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como aproximar bem n´ umeros reais por n´ umeros racionais

  Carlos Gustavo Moreira - IMPA A teoria de fra¸c˜ oes cont´ınuas ´e um dos mais belos assuntos da Matem´atica elementar, sendo ainda hoje tema de pesquisa.

  Nas inclus˜ oes N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, a passagem de Q para R ´e sem d´uvida a mais complicada conceitualmente e a representa¸c˜ ao de um n´ umero real est´ a diretamente ligada `a pr´opria no¸c˜ao de n´ umero real.

  De fato, o conceito de n´ umero natural ´e quase um conceito primitivo. J´ a um n´ umero inteiro ´e um n´ umero natural com um sinal que pode ser + ou −, e um n´umero racional ´e a raz˜ao entre um n´umero inteiro e um natural n˜ ao nulo. Por outro lado, dizer o que ´e um n´ umero real ´e tarefa bem mais complicada, mas h´a coisas que podemos dizer sobre eles. Uma propriedade essencial de R ´e que todo n´ umero real pode ser bem aproximado por n´ umeros racionais. Efetivamente, dado x ∈ R, existe k = ⌊x⌋ ∈ Z tal que 0 ≤ x − k < 1. Podemos escrever a representa¸c˜ ao decimal de 1 a 2 . . . a n . . . , a i x − k = 0, a ∈ {0, 1, . . . , 9}, r r +1 n n

  n−1 n n

  o que significa que se r n = a n 1 , ent˜ao , e portanto r n n + 10 · a n−1 + 100 · a n−2 + · · · + 10 · a ≤ x − k < 10 r n n n 10 1 k + ´e uma boa aproxima¸c˜ ao racional de x, no sentido de que o erro ´e menor do que , 10 x − k + 10 10 que ´e um n´ umero bem pequeno se n for grande. A representa¸c˜ao decimal de um n´ umero real fornece pois uma sequˆencia de aproxima¸c˜ oes por racionais cujos denominadores s˜ ao potˆencias de 10.

  Vamos lembrar uma nota¸c˜ ao que nos ser´ a muito ´ util: dado x ∈ R, definimos a parte inteira de x como o ´ unico inteiro ⌊x⌋ tal que ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1, e a parte fracion´aria de x como {x} = x − ⌊x⌋ ∈ [0, 1).

  A representa¸c˜ ao decimal de n´ umeros reais est´a intimamente ligada `a fun¸c˜ao f : [0, 1) → [0, 1) dada por f(x) = {10x} = 10x−⌊10x⌋ (mais precisamente, `a dinˆamica da fun¸c˜ao f, i.e., ao estudo de suas composi¸c˜oes sucessivas). 1 a 2 a 3 . . . , ent˜ ao a 1 2 a 3 a 4 . . . . Assim,

  De fato, se x ∈ [0, 1) tem representa¸c˜ao decimal 0, a = ⌊10x⌋ e f(x) = 0, a 1 n+1 n n definindo f = f e f , temos f (x) = 0, a n+1 a n+2 a n+3 = f ◦ f . . . para todo n ≥ 1. p p+1

  (basta tomar p inteiro tal Dado qualquer x ∈ R e q natural n˜ao nulo existe p ∈ Z tal que ≤ x < p p+1 1 q q 1 e . Em particular h´a aproxima¸c˜oes que p ≤ qx < p + 1, i.e., p = ⌊qx⌋), e portanto x − < x − ≤ q q q q 1 de x por racionais com denominador q com erro menor do que . A representa¸c˜ao decimal de x equivale a dar q essas aproxima¸c˜oes para os denominadores q que s˜ ao potˆencias de 10, e tem m´eritos como sua praticidade para efetuar c´alculos que a fazem a mais popular das representa¸c˜oes dos n´ umeros reais. Por outro lado, envolve a escolha arbitr´aria da base 10, e oculta frequentemente aproxima¸c˜oes racionais de x muito mais eficientes do que as que exibe.

  Sen˜ao vejamos: tomemos um n´ umero real totalmente ao acaso, digamos π = 3, 141592653589793238462643383279502884 . . .. Uma aproxima¸c˜ao cl´assica de π por um n´ umero racional ´e 22/7 = 3, 142857142857 . . ., devida a Arquimedes. Uma outra aproxima¸c˜ao ainda melhor ´e 355/113 =

  22 1 314 355 1 3141592 < < e < < ,

  π − π − π − π − 22 355 7 700 100 113 3000000 1000000 e portanto e s˜ ao melhores aproxima¸c˜oes de π que aproxima¸c˜oes decimais com denominadores muito 7 113 maiores, e de fato s˜ ao aproxima¸c˜ oes muito mais espetacularmente boas do que se poderia esperar pelo tamanho dos denominadores envolvidos.

  Vamos apresentar uma outra maneira de representar n´ umeros reais, a representa¸c˜ao por fra¸c˜ oes cont´ınuas , que sempre fornece aproxima¸c˜ oes racionais surpreendentemente boas, e de fato fornece todas as aproxima¸c˜oes excepcionalmente boas, al´em de ser natural, conceitualmente simples e n˜ao depender de nenhuma escolha artificial de base.

  Definimos recursivamente α = x, a n n

  = ⌊α ⌋

  1

  1

  e, se α n / α n+1 = = ∈ Z, , para todo n ∈ N.

  α n − a n {α n } Se, para algum n, α n = a n temos def

  1 x = α = [a ; a 1 , a + 2 , . . . , a n ] = a . 1

  1

  • a a
  • 2 + ...

      1

    • a n

      Se n˜ao denotamos def

      1 x = [a ; a 1 , a + 2 , . . . ] = a . 1

      1

    • a a
    • 2 + ... ao por

        O sentido dessa ´ ultima nota¸c˜ ao ficar´ a claro mais tarde. A representa¸c˜ ao acima se chama representa¸c˜ fra¸ c˜ oes cont´ınuas de x.

        A figura ao lado d´ a uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para a representa¸c˜ao de um n´ umero por fra¸c˜oes cont´ınuas. Enchemos um retˆangulo 1 × x com quadrados de forma “gulosa”, isto ´e, sempre colocando o maior quadrado poss´ıvel dentro do espa¸co ainda livre. Os coeficientes a , a 1 , a 2 , . . . indicam o n´ umero de quadrados de cada tamanho. Na figura, se os lados do retangulo s˜ ao c < d ent˜ao d/c = [1; 2, 2, 1, ...]

        De fato, temos a = 1 quadrado grande, a 1 = 2 quadrados menores, a 2 = 2 quadrados ainda menores, a 3 = 1 quadrados ainda ainda menores, e um n´ umero grande n˜ao desenhado de quadrados ainda ainda ainda menores a cargo do leitor.

        Note que, se a representa¸c˜ ao por fra¸c˜ oes cont´ınuas de x for finita ent˜ao x ´e claramente racional. p Reciprocamente, se x = q ∈ Q, sua representa¸c˜ao ser´a finita. Isto est´a diretamente ligado ao algoritmo de

        Euclides aplicado para determinar o m´ aximo divisor comum de p eq, e os coeficientes que aparecem no algoritmo de Euclides s˜ ao os mesmos coeficientes a n que aparecem na fra¸c˜ao cont´ınua de x.

        Isso j´ a ´e uma vantagem da representa¸c˜ ao por fra¸c˜oes cont´ınuas (al´em de n˜ao depender de escolhas artificiais de base), pois o reconhecimento de racionais ´e mais simples que na representa¸c˜ao decimal. Do mesmo modo que a representa¸c˜ ao decimal est´a ligada `a dinˆamica da fun¸c˜ao f (x) = {10x}, como vimos anteriormente, a representa¸c˜ ao em fra¸c˜oes cont´ınuas est´a intimamente ligada `a dinˆamica da fun¸c˜ao 1 1 1 g : (0, 1) → [0, 1), dada por g(x) = { } = − ⌊ ⌋, tamb´em conhecida como transforma¸c˜ao de Gauss: se x x x 1 1 x = [0; a 1 , a 2 , a 3 , . . . ] ∈ (0, 1), ent˜ao a = ⌊ ⌋ e g(x) = [0; a 1 2 , a 3 , a 4 , ...]. Assim, definindo, como antes g = g e n+1 n n x g (x) = [0; a , a , a

        = g ◦ g para todo n ≥ 1, temos g n+1 n+2 n+3 , . . . ], para todo n ≥ 1. Vejamos alguns exemplos: Temos

        √ √ 1 1 1 2 = [1; 2, 2, 2, . . . ] pois 2 = 1 + = 1 + = 1 + 1+ √ √

      • 5 1+
      • 5 2+1 1 2+ 2+ √2+1 1 1 2+ 1 2+1 1 = · · ·

          = [1; 1, 1, 1, . . . ] pois = 1 + 2 1+ √5 = · · · 2 = 1 + 1+ 1+ √5 2 11+ 5 Isto prova em particular que 2 e s˜ ao irracionais, pois suas fra¸c˜oes cont´ınuas s˜ ao infinitas. 2 O fato de essas representa¸c˜ oes serem peri´ odicas a partir de um certo ponto n˜ao ´e casual: Lagrange provou que a representa¸c˜ ao em fra¸c˜ oes cont´ınuas de um n´ umero irracional α ´e peri´ odica a partir de um certo ponto se

        • 2

          √ e somente se α = r + s, com r, s ∈ Q (este fato ´e conhecido como o Teorema de Lagrange). Nesse caso, como no caso dos racionais, a representa¸c˜ ao em fra¸c˜oes cont´ınuas ´e bem mais simples que a representa¸c˜ao decimal. Esse tamb´em ´e o caso para e = 2, 718281828459045235360287...: temos e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . ., 1, 1, 2n, . . . ] (isso ´e mais dif´ıcil de provar). p n

          Seja α = [a ; a 1 , a 2 , . . . ]. Sejam p n , q n n > 0, tais que = [a ; a 1 , a 2 , . . . , a n ], p n ∈ Z primos entre si, com q q n ´e chamada de n-´esima reduzida ou convergente da fra¸c˜ao cont´ınua de α. n ≥ 0. Esta fra¸c˜ao q n

          Vejamos um exemplo: temos π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, . . .], e portanto, em particular, p 1

          1 22 p 3 1 355 = [3; 7] = 3 + = e = [3; 7, 15, 1] = 3 + = . 1 q 1

          7 7 q 3 1 113 7 + 15+ 1 J´ a vimos essas fra¸c˜oes antes, e isso n˜ao ´e por acaso.

          As reduzidas da fra¸c˜ao cont´ınua de um n´ umero real α s˜ ao sempre aproxima¸c˜oes muito boas de α, e qualquer aproxima¸c˜ao racional realmente muito boa de α deve necessariamente ser uma reduzida de sua fra¸c˜ao cont´ınua, como mostram os resultados a seguir, cujas demonstra¸c˜oes podem ser encontradas em [BMST] ou em [M1]: p n p n+1 p n p n+1 e . Mais precisamente, se n ´e par, , e, se n ´e ´ımpar,

        • Para todo n ∈ N, α est´a entre p n p n+1 q n q n+1 q n q n+1

          < α ≤ . q n q n+1 > α ≥

        • As sequˆencias (p

          p n+2 = a n+2 p n+1 + p n e q n+2 = a n+2 q n+1 + q n para todo n ≥ 0. p n+1 p n 1

        • | − |= , ∀n ∈ N. Em particular, q n+1 q n q n q n+1 p n

          1

          1

          1 < | α − |< ≤ , ∀n ∈ N. 2 2 p n 1 p n+1 2 q n q n q n+1 a n+1 q n q 2 1 n ou .

        • Para todo n ≥ 0, x − < x − < p 1 p
        • 2 q n 2q q n+1 2q n n+1 < ent˜ ao ´e uma reduzida da fra¸c˜ao cont´ınua
        • Se x − q 2q q
        • (Teorema de Hurwitz-Markov) Para todo α irracional e todo inteiro n ≥ 1, existe k ∈ {n − 1, n, n + 1} tal p k
        • 1 que α − < q k 5q k 2 . Seja α um n´ umero irracional. Definimos k(α) como o ´ unico k > 0 (se existir) tal que, para todo ε > 0, p

            1 p

            1 tem infinitas solu¸c˜ tem apenas um n´ umero finito de |α − | < oes racionais p/q e |α − | < 2 2 q (k + ε)q q

            (k − ε)q p 1 solu¸c˜oes racionais p/q (caso n˜ tenha infinitas solu¸c˜oes racionais p/q ao exista um tal k, i.e., caso |α − | < 2 q kq

            √ para todo k > 0, definimos k(α) = +∞). Pelo Teorema de Hurwitz-Markov, temos k(α) ≥ 5, ∀α ∈ R \ Q. Por 1+ 5 √ outro lado, ´e poss´ıvel provar que k( ) = 2 5.

            Estaremos interessados nos α ∈ R tais que k(α) < +∞, e, mais particularmente, na imagem da fun¸c˜ao k, isto ´e, no conjunto L = {k(α) | α ∈ R\Q e k(α) < +∞}. Este conjunto ´e conhecido como o espectro de Lagrange .

            O conjunto L encodifica uma s´erie de propriedades diofantinas de n´ umeros reais, e vem sendo estudado h´a bastante tempo. Talvez o primeiro resultado n˜ao-trivial sobre ele se deva a Markov, que provou em 1879 que ( )

            √ √ 221 k 1 = 5 < k 2 = 2 2 < k 3 = ,

            L ∩ (−∞, 3) = < · · · 2

            5 onde (k ) ´e uma sequˆencia convergente a 3 tal que k / n n ∈ Q mas k ∈ Q para todo n. Assim, o “come¸co” do n espectro de Lagrange ´e discreto. Essa afirma¸c˜ao n˜ao ´e verdadeira para todo o conjunto L. Marshall Hall provou em 1947 que L cont´em toda uma semi-reta (por exemplo [6, +∞)), e G. Freiman determinou em 1975 a maior " !

            √ 2221564096 + 283748 462 semi-reta que est´a contida em L, que ´e .

            , +∞ 491993569

            Uma apresenta¸c˜ao detalhada destes e de outros resultados sobre o espectro de Lagrange pode ser encontrada em [CF]. Na referˆencia [M2] s˜ ao provados resultados sobre propriedades geom´etricas (relativas a geometria fractal) dos espectros de Markov e Lagrange, que envolvem resultados delicados sobre somas de conjuntos de Cantor regulares.

            [BMST] F. E. Brochero Martinez, C. G. Moreira, N. C. Saldanha, E. Tengan - Teoria dos N´ umeros: um passeio com primos e outros n´ umeros familiares pelo mundo inteiro - Projeto Euclides, IMPA, 2010. [CF] T. W. Cusick e M. E. Flahive, The Markoff and Lagrange spectra, Math. Surveys and Monographs, no.

            30, A.M.S. (1989). [M1] C. G. Moreira. Fra¸c˜ oes cont´ınuas, representa¸c˜oes de n´ umeros e aproxima¸c˜oes, Revista Eureka! No. 3, pp.

            44-55; dispon´ıvel tamb´em em http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista eureka/docs/artigos/fracoes.pdf [M2] C. G. Moreira, Geometric properties of the Markov and Lagrange spectra. Preprint-IMPA-2009.

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