Universidade Federal da Bahia

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  Universidade Federal da Bahia

  Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  Ergodicidade de Aplicac ¸˜ oes Unimodais Maria Eliana Santana da Cruz Silva

  Salvador-Bahia Janeiro 2003 Ergodicidade de Aplicac ¸˜ oes Unimodais Maria Eliana Santana da Cruz Silva

  Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado do curso de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Banca examinadora:

  Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) Prof. Dr. ´ Ezio de Ara´ ujo Costa Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves da Cruz Silva, M. E. “Ergodicidade de Aplicac ¸˜ oes S-unimodais” / Maria Eliana San- tana da Cruz Silva. Salvador-Ba, 2003.

  Orientador : Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em Matem´atica da UFBA, 30 p´aginas.

  Palavras-Chave : Dinˆamica unidimensional, Aplica¸c˜oes unimodais, Fam´ılia quadr´atica e Hiperbolicidade.

  A Deus, a meus pais, irm˜aos e amigos.

  “Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estu-

  

dam seriamente esta ciˆencia acabam tomados de uma esp´ecie de

paix˜ao pela mesma. Em verdade, o que proporciona o m´aximo de

prazer n˜ao ´e o conhecimento e sim a aprendizagem, n˜ao ´e a posse

mas a aquisi¸c˜ao, n˜ao ´e a presen¸ca mas o ato de atingir a meta.

  Carl Friedrich Gauss.

Agradecimentos

  A Deus, agrade¸co-Te o dom da vida e a capacidade de chegar at´e aqui, sabendo que por qualquer caminho que sigamos teremos a Tua m˜ao estendida sobre n´os. Aos meus pais, Humberto M´aximo da Cruz e Elza Santana da Cruz, a quem ´e indis- pens´avel dedicar essa vit´oria, pois, vocˆes s˜ao simplesmente o come¸co de tudo, companheiros de todas as horas, o meu sonho, a minha alegria e o mais singelo amor! Para sempre, meus agradecimentos. Agrade¸co tamb´em aos meus familiares por todo apoio e ajuda.

  A todos os professores respons´aveis por essa jornada, sempre dispostos a ajudar, em especial, aos professores ´ Ezio Ara´ ujo Costa (UFBA), Jos´e Ferreira Alves (Faculdade de Ciˆencias do Porto), os quais compuseram a Banca Examinadora e que verificaram com tanto zelo esta disserta¸c˜ao. Ensinar ´e uma quest˜ao de dedica¸c˜ao, de amor, um dom: algo t˜ao nobre que faz do professor um s´abio. Por isso a minha gratid˜ao e o meu carinho ao professor Vilton Jeovan Viana Pinheiro, pela orienta¸c˜ao, conhecimento transmitido e experiˆencia gratificante.

  Aos meus colegas de trabalho pela colabora¸c˜ao e incentivo e a todos os colegas e funcion´arios do Instituto de Matem´atica da UFBA. Aos amigos: Ana L´ ucia Pinheiro Lima, Ariadne Pereira, Azly Santana, Alex Ramos,

  Calit´eia Souza, Cleide Peixoto, Cl´audio Vivas, Eronildo Souza, Graci Baqueiro, Gilmar Veiga, Jorge Serva, Juceli Brito, Luciana Barreto, Luiz Roque de Jesus, Luiz S´ergio Cavalcanti, Maria de F´atima Leal, Maridete Cunha, Maur´ıcio Brand˜ao, Odete Amanda Martinez, Patr´ıcia de Souza, Paulo Henrique do Nascimento, Stela Maria Azevedo e Ribeiro, os quais, de alguma forma, contribu´ıram no desenvolvimento de todo o curso de p´os gradua¸c˜ao, em especial, `aqueles que se tornaram grandes amigos. Aos amigos que n˜ao foram citados.

Resumo

  Tratamos das aplica¸c˜oes S-unimodais, em particular, estudamos a fam´ılia quadr´atica ou log´ıstica. Fizemos um estudo sobre estruturas hiperb´olicas e provamos que um conjunto hiperb´olico expansor possui medida de Lebesgue total ou zero. Provamos ainda que toda aplica¸c˜ao S-unimodal n˜ao-flat, infinitamente renormaliz´avel ´e erg´odica com respeito `a medida de Lebesgue e, conseq¨ uentemente, possui um ´ unico atrator.

Abstract

  We treated of S-unimodais applications, in matter, studied the quadratic or logistics family. We made a study on hyperbolic structures and we proved that a hyperbolic expan- sor group have total or zero Lebesgue measure. We proved although all non-flat S-unimodal application, infinitely renormalizable, is ergordic with regard to the Lebesgue measure and, consequently, it has a single atrator.

Sum´ ario

  Resumo vii

  Abstract viii

  Lista de Figuras x

  1 Aplica¸ c˜ oes

  2 S-unimodais 1.1 A fam´ılia quadr´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.2 Estruturas Hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5

  2 Ergodicidade

  12 A Anexo

  25 A.0.1 Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Lista de Figuras 1.1 Aplica¸c˜oes quadr´aticas fazendo-se variar o parˆametro t. . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.2 Itera¸c˜oes de f onde J ´e nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 2.1 (a) c R(I) e (b) c R(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  6∈ ˆ ∈ ˆ

Introdu¸ c˜ ao

  A fam´ılia de aplica¸c˜oes quadr´aticas foi um dos objetos mais estudados na ´ ultima d´ecada. Isto se deve em parte `a simplicidade da express˜ao e a complexidade da dinˆamica gerada por essas aplica¸c˜oes. A fam´ılia quadr´atica ou log´ıstica serve de modelo para o estudo uma grande gama de outras dinˆamicas. Al´em disso, generaliza¸c˜oes como as aplica¸c˜oes de H´enon aparecem no desdobramento de tangˆencias homocl´ınicas.

  Com os resultados acumulados nas d´ecadas de 80 e 90 sabemos hoje, de maneira bas- tante completa, quais s˜ao as dinˆamicas freq¨ uentes e os atratores t´ıpicos das aplica¸c˜oes da fam´ılia quadr´atica. De fato, com o trabalho de Lyubich, onde culminaram todos esses esfor¸cos, sabemos que para quase todo parˆametro, no sentido de Lebesgue, teremos uma dinˆamica hiperb´olica ou estoc´astica.

  Nesse trabalho estaremos mais interessados no estudo do n´ umero de atratores que uma aplica¸c˜ao unimodal pode ter. Verificaremos que n˜ao s´o para aplica¸c˜oes log´ısticas mas tamb´em para toda aplica¸c˜ao S-unimodal n˜ao-flat teremos sempre um ´ unico atrator. Para tanto, provaremos que se a aplica¸c˜ao em quest˜ao n˜ao possuir ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao ela ser´a erg´odica com respeito `a medida de Lebesgue. J´a que as bacias de atratores s˜ao conjuntos invariantes de medida positiva, a ergodicidade destas aplica¸c˜oes implicar´a na existˆencia de ´ unico atrator. Por outro lado, segue da Schwarziana negativa que quando uma destas aplica¸c˜oes tiver uma ´orbita peri´odica, ent˜ao esta ´orbita ser´a seu ´ unico atrator. Assim, com a presen¸ca ou n˜ao de ´orbita peri´odica, estas aplica¸c˜oes possuem sempre um ´ unico atrator. Cap´ıtulo 1 Aplica¸ c˜ oes S-unimodais k

  Seja f : I , k → I uma aplica¸c˜ao de classe C ≥ 3, I ⊂ R. A derivada de Schwarz ou Schwarziana de f em um ponto x

  ∈ I, denotada por Sf(x), ´e definida por:

  2 ′′′ ′′

  f (x) 3 f (x)

  ′

  Sf (x) = ; f (x) − 6= 0.

  ′ ′

  f (x) 2 f (x) Uma propriedade fundamental da Schwarziana ´e a permanˆencia do sinal. Isto ´e, se duas fun¸c˜oes com Schwarziana de mesmo sinal, ent˜ao a composi¸c˜ao destas preservar´a o sinal da Schwarziana. De fato, aplicando a regra da cadeia, verificamos que

  ′

  2 S(f (g(x))) = Sf (g(x))(g (x))) + Sg(x)

  de modo que se supormos Sf < 0 e Sg < 0, teremos S(f (g(x)) < 0. Uma conseq¨ uˆencia n imediata ´e que Sf < 0 implica Sf < 0, para todo n > 1.

  Uma outra propriedade importante da Schwarziana ´e que se uma fun¸c˜ao f : I → R,

  I intervalo de R, tem Schwarziana negativa ent˜ao, cada ´orbita peri´odica atratora de f atrai um ponto cr´ıtico ou de dobra (ver defini¸c˜ao abaixo) de f ou um ponto do bordo de I. Esta demonstra¸c˜ao ´e bastante simples e pode ser encontrada em [D].

  Duas aplica¸c˜oes F : X → X e G : Y → Y s˜ao ditas conjugadas (que denotaremos por F F ◦ h = h ◦ G, ou seja, tal que o diagrama abaixo comuta. F X −−−→ X   h h   y y G

  Y −−−→ Y n vezes z }| { Veja que se F e G s˜ao conjugadas por h, F F n vezes ◦ h = h ◦ G, ent˜ao ◦ . . . ◦ F ◦h = n n z }| {

  F = G ◦ h = h ◦ G ◦ . . . ◦ G ◦h para todo n ≥ 0. Como a ´orbita de um ponto p sob a a¸c˜ao da aplica¸c˜ao F , que denotaremos por F (p) ou mais simplesmente por

  O O(p), ´e o conjunto dos n iterados de F aplicados em p, ou seja, (p) = (x) F O {F k n ≥ 0}, e como a dinˆamica gerada por F ´e justamente o conjunto das ´orbitas geradas pela a¸c˜ao de F , temos que uma conjuga¸c˜ao leva ´orbitas gerada por F em ´orbitas de G e, Conseq¨ uentemente, aplica¸c˜oes conjugadas tˆem dinˆamicas equivalentes.

  Um ponto c ∈ R ´e dito ponto de dobra de uma fun¸c˜ao real f se for um m´aximo ou m´ınimo local de f e pertencer ao interior do dom´ınio desta fun¸c˜ao. Considere uma f fun¸c˜ao cont´ınua definida num intervalo que possui exatamente um ponto de dobra. Podemos fazer uma conjuga¸c˜ao e colocarmos este ponto de dobra como um m´aximo. De fato, a aplica¸c˜ao h(x) =

  −x ´e uma conjuga¸c˜ao entre f e h ◦ f ◦ h, que transforma um m´ınimo de f em m´aximo de h ◦ f ◦ h. Sendo assim, sem perda de generalidade, definiremos uma fun¸c˜ao ou aplica¸c˜ao unimodal como uma fun¸c˜ao cont´ınua definida num intervalo que possui exatamente um ponto de dobra e este ponto ´e um m´aximo.

  

3

Suponha que f seja uma aplica¸c˜ao C e unimodal. Seja c

  ∈ R o ponto cr´ıtico ou de dobra de f . N˜ao ´e dif´ıcil verificar que se Sf (x) < 0, para todo x 6= c, ent˜ao f tem no m´aximo dois pontos fixos. Quando f n˜ao tiver pontos fixos, ent˜ao todo ponto ser´a atra´ıdo pelo

  −∞ ou sair´a do dom´ınio da f (caso o dom´ınio da f seja um subintervalo pr´oprio de n n R), isto ´e, ou para cada x (x) / f (x) = ∈ Dom(f) ∃ n tal que f ∈ Dom(f) ou lim −∞ para todo x ∈ Dom(f). n

  →∞

  Assim, se f n˜ao tiver pontos fixos sua dinˆamica ser´a trivial. Pode-se verificar que, para que f

  1

  tenha uma dinˆamica n˜ao trivial ´e necess´ario que exista um ponto fixo . Al´em disso, este ponto etrico dinˆ amico fixo possui um sim´ , com respeito ao ponto de dobra da f , ou seja, existe

  ∗ ∗

  p < c < p ). Veja que com uma mudan¸ca de coordenadas 1 ∈ Dom(f) tais que p = f(p) = f(p

  p ∈ R tal que f(p) = p

  A fam´ılia de aplica¸c˜oes quadr´aticas ou log´ısticas ´e uma fam´ılia de fun¸c˜oes reais definidas pela express˜ao f (x) = 4tx(1

  Em c teremos lim x →c

  1.1 A fam´ılia quadr´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(b)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3 4 (c) Figura 1.1: Aplica¸c˜oes quadr´aticas fazendo-se variar o parˆametro t.

  ≥ 1. Diremos que uma aplica¸c˜ao unimodal ´e n˜ao-flat se seu ponto de dobra for n˜ao-flat.

  ±|ξ(x)| α

  Neste trabalho trataremos somente de aplica¸c˜oes unimodais com dobras n˜ao degener- adas, que s˜ao chamadas de n˜ao-flat. Mais precisamente, um ponto c ∈ R, ponto de dobra de uma aplica¸c˜ao f , ´e dito n˜ao-flat se existe um difeomorfismo local ξ, com ξ(c) = 0, tal que, f (x) =

  Segue da defini¸c˜ao 1.1 e das observa¸c˜oes feitas acima o seguinte resultado. Proposic ¸˜ ao 1.1. Toda a aplica¸c˜ao S-unimodal tem no m´aximo uma ´orbita peri´odica atratora.

  Dom(f ) ⊃ [0, 1] e f(0) = 0 = f(1). Em particular, o ponto cr´ıtico de uma aplica¸c˜ao S- unimodal pertencer´a ao intervalo (0, 1).

  Sf (x) = −∞. Al´em disto, vamos exigir que se f ´e S-unimodal, ent˜ao

  ∀x 6= c, onde c ´e o ´unico ponto de dobra de f.

  (conjuga¸c˜ao) podemos supor que p = 0 e p

  3 e tiver Schwarziana negativa. Mais precisamente, Sf (x) < 0,

  . Veja que g(0) = 0 = g(1). Desta maneira, sem perda de generalidade, vamos nos restringir ao estudo de unimodais tais que f (0) = 0 = f (1). Definic ¸˜ ao 1.1. Uma aplica¸c˜ao unimodal f ´e dita S-unimodal se for C

  −1

  entre f e g = h ◦ f ◦ h

  −p p −p

  = 1. De fato, basta considerar a conjuga¸c˜ao h(x) = x

  ∗

  • f (c), para algum α
desta fam´ılia, ´e f´acil ver que o ponto cr´ıtico c = 1/2 ´e o ´ unico ponto de dobra de f e que

  2

  f (0) = 0 = f (1), qualquer que seja o parˆametro t > 0. Como 4tx(1 , − x) = f(1/2) − |ξ(x)|

  √ onde ξ(x) = 4 t · (x − 1/2) ´e ´obvio que estas fun¸c˜oes s˜ao n˜ao-flat. Al´em disto, as aplica¸c˜oes da fam´ılia log´ıstica tˆem Schwarziana negativa. De fato,

  2 ′′′ ′′

  f (x) 3 f (x) Sf (x) =

  −

  ′ ′

  f (x) 2 f (x)

  2

  3 −8t

  = −

  2 −8tx + 4t −8tx + 4t

  2

  3

  1 = − ⇒ Sf < 0, ∀t, x ∈ R \ {1/2}.

  2 x − 1/2 Em resumo, a fam´ılia quadr´atica ´e uma fam´ılia de aplica¸c˜oes S-unimodais n˜ao-flat.

  Um conjunto U ´e dito positivamente invariante por uma aplica¸c˜ao f se f (U ) ⊂ U. Em particular, a ´orbita de um ponto de um conjunto positivamente invariante est´a contida neste conjunto. Se um conjunto compacto positivamente invariante apresentar expans˜ao ou contra¸c˜ao uniforme, ao longo das ´orbitas de seus pontos, este conjunto ´e chamado hiperb´olico. Mais precisamente, um conjunto compacto e positivamente invariante K n n ⊂ Dom(f) ⊂ R ´e dito

  ′

  hiperb´ olico se existirem constantes C > 0 e 0 ) (x) < 1 n ′ n ≤ λ 6= 1 tais que ou |(f | < Cλ ∀n > 0 ou ) (x) > 1 |(f | > Cλ ∀n > 0. No primeiro caso (λ < 1) o conjunto ´e dito contrator e no segundo (λ > 1) ´e dito expansor. Vamos agora estudar um pouco os conjuntos invariantes das aplica¸c˜oes da fam´ılia quadr´atica ou log´ıstica que est˜ao afastados do ponto cr´ıtico.

  Primeiro vamos considerar o caso em que o parˆametro ´e grande, maior que um. Veja que o parˆametro ´e igual ao valor cr´ıtico, isto ´e, a imagem do valor cr´ıtico. N˜ao ´e dif´ıcil verificar que todos pontos fora do intervalo [0, 1] s˜ao atra´ıdos pelo menos infinito. Em particular, o ponto cr´ıtico ser´a atra´ıdo. Como os bordos do intervalo [0, 1] v˜ao para o zero, que ´e ponto fixo repulsor, temos pelo observado no in´ıcio deste cap´ıtulo, que essas aplica¸c˜oes n˜ao possuir˜ao ´orbita peri´odica atratora, j´a que o ponto fixo e o ponto cr´ıtico obviamente n˜ao ser˜ao atra´ıdos por nenhuma ´orbita peri´odica atratora. Por continuidade, existir´a uma vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico, cuja imagem cair´a fora do intervalo [0, 1] e logo ser´a atra´ıda pelo menos infinito. Assim, o conjunto dos pontos que n˜ao ser˜ao atra´ıdos para o menos infinito ser˜ao justamente os pontos do intervalo [0, 1] que nunca se aproximar˜ao de uma vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico. Seguem do Teorema 1.1, enunciado mais a frente, que tal conjunto ´e um conjunto uniformemente expansor e do Teorema 1.2, que provaremos mais adiante, que ele tem medida de Lebesgue zero. Temos assim que somente dentro de um conjunto de medida zero, que est´a contido no intervalo [0, 1], poderemos encontrar conjuntos invariantes n˜ao triviais (conjuntos que n˜ao estejam na bacia de atra¸c˜ao do

  −∞). Claro que o conjunto dos pontos que n˜ao saem do intervalo [0, 1] ´e um conjunto maximal invariante, ou seja, todo ponto cuja ´orbita nunca sai de uma vizinhan¸ca pequena do intervalo [0, 1], pertence a este conjunto.

  Pode-se provar que a dinˆamica de f , restrita ao conjunto dos pontos que n˜ao s˜ao atra´ıdos pelo −∞, ´e conjugada `a dinˆamica do Shift (ver defini¸c˜ao e detalhes no anexo). Ou seja, denotando ∆ = f (x) f (x) a ´orbita

  {x ∈ R k O ⊂ [0, 1]}, onde f(x) = 4tx(1 − x), t > 1, O positiva de x gerada por f e σ : Σ → Σ a fun¸c˜ao Shift, teremos um homeomorfismo ψ entre ∆ N (que ´e um conjunto de Cantor) e o conjunto Σ (= ) que faz o diagrama abaixo comutar. f {0, 1}

  ∆ −−−→ ∆

    ψ ψ   y y G Σ

  −−−→ Σ

  ∗

  Vamos aproveitar o momento para introduzir a no¸c˜ao de intervalos nice. Sejam p e p as

  ∗

  pr´e-imagens de 1, respectivamente a esquerda e a direita de c = 1/2, ou seja, f (p) = f (p ) = 1

  ∗ ∗

  e p < c < p . Claro que se um iterado de um ponto x ) ent˜ao p / ∈ [0, 1] cair em (p, p ∈ ∆. De

  ∗

  fato, ∆ = ) = {x ∈ [0, 1] k O(p) ∩ (p, p ∅}. Uma propriedade fundamental do intervalo acima ´e

  ∗

  que os iterados de seu bordo n˜ao o intersectam. Motivado pelo intervalo (p, p ), consideraremos a seguinte defini¸c˜ao. Definic ¸˜ ao 1.2. Chamaremos um intervalo aberto J = (a, b) de um intervalo nice da aplica¸c˜ao

  unimodal f se

  O(∂J) ∩ J = ∅, isto ´e, O(a) ∩ J = ∅ = O(b) ∩ J. Em adi¸c˜ao, vamos pedir que etrico

  

um intervalo nice seja sempre dinamicamente sim´ com respeito ao ponto de dobra c,

isto ´e, a < c < b e f (a) = f (b). O conjunto dos intervalos nice de uma aplica¸c˜ao unimodal f

ser´a denotado por f e denotaremos os pontos de ´orbitas limitadas que nunca entram em

  N = N J J = J .

  Figura 1.2: Itera¸c˜oes de f onde J ´e nice

  1 Proposic ¸˜ ao 1.2. Seja f uma aplica¸c˜ao unimodal de classe C . Se J J ´e um

  ∈ N ent˜ao conjunto compacto positivamente invariante.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Como J , ent˜ao J . Assim conclu´ımos que ∆ J ´e positivamente invariante. O(f(x)) ⊂ O(x) segue que se x ∈ ∆ O(f(x)) ∩ J ⊂ O(x) ∩ J = ∅, e logo f(x) ∈ ∆

  Vamos agora verificar que ∆ J ´e compacto. Realmente, se p J , ent˜ao existe n n −n ∈ [0, 1] \ ∆ n (p) ´e cont´ınua, (J) ≥ 0 tal que f ∈ J e como J ´e um aberto e f ∀n, segue que f

  −n n

  ´e aberto. Como p (J), temos uma vizinha de p que ´e levada por f dentro de J e, ∈ f

  Conseq¨ uentemente, toda esta vizinhan¸ca est´a contida em [0, 1] , o que prova que [0, 1] J J \ ∆ \ ∆ ´e aberto e que ∆ J e fechado. Como ∆ J ´e tamb´em limitado, logo compacto.

  ⊂ [0, 1] segue que ∆ ✷

  Enunciaremos abaixo um teorema que ´e fundamental para mostrarmos a expansividade em regi˜oes afastadas do ponto cr´ıtico. Como conseq¨ uˆencia deste teorema, sempre que uma

  2

  aplica¸c˜ao unimodal C n˜ao tiver ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao para todo intervalo nice J teremos que ∆ J ser´a um conjunto expansor.

  2 Teorema 1.1. (Ma˜ ne) Seja f definida no intervalo f : I , onde I, ´e um intervalo

  → I, f ∈ C

  de f

  R. Seja A o conjunto das ´orbitas atratoras de f. Seja B as bacias locais de A. Seja C

  o conjunto de todos os pontos cr´ıticos de f . Se U ´e vizinhan¸ca de C f e U

  ⊃ B. Ent˜ao existe C > 0 e λ > 1 tal que: n n n

  −1

  (x) , x, f (x), . . . , f (x) |Df | > Cλ ∀x, satisfazendo ∩ U 6= ∅.

  Em particular, se f ent˜ao

  A = ∅ e U ´e uma vizinhan¸ca de C ∃ C e λ tais que n n (x) O(x) ∩ U = ∅ =⇒ |Df | > Cλ ∀n ≥ 0.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Ver [MMS]. J´a sabemos que os conjuntos ∆ J , J f , s˜ao positivamente invariantes e compactos.

  ∈ N Al´em disto, se f n˜ao tiver ´orbita peri´odica atratora ou mesmo se f tiver uma ´orbita peri´odica atratora mas J contiver sua bacia local, ent˜ao ∆ J ser´a expansor. Veremos agora que sendo ∆ J expansor, ent˜ao ter´a medida de Lebesgue zero.

  Teorema 1.2. (Conjunto hiperb´olico expansor tem medida de Lebesgue total ou zero). Seja

  1 1+α

  N e f : N , com α > 0. Se τ ⊂ S → N uma aplica¸c˜ao C ⊂ N ´e compacto positivamente

  1

invariante, ou seja, f (τ ) (f ´e uma imers˜ao no c´ırculo) ou

  ⊂ τ, e expansor, ent˜ao τ = N = S τ tem medida de Lebesgue igual a zero.

  1+α

  Demonstra¸ c˜ ao. Sejam f : N com α > 0. Como τ → N com N compacto, f ´e C n

  ´e hiperb´olico por f , podemos, permutando f por f , se for necess´ario, assumir que, para uma vizinhan¸ca V de f teremos: |Df(x)| > λ > 1; ∀x ∈ V.

  1 Afirma¸c˜ao. Se τ cont´em um intervalo ent˜ao τ = S . n n

  Prova. Seja J (J)

  ⊂ τ um intervalo, pela invariˆancia de τ, f ⊂ τ para todo n, f n n˜ao tem pontos cr´ıticos em J, porque τ ´e hiperb´olico. Conseq¨ uentemente, se f J ´e injetora, n n | ent˜ao f (J) ´e um intervalo de tamanho, no m´ınimo, igual a λ µ(J), onde µ(J) ´e a medida de n n n n Lebesgue de J. Isto ´e, se f J ´e injetiva, ent˜ao µ(f (J)) > λ µ(J), com (x) n n n | |Df | > λ > 1. Assim, se f for injetiva, (J)) > λ µ(J), J

  | ∀ n, teremos µ(τ) > µ(f ∀ n e, portanto, µ(τ) = ∞, n n absurdo. Desta maneira, n˜ao ´e valido que para todo n J seja injetiva. Uma vez que f n ∈ N, f |

  1

  1

  1

  n˜ao tem pontos cr´ıticos, isto implica que S (J) e, logo τ = S .

  ⊃ τ ⊃ f ⊃ S Vamos agora supor que N n˜ao cont´em intervalos, f ´e uma imers˜ao no c´ırculo e que τ tem medida de Lebesgue positiva. Pelo Teorema da Densidade de Lebesgue, quase todo ponto de τ ´e ponto de densidade. Tomando a

  ∈ τ ponto de densidade teremos µ(B δ (a)

  ∩ τ) (i) lim = 1, δ

  →0

  µ(B δ (a) onde B δ (a) ´e a bola de centro a e raio δ.

  Seja ε > 0 tal que a B ε (x) n m m n ⊂ V ∀ x ∈ τ. Como τ e positivamente invariante temos que B ε (f (a)) (B δ (a)) ε (f (a)) (B δ (a)) > n ⊂ V, ∀ n ≥ 0. Se f ⊂ B ∀ m ≤ n, ent˜ao µ(f n λ µ(B δ (a)), uma vez que tal que f (B δ (a))

  |Df(x)| > λ > 1, para todo x ∈ V , logo existe n 6⊂ n n n n

  B ε (f (a)). Como f (a) (B δ (a)), ent˜ao f (B δ (a)), cont´em pelo menos metade da n ∈ f n B ε (f ) e, portanto, existe n (B δ (a))) ∈ Z tal que µ(f ≥ ε. i

  Tomemos o maior n tal que f (B δ (a)) n ⊂ V , para todo 0 ≤ i ≥ n. Afirmamos que f tem distor¸c˜oes limitadas em B δ (a), mais precisamente, existe uma constante C

  1 que n˜ao

  depende de δ, tal que n Df (x) (ii) ; δ (a).

  1 n ∀x, y ∈ B

  < C Df (y)

  1+α

  De fato, uma vez que f ´e C e a derivada de f n˜ao ´e zero no fecho de V . Existe β > 0 tal β α α que a fun¸c˜ao x em V . Mas, f ´e C , 0 < α < 1 se .

  7→ log |Df(x)| ´e C |f(x) − f(y)| < K|x − y| β Como log , existe uma constante C tal que

  |Df(x)| ´e C β .

  | log |Df(x)| − log |Df(y)|| < C|x − y| Por essa raz˜ao n n n

  X X Df (x) i i i i β log (log (x)) (y)) C (x) (y) n |Df(f | − log |Df(f |) ≤ |f − f |

  = Df (y) i i

  

=0 =0

  Mas como n n n n

  −1 −1

  (x) (y) (x)) (y)) |f − f | = |f(f − f(f | n −1 n −1

  > λ (x) (y) |f − f |

  2 n −2 n −2

  > λ (x) (y) n i i |f − f |

  

−i

  > λ (x) (y) n |f − f |

  

−1

  > λ n |f(x) − f(y)| > λ

  |x − y| teremos n n n i i

  −i

  (x) (y) (x) (y) |f − f | > λ |f − f | i i n n

  1 (x) (y) (x) (y)

  |f − f | < |f − f | n

  −i i i β n n β λ (i−n)β

  (x) (y) < λ (x) (y) n n −1 |f − f | |f − f | n −i

  X X i i β n n β

  1 C (x) (y) C (x) (y) . (1.1) |f − f | ≤ |f − f | β i i λ

  =0 =0 n n

  n n ∃K tal que |f − f | < K e portanto, segue da equa¸c˜ao 1.1 que

  −1 n −i

  X X i i β β

  1 C (x) (y) CK |f − f | ≤ β i i λ

  =0 =0 n −1 n −i

  X

  1 C ≤ ˜ β i λ

  =0 n n ! −1

  1

  1

  1 C + . . . .. + ≤ ˜ β β β

  • n −1 i

  λ λ λ

  X

  1 C ≤ ˜ β i λ

  =0 ∞ i

  X

  1 C ≤ ˜ β i λ

  =0

  1 C ≤ ˜

  1 β

  1 β − λ λ

  C ≤ ˜ β

  λ n − 1 λβ

  ˜

  (x) C |Df | λβ −1 o que prova a afirma¸c˜ao, pois . n ≤ ρ

  (y) |Df | n

  Por esta raz˜ao, existe n leva difeomorficamente B δ (a) e com ≥ 0 tal que a aplica¸c˜ao f n distor¸c˜ao limitada no intervalo J δ = f (B δ (a)) de comprimento maior que ε. n

  Usando a invariˆancia τ obteremos que f (τ δ (a)) δ ). De (i) e de (ii) ∩ B ⊂ (τ ∩ J conclu´ımos que n n

  µ(J δ µ(f (τ µ(f (B(a, δ) µ((B(a, δ) ∩ τ) ∩ B(a, δ))) \ τ)) \ τ))

  = 1

  1

  ≥ − ≥ 1 − c → 1 n µ(J δ ) µ(δ j ) µ(f (B(a, δ))) µ((B(a, τ )) quando δ δ tem comprimento m´ınimo ε assim existe uma

  → 0. Pois, cada um dos intervalos J seq¨ uˆencia δ n δ converge para o intervalo J. Por esta raz˜ao n → 0 tal que J

  µ(J ∩ τ) = µ(J). Ent˜ao τ ´e um conjunto fechado, com τ

  ⊃ J e isto ´e uma contradi¸c˜ao pois assumimos que J n˜ao cont´em intervalos. ✷

  2 Corol´ ario 1.2.1. Se f for uma aplica¸c˜ao unimodal C e J for um intervalo nice cujo fecho

n˜ao esteja contido na bacia local de uma ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao ∆ J tem medida nula.

  ∞ −1

  Demonstra¸ c˜ ao. Veja que a transforma¸c˜ao C definida por h(x) = exp(i (x)), · g

  2

  onde g : ( ), leva toda a reta real

  −1, 1) → R ´e dada por g(x) = x/(1 − x R difeomorficamente

  1

  num arco de S ⊂ C. Conseq¨uentemente, usando h como conjuga¸c˜ao, o Teorema 1.2 acima tamb´em ´e v´alido para N J que como j´a observamos

  ⊂ R e, em particular, para os conjuntos ∆ ´e, neste caso, expansor. ✷

  2 Quando uma aplica¸c˜ao unimodal f for C e n˜ao possuir ´orbita peri´odica atratora,

  ent˜ao os conjuntos ∆ J cont´em toda estrutura hiperb´olica de f . De fato, se K ´e um conjunto hiperb´olico e f n˜ao possui ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao K ´e compacto, invariante e expansor. n

  ′

  Como (f ) (c) = 0, ∀ n > 0, temos que o ponto cr´ıtico c de f n˜ao pertence a K. N˜ao ´e dif´ıcil

  −1

  verificar que pondo J = f (max f (K), + teremos que J f e K J . Assim, segue ∞) ∈ N ⊂ ∆ proposi¸c˜ao abaixo que se H for a estrutura hiperb´olica de f , isto ´e, uni˜ao de todos os conjuntos

  S hiperb´olicos de f (que neste caso ser˜ao somente os expansores), ent˜ao H = ∆ J . J ∈N

  2 Proposic ¸˜ ao 1.3. Se f ´e unimodal de classe C , ent˜ao ou f tem ´orbita peri´odica atratora ou

  T c = I I.

  ∈N f

  T Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que J =

  I I ∈N f 6= c. Vemos que J, neste caso, ´e um intervalo e necessariamente nice. De fato, pondo J = (a, b) e supondo que n ∃ n > 0 tal que f (a) ∈ J ent˜ao, por continuidade, para I = (α, β) ∈ N f suficientemente pr´oximo a J ter´ıamos n f (α)

  ∈ J ⊂ I e isto contraria o fato de I ser nice.

  Como ∆ J tem medida nula temos que n n n O(f(J)) ∩ J 6= ∅. Seja n > 0 o menor inteiro tal que f (J) (J)) (p) ∩ J 6= ∅. Se ∂J ∩ int(f 6= ∅ ent˜ao ∃p ∈ J tal que f ∈ ∂J. Logo n

  −1

  I = f ((f (p), + f e I (J) ∞) ∈ N 6⊆ J que ´e absurdo. Assim teremos f ⊂ J.

  Temos ent˜ao dois casos: n (1) F ix(f J ) n | ∩ J = ∅; (2) F ix(f J ) | ∩ J 6= ∅. n No primeiro caso teremos que p = F ix(f J ) n | ∩ ∂J 6= ∅ ´e ´orbita peri´odica atratora de f. J´a no segundo caso, ou p J ) n ∈ F ix(f | ∩ J ´e ´orbita peri´odica atratora de f ou ´e repulsora. Mas, se p J )

  ∈ F ix(f | ∩ J for repulsora, ent˜ao ´e f´acil verificar que tomando q = max O(p) teremos

  −1

  I = f ((f (p), f (c))) f . Mas isto ´e absurdo, pois, tamb´em n˜ao ´e dif´ıcil ver que I

  Cap´ıtulo 2 Ergodicidade

  Para iniciar este cap´ıtulo, vamos definir o conceito de ergodicidade. Considere uma aplica¸c˜ao f : M → M, onde M ´e um intervalo. Um subconjunto U ⊂ M ´e dito f-invariante

  −1

  (ou invariante por f ) se f (U ) = U . Dizemos que f ´e dita erg´odica com respeito a medida de Lebesgue, se todo subconjunto f -invariante tem medida zero ou a medida de M , ou seja, Leb(U )

  ∈ {0, Leb(M)}, para todo U ⊂ M que seja f-invariante. Observemos que aqui n˜ao estamos pedindo que a medida de Lebesgue seja invariante com respeito a f .

  O resultado central deste cap´ıtulo ´e que toda aplica¸c˜ao S-unimodal, n˜ao-flat e infinita- mente renormaliz´avel (veremos a defini¸c˜ao mais adiante) ´e erg´odica com respeito a medida de Lebesgue. Para chegarmos a este resultado faremos um estudo das propriedades combinat´orias dos intervalos nice e de suas pr´e-imagens. Estudaremos um pouco as aplica¸c˜oes de primeiro retorno ´a um intervalo nice.

  Vamos assumir, em todo este cap´ıtulo, que f ´e uma aplica¸c˜ao S-unimodal, que o ponto cr´ıtico de f ´e um ponto c f .

  ∈ (0, 1) e fixar N como sendo N n i Lema 2.0.1. Seja I e T : T

  1 2 i

  ∈ N e sejam T ⊂ [0, 1] intervalos tais que f → I ´e mon´otona

  

e sobrejetora para algum n i , ent˜ao T . Al´em disto, se

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  ≥ 0. Se T ∩ T 6= ∅ e n ≤ n ⊂ T n = n , teremos T = T .

  1

  2

  1

  2 n 1 Demonstra¸ c˜ ao. Se T , ent˜ao . Logo, pondo a = f (x), teremos

  2

  1

  1

  2 n 1 n 1 n 1 n 6⊂ T ∃ x ∈ ∂T ∩ T 2 1 n 2 1 n 2 −n −n

  a (∂T ) (T ) = ∂I (T ) e Conseq¨ uentemente, f (a) (∂I) (T )

  1

  2

  2

  2

  ∈ f ∩f ∩f ∈ f ∩f ⊂ . Al´em disto, se

  2

  1 O(∂I) ∩ I. Mas, isto contraria o fato de I ser nice. Temos ent˜ao que T ⊂ T

  n = n ter´ıamos tamb´em T . Desta forma, T = T

  1

  2 1 ⊂ T

  2

  1 2 . ✷

  Dado um intervalo nice I ∈ N vamos denotar o conjunto de pontos que visitam

  I por C I , isto ´e, C I = J . Segue da proposi¸c˜ao 1.2 {x ∈ [0, 1] k O(x) ∩ I 6= ∅} = [0, 1] \ ∆ que C I ´e um aberto e do Corol´ario 1.2.1 que se ¯ I n˜ao estiver contido na bacia de uma ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao Leb(C I ) = 1. Al´em disto, vamos provar agora que se

  1 , T 2 , . . .

  {T } for n i o conjunto das componentes conexas de C , ent˜ao para cada T existe um n I i i ≥ 0 tal que f leva T i difeomorficamente em I.

  Proposic ¸˜ ao 2.1. Seja J ∈ N e suponha que f n˜ao tenha ´orbita peri´odica atratora . Se J ´e n

  uma componente conexa de C I , ent˜ao existe um ´ unico inteiro n = n(J) leva J n ≥ 0 tal que f

difeomorficamente em I. Al´em disso, J, f (J), . . . ., f (J) = I ´e uma cole¸c˜ao disjunta aos pares

de componentes conexas de C I . k

  Demonstra¸ c˜ ao. Seja J uma componente conexa de C I . Tome n = min (J) {k ≥ 0 k f ∩

  I I (que ´e aberto) temos que J ´e 6= ø}. J´a que J ´e uma componente conexa de [0, 1] \ ∆ n ′ n ′ aberto e, conseq¨ uentemente, ∂J I . Veja que se a ) (a) ) (a) =

  ⊂ ∆ ∈ J, ent˜ao (f 6= 0, pois, (f

  ′ n −1 ′ ′ j j

  f (f (a)) (f (a)) (a) e como f (a) / (a) j ·. . .·f ·f ∈ I, para todo 0 ≤ j < n, temos que f 6= c ∈ I e n

  ′

  logo f (f (a)) J ´e um difeomorfismo. Vamos mostrar n 6= 0, para todo 0 ≤ j < n. Desta forma f | agora que f (J) = I. Para tanto escreva (α, β) = J e (p, q) = I. Como n n n O(∂J) = O(α) ∪ O(β) n˜ao intersecta I, pois ∂J I , ter´ıamos que, se f (J) (α) ou f (β) / n ⊂ ∆ 6= I, ent˜ao f ∈ I, mas n n como f (J) (J) ou q (J) e com isto existiria x n ∩I 6= ∅ ter´ıamos, neste caso, que p ∈ f ∈ f ∈ J j tal que f (x )

  (x ) / I ∈ ∂I. Pela escolha de n ter´ıamos que f ∈ I, ∀0 ≤ j < n, e por ∂I ⊂ ∆ j ter´ıamos tamb´em que f (x ) / . O que ´e um absurdo. Desta I n n ∈ I, ∀ j ≥ n. Ou seja, x ∈ J ∩ ∆

  • 1

  forma, necessariamente, f (J) = I. Como c ∈ I temos que f |J n˜ao ´e um difeomorfismo, nem ao menos ´e mon´otona, e logo n ´e ´ unico. j j

  Claro que, se 0 (J) ´e uma componente conexa de C I , pois f (J) I = j j k l ≤ j ≤ n, ent˜ao f ∩∆

  (J)) = f (∂J) I . Falta agora verificar que f (J) (J) = ∅ e, por outro lado, ∂(f ⊂ ∆ ∩ f ∅, ∀ 0 ≤ k l l k < l

  (J) (J) = f (J),

  1

  ≤ n. Suponha que existe 0 ≤ k < l ≤ n tais que f ∩ f 6= ∅. Tomando T k n 1 n 2 T = f (J), n = n = n (T ) = I = f (T ) e n < n . Pelo Lema 2.0.1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 l k n 1 n 1 n −(l−k)

  teremos que T = f (J) (J) = T e logo I = f (T ) (T ) = f (J). Mas como

  1

  2

  1

  2 n ⊃ f ⊃ f −(l−k)

  f ) ´e uma componente conexa de C I , teremos

  2

  2 n 1 n −(l−k) |J ´e difeomorfismo e O(∂T ∩ I = ∅, pois T n 1 f (T ) = f (J)

  (T ) = I e logo n = n , o que ´e

  2

  2

  1

  2

  ⊃ I. Entretanto, isto implica que f um absurdo, pois, n > n

  2 1 . ✷

  Dado um intervalo qualquer L )) ⊂ [0, 1] e um ponto x ∈ L tal que O(f(x ∩ L 6= ∅. n k

  O primeiro retorno de x a L se d´a em f (x ) onde n = min (x ) {k > 0 k f ∈ L}. Podemos ao de primeiro retorno a ent˜ao definir uma aplica¸c˜ L, R L , definida de Dom(R L ) =

  {x ∈ L k O(f(x)) ∩ L 6= ∅} para L. O lema abaixo garante que se I for um intervalo nice ent˜ao quase todo ponto de I retorna a I, ou seja, que quase todo ponto de I pertence ao dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno.

  Lema 2.0.2. Se f n˜ao tem ´orbita peri´odica atratora, I ´e um intervalo nice e R ´e a aplica¸c˜ao

  retorno a I, ent˜ao

  Dom(R) ´e aberto e Leb(I \ Dom(R)) = 0 Demonstra¸ c˜ ao.

  Temos que Dom(R) = n {x ∈ I k O(f(x)) ∩ I 6= ∅}. Se x ∈ Dom(R), ent˜ao existe n tal que f (x) n ∈ I, como I ´e aberto, e f cont´ınua, temos que existe V vizinhan¸ca de x tal que f (y) ∈ I, ∀ y ∈ V . Logo x ∈ V ⊂ Dom(R), ou seja, todo ponto do Dom(R) ´e interior e, conseq¨ uentemente, Dom(R) ´e aberto. Como I

  \ Dom(R) = {x ∈ I; O(f(x)) ∩ I = ∅}

  −1 ′

  segue que se x I . Logo, I (∆ I ). Como f se ∈ I \ Dom(R), ent˜ao f(x) ∈ ∆ \ Dom(R) ⊂ f anula somente em um ponto, o ponto cr´ıtico, e pelo Corol´ario 1.2.1 temos Leb(∆ I ) = 0. Segue

  −1

  que Leb(f (∆ I )) = 0. ✷

  Uma propriedade interessante das aplica¸c˜oes unimodais sem ´orbitas peri´odicas atra- toras ´e que o ponto cr´ıtico ´e acumulado pelo conjunto dos pontos peri´odicos da aplica¸c˜ao. Lema 2.0.3. Se f n˜ao tem ´orbita peri´odica atratora e I ´e nice, ent˜ao P er(f ) ∩ I 6= ∅.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Suponhamos que Dom(R), o dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno a I, tenha somente uma componente conexa. Neste caso ´e necess´ario que f (I) I = ∩ ∆ ∅. Seja J a componente conexa de [0, 1] I que cont´em f (I) e n, o n´ umero de iterados que leva J em I, n \ ∆ isto ´e, f J ´e um difeomorfismo de J em I. Seja A : [0, 1]

  | → I uma transforma¸c˜ao afim que leva [0, 1] em I, ou seja, A(x) = (1 n −1 +1

  ˆ R = A

  R pela aplica¸c˜ao A, que ´e um difeomorfismo, ◦ f | I ◦ A. Como R ´e conjugada com ˆ n

  ′ +1 ′ ′

  podemos estudar ˆ R no lugar de R. Assim, veremos que ˆ R (x) = (f ) (x) e que ˆ R (x) 6= 0

  R ´e unimodal. Al´em disto, S ˆ R < 0, pois SA = 0 ∀ x 6= c, onde c ´e o ponto cr´ıtico de f. Logo ˆ n +1 e S(f ) < 0, e ˆ R ´e n˜ao-flat. Escolhendo A tal que c seja ponto de m´aximo, e n˜ao de m´ınimo, para ˆ R teremos que ˆ R ´e uma aplica¸c˜ao S-unimodal.

  ′

  ´ E f´acil ver que se ˆ R (0)

  R e logo f ≤ 1 ent˜ao o zero seria um ponto fixo atrator de ˆ

  

  teria uma ´orbita peri´odica atratora. Assim, ˆ R (0) > 1 e Conseq¨ uentemente para todo x > 0 suficientemente pequeno teremos ˆ R(x ) > x . Tomando g(x) = ˆ R(x) ) > 0 > − x teremos g(x g(1) =

  , 1) tal que ˆ R(x ) = g(x ) = 0,

  1

  1

  1

  1

  −1. Pelo teorema do valor intermedi´ario, ∃ x ∈ (x − x ou seja, ˆ R(x ) = x . Assim ˆ R e, conseq¨ uentemente, R, possuem um ponto fixo em (0, 1). Logo

  1

  1 f tem um ponto peri´odico em I. (Figura 2.1).

  Figura 2.1: (a) c R(I) e (b) c R(I) 6∈ ˆ ∈ ˆ

  Vamos agora supor que Dom( ˆ R) tenha mais de uma componente conexa. Tomemos ent˜ao J componente conexa do Dom( ˆ R) tal que c / R(J) = (0, 1) R ter´a ∈ J. Logo, ˆ ⊃ I e ent˜ao ˆ um ponto fixo em J. Novamente isto implica que f tem uma ´orbita peri´odica em I. ✷

  Corol´ ario 2.0.2. Se f n˜ao tem ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao existe seq¨ uˆencia n {p } ⊂ P er(p) que converge para o ponto cr´ıtico c.

  Demonstra¸ c˜ ao. Pela Proposi¸c˜ao 1.3 existe uma seq¨ uˆencia I k → c de intervalos nice. Logo, pelo lema anterior, P er(f ) k k

  ∩ I 6= ∅, ∀ k. Segue que, existe uma seq¨uˆencia p → c tal que p k k , ∈ P er(f) ∩ I ∀k. ✷

  O lema de Koebe, que enunciaremos abaixo, ´e a ferramenta b´asica para o controle de distor¸c˜ao dos iterados de uma aplica¸c˜ao com Schwarziana negativa e este controle ´e fundamental para a prova da ergodicidade. Antes de anunci´a-lo, vamos definir o que ´e uma vizinhan¸ca δ- escalada de um intervalo. Sendo J

  ⊂ T dois intervalos, dizemos que T ´e vizinhan¸ca δ-escalada de J se as componentes conexas de T \ J, tem comprimento maior que δ · |T |.

  Lema 2.0.4 (Lema de Koebe [MMS]). Seja f uma aplica¸c˜ao com Schwarziana negativa.

  Considere ainda, M e T dois intervalos com M

  ⊂ T contidos no dom´ınio de f. As componentes n n de T T ´e mon´otona e se (T )

  \M s˜ao denotadas por L e R. Dado ε > 0, ∃K > 0 tal que se f | |f | n

  ´e uma vizinhan¸ca ε-escalada (M )

  |f | ent˜ao:

  (1) T cont´em uma vizinhan¸ca δ-escalada de M ; n

  (x) |Df |

  (2) n ≤ K, ∀ x, y ∈ M.

  (y) |Df |

  Vamos supor que temos um intervalo nice V ∈ N e, para simplificar, que f n˜ao tenha

  ´orbita peri´odica atratora. Neste caso, com boa probabilidade f (c) V , pois este tem medida 6∈ ∆ nula. Ou seja, o valor cr´ıtico f (c) pertence a C V . Defina ent˜ao, sempre que f (c) V , S V

  ∈ C como a componente conexa de C V que cont´em f (c). Sempre que S V estiver definido poderemos considerar a pr´e-imagem de S V por f , isto ´e, considerar o intervalo aberto ψ(V ) definido por

  −1

  ψ(V ) = f (S V ). Claro que c ∈ ψ(V ) e que ψ(V ) ´e dinamicamente sim´etrico com respeito ao ponto cr´ıtico. Al´em disto ψ(V )

  ⊂ V , caso contr´ario, existiria um ponto a ∈ ∂V ∩ ψ(V ) e logo f (∂V ) = f (a) V V , o que ´e absurdo. ∈ S ⊃ C

  Verifiquemos agora que ψ(V ) ´e tamb´em um intervalo nice de f . De fato, se (α, β) = ψ(V ), ent˜ao f (α) = f (β) V e como S V ´e componente conexa de C V temos que ∂S V V . ∈ ∂S

  ⊂ ∆ Conseq¨ uentemente,

  O(f(∂(ψ(V )))) ∩ V = ∅. Mas, como V ⊃ ψ(V ) temos, em particular, que O(f(∂(ψ(V )))) ∩ ψ(V ) = ∅. Logo, O(∂(ψ(V ))) ∩ ψ(V ) = ∅. O lema que segue juntamente com o lema de Koebe e o ”argumento do intervalo do meio” ser˜ao as armas fundamentais para a prova da ergodicidade. n

  Lema 2.0.5. Se I ´e uma componente conexa de C ψ que ´e levada difeomorficamente por f

  (V ) n

em ψ(V ), ent˜ao existe um intervalo T contendo I tal que f leva T difeomorficamente em V .

n

  Demonstra¸ c˜ ao. Seja [0, 1] T ´e um difeo- n n n ⊃ T ⊃ I o intervalo maximal tal que f | morfismo e f (T ) I ´e um difeomorfismo e f (I) = ψ(V ) ⊂ V . Como f | n ⊂ V temos T 6= ∅.

  Para provar o lema precisamos mostrar que f (T ) = V . Suponha o contr´ario, isto ´e, suponha n j que existe a (a) (a) ∈ ∂T tal que f ∈ V . Se f 6= c, ∀ 0 ≤ j < n, ent˜ao, por continuidade, n n

  ′

  ter´ıamos que se tomarmos ε > 0, suficientemente pequeno, ent˜ao (f ) (x) (x) 6= 0 e f ∈ V , n para todo x = T T 1 ainda

  

1

  ∈ (a − ε, a + ε). Mas ent˜ao, para T ∪ (a − ε, a + ε) ter´ıamos que f | n

  seria um difeomorfismo e f (T ) = ψ(v)

  1

  ⊂ V , e isto contrariaria a maximalidade de T . Desta j j maneira, deve existir um 0 (a) = c. Como j < n temos f (I) j n n −j ≤ j < n tal que f ∩ ψ(V ) = ∅ e assim (T ). Logo, V (T ) (α), mas isto ´e absurdo, pois, como ∃α ∈ ∂(ψ(I)) ∩ f ⊃ f ∋ f f (α) V V temos

  ∈ f(∂(ψ(I))) ⊂ ∂S ⊂ ∆ O(f(α)) ∩ V = ∅. ✷ Na prova do Lema 2.0.3 n´os consideramos um reescalonamento do dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno a um intervalo. Este tipo de procedimento ´e chamado de renormaliza¸c˜ao. As t´ecnicas de renormaliza¸c˜ao foram introduzidas no final da d´ecada de 70, no estudo de dinˆamica unidimensional independentemente, por Coullet e Tresser e por Feigenbaum, para explicar alguns fenˆomenos de universalidade em bifurca¸c˜oes de fam´ılias unimodais. Baseados em estudos num´ericos eles conjecturaram que os fenˆomenos de universalidade poderiam ser explicados se o operador de renormaliza¸c˜ao, agindo em certo espa¸co apropriado de aplica¸c˜oes, tivesse um ponto fixo hiperb´olico.

  Devido aos trabalhos sobre renormaliza¸c˜ao desenvolvidos por diversos matem´aticos nas d´ecadas de 80 e 90, Lyubich, no final dos anos 90, conseguiu provar que para quase todo parˆametro (no sentido de medida de Lebesgue) da fam´ılia quadr´atica, a dinˆamica ´e hiperb´olica ou estoc´astica. No caso hiperb´olico teremos uma ´orbita peri´odica atratora que atrai quase todo ponto do intervalo [0, 1] e os pontos deste intervalo que n˜ao s˜ao atra´ıdos por esta ´orbita peri´odica formam um conjunto expansor. J´a nos parˆametros em que a dinˆamica for estoc´astica existe um intervalo peri´odico cuja ´orbita atrai quase todo ponto do intervalo [0, 1], al´em disto a dinˆamica restrita a esta ´orbita ´e expansora n˜ao uniforme.

  Introduzamos formalmente o conceito de renormaliza¸c˜ao. Definic ¸˜ ao 2.1. Diremos que f ´e renormaliz´avel se existir um intervalo I

  $ [0, 1] tal que o

  

dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno a I for o pr´oprio I. Neste caso, diremos que I ´e um intervalo

de renormaliza¸c˜ao de f . A aplica¸c˜ao f ser´a chamada de infinitamente renormaliz´avel (

  ∞- renormaliz´avel) se existir uma cole¸c˜ao infinita de intervalos de renormaliza¸c˜ao distintos.

  Veja que, se I ´e um intervalo de renormaliza¸c˜ao para f , ent˜ao existe um m m ≥ 0 tal que a aplica¸c˜ao de retorno a I ´e dada por R I = f |I. Al´em disto, segue do Teorema de Ma˜n´e

  S m S m j j e do Teorema 1.2 que c f (I), pois Leb( f (I)) > 0. Claro que, se J pertence a ∈ j j

  =0 =0 m

  ´orbita de I, J (I)

  S m j c f (I) e se I c ´e o intervalo da ´orbita de I que cont´em o ponto cr´ıtico, ent˜ao ele ´e ∈ j

  =0 dinamicamente sim´etrico com respeito ao ponto cr´ıtico. Desta forma, I c ´e um intervalo nice. s s

  Observe que, se s (I) c , ent˜ao f leva I difeomorficamente ≥ 0 ´e o menor natural tal que f ⊂ I s −1 s em I c e conjuga R I com R I c , isto ´e, R I = (f I c

  |I) ◦R ◦(f |I). Em resumo, se f ´e renormaliz´avel com respeito a um intervalo I, podemos trocar I pelo intervalo de sua ´orbita que cont´em o ponto cr´ıtico. Este ´ ultimo ´e nice e tamb´em ´e um intercalo de renormaliza¸c˜ao de f , e do ponto de vista dinˆamico a aplica¸c˜ao de retorno n˜ao muda. Por estas raz˜oes iremos somente estudar renormaliza¸c˜oes com respeito a intervalos nice.

  Devido a sua importˆancia no estudo de aplica¸c˜oes unimodais vamos definir o operador de renormaliza¸c˜ao que foi aludido acima. Entretanto, queremos frisar que n˜ao usaremos o operador de renormaliza¸c˜ao na prova da ergodicidade das aplica¸c˜oes

  ∞-renormaliz´aveis e que somente iremos defini-lo com finalidade informativa. Se I f for um intervalo de renormaliza¸c˜ao de f definiremos a renormaliza¸c˜ ao

  ∈ N de f em rela¸c˜ ao a I e denotaremos por I f , como a aplica¸c˜ao I f : [0, 1] R R → [0, 1] dada

  −1

  por I f = A I R ◦ R ◦ A, onde A : [0, 1] → I ´e escolhida entre as duas transforma¸c˜oes afins que levam [0, 1] em I de maneira que c seja ponto de m´aximo, e n˜ao de m´ınimo para I f . R

  Desta maneira I f ´e tamb´em um aplica¸c˜ao S-unimodal (ver observa¸c˜oes na demonstra¸c˜ao do R Lema 2.0.3).

  N˜ao ´e dif´ıcil constatar que, se I f , ent˜ao existe somente um n´ umero finito de ∈ N intervalos de renormaliza¸c˜ao de f que contenha I. Conseq¨ uentemente, se f for uma aplica¸c˜ao renormaliz´avel existe sempre um maior intervalo de renormaliza¸c˜ao de f , ou seja, existe um intervalo I f que cont´em todos os outros intervalo de renormaliza¸c˜ao. Defini-se ent˜ao

  ∈ N o operador de renormaliza¸c˜ao R que leva uma aplica¸c˜ao unimodal renormaliz´avel f em uma outra aplica¸c˜ao unimodal por I f , onde I f ´e o maior intervalo de renormaliza¸c˜ao

  Rf = R ∈ N de f . Tamb´em n˜ao ´e dif´ıcil verificar que se I

  1 2 s˜ao dois intervalos de renormaliza¸c˜ao para

  % I

  −1

  f , ent˜ao a aplica¸c˜ao unimodal I 1 = A I 1 R ◦ R ◦ A ´e renormaliz´avel com respeito ao intervalo

  −1

  e I = A (I ) e que as aplica¸c˜oes ( I 1 f ) e I 2 f s˜ao conjugadas. Em particular, se f for

  2

  2 n R I e 2 R R f = f est´a bem definida, para todo n > 0.

  ∞-renormaliz´avel, ent˜ao (R) R . . . R | {z } n vezes

  Antes de iniciarmos a prova do resultado principal deste trabalho, vale observar que, se f for f ∞-renormaliz´avel, ent˜ao U = {I ∈ N k I ´e intervalo de renormaliza¸c˜ao de f} ´e formado

  T por uma seq¨ uˆencia encaixada de intervalos I I n . De fato, se

  1

  2

  3

  % I % I % . . . tal que c = n T T c

  I n , ent˜ao J = I n seria um intervalo nice e assim, como j´a foi mencionado acima, 6= n n ter´ıamos somente um n´ umero finito de intervalos de renormaliza¸c˜ao contendo J, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Conseq¨ uentemente, se f tiver uma ´orbita peri´odica atratora, ent˜ao ela tem no m´aximo um n´ umero finito de renormaliza¸c˜oes. Tamb´em, deve ser observado que o ponto cr´ıtico de uma aplica¸c˜ao unimodal

  ∞-renormaliz´avel ´e sempre recorrente, ou seja, c ´e sempre um ponto de acumula¸c˜ao de sua ´orbita (c ∈ ω(c)). Desta forma, quando f for ∞-renormaliz´avel, teremos c I f . ∈ C ∀ I ∈ N

  Teorema 2.1. Seja f : [0, 1] → [0, 1] uma aplica¸c˜ao S-unimodal, n˜ao-flat. Se f ´e - renormaliz´avel, ent˜ao f ´e erg´odica com respeito a Lebesgue.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Suponha que f seja ∞-renormaliz´avel e U ∈ N um intervalo de renormaliza¸c˜ao. Logo, f (c) U que ´e, como j´a foi definido, a componente conexa de C U que

  ∈ S n cont´em o valor cr´ıtico. Seja n > 0 o inteiro tal que f leva S U difeomorficamente em U e ponha M = f (U ) V .

  ⊂ S j k Pela Proposi¸c˜ao 2.1 teremos que f (S V ) (S V ) =

  ∩ f ∅, ∀ 0 ≤ j 6= k ≤ n e, conseq¨uen- n temente, os elementos da cole¸c˜ao (M ) j j M = {M, f(M), . . . , f } s˜ao dois a dois disjuntos, pois f (M ) (S V ), ⊂ f ∀0 ≤ j ≤ n. m j m Escolha m (M ) (M ) (M )

  ∈ {1, 2, . . . , n} tal que |f | ≤ |f |, ∀ 0 ≤ j ≤ n. Se f possuir elementos de M posicionados na reta real tanto a sua esquerda quanto a sua direita, m ponha m = m . Por outro lado, se acontecer do posicionamento de f (M ) na reta real

  R for o mais `a esquerda da cole¸c˜ao

  M ou o mais `a direita, ent˜ao escolha m ∈ {m } de maneira que f (M ) n˜ao seja nem o mais `a esquerda nem o mais `a direita da cole¸c˜ao m +2 m +1 M. Claro

  • 1, m + 2 m

  2 m

  que, (M ) (M ) (M ) |f | ≤ γ|f | ≤ γ |f |, onde γ = max{|Df(x)| k x ∈ [0, 1]}. Desta m j

  2

  forma, pela escolha do m, teremos (M ) (M ) |f | ≤ γ |f |, ∀ 0 ≤ j ≤ n e, al´em disto, existem m elementos de

  (M ). M tanto `a esquerda quanto `a direita de f m l

  Entre os elementos de (M ) seja f (M ) o mais pr´oximo m r m M que ficam a esquerda de f a f (M ). Analogamente, seja f (M ) o elemento a direita de f (M ) mais pr´oximo. Con- m sideremos H o intervalo m´aximo contendo M , para o qual f (H) ´e mon´otona e tal que m l r l r l r f (H) (M ), f (M )], onde [f (M ), f (M )] ´e o fecho convexo de f (M ) (M ), ou seja, ⊂ [f

  ∪ f l r l r

  [f (M ), f (M )] = (M ) e y (M ) {(1 − t)x + ty k t ∈ [0, 1], x ∈ f ∈ f }. m l r Afirma¸c˜ao f (H) = [f (M ), f (M )].

  Prova. Sejam L e R as componentes conexas de H \ M. Suponha que H n˜ao satisfa¸ca a propriedade acima. Neste caso o fecho do m-´esimo iterado de uma das componentes conexas l r m de H (M ), f (M )] (M ). Digamos que esta componente

  \M estaria contida no interior de [f \f m l r m m seja L, isto ´e, f (L) = f (L) [f (M ), f (M )] (M ) . Pela maximalidade de H ⊂ interior \ f i k existe i (L). Como f (M )

  ∈ {0, 1, . . . .m − 1} tal que c ∈ ∂f ∩ U = ∅ ∀0 ≤ k < n temos, em i i particular, que f (M ) (L) cont´em o fecho de uma das componentes ∩U = ∅. Isto significa que f m m i m m

  −i−1 +1 −i−1 −i−1

  conexas de U (L) = f (f (L)) (f (U )) = f (M ), isto ´e, l r m \ {c}. Assim, f ⊃ f m m −i−1 interior [f (M ), f (M )] (M ) (L) (M ). De maneira an´aloga, mostrar´ıamos \f ⊃ f ⊃ f l r que R cont´em um iterado de M . Por essa raz˜ao [f (M ), f (M )] conteria no m´ınimo quatro l r elementos de

  (M ), f (M )]. Assim, conclu´ımos a prova M o que ´e absurdo pela constru¸c˜ao de [f da Afirma¸c˜ao. r m l m

  2

  2

  2 Como γ (M ) (M ) (M ) (H) ´e uma vizinhan¸ca γ m |f | ≥ |f | ≤ γ |f | temos que f

  • escalada de f (M ). Pelo Lema de Koebe, existe uma constante δ > 0 dependendo unicamente de γ tal que H cont´em a vizinhan¸ca δ -escalada de M . Como o ponto cr´ıtico ´e n˜ao flat, existe

  ′ −1

  uma constante δ > 0 tal que H = f (M ) cont´em a vizinhan¸ca δ-escalada de U . Esta constante δ > 0 depende somente de γ e da ordem da criticalidade de f . k Dado J uma componente de C U e k leva difeomorficamente

  ≥ 0 o inteiro tal que f k k

  ′

  J em U , tome T como intervalo m´aximo contendo J tal que f ´e mon´otona e f (T ) , T | ⊂ H

  ′ −1 onde H = f (H). k ′ Afirma¸c˜ao que f (T ) = H . k

  Prova. Como T ´e o intervalo m´aximo contendo J, tal que f T ´e mon´otona, consid- |

  ′ ′ ′

  eremos L e R componentes de T . Pela maximal-

  \ J e fixemos uma delas, por exemplo L j ′ j idade de T , existe 0 (L ) como j < k temos que f (J) j ′ ≤ j < k, tal que c ∈ ∂f ∩ U = ∅, j +1 ′ portanto, f (L ) cont´em uma componente de U (L ) k j k \ {c}. Conseq¨uentemente, f ⊃ M e

  −(j+1) +1 ′ −j−1

  f (f (L )) (M ), isto ´e, ⊃ f k ′ k −j−1 f (L ) (M ).

  ⊃ f

  k ′ ′ −j−1 +1 k k m ′

  Suponhamos, por contradi¸c˜ao, que f (L ) . Ent˜ao, como f (L ) (M ) e f ´e ⊂ H ⊃ f m k

  ′ +1 −j−1

  mon´otona sobre cada componente de H (M ) ´e mon´otona. Con- k −j−1 k \ {c} temos que f |f

  • m−j

  seq¨ uentemente, f ´e mon´otona dado que f M ´e mon´otona. Como U ´e um inter- | valo de renormaliza¸c˜ao e f n˜ao tem ´orbita peri´odica atratora temos, necessariamente, que n j

  • 1 ′

  c U (U ) = f (M ), isto implica que k + m (L ) k k ∈ R − j ≤ n. Al´em disso, se f ⊃ M, ent˜ao

  ′ −j−1

  f (L ) (M ). Segue que ⊃ f k

  ′ ′ ′ k ′ k −j−1 k −j

  f (L ) (L ) (M ) e f m m l r m +k−j l r k −j ⊂ f ⊂ H ⇒ f ⊂ H ⊂ H. Assim, f (f (M )) (H) = [f (M ), f (M )], isto ´e, f (M ) (M ), f (M ]. Mas l r ⊂ f

  ⊂ [f i isto significa que [f (M ), f (M )] cont´em no m´ınimo quatro intervalos da forma f (M ) com k k

  ′ ′

  i (T ) e deste modo temos que f (T ) = H .

  ≤ n o que ´e absurdo. Provamos ent˜ao que f ⊃ H Com isto, conclu´ımos a prova desta segunda afirma¸c˜ao.

  Mostramos portanto que ∃ δ > 0 tal que para todo intervalo de renormaliza¸c˜ao U ∈ N e cada intervalo J componente conexa de C temos um intervalo T tal que se n U n n ≥ 0 ´e o inteiro tal que f leva J difeomorficamente em U , ent˜ao f leva T difeomorficamente numa vizinhan¸ca n ′ δ-escalada de U , isto ´e, f (T ) = H .

  Segue ent˜ao do Lema de Koebe que ∃ K > 0 tal que para todo intervalo de renormal- n iza¸c˜ao U U , teremos um inteiro n

  ∈ N e cada intervalo J componente conexa de C ≥ 0 que f leva J difeomorficamente em U com distor¸c˜ao limitada por K, isto ´e, n 1 (x) |Df |

  < < K n ∀ x e y ∈ J. K (y)

  |Df |

  −1

  Suponhamos que existam dois conjuntos X e Y (X) = X ⊂ [0, 1] invariantes, isto ´e, f

  −1 e f (Y ) = Y , e ambos com medida de Lebesgue positiva.

  Seja I

  1

  2

  3

  ⊃ I ⊃ I ⊃ . . . uma seq¨uˆencia encaixada de intervalos de renormaliza¸c˜ao tal T

  S que j {c}. Como Leb(∆ ∀ j, pelo Corol´ario 1.2.1, temos que Leb( j I j = I ) = 0, j ∆I j ) = 0

  S

  e, conseq¨ uentemente, quase todo ponto x ∆I j . Por outro lado, pelo ∈ X n˜ao pertence a j teorema da densidade de Lebesgue, quase todo ponto x

  ∈ X ´e ponto de densidade do conjunto X, ou seja,

  Leb(B ε (x) ∩ X) ε lim = 1

  →0

  Leb(B ε (x))

  S e desta maneira podemos escolher um ponto de densidade x ∆I j . ∈ X que n˜ao pertence a j

  Como C I = [0, 1] j j I , podemos fixar um ponto de densidade x I j \ ∆ I que cont´em x por J j ∈ X tal que x ∈ C I .

  ∀j ≥ 1. Denotemos a componente conexa de C j ⊂ C j n Como X ´e invariante por f temos f (X n n ´e uma seq¨ uˆencia de

  ∩ J) = I ∩ X, onde I intervalos que acumulam no ponto cr´ıtico e X n n ⊂ J ⊂ [0, 1]. Como |I | ´e uma seq¨uˆencia de intervalos, pelo princ´ıpio da contra¸c˜ao temos que se U n e I n s˜ao seq¨ uˆencias de intervalos com n de f leva n n , ent˜ao n k n

  |I | → 0 e tal que algum iterado f |U | em I |U | → 0. Por essa raz˜ao, s como (J ) = I temos que n n n n |I | → 0 e, ∃s tal que f |J | → 0.

  Al´em disso, Leb(X n )

  ∩ J

  1 ∼

  Leb(J n ) n e Lebf (X n ) Leb(I n

  ∩ J ∩ X) n = . Lebf (J n ) Leb(I n ) c

  Leb(X n ) Leb(X n ) ∩ J ∩ J

  Como ∼ 1, ent˜ao ∼ 0.

  Leb(J ) Leb(J ) n n O Teorema da mudan¸ca de vari´avel que nos diz que: se h : U m → V , um difeomorfismo

  1 de classe C entre os abertos U, V , X

  ⊂ R ⊂ U um compacto J-mensur´avel e f : h(X) → R

  uma fun¸c˜ao integr´avel, ent˜ao f

  ◦ h : X → R ´e integr´avel e Z Z

  ′

  f (y)dy = f (h(x)) (x)) h (X) X · | det(h | dx.

  s

  Veja que como f J n ´e difeomorfismo, temos que | s c c s f (X n ) = X (J n ), s c c s ∩ J ∩ f pois, f (X ) = X e f (J n ) = I n .

  Assim, s c Z Z s (X n ) dx = (x) (

  |f ∩ J | = |Df |dx ∗) s c c Por outro lado, |I n | |J n |

  = |f s

  |I n | |J n |

  ∩J n )

  |Df s (x)

  |dx (2.1)

  ≤ Z x ∈(X c

  ∩J n ) K.

  |I n | |J n | dx

  = K |I n |

  |J n | Z x ∈(X c

  ∩J n )

  (2.2) = K

  |X c ∩ J n |, isto ´e, |f s

  dx =

  (X c ∩ I n ) | ≤ K

  |I n | |J n | .

  |X c ∩ I n | |f s

  (X c ∩ J n ) |

  |I n | ≤

  K |J n | .

  |X c ∩ I n | < Kε como ε ´e muito pequeno temos que: |X c ∩ I n |

  |I n | =

  |f s (X c

  ∩ J n | |I n |

  ≤ K |X c ∩ I n |

  Z x ∈(X c

  (X c ∩J n )

  (J n ) |

  Pelo teorema do valor m´edio, existe y ∈ (a, b) tal que

  |J n | , mas J n = (a, b). Portanto, f s (J n ) = (f s (a), f s (b)) e

  |f s (J n )

  | = |f s (a)

  − f s (b) |.

  Assim, |f s

  (J n ) |

  |J n | =

  |f s (a)

  − f s (b)

  | |a − b| .

  |Df s (y)

  ∩ J n ) | = Z x ∈f s

  | = |f s

  (a) − f s

  (b) |

  |a − b| . Logo,

  |I n | |J n |

  = |f s

  (J n ) |

  |J n | =

  |Df s (y) |.

  Por essa raz˜ao, a equa¸c˜ao ( ∗) pode ser escrita como:

  |f s (X c

  < Kε ∼ K.0 ∼ 0 isto significa que: c Leb(X n )

  ∩ I ∼ 0

  Leb(I n )

  e, portanto, Leb(X n )

  ∩ I ∼ 1 (i). Leb(I n )

  Como Y ⊂ [0, 1] est´a nas mesmas condi¸c˜oes de X, isto ´e, invariante com Leb > 0, ent˜ao para quase todo ponto y

  ∈ Y Leb(B ε (y)

  ∩ X) lim ε →0 ∼ 1.

  Leb(B ε (y)) Procedendo, de maneira an´aloga, obtemos tamb´em que

  Leb(Y n ) ∩ I (ii).

  ∼ 1 Leb(I n )

  Observando (i) e (ii), notamos que por (i) I n ´e quase todo repleto de X e por (ii) I n ´e tamb´em quase todo repleto de Y . Assim, (i) e (ii) n˜ao podem ocorrer ao mesmo tempo uma vez que X e Y s˜ao distintos. Logo, X = Y . Conseq¨ uentemente, quase todo ponto de [0, 1] ´e ponto de densidade de X. Ent˜ao quase todo ponto de [0, 1]

  ∈ X, ou seja , Leb(X) = 1. Logo f ´e erg´odica. ✷ Apˆ endice A Anexo A.0.1 Shift

  Seja X um espa¸co topol´ogico. Denotemos por Σ(X) o conjunto das seq¨uˆencias ψ :

  • (

  Z → X e Σ X) o conjunto das seq¨uˆencias ψ : N → X providos da topologia produto, isto ´e, a topologia gerada, no caso de Σ(X), pela base de abertos n n 1 j ´e aberto de {. . . X × X × A × . . . × A × X × X . . . kA X} .

  • J´a para o Σ (

  X) a base ´e n j ´e aberto de {A × . . . × A × X × X . . . kA X} .

  Quando X ´e um conjunto finito com n elementos simplificamos a nota¸c˜ao escrevendo

  Σ( n , Σ ( e identificamos X) = Σ X) = Σ n X como o conjunto {1, . . . , n} provido da topologia discreta. O shift σ : Σ(

  X) → Σ(X) ´e a transforma¸c˜ao cont´ınua definida por (σψ)(n) = ψ(n+1). Pode-se mostrar que se

  X ´e um espa¸co m´etrico compacto ent˜ao a topologia de Σ(X)

  • ou de Σ (

  X) ´e a mesma que topologia gerada pela a distˆancia

  X

  1 X d(α, β) = d (α(n), β(n))

  

|n|

  2 em Σ( X) ou

  X

  1 d(α, β) = d X (α(n), β(n))

  

|n|

n

  2

  =0 X

  • em Σ ( ´e a distˆancia em

  X), onde d X.

  • Observe que dois pontos, digamos α e β , est˜ao pr´oximos se d(α, β) for pe-
  • X ∈ Σ queno e isto s´o acontece quando existe um k > 0 suficientemente grande tal que α(j) = X d (α(k), β(k))

      β(j), ∀ 0 ≤ j < k. De fato, assumindo k = min{j ≥ 0 k α(j) 6= β(j)} temos ≤ k

      2 diam( X) d(α, β) , onde diam(

      ≤ X) ´e o diˆametro de X (que ´e compacto), ou seja, diam(X) = k

      −1 X

      2 sup (x, y) {d k x e y ∈ X}.

      Proposic ¸˜ ao A.1. Se f :

      ´e Λ

      R → R ´e dada por f(x) = 4tx(1 − x) com t > 1, ent˜ao f|

      conjugada a σ : Σ , onde Λ = f (x) 2 → Σ 2 {x ∈ [0, 1] k O ⊂ [0, 1]} Demonstra¸ c˜ ao. Segue do teorema de Ma˜ ne que Λ ´e um conjunto expansor para f . n n

      Logo, existem C > 0 e λ > 1 tais que Df (x) > Cλ , para todo n > 0 e todo x ∈ λ.

      −1

      Veja que f ([0, 1]) ´e a uni˜ao disjunta de dois intervalos fechados. Sejam 0 = a < b <

      1

      1

    −1 −1

      a < b <= 1 os pontos do bordo de f ([0, 1]), isto ´e, f ([0, 1]) = I , onde I k = [a k , b k ] e

      2

      2

      1

      2

      ∪ I k = 1, 2.

    • O itiner´ario dos pontos de Λ ´e a aplica¸c˜ao γ : Λ definida da seguinte maneira.
    • j → Σ

        2 Dado x (x) pertence a algum I k . Assim, defina o valor de

        ∈ Λ temos que para cada j ≥ 0 f γ(x) no ponto j por

        ( j 1 se f (x)

        1

        ∈ I (γ(x))(j) = j 2 se f (x)

        2 j ∈ I

        Temos ent˜ao que f (x)

        (λ(x))(j) ∈ I ∀ j ∈ N.

        −1 +

        Vamos agora definir uma aplica¸c˜ao de Σ para Λ. Observe que f k leva o intervalo

        2 s −1 −1

        [0, 1] difeomorficamente no intervalo I k . Al´em disto, como f i i s )(x) = x temos ◦ (f ◦ . . . ◦ f

        −1 −1 i i s )(x) λ −1 −s

        , . . . , i s |D(f ◦ . . . ◦ f | < C ∀ x ∈ [0, 1]. Desta maneira, dados quaisquer i ∈ i ,...,i = f i i ([0, 1]) ´e um intervalo de comprimento menor s s −1 −1

        {1, . . . , n} teremos que I ◦ . . . ◦ f s

        −1 −s

        que C λ e com a propriedade que se x i ,...,i ent˜ao x i , f (x) i s 1 , . . . ,f (x) i . s ∈ I ∈ I ∈ I ∈ I

        

      −1 +

      −s

        Dado θ teremos I θ θ θ θ e θ λ

        (0) (0),θ(1) (0),θ(1),θ(2) (0),...,θ(s) (0),...,θ(s)

        T ∞ quando s I define um ´ unico ponto x θ θ (0),...,θ(s)

        → +∞. Conseq¨uentemente s ∈ [0, 1]. Como s =0 f (x θ ) θ θ θ ) = θ. Por outro lado como

        (s)

        ∈ I ∀ s temos n˜ao so que x ∈ Λ como tamb´em que γ(x

      • ´e f´acil verificar que γ ´e injetiva segue que Σ θ 2 ∋ θ 7→ x ∈ Λ ´e de fato a inversa de γ.

        A continuidade de γ ´e clara pois pontos pr´oximos tem os primeiros trechos de seus itiner´arios coincidentes, ou seja, (γ(x))(0) = (γ(y))(0), . . . , (γ(x))(k) = (γ(y))(k) para k grande.

      • Tamb´em ´e f´acil ver que se α e β s˜ao pr´oximos, ou seja, existe um k grande tal que

        ∈ Σ

        2

        α(0) = β(0), . . . , α(k) = β(k), ent˜ao x α e x β α e logo x α ´e pr´oximo a x β , de fato,

        (0),...,α(k)

        ∈ I α β λ . Assim, a continuidade de γ tamb´em est´a assegurada. Em resumo, γ ´e −1 −k −1 |x − x | < C

      • um homeomorfismo entre Γ e Σ .

        Assim, conclu´ımos que γ ´e uma conjuga¸c˜ao entre f e σ : Σ

        Λ ✷

        |

        2 → Σ

        2 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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        Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/Depto. de Matem´atica

        Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP:40170-110 www.im.ufba.br/hpinst/mestrado

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