Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condic ¸˜ ao Lk (x) = Ax

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo

a condic ¸˜ ao L

  k

  (x) = Ax

Luiz Alberto de Oliveira Silva

  Salvador-Bahia Setembro de 2011 Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condic ¸˜ ao L (x) = Ax

  k

Luiz Alberto de Oliveira Silva

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa.

  Salvador-Bahia Setembro de 2011 Silva, Luiz Alberto de Oliveira.

  Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condi¸c˜ ao L k

(x) = Ax/ Luiz Alberto de Oliveira Silva. – Salvador: UFBA, 2011.

51 f. Orientador: Prof. Dr. Jos´e N. Bastos Barbosa. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2011. Referˆencias bibliogr´aficas.

  

Bastos. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III.

T´ıtulo.

  CDU : 514.764.2 Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condic ¸˜ ao L (x) = Ax

  k

  Luiz Alberto de Oliveira Silva

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 23 de setembro de 2011.

Banca examinadora:

  Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta UFBA

  Prof. Dr. Marcos Petr´ ucio de Almeida Cavalcante UFAL

  Meus pais, meus irm˜aos e a Milena.

Agradecimentos

  A minha m˜ae Veral´ ucia por incentivar meus estudos, a meu pai Antˆonio, meus irm˜aos e a minha companheira Milena pelo carinho em todos os momentos. Agrade¸co tamb´em aos meus colegas da p´os-gradua¸c˜ao. Aos colaboradores deste trabalho como Dimi Rangel, Marcus Morro, Fellipe Leite, Rodrigo Von Flach, Te´ofilo

  Nascimento, Thiago Nunes e Renivaldo Sena.

  Um agradecimento em especial ao professor Jos´e Nelson pela sua orienta¸c˜ao e escolha do tema e aos demais professores do Instituto de Matem´atica.

  “Matem´aticos s˜ao m´aquinas de transformar caf´e em teo- remas ”.

  (Alfr´ed R´enyi) Resumo n

  • 1 n

  Este trabalho trata de hipersuperf´ıcies na esfera S ou no espa¸co hiperb´olico

  • 1

  H , cujo vetor posi¸c˜ao x satisfaz a condi¸c˜ao L k x = Ax, onde L k ´e o operador linearizado da (k + 1)-´esima curvatura m´edia da hipersuperf´ıcie para um k = 0, 1, ..., n − 1 fixado

  (n+2)×(n+2) ´e uma matriz constante auto-adjunta. Para cada k, tem-se que as e A ∈ R

  ´ unicas hipersuperf´ıcies que satisfazem as condi¸c˜oes acima s˜ao: aquelas que possuem a (k + 1)-´esima curvatura m´edia nula e k-´esima curvatura m´edia constante ou uma parte m n n

  • 1 2 −m

  aberta do toro de Clifford (S ( com 0 < r < 1) ou uma parte 1 − r ) × S (r) ⊂ S m n n +1 √ 2 −m aberta do cilindro hiperb´olico (H 1 + r com r > 0).

  (− ) × S (r) ⊂ H Palavras-chave: Hipersuperf´ıcies; k-´esima Curvatura M´edia; Operador Linearizado. Abstract n

  • 1 n

  This work deals with hypersurfaces either in the sphere S or in the hyperbolic

  • 1

  space H whose position vector x satisfies the condition L k x = Ax where L k is the linearized operator of the (k + 1)-th mean curvature of the hypersurfaces for a fixed (n+2)×(n+2) is a self-adjoint constant matrix. For each k, it k = 0, 1, ..., n − 1 and A ∈ R follows that the only hypersurfaces which satisfy the condition above are: those that have the (k + 1)-th mean curvature zero and k-th mean curvature constant or an open piece of m n n

  • 1 2 −m

  the Clifford’s torus (S ( with 0 < r < 1) or an open piece of 1 − r ) × S (r) ⊂ S m n n +1 √ 2 −m the hyperbolic cylinder (H 1 + r with r > 0).

  (− ) × S (r) ⊂ H Keywords: Hypersurfaces; k-th Mean Curvature; Linearized Operator.

Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 A esfera e o espa¸co hiperb´ olico 3 1.1 A esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2 O espa¸co hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4

  2 Operadores linearizados (L k )

  9

  3 Hipersuperf´ıcies que satisfazem a condi¸c˜ ao L k x = Ax

  20

  3.1 Hipersuperf´ıcies com a (k + 1)-´esima curvatura m´edia nula e a k-´esima curvatura m´edia constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  3.2 Toro de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  3.3 Cilindro hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  4 Teorema

  29 Referˆ encias

  49 Introdu¸c˜ ao

  Em 1966, Takahashi [Tak66] mostrou que as ´ unicas subvariedades n-dimensionais n

  • m

  isometricamente imersas no espa¸co euclidiano R , cujas fun¸c˜oes coordenadas s˜ao au- tovalores do operador Laplaciano associado a algum autovalor λ, ou s˜ao subvariedades n +m m´ınimas em R (com λ = 0) ou s˜ao subvariedades em uma hiperesfera redonda n n n

  • m
  • m−1

  S (com λ = 2 > 0). Em particular, quando a codimens˜ao ´e m = 1,

  ⊂ R r n n

  • 1

  o teorema de Takahashi afirma que se x : M ´e uma hipersuperf´ıcie imersa no → R espa¸co euclidiano e △ denota seu operador Laplaciano (com respeito a m´etrica induzida), ent˜ao a imers˜ao satisfaz a condi¸c˜ao △x + λx = 0 para alguma constante real λ se, e somente se, M ´e m´ınima com λ = 0 ou M ´e uma parte aberta da hiperesfera redonda de p n n

  • 1 raio r = centrada na origem de R com λ > 0. λ

  Como uma extens˜ao do teorema de Takahashi, Garay [Gar90] estudou hiper- superf´ıcies no espa¸co euclidiano cujas fun¸c˜oes coordenadas s˜ao autovalores do operador Laplaciano, mas n˜ao necessariamente associado ao mesmo autovalor. Para ser mais es- n

  • 1

  pec´ıfico, Garay [Gar90] considerou hipersuperf´ıcies em R satisfazendo △x = Ax (com (n+1)×(n+1)

  ´e uma respeito ao mesmo sistema de coordenadas ortonormal), onde A ∈ R matriz diagonal constante. Em 1990, ele provou que as ´ unicas tais hipersuperf´ıcies s˜ao n +1 m´ınimas em R , parte aberta da hiperesfera redonda ou parte aberta dos cilindros esf´ericos generalizados.

  3 Baseado nisto, Dillen [DPV90] considerou superf´ıcies em R cuja imers˜ao satisfaz

  3 3×3

  ´e um vetor a condi¸c˜ao △x = Ax + b, onde A ∈ R ´e uma matriz constante e b ∈ R constante. Em 1990, ele provou que as ´ unicas tais superf´ıcies s˜ao m´ınimas, partes abertas da esfera redonda ou partes abertas de cilindros circulares. Em 1991, o resultado de Dillen n

  • 1 foi generalizado em R , por Hasanis e Vlachos [HVl92], Chen e Petrovic [CPe91].

  O operador Laplaciano △ pode ser visto como o primeiro de uma sequˆencia de operadores L , ..., L n , onde L k representa o operador linearizado da (k + 1)-

  1 = △, L −1

  ∞ ∞ ´esima curvatura m´edia da hipersuperf´ıcie. Estes operadores L k : C (M ) s˜ao

  (M ) → C

  2 definidos por L k (f ) = tr(P k f ), onde f ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel em M , P k ´e a

  ◦ ∇ k-´esima transforma¸c˜ao de Newton associada `a segunda forma fundamental da hipersu- 2 f ´e a hessiana de f . perf´ıcie e ∇

  2 n +1 Em 2006, Al´ıas e G¨ urb¨ uz [AGu06] estenderam a classifica¸c˜ao para hipersuperf´ıcies em R n +1 satisfazendo △x = Ax+b. Eles classificaram hipersuperf´ıcies no espa¸co euclidiano R satisfazendo a condi¸c˜ao L k x = Ax + b, provando que as ´ unicas tais hipersuperf´ıcies s˜ao as que tˆem a (k + 1)-´esima curvatura m´edia zero, uma parte aberta da hiperesfera redonda ou uma parte aberta do cilindro esf´erico reto generalizado. Em 2010, Al´ıas e Kashani [AKa10] mostraram o seguinte teorema, que ´e o resultado principal desta dis- serta¸c˜ao. n n n

  • 1 +2

  Teorema: Seja x : M uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa onde n n n n +2 → M c ⊂ R q n

  • 1 +1 +2 +1

  M ´e a esfera euclidiana S se c = 1 ou o espa¸co hiperb´olico H c k ´e o operador linearizado da (k + 1)-´esima curvatura m´edia de M , ⊂ R ⊂ R

  1 se c = −1. Se L k x = Ax para algum k = 0, 1, 2, ..., n − 1 fixado, ent˜ao a imers˜ao satisfaz a condi¸c˜ao L

  (n+2)×(n+2) se, e somente se, ´e uma das para alguma matriz constante auto-adjunta A ∈ R seguintes hipersuperf´ıcies: (1) uma hipersuperf´ıcie com a (k + 1)-´esima curvatura m´edia zero e a k-´esima curvatura m´edia constante; m n n

  • 1 2 −m

  (2) uma parte aberta do Toro de Clifford, S ( , 0 < r < 1, se 1 − r ) × S (r) ⊂ S c = 1; m n n

  2 +1 −m

  (3) uma parte aberta do cilindro hiperb´olico, H 1 + r , r > 0, (− ) × S (r) ⊂ H se c = −1.

  Esta disserta¸c˜ao ´e dividida em quatro cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, trataremos de conceitos b´asicos que ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes de alguns resultados. No cap´ıtulo 2, apresentaremos as defini¸c˜oes das transforma¸c˜oes de Newton (os operadores P k ) e dos operadores linearizados (L k ), bem como algumas propriedades e express˜oes. n n n

  • 1 +2

  Descreveremos, no cap´ıtulo 3, as hipersuperf´ıcies x : M ori- n → M c ⊂ R q

  • 1

  ent´aveis imersas em M satisfazendo a condi¸c˜ao L k x = Ax, onde L k ´e o operador c linearizado da (k + 1)-´esima curvatura m´edia de M para algum k = 0, 1, ..., n − 1 fixado (n+2)×(n+2) ´e alguma matriz constante auto-adjunta. e A ∈ R Finalmente, no cap´ıtulo 4, apresentaremos a demonstra¸c˜ao do teorema principal.

  Cap´ıtulo 1 A esfera e o espa¸co hiperb´ olico

  Neste cap´ıtulo apresentaremos as variedades que ser˜ao os espa¸cos ambientes das hipersuperf´ıcies tratadas neste trabalho.

  1.1 A esfera n

  A esfera unit´aria ´e definido por S , ..., x n

  • 1

  = {x = (x ); |x| = 1}. Denotaremos S η : X(M ) → X(M) o operador de Weingarten. n n +1 Proposi¸c˜ ao 1.1. A segunda forma fundamental de S ´e dada por S η = Id. n ֒→ R Al´em disso, a curvatura seccional de S ´e constante e igual a 1. n n n

  ⊥ S S , ..., b n x x ) .

  1 Demonstra¸c˜ao. Sejam x ∈ S , {b } uma base de T e η = −x ∈ (T n Considere o campo normal N a S p = 1, n dado por N (p) = −p. Como N(x) = −η e hN, Ni

  , temos que ∀p ∈ S T η i j b i j b i j (b ), b N ) , b N ), b hS i = h−(∇ i = h(−∇ i. n x v N )(x). Como, S Para um vetor arbitr´ario v ∈ T , vamos calcular (∇ n

  X p i e i N (p) = −p = − i =1 n

  • 1

  , ..., e n s˜ao dadas por temos que as coordenadas de N (p) na base canˆonica {e } de R N i i .

  (p) = −p n n n x uma curva regular em S tais que α(t) = S Sejam v ∈ T e α :] − ǫ, ǫ[→ S

  ′ (α (t), ...α (t)), α(0) = x e α (0) = v. Portanto, n d d d

  ′ v(N k )(x) = (N k t = N k t = k t (0). =0 =0 =0 dt dt dt ◦ α)(t)| (α(t))| (−α (t))| = −α k k n

  • 1

  Usando a express˜ao da conex˜ao e sabendo que Γ (R ) = 0, teremos: ij

  n

  4 X

  X k ( v N )(x) = k )(x) + v i N j (x)Γ k ij

  ∇ {v(N (x)}e k i,j =0 n

  X = v(N k )(x)e k k =0 n

  X ′

  = (0)e k k k −α =0 n

  X = k e k k =0 −v = −v.

  Portanto S (b N = b = Id. Da´ı, η i b i i η η η ) = −∇ ⇒ S hhS (X), Y iη, ηi = hS (X), Y ihη, ηi η = hS (X), Y i = hB(X, Y ), ηi. η

  Logo B(X, Y ) = hS (X), Y iη = hX, Y iη = ηhX, Y i. Usando a f´ormula de Gauss e tomando {X, Y } ortonormal, K(X, Y ) − K(X, Y ) = hB(X, X), B(Y, Y )i − hB(X, Y ), B(X, Y )i n n +1 onde K ´e a curvatura seccional de S e K ´e a curvatura seccional de R . Como

  K(X, Y ) = 0 e B(X, Y ) = η(X, Y ), temos, K(X, Y ) = hηhX, Xi, ηhY, Y ii − hηhX, Y i, ηhX, Y ii = 1. n J´a sabemos que S ´e uma variedade compacta, da´ı segue diretamente do teorema n de Hopf e Rinow que S ´e completa.

  1.2 O espa¸co hiperb´ olico n +1

  Defini¸c˜ ao 1.2. O espa¸co de Lorentz R ´e o espa¸co euclidiano (n + 1)-dimensional com

  1 a m´etrica de Lorentz dada por q + p q + ... + p n q n

  1

  1 (p, q) = −p onde p = (p , ..., p n ) e (q , ..., q n ).

  n

  5 Descrevemos o espa¸co hipeb´olico H que ´e uma hipersuperf´ıcie do Espa¸co de n

  • 1 n +1

  Lorentz R , ou seja, o espa¸co R munido com a m´etrica semi-Riemanniana que

  1 definiremos da seguinte maneira. n

  • 1

  2

  2 Seja Q : R , ...x + x n n +1 n → R uma forma quadr´atica dada por Q(x ) = −x

  • 1 2 +1 ... + x e R o espa¸co R com a m´etrica pseudo-Riemanniana (., .) induzida por Q. n

  1 Ent˜ao teremos:

  1 (u, v) =

  {Q(u + v) − Q(u) − Q(v)}

  2 Observe que para x = (x , ..., x n ), segue da express˜ao acima que (x, x) = Q(x). n O espa¸co hiperb´olico ´e definido como H , ..., x n = {x = (x ); (x, x) = −1, x > 0}. n

  ´e a folha Geometricamente Q(x) = −1 ´e um hiperbol´oide de duas folhas e H n contida no semi-espa¸co x > 0. Como H ´e uma componente conexa da pr´e-imagem de n +1 n ´e uma hipersuperf´ıcie de R .

  −1 por Q, ent˜ao H

  1 Proposi¸c˜ ao 1.3. Segundo a m´etrica de Lorentz, o vetor η = x ´e ortogonal ao espa¸co n n H tangente T x .

  , para todo x ∈ H n n n x uma curva regular em H tal H Demonstra¸c˜ao. Sejam v ∈ T e α :] − ǫ, ǫ[→ H

  ′ que α(0) = x e α (x) = v. Assim α(t) = (x (t), ..., x (t)), com x (t) > 0. Logo, n Q(α(t)) = (α(t), α(t)) = −1. Ent˜ao:

  2

  2

  2 (t) + x (t) + ... + x n (t)

  1 Q(α(t)) = −x = −1 ′ ′ ′

  (t)x (t) + 2x (t)x (t) + ... + 2x n (t)x (t) = 0 1 n

  ⇒ −2x

  1 ′ ′ ′

  (t)x (t) + x (t)x (t) + ... + x (t)x (t) = 0 1 n

  ⇒ −x 1 n ′

  ⇒ (α(t), α (t)) = 0, ∀t ∈] − ǫ, ǫ[ ′

  (0)) = 0 ⇒ (α(0), α ⇒ (x, v) = 0 ⇒ x ⊥ v ⇒ η ⊥ v.

  Proposi¸c˜ ao 1.4. (η, η) = −1. Demonstra¸c˜ao. (η, η) = (x, x) = Q(x) = −1.

  Proposi¸c˜ , ...b n = η, (b i , b j ) = δ ij para i, j = 1, ...n e (b i , b ) = 0, ao 1.5. β = {b }, com b n

  • 1 para i = 1, ..., n ´e uma base de R .

  1 n +1 n +1 n H Demonstra¸c˜ao. Para ver que β ´e uma base de R , basta ver que R . x

  1 1 = [η] ⊕ T

  n

  6

  • 1 n Proposi¸c˜ ao 1.6. A m´etrica induzida por R em H ´e Riemanniana.

  1 Demonstra¸c˜ao. O ´ındice da forma quadr´atica independe da base escolhida. Escolhendo n

  • 1

  , ...e n , vemos que o ´ındice de Q ´e igual a 1. Como Q(η) =

  1 a base canˆonica {e } ∈ R i T ´e positiva definida. x H n (η, η) = −1, temos que Q(e ) > 0, ∀i = 1, ...n. Portanto Q| n +1 n Assim, a m´etrica induzida por R em H ´e Riemanniana.

  1 n +1 n Proposi¸c˜ ao 1.7. A segunda forma fundamental de H ´e dada por S η n ֒→ R 1 = −Id. Al´em disso, a curvatura seccional de H n n n ´e constante e igual a −1.

  ⊥ H H , ..., b n x x ) .

  1 Demonstra¸c˜ao. Sejam x ∈ H , {b } uma base de T e η = x ∈ (T n Considere o campo normal N a H dado por N (p) = p. Visto que N (x) = η e (N, N ) p = n

  , temos que −1, ∀p ∈ H T (S (b ), b N ) , b N ), b ). η i j b i j b i j

  ) = (−(∇ ) = ((−∇ n x , vamos calcular ( v N )(x). Como, H Para um vetor arbitr´ario v ∈ T ∇

  P n N (p) = p = p i e i i =1 n

  • 1

  , ..., e n s˜ao dadas por temos que as coordenadas de N (p) na base canˆonica {e } de R

  1 N i (p) = p i . n n n x uma curva regular em H tais que α(t) = H Sejam v ∈ T e α :] − ǫ, ǫ[→ H

  ′ (α (t), ...α n (t)), α(0) = x e α (0) = v. Portanto, d d d

  ′ v(N k )(x) = (N k t = N k t = (α k t = α (0). dt ◦ α)(t)| dt (α(t))| dt (t))| =0 =0 =0 k k +1 k n +1 n Usando a express˜ao da conex˜ao e sabendo que Γ (R ) = Γ (R ) = 0, teremos: ij ij n

  1 X

  X k ( v N )(x) = k )(x) + v i N j (x)Γ k ij

  ∇ {v(N (x)}e k i,j =0 n

  X = v(N k )(x)e k k

  =0 n

  X ′

  = α (0)e k k k =0 n

  X = v k e k k =0 = v.

  Portanto S η (b i b i η i ) = −∇ N = −b ⇒ S = −Id. Da´ı,

  η η (X), Y )(η, η)

  7 (−(S (X), Y )η, η) = −(S

  = (S η (X), Y ) = (B(X, Y ), η). η (X), Y )η = (X, Y )η = η(X, Y ). Usando a f´ormula de Logo B(X, Y ) = −(S

  Gauss e tomando {X, Y } ortonormal, K(X, Y ) − K(X, Y ) = (B(X, X), B(Y, Y )) − (B(X, Y ), B(X, Y )) n n +1 onde K ´e a curvatura seccional de H e K ´e a curvatura seccional de R . Como

  1 K(X, Y ) = 0 e B(X, Y ) = η(X, Y ), temos, K(X, Y ) = (η(X, X), η(Y, Y )) − (η(X, Y ), η(X, Y )) = −1. n

  1

  • 1

  Denotaremos O (n + 1) o subgrupo das transforma¸c˜oes lineares de R que n n H

  H preservam a m´etrica (, ) e ˆ , ..., x n ´e

  = {x = (x ); (x, x) = −1; x < 0}. Observe que ˆ a folha contida no semi-espa¸co x < 0. n n

  1 , ent˜ao

  Lema 1.8. Seja W ∈ O (n + 1). Se para cada p ∈ H temos W (p) ∈ H n n . W (x) ∈ H para todo x ∈ H

  1 n Demonstra¸c˜ao. Se W ∈ O (n + 1) e x ∈ H , ent˜ao (W x, W x) = (x, x) = −1. Portanto n n

  H . W (x) ∈ H ou W (x) ∈ ˆ n n n n tal que W (q) / ,

  Seja p ∈ H tal que W (p) ∈ H . Suponha que existe q ∈ H ∈ H n n n H uma curva regular em H tal que α(0) = p e isto ´e W (q) ∈ ˆ . Seja α :] − 2, 2[→ H

  −1 α(1) = q. Ent˜ao, W ◦ α ´e uma curva em Q (−1) ligando W (p) e W (q).

  Denote α(t) = (x (t), ...x (t)), x (t), ..., y (t)). Temos que n n > 0 e W ◦ α(t) = (y W ◦ α ´e cont´ınua. n

  , claramente y (0) > 0, e o fato de W (α(1)) = Como W (α(0)) = W (p) ∈ H n

  ′ H

  , temos que y (1) < 0. Uma vez que y ´e cont´ınua, ent˜ao existe t W (q) ∈ ˆ

  ∈]0, 1[ tal ′ ′ ′ ′ que y (t ) / )), W (α(t ))) =

  ) = 0 o que implica que W ◦α(t ∈ Q(−1). Absurdo, pois (W (α(t ′ ′

  (α(t ), α(t )) = −1. n n

  1 Proposi¸c˜ (n + 1) e det(W ) > 0, ent˜ao W (H ) = H . ao 1.9. Se W ∈ O n n

  H Demonstra¸c˜ao. Sejam e 1 , ..., b n x . Como W

  = x = (1, 0, ..., 0) ∈ H e {b } base de T n +1 ), W (e )..., W (e e pelo fato de Q ser

  1 n preserva m´etrica, temos que {W (e )} ´e base de R

  1 uma forma quadr´atica de ´ındice 1, teremos W (e ) paralelo a e , portanto W (e .

  ) = ±e

  n n

  8 Como det(W ) > 0, W (e ) = e . Pelo lema 1.8, conclu´ımos que W (H ) = H .

  Dizemos que uma variedade Riemanniana M ´e homogˆenea se dados p, q ∈ M existe uma isometria de M que leva p em q. Lema 1.10. Toda variedade homogˆenea ´e completa. Demonstra¸c˜ao. Suponha que M n˜ao seja completa. Ent˜ao existem p ∈ M e uma geod´esica

  ′ (podemos tomar normalizada, |γ | = 1) γ : [0, t ] → M, com γ(0) = p, tal que γ n˜ao pode ser estendida al´em de t . Escolhamos ǫ > 0 tal que B ǫ (p) seja uma bola normal ǫ e consideremos q = γ(t

  − ) ∈ M. Como M ´e homogˆenea, por defini¸c˜ao, existe uma

  2 p : isometria ϕ : M → M tal que ϕ(p) = q. Ent˜ao ϕ : M → M ´e um difeomorfismo, dϕ ǫ

  ′ T p ϕ p M tal que dϕ p v = γ (t ).

  (p) M → T M ´e um isomorfismo e portanto existe v ∈ T −

  2 Observe que ||v|| = 1, pois ϕ ´e isometria e portanto ǫ ǫ ′ ′

  (t ), γ (t p v, dϕ p 1 = hγ − − )i = hdϕ vi = hv, vi.

  2

  2 Por outro lado considere a geod´esica α : [0, ǫ[→ M dada por α(t) = exp p tv.

  Conclu´ımos que ϕ ◦ α : [0, ǫ[→ M ´e uma geod´esica, pois isometria preserva geod´esica, tal que ǫ )

  (ϕ ◦ α)(0) = ϕ(α(0)) = ϕ(p) = q = γ(t −

  2 e ǫ

  ′ ′ (0) = dϕ p v = γ (t ).

  (ϕ ◦ α) −

  2 ǫ [. Por unicidade

  Assim ϕ ◦ α ´e uma geod´esica de M que coincide com γ em [t − ǫ

  2 , o que significa que podemos estender γ al´em de t , o que ´e

  [t ,t [ segue que ϕ ◦ α = γ| − 2 um absurdo. Logo M ´e completa. n Proposi¸c˜ ao 1.11. H ´e completa. n n

  H 1 , ...v n p 1 , ..., w n

  Demonstra¸c˜ao. Sejam p, q ∈ H , {v } uma base ortonormal de T e {w } n n +1 n +1 H uma base ortonormal de T . Considere T : R uma transforma¸c˜ao linear tal q

  1 → R

  1 que T (p) = q e T (v i ) = w i i , v j ) = (w , w j ) =

  1 , i = 1, ..., n. Como (p, p) = (q, q) = −1, (v n n

  • 1 +1

  δ ij e (p, v i ) = (q, w i ) = 0, ent˜ao existe uma transforma¸c˜ao linear T : R n 1 → R

  1 e T (p) = q, pelo lema 1.8, conclu´ımos que que preserva m´etrica. Visto que p, q ∈ H n n n n H n

  T (H ) = H ´e isometria de H . Portanto, H ´e homogˆenea. Pelo lema n . Segue que T | anterior H ´e completa.

  Cap´ıtulo 2 Operadores linearizados (L ) k

  O objetivo deste cap´ıtulo ´e obter a express˜ao do operador linearizado.Para isto, definiremos a k-´esima curvatura m´edia de uma hipersuperf´ıcie e a k-´esima transforma¸c˜ao de Newton. n n n

  • 1 +1 +2

  Para simplificar nota¸c˜ao, denotaremos por M , a esfera S , se c = 1, n n +2 c ⊂ R

  • 1

  ou o espa¸co hiperb´olico H ⊂ R 1 , se c = −1. Em alguns momentos denotaremos por n

  • 2

  e para a m´etrica lorentziana em

  h., .i, sem distin¸c˜ao, para a m´etrica euclidiana em R n

  • 2
  • n +1 R , bem como as correspondentes m´etricas (riemannianas) induzidas de M em M . c

      1 n n +1 n +2 Considere x : M c q

      → M ⊂ R (com q = 0 se c = 1, e q = 1, se c = −1) uma hiper- n

    • 1

      superf´ıcie orient´avel conexa imersa em M com a aplica¸c˜ao de Gauss G. Denotaremos c n n

    • 2 +1

      , q c , M e M , respectivamente. por ∇ ∇ e ∇ as conex˜oes riemannianas em R Proposi¸c˜ ao 2.1. As f´ormulas b´asicas de Gauss e Weingarten para as hipersuperf´ıcies n n n

    • 1 +2

      x : M c q → M ⊂ R s˜ao dadas por X Y = X X G

      ∇ ∇ Y − chX, Y ix = ∇ Y + hS X, Y iG − chX, Y ix e S G X X G. G X = −∇ G = −∇

      Para todo X, Y ∈ X(M), onde S : X(M ) → X(M) ´e o operador de forma de M com respeito a escolha da orienta¸c˜ao G. n n n x ϕ

    • 1 +2

      Demonstra¸c˜ao. Primeiro, consideremos M c q n n n ֒→ M ֒→ R , com ϕ(p) = p, ∀p ∈

    • 1 +1 +1

      M c c c . Sejam A η : X(M ) e S G ) → X(M : X(M ) → X(M) os operadores de n +1 n +1

      Weingartein das imers˜oes ϕ e x respectivamente. Associamos α : X(M c c n ) × X(M ) →

    • 1

      ⊥ ⊥

      X (M ) a A a S . J´a sabemos que A X = cX e c , e B : X(M ) × X(M) → X(M) η G η G

      η = −cx. Visto que hB(X, Y ), Gi = hS X, Y i, segue que

      G

      10 B(X, Y ) = hS X, Y iG.

      Al´em disso, temos η hα(X, Y ), ηi = hA X, Y i

      1 = η c hη, ηihA X, Y i = h−chX, Y ix, ηi.

      Portanto, X Y = X X ∇ ∇ Y + α(X, Y ) = ∇ Y − chX, Y ix X

      = ∇ Y + B(X, Y ) − chX, Y ix X G = ∇ Y + hS X, Y iG − chX, Y ix.

      Para mostrar a segunda express˜ao, basta observar que G X Y ) ⊥ hS X, Y i = hB(X, Y ), Gi = h(∇ , Gi X X

      = h∇ Y, Gi = −h∇

      G, Y i e X X h∇ G, Y i = h∇ G + α(X, G), Y i X

      = h∇

      G, Y i para todo Y ∈ X(M).

      S , que tamb´em denotaremos por S, define um operador linear auto-adjunto G em cada plano tangente T p M e seus autovalores, denotados por κ (p), ..., κ n (p), s˜ao as

      1 curvaturas principais da hipersuperf´ıcie em p. Associado ao operador de Weingarten, existem n invariantes alg´ebricos dados por s (p) = σ (κ (p), ..., κ (p)), k k

      1 n n 1 ≤ k ≤ n, n onde σ k : R dada por

      → R ´e uma fun¸c˜ao sim´etrica elementar em R

      X σ k (x 1 , ..., x n ) = x i i <...<i 1 k 1 ...x i . k

      Observe que o polinˆomio caracter´ıstico pode ser escrito em termos de s k ’s como n

      X k n −k

      Q S (t) = s k t k (−1) =0

      11 pois, Q S n )

      1 (t) = det(tI − S) = (t − κ )...(t − κ n

      X k n −k = s k t . k (−1)

      =0 A k-´esima curvatura m´edia H k de uma hipersuperf´ıcie ´e definida por s k H k = . k n Notemos que s = H = 1 e H 1 , H 2 , H n s˜ao as curvaturas m´edia, escalar e de Gauss- Kronecker, respectivamente.

      Defini¸c˜ ao 2.2. A k-´esima transforma¸c˜ao de Newton P k : X(M ) → X(M) ´e definida indutivamente pelo operador de forma por n

      P = I e P = s = H , k k k k k k I − SP −1 I − SP −1 para todo k = 1, ..., n, onde I denota a identidade em X(M ).

      Equivalentemente, k k

      X j j j j

      X n P = s S = k H S . k k k j =0 j =0 (−1) −j (−1) −j −j Em particular, n

      X k k P n = s n S = Q S (S) = 0. k (−1) −k =0 A ´ ultima igualdade vale pelo teorema de Cayley-Hamilton.

      Proposi¸c˜ ao 2.3. P k (p) ´e um operador linear auto-adjunto em cada espa¸co tangente T p M que comuta com S(p). Demonstra¸c˜ao. Faremos por indu¸c˜ao a demonstra¸c˜ao de que SP k = P k S. Note que SP = SI = IS = P S. Suponha que SP k = P k S. Logo

      −1 −1 SP = S(s ) = S(s S) k k k k k

      I − SP −1 I − P −1 = Ss k k S = s k k S

      − SP −1 S − SP −1 = (s k k )S = P k S

      I − SP −1 Tamb´em por indu¸c˜ao, mostremos que P k ´e auto-adjunta. Escolhamos X, Y ∈ X(M). Notemos que

      12 hP X, Y i = hIX, Y i = hX, IY i = hX, P Y i.

      Suponha que P k seja auto-adjunta, ou seja −1 k k

      −1 −1 hP X, Y i = hX, P Y i ent˜ao k k k k k hP (X), Y i = h(s I − SP −1 X, Y )i = hs X, Y i − hSP −1 (X), Y i k k

      −1 = hX, s Y i − hP (X), S(Y )i k k = hX, s Y i − hX, P −1 (S(Y ))i k k = hX, (s I − P −1 S)Y i k = hX, P (Y )i

      Denotemos por s k (S i ) = s k (κ , ..., κ i , κ i , ..., κ n ) 1 +1

      −1 a k-fun¸c˜ao elementar sim´etrica associada a restri¸c˜ao S i de S ao subespa¸co ortogonal ao autovetor correspondente e i .

      Lema 2.4. Para cada i = 1, ..., n fixado, temos s k (S i ) = s k i s k (S i ).

      − κ −1 Demonstra¸c˜ao. Temos que s k (S i ) = s k (κ , ..., κ i , κ i , ..., κ n ), s k (S i ) = s k (κ , ..., κ i , κ i , ..., κ n )

      1 +1 1 +1 −1 −1 −1 −1 e

      X s k = κ i ...κ i . i <...<i 1 k 1 k 1 , ..., i k k pode ser dividido em duas parcelas. Uma contendo κ i e a outra

      Fixado i ∈ {i }, s n˜ao contendo κ , ou seja, s = J + κ L. Claramente, J = s (κ , ..., κ , κ , ..., κ ) = i k i k 1 i i +1 n

      −1 s k (S i ) e L = s k (κ , ..., κ i , κ i , ..., κ n ) = s k (S i ). Portanto s k (S i ) = s k i s k (S i ). 1 +1

      −1 −1 −1 − κ −1 Proposi¸c˜ k (e i ) = s k (S i )e i ao 2.5. Para cada 1 ≤ k ≤ n − 1, temos que P , 1 ≤ i ≤ n.

      13 Demonstra¸c˜ao. Temos que P (e i ) = I(e i ) = e i e s (S i )e i = s (κ , ..., κ i , κ i , ..., κ n )e i = 1 +1

      −1 e i , ent˜ao P (e ) = s (S i )e i . Suponha que P k (e i ) = s k (S i )e i . Ent˜ao

      1 P (e ) = s e (e ) = s e (S )e ) k +1 i k +1 i k i k +1 i k i i − SP − S(s

      = s k e i k (S i )S(e i ) = s k e i k (S i )κ i e i

    • 1 +1

      − s − s = (s k k (S i )κ i )e i = s k (S i )e i

    • 1 +1

      − s Portanto P k (e i ) = s k (S i )e i .

      , ..., e n (p),...,

      1

      1 Se {e } s˜ao autovetores de S(p) com os autovalores correspondentes κ κ n (p) respectivamente, ent˜ao eles tamb´em s˜ao autovetores de P k (p) com os autovalores correspondentes dado por:

      X µ i,k (p) = κ i (p)...κ i (p) i <...<i ,i 1 k j 1 k

      6=i para todo 1 ≤ i ≤ n. Pois

      P (e ) = s (S )e = s (κ , ..., κ , κ , ..., κ ) k i k i i k 1 k k +1 n

      −1  

      X  

      = κ i ...κ i .e i i <...<i ,i 1 k j 1 k 6=i

      Proposi¸c˜ ao 2.6. Para cada 1 ≤ k ≤ n − 1, temos n

      X (a) tr(P ) = s (S = c H ; k k i k k k i =1 n ) = (n − k)s

      X (b) tr(SP k ) = κ i s k (S i ) = (k + 1)s k = c k H k ; i +1 +1

      =1 n

      X n

      2

      2 (c) tr(S P k ) = κ s k (S i ) = s s k k = (nH H k k ) i =1 n i − (k + 2)s − (n − k − 1)H 1 +1 +2 k +1 n 1 +1 +2 onde c k = (k + 1) k . k +1

      = (n − k) Demonstra¸c˜ao. (a) Da defini¸c˜ao de tra¸co, segue que n n

      X X tr(P k ) = k (e i ), e i k (S i )e i , e i i =1 i =1 n hP i = hs i

      X = s k (S i ). i =1

      Lembre que s k (S i ) = s k (κ , ..., κ i , κ i , ..., κ n ). Se κ j ...κ j , com j < ... < j k , ´e um 1 +1 1 k

      1 −1

      14 monˆomio de s k , ent˜ao ele tamb´em ser´a um monˆomio de s k (S i ), com i / , ..., j k

      1 ∈ {j }. Como temos (n − k) termos, ent˜ao n

      X s k (S i k . i ) = (n − k)s =1

      (b) Facilmente vemos que n n

      X X tr(SP k ) = k (e i ), e i k (e i ), S(e i i =1 i =1 n n hSP i = hP )i

      X X = k (S i )e i , κ i e i κ i s k (S i ). i i hs i = =1 =1

      Al´em disso, sabemos ainda tr(P k ) = tr(s k k ) = tr(s k k ).

    • 1 +1 +1

      I − SP I) − tr(SP Logo tr(SP k ) = tr(s k k )

    • 1 +1

      I) − tr(P = ns k +1 k +1

      − (n − (k + 1))s = (k + 1)s k .

    • 1

      (c)Temos que n n

      X X

      2

      2

      2 tr(S P ) = P (e ), e (e ), S (e k k i i k i i i =1 i =1 n n hS i = hP )i

      X X

      2

      2 = k (S i )e i , κ (e i κ s k (S i ). i i i =1 i =1 hs )i = Como tr(SP k ) = tr(S(s k k ))

    • 1 +1

      I − SP

      2 = tr(s k P k ).

    • 1

      SI) − tr(S Conclu´ımos que

      2 tr(S P k ) = tr(s k k )

    • 1 +1

      SI) − tr(SP = s s k k .

      1 +1 +2 − (k + 2)s

      n

      15 Proposi¸c˜ ao 2.7. tr(P k X k k k

    • 1 +1 +1

      ∇ S) = h∇s , Xi = h∇H , Xi, ∀X ∈ X(M). Onde ∇S denota a diferencial covariante de S X X X ∇S(Y, X) = (∇ S)Y = ∇ (SY ) − S(∇ Y ), X, Y ∈ X(M).

      Demonstra¸c˜ao.

      Vamos provar este resultado calculando no referencial ortonormal em M que diagonaliza S. ´ E importante observar que nem sempre tais estruturas existem; problemas ocorrem quando a multiplicidade das curvaturas principais mudam (tamb´em as curvaturas principais em todos os pontos n˜ao s˜ao necessariamente suaves). Por isso, trabalharemos em um subconjunto M de M que consiste em pontos em que o n´ umero de curvaturas principais distintas ´e localmente constante. Como bem sabemos, M ´e um subconjunto aberto e denso de M , as curvaturas principais s˜ao fun¸c˜oes suaves em M

      e, para cada curvatura principal κ a indica¸c˜ao p p M p ∈ M 7→ ker(S − κ(p)I) ⊂ T existe um referencial ortonor- define uma distribui¸c˜ao suave. Portanto, para cada p ∈ M

      , ..., E n i ) = κ i E i , com cada κ i suave.

      1 mal {E } definido na vizinhan¸ca de p tal que S(E Nesse caso temos

      P (E ) = µ E k i i,k i e X S)E i X (SE i X E i ) (∇ = ∇ ) − S(∇

      X

    • = X(κ i )E i (κ i j X E i , E j j . j

      − κ )h∇ iE 6=i

      Logo n

      X tr(P k X S) = µ i,k X(κ i )i =1 n

      X X = X(κ i ) κ i ...κ i i =1 i <...<i ,i 1 k j 1 k

      6=i

      X = X( κ i ...κ i ) = X(s k ) i <...<i 1 k k k H k 1 k +1 n

    • 1 +1 +1

      = h∇s , Xi = h∇ , Xi n = k k +1 +1 h∇H , Xi.

      Isto prova a express˜ao em M e por continuidade em M .

      E i (g)E i i

      X i =1

      2 (f g)E i , P k (E i

      )i = n

      X i =1 h∇ E i (∇(fg)), P k (E i )i = n

      X i =1 h∇ E i (f ∇g + g∇f), P k (E i )i = n

      X i =1 h∇ E i (f ∇g), P k (E i )i + n

      X i =1 h∇ E i (g∇f), P k (E i )i

      = n

      {hf∇ E i (∇g), P k (E i )i + hE i (f )∇g, P k (E i )i}

      = n

      X i =1

      {hg∇ E i (∇f), P k (E i )i + hE i (g)∇f, P k (E i )i} = f n

      X i =1 h∇ E i ∇g, P k (E i )i + hP k (∇g), n

      X i =1

      E i (f )E i i

      X i =1 h∇ E i ∇f, P k (E i )i + hP k (∇f), n

      X i =1

      X i =1 h∇

      2 (f g))E i , E i i

      16 Associado a cada transforma¸c˜ao de Newton P k , temos um operador linear difer- enci´avel de segunda ordem L k : C ∞

      ◦ ∇

      (M ) → C ∞

      (M ) definido por L k (f ) = tr(P k

      ◦ ∇

      2 f ) onde ∇

      2 f : X(M ) → X(M) denota um operador linear auto-adjunto metricamente equiv- alente `a hessiana de f e dado por h∇

      2 f (X), Y i = h∇ X (∇f), Y i, X, Y ∈ X(M).

      Quando k = 0, temos L (f ) = tr(P

      2 f ) = tr(∇

      X i =1 h(P k ◦ ∇

      2 f ) = △f onde △ denota o operador Laplaciano. Por isto, dizemos que o operador linearizado generaliza o operador laplaciano.

      Proposi¸c˜ ao 2.8. L k (f g) = (L k f )g + f (L k

      g) + 2hP k (∇f), ∇gi; f, g ∈ C ∞ (M ).

      Demonstra¸c˜ao. Seja {E

      1 , ..., E n

      } um referencial ortonormal de M, ent˜ao L k (f g) = tr(P k

      ◦ ∇

      2 (f g)) = n

    • n
    • g n

      17 Portanto n

      X

      2 L (f g) = f (g)E , P E , P (E k i k i k i k i =1 n h∇ )i + hP (∇g), ∇fi

      X

      2

    • g (f )E , P E , P (E i k i k i k i =1

      h∇ )i + hP (∇f), ∇gi = f L k (g) + gL k k n n +1 n +2 (f ) + 2hP (∇f), ∇gi. n +1 Seja x : M uma hipersuperf´ıe orient´avel imersa em M . c q c

      → M ⊂ R n

    • 2

      , Denotemos por G a aplica¸c˜ao de Gauss de x. Dado um vetor arbitr´ario fixado a ∈ R consideraremos a fun¸c˜ao coordenada ha, xi em M. T T Lema 2.9. a = a

    • ha, GiG+cha, xix, onde a ∈ X(M) denota a componente tangencial de a. T Demonstra¸c˜ao. Visto que a = a + D G + D x, onde D , D s˜ao escalares, ent˜ao T

      1

      2

      1

      2

    • D G + D

      1

      2 ha, Gi = ha x, Gi T

      1

      2 = ha , Gi + hD

      = D

      1

      1 hG, Gi = D

      Al´em disso T

      2 ha, xi = ha + ha, GiG + D x, xi T

      2 = ha , Gi + hha, GiG, xi + hD x, xi = D

      2

      2

      c, hx, xi = D o que nos d´a

      D

      2 = cha, xi.

      Portanto, T a = a

    • ha, GiG + cha, xix. T Lema 2.10. X(ha, xi) = hX, ai = hX, a i, ∀X ∈ X(M). n n n

      X

    • 1 +1

      Demonstra¸c˜ao. Considere ˜ x : M definido por ˜ x(x) = x. Como ˜ x = x ˜ i e i , c → M c i =1 ent˜ao

    • 2 ).

      X i =1

      = {−Xha, GiG − ha, Gi∇ X G − cXha, xix − cha, xi∇ X x} T = {−ha, Gi∇ X G − cha, xiX} T

      ∇ X ∇ha, xi = ∇ X a T = (∇ X a T ) T = {∇ X (a − ha, GiG − cha, xix)} T = {∇ X a − ∇ X (ha, GiG) − ∇ X (ha, xix)} T = {−∇ X (ha, GiG) − ∇ X (ha, xix)} T

      Da´ı, temos que hX, a T i = X(ha, xi) = h∇ha, xi, Xi o que implica que ∇ha, xi = a T . Proposi¸c˜ ao 2.11. ∇ X ∇ha, xi = ∇ X a T = ha, GiSX − cha, xiX, ∀X ∈ X(M). Demonstra¸c˜ao.

      a, xi + ha, ∇ X xi = ha, Xi = hX, ai = hX, a T + ha, GiG + cha, xixi = hX, a T i + hX, ha, GiGi + hX, cha, xixi = hX, a T i.

      X(ha, xi) = h∇ X

      ∇ X a = 0, pois a ∈ R n +2 . Ent˜ao

      Portanto ∇ X ˜ x = X.

      X i =1 g i (x)e i = X(x).

      (d˜ x i ) x X(x)e i = n

      X i =1

      X(˜ x i )(x)e i = n

      ∇ X ˜ x(x) = n

      18 n

      ∞ (M ). Logo

      X i =1 g i e i , com g i ∈ C

      Como X ∈ X(M), ent˜ao X = n

      1 , ..., α n

      (0) = v e α = (α

      (0) = v i tal que α(0) = x, α ′

      (0) = α ′ i

      ◦ α) ′

      1 , ...v n +2 ), pois (d˜ x i ) x v = (˜ x i

      X i =1 ˜ x i (x)e i portanto ˜ x i (x) = x i . Temos ainda que (d˜ x i ) x v = v i , onde v = (v

      X i =1 x i e i = x = ˜ x(x) = n

      = −ha, Gi(∇ X G) T − cha, xiX

      19 Logo X T ∇ ∇ha, xi = −ha, Gi(−SX) − cha, xiX = ha, GiSX − cha, xiX.

      Proposi¸c˜ ao 2.12. L ) = c H H k k k k k +1 k k ha, xi = ha, Gitr(SP )−cha, xitr(P ha, Gi−cc ha, xi. Demonstra¸c˜ao. n

      X

      2

      2 L k k k i , E i ha, xi = tr(P ∇ ha, xi) = hP ∇ ha, xiE i i n n =1

      X X

      2 = i , P k E i E k E i i i i h∇ ha, xiE i = h∇ ∇ha, xi, P i

      =1 =1 n

      X T = E a , P k E i i i h∇ i

      =1 n

      X = i i , P k E i i hha, GiSE − cha, xiE i

      =1 n

      X = i , P k E i i , P k E i i (ha, GihSE i − cha, xihE i)

      =1 n n

      X i , P k E i i , P k E i

      X = ha, Gi hSE i − cha, xi hE i i i

      =1 =1 n n

      X X k i i k i i E , E E , E = ha, Gi hSP i − cha, xi hP i i =1 i =1 k k ) = ha, Gitr(SP ) − cha, xitr(P = c k H k k H k

    • 1 ha, Gi − cc ha, xi.

      Corol´ ario 2.13. L x = c H H x. k k k +1 k k G − cc Demonstra¸c˜ao.

      L H H k k k +1 k k ha, xi = c ha, Gi − cc ha, xi k H k k H k

    • 1

      = ha, c G − cc xi portanto L k x = c k H k k H k x.

    • 1

      G − cc

    • 2
    • 1
    • 2
    • 1 1 (se c = −1), L k ´e o operador linearizado da (k + 1)-´esima

    • 1 c ⊂ R n
    • 2 q

    • 1 c
    • 1
    • 1
    • 1
    • 1
    • 1
    • 1

      = (k + 1) n k

              

      1 ... x n x n

               x x

              

      ... ... · · · −cc k H k · · · −cc k H k

      . ..

      H k · · · ... ...

      −cc k H k · · · −cc k

              

      ) =

      ) = (−cc k H k x , ..., −cc k H k x n

      e c ´e curvatura seccional, ent˜ao L k x = −cc k H k (x , ..., x n

      = 0. Como L k x = c k H k

      G − cc k H k x, onde c k = (n − k) n k

      tal que H k = constante e H k

      orient´avel imersa em M n

      Considere uma hipersuperf´ıcie M n → M n

      

    3.1 Hipersuperf´ıcies com a (k + 1)-´ esima curvatura

    m´ edia nula e a k-´ esima curvatura m´ edia constante

      ´e alguma matriz constante auto-adjunta.

      curvatura m´edia de M para algum k = 0, 1, ..., n − 1 fixado e A ∈ R (n+2)×(n+2)

      (se c = 1) ou no espa¸co hiperb´olico H n

      ⊂ R n

      1 ´e uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa tanto na esfera euclidiana S n

      → M n +1 c ⊂ R n

      O objetivo deste cap´ıtulo ´e verificar que as hipersuperf´ıcies com a (k + 1)-´esima curvatura m´edia zero e a k-´esima curvatura m´edia constante, o Toro de Clifford e o cilindro hiperb´olico satisfazem a equa¸c˜ao L k x = Ax, onde x : M n

      Cap´ıtulo 3 Hipersuperf´ıcies que satisfazem a condi¸c˜ ao L k x = Ax

      = diag[−cc k H k , ..., −cc k H k ]x.

      k H k k H k ], temos que as hipersuperf´ıcies com H k = constante

      21 Tomando A = diag[−cc , ..., −cc e H k = 0, satisfazem a condi¸c˜ao L k x = Ax.

    • 1

      Nesta se¸c˜ao, definiremos o Toro de Clifford, calcularemos suas curvaturas princi- pais, (k+1)-´esima curvatura m´edia, segunda forma fundamental e a express˜ao do operador linearizado da (k + 1)-´esima curvatura m´edia.

      Para definir o toro de Clifford usaremos algumas considera¸c˜oes de variedade pro- duto. Sejam M, N, M , N variedades Riemannianas, f : M M N M N → M e g : N → N

      , as conex˜oes Riemannianas de M, N, M , N imers˜oes isom´etricas. Sejam ∇ , ∇ ∇ , ∇ respectivamente. Considere em M ×N e M×N as m´etricas produtos e a imers˜ao isom´etrica f × g : M × N → M × N. Defina as conex˜oes Riemannianas de M × N e M × N M M N

      ×N X X Y M Y N X ∇ Y = ∇ M + ∇ N e M M N

      ×N U U M U N

      V V ∇ V = ∇ + ∇ M N respectivamente, onde X = (X , X , Y M N M N

      ) ∈ X(M × N), Y = (Y ) ∈ X(M × N) em que

      X M , Y M N , Y N , U , V ∈ X(M) e X ∈ X(N). E U = (U M N ) ∈ X(M × N), V = (V M N ) ∈

      X (M , V , V M M N N × N) em que U ∈ X(M) e U ∈ X(N).

      Sejam B f , B g as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com f g os operadores lineares auto-adjuntos associados S : T p p M e S : T q q N ξ µ M → T N → T

      ⊥ ⊥ p q N , ent˜ao temos com ξ ∈ X(M) , µ ∈ X(N) . Tome u, v ∈ T M e w, z ∈ T f f e g µ g hS ξ u, vi = hB (u, v), ξi hS w, zi = hB (w, z), µi.

      Assim a segunda forma fundamental da imers˜ao produto f × g ´e dada por B f (X, Y ) = (B f (X M , Y M ), B g (X N , Y N )).

      ×g

      2

      η = (ξ, µ) portanto o operador de forma S η associado a f × g ´e dado por:

      η f 22 hS X, Y i = hB ×g (X, Y ), ηi f (X M , Y M ), B g (X N , Y N

      = h(B )), (ξ, µ)i f (X M , Y M g (X N , Y N = hB ), ξi + hB ), µi f g

      (X M ), Y M (X N ), Y N µ = hS ξ i + hS i f g ξ (X ), Y (X ), Y M M N N µ = |ξ|hS i + |µ|hS i. |ξ| |µ|

      Consequentemente o operador de forma na dire¸c˜ao normal η ´e f g µ S η ξ (X M (X N )

      X = |ξ|S ) + |µ|S |ξ| f g ξ M N (X)) |µ| µ = (|ξ|S ◦ π (X) + |µ|S ◦ π |ξ| |µ| onde π M ´e proje¸c˜ao sobre M e π N proje¸c˜ao sobre N . m m

    • 1

      Considere a esfera m-dimensional de raio r, S (r) = {p ∈ R ; |p| = r}, e as m m n n

      2 +1 −m −m+1 inclus˜oes canˆonicas f : S ( e g : S . Denote por ϕ 1 − r ) → R (r) → R m n n +2

      2 −m ( . Dado um ponto o produto das imers˜oes ϕ = f × g : S 1 − r ) × S (r) → R m n

      √

      2

      2

      2

      2

      2 2 −m

      2 (

      = ( ) + r = 1, (p, q) ∈ S 1 − r ) × S (r), temos que |(p, q)| = |p| + |q| 1 − r m n n

    • 1 2 −m

      isto ´e, S ( (1). A imagem da imers˜ao 1 − r ) × S (r) ⊂ S m n n

    • 1 2 −m

      S ( (1) 1 − r ) × S (r) → S

      ´e chamada de Toro de Clifford. n n

    • 1 +2

      Dada uma imers˜ao S temos que a aplica¸c˜ao normal de Gauss na esfera de (r) ֒→ R p

      , logo raio r ´e dada por G(p) = − |p|

      1

      1 S G v p (v) = (v) = Id (v) = −(∇

      G) = −dG r r n +2 . Para as onde S ´e um operador de Weingarten e ∇ ´e a conex˜ao riemanniana de R m m n n n n

    • 1 +1 +2 2 −m −m+1

      imers˜oes f : S ( , g : S e i : S , teremos os 1 − r ) → R (r) → R → R f p 1 g 1 i

      √ √ operadores de forma associados S = Id, S = Id e S ξ G = Id com ξ(p) = − 2 µ r 2 q 1−r

      1−r . Considere o campo Γ(p, q) = (p, q) normal ao Toro de Clifford mas n˜ao e µ(q) = − r n +1 tangente `a esfera S n +1 e o campo G(p, q) = (−ap, bq) normal ao Toro de Clifford e tangente

      `a esfera S . Portanto valem as seguintes condi¸c˜oes: (1) h(−ap, bq), (p, q)i = 0; (2) h(−ap, bq), (−ap, bq)i = 1.

      23

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 = 0, e de (2) a +b = 1.

      De (1), temos que −a|p| +b|q| = 0 ou a|p| −b|q| |p| |q| √

      2

      2

      2

      2 ) + br . r 2 0 = −a|p| + b|q| = −a(1 − r Logo a = 2 b.

      1−r Segue de (1) e (2) que

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2 1 = a + b = a ) + b r

      |p| |q| (1 − r isto implica que 2 r 2 1 2 1

      2

      2

      −r 2 r r 2 = a 2 + b = 2 b + b . 1−r

      Logo conclu´ımos que r2 1−r

      √ a = e b = , para 0 < r < 1. 2 r 1−r

      Portanto o vetor normal ser´a dado por r2 1−r

      √ 2 p, q) G(p, q) = (−ap, bq) = (− r

      1−r e o operador de forma na sua dire¸c˜ao ser´a dado por f g S S m n µ −m

      S G ξ = |ξ|S ◦ π + |µ|S ◦ π |ξ| |µ| f g

      2 = rS S p q −m S S + m n

      ◦ π 1 − r ◦ π √ f √ g1 −r2 r p q −m m n

      2 = rS S S S .

      ◦ π − 1 − r ◦ π − √ − 1 −r2 r

      Assim, f p r

      S G (X, 0) = r(S )X = 2 X − √ 1 −r2 1−r e

      √ 2 √ g

      2 1−r q S G (S Y .

      (0, Y ) = − 1 − r )Y = − r − r

      Tomando uma base ortonormal de vetores de f × g dada por , 0), ..., (e m , 0), (0, h m ), ..., (0, h n

      {(e )} f µ g onde {e } diagonaliza S ξ e {h } diagonaliza S Toro de Clifford s˜ao dadas por

    • 1 +1 i i , temos que as curvaturas principais do

      r

      24 √

      κ = ... = κ m =

      1 2 1−r e

      √ 2 1−r κ m +1 = ... = κ n .

      = − r J´a temos que a aplica¸c˜ao de Gauss em M ´e r r √ √ 2 2

      1−r 1−r √ √ 2 x x m , x m , ..., x n ) 2 +1 +1

      G(x) = (− , ..., − r r 1−r 1−r e as curvaturas principais s˜ao dadas por r2

      1−r √ κ = ... = κ = κ = ... = κ . 1 m 2 m +1 n

      = − r 1−r k ´e constante. Como sabemos que

      Para todo k = 1, ..., n − 1 fixado, temos que H L k x = c k H k k H k x

    • 1

    G − cc e c = 1, ent˜ao

      r r √ √ 2 2 1−r 1−r

      √ √ L k x = c k H k +1 2 x 2 x m , x m +1 , ..., x n +1 )

      (− , ..., − r r k H k (x , ..., x n ) 1−r 1−r

    • 1

      − c = (νx , ..., νx m , ωx m +1 , ..., ωx n +1 )

        x    

      = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω] ...

        x n

    • 1

      = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]x onde, c k H k+1 r2 k H k

      ν = − − c 1−r e c H k k+12

      1−r ω = k H k . r − c m n √ 2 −m Tomando A = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω], temos que o Toro de Clifford (S ( (r), 1 − r )×S 0 < r < 1) satisfaz a condi¸c˜ao L k x = Ax.

      25

      k n √ 2 −k

      Nesta se¸c˜ao definiremos o cilindro hiperb´olico, H 1 + r (r), que ´e n (− ) × S

    • 1

      uma hipersuperf´ıcie no espa¸co hiperb´olico H . Calcularemos a segunda forma fun- damental, as curvaturas principais, a (k + 1)-´esima curvatura m´edia e a express˜ao do operador linearizado da (k + 1)-´esima curvatura m´edia.

      Sejam M , N , M , N , variedades tais que N ´e riemanniana e M uma variedade diferenci´avel com uma m´etrica pseudo-riemanniana (., .) induzida por uma forma quadr´atica Q. Considere as imers˜oes isom´etricas f : M → M e g : N → N, onde a m´etrica induzida

      ⊥ por f em M ´e riemanniana e Q(ξ, ξ) < 0, ∀ξ ∈ X(M) . Considerando em M × N e em M × N as m´etricas produtos, teremos que a imers˜ao f × g : M × N → M × N tamb´em ´e imers˜ao isom´etrica. M M N N as

      Denotemos por ∇ a conex˜ao pseudo-riemanniana de M e por ∇ , ∇ e ∇ conex˜oes riemannianas de M , N e N respectivamente. Portanto a conex˜ao riemanniana de M × N ´e dada por M M N

      ×N Y Y M N

      ∇ X Y = ∇ X × ∇ M N X e a conex˜ao pseudo-riemanniana de M M M N × N ´e dada por ×N U U M U N V = V +

      V ∇ ∇ ∇ M N onde X = (X M , X N ), Y = (Y M , Y N M , Y M N , Y N

      ) ∈ X(M × N) em que X ∈ X(M) e X ∈

      X (N ). E U = (U , U ), V = (V , V , V , V M N M N ) ∈ X(M × N) em que U M M ∈ X(M) e U N N ∈

      X (N ).

      Sejam B f , B g as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com f g os operadores lineares auto-adjuntos associados S : T p p M e S : T q q N ξ µ M → T N → T

      ⊥ ⊥ p q N , ent˜ao temos: com ξ ∈ X(M) , µ ∈ X(N) . Tome u, v ∈ T M e w, z ∈ T f f e g g hS ξ u, vi = hB (u, v), ξi hS µ w, zi = hB (w, z), µi.

      Assim a segunda forma fundamental da imers˜ao produto f × g ´e dada por B f (X, Y ) = (B f (X M , Y M ), B g (X N , Y N )).

      ×g Seja η = (ξ, µ) em M × N normal a M × N, com ξ em M normal a M, µ em

      2

      2 , ρ > 0. Vamos encontrar o operador de

      N normal a N , (ξ, ξ) + |µ| = −1 e (ξ, ξ) = −ρ f ×g forma S η associado f × g. Sabemos que

      f f

      26 ×g ×g

      (X M , X N ), (Y M , Y N hS η X, Y i = hS η )i f ((X M , X N ), (Y M , Y N ×g

      = hB )), ηi f (X M , Y M ), B g (X N , Y N = h(B )), (ξ, µ)i f (X M , Y M g (X N , Y N = hB ), ξi + hB ), µi f g

      (X ), Y (X ), Y M M N N = hS ξ i + hS µ i f g ξ µ

      (X M ), Y M (X N ), Y N = hρS i + h|µ|S i. ρ |µ| Desta maneira, o operador de forma na dire¸c˜ao N da imers˜ao produto f × g ´e f f g

      ×g µ S X = ρS ξ η + |µ|S ρ f g

      X M |µ|

      X N µ = (ρS ξ M N )X ρ |µ| ◦ π + |µ|S ◦ π onde π M ´e proje¸c˜ao sobre M e π N ´e proje¸c˜ao sobre N . k k +1 n n

      2 −k −k+1 Sejam f e g as inclus˜oes canˆonicas H 1 + r e S re-

      (− ) ⊂ R 1 ⊂ R spectivamente, ou seja, k +1k

      2 f : H 1 + r f (p) = p

      (− ) ֒→ R n n

      1 −k −k+1 g : S g(q) = q.

      (r) ֒→ R k +1k

      2 Note que f ´e isometria, pois a m´etrica induzida em H 1 + r ) por R ´e (−

      1 riemanniana.

      Considere o produto das imers˜oes k n n +2 √ 2 −k 1 + r . f × g : H (− ) × S (r) ֒→ R

      1 k n

      2

      2

      2 2 −k 1 + r

      = r . Assim Sejam p ∈ H (− ) e q ∈ S (r), isto ´e, (p, p) = −1−r e |q| k n

      2

      2

      2

      2 −k

      1 + r

    • r (p, q) ∈ H (− ) × S (r) e ((p, q), (p, q)) = (p, p) + |q| = −1 − r = −1. k n

      √ 2 −k

      1 + r (r) estar˜ao no espa¸co hiperb´olico Neste caso os pontos (p, q) ∈ H (− )×S n n +2

    • 1

      H = {(p, q) ∈ R 1 ; ((p, q)(p, q)) = −1}. m m +1 n n

      2 −m −m+1 Para as imers˜oes f : H 1 + r , g : S e i : n +2 n (− ) → R 1 (r) → R f

      1 g

      1

    • 1

      H √

      , teremos os operadores de forma associados S Id, S = Id e 2 µ → R

      1 ξ = − r i p q 1+r √

      S = Id com ξ(p) = . Considere o campo Γ(p, q) = (p, q) normal a G 2 e µ(q) = − r 1+r n m n √ 2 −m

      H e a H 1 + r (r). Precisamos de um campo G(p, q) = (ap, bq), unit´ario, (− ) × S m n n

      2 −m normal a H 1 + r (r) e tangente a H , ou seja, que cumpra as condi¸c˜oes:

      (− ) × S

      27 (i) ((ap, bq), (p, q)) = 0 (ii) ((ap, bq), (ap, bq)) = 1

      2

      2

      2

      2

      2 ) + br + br , ent˜ao

      De (i), temos que 0 = a(p, p) + b|q| = −a(1 + r = −a − ar br 2 a = 2 .

      1+r

      2

      2

      2

      2

      2 De (ii), temos que 1 = a (p, p) + b (1 + r ) |q| = −a

      2

      2

      2

      2

      2 r + b r

      ⇒ 1 = −a − a 2 1 a

      1 2 2 + b (

      2

      2

      2 2 + 1) + b

      2 ⇒ = − − a = −a r r r 2 b 2

      1 2 r 2 2 + b =

      2 2 ⇒ = −b r

      1+r 1+r √ 2 r

      1+r √ e a = . 2

      ⇒ b = r 1+r

      Portanto o vetor normal ser´a dado por: r2 1+r

      √ G(p, q) = ( p, q) 2 r

      1+r e o operador de forma na sua dire¸c˜ao ser´a dado por ξ f g µ

      S G = ρS M N ρ ◦ π + |µ|S ◦ π |µ| f gp q

      2 = rS M 1 + r S N +

      ◦ π ◦ π f √ g1+ r2 r p q

      2 = rS M 1 + r S N .

      ◦ π − ◦ π √ 1+ r2r

      Assim, f r p √ √

      1 S G 2 2 X (X, 0) = −r(S )X = r(− )X = −

      √ 1+ r2 1+r 1+r e

      √ 2g

      1+r

      2 q S G 1 + r (S Y .

      (0, Y ) = − )Y = − r − r

      Tomando uma base ortonormal de vetores de f × g dada por , 0), (e , 0), ..., (e m , 0), (0, h m ), (0, h m ), ..., (0, h n

      1 +1 +2 +1 i i , temos que as curvaturas principais do {(e f µ g )} onde {e } diagonaliza S ξ e {h } diagonaliza S Cilindro Hiperb´olico s˜ao dadas por

      r

      28 √

      κ = ... = κ m

      1 2 = −

      1+r e

      √ 2 1+r κ m +1 = ... = κ n .

      = − r J´a temos que a aplica¸c˜ao de Gauss em M ´e r r 1+r 1+r √ √ 2 2

      √ √ G(x) = ( x , ..., x m , x m , ..., x n ) 2 2 +1 +1 r r

      1+r 1+r e as curvaturas principais s˜ao dadas por r2

      1+r √ κ = ... = κ κ = ... = κ . 1 m 2 m +1 n

      = − = − r 1+r k ´e constante. Como sabemos que

      Para todo k = 1, ..., n − 1 fixado, temos que H L k x = c k H k k H k

    • 1

      G − cc x e c = −1, ent˜ao r r 1+r 1+r √ √ 2 2 √ √

      L k x = c k H k ( x , ..., x m , x m , ..., x n )

    • 1
    • 2 2 +1 +1 r r 1+
    • c k H k (x , ..., x n )
    • 1

      = (νx , ..., νx m , ωx m , ..., ωx n )

    • 1 +1

        x    

      = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω] ...

        x n

    • 1

      = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]x onde, c H r k k+1

      ν = + c k H k 2 1+r e c H 1+r k k+12 ω = + c k H k . r m

      2 Tomando A = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω], temos que o Cilindro hiperb´olico (H 1 + r n (− ) ×

      −m S (r), 0 < r) satisfaz a condi¸c˜ao L k x = Ax.

      Cap´ıtulo 4 Teorema

      O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar a demonstra¸c˜ao do teorema principal. Este n n n n

    • 1 +2 +1

      classifica as hipersuperf´ıcies x : M orient´aveis imersas em M que c q c → M ⊂ R

      (n+2)×(n+2) satisfazem a equa¸c˜ao L k ´e alguma matriz constante auto- x = Ax, onde A ∈ R adjunta. Para isto, introduziremos uma s´erie de resultados auxiliares.

      No final do cap´ıtulo 2 calculamos o operador L k agindo nas fun¸c˜oes coordenadas da hipersuperf´ıcie, agora consideraremos as fun¸c˜oes coordenadas da aplica¸c˜ao de Gauss n +2 ´e um vetor arbitr´ario fixado.

      G, que ´e a fun¸c˜ao ha, Gi em M, onde a ∈ R T Lema 4.1. X(ha, Gi) = −hSX, ai = −hX, S(a )i, ∀X ∈ X(M). n

    • 2
    • X a = 0, logo Demonstra¸c˜ao. Como a ∈ R , sabemos que ∇ X X X X(ha, Gi) = h∇

        2.1 = ha, −SXi = −hSX, ai

        2.9 T = −hSX, a + ha, GiG + cha, xixi T = −(hSX, a i + ha, GihSX, Gi + cha, xihSX, xi) T = −hSX, a i T = −hX, S(a )i.

        Da´ı, temos que T T h∇ha, Gi, Xi = Xha, Gi = −hS(a ), Xi = h−S(a ), Xi o que implica que T

        ). (4.1) ∇ha, Gi = −S(a T T T T X X (Sa a S)a X X

        Lema 4.2. ∇ (∇ha, Gi) = −∇ ) = −∇S(a , X) − S(∇ ) = −(∇ −

        2 ha, GiS X + cha, xiSX.

        30 Demonstra¸c˜ao. X X T T X (Sa ) ∇ (∇ha, Gi) = ∇ (−Sa ) = −∇ T T

        = X a ) −∇S(a , X) − S(∇ T T

        = S)a a ) X X −(∇ − S(∇

        2.11 T = X S)a

        −(∇ − S(ha, GiSX − cha, xiX) T

        2 = X S)a T T −(∇ − ha, GiS X + cha, xiSX. T a S)X.

        Lema 4.3. ∇S(a , X) = ∇S(X, a ) = (∇ Demonstra¸c˜ao. Como S ´e auto-adjunto, temos T T hSX, a i = hX, Sa i.

        Derivando ambos os membros, T T T T h∇(SX), a i + hSX, ∇a i = h∇X, Sa i + hX, ∇(Sa )i.

        Usando o fato de que X X X h(∇ S)Z, Y i = h∇ (SZ), Y i − hS(∇ Z), Y i, temos T T T T T T h(∇S)X, a i + hS(∇X), a i + hSX, ∇a i = hS∇X, a i + hX, (∇S)a i + hX, S(∇a )i o que implica que T T h(∇S)X, a i = hX, (∇S)a i.

        Logo T T T ∇S(a , X) = h(∇S)a , Xi = ha , (∇S)Xi T T

        ) = hX, (∇S)a i = ∇S(X, a T a S)X.

        = (∇ Na pr´oxima proposi¸c˜ao, daremos uma express˜ao do operador L agindo nas k fun¸c˜oes coordenadas da aplica¸c˜ao de Gauss G. T

        2 Proposi¸c˜ ao 4.4. L k k P k k ) = a k k k (nH k H k k k H k n n ha, Gi = −tr(P ∇ S) − ha, Gitr(S ) + cha, xitr(SP

      • 1 +1 +1 +1 +2 +1 h∇H , ai − − (n − k − 1)H )ha, Gi + cc ha, xi.

        31 , ..., E n

        1 Demonstra¸c˜ao. Seja {E } um referencial ortonormal de M, logo n

        X

        2

        2 L k k k i i , E ha, Gi = tr(P ∇ ha, Gi) = hP ∇ ha, GiE i n n i =1

        X X

        2 = , P E E i k i E i k i i =1 i =1 n h∇ ha, GiE i = h∇ ∇ha, Gi, P i

        X

        4.1 T = E i )), P k E i i =1 n h∇ (−S(a i

        X

        4.2 T

        2 = E S)a E i i , P k E i i i h−(∇ − ha, GiS + cha, xiSE i

        =1 n

        X T

        2 = E S)a , P k E i E i , P k E i i i {−h(∇ i − hha, GiS i

        =1 i k i , P E

      • hcha, xiSE i} n n

        X X

        4.3 T

        2 a S)E i , P k E i E i , P k E i = − h(∇ i − ha, Gi hS i i i

        =1 =1 n

        X i , P k E i

      • cha, xi hSE i i n n

        =1

        X X T

        2 k a i i k i i S)E , E S E , E = − hP (∇ i − ha, Gi hP i i =1 i =1 n

        X k SE i , E i

      • cha, xi hP i n i =1

        X k a S)E i , E i k S k ) T

        2 = − hP (∇ i − ha, Gitr(P ) + cha, xitr(SP i =1 k k S k ) a T

        2 = −tr(P ∇ S) − ha, Gitr(P ) + cha, xitr(SP n n = k +1 k +1 k +1 (nH k H k +1 k +2 h∇H , ai − − (n − k − 1)H )ha, Gi

      • cc k H k
      • 1 n n ha, xi.

        Corol´ ario 4.5. L k G = k k k (nH k H k k )G +

        ∇H − − (n − k − 1)H c(k + 1) k H k a.

      • 1 +1 +1 +1 +2 n
      • 1 +1

        Demonstra¸c˜ao. Temos pela proposi¸c˜ao anterior que

        n n

        32 L k k k k (nH k H k k

      • 1 +1 +1 +1 +2

        ha, Gi = − h∇H , ai − − (n − k − 1)H )ha, Gi

      • cc k H k
      • 1 n n

        ha, xi k +1 k +1 k +1 k k +1 k +2 (nH H )G = h− ∇H − − (n − k − 1)H

      • cc k H k
      • 1

        x, ai o que implica n n n L k G = k k k (nH k H k k )G + c(k + 1) k H k a

      • 1 +1 +1 +1 +2 +1 +1

        ∇H − − (n − k − 1)H n n +1 c n +2 Assumiremos que para um k = 1, ..., n − 1 fixado a imers˜ao x : M → M ⊂

        R q satisfaz a condi¸c˜ao L k x = Ax + b (4.2) n +2

        (n+2)×(n+2) . Como para uma matriz constante A ∈ R e um vetor constante b ∈ R

        L k x = c k H k k H k x, temos

      • 1

        G − cc k H k k H k x

      • 1

        Ax = −b + c G − cc

        2.9 T k H k k H k x

      • 1

        = −b − hb, GiG − chb, xix + c G − cc T

        = −b − hb, Gi)G − c(c + hb, xi)x onde b ∈ X(M) denota a componente tangencial de b. Portanto k H k +1 k H k + (c k H k +1 k H k T

      • (c H H k k +1 k k T

        Ax = −b + c G − cc x = −b − hb, Gi)G − c(c + hb, xi)x. (4.3) Proposi¸c˜ H H X + c k k +1 k k k k +1 k k ao 4.6. AX = −c SX − cc h∇H , XiG − cc h∇H , Xix. Demonstra¸c˜ao. Tomando a derivada covariante de ambos os membros da equa¸c˜ao T

      • c k H k k H k
      • 1

        Ax = −b G − hb, GiG − cc x − chb, xix obtemos que T b + c H H k k +1 k kX Ax = −∇ X ∇ X G − ∇ X hb, GiG − cc ∇ X x − c∇ X hb, xi

        Ax = AX, temos e como ∇ X T X +1 +1 b + c k k k X X

        G) AX = −∇ (h∇H , XiG + H ∇ k k k x). X G) − (X(hb, Gi)G + hb, Gi∇ X

        − cc (h∇H , Xix + H ∇ x) − c(X(hb, xi)x + hb, xi∇ X x = X e por 4.1 e 2.1, temos Pelo fato de que ∇

        T

        33 AX = b + c k k k H k

      • 1 +1

        −∇ X h∇H , XiG − c SX + hSX, biG + hb, GiSX cc k k k H k − h∇H , Xix − cc X − chX, bix − chb, xiX

        2.1,2.11 = k H k k H k X + c k k k k

      • 1 +1 −c SX − cc h∇H , XiG − cc h∇H , Xix.

        Para obter uma express˜ao para H k AG, precisamos do seguinte resultado. n +1 Lema 4.7. L k (L k k k H k k k (SP k k k P k k )

        x) = −c ∇H − 2c )(∇H ) − 2cc (∇H k ( k +1 H k +1 (nH

      • 1 +1 +1 +1 n

        2

        1 H k +1 k +2 + cc k H k H + k +1 k H k +1 )G + c k (cc k H k − c ) − (n − k − 1)H − L +1

        2 c k H k H k )x. k − cL Demonstra¸c˜ao. Para provar o lema, basta mostrar que n

        L k (L k k k H k k

      • 1 +1 +1

        (ha, xi)) = −c h∇H , ai k k k +1 k k k − 2c h(SP )(∇H ), ai − 2cc hP (∇H ), ai k ( k H k (nH H k k n

      • 1 +1 1 +1 +2

        − c ) − (n − k − 1)H

      • cc k H k H k k H k
      • 1 +1

        − L )ha, Gi

        2

        2

      • c (cc H + c H H k k k k k k k − cL )ha, xi.
      • 1

        Por 2.12, temos que L k (L k k (c k H k k H k

      • 1

        (ha, xi)) = L ha, Gi − cc ha, xi) = c L (H L (H k k k +1 k k k ha, Gi) − cc ha, xi)

        | {z } | {z } (I) (II)

        (I) = c k k H k +1 k +1 L k k k +1 {(L )ha, Gi + H ha, Gi + 2hP (∇H ), ∇ha, Gii}

        4.4 n n = c k k H k k k k k (nH H k

      • 1 +1 +1 +1 +1 1 +1

        {L ha, Gi + H (−( h∇H , ai − ( k

      • 2

        − (n − k − 1)H )ha, Gi T

      • cc H k k +1 k k +1 ha, xi) + 2hP (∇H ), −S(a )i} n

        = c k L k H k k ( k H k k (nH H k k

      • 1 +1 +1 +1 1 +1 +2

        ha, Gi − c h∇H − (n − k − 1)H )ha, Gi

        2

        2 T

      • cc H k k k +1 ), a k k
      • 1 ha, xi − 2c h(SP )(∇H i

        (II) = cc k k (H k k L k k k {L )ha, xi + H ha, xi + 2hP (∇H ), ∇ha, xii}

        2.12 T = cc k L k (H k k H k (c k H k +1 k H k k k k ), a k k +1 ), a k k +1 )ha, xi + cc ha, Gi − cc ha, xi) + 2cc hP (∇H i T

        Sabendo que h(SP )(∇H i = h(SP )(∇H ), ai e fazendo (I) − (II) encontramos o resultado desejado.

        n

        34 Proposi¸c˜ ao 4.8. H k k H k k k k k k )

        AG = − ∇H − 2(SP )(∇H ) − 2cP (∇H k H k (nH H k k ) + cc k H k H k k H k )G + (cc k H + c k H

      • 1 +1 +1 +1 +1 n

        2

        2

      • 1 +1 1 +1 +2 +1 +1 k k

        −( −(n−k −1)H −L +1 − cL k H k )x + cH k Ax. Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que

        1 H k AG = (L k (L k x)) + cH k Ax.

      • 1 c k

        Temos que L k (L k x) = L k (Ax + b) = L k (Ax) + L k (b) = L k (Ax)

        2.13 = c H H Ax k k +1 k k

        AG − cc = c k (H k k Ax)

      • 1

        AG − cH o que implica que

        1 H k AG = (L k (L k x)) + cH k Ax.

      • 1 c k

        Temos ainda uma outra express˜ao para H k +1 AG que ser´a dada na pr´oxima proposi¸c˜ao. n T Proposi¸c˜ ao 4.9. H k k H k k k k k k k b

        AG = − ∇H −2(SP )(∇H )−2cP (∇H )−cH

      • 1 +1 +1 +1 +1 k H k (nH H k k ) + cH k k H k )G n
      • 1 +1 1 +1 +2 +1

        − ( − (n − k − 1)H hb, Gi − L

        2 + (cc k H k k H k )x. k

      • 1 − H hb, xi − cL

        Demonstra¸c˜ao. Temos que

      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • 2
      • 1
      • 1

      • (cc k
      • 1
      • c k
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • (cc k H
      • c k H
      • cH k
      • (c k H k
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • 2
      • 1
      • >1
      • cH k hb, Gi − L k H k1
      • (cc k
      • c k
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1
      • (cc k H
      • 1
      • 1
      • 1
      • 1

        1 H k

        − (n − k − 1)H k

        ) + cc k H k H k

        − cc k H k H k

        )G

        H

        2 k +1

        H

        2 k − cL k H k

        − c

        2 c k H

        2 k − c

        2 H k hb, xi)x

        = − n k

        H k

        ∇H k

        − 2(SP k )(∇H k

        ) − 2cP k (∇H k ) − cH k b T − ( n k +1 H k +1 (nH

        1 H k +1 − (n − k − 1)H k +2 ) + cH k hb, Gi − L k H k +1 )G

        2 k +1 − H k hb, xi − cL k H k )x

        O endomorfismo determinado por A ´e sempre auto-adjunto quando restrito ao espa¸co tangente da hipersuperf´ıcie, isto ´e, hAX, Y i = hX, AY i, ∀X, Y ∈ X(M).

        (4.4) De fato por 4.6, temos que hAX, Y i = −c k H k

        hSX, Y i − cc k H k hX, Y i + c k h∇H k

        , XihG, Y i − cc k h∇H k , Xihx, Y i = −c k H k

        hX, SY i − cc k H k hX, Y i + c k h∇H k

        , Y ihX, Gi − cc k h∇H k , Y ihX, xi = hX, −c k H k +1 SY − cc k H k Y + c k h∇H k +1 , Y iG − cc k h∇H k , Y ixi = hX, AY i.

        Portanto A ´e auto-adjunto se, e somente se, hAX, xi = hX, Axi, ∀X ∈ X(M) (4.5) hAX, Gi = hX, AGi, ∀X ∈ X(M) (4.6) hAG, xi = hG, Axi.

        (nH

        − hb, Gi)G − c(c k H k + hb, xi)x) = − n k +1 H k +1 ∇H k +1 − 2(SP k )(∇H k +1 ) − 2cP k (∇H k ) − cH k b T − ( n k

        H k

        − L k H k

        35 H k

        AG

        4.8 = − n k

        H k

        ∇H k

        − 2(SP k )(∇H k

        ) − 2cP k (∇H k ) − ( n k

        H k

        (nH

        1 H k

        − (n − k − 1)H k

        ) + cc k H k H k

        )G

        (−b T

        H

        2 k

        H

        2 k − cL k H k )x + cH k Ax

        = − n k

        H k

        ∇H k

        − 2(SP k )(∇H k

        ) − 2cP k (∇H k ) − ( n k

        H k +1 (nH

        1 H k +1 − (n − k − 1)H k +2 ) + cc k H k H k +1 − L k H k +1 )G

        2 k +1

        2 k − cL k H k )x

        (4.7)

        n

        36

      • 2

        , pode ser escrito De fato, basta lembrar que dado um vetor arbitr´ario fixado a ∈ R como T a = a

      • ha, GiG + cha, xix e da´ı a equivalˆencia ´e imediata. Lema 4.10. hAX, xi = hX, Axi ´e equivalente a T = c k k . (4.8)

        ∇hb, xi = b ∇H Demonstra¸c˜ao. Por 4.3 e 4.6, temos que k k T hAX, xi = hX, Axi ⇔ −cc h∇H , Xihx, xi = −hb , Xi

        2 = 1, ent˜ao como hx, xi = c, c k k T hAX, xi = hX, Axi ⇔ hc ∇H , Xi = hb , Xi k k = b . T k k k H k ´e constante em M . ⇔ c ∇H

        Note que ∇hb, xi = c ∇H implica que hb, xi − c Proposi¸c˜ ao 4.11. Nos pontos onde H k +1

        6= 0, hAX, Gi = hX, AGi ´e equivalente a

        2 n c (SP k k ) + (k + 2) k (2P k k ) + c k H k k ). (4.9)

      • 1 k +1 +1

        )(∇H ∇H = − (∇H ∇H H k +1

        H k +1 Demonstra¸c˜ao. Usando 4.6 e 4.8, obtemos que hAX, Gi = hX, AGi n k k +1 k H k +1 k +1 k k +1 )

        1

      • 1

        ⇔ hc h∇H , XiG, Gi = H hX, − ∇H − 2(SP )(∇H k k k b T k+1 − 2cP (∇H ) − cH i

        4.8 k k k k H k k k k ) n

      • 1 +1 +1 +1 +1 +1

        ⇔ c h∇H , XiH = hX, − ∇H − 2(SP )(∇H k k k H k k − 2cP (∇H ) − cc ∇H i k H k +1 k +1 k +1 H k +1 k +1 k k +1 ) n

        ⇔ c ∇H = − ∇H − 2(SP )(∇H k k k H k k − 2cP (∇H ) − cc ∇H n n

        2 (SP k k ) + k k + (k + 1) k k

      • 1 +1 +1 +1 +1

        ⇔ )(∇H ∇H ∇H H k+1 c (2P k k ) + c k H k k )

        = − (∇H ∇H H k+1 n

        2 (SP k k ) + (k + 2) k k

      • 1 +1 +1

        ⇔ )(∇H ∇H H k+1 c (2P k k ) + c k H k k ).

        = − (∇H ∇H H k+1

        37

        1 Proposi¸c˜ ao 4.12. L k H k = L k k k

      • 1 c k hb, xi = H hb, Gi − cH hb, xi.

        Demonstra¸c˜ao. De 4.8, temos que L k k (c k k )

        (∇hb, xi) = L ∇H isto implica que L k k L k k )

        (∇hb, xi) = c (∇H logo L k k L k H k hb, xi = c portanto

        2.12

        1 L k H k = L k = H k k

      • 1 c k hb, xi hb, Gi − cH hb, xi.

        Observe que k H k . (4.10) hAx, xi = −hb, xi − c De fato,

        4.3 k H k k H k hAx, xi = h−b + c G − cc x, xi

        2 c H K k

        = −hb, xi − c K H k . = −hb, xi − c

        2

        2

        2 Proposi¸c˜ ao 4.13. H H + cc H H + cH H k +1 k k k k k k hAG, xi = c k k − L hAx, xi = c k −

      • 1
      • 1

        2 H k

      • 1 hb, Gi = H k +1 hG, Axi.

        Demonstra¸c˜ao. Temos que H k k

      • 1 +1

        hAG, xi = hH AG, xi, usando 4.8, temos que

        2

        2 H = H + c H H )x + cH k +1 k k k k k hAG, xi h(cc k k − cL Ax, xi

      • 1

        2

        2 = c k H + cc k H k H k + cH k k k

      • 1 − L hAx, xi 4.12,4.10

        2

        2 = c k H + cc k H k k k k H k ) k k +1

      • 1 − H hb, Gi + cH hb, xi + cH (−hb, xi − c

        2 = c k H k +1 k

      • 1 − H hb, Gi

        4.3 = H k (c k H k k H k k H k

      • 1 +1 +1

        − h−Ax + c G − cc x, Gi) = H k (c k H k k H k )

      • 1 +1 +1
      • hAx, Gi − c = H k +1 hG, Axi.

        38 Portanto nos pontos onde H k

      • 1 6= 0, 4.5 e 4.6 implicam 4.7.

        Para mostrar o teorema principal, precisaremos de um forte resultado que ser´a dado no lema seguinte. n n n

      • 1 +2

        Lema 4.14. Seja x : M uma hipersuperf´ıcie orient´avel satisfazendo c q → M ⊂ R

        (n+2)×(n+2) a condi¸c˜ao L k e x = Ax + b para alguma matriz constante auto-adjunta A ∈ R n +2 . Ent˜ao H k ´e constante se, e somente se, H k +1 ´e constante. algum vetor constante b ∈ R Demonstra¸c˜ao. Assuma que H seja constante e considere o conjunto aberto k

        2 U = {p ∈ M : ∇H k +1 (p) 6= 0}. k ´e Nosso objetivo ´e mostrar que U ´e vazio. Suponha que U n˜ao seja vazio. Como H k = 0. Logo por 4.9 temos que constante, ent˜ao ∇H n

        2 (SP ) + (k + 2) = 0 em k +1 k +1 k +1 k +1 H k+1 )(∇H ∇H U.

        Equivalentemente k + 2 n (SP k k k H k k . (4.11)

      • 1 +1 +1 +1 +1

        )(∇H ) = − ∇H

        2 Se k = n − 1, 4.11 reduz-se a n + 1 (SP n n H n n , (4.12)

        −1 )(∇H ) = − ∇H

        2 mas tamb´em sabemos que P n = 0 e P n = s n n = H n n , logo I − SP −1 I − SP −1

        SP n = H n

        I −1 o que implica

        (SP n n ) = H n n ). (4.13) −1 )(∇H (∇H

        De 4.12 e 4.13 temos que n +1 H n n H n n )

        (∇H ) = − (∇H

        2 o que implica

        H = 0 n n ∇H logo H n

        ´e constante em U, que ´e uma contradi¸c˜ao.

        1 , ..., E n Suponha que 1 ≤ k ≤ n − 2 (e n ≥ 3 necessariamente). Considere {E } um referencial ortonormal local tal que SE = κ E para cada i = 1, ..., n. Portanto i i i

        39 P k E i = µ i,k E i

      • 1 +1

        com k +1

        X j n j

        X µ i,k = k H k κ = κ i ...κ i . (4.14)

      • 1
      • 1 k+1 j (−1) +1−j +1−j i =0 i 1 <...<i ,i j k 6=i

          Afirma¸c˜ ao 4.15. Para k ≤ n − 2 4.11 ´e equivalente a k + 4 n

          P ) = ( H em (4.15) k +1 k +1 k +1 k +1 k +1 (∇H ∇H U. k n

          2

        • 2

          De fato, (SP k +1 k +1 k +1 H k +1 k +1 )(∇H ) = − ∇H n

          2 k +1 k +1 k +1 k k +1 H ) ⇔ ∇H − (SP )(∇H n k n

        • 2

          = + k H k +1 k +1 k H k +1 k +1

        • 1 +1

          ∇H ∇H k k ) = k H k k . k +4

          2 n

        • 1 +1 +1 +1 +1

          ⇔ P (∇H ∇H

          2 Afirma¸c˜ ao 4.16. 4.15 ´e equivalente a k , E i i,k ) k H k ) = 0 k +4 n

          2 k +1 = k +1 , E i i , ent˜ao 4.15

        • 1 +1 +1 +1 h∇H i(µ − em U ∀i = 1, ..., n. n

          X De fato, escreva ∇H h∇H iE i n n =1

          X X k ( k , E i i ) = H k ( k , E i i ) k + 4 n

        • 1 +1 k +1 +1 +1

          ⇔ P h∇H iE h∇H iE n n i =1 i =1

          2 X

          X k + 4 n k +1 i k +1 i k +1 k +1 k +1 i i , E E = H , E ⇔ h∇H iP h∇H iE i =1 i =1 k , E i i,k = k H k k , E i k +4 n

          2

        • 1 +1 +1 +1 +1

          ⇔ h∇H iµ h∇H i k

          2 n

        • 4 k +1 i i,k +1 k +1 k +1 , E ) H ) = 0.

          ⇔ h∇H i(µ −

          2 k +1 , E i Portanto, para cada i tal que h∇H i 6= 0 em U, temos que k + 4 n

          µ i,k = H k . (4.16)

        • 1 k +1 +1 k , E i

          2

        • 1

          Isto implica que h∇H i = 0 necessariamente para algum i. Se n˜ao, ter´ıamos para todo i = 1, ..., n que n

          X k H k = tr(P k ) = µ i,k = k H k n 4.16 n(k + 4) n

        • 1 +1 +1 +1 +1 +1

          (n − k − 1) i

          2 n =1 (k+4)

          , temos que H k +1 como (n − k − 1) 6= = 0 em U, que ´e uma contradi¸c˜ao.

          2 Portanto, rearrumando o referencial ortonormal local se necess´ario, podemos as- k , E i k , E i

        • 1 +1

          sumir que para 1 ≤ m < n, temos h∇H i 6= 0 para i = 1, ..., m, h∇H i = 0

          40 para i = m + 1, ..., n e κ < ... < κ m k ´e uma dire¸c˜ao principal de 1 +1

          . Em particular, ∇H S se, e somente se m = 1. De 4.16 sabemos que k n

        • 4

          µ 1,k+1 = ... = µ m,k +1 = k +1 H k +1 em 6= 0 U.

          2 Por 4.14 temos que κ < ... < κ m s˜ao ra´ızes distintas da seguinte equa¸c˜ao poli-

          1 nomial de grau k + 1 k +4 n

          Q(t) = k H k

        • 1 +1 k

          2

        • 1

          X j j n onde Q(t) ´e o polinˆomio Q(t) = k H k t

        • 1−j +1−j j (−1) . Em particular m ≤ k + 1.

          =0 Por outtro lado, cada κ i ´e tamb´em raiz do polinˆomio caracter´ıstico de S que pode ser escrito como n k n

          X j n n

        • 1 −j

          −k−1 Q S t Q(t) + j H j t

          (t) = (−1) (−1) j =k+2 pois, n

          X j n n −j

          Q S (t) = j H j t j (−1) k n =0

        • 1

          X j n n j n n

          X −j −j

          = + j H j t j H j t j j (−1) (−1) =0 =k+2 n k +1 n

          X j n n −k−1 −j j t Q(t) + H j t

          = (−1) (−1) j =k+2

          Portanto, κ < ... < κ m tamb´em s˜ao ra´ızes reais da seguinte equa¸c˜ao polinomial de grau

          1 n − k − 1 n k n j n n n

          X

        • 1 k+4

          −j −k−1 k +1 +1 + H k t j H j t = 0

          (−1) (−1)

          2 j =k+2 em particular, m ≤ n − k − 1.

          Por indu¸c˜ao em m, ´e f´acil ver que

          X µ 1,k+1 = ... = µ m,k +1 = κ i ...κ i m<i <...<i 1 k+1 1 k+1

          Como H k ´e constante, ent˜ao 4.6 reduz-se a k H k k H k X + c k k

        • 1 +1

          AX = −c SX − cc h∇H , XiG

          41 o que implica que para todo m + 1 ≤ i ≤ n, temos AE H SE H E + c , E i k k +1 i k k i k k +1 i

          = −c − cc h∇H iG k H k κ i E i k H k E i

        • 1

          = −c − cc k (H k +1 κ i k )E i = −c − cH k (H k κ i k ) com i = m + 1, ..., n ´e um autovalor constante

        • 1

          Portanto todo −c − cH α i da matriz A. Ent˜ao k n

          X

        • 4 k H k +1 = κ i ...κ i
        • 1 1 k+1

          2 m<i <...<i 1 k+1 k+2

          X (−1)

          = k+1 k+1 (α i k H k )...(α i k H k ) 1 k+1 k c H k k+1 m<i <...<i 1 k+1 − cc − cc

        • 1 em U. Isto implica que H ´e constante, que ´e uma contradi¸c˜ao com a defini¸c˜ao de U.

          Para mostrar a rec´ıproca, assuma que H k +1 que ´e constante e considere o conjunto aberto

          2 V = {p ∈ M : ∇H k (p) 6= 0}. k = 0.

        • 1

          Nosso objetivo ´e mostrar que V ´e vazio. Primeiro considere o caso em que H Suponha que V ´e n˜ao vazio. Afirma¸c˜ ao 4.17. 4.9 reduz-se a k k k H k k k −2cP (∇H ) − cc ∇H − −cH hb, GiG = 0.

          De fato, como H k k = 0, 4.9 reduz-se a

        • 1 +1

          = 0 e ∇H T = k k k b + cH K k k H k x

          −2cP (∇H ) − cH hb, GiG − H hb, xix − cL 4.8,4.12

          = k k k (c k k ) + cH K k −2cP (∇H ) − cH ∇H hb, GiG − H hb, xix c(H k k

        • 1

          − hb, Gi − cH hb, xi)x = k k k H k k + cH K k k

          −2cP (∇H ) − cc ∇H hb, GiG − H hb, xix + H hb, xix = k k k H k k + cH K −2cP (∇H ) − cc ∇H hb, GiG. Portanto hb, Gi = 0 em V.

          Afirma¸c˜ ao 4.18. hAG, xi = hG, Axi = 0. De fato,

          4.7

          4.3 k H k k H k

        • 1 hAG, xi = hG, Axi = hG, −b + c G − cc xi = 0.

          Afirma¸c˜ ao 4.19. hAG, Xi = hG, AXi = 0, ∀X ∈ X(M).

          42 De fato,

          4.6 hAG, Xi = hG, AXi

          4.6 k H k k H k X + c k k k k

        • 1 +1

          = hG, −c SX − cc h∇H , XiG − cc h∇H , Xixi = 0. Como a imers˜ao tem codimens˜ao um, logo AG = λG o que implica hAG, Gi = hλG, Gi = λ.

          Portanto AG = hAG, GiG, isto ´e, G ´e autovetor de A com autovalor correspondente k = 0, ent˜ao

        • 1

          λ = hAG, Gi. Como H

          4.6 AX H k k k k = −cc X − cc h∇H , Xix,

          AG = λG e T k k H Ax = −b − hb, GiG − cc x − chb, xix

          4.8 k k k H k = −c ∇H − c(c + hb, xi).

          Logo k k k H k + α)x Ax = −c ∇H − c(2c k k H onde α = hb, xi − c . Note que α, λ s˜ao constantes em V. Ent˜ao, n

          X tr(A) = i , E i i =1 n hAE i + hAG, Gi + hAx, xi

          X = H E k k i k k i i =1 h−cc − cc h∇H , Xix, E i + hλG, Gi k k k H k

        • h−c ∇H − c(2c + α)x, xi k k k k

          H H + α) = −ncc + λ − c(2c = constante que implica que H k

          ´e constante em V, que ´e uma contradi¸c˜ao. Se H k

        • 1

          for uma constante diferente de zero e assumindo que V ´e n˜ao vazio, ent˜ao 4.9 reduz-se a

          2P ) + c H = 0 em k k k k k (∇H ∇H V.

          43 Equivalentemente, c k P k k H k k em (4.17)

          (∇H ) = − ∇H V.

          2 , ..., E n

          1 Considere {E } um referencial ortonormal local de dire¸c˜oes principais de S tal que SE i = κ i E i

          , ∀i = 1, ..., n e ent˜ao P E = µ E k i i,k i com k

          X j n j

          X µ i,k = k H k κ = κ i ...κ i . (4.18)

          −j i 1 k j i <...<i ,i (−1) −j =0 1 k j

          6=i Afirma¸c˜ ao 4.20. 4.17 ´e equivalente a k , E + i i,k H k ) em c k h∇H i(µ

          V. n

          2 k = k , E i i , temos que P k k H k k

          X c k De fato, escrevendo ∇H h∇H iE (∇H ) = − ∇H i

          2 n n =1

          X X k ( k , E i i H k k , E i i c k ⇔ P h∇H iE ) = − h∇H iE n n i =1 i =1

          2 X

          X k , E i k E i H k k , E i i c k ⇔ h∇H iP = − h∇H iE i i

          2 =1 =1 n n

          X X k , E i i,k E i H k k , E i i c k ⇔ h∇H iµ = − h∇H iE i i

          2 =1 =1 n n

          X X c k µ i,k k , E i i = H k k , E i i

          ⇔ h∇H iE − h∇H iE i i

          2 =1 =1 i,k k , E i H k k , E i c k

          ⇔ µ h∇H i = − h∇H i c

          2 k , E i i,k H k ) = 0. k ⇔ h∇H i(µ

        • 2 k , E i

          Portanto, para todo i tal que h∇H i 6= 0 em V temos c k µ i,k H k . (4.19)

          = − k , E i

          2 Isto implica que h∇H i = 0 necessariamente para algum i. Se n˜ao n

          X nc 4.19 k c k H k = tr(P k ) = µ i,k H k

          = − i =1

          2 ent˜ao ter´ıamos H k = 0 em V, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

          Portanto, reenumerando o referencial ortonormal se necess´ario, podemos assumir k , E i k , E i

        • 1 +1

          que para 1 ≤ m < n, temos h∇H i 6= 0 para i = 1, ..., m, h∇H i = 0 para

          44 i = m + 1, ..., n e κ < ... < κ m . O inteiro m ´e o n´ umero de dire¸c˜oes principais linearmente 1 k k ´e uma dire¸c˜ao principal se, e somente se m = 1. independentes de ∇H , e ∇H De 4.19 sabemos que c k

          µ = ... = µ m,k H k (4.20) 1,k = − 6= 0 em V.

          2 Por 4.18 temos que κ < ... < κ m s˜ao m ra´ızes reais distintas da seguinte equa¸c˜ao

          1 polinomial de grau k c k

          H k Q(t) = − k

          2 X j j n onde Q(t) ´e o polinˆomio Q(t) = k H k t j (−1) −j −j . Em particular m ≤ k.

          =0 Por outro lado, κ i ´e tamb´em raiz do polinˆomio caracter´ıstico de S que pode ser escrito como n k n j n

          X n −j

          −k Q S t Q(t) + j H j t

          (t) = (−1) (−1) j =k+1 pois n

          X j n n −j

          Q (t) = j H t S j j =0 k n (−1)

          X j n j n n n

          X −j −j

          (−1) (−1) =0 j =k+1 n k n j n

        • = j H j t j H j t j

          X n −j

          −k t Q(t) + j H j t .

          = (−1) (−1) j =k+1 Portanto, κ < ... < κ m

          1 tamb´em s˜ao ra´ızes da seguinte equa¸c˜ao polinomial de grau n − k n k

          X n

        • 1 c −j

          −k k n j n H k t j H j t = 0 (−1) (−1)

        • 2 j =k+1 em particular, m ≤ n − k.

          Por indu¸c˜ao em m ´e f´acil provar que

          X µ = ... = µ m,k = κ i ...κ i . (4.21)

          1,k m<i <...<i 1 k 1 k Como H ´e constante, ent˜ao 4.6 reduz-se a k +1 k H k k H k k k

        • 1

          AX = −c SX − cc X − cc h∇H , Xix

          45 o que implica que para todo m + 1 ≤ i ≤ n temos AE i k H k SE i k H k E i k k , E i

        • 1

          = −c − cc − cc h∇H ix k H k +1 κ i E i k H k E i = −c − cc k (H k κ i + cH k )E i .

        • 1

          = −c k k +1 i k (H κ + cH ) com i = m + 1, ..., n ´e um auto valor constante α da i Portanto, todo −c matriz A. Ent˜ao α H i +cc k k

          κ i , = − c H ∀i = m + 1, ..., n k k+1

          De 4.20 e 4.21, temos que c k

          X H = κ ...κ k i 1 i k

          2 m<i 1 <...<i k

          X α i + cc k H k α i + cc k H k 1 1

          = )

          (− )...(− m<i 1 <...<i k k c k H k +1 c k H k +1

          X (−1)

          = k k (α i + cc k H k )...(α i + cc k H k ) c H k k+1 m<i <...<i k 1 k 1 1 em V. Mas isto significa que H ´e constante em V, que ´e uma contradi¸c˜ao com a defini¸c˜ao de V. n n n

        • 1 +2

          Teorema 4.21. Seja x : M uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa n n → M c ⊂ R q n +2 n

        • 1 +2
        • 1

          tanto na esfera euclidiana S (se c = 1) ou no espa¸co hiperb´olico H k o operador linearizado da (k + 1)-´esima curvatura m´edia de M , ⊂ R ⊂ R

          1 (se c = −1), e seja L k x = Ax para algum k = 0, 1, 2, ..., n − 1 fixado. Ent˜ao a imers˜ao satisfaz a condi¸c˜ao L

          (n+2)×(n+2) se, e somente se, ´e uma das para alguma matriz constante auto-adjunta A ∈ R seguintes hipersuperf´ıcies: (1) uma hipersuperf´ıcie com a (k + 1)-´esima curvatura m´edia zero e a k-´esima curvatura m´edia constante; m n n +1

          2 −m (2) uma parte aberta do Toro de Clifford, S ( , 0 < r < 1, se 1 − r ) × S (r) ⊂ S c = 1; m n n +1

          2 −m (3) uma parte aberta do cilindro hiperb´olico, H 1 + r , r > 0,

          (− ) × S (r) ⊂ H se c = −1. Demonstra¸c˜ao. No cap´ıtulo 3, vimos que cada uma das hipersuperf´ıcies mencionadas no teorema 4.21 satisfaz a condi¸c˜ao L x = Ax para uma matriz auto-adjunta constante. k Reciprocamente,vamos assumir que

          n n n

          46

        • 1 +2

          x : M c q → M ⊂ R

          (n+2)×(n+2) satisfaz a condi¸c˜ao L k . x = Ax para alguma matriz auto-adjunta constante A ∈ R k = 0 em M , logo H k ´e constante em M . Por 4.14

          Como b = 0, de 4.8 temos que ∇H H k tamb´em ´e constante em M . Se H k = 0, n˜ao h´a o que provar, pois teremos uma

        • 1 +1

          hipersuperf´ıcie com H k = 0 e H k = constante. Seja ent˜ao H k uma constante diferente

        • 1 +1

          de zero com H k tamb´em constante. Portanto 4.6 e 4.8 reduzem-se a k H k +1 k H k X (4.22)

          AX = −c SX − cc para todo X ∈ X(M) e

          2 H H k k

        • AG = αG + c k (cH k )x + c Ax (4.23)
        • 1

          H k H k

        • 1 +1

          respectivamente, com n k +1 nH H + cc H 1 k +1 k +2 k k

          α = −( − (n − k − 1)H pois, k H k +1 k H k X + c k k +1 k k AX = −c SX − cc h∇H , XiG − cc h∇H , Xix k H k k H k

          X

        • 1

          = −c SX − cc e L H H 2 AG = αG + G + c k (cH k x + c Ax k k+1 L H H k k k k

        • 1 H k+1 H k+1 H k+1 H k+1 H
        • 2 H )x − c = αG + c k (cH k )x + c Ax k k<
        • 1 H k+1 H k+1 H
        • 2 H Afirma¸c˜ X k (cH k +1 )X + c AX k k<
        • ao 4.22. ∇ (AG) = h∇α, XiG − αSX + c H H n
        • k+1 k+1 k +1 (nH H )SX + cc H X.

            1 k +1 k +2 k k +1 = h∇α, XiG + ( − (n − k − 1)H De fato, tomando a derivada covariante em 4.23 temos

            H 2 H

            47 (AG) = (αG) + c k (cH k x + c (Ax) k k

            ∇ X ∇ X )∇

          • 1 H H k+1 k+1 X ∇ H
          • 2 H X = G + c k (cH k )X + c AX k k<
          • 1

            X(α)G + α∇ X H H k+1 k+1 H 2

            2.1 H = k (cH k )X + c AX k k

          • 1

            h∇α, XiG − αSX + c H H k+1 k+1 4.22 n

            = (nH H k k ) + cc k H k )SX k +1 1 +1 +2 h∇α, XiG + ( − (n − k − 1)H H 2 H

          • c k k +1 )X + c k H k +1 SX c c k H k X)

            (cH + H H k k k+1 k+1 n (−c = k +1 (nH

            1 H k +1 k +2 )SX h∇α, XiG + − (n − k − 1)H

          • cc k H k X.
          • 1

            Por outro lado

            2.1

            4.22

            2 G) = c k H k S X + cc k H k SX. (4.24)

          • 1
          • XX (AG) = A(∇ X = −A(SX) Portanto ∇ (AG) ∈ X(M), logo h∇α, Xi = 0, ∀X ∈ X(M) o que implica que α ´e con- stante em M .

              Afirma¸c˜ ao 4.23. O operador de forma satisfaz a seguinte equa¸c˜ao quadr´atica

              2 S α H k + λS − cI = 0 onde λ = + 2c = constante. c H H k k+1 k+1 Com efeito, de 4.22 e 4.24 temos n

              2 0 = c k H k +1 S X + (cc k H k k +1 (nH

              1 H k +1 k +2 ))SX k H k − − (n − k − 1)H

              X

            • 1

              − cc n

              1

              2 = S X + (cc k H k k (nH H k k

              − − (n − k − 1)H ))SX − cX isto implica que α 2cH

            • 1 1 +1 +2 c k H k+1
            •  

              2 S + ( k c k H k+1 H k+1 )S − cI = 0

              κ 1 . . .    κ . . . 

              2    

                   

              Como S = , ent˜ao o operador de forma satisfaz a ... ... ... ... ...

              . . . κ n −1

                . . . κ n equa¸c˜ao

            • λκ
            • λκ

              ... ... . . . κ

              , ent˜ao M ´e uma parte aberta do Toro de Clifford. Mas se a imers˜ao for em H n

              com duas curvaturas principais constantes. Por outro lado, as umb´ılicas n˜ao totalmente geod´esicas n˜ao satis- fazem a equa¸c˜ao L k x = Ax. Logo ficamos somente com as hipersuperf´ıcies isoparam´etricas com duas curvaturas principais constantes. Portanto por Lawson [Law69] e Ryan [Rya69], conclu´ımos que M ´e uma parte aberta do produto riemaniano. Caso a imers˜ao seja em S n

              6= 0) ou M ´e uma hipersuperf´ıcie isoparam´etrica de M n

              Portanto temos que M ´e totalmente umb´ılica em M n +1 c (mas n˜ao totalmente geod´esica, pois H k

              − c          = 0.

              2 n

              . . . κ

              −1 − c

              2 n −1

              . ..

              ... ...

              2 − c . . .

              2

              2

              κ

              1 − c . . .

              1

              2

              κ

              48         

            • λκ n
            • λκ n
            • 1 c
            • 1
            • 1
            • 1

              , ent˜ao M ser´a uma parte aberta do cilindro hiperb´olico. Referˆ encias

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