Aula 29 Medidas de Dispersão

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MEDIDAS DE DISPERSÃO

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Neste momento serão abordadas as características da variação, de grande importância para Estatística.

• Busca-se um valor representativo para este conjunto de dados. Sendo um medida de dispersão:

• Amplitude

• Variância

• Desvio-Padrão

Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio-Padrão

Desvio Médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios.

∑ | ̅|

Exemplo: Considere as seguintes temperaturas em graus Célsius em Gramado (6, 7, 8, 10, 11 e 12).

Determine o desvio médio.

AMPLITUDE

A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o menor valor.

Fácil cálculo. Contudo não é uma boa medida de variação pois depende apenas do menor e do maior valor.

DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA

O desvio-padrão é a mais importante medida de variação. Leva em consideração todos os valores e por isso possui os cálculos mais trabalhosos.

Definição: O desvio-padrão de um conjunto de valores é uma medida da variação dos valores em relação à média.

1

)

(

2

_

n

x

x

s

Dados amostrais

N

x

(

)

2

Dados populacionais

Exemplo (Variância): Após as 5 primeiras rodadas de um campeonato de basquete, os dois

principais “cestinhas”(jogadores que mais pontuaram) obtiveram médias iguais de pontos por

(2)

Partida

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Jogador A 8

12

9 17

5

Jogador B 10

9 11 10 11

Média de pontos por partida:

A:

̅

B:

̅

Podemos utilizar a variância para verificar qual dos jogadores obteve maior regularidade na

pontuação por partida.

A:

B:

Note que a variância de pontos por partida do jogador A (16,56) é maior que a do jogador B (0,56).

Portanto, o jogador B foi mais regular que o jogador A.

Exemplo (Desvio-Padrão):

EXEMPLO

Determine o desvio-padrão dos tempos de espera em guichês dos clientes do Valley Bank. Esses tempos de espera (em minutos) são dados a seguir:

6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7

x _

x

x _2

) (xx

6,5 -0,65 0,4225 6,6 -0,55 0,3025 6,7 -0,45 0,2025 6,8 -0,35 0,1225 7,1 -0,05 0,0025 7,3 0,15 0,0225 7,4 0,25 0,0625 7,7 0,55 0,3025 7,7 0,55 0,3025 7,7 0,55 0,3025

x71,5

( _)22,0450

x x

15 , 7 10

5 , 71

_

  

n x

x 0,48

1 10

0450 , 2

   s

Omitindo tomar a raiz quadrada no processo de cálculo do desvio-padrão, obtemos a variância.

1

)

(

2

_

2

n

x

x

s

Variância amostral

N

x

2

2

(

)

Variância populacional

Pode-se estabelecer uma fórmula para o cálculo de desvio-padrão quando os dados se apresentam resumidos em uma tabela de freqüências.

1

)

.(

2

_

(3)

INTERPRETAÇÃO DO

DESVIO-PADRÃO

Teorema de Tcheibichev: a proporção ou fração de qualquer conjunto de dados a menos de K desvios-padrão a contar da média é sempre ao menos .

2

1 1

K

•Para K=2 , ao menos 3/4 (75%) de todos os valores estão no intervalo que vai de 2 desvios-padrão abaixo da média e a 2 desvios-padrão acima da média.

•Para K=3 ao menos 8/9 (89%) de todos os valores estão no intervalo que vai de 3 desvios-padrão abaixo da média e a 3 desvios-padrão acima da média.

EXEMPLO

Os QIs de um grupo de adultos apresentam distribuição com média 100 e desvio-padrão 15.

• Fazendo K=2 e utilizando o teorema de Tchebichev concluímos que aproximadamente 75% de todos os valores estarão no intervalo entre 100 –(2 .15) = 70 e 100 + (2 . 15) = 130.

Exercício 1:

Co a ta ela de f e üê ias pa a a va iável aleató ia te po e dias exigido pa a se

o pleta audito ias de fi de a o pa a u a a ost a de 20 lie tes da “a de so a d Cliffo d, o st uída

no capítulo anterior:

a.

Determine o desvio-padrão para o conjunto de dados agrupados.

b.

Utilize o teorema de Theibichev para determinar um intervalo de confiança para a média

populacional. Utilize k = 2.

Exercício 2: As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades e as causas de morte.

Construa um histograma correspondente aos dados da tabela de frequências abaixo. Os dados se

baseiam em um estudo da revista Times sobre vítimas fatais de armas de fogo na América durante

uma semana. O que o histograma sugere quanto às idades dessas vítimas fatais? Calcule a sua

média e o desvio-padrão. Utilize o teorema de Theibichev para determinar um intervalo de

confiança para a média populacional. Utilize

K

2

.

Idade na Morte

Freqüência

16

25

22

26

35

10

36

45

6

46

55

2

56

65

4

66

75

5

76

85

1

Tarefa:

Exercitar com os exercícios propostos do livro texto:

Pág. 71

exercícios: 11, 12, 13 e 14

Pág. 73

exercícios: 15 e 16

“Todo o nosso

descontentamento por aquilo que nos falta procede da nossa falta de gratidão por

aquilo que temos”.

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