Decomposic¸ ˜ao Dominada e Volume Zero em Fluxos Tridimensionais Incompress´ıveis

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem ´atica - IM

Programa de P ´os-Graduac¸ ˜ao em Matem ´atica

Dissertac¸ ˜ao de Mestrado

  

Decomposic¸ ˜ao Dominada e Volume Zero em Fluxos

Tridimensionais Incompress´ıveis

Edvan Santos da Trindade

  

Salvador-Bahia

  Marc¸o de 2015 Decomposic¸ ˜ao Dominada e Volume Zero em Fluxos Tridimensionais Incompress´ıveis Edvan Santos da Trindade

  Dissertac¸˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P ´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenc¸˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 13 de marc¸o de 2015.

  Orientador: Prof. Dr. V´ıtor Domingos Martins de Ara ´ujo.

  Salvador-Bahia

  Marc¸o de 2015

  

Sistema de Bibliotecas da UFBA

Trindade, Edvan Santos da. Decomposic¸˜ao dominada e volume zero em fluxos tridimensionais incompress´ıveis / Edvan Santos da Trindade. – 2015. f. : il Orientador: Prof. Dr. V´ıtor Domingos Martins de Ara ´ujo.

  Dissertac¸˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Salvador, 2015.

1. M´etodo de decomposic¸˜ao. 2. Fluxo linear de Poincar´e. 3. Poin- car´e, Teorema de. 4. Teoria Erg ´odica. 5. Sistemas dinˆamicos diferenciais.

I. Ara ´ujo, V´ıtor Domingos Martins de. II. Universidade Federal da Bahia.

  Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

  CDD - 519.72 CDU - 519.72

  Decomposic¸ ˜ao Dominada e Volume Zero em Fluxos Tridimensionais Incompress´ıveis Edvan Santos da Trindade

  Dissertac¸˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P ´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requi- sito parcial para obtenc¸˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 13 de marc¸o de 2015.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. V´ıtor Domingos Martins de Ara ´ujo (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Ant ˆonio Te ´ofilo Ata´ıde do Nascimento UNEB

  Prof. Dr. Hale Aytac¸ UFBA

  

Aos meus parentes, namorada,

amigos e professores.

  Agradecimentos

  Comec¸o agradecendo a minha fam´ılia por sempre lembrarem de mim apesar dessa correria que ´e a minha vida. Nesse momento em que n ´os estudantes vivemos (graduac¸˜ao, mestrado, doutorado, etc), muitas vezes ´e dif´ıcil ter um simples momento para conversar com tranquilidade com nossos pais, irm˜aos, primos e etc. ` As vezes d´a uma certa tristeza n˜ao ter muito tempo. Mas d´a para sentir que eles est˜ao sempre na torcida pelo meu sucesso, que eles ficam muito felizes a cada nova conquista. Em especial, agradec¸o a minha m˜ae (Edna) por ela ser a guerreira que ´e. Mesmo com tanta dificuldade conseguiu criar 4 filhos sozinha. Meus dois irm˜aos mais novos e eu tivemos oportunidade de estudar, mas o meu irm˜ao mais velho (Magno) n˜ao teve. Teve que trabalhar desde cedo para ajudar nas despesas. Sou grato a ele por, apesar de ser irm˜ao, ter feito papel de um pai. Agradec¸o aos meus sobrinhos por admirarem ter um tio que estuda. Sempre vou lembrar de Marlinho aos 5 anos dizer: “Tio, vocˆe ´e que nem Deus n˜ao ´e?”. E eu digo: “N˜ao. Por que vocˆe acha isso?”. E ele: “Ah, ´e porque o senhor sabe todas as coisas!” Sou muito grato por tudo isso.

  Agradec¸o a minha namorada Danuzia (Dan) por estar sempre ao meu lado. Por me dar forc¸as quando acho que n˜ao h´a sa´ıdas. Por viver o mesmo que eu vivo e entender perfeitamente tudo que passo. Por ser t˜ao esforc¸ada e respons´avel, o que me faz n˜ao perder o foco. Por se preocupar com o meu bem estar em todos os sentidos (dessa forma viverei at´e uns 100 anos). Agradec¸o tamb´em por ela ter ficado mais nervosa que eu durante a minha defesa (isso ´e sinal que a torcida era muito grande).

  Ela ´e uma influˆencia muito boa na minha vida. Como j´a disse para ela v´arias vezes: “vocˆe inspira coisas boas”. Ela ´e uma pessoa t˜ao boa, t˜ao humilde e de car´ater t˜ao raro. Eu a admiro muito e minha vida mudou para melhor desde que ela comec¸ou a fazer parte. Agradec¸o muito por ter uma pessoa t˜ao maravilhosa ao meu lado.

  Agradec¸o e pec¸o desculpa aos meus amigos. Por estar muito focado no meio do semestre, acabo n˜ao mandando not´ıcias. Mas queria que todos eles soubessem que eu n˜ao os esquec¸o. Eu fico muito feliz com os que compreendem e me sinto para baixo com os que acham que mudei. Em particular, gostaria de agradecer a F´abio Carvalho que al´em de amigo, foi meu professor no ensino m´edio e tamb´em professor de karatˆe. Se estou onde estou hoje, em parte ´e devido a ele. Quando eu tinha 16 anos, ele me chamou para fazer karatˆe de grac¸a na academia que ele havia acabado de abrir. Al´em disso, me incentiva muito nos estudos. Com ele eu aprendi o que ´e passar o dia inteiro estudando. Aprendi a levar os estudos mais a s´erio ainda. Com a ajuda dele, consegui passar no vestibular. Anos mais tarde, eu acho que eu estava no terceiro semestre da UFBA, ele me contou que em uma certa reuni˜ao de pais da escola, minha m˜ae disse que n˜ao sabia o que faria assim que eu terminasse o ensino m´edio. Ela n˜ao entendia essas coisas de faculdade, nem nada e pediu uma orientac¸˜ao para os professores. F´abio ent˜ao me contou que me chamar para fazer karatˆe foi uma forma de poder me acompanhar de perto, ter mais contato e poder guiar para o caminho certo. Agradec¸o muito por tudo isso.

  Gostaria de agradecer ao meu orientador V´ıtor Ara ´ujo. Ele aceitou me orientar na iniciac¸˜ao cient´ıfica, no mestrado e agora tamb´em no doutorado. Agradec¸o por ele arranjar tempo em sua agenda lotada. Esse dissertac¸˜ao foi um verdadeiro desafio para mim e eu n˜ao conseguiria dar conta se n˜ao fosse por todo aux´ılio que ele me deu. Foram muitas d ´uvidas, mas ele sempre esteve dispon´ıvel para tir´a-las quantas vezes fossem necess´arias. Foi um trabalho dif´ıcil, mas o que vem pela frente n˜ao ser´a mais f´acil que esse. Ent˜ao tenho que me acostumar a isso. Agradec¸o por estar dando uma direc¸˜ao boa a minha formac¸˜ao. Eu sei que tenho muito o que aprender com ele. Espero poder me tornar um profissional t˜ao competente quanto ele ´e.

  Por fim, agradec¸o a CAPES pelo apoio financeiro.

  

“ A persistˆencia ´e o menor caminho do

ˆexito. ”

  (Charles Chaplin)

  Resumo

  Provamos que existe conjunto aberto e denso de campos tridimensionais in-

  2

  compress´ıveis de classe C tais que, se um campo neste conjunto tem um conjunto invariante com volume positivo e decomposic¸˜ao dominada para o fluxo linear de Poin- car´e, ent˜ao esse campo ´e Anosov (globalmente hiperb ´olico). Isto estende resultado cl´assico de Bowen sobre volume zero de conjuntos hiperb ´olicos para contextos mais gerais.

  

Palavras-chave: Fluxos incompress´ıveis; Fluxo linear de Poincar´e; Decomposic¸˜ao do-

minada; Fluxo singular; Decomposic¸˜ao hiperb ´olica; Fluxo de Anosov.

  Abstract

  We prove that there exists an open and dense subset of the incompressible

  2

  3-flows of class C such that, if a flow in this set has a positive volume regular invariant subset with dominated splitting for the linear Poincar´e flow, then it must be an Anosov flow. This extends a classical result of Bowen on zero volume for hyperbolic sets to a more general setting.

  

Keywords: Incompressible flows; The linear Poincar´e flow; Dominated splitting; Sin-

gular flows; Hyperbolic splitting; Anosov flows.

  

Sum´ario

xv

   1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 . . . .

  3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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  7

  

  9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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  10

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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  19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21

  Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  53

  53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   51 . . . . . . .

  47

  46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  45 3.3 Demonstrac¸˜ao da Proposic¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  42 . . . . . .

   39 .

  23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  36

  34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27 . . . . . . . . . .

  26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  55

  Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  52

  

Lista de Figuras

  

Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

  O objetivo deste cap´ıtulo ´e enunciar o teorema principal deste trabalho. Para isso, damos apenas as definic¸˜oes e fatos essenciais para enunci´a-lo. A demonstrac¸˜ao ´e dividida em v´arios resultados auxiliares que s˜ao provados nos cap´ıtulos seguintes.

  Em todo o texto M denotar´a uma variedade riemanniana, C , compacta, sem bordo, conexa e de dimens˜ao 3. Pelo teorema de Whitney podemos assumir que existe

  s

  µ a medida induzida em M pela m´etrica

  s ∈ N, tal que M ⊂ R . Denotaremos por

  riemanniana. Vamos supor que µ j´a est´a normalizada, isto ´e, µ(M) = 1. Chamaremos essa medida de medida de volume (ou simplesmente volume) ou medida de Lebesgue de M.

  r

  Denotamos por X (M) o conjunto de todos os campos de vetores X : M TM

  s r

  R de classe C e por (X t ) t o fluxo gerado pelo campo X. Lembramos que como M ´e

  1

  compacta, se X ∈ X (M), ent˜ao o fluxo (X t ) t ´e completo, isto ´e, (X t ) t est´a definido para todo t ∈ R.

  r

  Dizemos que um campo de vetores X ∈ X (M), preserva uma medida ν, definida na σ-´algebra dos borelianos de M, se ν(X t (B)) = ν(B) para todo boreliano B e para

  r r

  ν}. No caso todo t ∈ R. Denotamos por X (M) = {X ∈ X (M) : X preserva a medida

  ν

  particular em que X preserva a medida de volume µ, dizemos que X ´e um campo incompress´ıvel ou conservativo.

  Dizemos que σ ∈ M ´e uma singularidade para um campo X se X(σ) = 0. Deno- tamos o conjunto das singularidades de um campo X por S(X). Os pontos x M\S(X) s˜ao chamados de pontos regulares.

  Cap´ıtulo 1. Introduc¸˜ao

1.1 Fluxo Linear de Poincar´e

  A seguinte noc¸˜ao pode ser definida em qualquer variedade riemanniana M de

  1

  dimens˜ao finita. Sejam X ∈ X (M) e x M um ponto regular de X, denote por = {v T , X(x)i =

  

N x x M : hv x 0}

  o complemento ortogonal de X(x) em T M, onde h· , ·i representa o produto interno em

  x x

T x M. Quando Λ ⊂ M ´e um conjunto regular, isto ´e, todos os pontos de Λ s˜ao regulares,

  chamamos o conjunto [ =

  N Λ N x

x∈Λ

  o fibrado normal de Λ.

  Denote por O x : T x M N x a projec¸˜ao ortogonal de T x M em N x . Para cada

  t ∈ R defina t t

  = O

P : NN por PDX (x) | .

  x X (x) X (x) t N

x t x t x

t t+s t s

  = Temos que P satisfaz a relac¸˜ao de cociclo, isto ´e, P PP . Para provar isso,

  x x x X (x) s

  usamos o seguinte

1 Lema 1.1. Dado um campo X ∈ X (M), tem-se DX (x)(X(x)) = X(X (x)), para todo t ∈ R e

  t t para todo x M.

  γ(s) = X

  

Demonstrac¸˜ao: Sejam t ∈ R, x M quaisquer e consideremos t+s (x), para todo

  =

  s ∈ R. Como, X XX temos que γ (s) = X(X (x)) = DX (X (x))(X(X (x))). Em t+s t s t+s t s s particular, fazendo s = 0 na relac¸˜ao anterior, obtemos DX (x)(X(x)) = X(X (x)). t t t

  Provemos agora que P satisfaz a relac¸˜ao de cociclo. De fato, temos que

  x DX (x)v T M, para todo v T M. Logo, t X t (x) x

  

DX (x)v = O (DX (x)v) + r · X(X (x)) ,

s X (x) s s 1 s para algum r ∈ R e para todo v NT M.

  1 x x

  Assim, para todo v N temos que

  x t+s P (v) = O X (x) (DX t+s (x)v) x t+s

  O = (DX (X (x))(DX (x)v)

  X (x) t s s t+s

  = O (DX (X (x))(O (DX (x)v) + r · X(X (x)))

  X (x) t s t+s s X (x) s 1 s

  = O (DX (X (x))(O (DX (x)v)) + r · X(X (x)) (usamos aqui o Lema

  X t+s (x) t s X s (x) s 1 t+s

  O =

  X (DX t (X s (x))(O t+s (x) s (x) X (DX s (x)v))) t s

  = P .

  (P (v))

  x

1.1. Fluxo Linear de Poincar´e

  t

  Segue da relac¸˜ao de cociclo que o operador inverso de P : NN ´e dado

  x X (x) x tt

  −t+t

  = = por P : NN . De fato, como id P P . Usando a relac¸˜ao de cociclo,

  X (x) x N t x x x X (x) tt t

  = temos que PP id .

  N x x X (x) t t t

  = Sendo Λ ⊂ M um conjunto regular, a fam´ılia (P ) {P : x ∈ Λ e t ∈ R} ´e Λ x t chamada de Fluxo Linear de Poincar´e de X sobre Λ.

  Atrav´es do estudo do fluxo linear de Poincar´e pode-se descobrir proprieda- des do fluxo (X ) , com a vantagem de se trabalhar em dimens˜ao mais baixa, mais

  t t especificamente, em dimens˜ao dim M − 1. (Para um exemplo veja o Teorema .

1.1.1 Decomposic¸˜ao Dominada para o Fluxo Linear de Poincar´e

  Seja Λ um conjunto invariante pelo fluxo (X t ) t (isto ´e, X t (Λ) = Λ, para todo

  

t ∈ R) e sem singularidades. Dizemos que o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ possui

  uma decomposic¸˜ao (C , λ)-dominada, se existe uma decomposic¸˜ao cont´ınua do fibrado

  s u s u s u

  = = normal N Λ NN , onde N NN , com N e N ambos n˜ao triviais, tal que

  x x x x x t s s t u u

  (a) P (N ) = N e P (N ) = N , para todo t ∈ R e para todo x ∈ Λ;

  x x x x X (x) t t X (x) −λt t s t u

  (b) existem constantes C , λ > 0 tais que kP |N k ≤ Ce m(P |N ), para todo t ≥ 0,

  x x x x

  onde m representa a conorma de operador, isto ´e, dado um operador L entre dois /kxk). espac¸os vetoriais normados, m(L) = inf x,0 (kLxk

  Chamamos a propriedade (a) de invariˆancia e a propriedade (b) chamamos de dominac¸˜ao. Uma vez que a conorma de qualquer operador invert´ıvel ´e dada por

  −1 −1

  k

  m(L) = kL , temos que a condic¸˜ao (b) ´e equivalente a

t st u −λt

kP | N k · kP | N k ≤ Ce . x x X (x) t t X (x) Explicamos agora qual ´e o sentido da palavra cont´ınua na definic¸˜ao anterior.

  Suponhamos, mais geralmente, que dim M ≥ 3 e V = ∪

  V , onde cada VT M x∈Λ x x x

  ´e um subespac¸o vetorial de dimens˜ao k. Dizemos que essa decomposic¸˜ao de V ´e cont´ınua no sentido de Whitney, se para todo x ∈ Λ e toda sequˆencia em (x ) em Λ

  n n

  = convergindo para x, existe B {v (x ) , v (x ) , ..., v (x )} base ortonormal de V tal

  n n ,1 n n ,2 n n ,k n x n que lim v (x ) = vV , para cada i ∈ {1 , 2, ..., k}, e {v , ..., v } ´e base de V . n n ,i n i x 1 k x Na verdade, n˜ao precisamos exigir que a decomposic¸˜ao de N Λ seja cont´ınua.

  Poder´ıamos ter obtido isso como consequˆencia (veja Lema 2.28]). Mas por quest˜ao de simplicidade, acrescentamos esta hip ´otese na definic¸˜ao.

  s

Observac¸˜ao 1.2. Observamos que a dominac¸˜ao significa que a componente na direc¸˜ao de N

x

de qualquer vetor em N tende a zero no futuro pela ac¸˜ao do fluxo linear de Poincar´e quando

x

  Cap´ıtulo 1. Introduc¸˜ao u s u

comparada com a componente na direc¸˜ao de N . Mais precisamente, seja v = v vN + =

x

x

s u

  NN . Usando a dominac¸˜ao do fluxo temos x x t s

  k kP v

  x −λt

  −−−−→ ≤ Ce .

  t u t→+∞

  k kP

  v x t u

  

Assim, o ˆangulo entre P v e N tende a zero no futuro. Analogamente, o ˆangulo entre

x X t (x) t s

  

P v e N tende a zero no passado. Esse comportamento garante que a decomposic¸˜ao de

x X (x) t s u

  = N Λ NN ´e ´unica.

  Em dimens˜ao maior que 3, podem existir duas decomposic¸˜oes distintas (veja ).

  

Observac¸˜ao 1.3. Quando o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao domi-

s u

  =

  

nada, dizemos tamb´em que a decomposic¸˜ao do fibrado normal, N Λ NN , dada na definic¸˜ao,

´e uma decomposic¸˜ao dominada do fibrado normal.

  A decomposic¸˜ao dominada do fluxo linear de Poincar´e ´e persistente no sentido do seguinte

1 Lema 1.4. Sejam X ∈ X (M) e Λ ⊂ M um subconjunto regular e invariante por (X ) tal

  t t

que o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Ent˜ao existe

T

  δ > 0 tais que o conjunto Λ

  

uma vizinhanc¸a U de Λ e Y (U) := Y t (U\S(Y)) tem uma

′ ′ t∈R

decomposic¸˜ao (C , λ )-dominada para o fluxo linear de Poincar´e com respeito a qualquer campo

′ ′

  1

de vetores Y que est´a δ-pr´oximo de X na topologia C . Al´em disso C e λ s˜ao constantes que

′ ′ dependem apenas de δ e U e (C , λ ) → (C , λ) quando δ → 0 e U → Λ.

  Demonstrac¸˜ao: Veja .

1.2 Hiperbolicidade e Campos de Anosov

  r

  Sejam X ∈ X (M) , r ≥ 1 e Λ ⊂ M um conjunto compacto e invariante pelo fluxo λ, K > 0,

  (X t ) t . Dizemos que Λ ´e hiperb´olico (com respeito a X) se existem constantes Λ M = existe uma decomposic¸˜ao cont´ınua (no sentido de Whitney) do fibrado tangente T

  s X u s X u EEE , onde T M = EEE , para cada x ∈ Λ, tal que x x x x

  X

  = {r · X(x) : r ∈ R}; (a) E

  x i i

  (b) DX (x)(E ) = E , com i = s , u e x ∈ Λ;

  t x X (x) t s u −λt −λt (c) k DX (x) | k≤ Ke , k DX (x) | k≤ Ke , x ∈ Λ e t ∈ R. t Et E x x s u

  A condic¸˜ao (c) nos diz que E ´e uniformemente contra´ıdo e E ´e uniformemente expandido.

  1.3. Teorema Principal r

  Diremos que um campo X ∈ X (M) , r ≥ 1, ´e de Anosov quando a variedade M

  µ for um conjunto hiperb ´olico.

  Para difeomorfismos, define-se de forma an´aloga a noc¸˜ao de hiperbolicidade. Assim, diz-se que um difeomorfismo f : M M ´e de Anosov, se M for um conjunto hiperb ´olico.

  Novamente, n˜ao precisamos exigir que a decomposic¸˜ao de T Λ M, seja cont´ınua, mas o fazemos assim por simplicidade.

  1.3 Teorema Principal

  2

  2 Munimos X (M) ⊂ X (M) com a topologia relativa. Temos agora o que ´e µ

  necess´ario para enunciar o resultado principal deste trabalho.

  2 Teorema Principal. Existe um aberto e denso G ⊂ X (M) tal que para cada X ∈ G com um µ conjunto invariante e regular Λ satisfazendo:

  • o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ tem uma decomposic¸˜ao dominada; e
  • Λ tem volume positivo: µ(Λ) > 0; ent˜ao X ´e um campo de Anosov e Λ = M.

  Analisando a prova do teorema principal, a qual ´e dada no cap´ıtulo veremos que uma das partes complicadas da prova ser´a garantir que Λ n˜ao possui singularida- des. Se desde o in´ıcio j´a temos essa informac¸˜ao, ent˜ao temos o seguinte

  2 Corol´ario 1.5. Todo campo X ∈ X (M) que admite conjunto compacto, invariante e regular Λ, µ

  µ(Λ) > 0 e o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada ´e um

  com campo de Anosov.

  Ainda analisando a demonstrac¸˜ao do Teorema Principal, vemos que exigir que

  

M ´e uma variedade tridimensional e que o campo ´e conservativo ´e necess´ario para

  provar que Λ ´e hiperb ´olico, j´a sabendo que ele ´e compacto, invariante, sem singulari- dades e o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Para o pr ´oximo resultado, supomos que dim M ≥ 3. Acrescentando as hip ´oteses mencionadas nesse par´agrafo, temos o

2 Corol´ario 1.6. Seja X ∈ X (M) um campo admitindo um conjunto hiperb´olico Λ compacto,

  

invariante, regular, o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada e

µ(Λ) > 0. Ent˜ao, X ´e um campo de Anosov.

  Cap´ıtulo 1. Introduc¸˜ao

  A seguir definimos o conjunto G e provaremos que o mesmo ´e aberto na topologia induzida por k · k . N˜ao apresentaremos a prova da densidade de G por ser

  2 um resultado muito t´ecnico, mas ela decorre do Teorema 11 de .

1 Definic¸˜ao 1.1. Sejam X ∈ X (M) e σ ∈ M uma singularidade de X. Dizemos que σ n˜ao tem ressonˆancia se todos os autovalores reais de DX( σ) s˜ao distintos.

  Defina

  r G := {X ∈ X (M) : todas as singularidades de X s˜ao hiperb ´olicas e n˜ao tem ressonˆancia} .

  µ

  Notamos que para mostrar que G ´e aberto, basta provar que o conjunto

  r

  G := {X ∈ X (M) : todas as singularidades de X s˜ao hiperb ´olicas e n˜ao tem ressonˆancia}

  r r

  ∩ X ´e aberto e X (M). De fato, se tivermos isto provado, teremos que G = G (M) ´e um

  µ r aberto em X (M).

  µ r Afirmac¸˜ao: G ´e aberto em X (M).

  Seja X ∈ G , sabemos que existe uma vizinhanc¸a U de X tal que qualquer que seja Y ∈ U as singularidades de Y s˜ao todas hiperb ´olicas (veja Teorema 3.4, c´apitulo

  II de ). Pela dependˆencia cont´ınua do espectro em relac¸˜ao ao operador, podemos supor que U ´e suficientemente pequena, de modo que as singularidades de Y ∈ U n˜ao tem ressonˆancia. Logo, G ´e aberto.

1.3.1 Coment´arios

  1+ α

  Em Teorema F] provou-se que, se f : M M ´e um difeomorfismo C e Λ ⊂ M ´e um conjunto transitivo (isto ´e, existe uma ´orbita densa em Λ) com volume positivo, ent˜ao Λ = M. O artigo . Nele prova-se

  

  que todos os conjuntos compactos invariantes hiperb ´olicos-singulare para campos

  1+ α C tˆem volume zero, ou ent˜ao o campo ´e de Anosov.

  Em provou-se que Λ ´e compacto e invariante para um difeomorfismo f :

  1+ α

M M de classe C , ent˜ao Λ tem volume zero ou f ´e um difeomorfismo de Anosov.

  O que se faz nessa dissertac¸ ˜ao ´e enfraquecer as hip ´oteses assumindo apenas que o fluxo linear de Poincar´e admite uma decomposic¸˜ao dominada. Por´em, acrescenta-se a condic¸˜ao de que o campo ´e incompress´ıvel. Isto originalmente est´a feito no artigo . 1 1 Dizemos que um conjunto Λ, compacto e invariante para um campo X ∈ X (M), ´e hiperb ´olico-

  

singular para X, se todas as singularidades de X s˜ao hiperb ´olicas, Λ ´e parcialmente hiperb ´olico, com a

c λt direc¸˜ao central expandindo ´area (i.e. existem C , λ > 0 tais que | det DX | E | ≥ Ce , para todo t > 0). t

1.4. Organizac¸˜ao do texto

1.3.2 Estrutura da prova

  Consideremos um campo vetorial X ∈ G nas condic¸ ˜oes do teorema. Usando o fato de que o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada e µ(Λ) > 0, provamos que o fecho A dos pontos de densidade de Lebesgue de Λ n˜ao possui singularidades. Da´ı, usando um lema, que ´e provado ao longo do texto, conseguimos concluir que A ´e um conjunto hiperb ´olico para X. O segundo passo ´e provar que A ´e aberto e fechado (fechado j´a ´e, pois ´e o fecho de um conjunto). Com isso, temos que A = M, uma vez que M ´e uma variedade conexa. Por fim, basta notar que A = Λ.

1.4 Organizac¸˜ao do texto

  Essa dissertac¸˜ao ´e composta de 4 cap´ıtulos. Na introduc¸˜ao damos as definic¸˜oes e resultados necess´arios para que o enunciado do teorema principal desse trabalho fique claro.

  O cap´ıtulo “Resultados Auxiliares”, ´e o mais extenso de todos. Nele apre- sentamos as ferramentas que s˜ao usadas para provar o teorema principal. Muitos resultados s˜ao apresentados sem demonstrac¸˜ao, uma vez que s˜ao muito t´ecnicos. De- talhar alguns deles poderia dar outra dissertac¸˜ao de mestrado. Neste cap´ıtulo reunimos alguns elementos da Teoria Erg ´odica, da Dinˆamica Hiperb ´olica, da Teoria n˜ao unifor- memente hiperb ´olica de Pesin, dentre outros.

  No cap´ıtulo Essa proposic¸˜ao ´e fundamental no argumento para provar o teorema principal.

  Terminamos a dissertac¸˜ao com o cap´ıtulo “Perspectivas Futuras”, onde dis- cutimos a mesma quest˜ao desse trabalho em dimens˜ao mais alta. N˜ao se sabe o que acontece ainda, mas conjectura-se que com as mesmas t´ecnicas usadas nesse texto, adaptadas `a dimens˜ao mais alta, permita-nos concluir o mesmo, mas agora com a hip ´otese mais forte que o fluxo linear de Poincar´e admita decomposic¸˜ao hiperb ´olica e n˜ao apenas dominada.

  

Cap´ıtulo 1. Introduc¸˜ao

  

Cap´ıtulo 2

Resultados Auxiliares

r s

  2.1 Topologia do espac¸o C (N ) , R r s

  Seja N uma variedade C compacta de dimens˜ao n e denotemos por C (N , R )

  s r r s

  , g C , R o conjunto das aplicac¸ ˜oes de N em R de classe C . Sejam f (N ) e r ∈ N. Definamos as operac¸ ˜oes

  s

  R

  f + g : N x 7→ f (x) + g(x) s

  R

  r · f : N x 7→ r · f (x) . r s

  Com estas operac¸ ˜oes, C (N , R ) ´e um espac¸o vetorial. Iremos munir este espac¸o com uma norma completa.

  , V , . . . , V Consideremos V

  1 2 k uma cobertura finita de N por abertos tal que cada n

  

V est´a contido no dom´ınio de uma carta local ( ϕ , U ), com ϕ (U ) = B(0 , 2) ⊂ R e

i i i i i

  −1 n r s i s

  =

x (V ) = B(0 , 1) ⊂ R . Dado f C (N , R ), denotamos por f f ◦ ϕ : B(0 , 2) → R .

  i i i

  Podemos ent˜ao definir

  i i r i k f k := max { sup k f (u)k , sup kD f (u)k , . . . , sup kD f (u)k} . r i

uB(0 ,1) uB(0 ,1) uB(0 ,1)

r s

  Proposic¸˜ao 2.1. (C (N , R ) , k · k ) ´e um espac¸o de Banach, isto ´e, ´e normado e completo. r r s

  

Demonstrac¸˜ao: ´ E f´acil ver que k · k ´e uma norma. Provemos apenas que (C (N , R ) , k · k )

r r r s

  , R ´e completo. Seja ( f m ) m uma sequˆencia de Cauchy em C (N ). Para cada x N, ( f m (x)) m

  s

  ´e uma sequˆencia de Cauchy em R , logo existe lim f (x). Definamos

  m n→+∞ s

  R

  f : N → . x 7→ lim f (x) m

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares i i

  Em particular, f (u) −−−−−→ f (u), para todo u B(0 , 1). Temos tamb´em que

  m m→+∞ i n s

  (D f (u)) ´e uma sequˆencia de Cauchy em L(R , R ), logo converge para uma aplicac¸˜ao

  n m i n s i i

  − −−−− → linear T (u) ∈ L(R , R ). Provemos a convergˆencia D f T ´e uniforme em B(0 , 1).

  m m→+∞

  , 1) temos De fato, para todo u B(0

  

i i i i i i

kD f (u) − T (u)k ≤ kD f (u) − DX (u)k + kDX (u) − T (u)k . m m l l i i

  ε > 0, existe m ∈ N, tal que se m, l > m < ε/2, Dado

  , ent˜ao kD f (u) − DX (u)k

  m l

  para todo u B(0 , 1). Para cada u B(0, 1), podemos tomar l(u) > m , de modo que

  i i i i kD f (u)−T (u)k < ε/2. Logo, se m > 0 temos kDX (u)−T (u)k < ε, para todo u B(0, 1). m l(u) i 1 i

  = −−−−→ Segue que f ´e C e D f T em B(0 , 1). Assim, f f na norma k · k . Com o mesmo

  m

  1 n→+∞

  − −−−− → racioc´ınio mostramos que f m f na norma k · k r .

  m→+∞ r s

  Pode-se mostrar que a topologia induzida em C (N , R ) n˜ao depende da cober- , . . . , V tura V

  1 k utilizada. r s Proposic¸˜ao 2.2. O subconjunto das aplicac¸˜oes de classe C ´e denso em C (M , R ).

  Veja Proposic¸˜ao 2.5]

  Demonstrac¸˜ao:

  2.1.1 Subvariedades pr ´oximas r

  ε > 0. Dizemos que S Sejam S e S duas subvariedades de classe C de N e

  r r

  e S s˜ao ε − C -pr´oximas se existe um difeomorfismo de classe C h : S S tal que ′ ′ ′ ki ihk ≤ ε, onde i : S N, i : SN s˜ao as inclus ˜oes.

  r r

  2.1.2 Topologia do espac¸o X (N) s r r s r

  Supondo que N ⊂ R , temos que X (N) ⊂ C (N , R ). Assim, n ´os munimos X (N)

  r s r

  , R com a topologia induzida por C (N ). Pode-se provar que X (N) ´e um subespac¸o

  r s

  , R fechado de C (N ). Como corol´ario da Proposic¸˜ao temos o seguinte resultado.

  r Corol´ario 2.3. O subconjunto dos campos de classe C ´e denso em X (M).

2.2 Transversalidade

  r

  Sejam N e P variedades diferenci´aveis e S P uma subvariedade de classe C , com r ≥ 1. Consideremos ainda uma aplicac¸˜ao f : N P uma aplicac¸˜ao de classe

  k C

  , com k ≥ 1. Dizemos que f ´e transversal `a S em um ponto p N se f (p) < S ou

  2.3. Desigualdade do valor m´edio

d f (p)(T N) + T S = T P. (Veja a figura . Dizemos que f ´e transversal `a S, se f ´e

p f (p) f (p)

  transversal `a S em cada p N. Quando isto ocorre, usamos a notac¸˜ao fS.

  N P T f (p) P f f (p)

  T N p p S

  Figura 2.1: Transversalidade Sejam S e S duas subvariedades de N. Dizemos que S ´e transversal `a S

  1

  2

  1

  2

  → N ´e transversal `a S quando a inclus˜ao i : S

  1 2 . Quando a intersec¸˜ao entre S 1 e S 2 ´e n˜ao vazia, usamos a notac¸˜ao S . (Veja a figura .

  1 ⋔ S

  2 N S

  2 S

  1 p

  Figura 2.2: Variedades Transversais

  2.3 Desigualdade do valor m´edio

  Apresentamos aqui uma vers˜ao da desigualdade do valor m´edio em variedades diferenci´aveis.

  1 Teorema 2.4. (desigualdade do valor m´edio) Seja f : N P uma aplicac¸˜ao C entre

  > 0 tal que kD f (x)k ≤ K, para todo

  variedades riemannianas conexas. Suponha que existe K x N. Ent˜ao d( f (p) , f (q)) ≤ Kd(p, q), para todo p, q N.

  , q N. Como N ´e uma variedade conexa, podemos considerar

  Demonstrac¸˜ao: Sejam p

  1

  uma curva α : [0, 1] → N, C por partes tal que α(0) = p e α(1) = p. Defina a curva γ : [0, 1] → P por γ(t) = f (α(t)).

  Temos que Z Z Z

  1 ′ ′ ′

  1

  1

d( f (p) , f (q)) ≤ kγ (t)k dt ≤ kD f (α(t))k · kα (t)k dt K kα (t)k dt .

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares

  1 Tomando o ´ınfimo na express˜ao da direita, nas curvas α : [0, 1] → N, C por partes tal que α(0) = p e α(1) = q, temos que d( f (p), f (q)) ≤ Kd(p, q), como quer´ıamos.

  

Corol´ario 2.5. Nas mesmas hip´oteses do teorema anterior, para todo λ ≥ K tem-se f (B(x, r)) ⊂

, λr), para todo r > 0 e para todo x N.

  B( f (x)

  1 Seja f : N N um difeomorfismo de classe C , com N uma variedade rieman- Teorema 2.6. −1 −1

  k

  

niana compacta e conexa. Ent˜ao, para todo 0 < λ ≤ kD f vale f (B(x , r)) ⊃ B( f (x), λr),

para todo r > 0 e todo x N.

  −1 −1 −1 −1

  k k < λ ≤ kD f , onde kD f = kD f

  

Demonstrac¸˜ao: Seja 0 sup (x)k. Como N ´e

xN

  −1 −1

  k < +∞. Para todo v T compacta, temos que kD f x M,

  −1 −1 kvk = kD f ( f (x)) ◦ D f (x)vk ≤ kD f ( f (x))k · kD f (x)vk .

  Logo kD f (x)vk ≥ λkvk, para todo v T .

  x M (2.1)

  Sejam p , q N quaisquer. Como N ´e conexa, podemos considerar uma curva

  1

  γ : [0, 1] → N, C γ(0) = f (p) e γ(1) = f (q). Defina uma curva por parte, com

  −1

  α : [0, 1] → N, por α(t) = f ( γ(t)). Usando vem Z Z Z

  1 ′ ′ ′

  1

  1 kγ kD f (α(t)) · α λ kα λd(p, q).

  (t)k dt = (t)k dt ≥ (t)k dt

  1 Tomando o ´ınfimo na express˜ao da esquerda, nas curvas γ : [0, 1] → N, C por

  partes tal que γ(0) = f (p) e γ(1) = f (q), tem-se d( f (p), f (q)) ≥ λd(p, q), quaisquer que , q N. Mas esta ´ultima desigualdade implica que f (B(x, r)) ⊃ B( f (x), λr), para sejam p

  > 0 e todo x N. todo r

2.4 Decomposic¸˜ao Dominada

  J´a definimos a noc¸˜ao de decomposic¸˜ao dominada para o fluxo linear de Poin- car´e sobre um conjunto invariante e regular. Definimos agora a noc¸˜ao de decomposic¸˜ao dominada para o fluxo gerado por um campo sobre um conjunto compacto e invari- ante. A noc¸˜ao de decomposic¸˜ao dominada ´e uma forma fraca de hiperbolicidade e foi introduzida inicialmente nos trabalhos de Ma ˜ne, Liao e Pliss na tentativa de provar a conjectura de Palis-Smale.

1 Sejam X ∈ X (M) e Λ ⊂ M um conjunto compacto e invariante por (X ) .

  t t

  Dizemos que Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada para o fluxo (X ) , se existe uma

  t t

  ⊕ F decomposic¸˜ao cont´ınua do fibrado tangente T Λ M = E F, onde T x M = E x x , e satisfaz para cada x ∈ Λ:

2.4. Decomposic¸˜ao Dominada

  (a) E e F s˜ao ambos n˜ao nulos;

  x x

  (b) DX (x)(E ) = E e DX (x)(F ) = F ;

  t x X (x) t x t t X (x)

  (c) existem constantes C , λ > 0 tais que

  −λt kDX (x) | E k ≤ Ce m(DX (x) | F ) , para todo t > 0. t x t x

  Assim como na decomposic¸˜ao dominada do fluxo linear de Poincar´e, temos que a condic¸˜ao (c) ´e equivalente a

  −λt kDX (x) | E k · kDX (X (x)) | F k ≤ Ce . t xt t X t (x)

  Assim, a propriedade (c) nos diz que uma contrac¸˜ao ao longo de E ser´a sempre mais

  x

  forte do que uma expans˜ao ao logo de F X (x) . t

  

Observac¸˜ao 2.7. Quando Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada para (X t ) t , dizemos tamb´em

Λ ⊕ E

s u

que a decomposic¸˜ao do fibrado tangente, T M = E , dada na definic¸˜ao, ´e uma decomposic¸˜ao

dominada do fibrado tangente.

  1 Observac¸˜ao 2.8. Se Λ ´e um conjunto hiperb´olico para o campo X ∈ X (M), ent˜ao Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada para o fluxo (X ) . t t

  ˆ

2.4.1 Angulo entre subespac¸os e ˆangulo afastado de zero

  Sejam V , W T M subespac¸os tais que V W = ∅. Definimos o ˆangulo entre V

  x

  e W por ∡(V, W) = inf{∡(v, w); v V\{0} e w W\{0}}, D E

  v w , ∈ [0, π).

  onde ∡(v, w) = arccos

  kvk kwk x

  Seja Λ um subconjunto de M e suponha que o espac¸o tangente admite uma decomposic¸˜ao T M = EF , para todo x ∈ Λ. Dizemos que o ˆangulo entre E

  x x x x

  e F ´e uniformemente afastado de zero em Λ, se existe uma constante θ > 0 tal que

  x sen( ∡(E x , F x )) ≥ θ.

1 Sejam X ∈ X (M) e Λ ⊂ M um conjunto compacto e invariante por (X t ) t . Se Λ

  admitir uma decomposic¸˜ao dominada pelo fluxo (X ) , ent˜ao o ˆangulo entre E e F ´e

  t t x x

  uniformemente afastado de zero. ´E o que afirma o seguinte

  1 Lema 2.9. Seja Λ ⊂ M compacto e invariante pelo fluxo gerado por um campo X ∈ X (M).

  

Se Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada para o fluxo (X ) , onde a decomposic¸˜ao do espac¸o

t t

  ⊕ F

  

tangente ´e dada por T x M = E x x , ent˜ao o ˆangulo entre E x e F x ´e uniformemente afastado de

zero em Λ.

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares Demonstrac¸˜ao: Veja Lema 4.1.2].

  Quando Λ ´e um conjunto regular e invariante e o fluxo linear de Poincar´e sobre

  s u

  Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada, ent˜ao o ˆangulo entre N e N tamb´em ´e uni-

  x x

  formemente afastado de zero em Λ. ´E o que afirma o pr ´oximo lema, cuja demonstrac¸˜ao ´e uma adaptac¸˜ao da prova do lema usando o fluxo linear de Poincar´e ao inv´es do fluxo gerado pelo campo.

  1

  =

  Lema 2.10. Sejam X ∈ X (M) e Λ ⊂ M regular e invariante pelo fluxo (X ) . Se N Λ t t s u s u

  ⊕ N

  

N ´e uma decomposic¸˜ao dominada do fibrado normal de Λ, ent˜ao o ˆangulo entre N e N ´e

x x uniformemente afastado de zero em Λ. s u s s

  

Demonstrac¸˜ao: Como N e N tˆem dimens˜ao 1, existem vetores unit´arios vN e

x x x x u u s u s u s

  ∈ N , N , v

  

v tal que ∡(N ) = ∡(v ). Al´em disso, dados vetores unit´arios v N e

x x x x x x x u w N quaisquer, temos sen( wk. De fato,

  ∡(v, w)) = kv − hv, wi x

  x

  2

  2

  2

  2

  kv − hv, wi wk = 1 − hv , wi = 1 − cos ( ( (2.2) x ∡(v, w)) = sen ∡(v, w)).

  x s u

  Suponhamos por absurdo que o ˆangulo entre N e N n˜ao ´e uniformemente

  x x

  afastado de zero em Λ. Assim, existem uma sequˆencia (x n ) n em Λ e vetores unit´arios

  s u

  i k −−−−→

  

vN e wN tais que kv − hv , w w , em particular, da primeira

n n n n n x n x x n n n n→+∞

  i −−−−→ igualdade de segue que hv , w

  1. Para todo t > 0 fixo, tem-se

  n n x n n→+∞ t t t

  i i kP (v − hv , w w )k ≥ |hv , w | · kP (w )k − kP (v )k

  

n n n x n n n x n n

x n n x x n n n ! t

  kP (v n )k

  x n t u

  i | − ≥ m(P | N ) |hv , w .

  n n x x x n n n t

  kP (w )k

  x n n t

  kP (v n )k

  x n t u

  −−−−→ Como 0 < m(P | N ) < ∞, segue que

  1. Logo, para n

  x x n n t n→+∞

  kP (w )k

  x n n t

  kP (v )k

  n x n suficientemente grande, > 1/2. t

  kP (w n )k

  x n

  Para chegar a uma contradic¸˜ao, usamos agora o fato do fluxo linear de Poincar´e admitir decomposic¸˜ao (C , λ)-dominada sobre Λ. O argumento acima foi para um t > 0

  log(2C)

  > qualquer. Fixemos t qualquer. Para n suficientemente grande temos que

  λ t s t

  k kP | N kP (v n )k 1 x x x n n n

  −λt

  ≥ ≥ > Ce > 1/2.

  t u t

  2 m(P | N ) kP (w )k

  x x x n n n n

  2.5. Hiperbolicidade do Fluxo Linear de Poincar´e

  2.5 Hiperbolicidade do Fluxo Linear de Poincar´e

  No cap´ıtulo 1 introduzimos a noc¸˜ao de decomposic¸˜ao dominada para o fluxo linear de Poincar´e. Nesta sec¸˜ao damos uma noc¸˜ao mais forte, a hiperbolicidade deste fluxo. Para isso consideremos Λ ⊂ M um conjunto compacto e invariante com relac¸˜ao ao

  1 fluxo gerado por um campo X ∈ X (M). Suponhamos que Λ n˜ao possua singularidades.

t

  . Dizemos Dessa forma, o fluxo linear de Poincar´e (P ) t est´a definido em cada x ∈ Λ

  s u t

  que uma decomposic¸˜ao do fibrado normal N Λ = NN ´e hiperb´olica para (P ) , se

  t s u

  esta decomposic¸˜ao ´e invariante, N ´e uniformemente contra´ıdo e N ´e uniformemente

  −λt t t s

  expandido por (P ) , ou seja, existem constantes C , λ > 0 tais que kP | N k ≤ Ce e

  t x x

  −t u −λt kP | N k ≤ Ce .

  , para todo t ≥ 0

  x x

  O teorema seguinte ´e um exemplo de como podemos utilizar o fluxo linear de Poincar´e para descobrir uma propriedade do fluxo gerado pelo campo de vetores.

  Seja Λ ⊂ M um conjunto compacto e invariante pelo fluxo gerado por um Teorema 2.11.

  1

campo X ∈ X (M). Se Λ ´e regular, ent˜ao Λ ´e hiperb´olico para X se, e somente se, N Λ admite

t uma decomposic¸˜ao hiperb´olica por (P ) . t

  Demonstrac¸˜ao: Veja Teorema 4.2.2]

  2.6 Variedades Invariantes

2.6.1 Singularidades hiperb ´olicas

  1

  σ ∈ M de um campo X ∈ X Dizemos que uma singularidade (M) ´e hiperb´olica, quando { σ} ´e um conjunto hiperb ´olico para X.

  1 Seja σ ∈ M uma singularidade hiperb ´olica de um campo X ∈ X (M). Pode-se

  provar que σ ´e uma singularidade hiperb ´olica para X se, e somente se, o espectro σ) : T do operador DX( σ M T σ M n˜ao possui autovalores com parte real nula, logo

  σ) ´e um isomorfismo. As singularidades hiperb ´olicas s˜ao “persistentes”, no sentido

  DX(

  1

  em que numa vizinhanc¸a do campo X em X (M), todos os campos nessa vizinhanc¸a admitem singularidades hiperb ´olicas. Para isso usamos o Teorema da Func¸˜ao Impl´ıcita em espac¸os, de Banach. Para o pr ´oximo resultado, M n˜ao precisa ter dimens˜ao 3.

1 Proposic¸˜ao 2.12. Sejam X ∈ X (M) e σ ∈ M um singularidade hiperb´olica para X. Ent˜ao,

  1

existem uma vizinhanc¸a V de X em X (M) e uma aplicac¸˜ao cont´ınua ρ : V → M tal que para

ρ(Y) ´e uma singularidade hiperb´olica de Y. cada Y ∈ V,

Demonstrac¸˜ao: Como o problema ´e local podemos supor, usando uma carta local que

m m

  M = B(0 , 1) = {x ∈ R σ = 0 ∈ R

  : kxk ≤ 1} e . Consideremos a aplicac¸˜ao

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares 1 m m

  R →

  F : X (M) × R .

  (Y , x) 7→ Y(x)

  1 m m

  → R Temos que F ´e uma aplicac¸˜ao de classe C , F(X , 0) = 0 e D F(X , 0) = DX(0) : R

  2

  ´e um isomorfismo, onde D ´e a derivada na segunda coordenada. Pelo Teorema

  2

  da Func¸˜ao Impl´ıcita em espac¸os de Banach, segue que existem uma vizinhanc¸a V

  1 m

  ρ : V → R de X em X (M) e uma aplicac¸˜ao cont´ınua tal que para cada Y ∈ V ,

  

Y( ρ(Y)) = F(Y, ρ(Y)) = 0, isto ´e, ρ ´e uma singularidade de Y. Pela dependˆencia cont´ınua

  do espectro em relac¸˜ao ao operador, podemos supor que V ´e suficientemente pequena de modo que ρ(Y) ´e hiperb ´olica, para todo Y ∈ V.

1 Sejam X ∈ X (M) e σ ∈ M um singularidade hiperb ´olica para X. Uma func¸˜ao ρ :

  V → M, como na proposic¸˜ao ´e chamada de continuac¸˜ao anal´ıtica da singularidade σ.

  ´

2.6.2 Orbitas peri ´odicas hiperb ´olicas e elementos cr´ıticos

1 Fixemos um campo X ∈ X (M) e seja O(p) uma ´orbita peri ´odica. Temos que O(p)

  ´e um conjunto compacto e invariante pelo fluxo (X ) . Dizemos que O(p) ´e uma ´orbita

  t t

peri´odica hiperb´olica, quando esta ´orbita ´e um conjunto hiperb ´olico para X. Denotamos

  por Per(X) o conjunto dos pontos que est˜ao em ´orbitas peri ´odicas e por Per h (X) o conjunto dos pontos que est˜ao em ´orbitas peri ´odicas hiperb ´olicas.

  Dizemos que x M ´e um elemento cr´ıtico para o campo X, quando x ´e uma singularidade ou quando x pertence a uma ´orbita peri ´odica. Denotamos por C(X) o conjunto dos elementos cr´ıticos do campo X.

2.6.3 Variedades Invariantes

1 Sejam X ∈ X (M) e x ∈ M, definimos a variedade est´avel de x por

  s

W (x) = {y M : dist(X (x) , X (y)) −−−−→ 0} ,

t t t→+∞

  e o variedade inst´avel de x por

  u

W (x) = {y M : dist(X (x) , X (y)) −−−−→ 0} .

  −tt t→+∞

  Dado ε > 0, definimos o variedade est´avel local de x de tamanho ε por

  s

W , X ε, t ≥ 0},

  (x) = {y M : dist(X t (x) t (y)) ≤

  ε

2.6. Variedades Invariantes

  e o variedade inst´avel local de x de tamanho ε por

  u

W (x) = {y M : dist(X (x) , X (y)) ≤ ε, t ≥ 0}.

  −tt ε

  Os teoremas a seguir garantem que os conjuntos definidos acima s˜ao de fato variedades.

  

Teorema 2.13. (Teorema da Variedade Est´avel) Seja Λ um conjunto hiperb´olico para um

r campo X ∈ X (M) , r ≥ 1. Ent˜ao existe ε > 0 tal que para todo x ∈ Λ tem-se: s r s s s s s

  =

  

(a) W (x) ´e um disco mergulhado C , T x W (x) = E , dim E dim W (x) e W (x) depende

ε ε x x ε ε continuamente de x; s s

  (b) W (x) ⊂ W (x); ε [ s s r

  (c) W (x) =

X W (X (x)) de M.

  −t t e ´e uma subvariedade imersa C ε t >0 s

  Explicitamos agora o que queremos dizer com “W (x) depende continuamente

  ε s k k de x”. Suponhamos que W (x) tenha dimens˜ao k e seja D o disco unit´ario de R .

  ε r k k

  , M) o conjunto de todos os mergulhos do disco D Denotemos por Merg (D em M.

  r k r k l

  Podemos munir Merg (D , M) com a topologia induzida por C (D , R ), supondo que

  l s

M ⊂ R . Assim, dizemos que W (x) depende continuamente de x se existem U, vizinhanc¸a

  ε r k k

  de x, e uma aplicac¸˜ao cont´ınua Θ : U → Merg (D , M) tal que Θ(y)(0) = y e Θ(y)(D ) =

  s W (y).

  ε

  Vale um resultado an´alogo para as variedades inst´aveis. Mais precisamente vale o seguinte

  

Teorema 2.14. (Teorema da Variedade Inst´avel) Seja Λ um conjunto hiperb´olico para um

r campo X ∈ X (M) , r ≥ 1. Ent˜ao existe ε > 0 tal que para todo x ∈ Λ tem-se: u r u u u u u

  =

  

(a) W (x) ´e um disco mergulhado C , T W (x) = E , dim E dim W (x) e W (x) depende

x

  ε ε x x ε ε continuamente de x; u u

  (b) W (x) ⊂ W (x); ε [ u u r

  (c) W (x) =

X W (Xt (x)) e ´e uma subvariedade imersa C de M.

t

  ε >0 t

  O Teorema da Variedade Inst´avel segue imediatamente do Teorema da Varie- dade Est´avel. Basta trocar o campo X, pelo campo −X.

  Observac¸˜ao 2.15.

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares s u

  • Os espac¸os vetoriais E e E s˜ao os mesmo dados na decomposic¸˜ao do espac¸o vetorial

  x x tangente T M, na definic¸˜ao de conjunto hiperb´olico; x

  • Se deduz do Teorema da Variedade Est´avel (Inst´avel) que existe δ > 0, tal que se dist(x, y) <

  s u

  δ, ent˜ao W (x) e W (y) se intersectam transversalmente em um ´unico ponto, com ε

  ε ε suficientemente pequeno. r

  , r ≥ 1, Por fim, dado x ∈ Λ, com Λ hiperb ´olico para o campo X ∈ X (M)

  cs [ [ definimos as variedades centro est´aveis e centro inst´aveis (respectivamente) W (x) = s u cu

  X (W (x)) e W (x) = X (W (x)). Observe que estas variedades s˜ao invariantes t t t∈R t∈R

  pelo fluxo (X ) .

  t t s W (x) s

  E x s u

  W (x) W (y)

  ε ε y x x s

  W (x) ε u u

  W (x) E ε x u

  W (x)

  Figura 2.3: Intersec¸˜ao Transversal

2.6.4 Lema de Inclinac¸˜ao (

  λ-lema) r

  Seja f : M M um difeomorfismo de classe C , r ≥ 1, e p M um ponto fixo de f , isto ´e, f (p) = p. Dizemos que um ponto fixo ´e hiperb´olico, se D f (p) : T M T M

  p p

  n˜ao tem autovalores de m ´odulo igual a 1. Existe um vers˜ao do Teorema da Variedade Est´avel/Inst´avel para pontos fixos hiperb ´olicos que garante a existˆencia de variedades

  s u

  est´aveis e inst´aveis locais W (p) e W (p), respectivamente. (Define-se as variedades

  ε ε

  est´aveis e inst´aveis para difeomorfismos de maneira totalmente an´aloga `a definic¸˜ao para fluxos).

  u u

  Seja B um disco mergulhado em W (p) que ´e vizinhanc¸a de p em W (p) e V

  ε ε s

  uma vizinhanc¸a de B em M. Consideremos D um disco transversal a W (p) em z com

  ε n n

  a mesma dimens˜ao de B. Denotemos por D a componente conexa de f (D) ∩ V que

  n contˆem f (z).

  Podemos agora enunciar o

  n Dado δ > 0, existe n tal que se n > n , ent˜ao D ´e

  Lema 2.16. (Lema de Inclinac¸˜ao) r δ − C -pr´oximo de B.

  2.7. Lemas perturbativos B n D

  D z p

  Figura 2.4: Lema de Inclinac¸˜ao

  2.7 Lemas perturbativos

  Nesta sec¸˜ao reunimos alguns resultados sobre o comportamento dos campos numa vizinhanc¸a de um determinado campo fixo.

2.7.1 O Lema de Franks

  Nesta sec¸˜ao apresentamos um resultado muito ´util que ´e o Lema de Franks para fluxos. Sob determinadas condic¸ ˜oes, que explicitamos a seguir, para qualquer

  2

  pertubac¸˜ao C da derivada de um campo de vetores ao longo de um segmento de

  1 ´orbita compacto, existe um campo C pr ´oximo que realiza essa derivada.

  Para simplificar a notac¸˜ao enunciaremos este lema supondo que M ´e subcon-

  n

  junto compacto de R . Usando cartas locais pode-se generalizar o resultado para variedades diferenci´aveis compactas e sem bordo de dimens˜ao finita.

2 Lema 2.17. (Franks) Sejam Y ∈ X (M), p ∈ M e ε > 0. Dado um segmento de ´orbita

  

Y ,b] (p) := {Y (p) : t ∈ [a , b]} de Y, U uma vizinhanc¸a de Y ,b] (p) e uma fam´ılia de isomorfismos

[a t

  [a n n n

  → R , t ∈ [a, b], onde os coeficiente da A

  lineares A t : R t relativamente `a base canˆonica de R

  2 s˜ao func¸˜oes de classe C em [a , b]. Se para todo s, t tais que t + s ∈ [a, b] tem-se

  =

  (a) A Id e A (Y(Y (p))) = Y(Y (p)); t s t+s

  −1 (b) k ∂ (A A )| − DY(Y (p))k < ε, s t+s s=0 t s

  1

  < ε e Z coincide com Y em M\U. Al´em

  ent˜ao existe um campo Z ∈ X (M) tal que kY Zk

  1 disso, Y (p) = Z (p) e DZ (p) = A para cada t ∈ [a , b]. t t t t Demonstrac¸˜ao: Veja Apˆendice B].

  Notamos no Lema que comec¸amos com um campo de vetores de classe

  2

  1 C

  e obtivemos uma aproximac¸˜ao na norma C . Por resultados de Pujals e Sambarino,

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares

  mesmo se aumentarmos a classe de diferenciabilidade de Y e A , com respeito a t, s ´o se

  t

  1

  ´e capaz de controlar a norma entre o campo Y e o campo Z na norma C . (Para mais detalhes veja ).

2.7.2 Lema de Conex˜ao de Hayashi

  Nessa subsec¸˜ao apresentamos o lema de conex˜ao de Hayashi adaptado a fluxos incompress´ıveis. Este lema diz que se dois pontos distintos, p e q, visitam uma dada vizinhanc¸a de x est˜ao afastados de um pedac¸o da ´orbita de x no passado, ent˜ao ´e

  1 poss´ıvel encontrar um campo Y ,C -pr ´oximo de X tal que p e q est˜ao na mesma ´orbita.

  Veja figura

  p x B(x , ε/ρ) B(X (x) , ε)

  [−L ,0] q

  ´ Orbita do campo Y

  ´

  XL (x)

  Orbita do campo X Figura 2.5: Conex˜ao de Hayashi

  Para o resultado a seguir, precisamos introduzir algumas notac¸ ˜oes. Dado

  1 + X ∈ X (M) e p M, definimos a ´orbita positiva e negativa de p por

  O (p) = {X t (p) : t ≥ 0};

  X O

  (p) = {X (p) : t ≤ 0} ,

  

t

  X

  respectivamente. Al´em disso, dado um intervalo I ⊂ R definimos .

  X I (p) = {X t (p) : t I} Seja X Lema 2.18. (Lema de Conex˜ao de Hayashi para Fluxos Incompress´ıveis.)

  1

  1 X

  (M) e x < S(X). Para cada vizinhanc¸a U de X em X (M), existem ρ > 1, L > 0 e ε > 0 tais

  µ µ que para cada ε ∈ (0, ε ) e quaisquer dois pontos p , q M satisfazendo:

  , q < B

  • + 1. p ε (X [−L ,0] (x));

  2. O (p) ∩ B (x) , ∅; ε/ρ

  X

  3. O

  (q) ∩ B ε/ρ (x) , ∅,

  • + 2.7. Lemas perturbativos existe Y ∈ U tal que Y = X fora de B (X (x)) e q ∈ O (p).

  ε [−L ,0] Y Demonstrac¸˜ao: Veja Teorema 2.20].

  ´E uma consequˆencia do lema de conex˜ao de Hayashi o seguinte

  1 Teorema 2.19. Seja X ∈ X (M), σ uma singularidade hiperb´olica de X e ε > 0. Se existem µ u

  σ)\{0} e q M\C(X) tais que para toda vizinhanc¸a U de p e V de q, existem x U

  p W (

  X

  1

  1

e t ≥ 0 tais que X (x) ∈ V, ent˜ao existe um campo Y ∈ X (M), ε-C - pr´oximo de X, e T > 0

t

  µ u ss

tal que p W ( ρ (Y)) e Y (p) = q. Al´em disso, se q W (x)\O (x) para algum x C(X)

1 T

  X Y X ss

hiperb´olico, ent˜ao Y pode ser escolhido de modo que q W ( ρ (Y))\O ( ρ (Y)), onde ρ e ρ

  2 Y

  2

  1

  2 Y s˜ao as continuac¸˜oes anal´ıticas de σ e x, respectivamente.

  Veja Teorema 2.21].

  Demonstrac¸˜ao:

2.7.3 Bifurcac¸ ˜oes de Conex ˜oes Sela

  Uma ´orbita homocl´ınica associada a uma singularidade σ de um campo X

1 X

  (M) ´e uma ´orbita regular Γ = O(p) satisfazendo lim

  

X (p) = σ = lim

X (p) . t t t→+∞ t→−∞

  Dizemos que existe uma conex˜ao sela-foco associada σ, quando DX(σ) admite um autova- lor complexo e a variedade invariante associada ao autovalor real (lembre que M tem dimens˜ao 3) est´a contida na variedade invariante associada ao autovalor complexo.

  σ. Desta forma, existe uma ´orbita Γ homocl´ınica associada a

  Γ

  s

  σ)

  W ( Figura 2.6: Conex˜ao sela-foco.

  A existˆencia de uma conex˜ao sela-foco ´e um fen ˆomeno “raro” e pode ser des- feito por pequenas pertubac¸ ˜oes do campo. Suponha que existe uma conex˜ao sela-foco

  1

  associada a uma singularidade σ de um campo X ∈ X (M). A variedade invariante de σ associada ao autovalor complexo ´e tem dimens˜ao 2 e divide B ε ( σ) em duas compo- nentes conexas. Sem perda de generalidade, suponhamos que a variedade invariante

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares

  associada ao autovalor complexo ´e a est´avel e a associada ao autovalor real ´e inst´avel (caso contr´ario, consideramos o campo −X ao inv´es de X). Atrav´es de pertubac¸ ˜oes

  1 l

  

C do campo X, podemos considerar uma fam´ılia (X ) , onde I ´e um intervalo aberto

lI l

  = ω contendo o zero, de campos pr ´oximos de X tal que X X, (x) intersecta uma das

  X

  componentes quando l > 0, e intersecta a outra componente quando l < 0, qualquer

  u

  que seja x W (x). A mudanc¸a de comportamento dos campos quando l = 0 ´e o que chamamos de bifurcac¸˜ao da conex˜ao sela. Dizemos que em l = 0 a dinˆamica est´a dobrada ou encaixada e l , 0 ´e um desdobramento da dinˆamica. (Veja a figura .

  l > 0

  Γ

  x l = 0 z y

  < 0

  l Figura 2.7: Bifurcac¸˜ao da conex˜ao sela-foco.

  O resultado a seguir garante que se um campo X admite uma conex˜ao sela- foco associada a uma singularidade σ, ent˜ao podemos desdobrar a dinˆamica de modo a obter um campo, tal que pr ´oximo da ´orbita homocl´ınica Γ, existem ´orbitas peri ´odicas el´ıpticas, isto ´e, os expoentes de Lyapunov ao longo de Γ s˜ao nulos.

  l

  7 Teorema 2.20. Seja (X ) uma fam´ılia de campos conservativos de classe C , onde I ´e um lI

intervalo aberto contendo o zero e X admite uma conex˜ao sela-foco Γ (como acima). Ent˜ao para

l

  1 l suficientemente pr´oximo de zero, X possui ´orbitas peri´odicas el´ıpticas C -pr´oximas de Γ.

  Demonstrac¸˜ao: Veja .

  2.7. Lemas perturbativos

  2.7.4 Inclination-Flip e Orbit-flip

  1

  σ de X ´e tipo Lorenz, se DX(σ) Seja X ∈ X (M). Dizemos que uma singularidade tem trˆes autovalores reais λ , λ e λ satisfazendo λ < λ < 0 < −λ < λ .

  1

  2

  3

  2

  3

  3

  1

  1 Consideremos ent˜ao um campo X ∈ X (M), com uma singularidade σ tipo u ss s

  Lorenz e λ , λ e λ como acima. Sejam E , E e E os autoespac¸os associados a λ , λ

  1

  2

  3

  1

  2

  λ λ < λ < 0 garante a existˆencia de uma variedade e

  3 , respectivamente. A condic¸˜ao

  2

  

3

ss s

  invariante W ( σ) ⊂ W ( σ), chamada variedade est´avel forte, tangente ao autoespac¸o

  cu

  associado a λ . Existem tamb´em variedades invariantes W ( σ), chamadas de centro-

  2 s u

inst´aveis, tangentes ao espac¸o EE . (Para uma demonstrac¸˜ao desses fatos veja ).

  Seja Γ uma ´orbita homocl´ınica associada a σ. As seguintes condic¸ ˜oes s˜ao

  1

  gen´ericas, isto ´e, s˜ao verdadeiras em um subconjunto residual de campos em X (M) exibindo uma ´orbita homocl´ınica associada a uma singularidade tipo Lorenz (para mais detalhes veja ):

  cu s cu s

  (G1) W ( σ) interseta W ( σ) transversalmente e Γ = W ( σ) ( σ); ⋔ W

  ss σ) = ∅.

  (G2) Γ ∩ W ( Quando a propriedade (G1) falha, dizemos que Γ ´e do tipo inclination-flip (veja a figura .

  Γ Γ

  u W ( σ) cu

  σ)

  W ( s

  W ( σ) s ss

  W ( σ) W ( σ)

  σ ss σ)

  W (

  σ (a) Inclination-flip. (b) Orbit-flip.

  Figura 2.8: Inclination-flip e orbit-flip

  1 Um campo de vetores C , admitindo uma ´orbita homocl´ınica do tipo orbit-flip,

  1

  pode ser aproximado por outro campo C admitindo uma ´orbita homocl´ınica do tipo inclination-flip. ´E o que garante o seguinte

  1 Seja X ∈ X

Teorema 2.21. (M) admitindo uma ´orbita homocl´ınica do tipo orbit-flip. Ent˜ao,

  1

dado ε > 0, existe Y ∈ X (M), admitindo uma ´orbita homocl´ınica do tipo inclination-flip tal

que kX Yk < ε.

  1 Demonstrac¸˜ao: Veja .

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares Inclination-flip e a decomposic¸˜ao dominada do fluxo linear de Poincar´e

  Notamos que a existˆencia de uma ´orbita homocl´ınica Γ do tipo inclination-

  1

  flip para um campo X ∈ X (M), implica que o fluxo linear de Poincar´e associado a X n˜ao pode admitir uma decomposic¸˜ao dominada. De fato, a definic¸˜ao de inclination-flip

  cu s

  σ) e W σ) ao longo de uma ´orbita regular do implica que existe uma tangˆencia entre W ( (

  t

  fluxo (X ) . Seja (P ) o fluxo linear de Poincar´e ao longo de Γ e suponhamos por absurdo

  t t t t s u

  = que (P ) admite uma decomposic¸˜ao dominada. Seja N Γ NN a decomposic¸˜ao do

  t

  fibrado normal de Γ dada na definic¸˜ao de decomposic¸˜ao dominada do fluxo linear de Poincar´e. Lembramos que essa decomposic¸˜ao ´e ´unica (veja a Observac¸˜ao . Usando o fato que σ ´e hiperb ´olica e a continuidade da derivada do fluxo, podemos mostrar que

  t u u s

  = lim P (N ) = lim N E , para todo x ∈ Γ.

  x x

X (x)

t t→+∞ t→+∞

  σ que Mas pelo fato de Γ ser do tipo inclination-flip, para pontos de Γ pr ´oximos de est˜ao ”se afastando”de σ, tem-se que

  t u u ss

  = lim P (N ) = lim N E ,

  x x X t (x) t→+∞ t→+∞ o que ´e um absurdo.

2.8 Elementos da Teoria Erg ´odica

  Um dos principais objetivos do estudos dos sistemas dinˆamicos ´e descrever o comportamento assint ´otico de um ponto x M segundo a ac¸˜ao de uma aplicac¸˜ao, ou no nosso caso, sob a ac¸˜ao de um fluxo. Por´em, na maioria dos casos, esse trabalho na sua total generalidade ´e imposs´ıvel. A Teoria Erg ´odica, a grosso modo, tentar explicar o comportamento de pontos t´ıpicos, ou seja, da maioria dos pontos para uma determinada medida invariante.

  Nesta sec¸˜ao introduzimos conceitos e resultados que s˜ao ´uteis para o desen- volvimento deste trabalho. Assumimos aqui que M tem dimens˜ao finita, n˜ao necessa- riamente igual a 3.

2.8.1 Recorrˆencia de Poincar´e

  Apresentaremos agora as duas vers ˜oes do conhecido Teorema de Recorrˆencia

  1

  de Poincar´e. Lembramos que um campo X ∈ X (M) preserva uma medida ν, se para todo boreliano A M, ν(X t (A)) = ν(A), para todo t ∈ R. Al´em disso, denotamos por

  1

1 X ν.

  (M) o subconjunto dos campos em X (M) que preservam a medida

  ν

2.8. Elementos da Teoria Erg ´odica

  1 Teorema 2.22. (Recorrˆencia de Poincar´e vers˜ao mensur´avel.) Seja X ∈ X (M), onde ν ν

´e uma medida finita definida na σ-´algebra dos borelianos de M. Se E ´e um boreliano tal que

  ν(E) > 0, ent˜ao existe uma sequˆencia de n ´umeros reais t ր +∞ tal que X (x) ∈ E, para

  n t n ν-quase todo ponto x E.

  1 Demonstrac¸˜ao: Basta provar o lema para X 1 (o tempo 1 do fluxo (X t ) t ). Sejam X ∈ X (M), ν

  ν(E) > 0.

  f = X 1 e E um boreliano de M, com n

  = {x E : f Definamos E (x) < E para todo n ∈ N} e provemos inicialmente

  −n

  ν(E que ) = 0. Observamos que a fam´ılia ( f (E )) n∈N ´e disjunta. De fato, suponhamos

  −ijij

  por absurdo que existem j > i ≥ 1 tais que f (E ) ∩ f (E ) , ∅. Seja x f (E ) ∩ f (E )

  i ji j e y = f (x) ∈ E . Logo f (y) = f (x) ∈ EE. Absurdo, pois j i ≥ 1 e y E .

  Temos ent˜ao que     [ + + + ∞ ∞ ∞ X X    nn ν = ν( f ν(E .     f (E ) (E )) = )

  n=1 n=1 n=1 Como a medida ν ´e finita, segue que ν(E ) = 0. n

  Consideremos agora F = {x E : o conjunto {n ∈ N : f (x) ∈ E} ´e finito} e [ ∞ +

  −n

  ν(F) = 0. Por definic¸˜ao do conjunto F, temos que F ⊂ provemos que

  f (E ). Logo n=1 ν(F) = 0 e o lema est´a provado.

  1 Dizemos que x M ´e recorrente para o fluxo (X t ) t , com X ∈ X (M), se existe uma

  ր +∞ tal que lim sequˆencia t n

  X t (x) = x. Temos o seguinte n n→+∞

  1

  ν uma

  Teorema 2.23. (Recorrˆencia de Poincar´e vers˜ao topol ´ogica.) Seja X ∈ X (M) e ν medida finita definida nos borelianos de M. Ent˜ao, ν-quase todo ponto x M ´e recorrente.

  

Demonstrac¸˜ao: Novamente, basta provar o teorema para o tempo 1 do fluxo (X ) ,

t t

f = X . Como M ´e uma variedade compacta, ent˜ao existe {U : k ∈ N} uma base

  1 k n

  = enumer´avel de abertos. Para cada k ∈ N, seja ˜ U {x U : f (x) < U para todo n

  k k k

  N }. Como vimos na demonstrac¸˜ao do teorema ν( ˜ [ +

  U k ) = 0, para todo k ∈ N. Logo,

  ˜ sendo ˜ U = U , temos que ν( ˜ U) = 0. Provaremos que todo ponto de M\ ˜ U ´e recorrente

  k k=1

  para o fluxo (X ) .

  t t Sejam x M\ ˜ U e V uma vizinhanc¸a de x. Existe k ∈ N tal que x ∈ ˜ UV. k n

  Como x < ˜ U , existe n ∈ N tal que f (x) ∈ ˜ UV. Como V ´e uma vizinhanc¸a arbitr´aria,

  k k n k

  ր +∞ ta tal que f existe uma sequˆencia de naturais n k (x) −−−−→ x , como quer´ıamos.

  k→+∞

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares

  2.8.2 Ergodicidade

  1

  ν uma medida de probabilidade boreliana em M e X ∈ X Sejam

  (M). Dizemos

  ν

  que ν ´e erg´odica para X, se para todo A M mensur´avel e invariante pelo fluxo (X ) ,

  t t tem-se ν(A) ∈ {0, 1}. ` As vezes dizemos tamb´em que o par (X , ν) ´e erg ´odico.

  Se (X , ν) n˜ao ´e erg ´odico, ent˜ao existe A M, mensur´avel e invariante, com < ν(A) < 1. Dessa forma, poder´ıamos estudar o fluxo (X

  t ) t restrito ao conjunto

A e ao seu complementar, separadamente. Portanto, quando (X , ν) ´e erg ´odico, j´a n˜ao

  podemos decompor M em conjuntos invariantes, a menos de medida nula. Na pr ´oxima subsec¸˜ao veremos que toda medida probabilidade invariante, pode ser decomposta em uma combinac¸˜ao convexa generalizada de medidas erg ´odicas.

  Antes de enunciar a proposic¸˜ao a seguir, vamos introduzir alguma terminolo-

  1

  gia. Sejam X ∈ X (M) e x M. O conjunto ω-limite de x ´e o conjunto ω (x) dos pontos

  X

y M tais que existe uma sequˆencia de n ´umeros reais t ր +∞ tal que X (x) −−−−→ y.

n t n n→+∞

  Em outras palavras, o ω -limite de x ´e o conjunto dos pontos de acumulac¸˜ao da ´orbita

  X

  α futura de x. De modo an´alogo definimos o conjunto

  X -limite de x, ou seja, o con-

  α -limite de x ´e o conjunto α(x) dos pontos y M tais que existe uma sequˆencia junto

  X

  de n ´umeros reais t ց −∞ tal que X (x) −−−−→ y. Quando n˜ao houver confus˜ao,

  n t n n→−∞

  denotaremos o α-limite e ω-limite de x simplesmente por α(x) e ω(x), respectivamente.

  As noc¸ ˜oes apresentadas nessa sec¸˜ao, s˜ao definidas de modo natural para dife- omorfismos de M em M.

  

Proposic¸˜ao 2.24. Sejam N uma variedade riemanniana compacta e ν uma probabilidade

  1 α(x) = ω(x) = N, para ν-quase todo x N. erg´odica para um campo X ∈ X (N). Ent˜ao

  ν Demonstrac¸˜ao: Veja .

  2.8.3 Decomposic¸˜ao Erg ´odica

  Antes de enunciar o teorema que garante que medidas invariantes s˜ao, num certo sentido que explicitaremos, combinac¸˜ao convexa de medidas erg ´odicas, precisa- mos introduzir algumas terminologias.

  Sejam ν uma probabilidade boreliana em M e P uma partic¸˜ao de M em subcon- juntos mensur´aveis. Denotaremos por π : M → P a projec¸˜ao natural que associa a cada

  

x M o elemento P(x) da partic¸˜ao que o cont´em. Atrav´es dessa projec¸˜ao podemos

  munir P de uma estrutura de espac¸o de probabilidade, da seguinte forma. Definimos

  −1

  uma σ-´algebra de subconjuntos de P dizendo que Q ⊂ P ´e mensur´avel se π (Q) ´e um boreliano de M. Em seguida, definimos a medida quociente ˆ ν por

  −1 ν(Q) = ν(π , para cada Q mensur´avel de P.

  ˆ (Q))

  2.9. Hiperbolicidade n˜ao uniforme Podemos agora enunciar o Teorema da Decomposic¸˜ao Erg ´odica.

  1 ν uma probabilidade.

  Teorema 2.25. (Decomposic¸˜ao Erg ´odica.) Seja X ∈ X (M), com ν

  

Ent˜ao existe um boreliano MM com ν(M ) = 1, uma partic¸˜ao P de M em subconjuntos

mensur´aveis e uma fam´ılia de probabilidades { ν : P ∈ P} em M, satisfazendo

P

  (a) ν (P) = 1 para ˆ ν-quase todo P ∈ P; P

  (b) P → ν (E) ´e uma aplicac¸˜ao mensur´avel, para todo conjunto mensur´avel E M; P

  (c) ν P ´e erg´odica para X, para ˆ ν-quase todo P ∈ P; Z ν(E) = ν ν(P), para todo conjunto mensur´avel E M. (d) P (E) d ˆ Demonstrac¸˜ao: Veja Teorema 5.1.3].

  O lado direito da relac¸˜ao (d) ´e o que chamamos de combinac¸˜ao convexa gene-

ralizada das probabilidade erg ´odicas ν , em que cada ν entra com peso igual a ˆ ν(P).

  P P ν ν.

  Chamamos cada P de componente erg´odica de Vejamos o caso particular em que a partic¸˜ao dada pelo teorema acima ´e fi-

  , P , ..., P } e {ν , ν , ..., ν } s˜ao a partic¸˜ao e a fam´ılia de nita. Suponhamos que P = {P

  1 2 n

  1 2 n

  probabilidades dadas pelo Teorema Notamos que neste caso X n ν = ν({P })δ } .

  ˆ ˆ i {P i

  i=1

  Assim, usando a relac¸˜ao (d) temos que Z n X ν(E) = ν ν(P) = ν({P }) · ν ,

  P (E) d ˆ ˆ i i (E) P i=1 n

  para todo E M. Como ν({P ˆ }) = 1, ent˜ao neste caso, temos que ν ´e uma

  i i=1

  ν , i = 1, 2, ..., n. combinac¸˜ao convexa, no sentido usual, das probabilidades erg ´odicas i O Teorema da Decomposic¸˜ao Erg ´odica tem diversas aplicac¸ ˜oes importantes.

  Neste texto o usaremos para reduzir um certo argumento ao caso em que a medida ´e µ erg ´odica. Isso ser´a feito no cap´ıtulo com a medida A que ´e definida a seguir na sec¸˜ao

  

  2.9 Hiperbolicidade n˜ao uniforme

  Apresentamos aqui os resultados de Teoria Erg ´odica Diferenci´avel que vamos usar no resto do texto.

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares

2.9.1 Expoentes de Lyapunov e Teorema de Oseledets

1 Dado um campo X ∈ X (M) definimos o expoente de Lyapunov de X em x ∈ M na

  direc¸˜ao v T M por x

  1 L(x , v) = lim inf log kDX (x)vk .

  t t→+∞

t

  Para o pr ´oximo resultado podemos assumir que M tem dimens˜ao finita e maior ou igual a 3.

  1 Teorema 2.26. (Teorema Erg ´odico Multiplicativo de Oseledets) Seja X ∈ X (M). Ent˜ao ν k(x)

  1

  2

  ν quase todo ponto x M, existe uma decomposic¸˜ao TE ⊕ · · · ⊕ E

  para x M = E e n ´umeros x x x

  χ (x) < χ (x) < · · · < χ (x) tais que

  1 2 k(x) i i

  =

  (a) DX (x) · E E , i = 1, 2, . . . , k(x); t x

  X (x) t

  1

  i (b) L(x , v) = χ (x) = lim log kDX (x)vk, para todo v E \{0}; i t x t→+∞ t (c) quaisquer que sejam, I , J ⊂ {1, 2, ..., k(x)} disjuntos, tem-se M M

  1

  j i

  lim log E , E ) = 0 , ∡(

  X (x) t X t (x) t→±∞ t iI iJ em ν quase todo o ponto; (d) para µ-quase todo ponto x M, tem-se X k(x)

  1

  i lim log | det DX (x)| = χ (x) dim E . t i x t→±∞ t i=1

  χ < χ < · · · < χ Os n ´umeros

  1 (x) 2 (x) k(x) s˜ao chamados simplesmente de expoentes

de Lyapunov de X em x. No item (c) dizemos que h´a decaimento subexponencial de

ˆangulos.

  Notamos que na direc¸˜ao do fluxo o expoente de Lyapunov correspondente ´e nulo. De fato,

  1

  1 lim log kDX (x) · X(x)k = lim log kX(X (x))k = 0 ,

  t t t→+∞ t→+∞ t t

  uma vez que x 7→ kX(x)k ´e uma aplicac¸˜ao limitada. Assim, a direc¸˜ao do fluxo ´e um dos subespac¸os na decomposic¸˜ao de T x M.

  

Observac¸˜ao 2.27. Observe que no nosso caso, em que X preserva a medida de volume µ, temos

que | det DX t (x)| = 1, para todo x M. Portanto, X k(x) i

  = χ (x) dim E .

  i x

2.9. Hiperbolicidade n˜ao uniforme

  

Al´em disso, como estamos trabalhando com fluxos em dimens˜ao 3, temos 3 expoentes de Lyapu-

nov (n˜ao necessariamente distintos), χ (x) ≤ 0 ≤ χ (x) e um terceiro na direc¸˜ao do campo que

s u ´e nulo. s u

  χ

  Denotaremos E (respec. E ) o espac¸o vetorial associado ao expoente de Lyapunov s (x) x x (respec. χ (x)). u

  O pr ´oximo resultado nos d´a uma caracterizac¸˜ao das ´orbitas peri ´odicas para campos pr ´oximos de um campo X cujo fluxo linear de Poincar´e sobre um conjunto Λ possui decomposic¸˜ao dominada.

1 Lema 2.28. Sejam X ∈ X (M) e um conjunto invariante e regular Λ ⊂ M, tal que o fluxo linear

  

de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Ent˜ao existe uma vizinhanc¸a U de

  1

  Λ η > 0 tais que para cada Y ∈ U, cada ´orbita peri´odica

  , uma vizinhanc¸a U de X em X (M) e

de Y contida em U ´e hiperb´olica do tipo sela e os expoentes de Lyapunov (n˜ao nulos) χ e χ

s u

satisfazem χ < −η e χ > η. Al´em disso, o ˆangulo entre as direc¸˜oes inst´aveis e est´aveis dessas

s u ´orbitas peri´odicas ´e maior que η.

  1 Demonstrac¸˜ao: Sejam U vizinhanc¸a de Λ e U vizinhanc¸a de X em X (M) dadas pelo

  Lema Sejam Y ∈ U e O Y (q) = {Y t (q) : t ∈ R} uma ´orbita peri ´odica de Y de per´ıodo

  t

  τ . Provemos primeiramente que O ´e tipo sela. Seja P o fluxo linear de Poincar´e com

  Y q t

  respeito a Y. Pelo Lema P admite uma decomposic¸˜ao (C , λ)-dominada. Seja m ∈ Z

  q −λτ m

  tal que Ce < 1/2. Assim,

  τ m s

  k kP |N

  q q

  1 < . (2.3)

  τ m u

  k kP |N

  2

  q q

  Seja P uma sec¸˜ao transversal que passa por q, ortogonal ao vetor Y(q). Sendo

  

R a transformac¸˜ao de primeiro retorno de Poincar´e definida em uma vizinhanc¸a de q

τ(q) τ

  = τ ´e a func¸˜ao tempo de primeiro retorno. em P teremos que DR(q) = P P , onde

  q q τ

  σ(P σ(DR(q)) = σ(DY λ , λ }, onde σ(T), representa o Logo ) = τ (q)|N q ) = { s u

  q m

  espectro do operador T. Por temos que (| λ |/|λ |) < 1/2. Logo,

  s u

  λ |) + 2k < log(|λ |), log(| s u (2.4)

  −1 onde 2k = m log(2).

  Pelo Lema k depende apenas das constantes na dominac¸˜ao de Λ. Como X ´e incompress´ıvel podemos tomar ε < k/2 de modo que

  −ε ε e < |λ | · |λ | < e , s u (2.5)

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares se necess´ario, diminu´ımos a vizinhanc¸a U.

  Por , − log(| λ |) − ε < log(|λ |), o que implica que − log(|λ |) − ε + 2k <

  u s u

  log(| λ |) + 2k < log(|λ |). Logo log(|λ |) > k − ε/2 > 0. Por outro lado, ainda por ,

  s u u λ |) < ε − log(|λ |), o que implica que, log(|λ |) < ε − (k − ε/2) = 3ε/2 − k < 0.

  log(| s u s Portanto, existe η > 0, que n˜ao depende de Y ∈ U (depende apenas da vizinhanc¸a U

  1

  de X em X (M)) tal que log(| λ |) < −η e log(|λ |) > η. Segue ent˜ao que O (q) ´e do tipo

  s u Y η −η

  = = sela pois, | λ | > e > 1 e |λ | < e < 1. Agora basta notar que χ log | λ | e χ |λ | s˜ao

  u s s s u u

  expoentes de Lyapunov (n˜ao nulos) do fluxo gerado pelo campo Y ao longo da ´orbita O Y (p).

  Provemos agora que o ˆangulo entre as direc¸ ˜oes est´aveis e inst´aveis de ´orbitas peri ´odicas em U ´e afastado de zero. Suponhamos por absurdo que n˜ao. Ent˜ao existe uma sequˆencia de campos (Y ) em U, convergindo para X, e ´orbitas peri ´odicas O

  n n n

  α de Y n contidas na vizinhanc¸a U de Λ tais que o ˆangulo n entre as direc¸ ˜oes est´aveis e inst´aveis de O n tende a zero quando n tende a infinito.

  1

  ∈ X Pelo lema (lema de Franks), para cada n ∈ N existe Z (M) tal que

  n

  k kZY < 1/n, O tamb´em ´e ´orbita de Z . Podemos escolher os isomorfismos A no

  n n 1 n n t

  lema subsec¸˜ao 4.2.3]). Para n grande teremos que Z ∈ U. Isto contradiz a primeira parte deste lema. Logo o ˆangulo entre

  n

  as direc¸ ˜oes est´aveis e inst´aveis de qualquer campo em U tem que ser maior que uma constante positiva.

  η pequeno o suficiente que satisfac¸a χ < −η, χ > η e o ˆangulo Podemos fazer

  s u η.

  entre as direc¸ ˜oes inst´aveis e est´aveis dessas ´orbitas peri ´odicas ´e maior que

2.9.2 Medidas Hiperb ´olicas Pontos de densidade de Lebesgue

  Seja Λ ⊂ M um boreliano. Dizemos que x M ´e um ponto de densidade de

  Lebesgue se

  µ(Λ ∩ B(x, r)) lim =

  • + 1 .

  r→0

  µ(B(x, r)) Denotaremos por D(Λ) o conjunto dos pontos de densidade de Lebesgue de Λ. ´E conhecido da Teoria da Medida e Integrac¸˜ao o seguinte resultado:

  n n

  Lema 2.29. Se C ⊂ R ´e um boreliano e m ´e a medida de Lebesgue em R , ent˜ao

  , r))

  m(C B(x

  lim (x) m-q.t.p. , = 1 C

  • + r→0

  m(B(x , r)) ´e a func¸˜ao indicadora do conjunto C. onde 1 C

2.9. Hiperbolicidade n˜ao uniforme

  Usando cartas locais podemos demonstrar a seguinte

  Se Λ ⊂ M ´e um boreliano, ent˜ao Proposic¸˜ao 2.30.

  µ(Λ ∩ B(x, r)) lim Λ (x) µ-q.t.p.. + = 1

  r→0

  µ(B(x, r))

  

Observac¸˜ao 2.31. Segue da proposic¸˜ao acima que µ-quase todo ponto de um boreliano Λ ´e um

  , r) , ∅, para r > 0

  ponto de densidade de Λ. Al´em disso, se x D(Λ), temos que Λ ∩ B(x suficientemente pequeno. Temos ent˜ao que D(Λ) ⊂ Λ. Portanto, temos que D(Λ) = Λ.

  Medidas Hiperb ´olicas

  1 Suponhamos que X ∈ X (M), onde ν ´e uma probabilidade. Dizemos que ν ν

  ´e uma medida n˜ao uniformemente hiperb´olica (ou simplesmente hiperb´olica) se todos os expoentes de Lyapunov de X com respeito a medida ν s˜ao n˜ao nulos, exceto na direc¸˜ao do fluxo.

  1 Proposic¸˜ao 2.32. Sejam X ∈ X (M) e Λ ⊂ M conjunto regular invariante por (X t ) t , tal que µ

o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Se µ(Λ) > 0, ent˜ao a

medida µ dada por

  A

  µ(E A) µ

  A (E) =

  µ(A) ´e n˜ao uniformemente hiperb´olica, onde A = D(Λ).

  

Demonstrac¸˜ao: Provemos primeiramente que D(Λ) ´e invariante pelo fluxo. Sejam

x D(Λ) e t ∈ R . Temos

  µ(Λ ∩ B(x, r)) µ(Λ ∩ X , r)))

  t (B(x

  = , 1 = lim lim (2.6)

  • + +

  r→0 r→0

  µ(B(x, r)) µ(X (B(x , r)))

  t

  pois o fluxo X ´e incompress´ıvel e Λ ´e invariante pelo fluxo (X ) . Em seguida, provare-

  t t

  mos que µ(Λ ∩ B(X (x) , r))

  t

  = + lim 1 ,

  r→0

  µ(B(X (x) , r))

  

t

  que ´e equivalente a

  c

  µ(Λ ∩ B(X (x) , r))

  t lim = .

  • + r→0

  µ(B(X , r))

  t (x)

  Pelo Teorema existe c > 0 tal que B(X (x) , r) ⊂ X (B(x , r/c )), para todo r > 0. Da´ı

  1 t t

  1

  seque que

  c c

  µ(Λ ∩ B(X (x) , r)) µ(Λ ∩ X (B(x , r/c ))) µ(B(x, r/c ))

  t t

  1

  1

  ≤ · .

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares c

  µ(Λ ∩ X (B(x , r/c ))) µ(B(x, r/c ))

  t

  1

  1

  −−−→ De segue que

  0. Assim, basta mostrar que +

  r→0

  µ(X (B(x , r/c ))) µ(B(X (x) , r))

  t

  1 t

  ´e limitado (como func¸˜ao de r) para r > 0. Usando o corol´ario temos que existe uma constante c > 0 tal que X (B(x , r/c )) ⊂ B(X (x) , r), para todo r > 0. Usando isto e o fato

  2 t 2 t

  de que µ ´e preservada pelo fluxo, obtemos µ(B(x, r/c )) µ(B(x, r/c ))

  1

  1

  ≤ . µ(B(X , r)) µ(B(x, r/c

  t (x) 2 ))

  Para r suficientemente pequeno, existem n ´umeros L (x) , L (x) > 0 tais que

  1

  2

  3

  3

r /L (x) ≤ µ(B(x, r/c )) ≤ L (x)r

  1

  1

  1 .

  3

  3

  /L µ(B(x, r/c

  r 2 (x) ≤ 2 )) ≤ L 2 (x)r

  Portanto segue µ(B(x, r/c ))

  1 ≤ L .

  1 (x)L 2 (x)

  µ(B(X , r))

  t (x)

  Com isso conclu´ımos que

  c

  µ(Λ ∩ B(X (x) , r))

  t

  lim = ,

  r→0

  µ(B(X , r)) +

  

t

  (x) ou seja, D(Λ) ´e invariante pelo fluxo. Usando a continuidade do fluxo, temos que A = D(Λ) tamb´em ´e invariante pelo fluxo.

  µ µ Claro que A (M) = 1, logo, A ´e uma medida de probabilidade. Provemos que

  X preserva a medida µ . Seja E M um boreliano. Temos, para cada t ∈ R, que A

  µ(A E) µ(A X

  t (E))

  = = µ A (E) = µ A (X t (E)) ,

  µ(A) µ(X (A))

  t pois X ´e incompress´ıvel e A ´e invariante por (X ) . t t

  Pelo lema temos que Λ ´e hiperb ´olico. Logo, para cada x ∈ Λ, existe

  1

  i s X u

  uma decomposic¸˜ao T M = EEE . Sejam χ (x) := lim log kDX (x) | E k e

  x s t x x x x t→+∞ t

  1

  i s u

  χ (x) = lim log kDX (x) | E k os expoentes de Lyapunov associados a E e a E ,

  u t x x x t→+∞ t

  respectivamente. Pelo Teorema de Oseledets (Teorema , esses expoentes est˜ao bem definidos em um conjunto com medida µ total. Provemos que estes expoentes

  A s˜ao n˜ao nulos.

  Como Λ ´e hiperb ´olico, existem constantes K , λ > 0 tais que

  s −λt u −λt kDX k ≤ Ke k ≤ Ke , para todo t ≥ 0. t (x) | E e kDXt (x) | E x x

2.9. Hiperbolicidade n˜ao uniforme

  Segue da primeira desigualdade que χ (x) ≤ − λ < 0. Como a segunda desigualdade

  s u −1 λt

  ´e equivalente a kDX (x) | E k ≥ K e , com t ≥ 0, segue que χ (x) ≥ λ > 0. Como

  t u x

  µ(A △ Λ) = 0 e A ⊂ Λ, ent˜ao os expoentes de Lyapunov de µ s˜ao n˜ao nulos. Portanto,

  A

  µ A ´e n˜ao uniformemente hiperb ´olica.

  Lema de fechamento de Katok

  Dizemos que duas medidas de probabilidade ν , ν : B → [0 , 1] s˜ao equivalentes

  1

  2 se elas possuem os mesmos conjuntos de medida nula, onde B ´e a σ-´algebra de Borel.

  Definimos o suporte de uma medida de probabilidade ν : B → [0, 1] por supp( ν) = {x M : ν(U) > 0, para toda vizinhanc¸a U de x}.

  1+

  Denotaremos por X (M) o conjunto dos campos X : M TM cuja derivada ´e H ¨older cont´ınua. Temos ent˜ao o seguinte lema devido a Katok:

  

Lema 2.33. Seja ν uma medida hiperb´olica e equivalente a medida de Lebesgue µ. Se X

1+

  X ν) ⊂ Per (M), ent˜ao supp( h (X).

  ν Demonstrac¸˜ao: Veja .

  1 Observac¸˜ao 2.34. Sejam X ∈ X (M) e Λ ⊂ M conjunto regular invariante por (X t ) t , tal µ

que o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Como a medida

  µ ´e hiperb´olica e equivalente a µ, ent˜ao temos, como corol´ario imediato do lema anterior, que

  A supp( µ ) ⊂ Per (X) ∩ A .

  A h Componentes Erg ´odicas de uma Medida Hiperb ´olica

  O seguinte resultado, devido a Pesin, descreve a decomposic¸˜ao de uma medida hiperb ´olica que ´e equivalente a medida de Lebesgue.

  1+

Teorema 2.35. Seja X ∈ X (M), com ν uma probabilidade boreliana n˜ao uniformemente

  ν

hiperb´olica e equivalente a medida de Lebesgue µ. Ent˜ao ν tem uma quantidade enumer´avel de

componentes erg´odicas.

  Demonstrac¸˜ao: Veja Teorema 11.3].

  Como consequˆencia do teorema acima temos o seguinte

  

Corol´ario 2.36. Nas mesmas condic¸˜oes da proposic¸˜ao a medida µ A tem uma quantidade

enumer´avel de componentes erg´odicas.

  µ Devido a este corol´ario, suporemos a partir daqui que a medida A ´e erg ´odica.

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares

2.9.3 Variedades Invariantes

1 Dado X ∈ X (M), dizemos que um conjunto Λ ⊂ M, invariante por (X t ) t , ´e

  

n˜ao uniformemente hiperb´olico se existem n ´umeros reais ε, 0 < λ < 1 < λ e func¸ ˜oes

  1

  2 C , K : Λ → (0, +∞) tais que, para cada x ∈ Λ

s u

  (a) existe uma decomposic¸˜ao T M = EE tal que

  x

x x

u s

  (a ) E e E dependem mensuravelmente de x;

  1 x x u u s s

  (a ) DX (x)(E ) = E e DX (x)(E ) = E ;

  2 t t x x X (x) t t X (x) s t −εt ut −εt

  (b) kDX (x)|E k ≤ C(xe e kDX (x)|E k ≤ C(xe , para todo t > 0;

  tt x x

  1

  2 s u

  (c) , E ) ≥ K(X (x)), para todo t ∈ R e para todo x ∈ Λ; ∡(E t

  X (x) t t X (x) | |

ε|t −ε|t

2 2
  • + (d) C(X (x)) ≤ C(X (x))e e K(X (x)) ≥ K(X (x))e . +

  t t t t t 1 t 2 1 1 2 1 1+

  Lembramos que X (M) denota o conjunto dos campos X : M TM cuja deri- vada ´e H ¨older cont´ınua. O teorema a seguir garante a existˆencia de variedades est´aveis e inst´aveis (fortes) tangentes `a direc¸˜ao correspondente ao expoente de Lyapunov nega- tivo e positivo, respectivamente.

  

Teorema 2.37. (Teorema da Variedade Est´avel) Seja Λ ⊂ M um conjunto n˜ao uniforme-

1+ mente hiperb´olico para X ∈ X

  (M). Para cada x ∈ Λ, existe uma variedade est´avel local

  s s s

W (x), tangente a E ( E como na definic¸˜ao de conjunto n˜ao uniformemente hiperb´olico), tal

x x

  ε(x) que s

  (a) o tamanho ε(x) de W (x) depende mensuravelmente de x; ε(x) εt t s

  

(b) dist(X (x) , X ((y)) ≤ T(x) λ e dist(x , y), para todo y W (x) e t > 0, onde T : Λ → R

t t

  1 ε(x) 10 ε|s| ´e uma func¸˜ao mensur´avel e T(X (x)) ≤ T(x)e . s Demonstrac¸˜ao: Veja .

  Vale um resultado totalmente an´alogo para variedades inst´aveis locais.

2.9.4 Blocos Hiperb ´olicos Folheac¸ ˜oes

  n

  Para o que se segue denotamos por B a bola aberta centrada na origem e de

  n raio 1 de R .

  Suponhamos aqui que M tem dimens˜ao m. Seja W uma partic¸˜ao de M em

  1

  subvariedades de classe C e de dimens˜ao k. Para cada x M, seja W(x) o elemento da

2.9. Hiperbolicidade n˜ao uniforme

  partic¸˜ao W que cont´em x. Dizemos que W ´e uma folheac¸˜ao cont´ınua de dimens˜ao k com

  1

folhas C (ou simplesmente folheac¸˜ao) se para cada x M, existe uma vizinhanc¸a U de x

k mk

  e um homeomorfismo h : B × BU tal que

  mk k

  (a) para cada z B , o conjunto h(B × {z}) ´e a componente conexa de W(h(0, z)) ∩ U , z); que cont´em h(0

  1 (b) h(· , z) depende continuamente de z na topologia C . k

  , h) ´e chamado de carta local da folheac¸˜ao. Os conjuntos h(B × {z}) s˜ao chamados O par (U

  mk de folhas locais (ou placas), e os conjuntos h({yB ) s˜ao chamados de transversais locais.

  Para x U, denotados por W (x) a folha local que cont´em x. Cada subvariedade W(x)

  U

  ´e chamada de folha. Dizemos que uma subvariedade L M de dimens˜ao m k ´e um transversal, se ´e L ´e transversal a cada folha da folheac¸˜ao.

  

k

  Uma folheac¸˜ao cont´ınua W ´e dita C , se podemos escolher a aplicac¸˜ao h sendo

  k de classe C .

  Continuidade Absoluta da Folheac¸˜ao

  Ainda com a suposic¸˜ao que M tem dimens˜ao m, seja W uma folheac¸˜ao cont´ınua

  mk

  , h) uma carta coordenada da folheac¸˜ao e L(y) = h({y} × B de M. Sejam (U ) um

  1

  transversal local C . Dizemos que W ´e absolutamente cont´ınua, se para cada L(y) e cada

  

U, existe uma fam´ılia de func¸ ˜oes mensur´aveis positivas δ : W (x) → R (chamadas de

x U densidades condicionais) tais que para cada A U mensur´avel tem-se Z Z

  µ(A) = (x , y)δ (y)d µ (y)d µ (x) ,

  1 A x W (x) L(y) U

  L(y) W (x) U

  onde µ e µ s˜ao as medidas induzidas nas subvariedades W (x) e L(y), respecti-

  W (x) L(y) U U vamente. mk k

  = } × BB , 2. Definamos um homeomorfismo Sejam L i h({y i ), para y i e i = 1

  −→

  p : L

1 L

  2 h(y , z) 7−→ h(y , z).

  1

  2 A func¸˜ao p ´e chamada de func¸˜ao de holonomia. Dizemos que a folheac¸˜ao W ´e transver-

salmente absolutamente cont´ınua, se a holonomia p ´e absolutamente cont´ınua para cada

  carta coordenada de folheac¸˜ao h e para cada transversal L como acima, isto ´e, se existe

  i

  uma func¸˜ao mensur´avel positiva q : L → R (chamada Jacobiano de p) tal que para cada

  1

  conjunto mensur´avel A L tem-se

1 Z

  µ (p(A)) = q(z)d µ (z) ,

  L 2

  1 A L 1 L

1

µ , 2. onde L ´e a medida induzida em L i , i = 1 i

  Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares Blocos Hiperb ´olicos

  1

  µ(A) > 0 e a Sejam X ∈ X (M), A M conjunto invariante por (X t ) t , tal que

  µ

  restric¸˜ao normalizada de µ `a A, µ , ´e uma medida hiperb ´olica. Logo, nos garante a

  A

  existˆencia de conjuntos compactos H (k), k ∈ N, que chamaremos de blocos hiperb´olicos (ver regular sets em ), tais que

  • H (k) ⊂ H(k + 1), para todo k ∈ N;
  • µ (H (k)) ր 1;

  A s u

  • As variedades est´aveis e inst´aveis, W (x) e W (x), respectivamente, dependem

  ε(x) δ(x)

  continuamente de x ∈ H (k), para todo k ∈ N;

  s u

  • os tamanhos ε(x) e δ(x) de W (x) e W (x), respectivamente, s˜ao afastados de

  ε(x) δ(x) zero, para todo x ∈ H (k).

  Continuidade Absoluta das Variedades Est´aveis e Inst´aveis

  1 Sejam X ∈ X (M) e Λ ⊂ M conjunto regular invariante por (X t ) t , tal que o fluxo µ

  linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Seja (H (k)) fam´ılia

  k∈N

  de blocos hiperb ´olicos associada a Λ. Temos o seguinte

  

Teorema 2.38. Teorema 11.1] Sejam x ∈ H (k), k ∈ N, L e L transversais locais

  1

  2 s

de L(x) = {W (w); w ∈ H (k) ∩ B(x , r)}. Ent˜ao a func¸˜ao de holonomia p : LL ´e

  1

  2 ε(w) absolutamente cont´ınua.

  Em outras palavras, para cada x ∈ H (k) a fam´ılia L(x) ´e transversalmente absolutamente cont´ınua. Vale o enunciado an´alogo para as variedades inst´aveis.

2.9.5 Distorc¸˜ao Limitada

  1+

  Sejam X ∈ X (M) e Λ ⊂ M conjunto regular invariante por (X ) , tal que o

  t t µ

  fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Vimos que χ χ χ χ os expoentes de Lyapunov s (x), u (x) de X no ponto x satisfazem s (x) ≤ 0 ≤ u (x)

  s u

  (veja a observac¸˜ao . Sejam E o subfibrado de TM associado `a χ e E o subfibrado

  s

  associado `a χ . Seja (H (k)) uma fam´ılia de blocos hiperb ´olicos associados a Λ. Temos

  u k∈N

  o seguinte

  Lema 2.39. Teoremas 11.1 e 11.2] Seja k ∈ N tal que µ (H (k)) > 0. Ent˜ao a func¸˜ao s A

  | Y i | det D f | E

  f (x) s h (x , y) = s

  | | det D f | E i

2.9. Hiperbolicidade n˜ao uniforme

  s

´e H¨older cont´ınua para cada x ∈ H (k) e todo y W (x), onde f = X ´e o tempo 1 do fluxo

  1 ε(x)

  (X ) .

  t t

  Tal lema ´e uma propriedade que chamamos de distorc¸˜ao limitada. Vale o enun- ciado an´alogo para a variedade inst´avel. Mais precisamente, definindo u −1 | Y −i | det D f | E

  f (x) u

h (x , y) = ,

  −1 s

  | | det D f | E i

  f (y) i=0 s u com x ∈ H (k) e y W (x), teremos que h tamb´em ´e H ¨older cont´ınua.

  ε(x)

  

Cap´ıtulo 2. Resultados Auxiliares

  

Cap´ıtulo 3

Prova do Teorema Principal

  Neste cap´ıtulo mostramos que o fecho A dos pontos de densidade de um

  1+

  conjunto Λ regular e invariante para um campo X ∈ G ∩ X (M), com µ(Λ) > 0, n˜ao admite singularidades. Isso ser´a usado para provar o teorema principal. Mais precisamente, vamos provar a proposic¸˜ao a seguir.

  1 Lembramos que estamos denotando por G o conjunto dos campos em X (M), µ

  cujas singularidades s˜ao hiperb ´olicas e n˜ao possuem ressonˆancia. Em outras palavras, se X ∈ G e σ ´e uma singularidade de X, ent˜ao os autovalores de DX(σ) s˜ao reais e distintos.

  Seja Λ ⊂ M um conjunto regular e invariante por (X ) , com o fluxo linear de

  t t

  Poincar´e sobre Λ admitindo uma decomposic¸˜ao dominada. A partir de agora A sempre . denotar´a o fecho dos pontos de densidade de Lebesgue de Λ

  1+

Proposic¸˜ao 3.1. Sejam X ∈ G ∩ X (M) e Λ ⊂ M um conjunto regular e invariante por (X ) .

t t

  µ(Λ) > 0, ent˜ao A

  Se o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada e n˜ao cont´em singularidades de X.

  A demonstrac¸˜ao da proposic¸˜ao ´e dividida em v´arios passos que provaremos ao longo deste cap´ıtulo.

  

3.1 Decomposic¸˜ao dominada e hiperbolicidade em cam-

pos conservativos

  1 Lema 3.2. Se X ∈ X (M) possui um conjunto invariante Λ , ∅ tal que Λ n˜ao possui singu- µ

laridades e o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada, ent˜ao Λ ´e

hiperb´olico.

  Cap´ıtulo 3. Prova do Teorema Principal

Demonstrac¸˜ao: Numa variedade de dimens˜ao 3, a decomposic¸˜ao dominada do fluxo

  linear de Poincar´e s ´o pode ocorrer se a dimens˜ao dos subfibrados na decomposic¸˜ao do fibrado normal tˆem dimens˜ao constante e igual a 1. Como Λ n˜ao possui singularidades de X, podemos estender (por continuidade) a decomposic¸˜ao dominada a Λ. Como M

  −1

  ´e compacta, existe K > 1 tal que K ≤ kX(x)k ≤ K, para todo x M. Pelo Lema

  s u

  existe β > 0 tal que θ := , N ) ≥ β, para todo x ∈ Λ. Como X ´e incompress´ıvel

  t ∡(N X (x) t t X (x)

  temos que | 1 = | det DX

  t

  X

  = | | det DX |E | · | det DX |N

  t t x

  X

  | = kDX |E k · | det DX |N

  t t x

  kX(X (x))k

  t = · | det DX |N |. t x

  kX(x)k

  t

  = = Temos que det P det O · det DX |N det DX |N . Logo

  X t (x) t x t x x

  kX(X (x))k

  t t

  1 = · | det P |. (3.1)

  x

  kX(x)k

  (1) (2) (1) (2) (1) s u t s t

  Sejam vN e vN , com kv k = kv k = 1 tais que kP |N k = kP (v )k e

  x x x x x x x x x x (2) t u t

  kP |N k = kP (v )k. Logo

  x x x x (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) t t t t t kP (v )k · kP (v )k · | sin (v ) , P (v ))| = | det P | · kv k · kv k · | sin , v )| .

  ∡(P ∡(v

  

x x x x x x x x x x x x x

  Portanto

  t s t u t

  = kP |N k · kP |N k · sin θ | det P | · sin θ .

  t x x x x x

  Substituindo em temos que

  t s t u

  = sin θ x(t) · kP |N k · kP |N k · sin θ ,

  t x x x x

  kX(X

  t (x))k

  onde x(t) = . Da´ı, como o fluxo linear de Poincar´e admite uma decomposic¸˜ao kX(x)k (C , λ)-dominada temos

  t s

  2

  k θ kP |N K C sin

  x x −λt t s

  2

  k · ≤ kP |N = · e , para todo t > 0.

  x x t u

  k

  x(t) sin θ kP |N sin β t x x s Portanto N ´e uniformemente contra´ıdo no futuro pelo fluxo linear de Poincar´e. u

  Analogamente podemos mostrar que N ´e uniformemente contra´ıdo no passado. Pelo Teorema temos que Λ ´e hiperb ´olico.

  Como consequˆencia da Proposic¸˜ao temos o seguinte

3.1. Decomposic¸˜ao dominada e hiperbolicidade em campos conservativos

  1+

Corol´ario 3.3. Sejam X ∈ G ∩ X (M) e Λ um conjunto regular e invariante por (X ) , tal que

t t

  µ

o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Se µ(Λ) > 0, ent˜ao Λ

´e um conjunto hiperb´olico.

  

Demonstrac¸˜ao: Pela observac¸˜ao

  temos que Λ n˜ao cont´em singularidades. Assim, podemos estender a dominac¸˜ao do fluxo linear de Poincar´e a Λ. Agora, usando o lema segue que Λ ´e um conjunto hiperb ´olico.

  O pr ´oximo resultado nos d´a uma descric¸˜ao das singularidades de um campo em G que est˜ao em D(Λ). Para isso relembramos que uma singularidade σ de X ´e tipo Lorenz,

  σ) tem trˆes autovalores reais λ , λ λ λ < λ < 0 < −λ < λ se DX(

  1 2 e 3 satisfazendo

  2

  3

  3 1 .

  

Lema 3.4. Se X ∈ G, ent˜ao S(X) ∩ D(Λ) ´e formado por singularidades tipo Lorenz para X ou

para X.

Demonstrac¸˜ao: Se S(X) ∩ D(Λ) = ∅ n˜ao h´a o que provar. Suponhamos ent˜ao que existe

  σ ∈ S(X) ∩ D(Λ) , ∅. Provemos primeiramente que DX(σ) n˜ao possui autovalores complexos. Por absurdo, suponhamos que ω ´e um autovalor complexo de DX(σ) :

  

T σ M . Como T σ M tem dimens˜ao trˆes, temos que λ, ω e ω s˜ao os autovalores de

  σ), com λ real. Como µ(D(Λ)) > 0, pelo Teorema da Recorrˆencia de Poincar´e temos

  DX(

  que para µ-quase todo ponto x D(Λ) ´e recorrente, em particular, σ tem que ser uma singularidade tipo sela. Ent˜ao, acontece λ < 0 < Re(ω) ou para o campo X ou para −X. Suponhamos, sem perda de generalidade, que a desigualdade anterior acontece para X.

  µ(D(Λ)) > 0, pela definic¸˜ao de D(Λ), dada qualquer vizinhanc¸a de σ, Como existem infinitas ´orbitas de Λ passando por essa vizinhanc¸a. Sendo assim, podemos

  1

  • utilizar o teorema para garantir a existˆencia de um campo conservativo Y, C pr ´oximo de X, possuindo uma conex˜ao sela-foco Γ associada a continuac¸˜ao σ da

  Y

  σ. (Veja a figura ) singularidade Usando o Corol´ario com uma pequena pertubac¸˜ao do campo Y, podemos

  1

  assumir que Y ´e de classe C e ainda ´e C -pr ´oximo de X. Agora podemos usar o

  1

  teorema para desdobrar a dinˆamica e encontrar um campo Z, C -pr ´oximo de X,

  1

  que admite uma ´orbita el´ıptica C -pr ´oxima de Γ. Mas isto contradiz o lema uma . vez que tal ´orbita est´a contida em uma vizinhanc¸a (suficientemente pequena) de Λ Segue ent˜ao que DX( σ) n˜ao possui autovalores complexos, como afirmado.

  Seja ent˜ao λ ≤ λ ≤ λ os autovalores de DX( σ). Como σ ´e singularidade

  2

  3

  1

  hiperb ´olica tipo sela, temos que λ < 0 < λ . Como X ´e incompress´ıvel 0 = tr(DX( σ)) =

  2

  

1

  = −(λ + + + λ λ λ ), logo λ λ ) < 0, o que implica que −λ < λ . Temos dois casos

  1

  2

  3

  2

  1

  3

  3

  1

  λ < 0, ent˜ao λ < λ < 0 < −λ < λ a considerar. Se

  3

  2

  3

  3 1 , pois os autovalores s˜ao todos

  Cap´ıtulo 3. Prova do Teorema Principal

  Γ

  s W ( σ ) y Y

  Figura 3.1: Conex˜ao sela-foco.

  > 0, como λ −(λ λ ) > 0, ent˜ao

  • = distintos. Neste caso σ ´e tipo Lorenz para X. Se λ

  3

  1

  2

  3 λ < −λ , e como todos os autovalores s˜ao disjuntos temos que λ < −λ < 0 < λ < λ .

  2

  3

  2

  3

  3

  1 Neste caso σ ´e tipo Lorenz para −X.

3.2 Variedades Invariantes contidas em A

1 Sejam X ∈ X (M), Λ ⊂ M conjunto regular e invariante por (X ) , tal que o

  t t µ

  fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Seja A o fecho do conjunto dos pontos de densidade de Lebesgue de Λ. Nessa sec¸˜ao provamos que µ -quase todas as variedades invariantes, com x ∈ Λ, est˜ao contidas em A.

  A

  Dado x ∈ Λ, seja [

  s s W (x) = Xt (W (X (x))) t

  ε(X t (x)) t >0

  a variedade est´avel no ponto x e [

  u u W (x) = X t (W (Xt (x)))

  δ(X (x)) t >0 t a variedade inst´avel. s

  µ µ µ) nas variedades W

  Sejam s ,x e u ,x as medidas induzidas (a partir de (x) e

  u W (x) respectivamente. Temos a seguinte Proposic¸˜ao 3.5. Para µ quase todos os pontos x ∈ Λ

  A s u

  µ (W (x)\A) = µ (W (x)\A) = 0 .

  s ,x u ,x ε(x) ε(x)

  

Demonstrac¸˜ao: Pela continuidade absoluta da folheac¸˜ao da variedade inst´avel local,

  um conjunto com volume positivo tem que intersetar quase todas as variedades est´aveis µ locais em um conjunto com medida u ,x positiva, (ver ).

3.2. Variedades Invariantes contidas em A

  Para k suficientemente grande, µ(H(k)) > 0. Ent˜ao, pela continuidade absoluta

  u

  da variedade inst´avel local, podemos considerar W (x) uma variedade inst´avel local

  ε(x)

  satisfazendo simultaneamente

  • x ∈ H(k);

  u

  • µ (W (x) ∩ A) > 0;

  u ,x ε(x) ux ´e um ponto de densidade de Lebesgue de W .

  (x) ∩ A

  ε(x)

  Como µ(H(k)) > 0, pelo Teorema (Recorrˆencia de Poincar´e) podemos supor, sem perda de generalidade, que x ´e recorrente dentro de H (k), isto ´e, existe uma ր +∞ tal que sequˆencia de n ´umeros naturais n l

  n l

  −−−−→ .

  

x l := f (x) ∈ H (k) e x l x

l→+∞

  −n u l

  Definamos V = f (W (x )), onde f = X ´e o tempo 1 do fluxo (X ) . Temos

  l l 1 t t ε(x l ) u u

  que VW (x) ´e uma vizinhanc¸a de x em W (x) . Como as variedades inst´aveis

  l ε(x) ε(x)

  dependem continuamente de x em H (k), ent˜ao seus tamanhos tamb´em dependem con- tinuamente. Como H (k) ´e compacto, temos que os tamanhos das variedades inst´aveis s˜ao uniformemente limitados. Da´ı, segue que diam(V ) −−−−→ 0.

  l l→+∞

  Temos que

  −n u l

  µ u ,x ( f (W (x l )\A)) µ (V \A)

  ε(x ) u ,x l l

  = , (3.2)

  un l

  µ µ

  u ,x ( f (W (x l ))) u ,x (V l ) ε(x ) l u

  pois A ´e invariante por f . Como x ´e ponto de densidade de W (x) ∩ A, V ´e uma

  l ε(x) u

  vizinhanc¸a de x em W (x) e diam(V ) −−−−→ 0, ent˜ao

  l ε(x) l→+∞

  µ (VA)

  u ,x l

  −−−−→ 1 .

  l→+∞

  µ

  u ,x (V l )

  Logo, µ \A)

  u ,x (V l

  −−−−→ .

  l→+∞

  µ ,x (V )

  u l

  Pela f ´ormula de mudanc¸a de vari´avel na integral, temos que Z

  −n u l

  |D f | E |dµ ,x (z)

  u zn u l

u

  µ W (x )\A

  u ,x ( f (W (x l )\A)) l ε(x ) l ε(xl)

  = . (3.3) Z

  un l

  µ

  u ,x ( f (W (x l ))) −n u ε(x ) l l

  |D f | E |dµ ,x (z)

  u

u

z W (x ) l

  Cap´ıtulo 3. Prova do Teorema Principal

  Temos que Y n

l

  

n u −1 u

l

  | = |detD f | E |detD f | E |.

  znl+j f (z) j=1

  Segue do lema que

  −1 u n l |

  

n u |detD f | E

l Y

  | −nl+j |detD f | E f (z)

  z

  =

  u un −1 l

  | | |detD f | E |detD f | E

  z 1nl+j j=1 f (z ) 1 u

  ´e uniformemente limitada, com z ∈ H (k) e zW (z). Suponhamos que

  

1

ε(z) −n u l

  | |detD f | E

  z

  ≥ L ≥ 0,

  −n u l

  | |detD f | E

  z 1 u

  ∈ W com z ∈ H (k) e z

  1 (z). Logo Z ε(z) −n l l un u u u

  |D f | E |dµ | E | · µ ∈ W

  u ,x (z) ≥ L|detD f u ,x (W (x l )\A) ∀z 1 (z) z z 1 u ε(x ) ε(z) l

  W (x )\A l ε(xl)

  Segue ent˜ao que Z

  −n u l

  |D f | E |dµ (z)

  u ,x z u u W (x )\A l µ ,x (W (x )\A) u l ε(x )

  ε(xl) l ZL · .

  (3.4)

  u

  µ

  u ,x (W (x l )) −n u l ε(x ) l

  |D f | E |dµ ,x (z)

  u u z W (x ) l ε(xl)

  De temos que

  u

  µ ,x (W (x )\A)

  u l

  µ \A)

  ε(x ) l 1 u ,x (V l

  ≤ · .

  u

  µ µ

  

u ,x (W (x l )) L u ,x (V l )

ε(x ) l

  Logo,

  u

  µ (W (x )\A)

  u ,x l ε(x ) l

  −−−−→ .

  u l→+∞

  µ ,x (W (x ))

  u l ε(x ) l

  Pela dependˆencia cont´ınua das variedades inst´aveis locais em pontos de H (k) temos

  u s que µ (W (x)\A) = 0. Analogamente, prova-se que µ (W (x)\A) = 0. u ,x s ,x

  ε(x) ε(x)

  Note que a proposic¸˜ao foi provada para quase todo ponto e n˜ao para todo ponto, pois nos restringimos apenas aos pontos recorrentes. Usando o fato de que A ´e um conjunto fechado e cada subconjunto aberto

  s u

  µ µ n˜ao vazio de W (x) e W (x) tem medida positiva com respeito `as medidas s ,x e u ,x , respectivamente, obtemos o seguinte

  Corol´ario 3.6. Para µ-quase todo ponto x ∈ Λ tem-se s u

W (x) ⊂ A e W (x) ⊂ A .

3.2. Variedades Invariantes contidas em A

3.2.1 Variedades invariantes densas de uma ´orbita peri ´odica

  Usando o Lema de Fechamento de Katok, podemos mostrar que existe um ponto em uma ´orbita peri ´odica cuja variedades centro est´aveis e inst´aveis s˜ao densas em A. Mostrar isso ´e o objetivo dessa subsec¸˜ao.

  1+

Lema 3.7. Seja X ∈ X (M) e Λ ⊂ M regular e invariante por (X ) , tal que o fluxo linear

t t

  µ

de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada. Ent˜ao, existe p Per(X) tal que

cs cu W (p) = W (p) = A .

  

Demonstrac¸˜ao: Seja k suficientemente grande tal que o bloco hiperb ´olico H (k) satisfaz

µ (H (k)) > 0. Assim, H(k) ⊂ supp(µ ). Segue do lema que H (k) ⊂ Per (X) ∩ A.

  A A h

  δ > 0 qualquer, existe p A B(x, δ) tal que a Logo, tomando x no interior de H (k) e

  δ ´e suficientemente pequeno de modo ´orbita de p ´e peri ´odica. Podemos assumir que que p ∈ H (k) e as seguintes intersec¸ ˜oes s˜ao transversais

  

u s s u

W (p) (x) , ∅ , W (p) (x) ,

  ⋔ WW

  

ε ε ε ε

  pois as variedades locais variam continuamente em H (k) . (Veja a figura . Pelo

  u s

  corol´ario podemos escolher x de modo que as variedades W (x) e W (x) est˜ao

  u s s u contidas em A. Fixemos r W (p) ⋔ W (x) e q W (p) ⋔ W (x).

  ε ε ε ε q p x r

  Figura 3.2: Intersec¸˜ao Transversal Seja f = X , onde τ ´e o per´ıodo da ´orbita de p. Assim, p ´e um ponto fixo de

  τ

f . (Lembramos que estamos assumindo que µ ´e erg ´odica para o fluxo (X ) ). Como

  A t t µ > 0, usando a proposic¸˜ao podemos supor que x ´e tal que α(x) = A = ω(x). A (H (k))

u

  Seja V uma vizinhanc¸a de p em W (p) que assumimos ser dada por um disco

  

ε

u n u

  em W (p). Pelo lema (lema de inclinac¸˜ao), existe δ > 0 tal que f (W (x)) ∩ V

  ε ε

  1

  est´a δ-C -pr ´oximo deste disco, para todo n suficientemente grande (usando aqui o ponto q da figura . Em particular, como V ´e acumulada

  cu u cu cu

  ω(x) = A e ω(x) ⊂ W por W (x), temos que W (p) ⊂ W (x) ⊂ A. Como (x), ent˜ao

  ε

  Cap´ıtulo 3. Prova do Teorema Principal u cs cu cu

  . Usando agora o ponto r, como ω(x) = A e r W

  W (p) ⊂ W (x) = A

  (p) ⋔ W (x),

  ε ε cu cu

  temos que ω(r) = ω(x) = A. Isso implica que A = ω(r) ⊂ W (p), uma vez que W (p) ´e

  cu invariante. Portanto, A = W (p), como quer´ıamos provar. cs De modo an´alogo se prova que A = W (p) . n

  D u

  W (x) ε q p

  Figura 3.3: Lema de Inclinac¸˜ao

3.3 Demonstrac¸˜ao da Proposic¸˜ao 3.1

  Nesta sec¸˜ao usamos os resultados obtidos at´e agora para provar a proposic¸˜ao Lembramos tamb´em o seu enunciado a seguir.

  1+

Proposic¸˜ao Sejam X ∈ G ∩ X (M) e Λ ⊂ M um conjunto regular e invariante por (X t ) t .

  

Se o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ admite uma decomposic¸˜ao dominada e µ(Λ) > 0, ent˜ao

A = D(Λ) n˜ao cont´em singularidades de X.

  

Demonstrac¸˜ao: Suponha por absurdo que existe uma singularidade σ ∈ A. Pelo lema

   σ ´e tipo Lorenz para X ou para −X. Sem perda de generalidade, suponha que σ ´e λ < λ < 0 < −λ < λ σ). Ent˜ao, tipo Lorenz para X. Sejam

  2

  3

  3 1 os autovalores de DX( ss existe uma variedade est´avel W ( σ) tangente ao autoespac¸o associado ao autovalor λ .

  2 ss

  Afirmamos que W ( σ) ⊂ A. De fato, seja p dado pelo lema e consideremos [

  s

L = α (W (p)) := α (y) .

  X X ε s yW (p) ε

  Como A ´e invariante, temos que L A. Como vimos na demonstrac¸˜ao do lema

  s u

  α ω podemos escolher x A de modo que

  X (x) = X (x) = A e W (p) ⋔ W (x) , ∅. Tomando ε ε s u α α . Conclu´ımos ent˜ao que L = A. r W (p) ∩ W (x), temos que L X (r) = X (x) = A

  ε ε

  Como σ ∈ A, ent˜ao existe uma sequˆencia de n ´umeros reais (t ) , tendendo a infinito,

  n n s s s s

  tal que X (p) −−−−→ σ e W (X (p)) −−−−→ W ( σ). Como X (W (X (p))) ⊂ W (p) ⊂ A,

  −t nt n t nt n ε ε ε ε n

  3.4. Prova do Teorema Principal s

  usando a invariˆancia de A, temos que W (X (p)) ⊂ A. Por A ser fechado, conclu´ımos

  −t

ε n

ss

  que a variedade local W ( σ) ⊂ A. Usando novamente a invariˆancia de A, obtemos

  ε ss W ( σ) ⊂ A.

  σ ´e tipo Lorenz para −X, por argumentos an´alogos aos anteri- No caso em que

  uu ores, obtemos W ( σ) ⊂ A. ss

  Explicamos agora como W ( σ) ⊂ A leva a uma contradic¸˜ao. No caso em

  ss ss

  que W ( σ) ⊂ A, consideremos y W ( σ) ∩ A\{σ}. Como A ´e o fecho dos pontos de densidade de Λ, existe uma sequˆencia de pontos de densidade de Λ convergindo para σ, podemos considerar uma

  y. Considerando a ac¸˜ao do fluxo pr ´oximo `a singularidade u

  sequˆencia (q ) , convergindo para um ponto q W ( σ)\{σ}, onde q est´a na ´orbita futura

  n n n

  de p . Como µ-quase todo ponto de M ´e recorrente, podemos supor que p ´e recorrente

  n n para cada n. (Veja a figura . q q n s

  W ( σ) p n ss

  σ

  y W σ)

  (

  u

  σ)

  W (

  Figura 3.4: Aproximac¸˜ao

  1 Usando o teorema existe um campo Y, C -pr ´oximo de X, admitindo

  1

  • uma ´orbita homocl´ınica do tipo orbit-flip. Pelo teorema onde estamos denotando por σ e

  Y

  σ a continuac¸˜ao anal´ıtica de σ, aplicada aos campos Y e Z, respectivamente.)

  Z

  Como vimos na subsec¸˜ao a existˆencia de uma ´orbita homocl´ınica contraria o fato do fluxo linear de Poincar´e admitir uma decomposic¸˜ao dominada.

  uu Argumentamos de forma an´aloga para o caso em que W ( σ) ⊂ A.

  3.4 Prova do Teorema Principal r

  Lembramos que considerando o conjunto X (M) (r ≥ 1) dos campos vetoriais

  µ r r

  incompress´ıveis de classe C , denotamos por G o subconjunto de X (M) dos campos que

  µ

  cujas singularidades s˜ao hiperb ´olicas e n˜ao possui ressonˆancia, isto ´e, os autovalores da derivada do campo reais s˜ao todos distintos.

  Cap´ıtulo 3. Prova do Teorema Principal u

  W ( σ ) Y u

  W ( σ ) Z s

  W ( σ ) Y s ss

  σ

  W ( Z ) W ( σ ) Z

  σ

  ss Y

  σ

  Z W ( σ )

  Y (a) Orbit-flip. (b) Inclination-flip.

  Figura 3.5: Discutimos na introduc¸˜ao que o conjunto G ´e um subconjunto aberto e denso

  r

  de X (M). Este cap´ıtulo ´e dedicado a provar a segunda parte do teorema principal

  µ desta dissertac¸˜ao.

  2 Teorema Principal. Existe um aberto e denso G ⊂ X (M) tal que para cada X ∈ G com um µ conjunto invariante e regular Λ satisfazendo:

  • o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ tem uma decomposic¸˜ao dominada; e
  • Λ tem volume positivo: µ(Λ) > 0; ent˜ao X ´e um campo de Anosov e Λ = M.

  

Demonstrac¸˜ao: Consideremos um campo X ∈ G satisfazendo as hip ´oteses do teorema.

  Como o fluxo linear de Poincar´e sobre Λ possui uma decomposic¸˜ao dominada e µ(Λ) > 0, pela proposic¸˜ao o fecho dos pontos de densidade de Lebesgue de Λ, A = D(Λ), n˜ao possui singularidades. Assim, podemos definir o fluxo linear de Poincar´e sobre

  

A, o qual, por continuidade, continua possuindo uma decomposic¸˜ao dominada. Da´ı,

pelo lema temos que A ´e um conjunto hiperb ´olico.

  A estrat´egia ´e provar que A ´e aberto e fechado e usar a conexidade de M.

  s u

  Provemos inicialmente que W (x) ⊂ A e W (x) ⊂ A, para todo x A. De fato, se x A, como A ´e o fecho dos pontos de densidade de Λ, temos que existe uma vizinhanc¸a V de

  s

x tal que µ(V A) > 0. Pelo corol´ario para µ-quase todo p V, tem-se que W (p) ⊂ A

  ε u

  e W (p) ⊂ A. Sem perda de generalidade, podemos considerar uma sequˆencia (p ) em

  n n ε s u

  

V, convergindo para x, tal que W (p ) ⊂ A e W (p ) ⊂ A, para todo n ≥ 1. Usando o fato

n n

  de que A ´e fechado e que as variedades est´aveis e inst´aveis dependem continuamente

  s u do ponto, temos que W (x) ⊂ A e W (x) ⊂ A.

3.4. Prova do Teorema Principal

  u

  Tomando γ uma vizinhanc¸a de x em W (x), suficientemente pequena, temos que S

  s u s

  

W (z) ´e transversal a W (x), para todo z ∈ γ. Logo, R := W (z) ⊂ A. Considerando

x

  ε ε z∈ γ ε

  a ac¸˜ao do fluxo e lembrando que A ´e invariante, temos que [

  X t (R x ) ⊂ A −τ≤t≤τ

  ´e uma vizinhanc¸a de x em M. Isto mostra que A ´e aberto. Como A tamb´em ´e fechado e

  

M ´e uma variedade conexa, temos que A = M. Al´em disso, segue que X ´e um campo

de Anosov, uma vez que M = A = Λ ´e um conjunto hiperb ´olico.

  

Cap´ıtulo 3. Prova do Teorema Principal

  

Cap´ıtulo 4

Perspectivas Futuras

  Para dimens˜ao mais alta ainda n˜ao se sabe a resposta, isto ´e: se M tem dimens˜ao maior ou igual a 4 e X ´e um campo vetorial nas condic¸ ˜oes do teorema principal, n˜ao se sabe se X ´e um campo de Anosov ou n˜ao.

  

4.1 Quest˜ao em dimens˜ao maior com hiperbolicidade sec-

cional

  Dizemos que um conjunto compacto e invariante Λ ⊂ M ´e parcialmente hi-

  

perb´olico, se o fibrado tangente possui uma decomposic¸˜ao continua e invariante T Λ M =

s u

  

EE e existem constantes λ, K > 0 tais que para todo x ∈ Λ e para todo t ≥ 0 tem-se:

s c s c −λt

  k · kDX k ≤ Ke (a) E domina E : kDX t (x) | Et (x) | E ;

  x X t (x) −λt s s (b) E contrai uniformemente: kDX | E k ≤ Ke . t x Λ M ´e seccionalmente expansor, se

  Dizemos que um subfibrado, DX t -invariante, F T dimF ≥ 2 ´e constante, para todo x ∈ Λ e existem constantes positivas C e λ tais que

  x t

  | para todo x ∈ Λ e para todo subespac¸o bidimensional LF tem-se | det DX | > Ce ,

  x x t L x

  > 0. Em outras palavras, a expans˜ao seccional ´e a expans˜ao de ´area ao longo para todo t de todo subespac¸o bidimensional do fibrado F. Um conjunto compacto e invariante Λ ´e dito seccionalmente hiperb´olico, se Λ ´e um conjunto parcialmente hiperb ´olico cujas singularidades s˜ao hiperb ´olicas e o subfibrado central ´e seccionalmente expansor.

  Em dimens˜ao maior, sabe-se que se Λ ´e um conjunto seccionalmente hi- perb ´olico, ent˜ao ou Λ tem volume zero ou o campo ´e de Anosov (veja Teorema 8.24]). Por´em, se assumimos apenas a decomposic¸˜ao dominada do fluxo linear de Poincar´e, a quest˜ao ´e mais sutil. Mesmo se o fluxo linear de Poincar´e tivesse decomposic¸˜ao

  Cap´ıtulo 4. Perspectivas Futuras

  dominada globalmente em uma variedade compacta com dimens˜ao maior ou igual a 4, isso n˜ao ´e suficiente para obter hiperbolicidade, como vemos na sec¸˜ao a seguir.

4.2 Exemplo com fluxo de suspens˜ao

  Consideremos f : M M um difeomorfismo e r : M → (0 , +∞) uma func¸˜ao cont´ınua. No que se segue vamos definir o fluxo de suspens˜ao de f , com func¸˜ao altura r. Na construc¸ ˜ao, suporemos que r ´e tal que X ∞ + + ∞ X

  −i i . r( f (x)) = r( f (x)) = +∞ i=0 i=0

  Primeiramente, vamos construir o dom´ınio N do fluxo de suspens˜ao. Para isso consideremos a aplicac¸˜ao F : M × R → M × R dada por F(x , s) = ( f (x), s r(x)). Observamos que F ´e invert´ıvel. Consideremos a relac¸˜ao de equivalˆencia ∼ sobre M × R dada por ′ ′ ′ ′

  n (x , s) ∼ (x , s ) ⇔ ∃ n ∈ Z : (x , s ) = F (x , s).

  Denotamos N o conjunto das classes de equivalˆencia dessa relac¸˜ao e por π : M × R → N a projec¸˜ao can ˆonica que associa a cada (x , s) ∈ M × R a sua classe de equivalˆencia.

  t t

  Agora considere o fluxo G : M × R → M × R dado por G (x , s) = (x, s + t). ´E

  t t

  f´acil verificar que GF = F G , para todo t ∈ R. Usando isso, fica bem definido o seguinte fluxo sobre N

  t g : NN . t

  π(x, s) 7→ π(G , s)) (x

  t

  O fluxo (g ) ´e o que chamamos de fluxo de suspens˜ao de f , com func¸˜ao altura r. Dizemos

  t t

  que f ´e o difeomorfismo de base de (g ) t .

  x M f (x)

  R τ(x)

  Figura 4.1: Fluxo de Suspens˜ao

4.3. Conjectura

4.2.1 Exemplo

  Existe um exemplo de fluxo de suspens˜ao, com func¸˜ao altura constante e igual

  4

  4

  → T a 1, cuja transformac¸˜ao de base ´e um difeomorfismo f : T do toro de dimens˜ao 4, transitivo (isto ´e, admitindo uma ´orbita densa), com o fibrado tangente admitindo uma

  4 s u

  = decomposic¸˜ao TT EE dominada e com pontos peri ´odicos de diferentes ´ındices (o ´ındice de um ponto peri ´odico ´e a dimens˜ao da variedade inst´avel). Isso implica que

4 T n˜ao ´e hiperb ´olico. Para mais detalhes veja [8, Exemplo B.12].

4.3 Conjectura

  M´etodos an´alogos estendidos para dimens˜ao mais alta permitem conjecturar que: se o fluxo linear de Poincar´e sobre um conjunto regular invariante com volume

  2

  positivo para um campo C conservativo X ´e hiperb ´olico, ent˜ao X ´e um campo de Anosov.

  

Cap´ıtulo 4. Perspectivas Futuras

  

Referˆencias

  [1] Alves, J.; Ara ´ujo, V.; Pac´ıfico, M.; Pinheiro, V. On the volume of singular-hiperbolic sets. Dynamical Systems, An International Journal, Vol. 22, No. 3, September 2007, 249-267. [2] Ara ´ujo, V.; Bessa, M. Dominated splitting and zero volume for incompressible three flows. Nonlinearity, 21(7): 1637-1653, 2008.

  [3] Ara ´ujo, V.; Pacifico, M. J., Three-dimensional flows, Vol. 53 of Ergebnisse der

  Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], Springer, Heidelberg (2010), ISBN 978-3-642-11413-7. With a foreword by Marcelo Viana.

  [4] Ara ´ujo, V.; Viana, M. Hyperbolic Dynamical Systems. In: Encyclopedia of Complexity and Systems Science. 1. ed. Berlin: Springer-Verlag, 2009. [5] Barreira, L., Pesin, Y., Nonuniform hyperbolicity, Encyclopedia of Mathematics and

  its Applications, Vol. 115, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 978-0-521- 83258-8; 0-521-83258-6. Dynamics of systems with nonzero Lyapunov exponents.

  2007. [6] Barreira, L.; Pesin, Y. 2001. Lectures on Lyapunov exponents and smooth ergodic theory. Proc. Symp. Pure Math.

  [7] Barreira, L.; Pesin, Y. 2006. Smooth ergodic theory and nonuniformly hyperbolic dynamics. Handbook of Dynamical Systems. vol 1B. Amsterdam: Elsevier. [8] Bonatti, C.; D´ıaz, L.; Viana, M. Dynamics beyond uniform hyperbolicity, volume 102 of Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag, Berlin, 2005. A global geometric and probabilistic perspective, Mathematical Physics, III. [9] Bowen, R. and Ruelle, D. The ergodic theory of Axiom A flows. Inventions Mathe- matics. 29, 181-202, 1975.

  Referˆencias

  [10] Brin, M.; Stuck, G. Introduction to Dynamical Systems. 1ed. Cambridge University, 2002. [11] Castro Jr., A. Armando. Curso de teoria da medida. 2ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008 (Projeto Euclides). [12] Folland, Geraldo B. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. 2. ed.

  Wiley, 1999. (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts). [13] Hirsch, M., Pugh, C., Shub, M.: Invariant Manifolds. Lect. Notes in Math., vol.

  583. Springer, New York (1977). [14] Katok, A.; Hasselblatt, B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical System.

  New York: Cambridge University Press, 1995. [15] Ki, Y. Conjuntos Parcialmente Hiperb ´olicos com Volume Positivo. Dissertac¸˜ao de mestrado. Salvador: UFBA/PGMAT-IM, 2007.

  [16] Ma ˜n´e, R. Introduc¸˜ao `a teoria erg´odica. Rio de Janeiro: IMPA, 1983. (Projeto Euclides). [17] Oliveira, K.; Viana, M. Fundamentos da Teoria Erg´odica. Rio de Janeiro: SBM, 2014 (Colec¸˜ao Fronteiras da Matem´atica).

  [18] Palis Jr, J.; Melo, W. Introduc¸˜ao aos Sistemas Dinˆamicos. Rio de Janeiro, 1975. [19] Pugh, C.; Shub, M. Ergodic attractors. Trans. Am. Math. Soc. 312, 1?54 (1989). [20] Robinson, R. Generic Properties of Conservative Systems. American Journal of Mathematics, Vol. 92, No. 3 (Jul., 1970), pp. 562-603.

  [21] Rudin, W. Real and complex analysis. 3. ed. New York: McGraw-Hill Book Co., 1987. [22] Salgado, L. S., Sobre hiperbolicidade fraca para fluxos singulares. Tese de douto- rado em matem´atica. Rio de Janeiro UFRJ/PGPIM, 2012.

  [23] Sambarino, M. Hiperbolicidad y estabilidad, XXII Escuela venezolana de matemati- cas. Merida, Venezuela, 09/09/2009. [24] Santos, F. Sobre a Decomposic¸˜ao Dominada para Fluxos Singulares. Dissertac¸˜ao de mestrado em matem´atica. Salvador: UFBA/PGMAT-IM, 2014. [25] Walters, Peter. An introduction to ergodic theory. New York: Springer-Verlag, 1982.

  (Graduate texts in mathematics; 79).

  Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Programa de p ´os-graduac¸˜ao em Matem´atica

  Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

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