UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL-PROFMAT JOSIMAR JOSÉ DOS SANTOS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  A irracionalidade do número , por sua vez, só foi demonstrada no século XVIII, e as π demonstrações mais simples que conhecemos envolve considerações acerca de convergência de sequências e o Teorema Fundamental do Cálculo. O fator 2 aparece um número par de 2 = = 2, ou seja, p = 2qq q 2 2 2 vezes na decomposição em fatores primos de p e de q .

1.2 A irracionalidade de e Nesta seção, vamos demonstrar que o número e de Euler é irracional

  Primeiro, note que o número de Euler é definido por meio da sequência: ∞ 1 1 1 e = = 1 + ∑ Figura 1.1 A curva acima é o gráfico da função f (x) = 1/x para x > 0. n n x pelo Binômio de Newton obtemos(1 − x) 1[ ] n n +1 2n f (x) = c x + c x x .n n n +1 2n Observe que a menor potência de x que aparece é n e a maior potência é 2n.

2 Vamor provar que é um número irrracional e, assim concluir que é irra-

  Note que na função G cada fator n a n n 2 n n n n k 2n−2k −k −k −k b π = b ( π ) = b ( ) = a b b (k) (k) é um número inteiro. ) − 2 ′ ′ ′′ ′ H (x) = π G (x) cos( π x ) + G (x) sin( π x π G (x) cos( π x ) + π G (x) sin( π x )) − [ 2 ′′ G G x= (x) + π (x) ] sin( π ) 2 n a f x = π n (x) sin( π ).

1.4 Algumas considerações

  Nas seções anteriores deste capítulo descrevemos as demonstrações da irracionalidade de√ 2, do número de Euler e e do número . π Diante disso, podemos observar que a compreensão do ponto de vista formal da irracio- nalidade destes números exige conhecimentos que estão além do nível cognitivo de quase a APÍTULO C 2 Fundamentação didática Neste capítulo, apresentamos algumas características referente aos números irracionais.

2.1 A origem dos números irracionais Atualmente existem algumas lendas e mitos relacionados à origem dos números irracionais

  Segundo Roque e Pitombeira (2013, p. 61) “não encontramos alusão a um escândalo em nenhuma passagem dos escritos a que temos acesso e que citam o problema dos incomensurá-veis, como os de Platão ou Aristóteles”. Segue daí que esta unidade cabe 4 vezes em AB e, consequentemente, a 3 comparação de AB com CD resulta na razão 4 : 3 e, daí, surgem medidas expressas por relações entre números inteiros, que atualmente chamamos de números racionais, pelo fato de estaremrelacionados a uma razão.

1. Subtraímos o segmento menor do segmento maior o maior número possível de vezes

  Caso a diferençaanterior não seja zero, isto é, caso haja sobra, subtraímos o segmento correspondente a essa sobra do segmento menor, o maior número possível de vezes. Portanto, constatamos a partir de observações históricas que o surgimento do conceito de números irracionais está relacionado à noção de segmentos incomensuráveis.

2.2 O ensino dos números irracionais

  O objetivo consistia na análise de como o conceito de número irracional e 1“Geralmente consideram-se as representações semióticas como um suporte para as representações mentais: A pesquisa em questão destaca a posição de Chevallard (1999), onde a obtenção de conhe- 2 cimento é condicionada a uma vivência de organização praxeológica . Outro fator preponderante é a forma como é feita a abordagem dos números irracionais nos livros didáticos, onde é valorizada a exposição de exemplos para justificar os conceitos epropriedades, deixando-se de lado o significado real do conceito de número irracional.

2 Uma organização praxeológica é um conjunto de tarefas que através de uma técnica, é justificada por uma tecnologia e também é justificada por uma teoria

  Uma expressão decimal é um símbolo da forma α = a , a a ...a ..., 1 2 nem que é um número inteiro e são , isto é, números inteiros tais a a , a , ..., a , ... Observe que a expressão decimal α = a , a a ...a ..., representa um número real e, além 1 2 n disso, a expressão decimal α corresponde a uma forma de representar a soma a a a 1 2 n (3.1) 2 n 10 10 10 Observe também que as reticências no final da expressão decimal parece indicar uma soma com infinitas paracelas.

3. Satisfaz o , que garante que uma sentença ou é falsa ou

Princípio do Terceiro Excluído é verdadeira, não havendo uma terceira alternativa; e o Princípio da Não-contradição , que assegura que uma sentença não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo. Como exemplo, considere as frases a seguir:

2 P

  1 : 87 < 85 P : 3 + 9 = 11. 2 : Todo número par é divisivel por 3.

3 Observação .2.1. Dizemos que o valor lógico de uma sentença é verdadeiro quando a sen- tença é verdadeira, e falso , caso contrário

  c) Suponha que˜T é verdade e conclua que 2 =, onde p,q ∈ Z são primos entre si.q d) Conclua a partir daí que p e q são divisíveis por 2.(Use a atividade 1) e) Identifique o absurdo acima. h) Podemos dizer que a quantidade de algarismo da expressão decimal de um número raci- 2 onal x, tal que x< 2, pode ser finita ou ser periódica?

i) O conjunto de números {x ∈ Q | x < 2} pode ser finito?

  Dos Santos (2005, p. 8) garante que “É possível, no entanto, propor situações que permitam aos alunos várias aproximações sucessivas de π .” Sendo assim, iremos determinar aproxima- ções para o π utilizando o método de Ptolomeu. Ptolomeu determinou a aproximações do perímetro de uma dada circunferência utilizando uma sequência de polígonos inscritos e circunscritos, através da leitura da tábua de cordastrigonométricas (POMMER, 2012, p. 156).

a) Com uma calculadora científica determine uma aproximação para sin(0,5 b) Determine o valor de PQ

  Sugerindo que a razão entre o perímetro da circunferência e o diâmetrode uma circunferência é invariável, sem maiores explicações, afirmam que métodos dedutivos permitem obter o valor de PI com maior precisão, expondo o valor de π = 3, 1415926. π Diante das dificuldades apresentadas a cerca do conceito e do ensino dos números irraci-√ onais, em particular, dos números irracionais 2 e , acreditamos que esta proposta didática π seja um caminho possível para se trabalhar a conceitualização dos números irracionais com alunos de 1º ano do Ensino Médio.

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