O Teorema de Hopf e Generalizac

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

O Teorema de Hopf e Generalizac ¸˜ oes

J´ ulio C´ esar Carvalho Pereira

  Salvador-Bahia 2014 O Teorema de Hopf e Generalizac ¸˜ oes J´ ulio C´ esar Carvalho Pereira

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Co- legiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica. Orientador:

  Profa. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima

  Salvador-Bahia 2014 Pereira, J´ ulio C´esar Carvalho.

  O Teorema de Hopf e Generaliza¸c˜ oes / J´ ulio C´esar Carvalho Pereira. – 2014. 79 f. : il. Orientadora: Profa. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matem´ atica, Colegiado da P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, Salvador,

  2014.

  Referˆencias bibliogr´aficas.

  1.Hopf, Teorema de.

  2.Geometria Diferencial.

  3.Imers˜ oes (Ma-

tem´ atica). 4.Variedades riemanianas. I. Lima, Ana Lucia Pinheiro. II.

Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDD - 516.36 CDU - 514.7 O Teorema de Hopf e Generalizac ¸˜ oes J´ ulio C´ esar Carvalho Pereira

  Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Co- legiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 30 de setembro de 2014.

  Banca examinadora:

  Profa. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima (Orientadora) UFBA

  Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa UFBA

  Prof. Dr. Dorel Fetcu Gheorghe Asachi Technical University of Iasi

  

A todos aqueles que acredi- taram em mim. Agradecimentos

  Primeiramente gostaria de agradecer `a minha fam´ılia, pois eles s˜ao o motivo da minha existˆencia, da minha felicidade e gra¸cas a eles que recebo os mais amorosos e sinceros conselhos, sugest˜oes e votos de sucesso. M˜ae, pai e irm˜ao amo vocˆes.

  Agrade¸co tamb´em aos meus amigos pela companhia nesses anos, os momentos felizes ao lado de cada um de vocˆes tornaram e tornam mais leve e mais alegre minha trajet´oria de vida at´e aqui, sou muito feliz por tˆe-los ao meu lado e amo vocˆes.

  Um agradecimento especial vai para a minha orientadora, pela pessoa incrivel- mente respons´avel e am´avel que ´e e pela forma que foi paciente durante todo o processo de orienta¸c˜ao. E claro que irei agradecer por ter escolhido este trabalho do Hopf para ser o tema da minha disserta¸c˜ao. Ela ´e exemplo de profissional para mim.

  Agrade¸co a Capes pelo apoio financeiro e ao Programa P´os Gradua¸c˜ao em Ma- tem´atica pela forma¸c˜ao. Agrade¸co a todos os meus professores que sempre acreditaram em mim e que sempre me incentivaram. ´ E um sonho sendo realizado e uma etapa da vida sendo completada que venham novos sonhos, novos desafios e novas etapas.

  

“A ciˆencia nunca resolve um pro-

blema sem criar pelo menos outros

dez.”

  (George Bernard Shaw) Resumo Neste trabalho, estudamos o Teorema de Hopf e algumas de suas generaliza¸c˜oes.

  Ser˜ao consideradas superf´ıcies de curvatura m´edia constante imersas em espa¸cos ho-

  3

  mogˆeneos E (κ, τ ) e tamb´em superf´ıcies com vetor curvatura m´edia paralelo imersas n em espa¸cos E c × R. As t´ecnicas desenvolvidas originalmente por Hopf, com as devi- das adapta¸c˜oes a cada novo espa¸co ambiente, s˜ao as principais ferramentas utilizadas nas demonstra¸c˜oes dessas generaliza¸c˜oes.

  Palavras-chave: Diferencial quadr´atica holomorfa; Imers˜oes; Espa¸cos Homogˆeneos.

  Abstract

  In this work, we study the Hopf theorem and some of its generalizations. We will

  3

  consider constant mean curvature surfaces immersed in homogeneous spaces E (κ, τ ) and n also surfaces with parallel mean curvature vector spaces immersed in E c × R. The tech- niques developed originally by Hopf, mutatis mutandis to each new space environment, are the main tools used in the proofs of these generalizations.

  Keywords: Holomorphic quadratic differential; immersions; Homogeneous spaces.

  Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 O Teorema de Hopf

  3

  2 As Superf´ıcies CMC em espa¸ cos Homogˆ eneos e o Teorema de Abresch- Rosenberg

  13

  2.1 Equa¸c˜oes de Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  2.2 A Diferencial de Abresch-Rosenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  3 O Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy

  30

  3.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  3.2 Lema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  3.3 Demonstra¸c˜ao do Teorema 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  3.4 Demonstra¸c˜ao do Teorema 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  4 O Teorema de Hopf para Espa¸ cos Ambientes de Dimens˜ ao Maior que Trˆ es

  50

  4.1 Prova do Teorema 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  4.2 Prova do Teorema 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Introdu¸ c˜ ao

  Em 1951, o matem´atico Heinz Hopf demonstrou um Teorema que afirma que toda

  3

  superf´ıcie imersa em R , homeomorfa a uma esfera e com curvatura m´edia H constante ´e

  2

  3

  isometrica a esfera S do R . Este Teorema foi inovador tanto pelo seu resultado quanto pelas t´ecnicas utilizadas nas duas demonstra¸c˜oes feitas originalmente por Hopf. Nas pro- vas s˜ao considerados parˆametros locais isot´ermicos, parˆametros complexos e s˜ao estudadas as propriedades da diferencial quadr´atica, definida sobre a superf´ıcie S, criada por Hopf. Estas s˜ao as principais ferramentas utilizadas nas duas provas que ser˜ao apresentadas no primeiro cap´ıtulo deste trabalho.

  3 Estabelecido o Teorema de Hopf para superf´ıcies imersas em R outras quest˜oes

  surgiram. Uma delas ´e se este resultado continua v´alido quando consideramos S imersa em

  3

  outros espa¸cos ambientes diferentes de R . De fato, com as devidas adapta¸c˜oes, o mesmo resultado do Teorema de Hopf foi generalizado considerando imers˜oes em alguns espa¸cos

  3

  ambientes diferentes do R . Neste trabalho ser˜ao estudadas generaliza¸c˜oes do Teorema de Hopf com destaque `a t´ecnica utilizada em cada generaliza¸c˜ao que foi inspirada na t´ecnica desenvolvida por Hopf. Denotaremos por superf´ıcies cmc as superf´ıcies com curvatura m´edia H constante.

  No cap´ıtulo 2, estudaremos a seguinte generaliza¸c˜ao obtida por U. abresch e H. Rosenberg, em 2004, ver [1].

  2 Teorema.

  (Abresch-Rosenberg,[1]) Qualquer esfera cmc Σ imersa em S × R

  2

  2 ou em H H contida no

  × R, ´e uma esfera cmc mergulhada rotacionamente invariante S respectivo espa¸co produto. Eles provaram que para superf´ıcies com curvatura m´edia constante imersas nos

  2

  2

  espa¸cos homogˆeneos produto H × R e S × R existe uma diferencial quadr´atica, que ´e uma perturba¸c˜ao da diferencial quadr´atica de Hopf, holomorfa e denominada diferencial de

  Abresch-Rosenberg. Da´ı, os autores classificaram as superf´ıcies cuja diferencial quadr´atica ´e nula e assim generalizaram o Teorema de Hopf.

  U. Abresch e H. Rosenberg anunciaram, em 2005, a existˆencia de uma diferencial quadr´atica holomorfa sobre superf´ıcies com curvatura m´edia constante imersas no espa¸co Introdu¸c˜ ao 2 homogˆeneo Riemanniano tridimensional com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro, ver em [2].

  Em 2007, H. Alencar, M. P. do Carmo e R. Tribuzzi generalizaram, em [3], o Teorema de Hopf considerando imers˜oes em qualquer espa¸co homogˆeneo tridimensional com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro, assim como U. Abresch e H. Rosenberg, entretanto consideraram uma hip´otese mais fraca para a curvatura m´edia H, ao inv´es de constante consideraram uma limita¸c˜ao para a norma de dH.

  Teorema. (Alencar, Do Carmo, Tribuzzi, Fernandez,[4]) Seja M uma superf´ıcie

  compacta, de gˆenero zero, imersa em E(κ, τ ), com curvatura m´edia H. Assuma que (2,0)

  , |dH| ≤ g|Q|

  (2,0)

onde g ´e uma fun¸c˜ao real, cont´ınua e n˜ao negativa. Ent˜ao Q ´e identicamente nula e

M ´e uma superf´ıcie com curvatura m´edia constante invariante por rota¸c˜oes em E(κ, τ ). .

  Esta generaliza¸c˜ao ser´a estudada no cap´ıtulo 3.

  Em 2010, em [5], foi obtida uma generaliza¸c˜ao do Teorema de Hopf conside- rando imers˜oes em espa¸cos ambientes com dimens˜ao maior que trˆes. S˜ao consideradas imers˜oes na variedade Riemanniana produto da variedade homogˆenea simplesmente co- c n nexa n−dimensional com curvatura seccional constante, denotaremos por E , c 6= 0, com a reta euclidiana R.

  2 Teorema.

  (Alencar, Do Carmo, Tribuzzi,[5]) Seja M uma superf´ıcie compacta n

  2

  #

  de gˆenero zero e seja x : M E c

  × R uma imers˜ao de M com vetor curvatura m´edia

  paralelo. Ent˜ao, uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e satisfeita: n

(1) x(M) ´e uma superf´ıcie m´ınima em uma hipersuperf´ıcie totalmente umb´ılica de E .

c

(2) x(M) ´e uma esfera redonda de uma totalmente umb´ılica tridimensional subvariedade

n de E . c

  3 (3) x(M) ´e a esfera redonda de E . c

  4

  6

(4) x(M) est´a em E (possivelmente com a m´etrica de Lorentz), e l´a existe um

c

  ×R ⊂ R plano P tal que x(M) ´e invariante por rota¸c˜oes que fixam seu complemento ortogonal.

  Al´em disso, as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao altura p 7→ hx(p), ξi s˜ao c´ırculos contidos em planos paralelos ao plano P.

  Neste contexto a hip´otese que considera o vetor curvatura m´edia constante ´e adapatada e substituida pela que considera o vetor curvatura m´edia paralelo no fibrado normal. O estudo desta generaliza¸c˜ao ser´a feito no cap´ıtulo 4. Cap´ıtulo 1 O Teorema de Hopf

  Neste cap´ıtulo, trataremos do seguinte resultado cl´assico devido a Heinz Hopf

  3 sobre superf´ıcies compactas de gˆenero zero e curvatura m´edia constante em R .

  Teorema.

  (Hopf,[15]) Seja S uma superf´ıcie compacta, de gˆenero zero e curvatura m´edia constante. Ent˜ao S ´e isom´etrica `a esfera. As duas demonstra¸c˜oes deste resultado, apresentadas por H. Hopf, fornecem duas originais e poderosas t´ecnicas que foram generalizadas e usadas para estabelecer resultados similares em ambientes e situa¸c˜oes mais gerais.

  Iniciaremos este cap´ıtulo com algumas defini¸c˜oes da teoria de singularidades e campos de vetores que ser˜ao utilizadas nas demonstra¸c˜oes. Ser˜ao necess´arios tamb´em

  3 alguns resultados sobre parˆametros complexos sobre uma superf´ıcie do R .

  3

  3

  , se Um ponto p ∈ R ´e chamado de ponto de acumula¸c˜ao de um conjunto S ⊂ R

  3

  toda vizinhan¸ca de p em R contiver um ponto de S \ {p}. Seja S uma superf´ıcie, dizemos que S ´e uma superf´ıcie fechada se ela contiver todos os seus pontos de acumula¸c˜ao. Se a

  3 superf´ıcie S estiver contida em uma bola do R , ent˜ao chamamos S de superf´ıcie limitada.

  Quando uma superf´ıcie S ´e limitada e fechada dizemos que S ´e uma superf´ıcie compacta.

  Os principais resultados deste cap´ıtulo podem ser encontrado em [15], inclusive as figuras utilizadas aqui. O pr´oximo Teorema ´e um Teorema de classifica¸c˜ao que fornece o conceito de gˆenero de uma superf´ıcie compacta.

  3 Teorema 1

  ([15]). Se S ´e uma superf´ıcie compacta em R , ent˜ao S ´e homeomorfa `a esfera com g asas (g ≥ 0). Cap´ıtulo

  1

  4 O n´ umero de asas g ´e o que denominamos de gˆenero da superf´ıcie S. Observemos que o gˆenero de uma superf´ıcie compacta ´e um conceito puramente topol´ogico.

  3

  , se Dizemos que w ´e um campo de vetores em um conjunto aberto U ⊂ S ⊂ R p S. O campo w ´e uma aplica¸c˜ao que associa a cada ponto p ∈ U um vetor w(p) ∈ T de vetores ser´a cont´ınuo, ou diferenci´avel, se a aplica¸c˜ao for cont´ınua, ou diferenci´avel, respectivamente. Se uma aplica¸c˜ao r associar a cada ponto p ∈ U uma dire¸c˜ao, isto ´e, um subespa¸co vetorial r(p) em T p p , S ent˜ao

  S, gerado por um vetor n˜ao nulo w(p) ∈ T dizemos que r ´e um campo de dire¸c˜oes. Neste caso, o subespa¸co r(p) gerado pelo vetor w(p) ´e uma reta em T p S.

  Dizemos que o campo de dire¸c˜oes r ´e diferenci´avel em p ∈ U se existe um campo de vetores diferenci´avel w, que n˜ao se anula, definido em uma vizinhan¸ca V p p ⊂ U, de p, tal que, para cada q ∈ V , w(q) 6= 0 e, portanto, ´e uma base do r(q).

  Cada campo diferenci´avel de dire¸c˜oes, localmente, d´a origem a um campo dife- renci´avel de vetores que n˜ao se anula. Este fato n˜ao ´e verdade globalmente, basta consi-

  2

  derarmos, por exemplo, o campo de dire¸c˜oes em R \ {(0, 0)} dado pelas retas tangentes `as curvas da figura abaixo.

  Qualquer tentativa de orientar essas curvas para obter um campo diferenci´avel que n˜ao se anula leva a uma contradi¸c˜ao. Observe que ´e imposs´ıvel estender este campo de dire¸c˜oes `a origem continuamente, pois s´o ´e poss´ıvel associar, continuamente, `a origem o vetor nulo, logo nenhuma dire¸c˜ao estar´a associada. Esta ideia motiva a pr´oxima defini¸c˜ao.

  Seja r um campo de dire¸c˜oes definido em uma regi˜ao U exceto em um ponto p. Se n˜ao ´e poss´ıvel estender o campo de dire¸c˜oes para p continuamente, ent˜ao dizemos que p ´e uma singularidade do campo de dire¸c˜oes.

  Uma singularidade de um campo de dire¸c˜oes ´e chamada de singularidade isolada

  do campo se existe uma curva simples fechada C tal que

  (i) p ´e a ´ unica singularidade do campo no interior de C; e (ii) n˜ao existem singularidades do campo em C.

  Considere um campo de dire¸c˜oes em uma regi˜ao V e p uma singularidade isolada deste campo. Neste caso, por defini¸c˜ao, existe uma curva fechada C na regi˜ao V satisfa- Cap´ıtulo

  1 5 zendo (i) e (ii) da defini¸c˜ao acima. Ent˜ao, o campo dado induz um campo X de dire¸c˜oes sobre C, ou seja, tal campo X ´e o campo dado inicialmente, restrito `a curva C.

  Vamos considerar C = C(t) uma curva parametrizada, com 0 ≤ t ≤ 1. Esco- lhamos um dos poss´ıveis sentidos ao longo da reta associada ao ponto C(0) pelo campo de dire¸c˜oes X restrito `a curva C. Fixada essa escolha, determina-se um ´ unico sentido de percurso em C(t), e neste caso, podemos considerar que o campo de dire¸c˜oes X restrito a C, associa a cada ponto C(t) um vetor n˜ao nulo, que ser´a denotado por u(t).

  ´ E poss´ıvel, ent˜ao, determinar o ˆangulo que cada vetor u(t), t ∈ [0, 1], forma com

  2 fixado.

  um vetor n˜ao nulo v ∈ R Vamos agora, considerar a varia¸c˜ao destes ˆangulos ao longo da curva C(t). Para isto, seja C pequena o suficiente, mas ainda satisfazendo (i) e (ii). Seja ∢[u(t), v] o ˆangulo

  ∢ formado pelo vetor fixo v e pelo vetor u(t) e denotemos por δ C [u(t), v] a varia¸c˜ao total desses ˆangulos quando percorremos o tra¸co de C fazendo t variar de 0 a 1.

  ∢ Como C ´e uma curva simples fechada, podemos escrever o n´ umero δ C [u(t), v] como sendo um m´ ultiplo real de 2π, ou seja, existe j ∈ R tal que

  ∢ δ C [u(t), v] = 2πj. Tal n´ umero j ´e chamado de ´ındice da singularidade isolada p.

  Nos exemplos a seguir s˜ao apresentados alguns campos de dire¸c˜oes tendo a origem como singularidade isolada com ´ındice j. Cap´ıtulo

  1

  6 O pr´oximo resultado garante que dada uma superf´ıcie compacta de gˆenero g, existe um campo de dire¸c˜oes definido sobre esta superf´ıcie, de modo que a soma dos ´ındices das singularidades deste campo relaciona-se com o gˆenero da superf´ıcie. Teorema 2 ([15], p.110). Dada uma superf´ıcie de gˆenero g existe um campo de dire¸c˜oes

  

na superf´ıcie com um n´ umero finito de singularidades tal que a soma dos ´ındices das

singularidades ´e 2 − 2g.

  Prova. Vamos apresentar um esbo¸co do campo diferenci´avel com as propriedades pro- curadas.

  • Caso 1: g = 0. Tomemos os grandes c´ırculos que interseptam os p´olos. Os p´olos ser˜ao duas sin- gularidades cada uma delas com ´ındice 1. Como podemos ver na figura. Logo, P j = 1 + 1 = 2 − 2.0 = 2.
  • Caso 2: g = 1. Podemos tomar os c´ırculos obtidos com interse¸c˜oes do toro com os planos ortogonais ao eixo Ox.

  E, neste caso, teremos quatro singularidades, das quais duas singularidades com ´ındice 1 e duas com ´ındice -1, portanto o

  P j = 0 = 2 − 2.1.

  • Caso 3: g > 1. Caso uma superf´ıcie mergulhada, de gˆenero g > 1, arbitr´aria como mostra a figura. Tomaremos as curvas obtidas ao intersectarmos planos ortogonais ao eixo Ox.
Cap´ıtulo

  1

  7 Neste caso, similar ao anterior, teremos duas singularidades com ´ındice 1 (nas extre- midades) e 2g singularidades com ´ındice -1 (interiores em cada ”abertura”do toro), P logo j = 2 − 2g.

  O pr´oximo Teorema, devido a Poincar´e, afirma que o campo de dire¸c˜oes definido no Teorema anterior ´e ´ unico. Teorema 3 (Poincar´e, [15], p.113). Se X ´e um campo de dire¸c˜oes sobre S, com no m´aximo

  um n´ umero finito de singularidades ent˜ao

  X j = 2 − 2g,

  onde g ´e o gˆenero de S.

  Para a prova do Teorema 3, utilizaremos o Lema abaixo que relaciona a curvatura de Gauss de uma superf´ıcie com o ´ındice das suas singularidades. Lema 4

  (Gauss-Bonnet, [7]). Seja S uma superf´ıcie compacta, orient´avel, de gˆenero g

  

com uma m´etrica Riemanniana definida sobre S de modo que a curvatura K ´e definida

sobre S. Seja F um campo de dire¸c˜oes em S com, no m´aximo, um n´ umero finito de

singularidades. Ent˜ao, a soma dos ´ındices j das singularidades satisfaz

  Z Z

  X S KdA = 2π j. Prova do Teorema

  3. Pelo Lema acima, temos v´alida a igualdade Z Z

  X S KdA = 2π j. Z Z Destacamos que o termo KdA n˜ao varia com o campo de vetores que ´e considerado. S

  X Assim, podemos concluir que o somat´orio j ´e igual para qualquer campo sobre S com no m´aximo um n´ umero finito de singularidades.

  X Por outro lado, pelo Teorema 2, existe um campo sobre S que satisfaz j = 2 − 2g.

  X Ent˜ao a igualdade j = 2 − 2g ´e verdadeira para qualquer campo de dire¸c˜oes sobre S com um n´ umero finito de singularidades.

  Com estas defini¸c˜oes e resultados, podemos apresentar as duas provas do Teorema

  3 de Hopf em R .

  3 Teorema 5 (Hopf,[15]). Seja S uma superf´ıcie compacta em R , de gˆenero zero, com curvatura m´edia H constante. Ent˜ao S ´e isom´etrica `a esfera. Cap´ıtulo

  1

  8 Prova. Consideremos a existˆencia de parˆametros isot´ermicos locais sobre S, isto ´e,

  2

  consideremos uma parametriza¸c˜ao X : U ⊂ R −→ S, U aberto, com parˆametros (u, v) e u , X u u , X v v , X v E = hX i, F = hX i e G = hX i tais que E = G e F = 0. Tal parametriza¸c˜ao ´e escolhida de modo a ser compat´ıvel com a orienta¸c˜ao do campo de vetores normais N de S. Consideremos tamb´em a segunda forma fundamental para superf´ıcies

  2

  2 uu uv vv

  II = edu + 2f dudv + gdv , onde e = hN, X i, f = hN, X i e g = hN, X i. Vejamos como, utilizando parˆametros isot´ermicos, as express˜oes para a curvatura gaussiana, a curvatura m´edia, as linhas de curvatura e as equa¸c˜oes de Mainard-Codazzi podem ser escritas de forma mais simples.

  Para a curvatura gaussiana K, temos

  2

  eg − f K = k k =

  1

  2

  2 EG − F

  2

  eg − f = , (1.1)

  2 E onde k e k s˜ao as curvaturas principais.

  1

2 A curvatura m´edia H ´e dada por

  k

  1 + k

  2

  1 E(e + g) eG − 2fF + gE H = = =

  2

  2

  2

  2

  2E EG − F e + g

  = . (1.2)

  2E Escrevemos as linhas de curvatura como

  2

  2

  = 0. (1.3) −fdu + (e − g)dudv + fdv

  Utilizando a equa¸c˜ao (1.2) as equa¸c˜oes de Mainardi-Codazzi podem ser escritas como E v e = (e + g) = E v u v

  H, − f

  2E E u f v u u

  H. − g = − (e + g) = −E

  2E Agora, derivando a igualdade e + g

  EH = ,

  2 em rela¸c˜ao a u e a v, respectivamente, obtemos e u + g u

  E , + u u H = −EH

  2 e v + g v

  • E v v . H = −EH

  2

  • f u = EH u , (1.4) e − g
  • 2f dudv + gdv
  • 1
  • 1
  • 2ϕdzd¯ z + ψd¯ z
  • 4f
  • f
  • 2eg + g

  2

  2

  k

  1

  

1

  

2

  = k

  2

  k

  1

  − k

  2

  2

  1

  1

  − K = k

  2

  = H

  2

  Da´ı, decorre que |ψ|

  2 − K).

  (H

  2

  = E

  2 K

  2 2 − 4k

  k

  2

  1

  (1.6)

  2 .

  2

  − k

  1

  |E| = k

  Portanto, segue-se que |ψ|

  2 .

  )

  2

  − k

  4 (k

  2

  1

  ) =

  2

  2

  2

  k

  1

  2 1 − 2k

  4 (k

  1

  4 =

  − E

  = (EH)

  2 ´e chamada de diferencial de Hopf.

  4

  2 .

  2

  2 ψdz

  1

  II =

  2 , podemos escrever

  2 − if e ϕ(z, ¯ z) = e + g

  Usando as nota¸c˜oes ψ(z, ¯ z) = e − g

  2 .

  2 if d¯ z

  2 (e + g)dzd¯ z + e − g

  2

  2

  2 if dz

  1

  4 −

  = e − g

  2

  2

  II = edu

  Vamos agora reescrever a segunda forma fundamental considerando parˆametros complexos z = u + iv sobre U ⊂ S. Utilizaremos que dz = du + idv. Assim,

  2 v − f v = −EH v . (1.5)

  9 Logo, as equa¸c˜oes de Mainardi-Codazzi podem ser reescritas como e − g 2 u

  A express˜ao H = ψdz

  Estabeleceremos agora uma propriedade fundamental da diferencial de Hopf. Ini- cialmente, observemos que |ψ|

  Cap´ıtulo

  2

  2 − eg − f

  4 = e + g

  )

  2

  − 4(eg − f

  2

  (e + g)

  4 =

  2

  ) − 4eg + 4f

  2

  2

  (e

  4 =

  2

  2

  − 2eg + g

  2

  = e

  2

  2

  2

  = e − g

  1

2 E

  • k
  • 2k
  • k
  • k
Cap´ıtulo

  1

  10 Conclu´ımos, desta ´ ultima igualdade, que os pontos umb´ılicos da superf´ıcie, isto ´e, os pontos tais que k = k , coincidem com os zeros da fun¸c˜ao ψ.

  1

2 Al´em disso, as equa¸c˜oes de Mainardi-Codazzi implicam que

  e − g e − g

  • f u + i v = E[H u v ],

  − f − iH

  2 u v

  2 que ´e equivalente a ψ z = EH z . (1.7)

  ¯

  Desta ´ ultima equa¸c˜ao, podemos garantir que ψ ´e holomorfa se, e somente se, H ´e cons- tante.Como, por hip´otese, H ´e constante sobre a superf´ıcie S, temos que ψ ´e holomorfa.

  Agora, para continuarmos a prova do Teorema de Hopf, precisamos estabelecer o seguinte resultado auxiliar. Lema 6 ([15], p.139). Seja R uma regi˜ao aberta de uma superf´ıcie com curvatura m´edia H constante e seja U o conjunto dos pontos umb´ılicos de R. Seja p ∈ U, ent˜ao:

  1) p ´e um ponto interior de U ; ou 2) p ´e um ponto isolado de U e o ´ındice de p ´e negativo.

  Prova do Lema.

  Seja p ∈ U, ou seja, p ´e um ponto umb´ılico de R. Sabemos, devido a equa¸c˜ao (1.6), que os pontos umb´ılicos de R s˜ao os zeros de ψ. Da equa¸c˜ao (1.7), temos que ψ ´e holomorfa, pois H ´e constante.

  Se ψ ≡ 0, ent˜ao todo ponto de R ´e um ponto de U e, portanto, como R ´e aberto, todo ponto de U ´e ponto interior. Caso ψ 6≡ 0, ent˜ao dado p ∈ U, p ´e um ponto isolado de U. De fato, dado p ∈ U, ou seja, p ponto umb´ılico de S e zero de ψ, se p fosse um ponto de acumula¸c˜ao de U, ent˜ao a fun¸c˜ao ψ seria zero numa sequˆencia de pontos de U, distintos de p, que converge para p. Neste caso, como ψ ´e holomorfa, podemos concluir que ψ ≡ 0 em R. Isto ´e uma contradi¸c˜ao.

  Resta-nos agora verificar que o ´ındice de p, ponto isolado de U, ´e negativo. Para

  2

  isso, observamos que, por (1.3), a parte imagin´aria de ψdz satisfaz

  2

  2

  2 Im(ψdz = 0.

  ) = −fdu + (e − g)dudv + fdv

2 Portanto, o argumento de ψdz ´e m´

  ultiplo inteiro de π, ou seja, existe m ∈ Z tal que

  2

  arg(ψdz ) = mπ arg(ψ) + 2arg(dz) = mπ mπ arg(ψ) arg(dz) = .

  −

  2

  2 Cap´ıtulo

  1

  11 Sendo p um ponto isolado e umb´ılico, temos que p ´e uma singularidade isolada e seu ´ındice j ´e dado por 1 j = δ C (arg(dz)),

  2π onde δ representa a varia¸c˜ao em volta de p de uma curva simples e fechada C suficien- C temente pequena, que satisfaz (i) e (ii) da defini¸c˜ao de singularidade isolada. Como m ´e constante, ent˜ao

  δ C (arg(ψ)) 2πj = − n

  2

  e, como ψ ´e holomorfa, segue que ψ(z) = cz

  • ..., com c 6= 0 e n ≥ 1. Neste caso, temos que δ(arg(ψ)) = 2πn. Da´ı concluimos que

  2πn n < 1. j = − = −

  4π

  2 Logo o ´ındice ´e negativo e isso encerra a demonstra¸c˜ao do Lema. Concluiremos agora a demonstra¸c˜ao do Teorema de Hopf. Seja U o conjunto de pontos umb´ılicos da superf´ıcie S. Mostraremos que U ´e aberto e fechado em S.

  P Pelo Teorema 3, temos que U ´e n˜ao vazio, pois j = 2 − 2g = 2. Da´ı, existe ao menos uma singularidade p com ´ındice positivo, neste caso, pelo Lema 6, p ´e ponto interior. Logo, U ´e um conjunto infinito e p ´e um ponto de acumula¸c˜ao de U.

  Notemos que U ´e pr´e-imagem do conjunto unit´ario {0} pela fun¸c˜ao cont´ınua f (p) = k , e, como pr´e-imagem de um fechado por fun¸c˜ao cont´ınua ´e fechado, temos

  1

  2

  − k que U ´e um fechado de S. Consideremos agora

  ∗

  U = {p ∈ U; p ´e ponto interior de U} = int U.

  ∗ ∗

  existem um caminho Suponhamos que existe q ∈ U tal que q 6∈ U . Logo, dado p ∈ U cont´ınuo ligando p a q e um q que ´e um ponto de acumula¸c˜ao de U . Mas, dessa maneira q n˜ao ´e um ponto isolado e nem est´a no interior de U , o que contradiz o Lema 6. Portanto,

  ∗

  . Em outras a suposi¸c˜ao feita ´e falsa, o que implica que todo q ∈ U ´e elemento de U

  ∗

  palavras, U = U . Logo U ´e um conjunto aberto e fechado, n˜ao vazio, em um compacto S, ou seja, S = U . Temos que a superf´ıcie ´e compacta e totalmente umb´ılica, da´ı podemos concluir que S ´e a esfera.

  Vamos agora apresentar uma segunda prova do Teorema 5, tamb´em devida a Hopf. Observemos que alguns resultados utilizados na primeira prova ser˜ao utilizados novamente.

  Segunda Prova. Munindo a superf´ıcie S com parˆametros isot´ermicos locais, definimos a segunda forma fundamental do mesmo modo que foi definido anteriormente, em termos

  Cap´ıtulo

  1 12 complexos, e mantemos tamb´em a defini¸c˜ao da diferencial de Hopf. Como foi provado na demonstra¸c˜ao anterior, temos a seguinte igualdade k

  

1

  2

  |ψ| − k = .

  2 |E|

  Da´ı, concluimos que os pontos umb´ılicos de S s˜ao os zeros da diferencial de Hopf. Utili- zando a equa¸c˜ao (1.7) podemos concluir que ψ ´e holomorfa se, e somente se, H ´e constante. Como, por hip´otese, H ´e constante, segue que ψ ´e holomorfa. A prova estar´a conclu´ıda ao provarmos o seguinte Lema.

  Lema 7. Em uma superf´ıcie compacta S, de gˆenero zero, n˜ao existe diferencial quadr´atica holomorfa n˜ao-nula. Prova do Lema.

  Como, por hip´otese, a diferencial quadr´atica ´e holomorfa, segue que H ´e constante, podemos ent˜ao utilizar o Lema 6. Logo, seja p ∈ U, isto ´e, p um ponto umb´ılico de S. Ent˜ao ou p ∈ int(U) ou p ser´a um ponto isolado, com ´ındice negativo.

  Vimos, na primeira demonstra¸c˜ao do Teorema 5, que caso ψ n˜ao seja identica- mente nula, existe p ∈ U, tal que p tem ´ındice negativo e ´e ponto isolado. Sabemos, pelo Teorema 3, que existe q ∈ U tal que q ´e ponto interior a U, ou seja, ´e ponto de acumula¸c˜ao de U . Desta forma, como ψ ´e anal´ıtica e zero para uma quantidade n˜ao-enumer´avel de pontos de U , segue que, como vimos antes, ψ ´e identicamente nula, da´ı nenhum ponto ´e isolado.

  Mostramos que a existˆencia de um ponto umb´ılico fora do interior, isto ´e iso- lado, nos leva a uma contradi¸c˜ao. Concluimos ent˜ao que toda diferencial holomorfa nas condi¸c˜oes acima ´e identicamente nula. E isso encerra a prova do Lema.

  Portanto, como ψ ´e identicamente nula, segue que S ´e uma superf´ıcie compacta totalmente umb´ılica, ou seja, S ´e a esfera. O que conclu´ı a demonstra¸c˜ao. Vale observar que ´e poss´ıvel provar o Lema 7, sem usar o Teorema de Poincar´e. Uma demonstra¸c˜ao deste fato pode ser encontrada em [15], p.140. Cap´ıtulo 2 As Superf´ıcies CMC em espa¸ cos Homogˆ eneos e o Teorema de Abresch-Rosenberg

  Dadas duas variedades Riemannianas, nem sempre ´e poss´ıvel a imers˜ao de uma na outra. Um problema cl´assico em Geometria Diferencial ´e, exatamente, determinar quais m condi¸c˜oes s˜ao necess´arias e/ou suficientes para garantir que uma variedade M possa ser m

  • p imersa isometricamente em uma outra variedade M .
  • m m<
  • 1 +1
  • m +1 No caso em que M ´e uma forma espacial de dimens˜ao m + 1, isto ´e, H , R ou S , as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi s˜ao condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para M

      ser localmente imersa isometricamente em M , neste caso, estas equa¸c˜oes s˜ao chamadas tamb´em de equa¸c˜oes de compatibilidade.

      Entretanto, as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi n˜ao s˜ao suficientes para descrever as superf´ıcies imersas em espa¸cos homogˆeneos de dimens˜ao trˆes com grupo de isometria de dimens˜ao quatro. Tais espa¸cos, que denotaremos por E(κ, τ ), s˜ao fibra¸c˜oes Riemannianas sobre uma forma espacial de dimens˜ao dois, sendo κ a curvatura da base da fibra¸c˜ao e τ a

      

    2

      e X curvatura do fibrado, que satisfazem κ 6= 4τ ∇ ξ = τ X ∧ξ, que podem ser encontrados

      2

      2

      em [12]. Estas variedades s˜ao: H (espa¸co de Heisenberg), ^ P SL (R)

      3

      2

      × R, S × R, Nil

      3

      e S (esferas de Berger). O Teorema que apresenta as condi¸c˜oes necess´arias e suficientes τ para uma superf´ıcie Σ ser localmente imersa isometricamente em E(κ, τ ) foi obtido por Daniel Benoˆıt em [8].

      Neste cap´ıtulo, apresentaremos as condi¸c˜oes obtidas por Benoˆıt para a existˆencia de uma imers˜ao em E(κ, τ ) e as reescreveremos em parˆametros complexos, seguindo o trabalho [13]. Apresentaremos tamb´em a diferencial quadr´atica de Abresch-Rosenberg Q,

      3

      que generaliza a diferencial quadr´atica do Hopf para imers˜oes em R . A diferencial Q e as equa¸c˜oes de compatibilidade s˜ao as principais ferramentas para uma generaliza¸c˜ao do

      Cap´ıtulo

      2

      14

      2

    2 Teorema de Hopf em S

      × R e H × R. A prova desta generaliza¸c˜ao, feita originalmente por Uwe Abresch e por Harold Rosenberg em [1], ser´a estudada neste cap´ıtulo.

    2.1 Equa¸ c˜ oes de Compatibilidade

      Consideremos ao longo deste cap´ıtulo Σ uma superf´ıcie completa, imersa em

    2 E(κ, τ), sendo ds

      a m´etrica induzida pela imers˜ao, ∇ a conex˜ao Riemanniana, R o tensor curvatura, K a curvatura Gaussiana e S o operador de forma de Σ. As nota¸c˜oes ∇ e R ser˜ao usadas para a conex˜ao e o tensor curvatura de E(κ, τ ), respectivamente. Sejam ainda, T um campo de vetores em Σ, com ||T || ≤ 1, e v uma fun¸c˜ao real suave em Σ, tal que, v ≤ 1. Passando para o recobrimento duplo orient´avel, se necess´ario, podemos supor que Σ ´e orient´avel. Da´ı, podemos definir uma estrutura complexa J sobre Σ, dada por

      J(e ) = e e J(e ,

      1

      2

      2

      1

      ) = −e , e p Σ ´e uma base ortonormal positiva. Geometricamente, J representa

      1

      2

      onde {e } ⊂ T π uma rota¸c˜ao de em T p Σ no sentido anti-hor´ario.

      2

    2 Dada a 4-upla (ds , S, T, v), dizemos que esta satisfaz as equa¸c˜oes de compatibi-

      lidade para E(κ, τ ), se

      2

      2

    • v = 1 ||T || e ainda, se, para todo X, Y ∈ X (Σ), s˜ao satisfeitas as igualdades:

      2

      2

      2

      (i) K = detS + τ )v ;

    • (κ − 4τ
    • X Y

        

      2

        (ii) ∇ SY − ∇ SX − S[X, Y ] = (κ − 4τ )v(hY, T iX − hX, T iY ); X (iii) ∇ T = v(SX − τJX); (iv) dv(X) + hSX − τJX, T i = 0.

        2 Observa¸ c˜ ao 8.

        = 1, ent˜ao

        Se v 6= 0 ent˜ao (iii) implica (iv). De fato, seja hT, T i + v diferenciando esta igualdade em rela¸c˜ao a X e usando (iii) segue-se que X

        2 X X (v )

        2

        0 = ∇ (hT, T i + v ) = ∇ (hT, T i) + ∇ X = 2h∇ T, T i + 2vdv(X) = 2hv(SX − τJX), T i + 2vdv(X) = 2v(h(SX − τJX), T i + dv(X)).

        Agora, supondo v 6= 0, obtemos a igualdade (iv), como afirmado.

        No pr´oximo resultado M(κ, τ ) ´e uma variedade Riemanniana tridimensional tal

        3

        2

        que π : M ´e uma submers˜ao Riemanniana sobre uma superf´ıcie Σ, com (κ, τ ) −→ Σ

        Cap´ıtulo

        2 15 curvatura gaussiana κ, e as fibras, isto ´e, a pr´e-imagem de um ponto em Σ por π, s˜ao trajet´orias de um campo de vetores de Killing unit´ario ξ e, portanto, geod´esicas. Sua prova ser´a omitida aqui e poder´a ser encontrada em [12].

        3

      2 Teorema 9. Seja π : M uma submers˜ao Riemanniana com campo de

        (κ, τ ) −→ Σ

        

      Killing unit´ario ξ. Seja {X, Y } ∈ T M(κ, τ) uma base ortonormal de vetores horizontais

      tal que {X, Y, ξ} ´e orientada positivamente. Ent˜ao,

        2

        , K(X, Y ) = κ − 3τ

        2 K(X, ξ) = τ .

        Utilizaremos o Teorema acima, no caso particular em que M ´e um espa¸co ho- mogˆeneo, para expressar o tensor curvatura do espa¸co E(κ, τ ). Usaremos as nota¸c˜oes v = hN, ξi e T = ξ − vN, isto ´e, T denota a proje¸c˜ao de ξ em T Σ. Teorema 10.

        Para X, Y, Z, W ∈ X(Σ), temos

        2

        2

        (2.1)

        1

        hR(X, Y )Z, W i = (κ − 3τ )hR (X, Y )Z, W i + (κ − 4τ )hR (ξ; X, Y )Z, W i

        2

        (2.2) R(X, Y )Z = (κ − 4τ )v(hY, T iX − hX, T iY ),

        onde

        R (2.3)

        (X, Y )Z = hX, ZiY − hY, ZiX

        e

        R

        1

        (V ; X, Y )Z = hY, V ihZ, V iX + hY, ZihX, V iV − hX, ZihY, V iV − hX, V ihZ, V iY.(2.4) Prova.

        Para a primeira equa¸c˜ao o resultado ´e mais abrangente, pois a igualdade ´e v´alida para X, Y, Z, W campos de X (E(κ, τ )) . De fato, vamos, inicialmente, decompor os campos X, Y, Z, W em sua parte horizontal e vertical com respeito a ξ, isto ´e, X = e X +ξx, Y = e Y + ξy, Z = e Z + ξz e W = f

        W + ξw, onde x = hX, ξi, y = hY, ξi, z = hZ, ξi e w = hW, ξi. Portanto, pela multilinearidade do tensor curvatura, temos X + ξx, e Y + ξy)( e Z + ξz), f hR(X, Y )Z, W i = hR( e W + ξwi X, e Y ) e Z, f Y ) e Z, f

        = hR( e W i + hR(ξx, e W i X, ξy) e Z, f Z, f

      • hR( e W i + hR(ξx, ξy) e W i

        X, e Y )ξz, f Y )ξz, f

      • hR( e W i + hR(ξx, e W i

        X, ξy)ξz, f

      • hR( e W i + hR(ξx, ξy)ξz, f W i

        X, e Y ) e Y ) e

      • hR( e Z, ξwi + hR(ξx, e Z, ξwi

        X, ξy) e

      • hR( e Z, ξwi + hR(ξx, ξy) e Z, ξwi

        X, e

      • hR( e Y )ξz, ξwi + hR(ξx, e Y )ξz, ξwi +hR( e X, ξy)ξz, ξwi + hR(ξx, ξy)ξz, ξwi.
      Cap´ıtulo

        2

        16 Devido `as propriedades de antissimetria do tensor curvatura, temos xyhR(ξ, ξ)A, Bi = −xyhR(ξ, ξ)A, Bi que implica hR(ξ, ξ)A, Bi = 0 e, de modo an´alogo, hR(A, B)ξ, ξi = 0. Os termos onde ξ aparece apenas uma vez s˜ao nulos, pois existe uma base ortonormal de T Σ em que a matriz de R ´e diagonal. Assim, restam apenas cinco destas parcelas; ou seja

        X, e Y ) e Z, f Y )ξz, f hR(X, Y )Z, W i = hR( e W i + hR(ξx, e W i X, ξy)ξz, f Y ) e

      • hR( e W i + hR(ξx, e Z, ξwi

        X, ξy) e (2.5)

      • hR( e Z, ξwi Para a conclus˜ao do Teorema precisaremos do seguinte Lema, que pode ser encontrado em [6]. Lema 11.

        Seja M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M . Defina a aplica¸c˜aotrilinear R : T p p p p M por

        M × T M × T M → T

        ′

        hR (X, Y )Z, W i = hX, ZihY, W i − hY, ZihX, W i, p M . Ent˜ao M tem curvatura seccional constante e igual a k se,

        para todo X, Y, Z, W ∈ T ′ e somente se, R = k R , onde R ´e a curvatura de M .

        Pelo Lema, como o espa¸co E(κ, τ ) tem curvatura seccional constante, podemos

        ′

        2

        escrever R = k R , e pelo Teorema 9 temos que esta curvatura seccional ´e k = κ − 3τ

        2

        ou k = τ , conforme escolha dos campos considerados. Portanto, podemos reescrever a igualdade (2.5) como

        2

        hR(X, Y )Z, W i = (κ − 3τ ) (hX, ZihY, W i − hY, ZihX, W i)

        2

      • τ Y , f X, f Y , e X, e xzh e W i − yzh e W i − xwh e Zi + ywh e Zi

        2

        ) X, e Y , f Y , e X, f = (κ − 3τ h e Zih e W i − h e Zih e W i

        2

      • τ Y , f X, f

        (hX, ξihξ, Zih e W i − hY, ξihZ, ξih e W i Y , e X, e

        −hX, ξihW, ξih e Zi + hY, ξihW, ξih e Zi)

        2

        = (κ − 3τ )hR (X, Y, Z), W i +

      2 Y , f X, f

      • (κ − 4τ )[−(hX, ξihξ, Zih e W i − hY, ξihZ, ξih e W i

        Y , e X, e −hX, ξihW, ξih e Zi + hY, ξihW, ξih e Zi)]

        2

        2

        1 = (κ − 3τ )hR (X, Y, Z)W i + (κ − 4τ )hR (ξ; X, Y )Z, W i. Cap´ıtulo

        2

        17 Para finalizar, provaremos agora a equa¸c˜ao (2.2). Da equa¸c˜ao (2.1), do Teorema 10, que acabammos de provar, temos que

        2

        2

        )R )R

        1 (ξ; X, Y )N

        R(X, Y )N = (κ − 3τ (X, Y )N + (κ − 4τ

        2

        = (κ − 3τ )(hX, NiY − hY, NiX)

        2

      • (κ − 4τ )(hY, ξihN, ξiX + hY, NihX, ξiξ −hX, ξihY, ξiξ − hX, ξihN, ξiY )

        2

        = (κ − 4τ )(hY, ξihN, ξiX − hX, ξihN, ξiY )

        2

        = (κ − 4τ )(hY, (T + vN)ihN, (T + vN)iX − hX, (T + vN)ihN, (T + vN)iY )

        2

        = (κ − 4τ )v(hY, (T + vN)iX − hX, (T + vN)iY )

        2 = (κ − 4τ )v(hY, T iX − hX, T iY ).

        E assim conclu´ımos a prova do Teorema.

        O pr´oximo resultado foi obtido por Benoˆıt Daniel, [8], e afirma que, para existir a imers˜ao de uma superf´ıcie Σ num espa¸co homogˆeneo tridimensional E(κ, τ ), ´e necess´ario e suficiente que Σ satisfa¸ca as equa¸c˜oes de compatibilidade para E(κ, τ ). Teorema 12

        (Benoˆıt Daniel, 2006). Sejam Σ uma variedade Riemanniana orientada,

        2 simplesmente conexa, de dimens˜ao dois, ds sua m´etrica Riemanniana e sua conex˜ao

      Riemanniana. Sejam S um campo de operadores sim´etricos S p : T p p Σ, T um campo

        Σ → T

        2

        2

      • v = 1. Sejam ξ um campo vertical

        de vetores em Σ e v uma fun¸c˜ao suave tal que ||T ||

      em E(κ, τ ), onde κ ´e a curvatura da base da fibra¸c˜ao e τ a curvatura do fibrado. Ent˜ao

      existe uma imers˜ao isom´etrica f : Σ → E(κ, τ) tal que o operador de forma com respeito

      ao normal N associado a f ´e

        −1

        df ◦ S ◦ df

        e tal que

        ξ = df (T ) + vN

        2

      se, e somente se, (ds , S, T, v) satisfaz as equa¸c˜oes de compatibilidade para E(κ, τ ). Neste

      caso, a imers˜ao ´e ´ unica a menos de isometrias globais de E(κ, τ ) que preservam a ori-

      enta¸c˜ao da fibra e da base da fibra¸c˜ao.

        Apresentaremos, nos dois pr´oximos Lemas, a prova de que as equa¸c˜oes de com- patibilidade s˜ao condi¸c˜oes necess´arias para existˆencia da imers˜ao. A prova de que s˜ao tamb´em condi¸c˜oes suficientes podem sem encontradas em [8] e em [9].

        No primeiro Lema apresentam-se as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi satisfeitas por uma imers˜ao em E(κ, τ ). Cap´ıtulo

        2

        18 Lema 13 (Equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi em uma variedade homogˆenea). Para Σ imersa

        isometricamente em E(κ, τ ), temos

        2

        2

        2 K = K e + τ )v (2.6)

      • (κ − 4τ

        e

        2 X Y

        (2.7) ∇ SY − ∇ SX − S[X, Y ] = (κ − 4τ )v(hY, T iX − hX, T iY ), onde K ´e a curvatura de Gauss de Σ e K e = det S ´e a curvatura extr´ınseca de Σ.

        Prova. As equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi para uma imers˜ao Riemanniana s˜ao, respecti- vamente, (2.8) hR(X, Y )Z, W i − hR(X, Y )Z, W i = hSX, ZihSY, W i − hSX, W ihSY, Zi, X Y (2.9) R(X, Y )N = ∇ SY − ∇ SX − S[X, Y ].

        Utilizando o Teorema 10, podemos substituir hR(X, Y )Z, W i e reescrever a equa¸c˜ao (2.8) como

        2

        2

        1

        hR(X, Y )Z, W i − [(κ − 3τ )hR (X, Y )Z, W i + (κ − 4τ )hR (T ; X, Y )Z, W i] (2.10) = hSX, ZihSY, W i − hSX, W ihSY, Zi.

        Ainda, podemos considerar X e Y ortonormais, isto ´e, ||X|| = ||Y || = 1 e hX, Y i = 0, e escolher Z = X e W = Y . Da´ı,

        2 R

        Y = Y, (2.11) (X, Y )X = hX, XiY − hY, XiX = ||X||

        R

        1

        (2.12) (T ; X, Y )X = hY, T ihX, T iX − hY, T iT − hX, T ihX, T iY. Logo, fazendo o produto interno dos primeiros e segundos membros das igualdades (2.11) e (2.12) com Y, obtemos

        (2.13) hR (X, Y )X, Y i = hY, Y i = 1

        2

        1

        hR (T ; X, Y )X, Y i = hY, T ihX, T ihX, Y i − hY, T ihY, T i − hX, T i hY, Y i

        2

        2

        = −hY, T i − hX, T i

        2

        = −||T ||

        2 ).

        (2.14) = −(1 − v

        Al´em disso, (2.15) det S = hSX, XihSY, Y i − hSX, Y ihSY, Xi.

        Cap´ıtulo

        2

        19 Portanto, substituindo (2.13), (2.14) e (2.15) em (2.10), temos

        2

        2

        2 ) ] = det S.

        hR(X, Y )Z, W i − [(κ − 3τ )1 + (κ − 4τ ) −(1 − v Logo,

        

      2

        2

        2

        ) K = det S + κ − 3τ − (κ − 4τ )(1 − v

        2

        2

        2 = det S + τ )v .

      • (κ − 4τ A igualdadede (2.7) decorre imediatamente do Teorema 10 e da equa¸c˜ao (2.9).

        Logo a equa¸c˜ao de Codazzi ´e X

        2 ∇ SY − ∇Y SX − S[X, Y ] = (κ − 4τ )v(hY, T iX − hX, T iY ).

        O que encerra a prova do Lema.

        A seguir, veremos o resultado que mostra que al´em das equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi mais duas outras equa¸c˜oes s˜ao necess´arias para garantir a existˆencia uma imers˜ao em E(κ, τ ), como foi provado por Daniel.

        Lema 14. Para X(Σ), temos que X ∇ T = v(SX − τJX)

        e

        dv(X) + hSX − τJX, T i = 0, onde J ´e uma estrutura complexa definida sobre Σ.

        Prova do Lema. Temos que ξ = T + vN, logo X X (T + vN ) ∇ ξ = ∇

        = X X N. ∇ T + dv(X)N + v∇

        Substituindo X X ∇ T = ∇ T + hSX, T iN e X

        ∇ N = −SX, na igualdade acima, obtemos X X (2.16) ∇ ξ = ∇ T + hSX, T iN + dv(X)N − vSX. Cap´ıtulo

        2 X

        20 Por outro lado, como a conex˜ao ∇ de E(κ, τ) satisfaz a igualdade ∇ ξ = τ X ∧ ξ (para a prova ver [12]) temos que X

        ∇ ξ = τ X ∧ ξ = τX ∧ (T + vN) = τ (X ∧ T + vX ∧ N)

        (2.17) = τ (hJX, T iN − vJX). Igualando (2.16) e (2.17), obtemos X ∇ T + hSX, T iN + dv(X)N − vSX = τ(hJX, T iN − vJX).

        Reordenando-os, encontramos X (hSX − τJX, T i + dv(X)) N + ∇ T = v(SX − τJX). p Como SX − τJX ∈ T Σ podemos concluir que v(SX − τJX) n˜ao possui componente normal logo, da equa¸c˜ao acima, podemos concluir que hSX − τJX, T i + dv(X) = 0

        e, portanto, X ∇ T = v(SX − τJX), concluindo assim a prova do Lema.

        Agora, vamos reescrever as equa¸c˜oes fundamentais para uma imers˜ao ψ : Σ → E(κ, τ) em termos de um par˜ametro conforme z = u + iv. Identificaremos ψ(Σ) com Σ, consideraremos Σ uma superf´ıcie de Riemann, com estrutura complexa dada pela m´etrica

        1

        1 induzida, e tamb´em ∂ z = (∂ u v ) e ∂ z ¯ = (∂ u + i∂ v − i∂ ). A 5−upla

        2

        2

      • (λ, v, H, p, A) ∈ R × [−1, 1] × R × C × C, ser´a chamada de dados fundamentais de Σ, onde λ ´e o fator de conformidade da m´etrica z , ∂ z

        ¯

        induzida, ou seja, λ = 2h∂ i, v := hN, ξi ´e a componente normal do campo vertical ξ e H ´e a curvatura m´edia de Σ. Al´em disso, p ´e a diferencial de Hopf de Σ, isto ´e,

        2

        2

        pdz ∂ N, ∂ z , z z z = h−∇ idz e A := hξ, ∂ i = hT, ∂ i, com T ∈ X(Σ) sendo a componente tangente do campo vertical ξ, isto ´e, T = ξ − vN. A primeira e a segunda formas fundamentais s˜ao, escritas em termos do parˆametro complexo, respectivamente, como

        2 I = λ|dz |, Cap´ıtulo

        2

        21

        2

        2

        2 II = pdz + ¯ pd¯ z .

      • λH|dz| Portanto,

        II(∂ z , ∂ z z ), ∂ z ) = hS(∂ i = p e

        λH II(∂ z , ∂ z z ), ∂ z .

        

      ¯ ¯

        ) = hS(∂ i =

        2 λ z = (dzd¯ z + d¯ zdz), segue-se

        2 Al´em disso, do fato de que A = hT, ∂ i e I = λ|dz|

        2 que z z ) = (dz(T )d¯ z(∂ z ) + d¯ z(T )dz(∂ z )) = d¯ z(T ) λ λ A = hT, ∂ i = I(T, ∂

        2

        2

        e, de modo similar, λ λ

        ¯ ¯ z z ¯ ) = (dz(T )d¯ z(∂ z ¯ ) + d¯ z(T )dz(∂ z ¯ )) = dz(T ). A = hT, ∂ i = I(T, ∂

        2

        2 Como T ∈ X(Σ), ent˜ao T pode ser escrito como T = a∂ z + b∂ z .

        ¯

        Logo, dz(T ) = dz(a∂ z + b∂ z ¯ ) = a e d¯ z(T ) = d¯ z(a∂ z + b∂ z ) = b.

        ¯

        Da´ı,

        2 T = ( ¯ A∂ z + A∂ ¯ z). λ O pr´oximo Lema apresenta algumas rela¸c˜oes intr´ınsecas v´alidas em Σ.

        Lema 15 z , ∂ z ([13]). As seguintes rela¸c˜oes intr´ınsecas s˜ao v´alidas em Σ.

        1) h∂ i = 0; z , ∂ z ¯ ¯

        2) h∂ i = 0; z , ∂ z ¯ ; λ 3) h∂ i =

        2 z z ¯ −2(log λ)

      4) K = ;

        λ ∂ ∂ z = ∂ z ; z λ z

        5) ∂ ∂ z ∂ ∂ z = 0; z ¯ ¯ z λ 6) ∇ = ∇ 7) J(∂ z ) = i∂ z . Cap´ıtulo

        2

        22 Prova. As trˆes primeiras rela¸c˜oes seguem da express˜ao para a primeira forma fundamen- tal, pois z , ∂ z z , ∂ z ) = (dz(∂ z )d¯ z(∂ z ) + d¯ z(∂ z )dz(∂ z )) λ h∂ i = I(∂

        2 λ = (0 + 0) = 0.

        2

        e, de modo similar encontramos, z , ∂ z z , ∂ z ) = λ

        ¯

        h∂ i = I(∂

        2 e z , ∂ z z , ∂ z ) = 0.

        ¯ ¯

        h∂ i = I(∂ Logo, as equa¸c˜oes 1), 2) e 3) est˜ao provadas. Agora, utilizaremos as seguintes rela¸c˜oes

        1 ∆ log λ

        K = − 2λ e

        ∆(log λ) = 4(log λ) z z ,

        ¯ que podem ser encontradas em [7]. Da´ı, encontramos a equa¸c˜ao 4).

        Para provarmos as demais igualdades, expressamos os coeficientes da conex˜ao ∇ associados a z e ¯ z como

      ∂ z ∂ z = CΓ ∂ z + CΓ ∂ z ,

        

      1

        2

        ∇

        

      11

        11

      ∂ z ∂ ¯ z = CΓ ∂ z + CΓ ∂ z ¯ ,

        

      1

        2

        ∇

        

      12

        12

      ∂ z ∂ z ¯ = CΓ ∂ z ¯ + CΓ ∂ z ¯ ,

      ¯

        

      1

        2

        

      22

        22 k ∇ onde CΓ s˜ao os s´ımbolos de Christoffel da conex˜ao associados `a parametriza¸c˜ao (z, ¯ z). ij ∂ ∂ z em termos de (u, v), sendo z = u + iv, temos z

        Expressando ∇ ∂ ∂ z = (∂ u v ) z (∂ u −i∂ v )

        1 ∇ ∇ − i∂

        4

        1

        11

        12

        

      22

        11

        12

        22

        = (Γ )∂ u + (Γ )∂ v

        1 − 2iΓ 1 − Γ

        

      1

      2 − 2iΓ 2 − Γ

        2

        4

        1

        1

        1

        

      2

        2

        2

        1

        = (Γ + 2Γ ) + i(Γ ) ∂ z

        11 − Γ

        22

        

      12

      11 − Γ 22 − 2Γ

        12

        4

        1

        1

        1

        2

        2

        2

        1 + (Γ + 2Γ ) ∂ z .

        ¯ 11 − Γ 22 − 2Γ 12 ) − i(Γ 11 − Γ

        22

        12

        4 Logo,

        1

        1

        1

        1

        2

        2

        2

        1 CΓ = (Γ + 2Γ ) + i(Γ ) ,

        11 11 − Γ

        22

        12 11 − Γ 22 − 2Γ

        12

        4

        1

        2

        1

        1

        2

        2

        2

        1 CΓ = (Γ + 2Γ ) .

        11 11 − Γ 22 − 2Γ 12 ) − i(Γ 11 − Γ

        22

        12

        4 Cap´ıtulo

        2 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ∂ ∂ z . Como a parametriza¸c˜ao ´e z ¯ z ¯ z ¯ ¯

        23 De modo an´alogo, podemos determinar ∇ , ∇ , ∇ isot´ermica, os s´ımbolos de Christoffel s˜ao dados pelas igualdades E G E v u u

        1

        1

        1

        Γ = , Γ , Γ = ,

        12

        22

        11

        = −

        2E

        2E

        2E E v G u G v

        2

        2

        2

        Γ , Γ = , Γ = ,

        22 = −

        12

        22

        2G

        2G

        2G

        e, como λ z

        1

        2 CΓ = e CΓ = 0,

        11

        11

        λ ent˜ao, de modo similar, ∂ ∂ z ∂ ∂ z = 0 z ¯ z ¯ ∇ = ∇ e

        λ z

      ∂ ∂ z = ,

      ¯ z ¯ ¯ ∇

        λ o que conclui a prova do Lema. No pr´oximo Teorema, que pode ser encontrado em [13], ser˜ao apresentadas as equa¸c˜oes fundamentais para a imers˜ao e as condi¸c˜oes de compatibilidade, reescritas para o caso em que temos um parˆametro conforme para a primeira forma fundamental. Es- tas equa¸c˜oes, que s˜ao equivalentes `as de compatibilidade, s˜ao chamadas de condi¸c˜oes de integrabilidade. Teorema 16 (I. Fernandez e P. Mira, [13]). Os dados fundamentais de uma imers˜ao ψ : Σ → E(κ, τ) satisfazem `as seguintes condi¸c˜oes de integrabilidade

        2

        2

        2 K = K + τ )v ; (2.18) e

      • (κ − 4τ λ

        2

        p z = H z ) ; (2.19)

        ¯

      • vA(κ − 4τ

        2 vλ A z = (H + iτ ); (2.20)

        ¯

        2 2pA v z ; (2.21)

        = −(H − iτ)A − λ

        1

        2

        2

        = ). (2.22) ||A|| λ(1 − v

        4 Reciprocamente, se escolhermos fun¸c˜oes λ, v, H : Σ → R, com λ &gt; 0, −1 ≤ v ≤ 1 e p, A : Σ → C em uma superf´ıcie de Riemann, simplesmente conexa, Σ satisfazendo as

        

      equa¸c˜oes de integrabilidade para constantes κ, τ, com κ − 4τ 6= 0, ent˜ao, a menos de

      congruˆencia, existe uma ´ unica superf´ıcie ψ : Σ → E(κ, τ) cujos dados fundamentais s˜ao (λ, v, H, p, A).

        Cap´ıtulo

        2

        24 Prova. O Teorema 12 nos fornece uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a existˆencia de uma imers˜ao isom´etrica em termos das equa¸c˜oes de compatibilidade. Portanto, para provarmos o Teorema 16, basta verificarmos que as condi¸c˜oes de integrabilidade s˜ao equi- valentes `as equa¸c˜oes de compatibilidade. Deste modo, este Teorema ´e consequˆencia imedi- ata do Teorema 12. Assim, considerando (λ, v, H, p, A) os dados fundamentais da superf´ıcie Σ, vamos mostrar que (λ, v, H, p, A) satisfaz as equa¸c˜oes (2.18) `a (2.22) se, e somente se, (S, T, ∇, v, J, K) verifica as equa¸c˜oes de compatibilidade.

        2

        2

      • v = 1 ´e equivalente a equa¸c˜ao (2.22), Inicialmente vemos que a equa¸c˜ao ||T || pois sabemos que

        2 ¯

        T = A∂ z + A∂ z ,

        ¯

        λ logo

        2

        2

        2

        ¯ = A∂ z + A∂ z

        

      ¯

        kT k λ

        2

        2 ¯ ¯

        = A∂ z + A∂ z ¯ , A∂ z + A∂ z ¯ λ λ

        4 ¯

        = z , ∂ z z , ∂ z ¯ z ¯ , ∂ z ¯ Ah∂ i + 2A ¯ Ah∂ i + Ah∂ i

        2

        λ 4 λ

        2

        = 2kAk

        2

        λ

        2

        2

        4kAk = .

        λ Portanto,

        λ

        2

        2

        = ) kAk (1 − v

        4 ´e equivalente a

        4

        2

        2

        kAk = 1 − v λ e tamb´em

        2

        2 + v = 1.

        kT k Vamos agora mostrar que dv(X) + hSX − τJX, T i = 0 ´e equivalente a (2.21). Observa-se que dv(X) + hSX − τJX, T i = 0 ´e linear em X, portanto, para mostrarmos esta equivalˆencia basta mostrarmos que esta ´e v´alida para X = ∂ z .

        Como dv = v z dz + v z d¯ z, ent˜ao dv(∂ z ) = v z . Temos tamb´em que J(∂ z ) = i∂ z .

        ¯

        2 Utilizando estas rela¸c˜oes, e tamb´em T = ( ¯ A∂ z + A∂ z ), em (iv), segue-se que

        ¯

        λ dv(∂ z z z ) + hS(∂ ) − τJ(∂ ), T i = 0 Cap´ıtulo

        2

        25 ´e dada por

        2 v z S∂ z z , ( ¯ A∂ z + A∂ z )

        ¯

        = − − τi∂ λ

        2

        2

      • S∂ z , ( ¯ A∂ z + A∂ z ¯ ) τ i∂ z , ( ¯ A∂ z + A∂ z ¯ ) = −

        λ λ

        2

        2

        2 ¯ z ), ∂ z z ), ∂ z ¯ z , ∂ ¯ z

        = − AhS(∂ i − AhS(∂ i + Aτ ih∂ i λ λ λ

        2 2 λ 2 λ ¯

        A iτ A = − Ap − H −

        λ λ 2 λ

        2

        2 p ¯ A. = −(H − iτ)A −

        λ Portanto, dv(X) + hS(X) − τJ(X), T i = 0 e (2.21) s˜ao equivalentes. Mostremos agora que (iii) e a equa¸c˜ao (2.1) s˜ao equivalentes. Similarmente, basta mostrarmos que (iii) ´e v´alido para X = ∂ z Isto ´e equivalente a mostrar que ∂ T, ∂ z z ¯ vλ h∇ i = (H − iτ)

        2 e ∂ z T, ∂ z h∇ i = vp.

        De fato, ∂ z z ¯ z z z ¯ T, ∂ )), ∂ h∇ i = hv(S(∂ ) − τJ(∂ i z z ), ∂ z

        ¯ ¯

        = hv(S(∂ ) − iτ∂ i z ), ∂ z z , ∂ z

        ¯ ¯

        = vhS(∂ i − viτh∂ i = vII(∂ z , ∂ z z , ∂ z

        ¯ ¯

        ) − viτh∂ i λH λ

        = v − viτ

        2

        2 vλ =

        (2.23) (H − iτ).

      2 E, similarmente, ∂ T, ∂ z z h∇ ipd = vp.

        Observe que a express˜ao em (2.23) ´e o conjugado da express˜ao (). Assim, ´e poss´ıvel mostrar que a equa¸c˜ao (2.1) ´e equivalente a (iii), reescrevendo a express˜ao para a derivada do produto interno a seguir z ∂hT, ∂ i.

        Em seguida deriva-se tal express˜ao e utiliza as equa¸c˜oes (2.21) e (2.22).

        Agora, mostremos que (ii) ´e equivalente a (2.19), como a primeira equa¸c˜ao ´e bilinear e antissim´etrica nas vari´aveis X e Y, basta verificarmos para X = ∂ z e Y = ∂ ¯ z . Assim, consideraremos

      ∂ S(∂ z ∂ S(∂ z z , ∂ z z z z z ) .

      z ¯ z ¯ ¯ ¯

        2

        ∇ ) − ∇ ¯ ) − S[∂ ] = (κ − 4τ )v (h∂ , T i∂ − h∂ , T i∂ Cap´ıtulo

        2

        26 E, uma vez que vale que S[∂ z , ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z = 0,

        

      ¯ ¯ ¯

        ] = ∇ − ∇ encontramos

      ∂ S(∂ z ∂ S(∂ z z z z z ) .

      z ¯ z ¯ ¯ ¯

        2

        ∇ ) − ∇ ) = (κ − 4τ )v (h∂ , T i∂ − h∂ , T i∂ Fazendo o produto interno dessa express˜ao com ∂ , ∂ , ∂ z z z ¯ z z e utilizando que h∂ i = 0 e h∂ i =

        λ , temos

        2 λ ∂ S(∂ z ∂ S(∂ z ), ∂ z z . z ¯ z

        2

        h∇ ) − ∇ ¯ i = −(κ − 4τ )vh∂ , T i

        2 Agora, como z ), ∂ z e ∂ z ∂ z = 0 (2.24) p = hS(∂ i ∇ encontramos as rela¸c˜oes

        ∂ ), ∂ S(∂ ), ∂ ∂

        

      ¯ z z z ∂ z ¯ z z z ∂ z z

        hS(∂ i = h∇ i + hS(∂ ), ∇ ¯ i, p z ∂ z S(∂ z ), ∂ z

        ¯ = h∇ i.

        Al´em disso, como z ), ∂ z z , λH

        ¯

        hS(∂ i = I(∂¯z, ∂ ) = −

        2 derivando essa igualdade, temos ∂ z z ¯ ), ∂ z ∂ z S(∂ z ¯ ), ∂ z z ¯ ∂ z ∂ z hS(∂ i = h∇ i + hS(∂ ), ∇ i,

        λ z H + λH z λ z ∂ S(∂ z ), ∂ z z ), ∂ z z ¯ ¯ − = h∇ i + hS(∂ i, 2 λ

        λ z H λH z λ z λH ∂ z S(∂ z ¯ ), ∂ z , − − = h∇ i −

        2 2 2λ ou seja, ∂ z S(∂ z ), ∂ z . λH z

        ¯

        h∇ i = −

        2 Logo, a equa¸c˜ao (2.24) pode ser reescrita como λ

        2

        p z = H z ) ,

      • vA(κ − 4τ

        2 como quer´ıamos. Para concluirmos a prova do Teorema 16 mostraremos que a rela¸c˜ao K = det S +

        2

        2

        2

        τ )v ´e obtida a partir das demais equa¸c˜oes de integrabilidade. De fato, como

      • (κ − 4τ

        λ λH E = G = 0, F = , e = p, g = ¯ p e f = , obtemos

        2

        2 det(S) = K(I, II)

        2

        2

        λ H

        2

        2

        p¯ p − eg − f

        2 4|p|

        4 = = = H .

        −

        2

        2

        2

        λ λ EG − F

        −

        4 Cap´ıtulo

        2

        27 Utilizando a express˜ao para K obtida no Lema 15 anterior, podemos reescrever a equa¸c˜ao de Gauss como z z ¯

        2

        −2(log(λ)) 4|p|

        2

        2

        2

        2

        = H + τ )v . (2.25) − + (κ − 4τ

        2

        λ λ Derivando a express˜ao

        λ z A z = vp,

        − λ em rela¸c˜ao a ¯ z, e utilizando as equa¸c˜oes (2.1), (2.21) e (2.22), obtemos a express˜ao (2.25).

        Isto finaliza a prova.

      2.2 A Diferencial de Abresch-Rosenberg

        3 A diferencial holomorfa sobre superf´ıcies imersas em R , constru´ıda originalmente

        por Hopf em 1955, ´e uma das principais ferramentas utilizadas para a demonstra¸c˜ao do Teorema de Hopf, apresentado no primeiro cap´ıtulo.

        Duas importantes generaliza¸c˜oes do Teorema de Hopf foram feitas, em 2004 e 2005, por Abresch e Rosenberg, em [1] e [2], respectivamente. Eles generalizaram a defini¸c˜ao da diferencial de Hopf para superf´ıcies com curvatura m´edia constante, imersas

        2

        2

        nos espa¸cos produto S × R e H × R e, mais geralmente, para espa¸cos homogˆeneos tridimensionais com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro. Utilizando esta ferramenta, estabeleceram uma generaliza¸c˜ao do Teorema do Hopf para superf´ıcies imersas em E(κ, τ ), com o seguinte enunciado.

        2 Teorema 17 (Abresch-Rosenberg). Qualquer imers˜ao de uma esfera S de curvatura

        3

      m´edia constante, em um espa¸co homogˆeneo simplesmente conexo, (M , g) com grupo de

      isometria no m´ınimo de dimens˜ao quatro ´e, de fato, uma esfera com curvatura m´edia

      constante, mergulhada e rotacionalmente invariante.

        Na se¸c˜ao que conclui este cap´ıtulo apresentaremos uma prova deste resultado

        2

        2

        para imers˜oes nos espa¸cos produto S × R e H × R, que pode ser encontrada em [1]. A diferencial devida a Abresch-Rosenberg para uma imers˜ao φ : Σ → E(κ, τ) ´e a diferencial quadr´atica globalmente definida por

        2

        2

        2

        2 Qdz )A dz . (2.26)

        = 2(H + iτ )p − (κ − 4τ

        3 Diferentemente do que acontece para imers˜oes em R , onde a diferencial de Hopf

        ser holomorfa implica que a superf´ıcie tem curvatura m´edia constante, a diferencial de Abresch-Rosenberg pode ser holomorfa em algumas superf´ıcies cuja curvatura m´edia n˜ao ´e constante. Todavia, a rec´ıproca deste ´e v´alida em E(κ, τ ), exibiremos a prova agora.

        2 Teorema 18. A diferencial quadr´atica Qdz ´e holomorfa em qualquer superf´ıcie com curvatura m´edia constante em E(κ, τ ). Cap´ıtulo

        2

        28 Prova. Derivando (2.26) em rela¸c˜ao a ¯ z obtemos

        2 Q z = 2H z p + 2(H + iτ )p z )2AA z .

      ¯ ¯ ¯ ¯

        − (κ − 4τ Pelo Teorema 16, sabemos que vλ λ

        2 A z = (H + iτ ) e p z = (H z )). ¯ ¯

      • vA(κ − 4τ

        2

        2 Logo, segue-se que λ vλ

        

      2

        2 Q z ¯ = 2H z p + 2 (H + iτ ) H z ) )2A (H + iτ )

      • vA(κ − 4τ − (κ − 4τ

        2

        2

        2

        2

        2

        = 2H z p + (H + iτ )λH z )Avλiτ

        ¯

      • (H + iτ )λvA(κ − 4τ ) − (κ − 4τ )AvλH − (κ − 4τ = 2H z p + λH z (H + iτ ).

        ¯

        Como Σ ´e uma superf´ıcie cmc, H z = H z ¯ = 0, e Q z = 0,

        ¯ ou seja, Q ´e holomorfa, como quer´ıamos mostrar.

        Pode-se tamb´em definir a diferencial de Abresch-Rosenberg para imers˜ao de uma superf´ıcie ψ : Σ → E(κ, τ) da seguinte maneira

        2

        κ − 4τ

        2

        2

        2 Qdz = A dz .

        2p − H + iτ

        Uma vantagem de escrever a diferencial desta maneira ´e ficar expl´ıcito que a diferencial de Abresch-Rosenberg ´e uma perturba¸c˜ao da diferencial de Hopf. O pr´oximo resultado, que pode ser encontrado em [1], classifica as superf´ıcies com curvatura m´edia constante e diferencial quadr´atica identicamente nula.

        Teorema 19. Existem quatro distintas classes de superf´ıcies completas, possivelmente

        2

        2 imersas, cmc ψ : Σ → S × R ou ψ : Σ → H × R, com diferencial quadr´atica Q identicamente nula.

        Trˆes dessas classes s˜ao compostas por superf´ıcies mergulhadas rotacionalmente invariantes; s˜ao elas as esferas cmc de Hsiang e Pedrosa contidas no espa¸co homogˆeneo,

        2

        2 seus primos n˜ao compactos D , e as superf´ıcies do tipo catenoidal C . A quarta classe H H

        2 ´e ´e compreendida de certas ´orbitas P do 2-dimensional grupo sol´ uvel de isometrias do H espa¸co homogˆeneo.

        Utilizando esse Teorema 19, ´e poss´ıvel estabelecer a seguinte generaliza¸c˜ao do

        2

      2 Teorema de Hopf em S

        × R e H × R Cap´ıtulo

        2

        29

        2 Teorema 20 (Abresch, Rosenberg, [1]). Qualquer esfera cmc Σ imersa em S

        × R ou em

        2

        2 H H contida no respectivo

        ×R, ´e uma esfera cmc mergulhada rotacionalmente invariante S espa¸co produto. Prova. Se a superf´ıcie ´e cmc ent˜ao a diferencial quadr´atica Q ´e holomorfa. ´ E conhecido, ver [1], que qualquer diferencial quadr´atica holomorfa sobre uma esfera de dimens˜ao dois ´e identicamente nula. Logo Q ≡ 0. Ent˜ao uma das quatro possibilidades, listadas no teorema de classifica¸c˜ao enunciado acima, acontece.

        Entretanto, como o gˆenero da superf´ıcie ´e zero e ela ´e compacta a ´ unica possibili- dade que pode ocorrer ´e Σ ser uma esfera cmc, mergulhada e rotacionalmente invariante. Cap´ıtulo 3 O Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy

        Neste cap´ıtulo, apresentaremos generaliza¸c˜oes do Teorema de Hopf, para su- perf´ıcies imersas em espa¸cos homogˆeneos tridimensionais, com grupo de isometria de dimens˜ao quatro. Tais espa¸cos s˜ao fibra¸c˜oes Riemannianas com curvatura fibrado τ , ver- tical e unidimensional, sobre uma forma espacial, bidimensional, com curvatura seccional κ. E s˜ao classificados, a menos de isometrias, por κ e τ, ambos n´ umeros reais tais que

        2

        κ 6= 4τ . Quando τ = 0, pela diferen¸ca acima temos que κ 6= 0. E tais espa¸cos s˜ao da

        2

        forma M (κ)×R, com κ = −1, 0, 1. Quando τ 6= 0, temos as esferas de Berger para κ &gt; 0, o espa¸co tridimensional de Heisenberg para κ = 0 e o recobrimento universal do grupo de

        Lie P SL (R) para κ &lt; 0. Mais informa¸c˜oes podem ser encontradas em [8] e [9].

      2 As generaliza¸c˜oes devidas a H. Alencar, M. do Carmo, I. Fern´andez e R. Tribuzzi,

        [3] e [4], al´em de generalizarem o espa¸co ambiente considerado, utilizaram uma hip´otese mais fraca que curvatura m´edia constante. De fato, eles sup˜oem que a norma da diferencial da curvatura m´edia de H ´e limitada

        (2,0)

        |dH| ≤ h(z)|Q |, onde |dH| ´e a norma da diferencial da curvatura m´edia H da superf´ıcie imersa M, com-

        (2,0)

        pacta e de gˆenero zero, h ´e uma fun¸c˜ao real cont´ınua n˜ao negativa e Q ´e a parte (2, 0) da forma quadr´atica definida por Abresch e Rosenberg.

        Como H = k, constante, implica que dH ≡ 0, o resultado encontrado em [3] generaliza tamb´em o resultado de U. Abresch e H. Rosenberg apresentados no cap´ıtulo

        2. Enunciaremos os resultados principais deste cap´ıtulo e a seguir faremos uma se¸c˜ao dedicada `as defini¸c˜oes e resultados utilizados nas provas destes Teoremas, com destaque para o Lema 26 que tem importˆancia pr´opria.

        Cap´ıtulo

        3

        31 Teorema 21 (Alencar, do Carmo e Tribuzy,[3]). Seja M uma superf´ıcie compacta, de

        2 gˆenero zero, imersa em M

        (c) × R. Suponhamos que

        (2,0) |dH| ≤ h(z)|Q |. (2,0)

        

      Ent˜ao Q ´e identicamente nula e M ´e uma superf´ıcie invariante por rota¸c˜oes em

      2 M (c) × R.

        Teorema 22 (Alencar, do Carmo, Fernandez, Tribuzy, [4]). Seja M uma superf´ıcie com-

        pacta de gˆenero zero imersa em E(κ, τ ), com curvatura m´edia H. Assuma que (2,0)

        |dH| ≤ g|Q |,

        (2,0)

      onde g ´e uma fun¸c˜ao real, cont´ınua e n˜ao negativa. Ent˜ao Q ´e identicamente nula e

      M ´e uma superf´ıcie com curvatura m´edia constante invariante por rota¸c˜oes em E(κ, τ ).

        As demonstra¸c˜oes destes resultados ser˜ao apresentadas nas se¸c˜oes 3.3 e 3.4.

      3.1 Preliminares

        Consideremos (u, v) parˆametros isot´ermicos em um subconjunto aberto U da superf´ıcie M. Assim, ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

        2 , = , = λ , , = 0.

        ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v Sejam z = u + iv,

        1

        1 dz = (du + idv) , d¯ z = √ √ (du − idv)

        2

        2 e sejam Z e Z os campos definidos sobre U dados por 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂

        Z = , Z = + i , √ √

        − i ∂u ∂v ∂u ∂v

        2

        2 de modo que

        2 dz(Z) = d¯ z(Z) = 1, dz(Z) = d¯ z(Z) = 0 e .

        hZ, Zi = λ n n Neste ponto, consideraremos o espa¸co ambiente mais geral M (c) ´e

        (c) × R, onde M n uma variedade Riemaniana com curvatura seccional constante c, sendo M # M (c) × R uma superf´ıcie imersa. A generaliza¸c˜ao da diferencial quadr´atica definida por Abresch e

        Rosenberg ´e definida por → −

        Q(X, Y ) = 2hα(X, Y ), H i − chξX, ξY i, Cap´ıtulo

        3

        32 → − onde H = HN ´e o vetor curvatura m´edia da imers˜ao, α ´e a segunda forma fundamental n e ξ : M

        (c) × R → R ´e a proje¸c˜ao ξ(p, t) = t. Seja a (2, 0)−componente da diferencial Q,

        (2,0)

        2 Q = ψ(z)dz .

        Notemos que Q(Z, Z) = ψ(z) e da´ı |Q(Z, Z)| = |ψ(z)|. Observemos que ∂ψ

        − → = ZQ(Z, Z) = 2Zhα(Z, Z), H i − cZhξ(Z), ξ(Z)i. ∂ ¯ z

        ⊥

        , definida por Utilizando a conex˜ao normal ∇

        ⊥ ⊥ X η := X η ∇ ∇ N − S (X) ; η, N ∈ X(M) , X ∈ X(M).

        − → Exibimos o termo 2Z hα(Z, Z), H i como

        → − ⊥ → − ⊥ → − α(Z, Z), (3.1) 2Zhα(Z, Z), H i = 2h∇ H i + 2hα(Z, Z), ∇ H i. Z Z Precisaremos das seguintes igualdades.

        Lema 23. Z Z Z = 0.

        Temos que ∇ Z = ∇ Prova.

        Como a conex˜ao ∇ ´e sim´etrica ent˜ao, para X, Y ∈ X(M), temos que X Y X.

        [X, Y ] = ∇ Y − ∇ Como Z, Z

        ∈ X(M), ent˜ao Z Z Z [Z, Z] = ∇ Z − ∇ = ZZ − ZZ.

        ∞

        ´ (M ), temos

        E verdade que [Z, Z] ≡ 0. De fato, dada uma fun¸c˜ao f ∈ C [Z, Z](f ) = ZZ(f )

        − ZZ(f) 1 ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂

        = + i + i (f ) − i (f ) − − i 2 ∂u ∂v ∂u ∂v

        2 ∂u ∂v ∂u ∂v

        2

        2

        2

        2

        1 ∂ ∂ ∂ ∂

      • =
      • 2

        (f ) (f ) −

        2

        2

        2

        2 ∂u ∂v ∂u ∂v Z = 0, Z Z, como afirmado. Logo ∇ Z = ∇ Z

        Agora, como ∇ Z ∈ X(M), podemos escrever Z = aZ + bZ.

        ∇ Z Cap´ıtulo

        3

        33 E, da´ı, Z h∇ Z, Zi = haZ + bZ, Zi = ahZ, Zi + bhZ, Zi = bhZ, Zi,

        Pois, hZ, Zi. Por outro lado, Z

        1 h∇ Z, Zi = ZhZ, Zi = 0, 2 logo, bhZ, Zi = 0 b = 0, pois hZ, Zi = λ 6= 0. Da´ı, Z Z = aZ.

        ∇ Z Z com Z, obtemos que Agora fazendo o produto interno de ∇ Z h∇ Z, Zi = ahZ, Zi, isto ´e, Z h∇ Z, Zi = ahZ, Zi Z

        1 e como h∇ Z, Zi = ZhZ, Zi = 0. De modo similar, temos que 2 ahZ, Zi = 0 Z Z = 0, concluindo assim a prova do Lema. Z a = 0.

        Temos ent˜ao que ∇ Z = ∇ Como, por defini¸c˜ao,

        ⊥ Z Z Z Z)

        (∇ α) (Z, Z) = ∇ Z α(Z, Z) − α(∇ Z, Z) − α(Z, ∇

        ⊥

        Z, Z) , = ∇ α(Z, Z) − 2α (∇ Z Z

        Utilizando o Lema anterior, temos que

        ⊥ Z α(Z, Z).

        (∇ α) (Z, Z) = ∇ Z Portanto, utilizando a express˜ao (3.1) e a express˜ao acima, encontramos

        D E → − ⊥ → − ⊥ − →

        2Z α (Z, Z), H (3.2) hα(Z, Z), H i = 2 ∇ + 2hα(Z, Z), ∇ H i. Z Z Cap´ıtulo

        3

        34 Agora, utilizando a equa¸c˜ao de Codazzi e denotando por e R a curvatura do espa¸co ambi- ente, ´e v´alida a rela¸c˜ao Y X α)(Y, Z, η) h e R(X, Y )Z, ηi = (∇ α)(X, Z, η) − (∇ − → assumindo X = Z, Y = Z, Z = Z, η = H . Da´ı,

        → − → − − → ( α)(Z, Z, H ) = ( Z α)(Z, Z, R(Z, Z)Z, Z ∇ ∇ H ) + h e H i.

        Substituindo a express˜ao acima na equa¸c˜ao (3.2), utilizando a conex˜ao normal, temos que D E D E

        − → ⊥ → − − → ⊥ − → e α (Z, Z), H R(Z, Z)Z, H + 2Zhα(Z, Z), H i = 2 ∇ + 2hα(Z, Z), ∇ H i. Z Z D E

        − → e O pr´oximo Lema fornece uma express˜ao para o termo R(Z, Z)Z, H da equa¸c˜ao acima.

        Lema 24. Temos que D E

        − →

        2 − →

        e R(Z, Z)Z, H = cλ hξ(Z), ξ( H )i.

        2

        

      2

      Prova.

        Consideremos π : M (c), definida por (c) × R → M π(p, t) = p.

        Identificaremos π e ξ com suas respectivas derivadas. Portanto, X = π(X) + ξ(X). Como o espa¸co ambiente E(κ, τ ) que estamos considerando ´e uma fibra¸c˜ao Riemmanianna, podemos utilizar o Teorema 9, enunciado no Cap´ıtulo 2, para cada espa¸co com curvatura seccional constante. Ent˜ao, e R ´e dada por

        → − → − → − R(Z, Z)Z,

        (3.3) h e H i = c{hπ(Z), π(Z)ihπ(Z), π( H )i − hπ(Z), π(Z)ihπ(Z), π( H )i}. Vamos reescrever cada um dos termos do segundo membro da equa¸c˜ao acima. Primeiro, hπ(Z), π(Z)i = hZ − ξZ, Z − ξZi

        = hZ, Zi − hZ, ξZi − hξZ, Zi + hξZ, ξZi

        2

        = λ − hπZ + ξZ, ξZi − hξZ, πZ + ξZi + hξZ, ξZi

        2

        = λ − hπZ, ξZi − hξZ, ξZi − hξZ, πZi − hξZ, ξZi + hξZ, ξZi. Como hπZ, ξZi = hξZ, πZi = 0 e os dois ´ultimos termos da equa¸c˜ao acima se cancelam, temos

        

      2 hπZ, πZi = λ − hξZ, ξZi. Cap´ıtulo

        3

        − → H i

        H i) = −λ

        2

        hξZ, ξ − →

        H i + hξZ, ξZihξZ, ξ − → H i.

        Agora, vamos calcular o segundo termo do segundo membro da equa¸c˜ao (3.3). De modo similar, usando que hZ, Zi = 0, temos hπZ, πZi = hZ − ξZ, Z − ξZi

        = hZ, Zi − hZ, ξZi − hξZ, Zi + hξZ, ξZi = −2hZ, ξZi + hξZ, ξZi = −2(hπZ + ξZ, ξZi) + hξZ, ξZi = −2(hpiZ, ξZi + hξZ, ξZi) + hξZ, ξZi = −2(0 + hξZ, ξZi) + hξZ, ξZi = (−2 + 1)hξZ, ξZi = −hξZ, ξZi.

        Utilizando que hZ, − →

        H i = 0, com Z, − →

        H tangente e normal, respectivamente, de modo similar ao que foi feito anteriormente segue que hπ

        − → Z , π

        − → H i = hZ − ξZ,

        − → H − ξ

        = hZ, − →

        

      2

        H i − hZ, ξ − → H i − hξZ,

        − → H i + hξZ, ξ

        − → H i

        = 0 − hπZ + ξZ, ξ − →

        H i − hξZ, π − →

        H + ξ − →

        H i + hξZ, ξ − →

        H i = −hπZ, ξ

        − → H i − hξZ, ξ

        − → H i − hξZ, π

        − → H h−hξZ, ξ

        − → H i + hξZ, ξ

        − → H i

        − hξZ, ξZi)(hξZ, ξ − →

        H i = −(λ

        35 Sendo Z ∈ X(M) e N ∈ X(M)

        − → H + ξ

        ⊥

        , temos que hZ, Ni = 0, e da´ı hπZ, π − → H i = hZ − ξZ,

        − → H − ξ

        − → H i

        = hZ, − →

        H i − hZ, ξ − →

        H i − hξZ, − → H i + hξZ, ξ

        − → H i

        = 0 − hZ, ξ − → H i − hξZ,

        − → H i + hξZ, ξ

        − → H i

        = −hπZ + ξZ, ξ − → H i − hξZ, π

        − → H i + hξZ, ξ

        Logo, hπZ, πZihπZ, π − →

        − → H i

        = −hπZ, ξ − → H i − hξZ, ξ

        − → H i − hξZ, π

        − → H i − hξZ, ξ

        − → H i + hξZ, ξ

        − → H i

        = −hπZ, ξ − → H i − hξZ, ξ

        − → H i − hξZ, π

        − → H i.

        e, como hπZ, ξ − →

        H i = hξZ, π − →

        H i = 0, encontramos que hπZ, π − →

        H i = −hξZ, ξ − → H i.

        = −hξZ, ξ − → H i. Cap´ıtulo

        3

        36 Portanto, → − → − → −

        Z , π hπZ, πZihπ H i = hξZ, ξZihξZ, ξ H i. Podemos ent˜ao reescrever a equa¸c˜ao (3.3) como

        − →

        2 → − → − → −

        R(Z, Z)Z, h e H i = c{−λ hξZ, ξ H i + hξZ, ξZihξZ, ξ H i − hξZ, ξZihξZ, ξ H i}

        2 → − → − − →

        = c{−λ hξZ, ξ H i + |ξZ||ξZ||ξZ||ξ H | − |ξZ||ξZ||ξZ||ξ H |}

        2 → − = −cλ hξZ, ξ H i.

        Finalmente, pela propriedade de antissimetria do tensor curvatura, obtemos − →

        2 → −

        R(Z, Z)Z, h e H i = cλ hξZ, ξ H i, como afirmado. Ser´a necess´ario para o que segue a prova mais um resultado auxiliar. Lema 25.

        Temos 2 → − cZhξZ, ξZi = 2cλ hξZ, ξ H i.

        Prova.

        Observe, inicialmente, que T Z Z Z Z) Z, α(Z, Z) = ∇ Z − (∇ = ∇ n Z Z = 0. Como o espa¸co ambiente ´e o espa¸co produto M pois j´a foi provado que ∇

        (c) × R com as proje¸c˜oes naturais π e ξ, ent˜ao podemos escrever

        1

        2 Z Z

        Z = (πZ), ∇ ∇ (ξZ + πZ) = ∇ Z (ξZ) + ∇ Z n

        1

        2

        s˜ao as conex˜oes de R e de M (c), respectivamente. Logo, onde ∇ e ∇

        1

        2

        1 Z (ξZ).

        ξα(Z, Z) = ξ∇ Z = ξ∇ (ξZ) + ξ∇ (πZ) = ∇ Z Z Z Portanto,

        1

        hξα(Z, Z), ξZi = h∇ (ξZ), ξZi Z = h∇ Z (ξZ), ξZi.

        Notemos que ZhξZ, ξZi = 2h∇ Z (ξZ), ξZi = 2hξα(Z, Z), ξZi.

        Consideremos o campo

        1 E = (e ), (3.4)

        1

        2

        √ − ie

        2 Cap´ıtulo

        3

        37 ∂ ∂ onde e e e s˜ao os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes de e , respectivamente. ´ E verdade

        1

        2

        ∂u ∂v que Z = λE, pois

        1 E = (e )

        1

        2

        √ − ie

        2  

        ∂ ∂ 1   ∂u ∂v

          =

        √ − i

          ∂ ∂

        2 ∂u ∂v 1 ∂ ∂

        = .

        √ − i λ∂u λ∂v

        2 Vamos agora utilizar este fato e a bilinearidade da segunda forma α para o que segue e e

        1

        2

        1

        2

        − ie − ie

        2

        2

        α(Z, Z) = λ α(E, E) = λ α , √ √

        2

        2

        2

        λ = , e ) + α(e , e

        1

        1

        2

        2

        {α(e )}

        2

        2 → − = λ H .

        Logo, → −

        1

        2 ZhξZ, ξZi = 2h∇ Z(ξZ), ξZi = 2hα(Z, Z), ξZi = 2hλ H , ξZi 2 → −

        = 2λ h H , ξZi. Como afirmado.

        Podemos reescrever ZQ(Z, Z) como → − → − → −

        ⊥ 2 ⊥

        )(Z, Z), ZQ(Z, Z) = 2h(∇ Z H i + 2cλ hξZ, ξ H i + 2hα(Z, Z), ∇ Z H i − cZhξZ, ξZi

        ⊥ → − ⊥ → −

        )(Z, Z), (3.5) = 2h(∇ H i + 2hα(Z, Z), ∇ H i. Z Z

        A ´ ultima igualdade decorre devido ao cancelamento de dois, dos quatro termos anteriores, utilizamos para isto o Lema 25, O primeiro termo do segundo membro da equa¸c˜ao (3.5) ´e igual a

        ⊥ ⊥ Z Z Z)

        (∇ α)(Z, Z) = ∇ Z (α(Z, Z)) − α(∇ Z, Z) − α(Z, ∇ Z → − Z Z),

        = Z(hZ, Zi H ) − α(Z, ∇

        2

        a ´ ultima igualdade decorre das igualdades α(Z, Z) = λ Z Z = 0. Utilizando a regra H e ∇ de deriva¸c˜ao do produto e do produto interno obtemos

        ⊥ → − − → ⊥ − → Z Z Z Z).

        (∇ α)(Z, Z) = h∇ Z, Zi H + hZ, ∇ Zi H + hZ, Zi∇ Z H − α(Z, ∇ Z Cap´ıtulo

        3

        38 Considere E, definido pela equa¸c˜ao (3.4), deste modo, quaisquer vetores complexos X, Y ∈

        X (M ), podem ser escritos como X = w E e Y = w

        E, com w , w

        1

        2

        1

        2

        ∈ C. Da´ı, − → α(X, Y ) = w w H .

        1

        α(E, E) = hX, Y i Agora, escolhendo X = ∇

      2 Z Z e Y = Z, obtemos

        → − → − − → − →

        ⊥ Z Z Z Z, Z H Z

        (∇ Z α)(Z, Z) = h∇ Z, Zi H + hZ, ∇ Zi H + hZ, Zi∇ H − h∇ i Z Z = 0 e simplificando a express˜ao do segundo membro, novamente utilizando que ∇ retirando os termos que se anulam, temos

        

      ⊥ ⊥ → −

      H .

        (∇ α)(Z, Z) = hZ, Zi∇ Z Z Finalmente, podemos reescrever a express˜ao de ZQ(Z, Z) como segue

        ⊥ → − → − ⊥ → − Z H ,

        (3.6) ZQ(Z, Z) = 2hhZ, Zi∇ H i + 2hα(Z, Z), ∇ H i. Z Na pr´oxima se¸c˜ao destacamos um Lema que ser´a fundamental na demonstra¸c˜ao dos Te- oremas principais do cap´ıtulo.

      3.2 Lema Principal

        Nesta se¸c˜ao, enunciaremos e provaremos o Lema Principal, que ´e um resultado fundamental para demonstra¸c˜ao dos Teoremas centrais deste cap´ıtulo. Lema 26

        (Lema Principal). Seja f : U ⊂ C → C uma fun¸c˜ao complexa definida no

        aberto U, que cont´em a origem z = 0. Suponhamos que

        ∂f (3.7)

        ≤ h(z)|f(z)|, ∂ ¯ z

        

      onde h ´e uma fun¸c˜ao real cont´ınua, n˜ao negativa. Assumamos que z = z ´e um zero de

      ou

        f . Ent˜ao f = 0 em uma vizinhan¸ca V ⊂ U de z k ) f k f (z) = (z − z (z), z ∈ V, k ≥ 1.

        Aqui f k (z) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua com f k (z ) 6= 0.

        Sem perda de generalidade, vamos supor z = 0 e que U ´e um disco de raio R e centro na origem. A prova do Lema Principal segue imediatamente dos dois seguintes Lemas auxiliares. f (z) Lema 27.

        Assumindo as hip´oteses do Lema Principal e que lim z →0 r −1 = 0, r ≥ 1, z

        f (z) temos que o lim z existe.

        →0 r

        z Cap´ıtulo

        3

        39 Prova. Definamos uma forma diferencial f (z) r dz z (z − w) em D R

        (0), com z 6= 0, z 6= w e r ≥ 1. Usando a vers˜ao complexa do Teorema de Green- Stokes, que pode ser encontrada em [17], p.175,

        Z Z Z ∂h ∂g gdz + hd¯ z, B ∂z ∂ ¯ z ∂B − dz ∧ d¯z = obtemos

        Z Z Z 1 f (w) dz. (3.8)

        − dz ∧ d¯z = r r D a a ∂D a a R (0)\(D (0)∪D (w)) (z − w) R (0)\(D (0)∪D (w)) (z − w) z z De fato, a equa¸c˜ao (3.8) ´e satisfeita pois

        ∂ f (z) ∂

        1 1 ∂f r r r = f (z) + , ∂ ¯ z z ∂ ¯ z z z ∂ ¯ z

        (z − w) (z − w) (z − w)

        1 e sendo holomorfa em D R a a r (0) \ {D (0) ∪ D (w)}, temos z (z − w)

        ∂

        1 r = 0. ∂ ¯ z z

        (z − w) Da´ı a equa¸c˜ao (3.8) ´e consequˆencia imediada do Teorema de Green-Stokes. Da´ı,

        Z Z Z f (z) f (z) f (z) r r r dz + dz + dz ∂D R (0) ∂D a (0) ∂D a (w) z z z (z − w) (z − w) (z − w)

        Z Z

        1 (3.9) = − dz ∧ d¯z. r D (0)\{D a (0)∪D a (w)} R (z − w) z

        Vamos agora calcular as integrais de (3.9). Definamos a fun¸c˜ao auxiliar g(z) = f (z) e fa¸camos a seguinte mudan¸ca de vari´aveis z = w + ae r , 0 ≤ θ ≤ 2π, na integral z

        Z f (z) r dz. ∂D a (w) z (z − w)

        Da´ı, Z Z Z 2π iθ g(z) g(z) g(w + ae ) aie dθ

        = − = − ∂D a (w) ∂D a (w) ae z − w z − w Z 2π ig(w + ae )dθ, iθ − = − utilizamos que dz = aie dθ e ∂D (w) ´e ∂D a (w) com a orienta¸c˜ao anti-hor´aria. a

        Como g(z) ´e cont´ınua em D a (w) temos que a lim g(w + ae ) = g(w),

        →0 Cap´ıtulo

        3

        40

        e, portanto, Z Z 2π g(z)

        −r

        lim . a = −ig(w) dθ = −2πig(w) = −2πif(w)w

        →0 ∂D a (w) z − w

        Calculemos, agora, explicitamente a integral Z f (z) r dz, r ≥ 1. ∂D a (0) (z − w) z

        Fazendo a mudan¸ca de vari´avel z = ae , 0 ≤ θ ≤ 2π, obtemos

        Z Z iθ f (z) f (ae ) dz r r riθ iθ dz = − ∂D a (0) ∂D a (0) z (a e (ae

        (z − w) − w) Z iθ Z iθ f (ae ) f (ae ) aie dθ. = − dθ = −i − − r riθ iθ r −1 (r−1)iθ iθ ∂D a (0) ∂D a (0) (a e (ae (a e (ae

        − w) − w) Por hip´otese, f (z) lim = 0. r z →0

      −1

      z

        Da´ı, fazendo a → 0, temos z → 0, e, usando a integral acima, temos que Z Z 2π iθ f (z) f (ae ) lim dθ = 0. r r i iθ dz = −i lim z a −1 (r−1)θ −w →0 →0 ∂D a (0) (z − w) z a e (ae )

        Fazendo a → 0 na equa¸c˜ao (3.9), temos que Z ZZ f (z)

        1 ∂f

        −r

        (3.10) + −2iπf(w)w dz = − dz ∧ d¯z. ∂D z D z ∂ ¯ z R (0) R (0) r r (z − w) (z − w)

        Al´em disso, a integral dupla, acima, `a direita, quando a → 0, existe pois as integrais `a esquerda de (3.9), quando a → 0, existem. Agora, voltemos `a express˜ao (3.10), por hip´otese existe A &gt; 0 tal que max z ∈D (0) R h(z) ≤ A, pois h ´e cont´ınua e o disco ´e um compacto, portanto, possui m´aximo. Ent˜ao, segue da equa¸c˜ao (3.10) que

        Z ZZ 1 ∂f

        −r |f(z)|

        2π|f(w)||w| ≤ |dz| + r −r |dz ∧ d¯z| ∂D (0) D (0) R |z| |z − w| R |z| |z − w| ∂ ¯ z

        Z ZZ |f(z)|

        2A|f(z)| dxdy, (3.11) ≤ |dz| + r ∂D R (0) D R (0) −r

        |z| |z − w| |z| |z − w| pois dz ∧ d¯z = −2idxdy, com z = x + iy.

        1 Tomando z e integrando

        ∈ D, z 6= 0, multiplicando a inequa¸c˜ao por |w − z | com respeito a dudv, onde w = u + iv, concluimos com D ǫ = D R ǫ (z ), que

        (0) \ D Cap´ıtulo

        3

        41 Z Z Z |f(w)| |f(z)||dz|

        2π dudv + D ǫ D ǫ ∂D r r dudv ≤

        |w − z ||w| R (0) |z| |z − w||w − z | Z ZZ

        |f(z)|

        2A dxdydudv. (3.12) D ǫ D (0) R |z| |z − w||w − z | r Vamos agora estimar as integrais `a direita da desigualdade acima. Iniciaremos por

        Z Z |f(z)||dz| D ∂D ǫ R (0) |z| |z − w||w − z | r dudv.

        Como

        1

        1

        1

        1

        1

        1

        1

      • =
      • , ≤

        |z − w||w − z | |z − z | z − w w − z |z − z | |z − w| |w − z | temos que Z Z Z Z

        |f(z)||dz| |f(z)||dz| dudv + D ǫ ∂D (0) D ǫ ∂D (0) R |z| |z − w||w − z | R |z| |z − z ||z − w| r dudv ≤ r Z Z

        |f(z)||dz| D ǫ ∂D R (0) r dudv. (3.13) |z| |z − z ||w − z |

        Por outro lado, como Z Z dudv dudv

        , D D R (0) |z − w|2R (0) |z − w| sendo w = u + iv, podemos escrever w como w = z + ρe , iθ iθ −iθ −iθ dρ + iρe dθ e d ¯ w = e dθ. onde 0 ≤ ρ ≤ 2R e 0 ≤ θ ≤ 2π. Segue que dw = e dρ − iρe Da´ı d ¯ w ∧ dw = −2iρdρ ∧ dθ e dudv = −ρdρ ∧ dθ = ρdθ ∧ dρ.

        Destas rela¸c˜oes, obtemos Z Z

        2R Z 2π

        dudv = D (z) 2R |z − w| dθ ∧ dρ = 4πR.

        Portanto, Z dudv D R (0) |z − w| ≤ 4πR.

        Cap´ıtulo

        3

        42 Logo, obtemos a seguinte estimativa para o primeiro termo da equa¸c˜ao (3.13): Z Z Z Z

        |f(z)||dz| |f(z)||dz| dudv D ǫ ∂D R (0) D ǫ ∂D R (0) r dudv ≤ r |z| |z − w||w − z | |z| |z − z ||z − w|

        Z Z |f(z)||dz| D ∂D ǫ R (0) r + dudv

        |z| |z − z ||w − z | ( Z

        |f(z)| ≤ 4πR |dz| ∂D R (0) |z| |z − z | r

        ) Z

        |f(z)| ∂D R (0) |z| |z − z | r |dz|

      • Z |f(z)|

        = 8πR ∂D R (0) |z| |z − z | r |dz|. De modo similar, podemos expressar a segunda parcela da inequa¸c˜ao (3.12) assim

        Z ZZ ZZ

        1 |f(z)|

        |f(z)|

        2A dxdy. D D ǫ R (0) r dxdydudv ≤ 16ARπ D R (0) r |z| |z − w||w − z | |z| |z − z |

        Da´ı, reescrevemos a inequa¸c˜ao (3.12) como Z Z ZZ

        |f(w)| |f(z)| |f(z)| 2π

        ǫ |w − z ||w| R (0) |z| |z − z | R (0) |z| |z − z | dxdy, D ∂D D r r r dudv ≤ 8πR |dz| + 16ARπ isto ´e, ZZ Z

        |f(z)| |f(z)||dz| . 2π(1 − 8AR) dxdy ≤ 8πR D ∂D R (0) R (0) r r

        |z| |z − z | |z| |z − z | Al´em disso, podemos escolher R de modo que 1 − 8AR seja positivo. Logo, para z 6= 0,

        ZZ Z |f(z)| |f(z)||dz|

        ), 0 ≤ 2π(1 − 8AR) dxdy ≤ 8πR ≤ C(z D ∂D R (0) |z| |z − z | R (0) |z| |z − z | r r onde C(z ) ´e uma constante que depende de z . Logo, ZZ

        |f(z)| D R (0) r dxdy |z| |z − z |

        ´e limitada, para todo z R (0). Quando z ∈ D → 0, ent˜ao |z − z | → |z|, e o integrando cresce monotonicamente. Portanto

        ZZ |f(z)| z lim dxdy r

        →0 D (0) R |z| |z − z | existe.

        Utilizando a existˆencia do limite acima e a inequa¸c˜ao (3.11) ent˜ao segue-se que

        −r

        |f(w)||w| ´e limitado quando w → 0. Da equa¸c˜ao (3.10), concluimos que f (z) z lim r

        →0

        z Cap´ıtulo

        3 43 existe.

        Vamos agora provar o segundo resultado auxiliar, que ser´a necess´ario para para prova do Lema Principal.

        ∂f Lema 28. Admitindo as hip´oteses do Lema 25, isto ´e,

        ≤ h(z)|f(z)| e supondo que ∂ ¯ z f (z) lim r = 0, ∀ r ≥ 1, z →0 −1 z temos que f ≡ 0 em uma vizinhan¸ca de 0.

        Prova. Suponha, por absurdo, que f n˜ao ´e identicamente nula em uma vizinhan¸ca de 0 e seja z tal que f (z ) 6= 0, |z | &lt; R. Utilizando o mesmo argumento, feito na demonstra¸c˜ao do Lema anterior, podemos reescrever a inequa¸c˜ao (3.12) assim

        Z Z |f(w)| |f(z)|

        2π D ǫ ∂D R (0) r r dudv ≤ 8πR |dz| |w − z ||w| |z| |z − z |

        ZZ |f(z)|

      • 16ARπ D R (0) r

        dxdy, ∀ r ≥ 1, |z| |z − z | onde

        Z dudv e max ≤ 4πR h(z) ≤ A. z D R (0) |z − w| ∈D R (0)

        Definamos f (z )

        ∗ D = R .

        z ∈ D (0); |z| ≤ |z | e |f(z)| ≥

        2 Temos que

      ZZ ZZ

        |f(z)| |f(z)| dxdy (1 − 8AR) dxdy ≥ (1 − 8AR) D (0) D R |z| |z| r r

        (1 − 8AR)

        −r ∗

        vol(D ) ≥ |f(z )||z |

        2

        −r

        , = a|z | sendo

        (1 − 8AR)

        ∗ a = ).

        |f(z )|vol(D

        2 Por outro lado, Z

        |f(z)| −R

        4R , ∂D R (0) |z| r |dz| ≤ bR com Z b = 4R max ∂D R (0) |f(z)| |dz|. ∂D R (0)

        Deste modo,

        

      −r −r a|z | ≤ bR , ∀ r. Cap´ıtulo

        3

        44 Temos que a, b dependem de r, ent˜ao, como |z | ≤ R, temos r a |z | . 0 ≤ lim ≤ lim r r

        →∞ →∞

        b R Observe que o ´ ultimo limite tende a zero, portanto o limite do centro da desigualdade acima tende a zero tamb´em.

        (1 − 8AR) ∗ Como a = ), segue-se que f (z ) = 0, e isto ´e uma con-

        |f(z )|vol(D

        2 tradi¸c˜ao. Logo a suposi¸c˜ao inicial ´e falsa e assim concluimos a prova do Lema. Prova do Lema Principal.

        Dos Lemas 27 e 28 segue o Lema Principal. De fato, do Lema 28 obtemos que se f n˜ao ´e identicamente nula em uma vizinha¸ca de zero, existe um f (z) f (z) f (z) r tal que lim z z . Denotemos por c o lim z . Logo podemos

        →0 →0 →0 r r r 6= 0 e lim −1

        z z z escrever r R f (z) = cz + R, lim = 0 z r

        →0

        z ou r R f (z) = z f r (z), f r (z) = c + , r z tal que f r (0) = c 6= 0. Assim prova-se o Lema Principal.

      3.3 Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 21

        Antes de iniciar a prova do Teorema vamos particularizar a equa¸c˜ao (3.6) para o caso onde a dimens˜ao do espa¸co base da fibra¸c˜ao ´e n = 2. Deste modo, sendo a codimens˜ao X ⊥ igual a um, temos ∇ N = 0, ∀X ∈ T M, onde N ´e um vetor unit´ario normal `a superf´ıcie M . Da´ı,

        ⊥ → − ⊥ ⊥

        N = (ZH)N + 0 ∇ H = ∇ (H.N ) = (ZH)N + H.∇ Z Z Z = (ZH)N.

        Desta maneira

      2 ZQ(Z, Z) = 2λ Z(H)H + 2α(Z, Z)(Z(H)).

        Assim, |Z(H)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| = |dH|λ,

        e, de modo similar, |Z(H)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| = |dH|λ. Logo

        2

        3 |ZQ(Z, Z)| ≤ |2λ Z(H)H| + 2|α(Z, Z)(Z(H))| ≤ {2λ |H| + 2λ|α(Z, Z)|}|dH|. Cap´ıtulo

        3

        45

        (2,0)

        Por hip´otese, |dH| ≤ g|Q |. Portanto ZQ(Z, Z) = h(Z)|Q(Z, Z)|,

        3

        onde h(Z) = g{2λ |H| + 2λ|α(Z, Z)|} ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua n˜ao negativa. Podemos ent˜ao aplicar o Lema Principal.

        Considere U ⊂ M, um conjunto aberto coberto por coordenadas isot´ermicas. Suponhamos que existe z

        ∈ U zero de Q(Z, Z) = ψ(z). Pelo Lema Principal, temos que Q(Z, Z) ´e identicamente nula em uma vizinhan¸ca V de z , ou os zeros de Q(Z, Z) s˜ao

        2

        isolados e, neste caso, o ´ındice j do campo de dire¸c˜oes determinado por Im[Q(Z, Z)dz ] = 0 ´e (−k/2) como vimos na prova do Lema 6. E, portanto, j ´e negativo.

        Se, para alguma vizinhan¸ca coordenada V de zero, a fun¸c˜ao Q(Z, Z) = ψ(z) = 0, ent˜ao isto ocorre para qualquer z ∈ M, ou seja, ψ ´e identicamente nula. De fato, caso isso n˜ao ocorra, isto ´e, se existissem pontos z j j

        ∈ M \ V tais que Q(Z, Z) = ψ(z ) 6= 0 existiria uma vizinhan¸ca V j , que conteria V e isso contradiz o Lema Principal. Para o caso em que todos os zeros ψ s˜ao pontos isolados, segue que, todos pos- suiriam ´ındice negativo e isto implicaria que a soma dos ´ındices ´e negativa. Observemos que, neste caso, Q(Z, Z) n˜ao ´e identicamente nula. Por outro lado, como o gˆenero da superf´ıcie M ´e zero, segue do Teorema 3 que a soma dos ´ındices de singularidades de qualquer campo de dire¸c˜oes ´e dois, ou seja, a soma ser´a positiva. Isso ´e uma contradi¸c˜ao, portanto o caso em que Q(Z, Z) n˜ao ´e identicamente nula nunca ocorre. Logo, pelo Teo- rema 19, que classifica tais superf´ıcies com diferencial quadr´atica Q identicamente nula, uma das quatro possibilidades ocorre. Como o gˆenero da superf´ıcie ´e zero e ela ´e compacta a ´ unica possibilidade ´e que seja uma esfera cmc, mergulhada e rotacionalmente invariante. O que finaliza a prova do Teorema 21.

      3.4 Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 22

        Nesta se¸c˜ao apresentaremos a demonstra¸c˜ao do resultado obtido por H. Alencar, M. do Carmo, I. Fernandez e R. Tribuzy, para imers˜oes em E(κ, τ ), quando τ 6= 0, que generaliza o Teorema 21 para os demais espa¸cos homogˆeneos, de dimens˜ao trˆes, com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro. A t´ecnica para demonstra¸c˜ao ´e similar `a que fora utilizada na se¸c˜ao anterior, com modifica¸c˜oes devidas ao espa¸co ambiente que possui agora curvatura fibrado τ n˜ao nula. Nesta situa¸c˜ao a generaliza¸c˜ao da diferencial quadr´atica Q ´e dada por

        2 Q(X, Y ) = 2(H + iτ )α(X, Y ) − (κ − 4τ )hξ, Xihξ, Y i

        onde X e Y s˜ao vetores tangentes a M. Observe que no caso em que τ = 0, encontramos a mesma diferencial quadr´atica que fora utilizada na prova do Teorema 21 para as fibra¸c˜oes

        Cap´ıtulo

        3

        46

        2

      2 H × R e S × R. Deste modo, Q, de fato, generaliza a diferencial definida anteriormente.

        Usaremos a mesma nota¸c˜ao e alguns resultados desenvolvidos na se¸c˜ao 3.1. A componente real da diferencial quadr´atica Q ´e dada por

        (2,0)

        2 Q = ψ(z)dz ,

        onde z = u + iv, sendo (u, v) parˆametros isot´ermicos em M. Considerando Z, Z, dz, d¯ z definidos como antes, temos

        2 dz(Z) = d¯ z(Z) = 1, dz(Z) = d¯ z(Z) = 0 e .

        hZ, Zi = λ E tamb´em, Q(Z, Z) = ψ(z), e Z Z = 0. Z hZ, Zi = hZ, Zi = 0 ∇ Z = ∇

        De modo similar, ao feito na se¸c˜ao 3.1, calculemos ∂ψ

        2

        2

        , = ZQ(Z, Z) = Z 2(H + iτ )hSZ, Zi − (κ − 4τ )hξ, Zi

        ∂ ¯ z onde S ´e o operador de forma associado `a forma bilinear α. Teorema 29.

        Temos que

        2 ZQ(Z, Z) = 2Z(H)α(Z, Z) + 2(H + iτ )λ Z(H).

        Prova. Derivando Q(Z, Z), encontramos Z Z Z ZQ(Z, Z) = 2Z(θ)hSZ, Zi + 2θh∇ (SZ), Zi − 2chξ, Zih∇ ξ, Zi − 2chξ, Zihξ, ∇ , Zi,

      2 Z Z = 0.

        onde θ = H + iτ e c = κ − 4τ . Note que utilizamos ∇ Nos pr´oximos Lemas, vamos calcular, separadamente, express˜oes para os termos h∇ Z (SZ), Zi, h∇ Z ξ, Zi e hξ, ∇ Z Zi. Vamos express´a-los de modo conveniente para o que se segue.

        Lema 30. Temos que Z Z

        2 h∇ (SZ), Zi = h∇ (SZ), Zi + cλ hξ, Nihξ, Zi.

        Prova. Z Z = 0 e a equa¸c˜ao de Codazzi, obtemos Utilizando ∇

        Z) ∇ Z (SZ) = (∇ Z S)(Z) + S(∇ Z Z S)(Z) + e R(Z, Z)N

        = (∇ Z , = (∇ S)(Z) + chN, ξi hZ, ξiZ − hZ, ξiZ

        3

        onde e R ´e a curvatura de E (κ, τ ), N ´e vetor normal `a superf´ıcie M. A ´ ultima igualdade acima ´e consequˆencia do Corol´ario 3.2 de [8]. Finalmente, como hZ, Zi = 0, conclu´ımos que Z .

        2

        h∇ Z (SZ), Zi = h∇ (SZ), Zi + chN, ξihZ, ξiλ Cap´ıtulo

        3

        47

      2 Lema 31.

        Z Temos que h∇ ξ, Zi = iτλ hξ, Ni. Prova.

        Utilizando a prova da Proposi¸c˜ao 3.3, que pode ser encontrada em [8], obtemos Z .

        ∇ ξ = τ ξ × Z = τ hJZ, ξiN − hξ, NiJZ Ent˜ao,

        2 .

        h∇ Z ξ, Zi = −iτhξ, Niλ Lema 32. Temos que Z

        2 hξ, ∇ Zi = λ Hhξ, Ni.

        2 Prova. Z = 0 e α(Z, Z) = λ

        H, j´a mostrados na se¸c˜ao anterior. Da´ı S˜ao v´alidos, ∇ Z Z

        2 hξ, ∇ Zi = λ Hhξ, Ni.

        Utilizando os Lemas 30 e 31 na express˜ao obtida para a derivada de Q(Z, Z), no Teorema 29, temos Z

        2 ZQ(Z, Z) = 2Z(H)α(Z, Z) + 2θh∇ (SZ), Zi + 2θcλ hN, ξihZ, ξi

        2

        2 −2ciτλ hN, ξihZ, ξi − 2cλ HhN, ξihZ, ξi.

        Como θ = H + iτ, temos que

        2

        2

        2

        2θcλ hN, ξihZ, ξi = 2ciτλ hN, ξihZ, ξi + 2cλ HhN, ξihZ, ξi. Da´ı Z (3.14) ZQ(Z, Z) = 2Z(H)α(Z, Z) + 2θh∇ (SZ), Zi.

        Para concluirmos a prova do Teorema 29 mostraremos o seguinte Lema.

        2 Lema 33. Z (SZ), Z Z(H).

        Vale a igualdade h∇ i = λ Prova.

        Primeiramente, afirma-se que

        2 Z Z = Z.

        Z(λ ) ∇

        λ Note que ∇

        2 Z Z = aZ + bZ e ent˜ao,

        1 Z =

        2 h∇ Z, Zi = bλ ZhZ, Zi = 0. Z Z = aZ. Por outro lado,

        2 Portanto, segue-se que b = 0. E, portanto, ∇ Z

        2 h∇ Z, Zi = ZhZ, Zi = Z(λ ) = ahZ, Zi. Cap´ıtulo

        3

        48 Logo,

        2 Z(λ )

        a = ,

        2

        λ deste modo a afirma¸c˜ao feita inicialmente de fato ´e v´alida. Observe, agora, que

      2 Z(λ

        Z Z H) = Z(hSZ, Zi) = h∇ (SZ), Zi + hSZ, ∇ Zi. Ent˜ao Z )H + λ Z

        2

        2

        h∇ (SZ), Zi = Z(λ Z(H) − hSZ, ∇ Zi

        2 Z(λ )

        2

        2

        = Z(λ )H + λ Z(H) − hSZ, Zi

        2

        λ

        2 Z(λ )

        2

        2

        2

        = Z(λ )H + λ Z(H) − Hλ

        2

        λ

        2

        = λ Z(H),

      2 H. Assim, encerramos a prova do Lema 33.

        onde hSZ, Zi = λ Utilizando o Lema acima e a equa¸c˜ao (3.14) concluimos a prova do Teorema 29.

        Apresentaremos agora a prova do Teorema 22, resultado principal deste cap´ıtulo. Prova. Pelo Teorema 29 e pelas rela¸c˜oes

        |Z(H)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| e |Z(H)| ≤ |dH||λ|. temos que

        2

        |ZQ(Z, Z)| = |2Z(H) + 2θλ Z(H)|

        2 ≤ |dH||λ||2α(Z, Z) + 2θλ |.

        Por hip´otese,

        (2,0)

        |dH| ≤ g|Q |, onde a fun¸c˜ao g ´e cont´ınua e n˜ao negativa. Portanto, ∂ψ

        (2,0)

        | = h|ψ(z)|, = |ZQ(Z, Z)| ≤ h|Q

        ∂ ¯ z onde

        2 .

        h = g|λ| |α(Z, Z)| + 2λ |H + iτ| Isto ´e, h ´e uma fun¸c˜ao real cont´ınua, n˜ao negativa sobre M. Podemos utilizar agora o

        , ou para todo Lema Principal e concluir que ou ψ = 0, em uma vizinhan¸ca V ⊂ U de z z ∈ V, temos m

        ) f m m ψ(z) = (z − z (z), m ≥ 1, f (z) 6= 0. Cap´ıtulo

        3

        49 Assim, podemos concluir a prova do Teorema, utilizando o mesmo argumento usado da

        (2,0)

        prova do Teorema 21. De fato, pelo Lema Principal, Q ´e identicamente nula ou tem um n´ umero finito de zeros. N´os mostramos que no caso de um n´ umero finito de zeros

        (2,0)

        2

        dz chegamos a uma contradi¸c˜ao. De fato, a equa¸c˜ao Im{Q } = 0 d´a origem a dois campos de dire¸c˜oes sobre M da qual as singularidades s˜ao os zeros de Q(Z, Z). O ´ındice m

        , onde m ´e a ordem do zero, como de cada uma dessas singularidades ´e dado por − 2 aparece na equa¸c˜ao m ) f (z). m

        ψ(z) = (z − z Por outro lado, como M tem gˆenero zero, o Teorema 3 nos diz que a soma dos ´ındices das singularidades do seu campo de dire¸c˜oes ´e dois, e portanto positivo. Isto ´e uma contradi¸c˜ao. Assim concluimos a prova do Teorema 22 dessa se¸c˜ao. Cap´ıtulo 4 O Teorema de Hopf para Espa¸ cos Ambientes de Dimens˜ ao Maior que Trˆ es

        Diante das generaliza¸c˜oes do Teorema de Hopf que foram apresentadas nos cap´ıtulos 2 e 3 desta disserta¸c˜ao, o objetivo deste quarto cap´ıtulo ´e tratar de imers˜oes com codi- mens˜ao maior que 1.

        De fato, ser´a apresentada uma generaliza¸c˜ao do Teorema de Hopf que considera n n

        2

        imers˜oes de uma superf´ıcie M na variedade Riemanniana produto E ´e c c × R, onde E uma variedade simplesmente conexa, n−dimensional, com curvatura seccional constante c 6= 0.

        → − Assumiremos que o vetor curvatura m´edia da superf´ıcie, H , ´e paralelo no fi-

        2

        brado normal e definiremos uma forma quadr´atica em M de modo an´alogo ao definido anteriormente. Ou seja, → −

        Q(X, Y ) = 2hα(X, Y ), H i − chX, ξihY, ξi, onde X e Y s˜ao vetores tangentes em M, α ´e a segunda forma fundamental de M , tomando valores no fibrado normal de M , e ξ ´e o vetor tangente unit´ario de R.

        Novamente aqui, ser˜ao considerados (u, v) parˆametros isot´ermicos em M , com z = u + iv

        1

        1 dz = (du + idv) e dz = √ √

        (du − idv)

        2

        2 e 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂

        Z = ( ) e dz = ( + i ), √ − i √

        ∂u ∂v ∂u ∂v

        2

        2

        e, de modo similar ao que foi feito anteriormente, prova-se, neste novo contexto,

        (2,0)

        que a parte (2, 0) da forma quadr´atica Q ´e holomorfa, isto ´e, que Q = ψdzdz ´e

        Cap´ıtulo

        4 51 holomorfa. Assim,

        2 (2,0) → −

        Q = ψ (Z, Z) = 2hα(Z, Z), H i − chZ, ξi ´e holomorfa.

        (2,0)

        O objetivo ser´a usar o fato de Q ser holomorfa para apresentar uma descri¸c˜ao n das superf´ıcies imersas em E c × R que tˆem vetor curvatura m´edia paralelo. Todas as superf´ıcies consideradas ao longo deste cap´ıtulo s˜ao conexas e orient´aveis.

        Inicialmente, estudaremos um resultado que classifica, sob hip´oteses globais, as n superf´ıcies com vetor curvatura m´edia paralelo e imersas no espa¸co ambiente E c × R. n

        2 Teorema 34 (Alencar, Do Carmo, Tribuzzy,[5]). Sejam M uma superf´ıcie e E uma c n

        2

        # E c

        

      variedade Riemanniana com curvatura seccional constante c 6= 0, e seja x : M × R

      uma imers˜ao com vetor curvatura m´edia paralelo. Ent˜ao, uma das seguintes afirma¸c˜oes

      ´e satisfeita: n

      (1) x(M) ´e uma superf´ıcie m´ınima em uma hipersuperf´ıcie totalmente umb´ılica de E .

      c

      (2) x(M)´e uma superf´ıcie com vetor curvatura m´edia constante de uma subvariedade

      n tridimensional totalmente umb´ılica ou totalmente geod´esica de E . c

        4 (3) x(M) est´a em E c × R.

        A demonstra¸c˜ao do Teorema 34 ser´a feita na pr´oxima sess˜ao e a ideia ´e mostrar que ou o vetor H ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica, e, neste caso, a superf´ıcie x(M ) est´a contida em n E , ou podemos reduzir a codimens˜ao da imers˜ao para trˆes. No primeiro caso, estaremos c na situa¸c˜ao tratada pelo Teorema de S. T. Yau, que pode ser encontrado em [18], e podemos concluir que (1) ou (2) valem. No segundo caso, a afirma¸c˜ao (3) ser´a satisfeita.

        O principal resultado do cap´ıtulo apresenta uma generaliza¸c˜ao do resultado do n Hopf para imers˜oes em E c × R, assumindo que M ´e homeomorfa a uma esfera.

        2 Teorema 35

        (Alencar, Do Carmo, Tribuzzy,[5]). Seja M uma superf´ıcie compacta de n

        2

        #

        gˆenero zero e seja x : M E c × R uma imers˜ao de M com vetor curvatura m´edia paralelo. Ent˜ao, uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e satisfeita: n

      (1) x(M) ´e uma superf´ıcie m´ınima em uma hipersuperf´ıcie totalmente umb´ılica de E .

      n c

      (2) x(M) ´e uma esfera redonda de uma subvariedade tridimensional de E totalmente

      c umb´ılica .

        3 (3) x(M) ´e a esfera redonda de E . c Cap´ıtulo

        4

        52

        4

        6

      (4) x(M) est´a em E (possivelmente com a m´etrica de Lorentz) e existe um

      c

        × R ⊂ R plano P tal que x(M) ´e invariante por rota¸c˜oes que fixam seu complemento ortogonal.

        Al´em disso, as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao altura p 7→ hx(p), ξi s˜ao c´ırculos contidos em planos paralelos ao plano P.

        A prova do Teorema 35 ser´a feita na segunda se¸c˜ao deste cap´ıtulo. Na demons- tra¸c˜ao, vamos mostrar que, ou H ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica e da´ı estamos nas mesmas condi¸c˜oes do Teorema 34 e, consequentemente, ocorrem (1) e (2) do Teorema 34, ou es- tamos na situa¸c˜ao do item (4) do Teorema 35 que generaliza o resultado de Hopf para n imers˜oes de esferas em E c × R. Notemos que, como o vetor curvatura m´edia da imers˜ao x ´e paralelo, a imers˜ao

        ´e anal´ıtica. Isto significa que as fun¸c˜oes de duas vari´aveis reais que definem localmente a n aplica¸c˜ao x : M # E c × R s˜ao fun¸c˜oes reais anal´ıticas (ver [16]). Tal fun¸c˜ao satisfaz o princ´ıpio da continua¸c˜ao anal´ıtica (ver [10]) que tem a seguinte consequˆencia: seja V um n k aberto-conexo subconjunto de R uma fun¸c˜ao real anal´ıtica em V . n e seja f : V −→ R

        Seja U ⊂ V um aberto do R . Se f ≡ 0 em U, ent˜ao f ≡ 0 em V. Portanto, uma fun¸c˜ao anal´ıtica n˜ao pode ser zero em um subconjunto aberto sem ser identicamente zero.

      4.1 Prova do Teorema 34 Vamos iniciar apresentando alguns resultados preliminares.

        n Lema 36

        ([5]). Seja x : M # E c × R a imers˜ao de uma superf´ıcie. Assuma que

        

      um subfibrado L do fibrado normal cont´em a imagem da segunda forma fundamental, ´e

        R de

        paralelo na conex˜ao normal e que T M ⊕ L = V ´e invariante pelo tensor curvatura e n

        E c × R, no seguinte sentido: quaisquer que sejam A, B, C ∈ V temos que e

        R(A, B)C ∈ V. n p S = V, para

        Ent˜ao, existe uma subvariedade totalmente geod´esica S ∈ E c × R, com T todo p ∈ S, tal que x(M) ⊂ S. n

        Prova. Este resultado segue do Teorema 2, que pode ser encontrado em [11], pois E c ×R, com a conex˜ao de Levi-Civitta da m´etrica produto, ´e um espa¸co homogˆeneo redut´ıvel.

        Dado um fibrado E −→ B, qualquer, com a conex˜ao ∇, dizemos que o subfibrado

        ′ ′ ′

        E −→ B, E ⊂ E, ´e paralelo na conex˜ao ∇ se E ´e invariante pela conex˜ao ∇, ou seja,

        ′ ) = 0.

        ∇(E O pr´oximo Lema tamb´em ser´a utilizado na prova do Teorema principal dessa se¸c˜ao. Na demonstra¸c˜ao ´e enunciado e provado um sublema que ser´a importante para o que segue.

        Cap´ıtulo

        4 n

        53 Lema 37 ([5]). Seja x : M # E c ×R uma imers˜ao de uma superf´ıcie com vetor curvatura

        ⊥

        , a aplica¸c˜ao linear A H comuta com A v ; onde

        m´edia paralelo. Ent˜ao, para todo v ∈ T M

        A v ´e a segunda forma fundamental, como aplica¸c˜ao linear em T M, correspondendo ao v vetor normal v, isto ´e, hA (X), Y i = hα(X, Y ), vi. Prova.

        Da equa¸c˜ao de Ricci, temos que

        ⊥ H , A v

        hR (X, Y )H, vi = h[A ]X, Y i + h e R(X, Y )H, vi, n

        

        onde e R ´e o tensor curvatura de E ´e o tensor curvatura do fibrado normal da c × R e R

        ⊥

        H = 0. Portanto, imers˜ao. Por hip´otese, H ´e paralelo no fibrado normal, isto ´e, ∇

        ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

        R Y X X Y H = 0. (X, Y )H = ∇ ∇ H − ∇ ∇ H + ∇ [X,Y ] c n

        Agora, ´e suficiente mostrar que h e R(X, Y )H, vi = 0. Como E ×R tem dimens˜ao maior que trˆes podemos escolher A, B, C, D vetores ortogonais neste espa¸co ambiente. Denotamos por A a proje¸c˜ao de A no segundo fator, isto ´e, em R. Assim,

      2 A

        2

        = hA, ξiξ,

        e, de modo similar, fazemos as proje¸c˜oes no segundo fator dos demais vetores. Sendo

        2

        πA = A − A n a proje¸c˜ao de A sobre o espa¸co tangente de E , obtemos c h e R(A, B)C, Di = c {hπA, πCihπB, πDi − hπA, πDihπB, πCi} , πC , πD

        2

        2

        2

        2

        = c{(hπA, πCi − hπA i)(hπB, πDi − hπB i) , πD , πC (4.1)

        2

        2

        2

        2 −(hπA, πDi − hπA i)(hπB, πCi − hπB i)}. n

        A primeira igualdade acima ´e valida, pois E tem curvatura seccional constante c c 6= 0 e R tem curvatura seccional constante igual a zero. E a segunda igualdade decorre , C

        2

        2

        2

        2

        2

        das rela¸c˜oes: πA = A − A e hA , Ci = hA, C i = hA i, que tamb´em s˜ao v´alidas para os demais vetores. De fato, para A, temos

        2

        hA , Ci = h(hA, ξiξ) , Ci = hA, ξihξ, Ci,

        2

        hA, C i = hA, (hC, ξiξ)i = hA, ξihξ, Ci, , C

        2

        2 hA i = h(hA, ξiξ) , (hC, ξiξ)i = hA, ξihξ, Cihξ, ξi = hA, ξihξ, Ci. p

        Vamos agora excluir o caso em que ξ ∈ T M, para todo p ∈ M. Para isso vamos provar o seguinte sublema.

        Cap´ıtulo

        4

        54

        2 Sublema 38. p c Se ξ ∈ T M, para todo p ∈ M, ent˜ao x(M) ⊂ E × R. Neste caso, x(M) ´e

        2 um cilindro vertical sobre uma curva em E , de curvatura geod´esica 2H. c Prova. p 1 , e

        2 Seja ξ ∈ T M, para todo p ∈ M. Escolha uma base ortonormal {e } de T M, sendo e = ξ e e ´e um vetor unit´ario ortogonal a e , de modo que a base seja positiva.

        1

        2

        1 Inicialmente, vamos mostrar que α(e , e ) = 0. Para isso, sejam e β , com β =

        1

        

      2

        3, 4, ..., n + 1, vetores que formam uma base ortonormal positiva do fibrado norma T M . Ent˜ao, para todo β temos que

        , e ), e β , e ), e β e e e e , e β

        1

        2

        2

        1

        1

        1

        hα(e i = hα(e i = h e ∇ e e e e ) , e β 2 − ∇ 2 2 i T

        1 2

        1

        = h e ∇ − ( e ∇ i = 0.

        Na igualdade acima, utilizamos que ξ ´e paralelo na conex˜ao e T ∇, portanto e = ( e ) = 0.

        1

        1

        ∇e ∇e De modo similar, mostra-se que α(e , e ) = 0. Da´ı,

        1

        1

        α(e

        1 , e 1 ) + α(e 2 , e 2 ) = α(e 2 , e 2 ) = 2H

        e, como H ´e paralelo na conex˜ao normal, temos que α(e , e ) tamb´em ´e paralelo na conex˜ao

        2

        2

        normal. Portanto, segue-se que o primeiro espa¸co normal da imers˜ao, isto ´e, a imagem da segunda forma fundamental, ´e um subespa¸co unidimensional paralelo do espa¸co normal. De fato, dados X, Y ∈ T M podemos escrevˆe-los como combina¸c˜ao dos elementos da base. Portanto

        α(X, Y ) = α(ae + be , ce + de ) = bdα(e , e ) = 2bdH,

        1

        2

        1

        

      2

        2

        2

        e temos que α(X, Y ) ´e m´ ultiplo de H, ∀ X, Y ∈ T M.

        Agora, vamos considerar L = Im(α). Sabemos que L ´e paralelo no fibrado normal. Logo, temos que L ⊕ T M = V ´e paralelo na conex˜ao e ∇. Queremos mostrar que V ´e invariante por e R. Pela linearidade vamos mostrar a invariˆancia de e R apenas para os

        1 , a 2 , a

        

      3

        vetores da base. Escolhamos uma base {a } de V , de modo que ξ perten¸ca a esta

        ⊥

        base. Seja η ∈ V . Segue da equa¸c˜ao (4.1) que, para todo i, j, k ∈ {1, 2, 3}, temos

        ⊥ R(a i , a j )a k .

        h e , ηi = 0, ∀ η ∈ V R(a i , a j )a k

        De fato, h e , ηi ´e igual a i , a k i k i j i i j , a k j k c {(ha i − ha , ha , ξiξi) (ha , ηi − ha , hη, ξiξi) − (ha , ηi − ha , hη, ξiξi) (ha i − ha , ha , ξiξi)}

        Cap´ıtulo

        4 i j

        55

        e, como ha , ηi = ha , ηi = 0 e hη, xii = 0, segue-se que um fator de cada um dos produtos

        ⊥ .

        acima ´e zero. Portanto a diferen¸ca ´e zero e a igualdade ´e v´alida para todo η ∈ V

        ⊥

        Mostramos que e R ´e sempre ortogonal a V , ou seja, provou-se que e R(a i , a j )a k ∈

        V . Utilizando o Lema 36 e o fato de que dim(L) = 1, conclu´ımos que x(M ) est´a contida n em uma subvariedade de dimens˜ao trˆes de E c × R. Portanto, a codimens˜ao da imers˜ao se reduz a um. Al´em disso, como ξ ∈ V , o subsepa¸co totalmente geod´esico S do Lema 36 ´e

      2 E

        c × R e o sublema est´a provado.

        ⊥ Observa¸ c˜ ao 39.

        Seja φ : M −→ L(T M , R) a aplica¸c˜ao que associa a cada p ∈ M a fun¸c˜ao linear φ p de T pM dada por

        φ p (η p p ) = hη , ξi,

        onde η p p p .

        ´e um vetor normal em p. Observe que ξ ∈ T pM se, e somente se, φ ≡ 0, ∀ η

      Por analiticidade, temos que ou φ ´e identicamente zero ou o conjunto de zeros T de φ ´e

      um conjunto fechado e sem pontos interiores. Ou seja, ou ξ ∈ T pM, para todo p ∈ M

      ou ent˜ao ξ ∈ T pM em T. No primeiro caso a codimens˜ao se reduz a um, pelo sublema

      anterior, e a situa¸c˜ao ´e conhecida. Vamos considerar agora o segundo caso.

        ⊥

        Retornando `a prova do Lema 37, vamos introduzir uma base em T M consi- u derando o vetor u como a proje¸c˜ao de ξ no fibrado normal e e = . Observe que e

        3

        3 c |u| est´a bem definido apenas no complementar T do conjunto T definido acima. Notemos c tamb´em que T ´e um conjunto aberto e denso. Consideremos uma base ortonormal de ⊥

        T M , com e , e , ..., e n , e

        3

        

      3

      4 +1

        1

        2

        elemento da base, ou seja, {e }. Consideremos tamb´em {e } uma base ortonormal de T M. Vamos adotar a seguinte nota¸c˜ao: letras latinas i, j, k v˜ao variar em {1, 2} e letras gregas α, β em {3, 4, ..., n + 1}. Segue da equa¸c˜ao (4.1) que

        R(e i , e j )e α , e β h e i = 0. Pois

        R(e i , e j )e α , e β i , e α i α j , e β j β h e i = c{(he i − he , he , ξiξi)(he i − he , he , ξiξi) i , e β i β j , e α j α −(he i − he , he , ξiξi)(he i − he , he , ξiξi)} i , e α i α j , e β j β

        = c{(he i − he , ξihe , ξi)(he i − he , ξihe , ξi) i β i β j α j α , e , e −(he i − he , ξihe , ξi)(he i − he , ξihe , ξi)}.

        No caso de α = β = 3, obviamente, a igualdade acima seria zero, pois ter´ıamos uma diferen¸ca de termos iguais. Caso α 6= 3 ou β 6= 3, vamos supor, sem perda de

        ⊥ T T T

        generalidade, que α = 4 e considerar ξ = ξ + ξ = au + bu , onde u ´e um vetor de

        Cap´ıtulo

        4

        56

        ⊥

        . Assim, temos T M, ortogonal a u ∈ T M T

        , bu

        4

        4

        4

        4

        4

        3

        he , ξi = he , aui + he i = ahe , ui = ahe , |u|e i , e

        4

        3

        = a|u|he i = 0. α

      4 Logo, he , ξi = 0 e, de modo an´alogo para qualquer α 6= 3, temos que he , ξi = 0. Segue-se

        ent˜ao que R(e , e )e , e , e , e i j α β i α i α j β j β h e i = c{(he i − he , ξihe , ξi)(he i − he , ξihe , ξi) i , e β i β j , e α j α

        −(he i − he , ξihe , ξi)(he i − he , ξihe , ξi)} i , e α i j , e β j β = c{(he i − he , ξi.0)(he i − he , ξihe , ξi) i , e β i β j , e α j

        −(he i − he , ξihe , ξi)(he i − he , ξi.0)} = 0.

        ⊥

        A ´ i , e α j , e α R(X, Y )v) = 0, para todo ultima igualdade decorre de he i = he i = 0. Assim, ( e c c

        ⊥

        , e assim o Lema 37 est´a provado em T . Como T ´e um conjunto aberto e v ∈ T M

        ⊥

        denso, por continuidade, a equa¸c˜ao ( e R(X, Y )v) = 0 vale, para todo p ∈ M.

        Como consequˆencia da prova do Lema 37, podemos enunciar o seguinte resultado.

        ⊥ Corol´ ario 40.

        Ou existe uma base que diagonaliza A v , ou A H ´e um

        , para todo v ∈ T M m´ ultiplo da identidade, isto ´e, A H ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica. O Lema a seguir garante a existˆencia de um espec´ıfico subfibrado do fibrado normal sempre que H nunca for uma dire¸c˜ao umb´ılica. Lema 41 ([5]). Se H n˜ao ´e dire¸c˜ao umb´ılica em nenhum ponto da superf´ıcie, ent˜ao existe

        

      um subfibrado do fibrado normal que ´e paralelo, cont´em a imagem da segunda forma e

      tem dimens˜ao menor ou igual a trˆes.

        Prova.

        Seja

        3 L = span{Im(α) ∪ e },

        onde e ´e o vetor unit´ario da proje¸c˜ao de ξ no espa¸co normal e est´a bem definido apenas

        3 c c no conjunto T definido na observa¸c˜ao 39. Ent˜ao, no momento, nos restringiremos a T .

        Observe que, se mostrarmos que L ´e paralelo, isto provar´a o Lema. Para isso, ´e

        ⊥

        suficiente mostrarmos que se um subfibrado normal W ⊥ L, ent˜ao ∇ W ⊥ L. Pelo Lema , e

        1

        2

        37, existe uma base {e }, que diagonaliza α. Seja w ∈ W. Vamos mostrar ent˜ao que

        ⊥ ⊥ e w e e w.

        3 e

        α ⊥ ∇ k ⊥ ∇ k Primeiro mostraremos que ijk i , e je

        (4.2) −A := hα(e ), ∇ k wi = 0, ∀ i, j, k ∈ {1, 2}. Cap´ıtulo

        4

        57 De fato, como w ⊥ L, ent˜ao i , e j hα(e ), wi = 0.

        Derivando essa igualdade temos, ⊥ ⊥ e e i , e j (0) = 0 ∇ k (hα(e ), wi) = ∇ k

        ⊥ ⊥ e e (α(e i , e j i , e j = h∇ k )) , wi + hα(e ), ∇ k wi = 0.

        Portanto

        ⊥ ⊥ e e (α(e i , e j i , e j ijk .

        h∇ k )) , wi = −hα(e ), ∇ k wi = A Como α ´e sim´etrico ent˜ao A ijk = A jik . Al´em disso,

        ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ e e e e α (e i , e j (α(e i , e j e i , e j i e j h ∇ k ), wi = h∇ k )) , wi − hα(∇ k ), wi − hα(e , ∇ k ), wi ⊥ e (α(e i , e j = h∇ k )) , wi.

        Como w ⊥ Im(α), pela equa¸c˜ao de Codazzi, temos

        ⊥ ⊥

        e e e α (e i , e j (α(e k , e j )) + R(e k , e i )e j ∇ k ) = ∇ i

        ⊥

        e e (α(e i , e k )) + R(e i , e j )e k . = ∇ j

        R(e k , e i )e j R(e i , e j )e k Mas, pela equa¸c˜ao (4.1), h e , wi = h e , wi = 0. Da´ı,

        A ijk = A kji = A ikj (4.3) Observe que i , e j w (e i ), e j

      e ∇

      hα(e ), ∇ k wi = hA i. ek

        , e

        1

        2 Temos que a base {e } diagonaliza α, se i 6= j, i , e j ijk = 0. e

        hα(e ), ∇ k wi = −A Portanto da equa¸c˜ao (4.3) segue que se dois dos ´ındices i, j, k forem distintos ent˜ao A ijk =

        0. Falta verificarmos o caso complementar, onde todos os ´ındices s˜ao iguais. Temos

        ⊥

        A iii (α(e i , e i e = h∇ i )), wi i , e i j , e j j , e j e e e ⊥ ⊥ ⊥

        = −hα(e ), ∇ i wi + −hα(e ), ∇ i wi + hα(e ), ∇ i wi i , e i ) + α(e j , e j j , e j e e ⊥ ⊥ = −hα(e ), ∇ i wi + hα(e ), ∇ i wi

        ⊥ ⊥

        (α(e i , e i ) + α(e j , e j j , e j = −h∇ e i )) , wi + hα(e ), ∇ e i wi ⊥ ⊥ e e j , e j

        = −h∇ i (2H), wi + hα(e ), ∇ i wi ⊥ e jji = 0.

        = −h∇ i (2H), wi + A Cap´ıtulo

        4

        58 Nas igualdades acima, somamos e subtra´ımos o mesmo termo, utilizamos a bilinearidade i , e j (α(e i , e j e e ⊥ ⊥ do produto interno e tamb´em a igualdade −hα(e ), ∇ k wi = h∇ k )), wi. Para

        − → a ´ H ser ultima igualdade utilizamos o caso anterior, em que i 6= j, e tamb´em o fato de paralelo na conex˜ao normal. Portanto, isto prova a equa¸c˜ao (4.2). Resta mostrar que, se w ∈ W, ent˜ao

        ⊥ e .

        3 n ∇ k w ⊥ e

        Como E c ×R ´e o produto de espa¸cos localmente sim´etricos ent˜ao tamb´em ser´a localmente sim´etrico, e, portanto,

        ⊥

        e e Z ∇ R(X, Y, w) = 0, ∀X, Y, Z ∈ T M. Por outro lado, e e Z R(X, Y, w) = Z e R( e Z R(X, e Z R(X, Y, e Z w)

        ∇ R(X, Y, w) − e ∇ X, Y, w) − e ∇ Y, w) − e ∇ = Z e Z Z Y + α(Y, Z)), w)

        R(X, Y, w) − e R((∇ X + α(X, Z)), Y, w) − e R(X, (∇ w w)) Z ⊥ − e R(X, Y, (−A Z + ∇

        = Z e Z Z Y, w) R(X, Y, w) − e R(∇ X, Y, w) − e R(α(X, Z), Y, w) − e R(X, ∇

        ⊥ + e R(X, α(Y, Z), w) + e R(X, Y, A w w). Z

        Z) − e R(X, Y, ∇ Utilizamos acima a equa¸c˜ao de Weingarten e a equa¸c˜ao de Gauss. Note que, na equa¸c˜ao (4.1) se C ´e ortogonal a A e B e C

        2 = 0, ent˜ao e R(A, B)C = 0. Portanto, todos os termos

        do lado direito, com excess˜ao dos dois ´ ultimos, s˜ao nulos na equa¸c˜ao acima. E mais, como w ⊥ Im(α), segue-se que w 0 = hα(X, Y ), wi = hA X, Y i, portanto A w = 0. Obtemos ent˜ao que

        ⊥

        e R(X, Y, ∇ Z w) = 0, ∀X, Y, Z com X ⊥ Y. Vamos assumir agora que X = 0. Da´ı, pela equa¸c˜ao (4.1), temos

        2

        2

        6= 0 e Y

        ⊥ ⊥

        0 = e Z Z R(X, Y, ∇ w) = hX, ξih∇ w, ξi. c c

        ⊥

        ´e um conjunto que ´e Portanto, h∇ Z w, ξi = 0, e isto prova o Lema para T ⊂ M. Como T aberto e denso em M, o fibrado normal W , por continuidade, ser´a paralelo em M. Assim, conclu´ımos a prova do Lema.

        → − O pr´oximo Lema trata do caso em que H ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica. − →

        Lema 42 ([5]). Se

        H ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica, n˜ao nula, em todo ponto, ent˜ao hX, ξi = 0, n

        e, portanto, para todo campo de vetores tangente X. Segue-se ent˜ao que T M ⊂ T E c n c .

        x(M ) ⊂ E

        Cap´ıtulo

        4

        59 Prova. Pela defini¸c˜ao de Q, temos

        2 .

        Q(Z, Z) = 2hα(Z, Z), Hi − chZ, ξi Agora, fixemos uma base {X, Y } ortonormal de T M. Da´ı, para Z = X + iY, temos que hα(Z, Z), Hi = hα(X, X) − α(Y, Y ) − 2iα(X, Y ), Hi.

        Como H ´e dire¸c˜ao umb´ılica, ent˜ao A H Z = µZ, isto ´e, o operador A H ´e um m´ ultiplo da identidade, para todo Z ∈ T M. Da´ı, H = µ,

        2

        hα(X, X), Hi = hA X, Xi = hµX, Xi = µhX, Xi = µ|X|

        e, de modo an´alogo, hα(Y, Y ), Hi = µ. Tamb´em temos que H hα(X, Y ), Hi = hA X, Y i = µhX, Y i = 0.

        Portanto, se H ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica ent˜ao

        2 .

        Q(Z, Z) = −chZ, ξi E mais, como H ´e holomorfa, temos que

        2 Z

        0 = ZQ(Z, Z) = Z(−chZ, ξi ) = −2chZ, ξih e ∇ Z, ξi (4.4)

        = −2chα(Z, Z), ξihZ, ξi, T utilizamos a equa¸c˜ao de Gauss e que ( e Z) = 0. Z

        ∂ ∂ Denotemos por e e e os vetores unit´arios tangentes de , , respectivamente,

        1

        2

        ∂u ∂v temos que

        2

        e e + ie λ

        1

        2

        1

        

      2

      2 − ie

        α(Z, Z) = λ α , = , e ) + α(e , e

        1

        1

        2

        2

        √ √ √ {α(e )}

        2

        2

        2

        2

        = λ H. Portanto, podemos reescrever (4.4) da seguinte maneira:

        2 0 = −2ch−2chα(Z, Z), ξihZ, ξi = −2cλ hH, ξihZ, ξi.

        Como c 6= 0 e λ 6= 0, j´a que H ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica n˜ao nula, temos que ou hZ, ξi = 0 ou hH, ξi = 0. Seja G o conjunto dos zeros de hξ, Zi. Temos que G n˜ao ´e igual a M, , e ,

        1

        2

        1

        2

        pois caso contr´ario ter´ıamos hξ, e i = hξ, e i = 0. Como X ´e combina¸c˜ao linear de e ter´ıamos que hX, ξi = 0 e, assim,o Lema estaria provado. Por analiticidade, G ´e um

        Cap´ıtulo

        4 c

        60 conjunto fechado e sem pontos interiores. No complementar, aberto e denso, G de G, temos que hH, ξi = 0. Portanto, derivando essa igualdade em rela¸c˜ao a X, onde X ´e um campo tangente arbitr´ario, temos X X H 0 = XhH, ξi = h e ∇

        H, ξi + hH, e ∇ ξi = −hA X, ξi = −µhX, ξi. Nas igualdades acima utilizamos que e X ξ = 0, j´a que ξ ´e constante, que H ´e paralelo T T

        ⊥

        no fibrado normal, logo e X H = e H + e H = e H X, e ainda que A H ´e X X X ∇ ∇ ∇ ∇ H = −A um m´ ultiplo n˜ao nulo da identidade. Portanto, podemos concluir que hX, ξi = 0, para c qualquer campo tangente X, em todos os pontos de G

        . Pela continuidade de hX, ξi em M temos que hX, ξi = 0 em todos os pontos de M. E assim, concluimos a prova do Lema 42.

        Observa¸ c˜ ao 43. H

        Note que a aplica¸c˜ao p 7−→ (A − µI)(p), µ constante, ´e anal´ıtica. Se

        H ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica (que ´e um zero desta aplica¸c˜ao) ent˜ao, ou isto ´e v´alido para

        

      todo p em M, ou ent˜ao ´e v´alido em um conjunto fechado sem pontos interiores de M. O

      primeiro caso ´e tratado no Lema 42. Para o segundo caso, H n˜ao ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica

      em um conjunto aberto e denso W de M. Na prova do Lema 41, foi provado que se isto ´e

      v´alido para W , ent˜ao, por continuidade, vale em M. Portanto os Lemas 41 e 42 esgotam

      todas as poss´ıveis situa¸c˜oes, e a conclus˜ao final ´e que ou H ´e sempre dire¸c˜ao umb´ılica, e

      n

      2 M , ou H n˜ao ´e dire¸c˜ao umb´ılica em nenhum lugar, e existe um subfibrado normal

        c ⊂ E

        

      que ´e paralelo, cont´em a imagem da segunda forma fundamental e tem dimens˜ao menor

      ou igual a trˆes.

        O pr´oximo resultado ´e um teorema de redu¸c˜ao de codimens˜ao.

        2 n

        # Teorema 44.

        Sendo x : M E c

        × R uma imers˜ao da superf´ıcie M, assuma que H

        3

      nunca ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica. Sejam L = span{Im(α), e } e seja V = L ⊕ T M. Ent˜ao,

      n

      existe uma subvariedade totalmente geod´esica S ⊂ E c × R, com dim(S) = dim(V ), tal

      que x(M ) ⊂ S.

        Prova.

        Segue-se do Lema 41 que o fibrado L ⊕ T M ´e paralelo na conex˜ao e ∇. Al´em disso, sabemos que V ´e invariante por e R, no sentido do Lema 36. De fato, isto segue da equa¸c˜ao (4.1) e do mesmo argumento utilizado na prova do sublema anterior. Da´ı, como V ´e invariante podemos aplicar o Lema 36 e assim finalizamos a prova do Teorema.

        Outro teorema que necessitaremos ser´a o Teorema de Yau com o seguinte enun- ciado. n n

        2

        # Teorema 45

        (Yau, [18]). Seja x : M E uma superf´ıcie imersa em E , com vetor cur- c c

        2

      vatura m´edia paralelo. Ent˜ao, ou M ´e uma superf´ıcie m´ınima, ou ´e uma hipersuperf´ıcie

      n n

        2

      umb´ılica de E , ou M est´a contida em uma subvariedade umb´ılica tridimensional de E c c com curvatura m´edia constante. Cap´ıtulo

        4

        61 Agora podemos completar a prova do Teorema 34. n Prova. c , e podemos Se H for uma dire¸c˜ao umb´ılica, pelo Lema 42, temos que M ⊂ E ent˜ao utilizar o Teorema 45 para obter os itens (1) e (2) do Teorema 34. Caso H n˜ao seja uma dire¸c˜ao umb´ılica, existe um subfibrado normal L que ´e paralelo na conex˜ao normal, contendo a imagem da segunda forma fundamental α e dim(L) ≤ 3; isto decorre do Lema

        41. Pelo Teorema 44, M est´a contida em uma subvariedade totalmente geod´esica S de n E c

        ×R de dimens˜ao no m´aximo 5. Como o conjunto V do Teorema 44 cont´em um m´ultiplo

        

      4

        4

        n˜ao nulo de ξ, ent˜ao S est´a contida em E c × R. Logo, x(M) ⊂ S ⊂ E c × R. E assim, obtemos (3) e concluimos a prova do Teorema 34.

      4.2 Prova do Teorema 35 Para o que segue, vamos destacar dois casos.

        Caso a p M, para todo p, em um subconjunto aberto e conexo de M.

        : Assuma que ξ ⊥ T n Ent˜ao, este aberto est´a contido em E . Por analiticidade, o mesmo acontece para x(M ), n c c . Como vimos no Lema 42, da se¸c˜ao anterior, isto ocorre quando H ou seja, x(M ) ⊂ E n c . Tratamos este caso na se¸c˜ao anterior

        ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica e implica que x(M ) ⊂ E usando o Teorema de Yau. Caso b p M, para todo p, em um subconjunto aberto e conexo de

        : Consideremos ξ ∈ T M. Neste caso, podemos mostrar que o primeiro espa¸co normal ´e paralelo e tem dimens˜ao um, como vimos no Sublema da se¸c˜ao anterior. Da´ı, temos que o subconjunto aberto

        2

        acima est´a em E c × R. Por analiticidade, o mesmo tamb´em vale para x(M).

        Entretanto, sob as hip´oteses do Teorema 35, temos o seguinte. Afirma¸ c˜ ao : Se M ´e homeomorfa a uma esfera, ent˜ao o caso b n˜ao ocorre. Prova.

        Como ξ ´e um campo de vetores paralelo, as hip´oteses do teorema 2 no caso

        b, supondo por absurdo que este ocorre, significam que temos um vetor paralelo em um subconjunto aberto conexo U ⊂ M. Isto implica que a curvatura Gaussiana ´e igual a zero em U, e por analiticidade em M. Mas, pela f´ormula de Gauss-Bonnet, a integral de K em M ´e positiva. Portanto, existem pontos p ∈ U onde K ´e positivo, uma contradi¸c˜ao. Assim a suposi¸c˜ao feita ´e falsa e provamos a afirma¸c˜ao. O caso a pode ser tratado utilizando o Teorema de Yau, como no Teorema 34, e assim provamos os ´ıtens de (1) a (3) do Teorema 2. Portanto, vamos assumir que n˜ao estamos no caso a e nos concentraremos na demonstra¸c˜ao do item (4). Observe que nesta situa¸c˜ao H n˜ao ´e uma dire¸c˜ao umb´ılica.

        1 , e 2 , ..., e n +1 1 , e 2 ´e base

        Escolhamos uma base ortonormal positiva {e }, tal que e de T M, e e , e s˜ao os vetores unit´arios nas dire¸c˜oes das proje¸c˜oes de ξ no espa¸co tangente

        1

        3 Cap´ıtulo

        4 62 e no espa¸co normal, respectivamente; isto equivale a A hξ, e i = 0, se A 6= 1 e A 6= 3.

        (2,0)

        Como M ´e homeomorfa a uma esfera, a fun¸c˜ao holomorfa Q (Z, Z) se anula em M. Da´ı, Q(Z, Z) = 2hα(Z, Z), Hi − chξ, Zihξ, Zi = 0. Portanto, para Z = X + iY,

        2hα(X, X) − α(Y, Y ) − 2iα(X, Y ), Hi − chξ, Zihξ, Zi = 0 , e , e , e

        1

        1

        2

        2

        1

        2

        1

        1 2hα(e ), Hi − 2hα(e ), Hi − 4ihα(e ), Hi − c (hξ, e i) (hξ, e i) = 0.

        Na ´ ultima igualdade acima, encontramos um n´ umero complexo igual a zero, por- tanto, partes real e imagin´aria devem ser zero. Segue-se que , e , e

        1

        1

        2

        2

        1

        1

        2hα(e ), Hi − 2hα(e ), Hi − c (hξ, e i) (hξ, e i) = 0 e da´ı, , e , e

        1

        1

        

      1

        1

        2

        2

        2hα(e ), Hi − c (hξ, e i) (hξ, e i) = 2hα(e )i, ou seja, Q(e , e ) = Q(e , e ).

        1

        1

        1

        2 Al´em disso, , e , e , e ) = 0.

        1

        2

        1

        2

        1

        2

        −4ihα(e ), Hi = 0 e hα(e ), Hi = Q(e Ent˜ao, obtemos que Q(e , e ) = Q(e , e ) e Q(e , e ) = 0.

        1

        1

        2

        2

        1

        2 Portanto,

        , e

        1

        2

        1

        2 2hα(e ), Hi = chξ, e ihξ, e i = 0.

        Esta ´

        1 , e

        2 H

        e, pelo Lema 37, ultima igualdade acima implica que a base {e } diagonaliza A diagonaliza α.

        De agora em diante, vamos definir α ij := α(e i , e j ), com i, j ∈ {1, 2}. Notemos que, deste modo, podemos escrever ξ da seguinte maneira

        ξ = cos(θ)e + sen(θ)e .

        

      1

        2 A pr´oxima Proposi¸c˜ao ajudar´a a simplificar alguns c´alculos, e portanto, ser´a importante para o que segue. Cap´ıtulo

        4

        63 Proposi¸ c˜ ao 46 ([5]). As seguintes identidades s˜ao satisfeitas: e e e e ; 1

        1 1

        2 (i) ∇ = 0 = ∇ (ii) d(θ)(e

        2 ) = 0; ⊥ e e = 0.

        3 (iii) 2 Prova. Como ξ ´e paralelo, obtemos

        0 = e e )e e e + α ) 1

        1

        1 1

        1

        11

        ∇ ξ = −sen(θ)dθ(e + cos(θ)(∇

        ⊥

      • cos(θ)dθ(e

        

      1 )e

      3 e e 3 e (e 3 1 )).

      • sen(θ)(∇ 1 − A Utilizamos que α(e , e ) = e e e e e e a equa¸c˜ao de Weingarten acima.

        1

        1

        1

        1

        ∇ 1 − ∇ 1 Logo, as componentes tangente e normal de e e ξ tamb´em s˜ao nulas. Para a componente 1 ∇ tangente temos

        1 )e 1 e e 1 1 e (e 3 1 ) = 0.

        −sen(θ)dθ(e + cos(θ)∇ − sen(θ)A , e e (e ) = βe e e = be . Como e e e

        1

        2

        

      1

        1

        1

        2

        1

        2 A base {e } diagonaliza α, portanto, A 3 e tamb´em ∇ 1 s˜ao linearmente independentes ent˜ao se a express˜ao acima ´e zero seus coeficientes tamb´em e e = be , e 1

        1

        2

        1

        2

        ser˜ao zero, portanto ∇ = 0. Como he i = 0, derivando essa igualdade, temos e e 1 2 , e 1 e e 1 2 = 0. E assim, obtemos (i). h∇ i = 0. Logo ∇

        De modo similar, 0 = e e )e e e + α )

        2

        1

        1

        12

        ∇ 2 ξ = −sen(θ)dθ(e + cos(θ)(∇ 2

        ⊥ +cos(θ)dθ(e )e e e (e )).

        2 3 e

        3 3

        2

      • sen(θ)(∇ 2 − A Suas componentes tangente e normal s˜ao, respectivamente,

        )e e e e (e )) = 0

        2

        1

        1

        2

        −sen(θ)dθ(e + +cos(θ)∇ 2 − sen(θ)A 3 e

        ⊥

        cos(θ)dθ(e )e e = 0,

        2 3 e

        3

      • sen(θ)∇
      • 2 j´a que α e e = ae e e ´e autovalor de A e , conclu´ımos novamente, devido

          12

          1

          2

          2

          = 0. Como ∇ 2 3 a independˆencia linear de e e e que dθ(e ) = 0. pPortanto, da segunda igualdade acima,

          1

          2

          2 ⊥ e

          e 3 = 0, isto prova (ii) e (iii) e conclui a prova da Proposi¸c˜ao 46. ∇ 2 O pr´oximo resultado ´e sobre o vetor α .

          22 Proposi¸ c˜ ao 47 ([5]). O vetor normal α = α(e , e ) ´e paralelo na conex˜ao normal ao

          22

          2

          2 longo das curvas integrais de e .

          2 Cap´ıtulo

          4

          64

          ⊥

          Prova. α = 0. Primeiramente, notemos que, como 2H = e

          2

        22 Queremos mostrar que ∇

          ⊥ ⊥

          α + α α α . Segue-se que

          11

          22

          22

          

        11

          ´e paralelo, ent˜ao ∇ = −∇

          ⊥ ⊥ ⊥ e α α α)(e , e e e e , e ) 22 e 11 e

          1

          1 2 1

          1

          ∇ = −∇ = −(∇ ) + 2α(∇ 2 2 2

          ⊥ ⊥ e α)(e , e ) + ( e R(e , e )e )

          2

          1

          2

          1

          1

          = −(∇ 1

          ⊥ e

          α)(e

          2 , e 1 ). e e = ae , α(e , e ) = 0, a equa¸c˜ao de Codazzi e a equa¸c˜ao (4.1) para 2 = −(∇ 1

          1

          2

          1

          2 Utilizamos que ∇ ⊥

          concluir que ( e R(e

          2 , e 1 )e 1 ) = 0. Mas, ⊥ ⊥ e α)(e , e α(e , e e e , e e e ) = 0.

          2 1 e

          1

          2 1

          2

          1

          2 1

          1 e e e e = 0, pela Proposi¸c˜ao anterior. Assim, conclu´ımos a prova da Pro- 1 (∇ 1 ) = ∇ 1 ) − α(∇ ) − α(e , ∇

          1 1

        2 Pois, ∇ = ∇ posi¸c˜ao 47.

          e e 2 2 .

          A pr´oxima proposi¸c˜ao fornece uma express˜ao para ∇ Proposi¸ c˜ ao 48 e e = be e b ´e constante ao longo das curvas integrais

          2

          

        1

          ([5]). Temos que 2 de e .

        2 Prova. Como ξ = cos(θ)e + sen(θ)e

          1

          3

          2

          , temos que hξ, e i = 0. Pela diferencia¸c˜ao, obtemos 0 = e e ξ, e e e

          2

          2

          2

          2

          hξ, e i = h e ∇ 2 i + hξ, e ∇ 2 i e ξ, e

          2

          e, como h e ∇ e e 2 i = 0, pois ξ ´e paralelo, temos 2 2 e e 2 2 + α(e 2 , e

          2

          0 = h e ∇ , ξi = h∇ ), ξi e e , e

          2

          2

          

        2

          = h∇ e e , cos(θ)e + sen(θ)e , e ), cos(θ)e + sen(θ)e 2 , ξi + hα(e ), ξi

          2

          1

          3

          2

          2

          1

          3

          = h∇ 2 i + hα(e i e e , e , e 2

          2

          1

          22

          3 = cos(θ)h∇ i + sen(θ)hα i.

          Para a ´ ultima igualdade acima, utilizamos que e ´e tangente e e ´e normal, e, consequen-

          1

          3

          temente, os demais produtos internos s˜ao zero, sobrando apenas os termos que aparecem no lado direito da ´ ultima igualdade. Logo, e e , e , e 2

          2

          1

          22

          3 h∇ i = b = −tg(θ)hα i.

          Agora derivando b, obtemos

          2 ⊥ ⊥

          e (θ)dθ(e , e α , e e

          2

          2

          22

          3

          22

          3

          22

          3 (b) = −sec )hα i − tg(θ){h∇ e i + hα , ∇ e i}. 2 2

          Pela Proposi¸c˜ao 46, temos que dθ(e

          2 e e 3 = 0, e ainda, pela proposi¸c˜ao

          ) = 0 e ∇ 2

          ⊥ α = 0. Portanto e (b) = 0 e assim provamos a Proposi¸c˜ao 48.

          22

          2

          47 temos que ∇ e 2

        4 Vamos considerar agora E

          × R, que ´e o espa¸co ambiente quando H n˜ao ´e uma

          4

          5

          5

          dire¸c˜ao umb´ılica, como no fim da prova do Teorema 34 e que E × R ⊂ R × R, com R

          5

          munido, possivelmente, coma a m´etrica de Lorentz. Seja ∇ a conex˜ao de R × R.

          Cap´ıtulo

          4

          65 Proposi¸ c˜ ao 49 e e

          

        2

        2

          2

          ([5]). O subsespa¸co span{e , ∇ } ´e paralelo ao longo das curvas inte- grais de e .

        2 Prova.

          Note que neste novo espa¸co ambiente e e = be + α + eη,

          2

          

        1

          22

          ∇ 2

          4

          5

          onde η ´e o vetor unit´ario normal a subvariedade umb´ılica de E em R que ´e determinada c

          4

          pela orienta¸c˜ao de E . Vamos calcular e e e derivando termo a termo a igualdade c 2 2

          2

          ∇ ∇ acima. Temos e (be e e + α e e + bα ,

          1

          1

          12

          2

          22

          ∇ 2 ) = b(∇ 2 ) = b∇ 2 e (α ⊥ ⊥ 2 22 e (α

        2 e e

        22 (α 22 α 22 α e 22 2 , ∇ ) = ∇ ) + ∇ 2 ) = ∇ 2 − A

          ⊥ e α = 0. E, como

          22

          e, pela Proposi¸c˜ao 47, encontramos ∇ 2 e 2 2 , ∇ η = −ee temos

        e e e e e + bα α e e

          2

          2

          1

          12

          2

          2

          ∇ 2 ∇ 2 = b∇ 2 − A 22 − e que ´e um m´ ultiplo de e , pois α e e . Para todo v normal, A v ´e um

          2

          12

          1

          2

          = 0 e ∇ 2 = −be m´ ultiplo da identidade, ou seja, A v e ´e um m´ ultiplo de e . O que encerra a prova.

          2

          2 As duas pr´oximas Proposi¸c˜oes caracterizam as curvas integrais de e .

          2 Proposi¸ c˜ ao 50

          ([5]). As curvas integrais de e 2 s˜ao c´ırculos planos. Prova. e e , α e eη s˜ao vetores

          2

          1

          22 Primeiro, note que |∇ 2 | ´e constante. Temos que be e e e ´e um m´ ultiplo de e , concluimos a

          2

          2

          ortogonais com norma constante. Como ∇ 2 ∇ 2 prova.

          Proposi¸ c˜ ao 51 ([5]). As curvas integrais de e est˜ao em planos paralelos.

          2 Prova. Inicialmente, observamos que as curvas integrais de e s˜ao curvas de n´ıvel da

          2

          , w formas diferenciais

          1

          2

          fun¸c˜ao altura h(p) = hx(p), ξi, p ∈ M. Para vernos isso, sejam w definidas em M por w i (e j ) = δ ij , i, j ∈ {1, 2}. Ent˜ao

          2

          e + w e

          1

          1

          2 dh = hdx, ξi = hw , ξi.

          Portanto,

          2

          dh(e (e )e + w (e )e + e

          2

          1

          2

          1

          2

          2

          1

          2

          ) = hw , ξi = he , ξi

        • e , cos(θ)e + sen(θ)e

          1

          2

          1

          3

          = he i

          2 = he , ξi = 0. Cap´ıtulo

          4 66 e isso implica que a fun¸c˜ao altura ´e constante ao longo das curvas integrais de e . Conside-

          2

          remos um ponto p em uma dada curva integral de e . Ent˜ao, qualquer outra curva integral

          2

          de e

          2 , suficientemente perto da primeira curva, pode ser ligada ao ponto p por uma ´ unica

          linha gradiente. Isto nos permite falar sobre pontos correspondentes em distintas curvas integrais de e que sejam pr´oximas o suficiente.

        2 Notemos que as linhas gradientes parametrizadas por comprimento de arco s˜ao

          curvas integrais do campo e

          1 . Como

        e e e e + α = 0,

          2

          2

          12

          ∇ 1 = ∇ 1 vemos que as linhas tangentes, em pontos correspondentes de distintas curvas integrais de e

          2 , que s˜ao pr´oximos o suficiente, s˜ao paralelas. Assim, tais curvas est˜ao contidas em planos paralelos.

          Como os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao altura s˜ao os os zeros da diferencial anal´ıtica dh p : X p p −→ hX , ξi, onde X p ´e um vetor tangente em p, eles formam um conjunto fechado F em M, sem p pontos interiores. E como j´a eliminamos o Caso a, n˜ao podemos ter hX , ξi ≡ 0. O c conjunto complementar F ´e aberto e denso e deve conter um n´ umero de componetes c conexas. Claramente, para uma dada componente conexa de F , os planos contendo trajet´orias de e s˜ao todos paralelos a um plano fixado.

          2 c

          Agora, dado um ponto que pertence ao bordo de duas componentes conexas F c

          1

          e F , consideremos dois planos P e P que s˜ao limite dos planos contendo os pontos das

          1

          2

          2 1 c 2 c i i , respectivamente, que convergem para p. Afirmamos que sequˆencias {p } ∈ F

          1 e {p } ∈ F

        2 P 1 = P 2 . Caso contr´ario, a interse¸c˜ao entre eles seria uma linha reta, que, por completude, se estenderia por toda M. Isto implicaria que K ≡ 0, uma contradi¸c˜ao.

          Segue-se que todos os planos contendo as curvas integrais de e s˜ao paralelos a

          2 um plano fixado e isto prova a Proposi¸c˜ao 51.

          5 ⊥

          Agora decompondo R , onde P ´e um

          × R em dois subespa¸cos ortogonais P ⊕ P

          ⊥

          plano que cont´em uma curva integral de e e P ´e o seu complemento ortogonal. Podemos

          2

          parametrizar o c´ırculo, que ´e a curva integral de e em P por

          2

        • rsen(θ)f , (4.5)

          

        1

          2

          bg + rcos(θ)f , f

          (r) = 0, e

          1

          2

          2

          onde {f } ´e uma base ortonormal de P, r ´e uma fun¸c˜ao em M tal que e bg ∈ P ´e outro vetor posi¸c˜ao do centro do c´ırculo em (4.5).

          Quando nos movemos ao longo de uma linha gradiente, as curvas de n´ıvel de altura h, qua s˜ao c´ırculos em planos paralelos a P, s˜ao dadas por β(s) = ˆ g(s) + r(s)cos(θ)f + r(s)sen(θ)f .

          1

          2 Cap´ıtulo

          4

          67 Consideremos a proje¸c˜ao das curvas β(s) em P, e manteremos, por simplicidade, a mesma nota¸c˜ao da parametriza¸c˜ao β(s).

          Afirmamos que, quando nos movemos ao longo de uma linha gradiente, os pontos

          ′

          ˆ g(s) permanecem fixados, isto ´e, ˆ g e a proje¸c˜ao

          1

          (s) = 0. Para vermos isso, consideremos b de e sobre P. Ent˜ao,

          1

          ∂

          ′ ′ ′ e = βs = ˆ g (s) + r (s)cos(θ)f + r (s)sen(θ)f .

          1

          1

          2

          b ∂s

          Como e

          2 e 1 , e

          2

          2 1 + cos(θ)f 2 , obtemos

          ∈ P, h b i = 0. Tamb´em, observando que e = −sen(θ)f

          ′

          e , e (s), e

          1

          2

          2

          = 0h b i = hbg i

          ′

          e, como e

          2

          gera P, comcluimos que bg (s) ≡ 0, como afirmamos. Mostramos ent˜ao que, se n˜ao ocorre o Caso (a), o item (4) do Teorema 35 vale. Usando a analiticidade da imers˜ao da maneira que foi feita anteriormente, mos- tramos que o item (4) do Teorema 35 vale em M. De fato, como vimos antes, se H ´e n c . Neste caso, podemos usar uma dire¸c˜ao umb´ılica em todos os pontos, ent˜ao x(M ) ⊂ E o Teorema 45 e concluir os outros itens do Teorema 35. Referˆ encias Bibliogr´ aficas

          2

          [1] Abresch, U., Rosenberg, H., A Hopf differential for constant mean curvature in S ×R

          2

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