Universidade Federal da Bahia

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Full text

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Ergodicidade de Aplicac

¸˜

oes Unimodais

Maria Eliana Santana da Cruz Silva

Salvador-Bahia

(2)

Ergodicidade de Aplicac

¸˜

oes Unimodais

Maria Eliana Santana da Cruz Silva

Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa

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da Cruz Silva, M. E.

“Ergodicidade de Aplicac¸˜oesS-unimodais” / Maria Eliana San-tana da Cruz Silva. Salvador-Ba, 2003.

Orientador: Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (UFBA).

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em Matem´atica da UFBA, 30 p´aginas.

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(5)

Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estu-dam seriamente esta ciˆencia acabam tomados de uma esp´ecie de paix˜ao pela mesma. Em verdade, o que proporciona o m´aximo de prazer n˜ao ´e o conhecimento e sim a aprendizagem, n˜ao ´e a posse mas a aquisi¸c˜ao, n˜ao ´e a presen¸ca mas o ato de atingir a meta.

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Agradecimentos

A Deus, agrade¸co-Te o dom da vida e a capacidade de chegar at´e aqui, sabendo que por qualquer caminho que sigamos teremos a Tua m˜ao estendida sobre n´os.

Aos meus pais, Humberto M´aximo da Cruz e Elza Santana da Cruz, a quem ´e indis-pens´avel dedicar essa vit´oria, pois, vocˆes s˜ao simplesmente o come¸co de tudo, companheiros de todas as horas, o meu sonho, a minha alegria e o mais singelo amor! Para sempre, meus agradecimentos. Agrade¸co tamb´em aos meus familiares por todo apoio e ajuda.

A todos os professores respons´aveis por essa jornada, sempre dispostos a ajudar, em especial, aos professores ´Ezio Ara´ujo Costa (UFBA), Jos´e Ferreira Alves (Faculdade de Ciˆencias do Porto), os quais compuseram a Banca Examinadora e que verificaram com tanto zelo esta disserta¸c˜ao. Ensinar ´e uma quest˜ao de dedica¸c˜ao, de amor, um dom: algo t˜ao nobre que faz do professor um s´abio. Por isso a minha gratid˜ao e o meu carinho ao professor Vilton Jeovan Viana Pinheiro, pela orienta¸c˜ao, conhecimento transmitido e experiˆencia gratificante.

Aos meus colegas de trabalho pela colabora¸c˜ao e incentivo e a todos os colegas e funcion´arios do Instituto de Matem´atica da UFBA.

Aos amigos: Ana L´ucia Pinheiro Lima, Ariadne Pereira, Azly Santana, Alex Ramos, Calit´eia Souza, Cleide Peixoto, Cl´audio Vivas, Eronildo Souza, Graci Baqueiro, Gilmar Veiga, Jorge Serva, Juceli Brito, Luciana Barreto, Luiz Roque de Jesus, Luiz S´ergio Cavalcanti, Maria de F´atima Leal, Maridete Cunha, Maur´ıcio Brand˜ao, Odete Amanda Martinez, Patr´ıcia de Souza, Paulo Henrique do Nascimento, Stela Maria Azevedo e Ribeiro, os quais, de alguma forma, contribu´ıram no desenvolvimento de todo o curso de p´os gradua¸c˜ao, em especial, `aqueles que se tornaram grandes amigos. Aos amigos que n˜ao foram citados.

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Resumo

(8)

Abstract

(9)

Sum´

ario

Resumo vii

Abstract viii

Lista de Figuras x

1 Aplica¸c˜oes S-unimodais 2

1.1 A fam´ılia quadr´atica . . . 4

1.2 Estruturas Hiperb´olicas . . . 5

2 Ergodicidade 12

A Anexo 25

A.0.1 Shift . . . 25

(10)

Lista de Figuras

1.1 Aplica¸c˜oes quadr´aticas fazendo-se variar o parˆametrot. . . 4

1.2 Itera¸c˜oes de f onde J ´enice . . . 7

2.1 (a) c6∈R(I) e (b)ˆ cR(I) . . . 15ˆ

(11)

Introdu¸

ao

A fam´ılia de aplica¸c˜oes quadr´aticas foi um dos objetos mais estudados na ´ultima d´ecada. Isto se deve em parte `a simplicidade da express˜ao e a complexidade da dinˆamica gerada por essas aplica¸c˜oes. A fam´ılia quadr´atica ou log´ıstica serve de modelo para o estudo uma grande gama de outras dinˆamicas. Al´em disso, generaliza¸c˜oes como as aplica¸c˜oes de H´enon aparecem no desdobramento de tangˆencias homocl´ınicas.

Com os resultados acumulados nas d´ecadas de 80 e 90 sabemos hoje, de maneira bas-tante completa, quais s˜ao as dinˆamicas freq¨uentes e os atratores t´ıpicos das aplica¸c˜oes da fam´ılia quadr´atica. De fato, com o trabalho de Lyubich, onde culminaram todos esses esfor¸cos, sabemos que para quase todo parˆametro, no sentido de Lebesgue, teremos uma dinˆamica hiperb´olica ou estoc´astica.

Nesse trabalho estaremos mais interessados no estudo do n´umero de atratores que uma aplica¸c˜ao unimodal pode ter. Verificaremos que n˜ao s´o para aplica¸c˜oes log´ısticas mas tamb´em para toda aplica¸c˜ao S-unimodal n˜ao-flat teremos sempre um ´unico atrator. Para tanto, provaremos que se a aplica¸c˜ao em quest˜ao n˜ao possuir ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao ela ser´a erg´odica com respeito `a medida de Lebesgue. J´a que as bacias de atratores s˜ao conjuntos invariantes de medida positiva, a ergodicidade destas aplica¸c˜oes implicar´a na existˆencia de ´unico atrator. Por outro lado, segue da Schwarziana negativa que quando uma destas aplica¸c˜oes tiver uma ´orbita peri´odica, ent˜ao esta ´orbita ser´a seu ´unico atrator. Assim, com a presen¸ca ou n˜ao de ´orbita peri´odica, estas aplica¸c˜oes possuem sempre um ´unico atrator.

(12)

Cap´ıtulo 1

Aplica¸

oes

S

-unimodais

Seja f : I → I uma aplica¸c˜ao de classe Ck, k 3, I R. A derivada de Schwarz

ouSchwarziana def em um ponto xI, denotada porSf(x), ´e definida por:

Sf(x) = f

′′′(x)

f′(x)

3 2

f′′(x) f′(x)

2

;f′(x)6= 0.

Uma propriedade fundamental da Schwarziana ´e a permanˆencia do sinal. Isto ´e, se duas fun¸c˜oes com Schwarziana de mesmo sinal, ent˜ao a composi¸c˜ao destas preservar´a o sinal da Schwarziana. De fato, aplicando a regra da cadeia, verificamos que

S(f(g(x))) = Sf(g(x))(g′(x)))2+Sg(x)

de modo que se supormos Sf < 0 e Sg < 0, teremos S(f(g(x)) < 0. Uma conseq¨uˆencia imediata ´e queSf <0 implica Sfn<0, para todo n >1.

Uma outra propriedade importante da Schwarziana ´e que se uma fun¸c˜ao f : I R, I intervalo de R, tem Schwarziana negativa ent˜ao, cada ´orbita peri´odica atratora de f atrai um ponto cr´ıtico ou de dobra (ver defini¸c˜ao abaixo) de f ou um ponto do bordo de I. Esta demonstra¸c˜ao ´e bastante simples e pode ser encontrada em [D].

(13)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 3

F h=hG, ou seja, tal que o diagrama abaixo comuta.

X −−−→F X

h   y

  yh

Y −−−→G Y

Veja que se F e G s˜ao conjugadas por h, F ◦ h = h ◦ G, ent˜ao

n vezes z }| {

F ◦. . .◦F ◦h = Fnh =hGn =

n vezes z }| {

G. . .Gh para todo n 0. Como a ´orbita de um ponto p sob a a¸c˜ao da aplica¸c˜aoF, que denotaremos porOF(p) ou mais simplesmente porO(p), ´e o conjunto dos

iterados de F aplicados em p, ou seja, OF(p) = {Fn(x) k n ≥ 0}, e como a dinˆamica gerada

porF ´e justamente o conjunto das ´orbitas geradas pela a¸c˜ao deF, temos que uma conjuga¸c˜ao leva ´orbitas gerada por F em ´orbitas de G e, Conseq¨uentemente, aplica¸c˜oes conjugadas tˆem dinˆamicas equivalentes.

Um pontoc∈R ´e dito ponto de dobra de uma fun¸c˜ao real f se for um m´aximo ou m´ınimo local de f e pertencer ao interior do dom´ınio desta fun¸c˜ao. Considere uma f fun¸c˜ao cont´ınua definida num intervalo que possui exatamente um ponto de dobra. Podemos fazer uma conjuga¸c˜ao e colocarmos este ponto de dobra como um m´aximo. De fato, a aplica¸c˜ao h(x) =x´e uma conjuga¸c˜ao entre f e hf h, que transforma um m´ınimo def em m´aximo de hf h. Sendo assim, sem perda de generalidade, definiremos uma fun¸c˜ao ou aplica¸c˜ao

unimodalcomo uma fun¸c˜ao cont´ınua definida num intervalo que possui exatamente um ponto de dobra e este ponto ´e um m´aximo.

Suponha que f seja uma aplica¸c˜ao C3 e unimodal. Seja c R o ponto cr´ıtico ou de

dobra de f. N˜ao ´e dif´ıcil verificar que se Sf(x)<0, para todo x6=c, ent˜ao f tem no m´aximo dois pontos fixos. Quandof n˜ao tiver pontos fixos, ent˜ao todo ponto ser´a atra´ıdo pelo−∞ou sair´a do dom´ınio daf (caso o dom´ınio daf seja um subintervalo pr´oprio deR), isto ´e, ou para cada x ∈ Dom(f) ∃ n tal que fn(x) / Dom(f) ou lim

n→∞f

n

(x) = −∞ para todo x ∈ Dom(f). Assim, se f n˜ao tiver pontos fixos sua dinˆamica ser´a trivial. Pode-se verificar que, para quef tenha uma dinˆamica n˜ao trivial ´e necess´ario que exista um ponto fixo1. Al´em disso, este ponto

fixo possui um sim´etrico dinˆamico, com respeito ao ponto de dobra da f, ou seja, existe p < c < p∗ ∈Dom(f) tais que p=f(p) =f(p∗). Veja que com uma mudan¸ca de coordenadas

(14)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 4

(conjuga¸c˜ao) podemos supor que p = 0 e p∗ = 1. De fato, basta considerar a conjuga¸c˜ao

h(x) = px∗−pp entref e g =h◦f◦h

−1. Veja que g(0) = 0 =g(1). Desta maneira, sem perda de

generalidade, vamos nos restringir ao estudo de unimodais tais que f(0) = 0 =f(1).

Definic¸˜ao 1.1. Uma aplica¸c˜ao unimodal f ´e dita S-unimodal se for C3 e tiver Schwarziana

negativa. Mais precisamente, Sf(x) < 0,x 6= c, onde c ´e o ´unico ponto de dobra de f. Em c teremos lim

x→cSf(x) = −∞. Al´em disto, vamos exigir que se f ´e S-unimodal, ent˜ao

Dom(f) [0,1] e f(0) = 0 = f(1). Em particular, o ponto cr´ıtico de uma aplica¸c˜ao S -unimodal pertencer´a ao intervalo (0,1).

Segue da defini¸c˜ao 1.1 e das observa¸c˜oes feitas acima o seguinte resultado.

Proposic¸˜ao 1.1. Toda a aplica¸c˜ao S-unimodal tem no m´aximo uma ´orbita peri´odica atratora.

Neste trabalho trataremos somente de aplica¸c˜oes unimodais com dobras n˜ao degener-adas, que s˜ao chamadas de n˜ao-flat. Mais precisamente, um ponto c R, ponto de dobra de uma aplica¸c˜ao f, ´e dito n˜ao-flat se existe um difeomorfismo local ξ, com ξ(c) = 0, tal que, f(x) = ±|ξ(x)|α+f(c), para algum α1. Diremos que uma aplica¸c˜ao unimodal ´e n˜ao-flat se

seu ponto de dobra for n˜ao-flat.

1.1

A fam´ılia quadr´

atica

... . . ... x0 (a) ... . . . . ... x0 3 4 (b) ... . . . . ... x0 3 4 (c)

Figura 1.1: Aplica¸c˜oes quadr´aticas fazendo-se variar o parˆametro t.

(15)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 5

desta fam´ılia, ´e f´acil ver que o ponto cr´ıtico c = 1/2 ´e o ´unico ponto de dobra de f e que f(0) = 0 = f(1), qualquer que seja o parˆametro t > 0. Como 4tx(1x) = f(1/2)− |ξ(x)|2,

onde ξ(x) = 4√t·(x1/2) ´e ´obvio que estas fun¸c˜oes s˜ao n˜ao-flat. Al´em disto, as aplica¸c˜oes da fam´ılia log´ıstica tˆem Schwarziana negativa. De fato,

Sf(x) = f

′′′(x)

f′(x)

3 2

f′′(x)

f′(x)

2

= 0

−8tx+ 4t − 3 2

−8t

−8tx+ 4t

2

= −3

2

1 x−1/2

2

⇒Sf <0,∀t, x∈R\ {1/2}.

Em resumo, a fam´ılia quadr´atica ´e uma fam´ılia de aplica¸c˜oes S-unimodais n˜ao-flat.

1.2

Estruturas Hiperb´

olicas

Um conjuntoU ´e dito positivamente invariantepor uma aplica¸c˜ao f sef(U)U. Em particular, a ´orbita de um ponto de um conjunto positivamente invariante est´a contida neste conjunto. Se um conjunto compacto positivamente invariante apresentar expans˜ao ou contra¸c˜ao uniforme, ao longo das ´orbitas de seus pontos, este conjunto ´e chamado hiperb´olico. Mais precisamente, um conjunto compacto e positivamente invarianteK Dom(f)R´e dito

hiperb´olicose existirem constantesC >0 e 0λ6= 1 tais que ou|(fn)(x)|< Cλn<1n >0

ou |(fn)(x)| > Cλn >1 n > 0. No primeiro caso (λ < 1) o conjunto ´e dito contrator e no

segundo (λ > 1) ´e dito expansor. Vamos agora estudar um pouco os conjuntos invariantes das aplica¸c˜oes da fam´ılia quadr´atica ou log´ıstica que est˜ao afastados do ponto cr´ıtico.

(16)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 6

cr´ıtico, cuja imagem cair´a fora do intervalo [0,1] e logo ser´a atra´ıda pelo menos infinito. Assim, o conjunto dos pontos que n˜ao ser˜ao atra´ıdos para o menos infinito ser˜ao justamente os pontos do intervalo [0,1] que nunca se aproximar˜ao de uma vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico. Seguem do Teorema 1.1, enunciado mais a frente, que tal conjunto ´e um conjunto uniformemente expansor e do Teorema 1.2, que provaremos mais adiante, que ele tem medida de Lebesgue zero. Temos assim que somente dentro de um conjunto de medida zero, que est´a contido no intervalo [0,1], poderemos encontrar conjuntos invariantes n˜ao triviais (conjuntos que n˜ao estejam na bacia de atra¸c˜ao do −∞). Claro que o conjunto dos pontos que n˜ao saem do intervalo [0,1] ´e um conjunto maximal invariante, ou seja, todo ponto cuja ´orbita nunca sai de uma vizinhan¸ca pequena do intervalo [0,1], pertence a este conjunto.

Pode-se provar que a dinˆamica de f, restrita ao conjunto dos pontos que n˜ao s˜ao atra´ıdos pelo −∞, ´e conjugada `a dinˆamica do Shift (ver defini¸c˜ao e detalhes no anexo). Ou seja, denotando ∆ ={x R k Of(x) ⊂[0,1]}, onde f(x) = 4tx(1−x), t > 1, Of(x) a ´orbita

positiva dex gerada por f eσ : Σ→Σ a fun¸c˜ao Shift, teremos um homeomorfismo ψ entre ∆ (que ´e um conjunto de Cantor) e o conjunto Σ (={0,1}N) que faz o diagrama abaixo comutar.

∆ −−−→f ∆

ψ   y

  yψ

Σ −−−→G Σ

Vamos aproveitar o momento para introduzir a no¸c˜ao de intervalosnice. Sejampep∗as

pr´e-imagens de 1, respectivamente a esquerda e a direita de c= 1/2, ou seja, f(p) =f(p∗) = 1

e p < c < p∗. Claro que se um iterado de um ponto x [0,1] cair em (p, p) ent˜ao p /∆. De

fato, ∆ ={x∈[0,1]k O(p)∩(p, p∗) =∅}. Uma propriedade fundamental do intervalo acima ´e que os iterados de seu bordo n˜ao o intersectam. Motivado pelo intervalo (p, p∗), consideraremos a seguinte defini¸c˜ao.

Definic¸˜ao1.2. Chamaremos um intervalo abertoJ = (a, b)de umintervalo niceda aplica¸c˜ao unimodal f se O(∂J)J =, isto ´e, O(a)J == O(b)J. Em adi¸c˜ao, vamos pedir que um intervalo nice seja sempre dinamicamente sim´etrico com respeito ao ponto de dobra c, isto ´e, a < c < b e f(a) = f(b). O conjunto dos intervalos nice de uma aplica¸c˜ao unimodal f

ser´a denotado por N =Nf e denotaremos os pontos de ´orbitas limitadas que nunca entram em

(17)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 7

Figura 1.2: Itera¸c˜oes de f onde J ´enice

Proposic¸˜ao 1.2. Seja f uma aplica¸c˜ao unimodal de classe C1. Se J ∈ N ent˜ao

J ´e um conjunto compacto positivamente invariante.

Demonstra¸c˜ao. Como O(f(x)) ⊂ O(x) segue que se x ∆J, ent˜ao O(f(x))∩J ⊂

O(x)J =, e logo f(x)∆J. Assim conclu´ımos que ∆J ´e positivamente invariante.

Vamos agora verificar que ∆J ´e compacto. Realmente, se p∈ [0,1]\∆J, ent˜ao existe

n ≥ 0 tal que fn(p) J e como J ´e um aberto e fn ´e cont´ınua, n, segue que f−n(J)

´e aberto. Como p f−n(J), temos uma vizinha de p que ´e levada por fn dentro de J e,

Conseq¨uentemente, toda esta vizinhan¸ca est´a contida em [0,1]\∆J, o que prova que [0,1]\∆J

´e aberto e que ∆J e fechado. Como ∆⊂[0,1] segue que ∆J ´e tamb´em limitado, logo compacto.

Enunciaremos abaixo um teorema que ´e fundamental para mostrarmos a expansividade em regi˜oes afastadas do ponto cr´ıtico. Como conseq¨uˆencia deste teorema, sempre que uma aplica¸c˜ao unimodal C2 n˜ao tiver ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao para todo intervalo nice J

teremos que ∆J ser´a um conjunto expansor.

Teorema 1.1. (Ma˜ne) Seja f definida no intervalof :I I, f C2, onde I, ´e um intervalo

de R. Seja A o conjunto das ´orbitas atratoras de f. Seja B as bacias locais de A. Seja Cf o conjunto de todos os pontos cr´ıticos de f. Se U ´e vizinhan¸ca de Cf e U ⊃ B. Ent˜ao existe

C >0 e λ >1 tal que:

|Dfn(x)

|> Cλn,

∀x, satisfazendo x, f(x), . . . , fn−1(x)

∩U 6=.

Em particular, se A = e U ´e uma vizinhan¸ca de Cf ent˜ao ∃ C e λ tais que

O(x)∩U =∅ =⇒ |Dfn(x)|> Cλn ∀n≥0.

Demonstra¸c˜ao.Ver [MMS].

J´a sabemos que os conjuntos ∆J, J ∈ Nf, s˜ao positivamente invariantes e compactos.

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Aplica¸c˜oesS-unimodais 8

atratora masJ contiver sua bacia local, ent˜ao ∆J ser´a expansor. Veremos agora que sendo ∆J

expansor, ent˜ao ter´a medida de Lebesgue zero.

Teorema 1.2. (Conjunto hiperb´olico expansor tem medida de Lebesgue total ou zero). Seja

N S1 e f : N N uma aplica¸c˜ao C1+α, com α > 0. Se τ N ´e compacto positivamente invariante, ou seja, f(τ)⊂τ, e expansor, ent˜ao τ =N =S1 (f ´e uma imers˜ao no c´ırculo) ou

τ tem medida de Lebesgue igual a zero.

Demonstra¸c˜ao. Sejam f : N → N com N compacto, f ´eC1+α com α > 0. Como τ

´e hiperb´olico por f, podemos, permutando f porfn, se for necess´ario, assumir que, para uma

vizinhan¸ca V de f teremos:

|Df(x)|> λ >1;xV.

Afirma¸c˜ao. Seτ cont´em um intervalo ent˜aoτ =S1.

Prova. Seja J ⊂ τ um intervalo, pela invariˆancia de τ, fn(J) τ para todo n, fn

n˜ao tem pontos cr´ıticos em J, porque τ ´e hiperb´olico. Conseq¨uentemente, se fn|

J ´e injetora,

ent˜ao fn(J) ´e um intervalo de tamanho, no m´ınimo, igual a λnµ(J), ondeµ(J) ´e a medida de

Lebesgue de J. Isto ´e, se fn

|J ´e injetiva, ent˜ao µ(fn(J)) > λnµ(J), com |Dfn(x)| > λ > 1.

Assim, sefn|

J for injetiva, ∀n, teremosµ(τ)> µ(fn(J))> λnµ(J),∀ne, portanto,µ(τ) = ∞,

absurdo. Desta maneira, n˜ao ´e valido que para todonN, fn|

J seja injetiva. Uma vez que fn

n˜ao tem pontos cr´ıticos, isto implica que S1 τ fn(J)S1 e, logoτ =S1.

Vamos agora supor que N n˜ao cont´em intervalos,f ´e uma imers˜ao no c´ırculo e que τ tem medida de Lebesgue positiva. Pelo Teorema da Densidade de Lebesgue, quase todo ponto deτ ´e ponto de densidade. Tomando aτ ponto de densidade teremos

(i) lim

δ→0

µ(Bδ(a)∩τ)

µ(Bδ(a)

= 1,

onde Bδ(a) ´e a bola de centro a e raio δ.

Seja ε > 0 tal que a Bε(x) ⊂ V ∀ x ∈ τ. Como τ e positivamente invariante temos

que Bε(fn(a)) ⊂ V,∀ n ≥ 0. Se fm(Bδ(a)) ⊂ Bε(fm(a))∀ m ≤ n, ent˜ao µ(fn(Bδ(a)) >

λnµ(B

(19)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 9

Bε(fn0(a)). Como fn0(a) ∈ fn0(Bδ(a)), ent˜ao fn0(Bδ(a)), cont´em pelo menos metade da

Bε(fn0) e, portanto, existen ∈Z tal que µ(fn(Bδ(a)))≥ε.

Tomemos o maior n tal que fi(B

δ(a)) ⊂ V, para todo 0 ≤ i ≥ n. Afirmamos que

fn tem distor¸c˜oes limitadas em B

δ(a), mais precisamente, existe uma constante C1 que n˜ao

depende de δ, tal que

(ii)

Dfn(x)

Dfn(y)

< C1; ∀x, y ∈Bδ(a).

De fato, uma vez que f ´e C1+α e a derivada de f n˜ao ´e zero no fecho de V. Existe β > 0 tal

que a fun¸c˜aox7→log|Df(x)|´eCβ emV. Mas,f ´eCα,0< α <1 se|f(x)f(y)|< K|xy|α.

Como log|Df(x)| ´eCβ, existe uma constante C tal que

|log|Df(x)| −log|Df(y)||< C|x−y|β

.

Por essa raz˜ao

log

Dfn(x)

Dfn(y) = n X i=0

(log|Df(fi(x))| −log|Df(fi(y))|)≤

n X

i=0

C|fi(x)−fi(y)|β

Mas como

|fn(x)

−fn(y)

| = |f(fn−1(x))

−f(fn−1(y))

|

> λ|fn−1(x)−fn−1(y)|

> λ2|fn−2(x)fn−2(y)|

> λn−i

|fi(x)

−fi(y)

|

> λn−1|f(x)−f(y)|

> λn

|xy|

teremos

|fn(x)−fn(y)|> λn−i|fi(x)−fi(y)| |fi(x)

−fi(y)

|< 1 λn−i|f

n(x)

−fn(y)

| |fi(x)−fi(y)|β

< λ(i−n)β|fn(x)−fn(y)|β n

X

i=0

C|fi(x)−fi(y)|β

n−1

X i=0 C 1 λβ

n−i

|fn(x)−fn(y)|β

(20)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 10

Como S1 ´e compacto, K tal que |fn(x)fn(y)|< K e portanto, segue da equa¸c˜ao 1.1 que n

X

i=0

C|fi(x)

−fi(y)

n−1

X i=0 CKβ 1 λβ

n−i

≤ C˜

n−1

X

i=0

1 λβ

n−i

≤ C˜ 1 λβ n + 1 λβ

n−1

+. . . ..+ 1 λβ

!

≤ C˜

n−1

X i=0 1 λβ i

≤ C˜

∞ X i=0 1 λβ i

≤ C˜

1 1 1

λβ

≤ C˜ λ

β

λβ1

o que prova a afirma¸c˜ao, pois |Df

n(x)|

|Dfn(y)| ≤ρ

˜

C λβ

λβ−1.

Por esta raz˜ao, existen≥0 tal que a aplica¸c˜aofn leva difeomorficamenteB

δ(a) e com

distor¸c˜ao limitada no intervalo Jδ=fn(Bδ(a)) de comprimento maior que ε.

Usando a invariˆancia τ obteremos que fn B

δ(a)) ⊂ (τ ∩ Jδ). De (i) e de (ii)

conclu´ımos que

µ(Jδ∩τ)

µ(Jδ) ≥

µ(fn

∩B(a, δ))) µ(δj)

= 1 µ(f

n(B(a, δ)

\τ))

µ(fn(B(a, δ))) ≥1−c1

µ((B(a, δ)\τ)) µ((B(a, τ)) →1 quando δ → 0. Pois, cada um dos intervalos Jδ tem comprimento m´ınimo ε assim existe uma

seq¨uˆenciaδn →0 tal queJδn converge para o intervaloJ. Por esta raz˜ao µ(J∩τ) =µ(J).

Ent˜aoτ ´e um conjunto fechado, comτ J e isto ´e uma contradi¸c˜ao pois assumimos que J n˜ao cont´em intervalos. ✷

Corol´ario 1.2.1. Se f for uma aplica¸c˜ao unimodal C2 e J for um intervalo nice cujo fecho

(21)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 11

Demonstra¸c˜ao. Veja que a transforma¸c˜ao C∞ definida por h(x) = exp(i·g−1(x)),

onde g : (1,1)R ´e dada por g(x) =x/(1x2), leva toda a reta real R difeomorficamente

num arco de S1 C. Conseq¨uentemente, usando h como conjuga¸c˜ao, o Teorema 1.2 acima

tamb´em ´e v´alido para N ⊂R e, em particular, para os conjuntos ∆J que como j´a observamos

´e, neste caso, expansor. ✷

Quando uma aplica¸c˜ao unimodal f for C2 e n˜ao possuir ´orbita peri´odica atratora,

ent˜ao os conjuntos ∆J cont´em toda estrutura hiperb´olica de f. De fato, se K ´e um conjunto

hiperb´olico ef n˜ao possui ´orbita peri´odica atratora, ent˜aoK´e compacto, invariante e expansor. Como (fn)(c) = 0, n >0, temos que o ponto cr´ıtico c de f n˜ao pertence a K. N˜ao ´e dif´ıcil

verificar que pondo J =f−1 (maxf(K),+) teremos que J ∈ N

f e K ⊂ ∆J. Assim, segue

proposi¸c˜ao abaixo que seH for a estrutura hiperb´olica def, isto ´e, uni˜ao de todos os conjuntos hiperb´olicos def (que neste caso ser˜ao somente os expansores), ent˜aoH =SJ∈N∆J.

Proposic¸˜ao 1.3. Se f ´e unimodal de classe C2, ent˜ao ou f tem ´orbita peri´odica atratora ou

c=TI∈Nf I.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que J = TI∈N

f I 6= c. Vemos que J, neste caso, ´e um intervalo e necessariamente nice. De fato, pondo J = (a, b) e supondo que n > 0 tal que fn(a)J ent˜ao, por continuidade, paraI = (α, β)∈ N

f suficientemente pr´oximo a J ter´ıamos

fn(α)J I e isto contraria o fato de I ser nice.

Como ∆J tem medida nula temos que O(f(J))∩J 6= ∅. Seja n > 0 o menor inteiro

tal que fn(J)J 6= . Se ∂J int(fn(J)) 6= ent˜ao p J tal que fn(p) ∂J. Logo

I =f−1((f(p),+)∈ N

f eI 6⊆J que ´e absurdo. Assim teremosfn(J)⊂J.

Temos ent˜ao dois casos:

(1) F ix(fn|

J)∩J =∅;

(2) F ix(fn|

J)∩J 6=∅.

No primeiro caso teremos quep=F ix(fn|

J)∩∂J 6=∅´e ´orbita peri´odica atratora def.

J´a no segundo caso, oupF ix(fn

|J)∩J ´e ´orbita peri´odica atratora def ou ´e repulsora. Mas,

se p F ix(fn|

J)∩J for repulsora, ent˜ao ´e f´acil verificar que tomando q = maxO(p) teremos

I =f−1((f(p), f(c)))∈ N

(22)

Cap´ıtulo 2

Ergodicidade

Para iniciar este cap´ıtulo, vamos definir o conceito de ergodicidade. Considere uma aplica¸c˜ao f : M M, onde M ´e um intervalo. Um subconjunto U M ´e dito f-invariante

(ou invariante por f) se f−1(U) = U. Dizemos que f ´e dita erg´odica com respeito a medida

de Lebesgue, se todo subconjunto f-invariante tem medida zero ou a medida de M, ou seja, Leb(U) ∈ {0,Leb(M)}, para todo U M que seja f-invariante. Observemos que aqui n˜ao estamos pedindo que a medida de Lebesgue seja invariante com respeito a f.

O resultado central deste cap´ıtulo ´e que toda aplica¸c˜aoS-unimodal, n˜ao-flate infinita-mente renormaliz´avel (veremos a defini¸c˜ao mais adiante) ´e erg´odica com respeito a medida de Lebesgue. Para chegarmos a este resultado faremos um estudo das propriedades combinat´orias dos intervalos nice e de suas pr´e-imagens. Estudaremos um pouco as aplica¸c˜oes de primeiro retorno ´a um intervalonice.

Vamos assumir, em todo este cap´ıtulo, quef ´e uma aplica¸c˜aoS-unimodal, que o ponto cr´ıtico de f ´e um ponto c(0,1) e fixarN como sendoNf.

Lema 2.0.1. Seja I ∈ N e sejam T1 e T2 ⊂[0,1] intervalos tais que fni :Ti → I ´e mon´otona e sobrejetora para algum ni ≥ 0. Se T1 ∩T2 6= ∅ e n1 ≤ n2, ent˜ao T2 ⊂ T1 . Al´em disto, se

n1 =n2, teremosT1 =T2.

(23)

Ergodicidade 13

Demonstra¸c˜ao.Se T2 6⊂T1, ent˜ao ∃ x∈∂T1 ∩T2. Logo, pondo a=fn1(x), teremos

afn1(∂T

1)∩fn1(T2) =∂I∩fn1(T2) e Conseq¨uentemente,fn2−n1(a)∈fn2−n1(∂I)∩fn2(T2)⊂

O(∂I)I. Mas, isto contraria o fato de I ser nice. Temos ent˜ao que T2 ⊂T1. Al´em disto, se

n1 =n2 ter´ıamos tamb´em T1 ⊂T2. Desta forma, T1 =T2. ✷

Dado um intervalo nice I ∈ N vamos denotar o conjunto de pontos que visitam

I por CI, isto ´e, CI = {x ∈ [0,1] k O(x)∩I 6= ∅} = [0,1]\∆J. Segue da proposi¸c˜ao 1.2

que CI ´e um aberto e do Corol´ario 1.2.1 que se ¯I n˜ao estiver contido na bacia de uma ´orbita

peri´odica atratora, ent˜ao Leb(CI) = 1. Al´em disto, vamos provar agora que se {T1, T2, . . .} for

o conjunto das componentes conexas de CI, ent˜ao para cada Ti existe um ni ≥ 0 tal que fni

levaTi difeomorficamente emI.

Proposic¸˜ao 2.1. Seja J ∈ N e suponha que f n˜ao tenha ´orbita peri´odica atratora . Se J ´e uma componente conexa de CI, ent˜ao existe um ´unico inteiro n =n(J)≥ 0 tal que fn leva J difeomorficamente em I. Al´em disso, J, f(J), . . . ., fn(J) = I ´e uma cole¸c˜ao disjunta aos pares

de componentes conexas de CI.

Demonstra¸c˜ao.SejaJuma componente conexa deCI. Tomen= min{k ≥0kfk(J)∩

I 6= ø}. J´a que J ´e uma componente conexa de [0,1]\ ∆I (que ´e aberto) temos que J ´e

aberto e, conseq¨uentemente, ∂J ∆I. Veja que se a ∈J, ent˜ao (fn)′(a)6= 0, pois, (fn)′(a) =

f′(fn−1(a))·. . .·f(f(a))·f(a) e comofj(a)/ I, para todo 0j < n, temos quefj(a)6=cI e

logof′(fj(a))6= 0, para todo 0j < n. Desta formafn|

J ´e um difeomorfismo. Vamos mostrar

agora quefn(J) = I. Para tanto escreva (α, β) = J e (p, q) = I. ComoO(∂J) =O(α)∪ O(β)

n˜ao intersecta I, pois ∂J ⊂ ∆I, ter´ıamos que, se fn(J) =6 I, ent˜ao fn(α) ou fn(β) ∈/ I, mas

comofn(J)I 6=ter´ıamos, neste caso, quepfn(J) ouqfn(J) e com isto existiriax

0 ∈J

tal que fn(x

0) ∈∂I. Pela escolha de n ter´ıamos que fj(x0)∈/ I, ∀0 ≤j < n, e por ∂I ⊂ ∆I

ter´ıamos tamb´em que fj(x

0)∈/ I,∀ j ≥ n. Ou seja, x0 ∈J ∩∆I. O que ´e um absurdo. Desta

forma, necessariamente, fn(J) = I. Como c I temos que fn+1|J n˜ao ´e um difeomorfismo,

nem ao menos ´e mon´otona, e logon ´e ´unico.

Claro que, se 0≤j ≤n, ent˜aofj(J) ´e uma componente conexa deC

I, poisfj(J)∩∆I =

∅e, por outro lado,∂(fj(J)) =fj(∂J)

⊂∆I. Falta agora verificar quefk(J)∩fl(J) =∅,∀0≤

k < ln. Suponha que existe 0k < lntais que fk(J)fl(J)6=. TomandoT

1 =fl(J),

(24)

Ergodicidade 14

teremos que T1 =fl(J) ⊃fk(J) = T2 e logo I = fn1(T1) ⊃fn1(T2) =fn−(l−k)(J). Mas como

fn−(l−k)|J ´e difeomorfismo eO(∂T

2)∩I =∅, poisT2 ´e uma componente conexa deCI, teremos

fn1(T

2) = fn−(l−k)(J) ⊃ I. Entretanto, isto implica que fn1(T2) = I e logo n1 = n2, o que ´e

um absurdo, pois, n2 > n1. ✷

Dado um intervalo qualquer L [0,1] e um ponto x0 ∈ L tal que O(f(x0))∩L6= ∅.

O primeiro retorno de x0 a L se d´a em fn(x0) onde n = min{k > 0 k fk(x0) ∈ L}. Podemos

ent˜ao definir uma aplica¸c˜ao de primeiro retorno a L, RL, definida de Dom(RL) = {x ∈

L k O(f(x))∩L 6= ∅} para L. O lema abaixo garante que se I for um intervalo nice ent˜ao quase todo ponto deI retorna aI, ou seja, que quase todo ponto deI pertence ao dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno.

Lema 2.0.2. Se f n˜ao tem ´orbita peri´odica atratora, I ´e um intervalo nice e R ´e a aplica¸c˜ao retorno a I, ent˜ao

Dom(R) ´e aberto e Leb(I\Dom(R)) = 0

Demonstra¸c˜ao. Temos que Dom(R) = {x∈I k O(f(x))∩I 6=∅}. Sex ∈ Dom(R), ent˜ao existen tal quefn(x)I, como I ´e aberto, ef cont´ınua, temos que existeV vizinhan¸ca

de x tal que fn(y) I, y V. Logo x V Dom(R), ou seja, todo ponto do Dom(R) ´e

interior e, conseq¨uentemente, Dom(R) ´e aberto. ComoI\Dom(R) = {xI;O(f(x))I =∅} segue que se x I \Dom(R), ent˜ao f(x) ∆I. Logo, I \Dom(R) ⊂ f−1(∆I). Como f′ se

anula somente em um ponto, o ponto cr´ıtico, e pelo Corol´ario 1.2.1 temos Leb(∆I) = 0. Segue

que Leb(f−1(∆

I)) = 0. ✷

Uma propriedade interessante das aplica¸c˜oes unimodais sem ´orbitas peri´odicas atra-toras ´e que o ponto cr´ıtico ´e acumulado pelo conjunto dos pontos peri´odicos da aplica¸c˜ao.

Lema 2.0.3. Se f n˜ao tem ´orbita peri´odica atratora e I ´e nice, ent˜ao P er(f)I 6=.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que Dom(R), o dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno a I, tenha somente uma componente conexa. Neste caso ´e necess´ario que f(I)∩∆I =∅. Seja J a

componente conexa de [0,1]\∆I que cont´emf(I) en, o n´umero de iterados que leva J em I,

isto ´e, fn|

J ´e um difeomorfismo de J em I. Seja A : [0,1] → I uma transforma¸c˜ao afim que

(25)

Ergodicidade 15

ˆ

R=A−1fn+1|

I◦A. Como R´e conjugada com ˆR pela aplica¸c˜ao A, que ´e um difeomorfismo,

podemos estudar ˆR no lugar de R. Assim, veremos que ˆR′(x) = (fn+1)(x) e que ˆR(x) 6= 0

∀ x6=c, onde c´e o ponto cr´ıtico de f. Logo ˆR ´e unimodal. Al´em disto, SR <ˆ 0, pois SA= 0 eS(fn+1)<0, e ˆR´e n˜ao-flat. EscolhendoA tal quecseja ponto de m´aximo, e n˜ao de m´ınimo,

para ˆR teremos que ˆR ´e uma aplica¸c˜ao S-unimodal.

´

E f´acil ver que se ˆR′(0) 1 ent˜ao o zero seria um ponto fixo atrator de ˆR e logo f

teria uma ´orbita peri´odica atratora. Assim, ˆR′(0) >1 e Conseq¨uentemente para todo x

0 > 0

suficientemente pequeno teremos ˆR(x0)> x0. Tomando g(x) = ˆR(x)−x teremosg(x0)>0>

g(1) =−1. Pelo teorema do valor intermedi´ario,∃x1 ∈(x0,1) tal que ˆR(x1)−x1 =g(x1) = 0,

ou seja, ˆR(x1) =x1. Assim ˆR e, conseq¨uentemente, R, possuem um ponto fixo em (0,1). Logo

f tem um ponto peri´odico em I. (Figura 2.1).

Figura 2.1: (a) c6∈R(I) e (b)ˆ cR(I)ˆ

Vamos agora supor que Dom( ˆR) tenha mais de uma componente conexa. Tomemos ent˜ao J componente conexa do Dom( ˆR) tal que c /∈J. Logo, ˆR(J) = (0,1)⊃I e ent˜ao ˆR ter´a um ponto fixo em J. Novamente isto implica que f tem uma ´orbita peri´odica em I. ✷

Corol´ario 2.0.2. Se f n˜ao tem ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao existe seq¨uˆencia {pn} ⊂

P er(p) que converge para o ponto cr´ıtico c.

Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 1.3 existe uma seq¨uˆencia Ik →c de intervalos nice.

Logo, pelo lema anterior,P er(f)Ik6=∅,∀k. Segue que, existe uma seq¨uˆenciapk→ctal que

pk∈P er(f)∩Ik,∀k. ✷

O lema de Koebe, que enunciaremos abaixo, ´e a ferramenta b´asica para o controle de distor¸c˜ao dos iterados de uma aplica¸c˜ao com Schwarziana negativa e este controle ´e fundamental para a prova da ergodicidade. Antes de anunci´a-lo, vamos definir o que ´e uma vizinhan¸ca δ -escaladade um intervalo. SendoJ T dois intervalos, dizemos queT ´e vizinhan¸caδ-escalada deJ se as componentes conexas de T \J, tem comprimento maior que δ· |T|.

(26)

Ergodicidade 16

deT\M s˜ao denotadas porLe R. Dado ε >0,K >0tal que sefn|

T ´e mon´otona e se|fn(T)| ´e uma vizinhan¸ca ε-escalada |fn(M)| ent˜ao:

(1) T cont´em uma vizinhan¸ca δ-escalada de M;

(2) |Df n(x)|

|Dfn(y)| ≤K, ∀ x, y ∈M.

Vamos supor que temos um intervalo nice V ∈ N e, para simplificar, quef n˜ao tenha ´orbita peri´odica atratora. Neste caso, com boa probabilidade f(c)6∈∆V, pois este tem medida

nula. Ou seja, o valor cr´ıtico f(c) pertence a CV. Defina ent˜ao, sempre que f(c) ∈ CV, SV

como a componente conexa deCV que cont´emf(c). Sempre queSV estiver definido poderemos

considerar a pr´e-imagem de SV por f, isto ´e, considerar o intervalo aberto ψ(V) definido por

ψ(V) =f−1(S

V). Claro que c∈ ψ(V) e que ψ(V) ´e dinamicamente sim´etrico com respeito ao

ponto cr´ıtico. Al´em distoψ(V) ⊂V, caso contr´ario, existiria um ponto a ∈∂V ∩ψ(V) e logo f(∂V) =f(a)∈SV ⊃CV, o que ´e absurdo.

Verifiquemos agora que ψ(V) ´e tamb´em um intervalo nice de f. De fato, se (α, β) = ψ(V), ent˜aof(α) = f(β)∂SV e comoSV ´e componente conexa deCV temos que∂SV ⊂∆V.

Conseq¨uentemente, O(f(∂(ψ(V))))∩V =∅. Mas, como V ⊃ψ(V) temos, em particular, que

O(f(∂(ψ(V))))∩ψ(V) = ∅. Logo,O(∂(ψ(V)))∩ψ(V) = ∅.

O lema que segue juntamente com o lema de Koebe e o ”argumento do intervalo do meio” ser˜ao as armas fundamentais para a prova da ergodicidade.

Lema 2.0.5. Se I ´e uma componente conexa de Cψ(V) que ´e levada difeomorficamente por fn

em ψ(V), ent˜ao existe um intervalo T contendo I tal que fn leva T difeomorficamente em V.

Demonstra¸c˜ao. Seja [0,1] T I o intervalo maximal tal que fn|

T ´e um

difeo-morfismo e fn(T) V. Como fn|

I ´e um difeomorfismo e fn(I) = ψ(V) ⊂ V temos T 6= ∅.

Para provar o lema precisamos mostrar quefn(T) =V. Suponha o contr´ario, isto ´e, suponha

que existe a ∂T tal que fn(a)

∈ V. Se fj(a)

6

= c, 0 j < n, ent˜ao, por continuidade, ter´ıamos que se tomarmos ε > 0, suficientemente pequeno, ent˜ao (fn)(x) 6= 0 e fn(x) V,

(27)

Ergodicidade 17

seria um difeomorfismo e fn(T

1) =ψ(v) ⊂V, e isto contrariaria a maximalidade de T. Desta

maneira, deve existir um 0 j < n tal que fj(a) = c. Como j < n temos fj(I)ψ(V) =

e assim α ∂(ψ(I))fj(T). Logo, V fn(T) fn−j(α), mas isto ´e absurdo, pois, como

f(α)∈f(∂(ψ(I)))⊂∂SV ⊂∆V temosO(f(α))∩V =∅. ✷

Na prova do Lema 2.0.3 n´os consideramos um reescalonamento do dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno a um intervalo. Este tipo de procedimento ´e chamado de renormaliza¸c˜ao. As t´ecnicas de renormaliza¸c˜ao foram introduzidas no final da d´ecada de 70, no estudo de dinˆamica unidimensional independentemente, por Coullet e Tresser e por Feigenbaum, para explicar alguns fenˆomenos de universalidade em bifurca¸c˜oes de fam´ılias unimodais. Baseados em estudos num´ericos eles conjecturaram que os fenˆomenos de universalidade poderiam ser explicados se o operador de renormaliza¸c˜ao, agindo em certo espa¸co apropriado de aplica¸c˜oes, tivesse um ponto fixo hiperb´olico.

Devido aos trabalhos sobre renormaliza¸c˜ao desenvolvidos por diversos matem´aticos nas d´ecadas de 80 e 90, Lyubich, no final dos anos 90, conseguiu provar que para quase todo parˆametro (no sentido de medida de Lebesgue) da fam´ılia quadr´atica, a dinˆamica ´e hiperb´olica ou estoc´astica. No caso hiperb´olico teremos uma ´orbita peri´odica atratora que atrai quase todo ponto do intervalo [0,1] e os pontos deste intervalo que n˜ao s˜ao atra´ıdos por esta ´orbita peri´odica formam um conjunto expansor. J´a nos parˆametros em que a dinˆamica for estoc´astica existe um intervalo peri´odico cuja ´orbita atrai quase todo ponto do intervalo [0,1], al´em disto a dinˆamica restrita a esta ´orbita ´e expansora n˜ao uniforme.

Introduzamos formalmente o conceito de renormaliza¸c˜ao.

Definic¸˜ao 2.1. Diremos que f ´e renormaliz´avel se existir um intervalo I $ [0,1] tal que o dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno a I for o pr´oprioI. Neste caso, diremos que I ´e um intervalo

de renormaliza¸c˜ao de f. A aplica¸c˜ao f ser´a chamada de infinitamente renormaliz´avel ( -renormaliz´avel) se existir uma cole¸c˜ao infinita de intervalos de renormaliza¸c˜ao distintos.

Veja que, se I ´e um intervalo de renormaliza¸c˜ao para f, ent˜ao existe um m ≥ 0 tal que a aplica¸c˜ao de retorno a I ´e dada por RI =fm|I. Al´em disto, segue do Teorema de Ma˜n´e

e do Teorema 1.2 que c Smj=0fj(I), pois Leb(Sm

j=0fj(I)) > 0. Claro que, se J pertence a

(28)

Ergodicidade 18

c Smj=0fj(I) e se I

c ´e o intervalo da ´orbita de I que cont´em o ponto cr´ıtico, ent˜ao ele ´e

dinamicamente sim´etrico com respeito ao ponto cr´ıtico. Desta forma, Ic ´e um intervalo nice.

Observe que, ses0 ´e o menor natural tal que fs(I)I

c, ent˜ao fs levaI difeomorficamente

emIce conjugaRIcomRIc, isto ´e,RI = (f

s|I)−1R

Ic◦(f

s|I). Em resumo, sef´e renormaliz´avel

com respeito a um intervalo I, podemos trocar I pelo intervalo de sua ´orbita que cont´em o ponto cr´ıtico. Este ´ultimo ´e nice e tamb´em ´e um intercalo de renormaliza¸c˜ao def, e do ponto de vista dinˆamico a aplica¸c˜ao de retorno n˜ao muda. Por estas raz˜oes iremos somente estudar renormaliza¸c˜oes com respeito a intervalosnice.

Devido a sua importˆancia no estudo de aplica¸c˜oes unimodais vamos definir o operador de renormaliza¸c˜ao que foi aludido acima. Entretanto, queremos frisar que n˜ao usaremos o operador de renormaliza¸c˜ao na prova da ergodicidade das aplica¸c˜oes -renormaliz´aveis e que somente iremos defini-lo com finalidade informativa.

Se I ∈ Nf for um intervalo de renormaliza¸c˜ao de f definiremos a renormaliza¸c˜ao de f em rela¸c˜ao a I e denotaremos por RIf, como a aplica¸c˜ao RIf : [0,1] → [0,1] dada

por RIf = A−1 ◦RI ◦A, onde A : [0,1] → I ´e escolhida entre as duas transforma¸c˜oes afins

que levam [0,1] em I de maneira que c seja ponto de m´aximo, e n˜ao de m´ınimo para RIf.

Desta maneira RIf ´e tamb´em um aplica¸c˜ao S-unimodal (ver observa¸c˜oes na demonstra¸c˜ao do

Lema 2.0.3).

N˜ao ´e dif´ıcil constatar que, se I ∈ Nf, ent˜ao existe somente um n´umero finito de

intervalos de renormaliza¸c˜ao de f que contenha I. Conseq¨uentemente, sef for uma aplica¸c˜ao renormaliz´avel existe sempre um maior intervalo de renormaliza¸c˜ao de f, ou seja, existe um intervalo I ∈ Nf que cont´em todos os outros intervalo de renormaliza¸c˜ao. Defini-se ent˜ao

o operador de renormaliza¸c˜ao R que leva uma aplica¸c˜ao unimodal renormaliz´avel f em uma outra aplica¸c˜ao unimodal porRf =RIf, onde I ∈ Nf ´e o maior intervalo de renormaliza¸c˜ao

def. Tamb´em n˜ao ´e dif´ıcil verificar que se I1 %I2 s˜ao dois intervalos de renormaliza¸c˜ao para

f, ent˜ao a aplica¸c˜ao unimodal RI1 =A

−1R

I1 ◦A ´e renormaliz´avel com respeito ao intervalo

e

I2 = A−1(I2) e que as aplica¸c˜oes RIe2(RI1f) e RI2f s˜ao conjugadas. Em particular, se f for

∞-renormaliz´avel, ent˜ao (R)nf =R. . .R | {z } n vezes

f est´a bem definida, para todon >0.

(29)

Ergodicidade 19

por uma seq¨uˆencia encaixada de intervalos I1 % I2 % I3 % . . . tal que c = TnIn. De fato, se

c 6= TnIn, ent˜ao J = T

nIn seria um intervalo nice e assim, como j´a foi mencionado acima,

ter´ıamos somente um n´umero finito de intervalos de renormaliza¸c˜ao contendo J, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Conseq¨uentemente, se f tiver uma ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao ela tem no m´aximo um n´umero finito de renormaliza¸c˜oes. Tamb´em, deve ser observado que o ponto cr´ıtico de uma aplica¸c˜ao unimodal-renormaliz´avel ´e sempre recorrente, ou seja,c´e sempre um ponto de acumula¸c˜ao de sua ´orbita (cω(c)). Desta forma, quando f for -renormaliz´avel, teremos c∈ CI ∀ I ∈ Nf.

Teorema 2.1. Seja f : [0,1] → [0,1] uma aplica¸c˜ao S-unimodal, n˜ao-flat. Se f ´e -renormaliz´avel, ent˜ao f ´e erg´odica com respeito a Lebesgue.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que f seja ∞-renormaliz´avel e U ∈ N um intervalo de renormaliza¸c˜ao. Logo,f(c)∈ SU que ´e, como j´a foi definido, a componente conexa de CU que

cont´em o valor cr´ıtico. Sejan >0 o inteiro tal que fn levaS

U difeomorficamente emU e ponha

M =f(U)SV.

Pela Proposi¸c˜ao 2.1 teremos quefj(S

V)∩fk(SV) =∅,∀ 0≤j 6=k ≤n e, conseq¨

uen-temente, os elementos da cole¸c˜ao M ={M, f(M), . . . , fn(M)} s˜ao dois a dois disjuntos, pois

fj(M)fj(S

V), ∀0≤j ≤n.

Escolha m0 ∈ {1,2, . . . , n} tal que |fm0(M)| ≤ |fj(M)|, ∀ 0 ≤ j ≤ n. Se fm0(M)

possuir elementos de M posicionados na reta real tanto a sua esquerda quanto a sua direita, ponha m=m0. Por outro lado, se acontecer do posicionamento de fm0(M) na reta real R for

o mais `a esquerda da cole¸c˜ao M ou o mais `a direita, ent˜ao escolha m ∈ {m0+ 1, m0 + 2} de

maneira quefm(M) n˜ao seja nem o mais `a esquerda nem o mais `a direita da cole¸c˜aoM. Claro

que, |fm0+2(M)

| ≤ γ|fm0+1(M)| ≤ γ2|fm0(M)

|, onde γ = max{|Df(x)| k x [0,1]}. Desta forma, pela escolha do m, teremos |fm(M)| ≤ γ2|fj(M)|, 0 j n e, al´em disto, existem

elementos de Mtanto `a esquerda quanto `a direita de fm(M).

Entre os elementos deM que ficam a esquerda defm(M) seja fl(M) o mais pr´oximo

a fm(M). Analogamente, seja fr(M) o elemento a direita de fm(M) mais pr´oximo.

Con-sideremos H o intervalo m´aximo contendo M, para o qual fm(H) ´e mon´otona e tal que

(30)

Ergodicidade 20

[fl(M), fr(M)] = {(1t)x+ty k t [0,1],xfl(M) e yfr(M)}.

Afirma¸c˜aofm(H) = [fl(M), fr(M)].

Prova. SejamL eR as componentes conexas de H\M. Suponha queH n˜ao satisfa¸ca a propriedade acima. Neste caso o fecho dom-´esimo iterado de uma das componentes conexas deH\M estaria contida no interior de [fl(M), fr(M)]\fm(M). Digamos que esta componente

sejaL, isto ´e, fm(L) =fm(L)interior[fl(M), fr(M)]\fm(M). Pela maximalidade deH

existe i ∈ {0,1, . . . .m−1} tal que c ∈∂fi(L). Como fk(M)U = ∅ ∀0 k < n temos, em

particular, quefi(M)U =. Isto significa quefi(L) cont´em o fecho de uma das componentes

conexas de U\ {c}. Assim, fm(L) = fm−i−1(fi+1(L)) fm−i−1(f(U)) = fm−i−1(M), isto ´e,

interior[fl(M), fr(M)]

\fm(M)

⊃fm(L)fm−i−1(M). De maneira an´aloga, mostrar´ıamos

que R cont´em um iterado de M. Por essa raz˜ao [fl(M), fr(M)] conteria no m´ınimo quatro

elementos deMo que ´e absurdo pela constru¸c˜ao de [fl(M), fr(M)]. Assim, conclu´ımos a prova

da Afirma¸c˜ao.

Como γ2|fr(M)| ≥ |fm(M)| ≤ γ2|fl(M)| temos que fm(H) ´e uma vizinhan¸ca γ2

-escalada defm(M). Pelo Lema de Koebe, existe uma constanteδ

0 >0 dependendo unicamente

deγ tal que H cont´em a vizinhan¸ca δ0-escalada deM. Como o ponto cr´ıtico ´e n˜ao flat, existe

uma constanteδ >0 tal queH′ =f−1(M) cont´em a vizinhan¸caδ-escalada deU. Esta constante

δ >0 depende somente de γ e da ordem da criticalidade de f.

Dado J uma componente de CU e k ≥ 0 o inteiro tal que fk leva difeomorficamente

J em U, tome T como intervalo m´aximo contendo J tal que fk|

T ´e mon´otona e fk(T) ⊂ H′,

onde H′ =f−1(H).

Afirma¸c˜ao que fk(T) = H.

Prova. Como T ´e o intervalo m´aximo contendo J, tal que fk

|T ´e mon´otona,

consid-eremos L′ e Rcomponentes de T \J e fixemos uma delas, por exemplo L. Pela

maximal-idade de T, existe 0 j < k, tal que c ∂fj(L) como j < k temos que fj(J) U = ,

portanto, fj(L) cont´em uma componente de U\ {c}. Conseq¨uentemente, fj+1(L) M e

fk−(j+1)(fj+1(L))fk−j−1(M), isto ´e,

(31)

Ergodicidade 21

Suponhamos, por contradi¸c˜ao, que fk(L) H. Ent˜ao, como fk(L) fk−j−1(M) e fm+1 ´e

mon´otona sobre cada componente de H′\ {c} temos que fm+1|fk−j−1(M) ´e mon´otona.

Con-seq¨uentemente, fk−j−1 ´e mon´otona dado que fk+m−j|

M ´e mon´otona. Como U ´e um

inter-valo de renormaliza¸c˜ao e f n˜ao tem ´orbita peri´odica atratora temos, necessariamente, que c ∈ RU(U) = fn(M), isto implica que k +m−j ≤ n. Al´em disso, se fj+1(L′) ⊃ M, ent˜ao

fk(L)fk−j−1(M). Segue que

fk(L)

⊂fk(L)H

⇒fk−j−1(M)Hefk−j H.

Assim, fm(fk−j(M)) fm(H) = [fl(M), fr(M)], isto ´e, fm+k−j(M) [fl(M), fr(M]. Mas

isto significa que [fl(M), fr(M)] cont´em no m´ınimo quatro intervalos da forma fi(M) com

i≤n o que ´e absurdo. Provamos ent˜ao que fk(T) He deste modo temos que fk(T) =H.

Com isto, conclu´ımos a prova desta segunda afirma¸c˜ao.

Mostramos portanto queδ >0 tal que para todo intervalo de renormaliza¸c˜aoU ∈ N e cada intervaloJ componente conexa de CU temos um intervaloT tal que sen ≥0 ´e o inteiro

tal quefn levaJ difeomorficamente emU, ent˜aofnlevaT difeomorficamente numa vizinhan¸ca

δ-escalada de U, isto ´e,fn(T) =H.

Segue ent˜ao do Lema de Koebe que K >0 tal que para todo intervalo de renormal-iza¸c˜ao U ∈ N e cada intervalo J componente conexa de CU, teremos um inteiro n ≥0 que fn

levaJ difeomorficamente emU com distor¸c˜ao limitada por K, isto ´e,

1 K <

|Dfn(x)|

|Dfn(y)| < K ∀ x ey ∈J.

Suponhamos que existam dois conjuntosXeY [0,1] invariantes, isto ´e,f−1(X) = X

ef−1(Y) =Y, e ambos com medida de Lebesgue positiva.

Seja I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . . uma seq¨uˆencia encaixada de intervalos de renormaliza¸c˜ao tal

que TjIj = {c}. Como Leb(∆Ij) = 0, ∀ j, pelo Corol´ario 1.2.1, temos que Leb(

S

j∆Ij) = 0

e, conseq¨uentemente, quase todo ponto x X n˜ao pertence a Sj∆Ij. Por outro lado, pelo

teorema da densidade de Lebesgue, quase todo ponto xX ´e ponto de densidade do conjunto X, ou seja,

lim

ε→0

Leb(Bε(x)∩X)

Leb(Bε(x))

(32)

Ergodicidade 22

e desta maneira podemos escolher um ponto de densidade xX que n˜ao pertence a Sj∆Ij.

ComoCIj = [0,1]\∆Ij, podemos fixar um ponto de densidade x∈X tal que x∈CIj

∀j ≥1. Denotemos a componente conexa de CIj que cont´em x porJj ⊂CIj. Como X ´e invariante por f temos fn(X

∩J) = In∩X, onde In ´e uma seq¨uˆencia de

intervalos que acumulam no ponto cr´ıtico e X Jn ⊂ [0,1]. Como |In| ´e uma seq¨uˆencia de

intervalos, pelo princ´ıpio da contra¸c˜ao temos que se Un e In s˜ao seq¨uˆencias de intervalos com

|In| → 0 e tal que algum iterado fkn de f leva |Un| em In, ent˜ao |Un| → 0. Por essa raz˜ao,

como |In| →0 e, ∃s tal que fs(Jn) = In temos que|Jn| →0.

Al´em disso,

1∼ Leb(X∩Jn)

Leb(Jn)

e Lebfn(XJ

n)

Lebfn(J n)

= Leb(In∩X) Leb(In)

.

Como Leb(X∩Jn) Leb(Jn) ∼

1, ent˜ao Leb(X

cJ n)

Leb(Jn) ∼

0.

O Teorema da mudan¸ca de vari´avel que nos diz que: se h:U →V, um difeomorfismo de classe C1 entre os abertos U, V Rm, X U um compacto J-mensur´avel e f :h(X) R uma fun¸c˜ao integr´avel, ent˜ao f◦h:X →R ´e integr´avel e

Z

h(X)

f(y)dy=

Z

X

f(h(x))· |det(h′(x))|dx.

Veja que como fs|

Jn ´e difeomorfismo, temos que

fs(Xc

∩Jn) = Xc∩fs(Jn),

pois,fs(Xc) =Xc e fs(J

n) =In.

Assim,

|fs(Xc

∩Jn)|= Z

x∈fs(XcJ n)

dx=

Z

x∈(XcJ n)

|Dfs(x)

(33)

Ergodicidade 23

Por outro lado, |In|

|Jn|

= |f

s(J n)|

|Jn|

, mas Jn= (a, b). Portanto,

fs(Jn) = (fs(a), fs(b)) e |fs(Jn)|=|fs(a)−fs(b)|.

Assim,

|fs(J n)|

|Jn|

= |f

s(a)fs(b)|

|ab| . Pelo teorema do valor m´edio, existey (a, b) tal que

|Dfs(y)

|= |f

s(a)

−fs(b)

| |a−b| .

Logo,

|In|

|Jn|

= |f

s(J n)|

|Jn|

=|Dfs(y)|.

Por essa raz˜ao, a equa¸c˜ao () pode ser escrita como:

|fs(Xc∩Jn)| = Z

x∈fs(XcJ n)

dx

=

Z

x∈(XcJ n)

|Dfs(x)

|dx (2.1)

Z

x∈(XcJ n)

K.|In|

|Jn|

dx

= K|In|

|Jn| Z

x∈(XcJ n)

(2.2)

= K|In|

|Jn||

Xc

∩Jn|,

isto ´e,

|fs(Xc

∩In)| ≤ K|

In|

|Jn|

.|Xc

∩In|

|fs(XcJ n)|

|In| ≤

K

|Jn|

.|Xc∩In|< Kε

como ε´e muito pequeno temos que:

|Xc

∩In|

|In|

= |f

s(Xc

∩Jn|

|In|

≤ K|X

cI n|

|Jn|

(34)

Ergodicidade 24

isto significa que:

Leb(XcI n)

Leb(In) ∼

0

e, portanto,

Leb(XIn)

Leb(In) ∼

1 (i).

Como Y ⊂[0,1] est´a nas mesmas condi¸c˜oes de X, isto ´e, invariante com Leb >0, ent˜ao para quase todo pontoy ∈Y

lim

ε→0

Leb(Bε(y)∩X)

Leb(Bε(y)) ∼

1.

Procedendo, de maneira an´aloga, obtemos tamb´em que

Leb(Y In)

Leb(In) ∼

1 (ii).

Observando (i) e (ii), notamos que por (i)In ´e quase todo repleto deX e por (ii)In´e

(35)

Apˆ

endice A

Anexo

A.0.1

Shift

Seja X um espa¸co topol´ogico. Denotemos por Σ(X) o conjunto das seq¨uˆencias ψ :

Z→X e Σ+(X) o conjunto das seq¨uˆencias ψ :NX providos da topologia produto, isto ´e, a

topologia gerada, no caso de Σ(X), pela base de abertos

{. . .X×X×An0 ×. . .×An1 ×X×X. . .kAj ´e aberto de X}.

J´a para o Σ+(X) a base ´e

{A0×. . .×An×X×X. . .kAj ´e aberto de X}.

QuandoX ´e um conjunto finito com n elementos simplificamos a nota¸c˜ao escrevendo Σ(X) = Σn, Σ+(X) = Σ+n e identificamos X como o conjunto {1, . . . , n} provido da topologia

discreta. Oshiftσ: Σ(X)Σ(X) ´e a transforma¸c˜ao cont´ınua definida por (σψ)(n) =ψ(n+ 1). Pode-se mostrar que se X ´e um espa¸co m´etrico compacto ent˜ao a topologia de Σ(X) ou de Σ+(X) ´e a mesma que topologia gerada pela a distˆancia

d(α, β) =

+∞

X

n=−∞

1

(36)

Anexo 26

em Σ(X) ou

d(α, β) =

+∞

X

n=0

1

2|n|dX(α(n), β(n))

em Σ+(X), onde d

X ´e a distˆancia em X.

Observe que dois pontos, digamos α e β ∈ Σ+X, est˜ao pr´oximos se d(α, β) for

pe-queno e isto s´o acontece quando existe um k > 0 suficientemente grande tal que α(j) =

β(j), ∀0≤j < k. De fato, assumindok = min{j ≥0 k α(j)6=β(j)} temos dX(α(k), β(k))

2k ≤

d(α, β) diam(X)

2k−1 , onde diam(X) ´e o diˆametro de X (que ´e compacto), ou seja, diam(X) =

sup{dX(x, y)k x e y∈X}.

Proposic¸˜ao A.1. Se f : R → R ´e dada por f(x) = 4tx(1− x) com t > 1, ent˜ao f|Λ ´e

conjugada a σ : Σ+2 Σ+2, onde Λ ={x[0,1] k Of(x)⊂[0,1]}

Demonstra¸c˜ao. Segue do teorema de Ma˜ne que Λ ´e um conjunto expansor para f. Logo, existem C >0 e λ >1 tais que Dfn(x)> Cλn, para todo n >0 e todo xλ.

Veja quef−1([0,1]) ´e a uni˜ao disjunta de dois intervalos fechados. Sejam 0 = a

1 < b1 <

a2 < b2 <= 1 os pontos do bordo def−1([0,1]), isto ´e, f−1([0,1]) = I1∪I2, ondeIk = [ak, bk] e

k = 1,2.

O itiner´ario dos pontos de Λ ´e a aplica¸c˜aoγ : Λ Σ+2 definida da seguinte maneira. Dado x Λ temos que para cada j 0 fj(x) pertence a algum I

k. Assim, defina o valor de

γ(x) no ponto j por

(γ(x))(j) =

(

1 se fj(x)I

1

2 se fj(x)I

2

Temos ent˜ao que fj(x)I

(λ(x))(j) ∀ j ∈N.

Vamos agora definir uma aplica¸c˜ao de Σ+2 para Λ. Observe que fk−1 leva o intervalo

[0,1] difeomorficamente no intervaloIk. Al´em disto, comofs◦(fi0

−1

◦. . .◦fis

−1

)(x) =x temos

|D(fi0

−1. . .f

is

−1)(x)| < C−1λ−s x [0,1]. Desta maneira, dados quaisquer i

0, . . . , is ∈

{1, . . . , n} teremos que Ii0,...,is =fi0

−1

◦. . .fis

−1([0,1]) ´e um intervalo de comprimento menor

que C−1λ−s e com a propriedade que se x I

i0,...,is ent˜ao x ∈ Ii0, f(x) ∈ Ii1, . . . ,f

(37)

Anexo 27

quando s +. Conseq¨uentemente T∞s=0Iθ(0),...,θ(s) define um ´unico ponto xθ ∈[0,1]. Como

fs(x

θ)∈Iθ(s) ∀ s temos n˜ao so que xθ ∈Λ como tamb´em que γ(xθ) =θ. Por outro lado como

´e f´acil verificar que γ ´e injetiva segue que Σ+

2 ∋θ 7→xθ ∈Λ ´e de fato a inversa de γ.

A continuidade de γ ´e clara pois pontos pr´oximos tem os primeiros trechos de seus itiner´arios coincidentes, ou seja, (γ(x))(0) = (γ(y))(0), . . . ,(γ(x))(k) = (γ(y))(k) parakgrande. Tamb´em ´e f´acil ver que se α e β Σ+2 s˜ao pr´oximos, ou seja, existe um k grande tal que α(0) = β(0), . . . , α(k) = β(k), ent˜ao xα e xβ ∈ Iα(0),...,α(k) e logo xα ´e pr´oximo a xβ, de fato,

|xα−xβ| < C−1λ−k. Assim, a continuidade de γ−1 tamb´em est´a assegurada. Em resumo, γ ´e

um homeomorfismo entre Γ e Σ+2.

(38)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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