  (δ(z

  6

  ), H

  2

  , z

  1

  (z

  ) = (0, −iz

  ) = δ(0, iz

  2

  ou seja, H , H

  2 (Z

  ∈ ~ P C

  6

  , H

  5

  , H

  3

  7 (δ(z 1 , z 2 )) = H 7 (−z 1 , z 2 ) = (0, iz 2 ) = −δ(0, iz 2 ) = −δH 7 (z 1 , z 2 ),

  1

  ), H

  2

  , z

  1

  (z

  6

  ) = δH

3 H j para i = 1, 2, 4, 7 e j = 0, 3, 5, 6, determinam os

  1

  2 C

  2

  1

  1

  2

uma base de P C (S ), basta utilizarmos o Teorema tomando Γ = S . C´alculos

  • 1

  1 , u 2 e u 4 s˜ao invariantes e u 3 ´e anti-invariante pela a¸c˜ao de S

  ⋊ Z diretos mostram que u

  2

  

dada em . Ent˜ao R(u j ) = u j , R(u ) ≡ 0 ≡ S(u j ) e S(u ) = u para todo j = 1, 2, 4,

  3

  3

  3

  gra¸cas `a Proposi¸c˜ao Assim,

  2

  2

  2

  2

  u

  1 (z 1 , z 2 ) = |z 1 | , u 2 (z 1 , z 2 ) = |z 2 | , u 4 (z 1 , z 2 ) = Im(z 1 z 2 ) e (u 3 (z 1 , z 2 )) = (Re(z 1 z 2 ))

  1

  C

  2 comp˜oem uma base de Hilbert para P (S ⋊ Z ), segundo o Teorema

  2 Portanto, uma forma normal Z -revers´ıvel-equivariante para o sistema em que

  2

  α = β na lineariza¸c˜ao L ´e dada por

  8 X

  

˙z = L(z) + f j (z)K j (z),

  j =1

  2

  1

  2 ⋊ Z

com z = (z , z ) ∈ C e f j ∈ P C (S ) para j = 1, · · · , 8. Lembrando que L pode ser

  1

  2

  2

  escrita como , uma forma normal para o sistema em quest˜ao ´e ent˜ao    z ˙

  1 = αiz 1 + f 1 (z 1 , z 2 )z 2 + f 2 (z 1 , z 2 )iz 1 + f 3 (z 1 , z 2 )Re(z 1 z 2 )z 1 + f 4 (z 1 , z 2 )Re(z 1 z 2 )iz

  2

    z ˙

  2 = βiz 2 + f 5 (z 1 , z 2 )z 1 + f 6 (z 1 , z 2 )iz 2 + f 7 (z 1 , z 2 )Re(z 1 z 2 )z 2 + f 8 (z 1 , z 2 )Re(z 1 z 2 )iz

  1

  onde f t com t = 1, · · · , 8 ´e da forma

  ∞

  X

  i j k l

  2

  2

  2

  

f (z , z ) = a (|z | ) (|z | ) (Im(z z )) ((Re(z z )) ) ,

  t

  1 2 ijkl

  1

  2

  1

  2

  1

  2 i

  • j+k+l=1 com a ∈ R.

  ijkl

4.1.3 Caso p : q

  Suponha agora que existam p, q ∈ Z, tais que qα − pβ = 0. Sem perda de generalidade q

podemos supor que p e q s˜ao primos entre si. Ent˜ao β = α e reescrevemos L em

p como  

  αi   L = . (4.8) q

  αi p

  1

  1

  2

  

grupo do c´ırculo S . Para determinar uma a¸c˜ao apropriada de S em C , determinemos

  

  como pode ser escrito o grupo S. Pela defini¸c˜ao de R dada em      

  R θ q  

R = ; θ ∈ R e ∈ Q .

p  q 

  R

  θ

  p

  2 Por Se¸c˜ao 6.1, Exemplo 5] temos que R ´e fechado e compacto em T

  e, portanto, R = S. Note que, por meio de um isomorfismo de grupos, podemos considerar       R pθ

  1

  ∼   S = ; θ ∈ R = S  

  R qθ

  2

  

de modo que S age em C como produto de matriz por vetor, ou seja, θ(z , z ) =

  1

  2 piθ iqθ 2 (e z , e z ), para todo θ ∈ R, (z , z ) ∈ C .

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2 ⋊ Z Novamente, usamos o Algoritmo Como P C ((S

  2 ) ) = P C (S ), bem como +

  1

  1

  ~

  2

  2 C + C q p q p

2 P ((S ⋊ Z ) ) = ~ P (S ), j´a obtivemos pelos Exemplos 2.2.7 e 2.3.7 que

  2

  2

  u (z , z ) = |z | , u (z , z ) = |z | , u (z , z ) = Re(z z ) e u (z , z ) = Im(z z )

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  3

  1

  2

  4

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 formam uma base de Hilbert para o anel dos invariantes P C (S ) e que as aplica¸c˜oes

  q −1 p q −1 p

  

H (z , z ) =(z , 0), H (z , z ) = (iz , 0), H (z , z ) = (z z , 0), H (z , z ) = (iz z , 0),

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2

  1

  2 q p q p −1 −1

  

H (z , z ) =(0, z ), H (z , z ) = (0, iz ), H (z , z ) = (0, z z ) e H (z , z ) = (0, iz z )

  4

  1

  2

  2

  5

  1

  2

  2

  6

  1

  2

  7

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  C C

  2 comp˜oem um conjunto de geradores para o m´odulo ~ P (S ) sobre o anel P (S ).

  

J´a vimos na subse¸c˜ao anterior que u e u s˜ao invariantes por δ = (0, ˜ δ), cuja a¸c˜ao

  1

  2

tamb´em ´e dada por .

  1

  2 Vejamos o que ocorre com u e u . Temos que

  3

  4 q p q q p

  

u (δ(z , z )) = u (−z , z ) = Re((−z ) z ) = Re((−1) z z )

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  

  q p

    Re(z z ), se q ´e par

  2

  1

  =

  q p

    −Re(z z ), se q ´e ´ımpar

  2 t

  1

  3 rL Basta calcular e , com r ∈ R e considerar θ = rα.

     S(u ) ≡ 0, se q ´e par

  3

   

S(u ) = u , se q ´e ´ımpar.

  3

3 Fazendo a mesma an´alise para u temos que

  4

     S(u ) = u , se q ´e par

  4

  4

   

S(u ) ≡ 0, se q ´e ´ımpar.

4 Convencionando S(u ) ≡ 1, vamos calcular H ij = S(u i )H j e depois ~ S(H ij ), com i =

  

  0, · · · , 4 e j = 0, · · · , 7. Mas antes note qu H (δ(z , z )) = H (−z , z ) = (−z , 0) = δH (z , z ),

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2 H (δ(z , z )) = H (−z , z ) = (−iz , 0) = −δH (z , z ),

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  2

     δH (z , z ), se q ´e par

  2

  1

  2 q p −1

  

H (δ(z , z )) = H (−z , z ) = ((−z ) z , 0) = ,

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

    −δH (z , z ), se q ´e ´ımpar

  2

  1

  2

     −δH (z , z ), se q ´e par

  3

  1

  2 q p −1

  

H (δ(z , z )) = H (−z , z ) = (i(−z ) z , 0) = ,

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2

    δH (z , z ), se q ´e ´ımpar

  3

  1

  2 H (δ(z , z )) = H (−z , z ) = (0, z ) = δH (z , z ),

  4

  1

  2

  4

  1

  2

  2

  4

  1

  2 H (δ(z , z )) = H (−z , z ) = (0, iz ) = −δH (z , z ),

  5

  1

  2

  5

  1

  2

  2

  5

  1

  2

     δH (z , z ), se q ´e par

  6

  1

  2 p q −1

  

H (δ(z , z )) = H (−z , z ) = (0, (−z ) z ) = ,

  6

  1

  2

  6

  1

  2

  1

  2

    −δH (z , z ), se q ´e ´ımpar

  6

  1

  2

     −δH (z , z ), se q ´e par

  7

  1

  2 p q H (δ(z , z )) = H (−z , z ) = (0, i(−z ) z ) = .

  7

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2

    δH (z , z ), se q ´e ´ımpar

  7

  1

  2

  1

  1

  2

  4 C

  1

5 C isso, vamos dividir nos casos: q par e q ´ımpar.

  

2

Assim sendo, H , H ∈ ~ P (S ), H , H ∈ ~ Q (S ) e os demais casos dependem de q. Por

  (i) q ´e par.

  4

  1

  4

  5 Para as aplica¸c˜ oes H , H , H e H as contas j´ a foram feitas na subse¸c˜ ao anterior, l´ a denotadas por

  2

  5

  7 H , H , H e H , respectivamente.

  1

  2

  3

  4

  4 S(u i )H j temos apenas os elementos H = H j e H = u H j para j = 1, · · · , 7. Como q ´e 0j 4j

  4

  1

  1

  2

  2 par, da an´alise anterior segue que H

  2 , H 6 ∈ ~ P C (S ) e H 3 , H 7 ∈ ~ Q C (S ). Pela Proposi¸c˜ao

  1

  2

temos ~ S(H j ) ≡ 0 para todo j = 0, 2, 4, 6, pois nestes casos H j ∈ ~ P (S ). Al´em

  C

  1

  2

disso, ~ S(H j ) = H j se j = 1, 3, 5, 7, pois estes pertencem `a ~ Q C (S ). Pelo Lema

  1

  1

  2

  2 temos que u

  4 H k ∈ ~ Q C (S ) se k = 0, 2, 4, 6 e u

  4 H j ∈ ~ P C (S ) se j = 1, 3, 5, 7. Ent˜ao,

  

novamente pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao temos S(u )H k = u H k e ~ S(u H j ) ≡ 0

  4

  4

  4

  

para todo k = 0, 2, 4, 6 e j = 1, 3, 5, 7. Portanto, pelo Algoritmo as aplica¸c˜oes

  1

  1

  ~

  2

  4 H k ) = u

  4 H k geram ~ Q C (S ) sobre P C (S ), para k = 0, 2, 4, 6 e j = 1, 3, 5, 7. Ou seja,

2 S(u

  as aplica¸c˜oes

  q −1 p q p

  

K (z , z ) = (iz , 0), K (z , z ) = (iz z , 0), K (z , z ) = Im(z z )(z , 0),

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2 q p q p q p

  −1 −1

  K

  4 (z 1 , z 2 ) = Im(z z )(z z , 0), H 5 (z 1 , z 2 ) = (0, iz 2 ), K 6 (z 1 , z 2 ) = (0, iz z ),

  1

  2

  1

  2

  1

  2 q p q p q p −1

  

K (z , z ) = Im(z z )(0, z ), K (z , z ) = Im(z z )(0, z z )

  7

  1

  2

  2

  8

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2 ⋊ Z ⋊ Z geram ~ Q C (S ) sobre P C (S ).

  2

  2

  2 ). Considere

  2 Para a forma normal, resta encontrar uma base de Hilbert para P C (S⋊Z

  

R e S como definidos em , respectivamente. Sabemos que S(u j ) ≡ 0 se

j = 1, 2, 3 e S(u ) = u . Portanto, R(u j ) = u j se j = 1, 2, 3 e R(u ) ≡ 0. Logo, o Teorema

  4

  4

  4

  nos d´a que

  q p q p

  2

  2

  2

  2

  

u (z , z ) = |z | , u (z , z ) = |z | , u (z , z ) = Re(z z ), (u (z , z )) = (Im(z z ))

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  3

  1

  2

  4

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

⋊ Z

formam uma base de Hilbert para P C (S ).

  2 Portanto, se q ´e par, uma forma normal Z -revers´ıvel-equivariante para ´e dada

  2

  por

  8 X

  ˙z = L(z) + f j (z)K j (z), (4.9)

  j =1

  2

  1

  1

  2

  2 ⋊ Z ⋊ Z

com z = (z , z ) ∈ C , f j ∈ P C (S ) e K j os geradores de ~ Q C (S ) para

  1

  2

  2

  2

  

  p q

  

  q p −1

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  2

  1

  2

  1

     

   z ˙ = αiz + f (z , z )iz + f (z , z )iz z + f (z , z )Im(z z + )z 

  q p

   p q

  −1

    +f (z , z )Im(z z )z z

  4

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  

q q q

  p p −1

   

z ˙ = αiz + f (z , z )iz + f (z , z )iz z + f (z , z )Im(z + z )z

  2

  2

  5

  1

  2

  2

  6

  1

  2

  2

  7

  1

  2

  2

  2

  

  1

  1

   p    

  q q p p −1

   

  • f

  8 (z 1 , z 2 )Im(z z 2 )z z 2 .

  1

  1

  onde os f t ’s s˜ao da forma

  ∞

  X

  i j q p k q p l

  2

  2

  2

  

f t (z , z ) = a ijkl (|z | ) (|z | ) (Re(z z )) ((Im(z z )) ) ,

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  1

  1 i

  • j+k+l=1 com a ijkl ∈ R.

  (ii) q ´e ´ımpar. Neste caso, S(u ) = S(u ) = S(u ) ≡ 0 e S(u ) = u . Logo, consideramos apenas

  1

  2

  4

  3

  3 H = H j e H = u H j para j = 1, · · · , 7. Procedendo como no caso anterior, temos 0j 3j

  3

  ~ S(H ) = ~ S(H

  3 ) = ~ S(H 4 ) = ~ S(H 7 ) = ~ S(H 31 ) = ~ S(H 32 ) = ~ S(H 35 ) = ~ S(H 36 ) ≡ 0,

  ~

S(H j ) = H j se j = 1, 2, 5, 6 e ~ S(H ) = H se k = 0, 3, 4, 7. Portanto, pelo Algoritmo

  3k 3k

  temos que as aplica¸c˜oes

  q p q p −1

  K

  1 (z 1 , z 2 ) = (iz 1 , 0), K 2 (z 1 , z 2 ) = (z z , 0), K 3 (z 1 , z 2 ) = Re(z z )(z 1 , 0),

  1

  2

  1

  2 q p q p q p

  −1 −1

  

K (z , z ) = Re(z z )(iz z , 0), K (z , z ) = (0, iz ), K (z , z ) = (0, z z ),

  4

  1

  2

  5

  1

  2

  2

  6

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 q p q p q p −1

  

K (z , z ) = Re(z z )(0, z ), K (z , z ) = Re(z z )(0, iz z )

  7

  1

  2

  2

  8

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2 ⋊ Z ⋊ Z geram ~ Q C (S

  2 ) sobre P C (S 2 ).

  Como R(u ) = u , R(u ) = u e para q ´ımpar tamb´em temos R(u ) ≡ 0 e R(u ) = u ,

  1

  1

  2

  2

  3

  4

  4

  ent˜ao S(u ) = S(u ) = S(u ) ≡ 0 e S(u ) = u de onde, pelo Teorema segue que

  1

  2

  4

  3

  3 q p q p

  2

  2

  2

  2

  u

  1 (z 1 , z 2 ) = |z 1 | , u 2 (z 1 , z 2 ) = |z 2 | , (u 3 (z 1 , z 2 )) = (Re(z z )) e u 4 (z 1 , z 2 ) = Im(z z )

  1

  2

  1

  2

  1

  2 formam uma base de Hilbert para P C (S ⋊ Z ).

  2 Portanto, para q ´ımpar, uma forma normal Z -revers´ıvel-equivariante para ´e dada

  2

  

  p q

  

  q p −1

    z ˙ = αiz + f (z , z )iz

  • f (z , z )z z + f (z , z )Re(z z )z

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  2

  1

  2

  1

       q p

  p q −1

    +f (z , z )Re(z z )iz z

  4

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  

q q q

  p p −1

    z ˙ = αiz + f (z

  • , z )iz + f (z , z )z z + f (z , z )Re(z z )z

  2

  2

  5

  1

  2

  2

  6

  1

  2

  2

  7

  1

  2

  2

  2

  

  1

  1

   p    

  q q p p −1

   

  • f

  8 (z 1 , z 2 )Re(z z 2 )iz z 2 ,

  1

  1

  onde os f t ’s s˜ao da forma

  ∞

  X

  q q i j p p l 2 2 2k

  f t (z

  1 , z 2 ) = a ijkl (|z 1 | ) (|z 2 | ) (Re(z z 2 )) (Im(z z 2 )) ,

  1

  1 i

  • j+k+l=1 para todo t = 1, · · · , 8 com a ijkl ∈ R.

4.2 Forma normal D −revers´ıvel-equivariante para o

  4 caso gen´ erico.

  Nesta se¸c˜ao vamos calcular uma forma normal para o sistema Hamiltoniano

  −1

  com parte linear L como em , para o caso em que αβ ∈ Q e X / H ´e D

  4 -revers´ıvel-

  2

  3

  2

  3

  

equivariante. Para isso, consideramos o grupo diedral D = {id, r, r , r , s, sr, sr , sr },

  4

  4 2 −1 onde r = s = id e rs = sr , que ´e um grupo de Lie linear pois ´e finito.

  Considere G = hφ, ψi um grupo n˜ao-comutativo de difeomorfismos cujos geradores s˜ao

  2

  2

  

involu¸c˜oes tais que (φψ) = (ψφ) e φ(0) = ψ(0) = 0. Por Lema 2.18] temos que G ´e

isomorfo ao grupo diedral D — o grupo de simetrias do quadrado. Para ver isto, basta

  4

  considerar o isomorfismo T : D

  4 → G definido por

T (r) = φψ e T (s) = ψ.

  

Pelo Teorema de Montgomery-Bochner citado em Corol´ario

  ′

  

2.20], se G ´e o grupo linearizado correspondente a G, dado pelo Teorema de Montgomery-

  ′

  Bochner, ent˜ao G tamb´em ´e isomorfo a D

  4 . Por fim, Martins mostra em Corol´ario

  4

  4

  

2.25] que se um campo de vetores X : R → R ´e D -revers´ıvel-equivariante, onde r e

  4 G j -revers´ıvel-equivariante para algum dos grupos G j dados por G

  1 = hA, B 1 i , G 2 = hA, B 2 i , G 3 = hA, B 3 i

  

G = hA, B i , G = hA, B i , G = hA, B i ,

  4

  4

  5

  5

  6

  6

  onde

 

−1 0

 

  

 

 1 

 

  A =

 

0 −1 0

 

  

 

  1 e       −1 0 −1 0 0 0

  1 0 0             −1 1 0 0 0 −1 0 0            

  

B = , B = , B = ,

  1

  2

  3

        1 0 0 1 0 1            

  0 −1 0 1 0 1 0

     

0 1 0 0 0 1 0 1

     

  

     

1 0 0 0 1 0 1 0

     

     

  B

  4 = , B 5 = , B 6 =

  

     

 0 0 0 1   0 0 −1 0   0 0 −1 

     

0 0 1 0 0 0

  1 0 0 −1

  4 agem como antissimetrias em R .

  Vamos assumir aqui que o campo X H em ´e G

  1 -revers´ıvel-equivariante, onde A e

  

B s˜ao antissimetrias de G . Note que, de fato, L em anticomuta com A e B , ou

  1

  1 1 seja, L ´e G -revers´ıvel-equivariante.

  1 −1

  Suponha que αβ ∈ Q. Vamos mostrar agora que a forma normal G /

  1 -revers´ıvel-

  

equivariante de coincide com a forma normal Z −revers´ıvel-equivariante obtida na

  2 Subse¸c˜ao 4.1.1.

  • , que de- notamos aqui simplesmente por Γ
  • = {id, γ

  

em para determinar tal conjunto de geradores, precisamos

primeiro de uma base de Hilbert para P R

  4

  . Para calcularmos a forma normal, precisamos de um con- junto de geradores para ~ Q R

  4 (S⋊G

  1 ) sobre o anel P R

  4 (S⋊G

  1 ), onde S ´e determinado como

  4 (S ⋊ Γ

  2

  4 (S ⋊ Γ + ) sobre P R

  4 (S ⋊ Γ + ), uma vez que, assumindo S como um grupo de simetrias, temos (S ⋊ G

  1

  ) = S ⋊ Γ

  Come¸camos lembrando que o grupo S para o caso gen´erico j´a foi obtido na Subse¸c˜ao 4.1.1, sendo S = T

  2

  . Se f ∈ P R

  ) ∈ R

  , y

  2

  , y

  , y

  2

  

) = (−x

  1

  , −x

  2

  1

  1

  , y

  2

  ), para todo (x

  1

  , x

  2

  , y

  4 (T

  ⋊ Γ + ), ent˜ao f ∈ P R

  , y

  2

  1

  , x

  2

  , y

  1

  , y

  )) = f (x

  β

  1

  , x

  2

  , y

  1

  , y

  2

  , com a αβ ∈ R. Atrav´es de c´alculos simples verificamos que f (γ i (x

  )

  4 (T

  1

  2

  ) ∩ P R

  4 (Γ + ). Pelo Exemplo temos, para n = 2 e usando coordenadas reais, que f (x

  1 , x 2 , y 1 , y 2 ) =

  X

a αβ (x

  2

  2

  2

  2

  )

  α

  (y

  2

  1

  2

  1

  2

  ),

  , γ

  =         −1 0 0

  −1 0 0 1 0 0 1 

         , juntamente com a matriz identidade, formam o subgrupo das simetrias (G

  1

  )

  1

  2

  )

  , γ

  3

  }. Considerando a a¸c˜ao de G

  1

  em R

  4

  como o produto de matriz por vetor, temos γ

  2

  1

  (x

         

  1

  1

  γ

  1 = AB 1 =

         

  1 −1 0 0 −1 −1

  

, γ

  = (AB

  2 = B

  1 A =

         

  0 −1

  1 −1 −1 

         γ

  3

  1

  1

  , x

  1

  1

  , y

  2

  

) = (−x

  2

  , x

  , −y

  2

  1

  , −y

  2

  ), γ

  3

  (x

  1

  , y

  , x

  , x

  , −x

  2

  , y

  1

  , y

  2

  ) = (x

  2

  1

  1

  , −y

  1

  , −y

  2

  ), γ

  2

  (x

  • ) e um conjunto de geradores para o m´odulo ~ P R
  • .
  • x
  • y

  2

  2

  4

  4

  • R R

  2

  4 uma base de Hilbert para P R (T ⋊ Γ ) ´e dada pelas fun¸c˜oes

  • 2

  2

  2

  2

  u (x , x , y , y ) = x + x e u (x , x , y , y ) = y + y . (4.10)

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  4

  4

  • R R R

  4 Para os equivariantes, se g ∈ ~ P (T ⋊ Γ ) ent˜ao g ∈ ~ P (T ) ∩ ~ P (Γ ). Pelo Exemplo

  novamente para n = 2 e usando coordenadas reais, podemos escrever

g(x) = f (x)(x , x , 0, 0) + f (x)(−x , x , 0, 0) + f (x)(0, 0, y , y ) + f (x)(0, 0, −y , y )

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  3

  1

  2

  4

  2

  1

  4

  2

  4 onde x = (x

  1 , x 2 , y 1 , y 2 ) ∈ R e f j ∈ P R (T ), j = 1, · · · , 4, ou seja, g(x) = (f (x)x − f (x)x , f (x)x + f (x)x , f (x)y − f (x)y , f (x)y + f (x)y ).

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1

  3

  1

  4

  2

  3

  2

  4

  1

  2

  2

  4

  4

  • j x) = f j (x) para todo x ∈ R e j = 1, 2, 3.

4 Como f j ∈ P R (T ) = P R (T ⋊ Γ ), ent˜ao f (γ

  Logo, g(γ (x , x , y , y )) = g(x , −x , −y , −y )

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  = (f

  1 (x)x 2 + f 2 (x)x 1 , −f 1 (x)x 1 + f 2 (x)x 2 ,

  − f (x)y + f (x)y , −f (x)y − f (x)y )

  3

  1

  4

  2

  3

  2

  4

  1

  = γ g(x , x , y , y ),

  1

  1

  2

  1

  2

  4

  

para todo (x , x , y , y ) ∈ R . Analogamente, temos que g(γ j x) = γ j g(x) para j = 2, 3,

  1

  2

  1

  2

  4 mostrando que g ∈ ~ P R (Γ ). Logo,

  • H (x , x , y , y ) = (x , x , 0, 0), H (x , x , y , y ) = (−x , x , 0, 0)

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  1 H (x , x , y , y ) = (0, 0, y , y ), H (x , x , y , y ) = (0, 0, −y , y )

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  4

  4 ⋊ ⋊ geram ~ P

  • R (T Γ ) sobre P R (T Γ ).
  • Seguindo o Algoritmo defina S(u ) ≡ 1 e fixe a antissimetria δ = (s, A) ∈

  2

  2

  (T ⋊ G ) , com s = (0, 0) o elemento neutro de T , de onde

  1 −

δ(x , x , y , y ) = (−x , x , −y , y ).

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Como u 1 (δ(x 1 , x 2 , y 1 , y 2 )) = u 1 (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ) e u 2 (δ(x 1 , x 2 , y 1 , y 2 )) = u 2 (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ), te-

  

mos S(u ) = S(u ) ≡ 0, por (ii) da Proposi¸c˜ao Com isso, precisamos avaliar o

  1

  2

  0j

  H (δ(x , x , y , y )) =H (−x , x , −y , y ) = (−x , x , 0, 0) = δH (x , x , y , y ),

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 H 1 (δ(x 1 , x 2 , y 1 , y 2 )) =H 1 (−x 1 , x 2 , −y 1 , y 2 ) = (−x 2 , −x 1 , 0, 0) = −δH 1 (x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ),

  H (δ(x , x , y , y )) =H (−x , x , −y , y ) = (0, 0, −y , y ) = δH (x , x , y , y ),

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 H (δ(x , x , y , y )) =H (−x , x , −y , y ) = (0, 0, −y , −y ) = −δH (x , x , y , y ),

  3

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  3

  1

  2

  1

  2

  implicando que ~ S(H ) = ~ S(H

  2 ) ≡ 0, ~ S(H 1 ) = H 1 e ~ S(H 3 ) = H 3 , diretamente pela

  defini¸c˜ao de ~ S dada em

  2

  2

  ~

  4

  

4

⋊ ⋊

Q R (T G ) = P R (T G ){H , H }.

  1

  1

  1

  3

  2 Como u e u em s˜ao invariantes por T ⋊ Γ e por δ, temos que R(u ) = u e

  2

  • 1

  1

  1 R(u ) = u , diretamente pela defini¸c˜ao de R em . Logo, S(u ) = S(u ) ≡ 0, de

  2

  2

  1

  2

  2

  4 ⋊

onde segue que {u , u } ´e uma base de Hilbert para P R (T G ), pelo Teorema

  1

  2

  1 Portanto, a forma normal D -revers´ıvel equivariante de para o presente caso ´e dada

  4

  por

˙x = L(x) + f (x)H (x) + f (x)H (x),

  1

  1

  3

  4

  2

  

com x = (x , x , y , y ) ∈ R e f j ∈ P R (T ⋊ G ), o que resulta na forma normal Z

  • 4

  1

  2

  1

  2

  1

  2 revers´ıvel-equivariante obtida na Subse¸c˜ao 4.1.1.

  

Observa¸c˜ ao 4.2.1. De modo an´alogo, ´e poss´ıvel mostrar que a forma normal n˜ao se altera

se considerarmos que o campo X H em ´e G j -revers´ıvel-equivariante para j = 2, · · · , 8.

  2

  2

  4

  4 ⋊ ⋊ Isto porque os an´eis P (T Γ ) e os m´odulos ~ P (T Γ ) s˜ao idˆenticos para qualquer + + R R

  

Γ = G j , com j = 1, · · · , 8, bem como a antissimetria δ fixada pode sempre ser escolhida

  2 como δ = (s, A), com s o elemento neutro de T .

  φ ψ

4.3 Forma normal Z × Z −revers´ıvel-equivariante

  2

  

2

  φ ψ

  Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e obter uma forma normal Z × Z -revers´ıvel-equivariante

  2

  2 2n+2 2n+2

  

para o sistema Hamiltoniano , com X H : R → R um campo de vetores de

  ∞

  

classe C tal que X H (0) = 0 e cuja lineariza¸c˜ao M = dX H (0) tem a forma matricial

  2n+2 agindo como antissimetrias em R .

  Antes de prosseguirmos com o nosso objetivo, apresentamos alguns resultados que nos

ajudar˜ao com os c´alculos. Sejam Γ um grupo de Lie compacto agindo em um espa¸co

vetorial real de dimens˜ao finita V e σ : Γ → Z um epimorfismo. Se Γ = ker σ admite

  • 2

  ∗

  

um subrupo normal de ´ındice 2, digamos Γ , ent˜ao podemos definir um novo epimorfismo

de grupos por Z σ : ˜ ˜ Γ →

  2

    ∗ 

  (4.11) 1, se γ ∈ Γ

γ 7−→ ,

  ∗

   −1, se ˜ γ ∈ ˜ Γ\Γ

  ∗ onde ˜ Γ = Γ , de modo que ˜ Γ = ker ˜ σ = Γ .

  Definido ˜ σ, fixe ˜ δ ∈ ˜ Γ\˜ Γ e considere os operadores e σ-operadores de Reynolds

  • ˜ R, ˜ S : P

  V (˜ Γ ) → P V (˜ Γ ), ~˜ R, ~˜ S : ~ P V (˜ Γ ) → ~ P + + + V (˜ Γ ) como definidos em +

  

trocando δ por ˜ δ nas respectivas defini¸c˜oes. Assim sendo, todos os resultados da Se¸c˜ao

valem trocando Γ por ˜ Γ, R por ˜ R, S por ˜ S, ~ R por ~˜ R, ~ S por ~˜ S e δ por ˜ δ. Em especial,

relembramos aqui dois resultados j´a demonstrados na Subse¸c˜ao 3.2.2 (Teoremas logo

a seguir. Teorema 4.3.1. Se {v , · · · , v s } ´e uma base de Hilbert para P

  V (˜ Γ ), ent˜ao o conjunto

  1

  • { ˜ R(v i ), ˜ S(v i ) ˜ S(v j ); 1 ≤ i, j ≤ s} ´e uma base de Hilbert para o anel P V (˜ Γ).

  Teorema 4.3.2. Sejam {v , · · · , v s } um base de Hilbert para P

  V (˜ Γ ) e {K , · · · , K r } um 1 +

  conjunto de geradores para ~ P

  V (˜ Γ ) sobre P V (˜ Γ ). Defina ˜ S(v ) ≡ 1 e construa o conjunto

  

{K ij = ˜ S(v i )K j ; 0 ≤ i ≤ s e 0 ≤ j ≤ r}. Ent˜ao, { ~˜ R(K ij ); 0 ≤ i ≤ s e 0 ≤ j ≤ r} ´e um

conjunto gerador para o m´odulo ~ P

  V (˜ Γ) sobre P V (˜ Γ).

  Portanto, se ˜ Γ = Γ admite um subgrupo normal de ´ındice 2, podemos encontrar + uma base de Hilbert para P

  V (Γ ) e geradores do m´odulo ~ P V (Γ ) sobre P V (Γ ) por meio

  

dos Teoremas e, assim, necess´arios

para a determina¸c˜ao da forma normal nesta se¸c˜ao.

  φ =           

  × Z

  n

  × C

  2

  , · · · , z n ) ∈ R

  1

  , z

  2

  , x

  1

  Por conveniˆencia vamos usar coordenadas complexas (x, z) = (x

  2 .

  ψ

  2

  2

  φ

  

(id, ψ) 7−→ −1

(φ, id) 7−→ −1,

(4.13) de modo que (id, ψ) e (φ, id) s˜ao antissimetrias de Z

  2

  . Ent˜ao podemos fixar o epimorfismo σ : Γ → Z

  2n+2

  Suponhamos que φ e ψ agem como antissimetrias em R

  2 comutam.

  ψ

  e Z

  2

  φ

  pela Proposi¸c˜ao uma vez que as a¸c˜oes de Z

  . Ent˜ao as a¸c˜oes de φ e ψ em R

  × C

  em R

  1

  1

  z

  1

  , a

  2

  , −a x

  1

  , · · · , z n ) = (a x

  1

  , z

  2

  , x

  , · · · , z n ) e ψ(x

  n

  1

  , z

  2

  , −x

  1

  , · · · , z n ) = (x

  1

  , z

  2

  , x

  1

  se tornam, naturalmente, φ(x

  2n+2

  2

  1 −1 . ..

  2

  2

  φ

  ´e isomorfo a Z

  2

  ψ

  × Z

  2

  φ

  = {(id, id), (id, ψ), (φ, id), (φ, ψ)},

onde id ´e o elemento identidade dos grupos. Note que quando a i = 1 para todo i =

0, · · · , n temos φ = ψ e, neste caso, o grupo Z

  2

  ψ

  × Z

  φ

  φ

  , respectivamente. Por meio

de c´alculos simples ´e poss´ıvel verificar que φ e ψ anticomutam com a matriz M dada em

e comutam entre si. Logo, φ e ψ geram o produto direto Z

  2

  ψ

  e Z

  2

  φ

  , denotados aqui por Z

  2

             (4.12)

com a k = ±1, para todo 0 ≤ k ≤ n. Como ambas s˜ao involu¸c˜oes, cada uma gera um

grupo de ordem 2 isomorfo `a Z

  −a . .. a n −a n

             a

  1 −1            e ψ =

  . Al´em disso, como Z

  2

  ψ

  1 x ´e a a¸c˜ao de Z φ

  × Z

  2

  φ

  Garantimos que essa opera¸c˜ao ´e uma a¸c˜ao de Z

  2n+2 .

  em R

  2

  2 x ´e a a¸c˜ao de Z ψ

  e γ

  2n+2

  em R

  2

  por , onde γ

  e Z

  2n+2

  em R

  2

  ψ

  × Z

  2

  φ

  pelo produto de matriz por vetor, definimos a a¸c˜ao de Z

  2n+2

  agem em R

  2

  ψ

  , · · · , a n z n ),

  φ ψ

  Pelo Teorema para calcular a forma normal Z × Z −revers´ıvel-equivariante de

  2

  2 φ ψ

  2 n

, precisamos encontrar geradores para o m´odulo ~ Q R (S ⋊ Z × Z ) sobre o anel

  ×C

  2

  2 φ ψ

  2 n

P (S⋊Z ×Z ), onde S ´e como em . Como ω , · · · , ω n

  R ×C

  1

  2

  2 n

  

s˜ao algebricamente independentes, temos pela Proposi¸c˜ao que S = R × T , onde

      1 0

  n

  

    R ∼ = ; r ∈ R e T ´e o n-toro.   r 1

  n n

  2 A a¸c˜ao considerada de R×T em R ×C ´e a a¸c˜ao diagonal dada a partir das seguintes 2 n n

  a¸c˜oes de R em R e T em C :

  iθ iθ

  1 n r(x

  1 , x 2 ) = (x 1 , rx 1 + x 2 ) e (θ 1 , · · · , θ n )(z 1 , · · · , z n ) = (e z 1 , · · · , e z n ), (4.14) n

  para todo r ∈ R e (θ , · · · , θ n ) ∈ T .

  1 φ ψ φ ψ

  2 n 2 n Agora, para encontrar os geradores de ~ Q R (S⋊Z × Z ) sobre P R (S⋊Z × Z )

  ×C ×C

  2

  2

  2

  2

  

vamos utilizar o Algoritmo O primeiro passo ´e encontrar uma base de Hilbert

  φ ψ φ ψ

  n n

  2

  para P R ((S ⋊ Z × Z ) ) = P

  R (S ⋊ (Z × Z ) ), onde a igualdade vale pois ×C

  • 2
  • ×C

  2

  2

  2

  2 φ ψ

  estamos assumindo que S possui somente simetrias. Para isso, denote ˜ Γ = (Z × Z ) = +

  2

  2

  2 n

{(id, id), (φ, ψ)} e Λ = S ⋊ ˜ Γ. Para encontrar uma base de Hilbert para P (Λ),

  R ×C

  n n

  2

  2

come¸camos determinando uma base de Hilbert para P R (Λ ) = P R ((S ⋊ ˜ Γ) ) =

  ×C + ×C +

  2 n P R (S ⋊ ˜ Γ ). Note que ˜ Γ admite um subgrupo normal de ´ındice 2, a saber {(id, id)}. +

  ×C ∗

  Definindo ˜ σ como em com Γ = {(id, id)}, obtemos ˜ Γ = {(id, id)}. Logo,

  • 2 n

  2 n 2 n 2 n

P R (Λ ) = P (S) ∩ P + R (S ⋊ {(id, id)}) = P R R ({(id, id)})

  ×C ×C ×C ×C

  2 n = P (S),

  (4.15)

  R ×C onde a segunda igualdade segue da Proposi¸c˜ao n n

  2 Agora, lembrando que S = R × T age diagonalmente em R × C , n´os aplicamos

  

o Lema a fim de obter uma base de Hilbert para

  5 Para determinar R n´ os usamos o Exemplo uma vez que a parte nilpotente de M ´e dada por      0 0 0 0      0 1 0 0

N = .

   0 0 0 0    0 0 0 0

  2 n

  2 R ×C

  R n

  n

´e dada por {u(x , x ) = x }. Pelo Exemplo uma base de Hilbert para P C (T ) ´e

  1

  2

  1

  2

  2

  {|z

  1 | , · · · , |z n | }. Ent˜ao, pelo Lema

  2

  2

  

v (x, z) = x , v (x, z) = |z | , · · · , v n (x, z) = |z n |

  1

  1

  2 1 +1

  n n n

  2

  2

  2

formam uma base de Hilbert para P R (S) = P R (Λ ). Defina ˜ R, ˜ S : P R (Λ ) →

  • ×C ×C ×C

  2 n P R (Λ ) como em , trocando Γ por Λ e δ por ˜ δ, onde ˜ δ ∈ Λ − = Λ\Λ + + +

  • ×C

  

´e uma antissimetria fixada de Λ. Como Λ = (S ⋊ ˜ Γ) = S ⋊ ˜ Γ = S × {(id, id)},

  

ent˜ao podemos tomar ˜ δ = (s, (φ, ψ)), com s o elemento neutro do grupo S, ou seja,

s = (I

  2 , 0, · · · , 0), onde I 2 ´e a matriz identidade. Veja que

  (φ, ψ)(x, z) = φ(ψ(x, z)) = (a x , a x , a z , · · · , a n z n ) (4.16)

  1

  2

  1

  1 n

  2

  para todo (x, z) ∈ R × C , e uma vez que a k = ±1 para todo k = 0, · · · , n, temos

  2

  2

  

v (˜ δ(x, z)) = v (s(φ(ψ(x, z)))) = v (φ(ψ(x, z))) = |a z | = |z | = v (x, z),

  i i i i −1 i −1 i −1 i n

  2

  

para todo i = 2, · · · , n + 1 e (x, z) ∈ R × C , onde a segunda igualdade segue pois cada

v i ´e invariante por S. Portanto, da defini¸c˜ao de ˜ R e ˜ S temos ˜ ˜ R(v i ) = v i e S(v i ) ≡ 0, (4.17) para todo i = 2, · · · , n + 1. Ainda, v

  1 (˜ δ(x, y)) = v 1 (s(φ(ψ(x, z)))) = v 1 (φ(ψ(x, z))) = a x

  1

  de onde

  1

  1 ˜ ˜ R(v )(x, z) = (x + a x ) e S(v )(x, z) = (x − a x ). (4.18)

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  2 2 n 2 n

  

Pelo Teorema uma base de Hilbert para P (Λ) = P (S ⋊ ˜ Γ) ´e dada pelo

  R ×C R ×C

  conjunto dos elementos    u

  1 (x, z) = x 1 , u 2 = v 2 , · · · , u n +1 = v n +1 , se a = 1

  

  2

  2

  1 (x, z) = x , u 2 = v 2 , · · · , u n +1 = v n +1 , se a = −1.

  1

   u

  2 n

  • R ×C

  assim como fizemos em , ~ 2 n 2 n 2 n

  P R (Λ ) = ~ P R (S ⋊ {(id, id)}) = ~ P (S). + R

  ×C ×C ×C

  Pelo Exemplo

L (x , x ) = (x , x ) e L (x , x ) = (0, 1)

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  2 geram ~ P (R) sobre P (R) e, pelo Exemplo

  R R n n

  ~ n n

P C (T ) = P C (T ){(z , 0 · · · , 0), (iz , 0 · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, z n ), (0, · · · , 0, iz n )}.

  1

  1 n

  Assim, lembrando que S = R × T e aplicando novamente o Lema vemos que

K (x, z) = (x , x , 0, · · · , 0), K (x, z) = (0, 1, 0, · · · , 0), K (x, z) = (0, 0, z , 0, · · · , 0),

  1

  2

  1

  2

  1 K (x, z) = (0, 0, iz , 0, · · · , 0), · · · , K (x, z) = (0, · · · , 0, z n ) e

  3 1 2n

  

K (x, z) = (0, · · · , 0, iz n )

  2n+1

  2 n 2 n 2 n

s˜ao os geradores de ~ P (Λ ) = ~ P (S) sobre P (S). O pr´oximo passo agora

  • R ×C R ×C R ×C

  

´e utilizar o Teorema substituindo ˜ Γ por Λ l´a, a fim de obter os geradores de

  ~ 2 n 2 n P R (Λ) = ~ P R (S ⋊ ˜ Γ). Defina ˜ S(v ) ≡ 1 e considere os casos: a = 1 e a = −1.

  ×C ×C

  (i) Se a = 1, ˜ S(v i ) ≡ 0 para todo i = 1, · · · , n + 1, por . Logo,

K ij = ˜ S(v i )K j = K j para todo j = 0, 1, · · · , 2n + 1. Lembrando que ˜ δ = (s, (φ, ψ)) para

  −1

  s = (I

  2 , 0, · · · , 0), ent˜ao ˜ δ = ˜ δ e, de , temos −1

  ˜

δ K (˜ δ(x, z)) = ˜ δK (a x , a x , a z , · · · , a n z n ) = ˜ δ(a x , a x , 0, · · · , 0)

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  = (a x , a x , 0, · · · , 0), (4.19)

  1

  2 −1

  ˜ δ K

  1 (˜ δ(x, z)) = ˜ δK 1 (a x 1 , a x 2 , a 1 z 1 , · · · , a n z n ) = ˜ δ(0, 1, 0, · · · , 0) = (0, a , 0, · · · , 0).

  (4.20)

  −1 −1

  

Como a = 1 temos ˜ δ K (˜ δ(x, z)) = K (x, z) e ˜ δ K (x, z). Para os demais j =

  1

  −1

  ˜ δ K j (˜ δ(x, z)) = ˜ δK j (a x , a x , a z , · · · , a n z n )

  1

  2

  1

  1

    ˜ j j

  

2

  2 = 

   δ(0, · · · , 0, a z , 0, · · · , 0), se j ´e par

  ˜  j−1 j−1

  δ(0, · · · , 0, ia z , 0, · · · , 0), se j ´e ´ımpar

  2

  2  

  2

  j  j (0, · · · , 0, a z , 0, · · · , 0), se j ´e par

  2

  

2

= 

  2

   j−1

j−1

  (0, · · · , 0, ia z , 0, · · · , 0), se j ´e ´ımpar

  2

  

2

= K j (x, z),

  (4.21)

pois a k = ±1 para todo k ≥ 1. Ou seja, K j ´e equivariante por ˜ δ para todo j = 0, · · · , 2n+1

e, ent˜ao, ~˜ R(K ij ) = ~˜ R(K j ) = K j . Portanto, pelo Teorema {K j , j = 0, · · · , 2n + 1}

  R ×C R ×C

  2 n 2 n ´e um conjunto de geradores para ~ P (S ⋊ ˜ Γ) sobre P (S ⋊ ˜ Γ).

  (ii) Se a = −1, temos ˜ S(v ) = v . Como ˜ S(v i ) ≡ 0 para os demais i = 2, · · · , n + 1,

  1

  1

  constru´ımos o conjunto

{K ij = ˜ S(v i )K j ; i = 0, 1, j = 0, · · · , 2n + 1} = {K j , v K j ; j = 0, · · · , 2n + 1}.

  1 −1 −1

  

Pelas equa¸c˜oes vemos que ˜ δ K (˜ δ(x, z)) = K (x, z) e ˜ δ K (˜ δ(x, z)) =

  1

  −K

  1 (x, z), ou seja, K ´e equivariante por ˜ δ, K 1 ´e revers´ıvel-equivariante por ˜ δ e, por

  

K j ´e equivariante por ˜ δ para todo j = 2, · · · , 2n + 1. Assim, ~˜ R(K ) ≡ 0 e ~˜ R(K j ) = K j

  1

  

para todo j = 0, 2, · · · , 2n + 1. Pelo Lema como v ´e anti-invariante por ˜ δ, temos

  1

  v

  1 K 1 equivariante por ˜ δ, logo ~˜ R(K 11 ) = ~˜ R(v

  1 K 1 ) = v

  1 K 1 . Agora, se j 6= 1, temos que

  

v K j ´e uma aplica¸c˜ao revers´ıvel-equivariante por ˜ δ e, por isso, ~˜ R(v K j ) ≡ 0. Portanto, pelo

  1

  1

  2 n

Teorema {K , K , · · · , K , v K } ´e um conjunto de geradores para ~ P R (S⋊ ˜ Γ)

  2 2n+1

  1 1 ×C

  ×C φ ψ

  2 n sobre P R (S ⋊ ˜ Γ).

  Agora que temos os invariantes e equivariantes por (S ⋊ (Z × Z )) = S ⋊ ˜ Γ po-

  • 2

  2

  

demos finalmente aplicar o Algoritmo Novamente, vamos trabalhar com os casos

separadamente.

  (i) Se a = 1 temos que

  2

  2

  u (x, z) = x , u (x, z) = |z | , · · · , u n (x, z) = |z n | (4.22)

  1

  1

  2 1 +1

  2 n formam uma base de Hilbert para P R (S ⋊ ˜ Γ) e

  ×C

  

H (x, z) = (x , x , 0, · · · , 0), H (x, z) = (0, 1, 0, · · · , 0), H (x, z) = (0, 0, z , 0, · · · , 0),

  1

  2

  1

  2

  1

  • por (S ⋊ (Z
  • = S ⋊ ˜ Γ e tomando δ em (S ⋊ (Z

  , 0, · · · , 0) = H (x, z), δ

       (0, · · · , 0, z

j

  2 , 0, · · · , 0), se j ´e ´ımpar =

  2 , 0, · · · , 0), se j ´e par δ(0, · · · , 0, iz j−1

  δ(0, · · · , 0, z j

  H j (δ(x, z)) =     

  −1

  (x, z), δ

  1

  (δ(x, z)) = δ(0, 1, 0, · · · , 0) = −H

  1

  H

  −1

  2

  2 , 0, · · · , 0), se j ´e ´ımpar =

  , −x

  1

  H (δ(x, z)) = δ(x

  −1

  para todo j = 0, · · · , 2n + 1. Agora, δ

  j

  = H

  j

  = S(u )H

  0j

  ≡ 0 se i 6= 0 e H

  j

  

2

, 0, · · · , 0), se j ´e par (0, · · · , 0, −iz j−1

       H j , se j ´e par

  i

  2

  2

  ψ

  × Z

  2

  φ

  n (S ⋊ Z

  ×C

  2

  ). Para calcular a forma normal, precisamos ainda de uma base de Hilbert para P R

  2

  ψ

  × Z

  φ

  −H j se j ´e ´ımpar,

para todo j ≥ 2. Ent˜ao ~ S(H j ) ≡ 0 se j ´e par e ~ S(H j ) = H j se j ´e ´ımpar, onde ~ S ´e

o σ-operador de Reynolds definido em com Γ

  n (S ⋊ Z

  ×C

  2

  R

  ) sobre o anel P

  2

  ψ

  × Z

  2

  φ

  n (S ⋊ Z

  ×C

  2

  )H

  = S(u

  ), que pelo Teorema ´e dada pelo conjunto

  φ

  −

  ))

  2

  ψ

  × Z

  2

  φ

  ))

  2

  ψ

  × Z

  2

  n (S ⋊ ˜ Γ). Defina S(u ) ≡ 1 e considere os operadores de Reynolds R, S definidos em , respectivamente, trocando Γ

  φ

  ×C

  2

  n (S ⋊ ˜ Γ) sobre P R

  ×C

  2

  ) geram ~ P R

  n

  (x, z) = (0, · · · , 0, iz

  2n+1

  H

  1 2n

  3

  = (S ⋊ (Z

  2

  ij

  × C

  = u j (x, z),

para todo j = 2, · · · , n + 1. Logo, S(u i ) ≡ 0 para todo i = 1, · · · , n + 1. Dessa forma,

H

  2

  = |z j |

  2

  

(x, z) e u j (δ(x, z)) = |z j |

  1

  = u

  1

  (δ(x, z)) = x

  1

  , e por u

  n

  2

  × Z

  , · · · , z n ), para todo (x, z) ∈ R

  1

  z

  2

  , −x

  1

  . Ent˜ao, por temos que δ(x, z) = (s(φ(id(x, z)))) = φ(x, z) = (x

  n

  neutro de S = R × T

  2 , 0, · · · , 0) ´e o elemento

  ))\S ⋊ ˜ Γ. Como ˜ Γ = {(id, id), (φ, ψ)}, podemos fixar δ = (s, (φ, id)), onde s = (I

  2

  ψ

  • = S ⋊ ˜ Γ e δ = (s, (φ, id)). Pelo Algoritmo o conjunto {H j , j = 1, 3, · · · , 2n + 1} gera ~ Q R

  φ ψ

  

Portanto, se a = 1, uma forma normal Z × Z −revers´ıvel-equivariante para o sistema

  2

  2

  ´e dada por       0 1 x

  1

              0 0 x

  1   

  2   

       

  •       ˙x = + f (x, z) −iω z 

  1   1   

              . ..

     ...   ...        −iω z

  n n

                         

  • f (x, z) + · · · + f n (x, z) ,

  1 iz

  

  1   

          ... ...

          iz n

  φ ψ

  R ×C 1 +1

  2

  2

  2 n onde f i ∈ P (S ⋊ Z × Z ) e, portanto, dependem de u , · · · , u n .

  (ii) Se a = −1 temos

  2

  2

  2

  2

  u (x, z) = x , u (x, z) = |z | , · · · , u n (x, z) = |z n | (4.23)

  1

  2 1 +1

  1

  2 n formando uma base de Hilbert para P (S ⋊ ˜ Γ) e

  R ×C

  

H (x, z) = (x , x , 0, · · · , 0), H (x, z) = (0, x , 0, · · · , 0), H (x, z) = (0, 0, z , 0, · · · , 0),

  1

  2

  1

  1

  2

  1 H 3 (x, z) = (0, 0, iz 1 , 0, · · · , 0), · · · , H 2n (x, z) = (0, · · · , 0, z n ) e

  

H (x, z) = (0, · · · , 0, iz n )

  2n+1

  2 n 2 n

formando um conjunto de geradores para ~ P R (S ⋊ ˜ Γ) sobre P R (S ⋊ ˜ Γ). Neste caso,

  ×C ×C

  para δ = (s, (φ, id)) temos

  −1

  

δ H (δ(x, z)) = δ(0, x , 0, · · · , 0) = −H (x, z),

  1

  1

  1

  

de onde ~ S(H ) = H . Ainda, para j 6= 1, ~ S(H j ) ≡ 0 se j ´e par e ~ S(H j ) = H j se j ´e

  1

  1

  

´ımpar, como j´a mostramos anteriormente no caso em que a = 1 (os H j ’s s˜ao os mesmos

desde que j 6= 1). Como cada u i em ´e invariante por δ, para todo i = 2, · · · , n + 1

           

  Portanto, se a = −1, uma forma normal Z

  = S(u )H j = H j

  e, ent˜ao, um conjunto de geradores para ~ Q R

  2

  ×C

  n (S ⋊ Z

  φ

  2

  × Z

  ψ

  2 ) ´e dado por {H j ; j = 1, 3, · · · , 2n + 1}.

  φ

  ) ≡ 0 e S(u i ) ≡ 0 para todo i = 2, · · · , n + 1. Logo, os H ij ’s relevantes no Algoritmo s˜ao apenas H

  2

  × Z

  ψ

  2

  −revers´ıvel-equivariante para o sistema ´e dada por ˙x = 

  1 ...

  0 1 0 0 −iω

        x

  2

  

x

  0j

  1

  x

  2

            

  2

  1

  para todo i = 2, · · · , n + 1 e R(u

  2

  1

  ) = u

  2

  1

  , fazendo-nos concluir, pelo Teorema que uma base de Hilbert para P R

  ×C

  2

  n (S ⋊ Z

  φ

  2

  

× Z

  ψ

  2

  ) ´e dada pelo conjunto {u

  2

  1 , u i ; i = 2, · · · , n + 1}.

  Al´em disso, por este motivo, S(u

  1

  • f (x, z)     
  • f

  −iω n           

  • · · · + f n (x, z)     

  pois anticomuta com a a¸c˜ao de ˜ δ definida em , e ´e D

  ) para todo 0 ≤ i ≤ n e, portanto, dependem de u

  2

  1

  , u 2 , · · · , u n +1 .

  Nas Se¸c˜oes 4.1 e 4.2, vimos que a matriz L dada em ´e Z

  2 -revers´ıvel-equivariante,

  1

  4

  ψ

  . Na Se¸c˜ao 4.3, vimos tamb´em que a matriz M dada em ´e Z

  φ

  2

  × Z

  ψ

  2

  2

  2

  × Z

            

  1 ...

  z n           

  1 . ..

  1

  (x, z)            iz

  1

...

       

  z

  ... iz n 

           

  , onde f i ∈ P R

  2

  ×C

  n (S ⋊ Z

  φ

4.4 Observa¸c˜ oes Finais

  • revers´ıvel-equivariante, pois anticomuta com as matrizes A e B
  • revers´ıvel-equivariante. Vamos mostrar aqui que as matrizes L e M de fato s˜ao lineariza¸c˜oes de um sistema Hamiltoniano.

  α

  2

  linear. Por exemplo, considere o campo X = J ∇H com H (x , x + H , y , y ) = (x

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  2 β

  2

  2

  2

  3

  3

  

x ) + (y + y ) + O(|x| ), onde O(|x| ) denota os termos de ordem maior ou igual a 3, e

  2

  1

  2

  2  

0 −1 0

 

     1   

  

J = .

  1

    0 −1    

  1 Ent˜ao n˜ao ´e absurdo supormos X H em um campo Hamiltoniano com lineariza¸c˜ao L.

  Para a matriz M, seja

 

1

 

  J = .

  

−1 0

Observe que, para qualquer m ∈ N,

 

J · · ·

 

 

  J · · ·

 

 

J =

  (4.24)

 

 ... ... ... ... 

 

  · · · J

  2m

  

  

´e antissim´etrica e det J = 1 6= 0 Ent˜ao J induz uma forma bilinear antissim´etrica ω

  2m

  

(pois J ´e uma matriz antissim´etrica) e n˜ao degenerada (pois det J 6= 0) em R . Escreva

  2n+2

  2m = 2n + 2 e tome H : R → R definido por ω ω

  1 n

  2

  2

  2

  2

  2

  3 H(x + 1 , · · · , x 2n+2 ) = x sin x 1 − cos x 2 (x + x ) + · · · + (x + x ) + O(|x| ),

  2

  3 4 2n+1 2n+2

  2

  2

onde ω , · · · , ω n s˜ao os autovalores da matriz M definida em . Ent˜ao, ´e poss´ıvel

  1

  verificar que M ´e a lineariza¸c˜ao do campo

  

X H (x) = J∇H(x),

  6

  1 Uma propriedade dos determinantes ´e que, escrevendo det[v , · · · , v n ] para indicar o determi- n

  1

  1

nante da matriz cujas colunas s˜ao os vetores v , · · · , v n ∈ R ent˜ao det[v , · · · , v i , · · · , v j , · · · , v n ] =

  1

− det[v , · · · , v j , · · · , v i , · · · , v n ]. No nosso caso, fazendo as permuta¸c˜ oes das colunas em J teremos

m

det J = (−1) det A onde A ´e uma matriz diagonal cujo determinante ´e 1 se m ´e par e −1 se m ´e

´ımpar. Assim, para qualquer m ∈ N, det J = 1.

  2n+2 1 2n+2

  Ainda com respeito `a Se¸c˜ao 4.3, em n´os consideramos as involu¸c˜oes φ e ψ agindo

  2n+2

  

como antissimetrias em R . Isto ´e poss´ıvel pois em os autores provam que esses

s˜ao os ´ unicos pares de involu¸c˜oes que anticomutam com M e comutam entre si.

  Como mencionamos anteriormente, calcular uma base de Hilbert para o anel de inva-

riantes pode n˜ao ser uma tarefa f´acil, assim como calcular os geradores do m´odulo dos

equivariantes. Nossa inten¸c˜ao no in´ıcio deste projeto era aplicar a teoria estudada nos

Cap´ıtulos 2 e 3 para calcular as formas normais dos sistemas Hamiltonianos apresentados

em e comparar as respectivas formas. Infelizmente, alguns casos se tornaram por

demais complicados justamente por n˜ao conseguirmos calcular uma base de Hilbert para

o grupo P

  V (Γ ), que ´e a primeira entrada do Algoritmo assim como um conjunto

  • de geradores para o m´odulo ~ P

  V (Γ ) sobre P V (Γ ). Os exemplos malsucedidos se referem + +

  

a sistemas Hamiltonianos D -revers´ıveis-equivariantes com parte linear L dada em

  4

  

para o caso p : q e sistemas Hamiltonianos Z −revers´ıveis-equivariantes com lineariza¸c˜ao

  2

  

 

0 −α 1

 

 

  α

  1

 

 

.

 

 0 −β 

 

β

  

Neste ´ ultimo caso, at´e mesmo Martins em se conformou com a forma normal dada

pelos ind´ıcios computacionais, pois os c´alculos usando o m´etodo cl´assico de Belitskii s˜ao

um tanto quanto delicados.

  

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  • : Suconjunto formado pelas antissimetrias de Γ; (ρ, V ): Espa¸co vetorial real V sob a representa¸c˜ao ρ de Γ; Z

  k

  Q

  V (Γ) : M´odulo ~ P V,W (Γ) quando W = V ;

  Γ-equivariantes; ~ P

  V (Γ) das aplica¸c˜oes polinomiais g : V → W que s˜ao

  ~ P V,W (Γ): M´odulo sobre P

  V : Espa¸co vetorial das aplica¸c˜oes polinomiais g : V → V ;

  que s˜ao Γ-invariantes; ~ P

  V

  k

  (Γ) : Espa¸co vetorial das fun¸c˜oes f ∈ P

  V

  : Espa¸co vetorial das fun¸c˜oes polinomiais homogˆeneas f : V → R de grau k; P

  ´INDICE DE NOTAC¸ ˜ OES M n (R): Grupo de matrizes quadradas de ordem n; A

  V

  k

  P

  V (Γ): Anel das fun¸c˜oes polinomiais Γ-invariantes f : V → R;

  P

  V : Anel das fun¸c˜oes polinomiais f : V → R;

  : Integral de Haar normalizada em Γ; P

  γ ∈Γ

  = Γ\Γ

  −

  : Transposta de uma matriz A; I n : Matriz identidade de ordem n; GL(n): Subgrupo de M n (R) formado pelas matrizes invers´ıveis; GL(V ): Grupo das transforma¸c˜oes lineares invers´ıveis de V em V ; Γ: Grupo de Lie compacto; Γ + : Subgrupo de Γ de ´ındice 2, formado pelas simetrias de Γ; Γ

  t

  V (Γ): M´odulo sobre P V (Γ) das fun¸c˜oes polinomiais Γ-anti-invariantes f : V → R; Q

  k

  V (Γ) homogˆeneas de grau k;

  k

  : Restri¸c˜ao de Ad L a ~ P

  k L

  Ad

  V ;

  Ad L : Operador homol´ogico definido em ~ P

  (Γ): Espa¸co vetorial das aplica¸c˜oes g ∈ ~ Q

  V

  V

  k

  g : V → V ; ~ Q

  V (Γ): M´odulo sobre P V (Γ) das aplica¸c˜oes polinomiais Γ-revers´ıveis-equivariantes

  ~ Q

  V (Γ) homogˆeneas de grau k;

  (Γ): Espa¸co vetorial das fun¸c˜oes f ∈ Q

  V .

  ´INDICE REMISSIVO σ−operadores de Reynolds, diagonal,

  Antissimetria, Aplica¸c˜ao equivariante, revers´ıvel equivariante,

  Campos de vetores, Campos conjugados, Espa¸co vetorial simpl´etico, Formas normais, Fun¸c˜ao anti-invariante,

  Grupo S, de Lie compacto,

  Integral de Haar, Operador de Reynolds, homol´ogico, Ponto de singularidade,

  Produto semidireto, Representa¸c˜ao, diagonal, Simetria, Simpl´etica base,

  Simplectomorfismo, Sistema dinˆamico,

  Teorema

de Fubini para a integral de Haar,

de Hilbert-Weyl,

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