UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Matemática em RedeNacional, coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática, ofertado pelo Instituto de Matemática daUniversidade Federal de Alagoas, como requisito parcial para obtenção do grau de mestre em Matemática. Ediel Azevedo GuerraMACEIÓ, AL 2016 Catalogação na fonte Universidade Federal de AlagoasBiblioteca Central Bibliotecário Responsável: Janaína Xisto de Barros Lima M539a Mendonça, Fernando Antonio Cavalcante.

1. Geometria

  A escolha do tema parte da pretensão de dinamizar o ensino de matemática da educação básica, mostrando que essa disciplina está presente no cotidiano, nanatureza, e, além disso, que o saber matemático não se trata de um saber finalizado ou acabado, mas sim com amplas subáreas em expansão e a expandir. Mostram-se também fractais mais experimentais, com uso de recursos gráficos ou sistemas de equações mais complexas,altamente explorados por Julia, Fatou e Mandelbrot; e por fim, alguns fractais computacionais criados com finalidades artísticas, equivalentes a uma pintura ou fotografia, no que seenveredam para o campo das artes plásticas e da arte pop contemporânea.

1 Benoît B. Mandelbrot (924-200) foi um matemático francês; ajudou a cunhar o termo fractal e desenvolveu

  sobremaneira a Geometria Fractal, inclusive sendo pioneiro na geração de imagens de fractais via computação gráfica. Além disto, este mesmo tópico interessante é utilizado para a construção de modelos matemáticos com os quais podem ser explicados diversos fenômenos físicos, como osrelacionados à dinâmica de fluidos e à mecânica celeste.

1.1 Conceituação dos Fractais

  (MICHEL, 2008.) Exemplifica-se ainda como um exemplo de fractal (ou na verdade um pseudo-fractal, como veremos adiante) a couve-flor, dada a sua autossemelhança, independente de qualpedaço ampliarmos; este fenômeno de semelhança ocorre nas estruturas das plantas, das montanhas, do cosmos, do cérebro, etc., ao contrário de poucas formas regulares na natureza,como uma laranja ou uma melancia [2]. Numa área com mais matemática do que geralmente supomos À primeira vista, a propriedade latente dos fractais é a autossimilaridade: a mesma estrutura é repetida infinitamente, isto é, sem rigor matemático; conceituamos, então, que umpedaço de uma curva ou de uma imagem se repete em proporções menores.

1.2 Uma breve história das origens dos Fractais

  Mais precisamente na virada entre os séculos XIX e XX, matemáticos como Cantor, Helge von Koch, Gaston Julia e Pierre Fatou lançaram as bases para o desenvolvimento dos fractais, pois já formularam e avaliaram objetos da matemática queposteriormente foram chamados de fractais, sendo essas experiências o pontapé inicial para desembocar no que chamamos de Geometria Fractal. O objetivo da obra emquestão, possivelmente, seja traçar uma analogia entre o conceito de fractal (autossemelhante em diferentes escalas e repetido indefinidamente) e a História da Humanidade, isto é, afirmarque a História da Humanidade “é um fractal”, por pelo menos dois fatores significativos: (i) a presença da ideia de fractais na História Antiga (o grego Anaxágoras, no séc.

1.2.1 Os fractais na História Antiga

  Então, o denso e o frio e oúmido e o escuro se juntaram para formar o que hoje é a Terra, conquanto o rarefeito, o quente e o seco e a luz seguiram adiante para compor o Éter [8]. Seus estudos sobre os fractais atualizaram, entretanto, o conceito de homeomerias de Anaxágoras; estendendo-lhe oalcance, explorando assim a geometria natural como exemplo da manifestação divina, como o fizera Kepler no séc.

1.2.2 Caráter fractal do universo

  Os recônditos do universo, as galáxias, apresentam imagens que realmente dão a ideia de fractais. Nesse sentido, [8] faz a seguinte asserção sobre o caráter fractal do universo, quasepoeticamente: “A geometria fractal oferece modelo para a compreensão das formas complexas de que a natureza é dotada, pelas quais ela se manifesta aos nossos olhos que, sempreque inspirados pela sensibilidade estética, restam pasmos diante dos intrincados desenhos por ela perpassados.

1.3 Algumas curiosidades sobre os Fractais

  Barnsley inventou um fractal que simula uma folha de samambaia, construindo-o de modo semelhante à construção de outros fractais: através de colagem de figurasautossemelhantes, variantes somente no que diz respeito à escala, o que ficou conhecido como a Samambaia de Barnsley (figura 2). Considerando-se os pontos final e inicial do trecho do rio, o segmento de reta que os contém é unidimensional, e o trecho não será exatamente superposto a esse segmento: há uma pequenadiferença, o que nos leva a estimar que o rio possui dimensão pouco superior a 1 (e muito inferior a 2), e nos leva a estimar também que esta dimensão aumenta de acordo com oaumento da sinuosidade do rio.

2.1 Fractais determinados por Sistemas de funções iteradas

Esse tipo de fractal foi muito comum antes de Mandelbrot batizá-los de fractal, pois os matemáticos iam formando figuras a partir de uma regra, e quando se davam conta arepresentação geométrica “fugia” de tudo que era conhecido até então, ou seja, criava padrões inexplorados pela geometria conhecida.

2.1.1 Conjunto de Cantor

  Assim, de acordo com definição 1, temos que N=2 e r=1/3, de sorte que a dimensão do fractal“Conjunto de Cantor” será dado por: log 2 log 2 D   , 63 . 1 log3 log 1 3 Tende-se, portanto, a haver infinitos pontos no conjunto, nos níveis muito elevados; no entanto, não podem ser chamados de pontos, pois estes possuem dimensão nula, e um xj  1x x j , ,   , com  1 e  1 2, 3, 4  j   .

3 Analisando a recorrência acima, teremos:

  x x  1 3 x 1x  2 3 x 2x  3 3  xj 1 x  j 3 Multiplicando os membros e eliminando os termos comuns, temos: j  1 .x xj 1 i  1i   x . x j i j  3i  1x 1 jx 3    j j j 3 3 Assim, para todo j natural, por maior que seja, teremos que a dimensão x dosj segmentos corresponde à j-ésima potência de base 1/3, portanto sempre maior que zero, o que não pode caracterizar-se como um ponto.

2.1.2 Tapete de Sierpinski

  ) n-1.(1/3n =An-1 n-1An =an-1 N an    n n na a a aa a a a  Somando os membros e eliminando os termos comuns, temos: 1  a a a a a  n n nn ni in ii n              1  1 1 1 1 2 8   8 8 8 8 1 8 1 8 1 7 ⁞ ⁞ ⁞ ) 2 1 1. (1/3) 2 9=1+8 1 2 ) 1 1=0+8 1.(1/3) n )Área retirada (A n Número de quadrados retirados (a Tabela 2: áreas e quadrados suprimidos no triângulo de Sierpinski, em função da iteração n.n Similarmente à discussão anterior, iniciando-se com um quadrado de área unitária, teremos, para o nível n, os seguintes dados: Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 Fonte: autor.

2 E assim, a área restante S

  Conforme [13], a dimensão desse fractal é de aproximadamente 1,8928, que é numericamente equivalente ao quociente log 64/log 9, o que sugere que a cada etapa temosaumento de 64 partes, com coeficiente de redução igual a 1/9, o que faz sentido, pois a área de cada novo quadrado é reduzida nesse fator em relação à área do quadrado da iteração anterior. De fato, no nível 1 existem 8 quadrados cujos lados possuem comprimento igual a1/3; no nível 2, a situação é mais difícil de enxergar: dos 81 quadrados de lado igual a 1/9 que o quadrado maior comporta, temos um total de 9 quadrados vazados, sendo 8 deles de ladoigual a 1/9 e 1 (o central) de lado igual a 1/3, cuja área é, portanto, 9 vezes a área dos quadrados menores.

2.1.3 Triângulo de Sierpinski

  log 2 log 2 k log k 1 2   Calculemos a área da figura formada na iteração k: 2k   1  3    k 2 2 l   3   3 3 k     A  N      3   .k 4 4 4 4  Assim, para iterações muito grandes, a área do triangulo fractal tende a zero. Então, a Cesta de Sierpinski parte de um triângulo equilátero unido com sua região interna, e o procedimento é dividi-lo em quatro triângulos equiláteros, através dos pontos As regras de construção da Cesta de Sierpinski, via Jogo do Caos, por [2], são as seguintes:(i) numa folha de papel construa um triângulo equilátero ABC e marque um ponto inicial P .

2.1.4 Curva de Peano

  A curva de Peano é formada de modo que, para k  Figura 20 – Curva de Peano, dos níveis 0 a 4, e no nível n, com n∞. Assim, conforme Definição 1, sendo N=9 o número de k segmentos obtidos na iteração k, e r = (1/3) o coeficiente de redução na mesma iteração, temos que a dimensão da Curva de Peano é dada por: k log 9 k .

2.1.5 Curva de Hilbert

  Comprimento do lado doNúmero de Número de Comprimento da n quadrado/comprimento dos quadrados segmentoscurva segmentos da curva (A ) n 0 1=4 4 -1 1/2 (4 -1).(1/2 )=0 1 1 1 1 1 4 4 -1 1/2 (4 -1).(1/2 )=3/2 2 2 2 2 2 2 4 4 -1 1/2 (4 -1).(1/2 )=15/4 3 3 3 3 3 3 4 4 -1 1/2 (4 -1).(1/2 )=63/8 4 4 4 4 4 4 4 4 -1 1/2 (4 -1).(1/2 )=255/16⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ n n n n nn 4 4 -1 1/2 (4 -1).(1/2 ) Fonte: autor. Assim, a dimensão fractal da curva de Hilbert, a exemplo do que também ocorre com a curva de Peano, é igual a 2.

2.1.6 Curva de Koch

  Percebemos que numa iteração k, o número de segmentos é igual a 4 vezes o número de segmentos da iteração k-1; isso ocorre porque cada segmento é substituído por quatro k segmentos nas iterações. Assim, conforme Definição 1, sendo N=4 o número de segmentos k obtidos na iteração k, e r = (1/3) o coeficiente de redução na mesma iteração, temos que a dimensão da Curva de Koch é dada por: k log 4 k .

2.1.7 Floco de Neve de Koch

  Como o nome já sugere, o Floco de Koch assemelha-se a um floco de neve, tendo como figura “geratriz” um triângulo equilátero, ao invés de um segmento de reta, como ocorrena Curva de Koch, tendo processos de formação similares. Assim, conforme Definição 1, sendo N=3.4 o número de segmentos k obtidos na iteração k, e r = (1/3) o coeficiente de redução na mesma iteração, temos que a dimensão do Floco de neve de Koch é dada por: k    k kk kk P do polígono Floco de Neve de Koch, iterado infinitas vezes, é:    .

1 Assim:

  3 1 4 3 3 16 4 . 9             4 9 4 16 9 3 3 16 4 9 3 3 16 4 9 3 3 4 4 9 4 9 4 9 4 9 3 3 16 4 9 1 16 A lim A  k k      k 3 3 4    lim A 1        k   20 9       k   3 3 4    A lim 1     k     20 9    3 3 3  4 20 8 3 20 2 3 5 , 6928 . Desta forma, a área é finita.

2.1.8 Curva do Dragão Harter-Heighway

  Há, ainda, a seguinte alternância: os segmentos de posição ímpar (primeiro, terceiro, quinto, ...) são substituídos por um triângulo de vérticedo segmento, e os segmentos de posição par (segundo, quarto, sexto, ...) são abaixo substituídos por um triângulo de vértice acima do segmento. Assim, a dimensão fractal da curva do dragão, a exemplo do que também ocorre com as curvas de Hilbert e de Peano, é igual a 2.

2.1.9 Esponja de Menger

  Assim, conforme Definição 1, sendo N=20 o número de cubos obtidos na k iteração k, e r = (1/3) o coeficiente de redução na mesma iteração, temos que a dimensão daEsponja de Menger é dada por: k log 20 k log 20 log 10 log 2 1 log 2  D      2 , 7268 . 1 k log 3 log 3 log 3 log k 1 3   k        Túneis em 202 cubos de lado 1/27 Túneis em 203 cubos de lado 1/81 ⁞Túneis em 20 n -1 cubos de lado 1/3 n n n n nTúneis em 20 cubos de lado 1/3 Túneis em 20 cubos de lado 1/9 ⁞ ⁞ ⁞                 6   8 9 2 20 1 .4 .6 .

2.2 Fractais determinados por recorrência

Estes fractais determinados por uma relação de recorrência são muito presentes nos estudos dos Sistemas Dinâmicos, onde temos relações aparentemente caóticas, variáveis em função dotempo. Dentre os principais fractais determinados por recorrência, estão o Fractal deLyapunov, o conjunto de Julia, e o conjunto de Mandelbrot, a seguir descritos:

2.2.1 Fractal de Lyapunov

  Desse modo, n 1 n temos: x  f x  1 x  f x 2  1    x f x n  1 n     Lyapunov atribuiu a x o quantitativo de indivíduos de uma espécie, ou seja, a sua n população, com população inicial x   , e admitindo-a como decrescente (semelhante às funções g(x)=1/x, ou h(x)=e ), mas se estabiliza em um número. De acordo , que satisfaz à condição    e x y Fazendo n n n 1 2 1 1     n ny f y y f yx f y f y Fonte: autor.

2.2.2 Conjuntos de Julia

  Essa iteração é da forma   , em que c é Z Z c n  n 1 um ponto fixo no plano complexo, determinante na forma do conjunto. Percebemos das figuras acima que a região do plano complexo determinada por cada Conjunto de Julia denota uma autossemelhança aproximada, análoga aos pseudo-fractais.

2.2.3 Conjunto de Mandelbrot

  Procurando generalizar os Conjuntos de Julia [5], Mandelbrot percebeu a existência de uma imagem que conseguia representa-los, condensando assim em uma única figura partesconstituintes dos Conjuntos de Julia. 2 Utilizando a mesma iteração   , desta vez com Z =0.

2 Z  Z  c   c  c ;

 2 1 2 2 Z Z  c  c  c ;   2 1 2 2 4 3  2 Z Z c c c c c 2 c c c ;  2          e assim sucessivamente. 3

2 Assim, o conjunto desses valores complexos de z forma o conjunto de Mandelbrot, que contém os conjuntos de Julia, basta que variemos o valor do ponto c

  A construção propriamente dita do referido fractal, conforme [2], preconiza as seguintes etapas:(i) desenhe um círculo de raio 2, centrado na origem do plano cartesiano;(ii) defina os valores dos parâmetros x , y , a e b; (iii) defina até que ponto será calculado, isto é, o número n de iterações a serem feitas, como por exemplo, n = 100;(iv) calcule os pontos (x , y ), (x , y ), ... Fazendo Z  x  y i e   , temos:j j j c a bi y 2 x y b   1n n n  2 Z  Z  c j 1 j 2x y i x y i a bi         j 1 j 1 j j 2 2x y i x y 2 x y i a bi        j 1 j 1 j j j j 2 2x y i x y a 2 x y b i          j 1 j 1 j j j j 2 2 x x y a     1 j j j , para algum j natural.

2.3 Fractais aleatórios

Aparentemente desordenados, sendo um típico exemplo do que se estuda em Teoria do Caos, particularmente em Sistemas Dinâmicos, os fractais aleatórios fascinam pela aparênciacaótica, mas com leis probabilísticas que determinam cada razão de ser desses fractais, cujo exemplo clássico é o Voo de Lévy.

2.3.1 Voo de Lévy

  Segundo a física MartineChevrollier (UFPB), simplificadamente, são movimentos aleatórios que se caracterizam por uma série de passos pequenos entremeados por raros deslocamentos longos, e afirma que essepadrão é obedecido em fenômenos que envolvem espalhamento de luz e acontece, por exemplo, em estrelas, em lâmpadas fluorescentes e em parte dos raios solares que sepropagam na atmosfera e no mar [17]. Além disso, diferencia a alternância do percurso dos tubarões entre o movimento browniano e o voo de Lévy da seguinte forma:quando a caça é abundante em uma determinada região próxima, “utilizam” o movimento browniano, e quando a caça está escassa nessa região, deslocam-se segundo o voo de Lévy.

2.4 Fractais Artísticos

  Capítulo 3 Geometria Fractal: uma Sequência Didática para aplicação no Ensino Médio Neste capítulo apresentaremos algumas atividades envolvendo os fractais, a serem aplicadas no Ensino Médio, com a finalidade de apresentar novas possibilidades de expressão de figurasgeométricas, para além das figuras da Geometria Euclidiana conhecidas e comumente trabalhadas. Ele mostra quatro tipos de fractais a serem construídos, tendo por base a Curva deKoch, o triângulo de Sierpinski, o fractal pentagonal de Dürer, e a ramificação do tipo árvore.

3.1 Oficina sobre fractais baseados na Curva de Koch

  2 3  1x x x x x x x x x x xn nn nn n 4 4 3 2 1 2 1 1 1 2 4 1 4 1 4 1 1 1 2 4 3 1 1 2 1 1 . Segue daí que a dimensão fractal D da Curva quadrangular de Koch será: 3 log 8 log 2 3 log 2 3 D      2 log 4 log 2 2 log 2 2 Atividade 2 a) Trace um quadrado de lado igual a 16 cm num papel de tamanho A4.

4 Uma questão interessante a se suscitar é a seguinte: e a área A no nível n? Ora

   A     n  1 n n n n n 1 n  1 4 4    2 Logo, a área da Ilha quadrangular de Koch corresponde à área inicial A = .x Atividade 3 a) Trace um segmento de 18 cm num papel de tamanho A4. Tamanho dos Quantidade Tamanho Quantidade Tamanho dos segmentos, em Nívelde figuras das figuras de segmentos segmentos cm (para x = geradoras geradoras 18 cm) 1 18 x 1 1 1 (1/3) .x = 1 2 = 2 x 6 1 3 1 1 (1/3) z 1 2 2 (1/3) .x = 2 2 = 4 x 2 2 9 2 1 (1/3) z 1 3 3 (1/3) .x = 3 2 = 8 x 2/3  0,67 4 27⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ n-1 (1/3) .z 1 1 2 18  1 n n n-1n n  2x n 2 (1/3) .x = 3 3 2 n 1 3 2 n  z = 1n  3  1 2 .

1 Atividade 4

  Então, resolvendo-a rapidamente temos: i  1 i 4 3 x  x 1  4 3 x  x 2 1 4 3 x  x 3 2  4  3 x x  n  1 n  2 4 3 x x  1n n   4 n n 1 n  1 3   x . Então, chamando o tamanho da base da capela no nível i de y , para i natural, temos: ii 3  x   x 4 i  y  i  1 4 4 x Sendo y o tamanho da base da primeira capela, temos: 1 4 i 3  y  y   i  1 1 4  n 1  3 .   y  y  n 1 4  Por fim, tem-se que cada capela é proporcional ao tamanho de sua base.

3.2 Oficina sobre fractais baseados na Cesta de Sierpinski

  Tamanho dos lados dos Quantidade de Tamanho dos lados dos Nível triângulos, em cm (para x triângulos triângulos = 9 cm) 1 x 9 1 1 1 1 3 = 3 (1/3) .x = 3 x 3 1 2 2 2 3 = 9 (1/3) .x = x 1 9 1 3 3 3 3 = 27 (1/3) .x = 1/3  0,33 x 27⁞ ⁞ ⁞ ⁞ 1 1 1 n n 2  n 3 (1/3) .x = x  9   3 nn n n  2 3 3 3 Fonte: autor. Tamanho dos lados dos Quantidade de Tamanho dos lados dos Nível quadrados, em cm (para x quadrados quadrados = 9 cm) 1 9 x 1 1 1 (1/3) .x = 1 4 = 4 x 3 3 1 2 2 (1/3) .x = 2 4 = 16 x 1 9 1 3 3 (1/3) .x = 3 4 = 64 x 1/3  0,33 27⁞ ⁞ ⁞ ⁞ 1 1 1 2 nn n x 9 3 n 4 (1/3) .x =    n n n  2 3 3 3 Fonte: autor.

3.3 Oficina sobre fractais baseados no Fractal de Dürer

  3  5 3  5  l x x x x       3  5 3  5 3  5 9 5 2 Observemos que o fator de redução é dado pelo quociente entre o novo lado l e o lado inicial x . 6 1 x 1 3 6 3 = 216 (1/3) 3 .x = 27 1 x 1/3  0,33⁞ ⁞ ⁞ ⁞ n n .x = 2 3 9 1 3 3 2    (1/3)   xn nn n 1 3 .x = n 9 2 Fonte: autor.

3 Equivalentemente, com o uso de limites, para o fractal propriamente dito, que ocorre

  quando n ∞, temos: n log 6 n log 6 log 6 log 6   lim lim lim 1,6309 D      n   n   n   1 log x n log 3  log x log 3 loglog 3  nn 1 / 3 x  n Para determinarmos a área A do fractal, no nível n, lembremos que nesse nível há 6 n 1 hexágonos regulares de lado . 3 A   x   x   x  x .      n n2 n 2 3 2 3 2 3 3      3 3 2 Também podemos exprimir A de outro modo: sendo A   x a área don 2 hexágono inicial, temos que: n n 3 3 2 2  2  A   x  A .

2 R 1   R   x  R 

  2 2 2 Desta forma, a cada passagem de nível temos que a quantidade de octógonos regulares aumenta num fator 8 e o tamanho de seus lados reduzem num fator igual a x xr xl x l l x y l l y l l l y               2 2 2 2 Podemos reunir os dados dos níveis 0 a 3 e montar a seguinte tabela, podendo o aluno conjecturar os dados relativos ao nível n: 2 2; 2 2 2 2 2; 2 1 2 2 1 . Então:30  cos 30 AH h x 30 x        2 cotg AÔH  cotg    h   cotg         x 30  2 OH 2 2 2    sen   2 2 1 cos 30  2x x 1 cos 30 1 cos 30 x 1 cos 30        2 h        2 2 2 1  cos 30  1  cos 30  2 1  cos 30  1  cos30  2 3 2 1  x  1  cos 30   x 1  cos 30  x   2 3 2 h x .

2 Mas A 

  n2 n   12 6 3 2 3    3  3   Assim, a área é uma função exponencial decrescente, onde diminui num fator de 2 2 3 4 2 3     4  2 3  0,5359 . lim ,          n n   n   n   2 3 2 3        n 1n   isto é, a soma das áreas dos 12 dodecágonos de áreas resulta num valor   A 12  6 3   desprezível quando estamos em níveis muito elevados na construção do fractal em tela.

3.4 Oficina sobre fractais do tipo Árvores

  3; um quadrado de lado34 5 4 II 2 2 3 ; 2 IV I 3     n ;2 3  n III1 3 2 4      n ;1 3 2 4    3 3  n 2 2 4      n1 3 2 4      n IV 5 2 2 2 n -1   2 n     i n 1triângulos com tamanho 1 1 5 4 . 2  n n 1 2 16 8 4 3 1 1      4           n n nn nz  Frisando-se que a área do triângulo A, de lados 3, 4 e 5, é dada por: 3.4/2 = 6, asáreas S 1 , S 2 , e S 3 3 2 .

1 Sendo S = 56, resolvendo a recorrência acima, temos:

  Há ainda 2 novos quadrados de lado , e assim a n 2 2n n  2 2    área A dos novos triângulos e quadrados do nível n (para n n ≠ 1) será dada por: 3 3 2n 2 n 2    3 2 2n  1 n      A  2   2 n n 2   2 2    2  3n  2 n    2  2 n  2  2    9n  2 n  2  2  4 . Deste modo, a área total Sn   16 3 2 3 2 2 1 3 2 2 36 3        3 2 40 68 3 2 2 3 2 2 3 3 36 24 3 40 68 3 2 2 3 3 2 36 36 3 3  S S                   n nn ni nn 1 2 1 1 3 2 .

2 D     1,943;

  2 log 2 log 3 log lim1 log 2 log 3 loglim 1 log2 .3 log lim 1 log2 2 .2 log lim 1 log2 2 loglim 1 1 1 1 a regra de L’Hôspital, temos:   Calculando as dimensões fractais usando os limites nos fractais propriamente ditos, temos:                      1 lim .      n n In n nn n n n nn n n n nn n nn nn In n nn nn nn nn n nn nn nn n I n nn nn nn n In n ni in n ni in nn n ni ni i n n in i i n Ir rr rr Observemos ainda que lim   I nr e que     I nr 1 1 novos triângulos, de tamanho 5 5 2 .

1 Como numerador e denominador tendem a infinito no limite acima, então aplicando

  I D / r novos quadrados, de tamanho n Como a cada novo nível as figuras que aparecem nas extremidades são os quadrados, podemos fazer esse cálculo somente para eles: no n-ésimo nível, há 2 Fonte: autor. Figura 85a – Gráfico da função I n nr : I Graficamente, a resposta acima coincide com o limite inicial para o cálculo de D Ir r 3 I I n      10 ln lim 2 log10 ln        76 , 09 ,1 2 log e, desta forma, calculemos finalmente a dimensão fractal da Árvore Pitagórica Fundamental:   .

i . Então, o tamanho médio t

   n i i n 1          1   1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1    5 4 . I  , n 2, 1, 0,   5 2 3 3 5 4 3 2 3 5 1 4 1 1 4 3 1 2 3 5 3 4 3 1  I nt e que   I I nI n 1lim 2 log 10 ln 10 ln1 2 loglim 10 ln 1 ln 2 loglim 1 log.

2 Atividade 1

  d) Determine a quantidade e os comprimentos dos segmentos nos níveis 0, 1, 2, 3 e 4; e) Determine os perímetros nos níveis 0, 1, 2, 3 e 4; f) DESAFIO 1: Calcule a quantidade total de segmentos, a quantidade de novos segmentos e o perímetro da figura no nível n;g) DESAFIO 2: Determine a dimensão fractal de sua respectiva árvore bifurcada. Já a quantidade total de segmentos no nível i, denotada por z , é dada pela soma da i quantidade de novos segmentos (y ) com a quantidade total de segmentos no nível anterior (z i - i ), isto é: 1iz  y  z  z  i i i  1 i 1 2 .

1 Já o comprimento de um novo segmento do nível n, denotado por x , é igual à

n metade do comprimento de um novo segmento do nível anterior (n-1), denotado pela quantidade x , pois o fator de redução foi de 1/2, conforme enunciado da atividade. Então, n-1 temos:n x  n 1 1  xx   x   x   n n   n 2 2 2   164  n Para x = 16, teremos que: .x   n n 2

2 O perímetro no nível n da árvore bifurcada, denotado por P , corresponde ao

  Considerando ainda que P corresponde a x , medida do único segmento no nível 0, temos: n x n   1 n1              P P n n  1 n n  2 P P x P P P P n . Além disso, por tratar-se de área relativamente nova de estudo e pesquisa, teorizada e unificada por Mandelbrot há menos de meio século, inesgotam-se suaspossibilidades de aplicação e novos exemplos e situações podem ser criados mudando-se apenas um parâmetro ou um pequeno elemento da regra de formação, revelando amultiplicidade do tema.

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