Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condic ¸˜ ao Lk (x) = Ax

60 

Full text

(1)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo

a condic

¸˜

ao

L

k

(

x

) =

Ax

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Salvador-Bahia

(2)

k

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa.

Salvador-Bahia

(3)

Silva, Luiz Alberto de Oliveira.

Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condi¸c˜ao

Lk(x) =Ax/ Luiz Alberto de Oliveira Silva. – Salvador: UFBA, 2011. 51 f.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e N. Bastos Barbosa.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2011.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria Riemanniana. 2. Hipersuperf´ıcie. I.Barbosa, Jos´e N. Bastos. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

(4)

k

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 23 de setembro de 2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta UFBA

(5)
(6)

A minha m˜ae Veral´ucia por incentivar meus estudos, a meu pai Antˆonio, meus irm˜aos e a minha companheira Milena pelo carinho em todos os momentos.

Agrade¸co tamb´em aos meus colegas da p´os-gradua¸c˜ao. Aos colaboradores deste trabalho como Dimi Rangel, Marcus Morro, Fellipe Leite, Rodrigo Von Flach, Te´ofilo Nascimento, Thiago Nunes e Renivaldo Sena.

(7)

“Matem´aticos s˜ao m´aquinas de transformar caf´e em teo-remas ”.

(8)

Este trabalho trata de hipersuperf´ıcies na esfera Sn+1 ou no espa¸co hiperb´olico

Hn+1, cujo vetor posi¸c˜aoxsatisfaz a condi¸c˜aoL

kx=Ax, ondeLk´e o operador linearizado

da (k + 1)-´esima curvatura m´edia da hipersuperf´ıcie para um k = 0,1, ..., n1 fixado e A R(n+2)×(n+2) ´e uma matriz constante auto-adjunta. Para cada k, tem-se que as

´

unicas hipersuperf´ıcies que satisfazem as condi¸c˜oes acima s˜ao: aquelas que possuem a (k + 1)-´esima curvatura m´edia nula e k-´esima curvatura m´edia constante ou uma parte aberta do toro de Clifford (Sm(1r2)×Sn−m(r)Sn+1 com 0< r <1) ou uma parte

aberta do cilindro hiperb´olico (Hm(1 +r2)×Sn−m(r)Hn+1 com r >0).

(9)

Abstract

This work deals with hypersurfaces either in the sphere Sn+1 or in the hyperbolic

space Hn+1 whose position vector x satisfies the condition L

kx = Ax where Lk is the

linearized operator of the (k + 1)-th mean curvature of the hypersurfaces for a fixed

k = 0,1, ..., n1 and A R(n+2)×(n+2) is a self-adjoint constant matrix. For each k, it

follows that the only hypersurfaces which satisfy the condition above are: those that have the (k+ 1)-th mean curvature zero andk-th mean curvature constant or an open piece of the Clifford’s torus (Sm(1r2)×Sn−m(r) Sn+1 with 0 < r <1) or an open piece of

the hyperbolic cylinder (Hm(1 +r2)×Sn−m(r)Hn+1 with r >0).

(10)

Introdu¸c˜ao 1

1 A esfera e o espa¸co hiperb´olico 3

1.1 A esfera . . . 3 1.2 O espa¸co hiperb´olico . . . 4

2 Operadores linearizados (Lk) 9

3 Hipersuperf´ıcies que satisfazem a condi¸c˜ao Lkx=Ax 20

3.1 Hipersuperf´ıcies com a (k + 1)-´esima curvatura m´edia nula e a k-´esima curvatura m´edia constante . . . 20 3.2 Toro de Clifford . . . 21 3.3 Cilindro hiperb´olico . . . 25

4 Teorema 29

(11)

Introdu¸c˜

ao

Em 1966, Takahashi [Tak66] mostrou que as ´unicas subvariedadesn-dimensionais isometricamente imersas no espa¸co euclidiano Rn+m, cujas fun¸c˜oes coordenadas s˜ao

au-tovalores do operador Laplaciano associado a algum autovalor λ, ou s˜ao subvariedades m´ınimas em Rn+m (com λ = 0) ou s˜ao subvariedades em uma hiperesfera redonda Sn+m1 Rn+m (com λ = n

r2 > 0). Em particular, quando a codimens˜ao ´e m = 1,

o teorema de Takahashi afirma que se x : Mn

→ Rn+1 ´e uma hipersuperf´ıcie imersa no

espa¸co euclidiano edenota seu operador Laplaciano (com respeito a m´etrica induzida), ent˜ao a imers˜ao satisfaz a condi¸c˜ao x+λx = 0 para alguma constante real λ se, e somente se, M ´e m´ınima comλ = 0 ouM ´e uma parte aberta da hiperesfera redonda de raio r=pnλ centrada na origem de Rn+1 com λ >0.

Como uma extens˜ao do teorema de Takahashi, Garay [Gar90] estudou hiper-superf´ıcies no espa¸co euclidiano cujas fun¸c˜oes coordenadas s˜ao autovalores do operador Laplaciano, mas n˜ao necessariamente associado ao mesmo autovalor. Para ser mais es-pec´ıfico, Garay [Gar90] considerou hipersuperf´ıcies emRn+1 satisfazendo x=Ax (com

respeito ao mesmo sistema de coordenadas ortonormal), onde A R(n+1)×(n+1) ´e uma

matriz diagonal constante. Em 1990, ele provou que as ´unicas tais hipersuperf´ıcies s˜ao m´ınimas em Rn+1, parte aberta da hiperesfera redonda ou parte aberta dos cilindros

esf´ericos generalizados.

Baseado nisto, Dillen [DPV90] considerou superf´ıcies emR3 cuja imers˜ao satisfaz

a condi¸c˜ao x = Ax+b, onde A R3×3 ´e uma matriz constante e b R3 ´e um vetor

constante. Em 1990, ele provou que as ´unicas tais superf´ıcies s˜ao m´ınimas, partes abertas da esfera redonda ou partes abertas de cilindros circulares. Em 1991, o resultado de Dillen foi generalizado emRn+1, por Hasanis e Vlachos [HVl92], Chen e Petrovic [CPe91].

O operador Laplaciano pode ser visto como o primeiro de uma sequˆencia de operadores L0 = △, L1, ..., Ln−1, onde Lk representa o operador linearizado da (k+

1)-´esima curvatura m´edia da hipersuperf´ıcie. Estes operadores Lk :C∞(M)→C∞(M) s˜ao

definidos por Lk(f) = tr(Pk ◦ ∇2f), onde f ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel em M, Pk ´e a

k-´esima transforma¸c˜ao de Newton associada `a segunda forma fundamental da hipersu-perf´ıcie e 2f ´e a hessiana def.

(12)

Em 2006, Al´ıas e G¨urb¨uz [AGu06] estenderam a classifica¸c˜ao para hipersuperf´ıcies emRn+1satisfazendox=Ax+b. Eles classificaram hipersuperf´ıcies no espa¸co euclidiano

Rn+1 satisfazendo a condi¸c˜ao L

kx=Ax+b, provando que as ´unicas tais hipersuperf´ıcies

s˜ao as que tˆem a (k+ 1)-´esima curvatura m´edia zero, uma parte aberta da hiperesfera redonda ou uma parte aberta do cilindro esf´erico reto generalizado. Em 2010, Al´ıas e Kashani [AKa10] mostraram o seguinte teorema, que ´e o resultado principal desta dis-serta¸c˜ao.

Teorema: Seja x : Mn Mn+1

c ⊂ Rnq+2 uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa onde

Mn+1

c ´e a esfera euclidiana Sn+1 ⊂ Rn+2 se c = 1 ou o espa¸co hiperb´olico Hn+1 ⊂ R n+2 1

se c = 1. Se Lk ´e o operador linearizado da (k + 1)-´esima curvatura m´edia de M,

para algum k = 0,1,2, ..., n1 fixado, ent˜ao a imers˜ao satisfaz a condi¸c˜ao Lkx = Ax

para alguma matriz constante auto-adjunta AR(n+2)×(n+2) se, e somente se, ´e uma das

seguintes hipersuperf´ıcies:

(1) uma hipersuperf´ıcie com a (k+ 1)-´esima curvatura m´edia zero e ak-´esima curvatura m´edia constante;

(2) uma parte aberta do Toro de Clifford, Sm(1

−r2)×Snm(r)

⊂Sn+1, 0< r <1, se

c= 1;

(3) uma parte aberta do cilindro hiperb´olico, Hm(1 +r2)×Snm(r)

⊂ Hn+1, r >0,

se c=1.

Esta disserta¸c˜ao ´e dividida em quatro cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, trataremos de conceitos b´asicos que ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes de alguns resultados.

No cap´ıtulo 2, apresentaremos as defini¸c˜oes das transforma¸c˜oes de Newton (os operadores Pk) e dos operadores linearizados (Lk), bem como algumas propriedades e

express˜oes.

Descreveremos, no cap´ıtulo 3, as hipersuperf´ıcies x : Mn Mn+1

c ⊂ Rnq+2

ori-ent´aveis imersas em Mn+1

c satisfazendo a condi¸c˜ao Lkx = Ax, onde Lk ´e o operador

linearizado da (k+ 1)-´esima curvatura m´edia de M para algum k = 0,1, ..., n1 fixado eAR(n+2)×(n+2) ´e alguma matriz constante auto-adjunta.

(13)

Cap´ıtulo 1

A esfera e o espa¸co hiperb´

olico

Neste cap´ıtulo apresentaremos as variedades que ser˜ao os espa¸cos ambientes das hipersuperf´ıcies tratadas neste trabalho.

1.1

A esfera

A esfera unit´aria´e definido por Sn ={x = (x

0, ..., xn+1);|x|= 1}. Denotaremos

Sη :X(M)→X(M) o operador de Weingarten.

Proposi¸c˜ao 1.1. A segunda forma fundamental de Sn ֒ Rn+1 ´e dada por S

η = Id.

Al´em disso, a curvatura seccional de Sn ´e constante e igual a 1.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x Sn,

{b1, ..., bn} uma base de TxSn e η = −x ∈ (TxSn)⊥.

Considere o campo normalN aSndado porN(p) =p. ComoN(x) = ηehN, Nip = 1,

∀pSn, temos que

hSη(bi), bji=h−(∇biN)

T, b

ji=h(−∇biN), bji.

Para um vetor arbitr´ariov TxSn, vamos calcular (∇vN)(x). Como,

N(p) =p=

n X

i=1

piei

temos que as coordenadas de N(p) na base canˆonica {e0, ..., en} de Rn+1 s˜ao dadas por

Ni(p) = −pi.

Sejam v TxSn e α :]−ǫ, ǫ[→ Sn uma curva regular em Sn tais que α(t) =

(α0(t), ...αn(t)),α(0) =xe α′(0) =v. Portanto,

v(Nk)(x) = dtd(Nk◦α)(t)|t=0 = dtdNk(α(t))|t=0 = dtd(−αk(t))|t=0 =−α′k(0).

Usando a express˜ao da conex˜ao e sabendo que Γk

ij(Rn+1) = 0, teremos:

(14)

(vN)(x) = n X

k=0

{v(Nk)(x) + X

i,j

viNj(x)Γkij(x)}ek

=

n X

k=0

v(Nk)(x)ek

=

n X

k=0

−α′k(0)ek

=

n X

k=0

−vkek

= v.

Portanto Sη(bi) = −∇biN =bi ⇒Sη =Id. Da´ı,

hhSη(X), Yiη, ηi = hSη(X), Yihη, ηi

= hSη(X), Yi

= hB(X, Y), ηi.

Logo B(X, Y) = hSη(X), Yiη=hX, Yiη=ηhX, Yi. Usando a f´ormula de Gauss

e tomando{X, Y} ortonormal,

K(X, Y)K(X, Y) = hB(X, X), B(Y, Y)i − hB(X, Y), B(X, Y)i

onde K ´e a curvatura seccional de Sn e K ´e a curvatura seccional de Rn+1. Como

K(X, Y) = 0 eB(X, Y) = η(X, Y), temos,

K(X, Y) =hηhX, Xi, ηhY, Yii − hηhX, Yi, ηhX, Yii= 1.

J´a sabemos que Sn ´e uma variedade compacta, da´ı segue diretamente do teorema

de Hopf e Rinow que Sn´e completa.

1.2

O espa¸co hiperb´

olico

Defini¸c˜ao 1.2. O espa¸co de Lorentz Rn+1

1 ´e o espa¸co euclidiano (n+ 1)-dimensional com

a m´etrica de Lorentz dada por

(p, q) = p0q0+p1q1+...+pnqn

(15)

5

Descrevemos o espa¸co hipeb´olico Hn que ´e uma hipersuperf´ıcie do Espa¸co de

Lorentz Rn+1

1 , ou seja, o espa¸co Rn+1 munido com a m´etrica semi-Riemanniana que

definiremos da seguinte maneira.

Seja Q : Rn+1 R uma forma quadr´atica dada por Q(x

0, ...xn) = −x20+x21 +

...+x2

n e R n+1

1 o espa¸co Rn+1 com a m´etrica pseudo-Riemanniana (., .) induzida por Q.

Ent˜ao teremos:

(u, v) = 12{Q(u+v)Q(u)Q(v)}

Observe que para x= (x0, ..., xn), segue da express˜ao acima que (x, x) =Q(x).

Oespa¸co hiperb´olico´e definido comoHn={x= (x0, ..., xn); (x, x) =1, x0 >0}.

Geometricamente Q(x) = 1 ´e um hiperbol´oide de duas folhas e Hn ´e a folha

contida no semi-espa¸co x0 > 0. Como Hn ´e uma componente conexa da pr´e-imagem de

−1 porQ, ent˜ao Hn ´e uma hipersuperf´ıcie de Rn+1 1 .

Proposi¸c˜ao 1.3. Segundo a m´etrica de Lorentz, o vetor η = x ´e ortogonal ao espa¸co tangenteTxHn, para todo x∈Hn.

Demonstra¸c˜ao. Sejam v TxHn e α :] − ǫ, ǫ[→ Hn uma curva regular em Hn tal

que α(0) = x e α′(x) = v. Assim α(t) = (x

0(t), ..., xn(t)), com x0(t) > 0. Logo,

Q(α(t)) = (α(t), α(t)) = 1. Ent˜ao:

Q(α(t)) = x0(t)2 +x1(t)2+...+xn(t)2 =−1

⇒ −2x0(t)x0′(t) + 2x1(t)x′1(t) +...+ 2xn(t)x′n(t) = 0

⇒ −x0(t)x′0(t) +x1(t)x′1(t) +...+xn(t)x′n(t) = 0

⇒ (α(t), α′(t)) = 0,t]ǫ, ǫ[ ⇒ (α(0), α′(0)) = 0

⇒ (x, v) = 0 ⇒ xv ⇒ η v.

Proposi¸c˜ao 1.4. (η, η) =1.

Demonstra¸c˜ao. (η, η) = (x, x) =Q(x) = 1.

Proposi¸c˜ao 1.5. β ={b0, ...bn}, comb0 =η, (bi, bj) = δij parai, j = 1, ...n e(bi, b0) = 0,

parai= 1, ..., n´e uma base de Rn+1

1 .

Demonstra¸c˜ao. Para ver queβ ´e uma base de Rn+1

(16)

Proposi¸c˜ao 1.6. A m´etrica induzida porRn+1

1 em Hn ´e Riemanniana.

Demonstra¸c˜ao. O ´ındice da forma quadr´atica independe da base escolhida. Escolhendo a base canˆonica {e0, ...en} ∈ R1n+1, vemos que o ´ındice de Q ´e igual a 1. Como Q(η) =

(η, η) =1, temos que Q(ei)>0,∀i= 1, ...n. Portanto Q|TxHn ´e positiva definida.

Assim, a m´etrica induzida por Rn+1

1 em Hn ´e Riemanniana.

Proposi¸c˜ao 1.7. A segunda forma fundamental de Hn ֒ Rn+1

1 ´e dada por Sη = −Id.

Al´em disso, a curvatura seccional de Hn ´e constante e igual a 1.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x Hn, {b

1, ..., bn} uma base de TxHn e η = x ∈ (TxHn)⊥.

Considere o campo normalN a Hn dado porN(p) =p. Visto queN(x) =η e (N, N) p =

−1,pHn, temos que

(Sη(bi), bj) = (−(∇biN)

T, b

j) = ((−∇biN), bj).

Para um vetor arbitr´ariov TxHn, vamos calcular (∇vN)(x). Como,

N(p) =p=Pni=1piei

temos que as coordenadas de N(p) na base canˆonica {e0, ..., en} de Rn1+1 s˜ao dadas por

Ni(p) = pi.

Sejam v TxHn e α :]−ǫ, ǫ[→ Hn uma curva regular em Hn tais que α(t) =

(α0(t), ...αn(t)),α(0) =xe α′(0) =v. Portanto,

v(Nk)(x) = dtd(Nk◦α)(t)|t=0 = dtdNk(α(t))|t=0 = dtd(αk(t))|t=0 =αk′(0).

Usando a express˜ao da conex˜ao e sabendo que Γk

ij(Rn1+1) = Γkij(Rn+1) = 0, teremos:

(vN)(x) = n X

k=0

{v(Nk)(x) + X

i,j

viNj(x)Γkij(x)}ek

=

n X

k=0

v(Nk)(x)ek

=

n X

k=0

α′k(0)ek

=

n X

k=0

vkek

= v.

(17)

7

((Sη(X), Y)η, η) = −(Sη(X), Y)(η, η)

= (Sη(X), Y)

= (B(X, Y), η).

Logo B(X, Y) = (Sη(X), Y)η = (X, Y)η = η(X, Y). Usando a f´ormula de

Gauss e tomando{X, Y} ortonormal,

K(X, Y)K(X, Y) = (B(X, X), B(Y, Y))(B(X, Y), B(X, Y)) onde K ´e a curvatura seccional de Hn e K ´e a curvatura seccional de Rn+1

1 . Como

K(X, Y) = 0 eB(X, Y) = η(X, Y), temos,

K(X, Y) = (η(X, X), η(Y, Y))(η(X, Y), η(X, Y)) =1.

Denotaremos O1(n + 1) o subgrupo das transforma¸c˜oes lineares de Rn+1 que

preservam a m´etrica (,) e ˆHn ={x= (x

0, ..., xn); (x, x) =−1;x0 <0}. Observe que ˆHn ´e

a folha contida no semi-espa¸co x0 <0.

Lema 1.8. Seja W O1(n + 1). Se para cada p Hn temos W(p) Hn, ent˜ao

W(x)Hn para todo xHn.

Demonstra¸c˜ao. Se W O1(n+ 1) e x Hn, ent˜ao (W x, W x) = (x, x) =

−1. Portanto

W(x)Hn ou W(x)Hˆn.

Seja pHn tal que W(p)Hn. Suponha que existeqHn tal que W(q)/ Hn,

isto ´e W(q) Hˆn. Seja α :]2,2[ Hn uma curva regular em Hn tal que α(0) = p e

α(1) =q. Ent˜ao, W α ´e uma curva em Q−1(1) ligando W(p) e W(q).

Denote α(t) = (x0(t), ...xn(t)), x0 >0 e W ◦α(t) = (y0(t), ..., yn(t)). Temos que

W α´e cont´ınua.

Como W(α(0)) = W(p) Hn, claramente y

0(0) > 0, e o fato de W(α(1)) =

W(q) Hˆn, temos que y

0(1) <0. Uma vez que y0 ´e cont´ınua, ent˜ao existe t′ ∈]0,1[ tal

quey0(t′) = 0 o que implica queW◦α(t′)∈/ Q(−1). Absurdo, pois (W(α(t′)), W(α(t′))) =

(α(t′), α(t)) = 1.

Proposi¸c˜ao 1.9. Se W O1(n+ 1) e det(W)>0, ent˜ao W(Hn) = Hn.

Demonstra¸c˜ao. Sejam e0 = x = (1,0, ...,0) ∈ Hn e {b1, ..., bn} base de TxHn. Como W

preserva m´etrica, temos que{W(e0), W(e1)..., W(en)}´e base de Rn1+1 e pelo fato deQser

(18)

Comodet(W)>0, W(e0) =e0. Pelo lema 1.8, conclu´ımos que W(Hn) =Hn.

Dizemos que uma variedade Riemanniana M ´e homogˆenea se dados p, q M

existe uma isometria de M que leva pem q.

Lema 1.10. Toda variedade homogˆenea ´e completa.

Demonstra¸c˜ao. Suponha queMn˜ao seja completa. Ent˜ao existempM e uma geod´esica (podemos tomar normalizada, |γ′| = 1) γ : [0, t

0] → M, com γ(0) = p, tal que γ n˜ao

pode ser estendida al´em de t0. Escolhamos ǫ > 0 tal que Bǫ(p) seja uma bola normal

e consideremos q = γ(t0 − 2ǫ) ∈ M. Como M ´e homogˆenea, por defini¸c˜ao, existe uma

isometria ϕ : M M tal que ϕ(p) =q. Ent˜ao ϕ : M M ´e um difeomorfismo, dϕp :

TpM →Tϕ(p)M ´e um isomorfismo e portanto existe v ∈ TpM tal que dϕpv =γ′(t0− 2ǫ).

Observe que ||v||= 1, pois ϕ´e isometria e portanto 1 = hγ′(t

0− 2ǫ), γ′(t0− 2ǫ)i=hdϕpv, dϕpvi=hv, vi.

Por outro lado considere a geod´esica α: [0, ǫ[M dada por

α(t) =expptv.

Conclu´ımos que ϕ α : [0, ǫ[ M ´e uma geod´esica, pois isometria preserva geod´esica, tal que

α)(0) =ϕ(α(0)) =ϕ(p) = q=γ(t0− 2ǫ)

e

α)′(0) =

pv =γ′(t0− 2ǫ).

Assimϕα´e uma geod´esica deM que coincide comγ em [t0−2ǫ[. Por unicidade

segue que ϕα = γ|[t0−ǫ2,t0[, o que significa que podemos estenderγ al´em de t0, o que ´e

um absurdo. LogoM ´e completa.

Proposi¸c˜ao 1.11. Hn ´e completa.

Demonstra¸c˜ao. Sejam p, q Hn, {v

1, ...vn} uma base ortonormal de TpHn e {w1, ..., wn}

uma base ortonormal deTqHn. ConsidereT :R1n+1 →Rn1+1 uma transforma¸c˜ao linear tal

que T(p) = q e T(vi) = wi, i = 1, ..., n. Como (p, p) = (q, q) = −1, (vi, vj) = (w1, wj) =

δij e (p, vi) = (q, wi) = 0, ent˜ao existe uma transforma¸c˜ao linear T : Rn1+1 → Rn1+1

que preserva m´etrica. Visto que p, q Hn e T(p) = q, pelo lema 1.8, conclu´ımos que

T(Hn) =Hn. Segue que T|

Hn ´e isometria deHn. Portanto, Hn ´e homogˆenea. Pelo lema

(19)

Cap´ıtulo 2

Operadores linearizados

(

L

k

)

O objetivo deste cap´ıtulo ´e obter a express˜ao do operador linearizado.Para isto, definiremos ak-´esima curvatura m´edia de uma hipersuperf´ıcie e ak-´esima transforma¸c˜ao de Newton.

Para simplificar nota¸c˜ao, denotaremos por Mn+1

c , a esfera Sn+1 ⊂Rn+2, se c= 1,

ou o espa¸co hiperb´olicoHn+1 Rn+2

1 , se c=−1. Em alguns momentos denotaremos por

h., .i, sem distin¸c˜ao, para a m´etrica euclidiana em Rn+2 e para a m´etrica lorentziana em

Rn+2

1 , bem como as correspondentes m´etricas (riemannianas) induzidas de Mnc+1 em M.

Considere x: Mn Mn+1

c ⊂ Rnq+2 (com q = 0 se c= 1, e q = 1, se c=−1) uma

hiper-superf´ıcie orient´avel conexa imersa em Mn+1

c com a aplica¸c˜ao de Gauss G. Denotaremos

por0, e as conex˜oes riemannianas em Rn+2

q , Mnc+1 e M, respectivamente.

Proposi¸c˜ao 2.1. As f´ormulas b´asicas de Gauss e Weingarten para as hipersuperf´ıcies

x:Mn

→Mnc+1 Rnq+2

s˜ao dadas por

∇0

XY =∇XY −chX, Yix=∇XY +hSGX, YiG−chX, Yix

e

SGX =−∇XG=−∇0XG.

Para todo X, Y X(M), onde SG : X(M) X(M) ´e o operador de forma de M com

respeito a escolha da orienta¸c˜ao G.

Demonstra¸c˜ao. Primeiro, consideremos Mn ֒x

→ Mn+1

c ϕ

֒ Rn+2

q , com ϕ(p) = p, ∀p ∈ Mnc+1. Sejam Aη : X(Mcn+1) X(Mcn+1) e SG : X(M) X(M) os operadores de

Weingartein das imers˜oesϕ exrespectivamente. Associamosα :X(Mn+1

c )×X(Mcn+1)→ X(Mn+1

c )⊥ a Aη, e B : X(M)×X(M) → X(M)⊥ a SG. J´a sabemos que AηX = cX e

η=cx. Visto que hB(X, Y), Gi=hSGX, Yi, segue que

(20)

B(X, Y) =hSGX, YiG.

Al´em disso, temos

hα(X, Y), ηi = hAηX, Yi

= 1chη, ηihAηX, Yi

= h−chX, Yix, ηi.

Portanto,

∇0

XY = ∇XY +α(X, Y) = ∇XY −chX, Yix

= XY +B(X, Y)−chX, Yix

= XY +hSGX, YiG−chX, Yix.

Para mostrar a segunda express˜ao, basta observar que

hSGX, Yi = hB(X, Y), Gi=h(∇XY)⊥, Gi

= h∇XY, Gi=−h∇XG, Yi

e

h∇0

XG, Yi = h∇XG+α(X, G), Yi

= h∇XG, Yi

para todoY X(M).

SG, que tamb´em denotaremos por S, define um operador linear auto-adjunto

em cada plano tangente TpM e seus autovalores, denotados por κ1(p), ..., κn(p), s˜ao as

curvaturas principais da hipersuperf´ıcie em p. Associado ao operador de Weingarten, existem n invariantes alg´ebricos dados por

sk(p) =σk(κ1(p), ..., κn(p)), 1≤k ≤n,

onde σk :Rn→R ´e uma fun¸c˜ao sim´etrica elementar em Rn dada por

σk(x1, ..., xn) = X

i1<...<ik

xi1...xik.

Observe que o polinˆomio caracter´ıstico pode ser escrito em termos de sk’s como

QS(t) = n X

k=0

(21)

11

pois,

QS(t) = det(tI−S) = (t−κ1)...(t−κn)

=

n X

k=0

(1)ks ktn−k.

A k-´esima curvatura m´edia Hk de uma hipersuperf´ıcie ´e definida por

Hk = snk k

.

Notemos que s0 = H0 = 1 e H1, H2, Hn s˜ao as curvaturas m´edia, escalar e de

Gauss-Kronecker, respectivamente.

Defini¸c˜ao 2.2. A k-´esima transforma¸c˜ao de Newton Pk : X(M) → X(M) ´e definida

indutivamente pelo operador de forma por

P0 =I e Pk=skI−SPk1 = nk

HkI−SPk1,

para todok = 1, ..., n, onde I denota a identidade em X(M).

Equivalentemente,

Pk = k X

j=0

(1)js

k−jSj = k X

j=0

(1)j n kj

Hk−jSj.

Em particular,

Pn = n X

k=0

(1)ks

n−kSk=QS(S) = 0.

A ´ultima igualdade vale pelo teorema de Cayley-Hamilton.

Proposi¸c˜ao 2.3. Pk(p)´e um operador linear auto-adjunto em cada espa¸co tangente TpM

que comuta com S(p).

Demonstra¸c˜ao. Faremos por indu¸c˜ao a demonstra¸c˜ao de que SPk = PkS. Note que

SP0 =SI =IS =P0S. Suponha que SPk−1 =Pk−1S. Logo

SPk = S(skI−SPk−1) =S(skI−Pk−1S)

= Ssk−SPk−1S =skS−SPk−1S

= (skI−SPk−1)S =PkS

Tamb´em por indu¸c˜ao, mostremos que Pk ´e auto-adjunta. Escolhamos X, Y ∈ X(M).

(22)

hP0X, Yi=hIX, Yi=hX, IYi=hX, P0Yi.

Suponha quePk−1 seja auto-adjunta, ou seja

hPk−1X, Yi=hX, Pk−1Yi

ent˜ao

hPk(X), Yi = h(skI−SPk−1X, Y)i=hskX, Yi − hSPk−1(X), Yi

= hX, skYi − hPk1(X), S(Y)i

= hX, skYi − hX, Pk1(S(Y))i

= hX,(skI−Pk1S)Yi

= hX, Pk(Y)i

Denotemos por

sk(Si) = sk(κ1, ..., κi1, κi+1, ..., κn)

a k-fun¸c˜ao elementar sim´etrica associada a restri¸c˜ao Si de S ao subespa¸co ortogonal ao

autovetor correspondenteei.

Lema 2.4. Para cada i= 1, ..., n fixado, temos

sk(Si) =sk−κisk−1(Si).

Demonstra¸c˜ao. Temos que

sk(Si) = sk(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn), sk−1(Si) = sk−1(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn)

e

sk = X

i1<...<ik

κi1...κik.

Fixadoi∈ {i1, ..., ik}, sk pode ser dividido em duas parcelas. Uma contendoκi e a outra

n˜ao contendo κi, ou seja, sk = J +κiL. Claramente, J = sk(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn) =

sk(Si) e L=sk−1(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn) = sk−1(Si). Portanto sk(Si) = sk−κisk−1(Si).

(23)

13

Demonstra¸c˜ao. Temos queP0(ei) = I(ei) =eies0(Si)ei =s0(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn)ei =

ei, ent˜ao P0(e1) = s0(Si)ei. Suponha que Pk(ei) =sk(Si)ei. Ent˜ao

Pk+1(ei) = sk+1ei−SPk(ei) =sk+1ei−S(sk(Si)ei)

= sk+1ei−sk(Si)S(ei) = sk+1ei−sk(Si)κiei

= (sk+1−sk(Si)κi)ei =sk+1(Si)ei

PortantoPk(ei) =sk(Si)ei.

Se{e1, ..., en}s˜ao autovetores deS(p) com os autovalores correspondentesκ1(p),...,

κn(p) respectivamente, ent˜ao eles tamb´em s˜ao autovetores de Pk(p) com os autovalores

correspondentes dado por:

µi,k(p) =

X

i1<...<ik,ij6=i

κi1(p)...κik(p)

para todo 1in. Pois

Pk(ei) = sk(Si)ei =sk(κ1, ..., κk−1, κk+1, ..., κn)

=

X

i1<...<ik,ij6=i

κi1...κik

.ei

Proposi¸c˜ao 2.6. Para cada1k n1, temos

(a) tr(Pk) = n X

i=1

sk(Si) = (n−k)sk =ckHk;

(b) tr(SPk) = n X

i=1

κisk(Si) = (k+ 1)sk+1 =ckHk+1;

(c) tr(S2P

k) = n X

i=1

κ2isk(Si) =s1sk+1−(k+ 2)sk+2 = k+1n

(nH1Hk+1−(n−k−1)Hk+2)

onde ck = (n−k) nk

= (k+ 1) k+1n

.

Demonstra¸c˜ao.

(a) Da defini¸c˜ao de tra¸co, segue que

tr(Pk) = n X

i=1

hPk(ei), eii= n X

i=1

hsk(Si)ei, eii

=

n X

i=1

sk(Si).

(24)

monˆomio desk, ent˜ao ele tamb´em ser´a um monˆomio desk(Si), comi /∈ {j1, ..., jk}. Como

temos (nk) termos, ent˜ao

n X

i=1

sk(Si) = (n−k)sk.

(b) Facilmente vemos que

tr(SPk) = n X

i=1

hSPk(ei), eii= n X

i=1

hPk(ei), S(ei)i

=

n X

i=1

hsk(Si)ei, κieii= n X

i=1

κisk(Si).

Al´em disso, sabemos ainda

tr(Pk+1) =tr(sk+1I−SPk) = tr(sk+1I)−tr(SPk).

Logo

tr(SPk) = tr(sk+1I)−tr(Pk+1)

= nsk+1−(n−(k+ 1))sk+1

= (k+ 1)sk+1.

(c)Temos que

tr(S2P

k) = n X

i=1

hS2Pk(ei), eii= n X

i=1

hPk(ei), S2(ei)i

=

n X

i=1

hsk(Si)ei, κ2i(ei)i= n X

i=1

κ2isk(Si).

Como

tr(SPk+1) = tr(S(sk+1I−SPk))

= tr(sk+1SI)−tr(S2Pk).

Conclu´ımos que

tr(S2P

k) = tr(sk+1SI)−tr(SPk+1)

(25)

15

Proposi¸c˜ao 2.7. tr(Pk∇XS) = h∇sk+1, Xi = k+1n

h∇Hk+1, Xi, ∀X ∈ X(M). Onde

∇S denota a diferencial covariante deS

∇S(Y, X) = (XS)Y =∇X(SY)−S(∇XY), X, Y ∈X(M).

Demonstra¸c˜ao.

Vamos provar este resultado calculando no referencial ortonormal em M que diagonalizaS. ´E importante observar que nem sempre tais estruturas existem; problemas ocorrem quando a multiplicidade das curvaturas principais mudam (tamb´em as curvaturas principais em todos os pontos n˜ao s˜ao necessariamente suaves). Por isso, trabalharemos em um subconjunto M0 de M que consiste em pontos em que o n´umero de curvaturas

principais distintas ´e localmente constante. Como bem sabemos, M0 ´e um subconjunto

aberto e denso de M, as curvaturas principais s˜ao fun¸c˜oes suaves em M0 e, para cada

curvatura principalκ a indica¸c˜ao

pM0 7→ker(Sp−κ(p)I)⊂TpM

define uma distribui¸c˜ao suave. Portanto, para cadapM0 existe um referencial

ortonor-mal {E1, ..., En} definido na vizinhan¸ca de p tal que S(Ei) = κiEi, com cada κi suave.

Nesse caso temos

Pk(Ei) = µi,kEi

e

(XS)Ei = ∇X(SEi)−S(∇XEi)

= X(κi)Ei+ X

j6=i

(κi−κj)h∇XEi, EjiEj.

Logo

tr(Pk∇XS) = n X

i=1

µi,kX(κi)

=

n X

i=1

X(κi)

X

i1<...<ik,ij6=i

κi1...κik

= X( X

i1<...<ik

κi1...κik) =X(sk+1)

= h∇sk+1, Xi=h∇ k+1n

Hk+1, Xi

= n

k+1

h∇Hk+1, Xi.

(26)

Associado a cada transforma¸c˜ao de Newton Pk, temos um operador linear

difer-enci´avel de segunda ordemLk :C∞(M)→C∞(M) definido por

Lk(f) =tr(Pk◦ ∇2f)

onde2f :X(M)X(M) denota um operador linear auto-adjunto metricamente

equiv-alente `a hessiana def e dado por h∇2f(X), Yi=h∇

X(∇f), Yi, X, Y ∈X(M).

Quandok = 0, temos

L0(f) = tr(P0 ◦ ∇2f) = tr(∇2f) =△f

onde denota o operador Laplaciano. Por isto, dizemos que o operador linearizado generaliza o operador laplaciano.

Proposi¸c˜ao 2.8. Lk(f g) = (Lkf)g+f(Lkg) + 2hPk(∇f),∇gi; f, g∈C∞(M).

Demonstra¸c˜ao. Seja{E1, ..., En} um referencial ortonormal de M, ent˜ao

Lk(f g) = tr(Pk◦ ∇2(f g)) = n X

i=1

h(Pk◦ ∇2(f g))Ei, Eii

=

n X

i=1

h∇2(f g)Ei, Pk(Ei)i

=

n X

i=1

h∇Ei(∇(f g)), Pk(Ei)i

=

n X

i=1

h∇Ei(f∇g+g∇f), Pk(Ei)i

=

n X

i=1

h∇Ei(f∇g), Pk(Ei)i+

n X

i=1

h∇Ei(g∇f), Pk(Ei)i

=

n X

i=1

{hfEi(∇g), Pk(Ei)i+hEi(f)∇g, Pk(Ei)i}

+

n X

i=1

{hgEi(∇f), Pk(Ei)i+hEi(g)∇f, Pk(Ei)i}

= f

n X

i=1

h∇Ei∇g, Pk(Ei)i+hPk(∇g),

n X

i=1

Ei(f)Eii

+ g

n X

i=1

h∇Ei∇f, Pk(Ei)i+hPk(∇f),

n X

i=1

(27)

17

Portanto

Lk(f g) = f n X

i=1

h∇2(g)Ei, PkEi, Pk(Ei)i+hPk(∇g),∇fi

+ g

n X

i=1

h∇2(f)Ei, PkEi, Pk(Ei)i+hPk(∇f),∇gi

= f Lk(g) +gLk(f) + 2hPk(∇f),∇gi.

Seja x : Mn Mn+1

c ⊂ Rnq+2 uma hipersuperf´ıe orient´avel imersa em Mcn+1.

Denotemos por Ga aplica¸c˜ao de Gauss de x. Dado um vetor arbitr´ario fixadoaRn+2,

consideraremos a fun¸c˜ao coordenada ha, xiem M.

Lema 2.9. a=aT+

ha, GiG+cha, xix, ondeaT

∈X(M)denota a componente tangencial

de a.

Demonstra¸c˜ao. Visto que a=aT +D

1G+D2x, onde D1, D2 s˜ao escalares, ent˜ao

ha, Gi = haT +D

1G+D2x, Gi

= haT, Gi+hD

1G, Gi+hD2x, Gi

= D1hG, Gi=D1

Al´em disso

ha, xi = haT +

ha, GiG+D2x, xi

= haT, G

i+hha, GiG, xi+hD2x, xi

= D2hx, xi=D2c,

o que nos d´a

D2 =cha, xi.

Portanto,

a=aT +ha, GiG+cha, xix.

Lema 2.10. X(ha, xi) =hX, ai=hX, aTi,X X(M).

Demonstra¸c˜ao. Considere ˜x:Mn+1

c →Mcn+1 definido por ˜x(x) =x. Como ˜x= n X

i=1

˜

xiei,

(28)

n X

i=1

xiei =x= ˜x(x) = n X

i=1

˜

xi(x)ei

portanto ˜xi(x) =xi. Temos ainda que (dx˜i)xv =vi, ondev = (v1, ...vn+2), pois

(dx˜i)xv = (˜xi◦α)′(0) =α′i(0) =vi

tal que α(0) =x, α′(0) =v e α= (α

1, ..., αn+2).

Como X X(M), ent˜aoX = n X

i=1

giei, comgi ∈C∞(M). Logo

∇0

Xx˜(x) = n X

i=1

X(˜xi)(x)ei = n X

i=1

(dx˜i)xX(x)ei = n X

i=1

gi(x)ei =X(x).

Portanto0

Xx˜=X.

∇0

Xa = 0, poisa ∈Rn+2. Ent˜ao

X(ha, xi) = h∇0

Xa, xi+ha,∇0Xxi=ha, Xi=hX, ai

= hX, aT +

ha, GiG+cha, xixi

= hX, aT

i+hX,ha, GiGi+hX, cha, xixi

= hX, aT

i.

Da´ı, temos que

hX, aT

i=X(ha, xi) = h∇ha, xi, Xi

o que implica que∇ha, xi=aT.

Proposi¸c˜ao 2.11. X∇ha, xi=∇XaT =ha, GiSX −cha, xiX, ∀X ∈X(M).

Demonstra¸c˜ao.

∇X∇ha, xi = ∇XaT = (∇0XaT)T

= {∇0

X(a− ha, GiG−cha, xix)}T

= {∇0

Xa− ∇0X(ha, GiG)− ∇0X(ha, xix)}T

= {−∇0

X(ha, GiG)− ∇X0 (ha, xix)}T

= {−Xha, GiG− ha, Gi∇0

XG−cXha, xix−cha, xi∇0Xx}T

= {−ha, Gi∇0

XG−cha, xiX}T

= −ha, Gi(0

(29)

19

Logo

∇X∇ha, xi = −ha, Gi(−SX)T −cha, xiX

= ha, GiSX cha, xiX.

Proposi¸c˜ao 2.12. Lkha, xi=ha, Gitr(SPk)−cha, xitr(Pk) =ckHk+1ha, Gi−cckHkha, xi.

Demonstra¸c˜ao.

Lkha, xi = tr(Pk∇2ha, xi) = n X

i=1

hPk∇2ha, xiEi, Eii

=

n X

i=1

h∇2ha, xiEi, PkEii= n X

i=1

h∇Ei∇ha, xi, PkEii

=

n X

i=1

h∇Eia

T, P kEii

=

n X

i=1

hha, GiSEi−cha, xiEi, PkEii

=

n X

i=1

(ha, GihSEi, PkEii −cha, xihEi, PkEii)

= ha, Gi

n X

i=1

hSEi, PkEii −cha, xi n X

i=1

hEi, PkEii

= ha, Gi

n X

i=1

hSPkEi, Eii −cha, xi n X

i=1

hPkEi, Eii

= ha, Gitr(SPk)−cha, xitr(Pk)

= ckHk+1ha, Gi −cckHkha, xi.

Corol´ario 2.13. Lkx=ckHk+1G−cckHkx.

Demonstra¸c˜ao.

Lkha, xi = ckHk+1ha, Gi −cckHkha, xi

= ha, ckHk+1G−cckHkxi

(30)

Hipersuperf´ıcies que satisfazem a

condi¸c˜

ao

L

k

x

=

Ax

O objetivo deste cap´ıtulo ´e verificar que as hipersuperf´ıcies com a (k+ 1)-´esima curvatura m´edia zero e a k-´esima curvatura m´edia constante, o Toro de Clifford e o cilindro hiperb´olico satisfazem a equa¸c˜ao Lkx = Ax, onde x : Mn → Mnc+1 ⊂ R

n+2 1 ´e

uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa tanto na esfera euclidiana Sn+1 Rn+2 (sec = 1)

ou no espa¸co hiperb´olicoHn+1

1 (se c=−1), Lk ´e o operador linearizado da (k+ 1)-´esima

curvatura m´edia de M para algum k = 0,1, ..., n1 fixado e A R(n+2)×(n+2) ´e alguma

matriz constante auto-adjunta.

3.1

Hipersuperf´ıcies com a

(

k

+ 1)

esima curvatura

edia nula e a

k

esima curvatura m´

edia constante

Considere uma hipersuperf´ıcie Mn

→ Mnc+1 Rnq+2 orient´avel imersa em Mnc+1

tal que Hk = constante e Hk+1 = 0. Como Lkx = ckHk+1G− cckHkx, onde ck =

(nk) n k

= (k+ 1) k+1n

e c´e curvatura seccional, ent˜ao

Lkx = −cckHk(x0, ..., xn+1) = (−cckHkx0, ...,−cckHkxn+1)

=         

−cckHk 0 · · · 0 0

0 cckHk · · · 0 0

... ... . .. ... ...

0 0 · · · −cckHk 0

0 0 · · · 0 cckHk                   x0 x1 ... xn

xn+1

        

= diag[cckHk, ...,−cckHk]x.

(31)

21

TomandoA=diag[cckHk, ...,−cckHk], temos que as hipersuperf´ıcies comHk =constante

eHk+1 = 0, satisfazem a condi¸c˜aoLkx=Ax.

3.2

Toro de Clifford

Nesta se¸c˜ao, definiremos o Toro de Clifford, calcularemos suas curvaturas princi-pais, (k+1)-´esima curvatura m´edia, segunda forma fundamental e a express˜ao do operador linearizado da (k+ 1)-´esima curvatura m´edia.

Para definir o toro de Clifford usaremos algumas considera¸c˜oes de variedade pro-duto.

Sejam M, N, M , N variedades Riemannianas, f : M M e g : N N

imers˜oes isom´etricas. SejamM,

∇N,

∇M,N as conex˜oes Riemannianas deM, N, M , N

respectivamente. Considere emM×N eM×N as m´etricas produtos e a imers˜ao isom´etrica

f×g :M ×N M×N. Defina as conex˜oes Riemannianas de M×N e M ×N

∇MX×NY =∇ M

XMYM +∇

N XNYN

e

∇MU×NV =∇ M

UMVM +∇ N UNVN

respectivamente, onde X = (XM, XN)∈X(M ×N), Y = (YM, YN)∈X(M ×N) em que

XM, YM ∈ X(M) e XN, YN ∈ X(N). E U = (UM, UN) ∈ X(M ×N), V = (VM, VN) ∈ X(M ×N) em que U

M, VM ∈X(M) e UN, VN ∈X(N).

Sejam Bf, Bg as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com

os operadores lineares auto-adjuntos associados Sξf : TpM → TpM e Sµg : TqN → TqN

com ξX(M), µX(N). Tome u, v TpM e w, z TqN, ent˜ao temos

hSξfu, vi=hBf(u, v), ξi e hSµgw, zi=hBg(w, z), µi.

Assim a segunda forma fundamental da imers˜ao produtof ×g ´e dada por

Bf×g(X, Y) = (Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)).

Se|ξ|2 +|µ|2 = 1, ent˜ao podemos definir o campo normal e unit´ario a M ×N por

η= (ξ, µ)

(32)

hSηX, Yi = hBf×g(X, Y), ηi

= h(Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)),(ξ, µ)i

= hBf(XM, YM), ξi+hBg(XN, YN), µi

= hSξf(XM), YMi+hSµg(XN), YNi

= |ξ|hSfξ |ξ|

(XM), YMi+|µ|hSgµ

|µ|(XN), YNi.

Consequentemente o operador de forma na dire¸c˜ao normal η´e

SηX = |ξ|S f

ξ |ξ|

(XM) +|µ|S g

µ |µ|(XN)

= (|ξ|Sfξ |ξ| ◦

πM(X) +|µ|Sgµ

|µ| ◦πN(X))

onde πM ´e proje¸c˜ao sobre M eπN proje¸c˜ao sobre N.

Considere a esfera m-dimensional de raio r, Sm(r) = {p Rm+1;|p| = r}, e as

inclus˜oes canˆonicas f : Sm(1r2) Rm+1 e g : Sn−m(r) Rn−m+1. Denote por ϕ

o produto das imers˜oes ϕ = f ×g : Sm(1

−r2)×Snm(r)

→ Rn+2. Dado um ponto

(p, q) Sm(1r2)×Snm(r), temos que

|(p, q)|2 = |p|2+|q|2 = (1r2)2 +r2 = 1,

isto ´e,Sm(1r2)×Snm(r)

⊂Sn+1(1). A imagem da imers˜ao

Sm(1r2)×Sn−m(r)Sn+1(1)

´e chamada de Toro de Clifford.

Dada uma imers˜ao Sn+1(r)֒

→Rn+2 temos que a aplica¸c˜ao normal de Gauss na esfera de

raio r´e dada por G(p) =|pp|, logo

SG(v) =−(∇vG) = −dGp(v) = 1r(v) = 1rId

onde S ´e um operador de Weingarten e ´e a conex˜ao riemanniana de Rn+2. Para as

imers˜oesf :Sm(1r2)Rm+1, g :Sn−m(r)Rn−m+1 ei :Sn+1 Rn+2, teremos os

operadores de forma associados Sξf = 1

1−r2Id, S

g

µ = 1rId e S i

G =Id com ξ(p) =− p

1−r2

e µ(q) = q

r. Considere o campo Γ(p, q) = (p, q) normal ao Toro de Clifford mas n˜ao

tangente `a esferaSn+1e o campoG(p, q) = (ap, bq) normal ao Toro de Clifford e tangente

`a esfera Sn+1. Portanto valem as seguintes condi¸c˜oes:

(1) h(ap, bq),(p, q)i= 0;

(33)

23

De (1), temos quea|p|2+b|q|2 = 0 oua|p|2b|q|2 = 0, e de (2)a2|p|2+b2|q|2 = 1.

J´a sabemos que |p|=√1r2 e |q|=r. Ent˜ao

0 =a|p|2+b|q|2 =a(1r2) +br2.

Logo a= r2

1−r2b.

Segue de (1) e (2) que

1 =a2|p|2+b2|q|2 =a2(1r2) +b2r2

isto implica que

1

r2 =a2 1−

r2

r2 +b2 =

r2

1−r2b2+b2.

Logo conclu´ımos que

a= r

1−r2 e b=

1−r2

r , para 0< r <1.

Portanto o vetor normal ser´a dado por

G(p, q) = (ap, bq) = (r

1−r2p,

1−r2

r q)

e o operador de forma na sua dire¸c˜ao ser´a dado por

SG = |ξ|S f

ξ |ξ| ◦

πSm+|µ|Sgµ |µ| ◦πS

n−m

= rSf p

1−r2 ◦

πSm+√1−r2Sgq r ◦π

Sn−m

= rSf p

1−r2 ◦

πSm−√1−r2Sg

−qr ◦π

Sn−m.

Assim,

SG(X,0) =r(Sf p

1−r2

)X = r

1−r2X

e

SG(0, Y) =−

1r2(Sg

−qr)Y =−

1−r2

r Y.

Tomando uma base ortonormal de vetores de f ×g dada por

{(e0,0), ...,(em,0),(0, hm+1), ...,(0, hn+1)}

onde {ei} diagonaliza Sξf e {hi} diagonaliza Sµg, temos que as curvaturas principais do

(34)

κ1 =...=κm = √1rr2

e

κm+1 =...=κn=−

1−r2

r .

J´a temos que a aplica¸c˜ao de Gauss em M ´e

G(x) = ( r

1−r2x0, ...,−

r

1−r2xm,

1−r2

r xm+1, ...,

1−r2

r xn+1)

e as curvaturas principais s˜ao dadas por

κ1 =...=κm = √1r

−r2 κm+1 =...=κn =−

1−r2

r .

Para todo k= 1, ..., n1 fixado, temos que Hk ´e constante. Como sabemos que

Lkx=ckHk+1G−cckHkx

ec= 1, ent˜ao

Lkx = ckHk+1(−√1rr2x0, ...,−

r

1−r2xm,

1−r2

r xm+1, ...,

1−r2

r xn+1)

− ckHk(x0, ..., xn+1)

= (νx0, ..., νxm, ωxm+1, ..., ωxn+1)

= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]

  

x0

...

xn+1

  

= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]x

onde,

ν =ckHk+1r

1−r2 −ckHk

e

ω= ckHk+1

1−r2

r −ckHk.

TomandoA=diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω], temos que o Toro de Clifford (Sm(1

−r2)×Snm(r),

(35)

25

3.3

Cilindro hiperb´

olico

Nesta se¸c˜ao definiremos o cilindro hiperb´olico, Hk(1 +r2)×Snk(r), que ´e

uma hipersuperf´ıcie no espa¸co hiperb´olico Hn+1. Calcularemos a segunda forma

fun-damental, as curvaturas principais, a (k + 1)-´esima curvatura m´edia e a express˜ao do operador linearizado da (k+ 1)-´esima curvatura m´edia.

Sejam M, N, M, N, variedades tais que N ´e riemanniana e M uma variedade diferenci´avel com uma m´etrica pseudo-riemanniana (., .) induzida por uma forma quadr´atica

Q. Considere as imers˜oes isom´etricas f :M M eg :N N, onde a m´etrica induzida por f em M ´e riemanniana e Q(ξ, ξ)< 0, ξ X(M). Considerando em M ×N e em

M×N as m´etricas produtos, teremos que a imers˜ao

f×g :M ×N M ×N

tamb´em ´e imers˜ao isom´etrica.

Denotemos porM a conex˜ao pseudo-riemanniana de M e porM,

∇N e

∇N as conex˜oes riemannianas deM, N e N respectivamente. Portanto a conex˜ao riemanniana deM ×N ´e dada por

∇M×N

X Y =∇MXMYM × ∇

N XNYN

e a conex˜ao pseudo-riemanniana deM ×N ´e dada por

∇MU×NV =∇ M

UMVM +∇ N UNVN

onde X = (XM, XN), Y = (YM, YN) ∈ X(M ×N) em que XM, YM ∈X(M) e XN, YN ∈ X(N). E U = (UM, UN), V = (VM, VN)X(M×N) em queUM, VM X(M) e UN, VN X(N).

Sejam Bf, Bg as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com

os operadores lineares auto-adjuntos associados Sξf : TpM → TpM e Sµg : TqN → TqN

com ξX(M), µX(N). Tome u, v TpM e w, z TqN, ent˜ao temos:

hSξfu, vi=hBf(u, v), ξi e hSµgw, zi=hBg(w, z), µi.

Assim a segunda forma fundamental da imers˜ao produtof ×g ´e dada por

Bf×g(X, Y) = (Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)).

Seja η = (ξ, µ) em M ×N normal a M ×N, com ξ em M normal a M, µ em

N normal aN, (ξ, ξ) +|µ|2 =1 e (ξ, ξ) =ρ2, ρ > 0. Vamos encontrar o operador de

forma Sf×g

(36)

hSf×g

η X, Yi = hSηf×g(XM, XN),(YM, YN)i

= hBf×g((XM, XN),(YM, YN)), ηi

= h(Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)),(ξ, µ)i

= hBf(XM, YM), ξi+hBg(XN, YN), µi

= hSξf(XM), YMi+hSµg(XN), YNi

= hρSfξ ρ

(XM), YMi+h|µ|Sgµ

|µ|(XN), YNi.

Desta maneira, o operador de forma na dire¸c˜aoN da imers˜ao produto f×g ´e

Sf×g

η X = ρS f

ξ ρ

XM +|µ|Sgµ |µ|XN

= (ρSfξ ρ ◦

πM +|µ|Sgµ

|µ| ◦πN)X

onde πM ´e proje¸c˜ao sobre M eπN ´e proje¸c˜ao sobreN.

Sejam f e g as inclus˜oes canˆonicas Hk(1 +r2) Rk+1

1 e Sn−k ⊂ Rn−k+1

re-spectivamente, ou seja,

f :Hk(1 +r2)֒Rk+1

1 f(p) =p

g :Snk(r)֒

→Rnk+1 g(q) = q.

Note que f ´e isometria, pois a m´etrica induzida em Hk(1 +r2) por Rk+1 1 ´e

riemanniana.

Considere o produto das imers˜oes

f×g :Hk(

−√1 +r2)×Snk(r)֒

→Rn+2

1 .

SejampHk(1 +r2) e qSnk(r), isto ´e, (p, p) =

−1r2 e|q|2 =r2. Assim

(p, q)Hk(1 +r2)×Snk(r) e ((p, q),(p, q)) = (p, p) +

|q|2 =1r2+r2 =1.

Neste caso os pontos (p, q)Hk(1 +r2)×Sn−k(r) estar˜ao no espa¸co hiperb´olico

Hn+1 ={(p, q)Rn+2

1 ; ((p, q)(p, q)) = −1}.

Para as imers˜oes f : Hm(1 +r2) Rm+1

1 , g : Sn−m(r) → Rn−m+1 e i :

Hn+1 Rn+2

1 , teremos os operadores de forma associados S

f

ξ = −√1+1r2Id, S

g

µ = 1rId e

Si

G = Id com ξ(p) = p

1+r2 e µ(q) = −

q

r. Considere o campo Γ(p, q) = (p, q) normal a Hn e a Hm(1 +r2)×Snm(r). Precisamos de um campo G(p, q) = (ap, bq), unit´ario,

(37)

27

(i) ((ap, bq),(p, q)) = 0

(ii) ((ap, bq),(ap, bq)) = 1

De (i), temos que 0 = a(p, p) +b|q|2 =a(1 +r2) +br2 =aar2+br2, ent˜ao

a= br2

1+r2.

De (ii), temos que 1 =a2(p, p) +b2|q|2 =a2(1 +r2)

⇒ 1 =a2a2r2+b2r2

⇒ r12 =−

a2

r2 −a2+b2 =−a2(

1

r2 + 1) +b2

⇒ r12 =−b2

r2

1+r2 +b2 =

b2

1+r2

⇒ b= √1+r2

r e a = r

1+r2.

Portanto o vetor normal ser´a dado por:

G(p, q) = ( r

1+r2p,

1+r2

r q)

e o operador de forma na sua dire¸c˜ao ser´a dado por

SG = ρSfξ ρ ◦

πM +|µ|Sgµ |µ| ◦πN

= rSf p

1+r2 ◦

πM +

1 +r2Sg

q r ◦πN

= rSfp

1+r2

◦πM −

1 +r2Sg

−qr ◦πN.

Assim,

SG(X,0) =−r(Sf p

1+r2

)X =r(√1

1+r2)X =−

r

1+r2X

e

SG(0, Y) =−

1 +r2(Sg

−q

r)Y =−

1+r2

r Y.

Tomando uma base ortonormal de vetores de f ×g dada por

{(e0,0),(e1,0), ...,(em,0),(0, hm+1),(0, hm+2), ...,(0, hn+1)}

onde {ei} diagonaliza Sξf e {hi} diagonaliza Sµg, temos que as curvaturas principais do

(38)

κ1 =...=κm =−√1+rr2

e

κm+1 =...=κn=−

1+r2

r .

J´a temos que a aplica¸c˜ao de Gauss em M ´e

G(x) = ( r

1+r2x0, ...,

r

1+r2xm,

1+r2

r xm+1, ...,

1+r2

r xn+1)

e as curvaturas principais s˜ao dadas por

κ1 =...=κm =−√1+rr2 κm+1 =...=κn =−

1+r2

r .

Para todo k = 1, ..., n 1 fixado, temos que Hk ´e constante. Como sabemos que

Lkx=ckHk+1G−cckHkx e c=−1, ent˜ao

Lkx = ckHk+1(√1+rr2x0, ...,

r

1+r2xm,

1+r2

r xm+1, ...,

1+r2

r xn+1)

+ ckHk(x0, ..., xn+1)

= (νx0, ..., νxm, ωxm+1, ..., ωxn+1)

= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]

  

x0

...

xn+1

  

= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]x

onde,

ν = ckHk+1r

1+r2 +ckHk

e

ω = ckHk+1

1+r2

r +ckHk.

Tomando A= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω], temos que o Cilindro hiperb´olico (Hm(

−√1 +r2)×

(39)

Cap´ıtulo 4

Teorema

O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar a demonstra¸c˜ao do teorema principal. Este classifica as hipersuperf´ıcies x : Mn Mn+1

c ⊂ Rnq+2 orient´aveis imersas em Mcn+1 que

satisfazem a equa¸c˜aoLkx=Ax, onde A∈R(n+2)×(n+2) ´e alguma matriz constante

auto-adjunta. Para isto, introduziremos uma s´erie de resultados auxiliares.

No final do cap´ıtulo 2 calculamos o operadorLk agindo nas fun¸c˜oes coordenadas

da hipersuperf´ıcie, agora consideraremos as fun¸c˜oes coordenadas da aplica¸c˜ao de Gauss

G, que ´e a fun¸c˜ao ha, Gi em M, onde aRn+2 ´e um vetor arbitr´ario fixado.

Lema 4.1. X(ha, Gi) =−hSX, ai=−hX, S(aT)

i, X X(M).

Demonstra¸c˜ao. ComoaRn+2, sabemos que0

Xa = 0, logo

X(ha, Gi) = h∇0

Xa, Gi+ha,∇0XGi=ha,∇0XGi

2.1

= ha,SXi=−hSX, ai

2.9

= −hSX, aT +ha, GiG+cha, xixi

= (hSX, aT

i+ha, GihSX, Gi+cha, xihSX, xi) = −hSX, aTi

= −hX, S(aT)

i.

Da´ı, temos que

h∇ha, Gi, Xi=Xha, Gi=−hS(aT), Xi=h−S(aT), Xi

o que implica que

∇ha, Gi=S(aT). (4.1)

Lema 4.2. X(∇ha, Gi) = −∇X(SaT) = −∇S(aT, X) − S(∇XaT) = −(∇XS)aT −

ha, GiS2X+cha, xiSX.

(40)

Demonstra¸c˜ao.

∇X(∇ha, Gi) = ∇X(−SaT) =−∇X(SaT)

= −∇S(aT, X)

−S(XaT)

= (XS)aT −S(∇XaT)

2.11

= (XS)aT −S(ha, GiSX −cha, xiX)

= (XS)aT − ha, GiS2X+cha, xiSX.

Lema 4.3. S(aT, X) =S(X, aT) = (

aTS)X.

Demonstra¸c˜ao. ComoS ´e auto-adjunto, temos

hSX, aTi=hX, SaTi.

Derivando ambos os membros,

h∇(SX), aT

i+hSX,aT

i=h∇X, SaT

i+hX,(SaT)

i.

Usando o fato de que

h(XS)Z, Yi=h∇X(SZ), Yi − hS(∇XZ), Yi,

temos

h(S)X, aTi+hS(X), aTi+hSX,aTi=hSX, aTi+hX,(S)aTi+hX, S(aT)i

o que implica que

h(S)X, aT

i=hX,(S)aT

i.

Logo

∇S(aT, X) = h(S)aT, Xi=haT,(S)Xi

= hX,(S)aTi=S(X, aT)

= (aTS)X.

Na pr´oxima proposi¸c˜ao, daremos uma express˜ao do operador Lk agindo nas

fun¸c˜oes coordenadas da aplica¸c˜ao de Gauss G.

Proposi¸c˜ao 4.4. Lkha, Gi=−tr(Pk∇aTS)− ha, Gitr(S2Pk) +cha, xitr(SPk) =

n k+1

h∇Hk+1, ai − kn+1

(41)

31

Demonstra¸c˜ao. Seja{E1, ..., En} um referencial ortonormal de M, logo

Lkha, Gi = tr(Pk∇2ha, Gi) = n X

i=1

hPk∇2ha, GiEi, Eii

=

n X

i=1

h∇2ha, GiEi, PkEii= n X

i=1

h∇Ei∇ha, Gi, PkEii

4.1

=

n X

i=1

h∇Ei(−S(a

T)), P kEii

4.2

=

n X

i=1

h−(EiS)a

T

− ha, GiS2Ei+cha, xiSEi, PkEii

=

n X

i=1

{−h(EiS)a

T

, PkEii − hha, GiS2Ei, PkEii

+ hcha, xiSEi, PkEii}

4.3

=

n X

i=1

h(aTS)Ei, PkEii − ha, Gi

n X

i=1

hS2Ei, PkEii

+ cha, xi

n X

i=1

hSEi, PkEii

=

n X

i=1

hPk(∇aTS)Ei, Eii − ha, Gi

n X

i=1

hPkS2Ei, Eii

+ cha, xi

n X

i=1

hPkSEi, Eii

=

n X

i=1

hPk(∇aTS)Ei, Eii − ha, Gitr(PkS2) +cha, xitr(SPk)

= tr(Pk∇aTS)− ha, Gitr(PkS2) +cha, xitr(SPk)

= kn+1

h∇Hk+1, ai − kn+1

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)ha, Gi

+ cckHk+1ha, xi.

Corol´ario 4.5. LkG= kn+1

∇Hk+1− kn+1

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)G+

c(k+ 1) k+1n

Hk+1a.

(42)

Lkha, Gi = − k+1n

h∇Hk+1, ai − k+1n

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)ha, Gi

+ cckHk+1ha, xi

= h− k+1n

∇Hk+1− k+1n

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)G

+ cckHk+1x, ai

o que implica

LkG= k+1n

∇Hk+1− k+1n

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)G+c(k+ 1) k+1n

Hk+1a

Assumiremos que para um k = 1, ..., n1 fixado a imers˜ao x : Mn Mn+1

c ⊂ Rn+2

q satisfaz a condi¸c˜ao

Lkx=Ax+b (4.2)

para uma matriz constante A R(n+2)×(n+2) e um vetor constante b Rn+2. Como

Lkx=ckHk+1G−cckHkx, temos

Ax = b+ckHk+1G−cckHkx

2.9

= bT − hb, GiGchb, xix+c

kHk+1G−cckHkx

= bT + (c

kHk+1− hb, Gi)G−c(ckHk+hb, xi)x

onde bT

∈X(M) denota a componente tangencial de b. Portanto

Ax=b+ckHk+1G−cckHkx=−bT + (ckHk+1− hb, Gi)G−c(ckHk+hb, xi)x. (4.3)

Proposi¸c˜ao 4.6. AX =ckHk+1SX −cckHkX+ckh∇Hk+1, XiG−cckh∇Hk, Xix.

Demonstra¸c˜ao. Tomando a derivada covariante de ambos os membros da equa¸c˜ao

Ax=bT +c

kHk+1G− hb, GiG−cckHkx−chb, xix

obtemos que

∇0

XAx=−∇0XbT +ck∇0XHk+1G− ∇0Xhb, GiG−cck∇0XHkx−c∇0Xhb, xi

e como0

XAx=AX, temos

AX = −∇0

XbT +ck(h∇Hk+1, XiG+Hk+1∇X0 G)−(X(hb, Gi)G+hb, Gi∇0XG)

− cck(h∇Hk, Xix+Hk∇0Xx)−c(X(hb, xi)x+hb, xi∇0Xx).

Pelo fato de que0

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